Е.В.Дамаскинский, П.П.Кулит
ДЕФОРМИРОВАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Ведение
Возникшие при развитии кванторого метода обратной задачи [I]
и изучении решений уравнения Янга-Бакстера [2J понятия квантовых
групп и алгебр [3-5J прирлекавт р последние годы рое большее вни-
мание. Это ерязано с тем, что эти объекты имеют изящную математи-
математическую структуру, аналогичную структуре групп и алгебр Ли, как в
отношении общих определений, так и р отношении теории представ-
лений. Обнаружена тесная срязь квантовых алгебр с некоммутативной
геометрией, разностными специальными функциями ^-анализа и ря-
рядом других областей математики (см., например, [З-IlJ). С физи-
физической точки зрения интерес к этим объектам обусловлен возможными
применениями в современной квантовой теории поля, где многократно
возникали подобные структуры (конформная квантовая теория поля,
теория кванторанных струнн, топологические теории поля типа моде-
модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена и т.п.).
Простейшая квантовая алгебра UL(j((j{)) ^B) [12, 13] воз-
возникла в квантовой модели Лиувилля на решетке [14], а квантовая
супералгебра 0бр^(</2) была определена в [15]. Общие определения
кванторых алгебр как кразитреугольннх алгебр Хопфа были сформу-
лирораны в работах [16, 17] (см. также [3, 4, 18-20]).
Ряд результатор о связи алгебр Ли с алгеброй Гейзенберга
или осцилляторами ($& ~ЬЬ = 4) легко переносятся и на кранто-
рые алгебры после рредения й-деформированных осиилляторор
(АА ~^А+А=/О , что и является оснорной темой данной работы.
За последние год-полтора поярилось большое число публикаций пос-
рященных этому вопросу [21-25].
Отметим, что попытка модификации (деформации) соотношений
коммутации неоднократко предпринималась р физических исследова-
исследованиях. Уместно напомнить некоторые яз них. Как известно, в кван-
квантовой механике постулируется, что канонические переменные - коор-
координата Q, и канонически сопряженный импульс Р описываются
эрмитовыми операторами, которые удовлетворяет перестановочному
соотношению (ПС)
Это соотношение составляет математическую основу принципа
(C/E.B.Дамаскинский,П.П. Кулиш, 1991

неопределенности Гейзенберга. Гейзенберговские ПС (I.I) или экви-
эквивалентные им соотношения
rc? + i = gC_gfl—>J A2)
для неэрмитовых операторов рождения о "^Щ-^г) и уничтожения
§= tfjf(Q + ?P) соответствуют одной боэонной степени свободы.
В случае фермионов коммутаторы A.2) заменяются на антикоммута-
антикоммутаторы
что связано с принципом запрета Паули.
Поскольку, по крайней мере один из операторов, удовлетворя-
удовлетворяющих (I.I) (или A.2)) должен быть неограниченным, то удобнее
рассматривать порождаемые этими операторами однопараметрические
унитарные группы
iau dP
ai—>Uca)=e , bf->V(&)=e , а.ь^п. ал)
В силу (I.I) операторы A.4) удовлетворяют вейлевским ПС
Эти соотношения определяют структуру нильпотентной группы Ли -
группы Гейзенберга-Вейля. Алгеброй Ли этой группы является алгеб-
алгебра Гейзенберга, связанная с ПС (I.I). Замена гейзенберговских ПС
(I.I) на вейлевские ПС A.5) дает еще один пример модификации
соотношений коммутации и имеет существенные последствия. Действи-
Действительно, известная теорема фон Неймана утверждает, что с точностью
до унитарной эквивалентности существует единственное неприводимое
представление вейлевских ПС - представление Шрецингера (см.,
например, [26]). Структура представлений гейзенберговских ПС (I.I)
существенно богаче, так как имеются незкспоненцируемые представ-
представления, не допускающие расширения до представления группы. Единст-
Единственность представления Шредингера на уровне алгебр Ли достигается
лишь при соблюдении дополнительных условий [26]. Неэкспоненцируе-
мые представления ПС (I.I) в квантовой теории позволяют [27, 28J
дать возможное решение проблемы оператора фазы (задача квантования
переменных действие - угол).
Одним из побудительных мотивов изменения коммутационных соот-
соотношений является то, что в последние годы в квантовой теории всё
чаще возникают ситуации, требующие введения экзотических статистик
38

[29, 30]. Наряду с бозе^ской и фермиерской статистиками, связанны-
связанными с соотношениями A.2) и A.3) и одномерными представлениями
группы перестановок возникли пара статистики [30], соответствующие
представлениям более высокой размерности. Дробные статистики,
связанные с представлениями групп кос и используемые при описа-
описании дробного к^анто^ого эффекта Холла и "ысокотемпервтурной
серхпрс-одимости, также требуют модификации соотношений коммута-
коммутации.
В 1950 году Вигнер заметил, что хотя из постулируемых ПС
A.2) и гамильтонорых уравнений дрижения однозначно следуют гей-
гейзенберговские уравнения дрижения:
[H.&J-&, Ш*]-0+, H-|(ft + M+), (i.6)
обратное - не рерно. Он доказал [31], что из A.6) следуют не ПС
A.2), а однопараметрическое семейство
Эта проблема обсуждалась в [32]t где была получена классификация
деформаций ПС A.2) согласованных с A.6). При естестренных пред-
предположениях было показано, «то возможные реализации деформированных
ПС описываются (&ХД.)- матрицами и соот^етструют фермие^ской
(<i=2) , бозе^ской Са = <») и парафермие*-скойЫ=ЗА„,; <i<«>)
статистикам. Оператор р при этом описывается надяиагональной
матрицей
В начале 70-ых годов, при исследовании дуальных резонансных
моделей с нелинейными траекториями были введены [33, 34] операто-
операторы, удовлетворяющие деформироранным ПС
д.д] -
Ч J 7 j 1 if *.i.*Jy
Некоторые сройстрэ этих операторор изучались р [35]. Различные
рарианты моцифипироранных коммутатипионных соотношений обсужда-
обсуждались р [36J. Соотношения A.8) рассматрирались р [37j p срязи с
приложениями к теории Ли - допустимых алгебр и адронной механике.
Соотношения A.8) изучались также р математических исследо-
раниях как с чисто алгебраических позиций [38J, так и р срязи с
Д, -анализом [39J. Это объясняется розможностью реализовать
генератор А как оператор, умножения на аргумент, а А как
оператор CL -дифференцирогания

Предлагаемая статья представляет краткий обзор работ по этой
тематике. Она содержит определения л-осцилляторов. Отмечается
естественность их введения с точки зрения контракции (сжатия)
квантовых алгебр. Приведены когерентные состояния для различных
генераторов алгебры л -осциллятора Д(<р и теоремы полноты
(сверхполноты) этис состояний. Перечислены некоторые приложения
Л,-осцилляторов: реализация квантовых алгебр, деформация алгебр,
модельные физические системы. В последнем разделе обсуждаются
различные обобщения Д-осциллятора на случай нескольких степе-
степеней свободы.
2. Определение Л -осцилляторов.
В большинстве современных работ л -осциллятором называют
модельную систему, описываемую ассоциативной алгеброй Ащ) =
А(Ц;а,а+, ЛО с тремя образующими fl,sa.,a+sft+ , Jf, которые
удовлетворяют соотношениям
,+яц , ,±1-*а±, B.1)
где
В общем случае й, -фиксированный комплексный параметр, однако
в дальнейшем мы ограничимся в основном вещественным случаем
(LGiU • Последнее предположение позволяет ввести в Д(й,) ин-
инволюцию:
it it
(a_) = а±, X*-Jf , <\=<\, B.2)
относительно которой соотношения B.1) инварианты. (В случае
§€¦(!/ , \(\\=4 , Cjf =0^=0^ , где черта-комплексное сопряже-
сопряжение. В этом случае в Atty) наряду с первым из ПС B.1) должно
выполняться и u_ft+-q,Ha+fl/_ = 4'^ • получающееся при ^ <—»<^, ).
В той или иной степени 0,-осцилляторам и их применению посвя-
посвящены работы [19-25, 33-38, 40-47].
В отличии от случая гармонического осциллятора, когда
Jf= о Ь , для деформированного осциллятора не предполагается
никакой связи генератора Л с п+ и все три образующие рассмат-
40

риваются как независимые. Это означает, что A-Cfi) является де-
деформацией универсальной обертывающей алгебры для алгебры Ли прос-
простейшей разрешимой группы Ли - группы осциллятора ?48], а не кван-
топомеханической группы Гейзенберга-Вейл'я (нильпотентная группа
связанная с ПС (I.D). При ty-Н (или у->0, ^ =б? ) ПС B.1) пе-
переходят в ПС генераторов группы осциллятора
В B.3) также не предполагается, что Jf—V 6 , хотя в известной
кяантовомеханической модели гармонического осциллятора это усло-
условие выполнено.
Иногда вместо генератора Jf используют
к =е ^ = е . B.4)
Тогда ПС B.1) принимают алгебраически более традиционный вид
k a--q, ci-k , ka+=q, a+k ,
к к =1 -к к , (к ) =к .
Однако мы предпочитаем использовать генератор Jf в пиду его
простой физической интерпретации и большей наглядности.
Из ПС B.1) следуют полезные формулы
-Я -/Г -Jf -jf
q 44 й (^ а^а4- , B.6)
а_(а+)*"-ща+) а-=[*п]я(.а+) q , B,8)
• q,~4 '" B.9)
а если й = б , то ,
Cf*4 " sJtfl ' B.10)
В случае, когда пи -оператор, С^З* , ski^n) у так же как ий ,
понимаются в смысле формальных степенных рядов.
Иногда используют другие формы ПС п -о сциллятора, отличные
от B.1). Так генераторы
41

-VaJf -4hJf
подчиняются ПС
-11Г
порождают алгебру ЛЩ',оЬ±,Ж) . В этом случае наиболее естест-
естественный диапазон значений параметра О, есть (L>\ . Определив
генераторы ., ,
А_=4 (Lrf^d,., А+=л+4 =<*-4 , Bлз
приходим к алгебре Jt(fy;A± ,Jf) и ПС
гце Д = (^ .В этом случае естественно считать J
По т>сей видимости Ч1ерт>ые ПС B.14) рассматривались т> [33-
35], а затем неоднократно переоткры^ались [36-37J. В рамках П-
анализа, как ПС связанные с разностной произ^цной, они изучались
р [38-39J.
Для генераторор B.II) и B.13) справедлив формулы аналогич-
аналогичные B.6)-B.8). В частности
ли—d if
где
t"M^~'4 l™\> W- B.17)
В настоящее ^ремя остается открытым естественный вопрос о
том, в какой степени ПС B.1), B.Г2) и B.14) можно считать эк-
эквивалентными. С одной стороны обратимость преобразований B. II) и
B.13) указывает, что *>се генераторы определяют одну и ту же ассо-
ассоциативную алгебру Jtop . С другой стороны, если рассматривать
АЦ как ^-алгебру, то * B.1) и B.12) ^е|Ц , тогда как
j ^2t> B.I4) может быть и отрицательным, а значит JU<- чисто
мнимым. Отметим также, что ПС B.12) и B.14) реализуются ограни-
ограниченными операторами (при 0^Ф\ ), тогда как операторы, реализую-
реализующие B.1) неограничены и возникают вопросы связанные с их областя-
областями определения.
Прежде чем переходить к рассмотрению некоторых представлений
42

алгебры Л>(Л) укажем, что эта алгебра имеет нетривиальный центр
У^- - BЛ8)
Из этого следует, * частности, что, *> отличии от к *анто ^механи-
^механической ситуации, где справедлива теорема единственности фон Ней-
Неймана, в случае п -осциллятора существует ряд неэквивалентных
представлений.
Легко видеть, что для алгебры Jk((\,) можно по строить л- ана-
аналог представления Фока (чисел заполнения), диагонализирующий
оператор Jf числа .д,-к*анто*>. Более того, в качестве прост-
пространства представления можно «зять гильбертово пространство Жр
обычного бозонного осциллятора с базисом {|н>} , 4=0,1,1,¦•¦ .
Имеем
B.19)
D! +> , B.20)
где [hJ^!-U\ll\-...• Ы\',Щ\ч; Шя\=i.
Операторы (Х± на элементы этого базиса действуют по формулам
Несложные вычисления показывают, что B.19) и B.21) задают в
Хр реализацию деформированных ПС B.1). На пространстве
операторы &± Q- осциллятора можно выразить через операторы $
jf=b+ Ь- стандартного бозонного осциллятора
л
При ty—>i> &± —> Ь± , а ПС B.1) переходят в обычные коммутаторы
A.2). Из B.22) видно что рассматриваемый в % базис {lft>}
есть базис чисел заполнения обычного осциллятора. Следовательно он
ортонормиротан и является полным "^~1И/><^\ =? . Пространство
ЗС_ можно получить замыканиеммлинейной оболочки этого базиса.
В областях определения ?D(&+)D &CCL-) С %F выполняются
дополнительно соотношения
, л_а+=[ЖНЗ^, B.23)
UT+i\\n> =Ы+11ЯЫ>, B>24)
43

^ Г B-25)
Из B.18) и B.23) следует что в представлении Фока % обращает-
обращается в нуль. Тривиальная реализация центра объясняет некоторые
специфические особенности этого представления. В частности в %-.,
наряду с первым из соотношений B.1) выполняется алгебраически
независимое (в общем случае) соотношение
4 jf
0,-0,+ - 2п+&-=Ц . B.26)
Определив эрмитовы образующие
V (aJ р^а-) B-27)
получим на % 2
ДЗ -WS^irtj**^' B.28)
Оператор
B.29)
2 u
можно рассматривать как л-аналог гамильтониана Нля< гармони-
гармонического осциллятора, в который он переходит при л—»-) . В этом
пределе Q*-*.Q , Рд —> Р а ПС B.28) переходят в (I.I). От-
Отметим, что в отличии от Н. ., Н/, имеет не эквидистантный
спектр.
Очевидно, что все сказанное переносится на случай алгебр
,Jf) и ЛСп', А±,Ж) . Приведем только основные фор-
формулы
Йй77^Г AW B.30)
0
Отметим, что в отличии от операторов Л± , которые, как и Ь± ,
неограничены, операторы с6± и А± являются ограниченными. Это
связано с тем что fooj moo , тогда как foo;^,] = -_ ¦ < оо
Используя вейлевские ПС . т
=ере е ,Зв
можно реализовать операторы п± в координатном представлении
44

(ср. [22]; операторы Ь± из [22J удовлетворяют ПС ^&.6+-6+&_=
т(^~\ и сражаются через А + по формуле O+s=/X>A+ »
\ = h-<fm\-jb ). Имеем " *
А.-А \ew-e $ ), А+=А се -ц е ). B.3з)
Несложно проверить, что функция
* (-^-. f)' B.34)
ярдяет«зя решением уравнения А_Ю>~0 . Используя " Д, -треу-
-треугольник Паскаля"
[•^]Ч.«»]1м4
где
Г н ] [J
;^J B-3б)
Л,-биномиальный коэффициент, получим
%A+ri0> -
B 37)
Полезна реализация ПС в пространстве многочленов р(Д>) по пе-
переменной X с базисом {?}вш0 . Рассмотрим в этом прост-
пространстве операторы
М : р(Х)«-»х р(Х) , дЛ-^Я*" B.38)
К^ г р(я» н-» рцж) , оУ^срх"'. B.40)
Тогда операторы
-/
а.-М , a+=D^ , 4 =K4-« B.4D
45

лх dec a>wx
реализуют в этом пространстве соотношения B.1). В этой реализа-
реализации B.26) также выполняется. Для операторов А+ (Ж±) анало-
аналогичная реализация основана на более приввчнйй в п-анализе
разностной производной (см., например, [39])
B.42)
Как отмечалось выше, кроме представления Фока существуют другие
неэквивалентные ему неприводимые представления алгебры
Перечислим эти представления [42], используя операторы А±
1. (\>\ Представление Фока единственно. Оно совпадает с
одним из представлений при 0<ty<i , поскольку в реализации опера-
операторами
2. 0<Ц/<А> . Операторы Д± пропорциональны операторам сдви-
сдвига р 1%(Ю ; А+А-~ А- А+ пропорционален единичному опе-
оператору, центральный элемент ? = -'--"z "*-^-ли
Л± , все матричные элементы инвариантны при замене
. В этом случае спектр X простой, spectt- Jf={0,i,2> •• ¦)•
Ц^ А
3. 0<§<1\ . Отектр А+А- простой и состоит из W+d A
4. 4 "=IJU'<-O .^.B этом случае интервалы (--/,0) и (г
A^A
из-за подстановки A=^-fiA эквивалентны.
4а. Неприводимое представление вида % при
АА АА l
4в. Неприводимое представление типа представления Фока.
Отметим, что представления типа 2. и 3. сингулярны при^-Н,
а представление типа 4 в. (но не 4а) в пределе Cf—*-4 соответ-
соответствует фермиевскому осциллятору. Некоторые из этих представлений
упоминались в [36] однако отсутствует полный анализ ситуации и
сройстр представлений.
Естественность введенных выше алгебр деформированного осцил-
осциллятора следует, в частности и потому, что он возникает при сяа-
тии (контракции) по Иноню-Вигнеру квантовой (квазитреугольной)
алгебры Хопфа ilq СУ [3, IIJ. Она является деформацией универ-
универсальной обертывающей алгебры для алгебры Ли &1(.%) . Квантовая
алгебра dt<j,B) порождается тремя генераторами Н,Х± такими,
что
46

,± ± , 4 B.43)
Определив к =ty B.43) можно преобразовать к алгебраически более
традиционному виду
kkWW, rv к-к
[Х+ ,Х_] = "ТТрГ ' B.44)
кХ+кЦ Х+. * 4
Инволюция в ^LB) вводится по Н=Н , к вк , (Х+) -Х?
Структура алгебры Хопфа определяется заданием копроизведения
н B.45)
* * ч 4(X±)«X±e>k+k ®X±
и согласованных с Л отображений антипода 5 и коединицы ?
, 5(Н) —Н, S(X±)—4"Х±>
м
В случае параметра fl, не являющегося корнем из единицы (^ т^-|,
М?#) структура конечномерных представлений it СИ) и iLB)
идентична. Эти представления индексируются целыми и полуцелыми
значениями Д,-спина J и действуют в пространстве размерности
{ 2'| . Выбирая в этом пространстве базис {Ij.wOJ .
.»j-1,j , диагонализирующий Н , имеем
) |jw+O B.47)
Рассмотрим <^,>'l и переопределим образующие
ЛГ-jl-H, y±=X±[2J3"^. B.48)
Перейдем к пределу ]—*°° , ограничившись векторами lj,w> с
(j-w)/j —>О при j —>оо , Тогда для предельных операторов
db±=tlni. м У± получаем из B.43) ПС B.12) для ty осциллятора
Д((\,;&± ,Jf) • Возникшее в этом пределе представление совпадает
с представлением Фока B.31), lH'>=^i*ii'j_^e> lj,J-H>.
В [49] рассмотрено сжатие б1^(.%) до квантового аналога ал-
алгебры Гейзенберга. Действительно, определив при (L-i'",
W^X/26HN"V
и устремив ?-»0 получим деформированную алгебру Гейзенберга
вида
47

"I
\ ЛГ МАЛ =
Отметим, что такая процедура контракции требует модификации пара-
параметра деформации О, =6 —»в . Для обратимых значений центра
-1 ¦ - '
о) ihicOJl) получается алгебра эквивалентная гейзенберговской.
Однако, как алгебра Хопфа, эта контракция не эквивалентна алгебре
Гейзенберга, поскольку она имеет несимметричное (не кокоммутатив-
ное) копроизведение ^ .у
= W±®e +e »VI±.
Вопрос о существовании копроизведения в S(.O,) остается откры-
открытым.
Деформированный аналог фермиевского осциллятора имеет более
простой виц [I9J. Он определяется генераторами §± , Jf с ПС
=0. B.49)
Заметим, что для ty -фермиона |+1. = [MJ^= М, |-1+ = [] - М J<j,e
=4~М . Представление Фока двумерно и имеет вид
0 ,
B.50)
^Мн>=м>,мн>=и>, |jo=io>, |+и>=о ,
или в матричной форме
Деформированный суперосциллятор естественно получить сжати-
сжатием [42] квантовой супералгебры Хопфа Обр<^D/2) [I5J. Эта ал-
алгебра порождается тремя генераторами одним четным Н и Д^умя
нечетными V± > удовлетворяющими соотношениям
[H,VJ=±|V± , V+V-+V.V+ —JteHJ^. B.52)
Структура алгебры Хопфа определяется
=0. B>53)
Конечномерные представления Odp^(VZ) индексируются
48

полуцелыми числами j и имеют размерность 4J + 4 .В базисе
с диагональным оператором Н , действие генераторов имеет виц
1С ("¦ f
(±)
B>54)
Перенормировав генераторы
Л=Щ&~Ю, У±=±^±Щ^\ B.55)
для предельных операторов У± = ШМ- ^V+ получаем
Mfe]-*^ , *-*++*+У--4~^ B.56)
Определив С+-^+^/ получаем супер- л-осциллятор
± J = ±С± , С-С+ +^\С-=^Г* . B.57)
Порождаемая ассоциативная алгебра Jw(u) имеет нетривиальный
центр
B.58)
Получившаяся в результате сжатия алгебра А*,Щ) , так же как и
квантовая супералгебра Oip^CVZ") имеет ^ -градуировку. То же
верно и для их представлений. Полученное при контракции представ-
представление Д>D) действует в 2^-градуированном бесконечномерном
гильбертовом пространстве "% C) > в котором для однородных рек-
ректора Ой и линейного оператора А определена операция супер-
траншонирования р(д)р(Д) ^
ЖА ^) B.59)
B.60)
В пределе (^—^'l, jJ^—>0 , fig^-f ~**\ > операторы С± перехо-
переходят в бесконечные прямые суммы матриц Паули 0^ , а %.(А) рас-
распадается в прямую сумму двумерных фермионных пространств.
Оуперсимметричное объединение бозонного и фермионного
4 Заказ 1007 .49
Операторы С± действуют в %-
С.\0> = 0 ,

л -осцилляторов B.1) и B.49) может быть естественно осуществ-
осуществлено по аналогии с недеформированным вариантом [50]. Для соот-
соответствующего гамильтониана основное состояние невырождено, а
собственные подпространства возбужденных будут двумерны.
3. Когерентные состояния для Л-осцилляторов.
6 случае квантовомеханических систем особую роль играют
когерентные состояния (КС). В связи с этим, естественно опреде-
определить аналоги этих состояний для деформированного осциллятора -
Л-когерентные состояния (ty -КС). Для деформированного ос-
осциллятора Д(Щ А± ,Jf) й-КС были введены и изучены впервые в
[35] (см. также [21, 23, 37, 40, 43, 47J). Для алгебрыЩ;к±,Л)
B.14) Л-КС можно определить как семейство состояний [35]
со % % V
(зл)
являющихся собственными состояниями для оператора уничтожения
А- ,
U%>=%\%>. C.2)
При JW-H эти состояния переходят в стандартные КС бозонного
осциллятора. Определим стандартным образом базисную экспоненту
п -анализа
tim Е»Ш-еЯ C.4)
fi-*1 J
(легко видеть, что радиус сходимости в C.3) равен [oo,jW]
—(.4~Jb) 2 ). Тогда с учетом определения базиса Фока {
C.1) можно записать в виде
Равенство C.5) аналогично определению обобщенного КС по Перело-
мову,то;есть действием унитарного оператора сдвига Ж?) на
вакуум: _у^ tf _u tf-U
е ее =е
(З.б)
50

Используя ортогонаньность состояний Фока, получаем
<Ъ<\Ъ2>= 2L. [n\jM\ V*iV» (з.7)
Формула C.8) позволяет нормирорать Я,-КС C.1) или C.5), одна-
однако, удобнее использовать ненормироранный рариант, так как в де-
деформированном случае отсутствуют групповые свойства, упрощающие
формулы с участием нормированных КС в стандартном случае.
Как и для недеформированного осциллятора, л -КС образуют
сверхполное (переполненное) семейство состояний при Z^-Фи,
?>и,~{Ъ^-&\ I?I2<[<»;/WJ . Это позволяет рассматривать
й-КС и как КС в смысле Клаудера, то есть рассматривать соответ-
соответствующее гильбертово пространство гак пространство Ароншайна с
воспроизводящим ядром.
Определив аналитические в области -??L функции можно пост-
построить [35J аналог представления Варгманна-Сигала для деформирован-
деформированного осциллятора, в котором скалярное произведение определяется
с помощью базисного интеграла Джексона. 6 этом деформированном
голоморфном представлении [35J Д+ описывается как оператор
умножения на аргумент, а Д_ реализуется как базисная производ-
производная B.42).
АО CD &Z)-iCjHZ)
Af«>$JCP • C.9)
В пределе Jit—Н это представление переходит в обычное го-
голоморфное представление в пространстве Баргманна для недеформи-
рованного осциллятора, а в пределе Jl~*0 получаем гильбертово
пространство Харци функций аналитических на окружности (доказа-
(доказательство всех этих утверждений имеется в [35J).
Аналогичные результаты теми же, что и в [35], методами можно
получить и для й-КС деформироранного осциллятора лЩ><1± >Л)
B.12), и мы не будем останавливаться на этом.
Рассмотрим Й,-КС для деформироранного осциллятора
В этом случае л-экспонента имеет вид
l *** *&** (зло)
51

В отличии от С\,-экспоненты Джексона C.3), &q(Z) определена
на т-сей комплексной плоскости. Используя C.IC) можно определить
л-КС wMty&i ,Jf) по
00 и
Z2(
как ?}.-аналог обобщенного КС р смысле Переломора. Заметим, что
р C.II) Л-экспонента может быть заменена на обычную [23]
Состояние C.II) ярляется также л -аналогом КС р смысле Глаубера,
т.е. является собстренным состоянием п-оператора уничтожения
Л_12> = 2 12>. C.13)
легко прорерить, что
(*. C.14)
Отметим, что, р отличии от Eu,(?) , функция %(Х) имеет
нули на отрицательной части рещестренной оси. Следуя [43J, наи-
наибольший корень функции Вл(Х) обозначим-^ (%в>0) . Вре-
дем ступенчатую функцию
{
и р дальнейшем, как это принято, например, р операционном исчис-
исчислении, будем понимать под &(&) функцию fy&OjjCt).
Каждому ректору |f> из пространстра Фока 3f_ л-осцилля-
тора Ащ;О,± , JT) сопоставим аналитическую функцию |B)
ПОЛОЖИР
й
В частности элементам базиса I H> p Жр сопоставим функции
Тогда, при \$>е.Ж имеем
C.17)
52

где разностная производная B.39) обладает, р частности, свойст-
свойствами , .
АХ =0 (С =<msl); D. гн= Ы1 I
^ C.19)
2
Обозначим ^ пространство аналитических в ?D={2e(D IIXI <
<?oJ функций, являющихся образами при отображении C.16)
элементов из %. На ^ определим операторы (ср. B.38)-B.41))
C?0)
Легко проверить, что операторы C.20) определяют в ^ представ-
представление алгебры Jp(ty, &± ,Л).
Для того, чтобы задать в f скалярное произведение, надо
определить операцию обратную л-дифференцированию IJj, . Моди-
Модифицируя на случай [и-Х определение ^-интеграла Джексона
(соответствующего случаю [Kity] ), положим
C.2D
¦f*
Используя правило Лейбница для Л,-производной
получаем правило (^-интегрирования по частям
C.23)
53

 ¦*=" о
Вычисляя при помощи C.21) и C.24) имеем [43J
*{\ w*J Г 1 I М гч ы
\ 6 (_~Х)Х (л/п X/ — LW/Jli. , WEN. C.25)
о
Заметим, что интеграл в C.25) напоминает интегральное представ-
представление р-функции ж
. х-1 -v и
так что по крайней мере при натуральных значениях аргумента выпол
няется равенство
Яг " хч
)
Яг х
Я=) t ^(-t)^t. C.26)
о
Однако, нам не удалось пока найти строгое доказательство этой
формулы в общем случае.
Используя C.25), определение л -интеграла C.21) и формулу
(З.И) для й-КС, несложно получить разложение единицы на мно-
множестве деформированных КС
V ) Ы
3) ° id C.27)
Таким образом, ?J,—КС C.II) пщ%е.ф образуют в $ полную сис-
систему векторов. Произвольный элемент l?>?.% может быть запи-
записан в пиде п
и, в частности, для fl,-KC lot> имеем
^^ C.28)
с, дя fl,C lt имеем
J4^|l2>^(Zc6)^C2). C,29)
Й) _ ф
Поскольку при \Ъ<Ь\<%0 ,<21оС> =^(%о6) не обращается в ноль,
то C.29) дает линейную связь на множестве й-КС. Следовательно,
54

семейст"ю CL-KC является переполненным
ИЗ C.29) и C.16) получаем
W . oU /
Следовательно,
является воспроизводящим ядром для семейства Д,-КС. Аналогично,
котариантным й-символом линейного оператора f (в смысле
Березина [5lJ) будет
так что
O
Определим в $ скалярное произведение
4 U ^ 2 C-34)
2JC
Тогда, для элементов базиса имеем
)? (з.35)
Следовательно, базис (и-(й)} C.17) в ^ ортонормирован.
Покажем, что Д-_ и Л+ сопряжены друг другу относительно
скалярного произведения C.34) в $ , то есть &+=(&_)+ . Для
этого надо доказать, что
\ teQl^)L%(«)я B#35) ^(ЫаB). C.36)
Подставив в C.36)
55

-z
2- МЛтЪ1*''
и интегрируя по V , получаем
-L
Учитывая C.35), получаем очевидное
ho c^i v/i^
Заметим, что несложно получить деформированные аналоги
супер-КС [50J для суперсимметричного осциллятора с одной бозонной
и одной фермионной степенями свободы. Пусть А- ^-аналог опера-
оператора уничтожения А ([50] формула A6)) этой модели. Она полу-
получается заменой операторов рождения и уничтожения бозонов и ферми-
онов на их деформированные аналоги B.1) и B.49). Тогда супер-
суперсимметричное U-KC можно представить в виде
У;,е?7 C.37)
где \%У й-КС C.II), C.13). Тогда, легко проверить, что
Здесь \Ъо> и l?s> 4"^ р фермионном и бозонном секторе модели.
Используя эти определения, не сложно получить П -аналоги основ
ных результатов [50J. Например,
И Т.Д.
56

Выше мы рассмотрели й-КС для деформированного осциллятора
p Аналогичные методы можно использовать для построения
П -КС других ктантотах алгебр, например, iU-^Ci) или 5ttq,A,1) .
Мы обсудим эти состояния « следующем разделе.
4. Некоторые приложения л-осциллятора».
4.1. Л-осцилляторное представление 6ИЛ%) . Изтестно,
что генераторы алгебры Ли можно выразить через операторы рожде-
рождения и уничтожения (или операторы координаты и импульса) одного
или нескольких осцилляторе [52, 53]. Такое представление назы-
называют канонической реализацией или бозонизацией. Аналогичная си-
ситуация имеется и для к*антолых алгебр Хопфа, генераторы которых
можно реализовать образующими алгебры Д(@ для одного или
нескольких независимых л -осцилляторов [19-23, 40-42J. Мы бу-
будем называть такое представление л-канонической реализацией
или Л-осцилляторным препста^лением. В общем случае, имея кон-
конкретную бозонизацию генераторов алгебры Ли, мы получим d-осцил-
ляторное представление соотрететтующей конторой алгебры, заме-
заменяя бозонные операторы на образующие л-осцилляторной алгебры
ДС$) • В этом и следующих пунктах мы рассмотрим эту задачу
для простейших к^анто^ых алгебр 6H^iZ) и 5il^H,i) и к*>анто"ых
супералгебр il^A И) , Йф^О 12) . Рассмотрим сперва к^антотпо
алгебру Хопфа dUuCV). &T* алгебра является компактной формой
для ilt(,2) , описанной *ыше B.43-46). Генераторы J0,D+ кран-
торой алгебры ИЬл(.?) удовлетворяют ПС.
М1г D.D
Структура алгебры Хопфа устанарлирается соотношениями B.45-46).
Известно (см., например,[17]), что неприродимые представления
Т"' для 51WCI) индексируются целыми и полуцелыми значениями
й-спинаj,\=0,У%,\,Щ,... и цейструют р пространстве размер-
размерности d=2j+i . Обозначим {lj,wi>$ W=-j,-JH.<'>JH,jj
базис р \jl и определим действие образующих алгебры iilAi)
по
л % , ... D.2)
Оператор Казимира
57

Hr^J+J_ D.3)
дейст'ует на |j,w> по правилу
О
Векторы lj,W> получаются из старшего вектора Ij,-J> повторным
действием оператора 0+
D.5)
Если Lo ,L+ генераторы алгебры Ли 6u,(Jl) р представлении I ,
удовлетворяющие недеформированному варианту соотношений D.1),
то
D.6)
Отметим, что эти равенства можно рассматривать, как реализацию
в представлении Т1* деформирующего отображения [54].
Удобно реализовать yj в виде пространства многочленов от
двух переменных. Тогда
'j'm>= ,/г. ! ,г. li' D.7)
В этом случае генераторы можно реализовать в виде (У- производ-
производных [55-56]. Т
D.8)
Здесь D действует на §(,U>,V) как (I- производная B.39)
по переменной ff . В этой реализации скалярное произведение в
пространстве представления V"* определяется по
Базис D.7) является ортонормированным по этому скалярному произ-
58

ведению. ,^
Пусть $((\,; &± > ^) > 1=М,2, два независимых! й,-осци-
ллятора B.1). Тогда операторы D.1) можно представить в
[21, 22J
В этом л-осцилляторном представлении базисные «екторы
имеют »ид
имеют
DЛ1)
В [47] для ilia (.2) <5ылИ вяецены когерентные состояния в смысле
Переломова
Это позволяет формально ввести голоморфное представление у
=<й||^ » где ||> произвольный вектор из \А* ^см« раздел 3).
В этом представлении генераторы квантовой алгебры реализуются в
>ЩЩ=Кя-< , l=zfz -jl, D.i3)
где Д, и Кл определены в B.39-40). В [47J приведены формулы,
определяющие для этих состояний разложение единицы, скалярное
произведение и т.п.. Однако, опыт работы с Д,-КС (см. раздел 3)
показывает, что эти формулы требуют достаточно детального обосно-
обоснования, а возможно, и корректировки, например, области интегриро-
интегрирования в формуле для разложения единицы. Мы надеемся рассмотреть
этот вопрос в отдельной работе.
w В заключение этого пункта отметим, что мы предполагаем, что
(\ Ф\ . Некоторые особенности случая, когда параметр п, явля-
является корнем из единицы обсуждаются, например, в [5б].
4.2. л-осцилляторное представление МлИ,4) • Квантовая
алгебра 4tL,( 1,1) является некомпактной формой алгебры dltiB) . Эта
алгебра порождается тремя образующими К0,К+ с ПС
59

СК„К±3-*К± , [k+.KJ —Г2КД^, D.14)
которые отличаются от D.1) знаком в последнем равенстве. Опера-
Оператор Казимира для Ailnii D
Т^-К-к+Чк^-^-К+К.. D.15)
Как и (ИКи) , квантовая алгебра iii^Ci,^) имеет несколько
серий представлений. Мы будем рассматривать только представления
Dk являющиеся аналогами представлений положительной дискрет-
дискретной серии. Все эти представления бесконечномерны и индексируются
положительным целым или полуцелым числом к . Пусть {|k,W> »
t*l=0,i,2,...} базис в гильбертовом пространстве Vk представ-
представления D^ • Тогда действие генераторов имеет вид
DЛ6)
Имеем также
. 2
[k-JJ I
Несложно убедиться в том, что элементы этого базиса получаются
из вектора старшего веса Ik,О повторным действием оператора К
(^^JK+ll<^>. D.I9
Здесь
([atyH- [аЗ^- Ш%'.. : 1ь**-\\ D.ао)
Д,-символ Похгаммера.
Пространство V можно реализовать в виде гильбертова
пространства :rk функций от %?-(L аналитических в открытом кру-
круге 1X1 <1 . Осаиярное произведение в ^ определяется формулой
D.2D
№1-1
60

(если к=4 « т0 д-~ > яр )• Элементам базиса 1к,т>
" 9^ соответствуют функции
) &*, D.22)
образующие ортогональный, но не нормироранный базис в
к
Здесь ВлС^^к) й -аналог бэта^ункции 2)Ы,1к),
D>24)
а -У2(х-Ых-2)
С(х)=4 Г(ж;й),
* Т D.25)
где Г(?;<р Д-Г-функция й,-анализа [9]
со и-аа^ D-26)
Отметим, что ^-Г-функция Г,(Л) D.25) удовлетворяет,
естественным соотношениям
I D.27)
В J^ генераторы алгебры ^ЦяС^О имеют риц
где M,D^,K^ определены * B.38-40). При f^
и, p частности, при $ = iIm(Z) D.22)
61

% к D.30)
-У
Генераторы К0,К± можно реализовать [23J при помощи образующих
алгебры ЛЩ\ CL±,JT)i
У ' • D.32)
В этом случае пространство JlF представления Фока \Щ,-ощияля-
тора A(.\[ty) расщепляется в прямую сумму двух неприводимых
компонент % =%0Ф % , где Ж0(Ж^) образовано состояниями с
четным (нечетным) числом Л-квантов. Из D.32) и D.15) полу-
получаем на базисном элементе / и-> из Жс
1Я->. D.33)
/) | 3
Тогда из D.18) следует, что к = -ц или к = -ц . Учитывая D.16),
видим, что в %о действует представление с к=7[ и I2w> =
= \A-im,y , а в %А имеем к=$г и !2ж-+"<> = | ^-'М-У .
Укажем также л-аналог реализации Гольдштейна-Примакова
[40]
Пусть L0,L± генераторы алгебры Ли И1(.^1) реализованные
аналогично D.34) при помощи обычных операторов рождения и унич-
уничтожения с± бозонного осциллятора:
Отметим, что генераторы ко,К+ и нецеформированные генерато-
генераторы связаны [40] деформирующим отображением
, ko=Le. D.36)
Генераторы квантовой алгебры 5и*A?О мояно реализовать
62

также паро" П -осттлляторов Л (О,', Л± , Jf-b) , i=i,2, [23].
В этом случае .,
J5+O , K+-CK.)-fliaf. D.37)
Эти ра^енст^а позволяют опрепелить прецста^ение для М^Ц,О
" $'^® $ Поскольку оператор (jf^-Jf) коммутирует со
есеми генераторами D.37), то мы получаем приводимое прецста^ле-
ние. Разложение ятого представления на кеприродимые соот"етст"у-
ет разложению
< 14
Ж, растягивается базисными лекторами {|И-4> ® 1Н2>] с ^-П2 = ^;
Еще одно Л-осциляторное представление можно получить [23J
используя копроизведение Д на itLC'f, 1) :
^ + ^K'eK±. D.39)
Определим а^=Л±»1 , 0% = i® &± ,ЖЛ =
где Q,±,Jf генераторы Д((/^") • Тогда имеем
Пространство dvF® dbF соответствующего представления можно раз-
разложить не неприводимые
F ^^
В D.41) неприводимые компоненты %к индексируются собственным
значением генератора Ко на секторе младшего "еса
а |к,Н> можно получить из 1к,0> повторным действием оператора
Определим для 6^0,^) когерентные состояния в смысле Глаубе-
ра (Барута-Яйрарделло), т.е., как собстРеннне состояния оператора
K_lk,2> =?1к,2>. D'43)
63

Разложи* 1к,56>по базису 1к,Ж'> в пространстве V« представле-
представления D+ и решая реккурентное соотношение для коэффициентов,
Из ортонормированнооти состояний lk,«t> получаем
/ 1у ^ I [у 5, ^ —»• ^ ¦' ~
D.46)
Другой вариант КС для 6ИЛ^
чим, действуя на 1к,0> оператором
- КС я смысле Пег^ломора - полу-
полуL40J (см. также [47J).
D.47)
<k,*Jk,V =O-f,22) D#48)
(предполагается, что \Ъ\ < ty ). В [40J отмечается, что fj, -
экспоненту *• D.47) можно заменить на обыкновенную (см. D.36)):
D.49)
Это соотношение означает, что КС в смысле Переломора для
не деформируется. Мы предполагаем обсудить КС для 611» A,4)
более подробно т> отдельной публикации. (Отметим, что формальные
соотношения выписанные * [47J требуют на наш взгляд подробного
обоснования).
4.3. Л-осцияляторное представление крэнторых супералгебр.
Для кранторои супералгебры 5tn(«f./ft)(,- осцилляторная реализация
была предложена я [20]. Укажем, соотретструивую конструкцию для
случая !$СлBМ), так как обобщение на случай произвольных ж- и
И/ достаточно очевидно. Для определенности из двух матриц Кар-
тана, отвечающих 4^(ЯМ) , шберем ^ = [^3 "'[J.J]»
(вторая матрица равна Д =(_?. У) ). Тогда ПС имеют вид
64

где коммутатор градуирован рсл)р(б)
[a,6j-ofc-(-) k, D.51)
P(a)- четность элемента a ; р(Х<)=р(У<)='(, р(Х2)=р(У2)=О.
Удобно т-яести дополнительный набор генераторов
V^.'HtX.X.-^X, , V3 = CX,V234h , К=Ккг, D.52)
(дополнительные ПС следуют из D.52) и (.4.50) [20]). Если/±,М
фермиегский л-осциллятор B.49), а Д-+ ,Jf\, , 1=4,2 , пара
независимых бозонных л-осцилляторов B.1), то п- осцилляторное
представление имеет шд
« Ч
D.53)
В случае 61е (И'/и^) ^,-осцилляторная реализация включает столько
фермионных л -осцилляторов, сколько имеется нулевых диагональ-
диагональных элементов в матрице Картана, так как генераторы, сооткетсттую-
щие корневым ректорам нулеюй длины нечетны, (см. детали v [20]).
Для § -супералгебры 0ip^CV2) порождаемой тремя базис-
базисными элементами V± > п основные ПС имеет рид
± 1 ' I I J,j, ^
Эти генераторы выражаются через порождающие элементы ^-осцил-
^-осциллятора А-Cty1) такого что
по формулам [4IJ
V± =i-(Cfl,+^)D+4 ЩЦ+Ц'') л± » W=^CN+^). D.55)
Для реализации 05р(.2/2) наряду с ЛЩ) потребуется и фермионный
Д-осциллятор [41].
4.4. Деформиро»ганная модель Джейнса-Каммингса. В [40J обсуж-
обсуждался «опрос о деформации этой простейшей модели ктаэтогай оптики.
5- Заказ 1007 65

В приближении ротационных поян для случая взаимодействия завися-
зависящего от интенсивности гамильтониан модели имеет тад
, , о
где бс,б± - матрицы Паули, a V+ -бозонные операторы. Деформа-
Деформация гамильтониана взаимодействия припщит к
где мы учли D.34). Деформированная модель имеет dH^D,4)©3U-B)
в качестве динамической алгебры. Оператор эволюции деформирован-
деформированной модели имеет -ид Q40J
(ссьш, -
Ш)=ео^р(-4Н^) = I . мЛь ^tjj D.56)
/=К_К+= [Г+О* , / = К+ К_ г
В [40] рассмотрена г^олтоиия инверсии заселенности <^(t)> » слу-
случае, когда бозонная мода находилась в ii —КС C.II), и iU-Aiji) -
КС D.44) и D.49). Эти результаты можно распространить и на су-
суперсимметричный рариант модели.
4.5. Обсуждение деформации модели Джейнса-Каммингса в преды-
предыдущем пункте указывает на возможность изучения деформаций других
модельных сиетем. В частности, * к««нтовой оптике представляет
определенный интерес рассмотрение деформированных сжатых состоя-
состояний либо как деформацию непосредст^еньс д^уфотонных состояний,
либо как 4U-(i,('|,'O- КС учетом Л -осиилляторной реализации гене-
генераторов. Среди других физических приложений отметим попытку тл-
числения фазы Берри, для (У -спина в магнитном поле [57J или
использо^ние л,-осцилляторов для описания нелинейнкх траекто-
траекторий в дуальных резонансных моделях [33, 34J.
Укажем также, что анализ физической задает релятивистского
гармонического осциллятора, связанный с заменой плоских ролн на
функции Гельфанда-Граера и факторизацией модельного гамильтониана
привел [58J к операторам, описывающим Л-ошиллятор, причем
соот^етстттощая алгебра динамической симметрии является кпанто-
той алгеброй iii.(i,i) c форме Воронотача-Виттена [7, 59].
В заключение раздела отметим, что перспективным является
использование ^-осциллятора для изучения деформированных спе-
специальных функций ^/-анализа [38, 60]. В частности й,-аналог
66

полиномов Эрмита
а, А н-1 Я
) Н/L 1\ Н
Н D.57)
можно получить из порождающей функции
H (x), D.58)
ярляющейся решением уравнения
jf
Хо)E;Х)=ЛбОA;Х) , %=а+ + (\п-. D.59)
Отметим, что Нн можно представить * «иде
^ [u]^^^^^?^ D-60)
где Т (C05V) = CO5 HV многоилен Чебышева 1-го рода.
5. Обобщение на случай нескольких осцилляторе.
Уже я первой из известных нам работ по CL -осцилляторам [33}
использовалось несколько пар операторов п%? , которые
роряли соотношениям
Ф 0' <*>
без каких-либо условий на произведения п>_ Л_ или Л+ Л+ .
Ми еще гернемся к этой алгебре, а сейчас перечислим работы, кото-
которые относятся к случаю нескольких п -осцилляторе: I) Реализа-
Реализация кантонах алгебр осуществлялась с использованием независимых
осцилляторов [I9-23J , когда каждая тройка Сй.а',fl,'+' ,Jf^) порождает
Jt-(<P B.1), а операторы с различными индексами коммутируют
между собой (см. таппе). 2) Аналогия с инвариантностью коммутацион-
коммутационных соотношений Я обычных бозе-осиилляторо* 6±' относительно
группы унитарных преобразований 5С2'~* 21^к^-"\ Lu? } ?¦ SU(.*$
привела к рассмотрению [6IJ зацепляющихся й-осцилляторе, ко-
рариантных относительно конторой группы 517^(и-) . Эти соот-
соотношения будут получены нами ниже р формализме fj-матрицы [3J,
обсуждение в рамках которого кранторых (или л-деформированных,
или некоммутатирных) пространств прироцит к более общим алгебрам.
3) Деформация канонических коммутационных соотношений розникла и
непосрецстренно г случае бесконечного числа степеней свободы р
67

теории Лакторизапионного рассеяния » дтмерном пространстве "ре-
мени.
Соответствующая последнему случаю алгебра Замолодчико"а-
Фадцеса порождается операторами рождения At (w) и уничтожения
А: ((Г) , зависящими от изотопического индекса (?,j=4,%,...,ft,)
и импульса U, . Эти операторы удорлетгоряют соотношениям [62 J
^, E.2)
jiS*k сcr- a-), E.3)
ijK(<eje4j^), E.4)
где ftxtt матрица SW) является решением уравнения Янга-Баксте-
Янга-Бакстера и интерпретируется как двухчастичная $-матрица [I, 2J.
Постулируя конечномерный аналог соотношений E.2-4), когда
операторы не зависят от непрерывного параметра V , мы ры*едем
для специальных R-матриц, фигурирующих в этих соотношениях,
зацепляющиеся й-огаилляторы [6IJ и после соот^ет.сттующей заме-
замены получим независимые л-осцилляторы: $АЩ; Л(± ,Jf^) [23J.
Перепишем соотношения алгебры Замолодчико*а-Фаддеет>а, счи-
считая A^(tt-) компонентами столбца, а А: СО элементами строки
и используя »>екторные и тензорные обозначения
Аса-) <8> Actr) = SCtt-ir) Act;) в Аса),
9 А+(а) Psttt-tr) P,
+
Обозначим генераторы конечномерного аналога Т?,*Р: • Пусть
Ф = 1Ч|11 (столбец), аф=№*|| (строка). Тогда постулируемые со-
соотношения имеют вид
Ф® ф =(гФ®Ф, Eшб)
E#8)
где U - решение уравнения Янга-Бакстера в тензорной форме (соот-
(соотношения для генераторов группы кос):
68

Выберем т> качестве R, решение уравнения E.9), участвующее
* определении к^антогой группы SlL(fO (точнее A(ft)- алгебры
функций на формальной квантоюй группе), порождаемой генератора-
генераторами t(,j . Последние, будучи расположены в виде пхп матрицы Т >
удовлетворяют соотношениям C3J
где значок ® относится к И'ХИ' матрицам, а их элементы принадле-
принадлежат одной и той же алгебре A (ft) ;п>2хиг матрица Я = Рп ,
Р оператор перестановки в t?,n®Cn ,a R^ -матрица из [3], выра-
выраженная через базисные матрицы F;:)„„ = б;., 5;г пространства
MCCw)J J
'
В компонентах соотношения E.6-8) с (^.-матрицей E.II) имеют
"ид [23, 61J
E.13)
Отметим, что соотношения E.6-8) и E.12-13) кояариантны относи-
относительно (ко)цейстт1ия квантовой группы SIL(H') которое опреде-
определяется отображениями
ф->$=Т®Ф, Ф+"^Ф+=Ф+®5(Т), E.14)
где @) , р отличии от ® в E.10), подчеркивает алгебраическую
независимость элементов матрицы Т и компонент столбца ф или
строки ф , которые перемножаются обычным образом if-=^.i-iK®$к .
5(Т) в E.14) значение антипода 5 на элементах Т Г3J
S(T)T = TS(T)=i # EЛ5)
Легко проверить, что » силу E.10) но^ый набор генераторов ф и
ф+ удовлет-чзряет соотношениям E.6-7). Ра^енсттю E.8) также
сохраняется, как следствие E.15) и соотношения
69

T)l)R( 1), E.16)
которое штекает из E.10).
Пусть V линейное пространств элементов <Р- , а V - двой-
двойственное пространство. Тогда отображения E.14)
удовлетворяют «сем аксиомам кояейет^ия биалгебры А(&) на ли-
линейном пространстве.
Из
где и =»(W, , получаем
4 + U~ * ) L *? % = П
Операторы ^,C^i,Jf: взаимно коммутируют и являются генераторами
>V независимых алгебр Jt-Cty » Л^, п\ , Jft) . Таким образом мы
сизели рее три случая нескольких п,-осцилляторов, перечислен-
перечисленные г начале этого раздела.
Определяемая E.1) алгебра T/^Cty) не эквивалентна приведе-
приведенным тяпе, поскольку »> ней нет соотношений на элементы п,-, (J; и
п- (Х-. . Это означает, что размерности подпространств заданной
градуировки у Т?и(<р и ЛгЛС^) различны.
Работы [29, 64J содержат обсуждение положительности метрики
гильбертова пространства % , порожденного базисными ректорами
РИца + \ + % + ны
E.20)
Естественный f теории поля вопрос бесконечного числа степе-
степеней сободы и ктонтотмх локальных полей, связанных с ^.-осцилля-
^.-осцилляторами затраги^лся в [29J. Основная трудность, на наш взгляд,
^ыз^ана отсутствием удоглет^орительного преобразования от импульс-
импульсного пространства к координатному для соотношений E.2-4) ( Q. -
аналога преобразорания Щурье). Возможными кандидатами на роль та-
таких полей могут быть локальные поля обменной или киральной алгеб-
алгебры, которые сравнительно просто определяются в двумерном прост-
70

ранстт-е-гремени (см., например, [63J)
(&5^СХ-р > Х<#. E.21)
Литература
1. Faddeev L.D., Integrable models in A+1)-dimensional
Quantum field theory. In: Les Hou.ch.es Lectures 1982. (Elsevi-
er: Amsterdam 1984). p.563.
2. К u 1 i s h P.P., Sklyanin E.K., Lect.Notes in
Phys. 1982, v.151, p.61-119.
3. Решетихин Н.Ю., Тахта ц ж я н Л.А.,
ieuee " Л.Д. Алгебра и Анализ 1989, т.1, № I, с. 178-
206.
4. Takhtajan L.A., Adv.Studies in Pure Math. 1989, v.19,
p.435-457.
5. J i m b о М., Intern. J.Mod.Phys.iier.A. 1989, v.4, И 15,
p.3759-3778.
6. С о n n e s A., IHES Publ.Math. 1986, Ы 62.
7. Woronowicz S.L., Publ.EIMS 1987, v.23, И 1, p.117-
181.
8. A b e E., Hopf Algebras, Cambridge tracts in math. v.74.
Cambridge Univ.Press 1980, 301 p.
9« Andrews G.E., d,-3eries, AMS regional conference ser.
in Math. H 66, 1986, 130 p.
10. R а к с и а н Л.Л., Сойбельман Я. С, Функи.ана-
Функи.анализ и прил. 1988, т.22, № 3, с.1-14.
11. U e n о К., Takebayashi , Y.S hibukawa,
Lett.Math.Phys. 1989, v.18.
12. К у л и ш П.П., Решетихин Н.Ю. Зап.научн.семин.
ЛОМИ, T98I, t.TCI, c.IOI-IIO.
13. С к л я и и н Е.К. Функц.анал. и прил. 1982, т.16, и 4,
с. 27-34.
14. $ a d d e e v L.O., Takhtaj an L.A., Lect.Hotes
in Phys. 1986, v.246, p.166-179.
15. К u 1 i s h P.P., Preprint RIMS-615 Kyoto; Kulish P,P.,
Reshetikhin H.Yu., Lett.Math.Phys. 1989, v.18, p.143-149.
16. Drinfeld V.G., Proc.ICM, Berkeley 1986, Sd.by
Gleason A.M., Providence RI, AMS, v.1, p.798-820.
17. J i m b о М., Lett.Math.Phys. 1985, v.10, p.63-71; 1986,
v.11, p.247-252; Commun.Math.Phys. 1986, v.102, H 4, p.537-
548.
71

18. R о s s о M. Common.Math.Phys. 1988, v. 117, M 3. p.582-
593.
19. H а у a s h i T. Commun.Math.Piiys. 1990, v.127, N 1, p.129-
144.
20. Chaichian M., Kulish P.P. Phys.Lett. B.
v.234, N 1/2, p.72-80.
21. Biedenharn L.C. J.Phys.A: 1989, v.22, H 18,
P.L983-L986.
22. Macfarlane A.J. J.Phys.A: 1989, v.22, N 21, p.
4581-4586.
23. К u 1 i s h P.P., Damaskinsky E.V., J.Phys.
A: 1990, v.23, И 9, p.415-419.
24. N g Y.J., J.Phys.A: 1990, v.23, p.1023-1026.
25. Uf H., A i z a w a N., Mod.Phys.Lett., 1990, v.5, N.4»
p.237-242.
26. P u t a a m C.R., Commutation Properties of Hilbert space
Operators. Ergeb.Math. und Grenzgebiete, b.36. Springer-
Verlag Berlin 1967, 167 p.
27. Garrison J.C., Wong J. J.Math.Phys., 1970,
v.11, И 8, p.2242-2248.
28. А л и м о т. А.Л., Дамаскинский Е.В., ТМ§,
1979, т.38, » I, 58-70.
29. Greenberg O.W. Phys.Rev.Lett. 1990, v.64, H 7, p.
705-709.
30. Ohnuki Y., Kamefuchi S. Quantum Field
Theory and Parastatistics, Springer-Verlag, Berlin, 1982.
31. W i g n e г Е.Р., Phys.Rev. 1950, v.77, p.711-715.
32. O'Raifeartaigh L.,Ryan С Proc.Roy.
Irish.Ac, ser.A, 1963, v.62, p.93-115. G r u b e г В.,
O'Raifeartaigh L. ibid. 1964, v.63, p.69-73.
33. Coon D.D., Y u S.,Baker M.M. Phys.Rev.D,
1972, v.5, И 6, 1429-1433.
34. A r i k M., Coon D.D. J.Math.Phys., 1975, v.16, H 9,
p.1776-1779.
35. A r i к M., Coon D.I). J.Math.Phys.D., 1976, v.17,.
Й 4, p.524-527.
36. Курышкин В.В. Деп. ВИНИТИ 1976, И 3937-76; Ann.
Found.L.de Broglie, 1980, v.5, p.111-126; Балашова
C.A., Курышкин B.B., Энтральго Э.Э.,
ЭЧАЯ 1989, т.20, № 4, с.965-987.
37. Jannussis A. et al., Hadronic J. 1980,
v.3, И 6, p.1622-1632} Lett.Huovo Cim. 1983, v.38,- H 5,
72

p.155-160.
38. JPeinsilver Ph., Rocky Mountain J.Math. 1982, v.12,
N 1, p.171-183. Mh.Math., 1987, v.104, И 2, p.89-108.
39. С i g 1 e r J., Mh.Math.., 1979, v.88, N 1, р.87-Ю5.
40. Chaiohian M,, Ellinas D., Kulish
P., Phys.Rev.Lett. 1990, v.65, N 8, p.980-983.
41. Chaiohian M., Kulish P., Lukierski
J., Phys.Lett.В., 1990, v.237, И 3/4, p.401-406.
42. К у л и ш П.П. ТМФ, 1991, т.86, Щ I, с.158-161.
43. Gray R.W., И е 1 s о n Ch.A., 1990, preprint SUNI
BIHG 7/11/90.
44. 3 о n g X.-C, J.Phys.A., 1990, v.23, И 16, p.L821-L825.
45. 3 u n C.-P., F u H.-C. J.Phys.A., 1989, v.22, И 21,
P.L983-986.
46. Floreanini R., Lie Vinet, J.Phys.A.,
1990, v.23, И 19, p.L1O19-L1O23.
47. J u г с о В. On coherent states for the simplest quantum
groups, preprint 1990.
48. Streater R.P., Commun.Math.Phys., 1967, v.4, И 3,
p.217-236.
49. Celegini E., Giachetti R., Sorace
E., Tarlini M., Preprint IHEH/90/1. Pirenze, J.Math.
Phys., 1990 (to be publ.).
50. Aragone C, Zypman P., J.Phys.A, 1986, v.19,
И 12, p.2267-2279.
51. Березт Ф.А. Изв. АН СССР, сер.мат. 1972, т.35, № 5,
C.II34-II67.
52. Б а р у т А., Р о н ч к а Р., Теория представлений
групп и её приложения. т.Т, 2, Мир М. 1980, 455+395 с.
53. Е х и е г R., Havlicek М., Lassner If.,
Czech.J.Phys. ser.B, 1976, v.26, И 11, p.1213-1238.
54. Curtright T..L., Z а с h о s C.K. Phys.Lett.B,
1990, v.243» К 3, p.237-244; Z а с h о s C. Paradigms
of quantum algebras, preprint AHL-HEP-RP-90-61, 1990, 17 p.
(to be publ.)
55. H u e g g H. Preprint UGVA-DPI 1989/08-625, Geneva 1989,
9 P.
56. Alvarez-Gaume L., Gomez C., Sierra
G. Nucl.Phys.B, 1990, v.330, H 2/3, p.347-398.
57. 3 о n i S.K., J.Phys.A., 1990, v.23, p.L951-L955.
58. Kagrafflanov E., Mir-Kasimov R.,
N a g i у e v Sh., J.Math.Phys. 1990, v.31, И 7, p.1733-1738.
73

59. W i t t e n E., Nucl.Phys.B. 1990, v.330, N 2/3, p.285-
346.
60. Атакишие* H.M., Суслов C.K., ЛМФ, 1990,
t.85, 9 I, c.64-73.
61. P u s z W., IVoronowicz S.L., Repts.Mat.Phys.
1989, v.27, H 2, p.231-257.
62. Кулиш П.П. Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1981, т.109, с.83-92.
63. S m i r n о v P. A. Commun.Math.Phys., 1990, v.132, p.415-
439.
64. Р i v в 1 D.I- Preprint IP90.Univ. Maryland
Damaskinsky E.V., Kulish P.P. Deformed oscillators and their
applications.
Some variants of definitions and properties of deformed
oscillators are reviewed. The <? -analogs of coherent states
are studied. Some applications of <? -oscillators, such aa ft -
oscillator representations of quantum algebras and superal-
gebras, ^-coherent states of Sii/n (.%) and Sty&di^) quant
gebras and the deformed Jaynes-Cummings model are considered.
Generalizations to the case of several degrees of freedom are
also given.
74

АКАДЕМИЯ НАУК
СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК
ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ЗАПИСКИ НАУЧНЫХ СЕМИНАРОВ ЛОМИ, том 189
ВОПРОСЫ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 10
Сборник работ под редакцией
П.П.КУЛИША и В.Н.ПОПОВА
ЛЕНИНГРАД
„НАУКА"
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1991