ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для инженерно технических
специальностей высших учебных заведений
20 е издание, стереотипное
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
T761
Рецензент —
профессор кафедры физики им. А. М . Фабриканта
Московского энергетического института (технического университета) В. А. Касьянов
Трофимова Т. И.
T761 Курс физики : учеб. пособие для студ. учреждений высш. проф.
образования / Т. И . Трофимова. — 20 е изд., стер. — М . : Издательский
центр «Академия», 2014. — 560 с.
ISBN 978 5 4468 0627 0
Учебное пособие (9 е издание, переработанное и дополненное, — 2004 г.) состоит из семи
частей, в которых изложены физические основы механики, молекулярной физики и тер
модинамики, электричества и магнетизма, оптики, квантовой физики атомов, молекул и
твердых тел, физики атомного ядра и элементарных частиц. Рационально решен вопрос об
объединении механических и электромагнитных колебаний. Установлена логическая пре
емственность и связь между классической и современной физикой. Приведены контрольные
вопросы и задачи для самостоятельного решения.
Для студентов инженерно технических специальностей учреждений высшего профес
сионального образования.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
© Трофимова Т.И., 2012
© Образовательно издательский центр «Академия», 2012
© Оформление. Издательский центр «Академия», 2012
ISBN 978 5 4468 0627 0
Îðèãèíàë-ìàêåò äàííîãî èçäàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ
Èçäàòåëüñêîãî öåíòðà «Àêàäåìèÿ», è åãî âîñïðîèçâåäåíèå ëþáûì ñïîñîáîì
áåç ñîãëàñèÿ ïðàâîîáëàäàòåëÿ çàïðåùàåòñÿ
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
тая часть посвящена элементам кванто
вой физики атомов, молекул и твердых
тел. В седьмой части рассмотрены эле
менты физики атомного ядра и элемен
тарных частиц.
Изложение материала ведется без
громоздких математических выкладок,
особое внимание обращено на физиче
скую суть явлений и описывающих их
понятий и законов, а также на преем
ственность современной и классичес
кой физики. Все биографические дан
ные приведены по книге Ю. А. Храмо
ва «Физики» (М.: Наука, 1983).
Автор выражает глубокую благо
дарность коллегам и читателям, чьи
доброжелательные замечания и поже
лания способствовали улучшению
книги, и особую признательность про
фессору В. А . Касьянову за рецензиро
вание пособия и сделанные им замеча
ния.
Ознакомиться с работами автора мож
но в Интернете на сайте www.yandex.ru
«Физика. Трофимова Т. И .» . Замеча
ния и предложения просьба направ
лять автору по электронной почте
trofimova@miem.edu.ru .
Учебное пособие написано в соот
ветствии с действующей программой
курса физики для инженерно техничес
ких специальностей высших учебных
заведений. Небольшой объем учебного
пособия достигнут с помощью тщатель
ного отбора и лаконичного изложения
материала.
Книга состоит из семи частей. В пер
вой части дано систематическое изложе
ние физических основ классической ме
ханики, а также рассмотрены элементы
специальной (частной) теории относи
тельности. Вторая часть посвящена ос
новам молекулярной физики и термо
динамики. В третьей части представле
ны электростатика, постоянный элект
рический ток и электромагнетизм. В чет
вертой части, посвященной теории ко
лебаний и волн, механические и элек
тромагнитные колебания рассмотрены
параллельно, указаны их сходства и
различия и сопоставлены физические
процессы, происходящие при соответ
ствующих колебаниях. В пятой части
изложены элементы геометрической и
электронной оптики, волновая оптика
и квантовая природа излучения. Шес
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

4
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
ÏÐÅÄÌÅÒ ÔÈÇÈÊÈ È ÅÅ ÑÂßÇÜ Ñ ÄÐÓÃÈÌÈ ÍÀÓÊÀÌÈ
движения материи и их взаимных пре
вращениях. Изучаемые физикой формы
движения материи (механическая, теп
ловая и др.) присутствуют во всех выс
ших и более сложных формах движения
материи (химических, биологических и
др.) . Поэтому они, будучи наиболее про
стыми, являются в то же время наибо
лее общими формами движения мате
рии. Высшие и более сложные формы
движения материи — предмет изучения
других наук (химии, биологии и др.).
Теснейшая связь физики с многими
отраслями естествознания, как отмечал
академик С. И. Вавилов (1891 — 1955;
российский физик и общественный де
ятель), привела к тому, что физика глу
бочайшими корнями вросла в астроно
мию, геологию, химию, биологию и дру
гие естественные науки. В результате
образовался ряд новых смежных дис
циплин, таких, как астрофизика, био
физика и др.
Физика тесно связана и с техникой,
причем эта связь имеет двусторонний
характер. Физика выросла из потребно
стей техники (развитие механики у
древних греков, например, было вызва
но запросами строительной и военной
техники того времени), и техника, в
свою очередь, определяет направление
физических исследований (например, в
свое время задача создания наиболее
экономичных тепловых двигателей выз
вала интенсивное развитие термодина
мики). С другой стороны, от развития
физики зависит технический уровень
Окружающий нас мир, все сущест
вующее вокруг нас и обнаруживаемое
нами посредством ощущений представ
ляют собой материю.
Неотъемлемым свойством материи и
формой ее существования является дви
жение. Движение в широком смысле
слова — это всевозможные изменения
материи — от простого перемещения до
сложнейших процессов мышления.
Разнообразные формы движения
материи изучаются различными наука
ми, в том числе и физикой. Предмет
физики, как, впрочем, и любой науки,
может быть раскрыт только по мере его
детального изложения. Дать строгое
определение предмета физики доволь
но сложно, потому что границы между
физикой и рядом смежных дисциплин
условны. На данной стадии развития
нельзя сохранить определение физики
только как науки о природе.
Академик А. Ф . Иоффе (1880 — 1960;
российский физик) определил физику
как науку, изучающую общие свойства
и законы движения вещества и поля.
В настоящее время общепризнано, что
все взаимодействия осуществляются по
средством полей, например гравитацион
ных, электромагнитных, полей ядерных
сил. Поле наряду с веществом является
одной из форм существования материи.
Неразрывная связь поля и вещества, а
также различие в их свойствах будут рас
смотрены по мере изучения курса.
Физика — наука о наиболее простых
и вместе с тем наиболее общих формах
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

5
производства. Физика — база для созда
ния новых отраслей техники (электрон
ная техника, ядерная техника и др.).
Бурный темп развития физики, рас
тущие связи ее с техникой указывают
Для построения системы единиц
произвольно выбирают единицы для
нескольких не зависящих друг от друга
физических величин. Эти единицы на
зываются основными. Остальные же
единицы, называемые производными,
выводятся из физических законов, свя
зывающих их с основными единицами.
В научной, а также в учебной лите
ратуре обязательна к применению Си
стема интернациональная (СИ), кото
рая строится на семи основных едини
цах — метр, килограмм, секунда, ампер,
кельвин, моль, кандела — и двух допол
нительных — радиан и стерадиан.
Метр (м) — длина пути, проходимо
го светом в вакууме за 1/299 792 458 с.
Килограмм (кг) — масса, равная
массе международного прототипа кило
грамма (платиноиридиевого цилиндра,
хранящегося в Международном бюро
мер и весов в Севре, близ Парижа).
Секунда (с) — время, равное
9 192 631 770 периодам излучения, со
ответствующего переходу между двумя
сверхтонкими уровнями основного со
стояния атома цезия 133.
Ампер (А) — сила неизменяющего
ся тока, который при прохождении по
двум параллельным прямолинейным
проводникам бесконечной длины и
ничтожно малого поперечного сечения,
расположенным в вакууме на расстоя
нии 1 м один от другого, создает меж
ду этими проводниками силу, равную
2 · 10-7 Н на каждый метр длины.
Основным методом исследования в
физике является опыт — основанное
на практике чувственно эмпирическое
познание объективной действительно
сти, т. е . наблюдение исследуемых явле
ний в точно учитываемых условиях,
позволяющих следить за ходом явле
ний и многократно воспроизводить его
при повторении этих условий.
Для объяснения эксперименталь
ных данных выдвигаются гипотезы. Ги
потеза — это научное предположение,
позволяющее уяснить сущность проис
ходящих явлений и требующее провер
ки на опыте и теоретического обосно
вания для того, чтобы стать достовер
ной научной теорией.
В результате обобщения экспери
ментальных данных, а также накоплен
ного опыта людей устанавливаются
физические законы — устойчивые по
вторяющиеся объективные закономер
ности, существующие в природе. Наи
более важные законы устанавливают
связь между физическими величинами.
Измерение физической величины есть
действие, выполняемое с помощью
средств измерений для нахождения зна
чения физической величины в приня
тых единицах.
Единицы физических величин мож
но выбрать произвольно, но тогда воз
никнут трудности при их сравнении.
Поэтому целесообразно ввести систему
единиц, охватывающую единицы всех
физических величин.
на значительную роль курса физики во
втузе — это фундаментальная база для
теоретической подготовки инженера,
без которой его успешная деятельность
невозможна.
ÅÄÈÍÈÖÛ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÅËÈ×ÈÍ
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

Кельвин (К) — 1/273,16 часть тер
модинамической температуры тройной
точки воды.
Моль (моль) — количество веще
ства системы, содержащей столько же
структурных элементов, сколько ато
мов содержится в нуклиде
12
C массой
0,012 кг.
Кандела (кд) — сила света в задан
ном направлении источника, испуска
ющего монохроматическое излучение
частотой 540 · 1012 Гц, энергетическая
сила света которого в этом направлении
составляет 1/683 Вт/ср.
Радиан (рад) — угол между двумя
радиусами окружности, длина дуги
между которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср) — телесный угол с
вершиной в центре сферы, вырезающий
на поверхности сферы площадь, равную
площади квадрата со стороной, равной
радиусу сферы.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

7
×ÀÑÒÜ 1
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÑÍÎÂÛ ÌÅÕÀÍÈÊÈ
Ãëàâà 1
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÈ
рованной А. Эйнштейном (1879 — 1955).
Для описания движения микроскопиче
ских тел (отдельные атомы и элементар
ные частицы) законы классической ме
ханики неприменимы — они заменяют
ся законами квантовой механики.
Уравнения релятивистской механи
ки в пределе (для скоростей, малых по
сравнению со скоростью света) перехо
дят в уравнения классической механи
ки, уравнения квантовой механики в
пределе (для масс, бо′льших по сравне
нию с массами атомов) также перехо
дят в уравнения классической механи
ки. Это указывает на ограниченность
применимости классической механи
ки — механики тел больших масс (по
сравнению с массой атомов), движу
щихся с малыми скоростями (по срав
нению со скоростью света).
Механика делится на три раздела:
1) кинематику; 2) динамику; 3) статику.
Кинематика изучает движение тел,
не рассматривая причины, которые это
движение обусловливают.
Динамика изучает законы движе
ния тел и причины, которые вызывают
или изменяют это движение.
Статика изучает законы равнове
сия системы тел. Если известны зако
ны движения тел, то из них можно ус
§ 1. Ìîäåëè â ìåõàíèêå.
Ñèñòåìà îòñ÷åòà. Òðàåêòîðèÿ,
äëèíà ïóòè, âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ
Механика — часть физики, которая
изучает закономерности механическо
го движения и причины, вызывающие
или изменяющие это движение. Меха
ническое движение — это изменение с
течением времени взаимного располо
жения тел или их частей.
Развитие механики как науки начи
нается с III в. до н. э ., когда древнегре
ческий ученый Архимед (287 — 212 до
н. э.) сформулировал закон равновесия
рычага и законы равновесия плавающих
тел. Основные законы механики уста
новлены итальянским физиком и астро
номом Г. Галилеем (1564 — 1642) и окон
чательно сформулированы английским
ученым И. Ньютоном (1643 — 1727).
Механика Галилея — Ньютона назы
вается классической механикой. В ней
изучаются законы движения макроско
пических тел, скорости которых малы по
сравнению со скоростью света c в ваку
уме. Законы движения макроскопических
тел со скоростями, сравнимыми со ско
ростью c, изучаются релятивистской
механикой, основанной на специальной
теории относительности, сформули
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

8
тановить и законы равновесия. Поэто
му законы статики отдельно от законов
динамики физика не рассматривает.
В механике для описания движения
тел в зависимости от условий конкрет
ных задач используются разные физи
ческие модели. Простейшей моделью
является материальная точка — тело,
обладающее массой, размерами которо
го в данной задаче можно пренебречь.
Материальная точка — понятие абст
рактное, но его введение облегчает ре
шение практических задач. Например,
изучая движение планет по орбитам
вокруг Солнца, можно принять их за
материальные точки.
Произвольное макроскопическое
тело или систему тел можно мысленно
разбить на малые взаимодействующие
между собой части, каждая из которых
рассматривается как материальная точ
ка. Тогда изучение движения произ
вольной системы тел сводится к изуче
нию системы материальных точек.
Под воздействием тел друг на друга
тела могут деформироваться, т. е . изме
нять свою форму и размеры. Поэтому в
механике вводится еще одна модель —
абсолютно твердое тело. Абсолютно
твердым называют тело, которое ни
при каких условиях не может деформи
роваться и при всех условиях расстоя
ние между двумя точками (или точнее
между двумя частицами) этого тела ос
тается постоянным.
Любое движение твердого тела мож
но представить как комбинацию посту
пательного и вращательного движений.
Поступательное движение — это дви
жение, при котором любая прямая, же
стко связанная с движущимся телом,
остается параллельной своему первона
чальному положению. Вращательное
движение — это движение, при кото
ром все точки тела движутся по окруж
ностям, центры которых лежат на од
ной и той же прямой, называемой осью
вращения.
Движение тел происходит в про
странстве и во времени. Поэтому для
описания движения материальной точ
ки надо знать, в каких местах простран
ства и в какие моменты времени эта
точка находилась в том или ином поло
жении.
Положение материальной точки оп
ределяется по отношению к какому
либо другому, произвольно выбранно
му телу, называемому телом отсчета.
С ним связывается система отсче
та — совокупность системы координат
и часов. В декартовой системе коорди
нат, используемой наиболее часто, по
ложение точки A в данный момент вре
мени по отношению к этой системе ха
рактеризуется тремя координатами x , y
и z или радиусом вектором r
r
, проведен
ным из начала системы координат в
данную точку (рис. 1).
При движении материальной точки
ее координаты с течением времени из
меняются. В общем случае ее движение
определяется скалярными уравнениями
x=x(t),y =y(t), z =z(t), (1.1)
эквивалентными векторному уравнению
r
r
=r
r
(t).
(1.2)
Уравнения (1.1) и (1.2) называются
кинематическими уравнениями дви
жения материальной точки.
Рис. 1
Рис. 2
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

9
Число независимых величин, полно
стью определяющих положение точки
в пространстве, называется числом
степеней свободы. Если материальная
точка свободно движется в простран
стве, то, как уже было сказано, она об
ладает тремя степенями свободы (коор
динаты x , y и z); если она движется по
некоторой поверхности, то двумя сте
пенями свободы, если вдоль некоторой
линии, то одной степенью свободы.
Исключая t в уравнениях (1.1) и
(1.2), получим уравнение траектории
движения материальной точки. Траек
тория — линия, описываемая в про
странстве движущейся точкой. В зави
симости от формы траектории движе
ние может быть прямолинейным или
криволинейным.
Рассмотрим движение материальной
точки вдоль произвольной траектории
(рис. 2). Отсчет времени начнем с мо
мента, когда точка находилась в положе
нии A. Длина участка траектории AB,
пройденного материальной точкой с
момента начала отсчета времени, назы
вается длиной пути Ds и является ска
лярной функцией времени: Ds = Ds(t).
Вектор Dr
r
=r
r
2-r
r
1, проведенный из на
чального положения движущейся точки
в положение ее в данный момент време
ни (приращение радиуса вектора точки
за рассматриваемый промежуток време
ни), называется перемещением.
При прямолинейном движении век
тор перемещения совпадает с соответ
ствующим участком траектории и мо
дуль перемещения |Dr
r
| равен пройден
ному пути Ds.
§ 2. Ñêîðîñòü
Для характеристики движения мате
риальной точки вводится векторная
величина — скорость, которой опреде
ляется как быстрота движения, так и
его направление в данный момент вре
мени.
Пусть материальная точка движет
ся по какой либо криволинейной тра
ектории так, что в момент времени t ей
соответствует радиус вектор r
r
1 (рис. 3).
В течение малого промежутка времени
Dt точка пройдет путь Ds и получит
элементарное (бесконечно малое) пере
мещение Dr
r
.
Вектором средней скорости áv
r
ñ
называется отношение приращения Dr
r
радиуса вектора точки к промежутку
времени Dt :
.
r
v
t
D
áñ=
D
r
r
(2.1)
Направление вектора средней скоро
сти совпадает с направлением Dr
r
. При
неограниченном уменьшении Dt сред
няя скорость стремится к предельному
значению, которое называется мгно
венной скоростью v
r
:
0
d
lim
.
d
t
rr
v
tt
D®
D
==
D
rr
r
Мгновенная скорость v
r
, таким обра
зом, есть векторная величина, опреде
ляемая первой производной радиуса
вектора движущейся точки по времени.
Так как секущая в пределе совпадает с
касательной, то вектор скорости v
r
на
правлен по касательной к траектории в
сторону движения (см. рис. 3). По мере
уменьшения Dt длина пути Ds все боль
ше будет приближаться к |Dr
r
|, поэтому
модуль мгновенной скорости
00
lim
lim
tt
rr
vv
tt
D®
D®
DD
==
=
=
DD
rr
r
Рис. 3
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

10
0
d
lim
.
d
t
ss
tt
D®
D
==
D
Таким образом, модуль мгновенной
скорости равен первой производной
пути по времени:
d.
d
s
v
t
=
(2.2)
При неравномерном движении мо
дуль мгновенной скорости с течением
времени изменяется. В данном случае
пользуются скалярной величиной ávñ —
средней скоростью неравномерного
движения:
.
s
v
t
D
áñ=
D
Из рис. 3 вытекает, что ávñ > |Dv
r
|, так
какDs>|Dr
r
|, и только в случае прямо
линейного движения
Ds=|Dr
r
|.
Если выражение ds = v dt [см. фор
мулу (2.2)] проинтегрировать по време
нивпределахотtдоt+Dt,тонайдем
длину пути, пройденного точкой за вре
мя Dt:
d.
tt
t
sv
t
+D
=
ò
(2.3)
В случае равномерного движения
числовое значение мгновенной скоро
сти постоянно; тогда выражение (2.3)
примет вид
d.
tt
t
sv tvt
+D
==
D
ò
Длина пути, пройденного точкой за
промежуток времени от t 1 до t 2, опре
деляется интегралом
2
1
()d.
t
t
sv
t
t
=
ò
§ 3. Óñêîðåíèå
è åãî ñîñòàâëÿþùèå
В случае неравномерного движения
важно знать, как быстро изменяется
скорость с течением времени. Физиче
ской величиной, характеризующей бы
строту изменения скорости по модулю
и направлению, является ускорение.
Рассмотрим плоское движение, т. е .
движение, при котором все участки тра
ектории точки лежат в одной плоско
сти. Пусть вектор v
r
задает скорость точ
ки A в момент времени t . За время Dt
движущаяся точка перешла в положе
ние B и приобрела скорость, отличную
отv
r
как по модулю, так и направлению
и равную v
r
1=v
r
+Dv
r
. Перенесем век
тор v
r
1вточкуAинайдемDv
r
(рис. 4).
Средним ускорением неравномер
ного движения в интервале от t до
t +Dt называется векторная величина,
равная отношению изменения скорос
ти Dv
r
к интервалу времени Dt :
.
v
a
t
D
áñ=
D
r
r
Мгновенным ускорением a
r
(уско
рением) материальной точки в момент
времени t будет предел среднего ускоре
ния:
00
d
lim
lim
.
d
tt
vv
aa
tt
D®
D®
D
=á
ñ
=
=
D
rr
rr
Рис. 4
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

11
Таким образом, ускорение a
r
есть
векторная величина, определяемая
первой производной скорости по вре
мени.
Разложим вектор Dv
r
на две составля
ющие. Для этого из точки A (см. рис. 4)
по направлению скорости v
r
отложим
вектор AD
uuu
r
, по модулю равный v
r
1. Оче
видно, что вектор CD
uuu
r
, равный Dv
r
t, оп
ределяет изменение скорости за время
Dt помодулю: Dvt = v1
-
v. Вторая же
составляющая Dv
r
n вектора Dv
r
характе
ризует изменение скорости за время Dt
по направлению.
Тангенциальная составляющая
ускорения
,
00
d
lim
lim
d
tt
v
vv
a
tt
t
t
t
D®
D®
D
D
==
=
DD
т. е. равна первой производной по вре
мени от модуля скорости: она опреде
ляет быстроту изменения скорости по
модулю.
Найдем вторую составляющую уско
рения. Допустим, что точка B достаточ
но близка к точке A, поэтому Ds можно
считать дугой окружности некоторого
радиуса r , мало отличающейся от хор
ды AB. Тогда из подобия треугольни
ков AOB и EAD следует
1
n
v
v
ABr
D=
,но
таккакAB=vDt,то
1
.
n
v
vv
tr
D=
D
В пределе при Dt ® 0 получим v
r
1®v
r
.
Поскольку v
r
1®v
r
, угол EAD стре
мится к нулю, а так как треугольник
EAD равнобедренный, то угол ADE
между v
r
иDv
r
n стремится к прямому.
Следовательно, при Dt ® 0 векторы Dv
r
n
иv
r
оказываются взаимно перпендику
лярными. Так как вектор скорости на
правлен по касательной к траектории,
то вектор Dv
r
n , перпендикулярный век
тору скорости, направлен к центру ее
кривизны. Составляющая ускорения
2
0
lim
n
n
t
v
v
a
tr
D®
D
==
D
называется нормальной составляю
щей ускорения и направлена по глав
ной нормали к траектории к центру ее
кривизны.
Полное ускорение тела есть геомет
рическая сумма тангенциальной и нор
мальной составляющих (рис. 5):
d
.
d
n
v
aa
a
t
t
==
+
r
rr
r
Итак, тангенциальная составляю
щая ускорения характеризует быстро
ту изменения модуля скорости (направ
лена по касательной к траектории), а
нормальная составляющая ускорения —
быстроту изменения направления ско
рости (направлена по главной норма
ли к центру кривизны траектории).
Составляющие a
r
tиa
r
n перпендикуляр
ны друг другу.
В зависимости от тангенциальной и
нормальной составляющих ускорения
движение можно классифицировать
следующим образом:
1) at = 0, an = 0 — прямолинейное
равномерное движение;
2)at=a =const,an=0—прямоли
нейное равнопеременное движение.
При таком виде движения
21
21
.
vv
v
aa
ttt
t
-
D
==
=
D-
Если начальный момент времени
t1 = 0, а начальная скорость v1 = v0, то,
Рис. 5
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

12
принявt2=t иv2=v,получим
0
vv
a
t
-
=
, откуда
v=v0+at.
Проинтегрировав эту формулу в
пределах от нуля до произвольного мо
мента времени t , найдем, что длина
пути, пройденного точкой, в случае рав
нопеременного движения
;
2
00
00
d()
d
2
tt
at
sv
tva
t
tv
t
==+=
+
òò
3)at = f(t), an = 0 — прямолинейное
движение с переменным ускорением;
4)at=0,an=const.Приat=0ско
рость изменяется только по направле
нию. Из формулы
2
n
v
a
r
=
следует, что
радиус кривизны должен быть постоян
ным. Следовательно, движение по ок
ружности является равномерным;
5)at = 0,an10—равномерноекри
волинейное движение;
6) at = const, an 1 0 — криволиней
ное равнопеременное движение;
7) at = f(t), an 1 0 — криволинейное
движение с переменным ускорением.
§ 4. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü
è óãëîâîå óñêîðåíèå
Рассмотрим твердое тело, которое
вращается вокруг неподвижной оси.
Тогда отдельные точки этого тела бу
дут описывать окружности разных ра
диусов, центры которых лежат на оси
вращения. Пусть некоторая точка дви
жется по окружности радиуса R (рис.
6). Ее положение через промежуток
времени Dt задается углом Dj.
Элементарные (бесконечно малые)
повороты можно рассматривать как
векторы (они обозначаются Dj
r
или dj
r
).
Модуль вектора dj
r
равен углу поворо
та, а его направление совпадает с на
правлением поступательного движения
острия винта, головка которого враща
ется в направлении движения точки по
окружности, т. е . подчиняется правилу
правого винта (см. рис. 6). Векторы,
направления которых связываются с
направлением вращения, называются
псевдовекторами или аксиальными
векторами. Эти векторы не имеют оп
ределенных точек приложения: они
могут откладываться из любой точки
оси вращения.
Угловой скоростью называется век
торная величина, определяемая первой
производной угла поворота тела по вре
мени:
0
d
lim
.
d
t
tt
D®
Djj
w=
=
D
rr
r
Вектор w
r
направлен вдоль оси вра
щения по правилу правого винта, т. е .
так же, как и вектор dj
r
(рис. 7). Размер
ность угловой скорости dim w = T
-1
,а
ее единица — радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
,
00
0
lim
lim
lim
tt
t
R
s
vR
R
ttt
D®
D®
D®
Dj
Dj
D
==
=
=
w
DDD
т.е.
v=wR.
В векторном виде формулу для ли
нейной скорости можно написать как
векторное произведение:
v
r
=[w
r
R
r
].
Рис. 6
Рис. 7
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

13
При этом модуль векторного про
изведения, по определению, равен
¶
sin( )
RR
ww
r
r
, а направление совпадает с
направлением поступательного движе
ния правого винта при его вращении от
w
r
кR
r
.
Если w = const, то вращение равно
мерное и его можно характеризовать
периодом вращения T — временем, за
которое точка совершает один полный
оборот, т. е . поворачивается на угол 2p.
Так как промежутку времени Dt = T со
ответствует Dj = 2p, то
2
T
p
w=
, откуда
2.
Tp
=
w
Число полных оборотов, совершае
мых телом при равномерном его движе
нии по окружности в единицу времени,
называется частотой вращения:
,
1
2
n
T
w
==
p
откуда
w=2pn.
Угловым ускорением называется
векторная величина, определяемая пер
вой производной угловой скорости по
времени:
d.
dt
w
e=
r
r
При вращении тела вокруг непод
вижной оси вектор углового ускорения
направлен вдоль оси вращения в сторо
ну вектора элементарного приращения
угловой скорости. При ускоренном дви
жении вектор e
r
сонаправлен вектору w
r
(рис. 8), при замедленном — противо
направлен ему (рис. 9).
Тангенциальная составляющая ус
корения
,
d
d
v
av
R
t
t==
w
и
d()
d
dd
R
aR
R
tt
t
w
w
==
=
e
.
Нормальная составляющая ускорения
22
2
2.
n
vR
aR
RR
w
==
=
w
Таким образом, связь между линей
ными (длина пути s, пройденного точ
кой по дуге окружности радиусом R, ли
нейная скорость v, тангенциальное уско
рение a t, нормальное ускорение an) и
угловыми величинами (угол поворота j,
угловая скорость w, угловое ускорение
e) выражается следующими формулами:
s=Rj, v=Rw, at=Re, an=w
2
R.
В случае равнопеременного движе
ния точки по окружности (e = const)
w=w0±et, j=w0t±
2
2
te
,
где w0 — начальная угловая скорость.
Рис. 8
Рис. 9
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?
• Что такое система отсчета?
• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку
пути, пройденному точкой?
d0
dt
w
>
r
d0
dt
w
<
r
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

14
• Какое движение называется поступательным? вращательным?
• Дайте определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной ско
рости и мгновенного ускорения. Каковы их направления?
• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляю
щая ускорения? Каковы их модули?
• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенци
альное ускорение? Приведите примеры.
• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направ
ления?
• Какова связь между линейными и угловыми величинами?
ÇÀÄÀ×È
1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt +
+Ct2+Dt3(C=0,1м/с2
, D = 0,03 м/с3). Определите: 1) время после начала движения,
через которое ускорение a тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение áañ тела за этот
промежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]
1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол, под которым тело брошено
к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]
1.3. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от
времени задается уравнением w = 2At + 5Bt 4 (A = 2 рад/с2 и B = 1 рад/с5). Определите
полное ускорение точек обода колеса через t = 1 с после начала вращения и число оборотов,
сделанных колесом за это время. [a = 8,5 м/с2; N = 0,48]
1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r = 4 м, задает
сяуравнениемan = A+Bt+Ct2(A=1м/с2
, B = 6 м/с3, C = 3 м/с4). Определите: 1) танген
циальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t 1 = 5 с после начала дви
жения; 3) полное ускорение для момента времени t 2 = 1 с. [1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]
1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t = 1 мин уменьши
лась от 300 до 180 мин-1
. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборо
тов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с2; 2) 240]
1.6. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость
угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j = A + Bt + Ct2 + Dt3 (B =
= 1рад/с,C =1рад/с2
, D = 1 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса к концу
второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение a t; 2) нормальное
ускорение an; 3) полное ускорение a. [1) 1,4 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]
Ãëàâà 2
ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÌÀÒÅÐÈÀËÜÍÎÉ ÒÎ×ÊÈ
È ÏÎÑÒÓÏÀÒÅËÜÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ
§ 5. Ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà.
Ìàññà. Ñèëà
В основе классической динамики
(основной раздел механики) лежат три
закона Ньютона, сформулированные
им в «Математических началах нату
ральной философии» (1687). Законы
Ньютона играют исключительную роль
в механике и являются обобщением ог
ромного числа опытных данных. Пра
вильность этих законов (для обширно
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

15
го, но все же ограниченного круга яв
лений) подтверждается согласием с
опытом получаемых с их помощью ре
зультатов.
Первый закон Ньютона: всякая ма
териальная точка (тело) сохраняет со
стояние покоя или равномерного пря
молинейного движения до тех пор, пока
воздействие со стороны других тел не
заставит ее изменить это состояние.
Стремление тела сохранять состояние
покоя или равномерного прямолиней
ного движения называется инертнос
тью. Поэтому первый закон Ньютона
называют также законом инерции.
Механическое движение относи
тельно, и его характер зависит от сис
темы отсчета. Первый закон Ньютона
выполняется не во всякой системе от
счета, а те системы, по отношению к
которым он выполняется, называются
инерциальными системами отсчета.
Инерциальной системой отсчета явля
ется такая система отсчета, относитель
но которой материальная точка, свобод
ная от внешних воздействий, либо по
коится, либо движется равномерно и
прямолинейно. Первый закон Ньютона
утверждает существование инерциаль
ных систем отсчета.
Опытным путем установлено, что
инерциальной можно считать гелио
центрическую (звездную) систему от
счета (начало координат находится в
центре Солнца, а оси проведены в на
правлении определенных звезд). Сис
тема отсчета, связанная с Землей, стро
го говоря, неинерциальна, однако эф
фекты, обусловленные ее неинерциаль
ностью (Земля вращается вокруг соб
ственной оси и вокруг Солнца), при
решении многих задач пренебрежимо
малы, и в этих случаях ее можно счи
тать инерциальной.
Из опыта известно, что при одина
ковых воздействиях различные тела
неодинаково изменяют скорость свое
го движения, т. е ., иными словами, при
обретают различные ускорения. Уско
рение зависит не только от величины
воздействия, но и от свойств самого
тела (от его массы).
Масса тела — физическая величи
на, являющаяся одной из основных ха
рактеристик материи, определяющая ее
инерционные (инертная масса) и гра
витационные (гравитационная мас
са) свойства. В настоящее время мож
но считать доказанным, что инертная и
гравитационная массы равны друг дру
гу (с точностью, не меньшей 10-12
их
значения).
Чтобы описывать воздействия, упо
минаемые в первом законе Ньютона, вво
дят понятие силы. Под действием сил
тела либо изменяют скорость движения,
т. е . приобретают ускорения (динамиче
ское проявление сил), либо деформиру
ются, т. е . изменяют свою форму и раз
меры (статическое проявление сил).
В каждый момент времени сила ха
рактеризуется числовым значением,
направлением в пространстве и точкой
приложения. Итак, сила — это вектор
ная величина, являющаяся мерой меха
нического воздействия на тело со сто
роны других тел или полей, в результа
те которого тело приобретает ускорение
или изменяет свою форму и размеры.
§ 6. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà
Второй закон Ньютона — основной
закон динамики поступательного дви
жения — отвечает на вопрос, как изме
няется механическое движение матери
альной точки (тела) под действием при
ложенных к ней сил.
Если рассмотреть действие различ
ных сил на одно и то же тело, то оказы
вается, что ускорение, приобретаемое
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

16
телом, всегда пропорционально равно
действующей приложенных сил:
a:F(m=const). (6.1)
При действии одной и той же силы
на тела с разными массами их ускорения
оказываются различными, а именно
1 ( const).
aF
m
=
:
(6.2)
Используя выражения (6.1) и (6.2)
и учитывая, что сила и ускорение — ве
личины векторные, можем записать
.
kF
a
m
r
r
:
(6.3)
Соотношение (6.3) выражает вто
рой закон Ньютона: ускорение, при
обретаемое материальной точкой (те
лом), пропорционально вызывающей
его силе, совпадает с нею по направле
нию и обратно пропорционально массе
материальной точки (тела).
В СИ коэффициент пропорциональ
ности k = 1. Тогда
,
F
a
m
=
r
r
или
d.
d
v
Fm
am
t
==
r
r
r
(6.4)
Учитывая, что масса материальной
точки (тела) в классической механике
есть величина постоянная, в выраже
нии (6.4) ее можно внести под знак про
изводной:
d()
.
d
Fm
v
t
=
r
r
(6.5)
Векторная величина
p
r
=mv
r
,
(6.6)
численно равная произведению массы
материальной точки на ее скорость и
имеющая направление скорости, назы
вается импульсом (количеством дви
жения) этой материальной точки.
Подставляя (6.6) в (6.5), получим
d.
d
p
F
t
=
r
r
(6.7)
Это выражение — более общая фор
мулировка второго закона Ньютона:
скорость изменения импульса матери
альной точки равна действующей на нее
силе. Выражение (6.7) называется так
же уравнением движения матери
альной точки.
Если на тело действует несколько
сил, то в формулах (6.4) и (6.7) под F
r
подразумевается их результирующая
(векторная сумма сил).
Единица силы в СИ — ньютон (Н):
1 Н — сила, которая массе 1 кг сообща
ет ускорение 1 м/с2 в направлении дей
ствия силы:
1Н=1кг·м/с2
.
Второй закон Ньютона справедлив
только в инерциальных системах отсче
та. Казалось бы, первый закон Ньюто
на входит во второй как его частный
случай. В самом деле, в случае равен
ства нулю равнодействующей сил (при
отсутствии воздействия на тело со сто
роны других тел) ускорение [см. (6.3)]
также равно нулю. Однако первый за
кон Ньютона рассматривается как са
мостоятельный закон, так как именно
он утверждает существование инерци
альных систем отсчета, в которых толь
ко и выполняется уравнение (6.7).
Если на материальную точку одно
временно действуют несколько сил F
r
1,
F
r
2,K,F
r
n, то ее ускорение
11
1
,
nn
ii
ii
aF
a
m==
==
åå
r
rr
где
.
i
i
F
a
m
=
r
r
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

17
Следовательно, если на материаль
ную точку действует одновременно не
сколько сил, то каждая из этих сил со
общает материальной точке ускорение
согласно второму закону Ньютона, как
будто других сил не было (принцип не
зависимости действия сил).
Силы и ускорения можно разлагать
на составляющие, использование кото
рых приводит к существенному упро
щению решения задач.
Например, на рис. 10 действующая
сила F
r
=ma
r
разложена на два компо
нента: тангенциальную силу F
r
t (направ
лена по касательной к траектории) и
нормальную силу F
r
n (направлена по
нормали к центру кривизны). Исполь
зуя выражения
d
d
v
a
t
t=
и
2
n
v
a
R
=
,а
также v = R w, можно записать
;
2
2
d
d
.
nn
v
Fm
am
t
mv
Fm
a
mR
R
tt
==
===
w
§ 7. Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà
Взаимодействие между материаль
ными точками (телами) определяется
третьим законом Ньютона: всякое
действие материальных точек (тел)
друг на друга носит характер взаимо
действия; силы, с которыми действуют
друг на друга материальные точки, все
гда равны по модулю, противополож
но направлены и действуют вдоль пря
мой, соединяющей эти точки:
F
r
12=-F
r
21,
(7.1)
где F
r
12 — сила, действующая на первую
материальную точку со стороны вто
рой; F
r
21 — сила, действующая на вторую
материальную точку со стороны пер
вой. Эти силы приложены к разным ма
териальным точкам (телам), всегда дей
ствуют парами и являются силами од
ной природы.
Третий закон Ньютона позволяет
осуществить переход от динамики от
дельной материальной точки к дина
мике системы материальных точек.
Это следует из того, что и для систе
мы материальных точек взаимодей
ствие сводится к силам парного взаи
модействия между материальными
точками.
Третий закон Ньютона, как впрочем
и первые два, справедлив только в инер
циальных системах отсчета. Отметим
также, что при движении со скоростя
ми, сравнимыми со скоростью света,
наблюдаются отступления от этого за
кона. Однако в рамках классической
механики он справедлив, и утверждение
о его невыполнимости имеет принци
пиальное значение лишь для определе
ния границ применимости механики
Ньютона.
§ 8. Ñèëû òðåíèÿ
Из опыта известно, что всякое тело,
движущееся по горизонтальной повер
хности другого тела, при отсутствии
действия на него других сил с течени
ем времени замедляет свое движение и
в конце концов останавливается. Это
можно объяснить существованием си
лы трения, которая препятствует
скольжению соприкасающихся тел от
носительно друг друга. Силы трения за
висят от относительных скоростей тел,
Рис. 10
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

18
в результате их действия механическая
энергия всегда превращается во внут
реннюю энергию соприкасающихся тел,
т. е . в энергию теплового движения ча
стиц.
Различают внешнее (сухое) и внут
реннее (жидкое или вязкое) трение. Это
деление, впрочем, имеет условный ха
рактер. Внешним трением называется
трение, возникающее в плоскости каса
ния двух соприкасающихся тел при их
относительном перемещении. Если со
прикасающиеся тела неподвижны отно
сительно друг друга, говорят о трении
покоя, если же происходит относитель
ное перемещение этих тел, то в зависи
мости от характера их относительного
движения говорят о трении скольже
ния, качения или верчения.
Внутренним трением называется
трение между частями одного и того же
тела, например между различными
слоями жидкости или газа, скорости
которых меняются от слоя к слою.
В отличие от внешнего трения здесь
отсутствует трение покоя. Если тела
скользят относительно друг друга и
разделены прослойкой вязкой жидко
сти (смазки), то трение происходит в
слое смазки. В таком случае говорят о
гидродинамическом трении (слой
смазки достаточно толстый) и гранич
ном трении (толщина смазочной про
слойки составляет около 0,1 мкм и ме
нее).
Силы трения определяются характе
ром взаимодействия между молекула
ми вещества и являются по своей при
роде электромагнитными силами. Эти
силы описываются закономерностями,
полученными опытным путем.
Обсудим некоторые закономернос
ти внешнего трения. Это трение обус
ловлено шероховатостью соприкасаю
щихся поверхностей, а в случае очень
гладких поверхностей — силами меж
молекулярного притяжения.
Рассмотрим лежащее на плоскости
тело (рис. 11), к которому приложена
горизонтальная сила F
r
. Тело придет в
движение лишь тогда, когда приложен
ная сила F
r
будет больше силы трения
F
r
тр. Французские физики Г. Амонтон
(1663 — 1705) и Ш. Кулон (1736 — 1806)
опытным путем установили следую
щий закон: сила трения скольжения Fтр
пропорциональна силе N нормального
давления, с которой одно тело действу
ет на другое:
Fтр = fN,
где f — коэффициент трения сколь
жения, зависящий от свойств соприка
сающихся поверхностей.
Найдем значение коэффициента тре
ния. Если тело находится на наклонной
плоскости с углом наклона a (рис. 12),
то оно приходит в движение только ког
да тангенциальная составляющая F
r
силы тяжести P
r
больше силы трения F
r
тр.
Следовательно, в предельном случае
(начало скольжения тела) F = Fтр, или
Psina = fN=fPcosa, откуда
Рис. 11
Рис. 12
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

19
f=tga0.
Таким образом, коэффициент тре
ния равен тангенсу угла a0, при кото
ром начинается скольжение тела по на
клонной плоскости.
Для гладких поверхностей опреде
ленную роль начинает играть межмоле
кулярное притяжение. Для них приме
няется закон трения скольжения
Fтр = f ист(N + Sp0),
где f ист — истинный коэффициент тре
ния скольжения; S — площадь контак
та между телами; p0 — добавочное дав
ление, обусловленное силами межмоле
кулярного притяжения, которые быст
ро уменьшаются с увеличением рассто
яния между частицами.
Трение играет большую роль в при
роде и технике. Благодаря трению дви
жется транспорт, удерживается заби
тый в стену гвоздь и т. д . В некоторых
случаях силы трения оказывают вред
ное действие и поэтому их надо умень
шать. Для этого на трущиеся поверхно
сти наносят смазку (сила трения умень
шается примерно в 10 раз), которая за
полняет неровности между этими по
верхностями и располагается тонким
слоем между ними так, что поверхнос
ти как бы перестают касаться друг дру
га, а скользят относительно друг друга
отдельные слои жидкости. Таким обра
зом, внешнее трение твердых тел заме
няется значительно меньшим внутрен
ним трением жидкости.
Радикальным способом уменьшения
силы трения является замена трения
скольжения трением качения (шарико
вые и роликовые подшипники и т. д .) .
Сила трения качения определяет
ся по закону, установленному Куло
ном:
òð
ê
,
N
Ff
r
=
(8.1)
где f к — коэффициент трения качения,
имеющий размерность dim f к = L; r —
радиус катящегося тела.
Из (8.1) следует, что сила трения ка
чения обратно пропорциональна ради
усу катящегося тела.
§ 9. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
Öåíòð ìàññ
Для вывода закона сохранения им
пульса рассмотрим некоторые понятия.
Совокупность материальных точек
(тел), рассматриваемых как единое це
лое, называется механической систе
мой.
Силы взаимодействия между мате
риальными точками механической си
стемы называются внутренними.
Силы, с которыми на материальные
точки системы действуют внешние
тела, называются внешними.
Механическая система тел, на кото
рую не действуют внешние силы, назы
вается замкнутой (или изолирован
ной).
Если мы имеем механическую сис
тему, состоящую из многих тел, то, со
гласно третьему закону Ньютона, силы,
действующие между этими телами, бу
дут равны и противоположно направ
лены, т. е . геометрическая сумма внут
ренних сил равна нулю.
Рассмотрим механическую систему,
состоящую из n тел, масса и скорость
которых соответственно равны m 1, m 2,
…, mnиv1,v2, …, vn. ПустьF
r
¢1, F
r
¢2,…,F
r
¢n—
равнодействующие внутренних сил,
действующих на каждое из этих тел, а
F
r
1,F
r
2,…,F
r
n — равнодействующие вне
шних сил.
Запишем второй закон Ньютона для
каждого из n тел механической систе
мы:
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

20
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
22
22
d()
d
d()
d
d()
.
dnnnn
mv
FF
t
mv
FF
t
mv
FF
t
¢
=+
¢
=+
¢
=+
rr
r
rr
r
rr
r
Складывая почленно эти уравнения,
получим
.
11
22
12
12
d()
d
nn
nn
mv mv
mv
t
FFFFFF
++
+=
¢¢
¢
=+++++++
rr
r
K
rr
rrr
r
KK
Так как геометрическая сумма внут
ренних сил механической системы
по третьему закону Ньютона равна
нулю, то
,
11
22
12
d()
d
nn
n
mv mv
mv
t
FFF
++
+=
=+++
rr
r
K
rr
r
K
или
,
12
d
d
n
p
FFF
t
=+++
r
rr
r
K
(9.1)
где
1
n
ii
i
pm
v
=
=
å
rr
—
импульс системы.
Таким образом, производная по вре
мени от импульса механической систе
мы равна геометрической сумме вне
шних сил, действующих на систему.
В случае отсутствия внешних сил
(рассматриваем замкнутую систему)
, ò.å.
1
1
d
d ()0
dd
const .
n
ii
i
n
ii
i
p
mv
tt
pm
v
=
=
==
==
å
å
r
r
r
r
Последнее выражение и является
законом сохранения импульса: им
пульс замкнутой системы сохраняется,
т. е. не изменяется с течением времени.
Закон сохранения импульса спра
ведлив не только в классической физи
ке, хотя он и получен как следствие за
конов Ньютона. Эксперименты доказы
вают, что он выполняется и для замк
нутых систем микрочастиц (они подчи
няются законам квантовой механики).
Этот закон носит универсальный ха
рактер, т. е . закон сохранения импуль
са — фундаментальный закон природы.
Отметим, что, согласно (9.1), им
пульс сохраняется и для незамкнутой
системы, если геометрическая сумма
всех внешних сил равна нулю. Также
сохраняется проекция импульса на на
правление, вдоль которого равнодей
ствующая сил равна нулю.
Закон сохранения импульса являет
ся следствием определенного свойства
симметрии пространства — его однород
ности. Однородность пространства
заключается в том, что при параллель
ном переносе в пространстве замкнутой
системы тел как целого ее физические
свойства и законы движения не изме
няются, иными словами, не зависят от
выбора положения начала координат
инерциальной системы отсчета.
Импульс системы может быть выра
жен через скорость ее центра масс. Цен
тром масс (или центром инерции)
системы материальных точек называет
ся воображаемая точка C, положение
которой характеризует распределение
массы этой системы. Ее радиус вектор
равен
,
1
n
ii
i
C
mr
r
m
=
=
år
гдеmiиr
r
i — соответственно масса и ра
диус вектор i й материальной точки;
n — число материальных точек в систе
ме;
1
n
i
i
mm
=
=å
—
масса системы.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

21
Скорость центра масс
11
d
d
d
.
d
nn
i
ii
i
Ci
i
C
r
mm
v
t
r
v
tmm
==
==
=
åå
r
r
Учитывая, что
,à
1
n
ii
ii
i
pm
vp
=
=
å
rrr
есть
импульс p
r
системы, можно записать
p=mv
r
C,
(9.2)
т. е. импульс системы равен произведе
нию массы системы на скорость ее цен
тра масс.
Подставив выражение (9.2) в урав
нение (9.1), получим
,
12
d
d
C
n
v
mF
FF
t
=+++
r
rr
r
K
(9.3)
т. е. центр масс системы движется как
материальная точка, в которой сосредо
точена масса всей системы и на кото
рую действует сила, равная геометри
ческой сумме всех внешних сил, прило
женных к системе. Выражение (9.3)
представляет собой закон движения
центра масс.
В соответствии с (9.2) из закона со
хранения импульса вытекает, что центр
масс замкнутой системы либо движет
ся прямолинейно и равномерно, либо ос
тается неподвижным.
§ 10. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
òåëà ïåðåìåííîé ìàññû
Движение некоторых тел сопровож
дается изменением их массы, например
масса ракеты уменьшается вследствие
истечения газов, образующихся при
сгорании топлива, и т. п .
Выведем уравнение движения тела
переменной массы на примере движе
ния ракеты. Если в момент времени t
масса ракеты m, а ее скорость v, то по
истечении времени dt ее масса умень
шится на dm и станет равной m - dm, а
скорость станет равной v
r
+dv
r
. Изме
нение импульса системы за отрезок вре
мени dt
dp
r
= [(m - dm)(v
r
+dv
r
)+dm(v
r
+u
r
)]-mv
r
,
где u
r
—
скорость истечения газов отно
сительно ракеты.
Тогда
dp
r
=mdv
r
+u
r
dm
(учли, что dm dv
r
—
малый высшего по
рядка малости по сравнению с осталь
ными). Если на систему действуют вне
шние силы, то dp
r
=F
r
dt, поэтому
F
r
dt=mdv
r
+u
r
dm,
или
dd
.
dd
vm
mF
u
tt
=-
r
r
r
(10.1)
Второе слагаемое в правой части
(10.1) называют реактивной силой F
r
p.
Если u
r
противоположен v
r
по направ
лению, то ракета ускоряется, а если со
впадает с v
r
, то тормозится.
Таким образом, мы получили урав
нение движения тела переменной
массы
ma
r
=F
r
+F
r
p,
(10.2)
которое впервые было выведено И. Б . Ме
щерским (1859 — 1935).
Идея применения реактивной силы
для создания летательных аппаратов
высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибаль
чичем (1854—1881). В 1903г. К.Э.Ци
олковский (1857 — 1935) опубликовал
статью, где предложил теорию движе
ния ракеты и основы теории жидко
стного реактивного двигателя, поэтому
его считают основателем отечественной
космонавтики.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

22
Применим уравнение (10.1) к дви
жению ракеты, на которую не действу
ют внешние силы. Полагая F
r
=0и
считая, что скорость выбрасываемых
газов относительно ракеты постоянна
(ракета движется прямолинейно), по
лучим
,
dd
dd
vm
mu
tt
=-
откуда
d
ln
.
m
vu
u
m
C
m
=-
=-
+
ò
Значение постоянной интегрирова
ния C определим из начальных усло
вий. Если в начальный момент време
ни скорость ракеты равна нулю, а ее
стартовая масса m0, то C = u lnm0. Сле
довательно,
0
ln
.
m
vu
m
=
(10.3)
Это соотношение называется фор
мулой Циолковского. Она показывает,
что: 1) чем больше конечная масса ра
кеты m , тем больше должна быть стар
товая масса ракеты m 0; 2) чем больше
скорость u истечения газов, тем боль
ше может быть конечная масса при дан
ной стартовой массе ракеты.
Выражения (10.2) и (10.3) получе
ны для нерелятивистских движений,
т. е. для случаев, когда скорости v и u
малы по сравнению со скоростью c рас
пространения света в вакууме.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Какая система отсчета называется инерциальной? Почему система отсчета, связанная с
Землей, неинерциальна?
• Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?
• Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона Ньютона? Почему?
• В чем заключается принцип независимости действия сил?
• Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие
виды внешнего (сухого) трения вы знаете?
• Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Явля
ется ли Вселенная замкнутой системой? Почему?
• В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? По
чему он является фундаментальным законом природы?
• Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения им
пульса?
• Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс
замкнутой системы?
ÇÀÄÀ×È
2.1. По наклонной плоскости с углом наклона a к горизонту, равным 30°, скользит тело.
Определите скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффици
ент трения 0,15. [10,9 м/с]
2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наимень
шая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?
[28 м/с]
2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизон
томуглыa=30°иb=45°. Гириравноймассы(ml=m2
= 2 кг) соединены нитью, переки
нутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

23
наклонные плоскости равными f1 = f2 = f = 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определите:
1) ускорение, с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с2; 2) 12 Н]
2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой про
изводится выстрел вдоль полотна под углом a = 45° к горизонту. Масса платформы с пуш
кой M = 20 т, масса снаряда m = 10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и
рельсами f = 0,002. Определите скорость снаряда, если после выстрела платформа откати
ласьнарасстояниеs=3м.[ 0
2
cos
fgs
vM
m
=
a
= 970 м/с]
2.5. На катере массой m = 5 т находится водомет, выбрасывающий m = 25 кг/с воды со
скоростью u = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению
катера, определите: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно
возможную скорость катера. [1)

1e
x
p
t
vu
m
æö
m÷
ç
=- -÷
ç
÷
çèø
= 4,15 м/с; 2) 7 м/с]
Ãëàâà 3
ÐÀÁÎÒÀ È ÝÍÅÐÃÈß
§ 11. Ýíåðãèÿ, ðàáîòà, ìîùíîñòü
Энергия — универсальная мера раз
личных форм движения и взаимодей
ствия. С различными формами движе
ния материи связывают различные
формы энергии: механическую, тепло
вую, электромагнитную, ядерную и др.
В одних явлениях форма движения ма
терии не изменяется (например, горя
чее тело нагревает холодное), в других —
переходит в иную форму (например, в
результате трения механическое движе
ние превращается в тепловое). Однако
существенно, что во всех случаях энер
гия, отданная (в той или иной форме)
одним телом другому телу, равна энер
гии, полученной последним телом.
Изменение механического движе
ния тела вызывается силами, действу
ющими на него со стороны других тел.
Чтобы количественно характеризовать
процесс обмена энергией между взаи
модействующими телами, в механике
вводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и
на него действует постоянная сила F
r
,
которая составляет некоторый угол a
с направлением перемещения, то рабо
та этой силы равна произведению про
екции силы Fs на направление переме
щения (Fs = F cos a), умноженной на пе
ремещение точки приложения силы:
A=Fss =Fscosa.
(11.1)
Сила может изменяться как по мо
дулю, так и по направлению, поэтому в
общем случае формулой (11.1) пользо
ваться нельзя. Если, однако, рассмот
реть элементарное перемещение dr
r
,то
силу F
r
можно считать постоянной, а
движение точки ее приложения — пря
молинейным. Элементарной работой
силы F
r
на перемещении dr
r
называется
скалярная величина
dA=F
r
dr
r
= Fcosads=Fsds,
Рис. 13
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

24
где a — угол между векторами F
r
иdr
r
;
ds=|dr
r
| — элементарный путь; Fs — про
екция вектора F
r
на вектор dr
r
(рис. 13).
Работа силы на участке траектории
от точки 1 до точки 2 равна алгебраи
ческой сумме элементарных работ на
отдельных бесконечно малых участках
пути. Эта сумма приводится к интегралу
22
11
dcos
d.
s
AF
s
F
s
=a
=
òò
(11.2)
Для вычисления этого интеграла
надо знать зависимость силы Fs от пути s
вдоль траектории 1 — 2. Пусть эта зави
симость представлена графически (рис.
14), тогда искомая работа A определя
ется на графике площадью затониро
ванной фигуры. Если, например, тело
движется прямолинейно, сила F = const
и a = const, то получим
,
22
11
dcos cos d
cos
AF
s
FsF
s
=a
=
a
=
a
òò
где s — путь, пройденный телом [см.
также формулу (11.1)].
Из формулы (11.1) следует, что при
p
a<
2
работа силы положительна, в
этом случае составляющая Fs совпадает
по направлению с вектором скорости
движения v
r
(см. рис. 13). Если
p
a>
2
,
то работа силы отрицательна. При
p
a=
2
(сила направлена перпендику
лярно перемещению) работа силы рав
на нулю.
Единица работы — джоуль (Дж):
1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н
напути1м(1Дж=1Н·м).
Чтобы охарактеризовать скорость
совершения работы, вводят понятие
мощности:
d.
d
A
N
t
=
(11.3)
За время dt сила F
r
совершает рабо
туF
r
dr
r
, и мощность, развиваемая этой
силой, в данный момент времени
,
d
d
Fr
NF
v
t
==
r
r
r
r
т. е . равна скалярному произведению
вектора силы на вектор скорости, с ко
торой движется точка приложения этой
силы; N — величина скалярная.
Единица мощности — ватт (Вт):
1 Вт — мощность, при которой за вре
мя 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт =
= 1 Дж/с).
§ 12. Êèíåòè÷åñêàÿ
è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè
Кинетическая энергия механиче
ской системы — энергия механическо
го движения этой системы.
Сила F
r
, действуя на покоящееся тело
и вызывая его движение, совершает ра
боту, а энергия движущегося тела возра
стает на величину затраченной работы.
Таким образом, работа dA силы F
r
на пути,
который тело прошло за время возраста
ния скорости от 0 до v, идет на увеличе
ние кинетической энергии dT тела, т. е.
dA=dT.
Используя второй закон Ньютона
d
d
v
Fm
t
=
r
r
и умножая на перемещение
dr
r
, получим
Рис. 14
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

25
d
dd
d
.
d
v
FrmrA
t
==
r
r
rr
Так как
d
d
r
v
t
=
r
r
,тоdA=mv
r
dv
r
=
= mvdv = dT, откуда
2
0
d.
2
v
mv
Tm
v
v
==
ò
Таким образом, тело массой m, дви
жущееся со скоростью v, обладает ки
нетической энергией
2
.
2
mv
T=
(12.1)
Из формулы (12.1) видно, что кине
тическая энергия зависит только от
массы и скорости тела, т. е. кинетиче
ская энергия системы есть функция со
стояния ее механического движения.
При выводе формулы (12.1) предпо
лагалось, что движение рассматривает
ся в инерциальной системе отсчета, так
как иначе нельзя было бы использовать
законы Ньютона. В разных инерциаль
ных системах отсчета, движущихся друг
относительно друга, скорость тела, а
следовательно, и его кинетическая
энергия будут неодинаковы. Таким об
разом, кинетическая энергия зависит от
выбора системы отсчета.
Кинетическая энергия механиче
ской системы равна сумме кинетиче
ских энергий тел, входящих в систему.
Так, кинетическая энергия системы из
n материальных точек равна
,
2
12
n
ii
i
mv
T
=
=å
где vi — скорость i й материальной точ
ки массой mi.
Пусть взаимодействие тел осуществ
ляется посредством силовых полей (на
пример, поля упругих сил, поля грави
тационных сил), характеризующихся
тем, что работа, совершаемая действу
ющими силами при перемещении тела
из одного положения в другое, не зави
сит от того, по какой траектории это
перемещение произошло, а зависит
только от начального и конечного по
ложений. Такие поля называются по
тенциальными, а силы, действующие
в них, — консервативными. Если же
работа, совершаемая силой, зависит от
траектории перемещения тела из одной
точки в другую, то такая сила называ
ется диссипативной; ее примером яв
ляется сила трения.
Тела, находясь в потенциальном
поле сил, обладают потенциальной
энергией P. Потенциальная энергия —
механическая энергия системы тел, оп
ределяемая их взаимным расположени
ем и характером сил взаимодействия
между ними. Работа консервативных
сил при элементарном (бесконечно ма
лом) изменении конфигурации систе
мы равна приращению потенциальной
энергии, взятому со знаком «-» (рабо
та совершается за счет убыли потенци
альной энергии):
dA= -dP.
(12.2)
Работа dA выражается как скаляр
ное произведение силы F
r
на перемеще
ние dr
r
(см. § 11), и выражение (12.2)
можно записать в виде
F
r
dr
r
= -dP.
(12.3)
Следовательно, если известна фун
кция P(r
r
), то из формулы (12.3) мож
но найти силу F
r
по модулю и направ
лению.
Согласно формуле (12.3), потенци
альная энергия
,
d
FrC
P=-
+
òrr
где C — постоянная интегрирования,
т. е. потенциальная энергия определяет
ся с точностью до некоторой произволь
ной постоянной. Это, однако, не суще
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

26
ственно, так как в физические соотно
шения входит или разность потенци
альных энергий в двух точках, или про
изводная функции P по координатам.
Поэтому потенциальную энергию тела
в каком то определенном положении
условно считают равной нулю (выби
рают нулевой уровень отсчета), а потен
циальную энергию тела в других поло
жениях отсчитывают относительно ну
левого уровня.
Для консервативных сил
,
,
,
xyz
FFF
xyz
¶P
¶P
¶P
=-
=-
=-
¶¶¶
или в векторном виде
F
r
= -grad P,
(12.4)
где
grad
ijk
xyz
¶P¶P¶P
P=
+
+
¶¶¶
r
rr
(12.5)
(i
r
,j
r
,k
r
—
единичные векторы коорди
натных осей). Вектор, определяемый
выражением (12.5), называется гради
ентом скаляра P.
Для него наряду с обозначением
grad P применяется также обозначение
ÑP. Ñ («набла») означает символиче
ский вектор, называемый оператором
Гамильтона1 или «набла» операто
ром:
.
ijk
xyz
¶¶¶
Ñ=
+
+
¶¶¶
r
rr
(12.6)
Конкретный вид функции P зависит
от характера силового поля. Например,
потенциальная энергия тела массой m,
поднятого на высоту h над поверхнос
тью Земли,
P=mgh,
(12.7)
где высота h отсчитывается от нулево
го уровня, для которого P0 = 0. Выра
жение (12.7) вытекает непосредствен
но из того, что потенциальная энергия
равна работе силы тяжести при падении
тела с высоты h на поверхность Земли.
Так как начало отсчета выбирается
произвольно, то потенциальная энер
гия может иметь отрицательное значе
ние (кинетическая энергия всегда поло
жительна!). Если принять за нуль по
тенциальную энергию тела, лежащего
на поверхности Земли, то потенциаль
ная энергия тела, находящегося на дне
шахты (глубина h ¢), P = -mgh ¢.
Найдем потенциальную энергию
упругодеформированного тела (пружи
ны). Сила упругости пропорциональна
деформации:
Fx упр = -kx,
где Fx упр — проекция силы упругости на
ось x ; k — коэффициент упругости
(для пружины — жесткость), а знак
«-» указывает на то, что Fx упр направ
лена в сторону, противоположную де
формации x .
По третьему закону Ньютона, де
формирующая сила равна по модулю
силе упругости и направлена противо
положно ей , т.е.
Fx = -Fxупр = kx.
Элементарная работа dA, совершае
мая силой Fx при бесконечно малой де
формации dx ,
dA= Fxdx = kxdx,
а полная работа
2
0
d
2
x
kx
Ak
x
x
==
ò
идет на увеличение потенциальной
энергии пружины. Таким образом, по
тенциальная энергия упругодеформи
рованного тела
2
.
2
kx
P=
1 У. Гамильтон (1805 — 1865) — ирландский
математик и физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

27
Потенциальная энергия системы
является функцией состояния системы.
Она зависит только от конфигурации
системы и ее положения по отношению
к внешним телам.
Полная механическая энергия си
стемы — энергия механического дви
жения и взаимодействия:
E=T+P,
т. е. равна сумме кинетической и потен
циальной энергий.
§ 13. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè
Закон сохранения энергии — резуль
тат обобщения многочисленных опыт
ных данных. Идея этого закона принад
лежит М. В . Ломоносову (1711 — 1765),
изложившему закон сохранения мате
рии и движения, а количественная фор
мулировка закона сохранения энергии
дана немецким врачом Ю. Майером
(1814 — 1878) и немецким естество
испытателем Г. Гельмгольцем (1821 —
1894).
Рассмотрим систему материальных
точек массами m1, m2, …, mn, движу
щихся со скоростями v
r
1,v
r
2,…,v
r
n. Пусть
F
r
¢1, F
r
¢2,…,F
r
¢n — равнодействующие внут
ренних консервативных сил, действу
ющих на каждую из этих точек, а F
r
1,
F
r
2,…,F
r
n — равнодействующие вне
шних сил, которые также будем счи
тать консервативными. Кроме того,
будем считать, что на материальные
точки действуют еще и внешние некон
сервативные силы; равнодействующие
этих сил, действующих на каждую из
материальных точек, обозначим f
r
1,f
r
2,
…,f
r
n. При v = c массы материальных
точек постоянны и уравнения второго
закона Ньютона для этих точек следу
ющие:
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
11
1
1
2
22
2
2
d
d
d
d
d
.
d
n
nn
n
n
v
mF
F
f
t
v
mF
F
f
t
v
mF
F
f
t
¢
=++
¢
=++
¢
=++
r
rr
r
rr
r
rr
Двигаясь под действием сил, мате
риальные точки системы за интервал
времени dt совершают перемещения,
соответственно равные dr
r
1, dr
r
2,…,dr
r
n.
Умножим каждое из уравнений скаляр
но на соответствующее перемещение и,
учитывая, что dr
r
i=v
r
i dt , получим
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
111
11111
222
22222
(d)( )d d
(d)( )d d
(d)( )d d.
nnn
n
nnnn
mvv
FFrfr
mvv
FFrfr
mvv
FFrfr
¢
-+
=
¢
-+
=
¢
-+
=
rr
rr
r
r
rr
rr
r
r
rr
rr
r
r
Сложив эти уравнения, получим
11
1
(d)()d
d.
nn
iii
iii
ii
n
ii
i
mvv
FFr
fr
==
=
¢
-+=
=
åå
å
rr
rr
r
r
(13.1)
Первое слагаемое левой части равен
ства (13.1)
,
2
11
(d) d
d
2
nn
ii
iii
ii
mv
mvv
T
==
æö
÷
ç
==
÷
ç
÷
çèø
åå
rr
где dT — приращение кинетической
энергии системы.
Второе слагаемое
1
()
d
n
iii
i
FFr
=
¢+
å
rr
r
рав
но элементарной работе внутренних и
внешних консервативных сил, взятой
со знаком «-», т. е . равно элементарно
му приращению потенциальной энер
гии dP системы [см. (12.2)].
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

28
Правая часть равенства (13.1) зада
ет работу внешних неконсервативных
сил, действующих на систему. Таким
образом, имеем
d(T+P)=dA.
(13.2)
При переходе системы из состоя
ния 1 в какое либо состояние 2
,
2
12
1
d(TA
+P)=
ò
т. е . изменение полной механической
энергии системы при переходе из одно
го состояния в другое равно работе, со
вершенной при этом внешними не кон
сервативными силами. Если внешние
не консервативные силы отсутствуют,
то из (13.2) следует, что
d(T+P)=0,
откуда
T+P=E =const,
(13.3)
т. е . полная механическая энергия сис
темы сохраняется постоянной. Выраже
ние (13.3) представляет собой закон
сохранения механической энергии: в
системе тел, между которыми действу
ют только консервативные силы, пол
ная механическая энергия сохраняется,
т. е . не изменяется со временем.
Механические системы, на тела ко
торых действуют только консерватив
ные силы (внутренние и внешние), на
зываются консервативными систе
мами. Закон сохранения механиче
ской энергии можно сформулировать
так: в консервативных системах полная
механическая энергия сохраняется.
Закон сохранения механической
энергии связан с однородностью време
ни. Однородность времени проявляет
ся в том, что физические законы инва
риантны относительно выбора начала
отсчета времени. Например, при сво
бодном падении тела в поле сил тяжес
ти его скорость и пройденный путь за
висят лишь от начальной скорости и
продолжительности свободного паде
ния тела и не зависят от того, когда тело
начало падать.
Существует еще один вид систем —
диссипативные системы, в которых
механическая энергия постепенно
уменьшается за счет преобразования в
другие (немеханические) формы энер
гии. Этот процесс получил название
диссипации (или рассеяния) энергии.
Строго говоря, все системы в природе
являются диссипативными.
В консервативных системах полная
механическая энергия остается посто
янной. Могут происходить лишь пре
вращения кинетической энергии в по
тенциальную и обратно в эквивалент
ных количествах так, что полная энер
гия остается неизменной, что и демон
стрируется на примере свободного па
дения тела (рис. 15) без учета сопротив
ления среды. Этот закон не есть просто
закон количественного сохранения
энергии, а закон сохранения и превра
щения энергии, выражающий и каче
ственную сторону взаимного превраще
ния различных форм движения друг в
друга. Закон сохранения и превраще
ния энергии — фундаментальный закон
природы, он справедлив как для систем
Рис. 15
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

29
макроскопических тел, так и для систем
микротел.
В системе, в которой действуют так
же неконсервативные силы, например
силы трения, полная механическая
энергия системы не сохраняется. Сле
довательно, в этих случаях закон сохра
нения механической энергии несправед
лив. Однако при «исчезновении» меха
нической энергии всегда возникает эк
вивалентное количество энергии друго
го вида. Таким образом, энергия никог
да не исчезает и не появляется вновь,
она лишь превращается из одного вида
в другой. В этом и заключается физичес
кая сущность закона сохранения и
превращения энергии — сущность не
уничтожимости материи и ее движения.
§ 14. Ãðàôè÷åñêîå
ïðåäñòàâëåíèå ýíåðãèè
Во многих задачах рассматривается
одномерное движение тела, потенци
альная энергия которого является фун
кцией лишь одной переменной (напри
мер, координаты x), т. е . P = P(x). Гра
фик зависимости потенциальной энер
гии от некоторого аргумента называет
ся потенциальной кривой. Анализ по
тенциальных кривых позволяет опреде
лить характер движения тела.
Будем рассматривать только консер
вативные системы, т. е . системы, в ко
торых взаимные превращения механи
ческой энергии в другие виды отсут
ствуют. Тогда справедлив закон сохра
нения энергии в форме (13.3). Рассмот
рим графическое представление потен
циальной энергии для тела в однород
ном поле тяжести и для упругодефор
мированного тела.
Потенциальная энергия тела массой m,
поднятого на высоту h над поверхностью
Земли, согласно (12.7), P(h) = mgh. Гра
фик данной зависимости P = P(h) —
прямая линия, проходящая через нача
ло координат (рис. 16), угол наклона
которой к оси h тем больше, чем боль
ше масса тела (так как tg a = mg).
Пусть полная энергия тела равна E
(ее график — прямая, параллельная
оси h). На высоте h тело обладает потен
циальной энергией P, которая опреде
ляется отрезком вертикали, заключен
ным между точкой h на оси абсцисс и
графиком P(h). Естественно, что кине
тическая энергия T задается ординатой
между графиком P(h) и горизонтальной
прямой EE. Из рис. 16 следует, что если
h=hmax,тоT=0иP=E =mghmax,т.е.
потенциальная энергия становится мак
симальной и равной полной энергии.
Из приведенного графика можно най
ти скорость тела на высоте h :
T=E -P,т.е.
2
2
mv
= mghmax - mgh,
откуда
max
2(
).
vghh
=-
Зависимость потенциальной энергии
упругой деформации
2
2
kx
P=
от дефор
мации x имеет вид параболы (рис. 17),
где график заданной полной энергии
Рис. 16
Рис. 17
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

30
тела E — прямая, параллельная оси аб
сцисс x , а значения T и P определяют
ся так же, как на рис. 16. Из рис. 17 сле
дует, что с увеличением деформации x
потенциальная энергия тела возраста
ет, а кинетическая — уменьшается. Аб
сцисса x max определяет максимально
возможную деформацию растяжения
тела, а -x max — максимально возмож
ную деформацию сжатия тела. Если
x=±xmax,тоT=0и
2
max
2
kx
E
P==
, т.е.
потенциальная энергия становится
максимальной и равной полной энер
гии.
Из анализа графика на рис. 17 выте
кает, что при полной энергии тела, рав
ной E, тело не может сместиться вправо
от xmax и влево от -xmax, так как кинети
ческая энергия не может быть отрица
тельной и, следовательно, потенциаль
ная энергия не может быть больше пол
ной энергии. В таком случае говорят,
что тело находится в потенциальной
яме с координатами -xmax „ x „ xmax.
В общем случае потенциальная кри
вая может иметь довольно сложный
вид, например с несколькими чередую
щимися максимумами и минимумами
(рис. 18). Проанализируем эту потенци
альную кривую. Если E — заданная пол
ная энергия частицы, то частица может
находиться только там, где P(x) „ E , т. е .
в областях I и III.
Переходить из области I в III и обрат
но частица не может, так как ей препят
ствует потенциальный барьер CDG,
ширина которого равна интервалу зна
чений x, при которыхE<P, а его высо
та определяется разностью Pmax - E .
Для того чтобы частица смогла преодо
леть потенциальный барьер, ей необхо
димо сообщить дополнительную энер
гию, равную высоте барьера или превы
шающую ее. В области I частица с пол
ной энергией E оказывается «запертой»
в потенциальной яме ABC и совершает
колебания между точками с координа
тами xA и xC.
В точке B с координатой x 0 (см. рис.
18) потенциальная энергия частицы
минимальна. Так как действующая на
частицу сила (см. § 12) xF
x
¶P
=-
¶
(P—
функция только одной координаты), а
условие минимума потенциальной энер
гии
0
x
¶P=
¶
,товточкеBFx=0.При
смещении частицы из положения x 0
(и влево, и вправо) она испытывает дей
ствие возвращающей силы, поэтому по
ложение x 0 является положением ус
тойчивого равновесия. Указанные ус
ловия выполняются и для точки x ¢0 (для
Pmax). Однако эта точка соответствует
положению неустойчивого равнове
сия, так как при смещении частицы из
положения x ¢0 появляется сила, стремя
щаяся удалить ее от этого положения.
§ 15. Óäàð àáñîëþòíî óïðóãèõ
è íåóïðóãèõ òåë
Удар (или соударение) — это стол
кновение двух или более тел, при кото
ром взаимодействие длится очень ко
роткое время. Помимо ударов в прямом
смысле этого слова (столкновения ато
мов или бильярдных шаров) сюда мож
но отнести и такие, как удар человека о
землю при прыжке с трамвая и т. д .
Силы взаимодействия между стал
кивающимися телами (ударные или
Рис. 18
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

31
мгновенные силы) столь велики, что вне
шними силами, действующими на них,
можно пренебречь. Это позволяет сис
тему тел в процессе их соударения при
ближенно рассматривать как замкну
тую систему и применять к ней законы
сохранения.
Тела во время удара испытывают
деформацию. Сущность удара заключа
ется в том, что кинетическая энергия
относительного движения соударяю
щихся тел на короткое время преобра
зуется в энергию упругой деформации.
Во время удара имеет место перерасп
ределение энергии между соударяющи
мися телами. Наблюдения показывают,
что относительная скорость тел после
удара не достигает своего прежнего зна
чения. Это объясняется тем, что нет
идеально упругих тел и идеально глад
ких поверхностей. Отношение нор
мальных составляющих относительной
скорости тел после и до удара называ
ется коэффициентом восстановле
ния e:
.
n
n
v
v
¢
e=
Если для сталкивающихся тел e = 0,
то такие тела называются абсолютно
неупругими, если e = 1 — абсолютно
упругими. На практике для всех тел
0 < e < 1 (например, для стальных ша
ров e » 0,56, для шаров из слоновой ко
сти e » 0,89, для свинца e » 0). Однако
в некоторых случаях тела′ можно с боль
шой степенью точности рассматривать
либо как абсолютно упругие, либо как
абсолютно неупругие.
Прямая, проходящая через точку
соприкосновения тел и нормальная к
поверхности их соприкосновения, на
зывается линией удара. Удар называ
ется центральным, если тела до удара
движутся вдоль прямой, проходящей
через их центры масс. Мы будем рас
сматривать только центральные абсо
лютно упругие и абсолютно неупругие
удары.
Абсолютно упругий удар — столк
новение двух тел, в результате которо
го в обоих взаимодействующих телах не
остается никаких деформаций и вся ки
нетическая энергия, которой обладали
тела до удара, после удара снова превра
щается в кинетическую энергию (под
черкнем, что это идеализированный слу
чай).
Для абсолютно упругого удара вы
полняются закон сохранения импуль
са и закон сохранения кинетической
энергии.
Обозначим скорости шаров массами
m1иm2доударачерезv
r
1иv
r
2, после уда
ра—черезv
r
¢1иv
r
¢2 (рис. 19). В случае
прямого центрального удара векторы
скоростей шаров до и после удара ле
жат на прямой линии, соединяющей их
центры. Проекции векторов скорости
на эту линию равны модулям скорос
тей. Их направления учтем знаками:
положительное значение припишем
движению вправо, отрицательное —
движению влево.
При указанных допущениях законы
сохранения имеют вид
,
11
22
11
22
mv mv
mv mv
¢¢
+=+ (15.1)
2222
11
22
11
22
.
2222
mv
mv
mv
mv
¢¢
+= + (15.2)
Произведя соответствующие преоб
разования в выражениях (15.1) и (15.2),
получаем
Рис. 19
Рис. 20
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

32
,
111
222
()()
mvvmvv
¢¢
-=
-
(15.3)
,
22
22
111
222
()()
mvv
mvv
¢¢
-=
-
(15.4)
откуда
11 22
.
vv vv
¢¢
+=+
(15.5)
Решая уравнения (15.3) и (15.5), на
ходим
,
12
12
2
1
12
()2
mm
vm
v
v
mm
-+
¢=
+
(15.6)
21
21
1
2
12
()2
.
mm
vm
v
v
mm
-+
¢=
+
(15.7)
Разберем несколько примеров.
1.Приv2=0
,
12
11
12
mm
vv
mm
-
¢=
+
(15.8)
1
21
12
2
.
m
vv
mm
¢=
+
(15.9)
Проанализируем выражения (15.8)
и (15.9) для двух шаров различных
масс:
а) m1 = m2. Если второй шардоуда
ра висел неподвижно (v2 = 0) (рис. 20),
то после удара остановится первый шар
(v ¢1 = 0), а второй будет двигаться с той
же скоростью и в том же направлении,
в котором двигался первый шар до уда
ра (v¢2 = v1);
б) m 1 > m 2. Первый шар продолжа
ет двигаться в том же направлении, как
и до удара, но с меньшей скоростью
(v ¢1 < v1). Скорость второго шара после
удара больше, чем скорость первого
после удара (v ¢2 > v ¢1) (рис. 21);
в) m 1 < m 2. Направление движения
первого шара при ударе изменяется —
шар отскакивает обратно. Второй шар
движется в ту же сторону, в которую
двигался первый шар до удара, но с
меньшей скоростью, т. е. v ¢2 < v1 (рис. 22);
г) m 2 ? m 1 (например, столкнове
ние шара со стеной). Из уравнений
(15.8) и (15.9) следует, что v ¢1 = - v
1,v¢2»
»
11
2
2
0.
mv
m
»
2. При m1 = m2 выражения (15.6) и
(15.7) будут иметь вид
v¢1=v2,v¢2=v1,
т. е . шары равной массы «обменивают
ся» скоростями.
Абсолютно неупругий удар — стол
кновение двух тел, в результате которого
тела объединяются, двигаясь дальше как
единое целое. Продемонстрировать аб
солютно неупругий удар можно с помо
щью шаров из пластилина (глины), дви
жущихся навстречу друг другу (рис. 23).
Если массы шаров m1 и m2, их ско
рости до удара v
r
1иv
r
2, то, используя за
кон сохранения импульса, можно запи
сать
m1v
r
1+m2v
r
2=(m1+m2)v
r
,
где v
r
—
скорость движения шаров пос
ле удара. Тогда
11
22
12
.
mv mv
v
mm
+
=
+
rr
r
(15.10)
Если шары движутся навстречу друг
другу, то они вместе будут продолжать
двигаться в ту сторону, в которую дви
гался шар, обладающий бо′ льшим им
пульсом. В частном случае, если массы
шаровравны(m1 = m2), то
Рис. 21
Рис. 22
Рис. 23
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

33
12
.
2
vv
v
+
=
rr
r
Выясним, как изменяется кинети
ческая энергия шаров при центральном
абсолютно неупругом ударе. Так как в
процессе соударения шаров между
ними действуют силы, зависящие не от
самих деформаций, а от их скоростей,
то мы имеем дело с силами, подобны
ми силам трения, поэтому закон сохра
нения механической энергии не должен
соблюдаться. Вследствие деформации
происходит «потеря» кинетической
энергии, перешедшей в тепловую или
другие формы энергии. Эту «потерю»
можно определить по разности кинети
ческой энергии тел до и после удара:
2
22
12
11
22 ()
.
222
mm
v
mv
mv
T
æö
+
÷
ç
D=+
-
÷
ç
÷
çèø
Используя (15.10), получаем
11
2
12
12
()
.
2(
)
mv
Tv
v
mm
D=
-
+
Если ударяемое тело было первона
чально неподвижно (v2 = 0), то
,
2
11
2
11
12
12
.
2
mv
m
mv
vT
mm
mm
=D
=
++
Когда m 2 ? m 1 (масса неподвижно
го тела очень большая), то v = v1, и по
чти вся кинетическая энергия тела при
ударе переходит в другие формы энер
гии. Поэтому, например, для получения
значительной деформации наковальня
должна быть массивнее молотка. На
оборот, при забивании гвоздей в стену
масса молотка должна быть гораздо
большей(m1? m2),тогдаv » v1ипрак
тически вся энергия затрачивается на
возможно большее перемещение гвоз
дя, а не на остаточную деформацию
стены.
Абсолютно неупругий удар — при
мер того, как происходит «потеря» ме
ханической энергии под действием дис
сипативных сил.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• В чем различие между понятиями энергии и работы?
• Как найти работу переменной силы?
• Какую работу совершает равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномер
но движущемуся по окружности?
• Что такое мощность? Выведите ее формулу.
• Дайте определения и выведите формулы для известных видов механической энергии.
• Какова связь между силой и потенциальной энергией?
• Чем обусловлено изменение потенциальной энергии?
• Необходимо ли условие замкнутости системы для выполнения закона сохранения ме
ханической энергии?
• В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он вы
полняется?
• В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он яв
ляется фундаментальным законом природы?
• Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?
• Какие заключения о характере движения тел можно сделать из анализа потенциальных
кривых?
• Как охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия?
• Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого?
• Как определить скорости тел после центрального абсолютно упругого удара? Следствием
каких законов являются эти выражения?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

34
§ 16. Ìîìåíò èíåðöèè
При изучении вращения твердых тел
пользуются понятием момента инер
ции. Момент инерции тела — мера
инертности твердых тел при вращатель
ном движении. Его роль такая же, что и
массы при поступательном движении.
Моментом инерции системы (тела)
относительно данной оси называется
физическая величина, равная сумме
произведений масс n материальных то
чек системы на квадраты их расстояний
до рассматриваемой оси:
2
1
.
n
ii
i
Jm
r
=
=å
Суммирование производится по
всем элементарным массам mi , на кото
рые разбивается тело (рис. 24).
В случае непрерывного распределе
ния масс эта сумма сводится к интегралу
,
2d
Jr
m
=
ò
ÇÀÄÀ×È
3.1. Определите: 1) работу поднятия груза по наклонной плоскости; 2) среднюю и 3) мак
симальную мощности подъемного устройства, если масса груза 10 кг, длина наклонной
плоскости 2 м, угол наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с.
[1)173Дж;2)86Вт;3)173Вт]
3.2. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определите: 1) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с
после начала движения его кинетическая энергия составила 60 Дж; 2) потенциальную энер
гию камня через 1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2) 88,6 Дж]
3.3. Пренебрегая трением, определите наименьшую высоту, с которой должна скаты
ваться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она
сделала полную петлю и не выпала из желоба. [25 м]
3.4 . Пуля массой m = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью v = 5 00 м/с, попадает в
баллистический маятник длиной l = 1 м и массой M = 5 кг и застревает в нем. Определите
угол отклонения маятника. [16°30¢]
3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от рас
стояния r до центра поля задается выражением
2
AB
r
rr
P()=
-
, где A и B — положительные
постоянные. Определите значение r0, соответствующее равновесному положению частицы.
Является ли это положение положением устойчивого равновесия? [ 0
2A
r
B
=
]
3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой m 1 ударяется
о покоящееся тело массой m 2, в результате чего скорость первого тела уменьшается в n =
= 1,5 раза. Определите: 1) отношение 1
2
m
m
; 2) кинетическую энергию T ¢2 второго тела, если
первоначальная кинетическая энергия первого тела T1 = 1000 Дж. [1) 5; 2) 555 Дж]
3.7. Тело массой m 1 = 4 кг движется со скоростью v1 = 3 м/с и ударяется о неподвижное
тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определите количество теп
лоты, выделившееся при ударе. [9 Дж]
Ãëàâà 4
ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

35
где интегрирование производится по
всему объему тела. Величина r в этом
случае есть функция положения точки
с координатами x, y, z . Момент инер
ции — величина аддитивная: момент
инерции тела относительно некоторой
оси равен сумме моментов инерции ча
стей тела относительно той же оси.
В качестве примера найдем момент
инерции однородного сплошного ци
линдра высотой h и радиусом R отно
сительно его геометрической оси (рис.
25). Разобьем цилиндр на отдельные
полые концентрические цилиндры бес
конечно малой толщины dr с внутрен
ним радиусом r и внешним r + dr.
Момент инерции каждого полого
цилиндра dJ = r
2
dm(таккакdr=r,то
считаем, что расстояние всех точек ци
линдра от оси равно r), где dm — масса
всего элементарного цилиндра; его
объем 2prh dr. Если r — плотность мате
риала, то dm = 2prhrdr и dJ = 2phrr3dr.
Тогда момент инерции сплошного ци
линдра
,
34
0
1
d2d
2
R
JJh
r
rh
R
==
p
r=
p
r
òò
но так как pR
2
h — объем цилиндра, то
егомассаm=pR
2
hr, а момент инер
ции
Рис. 24
Рис. 25
Таблица 1
Тело
Положение оси вращения
Момент инерции
Полый тонкостенный
Ось симметрии
2
Jm
R
=
цилиндр радиусом R
Сплошной цилиндр
Ось симметрии
2
1
2
Jm
R
=
или диск радиусом R
Прямой тонкий
Ось перпендикулярна
2
1
12
Jm
l
=
стержень длиной l
стержню и проходит
через его середину
Прямой тонкий
Ось перпендикулярна
2
1
3
Jm
l
=
стержень длиной l
стержню и проходит
через его конец
Шар радиусом R
Ось проходит через
2
2
5
Jm
R
=
центр шара
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

36
2
1
.
2
Jm
R
=
Если известен момент инерции тела
относительно оси, проходящей через
его центр масс, то момент инерции от
носительно любой другой параллель
ной оси определяется теоремой Штей
нера: момент инерции тела J относи
тельно произвольной оси равен момен
ту его инерции JC относительно парал
лельной оси, проходящей через центр
масс C тела, сложенному с произведе
нием массы m тела на квадрат расстоя
ния a между осями:
J=JC+ma2
.
(16.1)
В заключение приведем значения
моментов инерции (табл. 1) для неко
торых тел (тела считаются однородны
ми, m — масса тела).
§ 17. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
âðàùåíèÿ
Рассмотрим абсолютно твердое тело
(см. § 1), вращающееся около неподвиж
ной оси z , проходящей через него. Мыс
ленно разобьем это тело на маленькие
объемы с элементарными массами m 1,
m 2, …, mn , находящиеся на расстоянии
r1, r2, …, rn от оси. При вращении твер
дого тела относительно неподвижной
оси отдельные его элементарные объе
мы массами mi опишут окружности раз
личных радиусов ri и будут иметь раз
личные линейные скорости vi (рис. 26).
Но так как мы рассматриваем абсолют
но твердое тело, то угловая скорость
вращения этих объемов одинакова:
12
12
.
n
n
v
vv
rr
r
w====
K
(17.1)
Кинетическую энергию вращающе
гося тела найдем как сумму кинетиче
ских энергий его элементарных объемов:
âð
âð
,
èëè
2
22
11
22
2
1
22
2
.
2
nn
n
ii
i
mv
mv
mv
T
mv
T
=
=++
+
=å
K
Используя выражение (17.1), полу
чим
âð
,
22
2
22
11
22
2
nn
iz
ii
i
ii
mJ
Tr
m
r
==
ww
w
===
åå
где Jz — момент инерции тела относи
тельно оси z .
Таким образом, кинетическая энер
гия вращающегося тела
âð
2
.
2
z
J
T
w
=
(17.2)
Из сравнения формулы (17.2) с вы
ражением (12.1) для кинетической
энергии тела, движущегося поступа
тельно (
2
2
mv
T=
), следует, что, как
уже указывалось (см. § 16), момент
инерции — мера инертности тела при
вращательном движении. Формула
(17.2) справедлива для тела, вращаю
щегося вокруг неподвижной оси.
В случае плоского движения тела,
например цилиндра, скатывающегося с
наклонной плоскости без скольжения,
энергия движения складывается из
энергии поступательного движения и
энергии вращения:
,
22
22
CC
mv
J
T
w
=+
Рис. 26
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

37
где m — масса катящегося тела; vC —
скорость центра масс тела; JC — момент
инерции тела относительно оси, прохо
дящей через его центр масс; w — угло
вая скорость тела.
§ 18. Ìîìåíò ñèëû. Óðàâíåíèå
äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà
Для характеристики вращательного
эффекта силы при действии ее на твер
дое тело вводят понятие момента силы.
Различают моменты силы относитель
но неподвижной точки и относительно
неподвижной оси.
Моментом силы относительно
неподвижной точки O называется фи
зическая величина M
r
, определяемая век
торным произведением радиуса векто
раr
r
, проведенного из точки O в точку
A приложения силы, на силу F
r
(рис. 27):
M
r
=[r
r
F
r
],
где M
r
—
псевдовектор, его направление
совпадает с направлением поступатель
ного движения правого винта при его
вращении от r
r
кF
r
.
Модуль момента силы
M=Frsina=Fl, (18.1)
гдеa—уголмеждуr
r
иF
r
;rsina=l —
кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точкой O — плечо
силы.
Моментом силы относительно
неподвижной оси z называется скаляр
ная величина Mz , равная проекции на
эту ось вектора M
r
момента силы, опре
деленного относительно произвольной
точки O данной оси z (рис. 28). Значе
ние момента Mz не зависит от выбора
положения точки O на оси z .
Если ось z совпадает с направлени
ем вектора M
r
, то момент силы представ
ляется в виде вектора, совпадающего с
осью:
M
r
z=[r
r
F
r
]z.
Найдем выражение для работы при
вращении тела (рис. 29). Пусть сила F
r
приложена в точке B, находящейся от
оси z на расстоянии r, a — угол между
направлением силы и радиусом векто
ром r
r
. Так как тело абсолютно твердое,
то работа этой силы равна работе, за
траченной на поворот всего тела. При
повороте тела на бесконечно малый
угол dj точка приложения B проходит
путь ds = r dj и работа равна произве
дению проекции силы на направление
смещения на величину смещения:
dA=Fsinardj.
(18.2)
Учитывая (18.1), можем записать
dA=Mzdj,
гдеFrsina = Fl=Mz — момент силы
относительно оси z . Таким образом, ра
бота при вращении тела равна произве
дению момента действующей силы на
угол поворота.
Работа при вращении тела идет на
увеличение его кинетической энергии:
Рис. 27
Рис. 28
Рис. 29
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

38
dA=dT,но
2
dd
d
2
z
z
J
TJ
æö
w÷
ç
==
w
w
÷
ç
÷
çèø
,
поэтомуMzdj = Jzwdw, или
d
d
z
M
t
j
=
=
d
d
z
J
t
w
w
.
Учитывая, что
d
dt
j
w=
, получим
d
.
d
zz
z
MJJ
t
w
==
e(18.3)
Уравнение (18.3) представляет со
бой уравнение динамики вращатель
ного движения твердого тела отно
сительно неподвижной оси.
Можно показать, что если ось z со
впадает с главной осью инерции (см.
§ 20), проходящей через центр масс, то
имеет место векторное равенство
M
r
=Je
r
,
(18.4)
где J — главный момент инерции тела
(момент инерции относительно глав
ной оси).
§ 19. Ìîìåíò èìïóëüñà
è çàêîí åãî ñîõðàíåíèÿ
При сравнении законов вращатель
ного и поступательного движений про
сматривается аналогия между ними,
только во вращательном движении вме
сто силы «выступает» ее момент, а роль
массы «выполняет» момент инерции.
Какая же величина будет аналогом им
пульса тела? Ею является момент им
пульса тела относительно оси.
Моментом импульса (количества
движения) материальной точки A от
носительно неподвижной точки O
называется физическая величина, опре
деляемая векторным произведением:
L
r
=[r
r
p
r
]=[r
r
,mv
r
],
где r
r
—
радиус вектор, проведенный из
точкиOвточкуA;p
r
=mv
r
—
импульс
материальной точки (рис. 30); L
r
—
псев
довектор (см. § 4), его направление со
впадает с направлением поступательно
го движения правого винта при его вра
щении от r
r
кp
r
.
Модуль вектора момента импульса
L=rpsina=mvrsina =pl,
где a — угол между векторами r
r
иp
r
;l—
плечо вектора p
r
относительно точки O.
Моментом импульса относи
тельно неподвижной оси z называет
ся скалярная величина Lz , равная про
екции на эту ось вектора момента им
пульса, определенного относительно
произвольной точки O данной оси.
Момент импульса Lz не зависит от по
ложения точки O на оси z .
При вращении абсолютно твердого
тела вокруг неподвижной оси z каждая
отдельная точка тела движется по ок
ружности постоянного радиуса ri , с неко
торой скоростью v
r
i . Скорость v
r
iиим
пульс miv
r
i перпендикулярны этому ради
усу, т. е. радиус является плечом вектора
miv
r
i . Поэтому можем записать, что мо
мент импульса отдельной частицы равен
Liz = miviri
(19.1)
и направлен по оси в сторону, опреде
ляемую правилом правого винта.
Момент импульса твердого тела
относительно оси есть сумма моментов
импульса отдельных частиц:
1
.
n
zi
i
i
i
Lm
v
r
=
=å
Рис. 30
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

39
Используя формулу (17.1) vi = wri ,
получим
,
22
11
nn
zi
i
i
i
z
ii
Lm
rm
r
J
==
=w
=
w=
w
åå
т. е.
Lz = Jzw.
(19.2)
Таким образом, момент импульса
твердого тела относительно оси равен
произведению момента инерции тела
относительно той же оси на угловую
скорость.
Продифференцируем уравнение
(19.2) по времени:
,
d
d
dd
z
zz
z
L
JJM
tt
w
==
e
=
т. е.
d
.
d
z
z
L
M
t
=
Это выражение — еще одна форма
уравнения динамики вращательного
движения твердого тела относитель
но неподвижной оси: производная мо
мента импульса твердого тела относи
тельно оси равна моменту сил относи
тельно той же оси.
Можно показать, что имеет место
векторное равенство
d
.
d
LM
t
=
r
r
(19.3)
В замкнутой системе момент вне
шних сил
è
d
00
d
L
M
t
==
r
r
, откуда
L
r
= const.
(19.4)
Выражение (19.4) представляет со
бой закон сохранения момента им
пульса: момент импульса замкнутой
системы сохраняется, т. е . не изменяет
ся с течением времени.
Закон сохранения момента импуль
са — фундаментальный закон природы.
Он связан со свойством симметрии
пространства — его изотропностью, т. е.
с инвариантностью физических зако
нов относительно выбора направления
осей координат системы отсчета (отно
сительно поворота замкнутой системы
в пространстве на любой угол).
Таблица 2
Поступательное движение
Вращательное движение
Масса
m
Момент инерции
J
Скорость
d
d
r
v
t
=
r
r
Угловая скорость
d
dt
j
w=
r
r
Ускорение
d
d
v
a
t
=
r
r
Угловое ускорение
d
dt
w
e=
r
r
Сила
F
r
Момент силы
MzилиM
r
Импульс
p
r
=mv
r
Момент импульса
Lz=Jzw
Основное уравнение
F
r
=ma
r
;
Основное уравнение
Mz = Jze;
динамики
d
d
p
F
t
=
r
r
динамики
d
d
L
M
t
=
r
r
Работа
dA = Fs ds Работа
dA=Mzdj
Кинетическая энергия
2
2
mv
Кинетическая энергия
2
z
J2w
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

40
Рис. 32
Рис. 33
Продемонстрировать закон сохране
ния момента импульса можно с помо
щью скамьи Жуковского. Пусть чело
век, сидящий на скамье, которая без
трения вращается вокруг вертикальной
оси, и держащий на вытянутых руках
гантели (рис. 31), приведен во враще
ние с угловой скоростью w1. Если чело
век прижмет гантели к себе, то момент
инерции системы уменьшится. По
скольку момент внешних сил равен
нулю, момент импульса системы сохра
няется и угловая скорость вращения w2
возрастает. Аналогично, гимнаст во вре
мя прыжка через голову поджимает к
туловищу руки и ноги, чтобы умень
шить свой момент инерции и увеличить
тем самым угловую скорость вращения.
Сопоставим основные величины и
уравнения, определяющие вращение
тела вокруг неподвижной оси и его по
ступательное движение (табл. 2).
§ 20. Ñâîáîäíûå îñè. Ãèðîñêîï
Для того чтобы сохранить положе
ние оси вращения твердого тела с тече
нием времени неизменным, использу
ют подшипники, в которых она удержи
вается. Однако существуют такие оси
вращения тел, которые не изменяют
своей ориентации в пространстве без
действия на нее внешних сил. Эти оси
называются свободными осями (или
осями свободного вращения).
Можно доказать, что в любом теле
существуют три взаимно перпендику
лярные оси, проходящие через центр
масс тела, которые могут служить сво
бодными осями (они называются глав
ными осями инерции тела). Например,
главные оси инерции однородного пря
моугольного параллелепипеда прохо
дят через центры противоположных
граней (рис. 32).
Для однородного цилиндра одной из
главных осей инерции является его гео
метрическая ось, а в качестве остальных
осей могут быть две любые взаимно
перпендикулярные оси, проведенные
через центр масс в плоскости, перпен
дикулярной геометрической оси ци
линдра. Главными осями инерции шара
являются любые три взаимно перпен
дикулярные оси, проходящие через
центр масс.
Для устойчивости вращения боль
шое значение имеет, какая именно из
свободных осей служит осью вращения
тела. Так, вращение вокруг главных
осей с наибольшим и наименьшим мо
ментами инерции оказывается устойчи
вым, а вращение около оси со средним
Рис. 31
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

41
моментом — неустойчивым. Так, если
подбросить тело, имеющее форму па
раллелепипеда, приведя его одновре
менно во вращение, то оно, падая, бу
дет устойчиво вращаться вокруг осей 1
и 2 (см. рис. 32).
Если, например, палочку подвесить
за один конец нити, а другой конец, зак
репленный к шпинделю центробежной
машины, привести в быстрое вращение,
то палочка будет вращаться в горизон
тальной плоскости около вертикальной
оси, перпендикулярной оси палочки и
проходящей через ее середину (рис. 33).
Это и есть ось свободного вращения
(момент инерции при этом положении
палочки максимальный). Если теперь
палочку, вращающуюся вокруг свобод
ной оси, освободить от внешних связей
(аккуратно снять верхний конец нити
с крючка шпинделя), то положение оси
вращения в пространстве в течение не
которого времени сохраняется.
Свойство свободных осей сохранять
свое положение в пространстве широ
ко применяется в технике. Наиболее
интересны в этом плане гироскопы —
массивные однородные тела, вращаю
щиеся с большой угловой скоростью
около своей оси симметрии, являющей
ся свободной осью.
Рассмотрим одну из разновидностей
гироскопов — гироскоп на кардановом
подвесе (рис. 34). Дискообразное тело —
гироскоп — закреплено на оси AA, ко
торая может вращаться вокруг перпен
дикулярной ей оси BB, которая, в свою
очередь, может поворачиваться вокруг
вертикальной оси DD. Все три оси пе
ресекаются в одной точке C, являющей
ся центром масс гироскопа и остающей
ся неподвижной, а ось гироскопа может
принять любое направление в про
странстве. Силами трения в подшипни
ках всех трех осей и моментом импуль
са колец пренебрегаем.
Так как трение в подшипниках мало′ ,
то, пока гироскоп неподвижен, его оси
можно придать любое направление.
Если начать гироскоп быстро вращать
(например, с помощью намотанной на
ось веревочки) и поворачивать его под
ставку, то ось гироскопа сохраняет свое
положение в пространстве неизменной.
Это можно объяснить с помощью ос
новного закона динамики вращательно
го движения.
Для свободно вращающегося гирос
копа сила тяжести не может изменить
ориентацию его свободной оси, так как
эта сила приложена к центру масс
(центр вращения C совпадает с центром
масс), а момент силы тяжести относи
тельно закрепленного центра масс ра
вен нулю. Моментом сил трения мы
также пренебрегаем. Поэтому если мо
мент внешних сил относительно его
закрепленного центра масс равен нулю,
то, как следует из уравнения (19.4),
L
r
= const, т. е . момент импульса гирос
копа сохраняет свою величину и на
правление в пространстве. Следова
тельно, вместе с ним сохраняет свое
положение в пространстве и ось гирос
копа.
Чтобы ось гироскопа изменила свое
направление в пространстве, необходи
мо, согласно (19.3), отличие от нуля
момента внешних сил. Если момент
Рис. 34
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

42
внешних сил, приложенных к вращаю
щемуся гироскопу, относительно его
центра масс отличен от нуля, то наблю
дается явление, получившее название
гироскопического эффекта. Оно со
стоит в том, что под действием пары сил
F
r
, приложенной к оси вращающегося
гироскопа, ось гироскопа O1O1 (рис. 35)
поворачивается вокруг прямой O3O3, а
не вокруг прямой O2O2, как это казалось
бы естественным на первый взгляд (O1O1
и O2O2 лежат в плоскости чертежа, а
O3O3 и силы F
r
перпендикулярны ей).
Гироскопический эффект объясня
ется следующим образом. Момент M
r
пары сил F
r
направлен вдоль прямой
O2O2. За время dt момент импульса L
r
гироскопа получит приращение dL
r
=
=M
r
dt (направление dL
r
совпадает с на
правлением M
r
) и станет равным L
r
¢=
=L
r
+dL
r
. Направление вектора L
r
¢со
впадает с новым направлением оси вра
щения гироскопа. Таким образом, ось
вращения гироскопа повернется вокруг
прямой O3O 3. Если время действия
силы мало, то, хотя момент сил M
r
иве
лик, изменение момента импульса dL
r
гироскопа будет также весьма малым.
Поэтому кратковременное действие
сил практически не приводит к измене
нию ориентации оси вращения гирос
копа в пространстве. Для ее изменения
следует прикладывать силы в течение
длительного времени.
Если ось гироскопа закреплена под
шипниками, то вследствие гироскопи
ческого эффекта возникают так назы
ваемые гироскопические силы, дей
ствующие на опоры, в которых враща
ется ось гироскопа. Их действие необ
ходимо учитывать при конструирова
нии устройств, содержащих быстровра
щающиеся массивные составные части.
Гироскопические силы имеют смысл
только во вращающейся системе отсче
та и являются частным случаем корио
лисовой силы инерции (см. § 27).
Гироскопы применяются в различ
ных гироскопических навигационных
приборах (гирокомпас, гирогоризонт и
т. д .) . Другое важное применение гирос
копов — поддержание заданного на
правления движения транспортных
средств, например судна (авторулевой)
и самолета (автопилот) и т. д . При вся
ком отклонении от курса вследствие ка
ких то воздействий (волны, порыва
ветра и т. д .) положение оси гироскопа
в пространстве сохраняется. Следова
тельно, ось гироскопа вместе с рамами
карданова подвеса поворачивается от
носительно движущегося устройства.
Поворот рам карданова подвеса с помо
щью определенных приспособлений
включает рули управления, которые
возвращают движение к заданному
курсу.
Впервые гироскоп применен фран
цузским физиком Ж. Фуко (1819 —
1868) для доказательства вращения
Земли.
§ 21. Äåôîðìàöèè òâåðäîãî òåëà
Рассматривая механику твердого
тела, мы пользовались понятием абсо
лютно твердого тела. Однако в приро
Рис. 35
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

43
де абсолютно твердых тел нет, так как
все реальные тела под действием сил из
меняют свою форму и размеры, т. е . де
формируются.
Деформация называется упругой,
если после прекращения действия вне
шних сил тело принимает первоначаль
ные размеры и форму. Деформации,
которые сохраняются в теле после пре
кращения действия внешних сил, назы
ваются пластическими (или оста
точными). Деформации реального
тела всегда пластические, так как они
после прекращения действия внешних
сил никогда полностью не исчезают.
Однако если остаточные деформации
малы, то ими можно пренебречь и рас
сматривать упругие деформации, что
мы и будем делать.
В теории упругости доказывается,
что все виды деформаций (растяжение
или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение)
могут быть сведены к одновременно
происходящим деформациям растяже
ния или сжатия и сдвига.
Рассмотрим однородный стержень
длиной l и площадью поперечного се
чения S (рис. 36), к концам которого
приложены направленные вдоль его
оси силы F
r
1иF
r
2(F1=F2=F),вре
зультате чего длина стержня меняется
на величину Dl . Естественно, что при
растяжении Dl положительно, а при
сжатии отрицательно.
При деформации тела возникают
силы упругости. Физическая величина,
определяемая модулем силы упругос
ти, действующей на единицу площади
поперечного сечения тела, называется
напряжением:
.
F
S
s=
(21.1)
Если сила направлена по нормали
к поверхности, напряжение называет
ся нормальным, если же по касатель
ной к поверхности — тангенциаль
ным.
Количественной мерой, характери
зующей степень деформации, испыты
ваемой телом, является его относи
тельная деформация. Так, относи
тельное изменение длины стержня
(продольная деформация)
,
l
l
D
e=
(21.2)
относительное поперечное растяжение
(сжатие)
,
d
d
D
¢
e=
где d — диаметр стержня.
Деформации e и e¢ всегда имеют раз
ные знаки (при растяжении Dl положи
тельно, а Dd отрицательно, при сжатии
Dl отрицательно, а Dd положительно).
Из опыта вытекает взаимосвязь e и e¢:
e¢ = -me,
где m — положительный коэффициент,
зависящий от свойств материала и на
зываемый коэффициентом Пуассона1.
Английский физик Р. Гук (1635 —
1703) экспериментально установил, что
для малых деформаций относительное
удлинение e и напряжение s пропорци
ональны друг другу:
s=Ee,
(21.3)
1 С. Пуассон (1781 — 1840) — французский
ученый.
Рис. 36
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

44
где E — коэффициент пропорциональ
ности, называемый модулем Юнга1.
Из выражения (21.3) видно, что мо
дуль Юнга определяется напряжением,
вызывающим относительное удлине
ние, равное единице.
Из формул (21.2), (21.3) и (21.1)
вытекает, что
,
lF
lEE
S
Ds
e=
=
=
или
,
ES
Fl
k
l
l
=D
=
D (21.4)
где k — коэффициент упругости.
Выражение (21.4) также определя
ет закон Гука, согласно которому удли
нение стержня при упругой деформа
ции пропорционально действующей на
стержень силе.
Деформации твердых тел подчиня
ются закону Гука до известного преде
ла. Связь между деформацией и напря
жением представляется в виде диаграм
мы напряжений, качественный ход ко
торой мы рассмотрим для металличес
кого образца (рис. 37). Из рисунка вид
но, что линейная зависимость s(e), ус
тановленная Гуком, выполняется лишь
в очень узких пределах до так называе
мого предела пропорциональности
(sп). При дальнейшем увеличении на
пряжения деформация еще упругая
(хотя зависимость s(e) уже нелинейна)
и до предела упругости (sу) остаточ
ные деформации не возникают.
За пределом упругости в теле возни
кают остаточные деформации и график,
описывающий возвращение тела в пер
воначальное состояние после прекра
щения действия силы, изобразится не
кривой BO, а прямой CF, параллельной
OA. Напряжение, при котором появля
ется заметная остаточная деформация
(» 0,2 %), называется пределом теку
чести (sт) — точка C на кривой. В об
ласти CD деформация возрастает без
увеличения напряжения, т. е. тело как
бы «течет». Эта область называется об
ластью текучести (или областью
пластических деформаций).
Материалы, для которых область
текучести значительна, называются
вязкими, для которых же она практи
чески отсутствует — хрупкими. При
дальнейшем растяжении (за точку D)
происходит разрушение тела. Макси
мальное напряжение, возникающее в
теле до разрушения, называется преде
лом прочности (sp).
Диаграмма напряжений для реальных
твердых тел зависит от различных фак
торов. Одно и то же твердое тело может
при кратковременном действии сил про
являть себя как хрупкое, а при длитель
ных, но слабых силах является текучим.
Вычислим потенциальную энергию
упругорастянутого (сжатого) стержня,
которая равна работе, совершаемой вне
шними силами при деформации:
,
0
d
l
AF
x
D
P= =ò
где x — абсолютное удлинение стерж
ня, изменяющееся в процессе деформа
ции от 0 до Dl. Согласно закону Гука
(21.4),
ES
Fk
x
x
l
==
, поэтому
1 Т. Юнг (1773 — 1829) — английский ученый.
Рис. 37
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

45
,
2
0
1
d(
)
2
l
ES
ES
xx
l
ll
D
P=
=
D
ò
т. е. потенциальная энергия упругорас
тянутого стержня пропорциональна
квадрату деформации (Dl )2
.
Деформацию сдвига проще всего
осуществить, если взять брусок, име
ющий форму прямоугольного парал
лелепипеда, и приложить к нему силу
Ft (рис. 38), касательную к его поверх
ности (нижняя часть бруска закрепле
на неподвижно). Относительная де
формация сдвига определяется из фор
мулы
,
tg
s
h
D
g=
где Ds — абсолютный сдвиг параллель
ных слоев тела относительно друг дру
га; h — расстояние между слоями (для
малых углов tg g»g).
Рис. 38
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что такое момент инерции тела?
• Какова роль момента инерции во вращательном движении?
• Выведите формулу для момента инерции обруча.
• Сформулируйте и поясните теорему Штейнера.
• Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, и как ее вывести?
• Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? относительно не
подвижной оси? Как определяется направление момента силы?
• Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
• Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется на
правление вектора момента импульса?
• В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В ка
ких системах он выполняется? Приведите примеры.
• Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона со
хранения момента импульса? Сопоставьте основные уравнения динамики поступатель
ного и вращательного движений, прокомментировав их аналогию.
• Что такое свободные оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми?
• Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?
• Сформулируйте закон Гука. Когда он справедлив?
• Дайте объяснение диаграммы напряжений s(e). Что такое пределы пропорциональнос
ти, упругости и прочности?
• Каков физический смысл модуля Юнга?
ÇÀÄÀ×È
4.1 . С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без
скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Опреде
лите: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) отношение скоростей
в данный момент времени. [1) 14/15; 2) 14/15]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

46
4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная
касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения M =
= 2 Н · м. Определите массу m диска, если известно, что его угловое ускорение e постоянно
и равно 12 рад/с2
. [32 кг]
4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 1 кг
перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m 1 = 1 кг и m 2 =
= 2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) отношения
2
1
T
T
сил натяжения нити. [1) 2,8 м/с2; 2) 1,11]
4.4. Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2 кг · м
2
, вращающегося при
торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшилась от n 1 = 300 мин-1 до n 2 =
= 180 мин-1
. Определите: 1) угловое ускорение e колеса; 2) момент M силы торможения;
3) работу силы торможения. [1) 0,21 рад/с2; 2) 0,42 Н · м; 3) 630 Дж]
4.5. Человек массой m = 80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой
M = 100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой
n1 = 10 мин-1
, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а
человека — точечной массой, определите, с какой частотой n 2 будет тогда вращаться плат
форма. [26 мин-1
]
4.6. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растя
жении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм2
,
модуль Юнга для алюминия E = 69 ГПа. [
2
0, 03
lA
lE
S
l
D ==]
Ãëàâà 5
ÒßÃÎÒÅÍÈÅ. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÏÎËß
§ 22. Çàêîíû Êåïëåðà. Çàêîí
âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ
Еще в глубокой древности было за
мечено, что в отличие от звезд, которые
неизменно сохраняют свое взаимное
расположение в пространстве в течение
столетий, планеты описывают среди
звезд сложнейшие траектории. Для
объяснения петлеобразного движения
планет древнегреческий ученый К. Пто
лемей (II в. н. э .), считая Землю распо
ложенной в центре Вселенной, предпо
ложил, что каждая из планет движется
по малому кругу (эпициклу), центр ко
торого равномерно движется по боль
шому кругу, в центре которого находит
ся Земля. Эта концепция получила на
звание птолемеевой геоцентрической
системы мира.
В начале XVI в. польским астроно
мом Н. Коперником (1473 — 1543) обо
снована гелиоцентрическая система
(см. § 5), согласно которой движения
небесных тел объясняются движением
Земли (а также других планет) вокруг
Солнца и суточным вращением Земли.
Теория и наблюдения Коперника вос
принимались как занимательная фан
тазия.
К началу XVII столетия большин
ство ученых, однако, убедилось в спра
ведливости гелиоцентрической систе
мы мира. И . Кеплер (немецкий ученый,
1571 — 1630), обработав и уточнив ре
зультаты многочисленных наблюдений
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

47
датского астронома Т. Браге (1546 —
1601), эмпирически установил законы
движения планет:
1. Каждая планета движется по эл
липсу, в одном из фокусов которого на
ходится Солнце.
2. Радиус вектор планеты за равные
промежутки времени описывает одина
ковые площади.
3. Квадраты периодов обращения
планет вокруг Солнца относятся как
кубы больших полуосей их орбит.
Впоследствии И. Ньютон, изучая
движение небесных тел, на основании
законов Кеплера и основных законов
динамики установил закон всемирно
го тяготения: между любыми двумя
материальными точками действует
сила взаимного притяжения, прямо
пропорциональная произведению масс
этих точек (m 1 и m 2) и обратно пропор
циональная квадрату расстояния меж
ду ними (r 2):
12
2
.
mm
FG
r
=
(22.1)
Эта сила называется гравитацион
ной (или силой всемирного тяготе
ния). Силы тяготения всегда являются
силами притяжения и направлены вдоль
прямой, проходящей через взаимодей
ствующие тела. Коэффициент пропор
циональности G называется гравита
ционной постоянной.
Закон всемирного тяготения спра
ведлив лишь для тел, которые можно
считать материальными точками, т. е .
для таких тел, размеры которых малы
по сравнению с расстоянием между
ними. Для вычисления силы взаимо
действия между протяженными (не то
чечными) телами их следует «разбить»
на элементарные массы , чтобы их мож
но было считать материальными точка
ми, подсчитать по формуле (22.1) силы
притяжения между всеми попарно взя
тыми элементами, а затем геометриче
ски их сложить (проинтегрировать),
что является довольно сложной мате
матической задачей.
Впервые экспериментальное доказа
тельство закона всемирного тяготения
для земных тел, а также числовое опре
деление гравитационной постоянной G
проведено английским физиком Г. Ка
вендишем (1731 — 1810).
Принципиальная схема опыта Ка
вендиша, применившего крутильные
весы, представлена на рис. 39. Легкое
коромысло A с двумя одинаковыми
шариками массой m = 729 г подвешено
на упругой нити B. На коромысле C
укреплены на той же высоте массивные
шары массой M = 158 кг. Поворачивая
коромысло C вокруг вертикальной оси,
можно изменять расстояние между ша
рами с массами m и M. Под действием
пары сил, приложенных к шарикам m
со стороны шаров M, коромысло A по
ворачивается в горизонтальной плоско
сти, закручивая нить B до тех пор, пока
момент сил упругости не уравновесит
момент сил тяготения. Зная упругие
свойства нити, по измеренному углу
поворота можно найти возникающие
силы притяжения, а так как массы ша
ров известны, то и вычислить значе
ние G.
Значение G — фундаментальная фи
зическая постоянная, принимаемая
равной 6,6720 · 10-11
Н·м
2
/кг2
, т.е. два
точечных тела массой по 1 кг каждое,
находящиеся на расстоянии 1 м друг
от друга, притягиваются с силой
Рис. 39
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

48
6,6720 · 10-11
Н. Очень малая величина
G показывает, что сила гравитационно
го взаимодействия может быть значи
тельной только в случае больших масс.
§ 23. Ñèëà òÿæåñòè è âåñ.
Íåâåñîìîñòü
Вблизи поверхности Земли все тела
падают с одинаковым ускорением, ко
торое получило название ускорения
свободного падения g
r
. Таким образом,
в системе отсчета, связанной с Землей,
на всякое тело массой m действует
сила
P
r
=mg
r
,
называемая силой тяжести.
Согласно фундаментальному физи
ческому закону — обобщенному зако
ну Галилея, все тела в одном и том же
поле тяготения падают с одинаковым
ускорением. Следовательно, в данном
месте Земли ускорение свободного па
дения одинаково для всех тел. Оно из
меняется вблизи поверхности Земли с
широтой в пределах от 9,780 м/с2 на эк
ваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Это
обусловлено суточным вращением Зем
ли вокруг своей оси, с одной стороны,
и сплюснутостью Земли — с другой (эк
ваториальный и полярный радиусы
Земли равны соответственно 6378 и
6357 км). Так как различие значений g
невелико, то ускорение свободного па
дения, которое используется при реше
нии практических задач, принимается
равным 9,81 м/с2
.
Если пренебречь суточным враще
нием Земли вокруг своей оси, то сила
тяжести и сила гравитационного тяго
тения равны между собой:
,
2
mM
Pm
gFG
R
==
=
где M — масса Земли; R — расстояние
между телом и центром Земли.
Эта формула дана для случая, когда
тело находится на поверхности Земли.
Если тело расположено на высоте h
от поверхности Земли, R 0 — радиус
Земли, тогда
,
2
0
()
mM
PG
Rh
=
+
т. е . сила тяжести с удалением от поверх
ности Земли уменьшается.
Весом тела называют силу, с кото
рой тело действует на опору (или под
вес) вследствие гравитационного при
тяжения к Земле. Вес тела проявляет
ся только в том случае, если тело дви
жется с ускорением, отличным от g, т. е .
когда на тело кроме силы тяжести дей
ствуют другие силы. Состояние тела,
при котором оно движется только под
действием силы тяжести, называется
состоянием невесомости.
Таким образом, сила тяжести дей
ствует всегда, а вес проявляется толь
ко в том случае, когда на тело кроме силы
тяжести действуют еще другие силы,
вследствие чего тело движется с уско
рением a
r
, отличным от g
r
. Если тело дви
жется в поле тяготения Земли с уско
рением a
r
1g
r
, то к этому телу приложе
на дополнительная сила N
r
, удовлетво
ряющая условию
N
r
+P
r
=ma
r
.
Тогда вес тела
P
r
¢=-N
r
=P
r
-ma
r
=mg
r
-ma
r
= m(g
r
-a
r
),
т. е. если тело покоится или движется
прямолинейно и равномерно, то a
r
=0
иP
r
¢=mg
r
. Если тело свободно движет
ся в поле тяготения по любой траекто
рии и в любом направлении, то a
r
=g
r
и
P
r
¢ = 0, т. е . тело будет невесомым. На
пример, невесомыми являются тела, на
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

49
ходящиеся в космических кораблях,
свободно движущихся в космосе.
§ 24. Ïîëå òÿãîòåíèÿ
è åãî íàïðÿæåííîñòü
Закон тяготения Ньютона (22.1) оп
ределяет зависимость силы тяготения
от масс взаимодействующих тел и рас
стояния между ними, но не показыва
ет, как осуществляется это взаимодей
ствие. Тяготение принадлежит к особой
группе взаимодействий. Силы тяготе
ния не зависят от того, в какой среде
находятся взаимодействующие тела.
Тяготение существует и в вакууме.
Гравитационное взаимодействие
между телами осуществляется с помо
щью поля тяготения, или гравитаци
онного поля. Это поле порождается те
лами и является формой существова
ния материи. Основное свойство поля
тяготения заключается в том, что на
всякое тело массой m, внесенное в это
поле, действует сила тяготения, т. е .
F
r
=mg
r
.
(24.1)
Вектор g
r
не зависит от m и называ
ется напряженностью поля тяготения.
Напряженность поля тяготения оп
ределяется силой, действующей со сто
роны поля на материальную точку еди
ничной массы, и совпадает по направ
лению с действующей силой. Напря
женность есть силовая характеристи
ка поля тяготения.
Поле тяготения называется одно
родным, если его напряженность во
всех точках одинакова, и централь
ным, если во всех точках поля векторы
напряженности направлены вдоль пря
мых, которые пересекаются в одной
точке (A), неподвижной по отношению
к какой либо инерциальной системе
отсчета (рис. 40).
Для графического изображения си
лового поля используются силовые ли
нии (линии напряженности). Силовые
линии выбираются так, что вектор на
пряженности поля направлен по каса
тельной к силовой линии.
§ 25. Ðàáîòà â ïîëå òÿãîòåíèÿ.
Ïîòåíöèàë ïîëÿ òÿãîòåíèÿ
Определим работу, совершаемую
силами поля тяготения при перемеще
нии в нем материальной точки мас
сой m . Вычислим, например, какую
надо совершить работу для удаления
тела массой m от Земли. На расстоянии
R (рис. 41) на данное тело действует
сила
,
2
mM
FG
R
=
где M — масса Земли.
При перемещении этого тела на рас
стояние dR совершается работа
2
dd
.
mM
AGR
R
=-
(25.1)
Знак «-» появляется потому, что
сила и перемещение в данном случае
противоположны по направлению (см.
рис. 41).
Рис. 40
Рис. 41
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

50
Если тело перемещать с расстояния
R1доR2, то работа
22
11
2
21
dd
.
RR
RR
mM
AAGR
R
GM GM
m
RR
==
-
=
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
çèø
òò
(25.2)
Из формулы (25.2) вытекает, что
работа в поле тяготения не зависит от
траектории перемещения, а определя
ется лишь начальным и конечным по
ложениями тела, т. е . силы тяготения
действительно консервативны, а поле
тяготения является потенциальным
(см. § 12).
Согласно формуле (12.2), работа,
совершаемая консервативными силами,
равна изменению потенциальной энер
гии системы, взятому со знаком «-»,
т. е.
A=-DP= -(P2-P1)=P1-P2.
Из формулы (25.2) получим
12
12
.
GM GM
m
RR
æö
÷
ç
P-P =
-
-
÷
ç
÷
çèø
(25.3)
Так как в формулы входит только
разность потенциальных энергий в двух
состояниях, то для удобства принимают
потенциальную энергию при R 2 ®¥
равной нулю (
2
2
0
lim
0
R®
P= ). Тогда (25.3)
запишется в виде 1
1
mM
G
R
P=
-
. Так
как первая точка была выбрана произ
вольно, то
.
mM
G
R
P=-
Величина
m
P
j=
является энергетической характерис
тикой поля тяготения и называется по
тенциалом. Потенциал поля тяготе
ния j — скалярная величина, опреде
ляемая потенциальной энергией тела
единичной массы в данной точке поля
или работой по перемещению единич
ной массы из данной точки поля в бес
конечность. Таким образом, потенциал
поля тяготения, создаваемого телом
массой M,
,
GM
R
j=-
(25.4)
где R — расстояние от этого тела до рас
сматриваемой точки.
Из формулы (25.4) вытекает, что гео
метрическое место точек с одинаковым
потенциалом образует сферическую по
верхность (R = const). Поверхности,
для которых потенциал постоянен, на
зываются эквипотенциальными.
Рассмотрим взаимосвязь между по
тенциалом (j) поля тяготения и его
напряженностью (g). Из выражений
(25.1) и (25.4) следует, что элементар
ная работа dA, совершаемая силами
поля при малом перемещении тела мас
сой m,
dA= -mdj.
С другой стороны, dA = F dl (dl —
элементарное перемещение). Учитывая
(24.1),dA=mgdl,т.е.mgdl= -mdj,
или
d
.
d
g
l
j
=-
Величина d
dl
j
характеризует изме
нение потенциала на единицу длины в
направлении перемещения в поле тяго
тения. Можно показать, что
g
r
= -grad j,
(25.5)
где grad
ijk
xyz
¶j¶j¶j
j=
+
+
¶¶¶
r
rr
—
гра
диент скаляра j [см. (12.5)]. Знак «-»
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

51
в формуле (25.5) показывает, что век
тор напряженности g
r
направлен в сто
рону убывания потенциала.
В качестве частного примера, исхо
дя из представлений теории тяготения,
рассмотрим потенциальную энергию
тела, находящегося на высоте h относи
тельно Земли:
,
00
0
0
()
mM
mM
mMh
GG
G
RhRRRh
æö
÷
ç
P=-
-
-
=
÷
ç
÷
ç
++
èø
где R 0 — радиус Земли.
Так как
è
,
22
00
mM
P
M
PG
gG
Rm
R
==
=
то, учитывая условие h = R 0, получаем
2
0
.
mMh
Gm
gh
R
P=
=
Таким образом, мы вывели форму
лу, совпадающую с (12.7), которая по
стулировалась раньше.
§ 26. Êîñìè÷åñêèå ñêîðîñòè
Для запуска ракет в космическое
пространство надо в зависимости от
поставленных целей сообщать им опре
деленные начальные скорости, называ
емые космическими.
Первой космической (или круго
вой) скоростью v1 называют такую ми
нимальную скорость, которую надо со
общить телу, чтобы оно могло двигать
ся вокруг Земли по круговой орбите,
т. е. превратиться в искусственный
спутник Земли. На спутник, движу
щийся по круговой орбите радиусом r,
действует сила тяготения Земли, сооб
щающая ему нормальное ускорение
2
1
v
r
.
По второму закону Ньютона,
2
1
2
.
mv
mM
G
r
r
=
Если спутник движется вблизи по
верхности Земли, то r » R 0 (радиус
Земли) и
2
0
GM
g
R
=
[см. (25.6)], поэтому
у поверхности Земли
êì/ñ.
10
7,9
vgR
==
Первой космической скорости недо
статочно для того чтобы тело могло
выйти из сферы земного притяжения.
Необходимая для этого скорость назы
вается второй космической. Второй
космической (или параболической)
скоростью v2 называют ту наимень
шую скорость, которую надо сообщить
телу, чтобы оно могло преодолеть при
тяжение Земли и превратиться в спут
ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле
тяготения Земли стала параболической.
Для того чтобы тело (при отсутствии
сопротивления среды) могло преодо
леть земное притяжение и уйти в кос
мическое пространство, необходимо,
чтобы его кинетическая энергия была
равна работе, совершаемой против сил
тяготения:
,
0
2
2
2
0
d
2
R
mv
mM
mM
Gr
G
rR
¥
=-
=
ò
откуда
êì/ñ.
20
21
1
,
2
vgR
==
Третьей космической скоростью v3
называют скорость, которую необходи
мо сообщить телу на Земле, чтобы оно
покинуло пределы Солнечной системы,
преодолев притяжение Солнца. Третья
космическая скорость v3 = 16,7 км/с.
Сообщение телам таких больших на
чальных скоростей является сложной
технической задачей. Ее первое теоре
тическое осмысление начато К. Э. Ци
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

52
олковским, им была выведена уже рас
смотренная нами формула (10.3), по
зволяющая рассчитывать скорость ра
кет.
Впервые космические скорости бы
ли достигнуты в СССР: первая — при
запуске первого искусственного спут
ника Земли в 1957 г., вторая — при за
пуске ракеты в 1959 г. После историче
ского полета Ю. А. Гагарина в 1961 г.
начинается бурное развитие космонав
тики.
§ 27. Íåèíåðöèàëüíûå ñèñòåìû
îòñ÷åòà. Ñèëû èíåðöèè
Как уже отмечалось (см. § 5, 6), за
коны Ньютона выполняются только в
инерциальных системах отсчета. Сис
темы отсчета, движущиеся относи
тельно инерциальной системы с уско
рением, называются неинерциальны
ми. В неинерциальных системах зако
ны Ньютона, вообще говоря, уже не
справедливы. Однако законы динами
ки можно применять и для них, если
кроме сил, обусловленных воздействи
ем тел друг на друга, ввести в рассмот
рение силы особого рода — так называ
емые силы инерции.
Если учесть силы инерции, то вто
рой закон Ньютона будет справедлив
для любой системы отсчета: произведе
ние массы тела на ускорение в рассмат
риваемой системе отсчета равно сумме
всех сил, действующих на данное тело
(включая и силы инерции). Силы инер
ции F
r
ин при этом должны быть такими,
чтобы вместе с силами F
r
, обусловлен
ными воздействием тел друг на друга,
они сообщали телу ускорение a
r
¢, каким
оно обладает в неинерциальных систе
мах отсчета, т. е .
ma
r
¢=F
r
+F
r
ин.
(27.1)
Так как F
r
=ma
r
(a
r
—
ускорение тела в
инерциальной системе отсчета), то
ma
r
¢=ma
r
+F
r
ин.
Силы инерции обусловлены уско
ренным движением системы отсчета
относительно измеряемой системы, по
этому в общем случае нужно учитывать
следующие случаи проявления этих
сил: 1) силы инерции при ускоренном
поступательном движении системы от
счета; 2) силы инерции, действующие
на тело, покоящееся во вращающейся
системе отсчета; 3) силы инерции, дей
ствующие на тело, движущееся во вра
щающейся системе отсчета.
Рассмотрим эти случаи.
1. Силы инерции при ускоренном посту
пательном движении системы отсчета.
Пусть на тележке к штативу на нити подве
шен шарик массой m (рис. 42). Пока тележ
ка покоится или движется равномерно и
прямолинейно, нить, удерживающая шарик,
занимает вертикальное положение и сила
тяжести P
r
уравновешивается силой реакции
нити T
r
.
Если тележку привести в поступатель
ное движение с ускорением a
r
0, то нить нач
нет отклоняться от вертикали назад до та
кого угла a, пока результирующая сила F
r
=
=P
r
+T
r
не обеспечит ускорение шарика,
равное a 0. Таким образом, результирующая
сила F
r
направлена в сторону ускорения те
лежки a
r
0 и для установившегося движения
шарика (шарик теперь движется вместе с те
лежкой с ускорением a0) равна F = mg tg a =
= ma 0, откуда
,
0
tg
a
g
a=
т. е . угол отклонения нити от вертикали тем
больше, чем больше ускорение тележки.
Относительно системы отсчета, связан
ной с ускоренно движущейся тележкой,
шарик покоится, что возможно, если сила F
r
уравновешивается равной и противополож
но направленной ей силой F
r
ин, которая яв
ляется не чем иным, как силой инерции, так
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

53
как на шарик никакие другие силы не дей
ствуют. Таким образом,
F
r
ин=-ma
r
0.
(27.2)
Проявление сил инерции при поступа
тельном движении наблюдается в повсе
дневных явлениях. Например, когда поезд
набирает скорость, то пассажир, сидящий по
ходу поезда, под действием силы инерции
прижимается к спинке сиденья. Наоборот,
при торможении поезда сила инерции на
правлена в противоположную сторону и
пассажир удаляется от спинки сиденья. Осо
бенно эти силы заметны при внезапном тор
можении поезда. Силы инерции проявляют
ся в перегрузках, которые возникают при
запуске и торможении космических кораб
лей.
2. Силы инерции, действующие на тело,
покоящееся во вращающейся системе от
счета. Пусть диск равномерно вращается с
угловой скоростью w ( w = const) вокруг вер
тикальной оси, проходящей через его центр.
На диске, на разных расстояниях от оси вра
щения, установлены маятники (на нитях
подвешены шарики массой m). При враще
нии маятников вместе с диском шарики от
клоняются от вертикали на некоторый угол
(рис. 43).
В инерциальной системе отсчета, связан
ной, например, с помещением, где установ
лен диск, шарик равномерно вращается по
окружности радиусом R (расстояние от цен
тра вращающегося шарика до оси враще
ния). Следовательно, на него действует
сила, равная F = m w2
R и направленная пер
пендикулярно оси вращения диска. Она яв
ляется равнодействующей силы тяжести P
r
и силы натяжения нити T
r
:F
r
=P
r
+T
r
. Ког
да движение шарика установится, то F =
=mgtga=mw
2
R , откуда
,
2
tg
R
g
w
a=
т. е . углы отклонения нитей маятников бу
дут тем больше, чем больше расстояние R
от центра шарика до оси вращения диска и
чем больше угловая скорость вращения w.
Относительно системы отсчета, связан
ной с вращающимся диском, шарик покоит
ся, что возможно, если сила F
r
уравновеши
вается равной и противоположно направ
ленной ей силой F
r
ц, которая является не чем
иным, как силой инерции, так как на шарик
никакие другие силы не действуют. Сила F
r
ц,
называемая центробежной силой инерции,
направлена по горизонтали от оси вращения
диска и равна
Fц=-mw
2R.
(27.3)
Действию центробежных сил инерции
подвергаются, например, пассажиры в дви
жущемся транспорте на поворотах, летчи
ки при выполнении фигур высшего пилота
жа; центробежные силы инерции использу
ются во всех центробежных механизмах:
насосах, сепараторах и т. д ., где они достига
ют огромных значений. При проектирова
нии быстро вращающихся деталей машин
(роторов, винтов самолетов и т.д .) принима
ются специальные меры для уравновешива
ния центробежных сил инерции.
Из формулы (27.3) вытекает, что центро
бежная сила инерции, действующая на тела
во вращающихся системах отсчета в направ
лении радиуса от оси вращения, зависит от
угловой скорости вращения w системы отсче
та и радиуса R , но не зависит от скорости тел
относительно вращающихся систем отсчета.
Следовательно, центробежная сила инерции
действует во вращающихся системах отсче
та на все тела, удаленные от оси вращения на
конечное расстояние, независимо от того, по
Рис. 43
Рис. 42
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

54
коятся ли они в этой системе (как мы пред
полагали до сих пор) или движутся относи
тельно нее с какой то скоростью.
3. Силы инерции, действующие на тело,
движущееся во вращающейся системе от
счета. Пусть шарик массой m движется с
постоянной скоростью v ¢ вдоль радиуса рав
номерно вращающегося диска (v ¢ = const,
w= const, v ¢ ^ w). Если диск не вращается,
то шарик, направленный вдоль радиуса, дви
жется по радиальной прямой и попадает в
точку A, если же диск привести во враще
ние в направлении, указанном стрелкой, то
шарик катится по кривой OB (рис. 44, а),
причем его скорость v ¢ относительно диска
изменяет свое направление. Это возможно
лишь тогда, если на шарик действует сила,
перпендикулярная скорости v ¢.
Для того чтобы заставить шарик катить
ся по вращающемуся диску вдоль радиуса,
используем жестко укрепленный вдоль ра
диуса диска стержень, на котором шарик
движется без трения равномерно и прямо
линейно со скоростью v ¢ (рис. 44, б ). При от
клонении шарика стержень действует на
него с некоторой силой F
r
. Относительно
диска (вращающейся системы отсчета) ша
рик движется равномерно и прямолинейно,
что можно объяснить тем, что сила F
r
урав
новешивается приложенной к шарику си
лой инерции F
r
К, перпендикулярной скоро
сти v ¢. Эта сила называется кориолисовой
силой инерции.
Можно показать, что сила Кориолиса1
F
r
К=2m[v
r
¢w
r
].
(27.4)
Вектор F
r
К перпендикулярен векторам
скорости v
r
¢ тела и угловой скорости враще
ния w
r
системы отсчета в соответствии с пра
вилом правого винта.
Сила Кориолиса действует только на
тела, движущиеся относительно вращаю
щейся системы отсчета, например относи
тельно Земли. Поэтому действием этих сил
объясняется ряд наблюдаемых на Земле яв
лений. Так, если тело движется в Северном
полушарии на север (рис. 45), то действу
ющая на него сила Кориолиса, как это сле
дует из выражения (27.4), будет направле
на вправо по отношению к направлению
движения, т. е . тело несколько отклонится
на восток. Если тело движется на юг, то
сила Кориолиса также действует вправо,
если смотреть по направлению движения,
т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в
Северном полушарии наблюдается более
сильное подмывание правых берегов рек;
правые рельсы железнодорожных путей по
движению изнашиваются быстрее, чем ле
вые, и т. д . Аналогично можно показать, что
в Южном полушарии сила Кориолиса, дей
ствующая на движущиеся тела, будет на
правлена влево по отношению к направле
нию движения.
Благодаря силе Кориолиса падающие на
поверхность Земли тела отклоняются к во
стоку (на широте 60° это отклонение долж
но составлять 1 см при падении с высоты
100 м). С силой Кориолиса связано поведе
ние маятника Фуко, явившееся в свое вре
мя одним из доказательств вращения Зем
ли. Если бы этой силы не было, то плоскость
колебаний качающегося вблизи поверхнос
ти Земли маятника оставалась бы неизмен
ной (относительно Земли). Действие же сил
Кориолиса приводит к вращению плоскости
колебаний вокруг вертикального направле
ния.
Раскрывая содержание F
r
ин в форму
ле (27.1), получим основной закон ди
Рис. 44
1 Г. Кориолис (1792 — 1843) — французский
физик и инженер.
Рис. 45
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

55
намики для неинерциальных систем
отсчета:
ma
r
¢=F
r
+F
r
ин+F
r
ц+F
r
К,
где силы инерции задаются формулами
(27.2) — (27.4).
Обратим еще раз внимание на то, что
силы инерции вызываются не взаимо
действием тел, а ускоренным движени
ем системы отсчета. Поэтому они не
подчиняются третьему закону Ньюто
на, так как если на какое либо тело дей
ствует сила инерции, то не существует
противодействующей силы, приложен
ной к данному телу. Два основных по
ложения механики, согласно которым
ускорение всегда вызывается силой, а
сила всегда обусловлена взаимодей
ствием между телами, в системах отсче
та, движущихся с ускорением, одновре
менно не выполняются.
Для любого из тел, находящихся в
неинерциальной системе отсчета, силы
инерции являются внешними, следова
тельно, здесь нет замкнутых систем. Это
означает, что в неинерциальных систе
мах отсчета не выполняются законы
сохранения импульса, энергии и момен
та импульса. Таким образом, силы инер
ции действуют только в неинерциаль
ных системах. В инерциальных систе
мах отсчета таких сил не существует.
Возникает вопрос о «реальности» или
«фиктивности» сил инерции. В ньютонов
ской механике, согласно которой сила есть
результат взаимодействия тел, на силы
инерции можно смотреть как на «фиктив
ные», «исчезающие» в инерциальных систе
мах отсчета. Однако возможна и другая их
интерпретация. Так как взаимодействия тел
осуществляются посредством силовых по
лей, то силы инерции рассматриваются как
воздействия, которым подвергаются тела со
стороны каких то реальных силовых полей,
и тогда их можно считать «реальными».
Независимо от того, рассматриваются ли
силы инерции в качестве «фиктивных» или
«реальных», многие явления, о которых упо
миналось в настоящем параграфе, объясня
ются с помощью сил инерции.
Силы инерции, действующие на тела в
неинерциальной системе отсчета, пропорци
ональны их массам и при прочих равных
условиях сообщают этим телам одинаковые
ускорения. Поэтому в «поле сил инерции»
эти тела движутся совершенно одинаково,
если только одинаковы начальные условия.
Тем же свойством обладают тела, находящи
еся под действием сил поля тяготения.
При некоторых условиях силы инерции
и силы тяготения невозможно различить.
Например, движение тел в равноускорен
ном лифте происходит точно так же, как и в
неподвижном лифте, висящем в однород
ном поле тяжести. Никакой эксперимент,
выполненный внутри лифта, не может от
делить однородное поле тяготения от одно
родного поля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения
и силами инерции лежит в основе прин
ципа эквивалентности гравитационных
сил и сил инерции (принципа эквива
лентности Эйнштейна): все физичес
кие явления в поле тяготения происхо
дят совершенно так же, как и в соответ
ствующем поле сил инерции, если на
пряженности обоих полей в соответ
ствующих точках пространства совпа
дают, а прочие начальные условия для
рассматриваемых тел одинаковы. Этот
принцип является основой общей тео
рии относительности.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
•
Как определяется гравитационная постоянная и каков ее физический смысл?
•
На какой высоте над планетой ускорение свободного падения вдвое меньше, чем на ее
поверхности?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

56
•
Что такое вес тела?
•
В чем отличие веса тела от силы тяжести?
•
Как объяснить возникновение невесомости при свободном падении?
•
Что такое напряженность поля тяготения?
•
Какое поле тяготения называется однородным? центральным?
•
Какие величины вводятся для характеристики поля тяготения и какова связь между
ними?
•
Покажите, что силы тяготения консервативны.
•
Чему равно максимальное значение потенциальной энергии системы из двух тел, нахо
дящихся в поле тяготения?
•
Какие траектории движения имеют спутники, получившие первую и вторую космиче
ские скорости?
•
Как вычисляются первая и вторая космические скорости?
•
Когда и почему необходимо рассматривать силы инерции?
•
Что такое силы инерции? Чем они отличаются от сил, действующих в инерциальных
системах отсчета?
•
Как направлены центробежная сила инерции и сила Кориолиса? Когда они проявля
ются?
•
В Северном полушарии производится выстрел вдоль меридиана на север. Как скажется
на движении снаряда суточное вращение Земли?
•
Сформулируйте и поясните принцип эквивалентности Эйнштейна.
ÇÀÄÀ×È
5.1. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, соприкасаясь друг с
другом, притягиваются. Определите, как изменится сила притяжения, если массу шаров
увеличить в 4 раза. [Возрастет в 6,35 разa]
5.2. Плотность вещества некоторой шарообразной планеты составляет 3 г/см3. Каким
должен быть период обращения планеты вокруг собственной оси, чтобы на экваторе тела
были невесомыми? [
÷
3 1,9
T
G
p
==
r
]
5.3. Определите, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Зем
ли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли
и Луны равно R, масса Земли в 31 раз больше массы Луны. [0,9R]
5.4. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с
другом. Определите, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимо
действия, если массу шаров увеличить в четыре раза. [Возрастет в 14,6 раза]
5.5 . Два спутника одинаковой массы движутся вокруг Земли по круговым орбитам ра
диусами R 1 и R2. Определите: 1) отношение полных энергий спутников ( 1
2
E
E
); 2) отноше
ние их моментов импульса ( 1
2
L
L
).[1) 2
1
R
R;2) 1
2
R
R
]
5.6 . Вагон катится вдоль горизонтального участка дороги. Сила трения составляет
20 % от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой 10 г. Определите:
1) силу, действующую на нить; 2) угол отклонения нити от вертикали. [1) 0,1 H;
2) 11°35¢]
5.7 . Тело массой 1,5 кг, падая свободно в течение 5 с, попадает на Землю в точку с
географической широтой j = 45°. Учитывая вращение Земли, нарисуйте и определите
все силы, действующие на тело в момент его падения на Землю. [1) 14,7 Н; 2) 35,7 Н;
3) 7,57 мН]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

57
Ãëàâà 6
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÅÕÀÍÈÊÈ ÆÈÄÊÎÑÒÅÉ
странства. Плотность же газов от дав
ления зависит существенно. Сжимае
мостью жидкости и газа во многих за
дачах можно пренебречь и пользовать
ся единым понятием несжимаемой
жидкости — жидкости, плотность ко
торой всюду одинакова и не изменяет
ся со временем.
Если в покоящуюся жидкость поме
стить тонкую пластинку, то части жид
кости, находящиеся по разные стороны
от нее, будут действовать на каждый ее
элемент DS с силами DF, которые не
зависимо от того, как пластинка ориен
тирована, будут равны по модулю и на
правлены перпендикулярно площадке
DS, так как наличие касательных сил
привело бы частицы жидкости в движе
ние (рис. 46).
Физическая величина, определяе
мая нормальной силой, действующей со
стороны жидкости на единицу площа
ди, называется давлением p жидкости:
.
F
p
S
D
=
D
Единица давления — паскаль (Па):
1 Па равен давлению, создаваемому си
лой 1 Н, равномерно распределенной по
нормальной к ней поверхности площа
дью1м
2
(1Па=1Н/м
2
).
Давление при равновесии жидко
стей (газов) подчиняется закону Пас
каля1: давление на поверхности жидко
сти, произведенное внешними силами,
передается жидкостью одинаково во
всех направлениях.
Рассмотрим, как влияет вес жидко
сти на распределение давления внутри
§ 28. Äàâëåíèå æèäêîñòè è ãàçà
Молекулы газа, совершая беспоря
дочное, хаотическое движение, не свя
заны или весьма слабо связаны силами
взаимодействия, поэтому они движут
ся свободно и в результате соударений
стремятся разлететься во все стороны,
заполняя весь предоставленный им
объем, т. е. объем газа определяется объе
мом того сосуда, который газ занимает.
Жидкость же, имея определенный
объем, принимает форму того сосуда, в
который она заключена. Но в жидко
стях в отличие от газов среднее рассто
яние между молекулами остается прак
тически постоянным, поэтому жид
кость обладает практически неизмен
ным объемом.
Свойства жидкостей и газов во мно
гом отличаются, однако в ряде механи
ческих явлений их поведение определя
ется одинаковыми параметрами и иден
тичными уравнениями. Поэтому гид
роаэромеханика — раздел механики,
изучающий равновесие и движение
жидкостей и газов, их взаимодействие
между собой и обтекаемыми ими твер
дыми телами, — использует единый
подход к изучению жидкостей и газов.
В механике с большой степенью точ
ности жидкости и газы рассматривают
ся как сплошные непрерывно распре
деленные в занятой ими части про
Рис. 46
1 Б. Паскаль (1623 — 1662) — французский
ученый.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

58
покоящейся несжимаемой жидкости.
При равновесии жидкости давление по
горизонтали всегда одинаково, иначе не
было бы равновесия. Поэтому свобод
ная поверхность покоящейся жидкости
всегда горизонтальна вдали от стенок
сосуда. Если жидкость несжимаема, то
ее плотность не зависит от давления.
Тогда при поперечном сечении S стол
ба жидкости, его высоте h и плотности r
вес P = rgSh , а давление на нижнее ос
нование
,
gSh
P
pg
h
SS
r
==
=
r (28.1)
т. е. давление изменяется линейно с
высотой. Давление rgh называется гид
ростатическим давлением.
Согласно формуле (28.1), сила дав
ления на нижние слои жидкости будет
больше, чем на верхние, поэтому на
тело, погруженное в жидкость, действу
ет сила, определяемая законом Архи
меда: на тело, погруженное в жидкость
(газ), действует со стороны этой жид
кости направленная вверх выталкива
ющая сила, равная весу вытесненной
телом жидкости (газа):
FA = rgV,
где r — плотность жидкости; V — объем
погруженного в жидкость тела.
§ 29. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè
Движение жидкостей называется
течением, а совокупность частиц дви
жущейся жидкости — потоком. Графи
чески движение жидкостей изобража
ется с помощью линий тока, которые
проводятся так, что касательные к ним
совпадают по направлению с вектором
скорости жидкости в соответствующих
точках пространства (рис. 47). Линии
тока проводятся так, чтобы густота их,
характеризуемая отношением числа
линий к площади перпендикулярной
им площадки, через которую они про
ходят, была больше там, где больше ско
рость течения жидкости, и меньше там,
где жидкость течет медленнее. Таким
образом, по картине линий тока можно
судить о направлении и модуле скоро
сти в разных точках пространства, т. е .
можно определить состояние движения
жидкости. Линии тока в жидкости мож
но «проявить», например, подмешав в
нее какие либо заметные взвешенные
частицы.
Часть жидкости, ограниченную ли
ниями тока, называют трубкой тока.
Течение жидкости называется устано
вившимся (или стационарным), если
форма и расположение линий тока, а
также значения скоростей в каждой ее
точке со временем не изменяются.
Рассмотрим какую либо трубку
тока. Выберем два ее сечения S1 и S2,
перпендикулярные направлению ско
рости (рис. 48).
За время Dt через сечение S прохо
дит объем жидкости SvDt ; следователь
но, за 1 с через S1 пройдет объем жид
кости S1v1, где v1 — скорость течения
жидкости в месте сечения S1. Через се
чение S2 за 1 с пройдет объем жидкости
Рис. 47
Рис. 48
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

59
S2v2, где v2 — скорость течения жидко
сти в месте сечения S2. Здесь предпола
гается, что скорость жидкости в сечении
постоянна. Если жидкость несжимаема
(r = const), то через сечение S2 пройдет
такой же объем жидкости, как и через
сечение S1, т. е .
S1v1 = S2v2 = const.
(29.1)
Следовательно, произведение скоро
сти течения несжимаемой жидкости на
поперечное сечение трубки тока есть
величина постоянная для данной труб
ки тока. Соотношение (29.1) называет
ся уравнением неразрывности для не
сжимаемой жидкости.
§ 30. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè
è ñëåäñòâèÿ èç íåãî
В реальных жидкостях между от
дельными слоями потока возникают
силы внутреннего трения, тормозящие
относительное смещение слоев. Одна
ко в ряде случаев ими можно пренеб
речь. Поэтому для вывода ряда законо
мерностей пользуются физической мо
делью идеальной жидкости — вообра
жаемой жидкости, у которой внутрен
нее трение полностью отсутствует.
Выделим в стационарно текущей
несжимаемой идеальной жидкости
трубку тока, ограниченную сечениями
S1 и S2, по которой жидкость течет сле
ва направо (рис. 49). Пусть в месте се
чения S1 скорость течения v1, давление
p1 и высота, на которой это сечение рас
положено, h 1. Аналогично, в месте се
чения S2 скорость течения v2, давление
p2, высота сечения h 2. За малый проме
жуток времени Dt жидкость перемеща
ется от сечения S1 к сечению S ¢1, от S2
к S¢2.
Согласно закону сохранения энер
гии, изменение полной энергии E2 - E1
идеальной несжимаемой жидкости дол
жно быть равно работе A внешних сил
по перемещению массы m жидкости:
E2-E1=A,
(30.1)
где E1 и E2 — полные энергии жидкости
массой m в местах сечений S1 и S2 соот
ветственно.
С другой стороны, A — это работа,
совершаемая при перемещении всей
жидкости, заключенной между сечени
ями S1 и S2, за рассматриваемый малый
промежуток времени Dt . Для перене
сения массы m от S1 до S ¢1 жидкость дол
жна переместиться на расстояние l 1 =
=v
1Dt; и от S2 до S¢2 — на расстояние
l2 = v2Dt.
Отметим, что l 1 и l 2 настолько малы,
что всем точкам объемов, закрашенных
на рис. 49, приписывают постоянные
значения скорости, давления и высоты.
Следовательно,
A=F1l1+F2l2,
(30.2)
где F1 = p1S1 и F2 = - p2S2 (отрицательна,
так как направлена в сторону, противо
положную течению жидкости; см. рис. 49).
Полные энергии E1 и E2 будут скла
дываться из кинетической и потенци
альной энергий массы m жидкости:
,
2
1
11
2
mv
Em
g
h
=+
(30.3)
.
2
2
22
2
mv
Em
g
h
=+
(30.4)
Рис. 49
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

60
Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и
приравнивая (30.1) и (30.2), получим
2
1
11
1
1
2
2
22
2
2
2
.
2
mv
mgh pSv t
mv
mgh pSv t
++D
=
=+ + D(30.5)
Согласно уравнению неразрывности
для несжимаемой жидкости (29.1),
объем, занимаемый жидкостью, остает
ся постоянным, т. е .
DV = S1v1Dt = S2v2Dt .
Разделив выражение (30.5) на DV,
получим
,
22
12
11
22
22
vv
ghp
ghp
rr
+r+=+r+
где r — плотность жидкости.
Tак как сечения выбирались произ
вольно, то можем записать
2
const .
2
v
ghp
r
+r+=
(30.6)
Выражение (30.6) выведено швей
царским физиком Д. Бернулли (1700 —
1782; опубликовано в 1738 г.) и назы
вается уравнением Бернулли. Уравне
ние Бернулли — выражение закона со
хранения энергии применительно к ус
тановившемуся течению идеальной
жидкости. Оно хорошо выполняется и
для реальных жидкостей, внутреннее
трение которых не очень велико.
Величина p в формуле (30.6) назы
вается статическим давлением (дав
ление жидкости на поверхность обтека
емого ею тела), величина
2
2
v
r
—
дина
мическим давлением. Как уже указы
валось выше (см. § 28), величина rgh
представляет собой гидростатическое
давление.
Для горизонтальной трубки тока (h1 =
= h 2) выражение (30.6) принимает вид
,
2
const
2
v
p
r
+=
(30.7)
где
2
2
v
p
r
+
называется полным давле
нием.
Из уравнения Бернулли (30.7) для
горизонтальной трубки тока и уравне
ния неразрывности (29.1) следует, что
при течении жидкости по горизонталь
ной трубе, имеющей различные сечения,
скорость жидкости больше в местах су
жения, а статическое давление больше
в более широких местах, т. е . там, где
скорость меньше. Это можно продемон
стрировать, установив вдоль трубы ряд
манометров (рис. 50). В соответствии
с уравнением Бернулли опыт показы
вает, что в манометрической трубке B,
прикрепленной к узкой части трубы,
уровень жидкости ниже, чем в маномет
рических трубках A и C, прикреплен
ных к широкой части трубы.
Так как динамическое давление свя
зано со скоростью движения жидкости
(газа), то уравнение Бернулли позволя
ет измерять скорость потока жидкости.
Для этого применяется трубка Пито —
Прандтля (рис. 51). Прибор состоит из
двух изогнутых под прямым углом тру
бок, противоположные концы которых
Рис. 50
Рис. 51
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

61
присоединены к манометру. С помощью
одной из трубок измеряется полное дав
ление (p0), с помощью другой — стати
ческое (p). Манометром измеряют раз
ность давлений:
p0-p =r0gh,
(30.8)
где r0 — плотность жидкости в маномет
ре. С другой стороны, согласно уравне
нию Бернулли, разность полного и ста
тического давлений равна динамиче
скому давлению:
2
0
.
2
v
pp
r
-=
(30.9)
Из формул (30.8) и (30.9) получаем
искомую скорость потока жидкости:
0
2
.
gh
v
r
=
r
Уменьшение статического давления
в точках, где скорость потока больше,
положено в основу работы водоструй
ного насоса (рис. 52). Струя воды по
дается в трубку, открытую в атмосфе
ру, так что давление на выходе из труб
ки равно атмосферному. В трубке име
ется сужение, по которому вода течет с
большей скоростью. В этом месте дав
ление меньше атмосферного. Это дав
ление устанавливается и в откачанном
сосуде, который связан с трубкой через
разрыв, имеющийся в ее узкой части.
Воздух увлекается вытекающей с боль
шой скоростью водой из узкого конца.
Таким образом можно откачивать воз
дух из сосуда до давления 100 мм рт. ст.
(1 мм рт. ст. = 133,32 Па).
Уравнение Бернулли используется
для нахождения скорости истечения
жидкости через отверстие в стенке или
дне сосуда. Рассмотрим цилиндричес
кий сосуд с жидкостью, в боковой стен
ке которого на некоторой глубине ниже
уровня жидкости имеется маленькое
отверстие (рис. 53).
Рассмотрим два сечения (на уров
не h 1 свободной поверхности жидкости
в сосудеинауровнеh2 выхода ее из от
верстия) и запишем уравнение Бернул
ли:
22
12
11
22
.
22
vv
ghp
ghp
rr
+r+=+r+
Так как давления p1 и p2 в жидкости
на уровнях первого и второго сечений
равны атмосферному, т. е . p1 = p2, то
уравнение будет иметь вид
22
12
12
.
22
vv
gh
gh
+=+
Из уравнения неразрывности (29.1)
следует, что
21
12
vS
vS
=
,гдеS1иS2—пло
щади поперечных сечений сосуда и от
верстия. Если S1 ? S2, то слагаемым
2
1
2
v
можно пренебречь. Тогда
Рис. 53
Рис. 52
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

62
,
2
21
2
2
2(
)2
2.
vg
hhg
h
vg
h
=-
=
=
Это выражение получило название
формулы Торричелли1.
§ 31. Âÿçêîñòü (âíóòðåííåå òðåíèå).
Ëàìèíàðíûé è òóðáóëåíòíûé
ðåæèìû òå÷åíèÿ æèäêîñòåé
Рассмотренная ранее (см. § 30) иде
альная жидкость — воображаемая жид
кость, в которой отсутствуют силы
внутреннего трения, есть физическая
абстракция. Всем реальным жидко
стям и газам присуща вязкость (внут
реннее трение).
Вязкость (внутреннее трение) —
это свойство реальных жидкостей ока
зывать сопротивление перемещению
одной части жидкости относительно
другой. При перемещении одних слоев
реальной жидкости относительно дру
гих возникают силы внутреннего тре
ния, направленные по касательной к по
верхности слоев. Действие этих сил
проявляется в том, что со стороны слоя,
движущегося быстрее, на слой, движу
щийся медленнее, действует ускоряю
щая сила. Со стороны же слоя, движу
щегося медленнее, на слой, движущий
ся быстрее, действует тормозящая сила.
Сила внутреннего трения F
r
тем
больше, чем больше рассматриваемая
площадь поверхности слоя S (рис. 54),
и зависит от того, насколько быстро ме
няется скорость течения жидкости при
переходе от слоя к слою. На рисунке
представлены два слоя, отстоящие друг
от друга на расстоянии Dx и движу
щиеся со скоростями v
r
1иv
r
2. При этом
v
r
1-v
r
2=Dv
r
. Направление, в котором
отсчитывается расстояние между сло
ями, перпендикулярно скорости течения
слоев. Величина
v
x
D
D
показывает, как
быстро меняется скорость при перехо
де от слоя к слою в направлении x, пер
пендикулярном направлению движе
ния слоев, и называется градиентом
скорости. Таким образом, модуль силы
внутреннего трения
,
v
FS
x
D
=h
D
(31.1)
где коэффициент пропорциональнос
ти h, зависящий от природы жидкости,
называется динамической вязкостью
(или просто вязкостью).
Единица вязкости — паскаль секун
да (Па · с): 1 Па · с равен динамической
вязкости среды, в которой при ламинар
ном течении и градиенте скорости с мо
дулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает
сила внутреннего трения 1 Н на 1 м2
поверхности касания слоев (1 Па · с =
= 1Н·с/м2).
Чем больше вязкость, тем сильнее
жидкость отличается от идеальной, тем
бо′ льшие силы внутреннего трения в
ней возникают. Вязкость зависит от
температуры, причем характер этой за
висимости для жидкостей и газов раз
личен (для жидкостей h с увеличением
температуры уменьшается, у газов, на
оборот, увеличивается), что указывает
на различие в них механизмов внутрен
него трения. Особенно сильно от тем
1 Э. Торричелли (1608 — 1647) — итальянский
физик и математик.
Рис. 54
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

63
пературы зависит вязкость масел. На
пример, вязкость касторового масла в
интервале 18 — 40 °С падает в четыре
раза. Российский физик П. Л. Капица
(1894 — 1984; Нобелевская премия
1978 г.) открыл, что при температуре
2,17 К жидкий гелий переходит в сверх
текучее состояние, в котором его вяз
кость равна нулю.
Существует два режима течения
жидкостей. Течение называется лами
нарным (слоистым), если вдоль пото
ка каждый выделенный тонкий слой
скользит относительно соседних, не пе
ремешиваясь с ними, и турбулентным
(вихревым), если вдоль потока проис
ходит интенсивное вихреобразование и
перемешивание жидкости (газа).
Ламинарное течение жидкости на
блюдается при небольших скоростях ее
движения. Внешний слой жидкости,
примыкающий к поверхности трубы, в
которой она течет, из за сил молекуляр
ного сцепления прилипает к ней и ос
тается неподвижным. Скорости после
дующих слоев тем больше, чем больше
их расстояние до поверхности трубы, и
наибольшей скоростью обладает слой,
движущийся вдоль оси трубы.
При турбулентном течении частицы
жидкости приобретают составляющие
скоростей, перпендикулярные течению,
поэтому они могут переходить из одного
слоя в другой. Скорость частиц жидко
сти быстро возрастает по мере удаления
от поверхности трубы, затем изменяется
довольно незначительно. Так как части
цы жидкости переходят из одного слоя в
другой, то их скорости в различных сло
ях мало отличаются. Из за большого гра
диента скоростей у поверхности трубы
обычно происходит образование вихрей.
Профиль усредненной скорости при
турбулентном течении в трубах (рис. 55)
отличается от параболического профи
ля при ламинарном течении более бы
стрым возрастанием скорости у стенок
трубы и меньшей кривизной в цент
ральной части течения. Характер тече
ния зависит от безразмерной величины,
называемой числом Рейнольдса1:
,
Re
vd
vd
ráñ áñ
==
hn
где r — плотность жидкости; ávñ — сред
няя по сечению трубы скорость жидко
сти; d — характерный линейный размер,
например диаметр трубы;
h
n=
r
—
ки
нематическая вязкость.
При малых значениях числа Рей
нольдса (Re 1000) наблюдается лами
нарное течение, переход от ламинарно
го течения к турбулентному происхо
дит в области 1000 Re 2000, а при
Re = 2300 (для гладких труб) течение
турбулентное. Если число Рейнольдса
одинаково, то режим течения различ
ных жидкостей (газов) в трубах разных
сечений одинаков.
§ 32. Ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ
âÿçêîñòè
1. Метод Стокса
2
. Этот метод опре
деления вязкости основан на измере
нии скорости медленно движущихся в
Рис. 55
1 О. Рейнольдс (1842 — 1912) — английский
ученый.
2 Дж. Стокс (1819 — 1903) — английский фи
зик и математик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

64
жидкости небольших тел сферической
формы.
На шарик, падающий в жидкости
вертикально вниз, действуют три силы:
сила тяжести
3
4
3
Pr
g
=pr(r — плотность
шарика), сила Архимеда
3
A
4
3
Fr
g
¢
=pr
(r¢ — плотность жидкости) и сила со
противления, эмпирически установлен
ная Дж. Стоксом: F = 6phrv (r — ради
ус шарика, v — его скорость). При рав
номерном движении шарика
или
,
A
33
446
33
PFF
rg
rg
r
v
=+
¢
pr=pr+ph
откуда
2
2(
).
9
gr
v
¢
r-r
=
h
Измерив скорость равномерного
движения шарика, можно определить
вязкость жидкости (газа).
2. Метод Пуазейля1. Пуазейль, изу
чая ламинарное течение жидкости в
круглой трубе, нашел закон изменения
скорости с расстоянием r от оси трубы.
В жидкости мысленно выделим цилин
дрический объем радиусом r и толщи
ной dr (рис. 56). Сила внутреннего тре
ния [см. (31.1)], действующая на боко
вую поверхность этого объема,
,
dd
d2
dd
vv
FSr
l
rr
=-h
=-h× p
где dS — боковая поверхность цилинд
рического слоя; знак «-» означает, что
при возрастании радиуса скорость умень
шается.
Для установившегося течения жид
кости сила внутреннего трения, дей
ствующая на боковую поверхность ци
линдра, уравновешивается силой дав
ления, действующей на его основание:
,
.
2
d
2d
d
d2
p
v
rl
pr
v
rr
rl
D
-h×p
=Dp
=-
h
После интегрирования, полагая, что
у стенок имеет место прилипание жид
кости, т. е . скорость на расстоянии R от
оси равна нулю, получаем
.
22
()
4
p
vR
r
l
D
=-
-
h
Отсюда видно, что скорости частиц
жидкости распределяются по параболи
ческому закону, причем вершина пара
болы лежит на оси трубы (см. также
рис. 55). За время t из трубы вытечет
жидкость, объем которой
,
22
00
4
224
0
2
2d
()d
4
224 8
RR
R
tp
Vv
tr
r
r
Rrr
l
tp
Rtp
rRr
ll
pD
=×
p=
-
=
h
éù
pD
pD
=-
=
êú
êú
hh
ëû
òò
откуда вязкость
4
.
8
Rtp
Vl
pD
h=
Эта формула называется формулой
Пуазейля.
§ 33. Äâèæåíèå òåë
â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ
Одной из важнейших задач аэро и
гидродинамики является исследование
движения твердых тел в газе и жидко
1 Ж. Пуазейль (1799 — 1868) — французский
физиолог и физик.
Рис. 56
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

65
сти, в частности изучение тех сил, с ко
торыми среда действует на движущее
ся тело. Эта проблема приобрела осо
бенно большое значение в связи с бур
ным развитием авиации и увеличени
ем скорости движения морских судов.
На тело, движущееся в жидкости
или газе, действуют две силы (их рав
нодействующую обозначим R
r
), одна из
которых (R
r
x) направлена в сторону,
противоположную движению тела
(в сторону потока), — лобовое сопро
тивление, а вторая (R
r
y) перпендику
лярна этому направлению — подъем
ная сила (рис. 57).
Если тело симметрично и его ось
симметрии совпадает с направлением
скорости, то на него действует только
лобовое сопротивление, подъемная же
сила в этом случае равна нулю. Можно
доказать, что в идеальной жидкости рав
номерное движение происходит без ло
бового сопротивления. Если рассмот
реть движение цилиндра в такой жид
кости (рис. 58), то картина линий тока
симметрична как относительно прямой,
проходящей через точки A и B, так и
относительно прямой, проходящей че
рез точки C и D, т. е . результирующая
сила давления на поверхность цилинд
ра будет равна нулю.
Иначе обстоит дело при движении
тел в вязкой жидкости (особенно при
увеличении скорости обтекания).
Вследствие вязкости среды в области,
прилегающей к поверхности тела, об
разуется пограничный слой частиц,
движущихся с меньшими скоростями.
В результате тормозящего действия
этого слоя возникает вращение частиц
и движение жидкости в пограничном
слое становится вихревым. Если тело
не имеет обтекаемой формы (нет
плавно утончающейся хвостовой час
ти), то пограничный слой жидкости
отрывается от поверхности тела. За
телом возникает течение жидкости
(газа), направленное противополож
но набегающему потоку. Оторвав
шийся пограничный слой, следуя за
этим течением, образует вихри, вра
щающиеся в противоположные сторо
ны (рис. 59).
Лобовое сопротивление зависит от
формы тела и его положения относитель
но потока, что учитывается безразмер
ным коэффициентом сопротивления Cx ,
определяемым экспериментально:
Рис. 57
Рис. 58
Рис. 59
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

66
,
2
2
xx
v
RCS
r
=
(33.1)
где r — плотность среды; v — скорость
движения тела; S — наибольшее попе
речное сечение тела.
Составляющую R x можно значи
тельно уменьшить, подобрав тело такой
формы, которая не способствует обра
зованию завихрения.
Подъемная сила может быть опреде
лена формулой, аналогичной (33.1):
,
2
2
yy
v
RCS
r
=
где Cy — безразмерный коэффициент
подъемной силы.
Для крыла самолета требуется боль
шая подъемная сила при малом лобо
вом сопротивлении [это условие вы
полняется при малых углах атаки a
(угол к потоку); см. рис. 57].
Крыло тем лучше удовлетворяет
этому условию, чем больше величина
y
x
C
K
C
=
, называемая качеством кры
ла.
Большие заслуги в конструировании
требуемого профиля крыла и изучении
влияния геометрической формы тела
на коэффициент подъемной силы при
надлежат «отцу русской авиации»
Н. Е. Жуковскому (1847 — 1921).
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что такое давление в жидкости? Давление — величина векторная или скалярная? Како
ва единица давления в СИ?
• Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда.
• Что называют линией тока? трубкой тока?
• Что характерно для установившегося течения жидкости?
• Каков физический смысл уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости и как
его вывести ?
• Выведите уравнение Бернулли.
• Как в потоке жидкости измерить статическое давление? динамическое давление? пол
ное давление?
• Что такое градиент скорости?
• Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости?
• Какое течение жидкости называется ламинарным? турбулентным? Что характеризует
число Рейнольдса?
• Поясните (с выводом) практическое применение методов Стокса и Пуазейля.
• Каковы причины возникновения лобового сопротивления тела, движущегося в жидко
сти? Может ли оно быть равным нулю?
• Как объяснить возникновение подъемной силы (см. рис. 57)?
ÇÀÄÀ×È
6.1. Полый железный шар (r = 7,87 г/см3) весит в воздухе 5 Н, а в воде (r¢ = 1 г/см3) —
3 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определите объем внутренней полости
шара. [139 см3]
6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания S = 1 м2 и объемом V = 3 м3 за
полнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определите время t , необходимое для опусто
шения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью S1 = 10 см2
.
[
ìèí
1
12 13
SV
t
Sg
==
]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

67
6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой H = 5 м, имеет форму усечен
ного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечения d1 = 6 см, верхнего — d 2 = 2 см.
Высота сопла h = 1 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в
сопле, определите: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном; 2) разность Dp давления в
нижнем сечении и атмосферного давления. Плотность воды r = 1 г/см3. [1)
2
2
4
d
gH
p
=
= 3,1 · 10-3 м3/с; 2)
4
2
4
1
1
d
pg
hg
H
d
æö
÷
ç-
D=r +r
÷
ç
÷÷
çèø
= 58,3 кПа]
6.4. На горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхно
сти которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше попе
речного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии h 1 = 6 4 см ниже уров
ня воды в сосуде, который поддерживается постоянным, и на расстоянии h 2 = 25 см от дна
сосуда. Пренебрегая вязкостью воды, определите, на каком расстоянии по горизонтали от
сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см]
6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность r = 1,2 г/см3), падает с
установившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик (r¢ = 2,7 г/см3) диаметром 1 мм. Оп
ределите динамическую вязкость глицерина. [16 Па · с]
6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен
на высоте h1 = 5 см от его дна капилляр внутренним диаметром d = 2 мм и длиной l = 1 см.
В сосуде поддерживается постоянный уровень машинного масла (плотность r = 0,9 г/см3 и
динамическая вязкость h = 0,1 Па · с) на высоте h 2 = 8 0 см выше капилляра. Определите, на
каком расстоянии по горизонтали от конца капилляра падает на поверхность стола струя
масла, вытекающая из отверстия. [
ñì
222
8,9
32
gh
sdh
l
=r
=
h
]
6.7. Определите наибольшую скорость, которую может приобрести свободно падающий
в воздухе (r = 1,29 г/см3) стальной шарик (r¢ = 9 г/см3) массой m = 20 г. Коэффициент Cx
принять равным 0,5. [94 см/с]
Ãëàâà 7
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÑÏÅÖÈÀËÜÍÎÉ (×ÀÑÒÍÎÉ)
ÒÅÎÐÈÈ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ
§ 34. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ.
Ìåõàíè÷åñêèé ïðèíöèï
îòíîñèòåëüíîñòè
Рассмотрим две системы отсчета:
инерциальную систему K (с координа
тами x , y, z), которую условно будем
считать неподвижной, и систему K ¢
(с координатами x ¢, y ¢, z ¢), движущую
ся относительно K равномерно и пря
молинейно со скоростью u
r
(u
r
= const).
Отсчет времени начнем с момента, ког
да начала координат обеих систем со
впадают. Пусть в произвольный момент
времени t расположение этих систем
относительно друг друга имеет вид,
изображенный на рис. 60. Скорость u
r
направлена вдоль OO ¢, радиус вектор,
проведенный из O в O ¢, r
r
0=u
r
t.
Найдем связь между координатами
произвольной точки A в обеих систе
мах. Из рис. 60 видно, что
r
r
=r
r
¢+r
r
0=r
r
¢+u
r
t. (34.1)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

68
Уравнение (34.1) можно записать в
проекциях на оси координат:
x=x¢+uxt, y=y¢+uyt,
z=z¢+uzt.
(34.2)
Уравнения (34.1) и (34.2) носят на
звание преобразований координат Га
лилея.
В частном случае, когда система K ¢
движется со скоростью v
r
вдоль положи
тельного направления оси x системы K
(в начальный момент времени оси ко
ординат совпадают), преобразования
координат Галилея имеют вид
x=x¢+vt, y=y¢, z=z¢.
В классической механике предпола
гается, что ход времени не зависит от
относительного движения систем от
счета, т. е. к преобразованиям (34.2)
можно добавить еще одно уравнение:
t=t¢.
(34.3)
Записанные соотношения справед
ливы лишь в случае классической меха
ники (u = c), а при скоростях, сравни
мых со скоростью света, преобразования
Галилея заменяются более общими пре
образованиями Лоренца1 (см. § 36).
Продифференцировав выражение
(34.1) по времени [с учетом (34.3)], по
лучим уравнение
v
r
=v
r
¢+u
r
,
(34.4)
которое представляет собой правило
сложения скоростей в классической
механике.
Ускорение в системе отсчета K
d(
)
dd
.
ddd
vu
vv
aa
ttt
¢
¢
+
¢
==
==
rr
rr
rr
Таким образом, ускорение точки A
в системах отсчета K и K ¢, движущихся
относительно друг друга равномерно и
прямолинейно, одинаково:
a
r
=a
r
¢.
(34.5)
Следовательно, если на точку A дру
гие тела не действуют (a
r
=0),то,со
гласно (34.5), и a
r
¢ = 0, т.е. система K¢
является инерциальной (точка движет
ся относительно нее равномерно и пря
молинейно или покоится).
Из уравнения (34.5) следует, что
если выполняется равенство F
r
=ma
r
,то
выполняется и равенство F
r
¢=ma
r
¢ (мас
са имеет одинаковое числовое значение
во всех системах отсчета). Поскольку
системы K и K ¢ были выбраны произ
вольно, то полученный результат озна
чает, что уравнения динамики при пере
ходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой формулируются оди
наково. Это утверждение и есть меха
нический принцип относительности
(принцип относительности Гали
лея). Галилей первым обратил внима
ние на то, что никакими механически
ми опытами, проведенными в данной
инерциальной системе отсчета, нельзя
установить, покоится ли она или дви
жется равномерно и прямолинейно.
Например, сидя в каюте корабля, дви
жущегося равномерно и прямолинейно,
мы не можем определить, покоится ко
рабль или движется, не выглянув в окно.
§ 35. Ïîñòóëàòû ñïåöèàëüíîé
(÷àñòíîé) òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè
Классическая механика Ньютона
прекрасно описывает движение макро
тел, движущихся с малыми скоростями
Рис. 60
1 Х. Лоренц (1853 — 1928) — нидерландский
физик теоретик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

69
(v = c). Однако в конце XIX в. выясни
лось, что выводы классической механи
ки противоречат некоторым опытным
данным, в частности при изучении дви
жения быстрых заряженных частиц
оказалось, что их движение не подчи
няется законам классической механи
ки. Далее возникли затруднения при
попытках применить механику Ньюто
на к объяснению распространения све
та. Если источник и приемник света
движутся друг относительно друга рав
номерно и прямолинейно, то, согласно
классической механике, измеренная
скорость должна зависеть от относи
тельной скорости их движения.
Американский физик А. Майкель
сон (1852 — 1913) в 1881 г., а затем в
1887 г. совместно с Е. Морли (амери
канский физик, 1838 — 1923) пытался
обнаружить движение Земли относи
тельно эфира (эфирный ветер) — опыт
Майкельсона — Морли, применяя ин
терферометр, названный впоследствии
интерферометром Майкельсона (см.
§ 175). Обнаружить эфирный ветер
Майкельсону не удалось, как, впрочем,
не удалось его обнаружить и в других
многочисленных опытах. Опыты «уп
рямо» показывали, что скорости света
в двух движущихся относительно друг
друга системах равны. Это противо
речило правилу сложения скоростей
классической механики.
Одновременно было показано проти
воречие между классической теорией и
уравнениями (см. § 139) Дж. К. Макс
велла (английский физик, 1831 — 1879),
лежащими в основе понимания света
как электромагнитной волны.
Для объяснения этих и некоторых
других опытных данных необходимо
было создать новую теорию, которая,
объясняя эти факты, содержала бы нью
тоновскую механику как предельный
случай для малых скоростей (v = c).
Это и удалось сделать А. Эйнштейну,
который пришел к выводу о том, что
мирового эфира — особой среды, кото
рая могла бы быть принята в качестве
абсолютной системы, — не существует.
Наличие постоянной скорости распро
странения света в вакууме находилось
в согласии с уравнениями Максвелла.
Таким образом, А. Эйнштейн зало
жил основы специальной теории от
носительности. Эта теория представ
ляет собой современную физическую
теорию пространства и времени, в ко
торой, как и в классической ньютонов
ской механике, предполагается, что вре
мя однородно (см. § 13), а пространство
однородно (см. § 9) и изотропно (см.
§ 19). Специальная теория относитель
ности часто называется также реляти
вистской теорией, а специфические
явления, описываемые этой теорией, —
релятивистскими эффектами.
В основе специальной теории отно
сительности лежат постулаты Эйнш
тейна, сформулированные им в 1905 г.
I. Принцип относительности: ни
какие опыты (механические, электри
ческие, оптические), проведенные внут
ри данной инерциальной системы от
счета, не дают возможности обнару
жить, покоится ли эта система или дви
жется равномерно и прямолинейно; все
законы природы инвариантны
1 по отно
шению к переходу от одной инерциаль
ной системы отсчета к другой.
II. Принцип инвариантности ско
рости света: скорость света в вакууме
не зависит от скорости движения источ
ника света или наблюдателя и одинакова
во всех инерциальных системах отсчета.
Первый постулат Эйнштейна, явля
ясь обобщением механического прин
1 Инвариантные величины — величины, име
ющие одно и то же числовое значение во всех
системах отсчетах.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

70
ципа относительности (принципа отно
сительности Галилея) на любые физи
ческие процессы, утверждает, таким
образом, что физические законы инва
риантны по отношению к выбору инер
циальной системы отсчета, а уравнения,
описывающие эти законы, одинаковы
по форме во всех инерциальных систе
мах отсчета. Согласно этому постулату,
все инерциальные системы отсчета со
вершенно равноправны, т. е. явления
(механические, электродинамические,
оптические и др.) во всех инерциальных
системах отсчета протекают одинаково.
Согласно второму постулату Эйнш
тейна, постоянство скорости света —
фундаментальное свойство природы, ко
торое констатируется как опытный факт.
Специальная теория относительно
сти потребовала отказа от привычных
представлений о пространстве и време
на, принятых в классической механике,
поскольку они противоречили принци
пу постоянства скорости света. Потеря
ло смысл не только абсолютное про
странство, но и абсолютное время.
Постулаты Эйнштейна и теория,
построенная на их основе, установили
новый взгляд на мир и новые простран
ственно временны′ е представления, та
кие, например, как относительность
длин и промежутков времени, относи
тельность одновременности событий.
Эти и другие следствия из теории Эйн
штейна находят надежное эксперимен
тальное подтверждение, являясь тем
самым обоснованием постулатов Эйн
штейна — обоснованием специальной
теории относительности.
§ 36. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
Анализ явлений в инерциальных си
стемах отсчета, проведенный А. Эйнш
тейном на основе сформулированных
им постулатов, показал, что классичес
кие преобразования Галилея несовме
стимы с ними и, следовательно, долж
ны быть заменены преобразованиями,
удовлетворяющими постулатам теории
относительности.
Для иллюстрации этого вывода рас
смотрим две инерциальные системы
отсчета: K (с координатами x , y, z) и K ¢
(с координатами x ¢, y ¢, z ¢), движущую
ся относительно K (вдоль оси x ) со ско
ростью v
r
= const (рис. 61). Пусть в на
чальный момент времени t = t ¢ = 0, ког
да начала координат O и O ¢ совпадают,
излучается световой импульс. Согласно
второму постулату Эйнштейна, скорость
света в обеих системах одна и та же и
равна c. Поэтому если за время t в сис
теме K сигнал дойдет до некоторой точ
ки A (см. рис. 61), пройдя расстояние
x=ct,
(36.1)
то в системе K ¢ координата светового
импульса в момент достижения точ
киA
x¢= ct¢,
(36.2)
где t ¢ — время прохождения светового
импульса от начала координат до точ
ки A в системе K ¢. Вычитая (36.1) из
(36.2), получим
x¢-x =c(t¢-t).
Так как x¢ 1 x (система K¢ переме
щается по отношению к системе K ), то
t¢1t,
т. е. отсчет времени в системах K и K ¢
различен — отсчет времени имеет от
носительный характер (в классической
Рис. 61
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

71
физике считается, что время во всех
инерциальных системах отсчета течет
одинаково, т.е. t = t¢).
Эйнштейн показал, что в теории от
носительности классические преобра
зования Галилея, описывающие пере
ход из одной инерциальной системы
отсчета к другой:
,,
,,
,,
,,
KK
KK
x
xvt
x
x
vt
yy
yy
zz
zz
tt
tt
¢¢
®®
ìì
¢¢
=-
=+
ïï
ïï
ïï
ïï
¢¢
==
ïï
ïï
íí
¢¢
ïï
==
ïï
ïï
ïï
¢¢
==
ïï
ïï
îî
заменяются преобразованиями Лорен
ца, удовлетворяющими постулатам
Эйнштейна (формулы представлены
для случая, когда K ¢ движется относи
тельно K со скоростью v вдоль оси x ).
Эти преобразования предложены
Лоренцем в 1904 г., еще до появления
теории относительности, как преобра
зования, относительно которых уравне
ния Максвелла (см. § 139) инвариантны.
Преобразования Лоренца имеют вид
,
,
,
,
,
,
,
,
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
.
KK
KK
xv
t
xv
t
x
x
yy
yy
zz
zz
v
v
tx
tx
c
c
t
t
v
c
¢
¢
®
®
ì
ì
¢¢
-
+
ï
ï¢
ï
ï=
=
ï
ï
ï
ï
-b
-b
ï
ï
ï
ï
ï
ï¢
¢
=
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï¢
í
í
¢
=
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
¢¢
-
+
ï
ï
ï
ï¢=
ï
ï=
ï
ï
ï
ï
-b
-b
ïî
ïï
ï
î
b=
(36.3)
Из сравнения приведенных уравне
ний вытекает, что они симметричны и
отличаются лишь знаком при v. Это
очевидно, так как если скорость движе
ния системы K ¢ относительно системы
K равна v, то скорость движения K от
носительно K ¢ равна — v.
Из преобразований Лоренца вытека
ет также, что при малых скоростях (по
сравнению со скоростью c), т. е. когда
b = 1, они переходят в классические пре
образования Галилея (в этом заключает
ся суть принципа соответствия), кото
рые являются, следовательно, предель
ным случаем преобразований Лоренца.
Приv>cвыражения(36.3)дляx,t, x¢,t¢
теряют физический смысл (становятся
мнимыми). Это находится, в свою оче
редь, в соответствии с тем, что движение
со скоростью, большей скорости распро
странения света в вакууме, невозможно.
Из преобразований Лоренца следу
ет очень важный вывод о том, что как
расстояние, так и промежуток времени
между двумя событиями меняются при
переходе от одной инерциальной сис
темы отсчета к другой, в то время как в
рамках преобразований Галилея эти ве
личины считались абсолютными, не из
меняющимися при переходе от систе
мы к системе.
Кроме того, как пространственные,
так и временны′ е преобразования [см.
(36.3)] не являются независимыми, по
скольку в закон преобразования коор
динат входит время, а в закон преобра
зования времени — пространственные
координаты, т. е. устанавливается вза
имосвязь пространства и времени. Та
ким образом, теория Эйнштейна опери
рует не с трехмерным пространством, к
которому присоединяется понятие вре
мени, а рассматривает неразрывно свя
занные пространственные и временны′ е
координаты, образующие четырехмер
ное пространство время.
§ 37. Ñëåäñòâèÿ
èç ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà
1. Одновременность событий в раз
ных системах отсчета. Пусть в систе
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

72
ме K в точках с координатами x1 и x2 в
моменты времени t 1 и t 2 происходят два
события. В системе K ¢ им соответству
ют координаты x ¢1 и x ¢2 и моменты вре
мени t ¢1 и t ¢2. Если события в системе K
происходят в одной точке (x 1 = x 2) и яв
ляются одновременными (t 1 = t 2), то,
согласно преобразованиям Лоренца
(36.3),
x¢1 = x¢2,
t¢1 = t¢2,
т. е . эти события являются одновремен
ными и пространственно совпадающи
ми для любой инерциальной системы
отсчета.
Если события в системе K простран
ственно разобщены (x 1 1 x 2), но одно
временны (t1 = t2), то в системе K¢, со
гласно преобразованиям Лоренца (36.3),
,
,,
,
12
12
22
12
22
12
22
12
12
11
11
.
xv
t
xv
t
xx
vv
tx
tx
cc
tt
xx
tt
--
¢¢
==
-b
-b
--
¢¢
==
-b
-b
¢¢
¢¢
11
Таким образом, в системе K ¢ эти со
бытия, оставаясь пространственно ра
зобщенными, оказываются и неодновре
менными. Знак разности t ¢2 - t ¢1 опреде
ляется знаком выражения v (x 1 - x 2),
поэтому в различных точках системы от
счета K ¢ (при разных v) разность t ¢2 - t ¢1
будет различной по величине и может
отличаться по знаку. Следовательно, в
одних системах отсчета первое событие
может предшествовать второму, в то
время как в других системах отсчета,
наоборот, второе событие предшеству
ет первому. Сказанное, однако, не отно
сится к причинно следственным собы
тиям, так как можно показать, что по
рядок следования причинно следствен
ных событий одинаков во всех инерци
альных системах отсчета.
2. Длительность событий в разных
системах отсчета. Пусть в некоторой
точке (с координатой x ), покоящейся
относительно системы K , происходит
событие, длительность которого (раз
ность показаний часов в конце и нача
лесобытия)t=t2-t1,гдеиндексы1и
2 соответствуют началу и концу собы
тия. Длительность этого же события в
системе K ¢
t¢=t¢2-t¢1,
(37.1)
причем началу и концу события, соглас
но (36.3), соответствуют
,
11 22
22
12
22
.
11
vv
tx tx
cc
tt
--
¢¢
==
-b
-b
(37.2)
Подставляя (37.2) в (37.1), получим
,
21
2
1
tt
-
¢
t=
-b
или
2
.
1
t
¢
t=
-b
(37.3)
Из соотношения (37.3) вытекает, что
t < t¢, т. е. длительность события, про
исходящего в некоторой точке, наимень
шая в той инерциальной системе отсче
та, относительно которой эта точка
неподвижна. Этот результат может быть
еще истолкован следующим образом:
интервал времени t¢, отсчитанный по
часам в системе K ¢, с точки зрения на
блюдателя в системе K , продолжитель
нее интервала t , отсчитанного по его
часам. Следовательно, часы, движущи
еся относительно инерциальной систе
мы отсчета, идут медленнее покоящих
ся часов, т. е. ход часов замедляется в
системе отсчета, относительно которой
часы движутся.
На основании относительности по
нятий «неподвижная» и «движущаяся»
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

73
системы соотношения для t и t¢ обра
тимы. Из (37.3) следует, что замедле
ние хода часов становится заметным
лишь при скоростях, близких к скорос
ти распространения света в вакууме.
В связи с обнаружением релятивис
тского эффекта замедления хода часов
в свое время возникла проблема «пара
докса часов» (иногда рассматривается
как «парадокс близнецов»), вызвавшая
многочисленные дискуссии. Предста
вим себе, что осуществляется космиче
ский полет к звезде, находящейся на рас
стоянии 500 световых лет (расстояние,
на которое свет от звезды до Земли до
ходит за 500 лет), со скоростью, близ
кой к скорости света (
2
1
0, 001
-b=).
По земным часам полет до звезды и об
ратно продлится 1000 лет, в то время
как для системы корабля и космонавта
в нем такое же путешествие займет все
го 1 год. Таким образом, космонавт воз
вратится на Землю в
2
1
1-b
раз более
молодым, чем его брат близнец, остав
шийся на Земле.
Это явление, получившее название
парадокса близнецов, в действитель
ности парадокса не содержит. Дело в
том, что принцип относительности ут
верждает равноправность не всяких
систем отсчета, а только инерциальных.
Неправильность рассуждения состоит
в том, что системы отсчета, связанные
с близнецами, не эквивалентны: земная
система инерциальна, а корабельная —
неинерциальна, поэтому к ним принцип
относительности неприменим.
Релятивистский эффект замедления
хода часов является совершенно реаль
ным и получил экспериментальное под
тверждение при изучении нестабиль
ных, самопроизвольно распадающихся
элементарных частиц в опытах с p ме
зонами. Среднее время жизни покоя
щихся p мезонов (по часам, движущим
ся вместе с ними) t » 2,2 ·10-8 с. Сле
довательно, p мезоны, образующиеся в
верхних слоях атмосферы (на высоте
»30 км) и движущиеся со скоростью,
близкой к скорости c, должны были бы
проходить расстояния c t » 6,6 м, т. е .
не могли бы достигать земной поверх
ности, что противоречит действительно
сти. Объясняется это релятивистским
эффектом замедления хода времени:
для земного наблюдателя срок жизни
p мезона
2
1
t
¢
t=
-b
, а путь этих час
тиц в атмосфере
2
1
c
vc
bt
¢¢
t=bt=
-b
.
Таккакb»1,тоvt¢?ct.
3. Длина тел в разных системах от
счета. Рассмотрим стержень, располо
женный вдоль оси x ¢ и покоящийся от
носительно системы K ¢. Длина стерж
нявсистемеK¢будетl¢0=x¢2-x¢1,гдеx¢1
и x ¢2 — не изменяющиеся со временем t ¢
координаты начала и конца стержня, а
индекс 0 показывает, что в системе от
счета K ¢ стержень покоится. Определим
длину этого стержня в системе K , от
носительно которой он движется со
скоростью v. Для этого необходимо из
мерить координаты его концов x 1 и x 2 в
системе K в один и тот же момент вре
мениt.Ихразностьl=x2 -x1иопре
делит длину стержня в системе K . Ис
пользуя преобразования Лоренца
(36.3), получим
,
021
212
1
222
111
lxx
xv
txv
txx
¢¢¢
=-=
--
-
=-=
-b
-b
-b
т.е.
0
2
.
1
l
l¢=
-b
(37.4)
Таким образом, длина стержня, из
меренная в системе, относительно ко
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

74
торой он движется, оказывается мень
ше длины, измеренной в системе, отно
сительно которой стержень покоится.
Если стержень покоится в системе K ,
то, определяя его длину в системе K ¢,
опять таки придем к выражению (37.4).
Из выражения (37.4) следует, что
линейный размер тела, движущегося
относительно инерциальной системы
отсчета, уменьшается в направлении
движения в
2
1-b раз, т.е. так назы
ваемое лоренцево сокращение длины
тем больше, чем больше скорость дви
жения. Из второго и третьего уравне
ний преобразований Лоренца (36.3)
следует, что
y¢2-y¢1=y2-y1иz¢2-z¢1=z2-z1,
т. е . поперечные размеры тела не зави
сят от скорости его движения и одина
ковы во всех инерциальных системах от
счета. Таким образом, линейные разме
ры тела наибольшие в той инерциаль
ной системе отсчета, относительно
которой тело покоится.
4. Релятивистский закон сложения
скоростей. Рассмотрим движение ма
териальной точки в системе K ¢, в свою
очередь движущейся относительно си
стемы K со скоростью v. Определим ско
рость этой же точки в системе K . Если
в системе K движение точки в каждый
момент времени t определяется коорди
натами x, y, z, а в системе K¢ в момент
времениt¢ — координатами x¢, y¢, z¢, то
,
,
è
,
,
d
dd
ddd
d
dd
ddd
xyz
xyz
y
xz
uuu
ttt
y
xz
uuu
ttt
===
¢
¢¢
¢¢¢
===
¢¢¢
представляют собой соответственно
проекциинаосиx,y,zиx¢,y¢,z¢вектора
скорости рассматриваемой точки отно
сительно систем K и K ¢. Согласно пре
образованиям Лоренца (36.3),
,
,
,
2
2
2
dd
dd
d
d
d
1
dd
d.
1
xv
t
xy
y
z
z
v
tx
c
t
¢¢
+
¢¢
==
=
-b
¢¢
+
=
-b
Произведя соответствующие преоб
разования, получаем релятивистский
закон сложения скоростей специаль
ной теории относительности:
,
,
,
,
,
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
z
z
z
z
x
x
KK
KK
uv
uv
u
u
v
v
u
u
c
c
u
u
u
u
v
v
u
u
c
c
u
u
u
u
v
v
u
u
c
c
¢
¢
®
®
ì
ì
¢
-
+
ï
ï
ï
¢
ï=
=
ï
ï
ï
ï
¢
-
ï
+
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
¢
-b
-b
ï
ï
ï
ï¢=
=
ïï
ï
ïíí
¢
-
ïï
+
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
¢
-b
-b
ïï
¢
ïï
=
=
ïï
ïï
¢
-
+
ïï
ïï
ïî
ïî
ïï
(37.5)
Если материальная точка движется
параллельно оси x , то скорость u отно
сительно системы K совпадает с ux , а
скорость u¢ относительно K¢ — с u¢x. Тог
да закон сложения скоростей примет
вид
,
.
22
11
uv
uv
uu
vv
uu
cc
¢
-+
¢==
¢
-+
(37.6)
Легко убедиться в том, что если ско
рости v, u ¢ и u малы по сравнению со
скоростью c, то формулы (37.5) и (37.6)
переходят в закон сложения скоростей
в классической механике [см. (34.4)].
Таким образом, законы релятивистской
механики в предельном случае для ма
лых скоростей (по сравнению со скоро
стью распространения света в вакууме)
переходят в законы классической фи
зики, которая, следовательно, является
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

75
частным случаем механики Эйнштей
на для малых скоростей.
Релятивистский закон сложения
скоростей подчиняется второму посту
лату Эйнштейна (см. § 35). Действи
тельно, если u ¢ = c, то формула (37.6)
примет вид
2
1
cv
uc
v
c
c
+
==
+
(аналогич
но можно показать, что при u = c ско
рость u ¢ также равна c). Этот результат
свидетельствует о том, что релятивист
ский закон сложения скоростей нахо
дится в согласии с постулатами Эйнш
тейна.
Докажем также, что если складывае
мые скорости сколь угодно близки к ско
рости c, то их результирующая скорость
всегда меньше или равна c. В качестве
примера рассмотрим предельный случай
u ¢ = v = c. После подстановки в форму
лу (37.6) получим u = c. Таким образом,
при сложении любых скоростей резуль
тат не может превысить скорости света c
в вакууме. Скорость света в вакууме
есть предельная скорость, которую не
возможно превысить. Скорость света в
какой либо среде, равная
c
n
(n — абсо
лютный показатель преломления сре
ды), предельной величиной не является
(подробнее см. § 189).
§ 38. Èíòåðâàë ìåæäó ñîáûòèÿìè
Преобразования Лоренца и след
ствия из них приводят к выводу об от
носительности длин и промежутков
времени, значение которых в различ
ных системах отсчета разное. В то же
время относительный характер длин и
промежутков времени в теории Эйнш
тейна означает относительность отдель
ных компонентов какой то реальной
физической величины, не зависящей от
системы отсчета, т. е . являющейся инва
риантной по отношению к преобразо
ваниям координат.
В четырехмерном пространстве Эйн
штейна, в котором каждое событие ха
рактеризуется четырьмя координатами
(x , y, z , t ), такой физической величиной
является интервал между двумя собы
тиями:
(38.1)
,
12
22222
21212121
()()()()
s
ctt
xx
yy zz
=
=-
-
-
-
-
-
-
где
222
212121
()()()
xxyyzz
-+
-+
-=
= l 12 — расстояние между точками трех
мерного пространства, в которых эти
события произошли. Введя обозначение
t12 = t2 - t1, получим
222
12
12
12.
sc
tl
=-
Покажем, что интервал между дву
мя событиями одинаков во всех инер
циальных системах отсчета. Обозначив
Dt=t2-t1,Dx=x2
-
x1,Dy=y2-y1и
Dz=z2
-
z 1, выражение (38.1) можно
записать в виде
222222
12
()()()().
sctxyz
=
D-D
-D
-D
Интервал между теми же события
ми в системе K ¢ равен
222
2
12
22
()()()
()().
sc
tx
yz
¢¢
¢
=D -D
-
¢¢
-D
-D
(38.2)
Согласно преобразованиям Лоренца
(36.3),
,
,
,
2
2
2
1
.
1
xvt
xy
y
z
z
v
tx
c
t
D-D
¢¢
¢
D=
D=D D=D
-b
D-D
¢
D=
-b
Подставив эти значения в (38.2),
после элементарных преобразований
получим, что
222 2
12
() ()()
sc
tx
¢
=D-D-
-
22
() ()
yz
D-D, т. е.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

76
22
12
12
().
ss
¢
=
Обобщая полученные результаты,
можно сделать вывод, что интервал,
определяя пространственно времен
ны′ е соотношения между событиями,
является инвариантом при переходе от
одной инерциальной системы отсчета
к другой. Инвариантность интервала
означает, что, несмотря на относи
тельность длин и промежутков време
ни, течение событий носит объектив
ный характер и не зависит от системы
отсчета.
Теория относительности, таким об
разом, сформулировала новое пред
ставление о пространстве и времени.
Пространственно временны′ е отноше
ния являются не абсолютными величи
нами, как утверждалось в механике
Галилея — Ньютона, а относительными.
Следовательно, представления об абсо
лютном пространстве и времени явля
ются несостоятельными. Кроме того,
инвариантность интервала между дву
мя событиями свидетельствует о том,
что пространство и время органически
связаны между собой и образуют еди
ную форму существования материи —
«пространство — время». Пространство
и время не существуют вне материи и
независимо от нее.
Дальнейшее развитие теории отно
сительности (общая теория относи
тельности, или теория тяготения)
показало, что свойства пространства
времени в данной области определяют
ся действующими в ней полями тяго
тения. При переходе к космическим
масштабам геометрия пространства
времени не является евклидовой (т. е.
не зависящей от размеров области
«пространство — время»), а изменяется
от одной области к другой в зависимо
сти от концентрации масс в этих облас
тях и их движения.
§ 39. Îñíîâíîé çàêîí
ðåëÿòèâèñòñêîé äèíàìèêè
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
Из принципа относительности Эйн
штейна (см. § 35), утверждающего ин
вариантность всех законов природы
при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой, следует ус
ловие инвариантности уравнений фи
зических законов относительно преоб
разований Лоренца. Основной закон
динамики Ньютона
d
d
p
F
t
=
r
r
оказывает
ся также инвариантным по отношению
к преобразованиям Лоренца, если в нем
справа стоит производная по времени
от релятивистского импульса.
Основной закон релятивистской
динамики материальной точки имеет
вид
,
2
2
d
d
1
m
Fv
t
v
c
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
ç
÷÷
çç
÷
èø
r
r
(39.1)
или
,
d
d
p
F
t
=
r
r
(39.2)
где
2
2
1
mv
p
v
c
=
-
r
r
(39.3)
—
релятивистский импульс матери
альной точки (m — масса материальной
точки).
Отметим, что уравнение (39.2)
внешне совпадает с основным уравне
нием ньютоновской механики (6.7).
Однако физический смысл его другой:
справа стоит производная по времени
от релятивистского импульса, опреде
ляемого формулой (39.3). Таким обра
зом, уравнение (39.1) инвариантно по
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

77
отношению к преобразованиям Лорен
ца и, следовательно, удовлетворяет
принципу относительности Эйнштей
на. Следует учитывать, что ни импульс,
ни сила не являются инвариантными
величинами. Более того, в общем слу
чае ускорение не совпадает по направ
лению с силой.
Анализ формул (39.3) и (39.1) пока
зывает, что при скоростях, значитель
но меньших скорости c , уравнение
(39.1) переходит в основной закон [см.
(6.5)] классической механики. Следова
тельно, условием применимости зако
нов классической (ньютоновской) ме
ханики является условие v = c. Зако
ны классической механики получают
ся как следствие теории относительнос
ти для предельного случая v = c (фор
мально переход осуществляется при
c ® ¥). Таким образом, классическая
механика — это механика макротел,
движущихся с малыми скоростями (по
сравнению со скоростью света в вакуу
ме).
§ 40. Ýíåðãèÿ
â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå
Найдем кинетическую энергию ре
лятивистской частицы. Элементарная
работа силы F
r
на малом перемещении
dr
r
равнаdA=F
r
dr
r
=F
r
v
r
dt=v
r
dp
r
[учли
основной закон релятивистской дина
мики (39.2)]. Тогда
2
32
2
2
2
2
d
dd
1
1
mvv
mc
A
v
v
c
c
æö
÷
ç
==÷
ç
÷
ç
÷
æöç
÷
÷
ç
-
ç
-
÷
÷
ç
÷
÷
çç
ç
÷
èø
èø
(этот результат можно проверить диф
ференцированием).
Приращение кинетической энергии
материальной точки на элементарном
перемещении равно элементарной ра
боте на том же перемещении (см. § 12):
dT = dA. Тогда
2
2
2
dd
.
1
mc
T
v
c
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
ç
÷÷
çç
÷
èø
Интегрируя это выражение, получим
2
2
2
.
1
mc
TC
v
c
=+
-
Поскольку кинетическая энергия
при v = 0 должна обращаться в нуль, то
постоянная интегрирования C = - mc
2
.
Следовательно, кинетическая энергия
релятивистской частицы
2
2
2
1
1.
1
Tm
c
v
c
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
ç
÷÷
çç
÷
èø
(40.1)
Выражение (40.1) при скоростях
v = c переходит в классическое:
2
2
mv
T=
(40.2)
(разлагая в ряд
12
22
22
1
11
2
vv
cc
-
æö
÷
ç-=
+
÷
ç
÷
çèø
+
+
4
4
3
8
v
c
+ K при v = c, правомерно пре
небречь слагаемыми второго порядка
малости).
Полная энергия свободной частицы,
т.е . частицы, на которую не действуют
силы,
2
2
2
.
1
mc
E
v
c
=
-
(40.3)
Отметим, что в полную энергию E не
входит потенциальная энергия тела во
внешнем силовом поле. Полная энер
гия частицы в разных системах отсчета
различна.
В случае покоящейся частицы (v =0)
из формулы (40.3) найдем, что
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

78
2
0
.
Em
c
=
(40.4)
Величина, определяемая выражени
ем (40.4), называется энергией покоя.
Значения m и E 0 не зависят от выбора
инерциальной системы отсчета. В энер
гию покоя, как и в полную энергию
(40.3), не входит энергия тела во внеш
нем силовом поле. В классической ме
ханике энергия покоя E 0 не учитывает
ся, считая, что при v =0 энергия поко
ящегося тела равна нулю.
Как энергия E , так и импульс p реля
тивистской частицы имеют различные
значения в разных системах отсчета. Но
существует величина E 2
-
p2c2
= inv,
являющаяся инвариантной (имеющей
одно и то же значение в разных систе
мах отсчета):
22
2
24
222
24
2
0
22
22
11
Ep
c
mc
mvc
mc
E
vv
cc
-=
=-=
=
--
(40.5)
[учли формулы (39.3), (40.3) и (40.4)].
Согласно формуле (40.5), получим
E2
-
p2c2
=m
2
c
4
, откуда связь между
энергией и импульсом
E2
=m
2
c
4
+ p2c2
или
E2
=E
2
0+p2c2
.
(40.6)
Из выражений (40.3), (40.1) и (40.4)
следует, что полная энергия системы
E=T+E0=T+mc
2
,
(40.7)
т. е. складывается из ее кинетической
энергии и энергии покоя. Подставив
(40.7) в (40.6), получим
,
2
(2)
pc TT
mc
=+ (40.8)
откуда следует, что при T = mc 2
выра
жение (40.8) переходит в ньютоновское
(2
pm
T
=
), а при T ? mc2 приобрета
ет вид
T
p
c
=
.
Согласно формуле (40.4), масса тела
и его энергия покоя связаны соотноше
нием E0=mc
2
. Это означает, что вся
кое изменение массы тела Dm сопро
вождается изменением энергии покоя
DE0, и эти изменения пропорциональ
ны друг другу, т. е .
DE0=c
2
Dm.
(40.9)
Выражение (40.9) носит название
закона взаимосвязи массы и энергии
покоя.
Чтобы охарактеризовать прочность
связи и устойчивость системы каких
либо частиц (например, атомного ядра
как системы из протонов и нейтронов),
вводят понятие энергии связи. Энергия
связи системы равна работе, которую
необходимо затратить, чтобы разло
жить эту систему на составные части
(например, атомное ядро — на протоны
и нейтроны). Энергия связи системы
ñâ
,
22
1
n
i
i
Em
c
M
c
=
=-
å
(40.10)
где mi — масса i й частицы в свобод
ном состоянии; M — масса системы.
Закон взаимосвязи массы и энергии
покоя (иногда говорят просто энергии)
подтвержден экспериментами о выде
лении энергии при протекании ядерных
реакций. Он широко используется для
расчета энергетических эффектов при
ядерных реакциях и превращениях эле
ментарных частиц.
Выводы специальной теории относи
тельности, как, впрочем, и любые круп
ные открытия, потребовали пересмотра
многих установившихся и ставших при
вычными представлений. Так, длина тел
и длительность событий не являются аб
солютными величинами, а носят отно
сительный характер, масса и энергия
покоя оказались связанными друг с дру
гом, хотя они и являются качественно
различными свойствами материи.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

79
Основной вывод теории относитель
ности сводится к тому, что простран
ство и время органически взаимосвяза
ны и образуют единую форму суще
ствования материи «пространство —
время». Только поэтому пространст
венно временно′ й интервал между дву
мя событиями является абсолютным,
в то время как пространственные и
временны′ е промежутки между этими
событиями относительны. Следова
тельно, вытекающие из преобразований
Лоренца следствия являются выраже
нием объективно существующих про
странственно временны′ х соотношений
движущейся материи.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• В чем физическая сущность механического принципа относительности?
• В чем заключается правило сложения скоростей в классической механике?
• Каковы причины возникновения специальной теории относительности?
• В чем заключаются основные постулаты специальной теории относительности?
• Зависит ли от скорости движения системы отсчета скорость тела? скорость света?
• Запишите и прокомментируйте преобразования Лоренца. При каких условиях они пе
реходят в преобразования Галилея?
• Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе преобразований Ло
ренца?
• Одновременны ли события в системе K ¢, если в системе K они происходят в одной точке
и одновременны? в системе K события разобщены, но одновременны? Обоснуйте ответ.
• Какие следствия вытекают из специальной теории относительности для размеров тел и
длительности событий в разных системах отсчета? Обоснуйте ответ.
• При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела
составит 25 %?
• В чем состоит «парадокс близнецов» и как его разрешить?
• В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей? Как показать, что он
находится в согласии с постулатами Эйнштейна?
• Как определяется интервал между событиями? Докажите, что он является инвариан
том при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
• Какой вид имеет основной закон релятивистской динамики? Чем он отличается от ос
новного закона ньютоновской механики?
• В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?
• Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике? При каком условии
релятивистская формула для кинетической энергии переходит в классическую формулу?
• Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая
сущность? Приведите примеры его экспериментального подтверждения.
ÇÀÄÀ×È
7.1 . Определите собственную длину стержня (длину, измеренную в системе, относитель
но которой стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с
измерительными приборами) его скорость v = 0,8 с, длина l = 1 м и угол между ним и на
правлением движения q = 30°. [
ì
22
2
0
22
1s
i
n1
1
,
5
3
vv
ll
cc
æö
æ
ö
÷÷
çç
=-
q-=
÷÷
çç
÷÷
çç
èø
è
ø]
7.2. Собственное время жизни частицы отличается на 1,5 % от времени жизни по непод
вижным часам. Определите
v
c
b=
. [0,172]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

7.3. Тело массой 2 кг движется со скоростью 200 Мм/с в системе K ¢, движущейся относи
тельно системы K со скоростью 200 Мм/с. Определите: 1) скорость тела относительно сис
темы K ; 2) его массу в этой системе. [1) 277 Мм/с; 2) 5,2 кг]
7.4. Воспользовавшись тем, что интервал — инвариантная величина по отношению к
преобразованиям координат, определите расстояние, которое пролетел p мезон с момента
рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчета Dt = 5 мкс, а собствен
ное время жизни (время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом) Dt 0 = 2 ,2 мкс.
[1,35 км]
7.5. Определите скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее
ньютоновский импульс в пять раз. [0,98 с]
7.6. Определите скорость, полученную электроном, если он прошел ускоряющую раз
ность потенциалов 1,2 МэВ. [2,86 Мм/с]
7.7 . Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого
1 ГэВ. [5,34 · 10-19 Н·с]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

81
×ÀÑÒÜ 2
ÎÑÍÎÂÛ ÌÎËÅÊÓËßÐÍÎÉ ÔÈÇÈÊÈ
È ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ
Ãëàâà 8
ÌÎËÅÊÓËßÐÍÎ-ÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÀß ÒÅÎÐÈß
ÈÄÅÀËÜÍÛÕ ÃÀÇÎÂ
щества и тепловые явления были близ
ки к современным. Строгое развитие
молекулярной теории относится к се
редине XIX в. и связано с работами не
мецкого физика Р. Клаузиуса (1822 —
1888), Дж. Максвелла и Л. Больцмана.
Процессы, изучаемые молекулярной
физикой, являются результатом сово
купного действия огромного числа мо
лекул. Законы поведения огромного
числа молекул, являясь статистически
ми закономерностями, изучаются с по
мощью статистического метода.
Этот метод основан на том, что свой
ства макроскопической системы в ко
нечном счете определяются свойствами
частиц системы, особенностями их дви
жения и усредненными значениями ди
намических характеристик этих частиц
(скорости, энергии и т. д .) Например,
температура тела определяется скоро
стью хаотического движения его моле
кул, но так как в любой момент време
ни разные молекулы имеют различные
скорости, то она может быть выражена
только через среднее значение скорос
ти движения молекул. Нельзя говорить
о температуре одной молекулы. Таким
образом, макроскопические характери
стики тел имеют физический смысл
лишь в случае большого числа молекул.
§ 41. Ñòàòèñòè÷åñêèé
è òåðìîäèíàìè÷åñêèé ìåòîäû.
Îïûòíûå çàêîíû èäåàëüíîãî ãàçà
Статистический и термодинамиче
ский методы исследования. Молеку
лярная физика и термодинамика — раз
делы физики, в которых изучаются
макроскопические процессы в телах,
связанные с огромным числом содержа
щихся в них атомов и молекул. Для ис
следования этих процессов применяют
два качественно различных и взаимно
дополняющих друг друга метода: ста
тистический (молекулярно кинети
ческий) и термодинамический. Пер
вый лежит в основе молекулярной фи
зики, второй — термодинамики.
Молекулярная физика — раздел
физики, в котором изучаются строение
и свойства вещества исходя из молеку
лярно кинетических представлений,
основывающихся на том, что все тела
состоят из молекул, находящихся в не
прерывном хаотическом движении.
Идея об атомном строении вещества
высказана древнегреческим философом
Демокритом (460 — 370 до н. э.) . Атомис
тика возрождается вновь лишь в XVII в.
и развивается в работах М. В. Ломоно
сова, взгляды которого на строение ве
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

82
Термодинамика — раздел физики, в
котором изучаются общие свойства
макроскопических систем, находящих
ся в состоянии термодинамического
равновесия, и процессы перехода меж
ду этими состояниями. Термодинами
ка не рассматривает микропроцессы,
которые лежат в основе этих превраще
ний. Этим термодинамический метод
отличается от статистического. Термо
динамика базируется на двух началах —
фундаментальных законах, установлен
ных в результате обобщения опыта.
Область применения термодинами
ки значительно шире, чем молекуляр
но кинетической теории, ибо нет таких
областей физики и химии, в которых
нельзя было бы пользоваться термоди
намическим методом. Однако с другой
стороны, термодинамический метод
несколько ограничен: термодинамика
ничего не говорит о микроскопическом
строении вещества, о механизме явле
ний, а лишь устанавливает связи меж
ду макроскопическими свойствами ве
щества. Молекулярно кинетическая
теория и термодинамика взаимно до
полняют друг друга, образуя единое
целое, но отличаясь различными мето
дами исследования.
Термодинамика имеет дело с тер
модинамической системой — сово
купностью макроскопических тел, ко
торые взаимодействуют и обменивают
ся энергией как между собой, так и с
другими телами (внешней средой). Ос
нова термодинамического метода — оп
ределение состояния термодинамичес
кой системы. Состояние системы зада
ется термодинамическими парамет
рами (параметрами состояния) —
совокупностью физических величин,
характеризующих свойства термодина
мической системы. Обычно в качестве
параметров состояния выбирают темпе
ратуру, давление и удельный объем.
Температура — одно из основных
понятий, играющих важную роль не
только в термодинамике, но и в физике
в целом. Температура — физическая
величина, характеризующая состояние
термодинамического равновесия мак
роскопической системы.
В соответствии с решением XI Гене
ральной конференции по мерам и весам
(1960) в настоящее время можно при
менять только две температурные шка
лы — термодинамическую и Междуна
родную практическую, градуированные
соответственно в кельвинах (К) и в гра
дусах Цельсия (°С). В Международ
ной практической шкале температу
ра замерзания и кипения воды при дав
лении 1,013 · 105 Па соответственно 0 и
100 °С (реперные точки).
Термодинамическая температур
ная шкала определяется по одной ре
перной точке, в качестве которой взята
тройная точка воды (температура,
при которой лед, вода и насыщенный
пар при давлении 609 Па находятся в
термодинамическом равновесии). Тем
пература этой точки по термодинами
ческой шкале равна 273,16 К (точно).
Градус Цельсия равен кельвину. В тер
модинамической шкале температура за
мерзания воды равна 273,15 К (при том
же давлении, что и в Международной
практической шкале), поэтому, по оп
ределению, термодинамическая темпе
ратура и температура по Международ
ной практической шкале связаны соот
ношением
T=273,15+t.
Температура T = 0 К называется ну
лем кельвин. Анализ различных про
цессов показывает, что 0 К недостижим,
хотя приближение к нему сколь угодно
близко возможно.
Удельный объем v — это объем еди
ницы массы. Когда тело однородно, т. е.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

83
его плотность r = const, то
1
V
v
m
==
r
.
Так как при постоянной массе удель
ный объем пропорционален общему
объему, то макроскопические свойства
однородного тела можно характеризо
вать объемом тела.
Параметры состояния системы мо
гут изменяться. Любое изменение в тер
модинамической системе, связанное с
изменением хотя бы одного из ее тер
модинамических параметров, называет
ся термодинамическим процессом.
Макроскопическая система находится
в термодинамическом равновесии,
если ее состояние с течением времени
не меняется (предполагается, что вне
шние условия рассматриваемой систе
мы при этом не изменяются).
В молекулярно кинетической тео
рии пользуются идеализированной мо
делью идеального газа, согласно кото
рой считают, что:
1) собственный объем молекул газа
пренебрежимо мал по сравнению с
объемом сосуда;
2) между молекулами газа отсут
ствуют силы взаимодействия;
3) столкновения молекул газа меж
ду собой и со стенками сосуда абсолют
но упругие.
Наиболее близко свойствам идеаль
ного газа соответствуют достаточно раз
реженные газы. Модель идеального газа
можно использовать также при изучении
реальных газов, так как они в условиях,
близких к нормальным (например, водо
род и гелий), а также при низких давле
ниях и высоких температурах близки по
своим свойствам к идеальному газу. Кро
ме того, внеся поправки, учитывающие
собственный объем молекул газа и дей
ствующие молекулярные силы, можно
перейти к теории реальных газов.
Рассмотрим законы, описывающие
поведение идеальных газов.
Закон Бойля — Мариотта1: для
данной массы газа при постоянной тем
пературе произведение давления газа
на его объем есть величина постоянная:
pV = const
(41.1)
при T = const, m = const.
График зависимости между пара
метрами состояния газа при постоян
ной температуре называется изотер
мой. Изотермы в координатах p, V пред
ставляют собой гиперболы, располо
женные на графике тем выше, чем выше
температура, при которой происходит
процесс (рис. 62).
Законы Гей Люссака2: 1) объем дан
ной массы газа при постоянном давлении
изменяется линейно с температурой:
V = V0(1 + at) (41.2)
при p = const, m = const.
2) давление данной массы газа при
постоянном объеме изменяется линей
но с температурой:
p=p0(1+at)
(41.3)
при V = const, m = const.
В этих уравнениях t — температу
ра по шкале Цельсия, p0 и V0 — давле
ние и объем при 0 °С, коэффициент
a = 1/273,15 К-1
.
Процесс, протекающий при посто
янном давлении, называется изобар
1 Р. Бойль (1627 — 1691) — английский ученый;
Э. Мариотт (1620 — 1684) — французский физик.
2 Ж. Гей Люссак (1778 — 1850) — француз
ский ученый.
Рис. 62
Рис. 63
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

84
ным. На диаграмме в координатах V, t
(рис. 63) этот процесс изображается
прямой, называемой изобарой. Процесс,
протекающий при постоянном объеме,
называется изохорным. На диаграмме в
координатах p, t (рис. 64) он изобража
ется прямой, называемой изохорой.
Из (41.2) и (41.3) следует, что изо
бары и изохоры пересекают ось темпе
ратур в точке t =
1
-
a
= -273,15 °С,
определяемой из условия 1 + at = 0.
Если перенести начало отсчета в эту
точку, то происходит переход к шкале
Кельвина (см. рис. 64), откуда
1.
Tt
=+
a
Вводя в формулы (41.2) и (41.3) тер
модинамическую температуру, законам
Гей Люссака можно придать более
удобный вид:


,
,
00
0
00
0
1
(1)
1
1
(1)
1
VV tV
T
VT
pp tp
T
pT
éù
=+
a
=+
a-=
a
êú
êú
a
ëû
éù
=+
a
=+
a-=
a
êú
êú
a
ëû
11
22
VT
VT
=
(41.4)
при p = const, m = const,
11
22
pT
pT
=
(41.5)
при V = const, m = const,
где индексы 1 и 2 относятся к произ
вольным состояниям, лежащим на од
ной изобаре или изохоре.
Закон Авогадро1: 1 моль любого газа
при одинаковых температуре и давле
нии занимает одинаковый объем. При
нормальных условиях этот объем равен
22,41 · 10-3 м3/моль.
По определению, 1 моль различных
веществ содержит одно и то же число
молекул, называемое постоянной Аво
гадро:
NA = 6,022 · 1023 моль
-1
.
Закон Дальтона2: давление смеси
идеальных газов равно сумме парциаль
ных давлений p1, p2, ..., pn входящих в
нее газов:
p=p1+p2+...+pn.
Парциальное давление — давление,
которое производил бы газ, входящий
в состав газовой смеси, если бы он один
занимал объем, равный объему смеси
при той же температуре.
§ 42. Óðàâíåíèå
Êëàïåéðîíà — Ìåíäåëååâà
Как уже указывалось, состояние не
которой массы газа определяется тре
мя термодинамическими параметрами:
давлением p, объемом V и температу
рой T. Между этими параметрами су
ществует определенная связь, называ
емая уравнением состояния, которое
в общем виде задается выражением
f(p,V,T)=0,
где каждая из переменных является
функцией двух других.
Французский физик и инженер
Б. Клапейрон (1799 — 1864) вывел урав
нение состояния идеального газа, объе
Рис. 64
1 А. Авогадро (1776 — 1856) — итальянский
физик и химик.
2 Дж. Дальтон (1766 — 1844) — английский
химик и физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

85
динив законы Бойля — Мариотта и Гей
Люссака. Пусть некоторая масса газа за
нимает объем V1, имеет давление p1 и
находится при температуре T1. Эта же
масса газа в другом произвольном со
стоянии характеризуется параметрами
p2, V2, T2 (рис. 65).
Переход из состояния 1 в состояние 2
осуществляется в виде двух процессов:
1) изотермического (изотерма 1 — 1¢),
2) изохорного (изохора 1¢— 2).
В соответствии с законами Бойля —
Мариотта (41.1) и Гей Люссака (41.5)
запишем:
p1V1 = p ¢1V2,
(42.1)
11
22
.
pT
pT
¢
=
(42.2)
Исключив из уравнений (42.1) и
(42.2) p¢1, получим
11
22
12
.
pV pV
TT
=
Так как состояния 1 и 2 были выб
раны произвольно, то для данной мас
сы газа величина
pV
T
остается посто
янной, т. е .
const .
pVB
T
==
(42.3)
Выражение (42.3) является уравне
нием Клапейрона, в котором B — газо
вая постоянная, различная для разных
газов.
Русский ученый Д. И . Менделеев
(1834 — 1907) объединил уравнение
Клапейрона с законом Авогадро, отне
ся уравнение (42.3) к 1 моль газа, ис
пользовав молярный объем Vm. Соглас
но закону Авогадро, при одинаковых p
и T молярные объемы Vm различных
газов одинаковы, поэтому постоянная
B будет одинаковой для всех газов. Эта
общая для всех газов постоянная обо
значается R и называется молярной
газовой постоянной. Уравнению
pVm=RT
(42.4)
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно
является уравнением состояния иде
ального газа, называемым также урав
нением Клапейрона — Менделеева.
Числовое значение молярной газо
вой постоянной определим из форму
лы (42.4), полагая, что 1 моль газа на
ходится при нормальных условиях
(p0=1,013·105Па,T0=273,15К,Vm =
= 22,41 · 10-3 м3/моль):
R = 8,31 Дж/(моль · К).
От уравнения (42.4) для 1 моль газа
можно перейти к уравнению Клапейро
на — Менделеева для произвольной
массы газа. Если при некоторых задан
ных давлении и температуре 1 моль газа
занимает молярный объем Vm, то при
тех же условиях масса m газа займет
объем
m
m
VV
M
=
, где M — молярная мас
са (масса 1 моль вещества). Единица
молярной массы — килограмм на моль
(кг/моль). Уравнение Клапейрона —
Менделеева для массы m газа
,
m
pV
RT RT
M
==
n(42.5)
где
m
M
n=
—
количество вещества.
Часто пользуются несколько иной
формой записи уравнения состояния
идеального газа, вводя постоянную
Больцмана:
Рис. 65
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

86
Äæ/Ê.
23
A
1,38 10
R
k
N
-
==×
Исходя из этого уравнение состоя
ния (42.4) запишем в виде
,
A
mm
kNT
RT
pn
k
T
VV
==
=
где
A
m
N
n
V
=
—
концентрация молекул
(число молекул в единице объема).
Таким образом, из уравнения
p=nkT
(42.6)
следует, что давление идеального газа
при данной температуре пропорцио
нально концентрации его молекул (или
плотности газа). При одинаковых тем
пературе и давлении все газы содержат
в единице объема одинаковое число
молекул. Число молекул, содержащих
сяв1м
3 газа при нормальных условиях,
называется числом Лошмидта1:
ì
0
25
3
L
0
2,68 10
.
p
N
kT
-
==×
§ 43. Îñíîâíîå óðàâíåíèå
ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé
òåîðèè èäåàëüíûõ ãàçîâ
Для вывода основного уравнения
молекулярно кинетической теории
рассмотрим одноатомный идеальный
газ. Молекулы газа движутся хаотичес
ки, число взаимных столкновений меж
ду молекулами газа пренебрежимо мало
по сравнению с числом ударов о стенки
сосуда, а соударения молекул со стенка
ми сосуда абсолютно упругие. Выделим
на стенке сосуда некоторую элементар
ную площадку DS (рис. 66) и вычислим
давление, оказываемое на эту площадку.
При каждом соударении молекула, дви
жущаяся перпендикулярно площадке,
передает ей импульс m 0v - ( -m 0v) =
= 2m0v, где m0 — масса молекулы, v — ее
скорость. За время Dt площадки DS до
стигнут только те молекулы, которые
заключены в объеме цилиндра с основа
нием DS и высотой v Dt (см. рис. 66).
Число этих молекул равно n DSv Dt ( n —
концентрация молекул).
Необходимо, однако, учитывать, что
реально молекулы движутся к площад
ке DS под разными углами, имеют раз
личные скорости, причем скорость мо
лекул при каждом соударении меняет
ся. Для упрощения расчетов хаотиче
ское движение молекул заменяют дви
жением вдоль трех взаимно перпенди
кулярных направлений, так что в лю
бой момент времени вдоль каждого из
них движется 1/3 молекул, причем из
них половина (1/6) движется вдоль дан
ного направления в одну сторону, по
ловина — в противоположную. Тогда
число ударов молекул, движущихся в
заданном направлении, о площадку DS
будет
1
6
nS
vt
DD. При столкновении с
площадкой эти молекулы передадут ей
импульс
DP=2m0v
1
6
n DSvDt =
1
3
nm0v
2
DSDt .
Тогда давление газа, оказываемое им
на стенку сосуда,
2
0
1
.
3
P
pn
m
v
tS
D
==
DD
(43.1)
Если газ в объеме V содержит N мо
лекул, движущихся со скоростями v1, v2,
…, v N , то целесообразно рассматривать
среднюю квадратичную скорость
1 И. Лошмидт (1821 — 1895) — австрийский
химик и физик.
Рис. 66
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

87
êâ
,
2
1
1N
i
i
vv
N=
áñ= å
(43.2)
характеризующую всю совокупность
молекул газа. Уравнение (43.1) с уче
том (43.2) примет вид
p=
1
3
nm0áv квñ
2
.
(43.3)
Выражение (43.3) называется ос
новным уравнением молекулярно ки
нетической теории идеальных газов.
Точный расчет с учетом движения мо
лекул по всевозможным направлениям
дает ту же формулу.
Учитывая, что
N
n
V
=
, получим
pV=
1
3
Nm0áv квñ
2
,
(43.4)
или
êâ
,
2
0
22
323
mv
pV
N
E
áñ
==
(43.5)
где E — суммарная кинетическая энер
гия поступательного движения всех
молекул газа.
Таккакмассагаза m = Nm0, то урав
нение (43.4) можно переписать в виде
pV=
1
3
mávквñ
2
.
Для1мольгазаm=M(M—моляр
ная масса), поэтому
pVm =
1
3
Máv квñ
2
,
где Vm — молярный объем.
С другой стороны, по уравнению
Клапейрона — Менделеева, pV m = RT .
Таким образом,
RT=
1
3
Máv квñ
2
,
откуда
êâ
3.
RT
v
M
áñ=
(43.6)
ТаккакM=m0NA,гдеm0—массаод
ной молекулы, а NA — постоянная Аво
гадро, то из уравнения (43.6) следует,
что
êâ
,
0A
0
33
RT
kT
v
mN
m
áñ= = (43.7)
где
A
R
k
N
=
—
постоянная Больцмана.
Отсюда найдем, что при комнатной
температуре молекулы кислорода име
ют среднюю квадратичную скорость
480 м/с, водорода — 1900 м/с. При тем
пературе жидкого гелия те же скорости
будут соответственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия по
ступательного движения одной молеку
лы идеального газа
áe0ñ =
êâ
2
0
2
mv
E
N
áñ
==
3
2
kT (43.8)
[использовали формулы (43.5) и (43.7)]
пропорциональна термодинамической
температуре и зависит только от нее.
При предельно низких температурах
(близких к 0 К) выражение (43.8) не
справедливо, т. е . средняя кинетическая
энергия молекул не пропорциональна
температуре. Поэтому утверждение о
том, что при 0 К прекращается движе
ние молекул газа, некорректно. В насто
ящее время доказано, что даже при 0 К
частицы вещества совершают так назы
ваемые нулевые колебания.
Таким образом, термодинамическая
температура является мерой средней ки
нетической энергии поступательного
движения молекул идеального газа, и
формула (43.8) раскрывает молекулярно
кинетическое толкование температуры.
§ 44. Çàêîí Ìàêñâåëëà
î ðàñïðåäåëåíèè ìîëåêóë
èäåàëüíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì
è ýíåðãèÿì òåïëîâîãî äâèæåíèÿ
Молекулы газа совершают хаотичес
кое движение. В результате многократ
ных соударений скорость каждой моле
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

88
кулы изменяется как по модулю, так и
по направлению. Однако из за хаоти
ческого движения молекул все направ
ления движения являются равноверо
ятными, т. е . в любом направлении в
среднем движется одинаковое число
молекул. По молекулярно кинетичес
кой теории, как бы ни изменялись ско
рости молекул при столкновениях, сред
няя квадратичная скорость молекул мас
сой m 0 в газе, находящемся в состоянии
равновесия при (T = const), остается по
стоянной и равной êâ
0
3kT
v
m
áñ=
.
Это объясняется тем, что в газе, на
ходящемся в состоянии равновесия, ус
танавливается некоторое стационарное,
не меняющееся со временем распреде
ление молекул по скоростям, которое
подчиняется вполне определенному
статистическому закону. Этот закон те
оретически выведен Дж. Максвеллом
(1859).
При выводе закона распределения
молекул по скоростям считалось, что
газ состоит из очень большого числа N
тождественных молекул, находящихся
в состоянии беспорядочного теплового
движения при одинаковой температу
ре. Предполагалось также, что силовые
поля на газ не действуют.
Закон Максвелла описывается неко
торой функцией f (v), называемой фун
кцией распределения молекул по ско
ростям. Если разбить диапазон скоро
стей молекул на малые интервалы, рав
ные dv, то на каждый интервал скорос
ти будет приходиться некоторое число
молекул dN(v), имеющих скорость, зак
люченную в этом интервале. Функция
f (v) определяет относительное число
(долю) молекул d()
Nv
N
, скорости кото
рыхлежатвинтервалеот vдо v +dv,т.е.
,
d()
()d
Nv
fvv
N
=
откуда
d()
()
.
d
Nv
fv
Nv
=
Применяя методы теории вероятно
стей, Максвелл нашел функцию f (v) —
закон распределения молекул иде
ального газа по скоростям:
 20
32
0
2
2
()4
e
.
2
mv
kT
m
fv
v
kT
-
=p
p
(44.1)
Из (44.1) видно, что конкретный вид
функции зависит от рода газа (от мас
сы молекулы) и от параметра состояния
(от температуры T ).
График функции (44.1) приведен на
рис. 67. Так как при возрастании v мно
житель
2
0
2
e
mv
kT
-
уменьшается быстрее,
чем растет множитель v 2
, то функция
f (v), начинаясь от нуля, достигает мак
симума при v в и затем асимптотически
стремится к нулю. Кривая несиммет
рична относительно v в.
Относительное число молекул
d()
Nv
N
,
скорости которых лежат в интервале от
v до v + dv , находится как площадь то
нированной полоски на рис. 67. Смысл
этого интеграла в следующем: если про
суммировать все доли молекул, имею
щих всевозможные значения скоростей,
то получим единицу. Функция f (v)
удовлетворяет условию нормировки
d
0
() 1.
fvv
¥
=
ò
Рис. 67
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

89
Скорость, при которой функция рас
пределения молекул идеального газа по
скоростям максимальна, называется
наиболее вероятной скоростью. Зна
чение наиболее вероятной скорости
можно найти, продифференцировав
выражение (44.1) (постоянные множи
тели опускаем) по аргументу v, прирав
няв результат нулю и используя усло
вие для максимума выражения f (v):

22
00
2
0
22
2
d(e)21
e
0.
d2
mv
mv
kT
kT
mv
vv
vk
T
--
=-
=
Значения v = 0 и v = ¥ соответству
ют минимумам выражения (44.1), а
значение v, при котором выражение в
скобках становится равным нулю, и
есть искомая наиболее вероятная ско
рость vв:
â
0
22
.
kT
RT
v
mM
==
(44.2)
Из формулы (44.2) следует, что при
повышении температуры максимум
функции распределения молекул по
скоростям (рис. 68) сместится вправо
(значение наиболее вероятной скорос
ти становится больше). Однако пло
щадь, ограниченная кривой, остается
неизменной, поэтому при повышении
температуры кривая распределения
молекул по скоростям будет растяги
ваться и понижаться.
Средняя скорость молекулы áv ñ
(средняя арифметическая скорость)
определяется по формуле
00
1 d() ()d.
vv
N
v
v
f
v
v
N
¥¥
áñ=
=
òò
Подставляя сюда f (v) и интегрируя,
получим
0
88
.
kT
RT
v
mM
áñ= =
pp
(44.3)
Скорости, характеризующие сос
тояние газа: 1) наиболее вероятная
â
2RT
v
M
=
; 2) средняя
8RT
v
M
áñ=
p
=
= 1,13v в; 3) средняя квадратичная
êâ
â
3
1, 22
RT
vv
M
áñ= = (см. рис. 67). Ис
ходя из распределения молекул по ско
ростям
,
2
0
32
0
2
2
d() 4
ed
2
mv
kT
m
NvN
v
v
kT
-
=×
p
p
(44.4)
можно найти распределение молекул
газа по значениям кинетической энер
гии e. Для этого перейдем от перемен
ной v к переменной
2
0
2
mv
e=
. Подставив
в (44.4)
0
2
v
m
e
=
и dv = (2m0e)
- 1/2de,
получим
,
32 12
2
d() ()
ed()d
kT
N
Nk
T
N
f
e
-
--
e=e
e=
ee
p
где dN(e) — число молекул, имеющих
кинетическую энергию поступательно
го движения, заключенную в интерва
леотeдоe+de.
Таким образом, функция распреде
ления молекул по энергиям теплово
го движения
32 12
2
()()e.
kT
fk
T
e
-
-
e=e
p
Средняя кинетическая энергия áeñ
молекулы идеального газа
Рис. 68
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

90
,
0
32 32
0
()d
23
() ed
2
kT
f
kT
kT
¥
¥
e
-
-
áeñ=eee=
=ee
=
p
ò
ò
т. е. получили результат, совпадающий
с формулой (43.8).
§ 45. Áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà.
Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà
При выводе основного уравнения мо
лекулярно кинетической теории газов и
максвелловского распределения моле
кул по скоростям предполагалось, что на
молекулы газа внешние силы не действу
ют, поэтому молекулы равномерно рас
пределены по объему. Однако молекулы
любого газа находятся в потенциальном
поле тяготения Земли. Тяготение, с од
ной стороны, и тепловое движение моле
кул — с другой, приводят к некоторому
стационарному состоянию газа, при ко
тором давление газа с высотой убывает.
Выведем закон изменения давления
с высотой, предполагая, что поле тяго
тения однородно, температура постоян
на и масса всех молекул одинакова.
Если атмосферное давление на высоте h
равно p (рис. 69), то на высоте h + dh
оноравноp+dp(приdh>0dp<0,так
как давление с высотой убывает). Раз
ность давлений p и p + dp равна весу
газа, заключенного в объеме цилиндра
высотой dh с основанием площадью
1м
2
:
p-(p+dp)=rgdh,
где r — плотность газа на высоте h (dh
настолько мало, что при изменении
высоты в этом пределе плотность газа
можно считать постоянной).
Следовательно,
dp= -rgdh.
(45.1)
Воспользовавшись уравнением со
стояния идеального газа
m
pV
RT
M
=
(m — масса газа, M — молярная масса
газа), находим, что
.
pM
m
VR
T
r==
Подставив это выражение в (45.1),
получим
, èëè
d
dd
d
.
Mg
Mg
p
pp
h
h
RT
p
RT
=-
=-
С изменением высоты от h 1 до h 2 дав
ление изменяется от p1 до p2 (см. рис.
69), т. е.
,
22
11
2
21
1
d
dl
n
()
ph
ph
Mg
Mg
p
p
hh
h
pR
T
pR
T
=-
=-
-
òò
или
21
()
21
e.
Mgh h
RT
pp
-
-
=
(45.2)
Выражение (45.2) называется баро
метрической формулой. Она позволя
ет найти атмосферное давление в зави
симости от высоты или, измерив давле
ние, найти высоту. Так как высоты обо
значаются относительно уровня моря,
где давление считается нормальным, то
выражение (45.2) может быть записа
но в виде
,
0e
Mgh
RT
pp
-
=
(45.3)
где p — давление на высоте h .
Рис. 69
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

91
Прибор для определения высоты
над земной поверхностью называется
высотомером (или альтиметром).
Его работа основана на использовании
формулы (45.3). Из этой формулы сле
дует, что давление с высотой убывает
тем быстрее, чем тяжелее газ.
Барометрическую формулу (45.3)
можно преобразовать, если воспользо
ваться выражением (42.6) p = nkT :
,
0e
Mgh
RT
nn
-
=
где n — концентрация молекул на вы
сотеh,n0—тоже,навысотеh=0.
Так как M = m0NA(NA — постоян
ная Авогадро, m 0 — масса одной моле
кулы),aR=kNA,то
,
0
0e
mgh
kT
nn
-
=
(45.4)
где m 0gh = P — потенциальная энергия
молекулы в поле тяготения, т. е .
0e.
kT
nn
P
-
=
(45.5)
Выражение (45.5) называется рас
пределением Больцмана для внешне
го потенциального поля. Из него сле
дует, что при постоянной температуре
плотность газа больше там, где меньше
потенциальная энергия его молекул.
Если частицы имеют одинаковую
массу и находятся в состоянии хаоти
ческого теплового движения, то распре
деление Больцмана (45.5) справедливо
в любом внешнем потенциальном поле,
а не только в поле сил тяжести.
§ 46. Ñðåäíåå ÷èñëî
ñòîëêíîâåíèé è ñðåäíÿÿ äëèíà
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë
Молекулы газа, совершая хаотиче
ское движение, непрерывно сталкива
ются друг с другом. Между двумя пос
ледовательными столкновениями мо
лекулы проходят некоторый путь l , ко
торый называется длиной свободного
пробега. В общем случае длина пути
между последовательными столкнове
ниями различна, но так как мы имеем
дело с огромным числом хаотически
движущихся молекул, то можно гово
рить о средней длине свободного про
бега молекул ál ñ.
Минимальное расстояние, на кото
рое сближаются при столкновении цен
тры двух молекул, называется эффек
тивным диаметром молекулы d (рис.
70). Он зависит от скорости сталкива
ющихся молекул, т. е. от температуры
газа (несколько уменьшается с ростом
температуры).
Так как за 1 с молекула проходит в
среднем путь, равный средней арифме
тической скорости ávñ, и если ázñ — сред
нее число столкновений, испытывае
мых одной молекулой газа за 1 с, то
средняя длина свободного пробега
.
v
l
z
áñ
áñ=áñ
Для определения áz ñ представим
себе молекулу в виде шарика диамет
ром d, которая движется среди других
«застывших» молекул. Эта молекула
столкнется только с теми молекулами,
центры которых находятся на расстоя
ниях, равных или меньших d , т. е . лежат
внутри «ломаного» цилиндра радиусом
d (рис. 71).
Среднее число столкновений за 1 с
равно числу молекул в объеме «лома
ного» цилиндра:
Рис. 70
Рис. 71
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

92
ázñ = nV,
где n — концентрация молекул; V =
=pd
2
ávñ (ávñ — средняя скорость моле
кулы или путь, пройденный ею за 1 с).
Таким образом, среднее число
столкновений
ázñ = npd
2
ávñ.
Расчеты показывают, что при учете
движения других молекул
ázñ= 2npd
2
ávñ.
Тогда средняя длина свободного
пробега
álñ
,
2
1
2dn
=
p
т. е . ál ñ обратно пропорциональна кон
центрации n молекул. С другой сторо
ны, из (42.6) следует, что при постоян
ной температуре n пропорциональна
давлению p. Следовательно,
1
22
211
.
lnp
lnp
áñ==
áñ
§ 47. Îïûòíîå îáîñíîâàíèå
ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé
òåîðèè
Рассмотрим некоторые явления, эк
спериментально подтверждающие ос
новные положения и выводы молеку
лярно кинетической теории.
1. Броуновские движение. Это яв
ление открыто (1827) Броуном1, кото
рый, наблюдая с помощью сильной
лупы за взвесью цветочной пыльцы в
воде, обнаружил, что частицы пыльцы
оживленно и беспорядочно двигались,
то вращаясь, то перемещаясь с места на
место, подобно пылинкам в солнечном
луче. Впоследствии оказалось, что по
добное сложное зигзагообразное дви
жение характерно для любых частиц
малых размеров (»1 мкм), взвешенных
в газе или жидкости. Интенсивность
этого движения, названного броунов
ским, повышается с ростом температу
ры среды, с уменьшением вязкости и
размеров частиц (независимо от их хи
мической природы).
Причина броуновского движения
долго оставалась неясной. Лишь через
80 лет после обнаружения этого эффек
та ему было дано объяснение: броунов
ское движение взвешенных частиц вы
зывается ударами молекул среды, в ко
торой частицы взвешены. Так как мо
лекулы движутся хаотически, то броу
новские частицы получают толчки с
разных сторон, поэтому и совершают
движение столь причудливой формы.
Таким образом, броуновское движение
является подтверждением выводов мо
лекулярно кинетической теории о хао
тическом (тепловом) движении атомов
и молекул.
2. Опыт Штерна. Первое экспери
ментальное определение скоростей мо
лекул выполнено немецким физиком
О. Штерном (1888 — 1970). Eго опыты
позволили также оценить распределе
ние молекул по скоростям.
Схема установки Штерна представ
лена на рис. 72 . Вдоль оси внутреннего
цилиндра с щелью натянута платино
вая проволока, покрытая слоем сереб
ра, которая нагревается током при от
1 Р. Броун (1773 — 1858) — шотландский бо
таник.
Рис. 72
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

93
качанном воздухе. При нагревании се
ребро испаряется. Атомы серебра выле
тая через щель, попадают на внутрен
нюю поверхность второго цилиндра,
давая изображение щели O. Если при
бор привести во вращение вокруг об
щей оси цилиндров, то атомы серебра
осядут не против щели, а сместятся от
точки O на некоторое расстояние s .
Изображение щели получается размы
тым. Исследуя толщину осажденного
слоя, можно оценить распределение
молекул по скоростям, которое соответ
ствует максвелловскому распределе
нию.
Зная радиусы цилиндров, их угло
вую скорость вращения, а также изме
ряя s, можно вычислить скорость дви
жения атомов серебра при данной тем
пературе проволоки. Результаты опы
та показали, что средняя скорость ато
мов серебра близка к той, которая сле
дует из максвелловского распределения
молекул по скоростям.
3. Опыт Ламмерт. Этот опыт позво
ляет более точно определить закон рас
пределения молекул по скоростям. Схе
ма вакуумной установки приведена на
рис. 73. Молекулярный пучок, сформи
рованный источником, проходя через
щель, попадает в приемник. Между ис
точником и приемником помещают два
диска с прорезями, закрепленных на
общей оси.
При неподвижных дисках молекулы
достигают приемника, проходя через
прорези в обоих дисках. Если ось при
вести во вращение, то приемника дос
тигнут только те прошедшие прорезь в
первом диске молекулы, которые зат
рачивают для пробега между дисками
время, равное или кратное времени обо
рота диска. Другие же молекулы задер
живаются вторым диском. Меняя угло
вую скорость вращения дисков и изме
ряя число молекул, попадающих в при
емник, можно выявить закон распреде
ления молекул по скоростям. Этот опыт
также подтвердил справедливость мак
свелловского распределения молекул
по скоростям.
4. Опытное определение постоян
ной Авогадро. Воспользовавшись иде
ей распределения молекул по высоте
[см. формулу (45.4)], французский уче
ный Ж. Перрен (1870 — 1942) экспери
ментально определил значение посто
янной Авогадро. Исследуя в микроскоп
броуновское движение, он убедился,
что броуновские частицы распределя
ются по высоте подобно молекулам газа
в поле тяготения. Применив к ним
больцмановское распределение, можно
записать
,
1
()
0e
mm gh
kT
nn
-
-
=
где m — масса частицы, m 1 — масса вы
тесненной ею жидкости; m = 4/3 pr 3r,
m1 = 4/3pr3r1(r — радиус частицы, r —
плотность частицы, r1 — плотность жид
кости).
Если n 1 и n 2 — концентрации частиц
на уровняхh1 и h2,
,
A
R
k
N
=
то
1
2
A
3
121
3l
n
.
4()
()
n
RT
n
N
rg
h
h
=
pr
-
r-
Значение NA, получаемое из работ
Ж. Перрена, соответствовало значени
ям, полученным в других опытах, что
Рис. 73
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

94
подтверждает применимость к бро
уновским частицам распределения
(45.4).
§ 48. ßâëåíèÿ ïåðåíîñà
â òåðìîäèíàìè÷åñêè
íåðàâíîâåñíûõ ñèñòåìàõ
В термодинамически неравновес
ных системах возникают особые нео
братимые процессы, называемые явле
ниями переноса, в результате которых
происходит пространственный перенос
энергии, массы, импульса. К явлениям
переноса относятся теплопровод
ность (обусловлена переносом энер
гии), диффузия (обусловлена перено
сом массы) и внутреннее трение
(обусловлено переносом импульса). Для
простоты ограничимся одномерными
явлениями переноса. Систему отсчета
выберем так, чтобы ось x была ориен
тирована в направлении переноса.
1. Теплопроводность. Если в одной
области газа средняя кинетическая
энергия молекул больше, чем в другой,
то с течением времени вследствие по
стоянных столкновений молекул про
исходит процесс выравнивания сред
них кинетических энергий молекул,
т. е ., иными словами, выравнивание
температур.
Перенос энергии в форме теплоты
подчиняется закону Фурье:
,
d
d
E
T
j
x
=-l
(48.1)
где jE — плотность теплового пото
ка — величина, определяемая энерги
ей, переносимой в форме теплоты в еди
ницу времени через единичную площад
ку, перпендикулярную оси x ; l — теп
лопроводность;
d
d
T
x
—
градиент тем
пературы, равный скорости изменения
температуры на единицу длины x в на
правлении нормали к этой площадке.
Знак «-» показывает, что при тепло
проводности энергия переносится в
направлении убывания температуры
(поэтому знаки у jE и
d
d
T
x
противопо
ложны).
Теплопроводность l численно рав
на плотности теплового потока при гра
диенте температуры, равном единице.
Можно показать, что
l=
1
3
cV rávñál ñ, (48.2)
где cV — удельная теплоемкость газа
при постоянном объеме (количество
теплоты, необходимое для нагревания
1 кг газа на 1 К при постоянном объе
ме); r — плотность газа; ávñ — средняя
скорость теплового движения молекул;
ál ñ — средняя длина свободного про
бега.
2. Диффузия. Явление диффузии
заключается в том, что происходит са
мопроизвольное проникновение и пе
ремешивание частиц двух соприкасаю
щихся газов, жидкостей и даже твердых
тел; диффузия сводится к обмену масс
частиц этих тел, возникает и продолжа
ется, пока существует градиент плотно
сти.
Во время становления молекуляр
но кинетической теории по вопросу
диффузии возникли противоречия. Так
как молекулы движутся с огромными
скоростями, диффузия должна проис
ходить очень быстро. Если же открыть
в комнате сосуд с пахучим веществом,
то запах распространяется довольно
медленно. Однако противоречия здесь
нет. Молекулы при атмосферном дав
лении обладают малой длиной свобод
ного пробега и, сталкиваясь с другими
молекулами, в основном «стоят» на
месте.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

95
Явление диффузии для химически
однородного газа подчиняется закону
Фика:
,
d
d
m
jD
x
r
=-
(48.3)
где jm — плотность потока массы —
величина, определяемая массой веще
ства, диффундирующего в единицу вре
мени через единичную площадку, пер
пендикулярную оси x ; D — диффузия
(коэффициент диффузии);
d
dx
r
—
гра
диент плотности, равный скорости из
менения плотности на единицу длины x
в направлении нормали к этой площад
ке. Знак «-» показывает, что перенос
массы происходит в направлении убы
вания плотности (поэтому знаки у jm и
d
dx
r
противоположны). Диффузия D
численно равна плотности потока мас
сы при градиенте плотности, равном
единице. Согласно кинетической тео
рии газов,
D=
1
3
ávñál ñ.
(48.4)
3. Внутреннее трение (вязкость).
Механизм возникновения внутреннего
трения между параллельными слоями
газа (жидкости), движущимися с различ
ными скоростями, заключается в том, что
из за хаотического теплового движения
происходит обмен молекулами между
слоями, в результате чего импульс слоя,
движущегося быстрее, уменьшается, дви
жущегося медленнее — увеличивается,
что приводит к торможению слоя, дви
жущегося быстрее, и ускорению слоя,
движущегося медленнее.
Согласно формуле (31.1), сила внут
реннего трения между двумя слоями
газа (жидкости) подчиняется закону
Ньютона:
,
d
d
v
FS
x
=h
(48.5)
где h — динамическая вязкость (вяз
кость); d
d
v
x
—
градиент скорости, пока
зывающий быстроту изменения скоро
сти в направлении x , перпендикуляр
ном направлению движения слоев; S —
площадь, на которую действует сила F.
Взаимодействие двух слоев соглас
но второму закону Ньютона можно рас
сматривать как процесс, при котором от
одного слоя к другому в единицу вре
мени передается импульс, по модулю
равный действующей силе. Тогда выра
жение (48.5) можно представить в виде
,
d
d
p
v
j
x
=-h
(48.6)
где jp — плотность потока импуль
са — величина, определяемая полным
импульсом, переносимым в единицу
времени в положительном направлении
оси x через единичную площадку, пер
пендикулярную оси x ;
d
d
v
x
—
градиент
скорости. Знак «-» указывает, что им
пульс переносится в направлении убы
вания скорости (поэтому знаки у jp и
d
d
v
x
противоположны).
Динамическая вязкость h численно
равна плотности потока импульса при
градиенте скорости, равном единице;
она вычисляется по формуле
h=
1
3
rávñál ñ.
(48.7)
Из сопоставления формул (48.1),
(48.3) и (48.6), описывающих явления
переноса, следует, что закономерности
всех явлений переноса сходны между
собой. Эти законы были установлены
задолго до того, как они были обосно
ваны и выведены из молекулярно ки
нетической теории, позволившей уста
новить, что внешнее сходство их мате
матических выражений обусловлено
общностью лежащего в основе явлений
теплопроводности, диффузии и внут
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

96
реннего трения молекулярного меха
низма перемешивания молекул в про
цессе их хаотического движения и стол
кновений друг с другом.
Рассмотренные законы Фурье, Фика
и Ньютона не вскрывают молекулярно
кинетического смысла коэффициентов
l, D и h. Выражения для коэффициен
тов переноса выводятся на основе ки
нетической теории. Они записаны без
вывода, так как строгое рассмотрение
явлений переноса довольно громоздко,
а качественное — не имеет смысла. Фор
мулы (48.2), (48.4) и (48.7) связывают
коэффициенты переноса и характерис
тики теплового движения молекул. Из
этих формул вытекают простые зависи
мости между l, D и h:
,
1.
V
D
c
l
h=r
=
h
Используя эти формулы, можно по
найденным из опыта одним величинам
определить другие.
§ 49. Âàêóóì è ìåòîäû
åãî ïîëó÷åíèÿ. Ñâîéñòâà
óëüòðàðàçðåæåííûõ ãàçîâ
Если из сосуда откачивать газ, то по
мере понижения давления число стол
кновений молекул друг с другом умень
шается, что приводит к увеличению их
длины свободного пробега. При доста
точно большом разрежении столкнове
ния между молекулами относительно
редки, поэтому основную роль играют
столкновения молекул со стенками со
суда. Вакуумом называется состояние
газа, при котором средняя длина сво
бодного пробега ál ñ сравнима или боль
ше характерного линейного размера d
сосуда, в котором газ находится. В за
висимости от соотношения ál ñ и d раз
личают низкий (ál ñ = d ), средний (ál ñ „
„ d ), высокий (ál ñ > d ) и сверхвысокий
(ál ñ ? d ) вакуум. Газ в состоянии вы
сокого вакуума называется ультрараз
реженным.
Вопросы создания вакуума имеют
большое значение в технике, так как,
например, во многих современных
электронных приборах используются
электронные пучки, формирование ко
торых возможно лишь в условиях ва
куума. Для получения различных сте
пеней разрежения применяются ваку
умные насосы. В настоящее время ис
пользуются вакуумные насосы, позво
ляющие получить предварительное раз
режение (форвакуум) »0,13 Па, а так
же вакуумные насосы и лабораторные
приспособления, позволяющие дос
тичь давление до 13,3 мкПа — 1,33 пПа
(10-7
—
10-14
мм рт. ст.).
Принцип работы форвакуумного
насоса представлен на рис. 74 . Внутри
цилиндрической полости корпуса вра
щается эксцентрично насаженный ци
линдр. Две лопасти 1 и 1¢, вставленные
в разрез цилиндра и раздвигаемые пру
жиной 2, разделяют пространство меж
ду цилиндром и стенкой полости на две
части. Газ из откачиваемого сосуда по
ступает в область 3, по мере поворачи
вания цилиндра лопасть 1 отходит, про
странство 3 увеличивается и газ засасы
вается через трубку 4. При дальнейшем
вращении лопасть 1¢ отключает про
странство 3 от трубки 4 и начинает вы
теснять газ через клапан 5 наружу. Весь
процесс непрерывно повторяется.
Рис. 74
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

97
Для получения высокого вакуума
применяются диффузионные насосы
(рабочее вещество — ртуть или масло),
которые не способны откачивать газ из
сосудов начиная с атмосферного давле
ния, но способны создавать добавочную
разность давлений, поэтому их использу
ют вместе с форвакуумными насосами.
Рассмотрим схему действия диффу
зионного насоса (рис. 75). В колбе на
гревается ртуть и ее пары, поднимаясь
по трубке 1, вырываются из сопла 2 с
большой скоростью, увлекая за собой
молекулы газа из откачиваемого сосу
да (в нем создан предварительный ва
куум). Эти пары, попадая затем в «во
дяную рубашку», конденсируются и
стекают обратно в резервуар, а захва
ченный газ выходит в пространство (че
рез трубку 3), в котором уже создан
форвакуум. Если применять многосту
пенчатые насосы (несколько сопл рас
положены последовательно), то реаль
но при хороших уплотнениях можно с
их помощью получить разрежение до
10-7 мм рт. ст.
Для дальнейшего понижения давле
ния применяются так называемые «ло
вушки». Между диффузионным насо
сом и откачиваемым объектом распола
гают специально изогнутое колено
(1 или 2) соединительной трубки (ло
вушку), которую охлаждают жидким
азотом (рис. 76). При такой температу
ре пары ртути (масла) вымораживают
ся и давление в откачиваемом сосуде
понижается приблизительно на 1 — 2
порядка. Описанные ловушки называ
ют охлаждаемыми.
Можно применять также неохлаж
даемые ловушки. Специальное рабочее
вещество (например, алюмогель) поме
щают в один из отростков соединитель
ной трубки вблизи откачиваемого
объекта, которое поддерживается при
температуре 300 °С. При достижении
высокого вакуума алюмогель охлажда
ется до комнатной температуры, при
которой он начинает поглощать имею
щиеся в системе пары. Преимущество
этих ловушек состоит в том, что с их
помощью в откачиваемых объектах
можно поддерживать высокий вакуум
уже после непосредственной откачки в
течение даже нескольких суток.
Остановимся на некоторых свой
ствах ультраразреженных газов. Так
как в состоянии ультраразрежения мо
лекулы практически друг с другом не
сталкиваются, то газ в этом состоянии
не обладает внутренним трением. От
сутствие соударений между молекула
ми разреженного газа отражается так
же на механизме теплопроводности.
Если при обычных давлениях перенос
энергии молекулами производится «эс
тафетой», то при ультраразрежении
каждая молекула сама должна перене
сти энергию от одной стенки сосуда к
другой. Явление уменьшения тепло
проводности вакуума при понижении
давления используется на практике для
создания тепловой изоляции. Напри
мер, для уменьшения теплообмена меж
ду телом и окружающей средой тело
помещают в сосуд Дьюара
1, имеющий
Рис. 75
Рис. 76
1 Д. Дьюар (1842 — 1923) — английский хи
мик и физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

98
двойные стенки, между которыми нахо
дится разреженный воздух (теплопро
водность воздуха очень мала).
Рассмотрим два сосуда 1 и 2, поддер
живаемых соответственно при темпера
турах T1 и T2 (рис. 77) и соединенных
между собой трубкой. Если длина сво
бодного пробега молекул гораздо мень
ше диаметра соединительной трубки
(ál ñ = d ), то стационарное состояние
газа характеризуется равенством давле
ний в обоих сосудах (p1 = p2). Стацио
нарное же состояние ультраразрежен
ного газа (ál ñ ? d ), находящегося в двух
сосудах, соединенных трубкой, возмож
но лишь в том случае, когда встречные
потоки частиц, перемещающихся из
одного сосуда в другой, одинаковы, т. е .
n1áv1ñ = n2áv2ñ, (49.1)
где n 1 и n 2 — концентрации молекул в
обоих сосудах, áv 1ñ и áv 2ñ — средние ско
рости молекул. Учитывая, что
p
n
kT
=
и
8RT
v
M
áñ=
p
, из условия (49.1) полу
чаем
,
11
22
pT
pT
=
(49.2)
т. е. в условиях высокого вакуума вы
равнивания давлений не происходит.
Если в откачанный стеклянный бал
лон (рис. 78) на пружину 1 насадить
слюдяной листочек 2, одна сторона ко
торого зачернена, и освещать его, то воз
никнет разность температур между
светлой и зачерненной поверхностями
листочка. Из выражения (49.2) следу
ет, что в данном случае разным будет и
давление, т. е . молекулы от зачернен
ной поверхности будут отталкиваться
с большей силой, чем от светлой, в ре
зультате чего листочек отклонится. Это
явление называется радиометриче
ским эффектом. На радиометриче
ском эффекте основано действие радио
метрического манометра.
Рис. 77
Рис. 78
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Почему термодинамический и статистический (молекулярно кинетический) методы
исследования макроскопических систем качественно различны и взаимно дополняют
друг друга?
• Что такое термодинамические параметры? Какие термодинамические параметры вам
известны?
• Как объяснить закон Бойля — Мариотта с точки зрения молекулярно кинетической теории?
• Какими законами описываются изобарные и изохорные процессы?
• Каков физический смысл постоянной Авогадро? числа Лошмидта?
• При некоторых значениях температуры и давления азот количеством вещества 1 моль
занимает объем 20 л. Какой объем при этих же условиях займет водород количеством
вещества 1 моль?
• В чем заключается молекулярно кинетическое толкование давления газа? термодина
мической температуры?
• В чем содержание и какова цель вывода основного уравнения молекулярно кинетиче
ской теории газов?
• Каков физический смысл распределения молекул по скоростям? по энергиям?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

99
• Как, зная функцию распределения молекул по скоростям, перейти к функции распреде
ления по энергиям?
• Как определяется наиболее вероятная скорость? средняя скорость?
• Во сколько раз и как изменится средняя скорость движения молекул при переходе от
кислорода к водороду?
• В чем суть распределения Больцмана?
• Зависит ли средняя длина свободного пробега молекул от температуры газа? Почему?
• Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления?
• В чем сущность явлений переноса? Каковы они и при каких условиях возникают?
• Объясните физическую сущность законов Фурье, Фика, Ньютона.
• Каков механизм теплопроводности ультраразреженных газов?
ÇÀÄÀ×È
8.1. Начертите и объясните графики изотермического и изобарного процессов в коорди
натахpиV,pиT,TиV.
8.2. В сосуде при температуре T = 20 °С и давлении p = 0 ,2 МПа содержится смесь газов —
кислорода массой m 1 = 16 г и азота массой m 2 = 2 1 г. Определите плотность смеси. [2,5 кг/м3]
8.3 . Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при
давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3. [478 м/с]
8.4. Используя закон о распределении молекул идеального газа по скоростям, найдите
закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям u (
â
v
u
v
=
).[f(u) =
=
22
4euu
-
p
]
8.5. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по относительным ско
ростям (см. задачу 8.4), определите, какая доля молекул кислорода, находящегося при тем
пературе t = 0 °С, имеет скорости от 100 до 110 м/с. [0,4]
8.6 . На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше, чем его плотность на уровне
моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 273 К. [55 км]
8.7. Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при
температуре 300 К и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекул принять равным
0,28 нм. [170 нс]
8.8 . Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых условиях равны
соответственно 1,42 · 10-4
м2/с и 8,5 мкПа · с. Определите концентрацию молекул воздуха
при этих условиях. [1,25 · 1024 м-3]
Ãëàâà 9
ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ
§ 50. ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû
ìîëåêóëû. Çàêîí ðàâíîìåðíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè
ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû ìîëåêóë
Важной характеристикой термоди
намической системы является ее внут
ренняя энергия U — энергия хаотиче
ского (теплового) движения микроча
стиц системы (молекул, атомов, элект
ронов, ядер и т. д .) и энергия взаимодей
ствия этих частиц. Из этого определе
ния следует, что к внутренней энергии
не относятся кинетическая энергия
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

100
движения системы как целого и потен
циальная энергия системы во внешних
полях.
Внутренняя энергия — однозначная
функция термодинамического состоя
ния системы, т. е . в каждом состоянии
система обладает вполне определенной
внутренней энергией (она не зависит от
того, как система пришла в данное со
стояние). Это означает, что при перехо
де системы из одного состояния в дру
гое изменение внутренней энергии оп
ределяется только разностью значений
внутренней энергии этих состояний и
не зависит от пути перехода.
В § 1 было введено понятие числа
степеней свободы: это число независи
мых величин, полностью определяю
щих положение системы в простран
стве. В ряде задач молекулу одноатом
ного газа (рис. 79, а) рассматривают как
материальную точку, которой приписы
вают три степени свободы поступатель
ного движения. При этом энергию вра
щательного движения можно не учиты
вать (
âð
,
,
2
000
2
J
rJ
m
rT
2
w
®=®
=®
).
В классической механике молекула
двухатомного газа в первом приближе
нии рассматривается как совокупность
двух материальных точек, жестко свя
занных недеформируемой связью (рис.
79, б ). Эта система кроме трех степеней
свободы поступательного движения име
ет еще две степени свободы вращатель
ного движения. Вращение вокруг тре
тьей оси (оси, проходящей через оба
атома) лишено смысла. Таким образом,
двухатомный газ обладает пятью степе
нями свободы (i = 5).
Трехатомная (рис. 79, в) и много
атомная нелинейные молекулы имеют
шесть степеней свободы: три поступа
тельных и три вращательных. Есте
ственно, что жесткой связи между ато
мами не существует. Поэтому для ре
альных молекул необходимо учитывать
также степени свободы колебательно
го движения.
Независимо от общего числа степе
ней свободы молекул три степени сво
боды всегда поступательные. Ни одна
из поступательных степеней свободы не
имеет преимущества перед другими,
поэтому на каждую из них приходится
в среднем одинаковая энергия, равная
1/3 значения áe0ñ в (43.8):
1
1.
2
kT
0
áeñ
áeñ =
=
3
В классической статистической фи
зике выводится закон Больцмана о
равномерном распределении энергии
по степеням свободы молекул: для
статистической системы, находящейся
в состоянии термодинамического рав
новесия, на каждую поступательную и
вращательную степени свободы прихо
дится в среднем кинетическая энергия,
равная
1
2
kT , а на каждую колебатель
ную степень свободы — в среднем энер
гия, равная kT.
Колебательная степень «обладает»
вдвое большей энергией потому, что на
нее приходится не только кинетическая
энергия (как в случае поступательного
и вращательного движений), но и по
тенциальная, причем средние значения
кинетической и потенциальной энергий
одинаковы. Таким образом, средняя
энергия молекулы
Рис. 79
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

101
,
2
ikT
áeñ =
где i — сумма числа поступательных,
числа вращательных и удвоенного чис
ла колебательных степеней свободы
молекулы:
i = i пост + iвращ + 2iколеб.
В классической теории рассматрива
ют молекулы с жесткой связью между
атомами; для них i совпадает с числом
степеней свободы молекулы.
Следует отметить, что закон Больц
мана является приближенным (полу
чен на основе классических представ
лений о характере движения молекул)
и пересмотрен в квантовой статистике.
Так как в идеальном газе взаимная
потенциальная энергия молекул равна
нулю (молекулы между собой не взаи
модействуют), то внутренняя энергия,
отнесенная к 1 моль газа, будет равна
сумме кинетических энергий NA моле
кул:
mA.
22
ii
Uk
T
NR
T
== (50.1)
Внутренняя энергия для произволь
ной массы m газа
,
22
mi
i
UR
TR
T
M
==
n
где M — молярная масса;
m
M
n=
—
ко
личество вещества.
§ 51. Ïåðâîå íà÷àëî
òåðìîäèíàìèêè
Рассмотрим термодинамическую
систему, для которой механическая
энергия постоянна, а изменяется лишь
ее внутренняя энергия. Внутренняя
энергия системы может изменяться в
результате различных процессов, на
пример совершения над системой рабо
ты или сообщения ей теплоты. Так,
вдвигая поршень в цилиндр, в котором
находится газ, мы сжимаем этот газ, в
результате чего его температура повы
шается, т. е. тем самым изменяется (уве
личивается) внутренняя энергия газа.
С другой стороны, температуру газа и
его внутреннюю энергию можно увели
чить за счет сообщения ему некоторого
количества теплоты — энергии, пере
данной системе внешними телами пу
тем теплообмена (процесс обмена внут
ренними энергиями при контакте тел с
разными температурами).
Таким образом, можно говорить о
двух формах передачи энергии от одних
тел к другим: работе и теплоте. Энер
гия механического движения может
превращаться в энергию теплового дви
жения, и наоборот. При этих превраще
ниях соблюдается закон сохранения и
превращения энергии; применительно
к термодинамическим процессам этим
законом и является первое начало тер
модинамики, установленное в резуль
тате обобщения многовековых опыт
ных данных.
Допустим, что некоторая система
(газ, заключенный в цилиндр под пор
шнем), обладая внутренней энергией U1,
получила некоторое количество тепло
ты Q и, перейдя в новое состояние, ха
рактеризующееся внутренней энергией
U2, совершила работу A над внешней
средой, т. е . против внешних сил. Коли
чество теплоты считается положитель
ным, когда оно подводится к системе, а
работа — положительной, когда систе
ма совершает ее против внешних сил.
В соответствии с законом сохранения
энергии при любом способе перехода
системы из первого состояния во вто
рое изменение внутренней энергии
DU = U2 - U1 будет одинаковым и рав
ным разности между количеством теп
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

102
лоты Q, полученным системой, и рабо
той A, совершенной системой против
внешних сил:
DU=Q -A,
или
Q=DU+A.
(51.1)
Уравнение (51.1) выражает первое
начало термодинамики: теплота, со
общаемая системе, расходуется на из
менение ее внутренней энергии и на со
вершение ею работы против внешних
сил.
Выражение (51.1) для элементарно
го процесса можно записать в виде
dQ=dU+dA,
или в более корректной форме
dQ=dU+dA,
(51.2)
где dQ — бесконечно малое количество
теплоты; dU — бесконечно малое изме
нение внутренней энергии системы;
dA — элементарная работа. В этом вы
ражении dU является полным диффе
ренциалом, a dA и dQ таковыми не яв
ляются. В дальнейшем будем использо
вать запись первого начала термодина
мики в форме (51.2).
Из формулы (51.1) следует, что в СИ
количество теплоты выражается в тех
же единицах, что работа и энергия, т. е .
в джоулях (Дж).
Если система периодически воз
вращается в первоначальное состояние,
то изменение ее внутренней энергии
DU = 0. Тогда, согласно первому нача
лу термодинамики,
A=Q,
т. е . вечный двигатель первого рода —
периодически действующий двигатель,
который совершал бы бо′ льшую работу,
чем сообщенная ему извне энергия, не
возможен (одна из формулировок пер
вого начала термодинамики).
§ 52. Ðàáîòà ãàçà
ïðè èçìåíåíèè åãî îáúåìà
Для рассмотрения конкретных про
цессов найдем в общем виде внешнюю
работу, совершаемую газом при изме
нении его объема. Рассмотрим, напри
мер, газ, находящийся под поршнем в
цилиндрическом сосуде (рис. 80). Если
газ, расширяясь, передвигает поршень
на бесконечно малое расстояние dl , то
производит над ним работу
dA=Fdl=pSdl=pdV,
где S — площадь поршня; Sdl =dV —
изменение объема системы.
Таким образом,
dA = pdV.
(52.1)
Полную работу A, совершаемую га
зом при изменении его объема от V1 до
V2, найдем интегрированием формулы
(52.1):
2
1
d.
V
V
Ap
V
=
ò
(52.2)
Результат интегрирования опреде
ляется характером зависимости между
давлением и объемом газа. Найденное
для работы выражение (52.2) справед
ливо при любых изменениях объема
твердых, жидких и газообразных тел.
Произведенную при том или ином
процессе работу можно изобразить гра
фически с помощью кривой в коорди
натах p, V. Пусть изменение давления
Рис. 80
Рис. 81
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

103
газа при его расширении изображается
кривой на рис. 81. При увеличении
объема на dV совершаемая газом рабо
та равна p dV, т. е . определяется площа
дью полоски с основанием dV, тониро
ванной на рисунке. Поэтому полная ра
бота, совершаемая газом при расшире
нии от объема V1 до объема V2, опреде
ляется площадью, ограниченной осью
абсцисс, кривой p = f (V ) и прямыми V1
и V2.
Графически можно изображать толь
ко равновесные процессы — процессы,
состоящие из последовательности рав
новесных состояний. Они протекают
так, что изменение термодинамических
параметров за конечный промежуток
времени бесконечно мало. Все реальные
процессы неравновесны (они протекают
с конечной скоростью), но в ряде слу
чаев неравновесностью реальных про
цессов можно пренебречь (чем медлен
нее протекает процесс, тем он ближе к
равновесному). В дальнейшем рассмат
риваемые процессы будем считать рав
новесными.
§ 53. Òåïëîåìêîñòü
Удельная теплоемкость вещест
ва — величина, равная количеству теп
лоты, необходимому для нагревания
1 кг вещества на 1 К:
.
d
Q
c
mT
d
=
Единицей удельной теплоемкости
является джоуль на килограмм кель
вин [Дж/(кг · К)].
Молярная теплоемкость — вели
чина, равная количеству теплоты, необ
ходимому для нагревания 1 моль веще
ствана1К:
,
m
d
Q
C
T
d
=
n
(53.1)
где
m
M
n=
—
количество вещества.
Единица молярной теплоемкости —
джоуль на моль кельвин [Дж/(моль · К)].
Удельная теплоемкость c связана с мо
лярной Cm соотношением
Cm=cM,
(53.2)
где M — молярная масса вещества.
Различают теплоемкости при по
стоянном объеме и постоянном давле
нии, если в процессе нагревания веще
ства его объем или давление поддержи
вается постоянным.
Запишем выражение первого нача
ла термодинамики (51.2) для 1 моль
газа с учетом формул (52.1) и (53.1):
CmdT = dUm + pdVm.
(53.3)
Если газ нагревается при постоян
ном объеме, то работа внешних сил рав
на нулю [см. (52.1)] и сообщаемая газу
извне теплота идет только на увеличе
ние его внутренней энергии:
,
m
d
d
V
U
C
T
=
(53.4)
т. е. молярная теплоемкость газа при по
стоянном объеме CV равна изменению
внутренней энергии 1 моль газа при по
вышении его температуры на 1 К. Соглас
но формуле (50.1), m
dd
2
i
UR
T
=
, тогда
.
2
V
i
CR
=
(53.5)
Если газ нагревается при постоян
ном давлении, то выражение (53.3)
можно записать в виде
mm
dd
.
dd
p
Up
V
C
TT
=+
Учитывая, что
m
d
d
U
T
не зависит от
вида процесса (внутренняя энергия
идеального газа не зависит ни от p, ни
от V, а определяется лишь температу
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

104
рой T ) и всегда равна CV [см. (53.4)], и
дифференцируя уравнение Клапейро
на — Менделеева pVm = RT [см. (42.4)]
по T (p = const), получаем
Cp=CV+R.
(53.6)
Выражение (53.6) называется урав
нением Майера; оно показывает, что Cp
всегда больше CV на величину моляр
ной газовой постоянной. Это объясня
ется тем, что при нагревании газа при
постоянном давлении требуется еще
дополнительное количество теплоты на
совершение работы расширения газа,
так как постоянство давления обеспе
чивается увеличением объема газа. Ис
пользовав (53.5), выражение (53.6)
можно записать в виде
2.
2
p
i
CR
+
=
(53.7)
При рассмотрении термодинамиче
ских процессов важно знать характер
ное для каждого газа отношение Cp к CV :
2.
p
V
Ci
Ci
+
g==
(53.8)
Из формул (53.5) и (53.7) следует,
что молярные теплоемкости определя
ются лишь числом степеней свободы и
не зависят от температуры. Это утвер
ждение молекулярно кинетической те
ории справедливо в довольно широком
интервале температур лишь для одно
атомных газов. Уже у двухатомных га
зов число степеней свободы, проявля
ющееся в теплоемкости, зависит от тем
пературы. Молекула двухатомного газа
обладает тремя поступательными, дву
мя вращательными и одной колебатель
ной степенями свободы.
По закону равномерного распреде
ления энергии по степеням свободы
(см. § 50), для комнатных температур
CV = 7/2R. Из качественной экспери
ментальной зависимости молярной
теплоемкости CV водорода (рис. 82)
следует, что CV зависит от температу
ры: при низкой температуре (»50 К)
CV = 3/2R , при комнатной — CV = 5/2R
(вместо расчетных 7/2R !) и при очень
высокой — CV = 7/2R . Это можно объяс
нить, предположив, что при низких тем
пературах наблюдается только поступа
тельное движение молекул, при ком
натных — добавляется их вращение, а
при высоких — к этим двум видам дви
жения добавляются еще колебания мо
лекул.
Расхождение теории и эксперимен
та нетрудно объяснить. Дело в том, что
при вычислении теплоемкости надо
учитывать квантование энергии враще
ния и колебаний молекул (возможны
не любые вращательные и колебатель
ные энергии, а лишь определенный дис
кретный ряд значений энергий). Если
энергия теплового движения недоста
точна, например, для возбуждения ко
лебаний, то эти колебания не вносят
своего вклада в теплоемкость (соответ
ствующая степень свободы «заморажи
вается» — к ней неприменим закон рав
нораспределения энергии). Этим
объясняется, что теплоемкость 1 моль
двухатомного газа — водорода — при
комнатной температуре равна 5/2R вме
сто 7/2R . Аналогично можно объяснить
уменьшение теплоемкости при низкой
температуре («замораживаются» вра
щательные степени свободы) и увели
чение при высокой («возбуждаются»
колебательные степени свободы).
Рис. 82
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

105
§ 54. Ïðèìåíåíèå ïåðâîãî íà÷àëà
òåðìîäèíàìèêè ê èçîïðîöåññàì
Среди равновесных процессов, про
исходящих с термодинамическими си
стемами, выделяются изопроцессы,
при которых один из основных пара
метров состояния сохраняется постоян
ным.
Изохорный процесс (V = const).
График зависимости между параметра
ми состояния идеального газа при V =
= const называется изохорой. Изохора
в координатах p, V изображается пря
мой, параллельной оси ординат (рис. 83),
где процесс 1 — 2 есть изохорное нагре
вание, а 3—4
—
изохорное охлаждение.
При изохорном процессе газ не совер
шает работы над внешними телами, т. е .
dA=pdV=0.
Как уже указывалось в § 53, из пер
вого начала термодинамики (dQ = dU +
+ dA) для изохорного процесса следу
ет, что вся теплота, сообщаемая газу,
идет на увеличение его внутренней энер
гии:
dQ=dU.
Согласно формуле (53.4),
m
dd
.
V
UCT
=
Тогда для произвольной массы газа
получим
dd
.
V
m
QU CT
M
d==
(54.1)
Изобарный процесс (p = const). Гра
фик зависимости между параметрами
состояния идеального газа при p = const
называется изобарой. Изобара в коор
динатах p, V изображается прямой, па
раллельной оси V. При изобарном про
цессе работа газа [см. (52.2)] при уве
личении объема от V1 до V2 равна
2
1
21
d()
V
V
Ap
Vp
VV
==
-
ò
(54.2)
и определяется площадью тонирован
ного прямоугольника (рис. 84). Если
использовать уравнение Клапейрона —
Менделеева (42.5) для выбранных нами
двух состояний, то
,
,
11
22
mm
pV
RT pV
RT
MM
==
откуда
21
21
()
.
mR
VV
TT
Mp
-=
-
Тогда выражение (54.2) для работы
изобарного расширения примет вид
21
()
.
m
AR
T
T
M
=-(54.3)
Из этого выражения вытекает физи
ческий смысл молярной газовой посто
яннойR:еслиT2-T1=1К,тодля
1мольгазаR =A, т.е. R численнорав
на работе изобарного расширения 1 моль
идеального газа при нагревании его на
1К.
В изобарном процессе при сообще
нии газу массой m количества теплоты
dp
m
QC
T
M
d=
его внутренняя энергия возрастает на
величину [согласно формуле (53.4)]
dd
.
V
m
UC
T
M
=
Рис. 83
Рис. 84
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

106
При этом газ совершит работу, опреде
ляемую выражением (54.3).
Изотермический процесс (T = const).
Как уже указывалось в § 41, изотерми
ческий процесс описывается законом
Бойля — Мариотта:
pV = const.
График зависимости между пара
метрами состояния идеального газа при
T = const называется изотермой. Изо
терма в координатах p, V представляет
собой гиперболу (см. рис. 62), располо
женную на диаграмме тем выше, чем
выше температура, при которой проис
ходит процесс.
Исходя из выражений (52.2) и (42.5),
найдем работу изотермического расши
рения газа:
22
11
21
12
d
d
ln
ln
.
VV
VV
mV
Ap
VR
T
MV
Vp
mm
RT
RT
MV
Mp
==
=
==
òò
Так как при T = const внутренняя
энергия идеального газа не изменяется:
,
dd
0
V
m
UC
T
M
==
то из первого начала термодинамики
(dQ = dU + dA) следует, что для изо
термического процесса
dQ=dA,
т. е. все количество теплоты, сообщае
мое газу, расходуется на совершение им
работы против внешних сил:
12
21
ln
ln
.
pV
mm
QA
RT
RT
Mp
MV
==
=
(54.4)
Следовательно, для того чтобы при
расширении газа температура не пони
жалась, к газу в течение изотермиче
ского процесса необходимо подводить
количество теплоты, эквивалентное
внешней работе расширения.
§ 55. Àäèàáàòíûé ïðîöåññ.
Ïîëèòðîïíûé ïðîöåññ
Адиабатным называется процесс,
при котором отсутствует теплообмен
между системой и окружающей средой
(dQ = 0). К адиабатным процессам мож
но отнести все быстропротекающие
процессы. Адиабатным процессом, на
пример, можно считать процесс распро
странения звука в среде, так как ско
рость распространения звуковой волны
настолько велика, что обмен энергией
между волной и средой произойти не
успевает. Адиабатные процессы приме
няются в двигателях внутреннего сго
рания (расширение и сжатие горючей
смеси в цилиндрах), в холодильных ус
тановках и т. д . Из первого начала тер
модинамики (dQ = dU + dA) для адиа
батного процесса следует, что
dA = -dU,
(55.1)
т. е. внешняя работа совершается за счет
изменения внутренней энергии сис
темы.
Используя выражения (52.1) и (53.4),
для произвольной массы газа перепи
шем уравнение (55.1) в виде
dd
.
V
m
pV
CT
M
=-
(55.2)
Продифференцировав уравнение
состояния для идеального газа pV =
=
m
RT
M
, получим
ddd
.
m
pVVp RT
M
+=
(55.3)
Исключим из (55.2) и (55.3) темпе
ратуру T :
dd
.
d
pV
VV
CC
pVVp R
pV
C
C
-
+
=-
=-
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

107
Разделив переменные и учитывая,
что
p
V
C
C
=g [см. (53.8)], найдем
d
d.
p
V
pV
=-g
Интегрируя это уравнение в преде
лах от p1 до p2 и соответственно от V1 до
V2, а затем потенцируя, придем к выра
жению
èëè
21
12
12
12
.
pV
pV pV
pV
g
gg
æö
÷
ç
==
÷
ç÷÷
çèø
Так как состояния 1 и 2 выбраны
произвольно, то можно записать
pVγ
= const.
(55.4)
Полученное выражение есть урав
нение адиабатного процесса, называ
емое также уравнением Пуассона.
Для перехода к переменным T, V или
p, T исключим из (55.4) с помощью
уравнения Клапейрона — Менделеева
m
pV
RT
M
=
соответственно давление
или объем:
TV γ−1
= const,
(55.5)
Tγp
1−γ
= const.
(55.6)
Выражения (55.4) — (55.6) представ
ляют собой уравнения адиабатного про
цесса. В этих уравнениях безразмерная
величина [см. (53.8) и (53.2)]
2
pp
VV
Cci
Cci
+
g===
(55.7)
называется показателем адиабаты
(или коэффициентом Пуассона). Для
одноатомных газов (Ne, Не и др.), дос
таточно хорошо удовлетворяющих ус
ловию идеальности, i = 3, γ = 1,67. Для
двухатомных газов (H2, N2, O2 и др.) i =5,
γ = 1,4. Значения γ, вычисленные по
формуле (55.7), хорошо подтверждают
ся экспериментом.
График зависимости между пара
метрами состояния идеального газа при
δQ = 0 называется адиабатой. Адиаба
та в координатах p, V изображается ги
перболой (рис. 85). На рисунке видно,
что адиабата (pV γ
= const) более кру
та, чем изотерма (pV = const). Это
объясняется тем, что при адиабатном
сжатии увеличение давления газа обус
ловлено не только уменьшением его
объема, как при изотермическом сжа
тии, но и повышением температуры.
Вычислим работу, совершаемую га
зом в адиабатном процессе. Запишем
уравнение (55.1) в виде
d.
V
m
AC
T
M
d=
-
Если газ адиабатно расширяется от
объема V1 до V2, то его температура
уменьшается от T1 до T2 и работа рас
ширения идеального газа
2
1
12
d(
)
.
T
VV
T
mm
ACTC
T
T
MM
=-
=
-
ò
(55.8)
Применяя те же приемы, что и при
выводе формулы (55.5), выражение
(55.8) для работы при адиабатном рас
ширении можно преобразовать к виду
,
11
1
1
1
22
11
pV
V
RT
V
m
A
VM
V
g-1
g-1
éù éù
æö
æö
êú êú
÷÷
çç
=-=
-
÷÷
çç
êú êú
÷÷
÷÷
çç
g-1
g-1
èø
èø
ëû ëû
где 11
1.
m
pV
RT
M
=
Рис. 85
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

108
Работа, совершаемая газом при
адиабатном расширении 1 — 2 (опре
деляется тонированной площадью на
рис. 85), меньше, чем при изотерми
ческом расширении. Это объясняется
тем, что при адиабатном расширении
происходит охлаждение газа, тогда
как при изотермическом температура
поддерживается постоянной за счет
притока извне эквивалентного коли
чества теплоты.
Рассмотренные изохорный, изобар
ный, изотермический и адиабатный
процессы имеют общую особенность —
они происходят при постоянной тепло
емкости. В первых двух процессах теп
лоемкости соответственно равны CV и
Cp , в изотермическом процессе (dT = 0)
теплоемкость равна ±¥, в адиабатном
(dQ = 0) теплоемкость равна нулю. Про
цесс, в котором теплоемкость остается
постоянной, называется политроп
ным.
Исходя из первого начала термоди
намики при условии постоянства теп
лоемкости (C = const), можно вывести
уравнение политропы:
pVn
= const,
(55.9)
где
p
V
CC
n
CC
-
=
-
—
показатель политро
пы. График зависимости между пара
метрами состояния идеального газа
при C = const называется политропой.
Политропа в координатах p, V — гипер
бола, занимающая промежуточное по
ложение между изотермой и адиаба
той.
Очевидно,чтоприC=0,n =gиз
(55.9) получается уравнение адиабаты;
приC=¥,n =1 —уравнениеизотер
мы;приC=Cp,n =0 —уравнениеизо
бары,приC=CV,n =±¥—уравнение
изохоры. Таким образом, все рассмот
ренные процессы являются частными
случаями политропного процесса.
§ 56. Îáðàòèìûå
è íåîáðàòèìûå ïðîöåññû.
Êðóãîâîé ïðîöåññ (öèêë)
Термодинамический процесс назы
вается обратимым, если он может про
исходить как в прямом, так и в обрат
ном направлении, причем если такой
процесс происходит сначала в прямом,
а затем в обратном направлении и сис
тема возвращается в исходное состоя
ние, то в окружающей среде и в этой си
стеме не происходит никаких измене
ний. Всякий процесс, не удовлетворя
ющий этим условиям, будет необрати
мым.
Любой обратимый процесс являет
ся равновесным. Обратимость равновес
ного процесса, происходящего в систе
ме, следует из того, что ее любое про
межуточное состояние есть состояние
термодинамического равновесия; для
него «безразлично», идет процесс в пря
мом или обратном направлении.
Реальные процессы сопровождают
ся диссипацией энергии (из за трения,
теплопроводности и т. д .), которая нами
не обсуждается. Обратимые процес
сы — это идеализация реальных процес
сов. Их рассмотрение важно по двум
причинам: 1) многие процессы в при
роде и технике близки к обратимым;
2) для обратимых процессов термичес
кий коэффициент полезного действия
максимален, что позволяет указать пути
повышения КПД реальных тепловых
двигателей.
Круговым процессом (или циклом)
называется процесс, при котором сис
тема, пройдя через ряд состояний, воз
вращается в исходное. На диаграмме
p —V равновесный круговой процесс
изображается замкнутой кривой (рис.
86). Цикл, совершаемый идеальным га
зом, можно разбить на процессы расши
рения (1—2) и сжатия(2—1) газа.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

109
Работа расширения (определяется
площадью фигуры 1a 2V2V11) положи
тельна (dV > 0), работа сжатия (опре
деляется площадью фигуры 2b1V1V22)
отрицательна (dV < 0). Следовательно,
работа, совершаемая газом за цикл, опре
деляется площадью, охватываемой зам
кнутой кривой. Если за цикл совершает
ся положительная работа
d
Ap
V
=
òÑ
>0
(цикл протекает по часовой стрелке), то
он называется прямым (рис. 86, а), если
за цикл совершается отрицательная ра
бота
d
Ap
V
=
òÑ
< 0 (цикл протекает
против часовой стрелки), то он называ
ется обратным (рис. 86, б ).
Прямой цикл используется в теп
ловых двигателях — периодически
действующих двигателях, совершаю
щих работу за счет полученной извне
теплоты. Обратный цикл используется
в холодильных машинах — периоди
чески действующих установках, в кото
рых за счет работы внешних сил тепло
та переносится к телу с более высокой
температурой.
В результате кругового процесса си
стема возвращается в исходное состоя
ние и, следовательно, полное изменение
внутренней энергии газа равно нулю.
Поэтому первое начало термодинами
ки (51.1) для кругового процесса
Q=DU+A=A, (56.1)
т. е . работа, совершаемая за цикл, равна
количеству полученной извне теплоты.
Однако в результате кругового процес
са система может теплоту как получать,
так и отдавать, поэтому
Q=Q1-Q2,
где Q 1 — количество теплоты, получен
ное системой; Q 2 — количество тепло
ты, отданное системой.
Поэтому термический коэффици
ент полезного действия для кругово
го процесса
12
2
11
1
1.
QQQ
A
QQQ
-
h==
=-
(56.2)
§ 57. Ýíòðîïèÿ,
åå ñòàòèñòè÷åñêîå òîëêîâàíèå
è ñâÿçü ñ òåðìîäèíàìè÷åñêîé
âåðîÿòíîñòüþ
Понятие энтропии введено в 1865 г.
Р. Клаузиусом. Для выяснения физи
ческого содержания этого понятия рас
сматривают отношение теплоты Q, по
лученной телом в изотермическом про
цессе, к температуре T теплоотдающе
го тела, называемое приведенным ко
личеством теплоты.
Приведенное количество теплоты,
сообщаемое телу на бесконечно малом
участке процесса, равно Q
T
d . Строгий
теоретический анализ показывает, что
приведенное количество теплоты, сооб
щаемое телу в любом обратимом круго
вом процессе, равно
0.
Q
T
d=
òÑ
(57.1)
Из равенства нулю интеграла (57.1),
взятого по замкнутому контуру, следу
ет, что подынтегральное выражение
Q
T
d есть полный дифференциал неко
торой функции, которая определяется
только состоянием системы и не зави
сит от пути, каким система пришла в это
состояние. Таким образом,
Рис. 86
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

110
d.
QS
T
d=
(57.2)
Функция состояния, дифференциалом
которой является Q
T
d , называется эн
тропией и обозначается S.
Из формулы (57.1) следует, что для
обратимых процессов изменение энтро
пии
DS=0.
(57.3)
В термодинамике доказывается, что
энтропия системы, совершающей нео
братимый цикл, возрастает:
DS>0.
(57.4)
Выражения (57.3) и (57.4) относят
ся только к замкнутым системам, если
же система обменивается теплотой с
внешней средой, то ее энтропия может
вести себя любым образом. Соотноше
ния (57.3) и (57.4) можно представить
в виде неравенства Клаузиуса
DS…0,
(57.5)
т. е . энтропия замкнутой системы мо
жет либо возрастать (в случае необра
тимых процессов), либо оставаться по
стоянной (в случае обратимых процес
сов).
Если система совершает равновес
ный переход из состояния 1 в состоя
ние 2, то, согласно (57.2), изменение эн
тропии
,
1221
22
11
d
SSS
Q
UA
TT
®
D=
-
=
d
+d
==
òò (57.6)
где подынтегральное выражение и пре
делы интегрирования определяются че
рез величины, характеризующие иссле
дуемый процесс. Энтропия определяет
ся с точностью до аддитивной посто
янной. Значение постоянной, с которой
определяется энтропия, не играет роли,
так как физический смысл имеет не
сама энтропия, а разность энтропий.
Исходя из выражения (57.6), найдем
изменение энтропии в процессах иде
ального газа. Поскольку dd
V
m
UC
T
M
=
,
dA
d
dmV
pV
RT
MV
==
,то
,
22
11
1221
dd
TV
V
TV
SSS
mT
mV
CR
MT
MV
®
D=
-
=
=+
òò
или
,
1221
22
11
ln
ln
V
SSS
TV
m
CR
MTV
®
D=
-
=
æö
÷
ç
=+
÷
ç
÷÷
çèø
(57.7)
т. е . изменение энтропии
12
S®
D идеаль
ного газа при переходе его из состоя
ния 1 в состояние 2 не зависит от вида
процесса перехода 1 ® 2.
Так как для адиабатного процесса
dQ= 0, то DS =0 и, следовательно,
S = const, т. е . адиабатный обратимый
процесс протекает при постоянной эн
тропии. Поэтому его часто называют
изоэнтропийным процессом. Из фор
мулы (57.7) следует, что при изотерми
ческом процессе (T1 = T2)
;2
1
ln
V
m
SR
MV
D=
при изохорном процессе (V1 = V2)
2
1
ln
.
V
T
m
SC
MT
D=
Энтропия обладает свойством адди
тивности: энтропия системы равна
сумме энтропий тел, входящих в систе
му. Свойством аддитивности обладают
также внутренняя энергия, масса, объем
(температура и давление таким свой
ством не обладают).
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

111
Более глубокий смысл энтропии
вскрывают в статистической физике:
энтропия связывается с термодинами
ческой вероятностью состояния системы.
Термодинамическая вероятность W
состояния системы — это число спосо
бов, которыми может быть реализова
но данное состояние макроскопической
системы, или число микросостояний,
осуществляющих данное макросостоя
ние [по определению, W … 1, т. е . термо
динамическая вероятность не есть ве
роятность в математическом смысле
(последняя „ 1!)].
Согласно Больцману (1872), энтро
пия системы и термодинамическая ве
роятность связаны между собой следу
ющим образом:
S=klnW,
(57.8)
где k — постоянная Больцмана.
Таким образом, энтропия определя
ется логарифмом числа микросостоя
ний, с помощью которых может быть
реализовано данное макросостояние.
Следовательно, энтропия может рас
сматриваться как мера вероятности со
стояния термодинамической системы.
Формула Больцмана (57.8) позволяет
дать энтропии следующее статисти
ческое толкование: энтропия является
мерой неупорядоченности системы.
В самом деле, чем больше число мик
росостояний, реализующих данное мак
росостояние, тем больше энтропия.
В состоянии равновесия — наиболее ве
роятного состояния системы — число
микросостояний максимально, при
этом максимальна и энтропия.
Так как реальные процессы необра
тимы, то можно утверждать, что все
процессы в замкнутой системе ведут к
увеличению ее энтропии — принцип
возрастания энтропии. При статисти
ческом толковании энтропии это озна
чает, что процессы в замкнутой систе
ме идут в направлении увеличения чис
ла микросостояний, иными словами, от
менее вероятных состояний к более ве
роятным — до тех пор, пока вероятность
состояния не станет максимальной.
Сопоставляя выражения (57.5) и
(57.8), видим, что энтропия и термоди
намическая вероятность состояний
замкнутой системы могут либо возрас
тать (в случае необратимых процессов),
либо оставаться постоянными (в случае
обратимых процессов).
Отметим, однако, что эти утвержде
ния имеют место для систем, состоящих
из очень большого числа частиц, но
могут нарушаться в системах с малым
числом частиц. Для «малых» систем
могут наблюдаться флуктуации, т. е.
энтропия и термодинамическая вероят
ность состояний замкнутой системы на
определенном отрезке времени могут
убывать, а не возрастать, или оставать
ся постоянными.
§ 58. Âòîðîå íà÷àëî
òåðìîäèíàìèêè
Первое начало термодинамики, вы
ражая закон сохранения и превращения
энергии, не позволяет установить на
правление протекания термодинами
ческих процессов. Кроме того, можно
представить процессы, не противореча
щие первому началу, в которых энергия
сохраняется, а в природе они не проис
ходят. Появление второго начала тер
модинамики связано с необходимостью
дать ответ на вопрос, какие процессы в
природе возможны, а какие нет. Второе
начало термодинамики определяет на
правление протекания термодинами
ческих процессов.
Используя понятие энтропии и не
равенство Клаузиуса (см. § 57), второе
начало термодинамики можно сфор
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

112
мулировать как закон возрастания
энтропии замкнутой системы при нео
братимых процессах: любой необрати
мый процесс в замкнутой системе про
исходит так, что энтропия системы
при этом возрастает.
Можно дать более краткую форму
лировку второго начала термодинами
ки: в процессах, происходящих в замкну
той системе, энтропия не убывает.
Здесь существенно, что речь идет о зам
кнутых системах, так как в незамкну
тых системах энтропия может вести
себя любым образом (убывать, возрас
тать, оставаться постоянной). Кроме
того, отметим еще раз, что энтропия
остается постоянной в замкнутой сис
теме только при обратимых процессах.
При необратимых процессах в замкну
той системе энтропия всегда возра
стает.
Формула Больцмана (57.8) позволя
ет объяснить постулируемое вторым
началом термодинамики возрастание
энтропии в замкнутой системе при нео
братимых процессах: возрастание энт
ропии означает переход системы из ме
нее вероятных в более вероятные состо
яния. Таким образом, формула Больц
мана позволяет дать статистическое
толкование второго начала термодина
мики. Оно, являясь статистическим за
коном, описывает закономерности ха
отического движения большого числа
частиц, составляющих замкнутую сис
тему.
Укажем еще две формулировки вто
рого начала термодинамики:
1) по Кельвину: невозможен круго
вой прогресс, единственным результа
том которого является превращение
теплоты, полученной от нагревателя, в
эквивалентную ей работу;
2) по Клаузиусу: невозможен круго
вой процесс, единственным результа
том которого является передача теп
лоты от менее нагретого тела к более
нагретому.
Можно довольно просто доказать
(предоставим это читателю) эквивален
тность формулировок Кельвина и Кла
узиуса. Кроме того, показано, что если
в замкнутой системе провести вообра
жаемый процесс, противоречащий вто
рому началу термодинамики в форму
лировке Клаузиуса, то он сопровожда
ется уменьшением энтропии. Это же
доказывает эквивалентность формули
ровки Клаузиуса (а следовательно, и
Кельвина) и статистической формули
ровки, согласно которой энтропия зам
кнутой системы не может убывать.
В середине XIX в. возникла проблема так
называемой тепловой смерти Вселенной.
Рассматривая Вселенную как замкнутую
систему и применяя к ней второе начало тер
модинамики, Клаузиус свел его содержание
к утверждению, что энтропия Вселенной
должна достигнуть своего максимума. Это
означает, что со временем все формы дви
жения должны перейти в тепловую. Пере
ход же теплоты от горячих тел к холодным
приведет к тому, что температура всех тел
во Вселенной сравняется, т. е . наступит пол
ное тепловое равновесие и все процессы во
Вселенной прекратятся — наступит тепло
вая смерть Вселенной. Ошибочность выво
да о тепловой смерти заключается в том, что
бессмысленно применять второе начало тер
модинамики к незамкнутым системам, на
пример к такой безграничной и бесконечно
развивающейся системе, как Вселенная.
Первое и второе начала термодина
мики дополняются третьим началом
термодинамики, или теоремой Нерн
ста1 — Планка: энтропия всех тел в со
стоянии равновесия стремится к нулю
по мере приближения температуры к
нулю кельвин:
0
lim 0.
T
S
®
=
1 В. Ф. Г . Нернст (1864 — 1941) — немецкий
физик и химик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

113
Поскольку энтропия определяется с
точностью до аддитивной постоянной,
то эту постоянную удобно взять равной
нулю. Отметим, однако, что это произ
вольное допущение, так как энтропия
по своей сущности всегда определяет
ся с точностью до аддитивной постоян
ной. Из теоремы Нернста — Планка сле
дует, что теплоемкости Cp и CV при 0 К
равны нулю.
§ 59. Òåïëîâûå äâèãàòåëè
è õîëîäèëüíûå ìàøèíû.
Öèêë Êàðíî è åãî ÊÏÄ
äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà
Из формулировки второго начала
термодинамики по Кельвину следует,
что вечный двигатель второго рода —
периодически действующий двигатель,
совершающий работу за счет охлажде
ния одного источника теплоты, — не
возможен. Для иллюстрации этого по
ложения рассмотрим работу теплового
двигателя (исторически второе начало
термодинамики и возникло из анализа
работы тепловых двигателей).
Принцип действия теплового двига
теля приведен на рис. 87. От термоста
та
1 с более высокой температурой T1, на
зываемого нагревателем, за цикл отби
рается количество теплоты Q1, а термо
стату с более низкой температурой T2,
называемому холодильником, за цикл
передается количество теплоты Q2, при
этом совершается работа A = Q1 - Q2.
Чтобы термический коэффициент
полезного действия теплового двигате
ля (56.2) был равен 1, необходимо вы
полнение условия Q2 = 0, т. е . тепловой
двигатель должен был бы иметь один
источник теплоты. Однако, согласно
Карно1, для работы теплового двигате
ля необходимо не менее двух источни
ков теплоты с различными температу
рами, иначе это противоречило бы вто
рому началу термодинамики.
Двигатель второго рода, будь он возмо
жен, был бы практически вечным. Охлаж
дение, например, воды океанов на 1° дало бы
огромную энергию. Масса воды в Мировом
океане составляет примерно 1018 т, при ох
лаждении которой на 1° выделилось бы при
мерно 1024 Дж теплоты, что эквивалентно
полному сжиганию 1014 т угля. Железнодо
рожный состав, нагруженный таким коли
чеством угля, растянулся бы на расстояние
1010 км, что приблизительно совпадает с раз
мерами Солнечной системы!
Процесс, обратный происходящему
в тепловом двигателе, используется в
холодильной машине, принцип дей
ствия которой представлен на рис. 88.
Системой за цикл от термостата с бо
лее низкой температурой T2 отбирает
ся количество теплоты Q2 и отдается за
цикл термостату с более высокой тем
пературой T1 количество теплоты Q1.
Для кругового процесса, согласно (56.1),
Q=A,но,поусловию,Q =Q2-Q1<0,
поэтомуA<0иQ2-Q1= -AилиQ1=
= Q2 + A, т. е . количество теплоты Q1,
отданное системой источнику теплоты
при более высокой температуре T 1,
больше количества теплоты Q2, полу
ченного от источника теплоты при бо
лее низкой температуре T2, на величи
1 Термодинамическая система, которая мо
жет обмениваться теплотой с телами без изме
нения температуры.
1 Н. Л . С. Карно (1796 — 1832) — французский
физик и инженер.
Рис. 87
Рис. 88
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

114
ну работы, совершенной над системой.
Следовательно, без совершения работы
нельзя отбирать теплоту от менее на
гретого тела и отдавать ее более нагре
тому. Это утверждение есть не что
иное, как второе начало термодинами
ки в формулировке Клаузиуса.
Однако второе начало термодинами
ки не следует представлять так, что оно
совсем запрещает переход теплоты от
менее нагретого тела к более нагрето
му. Ведь именно такой переход осуще
ствляется в холодильной машине. Но
при этом надо помнить, что внешние
силы совершают работу над системой,
т. е. этот переход не является единствен
ным результатом процесса.
Из всех периодически действующих
тепловых машин, имеющих одинако
вые температуры нагревателей (T1) и
холодильников (T2), наибольшим КПД
обладают обратимые машины; при этом
КПД обратимых машин, работающих
при одинаковых температурах нагрева
телей (T1) и холодильников (T2), рав
ны друг другу и не зависят от природы
рабочего тела (тела, совершающего кру
говой процесс и обменивающегося
энергией с другими телами), а опреде
ляются только температурами нагрева
теля и холодильника. Это утверждение
носит название теоремы Карно.
Из всевозможных круговых процес
сов важное значение в термодинамике
имеет цикл Карно — цикл, состоящий
из четырех последовательных обрати
мых процессов: изотермического рас
ширения, адиабатного расширения,
изотермического сжатия и адиабатно
го сжатия.
Прямой цикл Карно изображен на
рис. 89, где изотермические расширение
и сжатие заданы соответственно кривы
ми 1—2 и3—4, а адиабатныерасшире
ние и сжатие — кривыми2—3 и4—1.
При изотермическом процессе U = const,
поэтому, согласно (54.4), количество
теплоты Q1, полученное газом от нагре
вателя, равно работе расширения A12,
совершаемой газом при переходе из со
стояния 1 в состояние 2:
2
12
1
1
1
ln
.
V
m
AR
TQ
MV
==
(59.1)
При адиабатном расширении 2 — 3
теплообмен с окружающей средой от
сутствует и работа расширения A23 со
вершается за счет изменения внутрен
ней энергии [см. (55.1) и (55.8)]:
23
2
1
()
.
V
m
AC
T
T
M
=-
-
Количество теплоты Q2, отданное га
зом холодильнику при изотермическом
сжатии, равно работе сжатия A34:
4
34
2
2
3
ln
.
V
m
AR
TQ
MV
==
-
(59.2)
Работа адиабатного сжатия
41
1
2
23
().
V
m
AC
T
T
A
M
=-
-
=-
Работа, совершаемая в результате
кругового процесса,
A=A12+A23+A34+A41=
=Q1+A23-Q2-A23=Q1-Q2
и определяется площадью, тонирован
ной на рис. 89.
Рис. 89
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

115
Термический КПД цикла Карно, со
гласно (56.2),
12
11
.
QQ
A
QQ
-
h==
Применив уравнение (55.5) для ади
абат2—3 и4 —1, получим
T1V2
g-1
= T2V3
g-1
,
T1V1
g-1
= T2V4
g-1
,
откуда
3
2
14
.
V
V
VV
=
(59.3)
Подставляя (59.1) и (59.2) в форму
лу (56.2) и учитывая (59.3), получаем
3
2
12
12
1
4
2
1
1
1
ln
ln
ln
V
V
mm
RT
RT
QQMVMV
V
m
Q
RT
MV
-
-
h=
=
=
,
12
1
TT
T
-
=
(59.4)
т. е . для цикла Карно КПД действитель
но определяется только температурами
нагревателя и холодильника (доказа
тельство теоремы Карно). Для повыше
ния КПД необходимо увеличивать раз
ность температур нагревателя и холо
дильника. Например, при T1 = 400 К и
T2=300Кh=0,25.Еслижетемпера
туру нагревателя повысить на 100 К,
а температуру холодильника понизить
на 50 К, то h = 0,5. КПД всякого реаль
ного теплового двигателя из за трения
и неизбежных тепловых потерь гораз
до меньше вычисленного для цикла
Карно.
Обратный цикл Карно положен в
основу действия тепловых насосов.
В отличие от холодильных машин теп
ловые насосы должны как можно боль
ше тепловой энергии отдавать горяче
му телу, например системе отопления.
Часть этой энергии отбирается от окру
жающей среды с более низкой темпера
турой, а часть получается за счет меха
нической работы, производимой, на
пример, компрессором.
Теорема Карно послужила основа
нием для установления термодинами
ческой шкалы температур. Сравнив
левую и правую части формулы (59.4),
получим
,
22
11
TQ
TQ
=
(59.5)
т. е . для сравнения температур T1 и T2
двух тел необходимо осуществить цикл
Карно, в котором одно тело использу
ется в качестве нагревателя, другое —
как холодильник. Из равенства (59.5)
видно, что отношение температур тел
равно отношению отданного в этом
цикле количества теплоты к получен
ному. Согласно теореме Карно, хими
ческий состав рабочего тела не влияет
на результаты сравнения температур,
поэтому такая термодинамическая шка
ла не связана со свойствами какого то
определенного термометрического
тела. Отметим, что практически таким
образом сравнивать температуры труд
но, так как реальные термодинамиче
ские процессы, как уже указывалось,
являются необратимыми.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• В чем суть закона Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы моле
кул?
• Почему колебательная степень свободы обладает вдвое большей энергией, чем поступа
тельная и вращательная?
• Что такое внутренняя энергия идеального газа? В результате каких процессов может
изменяться внутренняя энергия системы?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

116
• Что такое теплоемкость газа? Какая из теплоемкостей — CV или Cp — больше и почему?
• Как объяснить температурную зависимость молярной теплоемкости водорода?
• Чему равна работа изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании на 1 К?
• Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется при постоянном дав
лении?
• Температура газа в цилиндре постоянна. Запишите на основе первого начала термоди
намики соотношение между сообщенным количеством теплоты и совершенной рабо
той.
• Газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состо
яние 2 в результате следующих процессов: а) изотермического; б) изобарного; в) изо
хорного. Рассмотрев эти процессы графически, покажите: 1) в каком процессе работа
расширения максимальна; 2) когда газу сообщается максимальное количество теп
лоты.
• Газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состо
яние 2 в результате следующих процессов: а) изобарного процесса; б) последователь
ных изохорного и изотермического процессов. Рассмотрите эти переходы графически.
Одинаковы или различны в обоих случаях: 1) изменение внутренней энергии; 2) затра
ченное количество теплоты?
• Почему адиабата более крутая, чем изотерма?
• Как изменится температура газа при его адиабатном сжатии?
• Показатель политропы n > 1. Нагревается или охлаждается идеальный газ при сжатии?
• Проанализируйте прямой и обратный циклы.
• Чем отличаются обратимые и необратимые процессы? Почему все реальные процессы
необратимы?
• Возможен ли процесс, при котором теплота, взятая от нагревателя, полностью преобра
зуется в работу?
• В каком направлении может изменяться энтропия замкнутой системы? незамкнутой
системы?
• Дайте понятие энтропии (определение, размерность и математическое выражение энт
ропии для различных процессов).
• Изобразите в системе координат T, S изотермический и адиабатный процессы.
• Представив цикл Карно на диаграмме p, V графически, укажите, какой площадью опре
деляется: 1) работа, совершенная над газам; 2) работа, совершенная самим расширяю
щимся газом.
• Представьте графически цикл Карно в переменных T, S.
ÇÀÄÀ×È
9.1 . Азот массой 1 кг находится при температуре 280 К. Определите: 1) внутреннюю энер
гию молекул азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул
азота. Газ считать идеальным. [1) 208 кДж; 2) 83,1 кДж]
9.2 . Определите удельные теплоемкости cV и cp некоторого двухатомного газа, если плот
ность этого газа при нормальных условиях 1,43 кг/м3. [cV = 6 5 0 Дж/(кг · К), cp = 910 Дж/(кг · К)]
9.3. Водород массой m = 2 0 г был нагрет на DT = 1 00 К при постоянном давлении. Опре
делите: 1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) приращение DU внутренней энергии
газа; 3) работу A расширения. [1) 29,3 кДж; 2) 20,9 кДж; 3) 8,4 кДж]
9.4. Кислород объемом 2 л находится под давлением 1 МПа. Определите, какое количе
ство теплоты необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление вдвое в результате
изохорного процесса. [5 кДж]
9.5. Некоторый газ массой 2 кг находится при температуре 300 К и под давлением
0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в три раза. Ра
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

117
бота, затраченная на сжатие, A = -1,37 кДж. Определите: 1) какой это газ; 2) первоначаль
ный удельный объем газа. [1) гелий; 2) 1,25 м3/кг].
9.6. Двухатомный идеальный газ занимает объем V1 = 1 л и находится под давлением
p1 = 0,1 МПа. После адиабатного сжатия газ характеризуется объемом V2 и давлением p2.
В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной тем
пературы, а его давление p3 = 0 ,2 МПа. Определите: 1) объем V2; 2) давление p2. Представь
те эти процессы графически. [1) 0,5 л; 2) 0,26 МПа]
9.7. Идеальный газ количеством вещества n = 2 моль сначала изобарно нагрели так,
что его объем увеличился в n = 2 раза, а затем изохорно охладили так, что давление газа
уменьшилось в n = 2 раза. Определите приращение энтропии в ходе указанных процессов.
[11,5 Дж/К]
9.8 . Тепловая машина, совершая обратный цикл Карно, за один цикл совершает работу
1 кДж. Температура нагревателя 400 К, а холодильника 300 К. Определите: 1) КПД маши
ны; 2) количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за цикл; 3) количество
теплоты, отдаваемое холодильнику за цикл. [1) 25 %; 2) 4 кДж; 3) 3 кДж]
9.9 . Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого равен 0,3. Опре
делите работу изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения со
ставляет 300 Дж. [ -210 Дж]
Ãëàâà 10
ÐÅÀËÜÍÛÅ ÃÀÇÛ, ÆÈÄÊÎÑÒÈ È ÒÂÅÐÄÛÅ ÒÅËÀ
§ 60. Ñèëû è ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ ìåæìîëåêóëÿðíîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ
Модель идеального газа (см. § 41), ис
пользуемая в молекулярно кинетиче
ской теории газов, позволяет довольно
хорошо описывать поведение разрежен
ных реальных газов. При выводе урав
нения состояния идеального газа раз
мерами молекул и их взаимодействием
друг с другом пренебрегают. Повыше
ние давления приводит к уменьшению
среднего расстояния между молекула
ми, поэтому необходимо учитывать
объем молекул и взаимодействие меж
дуними.Так,в1м
3 газа при нормаль
ных условиях содержится 2,68 · 1025 мо
лекул, занимающих объем примерно
10-4
м3 (радиус молекулы примерно
10-10
м), которым по сравнению с объе
мом газа (1 м3) можно пренебречь. При
давлении 500 МПа (1 атм = 101,3 кПа)
объем молекул составит уже половину
всего объема газа. Таким образом, при
высоких давлениях указанная модель
идеального газа непригодна.
При рассмотрении реальных га
зов — газов, свойства которых зависят
от взаимодействия молекул, надо учи
тывать силы межмолекулярного вза
имодействия. Они проявляются на
расстояниях „ 10-9
м и быстро убыва
ют с увеличением расстояния между
молекулами. Такие силы называются
короткодействующими.
В XX в., по мере развития представ
лений о строении атома и квантовой ме
ханики, было выяснено, что между мо
лекулами вещества одновременно дей
ствуют силы притяжения и силы от
талкивания. На рис. 90, а приведена
качественная зависимость сил межмо
лекулярного взаимодействия от расс
тояния r между молекулами, где Fо и
Fп — соответственно силы отталкива
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

118
ния и притяжения, a F — их результи
рующая.
Силы отталкивания считаются поло
жительными, а силы взаимного притя
жения — отрицательными.
На расстоянии r = r0 результирую
щая сила F = 0, т.е. силы притяжения и
отталкивания уравновешивают друг
друга. Таким образом, расстояние r0 со
ответствует равновесному расстоянию
между молекулами, на котором бы они
находились в отсутствие теплового дви
жения. При r < r0 преобладают силы от
талкивания (F > 0), при r > r0 — силы
притяжения (F < 0). На расстояниях
r > 10-9 м межмолекулярные силы вза
имодействия практически отсутствуют
(F®0).
Элементарная работа dA силы F при
увеличении расстояния между молеку
лами на dr совершается за счет умень
шения взаимной потенциальной энер
гии молекул, т. е .
dA=Fdr= -dP.
(60.1)
Из анализа качественной зависимо
сти потенциальной энергии взаимодей
ствия молекул от расстояния между
ними (рис. 90, б ) следует, что если мо
лекулы находятся друг от друга на рас
стоянии, на котором межмолекулярные
силы взаимодействия не действуют
(r ® ¥), то P = 0. При постепенном
сближении молекул между ними появ
ляются силы притяжения (F < 0), ко
торые совершают положительную рабо
ту (dA = F dr > 0). Тогда, согласно
(60.1), потенциальная энергия взаимо
действия уменьшается, достигая мини
мумаприr=r0.
При r < r0 с уменьшением r силы от
талкивания (F > 0) резко возрастают и
совершаемая против них работа отри
цательна (dA = F dr < 0). Потенциаль
ная энергия начинает также резко воз
растать и становится положительной.
Из данной потенциальной кривой сле
дует, что система из двух взаимодей
ствующих молекул в состоянии устой
чивого равновесия (r = r0) обладает ми
нимальной потенциальной энергией.
Критерием различных агрегатных
состояний вещества является соотно
шение между величинами Pmin и kT.
Pmin — наименьшая потенциальная
энергия взаимодействия молекул — оп
ределяет работу, которую нужно совер
шить против сил притяжения для того,
чтобы разъединить молекулы, находя
щиеся в равновесии (r = r0); kT опре
деляет удвоенную среднюю энергию,
приходящуюся на одну степень свобо
ды хаотического (теплового) движения
молекул.
Если Pmin = kT , то вещество нахо
дится в газообразном состоянии, так как
интенсивное тепловое движение моле
кул препятствует соединению молекул,
сблизившихся до расстояния r0, т. е . ве
роятность образования агрегатов из мо
лекул достаточно мала.
Если Pmin ? kT , то вещество находит
ся в твердом состоянии, так как молеку
лы, притягиваясь друг к другу, не могут
удалиться на значительные расстояния
Рис. 90
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

119
и колеблются около положений равно
весия, определяемого расстоянием r0.
Если Pmin » kT , то вещество нахо
дится в жидком состоянии, так как в ре
зультате теплового движения молеку
лы перемещаются в пространстве, об
мениваясь местами, но не расходясь на
расстояние, превышающее r0.
Таким образом, любое вещество в
зависимости от температуры может на
ходиться в газообразном, жидком или
твердом агрегатном состоянии, причем
температура перехода из одного агре
гатного состояния в другое зависит от
значения Pmin для данного вещества.
Например, у инертных газов Pmin мало,
а у металлов велико, поэтому при обыч
ных (комнатных) температурах они
находятся соответственно в газообраз
ном и твердом состояниях.
§ 61. Óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà
Как указывалось в § 60, для реаль
ных газов необходимо учитывать раз
меры молекул и их взаимодействие
друг с другом, поэтому модель идеаль
ного газа и уравнение Клапейрона —
Менделеева (42.4) pVm = RT (для
1 моль газа), описывающее идеальный
газ, для реальных газов непригодны.
Учитывая собственный объем моле
кул и силы межмолекулярного взаимо
действия, голландский физик И. Ван
дер Ваальс (1837 — 1923) вывел уравне
ние состояния реального газа. Ван дер
Ваальсом в уравнение Клапейрона —
Менделеева введены две поправки.
1. Учет собственного объема моле
кул. Наличие сил отталкивания, кото
рые противодействуют проникновению
в занятый молекулой объем других мо
лекул, сводится к тому, что фактический
свободный объем, в котором могут дви
гаться молекулы реального газа, будет
неVm,aVm -b,гдеb—объем,занимае
мый самими молекулами. Объем b равен
учетверенному собственному объему мо
лекул. Если, например, в сосуде находят
ся две молекулы, то центр любой из них
не может приблизиться к центру другой
молекулы на расстояние, меньшее диа
метра d молекулы. Это означает, что для
центров обеих молекул оказывается не
доступным сферический объем радиу
са d, т. е . объем, равный восьми объемам
молекулы или учетверенному объему
молекулы в расчете на одну молекулу.
2. Учет притяжения молекул. Дей
ствие сил притяжения газа приводит к
появлению дополнительного давления
на газ, называемого внутренним дав
лением. По вычислениям Ван дер Ва
альса, внутреннее давление обратно
пропорционально квадрату молярного
объема:
,
2
m
a
p
V
¢=
(61.1)
где a — постоянная Ван дер Ваальса,
характеризующая силы межмолеку
лярного притяжения; Vm — молярный
объем.
Вводя эти поправки, получим урав
нение Ван дер Ваальса для 1 моль газа
(уравнение состояния реальных га
зов):
m
2
m
().
a
pV
b
R
T
V
æö
÷
ç+-
=
÷
ç
÷
çèø
(61.2)
Для произвольного количества ве
щества n газа (
m
M
n= ) с учетом того,
что V = n Vm, уравнение Ван дер Вааль
са примет вид
,
2
aV
pb
R
T
V
2
æö
æö
n÷÷
çç
+-
=
÷÷
çç
÷
֍
ç
èø
èø
n
èëè
,
2
()
a
pV
b
R
T
V
2
æö
n÷
ç+-
n
=
n
÷
ç
÷
çèø
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

120
где поправки a и b — постоянные для
каждого газа величины, определяемые
опытным путем (записываются уравне
ния Ван дер Ваальса для двух извест
ных из опыта состояний газа и решают
ся относительно a и b).
При выводе уравнения Ван дер Ва
альса сделан целый ряд упрощений,
поэтому оно также весьма приближен
ное, хотя и лучше (особенно для не
сильно сжатых газов) согласуется с
опытом, чем уравнение состояния иде
ального газа.
§ 62. Èçîòåðìû Âàí-äåð-Âààëüñà
è èõ àíàëèç
Для исследования поведения реаль
ного газа рассмотрим изотермы Ван
дер Ваальса — кривые зависимости p
от Vm при заданных T, определяемые
уравнением Ван дер Ваальса (61.2) для
1 моль газа. Эти кривые (рассматрива
ются для четырех различных темпера
тур; рис. 91) имеют довольно своеобраз
ный характер. При высоких температу
рах (T > Tк) изотерма реального газа
отличается от изотермы идеального
газа только некоторым искажением ее
формы, оставаясь монотонно спадаю
щей кривой. При некоторой температу
ре Tк на изотерме имеется лишь одна
точка перегиба K. Эта изотерма назы
вается критической, соответствующая
ей температура T к — критической
температурой; точка перегиба K на
зывается критической точкой; в этой
точке касательная к ней параллельна
оси абсцисс. Соответствующие этой
точке объем Vк и давление pк называ
ются также критическими.
Состояние с критическими парамет
рами (pк, Vк, Tк) называется критиче
ским состоянием. При низких темпе
ратурах (T < Tк) изотермы имеют вол
нообразный участок, сначала монотон
но опускаясь вниз, затем монотонно
поднимаясь вверх и снова монотонно
опускаясь.
Для пояснения характера изотерм
преобразуем уравнение Ван дер Вааль
са (61.2) к виду
32
mm
m
()
0
.
pVRTpbVaV
ab
-+
+-
=
(62.1)
Уравнение (62.1) при заданных p и
T является уравнением третьей степе
ни относительно Vm; следовательно,
оно может иметь либо три веществен
ных корня, либо один вещественный и
два мнимых, причем физический смысл
имеют лишь вещественные положи
тельные корни. Поэтому первому слу
чаю соответствуют изотермы при низ
ких температурах (три значения объема
газа V1, V2 и V3) отвечают (индекс «m»
для простоты опускаем) одному значе
нию давления p1), второму случаю —
изотермы при высоких температурах.
Рассматривая различные участки
изотермы при T < Tк (рис. 92), видим,
что на участках1—3 и5—7 приумень
шении объема Vm давление p растет, что
естественно. На участке 3 — 5 сжатие ве
щества приводит к уменьшению давле
ния; практика же показывает, что такие
состояния в природе не осуществляют
ся. Наличие участка 3 — 5 означает, что
при постепенном изменении объема
вещество не может оставаться все вре
мя в виде однородной среды; в некото
Рис. 91
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

121
рый момент должно наступить скачко
образное изменение состояния и распад
вещества на две фазы. Таким образом,
истинная изотерма будет иметь вид ло
маной линии 7—6 —2 —1.
Часть 6 — 7 отвечает газообразному
состоянию, а часть 2 — 1
—
жидкому.
В состояниях, соответствующих гори
зонтальному участку изотермы 6 — 2,
наблюдается равновесие жидкой и га
зообразной фаз вещества. Вещество в
газообразном состоянии при темпера
туре ниже критической называется па
ром, а пар, находящийся в равновесии
со своей жидкостью, называется насы
щенным.
Данные выводы, следующие из ана
лиза уравнения Ван дер Ваальса, были
подтверждены опытами ирландского
ученого Т. Эндрюса (1813 — 1885), изу
чавшего изотермическое сжатие угле
кислого газа. Отличие эксперимен
тальных (Эндрюс) и теоретических
(Ван дер Ваальс) изотерм заключается
в том, что превращению газа в жидкость
в первом случае соответствуют гори
зонтальные участки, а во втором — вол
нообразные.
Для нахождения критических пара
метров подставим их значения в урав
нение (62.1) и запишем
кк
к
32
()0
F846F>8=8=>
-+
+-
=
(62.2)
(индекс «m» для простоты опускаем).
Поскольку в критической точке все три
корня совпадают и равны 8к, уравнение
приводится к виду
кк,
3
()0
F88
-=
или
!
32
2
33
0
.
F8 F88 F88 F8
-+
-
=
кк
кк
к
к
к
(62.3)
Так как уравнения (62.2) и (62.3)
тождественны, то в них должны быть
равны и коэффициенты при неизвест
ных соответствующих степеней. Поэто
му можно записать
3
кк
кк
кк
к
к
,
,
2
33
.
F8=>F8=F846F>
==
=
+
Решая полученные уравнения, най
дем
кк
к
,
,
2
8
3.
27
27
==
8>
F
6
>4
>
==
= (62.4)
Если через крайние точки горизон
тальных участков семейства изотерм
(см. рис. 92) провести линию, то полу
чится колоколообразная кривая (рис.
93), ограничивающая область двухфаз
ных состояний вещества. Эта кривая и
критическая изотерма делят диаграмму
F, 8m под изотермой на три области: под
колоколообразной кривой располагает
ся область двухфазных состояний
(жидкость и насыщенный пар), слева от
нее находится область жидкого состоя
ния, а справа — область пара.
Пар отличается от остальных газо
образных состояний тем, что при изо
термическом сжатии претерпевает про
цесс сжижения. Газ же при температу
ре выше критической не может быть
превращен в жидкость ни при каком
давлении.
Рис. 92
Рис. 93
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

122
Сравнивая изотерму Ван дер Вааль
са с изотермой Эндрюса (верхняя кри
вая на рис. 94), видим, что последняя
имеет прямолинейный участок 2 — 6,
соответствующий двухфазным состоя
ниям вещества. Правда, при некоторых
условиях могут быть реализованы со
стояния, изображаемые участками ван
дер ваальсовой изотермы 5 — 6 и 2 — 3.
Эти неустойчивые состояния называ
ются метастабильными. Участок 2 — 3
изображает перегретую жидкость,
5—6
—
пересыщенный пар. Обе фазы
ограниченно устойчивы.
При достаточно низких температу
рах изотерма пересекает ось Vm, пере
ходя в область отрицательных давле
ний (нижняя кривая на рис. 94). Веще
ство под отрицательным давлением на
ходится в состоянии растяжения. При
некоторых условиях такие состояния
также реализуются. Участок 8 — 9 на
нижней изотерме соответствует пере
гретой жидкости, участок 9 — 10 —
растянутой жидкости.
§ 63. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ
ðåàëüíîãî ãàçà
Внутренняя энергия реального газа
складывается из кинетической энергии
теплового движения его молекул (оп
ределяет внутреннюю энергию идеаль
ного газа, равную CVT ; см. § 53) и по
тенциальной энергии межмолекуляр
ного взаимодействия. Потенциальная
энергия реального газа обусловлена
только силами притяжения между мо
лекулами. Наличие сил притяжения
приводит к возникновению внутренне
го давления на газ [см. (61.1)]:
2
m
.
a
p
V
¢=
Работа, которая затрачивается для
преодоления сил притяжения, действу
ющих между молекулами газа, как из
вестно из механики, идет на увеличение
потенциальной энергии системы, т. е .
, èëè
m
2
m
dd
a
ApV
V
V
¢
d=
=
dP dP=
,от
куда
m
a
V
P=-
(постоянная интегрирования принята
равной нулю). Знак «-» означает, что
молекулярные силы, создающие внут
реннее давление p ¢, являются силами
притяжения (см. § 60). Учитывая оба
слагаемых, получим, что внутренняя
энергия 1 моль реального газа
m
m
V
a
UC
T
V
=-
(63.1)
растет с повышением температуры и
увеличением объема.
Если газ расширяется без теплооб
мена с окружающей средой (адиабат
ный процесс, т.е. dQ = 0) ине соверша
ет внешней работы (расширение газа в
вакуум, т. е . dA = 0), то на основании
первого начала термодинамики [dQ =
= (U2 - U1) + dA] получим, что
U1=U2.
(63.2)
Следовательно, при адиабатном рас
ширении без совершения внешней ра
боты внутренняя энергия газа не изме
няется.
Рис. 94
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

123
Равенство (63.2) формально спра
ведливо как для идеального, так и для
реального газов, но его физический
смысл для обоих случаев совершенно
различен. Для идеального газа равен
ство U1 = U2 означает равенство темпе
ратур (T1 = T2), т. е . при адиабатном
расширении идеального газа в вакуум
его температура не изменяется. Для ре
ального газа из равенства (63.2), учиты
вая, что для 1 моль газа
,
,
11 22
12
VV
aa
UC
TUC
T
VV
=-
=-
(63.3)
получим
12
12
11.
V
a
TT
CVV
æö
÷
ç
-=
-
÷
ç
÷
çèø
ТаккакV2>V1,тоT1>T2,т.е.ре
альный газ при адиабатном расшире
нии в вакуум охлаждается. При адиа
батном сжатии в вакуум реальный газ
нагревается.
§ 64. Ýôôåêò Äæîóëÿ — Òîìñîíà
Если идеальный газ адиабатно рас
ширяется и совершает при этом рабо
ту, то он охлаждается, так как работа в
данном случае совершается за счет его
внутренней энергии (см. § 55). Подоб
ный процесс, но с реальным газом —
адиабатное расширение реального газа
с совершением внешними силами поло
жительной работы — осуществили анг
лийские физики Дж. Джоуль (1818 —
1889) и У. Томсон (лорд Кельвин,
1824 — 1907).
Рассмотрим эффект Джоуля — Том
сона. На рис. 95 представлена схема их
опыта. В теплоизолированной трубке с
пористой перегородкой находятся два
поршня, которые могут перемещаться
без трения. Пусть сначала слева от пе
регородки газ под поршнем 1 находит
ся под давлением p1, занимает объем V1
при температуре T1, а справа газ отсут
ствует (поршень 2 придвинут к перего
родке). После прохождения газа через
пористую перегородку в правой части
газ характеризуется параметрами p2, V2,
T2. Давления p1 и p 2 поддерживаются
постоянными (p1 > p2).
Так как расширение газа происходит
без теплообмена с окружающей средой
(адиабатно), то на основании первого
начала термодинамики
dQ=(U2-U1)+dA=0. (64.1)
Внешняя работа, совершаемая газом,
состоит из положительной работы при
движении поршня 2 (A2 = p2V2) и от
рицательной при движении поршня 1
(A1=p1V1),т.е.dA =A2-A1.Подстав
ляя выражения для работ в формулу
(64. 1), получим
U1 + p1V1 = U2 + p2V2. (64.2)
Таким образом, в опыте Джоуля —
Томсона сохраняется (остается неиз
менной) величина U + pV. Она являет
ся функцией состояния и называется
энтальпией.
Ради простоты рассмотрим 1 моль
газа. Подставляя в формулу (64.2) вы
ражение (63.3) и рассчитанные из урав
нения Ван дер Ваальса (61.2) значения
p1V1 и p2V2 (индекс «m» опять опуска
ем) и производя элементарные преоб
разования, получаем
Рис. 95
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

124
21
21
21
11
2(
)
V
ab
p
p
VV
TT
CR
æö
÷
ç ---
÷
ç
÷
çèø
-=
-
+
22
21
11
.
V
ab
VV
CR
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
çèø
-
+
(64.3)
Из выражения (64.3) следует, что
знак разности (T2 - T1) зависит от того,
какая из поправок Ван дер Ваальса иг
рает бо′ льшую роль. Проанализируем
данное выражение, сделав допущение,
чтоp2=p1иV2?V1:
1)a»0—неучитываемсилыпри
тяжения между молекулами, а учитыва
ем лишь размеры самих молекул. Тогда
,
21
21
()
0
V
bpp
TT
CR
--
-»
>
+
т. е . газ в данном случае нагревается;
2) b » 0 — не учитываем размеров мо
лекул, а учитываем лишь силы притя
жения между молекулами. Тогда
,
21
21
11
2
0
V
a
VV
TT
CR
æö
÷
ç-
÷
ç
÷
çèø
-»
<
+
т. е . газ в данном случае охлаждается;
3) учитываем обе поправки. Подста
вив в выражение (64.3) вычисленное из
уравнения Ван дер Ваальса (61.2) зна
чение p1, имеем
1
22
11
11
21
2
VV
bRT
ab
a
a
b
VVbV V
TT
CR CR
-+
-
-
-»
+
=
++
,
1
11
2
V
bRT
a
VbV
CR
-
-
=
+
(64.4)
т. е. знак разности температур зависит
от значений начального объема V1 и
начальной температуры T1.
Изменение температуры реального
газа в результате его адиабатного рас
ширения, или, как говорят, адиабат
ного дросселирования — медленного
прохождения газа под действием пере
пада давления сквозь дроссель (напри
мер, пористую перегородку), называет
ся эффектом Джоуля — Томсона. Эф
фект Джоуля — Томсона принято назы
вать положительным, если газ в про
цессе дросселирования охлаждается
(DT < 0), и отрицательным, если газ
нагревается (DT > 0).
В зависимости от условий дроссели
рования для одного и того же газа эф
фект Джоуля — Томсона может быть
как положительным, так и отрицатель
ным. Температура, при которой (для
данного давления) происходит измене
ние знака эффекта Джоуля — Томсона,
называется температурой инверсии.
Ее зависимость от объема получим,
приравняв выражение (64.4) нулю:

21.
ab
T
RbV
=-
(64.5)
Кривая, определяемая уравнением
(64.5), — кривая инверсии — приведе
на на рис. 96 . Область выше этой кри
вой соответствует отрицательному эф
фекту Джоуля — Томсона, ниже — по
ложительному. Отметим, что при боль
ших перепадах давления на дросселе
температура газа изменяется значи
тельно. Так, при дросселировании от 20
до 0,1 МПа и начальной температуре
17 °С воздух охлаждается на 35 °С.
Эффект Джоуля — Томсона обус
ловлен отклонением газа от идеально
Рис. 96
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

125
сти. В самом деле, для 1 моль идеаль
ного газа pVm = RT , поэтому выраже
ние (64.2) примет вид
CVT1+RT1=CVT2+RT2,
откуда следует, что T1 = T2.
§ 65. Ñæèæåíèå ãàçîâ
Превращение любого газа в жид
кость — сжижение газа
—
возможно
лишь при температуре ниже критиче
ской (см. § 62). При ранних попытках
сжижения газов оказалось, что некото
рые газы (Cl2, CO2, NH3) легко сжижа
лись изотермическим сжатием, а целый
ряд газов (O2, N2, H2, He) сжижению не
поддавался. Подобные неудачные по
пытки объяснил Д. И . Менделеев, пока
зав, что сжижение этих газов произво
дилось при температуре, большей кри
тической, и поэтому заранее было об
речено на неудачу. Впоследствии уда
лось получить жидкие кислород, азот и
водород (их критические температуры
равны соответственно 154,4, 126,1 и
33 К), а в 1908 г. нидерландский физик
Г. Камерлинг Оннес (1853 — 1926) до
бился сжижения гелия, имеющего са
мую низкую критическую температуру
(5,3 К).
Для сжижения газов чаще применя
ются два промышленных метода, в ос
нове которых используется либо эф
фект Джоуля — Томсона, либо охлажде
ние газа при совершении им работы.
Схема одной из установок, в которой
используется эффект Джоуля — Томсо
на, — машины Линде1
—
представлена
на рис. 97. Воздух в компрессоре (К)
сжимается до давления в десятки ме
гапаскалей и охлаждается в холодиль
нике (X) до температуры ниже темпе
ратуры инверсии, в результате чего при
дальнейшем расширении газа наблюда
ется положительный эффект Джоуля —
Томсона (охлаждение газа при его рас
ширении). Затем сжатый воздух прохо
дит по внутренней трубе теплообмен
ника (ТО) и пропускается через дрос
сель (Др), при этом он сильно расши
ряется и охлаждается. Расширивший
ся воздух вновь засасывается по внеш
ней трубе теплообменника, охлаждая
вторую порцию сжатого воздуха, теку
щего по внутренней трубе.
Так как каждая следующая порция
воздуха предварительно охлаждается, а
затем пропускается через дроссель, то
температура понижается все больше.
В результате 6 — 8 часового цикла часть
воздуха (»5 %), охлаждаясь до темпе
ратуры ниже критической, сжижается
и поступает в дьюаровский сосуд (ДС)
(см. § 49), а остальная его часть возвра
щается в теплообменник.
Второй метод сжижения газов осно
ван на охлаждении газа при соверше
нии им работы. Сжатый газ, поступая в
поршневую машину (детандер), рас
ширяется и совершает при этом работу
по передвижению поршня. Так как ра
бота совершается за счет внутренней
энергии газа, то его температура при
этом понижается.
Академик П. Л . Капица предложил
вместо детандера применять турбоде
тандер, в котором газ, сжатый всего
лишь до 500 — 600 кПа, охлаждается,
1 К. Линде (1842 — 1934) — немецкий физик
и инженер.
Рис. 97
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

126
совершает работу по вращению турби
ны. Этот метод успешно применен Ка
пицей для сжижения гелия, предвари
тельное охлаждение которого произво
дилось жидким азотом. Современные
мощные холодильные установки рабо
тают по принципу турбодетандера.
§ 66. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé.
Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå
Жидкость является агрегатным со
стоянием вещества, промежуточным
между газообразным и твердым, поэто
му она обладает свойствами как газооб
разных, так и твердых веществ. Жидко
сти, подобно твердым телам, имеют оп
ределенный объем, а подобно газам,
принимают форму сосуда, в котором
они находятся (см. § 28). Молекулы
газа практически не связаны между со
бой силами межмолекулярного взаимо
действия, и в данном случае средняя
энергия теплового движения молекул
газа гораздо больше средней потенци
альной энергии, обусловленной силами
притяжения между ними (см. § 60), по
этому молекулы газа разлетаются в раз
ные стороны и газ занимает предостав
ленный ему объем.
В твердых и жидких телах силы при
тяжения между молекулами уже суще
ственны и удерживают молекулы на оп
ределенном расстоянии друг от друга.
В этом случае средняя энергия хаоти
ческого (теплового) движения молекул
меньше средней потенциальной энер
гии, обусловленной силами межмоле
кулярного взаимодействия, и ее недо
статочно для преодоления сил притя
жения между молекулами, поэтому
твердые тела и жидкости имеют опре
деленный объем.
Рентгеноструктурный анализ жид
костей показал, что характер располо
жения частиц жидкости промежуточен
между газом и твердым телом. В газах
молекулы движутся хаотично, поэтому
нет никакой закономерности в их вза
имном расположении. Для твердых тел
наблюдается так называемый дальний
порядок в расположении частиц, т. е. их
упорядоченное расположение, повторя
ющееся на больших расстояниях. В жид
костях имеет место так называемый
ближний порядок в расположении ча
стиц, т. е . их упорядоченное расположе
ние, повторяющееся на расстояниях,
сравнимых с межатомными.
Теория жидкости до настоящего вре
мени полностью не развита. Разработка
ряда проблем в исследовании свойств
жидкости принадлежит Я. И. Френке
лю (1894 — 1952). Тепловое движение в
жидкости он объяснял тем, что каждая
молекула в течение некоторого време
ни колеблется около определенного
положения равновесия, после чего
скачком переходит в новое положение,
отстоящее от исходного на расстоянии
порядка межатомного. Таким образом,
молекулы жидкости довольно медлен
но перемещаются по всей массе жидко
сти и диффузия происходит гораздо
медленнее, чем в газах. С повышением
температуры жидкости частота колеба
тельного движения резко увеличивает
ся, возрастает подвижность молекул,
что, в свою очередь, является причиной
уменьшения вязкости жидкости.
На каждую молекулу жидкости со
стороны окружающих молекул дей
ствуют силы притяжения, быстро убы
вающие с расстоянием (см. рис. 90);
следовательно, начиная с некоторого
минимального расстояния силами при
тяжения между молекулами можно
пренебречь. Это расстояние (порядка
10-9 м) называется радиусом молеку
лярного действия r, а сфера радиуса
r — сферой молекулярного действия.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

127
Выделим внутри жидкости какую
либо молекулу A (рис. 98) и проведем
вокруг нее сферу радиусом r. Достаточ
но, согласно определению, учесть дей
ствие на данную молекулу только тех
молекул, которые находятся внутри
сферы молекулярного действия. Силы,
с которыми эти молекулы действуют на
молекулу A, направлены в разные сто
роны и в среднем скомпенсированы,
поэтому результирующая сила, дей
ствующая на молекулу внутри жидко
сти со стороны других молекул, равна
нулю.
Иначе обстоит дело, если молекула,
например молекула B, расположена от
поверхности на расстоянии, мень
шем r. В данном случае сфера молеку
лярного действия лишь частично рас
положена внутри жидкости. Так как
концентрация молекул в расположен
ном над жидкостью газе мала по срав
нению с их концентрацией в жидкости,
то равнодействующая сил F
r
, прило
женных к каждой молекуле поверхно
стного слоя, не равна нулю и направ
лена внутрь жидкости. Таким образом,
результирующие силы всех молекул
поверхностного слоя оказывают на
жидкость давление, называемое моле
кулярным (или внутренним). Моле
кулярное давление не действует на
тело, помещенное в жидкость, так как
оно обусловлено силами, действующи
ми только между молекулами самой
жидкости.
Суммарная энергия частиц жидко
сти складывается из энергии их хаоти
ческого (теплового) движения и потен
циальной энергии, обусловленной си
лами межмолекулярного взаимодей
ствия. Для перемещения молекулы из
глубины жидкости в поверхностный
слой надо затратить работу. Эта работа
совершается за счет кинетической энер
гии молекул и идет на увеличение их
потенциальной энергии. Поэтому моле
кулы поверхностного слоя жидкости
обладают большей потенциальной
энергией, чем молекулы внутри жидко
сти. Эта дополнительная энергия, кото
рой обладают молекулы в поверхност
ном слое жидкости, называемая поверх
ностной энергией, пропорциональна
площади слоя DS :
DE = sDS,
(66.1)
где s — поверхностное натяжение.
Так как равновесное состояние ха
рактеризуется минимумом потенциаль
ной энергии, то жидкость при отсут
ствии внешних сил будет принимать
такую форму, чтобы при заданном
объеме она имела минимальную повер
хность, т. е. форму шара. Наблюдая
мельчайшие капельки, взвешенные в
воздухе, можем видеть, что они дей
ствительно имеют форму шариков, но
несколько искаженную из за действия
сил земного тяготения. В условиях не
весомости капля любой жидкости (не
зависимо от ее размеров) имеет сфери
ческую форму, что доказано экспери
ментально на космических кораблях.
Итак, условием устойчивого равно
весия жидкости является минимум по
верхностной энергии. Это означает, что
жидкость при заданном объеме долж
на иметь наименьшую площадь повер
хности, т. е . жидкость стремится сокра
тить площадь свободной поверхности.
В этом случае поверхностный слой
Рис. 98
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

128
жидкости можно уподобить растянутой
упругой пленке, в которой действуют
силы натяжения.
Рассмотрим поверхность жидкости
(рис. 99), ограниченную замкнутым
контуром. Под действием сил поверх
ностного натяжения (направлены по
касательной к поверхности жидкости и
перпендикулярно участку контура, на
который они действуют) поверхность
жидкости сократилась и рассматривае
мый контур переместился в новое по
ложение, отмеченное на рисунке стрел
ками. Силы, действующие со стороны
выделенного участка на граничащие с
ним участки, совершают работу
DA = fDlDx,
где f — сила поверхностного натяжения,
действующая на единицу длины конту
ра поверхности жидкости.
Изрис. 99 видно, что DlDx = DS, т.е.
DA= fDS.
(66.2)
Эта работа совершается за счет
уменьшения поверхностной энергии,
т.е.
DA=DE.
(66.3)
Из сравнения выражений (66.1) —
(66.3) видно, что
s=f,
(66.4)
т. е . поверхностное натяжение равно
силе поверхностного натяжения, при
ходящейся на единицу длины контура,
ограничивающего поверхность. Едини
ца поверхностного натяжения — нью
тон на метр (Н/м) или джоуль на квад
ратный метр (Дж/м
2
) [см. (66.4) и
(66.1)]. Большинство жидкостей при
температуре 300 К имеет поверхностное
натяжение порядка 10-2
—
10-1
Н/м. По
верхностное натяжение с повышением
температуры уменьшается, так как уве
личиваются средние расстояния между
молекулами жидкости.
Поверхностное натяжение суще
ственным образом зависит от примесей,
имеющихся в жидкостях. Вещества,
ослабляющие поверхностное натяже
ние жидкости, называются поверхнос
тно активными. Наиболее известным
поверхностно активным веществом по
отношению к воде является мыло. Оно
сильно уменьшает ее поверхностное
натяжение (примерно с 7,5 · 10-2
до
4,5 · 10-2
Н/м). Поверхностно активны
ми веществами, понижающими повер
хностное натяжение воды, являются
также спирты, эфиры, нефть и др.
Существуют вещества (сахар, соль),
которые увеличивают поверхностное
натяжение жидкости благодаря тому,
что их молекулы взаимодействуют с
молекулами жидкости сильнее, чем
молекулы жидкости между собой. На
пример, если посолить мыльный ра
створ, то в поверхностный слой жидко
сти выталкивается молекул мыла боль
ше, чем в пресной воде. В мыловарен
ной технике мыло «высаливается» этим
способом из раствора.
§ 67. Ñìà÷èâàíèå
Из повседневной практики извест
но, что капля воды растекается на стек
ле и принимает форму, изображенную
на рис. 100, в то время как ртуть на той
же поверхности превращается в не
сколько сплюснутую каплю (рис. 101).
Рис. 99
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

129
В первом случае говорят, что жидкость
смачивает твердую поверхность, во
втором — не смачивает ее .
Смачивание зависит от характера
сил, действующих между молекулами
поверхностных слоев соприкасающих
ся сред. Для смачивающей жидкости
силы притяжения между молекулами
жидкости и твердого тела больше, чем
между молекулами самой жидкости, и
жидкость стремится увеличить повер
хность соприкосновения с твердым те
лом. Для несмачивающей жидкости
силы притяжения между молекулами
жидкости и твердого тела меньше, чем
между молекулами жидкости, и жид
кость стремится уменьшить поверх
ность своего соприкосновения с твер
дым телом.
К линии соприкосновения трех сред
(точка O есть ее пересечение с плоско
стью чертежа) приложены три силы
поверхностного натяжения, которые
направлены по касательной внутрь по
верхности соприкосновения соответ
ствующих двух сред (см. рис. 100 и 101).
Эти силы, отнесенные к единице длины
линии соприкосновения, равны соот
ветствующим поверхностным натяже
ниям s12, s13, s23. Угол q между касатель
ными к поверхностям жидкости и твер
дого тела называется краевым углом.
Условием равновесия капли (см. рис.
100) является равенство нулю суммы
проекций сил поверхностного натяже
ния на направление касательной к по
верхности твердого тела, т. е .
-s13+s12+s23cosq=0,
откуда
13
12
23
cos
.
s-
s
q=
s
(67.1)
Из условия (67.1) вытекает, что кра
евой угол может быть острым или ту
пым в зависимости от значений s13 и s12.
Еслиs13>s12,тоcosq>0иуголq—
острый (см. рис. 100), т. е . жидкость сма
чивает твердую поверхность. Если
s13<s12,тоcosq<0иуголq—тупой
(рис. 101), т. е. жидкость не смачивает
твердую поверхность. Краевой угол
удовлетворяет условию (67.1), если
13
12
23
1.
s-
s
s
„
(67.2)
Если условие (67.2) не выполняет
ся, то капля жидкости (2) ни при каких
значениях q не может находиться в рав
новесии. Если s13 > s12 + s23, то жид
кость растекается по поверхности твер
дого тела, покрывая его тонкой пленкой
(например, керосин на поверхности
стекла), — имеет место полное смачи
вание (в данном случае q = 0). Если
s12 > s13 + s23, то жидкость стягивается
в шаровую каплю, в пределе имея с ней
лишь одну точку соприкосновения (на
пример, капля воды на поверхности
парафина), — имеет место полное не
смачивание (в данном случае q = p).
Смачивание и несмачивание явля
ются понятиями относительными, т. е .
жидкость, смачивающая одну твердую
поверхность, не смачивает другую. На
пример, вода смачивает стекло, но не
Рис. 100
Рис. 101
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

130
смачивает парафин; ртуть не смачива
ет стекло, но смачивает чистые поверх
ности металлов.
Явления смачивания и несмачива
ния имеют большое значение в техни
ке. Например, в методе флотационного
обогащения руды (отделение руды от
пустой породы) ее, мелко раздроблен
ную, взбалтывают в жидкости, смачи
вающей пустую породу и не смачиваю
щей руду. Через эту смесь продувается
воздух, а затем она отстаивается. При
этом смоченные жидкостью частицы
породы опускаются на дно, а крупинки
минералов «прилипают» к пузырькам
воздуха и всплывают на поверхность
жидкости. При механической обработ
ке металлов их смачивают специальны
ми жидкостями, что облегчает и уско
ряет обработку.
§ 68. Äàâëåíèå ïîä èñêðèâëåííîé
ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè
Если поверхность жидкости не плос
кая, а искривленная, то она оказывает
на жидкость избыточное (добавочное)
давление. Это давление, обусловленное
силами поверхностного натяжения, для
выпуклой поверхности положительно,
а для вогнутой — отрицательно.
Для расчета избыточного давления
предположим, что свободная поверх
ность жидкости имеет форму сферы
радиусом R, от которой мысленно от
сечен шаровой сегмент, опирающийся
на окружность радиусом r = R sin a
(рис. 102). На каждый бесконечно ма
лый элемент длины Dl этого контура
действует сила поверхностного натяже
ния DF = sDl , касательная к поверх
ности сферы.
Разложив DF
r
на два компонента
(DF
r
1иDF
r
2), видим, что геометричес
кая сумма сил DF
r
2 равна нулю, так как
эти силы на противоположных сторо
нах контура направлены в обратные
стороны и взаимно уравновешиваются.
Поэтому равнодействующая сил повер
хностного натяжения, действующих на
вырезанный сегмент, направлена пер
пендикулярно плоскости сечения
внутрь жидкости и равна алгебраиче
ской сумме составляющих DF1:
1
sin
2.
r
FFF
l
R
rr
lr
RR
=D=D a
=s
D=
ss
=D
=
p
ååå
å
Разделив эту силу на площадь осно
вания сегмента pr 2
, вычислим избыточ
ное давление на жидкость, создаваемое
силами поверхностного натяжения и
обусловленное кривизной поверхности:
2
2
22
.
Fr
p
SR
rR
sp
s
D==
=
p
(68.1)
Если поверхность жидкости вогну
тая, то можно доказать, что результи
рующая сила поверхностного натяже
ния направлена из жидкости и равна
2.
p
R
s
D=
-
(68.2)
Следовательно, давление внутри
жидкости под вогнутой поверхностью
меньше, чем в газе, на величину Dp.
Формулы (68.1) и (68.2) являются
частным случаем формулы Лапласа1,
определяющей избыточное давление
Рис. 102
1 П. Лаплас (1749 — 1827) — французский уче
ный.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

131
для произвольной поверхности жидко
сти двоякой кривизны:
,
12
11
p
RR
æö
÷
ç
D=s+÷
ç
÷
çèø
(68.3)
где R 1 и R2 — радиусы кривизны двух
любых взаимно перпендикулярных нор
мальных поверхности жидкости в дан
ной точке.
Радиус кривизны положителен, если
центр кривизны соответствующего се
чения находится внутри жидкости, и
отрицателен, если центр кривизны на
ходится вне жидкости.
Для сферической искривленной по
верхности (R1 = R2 = R) выражение
(68.3) переходит в (68.1), для цилинд
рической(R1=RиR2=¥)—избы
точное давление

11.
p
RR
s
D=s+=
¥
В случае плоской поверхности (R1 =
= R2 = ¥) силы поверхностного натя
жения избыточного давления не создают.
§ 69. Êàïèëëÿðíûå ÿâëåíèÿ
Если поместить один конец узкой
трубки (капилляр) в широкий сосуд,
наполненный жидкостью, то вследст
вие смачивания или несмачивания
жидкостью стенок капилляра кривизна
поверхности жидкости в капилляре ста
новится значительной. Если жидкость
смачивает материал трубки, то внутри
ее поверхность жидкости — мениск —
имеет вогнутую форму, если не смачи
вает, — выпуклую (рис. 103).
Под вогнутой поверхностью жидко
сти появится отрицательное избыточное
давление, определяемое по формуле
(68.2). Наличие этого давления приво
дит к тому, что жидкость в капилляре
поднимается, так как под плоской повер
хностью жидкости в широком сосуде
избыточного давления нет. Если же жид
кость не смачивает стенки капилляра, то
положительное избыточное давление
приведет к опусканию жидкости в ка
пилляре. Явление изменения высоты
уровня жидкости в капиллярах называ
ется капиллярностью. Жидкость в ка
пилляре поднимается или опускается
на такую высоту h , при которой давле
ние столба жидкости (гидростатиче
ское давление) rgh уравновешивается
избыточным давлением Dp, т. е .
,
2
gh
R
s
=r
где r — плотность жидкости; g — уско
рение свободного падения.
Если r — радиус капилляра, q — кра
евой угол, то из рис. 103 следует, что
2cos gh
r
sq
=r , откуда
2cos
.
h
gr
sq
=
r
(69.1)
В соответствии с тем, что смачиваю
щая жидкость по капилляру поднимает
ся, а несмачивающая опускается, из фор
мулы (69.1) при
2
p
q< (cosq >0)полу
чим положительные значения h , а при
2
p
q> (cos q < 0) — отрицательные. Из
выражения (69.1) также видно, что вы
сота поднятия (опускания) жидкости в
капилляре обратно пропорциональна
его радиусу. В тонких капиллярах жид
кость поднимается достаточно высоко.
Так, при полном смачивании (q= 0)
Рис. 103
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

132
вода (r = 1000 кг/м3, s = 0,073 Н/м)
в капилляре диаметром 10 мкм подни
мается на высоту h » 3 м.
Капиллярные явления играют боль
шую роль в природе и технике. Напри
мер, влагообмен в почве и растениях
осуществляется за счет поднятия воды
по тончайшим капиллярам.
На капиллярности основано дей
ствие фитилей, впитывание влаги бето
номи т.д.
§ 70. Òâåðäûå òåëà.
Ìîíî- è ïîëèêðèñòàëëû
Твердые тела (кристаллы) характе
ризуются наличием значительных сил
межмолекулярного взаимодействия и
сохраняют постоянными не только свой
объем, но и форму. Кристаллы имеют
правильную геометрическую форму,
которая, как показали рентгенографи
ческие исследования немецкого физи
ка теоретика М. Лауэ (1879 — 1960), яв
ляется результатом упорядоченного
расположения частиц (атомов, моле
кул, ионов), составляющих кристалл.
Структура, для которой характерно
регулярное расположение частиц с пе
риодической повторяемостью в трех
измерениях, называется кристалли
ческой решеткой. Точки, в которых
расположены частицы, а точнее — сред
ние равновесные положения, около ко
торых частицы совершают колебания,
называются узлами кристаллической
решетки.
Кристаллические тела можно разде
лить на две группы: монокристаллы и
поликристаллы. Монокристаллы —
твердые тела, частицы которых образу
ют единую кристаллическую решетку.
Кристаллическая структура монокрис
таллов обнаруживается по их внешней
форме. Хотя внешняя форма монокри
сталлов одного типа может быть раз
личной, но углы между соответствую
щими гранями у них остаются постоян
ными. Это закон постоянства углов,
сформулированный М. В. Ломоносо
вым. Он сделал важный вывод о том,
что правильная форма кристаллов свя
зана с закономерным размещением ча
стиц, образующих кристалл.
Монокристаллами является боль
шинство минералов. Однако крупные
природные монокристаллы встречают
ся довольно редко (например, лед, по
варенная соль, исландский шпат). В на
стоящее время многие монокристаллы
выращиваются искусственно. Условия
роста крупных монокристаллов (чис
тый раствор, медленное охлаждение и
т. д .) часто не выдерживаются, поэтому
большинство твердых тел имеет мелко
кристаллическую структуру, т. е . состо
ит из множества беспорядочно ориен
тированных мелких кристаллических
зерен. Такие твердые тела называются
поликристаллами (многие горные
породы, металлы и сплавы).
Характерной особенностью моно
кристаллов является их анизотроп
ность, т. е. зависимость физических
свойств — упругих, механических, теп
ловых, электрических, магнитных, оп
тических — от направления.
Анизотропия монокристаллов объяс
няется тем, что в кристаллической ре
шетке различно число частиц, приходя
щихся на одинаковые по длине, но раз
ные по направлению отрезки (рис. 104),
т. е. плотность расположения частиц
кристаллической решетки по разным
направлениям неодинакова, что и при
водит к различию свойств кристалла
вдоль этих направлений. В поликрис
таллах анизотропия наблюдается толь
ко для отдельных мелких кристалли
ков, но их неодинаковая ориентация
приводит к тому, что свойства поликри
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

133
сталла по всем направлениям в среднем
одинаковы.
§ 71. Òèïû êðèñòàëëè÷åñêèõ
òâåðäûõ òåë
Существует два признака для клас
сификации кристаллов: 1) кристалло
графический; 2) физический (природа
частиц, расположенных в узлах крис
таллической решетки, и характер сил
взаимодействия между ними).
1. Кристаллографический признак
кристаллов. В данном случае важна
только пространственная периодичность
в расположении частиц, поэтому мож
но отвлечься от их внутренней струк
туры, рассматривая частицы как гео
метрические точки.
Кристаллическая решетка может
обладать различными видами симмет
рии. Симметрия кристаллической
решетки — ее свойство совмещаться с
собой при некоторых пространствен
ных перемещениях, например парал
лельных переносах, поворотах, отра
жениях или их комбинациях и т. д .
Кристаллической решетке, как доказал
русский кристаллограф Е. С. Федоров
(1853 — 1919), присущи 230 комбина
ций элементов симметрии, или 230 раз
личных пространственных групп.
С переносной симметрией в трех
мерном пространстве связывают поня
тие трехмерной периодической струк
туры — пространственной решетки,
или решетки Бравэ, представление о
которой введено французским кристал
лографом О. Бравэ (1811 — 1863). Вся
кая пространственная решетка может
быть составлена повторением в трех раз
личных направлениях одного и того же
Рис. 104
Таблица 3
Кристалло
графическая
система
Триклин
ная
Моноклин
ная
Ромбиче
ская
Тетраго
нальная
Ромбоэдри
ческая
(тригональ
ная)
Гексаго
нальная
Кубическая
Характеристи
ка элементар
ной ячейки
a1b1c,
a1b1g
a1b1c,
a=b=
=90°1g
a1b1c,
a=b=
=g=90°
a=b1c,
a=b=
=g=90°
a=b=c,
a=b=
=g190°
a=b1c,
a=b=90°,
g=60°
a=b=c,
a=b=
=g=90°
Форма
элементарной
ячейки
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

134
структурного элемента — элементар
ной ячейки. Всего существует 14 типов
решеток Бравэ, отличающихся по виду
переносной симметрии. Они распреде
ляются по семи кристаллографиче
ским системам, или сингониям, пред
ставленным в порядке возрастающей
симметрии в табл. 3 .
Для описания элементарных ячеек
пользуются кристаллографическими
осями координат, которые проводят па
раллельно ребрам элементарной ячейки,
а начало координат выбирают в левом
углу передней грани элементарной ячей
ки. Элементарная кристаллическая
ячейка представляет собой параллеле
пипед, построенный на ребрах a, b, c с
углами a, b и g между ребрами (табл. 3).
Величиныa,bиcиa,bиgназываются
параметрами элементарной ячейки и
однозначно ее определяют.
2. Физический признак кристал
лов. В зависимости от рода частиц, рас
положенных в узлах кристаллической
решетки, и характера сил взаимодей
ствия между ними кристаллы разделя
ются на четыре типа: ионные, атомные,
металлические, молекулярные.
Ионные кристаллы. В узлах крис
таллической решетки располагаются
поочередно ионы противоположного
знака. Типичными ионными кристал
лами является большинство галоидных
соединений щелочных металлов (NaCl,
CsCl, KBr и т. д .), а также оксидов раз
личных элементов (MgO, CaO и т. д .).
Структуры решеток двух наиболее
характерных ионных кристаллов —
NaCl (решетка представляет собой две
одинаковые гранецентрированные ку
бические решетки, вложенные друг в
друга; в узлах одной из этих решеток на
ходятся ионы Na
+
, в узлах другой —
ионы Cl-) и CsCl (кубическая объемно
центрированная решетка — в центре
каждой элементарной решетки нахо
дится ион) — показаны на рис. 105.
Силы взаимодействия между ионами
являются в основном электростатиче
скими (кулоновскими).
Связь, обусловленная кулоновски
ми силами притяжения между разно
именно заряженными нонами, называ
ется ионной (или гетерополярной).
В ионной решетке нельзя выделить от
дельные молекулы: кристалл представ
ляет собой как бы одну гигантскую мо
лекулу.
Атомные кристаллы. В узлах крис
таллической решетки располагаются
нейтральные атомы, удерживающиеся
в узлах решетки гомеополярными, или
ковалентными, связями квантово ме
ханического происхождения (у сосед
них атомов обобществлены валентные
электроны, наименее связанные с ато
мом). Атомными кристаллами являют
ся алмаз и графит (два различных со
стояния углерода), некоторые неорга
нические соединения (ZnS, BeO и т. д .),
а также типичные полупроводники —
германий Ge и кремний Si. Структура
решетки алмаза приведена на рис. 106,
где каждый атом углерода окружен че
тырьмя такими же атомами, которые
располагаются на одинаковых рассто
яниях от него в вершинах тетраэдров.
Валентные связи осуществляются
па′рами электронов, движущихся по ор
битам, охватывающим оба атома, и но
сят направленный характер: ковалент
ные силы направлены от центрального
Рис. 105
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

135
атома к вершинам тетраэдра. В отличие
от графита решетка алмаза не содержит
плоских слоев, что не позволяет сдви
гать отдельные участки кристалла, по
этому алмаз является прочным соеди
нением.
Металлические кристаллы. В узлах
кристаллической решетки располага
ются положительные ионы металла.
При образовании кристаллической ре
шетки валентные электроны, сравни
тельно слабо связанные с атомами, от
деляются от атомов и коллективизиру
ются: они уже принадлежат не одному
атому, как в случае ионной связи, и не
паре соседних атомов, как в случае го
меополярной связи, а всему кристаллу
в целом. Таким образом, в металлах
между положительными ионами хаоти
чески, подобно молекулам газа, дви
жутся «свободные» электроны, наличие
которых обеспечивает хорошую элект
ропроводность металлов. Так как ме
таллическая связь не имеет направлен
ного действия и положительные ионы
решетки одинаковы по свойствам, то
металлы должны иметь симметрию вы
сокого порядка. Действительно, боль
шинство металлов имеет кубическую
объемно центрированную (Li, Na, K, Rb,
Cs) и кубическую гранецентрирован
ную (Cu, Ag, Pt, Au) решетки. Чаще
всего металлы встречаются в виде по
ликристаллов.
Молекулярные кристаллы. В узлах
кристаллической решетки располага
ются нейтральные молекулы вещества,
силы взаимодействия между которыми
обусловлены незначительным взаим
ным смещением электронов в элект
ронных оболочках атомов. Эти силы
называют ван дер ваальсовыми, так
как они имеют ту же природу, что и
силы притяжения между молекулами,
приводящими к отклонению газов от
идеальности.
Молекулярными кристаллами явля
ется, например, большинство органи
ческих соединений (парафин, спирт,
резина и т. д .), инертные газы (Ne, Ar,
Kr, Xe) и газы CO2, O2, N2 в твердом со
стоянии, лед, а также кристаллы бро
ма Br2 и иода I2. Ван дер ваальсовы
силы довольно слабые, поэтому моле
кулярные кристаллы легко деформи
руются.
В некоторых твердых телах одновре
менно может осуществляться несколь
ко видов связи. Примером может слу
жить графит (гексагональная решетка).
Решетка графита (рис. 107) состоит из
ряда параллельных плоскостей, в кото
рых атомы углерода расположены в
вершинах правильных шестиугольни
ков. Расстояние между плоскостями
более чем в два раза превышает рассто
яние между атомами шестиугольника.
Плоские слои связаны друг с другом
ван дер ваальсовыми силами. В преде
лах слоя три валентных электрона каж
дого атома углерода образуют ковален
Рис. 106
Рис. 107
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

136
тную связь с соседними атомами угле
рода, а четвертый электрон, оставаясь
«свободным», коллективизируется, но
не во всей решетке, как в случае метал
лов, а в пределах одного слоя. Таким
образом, в данном случае осуществля
ются три вида связи: гомеополярная и
металлическая — в пределах одного
слоя; ван дер ваальсова — между слоя
ми. Этим объясняется мягкость графи
та, так как его слои могут скользить от
носительно друг друга.
Различие в строении кристалличес
ких решеток двух разновидностей угле
рода — графита и алмаза — объясняет
различие в их физических свойствах:
мягкость графита и твердость алмаза;
графит — проводник электричества,
алмаз — диэлектрик (нет свободных
электронов) и т. д .
Расположение атомов в кристаллах
характеризуется также координацион
ным числом — числом ближайших од
нотипных с данным атомом соседних
атомов в кристаллической решетке или
молекул в молекулярных кристаллах.
Для модельного изображения кристал
лических структур из атомов и ионов
пользуются системой плотной упаков
ки шаров.
Рассматривая простейший случай
плотной упаковки шаров одинакового
радиуса на плоскости, приходим к двум
способам их расположения (рис. 108, а,
б ). Правая упаковка является более
плотной, так как при равном числе ша
ров площадь ромба со стороной, равной
стороне квадрата, меньше площади
квадрата. Как видно из рисунка, разли
чие в упаковках сводится к различию
координационных чисел: в левой упа
ковке координационное число равно 4,
в правой — 6, т. е . чем плотнее упаков
ка, тем больше координационное число.
Рассмотрим, при каких условиях
плотная упаковка шаров в пространстве
может соответствовать той или иной
кристаллической структуре, приводи
мой ранее. Начнем строить решетку со
слоя шаров, представленных на рис.
108, б. Для упрощения дальнейших рас
суждений спроецируем центры шаров
на плоскость, на которой они лежат, обо
значив их белыми кружками (рис. 109).
На эту же плоскость спроецируем цент
ры просветов между шарами, которые
обозначены на рис. 109 соответственно
черными кружками и крестиками.
Любой плотноупакованный слой
будем называть слоем A, если центры
его шаров расположены над светлыми
кружками, слоем B — если над темны
ми кружками, слоем C — если над крес
тиками. Над слоем A уложим второй
плотноупакованный слой так, чтобы
каждый шар этого слоя лежал на трех
шарах первого слоя. Это можно сделать
двояко: взять в качестве второго слоя
либо B , либо C. Третий слой можно
опять уложить двояко и т. д . Итак, плот
ную упаковку можно описать как пос
ледовательность ABCBAC..., в которой
не могут стоять рядом слои, обозначен
ные одинаковыми буквами.
Рис. 108
Рис. 109
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

137
Из множества возможных комбина
ций в кристаллографии реальное значе
ние имеют два типа упаковки: 1) двух
слойная упаковка ABABAB ... — ге к са
гональная плотноупакованная структу
ра (рис. 110); 2) трехслойная упаковка
ABCABC ... — кубическая гранецентри
рованная структура (рис. 111). В обеих
решетках координационное число рав
но 12 и плотность упаковки одинако
ва — атомы занимают 74 % общего объе
ма кристалла. Координационное число,
соответствующее кубической объемно
центрированной решетке, равно 8, ре
шетке алмаза (см. рис. 106) равно 4.
Кроме двух и трехслойных упако
вок можно построить многослойные
упаковки с большим периодом повто
ряемости одинаковых слоев, например
ABCBACABCBAC... — ше ст и с лойная
упаковка. Существует модификация
карбида SiC с периодом повторяемос
ти6,15и243слоя.
Если кристалл построен из атомов
различных элементов, то его можно
представить в виде плотной упаковки
шаров разных размеров. На рис. 112
приведено модельное изображение кри
сталла поваренной соли. Крупные ионы
хлора (r = 181 пм) образуют плотную
трехслойную упаковку, у которой боль
шие пустоты заполнены меньшими по
размеру ионами натрия (r = 98 пм).
Каждый ион Na окружен шестью иона
ми Cl и, наоборот, каждый ион Cl —
шестью ионами Na.
§ 72. Äåôåêòû â êðèñòàëëàõ
Рассмотренные в § 71 идеальные
кристаллические структуры существу
ют лишь в очень малых объемах реаль
ных кристаллов, в которых всегда име
ются отклонения от упорядоченного
расположения частиц в узлах решетки,
называемые дефектами кристалли
ческой решетки. Дефекты делятся на
макроскопические, возникающие в
процессе образования и роста кристал
лов (например, трещины, поры, инород
ные макроскопические включения), и
микроскопические, обусловленные
микроскопическими отклонениями от
периодичности.
Микродефекты делятся на точеч
ные и линейные. Точечные дефекты
бывают трех типов: 1) вакансия — от
сутствие атома в узле кристаллической
решетки (рис. 113, а); 2) междоузель
ный атом — атом, внедрившийся в
междоузельное пространство (рис. 113,
б ); 3) примесный атом — атом приме
си, либо замещающий атом основного
Рис. 110
Рис. 111
Рис. 112
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

138
вещества в кристаллической решетке
(примесь замещения, рис. 113, в), либо
внедрившийся в междоузельное про
странство (примесь внедрения, рис.
113, б; только в междоузлии вместо ато
ма основного вещества располагается
атом примеси). Точечные дефекты на
рушают лишь ближний порядок в кри
сталлах, не затрагивая дальнего поряд
ка, — в этом состоит их характерная осо
бенность.
Линейные дефекты нарушают даль
ний порядок. Как следует из опытов,
механические свойства кристаллов в
значительной степени определяются
дефектами особого вида — дислокаци
ями. Дислокации — линейные дефек
ты, нарушающие правильное чередова
ние атомных плоскостей.
Дислокации бывают краевые и вин
товые. Если одна из атомных плоско
стей обрывается внутри кристалла, то
край этой плоскости образует краевую
дислокацию (рис. 114, а). В случае вин
товой дислокации (рис. 114, б ) ни одна
из атомных плоскостей внутри кристал
ла не обрывается, а сами плоскости
лишь приблизительно параллельны и
смыкаются друг с другом так, что фак
тически кристалл состоит из одной
атомной плоскости, изогнутой по вин
товой поверхности.
Плотность дислокаций (число
дислокаций, приходящихся на единицу
площади поверхности кристалла) для
совершенных монокристаллов состав
ляет 102
—
103 см-2
, для деформирован
ных кристаллов — 1010
—
1012 см
-2
. Дис
локации никогда не обрываются, они
либо выходят на поверхность, либо раз
ветвляются, поэтому в реальном крис
талле образуются плоские или про
странственные сетки дислокаций. Дис
локации и их движение можно наблю
дать с помощью электронного микро
скопа, а также методом избирательно
го травления — в местах выхода дисло
кации на поверхность возникают ямки
травления (интенсивное разрушение
кристалла под действием реагента),
«проявляющие» дислокации.
Наличие дефектов в кристалличе
ской структуре влияет на свойства кри
сталлов, анализ которых проведем
ниже.
§ 73. Òåïëîåìêîñòü òâåðäûõ òåë
В качестве модели твердого тела рас
смотрим правильно построенную кри
сталлическую решетку, в узлах которой
частицы (атомы, ионы, молекулы), при
нимаемые за материальные точки, ко
леблются около своих положений рав
новесия — узлов решетки — в трех вза
имно перпендикулярных направлени
ях. Таким образом, каждой составляю
щей кристаллическую решетку части
це приписывается три колебательных
степени свободы, каждая из которых,
согласно закону равнораспределения
энергии по степеням свободы (см. § 50),
обладает энергией kT.
Внутренняя энергия 1 моль твердо
го тела
Рис. 113
Рис. 114
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

139
Um = 3NAkT = 3RT,
где NA — постоянная Авогадро; NAk = R
(R — молярная газовая постоянная).
Молярная теплоемкость твердого
тела
m
d
32
5
d
V
U
CR
T
==
=
Дж/(моль · К), (73.1)
т. е . молярная (атомная) теплоемкость
химически простых тел в кристалличес
ком состоянии одинакова (равна 3R) и
не зависит от температуры. Этот закон
был эмпирически получен французски
ми учеными П. Дюлонгом (1785 — 1838)
и Л. Пти (1791 — 1820) и носит название
закона Дюлонга и Пти.
Если твердое тело является хими
ческим соединением (например, NaCl),
то число частиц в 1 моль не равно по
стоянной Авогадро, а равно nNA, где n —
число атомов в молекуле (для NaCl чис
ло частиц в 1 моль равно 2NA, так, в
1 моль NaCl содержится NA атомов Na
и NA атомов Cl). Таким образом, моляр
ная теплоемкость твердых химичес
ких соединений
CV = 3nR » 25n Дж/(моль · К),
т. е. равна сумме атомных теплоемкос
тей элементов, составляющих это со
единение.
Как показывают опытные данные
(табл. 4), для многих веществ закон
Дюлонга и Пти выполняется с доволь
но хорошим приближением, хотя неко
торые вещества (C, Be, B) имеют боль
шие отклонения от вычисленных зна
чений теплоемкостей. Кроме того, так
же как и в случае газов (см. § 53), опы
ты по измерению теплоемкости твер
дых тел при низких температурах по
казали, что она зависит от температу
ры (рис. 115). Вблизи нуля кельвин теп
лоемкость тел пропорциональна T
3,и
только при достаточно высоких темпе
ратурах, характерных для каждого ве
щества, выполняется условие (73.1).
Алмаз, например, имеет теплоемкость,
равную 3R при 1800 К! Однако для
большинства твердых тел комнатная
температура является уже достаточно
высокой.
Расхождение опытных и теоретиче
ских значений теплоемкостей, вычис
ленных на основе классической теории,
объяснили, исходя из квантовой теории
теплоемкостей, А. Эйнштейн и П. Дебай.
§ 74. Èñïàðåíèå, ñóáëèìàöèÿ,
ïëàâëåíèå è êðèñòàëëèçàöèÿ.
Àìîðôíûå òåëà
Как в жидкостях, так и в твердых
телах всегда имеется некоторое число
молекул, энергия которых достаточна
для преодоления притяжения к другим
молекулам и которые способны ото
рваться от поверхности жидкости или
Рис. 115
Таблица 4
CV , Дж/(моль · К)
Вещество
Теорети
Эксперимен
ческое
тальное
значение
значение
Алюминий Al
25
25,5
Алмаз C
25
5,9
Бериллий Be
25
15,6
Бор B
25
13,5
Железо Fe
25
26,8
Серебро Ag
25
25,6
NaCl
50
50,6
AgCl
50
50,9
CaCl2
75
76,2
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

140
твердого тела и перейти в окружающее
их пространство. Этот процесс для жид
кости называется испарением (или па
рообразованием), для твердых тел —
сублимацией (или возгонкой).
Испарение жидкостей идет при лю
бой температуре, но его интенсивность
с повышением температуры возрастает.
Наряду с процессом испарения проис
ходит компенсирующий его процесс
конденсации пара в жидкость. Если
число молекул, покидающих жидкость
за единицу времени через единицу по
верхности, равно числу молекул, пере
ходящих из пара в жидкость, то насту
пает динамическое равновесие между
процессами испарения и конденсации.
Пар, находящийся в равновесии со сво
ей жидкостью, называется насыщен
ным (см. § 62).
Для большинства твердых тел про
цесс сублимации при обычных темпе
ратурах незначителен и давление пара
над поверхностью твердого тела мало;
оно увеличивается с повышением тем
пературы. Интенсивно сублимируют
такие вещества, как нафталин, камфо
ра, что обнаруживается по резкому,
свойственному им запаху. Особенно
интенсивно сублимация происходит в
вакууме, что используется для изготов
ления зеркал. Известный пример суб
лимации — превращение льда в пар —
мокрое белье высыхает на морозе.
Если, твердое тело нагревать, то его
внутренняя энергия (складывается из
энергии колебаний частиц в узлах ре
шетки и энергии взаимодействия этих
частиц) возрастает. При повышении
температуры амплитуда колебаний ча
стиц увеличивается до тех пор, пока
кристаллическая решетка не разрушит
ся, — твердое тело плавится. На рис.
116, а изображена примерная зависи
мость T(Q), где Q — количество тепло
ты, получаемое телом при плавлении.
По мере сообщения твердому телу теп
лоты его температура повышается, а
при температуре плавления Tпл начи
нается переход тела из твердого состо
яния в жидкое. Температура Tпл оста
ется постоянной до тех пор, пока весь
кристалл не расплавится, и только тог
да температура жидкости вновь начнет
повышаться.
Нагревание твердого тела до Tпл еще
не переводит его в жидкое состояние,
поскольку энергия частиц вещества
должна быть достаточной для разруше
ния кристаллической решетки. В про
цессе плавления теплота, сообщаемая
веществу, идет на совершение работы
по разрушению кристаллической ре
шетки, а поэтому Tпл = const до рас
плавления всего кристалла. Затем под
водимая теплота опять пойдет на уве
личение энергии частиц жидкости и ее
температура начнет повышаться. Коли
чество теплоты, необходимое для рас
плавления 1 кг вещества, называется
удельной теплотой плавления.
Если жидкость охлаждать, то про
цесс протекает в обратном направлении
(рис. 116, б; Q ¢ — количество теплоты,
отдаваемое телом при кристаллиза
ции): сначала температура жидкости
понижается, затем при постоянной тем
пературе, равной Tпл, начинается крис
таллизация, после ее завершения тем
пература кристалла начнет понижаться.
Для кристаллизации вещества необ
ходимо наличие так называемых цен
Рис. 116
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

141
тров кристаллизации — кристалли
ческих зародышей, которыми могут
быть не только кристаллики образую
щегося вещества, но и примеси, а так
же пыль, сажа и т. д . Отсутствие цент
ров кристаллизации в чистой жидкости
затрудняет образование микроскопи
ческих кристалликов, и вещество, оста
ваясь в жидком состоянии, охлаждает
ся до температуры, меньшей темпера
туры кристаллизации, при этом образу
ется переохлажденная жидкость (на
рис. 116, б ей соответствует штриховая
кривая). При сильном переохлаждении
начинается спонтанное образование
центров кристаллизации и вещество
кристаллизуется довольно быстро.
Обычно переохлаждение расплава
происходит от долей до десятков гра
дусов, но для ряда веществ может дос
тигать сотен градусов. Из за большой
вязкости сильно переохлажденные
жидкости теряют текучесть, сохраняя,
как и твердые тела, свою форму. Эти
тела получили название аморфных
твердых тел; к ним относятся смолы,
воск, сургуч, стекло. Аморфные тела,
являясь, таким образом, переохлажден
ными жидкостями, изотропны, т. е. их
свойства во всех направлениях одина
ковы; для них, как и для жидкостей,
характерен ближний порядок в располо
жении частиц; в них в отличие от жид
костей подвижность частиц довольно
мала.
Особенностью аморфных тел явля
ется отсутствие у них определенной
точки плавления, т. е . невозможно ука
зать определенную температуру, выше
которой можно было бы констатиро
вать жидкое состояние, а ниже — твер
дое. Из опыта известно, что в аморфных
телах со временем может наблюдаться
процесс кристаллизации, например в
стекле появляются кристаллики; оно,
теряя прозрачность, начинает мутнеть
и превращаться в поликристаллическое
тело.
Широкое распространение получи
ли полимеры — органические аморф
ные тела, молекулы которых состоят из
большого числа одинаковых длинных
молекулярных цепочек, соединенных
химическими (валентными) связями.
К полимерам относятся как естествен
ные (крахмал, белок, каучук, клетчатка
и др.), так и искусственные (пластмас
са, резина, полистирол, лавсан, капрон
и др.) органические вещества.
Полимерам присущи прочность и
эластичность; некоторые полимеры вы
держивают растяжение, в 5 — 10 раз пре
вышающее их первоначальную длину.
Это объясняется тем, что длинные мо
лекулярные цепочки могут при дефор
мации либо сворачиваться в плотные
клубки, либо вытягиваться в прямые
линии. Эластичность полимеров прояв
ляется только в определенном интерва
ле температур, ниже которого они ста
новятся твердыми и хрупкими, а выше
—
пластичными. Хотя синтетических
полимерных материалов создано очень
много (искусственные волокна, замени
тели кожи, строительные материалы,
заменители металлов и др.), но теория
полимеров до настоящего времени пол
ностью не разработана. Ее развитие оп
ределяется запросами современной тех
ники, требующей синтеза полимеров с
заранее заданными свойствами.
§ 75. Ôàçîâûå ïåðåõîäû
IèIIðîäà
Фазой называется термодинамичес
ки равновесное состояние вещества,
отличающееся по физическим свой
ствам от других возможных равновес
ных состояний того же вещества. Если,
например, в закрытом сосуде находит
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

142
ся вода, то эта система является двух
фазной: жидкая фаза — вода, газообраз
ная фаза — смесь воздуха с водяными
парами. Если в воду бросить кусочки
льда, то эта система станет трехфазной,
в которой лед является твердой фазой.
Часто понятие «фаза» употребляет
ся в смысле агрегатного состояния, од
нако надо учитывать, что оно шире, чем
понятие «агрегатное состояние». В пре
делах одного агрегатного состояния ве
щество может находиться в нескольких
фазах, отличающихся по своим свой
ствам, составу и строению (лед, напри
мер, встречается в пяти различных мо
дификациях — фазах).
Переход вещества из одной фазы в
другую — фазовый переход — всегда
связан с качественными изменениями
свойств вещества. Примером фазового
перехода могут служить изменения аг
регатного состояния вещества или пе
реходы, связанные с изменениями в со
ставе, строении и свойствах вещества
(например, переход кристаллического
вещества из одной модификации в дру
гую).
Различают фазовые переходы двух
родов. Фазовый переход I рода (на
пример, плавление, кристаллизация)
сопровождается поглощением или вы
делением теплоты, называемой тепло
той фазового перехода. Фазовые пе
реходы I рода характеризуются посто
янством температуры, изменениями эн
тропии и объема. Объяснение этому
можно дать следующим образом. На
пример, при плавлении телу нужно со
общить некоторое количество теплоты,
чтобы вызвать разрушение кристалли
ческой решетки. Подводимая при плав
лении теплота идет не на нагрев тела, а
на разрыв межатомных связей, поэто
му плавление протекает при постоян
ной температуре. В подобных перехо
дах — из более упорядоченного крис
таллического состояния в менее упоря
доченное жидкое состояние — степень
беспорядка увеличивается, т. е ., соглас
но второму началу термодинамики,
этот процесс связан с возрастанием эн
тропии системы. Если переход происхо
дит в обратном направлении (кристал
лизация), то система выделяет теплоту.
Фазовые переходы, не связанные с
поглощением или выделением теплоты
и изменением объема, называются фа
зовыми переходам II рода. Эти пере
ходы характеризуются постоянством
объема и энтропии, но скачкообраз
ным изменением теплоемкости. Общая
трактовка фазовых переходов II рода
предложена академиком Л. Д . Ландау
(1908 — 1968). Согласно этой трактов
ке, фазовые переходы II рода связаны с
изменением симметрии: выше точки пе
рехода система, как правило, обладает
более высокой симметрией, чем ниже
точки перехода. Примерами фазовых
переходов II рода являются: переход
ферромагнитных веществ (железа, ни
келя) при определенных давлении и
температуре в парамагнитное состоя
ние; переход металлов и некоторых
сплавов при температуре, близкой к
0 К, в сверхпроводящее состояние, ха
рактеризуемое скачкообразным умень
шением электрического сопротивления
до нуля; превращение обыкновенного
жидкого гелия (гелия I) при T = 2,9 К
в другую жидкую модификацию (гелий
II), обладающую свойствами сверхтеку
чести.
§ 76. Äèàãðàììà ñîñòîÿíèÿ.
Òðîéíàÿ òî÷êà
Если система является однокомпо
нентной, т. е. состоящей из химически
однородного вещества или его соедине
ния, то понятие фазы совпадает с поня
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

143
тием агрегатного состояния. Согласно
§ 60, одно и то же вещество в зависимо
сти от соотношения между удвоенной
средней энергией, приходящейся на
одну степень свободы хаотического
(теплового) движения молекул, и наи
меньшей потенциальной энергией вза
имодействия молекул может находить
ся в одном из трех агрегатных состоя
нии: твердом, жидком или газообраз
ном. Это соотношение, в свою очередь,
определяется внешними условиями —
температурой и давлением. Следова
тельно, фазовые превращения также
определяются изменениями температу
ры и давления.
Для наглядного изображения фазо
вых превращений используется диаг
рамма состояния (рис. 117), на кото
рой в координатах p, T задается зави
симость между температурой фазового
перехода и давлением в виде кривых ис
парения (КИ), плавления (КП) и суб
лимации (КС), разделяющих поле ди
аграммы на три области, соответству
ющие условиям существования твер
дой (ТТ), жидкой (Ж) и газообразной
(Г) фаз. Кривые на диаграмме называ
ются кривыми фазового равновесия,
каждая точка на них соответствует ус
ловиям равновесия двух сосуществую
щих фаз: КП — твердого тела и жидко
сти, КИ — жидкости и газа, КС — твер
дого тела и газа.
Точка, в которой пересекаются эти
кривые и которая, следовательно, оп
ределяет условия (температуру Tтр и
соответствующее ей равновесное дав
ление pтр) одновременного равновес
ного сосуществования трех фаз веще
ства, называется тройной точкой.
Каждое вещество имеет только одну
тройную точку. Тройная точка воды
соответствует температуре 273,16 К
(или температуре 0,01 °С) и является
основной реперной точкой для постро
ения термодинамической температур
ной шкалы.
Термодинамика дает метод расчета
кривой равновесия двух фаз одного и
того же вещества. Согласно уравнению
Клапейрона — Клаузиуса, производ
ная от равновесного давления по тем
пературе равна
,
21
d
d()
p
L
TT
VV
=
-
(76.1)
где L — теплота фазового перехода; T —
температура перехода (процесс изотер
мический); (V2 - V1) — изменение объе
ма вещества при переходе его из первой
фазы во вторую.
Уравнение Клапейрона — Клаузиуса
позволяет определить наклоны кривых
равновесия. Поскольку L и T положи
тельны, наклон задается знаком (V2 - V1).
При испарении жидкостей и сублима
ции твердых тел объем вещества всегда
возрастает, поэтому согласно (76.1),
d0
d
p
T
> ; следовательно в этих процес
сах повышение температуры приводит
к увеличению давления, и наоборот.
При плавлении большинства веществ
объем, как правило, возрастает, т. е .
d0
d
p
T
> ; следовательно, увеличение
давления приводит к повышению тем
пературы плавления (сплошная линия
КП на рис. 117). Для некоторых же ве
ществ (H2O, Ge, чугун и др.) объем жид
кой фазы меньше объема твердой фазы,
Рис. 117
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

144
т.е.
d0
d
p
T
< ; следовательно, увеличение
давления сопровождается понижением
температуры плавления (штриховая
линия на рис. 117).
Диаграмма состояния, строящаяся на
основе экспериментальных данных, по
зволяет судить, в каком состоянии на
ходится данное вещество при опреде
ленных p и T, а также какие фазовые пе
реходы будут происходить при том или
ином процессе. Например, при услови
ях, соответствующих точке 1 (рис. 118),
вещество находится в твердом состоя
нии, точке 2 — в газообразном, а точке
3 — одновременно в жидком и газооб
разном состояниях.
Допустим, что вещество в твердом
состоянии, соответствующем точке 4,
подвергается изобарному нагреванию,
изображенному на диаграмме состоя
ния горизонтальной штриховой пря
мой4—5 —6.Изрисунка видно, что при
температуре, соответствующей точке 5,
вещество плавится, при более высокой
температуре, соответствующей точке
6, начинает превращаться в газ.
Если же вещество находится в твер
дом состоянии, соответствующем точ
ке 7, то при изобарном нагревании
(штриховая прямая 7 — 8) кристалл
превращается в газ, минуя жидкую фазу.
Если вещество находится в состоянии,
соответствующем точке 9, то при изо
термическом сжатии (штриховая пря
мая 9 — 10) оно пройдет следующие три
состояния: газообразное — жидкое —
кристаллическое.
На диаграмме состояний (см. рис. 117
и 118) видно, что кривая испарения за
канчивается в критической точке K. По
этому возможен непрерывный переход
вещества из жидкого состояния в газо
образное и обратно в обход критической
точки без пересечения кривой испаре
ния (переход 11 — 12 на рис. 118), т. е .
такой переход, который не сопровожда
ется фазовыми превращениями. Это
возможно благодаря тому, что различие
между газом и жидкостью является чи
сто количественным (оба эти состояния,
например, являются изотропными).
Переход же кристаллического состо
яния (характеризуется анизотропией)
в жидкое или газообразное может быть
только скачкообразным (в результате
фазового перехода), поэтому кривые
плавления и сублимации не могут об
рываться, как это имеет место для кри
вой испарения в критической точке.
Кривая плавления уходит в бесконеч
ность, а кривая сублимации идет в точ
ку,гдеp=0иT=0К.
Рис. 118
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Каков критерий различных агрегатных состояний вещества?
• Запишите и проанализируйте уравнение Ван дер Ваальса для 1 моль газа; для произ
вольного количества вещества.
• Чем отличаются реальные газы от идеальных?
• Каков смысл поправок при выводе уравнения Ван дер Ваальса?
• Почему перегретая жидкость и пересыщенный пар являются метастабильными состоя
ниями?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

• При адиабатном расширении газа в вакуум его внутренняя энергия не изменяется. Как
изменится температура, если газ идеальный? реальный?
• Какова суть эффекта Джоуля — Томсона? Когда он положителен? отрицателен?
• Почему у всех веществ поверхностное натяжение уменьшается с температурой?
• Что представляют собой поверхностно активные вещества?
• При каком условии жидкость смачивает твердое тело? не смачивает?
• От чего зависит высота поднятия смачивающей жидкости в капилляре?
• Что такое узлы кристаллической решетки?
• В чем заключается анизотропность монокристаллов?
• Что такое капиллярность?
• Чем отличаются монокристаллы от поликристаллов?
• Как можно классифицировать кристаллы?
• Что такое ионная связь? ковалентная связь?
• Какие типы кристаллографических систем вам известны?
• Как получить закон Дюлонга и Пти, исходя из классической теории теплоемкости?
• Что такое насыщенный пар?
• Некоторое количество твердого вещества смешано с тем же веществом в жидком состо
янии. Почему при нагревании этой смеси ее температура не поднимается?
• Что такое фаза? фазовый переход?
• Чем отличается фазовый переход I рода от фазового перехода II рода?
• Что можно «вычитать» из диаграммы состояния, используемой для изображения фазо
вых превращений?
ÇÀÄÀ×È
10.1 . Углекислый газ массой m = 1 кг находится при температуре 290 К в сосуде вмести
мостью 20 л. Определите давление газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Объясните
различие в результатах. Поправки a и b принять равными соответственно 0,365 Н·м4/моль2
и 4,3 · 10-5 м3/моль. [1) 2,44 МПа; 2) 2,76 МПа]
10.2 . Кислород, содержащий количество вещества n = 2 моль, занимает объем V1 = 1 л.
Определите изменение DT температуры кислорода, если он адиабатно расширяется в ва
куум до объема V2 = 10 л. Поправку a принять равной 0,136 Н·м
4
/моль2
. [-11,8 К]
10.3 . Покажите, что эффект Джоуля — Томсона всегда отрицателен, если дросселирует
ся газ, силами притяжения молекул которого можно пренебречь.
10.4. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определите рабо
ту A, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d 1 = 2 см до d 2 = 6 см. По
верхностное натяжение s мыльного раствора принять равным 40 мН/м. [0,8 мДж]
10.5 . Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глубине h = 20 см под
поверхностью воды. Определите давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давле
ние принять нормальным. Поверхностное натяжение воды s = 73 мН/м, а ее плотность r =
= 1 г/см3. [118 кПа]
10.6 . Вертикальный открытый капилляр внутренним диаметром d = 3 мм опущен в со
суд с ртутью. Определите радиус кривизны ртутного мениска в капилляре, если разность
уровней ртути в сосуде и в капилляре Dh = 3,7 мм. Плотность ртути r = 13,6 г/см3, а повер
хностное натяжение s = 0,5 Н/м. [2 мм]
10.7 . Для нагревания металлического шарика массой 25 г от 10 до 30 °С затратили коли
чество теплоты, равное 117 Дж. Определите теплоемкость шарика согласно закону Дюлон
га и Пти и материал шарика. [M » 0,107 кг/моль; серебро]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

146
×ÀÑÒÜ 3
ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Ãëàâà 11
ÝËÅÊÒÐÎÑÒÀÒÈÊÀ
§ 77. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà
Еще в глубокой древности было из
вестно, что янтарь, потертый о шерсть,
притягивает легкие предметы. Англий
ский врач Джильберт (конец XVI в.)
назвал тела, способные после натира
ния притягивать легкие предметы, на
электризованными. Сейчас мы гово
рим, что тела при этом приобретают
электрические заряды.
Несмотря на огромное разнообразие
веществ, в природе существует только
два типа электрических зарядов: заря
ды, подобные возникающим на стекле,
потертом о кожу (их назвали положи
тельными), и заряды, подобные возни
кающим на эбоните, потертом о мех (их
назвали отрицательными); одноимен
ные заряды друг от друга отталкивают
ся, разноименные — притягиваются.
Опытным путем (1910 — 1914) аме
риканский физик Р. Милликен (1868 —
1953) показал, что электрический заряд
дискретен, т.е . заряд любого тела сос
тавляет целое кратное от элементар
ного электрического заряда e (e =
= 1,6 · 10-19 Кл). Электрон (me =
= 9,11 ·10-31 кг) и протон (mp =
= 1,67 · 10-27
кг) являются соответствен
но носителями элементарных отрица
тельного и положительного зарядов.
Все тела в природе способны элект
ризоваться, т. е. приобретать электри
ческий заряд. Электризация тел может
осуществляться различными способа
ми: соприкосновением (трением), элек
тростатической индукцией (см. § 92) и
др. Всякий процесс заряжения сводит
ся к разделению зарядов, при котором
на одном из тел (или части тела) появ
ляется избыток положительного заря
да, а на другом (или другой части те
ла) — избыток отрицательного заряда.
Общее количество зарядов обоих зна
ков, содержащихся в телах, не изменя
ется: эти заряды только перераспреде
ляются между телами.
Из обобщения опытных данных был
установлен фундаментальный закон
природы, экспериментально подтверж
денный в 1843 г. английским физиком
М. Фарадеем (1791 — 1867), — закон со
хранения заряда: алгебраическая сум
ма электрических зарядов любой замк
нутой системы (системы, не обменива
ющейся зарядами с внешними телами)
остается неизменной, какие бы процессы
ни происходили внутри этой системы.
Электрический заряд — величина
релятивистски инвариантная, т. е. не
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

147
зависит от системы отсчета, а значит, не
зависит от того, движется этот заряд
или покоится.
В зависимости от концентрации сво
бодных зарядов тела делятся на провод
ники, диэлектрики и полупроводники.
Проводники — тела, в которых элек
трический заряд может перемешаться
по всему его объему. Проводники де
лятся на две группы: 1) проводники
первого рода (металлы) — перенос в
них зарядов (свободных электронов) не
сопровождается химическими превра
щениями; 2) проводники второго рода
(например, расплавленные соли, ра
створы кислот) — перенос в них заря
дов (положительных и отрицательных
ионов) ведет к химическим изменениям.
Диэлектрики (например, стекло,
пластмассы) — тела, в которых практи
чески отсутствуют свободные заряды.
Полупроводники (например, герма
ний, кремний) занимают промежуточ
ное положение между проводниками и
диэлектриками. Указанное деление тел
является весьма условным, однако боль
шое различие в них концентраций сво
бодных зарядов обусловливает огром
ные качественные различия в их пове
дении и поэтому оправдывает деление
тел на проводники, диэлектрики и по
лупроводники.
Единица электрического заряда (про
изводная единица, так как определяет
ся через единицу силы тока) — кулон
(Кл): 1 Кл — электрический заряд, про
ходящий через поперечное сечение про
водника при силе тока 1 А за время 1 с.
§ 78. Çàêîí Êóëîíà
Закон взаимодействия неподвижных
точечных электрических зарядов экспе
риментально установлен в 1785 г. Ш . Ку
лоном с помощью крутильных весов,
подобных тем, которые (см. § 22) ис
пользовались Г. Кавендишем для опре
деления гравитационной постоянной
(ранее этот закон был открыт Г. Кавен
дишем, однако его работа оставалась не
известной более 100 лет).
Точечным называется заряд, сосре
доточенный на теле, линейные разме
ры которого пренебрежимо малы по
сравнению с расстоянием до других за
ряженных тел, с которыми он взаимо
действует. Понятие точечного заряда,
как и материальной точки, является
физической абстракцией.
Закон Кулона: сила взаимодействия
F между двумя неподвижными точеч
ными зарядами, находящимися в ваку
уме, пропорциональна зарядам Q1 и Q2
и обратно пропорциональна квадрату
расстояния r между ними:
,
12
2
QQ
Fk
r
=
где k — коэффициент пропорциональ
ности, зависящий от выбора системы
единиц.
Сила F
r
направлена по прямой, со
единяющей взаимодействующие заря
ды, т. е . является центральной, и соот
ветствует притяжению (F < 0) в случае
разноименных зарядов и отталкиванию
(F > 0) в случае одноименных. Эта сила
называется кулоновской силой. В век
торной форме закон Кулона имеет вид
,
1212
12
2
QQr
Fk
rr
=
r
r
(78.1)
где F
r
12 — сила, действующая на заряд
Q1 со стороны заряда Q2; r
r
12 — радиус
вектор, соединяющий заряд Q2 с заря
домQ1,r =1⁄2r
r
121⁄2 (рис. 119). На заряд Q2
Рис. 119
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

148
со стороны заряда Q1 действует сила
F
r
21= -F
r
12.
В СИ коэффициент пропорцио
нальности
1.
4
k
0
=
pe
Тогда закон Кулона в СИ запишет
ся в виде:
12
2
1
.
4
QQ
F
r
0
=
pe
(78.2)
Величина e0 называется электри
ческой постоянной; она относится к
числу фундаментальных физических
постоянных и равна
e0 = 8,85 · 10-12
Кл2/(Н · м
2
) или
e0 = 8,85 · 10-12
Ф/м (78.3)
[где фарад (Ф) — единица электроем
кости (см. § 93)].
Тогда
ì/Ô.
9
1
910
40
=×
pe
Точность выполнения закона Куло
на на больших расстояниях, вплоть до
107 м, установлена при исследовании
магнитного поля с помощью спутников
в околоземном пространстве. Точность
же его выполнения на малых расстоя
ниях, вплоть до 10-17
м, проверена экс
периментами по взаимодействию эле
ментарных частиц.
§ 79. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå.
Íàïðÿæåííîñòü
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
Если в пространство, окружающее
электрический заряд, внести другой за
ряд, то на него будет действовать куло
новская сила, следовательно в про
странстве, окружающем электрические
заряды, существует силовое поле. Со
гласно представлениям современной
физики, поле реально существует и на
ряду с веществом является одной из
форм существования материи, посред
ством которого осуществляются опре
деленные взаимодействия между мак
роскопическими телами или частица
ми, входящими в состав вещества. В дан
ном случае говорят об электрическом
поле — поле, посредством которого вза
имодействуют электрические заряды.
В данной главе будем рассматривать
электрические поля, которые создают
ся неподвижными электрическими за
рядами и называются электростати
ческими.
Для обнаружения и опытного иссле
дования электростатического поля ис
пользуется пробный точечный поло
жительный заряд — такой заряд, ко
торый не искажает исследуемое поле
(не вызывает перераспределения заря
дов, создающих поле). Если в поле, со
здаваемое зарядом Q, поместить проб
ный заряд Q0, то на него действует сила
F
r
, различная в разных точках поля, ко
торая, согласно закону Кулона (78.2),
пропорциональна пробному заряду Q0.
Поэтому отношение
0
F
Q
r
не зависит от
Q0 и характеризует электростатическое
поле в той точке, где пробный заряд
находится. Эта величина называется
напряженностью и является силовой
характеристикой электростатическо
го поля.
Напряженность электростати
ческого поля в данной точке есть фи
зическая величина, определяемая си
лой, действующей на пробный единич
ный положительный заряд, помещен
ный в эту точку поля:
0
.
F
E
Q
=
r
r
(79.1)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

149
Как следует из формул (79.1) и
(78.1), напряженность поля точечного
заряда в вакууме
èëè
22
11
.
44
QQ
r
EE
rr
r
00
==
pe
pe
r
r
(79.2)
Направление вектора E
r
совпадает с
направлением силы, действующей на
положительный заряд. Если поле созда
ется положительным зарядом, то век
тор E
r
направлен вдоль радиуса векто
ра от заряда во внешнее пространство
(отталкивание пробного положитель
ного заряда); если поле создается отри
цательным зарядом, то вектор E
r
на
правлен к заряду (рис. 120).
Из формулы (79.1) следует, что еди
ница напряженности электростатиче
ского поля — ньютон на кулон (Н/Кл):
1 Н/Кл — напряженность такого поля,
которое на точечный заряд 1 Кл дей
ствуетссилойв1Н;1Н/Кл=1В/м,
где В (вольт) — единица потенциала
электростатического поля (см. § 84).
Графически электростатическое
поле изображают с помощью линий на
пряженности — линии, касательные к
которым в каждой точке совпадают с
направлением вектора E
r
(рис. 121). Им
приписывается направление, совпадаю
щее с направлением вектора E
r
в рас
сматриваемой точке линии. Так как в
каждой данной точке пространства век
тор напряженности имеет лишь одно
направление, то линии напряженности
никогда не пересекаются.
Для однородного поля (когда век
тор напряженности в любой точке по
стоянен по модулю и направлению) ли
нии напряженности параллельны век
тору напряженности. Если поле созда
ется точечным зарядом, то линии на
пряженности — радиальные прямые,
выходящие из заряда, если он положи
телен (рис. 121, а), и входящие в него,
если заряд отрицателен (рис. 121, б ).
Вследствие большой наглядности гра
фический способ представления элек
тростатического поля широко применя
ется в электротехнике.
Чтобы с помощью линий напряжен
ности можно было характеризовать не
только направление, но и значение на
пряженности электростатического поля,
условились проводить их с определен
ной густотой (рис. 122): число линий
напряженности, пронизывающих еди
ницу площади поверхности, перпенди
кулярную линиям напряженности, дол
жно быть равно модулю вектора E
r
. Тог
да число линий напряженности, прони
зывающих элементарную площадку dS,
нормаль n
r
к которой образует угол a с
вектором E
r
, равноEdScosa = EndS, где
En— проекция вектора E
r
на нормаль n
r
к площадке dS (рис. 123). Величина
dFE=EndS=E
r
dS
r
называется потоком вектора напря
женности сквозь площадку dS. Здесь
dS
r
= dSn
r
—
вектор, модуль которого ра
вен dS, а направление совпадает с на
правлением нормали n
r
к площадке.
Выбор направления вектора n
r
(а следо
вательно, и dS
r
) условен, так как его
можно направить в любую сторону.
Единица потока вектора напряженнос
ти электростатического поля — вольт
метр (В · м).
Рис. 120
Рис. 121
Рис. 122
Рис. 123
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

150
Для произвольной замкнутой повер
хности S поток вектора E
r
сквозь эту
поверхность
,
dd
En
SS
ES ES
F=
=
òòrr
ÑÑ(79.3)
где интеграл берется по замкнутой по
верхности S. Поток вектора E
r
является
алгебраической величиной: зависит не
только от конфигурации поля E
r
,нои
от выбора направления n
r
. Для замкну
тых поверхностей за положительное на
правление нормали принимается внеш
няя нормаль, т. е. нормаль, направлен
ная наружу области, охватываемой по
верхностью.
В истории развития физики имела
место борьба двух теорий: дальнодей
ствия и близкодействия. В теории даль
нодействия принимается, что электри
ческие явления определяются мгновен
ным взаимодействием зарядов на лю
бых расстояниях. Согласно теории
близкодействия, все электрические яв
ления определяются изменениями по
лей зарядов, причем эти изменения рас
пространяются в пространстве от точ
ки к точке с конечной скоростью.
Применительно к электростатичес
ким полям обе теории дают одинаковые
результаты, хорошо согласующиеся с
опытом. Переход же к явлениям, обус
ловленным движением электрических
зарядов, приводит к несостоятельнос
ти теории дальнодействия, поэтому со
временной теорией взаимодействия за
ряженных частиц является теория
близкодействия.
§ 80. Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè
ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé.
Ïîëå äèïîëÿ
Рассмотрим систему неподвижных
точечных зарядов Q1, Q2, K, Qn. Экспе
риментально установлено, что сила вза
имодействия двух точечных зарядов не
изменяется в присутствии других заря
дов. Тогда результирующая сила F
r
, дей
ствующая со стороны поля на пробный
заряд Q0, равна векторной сумме сил F
r
i,
приложенных к нему со стороны каж
дого из зарядов Qi :
1
.
n
i
i
FF
=
=å
rr
(80.1)
Согласно (79.1), F
r
= Q0E
r
, гдеE
r
—
напряженность результирующего поля,
аE
r
i — напряженность поля, создавае
мого зарядом Qi. Подставляя последние
выражения в (80.1), получаем
1
.
n
i
i
EE
=
=
å
rr
(80.2)
Формула (80.2) выражает принцип
суперпозиции (наложения) электро
статических полей, согласно которо
му напряженность E
r
результирующего
поля, создаваемого системой зарядов,
равна геометрической сумме напряжен
ностей полей, создаваемых в данной
точке каждым из зарядов в отдельности.
Отметим, что принцип суперпози
ции является обобщением опытных
данных и, возможно, нарушается на
малых расстояниях („ 10-15
м).
Принцип суперпозиции позволяет
рассчитать электростатические поля
любой системы неподвижных зарядов,
поскольку если заряды не точечные, то
их можно всегда мысленно разделить
на малые части, считая каждую из них
точечным зарядом.
Применим принцип суперпозиции
для расчета электростатического поля
электрического диполя. Электриче
ский диполь — система двух равных по
модулю разноименных точечных заря
дов (+Q, -Q), расстояние l между ко
торыми значительно меньше расстоя
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

151
ния до рассматриваемых точек поля.
Вектор, направленный по оси диполя
(прямой, проходящей через оба заряда)
от отрицательного заряда к положи
тельному и равный расстоянию между
ними, называется плечом диполя l
r
.
Вектор
p
r
= 1⁄2Q1⁄2l
r
,
(80.3)
совпадающий по направлению с плечом
диполя и равный произведению заряда
1⁄2Q1⁄2 на плечо l
r
, называется электриче
ским моментом диполя или диполь
ным моментом (рис. 124).
Согласно принципу суперпозиции
(80.2), напряженность E
r
поля диполя в
произвольной точке
E
r
=E
r
++E
r
-
,
где E
r
+иE
r
-
—
напряженности полей, со
здаваемых соответственно положитель
ным и отрицательным зарядами.
Воспользовавшись этой формулой,
рассчитаем напряженность поля в про
извольной точке на продолжении оси
диполя и на перпендикуляре к середи
не его оси.
1. Напряженность поля на продол
жении оси диполя в точке A (рис. 125, а).
Как видно из рисунка (рисунок не в
масштабе), напряженность поля дипо
ля в точке A направлена по оси диполя
и по модулю равна
EA=E+-E
-
.
Обозначив расстояние от точки A до
середины оси диполя через r, на осно
вании формулы (79.2) для случая ваку
ума можно записать



22
22
22
1
4
22
22
.
4
22
A
QQ
E
ll
rr
ll
rr
Q
ll
rr
0
0
éù
=-
=
êú
pe êú
-+
êú
êú
ëû
++-
=
pe
-+
Согласно определению диполя,
2
l = r, поэтому
33
22
11
.
44
A
Ql
p
E
rr
00
==
pe
pe
2. Напряженность поля на перпен
дикуляре, восставленном к оси из его
середины, в точке B [рис. 125, б (рису
нок не в масштабе)]. Точка B равноуда
лена от зарядов, поэтому
2
2
1
4()
4
Q
EE
l
r
+-
0
==
»
pe
¢+
,
2
1
4()
Q
r
0
»
¢
pe
(80.4)
где r ¢ — расстояние от точки B до сере
дины плеча диполя.
Из подобия равнобедренных треу
гольников, опирающихся на плечо ди
поля и вектор E
r
B , получим

,
2
2
()2
B
E
ll
Er
l
r
+
=»
¢
¢+
Рис. 124
Рис. 125
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

152
откуда
.
B
El
E
r
+
=
¢
(80.5)
Подставив в выражение (80.5) зна
чение (80.4), получим

33
11
.
4() 4()
B
Ql
p
E
rr
00
==
¢¢
pe
pe
Вектор E
r
B имеет направление, про
тивоположное вектору электрического
момента диполя (вектор p
r
направлен от
отрицательного заряда к положитель
ному).
§ 81. Òåîðåìà Ãàóññà
äëÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
â âàêóóìå
Вычисление напряженности поля
системы электрических зарядов с помо
щью принципа суперпозиции электро
статических полей можно значительно
упростить, используя выведенную не
мецким ученым К. Гауссом (1777 —
1855) теорему, определяющую поток
вектора напряженности электрическо
го поля сквозь произвольную замкну
тую поверхность.
В соответствии с формулой (79.3)
поток вектора напряженности сквозь
сферическую поверхность радиуса r,
охватывающую точечный заряд Q, на
ходящийся в ее центре (рис. 126), равен
2
2
d4.
4
En
S
QQ
ES
r
r
00
F=
=
p=
pe
e
òÑ
Этот результат справедлив для замк
нутой поверхности любой формы. Дей
ствительно, если окружить сферу (рис.
126) произвольной замкнутой поверх
ностью, то каждая линия напряженно
сти, пронизывающая сферу, пройдет и
сквозь эту поверхность.
Если замкнутая поверхность произ
вольной формы охватывает заряд (рис.
127), то при пересечении любой выб
ранной линии напряженности с поверх
ностью она то входит в нее, то выходит
из нее. Нечетное число пересечений при
вычислении потока в конечном счете
сводится к одному пересечению, так как
поток считается положительным, если
линии напряженности выходят из по
верхности, и отрицательным для ли
ний, входящих в поверхность. Если зам
кнутая поверхность не охватывает за
ряда, то поток сквозь нее равен нулю,
так как число линий напряженности,
входящих в поверхность, равно числу
линий напряженности, выходящих из
нее.
Таким образом, для поверхности
любой формы, если она замкнута и зак
лючает в себя точечный заряд Q, поток
вектора E
r
будет равен
Q
0
e
, т.е.
dd.
En
SS
Q
ES ES
0
F=
=
=
e
òò
r
r
ÑÑ
(81.1)
Знак потока совпадает со знаком за
ряда Q.
Рассмотрим общий случай произ
вольной поверхности, окружающей n
зарядов. В соответствии с принципом
суперпозиции (80.2) напряженность E
r
Рис. 126
Рис. 127
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

153
поля, создаваемого всеми зарядами,
равна сумме напряженностей E
r
i полей,
создаваемых каждым зарядом в отдель
ности:
i
i
EE
=
å
rr
. Поэтому

ddd
.
Ei
i
ii
SS
S
ES
ES
ES
F=
=
=
åå
òòò
rr
r
rrr
ÑÑ
Ñ
Согласно (81.1), каждый из интегра
лов, стоящий под знаком суммы, равен
i
Q
0
e
. Следовательно,
1
1
dd.
n
ni
i
SS
ES ES
Q
0=
==
e
å
òò
r
r
ÑÑ
(81.2)
Формула (81.2) выражает теоре
му Гаусса для электростатическо
го поля в вакууме: поток вектора на
пряженности электростатического
поля в вакууме сквозь произвольную
замкнутую поверхность равен алгеб
раической сумме заключенных внут
ри этой поверхности зарядов, делен
ной на e0. Эта теорема выведена мате
матически для векторного поля лю
бой природы русским математиком
М. В . Остроградским (1801 — 1862), а
затем независимо от него примени
тельно к электростатическому полю —
К. Гауссом.
В общем случае электрические заря
ды могут быть «размазаны» с некото
рой объемной плотностью
d
d
Q
V
r=
,
различной в разных местах простран
ства. Тогда суммарный заряд, заклю
ченный внутри замкнутой поверхнос
ти S, охватывающей некоторый объем
V, равен d
V
V
r
ò . Используя этот ре
зультат, теорему Гаусса (81.2) можно
записать так:
1
ddd
.
n
SS
V
ES ES
V
0
==
r
e
òòò
r
r
ÑÑ
§ 82. Ïðèìåíåíèå òåîðåìû
Ãàóññà ê ðàñ÷åòó íåêîòîðûõ
ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé
â âàêóóìå
1. Поле равномерно заряженной беско
нечной плоскости. Бесконечная плоскость
(рис. 128) заряжена с постоянной поверх
ностной плотностью +s ( d
d
Q
S
s=
—
за
ряд, приходящийся на единицу поверхнос
ти). Линии напряженности перпендикуляр
ны рассматриваемой плоскости и направле
ны от нее в обе стороны.
В качестве замкнутой поверхности мыс
ленно построим цилиндр, основания кото
рого параллельны заряженной плоскости, а
ось перпендикулярна ей. Так как образую
щие цилиндра параллельны линиям напря
женности (cos a = 0), то поток вектора на
пряженности сквозь боковую поверхность
цилиндра равен нулю, а полный поток
сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь
его основания (площади оснований равны
и для основания En совпадает с E ), т. е. ра
вен 2ES. Заряд, заключенный внутри пост
роенной цилиндрической поверхности, ра
вен sS . Согласно теореме Гаусса (81.2),
2
S
ES
0
s
=
e
, откуда
.
2
E
0
s
=
e
(82.1)
Следует отметить, что это формула спра
ведлива только для малых (по сравнению с
размерами плоскости) расстояний от плос
кости, так как только тогда плоскость мож
но считать бесконечной. Из формулы (82.1)
следует, что поле равномерно заряженной
плоскости однородно.
2. Поле двух бесконечных параллель
ных разноименно заряженных плоскостей
(рис. 129). Пусть плоскости заряжены рав
Рис. 128
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

154
номерно разноименными зарядами с повер
хностными плотностями +s и -s . Поле та
ких плоскостей найдем как суперпозицию
полей, создаваемых каждой из плоскостей
в отдельности. На рисунке верхние стрелки
соответствуют полю от положительно заря
женной плоскости, нижние — от отрица
тельно заряженной. Слева и справа от плос
костей поля вычитаются (линии напряжен
ности направлены навстречу друг другу),
поэтому здесь напряженность поля E = 0.
В области между плоскостями E = E+ + E-
[E+ и E- определяются по формуле (82.1)].
Поэтому результирующая напряженность
.
E
0
s
=
e
(82.2)
Таким образом, результирующая напря
женность поля в области между плоскостя
ми описывается формулой (82.2), а вне
объема, ограниченного плоскостями, равна
нулю.
3. Поле равномерно заряженной сфе
рической поверхности. Сферическая по
верхность радиусом R с общим зарядом Q
заряжена равномерно с поверхностной
плотностью +s. Благодаря равномерному
распределению заряда по поверхности поле,
создаваемое им, обладает сферической сим
метрией. Поэтому линии напряженности
направлены радиально (рис. 130). Построим
мысленно сферу радиусом r, имеющую об
щий центр с заряженной сферой. Если r > R,
то внутрь поверхности попадает весь заряд Q,
создающий рассматриваемое поле, и, по те
ореме Гаусса (81.2),
2
4
Q
rE
0
p=
e
, откуда
().
2
1
4
Q
Er
R
r
0
=
pe
…
(82.3)
При r > R поле убывает с расстоянием r
по такому же закону, как у точечного заря
да. График зависимости E от r приведен на
рис. 131. Если r ¢ < R, то замкнутая поверх
ность не содержит внутри зарядов, поэтому
внутри равномерно заряженной сферичес
кой поверхности электростатическое поле
отсутствует (E = 0).
4. Поле объемно заряженного шара. Шар
радиусом R с общим зарядом Q заряжен рав
номерно с объемной плотностью r ( d
d
Q
V
r=
—
заряд, приходящийся на единицу объема).
Учитывая соображения симметрии (см.
п. 3), можно показать, что для напряженно
сти поля вне шара получится тот же резуль
тат, что и в предыдущем случае [см. (82.3)].
Внутри шара напряженность поля будет
другая. Сфера радиусом r ¢ < R охватывает за
рядQ¢= 4/3
3
()
r¢
pr
. Поэтому, согласно теоре
ме Гаусса (81.2),
2
4()
rE
¢
p
=
Q
0
¢
=
e
4/3
3
()
r
0
¢
pr
e
.
Учитывая, что
, получаем
().
3
1
4
Q
Er
r
R
R
0
¢¢
=
pe
„
(82.4)
Таким образом, напряженность поля вне
равномерно заряженного шара описывает
ся формулой (82.3), а внутри него изменяет
ся линейно с расстоянием r ¢ согласно выра
жению (82.4). График зависимости E от r для
рассмотренного случая приведен на рис. 132.
5. Поле равномерно заряженного беско
нечного цилиндра (нити). Бесконечный ци
линдр радиусом R (рис. 133) заряжен равно
Рис. 129
Рис. 130
Рис. 131
Рис. 132
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

155
мерно с линейной плотностью t (t =
d
d
Q
l
—
заряд, приходящийся на единицу длины).
Из соображений симметрии следует, что ли
нии напряженности будут направлены по
радиусам круговых сечений цилиндра с оди
наковой густотой во все стороны относи
тельно оси цилиндра.
В качестве замкнутой поверхности мыс
ленно построим коаксиальный цилиндр ра
диусом r и высотой l (см. рис. 133). Поток
вектора E
r
сквозь торцы коаксиального ци
линдра равен нулю (торцы параллельны ли
ниям напряженности), а сквозь боковую по
верхность равен 2prlE. По теореме Гаусса
(81.2),приr>R 2
l
rlE
0
t
p=
e
, откуда
().
1
2
Er
R
r
0
t
=
pe
…
(82.5)
Если r < R , то замкнутая поверхность за
рядов внутри не содержит, поэтому в этой
области E = 0. Таким образом, напряжен
ность поля вне равномерно заряженного
бесконечного цилиндра определяется выра
жением (82.5), внутри же его поле отсут
ствует.
§ 83. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà
íàïðÿæåííîñòè
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
Если в электростатическом поле то
чечного заряда Q из точки 1 в точку 2
вдоль произвольной траектории (рис.
134) перемещается другой точечный за
ряд Q0, то сила, приложенная к заряду,
совершает работу. Работа силы F
r
на
элементарном перемещении dl
r
равна
.
0
2
1
dddcos
dcos
4
QQ
AFl Fl
l
r
0
==
a
=
a
pe
r
r
Так как dcos d
lr
a=
,то
.
0
2
1
dd
4
QQ
Ar
r
0
=
pe
Работа при перемещении заряда Q0
източки1вточку2
22
11
0
12
2
d
d=
4
rr
rr
QQr
AA
r
0
==
pe
òò
00
12
1
4
QQ QQ
rr
0
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷÷
ç
pe èø
(83.1)
не зависит от траектории перемещения,
а определяется только положениями
начальной 1 и конечной 2 точек. Сле
довательно, электростатическое поле
точечного заряда является потенци
альным, а электростатические силы —
консервативными (см. § 12).
Из формулы (83.1) следует, что ра
бота, совершаемая при перемещении
электрического заряда во внешнем
электростатическом поле по любому
замкнутому пути L, равна нулю, т. е.
d0
.
L
A=
òÑ
(83.2)
Рис. 133
Рис. 134
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

156
Если в качестве заряда, переносимо
го в электростатическом поле, взять
единичный точечный положительный
заряд, то элементарная работа сил поля
на пути dl
r
равна E
r
dl
r
=Eldl,гдеEl=
= E cos a — проекция вектора E
r
на на
правление элементарного перемеще
ния. Тогда формулу (83.2) можно запи
сать в виде
0.
l
LL
Edl
Edl
==
òò
r
r
ÑÑ
(83.3)
Интеграл
l
LL
Edl
Edl
=
òò
r
r
ÑÑ
называет
ся циркуляцией вектора напряжен
ности. Таким образом, циркуляция
вектора напряженности электростати
ческого поля вдоль любого замкнутого
контура равна нулю. Силовое поле, об
ладающее свойством (83.3), называет
ся потенциальным. Из обращения в
нуль циркуляции вектора E
r
следует,
что линии напряженности электроста
тического поля не могут быть замкну
тыми, они начинаются и кончаются на
зарядах (соответственно на положи
тельных или отрицательных) или же
уходят в бесконечность.
Формула (83.3) справедлива только
для электростатического поля. В даль
нейшем будет показано, что для поля
движущихся зарядов (поля, изменяю
щегося со временем) условие (83.3) не
выполняется (для него циркуляция
вектора напряженности отлична от
нуля).
§ 84. Ïîòåíöèàë
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
Тело, находящееся в потенциальном
поле сил (а электростатическое поле
является потенциальным), обладает
потенциальной энергией, за счет кото
рой силами поля совершается работа
(см. § 12). Работа консервативных сил
совершается за счет убыли потенциаль
ной энергии [см. (12.2)]. Тогда работу
(83.1) сил электростатического поля
можно представить как разность потен
циальных энергий, которыми обладает
точечный заряд Q0 в начальной и конеч
ной точках поля заряда Q :
,
00
12
12
12
11
44
QQ
QQ
A
rr
UU
00
=-=
pe
pe
=-
(84.1)
откуда следует, что потенциальная энер
гия заряда Q0 в поле заряда Q равна
0
1
.
4
QQ
UC
r
0
=+
pe
Потенциальная энергия U определя
ется с точностью до постоянной C. Зна
чение постоянной обычно выбирается
так, чтобы при удалении заряда на бес
конечность (r ® ¥) потенциальная
энергия обращается в нуль (U = 0), тог
да C = 0 и потенциальная энергия за
ряда Q0, находящегося в поле заряда Q
на расстоянии r от него, равна
0
1
.
4
QQ
U
r
0
=
pe
(84.2)
Для одноименных зарядов Q0Q > 0
и потенциальная энергия их взаимодей
ствия (отталкивания) положительна,
для разноименных зарядов Q0Q < 0 и
потенциальная энергия их взаимодей
ствия (притяжения) отрицательна.
Если поле создается системой n то
чечных зарядов Q1, Q2, K, Q n, то работа
электростатических сил, совершаемая
над зарядом Q0, равна алгебраической
сумме работ сил, обусловленных каж
дым из зарядов в отдельности. Поэто
му потенциальная энергия U заряда Q0,
находящегося в этом поле, равна сум
ме потенциальных энергий Ui каждого
из зарядов:
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

157
0
11
.
4
nn
i
i
i
ii
Q
UUQ
r
0
==
==
pe
åå (84.3)
Из формул (84.2) и (84.3) вытекает,
что отношение
0
U
Q
не зависит от Q0 и
является энергетической характерис
тикой электростатического поля, назы
ваемой потенциалом:
0
.
U
Q
j=
(84.4)
Потенциал j в какой либо точке
электростатического поля есть физиче
ская величина, определяемая потенци
альной энергией единичного положи
тельного заряда, помещенного в эту точку.
Из формул (84.4) и (84.2) следует,
что потенциал поля, создаваемого то
чечным зарядом Q, равен
1.
4
Q
r
0
j=
pe
(84.5)
Работа, совершаемая силами элект
ростатического поля при перемещении
заряда Q0 из точки 1 в точку 2 [см. (84.1),
(84.4), (84.5)], может быть представле
на как
A12=U1-U2=Q0(j1-j2),(84.6)
т. е. равна произведению перемещаемо
го заряда на разность потенциалов в
начальной и конечной точках.
Разность потенциалов двух точек 1
в 2 в электростатическом поле определя
ется работой, совершаемой силами поля,
при перемещении единичного положи
тельного заряда из точки 1 в точку 2.
При решении конкретных задач фи
зический смысл имеет разность потенци
алов между двумя точками электроста
тического поля.
Работа сил поля при перемещении
заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 может
быть записана также в виде
2
12
0
1
d.
AQ
E
l
=
òrr
(84.7)
Приравняв (84.6) и (84.7), придем к
выражению для разности потенциалов:
,
22
12
11
dd
l
El El
j-j =
=
òò
r
r
(84.8)
где интегрирование можно произво
дить вдоль любой линии, соединяющей
начальную и конечную точки, так как
работа сил электростатического поля не
зависит от траектории перемещения.
Если перемещать заряд Q0 из произ
вольной точки за пределы поля, т. е . на
бесконечность, где, по условию, потен
циал равен нулю, то работа сил элект
ростатического поля, согласно (84.6),
A¥ = Q0j, откуда
0
.
A
Q
¥
j=
(84.9)
Таким образом, потенциал — физи
ческая величина, определяемая рабо
той по перемещению единичного поло
жительного заряда при удалении его из
данной точки поля на бесконечность.
Эта работа численно равна работе, со
вершаемой внешними силами (против
сил электростатического поля) по пе
ремещению единичного положитель
ного заряда из бесконечности в данную
точку поля.
Из выражения (84.4) и (84.6) следу
ет, что единица потенциала и разности
потенциалов — вольт (В): 1 В — потен
циал такой точки поля, в которой заряд
в 1 Кл обладает потенциальной энер
гией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая
размерность вольта, можно показать,
что введенная в § 79 единица напряжен
ности электростатического поля дей
ствительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл =
=1Н·м/(Кл·м)=1Дж/(Кл·м)=1В/м.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

158
Из формул (84.3) и (84.4) вытекает,
что если поле создается несколькими
зарядами, то потенциал поля системы
зарядов равен алгебраической сумме
потенциалов полей всех этих зарядов:
11
1
.
4
nn
i
i
i
ii
Q
r
0
==
j=j=
pe
åå
§ 85. Íàïðÿæåííîñòü
êàê ãðàäèåíò ïîòåíöèàëà.
Ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè
Найдем взаимосвязь между напря
женностью электростатического по
ля — силовой характеристикой поля, и
потенциалом — энергетической харак
теристикой поля.
Работа по перемещению единичного
точечного положительного заряда из
одной точки поля в другую вдоль оси
x при условии, что точки расположе
ны бесконечно близко друг к другу и
x1-x2
= dx, равна Exdx. Та же работа
равна j1 - j 2 = —dj. Приравняв оба вы
ражения, можем записать
,
x
E
x
¶j
=-
¶
(85.1)
где символ частной производной под
черкивает, что дифференцирование
производится только по x . Повторив
аналогичные рассуждения для осей y
и z , можем найти вектор E
r
:
,
Ei
jk
xyz
æö
¶j ¶j ¶j÷
ç
=-
+
+÷
ç
÷÷
綶¶
èø
r
r
rr
где i
r
,j
r
,k
r
—
единичные векторы коор
динатных осей x, y, z.
Из определения градиента (12.4) и
(12.6) следует, что
E
r
= -gradj, или E
r
= -Ñj, (85.2)
т. е. напряженность E
r
поля равна гра
диенту потенциала со знаком «-». Знак
«-» определяется тем, что вектор на
пряженности E
r
поля направлен в сто
рону убывания потенциала.
Для графического изображения рас
пределения потенциала электростати
ческого поля, как и в случае поля тяго
тения (см. § 25), пользуются эквипо
тенциальными поверхностями — по
верхностями, во всех точках которых
потенциал j имеет одно и то же значе
ние.
Если поле создается точечным заря
дом, то его потенциал, согласно (84.5),
1
4
Q
r
0
j=
pe
. Таким образом, эквипо
тенциальные поверхности в данном
случае — концентрические сферы.
С другой стороны, линии напряженно
сти в случае точечного заряда — ради
альные прямые. Следовательно, линии
напряженности в случае точечного за
ряда перпендикулярны эквипотенциаль
ным поверхностям.
Линии напряженности всегда нор
мальны к эквипотенциальным поверх
ностям. Действительно, все точки экви
потенциальной поверхности имеют
одинаковый потенциал, поэтому рабо
та по перемещению заряда вдоль этой
поверхности равна нулю, т. е . электро
статические силы, действующие на за
ряд, всегда направлены по нормалям к
эквипотенциальным поверхностям.
Следовательно, вектор E
r
всегда норма
лен к эквипотенциальным поверхнос
тям, а поэтому линии вектора E
r
ор
тогональны этим поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей
вокруг каждого заряда и каждой систе
мы зарядов можно провести бесчислен
ное множество. Однако их обычно про
водят так, чтобы разности потенциалов
между любыми двумя соседними экви
потенциальными поверхностями были
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

159
одинаковы. Тогда густота эквипотенци
альных поверхностей наглядно харак
теризует напряженность поля в разных
точках. Там, где эти поверхности рас
положены гуще, напряженность поля
больше.
Итак, зная расположение линий на
пряженности электростатического поля,
можно построить эквипотенциальные
поверхности и, наоборот, по известно
му расположению эквипотенциальных
поверхностей можно определить в каж
дой точке поля модуль и направление
напряженности поля. На рис. 135 для
примера показан вид линий напряжен
ности (штриховые линии) и сечений
эквипотенциальных поверхностей
(сплошные линии) полей положитель
ного точечного заряда (рис. 135, а) и за
ряженного металлического цилиндра,
имеющего на одном конце выступ, а на
другом — впадину (рис. 135, б ).
В табл. 5 приведено сопоставление
характеристик гравитационного и элект
ростатического полей.
§ 86. Âû÷èñëåíèå
ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ
ïî íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ
Установленная в § 85 связь между
напряженностью поля и потенциалом
позволяет по известной напряженнос
ти поля найти разность потенциалов
между двумя произвольными точками
этого поля.
Сравниваемые
Виды полей
характеристики
Гравитационное
Электростатическое
Сила
Напряженность
Работа по перемещению тела
или заряда
Работа по замкнутому контуру
Потенциал
Связь между напряженностью
и потенциалом
E
r
= -gradj
0
U
Q
j=
d0
L
A=
òÑ
00
12
02
1
4
()
QQ QQ
A
rr
Q
0
1
æö
÷
ç
=-
=
÷
ç
÷÷
ç
pe èø
=j
-
j
12
2
1
4
QQ
F
r
0
=
pe
F
E
Q0
=
r
r
g
r
= -grad j
m
P
j=
d0
L
A=
òÑ
21
2
()
GM GM
Am
RR
m1
æö
÷
ç
=-
=
÷
ç
÷
çèø
=j
-
j
12
2
mm
FG
r
=
F
g
m
=
r
r
Таблица 5
Рис. 135
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

160
1. Поле равномерно заряженной беско
нечной плоскости определяется по формуле
(82.1):
2
E
0
s
=
e
, где s — поверхностная
плотность заряда. Разность потенциалов
между точками, лежащими на расстояниях
x 1 и x 2 от плоскости, равна [используем фор
мулу (85.1)]
22
11
12
21
dd(
)
.
xx
xx
Ex
x
xx
00
ss
j-j =
=
=
-
2e
2e
òò
2. Поле двух бесконечных параллель
ных разноименно заряженных плоскостей
определяется формулой (82.2): E
0
s
=
e
, где
s — поверхностная плотность заряда. Раз
ность потенциалов между плоскостями, рас
стояние между которыми равно d [см. фор
мулу (85.1)], равна
12
00
dd.
dd
Ex
x
d
00
ss
j-j =
=
=
ee
òò (86.1)
3. Поле равномерно заряженной сфе
рической поверхности радиусом R с общим
зарядом Q вне сферы (r > R) вычисляется
по (82.3):
2
1
4
Q
E
r
0
=
pe
. Разность потенциа
лов между двумя точками, лежащими на
расстояниях r1 и r2 от центра сферы (r1 > R ,
r2>R,r2>r1),равна
22
11
12
2
1
dd
4
rr
rr
Q
Er
r
r
0
j-j =
=
=
pe
òò
12
11.
4
Q
rr
0
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
pe èø
(86.2)
Если принять r1 = r и r2 = ¥, то потенциал
поля вне сферической поверхности, соглас
но формуле (86.2), задается выражением
1
4
Q
r
0
j=
pe
[ср. с формулой (84.5)]. Внутри сфериче
ской поверхности потенциал всюду одина
ков и равен
.
4
Q
R0
j=
pe
График зависимости j от r приведен на
рис. 136.
4. Поле объемно заряженного шара
радиусом R с общим зарядом Q вне шара
(r > R) вычисляется по формуле (82.3), по
этому разность потенциалов между двумя
точками, лежащими на расстояниях r1 и r2
отцентрашара(r1>R,r2>R,r2> r1),опре
деляется формулой (86.2). В любой точке,
лежащей внутри шара на расстоянии r ¢ от
его центра (r ¢ < R ), напряженность опреде
ляется выражением (82.4):
3
1
4
Q
Er
R
0
¢
=
pe
.
Следовательно, разность потенциалов между
двумя точками, лежащими на расстояниях
r1¢иr2¢отцентрашара(r1¢<R,r2¢<R,r2¢>r1¢),
равна
[]
2
1
22
12
21
3
d(
)
(
)
.
8
r
r
Q
Er
r
r
R
¢
0
¢
¢¢
j-j =
=
-
pe
ò
5. Поле равномерно заряженного бес
конечного цилиндра радиусом R, заряжен
ного с линейной плотностью t, вне цилинд
ра (r > R) определяется по формуле (82.5):
1
2
E
r
0
t
=
pe
. Следовательно, разность по
тенциалов между двумя точками, лежащи
ми на расстояниях r1 и r2 от оси заряженно
гоцилиндра(r1>R,r2>R,r2>r1),равна
22
11
12
d
d
2
rr
rr
r
Er
r
0
t
j-j =
=
=
pe
òò
2
1
ln.
2
r
r
0
t
=
pe
(86.3)
§ 87. Òèïû äèýëåêòðèêîâ.
Ïîëÿðèçàöèÿ äèýëåêòðèêîâ
Диэлектрик (как и всякое вещество)
состоит из атомов и молекул. Так как
Рис. 136
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

161
положительный заряд всех ядер моле
кулы равен суммарному заряду элект
ронов, то молекула в целом электриче
ски нейтральна.
Если заменить положительные заря
ды ядер молекул суммарным зарядом
+Q, находящимся в центре «тяжести»
положительных зарядов, а заряд всех
электронов — суммарным отрицатель
ным зарядом -Q, находящимся в центре
«тяжести» отрицательных зарядов, то
молекулу можно рассматривать как элек
трический диполь с электрическим мо
ментом, определяемым формулой (80.3).
Первую группу диэлектриков (N2,
H2, O2, CO2, CH4, ...) составляют веще
ства, молекулы которых имеют симмет
ричное строение, т. е . центры «тяжести»
положительных и отрицательных заря
дов в отсутствие внешнего электриче
ского поля совпадают и, следовательно,
дипольный момент p
r
молекулы равен
нулю. Молекулы таких диэлектриков
называются неполярными. Под дей
ствием внешнего электрического поля
заряды неполярных молекул смещают
ся в противоположные стороны (поло
жительные по полю, отрицательные
против поля) и молекула приобретает
дипольный момент.
Вторую группу диэлектриков (H2O,
NH3, SO2, CO, ...) составляют вещества,
молекулы которых имеют асимметрич
ное строение, т. е . центры «тяжести»
положительных и отрицательных заря
дов не совпадают. Таким образом, эти
молекулы в отсутствие внешнего элек
трического поля обладают дипольным
моментом. Молекулы таких диэлектри
ков называются полярными. При от
сутствии внешнего поля, однако, ди
польные моменты полярных молекул
вследствие теплового движения ориен
тированы в пространстве хаотично и их
результирующий момент равен нулю.
Если такой диэлектрик поместить во
внешнее поле, то силы этого поля бу
дут стремиться повернуть диполи вдоль
поля и в результате возникнет отлич
ный от нуля результирующий момент.
Третью группу диэлектриков (NaCl,
KCl, KBr, ...) составляют вещества, мо
лекулы которых имеют ионное строе
ние. Ионные кристаллы представляют
собой пространственные решетки с пра
вильным чередованием ионов разных
знаков. В этих кристаллах нельзя вы
делить отдельные молекулы, а рассмат
ривать их можно как систему двух вдви
нутых одна в другую ионных подреше
ток. При наложении на ионный крис
талл электрического поля происходит
некоторая деформация кристалличе
ской решетки или относительное сме
щение подрешеток, приводящее к воз
никновению дипольных моментов.
Таким образом, внесение всех трех
групп диэлектриков во внешнее элект
рическое поле приводит к возникнове
нию отличного от нуля результирую
щего электрического момента диэлек
трика или, иными словами, к поляри
зации диэлектрика.
Поляризацией диэлектрика называ
ется процесс ориентации диполей или
появления под воздействием внешнего
электрического поля ориентированных
по полю диполей.
Соответственно трем группам ди
электриков различают три вида поля
ризации:
электронная, или деформацион
ная, поляризация диэлектрика с непо
лярными молекулами, заключающаяся
в возникновении у атомов индуциро
ванного дипольного момента за счет де
формации электронных орбит;
ориентационная, или дипольная,
поляризация диэлектрика с полярны
ми молекулами, заключающаяся в ори
ентации имеющихся дипольных момен
тов молекул по полю. Естественно, что
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

162
тепловое движение препятствует пол
ной ориентации молекул, но в резуль
тате совместного действия обоих факто
ров (электрическое поле и тепловое дви
жение) возникает преимущественная
ориентация дипольных моментов моле
кул по полю. Эта ориентация тем силь
нее, чем больше напряженность элект
рического поля и ниже температура;
ионная поляризация диэлектриков
с ионными кристаллическими решетка
ми, заключающаяся в смещении подре
шетки положительных ионов вдоль
поля, а отрицательных — против поля,
приводящем к возникновению диполь
ных моментов.
§ 88. Ïîëÿðèçîâàííîñòü.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ
â äèýëåêòðèêå
При помещении диэлектрика во
внешнее электрическое поле он поля
ризуется, т. е . приобретает отличный от
нуля дипольный момент Vi
i
pp
=
å
rr
, где
p
r
i — дипольный момент i й молекулы.
Для количественного описания поля
ризации диэлектрика пользуются век
торной величиной — поляризованнос
тью, определяемой как дипольный мо
мент единицы объема диэлектрика:
.
i
Vi
p
p
P
VV
==
år
r
r
(88.1)
Из опыта следует, что для большого
класса диэлектриков (за исключением
сегнетоэлектриков, см. § 91) поляризо
ванность P
r
линейно зависит от напря
женности поля E
r
. Если диэлектрик
изотропный и E
r
не слишком велико, то
P
r
=
e0E
r
,
(88.2)
где — диэлектрическая восприим
чивость вещества, характеризующая
свойства диэлектрика;
—
величина
безразмерная, причем всегда > 0 и
для большинства диэлектриков (твер
дых и жидких) составляет несколько
единиц (хотя, например, для спирта
»25, для воды = 80).
Для установления количественных
закономерностей поля в диэлектрике
внесем в однородное внешнее электри
ческое поле E
r
0 (создается двумя беско
нечными параллельными разноименно
заряженными плоскостями) пластинку
из однородного диэлектрика, располо
жив ее так, как показано на рис. 137. Под
действием поля диэлектрик поляризу
ется, т. е . происходит смещение зарядов:
положительные смещаются по полю,
отрицательные — против поля. В ре
зультате этого на правой грани диэлект
рика, обращенного к отрицательной
плоскости, будет избыток положитель
ного заряда с поверхностной плотнос
тью +s¢, на левой — отрицательного за
ряда с поверхностной плотностью -s¢.
Эти нескомпенсированные заряды, по
являющиеся в результате поляризации
диэлектрика, называются связанными.
Поверхностная плотность s¢ меньше
плотности s свободных зарядов плос
костей, поэтому не все поле E
r
компен
сируется полем зарядов диэлектрика:
часть линий напряженности пройдет
сквозь диэлектрик, другая же часть об
рывается на связанных зарядах. Следо
вательно, поляризация диэлектрика
Рис. 137
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

163
вызывает уменьшение в нем поля по
сравнению с первоначальным внешним
полем. Вне диэлектрика E
r
=E
r
0.
Таким образом, появление связан
ных зарядов приводит к возникнове
нию дополнительного электрического
поля E
r
¢ (поля, создаваемого связанны
ми зарядами), которое направлено про
тив внешнего поля E
r
0 (поля, создавае
мого свободными зарядами) и ослабля
ет его. Результирующее поле внутри
диэлектрика
E=E0-E¢.
Поле E
0
¢
s
¢=
e
[поле, созданное дву
мя бесконечными заряженными плос
костями; см. формулу (82.2)], поэтому
0
.
EE
0
¢
s
=-
e
(88.3)
Определим поверхностную плот
ность связанных зарядов s¢. По (88.1)
полный дипольный момент пластинки
диэлектрика pV = PV = PSd, где S —
площадь грани пластинки, d — ее тол
щина. С другой стороны, полный ди
польный момент, согласно (80.3), равен
произведению связанного заряда каж
дой граниQ¢ = s¢S нарасстояниеd меж
ду ними, т. е . pV = s¢Sd . Таким образом,
PSd = s¢Sd или
s¢=P,
(88.4)
т. е . поверхностная плотность s¢ свя
занных зарядов равна поляризованно
сти P.
Подставив в (88.3) выражения (88.4)
и (88.2), получаем
E=E0- E,
откуда напряженность результирующе
го поля внутри диэлектрика равна
(88.5)
Безразмерная величина
e=1+
(88.6)
называется диэлектрической прони
цаемостью среды. Сравнивая (88.5) и
(88.6), видим, что e показывает, во
сколько раз поле ослабляется диэлект
риком, и характеризует количественно
свойство диэлектрика поляризоваться
в электрическом поле.
§ 89. Ýëåêòðè÷åñêîå ñìåùåíèå.
Òåîðåìà Ãàóññà
äëÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
â äèýëåêòðèêå
Напряженность электростатическо
го поля, согласно (88.5), зависит от
свойств среды: в однородной изотроп
ной среде напряженность поля E обрат
но пропорциональна e. Вектор напря
женности E
r
, переходя через границу
диэлектриков, претерпевает скачкооб
разное изменение, создавая тем самым
неудобства при расчетах электростати
ческих полей. Поэтому оказалось необ
ходимым помимо вектора напряженно
сти характеризовать поле еще векто
ром электрического смещения, кото
рый для электрически изотропной сре
ды, по определению,
D
r
=e
0eE
r
.
(89.1)
Используя формулы (88.6) и (88.2),
вектор электрического смещения мож
но выразить как
D
r
= e0E
r
+P
r
.
(89.2)
Единица электрического смещения —
кулон на метр в квадрате (Кл/м2).
Рассмотрим, с чем можно связать
вектор электрического смещения. Свя
занные заряды появляются в диэлект
рике при наличии внешнего электро
статического поля, создаваемого систе
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

164
мой свободных электрических зарядов,
т. е. в диэлектрике на электростатичес
кое поле свободных зарядов наклады
вается дополнительное поле связанных
зарядов. Результирующее поле в ди
электрике описывается вектором на
пряженности E
r
, и потому он зависит от
свойств диэлектрика.
Вектором D
r
описывается электро
статическое поле, создаваемое свобод
ными зарядами. Связанные заряды, воз
никающие в диэлектрике, могут выз
вать, однако, перераспределение сво
бодных зарядов, создающих поле. По
этому вектор D
r
характеризует электро
статическое поле, создаваемое свобод
ными зарядами (т. е . в вакууме), но при
таком их распределении в простран
стве, какое имеется при наличии диэлек
трика.
Аналогично, как и поле E
r
,полеD
r
изображается с помощью линий элек
трического смещения, направление и
густота которых определяются точно
так же, как и для линий напряженнос
ти (см. § 79).
Линии вектора E
r
могут начинаться
и заканчиваться на любых зарядах —
свободных и связанных, в то время как
линии вектора D
r
—
только на свободных
зарядах. Через области поля, где нахо
дятся связанные заряды, линии векто
раD
r
проходят не прерываясь.
Для произвольной замкнутой по
верхности S поток вектора D
r
сквозь эту
поверхность
,
dd
Dn
SS
DS DS
F=
=
òò
r
r
ÑÑ
где Dn — проекция вектора D
r
на нор
маль n
r
к площадке dS.
Теорема Гаусса для электроста
тического поля в диэлектрике:
,
1
dd
n
ni
i
SS
DSDSQ
=
==
å
òò
r
r
ÑÑ
(89.3)
т. е. поток вектора смещения электро
статического поля в диэлектрике сквозь
произвольную замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме заключен
ных внутри этой поверхности свобод
ных электрических зарядов. В такой
форме теорема Гаусса справедлива для
электростатического поля как для од
нородной и изотропной, так и для не
однородной и анизотропной сред.
Для вакуума Dn = e0En (e = 1), тогда
поток вектора напряженности E
r
сквозь
произвольную замкнутую поверхность
[ср. с (81.2)] равен
0
1
d.
n
ni
i
S
ESQ
=
e=
å
òÑ
Так как источниками поля E
r
в среде
являются как свободные, так и связан
ные заряды, то теорему Гаусса (81.2)
для поля E
r
в самом общем виде можно
записать как
ñâ,
00
11
dd
nk
ni
i
ii
SS
ES
ESQQ
==
e=
e=+
åå
òò
r
ÑÑ
где
ñâ
è
11
nk
ii
ii
QQ
==
åå— соответственно ал
гебраические суммы свободных и свя
занных зарядов, охватываемых замкну
той поверхностью S. Однако эта форму
ла неприемлема для описания поля E
r
в
диэлектрике, так как она выражает
свойства неизвестного поля E
r
через
связанные заряды, которые, в свою оче
редь, определяются им же. Это еще раз
доказывает целесообразность введения
вектора электрического смещения.
§ 90. Óñëîâèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà
äâóõ äèýëåêòðè÷åñêèõ ñðåä
Рассмотрим связь между векторами
E
r
иD
r
на границе раздела двух однород
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

165
ных изотропных диэлектриков (ди
электрические проницаемости которых
e1 и e2) при отсутствии на границе сво
бодных зарядов. Построим вблизи гра
ницы раздела диэлектриков 1 и 2 не
большой замкнутый прямоугольный
контур ABCDA длиной l , ориентировав
его так, как показано на рис. 138. Со
гласно теореме (83.3) о циркуляции
вектора E
r
,
,
d0
ABCDA
El=
òrr
Ñ
откуда
Et1l-Et2l=0
(знаки интегралов по AB и CD разные,
так как пути интегрирования противо
положны, а интегралы по участкам BC
и DA ничтожно малы). Поэтому
Et1 = Et2.
(90.1)
Заменив, согласно (89.1), проекции
вектора E
r
проекциями вектора D
r
,де
ленными на e0e, получим
22
.
D
D
t1
1
t
e
=
e
(90.2)
На границе раздела двух диэлектри
ков (рис. 139) построим прямой ци
линдр ничтожно малой высоты, одно
основание которого находится в первом
диэлектрике, другое — во втором. Ос
нования DS настолько малы, что в пре
делах каждого из них вектор D
r
одина
ков. Согласно теореме Гаусса (89.3),
Dn1DS - Dn2DS = 0
(нормали n
r
иn
r
¢ к основаниям цилинд
ра направлены противоположно). По
этому
Dn1 = Dn2.
(90.3)
Заменив, согласно (89.1), проекции
вектора D
r
проекциями вектора E
r
,ум
ноженными на e0e, получим
2
21
.
n
n
E
E
1
e
=
e
(90.4)
Таким образом, при переходе через
границу раздела двух диэлектрических
сред тангенциальная составляющая
вектора E
r
(Et) и нормальная составля
ющая вектора D
r
(Dn) изменяются не
прерывно (не претерпевают скачка), а
нормальная составляющая вектора
E
r
(En) и тангенциальная составляющая
вектора D
r
(Dt) претерпевают скачок.
Из условий (90.1) — (90.4) для со
ставляющих векторов E
r
иD
r
следует,
что линии этих векторов испытывают
излом (преломляются). Найдем связь
между углами a1 и a2 (на рис. 140
e2 >e1). Согласно (90.1) и (90.4), Et2 =
= Et1 и e2En2 = e1En1. Разложим векто
рыE
r
1иE
r
2 у границы раздела на тан
генциальные и нормальные составляю
щие. Из рис. 140 следует
22
11
1
tg
.
tg
n
n
EE
EE
t
2
t
a
=
a
Рис. 138
Рис. 139
Рис. 140
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

166
Учитывая записанные выше условия,
получим закон преломления линий на
пряженности E
r
(а значит, и линий сме
щения D
r
)
11
tg
.
tg
2
2
a
e
=
ae
Эта формула показывает, что, входя
в диэлектрик с большей диэлектричес
кой проницаемостью, линии E
r
иD
r
уда
ляются от нормали.
§ 91. Ñåãíåòîýëåêòðèêè
Сегнетоэлектрики — диэлектрики,
обладающие в определенном интерва
ле температур спонтанной (самопроиз
вольной) поляризованностью, т. е . поля
ризованностью в отсутствие внешнего
электрического поля. К сегнетоэлект
рикам относятся, например, детально
изученные И. В. Курчатовым (1903 —
1960) и П. П. Кобеко (1897 — 1954) сег
нетова соль NaKC4H4O6 · 4H2O (от нее
и получили свое название сегнетоэлек
трики) и титанат бария BaTiO3.
При отсутствии внешнего электри
ческого поля сегнетоэлектрик представ
ляет собой как бы мозаику из доменов —
областей с различными направлениями
поляризованности. Это схематически
показано на примере титаната бария
(рис. 141), где стрелки и знаки , ука
зывают направление вектора P
r
. Так как
в смежных доменах эти направления
различны, то в целом дипольный мо
мент диэлектрика равен нулю. При вне
сении сегнетоэлектрика во внешнее
поле происходит переориентация ди
польных моментов доменов по полю, а
возникшее при этом суммарное элект
рическое поле доменов будет поддер
живать их некоторую ориентацию и
после прекращения действия внешне
го поля. Поэтому сегнетоэлектрики
имеют аномально большие значения
диэлектрической проницаемости (для
сегнетовой соли, например, emax » 104).
Сегнетоэлектрические свойства
сильно зависят от температуры. Для
каждого сегнетоэлектрика имеется оп
ределенная температура, выше которой
его необычные свойства исчезают и он
становится обычным диэлектриком.
Эта температура называется точкой
Кюри [в честь французского физика
Пьера Кюри (1859 — 1906)]. Как прави
ло, сегнетоэлектрики имеют только
одну точку Кюри; исключение составля
ют лишь сегнетова соль (-18 и +24 °С)
и изоморфные с нею соединения. В сег
нетоэлектриках вблизи точки Кюри
наблюдается также резкое возрастание
теплоемкости вещества. Превращение
сегнетоэлектриков в обычный диэлек
трик, происходящее в точке Кюри,
сопровождается фазовым переходом
II рода (см. § 75).
Диэлектрическая проницаемость e
(а следовательно, и диэлектрическая
восприимчивость ) сегнетоэлектриков
зависит от напряженности E
r
поля в ве
ществе, а для других диэлектриков эти
величины являются характеристиками
вещества.
Для сегнетоэлектриков формула
(88.2) не соблюдается; для них связь меж
ду векторами поляризованности (P
r
)и
напряженности (E
r
) нелинейная и зави
сит от значений E
r
в предшествующие
моменты времени. В сегнетоэлектриках
наблюдается явление диэлектриче
ского гистерезиса («запаздывания»).
Как видно из рис. 142, с увеличением
напряженности E внешнего электри
Рис. 141
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

167
ческого поля поляризованность P рас
тет, достигая насыщения (кривая 1).
Уменьшение P с уменьшением E про
исходит по кривой 2, и при E = 0 сегне
тоэлектрик сохраняет остаточную по
ляризованность Pос, т. е . сегнетоэлек
трик остается поляризованным в отсут
ствие внешнего электрического поля.
Чтобы уничтожить остаточную по
ляризованность, надо приложить элек
трическое поле обратного направления
(-Ec). Величина Eс называется коэрци
тивной силой (от лат. coercitio — удер
живание). Если далее изменять E, то P
изменяется по кривой 3 петли гисте
резиса.
Интенсивному изучению сегнето
электриков послужило открытие акаде
миком Б. М. Вулом (1903 — 1985) ано
мальных диэлектрических свойств ти
таната бария. Титанат бария из за его
химической устойчивости и высокой
механической прочности, а также из за
сохранения сегнетоэлектрических
свойств в широком температурном ин
тервале нашел большое научно техни
ческое применение (например, в каче
стве генератора и приемника ультразву
ковых волн). В настоящее время извес
тно более сотни сегнетоэлектриков, не
считая их твердых растворов. Сегнето
электрики широко применяются также
в качестве материалов, обладающих
большими значениями e (например, в
конденсаторах).
Следует упомянуть еще о пьезоэлект
риках — кристаллических веществах, в ко
торых при сжатии или растяжении в опре
деленных направлениях возникает поляри
зованность даже в отсутствие внешнего
электрического поля (прямой пьезоэф
фект).
Наблюдается и обратный пьезоэф
фект — появление механической деформа
ции под действием электрического поля.
У некоторых пьезоэлектриков решетка по
ложительных ионов в состоянии термоди
намического равновесия смещена относи
тельно решетки отрицательных ионов, в ре
зультате чего они оказываются поляризо
ванными даже без внешнего электрическо
го поля. Такие кристаллы называются пи
роэлектриками.
Еще существуют электреты — диэлек
трики, длительно сохраняющие поляризо
ванное состояние после снятия внешнего
электрического поля (электрические анало
ги постоянных магнитов). Эти группы ве
ществ находят широкое применение в тех
нике и бытовых устройствах.
§ 92. Ïðîâîäíèêè
â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå
Если поместить проводник во внеш
нее электростатическое поле или его
зарядить, то на заряды проводника бу
дет действовать электростатическое
поле, в результате чего они начнут пе
ремещаться. Перемещение зарядов
(ток) продолжается до тех пор, пока не
установится равновесное распределе
ние зарядов, при котором электроста
тическое поле внутри проводника обра
щается в нуль. Это происходит в тече
ние очень короткого времени. В самом
деле, если бы поле не было равно нулю,
то в проводнике возникло бы упорядо
ченное движение зарядов без затраты
энергии от внешнего источника, что
противоречит закону сохранения энер
гии. Итак, напряженность поля во всех
точках внутри проводника равна нулю:
E
r
=0.
Рис. 142
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

168
Отсутствие поля внутри проводни
ка означает, согласно (85.2), что потен
циал во всех точках внутри проводни
ка постоянен (j = const), т. е. поверх
ность проводника в электростатиче
ском поле является эквипотенциальной
(см. § 85). Отсюда же следует, что век
тор напряженности поля на внешней
поверхности проводника направлен по
нормали к каждой точке его поверхно
сти. Если бы это было не так, то под дей
ствием касательной составляющей E
r
заряды начали бы по поверхности про
водника перемещаться, что, в свою оче
редь, противоречило бы равновесному
распределению зарядов.
Если проводнику сообщить некото
рый заряд Q, то нескомпенсированные
заряды располагаются только на поверх
ности проводника. Это следует непос
редственно из теоремы Гаусса (89.3),
согласно которой заряд Q, находящий
ся внутри проводника в некотором
объеме, ограниченном произвольной
замкнутой поверхностью,
,
dd
0
n
SS
QD
SD
S
===
òò
r
r
ÑÑ
так как во всех точках внутри поверх
ностиD=0.
Найдем взаимосвязь между напря
женностью E поля вблизи поверхнос
ти заряженного проводника и поверх
ностной плотностью s зарядов на его
поверхности. Для этого применим тео
рему Гаусса к бесконечно малому ци
линдру с основаниями DS, пересекаю
щему границу «проводник — диэлект
рик». Ось цилиндра ориентирована
вдоль вектора E
r
(рис. 143). Поток век
тора электрического смещения через
внутреннюю часть цилиндрической
поверхности равен нулю, так как внут
ри проводника E
r
1 (а следовательно, и D
r
1)
равен нулю, поэтому поток вектора
D
r
сквозь замкнутую цилиндрическую
поверхность определяется только пото
ком сквозь наружное основание цилинд
ра. Согласно теореме Гаусса (89.3), этот
поток (D DS ) равен сумме зарядов
(Q =sDS ), охватываемых поверхнос
тью: DDS = sDS, т.е.
D=s
(92.1)
или
,
E
0
s
=
ee
(92.2)
где e — диэлектрическая проницаемость
среды, окружающей проводник.
Таким образом, напряженность
электростатического поля у поверхно
сти проводника определяется поверх
ностной плотностью зарядов. Можно
показать, что соотношение (92.2) зада
ет напряженность электростатического
поля вблизи поверхности проводника
любой формы.
Если во внешнее электростатиче
ское поле внести нейтральный провод
ник, то свободные заряды (электроны,
ионы) будут перемещаться: положи
тельные — по полю, отрицательные —
против поля (рис. 144, а). На одном кон
це проводника будет скапливаться из
быток положительного заряда, на дру
гом — избыток отрицательного. Эти за
ряды называются индуцированными.
Процесс будет происходить до тех пор,
пока напряженность поля внутри про
водника не станет равной нулю, а ли
нии напряженности вне проводника —
перпендикулярными его поверхности
Рис. 143
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

169
(рис. 144, б ). Таким образом, нейтраль
ный проводник, внесенный в электро
статическое поле, разрывает часть ли
ний напряженности; они заканчивают
ся на отрицательных индуцированных
зарядах и вновь начинаются на положи
тельных. Индуцированные заряды рас
пределяются на внешней поверхности
проводника. Явление перераспределе
ния поверхностных зарядов на провод
нике во внешнем электростатическом
поле называется электростатиче
ской индукцией.
Из рис. 144, б следует, что индуци
рованные заряды появляются на про
воднике вследствие смещения их под
действием поля, т. е . s является поверх
ностной плотностью смещенных заря
дов. По (92.1), электрическое смеще
ние D вблизи проводника численно
равно поверхностной плотности сме
щенных зарядов. Поэтому вектор D
r
получил название вектора электриче
ского смещения.
Так как в состоянии равновесия
внутри проводника заряды отсутству
ют, то создание внутри него полости не
повлияет на конфигурацию расположе
ния зарядов и тем самым на электроста
тическое поле. Следовательно, внутри
полости поле будет отсутствовать. Если
теперь этот проводник с полостью за
землить, то потенциал во всех точках
полости будет нулевым, т. е . полость
полностью изолирована от влияния
внешних электростатических полей. На
этом основана электростатическая
защита — экранирование тел, напри
мер измерительных приборов, от влия
ния внешних электростатических по
лей. Вместо сплошного проводника для
защиты может быть использована гус
тая металлическая сетка, которая, кста
ти, является эффективной при наличии
не только постоянных, но и переменных
электрических полей.
Свойство зарядов располагаться на
внешней поверхности проводника ис
пользуется для устройства электро
статических генераторов, предназ
наченных для накопления больших за
рядов и достижения разности потенци
алов в несколько миллионов вольт.
Электростатический генератор, изобре
тенный американским физиком Р. Ван
дер Граафом (1901 — 1967), состоит из
шарообразного полого проводника 1
(рис. 145), укрепленного на изолято
рах 2. Движущаяся замкнутая лента 3
из прорезиненной ткани заряжается от
источника напряжения с помощью си
стемы остриев 4, соединенных с одним
из полюсов источника, второй полюс
которого заземлен. Заземленная плас
тина 5 усиливает стекание зарядов с ос
триев на ленту. Другая система остри
ев 6 снимает заряды с ленты и передает
их полому шару, и они переходят на его
Рис. 144
Рис. 145
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

170
внешнюю поверхность. Таким образом,
сфере передается постепенно большой
заряд и удается достичь разности потен
циалов в несколько миллионов вольт.
Электростатические генераторы при
меняются в высоковольтных ускорите
лях заряженных частиц, а также в сла
боточной высоковольтной технике.
§ 93. Ýëåêòðîåìêîñòü
óåäèíåííîãî ïðîâîäíèêà
Рассмотрим уединенный провод
ник, т. е . проводник, который удален от
других проводников, тел и зарядов. Его
потенциал, согласно (84.5), пропорци
онален заряду проводника.
Из опыта следует, что разные про
водники, будучи одинаково заряжен
ными, имеют различные потенциалы.
Поэтому для уединенного проводника
можно записать
Q=Cj.
Величину
Q
C=
j
(93.1)
называют электроемкостью (или
просто емкостью) уединенного про
водника. Емкость уединенного провод
ника определяется зарядом, сообщение
которого проводнику изменяет его по
тенциал на единицу.
Емкость проводника зависит от его
размеров и формы, но не зависит от
материала, агрегатного состояния, фор
мы и размеров полостей внутри провод
ника. Это связано с тем, что избыточ
ные заряды распределяются на внеш
ней поверхности проводника. Емкость
также не зависит от заряда проводника
и его потенциала.
Единица электроемкости — фарад
(Ф): 1 Ф — емкость такого уединенно
го проводника, потенциал которого из
меняется на 1 В при сообщении ему за
ряда 1 Кл.
Согласно (84.5), потенциал уединен
ного шара радиусом R, находящегося в
однородной среде с диэлектрической
проницаемостью e, равен
1
.
4
Q
R
0
j=
pee
Используя формулу (93.1), полу
чим, что емкость шара
C = 4pe0eR.
(93.2)
Отсюда следует, что емкостью 1 Ф
обладал бы уединенный шар, находя
щийся в вакууме и имеющий радиус
6
910
4
C
R
0
=»
×
pe
км, что примерно в
1400 раз больше радиуса Земли (элект
роемкость Земли C » 0,7 мФ). Следо
вательно, фарад — очень большая вели
чина, поэтому на практике используют
ся дольные единицы — миллифарад
(мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад
(нФ), пикофарад (пФ). Из формулы
(93.2) вытекает также, что единица
электрической постоянной e0 — фарад
на метр (Ф/м) [см. (78.3)].
§ 94. Êîíäåíñàòîðû
Чтобы проводник обладал большой
электроемкостью, он должен иметь
очень большие размеры (см. § 93). На
практике, однако, необходимы устрой
ства, обладающие способностью при
малых размерах и небольших относи
тельно окружающих тел потенциалах
накапливать значительные по величи
не заряды, иными словами, обладать
большой емкостью. Эти устройства по
лучили название конденсаторов.
Если к заряженному проводнику
приближать другие тела, то на них воз
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

171
никают индуцированные (на проводни
ке) или связанные (на диэлектрике)
заряды, причем ближайшими к наводя
щему заряду Q будут заряды противо
положного знака. Эти заряды, есте
ственно, ослабляют поле, создаваемое
зарядом Q, т. е . понижают потенциал
проводника, что приводит [см. (93.1)]
к повышению его электроемкости.
Конденсатор состоит на двух про
водников (обкладок), разделенных ди
электриком. На емкость конденсатора
не должны оказывать влияния окружа
ющие тела, поэтому проводникам при
дают такую форму, чтобы поле, созда
ваемое накапливаемыми зарядами,
было сосредоточено в узком зазоре
между обкладками конденсатора. Это
му условию удовлетворяют (см. § 82):
1) две плоские пластины; 2) два коак
сиальных цилиндра; 3) две концентри
ческие сферы. Поэтому в зависимости
от формы обкладок конденсаторы де
лят на плоские, цилиндрические и сфе
рические.
Так как поле сосредоточено внутри
конденсатора, то линии напряженности
начинаются на одной обкладке и кон
чаются на другой, поэтому свободные
заряды, возникающие на разных об
кладках, являются равными по модулю
разноименными зарядами. Под емкос
тью конденсатора понимается физи
ческая величина, равная отношению
заряда Q, накопленного в конденсато
ре, к разности потенциалов (j1 - j2)
между его обкладками:
12
.
Q
C=
j-j
(94.1)
Рассчитаем емкость плоского кон
денсатора, состоящего из двух парал
лельных металлических пластин пло
щадью S каждая, расположенных на
расстоянии d друг от друга и имеющих
заряды +Q и -Q . Если расстояние меж
ду пластинами мало по сравнению с их
линейными размерами, то краевыми
эффектами можно пренебречь и поле
между обкладками считать однород
ным. Его можно рассчитать, используя
формулы (86.1) и (94.1). При наличии
диэлектрика между обкладками раз
ность потенциалов между ними, соглас
но (86.1),
,
12
0
ds
j-j =
ee
(94.2)
где e — диэлектрическая проницае
мость.
Тогда из формулы (94.1), заменяя
Q = sS, с учетом (94.2), получим выра
жение для емкости плоского конденса
тора:
0
.
S
C
d
ee
=
(94.3)
Для определения емкости цилиндриче
ского конденсатора, состоящего из двух по
лых коаксиальных цилиндров радиусами r1
и r2 (r2 > r1), вставленных один в другой,
опять пренебрегая краевыми эффектами,
считаем поле радиально симметричным и
сосредоточенным между цилиндрическими
обкладками.
Разность потенциалов между обкладка
ми вычислим по формуле (86.3) для поля
равномерно заряженного бесконечного ци
линдра с линейной плотностью t =
Q
l
(l—
длина обкладок). При наличии диэлектри
ка между обкладками разность потенциалов
22
12
11
ln
ln.
22
rr
Q
rl
r
00
t
j-j =
=
pee
pee
(94.4)
Подставив (94.4) в (94.1), получим вы
ражение для емкости цилиндрического кон
денсатора:
2
1
2
.
ln
l
C
r
r
0
pee
=
(94.5)
Для определения емкости сферического
конденсатора, состоящего из двух концент
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

172
рических обкладок, разделенных сфериче
ским слоем диэлектрика, используем форму
лу (86.2) для разности потенциалов между
двумя точками, лежащими на расстояниях r1
и r2 ( r2 > r1) от центра заряженной сферичес
кой поверхности. При наличии диэлектрика
между обкладками разность потенциалов
12
12
11.
4
Q
rr
0
æö
÷
ç
j-j =
-
÷
ç
÷
ç
pe eèø
(94.6)
Подставив (94.6) в (94.1), получим
12
12
4.
rr
C
rr
0
=p
ee
-
(94.7)
Еслиd=r2
-
r1=r1,тоr2»r1»rиC=
=
2
4
.
r
d
0
pee
Так как 4pr 2
— пл ощадь сфери
ческой обкладки, то получаем формулу
(94.3). Таким образом, при малой величине
зазора по сравнению с радиусом сферы вы
ражения для емкости сферического и плос
кого конденсаторов совпадают. Этот вывод
справедлив и для цилиндрического конден
сатора: при малом зазоре между цилиндра
ми по сравнению с их радиусами в формуле
(94.5) 2
1
lnr
r
можно разложить в ряд, ограни
чиваясь только членом первого порядка.
В результате опять приходим к формуле
(94.3).
Из формул (94.3), (94.5) и (94.7)
вытекает, что емкость конденсаторов
любой формы пропорциональна диэ
лектрической проницаемости диэлект
рика, заполняющего пространство меж
ду обкладками. Поэтому применение в
качестве прослойки сегнетоэлектриков
значительно увеличивает емкость кон
денсаторов.
Конденсаторы характеризуются
пробивным напряжением — разно
стью потенциалов между обкладками
конденсатора, при которой происходит
пробой — электрический разряд через
слой диэлектрика в конденсаторе. Про
бивное напряжение зависит от формы
обкладок, свойств диэлектрика и его
толщины.
Для увеличения емкости и варьиро
вания ее возможных значений конден
саторы соединяют в батареи, при этом
используется их параллельное и после
довательное соединения.
1. Параллельное соединение кон
денсаторов (рис. 146). У параллельно
соединенных конденсаторов разность
потенциалов на обкладках конденсато
роводинаковаиравнаjA- jB.Еслием
кости отдельных конденсаторов C1, C2,
K , Cn , то, согласно (94.1), их заряды
равны
Q1 = C1(jA - jB),
Q2 = C2(jA - jB),
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Qn = Cn(jA - jB),
а заряд батареи конденсаторов
12
1
()
(
)
.
n
in
A
B
i
QQCC C
=
==
+
+
+j
-
j
å
K
Полная емкость батареи
,
12
1
n
ni
AB
i
Q
CC
C
C
C
=
==
+
+
+
=
j-j
å
K
т. е . при параллельном соединении кон
денсаторов она равна сумме емкостей
отдельных конденсаторов.
2. Последовательное соединение
конденсаторов (рис. 147). У последова
тельно соединенных конденсаторов заря
ды всех обкладок равны по модулю, а раз
ность потенциалов на зажимах батареи
,
1
n
i
i=
Dj= Dj
å
где для любого из рассматриваемых кон
денсаторов
i
i
Q
C
Dj=
. С другой стороны,
Рис. 146
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

173
,
1
1
n
i
i
QQ
CC
=
Dj==å
откуда
,
1
11
n
i
i
CC
=
=å
т. е. при последовательном соединении
конденсаторов суммируются величи
ны, обратные емкостям. Таким образом,
при последовательном соединении кон
денсаторов результирующая емкость C
всегда меньше наименьшей емкости,
используемой в батарее.
§ 95. Ýíåðãèÿ ñèñòåìû çàðÿäîâ,
óåäèíåííîãî ïðîâîäíèêà
è êîíäåíñàòîðà. Ýíåðãèÿ
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
1. Энергия системы неподвижных
точечных зарядов. Электростатиче
ские силы взаимодействия консерватив
ны (см. § 83); следовательно, система за
рядов обладает потенциальной энерги
ей. Найдем потенциальную энергию си
стемы двух неподвижных точечных за
рядов Q1 и Q2, находящихся на рассто
янии r друг от друга. Каждый из этих
зарядов в поле другого обладает потен
циальной энергией [см. (84.2) и (84.5)]:
W1 = Q1j12, W2 = Q2j21,
где j12 и j21 — соответственно потенци
алы, создаваемые зарядом Q2 в точке на
хождения заряда Q1 и зарядом Q1 в точ
ке нахождения заряда Q2.
Согласно (84.5),
è
,
21
12
21
11
44
QQ
rr
00
j=
j=
pe
pe
поэтомуW1=W2=Wи
W1=Q1j12=Q2j21=
1
2
(Q1j12 + Q2j21).
Добавляя к системе из двух зарядов
последовательно заряды Q3, Q4, K, мож
но убедиться в том, что в случае n не
подвижных зарядов энергия взаимо
действия системы точечных зарядов
равна
,
1
1
2
n
ii
i
WQ
=
=j
å
(95.1)
где ji — потенциал, создаваемый в той
точке, где находится заряд Qi , всеми за
рядами, кроме i гo.
2. Энергия заряженного уединен
ного проводника. Пусть имеется уеди
ненный проводник, заряд, емкость и по
тенциал которого соответственно рав
ны Q, C , j . Увеличим заряд данного
проводника на dQ. Для этого необходи
мо перенести заряд dQ из бесконечнос
ти на уединенный проводник, затратив
на это работу
dA=jdQ=Cjdj.
Чтобы зарядить тело от нулевого потен
циала до j, необходимо совершить ра
боту
2
d.
2
C
AC
j
0
j
=j
j
=
ò
(95.2)
Энергия заряженного проводника
равна той работе, которую необходимо
совершить, чтобы зарядить этот про
водник:
2
2
.
222
CQQ
W
C
jj
==
= (95.3)
Рис. 147
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

174
Формулу (95.3) можно получить
исходя и из того, что потенциал провод
ника во всех его точках одинаков, так
как поверхность проводника является
эквипотенциальной. Полагая потенци
ал проводника равным j, из формулы
(95.1) найдем
,
1
1
22
n
i
i
Q
WQ
=
j
=j
=
å
где
1
n
i
i
QQ
=
=
å — заряд проводника.
3. Энергия заряженного конденса
тора. Как всякий заряженный провод
ник, конденсатор обладает энергией,
которая в соответствии с формулой
(95.3) равна
,
2
2
()
22
2
C
Q
Q
W
C
Dj
Dj
==
=
(95.4)
где Q — заряд конденсатора; C — его
емкость; Dj — разность потенциалов
между обкладками конденсатора.
Используя выражение (95.4), мож
но найти механическую (пондеромо
торную) силу, с которой пластины
конденсатора притягивают друг друга.
Предположим, что первоначальное
расстояние x между пластинами уве
личиваем на dx. При этом приложен
ная к пластине сила совершает работу
dA = F dx за счет уменьшения потенци
альной энергия системы: F dx = -dW,
откуда
d.
d
W
F
x
=-
(95.5)
Подставив в (95.4) выражение
(94.3), получим
22
.
22
QQ
Wx
CS
0
==
ee
(95.6)
Производя дифференцирование при
конкретном значении энергии [см. (95.5)
и (95.6)], найдем искомую силу:
,
2
d
d2
Q
W
F
xS
0
=-
=-
ee
где знак «-» указывает, что сила F яв
ляется силой притяжения.
4. Энергия электростатического
поля. Преобразуем формулу (95.4), вы
ражающую энергию плоского конден
сатора посредством зарядов и потенци
алов, воспользовавшись выражением
для емкости плоского конденсатора
(
S
C
d
0
ee
=
) и разности потенциалов
между его обкладками (Dj = Ed ).
Тогда
,
22
22
EE
WS
dV
00
ee
ee
== (95.7)
где V = Sd — объем конденсатора.
Формула (95.7) показывает, что
энергия конденсатора выражается через
величину, характеризующую электро
статическое поле, — напряженность E.
Объемная плотность энергии элек
тростатического поля (энергия едини
цы объема)
2
.
22
E
WE
D
w
V
0
ee
==
=
(95.8)
Выражение (95.8) справедливо толь
ко для изотропного диэлектрика, для
которого выполняется соотношение
(88.2): P
r
=
e0E
r
.
Формулы (95.4) и (95.7) соответ
ственно связывают энергию конденса
тора с зарядом на его обкладках и с на
пряженностью поля. Возникает, есте
ственно, вопрос о локализации энергии
и что является ее носителем — заряды
или поле? Ответ на этот вопрос может
дать только опыт. Электростатика изу
чает постоянные во времени поля непод
вижных зарядов, т. е. в ней поля и обус
ловившие их заряды неотделимы друг от
друга, поэтому электростатика ответить
на поставленные вопросы не может.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

175
Дальнейшее развитие теории и экс
перимента показало, что переменные во
времени электрические и магнитные
поля могут существовать обособленно,
независимо от возбудивших их зарядов,
и распространяться в пространстве в
виде электромагнитных волн, способ
ных переносить энергию. Это убеди
тельно подтверждает основное положе
ние теории близкодействия: энергия ло
кализована в поле и носителем энергии
является поле.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• В чем заключается закон сохранения заряда? Приведите примеры проявления закона.
• Запишите, сформулируйте и объясните закон Кулона.
• Какие поля называют электростатическими?
• Что такое напряженность E
r
электростатического поля?
• Каково направление вектора напряженности E
r
? Единица напряженности в СИ.
• Что такое поток вектора E
r
? Единица его в СИ?
• Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток FE сквозь
эту поверхность?
• Пользуясь принципом суперпозиции, найдите в поле двух точечных зарядов +Q и +2Q,
находящихся на расстоянии l друг от друга, точку, где напряженность поля равна нулю.
• Чему равно отношение напряженностей электростатических полей в точке A, лежащей
на продолжении оси диполя, и в точке B, лежащей на перпендикуляре, проходящем че
рез середину O оси этого диполя, если OA = OB?
• В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в
вакууме?
• Что такое линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов?
• Как показать, что электростатическое поле является потенциальным?
• Что называется циркуляцией вектора напряженности?
• Дайте определения потенциала данной точки электростатического поля и разности по
тенциалов двух точек поля. Каковы их единицы?
• Приведите графики зависимостей E (r) и j(r) для равномерно заряженной сферической
поверхности. Дайте их объяснение и обоснование.
• Какова связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля? Выве
дите ее и объясните. Каков физический смысл этих понятий?
• Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?
• Что такое поляризованность?
• Что показывает диэлектрическая проницаемость среды?
• Выведите связь между диэлектрическими восприимчивостью вещества и проницаемо
стью среды.
• В чем различие поляризации диэлектриков с полярными и неполярными молекулами?
• Определите, чему равна диэлектрическая проницаемость при построении рис. 137.
• Как определяется вектор электрического смещения? Что он характеризует?
• Сформулируйте теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.
• Выведите и прокомментируйте условия для векторов E
r
иD
r
на границе раздела двух
диэлектрических сред.
• Каковы напряженность и потенциал поля, а также распределение зарядов внутри и на
поверхности заряженного проводника?
• На чем основана электростатическая защита?
• Три одинаковых конденсатора один раз соединены последовательно, другой — парал
лельно. Во сколько раз и когда емкость батареи будет больше?
• Может ли электростатика ответить на вопрос: где локализована энергия и что является
ее носителем — заряды или поле? Почему?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

176
• Выведите формулы для энергии заряженного конденсатора, выражая ее через заряд на
обкладках конденсатора и через напряженность поля.
ÇÀÄÀ×È
11.1 . Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в
керосин плотностью 0,8 г/см3. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы
угол расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектрическая прони
цаемость керосина e = 2. [1,6 г/см3]
11.2 . На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с
поверхностной плотностью s = 1,5 нКл/см2 расположена круглая пластинка. Плоскость
пластинки составляет с линиями напряженности угол a = 45°. Определите поток вектора
напряженности через эту пластинку, если ее радиус r = 10 см. [1,88 кВ · м]
11.3 . Кольцо радиусом r = 10 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной
плотностью t = 10 нКл/м. Определите напряженность поля на оси, проходящей через центр
кольца в точке A, удаленной на расстояние a = 20 см от центра кольца. [1 кВ/м]
11.4 . Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью r = 5 нКл/м3.
Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r1 = 2 см от центра
шара; 2) на расстоянии r2 = 12 см от центра шара. Постройте зависимость E (r). [1) 3,77 В/м;
2) 13,1 В/м]
11.5 . Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной ни
тью с постоянной линейной плотностью t = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет элект
рон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния
r1=2,5смдоr2=1,5см?[18Мм/с]
11.6 . Электростатическое поле создается сферой радиусом R = 4 см, равномерно заря
женной с поверхностной плотностью s = 1 нКл/м2
. Определите разность потенциалов между
двумя точками поля, лежащими на расстояниях r1 = 6 см и r2 = 10 см. [1,2 В]
11.7 . Определите линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если ра
ботасилполяпоперемещениюзарядаQ=1нКлсрасстоянияr1 = 10смдоr2 = 5смв
направлении, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8 мкКл/м]
11.8 . Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено парафином
(e=2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность потенциалов необходи
мо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине
составляла 0,05 нКл/см2? [500 В]
11.9 . Свободные заряды с объемной плотностью r = 10 нКл/м3 равномерно распределены
по шару радиусом R = 5 см из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической
проницаемостью e = 6. Определите напряженности электростатического поля на расстоя
нияхr1=2смиr2=10смотцентрашара.[E1=1,25В/м;E2=23,5В/м]
11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом
(e=7). Раcстояние между пластинами d = 5 мм, разность потенциалов U = 500 В. Опреде
лите энергию поляризованной стеклянной пластины, если ее площадь S = 50 см2. [6,64 мкДж]
11.11 . Плоский воздушный конденсатор емкостью C = 10 пФ заряжен до разности по
тенциалов U = 1 кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстоя
ние между пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определите: 1) разность
потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по
раздвижению пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]
11.12 . Разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 200 В. Площадь каж
дой пластины S = 100 см2
, расстояние между пластинами d = 1 мм, пространство между
ними заполнено парафином (e = 2). Определите силу притяжения пластин друг к другу.
[3,54 мН]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

177
Ãëàâà 12
ÏÎÑÒÎßÍÍÛÉ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÎÊ
§ 96. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê,
ñèëà è ïëîòíîñòü òîêà
В электродинамике — разделе уче
ния об электричестве, в котором рас
сматриваются явления и процессы,
обусловленные движением электриче
ских зарядов или макроскопических за
ряженных тел, — важнейшим понятием
является понятие электрического тока.
Электрическим током называется
любое упорядоченное (направленное)
движение электрических зарядов.
В проводнике под действием прило
женного электрического поля E
r
свобод
ные электрические заряды перемеща
ются: положительные — по полю, отри
цательные — против поля (рис. 148, а),
т. е. в проводнике возникает электри
ческий ток, называемый током прово
димости.
Если же упорядоченное движение
электрических зарядов осуществляется
перемещением в пространстве заря
женного макроскопического тела (рис.
148, б ), то возникает так называемый
конвекционный ток.
Для возникновения и существова
ния электрического тока необходимо, с
одной стороны, наличие свободных но
сителей тока — заряженных частиц,
способных перемещаться упорядочен
но, а с другой — наличие электрическо
го поля, энергия которого, каким то об
разом восполняясь, расходовалась бы
на их упорядоченное движение. За на
правление тока условно принимают на
правление движения положительных
зарядов.
Количественной мерой электричес
кого тока служит сила тока I — ска
лярная физическая величина, опреде
ляемая электрическим зарядом, прохо
дящим через поперечное сечение про
водника в единицу времени:
d.
d
Q
I
t
=
Если сила тока и его направление не
изменяются со временем, то такой ток
называется постоянным. Для постоян
ного тока
,
Q
I
t
=
где Q — электрический заряд, проходя
щий за время t через поперечное сече
ние проводника. Единица силы тока —
ампер (А) [см. Введение].
Физическая величина, определяе
мая силой тока, проходящего через еди
ницу площади поперечного сечения
проводника, перпендикулярного на
правлению тока, называется плотнос
тью тока:
d.
d
I
j
S
=
⊥
Выразим силу и плотность тока че
рез скорость ávñ упорядоченного движе
ния зарядов в проводнике. Если кон
центрация носителей тока равна n и
Рис. 148
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

178
каждый носитель имеет элементарный
заряд e (что не обязательно для ионов),
то за время dt через поперечное сече
ние S проводника переносится заряд
dQ = neávñS dt. Сила тока
d
d
Q
I
t
=
= neávñS,
а плотность тока j = neávñ.
Плотность тока — вектор; направле
ние вектора j
r
совпадает с направлени
ем упорядоченного движения положи
тельных зарядов:
j
r
= neáv
r
ñ.
(96.1)
Единица плотности тока — ампер
на метр в квадрате (А/м
2
).
Сила тока сквозь произвольную по
верхность S определяется как поток
вектора j
r
, т.е.
,
d
S
Ij
S
=
òrr
(96.2)
где dS
r
=n
r
dS (n
r
—
единичный вектор
нормали к площадке dS, составляющей
с вектором j
r
угол a).
§ 97. Ñòîðîííèå ñèëû.
Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà
è íàïðÿæåíèå
Если в цепи на носители тока дей
ствуют только силы электростатическо
го поля, то происходит перемещение
носителей (они предполагаются поло
жительными) от точек с бо′льшим по
тенциалом к точкам с меньшим потен
циалом. Это приводит к выравниванию
потенциалов во всех точках цепи и к
исчезновению электрического поля.
Поэтому для существования постоян
ного тока необходимо наличие в цепи
устройства, способного создавать и под
держивать разность потенциалов за
счет работы сил неэлектростатическо
го происхождения. Такие устройства
называются источниками тока.
Силы неэлектростатического про
исхождения, действующие на заряды со
стороны источников тока, называются
сторонними.
Природа сторонних сил может быть
различной. Например, в гальваничес
ких элементах они возникают за счет
энергии химических реакций между
электродами и электролитами; в гене
раторе — за счет механической энергии
вращения ротора генератора и т. п . Роль
источника тока в электрической цепи,
образно говоря, такая же, как роль на
соса, который необходим для перека
чивания жидкости в гидравлической
системе. Под действием создаваемого
поля сторонних сил электрические за
ряды движутся внутри источника тока
против сил электростатического поля,
благодаря чему на концах цепи поддер
живается разность потенциалов и в
цепи течет постоянный электрический
ток.
Сторонние силы совершают работу
по перемещению электрических заря
дов. Физическая величина, определяе
мая работой, совершаемой сторонними
силами при перемещении единичного
положительного заряда, называется
электродвижущей силой (ЭДС), дей
ствующей в цепи:
0
.
A
Q
=
õ
(97.1)
Эта работа производится за счет
энергии, затрачиваемой в источнике
тока, поэтому величину õ можно также
называть электродвижущей силой ис
точника тока, включенного в цепь. Ча
сто, вместо того чтобы сказать: «в цепи
действуют сторонние силы», говорят:
«в цепи действует ЭДС», т. е. термин
«электродвижущая сила» употребляет
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

179
ся как характеристика сторонних сил.
ЭДС, как и потенциал, выражается в
вольтах [ср. (84.9) и (97.1)].
Сторонняя сила F
r
ст , действующая на
заряд Q0, может быть выражена как
F
r
ст=E
r
ст Q0,
где E
r
ст — напряженность поля сторон
них сил.
Работа сторонних сил по перемеще
нию заряда Q0 на замкнутом участке
цепи
ñò
ñò
0
dd
.
AFlQEl
==
òò
rr
rr
ÑÑ
(97.2)
Разделив (97.2) на Q0, получим вы
ражение для ЭДС, действующей в цепи:
ñò
,
d
El
=
ò
õ
r
r
Ñ
т. е. ЭДС, действующая в замкнутой
цепи, может быть определена как цир
куляция вектора напряженности поля
сторонних сил. ЭДС, действующая на
участке 1 — 2, равна
ñò
2
12
1
d.
El
=
ò
õ
r
r
(97.3)
На заряд Q0 помимо сторонних сил
действуют также силы электростати
ческого поля F
r
е=Q0E
r
. Таким образом,
результирующая сила, действующая в
цепи на заряд Q0, равна
F
r
=F
r
ст+F
r
е=Q0(E
r
ст+E
r
).
Работа, совершаемая результирую
щей силой над зарядом Q0 на участке
1—2, равна
ñò
22
12
0
0
11
dd
.
AQElQE
l
=+
òò
rr
rr
Используя выражения (97.3) и
(84.8), можем записать
A12 = Q0õ12 + Q0(j1 - j2). (97.4)
Для замкнутой цепи работа электро
статических сил равна нулю (см. § 83),
поэтому в данном случае A12 = Q0 õ12.
Напряжением U на участке 1 — 2 на
зывается физическая величина, опреде
ляемая работой, совершаемой суммар
ным полем электростатических (куло
новских) и сторонних сил при переме
щении единичного положительного за
ряда на данном участке цепи. Таким
образом, согласно (97.4),
U12=j1-j2+õ12.
Понятие напряжения является обоб
щением понятия разности потенциалов:
напряжение на концах участка цепи
равно разности потенциалов в том слу
чае, если на этом участке не действует
ЭДС, т. е. сторонние силы отсутствуют.
§ 98. Çàêîí Îìà.
Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêîâ
Немецкий физик Г. Ом (1787 — 1854)
экспериментально установил, что сила
тока I, текущего по однородному метал
лическому проводнику (т. е. провод
нику, в котором не действуют сторон
ние силы), пропорциональна напряже
нию U на концах проводника
,
U
I
R
=
(98.1)
где R — электрическое сопротивление
проводника.
Уравнение (98.1) выражает закон
Ома для участка цепи (не содержаще
го источника тока): сила тока в провод
нике прямо пропорциональна прило
женному напряжению и обратно про
порциональна сопротивлению провод
ника. Формула (98.1) позволяет уста
новить единицу сопротивления ом (Ом):
1 Ом — сопротивление такого провод
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

180
ника, в котором при напряжении 1 В те
чет постоянный ток 1 А.
Величина
1
G
R
=
называется электрической проводи
мостью проводника. Единица проводи
мости — сименс (См): 1 См — прово
димость участка электрической цепи
сопротивлением 1 Ом. Сопротивление
проводников зависит от его размеров и
формы, а также от материала, из кото
рого проводник изготовлен. Для одно
родного линейного проводника сопро
тивление R прямо пропорционально
его длине l и обратно пропорциональ
но площади его поперечного сечения S :
,
l
R
S
=r
(98.2)
где r — коэффициент пропорциональ
ности, характеризующий материал про
водника и называемый удельным элек
трическим сопротивлением.
Единица удельного электрического
сопротивления — ом метр (Ом · м).
Наименьшим удельным сопротивлени
ем обладают серебро (1,6 · 10-8
Ом·м)
и медь (1,7 · 10-8
Ом · м). На практике
наряду с медными применяются алю
миниевые провода. Хотя алюминий и
имеет большее, чем медь, удельное со
противление (2,6 · 10-8
Ом·м),нозато
обладает меньшей плотностью по срав
нению с медью.
Закон Ома можно представить в
дифференциальной форме. Подставив
выражение для сопротивления (98.2) в
закон Ома (98.1), получим
,
1
IU
Sl
=
r
(98.3)
где величина, обратная удельному со
противлению,
1
g=
r
называется удельной электрической
проводимостью вещества проводника.
Еe единица — сименс на метр (См/м).
Учитывая, что
UE
l
=
—
напряжен
ность электрического поля в проводни
ке,
Ij
S
=
—
плотность тока, формулу
(98.3) можно записать в виде
j=gE.
(98.4)
Так как в изотропном проводнике
носители тока в каждой точке движут
ся в направлении вектора E
r
, то направ
ления j
r
иE
r
совпадают. Поэтому фор
мулу (98.4) можно записать в виде
j
r
=gE
r
.
(98.5)
Выражение (98.5) — закон Ома в
дифференциальной форме, связыва
ющий плотность тока в любой точке
внутри проводника с напряженностью
электрического поля в этой же точке.
Это соотношение справедливо и для
переменных полей.
Опыт показывает, что в первом при
ближении изменение удельного сопро
тивления, а значит и сопротивления с
температурой описывается линейным
законом:
r=r0(1+at), R =R0(1+at),
где r и r0, R и R0 — соответственно
удельные сопротивления и сопротивле
ния проводника при t и 0°С; a — тем
пературный коэффициент сопро
тивления, для чистых металлов (при
не очень низких температурах) близкий
к 1/273 К-1
. Следовательно, температур
ная зависимость сопротивления может
быть представлена в виде
R = aR0T,
(98.6)
где T — термодинамическая температура.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

181
Зависимость сопротивления от тем
пературы (98.6) представлена на рис. 149
(кривая 1). При низких температурах
наблюдается отступление от этой зави
симости.
Впоследствии было обнаружено, что
сопротивление многих металлов (на
пример, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов
при очень низких температурах Tк
(0,14 — 20 К), называемых критиче
скими, характерных для каждого веще
ства, скачкообразно уменьшается до
нуля (кривая 2), т. е . металл становит
ся абсолютным проводником. Впервые
это явление, названное сверхпроводи
мостью, обнаружено в 1911 г. Г. Камер
линг Оннесом для ртути.
Явление сверхпроводимости объяс
няется на основе квантовой теории.
Практическое использование сверхпро
водящих материалов (в обмотках сверх
проводящих магнитов, в системах па
мяти ЭВМ и др.) затруднено из за их
низких критических температур. В на
стоящее время обнаружены и активно
исследуются керамические материалы,
обладающие сверхпроводимостью при
температуре выше 140 К.
На зависимости электрического со
противления металлов от температуры
основано действие термометров со
противления, которые позволяют по
градуированной взаимосвязи сопро
тивления от температуры измерять тем
пературу с точностью до 0,001 К. Тер
мометры сопротивления, в которых в
качестве рабочего вещества использу
ются полупроводники, изготовленные
по специальной технологии, называют
ся термисторами. Они позволяют из
мерять температуру с точностью до
миллионных долей кельвин.
§ 99. Ðàáîòà è ìîùíîñòü òîêà.
Çàêîí Äæîóëÿ — Ëåíöà
Рассмотрим однородный провод
ник, к концам которого приложено на
пряжение U.
За время dt через сечение проводника
переносится заряд dq = I dt. При этом
силы электростатического поля и сторон
ние силы совершают работу [см. (84.6)]
dA=Udq=IUdt.
(99.1)
Если сопротивление проводника R ,
то, используя закон Ома (98.1), полу
чим, что работа тока
2
2
ddd
.
U
AIRt
t
R
==
(99.2)
Из (99.1) и (99.2) следует, что мощ
ность тока
2
2
d
.
d
AU
PU
I
I
R
tR
=== = (99.3)
Если сила тока выражается в ампе
рах, напряжение — в вольтах, сопротив
ление — в омах, то работа тока выража
ется в джоулях, а мощность в ваттах. На
практике применяются также внесис
темные единицы работы тока: ватт час
(Вт·ч),киловатт час(кВт·ч);1Вт·ч —
работа тока мощностью 1 Вт в течение
1ч;1Вт·ч =3600Вт·с =3,6·103Дж;
1кВт·ч =103Вт·ч =3,6·106Дж.
Если ток проходит по неподвижно
му металлическому проводнику, то вся
работа идет на его нагревание и, по за
кону сохранения энергии,
dQ=dA.
(99.4)
Таким образом, используя выраже
ния (99.4), (99.1) и (99.2), получим
Рис. 149
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

182
2
2
dddd
.
U
QI
Ut IRt
t
R
== = (99.5)
Выражение (99.5) представляет со
бой закон Джоуля — Ленца, экспери
ментально установленный независимо
друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Лен
цем1.
Выделим в проводнике элементар
ный цилиндрический объем dV = dS dl
(ось цилиндра совпадает с направлени
ем тока), сопротивление которого R =
=
d
d
l
S
r . По закону Джоуля — Ленца за
время dt в этом объеме выделится теп
лота
22
2
d
dd(
d
)
dd
d
.
d
l
QIRt jS t jVt
S
r
==
=
r
Количество теплоты, выделяющее
ся за единицу времени в единице объе
ма, называется удельной тепловой
мощностью тока. Она равна
w=rj2
.
(99.6)
Используя дифференциальную фор
му закона Ома (j = gE ) и соотношение
1
r=
g
, получим
w=jE=gE2
.
(99.7)
Формулы (99.6) и (99.7) являются
обобщенным выражением закона
Джоуля — Ленца в дифференциаль
ной форме, пригодным для любого про
водника.
Тепловое действие тока находит ши
рокое применение в технике, которое
началось с открытия в 1873 г. русским
инженером А. Н . Лодыгиным (1847 —
1923) лампы накаливания.
На нагревании проводников элект
рическим током основано действие
электрических муфельных печей, элек
трической дуги [открыта русским ин
женером В. В . Петровым (1761 — 1834)],
контактной электросварки, бытовых
электронагревательных приборов и т. д.
§ 100. Çàêîí Îìà
äëÿ íåîäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè
Мы рассматривали закон Ома [см.
(98.1)] для однородного участка цепи,
т. е . такого, в котором не действует ЭДС
(не действуют сторонние силы). Теперь
рассмотрим неоднородный участок
цепи, где действующую ЭДС на участ
ке 1 — 2 обозначим через õ12, а прило
женную на концах участка разность
потенциалов — через j1 - j2.
Если ток проходит по неподвижным
проводникам, образующим участок 1 — 2,
то работа A12 всех сил (сторонних и
электростатических), совершаемая над
носителями тока, по закону сохранения
и превращения энергии равна теплоте,
выделяющейся на участке. Работа сил,
совершаемая при перемещении заря
да Q0 на участке 1 — 2, согласно (97.4),
A12 = Q0õ12 + Q0(j1 - j2). (100.1)
ЭДС õ12, как и сила тока I, — вели
чина скалярная. Ее необходимо брать
либо с положительным, либо с отрица
тельным знаком в зависимости от зна
ка работы, совершаемой сторонними
силами. Если ЭДС способствует движе
нию положительных зарядов в выбран
ном направлении (в направлении 1 — 2),
то õ12 > 0 . Если ЭДС препятствует дви
жению положительных зарядов в дан
ном направлении, то õ12 < 0.
За время t в проводнике выделяется
теплота [см. (99.5)]
Q=I
2
Rt = IR(It) = IRQ0. (100.2)
Из формул (100.1) и (100.2) полу
чим
IR=(j1-j2)+õ12,
(100.3)
1 Э. X . Ленц (1804 — 1865) — русский физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

183
откуда
12
.
I
R
12
j-j +
=
õ
(100.4)
Выражение (100.3) или (100.4) пред
ставляет собой закон Ома для неодно
родного участка цепи в интегральной
форме, который является обобщенным
законом Ома.
Если на данном участке цепи источ
ник тока отсутствует (õ12 = 0), то из
(100.4) приходим к закону Ома для од
нородного участка цепи (98.1):
U
I
RR
12
j-j
==
[при отсутствии сторонних сил напря
жение на концах участка равно разно
сти потенциалов (см. § 97)]. Если же
электрическая цепь замкнута, то выб
ранные точки 1 и 2 совпадают, j1 = j2,
тогда из (100.4) получаем закон Ома для
замкнутой цепи:
,
I
R
=
õ
где õ — ЭДС, действующая в цепи; R —
суммарное сопротивление всей цепи.
ВобщемслучаеR = r+R1(r—внут
реннее сопротивление источника тока,
R1 — сопротивление внешней цепи).
Поэтому закон Ома для замкнутой цепи
будет иметь вид
1
.
I
rR
=
+
õ
Если цепь разомкнута и, следователь
но, в ней ток отсутствует (I = 0), то из
закона Ома (100.4) получим, что õ12 =
= j2 - j1, т.е. ЭДС, действующая в ра
зомкнутой цепи, равна разности потен
циалов на ее концах. Следовательно,
для того чтобы найти ЭДС источника
тока, надо измерить разность потенци
алов на его клеммах при разомкнутой
цепи.
§ 101. Ïðàâèëà Êèðõãîôà
äëÿ ðàçâåòâëåííûõ öåïåé
Обобщенный закон Ома [см. (100.3)]
позволяет рассчитать практически лю
бую сложную цепь. Однако непосред
ственный расчет разветвленных цепей,
содержащих несколько замкнутых кон
туров (контуры могут иметь общие уча
стки, каждый из контуров может иметь
несколько источников тока и т. д .), до
вольно сложен. Эта задача более про
сто решается с помощью двух правил
Кирхгофа
1
.
Любая точка разветвления цепи, в
которой сходится не менее трех провод
ников с током, называется узлом. При
этом ток, входящий в узел, считается
положительным, а ток, выходящий из
узла, — отрицательным.
Первое правило Кирхгофа: алгебра
ическая сумма токов, сходящихся в
узле, равна нулю:
0.
k
k
I=
å
Например, для рис. 150 первое пра
вило Кирхгофа запишется так:
I1-I2+I3-I4-I5=0.
Первое правило Кирхгофа вытекает
из закона сохранения электрического
заряда. Действительно, в случае устано
вившегося постоянного тока ни в одной
точке проводника и ни на одном его
участке не должны накапливаться элек
трические заряды. В противном случае
токи не могли бы оставаться постоян
ными.
Второе правило Кирхгофа является
обобщением закона Ома для разветв
ленных цепей. Рассмотрим контур, со
стоящий из трех участков (рис. 151).
Направление обхода по часовой стрел
1 Г. Кирхгоф (1824 — 1887) — немецкий физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

184
ке примем за положительное, отметив,
что выбор этого направления совершен
но произволен. Все токи, совпадающие
по направлению с направлением обхо
да контура, считаются положительны
ми, не совпадающие с направлением
обхода — отрицательными. Источники
тока считаются положительными, если
они создают ток, направленный в сто
рону обхода контура. Применяя к уча
сткам закон Ома (100.3), можно запи
сать:
,
,
11
1
22
2
33
3.
AB
BC
CA
IR
IR
IR
ì
=j -j+
ï
ï
ïïï-=
j
-
j
-
íïïï
=j -j+
ïïî
õ
õ
õ
Складывая почленно эти уравнения,
получим
I1R1- I2R2+I3R3=õ1- õ2+õ3. (101.1)
Уравнение (101.1) выражает второе
правило Кирхгофа: в любом замкну
том контуре, произвольно выбранном
в разветвленной электрической цепи,
алгебраическая сумма произведений
сил токов Ii на сопротивления Ri соот
ветствующих участков этого контура
равна алгебраической сумме ЭДС õk ,
встречающихся в этом контуре:
.
ii
k
ik
IR=
åå
õ
(101.2)
При расчете сложных цепей посто
янного тока с применением правил
Кирхгофа необходимо:
1. Выбрать произвольное направле
ние токов на всех участках цепи; дей
ствительное направление токов опреде
лится при решении задачи: если иско
мый ток получится положительным, то
его направление было выбрано пра
вильно, отрицательным — его истинное
направление противоположно выбран
ному.
2. Выбрать направление обхода кон
тура и строго его придерживаться; про
изведение IR положительно, если ток
на данном участке совпадает с направ
лением обхода, и, наоборот; ЭДС, дей
ствующие по выбранному направлению
обхода, считаются положительными,
против — отрицательными.
3. Составить столько уравнений,
чтобы их число было равно числу ис
комых величин (в систему уравнений
должны входить все сопротивления и
ЭДС рассматриваемой цепи); каждый
рассматриваемый контур должен со
держать хотя бы один элемент, не со
держащийся в предыдущих контурах,
иначе получатся уравнения, являющи
еся простой комбинацией уже состав
ленных.
В качестве примера использования пра
вил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 152)
измерительного моста Уитстона1. Сопро
тивления R1, R 2, R3 и R4 образуют его «пле
чи». Между точками A и B моста включена
батарея с ЭДС õ и сопротивлением r, меж
ду точками C и D включен гальванометр с
сопротивлением R G . Для узлов A, B и C,
применяя первое правило Кирхгофа, полу
чим
Ir-I1-I4=0,I2+I3-Ir=0,
I1-I2-IG=0.
(101.3)
Для контуров ACBA, ACDA и CBDC, со
гласно второму правилу Кирхгофа, можно
записать:
Рис. 150
Рис. 151
1 Ч. Уитстон (1802 — 1875) — английский фи
зик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

185
Irr-I1R1+I2R2=õ;I1R1+IGRG-I4R4=0;
I2R2 - I3R3 - IGRG = 0. (101.4)
Если известны все сопротивления и
ЭДС, то, решая полученные шесть уравне
ний, можно найти неизвестные токи. Изме
няя известные сопротивления R 2, R3 и R4,
можно добиться того, чтобы ток через галь
ванометр был равен нулю (IG = 0). Тогда из
(101.3) найдем
I1=I2, I3=I4;
(101.5)
из (101.4) получим
I1R1 = I4R4; I2R2 = I3R3. (101.6)
Из (101.5) и (101.6) вытекает, что
, èëè
12
2
4
1
43
3
.
RR
R
R
R
RR
R
==
(101.7)
Таким образом, в случае равновесного
моста (IG = 0) при определении искомого
сопротивления R1 ЭДС батареи, сопротив
ления батареи и гальванометра роли не иг
рают.
На практике обычно используется рео
хордный мост Уитстона (рис. 153), где со
противления R3 и R 4 представляют собой
длинную однородную проволоку (реохорд)
с большим удельным сопротивлением, так
что отношение 3
4
R
R
можно заменить отноше
нием 3
4
l
l
. Тогда, используя выражение
(101.7), можно записать
4
13
3
.
l
RR
l
=
(101.8)
Длины l 3 и l 4 легко измеряются по шка
ле, a R 2 всегда известно. Поэтому уравнение
(101.8) позволяет определить неизвестное
сопротивление R 1.
Рис. 152
Рис. 153
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что называют силой тока? плотностью тока? Каковы их единицы? Дать определения.
• Назовите условия возникновения и существования электрического тока.
• Что такое сторонние силы? Какова их природа?
• В чем заключается физический смысл электродвижущей силы, действующей в цепи?
напряжения? разности потенциалов?
• Почему напряжение является обобщенным понятием разности потенциалов?
• Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и
удельной проводимостью?
• В чем заключается явление сверхпроводимости? Каковы его перспективы?
• На чем основано действие термометров сопротивления?
• Выведите законы Ома и Джоуля — Ленца в дифференциальной форме.
• В чем заключается физический смысл удельной тепловой мощности тока?
• Проанализируйте обобщенный закон Ома. Какие частные законы можно из него полу
чить?
• Поясните физический смысл электродвижущей силы, разности потенциалов и напря
жения на участке электрической цепи.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

186
1 К. Рикке (1845 — 1915) — немецкий физик.
• Как формулируются правила Кирхгофа? На чем они основаны?
• Как составляются уравнения, выражающие правила Кирхгофа?
ÇÀÄÀ×È
12.1 . По медному проводнику сечением 1 мм2 течет ток; сила тока 1 А. Определите сред
нюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что
на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3.
[74 мкм/с]
12.2 . Определите, во сколько раз возрастет сила тока, проходящего через платиновую
печь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t 1 = 20 °С
до t 2 = 1200 °С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным
3,65 · 10-3 К-1
. [В5раз]
12.3 . По медному проводу сечением 0,3 мм2 течет ток 0,3 А. Определите силу, действую
щую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопро
тивление меди 17 нОм · м . [2,72 · 10-21
Н]
12.4 . Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от I0 = 3 А до
I = 0 за 30 с. Определите выделившееся за это время в проводнике количество теплоты.
[900 Дж]
12.5 . Плотность электрического тока в алюминиевом проводе равна 5 А/см2
. Определи
те удельную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 нОм · м.
[65 Дж/(м3 · с)]
12.6 . Определите внутреннее сопротивление r источника тока, если во внешней цепи
при силе тока I1 = 5 А выделяется мощность P1 = 10 Вт, а при силе тока I2 = 8 А мощность
P2 = 12 Вт. [0,17 Ом]
12.7 . Три источника тока с ЭДС õ1 = 1,8 В, õ2 = 1,4 В и õ3 = 1,1 В соединены накоротко
одноименными полюсами. Внутреннее сопротивление первого источника r1 = 0,4 Ом, вто
рого — r2
= 0,6 Ом. Определите внутреннее сопротивление третьего источника, если через
первый источник идет ток I1 = 1,13 А. [0,2 Ом]
Ãëàâà 13
ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÎÊÈ Â ÌÅÒÀËËÀÕ,
ÂÀÊÓÓÌÅ È ÃÀÇÀÕ
§ 102. Ýëåìåíòàðíàÿ
êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ìåòàëëîâ
Носителями тока в металлах явля
ются свободные электроны, т. е . элект
роны, слабо связанные с ионами крис
таллической решетки металла. Это
представление о природе носителей
тока в металлах основывается на элек
тронной теории проводимости ме
таллов, созданной немецким физиком
П. Друде (1863 — 1906) и разработанной
впоследствии нидерландским физиком
X. Лоренцем, а также на ряде класси
ческих опытов, подтверждающих поло
жения электронной теории.
Первый из таких опытов — опыт
Рикке1 (1901), в котором в течение года
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

187
электрический ток пропускался через
три последовательно соединенных с
тщательно отшлифованными торцами
металлических цилиндра (Cu, Al, Cu)
одинакового радиуса. Несмотря на то
что общий заряд, прошедший через эти
цилиндры, достигал огромного значе
нии (»3,5 · 106 Кл), никаких, даже мик
роскопических, следов переноса веще
ства не обнаружилось. Это явилось
экспериментальным доказательством
того, что ионы в металлах не участву
ют в переносе электричества, а перенос
заряда в металлах осуществляется час
тицами, которые являются общими для
всех металлов. Такими частицами мог
ли быть открытые в 1897 г. английским
физиком Д. Томсоном (1856 — 1940)
электроны.
Для доказательства этого предполо
жения необходимо было определить
знак и величину удельного заряда но
сителей (отношение заряда носителя к
его массе). Идея подобных опытов зак
лючалась в следующем: если в металле
имеются подвижные, слабо связанные
с решеткой носители тока, то при рез
ком торможении проводника эти части
цы должны по инерции смещаться впе
ред, как смещаются вперед пассажиры,
стоящие в вагоне при его торможении.
Результатом смещения зарядов должен
быть импульс тока; по направлению
тока можно определить знак носителей
тока, а зная размеры и сопротивление
проводника, можно вычислить удель
ный заряд носителей.
Идея этих опытов (1913) и их каче
ственное воплощение принадлежат
российским физикам Л. И. Мандельш
таму (1879 — 1944) и Н. Д . Папалекси
(1880 — 1947). Эти опыты в 1916 г. были
усовершенствованы и проведены аме
риканским физиком Р. Толменом
(1881 — 1948) и ранее шотландским
физиком Б. Стюартом (1828 — 1887).
Ими экспериментально доказано, что
носители тока в металлах имеют отри
цательный заряд, а их удельный заряд
приблизительно одинаков для всех ис
следованных металлов. По значению
удельного заряда носителей электри
ческого тока и по определенному ранее
Р. Милликеном элементарному элект
рическому заряду была определена их
масса. Оказалось, что значения удель
ного заряда и массы носителей тока и
электронов, движущихся в вакууме, со
впадали. Таким образом, было оконча
тельно доказано, что носителями элек
трического тока в металлах являются
свободные электроны.
Существование свободных электро
нов в металлах можно объяснить сле
дующим образом: при образовании кри
сталлической решетки металла (в ре
зультате сближения изолированных
атомов) валентные электроны, сравни
тельно слабо связанные с атомными яд
рами, отрываются от атомов металла,
становятся «свободными» и могут пе
ремещаться по всему объему. Таким об
разом, в узлах кристаллической решет
ки располагаются ионы металла, а меж
ду ними хаотически движутся свобод
ные электроны, образуя своеобразный
электронный газ, обладающий, соглас
но электронной теории металлов, свой
ствами идеального газа.
Электроны проводимости при сво
ем движении сталкиваются с ионами
решетки, в результате чего устанавли
вается термодинамическое равновесие
между электронным газом и решеткой.
По теории Друде — Лоренца, электро
ны обладают такой же энергией тепло
вого движения, как и молекулы одно
атомного газа. Поэтому, применяя вы
воды молекулярно кинетической тео
рии [см. (44.3)], можно найти среднюю
скорость теплового движения электро
нов
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

188
,
8
e
kT
u
m
áñ=
p
которая для T = 300 К равна 1,1 · 105 м/с.
Тепловое движение электронов, явля
ясь хаотическим, не может привести к
возникновению тока.
При наложении внешнего электри
ческого поля на металлический провод
ник кроме теплового движения элект
ронов происходит их упорядоченное
движение, т. е . возникает электрический
ток. Среднюю скорость ávñ упорядо
ченного движения электронов можно
оценить согласно формуле (96.1) для
плотности тока: j = neávñ. Выбрав до
пустимую плотность тока, например
для медных проводов 107 А/м2
, полу
чим, что при концентрации носителей
тока n =8·1028 м
-3
средняя скорость
ávñ упорядоченного движения электро
нов равна 7,8 · 10-4
м/с. Следовательно,
ávñ = áuñ, т. е . даже при очень больших
плотностях тока средняя скорость упо
рядоченного движения электронов,
обусловливающего электрический ток,
значительно меньше их скорости теп
лового движения. Поэтому при вы
числениях результирующую скорость
(ávñ+ áuñ) можно заменять скоростью
теплового движения áuñ.
Казалось бы, полученный результат
противоречит факту практически
мгновенной передачи электрических
сигналов на большие расстояния. Дело
в том, что замыкание электрической
цепи влечет за собой распространение
электрического поля со скоростью c
(c=3 ·108м/с).Черезвремя l
t
c
=
(l—
длина цепи) вдоль цепи установится
стационарное электрическое поле и в
ней начнется упорядоченное движение
электронов. Поэтому электрический
ток возникает в цепи практически од
новременно с ее замыканием.
§ 103. Âûâîä îñíîâíûõ çàêîíîâ
ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà
â êëàññè÷åñêîé òåîðèè
ïðîâîäèìîñòè ìåòàëëîâ
1. Закон Ома. Пусть в металличе
ском проводнике существует электри
ческое поле напряженностью E = const.
Со стороны поля заряд e испытывает
действие силы F = eE и приобретает ус
корение
Fe
E
a
mm
== . Таким образом,
во время свободного пробега электро
ны движутся равноускоренно, приобре
тая к концу свободного пробега ско
рость
,
max
eEt
v
m
áñ
=
где átñ — среднее время между двумя
последовательными соударениями элек
трона с ионами решетки.
Согласно теории Друде, в конце сво
бодного пробега электрон, сталкиваясь
с ионами решетки, отдает им накоплен
ную в поле энергию, поэтому скорость
его упорядоченного движения стано
вится равной нулю. Следовательно,
средняя скорость направленного дви
жения электрона
max
0
.
22
eEt
v
v
m
áñ
+
áñ=
=
(103.1)
Классическая теория металлов не
учитывает распределения электронов
по скоростям, поэтому среднее время átñ
свободного пробега определяется сред
ней длиной свободного пробега ál ñ и
средней скоростью движения электро
нов относительно кристаллической ре
шетки проводника, равной áu ñ+áv ñ
(áuñ — средняя скорость теплового дви
жения электронов). В § 102 было пока
зано, что ávñ = áuñ, поэтому
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

189
.
l
t
u
áñ
áñ=áñ
Подставив значение átñ в формулу
(103.1), получим
.
2
eEl
v
mu
áñ
áñ= áñ
Плотность тока в металлическом
проводнике по (96.1)
,
2
2
nel
jn
e
v
E
mu
áñ
=á
ñ= áñ
откуда видно, что плотность тока про
порциональна напряженности поля,
т. е. получили закон Ома в дифферен
циальной форме [ср. с (98.4)]. Коэффи
циент пропорциональности между j и E
есть не что иное, как удельная прово
димость материала
,
2
2
nel
mu
áñ
g=
áñ
(103.2)
которая тем больше, чем больше кон
центрация свободных электронов и
средняя длина их свободного пробега.
2. Закон Джоуля — Ленца. К концу
свободного пробега электрон под дей
ствием поля приобретает дополнитель
ную кинетическую энергию
ê
.
22
2
max
2
2
22
el
mv
EE
mu
áñ
áñ= = áñ (103.3)
При соударении электрона с ионом
эта энергия полностью передается ре
шетке и идет на увеличение внутренней
энергии металла, т. е. на его нагревание.
За единицу времени электрон испы
тывает с узлами решетки в среднем ázñ
столкновений:
.
u
z
l
áñ
áñ=áñ
(103.4)
Если n — концентрация электронов,
то в единицу времени происходит názñ
столкновений и решетке передается
энергия
w = názñáEкñ, (103.5)
которая идет на нагревание проводни
ка. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5),
получим энергию, передаваемую ре
шетке в единице объема проводника за
единицу времени,
.
2
2
2
nel
wE
mu
áñ
=
áñ
(103.6)
Величина w является удельной теп
ловой мощностью тока (см. § 99). Ко
эффициент пропорциональности меж
ду w и E 2 по (103.2) есть удельная про
водимость g; следовательно, выражение
(103.6) — закон Джоуля — Ленца в диф
ференциальной форме [ср. с (99.7)].
3. Закон Видемана — Франца. Ме
таллы обладают как большой электри
ческой проводимостью, так и высокой
теплопроводностью. Это объясняется
тем, что носителями тока и теплоты в
металлах являются одни и те же части
цы — свободные электроны, которые,
перемещаясь в металле, переносят не
только электрический заряд, но и при
сущую им энергию хаотического (теп
лового) движения, т. е. осуществляют
перенос теплоты.
Видеманом и Францем в 1853 г. экс
периментально установлен закон, со
гласно которому отношение теплопро
водности (l) к удельной проводимос
ти (g) для всех металлов при одной и
той же температуре одинаково и увели
чивается пропорционально термодина
мической температуре:
,
T
l=b
g
где b — постоянная, не зависящая от
рода металла.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

190
Элементарная классическая теория
электропроводности металлов позво
лила найти значение b:
2
3k
e
b=
, где
k — постоянная Больцмана. Это значе
ние хорошо согласуется с опытными
данными. Однако, как оказалось впос
ледствии, это согласие теоретического
значения с опытным случайно. Лоренц,
применив к электронному газу статис
тику Максвелла — Больцмана, учтя тем
самым распределение электронов по
скоростям, получил
2
2k
e
b=
, что при
вело к резкому расхождению теории с
опытом.
Таким образом, классическая теория
электропроводности металлов объяс
нила законы Ома и Джоуля — Ленца, а
также дала качественное объяснение
закона Видемана — Франца. Однако она
помимо рассмотренных противоречий
в законе Видемана — Франца столкну
лась еще с рядом трудностей при объяс
нении различных опытных данных.
Рассмотрим некоторые из них.
Температурная зависимость сопро
тивления. Из формулы удельной про
водимости (103.2) следует, что сопро
тивление металлов, т. е. величина, об
ратно пропорциональная g, должна воз
растать пропорционально T [в (103.2)
n и ál ñ от температуры не зависят, а
áuñ~ T ]. Этот вывод электронной те
ории противоречит опытным данным,
согласно которым R ~ T (см. § 98).
Оценка средней длины свободного
пробега электронов в металлах. Что
бы по формуле (103.2) получить g, со
впадающие с опытными значениями,
надо принимать ál ñ значительно боль
ше истинных, иными словами, предпо
лагать, что электрон проходит без со
ударений с ионами решетки сотни меж
доузельных расстояний, что не согласу
ется с теорией Друде — Лоренца.
Теплоемкость металлов. Теплоем
кость металла складывается из тепло
емкости его кристаллической решетки
и теплоемкости электронного газа. По
этому атомная (т. е. рассчитанная на
1 моль) теплоемкость металла должна
быть значительно больше атомной теп
лоемкости диэлектриков, у которых нет
свободных электронов. Согласно зако
ну Дюлонга и Пти (см. § 73), теплоем
кость одноатомного кристалла равна
3R. Учтем, что теплоемкость одноатом
ного электронного газа равна 3/2R .
Тогда атомная теплоемкость металлов
должна быть близка к 4,5R . Однако
опыт доказывает, что она равна 3R , т. е.
для металлов, так же как и для диэлек
триков, хорошо выполняется закон
Дюлонга и Пти. Следовательно, нали
чие электронов проводимости практи
чески не сказывается на значении теп
лоемкости, что не объясняется класси
ческой электронной теорией.
Указанные расхождения теории
с опытом можно объяснить тем, что
движение электронов в металлах под
чиняется не законам классической ме
ханики, а законам квантовой механики
и, следовательно, поведение электро
нов проводимости надо описывать не
статистикой Максвелла — Больцмана,
а квантовой статистикой. Поэтому
объяснить затруднения элементарной
классической теории электропроводно
сти металлов можно лишь квантовой
теорией, которая будет рассмотрена в
дальнейшем. Надо, однако, отметить,
что классическая электронная теория
не утратила своего значения и до насто
ящего времени, так как во многих слу
чаях (например, при малой концентра
ции электронов проводимости и высо
кой температуре) она дает правильные
качественные результаты и является по
сравнению с квантовой теорией про
стой и наглядной.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

191
§ 104. Ðàáîòà âûõîäà ýëåêòðîíîâ
èç ìåòàëëà
Как показывает опыт, свободные
электроны при обычных температурах
практически не покидают металл. Сле
довательно, в поверхностном слое ме
талла должно быть задерживающее
электрическое поле, препятствующее
выходу электронов из металла в окру
жающий вакуум. Работа, которую нуж
но затратить для удаления электрона из
металла в вакуум, называется работой
выхода. Укажем две вероятные причи
ны существования работы выхода.
1. Если электрон по какой то причи
не удаляется из металла, то в том мес
те, которое электрон покинул, возника
ет избыточный положительный заряд и
электрон притягивается к индуциро
ванному им самим положительному
заряду.
2. Отдельные электроны, покидая
металл, удаляются от него на расстояния
порядка атомных и создают тем самым
над поверхностью металла «электронное
облако», плотность которого быстро
убывает с расстоянием. Это облако вме
сте с наружным слоем положительных
ионов решетки образует двойной элек
трический слой, поле которого подобно
полю плоского конденсатора. Толщина
этого слоя равна нескольким межатом
ным расстояниям (10-10
—
10-9
м). Он не
создает электрического поля во внеш
нем пространстве, но препятствует
выходу свободных электронов из ме
талла.
Таким образом, электрон при выле
те из металла должен преодолеть задер
живающее его электрическое поле двой
ного слоя. Разность потенциалов Dj в
этом слое, называемая поверхност
ным скачком потенциала, определя
ется работой выхода (A) электрона из
металла:
,
A
e
Dj=
где e — заряд электрона.
Так как вне двойного слоя электри
ческое поле отсутствует, то потенциал
среды равен нулю, а внутри металла по
тенциал положителен и равен Dj. По
тенциальная энергия свободного элек
трона внутри металла равна -eDj и яв
ляется относительно вакуума отрица
тельной. Исходя из этого можно счи
тать, что весь объем металла для элект
ронов проводимости представляет по
тенциальную яму с плоским дном, глу
бина которой равна работе выхода A.
Работа выхода выражается в элект
рон вольтах (эВ): 1 эВ равен работе, со
вершаемой силами поля при перемеще
нии элементарного электрического за
ряда (заряда, равного заряду электрона)
при прохождении им разности потенци
алов в 1 В. Так как заряд электрона ра
вен 1,6 · 10-19
Кл,то1эВ=1,6 ·10-19
Дж.
Работа выхода зависит от химиче
ской природы металлов и от чистоты их
поверхности и колеблется в пределах
нескольких электрон вольт (например,
укалияA=2,2эВ,уплатиныA=
= 6,3 эВ). Подобрав определенным об
разом покрытие поверхности, можно
значительно уменьшить работу выхода.
Например, если нанести на поверхность
вольфрама (A = 4 ,5 эВ) слой оксида ще
лочно земельного металла (Ca, Sr, Ba),
то работа выхода снижается до 2 эВ.
§ 105. Ýìèññèîííûå ÿâëåíèÿ
è èõ ïðèìåíåíèå
Если сообщить электронам в метал
лах энергию, необходимую для пре
одоления работы выхода, то часть элек
тронов может покинуть металл, в ре
зультате чего наблюдается явление ис
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

192
пускания электронов, или электрон
ной эмиссии. В зависимости от спосо
ба сообщения электронам энергии раз
личают термоэлектронную, фотоэлек
тронную, вторичную электронную и ав
тоэлектронную эмиссии.
1. Термоэлектронная эмиссия — это
испускание электронов нагретыми
металлами. Концентрация свободных
электронов в металлах достаточно вы
сока, поэтому даже при средних темпе
ратурах вследствие распределения
электронов по скоростям (по энергиям)
некоторые электроны обладают энерги
ей, достаточной для преодоления по
тенциального барьера на границе ме
талла. С повышением температуры чис
ло электронов, кинетическая энергия
теплового движения которых больше
работы выхода, растет и явление термо
электронной эмиссии становится за
метным.
Исследование закономерностей тер
моэлектронной эмиссии можно прове
сти с помощью простейшей двухэлект
родной лампы — вакуумного диода,
представляющего собой откачанный
баллон, содержащий два электрода: ка
тод К и анод А. В простейшем случае
катодом служит нить из тугоплавкого
металла (например, вольфрама), нака
ливаемая электрическим током. Анод
чаще всего имеет форму металлическо
го цилиндра, окружающего катод. Если
диод включить в цепь, как это показано
на рис. 154, то при накаливании катода
и подаче на анод положительного на
пряжения (относительно катода) в
анодной цепи диода возникает ток.
Если поменять полярность батареи Ба,
то ток прекращается, как бы сильно ка
тод ни накаливали. Следовательно, ка
тод испускает отрицательные частицы —
электроны.
Если поддерживать температуру на
каленного катода постоянной и снять
зависимость анодного тока I от анодно
го напряжения U — вольт амперную
характеристику (рис. 155), то оказы
вается, что она не является линейной,
т. е . для вакуумного диода закон Ома не
выполняется. Зависимость термоэлек
тронного тока I от анодного напряже
ния в области малых положительных
значений U описывается законом трех
вторых [установлен русским физиком
С. А. Богуславским (1883 — 1923) и аме
риканским физиком И. Ленгмюром
(1881 — 1957)]:
I=BU3/2
,
где B — коэффициент, зависящий от
формы и размеров электродов, а также
их взаимного расположения.
При увеличении анодного напряже
ния ток возрастает до некоторого мак
симального значения Iнас, называемого
током насыщения. Это означает, что
почти все электроны, покидающие ка
тод, достигают анода, поэтому дальней
шее возрастание напряженности поля
не может привести к увеличению тер
Рис. 154
Рис. 155
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

193
моэлектронного тока. Следовательно,
плотность тока насыщения характери
зует эмиссионную способность матери
ала катода.
Плотность тока насыщения опреде
ляется формулой Ричардсона — Деш
мана, выведенной теоретически на ос
нове квантовой статистики:
íàñ
,
2e
A
kT
jC
T
-
=
где A — работа выхода электронов из
катода; T — термодинамическая темпе
ратура; C — постоянная, теоретически
одинаковая для всех металлов (это не
подтверждается экспериментом, что,
по видимому, объясняется поверхнос
тными эффектами).
Уменьшение работы выхода приво
дит к резкому увеличению плотности
тока насыщения. Поэтому применяют
ся оксидные катоды (например, никель,
покрытый оксидом щелочно земельно
го металла), работа выхода которых
равна 1 — 1,5 эВ.
На рис. 155 представлены вольт ам
перные характеристики для двух тем
ператур катода: T1 и T2, причем T2 > T1.
С повышением температуры катода ис
пускание электронов с катода интен
сивнее, при этом увеличивается и ток
насыщения. При U = 0 наблюдается
анодный ток, т. е. некоторые электроны,
эмиттируемые катодом, обладают энер
гией, достаточной для преодоления ра
боты выхода и достижения анода без
приложения электрического поля.
Явление термоэлектронной эмиссии
используется в приборах, в которых
необходимо получить поток электронов
в вакууме, например в электронных
лампах, рентгеновских трубках, элект
ронных микроскопах и т. д . Электрон
ные лампы широко применяются в
электро и радиотехнике, автоматике и
телемеханике для выпрямления пере
менных токов, усиления электрических
сигналов и переменных токов, генери
рования электромагнитных колебаний
и т. д. В зависимости от назначения в
лампах используются дополнительные
управляющие электроды.
2. Фотоэлектронная эмиссия — это
эмиссия электронов из металла под дей
ствием света, а также коротковолново
го электромагнитного излучения (на
пример, рентгеновского). Основные за
кономерности этого явления будут рас
смотрены в § 202.
3. Вторичная электронная эмис
сия — это испускание электронов по
верхностью металлов, полупроводни
ков или диэлектриков при бомбарди
ровке их пучком электронов. Вторич
ный электронный поток состоит из
электронов, отраженных поверхностью
(упруго и неупруго отраженные элект
роны), и «истинно» вторичных элект
ронов — электронов, выбитых из метал
ла, полупроводника или диэлектрика
первичными электронами.
Отношение числа вторичных элект
ронов n2 к числу первичных n1, вызвав
ших эмиссию, называется коэффициен
том вторичной электронной эмиссии:
2
1
.
n
n
d=
Коэффициент d зависит от природы
материала поверхности, энергии бом
бардирующих частиц и их угла падения
на поверхность. У полупроводников и
диэлектриков d больше, чем у металлов.
Это объясняется тем, что в металлах,
где концентрация электронов проводи
мости велика, вторичные электроны,
часто сталкиваясь с ними, теряют свою
энергию и не могут выйти из металла.
В полупроводниках и диэлектриках из
за малой концентрации электронов
проводимости столкновения вторич
ных электронов с ними происходят го
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

194
раздо реже и вероятность выхода вто
ричных электронов из эмиттера возра
стает в несколько раз.
Для примера на рис. 156 приведена
качественная зависимость коэффици
ента вторичной электронной эмиссии d
от энергии E падающих электронов для
KCl. С увеличением энергии электро
нов d возрастает, так как первичные
электроны все глубже проникают в кри
сталлическую решетку и, следовательно,
выбивают больше вторичных электро
нов. Однако при некоторой энергии пер
вичных электронов d начинает умень
шаться. Это связано с тем, что с увели
чением глубины проникновения пер
вичных электронов вторичным все
труднее вырваться на поверхность. Зна
чение dmax для KCl достигает »12 (для
чистых металлов оно не превышает 2).
Явление вторичной электронной
эмиссии используется в фотоэлект
ронных умножителях (ФЭУ), приме
няемых для усиления слабых электри
ческих токов. ФЭУ представляет собой
вакуумную трубку с фотокатодом К и
анодом А, между которыми расположе
но несколько электродов — эмиттеров
(рис. 157). Электроны, вырванные из
фотокатода под действием света, попа
дают на эмиттер Э1, пройдя ускоряю
щую разность потенциалов между К и
Э1. Из эмиттера Э1 выбивается d элект
ронов. Усиленный таким образом элек
тронный поток направляется на эмит
тер Э2, и процесс умножения повторя
ется на всех последующих эмиттерах.
Если ФЭУ содержит n эмиттеров, то на
аноде А, называемом коллектором, по
лучается усиленный в d
n
раз фотоэлек
тронный ток.
4. Автоэлектронная эмиссия — это
эмиссия электронов с поверхности ме
таллов под действием сильного внешне
го электрического поля. Эти явления
можно наблюдать в откачанной трубке,
конфигурация электродов которой (ка
тод — острие, анод — внутренняя повер
хность трубки) позволяет при напряже
ниях примерно 103 В получать электри
ческие поля напряженностью примерно
107 В/м. При постепенном повышении
напряжения уже при напряженности
поля у поверхности катода примерно
105 — 106 В/м возникает слабый ток,
обусловленный электронами, испускае
мыми катодом. Сила этого тока увели
чивается с повышением напряжения на
трубке. Токи возникают при холодном
катоде, поэтому описанное явление назы
вается также холодной эмиссией. Объяс
нение механизма этого явления возмож
но лишь на основе квантовой теории.
§ 106. Èîíèçàöèÿ ãàçîâ.
Íåñàìîñòîÿòåëüíûé ãàçîâûé
ðàçðÿä
Газы при не слишком высоких тем
пературах и при давлениях, близких к
атмосферному, являются хорошими
изоляторами. Если поместить в сухой
атмосферный воздух заряженный элек
трометр с хорошей изоляцией, то его за
Рис. 156
Рис. 157
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

195
ряд долго остается неизменным. Это
объясняется тем, что газы при обычных
условиях состоят из нейтральных ато
мов и молекул и не содержат свободных
зарядов (электронов и ионов). Газ ста
новится проводником электричества,
когда некоторая часть его молекул иони
зуется, т. е . произойдет расщепление
нейтральных атомов и молекул на ионы
и свободные электроны. Для этого газ
надо подвергнуть действию какого либо
ионизатора (например, поднеся к заря
женному электрометру пламя свечи, на
блюдаем спад его заряда; здесь электро
проводность газа вызвана нагреванием).
Таким образом, при ионизации газов
под действием какого либо ионизатора
происходит вырывание из электронной
оболочки атома или молекулы одного
или нескольких электронов, что приво
дит к образованию свободных электро
нов и положительных ионов. Электро
ны могут присоединяться к нейтраль
ным молекулам и атомам, превращая их
в отрицательные ионы. Следовательно,
в ионизованном газе имеются положи
тельные и отрицательные ионы и сво
бодные электроны. Прохождение элек
трического тока через газы называется
газовым разрядом.
Ионизация газов может происхо
дить под действием различных иониза
торов: сильный нагрев (столкновения
быстрых молекул становятся настоль
ко сильными, что они разбиваются на
ионы), коротковолновое электромаг
нитное излучение (ультрафиолетовое,
рентгеновское и g излучения), корпус
кулярное излучение (потоки электро
нов, протонов, a частиц) и т. д. Для того
чтобы выбить из молекулы (атома)
один электрон, необходимо затратить
определенную энергию, называемую
энергией ионизации, значения которой
для атомов различных веществ лежат в
пределах 4 — 25 эВ.
Одновременно с процессом иониза
ции газа всегда идет и обратный про
цесс — процесс рекомбинации: поло
жительные и отрицательные ионы, по
ложительные ионы и электроны, встре
чаясь, воссоединяются между собой с
образованием нейтральных атомов и
молекул. Чем больше ионов возникает
под действием ионизатора, тем интен
сивнее идет и процесс рекомбинации.
Строго говоря, проводимость газа
никогда не равна нулю, так как в нем
всегда имеются свободные заряды, об
разующиеся в результате действия на
газы излучения радиоактивных веществ,
имеющихся на поверхности Земли, а
также космического излучения. Эта
незначительная проводимость воздуха
(интенсивность ионизации под дей
ствием указанных факторов невелика)
служит причиной утечки зарядов на
электризованных тел даже при хорошей
их изоляции.
Характер газового разряда опреде
ляется составом газа, его температурой
и давлением, размерами, конфигура
цией и материалом электродов, при
ложенным напряжением, плотностью
тока.
Рассмотрим цепь, содержащую газо
вый промежуток (рис. 158), подверга
ющийся непрерывному, постоянному
по интенсивности воздействию иониза
тора. В результате действия ионизато
ра газ приобретает некоторую проводи
мость и в цепи потечет ток, зависимость
Рис. 158
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

196
которого от приложенного напряжения
приведена на рис. 159.
На участке кривой 0A сила тока воз
растает пропорционально напряжению,
т. е . выполняется закон Ома. При даль
нейшем увеличении напряжения закон
Ома нарушается: рост силы тока замед
ляется (участок AB) и наконец прекра
щается совсем (участок BC ). Это дос
тигается в том случае, когда ионы и
электроны, создаваемые внешним иони
затором за единицу времени, за это же
время достигают электродов. В резуль
тате получаем ток насыщения (Iнас), зна
чение которого определяется мощнос
тью ионизатора. Ток насыщения, таким
образом, является мерой ионизирующе
го действия ионизатора. Если в режиме
0C прекратить действие ионизатора, то
прекращается и разряд. Разряды, суще
ствующие только под действием вне
шних ионизаторов, называются несамо
стоятельными. При дальнейшем уве
личении напряжения между электрода
ми сила тока вначале медленно (участок
CD), а затем резко (участок DE ) возрас
тает. Механизм этого явления будет рас
смотрен в следующем параграфе.
§ 107. Ñàìîñòîÿòåëüíûé
ãàçîâûé ðàçðÿä è åãî òèïû
Разряд в газе, сохраняющийся пос
ле прекращения действия внешнего
ионизатора, называется самостоя
тельным.
Рассмотрим условия возникновения
самостоятельного разряда. Как уже ука
зывалось в § 106, при больших напря
жениях между электродами газового
промежутка (см. рис. 158) ток сильно
возрастает (участки CD и DE на рис.
159). При больших напряжениях возни
кающие под действием внешнего иони
затора электроны, сильно ускоренные
электрическим полем, сталкиваясь с
нейтральными молекулами газа, иони
зируют их, в результате чего образуют
ся вторичные электроны и положитель
ные ноны (процесс 1 на рис. 160). По
ложительные ионы движутся к катоду,
а электроны — к аноду. Вторичные
электроны вновь ионизируют молеку
лы газа, и, следовательно, общее коли
чество электронов и ионов будет возра
стать по мере продвижения электронов
к аноду лавинообразно. Это является
причиной увеличения электрического
тока на участке CD (см. рис. 159). Опи
санный процесс называется ударной
ионизацией.
Однако ударная ионизация под дей
ствием электронов недостаточна для
поддержания разряда при удалении
внешнего ионизатора. Для этого необ
ходимо, чтобы электронные лавины
«воспроизводились», т. е . чтобы в газе
под действием каких то процессов воз
никали новые электроны. Такие процес
сы схематически показаны на рис. 160:
Рис. 159
Рис. 160
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

197
1) ускоренные полем положительные
ионы, ударяясь о катод, выбивают из
него электроны (процесс 2); 2) положи
тельные ионы, сталкиваясь с молекула
ми газа, переводят их в возбужденное
состояние; переход таких молекул в
нормальное состояние сопровождается
испусканием фотона (процесс 3); 3) фо
тон, поглощенный нейтральной моле
кулой, ионизирует ее, происходит так
называемый процесс фотонной иониза
ции молекул (процесс 4); 4) выбивание
электронов из катода под действием
фотонов (процесс 5).
Наконец, при значительных напря
жениях между электродами газового
промежутка наступает момент, когда
положительные ионы, обладающие
меньшей длиной свободного пробега,
чем электроны, приобретают энергию,
достаточную для ионизации молекул
газа (процесс 6), и к отрицательной пла
стине устремляются ионные лавины.
Когда возникают кроме электронных
лавин еще и ионные, сила тока растет
уже практически без увеличения напря
жения (участок DE на рис. 159).
В результате описанных процессов
(1 — 6) число ионов и электронов в
объеме газа лавинообразно возрастает
и разряд становится самостоятельным,
т. е. сохраняется после прекращения
действия внешнего ионизатора. Напря
жение, при котором возникает самосто
ятельный разряд, называется напря
жением пробоя.
В зависимости от давления газа, кон
фигурации электродов, параметров
внешней цепи можно говорить о четы
рех типах самостоятельного разряда:
тлеющем, искровом, дуговом и коронном.
1. Тлеющий разряд возникает при
низких давлениях. Если к электродам,
впаянным в стеклянную трубку длиной
30 — 50 см, приложить постоянное на
пряжение в несколько сотен вольт, по
степенно откачивая из трубки воздух,
то при давлении »5,3 — 6,7 кПа возни
кает разряд в виде светящегося извили
стого шнура красноватого цвета, идуще
го от катода к аноду. При дальнейшем
понижении давления шнур утолщает
ся, и при давлении »13 Па разряд име
ет вид, схематически изображенный на
рис. 161.
Непосредственно к катоду прилега
ет тонкий светящийся слой 1 — первое
катодное свечение, или катодная
пленка, затем следует темный слой 2 —
катодное темное пространство, пе
реходящее в дальнейшем в светящийся
слой 3 — тлеющее свечение, имеющее
резкую границу со стороны катода, по
степенно исчезающую со стороны ано
да. Оно возникает из за рекомбинации
электронов с положительными ионами.
С тлеющим свечением граничит тем
ный промежуток 4 — фарадеево тем
ное пространство, за которым следу
ет столб ионизированного светящегося
газа 5 — положительный столб. По
ложительный столб в поддержании раз
ряда существенной роли не играет. На
пример, при уменьшении расстояния
между электродами трубки его длина
сокращается, в то время как катодные
части разряда по форме и величине ос
таются неизменными.
В тлеющем разряде особое значение
для его поддержания имеют только две
его части: катодное темное простран
ство и тлеющее свечение. В катодном
темном пространстве происходит силь
ное ускорение электронов и положи
тельных ионов, выбивающих электро
ны с катода (вторичная эмиссия). В об
ласти тлеющего свечения происходит
Рис. 161
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

198
ударная ионизация электронами моле
кул газа. Образующиеся при этом по
ложительные ионы устремляются к ка
тоду и выбивают из него новые элект
роны, которые, в свою очередь, опять
ионизируют газ и т. д. Таким образом
непрерывно поддерживается тлеющий
разряд.
При дальнейшем откачивании труб
ки при давлении »1,3 Па свечение газа
ослабевает и начинают светиться стен
ки трубки. Электроны, выбиваемые из
катода положительными ионами, при
таких разрежениях редко сталкивают
ся с молекулами газа и поэтому, уско
ренные полем, ударяясь о стекло, вы
зывают его свечение, так называемую
катодолюминесценцию. Поток этих
электронов исторически получил на
звание катодных лучей. Если в като
де просверлить малые отверстия, то
положительные ионы, бомбардирую
щие катод, пройдя через отверстия,
проникают в пространство за катодом
и образуют резко ограниченный пу
чок, получивший название канало
вых (или положительных) лучей, на
званных по знаку заряда, который они
несут.
Тлеющий разряд широко использу
ется в технике. Так как свечение поло
жительного столба имеет характерный
для каждого газа цвет, то его использу
ют в газосветных трубках для светя
щихся надписей и реклам (например,
неоновые газоразрядные трубки дают
красное свечение, аргоновые — синева
то зеленое). В лампах дневного света,
более экономичных, чем лампы накали
вания, излучение тлеющего разряда,
происходящее в парах ртути, поглоща
ется нанесенным на внутреннюю повер
хность трубки флуоресцирующим ве
ществом (люминофором), начинающим
под воздействием поглощенного излу
чения светиться. Спектр свечения при
соответствующем подборе люминофо
ров близок к спектру солнечного излу
чения. Тлеющий разряд используется
для катодного напыления металлов.
Вещество катода в тлеющем разряде
вследствие бомбардировки положи
тельными ионами, сильно нагреваясь,
переходит в парообразное состояние.
Помещая вблизи катода различные
предметы, их можно покрыть равно
мерным слоем металла.
2. Искровой разряд возникает при
больших напряженностях электричес
кого поля (»3 · 106 В/м) в газе, находя
щемся под давлением порядка атмос
ферного. Искра имеет вид ярко светя
щегося тонкого канала, сложным обра
зом изогнутого и разветвленного.
Объяснение искрового разряда дает
ся на основе стримерной теории, со
гласно которой возникновению ярко
светящегося канала искры предшеству
ет появление слабосветящихся скопле
ний ионизованного газа — стримеров.
Стримеры возникают не только в ре
зультате образования электронных ла
вин посредством ударной ионизации,
но и в результате фотонной ионизации
газа. Лавины, догоняя друг друга, обра
зуют проводящие мостики из стриме
ров, по которым в следующие моменты
времени устремляются мощные потоки
электронов, образующие каналы искро
вого разряда. Из за выделения при рас
смотренных процессах большого коли
чества энергии газ в искровом проме
жутке нагревается до очень высокой
температуры (примерно 104 К), что при
водит к его свечению. Быстрый нагрев
газа ведет к повышению давления и воз
никновению ударных волн, объясняю
щих звуковые эффекты при искровом
разряде — характерное потрескивание
в слабых разрядах и мощные раскаты
грома в случае молнии, являющейся
примером мощного искрового разряда
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

199
между грозовым облаком и Землей или
между двумя грозовыми облаками.
Искровой разряд используется для
воспламенения горючей смеси в двига
телях внутреннего сгорания и предох
ранения электрических линий переда
чи от перенапряжений (искровые раз
рядники). При малой длине разрядно
го промежутка искровой разряд вызы
вает разрушение (эрозию) поверхнос
ти металла, поэтому он применяется
для электроискровой точной обработ
ки металлов (резание, сверление). Его
используют в спектральном анализе
для регистрации заряженных частиц
(искровые счетчики).
3. Дуговой разряд. Если после за
жигания искрового разряда от мощно
го источника постепенно уменьшать
расстояние между электродами, то раз
ряд становится непрерывным — возни
кает дуговой разряд. При этом сила тока
резко возрастает, достигая сотен ампер,
а напряжение на разрядном промежут
ке падает до нескольких десятков вольт.
Дуговой разряд можно получить от
источника низкого напряжения, минуя
стадию искры. Для этого электроды
(например, угольные) сближают до со
прикосновения, они сильно раскаляют
ся электрическим током, потом их раз
водят и получают электрическую дугу
(именно так она была открыта В. В . Пет
ровым). При атмосферном давлении
температура катода приблизительно
равна 3900 К. По мере горения дуги
угольный катод заостряется, а на аноде
образуется углубление — кратер, явля
ющийся наиболее горячим местом дуги.
По современным представлениям,
дуговой разряд поддерживается за счет
высокой температуры катода из за ин
тенсивной термоэлектронной эмиссии,
а также термической ионизации моле
кул, обусловленной высокой темпера
турой газа.
Дуговой разряд находит широкое
применение для сварки и резки метал
лов, получения высококачественных
сталей (дуговая печь) и освещения
(прожекторы, проекционная аппарату
ра). Широко применяются также дуго
вые лампы с ртутными электродами в
кварцевых баллонах, где дуговой раз
ряд возникает в ртутном паре при от
качанном воздухе. Дуга, возникающая
в ртутном паре, является мощным ис
точником ультрафиолетового излуче
ния и используется в медицине (напри
мер, кварцевые лампы). Дуговой разряд
при низких давлениях в парах ртути
используется в ртутных выпрямителях
для выпрямления переменного тока.
4. Коронный разряд — высоковольт
ный электрический разряд при высо
ком (например, атмосферном) давле
нии в резко неоднородном поле вблизи
электродов с большой кривизной по
верхности (например, острия). Когда
напряженность поля вблизи острия до
стигает 30 кВ/см, то вокруг него возни
кает свечение, имеющее вид короны,
чем и вызвано название этого вида раз
ряда.
В зависимости от знака корониру
ющего электрода различают отрица
тельную или положительную корону.
В случае отрицательной короны рожде
ние электронов, вызывающих ударную
ионизацию молекул газа, происходит за
счет эмиссии их из катода под действи
ем положительных ионов, в случае по
ложительной короны — вследствие
ионизации газа вблизи анода. В есте
ственных условиях корона возникает
под влиянием атмосферного электриче
ства у вершин мачт (на этом основано
действие молниеотводов), деревьев
1.
Вредное действие короны вокруг про
1 Это явление получило в древности назва
ние огней святого Эльма.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

200
водов высоковольтных линий переда
чи проявляется в возникновении вред
ных токов утечки. Для их снижения
провода высоковольтных линий дела
ются толстыми. Коронный разряд, яв
ляясь прерывистым, становится также
источником радиопомех.
Используется коронный разряд в
электрофильтрах, применяемых для
очистки промышленных газов от при
месей. Газ, подвергаемый очистке, дви
жется снизу вверх в вертикальном ци
линдре, по оси которого расположена
коронирующая проволока. Ионы, име
ющиеся в большом количестве во внеш
ней части короны, оседают на частицах
примеси и увлекаются полем к внеш
нему некоронирующему электроду и на
нем оседают. Коронный разряд приме
няется также при нанесении порошко
вых и лакокрасочных покрытий.
§ 108. Ïëàçìà è åå ñâîéñòâà
Плазмой называется сильно иони
зованный газ, в котором концентрации
положительных и отрицательных заря
дов практически одинаковы. Различа
ют высокотемпературную плазму,
возникающую при сверхвысоких тем
пературах, и газоразрядную плазму,
возникающую при газовом разряде.
Плазма характеризуется степенью
ионизации a — отношением числа
ионизованных частиц к полному их
числу в единице объема плазмы. В за
висимости от величины a говорят о
слабо (a составляет доли процента),
умеренно (a — несколько процентов)
и полностью (a близко к 100 %) иони
зованной плазме.
Заряженные частицы (электроны,
ионы) газоразрядной плазмы, находясь
в ускоряющем электрическом поле,
имеют разную среднюю кинетическую
энергию. Это означает, что температу
ра электронного Te и ионного Tи газов
различна, причем Te > Tи. Несоответ
ствие этих температур указывает на то,
что газоразрядная плазма является
неравновесной, поэтому она называет
ся также неизотермической. Убыль
числа заряженных частиц в процессе
рекомбинации в газоразрядной плаз
ме восполняется ударной ионизацией
электронами, ускоренными электри
ческим полем. Прекращение действия
электрического поля приводит к исчез
новению газоразрядной плазмы.
Высокотемпературная плазма яв
ляется равновесной, или изотермиче
ской, т. е . при определенной температу
ре убыль числа заряженных частиц вос
полняется в результате термической
ионизации. В такой плазме соблюдает
ся равенство средних кинетических
энергий, составляющих плазму различ
ных частиц. В состоянии подобной
плазмы находятся звезды, звездные ат
мосферы, Солнце. Их температура до
стигает десятков миллионов градусов.
Условием существования плазмы
является некоторая минимальная плот
ность заряженных частиц, начиная с
которой можно говорить о плазме как
таковой. Эта плотность определяется в
физике плазмы из неравенства L ? D,
где L — линейный размер системы заря
женных частиц, D — так называемый де
баевский радиус экранирования, пред
ставляющий собой то расстояние, на
котором происходит экранирование ку
лоновского поля любого заряда плазмы.
Плазма обладает следующими ос
новными свойствами: высокой степе
нью ионизации газа, в пределе — пол
ной ионизацией; равенством нулю ре
зультирующего пространственного за
ряда (концентрация положительных и
отрицательных частиц в плазме прак
тически одинакова); большой электро
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

201
проводностью, причем ток в плазме со
здается в основном электронами, как
наиболее подвижными частицами; све
чением; сильным взаимодействием с
электрическим и магнитным полями;
колебаниями электронов в плазме с
большой частотой (»108 Гц), вызываю
щими общее вибрационное состояние
плазмы; «коллективным» — одновре
менным взаимодействием громадного
числа частиц (в обычных газах части
цы взаимодействуют друг с другом по
парно). Эти свойства определяют каче
ственное своеобразие плазмы, позволя
ющее считать ее особым, четвертым, со
стоянием вещества.
Изучение физических свойств плаз
мы дает возможность, с одной стороны,
решать многие проблемы астрофизики,
поскольку в космическом пространстве
плазма — наиболее распространенное
состояние вещества, а с другой — откры
вает принципиальные возможности
осуществления управляемого термо
ядерного синтеза. Основным объектом
исследований по управляемому термо
ядерному синтезу является высокотем
пературная плазма (»108 К) из дейте
рия и трития (см. § 268).
Низкотемпературная плазма (<105 К)
применяется в газовых лазерах, термо
электронных преобразователях и маг
нитогидродинамических генераторах
(МГД генераторах) — установках для
непосредственного преобразования
тепловой энергии в электрическую, в
плазменных ракетных двигателях, весь
ма перспективных для длительных кос
мических полетов.
Низкотемпературная плазма, полу
чаемая в плазмотронах, используется
для резки и сварки металлов, для полу
чения некоторых химических соедине
ний (например, галогенидов инертных
газов), которые не удается получить
другими способами, и т. д .
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Какими опытами была выяснена природа носителей электрического тока в металлах?
• Каковы основные идеи теории Друде — Лоренца?
• Сравните порядок средних скоростей теплового и упорядоченного движения электронов
в металлах (при условиях, близких к нормальным и приемлемым в электротехнике).
• Почему тепловое движение электронов не может привести к возникновению электри
ческого тока?
• Выведите на основе классической теории электропроводности металлов дифференци
альную форму законов Ома и Джоуля — Ленца.
• Как классическая теория проводимости металлов объясняет зависимость сопротивле
ния металлов от температуры?
• В чем заключаются трудности элементарной классической теории электропроводности
металлов? Каковы границы ее применения?
• Какие существуют разновидности эмиссионных явлений? Дайте их определения.
• Объясните вольт амперную характеристику для вакуумного диода.
• Что называют работой выхода электрона?
• Можно ли изменять силу тока насыщения вакуумного диода? Если да, то как?
• Каким образом можно вырвать электроны из холодного катода? Как называется это яв
ление?
• Дайте объяснение качественной зависимости коэффициента вторичной электронной
эмиссии диэлектрика от энергии падающих электронов.
• К какому типу газового разряда относится молния?
• Может ли возникнуть ток насыщения при самостоятельном газовом разряде?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

202
• Охарактеризуйте типы самостоятельного газового разряда. В чем их особенности?
• Охарактеризуйте процесс ионизации; рекомбинации.
• В чем отличие самостоятельного газового разряда от несамостоятельного? Каковы ус
ловия, необходимые для его осуществления?
• В чем отличие равновесной плазмы от неравновесной?
• Приведите основные свойства плазмы. Каковы возможности ее применения?
ÇÀÄÀ×È
13.1 . Концентрация электронов проводимости в металле равна 2,5 · 1022 см
-3
. Определите
среднюю скорость их упорядоченного движения при плотности тока 1 А/мм2. [0,25 мм/с]
13.2 . Работа выхода электрона из вольфрама составляет 4,5 эВ. Определите, во сколько
раз увеличится плотность тока насыщения при повышении температуры от 2000 до 2500 К.
[В 290 раз]
13.3 . Работа выхода электрона из металла равна 2,5 эВ. Определите скорость вылетаю
щего из металла электрона, если он обладает энергией 10-18 Дж. [1,15 Мм/с]
13.4. Воздух между пластинами плоского конденсатора ионизируется рентгеновским
излучением. Сила тока, текущего между пластинами, 10 мкА. Площадь каждой пластины
конденсатора равна 200 см2
, расстояние между ними 1 см, разность потенциалов 100 В. Под
вижность положительных ионов b+ = 1,4 см2/(В · с) и отрицательных b-
= 1,9 см2/(В · с);
заряд каждого иона равен элементарному заряду. Определите концентрацию пар ионов меж
ду пластинами, если ток далек от насыщения. [9,5 · 1014 м
-3]
13.5 . Ток насыщения при несамостоятельном разряде равен 9,6 пА. Определите число
пар ионов, создаваемых в 1 с внешним ионизатором. [3 · 107]
Ãëàâà 14
ÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅ
§ 109. Ìàãíèòíîå ïîëå
è åãî õàðàêòåðèñòèêè
Подобно тому как в пространстве,
окружающем электрические заряды,
возникает электростатическое поле,
так и в пространстве, окружающем
токи и постоянные магниты, возника
ет силовое поле, называемое магнит
ным. Наличие магнитного поля обна
руживается по силовому действию на
внесенные в него проводники с током
или постоянные магниты. Название
«магнитное поле» связывают с ориен
тацией магнитной стрелки под действи
ем поля, создаваемого током [это явле
ние впервые обнаружено датским фи
зиком X. Эрстедом (1777 — 1851)].
Электрическое поле действует как на
неподвижные, так и на движущиеся в
нем электрические заряды. Важнейшая
особенность магнитного поля состоит
в том, что оно действует только на дви
жущиеся в нем электрические заряды.
Опыт показывает, что характер воздей
ствия магнитного поля на ток различен
в зависимости от формы проводника,
по которому течет ток, от расположения
проводника и от направления тока.
Следовательно, чтобы охарактеризо
вать магнитное поле, надо рассмотреть
его действие на определенный ток.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

203
Подобно тому как при изучении
электростатического поля использова
лись точечные заряды, при исследова
нии магнитного поля пользуются зам
кнутым плоским контуром с током
(рамка с током), линейные размеры ко
торого малы по сравнению с расстояни
ем до токов, образующих магнитное
поле. Ориентация контура в простран
стве определяется направлением нор
мали к контуру. Направление нормали
задается правилом правого винта: за
положительное направление нормали
принимается направление поступатель
ного движения винта, головка которо
го вращается в направлении тока, теку
щего в рамке (рис. 162).
Опыты показывают, что магнитное
поле оказывает на рамку с током ори
ентирующее действие, поворачивая ее
определенным образом. Этот результат
используется для выбора направления
магнитного поля. За направление маг
нитного поля в данной точке принима
ется направление, вдоль которого рас
полагается положительная нормаль к
рамке (рис. 163).
За направление магнитного поля мо
жет быть также принято направление,
совпадающее с направлением силы, ко
торая действует на северный полюс маг
нитной стрелки, помещенной в данную
точку. Так как оба полюса магнитной
стрелки лежат в близких точках поля, то
силы, действующие на оба полюса, рав
ны друг другу. Следовательно, на маг
нитную стрелку действует пара сил, по
ворачивающая ее так, чтобы ось стрел
ки, соединяющая южный полюс с север
ным, совпадала с направлением поля.
Рамкой с током можно воспользо
ваться также и для количественного
описания магнитного поля. Так как
рамка с током испытывает ориентиру
ющее действие поля, то на нее в магнит
ном поле действует пара сил. Вращаю
щий момент сил зависит как от свойств
поля в данной точке, так и от свойств
рамки и определяется по формуле
M
r
=[p
r
mB
r
],
(109.1)
где p
r
m — вектор магнитного момен
та рамки с током; B
r
—
вектор маг
нитной индукции (количественная ха
рактеристика магнитного поля).
Для плоского контура с током I
p
r
m=ISn
r
,
(109.2)
где S — площадь поверхности контура
(рамки); n
r
—
единичный вектор норма
ли к поверхности рамки.
Таким образом, направление p
r
mсо
впадает с направлением положитель
ной нормали.
Если в данную точку магнитного
поля помещать рамки с различными
магнитными моментами, то на них дей
ствуют различные вращающие момен
ты, однако отношение
max
m
M
p
(Mmax —
максимальный вращающий момент)
для всех контуров одно и то же и по
этому может служить характеристи
кой магнитного поля, называемой маг
нитной индукцией:
max
m
.
M
B
p
=
Магнитная индукция в данной точ
ке однородного магнитного поля опре
деляется максимальным вращающим
моментом, действующим на рамку с
магнитным моментом, равным едини
це, когда нормаль к рамке перпендику
Рис. 162
Рис. 163
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

204
лярна направлению поля. Следует отме
тить, что вектор B
r
может быть выведен
также из закона Ампера (см. § 111) и из
выражения для силы Лоренца (см. § 114).
Так как магнитное поле является
силовым, то его, по аналогии с электри
ческим, изображают с помощью линий
магнитной индукции — линий, каса
тельные к которым в каждой точке со
впадают с направлением вектора B
r
.Их
направление задается правилом право
го винта: головка винта, ввинчиваемо
го по направлению тока, вращается в
направлении линий магнитной индук
ции.
Линии магнитной индукции можно
«проявить» с помощью железных опи
лок, намагничивающихся в исследуемом
поле и ведущих себя подобно маленьким
магнитным стрелкам. На рис. 164, а по
казаны линии магнитной индукции поля
кругового тока, на рис. 164, б — линии
магнитной индукции поля соленоида
(соленоид — равномерно намотанная
на цилиндрическую поверхность про
волочная спираль, по которой течет
электрический ток).
Линии магнитной индукции всегда
замкнуты и охватывают проводники с
током. Этим они отличаются от линий
напряженности электростатического
поля, которые являются разомкнуты
ми [начинаются на положительных за
рядах и кончаются на отрицательных
(см. § 79)].
На рис. 165 изображены линии магнит
ной индукции полосового магнита; они вы
ходят из северного полюса и входят в юж
ный. Вначале казалось, что здесь наблюда
ется полная аналогия с линиями напряжен
ности электростатического поля и полюсы
магнитов играют роль магнитных «зарядов»
(магнитных монополей). Опыты показали,
что, разрезая магнит на части, его полюсы
разделить нельзя, т. е . в отличие от электри
ческих зарядов свободные магнитные заря
ды не существуют, поэтому линии магнит
ной индукции не могут обрываться на по
люсах. В дальнейшем было установлено, что
внутри полосовых магнитов имеется маг
нитное поле, аналогичное полю внутри со
леноида, и линии магнитной индукции это
го магнитного поля являются продолжени
ем линий магнитной индукции вне магни
та. Таким образом, линии магнитной индук
ции магнитного поля постоянных магнитов
являются также замкнутыми.
До сих пор мы рассматривали мак
роскопические токи, текущие в провод
никах. Однако, согласно предположе
нию французского физика А. Ампера
(1775 — 1836), в любом теле существу
ют микроскопические токи, обусловлен
ные движением электронов в атомах и
молекулах. Эти микроскопические мо
лекулярные токи создают свое магнит
ное поле и могут поворачиваться в маг
нитных полях макротоков. Например,
если вблизи какого то тела поместить
проводник с током (макроток), то под
действием его магнитного поля микро
токи во всех атомах определенным об
разом ориентируются, создавая в теле
дополнительное магнитное поле. Век
тор магнитной индукции B
r
характери
зует результирующее магнитное поле,
создаваемое всеми макро и микрото
ками, т.е. при одном и том же токе и
Рис. 164
Рис. 165
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

205
прочих равных условиях вектор B
r
в раз
личных средах будет иметь разные зна
чения.
Магнитное поле макротоков описы
вается вектором напряженности H
r
.
Для однородной изотропной среды век
тор магнитной индукции связан с век
тором напряженности следующим со
отношением:
B
r
= m0mH
r
,
(109.3)
где m0 — магнитная постоянная; m — без
размерная величина — магнитная про
ницаемость среды, показывающая, во
сколько раз магнитное поле макрото
ков H усиливается за счет поля микро
токов среды.
Сравнивая векторные характеристи
ки электростатического (E
r
иD
r
)имаг
нитного (B
r
иH
r
) полей, укажем, что ана
логом вектора напряженности электро
статического поля E
r
является вектор
магнитной индукции B
r
, так как векто
рыE
r
иB
r
определяют силовые действия
этих полей и зависят от свойств среды.
Аналогом вектора электрического сме
щения D
r
является вектор напряженно
сти H
r
магнитного поля.
§ 110. Çàêîí Áèî — Ñàâàðà —
Ëàïëàñà è åãî ïðèìåíåíèå
ê ðàñ÷åòó ìàãíèòíîãî ïîëÿ
Магнитное поле постоянных токов
различной формы изучалось француз
скими учеными Ж. Био (1774 — 1862) и
Ф. Саваром (1791 — 1841). Результаты
этих опытов были обобщены выдаю
щимся французским математиком и
физиком П. Лапласом.
Закон Био — Савара — Лапласа для
проводника с током I, элемент dl ко
торого создает в некоторой точке A
(рис. 166) индукцию поля dB
r
, записы
вается в виде
,
0
3
[d,]
d
4
Ilr
B
r
mm
=
p
r
r
r
(110.1)
где dl
r
—
вектор, по модулю равный дли
не dl элемента проводника и совпада
ющий по направлению с током; r
r
—
ра
диус вектор, проведенный из элемента
dl проводника в точку A поля; r — мо
дуль радиуса вектора r
r
.
Направление dB
r
перпендикулярно
dl
r
иr
r
, т. е . перпендикулярно плоскости,
в которой они лежат, и совпадает с ка
сательной к линии магнитной индук
ции. Это направление может быть за
дано по правилу нахождения линий маг
нитной индукции (правилу правого вин
та): направление вращения головки
винта дает направление dB
r
, если посту
пательное движение винта соответству
ет направлению тока в элементе.
Модуль вектора dB
r
определяется
выражением
,
0
2
dsin
d
4
Il
B
r
mm
a
=
p
(110.2)
где a — угол между векторами dl
r
иr
r
.
Для магнитного поля, как и для элект
рического, справедлив принцип супер
позиции: вектор магнитной индукции
результирующего поля, создаваемого
несколькими токами или движущими
ся зарядами, равен векторной сумме маг
нитных индукций складываемых полей,
создаваемых каждым током или движу
щимся зарядом в отдельности:
1
.
n
i
i
BB
=
=
å
rr
(110.3)
Рис. 166
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

206
Расчет характеристик магнитного
поля (B
r
иH
r
) по приведенным форму
лам в общем случае сложен. Однако
если распределение тока имеет опреде
ленную симметрию, то применение за
кона Био — Савара — Лапласа совмест
но с принципом суперпозиции позволя
ет просто рассчитать конкретные поля.
Рассмотрим два примера.
1. Магнитное поле прямого тока —
тока, текущего по тонкому прямому
проводу бесконечной длины (рис. 167).
В произвольной точке A, удаленной от
оси проводника на расстояние R, век
торы dB
r
от всех элементов тока имеют
одинаковое направление, перпендику
лярное плоскости чертежа («к нам»).
Поэтому сложение векторов dB
r
можно
заменить сложением их модулей.
В качестве постоянной интегрирова
ния выберем угол a (угол между век
торами dl
r
иr
r
), выразив через него все
остальные величины. Из рис. 167 сле
дует, что
,
d
d
sin
sin
Rr
rl
a
==
aa
(радиус дуги CD вследствие малости dl
равен r, поэтому угол FDC можно счи
тать прямым). Подставив эти выраже
ния в (110.2), получим, что магнитная
индукция, создаваемая одним элемен
том проводника, равна
0
ds
i
n
d
.
4
I
B
R
mm
=a
a
p
(110.4)
Так как угол a для всех элементов
прямого тока изменяется в пределах от
0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),
00
0
2
ds
i
n
d.
44
II
BB
RR
p
mm
mm
==
a
a
=
pp
òò
Следовательно, магнитная индук
ция поля прямого тока
02
.
4
I
B
R
mm
=
p
(110.5)
2. Магнитное поле в центре круго
вого проводника с током (рис. 168).
Как следует из рисунка, все элементы
кругового проводника с током создают
в центре магнитные поля одинакового
направления — вдоль нормали от вит
ка. Поэтому сложение векторов dB
r
можно заменить сложением их мо
дулей. Так как все элементы проводни
ка перпендикулярны радиусу вектору
(sin a = 1) и расстояние всех элементов
проводника до центра кругового тока
одинаково и равно R , то, согласно
(110.2),
.
0
2
dd
4
I
Bl
R
mm
=
p
Тогда
0
2
0
0
2
dd
4
2.
42
I
BB
l
R
I
I
R
RR
mm
==
=
p
mm
=p
=
m
m
p
òò
Следовательно, магнитная индук
ция поля в центре кругового проводни
ка с током
0
.
2
I
B
R
=mm
Рис. 168
Рис. 167
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

207
§ 111. Çàêîí Àìïåðà.
Âçàèìîäåéñòâèå
ïàðàëëåëüíûõ òîêîâ
Магнитное поле (см. § 109) оказы
вает на рамку с током ориентирующее
действие. Следовательно, вращающий
момент, испытываемый рамкой, есть
результат действия сил на отдельные ее
элементы. Обобщая результаты иссле
дования действия магнитного поля на
различные проводники с током, А. Ам
пер установил, что сила dF
r
, с которой
магнитное поле действует на элемент
проводника dl с током, находящегося в
магнитном поле, равна
dF
r
= I[dl
r
,B
r
], (111.1)
где dl
r
—
вектор, по модулю равный dl
и совпадающий по направлению с то
ком, B
r
—
вектор магнитной индукции.
Направление вектора dF
r
может быть
найдено, согласно (111.1), по общим
правилам векторного произведения,
откуда следует правило левой руки:
если ладонь левой руки расположить
так, чтобы в нее входил вектор B
r
,аче
тыре вытянутых пальца — по направ
лению тока в проводнике, то отогнутый
большой палец покажет направление
силы, действующей на ток.
Модуль силы Ампера [см. (111.1)]
вычисляется по формуле
dF=IBdlsina,
(111.2)
где a — угол между векторами dl
r
иdB
r
.
Закон Ампера применяется для оп
ределения силы взаимодействия двух
токов. Рассмотрим два бесконечных
прямолинейных параллельных тока I1
и I2 (на рис. 169 токи направлены пер
пендикулярно плоскости чертежа к нам),
расстояние между которыми равно R.
Каждый из проводников создает магнит
ное поле, которое действует по закону
Ампера на другой проводник с током.
Рассмотрим, с какой силой действу
ет магнитное поле тока I1 на элемент dl
второго проводника с током I2. Ток I1
создает вокруг себя магнитное поле,
линии индукции которого представля
ют собой концентрические окружнос
ти. Направление вектора B
r
1 определя
ется правилом правого винта, его мо
дуль по формуле (110.5) равен
0
1
1
2
.
4
I
B
R
mm
=
p
Направление силы dF
r
1, с которой
поле B
r
1 действует на участок dl второ
го тока, определяется по правилу левой
руки и указано на рисунке. Модуль
силы, согласно (111.2), с учетом того,
что угол a между элементами тока I2 и
вектором B
r
1 прямой, равен
dF1 = I2B1dl .
Подставляя значение для B1, получим
0
12
1
2
dd
.
4
II
Fl
R
mm
=
p
(111.3)
Рассуждая аналогично, можно пока
зать, что сила dF
r
2, с которой магнитное
поле тока I2 действует на элемент dl
первого проводника с током I1, направ
лена в противоположную сторону и по
модулю равна
0
12
21
2
2
ddd
.
4
II
FI
Bl
l
R
mm
==
p
(111.4)
Рис. 169
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

208
Сравнение выражений (111.3) и
(111.4) показывает, что
dF1 = dF2,
т. е . два параллельных тока одинакового
направления притягиваются друг к дру
гу с силой
0
12
2
dd
.
4
II
Fl
R
mm
=
p
(111.5)
Если токи имеют противоположные
направления, то, используя правило ле
вой руки, можно показать, что между
ними действует сила отталкивания, оп
ределяемая по формуле (111.5).
§ 112. Ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Åäèíèöû ìàãíèòíîé èíäóêöèè è
íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
Если два параллельных проводника
с током находятся в вакууме (m = 1), то
сила взаимодействия на единицу дли
ны проводника, согласно (111.5), равна
0
12
2
d
.
d4
II
F
lR
m
=
p
(112.1)
Для нахождения числового значения
m0 воспользуемся определением ампера,
согласно которому
d
d
F
l
= 2 ·10-7
Н/м
приI1=I2=1АиR=1м.Подставив
это значение в формулу (112.1), получим
m0 = 4p·10-7 Н/A2
= 4p · 10-7 Гн/м.
Единица индуктивности — генри
(Гн) (см. § 126).
Закон Ампера позволяет определить
единицу магнитной индукции B. Пред
положим, что элемент проводника dl с
током I перпендикулярен направлению
магнитного поля. Тогда закон Ампера
[см. (111.2)] запишется в виде dF =
= IBdl, откуда
1d.
d
F
B
Il
=
Единица магнитной индукции —
тесла (Тл): 1 Тл — магнитная индук
ция такого однородного магнитного
поля, которое действует с силой 1 Н на
каждый метр длины прямолинейного
проводника, расположенного перпен
дикулярно направлению поля, если по
этому проводнику течет ток 1 А:
1Тл=1Н/(A·м).
Таккакm0=4p·10-7Н/A2
,авслу
чае вакуума (m = 1), согласно (109.3),
B = m 0H, то для данного случая
.
B
H
0
=
m
Единица напряженности магнитного
поля — ампер на метр (А/м): 1 А/м —
напряженность такого поля, магнитная
индукция которого в вакууме равна
4p · 10-7
Тл.
§ 113. Ìàãíèòíîå ïîëå
äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà
Каждый проводник с током создает
в окружающем пространстве магнитное
поле. Электрический ток представляет
собой упорядоченное движение элект
рических зарядов, поэтому можно ска
зать, что любой движущийся в вакууме
или среде заряд создает вокруг себя
магнитное поле. В результате обобще
ния опытных данных был установлен
закон, определяющий поле B
r
точечно
го заряда Q, свободно движущегося с
нерелятивистской скоростью v
r
. Под
свободным движением заряда понима
ется его движение с постоянной скоро
стью. Этот закон выражается формулой
,
0
3
[]
4
Qvr
B
r
mm
=
p
rr
r
(113.1)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

209
где r — радиус вектор, проведенный от
заряда Q к точке наблюдения M (рис.
170).
Согласно выражению (113.1), век
тор B
r
направлен перпендикулярно
плоскости, в которой расположены век
торы v
r
иr
r
, а именно: его направление
совпадает с направлением поступатель
ного движения правого винта при его
вращении от v
r
кr
r
. Вектор B
r
представ
ляет собой псевдовектор.
Модуль магнитной индукции (113.1)
вычисляется по формуле
,
0
2
sin
4
Qv
B
r
mm
=a
p
(113.2)
где a — угол между векторами v
r
иr
r
.
Сравнивая выражения (110.1) и
(113.1), видим, что движущийся заряд
по своим магнитным свойствам экви
валентен элементу тока.
Приведенные закономерности (113.1)
и (113.2) справедливы лишь для малых
скоростей (v = c) движущихся зарядов,
когда электрическое поле свободно дви
жущегося заряда можно считать элект
ростатическим, т. е . создаваемым непод
вижным зарядом, находящимся в той
точке, где в данный момент времени
расположен движущийся заряд.
Формула (113.1) определяет маг
нитную индукцию положительного за
ряда, движущегося со скоростью v
r
. Если
движется отрицательный заряд, то Q
надо заменить на -Q. Скорость v
r
—
от
носительная скорость, т. е . скорость от
носительно наблюдателя. Вектор B
r
в
рассматриваемой системе отсчета зави
сит как от времени, так и от положения
точки M наблюдения. Поэтому следует
подчеркнуть относительный характер
магнитного поля движущегося заряда.
Впервые поле движущегося заряда
удалось обнаружить американскому
физику Г. Роуланду (1848 — 1901).
Окончательно этот факт был установлен
профессором Московского университе
та А. А . Эйхенвальдом (1863 — 1944),
изучившим магнитное поле конвекци
онного тока, а также магнитное поле
связанных зарядов поляризованного
диэлектрика. Магнитное поле свобод
но движущихся зарядов было измере
но академиком А. Ф. Иоффе, доказав
шим эквивалентность, в смысле воз
буждения магнитного поля, электрон
ного пучка и тока проводимости.
§ 114. Äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ
íà äâèæóùèéñÿ çàðÿä
Опыт показывает, что магнитное
поле действует не только на проводни
ки с током (см. § 111), но и на отдель
ные заряды, движущиеся в магнитном
поле. Сила, действующая на электри
ческий заряд Q, движущийся в магнит
ном поле со скоростью v
r
, называется
силой Лоренца и выражается форму
лой
F
r
= Q[v
r
B
r
],
(114.1)
где B
r
—
индукция магнитного поля, в
котором заряд движется.
Направление силы Лоренца опреде
ляется с помощью правила левой руки:
если ладонь левой руки расположить
так, чтобы в нее входил вектор B
r
,а
четыре вытянутых пальца направить
вдоль вектора v
r
(для Q > 0 направле
нияIиv
r
совпадают, для Q < 0 — про
тивоположны), то отогнутый большой
палец покажет направление силы, дей
ствующей на положительный заряд. На
рис. 171 показана взаимная ориентация
векторов v
r
,B
r
(поле направлено к нам,
Рис. 170
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

210
на рисунке показано точками) и F
r
для
положительного и отрицательного заря
дов. На отрицательный заряд сила дей
ствует в противоположном направле
нии. Модуль силы Лоренца [см. (114.1)]
F=QvBsina,
гдеa—уголмеждуv
r
иB
r
.
Отметим еще раз (см. § 109), что маг
нитное поле не действует на покоящий
ся электрический заряд. В этом суще
ственное отличие магнитного поля от
электростатического. Магнитное поле
действует только на движущиеся в нем
заряды.
Выражение (114.1) для силы Лорен
ца может быть использовано (наравне
с другими, см. § 109) для определения
вектора магнитной индукции B
r
.
Сила Лоренца всегда перпендику
лярна скорости движения заряженной
частицы, поэтому она изменяет только
направление этой скорости, не меняя ее
модуля. Следовательно, сила Лоренца
работы не совершает. Иными словами,
постоянное магнитное поле не соверша
ет работы над движущейся в нем заря
женной частицей и кинетическая энер
гия этой частицы при движении в маг
нитном поле не изменяется.
Если на движущийся электрический
заряд помимо магнитного поля с индук
цией B
r
действует и электрическое поле
с напряженностью E
r
, то результирую
щая сила F
r
, приложенная к заряду, рав
на векторной сумме сил — силы, дей
ствующей со стороны электрического
поля, и силы Лоренца:
F
r
=QE
r
+Q[v
r
B
r
].
Это выражение называется форму
лой Лоренца. Скорость v
r
в этой фор
муле есть скорость заряда относитель
но магнитного поля.
§ 115. Äâèæåíèå çàðÿæåííûõ
÷àñòèö â ìàãíèòíîì ïîëå
Выражение для силы Лоренца
(114.1) позволяет найти ряд закономер
ностей движения заряженных частиц в
магнитном поле. Направление силы
Лоренца и направление вызываемого
ею отклонения заряженной частицы в
магнитном поле зависят от знака заря
да Q частицы. На этом основано опре
деление знака заряда частиц, движу
щихся в магнитных полях.
Для вывода общих закономерностей
будем считать, что магнитное поле од
нородно и на частицы электрические
поля не действуют. Если заряженная
частица движется в магнитном поле со
скоростью v
r
вдоль линий магнитной
индукции, то угол a между векторами
v
r
иB
r
равен 0 или p. Тогда по формуле
(114.1) сила Лоренца равна нулю, т. е .
магнитное поле на частицу не действу
ет и она движется равномерно и прямо
линейно.
Если заряженная частица движется
в магнитном поле со скоростью v
r
, пер
пендикулярной вектору B
r
,тосилаЛо
ренца F
r
= Q[v
r
B
r
] постоянна по модулю
и нормальна к траектории частицы. Со
гласно второму закону Ньютона, эта
сила создает центростремительное ус
корение. Отсюда следует, что частица
будет двигаться по окружности, ради
ус r которой определяется из условия
2
mv
QvB
r
=
, откуда
.
mv
r
QB
=
(115.1)
Рис. 171
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

211
Период вращения частицы, т. е . вре
мя T, за которое она совершает один
полный оборот,
2.
r
T
v
p
=
Подставив сюда выражение (115.1),
получим
,
2m
T
BQ
p
=
(115.2)
т. е. период вращения частицы в одно
родном магнитном поле определяется
только величиной, обратной удельному
заряду ( Q
m
) частицы, и магнитной ин
дукцией поля, но не зависит от ее ско
рости (при v = c). На этом основано
действие циклических ускорителей за
ряженных частиц (см. § 116).
Если скорость v
r
заряженной части
цы направлена под углом a к вектору B
r
(рис. 172), то ее движение можно пред
ставить как наложение двух движений:
1) равномерного прямолинейного дви
жения вдоль поля со скоростью v 1⁄21⁄2 =
= v cos a; 2) равномерного движения со
скоростью v^ = v sin a по окружности в
плоскости, перпендикулярной полю.
Радиус окружности определяется фор
мулой (115.1) (в данном случае надо за
менить v на v^ = v sin a). Поэтому тра
ектория заряженной частицы — спи
раль, ось которой параллельна магнит
ному полю (см. рис. 172). Шаг винто
вой линии
h=v1⁄21⁄2T=vTcosa.
Подставив в последнее выражение
(115.2), получим
2c
o
s
.
mv
h
BQ
pa
=
Направление, в котором закручива
ется спираль, зависит от знака заряда
частицы.
Если скорость v
r
заряженной части
цы составляет угол a с направлением
вектора B
r
неоднородного магнитного
поля, индукция которого возрастает в
направлении движения частицы, то r и
h уменьшаются с увеличением B. На
этом основана фокусировка заряжен
ных частиц в магнитном поле.
§ 116. Óñêîðèòåëè çàðÿæåííûõ
÷àñòèö
Ускорителями заряженных частиц
называются устройства, в которых под
действием электрических и магнитных
полей создаются и управляются пучки
высокоэнергетичных заряженных час
тиц (электронов, протонов, мезонов и
т.д.).
Любой ускоритель характеризуется
типом ускоряемых частиц, энергией,
сообщаемой частицам, разбросом час
тиц по энергиям и интенсивностью пуч
ка. Ускорители делятся на непрерыв
ные (из них выходит равномерный по
времени пучок) и импульсные (из них
частицы вылетают порциями — им
пульсами). Последние характеризуют
ся длительностью импульса. По форме
траектории и механизму ускорения ча
Рис. 172
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

212
стиц ускорители делятся на линейные,
циклические и индукционные. В ли
нейных ускорителях траектории дви
жения частиц близки к прямым лини
ям, в циклических и индукционных —
траекториями частиц являются окруж
ности или спирали.
Рассмотрим некоторые типы уско
рителей заряженных частиц.
1. Линейный ускоритель. Ускорение
частиц осуществляется электростатичес
ким полем, создаваемым, например, вы
соковольтным генератором Ван де Гра
афа (см. § 92). Заряженная частица про
ходит поле однократно: заряд Q, прохо
дя разность потенциалов j 1 - j2, при
обретает энергию W = Q(j 1 - j2). Та
ким способом частицы ускоряются до
»10 МэВ. Их дальнейшее ускорение с
помощью источников постоянного на
пряжения невозможно из за утечки за
рядов, пробоев и т. д .
2. Линейный резонансный ускори
тель. Ускорение заряженных частиц
осуществляется переменным электри
ческим полем сверхвысокой частоты,
синхронно изменяющимся с движением
частиц. Таким способом протоны уско
ряются до энергий порядка десятков
мегаэлектрон вольт, электроны — до
десятков гигаэлектрон вольт.
3. Циклотрон — циклический резо
нансный ускоритель тяжелых частиц
(протонов, ионов). Его принципиаль
ная схема приведена на рис. 173. Меж
ду полюсами сильного электромагнита
помещается вакуумная камера, в кото
рой находятся два электрода (1 и 2) в
виде полых металлических полуцилин
дров, или дуантов. К дуантам приложе
но переменное электрическое поле.
Магнитное поле, создаваемое электро
магнитом, однородно и перпендикуляр
но плоскости дуантов.
Если заряженную частицу ввести в
центр зазора между дуантами, то она,
ускоряемая электрическим и отклоня
емая магнитным полями, войдя в ду
ант 1, опишет полуокружность, радиус
которой пропорционален скорости ча
стицы [см. (115.1)]. К моменту ее вы
хода из дуанта 1 полярность напряже
ния изменяется (при соответствующем
подборе изменения напряжения между
дуантами), поэтому частица вновь ус
коряется и, переходя в дуант 2, описы
вает там уже полуокружность больше
го радиуса и т.д.
Для непрерывного ускорения час
тицы в циклотроне необходимо выпол
нить условие синхронизма (условие
«резонанса») — периоды вращения ча
стицы в магнитном поле и колебаний
электрического поля должны быть
равны. При выполнении этого усло
вия частица будет двигаться по рас
кручивающейся спирали, получая при
каждом прохождении через зазор до
полнительную энергию. На после
днем витке, когда энергия частиц и
радиус орбиты доведены до макси
мально допустимых значений, пучок
частиц посредством отклоняющего
электрического поля выводится из
циклотрона.
Циклотроны позволяют ускорять
протоны до энергий примерно 25 МэВ.
В случае более высоких энергий пери
од вращения частицы оказывается за
висящим от скорости, а именно период
вращения увеличивается, в результате
чего нарушается условие синхронизма.
Рис. 173
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

213
Ускорение релятивистских частиц в
циклических ускорителях можно, одна
ко, осуществить, если применять пред
ложенный в 1944 г. В. И. Векслером
(1907 — 1966) и в 1945 г. американским
физиком Э. Мак Милланом (1907 —
1991) принцип автофазировки. Его
идея заключается в том, что для ком
пенсации увеличения периода враще
ния частиц, ведущего к нарушению син
хронизма, изменяют либо частоту уско
ряющего электрического, либо индук
цию магнитного полей, либо то и дру
гое. Принцип автофазировки использу
ется в фазотроне, синхротроне и синх
рофазотроне.
4. Фазотрон (синхроциклотрон) —
циклический резонансный ускоритель
тяжелых заряженных частиц (напри
мер, протонов, ионов, a частиц), в ко
тором управляющее магнитное поле
постоянно, а частота ускоряющего элек
трического поля медленно изменяется
с периодом. Движение частиц в фазо
троне, как и в циклотроне, происходит
по раскручивающейся спирали. Час
тицы в фазотроне ускоряются до энер
гий, примерно равных 1 ГэВ (ограни
чения здесь определяются размерами
фазотрона, так как с возрастанием ско
рости частиц увеличивается радиус их
орбиты).
5. Синхротрон — циклический резо
нансный ускоритель ультрарелятиви
стских электронов, в котором управля
ющее магнитное поле изменяется во
времени, а частота ускоряющего элект
рического поля постоянна. Электроны
в синхротроне ускоряются до энергий
5—10 ГэВ.
6. Синхрофазотрон — циклический
резонансный ускоритель тяжелых заря
женных частиц (протонов, ионов), в ко
тором объединяются свойства фазотро
на и синхротрона, т. е. управляющее
магнитное поле и частота ускоряющего
электрического поля одновременно из
меняются во времени так, чтобы ради
ус равновесной орбиты частиц оставал
ся постоянным. Протоны ускоряются в
синхрофазотроне до энергий 500 ГэВ.
7. Бетатрон — циклический индук
ционный ускоритель электронов, в ко
тором ускорение осуществляется вих
ревым электрическим полем (см. § 137),
индуцируемым переменным магнит
ным полем, удерживающим электроны
на круговой орбите. В бетатроне в от
личие от рассмотренных выше ускори
телей не существует проблемы синхро
низации. Электроны в бетатроне ус
коряются до энергий 100 МэВ. При
W > 100 МэВ режим ускорения в бета
троне нарушается электромагнитным
излучением электронов. Особенно
распространены бетатроны на энергии
20—50 МэВ.
§ 117. Ýôôåêò Õîëëà
Эффект Холла1 (1879) — это воз
никновение в металле (или полупро
воднике) с током плотностью j
r
, поме
щенном в магнитное поле B
r
, электри
ческого поля в направлении, перпенди
кулярном B
r
иj
r
.
Поместим металлическую пластин
ку с током плотностью j
r
в магнитное
поле B
r
, перпендикулярное j
r
(рис. 174).
При данном направлении j
r
скорость
носителей тока в металле — электро
нов — направлена справа налево. Элек
троны испытывают действие силы Ло
ренца (см. § 114), которая в данном
случае направлена вверх. Таким обра
зом, у верхнего края пластинки воз
никнет повышенная концентрация
электронов (он зарядится отрицатель
но), а у нижнего — их недостаток (за
1 Э. Холл (1855 — 1938) — американский физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

214
рядится положительно). В результате
этого между краями пластинки воз
никнет дополнительное поперечное
электрическое поле E
r
B , направленное
снизу вверх.
Когда напряженность EB этого попе
речного поля достигнет такой величи
ны, что его действие на заряды будет
уравновешивать силу Лоренца, то уста
новится стационарное распределение
зарядов в поперечном направлении.
Тогда
, èëè
,
B
e
eE
evB
vBa
a
Dj
==
D
j
=
где a — ширина пластинки; Dj — попе
речная (холловская) разность потенци
алов.
Учитывая, что сила тока I = jS =
nevS (S — площадь поперечного сече
ния пластинки толщиной d, n — концен
трация электронов, v — средняя ско
рость упорядоченного движения элек
тронов), получим
,
1
II
B
I
B
Ba
R
nead
end
d
Dj=
=
=
(117.1)
т. е . холловская поперечная разность
потенциалов пропорциональна магнит
ной индукции B, силе тока I и обратно
пропорциональна толщине пластинки d .
В формуле (117.1)
1
R
en
=
—
постоян
ная Холла, зависящая от вещества.
По измеренному значению постоян
ной Холла можно: 1) определить кон
центрацию носителей тока в проводни
ке (при известных характере проводи
мости и заряде носителей); 2) судить о
природе проводимости полупроводни
ков (см. § 242, 243), так как знак посто
янной Холла совпадает со знаком заря
да e носителей тока. Поэтому эффект
Холла — наиболее эффективный метод
изучения энергетического спектра но
сителей тока в металлах и полупровод
никах. Он применяется также для умно
жения постоянных токов в аналоговых
вычислительных машинах, в измери
тельной технике (датчики Холла) и т. д.
§ 118. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà Â
r
ìàãíèòíîãî ïîëÿ â âàêóóìå
Аналогично циркуляции вектора
напряженности электростатического
поля (см. § 83) вводят циркуляцию век
тора магнитной индукции. Циркуляци
ей вектора B
r
по заданному замкнуто
му контуру называется интеграл
,
dd
l
LL
Bl Bl
=
òò
r
r
ÑÑ
где dl
r
—
вектор элементарной длины
контура, направленной вдоль обхода
контура; Bl = B cos a — составляющая
вектора B
r
в направлении касательной
к контуру (с учетом выбранного на
правления обхода); a — угол между век
торами B
r
иdl
r
.
Закон полного тока для магнит
ного поля в вакууме (теорема о цир
куляции вектора B
r
): циркуляция век
тора B
r
по произвольному замкнутому
контуру равна произведению магнит
ной постоянной m0 на алгебраическую
сумму токов, охватываемых этим кон
туром:
,
1
dd
n
lk
k
LL
Bl Bl
I
0
=
==
m
å
òò
r
r
ÑÑ
(118.1)
Рис. 174
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

215
где n — число проводников с токами,
охватываемых контуром L произволь
ной формы.
Каждый ток учитывается столько
раз, сколько раз он охватывается кон
туром. Положительным считается ток,
направление которого образует с на
правлением обхода по контуру право
винтовую систему; ток противополож
ного направления считается отрица
тельным. Например, для системы то
ков, изображенных на рис. 175,
12 34
1
20.
n
k
k
III II
=
=+-
×-
å
Выражение (118.1) справедливо
только для поля в вакууме, поскольку,
как будет доказано ниже, для поля в
веществе необходимо учитывать моле
кулярные токи.
Продемонстрируем справедливость
теоремы о циркуляции вектора B
r
на
примере магнитного поля прямого то
ка I, перпендикулярного плоскости чер
тежа и направленного к нам (рис. 176).
Представим себе замкнутый контур в
виде окружности радиуса r. В каждой
точке этого контура вектор B
r
одинаков
по модулю и направлен по касательной
к окружности (она является и линией
магнитной индукции). Следовательно,
циркуляция вектора B
r
равна
dd d2
.
l
LLL
Bl BlBlBr
===
×
p
òòò
ÑÑÑ
Согласно выражению (118.1), полу
чим B · 2pr = m0I (в вакууме), откуда
.
2
I
B
r
0
m
=
p
Таким образом, исходя из теоремы
о циркуляции вектора B
r
получили вы
ражение для магнитной индукции поля
прямого тока, выведенное выше [см.
(110.5)].
Сравнивая выражения (83.3) и
(118.1) для циркуляции векторов E
r
и
B
r
, видим, что между ними существует
принципиальное различие. Циркуляция
вектора E
r
электростатического поля
всегда равна нулю, т. е. электростати
ческое поле является потенциальным.
Циркуляция вектора B
r
магнитного
поля не равна нулю. Такое поле назы
вается вихревым.
Теорема о циркуляции вектора B
r
имеет в учении о магнитном поле такое
же значение, как теорема Гаусса в элек
тростатике, так как позволяет находить
магнитную индукцию поля без приме
нения закона Био — Савара — Лапласа.
§ 119. Ìàãíèòíûå ïîëÿ
ñîëåíîèäà è òîðîèäà
Рассчитаем, применяя теорему о
циркуляции, индукцию магнитного
поля внутри соленоида. Рассмотрим со
леноид длиной l, имеющий N витков, по
которому течет ток (рис. 177). Длину
соленоида считаем во много раз боль
Рис. 175
Рис. 176
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

216
ше, чем диаметр его витков, т. е. рас
сматриваемый соленоид бесконечно
длинный. Экспериментальное изуче
ние магнитного поля соленоида (см.
рис. 164, б ) показывает, что внутри со
леноида поле является однородным,
вне соленоида — неоднородным и очень
слабым.
На рис. 177 представлены линии
магнитной индукции внутри и вне со
леноида. Чем соленоид длиннее, тем
меньше магнитная индукция вне его.
Поэтому приближенно можно считать,
что поле бесконечно длинного солено
ида сосредоточено целиком внутри
него, а полем вне соленоида можно пре
небречь.
Для нахождения магнитной индук
ции B выберем замкнутый прямоуголь
ный контур ABCDA, как показано на
рис. 177 . Циркуляция вектора B
r
по зам
кнутому контуру ABCDA, охватываю
щему все N витков, согласно (118.1),
равна
d.
l
ABCDA
Bl NI
0
=m
òÑ
Интеграл по ABCDA можно пред
ставить в виде четырех интегралов: по
AB,BC,CDиDA.НаучасткахABиCD
контур перпендикулярен линиям маг
нитной индукции и Bl = 0. На участке
вне соленоида B = 0. На участке DA
циркуляция вектора B
r
равна Bl (учас
ток контура совпадает с линией магнит
ной индукции); следовательно,
d.
l
DA
BlBl NI
0
==
m
ò
(119.1)
Из (119.1) приходим к выражению
для магнитной индукции поля внутри
соленоида (в вакууме):
.
NI
B
l
0
m
=
(119.2)
Таким образом, поле внутри солено
ида однородно (краевыми эффектами в
областях, прилегающих к торцам соле
ноида, при расчетах пренебрегают). Од
нако отметим, что вывод этой форму
лы не совсем корректен (линии магнит
ной индукции замкнуты, и интеграл по
внешнему участку магнитного поля
строго нулю не равен). Корректно рас
считать поле внутри соленоида можно,
применяя закон Био — Савара — Лапла
са; в результате получается та же фор
мула (119.2).
Важное значение для практики име
ет также магнитное поле тороида —
кольцевой катушки, витки которой на
мотаны на сердечник, имеющий форму
тора (рис. 178). Магнитное поле, как
показывает опыт, сосредоточено внут
ри тороида, вне его поле отсутствует.
Линии магнитной индукции в дан
ном случае, как следует из соображений
симметрии, есть окружности, центры
которых расположены по оси тороида.
В качестве контура выберем одну такую
окружность радиусом r. Тогда, по тео
реме о циркуляции (118.1), B · 2pr =
Рис. 177
Рис. 178
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

217
=m0NI, откуда следует, что магнитная
индукция внутри тороида (в вакууме)
,
2
NI
B
r
0
m
=
p
где N — число витков тороида.
Если контур проходит вне тороида,
тотоковоннеохватываетиB·2pr=0.
Это означает, что поле вне тороида от
сутствует (что показывает и опыт).
§ 120. Ïîòîê âåêòîðà
ìàãíèòíîé èíäóêöèè.
Òåîðåìà Ãàóññà äëÿ ïîëÿ Â
r
Потоком вектора магнитной ин
дукции (магнитным потоком) через
площадку dS называется скалярная фи
зическая величина, равная
dFB=B
r
dS
r
= Bn dS, (120.1)
где Bn = B cos a — проекция вектора B
r
на направление нормали к площадке dS
(a — угол между векторами n
r
иB
r
); dS
r
=
= dSn
r
—
вектор, модуль которого ра
вен dS , а направление его совпадает с
направлением нормали n
r
к площадке.
Поток вектора B
r
может быть как по
ложительным, так и отрицательным в
зависимости от знака cos a (определя
ется выбором положительного направ
ления нормали n
r
). Поток вектора B
r
свя
зывают с контуром, по которому течет
ток. В таком случае положительное на
правление нормали к контуру нами уже
определено (см. § 109): оно связывает
ся с током правилом правого винта.
Следовательно, магнитный поток, созда
ваемый контуром через поверхность,
ограниченную им самим, всегда поло
жителен.
Поток вектора магнитной индук
ции FB через произвольную поверх
ность S равен
dd
.
Bn
SS
BS BS
F=
=
òò
r
r
(120.2)
Для однородного поля и плоской
поверхности, расположенной перпен
дикулярно вектору B
r
,Bn=B=constи
FB=BS.
Из этой формулы определяется еди
ница магнитного потока вебер (Вб):
1 Вб — магнитный поток, проходящий
сквозь плоскую поверхность площадью
1м
2
, расположенную перпендикулярно
однородному магнитному полю, индук
циякоторогоравна1Тл(1Вб=1Тл · м
2
).
Теорема Гаусса для поля B
r
: поток
вектора магнитной индукции сквозь
любую замкнутую поверхность равен
нулю:
dd
0
.
n
SS
BS BS
==
òò
rr
ÑÑ
(120.3)
Эта теорема отражает факт отсут
ствия магнитных зарядов, вследствие
чего линии магнитной индукции не
имеют ни начала, ни конца и являются
замкнутыми.
Итак, для потоков векторов B
r
иE
r
сквозь замкнутую поверхность в вихре
вом и потенциальном полях получают
ся различные выражения [см. (120.3),
(81.2)].
В качестве примера рассчитаем поток
вектора B
r
сквозь соленоид. Магнитная
индукция однородного поля внутри
соленоида с сердечником с магнитной
проницаемостью m, согласно (119.2),
равна
.
NI
B
l
0
mm
=
Магнитный поток сквозь один виток
соленоида площадью S равен
F1=BS,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

218
а полный магнитный поток, сцеплен
ный со всеми витками соленоида и на
зываемый потокосцеплением,
2
.
NI
NN
B
S
S
l
10
Y=F
=
=mm
(120.4)
§ 121. Ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ
ïðîâîäíèêà è êîíòóðà ñ òîêîì
â ìàãíèòíîì ïîëå
На проводник с током в магнитном
поле действуют силы, определяемые за
коном Ампера (см. § 111). Если провод
ник не закреплен (например, одна из
сторон контура изготовлена в виде под
вижной перемычки, рис. 179), то под
действием силы Ампера он будет в маг
нитном поле перемещаться. Следова
тельно, магнитное поле совершает ра
боту по перемещению проводника с то
ком.
Для определения этой работы рас
смотрим проводник длиной l с током I
(он может свободно перемещаться),
помещенный в однородное внешнее
магнитное поле, перпендикулярное
плоскости контура. Сила, направление
которой определяется по правилу левой
руки, а значение — по закону Ампера
[см. (111.2)], равна
F=IBl.
Под действием этой силы проводник
переместится параллельно самому себе
на отрезок dx из положения 1 в поло
жение 2. Работа, совершаемая магнит
ным полем, равна
dA=Fdx=IBldx=
= IBdS=IdF,
где l dx = dS — площадь, пересекаемая
проводником при его перемещении в
магнитном поле; B dS = dF — поток век
тора магнитной индукции, пронизыва
ющий эту площадь.
Таким образом,
dA = IdF,
(121.1)
т. е . работа по перемещению проводни
ка с током в магнитном поле равна про
изведению силы тока на магнитный
поток, пересеченный движущимся про
водником. Полученная формула спра
ведлива и для произвольного направле
ния вектора B
r
.
Вычислим работу по перемещению
замкнутого контура с постоянным то
ком I в магнитном поле. Предположим,
что контур M перемещается в плоско
сти чертежа и в результате бесконечно
малого перемещения займет положение
M ¢, изображенное на рис. 180 штрихо
вой линией. Направление тока в конту
ре (по часовой стрелке) и магнитного
поля (перпендикулярно плоскости чер
тежа — за чертеж) указано нa рисунке.
Контур M мысленно разобьем на два со
единенных своими концами проводни
ка: ABC и CDA.
Работа dA, совершаемая силами Ам
пера при рассматриваемом перемеще
нии контура в магнитном поле, равна
алгебраической сумме работ по переме
щению проводников ABC (dA1) и CDA
(dA2), т. е .
dA=dA1+dA2.
(121.2)
Рис. 179
Рис. 180
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

219
Силы, приложенные к участку CDA
контура, образуют с направлением пе
ремещения острые углы, поэтому со
вершаемая ими работа dA2 > 0. Соглас
но (121.1), эта работа равна произведе
нию силы тока I в контуре на пересе
ченный проводником CDA магнитный
поток. Проводник CDA пересекает при
своем движении поток dF0 сквозь тони
рованную поверхность и поток dF2,
пронизывающий контур в его конечном
положении. Следовательно,
dA2 = I (dF0 + dF2). (121.3)
Силы, действующие на участок ABC
контура, образуют с направлением пе
ремещения тупые углы, поэтому совер
шаемая ими работа dA1 < 0 . Проводник
ABC пересекает при своем движении
поток dF0 сквозь тонированную повер
хность и поток dF1, пронизывающий
контур в начальном положении. Следо
вательно,
dA1 = -I (dF0 + dF1). (121.4)
Подставляя (121.3) и (121.4) в
(121.2), получим выражение для эле
ментарной работы:
dA =I(dF2 - dF1),
где dF2 - dF1 = dF¢ — изменение маг
нитного потока сквозь площадь, огра
ниченную контуром с током.
Таким образом,
dA=IdF¢.
(121.5)
Проинтегрировав выражение (121.5),
определим работу, совершаемую силами
Ампера, при конечном произвольном
перемещении контура в магнитном поле:
A=IDF,
(121.6)
т.е . работа по перемещению замкнуто
го контура с током в магнитном поле
равна произведению силы тока в кон
туре на изменение магнитного потока,
сцепленного с контуром. Формула
(121.6) остается справедливой для кон
тура любой формы в произвольном маг
нитном поле.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников по
стоянного тока?
• Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?
• Что называют индукцией магнитного поля? Каково направление вектора B
r
?
• Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого
тока?
• Записав закон Био — Савара — Лапласа, объясните его физический смысл.
• Рассчитайте, применяя закон Био — Савара — Лапласа, магнитное поле: 1) прямого тока;
2) в центре кругового проводника с током.
• Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных оди
наковых токов противоположного направления. Начертите рисунок с указанием сил.
• Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Дайте им
определения.
• Определите числовое значение магнитной постоянной.
• Почему движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока?
• Чему равна и как направлена сила, действующая на отрицательный электрический за
ряд, движущийся в магнитном поле?
• Чему равна работа силы Лоренца при движении протона в магнитном поле? Ответ обо
сновать.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

220
• Как будет двигаться заряженная частица, влетевшая в однородное магнитное поле, к век
тору B
r
под углом
p
2
?
• Когда заряженная частица движется в магнитном поле по спирали? От чего зависит шаг
спирали? Ответы подтвердите выводами формул.
• Что такое ускорители заряженных частиц? Какие они бывают и чем характеризу
ются?
• Почему для ускорения электронов не применяются циклотроны?
• В чем заключается принцип автофазировки? Где он используется?
• В чем заключается эффект Холла? Выведите формулу для холловской разности потен
циалов.
• Какие данные о проводниках и полупроводниках можно получить на основе экспери
ментального исследования эффекта Холла?
• В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B
r
? Применив
ее, рассчитайте магнитное поле прямого тока.
• Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов E
r
иB
r
?
• Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулиру
ется?
• Почему магнитное поле является вихревым?
• Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции B
r
, рассчитайте магнит
ное поле тороида.
• Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для
магнитного поля, объяснив ее физический смысл.
• Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте определение вебера.
ÇÀÄÀ×È
14.1 . Тонкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределен
ный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с-1
от
носительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Опре
делите отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его момен
ту импульса. [251 нКл/кг]
14.2 . По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоян
ный ток 3 А. Определите индукцию магнитного поля в центре квадрата. [5,66 мкТл]
14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние
между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Оп
ределите магнитную индукцию B в точке, удаленной на r1 = 3 0 см от первого и r2 = 40 см от
второго проводника. [9,5 мкТл]
14.4 . Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом
10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра
кольца. [10,7 мкТл]
14.5 . Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми тока
ми, текущими в одном направлении, находится друг от друга на расстоянии R. Чтобы их
раздвинуть до расстояния 3R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается ра
бота A = 220 нДж. Определите силу тока в проводниках. [10 А]
14.6 . Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнит
ное поле с индукцией 0,1 Тл, движется по окружности. Определите радиус этой окружнос
ти. [3,23 см]
14.7 . Определите, при какой скорости пучок заряженных частиц, проходя перпендику
лярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля
с E = 10 кВ/м и B = 0,2 Тл, не отклоняется. [50 км/с]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

221
14.8 . Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определите радиус дуантов цик
лотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. [>47 см]
14.9 . Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластин
ка помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру
пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной
концентрации атомов, определите возникающую в пластине поперечную (холловскую) раз
ность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см3. [1,85 мкВ]
14.10. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определите, пользу
ясь теоремой о циркуляции вектора B
r
, магнитную индукцию B в точке, расположенной на
расстоянии 15 см от проводника. [20 мкТл]
14.11 . Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора B
r
, индукцию и напря
женность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержа
щей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний —
40 см. [0,24 мТл; 191 А/м]
14.12 . Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без
сердечника) F = 5 мкВб. Длина соленоида l = 25 см. Определите магнитный момент pm
этого соленоида. [1 А·м2]
14.13. Круглая рамка с током площадью 20 см2 закреплена параллельно магнитному полю
(B = 0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мН · м. Рамку освободили, после
поворота на 90° ее угловая скорость стала равна 20 с-1
. Определите: 1) силу тока, текущего
в рамке; 2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. [1) 1,5 А; 2) 3 · 10-6 кг · м
2
]
Ãëàâà 15
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÀß ÈÍÄÓÊÖÈß
§ 122. ßâëåíèå
ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè
(îïûòû Ôàðàäåÿ)
В гл. 14 было показано, что электри
ческие токи создают вокруг себя маг
нитное поле. Связь магнитного поля с
током привела к многочисленным по
пыткам возбудить ток в контуре с по
мощью магнитного поля. Эта фунда
ментальная задача была блестяще ре
шена в 1831 г. английским физиком
М. Фарадеем, открывшим явление
электромагнитной индукции. Оно
заключается в том, что в замкнутом
проводящем контуре при изменении
потока магнитной индукции, охватыва
емого этим контуром, возникает элект
рический ток, получивший название
индукционного.
Рассмотрим классические опыты
Фарадея, с помощью которых было об
наружено явление электромагнитной
индукции.
Опыт I (рис. 181, а). Если в замкнутый на
гальванометр соленоид вдвигать или выдви
гать постоянный магнит, то в моменты его
вдвигания или выдвигания наблюдается от
клонение стрелки гальванометра (возника
ет индукционный ток); направления откло
нений стрелки при вдвигании и выдвигании
магнита противоположны. Отклонение стрел
ки гальванометра тем больше, чем больше
скорость движения магнита относительно ка
тушки. При изменении полюсов магнита на
правление отклонения стрелки изменится.
Для получения индукционного тока магнит
можно оставлять неподвижным, тогда нужно
относительно магнита передвигать соленоид.
Опыт II. Концы одной из катушек, встав
ленных одна в другую, присоединяются к
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

222
гальванометру, а через другую катушку про
пускается ток. Отклонение стрелки гальвано
метра наблюдается в моменты включения или
выключения тока, в моменты его увеличения
или уменьшения, при перемещении катушек
друг относительно друга (рис. 181, б ). Направ
ления отклонений стрелки гальванометра так
же противоположны при включении или вык
лючении тока, его увеличении или уменьше
нии, сближении или удалении катушек.
Обобщая результаты своих много
численных опытов, Фарадей пришел к
выводу, что индукционный ток возни
кает всегда, когда происходит измене
ние сцепленного с контуром потока
магнитной индукции.
Например, при повороте в однород
ном магнитном поле замкнутого прово
дящего контура в нем также возникает
индукционный ток. В данном случае
индукция магнитного поля вблизи про
водника остается постоянной, а меня
ется только поток магнитной индукции
сквозь контур.
Опытным путем было также уста
новлено, что значение индукционного
тока совершенно не зависит от способа
изменения потока магнитной индукции,
а определяется лишь скоростью его из
менения (в опытах Фарадея также до
казывается, что отклонение стрелки
гальванометра (сила тока) тем больше,
чем больше скорость движения магни
та, или скорость изменения силы тока,
или скорость движения катушек).
Открытие явления электромагнит
ной индукции имело большое значение,
так как была доказана возможность по
лучения электрического тока с помощью
магнитного поля. Этим была установле
на взаимосвязь между электрическими
и магнитными явлениями, что послужи
ло в дальнейшем толчком для разработ
ки теории электромагнитного поля.
§ 123. Çàêîí Ôàðàäåÿ è åãî âûâîä
èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
Обобщая результаты своих много
численных опытов, М. Фарадей пришел
к количественному закону электромаг
нитной индукции. Он показал, что вся
кий раз, когда происходит изменение
сцепленного с контуром потока магнит
ной индукции, в контуре возникает ин
дукционный ток, что указывает на на
личие в цепи электродвижущей силы,
называемой электродвижущей силой
электромагнитой индукции. Значе
ние индукционного тока, а следователь
но, и ЭДС электромагнитной индук
ции õi определяются только скоростью
изменения магнитного потока, т. е .
d.
d
i
t
F
õ:
(123.1)
Теперь необходимо выяснить знак õi.
В § 120 было показано, что знак магнит
ного потока зависит от выбора положи
тельной нормали к контуру. В свою оче
редь, положительное направление нор
мали определяется правилом правого
винта (см. § 109). Следовательно, вы
бирая положительное направление нор
мали, можно определить как знак пото
ка магнитной индукции, так и направ
ление тока и ЭДС в контуре.
Если величины õi , F и t выразить в од
ной системе единиц, то можно записать:
d.
d
i
t
F
=-
õ
(123.2)
Рис. 181
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

223
Формула (123.2) выражает закон
электромагнитной индукции Фара
дея.
Знак «-» показывает, что увеличе
ние потока 
d0
dt
F > вызывает ЭДС
õi < 0, т. е . поле индукционного тока на
правлено навстречу потоку; уменьше
ние потока 
d0
dt
F< вызываетõi>0,
т. е. направления потока и поля индук
ционного тока совпадают. Знак «-» в
формуле (123.2) соответствует прави
лу Ленца (1833) — общему правилу для
нахождения направления индукцион
ного тока.
Правило Ленца: индукционный ток
в контуре имеет всегда такое направле
ние, что создаваемое им магнитное поле
препятствует изменению магнитного
потока, вызывающему этот индукцион
ный ток.
К формуле (123.2) можно прийти с
помощью закона сохранения энергии,
как это впервые сделал Г. Гельмгольц1.
Рассмотрим, следуя Г. Гельмгольцу,
проводник с током I, который помещен
в однородное магнитное поле, перпен
дикулярное плоскости контура, и мо
жет свободно перемещаться (см. рис.
179). Под действием силы Ампера F
r
,на
правление которой показано на рисун
ке, проводник перемещается на отрезок
dx . Таким образом, сила Ампера произ
водит работу [см. (121.1)] dA = I dF, где
dF — пересеченный проводником маг
нитный поток.
Согласно закону сохранения энер
гии, работа источника тока за время dt
(õI dt) расходуется на джоулеву тепло
ту (I 2R dt) и работу по перемещению
проводника в магнитном поле (I dF):
õIdt=I
2
Rdt+IdF,
где R — полное сопротивление контура.
Тогда
,
d
dt
I
R
F
-
=
õ
где
d
d
i
t
F
-=
õ есть не что иное, как за
кон Фарадея [см. (123.2)].
Закон Фарадея можно сформули
ровать таким образом: ЭДС õi электро
магнитной индукции в контуре числен
но равна и противоположна по знаку
скорости изменения магнитного пото
ка сквозь поверхность, ограниченную
этим контуром. Этот закон является
универсальным: ЭДС õi не зависит от
способа изменения магнитного потока.
ЭДС электромагнитной индукции вы
ражается в вольтах. Действительно,
учитывая, что единицей магнитного
потока является вебер (Вб), получим
ÂáÒëì
Íì
ññÀ
ì
ñ
ÄæÀÂñÂ.
Àñ Àñ
22
d
dt
éù
F×
×
==
=
=
êú
êú
××
ëû
××
==
=
××
Какова природа ЭДС электромагнит
ной индукции? Если проводник (под
вижная перемычка контура на рис. 179)
движется в постоянном магнитном
поле, то сила Лоренца, действующая на
заряды внутри проводника, движущи
еся вместе с проводником, будет на
правлена противоположно току, т. е. она
будет создавать в проводнике индукци
онный ток противоположного направ
ления (за направление электрического
тока принимается движение положи
тельных зарядов). Таким образом, воз
буждение ЭДС индукции при движе
нии контура в постоянном магнитном
поле объясняется действием силы Ло
ренца, возникающей при движении
проводника.
1 Г. Гельмгольц (1821 — 1894) — немецкий ес
тествоиспытатель.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

224
Согласно закону Фарадея, возник
новение ЭДС электромагнитной ин
дукции возможно и в случае неподвиж
ного контура, находящегося в перемен
ном магнитном поле. Однако сила Ло
ренца на неподвижные заряды не дей
ствует, поэтому в данном случае ею
нельзя объяснить возникновение ЭДС
индукции. Максвелл для объяснения
ЭДС индукции в неподвижных провод
никах предположил, что всякое пере
менное магнитное поле возбуждает в
окружающем пространстве электриче
ское поле, которое и является причиной
возникновения индукционного тока в
проводнике. Циркуляция вектора E
r
B
этого поля по любому неподвижному
контуру L проводника представляет
собой ЭДС электромагнитной индук
ции:
d
d.
d
iB
L
El
t
F
==
-
ò
õ
r
r
Ñ
(123.3)
§ 124. Âðàùåíèå ðàìêè
â ìàãíèòíîì ïîëå
Явление электромагнитной индук
ции применяется для преобразования
механической энергии в энергию элек
трического тока. Для этой цели исполь
зуются генераторы, принцип действия
которых можно рассмотреть на приме
ре плоской рамки, вращающейся в од
нородном магнитном поле (рис. 182).
Пусть рамка вращается в однород
ном магнитном поле (B = const) рав
номерно с угловой скоростью w = const.
Магнитный поток, сцепленный с рам
кой площадью S, в любой момент вре
мени t , согласно (120.1), равен
F=BnS =BScosa=BScoswt,
где a = wt — угол поворота рамки в мо
мент времени t (начало отсчета выбра
нотак,чтобыприt=0былоa=0).
При вращении рамки в ней будет
возникать переменная ЭДС индукции
[см. (123.2)]
,
d
sin
d
i
BS
t
t
F
=-
=
ww
õ
(124.1)
изменяющаяся со временем по гармо
ническому закону. ЭДС õi максималь
наприsinwt=1,т.е.
õmax = BSw.
(124.2)
Учитывая (124.2), выражение (124.1)
можно записать в виде
õi = õmax sin wt.
Таким образом, если в однородном
магнитном поле равномерно вращает
ся рамка, то в ней возникает перемен
ная ЭДС, изменяющаяся по гармони
ческому закону.
Из формулы (124.2) вытекает, что
õmax (следовательно, и ЭДС индукции)
находится в прямой зависимости от ве
личин w, B и S. В России принята стан
дартная частота тока
50
2
w
n=
=
p
Гц,
поэтому возможно лишь возрастание
двух остальных величин. Для увеличе
ния B применяют мощные постоянные
магниты или в электромагнитах про
пускают значительный ток, а также
внутрь электромагнита помещают сер
дечники из материалов с большой маг
нитной проницаемостью m. Если вра
щать не один, а ряд витков, соединен
ных последовательно, то тем самым
увеличивается S. Переменное напряже
Рис. 182
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

225
ние снимается с вращающегося витка с
помощью щеток, схематически изобра
женных на рис. 182.
Процесс превращения механической
энергии в электрическую обратим. Если
по рамке, помещенной в магнитное
поле, пропускать ток, то в соответствии
с (109.1) на нее будет действовать вра
щающий момент и рамка начнет вра
щаться. На этом принципе основана
работа электродвигателей, предназна
ченных для превращения электриче
ской энергии в механическую.
§ 125. Âèõðåâûå òîêè (òîêè Ôóêî)
Индукционный ток возникает не
только в линейных проводниках, но и в
массивных сплошных проводниках, по
мещенных в переменное магнитное
поле. Эти токи оказываются замкнуты
ми в толще проводника и поэтому на
зываются вихревыми. Их также назы
вают токами Фуко — по имени перво
го исследователя.
Токи Фуко, как и индукционные
токи в линейных проводниках, подчи
няются правилу Ленца: их магнитное
поле направлено так, чтобы противо
действовать изменению магнитного
потока, индуцирующему вихревые
токи. Например, если между полюсами
невключенного электромагнита мас
сивный медный маятник совершает
практически незатухающие колебания
(рис. 183), то при включении тока он ис
пытывает сильное торможение и очень
быстро останавливается. Это объясня
ется тем, что возникшие токи Фуко
имеют такое направление, что действу
ющие на них со стороны магнитного
поля силы тормозят движение маятни
ка. Этот факт используется для успоко
ения (демпфирования) подвижных ча
стей различных приборов. Если в опи
санном маятнике сделать радиальные
вырезы, то вихревые токи ослабляют
ся и торможение почти отсутствует.
Вихревые токи помимо торможения
(как правило, нежелательного эффек
та) вызывают нагревание проводников.
Поэтому для уменьшения потерь на
нагревание якоря′ генераторов и сер
дечники трансформаторов делают не
сплошными, а изготовляют из тонких
пластин, отделенных одна от другой
слоями изолятора, и устанавливают их
так, чтобы вихревые токи были направ
лены поперек пластин.
Джоулева теплота, выделяемая тока
ми Фуко, используется в индукционных
металлургических печах. Индукционная
печь представляет собой тигель, поме
щаемый внутрь катушки, в которой про
пускается ток высокой частоты. В метал
ле возникают интенсивные вихревые
токи, способные разогреть его до плав
ления. Такой способ позволяет плавить
металлы в вакууме, в результате чего по
лучаются сверхчистые материалы.
Вихревые токи возникают и в про
водах, по которым течет переменный
ток. Направление этих токов можно
определить по правилу Ленца. На рис.
184, а показано направление вихревых
токов при возрастании первичного тока
в проводнике, а на рис. 184, б — при его
убывании. В обоих случаях направле
ние вихревых токов таково, что они
противодействуют изменению первич
Рис. 183
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

226
ного тока внутри проводника и способ
ствуют его изменению вблизи поверх
ности. Таким образом, вследствие воз
никновения вихревых токов быстропе
ременный ток оказывается распреде
ленным по сечению провода неравно
мерно — он как бы вытесняется на по
верхность проводника. Это явление по
лучило название скин эффекта (от
англ. skin — кожа) или поверхностно
го эффекта. Так как токи высокой ча
стоты практически текут в тонком по
верхностном слое, то провода для них
делаются полыми.
Если сплошные проводники нагре
вать токами высокой частоты, то в ре
зультате скин эффекта происходит на
гревание только их поверхностного
слоя. На этом основан метод поверхно
стной закалки металлов. Меняя часто
ту поля, он позволяет производить за
калку на любой требуемой глубине.
§ 126. Èíäóêòèâíîñòü êîíòóðà.
Ñàìîèíäóêöèÿ
Электрический ток, текущий в зам
кнутом контуре, создает вокруг себя
магнитное поле, индукция которого, по
закону Био — Савара — Лапласа [см.
(110.2)], пропорциональна току. Сцеп
ленный с контуром магнитный поток F
поэтому пропорционален току в контуре:
F=LI,
(126.1)
где L — коэффициент пропорциональ
ности, называемый индуктивностью
контура.
При изменении силы тока в контуре
будет изменяться также и сцепленный
с ним магнитный поток; следовательно,
в контуре будет индуцироваться ЭДС.
Возникновение ЭДС индукции в про
водящем контуре при изменении в нем
силы тока называется самоиндукцией.
Из выражения (126.1) определяется
единица индуктивности генри (Гн):
1 Гн — индуктивность такого контура,
магнитный поток самоиндукции кото
рогопритокев1Аравен1Вб:
1Гн=1Вб/А=1В·с/А.
Рассчитаем индуктивность беско
нечно длинного соленоида. Согласно
(120.4), полный магнитный поток
сквозь соленоид (потокосцепление)
равен
2
NIS
l
0
mm
. Подставив это выра
жение в формулу (126.1), получим
,
2
NS
L
l
0
=mm
(126.2)
т. е. индуктивность соленоида зависит
от числа N витков соленоида, его дли
ны l , площади S и магнитной проница
емости m вещества, из которого изготов
лен сердечник соленоида.
Можно показать, что индуктивность
контура в общем случае зависит толь
ко от геометрической формы контура,
его размеров и магнитной проницаемо
сти той среды, в которой он находится.
В этом смысле индуктивность конту
ра — аналог электрической емкости
уединенного проводника, которая так
же зависит только от формы проводни
ка, его размеров в диэлектрической про
ницаемости среды (см. § 93).
Применяя к явлению самоиндукции
закон Фарадея [см. (123.2)], получим,
что ЭДС самоиндукции
Рис. 184
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

227

dd
dd
()
.
dd
dd
s
IL
LI
L
I
tt
tt
F
=-
=-
=-
+
õ
Если контур не деформируется и
магнитная проницаемость среды не из
меняется (в дальнейшем будет показа
но, что последнее условие выполняет
ся не всегда), то L = const и
,
d
d
s
I
L
t
=-
õ
(126.3)
где знак «-» обусловлен правилом Лен
ца, согласно которому наличие индук
тивности в контуре приводит к замед
лению изменения тока в нем.
Если ток со временем возрастает, то
è
d00
d
s
I
t
><
õ , т. е. ток самоиндукции
направлен навстречу току, обусловлен
ному внешним источником, и замедля
ет его возрастание. Если ток со време
нем убывает, то
è
d00
d
s
I
t
<>
õ ,т.е.ин
дукционный ток имеет такое же направ
ление, как и убывающий ток в контуре,
и замедляет его убывание. Таким обра
зом, контур, обладая определенной ин
дуктивностью, приобретает электриче
скую инертность, заключающуюся в
том, что любое изменение тока тормо
зится тем сильнее, чем больше индук
тивность контура.
§ 127. Òîêè ïðè ðàçìûêàíèè
è çàìûêàíèè öåïè
При всяком изменении силы тока в
проводящем контуре возникает ЭДС
самоиндукции, в результате чего в кон
туре появляются дополнительные токи,
называемые экстратоками самоин
дукции.
Экстратоки самоиндукции, согласно
правилу Ленца, всегда направлены так,
чтобы препятствовать изменениям тока
в цепи, т. е . направлены противополож
но току, создаваемому источником. При
выключении источника тока экстрато
ки имеют такое же направление, что и
ослабевающий ток. Следовательно, на
личие индуктивности в цепи приводит
к замедлению исчезновения или уста
новления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения
тока в цепи, содержащей источник тока
с ЭДС õ, резистор сопротивлением R и
катушку индуктивностью L. Под дей
ствием внешней ЭДС в цепи течет по
стоянный ток
0
I
R
=
õ
(внутренним сопротивлением источни
ка тока пренебрегаем).
В момент времени t = 0 отключим
источник тока. Ток в катушке индуктив
ностью L начнет уменьшаться, что при
ведет к возникновению ЭДС самоиндук
ции
d
d
s
I
L
t
=-
õ
, препятствующей, со
гласно правилу Ленца, уменьшению тока.
В каждый момент времени ток в цепи оп
ределяется законом Ома
s
I
R
=
õ,или
d.
d
I
IRL
t
=-
(127.1)
Разделив в выражении (127.1) пере
менные, получим d
d
IR
t
IL
=-
. Интег
рируя этоуравнение поI(отI0до I)иt
(от 0 до t), находим
0
ln IR
t
IL
=-
, или
,
0e
t
II
-
t
=
(127.2)
где
L
R
t=
—
постоянная, называемая
временем релаксации.
Из (127.2) следует, что t есть время,
в течение которого сила тока уменьша
ется в e раз.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

228
Таким образом, в процессе отключе
ния источника тока сила тока убывает
по экспоненциальному закону (127.2)
и определяется кривой 1 на рис. 185.
Чем больше индуктивность цепи и
меньше ее сопротивление, тем больше
t и, следовательно, тем медленнее
уменьшается ток в цепи при ее размы
кании.
При замыкании цепи помимо внеш
ней ЭДС õ возникает ЭДС самоиндук
ции
,
d
d
s
I
L
t
=-
õ
препятствующая, со
гласно правилу Ленца, возрастанию
тока. По закону Ома,
s
IR =+
õõ, или
d.
d
I
IR
L
t
=-
õ
Введя новую переменную uI
R
=-
õ,
преобразуем это уравнение к виду
,
d
du
t
u
=-
t
где t — время релаксации.
В момент замыкания (t = 0) сила
тока I =0 и u = -õ.Следовательно, ин
тегрируяпоu(от-õдоIR-õ)иt(от
0 до t), находим ln IR
t
-
=-
-t
õ
õ
, или
,
01e
t
II
-
t
=-
(127.3)
где 0I
R
=
õ — установившийся ток (при
t®¥).
Таким образом, в процессе включе
ния источника тока нарастание силы
тока в цепи задается функцией (127.3)
и определяется кривой 2 на рис. 185.
Сила тока возрастает от начального зна
чения I = 0 и асимптотически стремится
к установившемуся значению 0I
R
=
õ.
Скорость нарастания тока определяет
ся тем же временем релаксации
L
R
t=
,
что и убывание тока. Установление тока
происходит тем быстрее, чем меньше
индуктивность цепи и больше ее сопро
тивление.
Оценим значение ЭДС самоиндук
ции õs , возникающей при мгновенном
увеличении сопротивления цепи посто
янного тока от R 0 ДО R. Предположим,
что мы размыкаем контур, когда в нем
течет установившийся ток 0I
R
=
õ.При
размыкании цепи ток изменяется по
формуле (127.2). Подставив в нее вы
ражение для I0 и t, получим
0
e.
Rt
L
I
R
-
=
õ
ЭДС самоиндукции
,
0
d
e
d
Rt
L
s
IR
L
tR
-
=-
=
õõ
т. е. при значительном увеличении со
противления цепи (
0
1
R
R
? ), обладаю
щей большой индуктивностью, ЭДС
самоиндукции может во много раз
превышать ЭДС источника тока,
включенного в цепь. Таким образом,
необходимо учитывать, что контур, со
держащий индуктивность, нельзя рез
ко размыкать, так как это (возникно
вение значительных ЭДС самоиндук
ции) может привести к пробою изоля
ции и выводу из строя измерительных
приборов. Если в контур сопротивле
ние вводить постепенно, то ЭДС само
индукции не достигнет больших значе
ний.
Рис. 185
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

229
§ 128. Âçàèìíàÿ èíäóêöèÿ
Рассмотрим два неподвижных кон
тура (1 и 2), расположенных достаточ
но близко друг от друга (рис. 186). Если
в контуре 1 течет ток I1, то магнитный
поток, создаваемый этим током (поле,
создающее этот поток, на рисунке изоб
ражено сплошными линиями), пропор
ционален I 1. Обозначим через F21 ту
часть потока, которая пронизывает кон
тур 2. Тогда
F21 = L21I1,
(128.1)
где L21 — коэффициент пропорциональ
ности.
Если ток I 1 изменяется, то в конту
ре 2 индуцируется ЭДС õi 2, которая по
закону Фарадея [см. (123.2)] равна и
противоположна по знаку скорости из
менения магнитного потока F21, создан
ного током в первом контуре и прони
зывающего второй:
21
1
22
1
dd
.
dd
i
I
L
tt
F
=-
=-
õ
Аналогично, при протекании в кон
туре 2 тока I 2 магнитный поток (его
поле изображено на рис. 186 штриховы
ми линиями) пронизывает первый кон
тур. Если F12 — часть этого потока, про
низывающего контур 1, то
F12 = L12I2.
Если ток I 2 изменяется, то в конту
ре 1 индуцируется ЭДС õi1, которая рав
на и противоположна по знаку скорос
ти изменения магнитного потока F12,
созданного током во втором контуре и
пронизывающего первый:
12
2
11
2
dd
.
dd
i
I
L
tt
F
=-
=-
õ
Явление возникновения ЭДС в од
ном из контуров при изменении силы
тока в другом называется взаимной ин
дукцией. Коэффициенты пропорцио
нальности L21 и L12 называются взаим
ной индуктивностью контуров. Рас
четы, подтверждаемые опытом, показы
вают, что
L12 = L21.
(128.2)
Коэффициенты L21 и L12 зависят от гео
метрической формы, размеров, взаим
ного расположения контуров и от маг
нитной проницаемости окружающей
контуры среды. Единица взаимной ин
дуктивности та же, что и для индуктив
ности, — генри (Гн).
Рассчитаем взаимную индуктивность
двух катушек, намотанных на общий то
роидальный сердечник. Этот случай
имеет большое практическое значение
(рис. 187). Магнитная индукция поля,
создаваемого первой катушкой с чис
лом витков N1, током I1 и магнитной
проницаемостью m сердечника, соглас
но (119.2),
11
0
NI
B
l
=mm
,гдеl—длина
сердечника по средней линии. Магнит
ный поток сквозь один виток второй
катушки
11
0
NI
BS
S
l
2
F= =mm
.
Тогда полный магнитный поток (по
токосцепление) сквозь вторичную об
мотку, содержащую N2 витков,
Рис. 186
Рис. 187
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

230
12
20
1
.
NN
NS
I
l
2
Y=F
=mm
Поток Y создается током I 1, поэто
му, согласно (128.1), получаем
12
21
0
1
.
NN
LS
Il
Y
==
m
m
(128.3)
Если вычислить магнитный поток,
создаваемый катушкой 2 сквозь катуш
ку 1, то для L12 получим выражение в
соответствии с формулой (128.3). Та
ким образом, взаимная индуктивность
двух катушек, намотанных на общий
тороидальный сердечник,
12
12
21
0
.
NN
LL
S
l
==
m
m
§ 129. Òðàíñôîðìàòîðû
Принцип действия трансформато
ров — устройств, применяемых для по
вышения или понижения напряжения
переменного тока, основан на явлении
взаимной индукции. Впервые транс
форматоры были сконструированы
русским электротехником П. Н . Яблоч
ковым (1847 — 1894) и русским физи
ком И. Ф . Усагиным (1855 — 1919).
Принципиальная схема трансформато
ра показана на рис. 188. Первичная и
вторичная катушки (обмотки), имею
щие соответственно N1 и N2 витков, ук
реплены на замкнутом железном сер
дечнике. Так как концы первичной об
мотки присоединены к источнику пере
менного напряжения с ЭДС õ1, то в ней
возникает переменный ток I1, создаю
щий в сердечнике трансформатора пе
ременный магнитный поток F, который
практически полностью локализован в
железном сердечнике и, следовательно,
почти целиком пронизывает витки вто
ричной обмотки. Изменение этого по
тока вызывает во вторичной обмотке
появление ЭДС взаимной индукции,
а в первичной — ЭДС самоиндукции.
Ток I1 первичной обмотки определя
ется согласно закону Ома:
,
11
1
1
d()
d
NI
R
t
-F
=
õ
где R1 — сопротивление первичной об
мотки. Падение напряжения I1R1 на со
противлении R 1 при быстроперемен
ных полях мало′ по сравнению с каждой
из двух ЭДС, поэтому
11
d.
d
N
t
F
»
õ
(129.1)
ЭДС взаимной индукции, возника
ющая во вторичной обмотке,
2
22
d()
d.
dd
N
N
tt
F
F
=-
=-
õ
(129.2)
Сравнивая выражения (129.1) и
(129.2), получим, что ЭДС, возникаю
щая во вторичной обмотке,
,
2
21
1
N
N
=-
õõ(129.3)
где знак «-» показывает, что ЭДС в
первичной и вторичной обмотках про
тивоположны по фазе.
Отношение числа витков 2
1
N
N
, пока
зывающее, во сколько раз ЭДС во вто
ричной обмотке трансформатора боль
ше (или меньше), чем в первичной, на
зывается коэффициентом трансфор
мации.
Пренебрегая потерями энергии, ко
торые в современных трансформаторах
Рис. 188
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

231
не превышают 2 % и связаны в основ
ном с выделением в обмотках джоуле
вой теплоты и появлением вихревых
токов, и применяя закон сохранения
энергии, можем записать, что мощнос
ти тока в обеих обмотках трансформа
тора практически одинаковы:
õ2I2 » õ1I1,
откуда, учитывая соотношение (129.3),
найдем
,
212
121
IN
IN
==
õ
õ
т. е. токи в обмотках обратно пропорци
ональны числу витков в этих обмотках.
Если 2
1
1
N
N
> ,тоимеемделосповы
шающим трансформатором, увели
чивающим переменную ЭДС и понижа
ющим ток (применяются, например,
для передачи электроэнергии на боль
шие расстояния, так как в данном слу
чае потери на джоулеву теплоту, про
порциональные квадрату силы тока,
снижаются); если
2
1
1
N
N
<,тоимеем
дело с понижающим трансформато
ром, уменьшающим ЭДС и повышаю
щим ток (применяются, например, при
электросварке, так как для нее требует
ся большой ток при низком напряже
нии).
Мы рассматривали трансформато
ры, имеющие только две обмотки. Од
нако трансформаторы, используемые в
радиоустройствах, имеют 4 — 5 обмоток,
обладающих разными рабочими напря
жениями. Трансформатор, состоящий
из одной обмотки, называется авто
трансформатором. В случае повыша
ющего автотрансформатора ЭДС под
водится к части обмотки, а вторичная
ЭДС снимается со всей обмотки. В по
нижающем автотрансформаторе напря
жение сети подается на всю обмотку, а
вторичная ЭДС снимается с части об
мотки.
§ 130. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
Проводник, по которому протекает
электрический ток, создает в окружаю
щем пространстве магнитное поле, при
чем магнитное поле появляется и исче
зает вместе с появлением и исчезнове
нием тока.
Магнитное поле, подобно электри
ческому, является носителем энергии.
Естественно предположить, что энер
гия магнитного поля равна работе, ко
торая затрачивается током на создание
этого поля.
Рассмотрим контур индуктивнос
тью L, по которому течет ток I. С дан
ным контуром сцеплен магнитный по
ток [см. (126.1)] F = LI, причем при из
менении тока на dI магнитный поток
изменяется на dF = L dI. Однако для
изменения магнитного потока на вели
чину dF (см. § 121) необходимо совер
шить работу dA = IdF = LIdI. Тогда
работа по созданию магнитного пото
ка будет
2
0
d.
2
I
LI
AL
I
I
==
ò
Следовательно, энергия магнитного
поля, связанного с контуром,
2
.
2
LI
W=
(130.1)
Исследование свойств переменных
магнитных полей, в частности распро
странения электромагнитных волн,
явилось доказательством того, что энер
гия магнитного поля локализована в
пространстве. Это соответствует пред
ставлениям теории поля.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

232
Энергию магнитного поля можно
представить как функцию величин, ха
рактеризующих это поле в окружаю
щем пространстве. Для этого рассмот
рим частный случай — однородное маг
нитное поле внутри длинного солено
ида. Подставив в формулу (130.1) вы
ражение (126.2), получим
Таблица 6
Электрическое поле Формулы и обозначения
Магнитное поле
Формулы и обозначения
Точечный заряд
Q
Элемент провод
Idl
ника с током
Взаимодействие
Взаимодействие
точечных зарядов
токов
Электрическая
e0
Магнитная
m0
постоянная
постоянная
Силовая характе
Силовая характе
ристика электри
ристика магнит
ческого поля
ного поля
Однородное элек
Однородное маг
трическое поле
нитное поле
Принцип
Принцип
суперпозиции
суперпозиции
Линии напряжен
—
Линии магнитной
—
ности вектора E
r
индукции
Поляризованность
Намагниченность
Электроемкость
Индуктивность
уединенного
катушки
проводника
Энергия заряжен
Энергия катушки
ного конденсатора
с током
Диэлектрическая
e
Магнитная
m
проницаемость
проницаемость
Объемная плот
Объемная плот
ность энергии
ность энергии
Поток вектора E
r
Поток вектора B
r
сквозь поверх
сквозь поверх
ность S
ность S
Циркуляция
Циркуляция
вектора E
r
вектора B
r
12
2
1
4
QQ
F
r
0
=
pe
dd
l
LL
Bl Bl
=
òò
r
r
ÑÑ
dd
l
LL
El El
=
òò
r
r
ÑÑ
2
22
H
WB
H
w
V
0
mm
==
=
dd
Bn
SS
BS BS
F=
=
òò
r
r
ÑÑ
dd
En
SS
ES ES
F=
=
òò
r
r
ÑÑ
2
22
E
WE
D
w
V
0
ee
==
=
2
2
LI
W=
2
()
2
C
W
Dj
=
L
I
F
=
Q
C=
j
a
m
p
P
J
VV
==
å
r
r
r
i
Vi
p
p
P
VV
==
år
r
1
n
i
i
BB
=
=å
rr
1
n
i
i
EE
=
=å
rr
const
B=
r
const
E=
r
max
m
M
B
p
=
0
F
E
Q
=
12
2
2
d
4
II
Fl
r
0
mm
=
p
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

233
22
1
.
2
NI
WS
l
0
=m
m
Поскольку
Bl
I
N
0
=
mm
[см. (119.2)] и
B = m0mH [см. (109.3)], то
,
2
22
BB
H
WVV
0
==
mm
(130.2)
где V = Sl — объем соленоида.
Магнитное поле соленоида однород
но и сосредоточено внутри него, поэто
му энергия [см. (130.2)] заключена в
объеме соленоида и распределена в нем
с постоянной объемной плотностью
2
2
.
222
H
WB
B
H
w
V
0
0
mm
==
=
=
mm
(130.3)
Выражение (130.3) для объемной
плотности энергии магнитного поля
имеет вид, аналогичный формуле (95.8)
для объемной плотности энергии элек
тростатического поля, с той разницей,
что электрические величины заменены
в нем магнитными. Формула (130.3)
выведена для однородного поля, но она
справедлива и для неоднородных по
лей. Выражение (130.3) справедливо
только для сред, для которых зависи
мость B от H линейная, т. е . оно относит
ся только к пара и диамагнетикам (см.
§ 132).
В табл. 6 представлена аналогия при
рассмотрении электрических и магнит
ных полей.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что является причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем кон
туре? От чего и как зависит ЭДС индукции, возникающая в контуре?
• В чем заключается явление электромагнитной индукции? Проанализируйте опыты
Фарадея.
• Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый провод
ник в виде катушки, а не в виде одного витка провода?
• Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.
• Как направлен индукционный ток?
• Всегда ли при изменении магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает
ЭДС индукции? индукционный ток?
• Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в од
нородном магнитном поле?
• Покажите, что закон Фарадея есть следствие закона сохранения энергии.
• Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?
• Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в
однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?
• Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?
• Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?
• Когда ЭДС самоиндукции больше — при замыкании или размыкании цепи постоянного
тока?
• В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивно
сти двух контуров? От чего они зависят?
• В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите ЭДС ин
дукции для обоих случаев.
• В чем заключается физический смысл времени релаксации
L
R
t= ? Докажите, что t имеет
размерность времени.
• Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электроста
тического и магнитного полей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнит
ного поля?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

234
• Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плот
ность энергии магнитного поля?
• Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышаю
щего трансформатора.
ÇÀÄÀ×È
15.1 . Кольцо из алюминиевого провода (r = 26 нОм · м) помещено в магнитное поле пер
пендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм.
Определите скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А. [0,33 Тл/с]
15.2 . В однородном магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, равномерно с частотой
300 мин-1 вращается катушка, содержащая 200 витков, плотно прилегающих друг к другу.
Площадь поперечного сечения катушки 100 см2
. Ось вращения перпендикулярна оси ка
тушки и направлению магнитного поля. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в
катушке. [31,4 В]
15.3. Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, ди
аметром 0,3 мм с изоляцией ничтожно малой толщины надо намотать на картонный ци
линдр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн.
[3040]
15.4 . Определите, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предель
ного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением 10 Ом и индук
тивностью 0,4 Гн. [0,16 с]
15.5 . Два соленоида (индуктивность одного L1 = 0,36 Гн, другого L2 = 0,64 Гн) одинако
вой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определите взаимную
индуктивность соленоидов. [0,48 Гн]
15.6 . Автотрансформатор, понижающий напряжение с U1 = 5,5 кВ до U2 = 220 В, содер
жит в первичной обмотке N1 = 1500 витков. Сопротивление вторичной обмотки R2 = 2 Ом.
Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R = 13 Ом. Пренебрегая
сопротивлением первичной обмотки, определите число витков во вторичной обмотке транс
форматора. [68]
Ãëàâà 16
ÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÂÅÙÅÑÒÂÀ
§ 131. Ìàãíèòíûå ìîìåíòû
ýëåêòðîíîâ è àòîìîâ
Рассматривая действие магнитного
поля на проводники с током и на дви
жущиеся заряды, мы не интересовались
процессами, происходящими в веще
стве. Свойства среды учитывались фор
мально с помощью магнитной прони
цаемости m. Для того чтобы разобрать
ся в магнитных свойствах сред и их вли
янии на магнитную индукцию, необ
ходимо рассмотреть действие магнит
ного поля на атомы и молекулы веще
ства.
Опыт показывает, что все вещества,
помещенные в магнитное поле, намаг
ничиваются. Рассмотрим причину это
го явления с точки зрения строения ато
мов и молекул, положив в основу гипо
тезу Ампера (см. § 109), согласно кото
рой в любом теле существуют микро
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

235
скопические токи, обусловленные дви
жением электронов в атомах и молеку
лах.
Для качественного объяснения маг
нитных явлений с достаточным при
ближением можно считать, что элект
рон движется в атоме по круговым ор
битам. Электрон, движущийся по одной
из таких орбит, эквивалентен кругово
му току, поэтому он обладает орби
тальным магнитным моментом [см.
(109.2)] p
r
m=ISn
r
, модуль которого
pm = IS=enS,
(131.1)
гдеI=en —силатока;n—частотавра
щения электрона по орбите; S — пло
щадь орбиты.
Если электрон движется по часовой
стрелке (рис. 189), то ток направлен
против часовой стрелки и вектор p
r
m
(в соответствии с правилом правого
винта) направлен перпендикулярно
плоскости орбиты электрона, как ука
зано на рисунке.
С другой стороны, движущийся по
орбите электрон обладает механичес
ким моментом импульса L
r
l , модуль ко
торого, согласно (19.1),
Ll = mvr = 2m nS, (131.2)
гдеv=2pnr,pr
2
= S. Вектор L
r
l (его на
правление также определяется по пра
вилу правого винта) называется орби
тальным механическим моментом
электрона.
Из рис. 189 следует, что направления
p
r
mиL
r
l противоположны, поэтому, учи
тывая выражения (131.1) и (131.2), по
лучим
,
m
2ll
e
pL
g
L
m
=-
=
rr
r
(131.3)
где величина
2
e
g
m
=-
(131.4)
называется гиромагнитным отноше
нием орбитальных моментов (об
щепринято писать со знаком «-», ука
зывающим на то, что направления мо
ментов противоположны). Это отно
шение, определяемое универсальными
постоянными, одинаково для любой
орбиты, хотя для разных орбит значе
ния v и r различны. Формула (131.4)
выведена для круговой орбиты, но она
справедлива и для эллиптических ор
бит.
Экспериментальное определение
гиромагнитного отношения проведено
в опытах Эйнштейна и де Гааза1 (1915),
которые наблюдали поворот свободно
подвешенного на тончайшей кварцевой
нити железного стержня при его намаг
ничивании во внешнем магнитном поле
(по обмотке соленоида пропускался пе
ременный ток с частотой, равной час
тоте крутильных колебаний стержня).
При исследовании вынужденных
крутильных колебаний стержня опре
делялось гиромагнитное отношение,
которое оказалось равным
e
m
-
. Таким
образом, знак носителей, обусловлива
ющих молекулярные токи, совпадал со
знаком заряда электрона, а гиромагнит
ное отношение оказалось в два раза
бо′ льшим, чем введенная ранее величи
на g [см. (131.4)]. Для объяснения это
го результата, имевшего большое зна
чение для дальнейшего развития физи
ки, было предположено, а впоследствии
Рис. 189
1 В. И . де Гааз (1878 — 1960) — нидерландский
физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

236
Рис. 190
доказано, что кроме орбитальных мо
ментов [см. (131.1) и (131.2)] электрон
обладает собственным механическим
моментом импульса L
r
ls, называемым
спином.
Считалось, что спин обусловлен вра
щением электрона вокруг своей оси, что
привело к целому ряду противоречий.
В настоящее время установлено, что
спин является неотъемлемым свой
ством электрона, подобно его заряду и
массе. Спину электрона L
r
ls соответству
ет собственный (спиновый) магнит
ный момент p
r
ms, пропорциональный L
r
ls
и направленный в противоположную
сторону:
p
r
ms=gsL
r
ls.
(131.5)
Величина gs называется гиромагнит
ным отношением спиновых момен
тов.
Проекция собственного магнитного
момента на направление вектора B
r
мо
жет принимать только одно из следую
щих двух значений:
,
mB
2
sB
e
p
m
=±
=±m
h
где
2
h
=
p
h
(h — постоянная Планка);
mB — магнетон Бора, являющийся еди
ницей магнитного момента электрона.
В общем случае магнитный момент
электрона складывается из орбитально
го и спинового магнитных моментов.
Магнитный момент атома, следователь
но, складывается из магнитных момен
тов входящих в его состав электронов
и магнитного момента ядра (обуслов
лен магнитными моментами входящих
в ядро протонов и нейтронов). Однако
магнитные моменты ядер в тысячи раз
меньше магнитных моментов электро
нов, поэтому ими пренебрегают. Таким
образом, общий магнитный момент ато
ма (молекулы) p
r
a равен векторной сум
ме магнитных моментов (орбитальных
и спиновых), входящих в атом (моле
кулу) электронов:
amm
.
s
ppp
=+
åå
rrr
(131.6)
Еще раз обратим внимание на то, что
при рассмотрении магнитных момен
тов электронов и атомов мы пользова
лись классической теорией, не учиты
вая ограничений, накладываемых на
движение электронов законами кванто
вой механики. Однако это не противо
речит полученным результатам, так как
для дальнейшего объяснения намагни
чивания веществ существенно лишь то,
что атомы обладают магнитными мо
ментами.
§ 132. Äèà- è ïàðàìàãíåòèçì
Всякое вещество является магнети
ком, т. е. оно способно под действием
магнитного поля приобретать магнит
ный момент (намагничиваться). Для
понимания механизма этого явления
необходимо рассмотреть действие маг
нитного поля на движущиеся в атоме
электроны.
Ради простоты предположим, что
электрон в атоме движется по кру
говой орбите. Если орбита электрона
ориентирована относительно вектора B
r
произвольным образом, составляя с
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

237
ним угол a (рис. 190), то можно дока
зать, что она приходит в такое движе
ние вокруг B
r
, при котором вектор маг
нитного момента p
r
m, сохраняя постоян
ным угол a, вращается вокруг вектора B
r
с некоторой угловой скоростью. Такое
движение в механике называется пре
цессией. Прецессию вокруг вертикаль
ной оси, проходящей через точку опо
ры, совершает, например, диск волчка
при замедлении движения.
Таким образом, электронные орби
ты атома под действием внешнего маг
нитного поля совершают прецессион
ное движение, которое эквивалентно
круговому току. Так как этот микроток
индуцирован внешним магнитным по
лем, то, согласно правилу Ленца, у ато
ма появляется составляющая магнит
ного поля, направленная противопо
ложно внешнему полю. Наведенные
составляющие магнитных полей ато
мов (молекул) складываются и образу
ют собственное магнитное поле веще
ства, ослабляющее внешнее магнитное
поле. Этот эффект получил название
диамагнитного эффекта, а вещества,
намагничивающиеся во внешнем маг
нитном поле против направления поля,
называются диамагнетиками.
В отсутствие внешнего магнитного
поля диамагнетик немагнитен, посколь
ку в данном случае магнитные момен
ты электронов взаимно компенсируют
ся, и суммарный магнитный момент
атома [он равен векторной сумме маг
нитных моментов (орбитальных и спи
новых) составляющих атом электро
нов] равен нулю. К диамагнетикам от
носятся многие металлы (например, Bi,
Ag, Au, Cu), большинство органических
соединений, смолы, углерод и т. д .
Так как диамагнитный эффект обус
ловлен действием внешнего магнитно
го поля на электроны атомов вещества,
то диамагнетизм свойствен всем веще
ствам. Однако наряду с диамагнетика
ми существуют и парамагнетики — ве
щества, намагничивающиеся во внеш
нем магнитном поле по направлению
поля.
У парамагнитных веществ при от
сутствии внешнего магнитного поля
магнитные моменты электронов не
компенсируют друг друга, и атомы (мо
лекулы) парамагнетиков всегда облада
ют магнитным моментом. Однако вслед
ствие теплового движения молекул их
магнитные моменты ориентированы
беспорядочно, поэтому парамагнитные
вещества магнитными свойствами не
обладают. При внесении парамагнети
ка во внешнее магнитное поле устанав
ливается преимущественная ориента
ция магнитных моментов атомов по
полю (полной ориентации препятству
ет тепловое движение атомов). Таким
образом, парамагнетик намагничивает
ся, создавая собственное магнитное
поле, совпадающее по направлению с
внешним полем и усиливающее его.
Этот эффект называется парамаг
нитным.
При ослаблении внешнего магнит
ного поля до нуля ориентация магнит
ных моментов вследствие теплового
движения нарушается и парамагнетик
размагничивается. К парамагнетикам
относятся редкоземельные элементы,
Pt, Al и т. д . Диамагнитный эффект на
блюдается и в парамагнетиках, но он
значительно слабее парамагнитного и
поэтому остается незаметным.
Из рассмотрения явления парамаг
нетизма следует, что его объяснение
совпадает с объяснением ориентацион
ной (дипольной) поляризации диэлек
триков с полярными молекулами (см.
§ 87), только электрический момент
атомов в случае поляризации надо за
менить магнитным моментом атомов в
случае намагничивания.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

238
Рис. 191
Подводя итог качественному рас
смотрению диа и парамагнетизма, еще
раз отметим, что атомы всех веществ
являются носителями диамагнитных
свойств.
Если магнитный момент атомов ве
лик, то парамагнитные свойства преоб
ладают над диамагнитными и вещество
является парамагнетиком; если магнит
ный момент атомов мал, то преоблада
ют диамагнитные свойства и вещество
является диамагнетиком.
§ 133. Íàìàãíè÷åííîñòü.
Ìàãíèòíîå ïîëå â âåùåñòâå
Подобно тому, как для количествен
ного описания поляризации диэлектри
ков вводилась поляризованность (см.
§ 88), для количественного описания
намагничивания магнетиков вводят
векторную величину — намагничен
ность, определяемую магнитным мо
ментом единицы объема магнетика:
,
a
m
p
P
J
VV
==
å
r
r
r
где ma
Pp
=
å
r
r
—
магнитный момент маг
нетика, представляющий собой вектор
ную сумму магнитных моментов от
дельных молекул [см. (131.6)].
Рассматривая характеристики маг
нитного поля (см. § 109), мы вводили
вектор магнитной индукции B
r
, харак
теризующий результирующее магнит
ное поле, создаваемое всеми макро и
микротоками, и вектор напряженнос
тиH
r
, характеризующий магнитное поле
макротоков. Следовательно, магнитное
поле в веществе складывается из двух
полей: внешнего поля, создаваемого
током, и поля, создаваемого намагни
ченным веществом. Тогда можем запи
сать, что вектор магнитной индукции
результирующего магнитного поля в
магнетике равен векторной сумме маг
нитных индукций внешнего поля B
r
0
(создаваемого намагничивающим то
ком в вакууме) и поля микротоков B
r
¢
(создаваемого молекулярными токами):
B
r
=B
r
0+B
r
¢,
(133.1)
где B
r
0 = m0H [см. (109.3)].
Для описания поля, создаваемого
молекулярными токами, рассмотрим
магнетик в виде кругового цилиндра
сечения S и длины l , внесенного в од
нородное внешнее магнитное поле с
индукцией B
r
0. Возникающее в магнети
ке магнитное поле молекулярных токов
будет направлено противоположно
внешнему полю для диамагнетиков и
совпадать с ним по направлению для
парамагнетиков. Плоскости всех моле
кулярных токов расположатся перпен
дикулярно вектору B
r
0, так как векторы
их магнитных моментов p
r
m антипа
раллельны вектору B
r
0 (для диамагне
тиков) и параллельны B
r
0 (для парамаг
нетиков).
Если рассмотреть любое сечение
цилиндра, перпендикулярное его оси,
то во внутренних участках сечения маг
нетика молекулярные токи соседних
атомов направлены навстречу друг дру
гу и взаимно компенсируются (рис.
191). Некомпенсированными будут
лишь молекулярные токи, выходящие
на боковую поверхность цилиндра.
Ток, текущий по боковой поверхно
сти цилиндра, подобен току в соленои
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

239
де и создает внутри него поле, магнит
ную индукцию B
r
¢ которого можно вы
числить, учитывая формулу (119.2) для
N = 1 (соленоид из одного витка):
,
I
B
l
0
¢
=m
(133.2)
где I ¢ — сила молекулярного тока; l —
длина рассматриваемого цилиндра;
m0 =1 — магнитная проницаемость.
С другой стороны,
I
l
¢
—
ток, прихо
дящийся на единицу длины цилиндра,
или его линейная плотность, поэтому
магнитный момент этого тока pm =
=
IlS IV
ll
¢¢
=
, где V — объем магнетика.
Если Pm — магнитный момент маг
нетика объемом V, то намагниченность
магнетика
m
.
PI
J
Vl
¢
==
(133.3)
Сопоставляя (133.2) и (133.3), полу
чим, что
B¢ = m0J,
или в векторной форме
B
r
¢=m0J
r
.
Подставив выражения для B
r
0иB
r
¢в
(133.1), получим
B
r
= m0H
r
+ m0J
r
= m0(H
r
+J
r
), (133.4)
или
.
BHJ
0
=+
m
r
r
r
(133.5)
Как показывает опыт, в несильных
полях намагниченность пропорцио
нальна напряженности поля, вызываю
щего намагничивание, т. е .
J
r
=cH
r
,
(133.6)
где c — безразмерная величина, называ
емая магнитной восприимчивостью
вещества. Для диамагнетиков c отри
цательна (поле молекулярных токов
противоположно внешнему), для пара
магнетиков — положительна (поле моле
кулярных токов совпадает с внешним).
Используя формулу (133.6), выра
жение (133.4) можно записать в виде
B
r
= m0(1+c)H
r
,
(133.7)
откуда
.
(1)
B
H
0
=
m+
c
r
r
Безразмерная величина
m=1+c
(133.8)
представляет собой магнитную прони
цаемость вещества. Подставив (133.8)
в (133.7), придем к соотношению
(109.3) B
r
= m0mH
r
, которое ранее посту
лировалось.
Так как абсолютное значение маг
нитной восприимчивости для диа и
парамагнетиков очень мало (порядка
10-4
— 10-6), то для них m незначитель
но отличается от единицы. Это просто
понять, так как магнитное поле моле
кулярных токов значительно слабее
намагничивающего поля. Таким обра
зом, для диамагнетиков c < 0 и m < 1,
для парамагнетиков c > 0 и m > 1.
Закон полного тока для магнит
ного поля в веществе (теорема о цир
куляции вектора B
r
) является обобще
нием закона (118.1):
,
dd
()
l
LL
Bl Bl
II
0
¢
==
m
+
òò
r
r
ÑÑ
где I и I ¢ соответственно алгебраиче
ские суммы макротоков (токов прово
димости) и микротоков (молекулярных
токов), охватываемых произвольным
замкнутым контуром L.
Следовательно, циркуляция векто
ра магнитной индукции B
r
по произ
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

240
вольному замкнутому контуру равна
алгебраической сумме токов проводи
мости и молекулярных токов, охваты
ваемых этим контуром, умноженной на
магнитную постоянную.
Таким образом, вектор B
r
характери
зует результирующее поле, созданное
как макроскопическими токами в про
водниках (токами проводимости), так
и микроскопическими токами в магне
тиках, поэтому линии вектора магнит
ной индукции B
r
не имеют источников
и являются замкнутыми.
Из теории известно, что циркуляция
намагниченности J
r
по произвольному
замкнутому контуру L равна алгебраи
ческой сумме молекулярных токов, ох
ватываемых этим контуром:
d.
L
Jl I¢
=
òrr
Ñ
Тогда закон полного тока для маг
нитного поля в веществе можно запи
сать также в виде
,
d
L
B JlI
0
æö
÷
ç
÷
-=
ç
÷÷
ç mèø
ò
r
r
r
Ñ
(133.9)
где I, подчеркнем это еще раз, есть ал
гебраическая сумма токов проводимо
сти.
Выражение, стоящее в скобках в
(133.9), согласно (133.5), есть не что
иное, как введенный ранее вектор H
r
напряженности магнитного поля. Итак,
циркуляция вектора H
r
по произвольно
му замкнутому контуру L равна алгеб
раической сумме токов проводимости,
охватываемых этим контуром:
d.
L
HlI
=
òrr
Ñ
(133.10)
Выражение (133.10) представляет
собой теорему о циркуляции векто
раH
r
.
§ 134. Óñëîâèÿ íà ãðàíèöå
ðàçäåëà äâóõ ìàãíåòèêîâ
Установим связь для векторов B
r
иH
r
на границе раздела двух однородных
магнетиков (магнитные проницаемос
ти m1 и m2) при отсутствии на границе
тока проводимости.
Построим вблизи границы раздела
магнетиков 1 и 2 прямой цилиндр нич
тожно малой высоты, одно основание
которого находится в первом магнети
ке, другое — во втором (рис. 192). Ос
нования DS настолько малы, что в пре
делах каждого из них вектор B
r
одина
ков. Согласно теореме Гаусса (120.3),
Bn1DS - Bn2DS = 0
(нормали n
r
иn
r
¢ к основаниям цилиндра
направлены противоположно). Поэтому
Bn1 = Bn2.
(134.1)
Заменив, согласно B
r
= m0mH
r
, проек
ции вектора B
r
проекциями вектора H
r
,
умноженными на m0m, получим
2
1
21
.
n
n
H
H
m
=
m
(134.2)
Вблизи границы раздела двух магне
тиков 1 и 2 построим небольшой замк
нутый прямоугольный контур ABCDA
длиной l , ориентировав его так, как по
казано на рис. 193. Согласно теореме
(133.10) о циркуляции вектора H
r
,
d0
ABCDA
Hl=
òrr
Ñ
(токов проводимости на границе разде
ла нет), откуда
Рис. 192
Рис. 193
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

241
Ht1l-Ht2l=0
(знаки интегралов по AB и CD разные,
так как пути интегрирования противо
положны, а интегралы по участкам BC
и DA ничтожно малы). Поэтому
Ht1 = Ht2.
(134.3)
Заменив, согласно B
r
= m0mH
r
, проек
ции вектора H
r
проекциями вектора B
r
,
деленными на m0m, получим
1
1
22
.
B
H
t
t
m
=
m
(134.4)
Таким образом, при переходе через
границу раздела двух магнетиков нор
мальная составляющая вектора B
r
(Bn)
и тангенциальная составляющая векто
раH
r
(Ht) изменяются непрерывно (не
претерпевают скачка), а тангенциаль
ная составляющая вектора B
r
(Bt) и нор
мальная составляющая вектора H
r
(Ht)
претерпевают скачок.
Из полученных условий (134.1)—
(134.4) для составляющих векторов B
r
иH
r
следует, что линии этих векторов
испытывают излом (преломляются).
Как и в случае диэлектриков (см. § 90),
можно найти закон преломления ли
ний B
r
(а значит, и линий H
r
):
2
11
tg
.
tg
2
m
a
=
am
(134.5)
Из этой формулы следует, что, вхо
дя в магнетик с большей магнитной
проницаемостью, линии B
r
иH
r
удаля
ются от нормали.
§ 135. Ôåððîìàãíåòèêè
è èõ ñâîéñòâà
Помимо рассмотренных двух классов
веществ — диа и парамагнетиков, назы
ваемых слабомагнитными вещества
ми, существуют еще сильномагнитные
вещества — ферромагнетики — веще
ства, обладающие спонтанной намагни
ченностью, т. е . они намагничены даже
при отсутствии внешнего магнитного
поля. К ферромагнетикам кроме основ
ного их представителя — железа (от него
и идет название «ферромагнетизм») —
относятся, например, кобальт, никель,
гадолиний, их сплавы и соединения.
Ферромагнетики помимо способно
сти сильно намагничиваться обладают
еще и другими свойствами, существен
но отличающими их от диа и парамаг
нетиков. Если для слабомагнитных ве
ществ зависимость J
r
отH
r
линейна [см.
(133.6) и рис. 194], то для ферромагне
тиков эта зависимость, впервые изучен
ная в 1878 г. методом баллистического
гальванометра для железа русским фи
зиком А. Г . Столетовым (1839 — 1896),
является довольно сложной. По мере
возрастания H намагниченность J сна
чала растет быстро, затем медленнее и,
наконец, достигается так называемое
магнитное насыщение Jнас , уже не за
висящее от напряженности поля.
Подобный характер зависимости J
от H можно объяснить тем, что по мере
увеличения намагничивающего поля
возрастает степень ориентации молеку
лярных магнитных моментов по полю.
Однако этот процесс начнет замедлять
ся, когда остается все меньше и меньше
несориентированных моментов, и, на
конец, когда все моменты будут ориен
тированы по полю, дальнейшее увели
чение H прекращается и наступает маг
нитное насыщение.
Рис. 194
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

242
Магнитная индукция B = m0(H + J )
[см. (133.4)] в слабых полях растет бы
стро с увеличением H вследствие воз
растания J , а в сильных полях, посколь
ку второе слагаемое постоянно (J = Jнас),
B возрастает с увеличением H по линей
ному закону (рис. 195).
Существенная особенность ферро
магнетиков — не только большие зна
чения m (например, для железа — 5000,
для сплава супермаллоя — 800 000!), но
и зависимость m от H (рис. 196). Внача
ле m растет с увеличением H, затем, до
стигая максимума, начинает умень
шаться, стремясь в случае сильных по
лейк1(
1
BJ
HH
0
m=
=+
m
, поэтому при
J = Jнас = const с ростом H отношение
,à
0
J
H
®m
®
1
).
Характерная особенность ферромаг
нетиков состоит также в том, что для
них зависимость J от H (а следователь
но, и B от H ) определяется предысто
рией намагничивания ферромагнетика.
Это явление получило название маг
нитного гистерезиса. Если намагни
тить ферромагнетик до насыщения
(рис. 197, точка 1), а затем начать умень
шать напряженность H намагничиваю
щего поля, то, как показывает опыт,
уменьшение описывается кривой 1 — 2,
лежащей выше кривой1—0.При H = 0
J отличается от нуля, т. е . в ферромаг
нетике наблюдается остаточное на
магничивание J ос.
С наличием остаточного намагниче
ния связано существование постоян
ных магнитов. Намагничивание обра
щается в нуль под действием поля Hc,
имеющего направление, противопо
ложное полю, вызвавшему намагничи
вание. Напряженность Hc называется
коэрцитивной силой.
При дальнейшем увеличении проти
воположного поля ферромагнетик пе
ремагничивается (кривая 3 — 4), и при
H = - Hнас достигается насыщение (точ
ка 4). Затем ферромагнетик можно
опять размагнитить (кривая 4 — 5
—
6)
и вновь перемагнитить до насыщения
(кривая 6 — 1).
Таким образом, при действии на
ферромагнетик переменного магнитно
го поля намагниченность J изменяется
в соответствии с кривой 1—2 —3 —4 —
5—6
—
1, которая называется петлей
гистерезиса (от греч. «запаздывание»).
Гистерезис приводит к тому, что намаг
ничивание ферромагнетика не являет
ся однозначной функцией H, т. е . одно
му и тому же значению H соответству
ет несколько значений J.
Рис. 195
Рис. 196
Рис. 197
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

243
Различные ферромагнетики дают
разные гистерезисные петли. Ферро
магнетики с малой (в пределах от не
скольких тысячных до 1 — 2 А/см) ко
эрцитивной силой Hс (с узкой петлей
гистерезиса) называются мягкими, с
большой (от нескольких десятков ты
сяч ампер на сантиметр) коэрцитивной
силой (с широкой петлей гистерези
са) — жесткими. Величины Hс, Jос и
mmax определяют применимость ферро
магнетиков для тех или иных практи
ческих целей. Так, жесткие ферромаг
нетики (например, углеродистые и
вольфрамовые стали) применяются
для изготовления постоянных магни
тов, а мягкие (например, мягкое желе
зо, сплав железа с никелем) — для из
готовления сердечников трансформа
торов.
Ферромагнетики обладают еще од
ной существенной особенностью: для
каждого ферромагнетика имеется опре
деленная температура, называемая
точкой Кюри, при которой он теряет
свои магнитные свойства. При нагрева
нии образца выше точки Кюри ферро
магнетик превращается в обычный па
рамагнетик. Переход вещества из фер
ромагнитного состояния в парамагнит
ное, происходящий в точке Кюри, не
сопровождается поглощением или вы
делением теплоты, т. е . в точке Кюри
происходит фазовый переход II рода
(см. § 75).
Наконец, процесс намагничивания
ферромагнетиков сопровождается
изменением его линейных размеров
и объема. Это явление получило на
звание магнитострикции (открыто
Д. Джоулем, 1842). Величина и знак эф
фекта зависят от напряженности H на
магничивающего поля, от природы
ферромагнетика и ориентации кристал
лографических осей по отношению к
полю.
§ 136. Ïðèðîäà ôåððîìàãíåòèçìà
Рассматривая магнитные свойства
ферромагнетиков, мы не вскрывали фи
зическую природу этого явления. Опи
сательная теория ферромагнетизма
была разработана французским физи
ком П. Вейссом (1865 — 1940). Последо
вательная количественная теория на
основе квантовой механики развита
Я. И . Френкелем и немецким физиком
В. Гейзенбергом (1901 — 1976).
Согласно представлениям Вейсса,
ферромагнетики при температурах
ниже точки Кюри обладают спонтанной
намагниченностью независимо от нали
чия внешнего намагничивающего поля.
Спонтанное намагничивание, однако,
находится в кажущемся противоречии
с тем, что многие ферромагнитные ма
териалы даже при температурах ниже
точки Кюри не намагничены. Для уст
ранения этого противоречия Вейсс ввел
гипотезу, согласно которой ферромаг
нетик ниже точки Кюри разбивается на
большое число малых макроскопиче
ских областей — доменов, самопроиз
вольно намагниченных до насыщения.
При отсутствии внешнего магнитно
го поля магнитные моменты отдельных
доменов ориентированы хаотически и
компенсируют друг друга, поэтому ре
зультирующий магнитный момент фер
ромагнетика равен нулю и ферромагне
тик не намагничен. Внешнее магнитное
поле ориентирует по полю магнитные
моменты не отдельных атомов, как это
имеет место в случае парамагнетиков,
а целых областей спонтанной намагни
ченности. Поэтому с ростом H намагни
ченность J (см. рис. 194) и магнитная
индукции B (см. рис. 195) уже в доволь
но слабых полях растут очень быстро.
Этим объясняется также увеличение m
ферромагнетиков до максимального
значения в слабых полях (см. рис. 196).
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

244
Эксперименты показали, что зависи
мость B от H не является такой плав
ной, а имеет ступенчатый вид, как по
казано на рис. 195. Это свидетельствует
о том, что внутри ферромагнетика доме
ны поворачиваются по полю скачком.
При ослаблении внешнего магнит
ного поля до нуля ферромагнетики со
храняют остаточное намагничивание,
так как тепловое движение не в состоя
нии быстро дезориентировать магнит
ные моменты столь крупных образова
ний, какими являются домены. Поэто
му и наблюдается явление магнитного
гистерезиса (рис. 197). Для того чтобы
ферромагнетик размагнитить, необхо
димо приложить коэрцитивную силу;
размагничиванию способствуют также
встряхивание и нагревание ферромаг
нетика. Точка Кюри оказывается той
температурой, выше которой происхо
дит разрушение доменной структуры.
Существование доменов в ферро
магнетиках доказано эксперименталь
но. Прямым экспериментальным мето
дом их наблюдения является метод по
рошковых фигур. На тщательно отпо
лированную поверхность ферромагне
тика наносится водная суспензия мел
кого ферромагнитного порошка (на
пример, магнетита). Частицы оседают
преимущественно в местах максималь
ной неоднородности магнитного поля,
т. е . на границах между доменами. По
этому осевший порошок очерчивает
границы доменов и подобную картину
можно сфотографировать под микро
скопом. Линейные размеры доменов
оказались равными 10-4
—
10-2
см.
Дальнейшее развитие теории ферро
магнетизма Френкелем и Гейзенбергом,
а также ряд экспериментальных фактов
позволили выяснить природу элемен
тарных носителей ферромагнетизма.
В настоящее время установлено, что
магнитные свойства ферромагнетиков
определяются спиновыми магнитными
моментами электронов (прямым экспе
риментальным указанием этого служит
опыт Эйнштейна и де Гааза, см. § 131).
Установлено также, что ферромаг
нитными свойствами могут обладать
только кристаллические вещества, в ато
мах которых имеются недостроенные
внутренние электронные оболочки с не
скомпенсированными спинами. В по
добных кристаллах могут возникать
силы, которые вынуждают спиновые
магнитные моменты электронов ориен
тироваться параллельно друг другу, что
и приводит к возникновению областей
спонтанного намагничивания. Эти силы,
называемые обменными силами, имеют
квантовую природу — они обусловлены
волновыми свойствами электронов.
Так как ферромагнетизм наблюдает
ся только в кристаллах, а они обладают
анизотропией (см. § 70), то в монокри
сталлах ферромагнетиков должна иметь
место анизотропия магнитных свойств
(их зависимость от направления в кри
сталле). Действительно, опыт показы
вает, что в одних направлениях в крис
талле его намагниченность при данном
значении напряженности магнитного
поля наибольшая (направление легчай
шего намагничивания), в других — наи
меньшая (направление трудного намаг
ничивания). Из рассмотрения магнит
ных свойств ферромагнетиков следует,
что они похожи на сегнетоэлектрики
(см. § 91).
Существуют вещества, в которых об
менные силы вызывают антипараллель
ную ориентацию спиновых магнитных
моментов электронов. Такие тела назы
ваются антиферромагнетиками. Их
существование теоретически было пред
сказано Л. Д . Ландау. Антиферромагне
тиками являются некоторые соединения
марганца (MnO, MnF2), железа (Fe O ,
FeCl2) и многих других элементов. Для
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

245
них также существует антиферромаг
нитная точка Кюри (точка Нееля1),
при которой магнитное упорядочение
спиновых магнитных моментов нару
шается и антиферромагнетик превра
щается в парамагнетик, претерпевая
фазовый переход II рода (см. § 75).
В последнее время большое значе
ние приобрели полупроводниковые
ферромагнетики — ферриты, химиче
ские соединения типа Me · Fe 2O3, где
Me — ион двухвалентного металла (Mn,
Co, Ni, Cu, Mg, Zn, Cd, Fe ). Они отлича
ются заметными ферромагнитными
свойствами и большим удельным элек
трическим сопротивлением (в милли
арды раз бо′ льшим, чем у металлов).
Ферриты применяются для изготовле
ния постоянных магнитов, ферритовых
антенн, сердечников радиочастотных
контуров, элементов оперативной па
мяти в вычислительной технике, для
покрытия пленок в магнитофонах и ви
деомагнитофонах и т. д .
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Почему орбитальные магнитный и механический моменты электрона в атоме противо
положно направлены?
• Что называют гиромагнитным отношением?
• Из каких магнитных моментов складывается магнитный момент атома?
• Можно ли провести аналогию между намагничиванием диамагнетика и поляризацией
диэлектрика с неполярными молекулами?
• Можно ли провести аналогию между намагничиванием парамагнетика и поляризацией
диэлектрика с полярными молекулами?
• Что такое диамагнетики? парамагнетики? В чем различие их магнитных свойств?
• Что такое намагниченность? Какая величина может служить ее аналогом в электроста
тике?
• Запишите и объясните соотношения между магнитными проницаемостью и восприим
чивостью для парамагнетика; для диамагнетика.
• Выведите соотношение между векторами магнитной индукции, напряженности магнит
ного поля и намагниченности.
• Объясните физический смысл циркуляции по произвольному замкнутому контуру век
торов: 1) B
r
;2)H
r
;3)J
r
.
• Выведите и прокомментируйте условия для векторов B
r
иH
r
на границе раздела двух
магнетиков.
• Проанализируйте теорему о циркуляции вектора B
r
в веществе.
• Получите формулу (134.5).
• Объясните петлю гистерезиса ферромагнетика. Что такое магнитострикция?
• Какие ферромагнетики являются магнитомягкими? магнитожесткими? Где их приме
няют?
• Каков механизм намагничивания ферромагнетиков?
• Какую температуру для ферромагнетика называют точкой Кюри?
ÇÀÄÀ×È
16.1 . Напряженность однородного магнитного поля в меди равна 10 А/м. Определите
магнитную индукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если диамагнитная вос
приимчивость меди |c| = 8,8 · 10-8
. [1,11 пТл]
1 Л. Неель (род. 1904) — французский физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

246
16.2. По круговому контуру радиусом 50 см, погруженному в жидкий кислород, течет
ток 1,5 А. Определите намагниченность в центре этого контура, если магнитная восприим
чивость жидкого кислорода 3,4 · 10-3
. [5,1 мА/м]
16.3 . По обмотке соленоида индуктивностью 1 мГн, находящегося в диамагнитной среде,
течет ток 2 А. Соленоид имеет длину 20 см, площадь поперечного сечения 10 см2 и 400 вит
ков. Определите внутри соленоида: 1) магнитную индукцию; 2) намагниченность. [1) 5 мТл;
2) 20 А/м]
16.4 . Алюминиевый шарик радиусом 0,5 см помещен в однородное магнитное поле (B0 =
= 1 Тл). Определите магнитный момент, приобретенный шариком, если магнитная воспри
имчивость алюминия 2,1 · 10-5
. [8,75 мкА · м2]
Ãëàâà 17
ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÎÐÈÈ ÌÀÊÑÂÅËËÀ
ÄËß ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËß
§ 137. Âèõðåâîå
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
Из закона Фарадея [см. (123.2)]
d
d
i
t
F
=-
õ
следует, что любое измене
ние сцепленного с контуром потока
магнитной индукции приводит к воз
никновению электродвижущей силы
индукции и вследствие этого появляет
ся индукционный ток. Следовательно,
возникновение ЭДС электромагнитной
индукции возможно и в неподвижном
контуре, находящемся в переменном
магнитном поле. Однако ЭДС в любой
цепи возникает только тогда, когда в
ней на носители тока действуют сторон
ние силы — силы неэлектростатическо
го происхождения (см. § 97). Поэтому
в данном случае встает вопрос о приро
де сторонних сил.
Опыт показывает, что эти сторонние
силы не связаны ни с тепловыми, ни с
химическими процессами в контуре. Их
возникновение также нельзя объяснить
силами Лоренца, так как они не дей
ствуют на неподвижные заряды. Макс
велл высказал гипотезу, что всякое пе
ременное магнитное поле возбуждает в
окружающем пространстве электричес
кое поле, которое и является причиной
возникновения индукционного тока в
контуре. Согласно представлениям
Максвелла, контур, в котором появля
ется ЭДС, играет второстепенную роль,
являясь своего рода лишь «прибором»,
обнаруживающим это поле.
Итак, по Максвеллу, изменяющееся
во времени магнитное поле порождает
электрическое поле E
r
B, циркуляция ко
торого, по (123.3),
,
d
dd
d
BB
l
LL
El El
t
F
==
-
òò
r
r
ÑÑ
(137.1)
где EBl — проекция вектора E
r
Bнана
правление dl
r
.
Подставив в формулу (137.1) выра
жение
d
S
BS
F=ò
r
r
[см. (120.2)], полу
чим
d
dd
.
d
B
LS
El
BS
t
=-
òò
rr
r
r
Ñ
Если поверхность и контур непод
вижны, то операции дифференцирова
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

247
ния и интегрирования можно поменять
местами. Следовательно,
,
dd
B
LS
B
El
S
t
¶
=-
¶
òò
r
rr
r
Ñ
(137.2)
где символ частной производной под
черкивает тот факт, что интеграл d
S
BS
òrr
является функцией только времени.
Согласно (83.3), циркуляция векто
ра напряженности электростатическо
го поля (обозначим его E
r
Q) вдоль лю
бого замкнутого контура равна нулю:
dd
0
.
QQ
l
LL
El El
==
òò
r
r
ÑÑ (137.3)
Сравнивая выражения (137.1) и
(137.3), видим, что между рассматрива
емыми полями (E
r
BиE
r
Q) имеется прин
ципиальное различие: циркуляция век
тора E
r
B в отличие от циркуляции век
тора E
r
Q не равна нулю. Следовательно,
электрическое поле E
r
B , возбуждаемое
магнитным полем, как и само магнит
ное поле (см. § 118), является вихревым.
§ 138. Òîê ñìåùåíèÿ
Согласно Максвеллу, если всякое
переменное магнитное поле возбужда
ет в окружающем пространстве вихре
вое электрическое поле, то должно су
ществовать и обратное явление: всякое
изменение электрического поля долж
но вызывать появление в окружающем
пространстве вихревого магнитного по
ля. Для установления количественных
отношений между изменяющимся элек
трическим полем и вызываемым им маг
нитным полем Максвелл ввел в рассмот
рение так называемый ток смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока,
содержащую конденсатор (рис. 198).
Между обкладками заряжающегося и
разряжающегося конденсатора имеется
переменное электрическое поле, поэто
му, согласно Максвеллу, через конден
сатор «протекают» токи смещения, при
чем в тех участках, где отсутствуют про
водники.
Найдем количественную связь меж
ду изменяющимся электрическим и
вызываемым им магнитным полями.
По Максвеллу, переменное электриче
ское поле в конденсаторе в каждый мо
мент времени создает такое магнитное
поле, как если бы между обкладками
конденсатора существовал ток смеще
ния, равный току в подводящих прово
дах. Тогда можно утверждать, что токи
проводимости (I ) и смещения (Iсм) рав
ны:I=Iсм.
Ток проводимости вблизи обкладок
конденсатора
d
dd
dd
S
Q
IS
tt
==s
=
ò
dd
SS
D
SS
tt
¶s
¶
==
¶¶
òò(138.1)
(поверхностная плотность заряда s на
обкладках равна электрическому сме
щению D в конденсаторе [см. (92.1)].
Подынтегральное выражение в (138.1)
можно рассматривать как частный слу
чай скалярного произведения
d
DS
t
¶
¶
r
r
,
когда
èd
DS
t
¶
¶
r
r
взаимно параллельны.
Поэтому для общего случая можно за
писать
d.
S
D
IS
t
¶
=
¶
ò
r
r
Рис. 198
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

248
Сравнивая это выражение с I = Iсм =
=
ñìd
S
jS
òrr
[см. (96.2)], имеем
ñì
.
D
j
t
¶
=
¶
r
r
(138.2)
Выражение (138.2) и было названо Мак
свеллом плотностью тока смещения.
Рассмотрим, каково же направление
векторов плотностей токов проводимо
сти и смещения (j
r
иj
r
см). При зарядке
конденсатора (рис. 199, а) через провод
ник, соединяющий обкладки, ток течет
от правой обкладки к левой, поле в кон
денсаторе усиливается, следовательно,
0
D
t
¶>
¶
r
, т.е. вектор
D
t
¶
¶
r
направлен в ту
же сторону, что и D
r
. Из рисунка видно,
что направления векторов D
t
¶
¶
r
иj
r
сов
падают.
При разрядке конденсатора (рис.
199, б ) через проводник, соединяющий
обкладки, ток течет от левой обкладки
к правой, поле в конденсаторе ослабля
ется; следовательно,
0
D
t
¶<
¶
r
, т. е. вектор
D
t
¶
¶
r
направлен противоположно векто
руD
r
. Однако вектор D
t
¶
¶
r
направлен
опять так же, как и вектор j
r
.
Из разобранных примеров следует,
что направление вектора j
r
, а следова
тельно, и вектора j
r
см совпадает с направ
лением вектора D
t
¶
¶
r
, как это и следует
из формулы (138.2).
Подчеркнем, что из всех физических
свойств, присущих току проводимости,
Максвелл приписал току смещения лишь
одно — способность создавать в окру
жающем пространстве магнитное поле.
Таким образом, ток смещения (в ваку
уме или веществе) создает в окружаю
щем пространстве магнитное поле (ли
нии индукции магнитных полей токов
смещения при зарядке и разрядке кон
денсатора показаны на рис. 199 штри
ховыми линиями).
В диэлектриках ток смещения состо
ит из двух слагаемых. Так как, соглас
но (89.2), D
r
= e0E
r
+P
r
,гдеE
r
—
напря
женность электростатического поля,
аP
r
—
поляризованность (см. § 88), то
плотность тока смещения
ñì
,
EP
j
tt
0
¶¶
=e
+
¶¶
r
r
r
(138.3)
где
E
t
0
¶
e
¶
r
—
плотность тока смеще
ния в вакууме;
P
t
¶
¶
r
—
плотность тока
поляризации — тока, обусловленного
упорядоченным движением электри
ческих зарядов в диэлектрике (смеще
ние зарядов в неполярных молекулах
или поворот диполей в полярных мо
лекулах).
Возбуждение магнитного поля тока
ми поляризации правомерно, так как
токи поляризации по своей природе не
отличаются от токов проводимости.
Однако то, что и другая часть плотнос
ти тока смещения (
E
t
0
¶
e
¶
r
), не связан
ная с движением зарядов, а обусловлен
ная только изменением электрическо
го поля во времени, также возбуждает
Рис. 199
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

249
магнитное поле, является принципиаль
но новым утверждением Максвелла.
Даже в вакууме всякое изменение во
времени электрического поля приводит
к возникновению в окружающем про
странстве магнитного поля.
Следует отметить, что название «ток
смещения» является условным, а точ
нее исторически сложившимся, так как
ток смещения по своей сути — это из
меняющееся со временем электричес
кое поле. Ток смещения поэтому суще
ствует не только в вакууме или диэлек
триках, но и внутри проводников, по ко
торым проходит переменный ток. Од
нако в данном случае он пренебрежимо
мал по сравнению с током проводимос
ти. Наличие токов смещения подтверж
дено экспериментально А. А . Эйхен
вальдом, изучавшим магнитное поле
тока поляризации, который, как следу
ет из (138.3), является частью тока сме
щения.
Максвелл ввел понятие полного
тока, равного сумме токов проводимо
сти (а также конвекционных токов) и
смещения. Плотность полного тока
ïîëí
.
D
jjt
¶
=+
¶
r
rr
Введя понятия тока смещения и пол
ного тока, Максвелл по новому подо
шел к рассмотрению замкнутости цепей
переменного тока. Полный ток в них
всегда замкнут, т. е . на концах провод
ника обрывается лишь ток проводимо
сти, а в диэлектрике (вакууме) между
концами проводника имеется ток сме
щения, который замыкает ток проводи
мости.
Максвелл обобщил теорему о цир
куляции вектора H
r
[см. (133.10)], вве
дя в ее правую часть полный ток Iполн =
=
ïîëíd
S
jS
òr
r
сквозь поверхность S, на
тянутую на замкнутый контур L. Тогда
обобщенная теорема о циркуляции
вектора H
r
запишется в виде
dd
.
LS
D
Hl
j
S
t
æö
¶÷
ç
÷
=+
ç
÷÷
çèø
¶
òò
r
rr
r
r
Ñ
(138.4)
Выражение (138.4) справедливо все
гда, свидетельством чего является пол
ное соответствие теории и опыта.
§ 139. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Введение Максвеллом понятия тока
смещения привело его к завершению
созданной им макроскопической тео
рии электромагнитного поля, позво
лившей с единой точки зрения не толь
ко объяснить электрические и магнит
ные явления, но и предсказать новые,
существование которых было впослед
ствии подтверждено.
В основе теории Максвелла лежат
рассмотренные выше четыре уравне
ния:
1. Электрическое поле (см. § 137)
может быть как потенциальным (E
r
Q),
так и вихревым (E
r
B), поэтому напря
женность суммарного поля E
r
=E
r
Q+E
r
B.
Так как циркуляция вектора E
r
Q равна
нулю [см. (137.3)], а циркуляция век
тора E
r
B определяется выражением
(137.2), то циркуляция вектора напря
женности суммарного поля
dd
.
LS
B
El
S
t
¶
=-
¶
òò
r
rr
r
Ñ
Это уравнение показывает, что ис
точниками электрического поля могут
быть не только электрические заряды,
но и изменяющиеся во времени магнит
ные поля.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

250
2. Обобщенная теорема о циркуля
ции вектора H
r
[см. (138.4)]:
dd
.
LS
D
Hl
j
S
t
æö
¶÷
ç
÷
=+
ç
÷÷
çèø
¶
òò
r
rr
r
r
Ñ
Это уравнение показывает, что маг
нитные поля могут возбуждаться либо
движущимися зарядами (электриче
скими токами), либо переменными
электрическими полями.
3. Теорема Гаусса для поля D
r
[см.
(89.3)]:
d.
S
DSQ
=
òrr
Ñ
(139.1)
Если заряд распределен внутри зам
кнутой поверхности непрерывно с
объемной плотностью r, то формула
(139.1) запишется в виде
dd
.
SV
DS
V
=r
òò
r
r
Ñ
4. Теорема Гаусса для поля B
r
[см.
(120.3)]:
d0
.
S
BS=
òrr
Итак, полная система уравнений
Максвелла в интегральной форме:
;;
;
ddd
d
dd
d
0
.
LS
SV
LS
S
B
El
S
DS
V
t
D
Hlj
SBS
t
¶
=-
=
r
¶
æö
¶÷
ç
÷
=+
=
ç
÷÷
çèø
¶
òò òò
òòò
r
rrr
r
r
r
rr
r
rr
r
ÑÑ
Ñ
Величины, входящие в уравнения
Максвелла, не являются независимыми
и между ними существует следующая
связь (изотропные несегнетоэлектри
ческие и неферромагнитные среды):
D
r
=e
0eE
r
,B
r
= m0mH
r
,j
r
=gE
r
,
где e0 и m0 — соответственно электриче
ская и магнитная постоянные; e и m —
соответственно диэлектрическая и маг
нитная проницаемости; g — удельная
проводимость вещества.
Из уравнений Максвелла вытекает,
что источниками электрического поля
могут быть либо электрические заряды,
либо изменяющиеся во времени маг
нитные поля, а магнитные поля могут
возбуждаться либо движущимися элек
трическими зарядами (электрическими
токами), либо переменными электри
ческими полями. Уравнения Максвел
ла не симметричны относительно элек
трического и магнитного полей. Это
связано с тем, что в природе существу
ют электрические заряды, но отсутству
ют магнитные.
Для стационарных полей (E = const
и B = const) уравнения Максвелла при
мут вид
;;
;,
d0d
dd
0
LS
LS
El
DSQ
HlIBS
==
==
òò
òò
rr
r
r
rr
rr
ÑÑ
Ñ
т. е . источниками электрического поля
в данном случае являются только элек
трические заряды, а источниками маг
нитного — только токи проводимости.
В данном случае электрические и маг
нитные поля независимы друг от друга,
что и позволяет изучать отдельно посто
янные электрическое и магнитное поля.
Воспользовавшись известными из
векторного анализа теоремами Стокса
и Гаусса
;
,
dr
o
t
ddd
i
v
d
LS
SV
Al
AS AS
AV
==
òò òò
rr
rr
rr
r
ÑÑ
можно представить полную систему
уравнений Максвелла в дифференци
альной форме (характеризующих поле
в каждой точке пространства):
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

251
;;
;
rot
div
rot
div
0.
B
ED
t
D
Hj
B
t
¶
=-
=r
¶
¶
=+
=
¶
r
r
r
r
rr
r
Если заряды и токи распределены в
пространстве непрерывно, то обе фор
мы уравнений Максвелла — интеграль
ная и дифференциальная — эквивален
тны. Однако если имеются поверхнос
ти разрыва — поверхности, на которых
свойства среды или полей меняются
скачкообразно, то интегральная форма
уравнений является более общей.
Уравнения Максвелла в дифферен
циальной форме предполагают, что все
величины в пространстве и времени
изменяются непрерывно. Чтобы дос
тичь математической эквивалентности
обеих форм уравнений Максвелла, диф
ференциальную форму дополняют гра
ничными условиями, которым должно
удовлетворять электромагнитное поле
на границе раздела двух сред. Интег
ральная форма уравнений Максвелла
содержит эти условия. Они были рас
смотрены раньше (см. § 90, 134):
Dn1 =Dn2;Et1 =Et2;Bn1 =Bn2;Ht1 =Ht2
(первое и последнее уравнения отвеча
ют случаям, когда на границе раздела
нет ни свободных зарядов, ни токов
проводимости).
Уравнения Максвелла — наиболее
общие уравнения для электрических и
магнитных полей в покоящихся средах.
Они играют в учении об электромагне
тизме такую же роль, как законы Нью
тона в механике. Из уравнений Макс
велла следует, что переменное магнит
ное поле всегда связано с порождаемым
им электрическим полем, а переменное
электрическое поле всегда связано с по
рождаемым им магнитным, т. е . элект
рическое и магнитное поля неразрыв
но связаны друг с другом — они обра
зуют единое электромагнитное поле.
Теория Максвелла, являясь обобще
нием основных законов электрических
и магнитных явлений, не только смог
ла объяснить уже известные экспери
ментальные факты, что также являет
ся важным ее следствием, но и предска
зала новые явления. Одним из важных
выводов этой теории явилось существо
вание магнитного поля токов смещения
(см. § 138), что позволило Максвеллу
предсказать существование электро
магнитных волн — переменного элек
тромагнитного поля, распространяю
щегося в пространстве с конечной ско
ростью.
В дальнейшем было доказано, что
скорость распространения свободного
электромагнитного поля (не связанно
го с зарядами и токами) в вакууме рав
на скорости света c = 3 · 108 м/с. Этот
вывод и теоретическое исследование
свойств электромагнитных волн приве
ли Максвелла к созданию электромаг
нитной теории света, согласно которой
свет представляет собой также электро
магнитные волны. Электромагнитные
волны на опыте были получены немец
ким физиком Г. Герцем (1857 — 1894),
доказавшим, что законы их возбужде
ния и распространения полностью опи
сываются уравнениями Максвелла. Та
ким образом, теория Максвелла была
экспериментально подтверждена.
К электромагнитному полю приме
ним только принцип относительности
Эйнштейна, так как факт распростране
ния электромагнитных волн в вакууме
во всех системах отсчета с одинаковой
скоростью c не совместим с принципом
относительности Галилея.
Согласно принципу относитель
ности Эйнштейна, механические, оп
тические и электромагнитные явления
во всех инерциальных системах отсче
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

та протекают одинаково, т. е . описыва
ются одинаковыми уравнениями. Урав
нения Максвелла инвариантны относи
тельно преобразований Лоренца: их вид
не меняется при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к дру
гой, хотя величины E
r
,B
r
,D
r
,H
r
в них пре
образуются по определенным прави
лам.
Из принципа относительности выте
кает, что отдельное рассмотрение элек
трического и магнитного полей имеет
относительный смысл. Так, если элек
трическое поле создается системой не
подвижных зарядов, то эти заряды, яв
ляясь неподвижными относительно
одной инерциальной системы отсчета,
движутся относительно другой и, сле
довательно, будут порождать не толь
ко электрическое, но и магнитное поле.
Аналогично, неподвижный относитель
но одной инерциальной системы отсче
та проводник с постоянным током, воз
буждая в каждой точке пространства
постоянное магнитное поле, движется
относительно других инерциальных
систем, и создаваемое им переменное
магнитное поле возбуждает вихревое
электрическое поле.
Таким образом, теория Максвелла,
ее экспериментальное подтверждение,
а также принцип относительности Эй
нштейна приводят к единой теории
электрических, магнитных и оптиче
ских явлений, базирующейся на пред
ставлении об электромагнитном поле.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отли
чается от электростатического поля?
• Чему равна циркуляция вихревого электрического поля?
• Почему вводится понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?
• Выведите и объясните выражение для плотности тока смещения.
• Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора
напряженности магнитного поля.
• Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной
форме и объясните их физический смысл.
• Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособлен
но друг от друга? Запишите для них уравнения Максвелла в обеих формах.
• Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими?
• Какие основные выводы можно сделать на основе теории Максвелла?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

253
×ÀÑÒÜ 4
ÊÎËÅÁÀÍÈß È ÂÎËÍÛ
Ãëàâà 18
ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ È ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß
§ 140. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
è èõ õàðàêòåðèñòèêè
Колебаниями называются движе
ния или процессы, которые характери
зуются определенной повторяемостью
во времени. Колебательные процессы
широко распространены в природе и
технике, например качание маятника
часов, переменный электрический ток
и т. д . При колебательном движении
маятника изменяется координата его
центра масс, в случае переменного
тока колеблются напряжение и ток в
цепи.
Физическая природа колебаний мо
жет быть разной, поэтому различают
колебания механические, электромаг
нитные и др. Однако различные коле
бательные процессы описываются оди
наковыми характеристиками и одина
ковыми уравнениями. Отсюда следует
целесообразность единого подхода к
изучению колебаний различной физи
ческой природы. Например, единый под
ход к изучению механических и элект
ромагнитных колебаний применялся
английским физиком Д. У. Рэлеем
(1842 — 1919), А. Г . Столетовым, рус
ским инженером экспериментатором
П. Н . Лебедевым (1866 — 1912). Боль
шой вклад в развитие теории колебаний
внесли Л. И. Мандельштам (1879 —
1944) и его ученики.
Колебания называются свободны
ми (или собственными), если они со
вершаются за счет первоначально сооб
щенной энергии при последующем от
сутствии внешних воздействий на ко
лебательную систему (систему, совер
шающую колебания).
Простейшим типом колебаний яв
ляются гармонические колебания —
колебания, при которых колеблющая
ся величина изменяется со временем по
закону синуса (косинуса). Рассмотре
ние гармонических колебаний важно по
двум причинам: 1) колебания, встреча
ющиеся в природе и технике, часто
близки к гармоническим; 2) различные
периодические процессы (процессы,
повторяющиеся через равные проме
жутки времени) можно представить как
наложение гармонических колебаний.
Гармонические колебания величины s
описываются уравнением типа
s = A cos(w0t + j), (140.1)
где A — максимальное значение колеб
лющейся величины, называемое ампли
тудой колебания; w0 — круговая (цик
лическая) частота.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

254
Периодически изменяющийся аргу
мент косинуса (w0t + j) называется
фазой колебания. Она определяет сме
щение колеблющейся величины от по
ложения равновесия в данный момент
времени t . Величина j в уравнении гар
монических колебаний называется на
чальной фазой. Она определяет смеще
ние колеблющейся величины от поло
жения равновесия в начальный момент
времени (t = 0).
Значение начальной фазы определя
ется выбором начала отсчета времени.
Так как косинус изменяется в пределах
от +1 до -1, то s может принимать зна
чения от +A до -A.
Определенные состояния системы,
совершающей гармонические колеба
ния, повторяются через промежуток
времени T, называемый периодом ко
лебания, за который фаза колебания
получает приращение 2p, т. е .
w0(t+T)+j=(w0t+j)+2p,
откуда
0
2.
Tp
=
w
(140.2)
Величина, обратная периоду колеба
ний,
,
1
T
n=
(140.3)
т. е . число полных колебаний, совер
шаемых в единицу времени, называет
ся частотой колебаний. Сравнивая
(140.2) и (140.3), получим
02.
w=p
n
Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц —
частота периодического процесса, при
которой за 1 с совершается один цикл
процесса.
Запишем первую и вторую произ
водные по времени от гармонически
колеблющейся величины s :

;
00
00
d
sin(
)
d
cos
s
At
t
At
=-w
w +j=
p
=w
w+j+
2
(140.4)
,
2
2
00
2
2
00
d
cos(
)
d
cos(
)
s
At
t
At
=-w
w +j=
=w
w+j+p (140.5)
т. е . имеем гармонические колебания с
той же циклической частотой. Амплиту
ды величин (140.4) и (140.5) соответ
ственно равны
0
Awи
2
0
Aw . Фаза величи
ны (140.4) отличается от фазы величи
ны (140.1) на
p
2
, а фаза величины (140.5)
отличается от фазы величины (140.1) на
p. Следовательно, в моменты времени,
когдаs=0,
d
d
s
t
приобретает наибольшие
значения; когда s достигает максималь
ного отрицательного значения, то
2
2
d
d
s
t
имеет наибольшее положительное зна
чение (рис. 200; начальная фаза j = 0).
Из выражения (140.5) следует диф
ференциальное уравнение гармони
ческих колебаний
Рис. 200
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

255
.
2
2
d
0
d
s
s
t
2
0
+w=
(140.6)
Решением этого уравнения является
выражение (140.1).
Гармонические колебания изобра
жаются графически методом враща
ющегося вектора амплитуды, или
методом векторных диаграмм. Для
этого из произвольной точки O, выб
ранной на оси x , под углом j, равным
начальной фазе колебания, откладыва
ется вектор A
r
, модуль которого равен
амплитуде A рассматриваемого колеба
ния (рис. 201). Если этот вектор приве
сти во вращение с угловой скоростью w0,
равной циклической частоте колеба
ний, то проекция конца вектора будет
перемещаться по оси x и принимать зна
чения от -A до +A, а колеблющаяся ве
личина будет изменяться со временем
по закону s = A cos(w0t + j). Таким об
разом, гармоническое колебание мож
но представить проекцией на некото
рую произвольно выбранную ось векто
ра амплитуды A
r
, отложенного из про
извольной точки оси под углом j, рав
ным начальной фазе, и вращающегося
с угловой скоростью w0 вокруг этой точки.
В физике часто применяется другой
метод, который отличается от метода
вращающегося вектора амплитуды лишь
по форме. В этом методе колеблющую
ся величину представляют комплекс
ным числом. Согласно формуле Эйле
ра, для комплексных чисел
,
ec
o
ss
i
n
i
i
a
=a
+ a(140.7)
где
1
i=-
—
мнимая единица. Поэто
му уравнение гармонического колеба
ния (140.1) можно записать в комплек
сной форме:
0
()
e.
it
sA
w+j
=
%
(140.8)
Вещественная часть выражения
(140.8)
0
Re( )
cos(
)
sAts
=w
+
j
=
%
представляет собой гармоническое ко
лебание. Обозначение Re вещественной
части условимся опускать и (140.8) бу
дем записывать в виде
0
()
e.
it
sAw+j
=
В теории колебаний принимается,
что колеблющаяся величина s равна
вещественной части комплексного вы
ражения, стоящего в этом равенстве
справа.
§ 141. Ìåõàíè÷åñêèå
ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
Пусть материальная точка соверша
ет прямолинейные гармонические ко
лебания вдоль оси координат x около
положения равновесия, принятого за
начало координат.
Тогда зависимость координаты x от
времени t задается уравнением, анало
гичным уравнению (140.1), где s = x :
x = A cos(w0t + j). (141.1)
Согласно выражениям (140.4) и
(140.5), скорость v и ускорение a колеб
лющейся точки соответственно равны

;
00
00
2
00
2
00
sin(
)
cos
cos(
)
cos(
).
vAt
At
aAt
At
=-w
w +j=
p
=w
w+j+
2
=-w
w +j=
=w
w+j+p
(141.2)
Рис. 201
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

256
Сила F = ma , действующая на колеб
лющуюся материальную точку мас
сой m, с учетом (141.1) и (141.2) равна
2
0.
Fmx
=-w
Следовательно, сила пропорцио
нальна смещению материальной точки
из положения равновесия и направле
на в противоположную сторону (к по
ложению равновесия).
Кинетическая энергия материаль
ной точки, совершающей прямолиней
ные гармонические колебания, равна
,
22
2
0
2
0
sin (
)
22
mA
mv
Tt
w
==
w
+
j
(141.3)
или
22
0
0
[1 cos 2(
)].
4
mA
Tt
w
=-
w
+
j
(141.4)
Потенциальная энергия матери
альной точки, совершающей гармони
ческие колебания под действием упру
гой силы F, равна
,
22
0
0
22
0
2
0
d
2
cos (
)
4
x
mx
Fx
mA
t
w
P=-
=
=
w
=w
+
j
ò
(141.5)
или
22
0
0
[1 cos2(
)].
4
mA
t
w
P=
+
w +j (141.6)
Сложив (141.3) и (141.5), получим
формулу для полной энергии:
22
0
.
2
mA
ET
w
=+
P=
(141.7)
Полная энергия остается постоян
ной, так как при гармонических коле
баниях справедлив закон сохранения
механической энергии, поскольку упру
гая сила консервативна.
Из формул (141.4) и (141.6) следу
ет, что T и P изменяются с частотой 2w0,
т. е . с частотой, которая в два раза пре
вышает частоту гармонического коле
бания. На рис. 202 представлены графи
ки зависимости x, T и P от времени. Так
как
22
1
sin
cos
2
á añ=á
añ= , то из формул
(141.3), (141.5) и (141.7) следует, что
1
.
2
TE
áñ=áPñ=
§ 142. Ãàðìîíè÷åñêèé
îñöèëëÿòîð. Ïðóæèííûé,
ôèçè÷åñêèé è ìàòåìàòè÷åñêèé
ìàÿòíèêè
Гармоническим осциллятором на
зывается система, совершающая коле
бания, описываемые уравнением вида
(140.6):
2
0
0.
ss
+w=
&&
(142.1)
Колебания гармонического осцил
лятора являются важным примером
периодического движения и служат
Рис. 202
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

257
точной или приближенной моделью во
многих задачах классической и кванто
вой физики. Примерами гармоническо
го осциллятора являются пружинный,
физический и математический маятни
ки, колебательный контур (для токов и
напряжений столь малых, что элемен
ты контура можно было бы считать
линейными; см. § 146).
1. Пружинный маятник — это груз
массой m, подвешенный на абсолютно
упругой пружине и совершающий гар
монические колебания под действием
упругой силы F = -kx, где k — жест
кость пружины. Уравнение движения
маятника в отсутствие сил трения
, èëè
0.
k
mx
kx
x
x
m
=-
+=
&&
&&
Из выражений (142.1) и (140.1) сле
дует, что пружинный маятник соверша
ет гармонические колебания по закону
x = A cos (w0t + j) с циклической час
тотой
0
k
m
w=
(142.2)
и периодом
2.
m
T
k
=p
(142.3)
Формула (142.3) справедлива для
упругих колебаний в пределах, в кото
рых выполняется закон Гука [см. (21.3)],
т. е. когда масса пружины мала по срав
нению с массой тела.
Потенциальная энергия пружинно
го маятника, согласно (141.5) и (142.2),
2
.
2
kx
P=
2. Физический маятник — это твер
дое тело, совершающее под действием
силы тяжести колебания вокруг не
подвижной горизонтальной оси, прохо
дящей через точку O, не совпадающую
с центром масс C тела (рис. 203).
Если маятник отклонен из положе
ния равновесия на некоторый угол a, то
в соответствии с уравнением динами
ки вращательного движения твердого
тела (18.3) в отсутствие сил трения вра
щающий момент M можно записать в
виде
,
sin
MJJ
mgl
mgl
=e
=a
=
=-
a»-
a
&&
(142.4)
где J — момент инерции маятника от
носительно оси, проходящей через точ
ку подвеса O ; l — расстояние между ней
и центром масс маятника.
Вращающий момент стремится вер
нуть маятник в положение равновесия
и в этом отношении аналогичен упру
гой силе. Поэтому так же, как смеще
нию и упругой силе, моменту M и уг
ловому смещению a приписывают про
тивоположные знаки. При малых коле
баниях маятника (малых отклонениях
маятника из положения равновесия)
sina » a. Тогда уравнение (142.4) мож
но записать в виде
, èëè
0
mgl
Jm
g
l
J
a+
a=
a+
a =0.
&&
&&
Принимая
,
0
mgl
J
w=
(142.5)
Рис. 203
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

258
получим уравнение
,
0
2
0
a+w a=
&&
идентичное с (142.1), решение которо
го [см. (140.1)] известно:
00
cos(
.
t
a=a
w +j) (142.6)
Из выражения (142.6) следует, что
при малых колебаниях физический ма
ятник совершает гармонические коле
бания с циклической частотой w0 [см.
(142.5)] и периодом
,
0
222
JL
T
mgl
g
p
==
p=
p
w
(142.7)
где
J
L
ml
=
—
приведенная длина фи
зического маятника.
Точка O ¢ на продолжении прямой
OC, отстоящая от точки O подвеса ма
ятника на расстоянии приведенной дли
ны L, называется центром качаний фи
зического маятника (см. рис. 203). При
меняя теорему Штейнера (16.1), получим
,
2
CC
Jm
lJ
J
Ll
l
ml
ml
ml
+
==
=
+>
т. е. OO ¢ всегда больше OC. Точка под
веса O маятника и центр качаний O ¢
обладают свойством взаимозаменяе
мости: если точку подвеса перенести в
центр качаний, то прежняя точка O под
веса станет новым центром качаний, и
период колебаний физического маят
ника не изменится.
3. Математический маятник —
это идеализированная система, состоя
щая из материальной точки массой m,
подвешенной на нерастяжимой невесо
мой нити, и колеблющаяся под действи
ем силы тяжести.
Хорошим приближением математи
ческого маятника является небольшой
тяжелый шарик, подвешенный на тон
кой длинной нити.
Момент инерции математического
маятника
J=ml
2
,
(142.8)
где l — длина маятника.
Так как математический маятник
можно представить как частный случай
физического маятника, предположив,
что вся его масса сосредоточена в одной
точке — центре масс, то, подставив вы
ражение (142.8) в формулу (142.7), по
лучим выражение для периода малых
колебаний математического маятника
2.
l
T
g
=p
(142.9)
Сравнивая формулы (142.7) и (142.9),
видим, что если приведенная длина L
физического маятника равна длине l
математического маятника, то периоды
колебаний этих маятников одинаковы.
Следовательно, приведенная длина
физического маятника — это длина
такого математического маятника, пе
риод колебаний которого совпадает с
периодом колебаний данного физичес
кого маятника.
§ 143. Ñâîáîäíûå
ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå
Среди различных физических явле
ний особое место занимают электро
магнитные колебания, при которых
электрические величины (заряды, токи)
периодически изменяются и которые
сопровождаются взаимными превраще
ниями электрического и магнитного
полей. Для возбуждения и поддержа
ния электромагнитных колебаний ис
пользуется колебательный контур —
цепь, состоящая из включенных после
довательно катушки индуктивностью L,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

259
конденсатора емкостью C и резистора
сопротивлением R .
Рассмотрим последовательные ста
дии колебательного процесса в идеали
зированном контуре, сопротивление
которого пренебрежимо мало (R » 0).
Для возбуждения в контуре колебаний
конденсатор предварительно заряжают,
сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тог
да в начальный момент времени t = 0
(рис. 204, а) между обкладками конден
сатора возникнет электрическое поле,
энергия которого
2
2
Q
C
[см. (95.4)]. Если
замкнуть конденсатор на катушку ин
дуктивности, он начнет разряжаться, и
в контуре потечет возрастающий со вре
менем ток I. В результате энергия элек
трического поля будет уменьшаться, а
энергия магнитного поля катушки (она
равна
2
2
LQ&
) — возрастать.
Так как R » 0, то, согласно закону
сохранения энергии, полная энергия
,
22
const
22
QL
Q
W
C
=+=
&
так как она на нагревание не расходу
ется. Поэтому в момент
4
T
t=
, когда
конденсатор полностью разрядится,
энергия электрического поля обраща
ется в нуль, а энергия магнитного поля
(а следовательно, и ток) достигает наи
большего значения (рис. 204, б ). С это
го момента ток в контуре будет убывать,
следовательно, начнет ослабевать маг
нитное поле катушки, и в ней будет ин
дуцироваться ток, который течет (со
гласно правилу Ленца) в том же направ
лении, что и ток разрядки конденсато
ра. Конденсатор начнет перезаряжать
ся, возникнет электрическое поле, стре
мящееся ослабить ток, который в кон
це концов обратится в нуль, а заряд на
обкладках конденсатора достигнет мак
симума (рис. 204, в). Далее те же про
цессы начнут протекать в обратном на
правлении (рис. 204, г) и система к мо
менту времени t = T придет в первона
чальное состояние (см. рис. 204, а). Пос
ле этого начнется повторение рассмот
ренного цикла разрядки и зарядки кон
денсатора.
Если бы потерь энергии не было, то
в контуре совершались бы периодичес
кие незатухающие колебания, т. е . пери
одически изменялись (колебались) бы
заряд Q на обкладках конденсатора,
напряжение U на конденсаторе и сила
тока I, текущего через катушку индук
тивности. Следовательно, в контуре
возникают электромагнитные колеба
ния, причем колебания сопровождают
ся превращениями энергий электричес
кого и магнитного полей.
Электромагнитные колебания в ко
лебательном контуре можно сопоста
вить с механическим колебаниями ма
ятника (рис. 204), сопровождающими
Рис. 204
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

260
ся взаимными превращениями потен
циальной и кинетической энергий ма
ятника. В данном случае энергия элек
трического поля конденсатора (
2
2
Q
C
)
аналогична потенциальной энергии ма
ятника, энергия магнитного поля ка
тушки (
2
2
LQ&
) — кинетической энергии,
сила тока в контуре — скорости движе
ния маятника. Индуктивность L игра
ет роль массы m, а сопротивление кон
тура — роль силы трения, действующей
на маятник.
Согласно закону Ома, для контура,
содержащего катушку индуктивнос
тью L, конденсатор емкостью C и рези
стор сопротивлением R,
,
Cs
IRU
+=
õ
где IR — напряжение на резисторе;
C
Q
U
C
=
—
напряжение на конденсато
ре;
d
d
s
I
L
t
=-
õ
—
ЭДС самоиндукции,
возникающая в катушке при протека
нии в ней переменного тока (õs — един
ственная ЭДС в контуре).
Следовательно,
d
0.
d
Q
I
LI
R
tC
++= (143.1)
Разделив (143.1) на L и подставив
è
d
d
I
IQ
Q
t
==
&&
&
, получим дифференци
альное уравнение колебаний заряда Q
в контуре:
.
1
0
R
QQQ
LL
C
++=
&&
&
(143.2)
В данном колебательном контуре
внешние ЭДС отсутствуют, поэтому
рассматриваемые колебания представ
ляют собой свободные колебания (см.
§ 140). Если сопротивление R = 0, то
свободные электромагнитные колеба
ния в контуре являются гармонически
ми. Тогда из (143.2) получим дифферен
циальное уравнение свободных гармо
нических колебаний заряда в контуре:
.
1
0
QQ
LC
+=
&&
Из выражений (142.1) и (140.1) вы
текает, что заряд Q совершает гармони
ческие колебания по закону
Q = Qm cos (w0t + j), (143.3)
где Qm — амплитуда колебаний заряда
конденсатора с циклической частотой
w0, называемой собственной часто
той контура, т. е .
0
1
LC
w=
(143.4)
и периодом
2.
TL
C
=p
(143.5)
Формула (143.5) впервые была по
лучена У. Томсоном и называется фор
мулой Томсона. Сила тока в колеба
тельном контуре [см. (140.4)]
m
00
sin(
)
IQQ
t
==
-
w
w+
j=
&

,
m
0
cos
It
p
=w
+
j
+
2
(143.6)
где m0
m
IQ
=w
—
амплитуда силы тока.
Напряжение на конденсаторе
m
0
cos(
)
C
QQ
Ut
CC
==
w+
j=
,
m0
cos(
)
Ut
=w
+
j
(143.7)
где
m
m
Q
U
C
=
—
амплитуда напряже
ния.
Из выражений (143.3) и (143.6) вы
текает, что колебания тока I опережа
ют по фазе колебания заряда Q на
2
p
,
т. е ., когда ток достигает максимально
го значения, заряд (а также и напряже
ние [см. (143.7)] обращается в нуль, и
наоборот.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

261
§ 144. Ñëîæåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ
êîëåáàíèé îäíîãî íàïðàâëåíèÿ
è îäèíàêîâîé ÷àñòîòû. Áèåíèÿ
Колеблющееся тело может участво
вать в нескольких колебательных про
цессах, тогда необходимо найти резуль
тирующее колебание, иными словами,
колебания необходимо сложить. Сло
жим гармонические колебания одного
направления и одинаковой частоты:
,
,
11 01
22 02
cos(
cos(
xAt
xAt
ì
=w
+
j
)
ï
ï
íï =w
+
j
)
ïî
воспользовавшись методом вращающе
гося вектора амплитуды (см. § 140). По
строим векторные диаграммы этих ко
лебаний (рис. 205). Так как векторы A
r
1
иA
r
2 вращаются с одинаковой угловой
скоростью w0, то разность фаз (j2 - j1)
между ними остается постоянной. Оче
видно, что уравнение результирующе
го колебания будет
12
0
cos(
.
xxxA t
=+=
w+
j
)(144.1)
В выражении (144.1) амплитуда A и
начальная фаза j соответственно зада
ются соотношениями
;
222
121
221
112 2
1122
2c
o
s
(
sin
sin
tg
.
cos
cos
AAA A
A
AA
AA
=++
j-
j
)
j+
j
j=
j+
j
(144.2)
Таким образом, тело, участвуя в двух
гармонических колебаниях одного на
правления и одинаковой частоты, совер
шает также гармоническое колебание в
том же направлении и с той же часто
той, что и складываемые колебания.
Амплитуда результирующего колеба
ния зависит от разности фаз (j2 - j1)
складываемых колебаний.
Проанализируем выражение (144.2)
в зависимости от разности фаз (j2 - j 1):
1)j2-j1=±2mp(m=0,1,2, ...),
тогда A = A1 + A2, т. е. амплитуда ре
зультирующего колебания A равна сум
ме амплитуд складываемых колебаний;
2)j2-j1=±(2m+1)p(m = 0,1,2, ...),
тогда A = |A1 - A2|, т.е. амплитуда ре
зультирующего колебания равна разно
сти амплитуд складываемых колебаний.
Для практики особый интерес пред
ставляет случай, когда два складывае
мых гармонических колебания одина
кового направления мало отличаются
по частоте. В результате сложения этих
колебаний получаются колебания с пе
риодически изменяющейся амплиту
дой. Периодические изменения ампли
туды колебания, возникающие при сло
жении двух гармонических колебаний
с близкими частотами, называются би
ениями.
Пусть амплитуды складываемых ко
лебаний равны A, а частоты равны w и
w + Dw, причем Dw = w. Начало отсче
та выберем так, чтобы начальные фазы
обоих колебаний были равны нулю:
,
1
2
cos
cos(
.
xAt
xA
t
ì=w
ï
ï
íï =w
+
D
w
)
ïî
Складывая эти выражения и учиты
вая, что
2
Dw
= w, найдем

2cos
c
o
s.
xAtt
Dw
=w
2
(144.3)
Результирующее колебание (144.3)
можно рассматривать как гармониче
Рис. 205
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

262
ское с частотой w, амплитуда Aб кото
рого изменяется по следующему пери
одическому закону:
á
2cos
.
AAt
Dw
=
2
(144.4)
Частота изменения Aб в два раза
больше частоты изменения косинуса
(так как берется по модулю), т. е . час
тота биений равна разности частот
складываемых колебаний:
wб=Dw.
Период биений
á
2
.
T
p
=
Dw
Характер зависимости (144.3) пока
зан на рис. 206, где сплошные линии
дают график результирующего колеба
ния (144.3), а огибающие их штрихо
вые — график медленно меняющейся
по уравнению (144.4) амплитуды.
Определение частоты тона [звука оп
ределенной высоты (см. § 158)] биений
между эталонным и измеряемым колеба
ниями — наиболее широко применяемый
на практике метод сравнения измеряемой
величины с эталонной. Метод биений
используется для настройки музыкаль
ных инструментов, анализа слуха и т. д.
Любые сложные периодические ко
лебания s = f (t) можно представить в
виде суперпозиции одновременно совер
шающихся гармонических колебаний с
различными амплитудами, различными
начальными фазами, а также частотами,
кратными циклической частоте w0:
0
101
20
2
0
()
cos(
2
cos(2
cos(
.
nn
A
sft
At
At
An
t
==+ w
+
j
)
+
+w
+
j
)
+
+w
+
j
)
K
K
(144.5)
Представление периодической фун
кции в виде (144.5) связывают с поня
тием гармонического анализа слож
ного периодического колебания, или
разложения Фурье1
. Слагаемые ряда
Фурье, определяющие гармонические
колебания с частотами w0, 2w0, 3w0, ..., на
зываются первой (или основной), вто
рой, третьей и т. д. гармониками слож
ного периодического колебания.
§ 145. Ñëîæåíèå âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé
Рассмотрим результат сложения двух
гармонических колебаний одинаковой
частоты w, происходящих во взаимно
перпендикулярных направлениях вдоль
осей x и y. Для простоты начало отсче
та выберем так, чтобы начальная фаза
первого колебания была равна нулю, и
запишем
,
,
cos
cos(
xAt
yBt
ì=w
ï
ï
íï =w
+
a
)
ïî
(145.1)
где a — разность фаз обоих колебаний;
A и B — амплитуды складываемых ко
лебаний.
Уравнение траектории результиру
ющего колебания находится исключе
нием из выражений (145.1) параметра t .
1 Ж. Фурье (1768 — 1830) — французский уче
ный.
Рис. 206
2cos
At
Dw
=
2
á
2
T
p
=
Dw

2cos
c
o
s
xAtt
Dw
=w
2
2
T
p
=
w
Aб
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

263
Записывая складываемые колебания в
виде
;
cos
cos(
cos cos
sin sin
x
t
A
y
ttt
B
=w
=w
+
a
)
=wa
-
wa
и заменяя во втором уравнении cos wt
на
x
A
иsinwtна
2
1
x
A
-
, получим пос
ле несложных преобразований уравне
ние эллипса, оси которого ориентирова
ны относительно координатных осей
произвольно:
2
2
2
22
2
cos
sin .
xy
y
x
AA
BB
-a
+
=
a
(145.2)
Так как траектория результирующе
го колебания имеет форму эллипса, то
такие колебания называются эллипти
чески поляризованными.
Ориентация эллипса и размеры его
осей зависят от амплитуд складывае
мых колебаний и разности фаз a. Рас
смотрим некоторые частные случаи,
представляющие физический интерес:
1)
2
2
m
p
a=
(m = 0, ±1, ±2, ...).
В данном случае эллипс вырождается в
отрезок прямой
,
B
yx
A
=±
(145.3)
где знак «+» соответствует нулю и
четным значениям m (рис. 207, а), а
знак «-»
—
нечетным значениям m
(рис. 207, б). Результирующее колеба
ние является гармоническим колебани
ем с частотой w и амплитудой
22
AB
+,
совершающимся вдоль прямой [см.
(145.3)], составляющей с осью x угол

arctg cos
B
m
A
j=
p . В данном случае
имеем дело с линейно поляризованны
ми колебаниями;
2)(21)
m
p
a=
+
2
(m = 0, ±1, ±2, ...).
В данном случае уравнение примет вид
2
2
22
1.
y
x
AB
+=
(145.4)
Это уравнение эллипса, оси которого
совпадают с осями координат, а его по
луоси равны соответствующим амп
литудам (рис. 208). Кроме того, если
À = B, то эллипс [см. (145.4)] вырож
дается в окружность. Такие колебания
называются циркулярно поляризован
ными колебаниями или колебаниями,
поляризованными по кругу.
Если частоты складываемых взаим
но перпендикулярных колебаний раз
личны, то замкнутая траектория ре
зультирующего колебания довольно
сложна. Замкнутые траектории, про
черчиваемые точкой, совершающей од
новременно два взаимно перпендику
лярных колебания, называются фигу
рами Лиссажу1. Вид этих кривых за
висит от соотношения амплитуд, частот
и разности фаз складываемых колеба
Рис. 207
Рис. 208
1 Ж. Лиссажу (1822 — 1880) — французский
физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

264
ний. На рис. 209 представлены фигуры
Лиссажу для различных соотношений
частот (указаны слева) и разностей фаз
(указаны вверху; разность фаз прини
мается равной a).
Отношение частот складываемых
колебаний равно отношению числа пе
ресечений фигур Лиссажу с прямыми,
параллельными осям координат. По
виду фигур можно определить неизве
стную частоту по известной или опре
делить отношение частот складывае
мых колебаний. Поэтому анализ фигур
Лиссажу — широко используемый ме
тод исследования соотношений частот
и разности фаз складываемых колеба
ний, а также формы колебаний.
§ 146. Äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ çàòóõàþùèõ
êîëåáàíèé (ìåõàíè÷åñêèõ
è ýëåêòðîìàãíèòíûõ)
è åãî ðåøåíèå. Àâòîêîëåáàíèÿ
Рассмотрим свободные затухаю
щие колебания — колебания, амплиту
ды которых из за потерь энергии реаль
ной колебательной системой с течени
ем времени уменьшаются. Простейшим
механизмом уменьшения энергии коле
баний является ее превращение в теп
лоту вследствие трения в механических
колебательных системах, а также оми
ческих потерь и излучения электромаг
Рис. 209
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

265
нитной энергии в электрических коле
бательных системах.
Закон затухания колебаний опреде
ляется свойствами колебательных сис
тем. Обычно рассматривают линейные
системы — идеализированные реаль
ные системы, в которых параметры,
определяющие физические свойства
системы, в ходе процесса не изменяют
ся. Линейными системами являются,
например, пружинный маятник при ма
лых растяжениях пружины (когда спра
ведлив закон Гука), колебательный
контур, индуктивность, емкость и со
противление которого не зависят ни от
тока в контуре, ни от напряжения.
Различные по своей природе линей
ные системы описываются идентичны
ми линейными дифференциальными
уравнениями, что позволяет подходить
к изучению колебаний различной фи
зической природы с единой точки зре
ния, а также проводить их моделирова
ние, в том числе и на ЭВМ.
Дифференциальное уравнение
свободных затухающих колебаний
линейной системы задается в виде
,
2
2
dd
20
dd
ss
s
tt
2
0
+d+w = (146.1)
где s — колеблющаяся величина, опи
сывающая тот или иной физический
процесс; d = const — коэффициент за
тухания, w0 — циклическая частота
свободных незатухающих колебаний
той же колебательной системы, т.е . при
d=0(при отсутствии потерь энергии)
называется собственной частотой
колебательной системы.
Решение уравнения (146.1) рассмот
рим в виде
s=e
-dt
u,
(146.2)
где u = u(t).
После нахождения первой и второй
производных выражения (146.2) и под
становки их в (146.1) получим
()0
.
uu
22
0
+w -d=
&&
(146.3)
Решение уравнения (146.3) зависит
от знака коэффициента перед искомой
величиной. Рассмотрим случай, когда
этот коэффициент положителен:
2
22
0
w=w-d
(146.4)
[если ()
0
22
0
w-d> , то такое обозначе
ние мы вправе сделать]. Тогда получим
уравнение типа (142.1)
2
0
uu
+w=
&&
,ре
шением которого является функция
u = A0 cos (wt + j) [см. (140.1)]. Таким
образом, решение уравнения (146.1) в
случае малых затуханий ( 22
0
dw
=)
s=A0e
-dt
cos (wt + j), (146.5)
где
A=A0e
-dt
(146.6)
—
амплитуда затухающих колеба
ний; A0 — начальная амплитуда.
Зависимость (146.5) показана на
рис. 210 сплошной линией, а зависи
мость (146.6) — штриховыми линиями.
Промежуток времени
1
t=
d
, в течение
которого амплитуда затухающих коле
баний уменьшается в e раз, называется
временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность
колебаний, поэтому затухающие коле
бания не являются периодическими и,
строго говоря, к ним неприменимо по
нятие периода или частоты. Однако
если затухание мало, то можно услов
но пользоваться понятием периода как
промежутка времени между двумя пос
Рис. 210
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

266
ледующими максимумами (или мини
мумами) колеблющейся физической
величины (см. рис. 210). Тогда период
затухающих колебаний с учетом фор
мулы (146.4) равен
22
.
T
22
0
pp
==
w
w-d
Если A(t) и A(t +T ) — амплитуды
двух последовательных колебаний, со
ответствующих моментам времени, от
личающимся на период, то отношение
()e
()
T
At
AtT
d
=
+
называется декрементом затухания,
а его логарифм
e
()
1
ln
()
At
T
T
AtT
N
q=
=d=
=
+t
(146.7)
—
логарифмическим декрементом
затухания; Ne — число колебаний, со
вершаемых за время уменьшения амп
литуды в e раз. Логарифмический дек
ремент затухания — постоянная вели
чина для данной колебательной систе
мы.
Для характеристики колебательной
системы пользуются понятием доб
ротности Q, которая при малых зна
чениях логарифмического декремента
0
e
0
2
QN
T
w
pp
==
p==
qdd
(146.8)
(так как затухание мало ( 22
0
dw
= ),то
T принято равным T0).
Из формулы (146.8) следует, что
добротность пропорциональна числу
колебаний Ne, совершаемых системой
за время релаксации.
Выводы, полученные для свободных
затухающих колебаний линейных сис
тем, применимы для колебаний различ
ной физической природы — механиче
ских (в качестве примера рассмотрим
пружинный маятник) и электромагнит
ных (в качестве примера рассмотрим
электрический колебательный контур).
1. Свободные затухающие колеба
ния пружинного маятника. Для пру
жинного маятника (см. § 142) массой m,
совершающего малые колебания под
действием упругой силы F = -kx , сила
трения пропорциональна скорости, т. е .
òð
,
Fr
vr
x
=-
=-&
где r —коэффициент сопротивления;
знак «-» указывает на противополож
ные направления силы трения и скоро
сти.
При данных условиях закон движе
ния маятника будет иметь вид
.
mx
kx rx
=-
-
&&
&
(146.9)
Используя формулу 0
k
m
w=
[см.
(142.2)] и принимая, что коэффициент
затухания
,
2
r
m
d=
(146.10)
получим идентичное уравнению (146.1)
дифференциальное уравнение затухаю
щих колебаний маятника:
20
.
xxx
2
0
+d+w =
&&
&
Из выражений (146.1) и (146.5) вы
текает, что колебания маятника подчи
няются закону
x=A0e
-dt
cos (wt + j),
где частота
2
2
4
r
m
2
0
w=w-
[см. (146.4)].
Добротность пружинного маятника,
согласно (146.8) и (146.10),
km
Qr
=
.
2. Свободные затухающие колеба
ния в электрическом колебательном
контуре. Дифференциальное уравне
ние свободных затухающих колебаний
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

267
заряда в контуре (при R 1 0) имеет вид
[см. (143.2)]
1
0.
R
QQQ
LL
C
++=
&&
&
Учитывая выражение (143.4) и прини
мая коэффициент затухания
,
2
R
L
d=
(146.11)
дифференциальное уравнение (143.2)
можно записать в идентичном уравне
нию (146.1) виде
2
0
20
.
QQQ
+d+w =
&&
&
Из выражений (146.1) и (146.5) выте
кает, что колебания заряда совершают
ся по закону
mec
o
s
(
t
QQ
t
-d
=w
+
j
)
(146.12)
с частотой, согласно (146.4),
,
2
2
1
4
R
LCL
w=
-
(146.13)
меньшей собственной частоты конту
ра w0 [см. (143.4)]. При R = 0 формула
(146.13) переходит в (143.4).
Kîëåáàíèÿ
ìåõàíè÷åñêèå
ýëåêòðîìàãíèòíûå
Äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå
Äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå
Ìàññà
m
Èíäóêòèâíîñòü
êàòóøêè
L
Kîýôôèöèåíò
ñîïðîòèâëåíèÿ
r
Ñîïðîòèâëåíèå
R
Kîýôôèöèåíò
æåñòêîñòè
k
Îáðàòíàÿ âåëè÷èíà
åìêîñòè
Ñìåùåíèå
x
Çàðÿä
Q
Ñêîðîñòü
v
Ñèëà òîêà
I
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
Ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêî-
ãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà
Kèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî
ïîëÿ êàòóøêè
Ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà
ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà
Ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà
êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà
Öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà
çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé
Öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà
çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé
Kîýôôèöèåíò
çàòóõàíèÿ
Kîýôôèöèåíò
çàòóõàíèÿ
Äîáðîòíîñòü ïðóæèí-
íîãî ìàÿòíèêà
Äîáðîòíîñòü êîëåáà-
òåëüíîãî êîíòóðà
0
rk
xxx
mm
++=
&&
&
20
xxx
2
0
+d+w =
&&
&
0
k
m
w=
0
1
LC
w=
2
2
kr
mm
w=
-
2
1
2
R
LC
L
w=
-
2
r
m
d=
2
R
L
d=
2
km
Q
r
0
w
==
d
1
2
L
Q
RC
0
w
==
d
2
2
kx
2
2
Q
C
2
2
mv
2
2
LI
20
QQQ
2
0
+d+w =
&&
&
1
0
R
QQQ
LL
C
++=
&&
&
1
C
Таблица 7
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

268
Логарифмический декремент зату
хания определяется формулой (146.7),
а добротность колебательного контура
[см. (146.8)]
1.
L
QRC
=
(146.14)
В табл. 7 произведено сопоставление
затухающих колебаний пружинного
маятника и колебаний в электрическом
колебательном контуре.
В заключение отметим, что при уве
личении коэффициента затухания d пе
риод затухающих колебаний растет и
при d = w0 обращается в бесконечность,
т. е . движение перестает быть периоди
ческим. В этом случае колеблющаяся
величина асимптотически приближает
ся к нулю, когда t ® ¥. Данный про
цесс будет апериодическим, а не коле
бательным.
Огромный интерес для техники пред
ставляет возможность поддерживать
колебания незатухающими. Для этого
необходимо восполнять потери энергии
реальной колебательной системы. Осо
бенно важны и широко применимы так
называемые автоколебания — незату
хающие колебания, поддерживаемые в
диссипативной системе за счет посто
янного внешнего источника энергии,
причем свойства этих колебаний опре
деляются самой системой.
Автоколебания принципиально от
личаются от свободных незатухающих
колебаний, происходящих без последу
ющих внешних воздействий, а также от
вынужденных колебаний (см. § 147),
происходящих под действием периоди
ческой силы. Автоколебательная систе
ма сама управляет внешними воздей
ствиями, обеспечивая согласованность
поступления энергии определенными
порциями в нужный момент времени (в
такт с ее колебаниями).
Примером автоколебательной сис
темы могут служить часы. Храповой
механизм подталкивает маятник в такт
с его колебаниями. Энергия, переда
ваемая при этом маятнику, берется
либо за счет раскручивающейся пру
жины, либо за счет опускающегося
груза. Колебания воздуха в духовых
инструментах и органных трубах так
же возникают вследствие автоколе
баний, поддерживаемых воздушной
струей.
Автоколебательными системами яв
ляются также двигатели внутреннего
сгорания, паровые турбины, ламповые
генераторы и т. д .
§ 147. Äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ
êîëåáàíèé (ìåõàíè÷åñêèõ
è ýëåêòðîìàãíèòíûõ)
è åãî ðåøåíèå
Чтобы в реальной колебательной
системе получить незатухающие коле
бания, надо компенсировать потери
энергии. Такая компенсация возможна
с помощью какого либо периодически
действующего фактора X(t), изменяю
щего по гармоническому закону:
X(t) =X0coswt.
Если рассматривать механические
колебания, то роль X(t) играет внешняя
вынуждающая сила
F=F0coswt.
(147.1)
С учетом (147.1) закон движения
для пружинного маятника (146.9) запи
шется в виде
0cos .
mx
kxrxF
t
=-
-
+
w
&&
&
Используя (142.2) и (146.10), при
дем к уравнению
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

269
0
2c
o
s
.
F
xxx
t
m
2
0
+d+w =
w
&&
&
(147.2)
Если рассматривать электрический
колебательный контур, то роль X(t) иг
рает подводимая к контуру внешняя
периодически изменяющаяся по гармо
ническому закону ЭДС или переменное
напряжение
U=Umcoswt.
(147.3)
Тогда уравнение (143.2) с учетом
(147.3) можно записать в виде
m
1
cos .
U
R
QQQ
t
LL
CL
++= w
&&
&
Используя (143.4) и (146.11), при
дем к уравнению
m
2
0
2c
o
s
.
U
QQQ
t
L
+d+w =
w
&&
&
(147.4)
Колебания, возникающие под дей
ствием внешней периодически изменя
ющейся силы или внешней периодиче
ски изменяющейся ЭДС, называются
соответственно вынужденными меха
ническими и вынужденными элект
ромагнитными колебаниями.
Уравнения (147.2) и (147.4) можно
свести к линейному неоднородному
дифференциальному уравнению
,
2
0
2
dd
2c
o
s
dd
ss
sx
t
tt
2
0
+d+w =
w (147.5)
применяя впоследствии его решение
для вынужденных колебаний конкрет
ной физической природы (x 0 в случае
механических колебаний равно
0
F
m
,в
случае электромагнитных —
m
U
L
).
Решение уравнения (147.5) равно
сумме общего решения (146.5) одно
родного уравнения (146.1) и частного
решения неоднородного уравнения.
Частное решение найдем в комплекс
ной форме (см. § 140). Заменим правую
часть уравнения (147.5) на комплекс
ную величину 0eit
xw:
0
2e
.
it
sss
x
2w
0
+d+w =
&&
&
(147.6)
Частное решение этого уравнения бу
дем искать в виде
0e.
it
ssh
=
Подставляя выражение для s и его про
изводных (
,
2
00
ee
it
it
si
ss
s
hh
=h
=-
h
&&
&)в
уравнение (147.6), получим
2
00
e(2)e.
it
it
six
h2
w
0
-h+dh+w =
(147.7)
Так как это равенство должно быть
справедливым для всех моментов вре
мени, то время t из него должно исклю
чаться. Отсюда следует, что h = w. Учи
тывая это, из уравнения (147.7) найдем
величину s 0 и умножим ее числитель и
знаменатель на
2
(2
)
i
2
0
w-w - dw:
0
0
2
2
0
22
22
=
()
2
()
2
.
()
4
x
s
i
i
x
2
0
2
0
2
0
=
w-w+dw
w-w
-
dw
=
w-w +dw
Это комплексное число удобно пред
ставить в экспоненциальной форме:
,
0
ei
sA
-j
=
где
;
0
22
22
()
4
x
A
2
0
=
w-w +dw
(147.8)
2
2
arctg
.
2
0
dw
j=
w-w
(147.9)
Следовательно, решение уравнения
(147.6) в комплексной форме примет
вид
()
e.
it
sA
w-j
=
Его вещественная часть, являющая
ся решением уравнения (147.5), равна
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

270
,
cos(
)
sAt
=w
-
j(147.10)
где A и j задаются соответственно фор
мулами (147.8) и (147.9).
Таким образом, частное решение
неоднородного уравнения (147.5) име
ет вид
0
22
22
2
()
4
2
cos
arctg
.
x
s
t
2
0
2
0
=́
w-w +dw
æö
dw
÷
ç
́w
-
÷
ç
÷
ç
w-w
èø
(147.11)
Решение уравнения (147.5) равно
сумме общего решения однородного
уравнения
10
11
ec
o
s
()
t
sA
t
-d
=w
-
j
(147.12)
[см. (146.5)] и частного решения (147.11).
Слагаемое (147.12) играет существен
ную роль только в начальной стадии
процесса (при установлении колеба
ний) до тех пор, пока амплитуда вынуж
денных колебаний не достигнет значе
ния, определяемого равенством (147.8).
Графически вынужденные колебания
представлены на рис. 211 . Следователь
но, в установившемся режиме вынуж
денные колебания происходят с часто
той w и являются гармоническими; ам
плитуда и фаза колебаний, определяе
мые выражениями (147.8) и (147.9),
также зависят от w.
Запишем формулы (147.10), (147.8)
и (147.9) для электромагнитных коле
баний, учитывая, что 2
0
1
LC
w=
[см.
(143.4)] и
2
R
L
d= [см. (146.11)]:

;
m
m
2
2
1
tg
.
1
U
Q
RL
C
R
L
C
=
w+
w
-
w
a=
-w
w
(147.13)
Дифференцируя Q = Qm cos (wt - a)
по t , найдем силу тока в контуре при
установившихся колебаниях:

,
m
m
sin(
)
cos
2
IQt
It
=-w
w-a =
p
=w
-
a
+(147.14)
где

m
mm
2
2
.
1
U
IQ
RL
C
=w
=
+w-
w
(147.15)
Выражение (147.14) может быть за
писано в виде
I=Imcos(wt -j),
где
2
p
j=a-
—
сдвиг по фазе между
током и приложенным напряжением
[см. (147.3)].
В соответствии с выражением
(147.13)

tg
tg
1
1
.
tg
L
C
R
p
j= a-
=
2
w-
w
=-
=
a
(147.16)
Из формулы (147.16) вытекает, что
ток отстает по фазе от напряжения
(j>0), если
1
L
C
w>
w
, и опережает на
пряжение (j < 0), если
1
L
C
w<
w
.
Рис. 211
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

271
Формулы (147.15) и (147.16) мож
но также получить с помощью вектор
ной диаграммы (см. § 149).
§ 148. Àìïëèòóäà è ôàçà
âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé
(ìåõàíè÷åñêèõ
è ýëåêòðîìàãíèòíûõ).
Ðåçîíàíñ
Рассмотрим зависимость амплиту
ды A вынужденных колебаний от час
тоты w. Механические и электромаг
нитные колебания будем рассматривать
одновременно, называя колеблющуюся
величину либо смещением (x) колеблю
щегося тела из положения равновесия,
либо зарядом (Q) конденсатора.
Из формулы (147.8) следует, что
амплитуда A смещения (заряда) имеет
максимум. Чтобы определить резонан
сную частоту wрез — частоту, при ко
торой амплитуда A смещения (заряда)
достигает максимума, — нужно найти
максимум функции (147.8), или, что то
же самое, минимум подкоренного вы
ражения. Продифференцировав подко
ренное выражение по w и приравняв его
нулю, получим условие, определяющее
wрез:
22
4(
)80.
2
0
-w
-
ww+dw=
Это равенство выполняется при w=0,
2
2
2
0
±w-d, у которых только лишь по
ложительное значение имеет физиче
ский смысл. Следовательно, резонанс
ная частота
ðåç
2
2.
2
0
w=w
-
d (148.1)
Явление резкого возрастания амп
литуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей
силы (частоты вынуждающего пере
менного напряжения) к частоте, равной
или близкой собственной частоте коле
бательной системы, называется резо
нансом (соответственно механи
ческим или электрическим). При
2
2
0
dw
= значение wрез практически со
впадает с собственной частотой w0 коле
бательной системы. Подставляя (148.1)
в формулу (147.8), получим
ðåç
0
2
.
2
x
A
2
0
=
dw-d
(148.2)
На рис. 212 приведены зависимости
амплитуды вынужденных колебаний от
частоты при различных значениях d. Из
(148.1) и (148.2) вытекает, что чем
меньше d, тем выше и правее лежит мак
симум данной кривой. Если w ® 0, то
все кривые [см. также (147.8)] достига
ют одного и того же, отличного от нуля,
предельного значения
0
2
0
x
w
, которое на
зывают статическим отклонением.
В случае механических колебаний
0
2
0
x
w
=
=
0
2
0
F
mw
, в случае электромагнитных —
m
2
0
U
Lw
. Если w ® 0, то все кривые асимп
тотически стремятся к нулю. Приведен
ная совокупность кривых называется
резонансными кривыми.
Рис. 212
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

272
Из формулы (148.2) вытекает, что
при малом затухании ( 2
2
0
dw
= )резо
нансная амплитуда смещения (заряда)
ðåç
,
00
00
0
22
xx
x
AQ
22
00
w
===
dwdww
где Q — добротность колебательной
системы [см. (146.8)]; 0
2
0
x
w
— рассмотрен
ное выше статическое отклонение.
Отсюда следует, что добротность Q
характеризует резонансные свойства
колебательной системы: чем больше Q,
тем больше Aрез.
На рис. 213 представлены резонанс
ные кривые для амплитуды скорости
(тока). Амплитуда скорости (тока)
0
22
22
0
22
2
2
()
4
()
4
x
A
x
2
0
2
0
w
w=
=
w-w +dw
=
w-w
+d
w
максимальна при wрез = w0 и равна
0
2
x
d
,
т. е. чем больше коэффициент затуха
ния d, тем ниже максимум резонансной
кривой. Используя формулы (142.2),
(146.10) и (143.4), (146.11), получим,
что амплитуда скорости при механиче
ском резонансе равна
,
00
max
()2
v
xF
A
r
==
d
а амплитуда тока при электрическом
резонансе
0
m
max
()
.
2
I
x
U
A
R
==
d
Из выражения
2
2
tg
2
0
dw
j=
w-w
[см.
(147.9)] следует, что если затухание в
системе отсутствует (d = 0), то только
в этом случае колебания и вынуждаю
щая сила (приложенное переменное на
пряжение) имеют одинаковые фазы; во
всех других случаях j 1 0.
Зависимость j от w при разных ко
эффициентах d графически представле
на на рис. 214, из которого следует, что
при изменении w изменяется и сдвиг
фаз j. ИЗ формулы (147.9) вытекает,
чтоприw=0j=0,априw=w0не
зависимо от значения коэффициента
затухания
2
p
j= , т. е . сила (напряже
ние) опережает по фазе колебания на
2
p
.
При дальнейшем увеличении w сдвиг
фазвозрастаетиприw?w0 j® p,т.е.
фаза колебаний почти противополож
на фазе внешней силы (переменного на
пряжения). Семейство кривых, изобра
женных на рис. 214, называется фазо
выми резонансными кривыми.
Явления резонанса могут быть как
вредными, так и полезными. Например,
при конструировании машин и различ
ного рода сооружений необходимо, что
бы собственная частота их колебаний
Рис. 213
Рис. 214
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

273
не совпадала с частотой возможных
внешних воздействий, в противном
случае возникнут вибрации, которые
могут вызвать серьезные разрушения.
С другой стороны, наличие резонанса
позволяет обнаружить даже очень сла
бые колебания, если их частота совпа
дает с частотой собственных колебаний
прибора. Так, радиотехника, приклад
ная акустика, электротехника исполь
зуют явление резонанса.
§ 149. Ïåðåìåííûé òîê
Установившиеся вынужденные элек
тромагнитные колебания (см. § 147)
можно рассматривать как протекание в
цепи, содержащей резистор, катушку
индуктивности и конденсатор перемен
ного тока. Переменный ток можно
считать квазистационарным, т. е . для
него мгновенные значения силы тока во
всех сечениях цепи практически одина
ковы, так как их изменения происходят
достаточно медленно, а электромагнит
ные возмущения распространяются по
цепи со скоростью, равной скорости
света.
Для мгновенных значений квазиста
ционарных токов выполняются закон
Ома и вытекающие из него правила
Кирхгофа, которые будут использова
ны применительно к переменным то
кам (эти законы уже использовались
при рассмотрении электромагнитных
колебаний).
Рассмотрим последовательно про
цессы, происходящие на участке цепи,
содержащем резистор, катушку индук
тивности и конденсатор, к концам ко
торого приложено переменное напря
жение
U=Umcoswt,
(149.1)
где Um — амплитуда напряжения.
1. Переменный ток, текущий через
резистор сопротивлением R (L ® 0,
C ® 0) (рис. 215, а). При выполнении
условия квазистационарности ток через
резистор определяется законом Ома:
,
m
m
cos
cos
U
U
It
I
t
RR
==
w
=
w
где амплитуда силы тока
m
m
U
I
R
=
.
Для наглядного изображения соот
ношений между переменными токами
и напряжениями воспользуемся мето
дом векторных диаграмм. На рис. 215, б
дана векторная диаграмма амплитуд
ных значений тока I m и напряжения Um
на резисторе (сдвиг фаз между I m и Um
равен нулю).
2. Переменный ток, текущий через
катушку индуктивностью L (R ® 0,
C ® 0) (рис. 216, а). Если в цепи прило
жено переменное напряжение (149.1), то
в ней потечет переменный ток, в резуль
тате чего возникнет ЭДС самоиндук
ции [см. (126.3)]
d
d
s
I
L
t
=-
õ
. Тогда за
кон Ома [см. (100.3)] для рассматрива
емого участка цепи имеет вид
,
m
d
cos
0
d
I
Ut
L
t
w-
=
откуда
m
d
cos .
d
I
LUt
t
=w(149.2)
Рис. 215
Рис. 216
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

274
Так как внешнее напряжение приложе
но к катушке индуктивности, то
d
d
L
I
UL
t
=
(149.3)
есть падение напряжения на катушке.
Из уравнения (149.2) следует, что
m
dc
o
s
d
.
U
It
t
L
=w
После интегрирования, учитывая, что
постоянная интегрирования равна нулю
(так как отсутствует постоянная состав
ляющая тока), получим

,
mm
m
sin
cos
2
cos
2
UU
Itt
LL
I
t
p
=w
=
=
w-
ww
p
=
w-
(149.4)
где
m
m
U
I
L
=
w
.
Величина
L
RL
=w
(149.5)
называется реактивным индуктив
ным сопротивлением (или индуктив
ным сопротивлением). Из выражения
(149.5) вытекает, что для постоянного
тока (w = 0) катушка индуктивности не
имеет сопротивления. Подстановка зна
чения Um = wLI m в выражение (149.2)
с учетом (149.3) приводит к следующе
му значению падения напряжения на
катушке индуктивности:
m cos
.
L
UL
It
=w
w
(149.6)
Сравнение выражений (149.4) и
(149.6) приводит к выводу, что падение
напряжения UL опережает по фазе ток I,
текущий через катушку, на
2
p
,чтоипо
казано на векторной диаграмме (рис.
216, б ).
3. Переменный ток, текущий через
конденсатор емкостью C (R ® 0,
L ®0) (рис. 217, а). Если переменное
напряжение (149.1) приложено к кон
денсатору, то он все время перезаряжа
ется, и в цепи течет переменный ток.
Так как все внешнее напряжение при
ложено к конденсатору, а сопротивле
нием подводящих проводов можно пре
небречь, то
m cos
.
C
QUUt
C
==
w
Сила тока
,
m
m
d
sin
d
cos
2
Q
IC
U
t
t
I
t
==
-
w
w
=
p
=
w+
(149.7)
где
m
mm
.
1()
U
IC
U
C
=w
=
w
Величина
1
C
R
C
=
w
называется реактивным емкостным
сопротивлением (или емкостным со
противлением). Для постоянного тока
(w=0)RC=¥,т.е.постоянныйтокче
рез конденсатор течь не может. Паде
ние напряжения на конденсаторе
.
m
1 cos
C
UIt
C
=w
w
(149.8)
Сравнение выражений (149.7) и
(149.8) приводит к выводу, что падение
напряжения UC отстает по фазе от те
кущего через конденсатор тока I на
2
p
.
Это показано на векторной диаграмме
(рис. 217, б).
Рис. 217
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

275
4. Цепь переменного тока, содер
жащая последовательно включенные
резистор, катушку индуктивности и
конденсатор. На рис. 218, а представ
лен участок цепи, содержащий резистор
сопротивлением R, катушку индуктив
ностью L и конденсатор емкостью C,
к концам которого приложено пере
менное напряжение (149.1). В цепи
возникнет переменный ток, который
вызовет на всех элементах цепи соот
ветствующие падения напряжения UR ,
ULиUC.
На рис. 218, б представлена вектор
ная диаграмма амплитуд падений на
пряжений на резисторе (UR), катушке
(UL) и конденсаторе (UC).
Амплитуда Um приложенного на
пряжения должна быть равна вектор
ной сумме амплитуд этих падений на
пряжений. Как видно из рис. 218, б ,
угол j определяет разность фаз между
напряжением и силой тока. Из рисун
ка следует, что [см. также формулу
(147.16)]
1
tg
.
L
C
R
w-
w
j=
(149.9)
Из прямоугольного треугольника полу
чаем
2
22
mm
m
1
()
RI
L
I
U
C
éù
+w-
=
êú
êú
w
ëû
,
откуда амплитуда силы тока имеет зна
чение

,
m
m
2
2
1
U
I
RL
C
=
+w-
w
(149.10)
совпадающее с (147.15).
Следовательно, если напряжение
в цепи изменяется по закону U =
= Umcoswt, то в цепи течет ток
,
m cos(
)
IIt
=w
-
j
(149.11)
где j и I m определяются соответственно
формулами (149.9) и (149.10). Величина


2
2
2
2
1
LC
ZRL
C
RRR
=+
w
-
=
w
=+
-
(149.12)
называется полным сопротивлением
цепи, а величина
1
LC
XRR L
C
=-=
w
-
w
—
реактивным сопротивлением.
Рассмотрим частный случай, когда
в цепи отсутствует конденсатор. В дан
ном случае падения напряжений UR и
UL в сумме равны приложенному на
пряжению U. Векторная диаграмма для
данного случая представлена на рис.
219, из которого следует, что
;
m
m
22
tg
.
()
U
LI
R
RL
w
j=
=
+w
(149.13)
Рис. 218
Рис. 219
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

276
Выражения (149.9) и (149.10) совпа
дают с (149.13), если в них
10
C
=
w
, т.е.
C = ¥ . Следовательно, отсутствие кон
денсатора в цепи означает, что C = ¥ , а
не C = 0. Данный вывод можно тракто
вать следующим образом: сближая об
кладки конденсатора до их полного со
прикосновения, получим цепь, в кото
рой конденсатор отсутствует [расстоя
ние между обкладками стремится к
нулю, а емкость — к бесконечности; см.
(94.3)].
§ 150. Ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé
Если в цепи переменного тока, со
держащей последовательно включен
ные конденсатор, катушку индуктивно
сти и резистор (см. рис. 218),
,
1
L
C
w=
w
(150.1)
то сдвиг фаз j между током и напряже
нием (149.9) обращается в нуль (j = 0),
т. е . изменения тока и напряжения про
исходят синфазно. Условию (150.1)
удовлетворяет частота
ðåç
1.
LC
w=
(150.2)
В данном случае полное сопротивление
цепи Z (149.12) становится минималь
ным, равным активному сопротивле
нию R цепи, и ток в цепи определяется
этим сопротивлением, принимая мак
симальные (возможные при данном Um)
значения. При этом падение напряже
ния на активном сопротивлении равно
внешнему напряжению, приложенному
к цепи (UR = U), а падения напряже
ний на конденсаторе (UC) и катушке ин
дуктивности (UL) одинаковы по ам
плитуде и противоположны по фазе.
Это явление называется резонансом
напряжений (последовательным ре
зонансом), а частота (150.2) — резо
нансной частотой. Векторная диаг
рамма для резонанса напряжений при
ведена на рис. 220, а зависимость амп
литуды силы тока от w уже была дана
на рис. 213.
В случае резонанса напряжений
ðåç
ðåç
mm
() ().
LC
UU
=
Подставив в эту формулу значения ре
зонансной частоты и амплитуды напря
жений на катушке индуктивности и
конденсаторе, получим
ðåç
ðåç
,
mmm
mm
() ()
1
LC
L
UUI
C
LUQ
U
RC
==
=
==
где Q —добротность контура, определя
емая выражением (146.14).
Так как добротность обычных коле
бательных контуров больше единицы, то
напряжение как на катушке индуктив
ности, так и на конденсаторе превыша
ет напряжение, приложенное к цепи. По
этому явление резонанса напряжений
используется в технике для усиления ко
лебания напряжения какой либо опре
деленной частоты. Например, в случае
резонанса на конденсаторе можно по
лучить напряжение с амплитудой QUm
(Q в данном случае — добротность кон
тура, которая может быть значительно
больше Um). Это усиление напряжения
возможно только для узкого интервала
частот вблизи резонансной частоты
контура, что позволяет выделить из
Рис. 220
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

277
многих сигналов одно колебание опре
деленной частоты, т. е . на радиоприем
нике настроиться на нужную длину
волны.
Явление резонанса напряжений не
обходимо учитывать при расчете изоля
ции электрических линий, содержащих
конденсаторы и катушки индуктивно
сти, так как иначе может наблюдаться
их пробой.
§ 151. Ðåçîíàíñ òîêîâ
Рассмотрим цепь переменного тока,
содержащую параллельно включенные
конденсатор емкостью C и катушку ин
дуктивностью L (рис. 221). Для просто
ты допустим, что активное сопротивле
ние обеих ветвей настолько мало, что
им можно пренебречь. Если приложен
ное напряжение изменяется по закону
U = Um cos wt [см. (149.1)], то, согласно
формуле (149.11), в ветви 1C 2 течет ток
,
1
1m
1
cos(
)
IIt
=w
-
j
амплитуда которого определяется из
выражения (149.10) при условии R = 0
иL=0:
1
m
m
.
1()
U
I
C
=
w
Начальная фаза j1 этого тока по фор
муле (149.9) определяется равенством
tgj1 = -¥,
, ãäå
.
1
3
21
,
2
,
3
,
2
nn
j=+p
=
K
(151.1)
Аналогично, сила тока в ветви 1L 2
,
2
2m
2
cos(
)
IIt
=w
-
j
амплитуда которого определяется из
(149.10)приусловииR =0иC=¥
(условие отсутствия емкости в цепи, см.
§ 149):
2
m
m
.
U
I
L
=
w
Начальная фаза j2 этого тока [см.
(149.9)]
tgj2 = +¥,
, ãäå
.
2
1
21
,
2
,
3
,
2
nn
j=+p
=
K
(151.2)
Из сравнения выражений (151.1) и
(151.2) вытекает, что разность фаз то
коввветвях1C2и1L2равнаj1- j2 =p,
т. е . токи в ветвях противоположны по
фазе. Амплитуда силы тока во внешней
(неразветвленной) цепи
12
mmm m
1.
III UC
L
=-=w
-
w
Если
ðåç
1
LC
w=w
=
,то
12
mm
II
=
и I m = 0. Явление резкого уменьшения
амплитуды силы тока во внешней цепи,
питающей параллельно включенные
конденсатор и катушку индуктивности,
при приближении частоты w приложен
ного напряжения к резонансной часто
те wрез называется резонансом токов
(параллельным резонансом). В дан
ном случае для резонансной частоты
получили такое же значение, как и при
резонансе напряжений (см. § 150).
Амплитуда силы тока I m оказалась
равна нулю потому, что активным со
противлением контура пренебрегли.
Если учесть сопротивление R, то раз
ность фаз j1 - j2 не будет равна p, по
этому при резонансе токов амплитуда
силы тока I m будет отлична от нуля, но
примет наименьшее возможное значе
ние. Таким образом, при резонансе то
Рис. 221
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

278
ков во внешней цепи токи I1 и I2 ком
пенсируются и сила тока I в подводя
щих проводах достигает минимально
го значения, обусловленного только
током через резистор. При резонансе
токов силы токов I 1 и I 2 могут значи
тельно превышать силу тока I .
Рассмотренный контур оказывает
большое сопротивление переменному
току с частотой, близкой к резонансной.
Поэтому это свойство резонанса токов
используется в резонансных усилите
лях, позволяющих выделять одно опре
деленное колебание из сигнала слож
ной формы.
Резонанс токов используется также
в индукционных печах, где нагревание
металлов производится вихревыми то
ками (см. § 125). В них емкость конден
сатора, включенного параллельно на
гревательной катушке, подбирается так,
чтобы при частоте генератора получил
ся резонанс токов, в результате чего
сила тока через нагревательную катуш
ку будет гораздо больше, чем сила тока
в подводящих проводах.
§ 152. Ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ
â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà
Мгновенное значение мощности пе
ременного тока равно произведению
мгновенных значений напряжения и
силы тока:
,
() ()()
Pt UtIt
=
гдеU(t)=Umcoswt,I(t)=Imcos(wt-j)
[см. выражения (149.1) и (149.11)]. Рас
крыв cos (wt -j), получим
mm
2
mm
()
cos(
)cos
(cos cos sin cos sin ).
Pt IU
t
t
IU
t
tt
=w
-
j
w
=
=w
j
+
w
w
j
Практический интерес представля
ет не мгновенное значение мощности,
а ее среднее значение за период ко
лебания. Учитывая, что
2
1
cos
2
t
áwñ
=
,
sin cos
0
tt
áw wñ
=
, получим
mm
1
cos
2
PI
U
áñ=
j. (152.1)
Из векторной диаграммы (см. рис.
218) следует, что
mm
cos
UR
I
j=
.По
этому
2
m
1.
2
PR
I
áñ=
Такую же мощность развивает постоян
ный ток
m
2
I
I=
.
Величины
,
mm
22
IU
IU
==
называются соответственно действую
щими (или эффективными) значени
ями тока и напряжения. Все ампер
метры и вольтметры градуируются по
действующим значениям тока и напря
жения.
Учитывая действующие значения
тока и напряжения, выражение средней
мощности (152.1) можно записать в
виде
,
cos
PI
U
áñ=
j
(152.2)
где множитель cos j называется коэф
фициентом мощности.
Формула (152.2) показывает, что
мощность, выделяемая в цепи перемен
ного тока, в общем случае зависит не
только от силы тока и напряжения, но
и от сдвига фаз между ними. Если в
цепи реактивное сопротивление отсут
ствует,тоcosj=1иP=UI.Еслицепь
содержит только реактивное сопротив
ление (R=0), то cosj =0 и средняя
мощность равна нулю, какими бы боль
шими ни были ток и напряжение. Если
cos j имеет значения, существенно мень
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

279
ше единицы, то для передачи заданной
мощности при данном напряжении ге
нератора нужно увеличивать силу тока
I, что приведет либо к выделению джо
улевой теплоты, либо потребует увели
чения сечения проводов, что повысит
стоимость линий электропередачи. По
этому на практике всегда стремятся
увеличить cos j, наименьшее допус
тимое значение которого для промыш
ленных установок составляет пример
но 0,85.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания? периодические
процессы?
• Почему возможен единый подход при изучении колебаний различной физической при
роды?
• Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колеба
ния.
• В чем заключается идея метода вращающегося вектора амплитуды?
• Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как
функции времени.
• От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?
• Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной
энергии при гармонических колебаниях.
• Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному
значению возвращающей силы, вызывающей это колебание?
• Как можно сравнить между собой массы тела, измеряя частоты колебаний при подве
шивании этих масс к пружине?
• Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? физическим?
математическим ?
• Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математиче
ского маятников.
• Что такое приведенная длина физического маятника?
• Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебатель
ном контуре? Чем определяется их период?
• Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических
колебаний в контуре.
• Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикуляр
ных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Как получается окружность?
прямая?
• Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых коле
баний?
• Что такое биения? Чему равна частота биений? период?
• Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Про
анализируйте их для механических и электромагнитных колебаний.
• Как изменяется частота собственных колебаний с увеличением массы колеблющегося
тела?
• По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затуха
ющие колебания периодическими?
• Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных ко
лебаний системы?
• Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент
затухания? В чем заключается физический смысл этих величин?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

280
• При каких условиях наблюдается апериодическое движение?
• Что такое автоколебания? В чем их отличие от свободных незатухающих и вынужден
ных незатухающих колебаний? Где они применяются?
• Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынуж
денных колебаний и решите его. Проведите их анализ для механических и электромаг
нитных колебаний.
• От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для ампли
туды и фазы при резонансе.
• Нарисуйте и проанализируйте резонансные кривые для амплитуды смещения (заряда)
и скорости (тока). В чем их отличие?
• Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств сис
темы?
• Чему равен сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе?
• Что называется резонансом? Какова его роль?
• От чего зависит индуктивное сопротивление? емкостное сопротивление?
• Что называется реактивным сопротивлением?
• Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока, текуще
го через конденсатор? катушку индуктивности? резистор? Ответ обосновать также с
помощью векторных диаграмм.
• Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последова
тельно включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.
• Назовите характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов. Приведите
графики резонанса токов и напряжений.
• Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэф
фициентом мощности?
ÇÀÄÀ×È
18.1 . Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой n = 2 Гц,
в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой x 0 = 6 см, со ско
ростью v0 = 14 см/с. Определите амплитуду колебания. [6,1 см]
18.2 . Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максималь
ная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки,
если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза
3
p
.[

0,04 cos
3
xt
p
=p
+
,м]
18.3 . При подвешивании грузов массами m1 = 5 00 г и m2 = 400 г к свободным пружинам
последние удлинились одинаково (Dl = 15 см). Пренебрегая массой пружин, определите:
1) периоды колебаний грузов; 2) какой из грузов при одинаковых амплитудах обладает боль
шей энергией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]
18.4 . Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной
25 см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы
частота колебаний была максимальной. [7,2 см]
18.5 . Два математических маятника, длины которых отличаются на Dl = 1 6 см, соверша
ют за одно и то же время: один n1 = 10 колебаний, другой n2 = 6 колебаний. Определите
длинымаятниковl1иl2.[l1=9см,l2=25см]
18.6 . Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, ин
дуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2 нФ. Максимальное напряжение на обклад
ках конденсатора составляет 150 В. Определите максимальный магнитный поток, прони
зывающий катушку. [0,3 мкВб]
18.7 . Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаково
го периода, равного 8 с, и одинаковой амплитуды 2 см составляет
4
p
. Напишите уравнение
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

281
движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза
одного из них равна нулю. [

0, 037 cos
48
xt
pp
=+
,м]
18.8 . Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих
во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = cos pt и
y=cos
2
t
p
. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
[2y2-x=1]
18.9 . За время, в течение которого система совершает 100 полных колебаний, амплитуда
уменьшается в три раза. Определите добротность системы. [286]
18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденса
тор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Амплитуда заряда на обкладках
конденсатора Qm = 1 мКл. Определите: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический
декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на об
кладках конденсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,06; 3) U = 100 e-20t cos 636pt , В]
18.11 . Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор
подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Ока
залось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определите разность
фаз между током и внешним напряжением. [60°]
18.12 . В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площа
дью поперечного сечения 10 см2
, содержащая 3000 витков. Определите активное сопротив
ление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]
18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряже
ния равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определите амп
литудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом.
[119 кВ]
18.14 . Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГн и конденсатор
емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контуре незатухающих гармониче
ских колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо
подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно
малым, определите добротность данного контура. [100]
Ãëàâà 19
ÓÏÐÓÃÈÅ ÂÎËÍÛ
§ 153. Âîëíîâûå ïðîöåññû.
Ïðîäîëüíûå è ïîïåðå÷íûå âîëíû
Колебания, возбужденные в какой
либо точке среды (твердой, жидкой
или газообразной), распространяются
в ней с конечной скоростью, зависящей
от свойств среды, передаваясь от одной
точки среды к другой. Чем дальше
расположена частица среды от источ
ника колебаний, тем позднее она нач
нет колебаться. Иначе говоря, фазы
колебаний частиц среды и источника
тем больше отличаются друг от дру
га, чем больше это расстояние. При
изучении распространения колебаний
не учитывается дискретное (молеку
лярное) строение среды и среда рас
сматривается как сплошная, т. е. не
прерывно распределенная в простран
стве и обладающая упругими свой
ствами.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

282
Процесс распространения колеба
ний в сплошной среде называется вол
новым процессом (или волной). При
распространении волны частицы среды
не движутся вместе с волной, а колеб
лются около своих положений равно
весия. Вместе с волной от частицы к
частице среды передаются лишь состо
яние колебательного движения и его
энергия. Поэтому основным свойством
всех волн, независимо от их природы,
является перенос энергии без переноса
вещества.
Среди разнообразных волн, встреча
ющихся в природе и технике, выделя
ются следующие их типы: волны на по
верхности жидкости, упругие и элек
тромагнитные волны. Упругими (или
механическими) волнами называются
механические возмущения, распростра
няющиеся в упругой среде. Упругие
волны бывают продольные и попереч
ные. В продольных волнах частицы
среды колеблются в направлении рас
пространения волны, в поперечных —
в плоскостях, перпендикулярных на
правлению распространения волны.
Продольные волны могут возбуж
даться в средах, в которых возникают
упругие силы при деформации сжатия
и растяжения, т. е . в твердых, жидких и
газообразных телах. Поперечные волны
могут возбуждаться в среде, в которой
возникают упругие силы при деформа
ции сдвига, т. е . в твердых телах; в жид
костях и газах возникают только про
дольные волны, а в твердых телах — как
продольные, так и поперечные.
Упругая волна называется гармо
нической, если соответствующие ей ко
лебания частиц среды являются гармо
ническими. На рис. 222 представлена
гармоническая поперечная волна, рас
пространяющаяся со скоростью v вдоль
оси x , т. е . приведена зависимость меж
ду смещением x частиц среды, участву
ющих в волновом процессе, и расстоя
нием x этих частиц (например, части
цы B) от источника колебаний O для
какого то фиксированного момента
времени t.
Приведенный график функции x(x,t)
напоминает график гармонического ко
лебания, однако они различны по суще
ству. График волны дает зависимость
смещения всех частиц среды от рассто
яния до источника колебаний в данный
момент времени, а график колебаний —
зависимость смещения данной частицы
от времени (см. рис. 202).
Расстояние между ближайшими ча
стицами, колеблющимися в одинако
вой фазе, называется длиной волны l
(рис. 222). Длина волны равна тому рас
стоянию, на которое распространяется
определенная фаза колебания за пери
од, т.е.
l=vT,
или, учитывая, что
1
T=
n
,гдеn—час
тота колебаний,
v=ln.
Если рассмотреть волновой процесс
подробнее, то становится ясным, что ко
леблются не только частицы, располо
женные вдоль оси x , но и совокупность
частиц, расположенных в некотором
объеме, т. е . волна, распространяясь от
источника колебаний, охватывает все
новые и новые области пространства.
Геометрическое место точек, до кото
рых доходят колебания к моменту вре
мени t , называется волновым фрон
Рис. 222
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

283
том. Геометрическое место точек, ко
леблющихся в одинаковой фазе, назы
вается волновой поверхностью. Волно
вых поверхностей можно провести бес
численное множество, а волновой фронт
в каждый момент времени — один. Вол
новой фронт также является волновой
поверхностью. Волновые поверхности
могут быть любой формы, а в простей
шем случае они представляют собой со
вокупность плоскостей, параллельных
друг другу, или совокупность концент
рических сфер. Соответственно волна
называется плоской или сферической.
§ 154. Óðàâíåíèå áåãóùåé âîëíû.
Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü.
Âîëíîâîå óðàâíåíèå
Бегущими волнами называются
волны, которые переносят в простран
стве энергию. Перенос энергии волна
ми количественно характеризуется
вектором плотности потока энер
гии. Этот вектор для упругих волн на
зывается вектором Умова [по имени
русского ученого Н. А . Умова (1846 —
1915), решившего задачу о распростра
нении энергии в среде]. Направление
вектора Умова совпадает с направлени
ем переноса энергии, а его модуль ра
вен энергии, переносимой волной за
единицу времени через единичную пло
щадку, расположенную перпендику
лярно направлению распространения
волны.
Для вывода уравнения бегущей вол
ны — зависимости смещения колеблю
щейся частицы от координат и време
ни — рассмотрим плоскую волну, пред
полагая, что колебания носят гармони
ческий характер, а ось x совпадает с на
правлением распространения волны
(см. рис. 222). В данном случае волно
вые поверхности перпендикулярны
оси x, а так как все точки волновой по
верхности колеблются одинаково, то
смещение x будет зависеть только от x
иt,т.е.x =x(x,t).
На рис. 222 рассмотрим некоторую
частицу B среды, находящуюся от ис
точника колебаний O на расстоянии x .
Если колебания точек, лежащих в плос
кости x = 0 , описываются функцией
x(0,t) = A coswt, то частица B среды ко
леблется по тому же закону, но ее коле
бания будут отставать по времени от ко
лебаний источника на t, так как для
прохождения волной расстояния x тре
буется время
x
v
t= , где v — скорость
распространения волны. Тогда уравне
ние колебаний частиц, лежащих в плос
кости x, имеет вид
,
(,)
cos
x
xtA
t
v
x=w
- (154.1)
откуда следует, что x(x, t ) является не
только периодической функцией вре
мени, но и периодической функцией
координаты x . Уравнение (154.1) есть
уравнение бегущей волны. Если плос
кая волна распространяется в противо
положном направлении, то

(,)
cos
.
x
xtA
t
v
x=w
+
В общем случае уравнение плоской
волны, распространяющейся вдоль по
ложительного направления оси x в сре
де, не поглощающей энергию, имеет вид
,
(,)
cos
x
xtA
t
v
0
éù
x=w
-
+
j
êú
êú
ëû
(154.2)
где A = const — амплитуда волны; w —
циклическая частота; j0 — началь
ная фаза волны; определяемая в общем
случае выбором начал отсчета x и t;

x
t
v
0
éù
w- +j
êú
êú
ëû
—
фаза плоской волны.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

284
Для характеристики волн использу
ется волновое число
22
.
k
vT
v
ppw
===
l
(154.3)
Учитывая (154.3), уравнению (154.2)
можно придать вид
(,)
cos(
).
xtA
tkx
0
x=w
-
+
j(154.4)
Уравнение волны, распространяю
щейся вдоль отрицательного направле
ния оси x, отличается от (154.4) только
знаком kx.
Основываясь на формуле Эйлера
(140.7), уравнение плоской волны мож
но записать в виде
,
()
(,)
eitk
x
xtA
0
w- +j
x=
где физический смысл имеет лишь дей
ствительная часть (см. § 140).
Предположим, что при волновом
процессе фаза постоянна, т. е .
 const .
x
t
v
0
w- +j=
(154.5)
Продифференцировав выражение (154.5)
и сократив на w, получим
1
dd0
tx
v
-=
,
откуда
d
.
d
x
v
t
=
(154.6)
Следовательно, скорость v распро
странения волны в уравнении (154.6)
есть не что иное, как скорость переме
щения фазы волны, и ее называют фа
зовой скоростью.
Повторяя ход рассуждений для плос
кой волны, можно доказать, что урав
нение сферической волны — волны,
волновые поверхности которой имеют
вид концентрических сфер, записыва
ется как
,
0
(,)
cos(
)
A
rt
tkr
r
0
x=w
-
+
j(154.7)
где r — расстояние от центра волны до
рассматриваемой точки среды.
В случае сферической волны даже в
среде, не поглощающей энергию, ампли
туда колебаний не остается постоянной,
а убывает с расстоянием по закону
1
r
.
Уравнение (154.7) справедливо лишь
для r, значительно превышающих раз
меры источника (тогда источник коле
баний можно считать точечным).
Из выражения (154.3) вытекает, что
фазовая скорость
.
v
k
w
=
(154.8)
Если фазовая скорость волн в среде
зависит от их частоты, то это явление
называют дисперсией волн, а среда, в
которой наблюдается дисперсия волн,
называется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной
изотропной среде в общем случае опи
сывается волновым уравнением —
дифференциальным уравнением в час
тных производных
,
222 2
2222
2
1
xyzv
t
¶x¶x¶x ¶x
++=
¶¶¶ ¶
или
,
2
22
1
vt
¶x
Dx=
¶
(154.9)
где v — фазовая скорость;
2
2
x
¶
D=
¶
+
+
22
22
yz
¶¶
+
¶¶
—
оператор Лапласа.
Решением уравнения (154.9) явля
ется уравнение любой волны. Соответ
ствующей подстановкой можно убе
диться, что уравнению (154.9) удовлет
воряют, в частности, плоская волна [см.
(154.2)] и сферическая волна [см.
(154.7)]. Для плоской волны, распрос
траняющейся вдоль оси x , волновое
уравнение имеет вид
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

285
22
222
1
.
xvt
¶x
¶x
=
¶¶
(154.10)
§ 155. Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè.
Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü
Если среда, в которой распространя
ется одновременно несколько волн,
линейна, т. е . ее свойства не изменяют
ся под действием возмущений, создава
емых волной, то к ним применим прин
цип суперпозиции (наложения) волн:
при распространении в линейной сре
де нескольких волн каждая из них рас
пространяется так, как будто другие
волны отсутствуют, а результирующее
смещение частицы среды в любой мо
мент времени равно геометрической
сумме смещений, которые получают ча
стицы, участвуя в каждом из слагающих
волновых процессов.
Исходя из принципа суперпозиции и
разложения Фурье [см. (144.5)], любая
волна может быть представлена в виде
суммы гармонических волн, т. е . в виде
волнового пакета, или группы волн.
Волновым пакетом называется су
перпозиция волн, мало отличающихся
друг от друга по частоте, занимающая в
каждый момент времени ограниченную
область пространства.
Рассмотрим простейшую группу волн,
получающуюся в результате наложения
двух распространяющихся вдоль поло
жительного направления оси x гармони
ческих волн с одинаковыми амплитуда
ми, близкими частотами и волновыми
числами, причем dw = w и dk = k. Тогда

0
0
0
cos(
)
cos[( d) ( d)]
dd
2c
o
s
c
o
s
().
2
At
k
x
At
k
k
x
tx
k
At
k
x
x=
w-+
+w
+
w
-
+=
w-
=w
-
Эта волна отличается от гармони
ческой тем, что ее амплитуда
0
dd
2c
o
s
2
tx
k
AA w-
=
есть медленно изменяющаяся функция
координаты x и времени t .
За скорость распространения этой
негармонической волны (волнового па
кета) принимают скорость перемеще
ния максимума амплитуды волны, рас
сматривая тем самым максимум в ка
честве центра волнового пакета. При
условии, что t dw - x dk = const, полу
чим
.
dd
dd
x
u
tk
w
==
(155.1)
Скорость u есть групповая ско
рость. Ее можно определить как ско
рость движения группы волн, образу
ющих в каждый момент времени лока
лизованный в пространстве волновой
пакет. Выражение (155.1) получено для
простейшей группы волн из двух со
ставляющих, однако оно справедливо и
для суперпозиции многих волн.
Рассмотрим связь между групповой
d
d
u
k
w
=
[см. (155.1)] и фазовой v
k
w
=
[см. (154.8)] скоростями. Учитывая, что
2
kp
=
l
[см. (154.3)], получим
 
,
d()
dd
dd
d
dd
dd2
::
dd
dd
d
2d
vk
v
uv
k
kk
k
vk
v
vk
vk
v
vk
2
w
==
=
+=
éù
p
=+
=+
=
êú
êú
ll
lll
ëû
æö
l÷
ç
=+-÷
ç
÷
çèø
pl
или
d.
d
v
uv
=-
l
l
(155.2)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

286
Из формулы (155.2) вытекает, что u
может быть как меньше, так и больше v
в зависимости от знака
d
d
v
l
. В недис
пергирующей среде
d0
d
v
=
l
и группо
вая скорость совпадает с фазовой.
Понятие групповой скорости очень
важно, так как именно она фигурирует
при измерении дальности в радиолока
ции, в системах управления космиче
скими объектами и т. д. В теории отно
сительности доказывается, что группо
вая скорость u = c, в то время как для
фазовой скорости ограничений не суще
ствует.
§ 156. Èíòåðôåðåíöèÿ âîëí
Согласованное протекание во време
ни и пространстве нескольких колеба
тельных или волновых процессов назы
вают когерентностью. Волны являют
ся когерентными, если разность их фаз
остается постоянной во времени. Оче
видно, что когерентными могут быть
лишь волны, имеющие одинаковую час
тоту.
При наложении в пространстве двух
(или нескольких) когерентных волн в
разных его точках получается усиление
или ослабление результирующей вол
ны в зависимости от соотношения меж
ду фазами этих волн. Это явление на
зывается интерференцией волн.
Рассмотрим наложение двух коге
рентных сферических волн, возбужда
емых точечными источниками S1 и S2
(рис. 223), колеблющимися с одинако
выми амплитудой A0, частотой w и по
стоянной разностью фаз. Согласно
(154.7),
;
,
0
11
1
1
0
22
2
2
cos(
)
cos(
)
A
tk
r
r
A
tk
r
r
x=
w- +j
x=
w- +j
где r1 и r2 — расстояния от источников
волн до выбранной точки B; k — волно
вое число; j1 и j2 — начальные фазы
обеих рассматриваемых сферических
волн.
Амплитуда результирующей волны
в точке B по (144.2) равна
2
1022
12
12 12
12
11
2cos[(
)(
)].
AA
rr
krr
rr
ìïï
=+
+
íïïî
üïï
+-
-
j
-
j
ýïïþ
Так как для когерентных источни
ков разность начальных фаз (j1 - j2)=
= const, то результат наложения двух
волн в различных точках зависит от ве
личины D = r1
-
r2, называемой разно
стью хода волн.
В точках, где
k(r1-r2)-(j1-j2)=±2mp
(m = 0, 1, 2, K), (156.1)
наблюдается интерференционный
максимум: амплитуда результирующе
го колебания
00
12
AA
A
rr
=+. В точках,
где
k(r1-r2)-(j1-j2)=±(2m+1)p
(m = 0, 1, 2, K), (156.2)
Рис. 223
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

287
наблюдается интерференционный ми
нимум: амплитуда результирующего ко
лебания
00
12
AA
A
rr
=-
. m=0,1,2,K
называется порядком интерференци
онного максимума или минимума.
Условия (156.1) и (156.2) сводятся
к тому, что
r1-r2
= const.
(156.3)
Выражение (156.3) представляет со
бой уравнение гиперболы с фокусами в
точки S1 и S2. Следовательно, геометри
ческое место точек, в которых наблюда
ется усиление или ослабление результи
рующего колебания, представляет собой
семейство гипербол (см. рис. 223), от
вечающих условию j1 - j2 = 0. Между
двумя интерференционными максиму
мами (на рис. 223 сплошные линии)
находятся интерференционные мини
мумы (на рис. 223 штриховые линии).
§ 157. Ñòîÿ÷èå âîëíû
Частным случаем интерференции
являются стоячие волны — это волны,
образующиеся при наложении двух бе
гущих волн, распространяющихся на
встречу друг другу с одинаковыми час
тотами и амплитудами, а в случае по
перечных волн еще и одинаковой поля
ризацией.
Для вывода уравнения стоячей вол
ны предположим, что две плоские вол
ны распространяются навстречу друг
другу вдоль оси x в среде без затухания,
причем обе волны характеризуются
одинаковыми амплитудами и частота
ми. Кроме того, начало координат вы
берем в точке, в которой обе волны име
ют одинаковую начальную фазу, а от
счет времени начнем с момента, когда
начальные фазы обеих волн равны
нулю. Тогда соответственно уравнения
волны, распространяющейся вдоль по
ложительного направления оси x, и вол
ны, распространяющейся ей навстречу,
будут иметь вид
,
1
2
cos(
)
cos(
).
At
k
x
At
k
x
ìx=
w-
ïï
íïx=
w+
ïî
(157.1)
Сложив эти уравнения и учитывая,
что
2
kp
=
l
[см. (154.3)], получим урав
нение стоячей волны:
122c
o
sc
o
s
Ak
xt
x=x+x=
w=
2
2cos cos .
x
At
p
=w
l
(157.2)
Из уравнения стоячей волны (157.2)
вытекает, что в каждой точке этой вол
ны происходят колебания той же час
тоты w с амплитудой A ст
=
=
2
2cos
Ax
p
l , зависящей от координа
ты x рассматриваемой точки.
В точках среды, где
,
2
(0
,
1
,
2
,
)
x
mm
p
=±p
=
l
K
(157.3)
амплитуда колебаний достигает макси
мального значения, равного 2A. В точ
ках среды, где
,
21
(0
,
1
,
2
,
)
2
x
mm
p
=±
+p
=
l
K
(157.4)
амплитуда колебаний обращается в
нуль. Точки, в которых амплитуда ко
лебаний максимальна (Aст = 2A), назы
ваются пучностями стоячей волны, а
точки, в которых амплитуда колебаний
равна нулю (Aст = 0), называются уз
лами стоячей волны. Точки среды, на
ходящиеся в узлах, колебаний не совер
шают.
Из выражений (157.3) и (157.4) по
лучим соответственно координаты пуч
ностей и узлов:
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

288
ï
;
(0
,
1
,
2
,
)
xm
m
l
=±
=
2
K
(157.5)

óçë
1(0
,
1
,
2
,
)
.
2
xmm
l
=±
+
=
2
K
(157.6)
Из формул (157.5) и (157.6) следу
ет, что расстояния между двумя сосед
ними пучностями и двумя соседними
узлами одинаковы и равны
l
2
. Рассто
яние между соседними пучностью и уз
лом стоячей волны равно
4
l.
В отличие от бегущей волны, все
точки которой совершают колебания с
одинаковой амплитудой, но с запазды
ванием по фазе [в уравнении (157.1) бе
гущей волны фаза колебаний зависит от
координаты x рассматриваемой точки],
все точки стоячей волны между двумя
узлами колеблются с разными амплиту
дами, но с одинаковыми фазами [в урав
нении (157.2) стоячей волны аргумент
косинуса не зависит от x]. При переходе
через узел множитель
2
2cos
Ax
p
l
меня
ет свой знак, поэтому фаза колебаний
по разные стороны от узла отличается
на p, т. е . точки, лежащие по разные сто
роны от узла, колеблются в противо
фазе.
Образование стоячих волн наблюда
ют при интерференции бегущей и отра
женной волн. Если конец веревки зак
репить неподвижно (например, к стене),
то отраженная в месте закрепления ве
ревки волна будет интерферировать с бе
гущей волной, образуя стоячую волну.
На границе, где происходит отражение
волны, в данном случае возникает узел.
Будет ли на границе отражения узел
или пучность, зависит от соотношения
плотностей сред. Если среда, от кото
рой происходит отражение, менее плот
ная, то в месте отражения возникает
пучность (рис. 224, а), если более плот
ная — узел (рис. 224, б ). Образование
узла связано с тем, что волна, отража
ясь от более плотной среды, меняет
фазу на противоположную и у грани
цы происходит сложение колебаний с
противоположными фазами, в резуль
тате чего получается узел. Если же вол
на отражается от менее плотной среды,
то изменения фазы не происходит и у
границы колебания складываются с
одинаковыми фазами — образуется
пучность.
Если рассматривать бегущую волну,
то в направлении ее распространения
переносится энергия колебательного
движения. В случае же стоячей волны
переноса энергии нет, так как падающая
и отраженная волны одинаковой амп
литуды несут одинаковую энергию в
противоположных направлениях. По
этому полная энергия результирующей
стоячей волны в пределах между узло
выми точками остается постоянной.
Лишь в пределах расстояний, равных
половине длины волны, происходят
взаимные превращения кинетической
энергии в потенциальную и обратно.
Рис. 224
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

289
§ 158. Çâóêîâûå âîëíû
Звуковыми (или акустическими)
волнами называются распространяю
щиеся в среде упругие волны, обла
дающие частотами в пределах 16 —
20 000 Гц. Волны указанных частот, воз
действуя на слуховой аппарат челове
ка, вызывают ощущение звука. Волны с
n < 16 Гц (инфразвуковые) и n>20кГц
(ультразвуковые) органами слуха че
ловека не воспринимаются.
Звуковые волны в газах и жидкостях
могут быть только продольными, так
как эти среды обладают упругостью
лишь по отношению к деформациям
сжатия (растяжения). В твердых телах
звуковые волны могут быть как про
дольными, так и поперечными, по
скольку твердые тела обладают упруго
стью по отношению к деформациям
сжатия (растяжения) и сдвига.
Интенсивностью звука (или си
лой звука) называется величина, опре
деляемая средней по времени энерги
ей, переносимой звуковой волной в еди
ницу времени сквозь единичную пло
щадку, перпендикулярную направле
нию распространения волны:
.
W
I
St
=
Единица интенсивности звука в СИ —
ватт на метр в квадрате (Вт/м2).
Чувствительность человеческого уха
различна для разных частот. Для того
чтобы вызвать звуковое ощущение,
волна должна обладать некоторой ми
нимальной интенсивностью, но если эта
интенсивность превышает определен
ный предел, то звук не слышен и вызы
вает только болевое ощущение. Таким
образом, для каждой частоты колеба
ний существуют наименьшая (порог
слышимости) и наибольшая (порог
болевого ощущения) интенсивности
звука, которые способны вызвать зву
ковое восприятие. На рис. 225 представ
лены зависимости порогов слышимос
ти и болевого ощущения от частоты
звука. Область, расположенная между
этими двумя кривыми, является обла
стью слышимости.
Если интенсивность звука является
величиной, объективно характеризую
щей волновой процесс, то субъективной
характеристикой звука, связанной с его
интенсивностью, является громкость
звука, зависящая от частоты. Согласно
физиологическому закону Вебера —
Фехнера, с ростом интенсивности зву
ка громкость возрастает по логарифми
ческому закону. На этом основании
вводят объективную оценку громкости
звука по измеренному значению его
интенсивности:
,
0
lgI
L
I
=
где I0 — интенсивность звука на пороге
слышимости, принимаемая для всех
звуков равной 10-12
Вт/м2
.
Величина L называется уровнем ин
тенсивности звука и выражается в
белах (в честь изобретателя телефона
Белла). Обычно пользуются единица
ми, в 10 раз меньшими, — децибелами
(дБ).
Физиологической характеристикой
звука является уровень громкости, ко
торый выражается в фонах (фон). Гром
кость для звука в 1000 Гц (частота стан
дартного чистого тона) равна 1 фон,
Рис. 225
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

290
если его уровень интенсивности равен
1 дБ. Например, шум в вагоне метро
при большой скорости соответствует
»90 фон, а шепот на расстоянии 1 м —
»20 фон.
Реальный звук является наложени
ем гармонических колебаний с боль
шим набором частот, т. е . звук обладает
акустическим спектром, который мо
жет быть сплошным (в некотором ин
тервале присутствуют колебания всех
частот) и линейчатым (присутствуют
колебания отделенных друг от друга
определенных частот).
Звук характеризуется помимо гром
кости еще высотой и тембром. Высота
звука — качество звука, определяемое
человеком субъективно на слух и зави
сящее от частоты звука. С ростом час
тоты высота звука увеличивается, т. е .
звук становится выше. Характер акус
тического спектра и распределения
энергии между частотами определяет
своеобразие звукового ощущения, на
зываемое тембром звука.
Так, различные певцы, берущие одну
и ту же ноту, имеют различный акусти
ческий спектр, т. е . их голоса имеют раз
личный тембр.
Источником звука может быть вся
кое тело, колеблющееся в упругой сре
де со звуковой частотой (например, в
струнных инструментах источником
звука является струна, соединенная с
корпусом инструмента).
Совершая колебания, тело вызыва
ет колебания прилегающих к нему час
тиц среды с такой же частотой. Состоя
ние колебательного движения последо
вательно передается к все более удален
ным от тела частицам среды, т. е . в сре
де распространяется волна с частотой
колебаний, равной частоте ее источни
ка, и с определенной скоростью, зави
сящей от плотности и упругих свойств
среды. Скорость распространения зву
ковых волн в газах вычисляется по фор
муле
,
RT
v
M
g
=
(158.1)
где
p
V
C
C
g=
—
отношение молярных
теплоемкостей газа при постоянных
давлении и объеме; R — молярная га
зовая постоянная; T — термодинамиче
ская температура; M — молярная масса.
Из формулы (158.1) вытекает, что
скорость звука в газе не зависит от дав
ления p газа, но возрастает с повыше
нием температуры. Чем больше мо
лярная масса газа, тем меньше в нем
скорость звука. Например, при T =
= 273 К скорость звука в воздухе (M =
=29· 10-3 кг/моль) v = 331 м/с, в водо
роде (M = 2 · 10-3 кг/моль) v = 1260 м/с.
Выражение (158.1) соответствует опыт
ным данным.
При распространении звука в атмо
сфере необходимо учитывать целый
ряд факторов: скорость и направление
ветра, влажность воздуха, молекуляр
ную структуру газовой среды, явления
преломления и отражения звука на гра
нице двух сред. Кроме того, любая ре
альная среда обладает вязкостью, по
этому наблюдается затухание звука, т. е.
уменьшение его амплитуды и, следова
тельно, интенсивности звуковой волны
по мере ее распространения. Затухание
звука обусловлено в значительной мере
его поглощением в среде, связанным с
необратимым переходом звуковой энер
гии в другие формы энергии (в основ
ном в тепловую).
Для акустики помещений большое
значение имеет реверберация звука —
процесс постепенного затухания звука
в закрытых помещениях после выклю
чения его источника. Если помещения
пустые, то происходит медленное зату
хание звука и создается «гулкость» по
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

291
мещения. Если звуки затухают быстро
(при применении звукопоглощающих
материалов), то они воспринимаются
приглушенными. Время ревербера
ции — это время, в течение которого ин
тенсивность звука в помещении ослаб
ляется в миллион раз, а его уровень —
на 60 дБ. Помещение обладает хорошей
акустикой, если время реверберации со
ставляет 0,5 — 1,5 с.
§ 159. Ýôôåêò Äîïëåðà
â àêóñòèêå
Эффектом Доплера1 называется
изменение частоты колебаний, воспри
нимаемой приемником, при движении
источника этих колебаний и приемни
ка относительно друг друга. Например,
из опыта известно, что тон гудка поез
да повышается по мере его приближе
ния к платформе и понижается при уда
лении, т. е. движение источника колеба
ний (гудка) относительно приемника
(уха) изменяет частоту принимаемых
колебаний.
Для рассмотрения эффекта Допле
ра предположим, что источник и при
емник звука движутся вдоль соединя
ющей их прямой; vист и vпр — соответ
ственно скорости движения источника
и приемника, причем они положитель
ны, если источник (приемник) прибли
жается к приемнику (источнику), и от
рицательны, если удаляются. Частота
колебаний источника равна n0.
1. Источник и приемник покоятся
относительно среды, т. е . vист = vпр = 0.
Если v — скорость распространения
звуковой волны в рассматриваемой сре
де, то длина волны
0
v
vT
l==
n
. Рас
пространяясь в среде, волна достигнет
приемника и вызовет колебания его зву
кочувствительного элемента с частотой
0.
vv
vT
n==
=n
l
Следовательно, частота n звука, ко
торую зарегистрирует приемник, равна
частоте n0, с которой звуковая волна
излучается источником.
2. Приемник приближается к источ
нику, а источник покоится, т. е . vпр > 0,
vист = 0.
В данном случае скорость распрост
ранения волны относительно приемни
ка станет равной v + vпр. Так как длина
волны при этом не меняется, то
ïð
ïð
ïð
,
0
()
vv vv
vv
vT
v
+++
n
n=
=
=
l
т. е. частота колебаний, воспринимае
мых приемником, в
èñò
vv
v
+
раз боль
ше частоты колебаний источника.
3. Источник приближается к прием
нику, а приемник покоится, т. е . vист > 0,
vпр=0.
Скорость распространения колеба
ний зависит лишь от свойств среды, по
этому за время, равное периоду колеба
ний источника, излученная им волна
пройдет в направлении к приемнику
расстояние vT (равное длине волны l)
независимо от того, движется ли источ
ник или покоится. За это же время ис
точник пройдет в направлении волны
расстояние vистT (рис. 226), т. е. длина
волны в направлении движения сокра
тится и станет равной
l¢=l -vистT=(v-vист)T.
1 Х. Доплер (1803 — 1853) — австрийский фи
зик, математик и астроном.
Рис. 226
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

292
Тогда
èñò
èñò
,
0
()
v
vv
vv
vvT
n
n==
=
¢
-
-
l
т. е. частота n колебаний, воспринимае
мых приемником, увеличится в
èñò
v
vv
-
раз. В случаях 2 и 3, если vист <0и
vпр <0, знак будет обратным.
4. Источник и приемник движутся
относительно друг друга. Используя
результаты, полученные для случаев 2
и 3, можно записать выражение для
частоты колебаний, регистрируемых
приемником:
ïð
èñò
,
0
()
vv
vv
±n
n=
m
(159.1)
причем верхний знак берется, если при
движении источника или приемника
происходит сближение, нижний знак —
в случае их взаимного удаления.
Из приведенных формул следует,
что эффект Доплера различен в зави
симости от того, движется ли источник
или приемник. Если направления ско
ростей vпр и vист не совпадают с прохо
дящей через источник и приемник пря
мой, то вместо этих скоростей в форму
ле (159.1) надо брать их проекции на
направление этой прямой.
§ 160. Óëüòðàçâóê è åãî ïðèìåíåíèå
По своей природе ультразвук пред
ставляет собой упругие волны, и в этом
он не отличается от звука (см. § 158).
Однако ультразвук, обладая высокими
частотами (v > 20 кГц) и, следователь
но, малыми длинами волн, характери
зуется особыми свойствами, что позво
ляет выделить его в отдельный класс
явлений. Из за малых длин волн ульт
развуковые волны, как и свет, могут
быть получены в виде строго направ
ленных пучков.
Для генерации ультразвука исполь
зуются в основном два явления.
Обратный пьезоэлектрический
эффект (см. § 91) — это возникнове
ние деформации в вырезанной опреде
ленным образом кварцевой пластинке
(в последнее время вместо кварца при
меняется титанат бария) под действи
ем электрического поля. Если такую
пластинку поместить в высокочастот
ное переменное поле, то можно вызвать
ее вынужденные колебания. При резо
нансе на собственной частоте пластин
ки получают большие амплитуды коле
баний и, следовательно, большие интен
сивности излучаемой ультразвуковой
волны. Идея кварцевого ультразвуково
го генератора принадлежит французско
му физику П. Ланжевену (1872 — 1946).
Магнитострикция — это возникно
вение деформации в ферромагнетиках
под действием магнитного поля. Помес
тив ферромагнитный стержень (напри
мер, из никеля или железа) в быстропе
ременное магнитное поле, возбуждают
его механические колебания, амплитуда
которых максимальна в случае резонанса.
Ультразвуки широко используются
в технике, например для направленной
подводной сигнализации, обнаружения
подводных предметов и определения
глубин (гидролокатор, эхолот). Напри
мер, в эхолоте от пьезокварцевого гене
ратора, укрепленного на судне, посыла
ются направленные ультразвуковые
сигналы, которые, достигнув дна, отра
жаются от него и возвращаются обрат
но. Зная скорость их распространения
в воде и определяя время прохождения
(от подачи до возвращения) ультразву
кового сигнала, можно вычислить глу
бину. Прием эха также производится с
помощью пьезокварца. Звуковые коле
бания, дойдя до пьезокварца, вызыва
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

293
ют в нем упругие колебания, в резуль
тате чего на противоположных поверх
ностях кварца возникают электричес
кие заряды, которые измеряются.
Если пропускать ультразвуковой
сигнал через исследуемую деталь, то
можно обнаружить в ней дефекты по
характерному рассеянию пучка и по по
явлению ультразвуковой тени. На этом
принципе создана целая отрасль техни
ки — ультразвуковая дефектоско
пия, начало которой положено С. Я. Со
коловым (1897 — 1957). Применение
ультразвука легло также в основу новой
области акустики — акустоэлектро
ники, позволяющей на ее основе разра
батывать приборы для обработки сиг
нальной информации в микрорадио
электронике.
Ультразвук применяют для воздей
ствия на различные процессы (кристал
лизацию, диффузию, тепло и массооб
мен в металлургии и т. д .) и биологиче
ские объекты (повышение интенсивно
сти процессов обмена и т. д .), для изу
чения физических свойств веществ (по
глощения, структуры вещества и т. д .) .
Ультразвук используется также для ме
ханической обработки очень твердых и
очень хрупких тел, в медицине (диаг
ностика, ультразвуковая хирургия,
микромассаж тканей) и т. д .
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Как объяснить распространение колебаний в упругой среде? Что такое волна?
• Что называется поперечной волной? продольной? Когда они возникают?
• Что такое волновой фронт? волновая поверхность?
• Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, скоростью и периодом?
• Что такое волновое число? фазовая и групповая скорости?
• В чем заключается физический смысл вектора Умова?
• Какая волна является бегущей, гармонической, плоской, сферической? Каковы уравне
ния этих волн?
• При каких условиях возникает интерференция волн? Назовите условия интерферен
ционных максимума и минимума.
• Две когерентные волны с одинаковым периодом распространяются в одном направле
нии. Разность хода равна четному числу полуволн. Что получится в результате интер
ференции?
• Всегда ли сохраняется энергия при интерференции двух волн? Ответ обосновать.
• Когда на струне образуется стоячая волна, колебания падающей и отраженной волн в
узлах взаимно гасятся. Означает ли это, что исчезает энергия?
• Две когерентные волны, распространяющиеся навстречу друг другу, отличаются толь
ко амплитудами. Образуют ли они стоячую волну?
• Чем стоячая волна отличается от бегущей?
• Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны? двумя соседни
ми пучностями? соседними пучностью и узлом?
• Что такое звуковые волны? Звуковые волны в воздухе продольные или поперечные?
Почему?
• Может ли звук распространяться в вакууме?
• От чего зависят громкость, высота и тембр звука?
• Что такое эффект Доплера? Чему будет равна частота колебаний, воспринимаемых по
коящимся приемником, если источник колебаний от него удаляется?
• Какое влияние оказывает скорость ветра на эффект Доплера?
• Как определить частоту звука, воспринимаемую приемником, если источник звука и
приемник движутся?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

294
ÇÀÄÀ×È
19.1 . Плоская гармоническая волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с поло
жительным направлением оси x в среде, не поглощающей энергию, со скоростью v = 12 м/с.
Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x1 = 7 м и x2 = 12 м от источника
колебаний, колеблются с разностью фаз Dj =
5
6
p. Амплитуда волны A = 6 см. Определи
те: 1) длину волны l ; 2) уравнение волны; 3) смещение x2 второй точки в момент времени
t=3с.[1)12см;2)x(x,t)=

0,06cos 2
6
tx
p
p-
, м;3)6см]
19.2 . Два динамика расположены на расстоянии 2 м друг от друга и воспроизводят один
и тот же музыкальный тон на частоте 1000 Гц. Приемник находится на расстоянии 4 м от
центра динамиков. Принимая скорость звука 340 м/с, определите, на какое расстояние от
центральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафик
сировал первый интерференционный минимум. [0,34 м]
19.3 . Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса ис
пользуется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Рас
стояние между соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на
частоте 1700 Гц, составляет 10 см. Определите скорость звука в воздухе. [340 м/с]
19.4. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых усло
виях составляет 461 м/с. Определите скорость распространения звука при тех же условиях.
[315 м/с]
19.5. Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приемника и подает
звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частоты Dn = 54 Гц. Принимая скорость
звука равной 340 м/с, определите частоту тона звукового сигнала гудка поезда. [611 Гц]
Ãëàâà 20
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÂÎËÍÛ
§ 161. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå
ïîëó÷åíèå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí
Существование электромагнит
ных волн — переменного электромаг
нитного поля, распространяющегося в
пространстве с конечной скоростью, —
вытекает из уравнения Максвелла (см.
§ 139). Уравнения Максвелла сформу
лированы в 1865 г. на основе обобще
ния эмпирических законов электриче
ских и магнитных явлений. Как уже ука
зывалось, решающую роль для утвер
ждения максвелловской теории сыгра
ли опыты Герца (1888), согласно кото
рым электрические и магнитные поля
действительно распространяются в
виде волн, поведение которых полно
стью описывается уравнениями Мак
свелла.
Источником электромагнитных волн
в действительности может быть любой
электрический колебательный контур
или проводник, по которому течет пе
ременный электрический ток, так как
для возбуждения электромагнитных
волн необходимо создать в простран
стве переменное электрическое поле
(ток смещения) или соответственно пе
ременное магнитное поле. Однако из
лучающая способность источника опре
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

295
деляется его формой, размерами и час
тотой колебаний.
Чтобы излучение играло заметную
роль, необходимо увеличить объем про
странства, в котором создается пере
менное электромагнитное поле. Поэто
му для получения электромагнитных
волн непригодны закрытые колебатель
ные контуры, так как в них электричес
кое поле сосредоточено между обклад
ками конденсатора, а магнитное —
внутри катушки индуктивности.
Г. Герц в своих опытах, уменьшая
число витков катушки и площадь плас
тин конденсатора, а также раздвигая их
(рис. 227, а, б ), совершил переход от
закрытого колебательного контура к
открытому колебательному конту
ру (вибратору Герца), представляю
щему собой два стрежня, разделенных
искровым промежутком (рис. 227, в).
Если в закрытом колебательном конту
ре переменное электрическое поле со
средоточено внутри конденсатора (рис.
227, а), то в открытом оно заполняет ок
ружающее контур пространство (рис.
257, в), что существенно повышает ин
тенсивность электромагнитного излу
чения. Колебания в такой системе под
держиваются за счет источника ЭДС,
подключенного к обкладкам конденса
тора, а искровой промежуток применя
ется для того, чтобы увеличить разность
потенциалов, до которой первоначаль
но заряжаются обкладки.
Для возбуждения электромагнит
ных волн вибратор Герца (В) подклю
чался к индуктору (И) (рис. 228). Ког
да напряжение на искровом промежут
ке достигало пробивного значения, об
разовывалась искра, закорачивающая
обе половины вибратора, и в нем воз
никали свободные затухающие колеба
ния. При исчезновении искры контур
размыкался и колебания прекраща
лись. Затем индуктор снова заряжал
конденсатор, возникала искра и в кон
туре опять наблюдались колебания и
т. д . Для регистрации электромагнит
ных волн Герц пользовался вторым
вибратором, называемым резонато
ром Р, имеющим такую же частоту соб
ственных колебаний, что и излучающий
вибратор, т. е . настроенным в резонанс
с вибратором. Когда электромагнитные
волны достигали резонатора, то в его за
зоре проскакивала электрическая искра.
С помощью описанного вибратора
Герц экспериментировал с электромаг
нитными волнами, длина волны кото
рых составляла примерно 3 м. П. Н . Ле
бедев, применяя миниатюрный вибра
тор из тонких платиновых стерженьков,
получил миллиметровые электромаг
нитныеволнысl=6—4мм.
Дальнейшее развитие методики эк
сперимента в этом направлении позво
лило в 1923 г. российскому физику
А. А. Глаголевой Аркадьевой (1884 —
1945) сконструировать массовый излу
чатель, в котором короткие электро
магнитные волны, возбуждаемые коле
баниями электрических зарядов в ато
Рис. 227
Рис. 228
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

296
мах и молекулах, генерировались с по
мощью искр, проскакиваемых между
металлическими опилками, взвешен
ными в масле. Так были получены вол
нысlот50ммдо80мкм.Темсамым
было доказано существование волн, пе
рекрывающих интервал между радио
волнами и инфракрасным излучением.
Недостатком вибраторов Герца и
Лебедева и массового излучателя Гла
голевой Аркадьевой являлось то, что
свободные колебания в них быстро за
тухали и обладали малой мощностью.
Для получения незатухающих колеба
ний необходимо создать автоколеба
тельную систему (см. § 146), которая
обеспечивала бы подачу энергии с час
тотой, равной частоте собственных ко
лебаний контура. Поэтому в 20 х годах
XX в. перешли к генерированию элект
Таблица 8
Таблица 9
Âèä èçëó÷åíèÿ
Äëèíà âîëíû, ì
×àñòîòà âîëíû, Ãö
Íåêîòîðûå âîçìîæíûå
èñòî÷íèêè èçëó÷åíèÿ
Ðàäèîâîëíû
103 —10
−4
3·105 —3 ·1012 Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð
Âèáðàòîð Ãåðöà
Ìàññîâûé èçëó÷àòåëü
Ëàìïîâûé ãåíåðàòîð
Ñâåòîâûå âîëíû:
èíôðàêðàñíîå
3·10
−5
—7,8 · 10
−7
3,9 · 1013 —3,8 · 1014 Ëàìïû
èçëó÷åíèå
âèäèìûé ñâåò
7,8 ·10
−7
—3,9 · 10
−7
3,8 · 1014 —7,7 · 1014 Ëàçåðû
óëüòðàôèîëåòîâîå
4·10
−7
—10
−9
7,5 · 1014 —3 ·1017
èçëó÷åíèå
Ðåíòãåíîâñêîå
10−8
—6·10
−14
3·1016 —5 ·1021 Òðóáêè Ðåíòãåíà
èçëó÷åíèå
Ãàììà-èçëó÷åíèå
< 10−11
> 3·1018
Ðàäèîàêòèâíûé ðàñïàä
ßäåðíûå ïðîöåññû
Êîñìè÷åñêèå ïðîöåññû
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

297
ромагнитных волн с помощью элект
ронных ламп. Ламповые генераторы
позволяют получать колебания задан
ной (практически любой) мощности и
синусоидальной формы.
Электромагнитные волны, обладая
широким диапазоном частот (или длин
волн
c
l=
n
, где с — скорость электро
магнитных волн в вакууме), отличают
ся друг от друга по способам их генера
ции и регистрации, а также по своим
свойствам. Поэтому электромагнитные
волны делятся на несколько видов: ра
диоволны, световые волны, рентгено
вское и g излучения. Следует отметить,
что границы между различными вида
ми электромагнитных волн довольно
условны. В табл. 8 и 9 приведены шкала
и диапазоны электромагнитных волн.
§ 162. Äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå
ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû
Как уже указывалось (см. § 161), од
ним из важнейших следствий уравне
ний Максвелла (см. § 139) является су
ществование электромагнитных волн.
Из уравнений Максвелла следует, что
для однородной и изотропной среды вда
ли от зарядов и токов, создающих элек
тромагнитное поле, векторы напряжен
ностей E
r
иH
r
переменного электромаг
нитного поля удовлетворяют волново
му уравнению типа (154.9):
;
2
22
1E
E
vt
¶
D=
¶
r
r
(162.1)
,
2
22
1H
H
vt
¶
D=
¶
r
r
(162.2)
где
222
222
xyz
¶¶¶
D=++
¶¶¶
—
оператор
Лапласа; v — фазовая скорость.
Всякая функция, удовлетворяющая
уравнениям (162.1) и (162.2), описыва
ет некоторую волну. Следовательно,
электромагнитные поля действительно
могут существовать в виде электромаг
нитных волн. Фазовая скорость элект
ромагнитных волн определяется выра
жением
,
00
11c
v==
em em
em
(162.3)
где
00
1
c=
em
; e0 и m0 — соответственно
электрическая и магнитная постоян
ные; e и m — соответственно электриче
ская и магнитная проницаемости среды.
Ввакууме(приe=1иm=1)ско
рость распространения электромагнит
ных волн совпадает со скоростью c. В ве
ществе em > 1, поэтому скорость распро
странения электромагнитных волн в ве
ществе всегда меньше, чем в вакууме.
При вычислении скорости распро
странения электромагнитного поля по
формуле (162.3) получается результат,
достаточно хорошо совпадающий с эк
спериментальными данными, если учи
тывать зависимость e и m от частоты.
Совпадение же размерного коэффици
ента в (162.3) со скоростью распрост
ранения света в вакууме указывает на
глубокую связь между электромагнит
ными и оптическими явлениями, по
зволившую Максвеллу создать элект
ромагнитную теорию света, согласно
которой свет представляет собой элек
тромагнитные волны.
Следствием теории Максвелла яв
ляется также поперечность электро
магнитных волн: векторы E
r
иH
r
напря
женностей электрического и магнитно
го полей волны взаимно перпендику
лярны (на рис. 229 показана моменталь
ная «фотография» плоской электромаг
нитной волны) и лежат в плоскости,
перпендикулярной вектору v
r
скорости
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

298
распространения волны, причем векто
рыE
r
,H
r
иv
r
образуют правовинтовую си
стему. Из уравнений Максвелла следу
ет также, что в электромагнитной вол
не векторы E
r
иH
r
всегда колеблются
в одинаковых фазах (см. рис. 229), при
чем мгновенные значения E и H в лю
бой точке связаны соотношением
.
00
EH
ee=mm
(162.4)
Следовательно, E и H одновремен
но достигают максимума, одновремен
но обращаются в нуль и т. д . От уравне
ний (162.1) и (162.2) можно перейти к
уравнениям
;
22
222
1
yy
EE
xvt
¶¶
=
¶¶
(162.5)
,
22
222
1
zz
HH
xvt
¶¶
=
¶¶
(162.6)
где соответственно индексы y и z при E
и H подчеркивают лишь то, что векто
рыE
r
иH
r
направлены вдоль взаимно
перпендикулярных осей y и z.
Уравнениям (162.5) и (162.6) удов
летворяют, в частности, плоские моно
хроматические электромагнитные
волны (электромагнитные волны од
ной строго определенной частоты), опи
сываемые уравнениями
;
0 cos(
)
y
EE tk
x
=w
-
+
j
(162.7)
,
0 cos(
)
z
HH tk
x
=w
-
+
j
(162.8)
где E0 и H0 — соответственно амплиту
ды напряженностей электрического и
магнитного полей волны; w — круговая
частота волны; k
v
w
=
—
волновое чис
ло; j — начальные фазы колебаний в
точках с координатой x = 0.
В уравнениях (162.7) и (162.8) j оди
наково, так как колебания электриче
ского и магнитного векторов в электро
магнитной волне происходят в одина
ковых фазах.
§ 163. Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ
ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû
Возможность обнаружения электро
магнитных волн указывает на то, что
они переносят энергию. Объемная плот
ность w энергии электромагнитной вол
ны складывается из объемных плотно
стей wЭЛ электрического [см. (95.8)] и wм
магнитного [см. (130.3)] полей:
ýë
ì
2
2
0
0
.
22
H
E
www
mm
ee
=+= +
Учитывая выражение (162.4), полу
чим, что объемные плотности энергии
электрического и магнитного полей в
каждый момент времени одинаковы, т. е.
wЭЛ = wм. Поэтому можно записать
ýë
2
00
0
2.
ww
E
E
H
==
e
e
=
e
m
e
m
Умножив плотность энергии w на
скорость v распространения волны в
среде [см. (162.3)], получим модуль
плотности потока энергии:
S=wv =EH.
Так как векторы E
r
иH
r
взаимно пер
пендикулярны и образуют с направле
нием распространения волны право
винтовую систему, то направление век
тора [E
r
H
r
] совпадает с направлением пе
реноса энергии, а модуль этого вектора
Рис. 229
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

299
равен EH. Вектор плотности пото
ка электромагнитной энергии назы
вается вектором Умова — Пойнтинга:
S
r
=[E
r
H
r
].
Вектор S
r
направлен в сторону рас
пространения электромагнитной вол
ны, а его модуль равен энергии, пере
носимой электромагнитной волной за
единицу времени через единичную пло
щадку, перпендикулярную направле
нию распространения волны.
Если электромагнитные волны по
глощаются или отражаются телами
(эти явления подтверждены опытами
Г. Герца), то из теории Максвелла сле
дует, что электромагнитные волны дол
жны оказывать на тела давление.
Давление электромагнитных волн
объясняется тем, что под действием
электрического поля волны заряженные
частицы вещества начинают упорядо
ченно двигаться и подвергаются со сто
роны магнитного поля волны действию
сил Лоренца. Однако значение этого дав
ления ничтожно мало. Можно оценить,
что при средней мощности солнечного
излучения, приходящего на Землю, дав
ление для абсолютно поглощающей по
верхности составляет примерно 5 мкПа.
В исключительно тонких эксперимен
тах, ставших классическими, П. Н . Лебе
дев в 1899 г. доказал существование све
тового давления на твердые тела, а в
1910 г. — на газы. Опыты П.Н.Лебеде
ва имели огромное значение для утвер
ждения выводов теории Максвелла о
том, что свет представляет собой элек
тромагнитные волны.
Существование давления электро
магнитных волн приводит к выводу о
том, что им присущ механический им
пульс. Электромагнитная волна, несу
щая энергию W, обладает импульсом
.
W
p
c
=
§ 164. Èçëó÷åíèå äèïîëÿ.
Ïðèìåíåíèå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí
Простейшим излучателем электро
магнитных волн является электриче
ский диполь, электрический момент ко
торого изменяется во времени по гар
моническому закону
p
r
=p
r
0 cos wt,
где p
r
0 — амплитуда вектора p
r
.
Примером подобного диполя может
служить система, образованная не
подвижным точечным зарядом +Q и
колеблющимся около него вдоль на
правления p
r
с частотой w точечного за
ряда -Q.
Задача об излучении диполя имеет
в теории излучающих систем важное
значение, так как всякую реальную из
лучающую систему (например, антен
ну) можно рассчитывать, рассматривая
излучение диполя. Кроме того, многие
вопросы взаимодействия излучения с
веществом можно объяснять на основе
классической теории, рассматривая
атомы как системы зарядов, в которых
электроны совершают гармонические
колебания около их положений равно
весия.
Характер электромагнитного поля
диполя зависит от выбора рассматрива
емой точки. Особый интерес подставля
ет так называемая волновая зона дипо
ля — точки пространства, отстоящие от
диполя на расстояниях r, значительно
превышающих длину волны (r ? l), —
так как в ней картина электромагнит
ного поля диполя сильно упрощается.
Это связано с тем, что в волновой зоне
диполя практически остаются только
«отпочковавшиеся» от диполя свобод
но распространяющиеся поля, в то вре
мя как поля, колеблющиеся вместе с
диполем и имеющие более сложную
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

300
структуру, сосредоточены в области
расстояний r „ l.
Если волна распространяется в од
нородной изотропной среде, то время
прохождения волны до точек, удален
ных от диполя на расстояние r, одина
ково. Поэтому во всех точках сферы,
центр которой совпадает с диполем,
фаза колебаний одинакова, т. е. в вол
новой зоне волновой фронт будет сфе
рическим и, следовательно, волна, из
лучаемая диполем, есть сферическая
волна.
В каждой точке векторы E
r
иH
r
ко
леблются по закону cos (wt - kr ), амп
литуды этих векторов пропорциональ
ны
1
r
sin q (для вакуума), т. е . зависят от
расстояния r до излучателя и угла q
между направлением радиуса вектора и
осью диполя. Отсюда следует, что ин
тенсивность излучения диполя в вол
новой зоне
2
2
sin
.
I
r
q
~
(164.1)
Зависимость (164.1) I от q при задан
ном значении r, приводимая в поляр
ных координатах (рис. 230), называет
ся диаграммой направленного излу
чения диполя. Как видно из выражения
(164.1) и приведенной диаграммы, ди
поль сильнее всего излучает в направ
лениях, перпендикулярных его оси
(2
p
q= ).Вдольсвоейоси(q=0иq=p)
диполь не излучает вообще. Диаграм
ма направленности излучения диполя
позволяет формировать излучение с оп
ределенными характеристиками и ис
пользуется при конструировании ан
тенн.
Впервые электромагнитные волны
были использованы через семь лет пос
ле опытов Герца. 7 мая 1895 г. препода
ватель физики офицерских минных
классов А. С . Попов (1859 — 1906) на за
седании Русского физико химического
общества продемонстрировал первый в
мире радиоприемник, открывший воз
можность практического использова
ния электромагнитных волн для бес
проволочной связи, преобразившей
жизнь человечества. Первая передан
ная в мире радиограмма содержала
лишь два слова: «Генрих Герц». Изоб
ретение радио Поповым сыграло огром
ную роль для распространения и разви
тия теории Максвелла.
Электромагнитные волны сантимет
рового и миллиметрового диапазонов,
встречая на своем пути преграды, отра
жаются от них. Это явление лежит в
основе радиолокации — обнаружения
предметов (например, самолетов, ко
раблей и т. д .) на больших расстояниях
и точного определения их положения.
Помимо этого, методы радиолокации
используются для наблюдения прохож
дения и образования облаков, движе
ния метеоритов в верхних слоях атмо
сферы и т. д.
Для электромагнитных волн харак
терно явление дифракции — огибания
волнами различных препятствий. Имен
но благодаря дифракции радиоволн
возможна устойчивая радиосвязь меж
ду удаленными пунктами, разделенны
ми между собой выпуклостью Земли.
Длинные волны (сотни и тысячи
метров) применяются в фототелегра
фии, короткие волны (несколько мет
ров и менее) применяются в телевиде
нии для передачи изображений на не
Рис. 230
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

большие расстояния (немногим боль
ше пределов прямой видимости).
Электромагнитные волны использу
ются также в радиогеодезии для очень
точного определения расстояний с по
мощью радиосигналов, в радиоастроно
мии для исследования радиоизлучения
небесных тел и т. д. Полное описание
применения электромагнитных волн
дать практически невозможно, так как
нет областей науки и техники, где бы
они не использовались.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что такое электромагнитная волна? Какова скорость ее распространения?
• Что может служить источником электромагнитных волн?
• Каковы физические процессы, приводящие к возможности существования электромаг
нитных волн?
• Почему Герц в своих опытах использовал открытый колебательный контур?
• Как можно представить себе шкалу электромагнитных волн, и каковы источники излу
чения разных видов волн?
• Какие характеристики поля периодически изменяются в бегущей электромагнитной
волне?
• Почему слагаемое D
t
¶
¶
r
в уравнении Максвелла
dd
LS
D
Hlj
S
t
æö
¶÷
ç
÷
=+
ç
÷÷
çèø
¶
òò
r
rr
r
r
Ñ
нужно для по
нимания распространения электромагнитной волны?
• Запишите волновое уравнение для векторов E
r
иH
r
переменного электромагнитного поля.
Проанализируйте его решения и объясните физический смысл.
• Как определяется фазовая скорость электромагнитных волн?
• Как определить объемную плотность энергии в электромагнитной волне?
• В чем заключается физический смысл вектора Умова — Пойнтинга? Чему он равен?
• Почему важна задача об излучении диполя?
• В чем заключается физический смысл диаграммы направленности излучения диполя?
ÇÀÄÀ×È
20.1 . Электромагнитная волна с частотой 4 МГц переходит из немагнитной среды с ди
электрической проницаемостью e = 3 в вакуум. Определите приращение ее длины волны.
[31,7 м]
20.2 . Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, а другие индуктив
но соединены с генератором электромагнитных колебаний, погружены в спирт. При соот
ветствующем подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние
между двумя узлами стоячих волн на проводах равно 0,5 м. Принимая диэлектрическую
проницаемость спирта e = 26, а его магнитную проницаемость m = 1, определите частоту
колебаний генератора. [58,6 МГц]
20.3 . В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Ампли
туда напряженности электрического поля волны составляет 18,8 В/м. Определите интен
сивность волны, т. е . среднюю энергию, приходящуюся за единицу времени на единицу пло
щади, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны. [0,47 Вт/м2]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

302
×ÀÑÒÜ 5
ÎÏÒÈÊÀ.
ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÏÐÈÐÎÄÀ ÈÇËÓ×ÅÍÈß
Ãëàâà 21
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÉ
È ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÉ ÎÏÒÈÊÈ
§ 165. Îñíîâíûå çàêîíû îïòèêè.
Ïîëíîå îòðàæåíèå
Еще до установления природы све
та были известны следующие основные
законы оптики: закон прямолинейного
распространения света в оптически од
нородной среде; закон независимости
световых пучков (справедлив только в
линейной оптике); закон отражения
света; закон преломления света.
Закон прямолинейного распрост
ранения света: свет в оптически одно
родной среде распространяется прямо
линейно.
Доказательством этого закона явля
ется наличие тени с резкими граница
ми от непрозрачных предметов при ос
вещении их точечными источниками
света (источники, размеры которых
значительно меньше освещаемого пред
мета и расстоянии до него). Однако экс
перименты показали, что этот закон на
рушается, если свет проходит сквозь
очень малые отверстия, причем откло
нение от прямолинейности распростра
нения тем больше, чем меньше отвер
стия.
Закон независимости световых
пучков: эффект, производимый отдель
ным пучком, не зависит от того, дей
ствуют ли одновременно остальные
пучки или они устранены. Разбивая
световой поток на отдельные световые
пучки (например, с помощью диаф
рагм), можно показать, что действие
выделенных световых пучков незави
симо.
Если свет падает на границу раздела
двух сред (двух прозрачных веществ),
то падающий луч I (рис. 231) разделя
ется на два — отраженный II и прелом
ленный III, направления которых зада
ются законами отражения и преломле
ния.
Закон отражения света: отражен
ный луч лежит в одной плоскости с па
дающим лучом и перпендикуляром,
проведенным к границе раздела двух
сред в точке падения; угол отражения i1¢
равен углу падения i1:
i1¢ = i1.
Рис. 231
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

303
Закон преломления света: луч па
дающий, луч преломленный и перпен
дикуляр, проведенный к границе разде
ла в точке падения, лежат в одной плос
кости; отношение синуса угла падения
к синусу угла преломления есть вели
чина постоянная для данных сред:
,
1
21
2
sin
sin
i
n
i
=
(165.1)
где n 21 — показатель преломления
второй среды относительно первой
(относительный показатель пре
ломления). Индексы в обозначениях
углов i1, i1¢, i2 указывают, в какой среде
(первой или второй) идет луч.
Относительный показатель прелом
ления двух сред равен отношению их
абсолютных показателей преломления:
2
21
1
.
n
n
n
=
(165.2)
Абсолютным показателем пре
ломления среды называется величина n,
равная отношению скорости c электро
магнитных волн в вакууме к их фазо
вой скорости v в среде:
.
c
n
v
=
(165.3)
При сравнении (165.3) с (162.3) видно,
чтоn=e
m, где e и m — соответственно
электрическая и магнитная проницае
мости среды. Учитывая (165.2), закон
преломления (165.1) можно записать в
виде
11 22
sin
sin .
nini
=
(165.4)
Из симметрии выражения (165.4) вы
текает обратимость световых лучей.
Если обратить луч III (см. рис. 231), за
ставив его падать на границу раздела
под углом i 2, то преломленный луч в
первой среде будет распространяться
под углом i1, т. е . пойдет в обратном на
правлении вдоль луча I.
Если свет распространяется из сре
ды с бо′ льшим показателем преломле
ния n1 (оптически более плотной) в сре
ду с меньшим показателем преломле
ния n 2 (оптически менее плотную)
(n1 > n2), например из стекла в воду, то,
согласно (165.4),
21
12
sin
1.
sin
in
in
=>
Отсюда следует, что преломленный
луч удаляется от нормали и угол пре
ломления i2 больше, чем угол падения i1
(рис. 232, а). С увеличением угла паде
ния увеличивается угол преломления
(рис. 232, б, в) до тех пор, пока при не
котором угле падения (i1 = i пр) угол
преломления не окажется равным
2
p
.
Угол i пр называется предельным уг
лом. При углах падения i1 > iпр весь па
дающий свет полностью отражается
(рис. 232, г).
По мере приближения угла падения
к предельному интенсивность прелом
ленного луча уменьшается, а отражен
ного — растет. Если i1 = iпр, то интен
сивность преломленного луча обраща
ется в нуль, а интенсивность отражен
ного равна интенсивности падающего.
Таким образом, при углах падения в
пределах от iпр до
2
p
луч не преломля
Рис. 232
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

304
ется, а полностью отражается в первую
среду, причем интенсивности отражен
ного и падающего лучей одинаковы.
Это явление называется полным отра
жением.
Предельный угол iпр определим из
формулы (165.4) при подстановке в нее
i2=
2
p
.
Тогда
ïð
2
21
1
sin
.
n
in
n
==
(165.5)
Уравнение (165.5) удовлетворяет
значениям угла iпр при n2 „ n1. Следо
вательно, явление полного отражения
имеет место только при падении света
из среды оптически более плотной в сре
ду оптически менее плотную.
Явление полного отражения использует
ся в призмах полного отражения. Показа
тель преломления стекла равен n » 1,5, по
этому предельный угол для границы стек
ло — воздух равен iпр = arcsin 1
1,5
= 42°.Всвя
зи с этим при падении света на границу стек
ло — воздух при i > 42° всегда будет иметь
место полное отражение. На рис. 233, а — в
показаны призмы полного отражения, по
зволяющие: а) повернуть луч на 90°; б) по
вернуть изображение; в) обернуть лучи. Та
кие призмы применяются в оптических при
борах (например, в биноклях, перископах),
а также в рефрактометрах, позволяющих
определять показатели преломления тел (по
закону преломления, измеряя i пр , находим
относительный показатель преломления
двух сред, а также абсолютный показатель
преломления одной из сред, если показатель
преломления другой среды известен).
Явление полного отражения использует
ся также в световодах (светопроводах),
представляющих собой тонкие, произволь
ным образом изогнутые нити (волокна) из
оптически прозрачного материала. В воло
конных деталях применяют стеклянное во
локно, световедущая жила (сердцевина)
которого окружается стеклом — оболочкой
из другого стекла с меньшим показателем
преломления. Свет, падающий на торец све
товода под углами, бо¢льшими предельного,
претерпевает на поверхности раздела серд
цевины и оболочки полное отражение и рас
пространяется только по световедущей жиле
(рис. 234).
Таким образом, с помощью световодов
можно как угодно искривлять путь светово
го пучка. Диаметр световедущих жил лежит
в пределах от нескольких микрометров до
нескольких миллиметров. Для передачи
изображений, как правило, применяются
многожильные световоды. Вопросы переда
чи световых волн и изображений изучают
ся в специальном разделе оптики — воло
конной оптике, возникшей в 50 е годы
XX столетия. Световоды используются в
электронно лучевых трубках, электронно
счетных машинах, для кодирования инфор
мации, в медицине (например, диагностика
желудка), для целей интегральной оптики
ит.д.
§ 166. Òîíêèå ëèíçû.
Èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòîâ
ñ ïîìîùüþ ëèíç
Раздел оптики, в котором законы
распространения света рассматривают
ся на основе представления о световых
лучах, называется геометрической оп
тикой. Под световыми лучами пони
мают нормальные к волновым поверх
Рис. 233
Рис. 234
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

305
ностям линии, вдоль которых распрос
траняется поток световой энергии. Гео
метрическая оптика, оставаясь прибли
женным методом построения изобра
жений в оптических системах, позволя
ет разобрать основные явления, связан
ные с прохождением через них света, и
является поэтому основой теории оп
тических приборов.
Линзы представляют собой прозрач
ные тела, ограниченные двумя поверх
ностями (одна из них обычно сферичес
кая, иногда цилиндрическая, а вторая —
сферическая или плоская), преломля
ющими световые лучи, способные фор
мировать оптические изображения
предметов.
Материалом для линз служат стекло,
кварц, кристаллы, пластмассы и т. п. По
внешней форме (рис. 235) линзы делят
ся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковы
пуклые; 3) двояковогнутые; 4) плоско
вогнутые; 5) выпукло вогнутые; 6) вог
нуто выпуклые. По оптическим свой
ствам линзы делятся на собирающие и
рассеивающие.
Линза называется тонкой, если ее
толщина (расстояние между ограничи
вающими поверхностями) значительно
меньше по сравнению с радиусами по
верхностей, ограничивающих линзу.
Прямая, проходящая через центры кри
визны поверхностей линзы, называет
ся главной оптической осью.
Для всякой линзы существует точ
ка, называемая оптическим центром
линзы, лежащая на главной оптической
оси и обладающая тем свойством, что
лучи проходят сквозь нее не преломля
ясь. Оптический центр O линзы для
простоты будем считать совпадающим
с геометрическим центром средней ча
сти линзы (это справедливо только для
двояковыпуклой и двояковогнутой
линз с одинаковыми радиусами кривиз
ны обеих поверхностей; для плосковы
пуклых и плосковогнутых линз опти
ческий центр O лежит на пересечении
главной оптической оси со сферической
поверхностью).
Для вывода формулы тонкой лин
зы — соотношения, связывающего ра
диусы кривизны R 1 и R2 поверхностей
линзы с расстояниями a и b от линзы
до предмета и его изображения, — вос
пользуемся принципом Ферма
1
, или
принципом наименьшего времени:
действительный путь распространения
света (траектория светового луча) есть
путь, для прохождения которого свету
требуется минимальное время по срав
нению с любым другим мыслимым пу
тем между теми же точками.
Рассмотрим два световых луча (рис.
236) — луч, соединяющий точки A и B
(луч AOB ), и луч, проходящий через
край линзы (луч ACB ), — воспользо
вавшись условием равенства времени
прохождения света вдоль AOB и ACB.
Время прохождения света вдоль AOB
1 П. Ферма¢ (1601 — 1665) — французский ма
тематик и физик.
Рис. 235
Рис. 236
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

306
,
1
()
aN
edb
t
c
+++
=
где
1
n
N
n
=
—
относительный показа
тель преломления (n и n 1 — соответ
ственно абсолютные показатели пре
ломления линзы и окружающей среды).
Время прохождения света вдоль ACB
равно
22
22
2
() ().
aeh
bdh
t
c
+++ ++
=
Таккакt1=t2,то
22
22
()
() ().
aN
edb
aeh
bdh
+++
=
=++
+++(166.1)
Рассмотрим параксиальные (при
осевые) лучи, т. е. лучи, образующие с
оптической осью малые углы. Только
при использовании параксиальных лу
чей получается стигматическое изоб
ражение, т. е . все лучи параксиального
пучка, исходящего из точки A, пересе
кают оптическую ось в одной и той же
точкеB.Тогдаh=(a+e),h=(b+d)и

2
22
2
2
2
() ()1()
1
()
1
.
2
2()
h
aehae
ae
hh
ae
ae
ae
ae
++=+ +
=
+
éù
êú
=++
=+
+
êú
+
+
ëû
Аналогично,
2
22
()
.
2(
)
h
bdhbd
bd
++=++
+
Подставив найденные выражения в
(166.1), получим

2
11
(1
)
()
.
2
h
Ne
d
ae bd
-+
=
+
++
(166.2)
Длятонкойлинзыe=aиd=b,по
этому (166.2) можно представить в виде

211
(1
)
()
.
2
h
Ne
d
ab
-+
=
+
Учитывая, что
22
22
eR Rh
=- -=
=
2
2
22
22
2
2
2
1
11
2
hh
RR
RR
R
R
éù
êú
--
=
-
-
êú
ëû
=
=
2
2
2
h
R
и соответственно
2
1
2
h
d
R
=
, полу
чим

12
11 11
(1
)
.
N
RR ab
-+
=
+(166.3)
Выражение (166.3) представляет собой
формулу тонкой линзы. Радиус кри
визны выпуклой поверхности линзы
считается положительным, вогнутой —
отрицательным.
Еслиa= ¥,т.е.лучипадаютналинзу
параллельным пучком (рис. 237, а), то

12
11
1
(1
).
N
bR
R
=-
+
Соответствующее этому случаю рас
стояние b = OF = f называется фокус
ным расстоянием линзы, определяе
мым по формуле

12
1
.
11
(1
)
f
N
RR
=
-+
Фокусное расстояние зависит от от
носительного показателя преломления
и радиусов кривизны.
Рис. 237
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

307
Если b = ¥, т. е . изображение нахо
дится в бесконечности и, следователь
но, лучи выходят из линзы параллель
нымпучком(рис.237,б),тоa=OF=f.
Таким образом, фокусные расстояния
линзы, окруженной с обеих сторон оди
наковой средой, равны. Точки F, лежа
щие по обе стороны линзы на расстоя
нии, равном фокусному, называются
фокусами линзы. Фокус — это точка,
в которой после преломления собира
ются все лучи, падающие на линзу па
раллельно главной оптической оси.
Величина

12
111
(1
)
N
RRf
-+
=
=
F
(166.4)
называется оптической силой линзы.
Ее единица — диоптрия (дптр). Диопт
рия — оптическая сила линзы с фокус
ным расстоянием 1 м: 1 дптр = 1 м-1
.
Линзы с положительной оптиче
ской силой являются собирающими,
с отрицательной — рассеивающими.
Плоскости, проходящие через фокусы
линзы перпендикулярно ее главной оп
тической оси, называются фокальны
ми плоскостями. В отличие от соби
рающей рассеивающая линза имеет
мнимые фокусы. В мнимом фокусе схо
дятся (после преломления) вообража
емые продолжения лучей, падающих на
рассеивающую линзу параллельно глав
ной оптической оси (рис. 238).
Ëèíçà
Ðàñïîëîæåíèå
ïðåäìåòà
Ðàñïîëîæåíèå
èçîáðàæåíèÿ
Îñîáåííîñòè
èçîáðàæåíèÿ
Ñîáèðàþùàÿ
Çà äâîéíûì
ôîêóñíûì
ðàññòîÿíèåì
Ìåæäó ôîêóñîì è
äâîéíûì ôîêóñîì ïî
äðóãóþ ñòîðîíó ëèíçû
Äåéñòâèòåëüíîå, ïåðå-
âåðíóòîå, óìåíüøåííîå
 äâîéíîì
ôîêóñå
 äâîéíîì ôîêóñå ïî
äðóãóþ ñòîðîíó ëèíçû
Äåéñòâèòåëüíîå, ïåðå-
âåðíóòîå, ïî âåëè÷èíå
ðàâíî ñàìîìó ïðåäìåòó
Ìåæäó äâîéíûì
ôîêóñíûì
ðàññòîÿíèåì è
ôîêóñîì
Çà äâîéíûì ôîêóñíûì
ðàññòîÿíèåì ïî äðóãóþ
ñòîðîíó ëèíçû
Äåéñòâèòåëüíîå, ïåðå-
âåðíóòîå, óâåëè÷åííîå
 ôîêóñå
Âèäèìîãî èçîáðàæåíèÿ
íåò (èçîáðàæåíèå â
áåñêîíå÷íîñòè)
Ìåæäó ôîêóñîì
è ëèíçîé
Çà ïðåäìåòîì, ïî òó æå
ñòîðîíó ëèíçû, ÷òî è
ïðåäìåò
Ìíèìîå, ïðÿìîå,
óâåëè÷åííîå
Ðàññåèâàþùàÿ Ëþáîå
Ìåæäó ïðåäìåòîì è
ëèíçîé, ïî òó æå
ñòîðîíó ëèíçû, ÷òî è
ïðåäìåò
Ìíèìîå, ïðÿìîå,
óìåíüøåííîå
Таблица 10
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

308
Учитывая (166.4), формулу линзы
(166.3) можно записать в виде
111
.
abf
+=
Для рассеивающей линзы расстоя
ния f и b надо считать отрицательными.
Построение изображения предмета
в линзах осуществляется с помощью
следующих лучей:
1) луча, проходящего через оптичес
кий центр линзы и не изменяющего сво
его направления;
2) луча, идущего параллельно глав
ной оптической оси; после преломле
ния в линзе этот луч (или его продол
жение) проходит через второй фокус
линзы;
3) луча (или его продолжения), про
ходящего через первый фокус линзы;
после преломления в ней он выходит из
линзы параллельно ее главной оптичес
кой оси.
Для примера приведены построения
изображений в собирающей (рис. 239)
и в рассеивающей (рис. 240) линзах:
действительное (рис. 239, а) и мнимое
(рис. 239, б ) изображения — в собира
ющей линзе, мнимое — в рассеивающей.
В табл. 10 приведены особенности
изображений в линзах.
Отношение линейных размеров изо
бражения и предмета называется ли
нейным увеличением линзы. Отрица
тельным значениям линейного увели
чения соответствует действительное
изображение (оно перевернутое), поло
жительным — мнимое изображение
(оно прямое). Комбинации собираю
щих и рассеивающих линз применяют
ся в оптических приборах, используе
мых для решения различных научных
и технических задач.
§ 167. Àáåððàöèè (ïîãðåøíîñòè)
îïòè÷åñêèõ ñèñòåì
Рассматривая прохождение света че
рез тонкие линзы, мы ограничивались
параксиальными лучами (см. § 166). По
казатель преломления материала линзы
считали не зависящим от длины волны
падающего света, а падающий свет —
монохроматическим. Так как в реальных
оптических системах эти условия не
выполняются, то в них возникают иска
жения изображения, называемые абер
рациями (или погрешностями).
1. Сферическая аберрация. Если
расходящийся пучок света падает на
Рис. 239
Рис. 238
Рис. 240
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

309
линзу, то параксиальные лучи после
преломления пересекаются в точке S ¢
(на расстоянии OS ¢ от оптического цен
тра линзы), а лучи, более удаленные от
оптической оси, — в точке S ¢¢, ближе к
линзе (рис. 241). В результате изобра
жение светящейся точки на экране, пер
пендикулярном оптической оси, будет
в виде расплывчатого пятна. Этот вид
погрешности, связанный со сферично
стью преломляющих поверхностей, на
зывается сферической аберрацией.
Количественной мерой сфериче
ской аберрации является отрезок d =
= OS ¢¢ - OS ¢ . Применяя диафрагмы
(ограничиваясь параксиальными луча
ми), можно сферическую аберрацию
уменьшить, однако при этом уменьша
ется светосила линзы. Сферическую
аберрацию можно практически устра
нить, составляя системы из собирающих
(d < 0) и рассеивающих (d > 0) линз.
Сферическая аберрация является час
тным случаем астигматизма.
2. Кома. Если через оптическую си
стему проходит широкий пучок от све
тящейся точки, расположенной не на
оптической оси, то получаемое изобра
жение этой точки будет в виде освещен
ного пятнышка, напоминающего комет
ный хвост. Такая погрешность называ
ется комой. Устранение комы произво
дится теми же приемами, что и сфери
ческой аберрации.
3. Дисторсия. Погрешность, при ко
торой при больших углах падения лу
чей на линзу линейное увеличение для
точек предмета, находящихся на разных
расстояниях от главной оптической
оси, несколько различается, называет
ся дисторсией. В результате наруша
ется геометрическое подобие между
предметом (прямоугольная сетка, рис.
242, а) и его изображением (рис. 242, б
—
подушкообразная дисторсия, рис.
242, в — бочкообразная дисторсия).
Дисторсия особенно опасна в тех
случаях, когда оптические системы
применяются для съемок, например
при аэрофотосъемке, в микроскопии и
т. д . Дисторсию исправляют соответ
ствующим подбором составляющих ча
стей оптической системы.
4. Хроматическая аберрация. До
сих пор мы предполагали, что коэффи
циенты преломления оптической сис
темы постоянны. Однако это утвержде
ние справедливо лишь для освещения
оптической системы монохроматичес
ким светом (l = const); при сложном
составе света необходимо учитывать за
висимость коэффициента преломления
вещества линзы (и окружающей среды,
если это не воздух) от длины волны (яв
ление дисперсии). При падении на оп
тическую систему белого света отдель
ные составляющие его монохромати
ческие лучи фокусируются в разных
точках (наибольшее фокусное рассто
яние имеют красные лучи, наимень
шее — фиолетовые), поэтому изображе
ние размыто и по краям окрашено. Это
явление называется хроматической
аберрацией. Так как разные сорта сте
кол обладают различной дисперсией,
Рис. 241
Рис. 242
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

310
то, комбинируя собирающие и рассеива
ющие линзы из различных стекол, мож
но совместить фокусы двух (ахрома
ты) и трех (апохроматы) различных
цветов, устранив тем самым хроматиче
скую аберрацию. Системы, исправлен
ные на сферическую и хроматическую
аберрации, называются апланатами.
5. Астигматизм. Погрешность, обус
ловленная неодинаковостью кривизны
оптической поверхности в разных плос
костях сечения падающего на нее све
тового пучка, называется астигматиз
мом. Так, изображение точки, удален
ной от главной оптической оси, наблю
дается на экране в виде расплывчатого
пятна эллиптической формы. Это пят
но в зависимости от расстояния экрана
до оптического центра линзы вырожда
ется либо в вертикальную, либо в гори
зонтальную прямую.
Астигматизм исправляется подбором
радиусов кривизны преломляющих по
верхностей и их фокусных расстояний.
Системы, исправленные на сферическую
и хроматическую аберрации и астигма
тизм, называются анастигматами.
Устранение аберраций возможно
лишь подбором специально рассчитан
ных сложных оптических систем. Од
новременное исправление всех погреш
ностей — задача крайне сложная, а
иногда даже неразрешимая. Поэтому
обычно устраняются полностью лишь
те погрешности, которые в том или
ином случае особенно вредны.
§ 168. Îñíîâíûå ôîòîìåòðè÷åñêèå
âåëè÷èíû è èõ åäèíèöû
Фотометрия — раздел оптики, за
нимающийся вопросами измерения ин
тенсивности света и его источников.
В фотометрии используются следую
щие величины:
1) энергетические — характеризу
ют энергетические параметры оптичес
кого излучения безотносительно к его
действию на приемники излучения;
2) световые — характеризуют фи
зиологические действия света и оцени
ваются по воздействию на глаз (исхо
дят из так называемой средней чувстви
тельности глаза) или другие приемни
ки излучения.
1. Энергетические величины. По
ток излучения Fe — величина, равная
отношению энергии W излучения ко
времени t , за которое излучение про
изошло:
.
e
W
t
F=
Единица потока излучения — ватт
(Вт).
Энергетическая светимость (из
лучательность) Re — величина, рав
ная отношению потока излучения Fe ,
испускаемого поверхностью, к площа
ди S сечения, сквозь которое этот поток
проходит:
,
e
e
R
S
F
=
т. е . представляет собой поверхностную
плотность потока излучения.
Единица энергетической светимос
ти — ватт на метр в квадрате (Вт/м
2
).
Энергетическая сила света (сила
излучения) Ie определяется с помощью
понятия о точечном источнике света —
источнике, размерами которого по срав
нению с расстоянием до места наблю
дения можно пренебречь. Энергетичес
кая сила света Ie — величина, равная
отношению потока излучения Fe источ
ника к телесному углу w, в пределах ко
торого это излучение распространяется:
.
e
e
I
F
=
w
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

311
Единица энергетической силы света —
ватт на стерадиан (Вт/ср).
Энергетическим яркость (лучис
тость) Be — величина, равная отноше
нию энергетической силы света DIe
элемента излучающей поверхности к
площади DS проекции этого элемента
на плоскость, перпендикулярную на
правлению наблюдения:
.
e
e
I
B
S
D
=
D
Единица энергетической яркости —
ватт на стерадиан метр в квадра
те [Вт/(ср · м
2
)].
Энергетическая освещенность
(облученность) Ee характеризует ве
личину потока излучения, падающего
на единицу освещаемой поверхности.
Единица энергетической освещенности
совпадает с единицей энергетической
светимости (Вт/м2).
2. Световые величины. При опти
ческих измерениях используются раз
личные приемники излучения (напри
мер, глаз, фотоэлементы, фотоумножи
тели), которые не обладают одинаковой
чувствительностью к энергии различ
ных длин волн, являясь, таким образом,
селективными (избирательными).
Каждый приемник излучения характе
ризуется своей кривой чувствительно
сти к свету различных длин волн. По
этому световые измерения, являясь
субъективными, отличаются от объек
тивных, энергетических и для них вво
дятся световые единицы, используемые
только для видимого света.
Основной световой единицей в СИ
является единица силы света — кандела
(кд), определение которой дано выше
(см. Введение). Определение световых
единиц аналогично энергетическим.
Световой поток F определяется
как мощность оптического излучения
по вызываемому им световому ощуще
нию (по его действию на селективный
приемник света с заданной спектраль
ной чувствительностью).
Единица светового потока — люмен
(лм): 1 лм — световой поток, испускае
мый точечным источником силой све
та в 1 кд внутри телесного угла в 1 ср
(при равномерности поля излучения
внутри телесного угла) (1 лм = 1 кд · ср).
Светимость R определяется соот
ношением
.
R
S
F
=
Единица светимости — люмен на
метр в квадрате (лм/м2).
Яркость Bj светящейся поверхнос
ти в некотором направлении j есть ве
личина, равная отношению силы света
I в этом направлении к площади S про
екции светящейся поверхности на плос
кость, перпендикулярную данному на
правлению:
.
cos
I
B
S
j=
j
Единица яркости — кандела на
метр в квадрате (кд/м2).
Освещенность E — величина, рав
ная отношению светового потока F, па
дающего на поверхность, к площади S
этой поверхности:
.
E
S
F
=
Единица освещенности — люкс (лк):
1 лк — освещенность поверхности, на
1 м2 которой падает световой поток в
1лм(1лк=1лм/м
2
).
§ 169. Ýëåìåíòû
ýëåêòðîííîé îïòèêè
Область физики и техники, в кото
рой изучаются вопросы формирования,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

312
фокусировки и отклонения пучков за
ряженных частиц и получения с их по
мощью изображений под действием
электрических и магнитных полей в
вакууме, называется электронной оп
тикой. Комбинируя различные элект
ронно оптические элементы — элект
ронные линзы, зеркала, призмы — со
здают электронно оптические приборы,
например электронно лучевую трубку,
электронный микроскоп, электронно
оптический преобразователь.
1. Электронные линзы представля
ют собой устройства, с помощью элек
трических и магнитных полей которых
формируются и фокусируются пучки
заряженных частиц. Существуют элек
тростатические и магнитные линзы.
В качестве электростатической
линзы может быть использовано элек
трическое поле с вогнутыми и выпук
лыми эквипотенциальными поверхно
стями, например в системах металличе
ских электродов и диафрагм, обладаю
щих осевой симметрией. На рис. 243
изображена простейшая собирающая
электростатическая линза, где A — точ
ка предмета, B — ее изображение, пун
ктиром показаны линии напряженнос
ти поля.
Магнитная линза обычно пред
ставляет собой соленоид с сильным
магнитным полем, коаксиальным пуч
ку электронов. Чтобы магнитное поле
сконцентрировать на оси симметрии,
соленоид помещают в железный кожух
с узким внутренним кольцевым разре
зом.
Если расходящийся пучок заряженных
частиц попадает в однородное магнитное
поле, направленное вдоль оси пучка, то ско
рость каждой частицы можно разложить на
два компонента: поперечный и продольный.
Первый из них определяет равномерное
движение по окружности в плоскости, пер
пендикулярной направлению поля (см.
§ 115), второй — равномерное прямолиней
ное движение вдоль поля. Результирующее
движение частицы будет происходить по
спирали, ось которой совпадает с направле
нием поля. Для электронов, испускаемых
под различными углами, нормальные со
ставляющие скоростей будут различны, т. е .
будут различны и радиусы описываемых
ими спиралей. Однако отношение нормаль
ных составляющих скорости к радиусам
спиралей за период вращения (см. § 115)
будет для всех электронов одинаково; сле
довательно, через один оборот все электро
ны сфокусируются в одной и той же точке
на оси магнитной линзы.
«Преломление» электростатических
и магнитных линз зависит от их фокус
ных расстояний, которые определяют
ся устройством линзы, скоростью элек
тронов, разностью потенциалов, прило
женной к электродам (электростатичес
кая линза), и индукцией магнитного
поля (магнитная линза). Изменяя раз
ность потенциалов или регулируя ток
в катушке, можно изменить фокусное
расстояние линз. Стигматическое изоб
ражение предметов в электронных лин
зах получается только для параксиаль
ных электронных пучков.
Как и в оптических системах (см.
§ 167), в электронно оптических эле
ментах также имеют место погрешнос
ти: сферическая аберрация, кома, дис
торсия, астигматизм. При разбросе ско
ростей электронов в пучке наблюдает
ся также и хроматическая аберрация.
Аберрации ухудшают разрешающую
способность и качество изображения, а
поэтому в каждом конкретном случае
необходимо их устранять.
Рис. 243
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

313
2. Электронные микроскопы — ус
тройства, предназначенные для полу
чения изображения микрообъектов; в
них в отличие от оптических микро
скопов вместо световых лучей исполь
зуют ускоренные до больших энергий
(30 — 100 кэВ и более) в условиях глу
бокого вакуума (примерно 0,1 мПа)
электронные пучки, а вместо обычных
линз — электронные линзы. В элект
ронных микроскопах предметы рас
сматриваются либо в проходящем, либо
в отраженном потоке электронов, по
этому различают просвечивающие и
отражательные электронные мик
роскопы.
На рис. 244 приведена принципиаль
ная схема просвечивающего электрон
ного микроскопа. Электронный пучок,
формируемый электронной пушкой 1,
попадает в область действия конден
сорной линзы 2, которая фокусирует на
объекте 3 электронный пучок необхо
димого сечения и интенсивности. Прой
дя объект и испытав в нем отклонения,
электроны проходят вторую магнитную
линзу — объектив 4 — и собираются ею
в промежуточное изображение 5. Затем
с помощью проекционной линзы 6 на
флуоресцирующем экране достигается
окончательное изображение 7.
Разрешающая способность элект
ронного микроскопа ограничивается, с
одной стороны, волновыми свойствами
(дифракцией) электронов, с другой —
аберрациями электронных линз. Соглас
но теории, разрешающая способность
микроскопа пропорциональна длине
волны, а так как длина волны применя
емых электронных пучков (примерно
1 пм) в тысячи раз меньше длины вол
ны световых лучей, то разрешение элек
тронных микроскопов соответственно
больше и составляет 0,01 — 0,0001 мкм
(для оптических микроскопов прибли
зительно равно 0,2 — 0,3 мкм).
С помощью электронных микроско
пов можно добиться значительно бо′ ль
ших увеличений (до 106 раз), что позво
ляет наблюдать детали структур разме
рами 0,1 нм.
3. Электронно оптические преоб
разователи — это устройства, предназ
наченные для усиления яркости свето
вого изображения и преобразования не
видимого глазом изображения объекта
(например, в инфракрасных или ульт
рафиолетовых лучах) в видимое. Схема
простейшего электронно оптического
преобразователя приведена на рис. 245.
Изображение предмета A с помощью
оптической линзы 1 проецируется на
фотокатод 2. Излучение от объекта вы
зывает с поверхности фотокатода фото
Рис. 244
Рис. 245
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

314
электронную эмиссию, пропорциональ
ную распределению яркости спроеци
рованного на него изображения. Фото
электроны, ускоренные электрическим
полем (3 — ускоряющий электрод), фо
кусируются с помощью электронной
линзы 4 на флуоресцирующий экран 5,
где электронное изображение преобра
зуется в световое (получается оконча
тельное изображение A¢¢). Электронная
часть преобразователя находится в вы
соковакуумном сосуде 6.
Из оптики известно, что всякое уве
личение изображения связано с умень
шением его освещенности. Достоин
ство электронно оптических преобра
зователей заключается в том, что в них
можно получить увеличенное изобра
жение A¢¢ даже большей освещенности,
чем сам предмет A, так как освещен
ность определяется энергией электро
нов, создающих изображение на флуо
ресцирующем экране. Разрешающая
способность каскадных (нескольких
последовательно соединенных) элект
ронно оптических преобразователей
составляет 25 — 60 штрихов на 1 мм.
Коэффициент преобразования — отно
шение излучаемого экраном светового
потока к потоку, падающему от объек
та на фотокатод, — у каскадных элект
ронно оптических преобразователей
достигает »106. Недостаток этих прибо
ров — малая разрешающая способность
и довольно высокий темновой фон, что
влияет на качество изображения.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Может ли возникнуть явление полного отражения, если свет проходит из воды в стек
ло?
• Сформулируйте и поясните основные законы оптики.
• В чем заключается физический смысл абсолютного показателя преломления среды? Что
такое относительный показатель преломления?
• При каком условии наблюдается полное отражение?
• В чем заключается принцип работы световодов?
• Поясните, что вы понимаете под световым лучом?
• Что такое линза? Какие они бывают?
• В чем заключается принцип Ферма?
• Выведите формулу тонкой линзы.
• Что такое фокусное расстояние линзы? оптическая сила линзы? фокальная плоскость
линзы?
• Как осуществляется построение изображения предметов в линзах?
• Какова основная световая единица в СИ? Дайте ее определение.
• Что представляют собой электронные линзы? магнитные линзы?
• Чем отличаются энергетические и световые величины в фотометрии? Какие они бывают?
• Почему разрешающая способность электронных микроскопов гораздо выше, чем обыч
ных?
• Можно ли в электронно оптических преобразователях получить увеличенное изобра
жение большей освещенности, чем предмет? Почему?
ÇÀÄÀ×È
21.1 . На плоскопараллельную стеклянную пластинку (n = 1,5) толщиной 6 см падает
под углом 35° луч света. Определите боковое смещение луча, прошедшего сквозь эту плас
тинку. [1,41 см]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

315
21.2 . Необходимо изготовить плосковыпуклую линзу с оптической силой 6 дптр. Опре
делите радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если показатель преломления ма
териала линзы равен 1,6. [10 см]
21.3 . Определите, на какую высоту необходимо повесить лампочку мощностью 300 Вт,
чтобы освещенность расположенной под ней доски была равна 50 лк. Наклон доски состав
ляет 35°, а световая отдача лампочки равна 15 лм/Вт. Принять, что полный световой поток,
испускаемый изотропным точечным источником света, F0 = 4pI. [2,42 м]
Ãëàâà 22
ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈß ÑÂÅÒÀ
§ 170. Ðàçâèòèå ïðåäñòàâëåíèé
î ïðèðîäå ñâåòà
Основные законы оптики известны
еще с древних веков. Так, Платон (430 г.
до н. э .) установил закон прямолиней
ного распространения и закон отраже
ния света. Аристотель (350 г. до н. э .) и
Птолемей изучали преломление света.
Первые представления о природе света
возникли у древних греков и египтян,
которые в дальнейшем, по мере изобре
тения и усовершенствования различ
ных оптических инструментов, напри
мер параболических зеркал (XIII в.),
фотоаппарата и микроскопа (XVI в.),
зрительной трубы (XVII в.), развива
лись и трансформировались. В конце
XVII в. на основе многовекового опы
та и развития представлений о свете
возникли две теории света: корпус
кулярная (И. Ньютон) и волновая
(Р. Гук и Х. Гюйгенс).
Согласно корпускулярной теории
(теории истечения), свет представляет
собой поток частиц (корпускул), испус
каемых светящимися телами и летящих
по прямолинейным траекториям. Дви
жение световых корпускул Ньютон
подчинил сформулированным им зако
нам механики. Так, отражение света
понималось аналогично отражению
упругого шарика при ударе о плоскость,
где также соблюдается закон равенства
углов падения и отражения. Преломле
ние света Ньютон объяснял притяже
нием корпускул преломляющей средой,
в результате чего скорость корпускул
меняется при переходе из одной среды
в другую. Из теории Ньютона следова
ло постоянство синуса угла падения i1
к синусу угла преломления i2:
,
1
2
sin
sin
ivn
ic
==
(170.1)
где v — скорость распространения све
та в среде; c — скорость распростране
ния света в вакууме. Так как n в среде
всегда больше единицы, то, по теории
Ньютона, v > c, т. е . скорость распрост
ранения света в среде должна бы быть
всегда больше скорости его распростра
нения в вакууме.
Согласно волновой теории, развитой
на основе аналогии оптических и акус
тических явлений, свет представляет
собой упругую волну, распространяю
щуюся в особой среде — эфире. Эфир за
полняет все мировое пространство, про
низывает все тела и обладает механичес
кими свойствами — упругостью и плот
ностью. Согласно Гюйгенсу, большая
скорость распространения света обус
ловлена особыми свойствами эфира.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

316
Волновая теория основывается на
принципе Гюйгенса: каждая точка, до
которой доходит волна, служит цент
ром вторичных волн, а огибающая этих
волн дает положение волнового фрон
та в следующий момент времени. На
помним, что волновым фронтом назы
вается геометрическое место точек, до
которых доходят колебания к моменту
времени t. Принцип Гюйгенса позволя
ет анализировать распространение све
та и вывести законы отражения и пре
ломления.
Выведем законы отражения и преломле
ния света, исходя из принципа Гюйгенса.
Пусть на границу раздела двух сред падает
плоская волна (фронт волны — плоскость
AB), распространяющаяся вдоль направле
ния I (рис. 246). Когда фронт волны достиг
нет отражающей поверхности в точке A, эта
точка начнет излучать вторичную волну.
Для прохождения волной расстояния BC
требуется время
BC
t
v
D=
. За это же время
фронт вторичной волны достигнет точек
полусферы, радиус AD которой равен vDt =
= BC. Положение фронта отраженной вол
ны в этот момент времени в соответствии с
принципом Гюйгенса задается плоскостью
DC, а направление распространения этой
волны — лучом II. Из равенства треуголь
ников ABC и ADC вытекает закон отраже
ния: угол отражения i1¢ равен углу падения i1.
Для вывода закона преломления предпо
ложим, что плоская волна (фронт волны —
плоскость AB), распространяющаяся в ва
кууме вдоль направления I со скоростью
света c, падает на границу раздела со средой,
в которой скорость ее распространения рав
на v (рис. 247). Пусть время прохождения
волной пути BC равно Dt. Тогда BC = cDt.
За это же время фронт волны, возбуждае
мый точкой A в среде со скоростью v, дос
тигнет точек полусферы, радиус которой
AD = vDt. Положение фронта преломлен
ной волны в этот момент времени в соответ
ствии с принципом Гюйгенса задается плос
костью DC, а направление ее распростране
ния — лучом III. Из рис. 247 следует, что
AC=
12
sin
sin
BC AD
ii
=
, т.е.
12
sin
sin
ct vt
ii
DD
=
, откуда
1
2
sin
.
sin
icn
iv
==
(170.2)
Сравнивая выражения (170.2) и
(170.1), видим, что волновая теория
приводит к выводу, отличному от вы
вода теории Ньютона. По теории Гюй
генса, v < c, т. е. скорость распростране
ния света в среде должна быть всегда
меньше скорости его распространения
в вакууме.
Таким образом, к началу XVIII в. су
ществовало два противоположных под
хода к объяснению природы света: кор
пускулярная теория Ньютона и волно
вая теория Гюйгенса. Обе эти теории
объясняли прямолинейное распростра
нение света, законы отражения и пре
ломления. XVIII век стал веком борь
бы этих теорий. Экспериментальное до
казательство справедливости волновой
теории было получено в 1851 г., когда
Э. Фуко (и независимо от него А. Фи
зо) измерил скорость распространения
света в воде и получил значение, соот
ветствующее формуле (170.2).
К началу XIX столетия корпуску
лярная теория была полностью отверг
Рис. 246
Рис. 247
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

317
нута и признана волновая теория. Боль
шая заслуга в этом отношении принад
лежит английскому физику Т. Юнгу,
исследовавшему явления дифракции и
интерференции, и французскому физи
ку О. Френелю (1788 — 1827), допол
нившему принцип Гюйгенса и объяс
нившему эти явления.
Несмотря на признание волновой
теории, она обладала целым рядом не
достатков. Так, явления интерферен
ции, дифракции и поляризации могли
быть объяснены только в том случае,
если световые волны считать попереч
ными. Но если световые волны — по
перечные, то их носитель — эфир — дол
жен обладать свойствами твердых тел.
Попытка же наделить эфир свойствами
твердого тела успеха не имела, так как
эфир не оказывает заметного воздей
ствия на движущиеся в нем тела.
Далее эксперименты показали, что
скорость распространения света в раз
ных средах различна, поэтому эфир
должен обладать в разных средах раз
личными свойствами. Теория Гюйген
са не могла объяснить также физичес
кой природы наличия разных цветов.
Наука о свете накапливала экспери
ментальные данные, свидетельствую
щие о взаимосвязи световых, электри
ческих и магнитных явлений, что по
зволило Максвеллу в 70 х годах XIX в.
создать электромагнитную теорию све
та (см. § 139). Согласно электромагнит
ной теории Максвелла [см. (162.3)],
,
c
n
v
=e
m=
где c и v — соответственно скорости рас
пространения света в вакууме и в среде
с диэлектрической проницаемостью e и
магнитной проницаемостью m. Это со
отношение связывает оптические, элек
трические и магнитные постоянные ве
щества.
По Максвеллу, e и m — величины, не
зависящие от длины волны света, по
этому электромагнитная теория не мог
ла объяснить явление дисперсии (зави
симость показателя преломления от
длины волны). Эта трудность была пре
одолена в конце XIX в. Х. Лоренцем,
предложившим электронную теорию,
согласно которой диэлектрическая про
ницаемость e зависит от длины волны
падающего света. Теория Лоренца вве
ла представление об электронах, колеб
лющихся внутри атома, и позволила
объяснить явления испускания и по
глощения света веществом.
Несмотря на огромные успехи элек
тромагнитной теории Максвелла и
электронной теории Лоренца, они были
несколько противоречивы и при их
применении встречался ряд затрудне
ний. Обе теории основывались на гипо
тезе об эфире, только «упругий эфир»
был заменен «эфиром электромагнит
ным» (теория Максвелла) или «непод
вижным эфиром» (теория Лоренца).
Теория Максвелла не смогла объяс
нить процессов испускания и поглоще
ния света, фотоэлектрического эффек
та, комптоновского рассеяния и т. д . Те
ория Лоренца, в свою очередь, не смог
ла объяснить многие явления, связан
ные с взаимодействием света с веще
ством, в частности вопрос о распреде
лении энергии по длинам волн при теп
ловом излучении черного тела.
Перечисленные затруднения и проти
воречия были преодолены благодаря сме
лой гипотезе (1900) немецкого физика
М. Планка (1858 — 1947), согласно кото
рой излучение и поглощение света про
исходит не непрерывно, а дискретно, т. е .
определенными порциями (квантами),
энергия которых определяется частотой n:
e0=hn,
(170.3)
где h — постоянная Планка.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

318
Теория Планка не нуждалась в по
нятии об эфире. Она объяснила тепло
вое излучение черного тела. Эйнштейн
в 1905 г. создал квантовую теорию
света, согласно которой не только из
лучение света, но и его распространение
происходит в виде потока световых
квантов — фотонов, энергия которых
определяется по (170.3).
Квантовые представления о свете
хорошо согласуются с законами излу
чения и поглощения света, законами
взаимодействия света с веществом. Од
нако как с помощью этих представле
ний объяснить такие хорошо изученные
явления, как интерференция, дифрак
ция и поляризация света? Эти явления
легко объясняются на основе волновых
представлений. Все многообразие изу
ченных свойств и законов распростра
нения света, его взаимодействия с ве
ществом показывает, что свет имеет
сложную природу. Он представляет со
бой единство противоположных видов
движения — корпускулярного (кван
тового) и волнового (электромаг
нитного).
Длительный путь развития привел к
современным представлениям о двой
ственной корпускулярно волновой
природе света. Выражение (170.3) свя
зывает корпускулярные характеристи
ки излучения — энергию кванта — с вол
новыми — частотой колебаний (длиной
волны). Таким образом, свет представ
ляет собой единство дискретности и не
прерывности.
§ 171. Êîãåðåíòíîñòü
è ìîíîõðîìàòè÷íîñòü
ñâåòîâûõ âîëí
Интерференцию света можно объяс
нить, рассматривая интерференцию
волн (см. § 156). Необходимым услови
ем интерференции волн является их
когерентность, т. е . согласованное
протекание во времени и пространстве
нескольких колебательных или волно
вых процессов. Этому условию удов
летворяют монохроматические вол
ны — неограниченные в пространстве
волны одной определенной и строго по
стоянной частоты.
Так как ни один реальный источник
не дает строго монохроматического све
та, то волны, излучаемые любыми не
зависимыми источниками света, всегда
некогерентны. Поэтому на опыте не
наблюдается интерференция света от
независимых источников, например от
двух электрических лампочек.
Понять физическую причину немо
нохроматичности, а следовательно, и
некогерентности волн, испускаемых
двумя независимыми источниками све
та, можно исходя из самого механизма
испускания света атомами. В двух са
мостоятельных источниках света атомы
излучают независимо друг от друга.
В каждом из таких атомов процесс из
лучения конечен и длится очень корот
кое время (t » 10-8 с). За это время воз
бужденный атом возвращается в нор
мальное состояние и излучение им све
та прекращается. Возбудившись вновь,
атом снова начинает испускать свето
вые волны, но уже с новой начальной
фазой. Так как разность фаз между из
лучением двух таких независимых ато
мов изменяется при каждом новом акте
испускания, то волны, спонтанно излу
чаемые атомами любого источника све
та, некогерентны.
Таким образом, волны, испускаемые
атомами, лишь в течение интервала вре
мени »10-8 с имеют приблизительно
постоянные амплитуду и фазу колеба
ний, тогда как за бо′льший промежуток
времени и амплитуда, и фаза изменя
ются. Прерывистое излучение света
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

319
атомами в виде отдельных коротких
импульсов называется волновым цу
гом.
Описанная модель испускания све
та справедлива и для любого макроско
пического источника, так как атомы
светящегося тела излучают свет также
независимо друг от друга. Это означает,
что начальные фазы соответствующих
им волновых цугов не связаны между
собой. Помимо этого, даже для одного
и того же атома начальные фазы разных
цугов отличаются для двух последую
щих актов излучения. Следовательно,
свет, испускаемый макроскопическим
источником, некогерентен.
Немонохроматический свет можно
представить в виде совокупности сме
няющих друг друга независимых гармо
нических цугов. Средней продолжи
тельностью одного цуга определяется
время когерентности tког : если после
деления волны на два пучка один из них
получит временну′ ю задержку, бо′ льшую
продолжительности одного цуга, то та
кие два пучка не будут интерфериро
вать, т. е . не будут взаимно когерентны
ми. Когерентность существует только в
пределах одного цуга, и время когерент
ности не может превышать времени
высвечивания атома, т. е . tког < t. При
бор обнаружит четкую интерференци
онную картину лишь тогда, когда вре
мя разрешения прибора значительно
меньше времени когерентности накла
дываемых световых волн.
Если волна распространяется в од
нородной среде, то фаза колебаний в
определенной точке пространства со
храняется только в течение времени
когерентности tког. За время когерент
ности волна распространяется в вакуу
ме на расстояние l ког = c tког, называе
мое длиной когерентности (или дли
ной цуга). Таким образом, длина коге
рентности есть расстояние, при прохож
дении которого две или несколько волн
утрачивают когерентность. Отсюда сле
дует, что наблюдение интерференции
света возможно лишь при оптических
разностях хода меньших длины коге
рентности для используемого источни
ка света.
Чем ближе волна к монохроматичес
кой, тем меньше ширина Dw спектра ее
частот и, как можно показать, больше
ее время когерентности tког, а следова
тельно, и длина когерентности l ког. На
пример, для видимого солнечного све
та (сплошной спектр частот от 4 · 1014 до
8 · 1014 Гц) tког » 10-14
с, для тепловых
источников (ширина спектральной ли
нии »108 Гц) tког » 10-8 с и для лазеров
(ширина спектральной линии »102 Гц)
tког » 10-2
с.
Различают временну′′′′′ ю и простран
ственную когерентность. Понятие
временно′ й когерентности можно свя
зать с контрастом интерференционной
картины, наблюдаемой в результате ин
терференции двух волн, исходящих из
одной и той же точки поперечного се
чения пучка (полученных методом де
ления амплитуд). Временна′′′′′я когерен
тность волны характеризует сохране
ние взаимной когерентности при вре
менно′м отставании одного из таких
лучей по отношению к другому. При
этом мерой временно′й когерентности
служит время когерентности tког —
максимально возможное время отстава
ния одного луча по отношению к дру
гому, при котором их взаимная когерен
тность еще сохраняется. Временна′ я ко
герентность определяется степенью мо
нохроматичности.
Пространственная когерент
ность волны характеризует наличие
взаимной когерентности двух световых
пучков, взятых из различных точек се
чения волны. Мерой пространственной
когерентности служит диаметр коге
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

320
рентности — наибольший диаметр
круга, мысленно вырезаемый в попе
речном сечении волны, при котором
любые два пучка, исходящие из различ
ных точек внутри этого круга, еще ос
таются взаимно когерентными (при
нулевой разности хода). Если из волно
вой поверхности методом деления вол
нового фронта выделить два пучка, ко
торые отстоят друг от друга на расстоя
ние, большее диаметра когерентности,
то они не будут интерферировать даже
при нулевой разности хода.
Для выяснения влияния на интер
ференционную картину протяженнос
ти реальных источников света их излу
чение считают монохроматическим.
Протяженный источник света можно
мысленно разбить на большое число
точечных излучателей. Такие элемен
тарные источники света, конечно, неко
герентны. Тогда интенсивность в лю
бом месте будет равна сумме интенсив
ностей в интерференционных картинах,
создаваемых отдельными элементар
ными источниками. Эти интерферен
ционные картины от разных элементов
протяженного источника оказываются
смещенными относительно друг друга,
и в результате их наложения интерфе
ренционные полосы оказываются раз
мытыми. Их можно наблюдать лишь
при выполнении определенных усло
вий для геометрии эксперимента.
Интерференционная картина в слу
чае монохроматического света (длина
волны l) остается достаточно четкой,
если выполняется приближенное усло
вие
,
sin
a
l
w
4
„
(171.1)
где a — размеры источника (например,
ширина щели); 2w — угол между выхо
дящими из источника интерферирую
щими лучами, называемый апертурой
интерференции. Из выражения (171.1)
следует, что чем меньше апертура ин
терференции, тем больше допустимые
размеры источника.
§ 172. Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà
Предположим, что две монохрома
тические световые волны, накладыва
ясь друг на друга, возбуждают в опре
деленной точке пространства колеба
ния одинакового направления: x 1 =
= A1cos(wt+j1)иx2=A2cos(wt+j2).
Под x понимают напряженность элект
рического E или магнитного H полей
волны; векторы E
r
иH
r
колеблются во вза
имно перпендикулярных плоскостях
(см. § 162). Напряженности электриче
ского и магнитного полей подчиняются
принципу суперпозиции (см. § 80 и
110). Амплитуда результирующего ко
лебания в данной точке A
2
=A1
2
+A2
2
+
+ 2A1A2 cos (j2 - j1) [см. (144.2)]. Так
как волны когерентны, то cos (j2 - j1)
имеет постоянное во времени (но свое
для каждой точки пространства) значе
ние, поэтому интенсивность результи
рующей волны (I ~ A
2
)
121
2
1
2c
o
s
()
.
IIIII2
=++
j-
j(172.1)
В точках пространства, где cos (j2 -
-
j1) > 0, интенсивность I > I1 + I2, где
cos (j2 - j1) < 0, интенсивность I <
< I1 + I2. Следовательно, при наложе
нии двух (или нескольких) когерентных
световых волн происходит простран
ственное перераспределение светового
потока, в результате чего в одних мес
тах возникают максимумы, а в других —
минимумы интенсивности. Это явление
называется интерференцией света.
Для некогерентных волн разность
(j2 - j1) непрерывно изменяется, по
этому среднее во времени значение
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

321
cos(j2 - j1) равно нулю, а интенсив
ность результирующей волны всюду
одинакова и при I1 = I2 равна 2I1 (для
когерентных волн при данном условии
в максимумах I = 4I1, в минимумах I = 0).
Как можно создать условия, необхо
димые для возникновения интерферен
ции световых волн? Для получения ко
герентных световых волн применяют
метод разделения волны, излучаемой
одним источником, на две части, кото
рые после прохождения разных опти
ческих путей накладываются друг на
друга, и наблюдается интерференцион
ная картина.
Пусть разделение на две когерент
ные волны происходит в определенной
точке O. До точки M, в которой наблю
дается интерференционная картина,
одна волна в среде с показателем пре
ломления n1 прошла путь s1, вторая —
в среде с показателем преломления n2 —
путь s 2. Если в точке O фаза колебаний
равна wt, то в точке M первая волна воз
будит колебание
1
1
1
cos
s
At
v
æö
÷
ç
w-÷
ç
÷
çèø
, вторая
волна — колебание
2
2
2
cos
s
At
v
æö
÷
ç
w-÷
ç
÷
çèø
, где
v1=
,2
12
cc
v
nn
=
—
соответственно фа
зовая скорость первой и второй волн.
Разность фаз колебаний, возбуждаемых
волнами в точке M, равна
21
22 11
21
21
2
()
22
()
ss
sn sn
vv
LL
0
00
æö
p
÷
ç
d=w
-
=
-
=
÷
ç
÷÷
ç
l
èø
pp
=-
=
D
ll
(учли, что
22
cc0
wp
np
==
l
,гдеl0—дли
на волны в вакууме). Произведение
геометрической длины s пути свето
вой волны в данной среде на показа
тель n преломления этой среды назы
вается оптической длиной пути L, а
D = L2 - L1 — разность оптических
длин проходимых волнами путей — на
зывается оптической разностью хода.
Если оптическая разность хода рав
на целому числу длин волн в вакууме
,
(0
,
1
,
2
,
)
mm
0
D=±l =
K
(172.2)
то d = ±2mp, и колебания, возбуждае
мые в точке M обеими волнами, будут
происходить в одинаковой фазе. Следо
вательно, (172.2) является условием
интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода
,
(21)( 0,1,2,)
2
mm
0
l
D=± +
=
K
(172.3)
то d = ±(2m + 1)p, и колебания, возбуж
даемые в точке M обеими волнами, бу
дут происходить в противофазе. Следо
вательно, (172.3) является условием
интерференционного минимума.
§ 173. Ìåòîäû íàáëþäåíèÿ
èíòåðôåðåíöèè ñâåòà
Рассмотрим условия, при которых
возможно наблюдение интерференци
онной картины. Для получения коге
рентных лучей необходимо свет от од
ного и того же источника разделить на
два пучка (или несколько пучков) и за
тем наложить их друг на друга так, что
бы разность хода между интерфериру
ющими лучами была меньше длины
когерентности (см. § 171). Метод полу
чения когерентных пучков делением
волнового фронта (он пригоден только
для достаточно малых источников) зак
лючается в том, что исходящий из ис
точника пучок делится на два, напри
мер, проходя через два близко располо
женных отверстия, либо отражаясь от
зеркальных поверхностей и т. д .
1. Метод Юнга. Источником све
та служит ярко освещенная щель S
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

322
(рис. 248), от которой световая волна
падает на две узкие равноудаленные
щели S1 и S2, параллельные щели S. Та
ким образом, щели S1 и S2 играют роль
вторичных когерентных источников.
Так как волны, исходящие из S1 и S2, по
лучены разбиением одного и того же
волнового фронта, исходящего из S, то
они когерентны, и в области перекры
тия этих световых пучков (область BC )
наблюдается интерференционная кар
тина на экране (Э), расположенном на
некотором расстоянии параллельно S1
и S2. Т . Юнгу принадлежит первое на
блюдение явления интерференции.
2. Зеркала Френеля. Свет от источ
ника S (рис. 249) падает расходящим
ся пучком на два плоских зеркала A1O
и A2O, расположенных относительно
друг друга под углом, лишь немного от
личающимся от 180° (угол j мал). Ис
пользуя правила построения изображе
ния в плоских зеркалах, можно пока
зать, что и источник, и его изображе
ния S1 и S2 (угловое расстояние между
которыми равно 2j) лежат на одной и
той же окружности радиуса r с цент
ром в O (точка соприкосновения зер
кал).
Световые пучки, отражаясь от обо
их зеркал, образуют два мнимых изоб
ражения S1 и S2 источника, которые ко
герентны (получены разбиением одно
го и того же волнового фронта, исходя
щего из S ). Интерференционная карти
на наблюдается в области взаимного
перекрытия отраженных пучков (на
рис. 249 она затонирована). Можно по
казать, что максимальный угол расхож
дения перекрывающихся пучков не мо
жет быть больше 2j. Интерференцион
ная картина наблюдается на экране (Э),
защищенном от прямого попадания
света заслонкой (З).
3. Бипризма Френеля. Она состоит
из двух одинаковых, сложенных основа
ниями призм с малыми преломляющи
ми углами. Свет от источника S (рис. 250)
преломляется в обеих призмах, в ре
зультате чего за бипризмой распростра
няются световые лучи, как бы исходя
щие из мнимых источников S1 и S2, яв
ляющихся когерентными. Таким обра
зом, на поверхности экрана (в затони
рованной области) происходит наложе
ние когерентных пучков и наблюдает
ся интерференция.
Расчет интерференционной карти
ны от двух источников. Расчет интер
ференционной картины для рассмот
ренных выше методов наблюдения ин
терференции света можно провести,
используя две узкие параллельные ще
ли, расположенные достаточно близко
друг к другу (рис. 251). Щели S1 и S2
находятся на расстоянии d друг от дру
га и являются когерентными (реальны
ми или мнимыми изображениями ис
Рис. 248
Рис. 249
Рис. 250
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

323
точника S в какой то оптической сис
теме) источниками света. Интерферен
ция наблюдается в произвольной точ
ке A экрана, параллельного обеим ще
лям и расположенного от них на рассто
янии l , причем l ? d. Начало отсчета
выбрано в точке O, симметричной от
носительно щелей.
Интенсивность в любой точке A эк
рана, лежащей на расстоянии x от O,
определяется оптической разностью
ходаD=s2 - s1 (см. §172).Изрис. 251
имеем
 
+
;
+
,
22
22
22
21
22
dd
slx
slx
=+
=-
откуда 22
212
ssx
d
-=,или
21
12
2.
xd
ss
ss
D=
-
=
+
Изусловияl ?dследует,что s1+s2 »
» 2l, поэтому
.
xd
l
D=
(173.1)
Подставив найденное значение D
(173.1) в условия (172.2) и (172.3), по
лучим, что максимумы интенсивности
будут наблюдаться в случае, если
,
max
(0
,
1
,
2
,
)
l
xm
m
d0
=±l=
K
(173.2)
а минимумы — в случае, если
.
min
1
(0
,
1
,
2
,
)
2
l
xmm
d0
=±
+l=
K
(173.3)
Расстояние между двумя соседними
максимумами (или минимумами), на
зываемое шириной интерференцион
ной полосы, равно
,
l
x
d0
D=l
(173.4)
Dx не зависит от порядка интерферен
ции (величины m) и является постоян
ной для данных l , d и l0. Согласно фор
муле (173.4), Dx обратно пропорцио
нально d , следовательно, при большом
расстоянии между источниками, напри
мер при d » l , отдельные полосы стано
вятся неразличимыми. Для видимого
света l0 » 10-7 м, поэтому четкая, дос
тупная для визуального наблюдения
интерференционная картина имеет ме
сто при l ? d (это условие и принима
лось при расчете).
По измеренным значениям l , d и Dx ,
используя (173.4), можно эксперимен
тально определить длину волны света.
Из выражений (173.2) и (173.3) следу
ет, таким образом, что интерференци
онная картина, создаваемая на экране
двумя когерентными источниками све
та, представляет собой чередование свет
лых и темных полос, параллельных друг
другу. Главный максимум, соответству
ющий m = 0, проходит через точку O.
Вверх и вниз от него на равных расстоя
ниях друг от друга располагаются мак
симумы (минимумы) первого (m = 1),
второго (m = 2) порядков и т. д .
Описанная картина, однако, спра
ведлива лишь при освещении монохро
матическим светом (l0 = const). Если
использовать белый свет, представля
ющий собой непрерывный набор длин
волн от 0,39 мкм (фиолетовая граница
спектра) до 0,75 мкм (красная граница
спектра), то интерференционные мак
симумы для каждой длины волны бу
дут, согласно формуле (173.4), смеще
ны относительно друг друга и иметь вид
радужных полос. Только для m = 0 мак
симумы всех длин волн совпадают, и в
Рис. 251
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

324
середине экрана будет наблюдаться бе
лая полоса, по обе стороны которой
симметрично расположатся спектраль
но окрашенные полосы максимумов
первого, второго порядков и т. д . (бли
же к белой полосе будут находиться
зоны фиолетового цвета, дальше —
зоны красного цвета).
§ 174. Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà
â òîíêèõ ïëåíêàõ
В природе часто можно наблюдать
радужное окрашивание тонких пленок
(масляные пленки на воде, мыльные
пузыри, оксидные пленки на металлах),
возникающее в результате интерферен
ции света, отраженного двумя поверх
ностями пленки.
Если монохроматический свет пада
ет на тонкую прозрачную плоскопарал
лельную пластинку от точечного источ
ника, то он отражается двумя поверх
ностями этой пластинки: верхней и
нижней.
В любую точку, находящуюся с той
же стороны пластинки, что и источник,
приходят два луча, которые дают интер
ференционную картину. На пластинке
происходит деление амплитуды, по
скольку фронты волн в ней сохраняют
ся, меняя лишь направление своего дви
жения.
Пусть на плоскопараллельную про
зрачную пленку с показателем прелом
ления n и толщиной d под углом i (рис.
252) падает плоская монохроматиче
ская волна (для простоты рассмотрим
один луч). На поверхности пленки в
точке O луч разделится на два: частич
но отразится от верхней поверхности
пленки, а частично преломится. Пре
ломленный луч, дойдя до точки C, час
тично преломится в воздух (n0 = 1), а
частично отразится и пойдет к точке B.
Здесь он опять частично отразится
(этот ход луча в дальнейшем из за ма
лой интенсивности не рассматриваем)
и преломится, выходя в воздух под уг
лом i.
Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 ко
герентны, если оптическая разность их
хода мала по сравнению с длиной коге
рентности падающей волны. Если на их
пути поставить собирающую линзу, то
они сойдутся в одной из точек P фо
кальной плоскости линзы. В результа
те возникает интерференционная кар
тина, которая определяется оптической
разностью хода между интерферирую
щими лучами.
Оптическая разность хода между
двумя интерферирующими лучами от
точки O до плоскости AB,
,
0
()2
nOC CB OA
l
D=
+-±
где показатель преломления окружаю
щей пленку среды принят равным 1, а
член
0
2
l
± обусловлен потерей полу
волны при отражении света от грани
цы раздела. Если n > n0, то потеря полу
волны произойдет в точке O и вышеупо
мянутый член будет иметь знак «-»;
если же n < n0, то потеря полуволны
произойдет в точке C и 0
2
l будет иметь
знак «+».
Согласно рис. 252,
cos
d
OC CB
r
==,
OA=
sin 2tgsin
OBidri
=
.
Учитывая
Рис. 252
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

325
для данного случая закон преломления
sini=nsinr(n0=1),получим
2
22
2c
o
s21s
i
n
2s
i
n
.
dnrdn
r
dn
i
D=
=
-
=
=-
С учетом потери полуволны для оп
тической разности хода получим
22
2s
i
n.
dn
i0l
D=
-
±
2
(174.1)
В точке P будет интерференцион
ный максимум, если [см. (172.2)]
,
0
22
0
2s
i
n
2
(0
,
1
,
2
,
)
dn
i
m
m
l
-±
=
l
=
K
(174.2)
и минимум, если [см. (172.3)]
.
00
22
2s
i
n(
2
1
)
22
(0
,
1
,
2
,
)
dn
i
m
m
ll
-±
=
+
=
K
(174.3)
Интерференция наблюдается толь
ко в том случае, если удвоенная толщи
на пластинки меньше длины когерент
ности падающей волны.
1. Полосы равного наклона (интер
ференция от плоскопараллельной пла
стины). Из выражений (174.2) и (174.3)
следует, что интерференционная карти
на в плоскопараллельных пластинках
(пленках) определяется величинами l0,
d,nиi.Дляданныхl0,dиnкаждому
наклону i лучей соответствует своя ин
терференционная полоса. Интерферен
ционные полосы, возникающие в ре
зультате наложения лучей, падающих
на плоскопараллельную пластинку под
одинаковыми углами, называются по
лосами равного наклона.
Лучи 1¢ и 1¢¢ , отразившиеся от верх
ней и нижней граней пластинки (рис.
253), параллельны друг другу, так как
пластинка плоскопараллельна. Следо
вательно, интерферирующие лучи 1¢ и
1¢¢«пересекаются» только в бесконечно
сти, поэтому говорят, что полосы рав
ного наклона локализованы в бесконеч
ности. Для их наблюдения используют
собирающую линзу и экран (Э), распо
ложенный в фокальной плоскости лин
зы. Параллельные лучи 1¢ и 1¢¢соберут
ся в фокусе F линзы (на рис. 253 ее оп
тическая ось параллельна лучам 1 ¢ и
1¢¢), в эту же точку придут и другие лучи
(на рис. 253 — луч 2), параллельные
лучу 1, в результате чего увеличивает
ся общая интенсивность. Лучи 3, накло
ненные под другим углом, соберутся в
другой точке P фокальной плоскости
линзы.
Легко показать, что если оптическая
ось линзы перпендикулярна поверхно
сти пластинки, то полосы равного на
клона будут иметь вид концентриче
ских колец с центром в фокусе линзы.
2. Полосы равной толщины (интер
ференция от пластинки переменной
толщины). Пусть на тонкую прозрач
ную пластинку (пленку) в виде клина
(угол a между боковыми гранями мал)
падает плоская волна, направление рас
пространения которой совпадает с па
раллельными лучами 1 и 2 (рис. 254).
Из всех лучей, на которые разделяется
падающий луч 1, рассмотрим лучи 1¢ и
1¢¢ , отразившиеся от верхней и нижней
поверхностей клина. При определен
ном взаимном положении клина и лин
зы лучи 1¢ и 1¢¢ пересекутся в некото
рой точке A, являющейся изображени
Рис. 253
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

326
ем точки B. Так как лучи 1¢ и 1¢¢ коге
рентны, они будут интерферировать.
Если источник расположен довольно
далеко от поверхности клина и угол a
ничтожно мал, то оптическая разность
хода между интерферирующими луча
ми 1¢ и 1¢¢ может быть с достаточной сте
пенью точности вычислена по форму
ле (174.1), где d — толщина клина в ме
сте падения на него луча. Лучи 2¢ и 2¢¢,
образовавшиеся при делении луча 2, па
дающего в другую точку клина, собира
ются линзой в точке A¢. Оптическая раз
ность хода уже определяется толщи
ной d ¢. Таким образом, на экране воз
никает система интерференционных
полос. Каждая из полос появляется при
отражении от мест пластинки, имею
щих одинаковую толщину (в общем
случае толщина пластинки может изме
няться произвольно). Интерференци
онные полосы, возникающие в резуль
тате интерференции от мест одинако
вой толщины, называются полосами
равной толщины.
Так как верхняя и нижняя грани
клина не параллельны между собой, то
лучи 1¢ и 1¢¢ (2¢ и 2 ¢¢) пересекаются вбли
зи пластинки, в изображенном на рис.
254 случае — над ней (при другой кон
фигурации клина они могут пересекать
ся и под пластинкой). Таким образом,
полосы равной толщины локализованы
вблизи поверхности клина. Если свет
падает на пластинку нормально, то по
лосы равной толщины локализуются на
верхней поверхности клина.
3. Кольца Ньютона. Кольца Ньютона,
являющиеся классическим примером полос
равной толщины, наблюдаются при отраже
нии света от воздушного зазора, образован
ного плоскопараллельной пластинкой и со
прикасающейся с ней плосковыпуклой лин
зой с большим радиусом кривизны (рис.
255). Параллельный пучок света падает нор
мально на плоскую поверхность линзы и ча
стично отражается от верхней и нижней по
верхностей воздушного зазора между лин
зой и пластинкой. При наложении отражен
ных лучей возникают полосы равной тол
щины, при нормальном падении света име
ющие вид концентрических колец. Центры
колец Ньютона совпадают с точкой O сопри
косновения линзы с пластинкой.
В отраженном свете оптическая разность
хода (с учетом потери полуволны при отра
жении), согласно (174.1), при условии, что
показатель преломления воздуха n = 1 , а i =0,
,
0
2
2
d
l
D=+
где d — ширина зазора.
Изрис.255следует,чтоR2=(R-d)2+
+r2
, где R — радиус кривизны линзы; r —
радиус кривизны окружности, всем точкам
которой соответствует одинаковый зазор d .
Учитывая, что d мало, получим
2
2
r
d
R
=
.
Следовательно,
2
0.
2
r
R
l
D=+
(174.4)
Приравняв (174.4) к условиям макси
мума (172.2) и минимума (172.3), получим
выражения для радиусов m гo светлого
кольца и m го темного кольца соответст
венно
,
1
(1
,
2
,
3
,
)
2
m
rmR
m
0
=-
l=K
Рис. 254
Рис. 255
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

327
(0
,
1
,
2
,
3
,
)
.
*m
rm
R
m
0
=l
=
K
Измеряя радиусы соответствующих ко
лец, можно (зная радиус кривизны линзы R)
определить l0 и, наоборот, по известной l0
найти радиус кривизны R линзы.
Как для полос равного наклона, так
и для полос равной толщины положе
ние максимумов зависит от длины вол
ны l0 [см. (174.2). Поэтому система
светлых в темных полос получается
только при освещении монохромати
ческим светом. При наблюдении в бе
лом свете получается совокупность
смещенных друг относительно друга
полос, образованных лучами разных
длин волн, и интерференционная кар
тина приобретает радужную окраску.
Все рассуждения были проведены для
отраженного света. Интерференцию
можно наблюдать и в проходящем све
те, причем в данном случае не наблюда
ется потери полуволны. Следователь
но, оптическая разность хода для про
ходящего и отраженного света отлича
ется на 0
2
l , т. е . максимумам интерфе
ренции в отраженном свете соответ
ствуют минимумы в проходящем, и на
оборот.
§ 175. Ïðèìåíåíèå
èíòåðôåðåíöèè ñâåòà
Явление интерференции обусловле
но волновой природой света; его коли
чественные закономерности зависят от
длины волны l0. Поэтому это явление
применяется для подтверждения вол
новой природы света и для измерения
длин волн (интерференционная спек
троскопия).
Явление интерференции применя
ется также для улучшения качества оп
тических приборов (просветление оп
тики) и получения высокоотражаю
щих покрытий. Прохождение света че
рез каждую преломляющую поверх
ность линзы, например через границу
стекло — воздух, сопровождается отра
жением »4 % падающего потока (при
показателе преломления стекла »1,5).
Так как современные объективы содер
жат большое количество линз, то чис
ло отражений в них велико, а поэтому
велики и потери светового потока. Сле
довательно, интенсивность прошедше
го света ослабляется и светосила опти
ческого прибора уменьшается. Кроме
того, отражения от поверхностей линз
приводят к возникновению бликов, что
часто (например, в военной технике)
демаскирует положение прибора.
Для устранения указанных недо
статков осуществляют так называемое
просветление оптики — это сведе′ние
к минимуму коэффициентов отраже
ния поверхностей оптических систем
путем нанесения на них прозрачных
пленок, толщина которых соизмерима
с длиной волны оптического излуче
ния. Для этого на свободные поверхно
сти линз наносят тонкие пленки с по
казателем преломления, меньшим, чем
у материала линзы. При отражении све
та от границ раздела воздух — пленка и
пленка — стекло возникает интерферен
ция когерентных лучей 1¢ и 2 ¢ (рис. 256).
Толщину пленки d и показатели пре
ломления стекла nс и пленки n можно
подобрать так, чтобы волны, отражен
ные от обеих поверхностей пленки, га
сили друг друга. Для этого их амплиту
Рис. 256
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

328
ды должны быть равны, а оптическая
разность хода равна
0
(2 1)
2
m
l
+
[см.
(172.3)]. Расчет показывает, что ампли
туды отраженных волн равны, если
ñ.
nn
=
(175.1)
Так как nс, n и показатель прелом
ления воздуха n0 удовлетворяют усло
виям nc > n > n0, то потеря полуволны
происходит на обеих поверхностях; сле
довательно, условие минимума (пред
полагаем, что свет падает нормально,
т.е.i =0)
,
0
2(
21
)
2
nd
m
l
=+
где nd — оптическая толщина плен
ки. Обычно принимают m = 0, тогда
0.
4
ndl
=
Таким образом, если выполняется
условие (175.1) и оптическая толщина
пленки равна 0
4
l , то в результате интер
ференции наблюдается гашение отра
женных лучей. Так как добиться одно
временного гашения для всех длин волн
невозможно, то это обычно делается
для наиболее восприимчивой глазом
длины волны l0 » 0,55 мкм. Поэтому
объективы с просветленной оптикой
имеют синевато красный оттенок.
Создание высокоотражающих по
крытий стало возможным лишь на ос
нове многолучевой интерференции.
В отличие от двухлучевой интерферен
ции, которую мы рассматривали до сих
пор, многолучевая интерференция воз
никает при наложении большого числа
когерентных световых пучков. Распре
деление интенсивности в интерферен
ционной картине существенно различа
ется; интерференционные максимумы
значительно у′ же и ярче, чем при нало
жении двух когерентных световых пуч
ков. Так, результирующая амплитуда
световых колебаний одинаковой амп
литуды в максимумах интенсивности,
где сложение происходит в одинаковой
фазе, в N раз больше, а интенсивность в
N 2 раз больше, чем от одного пучка
(N — число интерферирующих пучков).
Отметим, что для нахождения резуль
тирующей амплитуды удобно пользо
ваться графическим методом, исполь
зуя метод вращающегося вектора амп
литуды (см. § 140). Многолучевая ин
терференция осуществляется в дифрак
ционной решетке (см. § 180).
Многолучевую интерференцию
можно осуществить в многослойной
системе чередующихся пленок с разны
ми показателями преломления (но оди
наковой оптической толщиной, равной
0
4
l ), нанесенных на отражающую по
верхность (рис. 257). Можно показать,
что на границе раздела пленок (между
двумя слоями ZnS с бо′ льшим показа
телем преломления n1 находится плен
ка криолита с меньшим показателем
преломления n 2) возникает большое
число отраженных интерферирующих
лучей, которые при оптической толщи
не пленок 0
4
l будут взаимно усиливать
ся, т. е . коэффициент отражения возра
стает.
Характерной особенностью такой
высокоотражательной системы являет
Рис. 257
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

329
ся то, что она действует в очень узкой
спектральной области, причем чем боль
ше коэффициент отражения, тем у′ же
эта область. Например, система из семи
пленок для области, равной 0,5 мкм, дает
коэффициент отражения r » 96 % (при
коэффициенте пропускания »3,5 % и
коэффициенте поглощения <0,5 %).
Подобные отражатели применяются в
лазерной технике, а также используют
ся для создания интерференционных
светофильтров (узкополосных оптиче
ских фильтров).
Явление интерференции лежит в
основе устройства интерферомет
ров — оптических приборов, с помощью
которых можно пространственно разде
лить пучок света на два или большее
число когерентных пучков и создать
между ними определенную разность
хода. После сведе′ ния этих пучков вме
сте наблюдается интерференция. Мето
дов получения когерентных пучков
много, поэтому существует множество
конструкций интерферометров. На рис.
258 представлена упрощенная схема
интерферометра Майкельсона. Мо
нохроматический свет от источника S
падает под углом 45° на плоскопарал
лельную пластинку P1. Сторона плас
тинки, удаленная от S, посеребренная
и полупрозрачная, разделяет луч на две
части: луч 1 (отражается от посеребрен
ного слоя) и луч 2 (проходит через
него). Луч 1 отражается от зеркала M1
и, возвращаясь обратно, вновь проходит
через пластинку P1 (луч 1¢). Луч 2 идет
к зеркалу M2, отражается от него, воз
вращается обратно и отражается от пла
стинки P1 (луч 2 ¢). Так как первый из
лучей проходит сквозь пластинку P1
дважды, то для компенсации возника
ющей разности хода на пути второго
луча ставится пластинка P2 (точно та
кая же, как и P1, только не покрытая
слоем серебра).
Лучи 1¢ и 2 ¢ когерентны, следова
тельно, будет наблюдаться интерферен
ция, результат которой зависит от оп
тической разности хода луча 1 от точки
OдозеркалаM1илуча2отточкиOдо
зеркала M2. При перемещении одного
из зеркал на расстояние
0
4
l разность
хода обоих лучей увеличится на 0
2
lи
произойдет смена освещенности зри
тельного поля. Следовательно, по не
значительному смещению интерферен
ционной картины можно судить о ма
лом перемещении одного из зеркал и
использовать интерферометр Майкель
сона для точного (порядка 10-7 м) из
мерения длин [измерения длины тел,
длины волны света, изменения длины
тела при изменении температуры (ин
терференционный дилатометр)].
Российский физик В. П. Линник
(1889 — 1984) использовал принцип ра
боты интерферометра Майкельсона для
создания микроинтерферометра
(комбинация интерферометра и мик
роскопа), служащего, например, для
контроля чистоты обработки поверх
ности.
Интерферометры — очень чувстви
тельные оптические приборы, позволя
ющие определять незначительные из
менения показателя преломления про
зрачных тел (газов, жидких и твердых
Рис. 258
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

330
тел) в зависимости от давления, темпе
ратуры, примесей и т. д . Такие интерфе
рометры получили название интерфе
ренционных рефрактометров.
На пути интерферирующих лучей
располагаются две одинаковые кюветы
длиной l , одна из которых заполнена,
например, газом с известным (n 0), а
другая — с неизвестным (nx) показате
лями преломления. Возникшая между
интерферирующими лучами дополни
тельная оптическая разность хода D =
= (nx - n 0)l. Изменение разности хода
приведет к сдвигу интерференционных
полос. Этот сдвиг можно характеризо
вать величиной
,
0
0
()
x
nn
l
m
-
D
==
ll
где m 0 показывает, на какую часть ши
рины интерференционной полосы сме
стилась интерференционная картина.
Измеряя величину m 0 при известных l ,
n0 и l, можно вычислить nx или изме
нение nx - n 0. Например, при смещении
интерференционной картины на 1/5 по
лосыприl=10смиl=0,5мкмnx - n0=
= 10-6
, т. е. интерференционные реф
рактометры позволяют измерять изме
нение показателя преломления с очень
высокой точностью (до 1/1 000 000).
Применение интерферометров
очень многообразно. Кроме перечис
ленного, они используются для изуче
ния качества изготовления оптических
деталей, измерения углов, исследова
ния быстропротекающих процессов,
происходящих в воздухе, обтекающем
летательные аппараты, и т. д . Применяя
интерферометр, Майкельсон впервые
провел сравнение международного эта
лона метра с длиной стандартной све
товой волны. С помощью интерферо
метров исследовалось также распрост
ранение света в движущихся телах, что
привело к фундаментальным измене
ниям представлений о пространстве и
времени.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Каковы основные положения и выводы корпускулярной и волновой теорий света?
• Почему возникло представление о двойственной корпускулярно волновой природе све
та?
• В чем заключается основная идея теории Планка?
• Какую величину называют временем когерентности? длиной когерентности? Какова
связь между ними?
• Для чего вводятся понятия временно′ й и пространственной когерентностей?
• Что такое оптическая длина пути? оптическая разность хода?
• Два когерентных световых пучка с оптической разностью хода D = 3/2l интерферируют
в некоторой точке. Максимум или минимум наблюдается в этой точке? Почему?
• Почему интерференцию можно наблюдать от двух лазеров и нельзя от двух электро
ламп?
• Как изменится интерференционная картина в опыте Юнга (см. рис. 248), если эту сис
тему поместить в воду?
• Будут ли отличаться интерференционные картины от двух узких близко лежащих па
раллельных щелей при освещении их монохроматическим и белым светом? Почему?
• Что такое полосы равной толщины и равного наклона? Где они локализованы?
• Освещая тонкую пленку из прозрачного материала монохроматическим светом, падаю
щим нормально к поверхности пленки, на ней наблюдают параллельные чередующиеся
равноудаленные темные и светлые полосы. Одинакова ли толщина отдельных участков
пленки?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

331
• Почему центр колец Ньютона, наблюдаемых в проходящем свете, обычно светлый?
• Между двумя пластинками имеется воздушный клин, освещая который монохромати
ческим светом наблюдают интерференционные полосы. Как изменится расстояние меж
ду полосами, если пространство заполнить прозрачной жидкостью?
• В чем заключается суть просветления оптики?
• Когда и почему слой (слои) с оптической толщиной в четверть длины волны служит
(служат) для полного гашения отраженных лучей и для получения высокоотражающих
покрытий?
ÇÀÄÀ×È
22.1 . Определите, какую длину пути s1 пройдет фронт волны монохроматического света
в вакууме за то же время, за которое он проходит путь s2 = 1,5 мм в стекле с показателем
преломления n 2 = 1,5. [2,25 мм]
22.2 . В опыте Юнга щели, расположенные на расстоянии 0,3 мм, освещались монохро
матическим светом с длиной волны 0,6 мкм. Определите расстояние от щелей до экрана,
если ширина интерференционных полос равна 1 мм. [0,5 м]
22.3 . На стеклянный клин (n = 1,5) нормально падает монохроматический свет (l =
= 698 нм). Определите угол между поверхностями клина, если расстояние между двумя
соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм. [0,4¢]
22.4 . Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим све
том, падающим нормально. При заполнении пространства между линзой и стеклянной пла
стинкой прозрачной жидкостью радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в
1,21 раза. Определите показатель преломления жидкости. [1,46]
22.5 . На линзу с показателем преломления 1,55 нормально падает монохроматический
свет с длиной волны 0,55 мкм. Для устранения потерь отраженного света на линзу наносит
ся тонкая пленка. Определите: 1) оптимальный показатель преломления пленки; 2) толщи
ну пленки. [1) 1,24; 2) 0,111 мкм]
22.6. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интерференционной кар
тины на 450 полос зеркало пришлось переместить на расстояние 0,135 мм. Определите дли
ну волны падающего света. [0,6 мкм]
22.7. На пути одного из лучей интерференционного рефрактометра поместили откачан
ную трубку длиной 10 см. При заполнении трубки хлором интерференционная картина
сместилась на 131 полосу. Определите показатель преломления хлора, если наблюдение
производится в монохроматическом свете с длиной волны 0,59 мкм. [1,000773]
Ãëàâà 23
ÄÈÔÐÀÊÖÈß ÑÂÅÒÀ
§ 176. Ïðèíöèï
Ãþéãåíñà — Ôðåíåëÿ
Дифракцией называется огибание
волнами препятствий, встречающихся
на их пути, или в более широком смыс
ле — любое отклонение распростране
ния волн вблизи препятствий от зако
нов геометрической оптики. Благодаря
дифракции волны могут попадать в об
ласть геометрической тени, огибать пре
пятствия, проникать через небольшие
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

332
отверстия в экранах и т. д. Например,
звук хорошо слышен за углом дома, т. е .
звуковая волна его огибает.
Явление дифракции, общее для всех
волновых процессов, имеет особенности
для света, а именно здесь, как правило,
длина волны l много меньше разме
ров d преград (или отверстий). Поэто
му наблюдать дифракцию можно толь
ко на достаточно больших расстояни
ях l от преграды (
2
d
l
l
…).
Дифракция света — это совокуп
ность явлений, наблюдаемых при рас
пространении света сквозь малые от
верстия, вблизи границ непрозрачных
тел и т. д ., обусловленных волновой
природой света. Под дифракцией света
обычно понимают отклонение от зако
нов распространения света, описывае
мых геометрической оптикой.
Объяснение дифракции возможно с
помощью принципа Гюйгенса (см. § 170),
согласно которому каждая точка, до ко
торой доходит волна, служит центром
вторичных волн, а огибающая этих волн
задает положение волнового фронта в
следующий момент времени.
Пусть плоская волна нормально па
дает на отверстие в непрозрачном экра
не (рис. 259). Согласно Гюйгенсу, каж
дая точка выделяемого отверстием уча
стка волнового фронта служит источ
ником вторичных волн (в однородной
изотропной среде они сферические).
Построив огибающую вторичных волн
для некоторого момента времени, ви
дим, что фронт волны заходит в область
геометрической тени, т. е . волна огиба
ет края отверстия.
Явление дифракции характерно для
волновых процессов. Поэтому если свет
является волновым процессом, то для
него должна наблюдаться дифракция,
т. е . световая волна, падающая на грани
цу какого либо непрозрачного тела,
должна огибать его (проникать в об
ласть геометрической тени). Из опыта,
однако, известно, что предметы, осве
щаемые светом, идущим от точечного
источника, дают резкую тень и, следо
вательно, лучи не отклоняются от их
прямолинейного распространения. По
чему же возникает резкая тень, если
свет имеет волновую природу? К сожа
лению, в теории Гюйгенса ответа на
этот вопрос нет.
Принцип Гюйгенса решает лишь за
дачу о направлении распространения
волнового фронта, но не затрагивает
вопроса об амплитуде, а следовательно,
и об интенсивности волн, распростра
няющихся по разным направлениям.
Френель вложил в принцип Гюйгенса
физический смысл, дополнив его иде
ей интерференции вторичных волн.
Согласно принципу Гюйгенса —
Френеля, световая волна, возбуждае
мая каким либо источником S, может
быть представлена как результат су
перпозиции когерентных вторичных
волн, «излучаемых» фиктивными ис
точниками. Такими источниками могут
служить бесконечно малые элементы
любой замкнутой поверхности, охваты
вающей источник S. Обычно в качестве
этой поверхности выбирают одну из
волновых поверхностей, поэтому все
фиктивные источники действуют син
фазно. Таким образом, волны, распро
страняющиеся от источника, являются
результатом интерференции всех коге
рентных вторичных волн.
Френель исключил возможность
возникновения обратных вторичных
волн и предположил, что если между
Рис. 259
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

333
источником и точкой наблюдения на
ходится непрозрачный экран с отвер
стием, то на поверхности экрана амп
литуда вторичных волн равна нулю, а в
отверстии — такая же, как при отсут
ствии экрана.
Учет амплитуд и фаз вторичных
волн позволяет в каждом конкретном
случае найти амплитуду (интенсив
ность) результирующей волны в любой
точке пространства, т. е . определить за
кономерности распространения света.
В общем случае расчет интерференции
вторичных волн довольно сложный и
громоздкий, однако, как будет показа
но ниже, для некоторых случаев нахож
дение амплитуды результирующего ко
лебания осуществляется алгебраичес
ким суммированием.
§ 177. Ìåòîä çîí Ôðåíåëÿ.
Ïðÿìîëèíåéíîå
ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà
Принцип Гюйгенса — Френеля в рам
ках волновой теории должен был отве
тить на вопрос о прямолинейном рас
пространении света. Френель решил
эту задачу, рассмотрев взаимную интер
ференцию вторичных волн и применив
прием, получивший название метода
зон Френеля.
Найдем в произвольной точке M ам
плитуду световой волны, распространя
ющейся в однородной среде из точеч
ного источника S монохроматического
света (рис. 260). Согласно принципу
Гюйгенса — Френеля, заменим действие
источника S действием воображаемых
источников, расположенных на вспомо
гательной поверхности F, являющейся
поверхностью фронта волны, идущей
из S (поверхность сферы с центром S ).
Френель предложил разбить волно
вую поверхность F на кольцевые зоны
такого размера, чтобы расстояния от
краев зоны до M отличались на
2
l, т.е.
P1M-P0M=P2M-P1M=P3M-P2M=
=K=
2
l . Подобное разбиение фронта
волны на зоны можно выполнить, про
ведя с центром в точке M сферы радиу
сами
,
,
,
23
222
bbb
lll
++ +K.Таккак
колебания от соседних зон проходят до
точки M расстояния, отличающиеся на
2
l , то в точку M они приходят в противо
положной фазе и при наложении эти ко
лебании будут взаимно ослаблять друг
друга. Поэтому амплитуда результиру
ющего светового колебания в точке M
A=A1-A2+A3-A4+K , (177.1)
где A1, A2, K — а мп литуды колебаний,
возбуждаемых 1 й, 2 й, K зонами.
Для оценки амплитуд колебаний
найдем площади зон Френеля. Пусть
внешняя граница m й зоны выделяет на
волновой поверхности сферический
Рис. 260
Рис. 261
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

334
сегмент высоты hm (рис. 261). Обозна
чив площадь этого сегмента через sm ,
найдем, что площадь m й зоны Френе
ля равна Dsm = sm - sm-1, где sm-1
—
площадь сферического сегмента, выде
ляемого внешней границей (m - 1) й
зоны. Из рисунка следует, что

22
2
2
2
()
()
.
mm
m
raa
h
bm bh
=--
=
l
=+
-+
2
(177.2)
После элементарных преобразова
ний,учитывая,чтоl=aи l=b,по
лучим
.
m
bm
h
ab
l
=
2(+)
(177.3)
Площадь сферического сегмента и
площадь m й зоны Френеля соответ
ственно равны
;
1
2
.
mm
mmm
ab
ah
m
ab
ab
ab
-
pl
s=p
=
+
pl
Ds=s-s
=
+
(177.4)
Выражение (177.4) не зависит от m,
следовательно, при не слишком боль
ших m площади зон Френеля одинако
вы. Таким образом, построение зон
Френеля разбивает волновую поверх
ность сферической волны на равнове
ликие зоны.
Согласно предположению Френеля,
действие отдельных зон в точке M тем
меньше, чем больше угол jm (см. рис.
261) между нормалью n
r
к поверхности
зоны и направлением на M, т. е. действие
зон постепенно убывает от центральной
(около P0) к периферическим. Кроме
того, интенсивность излучения в направ
лении точки M уменьшается с ростом
m и вследствие увеличения расстояния
от зоны до точки M. Следовательно,
A1>A2>A3>A4>K.
Общее число зон Френеля, умещаю
щихся на полусфере, очень велико; на
пример,приa=b =10смиl=0,5мкм
N
2
5
2 ()8
1
0
a
ab
ab
p
=+
=
×
pl
. Поэтому в ка
честве допустимого приближения мож
но считать, что амплитуда колебания Am
от некоторой m й зоны Френеля равна
среднему арифметическому от ампли
туд примыкающих к ней зон, т. е .
11
.
2
mm
m
AA
A
-+
+
=
(177.5)
Тогда выражение (177.1) можно за
писать в виде

,
3
11
2
351
4
222
222
A
AA
AA
AAA
A
=+-++
+-++
=
K
(177.6)
так как выражения, стоящие в скобках,
согласно (177.5), равны нулю, а остав
шаяся часть от амплитуды последней
зоны ничтожно мала.
Таким образом, амплитуда резуль
тирующих колебаний в произвольной
точке M определяется как бы действи
ем только половины центральной зоны
Френеля. Следовательно, действие
всей волновой поверхности на точку M
сводится к действию ее малого участ
ка, меньшего центральной зоны.
Если в выражении (177.2) положим,
что высота сегмента h m = a (при не
слишком больших m), тогда 2 2
mm
ra
h
=
.
Подставив сюда значение (177.3), най
дем радиус внешней границы m й зоны
Френеля:
.
m
ab
rm
ab
=l
+
(177.7)
Приa= b =10смиl=0,5мкмрадиус
первой (центральной) зоны r1 = 0,158 мм.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

335
Следовательно, распространение света
от S к M происходит так, будто свето
вой поток распространяется внутри
очень узкого канала вдоль SM, т. е . пря
молинейно. Таким образом, принцип
Гюйгенса — Френеля позволяет объяс
нить прямолинейное распространение
света в однородной среде.
Правомерность деления волнового
фронта на зоны Френеля подтвержде
на экспериментально. Для этого ис
пользуются зонные пластинки — в про
стейшем случае стеклянные пластинки,
состоящие из системы чередующихся
прозрачных и непрозрачных концент
рических колец, построенных по прин
ципу расположения зон Френеля, т. е.
с радиусами rm зон Френеля, определя
емыми выражением (177.7) для задан
ныхзначенийa,bиl(m=0,2,4, K для
прозрачных и m = 1 , 3, 5, ... для непроз
рачных колец). Если поместить зонную
пластинку в строго определенном мес
те (на расстоянии a от точечного источ
ника и на расстоянии b от точки наблю
дения на линии, соединяющей эти две
точки), то для света длиной волны l она
перекроет четные зоны и оставит сво
бодными нечетные, начиная с централь
ной. В результате этого результирую
щаяамплитудаA=A1+A3+A5+K
должна быть больше, чем при полнос
тью открытом волновом фронте. Опыт
подтверждает эти выводы: зонная пла
стинка увеличивает освещенность в
точке M, действуя подобно собирающей
линзе.
§ 178. Äèôðàêöèÿ Ôðåíåëÿ
íà êðóãëîì îòâåðñòèè è äèñêå
Дифракцию разделяют на два типа —
в зависимости от расстояний от источ
ника и точки наблюдения (экрана) до
препятствия, расположенного на пути
распространения света. Первый тип
дифракции относится к случаю, когда
на препятствие падает сферическая или
плоская волна, а дифракционная кар
тина наблюдается на экране, находя
щемся за препятствием на конечном от
него расстоянии. Дифракционные яв
ления этого типа впервые изучены Фре
нелем и называются дифракцией Фре
неля (или дифракцией в сходящихся
лучах).
При рассмотрении этого типа диф
ракции воспользуемся гипотезой Фре
неля (см. § 176), согласно которой часть
волнового фронта, закрытая экраном,
не действует вообще, а незакрытые уча
стки волнового фронта действуют, как
в случае отсутствия экрана. Это при
ближение вполне допустимо в случаях,
когда размеры отверстия значительно
больше длины волны l, так как влия
ние экрана существенно лишь в непос
редственной близости от его края (на
расстояниях, сравнимых с длиной вол
ны l).
1. Дифракция на круглом отвер
стии. Сферическая волна, распростра
няющаяся из точечного источника S,
встречает на своем пути экран с круг
лым отверстием. Дифракционную кар
тину наблюдаем на экране Э в точке B,
лежащей на линии, соединяющей S с
центром отверстия (рис. 262). Экран па
раллелен плоскости отверстия и нахо
Рис. 262
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

336
дится от него на расстоянии b. Разобь
ем открытую часть волновой поверхно
сти F на зоны Френеля. Вид дифракци
онной картины зависит от числа зон
Френеля, укладывающихся на откры
той части волновой поверхности в плос
кости отверстия. Амплитуда результи
рующего колебания, возбуждаемого в
точке B всеми зонами [см. (177.1) и
(177.6)],
,
1
22
m
A
A
A=±
где знак «+» соответствует нечетным m
и «-»
—
четным m .
Если отверстие открывает нечетное
число зон Френеля, то амплитуда (ин
тенсивность) в точке B будет больше,
чем при свободном распространении
волны, если четное, то амплитуда (ин
тенсивность) будет равна нулю.
Если отверстие открывает одну зону
Френеля, то в точке B амплитуда A = A1,
т. е . вдвое больше, чем в отсутствие не
прозрачного экрана с отверстием (см.
§ 177). Интенсивность света больше со
ответственно в четыре раза.
Если отверстие открывает две зоны
Френеля, то их действия в точке B прак
тически уничтожат друг друга из за ин
терференции. Таким образом, дифрак
ционная картина от круглого отверстия
вблизи точки B будет иметь вид чере
дующихся темных и светлых колец с
центрами в точке B (если m четное, то
в центре будет темное кольцо, если m
нечетное — то светлое кольцо), причем
интенсивность в максимумах убывает
с расстоянием от центра картины.
Расчет амплитуды результирующе
го колебания на внеосевых участках
экрана более сложен, так как соответ
ствующие им зоны Френеля частично
перекрываются непрозрачным экра
ном. Если отверстие освещается не мо
нохроматическим, а белым светом, то
кольца окрашены.
Число зон Френеля, открываемых
отверстием, зависит от его диаметра.
Если он большой, то Am = A1 и резуль
тирующая амплитуда
1
2
A
A=
, т.е. та
кая же, как и при полностью открытом
волновом фронте. В данном случае
дифракции не наблюдается, свет рас
пространяется, как и в отсутствие круг
лого отверстия, прямолинейно.
2. Дифракция на диске. Сферичес
кая волна, распространяющаяся от то
чечного источника S, встречает на сво
ем пути непрозрачный диск. Дифракци
онную картину наблюдаем на экране Э
в точке B, лежащей на линии, соединя
ющей S с центром диска (рис. 263).
В данном случае закрытый диском уча
сток волнового фронта надо исключить
из рассмотрения и зоны Френеля стро
ить, начиная с краев диска. Пусть диск
закрывает m первых зон Френеля. Тог
да амплитуда результирующего колеба
ния в точке B равна

123
11
3
2
22
2
mmm
mm
m
m
AAAA
AA
A
A
+++
++
+
+
=-+-
=
=+-++
K
K
или
,
1
2
m
A
A
+
=
Рис. 263
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

337
так как выражения, стоящие в скобках,
равны нулю. Следовательно, в точке B
всегда наблюдается интерференцион
ный максимум (светлое пятно), соот
ветствующий половине действия пер
вой открытой зоны Френеля. Цент
ральный максимум окружен концент
рическими с ним темными и светлыми
кольцами, а интенсивность в максиму
мах убывает с расстоянием от центра
картины.
С увеличением диаметра диска пер
вая открытая зона Френеля удаляется
от точки B и увеличивается угол jm (см.
рис. 261) между нормалью к поверхно
сти этой зоны и направлением на точ
ку B. В результате интенсивность цен
трального максимума с увеличением
размеров диска уменьшается. При боль
ших размерах диска за ним наблюдает
ся тень, вблизи границ которой имеет
место весьма слабая дифракционная
картина.
§ 179. Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà
íà îäíîé ùåëè
Второй тип дифракции — дифрак
ция Фраунгофера1 (или дифракция в
параллельных лучах) наблюдается в
том случае, когда источник света и точ
ка наблюдения бесконечно удалены от
препятствия, вызвавшего дифракцию.
Чтобы этот тип дифракции осущест
вить, достаточно точечный источник
света поместить в фокусе собирающей
линзы, а дифракционную картину ис
следовать в фокальной плоскости вто
рой собирающей линзы, установленной
за препятствием.
Рассмотрим дифракцию Фраунго
фера от бесконечно длинной щели (для
этого практически достаточно, чтобы
длина щели была значительно больше
ее ширины). Пусть плоская монохрома
тическая световая волна падает нор
мально плоскости узкой щели шири
ной a (рис. 264, а). Оптическая разность
хода между крайними лучами MC и ND,
идущими от щели в произвольном на
правлении j,
D=NF =asinj, (179.1)
где F — основание перпендикуляра,
опущенного из точки M на луч ND.
Согласно принципу Гюйгенса —
Френеля, каждая точка щели является
источником вторичных волн. Откры
тую часть волновой поверхности в
плоскости щели MN разбивают на зоны
Френеля, имеющие вид полос, парал
лельных ребру M щели. Ширина каж
дой зоны выбирается так, чтобы раз
ность хода от краев этих зон была рав
на
2
l, т.е. всего на ширине щели умес
тится
2
D
l
зон. Так как свет на щель па
дает нормально, то плоскость щели со
1 И. Фраунгофер (1787 — 1826) — немецкий
физик.
Рис. 264
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

338
впадает с волновым фронтом; следова
тельно, все точки волнового фронта в
плоскости щели будут колебаться в
одинаковой фазе. Амплитуды вторич
ных волн в плоскости щели будут рав
ны, так как выбранные зоны Френеля
имеют одинаковые площади и одинако
во наклонены к направлению наблюде
ния.
Из выражения (179.1) вытекает, что
число зон Френеля, укладывающихся
на ширине щели, зависит от угла j. От
числа зон Френеля, в свою очередь, за
висит результат наложения всех вто
ричных волн. Из приведенного постро
ения следует, что при интерференции
света от каждой пары соседних зон Фре
неля амплитуда результирующих коле
баний равна нулю, так как колебания от
каждой пары соседних зон взаимно га
сят друг друга. Следовательно, если
число зон Френеля четное, то
,
sin
2
( 1,2,3, )
2
am
m
l
j=±
=
K
(179.2)
и в точке B наблюдается дифракцион
ный минимум (полная темнота), если
же число зон Френеля нечетное, то
,
sin
(21)( 1,2,3,)
2
am
m
l
j=± +
=
K
(179.3)
и наблюдается дифракционный мак
симум, соответствующий действию од
ной нескомпенсированной зоны Фре
неля. Отметим, что в направлении j = 0
щель действует как одна зона Френе
ля, и в этом направлении свет распрос
траняется с наибольшей интенсивнос
тью, т. е . в точке B0 наблюдается цент
ральный дифракционный максимум.
Из условий (179.2) и (179.3) можно
найти направления на точки экрана, в
которых амплитуда (а следовательно, и
интенсивность) равна нулю (sin jmin =
=
m
a
l
± ) или максимальна (sin jmax =
=
(2 1)
2
m
a
+l
±
). Распределение интен
сивности на экране, получаемое вслед
ствие дифракции (дифракционный
спектр), приведено на рис. 264, б. Рас
четы показывают, что интенсивности в
центральном и последующих макси
мумах относятся как 1 : 0,047 : 0,017 :
0,0083 : K, т. е . основная часть световой
энергии сосредоточена в центральном
максимуме. С уменьшением ширины
щели центральный максимум расширя
ется [согласно (179.2) возрастают углы
j = ±arcsin
a
l , которые соответствуют
минимумам первого порядка, ограни
чивающим центральный максимум];
при этом яркость его уменьшается. Все
сказанное относится и к другим макси
мумам.
С увеличением ширины щели (a > l)
дифракционные полосы становятся
у′же и ярче, а число полос больше. При
a ? l в центре получается резкое изоб
ражение источника света (имеет мес
то прямолинейное распространение
света).
При a = l (что соответствует sin j=1
и
2
p
j= ) центральный максимум рас
плывается в бесконечность и экран ос
вещен равномерно. Отметим, что при
a l приближенный метод Френеля не
применяют, так как волновое поле в
плоскости щели нельзя отождествлять
с неискаженным полем падающей вол
ны. В данном случае необходимо стро
гое решение задачи с использованием
уравнений Максвелла.
Положение дифракционных макси
мумов зависит от длины волны l, по
этому рассмотренная выше дифракци
онная картина имеет место лишь для
монохроматического света. При осве
щении щели белым светом централь
ный максимум наблюдается в виде бе
лой полоски; он общий для всех длин
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

339
волн (при j = 0 разность хода равна
нулю для всех l). Боковые максимумы
радужно окрашены, так как условие
максимума при любых m различно для
разных l. Таким образом, справа и сле
ва от центрального максимума наблю
даются максимумы первого (m = 1),
второго (m = 2) и других порядков, об
ращенные фиолетовым краем к центру
дифракционной картины. Однако они
настолько расплывчаты, что отчетливо
го разделения различных длин волн с
помощью дифракции на одной щели
получить невозможно.
§ 180. Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà
íà äèôðàêöèîííîé ðåøåòêå
Большое практическое значение
имеет дифракция, наблюдаемая при
прохождении света через одномерную
дифракционную решетку — систему
параллельных щелей равной ширины,
лежащих в одной плоскости и разделен
ных равными по ширине непрозрачны
ми промежутками. Рассматривая диф
ракцию Фраунгофера на щели, мы ви
дели, что распределение интенсивнос
ти на экране определяется направлени
ем дифрагированных лучей. Это озна
чает, что перемещение щели параллель
но самой себе влево или вправо не из
менит дифракционной картины. Следо
вательно, если перейти от одной щели
ко многим (к дифракционной решетке),
то дифракционные картины, создавае
мые каждой щелью в отдельности, бу
дут одинаковыми.
Дифракционная картина на решет
ке определяется как результат взаим
ной интерференции волн, идущих от
всех щелей, т. е. в дифракционной ре
шетке осуществляется многолучевая
интерференция когерентных дифраги
рованных пучков света, идущих от всех
щелей.
Рассмотрим дифракционную решет
ку. На рис. 265 для наглядности пока
заны только ее две соседние щели MN
и CD. Если ширина каждой щели рав
на a, а ширина непрозрачных участков
между щелями b, то величина d = a + b
называется постоянной (периодом)
дифракционной решетки. Пусть плос
кая монохроматическая волна падает
нормально к плоскости решетки. Так
как щели находятся друг от друга на
одинаковых расстояниях, то разности
хода лучей, идущих от двух соседних
щелей, будут для данного направле
ния j одинаковы в пределах всей диф
ракционной решетки:
D = CF = (a + b)sinj=d sin j. (180.1)
Очевидно, что в тех направлениях,
в которых ни одна из щелей не распрос
траняет свет, он не будет распростра
няться и при двух щелях, т. е. прежние
(главные) минимумы интенсивности
будут наблюдаться в направлениях, оп
ределяемых условием (179.2):
.
sin
( 1,2,3, )
am
m
j=±l =
K
(180.2)
Кроме того, вследствие взаимной ин
терференции световых лучей, посылае
мых двумя щелями, в некоторых направ
лениях они будут гасить друг друга, т.е .
возникнут дополнительные миниму
мы. Очевидно, что эти дополнительные
минимумы будут наблюдаться в тех на
Рис. 265
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

340
правлениях, которым соответствует
разность хода лучей , 3
22
ll
, K, посыла
емых, например, от крайних левых то
чек M и C обеих щелей. Таким образом,
с учетом (180.1) условие дополнитель
ных минимумов:
sin
(21)(
0,1,2, ).
2
dm
m
l
j=± +
=
K
Наоборот, действие одной щели бу
дет усиливать действие другой, если
,
sin
2
2
(0
,
1
,
2
,
)
dm
m
m
l
j=±
=±l
=
K
(180.3)
т. е. выражение (180.3) задает условие
главных максимумов.
Таким образом, полная дифракци
онная картина для двух щелей опреде
ляется из условий:
asinj=l,2l,3l, K
(главные минимумы);
dsinj =
,
,
,
35
222
lllK
(дополнительные минимумы);
dsinj=0,l,2l,3l, K
(главные максимумы),
т. е . между двумя главными максимума
ми располагается один дополнитель
ный минимум. Аналогично можно по
казать, что между каждыми двумя глав
ными максимумами при трех щелях
располагается два дополнительных ми
нимума, при четырех щелях — три и т. д.
Если дифракционная решетка состо
ит из N щелей, то условием главных
минимумов является условие (180.2),
условием главных максимумов — усло
вие (180.3), а условием дополнитель
ных минимумов
,
sin
(0
,
,
2
,
)
m
d
N
mN
N
¢l
j=±
¢1
K
(180.4)
где m ¢ может принимать все целочис
ленные значения, кроме тех, при кото
рых условие (180.4) переходит в (180.3).
Следовательно, в случае N щелей меж
ду двумя главными максимумами распо
лагается N - 1 дополнительных мини
мумов, разделенных вторичными макси
мумами, создающими весьма слабый
фон.
Чем больше щелей N, тем большее
количество световой энергии пройдет
через решетку, тем больше минимумов
образуется между соседними главными
максимумами, а следовательно, более
интенсивными и более острыми будут
максимумы. На рис. 266 качественно
представлена дифракционная картина
от восьми щелей. Так как модуль sin j
не может быть больше единицы, то из
(180.3) следует, что число главных мак
симумов
,
d
m
l
„
т. е . определяется отношением периода
решетки к длине волны.
Положение главных максимумов
зависит от длины волны l [см. (180.3)].
Рис. 266
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

341
Поэтому при пропускании через решет
ку белого света все максимумы, кроме
центрального (m = 0), разложатся в
спектр, фиолетовая область которого
будет обращена к центру дифракцион
ной картины, красная — наружу. Это
свойство дифракционной решетки ис
пользуется для исследования спект
рального состава света (определения
длин волн и интенсивностей всех мо
нохроматических компонентов), т. е.
дифракционная решетка может быть
использована как спектральный прибор,
предназначенный для разложения све
та в спектр и измерения длин волн.
Дифракционные решетки, использу
емые в различных областях спектра, от
личаются размерами, формой, материа
лом поверхности, профилем штрихов и
их частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм,
что позволяет перекрывать область
спектра от ультрафиолетовой его час
ти до инфракрасной). Например, сту
пенчатый профиль решетки позволяет
концентрировать основную часть пада
ющей энергии в направлении одного
определенного ненулевого порядка.
§ 181. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ
ðåøåòêà. Ðàññåÿíèå ñâåòà
Дифракция света наблюдается не
только на плоской одномерной решет
ке (штрихи нанесены перпендикуляр
но некоторой прямой линии), но и на
двумерной решетке (штрихи нанесе
ны во взаимно перпендикулярных на
правлениях в одной и той же плоско
сти).
Большой интерес представляет так
же дифракция на пространственных
(трехмерных) решетках — простран
ственных образованиях, в которых эле
менты структуры подобны по форме,
имеют геометрически правильное и пе
риодически повторяющееся располо
жение, а также постоянные (периоды)
решеток, соизмеримые с длиной волны
электромагнитного излучения. Иными
словами, подобные пространственные
образования должны иметь периодич
ность по трем, не лежащим в одной
плоскости, направлениям.
В качестве пространственных диф
ракционных решеток могут быть ис
пользованы кристаллические тела, так
как в них неоднородности (атомы, мо
лекулы, ионы) регулярно повторяются
в трех направлениях.
Дифракция света может происхо
дить также в так называемых мутных
средах — средах с явно выраженными
оптическими неоднородностями. К мут
ным средам относятся аэрозоли (обла
ка, дым, туман), эмульсия, коллоидные
растворы и т.д., т.е. такие среды, в ко
торых взвешено множество очень мел
ких частиц инородных веществ.
Свет, проходя через мутную среду,
дифрагирует от беспорядочно располо
женных микронеоднородностей, давая
равномерное распределение интенсив
ностей по всем направлениям, не созда
вая какой либо определенной дифрак
ционной картины. Происходит так на
зываемое рассеяние света в мутной
среде. Это явление можно наблюдать,
например, когда узкий пучок солнеч
ных лучей, проходя через запыленный
воздух, рассеивается на пылинках и тем
самым становится видимым.
Рассеяние света (как правило, сла
бое) наблюдается также и в чистых сре
дах, не содержащих посторонних час
тиц. Л . И . Мандельштам объяснил рас
сеяние света в средах нарушением их
оптической однородности, при котором
показатель преломления среды не по
стоянен, а меняется от точки к точке.
В дальнейшем польский физик
М. Смолуховский (1872 — 1917) пока
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

342
зал, что причиной рассеяния света мо
гут быть также флуктуации плотности,
возникающие в процессе хаотического
(теплового) движения молекул среды.
Рассеяние света в чистых средах, обус
ловленное флуктуациями плотности,
анизотропии или концентрации, назы
вается молекулярным рассеянием.
Молекулярным рассеянием объяс
няется, например, голубой цвет неба.
Согласно закону Д. Рэлея, интенсив
ность рассеянного света обратно про
порциональна четвертой степени дли
ныволны(I~l
-4
), поэтому голубые и
синие лучи рассеиваются сильнее, чем
желтые и красные, обусловливая тем
самым голубой цвет неба. По этой же
причине свет, прошедший через значи
тельную толщу атмосферы, оказывает
ся обогащенным более длинноволно
вой частью спектра (сине фиолетовая
часть спектра полностью рассеивается)
и поэтому при закате и восходе Солнце
кажется красным. Флуктуации плотно
сти и интенсивность рассеяния света
возрастают с увеличением температу
ры. Поэтому в ясный летний день цвет
неба является более насыщенным по
сравнению с таким же зимним днем.
§ 182. Äèôðàêöèÿ
íà ïðîñòðàíñòâåííîé ðåøåòêå.
Ôîðìóëà Âóëüôà — Áðýããîâ
Для наблюдения дифракционной
картины необходимо, чтобы постоян
ная решетки была того же порядка, что
и длина волны падающего излучения
[см. (180.3)]. Кристаллы, являясь трех
мерными решетками (см. § 181), име
ют постоянную порядка 10-10
ми,сле
довательно, непригодны для наблюде
ния дифракции в видимом свете (l »
»5· 10-7 м). М . Лауэ [немецкий физик
(1879 — 1960)] обратил внимание на то,
что кристаллы можно использовать в
качестве пространственных решеток
для наблюдения дифракции рентгенов
ского излучения, поскольку расстояние
между атомами в кристаллах одного по
рядка с длиной волны рентгеновского
излучения (»10-12
—
10-8 м).
Метод расчета дифракции рентгено
вского излучения от кристаллической
решетки предложен независимо друг от
друга русским ученым Г. В. Вульфом
(1863 — 1925) и английскими физиками
Г. и Л. Брэггами [отец (1862 — 1942) и
сын (1890 — 1971)]. Они предположили,
что дифракция рентгеновского излуче
ния является результатом его отраже
ния от системы параллельных кристал
лографических плоскостей (плоско
стей, в которых лежат узлы (атомы)
кристаллической решетки).
Представим кристалл в виде сово
купности параллельных кристаллогра
фических плоскостей (рис. 267), отсто
ящих друг от друга на расстоянии d. Пу
чок параллельных монохроматических
рентгеновских лучей (1, 2) падает под
углом скольжения q (угол между на
правлением падающих лучей и крис
таллографической плоскостью) и воз
буждает атомы кристаллической ре
шетки, которые становятся источника
ми когерентных вторичных волн 1¢ и 2 ¢,
интерферирующих между собой, подоб
но вторичным волнам, от щелей диф
ракционной решетки. Максимумы ин
Рис. 267
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

343
тенсивности (дифракционные макси
мумы) наблюдаются в тех направлени
ях, в которых все отраженные атомны
ми плоскостями волны будут находить
ся в одинаковой фазе. Эти направления
удовлетворяют формуле Вульфа —
Брэггов
,
2sin
( 1,2
,
3,)
dm
m
q=l
=
K
(182.1)
т. е. при разности хода между двумя лу
чами, отраженными от соседних крис
таллографических плоскостей, кратной
целому числу длин волн l, наблюдает
ся дифракционный максимум.
При произвольном направлении па
дения монохроматического рентгено
вского излучения на кристалл дифрак
ция не возникает. Чтобы ее наблюдать,
надо, поворачивая кристалл, найти угол
скольжения. Дифракционная картина
может быть получена и при произволь
ном положении кристалла, для чего
нужно пользоваться непрерывным рен
тгеновским спектром, испускаемым
рентгеновской трубкой. Тогда для та
ких условий опыта всегда найдутся дли
ны волн l, удовлетворяющие условию
(182.1).
Формула Вульфа — Брэггов исполь
зуется при решении двух важных за
дач:
1. Наблюдая дифракцию рентгено
вского излучения известной длины
волны на кристаллической структуре
неизвестного строения и измеряя q и m,
можно найти межплоскостное рассто
яние (d ), т. е . определить структуру ве
щества. Этот метод лежит в основе рен
тгеноструктурного анализа.
Формула Вульфа — Брэггов остает
ся справедливой и при дифракции элек
тронов и нейтронов. Методы исследо
вания структуры вещества, основанные
на дифракции электронов и нейтронов,
называются соответственно электро
нографией и нейтронографией.
2. Наблюдая дифракцию рентгено
вского излучения неизвестной длины
волны на кристаллической структуре
при известном d и измеряя q и m , мож
но найти длину волны падающего рен
тгеновского излучения. Этот метод ле
жит в основе рентгеновской спектро
скопии.
§ 183. Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü
îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ
Используя даже идеальную оптиче
скую систему (такую, для которой от
сутствуют дефекты и аберрации), не
возможно получить стигматическое
изображение точечного источника, что
объясняется волновой природой света.
Изображение любой светящейся точки
в монохроматическом свете представ
ляет собой дифракционную картину,
т. е . точечный источник отображается в
виде центрального светлого пятна, ок
руженного чередующимися темными и
светлыми кольцами.
Согласно критерию Рэлея, изобра
жения двух близлежащих одинаковых
точечных источников или двух близле
жащих спектральных линий с равными
интенсивностями и одинаковыми сим
метричными контурами разрешимы
(разделены для восприятия), если цен
тральный максимум дифракционной
картины от одного источника (линии)
Рис. 268
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

344
совпадает с первым минимумом диф
ракционной картины от другого (рис.
268, а).
При выполнении критерия Рэлея
интенсивность «провала» между макси
мумами составляет 80 % интенсивнос
ти в максимуме, что является достаточ
ным для разрешения линий l1 и l2.
Если критерий Рэлея нарушен, то на
блюдается одна линия (рис. 268, б ).
1. Разрешающая способность
объектива. Если на объектив падает свет
от двух удаленных точечных источни
ков S1 и S2 (например, звезд) с некото
рым угловым расстоянием dy, то вслед
ствие дифракции световых волн на кра
ях диафрагмы, ограничивающей объек
тив, в его фокальной плоскости вместо
двух точек наблюдаются максимумы,
окруженные чередующимися темными
и светлыми кольцами (рис. 269).
Можно доказать, что две близлежа
щие звезды, наблюдаемые в объективе
в монохроматическом свете, разреши
мы, если угловое расстояние между
ними
,
1, 22
D
l
j…
(183.1)
где l — длина волны света, D — диаметр
объектива.
Разрешающей способностью (раз
решающей силой) объектива называ
ют величину
,
1
R=
dy
где dy — наименьшее угловое расстоя
ние между двумя точками, при котором
они еще оптическим прибором разре
шаются.
Согласно критерию Рэлея, изобра
жения двух одинаковых точек разреши
мы, когда центральный максимум диф
ракционной картины для одной точки
совпадает с первым минимумом диф
ракционной картины для другой (рис.
269).
Из рисунка следует, что при выпол
нении критерия Рэлея угловое рассто
яние dy между точками должно быть
равно j, т. е . с учетом (183.1)
1, 22
.
D
l
dy=j =
Следовательно, разрешающая спо
собность объектива
1
1, 22
D
R==
dy
l
(183.2)
зависит от его диаметра и длины вол
ны света.
Из формулы (183.2) видно, что для
повышения разрешающей способнос
ти оптических приборов нужно либо
увеличить диаметр объектива, либо
уменьшить длину волны. Поэтому для
наблюдения более мелких деталей
предмета используют ультрафиоле
товое излучение, а полученное изо
бражение в данном случае наблюдает
ся с помощью флуоресцирующего эк
рана, либо фиксируется на фотоплас
тинке.
Еще бо′льшую разрешающую способ
ность можно было бы получить с помо
щью рентгеновского излучения, но оно
обладает большой проникающей спо
собностью и проходит через вещество
не преломляясь; следовательно, в дан
ном случае невозможно создать пре
ломляющие линзы.
Рис. 269
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

345
Потоки электронов (при определен
ных энергиях) обладают примерно та
кой же длиной волны, как и рентгено
вское излучение. Поэтому электронный
микроскоп имеет очень высокую разре
шающую способность (см. § 169).
Разрешающей способностью спек
трального прибора называют безраз
мерную величину
,
Rl
=
dl
(183.3)
где dl — абсолютное значение мини
мальной разности длин волн двух сосед
них спектральных линий, при которой
эти линии регистрируются раздельно.
2. Разрешающая способность диф
ракционной решетки. Пусть максимум
m го порядка для длины волны l2 на
блюдается под углом j, т. е., согласно
(180.3), d sin j = ml2. При переходе от
максимума к соседнему минимуму раз
ность хода меняется на
N
l [см. (180.4)],
где N — число щелей решетки. Следо
вательно, минимум l1, наблюдаемый
под углом jmin, удовлетворяет условию
min
sin
dm
N
1
1
l
j=l+. По критерию Рэ
лея, j =jmin, т.е.
2
mm
N
1
1
l
l= l+ или
2
21
mN
l=
l-l
. Таккакl1иl2близки
между собой, т.е. l2 -l1 =dl, то, со
гласно (183.3),
Rдиф.реш = mN.
Таким образом, разрешающая спо
собность дифракционной решетки про
порциональна порядку m спектра и чис
лу N щелей, т. е . при заданном числе
щелей увеличивается разрешающая
способность при переходе к бо′ льшим
значениям порядка m спектра. Совре
менные дифракционные решетки обла
дают довольно высокой разрешающей
способностью (до 2 · 105).
§ 184. Ïîíÿòèå î ãîëîãðàôèè
Голография (от греч. «полная за
пись») — особый способ записи и пос
ледующего восстановления волнового
поля, основанный на регистрации ин
терференционной картины. Она обяза
на своим возникновением законам вол
новой оптики — законам интерферен
ции и дифракции.
Этот принципиально новый способ
фиксирования и воспроизведения про
странственного изображения предме
тов изобретен английским физиком
Д. Габором (1900 — 1979) в 1947 г. (Но
белевская премия 1971 г.). Эксперимен
тальное воплощение и дальнейшая раз
работка этого способа (Ю. Н. Денисю
ком в 1962 г. и американскими физиками
Э. Лейтом и Ю. Упатниексом в 1963 г.)
стали возможными после появления в
1960 г. источников света высокой сте
пени когерентности — лазеров (см.
§ 233).
Рассмотрим элементарные основы
принципа голографии, т. е. регистрации
и восстановления информации о пред
мете. Для регистрации и восстановле
ния волны необходимо уметь регистри
ровать и восстанавливать амплитуду и
фазу идущей от предмета волны. В са
мом деле, согласно формуле (144.2),
учитывая, что I ~ A
2
, распределение ин
тенсивности в интерференционной кар
тине определяется как амплитудой ин
терферирующих волн, так и разностью
их фаз. Поэтому для регистрации как
фазовой, так и амплитудной информа
ции кроме волны, идущей от предмета
(так называемой предметной волны),
используют еще когерентную с ней вол
ну, идущую от источника света (так на
зываемую опорную волну). Идея го
лографирования состоит в том, что фо
тографируется распределение интен
сивности в интерференционной карти
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

346
не, возникающей при суперпозиции
волнового поля объекта и когерентной
ему опорной волны известной фазы.
Последующая дифракция света на за
регистрированном распределении по
чернений в фотослое восстанавливает
волновое поле объекта и допускает
изучение этого поля при отсутствии
объекта.
Практически эта идея может быть
осуществлена с помощью принципиаль
ной схемы, показанной на рис. 270, а.
Лазерный пучок делится на две части,
причем одна часть отражается зеркалом
на фотопластинку (опорная волна), а
другая попадает на фотопластинку, от
разившись от предмета (предметная
волна). Опорная и предметная волны,
являясь когерентными и накладываясь
друг на друга, образуют на фотоплас
тинке интерференционную картину.
После проявления фотопластинки и
получается голограмма — зарегистри
рованная на фотопластинке интер
ференционная картина, образованная
при сложении опорной и предметной
волн.
Для восстановления изображения
(рис. 270, б ) голограмма помещается в
то же самое место, где она находилась
до регистрации. Ее освещают опорным
пучком того же лазера (вторая часть ла
зерного пучка перекрывается диафраг
мой). В результате дифракции света на
интерференционной структуре голог
раммы восстанавливается копия пред
метной волны, образующая объемное
(со всеми присущими предмету свой
ствами) мнимое изображение предме
та, расположенное в том месте, где пред
мет находился при голографировании.
Оно кажется настолько реальным, что
его хочется потрогать. Кроме того, вос
станавливается еще действительное
изображение предмета, имеющее рель
еф, обратный рельефу предмета, т. е .
выпуклые места заменены вогнутыми,
и наоборот (если наблюдение ведется
справа от голограммы).
Обычно пользуются мнимым голо
графическим изображением, которое по
зрительному восприятию создает пол
ную иллюзию существования реально
го предмета. Рассматривая из разных
положений объемное изображение
предмета, даваемое голограммой, мож
но увидеть более удаленные предметы,
закрытые более близкими из них (заг
лянуть за ближние предметы). Это
объясняется тем, что, поворачивая го
лову в сторону, мы воспринимаем изоб
ражение, восстановленное от перифе
рической части голограммы, на кото
рую при экспонировании падали также
и лучи, отраженные от скрытых пред
метов.
Рис. 270
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

347
Голограмму можно расколоть на не
сколько кусков. Но даже малая часть го
лограммы восстанавливает полное изоб
ражение. Однако уменьшение размеров
голограммы приводит к ухудшению
четкости получаемого изображения.
Это объясняется тем, что голограмма
для опорного пучка служит дифракци
онной решеткой, а при уменьшении
числа штрихов дифракционной решет
ки (при уменьшении размеров голо
граммы) ее разрешающая способность
уменьшается.
Методы голографии (запись голо
граммы в трехмерных средах, цветное
и панорамное голографирование и т. д.)
находят все бо′ льшее развитие. При
менение голографии разнообразно,
но наиболее важными, приобретающи
ми все большее значение, являются за
пись и хранение информации. Методы
голографии позволяют записывать в
сотни раз больше страниц печатного
текста, чем методы обычной микрофо
тографии. По подсчетам, на фотоплас
тинку размером 32 ́ 32 мм можно запи
сать 1024 голограммы (площадь каждой
изних1мм
2
), т. е . на одной фотоплас
тинке можно «разместить» книгу объе
мом свыше тысячи страниц. В качестве
будущих разработок могут служить
ЭВМ с голографической памятью, го
лографический электронный микро
скоп, голографические кино и телеви
дение, голографическая интерферомет
рияит.д.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Почему дифракция звука повседневно более очевидна, чем дифракция света?
• Каковы дополнения Френеля к принципу Гюйгенса?
• Что позволил объяснить принцип Гюйгенса — Френеля?
• В чем заключается принцип построения зон Френеля?
• В чем заключается принцип действия зонных пластинок?
• В чем отличие дифракции Френеля на круглом отверстии при освещении его монохро
матическим и белым светом?
• Когда наблюдается дифракция Френеля? дифракция Фраунгофера?
• Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и больших дисках?
• Чем определяется, будет ли число зон Френеля, открываемых отверстием, четным или
нечетным? Ответ обосновать.
• Каковы характерные особенности дифракционной картины, получающиеся при диф
ракции на малом непрозрачном диске?
• Найдите направления на точки экрана в случае дифракции на щели, в которых интен
сивность равна нулю; интенсивность максимальна.
• Отличается ли дифракция на щели при освещении ее монохроматическим и белым све
том?
• Какова предельная ширина щели, при которой еще будут наблюдаться минимумы ин
тенсивности?
• Как влияет на дифракцию Фраунгофера от одной щели увеличение длины волны и ши
рины щели?
• Как изменится дифракционная картина, если увеличить общее число штрихов решет
ки, не меняя постоянную решетки?
• Сколько дополнительных минимумов и максимумов возникнет при дифракции на шес
ти щелях?
• Почему дифракционная решетка разлагает белый свет в спектр?
• Как определить наибольший порядок спектра дифракционной решетки?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

348
• Как изменится дифракционная картина при удалении экрана от решетки?
• Почему при использовании белого света только центральный максимум белый, а боко
вые максимумы радужно окрашены?
• Почему штрихи на дифракционной решетке должны быть тесно расположены друг к
другу? Почему их должно быть большое число?
• Запишите условия дифракционных минимумов для одной щели и главных максимумов
для решетки. Каков характер этих дифракционных картин?
• Каков механизм рассеяния света в мутной среде? в чистой среде?
• Как объяснить голубой цвет неба? Почему при восходе и закате Солнце кажется крас
ным?
• Почему на кристаллах не наблюдается дифракция видимого света и наблюдается диф
ракция рентгеновского излучения?
• Какое практическое применение имеет формула Вульфа — Брэггов?
• Каковы принципиальные пути повышения разрешающей способности оптических при
боров?
• От чего зависит разрешающая способность объектива?
• Каково возможное применение голографии?
• Когда два одинаковых точечных источника разрешимы по Рэлею?
• От чего зависит разрешающая способность дифракционной решетки и как вывести фор
мулу для ее определения?
• Почему для получения голограммы кроме предметной волны необходима еще и опор
ная волна?
• В чем заключается идея голографирования?
ÇÀÄÀ×È
23.1. Плоская световая волна с l = 0,6 мкм падает нормально на диафрагму с круг
лым отверстием диаметром 1 см. Определите расстояние от точки наблюдения до от
верстия, если отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля. [1) 20,8 м;
2) 13,9 м]
23.2 . Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника
монохроматического света (l = 0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном
находится диафрагма с круглым отверстием. Определите радиус отверстия, при котором
центр дифракционной картины на экране будет наиболее темным. [0,5 мм]
23.3 . На щель шириной 0,2 мм падает нормально монохроматический свет с длиной вол
ны 0,5 мкм. Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен парал
лельно щели на расстоянии 1 м. Определите расстояние между первыми дифракционными
минимумами, расположенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
[5 мм]
23.4 . Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу
2
p
соот
ветствует максимум пятого порядка для монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм.
[400 мм-1
]
23.5 . Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения пада
ет на грань кристалла с расстоянием 0,28 нм между его атомными плоскостями. Определи
те длину волны рентгеновского излучения, если под углом 30° к плоскости грани наблюда
ется дифракционный максимум второго порядка. [140 пм]
23.6 . Определите постоянную дифракционной решетки, если она в первом порядке раз
решает две спектральные линии калия (l1 = 578 нм и l2 = 580 нм). Длина решетки 1 см.
[34,6 мкм]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

349
Ãëàâà 24
ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÂÎËÍ
Ñ ÂÅÙÅÑÒÂÎÌ
§ 185. Äèñïåðñèÿ ñâåòà
Дисперсия света — зависимость
фазовой скорости v света в среде от его
частоты. Так как
c
v
n
=
(c — скорость
света в вакууме, n — показатель прелом
ления), то показатель преломления сре
ды оказывается зависящим от частоты
(длины волны):
n = f(l).
(185.1)
Следствием дисперсии является раз
ложение в спектр пучка белого света
при прохождении его через призму.
Первые экспериментальные наблю
дения дисперсии света принадлежат
И. Ньютону (1672 г.).
Рассмотрим дисперсию света в при
зме. Пусть монохроматический пучок
света падает на призму с преломляю
щим углом A и показателем преломле
ния n (рис. 271) под углом a1. После
двукратного преломления (на левой и
правой гранях призмы) луч оказывает
ся отклоненным от первоначального
направления на угол j. Из рисунка сле
дует, что
j=(a1-b1)+(a2-b2)=
=a
1+a2-A.
(185.2)
Предположим, что углы A и a1 малы,
тогда углы a2, b1 и b2 будут также малы
и вместо синусов этих углов можно вос
пользоваться их значениями. Поэтому
,
2
2
1
n
n
1
1
ab
==
ba
,атаккакb1+b2=A,то
a2=b2n=n(A-b1)=
1
nA
n
a
-
=
= nA - a1, откуда
a1+a2=nA.
(185.3)
Из выражений (185.2) и (185.3) сле
дует, что
j = A(n - 1), (185.4)
т. е. угол отклонения лучей призмой тем
больше, чем больше преломляющий
угол призмы.
Из выражения (185.4) вытекает, что
угол отклонения лучей призмой зави
сит от величины (n - 1), а n — функция
длины волны, поэтому лучи разных
длин волн после прохождения призмы
окажутся отклоненными на разные
углы, т. е . пучок белого света за призмой
разлагается в спектр, что и наблюдалось
И. Ньютоном. Таким образом, с помо
щью призмы, так же как и с помощью
дифракционной решетки, разлагая свет
в спектр, можно определить его спект
ральный состав.
Рассмотрим различия в дифракцион
ном и призматическом спектрах.
1. Дифракционная решетка разлага
ет падающий свет непосредственно по
длинам волн [см. (180.3)], поэтому по
измеренным углам (по направлениям
соответствующих максимумов) можно
вычислить длину волны. Разложение
света в спектр в призме происходит по
значениям показателя преломления,
поэтому для определения длины волны
Рис. 271
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

350
света надо знать зависимость n = f(l)
(185.1).
2. Составные цвета в дифракцион
ном и призматическом спектрах распо
лагаются различно. Из (180.3) следует,
что в дифракционной решетке синус
угла отклонения пропорционален дли
не волны. Следовательно, красные лучи,
имеющие бо′ льшую длину волны, чем
фиолетовые, отклоняются дифракцион
ной решеткой сильнее. Призма же раз
лагает лучи в спектр по значениям по
казателя преломления, который для всех
прозрачных веществ с увеличением
длины волны уменьшается (рис. 272).
Поэтому красные лучи отклоняются
призмой слабее, чем фиолетовые.
Величина
,
d
d
n
D=
l
называемая дисперсией вещества, по
казывает, как быстро изменяется пока
затель преломления с длиной волны.
Из рис. 272 следует, что показатель пре
ломления для прозрачных веществ с
уменьшением длины волны увеличива
ется; следовательно, величина
d
d
n
l
по
модулю также увеличивается с умень
шением l. Такая дисперсия называет
ся нормальной. Как будет показано
ниже, ход кривой n(l) — кривой дис
персии — вблизи линий и полос погло
щения будет иным: n убывает с умень
шением l. Такой ход зависимости n от
l называется аномальной дисперсией.
На явлении нормальной дисперсии
основано действие призменных спек
трографов. Несмотря на их некоторые
недостатки (например, необходимость
градуировки, различная дисперсия в
разных участках спектра) при опреде
лении спектрального состава света,
призменные спектрографы находят ши
рокое применение в спектральном ана
лизе. Это объясняется тем, что изготов
ление призм значительно проще, чем
дифракционных решеток. В призмен
ных спектрографах также легче полу
чить бо′ льшую светосилу.
§ 186. Ýëåêòðîííàÿ òåîðèÿ
äèñïåðñèè ñâåòà
Из макроскопической электромаг
нитной теории Максвелла следует, что
абсолютный показатель преломления
среды
,
n=e
m
где e — диэлектрическая проницаемость
среды; m — магнитная проницаемость.
В оптической области спектра для всех
веществ m » 1, поэтому
.
n=e
(186.1)
Из формулы (186.1) выявляются
некоторые противоречия с опытом: ве
личина n , являясь переменной (см.
§ 185), остается в то же время равной
определенной постоянной e . Кроме
того, значения n, получаемые из этого
выражения, не согласуются с опытны
ми значениями. Трудности объяснения
дисперсии света с точки зрения элект
ромагнитной теории Максвелла устра
няются электронной теорией Лоренца.
В теории Лоренца дисперсия света рас
сматривается как результат взаимодей
ствия электромагнитных волн с заря
Рис. 272
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

351
женными частицами, входящими в со
став вещества и совершающими вынуж
денные колебания в переменном элек
тромагнитном поле волны.
Применим электронную теорию
дисперсии света для однородного диэ
лектрика, предположив формально, что
дисперсия света является следствием
зависимости e от частоты w световых
волн. Диэлектрическая проницаемость
вещества, по определению [см. (88.6) и
(88.2)], равна
e=1+
=1+
,
P
E0e
где — диэлектрическая восприимчи
вость среды; e0 — электрическая посто
янная; P — мгновенное значение поля
ризованности.
Следовательно,
,
21
P
n
E0
=+
e
(186.2)
т. е . зависит от P. В данном случае ос
новное значение имеет электронная по
ляризация, т. е. вынужденные колеба
ния электронов под действием электри
ческой составляющей поля волны, так
как для ориентационной поляризации
молекул частота колебаний в световой
волне очень высока (n » 1015 Гц).
В первом приближении можно счи
тать, что вынужденные колебания со
вершают только внешние, наиболее
слабо связанные с ядром электроны —
оптические электроны. Для просто
ты рассмотрим колебания только одно
го оптического электрона. Наведенный
дипольный момент электрона, соверша
ющего вынужденные колебания, равен
p=ex,гдеe—зарядэлектрона,x—сме
щение электрона под действием элект
рического поля световой волны. Если
концентрация атомов в диэлектрике
равна n0, то мгновенное значение поля
ризованности
P=n0p=n0ex.
(186.3)
Из (186.2) и (186.3) получим
0
2
1.
nex
n
E0
=+
e
(186.4)
Следовательно, задача сводится к
определению смещения x электрона под
действием внешнего поля E. Поле све
товой волны будем считать функцией
частоты w, т. е . изменяющимся по гар
моническому закону: E = E0 cos wt.
Уравнение вынужденных колебаний
электрона (см. § 147) для простейшего
случая (без учета силы сопротивления,
обусловливающей поглощение энергии
падающей волны) запишется в виде
,
00
cos
cos
Fe
E
xx
t
t
mm
2
0
+w=
w=
w
&&
(186.5)
где F0 = eE0 — амплитудное значение
силы, действующей на электрон со сто
роны поля волны; 0
k
m
w=
—
собствен
ная частота колебаний электрона; m —
масса электрона.
Решив уравнение (186.5), найдем
e=n
2
в зависимости от констант атома
(e, m, w0) и частоты w внешнего поля,
т. е . решим задачу дисперсии.
Решение уравнения (186.5) можно
записать в виде
x=Acoswt,
(186.6)
где
,
0
()
eE
A
m
22
0
=
w-w
(186.7)
в чем легко убедиться подстановкой
[см. (147.8)]. Подставляя (186.6) и
(186.7) в (186.4), получим
2
0
2
1
1.
ne
n
m
22
00
=+
ew
-
w
(186.8)
Если в веществе имеются различные
заряды ei, совершающие вынужденные
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

352
колебания с различными собственны
ми частотами w0i, то
,
2
0
2
1
ii
i
i
em
n
n
22
00
=+
ew
-
w
å
(186.9)
где mi — масса i го заряда.
Из выражений (186.8) и (186.9) сле
дует, что показатель преломления n за
висит от частоты w внешнего поля, т. е .
полученные зависимости действитель
но подтверждают наличие дисперсии
света (правда, при несколько упрощен
ных допущениях).
Из выражений (186.8) и (186.9) сле
дует также, что в области от w = 0 до
w=w0 n
2
> 1 и возрастает с увеличени
ем w (нормальная дисперсия); при w=
= w0n
2
= ±¥; в области от w=w0 до
w=¥n
2
<1ивозрастаетот-¥до1
(нормальная дисперсия).
Перейдя от n 2 к n , получим, что гра
фик зависимости n от w имеет вид, изоб
раженный на рис. 273. Такое поведе
ние n вблизи w0 — результат допущения
об отсутствии сил сопротивления при
колебаниях электронов. Если принять
в расчет и это обстоятельство, то гра
фик функции n(w) вблизи w0 задается
штриховой линией AB. Область AB —
область аномальной дисперсии (n убы
вает при возрастании w), остальные уча
стки зависимости n от w описывают
нормальную дисперсию (n возрастает с
увеличением w).
Российскому физику Д. С . Рожде
ственскому (1876 — 1940) принадлежит
классическая работа по изучению ано
мальной дисперсии в парах натрия. Он
разработал интерференционный метод
для очень точного измерения показате
ля преломления паров и эксперимен
тально показал, что формула (186.9)
правильно характеризует зависимость
n от w, а также ввел в нее поправку, учи
тывающую квантовые представления о
природе света.
§ 187. Ïîãëîùåíèå (àáñîðáöèÿ)
ñâåòà
Поглощением (абсорбцией) света
называется явление уменьшения энер
гии световой волны при ее распростра
нении в веществе вследствие преобра
зования энергии волны в другие виды
энергии. В результате поглощения ин
тенсивность света при прохождении
через вещество уменьшается.
Поглощение света в веществе опи
сывается законом Бугера1:
I=I0e
-ax
,
(187.1)
где I0 и I — интенсивности плоской мо
нохроматической световой волны соот
ветственно на входе и выходе слоя по
глощающего вещества толщиной x ; a —
коэффициент поглощения, зависящий
от длины волны света, химической при
роды и состояния вещества и не зави
сящий от интенсивности света. При
1
x=
a
интенсивность света I по сравне
нию с I0 уменьшается в e раз.
Коэффициент поглощения зависит
от длины волны l (или частоты w) и для
разных веществ различен. Например,
одноатомные газы и пары металлов
(т. е . вещества, в которых атомы распо
ложены на значительных расстояниях
друг от друга и их можно считать изо
1 П. Бугер (1698 — 1758) — французский уче
ный.
Рис. 273
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

353
лированными) имеют близкий к нулю
коэффициент поглощения и лишь для
очень узких спектральных областей
(примерно 10-12
—
10-11
м) наблюдают
ся резкие максимумы (так называемый
линейчатый спектр поглощения).
Эти линии соответствуют частотам соб
ственных колебаний электронов в ато
мах. Спектр поглощения молекул, опре
деляемый колебаниями атомов в моле
кулах, характеризуется полосами по
глощения (примерно 10-10
— 10-7 м).
Коэффициент поглощения для ди
электриков невелик (примерно 10-3
—
10-5 см
-1
), однако у них наблюдается се
лективное поглощение света в опреде
ленных интервалах длин волн, когда a
резко возрастает, и наблюдаются срав
нительно широкие полосы поглоще
ния, т. е. диэлектрики имеют сплошной
спектр поглощения. Это связано с
тем, что в диэлектриках нет свободных
электронов и поглощение света обус
ловлено явлением резонанса при вы
нужденных колебаниях электронов в
атомах и атомов в молекулах диэлект
рика.
Коэффициент поглощения для ме
таллов имеет большие значения (при
мерно 103 — 105 см-1
), поэтому металлы
являются непрозрачными для света.
В металлах из за наличия свободных
электронов, движущихся под дейст
вием электрического поля световой
волны, возникают быстропеременные
токи, сопровождающиеся выделением
джоулевой теплоты. Поэтому энергия
световой волны быстро уменьшается,
превращаясь во внутреннюю энергию
металла. Чем выше проводимость ме
талла, тем сильнее в нем поглощение
света.
На рис. 274 представлены типичная
зависимость коэффициента поглоще
ния a от длины волны света l и зависи
мость показателя преломления n от l в
области полосы поглощения. Из рисун
ка следует, что внутри полосы поглоще
ния наблюдается аномальная диспер
сия (n убывает с уменьшением l). Од
нако поглощение вещества должно
быть значительным, чтобы повлиять на
ход показателя преломления.
Зависимостью коэффициента по
глощения от длины волны объясняет
ся окрашенность поглощающих тел.
Например, стекло, слабо поглощающее
красные и оранжевые лучи и сильно
поглощающее зеленые и синие, при ос
вещении белым светом будет казаться
красным. Если на такое стекло напра
вить зеленый и синий свет, то из за
сильного поглощения света этих длин
волн стекло будет казаться черным. Это
явление используется для изготовле
ния светофильтров, которые в зави
симости от химического состава (стек
ла с присадками различных солей,
пленки из пластмасс, содержащие кра
сители, растворы красителей и т. д .)
пропускают свет только определенных
длин волн, поглощая остальные. Разно
образие пределов селективного (изби
рательного) поглощения у различных
веществ объясняет разнообразие и бо
гатство цветов и красок, наблюдаемое
в окружающем мире.
Явление поглощения широко ис
пользуется в абсорбционном спект
ральном анализе смеси газов, основан
ном на измерениях спектров частот и
интенсивностей линий (полос) погло
щения. Структура спектров поглоще
Рис. 274
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

354
ния определяется составом и строени
ем молекул, поэтому изучение спектров
поглощения является одним из основ
ных методов количественного и каче
ственного исследования веществ.
§ 188. Ýôôåêò Äîïëåðà
Эффект Доплера в акустике (см.
§ 159) объясняется тем, что частота ко
лебаний, воспринимаемых приемни
ком, определяется скоростями движе
ния источника колебаний и приемника
относительно среды, в которой проис
ходит распространение звуковых волн.
Эффект Доплера наблюдается также и
при движении относительно друг дру
га источника и приемника электромаг
нитных волн. Так как особой среды,
служащей носителем электромагнит
ных волн, не существует, то частота све
товых волн, воспринимаемых приемни
ком (наблюдателем), определяется
только относительной скоростью ис
точника и приемника (наблюдателя).
Закономерности эффекта Доплера для
электромагнитных волн устанавлива
ются на основе специальной теории от
носительности.
Согласно принципу относительнос
ти Эйнштейна (см. § 35), уравнение све
товой волны во всех инерциальных си
стемах отсчета одинаково по форме.
Используя преобразования Лоренца
(см. § 36), можно получить уравнение
волны, посылаемой источником, в на
правлении приемника в другой инерци
альной системе отсчета, а следователь
но, и связать частоты световых волн,
излучаемых источником (n0) и воспри
нимаемых приемником (n). Теория от
носительности приводит к следующей
формуле, описывающей эффект Доп
лера для электромагнитных волн в
вакууме:
,
2
2
00
1
1
1c
o
s
1c
o
s
v
c
v
c
2
-
-b
n=n
=n
+bq
+q
(188.1)
где v — скорость источника света отно
сительно приемника; c — скорость све
та в вакууме;
v
c
b= ;q—уголмеждувек
тором скорости v
r
и направлением на
блюдения, измеряемый в системе отсче
та, связанной с наблюдателем.
Из выражения (188.1) следует, что
приq=0
00
1
1
.
1
1
v
c
v
c
-
-b
n=n
=n
+b
+
(188.2)
Формула (188.2) определяет так на
зываемый продольный эффект Доп
лера, наблюдаемый при движении при
емника вдоль линии, соединяющей его
с источником. При малых относитель
ных скоростях v (v = c), разлагая
(188.2) в ряд по степеням b и пренебре
гая членом порядка b2
, получим

00
(1)
1
.
v
c
n=n
-
b=n
-
(188.3)
Следовательно, при удалении источ
ника и приемника друг от друга (при их
положительной относительной скоро
сти) наблюдается сдвиг в более длин
новолновую область (n < n0, l > l0) —
так называемое красное смещение.
При сближении же источника и прием
ника (при их отрицательной относи
тельной скорости) наблюдается сдвиг в
более коротковолновую область (n > n0,
l < l0) — так называемое фиолетовое
смещение.
Если
2
p
q= , то выражение (188.1)
примет вид
2
2
00
2
11
.
v
c
n=n
-
=n
-
b (188.4)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

355
Формула (188.4) определяет так назы
ваемый поперечный эффект Доплера,
наблюдаемый при движении приемни
ка перпендикулярно линии, соединяю
щей его с источником.
Из выражения (188.4) следует, что
поперечный эффект Доплера зависит от
b2
, т. е . при малых b является эффектом
второго порядка малости по сравнению
с продольным эффектом (зависит от b
[см. (188.3)]), поэтому обнаружение по
перечного эффекта Доплера связано с
большими трудностями. Поперечный
эффект, хотя и много меньше продоль
ного, имеет принципиальное значение,
так как не наблюдается в акустике (при
v = c из (188.4) следует, что n = n0!), и
является, следовательно, релятивист
ским эффектом. Он связан с замедле
нием течения времени движущегося
наблюдателя.
Экспериментальное обнаружение
поперечного эффекта Доплера явилось
еще одним подтверждением справедли
вости теории относительности; он был
обнаружен в 1938 г. в опытах американ
ского физика Г. Айвса.
Продольный эффект Доплера был
впервые обнаружен в 1900 г. в лабора
торных условиях русским астрофизи
ком А. А. Белопольским (1854 — 1934) и
повторен в 1907 г. русским физиком
Б. Б . Голицыным (1862 — 1919). Про
дольный эффект Доплера использует
ся при исследовании атомов, молекул,
а также космических тел, так как по
смещению частоты световых колеба
ний, которое проявляется в виде сме
щения или уширения спектральных
линий, определяется характер движе
ния излучающих частиц или тел. Эф
фект Доплера получил широкое рас
пространение в радиотехнике и радио
локации, например в радиолокацион
ных измерениях расстояний до движу
щихся объектов.
§ 189. Èçëó÷åíèå
×åðåíêîâà — Âàâèëîâà
Российский физик П. А. Черенков
(1904 — 1990), работавший под руко
водством С. И . Вавилова, показал, что
при движении релятивистских заря
женных частиц в среде с постоянной
скоростью v, превышающей фазовую
скорость света в этой среде, т. е. при ус
ловии
c
v
n
> (n — показатель прелом
ления среды), возникает электромаг
нитное излучение, названное впослед
ствии излучением (эффектом) Че
ренкова — Вавилова. Природа данного
излучения, обнаруженного для разно
образных веществ, в том числе и для чи
стых жидкостей, подробно изучалась
С. И . Вавиловым. Он показал, что дан
ное свечение не является люминесцен
цией (см. § 245), как считалось ранее, и
высказал предположение, что оно свя
зано с движением свободных электро
нов сквозь вещество.
Излучение Черенкова — Вавилова в
1937 г. было теоретически объяснено
российскими учеными И. Е. Таммом
(1895 — 1971) и И. М . Франком (1908 —
1990) (П. А . Черенков, И. Е . Тамм и
И. М. Франк в 1958 г. удостоены Нобе
левской премии).
Согласно электромагнитной теории,
заряженная частица (например, элект
рон) излучает электромагнитные вол
ны лишь при движении с ускорением.
И.Е.Тамм иИ.М.Франкпоказали, что
это утверждение справедливо только до
тех пор, пока скорость заряженной час
тицы не превышает фазовой скорости
c
n
электромагнитных волн в среде, в ко
торой частица движется. Если частица
имеет скорость
c
v
n
> , то, даже двигаясь
равномерно, она будет излучать элект
ромагнитные волны. Таким образом,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

356
согласно теории Тамма и Франка, элек
трон, движущийся в прозрачной среде
со скоростью, превышающей фазовую
скорость света в данной среде, должен
сам излучать свет.
Отличительной особенностью излу
чения Черенкова — Вавилова является
распространение излучения не по всем
направлениям, а лишь по направлени
ям, составляющим острый угол q с тра
екторией частицы, т. е . вдоль образую
щих конуса, ось которого совпадает с
направлением скорости частицы. Угол q
определяется из условия:
cos
.
c
nv
q=
(189.1)
Возникновение излучения Черенко
ва — Вавилова и его направленность
объяснены Франком и Таммом на ос
нове представлений об интерференции
света с использованием принципа Гюй
генса.
На основе излучения Черенкова —
Вавилова разработаны широко исполь
зуемые экспериментальные методы для
регистрации частиц высоких энергий и
определения их свойств (направление
движения, величина и знак заряда, энер
гия). Счетчики для регистрации заря
женных частиц, в которых использует
ся излучение Черенкова — Вавилова,
получили название черенковских счет
чиков (см. § 261). В этих счетчиках час
тица регистрируется практически мгно
венно (при движении заряженной час
тицы в среде со скоростью, превышаю
щей фазовую скорость света в данной
среде, возникает световая вспышка,
преобразуемая с помощью фотоэлект
ронного умножителя (см. § 105) в им
пульс тока). Это позволило в 1955 г.
итальянскому физику Э. Сегре (р. 1905)
открыть в черенковском счетчике ко
роткоживущую античастицу — анти
протон.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что такое дисперсия света?
• Как связаны между собой преломляющий угол призмы и угол отклонения лучей ею?
• Что показывает дисперсия вещества?
• Чем отличается нормальная дисперсия от аномальной?
• По каким признакам можно отличить спектры, полученные с помощью призмы и диф
ракционной решетки?
• Объясните дисперсионную кривую на рис. 273.
• В чем заключаются основные положения и выводы электронной теории дисперсии света?
• Почему металлы сильно поглощают свет?
• В чем основное отличие эффекта Доплера для световых волн от эффекта Доплера в аку
стике?
• Почему поперечный эффект Доплера является релятивистским эффектом? Чем он обус
ловлен?
• Когда возникает излучение Черенкова — Вавилова?
ÇÀÄÀ×È
24.1 . На грань стеклянной призмы (n = 1,5) нормально падает луч света. Определите
угол отклонения луча призмой, если ее преломляющий угол равен 25°. [14°21¢]
24.2 . При прохождении света в некотором веществе пути x его интенсивность уменьши
лась в два раза. Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохож
дении им пути 4x . [В 16 раз]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

357
24.3 . Источник монохроматического света с длиной волны l0 = 0,6 мкм движется по
направлению к наблюдателю со скоростью v = 0,15c (c — скорость света в вакууме). Опре
делите длину волны l, которую зарегистрирует приемник. [516 нм]
24.4. Определите минимальную кинетическую энергию (в мегаэлектрон вольтах), ко
торой должен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления n = 1,5 возник
ло излучение Черенкова — Вавилова. [0,17 МэВ]
Ãëàâà 25
ÏÎËßÐÈÇÀÖÈß ÑÂÅÒÀ
§ 190. Åñòåñòâåííûé
è ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò
Следствием теории Максвелла (см.
§ 162) является поперечность световых
волн: векторы напряженностей электри
ческого E
r
и магнитного H
r
полей волны
взаимно перпендикулярны и колеблют
ся перпендикулярно вектору скорос
тиv
r
распространения волны (перпен
дикулярно лучу). Поэтому для описа
ния закономерностей поляризации све
та достаточно знать поведение лишь
одного из этих векторов. Обычно все
рассуждения ведутся относительно
светового вектора — вектора напря
женности E
r
электрического поля (это
название обусловлено тем, что при дей
ствии света на вещество основное зна
чение имеет электрическая составляю
щая поля волны, действующая на элек
троны в атомах вещества).
Свет представляет собой суммарное
электромагнитное излучение множе
ства атомов. Атомы же излучают свето
вые волны независимо друг от друга,
поэтому световая волна, излучаемая
телом в целом, характеризуется всевоз
можными равновероятными колебани
ями светового вектора (рис. 275, а; луч
перпендикулярен плоскости рисунка).
В данном случае равномерное распре
деление векторов E
r
объясняется боль
шим числом атомарных излучателей, а
равенство амплитудных значений век
торов E
r
—
одинаковой (в среднем) ин
тенсивностью излучения каждого из
атомов. Свет со всевозможными рав
новероятными ориентациями вектора E
r
(и, следовательно, H
r
) называется есте
ственным.
Свет, в котором направления коле
баний светового вектора каким то об
разом упорядочены, называется поля
ризованным. Так, если в результате ка
ких либо внешних воздействий появ
ляется преимущественное (но не ис
ключительное!) направление колеба
ний вектора E
r
(рис. 275, б ), то имеем
дело с частично поляризованным све
том.
Свет, в котором вектор E
r
(и, следо
вательно, H
r
) колеблется только в одном
направлении, перпендикулярном лучу
(рис. 275, в), называется плоскополя
ризованным (линейно поляризован
ным).
Рис. 275
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

358
Плоскость, проходящая через на
правление колебаний светового векто
ра плоскополяризованной волны и на
правление распространения этой вол
ны, называется плоскостью поляриза
ции. Плоскополяризованный свет яв
ляется предельным случаем эллипти
чески поляризованного света — све
та, для которого вектор E
r
(вектор H
r
)из
меняется со временем так, что его ко
нец описывает эллипс, лежащий в плос
кости, перпендикулярной лучу. Если
эллипс поляризации вырождается (см.
§ 145) в прямую (при разности фаз j,
равной нулю или p), то имеем дело с
рассмотренным выше плоскополяризо
ванным светом, если в окружность (при
2
p
j=± и равенстве амплитуд склады
ваемых волн), то имеем дело с цирку
лярно поляризованным (поляризо
ванным по кругу) светом.
Степенью поляризации называет
ся величина
,
max
min
max
min
II
P
II
-
=
+
где I max и I min — соответственно макси
мальная и минимальная интенсивнос
ти частично поляризованного света,
пропускаемого анализатором. Для есте
ственного света Imax = Imin и P = 0, для
плоскополяризованного I min = 0 и P =1.
Естественный свет можно преобра
зовать в плоскополяризованный, ис
пользуя так называемые поляризато
ры, пропускающие колебания только
определенного направления (напри
мер, пропускающие колебания, парал
лельные главной плоскости поляриза
тора, и полностью задерживающие ко
лебания, перпендикулярные этой плос
кости). В качестве поляризаторов мо
гут быть использованы среды, анизот
ропные в отношении колебаний векто
раE
r
, например кристаллы (их анизот
ропия известна, см. § 70). Из природ
ных кристаллов, используемых в каче
стве поляризатора, следует отметить
турмалин.
Рассмотрим классические опыты с
турмалином (рис. 276). Направим есте
ственный свет перпендикулярно плас
тинке турмалина T1, вырезанной парал
лельно так называемой оптической оси
OO ¢ (см. § 192). Вращая кристалл T1
вокруг направления луча, никаких из
менений интенсивности прошедшего
через турмалин света не наблюдаем.
Если на пути луча поставить вторую
пластинку турмалина T2 и вращать ее
вокруг направления луча, то интенсив
ность света, прошедшего через пластин
ки, меняется в зависимости от угла a
между оптическими осями кристаллов
по закону Малюса
1:
I = I0 cos2a,
(190.1)
где I0 и I — соответственно интенсив
ности света, падающего на второй кри
сталл и вышедшего из него.
Следовательно, интенсивность про
шедшего через пластинки света изменя
ется от минимума (полное гашение све
та) при
2
p
a= (оптические оси пласти
нок перпендикулярны) до максимума
при a=0 (оптические оси пластинок
параллельны). Однако, как это следует
из рис. 277, амплитуда E
r
световых ко
Рис. 276
1 Э. Малюс (1775 — 1812) — французский фи
зик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

359
лебаний, прошедших через пластинку
T2, будет меньше амплитуды световых
колебаний E
r
0, падающих на пластин
ку T2:
E=E0cosa.
Так как интенсивность света про
порциональна квадрату амплитуды, то
получается выражение (190.1).
Результаты опытов с кристаллами
турмалина объясняются довольно про
сто, если исходить из изложенных выше
условий пропускания света поляриза
тором. Первая пластинка турмалина
пропускает колебания только опреде
ленного направления (на рис. 276 это
направление показано стрелкой AB),
т. е . преобразует естественный свет в
плоскополяризованный. Вторая же
пластинка турмалина в зависимости от
ее ориентации из поляризованного све
та пропускает бо′ льшую или меньшую
его часть, которая соответствует компо
ненту E
r
, параллельному оси второй
пластинки турмалина. На рис. 276 обе
пластинки расположены так, что на
правления пропускаемых ими колеба
ний AB и A¢B ¢ перпендикулярны друг
другу. В данном случае T1 пропускает
колебания, направленные по AB, а T2
их полностью гасит, т. е . за вторую пла
стинку турмалина свет не проходит.
Пластинка T1, преобразующая есте
ственный свет в плоскополяризован
ный, является поляризатором. Плас
тинка T2, служащая для анализа степе
ни поляризации света, называется ана
лизатором. Обе пластинки совершен
но одинаковы (их можно поменять ме
стами).
Если пропустить естественный свет
через два поляризатора, главные плос
кости которых образуют угол a, то из
первого выйдет плоскополяризованный
свет, интенсивность которого
åñò
0
1
2
II
=
,
из второго, согласно (190.1), выйдет
свет интенсивностью I = I0 cos
2
a. Сле
довательно, интенсивность света, про
шедшего через два поляризатора,
åñò
,
2
1
cos
2
II
=a
откуда
åñò
max
1
2
II
=
(поляризаторы па
раллельны) и I min = 0 (поляризаторы
скрещены).
§ 191. Ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà
ïðè îòðàæåíèè è ïðåëîìëåíèè
íà ãðàíèöå äâóõ äèýëåêòðèêîâ
Если естественный свет падает на
границу раздела двух диэлектриков
(например, воздуха и стекла), то часть
его отражается, а часть преломляется и
распространяется во второй среде. Ус
танавливая на пути отраженного и пре
ломленного лучей анализатор (напри
мер, турмалин), можно убедиться в том,
что отраженный и преломленный лучи
частично поляризованы: при вращении
анализатора вокруг лучей интенсив
ность света периодически усиливается
и ослабевает (полного гашения не на
блюдается!).
Дальнейшие исследования показа
ли, что в отраженном луче преоблада
ют колебания, перпендикулярные плос
кости падения (на рис. 278 они обозна
Рис. 277
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

360
чены точками), в преломленном — ко
лебания, параллельные плоскости паде
ния (изображены стрелками).
Степень поляризации [степень вы
деления световых волн с определенной
ориентацией электрического (и магнит
ного) вектора] зависит от угла падения
лучей и показателя преломления. Шот
ландский физик Д. Брюстер (1781 —
1868) установил закон, согласно кото
рому при угле падения i B (угол Брюс
тера), определяемого соотношением
tgiB = n21
(n21 — показатель преломления второй
среды относительно первой), отражен
ный луч является плоскополяризован
ным (содержит только колебания, пер
пендикулярные плоскости падения)
(рис. 279). Преломленный же луч при
угле падения i B поляризуется макси
мально, но не полностью.
Если свет падает на границу раздела
под углом Брюстера, то отраженный и
преломленный лучи взаимно перпенди
кулярны (
,
BB
B2
1
B2
sin
sin
tg
cos
sin
ii
in
ii
==
(i2 —
угол преломления), откуда cos i B = sin i 2).
Следовательно,
,íî
B2
BB
2
ii
ii
p
¢
+=
=
(закон отражения), поэтому B22
iip
¢ +=.
Степень поляризации отраженного
и преломленного света при различных
углах падения можно рассчитать из
уравнений Максвелла, если учесть гра
ничные условия для электромагнитно
го поля на границе раздела двух изот
ропных диэлектриков (так называемые
формулы Френеля).
Степень поляризации преломленно
го света может быть значительно повы
шена (многократным преломлением
при условии падения света каждый раз
на границу раздела под углом Брюсте
ра). Если, например, для стекла (n =
= 1,53) степень поляризации прелом
ленного луча составляет »15%, то пос
ле преломления на 8 — 10 наложенных
друг на друга стеклянных пластинок
вышедший из такой системы свет будет
практически полностью поляризован
ным. Такая совокупность пластинок на
зывается стопой. Стопа может служить
для анализа поляризованного света как
при его отражении, так и при его пре
ломлении.
§ 192. Äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå
Все прозрачные кристаллы (кроме
кристаллов кубической системы, кото
рые оптически изотропны) обладают
способностью двойного лучепрелом
ления, т. е . раздваивания каждого пада
ющего на них светового пучка. Это яв
ление, в 1669 г. впервые обнаруженное
датским ученым Э. Бартолином (1625 —
1698) для исландского шпата (разно
видность кальцита CaCO3), объясняет
ся особенностями распространения све
та в анизотропных средах и непосред
ственно вытекает из уравнений Макс
велла.
Если на толстый кристалл исланд
ского шпата направить узкий пучок све
та, то из кристалла выйдут два про
странственно разделенных луча, парал
лельных друг другу и падающему лучу
(рис. 280). Даже в том случае, когда пер
вичный пучок падает на кристалл нор
мально, преломленный пучок разделя
Рис. 278
Рис. 279
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

361
ется на два, причем один из них явля
ется продолжением первичного, а вто
рой отклоняется (рис. 281). Второй из
этих лучей получил название необык
новенного (e), а первый — обыкновен
ного (o).
В кристалле исландского шпата име
ется единственное направление, вдоль
которого двойное лучепреломление не
наблюдается. Направление в оптичес
ки анизотропном кристалле, по кото
рому луч света распространяется, не
испытывая двойного лучепреломления,
называется оптической осью крис
талла. В данном случае речь идет
именно о направлении, а не о прямой
линии, проходящей через какую то
точку кристалла. Любая прямая, про
ходящая параллельно данному направ
лению, является оптической осью кри
сталла.
Кристаллы в зависимости от типа их
симметрии бывают одноосные и двух
осные, т. е . имеют одну или две оптиче
ские оси (к первым и относится ислан
дский шпат).
Исследования обыкновенного и не
обыкновенного лучей показывают, что
они полностью поляризованы во взаим
но перпендикулярных направлениях.
Плоскость, проходящая через направ
ление луча света и оптическую ось кри
сталла, называется главной плоско
стью (или главным сечением кристал
ла). Колебания светового вектора (век
тора напряженности E
r
электрического
поля) в обыкновенном луче происходят
перпендикулярно главной плоскости, в
необыкновенном — в главной плоско
сти (рис. 281).
Неодинаковое преломление обык
новенного и необыкновенного лучей
указывает на различие для них показа
телей преломления. Очевидно, что при
любом направлении обыкновенного
луча колебания светового вектора пер
пендикулярны оптической оси крис
талла, поэтому обыкновенный луч рас
пространяется по всем направлениям с
одинаковой скоростью и, следователь
но, показатель преломления n o для него
есть величина постоянная.
Для необыкновенного луча угол
между направлением колебаний свето
вого вектора и оптической осью отли
чен от прямого и зависит от направле
ния луча, поэтому необыкновенные
лучи распространяются по различным
направлениям с разными скоростями.
Следовательно, показатель преломле
ния ne необыкновенного луча является
переменной величиной, зависящей от
направления луча. Таким образом,
обыкновенный луч подчиняется зако
ну преломления (отсюда и название
«обыкновенный»), а для необыкновен
ного луча этот закон не выполняется.
После выхода из кристалла, если не
принимать во внимание поляризацию
во взаимно перпендикулярных плоско
стях, эти два луча ничем друг от друга
не отличаются.
Как уже рассматривалось, обыкно
венные лучи распространяются в кри
сталле по всем направлениям с одина
ковой скоростью o
o
c
v
n
=
, а необыкно
венные — с разной скоростью e
e
c
v
n
=
(в зависимости от угла между вектором
E
r
и оптической осью). Для луча, рас
Рис. 280
Рис. 281
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

362
пространяющегося вдоль оптической
оси, no = ne, vo = ve, т.е. вдоль оптичес
кой оси существует только одна ско
рость распространения света. Различие
в ve и vo для всех направлений, кроме
направления оптической оси, и обус
ловливает явление двойного лучепре
ломления света в одноосных кристал
лах.
Допустим, что в точке S внутри од
ноосного кристалла находится точеч
ный источник света. На рис. 282 пока
зано распространение обыкновенного и
необыкновенного лучей в кристалле
(главная плоскость совпадает с плоско
стью чертежа, OO ¢ — направление оп
тической оси). Волновой поверхностью
обыкновенного луча (он распространя
ется с vo = const) является сфера, нео
быкновенного луча (с ve 1 const) — эл
липсоид вращения.
Наибольшее расхождение волно
вых поверхностей обыкновенного и
необыкновенного лучей наблюдается в
направлении, перпендикулярном оп
тической оси. Эллипсоид и сфера каса
ются друг друга в точках их пересече
ния с оптической осью OO ¢. Если ve < vo
(ne > no), то эллипсоид необыкновен
ного луча вписан в сферу обыкновен
ного луча (эллипсоид скоростей вытя
нут относительно оптической оси) и од
ноосный кристалл называется поло
жительным (рис. 282, а). Если ve > vo
(ne < no), то эллипсоид описан вокруг
сферы (эллипсоид скоростей растянут
в направлении, перпендикулярном
оптической оси) и одноосный крис
талл называется отрицательным
(рис. 282, б ). Рассмотренный выше ис
ландский шпат относится к отрицатель
ным кристаллам.
В качестве примера построения
обыкновенного и необыкновенного лу
чей рассмотрим преломление плоской
волны на границе анизотропной среды,
например положительной (рис. 283).
Пусть свет падает нормально к прелом
ляющей грани кристалла, а оптическая
ось OO ¢ составляет с нею некоторый
угол. С центрами в точках A и B пост
роим сферические волновые поверхно
сти, соответствующие обыкновенному
лучу, и эллипсоидальные — необыкно
венному лучу. В точке, лежащей на OO ¢,
эти поверхности соприкасаются. Со
гласно принципу Гюйгенса, поверх
ность, касательная к сферам, будет
фронтом (a — a) обыкновенной волны,
поверхность, касательная к эллипсои
дам, — фронтом (b — b) необыкновен
ной волны.
Проведя к точкам касания прямые,
получим направления распростране
ния обыкновенного (o) и необыкно
венного (e) лучей. Таким образом, в
данном случае обыкновенный луч пой
дет вдоль первоначального направле
ния, необыкновенный же отклонится
от первоначального направления.
Рис. 282
Рис. 283
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

363
§ 193. Ïîëÿðèçàöèîííûå ïðèçìû
è ïîëÿðîèäû
В основе работы поляризационных
приспособлений, служащих для полу
чения поляризованного света, лежит
явление двойного лучепреломления.
Наиболее часто для этого применяют
ся призмы и поляроиды. Призмы де
лятся на два класса:
1) призмы, дающие только плоско
поляризованный луч (поляризацион
ные призмы);
2) призмы, дающие два поляризо
ванных во взаимно перпендикулярных
плоскостях луча (двоякопреломляю
щие призмы).
Поляризационные призмы построе
ны по принципу полного отражения
(см. § 165) одного из лучей (например,
обыкновенного) от границы раздела, в
то время как другой луч с другим пока
зателем преломления проходит через
эту границу. Типичным представите
лем поляризационных призм является
призма Ни′ коля
1
, называемая часто
ни′ колем.
Призма Николя (рис. 284) представ
ляет собой двойную призму из исланд
ского шпата, склеенную вдоль линии
AB канадским бальзамом с n = 1,55. Оп
тическая ось OO ¢ призмы составляет с
входной гранью угол 48°. На передней
грани призмы естественный луч, парал
лельный ребру CB, раздваивается на
два луча: обыкновенный (no = 1,66) и
необыкновенный (ne = 1,51). При соот
ветствующем подборе угла падения,
равного или большего предельного,
обыкновенный луч испытывает полное
отражение (канадский бальзам для него
является средой оптически менее плот
ной), а затем поглощается зачерненной
боковой поверхностью CB. Необыкно
венный луч выходит из кристалла па
раллельно падающему лучу, незначи
тельно смещенному относительно него
(ввиду преломления на наклонных гра
нях AC и BD).
Двоякопреломляющие призмы ис
пользуют различие в показателях пре
ломления обыкновенного и необыкно
венного лучей, чтобы развести их воз
можно дальше друг от друга. Примером
двоякопреломляющих призм могут
служить призмы из исландского шпата
и стекла, призмы, составленные из двух
призм из исландского шпата со взаим
но перпендикулярными оптическими
осями. Для первых призм (рис. 285)
обыкновенный луч преломляется в
шпате и стекле два раза и, следователь
но, сильно отклоняется, необыкновен
ный же луч при соответствующем под
боре показателя преломления стекла n
(n » ne) проходит призму почти без от
клонения. Для вторых призм различие
в ориентировке оптических осей влия
ет на угол расхождения между обыкно
венным и необыкновенным лучами.
Двоякопреломляющие кристаллы
обладают свойством дихроизма, т. е.
различного поглощения света в зависи
мости от ориентации электрического
вектора световой волны, и называются
дихроичными кристаллами.
1 У. Николь (1768 — 1851) — шотландский
ученый.
Рис. 284
Рис. 285
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

364
Примером сильно дихроичного кри
сталла является турмалин, в котором
из за сильного селективного поглоще
ния обыкновенного луча уже при тол
щине пластинки 1 мм из нее выходит
только необыкновенный луч. Такое
различие в поглощении, зависящее,
кроме того, от длины волны, приводит
к тому, что при освещении дихроично
го кристалла белым светом кристалл по
разным направлениям оказывается раз
лично окрашенным.
Дихроичные кристаллы приобрели
еще более важное значение в связи с
изобретением поляроидов. Примером
поляроида может служить тонкая плен
ка из целлулоида, в которую вкрапле
ны кристаллики герапатита (сернокис
лого иод хинина). Герапатит — двоя
копреломляющее вещество с очень
сильно выраженным дихроизмом в об
ласти видимого света. Установлено, что
такая пленка уже при толщине »0,1 мм
полностью поглощает обыкновенные
лучи видимой области спектра, являясь
в таком тонком слое совершенным по
ляризатором.
Преимущество поляроидов перед
призмами — возможность изготовлять
их с площадями поверхностей до не
скольких квадратных метров. Однако
степень поляризации в них сильнее за
висит от l, чем в призмах. Кроме того,
их меньшая по сравнению с призмами
прозрачность (приблизительно 30 %) в
сочетании с небольшой термостойкос
тью не позволяет использовать поляро
иды в мощных световых потоках. По
ляроиды применяются, например, для
защиты от ослепляющего действия сол
нечных лучей и фар встречного авто
транспорта.
Разные кристаллы создают различ
ное по значению и направлению двой
ное лучепреломление, поэтому, пропус
кая через них поляризованный свет и
измеряя изменение его интенсивности
после прохождения кристаллов, можно
определить их оптические характерис
тики и производить минералогический
анализ. Для этой цели используются
поляризационные микроскопы.
§ 194. Àíàëèç
ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà
Пусть на кристаллическую пластин
ку, вырезанную, например, из одноос
ного отрицательного кристалла парал
лельно его оптической оси, нормально
падает плоскополяризованный свет
(рис. 286). Внутри пластинки он разби
вается на обыкновенный (o) и необык
новенный (e) лучи, которые в кристал
ле пространственно не разделены (но
движутся с разными скоростями), а на
выходе из кристалла складываются.
Так как в обыкновенном и необык
новенном лучах колебания светового
вектора совершаются во взаимно пер
пендикулярных направлениях, то на
выходе из пластинки в результате сло
жения этих колебаний возникают све
товые волны, вектор E
r
(а следователь
но,иH
r
) в которых меняется со време
нем так, что его конец описывает эл
липс, ориентированный произвольно
относительно координатных осей.
Уравнение этого эллипса [см. (145.2)]:
,
2
2
2
22
2
cos
sin
oo
e
e
xy
y
x
EE
E
E
-j
+
=
j
(194.1)
Рис. 286
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

365
где Eo и Ee — соответственно составля
ющие напряженности электрического
поля волны в обыкновенном и необык
новенном лучах; j — разность фаз ко
лебаний.
Таким образом, в результате прохож
дения через кристаллическую пластин
ку плоскополяризованный свет превра
щается в эллиптически поляризованный.
Между обыкновенным и необыкно
венным лучами в пластинке возникает
оптическая разность хода
D=(no - ne)d,
или разность фаз
,
0
2()
oe
nn
d
p
j=
-
l
где d — толщина пластинки; l0 — длина
волны света в вакууме.
ЕслиD=(no -ne)d=
,
42
lp
j=± ,
то уравнение (194.1) примет вид
,
2
2
22
1
oe
y
x
EE
+=
т. е . эллипс ориентирован относительно
главных осей кристалла. При Eo = Ee
(если световой вектор в падающем на
пластинку плоскополяризованном све
те составляет угол a = 45° с направле
нием оптической оси пластинки)
,
222
o
xyE
+=
т. е . на выходе из пластинки свет ока
зывается циркулярно поляризованным.
Вырезанная параллельно оптичес
кой оси пластинка, для которой опти
ческая разность хода

()
,
1
()4
0,1,2,
oe
nn
dm
m
0
D=
-
=±
+l
=
K
называется пластинкой в четверть
волны (пластинкой
4
l ). Знак «+» соот
ветствует отрицательным кристаллам,
«-» — положительным . Плоскополяри
зованный свет, пройдя пластинку
4
l, на
выходе превращается в эллиптически
поляризованный (в частном случае
циркулярно поляризованный). Конеч
ный результат, как уже рассматривали,
определяется разностью фаз j и углом a.
Пластинка, для которой
( ),
1
()
0
,
1
,
2
,
2
oe
nn
dm
m
0
-=
±+l= K
называется пластикой в полволны и
т.д.
В циркулярно поляризованном све
те разность фаз j между любыми дву
мя взаимно перпендикулярными коле
баниями равна
2
p
± . Если на пути тако
го света поставить пластинку
4
l, то она
внесет дополнительную разность фаз
2
p
± . Результирующая разность фаз ста
нет равной 0 или p. Следовательно [см.
(194.1)], циркулярно поляризованный
свет, пройдя пластинку
4
l , становится
плоскополяризованным. Если теперь
на пути луча поставить поляризатор, то
можно добиться полного его гашения.
Если же падающий свет естественный,
то он при прохождении пластинки
4
l
таковым и останется (ни при каком по
ложении пластинки и поляризатора
погашения луча не достичь).
Таким образом, если при вращении
поляризатора при любом положении
пластинки интенсивность не меняется, то
падающий свет естественный. Если ин
тенсивность меняется и можно достичь
полного гашения луча, то падающий свет
циркулярно поляризованный; если пол
ного гашения не достичь, то падающий
свет представляет смесь естественного и
циркулярно поляризованного света.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

366
Если на пути эллиптически поляри
зованного света поместить пластинку
4
l , оптическая ось которой ориентиро
вана параллельно одной из осей эллип
са, то она внесет дополнительную раз
ность фаз
2
p
± . Результирующая раз
ность фаз станет равной нулю или p.
Следовательно, эллиптически поляри
зованный свет, пройдя пластинку
4
l,
повернутую определенным образом,
превращается в плоскополяризован
ный и может быть погашен поворотом
поляризатора. Этим методом можно
отличить эллиптически поляризован
ный свет от частично поляризованного
или циркулярно поляризованный свет
от естественного.
§ 195. Èñêóññòâåííàÿ îïòè÷åñêàÿ
àíèçîòðîïèÿ
Двойное лучепреломление имеет
место в естественных анизотропных
средах (см. § 192). Существуют, одна
ко, различные способы получения ис
кусственной оптической анизотро
пии, т. е . сообщения оптической анизот
ропии естественно изотропным веще
ствам.
Оптически изотропные вещества
становятся оптически анизотропными
под действием: 1) одностороннего сжа
тия или растяжения (кристаллы куби
ческой системы, стекла и др.); 2) элект
рического поля (эффект Керра1; жид
кости, аморфные тела, газы); 3) магнит
ного поля (жидкости, стекла, коллои
ды).
В перечисленных случаях вещество
приобретает свойства одноосного кри
сталла, оптическая ось которого совпа
дает с направлением деформации, элек
трического или магнитного полей соот
ветственно указанным выше воздей
ствиям.
Мерой возникающей оптической
анизотропии служит разность показа
телей преломления обыкновенного и
необыкновенного лучей в направле
нии, перпендикулярном оптической
оси:
no-ne=k1s (вслучае
деформации);
no-ne=k2E
2
(в случае элект
рического поля); (195.1)
no- ne = k3H2(вслучаемаг
нитного поля),
где k1, k2, k3 — постоянные, характери
зующие вещество; s — нормальное на
пряжение (см. § 21); E и H — соответ
ственно напряженность электрическо
го и магнитного полей.
На рис. 287 показана схема установ
ки для наблюдения эффекта Керра в
жидкостях (установки для изучения
рассмотренных явлений однотипны).
Ячейка Керра — кювета с жидкостью
(например, нитробензолом), в которую
введены пластины конденсатора, поме
щается между скрещенными поляриза
тором P и анализатором A.
При отсутствии электрического поля
свет через систему не проходит. При
наложении электрического поля жид
кость становится двоякопреломляю
щей; при изменении разности потенци
алов между электродами меняется сте
пень анизотропии вещества, а следова
тельно, и интенсивность света, прошед
1 Д. Керр (1824 — 1904) — шотландский физик.
Рис. 287
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

367
шего через анализатор. На пути l меж
ду обыкновенным и необыкновенным
лучами возникает оптическая разность
хода
2
2
()
oe
nn
lk
l
E
D=
-
=
[с учетом формулы (195.1)] или соот
ветственно разность фаз
,
2
2
2 BlE
pD
j=
=p
l
где
2
k
B=
l
—
постоянная Керра.
Эффект Керра — оптическая ани
зотропия веществ под действием элек
трического поля — объясняется различ
ной поляризуемостью молекул жидко
сти по разным направлениям. Это яв
ление практически безынерционно, т. е .
время перехода вещества из изотропно
го состояния в анизотропное при вклю
чении поля (и обратно) составляет при
близительно 10-10
с. Поэтому ячейка
Керра служит идеальным световым зат
вором и применяется в быстропротека
ющих процессах (звукозапись, вос
производство звука, скоростная фото
и киносъемка, изучение скорости рас
пространения света и т. д .), в оптичес
кой локации, в оптической телефонии
ит.д.
Искусственная анизотропия под
действием механических воздействий
позволяет исследовать напряжения,
возникающие в прозрачных телах.
В данном случае о степени деформации
отдельных участков изделия (напри
мер, остаточных деформаций в стекле
при закалке) судят по распределению в
нем окраски. Так как применяемые
обычно в технике материалы (металлы)
непрозрачны, то исследование напря
жений производят на прозрачных мо
делях, а потом делают соответствую
щий пересчет на проектируемую конст
рукцию.
§ 196. Âðàùåíèå
ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè
Некоторые вещества (например, из
твердых тел — кварц, сахар, киноварь,
из жидкостей — водный раствор саха
ра, винная кислота, скипидар), называ
емые оптически активными, облада
ют способностью вращать плоскость
поляризации. Вращение плоскости по
ляризации можно наблюдать на следу
ющем опыте (рис. 288). Если между
скрещенными поляризатором P и ана
лизатором A, дающими темное поле
зрения, поместить оптически активное
вещество (например, кювету с раство
ром сахара), то поле зрения анализато
ра просветляется. При повороте анали
затора на некоторый угол j можно
вновь получить темное поле зрения.
Угол j и есть угол, на который опти
чески активное вещество поворачива
ет плоскость поляризации света, про
шедшего через поляризатор. Так как
поворотом анализатора можно полу
чить темное поле зрения, то свет, про
шедший через оптически активное веще
ство, является плоскополяризованным.
Угол поворота плоскости поляриза
ции для оптически активных кристал
лов и чистых жидкостей
j=ad,
для оптически активных растворов
j = [a]Cd,
(196.1)
где d — расстояние, пройденное светом в
оптически активном веществе; a ([a])—
так называемое удельное вращение,
численно равное углу поворота плоско
сти поляризации света слоем оптически
Рис. 288
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

368
активного вещества единичной толщи
ны (единичной концентрации — для
растворов); C — массовая концентрация
оптически активного вещества в ра
створе, кг/м
3.
Удельное вращение зависит от при
роды вещества, температуры и длины
волны света в вакууме.
Все вещества, оптически активные в
жидком состоянии, обладают таким же
свойством и в кристаллическом состо
янии. Однако если вещества активны в
кристаллическом состоянии, то не все
гда активны в жидком (например, рас
плавленный кварц). Следовательно, оп
тическая активность обусловливается
как строением молекул вещества (их
асимметрией), так и особенностями
расположения частиц в кристалличес
кой решетке.
Оптически активные вещества в
зависимости от направления вращения
плоскости поляризации разделяются на
право и левовращающие. В первом
случае плоскость поляризации, если
смотреть навстречу лучу, вращается
вправо (по часовой стрелке), во втором —
влево (против часовой стрелки). Вра
щение плоскости поляризации объяс
нено О. Френелем (1817 г.) . Согласно
теории Френеля, скорость распростра
нения света в оптически активных ве
ществах различна для лучей, поляризо
ванных по кругу вправо и влево.
Явление вращения плоскости поля
ризации и, в частности, формула (196.1)
лежат в основе точного метода опреде
ления концентрации растворов опти
чески активных веществ, называемого
поляриметрией (сахариметрией).
Для этого используется установка, по
казанная на рис. 288. По найденному
углу поворота плоскости поляризации j
и известному значению [a] из (196.1) на
ходится концентрация растворенного
вещества.
Впоследствии М. Фарадеем было
обнаружено вращение плоскости поля
ризации в оптически неактивных веще
ствах, возникающее под действием маг
нитного поля. Это явление получило
название эффекта Фарадея (или маг
нитного вращения плоскости поля
ризации). Оно имело огромное значе
ние для науки, так как было первым яв
лением, в котором обнаружилась связь
между оптическими и электромагнит
ными процессами.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Возможна ли поляризация для продольных волн? Почему?
• Что называется естественным светом? плоскополяризованным светом? частично поля
ризованным светом? эллиптически поляризованным светом?
• Как изменяется интенсивность света за поляризатором при его вращении вокруг пучка
естественного света?
• Как практически отличить плоскополяризованный свет от естественного?
• Чем замечателен угол Брюстера?
• Покажите, что при выполнении закона Брюстера отраженный и преломленный лучи
взаимно перпендикулярны.
• Интенсивность естественного света, пропущенного через два поляризатора, уменьши
лась вдвое. Как ориентированы поляризаторы?
• Что называется оптической осью кристалла? Чем отличаются двухосные кристаллы от
одноосных?
• Чем обусловлено двойное преломление в оптически анизотропном одноосном кристал
ле?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

369
• Чем отличаются отрицательные кристаллы от положительных? Приведите построение
волновых поверхностей для o и e лучей.
• Какие поляризационные приборы вы знаете? В чем заключается принцип их действия?
• Что называется пластинкой в четверть волны? в полволны?
• На поляризатор падает циркулярно поляризованный свет с интенсивностью I0. Какова
интенсивность света за поляризатором?
• Как, используя пластинку в четверть волны и поляризатор, отличить циркулярно поля
ризованный свет от естественного?
• Каково будет действие пластинки в полволны на естественный свет? на плоскополяри
зованный свет, плоскость поляризации которого составляет угол 45° с оптической осью
пластинки?
• Объясните действие светового затвора ячейки Керра в сочетании с поляризатором и
анализатором. Что такое эффект Керра? Какова физическая причина его возникновения?
• Какие вещества называются оптически активными?
• В чем отличие оптической активности от двойного лучепреломления?
ÇÀÄÀ×È
25.1 . Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, про
шедшего через два поляризатора, расположенные так, что угол между их главными плоско
стями равен 45°, а в каждом из николей теряется 5 % интенсивности падающего на него
света. [В 4,43 раза]
25.2 . Предельный угол полного отражения для пучка света на границе кристалла камен
ной соли с воздухом равен 40,5°. Определите угол Брюстера при падении света из воздуха
на поверхность этого кристалла. [57°]
25.3. Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме l = 600 нм, падает
на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси. Принимая показате
ли преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответ
ственно no = 1,66 и ne = 1,49, определите длины волн этих лучей в кристалле. [lo = 361 нм,
le = 403 нм].
25.4 . Определите наименьшую толщину кристаллической пластинки в полволны для
l = 589 им, если разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лу
чей для данной длины волны no - ne = 0,17. [1,73 мкм]
25.5 . Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещенных
николей, между которыми находится кварцевая пластинка толщиной 4 мм, вырезанная пер
пендикулярно оптической оси. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошед
шего через эту систему, если удельное вращение кварца равно 15 угл. град/мм? [В 2,67 раза]
Ãëàâà 26
ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÏÐÈÐÎÄÀ ÈÇËÓ×ÅÍÈß
§ 197. Òåïëîâîå èçëó÷åíèå
è åãî õàðàêòåðèñòèêè
Тела, нагретые до достаточно высо
ких температур, светятся. Свечение тел,
обусловленное нагреванием, называет
ся тепловым (температурным) из
лучением. Тепловое излучение, явля
ясь самым распространенным в приро
де, совершается за счет энергии тепло
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

370
вого движения атомов и молекул веще
ства (т. е . за счет его внутренней энер
гии) и свойственно всем телам при тем
пературе выше 0 К.
Тепловое излучение характеризует
ся сплошным спектром, положение мак
симума которого зависит от температу
ры. При высоких температурах излуча
ются короткие (видимые и ультрафио
летовые) электромагнитные волны,
при низких — преимущественно длин
ные (инфракрасные).
Тепловое излучение — практически
единственный вид излучения, которое
является равновесным. Предположим,
что нагретое (излучающее) тело поме
щено в полость, ограниченную идеаль
но отражающей оболочкой. С течением
времени, в результате непрерывного об
мена энергией между телом и излуче
нием, наступит равновесие, т. е. тело в
единицу времени будет поглощать столь
ко же энергии, сколько и излучать.
Допустим, что равновесие между те
лом и излучением по какой либо при
чине нарушено и тело излучает энер
гии больше, чем поглощает. Если в еди
ницу времени тело больше излучает,
чем поглощает (или наоборот), то тем
пература тела начнет понижаться (или
повышаться). В результате будет ос
лабляться (или возрастать) количе
ство излучаемой телом энергии, пока,
наконец, не установится равновесие.
Все другие виды излучения неравно
весны.
Количественной характеристикой
теплового излучения служит спект
ральная плотность энергетической
светимости ( излучательности)
тела — мощность излучения с едини
цы площади поверхности тела в интер
вале частот единичной ширины:
èçë
,
d
,
d
d
T
W
R
n,n+ n
n
=
n
где
èçë
d
dWn, n + n — энергия электромагнит
ного излучения, испускаемого за едини
цу времени (мощность излучения) с
единицы площади поверхности тела в
интервале частот от n до n+dn.
Единица спектральной плотности
энергетической светимости (Rn,T) —
джоуль на метр в квадрате (Дж/м2).
Записанную формулу для Rn,T мож
но представить в виде функции длины
волны:
èçë
,,
d
dd
d
.
TT
WRR
nl
n,n+ n
=n
=l
Таккакc=ln,то
,
2
d
d
c
c
2
ll
=-
=-
nn
где знак «-» указывает на то, что с воз
растанием одной из величин (n или l)
другая величина убывает. Поэтому в
дальнейшем знак «-» будем опускать.
Таким образом,
,,
.
TT
RR
c
2
nl
l
=
(197.1)
С помощью формулы (197.1) мож
но перейти от Rn,T к Rl,T , и наоборот.
Зная спектральную плотность энер
гетической светимости, можно вычис
лить интегральную энергетическую
светимость (интегральную излуча
тельность) (ее называют просто энер
гетической светимостью тела). Для это
го следует просуммировать спектраль
ную плотность энергетической свети
мости по всем частотам:
,
0
d.
TT
RR
¥
n
=n
ò
(197.2)
Способность тел поглощать падаю
щее на них излучение характеризуется
спектральной поглощательной спо
собностью
ïîãë
,
d
,
d
d
d
T
W
A
W
n,n+ n
n
n,n+ n
=
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

371
показывающей, какая доля энергии,
приносимой за единицу времени на еди
ницу площади поверхности тела пада
ющими на нее электромагнитными вол
нами с частотами от n до n+dn, погло
щается телом. Спектральная поглоща
тельная способность — величина безраз
мерная. Величины R n,T и An,T зависят от
природы тела, его термодинамической
температуры и при этом различаются
для излучений с разными частотами.
Поэтому эти величины относят к опре
деленным T и n (вернее, к достаточно
узкому интервалу частот от n до n+dn).
Тело, способное поглощать полно
стью при любой температуре все пада
ющее на него излучение любой часто
ты, называется черным. Следователь
но, спектральная поглощательная спо
собность черного тела для всех частот
и температур тождественно равна еди
нице( ÷
,
1
T
An o ). Черных тел в природе
нет, однако такие тела, как сажа, пла
тиновая чернь, черный бархат и неко
торые другие, в определенном интерва
ле частот по своим свойствам близки к
ним.
Наиболее совершенной моделью
черного тела может служить замкнутая
полость с небольшим отверстием O
(рис. 289). Луч света, попавший внутрь
такой полости, испытывает многократ
ные отражения от стенок, в результате
чего интенсивность вышедшего излуче
ния оказывается практически равной
нулю. Опыт показывает, что при разме
ре отверстия, меньшего 0,1 диаметра по
лости, падающее излучение всех частот
практически полностью поглощается.
Вследствие этого открытые окна домов
со стороны улицы кажутся черными,
хотя внутри комнат достаточно светло
из за отражения света от стен.
Наряду с понятием черного тела ис
пользуют понятие серого тела — тела,
поглощательная способность которого
меньше единицы, но одинакова для всех
частот и зависит только от температу
ры, материала и состояния поверхнос
ти тела. Таким образом, для серого тела
ñ
,
const 1
TT
AA
n
==
<
.
Исследование теплового излучения
сыграло важную роль в создании кван
товой теории света, поэтому необходи
мо рассмотреть законы, которым оно
подчиняется.
§ 198. Çàêîí Êèðõãîôà
Кирхгоф, опираясь на второй закон
термодинамики и анализируя условия
равновесного излучения в изолирован
ной системе тел, установил количе
ственную связь между спектральной
плотностью энергетической светимос
ти и спектральной поглощательной
способностью тел. Отношение спект
ральной плотности энергетической све
тимости к спектральной поглощатель
ной способности не зависит от природы
тела; оно является для всех тел универ
сальной функцией частоты (длины вол
ны) и температуры (закон Кирхгофа):
,
,
,
.
T
T
T
R
r
A
n
n
n
=
(198.1)
Для черного тела ÷
,
1
T
An o , поэтому
из закона Кирхгофа [см. (198.1)] следу
ет, что Rn,T для черного тела равна rn,T
.
Таким образом, универсальная функ
ция Кирхгофа rn,T есть не что иное, как
спектральная плотность энергетиче
Рис. 289
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

372
ской светимости черного тела. Следо
вательно, согласно закону Кирхгофа,
для всех тел отношение спектральной
плотности энергетической светимости
к спектральной поглощательной способ
ности равно спектральной плотности
энергетической светимости черного те
ла при той же температуре и частоте.
Из закона Кирхгофа следует, что
спектральная плотность энергетичес
кой светимости любого тела в любой
области спектра всегда меньше спект
ральной плотности энергетической све
тимости черного тела (при тех же зна
ченияхTиn),таккакAn,T<1ипоэто
му Rn,T < rn,T
. Кроме того, из (198.1) вы
текает, что если тело при данной тем
пературе T не поглощает электромаг
нитные волны в интервале частот от n
до n+dn (An,T
=0),тооноихвэтом
интервале частот при температуре T не
излучает, так как R n,T
= An,T rn,T
.
Используя закон Кирхгофа, выраже
ние для энергетической светимости
тела (197.2) можно записать в виде
,,
0
d.
TT
T
RA
r
¥
nn
=n
ò
Для серого тела
ñ
,
,
0
d
TTT T
e
RAr A
R
¥
n
=n
=
ò
(198.2)
где
,
0
d
eT
Rr
¥
n
=n
ò
(198.3)
—
энергетическая светимость чер
ного тела (зависит только от темпера
туры).
Закон Кирхгофа описывает только
тепловое излучение, являясь настоль
ко характерным для него, что может
служить надежным критерием для оп
ределения природы излучения. Излуче
ние, которое закону Кирхгофа не под
чиняется, не является тепловым.
§ 199. Çàêîíû
Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà
è ñìåùåíèÿ Âèíà
Из закона Кирхгофа [см. (198.1)]
следует, что спектральная плотность
энергетической светимости черного
тела является универсальной функци
ей, поэтому нахождение ее явной зави
симости от частоты и температуры яв
ляется важной задачей теории теплово
го излучения.
Австрийский физик Й. Стефан
(1835 — 1893), анализируя эксперимен
тальные данные (1879), и Л. Больцман,
применяя термодинамический метод
(1884), решили эту задачу лишь частич
но, установив зависимость энергетиче
ской светимости Re черного тела от тем
пературы. Согласно закону Стефа
на — Больцмана,
Re=sT
4
,
(199.1)
т. е . энергетическая светимость черно
го тела пропорциональна четвертой сте
пени его термодинамической темпера
туры; s — постоянная Стефана — Больц
мана, ее экспериментальное значение
равно 5,67 · 10-8 Вт/(м2
·К
4
).
Закон Стефана — Больцмана, опре
деляя зависимость Re от температуры,
не дает ответа относительно спектраль
ного состава излучения черного тела.
Из экспериментальных кривых зависи
мости функции r l,T от длины волны l
(r l,T
=
c
2
l
r n,T) при различных темпера
турах (рис. 290) следует, что распреде
ление энергии в спектре черного тела
является неравномерным. Все кривые
имеют явно выраженный максимум,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

373
который по мере повышения темпера
туры смещается в сторону более корот
ких длин волн. Площадь, ограниченная
кривой зависимости r l,T от l и осью аб
сцисс, пропорциональна энергетичес
кой светимости Re черного тела и, сле
довательно, по закону Стефана — Больц
мана, четвертой степени температуры.
Немецкий физик В. Вин (1864 —
1928), опираясь на законы термо и
электродинамики, установил зависи
мость длины волны lmax, соответству
ющей максимуму функции r l,T , от тем
пературы T. Согласно закону смеще
ния Ви′на,
,
max
b
T
l=
(199.2)
т. е. длина волны lmax, соответствующая
максимальному значению спектраль
ной плотности энергетической свети
мости r l,T черного тела, обратно про
порциональна его термодинамической
температуре; b — постоянная Вина;
ее экспериментальное значение равно
2,9 · 10-3
м · К. Выражение (199.2) пото
му называют законом смещения Вина,
что оно показывает смещение положе
ния максимума функции r l,T по мере
возрастания температуры в область ко
ротких длин волн. Закон Вина объяс
няет, почему при понижении темпера
туры нагретых тел в их спектре все силь
нее преобладает длинноволновое излу
чение (например, переход белого кале
ния в красное при остывании металла).
§ 200. Ôîðìóëû
Ðýëåÿ — Äæèíñà è Ïëàíêà
Из рассмотрения законов Стефана —
Больцмана и Вина следует, что термо
динамический подход к решению зада
чи о нахождении универсальной функ
ции Кирхгофа r n,T не дал желаемых ре
зультатов. Следующая строгая попыт
ка теоретического вывода зависимости
r n,T принадлежит английским ученым
Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877 — 1946), ко
торые применили к тепловому излуче
нию методы статистической физики,
воспользовавшись классическим зако
ном равномерного распределения энер
гии по степеням свободы.
Формула Рэлея — Джинса для спек
тральной плотности энергетической
светимости черного тела имеет вид
,
,
22
22
T
rk
T
cc
22
n
pn
pn
=á
e
ñ
=
(200.1)
где áeñ = kT — средняя энергия осцил
лятора с собственной частотой n. Для
осциллятора, совершающего колебания,
средние значения кинетической и потен
циальной энергий одинаковы (см. § 50),
поэтому средняя энергия каждой коле
бательной степени свободы áeñ = kT.
Как показал опыт, выражение (200.1)
согласуется с экспериментальными
данными только в области достаточно
малых частот и больших температур.
В области больших частот формула
Рис. 290
Рис. 291
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

374
Рэлея — Джинса резко расходится с эк
спериментом, а также с законом смеще
ния Вина (рис. 291). Кроме того, оказа
лось, что попытка получить закон Сте
фана — Больцмана [см. (199.1)] из фор
мулы Рэлея — Джинса приводит к аб
сурду. Действительно, вычисленная с
использованием (200.1) энергетическая
светимость черного тела [см. (198.3)]
,
,
2
00
2
dd
eT
kT
Rr
c
¥¥
2
n
p
=n
=n
n
=
¥
òò
в то время как по закону Стефана —
Больцмана Re пропорциональна четвер
той степени температуры. Этот резуль
тат получил название «ультрафиолето
вой катастрофы». Таким образом, в
рамках классической физики не уда
лось объяснить законы распределения
энергии в спектре черного тела.
В области больших частот хорошее
согласие с опытом дает формула Вина
(закон излучения Вина), полученная им
из общих теоретических соображений:
,
3
,
e
A
T
T
rC
A
n
-
n
=n
где r n,T
—
спектральная плотность энер
гетической светимости черного тела;
C и A — постоянные величины.
В современных обозначениях с ис
пользованием постоянной Планка, ко
торая в то время еще не была известна,
закон излучения Вина может быть за
писан в виде
1
3
,
2
2
e.
h
kT
T
h
r
c
n
-
n
pn
=
Правильное, согласующееся с опыт
ными данными выражение для спект
ральной плотности энергетической све
тимости черного тела было найдено в
1900 г. немецким физиком М. Планком.
Для этого ему пришлось отказаться от
установившегося положения класси
ческой физики, согласно которому
энергия любой системы может изме
няться непрерывно, т. е. может прини
мать любые сколь угодно близкие зна
чения.
Согласно выдвинутой Планком кван
товой гипотезе, атомные осциллято
ры излучают энергию не непрерывно, а
определенными порциями — квантами,
причем энергия кванта пропорциональ
на частоте колебания [см. (170.3)]:
,
0
hc
h
e=n
=
l
(200.2)
где h =6,625·10-34 Дж·с — постоян
ная Планка.
Так как излучение испускается пор
циями, то энергия осциллятора e может
принимать лишь определенные диск
ретные значения, кратные целому чис
лу элементарных порций энергии e0:
e=nhn(n=0,1,2,K).
В данном случае среднюю энер
гию áeñ осциллятора нельзя принимать
равной kT. В приближении, что распре
деление осцилляторов по возможным
дискретным состояниям подчиняется
распределению Больцмана (см. § 45),
средняя энергия осциллятора
,
e1
h
kT
h
n
n
áeñ =
-
а спектральная плотность энергетичес
кой светимости черного тела
23
,
22
22
1
.
e1
e1
T
hh
kT
kT
hh
r
cc
n
nn
pn
n
pn
==
--
Таким образом, Планк вывел для
универсальной функции Кирхгофа
формулу
,
3
,
2
21
e1
T
h
kT
h
r
c
n
n
pn
=
-
(200.3)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

375
которая, как оказалось, блестяще согла
суется с экспериментальными данными
по распределению энергии в спектрах
излучения черного тела во всем интер
вале частот и температур. Теорети
ческий вывод этой формулы М. Планк
изложил 14 декабря 1900 г. на заседа
нии Немецкого физического общества.
Этот день стал датой рождения кванто
вой физики.
В области малых частот, т.е . при hn = kT
(энергия кванта очень мала по сравнению с
энергией теплового движения kT ), форму
ла Планка (200.3) совпадает с формулой
Рэлея — Джинса (200.1). Для доказательства
этого разложим экспоненциальную функ
цию в ряд, ограничившись для рассматри
ваемого случая двумя первыми членами:
,
11
.
ee
hh
kT
kT
hh
kT
kT
nn
nn
»+
-»
Подставляя последнее выражение в фор
мулу Планка (200.3), найдем, что
,
32
,
22
212
()
T
h
r
kT
cc
hk
T
n
pn
pn
==
n
т.е . получили формулу Рэлея — Джинса
(200.1).
Из формулы Планка можно получить
закон Стефана — Больцмана. Согласно
(198.3) и (200.3),
3
,
2
00
21
dd
.
e1
eT
h
kT
h
Rr
c
¥¥
n
n
pn
=n
=
n
-
òò
Введем безразмерную переменную x =
=
;
;
dd
ddx
hhk
T
x
h
kT
kT
nn
==
n
. Формула для
Re преобразуется к виду
,
43
44
23
0
2
d
e1
e
x
kx
RTx
T
ch
¥
p
==
s
-
ò
(200.4)
где
43
5
4
23
23
0
22
d
15
e1
x
kx
k
x
ch
ch
¥
pp
s=
=
-
ò
, так как
34
0
d
15
e1
x
x
x
¥
p
=
-
ò
. Таким образом, действи
тельно формула Планка позволяет полу
чить закон Стефана — Больцмана [(ср. фор
мулы (199.1) и (200.4)]. Кроме того, подста
новка числовых значений k, c и h дает для
постоянной Стефана — Больцмана значе
ние, хорошо согласующееся с эксперимен
тальными данными.
Закон смещения Вина получим с помо
щью формул (197.1) и (200.3):
,
2
,,
5
21
e1
TT
hc
kT
cc
h
rr
ln
2
l
p
==
ll
-
откуда
2
,
6
e
2
5.
(e
1)e
1
hc
kT
T
hc
hc
kT
kT
hc
r
ch
kT
l
l
ll
æö
÷
ç
÷
ç
÷
¶
ç
p
÷
l
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
¶l
÷
çç÷
èø
l--
Значение lmax , при котором функция до
стигает максимума, найдем, приравняв
нулю эту производную. Тогда, введя x =
=
max
hc
kT l , получим уравнение
xex
-
5(ex
-
1)=0.
Решение этого трансцендентного урав
нения методом последовательных приближе
ний дает x = 4,965. Следовательно,
max
hc
kTl
=
= 4,965, откуда
,
max
4, 965
hc
Tb
k
l==
т.е . получили закон смещения Вина [см.
(199.2)].
Из формулы Планка, зная универ
сальные постоянные h, k и c, можно вы
числить постоянные Стефана — Больц
мана s и Вина b. С другой стороны, зная
экспериментальные значения s и b ,
можно вычислить значения h и k (имен
но так и было впервые найдено число
вое значение постоянной Планка).
Таким образом, формула Планка не
только хорошо согласуется с экспери
ментальными данными, но и содержит
в себе частные законы теплового излу
чения, а также позволяет вычислить
постоянные в законах теплового излу
чения. Следовательно, формула План
ка является полным решением основ
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

376
ной задачи теплового излучения. Ее
решение стало возможным лишь благо
даря революционной квантовой гипо
тезе Планка.
§ 201. Îïòè÷åñêàÿ ïèðîìåòðèÿ.
Òåïëîâûå èñòî÷íèêè ñâåòà
Законы теплового излучения ис
пользуются для измерения температу
ры раскаленных и самосветящихся тел
(например, звезд). Методы измерения
высоких температур, использующие за
висимость спектральной плотности
энергетической светимости или интег
ральной энергетической светимости тел
от температуры, называются оптиче
ской пирометрией.
Приборы для измерения температу
ры нагретых тел по интенсивности их
теплового излучения в оптическом ди
апазоне спектра называются пиромет
рами. В зависимости от того, какой за
кон теплового излучения используется
при измерении температуры тел, разли
чают радиационную, цветовую и ярко
стную температуры.
1. Радиационная температура — это
такая температура черного тела, при
которой его энергетическая светимость
Re [см. (198.3)] равна энергетической
светимости RT [см. (197.2)] исследуемо
го тела. В данном случае регистрирует
ся энергетическая светимость исследу
емого тела и по закону Стефана — Боль
цмана (199.1) вычисляется его радиаци
онная температура:
ð
4
.
T
R
T=
s
Радиационная температура Tр тела
всегда меньше его истинной температу
ры T. Для доказательства этого предпо
ложим, что исследуемое тело является
серым. Тогда, используя (199.1) и
(198.2), можно записать
ñ
4.
TT
eT
RA
RAT
==
s
С другой стороны,
ñ
ð
4.
T
RT
=s
Из сравнения этих выражений вы
текает, что
ð
4
.
T
TA
T
=
ТаккакAT<1,тоTр<T,т.е.истин
ная температура тела всегда выше ра
диационной.
2. Цветовая температура. Для се
рых тел (или тел, близких к ним по
свойствам) спектральная плотность
энергетической светимости
,
,,
TT
T
RA
r
ll
=
где AT = const < 1. Следовательно, рас
пределение энергии в спектре излуче
ния серого тела такое же, как и в спект
ре черного тела, имеющего ту же тем
пературу, поэтому к серым телам при
меним закон смещения Вина [см.
(199.2)]. Зная длину волны lmax, соот
ветствующую максимальной спект
ральной плотности энергетической све
тимости Rl,T исследуемого тела, мож
но определить его температуру
ö
,
max
b
T=
l
которая называется цветовой темпе
ратурой. Для серых тел цветовая тем
пература совпадает с истинной. Для тел,
которые сильно отличаются от серых
(например, обладающих селективным
поглощением), понятие цветовой тем
пературы теряет смысл. Таким спосо
бом определяется температура на по
верхности Солнца (Tц » 6500 К) и звезд.
3. Яркостная температура Tя — это
температура черного тела, при которой
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

377
для определенной длины волны его
спектральная плотность энергетичес
кой светимости равна спектральной
плотности энергетической светимости
исследуемого тела, т. е .
ÿ
,
,,
TT
rR
ll
=
(201.1)
где T — истинная температура тела.
По закону Кирхгофа [см. (198.1)],
для исследуемого тела при длине вол
ныl
,
,
,
,
T
T
T
R
r
A
l
l
l
=
или, учитывая (201.1),
ÿ
,
,
,
.
T
T
T
r
A
r
l
l
l
=
(201.2)
Так как для нечерных тел А < 1, то
ÿ
,,
TT
rr
ll
<
и, следовательно, Tя < T, т. е .
истинная температура тела всегда выше
яркостной.
В качестве яркостного пирометра
обычно используется пирометр с исче
зающей нитью. Накал нити пирометра
подбирается таким, чтобы выполнялось
условие (201.1). В данном случае изоб
ражение нити пирометра становится
неразличимым на фоне поверхности
раскаленного тела, т. е . нить как бы «ис
чезает». Используя проградуирован
ный по черному телу миллиамперметр,
можно определить яркостную темпера
туру.
Зная поглощательную способность
Al,T тела при той же длине волны, по
яркостной температуре можно опреде
лить истинную. Переписав формулу
Планка (200.3) в виде
2
,,
5
21
e1
TT
hc
kT
cc
h
rr
ln
2
l
p
==
ll
-
и учитывая это в (201.2), получим
ÿ
,
,
e1
e1
hc
kT
T
hc
kT
A
l
l
l
-
=
-
т. е . при известных Al,T и l можно опре
делить истинную температуру исследу
емого тела.
4. Тепловые источники света. Све
чение раскаленных тел используется
для создания источников света, первые
из которых — лампы накаливания и ду
говые лампы — были соответственно
изобретены русскими учеными А. Н. Ло
дыгиным в 1873 г. и П. Н . Яблочковым
в 1876 г.
На первый взгляд кажется, что чер
ные тела должны быть наилучшими
тепловыми источниками света, так как
их спектральная плотность энергети
ческой светимости для любой длины
волны больше спектральной плотнос
ти энергетической светимости нечер
ных тел, взятых при одинаковых тем
пературах. Однако оказывается, что
для некоторых тел (например, вольф
рама), обладающих селективностью
теплового излучения, доля энергии,
приходящаяся на излучение в види
мой области спектра, значительно
больше, чем для черного тела, нагре
того до той же температуры. Поэтому
вольфрам, обладая еще и высокой тем
пературой плавления, является наи
лучшим материалом для изготовления
нитей ламп.
Температура вольфрамовой нити в
вакуумных лампах не должна превы
шать 2450 К, поскольку при более высо
ких температурах происходит ее силь
ное распыление. Максимум излучения
при этой температуре соответствует
длине волны »1,1 мкм, т. е . очень далек
от максимума чувствительности чело
веческого глаза (»0,55 мкм). Напол
нение баллонов ламп инертными газа
ми (например, смесью криптона и ксе
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

378
нона с добавлением азота) при давле
нии »50 кПа позволяет увеличить тем
пературу нити до 3000 К, что приводит
к улучшению спектрального состава из
лучения. Однако светоотдача при этом
не увеличивается, так как возникают
дополнительные потери энергии из за
теплообмена между нитью и газом
вследствие теплопроводности и кон
векции.
Для уменьшения потерь энергии
за счет теплообмена и повышения све
тоотдачи газонаполненных ламп нить
изготовляют в виде спирали, отдель
ные витки которой обогревают друг
друга. При высокой температуре вок
руг этой спирали образуется непод
вижный слой газа и исключается теп
лообмен вследствие конвекции. Энер
гетический КПД ламп накаливания в
настоящее время не превышает 5 %.
§ 202. Âèäû
ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî ýôôåêòà.
Çàêîíû âíåøíåãî ôîòîýôôåêòà
Гипотеза Планка, блестяще решив
шая задачу теплового излучения черно
го тела, получила подтверждение и даль
нейшее развитие при объяснении фото
эффекта — явления, открытие и иссле
дование которого сыграло важную роль
в становлении квантовой теории. Раз
личают фотоэффект внешний, внут
ренний и вентильный.
Внешним фотоэлектрическим
эффектом (фотоэффектом) называ
ется испускание электронов веществом
под действием электромагнитного из
лучения. Внешний фотоэффект наблю
дается в твердых телах (металлах, по
лупроводниках, диэлектриках), а также
в газах на отдельных атомах и молеку
лах (фотоионизация). Фотоэффект об
наружен Г. Герцем (1887), наблюдав
шим усиление процесса разряда при об
лучении искрового промежутка ультра
фиолетовым излучением.
Первые фундаментальные исследо
вания фотоэффекта выполнены рус
ским ученым А. Г. Столетовым. Прин
ципиальная схема для исследования
фотоэффекта приведена на рис. 292.
Два электрода (катод К из исследуемо
го металла и анод А — в схеме Столето
ва применялась металлическая сетка) в
вакуумной трубке подключены к бата
рее так, что с помощью потенциометра R
можно изменять не только значение, но
и знак подаваемого на них напряжения.
Ток, возникающий при освещении като
да монохроматическим светом (через
кварцевое окошко), измеряется вклю
ченным в цепь миллиамперметром.
Облучая катод светом различных
длин волн, А. Г . Столетов установил сле
дующие закономерности, не утратившие
своего значения до нашего времени:
1) наиболее эффективное действие ока
зывает ультрафиолетовое излучение;
2) под действием света вещество теряет
только отрицательные заряды; 3) сила
тока, возникающего под действием све
та, прямо пропорциональна его интен
сивности.
Дж. Дж. Томсон в 1898 г. измерил
удельный заряд испускаемых под дей
ствием света частиц (по отклонению в
электрическом и магнитном полях).
Рис. 292
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

379
Эти измерения показали, что под дей
ствием света вырываются электроны.
Внутренний фотоэффект — это
вызванные электромагнитным излуче
нием переходы электронов внутри по
лупроводника или диэлектрика из свя
занных состояний в свободные без вы
лета наружу. В результате концентра
ция носителей тока внутри тела увели
чивается, что приводит к возникнове
нию фотопроводимости (повышению
проводимости полупроводника или ди
электрика при его освещении) или к
возникновению ЭД С.
Вентильный фотоэффект, явля
ющийся разновидностью внутреннего
фотоэффекта, — возникновение ЭДС
(фото ЭДС) при освещении контакта
двух разных полупроводников или по
лупроводника и металла (при отсут
ствии внешнего электрического поля).
Вентильный фотоэффект открывает,
таким образом, пути для прямого пре
образования солнечной энергии в элек
трическую. На экспериментальной ус
тановке, приведенной на рис. 292, мож
но исследовать вольт амперную ха
рактеристику фотоэффекта — за
висимость фототока I, образуемого по
током электронов, испускаемых като
дом под действием света, от напряже
ния U между электродами. Вольт ам
перная характеристика, соответствую
щая двум различным освещенностям Ee
катода (частота света в обоих случаях
одинакова), приведена на рис. 293. По
мере увеличения U фототок постепен
но возрастает, т. е. все большее число
фотоэлектронов достигает анода. Поло
гий характер кривых показывает, что
электроны вылетают из катода с раз
личными скоростями. Максимальное
значение тока Iнас — фототок насыще
ния — определяется таким значением U,
при котором все электроны, испускае
мые катодом, достигают анода:
Iнас = en,
где n — число электронов, испускаемых
катодом в 1 с.
Из вольт амперной характеристики
следует, что при U = 0 фототок не исче
зает. Следовательно, электроны, выби
тые светом из катода, обладают некото
рой начальной скоростью v, а значит, и
отличной от нуля кинетической энер
гией и могут достигнуть анода без внеш
него поля. Для того чтобы фототок стал
равным нулю, необходимо приложить
задерживающее напряжение U0. При
U = U0 ни один из электронов, даже об
ладающий при вылете из катода макси
мальной скоростью vmax, не может пре
одолеть задерживающего поля и дос
тигнуть анода. Следовательно,
,
2
max
0
2
mv
eU
=
(202.1)
т. е ., измерив задерживающее напряже
ние U0, можно определить максималь
ные значения скорости и кинетической
энергии фотоэлектронов.
При изучении вольт амперных ха
рактеристик разнообразных материа
лов (важна чистота поверхности, поэто
му измерения проводятся в вакууме и
на свежих поверхностях) при различ
ных частотах падающего на катод излу
чения и различных энергетических ос
вещенностях катода и обобщении полу
ченных данных были установлены сле
дующие три закона внешнего фото
эффекта.
I. Закон Столетова: при фиксиро
ванной частоте падающего света число
Рис. 293
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

380
фотоэлектронов, вырываемых из като
да в единицу времени, пропорциональ
но интенсивности света (сила фотото
ка насыщения пропорциональна энер
гетической освещенности Ee катода).
II. Максимальная начальная ско
рость (максимальная начальная кине
тическая энергия) фотоэлектронов не
зависит от интенсивности падающего
света, а определяется только его часто
той n.
III. Для каждого вещества существу
ет красная граница фотоэффекта,
т. е. минимальная частота n0 света (за
висящая от химической природы веще
ства и состояния его поверхности),
ниже которой фотоэффект невозможен.
Качественное объяснение фотоэф
фекта с точки зрения волновой теории
на первый взгляд не должно было бы
представлять трудностей. Действитель
но, под действием поля световой вол
ны в металле возникают вынужденные
колебания электронов, амплитуда кото
рых (например, при резонансе) может
быть достаточной для того, чтобы элек
троны покинули металл; тогда и наблю
дается фотоэффект. Кинетическая
энергия вырываемого из металла элек
трона должна была бы зависеть от ин
тенсивности падающего света, так как
с увеличением последней электрону пе
редавалась бы бо′льшая энергия. Одна
ко этот вывод противоречит II закону
фотоэффекта. Так как, по волновой те
ории, энергия, передаваемая электро
нам, пропорциональна интенсивности
света, то свет любой частоты, но доста
точно большой интенсивности должен
был бы вырывать электроны из метал
ла; иными словами, красной границы
фотоэффекта не должно быть, что про
тиворечит III закону фотоэффекта.
Кроме того, волновая теория не смогла
объяснить безынерционность фото
эффекта, установленную опытами. Та
ким образом, фотоэффект необъясним
с точки зрения волновой теории света.
§ 203. Óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà
äëÿ âíåøíåãî ôîòîýôôåêòà.
Ýêñïåðèìåíòàëüíîå
ïîäòâåðæäåíèå
êâàíòîâûõ ñâîéñòâ ñâåòà
А. Эйнштейн в 1905 г. показал, что
явление фотоэффекта и его закономер
ности могут быть объяснены на основе
предложенной им квантовой теории
фотоэффекта. Согласно Эйнштейну,
свет частотой n не только испускается,
как это предполагал Планк (см. § 200),
но и распространяется в пространстве
и поглощается веществом отдельными
порциями (квантами), энергия которых
e0 = h n. Таким образом, распростране
ние света нужно рассматривать не как
непрерывный волновой процесс, а как
поток локализованных в пространстве
дискретных световых квантов, движу
щихся со скоростью c распространения
света в вакууме. Кванты электромаг
нитного излучения получили название
фотонов.
По Эйнштейну, каждый квант по
глощается только одним электроном.
Поэтому число вырванных фотоэлек
тронов должно быть пропорциональ
но интенсивности света (I закон фото
эффекта). Безынерционность фотоэф
фекта объясняется тем, что передача
энергии при столкновении фотона с
электроном происходит почти мгно
венно.
Энергия падающего фотона расходу
ется на совершение электроном работы
выхода A из металла (см. § 104) и на
сообщение вылетевшему фотоэлектро
ну кинетической энергии
2
max
2
mv
. Поза
кону сохранения энергии,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

381
2
max
.
2
mv
hA
n=+
(203.1)
Уравнение (203.1) называется урав
нением Эйнштейна для внешнего фо
тоэффекта.
Уравнение Эйнштейна позволяет
объяснить II и III законы фотоэффек
та. Из (203.1) непосредственно следу
ет, что максимальная кинетическая
энергия фотоэлектрона линейно растет
с увеличением частоты падающего из
лучения и не зависит от его интенсив
ности (числа фотонов), так как ни A, ни
n от интенсивности света не зависят (II
закон фотоэффекта). Так как с умень
шением частоты света кинетическая
энергия фотоэлектронов уменьшается
(для данного металла A = const), то при
некоторой достаточно малой частоте
n=n0 кинетическая энергия фотоэлек
тронов станет равной нулю и фотоэф
фект прекратится (III закон фотоэф
фекта). Согласно изложенному, из
(203.1) получим, что
0
A
h
n=
(203.2)
и есть красная граница фотоэффекта
для данного металла. Она зависит лишь
от работы выхода электрона, т. е . от хи
мической природы вещества и состоя
ния его поверхности.
Выражение (203.1) можно записать,
используя (202.1) и (203.2), в виде
hn=hn0+eU0.
Уравнение Эйнштейна было подтвер
ждено опытами Р. Милликена. В его
приборе (1916) поверхность исследуе
мого металла подвергалась очистке в
вакууме. Исследовалась зависимость
максимальной кинетической энергии
фотоэлектронов [изменялось задержи
вающее напряжение U0 (см. (202.1)] от
частоты n и определялась постоянная
Планка.
В 1926 г. российские физики П. И . Лу
кирский (1894 — 1954) и С. С. Прилежа
ев для исследования фотоэффекта при
менили метод вакуумного сферичес
кого конденсатора. Анодом в их уста
новке служили посеребренные стенки
стеклянного сферического баллона, а
катодом — шарик (R » 1,5 см) из ис
следуемого металла, помещенный в
центр сферы. В остальном схема прин
ципиально не отличается от изображен
ной на рис. 292. Такая форма электро
дов позволила увеличить наклон вольт
амперных характеристик и тем самым
более точно определять задержива
ющее напряжение U0 (а следовательно,
и h).
Значение h , полученное из данных
опытов, согласуется со значениями,
найденными другими методами [по из
лучению черного тела (см. § 200) и по
коротковолновой границе сплошного
рентгеновского спектра (см. § 299)]. Все
это является доказательством правиль
ности уравнения Эйнштейна, а вместе
с тем и его квантовой теории фотоэф
фекта.
Если интенсивность света очень
большая (лазерные пучки; см. § 233), то
возможен многофотонный (нелиней
ный) фотоэффект, при котором элек
трон, испускаемый металлом, может од
новременно получить энергию не от
одного, а от Nфотонов(N=2 —7).Урав
нение Эйнштейна для многофотонно
го фотоэффекта
2
max
.
2
mv
NhA
n=+
В опытах с фокусируемыми лазер
ными пучками плотность фотонов
очень большая, поэтому электрон мо
жет поглотить не один, а несколько
фотонов. При этом электрон может
приобрести энергию, необходимую для
выхода из вещества, даже под действи
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

382
ем света с частотой, меньшей красной
границы — порога однофотонного фо
тоэффекта. В результате красная грани
ца смещается в сторону более длинных
волн.
Идея Эйнштейна о распространении
света в виде потока отдельных фотонов
и квантовом характере взаимодействия
электромагнитного излучения с веще
ством подтверждена в 1922 г. опытами
А. Ф. Иоффе и Н. И. Добронравова.
В электрическом поле плоского кон
денсатора уравновешивалась заряжен
ная пылинка из висмута. Нижняя об
кладка конденсатора изготовлялась из
тончайшей алюминиевой фольги, кото
рая являлась одновременно анодом ми
ниатюрной рентгеновской трубки. Анод
бомбардировался ускоренными до 12 кВ
фотоэлектронами, испускаемыми като
дом под действием ультрафиолетового
излучения. Освещенность катода под
биралась столь слабой, чтобы из него в
1 с вырывалось лишь 1000 фотоэлект
ронов, а следовательно, и число рент
геновских импульсов было 1000 в 1 с.
Опыт показал, что в среднем через каж
дые 30 мин уравновешенная пылинка
выходила из равновесия, т. е . рентгено
вское излучение освобождало из нее
фотоэлектрон.
Если бы рентгеновское излучение
распространялось в виде сферических
волн, а не отдельных фотонов, то каж
дый рентгеновский импульс отдавал
бы пылинке очень малую часть своей
энергии, которая распределялась бы, в
свою очередь, между огромным числом
электронов, содержащихся в пылинке.
Поэтому при таком механизме трудно
вообразить, что один из электронов за
такое короткое время, как 30 мин, мо
жет накопить энергию, достаточную
для преодоления работы выхода из пы
линки. Напротив, с точки зрения кор
пускулярной теории это возможно.
Так, если рентгеновское излучение
распространяется в виде потока диск
ретных фотонов, то электрон выбива
ется из пылинки только тогда, когда в
нее попадает фотон. Элементарный рас
чет для выбранных условий показыва
ет, что в среднем в пылинку попадает
одинфотониз1,8 ·106.Таккакв1свы
летает 1000 фотонов, то в среднем в пы
линку будет попадать один фотон в 30
мин, что согласуется с результатами
опыта.
Если свет представляет собой поток
фотонов, то каждый фотон, попадая в
регистрирующий прибор (глаз, фото
элемент), должен вызывать то или иное
действие независимо от других фото
нов. Это же означает, что при регистра
ции слабых световых потоков должны
наблюдаться флуктуации их интенсив
ности. Эти флуктуации слабых потоков
видимого света действительно наблю
дались С. И . Вавиловым.
Наблюдения проводились визуаль
но. Глаз, адаптированный к темноте,
обладает довольно резким порогом
зрительного ощущения, т. е. восприни
мает свет, интенсивность которого не
меньше некоторого порога. Для света с
l = 525 нм порог зрительного ощуще
ния соответствует у разных людей при
мерно 100 — 400 фотонам, падающим на
сетчатку за 1 с. С . И.Вавилов наблюдал
периодически повторяющиеся вспыш
ки света одинаковой длительности.
С уменьшением светового потока неко
торые вспышки уже не воспринимались
глазом, причем чем слабее был свето
вой поток, тем больше было пропусков
вспышек. Это объясняется флуктуаци
ями интенсивности света, т. е. число
фотонов оказывалось по случайным
причинам меньше порогового значе
ния. Таким образом, опыт Вавилова
явился наглядным подтверждением
квантовых свойств света.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

383
§ 204. Ïðèìåíåíèå ôîòîýôôåêòà
На явлении фотоэффекта основано
действие фотоэлектронных приборов,
получивших разнообразное примене
ние в различных областях науки и тех
ники. В настоящее время практически
невозможно указать отрасли производ
ства, где бы не использовались фото
элементы — приемники излучения, ра
ботающие на основе фотоэффекта и
преобразующие энергию излучения в
электрическую.
Простейшим фотоэлементом с вне
шним фотоэффектом является ваку
умный фотоэлемент. Он представля
ет собой откачанный стеклянный бал
лон, внутренняя поверхность которого
(за исключением окошка для доступа
излучения) покрыта фоточувствитель
ным слоем, служащим фотокатодом.
В качестве анода обычно используется
кольцо или сетка, помещаемая в цент
ре баллона. Фотоэлемент включается в
цепь батареи, ЭДС которой выбирает
ся такой, чтобы обеспечить фототок на
сыщения. Выбор материала фотокато
да определяется рабочей областью
спектра: для регистрации видимого све
та и инфракрасного излучения исполь
зуется кислородно цезиевый катод, для
регистрации ультрафиолетового излу
чения и коротковолновой части види
мого света — сурьмяно цезиевый.
Вакуумные фотоэлементы безынер
ционны, и для них наблюдается стро
гая пропорциональность фототока ин
тенсивности излучения. Эти свойства
позволяют использовать вакуумные
фотоэлементы в качестве фотометри
ческих приборов, например фотоэлек
трический экспонометр, люксметр (из
меритель освещенности) и т. д.
Для увеличения интегральной чув
ствительности вакуумных фотоэле
ментов (фототок насыщения, приходя
щийся на 1 лм светового потока) бал
лон заполняется разреженным инерт
ным газом (Ar или Ne при давлении
»1,3 — 13 Па). Фототок в таком эле
менте, называемом газонаполненным,
усиливается вследствие ударной иони
зации молекул газа фотоэлектронами.
Интегральная чувствительность газона
полненных фотоэлементов (»1 мА/лм)
гораздо выше, чем для вакуумных
(20 — 150 мкА/лм), но они обладают по
сравнению с последними большей
инерционностью (менее строгой про
порциональностью фототока интенсив
ности излучения), что приводит к огра
ничению области их применения.
Для усиления фототока применя
ются уже рассмотренные выше (см.
рис. 157) фотоэлектронные умножи
тели, в которых наряду с фотоэффек
том используется явление вторичной
электронной эмиссии (см. § 105). Раз
меры фотоэлектронных умножителей
немного превышают размеры обычной
радиолампы, общий коэффициент уси
ления составляет »107 (при напряже
нии питания 1 — 1,5 кВ), а их интеграль
ная чувствительность может достигать
10 А/лм. Поэтому фотоэлектронные
умножители начинают вытеснять фото
элементы, правда, их применение свя
зано с использованием высоковольт
ных стабилизированных источников
питания, что несколько неудобно.
Фотоэлементы с внутренним фото
эффектом, называемые полупроводни
ковыми фотоэлементами или фото
сопротивлениями (фоторезистора
ми), обладают гораздо большей интег
ральной чувствительностью, чем ваку
умные. Для их изготовления использу
ются PbS, CdS, PbSe и некоторые дру
гие полупроводники. Если фотокатоды
вакуумных фотоэлементов и фотоэлек
тронных умножителей имеют красную
границу фотоэффекта не выше 1,1 мкм,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

384
то применение фотосопротивлений
позволяет производить измерения в да
лекой инфракрасной области спектра
(3—4 мкм), а также в областях рентге
новского и гамма излучений. Кроме
того, они малогабаритны и имеют низ
кое напряжение питания. Недостаток
фотосопротивлений — их заметная инер
ционность, поэтому они непригодны
для регистрации быстропеременных
световых потоков.
Фотоэлементы с вентильным фото
эффектом, называемые вентильными
фотоэлементами (фотоэлемента
ми с запирающим слоем), обладая, по
добно элементам с внешним фотоэф
фектом, строгой пропорциональностью
фототока интенсивности излучения,
имеют бо′ льшую по сравнению с ними
интегральную чувствительность (при
мерно 2 — 30 мА/лм) и не нуждаются во
внешнем источнике ЭДС. К числу вен
тильных фотоэлементов относятся гер
маниевые, кремниевые, селеновые, куп
роксные, сернисто серебряные и др.
Кремниевые и другие вентильные
фотоэлементы применяются для созда
ния солнечных батарей, непосредствен
но преобразующих световую энергию в
электрическую. Эти батареи уже в те
чение многих лет работают на косми
ческих спутниках и кораблях. КПД
этих батарей составляет »10 % и, как
показывают теоретические расчеты, мо
жет быть доведен до »22 %, что откры
вает широкие перспективы их исполь
зования в качестве источников элект
роэнергии для бытовых и производ
ственных нужд.
Рассмотренные виды фотоэффекта
используются также в производстве для
контроля, управления и автоматизации
различных процессов, в военной техни
ке для сигнализации и локации невиди
мым излучением, в технике звукового
кино, в различных системах связи и т. д .
§ 205. Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ôîòîíà.
Äàâëåíèå ñâåòà
Согласно гипотезе световых квантов
Эйнштейна, свет испускается, поглоща
ется и распространяется дискретными
порциями (квантами), названными фо
тонами. Энергия фотона
e0=hn.
(205.1)
Фотон всегда движется со скорос
тью c — скоростью распространения
света в вакууме.
Согласно теории относительности,
полная энергия свободной частицы
(40.3)
2
2
2
.
1
mc
E
v
c
=
-
В случае фотона v = c и знаменатель
этого выражения обращается в нуль.
Поскольку фотон имеет конечную энер
гию [см. (205.1)], то это возможно лишь
при условии, что масса фотона равна
нулю.
Воспользовавшись связью E 2
-
p2c2
=
=m
2
c
4
(40.5) и учитывая, что для фо
тона m = 0, видим, что фотон обладает
не только энергией (205.1), но и импуль
сом
.
h
p
cc
0
e
n
==
(205.2)
Выражения (205.1) и (205.2) связы
вают корпускулярные характеристики
фотона — импульс и энергию — с вол
новой характеристикой света — его час
тотой n.
Если фотоны обладают импульсом,
то свет, падающий на тело, должен ока
зывать на него давление. Согласно
квантовой теории, давление света на
поверхность обусловлено тем, что каж
дый фотон при соударении с поверхно
стью передает ей свой импульс.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

385
Рассчитаем с точки зрения квантовой
теории световое давление, оказываемое
на поверхность тела потоком монохро
матического излучения (частота n), па
дающего перпендикулярно поверхнос
ти. Если в единицу времени на едини
цу площади поверхности тела падает N
фотонов, то при коэффициенте отраже
ния r света от поверхности тела отра
зится rN фотонов, а поглотится (1 - r)N.
Каждый поглощенный фотон передает
поверхности импульс
h
p
c
n
=
, а каждый
отраженный —
2
2
h
p
c
n
=
(при отраже
нии импульс фотона изменяется на -p).
Давление света на поверхность равно
импульсу, который передают поверхно
стив1сNфотонов:
2
(1)(1)
.
hh
h
pNNN
cc
c
nn
n
=r+ -
r=+
r
Nhn = Ee есть энергия всех фотонов,
падающих на единицу поверхности в
единицу времени, т. е. энергетическая
освещенность поверхности (см. § 168),
аe
E
w
c
=
—
объемная плотность энер
гии излучения. Поэтому давление, про
изводимое светом при нормальном па
дении на поверхность,
(1)(1).
e
E
pw
c
=+
r
=
+
r
(205.3)
Формула (205.3), выведенная на ос
нове квантовых представлений, совпа
дает с выражением, получаемым из
электромагнитной (волновой) теории
Максвелла (см. § 163). Таким образом,
давление света одинаково успешно
объясняется как волновой, так и кван
товой теорией. Как уже указывалось
(см. § 163), экспериментальное доказа
тельство существования светового дав
ления на твердые тела и газы дано в
опытах П. Н. Лебедева, сыгравших в
свое время большую роль в утвержде
нии теории Максвелла.
Лебедев использовал легкий подвес
на тонкой нити, по краям которого при
креплены легкие крылышки, одни из
которых зачернены, а поверхности дру
гих зеркальные. Для исключения кон
векции и радиометрического эффекта
(см. § 49) использовалась подвижная
система зеркал, позволяющая направ
лять свет на обе поверхности крылы
шек, подвес помещался в откачанный
баллон, крылышки подбирались очень
тонкими (чтобы температура обеих по
верхностей была одинакова). Световое
давление на крылышки определялось
по углу закручивания нити подвеса и
совпадало с теоретически рассчитан
ным. В частности оказалось, что давле
ние света на зеркальную поверхность
вдвое больше, чем на зачерненную [см.
(205.3)].
§ 206. Ýôôåêò Êîìïòîíà
è åãî ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ
Наиболее полно корпускулярные
свойства света проявляются в эффекте
Комптона. Американский физик А. Ком
птон (1892 — 1962), исследуя в 1923 г.
рассеяние монохроматического рентге
новского излучения веществами с лег
кими атомами (парафин, бор), обнару
жил, что в составе рассеянного излуче
ния наряду с излучением первоначаль
ной длины волны наблюдается также
более длинноволновое излучение. Опы
ты показали, что разность Dl = l¢ - l
не зависит от длины волны l падающе
го излучения и природы рассеивающе
го вещества, а определяется только уг
лом рассеяния J:
Ñ
,
2
2s
i
n
2
J
¢
Dl=l-l=l
(206.1)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

386
где l¢ — длина волны рассеянного из
лучения; lС — комптоновская длина
волны (при рассеянии фотона на элек
троне lС = 2,426 пм).
Эффектом Комптона называется
упругое рассеяние коротковолнового
электромагнитного излучения (рентге
новского и g излучений) на свободных
(или слабосвязанных) электронах ве
щества, сопровождающееся увеличени
ем длины волны. Этот эффект не укла
дывается в рамки волновой теории, со
гласно которой длина волны при рас
сеянии изменяться не должна: под дей
ствием периодического поля световой
волны электрон колеблется с частотой
поля и поэтому излучает рассеянные
волны той же частоты.
Объяснение эффекта Комптона да
но на основе квантовых представлений
о природе света. Если считать, как это
делает квантовая теория, что излучение
имеет корпускулярную природу, т. е .
представляет собой поток фотонов, то
эффект Комптона — результат упруго
го столкновения рентгеновских фото
нов со свободными электронами веще
ства (для легких атомов электроны сла
бо связаны с ядрами атомов, поэтому их
можно считать свободными). В процес
се этого столкновения фотон передает
электрону часть своих энергии и им
пульса в соответствии с законами их
сохранения.
Рассмотрим упругое столкновение
двух частиц (рис. 294) — налетающего
фотона, обладающего импульсом h
p
c
n
=
и энергией e = h n, с покоящимся сво
бодным электроном (энергия покоя
W0=mc
2
; m — масса электрона). Фо
тон, столкнувшись с электроном, пере
дает ему часть своей энергии и импуль
са и изменяет направление движения
(рассеивается). Уменьшение энергии
фотона означает увеличение длины
волны рассеянного излучения. При
каждом столкновении выполняются
законы сохранения энергии и импульса.
Согласно закону сохранения энер
гии,
W0+e=W+e¢,
(206.2)
а согласно закону сохранения импульса,
p
r
=p
r
e+p
r
¢,
(206.3)
гдеW0=mc
2
—
энергия электрона до
столкновения; e = h n — энергия нале
тающего фотона;
22
24
e
Wp
cm
c
=+—
энергия электрона после столкновения
(используется релятивистская форму
ла, так как скорость электрона отдачи в
общем случае значительна); e¢ = h n¢ —
энергия рассеянного фотона.
Подставив в выражение (206.2) зна
чения величин и представив (206.3) в
соответствии с рис. 294, получим
;
22
2
2
4
e
mc
h
pcmch¢
+n=
+ +n(206.4)
2
2
2
2c
o
s
.
e
hhh
h
p
ccc
c
¢¢
nnn
n
=+-
J
(206.5)
Решая уравнения (206.4) и (206.5)
совместно, получим
2() (
1
c
o
s
)
.
mc
h
¢¢
n-n =nn
-
J
Поскольку
,
cc
¢
n= n=
¢
l
l
иDl=
=l¢ - l, получим
2
2
(1cos)
sin
.
2
hh
mc
mc
J
Dl=
-
J=
(206.6)
Выражение (206.6) есть не что иное,
как полученная экспериментально
Рис. 294
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

387
Комптоном формула (206.1). Подста
новка в нее значений h, m и c дает комп
тоновскую длину волны электрона lС =
=
h
mc
= 2,426 пм.
Наличие в составе рассеянного из
лучения несмещенной линии (излуче
ния первоначальной длины волны)
можно объяснить следующим образом.
При рассмотрении механизма рассея
ния предполагалось, что фотон соуда
ряется лишь со свободным электроном.
Однако если электрон сильно связан с
атомом, как это имеет место для внут
ренних электронов (особенно в тяже
лых атомах), то фотон обменивается
энергией и импульсом с атомом в це
лом. Так как масса атома по сравнению
с массой электрона очень велика, то ато
му передается лишь ничтожная часть
энергии фотона. Поэтому в данном слу
чае длина волны l¢ рассеянного излу
чения практически не будет отличать
ся от длины волны l падающего излу
чения.
Из приведенных рассуждений сле
дует также, что эффект Комптона не
может наблюдаться в видимой области
спектра, поскольку энергия фотона ви
димого света сравнима с энергией свя
зи электрона с атомом, при этом даже
внешний электрон нельзя считать сво
бодным.
Эффект Комптона наблюдается не
только на электронах, но и на других
заряженных частицах, например прото
нах, однако из за большой массы про
тона его отдача «просматривается»
лишь при рассеянии фотонов очень
высоких энергий.
Как эффект Комптона, так и фото
эффект на основе квантовых представ
лений обусловлены взаимодействием
фотонов с электронами. В первом слу
чае фотон рассеивается, во втором —
поглощается. Рассеяние происходит
при взаимодействии фотона со свобод
ным электроном, а фотоэффект — со
связанными электронами. Можно по
казать, что при столкновении фотона со
свободным электроном не может про
изойти поглощения фотона, так как это
находится в противоречии с законами
сохранения импульса и энергии. Поэто
му при взаимодействии фотонов со сво
бодными электронами может наблю
даться только их рассеяние, т. е . эффект
Комптона.
§ 207. Åäèíñòâî êîðïóñêóëÿðíûõ
è âîëíîâûõ ñâîéñòâ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ
Рассмотренные в этой главе явле
ния — излучение черного тела, фотоэф
фект, эффект Комптона — служат до
казательством квантовых (корпуску
лярных) представлений о свете как о
потоке фотонов. С другой стороны, та
кие явления, как интерференция, диф
ракция и поляризация света, убедитель
но подтверждают волновую (электро
магнитную) природу света. Наконец,
давление и преломление света объяс
няются как волновой, так и квантовой
теориями. Таким образом, электромаг
нитное излучение обнаруживает уди
вительное единство, казалось бы, вза
имоисключающих свойств — непре
рывных (волны) и дискретных (фото
ны), которые взаимно дополняют друг
друга.
Основные уравнения (см. § 205),
связывающие корпускулярные свой
ства электромагнитного излучения
(энергия и импульс фотона) с волно
выми свойствами (частота или длина
волны):
,
.
hh
hp
c
n
e=n
=
=
l
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

388
Более детальное рассмотрение опти
ческих явлений приводит к выводу, что
свойства непрерывности, характерные
для электромагнитного поля световой
волны, не следует противопоставлять
свойствам дискретности, характерным
для фотонов.
Свет, обладая одновременно корпус
кулярными и волновыми свойствами,
обнаруживает определенные законо
мерности в их проявлении. Так, волно
вые свойства света проявляются в за
кономерностях его распространения,
интерференции, дифракции, поляриза
ции, а корпускулярные — в процессах
взаимодействия света с веществом. Чем
больше длина волны, тем меньше энер
гия и импульс фотона и тем труднее об
наруживаются квантовые свойства све
та (с этим связано, например, существо
вание красной границы фотоэффекта).
Наоборот, чем меньше длина волны,
тем больше энергия и импульс фотона
и тем труднее обнаруживаются волно
вые свойства света [например, волно
вые свойства (дифракция) рентгено
вского излучения обнаружены лишь
после применения в качестве дифрак
ционной решетки кристаллов].
Взаимосвязь между двойственными
корпускулярно волновыми свойствами
света можно объяснить, если использо
вать, как это делает квантовая оптика,
статистический подход к рассмотре
нию закономерностей распространения
света. Например, дифракция света на
щели состоит в том, что при прохожде
нии света через щель происходит пере
распределение фотонов в пространстве.
Так как вероятность попадания фото
нов в различные точки экрана неодина
кова, то и возникает дифракционная
картина. Освещенность экрана пропор
циональна вероятности попадания фо
тонов на единицу площади экрана.
С другой стороны, по волновой теории
освещенность пропорциональна квад
рату амплитуды световой волны в той
же точке экрана. Следовательно, квад
рат амплитуды световой волны в дан
ной точке пространства является ме
рой вероятности попадания фотонов в
данную точку.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• На фарфоровой тарелке на светлом фоне имеется темный рисунок. Почему, если ее бы
стро вынуть из печи, где она нагрелась до высокой температуры, и рассматривать в тем
ноте, наблюдается светлый рисунок на темном фоне?
• Чем отличается серое тело от черного?
• В чем заключается физический смысл универсальной функции Кирхгофа?
• Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость черного тела, если его тер
модинамическая температура уменьшится вдвое?
• Как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости r l,T чер
ного тела с повышением температуры?
• Нарисуйте и сопоставьте кривые rn,T и r l,T .
• Используя формулу Планка, найдите постоянную Стефана — Больцмана.
• При каких условиях из формулы Планка получаются закон смещения Вина и формула
Рэлея — Джинса?
• Почему фотоэлектрические измерения весьма чувствительны к природе и состоянию
поверхности фотокатода?
• Может ли золотая пластинка служить фотосопротивлением?
• Как при заданной частоте света изменится фототок насыщения с уменьшением осве
щенности катода?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

• Как из опытов по фотоэффекту определяется постоянная Планка?
• При замене одного металла другим длина волны, соответствующая красной границе,
уменьшается. Что можно сказать о работе выхода этих металлов?
• Как с помощью уравнения Эйнштейна объяснить I и II законы фотоэффекта?
• Нарисуйте и объясните вольт амперные характеристики, соответствующие двум раз
личным освещенностям катода при заданной частоте света и двум различным частотам
при заданной освещенности.
• Чему равно отношение давлений света на зеркальную и зачерненную поверхности?
• В чем отличие характера взаимодействия фотона и электрона при фотоэффекте и эф
фекте Комптона?
ÇÀÄÀ×È
26.1 . Черное тело нагрели от температуры T1 = 500 К до T2 = 2000 К. Определите: 1) во
сколько раз увеличилась его энергетическая светимость; 2) как изменилась длина вол
ны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости.
[1) В 256 раз; 2) уменьшилась на 4,35 мкм]
26.2 . Черное тело находится при температуре T1 = 2900 К. При его остывании длина
волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости,
изменилась на Dl = 9 мкм. Определите температуру T2, до которой тело охладилось. [290 К]
26.3 . Определите работу выхода A электронов из вольфрама, если красная граница фо
тоэффекта для него l0 = 275 нм. [4,52 эВ]
26.4 . Определите постоянную Планка, если известно, что для прекращения фотоэффек
та, вызванного облучением некоторого металла светом с частотой n 1 = 2,2 · 1015 с-1
, необходи
мо приложить задерживающее напряжение U01 = 6,6 В, а светом с частотой n 2 = 4,6 · 1015 с
-1
—
задерживающее напряжение U02 = 16,5 B. [6,6 · 10-34 Дж · с]
26.5 . Определите в электрон вольтах энергию фотона, при которой его масса равна мас
се покоя электрона. [0,51 МэВ]
26.6 . Давление монохроматического света с длиной волны 600 нм на зачерненную по
верхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, равно 0,1 мкПа. Оп
ределите число фотонов, падающих на поверхность площадью 10 см2 за 1 с. [9 · 1016]
26.7 . Фотон с длиной волны 100 пм рассеялся под углом 180° на свободном электроне.
Определите в электрон вольтах кинетическую энергию электрона отдачи. [580 эВ]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

390
×ÀÑÒÜ 6
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÔÈÇÈÊÈ
ÀÒÎÌÎÂ, ÌÎËÅÊÓË È ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË
Ãëàâà 27
ÒÅÎÐÈß ÀÒÎÌÀ ÂÎÄÎÐÎÄÀ ÏÎ ÁÎÐÓ
§ 208. Ìîäåëè àòîìà Òîìñîíà
è Ðåçåðôîðäà
Представление об атомах как неде
лимых мельчайших частицах вещества
(«атомос» — неразложимый) возникло
еще в античные времена (Демокрит,
Эпикур, Лукреций). К началу XVIII в.
атомистическая теория приобретает все
большую популярность, так как к это
му времени в работах А. Лавуазье
1
,
М. В . Ломоносова и Д. Дальтона была
доказана реальность существования
атомов. Однако в это время вопрос о
внутреннем строении атомов даже не
возникал, так как атомы по прежнему
считались неделимыми.
Большую роль в развитии атомисти
ческой теории сыграл Д.И.Менделеев,
разработавший в 1869 г. Периодиче
скую систему элементов, в которой
впервые на научной основе был постав
лен вопрос о единой природе атомов.
Во второй половине XIX в. экспери
ментально было доказано, что электрон
является одной из основных составных
частей любого вещества. Эти выводы, а
также экспериментальные данные при
вели к тому, что в начале XX в. серьез
но встал вопрос о строении атома.
Первая попытка создания на осно
ве накопленных экспериментальных
данных модели атома принадлежит
Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой
модели, атом представляет собой непре
рывно заряженный положительным за
рядом шар радиусом порядка 10-10
м,
внутри которого около своих положе
ний равновесия колеблются электроны;
суммарный отрицательный заряд элек
тронов равен положительному заряду
шара, поэтому атом в целом нейтрален.
Через несколько лет было доказано, что
представление о непрерывно распреде
ленном внутри атома положительном
заряде ошибочно.
В развитии представлений о строе
нии атома велико значение опытов анг
лийского физика Э. Резерфорда (1871 —
1937) по рассеянию a частиц в веще
стве. Альфа частицы возникают при
радиоактивных превращениях; они яв
ляются положительно заряженными
частицами с зарядом 2e и массой, при
мерно в 7300 раз большей массы элект
рона. Пучки a частиц обладают высо
кой монохроматичностью [для данного
превращения имеют практически одну
и ту же скорость (порядка 107 м/с)].
А. Лавуазье (1743 — 1794) — французский хи
мик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

391
Э. Резерфорд, исследуя прохождение
a частиц в веществе (через золотую
фольгу толщиной примерно 1 мкм), по
казал, что основная их часть испытыва
ет незначительные отклонения, но неко
торые a частицы (примерно одна из
20 000) резко отклоняются от первона
чального направления (углы отклоне
ния достигали даже 180°). Так как элек
троны не могут существенно изменить
движение столь тяжелых и быстрых ча
стиц, как a частицы, то Резерфордом
был сделан вывод, что значительное от
клонение a частиц обусловлено их вза
имодействием с положительным заря
дом большой массы. Однако значитель
ное отклонение испытывают лишь не
многие a частицы; следовательно, лишь
некоторые из них проходят вблизи дан
ного положительного заряда. Это, в свою
очередь, означает, что положительный
заряд атома сосредоточен в объеме, очень
малом по сравнению с объемом атома.
На основании своих исследований
Резерфорд в 1911 г. предложил ядер
ную (планетарную) модель атома.
Согласно этой модели, вокруг положи
тельного ядра, имеющего заряд Ze (Z —
порядковый номер элемента в системе
Менделеева, e — элементарный заряд),
размер 10-15
—
10-14
м и массу, практи
чески равную массе атома, в области с
линейными размерами порядка 10-10
м
по замкнутым орбитам движутся элек
троны, образуя электронную оболочку
атома. Так как атомы нейтральны, то за
ряд ядра равен суммарному заряду
электронов, т. е . вокруг ядра должно
вращаться Z электронов.
Для простоты предположим, что
электрон движется вокруг ядра по кру
говой орбите радиусом r. При этом ку
лоновская сила взаимодействия между
ядром и электроном сообщает электро
ну нормальное ускорение. Уравнение,
описывающее движение электрона в
атоме по окружности под действием ку
лоновской силы:
,
2
2
4
e
mv
Zee
rr
0
=
pe
(208.1)
где e0 — электрическая постоянная; me
и v — масса и скорость электрона на ор
бите радиусом r .
Уравнение (208.1) содержит два не
известных: r и v. Следовательно, суще
ствует бесчисленное множество значе
ний радиуса и соответствующих ему
значений скорости (а значит, и энер
гии), удовлетворяющих этому уравне
нию. Поэтому величины r, v (следова
тельно, и E ) могут меняться непрерыв
но, т. е . может испускаться любая, а не
вполне определенная порция энергии.
Тогда спектры атомов должны быть
сплошными. В действительности же
опыт показывает, что атомы имеют ли
нейчатый спектр.
Из выражения (208.1) следует, что
при r » 10-10
м скорость движения элек
тронов v » 106 м/с, а ускорение
2
v
r
=
=1022 м/с2
. Согласно классической элек
тродинамике, ускоренно движущиеся
электроны должны излучать электро
магнитные волны и вследствие этого не
прерывно терять энергию. В результате
электроны будут приближаться к ядру
и в конце концов упадут на него. Таким
образом, атом Резерфорда оказывается
неустойчивой системой, что опять таки
противоречит действительности.
Попытки построить модель атома в
рамках классической физики не приве
ли к успеху: модель Томсона была оп
ровергнута опытами Резерфорда, ядер
ная же модель оказалась неустойчивой
электродинамически и противоречила
опытным данным. Преодоление воз
никших трудностей потребовало созда
ния качественно новой — квантовой —
теории атома.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

392
§ 209. Ëèíåé÷àòûé ñïåêòð
àòîìà âîäîðîäà
Исследования спектров излучения
разреженных газов (спектров излу
чения отдельных атомов) показали,
что каждому газу присущ определен
ный линейчатый спектр, состоящий из
отдельных спектральных линий или
групп близко расположенных линий.
Самым изученным является спектр
наиболее простого атома — атома водо
рода.
Швейцарский ученый И. Бальмер
(1825 — 1898) подобрал эмпирическую
формулу, описывающую все известные
в то время спектральные линии атома
водорода в видимой области спектра:
,
22
11
1
( 3,4,5, )
2
Rn
n
¢
=-=
l
K
(209.1)
где R¢ = 1,10·107м
-1
—
постоянная
Ридберга1. Так как
c
n=
l
, то формула
(209.1) может быть переписана для ча
стот:
,
22
11(3
,
4
,
5
,
)
2
Rn
n
n=
-
=
K
(209.2)
гдеR=R¢c= 3,29·1015с
-1
—
также по
стоянная Ридберга.
Из выражений (209.1) и (209.2) вы
текает, что спектральные линии, отли
чающиеся различными значениями n,
образуют группу или серию линий, на
зываемую серией Бальмера. С увели
чением n линии серии сближаются; зна
чение n = ¥ определяет границу серии,
к которой со стороны бо′ льших частот
примыкает сплошной спектр.
В дальнейшем (в начале XX в.) в
спектре атома водорода было обнаруже
но еще несколько серий. В ультрафио
летовой области спектра находится се
рия Лаймана:
.
22
11 (2
,
3
,
4
,
)
1
Rn
n
n=
-
=
K
В инфракрасной области спектра
были также обнаружены:
серия Пашена
;
22
11 (4
,
5
,
6
,
)
3
Rn
n
n=
-
=
K
серия Брэкета
;
22
11 (5
,
6
,
7
,
)
4
Rn
n
n=
-
=
K
серия Пфунда
;
22
11 (6
,
7
,
8
,
)
5
Rn
n
n=
-
=
K
серия Хэмфри

22
11 (7
,
8
,
9
,
)
.
6
Rn
n
n=
-
=
K
Все приведенные выше серии в спек
тре атома водорода могут быть описа
ны одной формулой, называемой обоб
щенной формулой Бальмера:

,
22
11
R
mn
n=
-
(209.3)
где m имеет в каждой данной серии по
стоянное значение, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (оп
ределяет серию), n принимает целочис
ленные значения, начиная с m +1 (оп
ределяет отдельные линии этой серии).
Исследование более сложных спек
тров — спектров паров щелочных метал
лов (например, Li , Na, K) — показало,
что они представляются набором неза
кономерно расположенных линий. Рид
бергу удалось разделить их на три се
рии, каждая из которых располагается
подобно линиям бальмеровской серии.
Приведенные выше сериальные фор
мулы подобраны эмпирически и долгое
1 И. Ридберг (1854 — 1919) — шведский уче
ный, специалист в области спектроскопии.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

393
время не имели теоретического обосно
вания, хотя и были подтверждены экс
периментально с очень большой точно
стью. Приведенный выше вид сериаль
ных формул, удивительная повторяе
мость в них целых чисел, универсаль
ность постоянной Ридберга свидетель
ствуют о глубоком физическом смысле
найденных закономерностей, вскрыть
который в рамках классической физи
ки оказалось невозможным.
§ 210. Ïîñòóëàòû Áîðà
Первая попытка построить каче
ственно новую — квантовую — теорию
атома была предпринята в 1913 г. дат
ским физиком Нильсом Бором (1885 —
1962). Он поставил перед собой цель
связать в единое целое эмпирические
закономерности линейчатых спектров,
ядерную модель атома Резерфорда и
квантовый характер излучения и погло
щения света. В основу своей теории Бор
положил два постулата.
Первый постулат Бора (посту
лат стационарных состояний): в ато
ме существуют стационарные (не изме
няющиеся со временем) состояния, в
которых он не излучает энергии; эти со
стояния характеризуются определенны
ми дискретными значениями энергии.
Стационарным состояниям атома
соответствуют стационарные орбиты,
по которым движутся электроны. Дви
жение электронов по стационарным ор
битам не сопровождается излучением
электромагнитных волн.
В стационарном состоянии атома
электрон, двигаясь по круговой орби
те, должен иметь дискретные кванто
ванные значения момента импульса,
удовлетворяющие условию
mevrn = nh (n = 1,2,3, K), (210.1)
где me — масса электрона; v — его ско
рость по n й орбите радиуса rn ;
2
h
=
p
h
.
Второй постулат Бора (правило
частот): при переходе электрона с од
ной стационарной орбиты на другую из
лучается (поглощается) один фотон с
энергией
hn=En-Em,
(210.2)
равной разности энергий соответству
ющих стационарных состояний [En и
Em — соответственно энергии стацио
нарных состояний атома до и после из
лучения (поглощения)].
При Em < En происходит излучение
фотона (переход атома из состояния с
большей энергией в состояние с мень
шей энергией, т. е. переход электрона с
более удаленной от ядра орбиты на бо
лее близлежащую), при Em > En — его
поглощение (переход атома в состояние
с большей энергией, т. е . переход элект
рона на более удаленную от ядра ор
биту). Набор возможных дискретных
частот
nm
EE
h
-
n=
квантовых перехо
дов и определяет линейчатый спектр
атома.
§ 211. Îïûòû Ôðàíêà è Ãåðöà
Изучая методом задерживающего
потенциала столкновения электронов с
атомами газов (1913), Д. Франк и
Г. Герц экспериментально доказали дис
кретность значений энергии атомов.
Принципиальная схема их установ
ки приведена на рис. 295. Вакуумная
трубка, заполненная парами ртути (дав
ление приблизительно равно 13 Па), со
держала катод (К), две сетки (С1 и C2)
и анод (А). Электроны, эмиттируемые
катодом, ускорялись разностью потен
циалов, приложенной между катодом и
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

394
сеткой С1. Между сеткой C2 и анодом
приложен небольшой (примерно 0,5 В)
задерживающий потенциал.
Электроны, ускоренные в области 1,
попадают в область 2 между сетками,
где испытывают соударения с атомами
паров ртути. Электроны, которые после
соударений имеют достаточную энер
гию для преодоления задерживающего
потенциала в области 3, достигают ано
да. При неупругих соударениях элект
ронов с атомами ртути последние мо
гут возбуждаться. Согласно боровской
теории, каждый из атомов ртути может
получить лишь вполне определенную
энергию, переходя при этом в одно из
возбужденных состояний. Поэтому
если в атомах действительно существу
ют стационарные состояния, то элект
роны, сталкиваясь с атомами ртути,
должны терять энергию дискретно, оп
ределенными порциями, равными раз
ности энергий соответствующих стаци
онарных состояний атома.
Из опыта следует (рис. 296), что при
увеличении ускоряющего потенциала
вплоть до 4,86 В анодный ток возраста
ет монотонно, его значение проходит
через максимум (4,86 В), затем резко
уменьшается и возрастает вновь. Даль
нейшие максимумы наблюдаются при
2·4,86и3·4,86В.
Ближайшим к основному, невозбуж
денному, состоянию атома ртути явля
ется возбужденное состояние, отстоя
щее от основного по шкале энергий на
4,86 эВ. Пока разность потенциалов
между катодом и сеткой меньше 4,86 В,
электроны, встречая на своем пути ато
мы ртути, испытывают с ними только
упругие соударения.
При e j = 4,86 эВ энергия электрона
становится достаточной, чтобы вызвать
неупругий удар, при котором электрон
отдает атому ртути всю кинетическую
энергию, возбуждая переход одного из
электронов атома из нормального энер
гетического состояния на возбужден
ный энергетический уровень. Электро
ны, потерявшие свою кинетическую
энергию, уже не смогут преодолеть тор
мозящего поля и достигнуть анода.
Этим и объясняется первое резкое па
дение анодного тока при e j = 4,86 эВ.
При значениях энергии, кратных 4,86 эВ,
электроны могут испытать с атомами
ртути 2, 3, K неупругих соударения, по
теряв при этом полностью свою энер
гию, и не достигнув анода, т. е . должно
наблюдаться резкое падение анодного
тока. Это действительно наблюдается
на опыте (см. рис. 296).
Таким образом, опыты Франка и Гер
ца показали, что электроны при столк
новении с атомами ртути передают ато
мам только определенные порции энер
гии, причем 4,86 эВ — наименьшая воз
можная порция энергии (наименьший
квант энергии), которая может быть по
глощена атомом ртути в основном энер
Рис. 295
Рис. 296
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

395
гетическом состоянии. Следовательно,
идея Бора о существовании в атомах ста
ционарных состояний блестяще выдер
жала экспериментальную проверку.
Атомы ртути, получившие при соуда
рении с электронами энергию DE, пере
ходят в возбужденное состояние и дол
жны возвратиться в основное, излучая
при этом, согласно второму постулату
Бора [см. (210.2)], световой квант с час
тотой
E
h
D
n=
. По известному значению
DE = 4,86 эВ можно вычислить длину
волны излучения:
hc
E
l=
D
» 255 нм.
Таким образом, если теория верна,
то атомы ртути, бомбардируемые элек
тронами с энергией 4,86 эВ, должны яв
ляться источником ультрафиолетового
излучения с l » 255 нм. Опыт действи
тельно обнаруживает одну ультрафио
летовую линию с l » 254 нм. Таким об
разом, опыты Франка и Герца экспери
ментально подтвердили не только пер
вый, но и второй постулат Бора. Эти
опыты имели огромное значение в раз
витии атомной физики.
§ 212. Ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà
ïî Áîðó
Постулаты, выдвинутые Бором, по
зволили рассчитать спектр атома водо
рода и водородоподобных систем —
систем, состоящих из ядра с зарядом Ze
и одного электрона (например, ионы
He
+
,Li
2+
), а также теоретически вычис
лить постоянную Ридберга.
Следуя Бору, рассмотрим движение
электрона в водородоподобной системе,
ограничиваясь круговыми стационарны
ми орбитами. Решая совместно уравне
ние (208.1)
2
2
2
4
e
mv
Ze
rr
0
=
pe
, предложен
ное Резерфордом, и уравнение (210.1),
получим выражение для радиуса n й
стационарной орбиты:
,
2
2
2
4
n
e
rn
mZe
0
×pe
=
h
(212.1)
гдеn=1,2,3,K.
Из выражения (212.1) следует, что
радиусы орбит растут пропорциональ
но квадратам целых чисел.
Для атома водорода (Z = 1) радиус
первой орбиты электрона при n = 1, на
зываемый первым боровским радиу
сом (a), равен
ì
ïì,
2
1
2
10
4
0, 528 10
52, 8
e
ra
me
0
-
×pe
==
=
=×
=
h
(212.2)
что соответствует расчетам на основа
нии кинетической теории газов.
Полная энергия электрона в водоро
доподобной системе складывается из
его кинетической энергии (
2
2
e
mv
)ипо
тенциальной энергии в электростати
ческом поле ядра (
2
4
Ze
r
0
-
pe
):
2
22
1
24
2
4
e
mv
Ze
Ze
E
rr
00
=-=
-
pe
pe
[учли, что
2
2
1
22
4
e
mv
Ze
r
0
=
pe
; см. (208.1)].
Учитывая квантованные для радиуса
n й стационарной орбиты значения
(212.1), получим, что энергия электро
на может принимать только следующие
дозволенные дискретные значения:
,
24
22
2
0
1
(1
,
2
,
3
,
)
8
e
n
Zme
En
nh
=-
=
e
K
(212.3)
где знак «-» означает, что электрон на
ходится в связанном состоянии.
Из формулы (212.3) следует, что
энергетические состояния атома обра
зуют последовательность энергетиче
ских уровней, изменяющихся в зависи
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

396
мости от значения n. Целое число n в
выражении (212.3), определяющее энер
гетические уровни атома, называется
главным квантовым числом. Энерге
тическое состояние с n = 1 является
основным (нормальным) состояни
ем; состояния с n > 1 являются воз
бужденными. Энергетический уро
вень, соответствующий основному со
стоянию атома, называется основным
(нормальным) уровнем; все остальные
уровни являются возбужденными.
Придавая n различные целочислен
ные значения, получим для атома водо
рода (Z = 1), согласно формуле (212.3),
возможные уровни энергии, схемати
чески представленные на рис. 297.
Энергия атома водорода с увеличени
ем n возрастает и энергетические уров
ни сближаются к границе, соответству
ющей значению n = ¥. Атом водорода
обладает, таким образом, минимальной
энергией(E1= -13,6эВ)приn= 1 имак
симальной (E¥ = 0) при n = ¥. Следо
вательно, значение E¥ = 0 соответству
ет ионизации атома (отрыву от него
электрона). Согласно второму постула
ту Бора [см. (210.2)], при переходе ато
ма водорода (Z = 1) из стационарного
состояния n в стационарное состояние m
с меньшей энергией испускается квант

,
4
222
2
0
11
8
e
nm
me
hEE
hnm
n=
-
=-
-
e
откуда частота излучения

,
4
3
222
22
0
11 11
8
e
me
R
hmn mn
n=
-
=
-
e
(212.4)
где
4
32
0
.
8
e
me
R
h
=
e
Воспользовавшись при вычислении
R современными значениями универ
сальных постоянных, получим величи
ну, совпадающую с экспериментальным
значением постоянной Ридберга в эм
пирических формулах для атома водо
рода (см. § 209). Это совпадение убеди
тельно доказывает правильность полу
ченной Бором формулы (212.3) для
энергетических уровней водородопо
добной системы.
Подставляя, например, в формулу
(212.4)m =1иn= 2,3,4,K, получим
группу линий, образующих серию Лай
мана (см. § 209) и соответствующих пе
реходам электронов с возбужденных
уровней (n = 2, 3, 4, K) на основной
(m = 1). Аналогично, при подстановке
m = 2, 3, 4, 5, 6 и соответствующих им
значений n получим серии Бальмера,
Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри
(часть из них схематически представле
на на рис. 297), описанные в § 209. Сле
довательно, по теории Бора, количе
ственно объяснившей спектр атома во
дорода, спектральные серии соответ
ствуют излучению, возникающему в
результате перехода атома в данное со
стояние из возбужденных состояний,
расположенных выше данного.
Спектр поглощения атома водорода
является линейчатым, но содержит при
нормальных условиях только серию
Лаймана. Он также объясняется теорией
Бора. Так как свободные атомы водоро
да обычно находятся в основном состоя
нии (стационарное состояние с наимень
Рис. 297
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

397
шей энергией при n = 1), то при сообще
нии атомам извне определенной энергии
могут наблюдаться лишь переходы ато
мов из основного состояния в возбуж
денные (возникает серия Лаймана).
Теория Бора была крупным шагом
в развитии атомной физики и явилась
важным этапом в создании квантовой
механики. Однако эта теория обладает
внутренними противоречиями (с одной
стороны, применяет законы классичес
кой физики, а с другой — основывается
на квантовых постулатах).
В теории Бора рассмотрены спект
ры атома водорода и водородоподобных
систем и вычислены частоты спект
ральных линий, однако эта теория не
смогла объяснить интенсивности спек
тральных линий и ответить на вопрос:
почему совершаются те или иные пере
ходы? Серьезным недостатком теории
Бора была невозможность описания с
ее помощью спектра атома гелия — од
ного из простейших атомов, непосред
ственно следующего за атомом водо
рода.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Почему ядерная модель атома оказалась несостоятельной?
• Почему из различных серий спектральных линий атома водорода первой была изучена
серия Бальмера?
• Какой смысл имеют числа n и m в обобщенной формуле Бальмера?
• Чему равна частота излучения атома водорода, соответствующая коротковолновой гра
нице серии Брэкета?
• Разъясните смысл постулатов Бора. Как с их помощью объясняется линейчатый спектр
атома?
• На каких участках кривой рис. 296 наблюдаются упругие и неупругие столкновения
электронов с атомами?
• Какие основные выводы можно сделать на основании опытов Франка и Герца?
• Атом водорода находится в состоянии с n = 5 . Сколько линий содержит его спектр излу
чения?
• Пользуясь моделью Бора, укажите спектральные линии, которые могут возникнуть при
переходе атома водорода из состояний с n = 3 и n = 4.
• Нанесите на шкалу длин волн три линии каждой из первых двух спектральных серий
атома водорода.
• Почему спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана?
• Покажите, что формулу (212.3) можно записать в виде
2
13, 6
n
E
n
=-
, где En выражается
в электрон вольтах.
ÇÀÄÀ×È
27.1 . Определите максимальную и минимальную энергии фотона в ультрафиолетовой
серии спектра атома водорода (серии Лаймана). [Emax = 13,2 эВ, Emin = 10,2 эВ)
27.2 . Определите длину волны, соответствующую границе серии Бальмера. [364 нм]
27.3 . Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона,
движущегося по второй орбите атома водорода. [
Àì
23
2
m
1,8 10
2
en
p
m
-
==
×
×
h
]
27.4 . Используя теорию Бора, определите изменение орбитального механического мо
мента электрона при переходе его из возбужденного состояния (n = 2) в основное с испус
каниемфотонасдлинойволныl=1,212 ·10-7м.[DL=h =1,05 ·10-34Дж·с]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

398
27.5 . Определите потенциал ионизации атома водорода. [13,6 В]
27.6 . Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Ei = 13,6 эВ, опреде
лите второй потенциал возбуждения этого атома. [12,1 В]
27.7 . Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Ei = 13,6 эВ, опреде
лите в электрон вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии
серии Лаймана. [10,2 эВ]
Ãëàâà 28
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ
§ 213. Êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé
äóàëèçì ñâîéñòâ âåùåñòâà
Французский ученый Луи де Бройль
(1892 — 1987), осознавая существую
щую в природе симметрию и развивая
представления о двойственной корпус
кулярно волновой природе света, выд
винул в 1923 г. гипотезу об универсаль
ности корпускулярно волнового дуализ
ма. Де Бройль утверждал, что не толь
ко фотоны, но и электроны и любые
другие частицы материи наряду с кор
пускулярными обладают также волно
выми свойствами.
Итак, согласно де Бройлю, с каждым
микрообъектом связываются, с одной
стороны, корпускулярные характерис
тики — энергия E и импульс p, а с дру
гой — волновые характеристики — час
тота n и длина волны l. Количествен
ные соотношения, связывающие кор
пускулярные и волновые свойства час
тиц, такие же, как для фотонов:
,
.
h
Ehp
=n
=
l
(213.1)
Смелость гипотезы де Бройля зак
лючалась именно в том, что соотноше
ние (213.1) постулировалось не только
для фотонов, но и для других микроча
стиц (в частности, электронов). Таким
образом, любой частице, обладающей
импульсом, сопоставляют волновой
процесс, длина волны которого опреде
ляется по формуле де Бройля:
.
h
p
l=
(213.2)
Вскоре гипотеза де Бройля была под
тверждена экспериментально. В 1927 г.
американские физики К. Дэвиссон
(1881 — 1958) и Л. Джермер (1896 —
1971) обнаружили, что пучок электро
нов, рассеивающийся от естественной
дифракционной решетки — кристалла
никеля, — дает отчетливую дифрак
ционную картину. Дифракционные
максимумы соответствовали формуле
Вульфа — Брэггов (182.1), а брэгговская
длина волны оказалась в точности рав
ной длине волны, вычисленной по фор
муле (213.2).
В дальнейшем формула де Бройля
была подтверждена опытами П. С . Тар
таковского и Г. Томсона, наблюдавших
дифракционную картину при прохож
дении пучка быстрых электронов (энер
гия »50 кэВ) через металлическую
фольгу (толщиной »1 мкм).
Так как дифракционная картина ис
следовалась для потока электронов, то
необходимо было доказать, что волно
вые свойства присущи не только пото
ку большой совокупности электронов,
но и каждому электрону в отдельности.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

399
Это удалось экспериментально под
твердить в 1948 г. российскому физику
В. А. Фабриканту (1907 — 1991). Он по
казал, что даже в случае столь слабо
го электронного пучка, когда каждый
электрон проходит через прибор неза
висимо от других (промежуток време
ни между двумя электронами в 104 раз
больше времени прохождения электро
ном прибора), возникающая при дли
тельной экспозиции дифракционная
картина не отличается от дифракцион
ных картин, получаемых при короткой
экспозиции для потоков электронов, в
десятки миллионов раз более интенсив
ных. Следовательно, волновые свой
ства частиц не являются свойством их
коллектива, а присущи каждой части
це в отдельности.
Впоследствии дифракционные яв
ления обнаружили также для нейтро
нов, протонов, атомных и молекуляр
ных пучков. Это окончательно послу
жило доказательством наличия волно
вых свойств микрочастиц и позволило
описывать движение микрочастиц в
виде волнового процесса, характеризу
ющегося определенной длиной волны,
рассчитываемой по формуле де Брой
ля (213.2). Открытие волновых свойств
микрочастиц привело к появлению и
развитию новых методов исследования
структуры веществ, таких, как электро
нография и нейтронография (см. § 182),
а также к возникновению новой отрас
ли науки — электронной оптики (см.
§ 169).
Экспериментальное доказательство
наличия волновых свойств микрочас
тиц привело к выводу, что перед нами
универсальное явление — общее свой
ство материи. Но тогда волновые свой
ства должны быть присущи и макроско
пическим телам. Почему же они не об
наружены экспериментально? Напри
мер, частице массой 1 г, движущейся со
скоростью 1 м/с, соответствует волна
де Бройля с l = 6,62 · 10-31 м. Такая дли
на волны лежит за пределами доступ
ной наблюдению области (периодичес
ких структур с периодом d »10-31 м не
существует). Поэтому считается, что
макроскопические тела проявляют
только одну сторону своих свойств —
корпускулярную и не проявляют вол
новую.
Представление о двойственной кор
пускулярно волновой природе частиц
вещества углубляется еще тем, что на
частицы вещества переносится связь
между полной энергией частицы и час
тотой:
e=hn.
(213.3)
Это свидетельствует о том, что соот
ношение между энергией и частотой в
формуле (213.3) имеет характер универ
сального соотношения, справедливого
как для фотонов, так и для любых дру
гих микрочастиц. Справедливость же
соотношения (213.3) вытекает из согла
сия с опытом тех теоретических резуль
татов, которые получены с его помощью
в квантовой механике, атомной и ядер
ной физике.
Подтвержденная экспериментально
гипотеза де Бройля о корпускулярно
волновом дуализме свойств вещества
коренным образом изменила представ
ления о свойствах микрообъектов. Всем
микрообъектам присущи как корпуску
лярные, так и волновые свойства; в то
же время любую из микрочастиц нельзя
считать ни частицей, ни волной в клас
сическом понимании. Современная
трактовка корпускулярно волнового
дуализма может быть выражена слова
ми академика В. А. Фока (1898 — 1974):
«Можно сказать, что для атомного
объекта существует потенциальная воз
можность проявлять себя, в зависимо
сти от внешних условий, либо как вол
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

400
на, либо как частица, либо промежу
точным образом. Именно в этой по
тенциальной возможности различных
проявлений свойств, присущих микро
объекту, и состоит дуализм «волна —
частица». Всякое иное, более букваль
ное, понимание этого дуализма в виде
какой нибудь модели неправильно.»
(в сб.: Философские вопросы совре
менной физики.
—
М.: Изд во АН
СССР, 1959).
§ 214. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà
âîëí äå Áðîéëÿ
Рассмотрим свободно движущуюся
со скоростью v частицу массой m. Вы
числим для нее фазовую и групповую
скорости волн де Бройля. Фазовая ско
рость, согласно (154.8),
ôàç
22
Em
cc
v
kkpm
vv
ww
== ==
=
h
h
(214.1)
(E=hwиp=hk,где
2
kp
=
l
—
волно
вое число). Так как c > v, то фазовая
скорость волн де Бройля vфаз > c (это
возможно, так как vфаз не характеризу
ет ни скорости «сигнала», ни скорости
перемещения энергии).
Групповая скорость, согласно (155.1),
d()
dd
.
dd
()d
E
u
kkp
w
w
==
=
h
h
Для свободной частицы E =
=
24 22
mc pc
+
[см. (40.6)] и
22
2
2
24
22
d
d
pc
pc
Em
v
c
v
pE
m
c
mc
pc
==
=
=
+
[учли выражения (39.3) и (40.3)]. Та
ким образом, групповая скорость волн
де Бройля равна скорости частицы.
Групповая скорость фотона u =
=
2
2
2
pc
mcc
c
Em
c
==
, т. е. равна скорости
самого фотона.
Волны де Бройля испытывают дис
персию (см. § 154). Действительно, под
ставив в выражение (214.1) ôàç
E
v
p
=
формулу
24
22
Em
cp
c
=+
, увидим,
что скорость волн де Бройля зависит от
длины волны. Это обстоятельство сыг
рало в свое время большую роль в раз
витии положений квантовой механики.
После установления корпускуляр
но волнового дуализма делались по
пытки связать корпускулярные свой
ства частиц с волновыми и рассматри
вать частицы как «узкие» волновые па
кеты (см. § 155), «составленные» из
волн де Бройля. Это позволяло как бы
отойти от двойственности свойств час
тиц. Такая гипотеза соответствовала ло
кализации частицы в данный момент
времени в определенной ограниченной
области пространства. Аргументом в
пользу этой гипотезы являлось и то, что
скорость распространения центра паке
та (групповая скорость) оказалась, как
показано выше, равной скорости части
цы. Однако подобное представление
частицы в виде волнового пакета (груп
пы волн де Бройля) оказалось несосто
ятельным из за сильной дисперсии
волн де Бройля, приводящей к «быст
рому расплыванию» (примерно 10-26
с!)
волнового пакета или даже разделению
его на несколько пакетов.
§ 215. Ñîîòíîøåíèå
íåîïðåäåëåííîñòåé
Согласно двойственной корпуску
лярно волновой природе частиц веще
ства, для описании микрочастиц ис
пользуются то волновые, то корпуску
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

401
лярные представления. Поэтому при
писывать им все свойства частиц и все
свойства волн нельзя. Естественно, что
необходимо внести некоторые ограни
чения в применении к объектам мик
ромира понятий классической меха
ники.
В классической механике всякая ча
стица движется по определенной тра
ектории, так что в любой момент вре
мени точно фиксированы ее координа
та и импульс. Микрочастицы из за на
личия у них волновых свойств суще
ственно отличаются от классических
частиц.
Одно из основных различий заклю
чается в том, что нельзя говорить о дви
жении микрочастицы по определенной
траектории и неправомерно говорить об
одновременных точных значениях ее
координаты и импульса. Это следует из
корпускулярно волнового дуализма.
Так, понятие «длина волны в данной
точке» лишено физического смысла, а
поскольку импульс выражается через
длину волны [см. (213.1)], то отсюда
следует, что микрочастица с определен
ным импульсом имеет полностью нео
пределенную координату. И наоборот,
если микрочастица находится в состо
янии с точным значением координаты,
то ее импульс является полностью нео
пределенным.
В. Гейзенберг, учитывая волновые
свойства микрочастиц и связанные с
волновыми свойствами ограничения в
их поведении, пришел в 1927 г. к выво
ду, что объект микромира невозможно
одновременно с любой наперед задан
ной точностью характеризовать и коор
динатой, и импульсом. Согласно соот
ношению неопределенностей Гейзен
берга, микрочастица (микрообъект) не
может иметь одновременно и опреде
ленную координату (x, y, z ), и опреде
ленную соответствующую проекцию
импульса (px, py, pz), причем неопреде
ленности этих величин удовлетворяют
условиям
DxDpx … h; DyDpy … h; DzDpz … h, (215.1)
т. е . произведение неопределенностей
координаты и соответствующей ей про
екции импульса не может быть меньше
величины порядка h.
Из соотношения неопределенностей
(215.1) следует, что, например, если ми
крочастица находится в состоянии с точ
ным значением координаты (Dx = 0),
то в этом состоянии соответствующая
проекция ее импульса оказывается со
вершенно неопределенной (Dpx ® ¥),
и наоборот. Таким образом, для микро
частицы не существует состояний, в
которых ее координаты и импульс име
ли бы одновременно точные значения.
Отсюда вытекает и фактическая невоз
можность одновременно с любой напе
ред заданной точностью измерить коор
динату и импульс микрообъекта.
Поясним, что соотношение неопреде
ленностей действительно вытекает из вол
новых свойств микрочастиц. Пусть поток
электронов проходит через узкую щель ши
риной Dx, расположенную перпендикуляр
но направлению их движения (рис. 298).
Так как электроны обладают волновыми
свойствами, то при их прохождении через
щель, размер которой сравним с длиной
волны де Бройля l электрона, наблюдает
ся дифракция. Дифракционная картина,
Рис. 298
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

402
наблюдаемая на экране (Э), характеризу
ется главным максимумом, расположен
ным симметрично оси y, и побочными мак
симумами по обе стороны от главного (их
не рассматриваем, так как основная доля
интенсивности приходится на главный
максимум).
До прохождения через щель электроны
двигались вдоль оси y, поэтому составляю
щаяимпульсаpx =0,такчтоDpx =0,ако
ордината x частицы является совершенно
неопределенной. В момент прохождения
электронов через щель их положение в на
правлении оси x определяется с точностью
до ширины щели, т.е. c точностью Dx. В этот
же момент вследствие дифракции электро
ны отклоняются от первоначального на
правления и будут двигаться в пределах
угла 2j (j — угол, соответствующий перво
му дифракционному минимуму). Следова
тельно, появляется неопределенность в зна
чении составляющей импульса вдоль оси x ,
которая, как следует из рис. 298 и формулы
(213.1), равна
sin
sin .
x
h
pp
D=j
=
j
l
(215.2)
Для простоты ограничимся рассмотре
нием только тех электронов, которые попа
дают на экран в пределах главного макси
мума. Из теории дифракции (см. § 179) из
вестно, что первый минимум соответствует
углу j, удовлетворяющему условию
Dxsinj=l,
(215.3)
где Dx — ширина щели; l — длина волны
де Бройля.
Из формул (215.2) и (215.3) получим
DxDpx = h,
где учтено, что для некоторой, хотя и незна
чительной, части электронов, попадающих
за пределы главного максимума, величина
Dpx … p sin j. Следовательно, получаем вы
ражение
DxDpx…h,
т.е. соотношение неопределенностей (215.1).
Невозможность одновременно точ
но определить координату и соответ
ствующую проекцию импульса не свя
зана с несовершенством методов изме
рения или измерительных приборов, а
является следствием специфики мик
рообъектов, отражающей особенности
их объективных свойств, а именно двой
ственной корпускулярно волновой при
роды.
Соотношение неопределенностей
получено при одновременном исполь
зовании классических характеристик
движения частицы (координаты, им
пульса) и наличия у нее волновых
свойств. Так как в классической меха
нике принимается, что измерение коор
динаты и импульса может быть произ
ведено с любой точностью, то соотно
шение неопределенностей является, та
ким образом, квантовым ограничением
применимости классической механики к
микрообъектам.
Соотношение неопределенностей,
отражая специфику физики микрочас
тиц, позволяет оценить, например, в
какой мере можно применять понятия
классической механики к микрочасти
цам, в частности, с какой степенью точ
ности можно говорить о траекториях
микрочастиц. Известно, что движение
по траектории характеризуется в любой
момент времени определенными зна
чениями координат и скорости. Выра
зим соотношение неопределенностей
(215.1) в виде
.
x
h
xv
m
DD…
(215.4)
Из этого выражения следует, что чем
больше масса частицы, тем меньше нео
пределенности ее координаты и скоро
сти и, следовательно, с тем большей
точностью можно применять к этой
частице понятие траектории. Так, на
пример, уже для пылинки массой 10-12
кг и линейными размерами 10-6 м, ко
ордината которой определена с точно
стью до 0,01 ее размеров (Dx = 10-8 м),
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

403
неопределенность скорости, по (215.4),
ì/ñ
ì/ñ
34
14
81
2
6,63 10
6,63 10
10 10
x
v
-
-
--
×
D=
=
×
×
,
т. е . не будет сказываться при всех ско
ростях, с которыми пылинка может
двигаться.
Таким образом, для макроскопичес
ких тел их волновые свойства не игра
ют никакой роли; координата и ско
рость макротел могут быть одновремен
но измерены достаточно точно. Это оз
начает, что для описания движения
макротел с абсолютной достоверностью
можно пользоваться законами класси
ческой механики.
Предположим, пучок электронов
движется вдоль оси x со скоростью v =
=108 м/с, определяемой с точностью до
0,01 %(Dvx » 104
м/с). Какова точность
определения координаты электрона?
По формуле (215.4),
ì,
34
31
4
6
6,63 10
9,11 10 10
7,27 10
x
h
x
mv
-
-
-
×
D=
=
=
D×
×
=×
т. е. положение электрона может быть
определено с точностью до тысячных
долей миллиметра. Такая точность до
статочна, чтобы можно было говорить
о движении электронов по определен
ной траектории, иными словами, опи
сывать их движение законами класси
ческой механики.
Применим соотношение неопреде
ленностей к электрону, движущемуся в
атоме водорода. Допустим, что неопре
деленность координаты электрона Dx »
» 10-10 м (порядка размеров самого ато
ма, т. е . можно считать, что электрон при
надлежит данному атому). Тогда, со
гласно (215.4),
34
31
10
6,63 10
9,11 10 10
x
v
-
--
×
D=
××
=
= 7,28 · 106 м/с. Используя законы клас
сической физики, можно показать, что
при движении электрона вокруг ядра по
круговой орбите радиуса »0,5 · 10-10
м
его скорость v » 2,3 · 106 м/с. Таким об
разом, неопределенность скорости со
измерима со скоростью. Очевидно, что
в данном случае нельзя говорить о дви
жении электрона в атоме по определен
ной траектории, иными словами, для
описания движения электрона в атоме
нельзя пользоваться законами класси
ческой физики.
В квантовой теории рассматривает
ся также соотношение неопределенно
стей для энергии и времени:
DEDt …h.
(215.5)
Подчеркнем, что DE — неопределен
ность энергии некоторого состояния
системы, Dt — промежуток времени, в
течение которого оно существует. Сле
довательно, система, имеющая среднее
время жизни Dt , не может быть охарак
теризована определенным значением
энергии; разброс энергии
h
E
t
D=
D
воз
растает с уменьшением среднего време
ни жизни.
Из выражения (215.5) следует, что
частота излученного фотона также дол
жна иметь неопределенность
E
h
D
Dn=
,
т. е . линии спектра должны характери
зоваться частотой, равной
E
h
D
n±
.
Опыт подтверждает, что все спектраль
ные линии размыты; измеряя ширину
спектральной линии, можно оценить
порядок времени существования атома
в возбужденном состоянии.
§ 216. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
è åå ñòàòèñòè÷åñêèé ñìûñë
Экспериментальное подтверждение
идеи де Бройля об универсальности
корпускулярно волнового дуализма,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

404
ограниченность применения классиче
ской механики к микрообъектам, дик
туемая соотношением неопределенно
стей, а также противоречие целого ряда
экспериментов с применяемыми в на
чале XX в. теориями привели к новому
этапу развития квантовой теории — со
зданию квантовой механики, описы
вающей законы движения и взаимодей
ствия микрочастиц с учетом их волно
вых свойств. Ее создание и развитие
охватывает период с 1900 г. (формули
ровка Планком квантовой гипотезы; см.
§ 200) до 20 х годов XX в.; оно связано
прежде всего с работами австрийского
физика Э. Шредингера (1887 — 1961),
немецкого физика В. Гейзенберга и ан
глийского физика П. Дирака (1902 —
1984).
При становлении квантовой механи
ки возникли принципиальные трудно
сти, в частности проблема физической
природы волн де Бройля. Для выясне
ния этой проблемы сравним дифрак
цию световых волн и микрочастиц. Диф
ракционная картина, наблюдаемая для
световых волн, характеризуется тем,
что в результате наложения дифраги
рующих волн друг на друга в различ
ных точках пространства происходит
усиление или ослабление амплитуды
колебаний. Согласно волновым пред
ставлениям о природе света, интенсив
ность дифракционной картины пропор
циональна квадрату амплитуды свето
вой волны. По представлениям фотон
ной теории, интенсивность определяет
ся числом фотонов, попадающих в дан
ную точку дифракционной картины.
Следовательно, число фотонов в дан
ной точке дифракционной картины за
дается квадратом амплитуды световой
волны, в то время как для одного фото
на квадрат амплитуды определяет веро
ятность попадания фотона в ту или
иную точку.
Дифракционная картина, наблюда
емая для микрочастиц, также характе
ризуется неодинаковым распределени
ем потоков микрочастиц, рассеянных
или отраженных по различным направ
лениям, — в одних направлениях на
блюдается большее число частиц, чем
в других.
Наличие максимумов в дифракци
онной картине с точки зрения волновой
теории означает, что эти направления
соответствуют наибольшей интенсив
ности волн де Бройля. С другой сторо
ны, интенсивность волн де Бройля ока
зывается больше там, где имеется боль
шее число частиц, т. е . интенсивность
волн де Бройля в данной точке про
странства определяет число частиц, по
павших в эту точку. Таким образом,
дифракционная картина для микроча
стиц является проявлением статисти
ческой (вероятностной) закономерно
сти, согласно которой частицы попада
ют в те места, где интенсивность волн
де Бройля наибольшая.
Необходимость вероятностного
подхода к описанию микрочастиц явля
ется важнейшей отличительной особен
ностью квантовой теории. Можно ли
волны де Бройля истолковывать как
волны вероятности, т. е . считать, что ве
роятность обнаружить микрочастицу в
различных точках пространства меня
ется по волновому закону? Такое тол
кование волн де Бройля уже неверно
хотя бы потому, что тогда вероятность
обнаружить частицу в некоторых точ
ках пространства может быть отрица
тельна, что не имеет смысла.
Чтобы устранить эти трудности, не
мецкий физик М. Борн (1882 — 1970)
в 1926 г. предположил, что по волново
му закону меняется не сама вероят
ность, а величина, названная ампли
тудой вероятности и обозначаемая
Y(x, y, z, t ). Эту величину называют так
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

405
же волновой функцией (или Y фун
кцией). Амплитуда вероятности мо
жет быть комплексной, и вероятность
W пропорциональна квадрату ее мо
дуля:
W : 1⁄2Y(x, y, z, t )1⁄22 (216.1)
(1⁄2Y1⁄22
=YY
*
,Y
*
—
функция, комплексно
сопряженная с Y). Таким образом, опи
сание состояния микрообъекта с помо
щью волновой функции имеет стати
стический, вероятностный харак
тер: квадрат модуля волновой функ
ции (квадрат модуля амплитуды волн
де Бройля) определяет вероятность на
хождения частицы в момент времени t
в области скоординатами xи x +dx, yи
y+dy,zиz+dz.
Итак, в квантовой механике состоя
ние микрочастиц описывается принци
пиально по новому — с помощью волно
вой функции, которая является основ
ным носителем информации об их кор
пускулярных и волновых свойствах.
Вероятность нахождения частицы в
элементе объемом dV равна
dW = 1⁄2Y1⁄22 dV.
(216.2)
Величина (квадрат модуля Y функции)
1⁄2Y1⁄22
=
d
d
W
V
имеет смысл плотности вероятнос
ти, т. е . определяет вероятность нахож
дения частицы в окрестности точки с
координатами x , y, z . Таким образом,
физический смысл имеет не сама Y
функция, а квадрат ее модуля 1⁄2Y1⁄22
,ко
торым задается интенсивность волн де
Бройля.
Вероятность найти частицу в момент
времени t в конечном объеме V, согласно
теореме сложения вероятностей, равна
2
dd
.
VV
WWV
==
1⁄2
Y
1⁄2
òò
Так как 1⁄2Y1⁄22 dV определяется как веро
ятность, то необходимо волновую фун
кцию Y нормировать так, чтобы веро
ятность достоверного события обраща
лась в единицу, если за объем V принять
бесконечный объем всего пространства.
Это означает, что при данном условии
частица должна находиться где то в
пространстве. Следовательно, условие
нормировки вероятностей
,
2d1
V
+¥
-¥
1⁄2Y1⁄2 =
ò
(216.3)
где данный интеграл вычисляется по
всему бесконечному пространству, т. е .
по координатам x, y, z от -¥ до +¥.
Таким образом, условие (216.3) говорит
об объективном существовании части
цы в пространстве.
Чтобы волновая функция являлась
объективной характеристикой состоя
ния микрочастиц, она должна удовлет
ворять ряду ограничительных условий.
Функция Y, характеризующая вероят
ность обнаружения действия микроча
стицы в элементе объема, должна быть
конечной (вероятность не может быть
больше единицы), однозначной (вероят
ность не может быть неоднозначной
величиной) и непрерывной (вероят
ность не может изменяться скачком).
Волновая функция удовлетворяет
принципу суперпозиции: если система
может находиться в различных состоя
ниях, описываемых волновыми функ
циями Y1, Y2, K, Yn , K, то она также
может находиться в состоянии Y, опи
сываемом линейной комбинацией этих
функций:
,
nn
n
C
Y=
Y
å
где Cn (n = 1, 2, K) — произвольные,
вообще говоря, комплексные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

406
вероятностей), а не вероятностей (оп
ределяемых квадратами модулей вол
новых функций) принципиально отли
чает квантовую теорию от классической
статистической теории, в которой для
независимых событий справедлива те
орема сложения вероятностей.
Волновая функция Y, являясь ос
новной характеристикой состояния
микрообъектов, позволяет в квантовой
механике вычислять средние значения
физических величин, характеризующих
данный микрообъект. Например, сред
нее расстояние árñ электрона от ядра
определяют по формуле
,
2
d
rr
V
+¥
-¥
áñ= 1⁄2Y1⁄2
ò
где интегрирование производится, как
и в случае (216.3).
§ 217. Îáùåå óðàâíåíèå
Øðåäèíãåðà.
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà
äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé
Из статистического толкования волн
де Бройля (см. § 216) и соотношения не
определенностей Гейзенберга (см. § 215)
следовало, что уравнением движения
в квантовой механике, описывающим
движение микрочастиц в различных
силовых полях, должно быть уравне
ние, из которого бы вытекали наблю
даемые на опыте волновые свойства
частиц.
Основное уравнение должно быть
уравнением относительно волновой
функции Y(x, y, z, t ), так как именно она,
или, точнее, величина 1⁄2Y1⁄22
, определяет
вероятность пребывания частицы в мо
мент времени t в объеме dV, т. е. в обла
стискоординатамиxиx+dx,yиy+dy,
z и z +dz . Так как искомое уравнение
должно учитывать волновые свойства
частиц, то оно должно быть волновым
уравнением, подобно уравнению, опи
сывающему электромагнитные волны.
Основное уравнение нерелятивист
ской квантовой механики сформулиро
вано в 1926 г. Э. Шредингером. Урав
нение Шредингера, как и все основные
уравнения физики (например, уравне
ния Ньютона в классической механике
и уравнения Максвелла для электро
магнитного поля), не выводится, а по
стулируется. Правильность этого урав
нения подтверждается согласием с опы
том получаемых с его помощью резуль
татов, что, в свою очередь, придает ему
характер закона природы. Уравнение
Шредингера имеет вид
,
2
(,,,)
2
Uxyzt
i
mt
¶Y
-D
Y
+
Y
=
¶
h
h
(217.1)
где
h
=
2p
h
;m —массачастицы;D—
оператор Лапласа (
22
22
xy
¶Y ¶Y
DY=
+
¶¶
+
+
2
2
z
¶Y
¶
);i — мнимая единица, U(x,y,z,t)—
потенциальная функция частицы в си
ловом поле, в котором она движется;
Y(x, y, z, t ) — искомая волновая функция
частицы.
Уравнение (217.1) справедливо для
любой частицы (со спином, равным 0;
см. § 225), движущейся с малой (по
сравнению со скоростью света) скоро
стью, т.е. со скоростью v = c. Оно до
полняется условиями, накладываемы
ми на волновую функцию: 1) волновая
функция должна быть конечной, одно
значной и непрерывной (см. § 216);
2) производные
,,
xyz
¶Y¶Y¶Y
¶¶¶
,
t
¶Y
¶
долж
ны быть непрерывны; 3) функция 1⁄2Y1⁄22
должна быть интегрируема; это усло
вие в простейших случаях сводится к
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

407
условию нормировки вероятностей
(216.3).
Чтобы прийти к уравнению Шредингера,
рассмотрим свободно движущуюся частицу,
которой, согласно идее де Бройля, сопостав
ляется плоская волна. Для простоты рассмот
рим одномерный случай. Уравнение плоской
волны, распространяющейся вдоль оси x ,
имеет вид(см. §154)x(x,t)=A cos(wt - kx),
или в комплексной записи x(x, t ) = A e
i(wt - kx)
.
Следовательно, плоская волна де Бройля
имеет вид
()
iEtpx
Ae
--
Y=
h
(217.2)
(учтено, что
,
p
Ek
w=
=
hh
). В квантовой
механике показатель экспоненты берут со
знаком «- », но поскольку физический
смысл имеет только 1⁄2Y1⁄22, то это несуществен
но. Тогда

;
,
2
2
22
22
1
ii
Ep
p
tx
¶Y
¶Y
=-
Y
=
Y=-
Y
¶¶
hh
h
откуда
;
2
22
2
11
1
.
Ei
it
t
p
x
¶Y
¶Y
=-
=
Y¶Y¶
¶Y
=-
Y¶
h
h
h
(217.3)
Используя взаимосвязь между энерги
ейE иимпульсомp(
2
2
p
E
m
=
) и подставляя
выражения (217.3), получим дифференци
альное уравнение
,
22
2
2
i
mx
t
¶Y ¶Y
-=
¶¶
h
h
которое совпадает с уравнением (217.1) для
случая U = 0 (мы рассматривали свободную
частицу).
Если частица движется в силовом поле,
характеризуемом потенциальной энерги
ей U, то полная энергия E складывается из
кинетической и потенциальной энергий.
Проводя аналогичные рассуждения и ис
пользуя взаимосвязь между E и p (для дан
ного случая
2
2
p
EU
m
=-), придем к диффе
ренциальному уравнению, совпадающему с
(217.1).
Приведенные рассуждения не долж
ны восприниматься как вывод уравне
ния Шредингера. Они лишь поясняют,
как можно прийти к этому уравнению.
Доказательством правильности уравне
ния Шредингера является согласие с
опытом тех выводов, к которым оно
приводит.
Уравнение (217.1) является общим
уравнением Шредингера. Его также
называют уравнением Шредингера,
зависящим от времени. Для многих
физических явлений, происходящих в
микромире, уравнение (217.1) можно
упростить, исключив зависимость Y от
времени, иными словами, найти урав
нение Шредингера для стационарных
состояний — состояний с фиксирован
ными значениями энергии. Это возмож
но, если силовое поле, в котором час
тица движется, стационарно, т. е . функ
цияU=U(x,y,z)независитявноотвре
мени и имеет смысл потенциальной
энергии.
В данном случае решение уравнения
Шредингера может быть представлено
в виде произведения двух функций,
одна из которых есть функция только
координат, другая — только времени,
причем зависимость от времени выража
ется множителем ee
iEt
it
-
-w
=
h ,такчто
,
,,,
,,e
i
Et
xyzt
xyz
-
Y(
)=y( ) h (217.4)
где E — полная энергия частицы, посто
янная в случае стационарного поля.
Подставляя (217.4) в (217.1), получим
;
2
ee
2
e
ii
Et
Et
iEt
U
m
i
iE
--
-
-D
y
+
y=
=-y
hh
h
h
h
h
откуда после деления на общий множи
тель e
iEt
-
h и соответствующих преобра
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

408
зований придем к уравнению, опреде
ляющему функцию y:
2
2 ()0
.
m
EU
Dy+
-
y=
h
(217.5)
Уравнение (217.5) называется урав
нением Шредингера для стационар
ных состояний. В это уравнение в ка
честве параметра входит полная энер
гия E частицы. В теории дифференци
альных уравнений доказывается, что
подобные уравнения имеют бесчислен
ное множество решений, из которых по
средством наложения граничных усло
вий отбирают решения, имеющие фи
зический смысл.
Для уравнения Шредингера такими
условиями являются условия регуляр
ности волновых функций: волновые
функции должны быть конечными, од
нозначными и непрерывными вместе со
своими первыми производными.
Таким образом, реальный физичес
кий смысл имеют только такие реше
ния, которые выражаются регулярны
ми функциями y. Но регулярные реше
ния имеют место не при любых значе
ниях параметра E, а лишь при опреде
ленном их наборе, характерном для дан
ной задачи. Эти значения энергии на
зываются собственными. Решения же,
которые соответствуют собственным
значениям энергии, называются соб
ственными функциями. Собственные
значения E могут образовывать как не
прерывный, так и дискретный ряд. В пер
вом случае говорят о непрерывном, или
сплошном, спектре, во втором — о дис
кретном спектре.
§ 218. Ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè
â êâàíòîâîé ìåõàíèêå
Из соотношения неопределенностей
часто делают вывод о неприменимости
принципа причинности к явлениям,
происходящим в микромире. При этом
основываются на следующих соображе
ниях. В классической механике, соглас
но принципу причинности — принци
пу классического детерминизма, по
известному состоянию системы в неко
торый момент времени (полностью оп
ределяется значениями координат и
импульсов всех частиц системы) и си
лам, приложенным к ней, можно абсо
лютно точно задать ее состояние в лю
бой последующий момент. Следова
тельно, классическая физика основыва
ется на следующем понимании причин
ности: состояние механической систе
мы в начальный момент времени с из
вестным законом взаимодействия час
тиц есть причина, а ее состояние в пос
ледующий момент — следствие.
С другой стороны, микрообъекты не
могут иметь одновременно и опреде
ленную координату, и определенную
соответствующую проекцию импульса
[задаются соотношением неопределен
ностей (215.1)], поэтому и делается вы
вод о том, что в начальный момент вре
мени состояние системы точно не оп
ределяется. Если же состояние системы
не определенно в начальный момент
времени, то не могут быть предсказаны
и последующие состояния, т. е . наруша
ется принцип причинности.
Однако никакого нарушения прин
ципа причинности применительно к
микрообъектам не наблюдается, по
скольку в квантовой механике понятие
состояния микрообъекта приобретает
совершенно иной смысл, чем в класси
ческой механике. В квантовой меха
нике состояние микрообъекта полнос
тью определяется волновой функцией
Y(x , y, z , t), квадрат модуля которой
1⁄2Y(x, y, z , t)1⁄22 задает плотность вероятно
сти нахождения частицы в точке с ко
ординатами x, y, z .
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

409
В свою очередь, волновая функция
Y(x, y , z , t) удовлетворяет уравнению
Шредингера (217.1), содержащему пер
вую производную функции Y по време
ни. Это же означает, что задание функ
ции Y0 (для момента времени t 0) опре
деляет ее значение в последующие мо
менты. Следовательно, в квантовой ме
ханике начальное состояние Y0 есть
причина, а состояние Y в последующий
момент — следствие. Это и есть форма
принципа причинности в квантовой
механике, т. е . задание функции Y0 пре
допределяет ее значения для любых
последующих моментов. Таким обра
зом, состояние системы микрочастиц,
определенное в квантовой механике,
однозначно вытекает из предшествую
щего состояния, как того требует прин
цип причинности.
§ 219. Äâèæåíèå
ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
Свободная частица — частица, дви
жущаяся в отсутствие внешних полей.
Так как на свободную частицу (пусть
она движется вдоль оси x) силы не дей
ствуют, то потенциальная энергия час
тицы U(x) = const и ее можно принять
равной нулю. Тогда полная энергия ча
стицы совпадает с ее кинетической
энергией. В таком случае уравнение
Шредингера (217.5) для стационарных
состояний примет вид
2
22
2
0.
m
E
x
¶y+y
=
¶
h
(219.1)
Прямой подстановкой можно убе
диться в том, что частным решением
уравнения (219.1) является функция
eikx
xA
y()=
, гдеA=constиk=const,
с собственным значением энергии
22
.
2
k
E
m
=
h
(219.2)
Функция
2
ee
i mEx
ikx
xAA
y()= =
h
представляет собой только координат
ную часть волновой функции Y(x, t).
Поэтому зависящая от времени волно
вая функция, согласно (217.4),
()
,e
e
x
iEtpx
it ikx
xtA
A
--
-w+
Y( )=
=
h
(219.3)
(здесь
è
x
p
Ek
w=
=
hh
). Функция
(219.3) представляет собой плоскую
монохроматическую волну де Бройля
[см. (217.2)].
Из выражения (219.2) следует, что
зависимость энергии от импульса
2
22
22
x
p
k
E
mm
==
h
оказывается обычной для нерелятиви
стских частиц. Следовательно, энергия
свободной частицы может принимать
любые значения (так как волновое чис
ло k может принимать любые положи
тельные значения), т. е . энергетический
спектр свободной частицы является
непрерывным.
Таким образом, свободная квантовая
частица описывается плоской монохро
матической волной де Бройля. Этому
соответствует не зависящая от време
ни плотность вероятности обнаружения
частицы в данной точке пространства
1⁄2Y1⁄22
=YY
*
= 1⁄2A1⁄22
,
т. е . все положения свободной частицы
в пространстве являются равновероят
ными.
§ 220. ×àñòèöà â îäíîìåðíîé
ïðÿìîóãîëüíîé «ïîòåíöèàëüíîé
ÿìå» ñ áåñêîíå÷íî âûñîêèìè
«ñòåíêàìè»
Проведем качественный анализ ре
шений уравнения Шредингера приме
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

410
нительно к частице в одномерной пря
моугольной «потенциальной яме» с
бесконечно высокими «стенками». Та
кая «яма» описывается потенциальной
энергией вида (для простоты принима
ем, что частица движется вдоль оси x)
,,
,,
,,
0
()00
x
Ux
xl
xl
ì¥<
ï
ï
ïïï
=í
ï
ï
ï¥>
ïïî
„„
где l — ширина «ямы», а энергия отсчи
тывается от ее дна (рис. 299).
Уравнение Шредингера (217.5) для
стационарных состояний в случае одно
мерной задачи запишется в виде
2
22
2 ()0
.
m
EU
x
¶y+-
y
=
¶
h
(220.1)
По условию задачи (бесконечно вы
сокие «стенки»), частица не проникает
за пределы «ямы», поэтому вероятность
ее обнаружения (а следовательно, и вол
новая функция) за пределами «ямы»
равна нулю. На границах «ямы» (при
x = 0 и x = l) непрерывная волновая
функция также должна обращаться в
нуль. Следовательно, граничные усло
вия в данном случае имеют вид
y(0) = y(l) = 0. (220.2)
В пределах «ямы» (0 „ x „ l) урав
нение Шредингера (220.1) сведется к
уравнению
2
22
2
0
m
E
x
¶y+y
=
¶
h
или
,
2
2
2
0
k
x
¶y+y=
¶
(220.3)
где
2
2
2.
mE
k=
h
(220.4)
Общее решение дифференциально
го уравнения (220.3):
y(x) =A sinkx+B coskx.
Таккакпо(220.2)y(0)=0,тоB=0.
Тогда
y(x) =A sinkx.
(220.5)
Условие (220.2) y(l) = A sin kl = 0
выполняется только при kl = np, где n —
целые числа, т. е . необходимо, чтобы
.
n
k
l
p
=
(220.6)
Из выражений (220.4) и (220.6) сле
дует, что
,
22
2
2
(1
,
2
,
3
,
)
2
n
Enn
ml
p
==
h
K
(220.7)
т. е . стационарное уравнение Шредин
гера, описывающее движение частицы
в «потенциальной яме» с бесконечно
высокими «стенками», удовлетворяет
ся только при собственных значени
ях En, зависящих от целого числа n.
Следовательно, энергия En частицы в
«потенциальной яме» с бесконечно вы
сокими «стенками» принимает лишь
определенные дискретные значения, т. е.
квантуется.
Квантованные значения энергии En
называются уровнями энергии, а чис
ло n, определяющее энергетические
уровни частицы, называется главным
квантовым числом. Таким образом,
микрочастица в «потенциальной яме»
с бесконечно высокими «стенками»
может находиться только на определен
ном энергетическом уровне En, или, как
говорят, частица находится в квантовом
состоянии n.
Рис. 299
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

411
Подставив в (220.5) значение k из
(220.6), найдем собственные функции:
() sin
.
n
n
xAx
l
p
y=
Постоянную интегрирования A най
дем из условия нормировки (216.3),
которое для данного случая запишется
в виде
22
0
sin
d1.
l
n
Ax
x
l
p
=
ò
В результате интегрирования полу
чим
2
A
l
=
, а собственные функции
будут иметь вид
2
()sin(1,2
,3
,).
n
n
xx
n
ll
p
y=
= K (220.8)
Графики собственных функций
(220.8), соответствующие уровням
энергии (220.7) при n = 1 , 2, 3, приведе
ны на рис. 300, а. На рис. 300, б изобра
жена плотность вероятности обнаруже
ния частицы на различных расстояни
ях от «стенок» ямы, равная 1⁄2yn(x )1⁄2
2
=
=yn(x)yn*(x) для n = 1, 2 и 3. Из рисун
ка следует, что, например, в квантовом
состоянии с n = 2 частица не может на
ходиться в середине «ямы», в то время
как одинаково часто может пребывать
в ее левой и правой частях. Такое пове
дение частицы указывает на то, что
представления о траекториях частицы
в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (220.7) вытекает, что
энергетический интервал между двумя
соседними уровнями равен
1
22
22
22
(2 1)
.
2
nnn
EEE
nn
ml
ml
+
D=
-=
pp
=+
»
hh
(220.9)
Например, для электрона при раз
мерах ямы l = 10-1
м (свободные элек
троны в металле) DEn » 10-35
nДж»
»10-16
n эВ, т. е . энергетические уровни
расположены столь тесно, что спектр
практически можно считать непрерыв
ным. Если же размеры ямы соизмери
мы с атомными (l » 10-10
м), то для
электрона DEn » 10-17
nДж»102nэВ,
т. е . получаются явно дискретные зна
чения энергии (линейчатый спектр).
Таким образом, применение уравне
ния Шредингера к частице в «потенци
альной яме» с бесконечно высокими
«стенками» приводит к квантованным
значениям энергии, в то время как клас
сическая механика на энергию этой ча
стицы никаких ограничений не накла
дывает.
Кроме того, квантово механическое
рассмотрение данной задачи приводит
к выводу, что частица «в потенциаль
ной яме» с бесконечно высокими «стен
ками» не может иметь энергию меньше
минимальной, равной
22
2
2ml
ph
[см. (220.7)].
Наличие отличной от нуля мини
мальной энергии не случайно и выте
кает из соотношения неопределеннос
тей. Неопределенность координаты Dx
частицы в «яме» шириной l равна Dx = l.
Тогда, согласно соотношению неопре
деленностей (215.1), импульс не может
иметь точное, в данном случае нулевое,
значение. Неопределенность импульса
h
p
l
D» . Такому разбросу значений
Рис. 300
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

412
импульса соответствует кинетическая
энергия
2
2
min
2
()
22
p
E
mm
l
D
»=
h
.
Все остальные уровни (n > 1) име
ют энергию, превышающую это мини
мальное значение.
Из формул (220.9) и (220.7) следу
ет, что при больших квантовых числах
(n?1)
,
21
n
n
E
En
D»=
т. е. соседние уровни расположены тес
но: тем теснее, чем больше n. Если n
очень велико, то можно говорить о
практически непрерывной последова
тельности уровней и характерная осо
бенность квантовых процессов — диск
ретность — сглаживается. Этот резуль
тат является частным случаем принци
па соответствия Бора (1923), соглас
но которому законы квантовой механи
ки должны при больших значениях
квантовых чисел переходить в законы
классической физики.
Более общая трактовка принципа
соответствия: всякая новая, более
общая теория, являющаяся развитием
классической, не отвергает ее полнос
тью, а включает в себя классическую
теорию, указывая границы ее примене
ния, причем в определенных предель
ных случаях новая теория переходит в
старую. Так, формулы кинематики и
динамики специальной теории относи
тельности переходят при v = c в форму
лы механики Ньютона. Например, хотя
гипотеза да Бройля приписывает вол
новые свойства всем телам, но в тех слу
чаях, когда мы имеем дело с макроско
пическими телами, их волновыми свой
ствами можно пренебречь, т. е . приме
нять классическую механику Ньютона.
§ 221. Ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöû
ñêâîçü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð.
Òóííåëüíûé ýôôåêò
Рассмотрим простейший потенци
альный барьер прямоугольной формы
(рис. 301, а) для одномерного (по оси x)
движения частицы. Для потенциально
го барьера прямоугольной формы вы
сотой U и шириной l можем записать
,(
ä
ë
ÿ
î
á
ë
à
ñ
ò
è
)
,
,(
ä
ë
ÿ
î
á
ë
à
ñ
ò
è
)
,
,(
ä
ë
ÿ
î
á
ë
à
ñ
ò
è
)
.
00
()0
0
x
UxU
xl
xl
ì
<
ï
ï
ï
ïï
=í
ï
ï
ï
>
ïïî
„„
1
2
3
При данных условиях задачи клас
сическая частица, обладая энергией E,
либо беспрепятственно пройдет над ба
рьером (при E > U ), либо отразится от
него (при E < U ) и будет двигаться в
обратную сторону, т. е. она не может
проникнуть сквозь барьер. Для микро
частицы, даже при E > U , имеется от
личная от нуля вероятность, что части
ца отразится от барьера и будет двигать
ся в обратную сторону. При E < U име
ется также отличная от нуля вероят
ность, что частица окажется в области
x > l , т. е . проникнет сквозь барьер. По
добные, казалось бы, парадоксальные
выводы следуют непосредственно из
решения уравнения Шредингера, опи
Рис. 301
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

413
сывающего движение микрочастицы
при условиях данной задачи.
Уравнение Шредингера (217.5) для
стационарных состояний для каждой из
выделенных на рис. 301, а области име
ет вид
(äëÿ îáëàñòåé è
);
2
1,3
2
1,3
2
2
2
0
2
k
x
mE
k
¶y
+y=
¶
=
h
13
(äëÿ îáëàñòè
).
2
2
2
2
2
2
2
0
2()
q
x
mEU
q
¶y +y=
¶
-
=
h
2
(221.1)
Общие решения этих дифференци
альных уравнений:
y1(x)=A1e
ikx
+ B1e
-ikx
(для области 1); (221.2)
y2(x)=A2e
iqx
+ B2e
-iqx
(для области 2);
y3(x) =A3e
ikx
+B3e
-ikx
(для области 3). (221.3)
В частности, для области 1 полная
волновая функция, согласно (217.4),
будет иметь вид
11
() ()
11
(,) ()e
ee
.
iEt
ii
Etpx
Et px
xt
x
AB
-
11
--
-+
Y=
y=
=+
h
hh
(221.4)
В этом выражении первое слагаемое
представляет собой плоскую волну
типа (219.3), распространяющуюся в
положительном направлении оси x (со
ответствует частице, движущейся в сто
рону барьера), а второе — волну, рас
пространяющуюся в противоположном
направлении, т. е . отраженную от барь
ера (соответствует частице, движущей
ся от барьера налево).
Решение (221.3) содержит также
волны (после умножения на временно′ й
множитель), распространяющиеся в
обе стороны. Однако в области 3 име
ется только волна, прошедшая сквозь
барьер и распространяющаяся слева
направо. Поэтому коэффициент B3 в
формуле (221.3) следует принять рав
ным нулю.
В области 2 решение зависит от со
отношений E >U или E <U . Физичес
кий интерес представляет случай, ког
да полная энергия частицы меньше вы
соты потенциального барьера, посколь
ку при E <U законы классической фи
зики однозначно не разрешают части
це проникнуть сквозь барьер. В данном
случае, согласно (221.1), q = ib — мни
мое число, где
.
mUE
2(-)
b=
h
Учитывая значение q и B3 = 0, полу
чим решения уравнения Шредингера
для трех областей в следующем виде:
y1(x) =A1e
ikx
+B1e
-ikx
(для области 1);
y2(x) =A2e
-bx+B2ebx
(для области 2); (221.5)
y3(x) =A3e
ikx
(для области 3).
В области 2 функция (221.5) уже не
соответствует плоским волнам, распро
страняющимся в обе стороны, посколь
ку показатели степени экспонент не
мнимые, а действительные. Можно по
казать, что для частного случая высо
кого и широкого барьера, когда bl ? 1,
B2»0.
Качественный характер функций
y1(x), y2(x) и y3(x) иллюстрируется на
рис. 301, б, откуда следует, что волно
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

414
вая функция не равна нулю и внутри ба
рьера, а в области 3, если барьер не
очень широк, будет опять иметь вид
волн де Бройля с тем же импульсом, т. е .
с той же частотой, но с меньшей ампли
тудой. Следовательно, получили, что
частица имеет отличную от нуля веро
ятность прохождения сквозь потенци
альный барьер конечной ширины.
Таким образом, квантовая механика
приводит к принципиально новому спе
цифическому квантовому явлению, по
лучившему название туннельного эф
фекта, в результате которого микро
объект может «пройти» сквозь потен
циальный барьер.
Для описания туннельного эффек
та используют понятие коэффициента
прозрачности D потенциального барье
ра, определяемого как отношение плот
ности потока прошедших частиц к
плотности потока падающих. Можно
показать, что
2
3
2
1
.
A
D
A
1⁄21⁄2
=
1⁄21⁄2
Для того чтобы найти отношение
2
3
2
1
A
A
1⁄21⁄2
1⁄21⁄2, необходимо воспользоваться ус
ловиями непрерывности y и y¢ на гра
ницахбарьераx=0иx=l(рис.301):
,
,
,
2
2
23
23
(0) (0)
(0) (0)
() ()
() ().
ll
ll
1
1
ìy=
y
ï
ï
ï

ïy=
y
ïï
íïy=
y
ï
ï
ï

y=
y
ïïî
(221.6)
Эти четыре условия дают возмож
ность выразить коэффициенты A2, A3,
B1 и B2 через A1. Совместное решение
уравнений (221.6) для прямоугольного
потенциального барьера дает (в предпо
ложении, что коэффициент прозрачно
сти мал по сравнению с единицей)
,
2
0e
mUEl
DD
- 2(-)
=
h
(221.7)
где D0 — постоянный множитель, кото
рый можно приравнять единице; U —
высота потенциального барьера; E —
энергия частицы; l — ширина барьера.
Из выражения (221.7) следует, что
D сильно зависит от массы m частицы,
ширины l барьера и от (U — E); чем
шире барьер, тем меньше вероятность
прохождения сквозь него частицы.
Для потенциального барьера произ
вольной формы (рис. 302), удовлетво
ряющей условиям так называемого ква
зиклассического приближения (доста
точно гладкая форма кривой), имеем
,
2
1
2
d
0e
x
x
mUEx
DD
éù
êú
-2
(
-
)
êú
êú
êú
ëû
ò
=
h
где U = U(x).
С классической точки зрения про
хождение частицы сквозь потенциаль
ный барьер при E <U невозможно, так
как частица, находясь в области барье
ра, должна была бы обладать отрица
тельной кинетической энергией. Тун
нельный эффект является специфиче
ским квантовым эффектом.
Прохождение частицы сквозь об
ласть, в которую, согласно законам клас
сической механики, она не может про
никнуть, можно пояснить соотношени
ем неопределенностей. Неопределен
ность импульса Dp на отрезке Dx = l со
ставляет
h
p
l
D> . Связанная с этим раз
бросом в значениях импульса кинети
Рис. 302
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

415
ческая энергия
2
()
2
p
m
D может оказаться
достаточной для того, чтобы полная
энергия частицы оказалась больше по
тенциальной.
Основы теории туннельных перехо
дов заложены в работах Л. И. Мандель
штама и М. А. Леонтовича (1903 — 1981).
Туннельное прохождение сквозь потен
циальный барьер лежит в основе мно
гих явлений физики твердого тела (на
пример, явления в контактном слое на
границе двух полупроводников), атом
ной и ядерной физики (например, a
распад, протекание термоядерных реак
ций).
§ 222. Ëèíåéíûé ãàðìîíè÷åñêèé
îñöèëëÿòîð
â êâàíòîâîé ìåõàíèêå
Линейный гармонический осцил
лятор — система, совершающая одно
мерное движение под действием квази
упругой силы, — является моделью, ис
пользуемой во многих задачах класси
ческой и квантовой теории (см. § 142).
Пружинный, физический и математи
ческий маятники — примеры класси
ческих гармонических осцилляторов.
Потенциальная энергия гармони
ческого осциллятора [см. (141.5)] равна
,
2
2
mx
U
2
0
w
=
(222.1)
где w0 — собственная частота колебаний
осциллятора; m — масса частицы.
Зависимость (222.1) имеет вид пара
болы (рис. 303), т. е. «потенциальная
яма» в данном случае является парабо
лической.
Амплитуда малых колебаний клас
сического осциллятора определяется
его полной энергией E (см. рис. 17).
В точках с координатами ±xmax полная
энергия E равна потенциальной энер
гии. Поэтому с классической точки зре
ния частица не может выйти за преде
лы области (-xmax,+xmax). Такой выход
означал бы, что ее потенциальная энер
гия больше полной, что абсурдно, так
как приводит к выводу, что кинетичес
кая энергия отрицательна. Таким обра
зом, классический осциллятор находит
ся в «потенциальной яме» с координа
тами -xmax „ x „ xmax «без права выхо
да» из нее.
Гармонический осциллятор в кван
товой механике — квантовый осцил
лятор — описывается уравнением Шре
дингера (217.5), учитывающим выраже
ние (222.1) для потенциальной энергии.
Тогда стационарные состояния кванто
вого осциллятора определяются урав
нением Шредингера вида
,
2
2
22
2
0
2
mx
m
E
x
2
0
w
¶y+- y
=
¶
h
(222.2)
где E — полная энергия осциллятора.
В теории дифференциальных урав
нений доказывается, что уравнение
(222.2) решается только при собствен
ных значениях энергии

1
.
2
n
En0
=+w
h
(222.3)
Формула (222.3) показывает, что
энергия квантового осциллятора может
Рис. 303
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

416
иметь лишь дискретные значения, т. е .
квантуется. Энергия ограничена сни
зу отличным от нуля, как и для прямо
угольной «ямы» с бесконечно высоки
ми «стенками» (см. § 220), минималь
ным значением энергии 0
1
2
E
0
=w
h .Су
ществование минимальной энергии —
она называется энергией нулевых ко
лебаний — является типичной для кван
товых систем и представляет собой пря
мое следствие соотношения неопреде
ленностей.
Наличие нулевых колебаний означа
ет, что частица не может находиться на
дне «потенциальной ямы» (независимо
от формы ямы). В самом деле, «падение
на дно ямы» связано с обращением в
нуль импульса частицы, а вместе с тем и
его неопределенности. Тогда неопреде
ленность координаты становится сколь
угодно большой, что противоречит, в
свою очередь, пребыванию частицы в
«потенциальной яме».
Вывод о наличии энергии нулевых
колебаний квантового осциллятора про
тиворечит выводам классической тео
рии, согласно которой наименьшая
энергия, которую может иметь осцил
лятор, равна нулю (соответствует поко
ящейся в положении равновесия части
це). Например, согласно выводам клас
сической физики при T = 0 энергия
колебательного движения атомов кри
сталла должна была бы обращаться в
нуль. Следовательно, должно исчезать
и рассеяние света, обусловленное коле
баниями атомов. Однако эксперимент
показывает, что интенсивность рассея
ния света при понижении температуры
не равна нулю, а стремится к некоторо
му предельному значению, указываю
щему на то, что при T ® 0 колебания
атомов в кристалле не прекращаются.
Это является подтверждением наличия
нулевых колебаний.
Из формулы (222.3) также следует,
что уровни энергии линейного гармо
нического осциллятора расположены
на одинаковых расстояниях друг от
друга (см. рис. 303), а именно расстоя
ние между соседними энергетическими
уровнями равно h w0, причем минималь
ное значение энергии 0
1
2
E
0
=w
h.
Строгое решение задачи о квантовом
осцилляторе приводит еще к одному
значительному отличию от классическо
го рассмотрения. Квантово механиче
ский расчет показывает, что частицу
можно обнаружить за пределами дозво
ленной области -x max „ x „ x max (см.
рис. 17), в то время как с классической
точки зрения она не может выйти за
пределы этой области.
Таким образом, имеется отличная от
нуля вероятность обнаружить частицу
в той области, которая является клас
сически запрещенной. Этот результат
(без его вывода) демонстрируется на
рис. 304, где приводится квантовая
плотность вероятности w обнаружения
осциллятора для состояния n = 1. Из
рисунка следует, что для квантового ос
циллятора действительно плотность ве
роятности w имеет конечные значения
за пределами классически дозволенной
области 1⁄2x 1⁄2 … xmax, т. е. имеется конеч
ная (но небольшая) вероятность обна
ружить частицу в области за предела
Рис. 304
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

417
ми «потенциальной ямы». Существова
ние отличных от нуля значений w за
пределами «потенциальной ямы» объяс
няется возможностью прохождения
микрочастиц сквозь потенциальный ба
рьер (см. § 221).
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?
• В каком случае и почему при условиях
è
11
xx
xx
vv
vv
DD
»
=
можно говорить о движе
нии частицы по определенной траектории?
• Как исходя из соотношения неопределенностей объяснить наличие естественной шири
ны спектральных линий?
• Что определяет квадрат модуля волновой функции?
• Почему квантовая механика является статистической теорией?
• В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике?
• Какова наименьшая энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими
«стенками»?
• Больше или меньше энергия частицы, находящейся в «потенциальной яме» с бесконеч
но высокими «стенками», в состоянии n = 3 по сравнению с состоянием n = 1 ? Во сколь
ко раз?
• Какими свойствами микрочастиц обусловлен туннельный эффект?
• В чем отличие поведения классической и квантовой частиц с энергией E < U при их
движении к прямоугольному потенциальному барьеру конечной ширины?
• Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с ростом его высо
ты? с увеличением массы частицы? с увеличением полной энергии частицы?
• Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его
ширины в два раза?
• Чему равна разность энергий между четвертым и вторым энергетическими уровнями
квантового осциллятора?
• Может ли частица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это фор
мой «ямы»?
• Зависит ли распределение энергетических уровней от формы «потенциальной ямы»?
Ответ проиллюстрировать.
• В чем отличие квантово механического и классического описания гармонического ос
циллятора? В выводах этих описаний?
ÇÀÄÀ×È
28.1. Свободная частица движется со скоростью u. Докажите, что выполняется соотно
шение vфазu = c
2
.
28.2 . Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что
допускаемая неопределенность скорости составляет 1 % от ее числового значения, опреде
лите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для элект
рона понятие траектории? [Dx = 33 нм; нет]
28.3 . y Функция некоторой частицы имеет вид
e
r
a
A
r
-
y=
, где r — расстояние этой час
тицы от силового центра, a — постоянная. Определите среднее расстояние árñ частицы от
силового центра. [árñ =
2
a
]
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

418
28.4 . Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, нахо
дящегося в атоме водорода.
28.5 . Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шири
ной l с бесконечно высокими «стенками». Определите вероятность W обнаружения элект
рона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (n = 2).
Поясните физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность
вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. [W = 0,195]
28.6. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. Определите в элект
рон вольтах разность энергий U - E, при которой вероятность прохождения электрона
сквозь барьер составит 0,99. [0,1 мэВ]
Ãëàâà 29
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÔÈÇÈÊÈ
ÀÒÎÌÎÂ È ÌÎËÅÊÓË
§ 223. Àòîì âîäîðîäà
â êâàíòîâîé ìåõàíèêå
Решение задачи об энергетических
уровнях электрона для атома водорода
(а также водородоподобных систем:
иона гелия He
+
, двукратно ионизован
ного лития Li++ и др.) сводится к зада
че о движении электрона в кулонов
ском поле ядра.
Потенциальная энергия взаимодей
ствия электрона с ядром, обладающим
зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),
,
2
0
()4
Ze
Ur
r
=-
pe
(223.1)
где r — расстояние между электроном
и ядром.
Графически функция U(r) изображе
на жирной кривой на рис. 305. U(r) с
уменьшением r (при приближении
электрона к ядру) неограниченно убы
вает.
Состояние электрона в атоме водо
рода описывается волновой функци
ей y, удовлетворяющей стационарному
уравнению Шредингера (217.5), учиты
вающему значение (223.1):
,
2
2
0
2
4
mZ
e
E
r
æö
÷
ç
Dy+
+
y=0
÷
ç
÷÷
ç
pe
èø
h
(223.2)
где m — масса электрона; E — полная
энергия электрона в атоме.
Так как поле, в котором движется
электрон, является центрально сим
метричным, то для решения уравнения
(223.2) обычно используют сфериче
скую систему координат: r, q, j. Не вда
ваясь в математическое решение этой
задачи, ограничимся рассмотрением
важнейших результатов, которые из
него следуют, пояснив их физический
смысл.
1. Энергия. В теории дифференци
альных уравнений доказывается, что
Рис. 305
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

419
уравнения типа (223.2) имеют решения,
удовлетворяющие требованиям одно
значности, конечности и непрерывнос
ти волновой функции y, только при
собственных значениях энергии
,
24
22
2
0
1
(1
,
2
,
3
,
)
8
n
Zme
En
nh
=-
=
e
K
(223.3)
т. е. для дискретного набора отрица
тельных значений энергии.
Таким образом, как и в случае «по
тенциальной ямы» с бесконечно высо
кими «стенками» (см. § 220) и гармо
нического осциллятора (см. § 222), ре
шение уравнения Шредингера для ато
ма водорода приводит к появлению
дискретных энергетических уровней.
Возможные значения E1, E2, E3, K по
казаны на рис. 305 в виде горизонталь
ных прямых.
Самый нижний уровень E1, отвеча
ющий минимальной возможной энер
гии, — основной, все остальные (En > E1,
n = 2, 3, K) — возбужденные (см. § 212).
При E < 0 движение электрона явля
ется связанным — он находится внут
ри гиперболической «потенциальной
ямы». Из рисунка следует, что по мере
роста главного квантового числа n энер
гетические уровни располагаются тес
нееиприn=¥E¥=0.ПриE>0дви
жение электрона является свободным;
область непрерывного спектра E > 0
(заштрихована на рис. 305) соответ
ствует ионизованному атому. Энергия
ионизации атома водорода равна
ýÂ.
4
1
22
0
13, 55
8
i
me
EE
h
=-
=
=
e
Выражение (223.3) совпадает с фор
мулой (212.3), полученной Бором для
энергии атома водорода. Однако если
Бору пришлось вводить дополнитель
ные гипотезы (постулаты), то в кванто
вой механике дискретные значения
энергии, являясь следствием самой те
ории, вытекают непосредственно из ре
шения уравнения Шредингера.
2. Квантовые числа. В квантовой
механике доказывается, что уравнению
Шредингера (223.2) удовлетворяют
собственные функции
(,, )
l
nlm r
yq
j
,оп
ределяемые тремя квантовыми числа
ми: главным n , орбитальным l и магнит
ным ml.
Главное квантовое число n, соглас
но (223.3), определяет энергетические
уровни электрона в атоме и может при
нимать любые целочисленные значе
ния, начиная с единицы:
n=1,2,3,K.
Из решения уравнения Шредингера
вытекает, что момент импульса (меха
нический орбитальный момент) элект
рона квантуется, т. е. не может быть про
извольным, а принимает дискретные
значения, определяемые по формуле
,
(1)
l
Ll
l
=+
h
(223.4)
где l — орбитальное квантовое чис
ло, которое при заданном n принимает
значения
l=0,1, K, (n-1), (223.5)
т. е . всего n значений, и определяет мо
мент импульса электрона в атоме.
Из решения уравнений Шрединге
ра следует также, что вектор L
r
l момента
импульса электрона может иметь лишь
такие ориентации в пространстве, при
которых его проекция Llz на направле
ние z внешнего магнитного поля при
нимает квантованные значения, крат
ные h:
Llz = hml,
(223.6)
где ml — магнитное квантовое число,
которое при заданном l может прини
мать значения
ml = 0, ±1, ±2, K, ±l, (223.7)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

420
т. е. всего 2l + 1 значений. Таким обра
зом, магнитное квантовое число ml оп
ределяет проекцию момента импульса
электрона на заданное направление,
причем вектор момента импульса элек
трона в атоме может иметь в простран
стве 2l + 1 ориентаций.
Наличие квантового числа ml долж
но привести в магнитном поле к рас
щеплению уровня с главным кванто
вым числом n на 2l + 1 подуровней. Со
ответственно в спектре атома должно
наблюдаться расщепление спектраль
ных линий. Действительно, расщепле
ние энергетических уровней в магнит
ном поле было обнаружено в 1896 г.
голландским физиком П. Зееманом
(1865 — 1945) и получило название эф
фекта Зеемана. Расщепление уровней
энергии во внешнем электрическом
поле, тоже доказанное эксперименталь
но, называется эффектом Штарка1.
Хотя энергия электрона (223.3) и
зависит только от главного квантового
числа n , но каждому собственному зна
чению En (кроме E1) соответствует не
сколько собственных функций
l
nlm
y ,от
личающихся значениями l и ml . Следо
вательно, атом водорода может иметь
одно и то же значение энергии, находясь
в нескольких различных состояниях.
Так как при данном n орбитальное
квантовое число l может изменяться от
0 до n - 1 [см. (223.5)], а каждому зна
чению l соответствует 2l + 1 различных
значений ml (223.7), то число различ
ных состояний, соответствующих дан
ному n , равно
1
2
0
(2 1)
.
n
l
ln
-
=
+=
å
(223.8)
Квантовые числа и их значения яв
ляются следствием решений уравнений
Шредингера и условий однозначности,
непрерывности и конечности, налагае
мых на волновую функцию y. Кроме
того, так как при движении электрона
в атоме существенны волновые свой
ства электрона, то квантовая механика
вообще отказывается от классического
представления об электронных орби
тах. Согласно квантовой механике, каж
дому энергетическому состоянию соот
ветствует волновая функция, квадрат
модуля которой определяет вероят
ность обнаружения электрона в едини
це объема.
Вероятность обнаружения электро
на в различных частях атома неодина
кова. Электрон при своем движении как
бы «размазан» по всему объему, обра
зуя электронное облако, плотность (гу
стота) которого характеризует вероят
ность нахождения электрона в различ
ных точках объема атома. Квантовые
числа n и l характеризуют размер и
форму электронного облака, а кванто
вое число ml — ориентацию электрон
ного облака в пространстве.
В атомной физике, по аналогии со
спектроскопией, состояние электрона,
характеризующееся квантовыми числа
ми l = 0, называют s состоянием (элек
трон в этом состоянии называют s элек
троном),l =1 —p состоянием,l =2 —
d состоянием, l = 3 — f состоянием и
т. д . Значение главного квантового чис
ла указывается перед условным обозна
чением орбитального квантового чис
ла. Например, электроны в состояниях
сn= 2иl=0и1обозначаютсясоответ
ственно символами 2s и 2p.
На рис. 306 для примера приведено
распределение электронной плотности
(формы электронного облака) для состо
янийатомаводородаприn=1иn=2,
определяемое
2
l
nlm
1⁄2y1⁄2 . Как видно из ри
сунка, оно зависит от n, l и ml . Так, при
l = 0 электронная плотность отлична от
1 И. Штарк (1874 — 1957) — немецкий физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

421
нуля в центре и не зависит от направ
ления (сферически симметрична), а
для остальных состояний в центре рав
на нулю и зависит от направления.
3. Спектр. Квантовые числа l , n и ml
позволяют более полно описать спектр
испускания (поглощения) атома водо
рода, полученный в теории Бора (см.
рис. 297).
В квантовой механике вводятся пра
вила отбора, ограничивающие число
возможных переходов электронов в
атоме, связанных с испусканием и по
глощением света. Теоретически доказа
но и экспериментально подтверждено,
что для дипольного излучения электро
на, движущегося в центрально симмет
ричном поле ядра, могут осуществлять
ся только такие переходы, для которых:
1) изменение орбитального кванто
вого числа Dl удовлетворяет условию
Dl=±1;
(223.9)
2) изменение магнитного квантово
го числа Dml удовлетворяет условию
Dml=0,±1.
В оптических спектрах указанные
правила отбора в основном выполняют
ся. Однако в принципе могут наблю
даться и слабые «запрещенные» линии,
например возникающие при переходах
с Dl = 2. Появление этих линий объяс
няется тем, что строгая теория, запрещая
дипольные переходы, разрешает перехо
ды, соответствующие излучению более
сложных систем зарядов, например
квадруполей. Вероятность же квадру
польных переходов (переходы с Dl =2)
во много раз меньше вероятности ди
польных переходов, поэтому «запре
щенные» линии и являются слабыми.
Учитывая число возможных состо
яний, соответствующих данному n, и
правило отбора (223.9), рассмотрим
спектральные линии атома водорода
(рис. 307). Серии Лаймана соответству
ют переходы
np®1s(n=2,3, K);
серии Бальмера —
np®2s,ns®2p,nd®2p(n =3,4, K);
ит.д.
Рис. 306
Рис. 307
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

422
Переход электрона из основного со
стояния в возбужденное обусловлен
увеличением энергии атома и может
происходить только при сообщении
атому энергии извне, например за счет
поглощения атомом фотона. Так как
поглощающий атом находится обычно
в основном состоянии, то спектр атома
водорода должен состоять из линий,
соответствующих переходам 1 s ® np
(n = 2, 3, K), что находится в полном
согласии с опытом.
§ 224. 1s-Ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà
â àòîìå âîäîðîäà
1s Состояние электрона в атоме во
дорода является сферически симмет
ричным. Волновая функция y электро
на в этом состоянии определяется толь
ко расстоянием r электрона от ядра, т. е .
y=y100(r), где цифры в индексе соот
ветственно указывают, что n = 1 , l = 0 и
ml = 0. Уравнению Шредингера для
1s состояния электрона в атоме водоро
да удовлетворяет функция вида
,
e
r
a
C
-
y=
(224.1)
где, как можно показать,
2
2
4
a
me
0
pe
=
h
—
величина, совпадающая с первым бо
ровским радиусом a [см. (212.2)] для
атома водорода; C — некоторая посто
янная, определяемая из условия норми
ровки вероятностей (216.3).
Благодаря сферической симметрии
y функции вероятность обнаружения
электрона на расстоянии r одинакова
по всем направлениям. Поэтому эле
мент объема dV, отвечающий одинако
вой плотности вероятности, обычно
представляют в виде объема сферичес
кого слоя радиусом r и толщиной dr :
dV=4pr
2
dr. Тогда, согласно условию
нормировки вероятностей (216.3) с уче
том (224.1),
2
2
00
1de
4
d
.
r
a
VCr
r
¥¥
-
22
=1⁄2y1⁄2 =
p
òò
После интегрирования получим
3
1.
C
a
=
p
(224.2)
Подставив выражение (224.2) в фор
мулу (224.1), определим нормирован
ную волновую функцию, отвечающую
1s состоянию электрона в атоме водо
рода:
3
1
()
e.
r
a
r
a
-
100
y=
p
(224.3)
Вероятность обнаружить электрон в
элементе объема [см. (216.2)] равна
dW = 1⁄2y1⁄22dV = 1⁄2y1⁄224pr
2
dr.
Подставив в эту формулу волновую
функцию (224.3), получим плотность
вероятности
d
d
W
w
r
=
:
2
2
3
1 e4d.
r
a
wr
r
a
-
=p
p
Вычислим те расстояния rmax от ядра,
на которых электрон может быть обна
ружен с наибольшей вероятностью.
Исследуя выражение d
d
w
r
на максимум,
получим, что rmax = a. Следовательно,
электрон может быть обнаружен с наи
большей вероятностью на расстояниях,
равных боровскому радиусу, т. е . имеет
ся равная и наибольшая вероятность
обнаружения электрона во всех точках,
расположенных на сферах радиуса a с
центром в ядре атома.
Казалось бы, квантово механиче
ский расчет дает полное согласие с тео
рией Бора. Однако, согласно квантовой
механике, плотность вероятности лишь
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

423
при r = a достигает максимума, остава
ясь отличной от нуля во всем простран
стве (рис. 308). Таким образом, в основ
ном состоянии атома водорода наибо
лее вероятным расстоянием от электро
на до ядра является расстояние, равное
боровскому радиусу. В этом заключа
ется квантово механический смысл бо
ровского радиуса.
§ 225. Ñïèí ýëåêòðîíà.
Ñïèíîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî
О. Штерн и В. Герлах, проводя пря
мые измерения магнитных моментов
(см. § 131), обнаружили в 1922 г., что
узкий пучок атомов водорода, заведо
мо находящихся в s состоянии, в не
однородном магнитном поле расщепля
ется на два пучка. В этом состоянии мо
мент импульса электрона равен нулю
[см. (223.4)]. Магнитный момент ато
ма, связанный с орбитальным движени
ем электрона, пропорционален механи
ческому моменту [см. (131.3)], поэтому
он равен нулю и магнитное поле не дол
жно оказывать влияния на движение
атомов водорода в основном состоянии,
т. е. расщепления быть не должно. Од
нако в дальнейшем при применении
спектральных приборов с большой раз
решающей способностью было доказа
но, что спектральные линии атома во
дорода обнаруживают тонкую структу
ру (являются дублетами) даже в отсут
ствие магнитного поля.
Для объяснения тонкой структуры
спектральных линий, а также ряда дру
гих трудностей в атомной физике аме
риканские физики Д. Уленбек (1900 —
1974) и С. Гаудсмит (1902 — 1979) пред
положили, что электрон обладает соб
ственным неуничтожимым механиче
ским моментом импульса, не связан
ным с движением электрона в простран
стве, — спином (см. § 131).
Спин электрона (и всех других мик
рочастиц) — квантовая величина, у нее
нет классического аналога; это внутрен
нее неотъемлемое свойство электрона,
подобное его заряду и массе.
Если электрону приписывается соб
ственный механический момент им
пульса (спин) L
r
s , то ему соответствует
собственный магнитный момент p
r
ms.
Согласно общим выводам квантовой
механики, спин квантуется по закону
,
(1
)
s
Ls
s
=+
h
где s — спиновое квантовое число.
По аналогии с орбитальным момен
том импульса, проекция Lsz спина кван
туется так, что вектор L
r
s может прини
мать 2s + 1 ориентаций. Так как в опы
тах Штерна и Герлаха наблюдались
только две ориентации, то 2s + 1 = 2,
откуда s = 1/2. Проекция спина на на
правление внешнего магнитного поля,
являясь квантованной величиной, оп
ределяется выражением, аналогичным
(223.6):
Lsz = hms,
где ms — магнитное спиновое кванто
вое число; оно может иметь только два
значения: ms = ±1/2.
Таким образом, опытные данные
привели к необходимости характеризо
вать электроны (и микрочастицы вооб
ще) добавочной внутренней степенью
свободы. Поэтому для полного описа
Рис. 308
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

424
ния состояния электрона в атоме необ
ходимо наряду с главным орбитальным
и магнитным квантовыми числами за
давать еще магнитное спиновое кван
товое число.
§ 226. Ïðèíöèï íåðàçëè÷èìîñòè
òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö.
Ôåðìèîíû è áîçîíû
Если перейти от рассмотрения дви
жения одной микрочастицы (одного
электрона) к многоэлектронным сис
темам, то проявляются особые свой
ства, не имеющие аналога в классиче
ской физике. Пусть квантово механи
ческая система состоит из одинаковых
частиц, например электронов. Все элек
троны имеют одинаковые физические
свойства — массу, электрический заряд,
спин и другие внутренние характерис
тики (например, квантовые числа). Та
кие частицы называют тождествен
ными.
Необычные свойства системы оди
наковых тождественных частиц прояв
ляются в фундаментальном принципе
квантовой механики — принципе не
различимости тождественных час
тиц, согласно которому невозможно
экспериментально различить тожде
ственные частицы.
В классической механике даже оди
наковые частицы можно различить по
положению в пространстве и импуль
сам. Если частицы в какой то момент
времени пронумеровать, то в следую
щие моменты времени можно просле
дить за траекторией любой из них.
Классические частицы, таким образом,
обладают индивидуальностью, поэтому
классическая механика систем из оди
наковых частиц принципиально не от
личается от классической механики
систем из различных частиц.
В квантовой механике положение
иное. Из соотношения неопределенно
стей вытекает, что для микрочастиц во
обще неприменимо понятие траекто
рии; состояние микрочастицы описыва
ется волновой функцией, позволяющей
вычислять лишь вероятность (1⁄2y1⁄22) на
хождения микрочастицы в окрестнос
тях той или иной точки пространства.
Если же волновые функции двух тож
дественных частиц в пространстве пе
рекрываются, то разговор о том, какая
частица находится в данной области,
вообще лишен смысла: можно лишь го
ворить о вероятности нахождения в
данной области одной из тождествен
ных частиц.
Таким образом, в квантовой механи
ке тождественные частицы полностью
теряют свою индивидуальность и ста
новятся неразличимыми. Следует под
черкнуть, что принцип неразличимос
ти тождественных частиц не является
просто следствием вероятностной ин
терпретации волновой функции, а вво
дится в квантовую механику как новый
принцип, который, как уже указывалось,
является фундаментальным.
Принимая во внимание физический
смысл величины 1⁄2y1⁄22
, принцип неразли
чимости тождественных частиц можно
записать в виде
1⁄2y(x1, x 2)1⁄2
2
= 1⁄2y(x2, x1)1⁄2
2
, (226.1)
где x 1 и x 2 — соответственно совокуп
ность пространственных и спиновых
координат первой и второй частиц. Из
выражения (226.1) вытекает, что воз
можны два случая:
y(x1, x2) = ±y(x2, x1),
т. е. принцип неразличимости тожде
ственных частиц ведет к определенному
свойству симметрии волновой функции.
Если при перемене частиц местами вол
новая функция не меняет знака, то она
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

425
называется симметричной, если меня
ет — антисимметричной.
Изменение знака волновой функции
не означает изменения состояния, так
как физический смысл имеет лишь
квадрат модуля волновой функции. В
квантовой механике доказывается, что
характер симметрии волновой функции
не меняется со временем. Это же явля
ется доказательством того, что свойство
симметрии или антисимметрии — при
знак данного типа микрочастиц.
Установлено, что симметрия или ан
тисимметрия волновых функций опре
деляется спином частиц. В зависимос
ти от характера симметрии все элемен
тарные частицы и построенные из них
системы (атомы, молекулы) делятся на
два класса. Частицы с полуцелым спи
ном (например, электроны, протоны,
нейтроны) описываются антисиммет
ричными волновыми функциями и под
чиняются статистике Ферми — Ди
рака; эти частицы называются ферми
онами.
Частицы с нулевым или целочислен
ным спином (например, p мезоны, фо
тоны) описываются симметричными
волновыми функциями и подчиняются
статистике Бозе — Эйнштейна; эти
частицы называются бозонами. Слож
ные частицы (например, атомные ядра),
составленные из нечетного числа фер
мионов, являются фермионами (сум
марный спин — полуцелый), а из чет
ного — бозонами (суммарный спин це
лый).
Зависимость характера симметрии
волновых функций системы тожде
ственных частиц от спина частиц тео
ретически обоснована швейцарским
физиком В. Паули (1900 — 1958), что
явилось еще одним доказательством
того, что спин является фундамен
тальной характеристикой микрочас
тиц.
§ 227. Ïðèíöèï Ïàóëè.
Ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ
â àòîìå ïî ñîñòîÿíèÿì
Если тождественные частицы имеют
одинаковые квантовые числа, то их вол
новая функция симметрична относи
тельно перестановки частиц. Отсюда
следует, что два одинаковых фермиона,
входящих в одну систему, не могут на
ходиться в одинаковых состояниях, так
как для фермионов волновая функция
должна быть антисимметричной. Обоб
щая опытные данные, В. Паули сформу
лировал принцип, согласно которому
системы фермионов встречаются в
природе только в состояниях, описыва
емых антисимметричными волновыми
функциями (квантово механическая
формулировка принципа Паули).
Из этого положения вытекает более
простая формулировка принципа Пау
ли, которая и была введена им в кван
товую теорию (1925) еще до утвержде
ния квантовой механики: в системе оди
наковых фермионов любые два из них не
могут одновременно находиться в одном
и том же состоянии. Отметим, что чис
ло однотипных бозонов, находящихся
в одном и том же состоянии, не лими
тируется.
Напомним, что состояние электро
на в атоме однозначно определяется
набором четырех квантовых чисел:
главного n (n = 1, 2, 3,K),
орбитального l (l = 0, 1, 2, K, n -1),
магнитного ml
(ml = -l,K, -1,0,+1, K, +l),
магнитного спинового ms
(ms = +1/2, -1/2).
Распределение электронов в атоме
подчиняется принципу Паули, кото
рый может быть использован в его про
стейшей формулировке: в одном и том
же атоме не может быть более одного
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

426
электрона с одинаковым набором четы
рех квантовых чисел n, l, ml и ms, т.е.
Z(n,l,ml,ms) =0 или1,
где Z(n, l , ml, ms) — число электронов,
находящихся в квантовом состоянии,
описываемом набором четырех кванто
вых чисел: n, l, ml, ms .
Таким образом, принцип Паули ут
верждает, что два электрона, связанные
в одном и том же атоме, различаются
значениями по крайней мере одного
квантового числа.
Согласно формуле (223.8), данному
n соответствует n2 различных состояний,
отличающихся значениями l и ml. Кван
товое число ms может принимать лишь
два значения (±1/2). Поэтому макси
мальное число электронов, находящих
ся в состояниях, определяемых данным
главным квантовым числом, равно
1
2
0
()2(21)2.
n
l
Zn
l
n
-
=
=+
=
å
Совокупность электронов в много
электронном атоме, имеющих одно и то
же главное квантовое число n, называ
ют электронной оболочкой. В каждой
из оболочек электроны распределяют
ся по подоболочкам, соответствующим
данному l . Поскольку орбитальное
квантовое число принимает значения
от 0 до n - 1, число подоболочек равно
порядковому номеру n оболочки. Коли
чество электронов в подоболочке опре
деляется магнитным и магнитным спи
новым квантовыми числами: макси
мальное число электронов в подоболоч
ке с данным l равно 2(2l + 1). Обозна
чения оболочек, а также распределение
электронов по оболочкам и подоболоч
кам представлены в табл. 11 .
§ 228. Ïåðèîäè÷åñêàÿ ñèñòåìà
ýëåìåíòîâ Ìåíäåëååâà
Принцип Паули лежит в основе си
стематики заполнения электронных со
стояний в атомах и позволяет объяс
нить Периодическую систему эле
ментов Д. И. Менделеева (1869) —
фундаментальный закон природы, яв
ляющийся основой современной хи
мии, атомной и ядерной физики.
Д. И. Менделеев ввел понятие по
рядкового номера Z химического эле
мента, равного числу протонов в ядре и
соответственно равного общему числу
электронов в электронной оболочке
атома. Расположив химические элемен
ты по мере возрастания порядковых но
меров, он получил периодичность в из
менении химических свойств элемен
тов. Однако для известных в то время
Таблица 11
Главное квантовое число n 12 3
4
5
Символ оболочки
KLM
N
O
Максимальное число
2
8
18
32
50
электронов в оболочке
Орбитальное квантовое
001012012301234
число l
Символподоболочки 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 5g
Максимальное число
226261
0261
01
4261
01
41
8
электронов в подоболочке
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

427
64 химических элементов некоторые
клетки таблицы оказались незаполнен
ными, так как соответствующие им эле
менты (например, Ga, Se, Ge) тогда еще
не были известны. Д. И. Менделеев, та
ким образом, не только правильно рас
положил известные элементы, но и
предсказал существование новых, еще
не открытых элементов и их основные
свойства. Кроме того, ему удалось уточ
нить атомные веса некоторых элемен
тов. Например, атомные веса Be и U,
вычисленные на основе таблицы Мен
делеева, оказались правильными, а по
лученные ранее экспериментально —
ошибочными.
Так как химические и некоторые
физические свойства элементов опреде
ляются внешними (валентными) элек
тронами в атомах, то периодичность
свойств химических элементов должна
быть связана с определенной периодич
ностью в расположении электронов в
атомах. Поэтому для объяснения табли
цы будем считать, что каждый последу
ющий элемент образован из предыду
щего прибавлением к ядру одного про
тона и соответственно прибавлением
одного электрона в электронной обо
лочке атома. Взаимодействием электро
нов пренебрегаем, внося, где это необ
ходимо, соответствующие поправки.
Рассмотрим атомы химических элемен
тов, находящиеся в основном состоя
нии.
Единственный электрон атома водо
рода находится в состоянии 1s, харак
теризуемом квантовыми числами n =1,
l=0,ml =0иms = ±1/2(ориентация
его спина произвольна). Оба электро
на атома He находятся в состоянии 1s,
но с антипараллельной ориентацией
спина. Электронная конфигурация для
атома He записывается как 1s
2
(два
1s электрона). На атоме He заканчива
ется заполнение K оболочки, что соот
Таблица 12
Пери
Z
ЭлеKLM
N
од
мент1s2s2p3s3p3d4s4p4d4f
I1H1
2He2
3L
i21
4Be22
5B221
6C222
II7N223
8 O224
9F225
10Ne 226
11Na 2261
12Mg2262
13Al 22621
14Si 22622
III15 P 22623
16 S 22624
17Cl 22625
18Ar 22626
Пери
Z
ЭлеKLM
N
од
мент1s2s2p3s3p3d4s4p4d4f
19 K 22626- 1
20Ca 22626- 2
21Sc 2262612
22Ti 2262622
23 V 2262632
24Cr 2262651
25Mn2262652
26Fe 2262662
27Co 2262672
IV
28Ni 2262682
29Cu 22626101
30Zn 22626102
31Ga 226261021
32Ge 226261022
33As 226261023
34Se 226261024
35Br 226261025
36Kr 226261026
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

428
ветствует завершению I периода Пери
одической системы элементов Менде
леева (табл. 12).
Третий электрон атома Li ( Z = 3), со
гласно принципу Паули, уже не может
разместиться в целиком заполненной
K оболочке и занимает наинизшее энер
гетическое состояние с n = 2 (L оболоч
ка), т. е . 2s состояние. Электронная кон
фигурация для атома Li: 1s 22s. Атомом
Li начинается II период Периодической
системы элементов. Четвертым элект
роном Be (Z = 4) заканчивается запол
нение подоболочки 2s. У следующих
шести элементов от B (Z = 5) до Ne
(Z =10) идет заполнение подоболочки
2p (табл. 12). II период Периодической
системы заканчивается неоном — инер
тным газом, для которого подоболочка
2p целиком заполнена.
Одиннадцатый электрон Na (Z = 11)
размещается в M оболочке (n = 3), за
нимая наинизшее состояние 3s. Элект
ронная конфигурация имеет вид
1s22s
2
2p63s. 3s Электрон (как и 2s элек
трон Li) является валентным электро
ном, поэтому оптические свойства Na
подобны свойствам Li. С Z = 12 идет
последовательное заполнение M обо
лочки. A r (Z = 18) оказывается подоб
ным Не и Ne: в его наружной оболочке
все s и p состояния заполнены. Ar яв
ляется химически инертным и завер
шает III период Периодической сис
темы.
Девятнадцатый электрон K (Z = 19)
должен был бы занять 3d состояние в M
оболочке. Однако и в оптическом, и в
химическом отношениях атом K схож с
атомами Li и Na, которые имеют вне
шний валентный электрон в s состоя
нии. Поэтому 19 й валентный электрон
K должен также находиться в s состоя
нии, но это может быть только s состоя
ние новой оболочки (N оболочки), т . е .
заполнение N оболочки для K начина
ется при незаполненной M оболочке.
Это означает, что в результате взаимо
действия электронов состояние n = 4,
l = 0 имеет меньшую энергию, чем со
стояние n = 3, l = 2. Спектроскопичес
кие и химические свойства Ca (Z = 20)
показывают, что его 20 й электрон также
находится в 4s состоянии N оболочки.
В последующих элементах происхо
дит заполнение M оболочки [от Sc
(Z=21)доZn(Z=30)].ДалееNобо
лочка заполняется до Kr (Z = 36), у
которого опять таки, как и в случае Ne
и Ar, s и p состояния наружной обо
лочки заполнены целиком. Криптоном
заканчивается IV период Периодиче
ской системы. Подобные рассуждения
применимы и к остальным элементам
таблицы Менделеева, однако эти дан
ные можно найти в справочниках. От
метим лишь, что и начальные элемен
ты последующих периодов Rb, Cs, Fr яв
ляются щелочными металлами, а их
последний электрон находится в s со
стоянии. Кроме того, атомы инертных
газов (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn) занимают
в таблице особое положение — в каж
дом из них s и p состояния наружной
оболочки целиком заполнены и ими за
вершаются очередные периоды Перио
дической системы.
Каждую из двух групп элементов —
лантаниды [от лантана (Z = 57) до лю
теция (Z = 71)] и актиниды [от акти
ния (Z = 89) до лоуренсия (Z = 103)] —
приходится помещать в одну клетку
таблицы, так как химические свойства
элементов в пределах этих групп очень
близки. Это объясняется тем, что для
лантанидов заполнение подоболочки 4f,
которая может содержать 14 электро
нов, начинается лишь после того, как
целиком заполнятся подоболочки 5s, 5p
и 6s. Поэтому для этих элементов вне
шняя P оболочка (6s 2) оказывается
одинаковой. Аналогично, одинаковой
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

429
для актинидов является Q оболочка
(7s 2).
Таким образом, открытая Менделе
евым периодичность в химических
свойствах элементов объясняется по
вторяемостью в структуре внешних
оболочек у атомов родственных эле
ментов. Так, инертные газы имеют оди
наковые внешние оболочки из 8 элект
ронов (заполненные s и p состояния);
во внешней оболочке щелочных метал
лов (Li, Na, K, Rb , Cs, Fr ) имеется лишь
один s электрон; во внешней оболочке
щелочно земельных металлов (Be, Mg,
Ca, Sr, Ba, Ra) имеется два s электро
на; галоиды (F, Cl, Br, I, At) имеют вне
шние оболочки, в которых недостает
одного электрона до оболочки инертно
гогаза,ит.д.
§ 229. Ðåíòãåíîâñêèå ñïåêòðû
Большую роль в выяснении строе
ния атома, а именно распределения
электронов по оболочкам, сыграло из
лучение, открытое в 1895 г. немецким
физиком В. Рентгеном (1845 — 1923) и
названное рентгеновским.
Самым распространенным источни
ком рентгеновского излучения являет
ся рентгеновская трубка, в которой
сильно ускоренные электрическим по
лем электроны бомбардируют анод (ме
таллическая мишень из тяжелых метал
лов, например W или Pt), испытывая
на нем резкое торможение. При этом
возникает рентгеновское излучение,
представляющее собой электромагнит
ное излучение с длиной волны пример
но 10-12
—
10-8 м . Волновая природа рен
тгеновского излучения доказана опыта
ми по его дифракции (см. § 182).
Исследование спектрального соста
ва рентгеновского излучения показыва
ет, что его спектр имеет сложную струк
туру (рис. 309) и зависит как от энер
гии электронов, так и от материала ано
да. Спектр представляет собой наложе
ние сплошного спектра, ограниченного
со стороны коротких длин волн неко
торой границей lmin, называемой гра
ницей сплошного спектра, и линейча
того спектра — совокупности отдель
ных линий, появляющихся на фоне
сплошного спектра.
Исследования показали, что харак
тер сплошного спектра не зависит от
материала анода, а определяется толь
ко энергией бомбардирующих анод
электронов. Детальное исследование
свойств этого излучения показало, что
оно испускается бомбардирующими
анод электронами в результате их тор
можения при взаимодействии с атома
ми мишени. Сплошной рентгеновский
спектр поэтому называют тормозным
спектром. Этот вывод находится в со
гласии с классической теорией излуче
ния, так как при торможении движу
щихся зарядов должно действительно
возникать излучение со сплошным
спектром.
Из классической теории, однако, не
вытекает существование коротковол
новой границы сплошного спектра. Из
опытов следует, что чем больше кине
тическая энергия электронов, вызыва
ющих тормозное рентгеновское излуче
ние, тем меньше lmin. Это обстоятель
ство, а также наличие самой границы
Рис. 309
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

430
объясняются квантовой теорией. Оче
видно, что предельная энергия кванта
соответствует такому случаю торможе
ния, при котором вся кинетическая
энергия электрона переходит в энергию
кванта, т. е .
Emax = hnmax = eU,
где nmax — частота, соответствующая
границе сплошного спектра; U — раз
ность потенциалов, за счет которой
электрону сообщается энергия Emax.
Отсюда граничная длина волны
,
min
max
max
cc
hc
h
eUE
l= ==
n
(229.1)
что полностью соответствует экспери
ментальным данным. Измеряя границу
рентгеновского сплошного спектра, по
формуле (229.1) можно определить эк
спериментальное значение постоянной
Планка h , которое наиболее точно со
впадает с современными данными.
При достаточно большой энергии
бомбардирующих анод электронов на
фоне сплошного спектра появляются
отдельные резкие линии — линейчатый
спектр, определяемый материалом ано
да и называемый характеристичес
ким рентгеновским спектром (излу
чением).
По сравнению с оптическими спек
трами характеристические рентгено
вские спектры элементов совершенно
однотипны и состоят из нескольких се
рий, обозначаемых K, L, M, N и O. Каж
дая серия, в свою очередь, содержит
небольшой набор отдельных линий,
обозначаемых в порядке убывания дли
ны волны индексами a, b, g, K (Ka, Kb,
Kg, K, La, Lb, Lg, K).
При переходе от легких элементов к
тяжелым структура характеристическо
го спектра не изменяется, лишь весь
спектр смещается в сторону коротких
волн. Особенность этих спектров зак
лючается в том, что атомы каждого хи
мического элемента, независимо от
того, находятся ли они в свободном со
стоянии или входят в химическое со
единение, обладают определенным,
присущим только данному элементу
линейчатым спектром характеристи
ческого излучения. Так, если анод со
стоит из нескольких элементов, то и ха
рактеристическое рентгеновское излу
чение представляет собой наложение
спектров этих элементов.
Рассмотрение структуры и особен
ностей характеристических рентгено
вских спектров приводит к выводу, что
их возникновение связано с процесса
ми, происходящими во внутренних, за
строенных электронных оболочках
атомов, которые имеют сходное строе
ние.
Разберем механизм возникновения
рентгеновских серий, который схемати
чески показан на рис. 310. Предполо
жим, что под влиянием внешнего элек
трона или высокоэнергетического фо
тона вырывается один из двух электро
нов K оболочки атома. Тогда на его ме
сто может перейти электрон с более уда
ленных от ядра оболочек L, M, N, K . Та
кие переходы сопровождаются испуска
нием рентгеновских квантов и возник
Рис. 310
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

431
новением спектральных линий K серии:
Ka(L®K),Kb(M®K),Kg(N®K)
ит.д
.
Самой длинноволновой линией K се
рии является линия Ka. Частоты линий
возрастают в ряду Ka ® Kb ® Kg, по
скольку энергия, высвобождаемая при
переходе электрона на K оболочку с
более удаленных оболочек, увеличива
ется.
Наоборот, интенсивности линий в
ряду Ka ® Kb ® Kg убывают, так как
вероятность переходов электронов с
L оболочки на K оболочку больше, чем
с более удаленных оболочек M и N.
K серия сопровождается обязательно
другими сериями, так как при испуска
нии ее линий появляются вакансии в
оболочках L, M, K, которые будут за
полняться электронами, находящими
ся на более высоких уровнях.
Аналогично возникают и другие се
рии, наблюдаемые, впрочем, только для
тяжелых элементов. Рассмотренные
линии характеристического излучения
могут иметь тонкую структуру, по
скольку уровни, определяемые глав
ным квантовым числом, расщепляют
ся согласно значениям орбитального и
магнитного квантовых чисел.
Исследуя рентгеновские спектры
элементов, английский физик Г. Мозли
(1887 — 1915) установил в 1913 г. соот
ношение, называемое законом Мозли:

,
2
22
11
()
RZ
mn
n=
-
s
-
(229.2)
где n — частота, соответствующая дан
ной линии характеристического рент
геновского излучения; R — постоянная
Ридберга; s — постоянная экранирова
ния; m = 1, 2, 3, K (определяет рентге
новскую серию), n принимает целочис
ленные значения, начиная с m + 1 (оп
ределяет отдельную линию соответ
ствующей серии).
Закон Мозли (229.2) подобен обоб
щенной формуле Бальмера (209.3) для
атома водорода.
Смысл постоянной экранирования
заключается в том, что на электрон, со
вершающий переход, соответствующий
некоторой линии, действует не весь за
ряд ядра Ze, а заряд (Z - s)e, ослаблен
ный экранирующим действием других
электронов. Например, для Ka линии
s=1, и закон Мозли запишется в виде

2
22
11
(1
).
12
RZ
n=
-
-
§ 230. Ìîëåêóëû: õèìè÷åñêèå
ñâÿçè, ïîíÿòèå îá ýíåðãåòè÷åñêèõ
óðîâíÿõ
Молекула — наименьшая частица
вещества, состоящая из одинаковых
или различных атомов, соединенных
между собой химическими связями, и
являющаяся носителем его основных
химических и физических свойств. Хи
мические связи обусловлены взаимо
действием внешних, валентных элект
ронов атомов. Наиболее часто в моле
кулах встречается два типа связи: ион
ная и ковалентная (см. § 71).
Ионная связь (например, в молеку
лах NaCl, KBr) осуществляется элект
ростатическим взаимодействием ато
мов при переходе электрона одного
атома к другому, т. е. при образовании
положительного и отрицательного
ионов.
Ковалентная связь (например, в
молекулах H2, C2, CO) осуществляется
при обобществлении валентных элект
ронов двумя соседними атомами (спи
ны валентных электронов должны быть
антипараллельны).
Ковалентная связь объясняется на
основе принципа неразличимости тож
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

432
дественных частиц (см. § 226), напри
мер электронов в молекуле водорода.
Неразличимость частиц приводит к
специфическому взаимодействию меж
ду ними, называемому обменным вза
имодействием. Это чисто квантовый
эффект, не имеющий классического
объяснения, но его можно себе предста
вить так, что электрон каждого из ато
мов молекулы водорода проводит неко
торое время у ядра другого атома и, сле
довательно, осуществляется связь обо
их атомов, образующих молекулу. При
сближении двух водородных атомов до
расстояний порядка боровского радиу
са возникает их взаимное притяжение
и образуется устойчивая молекула во
дорода.
Молекула является квантовой сис
темой; она описывается уравнением
Шредингера, учитывающим движение
электронов в молекуле, колебания ато
мов молекулы, вращение молекулы.
Решение этого уравнения — очень слож
ная задача, которая обычно разбивает
ся на две: для электронов и ядер.
Энергия изолированной молекулы
E » Eэл + Eкол + Eвращ, (230.1)
где Eэл — энергия движения электронов
относительно ядер; Eкол — энергия ко
лебаний ядер (в результате которых
периодически изменяется относитель
ное положение ядер); Eвращ — энергия
вращения ядер (в результате которых
периодически изменяется ориентация
молекулы в пространстве).
В формуле (230.1) не учтены энер
гия поступательного движения центра
масс молекулы и энергия ядер атомов
в молекуле. Первая из них не квантует
ся, поэтому ее изменения не могут при
вести к возникновению молекулярно
го спектра, а вторую можно не учиты
вать, если не рассматривать сверхтон
кую структуру спектральных линий.
Отношения Eэл : Eкол : Eвращ = 1 :
m
M
:
m
M
,
где m — масса электрона; M — величина,
имеющая порядок массы ядер атомов
в молекуле,
m
M
» 10-5
—
10-3
. Поэтому
Eэл ? Eкол ? Eвращ. Доказано, что Eэл »
»1— 10 эВ, Eкол » 10-2
— 10-1
эВ, Eвращ »
»10-5
— 10-3
эВ.
Каждая из входящих в выражение
(230.1) энергий квантуется (ей соответ
ствует набор дискретных уровней энер
гии) и определяется квантовыми чис
лами. При переходе из одного энерге
тического состояния в другое поглоща
ется или испускается энергия DE = h n.
При таких переходах одновременно из
меняются энергия движения электро
нов, энергии колебаний и вращения ядер.
Из теории и эксперимента следует,
что расстояние между вращательными
уровнями энергии DE вращ гораздо мень
Рис. 311
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

433
ше расстояния между колебательными
уровнями DEкол, которое, в свою оче
редь, меньше расстояния между элект
ронными уровнями DEэл. На рис. 311
схематически представлены уровни
энергии двухатомной молекулы (для
примера рассмотрены только два элек
тронных уровня — показаны жирными
линиями).
Как будет показано в § 231, структу
ра энергетических уровней молекул
определяет их спектр излучения, возни
кающий при квантовых переходах меж
ду соответствующими энергетическими
уровнями.
§ 231. Ìîëåêóëÿðíûå ñïåêòðû.
Êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå ñâåòà
Строение молекул и свойства их
энергетических уровней проявляются в
молекулярных спектрах — спектрах
излучения (поглощения), возникаю
щих при квантовых переходах между
уровнями энергии молекул. Спектр из
лучения молекулы определяется струк
турой ее энергетических уровней и со
ответствующими правилами отбора
(например, изменение квантовых чи
сел, соответствующих как колебатель
ному, так и вращательному движению,
должно быть равно ±1).
Итак, при разных типах переходов
между уровнями возникают различные
типы молекулярных спектров. Частоты
спектральных линий, испускаемых мо
лекулами, могут соответствовать пере
ходам с одного электронного уровня на
другой (электронные спектры) или с
одного колебательного (вращательно
го) уровня на другой [колебательные
(вращательные) спектры]. Кроме
того, возможны и переходы с одними
значениями Eкол и Eвращ на уровни, име
ющие другие значения всех трех ком
понентов, в результате чего возникают
электронно колебательные и ко
лебательно вращательные спек
тры. Поэтому спектр молекул доволь
но сложный.
Типичные молекулярные спект
ры — полосатые, представляют собой
совокупность более или менее узких по
лос в ультрафиолетовой, видимой и ин
фракрасной областях. Применяя спек
тральные приборы высокой разрешаю
щей способности, можно видеть, что
полосы представляют собой настолько
тесно расположенные линии, что они с
трудом разрешаются.
Структура молекулярных спектров
различна для разных молекул и с уве
личением числа атомов в молекуле ус
ложняется (наблюдаются лишь сплош
ные широкие полосы). Колебательны
ми и вращательными спектрами обла
дают только многоатомные молекулы,
а двухатомные их не имеют. Это объяс
няется тем, что двухатомные молекулы
не имеют дипольных моментов (при ко
лебательных и вращательных перехо
дах отсутствует изменение дипольного
момента, что является необходимым
условием отличия от нуля вероятнос
ти перехода).
В 1928 г. академики Г. С. Ландсберг
(1890 — 1957) и Л. И . Мандельштам, а
также индийские физики Ч. Раман
(1888 — 1970) и К. Кришнан (р. 1911) од
новременно открыли явление комби
национного рассеяния света. Если на
вещество (газ, жидкость, прозрачный
кристалл) падает строго монохромати
ческий свет, то в спектре рассеянного
света помимо несмещенной спектраль
ной линии обнаруживаются новые ли
нии, частоты которых представляют
собой суммы или разности частоты n
падающего света и частот ni собствен
ных колебаний (или вращений) моле
кул рассеивающей среды.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

434
Линии в спектре комбинационного
рассеяния с частотами n - ni, меньши
ми частоты n падающего света, называ
ются стоксовыми (или красными)
спутниками, линии с частотами n + ni,
бо′льшими n, — антистоксовыми (или
фиолетовыми) спутниками.
Анализ спектров комбинационного
рассеяния приводит к следующим вы
водам: 1) линии спутников располага
ются симметрично по обе стороны от
несмещенной линии; 2) частоты ni не за
висят от частоты падающего на веще
ство света, а определяются только рас
сеивающим веществом, т. е . характери
зуют его состав и структуру; 3) число
спутников определяется рассеивающим
веществом; 4) интенсивность антисток
совых спутников меньше интенсивно
сти стоксовых и с повышением темпе
ратуры рассеивающего вещества увели
чивается, в то время как интенсивность
стоксовых спутников практически от
температуры не зависит.
Объяснение закономерностей ком
бинационного рассеяния света дает
квантовая теория. Согласно этой тео
рии, рассеяние света есть процесс, в ко
тором один фотон поглощается и один
фотон испускается молекулой. Если
энергии фотонов одинаковы, то в рас
сеянном свете наблюдается несмещен
ная линия. Однако возможны процес
сы рассеяния, при которых энергии по
глощенного и испущенного фотонов
неодинаковы. Различие энергии фото
нов связано с переходом молекулы из
нормального состояния в возбужденное
(испущенный фотон будет иметь мень
шую частоту — возникает стоксов спут
ник), либо из возбужденного состояния
в нормальное (испущенный фотон бу
дет иметь бо′ льшую частоту — возника
ет антистоксов спутник).
Рассеяние света сопровождается пе
реходами молекулы между различны
ми колебательными или вращательны
ми уровнями, в результате чего и воз
никает ряд симметрично расположен
ных спутников. Число спутников, та
ким образом, определяется энергети
ческим спектром молекул, т. е . зависит
только от природы рассеивающего ве
щества. Так как число возбужденных
молекул гораздо меньше, чем число не
возбужденных, то интенсивность анти
стоксовых спутников меньше, чем сто
ксовых. С повышением температуры
число возбужденных молекул растет, в
результате чего возрастает и интенсив
ность антистоксовых спутников.
Молекулярные спектры (в том чис
ле и спектры комбинационного рассея
ния света) применяются для исследо
вания строения и свойств молекул, ис
пользуются в молекулярном спектраль
ном анализе, лазерной спектроскопии,
квантовой электронике и т. д.
§ 232. Ïîãëîùåíèå. Ñïîíòàííîå
è âûíóæäåííîå èçëó÷åíèÿ
Как отмечалось выше, атомы могут
находиться лишь в квантовых состоя
ниях с дискретными значениями энер
гии E1, E2, E3, K . Ради простоты рас
смотрим только два из этих состояний
(1 и 2) с энергиями E1 и E2. Если атом
находится в основном состоянии 1, то
под действием внешнего излучения
может осуществиться вынужденный
переход в возбужденное состояние 2
(рис. 312, а), приводящий к поглоще
нию излучения. Вероятность подобных
переходов пропорциональна плотности
излучения, вызывающего эти переходы.
Атом, находясь в возбужденном со
стоянии 2, может через некоторый про
межуток времени спонтанно, без каких
либо внешних воздействий, перейти в
состояние с низшей энергией (в нашем
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

435
случае в основное), отдавая избыточ
ную энергию в виде электромагнитно
го излучения (испуская фотон с энер
гией h n = E2 - E1). Процесс испуска
ния фотона возбужденным атомом
(возбужденной микросистемой) без
каких либо внешних воздействий назы
вается спонтанным (или самопроиз
вольным) излучением (рис. 312, б ).
Чем больше вероятность спонтанных
переходов, тем меньше среднее время
жизни атома в возбужденном состоя
нии. Так как спонтанные переходы вза
имно не связаны, то спонтанное излу
чение некогерентно.
В 1916 г. А. Эйнштейн для объясне
ния наблюдавшегося на опыте термоди
намического равновесия между веще
ством и испускаемым и поглощаемым
им излучением постулировал, что по
мимо поглощения и спонтанного излу
чения должен существовать третий, ка
чественно иной тип взаимодействия.
Если на атом, находящийся в воз
бужденном состоянии 2, действует
внешнее излучение с частотой, удовлет
воряющей условию hn = E2 - E1, то воз
никает вынужденный (индуцирован
ный) переход в основное состояние 1
с излучением фотона той же энергии
hn= E2 - E1 (рис. 312, в). При подоб
ном переходе происходит излучение
атомом фотона дополнительно к тому
фотону, под действием которого про
изошел переход. Возникающее в ре
зультате таких переходов излучение на
зывается вынужденным (индуциро
ванным) излучением. Таким образом,
в процесс вынужденного излучения
вовлечены два фотона: первичный фо
тон, вызывающий испускание излуче
ния возбужденным атомом, и вторич
ный фотон, испущенный атомом. Суще
ственно, что вторичные фотоны нео
тличимы от первичных, являясь точной
их копией.
В статистической физике известен
принцип детального равновесия, со
гласно которому при термодинамичес
ком равновесии каждому процессу
можно сопоставить обратный процесс,
причем скорости их протекания одина
ковы. А . Эйнштейн применил этот прин
цип и закон сохранения энергии при
рассмотрении излучения и поглощения
электромагнитных волн в случае чер
ного тела. Из условия, что при равно
весии полная вероятность испускания
(спонтанного и вынужденного) фото
нов равна вероятности поглощения
фотонов той же частоты, Эйнштейн
получил выведенную ранее Планком
формулу (200.3).
Эйнштейн и Дирак показали, что
вынужденное излучение (вторичные
фотоны) тождественно вынуждающе
му излучению (первичным фотонам):
оно имеет такие же частоту, фазу, по
ляризацию и направление распростра
нения, как и вынуждающее излучение.
Следовательно, вынужденное излуче
ние строго когерентно с вынуждающим
излучением, т. е. испущенный фотон
неотличим от фотона, падающего на
атом.
Испущенные фотоны, двигаясь в
одном направлении и встречая другие
возбужденные атомы, стимулируют
дальнейшие индуцированные перехо
ды, и число фотонов растет лавинооб
разно. Однако наряду с вынужденным
излучением возможен и конкурирую
щий процесс — поглощение. Поэтому
Рис. 312
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

436
для усиления падающего излучения
необходимо, чтобы число актов вынуж
денного излучения фотонов (оно про
порционально заселенности возбуж
денных состояний) превышало число
актов поглощения фотонов (оно про
порционально заселенности основных
состояний).
В системе атомов, находящейся в
термодинамическом равновесии, по
глощение падающего излучения будет
преобладать над вынужденным, т. е . па
дающее излучение при прохождении
через вещество будет ослабляться.
Чтобы среда усиливала падающее на
нее излучение, необходимо создать не
равновесное состояние системы, при
котором число атомов в возбужденных
состояниях было бы больше, чем их
число в основном состоянии. Такие со
стояния называются состояниями с
инверсией населенностей. Процесс со
здания неравновесного состояния ве
щества (перевод системы в состояние с
инверсией населенностей) называется
накачкой. Накачку можно осуществить
оптическими, электрическими и други
ми способами.
В средах с инверсными состояния
ми вынужденное излучение может пре
высить поглощение, вследствие чего
падающий пучок света при прохожде
нии через эти среды будет усиливаться
(эти среды называются активными).
В данном случае явление протекает так,
как если бы в законе Бугера I = I0e
-ax
[см. (187.1)] коэффициент поглоще
ния a, зависящий, в свою очередь, от
интенсивности излучения, стал отрица
тельным. Активные среды поэтому
можно рассматривать в качестве сред с
отрицательным коэффициентом погло
щения.
Впервые на возможность получения
сред, в которых свет может усиливаться
за счет вынужденного излучения, указал
в 1939 г. российский физик В. А.Фабри
кант, экспериментально обнаружив вы
нужденное излучение паров ртути, воз
бужденных при электрическом разря
де. Открытие явления усиления элек
тромагнитных волн и изобретенный
способ их усиления (В. А .Фабрикант,
М. М . Вудынский, Ф. А. Бугаева; 1951)
легли в основу квантовой электроники,
положения которой позволили впос
ледствии осуществить квантовые уси
лители и квантовые генераторы света.
§ 233. Îïòè÷åñêèå êâàíòîâûå
ãåíåðàòîðû (ëàçåðû)
Практически инверсное состояние
среды осуществлено в принципиально
новых источниках излучения — оптиче
ских квантовых генераторах, или ла
зерах (от первых букв английского на
звания Light Amplification by Stimulated
Emission of Radiation — усиление света
с помощью вынужденного излучения).
Лазеры генерируют в видимой, инфра
красной и ближней ультрафиолетовой
областях (в оптическом диапазоне).
Идея качественно нового принципа
усиления и генерации электромагнит
ных волн, примененная в мазерах (гене
раторы и усилители, работающие в сан
тиметровом диапазоне радиоволн) и ла
зерах, принадлежит российским ученым
Н.Г.Басову (1922—2001) и А.М.Про
хорову (1916 — 2002) и американскому
физику Ч. Таунсу (р. 1915), удостоен
ным Нобелевской премии 1964 г.
Важнейшими из существующих ти
пов лазеров являются твердотельные,
газовые, полупроводниковые и жид
костные (в основу такого деления по
ложен тип активной среды). Более точ
ная классификация учитывает также и
методы накачки — оптические, тепло
вые, химические, электроионизацион
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

437
ные и др. Кроме того, необходимо при
нимать во внимание и режим генера
ции — непрерывный или импульсный.
Лазер обязательно имеет три основ
ных компонента: 1) активную среду, в
которой создаются состояния с инвер
сией населенностей; 2) систему накач
ки (устройство для создания инверсии
в активной среде); 3) оптический резо
натор (устройство, выделяющее в про
странство избирательное направление
пучка фотонов и формирующее выхо
дящий световой пучок).
Первым твердотельным лазером
(1960; США), работающим в видимой
области спектра (длина волны излучения
0,6943 мкм), был рубиновый лазер
[Т. Мейман (р. 1927)]. В нем инверсная
населенность уровней осуществляется по
трехуровневой схеме, предложенной в
1955 г. Н . Г. Басовым и А. М . Прохоровым.
Кристалл рубина представляет со
бой оксид алюминия Al2O3, в кристал
лической решетке которого некоторые
из атомов Al замещены трехвалентны
ми ионами Cr3+ (0,03 и 0,05 % ионов
хрома соответственно для розового и
красного рубина). Для оптической на
качки используется импульсная газо
разрядная лампа. При интенсивном об
лучении рубина светом мощной им
пульсной лампы атомы хрома перехо
дят с нижнего уровня 1 на уровни ши
рокой полосы 3 (рис. 313).
Так как время жизни атомов хрома
в возбужденных состояниях мало
(меньше 10-7 с), то осуществляются
либо спонтанные переходы 3 ® 1 (они
незначительны), либо наиболее вероят
ные безызлучательные переходы на
уровень 2 (он называется метастабиль
ным) с передачей избытка энергии ре
шетке кристалла рубина. Переход 2 ® 1
запрещен правилами отбора, поэтому
длительность возбужденного состоя
ния 2 атомов хрома порядка 10-3 с, т. е .
примерно на четыре порядка больше,
чем для состояния 3. Это приводит к
«накоплению» атомов хрома на уров
не 2. При достаточной мощности накач
ки их концентрация на уровне 2 будет
гораздо больше, чем на уровне 1, т. е.
возникает среда с инверсной населенно
стью уровня 2.
Каждый фотон, случайно родивший
ся при спонтанных переходах, в прин
ципе может инициировать (порождать)
в активной среде множество вынужден
ных переходов 2 ® 1, в результате чего
появляется лавина вторичных фотонов,
являющихся копиями первичных. Та
ким образом и зарождается лазерная
генерация. Однако спонтанные перехо
ды носят случайный характер, и спон
танно рождающиеся фотоны испускают
ся в разных направлениях. Тем самым
в самых разных направлениях распро
страняются и лавины вторичных фото
нов. Следовательно, излучение, состо
ящее из подобных лавин, не может об
ладать высокими когерентными свой
ствами.
Для выделения направления лазер
ной генерации используется принципи
ально важный элемент лазера — опти
ческий резонатор. В простейшем слу
чае им служит пара обращенных друг к
другу параллельных зеркал на общей
оптической оси, между которыми поме
щается активная среда (кристалл или
кювета с газом). Как правило, зеркала
Рис. 313
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

438
изготовляются так, что от одного из них
излучение полностью отражается, а вто
рое — полупрозрачно.
Фотоны, движущиеся под углами к
оси кристалла или кюветы, выходят из
активной среды через ее боковую по
верхность. Те же из фотонов, которые
движутся вдоль оси, многократно отра
зятся от противоположных торцов,
каждый раз вызывая вынужденное ис
пускание вторичных фотонов, которые,
в свою очередь, вызовут вынужденное
излучение, и т. д . Так как фотоны, воз
никшие при вынужденном излучении,
движутся в том же направлении, что и
первичные, то поток фотонов, парал
лельный оси кристалла или кюветы,
будет лавинообразно нарастать.
Многократно усиленный поток фо
тонов выходит через полупрозрачное
зеркало, создавая строго направленный
световой пучок огромной яркости. Та
ким образом, оптический резонатор
«выясняет» направление (вдоль оси)
усиливаемого фотонного потока, фор
мируя тем самым лазерное излучение с
высокими когерентными свойствами.
Первым газовым лазером непрерыв
ного действия (1961) был лазер на сме
си атомов неона и гелия. Газы облада
ют узкими линиями поглощения, а лам
пы излучают свет в широком интерва
ле длин волн, поэтому применять их в
качестве накачки невыгодно, так как ис
пользуется только часть мощности лам
пы. Поэтому в газовых лазерах инверс
ная населенность уровней осуществля
ется электрическим разрядом, возбуж
даемым в газах.
В гелий неоновом лазере накачка
происходит в два этапа: гелий служит
носителем энергии возбуждения, а неон
дает лазерное излучение. Электроны,
образующиеся в разряде, при столкно
вениях возбуждают атомы гелия, кото
рые переходят в возбужденное состоя
ние 3 (рис. 314). При столкновениях
возбужденных атомов гелия с атомами
неона происходит их возбуждение и они
переходят на один из верхних уровней
неона, который расположен вблизи со
ответствующего уровня гелия. Переход
атома неона с верхнего уровня 3 на один
из нижних уровней 2 приводит к лазер
ному излучению с l = 0,6328 мкм.
Лазерное излучение обладает следу
ющими свойствами:
1. Временна′ я и пространственная
когерентность (см. § 171). Время коге
рентности составляет 10-3 с, что соот
ветствует длине когерентности поряд
ка 105м(lког = c tког), т.е. на семь поряд
ков выше, чем для обычных источни
ков света.
2. Строгая монохроматичность
(Dl < 10-11
м).
3. Большая плотность потока энер
гии. Если, например, рубиновый стер
жень при накачке получил энергию
W=20Дживысветилсяза10-3 с, то
поток излучения Fe =
3
20
10- Дж/с =
=2· 104 Вт. Фокусируя это излучение
на площади 1 мм2
, получим плотность
потока энергии
4
6
210
10
e
S
-
F
×
=
Вт/м2 =
=2· 1010 Вт/м2
.
4. Очень малое угловое расхождение
в пучке. Например, при использовании
специальной фокусировки луч лазера,
направленный с Земли, дал бы на по
верхности Луны световое пятно диа
метром примерно 3 км (луч прожекто
Рис. 314
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

439
ра осветил бы поверхность диаметром
примерно 40 000 км).
КПД лазеров колеблется в широких
пределах — от 0,01 (для гелий неоново
го лазера) до 75 % (для лазера на стек
ле с неодимом), хотя у большинства
лазеров КПД составляет 0,1 — 1 %. Со
здан мощный CO2 лазер непрерывного
действия, генерирующий инфракрас
ное излучение (l = 10,6 мкм), КПД ко
торого (30 %) превышает КПД суще
ствующих лазеров, работающих при
комнатной температуре.
Необычные свойства лазерного из
лучения находят в настоящее время
широкое применение.
Использование лазеров для обработ
ки, резания и микросварки твердых ма
териалов оказывается экономически
более выгодным (например, пробива
ние калиброванных отверстий в алма
зе лазерным лучом сократило время с
24 ч до 6 — 8 мин). Лазеры применяют
ся для скоростного и точного обнару
жения дефектов в изделиях, для тон
чайших операций (например, луч CO2
лазера в качестве бескровного хирурги
ческого ножа), для исследования меха
низма химических реакций и влияния
на их ход, для получения сверхчистых
веществ. Широко используется лазер
ное разделение изотопов, например та
кого важного в энергетическом отноше
нии элемента, как уран.
С помощью лазеров получают и ис
следуют высокотемпературную плазму.
Эта область их применения связана с
развитием нового направления — ла
зерного управляемого термоядерного
синтеза.
Лазеры широко используются в из
мерительной технике. Лазерные интер
ферометры (в них источником света
служит лазер) применяются для сверх
точных дистанционных измерений ли
нейных перемещений, коэффициентов
преломления среды, давления, темпера
туры. Например, рассмотренный выше
гелий неоновый лазер из за излучения
высокой стабильности, направленнос
ти и монохроматичности (полоса час
тот 1 Гц при частоте 1014 Гц) незаменим
при юстировочных и нивелировочных
работах.
Интересное применение лазеры на
шли в голографии (см. § 184). Для со
здания систем голографической памя
ти с высокой степенью считывания и
большой емкостью необходимы газо
вые лазеры видимого диапазона еще
более высокой монохроматичности и
направленности излучения.
Очень перспективны и интересны
полупроводниковые лазеры, так как
они обладают широким рабочим диапа
зоном (0,7 — 30 мкм) и возможностью
плавной перестройки частоты их излу
чения.
В настоящее время использование
лазеров столь обширно, что даже их пе
речисление в объеме настоящего курса
просто невозможно.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Что характеризуют квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное? Какие значе
ния они могут принимать?
• Каковы возможные значения l и ml для главного квантового числа n = 5?
• Сколько различных состояний соответствует n = 4?
• Каков квантово механический смысл первого боровского радиуса?
• Сравните плотности вероятности обнаружения электрона в основном состоянии атома
водорода согласно теории Бора и квантовой механики.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

440
• Каковы правила квантования орбитального механического и собственного механическо
го моментов импульса электрона? их проекций на направление внешнего магнитного поля?
• В чем суть принципа неразличимости тождественных частиц?
• Какие частицы являются бозонами? фермионами ?
• Почему атом водорода может иметь одну и ту же энергию, находясь в различных состо
яниях?
• Как изменилась бы структура электронных оболочек атома, если бы электроны были не
фермионами, а бозонами?
• Сколько электронов может быть в атоме, у которого в основном состоянии заполнены
K и L оболочки, 3s подоболочка и два электрона в 3p подоболочке? Что это за атом?
• Какие квантовые числа имеет внешний (валентный) электрон в основном состоянии
атома натрия?
• Запишите электронную конфигурацию для атомов: 1) неона; 2) никеля; 3) германия;
4) кобальта.
• Как объяснить происхождение коротковолновой границы спектра тормозного рентге
новского излучения?
• Почему тормозное рентгеновское излучение имеет сплошной спектр, а характеристи
ческое — линейчатый?
• В чем причина значительного различия оптического и характеристического рентгено
вского спектров атома?
• Какая из трех линий характеристического рентгеновского спектра (Kb, Ka ,Lb) самая ко
ротковолновая? самая интенсивная?
• Почему M серия рентгеновского излучения в случае тяжелых элементов сопровождает
ся появлением других серий?
• Как изменится интенсивность рентгеновского излучения и граница сплошного спектра
с увеличением напряжения между катодом и анодом? с увеличением накала нити катода?
• Каков механизм возникновения электронно колебательных и колебательно вращатель
ных спектров?
• В чем заключается явление комбинационного рассеяния света?
• Что такое стоксовы спутники? антистоксовы спутники?
• Возможно ли было бы вынужденное излучение, если фотоны были бы фермионами?
Ответ обосновать.
• Как осуществляются состояния с инверсией населенностей?
• Какое условие необходимо для возникновения вынужденного излучения в веществе?
• Что можно сказать о фазе, поляризации и направлении испускаемых электромагнит
ных волн в случае спонтанного излучения? в случае вынужденного излучения?
• Возможна ли работа лазера по двухуровневой схеме активной среды? Почему?
• Можно ли создать лазер на фермионах?
• Каковы свойства лазерного излучения?
• Почему одним из обязательных компонентов лазера является оптический резонатор?
ÇÀÄÀ×È
29.1 . Определите, сколько различных волновых функций соответствует главному кван
товому числу n = 5. [25]
29.2 . Постройте и объясните диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетичес
ких уровней и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состоя
ниямисl=2иl=1.[d®pпepexoд].
29.3 . Принимая, что уравнению Шредингера для 1s состояния электрона в атоме
водорода удовлетворяет функция
e
r
a
C
-
y= (C — некоторая постоянная), покажите, что
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

441
2
0
2
4
a
me
pe
=
h , равная первому боровскому радиусу. Учесть, что 1s состояние сферически сим
метрично.
29.4 Электрон в атоме находится в f состоянии. Определите: 1) момент импульса (орби
тальный) Ll электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса
max
lz
L нана
правление внешнего магнитного поля. [1) 3,46h; 2) 3h]
29.5 . Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 3.
Определите число электронов в этой оболочке, которые имеют следующие одинаковые кван
товыечисла:1)ms = 1/2иl=2;2)ms = -
1/2иml=0.[1)5;2)3]
29.6 . Минимальная длина волны рентгеновского излучения, полученного от трубки, ра
ботающей при напряжении 50 кВ, равна 24,8 пм. Определите по этим данным постоянную
Планка. [6,61 · 10-34 Дж · c]
29.7 . Определите самую длинноволновую линию K серии характеристического рентге
новского спектра, если анод рентгеновской трубки изготовлен из платины. Постоянную эк
ранирования принять равной единице. [20 пм] .
Ãëàâà 30
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ
§ 234. Êâàíòîâàÿ ñòàòèñòèêà.
Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Квантовая статистика — раздел
статистической физики, в котором изу
чаются свойства систем, состоящих из
огромного числа частиц, подчиняю
щихся законам квантовой механики.
В отличие от исходных положений
классической статистической физики,
в которой тождественные частицы раз
личимы (частицу можно отличить от
всех таких же частиц), квантовая ста
тистика основывается на принципе не
различимости тождественных частиц
(см. § 226). При этом оказывается, как
будет показано ниже, что коллективы
частиц с целым и полуцелым спинами
подчиняются разным статистикам.
Пусть система состоит из N частиц.
Введем в рассмотрение многомерное
пространство всех координат и импуль
сов частиц системы. Тогда состояние
системы определяется заданием 6N пе
ременных, так как состояние каждой
частицы определяется тройкой коорди
нат x, y, z и тройкой соответствующих
проекций импульса px , py, pz . Соответ
ственно число «взаимно перпендику
лярных» координатных осей данного
пространства равно 6N. Это 6N мерное
пространство называется фазовым
пространством.
Каждому микросостоянию системы
отвечает точка в 6N мерном фазовом
пространстве, так как задание точки фа
зового пространства означает задание
координат и импульсов всех частиц си
стемы. Разобьем фазовое пространство
на малые 6N мерные элементарные
ячейки объемом
dqdp = dq1dq2K dq3N dp1dp2K dp3N,
где q — совокупность координат всех
частиц; p — совокупность проекций их
импульсов.
Корпускулярно волновой дуализм
свойств вещества (см. § 213) и соотно
шение неопределенностей Гейзенберга
(см. § 215) приводят к выводу, что объем
элементарной ячейки (он называется
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

442
фазовым объемом) не может быть мень
ше чем h3 (h — постоянная Планка).
Вероятность dW данного состояния
системы можно представить с помощью
функции распределения f (q, p):
dW = f (q, p)dq dp. (234.1)
Здесь dW — вероятность того, что точ
ка фазового пространства попадет в
элемент фазового объема dq dp, распо
ложенного вблизи данной точки q, p .
Иными словами, dW представляет со
бой вероятность того, что система на
ходится в состоянии, в котором ее ко
ординаты и импульсы заключены в ин
тервалеq,q+dqиp,p+dp.
Согласно формуле (234.1), функция
распределения есть не что иное, как
плотность вероятности определенного
состояния системы, поэтому она долж
на быть нормирована на единицу:
,
(,)dd 1
fqp qp=
ò
где интегрирование производится по
всему фазовому пространству.
Зная функцию распределения f (q, p),
можно решить основную задачу кван
товой статистики — определить средние
значения величин, характеризующих
рассматриваемую систему. Среднее
значение любой функции
(,) (,)(,)dd.
Lqp
Lqpfqp q p
áñ
=
ò
(234.2)
Если иметь дело не с координатами
и импульсами, а с энергией, которая
квантуется, то состояние системы ха
рактеризуется не непрерывной, а диск
ретной функцией распределения.
Явное выражение функции распре
деления в самом общем виде получил
американский физик Д. Гиббс (1839 —
1903). Оно называется каноническим
распределением Гиббса. В квантовой
статистике каноническое распределе
ние Гиббса имеет вид
,
()e
n
E
kT
n
fEA
-
=
(234.3)
где A — постоянная, определяемая из
условия нормировки к единице; n — со
вокупность всех квантовых чисел, ха
рактеризующих данное состояние.
Подчеркнем, что f (En) есть именно
вероятность данного состояния, а не ве
роятность того, что система имеет оп
ределенное значение энергии En , так
как данной энергии может соответство
вать не одно, а несколько различных со
стояний (может иметь место вырожде
ние).
§ 235. Ïîíÿòèå î êâàíòîâîé
ñòàòèñòèêå Áîçå — Ýéíøòåéíà
è Ôåðìè — Äèðàêà
Одним из важнейших «объектов»
изучения квантовой статистики, как и
классической, является идеальный газ.
Это связано с тем, что во многих случа
ях реальную систему можно в хорошем
приближении считать идеальным га
зом. Состояние системы невзаимодей
ствующих частиц задается с помощью
так называемых чисел заполнения Ni —
чисел, указывающих степень заполне
ния квантового состояния (характери
зуется данным набором i квантовых
чисел) частицами системы, состоящей
из многих тождественных частиц.
Для систем частиц, образованных
бозонами — частицами с нулевым или
целым спином (см. § 226), числа запол
нения могут принимать любые целые
значения: 0, 1, 2, K (см. § 227). Для си
стем частиц, образованных фермиона
ми — частицами с полуцелым спином
(см. § 226), числа заполнения могут
принимать лишь два значения: 0 — для
свободных состояний и 1 — для заня
тых (см. § 227). Сумма всех чисел за
полнения должна быть равна числу ча
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

443
стиц системы. Квантовая статистика
позволяет подсчитать среднее число
частиц в данном квантовом состоянии,
т. е. определить средние числа заполне
ния áNiñ.
Идеальный газ из бозонов — бозе
газ — описывается квантовой стати
стикой Бозе — Эйнштейна1. Распреде
ление бозонов по энергиям вытекает из
так называемого большого канониче
ского распределения Гиббса (с пере
менным числом частиц) при условии,
что число тождественных бозонов в
данном квантовом состоянии может
быть любым (см. § 227):
1.
e1
i
i
E
kT
N
-m
áñ=
-
(235.1)
Это распределение называется рас
пределением Бозе — Эйнштейна. Здесь
áNiñ — среднее число бозонов в кванто
вом состоянии с энергией Ei; k — посто
янная Больцмана; T — термодинами
ческая температура; m — химический
потенциал, который не зависит от энер
гии, а определяется только температу
рой и плотностью числа частиц.
Химический потенциал находится
обычно из условия, что сумма всех áNiñ
равна полному числу частиц в системе.
Здесь m „ 0, так как иначе среднее чис
ло частиц в данном квантовом состоя
нии отрицательно, что не имеет физи
ческого смысла. Он определяет измене
ние внутренней энергии системы при
добавлении к ней одной частицы при
условии, что все остальные величины,
от которых зависит внутренняя энергия
(энтропия, объем), фиксированы.
Идеальный газ из фермионов —
ферми газ — описывается квантовой
статистикой Ферми — Дирака2. Рас
пределение фермионов по энергиям
имеет вид
,
1
e1
i
i
E
kT
N
-m
áñ=
+
(235.2)
где áNiñ — среднее число фермионов в
квантовом состоянии с энергией Ei; m —
химический потенциал.
В отличие от (235.1) m может иметь
положительное значение (это не приво
дит к отрицательным значениям чисел
áNiñ). Это распределение называется
распределением Ферми — Дирака.
Если e1
i
E
kT
-m
? , то распределения
Бозе — Эйнштейна (235.1) и Ферми —
Дирака (235.2) переходят в классичес
кое распределение Максвелла — Больц
мана:
e
i
E
kT
i
NA
-
áñ=
(235.3)
[ср. с выражением (44.4)], где
e.
kT
A
m
=
(235.4)
Таким образом, при высоких темпе
ратурах оба «квантовых» газа ведут
себя подобно классическому газу.
Система частиц называется вы
рожденной, если ее свойства сущест
венным образом отличаются от свойств
систем, подчиняющихся классической
статистике. Поведение как бозе газа,
так и ферми газа отличается от класси
ческого газа, они являются вырожден
ными газами. Вырождение газов стано
вится существенным при весьма низких
температурах и больших плотностях.
Параметром вырождения называет
сявеличина A.ПриA=1, т.е. прима
лой степени вырождения, распределе
ния Бозе — Эйнштейна (235.1) и Фер
ми — Дирака (235.2) переходят в клас
сическое распределение Максвелла —
Больцмана (235.3).
1 Ш. Бозе (1894 — 1974) — индийский физик.
2 Э. Ферми (1901 — 1954) — итальянский фи
зик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

444
Температурой вырождения T0 на
зывается температура, ниже которой от
четливо проявляются квантовые свой
ства идеального газа, обусловленные
тождественностью частиц, т. е . T0 — тем
пература, при которой вырождение ста
новится существенным. Если T ? T0, то
поведение системы частиц (газа) опи
сывается классическими законами.
§ 236. Âûðîæäåííûé
ýëåêòðîííûé ãàç â ìåòàëëàõ
Распределение электронов по раз
личным квантовым состояниям подчи
няется принципу Паули (см. § 227), со
гласно которому в одном состоянии не
может быть двух одинаковых (с одина
ковым набором четырех квантовых чи
сел) электронов, они должны отличать
ся какой то характеристикой, например
направлением спина. Следовательно, по
квантовой теории электроны в метал
ле не могут располагаться на самом низ
шем энергетическом уровне даже при
0 К. Согласно принципу Паули, элект
роны вынуждены взбираться вверх «по
энергетической лестнице».
Электроны проводимости в металле
можно рассматривать как идеальный
газ, подчиняющийся распределению
Ферми — Дирака (235.2). Если m0 — хи
мический потенциал электронного газа
при T = 0 К, то, согласно (235.2), сред
нее число áN(E )ñ электронов в кванто
вом состоянии с энергией E равно
0
1
()
.
e1
E
kT
NE
-m
áñ
=
+
(236.1)
Для фермионов (электроны являют
ся фермионами) среднее число частиц
в квантовом состоянии и вероятность
заселенности квантового состояния со
впадают, так как квантовое состояние
либо может быть не заселено, либо в
нем будет находиться одна частица. Это
означает, что для фермионов áN(E )ñ =
= f (E ), где f (E ) —функция распределе
ния электронов по состояниям.
Из (236.1) следует, что при T = 0 К
функция распределения áN(E )ñ = 1,
еслиE<m0,иáN(E)ñ=0,еслиE>m0.
График этой функции приведен на рис.
315, а. В области энергий от 0 до m 0 фун
кция áN(E )ñ равна единице. При E = m 0
она скачкообразно изменяется до нуля.
Это означает, что при T = 0 К все ниж
ние квантовые состояния, вплоть до
состояния с энергией E = m0, заполне
ны электронами, а все состояния с энер
гией, большей m 0, свободны. Следова
тельно, m 0 есть не что иное, как макси
мальная кинетическая энергия, которую
могут иметь электроны проводимости в
металле при 0 К. Эта максимальная ки
нетическая энергия называется энерги
ей Ферми и обозначается E F (E F =m0).
Поэтому распределение Ферми —Дира
ка обычно записывается в виде
1
()
.
e1
F
EE
kT
NE
-
áñ
=
+
(236.2)
Наивысший энергетический уро
вень, занятый электронами, называет
ся уровнем Ферми. Уровню Ферми со
ответствует энергия Ферми E F, кото
рую имеют электроны на этом уровне.
Рис. 315
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

445
Уровень Ферми, очевидно, будет тем
выше, чем больше плотность электрон
ного газа. Работу выхода электрона из
металла нужно отсчитывать не от дна
«потенциальной ямы», как это делалось
в классической теории, а от уровня
Ферми, т. е . от верхнего из занятых
электронами энергетических уровней.
Для металлов при не слишком вы
соких температурах выполняется нера
венство kT = EF. Это означает, что элек
тронный газ в металлах практически
всегда находится в состоянии сильно
го вырождения. Температура T0 вырож
дения (см. § 235) находится из условия
kT0 = E F. Она определяет границу, выше
которой квантовые эффекты перестают
быть существенными. Соответствую
щие расчеты показывают, что для элек
тронов в металле T0 » 104 К, т. е. для всех
температур, при которых металл может
существовать в твердом состоянии,
электронный газ в металле вырожден.
При температурах, отличных от 0 К,
функция распределения Ферми — Ди
рака (236.2) плавно изменяется от 1 до
0 в узкой области (порядка kT ) в окре
стности E F (рис. 315, б ). (Здесь же для
сравнения пунктиром приведена фун
кция распределения при T = 0 К.) Это
объясняется тем, что при T > 0 неболь
шое число электронов с энергией, близ
кой к E F, возбуждается вследствие теп
лового движения и их энергия стано
вится больше E F . Вблизи границы Фер
ми при E < E F заполнение электрона
ми меньше единицы, а при E > EF —
больше нуля. В тепловом движении
участвует лишь небольшое число элек
тронов, например при комнатной тем
пературе T » 300 К и температуре вы
рожденияT0 =3·104К, — это 10-5 от
общего числа электронов.
Если (E - E F) ? kT («хвост» функ
ции распределения), то единицей в зна
менателе (236.2) можно пренебречь по
сравнению с экспонентой и тогда рас
пределение Ферми — Дирака переходит
в распределение Максвелла — Больцма
на. Таким образом, при (E - E F) ? kT,
т. е . при больших значениях энергии к
электронам в металле применима клас
сическая статистика, в то же время, ког
да (E -EF) = kT, к ним применима
только квантовая статистика Ферми —
Дирака.
§ 237. Ïîíÿòèå î êâàíòîâîé
òåîðèè òåïëîåìêîñòè. Ôîíîíû
Квантовая статистика устранила труд
ности в объяснении зависимости тепло
емкости газов (в частности, двухатом
ных) от температуры (см. § 53). Соглас
но квантовой механике, энергия враща
тельного движения молекул и энергия
колебаний атомов в молекуле могут
принимать лишь дискретные значения.
Если энергия теплового движения
значительно меньше разности энергий
соседних уровней энергии (kT = DE ),
то при столкновении молекул враща
тельные и колебательные степени сво
боды практически не возбуждаются.
Поэтому при низких температурах по
ведение двухатомного газа подобно од
ноатомному. Так как разность между
соседними вращательными уровнями
энергии значительно меньше, чем между
колебательными, т. е. DE вращ = DE кол
(см. § 230), то с ростом температуры
возбуждаются вначале вращательные
степени свободы, в результате чего теп
лоемкость увеличивается; при дальней
шем повышении температуры возбуж
даются и колебательные степени свобо
ды и происходит дальнейший рост теп
лоемкости (см. рис. 82).
Функции распределения Ферми —
ДиракадляT=0КиT>0Кзаметно
различаются (рис. 315) лишь в узкой
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

446
области энергий (порядка kT ). Следо
вательно, в процессе нагревания металла
участвует лишь незначительная часть
всех электронов проводимости. Этим и
объясняется отсутствие заметной раз
ницы между теплоемкостями металлов
и диэлектриков, что не могло быть
объяснено классической теорией (см.
§ 103).
Как уже указывалось (см. § 73), клас
сическая теория не смогла объяснить
также зависимость теплоемкости твер
дых тел от температуры, а квантовая
статистика решила эту задачу. Так,
А. Эйнштейн, приближенно считая, что
колебания атомов кристаллической ре
шетки независимы (модель кристалла
как совокупности независимых колеб
лющихся с одинаковой частотой гармо
нических осцилляторов), создал каче
ственную квантовую теорию теплоем
кости кристаллической решетки. Она
впоследствии была развита П. Дебаем,
который учел, что колебания атомов в
кристаллической решетке не являются
независимыми (рассмотрел непрерыв
ный спектр частот гармонических ос
цилляторов).
Рассматривая непрерывный спектр
частот осцилляторов, П. Дебай показал,
что основной вклад в среднюю энергию
квантового осциллятора вносят колеба
ния низких частот, соответствующих
упругим волнам. Поэтому тепловое воз
буждение твердого тела можно описать
в виде упругих волн, распространяю
щихся в кристалле.
Согласно корпускулярно волново
му дуализму свойств вещества, упругим
волнам в кристалле сопоставляют фо
ноны, обладающие энергией E = h w.
Фонон есть квант энергии звуковой вол
ны (так как упругие волны — волны
звуковые). Фононы являются квазича
стицами — элементарными возбужде
ниями, ведущими себя подобно микро
частицам. Аналогично тому как кван
тование электромагнитного излучения
привело к представлению о фотонах,
квантование упругих волн привело к
представлению о фононах.
Квазичастицы, в частности фононы,
сильно отличаются от обычных частиц
(например, электронов, протонов, фо
тонов), так как они связаны с коллек
тивным движением многих частиц си
стемы. Квазичастицы не могут возни
кать в вакууме, они существуют только
в кристалле. Импульс фонона облада
ет своеобразным свойством: при стол
кновении фононов в кристалле их им
пульс может дискретными порциями
передаваться кристаллической решет
ке — он при этом не сохраняется. По
этому в случае фононов говорят о ква
зиимпульсе.
Энергия кристаллической решетки
рассматривается как энергия фононно
го газа, подчиняющегося статистике
Бозе — Эйнштейна (см. § 235), так как
фононы являются бозонами (их спин
равен нулю). Фононы могут испускать
ся и поглощаться, но их число не сохра
няется постоянным; поэтому в форму
ле (235.1) для фононов необходимо m
положить равным нулю.
Применение статистики Бозе — Эйн
штейна к фононному газу — газу из не
взаимодействующих бозе частиц —
привело П. Дебая к количественному
выводу, согласно которому при высо
ких температурах, когда T ? T D
(классическая область), теплоемкость
твердых тел описывается законом Дю
лонга и Пти (см. § 73), а при низких тем
пературах, когда T = TD (квантовая об
ласть), — пропорциональна кубу термо
динамической температуры: CV ~ T 3. В
данном случае TD — характеристи
ческая температура Дебая, опреде
ляемая соотношением kTD = h wD, где
wD —предельная частота упругих коле
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

447
баний кристаллической решетки. Та
ким образом, теория Дебая объяснила
расхождение опытных и теоретических
(вычисленных на основе классической
теории) значений теплоемкости твер
дых тел (см. § 73 и рис. 115).
Модель квазичастиц — фононов —
оказалась эффективной для объясне
ния открытого П. Л . Капицей явления
сверхтекучести жидкого гелия (см. § 31,
75). Теория сверхтекучести, созданная
(1941) Л. Д. Ландау и развитая (1947)
российским ученым Н. Н. Боголюбо
вым (p. 1909), применена впоследствии
к явлению сверхпроводимости (см.
§ 239).
§ 238. Âûâîäû êâàíòîâîé òåîðèè
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ìåòàëëîâ
Квантовая теория электропро
водности металлов — теория элект
ропроводности, основывающаяся на
квантовой механике и квантовой ста
тистике Ферми — Дирака, — пересмот
рела вопрос об электропроводности ме
таллов, рассмотренный в классической
физике. Расчет электропроводности ме
таллов, выполненный на основе этой
теории, приводит к выражению для
удельной электрической проводимости
металла
,
2
F
F
nel
mu
áñ
g=
áñ (238.1)
которое по внешнему виду напоминает
классическую формулу (103.2) для g, но
имеет совершенно другое физическое
содержание. Здесь n — концентрация
электронов проводимости в металле;
álFñ — средняя длина свободного про
бега электрона, имеющего энергию Фер
ми; áuFñ — средняя скорость теплового
движения такого электрона.
Выводы, получаемые на основе фор
мулы (238.1), полностью соответству
ют опытным данным. Квантовая теория
электропроводности металлов, в част
ности, объясняет зависимость удельной
проводимости от температуры:
1
T
g:
[классическая теория (см. § 103) дает,
что
1
T
g : ], а также аномально боль
шие величины (порядка сотен периодов
решетки) средней длины свободного
пробега электронов в металле (см.
§ 103).
Квантовая теория рассматривает
движение электронов с учетом их взаи
модействия с кристаллической решет
кой. Согласно корпускулярно волново
му дуализму, движению электрона сопо
ставляют волновой процесс. Идеальная
кристаллическая решетка (в ее узлах
находятся неподвижные частицы и в ней
отсутствуют нарушения периодичнос
ти) ведет себя подобно оптически одно
родной среде — она «электронные вол
ны» не рассеивает. Это соответствует
тому, что металл не оказывает электри
ческому току — упорядоченному движе
нию электронов — никакого сопротив
ления. «Электронные волны», распрос
траняясь в идеальной кристаллической
решетке, как бы огибают узлы решетки
и проходят значительные расстояния.
В реальной кристаллической решет
ке всегда имеются неоднородности, ко
торыми могут быть, например, приме
си, вакансии; неоднородности обуслов
ливаются также тепловыми колебани
ями. В реальной кристаллической ре
шетке происходит рассеяние «элект
ронных волн» на неоднородностях, что
и является причиной электрического
сопротивления металлов. Рассеяние
«электронных волн» на неоднороднос
тях, связанных с тепловыми колебани
ями, можно рассматривать как столкно
вения электронов с фононами.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

448
Согласно классической теории, áuñ ~
~
T , поэтому она не смогла объяснить
истинную зависимость g от температу
ры (см. § 103). В квантовой теории сред
няя скорость áuFñ от температуры прак
тически не зависит, так как доказыва
ется, что с изменением температуры
уровень Ферми остается практически
неизменным. Однако с повышением
температуры рассеяние «электронных
волн» на тепловых колебаниях решет
ки (на фононах) возрастает, что соот
ветствует уменьшению средней длины
свободного пробега электронов. В об
ласти комнатных температур álFñ ~ T
-1
,
поэтому, учитывая независимость áuñ от
температуры, получим, что сопротивле
ние металлов (R ~
1
g ) в соответствии с
данными опытов растет пропорцио
нально T. Таким образом, квантовая те
ория электропроводности металлов ус
транила и эту трудность классической
теории.
§ 239. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü.
Ïîíÿòèå îá ýôôåêòå Äæîçåôñîíà
Прежде чем на основе квантовой тео
рии приступить к качественному объяс
нению явления сверхпроводимости,
рассмотрим некоторые свойства сверх
проводников.
Различные опыты, поставленные с
целью изучения свойств сверхпровод
ников, приводят к выводу, что при пе
реходе металла в сверхпроводящее со
стояние не изменяется структура его
кристаллической решетки, не изменя
ются его механические и оптические (в
видимой и инфракрасной областях)
свойства. Однако при таком переходе
наряду со скачкообразным изменением
электрических свойств качественно
меняются его магнитные и тепловые
свойства. Так, в отсутствие магнитного
поля переход в сверхпроводящее состо
яние сопровождается скачкообразным
изменением теплоемкости, а при пере
ходе в сверхпроводящее состояние во
внешнем магнитном поле скачком из
меняются и теплопроводность, и тепло
емкость (такие явления характерны для
фазовых переходов II рода; см. § 75).
Достаточно сильное магнитное поле
(а следовательно, и сильный электри
ческий ток, протекающий по сверхпро
воднику) разрушает сверхпроводящее
состояние.
Как показал немецкий физик В. Мейс
снер (1882 — 1974), в сверхпроводящем
состоянии магнитное поле в толще
сверхпроводника отсутствует. Это озна
чает, что при охлаждении сверхпровод
ника ниже критической температуры
(см. § 98) магнитное поле из него вытес
няется (эффект Мейсснера).
Общность эффектов, наблюдаемых
в сверхпроводящем состоянии различ
ных металлов, их соединений и сплавов,
указывает на то, что явление сверхпро
водимости обусловлено физическими
причинами, общими для различных ве
ществ, т. е. должен существовать еди
ный для всех сверхпроводников меха
низм этого явления.
Физическая природа сверхпроводи
мости была понята лишь в 1957 г. на
основе теории (создана Ландау в 1941 г.)
сверхтекучести гелия (см. § 237). Тео
рия сверхпроводимости создана аме
риканскими физиками Д. Бардином
(1908 — 1991), Л. Купером (р. 1930) и
Д. Шриффером (р. 1931) и развита
Н. Н. Боголюбовым.
Оказалось, что помимо внешнего
сходства между сверхтекучестью (сверх
текучая жидкость протекает по узким
капиллярам без трения, т. е . без сопро
тивления течению) и сверхпроводимо
стью (ток в сверхпроводнике течет без
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

449
сопротивления по проводу) существует
глубокая физическая аналогия: и сверх
текучесть, и сверхпроводимость — это
макроскопический квантовый эффект.
Качественно явление сверхпроводи
мости можно объяснить так. Между
электронами металла помимо кулонов
ского отталкивания, в достаточной сте
пени ослабляемого экранирующим дей
ствием положительных ионов решетки,
в результате электрон фононного вза
имодействия (взаимодействия электро
нов с колебаниями решетки) возника
ет слабое взаимное притяжение. Это
взаимное притяжение при определен
ных условиях может преобладать над
отталкиванием. В результате электро
ны проводимости, притягиваясь, обра
зуют своеобразное связанное состоя
ние, называемое куперовской парой.
«Размеры» пары много больше (при
мерно на четыре порядка) среднего меж
атомного расстояния, т. е . между элект
ронами, «связанными» в пару, находит
ся много «обычных» электронов.
Чтобы куперовскую пару разрушить
(оторвать один из ее электронов), надо
затратить некоторую энергию, которая
пойдет на преодоление сил притяжения
электронов пары. Такая энергия может
быть в принципе получена в результа
те взаимодействия с фононами. Одна
ко пары сопротивляются своему разру
шению. Это объясняется тем, что суще
ствует не одна пара, а целый ансамбль
взаимодействующих друг с другом ку
перовских пар.
Электроны, входящие в куперов
скую пару, имеют противоположно на
правленные спины. Поэтому спин та
кой пары равен нулю и она представ
ляет собой бозон. К бозонам принцип
Паули неприменим, и число бозе час
тиц, находящихся в одном состоянии,
не ограничено. Поэтому при сверхниз
ких температурах бозоны скапливают
ся в основном состоянии, из которого
их довольно трудно перевести в воз
бужденное. Система бозе частиц — ку
перовских пар, обладая устойчивостью
относительно возможности отрыва элек
трона, может под действием внешнего
электрического поля двигаться без со
противления со стороны проводника,
что и приводит к сверхпроводимости.
На основе теории сверхпроводимо
сти английский физик Б. Джозефсон
(р. 1940) в 1962 г. предсказал эффект,
названный его именем (Нобелевская
премия 1973 г.) . Эффект Джозефсо
на (обнаружен в 1963 г.) — протекание
сверхпроводящего тока сквозь тонкий
слой диэлектрика (пленка оксида ме
талла толщиной »1 нм), разделяющий
два сверхпроводника (так называемый
контакт Джозефсона).
Электроны проводимости проходят
сквозь диэлектрик благодаря туннель
ному эффекту. Если ток через контакт
Джозефсона не превышает некоторого
критического значения, то падения на
пряжения на нем нет (стационарный
эффект Джозефсона), если превыша
ет — возникает падение напряжения U
и контакт излучает электромагнитные
волны (нестационарный эффект
Джозефсона). Частота n излучения
связана с U на контакте соотношением
2eU
h
n=
(e — заряд электрона). Воз
никновение излучения объясняется
тем, что куперовские пары (они созда
ют сверхпроводящий ток), проходя
сквозь контакт, приобретают относи
тельно основного состояния сверхпро
водника избыточную энергию. Возвра
щаясь в основное состояние, они излу
чают квант электромагнитной энергии
hn = 2eU.
Эффект Джозефсона используется
для точного измерения очень слабых
магнитных полей (до 10-18 Тл), токов
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

450
(до 10-10 А) и напряжений (до 10-15 В),
а также для создания быстродействую
щих элементов логических устройств
ЭВМ и усилителей.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Чем отличается бозе газ от ферми газа?
• Запишите распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака и объясните их физи
ческий смысл. Когда они переходят в классическое распределение Максвелла — Больц
мана?
• В чем принципиальное отличие квантовой статистики от классической?
• Что такое фазовое пространство? фазовый объем?
• При каких условиях к электронам в металле можно применять классическую статисти
ку, а когда — только квантовую?
• Как объясняет квантовая статистика отсутствие заметного отличия теплоемкостей ме
таллов и диэлектриков?
• Что такое фонон? Каковы его свойства?
• Как на основе понятий квантовой теории электропроводности металлов объяснить за
висимость удельной проводимости от температуры ?
• Как объяснить явление сверхпроводимости?
• Что такое эффект Джозефсона?
ÇÀÄÀ×È
30.1 . Покажите, что при малом параметре вырождения распределения Бозе — Эйнштей
на и Ферми — Дирака переходят в распределение Максвелла — Больцмана.
30.2 . Определите функцию распределения для электронов, находящихся на энергети
ческом уровне E, для случая (E - E F) = kT, пользуясь: 1) статистикой Ферми — Дирака;
2) статистикой Максвелла — Больцмана.
30.3 . Определите в электрон вольтах максимальную энергию E фотона, который может
возбуждаться в кристалле KCl, характеризуемом температурой Дебая TD = 227 К. Фотон
какой длины волны l обладал бы такой энергией? [E = 0,02 эВ; l = 63,5 мкм]
30.4 . Глубина потенциальной ямы металла составляет 11 эВ, а работа выхода 4 эВ. Опре
делите полную энергию электрона на уровне Ферми. [E = -4 эВ]
30.5. Электрон с кинетической энергией 4 эВ попадает в металл, при этом его кинетичес
кая энергия увеличивается до 7 эВ. Определите глубину потенциальной ямы. [3 эВ]
Ãëàâà 31
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÔÈÇÈÊÈ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ
§ 240. Ïîíÿòèå
î çîííîé òåîðèè òâåðäûõ òåë
Используя уравнение Шредингера —
основное уравнение динамики в нере
лятивистской квантовой механике, —
в принципе можно рассмотреть задачу
о кристалле, например найти возмож
ные значения его энергии, а также со
ответствующие энергетические состоя
ния. Однако как в классической, так и
в квантовой механике отсутствуют ме
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

451
тоды точного решения динамической
задачи для системы многих частиц. По
этому эта задача решается приближен
но сведе′нием задачи многих частиц к
одноэлектронной задаче об одном элек
троне, движущемся в заданном внеш
нем поле. Подобный путь приводит к
зонной теории твердого тела.
В основе зонной теории лежит так
называемое адиабатическое прибли
жение. Квантово механическая систе
ма разделяется на тяжелые и легкие ча
стицы — ядра и электроны. Поскольку
массы и скорости этих частиц значи
тельно различаются, можно считать,
что движение электронов происходит в
поле неподвижных ядер, а медленно
движущиеся ядра находятся в усред
ненном поле всех электронов. Прини
мая, что ядра в узлах кристаллической
решетки неподвижны, движение элек
трона рассматривается в постоянном
периодическом поле ядер.
Далее используется приближение
самосогласованного поля. Взаимодей
ствие данного электрона со всеми дру
гими электронами заменяется действи
ем на него стационарного электричес
кого поля, обладающего периодичнос
тью кристаллической решетки. Это
поле создается усредненным в про
странстве зарядом всех других электро
нов и всех ядер. Таким образом, в рам
ках зонной теории многоэлектронная
задача сводится к задаче о движении
одного электрона во внешнем периоди
ческом поле — усредненном и согласован
ном поле всех ядер и электронов.
Рассмотрим мысленно «процесс об
разования» твердого тела из изолиро
ванных атомов. Пока атомы изолирова
ны, т. е . находятся друг от друга на мак
роскопических расстояниях, они имеют
совпадающие схемы энергетических
уровней (рис. 316). По мере «сжатия»
нашей модели до кристаллической ре
шетки, т. е . когда расстояния между ато
мами станут равными межатомным рас
стояниям в твердых телах, взаимодей
ствие между атомами приводит к тому,
что энергетические уровни атомов сме
щаются, расщепляются и расширяют
ся в зоны, образуется зонный энергети
ческий спектр.
Из рис. 316, на котором показано
расщепление энергетических уровней в
зависимости от расстояния r между ато
мами, видно, что заметно расщепляют
ся и расширяются лишь уровни вне
шних, валентных электронов, наиболее
слабо связанных с ядром и имеющих
наибольшую энергию, а также более
высокие уровни, которые в основном
состоянии атома вообще электронами
не заняты. Уровни же внутренних элек
тронов либо совсем не расщепляются,
либо расщепляются слабо.
Таким образом, в твердых телах
внутренние электроны ведут себя так
же, как в изолированных атомах, вален
тные же электроны «коллективизиро
ваны» — принадлежат всему твердому
телу.
Образование зонного энергетиче
ского спектра в кристалле является
квантово механическим эффектом и
вытекает из соотношения неопределен
ностей. В кристалле валентные элект
роны атомов, связанные слабее с ядра
ми, чем внутренние электроны, могут
переходить от атома к атому сквозь по
Рис. 316
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

452
тенциальные барьеры, разделяющие
атомы, т. е . перемещаться без изменений
полной энергии (туннельный эффект,
см. § 221).
Это приводит к тому, что среднее
время жизни t валентного электрона в
данном атоме по сравнению с изолиро
ванным атомом существенно уменьша
ется и составляет примерно 10-15
с (для
изолированного атома оно примерно
10-8 с). Время жизни электрона в ка
ком либо состоянии связано с неопре
деленностью его энергии (шириной
уровня) соотношением неопределенно
стей
h
E
D
t
:
[см. (215.5)]. Следова
тельно, если естественная ширина спек
тральных линий составляет примерно
10-7 эВ, то в кристаллахDE » 1 —10эВ,
т. е . энергетические уровни валентных
электронов расширяются в зону дозво
ленных значений энергии.
Энергия внешних электронов может
принимать значения в пределах зашт
рихованных на рис. 316 областей, назы
ваемых разрешенными энергетичес
кими зонами. Каждая разрешенная
зона «вмещает» в себя столько близле
жащих дискретных уровней, сколько
атомов содержит кристалл: чем больше
в кристалле атомов, тем теснее распо
ложены уровни в зоне. Расстояние меж
ду соседними энергетическими уровня
ми в зоне составляет приблизительно
10-22
эВ. Так как оно столь ничтожно,
то зоны можно считать практически не
прерывными, однако факт конечного
числа уровней в зоне играет важную
роль для распределения электронов по
состояниям.
Разрешенные энергетические зоны
разделены зонами запрещенных значе
ний энергии, называемыми запрещен
ными энергетическими зонами. В них
электроны находиться не могут. Шири
на зон (разрешенных и запрещенных)
не зависит от размера кристалла. Раз
решенные зоны тем шире, чем слабее
связь валентных электронов с ядрами.
§ 241. Ìåòàëëû, äèýëåêòðèêè
è ïîëóïðîâîäíèêè
ïî çîííîé òåîðèè
Зонная теория твердых тел позволи
ла с единой точки зрения истолковать
существование металлов, диэлектриков
и полупроводников, объясняя различие
в их электрических свойствах, во пер
вых, неодинаковым заполнением элек
тронами разрешенных зон и, во вторых,
шириной запрещенных зон.
Степень заполнения электронами
энергетических уровней в зоне опреде
ляется заполнением соответствующих
атомных уровней. Если при этом какой
то энергетический уровень полностью
заполнен, то образующаяся энергети
ческая зона также заполнена целиком.
В общем случае можно говорить о ва
лентной зоне, которая полностью за
полнена электронами и образована из
энергетических уровней внутренних
электронов свободных атомов, и о зоне
проводимости (свободной зоне), кото
рая либо частично заполнена электро
нами, либо свободна и образована из
энергетических уровней внешних «кол
лективизированных» электронов изо
лированных атомов.
В зависимости от степени заполне
ния зон электронами и ширины запре
щенной зоны возможны четыре случая,
изображенные на рис. 317. На рис. 317, а
самая верхняя зона, содержащая элек
троны, заполнена лишь частично, т. е . в
ней имеются вакантные уровни.
В данном случае электрон, получив
сколь угодно малую энергетическую
«добавку» (например, за счет теплово
го движения или электрического поля),
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

453
сможет перейти на более высокий энер
гетический уровень той же зоны, т. е.
стать свободным и участвовать в про
водимости. Внутризонный переход
вполне возможен, так как, например,
при T = 1 К энергия теплового движе
ния kT » 10-4
эВ, т. е. гораздо больше
разности энергий между соседними
уровнями зоны (примерно 10-22
эВ).
Таким образом, если в твердом теле
имеется зона, лишь частично заполнен
ная электронами, то это тело всегда бу
дет проводником электрического тока.
Именно это свойственно металлам.
Твердое тело является проводником
электрического тока и в том случае, ког
да валентная зона перекрывается сво
бодной зоной, что в конечном счете
приводит к не полностью заполненной
зоне (рис. 317, б ). Это имеет место для
щелочно земельных элементов, образу
ющих II группу таблицы Менделеева
(Be, Mg, Ca, Zn, ...). В данном случае
образуется так называемая «гибрид
ная» зона, которая заполняется вален
тными электронами лишь частично.
Следовательно, в данном случае метал
лические свойства щелочно земельных
элементов обусловлены перекрытием
валентной и свободной зон.
Помимо рассмотренного выше пере
крытия зон возможно также перерасп
ределение электронов между зонами,
возникающими из уровней различных
атомов, которое может привести к тому,
что вместо двух частично заполненных
зон в кристалле окажутся одна полнос
тью заполненная (валентная) зона и
одна свободная зона (зона проводимо
сти). Твердые тела, у которых энерге
тический спектр электронных состоя
ний состоит только из валентной зоны
и зоны проводимости, являются диэ
лектриками или полупроводниками в
зависимости от ширины запрещенной
зоны DE.
Если ширина запрещенной зоны
кристалла порядка нескольких элект
рон вольт, то тепловое движение не мо
жет перебросить электроны из валент
ной зоны в зону проводимости и крис
талл является диэлектриком, оставаясь
им при всех реальных температурах
(рис. 317, в). Если запрещенная зона до
статочно узка (DE порядка 1 эВ), то
переброс электронов из валентной зоны
в зону проводимости может быть осу
ществлен сравнительно легко либо пу
тем теплового возбуждения, либо за
счет внешнего источника, способного
передать электронам энергию DE, и
кристалл является полупроводником
(рис. 317, г).
Различие между металлами и диэ
лектриками с точки зрения зонной тео
риисостоитвтом, что приT =0К
в зоне проводимости металлов имеют
ся электроны, а в зоне проводимости
Рис. 317
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

454
диэлектриков они отсутствуют. Разли
чие же между диэлектриками и полу
проводниками определяется шириной
запрещенных зон: для диэлектриков
она довольно широка (например, для
NaCl DE = 6 эВ), для полупроводни
ков — достаточно узка (например, для
германия DE = 0,72 эВ). При темпера
турах, близких к 0 К, полупроводники
ведут себя как диэлектрики, так как пе
реброса электронов в зону проводимо
сти не происходит. С повышением тем
пературы у полупроводников растет
число электронов, которые вследствие
теплового возбуждения переходят в
зону проводимости, т. е . электрическая
проводимость проводников в этом слу
чае увеличивается.
§ 242. Ñîáñòâåííàÿ
ïðîâîäèìîñòü ïîëóïðîâîäíèêîâ
Полупроводниками являются твер
дые тела, которые при T = 0 К характе
ризуются полностью занятой электро
нами валентной зоной, отделенной от
зоны проводимости сравнительно уз
кой (DE порядка 1 эВ) запрещенной
зоной (см. рис. 317, г). Своим названи
ем они обязаны тому, что их проводи
мость меньше проводимости металлов
и больше проводимости диэлектриков.
В природе полупроводники суще
ствуют в виде элементов (элементы IV,
V и VI групп Периодической системы
элементов Д. И. Менделеева), например
Si, Ge, As, Se, Te , и химических соеди
нений, например оксиды, сульфиды, се
лениды, сплавы элементов различных
групп. Различают собственные и при
месные полупроводники. Собственны
ми полупроводниками являются хи
мически чистые полупроводники, а их
проводимость называется собственной
проводимостью. Примером собствен
ных полупроводников могут служить
химически чистые Ge, Se, а также мно
гие химические соединения: InSb, GaAs,
CdS и др.
При 0 К и отсутствии других вне
шних факторов собственные полупро
водники ведут себя как диэлектрики.
При повышении же температуры элек
троны с верхних уровней валентной
зоны I могут быть переброшены на
нижние уровни зоны проводимости II
(рис. 318). При наложении на кристалл
электрического поля они перемещают
ся против поля и создают электриче
ский ток. Таким образом, зона II из за
ее частичного «укомплектования» элек
тронами становится зоной проводимо
сти. Проводимость собственных полу
проводников, обусловленная электрона
ми, называется электронной проводи
мостью или проводимостью n типа
(от лат. negative — отрицательный).
В результате тепловых забросов элек
тронов из зоны I в зону II в валентной
зоне возникают вакантные состояния,
получившие название дырок. Во внеш
нем электрическом поле на освободив
шееся от электрона место — дырку —
может переместиться электрон с сосед
него уровня, а дырка появится в том
месте, откуда ушел электрон, и т. д . Та
кой процесс заполнения дырок элект
ронами равносилен перемещению дыр
ки в направлении, противоположном
движению электрона, так, как если бы
дырка обладала положительным заря
дом, равным по величине заряду элек
Рис. 318
Рис. 319
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

455
трона. Проводимость собственных по
лупроводников, обусловленная квази
частицами — дырками, называется ды
рочной проводимостью или проводи
мостью p типа (от лат. positive — по
ложительный).
Таким образом, в собственных полу
проводниках наблюдаются два меха
низма проводимости: электронный и
дырочный. Число электронов в зоне
проводимости равно числу дырок в ва
лентной зоне, так как последние соот
ветствуют электронам, возбужденным
в зоне проводимости. Следовательно,
если концентрации электронов прово
димости и дырок обозначить соответ
ственно ne и np, то
ne=np.
(242.1)
Проводимость полупроводников
всегда является возбужденной, т. е . по
является только под действием вне
шних факторов (температуры, облуче
ния, сильных электрических полей и
т.д.).
В собственном полупроводнике уро
вень Ферми находится в середине зап
рещенной зоны (рис. 319). Действи
тельно, для переброса электрона с вер
хнего уровня валентной зоны на ниж
ний уровень зоны проводимости затра
чивается энергия активации, равная
ширине запрещенной зоны DE. При по
явлении же электрона в зоне проводи
мости в валентной зоне обязательно
возникает дырка. Следовательно, энер
гия, затраченная на образование пары
носителей тока, должна делиться на две
равные части.
Так как энергия, соответствующая
половине ширины запрещенной зоны,
идет на переброс электрона и такая же
энергия затрачивается на образование
дырки, то начало отсчета для каждого
из этих процессов должно находиться
в середине запрещенной зоны. Энергия
Ферми в собственном полупроводнике
представляет собой энергию, от кото
рой происходит возбуждение электро
нов и дырок.
Вывод о расположении уровня Ферми в
середине запрещенной зоны собственного
полупроводника может быть подтвержден
математическими выкладками. В физике
твердого тела доказывается, что концентра
ция электронов в зоне проводимости
,
2
1e
F
EE
kT
e
nC
-
-
=
(242.2)
где C1 — постоянная, зависящая от темпе
ратуры и эффективной массы электрона
проводимости; E2 — энергия, соответствую
щая дну зоны проводимости (см. рис. 319);
E F — энергия Ферми; T — термодинамиче
ская температура.
Эффективная масса — величина, име
ющая размерность массы и характеризую
щая динамические свойства квазичастиц —
электронов проводимости и дырок. Введе
ние в зонную теорию эффективной массы
электрона проводимости позволяет, с одной
стороны, учитывать действие на электроны
проводимости не только внешнего поля, но
и внутреннего периодического поля крис
талла, а с другой стороны, абстрагируясь от
взаимодействия электронов проводимости
с решеткой, рассматривать их движение во
внешнем поле как движение свободных ча
стиц.
Концентрация дырок в валентной зоне
,
1
2e
F
EE
kT
p
nC
-
=
(242.3)
где C2 — постоянная, зависящая от темпе
ратуры и эффективной массы дырки; E1 —
энергия, соответствующая верхней границе
валентной зоны.
Энергия возбуждения в данном случае
отсчитывается вниз от уровня Ферми (см.
рис. 319), поэтому величины в экспоненци
альном множителе (242.3) имеют знак, об
ратный знаку экспоненциального множите
ля в (242.2). Так как для собственного по
лупроводника ne = np (242.1), то
21
12
ee
.
FF
EE
EE
kT
kT
CC
--
-
=
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

456
Если эффективные массы электронов и
дырок равны (me* = mp*), то C1 = C2 и, сле
довательно, -(E2 - EF) =E1 - EF, откуда
,
2
F
E
ED
=
т.е . уровень Ферми в собственном полупро
воднике действительно расположен в сере
дине запрещенной зоны.
Так как для собственных полупро
водников DE ? kT, то распределение
Ферми — Дирака (235.2) переходит в
распределение Максвелла — Больцма
на. Положив в (236.2)
2
F
E
EED
-» ,по
лучим
2
()e .
E
kT
NE
D
-
áñ
»
(242.4)
Количество электронов, перебро
шенных в зону проводимости, а следо
вательно, и количество образовавших
ся дырок пропорциональны áN(E )ñ. Та
ким образом, удельная проводимость
собственных полупроводников
,
2
0e
E
kT
D
-
g=g
(242.5)
где g0 — постоянная, характерная для
данного полупроводника.
Увеличение проводимости полупро
водников с повышением температуры
является их характерной особенностью
(у металлов с повышением температу
ры проводимость уменьшается). С точ
ки зрения зонной теории это обстоя
тельство объяснить довольно просто: с
повышением температуры растет чис
ло электронов, которые вследствие теп
лового возбуждения переходят в зону
проводимости и участвуют в проводи
мости. Поэтому удельная проводимость
собственных полупроводников с повы
шением температуры растет.
Если представить зависимость ln g
от
1
T
, то для собственных полупровод
ников — это прямая (рис. 320), по на
клону которой можно определить ши
рину запрещенной зоны DE, а по ее про
должению — g0 (прямая отсекает на оси
ординат отрезок, равный ln g0).
Одним из наиболее широко распро
страненных полупроводниковых эле
ментов является германий, имеющий
решетку типа алмаза, в которой каждый
атом связан ковалентными связями
(см. § 71) с четырьмя ближайшими со
седями. Упрощенная плоская схема
расположения атомов в кристалле Ge
дана на рис. 321, где каждая черточка
обозначает связь, осуществляемую од
ним электроном. В идеальном кристал
ле при T = 0 К такая структура пред
ставляет собой диэлектрик, так как все
валентные электроны участвуют в об
разовании связей и, следовательно, не
участвуют в проводимости.
При повышении температуры (или
под действием других внешних факто
ров) тепловые колебания решетки мо
гут привести к разрыву некоторых ва
лентных связей, в результате чего часть
электронов отщепляется и они стано
вятся свободными. В покинутом элек
троном месте возникает дырка (она
изображена белым кружком), запол
нить которую могут электроны из со
седней пары. В результате дырка, так же
как и освободившийся электрон, будет
двигаться по кристаллу. Движение элек
тронов проводимости и дырок в отсут
ствие электрического поля является
хаотическим. Если же на кристалл на
Рис. 320
Рис. 321
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

457
ложить электрическое поле, то электро
ны начнут двигаться против поля, дыр
ки — по полю, что приведет к возник
новению собственной проводимости
германия, обусловленной как электро
нами, так и дырками.
В полупроводниках наряду с про
цессом генерации электронов и дырок
идет процесс рекомбинации; электро
ны переходят из зоны проводимости в
валентную зону, отдавая энергию ре
шетке и испуская кванты электромаг
нитного излучения. В результате для
каждой температуры устанавливается
определенная равновесная концентра
ция электронов и дырок, изменяющая
ся с температурой, согласно выраже
нию (242.4).
§ 243. Ïðèìåñíàÿ ïðîâîäèìîñòü
ïîëóïðîâîäíèêîâ
Проводимость полупроводников,
обусловленная примесями, называется
примесной проводимостью, а сами по
лупроводники — примесными полу
проводниками. Примесная проводи
мость обусловлена примесями (атомы
посторонних элементов), а также де
фектами типа избыточных атомов (по
сравнению со стехиометрическим со
ставом), тепловыми (пустые узлы или
атомы в междоузлиях) и механически
ми (трещины, дислокации и т. д.) дефек
тами. Наличие в полупроводнике при
меси существенно изменяет его прово
димость. Например, при введении в
кремний примерно 0,001 ат. % бора его
проводимость увеличивается примерно
в 106 раз.
Примесную проводимость полупро
водников рассмотрим на примере Ge и
Si, в которые вводятся атомы с валент
ностью, отличной от валентности ос
новных атомов на единицу. Например,
при замещении атома германия пятива
лентным атомом мышьяка (рис. 322, а)
один электрон не может образовать ко
валентной связи, он оказывается лиш
ним и может быть легко при тепловых
колебаниях решетки отщеплен от ато
ма, т. е . стать свободным. Образование
свободного электрона не сопровожда
ется нарушением ковалентной связи;
следовательно, в отличие от случая, рас
смотренного в § 242, дырка не возника
ет. Избыточный положительный заряд,
возникающий вблизи атома примеси,
связан с атомом примеси и поэтому пе
ремещаться по решетке не может.
С точки зрения зонной теории рас
смотренный процесс можно предста
вить следующим образом (рис. 322, б ).
Введение примеси искажает поле ре
шетки, что приводит к возникновению
в запрещенной зоне энергетического
уровня D валентных электронов мышь
яка, называемого примесным уровнем.
В случае германия с примесью мышья
ка этот уровень располагается от дна
зоны проводимости на расстоянии
DED=0,013эВ.ТаккакDED<kT,то
уже при обычных температурах энергия
теплового движения достаточна для
того, чтобы перебросить электроны
Рис. 322
Рис. 323
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

458
примесного уровня в зону проводимо
сти; образующиеся при этом положи
тельные заряды локализуются на не
подвижных атомах мышьяка и в прово
димости не участвуют.
Таким образом, в полупроводниках
с примесью, валентность которой на
единицу больше валентности основных
атомов, носителями тока являются
электроны; возникает электронная
примесная проводимость (проводи
мость n типа). Полупроводники с та
кой проводимостью называются элек
тронными (или полупроводниками
n типа). Примеси, являющиеся источ
ником электронов, называются доно
рами, а энергетические уровни этих
примесей — донорными уровнями.
Предположим, что в решетку крем
ния введен примесный атом с тремя
валентными электронами, например
бор (рис. 323, а). Для образования свя
зей с четырьмя ближайшими соседями
у атома бора не хватает одного элект
рона, одна из связей остается неукомп
лектованной и четвертый электрон мо
жет быть захвачен от соседнего атома
основного вещества, где соответствен
но образуется дырка. Последовательное
заполнение образующихся дырок элек
тронами эквивалентно движению ды
рок в полупроводнике, т. е . дырки не
остаются локализованными, а переме
щаются в решетке кремния как свобод
ные положительные заряды. Избыточ
ный же отрицательный заряд, возника
ющий вблизи атома примеси, связан с
атомом примеси и по решетке переме
щаться не может.
По зонной теории, введение трехва
лентной примеси в решетку кремния
приводит к возникновению в запрещен
ной зоне примесного энергетического
уровня A, не занятого электронами.
В случае кремния с примесью бора этот
уровень располагается выше верхнего
края валентной зоны на расстоянии
DEA = 0,08 эВ (рис. 323, б ). Близость
этих уровней к валентной зоне приво
дит к тому, что уже при сравнительно
низких температурах электроны из ва
лентной зоны переходят на примесные
уровни и, связываясь с атомами бора,
теряют способность перемещаться по
решетке кремния, т. е . в проводимости
не участвуют. Носителями тока явля
ются лишь дырки, возникающие в ва
лентной зоне.
Таким образом, в полупроводниках с
примесью, валентность которой на еди
ницу меньше валентности основных ато
мов, носителями тока являются дырки;
возникает дырочная проводимость
(проводимость p-типа). Полупровод
ники с такой проводимостью называют
ся дырочными (или полупроводника
ми p типа). Примеси, захватывающие
электроны из валентной зоны полупро
водника, называются акцепторами, а
энергетические уровни этих примесей —
акцепторными уровнями.
В отличие от собственной проводи
мости, осуществляющейся одновремен
но электронами и дырками, примесная
проводимость полупроводников обус
ловлена в основном носителями одно
го знака: электронами — в случае донор
ной примеси, дырками — в случае ак
цепторной. Эти носители тока назы
ваются основными. Кроме основных
носителей в полупроводнике имеются
и неосновные носители: в полупровод
никах n типа — дырки, в полупровод
никах p типа — электроны.
Наличие примесных уровней в по
лупроводниках существенно изменяет
положение уровня Ферми E F. Расчеты
показывают, что в случае полупровод
ников n типа уровень Ферми E F0 при
T = 0 К расположен посередине между
дном зоны проводимости и донорным
уровнем (рис. 324).
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

459
С повышением температуры все
большее число электронов переходит из
донорных состояний в зону проводимо
сти, но, помимо этого, возрастает и чис
ло тепловых флуктуаций, способных
возбуждать электроны из валентной
зоны и перебрасывать их через запрещен
ную зону энергии. Поэтому при высоких
температурах уровень Ферми имеет тен
денцию смещаться вниз (сплошная кри
вая) к своему предельному положению в
центре запрещенной зоны, характерному
для собственного полупроводника.
Уровень Ферми в полупроводниках
p типа при T = 0 К E F0 располагается
посередине между потолком валентной
зоны и акцепторным уровнем (рис. 325).
Сплошная кривая опять таки показы
вает его смещение с температурой. При
температурах, при которых примесные
атомы оказываются полностью исто
щенными и увеличение концентрации
носителей происходит за счет возбуж
дения собственных носителей, уровень
Ферми располагается посередине зап
рещенной зоны, как в собственном по
лупроводнике.
Проводимость примесного полупро
водника, как и проводимость любого
проводника, определяется концентра
цией носителей и их подвижностью.
С изменением температуры подвиж
ность носителей меняется по сравни
тельно слабому степенному закону, а
концентрация носителей — по очень
сильному экспоненциальному закону,
поэтому проводимость примесных по
лупроводников от температуры опреде
ляется в основном температурной зави
симостью концентрации носителей то
ка в нем. На рис. 326 дан примерный
график зависимости ln g от 1
T
для при
месных полупроводников. Участок AB
описывает примесную проводимость
полупроводника. Рост примесной про
водимости полупроводника с увеличе
нием температуры обусловлен в основ
ном повышением концентрации при
месных носителей. Участок BC соответ
ствует области истощения примесей
(это подтверждают и эксперименты),
участок CD описывает собственную
проводимость полупроводника.
§ 244. Ôîòîïðîâîäèìîñòü
ïîëóïðîâîäíèêîâ
Фотопроводимость (см. § 202) полу
проводников — увеличение электропро
водности полупроводников под действи
ем электромагнитного излучения — мо
жет быть связана со свойствами как ос
новного вещества, так и содержащихся
в нем примесей. В первом случае при
поглощении фотонов, соответствующих
собственной полосе поглощения полу
проводника, т. е . когда энергия фотонов
равна или больше ширины запрещенной
Рис. 324
Рис. 325
Рис. 326
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

460
зоны (h n … DE ), могут совершаться пе
ребросы электронов из валентной зоны
в зону проводимости (рис. 327, а), что
приведет к появлению добавочных (не
равновесных) электронов (в зоне прово
димости) и дырок (в валентной зоне).
В результате возникает собственная
фотопроводимость, обусловленная
как электронами, так и дырками.
Если полупроводник содержит при
меси, то фотопроводимость может воз
никать и при h n < DE : для полупровод
ников с донорной примесью фотон дол
жен обладать энергией h n … DED, а для
полупроводников с акцепторной при
месью — h n … DEA. При поглощении
света примесными центрами происхо
дит переход электронов с донорных
уровней в зону проводимости в случае
полупроводника n типа (рис. 327, б )
или из валентной зоны на акцепторные
уровни в случае полупроводника p типа
(рис. 327, в). В результате возникает
примесная фотопроводимость, явля
ющаяся чисто электронной для полу
проводников n типа и чисто дырочной
для полупроводников p типа.
Таким образом, если
для собственных полупроводников
hn…DE;
(244.1)
для примесных полупроводников
hn … DEп.
(244.2)
(DEп — в общем случае энергия акти
вации примесных атомов), то в полу
проводнике возбуждается фотопрово
димость. Из (244.1) можно определить
красную границу фотопроводимос
ти — максимальную длину волны, при
которой фотопроводимость еще воз
буждается:
для собственных полупроводников
;
hc
E
0
l=
D
для примесных полупроводников
ï
.
hc
E
0
l=
D
Учитывая значения DE и DEп для
конкретных полупроводников, можно
показать, что красная граница фотопро
водимости для собственных полупро
водников приходится на видимую об
ласть спектра, для примесных же полу
проводников — на инфракрасную.
На рис. 328 представлена типичная
зависимость фотопроводимости j и ко
эффициента поглощения
от длины
волны l падающего на полупроводник
света. Из рисунка следует, что при l > l0
фотопроводимость действительно не
возбуждается. Спад фотопроводимости
в коротковолновой части полосы по
глощения объясняется большой ско
ростью рекомбинации в условиях силь
ного поглощения в тонком поверхнос
тном слое толщиной x » 1 мкм (коэф
фициент поглощения »106 м-1
).
Рис. 327
Рис. 328
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

461
Наряду с поглощением, приводя
щим к появлению фотопроводимости,
может иметь место экситонный меха
низм поглощения. Экситоны представ
ляют собой квазичастицы — электри
чески нейтральные связанные состоя
ния электрона и дырки, образующиеся
в случае возбуждения с энергией, мень
шей ширины запрещенной зоны. Уров
ни энергии экситонов располагаются у
дна зоны проводимости. Так как экси
тоны электрически нейтральны, то их
возникновение в полупроводнике не
приводит к появлению дополнитель
ных носителей тока, вследствие чего
экситонное поглощение света не сопро
вождается увеличением фотопроводи
мости.
§ 245. Ëþìèíåñöåíöèÿ
òâåðäûõ òåë
В природе давно известно излуче
ние, отличное по своему характеру от
всех известных видов излучения (теп
лового излучения, отражения, рассея
ния света и т. д .) . Этим излучением яв
ляется люминесцентное излучение, при
мерами которого может служить свече
ние тел при облучении их видимым,
ультрафиолетовым и рентгеновским
излучением, g излучением и т. д . Веще
ства, способные под действием различ
ного рода возбуждений светиться, по
лучили название люминофоров.
Люминесценция — неравновесное
излучение, избыточное при данной тем
пературе над тепловым излучением
тела и имеющее длительность, бо′ льшую
периода световых колебаний. Первая
часть этого определения приводит к
выводу, что люминесценция не являет
ся тепловым излучением (см. § 197),
поскольку любое тело при температу
ре выше 0 К излучает электромагнит
ные волны, а такое излучение является
тепловым. Вторая часть показывает, что
люминесценция не является таким ви
дом свечения, как отражение и рассея
ние света, тормозное излучение заря
женных частиц и др. Период световых
колебаний составляет примерно 10-15
с,
поэтому длительность, по которой све
чение можно отнести к люминесцен
ции, больше — примерно 10-10
с. При
знак длительности свечения дает воз
можность отличить люминесценцию от
других неравновесных процессов. Так,
по этому признаку удалось установить,
что излучение Черенкова — Вавилова
(см. § 189) нельзя отнести к люминес
ценции.
В зависимости от способов возбуж
дения различают: фотолюминесцен
цию (под действием света), рентгено
люминесценцию (под действием рент
геновского излучения), катодолюми
несценцию (под действием электро
нов), электролюминесценцию (под
действием электрического поля), ра
диолюминесценцию (при возбуждении
ядерным излучением, например g излу
чением, нейтронами, протонами), хе
милюминесценцию (при химических
превращениях), триболюминесцен
цию (при растирании и раскалывании
некоторых кристаллов, например саха
ра). По длительности свечения условно
различают: флуоресценцию (t „ 10-8 с)
и фосфоресценцию — свечение, продол
жающееся заметный промежуток време
ни после прекращения возбуждения.
Первое количественное исследова
ние люминесценции проведено более
150 лет назад Дж. Стоксом
1, сформули
ровавшим в 1852 г. следующее прави
ло: длина волны люминесцентного из
лучения всегда больше длины волны
1 Дж. Стокс (1819 — 1903) — английский фи
зик и математик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

462
света, возбудившего его (рис. 329). Со
гласно квантовой теории, правило Сто
кса означает, что энергия h n падающе
го фотона частично расходуется на ка
кие то неоптические процессы, т. е.
hn=hnлюм+DE,
откудаnлюм<nилиlлюм>l,чтоисле
дует из сформулированного правила.
Основной энергетической характери
стикой люминесценции является энер
гетический выход, введенный С. И. Ва
виловым в 1924 г., — отношение энер
гии, излученной люминофором при
полном высвечивании, к энергии, по
глощенной им. Типичная для органи
ческих люминофоров (на примере ра
створа флуоресцина) зависимость энер
гетического выхода h от длины волны l
возбуждающего света представлена на
рис. 330 .
Из рисунка следует, что вначале h
растет пропорционально l, а затем, до
стигая максимальною значения, быст
ро спадает до нуля при дальнейшем уве
личении l (закон Вавилова). Величи
на энергетического выхода для различ
ных люминофоров колеблется в до
вольно широких пределах, максималь
ное ее значение может достигать при
мерно 80 %.
Твердые тела, представляющие со
бой эффективно люминесцирующие
искусственно приготовленные кристал
лы с чужеродными примесями, получи
ли название кристаллофосфо′′′′′ров.
На примере кристаллофосфо′ ров
рассмотрим механизмы возникновения
люминесценции с точки зрения зонной
теории твердых тел. Между валентной
зоной и зоной проводимости кристал
лофосфо′ ра располагаются примесные
уровни активатора (рис. 331). При по
глощении атомом активатора фотона с
энергией h n электрон с примесного
уровня переводится в зону проводимо
сти, свободно перемещается по крис
таллу до тех пор, пока не встретится с
ионом активатора и не рекомбинирует
с ним, перейдя вновь на примесный
уровень. Рекомбинация сопровождает
ся излучением кванта люминесцентно
го свечения. Время высвечивания лю
минофора определяется временем жиз
ни возбужденного состояния атомов
активатора, которое обычно не превы
шает миллиардных долей секунды. По
этому свечение является кратковремен
ным и исчезает почти вслед за прекра
щением облучения.
Для возникновения длительного
свечения (фосфоресценции) кристал
лофосфо′ р должен содержать также
центры захвата, или ловушки для
электронов, представляющие собой не
заполненные локальные уровни (на
пример, Л1 и Л2), лежащие вблизи дна
Рис. 329
Рис. 330
Рис. 331
Рис. 332
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

463
зоны проводимости (рис. 332). Они
могут быть образованы атомами приме
сей, атомами в междоузлиях и т. д . Под
действием света атомы активатора воз
буждаются, т. е . электроны с примесно
го уровня переходят в зону проводи
мости и становятся свободными. Одна
ко они захватываются ловушками, в
результате чего теряют свою подвиж
ность, а следовательно, и способность
рекомбинировать с ионом активатора.
Освобождение электрона из ловуш
ки требует затраты определенной энер
гии, которую электроны могут полу
чить, например, от тепловых колебаний
решетки. Освобожденный из ловушки
электрон попадает в зону проводимос
ти и движется по кристаллу до тех пор,
пока не будет снова захвачен ловушкой,
или не рекомбинирует с ионом актива
тора. В последнем случае возникает
квант люминесцентного излучения.
Длительность этого процесса определя
ется временем пребывания электронов
в ловушках.
Явление люминесценции получило
широкое применение в практике, на
пример люминесцентный анализ —
метод определения состава вещества по
характерному его свечению. Этот ме
тод, являясь весьма чувствительным
(примерно 10-10
г/см3), позволяет об
наруживать наличие ничтожных при
месей и применяется при тончайших
исследованиях в биологии, медицине,
пищевой промышленности и т. д. Лю
минесцентная дефектоскопия позво
ляет обнаружить тончайшие трещины
на поверхности деталей машин и дру
гих изделий (исследуемая поверхность
покрывается для этого люминесцент
ным раствором, который после удале
ния остается в трещинах).
Люминофоры используются в лю
минесцентных лампах, являются актив
ной средой оптических квантовых гене
раторов (см. § 233) и сцинтиллятров
(будут рассмотрены ниже), применяют
ся в электронно оптических преобразо
вателях (см. § 169), для создания ава
рийного и маскировочного освещения
и для изготовления светящихся указа
телей различных приборов.
§ 246. Êîíòàêò äâóõ ìåòàëëîâ
ïî çîííîé òåîðèè
Если два различных металла при
вести в соприкосновение, то между
ними возникает разность потенциалов,
называемая контактной разностью
потенциалов. Итальянский физик
А. Вольта (1745 — 1827) установил, что
если металлы Al, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg,
Fe , Cu, Ag, Au, Pt, Pd привести в кон
такт в указанной последовательности,
то каждый предыдущий при соприкос
новении с одним из следующих метал
лов зарядится положительно. Этот ряд
называется рядом Вольта. Контактная
разность потенциалов для различных
металлов составляет от десятых до це
лых вольт.
А. Вольта экспериментально устано
вил два закона.
1. Контактная разность потенциалов
зависит лишь от химического состава и
температуры соприкасающихся метал
лов.
2. Контактная разность потенциалов
последовательно соединенных различ
ных проводников, находящихся при
одинаковой температуре, не зависит от
химического состава промежуточных
проводников и равна контактной раз
ности потенциалов, возникающей при
непосредственном соединении крайних
проводников.
Для объяснения возникновения
контактной разности потенциалов вос
пользуемся представлениями зонной
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

464
теории. Рассмотрим контакт двух ме
таллов с различными работами выхода
A1 и A2, т. е . с различными положени
ями уровня Ферми (верхнего запол
ненного электронами энергетического
уровня).
Если A1 < A2 (этот случай изобра
жен на рис. 333, а), то уровень Ферми
располагается в металле 1 выше, чем в
металле 2. Следовательно, при контак
те металлов электроны с более высоких
уровней металла 1 будут переходить на
более низкие уровни металла 2, что при
ведет к тому, что металл 1 зарядится
положительно, а металл 2 — отрица
тельно. Одновременно происходит от
носительное смещение энергетических
уровней: в металле, заряжающемся по
ложительно, все уровни смещаются
вниз, а в металле, заряжающемся отри
цательно, — вверх. Этот процесс будет
происходить до тех пор, пока между со
прикасающимися металлами не устано
вится равновесие, которое, как доказы
вается в статистической физике, харак
теризуется совпадением уровней Фер
ми в обоих металлах (рис. 333, б ).
Так как для соприкасающихся ме
таллов уровни Ферми совпадают, а ра
боты выхода A1 и A2 не изменяются
(они являются константами металлов
и не зависят от того, находятся метал
лы в контакте или нет), то потенциаль
ная энергия электронов в точках, лежа
щих вне металлов в непосредственной
близости к их поверхности (точки A и
B на рис. 333, б ), будет различной. Сле
довательно, между точками A и B уста
навливается разность потенциалов, ко
торая, как следует из рисунка, равна
21
.
AA
e
-
¢
Dj=
(246.1)
Разность потенциалов (246.1), обус
ловленная различием работ выхода
контактирующих металлов, называется
внешней контактной разностью по
тенциалов. Чаще говорят просто о кон
тактной разности потенциалов, подра
зумевая под ней внешнюю.
Если уровни Ферми для двух кон
тактирующих металлов не одинаковы,
то между внутренними точками метал
лов наблюдается внутренняя контак
тная разность потенциалов, которая,
как следует из рисунка, равна
12
.
FF
EE
e
-
¢¢
Dj=
(246.2)
В квантовой теории доказывается,
что причиной возникновения внутрен
ней контактной разности потенциалов
является различие концентраций элек
тронов в контактирующих металлах.
Dj¢¢ зависит от температуры T контак
та металлов (поскольку наблюдается
зависимость E F от T ), обусловливая
термоэлектрические явления. Как пра
вило, Dj¢¢ = Dj¢.
Если, например, привести в сопри
косновение три разнородных провод
ника, имеющих одинаковую температу
ру, то разность потенциалов между кон
цами разомкнутой цепи равна алгебра
ической сумме скачков потенциала во
Рис. 333
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

465
всех контактах. Она, как можно пока
зать (предоставляем это сделать чита
телю), не зависит от природы промежу
точных проводников (второй закон
Вольта).
Внутренняя контактная разность
потенциалов возникает в двойном элек
трическом слое, образующемся в при
контактной области и называемом кон
тактным слоем. Толщина контактно
го слоя в металлах составляет пример
но 10-10
м, т. е . соизмерима с междо
узельными расстояниями в решетке ме
талла. Число электронов, участвующих
в диффузии через контактный слой, со
ставляет примерно 2 % от общего чис
ла электронов, находящихся на повер
хности металла.
Столь незначительное изменение
концентрации электронов в контакт
ном слое, с одной стороны, и малая по
сравнению с длиной свободного пробе
га электрона его толщина — с другой,
не могут привести к заметному измене
нию проводимости контактного слоя по
сравнению с остальной частью метал
ла. Следовательно, электрический ток
через контакт двух металлов проходит
так же легко, как и через сами металлы,
т. е. контактный слой проводит элект
рический ток в обоих направлениях
(1®2и2®1)одинаковоинедаетэф
фекта выпрямления, который всегда
связан с односторонней проводимостью.
§ 247. Òåðìîýëåêòðè÷åñêèå
ÿâëåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå
Согласно второму закону Вольта, в
замкнутой цепи, состоящей из несколь
ких металлов, находящихся при одина
ковой температуре, ЭДС не возникает,
т. е. не происходит возбуждения элект
рического тока. Однако если темпера
тура контактов не одинакова, то в цепи
возникает электрический ток, называ
емый термоэлектрическим. Явление
возбуждения термоэлектрического то
ка (явление Зеебека), а также тесно свя
занные с ним явления Пельтье и Томсо
на называются термоэлектрически
ми явлениями.
1. Явление Зеебека (1821). Немец
кий физик Т. Зеебек (1770 — 1831) об
наружил, что в замкнутой цепи, состо
ящей из последовательно соединенных
разнородных проводников, контакты
между которыми имеют различную
температуру, возникает электрический
ток.
Рассмотрим замкнутую цепь, состо
ящую из двух металлических провод
ников 1 и 2 с температурами спаев T1
(контакт A) и T2 (контакт B), причем
T1 > T2 (рис. 334).
Не вдаваясь в подробности, отметим,
что в замкнутой цепи для многих пар
металлов (например, Cu—Bi, Ag—Cu,
Au—Cu) электродвижущая сила прямо
пропорциональна разности температур
в контактах:
õT=a(T1-T2).
Эта ЭДС называется термоэлектро
движущей силой. Направление тока
при T1 > T2 на рис. 334 показано стрел
кой. Термоэлектродвижущая сила, на
пример для пары металлов «медь — кон
стантан», для разности температур 100 К
составляет всего 4,25 мВ.
Причина возникновения термоэлек
тродвижущей ЭДС ясна уже из форму
лы (246.2), определяющей внутреннюю
контактную разность потенциалов на
границе двух металлов. Дело в том, что
положение уровня Ферми зависит от
температуры. Поэтому если температу
ры контактов разные, то разными будут
и внутренние контактные разности по
тенциалов. Таким образом, сумма скач
ков потенциала отлична от нуля, что и
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

466
приводит к возникновению термоэлек
трического тока. Отметим также, что
при градиенте температуры происходит
и диффузия электронов, которая тоже
обусловливает термо ЭДС.
Явление Зеебека не противоречит
второму началу термодинамики, так
как в данном случае внутренняя энер
гия преобразуется в электрическую, для
чего используется два источника тепло
ты (два контакта). Следовательно, для
поддержания постоянного тока в рас
сматриваемой цепи необходимо под
держивать постоянство разности темпе
ратур контактов: к более нагретому кон
такту непрерывно подводить теплоту, а
от холодного — непрерывно ее отводить.
Явление Зеебека используется для изме
рения температуры. Для этого применяют
ся термоэлементы, или термопары —
датчики температур, состоящие из двух со
единенных между собой разнородных ме
таллических проводников. Если контакты
(обычно спаи) проводников (проволок), об
разующих термопару, находятся при разных
температурах, то в цепи возникает термо
электродвижущая сила, которая зависит от
разности температур контактов и природы
применяемых материалов. Чувствитель
ность термопар выше, если их соединять
последовательно. Эти соединения называ
ются термобатареями (или термостол
биками).
Термопары применяются как для изме
рения ничтожно малых разностей темпера
тур, так и для измерения очень высоких и
очень низких температур (например, внут
ри доменных печей или жидких газов). Точ
ность определения температуры с помощью
термопар составляет, как правило, несколь
ко кельвин, а у некоторых термопар дости
гает »0,01 К. Термопары обладают рядом
преимуществ перед обычными термометра
ми: имеют бо¢льшую чувствительность и ма
лую инерционность, позволяют проводить
измерения в широком интервале темпера
тур и допускают дистанционные измерения.
Явление Зеебека в принципе может быть
использовано для генерации электрическо
го тока. Так, уже сейчас КПД полупровод
никовых термобатарей достигает »18 %.
Следовательно, совершенствуя полупровод
никовые термоэлектрогенераторы, можно
добиться эффективного прямого преобразо
вания солнечной энергии в электрическую.
2. Явление Пельтье (1834). Фран
цузский физик Ж. Пельтье (1785 —
1845) обнаружил, что при прохождении
через контакт двух различных провод
ников электрического тока в зависимо
сти от его направления помимо джоу
левой теплоты выделяется или погло
щается дополнительная теплота. Таким
образом, явление Пельтье является об
ратным по отношению к явлению Зее
бека. В отличие от джоулевой теплоты,
которая пропорциональна квадрату
силы тока, теплота Пельтье пропорци
ональна первой степени силы тока и
меняет знак при изменении направле
ния тока.
Рассмотрим замкнутую цепь, состо
ящую из двух разнородных металличес
ких проводников 1 и 2 (рис. 335), по ко
торым пропускается ток I ¢ [его направ
ление в данном случае выбрано совпа
дающим с направлением термотока (на
рис. 334 при условии T1 > T2)]. Соглас
но наблюдениям Пельтье, спай A, ко
торый при явлении Зеебека поддержи
вался бы при более высокой темпера
туре, будет теперь охлаждаться, а спай
B — нагреваться. При изменении на
правления тока I ¢ спай A будет нагре
ваться, спай B — охлаждаться.
Рис. 334
Рис. 335
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

467
Объяснить явление Пельтье можно
следующим образом. Электроны по раз
ную сторону спая обладают различной
средней энергией (полной — кинетичес
кой плюс потенциальной). Если элект
роны (направление их движения зада
но на рис. 335 пунктирными стрелками)
пройдут через спай B и попадут в об
ласть с меньшей энергией, то избыток
своей энергии они отдадут кристалли
ческой решетке и спай будет нагревать
ся. В спае A электроны переходят в об
ласть с большей энергией, забирая те
перь недостающую энергию у кристал
лической решетки, и спай будет охлаж
даться.
Явление Пельтье используется в тер
моэлектрических полупроводниковых
холодильниках, созданных впервые в
1954 г. под руководством А. Ф. Иоффе,
и в некоторых электронных приборах.
3. Явление Томсона (1856). Вильям
Томсон (Кельвин), исследуя термо
электрические явления, пришел к зак
лючению, подтвердив его эксперимен
тально, что при прохождении тока по
неравномерно нагретому проводнику
должно происходить дополнительное
выделение (поглощение) теплоты, ана
логичной теплоте Пельтье. Это явление
получило название явления Томсона.
Его можно объяснить следующим об
разом.
Так как в более нагретой части про
водника электроны имеют бо′ льшую
среднюю энергию, чем в менее нагре
той, то, двигаясь в направлении убыва
ния температуры, они отдают часть сво
ей энергии решетке, в результате чего
происходит выделение теплоты Томсо
на. Если же электроны движутся в сто
рону возрастания температуры, то они,
наоборот, пополняют свою энергию за
счет энергии решетки, в результате чего
происходит поглощение теплоты Том
сона.
§ 248. Âûïðÿìëåíèå íà êîíòàêòå
ìåòàëë — ïîëóïðîâîäíèê
Рассмотрим некоторые особенности
механизма процессов, происходящих
при приведении в контакт металла с
полупроводником. Для этого возьмем
полупроводник n типа с работой выхо
да A, меньшей работы выхода Aм из ме
талла. Соответствующие энергетичес
кие диаграммы до и после приведения
в контакт показаны на рис. 336, а, б.
Если Aм > A, то при контакте элект
роны из полупроводника будут перехо
дить в металл, в результате чего контак
тный слой полупроводника обеднится
электронами и зарядится положитель
но, а металл — отрицательно. Этот про
цесс будет происходить до достижения
равновесного состояния, характеризу
емого, как и при контакте двух метал
лов, выравниванием уровней Ферми
для металла и полупроводника.
На контакте образуется двойной
электрический слой d, поле которого
(контактная разность потенциалов)
препятствует дальнейшему переходу
электронов. Вследствие малой концен
трации электронов проводимости в по
лупроводнике (порядка 1015 см
-3
вмес
то 1022 см
-3
в металлах) толщина кон
тактного слоя в полупроводнике дости
гает примерно 10-6 см, т. е . примерно
в 10 000 раз больше, чем в металле. Кон
тактный слой полупроводника обеднен
основными носителями тока — элект
ронами в зоне проводимости, и его со
противление значительно больше, чем
в остальном объеме полупроводника.
Такой контактный слой называется
запирающим.
Приd=10-6смиDj»1Внапря
женность электрического поля контак
тного слоя
8
10
E
d
Dj
=»В/м. Такое
контактное поле не может сильно по
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

468
влиять на структуру спектра (напри
мер, на ширину запрещенной зоны, на
энергию активации примесей и т. д .) и
его действие сводится лишь к парал
лельному искривлению всех энергети
ческих уровней полупроводника в об
ласти контакта (рис. 336, б ). Так как в
случае контакта уровни Ферми вырав
ниваются, а работы выхода — величи
ны постоянные, то при Aм > A энергия
электронов в контактном слое полупро
водника больше, чем в остальном объе
ме. Поэтому в контактном слое дно
зоны проводимости поднимается вверх,
удаляясь от уровня Ферми. Соответ
ственно происходит и искривление вер
хнего края валентной зоны, а также до
норного уровня.
Помимо рассмотренного выше при
мера возможны еще следующие три
случая контакта металла с примесны
ми полупроводниками: а) Aм < A, по
лупроводник n типа; б) Aм > A, полу
проводник p типа; в) Aм < A, полупро
водник p типа. Соответствующие зон
ные схемы показаны на рис. 337.
Если Aм < A, то при контакте метал
ла с полупроводником n типа электро
ны из металла переходят в полупровод
ник и образуют в контактном слое по
лупроводника отрицательный объем
ный заряд (рис. 337, а). Следовательно,
контактный слой полупроводника об
ладает повышенной проводимостью,
т. е . не является запирающим. Рассуж
дая аналогично, можно показать, что
искривление энергетических уровней
по сравнению с контактом металл —
полупроводник n типа (Aм > A) проис
ходит в обратную сторону.
При контакте металла с полупровод
ником p типа запирающий слой обра
зуется при Aм < A (рис. 337, в), так как
в контактном слое полупроводника на
блюдается избыток отрицательных
ионов акцепторных примесей и недо
Рис. 336
Рис. 337
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

469
статок основных носителей тока — ды
рок в валентной зоне. Если же Aм > A
(рис. 337, б ), то в контактном слое по
лупроводника p типа наблюдается из
быток основных носителей тока — ды
рок в валентной зоне, контактный слой
обладает повышенной проводимостью.
Исходя из приведенных рассужде
ний, видим, что запирающий контакт
ный слой возникает при контакте до
норного полупроводника с меньшей ра
ботой выхода, чем у металла (см. рис.
336, б ), и у акцепторного — с большей
работой выхода, чем у металла (см. рис.
337, в).
Запирающий контактный слой обла
дает односторонней (вентильной)
проводимостью, т. е . при приложении
к контакту внешнего электрического
поля он пропускает ток практически
только в одном направлении: либо из
металла в полупроводник, либо из по
лупроводника в металл. Это важнейшее
свойство запирающего слоя объясняет
ся зависимостью его сопротивления от
направления внешнего поля.
Если направления внешнего и контак
тного полей противоположны, то основ
ные носители тока втягиваются в контак
тный слой из объема полупроводника;
толщина контактного слоя, обедненно
го основными носителями тока, и его со
противление уменьшаются. В этом на
правлении, называемом пропускным,
электрический ток может проходить че
рез контакт металл — полупроводник.
Если внешне поле совпадает по зна
ку с контактным, то основные носители
тока будут перемещаться от границы с
металлом; толщина обедненного слоя
возрастает, возрастает и его сопротивле
ние. Очевидно, что в этом случае ток че
рез контакт отсутствует, выпрямитель
заперт — это запорное направление. Для
запирающего слоя на границе металла
с полупроводником n типа (Aм > A)
пропускным является направление
тока из металла в полупроводник, а для
запирающего слоя на границе металла
с полупроводником p типа (Aм < A) —
из полупроводника в металл.
§ 249. Êîíòàêò ýëåêòðîííîãî
è äûðî÷íîãî ïîëóïðîâîäíèêîâ
(ð-n-ïåðåõîä)
Граница соприкосновения двух по
лупроводников, один из который име
ет электронную, а другой — дырочную
проводимость, называется электрон
но дырочным переходом (или p n пе
реходом). Эти переходы имеют боль
шое практическое значение, являясь ос
новой работы многих полупроводнико
вых приборов. p n Переход нельзя осу
ществить просто механическим соеди
нением двух полупроводников. Обыч
но области различной проводимости
создают либо при выращивании крис
таллов, либо при соответствующей об
работке кристаллов. Например, на кри
сталл германия n типа накладывается
индиевая «таблетка» (рис. 338, а). Эта
система нагревается примерно при
500 °С в вакууме или в атмосфере инер
тного газа; атомы индия диффундиру
ют на некоторую глубину в германий.
Затем расплав медленно охлаждают.
Так как германий (Ge), содержащий
индий (In), обладает дырочной прово
димостью, то на границе закристалли
зовавшегося расплава и германия n типа
образуется p n переход (рис. 338, б ).
Рис. 338
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

470
Рассмотрим физические процессы,
происходящие в p n переходе (рис. 339).
Пусть донорный полупроводник (рабо
та выхода — An , уровень Ферми — E Fn)
приводится в контакт (рис. 339, б ) с ак
цепторным полупроводником (работа
выхода — Ap , уровень Ферми — E Fp).
Электроны из n полупроводника, где
их концентрация выше, будут диффун
дировать в p полупроводник, где их
концентрация ниже. Диффузия же ды
рок происходит в обратном направле
нии — в направлении p ® n.
В n полупроводнике из за ухода
электронов вблизи границы остается
нескомпенсированный положительный
объемный заряд неподвижных ионизо
ванных донорных атомов. В p полупро
воднике из за ухода дырок вблизи гра
ницы образуется отрицательный объем
ный заряд неподвижных ионизованных
акцепторов (рис. 339, а). Эти объемные
заряды образуют у границы двойной
электрический слой, поле которого, на
правленное от n области к p области,
препятствует дальнейшему переходу
электронов в направлении n ® p и ды
рок в направлении p ® n. Если концен
трация доноров и акцепторов в полу
проводниках n и p типа одинаковы, то
толщины слоев d1 и d2 (рис. 339, в), в
которых локализуются неподвижные
заряды, равны (d1 = d2).
При определенной толщине p n пе
рехода наступает равновесное состоя
ние, характеризуемое выравниванием
уровней Ферми для обоих полупровод
ников (рис. 339, в). В области p n пере
хода энергетические зоны искривляют
ся, в результате чего возникают потен
циальные барьеры как для электронов,
так и для дырок. Высота потенциально
го барьера ej определяется первоначаль
ной разностью положений уровня Фер
ми в обоих полупроводниках. Все энер
гетические уровни акцепторного по
лупроводника подняты относительно
уровней донорного полупроводника на
высоту, равную e j, причем подъем про
исходит на толщине двойного слоя d.
Толщина d слоя p n перехода в по
лупроводниках составляет примерно
10-6
— 10-7 м, а контактная разность по
тенциалов — десятые доли вольт. Но
сители тока способны преодолеть та
кую разность потенциалов лишь при
температуре в несколько тысяч граду
сов, т . е. при обычных температурах рав
новесный контактный слой является
запирающим (характеризуется повы
шенным сопротивлением).
Сопротивление запирающего слоя
можно изменить с помощью внешнего
электрического поля. Если приложен
ное к p n переходу внешнее электричес
кое поле направлено от n полупровод
ника к p полупроводнику (рис. 340, а),
т. е . совпадает с полем контактного слоя,
Рис. 339
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

471
то оно вызывает движение электронов
в n полупроводнике и дырок в p полу
проводнике от границы p n перехода в
противоположные стороны. В резуль
тате запирающий слой расширится и
его сопротивление возрастет.
Направление внешнего поля, рас
ширяющего запирающий слой, называ
ется запирающим (обратным). В этом
направлении электрический ток через
p n переход практически не проходит.
Ток в запирающем слое в запирающем
направлении образуется лишь за счет
неосновных носителей тока (электро
нов в p полупроводнике и дырок в n
полупроводнике).
Если приложенное к p n переходу
внешнее электрическое поле направле
но противоположно полю контактного
слоя (рис. 340, б ), то оно вызывает дви
жение электронов в n полупроводнике
и дырок в p полупроводнике к границе
p n перехода навстречу друг другу.
В этой области они рекомбинируют,
толщина контактного слоя и его сопро
тивление уменьшаются. Следователь
но, в этом направлении электрический
ток проходит сквозь p n переход в на
правлении от p полупроводника к n по
лупроводнику; оно называется пропус
кным (прямым).
Таким образом, p n переход (подоб
но на контакте металл — полупровод
ник) обладает односторонней (вен
тильной) проводимостью.
На рис. 341 представлена вольт ам
перная характеристика p n перехода.
Как уже указывалось, при пропускном
(прямом) напряжении внешнее элект
рическое поле способствует движению
основных носителей тока к границе
p n перехода (см. рис. 340, б ). В резуль
тате толщина контактного слоя умень
шается. Соответственно уменьшается и
сопротивление перехода (тем сильнее,
чем больше напряжение), а сила тока
становится большой (правая ветвь на
рис. 341). Это направление тока назы
вается прямым.
При запирающем (обратном) напря
жении внешнее электрическое поле
препятствует движению основных но
сителей тока к границе p n перехода
(см. рис. 340, а) и способствует движе
нию неосновных носителей тока, кон
центрация которых в полупроводниках
невелика. Это приводит к увеличению
толщины контактного слоя, обедненно
го основными носителями тока. Соот
ветственно увеличивается и сопротив
ление перехода. Поэтому в данном слу
чае через p n переход протекает толь
ко небольшой ток (он называется об
ратным), полностью обусловленный
Рис. 340
Рис. 341
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

472
неосновными носителями тока (левая
ветвь рис. 341). Быстрое возрастание
этого тока означает пробой контактно
го слоя и его разрушение. При включе
нии в цепь переменного тока p n пере
ходы действуют как выпрямители.
§ 250. Ïîëóïðîâîäíèêîâûå
äèîäû è òðèîäû (òðàíçèñòîðû)
Односторонняя проводимость кон
тактов двух полупроводников (или ме
талла с полупроводником) использует
ся для выпрямления и преобразования
переменных токов. Если имеется один
электронно дырочный переход, то его
действие аналогично действию двух
электродной лампы — диода (см. § 105).
Поэтому полупроводниковое устрой
ство, содержащее один p n переход, на
зывается полупроводниковым (крис
таллическим) диодом. Полупровод
никовые диоды по конструкции делят
ся на точечные и плоскостные.
В качестве примера рассмотрим то
чечный германиевый диод (рис. 342), в
котором тонкая вольфрамовая прово
лока 1 прижимается к n германию 2
острием, покрытым алюминием. Если
через диод в прямом направлении про
пустить кратковременный импульс
тока, то при этом резко повышается
диффузия Al в Ge и образуется слой
германия, обогащенный алюминием и
обладающий p проводимостью. На гра
нице этого слоя образуется p n переход,
обладающий высоким коэффициентом
выпрямления. Благодаря малой емко
сти контактного слоя точечные диоды
применяются в качестве детекторов
(выпрямителей) высокочастотных ко
лебаний вплоть до сантиметрового ди
апазона длин волн.
Принципиальная схема плоскостно
го меднозакисного (купроксного) вып
рямителя дана на рис. 343. На медную
пластину с помощью химической обра
ботки наращивается слой закиси меди
Cu2O, который покрывается слоем се
ребра. Серебряный электрод служит
только для включения выпрямителя в
цепь. Часть слоя Cu2O, прилегающая к
меди и обогащенная ею, обладает элек
тронной проводимостью, а часть слоя
Cu2O, прилегающая к Ag и обогащен
ная (в процессе изготовления выпрями
теля) кислородом, — дырочной прово
димостью. Таким образом, в толще за
киси меди образуется запирающий слой
с пропускным направлением тока от
Cu2OкCu(p®n).
Технология изготовления германи
евого плоскостного диода описана в
§ 249 (см. рис. 338). Распространенны
ми являются также селеновые диоды и
диоды на основе арсенида галлия и кар
бида кремния. Рассмотренные диоды
обладают рядом преимуществ по срав
нению с электронными лампами (ма
лые габаритные размеры, высокие КПД
и срок службы, постоянная готовность
к работе и т. д .), но они очень чувстви
тельны к температуре, поэтому интер
вал их рабочих температур ограничен
(от -70 до +120 °С).
p n Переходы обладают не только
прекрасными выпрямляющими свой
ствами, но могут быть использованы
Рис. 342
Рис. 343
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

473
также для усиления, а если в схему вве
сти обратную связь, то и для генериро
вания электрических колебаний. При
боры, предназначенные для этих целей,
получили название полупроводнико
вых триодов или транзисторов
(первый транзистор создан в 1949 г.
американскими физиками Д. Барди
ном, У. Браттейном и У. Шокли; Нобе
левская премия 1956 г.).
Для изготовления транзисторов ис
пользуются германий и кремний, так
как они характеризуются большой ме
ханической прочностью, химической
устойчивостью и большей, чем в других
полупроводниках, подвижностью носи
телей тока. Полупроводниковые трио
ды делятся на точечные и плоско
стные. Первые значительно усилива
ют напряжение, но их выходные мощ
ности малы из за опасности перегрева
(например, верхний предел рабочей
температуры точечного германиевого
триода лежит в пределах 50 — 80 °С).
Плоскостные триоды являются более
мощными. Они могут быть типа p n p
и типа n p n в зависимости от чередо
вания областей с различной проводи
мостью.
Для примера рассмотрим принцип
работы плоскостного триода p n p, т. е .
триода на основе n полупроводника
(рис. 344). Рабочие «электроды» трио
да, которыми являются база (средняя
часть транзистора), эмиттер и кол
лектор (прилегающие к базе с обеих
сторон области с иным типом проводи
мости), включаются в схему с помощью
невыпрямляющих контактов — метал
лических проводников. Между эмитте
ром и базой прикладывается постоян
ное смещающее напряжение в прямом
направлении, а между базой и коллек
тором — постоянное смещающее напря
жение в обратном направлении. Усили
ваемое переменное напряжение подает
ся на входное сопротивление Rвх, а уси
ленное снимается с выходного сопро
тивления R вых.
Протекание тока в цепи эмиттера
обусловлено в основном движением
дырок (они являются основными носи
телями тока) и сопровождается их
«впрыскиванием» — инжекцией — в
область базы. Проникшие в базу дырки
диффундируют по направлению к кол
лектору, причем при небольшой толщи
не базы значительная часть инжектиро
ванных дырок достигает коллектора.
Здесь дырки захватываются полем, дей
ствующим внутри перехода (притяги
ваются к отрицательно заряженному
коллектору), вследствие чего изменяет
ся ток коллектора. Следовательно, вся
кое изменение тока в цепи эмиттера
вызывает изменение тока в цепи кол
лектора.
Прикладывая между эмиттером и
базой переменное напряжение, полу
чим в цепи коллектора переменный ток,
а на выходном сопротивлении — пере
менное напряжение. Величина усиле
ния зависит от свойств p n переходов,
нагрузочных сопротивлений и напря
жения батареи Бк. Обычно Rвых ? Rвх ,
поэтому Uвых значительно превышает
входное напряжение Uвх (усиление мо
жет достигать 10 000). Так как мощ
ность переменного тока, выделяемая в
Rвых, может быть больше, чем расходу
емая в цепи эмиттера, то транзистор дает
и усиление мощности. Эта усиленная
Рис. 344
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

474
мощность появляется за счет источника
тока, включенного в цепь коллектора.
Из рассмотренного следует, что тран
зистор, подобно электронной лампе,
дает усиление и напряжения, и мощно
сти. Если в лампе анодный ток управ
ляется напряжением на сетке, то в тран
зисторе ток коллектора, соответствую
щий анодному току лампы, управляет
ся напряжением на базе.
Принцип работы транзистора n p n
типа аналогичен рассмотренному выше,
но роль дырок играют электроны. Су
ществуют и другие типы транзисторов,
так же как и другие схемы их включе
ния. Благодаря своим преимуществам
перед электронными лампами (малые
габаритные размеры, большие КПД и
срок службы, отсутствие накаливаемо
го катода (поэтому потребление мень
шей мощности), отсутствие необходи
мости в вакууме и т. д .) транзистор со
вершил революцию в области элект
ронных средств связи и обеспечил со
здание быстродействующих ЭВМ с
большим объемом памяти.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Чем различаются по зонной теории полупроводники и диэлектрики? металлы и диэ
лектрики?
• Когда по зонной теории твердое тело является проводником электрического тока?
• В чем суть адиабатического приближения и приближения самосогласованного поля?
• Чем отличаются энергетические состояния электронов в изолированном атоме и крис
талле? Что такое запрещенные и разрешенные энергетические зоны?
• Как объяснить увеличение проводимости полупроводников с повышением температуры?
• Чем обусловлена проводимость собственных полупроводников?
• Почему уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен в середине запре
щенной зоны? Доказать это положение.
• Каков механизм электронной примесной проводимости полупроводников? дырочной
примесной проводимости?
• Почему при достаточно высоких температурах в примесных полупроводниках преобла
дает собственная проводимость?
• Почему экситонное поглощение света не сопровождается увеличением фотопроводи
мости?
• Каков механизм собственной фотопроводимости? примесной фотопроводимости?
• Что такое красная граница фотопроводимости?
• Каковы по зонной теории механизмы возникновения флуоресценции и фосфоресцен
ции?
• Что такое люминесценция? Какие ее виды вам известны?
• Что представляют собой кристаллофосфо¢ры?
• Сформулируйте законы Вольта.
• В чем причины возникновения контактной разности потенциалов?
• Объясните механизм возникновения контактной разности потенциалов согласно зон
ной теории.
• В чем суть термоэлектрических явлений? Как объяснить их возникновение?
• Когда возникает запирающий контактный слой при контакте металла с полупроводни
ком n типа? с полупроводником p типа? Объясните механизм его образования.
• Поясните физические процессы, происходящие в p n переходе.
• Как объяснить одностороннюю проводимость p n перехода?
• Какова вольт амперная характеристика p n перехода? Объясните возникновение пря
мого и обратного тока.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

• Какое направление в полупроводниковом диоде является пропускным для тока?
• Какие типы полупроводниковых диодов вам известны?
• Почему через полупроводниковый диод проходит ток (хотя и слабый) даже при запира
ющем напряжении?
ÇÀÄÀ×È
31.1 . Германиевый образец нагревают от 0 до 17 °С. Принимая ширину запрещенной зоны
кремния 0,72 эВ, определите, во сколько раз возрастет его удельная проводимость. [В 2,45 раза]
31.2 . В чистый кремний введена небольшая примесь бора. Пользуясь Периодической
системой элементов Д. И . Менделеева, определите и объясните тип проводимости примес
ного кремния.
31.3 . Определите длину волны, при которой в примесном полупроводнике еще возбуж
дается фотопроводимость.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

476
×ÀÑÒÜ 7
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÔÈÇÈÊÈ ÀÒÎÌÍÎÃÎ ßÄÐÀ
È ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ
Ãëàâà 32
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÔÈÇÈÊÈ ÀÒÎÌÍÎÃÎ ßÄÐÀ
§ 251. Ðàçìåð, ñîñòàâ è çàðÿä
àòîìíîãî ÿäðà.
Ìàññîâîå è çàðÿäîâîå ÷èñëà
Э. Резерфорд, исследуя прохожде
ние a частиц с энергией в несколько
мегаэлектрон вольт через тонкие плен
ки золота (см. § 208), пришел к выводу,
что атом состоит из положительно за
ряженного ядра и окружающих его
электронов. Проанализировав эти опы
ты, Э. Резерфорд также показал, что
атомные ядра имеют размеры пример
но 10-14
—
10-15
м (линейные размеры
атома примерно 10-10
м).
Атомное ядро состоит из элементар
ных частиц — протонов и нейтронов
(протонно нейтронная модель ядра
была предложена российским физиком
Д. Д. Иваненко (1904 — 1994), а впос
ледствии развита В. Гейзенбергом).
Протон (p) имеет положительный
заряд, равный заряду электрона, и мас
су mp = 1,6726 · 10-27
кг »1836 me , где
me — масса электрона. Нейтрон (n)—
нейтральная частица с массой m n =
= 1,6749 · 10-27
кг »1839 me . Протоны и
нейтроны называются нуклонами (от
лат. nucleus — ядро). Общее число нук
лонов в атомном ядре называется мас
совым числом A.
Атомное ядро характеризуется за
рядом Ze, где Z — зарядовое число
ядра, равное числу протонов в ядре и
совпадающее с порядковым номером хи
мического элемента в Периодической
системе элементов Д. И. Менделеева.
Известные в настоящее время 110 эле
ментов таблицы Менделеева имеют за
рядовыечислаядеротZ=1доZ=110.
Ядро обозначается тем же символом,
что и нейтральный атом:
A
ZX,гдеX—сим
вол химического элемента, Z — зарядо
вое число (число протонов в ядре), A —
массовое число (число нуклонов в ядре).
Сейчас протонно нейтронная модель
ядра не вызывает сомнений. Рассматрива
лась также гипотеза о протонно электрон
ном строении ядра, но она не выдержала эк
спериментальной проверки. Так, если при
держиваться этой гипотезы, то массовое
число A должно представлять собой число
протонов в ядре, а разность между массовым
числом и числом электронов должна быть
равна зарядовому числу. Эта модель согла
совывалась со значениями изотопных масс
и зарядов, но противоречила значениям спи
нов и магнитных моментов ядер, энергии
связи ядра и т. д. Кроме того, она оказалась
несовместимой с соотношением неопреде
ленностей (см. § 215). В результате гипоте
за о протонно электронном строении ядра
была отвергнута.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

477
Так как атом нейтрален, то заряд
ядра определяет и число электронов в
атоме. От числа же электронов зависит
их распределение по состояниям в ато
ме, от которого, в свою очередь, зави
сят химические свойства атома. Следо
вательно, заряд ядра определяет специ
фику данного химического элемента, т. е .
определяет число электронов в атоме,
конфигурацию их электронных оболо
чек, величину и характер внутриатом
ного электрического поля.
Ядра с одинаковыми Z, но разными A
(т. е . с разными числами нейтронов
N = A - Z ) называются изотопами, а
ядра с одинаковыми A, но разными Z —
изобарами. Например, водород (Z = 1 )
имеет три изотопа:
1
1H—протий(Z=1,
N=0),
2
1H—дейтерий(Z=1,N =1),
3
1H—тритий(Z=1,N =2),олово —
десять, и т. д. В подавляющем боль
шинстве случаев изотопы одного и
того же химического элемента облада
ют одинаковыми химическими и почти
одинаковыми физическими свойства
ми (исключение составляют, напри
мер, изотопы водорода), определяющи
мися в основном структурой электрон
ных оболочек, которая является одина
ковой для всех изотопов данного эле
мента. Примером ядер изобар могут
служить ядра
10
4Be,
10
5B,
10
6C. В настоящее
время известно более 2500 ядер, отли
чающихся либо Z, либо A, либо тем и
другим.
В первом приближении ядро можно
считать шаром, причем радиус ядра за
дается эмпирической формулой
,
13
0
RRA
=
(251.1)
где R0 = (1,3 — 1,7)10-15
м.
Радиус ядра имеет условный смысл,
поскольку границы ядра размыты. Из
формулы (251.1) вытекает, что объем
ядра пропорционален числу нуклонов
в ядре. Следовательно, плотность ядер
ного вещества примерно одинакова для
всех ядер (»1017 кг/м3).
§ 252. Äåôåêò ìàññû
è ýíåðãèÿ ñâÿçè ÿäðà
Исследования показывают, что атом
ные ядра являются устойчивыми обра
зованиями. Это означает, что в ядре
между нуклонами существует опреде
ленная связь.
Массу ядер очень точно можно оп
ределить с помощью масс спектро
метров — измерительных приборов,
разделяющих с помощью электричес
ких и магнитных полей пучки заряжен
ных частиц (обычно ионов) с разными
удельными зарядами
Q
m
. Масс спектро
метрические измерения показали, что
масса ядра меньше, чем сумма масс со
ставляющих его нуклонов. Но так как
всякому изменению массы (см. § 40)
должно соответствовать изменение энер
гии, то, следовательно, при образовании
ядра должна выделяться определенная
энергия.
Из закона сохранения энергии вы
текает и обратное: для разделения ядра
на составные части необходимо затра
тить такое же количество энергии, ко
торое выделяется при его образовании.
Энергия, которую нужно затратить,
чтобы расщепить ядро на отдельные
нуклоны, называется энергией связи
ядра.
Энергия связи нуклонов в ядре
ñâ
ÿ
,
2
[() ]
pn
EZ
mA
Z
mm
c
=+
--
(252.1)
где mp , mn , mя — соответственно массы
протона, нейтрона и ядра.
В таблицах обычно приводятся не
массы mя ядер, а массы m атомов. По
этому для энергии связи ядра пользу
ются формулой
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

478
ñâ
,
2
H
[()]
n
EZ
mA
Z
m
m
c
=+
--
(252.2)
где m H — масса атома водорода. Так как
m H больше mp на величину me , то пер
вый член в квадратных скобках вклю
чает в себя массу Z электронов. Но так
как масса атома m отличается от массы
ядра m я как раз на массу Z электронов,
то вычисления по формулам (252.1) и
(252.2) приводят к одинаковым резуль
татам. Величина
ÿ
[()
]
pn
mZ
m AZmm
D= +-
-
называется дефектом массы ядра. На
эту величину уменьшается масса всех
нуклонов при образовании из них атом
ного ядра.
Часто вместо энергии связи рассмат
ривают удельную энергию связи dEсв —
энергию связи, отнесенную к одному
нуклону. Она характеризует устойчи
вость (прочность) атомных ядер, т. е .
чем больше dEсв , тем устойчивее ядро.
Удельная энергия связи зависит от мас
сового числа A элемента (рис. 345). Для
легких ядер (A „ 12) удельная энергия
связи круто возрастает до 6 — 7 МэВ,
претерпевая целый ряд скачков (напри
мер, для
2
1H dEсв = 1,1 МэВ, для
4
2He —
7,1 МэВ, для
6
3Li — 5,3 МэВ), затем бо
лее медленно возрастает до максималь
ной величины 8,7 МэВ у элементов с A =
= 50 — 60, а потом постепенно уменьша
ется у тяжелых элементов (например,
для 238
92U она составляет 7,6 МэВ). От
метим для сравнения, что энергия связи
валентных электронов в атомах состав
ляет примерно 10 эВ (в 106 раз меньше!).
Уменьшение удельной энергии связи
при переходе к тяжелым элементам объяс
няется тем, что с возрастанием числа про
тонов в ядре увеличивается и энергия их
кулоновского отталкивания. Поэтому
связь между нуклонами становится менее
сильной, а сами ядра менее прочными.
Наиболее устойчивыми оказывают
ся так называемые магические ядра, у
которых число протонов или число ней
тронов равно одному из магических
чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Особенно
стабильны дважды магические ядра,
у которых магическими являются и
число протонов, и число нейтронов
(этих ядер насчитывается всего пять:
4
2He,
16
8O,
40
20Ca,
48
20Ca,
208
82Pb).
Из рис. 345 следует, что наиболее ус
тойчивыми с энергетической точки зре
ния являются ядра из середины Перио
дической системы элементов. Тяжелые
и легкие ядра менее устойчивы. Это оз
начает, что энергетически выгодны сле
дующие процессы: 1) деление тяжелых
ядер на более легкие; 2) слияние легких
ядер друг с другом в более тяжелые. При
обоих процессах выделяется огромное
количество энергии. Эти процессы в на
стоящее время осуществлены в реакци
ях деления и термоядерных реакциях.
§ 253. Ñïèí ÿäðà
è åãî ìàãíèòíûé ìîìåíò
Использование приборов высокой
разрешающей способности и специаль
ных источников возбуждения спектров
Рис. 345
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

479
позволило обнаружить сверхтонкую
структуру спектральных линий. Ее су
ществование В. Паули объяснил (1924)
наличием у атомных ядер собственного
момента импульса (спина) и магнитно
го момента.
Собственный момент импульса
ядра — спин ядра — складывается из
спинов нуклонов и из орбитальных мо
ментов импульса нуклонов (моментов
импульса, обусловленных движением
нуклонов внутри ядра). Обе эти вели
чины являются векторами, поэтому
спин ядра представляет их векторную
сумму. Спин ядра квантуется по закону
ÿ
,
(1
)
LI
I
=+
h
где I — спиновое ядерное квантовое
число (его часто называют просто спи
ном ядра), которое принимает целые
или полуцелые значения , , , ,
13
01
22
K.
Ядра с четными A имеют целые I, с не
четными — полуцелые I.
Атомное ядро кроме спина обладает
магнитным моментом pm я. Магнит
ный момент ядра связан со спином ядра
[см. аналогичное выражение (131.5)
для электрона]: pmя = gяLя, где gя — ко
эффициент пропорциональности, назы
ваемый ядерным гиромагнитным от
ношением.
Единицей магнитных моментов ядер
служит ядерный магнетон
ÿ
Äæ/Òë,
27
5, 0508 10
2p
e
m
-
m==
×
h
(253.1)
где mp — масса протона [ср. эту форму
лу с магнетоном Бора (§ 131)]. Ядерный
магнетон в
p
e
m
m
» 1836 раз меньше маг
нетона Бора, поэтому магнитные свой
ства атомов определяются в основном
магнитными свойствами его электронов.
В случае эффекта Зеемана (см. § 223)
при помещении атома в магнитное поле
наблюдается расщепление энергетичес
ких уровней и спектральных линий
(тонкая структура), обусловленное
спин орбитальным взаимодействием
электронов. Во внешнем магнитном
поле также наблюдается расщепление
уровней энергии атома на близко рас
положенные подуровни (сверхтонкая
структура), обусловленное взаимо
действием магнитного момента ядра с
магнитным полем электронов в атоме.
Магнитные моменты ядер могут, та
ким образом, определяться спектроско
пическим методом по сверхтонкой
структуре спектральных линий. Однако
магнитные моменты ядер примерно на
три порядка меньше магнитных момен
тов электронов [см. (253.1) и (§ 131)],
поэтому расщепление спектральных
линий, соответствующее сверхтонкой
структуре, значительно меньше рас
щепления за счет взаимодействия меж
ду спиновым и орбитальным момента
ми электрона (тонкая структура).
Таким образом, из за малости эф
фекта, даже при использовании спект
ральных приборов очень большой раз
решающей способности, точность это
го метода невелика. Поэтому были раз
работаны более точные (не оптические)
методы определения магнитных мо
ментов ядер, одним из которых являет
ся метод ядерного магнитного резо
нанса.
Явление ядерного магнитного резо
нанса заключается в следующем: если
на вещество, находящееся в сильном
постоянном магнитном поле, действо
вать слабым переменным радиочастот
ным магнитным полем, то при частотах,
соответствующих частотам переходов
между ядерными подуровнями, возни
кает резкий (резонансный) максимум
поглощения. Ядерный магнитный резо
нанс обусловлен происходящими под
влиянием переменного магнитного поля
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

480
квантовыми переходами между ядер
ными подуровнями.
Точность метода задается точностью
измерения напряженности постоянно
го магнитного поля и резонансной час
тоты, так как по их значениям вычис
ляются магнитные моменты ядер. Так
как для измерения этих величин при
меняются прецизионные методы, то pm я
можно определять с высокой точностью
(до шести знаков).
Метод ядерного магнитного резо
нанса позволяет наблюдать ядерный
резонанс на ядрах, обладающих магнит
ным моментом порядка 0,1mя. Количе
ство вещества, необходимое для изме
рений, должно составлять 10-3
—
10г(в
зависимости от значения pm я). Измере
ние значений магнитных моментов
ядер часто сводится к сравнению резо
нансных частот исследуемых ядер с ре
зонансной частотой протонов, что по
зволяет освободиться от точной калиб
ровки магнитного поля, которая явля
ется довольно трудоемкой.
§ 254. ßäåðíûå ñèëû. Ìîäåëè ÿäðà
Между составляющими ядро нукло
нами действуют особые, специфические
для ядра силы, значительно превыша
ющие кулоновские силы отталкивания
между протонами. Они называются
ядерными силами.
С помощью экспериментальных
данных по рассеянию нуклонов на яд
рах, по ядерным превращениям и т. д.
доказано, что ядерные силы намного
превышают гравитационные, электри
ческие и магнитные взаимодействия и
не сводятся к ним. Ядерные силы отно
сятся к классу так называемых сильных
взаимодействий.
Перечислим основные свойства ядер
ных сил:
1) ядерные силы являются силами
притяжения;
2) ядерные силы являются коротко
действующими — их действие проявля
ется только на расстоянии примерно
10-15
м. При увеличении расстояния
между нуклонами ядерные силы быст
ро уменьшаются до нуля, а при рассто
яниях, меньших их радиуса действия,
оказываются примерно в 100 раз боль
ше кулоновских сил, действующих меж
ду протонами на том же расстоянии;
3) ядерным силам свойственна заря
довая независимость: ядерные силы,
действующие между двумя протонами,
или двумя нейтронами, или, наконец,
между протоном и нейтроном, одинако
вы по величине. Отсюда следует, что
ядерные силы имеют неэлектрическую
природу;
4) ядерным силам свойственно на
сыщение, т. е . каждый нуклон в ядре вза
имодействует только с ограниченным
числом ближайших к нему нуклонов.
Насыщение проявляется в том, что
удельная энергия связи нуклонов в
ядре (если не учитывать легкие ядра)
при увеличении числа нуклонов не ра
стет, а остается приблизительно посто
янной;
5) ядерные силы зависят от взаим
ной ориентации спинов взаимодейству
ющих нуклонов. Например, протон и
нейтрон образуют дейтрон (ядро изото
па
2
1H) только при условии параллель
ной ориентации их спинов;
6) ядерные силы не являются цент
ральными, т. е. действующими по линии,
соединяющей центры взаимодействую
щих нуклонов.
Сложный характер ядерных сил и
трудность точного решения уравнений
движения всех нуклонов ядра (ядро
с массовым числом A представляет со
бой систему из A тел) не позволили до
настоящего времени разработать еди
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

481
ную последовательную теорию атомно
го ядра. Поэтому в настоящее время
прибегают к рассмотрению приближен
ных ядерных моделей, в которых ядро
заменяется некоторой модельной сис
темой, довольно хорошо описывающей
только определенные свойства ядра и
допускающей более или менее простую
математическую трактовку. Из большо
го числа моделей, каждая из которых
обязательно использует подобранные
произвольные параметры, согласующи
еся с экспериментом, рассмотрим две:
капельную и оболочечную.
1. Капельная модель ядра (1936;
Н. Бор и Я. И . Френкель). Капельная
модель ядра является первой моделью.
Она основана на аналогии между пове
дением нуклонов в ядре и поведением
молекул в капле жидкости.
Так, в обоих случаях силы, действу
ющие между составными частицами —
молекулами в жидкости и нуклонами в
ядре, — являются короткодействующи
ми и им свойственно насыщение. Для
капли жидкости при данных внешних
условиях характерна постоянная плот
ность ее вещества. Ядра же характери
зуются практически постоянной удель
ной энергией связи и постоянной плот
ностью, не зависящей от числа нукло
нов в ядре. Наконец, объем капли, так
же как и объем ядра [см. (251.1)], про
порционален числу частиц.
Существенное отличие ядра от кап
ли жидкости в этой модели заключает
ся в том, что она трактует ядро как кап
лю электрически заряженной несжима
емой жидкости (с плотностью, равной
ядерной), подчиняющуюся законам
квантовой механики. Капельная модель
ядра позволила получить полуэмпири
ческую формулу для энергии связи
нуклонов в ядре, объяснила механизм
ядерных реакций и особенно реакции
деления ядер. Однако эта модель не
смогла, например, объяснить повышен
ную устойчивость ядер, содержащих
магические числа протонов и нейтронов.
2. Оболочечная модель ядра [1949 —
1950; американский физик М. Гепперт
Майер (1906 — 1975) и немецкий физик
X.Иенсен (1907 — 1973)]. Оболочечная
модель предполагает распределение
нуклонов в ядре по дискретным энер
гетическим уровням (оболочкам), за
полняемым нуклонами согласно прин
ципу Паули, и связывает устойчивость
ядер с заполнением этих уровней. Счи
тается, что ядра с полностью заполнен
ными оболочками являются наиболее
устойчивыми. Такие особо устойчивые
(магические) ядра действительно суще
ствуют (см. § 252).
Оболочечная модель ядра позволи
ла объяснить спины и магнитные мо
менты ядер, различную устойчивость
атомных ядер, а также периодичность
изменений их свойств. Эта модель осо
бенно хорошо применима для описания
легких и средних ядер, а также для ядер,
находящихся в основном (невозбуж
денном) состоянии.
По мере дальнейшего накопления
экспериментальных данных о свой
ствах атомных ядер появлялись все но
вые факты, не укладывающиеся в рам
ки описанных моделей. Так возникли
обобщенная модель ядра (синтез ка
пельной и оболочечной моделей), оп
тическая модель ядра (объясняет вза
имодействие ядер с налетающими час
тицами) и другие модели.
§ 255. Ðàäèîàêòèâíîå èçëó÷åíèå
è åãî âèäû
Французский физик А. Беккерель
(1852 — 1908) в 1896 г. при изучении
люминесценции солей урана случайно
обнаружил самопроизвольное испуска
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

482
ние ими излучения неизвестной приро
ды, которое действовало на фотоплас
тинку, ионизировало воздух, проника
ло сквозь тонкие металлические плас
тинки, вызывало люминесценцию ряда
веществ.
Продолжая исследование этого яв
ления, супруги Кюри — Мария (1867 —
1934) и Пьер (1856 — 1906) — обнару
жили, что беккерелевское излучение
свойственно не только урану, но и мно
гим другим тяжелым элементам, таким,
как торий и актиний. Они показали так
же, что урановая смоляная обманка
(руда, из которой добывается металли
ческий уран) испускает излучение, ин
тенсивность которого во много раз пре
вышает интенсивность излучения ура
на. Таким образом удалось выделить
два новых элемента — носителя бекке
релевского излучения: полоний
210
84Po и
радий 226
88Ra.
Обнаруженное излучение было назва
но радиоактивным излучением, а са
мо явление — испускание радиоактив
ного излучения — радиоактивностью.
Дальнейшие опыты показали, что на
характер радиоактивного излучения
препарата не оказывают влияния вид
химического соединения, агрегатное
состояние, механическое давление, тем
пература, электрические и магнитные
поля, т. е . все те воздействия, которые
могли бы привести к изменению состо
яния электронной оболочки атома.
Следовательно, радиоактивные свой
ства элемента обусловлены лишь
структурой его ядра.
В настоящее время под радиоак
тивностью понимают способность не
которых атомных ядер самопроизволь
но (спонтанно) превращаться в другие
ядра с испусканием различных видов
радиоактивных излучений. Радиоак
тивность подразделяется на есте
ственную (наблюдается у неустойчи
вых изотопов, существующих в приро
де) и искусственную (наблюдается у
изотопов, полученных посредством
ядерных реакций). Принципиального
различия между этими двумя типами
радиоактивности нет, так как законы
радиоактивного превращения в обоих
случаях одинаковы.
Радиоактивное излучение бывает
трех типов: a , b и g излучение. Подроб
ное их исследование позволило выяс
нить природу и основные свойства.
a Излучение отклоняется электри
ческим и магнитным полями, обладает
высокой ионизирующей способностью
и малой проникающей способностью
(например, поглощаются слоем алюми
ния толщиной примерно 0,05 мм).
a Излучение представляет собой поток
ядер гелия; заряд a частицы равен +2e,
а масса совпадает с массой ядра изото
па гелия
4
2He. По отклонению a частиц
в электрическом и магнитном полях
был определен их удельный заряд
Q
ma
,
значение которого подтвердило пра
вильность представлений об их природе.
b Излучение отклоняется электри
ческим и магнитным полями; его иони
зирующая способность значительно
меньше (примерно на два порядка), а
проникающая способность гораздо
больше (поглощается слоем алюминия
толщиной примерно 2 мм), чем у a ча
стиц. b Излучение представляет собой
поток быстрых электронов (это вытека
ет из определения их удельного заряда).
Поглощение потока электронов с
одинаковыми скоростями в однород
ном веществе подчиняется экспоненци
альному закону N = N0 e
-mx
,гдеN0иN—
число электронов на входе и выходе
слоя вещества толщиной x , m — коэф
фициент поглощения. b Излучение
сильно рассеивается в веществе, поэто
му m зависит не только от вещества, но
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

483
и от размеров и формы тел, на которые
b излучение падает.
g Излучение не отклоняется элект
рическим и магнитным полями, обла
дает относительно слабой ионизирую
щей способностью и очень большой
проникающей способностью (напри
мер, проходит через слой свинца тол
щиной 5 см), при прохождении через
кристаллы обнаруживает дифракцию.
g Излучение представляет собой корот
коволновое электромагнитное излуче
ние с чрезвычайно малой длиной вол
ныl<10-10
м и вследствие этого —
ярко выраженными корпускулярными
свойствами, т. е . является потоком час
тиц — g квантов (фотонов).
§ 256. Çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî
ðàñïàäà. Ïðàâèëà ñìåùåíèÿ
Под радиоактивным распадом,
или просто распадом, понимают есте
ственное радиоактивное превращение
ядер, происходящее самопроизвольно.
Атомное ядро, испытывающее радио
активный распад, называется мате
ринским, возникающее ядро — дочер
ним. Теория радиоактивного распада
строится на предположении о том, что
радиоактивный распад является спон
танным процессом, подчиняющимся
статистическим законам. Так как от
дельные радиоактивные ядра распада
ются независимо друг от друга, то мож
но считать, что число ядер dN, распав
шихся в среднем за интервал времени
от t до t + dt, пропорционально проме
жутку времени dt и числу N нераспав
шихся ядер к моменту времени t :
dN = -lNdt,
(256.1)
где l — постоянная для данного радио
активного вещества величина, называ
емая постоянной радиоактивного
распада; знак «-» указывает, что общее
число радиоактивных ядер в процессе
распада уменьшается. Разделив пере
менные и интегрируя:
,
,
,
0
0
0
dd
dd
ln
Nt
N
NNN
tt
t
NNN
=-l
=-l
=-l
òò
получим
N=N0e
-lt
,
(256.2)
где N 0 — начальное число нераспавших
ся ядер (в момент времена t = 0); N —
число нераспавшихся ядер в момент
времени t .
Формула (256.2) выражает закон
радиоактивного распада, согласно ко
торому число нераспавшихся ядер убы
вает со временем по экспоненциально
му закону.
Интенсивность процесса радиоак
тивного распада характеризуют две ве
личины: период полураспада T 1/2 в
среднее время жизни t радиоактивно
го ядра. Период полураспада T1/2 —
время, за которое исходное число ра
диоактивных ядер в среднем уменьша
ется вдвое. Тогда, согласно (256.2),
,
12
0
0e
2
T
N
N-l
=
откуда
12
0, 693
ln2
.
T==
ll
Периоды полураспада для естест
венно радиоактивных элементов ко
леблются от десятимиллионных долей
секунды до многих миллиардов лет.
Суммарная продолжительность жиз
ни dN ядер равна t1⁄2dN1⁄2 = lNtdt. Про
интегрировав это выражение по всем
возможным t (т.е. от 0 до ¥) и разде
лив на начальное число ядер N 0, полу
чим среднее время жизни t радиоак
тивного ядра:
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

484
0
00
00
0
11
ded
1
ed
t
t
Ntt
Nt
t
NN
tt
¥¥
-l
¥
-l
t=
l=
l
=
=l
=
l
òò
ò
[учтено (256.2)]. Таким образом, сред
нее время жизни t радиоактивного ядра
есть величина, обратная постоянной
радиоактивного распада l.
Активностью A нуклида (общее
название атомных ядер, отличающихся
числом протонов Z и нейтронов N ) в
радиоактивном источнике называется
число распадов, происходящих с ядра
ми образца в 1 с:
d
.
d
N
AN
t
==
l (256.3)
Единица активности в СИ — бекке
рель (Бк): 1 Бк — активность нуклида,
при которой за 1 с происходит один акт
распада. До сих пор в ядерной физике
применяется и внесистемная единица ак
тивности нуклида в радиоактивном ис
точнике—кюри(Ки):1Ки= 3,7 ·1010
Бк.
Радиоактивный распад происходит
в соответствии с так называемыми пра
вилами смещения, позволяющими ус
тановить, какое ядро возникает в ре
зультате распада данного материнско
го ядра. Правила смещения:
44
22
XY
+
H
e
AA
ZZ
-
-
®
для a распада, (256.4)
0
11
XY
+
AA
ZZe
+-
®
для b распада, (256.5)
где A
Z X — материнское ядро; Y — сим
вол дочернего ядра; 4
2He — ядро гелия
(a частица); -1
0e — символическое обозна
чение электрона (заряд его равен -1,
а массовое число — нулю).
Правила смещения являются ничем
иным, как следствием двух законов,
выполняющихся при радиоактивных
распадах, — сохранения зарядовых чисел
и сохранения массовых чисел: сумма за
рядовых чисел (массовых чисел) возни
кающих ядер и частиц равна зарядовому
числу (массовому числу) исходного ядра.
Возникающие в результате радиоак
тивного распада ядра могут быть, в
свою очередь, радиоактивными. Это
приводит к возникновению цепочки,
или ряда, радиоактивных превраще
ний, заканчивающихся стабильным
элементом. Совокупность элементов,
образующих такую цепочку, называет
ся радиоактивным семейством.
Из правил смещения (256.4) и
(256.5) вытекает, что массовое число
при a распаде уменьшается на 4, а при
b распаде не меняется. Поэтому для
всех ядер одного и того же радиоактив
ного семейства остаток от деления мас
сового числа на 4 одинаков. Таким об
разом, существует четыре различных
радиоактивных семейства, для каждо
го из которых массовые числа задают
ся одной из следующих формул:
A=4n, 4n+1,4n+2,4n+3,
где n — целое положительное число.
Семейства называются по наиболее
долгоживущему (с наибольшим пери
одом полураспада) «родоначальнику»:
семейства тория (от
232
90Th), нептуния
(от 237
93Np), урана (от 238
92U) и актиния (от
235
89Ac). Конечными нуклидами соответ
ственно являются 208
82Pb,
209
83 Bi,
206
82Pb,
207
82Pb, т. е. единственное семейство не
птуния (искусственно радиоактивные
ядра) заканчивается нуклидом Bi, а все
остальные (естественно радиоактив
ные ядра) — нуклидами Pb.
§ 257. Çàêîíîìåðíîñòè a-ðàñïàäà
В настоящее время известно более
двухсот a активных ядер, главным об
разом тяжелых (A > 200, Z > 82). Толь
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

485
ко небольшая группа a активных ядер
приходится на область c A = 140— 160
(редкие земли). a Распад подчиняется
правилу смещения (256.4). Примером
a распада служит распад изотопа ура
на
238U с образованием Th:
238
92U ®
234
90Th+4
2He.
Скорости вылетающих при распаде
a частиц очень велики и колеблются
для разных ядер в пределах от 1,4 · 107
до 2 · 107 м/с, что соответствует энерги
ям от 4 до 8,8 МэВ. Согласно современ
ным представлениям, a частицы обра
зуются в момент радиоактивного рас
пада при встрече движущихся внутри
ядра двух протонов и двух нейтронов.
a Частицы, испускаемые конкрет
ным ядром, обладают, как правило, оп
ределенной энергией. Более тонкие из
мерения, однако, показали, что энерге
тический спектр a частиц, испускае
мых данным радиоактивным элемен
том, обнаруживает «тонкую структу
ру», т. е. испускается несколько групп
a частиц, причем в пределах каждой
группы их энергии практически посто
янны. Дискретный спектр a частиц
свидетельствует о том, что атомные
ядра обладают дискретными энергети
ческими уровнями.
Для a распада характерна сильная
зависимость между периодом полурас
пада T1/2 и энергией вылетающих час
тиц. Эта взаимосвязь определяется эм
пирическим законом Гейгера — Нэтто
ла (1912)1
, который обычно выражают
в виде зависимости между пробегом Ra
(расстоянием, проходимым частицей в
веществе до ее полной остановки) a
частиц в воздухе и постоянной радио
активного распада l:
lnl =A + BlnRa, (257.1)
где
12
ln2
T
l=
, A и B — эмпирические кон
станты. Согласно (257.1), чем меньше
период полураспада радиоактивного
элемента, тем больше пробег, а следо
вательно, и энергия испускаемых им
a частиц. Пробег a частиц в воздухе
(при нормальных условиях) составля
ет несколько сантиметров, в более
плотных средах он гораздо меньше —
сотые доли миллиметра (a частицы
можно задержать обычным листом бу
маги).
Опыты Резерфорда по рассеянию
a частиц на ядрах урана показали, что
a частицы вплоть до энергии 8,8 МэВ
испытывают на ядрах резерфордовское
рассеяние, т. е. силы, действующие на
a частицы со стороны ядер, описывают
ся законом Кулона. Подобный характер
рассеяния a частиц указывает на то, что
они еще не вступают в область действия
ядерных сил, т. е . можно сделать вывод,
что ядро окружено потенциальным
барьером, высота которого не меньше
8,8 МэВ. С другой стороны, a частицы,
испускаемые ураном, имеют энергию
4,2 МэВ. Следовательно, a частицы вы
летают из a радиоактивного ядра с
энергией, заметно меньшей высоты по
тенциального барьера. Классическая
механика этот результат объяснить не
могла.
Объяснение a распада дано кванто
вой механикой, согласно которой вылет
a частицы из ядра возможен благода
ря туннельному эффекту (см. § 221) —
проникновению a частицы сквозь по
тенциальный барьер. Всегда имеется
отличная от нуля вероятность того, что
частица с энергией, меньшей высоты
потенциального барьера, пройдет сквозь
него, т. е ., действительно, из a радио
активного ядра a частицы могут выле
тать с энергией, меньшей высоты потен
циального барьера. Этот эффект цели
1 Д. Нэттол (1890 — 1958) — английский фи
зик; X. Гейгер (1882 — 1945) — немецкий физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

486
ком обусловлен волновой природой
a частиц.
Вероятность прохождения a части
цы сквозь потенциальный барьер опре
деляется его формой и вычисляется на
основе уравнения Шредингера. В про
стейшем случае потенциального барь
ера с прямоугольными вертикальными
стенками (см. рис. 301, а) коэффициент
прозрачности, определяющий вероят
ность прохождения сквозь потенциаль
ный барьер, рассчитывается по рассмот
ренной ранее формуле (221.7):
0
2
exp
2(
).
DD
mUEl
a
éù
=-
-
êú
ëû
h
Анализируя это выражение, видим,
что коэффициент прозрачности D тем
больше (следовательно, тем меньше
период полураспада), чем меньший по
высоте (U ) и ширине (l ) барьер нахо
дится на пути a частицы. Кроме того,
при одной и той же потенциальной кри
вой барьер на пути частицы тем мень
ше, чем больше ее энергия E. Таким об
разом качественно подтверждается за
кон Гейгера — Нэттола [см. (257.1)].
§258.b
-
- Ðàñïàä. Íåéòðèíî
Явление b
-
распада (в дальнейшем
будет показано, что существует и b
+
рас
пад) подчиняется правилу смещения
(256.5)
0
11
XY
+
AA
ZZe
+-
®
и связано с выбросом электрона. При
шлось преодолеть целый ряд трудно
стей с трактовкой b- распада.
Во первых, необходимо было обо
сновать происхождение электронов,
выбрасываемых в процессе b- распада.
Протонно нейтронное строение ядра
исключает возможность вылета элект
рона из ядра, поскольку в ядре элект
ронов нет. Предположение же, что элек
троны вылетают не из ядра, а из элект
ронной оболочки, несостоятельно, по
скольку тогда должно было бы наблю
даться оптическое или рентгеновское
излучение, что не подтверждают экспе
рименты.
Во вторых, необходимо было объяс
нить непрерывность энергетического
спектра испускаемых электронов (ти
пичная для всех изотопов кривая распре
деления b
-
частиц по энергиям приведе
на на рис. 346). Каким же образом b- ак
тивные ядра, обладающие до и после рас
пада вполне определенными энергиями,
могут выбрасывать электроны со значе
ниями энергии от нуля до некоторого
максимального Emax? Означает ли это,
что энергетический спектр испускаемых
электронов является непрерывным?
Гипотеза о том, что при b- распаде
электроны покидают ядро со строго оп
ределенными энергиями, но в резуль
тате каких то вторичных взаимодей
ствий теряют ту или иную долю своей
энергии, так что их первоначальный
дискретный спектр превращается в не
прерывный, была опровергнута прямы
ми калориметрическими опытами. Так
как максимальная энергия Emax опреде
ляется разностью масс материнского и
дочернего ядер, то распады, при кото
рых энергия электрона E < Emax, как бы
протекают с нарушением закона сохра
нения энергии. Н . Бор даже пытался
обосновать это нарушение, высказывая
предположение, что закон сохранения
Рис. 346
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

487
энергии носит статистический характер
и выполняется лишь в среднем для
большого числа элементарных процес
сов. Отсюда видно, насколько принци
пиально важно было разрешить это зат
руднение.
В третьих, необходимо было разоб
раться с несохранением спина в b
-
рас
паде. При b- распаде число нуклонов в
ядре не изменяется (так как сохраняет
ся массовое число A), поэтому не дол
жен изменяться и спин ядра, который
равен целому числу h при четном A и
полуцелому h при нечетном A. Однако
выброс электрона, имеющего спин
2
h,
должен изменить спин ядра на величи
ну
2
h.
Последние два затруднения приве
ли В. Паули к гипотезе (1931) о том, что
при b- распаде вместе с электроном ис
пускается еще одна нейтральная части
ца — нейтрино. Нейтрино имеет нуле
вой заряд, спин 1/2 (в единицах h) и ну
левую (а скорее <10-4
me) массу; обозна
чается 0
0e
n . Впоследствии оказалось,
что при b- распаде испускается не ней
трино, а антинейтрино (античастица
по отношению к нейтрино; обознача
ется 0
0e
n% ).
Гипотеза о существовании нейтри
но позволила Э. Ферми создать теорию
b- распада (1934), которая в основном
сохранила свое значение и в настоящее
время, хотя экспериментально суще
ствование нейтрино было доказано бо
лее чем через 20 лет (1956). Столь дли
тельные «поиски» нейтрино сопряже
ны с большими трудностями, обуслов
ленными отсутствием у нейтрино элек
трического заряда и массы.
Нейтрино — единственная частица,
не участвующая ни в сильных, ни в
электромагнитных взаимодействиях;
единственный вид взаимодействий, в
котором может принимать участие ней
трино, — слабое взаимодействие. Поэто
му прямое наблюдение нейтрино весь
ма затруднительно. Ионизирующая спо
собность нейтрино столь мала, что один
акт ионизации в воздухе приходится на
500 км пути. Проникающая же способ
ность нейтрино столь огромна (пробег
нейтрино с энергией 1 МэВ в свинце со
ставляет примерно 1018 м!), что за
трудняет удержание этих частиц в при
борах.
Для экспериментального выявления
нейтрино (антинейтрино) применялся
поэтому косвенный метод, основанный
на том, что в реакциях (в том числе с
участием нейтрино) выполняется закон
сохранения импульса. Таким образом,
нейтрино было обнаружено при изуче
нии отдачи атомных ядер при b
-
распа
де. Если при b- распаде ядра вместе с
электроном выбрасывается и антиней
трино, то векторная сумма трех импуль
сов — ядра отдачи, электрона и антиней
трино — должна быть равна нулю. Это
действительно подтвердилось на опы
те. Непосредственное обнаружение
нейтрино стало возможным лишь зна
чительно позднее, после появления
мощных реакторов, позволяющих по
лучать интенсивные потоки нейтрино.
Введение нейтрино (антинейтрино)
позволило не только объяснить кажу
щееся несохранение спина, но и разоб
раться с вопросом непрерывности энер
гетического спектра выбрасываемых
электронов. Сплошной спектр b- час
тиц обусловлен распределением энер
гии между электронами и антинейтри
но, причем сумма энергий обеих частиц
равна Emax. В одних актах распада бо′ ль
шую энергию получает антинейтрино,
в других — электрон; в граничной точ
ке кривой на рис. 346, где энергия элек
трона равна Emax , вся энергия распада
уносится электроном, а энергия анти
нейтрино равна нулю.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

488
Наконец, рассмотрим вопрос о про
исхождении электронов при b- распа
де. Поскольку электрон не вылетает из
ядра и не вырывается из оболочки ато
ма, было сделано предположение, что
b электрон рождается в результате
процессов, происходящих внутри ядра.
Так как при b
-
распаде число нуклонов
в ядре не изменяется, а Z увеличивает
ся на единицу [см. (256.5)], то един
ственной возможностью одновремен
ного осуществления этих условий яв
ляется превращение одного из нейтро
нов b
-
активного ядра в протон с одно
временным образованием электрона и
вылетом антинейтрино:
11 00
01 10
.
e
npe
-
®++
n
%
(258.1)
В этом процессе выполняются зако
ны сохранения зарядовых чисел, им
пульса и массовых чисел. Кроме того,
данное превращение энергетически
возможно, так как масса нейтрона пре
вышает массу атома водорода, т. е . про
тона и электрона вместе взятых. Дан
ной разности в массах соответствует
энергия, равная 0,782 МэВ. За счет этой
энергии может происходить самопроиз
вольное превращение нейтрона в про
тон; энергия распределяется между
электроном и антинейтрино.
Если превращение нейтрона в про
тон энергетически выгодно и вообще
возможно, то должен наблюдаться ра
диоактивный распад свободных нейтро
нов (т. е . нейтронов вне ядра). Обнару
жение этого явления было бы подтвер
ждением изложенной теории b- распа
да. Действительно, в 1950 г. в потоках
нейтронов большой интенсивности,
возникающих в ядерных реакторах, был
обнаружен радиоактивный распад сво
бодных нейтронов, происходящий по
схеме (258.1). Энергетический спектр
возникающих при этом электронов со
ответствовал приведенному на рис. 346,
а верхняя граница энергии электронов
Emax оказалась равной рассчитанной
выше (0,782 МэВ).
§ 259. Ãàììà-èçëó÷åíèå
è åãî ñâîéñòâà
Экспериментально установлено, что
g излучение (см. § 255) не является са
мостоятельным видом радиоактивнос
ти, а только сопровождает a и b распа
ды и также возникает при ядерных ре
акциях, при торможении заряженных
частиц, их распаде и т. д . g Спектр яв
ляется линейчатым. g Спектр — это
распределение числа g квантов по энер
гиям (такое же толкование b спектра
дано в § 258). Дискретность g спектра
имеет принципиальное значение, так
как является доказательством дискрет
ности энергетических состояний атом
ных ядер.
В настоящее время твердо установ
лено, что g излучение испускается до
черним (а не материнским) ядром. До
чернее ядро в момент своего образова
ния, оказываясь возбужденным, за вре
мя примерно 10-13
—10-14
с, значитель
но меньшее времени жизни возбужден
ного атома (примерно 10-8 с), перехо
дит в основное состояние с испускани
ем g излучения. Возвращаясь в основ
ное состояние, возбужденное ядро мо
жет пройти через ряд промежуточных
состояний, поэтому g излучение одно
го и того же радиоактивного изотопа
может содержать несколько групп
g квантов, отличающихся одна от дру
гой своей энергией.
ПриgизлученииAиZядранеиз
меняются, поэтому оно не описывает
ся никакими правилами смещения.
g Излучение большинства ядер являет
ся столь коротковолновым, что его вол
новые свойства проявляются весьма
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

489
слабо. Здесь на первый план выступа
ют корпускулярные свойства, поэтому
g излучение рассматривают как поток
частиц — g квантов. При радиоактив
ных распадах различных ядер g кван
ты имеют энергии от 10 кэВ до 5 МэВ.
Ядро, находящееся в возбужденном
состоянии, может перейти в основное
состояние не только при испускании
g кванта, но и при непосредственной
передаче энергии возбуждения (без
предварительного испускания g кван
та) одному из электронов того же ато
ма. При этом испускается так называе
мый электрон конверсии. Само явле
ние называется внутренней конверси
ей. Внутренняя конверсия — процесс,
конкурирующий с g излучением.
Электронам конверсии соответству
ют дискретные значения энергии, зави
сящей от работы выхода электрона из
оболочки, из которой электрон выры
вается, и от энергии E, отдаваемой яд
ром при переходе из возбужденного со
стояния в основное. Если вся энергия
E выделяется в виде g кванта, то часто
та излучения n определяется из извест
ного соотношения E = h n. Если же ис
пускаются электроны внутренней кон
версии, то их энергииравныE -AK, E -
- AL, K, где AK, AL, K — работа выхода
электрона из K , K L оболочек.
Моноэнергетичность электронов
конверсии позволяет отличить их от
b электронов, спектр которых непреры
вен (см. § 258). Возникшее в результа
те вылета электрона вакантное место на
внутренней оболочке атома будет за
полняться электронами с вышележа
щих оболочек. Поэтому внутренняя
конверсия всегда сопровождается ха
рактеристическим рентгеновским излу
чением.
g Кванты, обладая нулевой массой
покоя, не могут замедляться в среде,
поэтому при прохождении g излучения
сквозь вещество они либо поглощают
ся, либо рассеиваются им. g Кванты не
несут электрического заряда и тем са
мым не испытывают влияния кулонов
ских сил. При прохождении пучка
g квантов сквозь вещество их энергия
не меняется, но в результате столкно
вений ослабляется интенсивность, из
менение которой описывается экспо
ненциальным законом I = I0 e
-mx
(I0иI—
интенсивности g излучения на входе и
выходе слоя поглощающего вещества
толщиной x ; m — коэффициент погло
щения). Так как g излучение — самое
проникающее излучение, то m для мно
гих веществ — очень малая величина;
m зависит от свойств вещества и энер
гии g квантов.
g Кванты, проходя сквозь вещество,
могут взаимодействовать как с элект
ронной оболочкой атомов вещества, так
и с их ядрами. В квантовой электроди
намике доказывается, что основными
процессами, сопровождающими про
хождение g излучения сквозь вещество,
являются фотоэффект, комптон эф
фект (комптоновское рассеяние) и об
разование электронно позитронных
пар.
Фотоэффект, или фотоэлектри
ческое поглощение g излучения, — это
процесс, при котором атом поглощает
g квант и испускает электрон. Так как
электрон выбивается из одной из внут
ренних оболочек атома, то освободив
шееся место заполняется электронами
из вышележащих оболочек, и фотоэф
фект сопровождается характеристиче
ским рентгеновским излучением.
Фотоэффект является преобладаю
щим механизмом поглощения в области
малых энергий g квантов (Eg „ 100 кэВ).
Фотоэффект может идти только на свя
занных электронах, так как свободный
электрон не может поглотить g квант,
при этом одновременно не удовлетво
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

490
ряются законы сохранения энергии и
импульса.
По мере увеличения энергии g кван
тов (Eg » 0,5 МэВ) вероятность фото
эффекта очень мала и основным меха
низмом взаимодействия g квантов с ве
ществом является комптоновское
рассеяние (см. § 206).
При Eg >1,02 МэВ = 2mec
2
(me —
масса электрона) становится возмож
ным процесс образования электронно
позитронных пар в электрических по
лях ядер. Вероятность этого процесса
пропорциональна Z
2
и увеличивается с
ростом Eg. Поэтому при Eg » 10 МэВ
основным процессом взаимодействия
g излучения в любом веществе являет
ся образование электронно позитрон
ных пар.
Если энергия g кванта превышает
энергию связи нуклонов в ядре (7 —
8 МэВ), то в результате поглощения
g кванта может наблюдаться ядерный
фотоэффект — выброс из ядра одно
го из нуклонов, чаще всего нейтрона.
Большая проникающая способность
g излучения используется в гамма де
фектоскопии — методе дефектоскопии,
основанном на различном поглощении
g излучения при распространении его на
одинаковое расстояние в разных средах.
Местоположение и размеры дефектов
(раковины, трещины и т. д.) определяют
ся по различию в интенсивности излу
чения, прошедшего через разные участ
ки просвечиваемого изделия.
Воздействие g излучения (а также
других видов ионизирующего излуче
ния) на вещество характеризуют дозой
ионизирующего излучения. Различают
поглощенную, экспозиционную и био
логическую дозы излучения.
Поглощенная доза излучения —
физическая величина, равная отноше
нию энергии излучения к массе облу
чаемого вещества.
Единица поглощенной дозы излуче
ния—грей(Гр)1:1Гр=1Дж/кг—доза
излучения, при которой облученному
веществу массой 1 кг передается энер
гия любого ионизирующего излучения
1 Дж.
Экспозиционная доза излучения —
физическая величина, равная отноше
нию суммарного заряда всех ионов од
ного знака, созданных в воздухе, при
полном торможении вторичных элект
ронов, образующихся в элементарном
объеме, к массе воздуха в этом объеме.
Единица экспозиционной дозы излуче
ния — кулон на килограмм (Кл/кг);
внесистемной единицей является рен
тген(Р):1Р=2,58·10-4
Кл/кг.
Биологическая доза — величина,
определяющая воздействие излучения
на организм.
Единица биологической дозы — био
логический эквивалент рентгена
(бэр): 1 бэр — доза любого вида иони
зирующего излучения, производящая
такое же биологическое действие, как
и доза рентгеновского или g излучения
в1Р(1бэр=10-2
Дж/кг).
Мощность дозы излучения — вели
чина, равная отношению дозы излуче
ния ко времени облучения. Различают:
1) мощность поглощенной дозы [еди
ница — грей на секунду (Гр/с)]; 2) мощ
ность экспозиционной дозы [едини
ца — ампер на килограмм (А/кг)].
§ 260. Ðåçîíàíñíîå ïîãëîùåíèå
g-èçëó÷åíèÿ (ýôôåêò Ì̧ññáàóýðà2)
Как уже указывалось, дискретный
спектр g излучения обусловлен диск
ретностью энергетических уровней ядер
атомов. Однако как следует из соотноше
1 С. Грей (1666 — 1736) — английский физик.
2 Р. Мёссбауэр (р. 1929) — немецкий физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

491
ния неопределенностей (215.5), энергия
возбужденных состояний ядра прини
мает значения в пределах
h
E
t
D»
D
, где
Dt — время жизни ядра в возбужденном
состоянии. Следовательно, чем меньше
Dt, тем больше неопределенность энер
гии DE возбужденного состояния. Нео
пределенность энергии DE = 0 только
для основного состояния стабильного
ядра (для него Dt ® ¥). Неопределен
ность энергии квантово механической
системы (например, атома), обладающей
дискретными уровнями энергии, опре
деляет естественную ширину энерге
тического уровня (Г ). Например, при
времени жизни возбужденного состоя
ния, равного 10-13
с, естественная ши
рина энергетического уровня пример
но 10-2
эВ.
Неопределенность энергии возбуж
денного состояния, обусловливаемая
конечным временем жизни возбужден
ных состояний ядра, приводит к немо
нохроматичности g излучения, испус
каемого при переходе ядра из возбуж
денного состояния в основное. Эта не
монохроматичность называется есте
ственной шириной линии g излуче
ния.
При прохождении g излучения в ве
ществе помимо описанных выше (см.
§ 259) процессов (фотоэффект, компто
новское рассеяние, образование элект
ронно позитронных пар) должны в
принципе наблюдаться также резонан
сные эффекты. Если ядро облучить
g квантами с энергией, равной разности
одного из возбужденных и основного
энергетических состояний ядра, то мо
жет иметь место резонансное поглоще
ние g излучения ядрами: ядро погло
щает g квант той же частоты, что и час
тота излучаемого ядром g кванта при
переходе ядра из данного возбужденно
го состояния в основное.
Наблюдение резонансного поглоще
ния g квантов ядрами считалось долгое
время невозможным, так как при пере
ходе ядра из возбужденного состояния
с энергией E в основное (его энергия
принята равной нулю) излучаемый
g квант имеет энергию Eg несколько
меньшую, чем E, из за отдачи ядра в
процессе излучения:
Eg=E -Eя,
где Eя — кинетическая энергия отдачи
ядра.
При возбуждении же ядра и перехо
де его из основного состояния в возбуж
денное с энергией E g квант должен
иметь энергию
E¢g=E+Eя,
где E я — энергия отдачи, которую
g квант должен передать поглощающе
му ядру.
Таким образом, максимумы линий
излучения и поглощения сдвинуты от
носительно друг друга на величину 2Eя
(рис. 347). Используя закон сохранения
импульса, согласно которому в рас
смотренных процессах излучения и по
глощения импульсы g кванта и ядра
должны быть равны, получим
ÿ
ÿ
ÿÿ
ÿÿ
2
2
2
2
22
22
.
22
p
p
E
mm
E
E
mc
mc
g
g
===
=»
(260.1)
Например, возбужденное состояние
изотопа иридия 191
77Ir имеет энергию
Рис. 347
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

492
129 кэВ, а время его жизни порядка 10-10
с,
так что ширина уровня Г » 4 · 10-5 эВ.
Энергия же отдачи при излучении с это
го уровня, согласно (260.1), приблизи
тельно равна 5 · 10-2
эВ, т.е. на три по
рядка больше ширины уровня. Есте
ственно, что никакое резонансное по
глощение в таких условиях невозмож
но (для наблюдения резонансного по
глощения линия поглощения должна
совпадать с линией излучения). Из
опытов также следовало, что на свобод
ных ядрах резонансное поглощение не
наблюдается.
Резонансное поглощение g излу
чения в принципе может быть получе
но только при компенсации потери
энергии на отдачу ядра. Эту задачу ре
шил в 1958 г. Р. Мёссбауэр (Нобелев
ская премия 1961 г.). Он исследовал из
лучение и поглощение g излучения в
ядрах, находящихся в кристаллической
решетке, т. е . в связанном состоянии
(опыты проводились при низкой тем
пературе).
В данном случае импульс и энергия
отдачи передаются не одному ядру, из
лучающему (поглощающему) g квант,
а всей кристаллической решетке в це
лом. Так как кристалл обладает гораз
до большей массой по сравнению с мас
сой отдельного ядра, то в соответствии
с формулой (260.1) потери энергии на
отдачу становятся исчезающе малыми.
Поэтому процессы излучения и погло
щения g излучения происходят практи
чески без потерь энергии (идеально уп
руго).
Явление упругого испускания (по
глощения) g квантов атомными ядра
ми, связанными в твердом теле, не со
провождающееся изменением внутрен
ней энергии тела, называется эффек
том Мёссбауэра. При рассмотренных
условиях линии излучения и поглоще
ния g излучения практически совпада
ют и имеют весьма малую ширину, рав
ную естественной ширине Г . Эффект
Мёссбауэра был открыт на глубоко ох
лажденном
191
77Ir (с понижением темпе
ратуры колебания решетки «заморажи
ваются»), а впоследствии обнаружен
более чем на 20 стабильных изотопах
(например,
57Fe ,
67Zn).
Р. Мёссбауэр вооружил эксперимен
тальную физику новым методом изме
рений невиданной прежде точности.
Эффект Мёссбауэра позволяет измерять
энергии (частоты) излучения с относи
тельной точностью
E
à = 10-15
—
10-17
,
поэтому во многих областях науки и
техники может служить тончайшим
«инструментом» различного рода изме
рений. Появилась возможность изме
рять тончайшие детали g линий, внут
ренние магнитные и электрические
поля в твердых телах и т. д .
Внешнее воздействие (например, зеема
новское расщепление ядерных уровней или
смещение энергии фотонов при движении
в поле тяжести) может привести к очень ма
лому смещению либо линии поглощения,
либо линии излучения, иными словами,
привести к ослаблению или исчезновению
эффекта Мёссбауэра. Это смещение, следо
вательно, может быть зафиксировано. По
добным образом в лабораторных условиях
был обнаружен (1960) такой тончайший эф
фект, как «гравитационное красное смеще
ние», предсказанный обшей теорией отно
сительности.
§ 261. Ìåòîäû íàáëþäåíèÿ
è ðåãèñòðàöèè ðàäèîàêòèâíûõ
èçëó÷åíèé è ÷àñòèö
Практически все методы наблюде
ния и регистрации радиоактивных из
лучений (a, b, g) и частиц основаны на
их способности производить иониза
цию и возбуждение атомов среды. За
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

493
ряженные частицы вызывают эти про
цессы непосредственно, а g кванты и
нейтроны обнаруживаются по иониза
ции, вызываемой возникающими в ре
зультате их взаимодействия с электро
нами и ядрами атомов среды быстры
ми заряженными частицами. Вторичные
эффекты, сопровождающие рассмот
ренные процессы, такие, как вспышка
света, электрический ток, потемнение
фотопластинки, позволяют регистри
ровать пролетающие частицы, считать
их, отличать друг от друга и измерять
их энергию. Приборы, применяемые
для регистрации радиоактивных излу
чений и частиц, делятся на две группы:
1) приборы, позволяющие регистри
ровать прохождение частицы через оп
ределенный участок пространства и в
некоторых случаях определять ее ха
рактеристики, например энергию (сцин
тилляционный счетчик, черенковский
счетчик, импульсная ионизационная
камера, газоразрядный счетчик, полу
проводниковый счетчик);
2) приборы, позволяющие наблю
дать, например фотографировать, сле
ды (треки) частиц в веществе (камера
Вильсона, диффузионная камера, пу
зырьковая камера, ядерные фотоэмуль
сии).
1. Сцинтилляционный счетчик. На
блюдение сцинтилляций — вспышек
света при попадании быстрых частиц на
флуоресцирующий экран — первый
метод, позволивший У. Круксу
1иЭ.Ре
зерфорду на заре ядерной физики (1903)
визуально регистрировать a частицы.
Сцинтилляционный счетчик — де
тектор ядерных частиц, основными эле
ментами которого являются сцинтил
лятор (кристаллофосфо′ р) (см. § 245) и
фотоэлектронный умножитель (см.
§ 105), позволяющий преобразовывать
слабые световые вспышки в электри
ческие импульсы, регистрируемые элек
тронной аппаратурой. Обычно в каче
стве сцинтилляторов используют кри
сталлы некоторых неорганических
(ZnS для a частиц; NaI—Tl, CsI—Tl —
для b частиц и g квантов) или органи
ческих (антрацен, пластмассы — для
g квантов) веществ.
Сцинтилляционные счетчики обла
дают высоким разрешением по време
ни (10-10
—
10-5 с), определяемым родом
регистрируемых частиц, сцинтиллято
ром и разрешающим временем исполь
зуемой электронной аппаратуры (оно
доведено сейчас до 10-8
— 10-10
с).
Для этого типа счетчиков эффектив
ность регистрации — отношение числа
зарегистрированных частиц к полному
числу частиц, пролетевших в счетчике,
примерно 100 % для заряженных частиц
и 30 % для g квантов. Так как для мно
гих сцинтилляторов (NaI—Tl, CsI—Tl,
антрацен, стильбен) интенсивность све
товой вспышки в широком интервале
энергий пропорциональна энергии пер
вичной частицы, то счетчики на данных
сцинтилляторах применяются для из
мерения энергии регистрируемых час
тиц.
2. Черенковский счетчик. Принцип
его работы и свойства излучения Че
ренкова — Вавилова, лежащие в основе
работы счетчика, рассмотрены в § 189.
Назначение черенковских счетчиков —
это измерение энергии частиц, движу
щихся в веществе со скоростью, превы
шающей фазовую скорость света в дан
ной среде, и разделение этих частиц по
массам.
Зная угол испускания излучения
[см. (189.1)], можно определить ско
рость частицы, что при известной мас
се частицы равносильно определению
ее энергии. С другой стороны, если мас
1 У. Крукс (1832 — 1919) — английский фи
зик и химик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

494
са частицы не известна, то она может
быть определена по независимому из
мерению энергии частицы. Кроме того,
при наличии двух пучков частиц с раз
ными скоростями будут различными и
углы испускания излучений, по кото
рым можно искомые частицы опреде
лить. Для черенковских счетчиков раз
решение по скоростям (иными слова
ми, по энергиям) составляет 10-3
—
10-5
.
Это позволяет отделять элементарные
частицы друг от друга при энергиях
порядка 1 ГэВ, когда углы испускания
излучения различаются очень мало.
Время разрешения счетчиков достига
ет 10-9 с. Счетчики Черенкова устанав
ливаются на космических кораблях для
исследования космического излучения.
3. Импульсная ионизационная ка
мера — это детектор частиц, действие
которого основано на способности за
ряженных частиц вызывать ионизацию
газа. Ионизационная камера представ
ляет собой заполненный газом электри
ческий конденсатор, к электродам ко
торого подается постоянное напряже
ние.
Регистрируемая частица, попадая в
пространство между электродами, иони
зует газ. Напряжение подбирается так,
чтобы все образовавшиеся ионы, с од
ной стороны, доходили до электродов,
не успев рекомбинировать, а с другой —
не разгонялись настолько сильно, что
бы производить вторичную ионизацию.
Следовательно, в ионизационной каме
ре на ее электродах непосредственно
собираются ионы, возникшие под дей
ствием заряженных частиц. Ионизаци
онные камеры бывают двух типов: ин
тегрирующие (в них измеряется сум
марный ионизационный ток) и им
пульсные, являющиеся, по существу,
счетчиками (в них регистрируется про
хождение одиночной частицы и изме
ряется ее энергия, правда, с довольно
низкой точностью, обусловленной ма
лостью выходного импульса).
4. Газоразрядный счетчик. Газораз
рядный счетчик обычно выполняется в
виде наполненного газом металлическо
го цилиндра (катод) с тонкой проволо
кой (анод), натянутой по его оси. Хотя
газоразрядные счетчики по конструкции
похожи на ионизационную камеру, од
нако в них основную роль играет вторич
ная ионизация, обусловленная столкно
вениями первичных ионов с атомами и
молекулами газа и стенок.
Можно говорить о двух типах газо
разрядных счетчиков: пропорциональ
ных [в них газовый разряд несамостоя
тельный (см. § 106), т. е . гаснет при пре
кращении действия внешнего иониза
тора] и счетчиках Гейгера — Мюлле
ра1 [в них разряд самостоятельный (см.
§ 107), т. е . поддерживается после пре
кращения действия внешнего иониза
тора].
В пропорциональных счетчиках
рабочее напряжение выбирается так,
чтобы они работали в области вольт ам
перной характеристики, соответствую
щей несамостоятельному разряду, в ко
торой выходной импульс пропорциона
лен первичной ионизации, т. е . энергии
влетевшей в счетчик частицы. Поэтому
они не только регистрируют частицу, но
и измеряют ее энергию. В пропорцио
нальных счетчиках импульсы, вызыва
емые отдельными частицами, усилива
ются в 103 — 104 раз (иногда и в 106 раз).
Счетчик Гейгера — Мюллера по кон
струкции и принципу действия суще
ственно не отличается от пропорцио
нального счетчика, но работает в обла
сти вольт амперной характеристики,
соответствующей самостоятельному
разряду (см. § 107), когда выходной
1 Э. Г . Мюллер (1911 — 1977) — немецкий фи
зик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

495
импульс не зависит от первичной иони
зации. Счетчики Гейгера — Мюллера
регистрируют частицу без измерения ее
энергии.
Коэффициент усиления этих счет
чиков составляет 108. Для регистрации
раздельных импульсов возникший раз
ряд следует гасить. Для этого, напри
мер, последовательно с нитью включа
ется такое сопротивление, чтобы воз
никший в счетчике разряд вызывал на
сопротивлении падение напряжения,
достаточное для прерывания разряда.
Временно′ е разрешение счетчиков Гей
гера — Мюллера составляет 10-3
— 10-7 с.
Для газоразрядных счетчиков эф
фективность регистрации равна при
мерно 100 % для заряженных частиц и
примерно 5 % для g квантов.
5. Полупроводниковый счетчик —
это детектор частиц, основным элемен
том которого является полупроводни
ковый диод (см. § 250). Время разреше
ния составляет примерно 10-9 с. Полу
проводниковые счетчики обладают вы
сокой надежностью, могут работать в
магнитных полях. Малая толщина ра
бочей области (порядка сотни микро
метров) полупроводниковых счетчиков
не позволяет применять их для измере
ния высокоэнергетических частиц.
6. Камера Вильсона
1 (1912) — это
старейший и на протяжении многих
десятилетий (вплоть до 50 — 60 х годов)
единственный тип трекового детектора.
Выполняется обычно в виде стеклянно
го цилиндра с плотно прилетающим
поршнем. Цилиндр наполняется нейт
ральным газом (обычно гелием или ар
гоном), насыщенным парами воды или
спирта. При резком, т. е. адиабатном,
расширении газа пар становится пере
сыщенным и на траекториях частиц,
пролетевших через камеру, образуются
треки из тумана. Образовавшиеся тре
ки для воспроизводства их простран
ственного расположения фотографиру
ются стереоскопически, т. е . под разны
ми углами. По характеру и геометрии
треков можно судить о типе прошедших
через камеру частиц (например, a час
тица оставляет сплошной жирный след,
b частица — тонкий), об энергии частиц
(по величине пробега), о плотности
ионизации (по количеству капель на
единицу длины трека), о количестве
участвующих в реакции частиц.
Российский ученый Д. В. Скобель
цын (1892 — 1990) значительно расши
рил возможности камеры Вильсона,
поместив ее в сильное магнитное поле
(1927). По искривлению траектории
заряженных частиц в магнитном поле,
т. е . по кривизне трека, можно судить о
знаке заряда, а если известен тип час
тицы (ее заряд и масса), то по радиусу
кривизны трека можно определить
энергию и массу частицы даже в том
случае, если весь трек в камере не уме
щается (для реакций при высоких энер
гиях вплоть до сотен мегаэлектрон
вольт).
Недостаток камеры Вильсона — ее
малое рабочее время, составляющее при
мерно 1 % от времени, затрачиваемого
для подготовки камеры к последующе
му расширению (выравнивание темпе
ратуры и давления, рассасывание остат
ков треков, насыщение паров), а также
трудоемкость обработки результатов.
7. Диффузионная камера (1936) —
это разновидность камеры Вильсона.
В ней рабочим веществом также явля
ется пересыщенный пар, но состояние
пересыщения создается диффузией па
ров спирта от нагретой (до 10 °С) крыш
ки ко дну, охлаждаемому (до -60 °С)
твердой углекислотой. Вблизи дна воз
никает слой пересыщенного пара тол
1 Ч. Вильсон (1869 — 1959) — английский фи
зик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

496
щиной примерно 5 см, в котором про
ходящие заряженные частицы создают
треки. В отличие от вильсоновской
диффузионная камера работает непре
рывно. Кроме того, из за отсутствия
поршня в ней могут создаваться давле
ния до 4 МПа, что значительно увели
чивает ее эффективный объем.
8. Пузырьковая камера [1952; аме
риканский физик Д. Глезер (р. 1926)].
В пузырьковой камере рабочим веще
ством является перегретая (находяща
яся под давлением) прозрачная жид
кость (жидкие водород, пропан, ксе
нон).
Запускается камера, так же как и ка
мера Вильсона, резким сбросом давле
ния, переводящим жидкость в неустой
чивое перегретое состояние. Пролета
ющая в это время через камеру заря
женная частица вызывает резкое вски
пание жидкости, и траектория частицы
оказывается обозначенной цепочкой
пузырьков пара — образуется трек, ко
торый, как и в камере Вильсона, фото
графируется. Пузырьковая камера ра
ботает циклами.
Размеры пузырьковых камер при
мерно такие же, как камеры Вильсона
(от десятков сантиметров до 2 м), но их
эффективный объем на 2 — 3 порядка
больше, так как жидкости гораздо плот
нее газов. Это позволяет использовать
пузырьковые камеры для исследования
длинных цепей рождений и распадов
частиц высоких энергий.
9. Ядерные фотоэмульсии [1927;
российский физик Л. В. Мысовский
(1888 — 1939)] — это простейший тре
ковый детектор заряженных частиц.
Прохождение заряженной частицы в
эмульсии вызывает ионизацию, приво
дящую к образованию центров скрыто
го изображения. После проявления сле
ды заряженных частиц обнаруживают
ся в виде цепочки зерен металлического
серебра. Так как эмульсия — среда бо
лее плотная, чем газ или жидкость, ис
пользуемые в вильсоновской и пузырь
ковой камерах, то при прочих равных
условиях длина трека в эмульсии более
короткая. Так, трек длиной 0,05 см в
эмульсии эквивалентен треку в 1 м в
камере Вильсона. Поэтому фотоэмуль
сии применяются для изучения реак
ций, вызываемых частицами в ускори
телях сверхвысоких энергий и в косми
ческих лучах. При исследовании высо
коэнергетических частиц используют
ся также так называемые стопы —
большое число маркированных фото
эмульсионных пластинок, помещаемых
на пути частиц и после проявления про
меряемых под микроскопом. В настоя
щее время методы наблюдения и реги
страции заряженных частиц и излуче
ний настолько разнообразны, что их
описание выходит за рамки курса.
Большое значение начинают играть
сравнительно новые (1957) приборы —
искровые камеры, использующие пре
имущества счетчиков (быстрота регис
трации) и трековых детекторов (пол
нота информации о треках). Говоря об
разно, искровая камера — это набор
большого числа очень мелких счетчи
ков. Поэтому она близка к счетчикам,
так как информация в ней выдается не
медленно, без последующей обработки,
и в то же время обладает свойствами
трекового детектора, так как по дей
ствию многих счетчиков можно устано
вить треки частиц.
§ 262. ßäåðíûå ðåàêöèè
è èõ îñíîâíûå òèïû
Ядерные реакции — это превраще
ния атомных ядер при взаимодействии
с элементарными частицами (в том чис
ле и с g квантами) или друг с другом.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

497
Наиболее распространенным видом
ядерной реакции является реакция, за
писываемая символически следующим
образом:
X+a®Y+b,илиX(a,b)Y,
где X и Y — исходное и конечное ядра;
a и b — бомбардирующая и испускаемая
(или испускаемые) в ядерной реакции
частицы.
В ядерной физике эффективность
взаимодействия характеризуют эф
фективным сечением s. С каждым ви
дом взаимодействия частицы с ядром
связывают свое эффективное сечение:
эффективное сечение рассеяния опре
деляет процессы рассеяния, эффектив
ное сечение поглощения — процессы
поглощения. Эффективное сечение
ядерной реакции
,
d
d
N
nNx
s=
где N — число частиц, падающих за еди
ницу времени на единицу площади по
перечного сечения вещества, имеюще
го в единице объема n ядер; dN — число
этих частиц, вступающих в ядерную
реакцию в слое толщиной dx.
Эффективное сечение s имеет раз
мерность площади и характеризует ве
роятность того, что при падении пучка
частиц на вещество произойдет реакция.
Единица эффективного сечения
ядерных процессов — барн (1 барн =
=10-28
м2).
В любой ядерной реакции выполня
ются законы сохранения зарядовых и
массовых чисел: сумма зарядовых чисел
(и сумма массовых чисел) ядер и час
тиц, вступающих в ядерную реакцию,
равна сумме зарядовых чисел (и сумме
массовых чисел) конечных продуктов
(ядер и частиц) реакции. Выполняют
ся также законы сохранения энергии,
импульса и момента импульса.
В отличие от радиоактивного распа
да, который протекает всегда с выделе
нием энергии, ядерные реакции могут
быть как экзотермическими (с выде
лением энергии), так и эндотермиче
скими (с поглощением энергии).
Важную роль в объяснении механиз
ма многих ядерных реакций сыграло
предположение Н. Бора (1936) о том,
что ядерные реакции протекают в две
стадии по следующей схеме:
X+a®C®Y+b. (262.1)
Первая стадия — это захват ядром X
частицы a, приблизившейся к нему на
расстояние действия ядерных сил (при
мерно 2 · 10-15
м), и образование проме
жуточного ядра С, называемого со
ставным (или компаунд ядром).
Энергия влетевшей в ядро частицы бы
стро распределяется между нуклонами
составного ядра, в результате чего оно
оказывается в возбужденном состоя
нии. При столкновении нуклонов со
ставного ядра один из нуклонов (или их
комбинация, например дейтрон — ядро
тяжелого изотопа водорода — дейтерия,
содержащее один протон и один нейт
рон) или a частица может получить
энергию, достаточную для вылета из
ядра. В результате возможна вторая ста
дия ядерной реакции — распад состав
ного ядра на ядро Y и частицу b.
В ядерной физике вводится харак
терное ядерное время — время, необ
ходимое для пролета частицей рассто
яния порядка величины, равной диа
метру ядра (d » 10-15
м). Так, для час
тицы с энергией 1 МэВ (что соответ
ствует ее скорости v » 107 м/с) харак
терное ядерное время
ì
ì/ñ
15
7
10
10
-
t=
=
=10-22
с.
С другой стороны, доказано, что вре
мя жизни составного ядра равно 10-16
—
10-12
с, т. е . составляет (106 — 1010)t. Это
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

498
же означает, что за время жизни состав
ного ядра может произойти очень мно
го столкновений нуклонов между со
бой, т. е. перераспределение энергии
между нуклонами действительно воз
можно. Следовательно, составное ядро
живет настолько долго, что полностью
«забывает», каким образом оно образо
валось. Поэтому характер распада со
ставного ядра (испускание им части
цы b) — вторая стадия ядерной реак
ции — не зависит от способа образова
ния составного ядра — первой стадии.
Если испущенная частица тожде
ственна с захваченной (b o a), то схема
(262.1) описывает рассеяние частицы:
упругое — при Eb = Ea , неупругое —
приEb 1 Ea . Если же испущенная час
тица не тождественна с захваченной
(b 1 a), то имеем дело с ядерной реак
цией в прямом смысле слова.
Некоторые реакции протекают без
образования составного ядра, они назы
ваются прямыми ядерными взаимо
действиями (например, реакции, вы
зываемые быстрыми нуклонами и дей
тронами).
Ядерные реакции классифицируют
ся по следующим признакам:
1) по роду участвующих в них час
тиц — реакции под действием нейтро
нов; реакции под действием заряжен
ных частиц (например, протонов, дейт
ронов, a частиц); реакции под действи
ем g квантов;
2) по энергии вызывающих их час
тиц — реакции при малых энергиях
(порядка электрон вольт), происходя
щие в основном с участием нейтронов;
реакции при средних энергиях (до не
скольких мегаэлектрон вольт), проис
ходящие с участием g квантов и заря
женных частиц (протоны, a частицы);
реакции при высоких энергиях (сотни
и тысячи мегаэлектрон вольт), приво
дящие к рождению отсутствующих в
свободном состоянии элементарных ча
стиц и имеющее большое значение для
их изучения;
3) по роду участвующих в них ядер —
реакции на легких ядрах (A < 50); ре
акции на средних ядрах (50 < A < 100);
реакции на тяжелых ядрах (A > 100);
4) по характеру происходящих ядер
ных превращений — реакции с испуска
нием нейтронов; реакции с испускани
ем заряженных частиц; реакции захва
та (в этих реакциях составное ядро не
испускает никаких частиц, а переходит
в основное состояние, излучая один или
несколько g квантов).
Первая в истории ядерная реакция
осуществлена Э. Резерфордом (1919)
при бомбардировке ядра азота a части
цами, испускаемыми радиоактивным
источником:
14
4
18
17
1
72981
NH
eFO.
p
+®®+
§263. Ïîçèòðîí. b
+
- Ðàñïàä.
Ýëåêòðîííûé çàõâàò
П. Дираком было получено (1928)
релятивистское квантовомеханическое
уравнение для электрона, которое по
зволило без каких либо дополнитель
ных предположений объяснить все ос
новные свойства электрона, в том чис
ле наличие у него спина и магнитного
момента. Замечательной особенностью
уравнения Дирака оказалось то, что из
него для полной энергии свободного
электрона получались не только поло
жительные, но и отрицательные значе
ния. Этот результат мог быть объяснен
лишь предположением о существова
нии античастицы электрона — позит
рона.
Гипотеза Дирака, недоверчиво вос
принимавшаяся большинством физи
ков, была блестяще подтверждена в
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

499
1932 г. К. Андерсоном1 (Нобелевская
премия 1936 г.), обнаружившим позит
рон в составе космического излучения.
Существование позитронов было
доказано наблюдением их треков в ка
мере Вильсона, помещенной в магнит
ное поле. Эти частицы в камере откло
нялись так, как отклоняется движу
щийся положительный заряд. Опыты
показали, что позитрон +1
0e — частица с
массой, в точности равной массе элект
рона, и спином 1/2 (в единицах h), несу
щая положительный электрический за
ряд +e.
Жолио Кюри — Фредерик (1900 —
1958) и Ирен (1897 — 1956), бомбарди
руя различные ядра a частицами (1934),
обнаружили искусственно радиоактив
ные ядра (см. § 255), испытывающие
b- распад, а реакции на B, Al и Mg при
вели к искусственно радиоактивным
ядрам, претерпевающим b+ распад,
или позитронный распад:
,
;
,
;
,
10
4
14
13
1
52770
13
13
0
0
761
0
27
4
31
30
1
13
2
15
15
0
30
30
0
0
15
14
1
0
24
4
28
27
1
12
2
14
14
0
27
27
0
0
14
13
1
0
BH
eNN
NC
+
Al He
P
P
PS
i
+
Mg He
Si
Si
Si
Al+
e
e
e
n
e
n
e
n
e
+
+
+
+®®+
®+n
+®®+
®+n
+®®+
®+n
(Нобелевская премия 1956 г.) Наличие
в этих реакциях позитронов доказано
при изучении их треков в камере Виль
сона, помещенной в магнитное поле.
Таким образом, в экспериментах
Жолио Кюри, с одной стороны, откры
та искусственная радиоактивность, а с
другой — впервые обнаружен позитрон
ный радиоактивный распад.
Энергетический b+ спектр, как и
b- спектр (см. § 258), непрерывен.
b+ Распад подчиняется следующему
правилу смещения:
0
11
XY
+
.
AA
ZZe
-+
®
Процесс b+ распада протекает так,
как если бы один из протонов ядра пре
вратился в нейтрон, испустив при этом
позитрон и нейтрино:
,
11 00
10 10
+
e
pne
+
®+n (263.1)
причем одновременный выброс нейтри
но вытекает из тех же соображений, ко
торые излагались при обсуждении b-
распада (см. § 258). Так как масса про
тона меньше, чем у нейтрона, то реакция
(263.1) для свободного протона наблю
даться не может. Однако для протона,
связанного в ядре благодаря ядерному
взаимодействию частиц, эта реакция
оказывается энергетически возможной.
Вскоре после опытов К. Андерсона,
а также обоснования b+ распада было
установлено, что позитроны могут рож
даться при взаимодействии g квантов
большой энергии (Eg > 1,02 МэВ =
= 2mec
2
) с веществом (см. § 259). Этот
процесс идет по схеме
00
11
.
ee
-+
g®+
(263.2)
Электронно позитронные пары были
действительно обнаружены в помещен
ной в магнитное поле камере Вильсона,
в которой электрон и позитрон, имею
щие противоположные по знаку заряды,
отклонялись в противоположные сторо
ны. Для выполнения соотношения
(263.2) помимо соблюдения законов со
хранения энергии и импульса необходи
мо, чтобы фотон обладал целым спином,
равным 0 или 1, поскольку спины элек
трона и позитрона равны 1/2. Ряд экспе
риментов и теоретических выкладок
привели к выводу, что спин фотона дей
ствительно равен 1 (в единицах h).
1 К. Андерсон (1905 — 1991) — американский
физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

500
При столкновении позитрона с элек
троном происходит их аннигиляция:
;
00
112
ee
-+
+®g (263.3)
в ее процессе электронно позитронная
пара превращается в два g кванта, при
чем энергия пары переходит в энергию
фотонов. Появление в этом процессе
двух g квантов следует из закона сохра
нения импульса и энергии.
Реакция (263.3) подтверждена пря
мыми экспериментами под руковод
ством российского ученого Л. А. Арци
мовича (1909 — 1973). Процессы (263.2)
и (263.3)—процессы возникновения и
превращения электронно позитронных
пар — являются примером взаимосвязи
различных форм материи: в этих про
цессах материя в форме вещества пре
вращается в материю в форме электро
магнитного поля, и наоборот.
Для многих ядер превращение про
тона в нейтрон, помимо описанного
процесса (263.1), происходит посред
ством электронного захвата, или
e захвата, при котором ядро спонтан
но захватывает электрон с одной из
внутренних оболочек атома (K, L и т. д.),
испуская нейтрино:
1010
1100
+.
e
pen
-
®+n
Необходимость появления нейтри
но вытекает из закона сохранения спи
на. Схема e захвата:
,
00
11
0
X+
Y+
AA
ZZ
e
e
--
®n
т. е. один из протонов ядра превраща
ется в нейтрон, заряд ядра убывает на
единицу и оно смещается влево так же,
как и при позитронном распаде.
Электронный захват обнаруживает
ся по сопровождающему его характери
стическому рентгеновскому излуче
нию, возникающему при заполнении
образовавшихся вакансий в электрон
ной оболочке атома (именно так e зах
ват и был открыт в 1937 г.). При e зах
вате, кроме нейтрино, никакие другие
частицы не вылетают, т. е . вся энергия
распада уносится нейтрино. В этом
e захват (часто его называют третьим
видом b распада) существенно отлича
ется от b
±
распадов, при которых выле
тают две частицы, между которыми и
распределяется энергия распада. При
мером электронного захвата может слу
жить превращение радиоактивного ядра
бериллия
7
4Be в стабильное ядро 7
3Li:
70
7
0
41
30
Be+
Li+ .
e
e
-
®n
§ 264. Îòêðûòèå íåéòðîíà.
ßäåðíûå ðåàêöèè
ïîä äåéñòâèåì íåéòðîíîâ
Нейтроны, являясь электрически
нейтральными частицами, не испытыва
ют кулоновского отталкивания и поэто
му легко проникают в ядра и вызывают
разнообразные ядерные превращения.
Изучение ядерных реакций под действи
ем нейтронов не только сыграло огром
ную роль в развитии ядерной физики,
но и привело к появлению ядерных ре
акторов (см. § 267). Краткая история от
крытия нейтрона такова. Немецкие
физики В. Боте (1891 — 1957) и Г. Бек
кер в 1930 г., облучая ряд элементов, в
частности ядра бериллия, a частицами,
обнаружили возникновение излучения
очень большой проникающей способ
ности. Так как сильно проникающими
могут быть только нейтральные части
цы, то было высказано предположение,
что обнаруженное излучение — жесткие
g лучи с энергией примерно 7 МэВ
(энергия рассчитана по поглощению).
Дальнейшие эксперименты (Ирен и
Фредерик Жолио Кюри, 1931 г.) пока
зали, что обнаруженное излучение, вза
имодействуя с водородосодержащими
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

501
соединениями, например парафином,
выбивает протоны с пробегами пример
но 26 см. Из расчетов следовало, что для
получения протонов с такими пробега
ми предполагаемые g кванты должны
были обладать фантастической по тем
временам энергией 50 МэВ вместо рас
четных 7 МэВ!
Пытаясь найти объяснение описан
ным экспериментам, английский физик
Д. Чэдвик (1891 — 1974) предположил
(1932), а впоследствии доказал, что но
вое проникающее излучение представ
ляет собой не g кванты, а поток тяже
лых нейтральных частиц, названных им
нейтронами. Таким образом, нейтро
ны были обнаружены в следующей
ядерной реакции:
941
21
42 60
Be+ He
C+.
n
®
Эта реакция не является единственной,
ведущей к выбрасыванию из ядер нейт
ронов (например, нейтроны возникают
в реакциях 7
3Li(a, n)
10
5Bи11
5B(a, n)
14
7 N).
Характер ядерных реакций под дей
ствием нейтронов зависит от их скорос
ти (энергии). В зависимости от энергии
нейтроны условно делят на две группы:
медленные и быстрые. Область энер
гий медленных нейтронов включает в
себя область ультрахолодных (с энер
гией до 10-7 эВ), очень холодных (10-7
—
10-4
эВ), холодных (10-4
—
10-3 эВ),
тепловых (10-3
—
0,5 эВ) и резонанс
ных (0,5 — 104 эВ) нейтронов. Ко второй
группе можно отнести быстрые (104
—
108 эВ), высокоэнергетичные (108 —
1010 эВ) и релятивистские (… 1010 эВ)
нейтроны.
Замедлить нейтроны можно пропус
кая их через какое либо вещество, со
держащее водород (например, парафин,
вода). Проходя через такие вещества,
быстрые нейтроны испытывают рассе
яние на ядрах и замедляются до тех пор,
пока их энергия не станет равной, на
пример, энергии теплового движения
атомов вещества замедлителя, т. е . рав
ной приблизительно kT.
Медленные нейтроны эффективны
для возбуждения ядерных реакций, так
как они относительно долго находятся
вблизи атомного ядра. Благодаря это
му вероятность захвата нейтрона ядром
становится довольно большой. Однако
энергия медленных нейтронов мала,
потому они не могут вызывать, напри
мер, неупругое рассеяние. Для медлен
ных нейтронов характерны упругое рас
сеяние на ядрах [реакция типа (n, n)] и
радиационный захват [реакция типа
(n,g)]. Реакция (n,g) приводит к обра
зованию нового изотопа исходного ве
щества:
,
11
0
X+
Y+
AA
Z
Z
n
+
®g
например
113
1
114
48
0
48
Cd+
Cd+ .
n®g
Часто в результате (n,g) реакции об
разуются искусственные радиоактивные
изотопы, дающие, как правило, b
-
рас
пад. Например, в результате реакции
31
1
32
15
0
15
P+
P+
n®g
образуется радиоактивный изотоп 32
15 P,
претерпевающий b- распад с образова
нием стабильного изотопа серы:
32
32
0
15
16
1
PS
+.
e
-
®
Под действием медленных нейтро
нов на некоторых легких ядрах наблю
даются также реакции захвата нейтро
нов с испусканием заряженных час
тиц — протонов и a частиц (под дей
ствием тепловых нейтронов):
,
3131
2011
He+
H+
np
®
10
1
7
4
5032
B+
Li+ He
n®
(используется для обнаружения нейт
ронов) или
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

502
6134
30 12
Li+
H+ He
n®
(используется для получения трития,
в частности в термоядерных взрывах;
см. § 268).
Реакции типа (n, p) и (n,a), т. е . ре
акции с образованием заряженных ча
стиц, происходят в основном под дей
ствием быстрых нейтронов, так как в
случае медленных нейтронов энергии
атомного ядра недостаточно для пре
одоления потенциального барьера, пре
пятствующего вылету протонов и a ча
стиц. Эти реакции, как и реакции ради
ационного захвата, часто ведут к обра
зованию b- активных ядер.
Для быстрых нейтронов наблюдает
ся неупругое их рассеяние, совершаю
щееся по схеме
,
11
00
*
X+
X+
AA
ZZ
nn
¢
®
где вылетающий из ядра нейтрон обо
значен как 1
0n ¢, поскольку это не тот ней
трон, который проник в ядро; 1
0n¢ имеет
энергию, меньшую энергии 1
0n, а оста
ющееся после вылета нейтрона ядро на
ходится в возбужденном состоянии (от
мечено звездочкой), поэтому его пере
ход в нормальное состояние сопровож
дается испусканием g кванта.
Когда энергия нейтронов достигает
значений 10 МэВ, становятся возмож
ными реакции типа (n, 2n). Например,
в результате реакции
238
1
237
1
92
0
92
0
U+
U+2
nn
®
образуется b- активный изотоп 237
92U,
претерпевающий распад по схеме
237
237
0
92
93
1
UN
p
+
.
e
-
®
§ 265. Ðåàêöèÿ äåëåíèÿ ÿäðà
К началу 40 х годов работами многих
ученых — Э . Ферми (1901 — 1954) (Ита
лия), О. Гана (1879 — 1968), Ф. Штрас
смана (1902 — 1980) (Германия), О. Ф
риша (1904 — 1979) (Великобритания),
Л. Мейтнер (1878 — 1968) (Австрия),
Г. Н . Флерова (1913 — 1990), К. А . Петр
жака (Россия) — было доказано, что
при облучении урана нейтронами обра
зуются элементы из середины Перио
дической системы — лантан и барий.
Этот результат положил начало ядер
ным реакциям совершенно нового
типа — реакциям деления ядра, заклю
чающимся в том, что тяжелое ядро под
действием нейтронов, а как впослед
ствии оказалось и других частиц, делит
ся на несколько более легких ядер (ос
колков), чаще всего на два ядра, близ
ких по массе.
Замечательной особенностью деле
ния ядер является то, что оно сопровож
дается испусканием двух трех вторич
ных нейтронов, называемых нейтрона
ми деления. Так как для средних ядер
число нейтронов примерно равно числу
протонов ( N
Z
» 1), а для тяжелых ядер
число нейтронов значительно превы
шает число протонов ( N
Z
» 1,6), то об
разовавшиеся осколки деления пере
гружены нейтронами, в результате чего
они и выделяют нейтроны деления.
Однако испускание нейтронов деле
ния не устраняет полностью перегруз
ку ядер осколков нейтронами. Это при
водит к тому, что осколки оказывают
ся радиоактивными. Они могут претер
петь ряд b- превращений, сопровож
даемых испусканием g квантов. Так как
b- распад сопровождается превращени
ем нейтрона в протон [см. (258.1)], то
после цепочки b- превращений соотно
шение между нейтронами и протонами
в осколке достигнет величины, соответ
ствующей стабильному изотопу. На
пример, при делении ядра урана
235
92U
235
1
139
95
1
92
0
54
38
0
U+
Xe+ Sr+2
nn
®
(265.1)
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

503
осколок деления 139
54 Xe в результате трех
актов b- распада превращается в ста
бильный изотоп лантана 139
57 La:
139
139
139
139
54
55
56
57
Xe
Cs
Ba
La.
--
-
bbb
®®®
Осколки деления могут быть разно
образными, поэтому реакция (265.1) не
единственная, приводящая к делению
235
92 U. Возможна, например, реакция
235
1
139
94
1
92
0
56
36
0
U+
Ba+ Kr+3 .
nn
®
Большинство нейтронов при деле
нии испускается практически мгновен
но (t „ 10-14
с), а часть (около 0,7 %) ис
пускается осколками деления спустя
некоторое время после деления (0,05 с „
„ t „ 60 с). Первые из них называются
мгновенными, вторые — запаздываю
щими. В среднем на каждый акт деле
ния приходится 2,5 испущенных нейтро
нов. Они имеют сравнительно широкий
энергетический спектр в пределах от 0 до
7 МэВ, причем на один нейтрон в сред
нем приходится энергия около 2 МэВ.
Расчеты показывают, что деление
ядер должно сопровождаться также
выделением большого количества энер
гии. В самом деле, удельная энергия
связи для ядер средними массовыми
числами составляет примерно 8,7 МэВ,
в то время как для тяжелых ядер она
равна 7,6 МэВ (см. § 252). Следователь
но, при делении тяжелого ядра на два
осколка должна освобождаться энер
гия, равная примерно 1,1 МэВ на один
нуклон. Эксперименты подтверждают,
что при каждом акте деления действи
тельно выделяется огромная энергия,
которая распределяется между оскол
ками (основная доля), нейтронами де
ления, а также между продуктами пос
ледующего распада осколков деления.
В основу теории деления атомных
ядер (Н. Бор, Я. И. Френкель) положе
на капельная модель ядра (см. § 254).
Ядро рассматривается как капля элек
трически заряженной несжимаемой
жидкости (с плотностью, равной ядер
ной, и подчиняющейся законам кванто
вой механики), частицы которой при
попадании нейтрона в ядро приходят в
колебательное движение, в результате
чего ядро разрывается на две части, раз
летающиеся с огромной энергией.
Вероятность деления ядер определя
ется энергией нейтронов. Например,
если высокоэнергетичные нейтроны
(см. § 264) вызывают деление практи
чески всех ядер, то нейтроны с энерги
ей в несколько мегаэлектрон вольт —
только тяжелых ядер (A > 210).
Нейтроны, обладающие энергией
активации (минимальной энергией,
необходимой для осуществления реак
ции деления ядра) порядка 1 МэВ, вы
зывают деление ядер урана
238
92 U, тория
232
90 Th, протактиния 231
91 Pa и плутония
239
94 Pu. Тепловыми нейтронами делятся
ядра 235
92 U,
239
94Pu и
233
92 U,
230
90 Th (два пос
ледних изотопа в природе не встреча
ются, они получаются искусственным
путем). Например, изотоп
233
92 U получа
ется в результате радиационного захва
та [реакции (n,g), см. § 264)] нейтронов
ядром 232
90 Th:
232
1
233
233
233
90
0
90
91
92
Th+
Th
Pa
U.
n
--
bb
®®®(265.2)
§ 266. Öåïíàÿ ðåàêöèÿ äåëåíèÿ
Испускаемые при делении ядер вто
ричные нейтроны могут вызвать новые
акты деления, что делает возможным
осуществление цепной реакции деле
ния — ядерной реакции, в которой час
тицы, вызывающие реакцию, образуют
ся как продукты этой реакции. Цепная
реакция деления характеризуется ко
эффициентом размножения k нейт
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

504
ронов, который равен отношению чис
ла нейтронов в данном поколении к их
числу в предыдущем поколении. Необ
ходимым условием для развития цепной
реакции деления является требование
k…1.
Оказывается, что не все образующи
еся вторичные нейтроны вызывают
последующее деление ядер, что приво
дит к уменьшению коэффициента раз
множения. Во первых, из за конечных
размеров активной зоны (простран
ство, где происходит цепная реакция)
и большой проникающей способности
нейтронов часть из них покинет актив
ную зону раньше, чем будет захвачена
каким либо ядром. Во вторых, часть
нейтронов захватывается ядрами неде
лящихся примесей, всегда присутству
ющих в активной зоне. Кроме того, на
ряду с делением могут иметь место кон
курирующие процессы радиационного
захвата и неупругого рассеяния.
Коэффициент размножения зависит
от природы делящегося вещества, а для
данного изотопа — от его количества, а
также размеров и формы активной
зоны. Минимальные размеры активной
зоны, при которых возможно осуществ
ление цепной реакции, называются
критическими размерами. Мини
мальная масса делящегося вещества,
находящегося в системе критических
размеров, необходимая для осуществ
ления цепной реакции, называется кри
тической массой.
Скорость развития цепных реакций
различна. Пусть T — среднее время
жизни одного поколения, а N — число
нейтронов в данном поколении. В сле
дующем поколении их число равно kN,
т. е. прирост числа нейтронов за одно
поколениеdN=kN-N =N(k-1).При
рост же числа нейтронов за единицу
времени, т. е . скорость нарастания цеп
ной реакции,
(1
)
d
.
d
Nk
N
tT
-
=
(266.1)
Интегрируя (266.1), получим
,
(1)
0e
kt
T
NN
-
=
где N0 — число нейтронов в начальный
момент времени, а N — их число в мо
мент времени t ; N определяется знаком
(k-1).
При k > 1 идет развивающаяся ре
акция, число делений непрерывно рас
тет и реакция может стать взрывной.
При k = 1 идет самоподдерживающа
яся реакция, при которой число нейт
ронов с течением времени не изменя
ется. При k < 1 идет затухающая ре
акция.
Цепные реакции делятся на управ
ляемые и неуправляемые. Взрыв атом
ной бомбы, например, является неуп
равляемой реакцией. Чтобы атомная
бомба при хранении не взорвалась, в
ней
235
92 U (или 239
94 Pu) делится на две уда
ленные друг от друга части с массами,
ниже критических. Затем с помощью
обычного взрыва эти массы сближают
ся, общая масса делящегося вещества
становится больше критической и воз
никает взрывная цепная реакция, со
провождающаяся мгновенным выделе
нием огромного количества энергии и
большими разрушениями. Взрывная
реакция начинается за счет имеющих
ся нейтронов спонтанного деления или
нейтронов космического излучения.
Управляемые цепные реакции осуще
ствляются в ядерных реакторах (см.
§ 267).
В природе имеется три изотопа, ко
торые могут служить ядерным топли
вом (
235
92 U: в естественном уране его со
держится примерно 0,7 %) или сырьем
для его получения (232
90Thи 238
92U: в есте
ственном уране его содержится пример
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

505
но 99,3 %).
232
90 Th служит исходным про
дуктом для получения искусственного
ядерного топлива 233
92 U [см. реакцию
(265.2)], а
238
92 U, поглощая нейтроны,
посредством двух последовательных
b- распадов — для превращения в ядро
239
94 Pu:
238
1
239
239
239
92
0
92
93
94
U+
U
Np
Pu.
n
--
bb
®® ® (266.2)
Реакции (266.2) и (265.2), таким об
разом, открывают реальную возмож
ность воспроизводства ядерного горю
чего в процессе цепной реакции деления.
§ 267. Ïîíÿòèå
î ÿäåðíîé ýíåðãåòèêå
Большое значение в ядерной энер
гетике приобретает не только осуществ
ление цепной реакции деления, но и
управление ею. Устройства, в которых
осуществляется и поддерживается уп
равляемая цепная реакция деления,
называются ядерными реакторами.
Пуск первого реактора в мире осуще
ствлен в Чикагском университете
(1942) под руководством Э. Ферми, в
России (и в Европе) — в Москве (1946)
под руководством И. В . Курчатова.
Для пояснения работы реактора рас
смотрим принцип действия реактора на
тепловых нейтронах (рис. 348). В ак
тивной зоне реактора расположены теп
ловыделяющие элементы 1 и замедли
тель 2, в котором нейтроны замедляют
ся до тепловых скоростей. Тепловыде
ляющие элементы (твэлы) представля
ют собой блоки из делящегося матери
ла, заключенные в герметичную обо
лочку, слабо поглощающую нейтроны.
За счет энергии, выделяющейся при
делении ядер, твэлы разогреваются, а
поэтому для охлаждения они помеща
ются в поток теплоносителя (3 — канал
для протока теплоносителя). Активная
зона окружается отражателем 4, умень
шающим утечку нейтронов.
Управление цепной реакцией осу
ществляется специальными управляю
щими стержнями 5 из материалов,
сильно поглощающих нейтроны (на
пример, B , Cd). Параметры реактора
рассчитываются так, что при полностью
вставленных стержнях реакция заведо
мо не идет, при постепенном вынима
нии стержней коэффициент размноже
ния нейтронов растет и при некотором
их положении принимает значение,
равное единице. В этот момент реактор
начинает работать.
По мере его работы количество де
лящегося материала в активной зоне
уменьшается и происходит ее загрязне
ние осколками деления, среди которых
могут быть сильные поглотители нейт
ронов.
Чтобы реакция не прекратилась, из
активной зоны с помощью автоматичес
кого устройства постепенно извлекают
ся управляющие (а часто специальные
компенсирующие) стержни. Подобное
управление реакцией возможно благо
даря существованию запаздывающих
нейтронов (см. § 265), испускаемых де
лящимися ядрами с запаздыванием до
1 мин. Когда ядерное топливо выгора
ет, реакция прекращается. До нового
запуска реактора выгоревшее ядерное
топливо извлекают и загружают новое.
Рис. 348
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

506
В реакторе имеются также аварийные
стержни, введение которых при внезап
ном увеличении интенсивности реак
ции немедленно ее обрывает.
Ядерный реактор является мощным
источником проникающей радиации
(нейтроны, g излучение), примерно в
1011 раз превышающей санитарные нор
мы. Поэтому любой реактор имеет био
логическую защиту — систему экранов
из защитных материалов (например,
бетон, свинец, вода), располагающую
ся за его отражателем, и пульт дистан
ционного управления.
Ядерные реакторы различаются:
1) по характеру основных материа
лов, находящихся в активной зоне (ядер
ное топливо, замедлитель, теплоноси
тель); в качестве делящихся и сырьевых
веществ используются
235
92 U,
239
94 Pu,
233
92 U,
238
92 U,
232
90 Th, в качестве замедлителей —
вода (обычная и тяжелая), графит, бе
риллий, органические жидкости и т. д .,
в качестве теплоносителей — воздух,
вода, водяной пар, He, CO2 и т. д .;
2) по характеру размещения ядерно
го топлива и замедлителя в активной
зоне: гомогенные (оба вещества равно
мерно смешаны друг с другом) и гете
рогенные (оба вещества располагают
ся порознь в виде блоков);
3) по энергии нейтронов (реакторы
на тепловых и быстрых нейтронах;
в последних используются нейтроны
деления и замедлитель вообще отсут
ствует);
4) по типу режима (непрерывные и
импульсные);
5) по назначению (энергетические,
исследовательские, реакторы по произ
водству новых делящихся материалов,
радиоактивных изотопов и т. д .) .
В соответствии с рассмотренными
признаками и образовались такие на
звания, как уран графитовые, водо во
дяные, графито газовые реакторы и др.
Среди ядерных реакторов особое
место занимают энергетические реак
торы размножители. В них наряду с
выработкой электроэнергии идет про
цесс воспроизводства ядерного горюче
го в результате реакции (265.2) или
(266.2). Это означает, что в реакторе на
естественном или слабообогащенном
уране используется не только изотоп
235
92U, но и изотоп
238
92U. В настоящее вре
мя основой ядерной энергетики с вос
производством горючего являются ре
акторы на быстрых нейтронах.
Впервые ядерная энергия для мир
ных целей была использована в СССР.
В Обнинске под руководством И. В. Кур
чатова введена в эксплуатацию (1954)
первая атомная электростанция мощ
ностью 5 МВт.
Принцип работы атомной электро
станции на водо водяном реакторе при
веден на рис. 349. Урановые блоки 1
погружены в воду 2, которая служит
одновременно и замедлителем, и тепло
носителем. Горячая вода (она находит
ся под давлением и нагревается до
300 °С) из верхней части активной зоны
реактора поступает через трубопровод
3 в парогенератор 4, где она испаряется
и охлаждается, и возвращается через
трубопровод 5 в реактор. Насыщенный
пар 6 через трубопровод 7 поступает в
паровую турбину 8, возвращаясь после
отработки через трубопровод 9 в паро
генератор. Турбина вращает электри
ческий генератор 10, ток от которого
поступает в электрическую сеть.
Рис. 349
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

507
Создание ядерных реакторов привело к
промышленному применению ядерной
энергии. Энергетические запасы ядерного
горючего в рудах примерно на два порядка
превышают запасы химических видов топ
лива. Поэтому, если, как предполагается, ос
новная доля электроэнергии будет выраба
тываться на АЭС, то это, с одной стороны,
снизит стоимость электроэнергии, которая
сейчас сравнима с вырабатываемой на теп
ловых электростанциях, а с другой — решит
энергетическую проблему на несколько сто
летий и позволит использовать сжигаемые
сейчас нефть и газ в качестве ценного сырья
для химической промышленности.
В СНГ помимо создания мощных АЭС
(например, Нововоронежской общей мощ
ностью примерно 1500 МВт, первой очере
ди Ленинградской с двумя реакторами по
1000 МВт) большое внимание уделяется со
зданию небольших АЭС (750 — 1500 кВт),
удобных для эксплуатации в специфических
условиях, а также решению задач малой
ядерной энергетики. Так, построены первые
в мире передвижные АЭС, создан первый в
мире реактор («Ромашка»), в котором с по
мощью полупроводников происходит не
посредственное преобразование тепловой
энергии в электрическую (в активной зоне
содержится 49 кг 235
92U, тепловая мощность
реактора 40 кВт, электрическая — 0,8 кВт).
Огромные возможности для развития
атомной энергетики открываются с создани
ем реакторов размножителей на быстрых
нейтронах (бридеров), в которых выработ
ка энергии сопровождается производством
вторичного горючего — плутония, что по
зволит кардинально решить проблему обес
печения ядерным горючим. Как показыва
ют оценки, 1 т гранита содержит примерно
3г238
92Uи12г232
90Th (именно они использу
ются в качестве сырья в реакторах размно
жителях), т. е. при потреблении энергии
5 · 108 МВт (на два порядка выше, чем сей
час) запасов урана и тория в граните хватит
на 109 лет.
Техника реакторов на быстрых нейтро
нах находится в стадии поисков наилучших
инженерных решений. Первая опытно про
мышленная станция такого типа мощнос
тью 350 МВт построена в г. Шевченко на
берегу Каспийского моря. Она использует
ся для производства электроэнергии и оп
реснения морской воды, обеспечивая водой
город и прилегающий район нефтедобычи с
населением около 150 тыс. человек . Шевчен
ковская АЭС положила начало новой «атом
ной отрасли» — опреснению соленых вод,
которая в связи с дефицитом пресноводных
ресурсов во многих районах может иметь
большое значение.
§ 268. Ðåàêöèÿ ñèíòåçà àòîìíûõ
ÿäåð. Ïðîáëåìà óïðàâëÿåìûõ
òåðìîÿäåðíûõ ðåàêöèé
Источником огромной энергии мо
жет служить реакция синтеза атом
ных ядер — образование из легких ядер
более тяжелых. Удельная энергия свя
зи ядер (см. рис. 345) резко увеличива
ется при переходе от ядер тяжелого во
дорода (дейтерия 2
1H и трития 3
1H)кли
тию 6
3Li и особенно к гелию 4
2He, т.е. ре
акции синтеза легких ядер в более тя
желые должны сопровождаться выде
лением большого количества энергии,
что действительно подтверждается рас
четами. В качестве примеров рассмот
рим реакции синтеза:
(
ÌýÂ),
(
ÌýÂ),
(
ÌýÂ),
(
ÌýÂ),
22 31
11 11
22 31
11 20
23 41
11 20
6244
3122
H+H H+
4,0
H+H H+
3,3
H+H H+
17, 6
Li+H He+He
22, 4
pQ
nQ
nQ
Q
®=
®=
®=
®=
(268.1)
где Q — энерговыделение.
Реакции синтеза атомных ядер обла
дают той особенностью, что в них энер
гия, выделяемая на один нуклон, зна
чительно больше, чем в реакциях деле
ния тяжелых ядер. В самом деле, если
при делении ядра 238
92 U выделяется энер
гия примерно 200 МэВ, что составляет
на один нуклон примерно 0,84 МэВ, то
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

508
в реакции (268.1) эта величина равна
17, 6
5
МэВ » 3,5 МэВ.
Оценим на примере реакции синтеза
ядер дейтерия 2
1H температуру ее проте
кания. Для соединения ядер дейтерия их
надо сблизить до расстояния 2 · 10-15
м,
равного радиусу действия ядерных сил,
преодолевая при этом потенциальную
энергию отталкивания
2
0,7
4
e
r
0
»
pe
МэВ.
Так как на долю каждого сталкивающе
гося ядра приходится половина указан
ной энергии, то средней энергии тепло
вого движения, равной 0,35 МэВ, соот
ветствует температура, приблизитель
но равная 2,6 · 109 К. Следовательно, ре
акция синтеза ядер дейтерия может
происходить лишь при температуре, на
два порядка превышающей температу
ру центральных областей Солнца (при
мерно 1,3 · 107 К).
Однако оказывается, что для проте
кания реакции синтеза атомных ядер
достаточно температуры порядка 107 К.
Это связано с двумя факторами: 1) при
температурах, характерных для реак
ций синтеза атомных ядер, любое веще
ство находится в состоянии плазмы,
распределение частиц которой подчи
няется закону Максвелла; поэтому все
гда имеется некоторое число ядер, энер
гия которых значительно превышает
среднее значение; 2) синтез ядер может
происходить вследствие туннельного
эффекта (см. § 221).
Реакции синтеза легких атомных
ядер в более тяжелые, происходящие
при сверхвысоких температурах (при
мерно 107 К и выше), называются тер
моядерными реакциями.
Термоядерные реакции являются,
по видимому, одним из источников
энергии Солнца и звезд. В принципе
высказаны два предположения о воз
можных способах протекания термо
ядерных реакций на Солнце:
1) протонно протонный, или во
дородный, цикл, характерный для тем
ператур примерно 107 К:
,
,
;
11200
11110
213
112
3341
2221
+H
+
+
H+
He+
He+ He He+2
e
pp
e
p
p
+
®n
®g
®
2) углеродно азотный, или угле
родный, цикл, характерный для более
высоких температур (примерно 2 · 107 К):
,
,
,
,
,
.
12
1
13
617
13
13
0
0
761
0
13
1
14
617
14
1
15
718
15
15
0
0
871
0
15
1
12
4
71 62
C+
N+
NC
++
C+
N+
N+
O+
ON
++
N+
C+ He
e
e
p
e
p
p
e
p
+
+
®g
®n
®g
®g
®n
®
В результате этого цикла четыре
протона превращаются в ядро гелия и
выделяется энергия, равная 26,7 МэВ.
Ядра же углерода, число которых оста
ется неизменным, участвуют в реакции
в роли катализатора.
Термоядерные реакции дают наи
больший выход энергии на единицу
массы «горючего», чем любые другие
превращения, в том числе и деление
тяжелых ядер. Например, количество
дейтерия в стакане простой воды энер
гетически эквивалентно примерно 60 л
бензина. Поэтому заманчива перспек
тива осуществления термоядерных ре
акций искусственным путем.
Впервые искусственная термоядерная
реакция осуществлена в СССР (1953), а
затем (через полгода) в США в виде
взрыва водородной (термоядерной) бом
бы, являющегося неуправляемой реакци
ей. Взрывчатым веществом служила смесь
дейтерия и трития, а запалом — «обыч
ная» атомная бомба, при взрыве которой
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

509
создается температура, необходимая
для протекания термоядерной реакции.
Особый интерес представляет осу
ществление управляемой термоядер
ной реакции, для обеспечения которой
необходимо создание и поддержание в
ограниченном объеме температуры по
рядка 108 К. Так как при данной темпе
ратуре термоядерное рабочее вещество
представляет собой полностью ионизо
ванную плазму (см. § 108), возникает
проблема ее эффективной термоизоля
ции от стенок рабочего объема. Сейчас
считается, что основной путь в этом на
правлении — это удержание плазмы в
ограниченном объеме сильными маг
нитными полями специальной формы.
Начало широкого международного со
трудничества в области физики высокотем
пературной плазмы и управляемого тер
моядерного синтеза положено работами
И. В. Курчатова.
Под руководством Л. А. Арцимовича
коллектив ученых Института атомной энер
гии (ИАЭ) им. И . В . Курчатова осуществил
широкий круг исследований, результатом
которых стал пуск летом 1975 г. в ИАЭ
крупнейшей в мире термоядерной установ
ки «Токамак 10» (Т 10).
В Т 10, как и во всех установках этого типа,
плазма создается в тороидальной камере,
находящейся в магнитном поле, а само плаз
менное образование — плазменный шнур —
также имеет форму тора. В Т 10 плазма с
температурой примерно (7 — 8) · 106 К и
плотностью примерно 1014 частиц/см3 созда
ется в объеме, приблизительно равном 5 м3 ,
на время около 1 с. Однако следует отме
тить, что до осуществления критерия Лоу
сона1 — условия, необходимого для начала
самоподдерживающейся термоядерной ре
акции, — еще остается значительный «путь»:
примерно 20 раз по n t (произведение плот
ности частиц на время удержания плазмы)
и примерно 10 раз по температуре. Резуль
таты, полученные на Т 10, вместе с резуль
татами, ожидаемыми на создаваемых уста
новках (например, Т 20), по мере решения
разного рода инженерно технологических
проблем служат базой для создания термо
ядерного реактора «Токамака».
Управляемый термоядерный синтез от
крывает человечеству доступ к неисчерпае
мой «кладовой» ядерной энергии, заклю
ченной в легких элементах. Наиболее заман
чивой в этом смысле является возможность
извлечения энергии из дейтерия, содержа
щегося в обычной воде. В самом деле, коли
чество дейтерия в океанской воде составля
ет примерно 4 · 1013 т, чему соответствует
энергетический запас 1017 МВт · год. Други
ми словами, эти ресурсы не ограничены.
Остается только надеяться, что решение
этих проблем — дело недалекого будущего.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Какие частицы образуют ядро атома цинка? Сколько их?
• Атомное ядро «составили» из N свободных нуклонов (масса каждого нуклона равна m).
Чему равны масса и удельная энергия связи этого ядра?
• Чем отличаются изобары от изотопов?
• Почему прочность ядер уменьшается при переходе к тяжелым элементам?
• Как объясняется сверхтонкая структура спектральных линий?
• Как и во сколько раз изменится число ядер радиоактивного вещества за время, равное
трем периодам полураспада?
• Как (по какому закону) изменяется со временем активность нуклида?
• Как объясняется a распад на основе представлений квантовой теории?
• Как изменится положение химического элемента в Периодической системе элементов
Д. И. Менделеева после двух a распадов ядер его атомов? после последовательных одного
a распада и двух b- распадов?
1 Дж. Лоусон (р. 1923) — английский физик.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

510
• Как объясняется непрерывность энергетического спектра b частиц?
• Изменится ли химическая природа элемента при испускании его ядром g кванта?
• Какие явления сопровождают прохождение g излучения через вещество и в чем их суть?
• В чем суть эффекта Мёссбауэра? Где его применяют?
• Под действием каких частиц (a частиц, нейтронов) ядерные реакции более эффектив
ны? Почему?
• Чем объяснить выброс нейтрино (антинейтрино) при b± распадах?
• По каким признакам можно классифицировать ядерные реакции?
• Запишите схему e захвата. Что сопровождает e захват? В чем его отличие от b± распадов?
• Что представляет собой реакция деления ядер? Приведите примеры.
• Охарактеризуйте нейтроны деления. Какие они бывают?
• В результате какой реакции происходит превращение ядер 238
92U в ядра 239
94Pu? Каковы ее
перспективы?
• Что можно сказать о характере цепной реакции деления, если: 1) k > 1; 2) k = 1; 3) k < 1?
• Почему деление тяжелых ядер и синтез атомных ядер сопровождаются выделением боль
шого количества энергии? Когда на один нуклон выделяется бо¢льшая энергия? Почему?
• По каким признакам можно классифицировать ядерные реакторы?
ÇÀÄÀ×È
32.1 . Определите удельную энергию связи для ядра 12
6C, если масса его нейтрального
атома равна 19,9272 · 10-27
кг. [7,7 МэВ/нуклон]
32.2 . Определите, какая часть (в %) начального количества ядер радиоактивного изото
па останется нераспавшейся по истечении времени t , равного трем средним временам жиз
ни t радиоактивного ядра. [5 %]
32.3 . Период полураспада радиоактивного изотопа составляет 24 ч. Определите время,
за которое распадается 1/4 начального количества ядер. [10,5 ч]
32.4 . Поглощается или выделяется энергия при ядерной реакции 23 14
12 12
H+He H+He
®
?
Определите эту энергию. [18,4 МэВ]
32.5. В процессе осуществления реакции
00
11
+
ee
-+
g®
энергия фотона была равна
2,02 МэВ. Определите полную кинетическую энергию позитрона и электрона в момент их
возникновения. [1 МэВ]
32.8 . В ядерном реакторе на тепловых нейтронах среднее время жизни одного поколе
ния нейтронов составляет T = 90 мс. Принимая коэффициент размножения нейтронов
k = 1,003, определите период t реактора, т. е . время, в течение которого поток тепловых ней
тронов увеличится в e раз. [
1
T
k
t=
-
=30c]
Ãëàâà 33
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÔÈÇÈÊÈ ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ
§ 269. Êîñìè÷åñêîå èçëó÷åíèå
Развитие физики элементарных ча
стиц тесно связано с изучением косми
ческого излучения — излучения, при
ходящего на Землю практически изот
ропно со всех направлений космичес
кого пространства. Измерения интен
сивности космического излучения, про
водимые методами, аналогичными ме
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

511
тодам регистрации радиоактивных из
лучений и частиц (см. § 261), приводят
к выводу, что его интенсивность быстро
растет с высотой, достигает максимума,
затем уменьшается и с h » 50 км остает
ся практически постоянной (рис. 350).
Различают первичное и вторичное
космическое излучение. Излучение,
приходящее непосредственно из космо
са, называют первичным космическим
излучением. Исследование его состава
показало, что первичное излучение
представляет собой поток элементар
ных частиц высокой энергии, причем
более 90 % из них составляют протоны
с энергией примерно 109 — 1013 эВ, око
ло 7 % — a частицы и лишь небольшая
доля (около 1 %) приходится на ядра
более тяжелых элементов (Z > 20).
По современным представлениям,
основанным на данных астрофизики и
радиоастрономии первичное космиче
ское излучение имеет в основном галак
тическое происхождение. Считается,
что ускорение частиц до столь высоких
энергий может происходить при стол
кновении с движущимися межзвездны
ми магнитными полями. При h … 50 км
(см. рис. 350) интенсивность космичес
кого излучения постоянна; на этих вы
сотах наблюдается лишь первичное из
лучение.
С приближением к Земле интенсив
ность космического излучения возрас
тает, что свидетельствует о появлении
вторичного космического излучения,
которое образуется в результате взаи
модействия первичного космического
излучения с ядрами атомов земной ат
мосферы. Во вторичном космическом
излучении встречаются практически
все известные элементарные частицы.
При h < 20 км космическое излучение
является вторичным; с уменьшением h
его интенсивность понижается, по
скольку вторичные частицы по мере
продвижения к поверхности Земли ис
пытывают поглощение.
В составе вторичного космическо
го излучения можно выделить два ком
понента: мягкий (сильно поглощается
свинцом) и жесткий (обладает в свин
це большой проникающей способнос
тью).
Происхождение мягкого компонен
та объясняется следующим образом.
В космическом пространстве всегда
имеются g кванты с энергией E > 2 mec
2
,
которые в поле атомных ядер превра
щаются в электронно позитронные
пары (см. § 263). Образовавшиеся та
ким образом электроны и позитроны,
тормозясь, в свою очередь, создают
g кванты, энергия которых еще доста
точна для образования новых электрон
но позитронных пар и т. д . до тех пор,
пока энергия g квантов не будет мень
ше 2mec
2
(рис. 351). Описанный про
цесс называется электронно позит
ронно фотонным (или каскадным)
ливнем. Хотя первичные частицы, при
водящие к образованию этих ливней, и
обладают огромными энергиями, но лив
невые частицы являются «мягкими» —
Рис. 351
Рис. 350
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

512
не проходят через большие толщи веще
ства. Таким образом, ливневые части
цы — электроны, позитроны и g кванты —
и представляют собой мягкий компо
нент вторичного космического излуче
ния. Природа жесткого компонента бу
дет рассмотрена ниже (см. § 270).
Исследование космического излуче
ния, с одной стороны, позволило на на
чальном этапе развития физики эле
ментарных частиц получить основные
экспериментальные данные, на кото
рых базировалась эта область науки, а
с другой — дает возможность и сейчас
изучать процессы с частицами сверхвы
соких энергий вплоть до 1021 эВ, кото
рые еще не получены искусственным
путем. С начала 50 х гг. XX в. для ис
следования элементарных частиц ста
ли применять ускорители (позволяют
ускорять частицы до сотен гигаэлект
рон вольт; см. § 116), в связи с чем кос
мическое излучение утратило свою ис
ключительность при их изучении, оста
ваясь лишь основным «источником»
частиц в области сверхвысоких энергий.
§ 270. Ìþîíû è èõ ñâîéñòâà
Японский физик X. Юкава (1907 —
1981), изучая природу ядерных сил (см.
§ 254) и развивая идеи отечественных
ученых И.Е.Тамма и Д.Д.Иваненко об
их обменном характере, выдвинул в
1935 г. гипотезу о существовании час
тиц с массой, в 200 — 300 раз превыша
ющей массу электрона. Эти частицы
должны, согласно Юкаве, выполнять
роль носителей ядерного взаимодей
ствия, подобно тому, как фотоны явля
ются носителями электромагнитного
взаимодействия.
К. Андерсон и С. Неддермейер, изу
чая поглощение жесткого компонента
вторичного космического излучения в
свинцовых фильтрах с помощью ка
меры Вильсона, помещенной в магнит
ное поле, действительно обнаружили
(1936) частицы массой, близкой к ожи
даемой (207m e). Они были названы
впоследствии мюонами.
Доказано, что жесткий компонент
вторичного космического излучения
состоит в основном из мюонов, кото
рые, как будет показано ниже, образу
ются вследствие распада более тяжелых
заряженных частиц (p и K мезонов).
Так как масса мюонов большая, то ра
диационные потери для них пренебре
жимо малы, а поэтому жесткий компо
нент вторичного излучения обладает
большой проникающей способностью.
Существуют положительный (m+) и
отрицательный (m-) мюоны; заряд мю
онов равен элементарному заряду e.
Масса мюонов (оценивается по произ
водимому ими ионизационному дейст
вию) равна 206,8me, время жизни m+ и
m- мюонов одинаково и равно 2,2 · 10-6 с.
Исследования изменения интенсивно
сти жесткого компонента вторичного
космического излучения с высотой по
казали, что на меньших высотах потоки
мюонов менее интенсивны. Это говорит
о том, что мюоны претерпевают само
произвольный распад, являясь, таким
образом, нестабильными частицами.
Распад мюонов происходит по сле
дующим схемам:
,
000
100
e
e
+
+m
m® +n+n
%
(270.1)
,
000
100
e
e
-
-m
m® +n+n
%
(270.2)
где
è
00
00
mm
nn
%
—
соответственно «мюон
ные» нейтрино и антинейтрино, ко
торые, как предположил Б. М. Понте
корво (1913 — 1993) и эксперименталь
но доказал (1962) американский физик
Л. Ледерман (р. 1922), отличаются от
è
00
00
ee
nn
%
—
«электронных» нейтрино
и антинейтрино, сопутствующих ис
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

513
пусканию позитрона и электрона соот
ветственно (см. § 263, 258). Существо
вание
è
00
00
mm
nn
%
следует из законов со
хранения энергии и спина.
Из схем распада (270.1) и (270.2)
следует, что спины мюонов, как и элек
трона, должны быть равны 1/2 (в еди
ницах h), так как спины нейтрино (1/2)
и антинейтрино (-1/2) взаимно компен
сируются.
Дальнейшие эксперименты привели
к выводу, что мюоны не взаимодейству
ют или взаимодействуют весьма слабо
с атомными ядрами, иными словами,
являются ядерно неактивными части
цами. Мюоны, с одной стороны, из за
ядерной пассивности не могут рождать
ся при взаимодействии первичного ком
понента космического излучения с яд
рами атомов атмосферы, а с другой — из
за нестабильности не могут находиться
в составе первичного космического из
лучения. Следовательно, отождествить
мюоны с частицами, которые, согласно
X. Юкаве, являлись бы носителями ядер
ного взаимодействия, не удалось, так
как такие частицы должны интенсивно
взаимодействовать с ядрами.
Эти рассуждения и накопленный
впоследствии экспериментальный ма
териал привели к выводу о том, что дол
жны существовать какие то ядерно ак
тивные частицы, распад которых и при
водит к образованию мюонов. Действи
тельно, в 1947 т. была обнаружена час
тица, обладающая свойствами, предска
занными Юкавой, которая распадается
на мюон в нейтрино. Этой частицей ока
зался p мезон.
§ 271. Ìåçîíû è èõ ñâîéñòâà
С. Пауэлл (1903 — 1969; английский
физик) с сотрудниками, подвергая на
большой высоте ядерные фотоэмульсии
действию космических лучей (1947),
обнаружили ядерно активные части
цы — так называемые p мезоны (от
греч. «мезон» — средний), или пионы.
В том же году пионы была получены ис
кусственно в лабораторных условиях
при бомбардировке мишеней из Be, C и
Cu a частицами, ускоренными в синх
роциклотроне до 300 МэВ. p Мезоны
сильно взаимодействуют с нуклонами
и атомными ядрами и, по современным
представлениям, обусловливают суще
ствование ядерных сил.
Мезоны бывают положительные (p
+
),
отрицательные (p
-
) (их заряд равен
элементарному заряду e) и нейтраль
ные (p0). Масса p
+
иp
-
мезонов оди
накова и равна 273,1me, масса p0 мезона
равна 264,1me . Все пионы нестабильны:
время жизни соответственно для заря
женных и нейтрального p мезонов со
ставляет 2,6 · 10-8 и 0,8 · 10-16
с.
Распад заряженных пионов проис
ходит в основном по схемам
,
0
0
++
m
p®m+n
(271.1)
,
0
0
--
m
p®m+n
%
(271.2)
где мюоны испытывают дальнейший
распад по рассмотренным выше схемам
(270.1) и (270.2). Из схем распада
(271.1) и (271.2) следует, что спины за
ряженных p мезонов должны быть
либо целыми (в единицах h), либо рав
ны нулю. Спины заряженных p мезо
нов по ряду других экспериментальных
данных оказались равными нулю.
Нейтральный пион распадается на
два g кванта:
0
2.
p®g
Спин p0 мезона, так же как и спин
p
+
мезона, равен нулю.
Исследования в космических лучах
методом фотоэмульсий (1949) и изуче
ние реакций с участием частиц высоких
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

514
энергий, полученных на ускорителях,
привели к открытию K мезонов, или
каонов, — частиц с нулевым спином и
с массами, приблизительно равными
970me . В настоящее время известно че
тыре типа каонов: положительно заря
женный (K +), отрицательно заряжен
ный(K-) идва нейтральных(K0и 0
K% ).
Время жизни K мезонов лежит в пре
делах 10-8
—
10-10
с в зависимости от их
типа.
Существует несколько схем распада
K мезонов. Распад заряженных K мезо
нов происходит преимущественно по
схемам
;,
;
,
;
00
00
.
ee
KK
KK
Ke
Ke
++
--
mm
++
--
++
--
ì
®m +n
®m +n
ï
ï
ïï
®p +p
®p +p
íïïï®+
p
+
n®+
p
+
n
ïî
%
%
Распад нейтральных K мезонов в
основном происходит по следующим
схемам (в порядке убывания вероятно
сти распада):
для короткоживущих (Ks
0)
,
;
0
000
s
s
K
K
+-
ì
®p +p
ïï
íï
®p +p
ïî
для долгоживущих (KL
0)
;,
;
,
;
00
00
0
0
0
00
0
.
Le
L
Le
L
LL
KeK
KeK
KK
+-
-+
m
-+
+-
+-
m
®p+ +n
®p+m+n
®p+ +n
®p+p+p
®p+m+n
®p+p+p
%
%
§ 272. Òèïû âçàèìîäåéñòâèé
ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö
Согласно современным представле
ниям, в природе осуществляется четы
ре типа фундаментальных взаимодей
ствий: сильное, электромагнитное, сла
бое и гравитационное.
Сильное, или ядерное, взаимодей
ствие обусловливает связь протонов
и нейтронов в ядрах атомов и обеспе
чивает исключительную прочность
этих образований, лежащую в основе
стабильности вещества в земных усло
виях.
Электромагнитное взаимодей
ствие характеризуется как взаимодей
ствие, в основе которого лежит связь с
электромагнитным полем. Оно харак
терно для всех элементарных частиц, за
исключением нейтрино, антинейтрино
и фотона. Электромагнитное взаимо
действие, в частности, ответственно за
существование атомов и молекул, обус
ловливая взаимодействие в них поло
жительно заряженных ядер и отрица
тельно заряженных электронов.
Слабое взаимодействие — наибо
лее медленное из всех взаимодействий,
протекающих в микромире. Оно ответ
ственно за взаимодействие частиц, про
исходящих с участием нейтрино или
антинейтрино (например, b распад,
m распад), а также за безнейтринные
процессы распада, характеризующиеся
довольно большим временем жизни
распадающейся частицы (t 10-10
с).
Гравитационное взаимодействие
присуще всем без исключения части
цам, однако из за малости масс элемен
тарных частиц оно пренебрежимо мало
и, по видимому, в процессах микроми
ра несущественно.
Сильное взаимодействие примерно
в 100 раз превышает электромагнитное
и в 1014 раз — слабое. Чем сильнее взаи
модействие, тем с большей интенсивно
стью протекают процессы. Так, время
жизни частиц, называемых резонанса
ми, распад которых описывается силь
ным взаимодействием, составляет при
мерно 10-23
с; время жизни p0 мезона,
за распад которого ответственно элект
ромагнитное взаимодействие, составля
ет 10-16
с; для распадов, за которые от
ветственно слабое взаимодействие, ха
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

515
рактерны времена жизни 10-10
— 10-8 с.
Как сильное, так и слабое взаимодей
ствия — короткодействующие. Радиус
действия сильного взаимодействия со
ставляет примерно 10-15
м, слабого —
не превышает 10-19
м. Радиус действия
электромагнитного взаимодействия
практически не ограничен.
Элементарные частицы принято де
лить на три группы:
1) фотоны, состоящие всего лишь
из одной частицы — фотона — кванта
электромагнитного излучения;
2) лептоны (от греч. «лептос» — лег
кий), участвующие только в электро
магнитном и слабом взаимодействиях.
К лептонам относятся электронное и
мюонное нейтрино, электрон, мюон и
открытый в 1975 г. тяжелый лептон —
t лептон, или таон, с массой примерно
3487me , а также соответствующие им
античастицы. Название лептонов свя
зано с тем, что массы первых известных
лептонов были меньше масс всех дру
гих частиц. К лептонам относится так
же таонное нейтрино, существование
которого также установлено;
3) адроны (от греч. «адрос» — круп
ный, сильный), обладающие сильным
взаимодействием наряду с электромаг
нитным и слабым. Из рассмотренных
выше частиц к ним относятся протон,
нейтрон, пионы и каоны.
Для всех типов взаимодействия эле
ментарных частиц выполняются законы
сохранения энергии, импульса, момен
та импульса и зарядовых чисел.
Характерным признаком сильных
взаимодействий является зарядовая не
зависимость ядерных сил. Как уже ука
зывалось (см. § 254), ядерные силы,
действующие между парами p — p, n — n
или p — n, одинаковы. Поэтому если бы
в ядре осуществлялось только сильное
взаимодействие, то зарядовая независи
мость ядерных сил привела бы к оди
наковым значениям масс нуклонов
(протонов и нейтронов) и всех p мезо
нов. Различие в массах нуклонов и со
ответственно p мезонов обусловлено
электромагнитным взаимодействием:
энергии взаимодействующих заряжен
ных и нейтральных частиц различны,
поэтому и массы заряженных и нейт
ральных частиц оказываются неодина
ковыми.
Зарядовая независимость в сильных
взаимодействиях позволяет близкие по
массе частицы рассматривать как раз
личные зарядовые состояния одной и
той же частицы. Так, нуклон образует
дублет (нейтрон, протон), p мезоны —
триплет (p
+
,p
-
,p
0) и т.д. Подобные
группы «похожих» элементарных час
тиц, одинаковым образом участвующих
в сильном взаимодействии, имеющие
близкие массы и отличающиеся заряда
ми, называют изотопическими муль
типлетами.
Каждый изотопический мультиплет
характеризуют изотопическим спи
ном (изоспином) — одной из внутрен
них характеристик адронов, определя
ющей число (n) частиц в изотопичес
ком мультиплете: n = 2I + 1 . Тогда изо
спин нуклона I = 1/2 (число членов в
изотопическом мультиплете нуклона
равно двум), изоспин пиона I = 1 (в пи
онном мультиплете n = 3) и т. д . Изото
пический спин характеризует только
число членов в изотопическом мульти
плете и никакого отношения к рассмат
риваемому ранее спину не имеет.
Исследования показали, что во всех
процессах, связанных с превращениями
элементарных частиц, обусловленных
зарядово независимыми сильными вза
имодействиями, выполняется закон
сохранения изотопического спина.
Для электромагнитных и слабых взаи
модействий этот закон не выполняет
ся. Так как электрон, позитрон, фотон,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

516
мюоны, нейтрино и антинейтрино в
сильных взаимодействиях участия не
принимают, то им изотопический спин
не приписывается.
§ 273. ×àñòèöû è àíòè÷àñòèöû
Гипотеза об античастице впервые
возникла в 1928 г., когда П. Дирак на
основе релятивистского волнового
уравнения предсказал существование
позитрона (см. § 263), обнаруженного
спустя четыре года К. Андерсоном в со
ставе космического излучения.
Электрон и позитрон не являются
единственной парой частица — антича
стица. На основе релятивистской кван
товой теории пришли к заключению,
что для каждой элементарной частицы
должна существовать античастица
(принцип зарядового сопряжения).
Эксперименты показывают, что за не
многим исключением (например, фото
на и p0 мезона), действительно, каждой
частице соответствует античастица.
Из общих положений квантовой те
ории следует, что частицы и античасти
цы должны иметь одинаковые массы,
одинаковые времена жизни в вакууме,
одинаковые по модулю, но противопо
ложные по знаку электрические заря
ды (и магнитные моменты), одинако
вые спины и изотопические спины, а
также одинаковые остальные кванто
вые числа, приписываемые элементар
ным частицам для описания закономер
ностей их взаимодействия (лептонное
число, барионное число, странность,
очарование и т. д .) .
До 1956 г. считалось, что имеется
полная симметрия между частицами и
античастицами, т. е . если какой то про
цесс идет между частицами, то должен
существовать точно такой же (с теми же
характеристиками) процесс между ан
тичастицами. Однако в 1956 г. доказа
но, что подобная симметрия характер
на только для сильного и электромаг
нитного взаимодействий и нарушает
ся для слабого.
Согласно теории Дирака, столкнове
ние частицы и античастицы должно
приводить к их взаимной аннигиляции,
в результате которой возникают другие
элементарные частицы или фотоны.
Примером тому является рассмотрен
ная реакция (263.3) аннигиляции пары
электрон — позитрон ( 00
112
ee
-+
+®g
).
После того как предсказанное теоре
тически существование позитрона было
подтверждено экспериментально, воз
ник вопрос о существовании антипро
тона и антинейтрона. Расчеты показы
вают, что для создания пары частица —
античастица надо затратить энергию,
превышающую удвоенную энергию по
коя пары, поскольку частицам необхо
димо сообщить весьма значительную
кинетическую энергию. Для создания
p—p
%
пары необходима энергия пример
но 4,4 ГэВ. Антипротон был действи
тельно обнаружен экспериментально
(1955) при рассеянии протонов (уско
ренных на крупнейшем в то время син
хрофазотроне Калифорнийского уни
верситета) на нуклонах ядер мишени
(мишенью служила медь), в результате
которого рождалась пара p — p
%.
Антипротон отличается от протона
знаками электрического заряда и соб
ственного магнитного момента. Анти
протон может аннигилировать не толь
ко с протоном, но и с нейтроном:
,
0
pp +-+-
+ ®p+p+p+p+p
%
(273.1)
,
000
pp +-
+ ®p +p +p+p+p
%
(273.2)
00
.
pn +--
+ ®p+p+p+p+p
%
(273.3)
Годом позже (1956) на том же уско
рителе удалось получить антинейтрон
(n%) и осуществить его аннигиляцию.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

517
Антинейтроны возникали в результате
перезарядки антипротонов при их дви
жении через вещество. Реакция переза
рядки %p состоит в обмене зарядов меж
ду нуклоном и антинуклоном и может
протекать по схемам
,
pp nn
+®+
%%
(273.4)
.
ppnn -
+®++
p
%%
(273.5)
Антинейтрон %n отличается от нейт
рона n знаком собственного магнитно
го момента. Если антипротоны — ста
бильные частицы, то свободный анти
нейтрон, если он не испытывает анни
гиляции, в конце концов претерпевает
распад по схеме
110
0
011
0
e
npe
-+
®++
n
%%
[ср. с (258.1)].
Античастицы были найдены также
для p
+
мезона, каонов и гиперонов (см.
§ 274). Однако существуют частицы,
которые античастиц не имеют, — это так
называемые истинно нейтральные ча
стицы. К ним относятся фотон, p
0ме
зон и h мезон (его масса равна 1074me,
время жизни 7 · 10-19
с; распадается с об
разованием p мезонов и g квантов).
Истинно нейтральные частицы не спо
собны к аннигиляции, но испытывают
взаимные превращения, являющиеся
фундаментальным свойством всех эле
ментарных частиц. Можно сказать, что
каждая из истинно нейтральных частиц
тождественна со своей античастицей.
Большой интерес и серьезные труд
ности представляли доказательство су
ществования антинейтрино и ответ на
вопрос, являются ли нейтрино и анти
нейтрино тождественными или различ
ными частицами. Используя мощные
потоки антинейтрино, получаемые в
реакторах [осколки деления тяжелых
ядер испытывают b распад и, согласно
(258.1), испускают антинейтрино], аме
риканские физики Ф. Рейнес и К. Коу
эн (1956) надежно зафиксировали ре
акцию захвата электронного антинейт
рино протоном:
0110
010 1
.
e
pne
+
n+®+
%
(273.6)
Аналогично зафиксирована реакция
захвата электронного нейтрино нейтро
ном:
011 0
0011
.
e
npe
-
n+®+
(273.7)
Таким образом, реакции (273.6) и
(273.7) явились, с одной стороны, бес
спорным доказательством того, что ne и
%
ne — реальные частицы, а не фиктивные
понятия, введенные лишь для объясне
ния b распада, а с другой — подтверди
ли вывод о том, что ne и %ne — различные
частицы.
В дальнейшем эксперименты по
рождению и поглощению мюонных
нейтрино показали, что nm и %nm — раз
личные частицы. Также доказано, что
пара ne , nm — различные частицы, а пара
ne, %
ne не тождественна паре nm, %
nm. Соглас
но идее Б. М. Понтекорво (см. § 271),
осуществлялась реакция захвата мюон
ного нейтрино [получались при распа
деp
+
®m
+
+ nm (271.1)] нейтронами и
наблюдались возникающие частицы.
Оказалось, что реакция (273.7) не идет,
а захват происходит по схеме
,
011
001
np-
m
n+®+m
т. е . вместо электронов в реакции рож
дались m- мюоны. Это и подтверждало
различие между ne и nm.
По современным представлениям,
нейтрино и антинейтрино отличаются
друг от друга одной из квантовых ха
рактеристик состояния элементарной
частицы — спиральностью, определя
емой как проекция спина частицы на
направление ее движения (на импульс).
Для объяснения эксперименталь
ных данных предполагают, что у нейт
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

518
рино спин s
r
ориентирован антипарал
лельно импульсу p
r
, т. е. направления p
r
и
s
r
образуют левый винт и нейтрино об
ладает левой спиральностью (рис.
352, а). У антинейтрино направления p
r
иs
r
образуют правый винт, т. е . антиней
трино обладает правой спиральнос
тью (рис. 352, б ). Это свойство спра
ведливо в равной мере как для элект
ронного, так и мюонного нейтрино (ан
тинейтрино).
Для того чтобы спиральность могла
быть использована в качестве характе
ристики нейтрино (антинейтрино),
масса нейтрино должна приниматься
равной нулю. Введение спиральности
позволило объяснить, например, нару
шение закона сохранения четности (см.
§ 274) при слабых взаимодействиях,
вызывающих распад элементарных ча
стиц и b распад. Так, m
-
мюону припи
сывают правую спиральность, m
+
мюо
ну — левую.
После открытия столь большого
числа античастиц возникла новая зада
ча — найти антиядра, иными словами,
доказать существование антивещества,
которое построено из античастиц, так
же как вещество из частиц. Антиядра
действительно были обнаружены. Пер
вое антиядро — антидейтрон (связан
ное состояние %p и %n) — было получено в
1965 г. группой американских физиков
под руководством Л. Ледермана. В по
следствии на Серпуховском ускорите
ле были синтезированы ядра антигелия
(1970) и антитрития (1973).
Следует, однако, отметить, что воз
можность аннигиляции при встрече с
частицами не позволяет античастицам
длительное время существовать среди
частиц. Поэтому для устойчивого со
стояния антивещества оно должно быть
изолировано от вещества. Если бы
вблизи известной нам части Вселенной
существовало скопление антивещества,
то должно было бы наблюдаться мощ
ное аннигиляционное излучение (взры
вы с выделением огромных количеств
энергии). Сколь нибудь существенных
скоплений антивещества во Вселенной
пока не обнаружено. Исследования,
проводимые для поиска антиядер (в ко
нечном счете антиматерии), и достиг
нутые в этом направлении первые ус
пехи имеют фундаментальное значение
для дальнейшего познания строения ве
щества.
§ 274. Ãèïåðîíû. Ñòðàííîñòü
è ÷åòíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö
В ядерных фотоэмульсиях (конец
40 х годов XX в.) в на ускорителях за
ряженных частиц (50 е годы) обнару
жены тяжелые нестабильные элемен
тарные частицы массой, большей мас
сы нуклона, названные гиперонами
(от греч. hyper — сверх, выше). Извест
но несколько типов гиперонов: ламбда
(L0), сигма (S0, S
+
,S
-
), кси (X+
,X
-
)и
омега (W-) .
Существование W- гиперона следо
вало из предложенной (1961) М. Гелл
Маном (р. 1929) (американский физик;
Нобелевская премия 1969 г.) схемы для
классификации сильно взаимодейству
ющих элементарных частиц. Все изве
стные в то время частицы укладывались
в эту схему, но в ней оставалось одно
незаполненное место, которое должна
была занять отрицательно заряженная
Рис. 352
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

519
частица массой, равной примерно
3284me . В результате специально по
ставленного эксперимента был дей
ствительно обнаружен W- гиперон мас
сой 3273me .
Гипероны имеют массы в пределах
(2183 — 3273)me, их спин равен 1/2 (толь
ко спин W- гиперона равен 3/2), время
жизни приблизительно 10-10
с (для
S0 гиперона время жизни равно при
близительно 10-20
с). Они участвуют в
сильных взаимодействиях, т. е . принад
лежат к группе адронов. Гипероны рас
падаются на нуклоны и легкие части
цы (p мезоны, электроны, нейтрино и
g кванты).
Детальное исследование рождения и
превращения гиперонов привело к ус
тановлению новой квантовой характе
ристики элементарных частиц — так
называемой странности. Ее введение
оказалось необходимым для объясне
ния ряда парадоксальных (с точки зре
ния существовавших представлений)
свойств этих частиц. Дело в том, что
гипероны должны были, как представ
лялось, обладать временем жизни при
мерно 10-23
с, что в 1013 раз (!) меньше
установленного на опыте. Подобные
времена жизни можно объяснить лишь
тем, что распад гиперонов происходит
в результате слабого взаимодействия.
Кроме того, оказалось, что всякий раз
гиперон рождается в паре с K мезоном.
Например, в реакции
p+p
-
® L0+K0 (274.1)
сL
0
гипероном всегда рождается K
0
ме
зон, в поведении которого обнаружива
ются те же особенности, что и у гипе
рона. Распад же L
0
гиперона происхо
дит по схеме
L0®p
-
+p.
(274.2)
Особенности поведения гиперонов и
K мезонов были объяснены в 1955 г.
М. Гелл Маном с помощью квантового
числа — странности S, которая сохра
няется в процессах сильного и электро
магнитного взаимодействий.
Если приписать каонам S = 1, а L0 и
S гиперонам S = -1 и считать, что у
нуклонов и p мезонов S = 0, то сохра
нение суммарной странности частиц в
сильном взаимодействии объясняет как
совместное рождение L
0 гиперона с
K 0 мезоном, так и невозможность рас
пада частиц со странностью, не равной
нулю, за счет сильного взаимодействия
на частицы, странность которых равна
нулю. Реакция (274.2) идет с наруше
нием странности, поэтому она не может
происходить в результате сильного вза
имодействия. X Гиперонам, которые
рождаются совместно с двумя каонами,
приписывают S = -2; W гиперонам —
S= -3.
Из закона сохранения странности
следовало существование частиц, та
ких, как
%
K 0 мезон, S0 , X0 гипероны, ко
торые впоследствии были обнаружены
экспериментально. Каждый гиперон
имеет свою античастицу.
Элементарным частицам приписы
вают еще одну квантово механическую
величину — четность P — квантовое
число, характеризующее симметрию
волновой функции элементарной час
тицы (или системы элементарных час
тиц) относительно зеркального отраже
ния. Если при зеркальном отражении
волновая функция частицы не меняет
знака, то четность частицы P = +1 (чет
ность положительная), если меняет
знак, то четность частицы P = -1 (от
рицательная).
Из квантовой механики вытекает
закон сохранения четности, согласно
которому при всех превращениях, пре
терпеваемых системой частиц, четность
состояния не изменяется. Сохранение
четности связано со свойством зеркаль
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

520
ной симметрии пространства и указы
вает на инвариантность законов приро
ды по отношению к замене правого ле
вым, и наоборот. Однако исследования
распадов K мезонов привели американ
ских физиков Т. Ли и Ч. Янга (1956 г.;
Нобелевская премия 1957 г.) к выводу
о том, что в слабых взаимодействиях
закон сохранения четности может на
рушаться. Целый ряд опытов подтвер
дили это предсказание. Таким образом,
закон сохранения четности, как и закон
сохранения странности, выполняется
только при сильных и электромагнит
ных взаимодействиях.
§ 275. Êëàññèôèêàöèÿ
ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Êâàðêè
В многообразии элементарных час
тиц, известных в настоящее время, об
наруживается более или менее строй
ная система классификации. Для ее по
яснения в табл. 13 представлены основ
ные характеристики рассмотренных
выше элементарных частиц.
Характеристики античастиц не при
водятся, поскольку, как указывалось в
§ 273, модули зарядов и странности, мас
сы, спины, изотопические спины, время
жизни частиц в вакууме и их античас
тиц одинаковы, они различаются лишь
знаками зарядов и странности, а также
знаками других величин, характеризу
ющих их электрические (а следователь
но, и магнитные) свойства. В табл. 13
нет также античастиц фотона и p0
,и
m0 мезонов, так как антифотон и анти
пи ноль и антиэта ноль мезоны тожде
ственны с фотоном и p0
, и m0 мезонами.
В табл. 13 элементарные частицы
объединены в три группы (см. § 272):
фотоны, лептоны и адроны. Элементар
ные частицы, отнесенные к каждой из
этих групп, обладают общими свойства
ми и характеристиками, которые отли
чают их от частиц другой группы.
К группе фотонов относится един
ственная частица — фотон, который
переносит электромагнитное взаимо
действие. В электромагнитном взаимо
действии участвуют в той или иной сте
пени все частицы, как заряженные, так
и нейтральные (кроме нейтрино).
К группе лептонов относятся элек
трон, мюон, тау лептон, соответствую
щие им нейтрино, а также их античас
тицы. Все лептоны имеют спин, равный
1/2, и, следовательно, являются ферми
онами (см. § 226), подчиняясь статис
тике Ферми — Дирака (см. § 235). По
скольку лептоны в сильных взаимодей
ствиях не участвуют, изотопический
спин им не приписывается. Странность
лептонов равна нулю.
Элементарным частицам, относя
щимся к группе лептонов, приписыва
ют так называемое лептонное число
(лептонный заряд) L. Обычно прини
мают, что L = +1 для лептонов (e
-
,m
-
,
t
-
, ne, nm, nt), L = -1 для антилептонов
(e
+
,m
+
,t
+
,%
ne, %
nm, %
nt)иL=0длявсех
остальных элементарных частиц. Вве
дение L позволяет сформулировать за
кон сохранения лептонного числа:
в замкнутой системе при всех без исклю
чения процессах взаимопревращаемос
ти элементарных частиц лептонное чис
ло сохраняется.
Теперь понятно, почему при распаде
(258.1) нейтральная частица названа
антинейтрино, а при распаде (263.1) —
нейтрино. Так как у электрона и нейт
рино L = +1, а у позитрона в антинейт
рино L = -1, то закон сохранения леп
тонного числа выполняется лишь при
условии, что антинейтрино возникает
вместе с электроном, а нейтрино — с по
зитроном.
Основную часть элементарных частиц
составляют адроны. К группе адронов
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

5
2
1
Ôîòîíû
Ëåïòîíû
Ìåçîíû
Àäðîíû
Áàðèîíû
Ôîòîí
Ýëåêòðîí
Ýëåêòðîííîå íåéòðèíî
Ìþîí
Ìþîííîå íåéòðèíî
Òàó-ëåïòîí
Òàîííîå íåéòðèíî
Ïèîíû
Êàîíû
Ýòà-ìåçîí
Ïðîòîí
Íåéòðîí
Ãèïåðîíû:
ëàìáäà
ñèãìà
êñè
îìåãà
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
206,8
0
3487
0
264,1
273,1
974,0
966,2
1074
1836,2
1838,7
2183
2334
2328
2343
2573
2586
3273
Ñòàáèëåí
Ñòàáèëåí
Ñòàáèëüíî
»10-6
Ñòàáèëüíî
»10-12
Ñòàáèëüíî
»10-16
»10-8
»10-10
— 10-8
»10-8
»10-19
Ñòàáèëåí
»103
»10-10
»10-20
»10-10
»10-10
»10-10
»10-10
»10-10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-2
-2
-3
Ãðóïïà
Òàáëèöà 13
Íàçâàíèå ÷àñòèöû
Ñèìâîë
÷
à
ñ
ò
è
ö
û
à
í
ò
è
÷
à
ñ
ò
è
ö
û
Ïðèáëèçèòåëüíîå
âðåìÿ æèçíè, ñ
e-
ne
m-
nm
t-
nt
p0
p+
K0
K+
p
n
L0
S0
S+
S-
X0
X-
W-
e+
%
ne
m+
%
nm
t+
%
nt
p-
%
K0
K-
%
p
%
n
%
L0
%
S0
%
S+
%
S-
%
X0
%
X-
%
W-
g
ìï
ïíïïî
ìï
ïíïïî
ìï
ïíïïî
ìï
ïïïíïïïïî
—
—
—
—
—
—
—
1
1
1/2
1/2
—
1/2
1/2
0
1
1
1
1/2
1/2
0
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
0
0
0
0
0
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
h0
Ç
à
ð
ÿ
ä
,
å
ä
.
e
Ì
à
ñ
ñ
à
ï
î
ê
î
ÿ
,
å
ä
.
m
e
È
ç
î
ñ
ï
è
í
,
I
Ë
å
ï
ò
î
í
í
î
å
÷
è
ñ
ë
î
,
L
Á
à
ð
è
î
í
í
î
å
÷
è
ñ
ë
î
,
B
Ñ
ò
ð
à
í
í
î
ñ
ò
ü
,
S
Ñ
ï
è
í
,
å
ä
.
h
0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

522
момента импульса, зарядов (электриче
ского, лептонного и барионного), изо
спина, странности и четности]. В про
цессах, обусловленных слабыми взаи
модействиями, не сохраняются только
изоспин, странность и четность.
В последние годы увеличение чис
ла элементарных частиц происходит
в основном вследствие расширения
группы адронов. Поэтому развитие
работ по их классификации все время
сопровождалось поисками новых бо
лее фундаментальных частиц, которые
могли бы служить базисом для пост
роения всех адронов. Гипотеза о суще
ствовании таких частиц, названных
кварками, была высказана независи
мо друг от друга (1964) австрийским
физиком Дж. Цвейгом (р. 1937) и аме
риканским физиком теоретиком Гелл
Маном.
Название «кварк» заимствовано из ро
мана ирландского писателя Дж. Джойса
«Поминки по Финнегану» (герою снится
сон, а котором чайки кричат «Три кварка
для мастера Марка»).
Согласно модели Гелл Мана — Цвей
га, все известные в то время адроны
можно было построить, постулировав
существование трех типов кварков (u,
d, s) и соответствующих антикварков (%u,
%
d,%
s ), если им приписать характеристи
ки, указанные в табл. 14 (в том числе
дробные электрические и барионные
заряды). Самое удивительное (почти
невероятное) свойство кварков связа
но с их электрическим зарядом, по
скольку еще никто не находил частицы
с дробным значением элементарного
электрического заряда. Спин кварка
равен 1/2, поскольку только из фермио
нов можно «сконструировать» как фер
мионы (нечетное число фермионов),
так и бозоны (четное число фермио
нов).
относятся пионы, каоны, h мезон, нук
лоны, гипероны, а также их античас
тицы (в табл. 13 приведены не все ад
роны).
Адронам приписывают барионное
число (барионный заряд) B. Адроны с
B = 0 образуют подгруппу мезонов (пи
оны, каоны, h мезон), а адроны с B = +1
образуют подгруппу барионов (от греч.
«барис» — тяжелый; сюда относятся
нуклоны и гипероны). Для лептонов и
фотона B = 0. Если принять для бари
онов B = +1, для антибарионов (анти
нуклоны, антигипероны) B = -1, а для
всех остальных частиц B = 0, то можно
сформулировать закон сохранения ба
рионного числа: в замкнутой системе
при всех процессах взаимопревращаемо
сти элементарных частиц барионное
число сохраняется.
Из закона сохранения барионного
числа следует, что при распаде барио
на, наряду с другими частицами обя
зательно образуется барион. Примера
ми сохранения барионного числа явля
ются реакции (273.1) — (273.5). Бари
оны имеют спин, равный 1/2 (только
спин W- гиперона равен 3/2), т. е. бари
оны, как и лептоны, являются ферми
онами.
Странность S для различных частиц
подгруппы барионов имеет разные зна
чения (см. табл. 13).
Мезоны имеют спин, равный нулю,
и, следовательно, являются бозонами
(см. § 226), подчиняясь статистике
Бозе — Эйнштейна (см. § 235). Для ме
зонов лептонные и барионные числа
равны нулю. Из подгруппы мезонов
только каоны обладают S = +1, а пио
ныиh мезоныимеютS=0.
Подчеркнем еще раз, что для процес
сов взаимопревращаемости элементар
ных частиц, обусловленных сильными
взаимодействиями, выполняются все
законы сохранения [энергии, импульса,
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

523
Адроны строятся из кварков следу
ющим образом: мезоны состоят из пары
кварк — антикварк, барионы — из трех
кварков (антибарион — из трех анти
кварков). Так, например, пион p
+
име
ет кварковую структуру u %d, пион p
-
—
%
ud, каон K+
—
ds%, протон — uud, нейт
рон—udd,S
+
гиперон — uus, S0 гипе
рон—udsит.д.
Во избежание трудностей со статис
тикой [некоторые барионы, например
W- гиперон, состоят из трех одинако
вых кварков (sss), что запрещено прин
ципом Паули; см. § 127]; предполагают,
что каждый кварк (антикварк) облада
ет специфической квантовой характе
ристикой — цветом: «желтым», «си
ним» и «красным». Тогда, если кварки
имеют неодинаковую «окраску», прин
цип Паули не нарушается.
Углубленное изучение модели Гелл
Мана — Цвейга, а также открытие в 1974 г.
истинно нейтрального джей пси мезона
(J/Y) массой около 6000me, со временем
жизни примерно 10-20
с и спином, рав
ным единице, привело к введению но
вого кварка — так называемого c квар
ка и новой сохраняющейся величины —
«очарования» (от англ. charm).
Подобно странности и четности, оча
рование сохраняется в сильных и элек
тромагнитных взаимодействиях, но не
сохраняется в слабых. Закон сохране
ния очарования объясняет относитель
но долгое время жизни J/Y мезона.
Основные характеристики c кварка
приведены в табл. 14 .
Частице J/Y приписывается кварко
вая структура cc . Структура c%c называ
ется чармонием — атомоподобная сис
тема, напоминающая позитроний (свя
занная водородоподобная система, со
стоящая из электрона и позитрона, дви
жущихся вокруг общего центра масс).
Кварковая модель позволила опре
делить почти все основные квантовые
числа адронов. Например, из этой мо
дели, поскольку спин кварков равен 1/2,
следует целочисленный (нулевой) спин
для мезонов и полуцелый — для барио
нов в полном соответствии с экспери
ментом. Кроме того, эта модель позво
лила предсказать также и новые части
цы, например W
-
гиперон. Однако при
Òàáëèöà 14
Kâàðê
Ñèìâîë êâàðêà
(àíòèêâàðêà)
Ýëåêòðè÷åñêèé
çàðÿä [e]
Áàðèîííîå
÷èñëî B
Ñïèí [h ] Ñòðàííîñòü S
Âåðõíèé
(up)
0
Íèæíèé
(down)
0
Î÷àðîâàííûé
(charm)
-1 (+1)
Ñòðàííûé
(strange)
-1 (+1)
Èñòèííûé
(truth)
0
Ïðåëåñòíûé
(beauty)
0
u (%u)
d (%d)
c (%c)
s (%s)
t (%t)
b (%b)
+2/3 (-2/3)
-
1/3 (+1/3)
+2/3 (-2/3)
+1/3 (-1/3)
+1/3 (-1/3)
+1/3 (-1/3)
-
1/3 (+1/3) +1/3 (-1/3)
+2/3 (-2/3) +1/3 (-1/3)
-
1/3 (+1/3) +1/3 (-1/3)
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

524
использовании этой модели возникают
и трудности. Кварковая модель не по
зволяет, например, определить массу
адронов, поскольку для этого необхо
димо знание динамики взаимодействия
кварков и их масс, которые пока неиз
вестны.
В настоящее время признана точка
зрения, что между лептонами и квар
ками существует симметрия: число
лептонов должно быть равно числу ти
пов кварков. В 1977 г. был открыт
сверхтяжелый мезон массой около
20 000me , который представляет собой
структуру из кварка и антикварка но
вого типа — b кварка [является носи
телем сохраняющейся в сильных вза
имодействиях величины, названной
«прелестью» (от англ. beauty)]. Заряд
b кварка равен -1/3. Предполагается,
что существует и шестой кварк t с за
рядом +2/3, который назвали истин
ным (от англ. truth — истина), подоб
но тому как c кварк называют очаро
ванным, b кварк — прелестным. В фи
зике элементарных частиц введен «аро
мат» — характеристика типа кварка
(см. табл. 14) (u, d, s, c, b, t?), объеди
няющая совокупность квантовых чи
сел (странность, очарование, прелесть
и др.), отличающих один тип кварка от
другого, кроме цвета. Аромат сохраня
ется в сильных и электромагнитных
взаимодействиях. Является ли схема
из шести лептонов и шести кварков
окончательной или же число лептонов
(кварков) будет расти, покажут даль
нейшие исследования.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
• Какова природа первичного и вторичного космического излучений? Назовите их свой
ства.
• Приведите схемы распада мюонов. Чем объясняется выброс мюонного нейтрино (анти
нейтрино)?
• Приведите примеры распада p мезонов. Дайте характеристику p мезонам.
• Какие фундаментальные типы взаимодействий осуществляются в природе и как их мож
но охарактеризовать? Какой из них является универсальным?
• Какие законы сохранения выполняются для всех типов взаимодействий элементарных
частиц?
• Что является фундаментальным свойством всех элементарных частиц?
• Назовите свойства нейтрино и антинейтрино. В чем их сходство и различие?
• Какие характеристики являются для частиц и античастиц одинаковыми? Какие — раз
ными?
• Что такое странность и четность элементарных частиц? Для чего они вводятся? Всегда
ли выполняются законы их сохранения?
• Почему магнитный момент протона имеет то же направление, что и спин, а у электрона
направления этих векторов противоположны?
• Какие законы сохранения выполняются при сильных взаимодействиях элементарных
частиц? при слабых взаимодействиях?
• Каким элементарным частицам и почему приписывают лептонное число? барионное чис
ло? В чем заключаются законы их сохранения?
• Зачем нужна гипотеза о существовании кварков? Что объясняется с ее помощью? В чем
ее трудность?
• Почему потребовалось введение таких характеристик кварков, как цвет и очарование?
• Какие имеются группы элементарных частиц? Каковы критерии, по которым элемен
тарные частицы относятся к той или иной группе?
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

ÇÀÄÀ×È
33.1 . Принимая, что энергия релятивистских мюонов в космическом излучении состав
ляет 3 ГэВ, определите расстояние, проходимое мюонами за время их жизни, если собствен
ное время жизни мюона 2,2 мкс, в энергия покоя 100 МэВ. [19,8 км]
33.2 . Нейтральный пион распадается на два g кванта:
2
0
p® g. Принимая массу пиона
равной 264,1me , определите энергию каждого из возникших g квантов. [67,7 МэВ]
33.3 . При столкновении нейтрона и антинейтрона происходит их аннигиляция, в резуль
тате чего возникают два g кванта, а энергия частиц переходит в энергию g квантов. Опреде
лите энергию каждого из возникших g квантов, принимая, что кинетическая энергия нейт
рона и позитрона до их столкновения пренебрежимо мала. [942 МэВ]
33.4 . Определите, какие из приведенных ниже процессов запрещены законом сохране
ния лептонного числа: 1) K --
m
®m +n
%
;2)
0
e
Ke
++
®+
p
+
n
.
33.5 . Определите, какие из приведенных ниже процессов разрешены законом сохране
ния странности: 1) pK
--
+p ®S+ ;2)
.
pK
K
n
--
+
+p®
++
33.6 . Определите, какие законы сохранения нарушаются в приведенных ниже запрещен
ных способах распада: 1)
nK
-0
-
p+®L+ ;2)ppp+
+®+
p.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

526
1. Физические основы механики
Средняя скорость
.
r
v
t
D
áñ=
D
r
r
Мгновенная скорость
d.
d
r
v
t
=
r
r
Среднее ускорение
.
v
a
t
D
áñ=
D
r
r
Мгновенное ускорение
d.
d
v
a
t
=
r
r
Тангенциальная составляющая ускорения
d.
d
v
a
t
t=
Нормальная составляющая ускорения
2
.
n
v
a
r
=
Полное ускорение
;
.
n
n
aaa
aaa
t
22
t
=+
=+
rrr
Кинематические уравнения равнопере
менного поступательного движения
,
0
2
0
.
2
vva
t
at
sv
t
ì=±
ï
ï
ïï
íï =±
ï
ïïî
Угловая скорость
d
.
dt
j
w=
r
r
Угловое ускорение
d.
dt
w
e=
r
r
Кинематические уравнения равнопере
менного вращательного движения
,
2
.
2
t
t
t
0
0
ìw=w ±e
ï
ï
ïï
í
e
ïj=w ±
ï
ïïî
Связь между линейными и угловыми
величинами при вращательном движении
s=Rj, v=Rw;
at=Re, an=w
2R.
Импульс (количество движения)
.
pm
v
=
rr
Второй закон Ньютона
d.
d
p
Fm
a
t
==
r
r
r
Сила трения скольжения
Fтр = fN.
Закон сохранения импульса (для замк
нутой системы)
1
const .
n
ii
i
pm
v
=
==
å
rr
Работа переменной силы на участке тра
ектории 1 — 2
2
1
cos d.
AFs
=a
ò
Мгновенная мощность
d
.
d
A
NF
v
t
==
r
r
Кинетическая энергия
2
.
2
mv
T=
Потенциальная энергия тела, поднятого
над поверхностью Земли,
P=mgh.
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÇÀÊÎÍÛ È ÔÎÐÌÓËÛ
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

527
Потенциальная энергия упругодефор
мированного тела
2
.
2
kx
P=
Полная механическая энергия системы
E=T+P.
Закон сохранения механической энергии
(для консервативной системы)
T+P=E =const.
Скорость шаров массами m1 и m 2 после
абсолютно упругого центрального удара
,
12
12
2
1
12
21
21
1
2
12
()
2
()2
.
mm
vm
v
v
mm
mm
vm
v
v
mm
-+
¢=
+
-+
¢=
+
Скорость шаров после абсолютного не
упругого удара
11
22
12
.
mv mv
v
mm
+
=
+
rr
r
Момент инерции системы (тела)
2
1
.
n
ii
i
Jm
r
=
=å
Моменты инерции полого и сплошного
цилиндров (или диска) относительно оси
симметрии
;22
1
.
2
Jm
RJm
R
==
Момент инерции шара относительно
оси, проходящей через центр шара,
2
2
.
5
Jm
R
=
Момент инерции тонкого стержня отно
сительно оси, перпендикулярной стержню
и проходящей через его середину,
2
1.
12
Jm
l
=
Момент инерции тонкого стержня отно
сительно оси, перпендикулярной стержню
и проходящей через его конец,
2
1.
3
Jm
l
=
Теорема Штейнера
J=JC+ma2.
Кинетическая энергия вращающегося
тела относительно неподвижной оси
âð
2
.
2
z
J
T
w
=
Момент силы относительно неподвиж
ной точки
M
r
=[r
r
F
r
].
Момент силы относительно неподвиж
ной оси
M
r
=[r
r
F
r
]z.
Момент импульса материальной точки
относительно неподвижной точки
L
r
=[r
r
p
r
]=[r
r
,mv
r
].
Момент импульса твердого тела относи
тельно неподвижной оси
1
.
n
zi
i
i
z
i
Lm
v
r
J
=
==
w
å
Уравнение динамики вращательного
движения твердого тела
;
d.
d
zz
L
MJM
t
=e
=
r
r
Закон сохранения момента импульса
(для замкнутой системы)
L
r
= const.
Закон всемирного тяготения
12
2.
mm
FG
r
=
Сила тяжести
P
r
=mg
r
.
Напряженность поля тяготения
.
F
g
m
=
r
r
Потенциал поля тяготения
.
M
G
mR
P
j= =-
Взаимосвязь между потенциалом поля
тяготения и его напряженностью
g
r
= -grad j.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

528
Уравнение неразрывности для несжима
емой жидкости
Sv = const.
Уравнение Бернулли
2
const .
2
v
ghp
r
+r+=
Релятивистское замедление хода часов
2
.
1v
c
t
¢
t=
-
Релятивистское (лоренцево) сокраще
ние длины стержня

0
2
.
1
l
l
v
c
¢=
-
Релятивистский закон сложения скоро
стей
,
.
22
11
uv
uv
uu
vv
uu
cc
¢+-
¢
==
¢
+-
Релятивистский импульс
2
.
1
mv
p
v
c
=
-
r
r
Полная энергия свободной частицы

2
2
.
1
mc
E
v
c
=
-
Энергия покоя
2
0
.
Em
c
=
Связь между полной энергией и импуль
сом релятивистской частицы
24
22.
Em
cp
c
=+
2. Основы молекулярной физики
и термодинамики
Закон Бойля — Мариотта
pV=constприT, m =const.
Законы Гей Люссака
V=V0(1+at)приp=const, m =const,
p=p0(1+at)приV=const, m =const.
Закон Дальтона
p=p1+p2+p3+...+pn.
Уравнение Клапейрона — Менделеева
для произвольной массы газа
.
m
pV
RT RT
M
==
n
Основное уравнение молекулярно кине
тической теории идеального газа
p=
1
3
nm0áv квñ
2
.
Средняя квадратичная скорость молекулы
êâ
0
33
.
kT
RT
v
mM
áñ= =
Средняя арифметическая скорость мо
лекулы
0
88
.
kT
RT
v
mM
áñ= =
pp
Наиболее вероятная скорость молекулы
â
0
22
.
kT
RT
v
mM
==
Барометрическая формула
.
0e
Mgh
RT
pp
-
=
Средняя длина свободного пробега мо
лекул
2
1.
2
v
l
z
dn
áñ
áñ= =
áñp
Среднее число столкновений молекулы
за1с
ázñ = 2pd 2návñ.
Закон теплопроводности Фурье
d.
d
E
T
j
x
=-l
Теплопроводность (коэффициент)
l=1
3
cV rávñál ñ.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

529
Закон диффузии Фика
d.
d
m
jD
x
r
=-
Диффузия (коэффициент)
D=1
3
ávñál ñ.
Закон Ньютона для внутреннего трения
(вязкости)
d.
d
p
v
j
x
=-h
Динамическая вязкость
h = 1/3rávñálñ.
Средняя энергия молекулы
.
2
kT
áeñ =
Внутренняя энергия произвольной мас
сы газа
.
22
im
i
UR
TR
T
M
=n
=
Первое начало термодинамики
dQ=dU+dA.
Молярная теплоемкость газа при посто
янном объеме
.
2
V
i
CR
=
Молярная теплоемкость газа при посто
янном давлении
2.
2
p
i
CR
+
=
Работа газа при изменении его объема
dA= pdV.
Работа газа при изобарном расширении
21
21
() ()
.
m
ApV V
RTT
M
=-
=
-
Работа газа при изотермическом расши
рении
21
12
ln
ln.
Vp
mm
AQR
T
R
T
MVM p
==
=
Уравнения адиабатного процесса (урав
нение Пуассона)
pVg
= const, TV g-1
= const, T
g
p1-g
= const.
Работа газа при адиабатном расширении
11
1
12
2
()1 .
V
pV
V
m
ACT T
MV
g-1
éù
æö
êú
÷
ç
=-
=
-
÷
ç
êú
÷÷
ç
g-1 èø
ëû
Термический коэффициент полезного
действия для кругового процесса
12
1
.
QQ
Q
-
h=
Термический коэффициент полезного
действия цикла Карно
12
1
.
TT
T
-
h=
Уравнение Ван дер Ваальса для 1 моль
реального газа
m
2
m
().
a
pV
b
R
T
V
æö
÷
ç+-
=
÷
ç
÷
çèø
3. Электричество и электромагнетизм
Закон Кулона
12
2
1
.
4
QQ
F
r
0
1⁄21⁄2
=
pe
Напряженность электростатического поля
0
.
F
E
Q
=
r
r
Поток вектора напряженности электро
статического поля сквозь замкнутую поверх
ность S
dd
.
En
SS
ES ES
F=
=
òò
r
r
ÑÑ
Принцип суперпозиции
1
.
n
i
i
EE
=
=å
rr
Электрический момент диполя
p
r
= 1⁄2Q1⁄2l
r
.
Теорема Гаусса для электростатическо
го поля в вакууме
1
1
dd.
n
ni
i
SS
ES ES
Q
0=
==
e
å
òò
r
r
ÑÑ
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

530
Объемная, поверхностная и линейная
плотности заряда
;
;
ddd
.
ddd
QQQ
VSl
r=
s=
t=
Напряженность поля, создаваемого рав
номерно заряженной бесконечной плоско
стью,
.
2
E
0
s
=
e
Напряженность поля, создаваемого дву
мя бесконечными параллельными разно
именно заряженными плоскостями,
.
E
0
s
=
e
Напряженность поля, создаваемого рав
номерно заряженной сферической поверх
ностью,
();
2
1
0(
).
4
Q
Er
R
E
r
R
r
0
==
<
pe
…
Напряженность поля, создаваемого
объемно заряженным шаром,
(),
().
2
3
1
4
1
4
Q
Er
R
r
Q
Er
r
R
R
0
0
=
pe
¢¢
=
pe
…
„
Напряженность поля, создаваемого рав
номерно заряженным бесконечным цилин
дром,
(),
1
0(
).
2
Er
R
E
r
R
r
0
t
==
<
pe
…
Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля вдоль замкнуто
го контура L
0.
l
LL
Edl
Edl
==
òò
r
r
ÑÑ
Потенциал электростатического поля
00
.
A
U
QQ
¥
j==
Связь между потенциалом электроста
тического поля и его напряженностью
E
r
= -gradj, или E
r
= -Ñj.
Поляризованность
1.
n
i
i
p
P
V
=
=
år
r
Связь между векторами P
r
иE
r
P
r
=
e0E
r
.
Связь между диэлектрической проница
емостью среды e и диэлектрической воспри
имчивостью вещества
e=1+
.
Связь между векторами электрического
смещения и напряженностью электростати
ческого поля
D
r
= e0eE
r
.
Теорема Гаусса для электростатическо
го поля в диэлектрике
1
dd.
n
ni
i
SS
DSDSQ
=
==
å
òò
r
r
ÑÑ
Электрическая емкость уединенного
проводника
.
Q
C=
j
Электрическая емкость шара
C = 4pe0eR.
Электрическая емкость плоского кон
денсатора
0.
S
C
d
ee
=
Электрическая емкость цилиндрическо
го конденсатора
2
1
2
.
ln
l
C
r
r
0
pe
=
Электрическая емкость сферического
конденсатора
12
21
4.
rr
C
rr
0
=p
ee
-
Электрическая емкость параллельно со
единенных конденсаторов
1
.
n
i
i
CC
=
=
å
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

531
Электрическая емкость последователь
но соединенных конденсаторов
1
11
.
n
i
i
CC
=
=
å
Энергия заряженного уединенного про
водника
2
2
.
222
CQQ
W
C
jj
==
=
Энергия заряженного конденсатора
2
2
()
.
22
2
C
Q
Q
W
C
Dj
Dj
==
=
Объемная плотность энергии электро
статического поля
2
.
22
E
WE
D
w
V
0
ee
==
=
Сила тока
d.
d
Q
I
t
=
Плотность тока
.
I
j
S
=
Электродвижущая сила, действующая в
цепи,
ñò
;
0
d.
A
El
Q
==
ò
õõ
r
r
Ñ
Закон Ома для однородного участка
цепи
.
U
I
R
=
Закон Ома в дифференциальной форме
j
r
=gE
r
.
Мощность тока
2
2
d
.
d
AU
PU
I
I
R
tR
=== =
Закон Джоуля — Ленца
2
2
dddd
.
U
QI
UtIRt t
R
===
Закон Джоуля — Ленца в дифференци
альной форме
w=jE=gE2.
Закон Ома для неоднородного участка
цепи (обобщенный закон Ома)
12
.
I
R
12
j-j+
=
õ
Правила Кирхгофа
;0.
ki
i
k
kik
II
R
==
ååå
õ
Коэффициент вторичной электронной
эмиссии
2
1
.
n
n
d=
Магнитный момент рамки с током
p
r
m=ISn
r
.
Вращательный момент, действующий на
рамку с током в магнитном поле,
M
r
=[p
r
mB
r
].
Связь между индукцией и напряженно
стью магнитного поля
B
r
= m0mH
r
.
Закон Био — Савара — Лапласа для эле
мента проводника с током
0
3
[d,]
d.
4
Ilr
B
r
mm
=
p
r
r
r
Магнитная индукция поля прямого тока
02
.
4
I
B
R
mm
=
p
Магнитная индукция поля в центре кру
гового проводника с током
0
.
2
I
B
R
=mm
Закон Ампера
dF
r
= I[dl
r
,B
r
].
Магнитное поле свободно движущегося
заряда
.
0
3
[]
4
Qvr
B
r
mm
=
p
rr
r
Сила Лоренца
F
r
= Q[v
r
B
r
].
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

532
Холловская поперечная разность потен
циалов
1
.
IB
IB
R
end
d
Dj=
=
Закон полного тока для магнитного поля
в вакууме (теорема о циркуляции вектора B
r
)
1
dd.
n
lk
k
LL
Bl Bl
I
0
=
==
m
å
òò
r
r
ÑÑ
Магнитная индукция поля внутри соле
ноида (в вакууме), имеющего N витков,
.
NI
B
l
0
=m
Поток вектора магнитной индукции
(магнитный поток) сквозь произвольную
поверхность
dd
.
Bn
SS
BS BS
F=
=
òò
r
r
Теорема Гаусса для поля с магнитной
индукцией B
r
dd
0
.
n
SS
BS BS
==
òò
r
r
Работа по перемещению проводника с
током в магнитном поле
dA = I(dF2 - dF1).
Работа по перемещению замкнутого кон
тура с током в магнитном поле
dA = IdF¢.
Закон Фарадея
d.
d
i
t
F
=-
õ
ЭДС самоиндукции
d.
d
s
I
L
t
=-
õ
Индуктивность бесконечно длинного
соленоида, имеющего N витков,
2
.
NS
L
l
0
=mm
Ток при размыкании цепи
0e.
t
II
-
t
=
Ток при замыкании цепи

01e.
t
II
-
t
=-
Энергия магнитного поля, связанного с
контуром,
2
.
2
LI
W=
Объемная плотность энергии магнитно
го поля
2
.
22
H
WB
H
w
V
0
mm
==
=
Намагниченность
a
m
.
p
P
J
VV
==
å
r
r
r
Связь между векторами J
r
иH
r
J
r
=cH
r
.
Связь между магнитной проницае
мостью среды m и магнитной восприимчи
востью вещества c
m=1+c.
Закон полного тока для магнитного поля
в веществе (теорема о циркуляции вектора B
r
)
dd
()
.
l
LL
BlBlII
0
¢
==
m
+
òò
r
r
ÑÑ
Теорема о циркуляции вектора H
r
d.
L
HlI
=
òrr
Ñ
Плотность тока смещения
ñì
.
DE
P
j
tt
t
0
¶¶
¶
==
e+
¶¶
¶
rr
r
r
Полная система уравнений Максвелла:
в интегральной форме
;;
;;
ddd
d
dd
d
0
LS
SV
LS
S
B
El
S
DS
V
t
D
Hl
j
SBS
t
¶
=-
=
r
¶
æö
¶÷
ç
=+
÷
=
ç
÷
çèø
¶
òò òò
òòò
r
rrr
r
r
r
rr
r
rr
r
ÑÑ
Ñ
в дифференциальной форме
;;
;
rot
div
rot
div
0.
B
ED
t
D
Hj
B
t
¶
=-
=r
¶
¶
=+
=
¶
r
r
r
r
rr
r
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

533
4. Колебания волны
Уравнение гармонического колебания
s=Acos(w0t+j); 0
22.
T
p
w= =p
n
Дифференциальное уравнение свобод
ных гармонических колебаний величины s
2
2
d
0.
d
s
s
t
2
0
+w=
Период колебаний физического маятника
22
.
JL
T
mgl
g
=p
=p
Период колебаний математического ма
ятника
2.
l
T
g
=p
Формула Томсона
2.
TL
C
=p
Дифференциальное уравнение свобод
ных затухающих колебаний величины s
2
2
dd
20
.
dd
ss
s
tt
2
0
+d+w=
Логарифмический декремент затухания
()
ln
.
()
At
T
AtT
q=
=d
+
Дифференциальное уравнение вынуж
денных колебаний величины s
2
0
2
dd
2c
o
s
.
dd
ss
sxt
tt
2
0
+d+w=
w
Реактивное индуктивное сопротивление
.
L
RL
=w
Реактивное емкостное сопротивление
1.
C
R
C
=
w
Полное сопротивление цепи

2
2
1.
ZRL
C
=+
w
-
w
Длина волны
l=vT.
Уравнение плоской волны
(,)
cos(
).
xtAtkx
0
x=w
-
+
j
Уравнение сферической волны
0
(,)
cos(
).
A
rt
tkr
r
0
x=w
-
+
j
Фазовая скорость
.
v
k
w
=
Волновое уравнение
2
22
1
.
vt
¶x
Dx=
¶
Групповая скорость
d.
d
u
k
w
=
Уравнение стоячей волны
2
2cos cos .
x
At
p
x=
w
l
Эффект Доплера в акустике
ïð
èñò
0
()
.
vv
vv
±n
n=
m
Вектор Умова — Пойнтинга
S
r
=[E
r
H
r
].
Скорость распространения электромаг
нитных волн в среде
.
c
v=
em
5. Оптика. Квантовая природа излучения
Закон отражения света
i1¢ = i1.
Закон преломления света
1
21
2
sin
.
sin
i
n
i
=
Формула тонкой линзы

12
11 11
(1
)
.
N
RR ab
-+
=
+
Поток излучения
.
e
W
t
F=
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

534
Энергетическая светимость
.
e
e
R
S
F
=
Энергетическая сила света
.
e
e
IF
=
w
Энергетическая яркость
.
e
e
I
B
S
D
=
D
Показатель преломления среды
.
v
n
c
=
Оптическая длина пути
L=ns.
Оптическая разность хода
D=L2-L1.
Условие интерференционных максимумов
.
(0
,
1
,
2
,
)
mm
0
D=±l =
K
Условие интерференционных минимумов
(21)(
0,1,2, ).
2
mm
0
l
D=± +
=
K
Оптическая разность хода в тонких плен
ках в отраженном свете
22
2s
i
n.
dn
i0l
D=
-
±
2
Радиусы зон Френеля
.
m
ab
rm
ab
=l
+
Условие дифракционных максимумов от
одной щели
sin
(21)(
1,2,3, ).
2
am
m
l
j=± +
=
K
Условие дифракционных минимумов от
одной щели
sin
2
( 1,2,3, ).
2
am
m
l
j=±
=
K
Условие главных максимумов дифрак
ционной решетки
sin
( 0,1,2, ).
dm
m
j=±l =
K
Условие дополнительных минимумов
дифракционной решетки
sin
(0,,2,).
dm
m
N
N
N
l
¢¢
j=±
1
K
Формула Вульфа — Брэггов
2sin
( 1,2
,
3,)
.
dm
m
q=l
=
K
Разрешающая способность спектрально
го прибора
.
Rl
=
dl
Разрешающая способность дифракцион
ной решетки
R=mN.
Закон Бугера
I=I0e
-ax
.
Продольный эффект Доплера
0
1
.
1
v
c
v
c
-
n=n
+
Поперечный эффект Доплера
2
0
2
1.
v
c
n=n
-
Степень поляризации
max
min
max
min
.
II
P
II
-
=
+
Закон Малюса
I = I0 cos2a.
Закон Брюстера
tgiB = n21
.
Оптическая разность хода в эффекте
Керра
2
2
().
oe
lnnklE
D=
-
=
Угол вращения плоскости поляризации
в кристаллах
j=ad.
Угол вращения плоскости поляризации
в растворах
j = [a]Cd.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

535
Закон Кирхгофа для теплового излучения
,
,
,
.
T
T
T
R
r
A
n
n
n
=
Энергетическая светимость черного тела
,
0
d.
eT
Rr
¥
n
=n
ò
Закон Стефана — Больцмана
Re=sT
4
.
Закон смещения Вина
max
.
b
T
l=
Формула Рэлея — Джинса
,
2
2
.
T
rk
T
c
2
n
pn
=
Формула Планка
2
,
2
2
.
e1
T
h
kT
h
r
c
n
n
pn
n
=
-
Уравнение Эйнштейна для внешнего
фотоэффекта
2
max
.
2
mv
hA
n=+
Энергия фотона
.
hc
h
0
e=n
=
l
Импульс фотона
.
h
p
cc
0
g
e
n
==
Давление света при его нормальном па
дении на поверхность
(1)(1).
e
E
pw
c
=+
r
=
+
r
Изменение длины волны при эффекте
Комптона
2
00
2
(1cos)
sin
.
2
hh
mc
mc
J
Dl=
-
J=
6. Элементы квантовой физики атомов,
молекул и твердых тел
Обобщенная формула Бальмера

22
11
.
R
mn
n=
-
Первый постулат Бора
mevnrn = nh (n = 1,2,3, K).
Второй постулат Бора (правило частот)
hn=En-Em.
Энергия электрона в водородоподобном
атоме
24
22
2
0
1
(1
,
2
,
3
,
)
.
8
e
n
Zme
En
nh
=-
=
e
K
Длина волны де Бройля
.
h
p
l=
Соотношение неопределенностей
,
,
,
.
x
y
z
xph
yph
zph
Eth
ìDD
ï
ï
ïïDD
íïïïDD
ïî
DD
…
…
…
…
Вероятность нахождения частицы в эле
менте объемом dV
dW = 1⁄2Y1⁄22 dV.
Условие нормировки вероятностей
2
d1
.
V
¥
-¥
1⁄2Y1⁄2 =
ò
Общее уравнение Шредингера
2
(,,,)
.
2
Uxyzt
i
mt
¶Y
-D
Y
+
Y
=
¶
h
h
Уравнение Шредингера для стационар
ных состояний
2
2 ()0
.
m
EU
Dy+
-
y=
h
Волновая функция, описывающая состо
яние частицы в одномерной прямоугольной
«потенциальной яме» с бесконечно высоки
ми «стенками»,
2
() sin
( 1,2
,3
,)
.
n
n
xx
n
ll
p
y=
=K
Собственные значения энергии частицы
в «потенциальной яме» с бесконечно высо
кими «стенками»
222
2
(1
,
2
,
3
,
)
.
n
n
En
ml
p
D=
=
h
K
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

Коэффициент прозрачности прямо
угольного потенциального барьера

0
2
exp
.
mU El
DD -2(-)
=
h
Энергия квантового осциллятора
( )
1
0, 1,
.
2
n
En
n
0
=+w=
hK
Уравнение Шредингера для электрона в
атоме водорода
2
0
2
.
4
me
E
r
æö
÷
ç
Dy+
+
y=0
÷
ç
÷÷
ç
pe
èø
h
Нормированная волновая функция, от
вечающая 1s состоянию электрона в атоме
водорода,
3
1
()
e.
r
a
r
a
-
100
y=
p
Закон Мозли

2
22
11
().
RZ
mn
n=
-s
-
Распределение Бозе — Эйнштейна
1.
e1
i
i
E
kT
N
-m
áñ=
-
Распределение Ферми — Дирака
1.
e1
i
i
E
kT
N
-m
áñ=
+
Уровень Ферми в собственном полупро
воднике
.
2
F
E
ED
=
Удельная проводимость собственных
полупроводников
2
0e.
E
kT
-D
g=g
Правило Стокса для люминесцентного
излучения
hn=hnлюм+DE.
7. Элементы физики атомного ядра
и элементарных частиц
Радиус ядра
13
0
.
RRA
=
Энергия связи нуклонов в ядре
ñâ
ÿ
2
[() ]
.
pn
EZ
mAZ
m
m
c
=+
--
Дефект массы ядра
ÿ
[()
].
pn
mZ
mAZ
mm
D= +-
-
Магнетон Бора
B
.
2e
e
m
m=h
Ядерный магнетон
ÿ
.
2p
e
m
m=
h
Закон радиоактивного распада
N=N0e
-lt
.
Период полураспада
12
ln2
.
T=
l
Среднее время жизни радиоактивного
ядра
1.
t=
l
Активность нуклида
d
.
d
N
AN
t
==
l
Правило смещения для a распада
44
22
XY
+
H
e
.
AA
ZZ
-
-
®
Правило смещения для b- распада
0
11
XY
+
.
AA
ZZe
+-
®
Правило смещения для b+ распада
0
11
XY
+
.
AA
ZZe
-+
®
Символическая запись ядерной реакции
X+a ® Y+b,илиX(a,b)Y.
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

537
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
Аберрации (погрешности)
оптических систем 308
–
астигматизм 310
–
дисторсия 309
–
кома 309
–
сферическая 308
–
хроматическая 309
Автоколебания 268
Адиабата 107
Адроны 515, 521, 522
Активность нуклида 484
Акустоэлектроника 293
Акцепторы 458
Альфа распад 484
Ампер (единица силы тока) 5
Амплитуда вероятности 404
–
волны 283
–
колебаний гармонических
253
–
–
затухающих 265
Анализ гармонический 262
–
люминесцентный 463
–
минералогический 364
–
рентгеноструктурный 343
–
спектральный абсорбци
онный 353
Анализатор 359
Анастигматы 310
Анизотропия оптическая
искусственная 366
Анизотропность 132
Аннигиляция 500
Антикварк 523
Антинейтрино 487, 512
Антинейтрон 517
Антипротон 516
Античастицы 516
Антиядра 518
Апланаты 310
Апохроматы 310
Атом водорода в квантовой
механике 418
–
–
–
теории Бора 395
Ахроматы 310
База 473
Барионы 522
Барн 497
Барьер потенциальный 30,
412
Беккерель (единица актив
ности) 484
Бел 289
Бета распад 486 — 488, 499
Бетатрон 213
Биения 261
Бипризма Френеля 323
Бозе газ 443
Бозоны 425
Бридер 507
Бэр 490
Вакуум 96
Ватт (единица мощности)
24
Вебер (единица магнитного
потока) 217
Вектор магнитной индук
ции 203
–
магнитного момента рам
ки с током 203
–
напряженности магнитно
го поля 205
–
–
электростатического по
ля 148
–
перемещения 9
–
плотности потока энергии
283
–
–
–
–
электромагнитной
299
–
скорости мгновенной 9
–
–
средней 9
–
Умова 283
–
Умова — Пойнтинга 299
–
ускорения 10
–
электрического смещения
163
Векторы аксиальные (псев
довекторы) 12
Вероятность термодинами
ческая 111
Вес тела 48
Весы крутильные 47, 147
Вещества оптически актив
ные 367
–
лево и правовращающие
368
–
поверхностно активные
128
Взаимодействие гравитаци
онное 514
–
обменное 432
–
проводников с токами 207
–
сильное 514
–
слабое 514
–
электромагнитное 514
Волна бегущая 283
–
гармоническая 282
–
де Бройля 400
–
монохроматическая элек
тромагнитная 298
–
опорная 345
–
плоская 283
–
предметная 345
–
стоячая 287
–
сферическая 283
–
упругая поперечная 282
–
–
продольная 282
–
электромагнитная 294,
297
–
–, поперечность 297
Волны звуковые (акустиче
ские) 289
–
когерентные 286
–
упругие (или механиче
ские) 282
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

538
–
электромагнитные 282
Вольт (единица потенциа
ла) 157
Восприимчивость вещества
диэлектрическая 162
–
–
магнитная 239
Вращение плоскости поля
ризации магнитное 365
–
удельное 367
Время жизни радиоактивно
го ядра среднее 483
–
когерентности 319
–
реверберации 291
–
релаксации 227, 265
Высотомер (альтиметр) 91
Высота звука 290
Выход энергетический 462
Вязкость 62
–
динамическая 62
–
кинематическая 63
Газ идеальный 83
–
реальный 83, 117
–
ультраразреженный 96
Гамма дефектоскопия 490
Гамма излучение 488
Гармоники периодического
колебания 262
Генератор 224
–
оптический квантовый 436
–
электростатический 169
Генри (единица индуктивно
сти) 226
Герц (единица частоты) 254
Гидроаэромеханика 57
Гипероны 518
Гипотеза 5
–
квантовая Планка 374
Гироскоп 41
Голограмма 346
Голография 345
Градиент скаляра 26
–
скорости 62
Градус Цельсия 82
Граница красная фотоэф
фекта 380
Грей 490
Громкость звука 289
Группа пространственная 133
Давление 57
–
внутреннее 119
–
гидростатическое 58, 60,
131
–
динамическое 60
–
критическое 120
–
молекулярное 127
–
парциальное 84
–
полное 60
–
света 384
–
статическое 60
Двигатель вечный первого
рода 102
–
–
второго рода 113
–
тепловой 109, 113
Движение апериодическое
268
–
броуновское 92
–
заряженной частицы в
магнитном поле 210
–
вращательное 8
–
поступательное 8
–
неравномерное 10
–
–
плоское 10
–
–
равномерное 10
Двойственность корпуску
лярно волновая света 318
–
–
–
частиц вещества 398
Декремент затухания 266
–
–
логарифмический 266
Детандер 125
Дефект массы 478
Дефекты в кристаллах 137
Дефектоскопия люминес
центная 463
–
ультразвуковая 293
Деформация 42
–
относительная 43
–
пластическая (остаточ
ная) 43
–
сдвига 45
–
упругая 43
Децибел 289
Джоуль (единица работы,
энергии) 24, 102
Диаграмма направленности
излучения диполя 300
–
напряжений 44
–
состояния 143
Диамагнетики 237
Диамагнетизм 237
Диаметр молекулы эффек
тивный 91
Динамика 7
Диод вакуумный 192
–
полупроводниковый 472
–
плоскостной 472
–
точечный 472
Диоптрия 307
Диполь электрический 150,
299
Дислокации 138
Дисперсия аномальная и
нормальная 350
–
вещества 350
–
волн 284
–
света 349
–
электронная теория 350
Диссипация (рассеяние)
энергии 28
Дифракционная решетка од
номерная 339
–
–
трехмерная (простран
ственная) 341
Дифракция на простран
ственной решетке 342
–
рентгеновского излучения
342
–
света 332
–
Френеля на диске 336
–
–
на круглом отверстии
335
–
Фраунгофера (в парал
лельных лучах) 337
Диффузия 94
Дихроизм 363
Диэлектрик изотропный
174
Диэлектрики 147, 160
Длина волны 282
–
когерентности 319
–
приведенная физического
маятника 258
–
пути 9
–
пути оптическая 321
–
свободного пробега моле
кул 91
–
–
–
средняя 91
–
тел в разных системах от
счета 73
Длительность событий 72
Добротность колебательной
системы 266
Доза биологическая 490
–
излучения поглощенная
490
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

539
–
–
экспозиционная 490
Домены 166, 243
Доноры 458
Дросселирование адиабат
ное 124
Дроссель 124
Дырка 454
Единица физической вели
чины 5
–
–
–
основная 5
–
–
–
производная 5
Емкость электрическая 170
–
–
конденсатора 171
–
–
–
плоского 171
–
–
–
сферического 171
–
–
–
цилиндрического 171
–
–
уединенного проводни
ка 170
–
–
–
шара 170
Жесткость 26, 257
Жидкость, свойства 126
–
несжимаемая 57
–
перегретая 122
–
переохлажденная 141
–
сжимаемая 57
–
сплошная 57
Зависимость сопротивления
температурная 190
Закон Авогадро 84
–
Амонтона — Кулона 18
–
Ампера 207
–
Архимеда 58
–
Био — Савара — Лапласа
205
–
Бойля — Мариотта 83
–
–
Больцмана 100
–
Брюстера 360
–
Бугера 352
–
Вавилова 462
–
взаимосвязи массы и энер
гии покоя 78
–
Видемана — Франца 189
–
всемирного тяготения 47
–
Галилея обобщенный 48
–
Гейгера — Нэттола 485
–
Гука 44
–
Дальтона 84
–
движения центра масс 21
–
Джоуля — Ленца 182, 189
–
динамики основной для
неинерциальных систем
отсчета 55
–
для распределения моле
кул идеального газа по
скоростям 88
–
–
–
–
–
–
–
энергиям теп
лового движения 89
–
Дюлонга и Пти 139
–
инерции 15
–
Кеплера первый 47
–
–
–
второй 47
–
–
третий 47
–
Кирхгофа 371
–
Кулона 147
–
Малюса 358
–
Мозли 431
–
независимости световых
пучков 302
–
Ньютона (для внутренне
го трения) 95
–
первый 15
–
второй 15
–
третий 17
–
тяготения 47
–
Ома 179
–
–
для замкнутой цепи 183
–
–
–
участка цепи 179
–
–
обобщенный 183
–
отражения света 302
–
Паскаля 57
–
полного тока для магнит
ного поля в вакууме 214
–
–
–
–
–
в веществе 239
–
постоянства углов 132
–
преломления света 303
–
прямолинейного распрос
транения света 302
–
радиоактивного распада
483
–
релятивистской динамики
основной 76
–
смещения Вина 373
–
сохранения заряда 146
–
–
барионного числа 522
–
–
лептонного числа 520
–
–
изотопического спина
515
–
–
импульса 20
–
–
момента импульса 39
–
–
странности 519
–
–
четности 519
–
–
энергии 27
–
–
–
механической 28
–
Стефана — Больцмана 372
–
Столетова 379
–
трения скольжения 19
–
трех вторых 192
–
Фарадея 223
–
Фика 95
–
Фурье 94
Законы физические 5
–
Вольта 463
–
Гей Люссака 83
Замедление хода времени
релятивистское 73
Заряд атомного ядра 476
–
электрический 146
–
–
точечный 147
–
–
ядра атома 476
Заряды индуцированные 168
–
связанные 162
Захват электронный 500
Защита электростатическая
169
Зеркала Френеля 322
Значение тока действующее
(эффективное) 278
–
напряжение действующее
(эффективное) 278
–
энергии дискретное 410
–
–
собственное 408
Зона активная 504
–
диполя волновая 299
–
энергетическая 452
–
–
валентная 452
–
–
запрещенная 452
–
–
проводимости 452
–
–
разрешенная 452
Зоны Френеля 333 — 335
Излучатель массовый 295
Излучение Черенкова – Ва
вилова (эффект) 355
–
вынужденное (индуциро
ванное) 435
–
космическое вторичное
511
–
–
жесткое 511
–
–
мягкое 511
–
–
первичное 511
–
лазерное 436 — 439
–
радиоактивное 482
–
рентгеновское 429 — 431
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

540
–
спонтанное 435
–
тепловое (температурное)
369
–
–
равновесное 370
Изобара 84, 105
Изобары 477
Изображение стигматичес
кое 306
Изомультиплеты 515
Изопроцесс 105
–
изобарный 105
–
изотермический 106
–
изохорный 105
Изотерма 83, 106
–
критическая 120
Изотермы Ван дер Ваальса
120
Изотопы 477
Изохора 84, 105
Импульс материальной точ
ки 16
–
релятивистский 76
–
системы 20
–
фотона 384
Инверсия населенностей 436
Индуктивность взаимная
229
–
контура 226
Индукция взаимная 229
–
магнитная 203
–
электростатическая 169
Инжекция 473
Интенсивность звука 289
Интерференция волн 286
–
многолучевая 328
–
света 320
Интерферометр 329
–
лазерный 439
–
Майкельсона 329
Ионизатор 195
Ионизация атома 396
–
ударная 196
Испарение (парообразова
ние) 140
Испускание (излучение) са
мопроизвольное 435
Источник света тепловой
377
–
тока 178
Камера Вильсона 495
–
диффузионная 495
–
ионизационная импульс
ная 494
–
–
интегрирующая 494
–
искровая 496
–
пузырьковая 496
Кандела (единица силы све
та) 6, 311
Каоны (K мезоны) 514
Капилляр 131
Капиллярность 131
Катодолюминесценция 198,
461
Качество крыла 66
Квазиимпульс 446
Квант 374
–
энергии звуковой волны
446
Кварки 522
–
истинные 524
Кельвин (единица темпера
туры) 6
Килограмм 5
Кинематика 7
Когерентность 286, 318
–
временна¢ я 319
–
пространственная 319
Колебания 253
–
вынужденные механичес
кие 269
–
–
электромагнитные 269
–
гармонические 253
–
затухающие 264
–
электрического колеба
тельного контура свобод
ные затухающие 266
–
линейно поляризованные
263
–
пружинного маятника
свободные затухающие
266
–
эллиптически поляризо
ванные 263
–
свободные 253
–
циркулярно поляризован
ные 263
Количество вещества 85
–
движения 16
–
теплоты (теплота) 101
–
–
приведенное 109
Коллектор 473
Кольца Ньютона 326
Компаунд ядро 497
Комптоновское рассеяние
490
Конверсия внутренняя 489
Конденсатор 170
–
плоский 171
–
сферический 171
–
цилиндрический 171
Конденсация 140
Контур колебательный 258
Концентрация молекул 86
Коэффициент восстановле
ния 31
–
вторичной электронной
эмиссии 193
–
диффузии 95
–
затухания 265
–
мощности 278
–
поглощения 352
–
полезного действия для
кругового процесса 109
–
–
–
цикла Карно 115
–
прозрачности 414
–
Пуассона 43
–
размножения нейтронов
503
–
сопротивления 184, 266
–
трансформации 230
–
трения скольжения 18
–
упругости 26, 44, 257
Кривая дисперсии 350
–
инверсии 124
–
потенциальная 29
Кривые резонансные 271
–
фазового равновесия 143
Кристаллофосфоры 462
Кристаллы 133
–
атомные 134
–
дихроичные 363
–
двухосные 361
–
ионные 134
–
металлические 135
–
молекулярные 135
–
одноосные 361
–
–
отрицательные 362
–
–
положительные 362
Кристаллизация 140
Критерий Лоусона 509
–
Рэлея 343
Кюри (единица активности
нуклида) 484
Кулон (единица электриче
ского заряда) 147
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

541
Лазер 436
–
газовый 436
–
жидкостный 436
–
полупроводниковый 436
–
твердотельный 436
Лептоны 515, 520
Ливень электронно позит
ронно фотонный 511
Линза 305
–
конденсорная 313
–
магнитная 312
–
проекционная 313
–
рассеивающая 305, 307
–
собирающая 305, 307
–
тонкая 305
–
электронная 312
–
электростатическая 312
Линии напряженности 49
–
–
электростатического по
ля 151
–
магнитной индукции 204
–
электрического смещения
164
Линия тока 58
Ловушки неохлаждаемые 97
–
охлаждаемые 97
Луч необыкновенный 361
–
обыкновенный 361
Лучепреломление двойное
360
Лучи каналовые (положи
тельные) 198
–
катодные 198
–
параксиальные (приосе
вые) 306
Люкс (единица освещенно
сти) 311
Люмен (единица светового
потока) 311
Люминесценция 461
Люминофоры 461
Магнетон Бора 236
–
ядерный 479
Магнит постоянный 242
Магнитострикция 243, 292
Магнетик 236
Мазер 436
Максимум дифракционный
338
–
интерференционный 286
Манометр 60
–
радиометрический 98
Масса критическая 504
–
молярная 85
–
тела 15
–
фотона 384
–
эффективная 455
–
инертная 15
–
гравитационная 15
Масс спектрометр 477
Материал вязкий 44
–
хрупкий 44
Машина Линде 125
–
холодильная 109, 113
Маятник математический 258
–
пружинный 257
–
физический 257
МГД генератор 201
Мезоны 513, 514, 522, 523
Мениск 131
Метод вакуумного сфери
ческого конденсатора 381
–
вращающегося вектора
амплитуды (векторных
диаграмм) 255
–
зон Френеля 333
–
избирательного травле
ния 138
–
исследования статисти
ческий 81
–
–
термодинамический 81
–
порошковых фигур 244
–
Пуазейля 64
–
Стокса 63
–
Юнга 321
–
ядерного магнитного резо
нанса 479
Метр 5
Механика 7
–
квантовая 7, 404
–
классическая 7
–
релятивистская 7
Микроинтерферометр 329
Микроскоп поляризацион
ный 364
–
электронный 313
Минимум дифракционный
338
–
–
дополнительный 339
–
–, условия 340
–
интерференционный 287
Модель атома ядерная (пла
нетарная) 391
–
идеального газа 83
–
кварковая 523
–
ядра капельная 481
–
–
оболочечная 481
–
–
обобщенная 481
–
–
оптическая 481
Модуль Юнга 44
Молекулы неполярные 161
–
полярные 161
Моль 6
Момент диполя электриче
ский 151
–
импульса электрона 419
–
–
относительно непод
вижной оси 38
–
–
–
–
точки 38
–
–
собственный механиче
ский (спин) 236, 423
–
–
–
магнитный 236, 423
–
–
твердого тела 38
–
инерции системы (тела)
34
–
молекулы дипольный 161
–
орбитальный механиче
ский 235
–
–
магнитный 235
–
силы относительно непод
вижной оси 37
–
–
–
–
точки 37
Монокристалл 132
Мост Уитстона 184
–
–
реохордный 185
Мощность 24
–
дозы излучения 490
–
–
поглощенной 490
–
–
экспозиционной 490
–
тока удельная тепловая
182
Мультиплеты изотопиче
ские 515
Мюоны 512
Нагреватель 113
Намагниченность 238
Накачка 436
Направление тока 469
–
–
запорное 469
–
–
пропускное 469
–
–
прямое 471
Напряжение 43
–
задерживающее 379
–
нормальное 43
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

542
–
пробивное 172
–
пробоя 197
–
тангенциальное 43
–
электрическое 179
Напряженность поля тяго
тения (гравитационного)
49
–
–
магнитного 205
–
–
электростатического 148
Напыление катодное 198
Насос вакуумный 96
–
водоструйный 61
–
диффузионный 97
–
тепловой 115
Насыщение магнитное 241
Натяжение поверхностное
128
Начало термодинамики вто
рое 111
–
–
первое 102
–
–
третье 112
Невесомость 48
Нейтрино 486
–
мюонное 512
–
таонное 515
–
электронное 512
Нейтронография 343
Нейтроны 500
–
быстрые 501
–
высокоэнергетичные 501
–
деления 502
–
запаздывающие 503
–
очень холодные 501
–
мгновенные 503
–
медленные 501
–
резонансные 501
–
релятивистские 501
–
тепловые 501
–
ультрахолодные 501
–
холодные 501
Неравенство Клаузиуса 110
Несмачивание полное 129
Нуль кельвин 82
Носители тока 177
Нуклон 466
Ньютон (единица силы) 16
Обкладки конденсатора 171
Область слышимости 289
–
текучести (область пла
стических деформаций)
44
Обогащение флотационное
130
Оболочки электронные в
атоме 426
Образование электронно
позитронных пар 489
Объектив 313
Объем критический 120
–
молярный 85
–
удельный 82
–
фазовый (объем элемен
тарной ячейки) 442
Одновременность событий
71
Однородность времени 28
–
пространства 20
Ом (единица сопротивле
ния) 179
Оператор Гамильтона (на
бла оператор) 26
–
Лапласа 284
Оптика 302
–
волоконная 304
–
геометрическая 304
–
электронная 312
Опыт 5
–
Ламмерт 93
–
Лебедева 385
–
Майкельсона — Морли 69
–
Рикке 186
–
Штерна 92
Опыты Резерфорда 390
–
Франка и Герца 393
–
Штерна и Герлаха 423
Освещенность 311
–
энергетическая (облучен
ность) 311
Осциллятор гармонический
256
–
квантовый 415
Ось вращения 8
–
инерции главная 40
–
оптическая 305
–
свободная (свободного
вращения) 40
Отклонение статическое
271
Отношение гиромагнитное
орбитальных моментов
235
–
–
спиновых моментов 236
–
–
ядерное 479
Отношения пространствен
но временны¢ е 76
Отражение полное 304
Оценка средней длины сво
бодного пробега электро
нов в металлах 190
Очарование 523
Пакет волновой 285
Пар насыщенный 121, 140
–
пересыщенный 122
Парадокс часов (близнецов)
73
Парамагнетизм 237
Парамагнетики 237
Параметр вырождения 443
Параметры состояния систе
мы термодинамические 82
–
элементарной ячейки 134
Пары куперовские 449
Паскаль (единица давления)
57
Переход фазовый I рода 142
–
–
II рода 142
–
электронно дырочный
(p n переход) 469
Период вращения 13
–
колебаний 254
–
полураспада 483
Переход вынужденный (ин
дуцированный) 435
Петля гистерезиса 167
Пирометр оптический 376
Пирометрия оптическая 376
Пироэлектрики 167
Плавление 140
Плазма 200
–
высокотемпературная 200
–
газоразрядная 200
– , дебаевский радиус экра
нирования 200
–
изотермическая 200
–
ионизованная 200
–
неизотермическая 200
– , свойства 200
– , степень ионизации 200
Пластинка зонная 335
–
в полволны 365
–
–
четверть волны 365
Плечо диполя 151
Плоскость главная кристал
ла 361
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

543
–
поляризации 358
–
фокальная 307
Плотность вероятности 405
–
дислокаций 138
–
линейная 155
–
объемная 154
–
–
энергии электростати
ческого поля 174
–
–
магнитного поля 233
–
поверхностная 153
–
потока импульса 95
–
–
массы 95
–
теплового потока 94
–
тока 177
–
–
поляризации 248
–
–
смещения 248
–
–
–
в вакууме 248
–
энергетической светимос
ти (излучательности)
спектральная 370
–
–
–
черного тела 371
Поверхность волновая 283
–
разрыва 251
–
эквипотенциальная 50, 158
Поглощение света (абсорб
ция) 352
Подоболочки 426
Позитрон 498
Позитроний 523
Показатель адиабаты 107
–
преломления относитель
ный 303
–
–
абсолютный 303
Поле вихревое 215
–
магнитное 202
–
–
движущегося заряда 208
–
–
соленоида 215
–
–
тороида 216
–
–
кругового тока 206
–
–
прямого тока 206
–
потенциальное 25, 156
–
самосогласованное 451
–
силовое 148
–
тяготения (гравитацион
ное) 49
–
–
однородное 49, 149
–
–
центральное 49
–
электрическое 246
–
электромагнитное 251
–
электростатическое 148
–
–
потенциальное 155, 215
Поликристалл 132
Полимеры 141
Полосы интерференцион
ные равного наклона 325
–
–
равной толщины 325
–
поглощения света 353
Полупроводники 147
–
дырочные (p типа) 458
–
собственные 454
–
примесные 457
–
электронные (n типа) 458
Поляризатор 359
Поляризация диэлектрика
160
–
–
электронная (деформа
ционная) 161
–
–
ионная 162
–
–
ориентационная (ди
польная) 161
Поляризованность 162
–
остаточная 167
Поляриметрия (сахаримет
рия) 368
Поляроиды 364
Порог болевого ощущения
289
Порог слышимости 289
Порядок в расположении
частиц ближний 126
–
–
–
–
дальний 126
–
интерференционного мак
симума 287
–
–
минимума 287
Постоянная Авогадро 84, 93
–
аддитивная 110
–
Больцмана 85
–
гравитационная 47
–
магнитная 205, 208
–
молярная газовая 85
–
дифракционной решетки
339
–
Планка 374
–
радиоактивного распада
483
–
Ридберга 392
–
Стефана — Больцмана 372
–
Холла 214
–
электрическая 148
Постулат Бора второй (пра
вило частот) 393
–
–
первый (постулат стаци
онарных состояний) 393
Потенциал поля тяготения 50
–
–
электростатического 157
–
химический 443
Поток вектора напряженно
сти 149
–
–
магнитной индукции
(магнитный поток) 217
–
световой 311
Потокосцепление 218
Правила Кирхгофа 183
–
отбора 421
–
смещения для альфа рас
пада 484
–
–
–
бета распада 484
Правило правого винта 12
–
левой руки 207, 209
–
Ленца 223
–
сложения скоростей в
классической механике 68
–
Стокса 462
Предел пропорционально
сти 44
–
прочности 44
–
текучести 44
–
упругости 44
Прелесть 524
Преобразования Галилея 68
–
Лоренца 71
Преобразователь электрон
но оптический 313
Прецессия 237
Приближение адиабатичес
кое 451
Приемник излучения 311
–
–
селективный 311
Призма двоякопреломляю
щая 363
–
Николя (николь) 363
–
поляризационная 363
Примесь внедрения 138
–
замещения 138
Принцип автофазировки 213
–
возрастания энтропии 111
–
Гюйгенса 316, 332
–
Гюйгенса — Френеля 332
–
детального равновесия 435
–
инвариантности скорости
света (постулаты Эйнш
тейна) 69
–
независимости действия
сил 17
–
неразличимости тожде
ственных частиц 424
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

544
–
относительности механи
ческий (принцип относи
тельности Галилея) 68
–
–
Эйнштейна 251
–
Паули 425
–
причинности 408
–
соответствия 71
–
–
Бора 412
–
суперпозиции (наложе
ния) волн 285
–
–
полей магнитных 205
–
–
–
электромагнитных 205
–
–
–
электростатических
150
–
Ферма 305
–
эквивалентности гравита
ционных сил и сил инер
ции (Эйнштейна) 55
Природа света 315 — 318
Пробой 172
Проводимость контактного
слоя односторонняя 469
–
полупроводника примес
ная 457
–
–
–
дырочная (p типа) 458
–
–
–
электронная (n типа)
458
–
–
собственная 454
–
p n перехода односторон
няя (вентильная) 471
–
электрическая 180
–
–
удельная 180
Проводник уединенный 170
Проводники первого рода
147
–
второго рода 147
Проницаемость среды диэ
лектрическая 163
–
–
магнитная 205
Пространство катодное тем
ное 197
–
фазовое 441
–
фарадеево темное 197
Просветление оптики 327
Протон 146
Процесс волновой (волна)
282
–
адиабатный 106
–
изобарный 105
–
изохорный 105
–
изотермический 106
–
изоэнтропийный 110
–
круговой (цикл) 108
–
политропный 108
–
рекомбинации 195
–
термодинамический 83
–
–
необратимый 108
–
–
обратимый 108
–
электронно позитронно
фотонный (каскадный)
511
Процессы апериодические
268
–
периодические 253
–
равновесные 103
Псевдовекторы 12
Пси функция 405
Пучность стоячей волны 287
Пьезоэлектрики 167
Пьезоэффект обратный 167
–
прямой 167
Работа выхода электрона из
металла 191
–
силы 23
–
–
элементарная 23
Равновесие динамическое
140
–
неустойчивое 30
–
устойчивое 30
–
термодинамическое 83
Радиан 6
Радиоактивность 482
–
естественная 482
–
искусственная 482
Радиолюминесценция 461
Радиус боровский первый
395
–
когерентности (длина
пространственной коге
рентности) 319
–
молекулярного действия
126
Радиус вектор точки 8
Радиус ядра 477
Размеры активной зоны кри
тические 504
Разность потенциалов 157
–
–
контактная 463
–
–
–
внешняя 464
–
–
–
внутренняя 464
–
хода волн 286
–
–
оптическая 321
Разряд газовый 195
–
–
несамостоятельный 196
–
–
самостоятельный 196
–
–
–
дуговой 199
–
–
–
искровой 198
–
–
–
коронный 199
–
–
–
тлеющий 197
Распад радиоактивный 483
Распределение Бозе — Эйн
штейна 443
–
Гиббса 442
–
Ферми — Дирака 443
Рассеяние света в мутной
среде 341
–
–
молекулярное 342
–
частиц 498
Расстояние линзы фокусное
306
Расширение адиабатное 107
–
изобарное 105
–
изотермическое 106
Реактор ядерный 505
–
–
гетерогенный 506
–
–
гомогенный 506
–
–
на тепловых и быстрых
нейтронах 506
Реакторы размножители 506
Реакции термоядерные 508
–
ядерные 496
–
–, классификация 497, 498
–
–
экзотермические 497
–
–
эндотермические 497
Реакции деления 502
–
–
развивающаяся 504
–
–
самоподдерживающаяся
504
–
–
цепная 504
–
–
–
неуправляемая 504
–
–
–
управляемая 504
–
синтеза атомных ядер 507
Реверберация звука 290
Резонанс 271
–
механический 271
–
напряжений 276
–
токов 277
–
электрический 271
Резонатор оптический 437
Рекомбинация 457
Рентген (единица экспози
ционной дозы) 490
Рентгенолюминесценция 461
Рефрактометр 304
Решетка гексагональная 135
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

545
–
дифракционная 339
–
–
одномерная 339
–
–
двумерная 341
–
–
трехмерная (простран
ственная) 341
–
кристаллическая 132
–
пространственная (Бравэ)
133
Ряд Вольта 463
–
радиоактивных превраще
ний 484
Самоиндукция 226
Сверхпроводимость 181,
448
Сверхтекучесть 142
Свет естественный 357
–
поляризованный 357
–
плоскополяризованный
(линейно поляризован
ный) 357
–
циркулярно поляризован
ный 358
–
частично поляризован
ный 357
–
эллиптически поляризо
ванный 358
Светимость энергетическая
(излучательность) 310
–
–
интегральная 370
–
–
черного тела 372
Световоды (светопроводы)
304
Светофильтр 353
Свечение катодное первое
197
–
тлеющее 197
Свойство взаимозаменяемо
сти 258
Связь ионная 134, 431
–
ковалентная 134, 431
Сдвиг абсолютный 45
Сегнетоэлектрики 166
Секунда 5
Семейства радиоактивные
484
Серия Бальмера 392
–
Брегета 392
–
Лаймана 392
–
Пашена 392
–
Пфунда 392
–
Хэмфри 392
Сетки дислокаций 138
–
плоские 138
–
пространственные 138
Сжижение газа 125
Сила 15
–
внутреннего трения 62
–
выталкивающая 58
–
гравитационная (всемир
ного тяготения) 47
–
диссипативная 25
–
инерции 52
–
консервативная 25
–
–
кориолисова 54
–
–
коэрцитивная 167, 242
–
–
центробежная 53
–
кулоновская 147
–
линзы оптическая 307
–
–
отрицательная 307
–
–
положительная 307
–
Лоренца 209
–
механическая (пондеро
моторная) 174
–
нормальная 17
–
натяжения 18
–
поверхностного натяже
ния 128
–
подъемная 65
–
равнодействующая (ре
зультирующая) 16
–
реактивная 21
–
света энергетическая (сила
излучения) 310
–
тангенциальная 17
–
тока 177
–
трения 17
–
–
качения 19
–
тяжести 48
–
упругости 26
–
электродвижущая 178
–
–
электромагнитной ин
дукции 222
Силы Ван дер Ваальса 135
–
внешние 19
–
внутренние 19
–
гироскопические 42
–
межмолекулярного взаи
модействия 119
–
обменные 244
–
отталкивания 117
–
притяжения 117
–
сторонние 178
–
ядерные 480
Симметрия кристалличе
ской решетки 133
Синхротрон 213
Синхрофазотрон 213
Система водородоподобная
395
–
вырожденная 443
–
гелиоцентрическая 46
–
декартова 8
–
диссипативная 28
–
единиц 5
–
консервативная 28
–
кристаллографическая 134
–
линейная 265
–
механическая 19
–
–
замкнутая (изолирован
ная) 19
–
накачки 437
–
отсчета 8, 52
–
–
инерциальная 15
–
–
неинерциальная 52
–
птолемеева геоцентриче
ская 46
–
термодинамическая 82
–
элементов Периодическая
426
Скачок потенциала поверх
ностный 191
Скин эффект (поверхност
ный эффект) 226
Скорость волн групповая
285, 400
–
–
фазовая 284, 400
–
космическая первая (кру
говая) 51
–
–
вторая (параболическая)
51
–
–
третья 51
–
наиболее вероятная 89
–
обтекания 65
–
средняя квадратичная 86
–
средняя молекул 89
–
точки 9
–
–
мгновенная 9
–
–
средняя 9, 10
–
угловая 12
Сложение гармонических
колебаний взаимно пер
пендикулярных 262
–
–
–
одного направления
261
Слой контактный 465
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

546
–
запирающий 467
–
–
пропускной 469
Смачивание 129
Смерть Вселенной тепловая
112
Смещение красное 354
–
фиолетовое 354
–
электрическое 163
Соединение конденсаторов
172
Сокращение лоренцево 74
Соленоид 204, 215
Соотношения неопределен
ностей Гейзенберга 401
Сопротивление лобовое 65
–
полное 275
–
реактивное 274, 275
–
–
емкостное 274
–
–
индуктивное 274
–
электрическое критиче
ское 181
–
–
удельное 180
Состояние критическое 120
–
метастабильное 122
–
системы с инверсией насе
ленностей 436
–
–
энергетическое 395
–
электрона в атоме водоро
да 422
Сосуд Дьюара 97
Соударения молекул абсо
лютно упругие 86
Спектр акустический 290
–
–
линейчатый 290
–
–
сплошной 290
Спектр 421
–
атома водорода 391, 421
–
дискретный 349, 408
–
дифракционный 338
–
молекулярный 433
–
–
колебательный 433
–
–
колебательно враща
тельный 433
–
–
электронно колебатель
ный 433
–
–
электронный 433
–
–
–
поглощения 396
–
линейчатый 353
–
сплошной 353, 408
–
призматический 349
–
рентгеновский 429
–
–
характеристический 430
–
тормозной 429
–
энергетический 419
–
–
зонный 451
Спектрограф призменный
350
Спектроскопия интерферен
ционная 327
–
рентгеновская 343
Спин изотопический 515
–
электрона 423
–
ядра атома 479
Спиральность 517
Способность разрешающая
дифракционной решетки
345
–
–
объектива 344
–
–
спектрального прибора
345
–
спектральная поглоща
тельная 370
Спутники стоксовы 434
–
антистоксовы 434
Среда активная 436
–
диспергирующая 284
–
сплошная 281
Статика 7
Статистика квантовая 441
–
–
Бозе — Эйнштейна 425
–
–
Ферми — Дирака 425
Степень ионизации плазмы
200
–
поляризации 358
–
свободы колебательного
движения 100
Стерадиан 6
Столб ионизованного газа
197
Стопа 360
Странность 519
Стримеры 198
Сублимация (возгонка) 140
Сфера молекулярного дей
ствия 126
Сцинтилляции 493
Счетчик газоразрядный 494
–
–
Гейгера — Мюллера 494
–
–
пропорциональный 494
–
полупроводниковый 495
–
сцинтилляционный 493
–
черенковский 493
Тело абсолютно твердое 8
–
аморфное 141
–
неупругое 31
–
отсчета 8
–
серое 371
– упругое 31
–
черное 371
Тембр звука 290
Температура 82
–
вырождения 444
–
Дебая характеристическая
446
–
инверсии 124
–
критическая 120
–
радиационная 376
–
термодинамическая 180
–
цветовая 376
–
яркостная 376
Теорема Гаусса 152, 163, 217
–
–
для магнитного поля 217
–
–
–
электростатического
поля в вакууме 153
–
–
–
–
–
–
диэлектрика 164
–
Карно 114
–
Нернста — Планка 112
–
о циркуляции вектора
магнитной индукции 214
–
–
–
–
напряженности маг
нитного поля 240
–
–
–
–
–
электростатиче
ского поля 156
–
Штейнера 36
Теория близкодействия 150
–
Бора 396
–
дальнодействия 150
–
жидкости 126
–
Максвелла электромаг
нитная 246
–
относительности общая 76
–
–
специальная (релятиви
стская) 7, 69
–
проводимости 186
–
релятивистская 69
–
света 315
–
–
волновая 315
–
–
корпускулярная 315
–
–
электромагнитная 317
–
твердых тел зонная 451
–
теплоемкости квантовая
445
–
электропроводности ме
таллов квантовая 447
Теплоемкость 103
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

547
–
металлов 190
–
молярная 103
–
удельная 103
Теплопроводность 94
Теплота плавления удель
ная 140
–
фазового перехода 142
Термобатарея (термостол
бики) 466
Термодинамика 82
Термистор 181
Термометр сопротивления
181
Термостат 113
Термоэлементы 466
Тесла (единица магнитной
индукции) 208
Течение 58
–
ламинарное (слоистое) 63
–
турбулентное (вихревое)
63
–
установившееся (стацио
нарное) 58
Ток индукционный 221
–
квазистационарный 273
–
конвекционный 177
–
насыщения 192
–
переменный 273
–
постоянный 177
–
проводимости 177
–
смещения 247
–
термоэлектрический 465
–
электрический 177
Токи вихревые (Фуко) 225
Тороид 216
Точка критическая 120
–
Кюри 166, 243
–
материальная 8
–
тройная 82, 143
Точки реперные 82
Траектория 9
Трансформатор 230
–
автотрансформатор 231
–
повышающий 231
–
понижающий 231
Трение граничное 18
–
гидродинамическое 18
–
верчения 18
–
внешнее 18
–
внутреннее 18, 94
–
качения 18
–
покоя 18
–
скольжения 18
Триболюминесценция 461
Триод полупроводниковый
(транзистор) 473
–
–
плоскостной 473
–
–
точечный 473
Турбодетандер 125
Трубка Пито — Прандтля 60
–
тока 58
Увеличение линзы линейное
308
Угол атаки 66
–
Брюстера 360
–
краевой 129
–
предельный 303
–
скольжения 342
Удар (соударение) 30
–
абсолютно неупругий 32
–
–
упругий 31
–
центральный 31
Узел стоячей волны 287
–
электрической цепи 183
Узлы кристаллической ре
шетки 132
Ультразвук 292
Умножитель фотоэлектрон
ный 383
Упаковка шаров 136
–
двухслойная 137
–
плотная 136
–
трехслойная 137
Уравнение адиабаты 107
–
Бернулли 60
–
Ван дер Ваальса 119
–
волновое 284, 406
–
волны бегущей 283
–
–
стоячей 287
–
движения материальной
точки 16
–
–
тела переменной массы 21
–
изобары 105
–
изотермы 106
–
изохоры 105
–
Клапейрона 85
–
Клапейрона — Менделее
ва 85
–
Клапейрона — Клаузиуса
143
–
колебаний гармонических
254
–
–
вынужденных 269
–
–
свободных затухающих
265
–
Майера 104
–
неразрывности 59
–
основное молекулярно
кинетической теории иде
альных газов 87
–
Пуассона 107
–
состояния 84
–
–
идеального газа 85
–
Шредингера 406
–
Эйнштейна для внешнего
фотоэффекта 381
Уравнения движения точки
кинематические 8
–
Максвелла для электро
магнитного поля 250
Уровень громкости 289
–
интенсивности звука 289
–
энергетический основной
396
–
–
возбужденный 396
Уровни энергетические ак
цепторные 458
–
–
донорные 458
–
–
примесные 457
–
энергии 410
Ускорение 10
–
мгновенное 10
– , нормальная составляю
щая 11
–
полное 11
–
среднее 10
–, тангенциальная составля
ющая 11
–
угловое 13
Ускорители заряженных ча
стиц 211
–
–
–
индукционные 212
–
–
–
импульсные 211
–
–
–
линейные 212
–
–
–
–
резонансные 212
–
–
–
непрерывные 211
–
–
–
циклические 212
Условие интерференцион
ного максимума 321
–
–
минимума 321
–
нормировки вероятностей
405
Установка Штерна 92
Участок цепи неоднородный
182
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

548
Фаза (в термодинамике) 141
–
волны плоской 283
–
–
–
начальная 283
–
колебаний 254
–
–
начальная 254
Фазотрон 213
Фарад (единица электриче
ской емкости) 148, 170
Ферми газ 443
Фермионы 425
Ферриты 245
Ферромагнетики 241
Фигуры Лиссажу 263
Физика молекулярная 81
–
квантовая 375
Флуоресценция 461
Фокус линзы 307
Фон 289
Фононы 446
Формула барометрическая
90
–
Бальмера обобщенная 392
–
Вульфа — Брэггов 343
–
де Бройля 398
–
Лапласа 130
–
Лоренца 210
–
Планка 374
–
Пуазейля 64
–
Ричардсона — Дэшмана
193
–
Рэлея — Джинса 373
–
Томсона 260
–
Торричелли 62
–
Френеля 360
–
Циолковского 22
Фосфоресценция 461
Фотолюминесценция 461
Фотометрия 310
Фотон 380, 384, 515, 520
Фотопроводимость 379
–
полупроводников 459
–
примесная 460
–
собственная 460
Фотоэлемент 383
–
вакуумный 383
–
вентильный 384
–
полупроводниковый 383
Фотоэмульсии ядерные 496
Фотоэффект 378
–
безынерционность 380
–
вентильный 379
–
внешний 378
–
внутренний 379
–
многофотонный 381
–
ядерный 490
Фронт волновой 282
Функция волновая 403
–
–
антисимметричная 425
–
–
симметричная 425
–
Кирхгофа 371
––
распределения Максвел
ла 88
–
–
Больцмана 91
–
–
молекул по скоростям
88
–
–
–
по энергиям теплово
го движения 89
Характеристика вольт ам
перная 192, 379
–
–
фотоэффекта 379
Хемилюминесценция 461
Холодильник 113
Цвет 523
Центр захвата 462
–
качаний физического ма
ятника 258
–
кристаллизации 140
–
линзы оптический 305
–
масс (инерции) системы
20
Цепь переменного тока 275
Цикл обратный 109
–
прямой 109
–
Карно обратный 115
–
–
прямой 114
–
термоядерной реакции
508
–
–
–
протонно протонный
508
–
–
–
углеродно азотный 508
Циклотрон 212
Циркуляция вектора маг
нитной индукции 214
–
–
напряженности электро
статического поля 155
–
–
–
поля сторонних сил 179
Цуг волновой 319
Чармоний 523
Частицы истинно нейтраль
ные 517
–
тождественные 424
–
элементарные, классифи
кация 520
Частота вращения 13
–
колебаний 254
–
контура собственная 260
–
резонансная 271, 276
–
собственная 265
Четность 519
Числа заполнения 442
Число барионное 522
–
волновое 284
–
зарядовое ядра 476
–
квантовое 410
–
–
главное 396, 419
–
–
магнитное 419
–
–
орбитальное 419
–
–
спиновое 423
–
–
–
магнитное 423
–
–
спиновое ядерное 479
–
координационное 136
––
лептонное 520
–
Лошмидта 86
–
Рейнольдса 63
–
столкновений среднее 92
–
степеней свободы молекул
100
–
–
–
точки 9
Ширина интерференцион
ной полосы 323
–
энергетического уровня
естественная 491
Шкала температурная 82
–
–
международная практи
ческая 82
–
–
термодинамическая 82,
115
Экситоны 461
Экстратоки самоиндукции
227
Электреты 167
Электризация тел 146
Электродинамика 177
Электродвигатель 225
Электролюминесценция 461
Электрон 146, 520
Электрон конверсии 489
Электрон вольт 191
Электронография 343
Эмиссия автоэлектронная
194
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

–
вторичная электронная
193
–
термоэлектронная 192
–
фотоэлектронная 193
–
электронная 192
Эмиттер 473
Энергия 23
–
активации 455
–
внутренняя 99
–
заряженного конденсато
ра 174
–
–
уединенного проводни
ка 173
–
ионизации 195
–
кинетическая 24
–
–
гармонических колеба
ний 256
–
механическая 23
–
нулевых колебаний 416
–
поверхностная 127
–
покоя 78
–
полная гармонических ко
лебаний 256
–
–
механическая 27
–
поля магнитного 231
–
–
электростатического 174
–
потенциальная 25
–
–
гармонических колеба
ний 256
–
–
межмолекулярного вза
имодействия 117
–
–
упругодеформирован
ного тела 26
–
связи системы 78
–
–
удельная 478
–
–
ядра 477
–
–
–
удельная 478
–
системы неподвижных то
чечных зарядов 173
–
Ферми 444
–
электромагнитных волн
298
Энтальпия 123
Энтропия 110
Эффект гироскопический
42
–
Джозефсона 449
–
–
нестационарный 449
–
–
стационарный 449
–
Джоуля — Томсона 123
–
диамагнитный 237
–
Доплера в акустике 291,
354
–
–
для электромагнитных
волн 354
–
–
поперечный 355
–
–
продольный 354
–
Зеемана 420
–
Керра 366
–
Комптона 385
–
Мейсснера 448
–
Мёссбауэра 490
–
парамагнитный 237
–
радиометрический 98
–
релятивистский 69
–
туннельный 414
–
Фарадея 368
–
Холла 213
–
Штарка 420
Явление Зеебека 465
–
Пельтье 466
–
Томсона 467
–
электромагнитной индук
ции 221
Явление переноса 94
–
гистерезиса диэлектриче
ского 166
–
–
магнитного 242
Ядро атома дочернее 483
–
–
материнское 483
Ядра магические 478
–
–
дважды 478
Яма потенциальная 30, 410
Яркость энергетическая 311
Ячейка Керра 366
–
элементарная 134
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

550
Предисловие .......................... 3
Введение .............................. 4
Предмет физики и связь с другими
науками ............................. 4
Единицы физических величин . . . . . . . 5
Часть 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Глава 1.Элементы кинематики . . . . . . 7
§ 1. Модели в механике. Система
отсчета. Траектория, длина пути,
векторперемещения ............. 7
§2.Скорость ........................ 9
§ 3. Ускорение и его составляющие . . 10
§ 4. Угловая скорость и угловое
ускорение ...................... 12
Контрольныевопросы .............. 13
Задачи ............................. 14
Глава 2.Динамика материальной
точки и поступательного движения
твердоготела ........................14
§ 5. Первый закон Ньютона. Масса.
Сила ........................... 14
§6.ВторойзаконНьютона.......... 15
§7.ТретийзаконНьютона.......... 17
§8.Силытрения ................... 17
§ 9. Закон сохранения импульса.
Центрмасс ..................... 19
§ 10. Уравнение движения тела
переменноймассы ............. 21
Контрольныевопросы .............. 22
Задачи ............................. 22
Глава3.Работаиэнергия........... 23
§ 11. Энергия, работа, мощность . . . . 23
§ 12. Кинетическая и потенциальная
энергии ....................... 24
§ 13. Закон сохранения механической
энергии ....................... 27
§ 14. Графическое представление
энергии .......................29
§ 15. Удар абсолютно упругих
инеупругихтел ............... 30
Контрольныевопросы .............. 33
Задачи ............................. 34
Глава 4.Механика твердого тела . . . 34
§16.Моментинерции .............. 34
§ 17. Кинетическая энергия
вращения ..................... 36
§ 18. Момент силы. Уравнение
динамики вращательного
движениятвердоготела ....... 37
§ 19. Момент импульса и закон
егосохранения ................ 38
§20.Свободныеоси.Гироскоп . ..... 40
§ 21. Деформации твердого тела . . . . . 42
Контрольныевопросы .............. 45
Задачи .............................45
Глава 5.Тяготение. Элементы
теорииполя ..........................46
§ 22. Законы Кеплера.
Закон всемирного тяготения . . . 46
§ 23. Сила тяжести и вес.
Невесомость .................. 48
§ 24. Поле тяготения
иегонапряженность........... 49
§ 25. Работа в поле тяготения.
Потенциал поля тяготения . . . . . 49
§26.Космическиескорости ......... 51
§ 27. Неинерциальные системы
отсчета.Силыинерции ........ 52
Контрольныевопросы .............. 55
Задачи .............................56
Глава 6.Элементы механики
жидкостей ...........................57
§28.Давление жидкости игаза . .... 57
§ 29. Уравнение неразрывности . . . . . 58
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

551
§ 30. Уравнение Бернулли
иследствияизнего ............ 59
§ 31. Вязкость (внутреннее трение).
Ламинарный и турбулентный
режимы течения жидкостей . . . . 62
§ 32. Методы определения
вязкости ...................... 63
§ 33. Движение тел в жидкостях
игазах ........................ 64
Контрольныевопросы .............. 66
Задачи ............................. 66
Глава 7.Элементы специальной
(частной) теории относительности . . . 67
§ 34. Преобразования Галилея.
Механический принцип
относительности .............. 67
§ 35. Постулаты специальной
(частной) теории
относительности .............. 68
§ 36. Преобразования Лоренца . . . . . . 70
§ 37. Следствия из преобразований
Лоренца....................... 71
§ 38. Интервал между событиями . . . 75
§ 39. Основной закон
релятивистской динамики
материальнойточки ........... 76
§ 40. Энергия в релятивистской
механике ...................... 77
Контрольныевопросы .............. 79
Задачи ............................. 79
Часть 2
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ
ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ
Глава 8. Молекулярно кинетическая
теорияидеальныхгазов .............. 81
§ 41. Статистический
и термодинамический методы.
Опытные законы идеального
газа ........................... 81
§ 42. Уравнение
Клапейрона — Менделеева . . . . . 84
§ 43. Основное уравнение
молекулярно кинетической
теорииидеальныхгазов........ 86
§ 44. Закон Максвелла
о распределении молекул
идеального газа
по скоростям и энергиям
тепловогодвижения ........... 87
§ 45. Барометрическая формула.
Распределение Больцмана . . . . . 90
§ 46. Среднее число столкновений
и средняя длина свободного
пробегамолекул............... 91
§ 47. Опытное обоснование
молекулярно кинетической
теории ........................92
§ 48. Явления переноса
в термодинамически
неравновесных системах . . . . . . . 94
§ 49. Вакуум и методы его получения.
Свойства ультраразреженных
газов .......................... 96
Контрольныевопросы .............. 98
Задачи ............................. 99
Глава 9.Основы термодинамики . . . . 99
§ 50. Число степеней свободы
молекулы. Закон равномерного
распределения энергии
по степеням свободы молекул . . 99
§ 51. Первое начало
термодинамики...............101
§ 52. Работа газа при изменении
егообъема....................102
§53.Теплоемкость ................103
§ 54. Применение первого начала
термодинамики
кизопроцессам ...............105
§ 55. Адиабатный процесс.
Политропныйпроцесс ........106
§ 56. Обратимые и необратимые
процессы. Круговой процесс
(цикл) .......................108
§ 57. Энтропия, ее статистическое
толкование и связь
с термодинамической
вероятностью ................109
§ 58. Второе начало
термодинамики...............111
§ 59. Тепловые двигатели
и холодильные машины.
Цикл Карно и его КПД
дляидеальногогаза...........113
Контрольныевопросы .............115
Задачи ............................116
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

552
Глава 10. Реальные газы, жидкости
итвердыетела ......................117
§ 60. Силы и потенциальная
энергия межмолекулярного
взаимодействия ..............117
§ 61. Уравнение Ван дер Ваальса . . 119
§ 62. Изотермы Ван дер Ваальса
ииханализ...................120
§ 63. Внутренняя энергия реального
газа ..........................122
§ 64. Эффект Джоуля — Томсона . . . 123
§65.Сжижениегазов ..............125
§ 66. Свойства жидкостей.
Поверхностное натяжение . . . . 126
§67.Смачивание ..................128
§ 68. Давление под
искривленной поверхностью
жидкости.....................130
§69.Капиллярныеявления ........131
§ 70. Твердые тела.
Моно иполикристаллы ...... 132
§ 71. Типы кристаллических
твердыхтел ..................133
§72.Дефектывкристаллах ........137
§ 73. Теплоемкость твердых тел . . . . 138
§ 74. Испарение, сублимация,
плавление и кристаллизация.
Аморфныетела...............139
§ 75. Фазовые переходы
IиIIрода ....................141
§ 76. Диаграмма состояния.
Тройнаяточка................142
Контрольныевопросы .............144
Задачи ............................145
Часть 3
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Глава11.Электростатика.......... 146
§ 77. Закон сохранения
электрического заряда . . . . . . . . 146
§78.ЗаконКулона ................147
§ 79. Электростатическое поле.
Напряженность
электростатического поля . . . . 148
§ 80. Принцип суперпозиции
электростатических полей.
Поледиполя .................150
§ 81. Теорема Гаусса
для электростатического
поляввакууме ...............152
§ 82. Применение теоремы Гаусса
к расчету некоторых
электростатических полей
ввакууме ....................153
§ 83. Циркуляция вектора
напряженности
электростатического поля . . . . 155
§ 84. Потенциал электростатического
поля .........................156
§ 85. Напряженность как градиент
потенциала. Эквипотенциальные
поверхности..................158
§ 86. Вычисление разности
потенциалов по напряженности
поля .........................159
§ 87. Типы диэлектриков.
Поляризация диэлектриков . . . 160
§ 88. Поляризованность.
Напряженность поля
вдиэлектрике ................162
§ 89. Электрическое смещение.
Теорема Гаусса
для электростатического
полявдиэлектрике ...........163
§ 90. Условия на границе раздела
двух диэлектрических сред . . . 164
§91.Сегнетоэлектрики ............166
§ 92. Проводники
в электростатическом поле . . . . 167
§ 93. Электроемкость уединенного
проводника ..................170
§94.Конденсаторы ................170
§ 95. Энергия системы зарядов,
уединенного проводника
и конденсатора. Энергия
электростатического поля . . . . 173
Контрольныевопросы .............175
Задачи ............................176
Глава 12. Постоянный электрический
ток ..................................177
§ 96. Электрический ток, сила
иплотностьтока .............177
§ 97. Сторонние силы.
Электродвижущая сила
инапряжение ................178
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

553
§ 98. Закон Ома. Сопротивление
проводников .................179
§ 99. Работа и мощность тока. Закон
Джоуля—Ленца..............181
§ 100. Закон Ома для неоднородного
участкацепи ................182
§ 101. Правила Кирхгофа
для разветвленных цепей . . . . 183
Контрольныевопросы .............185
Задачи ............................186
Глава 13. Электрические токи
вметаллах,вакуумеигазах .........186
§ 102. Элементарная классическая
теория электропроводности
металлов....................186
§ 103. Вывод основных законов
электрического тока
в классической теории
проводимости металлов . . . . . 188
§ 104. Работа выхода электронов
изметалла ..................191
§ 105. Эмиссионные явления
иихприменение ............191
§ 106. Ионизация газов.
Несамостоятельный
газовыйразряд..............194
§ 107. Самостоятельный газовый
разрядиеготипы ...........196
§108.Плазмаиеесвойства ........200
Контрольныевопросы .............201
Задачи ............................202
Глава14.Магнитноеполе .........202
§ 109. Магнитное поле и его
характеристики .............202
§ 110. Закон Био — Савара — Лапласа
и его применение к расчету
магнитногополя ............205
§ 111. Закон Ампера.
Взаимодействие
параллельныхтоков.........207
§ 112. Магнитная постоянная.
Единицы магнитной
индукции и напряженности
магнитногополя ............208
§ 113. Магнитное поле движущегося
заряда ......................208
§ 114. Действие магнитного поля
надвижущийсязаряд .......209
§ 115. Движение заряженных
частиц в магнитном поле . . . . 210
§ 116. Ускорители заряженных
частиц ......................211
§117.ЭффектХолла ..............213
§ 118. Циркуляция вектора B
r
магнитного поля в вакууме . . . 214
§ 119. Магнитные поля соленоида
итороида ...................215
§ 120. Поток вектора магнитной
индукции. Теорема Гаусса
для поля B
r
..................217
§ 121. Работа по перемещению
проводника и контура
стокомвмагнитномполе....218
Контрольныевопросы .............219
Задачи ............................220
Глава 15. Электромагнитная
индукция............................221
§ 122. Явление электромагнитной
индукции
(опытыФарадея) ...........221
§ 123. Закон Фарадея и его вывод
из закона сохранения
энергии .....................222
§ 124. Вращение рамки
вмагнитномполе ...........224
§ 125. Вихревые токи (токи Фуко) . . 225
§ 126. Индуктивность контура.
Самоиндукция ..............226
§ 127. Токи при размыкании
изамыканиицепи ...........227
§128.Взаимнаяиндукция .........229
§129.Трансформаторы............230
§ 130. Энергия магнитного поля . . . 231
Контрольныевопросы .............233
Задачи ............................234
Глава 16. Магнитные свойства
вещества ............................234
§ 131. Магнитные моменты
электроновиатомов.........234
§132.Диа ипарамагнетизм .......236
§ 133. Намагниченность. Магнитное
полеввеществе .............238
§ 134. Условия на границе раздела
двухмагнетиков ............240
§ 135. Ферромагнетики
иихсвойства................241
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

554
§ 136. Природа ферромагнетизма . . 243
Контрольныевопросы .............245
Задачи ............................245
Глава 17. Основы теории Максвелла
дляэлектромагнитногополя.........246
§ 137. Вихревое электрическое
поле ........................246
§138.Токсмещения...............247
§ 139. Уравнения Максвелла
для электромагнитного
поля ........................249
Контрольныевопросы .............252
Часть 4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Глава 18. Механические
и электромагнитные колебания . . . . . . 253
§ 140. Гармонические колебания
ииххарактеристики ........253
§ 141. Механические гармонические
колебания ..................255
§ 142. Гармонический осциллятор.
Пружинный, физический
и математический маятники . 256
§ 143. Свободные гармонические
колебания в колебательном
контуре .....................258
§ 144. Сложение гармонических
колебаний одного направления
и одинаковой частоты.
Биения .....................261
§ 145. Сложение взаимно
перпендикулярных
колебаний ..................262
§ 146. Дифференциальное
уравнение свободных
затухающих колебаний
(механических
и электромагнитных)
и его решение.
Автоколебания..............264
§ 147. Дифференциальное
уравнение вынужденных
колебаний (механических
и электромагнитных)
иегорешение ...............268
§ 148. Амплитуда и фаза
вынужденных колебаний
(механических
и электромагнитных).
Резонанс....................271
§149.Переменныйток ............273
§150.Резонанснапряжений .......276
§151.Резонанстоков..............277
§ 152. Мощность, выделяемая
в цепи переменного тока . . . . . 278
Контрольныевопросы .............279
Задачи ............................280
Глава19.Упругиеволны...........281
§ 153. Волновые процессы.
Продольные и поперечные
волны.......................281
§ 154. Уравнение бегущей волны.
Фазовая скорость. Волновое
уравнение...................283
§ 155. Принцип суперпозиции.
Групповаяскорость .........285
§156.Интерференцияволн........286
§157.Стоячиеволны..............287
§158.Звуковыеволны ............289
§ 159. Эффект Доплера
вакустике ..................291
§ 160. Ультразвук
иегоприменение............292
Контрольныевопросы .............293
Задачи ............................294
Глава 20. Электромагнитные
волны ...............................294
§ 161. Экспериментальное получение
электромагнитных волн . . . . . 294
§ 162. Дифференциальное уравнение
электромагнитной волны . . . . 297
§ 163. Энергия и импульс
электромагнитной волны . . . . 298
§ 164. Излучение диполя. Применение
электромагнитных волн . . . . . 299
Контрольныевопросы .............301
Задачи ............................301
Часть 5
ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА
ИЗЛУЧЕНИЯ
Глава 21. Элементы геометрической
иэлектроннойоптики ...............302
§ 165. Основные законы оптики.
Полноеотражение ..........302
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

555
§ 166. Тонкие линзы.
Изображения предметов
спомощьюлинз .............304
§ 167. Аберрации (погрешности)
оптическихсистем ..........308
§ 168. Основные фотометрические
величиныиихединицы .....310
§ 169. Элементы электронной
оптики......................311
Контрольныевопросы .............314
Задачи ............................314
Глава 22. Интерференция света . . . 315
§ 170. Развитие представлений
оприродесвета .............315
§ 171. Когерентность
и монохроматичность
световыхволн...............318
§172. Интерференциясвета ....... 320
§ 173. Методы наблюдения
интерференциисвета........321
§ 174. Интерференция света
втонкихпленках............324
§ 175. Применение интерференции
света........................327
Контрольныевопросы .............330
Задачи ............................331
Глава23.Дифракциясвета ........ 331
§ 176. Принцип
Гюйгенса—Френеля ........331
§ 177. Метод зон Френеля.
Прямолинейное
распространение света . . . . . . 333
§ 178. Дифракция Френеля
на круглом отверстии
идиске......................335
§ 179. Дифракция Фраунгофера
наоднойщели ..............337
§ 180. Дифракция Фраунгофера
на дифракционной
решетке.....................339
§ 181. Пространственная решетка.
Рассеяниесвета .............341
§ 182. Дифракция
на пространственной
решетке. Формула
Вульфа—Брэггов ...........342
§ 183. Разрешающая способность
оптическихприборов........343
§184.Понятиеоголографии ...... 345
Контрольныевопросы .............347
Задачи ............................348
Глава 24. Взаимодействие
электромагнитных волн
свеществом.........................349
§185.Дисперсиясвета ............349
§ 186. Электронная теория
дисперсиисвета .............350
§ 187. Поглощение (абсорбция)
света........................352
§188.ЭффектДоплера ............354
§ 189. Излучение
Черенкова—Вавилова ....... 355
Контрольныевопросы .............356
Задачи ............................356
Глава 25. Поляризация света . . . . . . 357
§ 190. Естественный
и поляризованный свет . . . . . . 357
§ 191. Поляризация света
при отражении
и преломлении
на границе двух
диэлектриков ...............359
§ 192. Двойное
лучепреломление ...........360
§ 193. Поляризационные призмы
иполяроиды ................363
§ 194. Анализ поляризованного
света........................364
§ 195. Искусственная оптическая
анизотропия ................366
§ 196. Вращение плоскости
поляризации ................367
Контрольныевопросы .............368
Задачи ............................369
Глава 26. Квантовая природа
излучения...........................369
§ 197. Тепловое излучение
иегохарактеристики ........369
§198.ЗаконКирхгофа ............371
§ 199. Законы Стефана — Больцмана
исмещенияВина............372
§ 200. Формулы Рэлея — Джинса
иПланка....................373
§ 201. Оптическая пирометрия.
Тепловые источники света . . . 376
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

556
§ 202. Виды фотоэлектрического
эффекта. Законы внешнего
фотоэффекта................378
§ 203. Уравнение Эйнштейна
для внешнего фотоэффекта.
Экспериментальное
подтверждение квантовых
свойствсвета................380
§ 204. Применение фотоэффекта . . . 383
§ 205. Энергия и импульс фотона.
Давлениесвета..............384
§ 206. Эффект Комптона
и его элементарная
теория ......................385
§ 207. Единство корпускулярных
и волновых свойств
электромагнитного
излучения ..................387
Контрольныевопросы .............388
Задачи ............................389
Часть 6
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
ФИЗИКИ АТОМОВ,
МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Глава 27. Теория атома водорода
поБору .............................390
§ 208. Модели атома Томсона
иРезерфорда ...............390
§ 209. Линейчатый спектр
атомаводорода..............392
§210.ПостулатыБора.............393
§211.ОпытыФранкаиГерца ...... 393
§ 212. Спектр атома водорода
поБору .....................395
Контрольныевопросы .............397
Задачи ............................397
Глава 28. Элементы квантовой
механики............................398
§ 213. Корпускулярно волновой
дуализм свойств вещества . . . 398
§ 214. Некоторые свойства волн
деБройля...................400
§ 215. Соотношение
неопределенностей ..........400
§ 216. Волновая функция
и ее статистический смысл . . 403
§ 217. Общее уравнение
Шредингера.
Уравнение Шредингера
для стационарных
состояний...................406
§ 218. Принцип причинности
вквантовоймеханике .......408
§ 219. Движение свободной
частицы.....................409
§ 220. Частица в одномерной
прямоугольной «потенциальной
яме» с бесконечно высокими
«стенками» .................409
§ 221. Прохождение частицы
сквозь потенциальный барьер.
Туннельныйэффект.........412
§ 222. Линейный гармонический
осциллятор в квантовой
механике....................415
Контрольныевопросы .............417
Задачи ............................417
Глава 29. Элементы современной
физикиатомовимолекул ...........418
§ 223. Атом водорода в квантовой
механике....................418
§ 224. 1s Состояние электрона
ватомеводорода ............422
§ 225. Спин электрона. Спиновое
квантовоечисло.............423
§ 226. Принцип неразличимости
тождественных частиц.
Фермионыибозоны.........424
§ 227. Принцип Паули.
Распределение электронов
ватомепосостояниям.......425
§ 228. Периодическая
система элементов
Менделеева .................426
§ 229. Рентгеновские спектры . . . . . . 429
§ 230. Молекулы: химические
связи, понятие
об энергетических уровнях . . . 431
§ 231. Молекулярные спектры.
Комбинационное рассеяние
света ........................433
§ 232. Поглощение.
Спонтанное и вынужденное
излучения ..................434
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

557
§ 233. Оптические квантовые
генераторы(лазеры) ........436
Контрольныевопросы .............439
Задачи ............................440
Глава 30. Элементы квантовой
статистики ..........................441
§ 234. Квантовая статистика.
Фазовое пространство.
Функция распределения . . . . 441
§ 235. Понятие о квантовой
статистике Бозе — Эйнштейна
иФерми—Дирака ...........442
§ 236. Вырожденный электронный
газвметаллах...............444
§ 237. Понятие о квантовой теории
теплоемкости. Фононы . . . . . . 445
§ 238. Выводы квантовой
теории электропроводности
металлов....................447
§ 239. Сверхпроводимость.
Понятие об эффекте
Джозефсона.................448
Контрольныевопросы .............450
Задачи ............................450
Глава 31. Элементы физики
твердоготела .......................450
§ 240. Понятие о зонной теории
твердыхтел .................450
§ 241. Металлы, диэлектрики
и полупроводники
позоннойтеории............452
§ 242. Собственная проводимость
полупроводников ...........454
§ 243. Примесная проводимость
полупроводников ...........457
§ 244. Фотопроводимость
полупроводников ...........459
§ 245. Люминесценция твердых
тел..........................461
§ 246. Контакт двух металлов
позоннойтеории............463
§ 247. Термоэлектрические явления
иихприменение ............465
§ 248. Выпрямление на контакте
металл — полупроводник . . . . 467
§ 249. Контакт электронного
и дырочного полупроводников
(pn переход) ...............469
§ 250. Полупроводниковые диоды
и триоды (транзисторы) . . . . . 472
Контрольныевопросы .............474
Задачи ............................475
Часть 7
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ
АТОМНОГО ЯДРА
И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Глава 32. Элементы физики
атомногоядра.......................476
§ 251. Размер, состав и заряд
атомного ядра. Массовое
изарядовоечисла ...........476
§ 252. Дефект массы и энергия связи
ядра ........................477
§ 253. Спин ядра и его магнитный
момент .....................478
§ 254. Ядерные силы.
Моделиядра ................480
§ 255. Радиоактивное излучение
иеговиды ..................481
§ 256. Закон радиоактивного
распада. Правила
смещения ...................483
§ 257. Закономерности
aраспада ...................484
§258.b
-
Распад.Нейтрино ........486
§ 259. Гамма излучение
иегосвойства ...............488
§ 260. Резонансное поглощение
g излучения
(эффект Мёссбауэра) . . . . . . . 490
§ 261. Методы наблюдения
и регистрации
радиоактивных излучений
ичастиц ....................492
§ 262. Ядерные реакции
иихосновныетипы .........496
§263. Позитрон. b
+
Распад.
Электронныйзахват ........498
§ 264. Открытие нейтрона.
Ядерные реакции
под действием нейтронов . . . . 500
§265.Реакцияделенияядра ....... 502
§ 266. Цепная реакция деления . . . . 503
§ 267. Понятие о ядерной
энергетике ..................505
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

§ 268. Реакция синтеза атомных
ядер. Проблема управляемых
термоядерных реакций . . . . . . 507
Контрольныевопросы .............509
Задачи ............................510
Глава 33.Элементы физики
элементарныхчастиц................510
§ 269. Космическое излучение . . . . . 510
§270.Мюоныиихсвойства .......512
§271.Мезоныиихсвойства .......513
§ 272. Типы взаимодействий
элементарныхчастиц........514
§ 273. Частицы и античастицы . . . . . 516
§ 274. Гипероны. Странность
и четность элементарных
частиц ......................518
§ 275. Классификация
элементарных частиц.
Кварки .....................520
Контрольныевопросы .............524
Задачи ............................525
Основныезаконыиформулы ........ 526
Предметныйуказатель...............537
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

Учебное издание
Трофимова Таисия Ивановна
Курс физики
Учебное пособие
Редактор Т. Ф . Мельникова
Технический редактор Н. И. Горбачева
Компьютерная верстка: Д. В . Федотов
Корректоры А. П . Сизова, В. А. Жилкина
Изд. No 120106356. Подписано в печать 07.10 .2013. Формат 70 × 100/16.
Гарнитура «Таймс». Бумага офсетная No 1. Печать офсетная. Усл. печ. л . 45,5.
Тираж 3 000 экз. Заказ No
ООО «Издательский центр «Академия». www.academia moscow.ru
129085, Москва, пр т Мира, 101В, стр. 1 .
Тел./факс: (495) 648 0507, 616 00 29.
Санитарно эпидемиологическое заключение No РОСС RU. AE51. H 16476 от 05.04 .2013 .
Отпечатано с электронных носителей издательства.
ОАО «Тверской полиграфический комбинат», 170024, г. Тверь, пр т Ленина, 5.
Телефон: (4822) 44 52 03, 44 50 34. Телефон/факс: (4822) 44 42 15.
Home page — www .tverpk.ru Электронная почта (E mail) — sales@tverpk.ru
Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»

Ф
Г
Б
О
У
В
П
О
«
Т
ю
м
е
н
с
к
и
й
г
о
с
у
д
а
р
с
т
в
е
н
н
ы
й
н
е
ф
т
е
г
а
з
о
в
ы
й
у
н
и
в
е
р
с
т
и
т
е
т
»