Введение в кинетическую теорию газов - Силин В.П.

Author: Силин В.П.
Tags: физика кинетика
Year: 1998
Similar
Введение в теорию кинетических уравнений
Классическая кинетическая теория жидкостей и газов
Введение в теорию суперструн
Кинетическая теория жидкостей
Text
                    В.П.СИЛИН
ВВЕДЕНИЕ
В КИНЕТИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ
ГАЗОВ

В. П. СИЛИН
ВВЕДЕНИЕ
В КИНЕТИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ ГАЗОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. И. Н. ЛЕБЕДЕВА
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ПАУК
Москва 1998

&30 1
С 36
УДК 530.1
Введение в кинетическую теорию газов. С и-
л и н В. П., Монография, Главная редакция физико»
математической литературы издательства «Наука,
1971.
Монография посвящена широкому кругу вопросов
кинетической теории гаэов. Изложены основные по-
положения теории и описано ее применение к наиболее
типичным задачам. Большое внимание уделено кинетике
разреженной плазмы. Дано общее обоснованно теории,
позволившее ныйти за рамки больцмановскоя кинетики
газов. Физическая общность изложения и рассмотрепие
большого числа конкретных физических задач позво-
позволяют этой книге служить пособием для всех изучаю-
изучающих физическую кинетику.
Рис. 5. Библ. 188 назв.
2-3:2 © Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН
15 ь7и © Силин Виктор Павлович

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Глава I. Кинетическое уравнение Бодьцмана 21
§ 1. Функция распределения 21
§ 2. Кинетическое уравнение для идеального газа 23
§ 3. Кинетическое уравнение Больцмана 23
§ 4. Решение уравнения Больцмана для равновесного состояния 28
§ 5. ^/-теорема Больцмана 31
§ 6. Устойчивость равновесного состояния газа и релаксация
неравновесных распределений 33
Глава II. Вывод уравнений переноса методом Энскога — Чепмена 45
§ 7. Макроскопические величины, характеризующие неравно-
неравновесное состояние гала 45
§ 8. Уравнения гидрогазодинамики 48
§ 9. Основные положения метода Энскога — Чепмена 52
§ 10. Уравнение первого приближения для простого газа 54
§ 11. Решение уравнения первого приближения для простого газа 55
§ 12. Решение уравнения первого приближении для простого га-
газа (продолжение) 59
§ 13. Теплопроводность и вязкость простого газа 60
§ 14. Уравнения первого приближения для бинарпой смеси ... 63
§ 15. Перенос массы и коэффициенты диффузии бинарной газо-
газовой смеси 65
§ 16. Вычисление коэффициента диффузии бинарной смеси ... 67
§ 17. Вычисление коэффициента термодиффузии 70
§ 18. Уравнение баланса энтропии 73
§ 19. Частота столкновений и длина свободного пробега. Необ-
Необходимые условия применимости метода Энскога — Чепмена 76
Задачи 80
Глана III. Представления кинетики сильно разреженных газов 82
§ 20. Уравнения и граничные условия 82
§ 21. Эффувня . . . , , 84

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 22. Свободно-молекулярное течение вдоль длинной трубы . . 85
§ 23. Свободное расширение газа в пустоту 89
§ 24. Сопротивление тел в установившемся свободно-молекуляр-
свободно-молекулярном потоке гааа 91
§ 25. Область разрежения позади тела, обтекаемого свободно-
молекулярным потоком разреженного газа 9/t
Задачи 98
Глава IV. Плазма без столкновений 103
§ 26. Уравнения самосогласованного поля 103
§ 27. Поле покоящегося точечного заряда в плазме 104
§ 28. Волны в «холодной» изотропной плазме 106
§ 29. Дисперсия и затухание продольных колебаний электрон-
электронной плазмы . . 107
§ 30. Ионно-звуковыо колебания пеизотермической плазмы .... 111
§ 31. Поле равномерно движущегося заряда в плазме 113
§ 32. Неустойчивость пучков в плазме. Многопотоковая гидро-
гидродинамика «холодной» плазмы 117
§ 33. Удержание плазмы магнитным полем 110
§ 34. Гравитационная (желобковая) неустойчивость магнитного
удержания плазмы 121
Задачи 123
Глава V. Столкновения заряженных частиц и обусловленные ими
релаксационные процессы в полностью ионизован-
ионизованной плазме 131
§ 35. Интеграл столкновений Ландау 131
§ 36. Передача энергии от электронов к ионам — релаксация
температуры 135
§ 37. Релаксация импульса электронов 137
§ 38. Поток энергии частиц плазмы поперек сильного магнитного
поля 139
| 39. Высокочастотная проводимость плазмы 141
Задачи 144
Глава VI. Получение уравнений переноса в плазме методом Греда 146
§ 40. Основные положения метода Греда 146
§ 41. Уравнения переноса в плазме в пятимомептном цриближе-
иии метода Греда 150
§ 42. Тринадцатимоментное приближение 154
§ 43. Гидродинамические уравнения неизотермической плазмы 162
Задачи 171
Глава VII. Обоснование кинетической теории газов (классическая
теория) 174
§ 44. Уравнение Лиувилля 174
| 45. Миогочастичные функции распределения и корреляцион-
корреляционные функции . . 180

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
{ 46. Кинетическое уравнение с самосогласованным полем . , . 182
i 47. Цепочка уравнений для функций распределения 185
J 48. Физические параметры малости, используемые при выводе
кинетических уравнений, н приближенные уравнения для
парной корреляционной функции 190
§ 49. Приближенная парная корреляционная функция, приво-
приводящая к интегралу столкновений Ландау. Условие ослаб-
ослабления корреляции 194
§ 50. Приближенная парная корреляционная функция, приво-
приводящая к интегралу столкновений Больцмана 200
Глава VIII. Обоснование кинетической теории газов (квантовая
теория) 206
| 51. Матрица плотности. Квантовое уравнение Лнувилля . . . 208
S 52. Цепочка уравнений для mboi очястичных матриц плотности.
Квантовое кинетическое уравнение с самосогласованным
нолем 211
§ 53. Квантовый вывод кинетического уравнения. Интеграл
столкновений Больцмана 216
Задачи 228
Г я а в а IX. Интеграл столкновений заряженных чаетиц. учнтшаю-
щжй дянашпескую поляризацию плазмы, а кяветака
взаимодействия частиц н плазменных колебаний.... 232
5 54. Уравнение для условных вероятностей облаков поляриза-
поляризации 232
§ 55. Интеграл столкновений заряженных частиц, учитываю-
учитывающий динамическую поляризацию плазмы 235
§ 56- Асимптотическая форма интеграла столкновения, учиты-
учитывающего динамическую поляризацию неязотермвческой
плазмы, обусловленную аффектом взаимодействия частиц с
ионным ввуком 240
} 57. Влияние ионно-звуковых колебаний на электронные потоки
в нежзотеркяческой плазме ................ 243
| 58. Кинетический уравнения, описывающие релаксацию рас-
распределения плазменных кодсб&ний и релаксацию распре-
распределений частиц, обусловленную взаимодействием с плаз-
плазменными колебаниями 252
$ 59. Квантовый интеграл столкновений заряженных частиц,
учитывающий динамическую поляризацию 260
| 60. Релятивистский интеграл столкновений 267
Задачи ..... 272
Г л а в а X. Какигятасжие квяевая, oSyszoassssuc гтолявовважмя
заряженных частиц в сильном магнитном поле, и кинети-
кинетика быстропеременнмх процессов ..... 276
| 61. Интеграл столкновений варяншшшх частиц, находящихся
в сильном поле 2"i)
{ 62. Релаксация температур влектрояов и ионов плазмы, иахо-
цкщейся в сильном магнитном пол* ..,,,. 282

в ОГЛАВЛЕНИЯ
§ 63. Высокочастотная диэлектрическая проницаемость плазмы
в условиях, когда период колебания пояя мал по сравне-
сравнению с временем взаимодействия сталкивающихся частиц . . . 280
§ 64. Высокочастотная диэлектрическая проницаемость плазмы
в сильной магнитном воле 291
Приложение I. Соотношения симметрии кинетических коэффициен-
коэффициентов Онсагера 302
Приложение II. Флуктуации в плазме без столкновений. 308
Приложение III. Кинетическая теория взаимодействия электромаг-
электромагнитных волн в веществе 311
Литература 324
ПРЕДИСЛОВИЕ
ко второму изданию книги
За прошедшее после первого издания книги довольно значительное
время произошли существенные изменения как в состоянии науки, так и в (
состоянии государственной системы поддержки науки. При этом наука в {
нашей стране продолжает поражать наше воображение своей результатив-
результативностью, несмотря на те поистине титанические усилия демореформаторов,
которые прилагались и продолжают прилагаться в направлении (
"реструктуризации науки". Получение новых результатов в кинетической
теории газов и плазмы могло бы позволить значительно расширить нашу
книгу. Однако бедность не позволяет этого сделать. С другой стороны сту-
студенты нашей все еще существующей Высшей Школы ощущают явный не-
недостаток в нашей книге, используемой ими в качестве учебного пособия. В i
.згой связи Дирекция Физического института им. II.H. Лебедева выступила {
с инициативой на некоммерческой основе издать второе издание нашей j
книги ha бале с«исй лидшрафической техники для восполнения ущерба ,
библиотек университетов и НИИ, возникшего в последние годы. При этом «
в новое издание внесены незначительные правки методического плана, а :
также добавлено Приложение, посвященное поучительному случаю raid (
Лоренца.
Хотелось бы надеяться, что пример ФИАНа, издающего для нужд поу-
поучения студентов эту книгу, станет предметом подражания и других акаде-
академических институтов по восполнению явного недостатка учебных пособий
для идущей нам на смену научной молодежи.
1998 год ЦП. С шин

ПРЕДИСЛОВИЕ
Мысль о написании этой книги возникла у меня при подготовке
лекций по физической кинетике, которые я в течение ряда лет чи-
читал в Московском инженерно-физическом институте. Начало реа-
реализации такой мысли связано с моей поездкой зимой 1965/66 года
в Индию, где я как эксперт ЮНЕСКО в Центре Передовой Науки
на факультете физики и астрофизики университета г. Дели про-
прочитал курс лекций «Основы кинетической теории плазмы», текст
которых там же был издан ротапринтным способом.
Основная цель, преследуемая мной при написании этой кни-
книги,— изложить основы кинетической теории газов в форме, преж-
прежде всего доступной студенту, начинающему изучать теоретическую
физику в специализированном вузе. В то же время, излагая мате-
материал вплоть до результатов, характеризующих новейшее разви-
развитие кинетической теории газов, я стремился создать для читателя
возможность получить знания, с помощью которых он мог бы попы-
попытаться наметить собственный путь в океане самостоятельных
исследований.
Значительная часть содержания изложена на основании про-
простых эвристических представлений, положенных в основу кинети-
кинетической теории газов Больцманом. Приложение больцмановской
кинетической теории газов к целому ряду конкретных задач со-
составляет содержание первых шести глав. При этом относительно
большое внимание уделено плазме. Это, во-первых, связано с важ-
важным своеобразием такого газа ионизованных частиц, а во-вторых,
со значительной разработанностью кинетической теории плазмы.
Обоснованию кинетической теории газов посвящены две главы,
в которых на основании статистической механики дан классический
и квантовый вывод интеграла столкновений Больцмана, а также
изложены положения, позволяющие выйти за рамки обычной
больцмановской кинетической теории газов. Соответствующий вы-
выход в область неприменимости теории, основывающейся на обыч-
обычном кинетическом уравнении Больцмана, дается в последних
главах книги. Здесь изложепы обобщенные интегралы столкнове-
столкновений для дальподействующих сил, учитывающие влияние многих
частиц плаямы на процессе парного соударения, проявляющееся

О ПРЕДИСЛОВИЕ
в поляризуемости плазмы, дан вывод кинетических уравнений,
учитывающих взаимодействие частиц с плазменными колебаниями,
а также описывающих релаксацию колебаний. Затем изложены
обобщенные интегралы столкновений в сильных полях, сущест-
существенно влияющих на движение сталкивающихся частиц в процессе
их соударения. Выход за рамки больцмановской кинетической
теории, достигнутый при построении новых обобщенных интегра-
интегралов столкновений, открывает возможность теоретического понима-
понимания новой области явлений недоступной старой теории. Ряд при-
приложений обобщенных интегралов столкновений к конкретным
физическим задачам также изложен в последних главах книги.
Идеи и представления, развитые и используемые в современной
кинетической теории газов, имеют более широкое значение и на-
находят свое отражение, например, в теории неравновесных процес-
процессов в твердых телах. Естественно, что широкого круга вопросов
кинетики твердых тел настоящая кпига не освещает. Однако для
понимания возможности использования современных представ-
представлений кинетической теории газов могут служить приведенные
в нашей книге результаты по квантовомеханическому обоснованию
кинетической теории.
Ограниченный объем книги и в еще большей степени ограни-
ограниченные возможности автора не позволили изложить кинетическую
теорию газов во всей ее полноте. В частности, поэтому книгу сле-
следует рассматривать как введение в кинетическую теорию газов.
Естественно, что на книгу наложили отпечаток те результаты,
которые стремился получить в построении кинетической теории
еще до написания этой книги ее автор. Все это может быть причи-
причиной отнюдь не полпого удовлетворения читателя. Однако я все же
стремился отразить в этой книге ту характерную тенденцию совре-
современной кинетической теории вообще и кинетической теории газов
в частности, которая проявляется в непрестанном совершенствова-
совершенствовании и развитии, и переходе от изучения явлений, описываемых
кинетической теорией Больцмана, к изучению явлений, требую-
требующих построения новой кинетической теории. Именно эта тенден-
тенденция привлекает к современной кинетической теории исследова-
исследователей, прилагающих усилия для ее развития, и, как мне хотелось
бы, привлечет некоторых из тех, кто прочитает эту книгу.
Июнь, 1968 г. В. Силин

ВВЕДЕНИЕ
Кинетическая теория галоп имеет дело с закономерностями,
проявляющимися в термодинамически неравновесных состояниях
газа. Как и перед другими разделами теоретической физики, перед
кинетической теорией газов стоит задача теоретического отыска-
отыскания законов, объясняющих экспериментально наблюдаемые яв-
явления и предсказывающих новые явления природы, подлежащие
экспериментальному наблюдению. Успех в решении такой задачи
возможен лишь тогда, когда в основу теории положены прежде
всего верные, а кроме того, и весьма глубокие представления, по-
позволяющие понять достаточно широкий круг явлений и вскрыть
сравнительно общие закономерности, характерные для такого
круга явлений. Страницы истории физики говорят о героических
усилиях большого числа естествоиспытателей, заложивших сиоимн
трудами основания современной кинетической теории, определяю-
определяющие ее положение среди других разделов теоретической физики,
а также и тот прогресс, которым характеризуется все непрестан-
непрестанное развитие кинетической теории вещества и кинетической теории
газов в частности.
Кинетическая теория вещества возникла в результате развития
общего учения о теплоте. При изучении тепловых иплений (теп-
(теплоты) в ходе исторического развития естествознания имелись
две тенденции, глубоко различающиеся друг от друга. Первая —
атомистическая тенденция,— долго не игравшая заметной роли
в развитии научных представлений о теплоте, привела в конце
концов к современной кипетической теории вещества. Вторая
тенденция была представлена сравнительно долго господствовав-
господствовавшей в науке и забытой ныне теорией теплорода. Атомистическая
тенденция искала объяснения явлений теплоты в движении частиц
вещества. Однако поскольку атомизм длительное время оставался
гипотезой, красота которой оценивалась далеко не всеми, а кроме
того, в течение весьма долгого времени эта гипотеза, хотя и не опро-
опровергалась накапливаемыми опытными данными, но все же не
находила подтверждений достаточных для убежденности большого
числа исследователей, то не следует удивляться тому, что наука о
теплоте шла по пути, предложенному теорией теплорода. В отличие

10 ВВЕДЕНИЕ
от атомистической концепции теория теплорода для объясне-
объяснения явлений, связанных с теплотой, выдвигала предположение
о существовании особой невесомой теплотворной формы вещества —
теплорода. Необходимость вводить представления о различных-
новых формах материи не раз возникала в теоретической физике.
Так было с введением чрезвычайно продуктивного понятия элек-
электромагнитного поля в прошлом веке, то же произошло на глазах
наших современников, когда возникли представления о различных
нолях дли различных новых сортов элементарных частиц. Введе-
Введение понятия теплорода оказалось и свое время в высшей степени
продуктивным. Оно позволило систематизировать имевшийся
экспериментальный материал, вскрыть важ.чые закономерности
тепловых явлений. Однако самого существенного в тепловых
явлениях теория теплорода не отражала. Именно она не отражал»
того факта, что сущность теплоты заключается в том, что в тепло-
тепловых явлениях проявляется движение атомов и молекул —■ частиц,
из которых состоит вещество материальных тел. В этом смысле
глубоко прав Энгельс, говоривший о теории теплорода как о та-
такой, в которой «реальные отношения поставлены па голову»,
С другой стороны, известное из древности превращение меха-
механического движения в теплоту указывало на то, что и теплота
является формой движения материи. Это положение получило
особенную поддержку в открытии превращения теплоты в механи-
механическое движение, приведшее к созданию паровой машины. Необ-
Необходимо подчеркнуть, что когда создались условия для изгнания
из учения о теплоте представления о теплороде, то, хотя стройное
здание теории тепла казалось и лишилось своего фундамента, оно
отнюдь не рухнуло, ибо, хотя существовавшая теория и не позво
ляла правильно ответить на вопрос о сущности тепловых явлений,
она, являясь феноменологической теорией, правильно отражала
закономерности тепловых явлений. Сущность таких явлений была
вскрыта механической теорией тепла, которая, рассматривая те-
теплоту как форму движения материи, пошла по пути, намеченному
гениальными атомистами прошлого, среди которых следует отме-
отметить нашего соотечественника Ломоносова.
В работах Д. Бернулли, Джоуля, Клаузиуса, Максвелла на ос-
основании представления о том, что теплота — это молекулярное
движение, был получен целый ряд характерных для газов зако-
закономерностей, вытекающих из конкретных свойств механического
движения молекул. Так, представление о движении молекул с по-
постоянной скоростью по прямолинейным путям, ударяющихся
о стенки сосуда, содержащего газ, и вызывающих тем самым дав-
давление, позволило объяснить отношения между давлением, темпера-
температурой и плотностью идеального газа. Были введены чрезвычайно
продуктивные понятия о среднем числе столкновений (частоте
столкновений) и средней длине пути (длине свободного пробега)

впк дни и к: 11
Молекул в газе. Последние понятия, помимо их продуктивности,
представляли принципиальный шаг по пути создания новых
статистических воззрений. Поэтому остановимся на этих понятиях
несколько подробнее.
В разреженном газе молекулы большей частью находятся на
больших расстояниях друг от друга, когда влияние их взаимодей-
взаимодействия относительно мало. Поэтому в газе малой плотности моле-
молекулы большей частью движутся свободно по прямолинейным тра-
траекториям. Можно говорить, что такое движение прерывается
при сближении молекул на расстояния, где их взаимодействие
становится существенным, что приводит к изменению их траекто-
траекторий движения. После такого взаимодействия — столкновения —
молекулы спова движутся по прямолинейным траекториям *).
Очевидно, что при малой плотности газа наиболее существенны
лишь парные столкновения частиц. В газе, где общее число частиц
весьма велико, движение различных молекул очень разнообразно.
Более того, например, для какой-то одной молекулы участки пути,
которые она проходит от одного столкновения до другого, различ-
различны. Также такие пути различны и для различных молекул, В то
же время ясно, что расстояние, проходимое молекулой газа от од-
одного столкновения до другого, является определенной мерой взаи-
взаимодействия частиц газа, определяющей его отклонение от идеаль-
идеальности. Поскольку такой путь даже для одной молекулы па разных
участках траектории в газе различен, то можно ввести усреднен-
усредненное для всех молекул расстояние, проходимое ими бел столкнове-
столкновений. Такой путь, называемый длиной свободного пробега (/),
позволяет, очевидно, определить связанное с ним среднее время
между последовательными столкновениями (х), называемое вре-
временем свободного пробега. Именно, х = llv, где v — средняя
беспорядочная скорость теплового движения молекул газа. Со-
Соответственно этому v = 1/х представляет собой среднее число стол-
кновепий молекулы в единицу времени, называемое частотой
столкнопений.
Представление о средней длине свободного пробега, введенное
Клаузиусом, содержит идею о необходимости использования
в кинетической теории газов статистических средних величин.
Эта важнейшая идея, развитая и несравненно обогащенная рабо-
работами Максвелла, Оольцмана, Гиббса, привела к современной ста-
статистической механике. Однако, прежде чем говорить о развитии
идеи статистических закономерностей, коснемся тех физических
следствий, которые могут быть получены на основании представ-
представления о длине свободного пробега.
*) Такая картина взаимодействия, очевидно, точна дли разреженного
гаяа непроницаемых шариков, взаимодействующих лишь в моменты столкно-
столкновений.

12 ВВЕДЕНИИ
В качестве типичного примера рассмотрим вопрос о внутреп-
пем трении (вязкости) газа. Внутреннее треиие проявляется в ус-
условиях, когда наряду с беспорядочным тепловым движением мо-
молекул в газе имеется направленное движение всей массы газа
с пространственно неоднородной скоростью. Пусть средпяя ско-
скорость направленного течения газа равна и и направлена вдоль
оси х. Пудем для простоты считать, что такая скорость зависит
лишь от координаты у. Для того, чтобы попять, каковы возни-
возникающие в таком потоке газа силы трения, рассмотрим перенос
потока импульса газа, связанный с направленным движением и
переносимый молекулами между плоскостями слоя у и у -f- I,
толщина которого равна длине свободного пробега. Принимая,
что внутри такого слоя молекулы не претерпевают соударений,
можно считать, что перенос импульса к плоскости у + I проис-
происходит в результате удара об эту плоскость молекул, пришедших
от плоскости у, а перенос к плоскости у от молекул, пришедших
от плоскости у -\- I. При этом импульс, связанный с направленным
движением газа, приходящий вместе с молекулой от плоскости у,
равен ти(у), а с молекулой от плоскости у + I равен ти(у -\- Г),
где т — масса молекулы. Далее, поскольку число молекул, про-
проходящих в единицу времени через единичную площадку, равно
произведению скорости теплового движения (и) на число молекул
в единице объема (л), то плотность потока импульса, переносимо-
переносимого между поверхностями рассматриваемого слоя в результате
теплового движения молекул и обусловленного пространственной
неоднородностью скорости и, равна П = nv [ти(у) — пш(у + I)].
Считая длину свободного пробега много меньшей характерного
расстояния изменения направленной скорости, получаем
П я~ — nmvl (du/dy). Здесь коэффициент пропорциональности плот-
плотности потока импульса пространственному градиенту скорости
(г) — nmvl) характеризует внутреннее трение жидкости и называ-
называется коэффициентом вязкости (внутреннего трения) газа. Приве-
Приведенные здесь рассуждения, как мы видим, позволяют вскрыть
сущность явлепия внутреннего трения, которое обусловлено столк-
столкновениями частиц газа, а также выразить количественную характе-
характеристику впутреннего трения, коэффициент трения, через длину
свободного пробега.
Аналогичные простые рассуждения с помощью представления
о средней длине свободного пробега позволяют выяснить смысл
таких явлений, как теплопроводность и диффузия в газах, а также
определить зависимость коэффициентов теплопроводности и диф-
диффузии от длины свободного пробега молекул. Во всех этих явлени-
явлениях тепловое движение молекул осуществляет перепое (импульса,
тепла, числа частиц), который ведет к выравниванию простран-
пространственного неоднородного состояния газа и к приближению к рав-
равновесному состоянию. Для теории таких явлений, называемых

ВВЕДЕНИЕ 13
явлениями переноса, представление о длине свободного пробега
молекулы в газе оказывается продуктивным именно потому, что
все они в конечном счете определяются длиной свободного пробе-
пробега. Поэтому можно сказать, что, проявляясь в целой совокуп-
совокупности явлений, длина свободного пробега представляет опреде-
леппую сущность явлений переноса в газах.
Понятие средней длины свободного пробега молекул наиболее
легко может быть введено (как это и было проведено в свое время
Клаузиусом) для молекул газа, взаимодействующих друг с другом
при столкновении по закону непроницаемых твердых шаров. При
этом, если радиус такого шара равен а, то согласно классической
механике очевидно, что столкновение молекул происходит тогда,
когда их радиусы находятся на расстоянии, не большем 2а. Иными
словами, столкновение происходит всегда, когда центр одной из
сталкивающихся молекул попадает в площадь круга радиуса 2а
вокруг центра второй из сталкивающихся молекул. Площадь
такого эффективного взаимодействия а — Ana1 называется полным
эффективным сечением столкновения. Имея в «иду, что в единице
объема имеется п молекул, ясно, что на пути в единицу длины
молекула столкнется по рав. Следовательно, среднее расстояние
между двумя последовательными столкновениями, представляю-
представляющее собой среднюю длину свободного пробега, оказывается рав-
равным I = il(na). Это выражение не зависит от скорости молекул.
Последнее свойство связано, вообще говоря, с произвольным
предположением о законе взаимодействия молекул, соответствую-
соответствующим модели твердых шаров. Для иных законов взаимодейстния
эффективное сечение зависит от скорости частиц газа. Скорость
теплового движения частиц газа определяет коэффициент вязко-
вязкости и другие коэффициенты переноса. С другой стороны, ясно, что
благодаря беспорядочным столкновениям частиц газа их скорости
оказываются весьма различными. Поэтому, естественно, возни-
возникает вопрос о том, что и как следует усреднять по таким различ-
различным скоростям, чтобы получить правильные значения усреднен-
усредненных величин, определяющих равновесное и неравновесное состоя-
состояние газа. К решению такой задачи Максвелл и Больцман стреми-
стремились подойти, основываясь на строгих принципах механики. Чрез-
Чрезвычайно важный шаг па таком пути был сделан Максвеллом, кото-
который придал явный смысл идее усреднения, получив функцию
статистического распределения частиц но скоростям, возникающую
для молекул газа после большого числа столкновений между
большим числом одинаковых частиц. Имея в своем арсенале такое
(так называемое максвелловское) распределение, кинетическая
теория газов смогла существенно расширить область сноих пред-
предсказаний, используя более богатые представления о возможных
законах взаимодействия молекул. Однако еще более важно то,
что введение в кинетическую теорию газов функции распределения

14 ВВЕДЕНИЕ
частиц по скоростям открывало область новых законов в физике.
После Максвелла пачинается изучение закономерностей, которым
подчиняются статистические распределения молекул газа.
Следующий важнейший шаг как с точки прения построения
кинетической теории газов, так и одновременно с точки зрения
развития общей проблемы статистических закономерностей в фи-
физике был сделан Больцманом, который, исходя из конкретных
представлений механики о взаимодействии молекул газа по-
посредством парных столкновений, вывел свое основное интегро-
дифференциальное уравнение для функции распределения частиц
по скоростям. Это уравнение, называемое кинетическим уравне-
уравнением Больцмана, представляет собой математическую формули-
формулировку статистического закона изменения во времени и простран-
пространстве распределения молекул газа но скоростям, обусловленное как
внешними воздействиями сил и полей па газ, так и взаимодей-
взаимодействием молекул газа между собой благодаря их столкновениям.
Кинетическое уравнение позволило с помощью //-теоремы Больц-
Больцмана дать атомистическое истолкование второго начала термоди-
термодинамики. При этом был вскрыт статистический смысл понятия
энтропии, установлена связь энтропии с вероятностью состояний
ансамбля частиц газа.
Исключительного совершенства идеи статистической механики
достигли в работах Гиббса, который разработал последовательный
метод, позволяющий определять макроскопические свойства ве-
вещества по закономерностям, которым подчиняются атомы и моле-
молекулы, составляющие вещество. Тем самым Гиббс создал последо-
последовательную физическую теорию, позволяющую в известном смысле
полно рассмотреть связь молекулярных динамических закономер-
закономерностей с термодинамическими. Хотя после этого родилась кван-
квантовая механика, которая существенно углубила наши представ-
представления о молекулярных и атомных закономерностях, однако прин-
принципы и методы статистической механики, созданные в работах
Максвелла, Больцмана и Гиббса, оказались настолько глубокими,
что они только обогатились от встречи с квантовой теорией, кото-
которая, естественно, ныне также кладется в основу статистической
физики.
Длительное время молекулнрно-кинетическая теория тепла
рассматривалась как гипотеза, не признававшаяся необходимой,
Это, в частности, было связано так же и с тем, что именно очище-
очищение от механических моделей, в теории электромагнитного поля
привело к существенному прогрессу в электродинамике. В конце
прошлого века возпикла так называемая энергетика, которая пы-
пыталась видеть в явлениях лишь видоизменение энергии, лишенной
молекулярно-атомистической основы. Такая концепция находила
значительное число почитателей, ибо в то время для убежденности
в реальном существовании молекулярного движения кап сущно-

ВВЕДЕНИЕ 15
пости тепла считалось нужным видеть такое движение непосред-
непосредственно. Поэтому, несмотря на то, что было накоплено большое
число фактов, говорящих в пользу реального существования
молекул, требовалось явление, в котором движение молекул
проявлялось бы с достаточной для того времени «очевидностью».
Таким явлением оказалось броуновское движение, обнаруженное
еще в первой половине прошлого века. Молекулярно-кинетическая
теория броуновского движения, развитая в начале нашего века
Эйнштейном и Смолуховским, а затем и экспериментальное под-
подтверждение такой теории — все это ппезаппо явилось убедитель-
убедительным Доказательством реальности молекул. В двадцатом веке
молекулярно-кинетические представления стали общепринятыми.
Признание молекулярпо-атомистических воззрений, кладу-
кладущихся в основу кинетической теории, сияло путы, мешающие ее
развитию. Кинетическая теория вещества быстро развилась в тео-
теорию с очень широким кругом приложений. В основу кинетической
теории газов полагалось основное кинетическое уравнение Больц-
мана (см. главу I настоящей книги), которое квантовая механика
практически не изменила. Громадное большинство последовав-
последовавших работ по кипетической теории газов было связано с отыска-
пием решений кинетического уравнения Больцмана, с разработ-
разработкой общих методов его решения. При этом с помощью решения
такого ураппения теоретически предсказывались новые закономер-
закономерности или же объяснялись экспериментально обпаружепные явле-
явления в газах. Для построения общих методов решения кинетиче-
кинетического уравнения Больцмана существенную роль сыграли работы
Гильберта, Энскога, Чепмепа, которые разработали подход к во-
воплощению в реальность предположения кинетической теории газов
о том, что все макроскопические — гидродинамические — свойства
газов могут быть получены, исходя из данных о свойствах молекул
газа и закона их взаимодействия. В то же время с помощью таких
методов удалось, как это следует подчеркнуть, например, теоре-
теоретически обнаружить явление термодиффузии. Необходимо отме-
отметить, что решаемая при этом задача получения уравнений макро-
макроскопического (гидродинамического) течения газа (см. главу II)
на основании кинетического уравнения Больцмана соответствует
переходу от описания физического состояния газа с помощью функ-
функции распределения частиц по скоростям в разных точках простран-
пространства к менее полному определению состояния газа с помощью гид-
гидродинамических переменных (плотности, температуры, скорости,
газового потока). Такой переход к гидрогазодииамике, рассматри-
рассматривающей газ как непрерывную среду, оказывается возможен, во-
первых, тогда, когда характерное расстояпие изменения гидроди-
гидродинамических величип велико по сравнению с длиной свободно-
свободного пробега, а во-вторых, когда характерное время изменения
макроскопических величин оказывается много больше времени

16 ВВЕДЕНИЕ
свободного пробега. Это, в частности, означает, что для произвольно-
произвольного возмущения в газе молекул гидродинамическое описание может
стать достаточно точным лишь спустя время после момента воз-
возмущения, много большее времени свободного пробега. Последний
факт может быть непосредственно усмотрен при выводе уравнений
гидродинамики с помощью так называемого метода моментов,
который на примере его применения к полностью ионизованному
газу (плазме) изложен в главе VT.
Кинетическая теория гидродинамических уравнений переноса
важна, поскольку она дает вывод тех макроскопических парамет-
параметров, которые пходят п систему уравнений гидродинамики. Однако
ясно, что гидродинамические течения газа составляют с точки
зрения молекулярно-кинетических представлений о газе лишь
крайний предельный случай. Качественно противоположный пре-
предел представляют течения сильно разреженных газов, в которых
длина пробега молекул относительно их столкновений друг с дру-
другом оказывается много больше характерных размеров потока.
В этих условиях становятся существенными столкновения молекул
газа с поверхностями твердых тел, ограничивающих объем, заня-
занятый гаяом. Поведение столь сильно разреженного газа может быть
понято лишь с помощью кинетической теории газов (см. главу
III). В известной мере полное экспериментальное исследование
явлений в таких условиях было проведено в первые десятилетия
нашего века. При этом многие из таких исследований связаны
с имепем Кнудсена, в связи с чем часто кинетика сильно разре-
разреженных газов называется кнудсеиопским случаем. Заметим, что
в наше время интерес к течениям разреженных газов связан,
в частности, с практикой летательных аппаратов в разреженных
околоземных слоях.
Значительное развитие представлений кинетической теории га-
газов возникло благодаря изучению, главным образом теоретиче-
теоретическому, свойств полпостыо ионизованного газа — плазмы. Кипети-
ческая теория ионизованного газа использует то упрощающее
обстоятельство, что наиболее существенное взаимодействие заря-
заряженных частиц при их столкновениях происходит на сравни-
сравнительно больших прицельных расстояниях, когда такое взаимодей-
взаимодействие слабо, а поэтому и рассеяние частиц происходит на малые
углы. Это обстоятельство позволило Ландау существенно упро-
упростить интеграл столкновений Больцмана, что, естественно, делает
более простой теорию явлений переноса в плазме и теорию релак-
релаксационных явлений приближения к равновесию.
Бесконечный радиус кулоновских взаимодействий (так же,
как и поперечные электромагнитные поля, создаваемые движу-
движущимися частицами ионизованного газа) приводит к возможносте-
существования коллективных движений в олазме, поддерживае-
поддерживаемых возникающим в ней электромагнитным полем. Наличие таких

ВВЕДЕНИЕ 17
коллективных движений качественно отличает плазму от обычных
газов. Для широкого круга явлений, связанных с такими коллек-
коллективными плазменными движениями (колебаниями), можно пол-
полностью пренебречь столкновениями, поскольку частоты плазмен-
плазменных колебаний окапываются много большими частот столкновений,
заряженных частиц, а характерные размеры неоднородности,
коллективных движений могут быть много меньшими длины сво-
свободного пробега, обусловленной столкновениями между частицами
ионизованного газа, В таких условиях можно полностью пренеб-
пренебречь интегралом столкновений в кинетическом уравнении Больц-
мана. Взаимодействие заряженных частиц в этих условиях обу-
обусловлено электромагнитным полем, которое, в свою очередь, со-
согласно уравнениям Максвелла определяется плотностями тока и
заряда плазмы, возникающими для неравновесных распределений
частиц ионизованного газа. Продуктивность такого самосогласо-
самосогласованного кипетического описания бесстолкпоиительной плазмы
впервые была показана Власовым. Подобный подход, самосогла-
самосогласованно учитывающий с помощью уравнения Больцмапа влияние
сил, возникающих благодаря возмущению распределепия частиц
силами, па движение частиц, применяется теперь и при решении
более широкого круга проблем кинетической теории плазмы.
Среди качественных результатов, предсказанных кинетической
теорией ионизованпого газа и позволяющих говорить о качест-
качественном отличии плазмы от обычного газа нейтральных частиц,
помимо колебаний плазмы следует отметить бесстолкнопительное
затухание волн в плазме, теоретически обнаруженное Ландау и
соответствующее поглощению волн заряженными частицами бла-
благодаря обратному эффекту Черенкова. Кинетическая теория
электромагнитных волн плазмы составляет в настоящее время
обширную отрасль физической науки. В нашем изложении будут
затронуты лишь некоторые проблемы, представляющиеся для та-
такой теории основными.
Помимо разработки методов решения кипетического уравнения
Больцмана и приложения теории, базирующейся на таком урав-
уравнении (а для плазмы и на максвелловских уравнениях электро-
электромагнитного поля), к широкому кругу весьма различных задач
поведения неравновесных газов, перед кинетической теорией стоя-
стояла другая общая проблема, которая может быть названа пробле-
проблемой обоснования кинетической теории. Эта проблема фактически
возпикла сразу же после того, как Больцман предложил свое
кинетическое уравнение. Дело в том, что хотя с помощью кинети-
кинетического уравпепия Больцмана оказывалось возможным дать
определепиое истолкование второго пачала термодинамики и пе-
перенести попрос о причине необратимости неравновесных явлений
теплоты на атомно-молекулярный уровень, вслед за этим сразу
встал вопрос о том, почему динамические (механические) вполне

18 ВВЕДЕНИЕ
обратимые закономерности движения отдельных частиц газа при-
приводят к необратимым следствиям, вытекающим из кинетического
уравнения Больцмана. Заметим, что помимо следствия о необрати-
необратимости тепловых явлений, получаемого с помощью кинетического
уравнения, Больцмаи указывал физическую причину необратимо-
необратимости, связанную с тем фактом, что реальные объекты (например,
газ) являются системами огромного числа частиц. В связи с отим
вероятность осуществления равновесного состояния без макро-
макроскопических движений оказывается на много порядков больше
вероятностей сколько-нибудь сильно неравновесных состояний,
в которых энергии движения молекул сконцентрирована в упо-
упорядоченном макроскопическом движении. Таким образом, необ-
необратимость тепловых процессов связывалась с вероятностным ха-
характером тепловых процессов.
Но. с другой стороны, как ото было, в частности, понятно поело
работ Гиббса, общее уравнение для вероятности распределения
динамической системы многих частиц (уравнение Лиувилля) со-
соответствует обратимым закономерностям, хотя эти закономерности
и представляют собой общие статистические закономерности си-
систем многих частиц. В этом смысле нозпикло определенное про-
противоречие между кинетической теорией, базирующейся на кине-
кинетическом уравнении Больцмапа, и общей статистической механи-
механикой, основывающейся па классическом или квантовом уравнении
Лиувилля для системы многих частиц, какой является всякий
макроскопический объект, и в том числе гаа.
Заметим, что уже Вольцман. подчеркивая большую вероятность
перехода от упорядоченного (маловероятного) к неупорядоченно-
неупорядоченному состояпию и отвечая на вопрос о возможности повторяемости
состояний частиц газа, писал, что повторяемость упорядоченных
состояний возможна через чрезвычайно длительное (при большом
числе молекул газа) время. Однако такой ответ не давал полного
удовлетворения прежде всего потому, что не было прямой связи
между уравнением Лиувилля для системы многих частиц газа и
кинетическим уравнением Больцмана. Поэтому на повестку дни
встал вопрос о выявлении тех условий, в которых из общего закона
статистической механики обратимого изменения во времени рас-
распределения состояний системы многих частиц вытекает необра-
необратимое кипетическое уравпение Больцмапа.
Проблема обоснования кинетической теории привлекла в се-
середине нашего века внимание большого числа исследователей.
Существенный вклад в решение проблемы обоснования кинетиче-
кинетической теории газов был сделан Боголюбовым, развившим весьма
общий метод построения кинетических уравнений для газов.
Основу такого метода составляло положение о том, что для эво-
эволюции неравновесных состояний газа характерно наличие двух
процессов; «медленного» процесса изменения функции распреде-

ВВЕДЕНИЕ 19
ления по скоростям одной молекулы газа с эффективной продол-
продолжительностью порядка времени свободного пробега и «быстрого»
процесса синхронизации корреляционных функций, характери-
характеризующих взаимозависимость движений молекул. Характерное
время быстрого процесса представляет собой время, в точение
которого протекает соударение частиц, и но порядку величины
равно радиусу действия молекулярных сил, деленному на тенло-
вую скорость молекул. Соответственно такой шкале времен кине-
кинетическое уравнение, определяющее закон эволюции распределения
молекул, отвечает закономерностям «медленного» процесса. Поэто-
Поэтому мужпо понимать под закономерностями, описываемыми обыч-
обычным кинетическим уравнением Больцм;шн, соответствующие уста-
установившимся в газе после некоторого начального возмущения,
когда корреляционные возмущения благодаря действию межмоле-
межмолекулярных сил быстро синхронизировались, а последующее изме-
изменение корреляций определяется лишь функцией распределения
молекул. Такое «огрубленное» рассмотрение системы многих ча-
частиц в определенном смысле подобно переходу от «микроскопиче-
«микроскопических», кинетических, закономерностей к макроскопическим, гид-
гидродинамическим, когда для достаточно медленных процессов
оказывается возможным вместо функции распределения молекулы
и» скоростям использовать лишь несколько простых средних
характеристик. Метод Боголюбова представляет собой также пере-
перенос на теорию систем многих частиц методой нелинейной механики,
которые позволяют далеко продвинуться тогда, когда возможно
использовать осредненноо онисание для мелкомасштабных, быетро-
перемепных движений.
Развитие и приложение метода Боголюбова позволило дать
вывод кипотического уравнения Больцмана, а также ряд обоб-
обобщений интегралов столкновений. При этом, в частности, оказалось
возможным явно проследить за позпикновепием эффекта необра-
необратимости в выводе кинетического уравнения из обратимого, основ-
основного для статистической механики, уравнения Лиувилля. Именно
необратимое решение задачи о двухчастичцых корреляциях, при-
приводящее, например, к необратимому кинетическому уравнению
Больцмааа, соответствует определенному условию ослабления
корреляции до столкновения частиц. Такое граничное условие
ослабления корреляции представляет собой аналог гипотезы
Больцмана о молекулярном беспорядке, дающем возможность
подсчитывать пары молекул, участвующих в столкновении в еди-
единицу времени. Отметим, что нетрудно указать также иное гранич-
граничное условие ослабления корреляции, которое вместо возрастания
энтропии будет приводить к ее уменьшению. Все эти возможности
указывают на определенную особенность подобных услопий. Дей-
Действительно, в замкнутой динамической системе, какой является
такая система многих частиц, как газ, по прошествии достаточно

20 ВВЕДЕНИЕ
большого отрезка времени с любой заданной точностью возникает
повторепие состояний частиц. Поэтому следствия, вытекающие
из динамической теории, основанной, с одной стороны, на обрат-
тимом уравнении Лиувилля, а с другой — на необратимом усло-
условии ослабления корреляции, пригодны при не слишком больших
временах, характеризующих, например, повторяемость корре-
корреляционных состояний молекул газа. В реальных незамкнутых
системах, для которых обычно используется кинетическая теория
газов, о точной повторяемости динамических состояниймолекул
газа говорить затруднительно. Однако во всяком случае вопрос
о характерных временах, при которых может быть использовано
уравнение Больцмана, оказывается связанным с вопросом о вре-
временах, характеризующих корреляцию частиц газа.
Определенный прогресс в построении обобщенных интегралов,
могущих использоваться в условиях, когда интеграл столкпове-
ний Больцмана неприменим, связан с результатами по учету влия-
влияния целого ряда важных в новых условиях физических процессов
на корреляцию частиц. Так, последовательное описание корреля-
корреляционных эффектов позволяет последовательно учесть влияние
многих частиц на процесс столкновения заряженных частиц плаз-
плазмы, проявляющееся как в экранировке кулонопского ноля заря-
зарядов, так и в эффекте динамической поляризации плазмы, связан-
связанной, в частности, с возможностью распространения плазменных
колебаний. Еще более детальное рассмотрение свойств корреля-
корреляций позволяет для плазмы обнаружить такую ситуацию, когда
положение о полной определенности корреляций при заданном
распределении частиц по скоростям оказывается неточным. Это
имеет место тогда, когда скорость изменения распределения частиц
оказывается неменьшей скорости изменения интенсивности плаз-
плазменных колебаний. В этой ситуации помимо кинетического урав-
уравнения для заряженных частиц плазмы возникает кинетическое
уравнение для колебаний.
Другой, такжо изложенный в этой книге круг вопросов каса-
касается кинетической теории плазмы в сильном магнитном поле.
Влияние сильного магнитного поля на корреляции частиц, кото-
которое последовательно учитывается в динамической теории обоб-
обобщенных интегралов столкновений, позволяет рассмотреть процес-
процессы релаксации и переноса в условиях, где обычный интеграл
столкновений Больцмана применять затруднительно, поскольку
в нем пренебрегается влиянием сильных полей на траектории час-
частиц во время столкновения.
Успешное развитие современной кинетической теории, поз-
позволяет надеяться, что помимо тех новых приложений, которые
изложены в этой книге и которые потребовали расширения и уг-
углубления представлений кинетической теории газов, в будущем
возникнут новые, связанные как с экспериментальными исследо-
исследованиями, так и с собственным логическим развитием теории.

ГЛАВА I
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
§ 1. Функция распределения
В кинетической теории газов рассматриваются вероятностные
(статистические) закономерности, которые характеризуют такую
систему большого числа частиц (молекул), каким является газ.
Простейшее и в то же время наиболее важное для кинетической
теории газов проявление подобной закономерности состоит в су-
существовании распределений частиц газов по различным состояни-
состояниям, которые характеризуются функциями распределения. Часто
нет нужды учитывать внутренние степени свободы частиц газа.
Тогда аргументами функции распределения
f(p,r,t) A.1)
являются импульс р и координаты г частицы и время t. Смысл
функции распределения A.1) определяется тем, что
f(p,r,t)dpdr A.2)
представляет собой число частиц с коордипатами и импульсами,
лежащими в данный момент времени t в интервале dp dr около
точки (г, р) шестимерного фазового пространства. Поэтому инте-
интеграл по всему пространственному объему газа V и по всем возмож-
возможным значениям импульсов частиц равен полному числу частиц
газа
^,t) = N. A.3)
Последнее утверждение, конечно, правильно для простого газа,
содержащего лишь один сорт частиц. В случае газа, состоящего
из нескольких сортов частиц, для каждого сорта частиц исполь-
используется своя функция распределения fa(pa, ra> t). При этом условие
нормировки для такого распределения имеет вид
где Nа — число частиц а-го сорта.

22 Гл. 1. КИНЕТИЧЕСКОЮ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
Учет внутренних степеней свободы молекул газа приводит
к появлению дополнительного аргумента (или аргументов) у функ-
функции распределения/„(/?а, »•„, s, t). С другой стороны, молекулы,
различающиеся такими внутренними состояпиями, характери-
характеризуются числами, пробегающими дискретный набор значений,
а поэтому могут рассматриваться как частицы разных сортов.
Следует все же иметь в виду, что описание внутренних степеней
свободы атомов и молекул достигается с помощью квантовой ме-
механики. Заметим, что и квантовой механике часто пользуются
понятием числа частиц п., в v м квантовом состоянии. Просумми-
Просуммировав ио всем состояниям таза, получим полное число частиц
Поскольку движение центров тяжести молекул соответствует
классической механике, то, имея в виду, что каждому квантовому
квазиклассическому состоянию в фазовом пространстве соответ-
соответствует объем Bnh)s, где s — число степеней свободы, можно найти
соответствие между формулами A.3) и A.5). Для трех трансля-
трансляционных степеней свободы Дг А/>— BпНK. Поэтому суммирова-
суммирование в формуле A.5) может быть заменено иптегрировапием по фа-
фазовому пространству, если все состояния соответствуют свободно-
свободному движению:
Сравнение формул A.3) и A.6) показывает, что функция распреде-
распределения A.1) отличается от числа заполнения множителем Bлft)'.
Если же не все квантовые состояния отвечают свободному движе-
движению частиц, то формулу A.5) можно записать в виде
= N, A.7)
(Znlif "■" '
где суммирование ведется по дискретным состояниям молекул,
соответствующим внутренним степеням свободы.
Для продуктивного использования функций распределения
частиц газа необходимо знать законы, по которым такие функции
меняются. Иными словами, следует установить вид уравнений,
которым такие функции подчиняются. Такие уравнения называ-
называются кинетическими. В следующих параграфах мы запишем такие
уравнения, исходя из интуитивных физических соображений.
Впоследствии будет дан вывод кинетических уравнений на осно-
основании микроскопической динамической теории такой системы
многих частиц, каким является газ.

S з, кннр;тическо1; vравнинпп ьгмышана ' 23
§ 2. Кинетические уравнение дня идеального газа
В случае сильно разреженного газа могут иметь место процес-
процессы, для которых взаимодействие между частицами газа оказыва-
оказывается совершенно несущественным. Кинетическое уравнение, при-
пригодное для описания таких процессов, является наиболее простым,
а вид его может быть установлен сразу. Действительно, при от-
отсутствии всякого взаимодействия между частицами газа изменение
числа частиц в элементе объема фазового пространства около точки
(**а> Ра) возникает лишь в результате прохождения частиц через
границы такого объема. Иными словами, при этом имеет место
уравнение непрерывности
'а I d ('у. { \ _|_ d l'nf\..l\ 1'У \\
dt ' дг ^а/оЛ" 37Г ^а'а * '
а х а
ИЛИ
а/
B-2)
где Fa — внешняя сила, действующая на частицу газа сорта а.
Например, в случаях, когда надо учитывать поле тяжести, Fа
есть сила тяготения:
Fa = mag- B.3)
для системы заряженных частиц при наличии внешних электри-
электрического Е и магнитного В полей Fa есть сила Лоренца:
Fa^ea(E + ^r[vaB)y B.4)
Впоследствии мы получим количественные критерии, определяю-
определяющие возможность полного пренебрежения взаимодействием ча-
частиц.
§ 3. Кинетическое уравнение Больцмана
В реальном газе между частицами есть взаимодействие. Больц-
ыан в своем выводе кинетического уравнения основывался на том
факте, что в результате взаимодействия частиц происходят их
столкновения [1]. При этом благодаря малой плотности газа
можно учитывать лишь столкновения двух частиц друг с другом
и полностью пренебрегать влиянием на такое соударение осталь-
остальных частиц газа. Поскольку и при наличии столкновений по-
прежнему имеет место пересечение частицами границ фазового
объема, то запишем искомое кинетическое уравнение в виде
дг
C

24 Гл. I. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬЦМАНА
Правая часть этого уравнения благодаря принимаемой здесь не-
независимости соударения пары частиц от остальных частиц газа
может быть записана в виде
=2/ebI/"/bl- {3-2)
Функционал IаЬ [/„, /,,], определяющий изменение числа частиц
сорта а благодаря столкновениям с частицами сорта Ъ *), называют
интегралом столкновений. Установим вид интеграла столкновений
для случая упругих соударений частиц.
Пусть ра, рь — импульсы частиц до столкновения, а р„,
Рь — после столкновения. Имея в виду, что при упругом столкно-
столкновении относительная скорость частиц
ыо абсолютной величине не меняется, можно записать следующие
соотношения, связывающие импульсы до и после соударения:
Ра =
C.3)
РЬ= — РаЪ»ЬЬП'+ т +ЬШ (Ра + Рь)-
Здесь п' — единичный вектор направления скорости частицы
сорта а в системе координат, где покоится центр инерции сталки-
сталкивающихся частиц; уьаЬ = mamj(ma + ть) — приведенная масса.
Как известно, описание парных столкновений производится
с помощью эффективного сечения рассеяния. Обозначим через
doab (va>), в', ф) дифференциальное сечение рассеяния частиц a
и Ь при их столкновении в элемент телесного угла do«'=bin 8 dQdtp.
Углы 0', ф'определяют направление вектора п'. Кроме углов, такое
сечение зависит от величины относительной скорости сталкиваю-
сталкивающихся частиц vab, которая, как уже отмечалось, при упругом
столкновении не меняется (меняется лишь направление относи-
относительной скорости). Далее В и <р - углы вектора faB.
*) В том число и благодаря столкновениям частиц одного сорта. При
этом индексами а и 6 характеризуются две сталкивающиеся частицы.

§ 3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАИА 25
Поскольку da равно числу частиц, рассеиваемых в единицу
времени в телесный угол do, поделенному на число частиц, прохо-
проходящих в единицу времени через едипицу площади падающего пучка
частиц, то vab daab равно тому же числу рассеиваемых частиц, iio-
деленному на число рассеивающихся частиц в 1 см3. В 1 см3 имеет-
имеется fadPa частиц сорта а, обладающих скоростью va. Поэтому число
частиц, выбывающих в единицу времени из элемента dpa импульс-
импульсного пространства при рассеянии в телесный угол do и столкно-
столкновении с частицами сорта Ь, обладающими скоростью vb, равно
vub daab (y.b, 8', ц>) fa dpjb dpb. C.4)
Очевидно, что при столкновениях частиц друг с другом, помимо
ухода из элемента dpa, будет также и приход частиц в этот элемент.
Действительно, для столкновения частиц со скоростями va', vb'
при условии, что скорости частиц после столкновения равпы va
и vb, получаем для числа частиц, приходящих в элемепт простран-
пространства dpadpb:
^аь^ааЬ(иаь, 8, q>)faf'bdp'adp'b. C.5)
Далее имеем
dp('fdp;,tk{,Lh,Q. Ф) = dpadphdx(i[lb,d\ Ф') C5:i)
Поэтому для полного изменения числа частиц сорта а в элементе
импульсного пространства dp,, получаем
pbvabdaab(vab, 0, v){f'af'b-fafb)=dpa
Формула C.5) описывает полное возрастание числа частиц
в элементе объема dp a за единицу времени, обусловленное парными
столкновениями. Поэтому уравнение C.2) можно записать следую-
следующим образом [1]:
Д ^ PbVabdaab{f'ah - Ш- C-7)
Это уравнение называют кинетическим уравнением Больцмана,
а выражение, стоящее в правой части кинетического уравнения,
носит название интеграла столкновений Больцмана.
Интеграл столкновений Больцмана
lab [fa, /bl = I dPbVab da,b {f'afb - fjb}, C.8)
полученный нами для случая упругих соударений частиц, допу-
допускает иную запись, которая, в частпости, оказывается полезной
для обобщений на случай неупругих соударений. Именно, запишем
интеграл столкновений в форме, явно учитывающей законы

26 Гл. I. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВШШИЕ БОЛЬЦМАНА
сохранения энергии и импульса при соударениях. Для этого умно-
умножим еще интеграл столкновений на б-функции, учитывающие
сохранение энергии (Еа) и импульса частиц, и проинтегрируем
по импульсу частицы b после соударения и по энергии частицы
сорта а после соударения. Такая тождественная процедура дает
следующий результат:
4ь [/a- fb\ = ^dPb dP'b dE'avab daab {fa (p'a) fb(p'b) —
- fa (Pa)fb(Pb)}b(Pa 4" Pb ~ Pa - Pb) б (Ea + Eb - Ea - ЕЬ)\Ъ-Щ
Наконец, используя обозначение
dE'avahdcab = dp'aWab (pa, рь | p'a, p'b), C.10)
можем записать интеграл столкновений Больцмана в следующем
виде:
/abl/o- /J = ^dpbdp'adpbi¥ab(pa, Рь\ PaPb) {fa(Pa) fb(Pb) ~
-fa(Pa)fb(Pb)}b(Pa + Pb~A-p'b)b(Ea + Eb-~-E'a^Eb).
C.11)
Здесь
Wah (Pa, Pb I Pu, Рь) б (pa + P,, — Pa ~ Pi.) б (Ea -f Eb —
— E'a - Eb) dp'a dp'b s dwab
н])едставляет собой веролтность перехода в результате соударения
частиц сорта а и copra b из начального состояния в конечное.
В случае неупругих соударений интеграл столкновений может
быть записан в форме, аналогичной C.11). При этом следует
учесть факт наличия дискретных уровней внутреннего движения
частиц, которые будем обозначать индексом sa. Соответственно
этому, вводя вероятность перехода
Wab(Pa> SQ; Pb, Sb | p'a, Sa; p'b, s'bN(pa + Pb ~ Pa ~ Pb) X
+ Ell — Ea — E'b)dpadpb, C.12)
описывающую столкновение молекул, сопровождающееся перехо-
переходами между дискретпымм уровнями внутренних столкновений,
можно представить интеграл неупругих столкновений в виде
4" Pb —Pa— Рь)У.
" «b.'a. «b
X б (Еа [ра, sa] + Еь [pb, sb) - Еь [ра, s'a) -Еь [р'ъ, s'b))x
Wab (Ра> sa, Pbi sb I Pa, s'a', p'b, Н) {/a (Pa, s'a)fh(Pb, Sb) —
— fa(Pa,Sa)fb(Pb,4)}' C-

§ 3, КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 27
В отличие от случая упругих столкновений, энергия частицы
включает, помимо кинетической энергии трансляционного движе-
движения, дискретно меняющуюся энергию внутреннего состояния
Используя представление о вероятности переходов, можно
записать интегралы столкновений и для других более сложных
процессов. Однако в последующем изложении мы ограничимся
лишь учетом упругих столкновений.
Приведем здесь некоторые выражения для сечений рассеяния,
соответствующие некоторым простым потенциалам взаимодей-
взаимодействия *). Если считать молекулы газа подобными абсолютно твер-
твердым шарикам с радиусом а, то классическое дифференциальное
с ечение их рассеяния имеет вид
da^ a2don. C,15)
Это простое выражение удобно для оценок порядка величины иф~
фектов, обусловленных столкновениями частиц. В случае степен-
степенного закона взаимодействия
U~± C.16)
согласно классической механике [2] сечение рассеяния зависит
от относительной скорости сталкивающихся частиц по закону
do „4/n ■ ('>■*■')
Последнее выражение интересно потому, что взаимодействие
частиц в реальном газе можно аппроксимировать потенциалом
Лспнарда — Джонса
Это означает, что при больших скоростях сталкивающихся частиц
газа
•£~«^-. C.19)
а при малых скоростях
£~«г*. C.20)
*) О вычислениях сечений упругого рассеяния в классической и кванто-
квантовой механике см. книги [2, 3]. Квантомеханическая теория вероятностей
переходов для широкого круга процессов изложена в книге [3].

28 Гл. I. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Наконец, в случае кулоновского взаимодействия
U(r) = eaeb/r C.21)
дифференциальное сечение рассеяния равно
C.22)
Особенность в области малых углов (—9~4) приводит к тому, что
соответствующее полное сечение расходится. Однако в примене-
применениях уравнения Больцмапа к газу заряженных частиц (плазме)
от такой расходимости избавляются, принимая, что на больших
расстояниях кулоновское поле экранируется
. C.23)
Здесь радиус экранирования (дебаевский радиус) определяется
соотношением
-^- = 2-^. C-24)
r
где Та — температура, па — число частиц сорта а в единице
объема, х — постоянная Больцмана. Использование экраниро-
экранированного кулоновского поля благодаря зависимости дебаевского
радиуса от плотности различных сортов частиц указывает на не-
необходимость последовательного учета влияния многих частиц
на акт столкновения. Впоследствии такой учет будет проведен.
Однако сразу следует заметить, что область применимости инте-
интеграла столкновений Больцмана при использовании потенциала
C.23) оказывается весьма широкой.
§ 4. Решение уравнения Божьцмана
для равновесного состояния
Рассмотрим, к каким следствиям приводит уравнение Больц-
Больцмана для равновесного состояния газа. Примем, что нет внешних
сил, могущих приводить к нарушению равновесия, причем будем
считать, что при равновесии распределение частиц пространствен-
пространственно однородно. Тогда для независящих от времени распределений
кинетическое уравнение Больцмана принимает вид
ь doab{f.f'b - Ш. D.1)

$ 4. РАВНОВЕСНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 29
Это уравнение будет удовлетворено, если
/' /''_ / f (А 2\
/а/о ™" Ja/Ь' \ I
Прологарифмировав обе части последнего соотношения, перепи-
перепишем его в виде
In U + In fb[= In /; + In fb. D.3)
Равенство D.3) может быть прочитано следующим образом: сумма
логарифмов функций распределения сохраняется при изменении
их аргументов, происходящем в результате столкновения частиц.
С другой стороны, известно, что при столкновении частиц сохра-
сохраняется полный импульс
Ра + Рь = Ра + РЪ D.4)
и полная энергия; в случае упругих столкновений закон сохране-
сохранения энергии имеет вид
2 2 '2 '%
Имея в виду законы сохранения D.4) и D.5), при ограничении
лишь упругими столкновениями частиц газа для логарифма функ-
функции распределения можем записать
In U = А, -А + АгРа + 4'", D.6)
где А19 А2, Лз — постоянные. Отсюда окончательно получаем
где вместо постоянных Аг, А2, Аз введены па, Т иг»0 — плотность
числа частиц, температура и средняя скорость; % — постоянная
Больцмана. Действительно, проинтегрировав выражение D.7) по
импульсам, получаем
\ja=na. D.8)
Имея в виду условие нормировки A.4) для функции распределения,
нетрудно понять, что па представляет собой плотность числа ча-
частиц сорта а в единице объема. Далее, в том, что v0 представляет
среднюю скорость, можно убедиться из соотношения
a = namav9, D.9)

30 Гл. I, КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА
которое непосредственно вытекает из формулы D.7). Наконец,
имея в виду соотношение, также являющееся следствием D.7):
и в то же время соответствующее закону равнораспределения,
легко понять, что Т представляет собой температуру.
Формула D.7) представляет собой равновесное распределение
молекул газа, называемое распределением Максвелла, которое
соответствует термодинамически равновесному распределению
идеального газа.
Нетрудно рассмотреть несколько более общий случай газа,
находящегося в ноле потенциальных сил. Тогда не зависящее от
времени равновесное распределение частиц является, вообще го-
говоря, пространственно неоднородным и определяется уравнением
- S^ dpbvab(hab{f'ah - Ш. D.11)
a dr or дра ь
где Uа ('") — потенциал сил, действующих па частицы газа сорта
а. Решение этого уравнения имеет вид
Это — распределение Максвелла — Больцмана; здесь па представ-
представляет собой плотность числа частиц в той точке, где потенциал сил
обращается в нуль. Отметим, что, в отличие от формулы D.7),
в формуле D.12) отсутствует средняя скорость движения газа.
Очевидно, что наличие такой постоянной скорости связано с вы-
выбором системы координат. В то же время при наличии потенци-
потенциального поля сил выбор системы отсчета приводит к временной
зависимости равновесной функции распределения, соответствую-
соответствующей перемещению как целого пространственно неоднородного рав-
равновесного распределения. Действительно, в системе координат,
движущейся со скоростью — v0, распределение D.12) выглядит
так:
, t) -
_
С другой стороны, эта функция распределения, как в этом легко
убедиться непосредственной подстановкой, представляет собой

§ г.. Я-TKOi'EMA БОЛЬЦМАНА Л1
решение кинетического уравнения
-щ-+г}а-д^-— -—&Г~~дгГ = 2)j dpbvab doab {fafb — fjb} D.14)
ч ь
в предположении, что столкновения являются упругими.
Коснемся теперь кратко случая пеупругих столкновений,
приводящих к возбуждению уровней энергии, связанных с вну-
внутренними степенями свободы молекул. Тогда вместо D.5) для за-
закона сохранения энергии следует записать
Еа (Pa. sa) + Еь (рь, sb) = Еа (ра, s'a) + Еь (рь, sb), D.15)
где Ес(рс, sc) = (р*/2тс) -{- Ec(sc). Соответственно этому для рав-
равновесного распределения получаем
D.16)
где постоянная ^s определяется условием нормировки
Общим свойством распределений D.7), D.12), D.13) и D.1C) яв-
является то, что они обращают в нуль интеграл столкновений Боль-
циана. Иными словами, столкновения (соответственно упругие
или уиругие и неупругие) ее меняют таких распределений во вре-
времени или, как говорят, не приводят к релаксации распределений.
§ 5. Ж-теорема Больцмана
В отличие от законов динамики, согласно которым движения
частиц обратимы во времени, кинетическое уравнение Больцмана
описывает эволюцию во времени необратимых процессов. Такое
утверждение означает, что закономерности, отражаемые кинети-
кинетическим уравнением, определяют выделенное направление времени,
делая, как и в обыденной необратимой жизни человека, будущее
качественно отличающимся от прошедшего. Об определенности
направления времени говорит доказанная Больцманоы //-теорема,
согласно которой с увеличением времени (в положительном на-
направлении отсчета времени) энтропия растет.
Изложим доказательство этой теоремы для случая газа без
внешних сил, считая распределения частиц пространственно од-
однородными. При этом кинетическое уравнение Больцмана имеет

32 Гл. I. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
ВИД
-^Г = 2$ dpbvabdoab {ий- /«/„}. E.1)
ь
Введем функцию (//-функцию Больцмана)
H{t) = 2i\dPJa(Pa, t) In fa (Pa, t) . E.2)
Эта функция, взятая с обратным знаком, представляет собой энт-
энтропию единицы объема неравновесного состояния газа:
S = - II (*). E.3)
Для доказательства интересующей нас теоремы определим знак
производной функции II по времени:
Используя кинетическое уравнение E.1), можем записать правую
часть уравнения E.4) в виде
^\jdpadpbvabdeab{fah - /«/(,} [1 + In/o]. E.5)
Очевидно, что это выражение можно переписать в виде, симметрич-
симметричном относительно а и Ь:
4-2^4>. dPb»ab d0ab {f'af'b - Ш [2 + In (fjb)} . E.6)
ab
Поскольку относительная скорость vab и дифференциальное сечение
daab не меняется при замене импульсов до соударений (еештри-
хованных) на импульсы после соударения (штрихованные) и на-
наоборот, а также учтя C.5а) выражение E.6) можно преобразовать к виду
[f'af'b-Ш [2 + In (/„/„) - 2 - Ь (Ш]. E.7)
Таким образом, для производной if-функции во времени теперь
можно записать следующее выражение:
do.blf'.fb- Ub\^-jj- ■ E-8)
ab

§ С. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНОГО ГАЗА И РШ1АКСАЦПЯ 33
Знак правой части формулы E.8) определяется знаком функции
F(x,y) = (x-y)ln-^-. E.9)
Если х > у, то In (х/у) > О и F (х, у) > 0; если х < у, то
In (х/у) < 0 и, следовательно, также F (х, г/)> 0. Наконец, при
х — у имеем F (х, у) = 0, что соответствует равновесному еостоя-
пию газа (см. D.2)). Таким образом, функция F(x, у) является
неотрицательной, и следовательно,
^<0. E.10)
Отсюда, очевидно, вытекает, что с увеличением времени Н-фуик-
ция Больцмапа убывает. Поскольку II — — S, то соотноше-
ние E.10) представляет собой закон возрастания энтропии
§>(К E.11)
Таким образом, кинети-ческое уравнение Больцмапа привело
нас к выводу о том, что в неравнопесном состоянии энтропии газа
с увеличением времени растет. Поскольку в состоянии термодина-
■ мического равновесия энтропия максимальна, то соотношение
E.11) означает, что с возрастанием времени неравновесное состоя-
состояние газа релаксирует, приближаясь к равновесному с распреде-
распределением частиц но закону Максвелла.
§ 6. Устойчивость равновесного состояния газа
и релаксация неравновесных распределений
В обычной для теории устойчивости ностанопке проблемы ус-
устойчивости равновесия тот факт, что неравновесное распределение
газа с ростом времени релаксирует, стремясь к равновесному
максвелловскому распределению, означает, что такое равновесное
распределение является устойчивым. Часто необходимо знать
закон, по которому происходит восстановление равновесия —
приближение во времени неравновесного распределения к равно-
равновесному. В общем случае состояний, сильно отличающихся от
равновесия, такой закон далеко не нсегда может быть установлен.
Поэтому обратимся нрежде всего к простой, но все же весьма
поучительной задаче о релаксации распределения легкой примеси
малой плотности в тяжелом газе. Считан плотность числа частиц
примеси малой, пренебрежем столкновениями таких частиц друг
с другом и будем учмтыпать столкновения частиц примеси лишь
с частицами тяжелого газа. Кроме того, пренебрегая отношением
масс легких частиц и тяжелых, можно пе учитывать отдачи
2 в. ТТ. Силин

о\ Гл. I. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
тяжелых частицпри столкновениях, что позволяет считать скорость
легких частиц не меняющейся по величине во вро.мя столкнове-
столкновения. Тогда кинетическое уравнение Больцмана для примесного
газа принимает следующий простой вид:
|f + »"Йг = пт1>
Здесь Пт — число частиц тяжелого газа в единице объема,
о = Jd0 — полное эффективное сечение рассеяния легких при-
примесных частиц на молекуле тяжелого газа, da является функцией
V и v', причем скорость v' отличается от v лишь направлением.
Заметим, что пренебрежение столкновениями между частицами
легкой примеси и приближенное описание взаимодействия с тяже-
тяжелым газом не позволяют с помощью уравнения (G.1) рассмотреть
полную релаксацию к состоянию равновесия. Это, в частности,
проявляется в том, что равновесным — не зависящим от времени
и координат — решением уравнения F.1) оказывается произволь-
произвольная функция, не зависящая от направления вектора V. Поэтому
уравнение F.1) позволяет рассмотреть лишь те релаксационные
процессы, которые приводят только к изотропизации распределе-
распределения частиц легкого газа по скоростям.
Переходя к конкретному решению задачи о такой частичной
релаксации распределения легкой примеси, используем тот факт,
что уравнение F.1) является линейным. Тогда, считая газ простран-
пространственно безграничным (что означает пренебрежение гранич-
граничными эффектами), можно представить зависимость распределения
от пространственных координат в виде двухстороннего разложения
Фурье:
/(Л», г, t) = ^^dkeikrf{k; р, t), F.2)
ОО
/ (*; *».') = §dre-ikrf (р, г, t). F.3)
Соответственно этому и уравнение F.1) преобразуется к виду
?/(*у l) ; p, t) = nTv^daf (р') - nTvaf(k; p, t). F.4)
Для получения сведений о релаксации распределения попы-
попытаемся решить начальную задачу, соответствующую уравнению
F.4). Именно, будем искать решение уравнения @.4) и пред-
предположении, что в начальный момент времени t = 0 функция
распределения равна / (к; p,t—O). Для этого воспользуемся

8 в. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНОГО ГАЗА И РЕЛАКСАЦИЯ 35
односторонним преобразованием Фурье — Лапласа
+ ОО + 1Д
I d(oe^f(u>,k;p), Д>0, F.5)
/(ш; к, р) = J dte^'f (к; p, t). F.6)
о
При этом, умножив уравнение F.4) на е*т' и проинтегрировав
но времени, получаем следующее интегральное уравнение:
>, к; р) - v (v) $£
шт f{h;p, t = 0), F.7)
где v (у) = га,.у<г представляет число соударений в единицу вре-
времени с тяжелыми частицами легкой частицы, имеющей скорость v.
Переписав интегральное уравнение F.7) в виде
, , , , iv(v) С ds , , 7 . ,. if (ft; p, t = 0) lC Оч
/(со, fc; p) =—V' . , Л — /(о), «; « ) — - ч J--V- / \ . F.8)
можно показать, что и случае пространственно однородного рас-
распределения это уравнение может быть решено без детализации
вида дифференциального сечения рассеяния легкой примеси.
Действительно, положив в уравнении F.8) к = 0, можно убедить-
убедиться, что зависимость/ (о, к —• 0; р) от направления вектора р
определяется только соответствующей зависимостью начальной
функции распределения. Поэтому удобно далее представить эти
функции распределения в виде разложений но ортогональным
сферическим функциям:
ОО Ч-П
= 0, р, t.= 0) = 2 2 /(P. < = t). n, т)Уп>от(в, ф), F.9)
no -f"n
/(ш, л = о, p) = 2 2 /(«. i>;". m) Yn.m(B, ф), F.Ю)
где
Уп,т@, Ф) = j/^±i^=^j. е4-^ (созв), F.11)
л jmtn
^ ^ (г2 - !)"• С6-12)

36 Гл. I. КИНКТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Кроме того, представим дифференциальное сечение в виде ряда
по полиномам Лежандра
da(v, в) = 2 Bп + 1)ап(у) Рп (cos в) ~- , F.13)
где Рп (х) == Рп(х), а в — угол между векторами »»!)', Заметим,
что в разложении F.13) аи совпадает с полным эффективным сече-
сечением рассеяния и, кроме того, а ]> ап при п ={= 0.
Имея в виду формулу
J dtp' j sin 9' dQ'Pn- (cos 9 cos 9' -f- cos (ф — ф') sin 9' sin 9) x
о n
X У„, m(9', Ф')= 2n + i Г"."(9' ФN",,.', F.14)
нетрудно убедиться, что уравнение F.8) при к = 0 приводит к ра-
равенству
j / -к if (p, f = 0, л, т) ,с , ^.
/(Ш, », И, т) = i-LCi___^—'—L- . F.1Э)
V ' * ' ' ' CD+ tV (l>) [1 — б /С5] * '
Поэтому решение уравнения F.8) имеет вид
/(ft), Й5 — 0, п) = У1 51 — —~ . ' "' т'-^ У„ т @, ф). F.16)
n=-0
Подставляя последнее выражение в формулу F.Г>), получаем сле-
следующую зависимость от времени неравновесного пространствен-
пространственно однородного распределения примесного газа:
f (к = 0, р, t) = 2 2 / (P. t = O,n, т) У„. m (9, ф) e-1<»»1-V"i'>
п=о т=—п
F.17)
F.18)
Поскольку а0 = а, то ясно, что нулевая гармоника/ (р, t = 0, 0,0)
соответствующая изотропной части распределения, не меняется
со временем. Все остальные гармоники убывают с ростом времени
по экспоненциальному закону с различными, вообще говоря, вре-
временами релаксации хп.
В случае пространственно неоднородных распределений реше-
пие уравнения F.8) может быть получено в явном виде, если раз-
разложение дифференциального сечения F.13) по полиномам Лежанд-
Лежандра содержит конечное число слагаемых. Для того чтобы не загро-

§ 6. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНОГО ГАЗА И РЕЛАКСАЦИЯ 37
мождать изложение, примем, что сечение не зависит от углов
<k=*-g-. F-19)
Тогда уравнение F.8) представляет собой простое интегральное
уравнение с вырожденным ядром. Проинтегрировав это уравнение
по углам, получаем
i£lfto к in !i { ) {
An ! ( ' ' y > \ J 4л m— kv + iv(v)j~ ) in a>—kv + iv(v) '
F.20)
Используя это соотношение, получаем следующее решение урав-
уравнения F.8):
/ (со, к, р) = у ', . , % I/ (к, р, t = 0) +
iv (Р) Г rf0' / (fc, p', t = 0) ]
' D(m, Л, у) J 4я m — ft«' + /v (») ) '
где
D(u> к v)—l { do iv{v) -1 I ^(рIпД>-^ +
F.22)
Окончательно для временнбй зависимости распределения находим
tv(P) Г rfo' f(k,p',t^O)
D (со, fc, ») } 4я со — fc»'+/v (t>)
Для того чтобы понять, к какому закону релаксации распределе-
распределения приводит формула F.23), следует рассмотреть особенности вы-
ражепия F.21) в плоскости комплексного переменного со. Прежде
всего легко видеть наличие полюса в точке
со = kv — iv(v). F.24)
Затем, как это следует из выражения F.22), две точки
со = ±kv — iv (v) F.25)
суть точки ветвления D, а поэтому и / (со). Проведя в плоскости
комплексного переменного т линию разреза, соединяющую
две точки ветвления F.25), тем самым определим область одно-
однолистности функции D (о), к, v). Выбор листа для этой функции

B8 Гл. I. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАШ1ЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
определяется тем, что при со <jj kv
п / I \ л V (Г) . V (v) i(HV (v) , ,-. . „. ,. r,n>
и (со, к, и) — 1 г-—arcctg -у-^- гг-^,—ргт- + О(соа), (Ь.26)
4 ' kv ° kv v2 (i>) -f fc=y2 iv/' v /
Эти уточнения важны потому, что еще одна особенность выражения
F.21) связана с обращением в нуль функции D (со, к, v). Соответ-
Соответствующий полюс функций / (со, к, р) находится и;) уравнения
О < г ~ arcctg —-i , ("-^0
v(t>) б kv v '
дающего
kv . kv
tg
, I, kv . kv ~] ,n nn\
= — iv tv) 1 rT ctg —Г-Г . (fi.28)
v > L v (v) б v (у) j
По поводу последнего выражения необходимо сделать разъясняю-
разъясняющие замечания. Именно, поскольку в рассмотренной области одно-
однолистности правая часть уравнения F.27) может принимать дей-
действительные положительные значения, заключенные между нулем
и я/2, то решение этого уравнении возможно лишь при 0 ^ kv ^Z
^ nv (v)/2. Это означает, что выражению F.28) соответствует точка
в нижней полуплоскости комплексного переменного о> *).
Наконец, последняя особенность выражения F.21) связана
с интегралом по углам
Г do' 1 (к; р'; t ■--. 0) 6^g.
^ 4:т со — kv' -j- iv (v) ' '^
В частном случае изотропного по скоростям начального распреде-
распределения этот интеграл имеет особенности лишь в точках ветвления
F.25). Заметим, что в общем случае особые точки интеграла F.29)
расположены в нижней полуплоскости комплексного переменного
ш и удалены от действительной оси не меньше чем на v (у).
Выяснив аналитические свойства выражения F.21) в плоско-
плоскости комплексного переменного со, можно теперь выявить вид за-
закона релаксации распределения F.23) во времени [5]. Для того
чтобы явно усмотреть временную зависимость F.23), сместим
в правой части этой формулы контур интегрирования по m в ниж-
нижнюю полуплоскость комплексного неременного, обходя полюсы
и линии разреза. Если контур сместить бесконечно далеко вниз,
то интеграл но нему при t ^> 0 обращается в нуль, а интегрирова-
интегрирование сводится к вычетам относительно полюсов выражения F.21)
и интегралу по берегам линии разреза. Поскольку полюс F.24)
обладает отрицательной мнимой частью (—v), то возникающая от
его вклада временная зависимость
•) Квадратная скобка в формуле F.28) меняет знак при kv ~ 4,49v(v),
что лежит пне области существования решения уравнеппя F.27).

!S «. УСТОЙЧИВОСТЬ I'AHUOBKCHOrO ГАЗА II РЕЛАКСАЦИЯ ii9
описывает экспоненциально спадающую релаксацию с характерным
временем убывания v~x (v). Далее, поскольку точка ветвления (u.2-'j)
обладает такой же мнимой частью, что и полюс F.24), то, проводи
разрез в плоскости комплексного неременного о), получаем вклад
от интегрирования но берегам разреза, убывающий при больших
временах по сравнению с v (v) так же экспоненциально быстро.
Наиболее медленное убывание распределения связано с нолю
сом F.28). Действительно, если такой полюс существует, то огг
располагается ближе к мнимой оси, чем особые точки F.24) и
F.25). Поэтому асимптотическое поведение во времени распреде-
распределения F.23) можно занисать в виде, учитывающем лишь вклад
полюса F.28):
, k,
exp J - ^v (p) fl ^V cbg A!il]. x
to— kv |iv(j>)J4n to — feu' -+• iv(v) '
где вместо оз следует подставить выражение @.28). Заметим, что
релаксация, описыяаемая формулой F.30), тем медленнее, чем
больше длина волны возмущения A/к), Так, при kv<^'\ (v), когда
F.28) принимает вид
со = — i ^—г-^ , (и.Л1)
3v (v) '
выра/кение @.30) меняется во времени но иакону
i^lA @.32)
А\ (у) I
Использованный нами подход для рассмотрения релаксации
и частной и сравнительно простой системе в действительности
весьма продуктивен и для весьма общей «адата релаксации со-
состояний, слабо отличающихся от равновесного. Такая постановка
задачи, в частности, типична для теории устойчивости. Именно
для того, чтобы понять, является ли равновесное распределение
газа устойчивым, рассматривают поведение во времени возмуще-
возмущений распределений, слабо нарушающих равновесие. Если при этом
оказывается, что с течением времени возмущения убывают и рав-
равновесное распределение восстанавливается, то можно говорить об
устойчивости равновесного распределения относительно малых
возмущений.
Обсудим такую постановку вопроса об устойчивости газа на
примере простого газа, т. е. состоящего из одного сорта частиц
в отсутствие внешних полей, когда равновесное распределение
Максвелла является пространственно однородным. Тогда для ма-
малого отклонения б/ от максвелловского распределения D.7) с
v0 = 0 кинетическое уравнение Больцмана позволяет записать

40 Гл. I, КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬЦМАНА
следующее уравнение линеаризованного приближения:
£«L _,_ Vi °*L = J dPiVu rf3i2 {/о (/g б/ (Р;) + /0 (Р;> б/ (р2) -
При написании этого уравнения учтено, что максвелловское рас-
распределение обращает в нуль интеграл столкновений Больцмана,
а кроме того, пренебрежено малыми слагаемыми, пропорциональ-
пропорциональными (б/J.
Остановимся на некоторых свойствах линейного оператора
# (Pi 16/1) - J dptvu dalt {/„ (pi) б/ (pi) + /0 (Л) б/ (ра) -
- /о (Р«) б/ (р.) - /о (Л) б/ (/>,)}, @.34)
стоящего в правой части уравнения F.33), и его собственных
значений &п, определяющихся уравнением
£(Pi. !б/„1) = Жпб/п, (G.35)
где б/п — собственная функция оператора X. Покажем црежде
всего, что собственные функции оператора X, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны. Для этого
умножим левую часть уравнения F.35) на б/т (Рх) и проинтегри-
проинтегрируем по импульсам pt. Согласно F.34) имеем
j dpfifn {рх) X (Pl, [6/n]) =
= $ dPi dp2vn da128fm (pj {/0 (p'2) 6/n Bh) + /o (Pi) S/n ('Pi) -
- /o (Pa) 6/n (Pl) - /o (p,) 6/,, (p2)}. F.36)
Представив собственные функции в виде
F-37)
и замечая, что уравнение F,35) мон^по записать в форме
p2v12 da12f0 (рх) /о (р2) {ср„ (р[) + cpn (pi) —
- Фп (Pi) - Фп (*».)} = ^n/o (Pi) Фп (»,), F.38
а также сделан в правой части F.36) сначала замену перемен-
переменных р± £± р2, а затем заменив штрихованные переменные на

S G. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНОГО ГАЗА И РЕЛАКСАЦИЯ 41
нештрихованные и наоборот, получаем
1 (* ' '
=-byPidPivMdai*fo (Pi) /о (Рг) {1Фт (Pi) ф„ (Pi) + Фт (Р\) Ф« (-Pi)l +
+ 1фт (Pi) Фп (/>г) + Фт (Рг) Фп (Pi)] + [фт (Ра) Фп (РО +
+ Фт (^i) Фп (j>a)l + [Фт (Ра) Фп (Ра) + Фт B>i) Фп (РаI ~
— [фщ (i»l) Фп (Pi) + Фт (Ра) Фп (Pi)\ ~ [Фт (р1) Фп (Ра) +
+ Фт (Ра) Фп (Pi)l — [фт (Pi) Фп (Pi) + Фт (Ра) Фп (Pa)l~
- 1фт (Pi) Фп (Pi) + Фт (Pt) Фп (Р2I}. F.39)
Поскольку правая часть соотношения F.39) симметрична отно-
относительно перестановки, то, очевидно, что
Plbfn{px)X (Pl, [6/ml). F.40)
Последнее соотношение в применении к уравнению F.35) и такому
же уравнению для функции б/т дает
(Zn - Хт) J dPl6fn (p,)bfm (Pl) = 0.
Отсюда, очевидно, следует, что собственные функции оператора X
соответствующие различным собственным значениям, ортогональ-
ортогональны. Нормируя собственные функции на единицу, получаем
'До 6nm — символ Кронекера.
Покажем теперь, что собственные значения £п оператора '£
оказываются неположительными. Для этого умножим уравнение
F.35) на б/п и проинтегрируем по импульсам. Тогда имеем
pfifn(Pl)X(Pl, [б/п]). F.42)
Имея в виду соотношение F.39), можно записать формулу F.42)
в виде
p1dp2vndai2f0(p1) fo(p2){— [Ф„(р,) — ф„№)]2 —
— [ф«(Рг) —Фп(Р2)]а-2[фп(р,)-Фп(р1I[фп(Ра) -фп(Ра)
+|ф„ (Ра) - Ф« Ш - Фп (Ра)]2 < 0. F.43)

42 Гл. Г. 1ШНЕТИЧКСК0И УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Отсюда очевидно, что действительно собственные значения опера-
оператора X неположительны.
Следует понять, каким собственным функциям оператора X
соответствует его собственное зпачение, равное нулю. Это нетрудно
усмотреть из уравнения F.38), которое для такого собственного
значения имеет вид
F.44)
Действительно, отсюда непосредственно видно, что соответствую-
соответствующие собственные функции ф (р) суть сохраняющиеся при столкно-
столкновениях величины:
Ф = -у-— , ф = р, ф = const. F.45)
а
Имея в виду пространственную однородность равновесного
распределения, можно считать пространственную зависимость
возмущений — е1кг. Это позволяет записать уравнение F.33)
в виде
^f-+ikv8f=X(p,[8f]). F.46)
Для решения начальной задачи, позволяющей получить отпет
на вопрос об устойчивости распределения, удобно использовать
одностороннее преобразование Фурье — Лапласа (ср. F.5) F.6)).
Тогда из уравнения F.46) следует
— t (со — fcvN/(co, />) — Х(р, [6/(со, р)\) = 6/(р, г = 0). F.47)
Интегральное уравнение F.47) в принципе может быть решено,
а его решение можно записать в виде
б/ (со, р) = i \dp'M (со, fc; p, p')8f(p', t = 0). F.48)
Соответственно этому зависимость от времени малых отклонений
распределений от равновесных дается формулой
в/(Р. 0 =-аг I dae-^^dp^Uo, к, р, Pl)8f(Pl, * = 0).
F.49)
Очевидно, что асимптотическая зависимость от времени воз-
возмущений распределений при больших значениях t определяется

§ 6. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНОГО ГАЗА И РЕЛАКСАЦИЯ 43
аналитическими свойствами резольвенты Я как функции со.
Действительно, смещая контур интегрирования по со в интегра-
интеграле F.49) в нижнюю полуплоскость комплексного неремеыного,
убеждаемся, что временная зависимость при больших значениях t
определяется особенностью Я (со) с наибольшим значением Im со.
Ясно, что для убывания б/, а поэтому и устойчивости равновесного
распределения, необходимо, чтобы в верхней полуплоскости ком-
комплексного переменного с> резольвента Я (со) не имела особен-
особенностей.
IJ частном случае пространственно однородных возмущений
резольвента Я может быть легко построена с помощью собствен-
собственных функций линейного оператора F.34), поскольку в этом слу-
случае удобно искать решение уравнения F.47) в виде разложения
но таким собственным функциям:
6/(«о, i») = 2c«N6/»(*»)- F.50)
п
Действительно, подставив такое разложение в уравнение F.47)
при fc = 0 и умножив его на б/т (р), после интегрирования но им-
импульсам при учете соотношений F.35) и F.41) получаем
$=0). F.51)
Поэтому
^2^^*=0). @.52)
Следовательно, для резольвенты имеем
Поскольку собственные значения оператора F.34) неположитель
ны, то имея в виду, что
5 d^-fJ?( к = 0,р, р') =
~
можно утверждать, что, например, начальные возмущения, пред-
представленные суммой вида F.50), с увеличением времени не нара-
нарастают. Если же в разложении F.50) начальной функции отсут-
отсутствуют слагаемые с собственными функциями F.45), то нолмуще-
ние убывает.

44 Гл. I. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНА
Собственные значения оператора F.34) определяют характер-
характерные времена релаксации. Поскольку в общем случае знание
спектра таких собственных значений не всегда доступно, то для
обнаружения качественных зависимостей, а также для построения
интерполяционных соотношений иногда используют так называе-
называемые «модельные» интегралы столкновений с простыми спектрами
собственных значений. Простейшим модельным интегралом столк-
столкновений является
vl/.(p)-/(p)ls-v6/, F.55)
где /0 — максвелловское распределение, a v — постоянная. В этом
случае спектр собственных значений интеграла столкновений вы-
вырождается и сводится лишь к одному значению v. Заметим, что
равновесное решение, обращающее в нуль интеграл столкновений
F.55), очевидно, является максвелловским.

ГЛАВА II
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
МЕТОДОМ ЭНСКОГА — ЧЕПМЕНА
§ 7. Макроскопические величины, характеризующие
неравновесное состояние газа
Для теоретического изучения неравновесных состояний газа
отнюдь не всегда оказывается необходимым во всей полноте ис-
использовать кинетическую теорию газов. Действительно, как ото
хорошо известно, существует важный класс движения газа,
закономерности которого соответствуют описываемым гидрогазо-
гидрогазодинамикой [1]. Гидрогазодинамика не предполагает знания рас-
распределений частиц по импульсам. В связи с этим уравнения гидро-
гидрогазодинамики являются существенно более простыми, нежели
кинетические уравнения. В то же время гидрогазодинамика опе-
оперирует с такими феноменологическими характеристиками газа,
как коэффициенты переноса, которые могут быть теоретически
найдены лишь на основании молекулярных распределений. По-
Поэтому возникает необходимость в построении последовательного
перехода от кинетической теории к гидрогазодинамике. В связи
с этим в настоящей главе мы поставим перед собой задачу получе-
получения уравнений гидрогазодинамики — уравнений переноса — на
основании кинетической теории, базирующейся на кинетическом
уравнении Больцмана. Решение такой задачи, позволяющее,
в частности, определить коэффициенты переноса (вязкость, тепло-
теплопроводность и т. п.), представляет собой одно из наиболее тради-
традиционных приложений кинетической теории газов. Можно ска-
сказать, что уравнения переноса — уравнения гидрогазодинамики —
описывают макроскопические движения неравновесного газа.
При этом кинетическая теория неравновесных газов под макро-
макроскопическими движениями понимает движения, определяющиеся
величинами, представляющими собой результат усреднения по
возможным импульсам частиц газа. В этом смысле распределение
частиц по импульсам, описываемое функциями распределепия,
соответствует микроскопической теория состояния неравновесно-
неравновесного газа. Таким образом, ставя перед собой задачу построения

46 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
перехода от кинетического описания к гидрогазодипамическому, мы
должны выявить путь, на котором, исходя из кинетического урав-
уравнения Больцмана, описывающего пеусредцепные но импульсам
движения газа, возможно получение уравнений гидрогазодина-
гидрогазодинамики. Естественно, что переход к усредненному по импульсам
описанию газа отвечает более грубой и, следовательно, менее пол-
полной картине. Однако такое огрубление существенно упрощает
теорию, которая для широкого круга гидрогауодинамических
задач пполне достаточна. Следует подчеркнуть, что более оба*ий
кинетический подход, с помощью которого мы будем выводить
уравнения переноса, позволяет понять условия применимости
гидрогазодинамики, а также пути ее уточнения. Однако прежде
чем говорить о выводе уравнений переноса, следует дать опреде-
определение тем макроскопическим (усредненпым по импульсам частиц)
величинам, которые используются в гидрогазодинамике для ха-
характеристики неравновесного состояния газа.
Из условия нормировки A.4) для функции распределения вы-
вытекает, что величина па (г, t), определяемая соотношением
<ipfa(p,r,t)=na(r,t), G.1)
представляет собой плотпоеть числа частиц сорта а. Для плотно-
плотности массы газа тогда получаем
PafaiPa, Л <)• G.2)
Гидродинамическое течение характеризуется скоростью переноса
массы. Определим среднюю массовую скорость соотношением
где
»о, >\ I) "а- G-4)
Помимо переноса вещества гидродинамическим течением со
скоростью переноса массы в газе имеется тепловое движение
частиц относительно упорядоченного течения, которое характе-
характеризуется локальной тепловой скоростью
Среднее значение такой локальной тепловой скорости
„ г, t) (va - v0) = <.Va(va, t\ 1)) = <va - v0) G.6)

§ 7. МАКРОХАРАКТЕРИПТИКИ НЕРАВНОВЕСНОГО ГЛЗЛ 47
называют диффузионной скоростью. Она определяет плотность
потока массы я й компоненты газа
Ja = me«e<Fe> = та | dpJaVa (va, r, t). G.7)
Заметим, что из формулы G.6) вытекает следующее простое след-
следствие:
2"а'«а <F«4 = S^o^o <*>„> — vo^nama = 0. G.8)
Определим температуру как меру средней кинетической энер-
энергии теплового движения газа, приходящейся на одну частицу.
Точнее,
-^- Y.T — -,=• 2 па "о" та ( ^«' ^
/ п а
О.
= J—'Z(\dpJa±-ma(va-vor. G.9)
2 "а о. '
а
Заметим, что в случае равновесного максвелловского распреде-
распределения D.7) формулы G.9) и G.3) удовлетворяются тождественно.
Поток теплоной энергии я-й компоненты относительно гидро-
гидродинамического течения характеризуется вектором плотности по-
потока тепла
dPafa 4" maVlVa = \ ГПаПа <^FO> = Я а- V-Щ
Соответственно этому для полпого потока тепла в гаае имеем
Наконец, введем еще одну характеристику перемещения от-
отдельных компонент газа относительно гидродипммического пото-
потока, определяющую перенос импульса. Плотность потока г-проек-
ции импульса a-й компоненты газа (относительно течения 1>о)
имеет вид
m dn f V V = m n <V V \
/fia i Ltjf'a/a' ax* a — "^a'^a \ * ax* a/'
Перенос всех проекций импульса а-й компоненты газа характери-
характеризуется симметричным тензором
ра,т ='«orao<l/o,i'/a>)t>> {7-Щ

48 Гл. IT. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
который также называют парциальным тензором давления.
Полный тензор давлений (напряжений) газа имеет вид
Pi»=2iPa,ik = 2mefie<He>iKe,k>. G.13)
В частном случае полного равновесия, когда имеет место распре-
распределение Максвелла D.7), отсюда получаем
G.14)
где п = 2па-
а
§ 8. Уравнения гидрогазодинамики
Кинетическое уравнение Больцмана позволяет вынести урав-
уравнения переноса в газе — уравнения гидродинамики. Прежде
всего получим уравнение непрерывности. Для этого проинтегри-
проинтегрируем уравнение Больцмана но импульсам. Тогда получаем
dt ' дг
-J- JL („a <t,o» = ^^ dPadpbVab d<iab {f'af'b ~ fafh}- (8.1)
Переходя в оравой части уравнения (8.1) от нештрихованных
переменных к штрихованным и наоборот, а также учтя, что и„ь
и daab при этом не меняются, получаем
2 \ dPadp'bVabdaab {fjb —
(8.2)
ь
Поскольку фазовый объем при столкновении сохраняется, то (8.2)
равно по величине и противположно но знаку правой части (8.1).
Но в то же время эти выражения равны. Следовательно (учтя,
что (vay = <v0 -Ь <Fa)),
-1л. 4- div (ПаРа 4- na<Va)) = 0. (8.3)
dt
Это уравнение кладется в основу теории газовой диффузии. Умно-
Умножив уравнение (8.3) на та и просуммировав по сортам частиц,
получаем
-jjf + divpv0 = 0. (8.4)
При этом учтено, что

8 8. УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ 49
Формула (8.4) представляет собой уравнение непрерывности гид-
гидродинамического потока газа.
Для получения уравнения движения газа умножим кинети-
кинетическое уравнение Больцмана на maVа = та (va — v0), проинте-
проинтегрируем по импульсам и просуммируем со сортам частиц. Тогда
имеем
- 2 па {та <^-> + т5 Syai -^> + Fa\ =
а 1
= 2 J dpadpbvab daab{/ИД. - fafb} ma(va~ v0). (8.5)
Рассмотрим сначала правую часть этого уравнепия. Здесь можно
сразу опустить v0, ибо стоящий серед этим множителем иптеграл
равен нулю, как это было показано при выводе уравнения пепре-
рынности. Далее, заменяя в правой части (8.5) а на b и обратно,
а затем беря полусумму возникающего выражения и исходного,
получаем следующее симметричное выражение, равное по величине
правой части (8.5):
4" 2 \ dP« dPb»ab dda; {faf'b - fafb) (Pa + Pb)- (8.6)
После замены переменных pat^. Pa, Ръ *^ Р» выражение (8.6)
принимает следующий вид:
— fafb} (Pa -■)" Pb)- (8.7)
ab
В силу закона сохранения импульса
Ра + Pb = Ра + Pb (8.8)
выражение (8.7) равно по величине и противоположно по знаку
выражению (8.6). Следовательно, они равны нулю. Таким образом,
равна нулю правая часть уравнения (8.5). Для более компактной
записи левой части уравнения (8.5) учтем, что
a
2тЛ<".^> =2"V*o<KaiFa;!> = PiH,
а а
S/dVa \ VI dVo dvn
т°П° \~!)Г/ — ~~ 2Л matla ~аГ — — Р
dl '
а а
V / ^.а "\ dvo vi дщ
л * Г' а Г*

Г>0 Гл. П. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
Тогда окончательно получаем следующее уравнение движения
газа:
dv
Ог
dt
1 dPi4
(8-9)
В частности, если газ находится в поле тяжести, то Fа = тад,
где д — ускорение силы тяжести, и
— ^паРа = -i-Snoma9r = д.
а а
Для получения последнего уравнения переноса — уравнения
баланса энергии — умножим кинетическое уравнепие Больцмана
на A/2)га F|, проинтегируем по импульсам и просуммируем по
всем сортам частиц. После этого получаем
4г 2 "а 4"
4"
\™« (vl - 2vav0 + ul). (8.10)
Рассмотрим правую часть. Слагаемое, содержащее и?„ равно нулю,
как это было показано при получении уравнения непрерывности.
Слагаемое, содержащее линейные по v0 члены, также равно нулю,
как это было показано при получении уравнения движения. Далее,
симметризуя правую часть уравнения (8.10) по q и Ь, получаем
для нее выражение
4 SI dP°dPb»abd°ab {f'afb - fafb) D m°W« + 4 '"о"' ) ' ^' * 1 >
ab
Это выражение после замены переменных
можно записать в виде
4
4 S \dPo.dp'bVabdaab {fafb - Ш {4 тУа + 4 mbv'* } ■ (8-12)
ab

8 8. УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ 51
Благодаря закону сохранения энергии
~Y mav\ + -у- mbvl -= -у- maVa + -у т^ь1 (8.13)
равные по величине и знаку выражепия (8.11) и (8.12) в то же
время равны по величине и противоположны по знаку. Следова-
Следовательно, правая часть уравнения (8.10) равна нулю.
Учтем, далее, что
\ тапа <«Х> = 2 и° <(F« 4" m°F
2 л« <4- 4- ™-и?> = - *£• 2 «.»». <fo> = о,
« а
S/ 0 1 т ^2\ ^^oi vn ^ г/ \
«a (Va j^ -2- meKa^> = - ^2"а™<. <^а, К^о, i> =
11 а
li результате уравнение (8.10) можно 'записать в виде
3 „, . ( 3 1 ®val 'V
О* Z у *- I vi ^
(8.14)
Поскольку
di
то из уравнения (8.14) получаем следующее уравнение переноса
температуры:
_._ „х | тг + Vo _j =. - div 9 - -^
2 »aF« 'Fa> + 4"

52 Гл. II, ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
В случае простого (однокомпонентного) газа ,>ю уравнение
имеет вид
4(f !£) ^-Л». (8.17)
Необходимо подчеркнуть, что система уравнений переноса
по является замкнутой, ибо неизвестна связь векторов диффу-
диффузионной скорости и теплового потока и тензора давлений с плот-
плотностью, массовой скоростью и температурой.
Заметим, наконец, что обращение в пуль правых частей урав-
уравнений (8.1), (8.5) и (8.10) соответствует наличию сохраняющегося
при столкновениях распределения Максвелла. Это же было обна-
обнаружено при рассмотрении в § 6 релаксации пространственно одно-
однородных распределений. Именно поэтому зависимости от времени
таких усредненных гидродинамических величин, какими являются
nai fo> Ti существенно определяются пространствепной неодно-
неоднородностью распределения.
§ 9. Основные положения метода Энскога — Чепмена
Для того чтобы система уравнений переноса стала замкнутой,
следует решить кинетическое уравнение и с помощью получае-
получаемого решения определить вид неизвестных потоков. Метод Эиско-
га — Ченмена *) позволяет найти нужное решение для состояний,
слабо отличающихся от равновесного, когда, например, градиен-
градиенты макроскопических величин невелики.
Запитом кинетическое уравнение Больцмана в виде
^+ «.!£+*'. ^ = 4-2'.ь</../ь). (9.1)
где е — малый параметр. Малость е означает, что столкновения
частиц весьма часты. Поэтому благодаря частым столкновениям
частиц их распределение близко к равновесному максвелловско-
му, полученному нами ранее при учете только столкновений ча-
частиц. В интересующем нас случае неоднородного газа такое рас-
распределение является локально равновесным в том смысле, что
плотность числа частиц, массовая скорость и температура явля-
являются функциями координаты и времени. Именно такая зависимость
приводит к отличию распределения от максвелловского. Все это
находит свое непосредственное отражение в формальном решении
уравнения (9.1), записываемом в виде ряда по степеням е:
/. =/ieJ + e/L1J + e*/L>J + ■ ■ . (9-2)
*) Изложение метода Энскога — Чепмена имеется в книгах [2—5].

§ 9. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ЭНСКОГА — ЧЕПМЕНА
53
Действительно, подставив функцию (9.2) в уравнение (9.1)
и приравнивая выражения при одинаковых степенях е, получаем
следующую систему уравнений:
0=УЛь(До1,/101), (9.3)
dt
Fn
Mob (/a . /b
a . /b )
(9.5)
Решение уравнения нулевого приближения (9.3) мы уже получали
ранее. Именно,
{Ра-та<
/L01 (Ра, Г, t) =
Bлт хТ)''1
2т хТ
(9.6)
Здесь функции па, г>0 и Т являются произвольными функциями
координат и времени. Для того чтобы эти величины имели смысл
локальной плотности числа частиц, средней массовой скорости и
температуры, необходимо подчинить их определениям:
Отсюда сразу следуют условия, накладываемые на решения урав-
уравнений высших приближений (s ^> 0) таким приданием смысла
параметрам функции (9.6):
= 0, (9.7)
= 0, (9.8)
(9.9)
Ниже мы ограничимся получением решений первого приближения.
При этом мы будем решать уравнение (9.4) совместно с дополни-
дополнительными условиями (9.7) — (9.9).

54 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
§ 10. Уравнение первого приближения
для простого газа
Для получения уравнения первого приближения согласно (9.4)
следует подставить в левую часть кинетического уравпепия ло-
локально равновесное максвелловское распределение (9.6). Тогда
1,„1 Рjl)я]д]i i^l j_ii_.±
ct ' дг Г tip)' ~~ ' \ п (It Г Т 0t I 2ткТ 2
. р — mvn дур 1_ дп _, _1_ £Т_ Г (р — та и0J 31
+ хТ at + n V "а^" + Т дг [ Ъпу.Т 2 J +
Производные по времени исключим с помощью уравнений перено-
переноса. При этом для того, чтобы избежать превышения точности,
в уравнениях переноса пренебрежем малыми членами, связанными
с отличием распределения от /<°>. Для простого (однокомпонент-
ного) газа в этом приближении имеем
~ + divnvo = 0, A0.2)
-%- + (»«V) v0 = - ± Vp + -1- *\ A0.3)
ЭТ ^^ = O, A0.4)
где p = n%T и p = mn. После исключения производных но
времени выражение A0.1) принимает вид
,,., | 1 / дп\ ,. , Г raF! 3 1Г1 / дТ
/[.1 j^ ) dt + ^ j^^t,
- ^- div t,,] +~{v- «„ - (t,eV) «o - ~ Vhx7- +
- v0,
rn, (v — v0)"
1 m
A0.5)
Правая часть уравнения (9.4) может быть за писана в удобной
форме, если искомую функцию представить в виде
A0.6)

^ 11. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТОГО ГЛЛА 55
Тогда, учтя формулу A0,5), имоем
= ] dpi | V — Fx | do/W (F) /r°3 (F\) [ф (F') -j
A0.7)
Здесь учтен тот факт, что v — vx = V — Vх. Дополнительные
условия при этом имеют вид
i - 0, A0.8)
\ v = 0, A0.9)
f (v — v0J -- 0 . A0.10)
Уравнение A0.7) является неоднородным линейным интег-
интегральным уравнением. Это уравнение обладает решениями в том
и только в том случае, когда лепая часть его «ортогональна» реше-
решениям соответствующего однородного уравнения. Очевидно, что
решениями ф° однородного уравнения являются \, mV ти i/JmV2.
С другой стороны, легко видеть, что интегралы по импульсам
от левой части уравнения A0.7), умноженной соответственно на
каждое из таких решений однородного уравнения, обращаются
в пуль. Следовательно, эти решения действительно ортогональны
левой части нашего неоднородного интегрального уравнения.
§ И. Решение уравнения первого приближения
для простого газа
Благодаря тому, что уравнение A0.7) является линейным,
его решение можно представить в виде
2хТ
Здесь А (х) и В (х) суть скалярные функции, подлежащие опреде-
определению. При этом дополнительные условия A0.8) и A0.10) удовле-
удовлетворяются тождественно, а условие A0.9) принимает вид
со
J' dVfW (Г) V*A (mF2/2xf) = 0-> J dx-aflnr'A (x) =0. A1,2)
о
Для определепия функций А(х) и В(х) можно использовать
их представления в виде рядов по ортогональным полиномам

50 Гл. II. ВЬШОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
Сонииа — Лагерра
по
A(x)=*2A(n)I%(x), A1.3)
оо
В(х)= 2ВМЙ'D (И.4)
п=0
Такие полиномы определяются соотношением
п
^(ж)^A) х A1)}
Trt-=f)
Заметим, что
В частности,
I A1.6)
L't(x)=i, Ь'('(х) = ^--х.
Выпишем также условие отронормированпости полиномов (ко-
(конина — Лагерра
7n(x)L^(x) -Ьпп-п\Г(п + г + 1). (Н.7)
о
Заметим, что согласно формуле A1.7) дополнительное условие
A1.2) приводит к тому, что нулевой коэффициент разложения
в формуле A1.3) равен нулю (А @) = 0).
После подстановки в уравнение A0.7) решения в виде A1.1)
и с учетом разложений A1.3) и A1.4) возникают две независимые
бесконечные системы уравнений для коэффициентов А{п) и Б(п).
В фактических решениях уравнения A0.7) ограничиваются уче-
учетом небольшого числа первых таких коэффициентов разложения
по полиномам Сонина — Лагерра, что обусловлено малым вкла-
вкладом в коэффициенты переноса, от последующих коэффициентов
разложения.
Рассмотрим сначала уравнение, определяющее коэффициенты
А (п). Из A0.7) имеем
о] (F) /to] (Fj) x
S a. («) i/IjEI J v'l''- (a*l\ + v'X1- {r

§11. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТОГО ГАЗА 57
»т т, т г ч, I mV2 \
Умножим это уравнение на * ~2~т~ * \~Т~ТГ) и пРоинтегРиРУем
но импульсам. Тогда левая часть уравнения A1,8) дает
2xT
Поэтому имеем
-^n5.1 = S а5ГЛ(г). A1.8a)
Коэффициенты <хзг имеют вид
air = ^dp dpx \V-T\\ dafW (F) /M (Fx) L?" (g) (-g^-)V' X
R простейшем приближении, учитывающем в разложении A1.3)
лишь один полином L-1' (х), приближенное решение уравнения
A1.8) имеет вид
где
'?}■ A1.11)
Дальнейшее вычисление выражения A1.11) удобно проводить,
используя переменные центра инерции
dVdV1=~dvdw. A1.13)

58 Гл. П. ВЫВОД УГАШ1КНИЙ ИКРЕНОСА
Тогда
уууг I уу'у '2 у\
J
4
Соответственно формулу A1.11) можно переписать в виде
тли1
= \-{v2(vn)(nw) — (vw)v2 + (nwf v2 — (vwJ}.
Л 2
dvv d°e~"**r(v2+ 2vu> +w2) X
11 " 128 л3 ^ 2x
X {v2(vn)(nw) — (vw)v2 + (nw)*v2 — (vw)*}. A1.14)
После усреднения по углам вектора го получаем
пъ / т \а/гС """* р "">', -
A1.15)
Используя обозначение
Q(l)(o) = |<1з[1 -соя'в] A1.16)
и проинтегрировав по w, получаем
а,, = —
16 V 2я'
В кинетической теории коэффициенты переноса часто выражаются
через величины
'" (Г) = /-яр; J Аге-х-..^ (х /^-) , A1.18)
где р. — приведенная масса частиц, столкновения которых при
этом учитываются. В рассмотренном нами случае \х — т/2. Соот-
Соответственно этому формулу A1.17) можно записать в виде
p-Q»-»^). A1.19)
Подставляя это выражение в формулу A1.10), получаем

§ 12. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТОГО ГАЗА Г)9
§ 12. Решение уравнения первого приближения
для простого газа (продолжение)
Обратимся теперь к рассмотрению уравнения, определяющего
функцию В и тем самым онределяющего ту часть решения урав-
уравнения A0.7), которая возникает благодаря неоднородности сред-
средней массовой скорости. Согласно формуле A1.1) и уравнению
A0.7) имеем
ivk =5-!/25{к) = — [dp,da\V — V1\fi"UV)fif'1l(V1) x
4.f;%,) - в (-j£) (viVk - 4 vbt) -
A2.1)
Для получения отсюда системы уравнений для коэффициентов
разложения A1.4) умножим это уравнение иа
A2.2)
и проинтегрируем по импульсам. При этом левая часть уравнения
A2.1) дает
3 1 2кТ j я'1, )аГ V е Ь* \ 2кГ
4 ^р^-^!</г(^) 5
4 ^7р^^<(^) = 5s0 ~
о 'о
yVv = 5пб... A2.3)
Таким образом, из уравнения A2.1) получаем
ОО
где
"■(УЧ-У'1)
x (VvV* - -i- d,,^) - ^ (-g.) (F,Fk - 4- в,,

60 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
В приближении одного (нулевого) полинома отсюда инеем
2?@)=-g-. A2.6)
Выражение A2.5) для р00 можно переписать в виде
X {(VV'Y + (VV\f — 7* - (FF,,K}. A2.7)
Если в последней фигурной скобке исключить V'x с помощью
соотношения Fj =V+V1 —F', то она принимает вид
2 (VV'f + 2FF1F3— 2FF'F2— 2 (VV^ (VV) = 2 (VV) (V, F' —
— Vx) - 2V* (F, V — Vx) = 2 (F, F' - F) (F, V - Vt). A2.8)
Используя переменные центра инерции A1.12), можно преобразо-
преобразовать выражение A2.7) к виду
X (t> + w, уи. + v) = (t> + м>, и.)а у2 — (w + w, wJ}. A2.9)
Имея в виду интегрирование по углам вектора w, получаем
A2.10)
Следовательно, учтя формулы A1.16) и A1.18), находим
(Г). A2.11)
Подставляя это выражение в формулу A2.6), окончательно полу-
получаем
§ 13. Теплопроводность и вязкость простого газа
Решение уравнения первого приближения A0.7), записанное
в форме A1.1),

i 13. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ ПРОСТОГО ГАЗА 61
позволяет определить зависимость теплового потока и тензора
давлений соответственно от градиента температуры и простран-
пространственных производных массовой скорости. Так, для теплового по-
потока имеем
q =
-i- mV2fl«lф =
Здесь X — коэффициент теплопроводности, равный
х 4
о
Подставляя сюда разложение A1.3) А (х) по полиномам Сонина —
Лагерра и имея в виду равенство нулю нулевого коэффициента
разложения, получаем
о
= - 4 A) ^-пх |/^1. A3.4)
Тензор давлений с точностью до первого приближения имеет вид
jW A + ф) = 8ikp - aix, A3.5)
где р == пх.Т, а для тензора вязких натяжений имеем
в (w) ^
Поскольку усреднение по углам вектора V дает
r ir kr ir l — |5 V«is«ji т «ij«*i T
то формула A3.6) может быть записана в виде
1 С
A3.7)

62 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
Коэффициент вязкости tj равен
со
tj = пхТ —4Т=С dx-x"*e-xB(x). A3.8)
15 у я )
После подстановки в это выражение разложения A1.4) по поли-
иомам Сонина — Лагерра получаем
г] = В @) пхТ——^. dx-xf!'-e~x =-- ~пхТВ@). A3.9)
о
Используя полученные в приближении одного полинома выраже-
выражения
можно записать следующие выражения для коэффициентов тепло-
теплопроводности и вязкости простого газа:
В случае газа непроницаемых шариков радиуса а, когда
A3.12)
имеем
m [a(i—cos2B)=~a2, A3.13)
z7.e-:t!<?<J)= 8/na2 j/~ • A3.14)
0
Соответственно этому
J
256 /it «2
5 к "*х'У
Г) =
Последние две формулы удобны для оценок величины коэффи-
коэффициента теплопроводности и вязкости. Для выявления температур-
температурной зависимости этих коэффициентов переноса в качестве иллю-

§ 14. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПИНАННОЙ CMFfiit tio
страции используем потенциал Леннарда —Джонса C.11), ап-
аппроксимирующий взаимодействие молекул реального газа. По-
Поскольку при этом на больших расстояниях U — г~в, то соответ-
соответственно при малых скоростях da/dQ —ir'l' (ибо для U — г~п
da/dO ■— г>~*/п). О малых скоростях сталкивающихся частиц следу-
следует говорить при сравнительно низких температурах. Поэтому для
низких температур QB> — v~!/> и
Q<«> _ 7^-7. = T'il. A3.17)
Следовательно, при низких температурах коэффициенты вязкости
и тенлопронодности пропорциональны Т'/:
В области лысоких температур можно говорить о больших ско-
скоростях сталкивающихся частиц, для которых существенно взаимо-
взаимодействие на малых расстояниях, когда U — г"2. Соответственно
этому do/dQ — ir-v» и
$<■*•*>„ т\ A3.18)
Отсюда вытекает, что при высоких температурах К и г| пропорцио-
пропорциональны Т'К
Понятия высоких и низких температур для каждого газа естест-
естественно связаны с его конкретными свойствами или, на языке
формулы C.11), с конкретными значениями параметров а и е.
Однако отнюдь не для всех газов можно, подбирая эти параметры,
объяснить температурный ход коэффициентов переноса.
§ 14. Уравнения первого приближения
для бинарной смеси
В случае многокомпонентной газовой смеси теория усложняется
потому, что оказывается необходимым решать систему кинети-
кинетических уравнений. Рассмотрим здесь вывод уравнения первого
приближения метода Энскога — Чепмена для газовой смеси и,
в частности, для бинарной смеси, состоящей из двух сортов газа.
Подстаним в левую часть уравнения (9.4) локальное максвеллов-
скос распределение (9.6) и представим функции первого прибли-
приближения в виде
Д1]=-Д°'-Ра. A4.1)
Тогда имеем
п„ dt ' Г dt 2'лТ 2
аУа 3 . таУ а dvo . 1 **"e
vT1 5~ ~Г «Г 7П г" „ wo air I
±\
-= S \dpbdaabvabf[oi /j,01 (Ф; + «pi ~ Фв - ф„). A4.2)

64 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
Для исключения производных по времени используем урав-
уравнения переноса, в которых пренебрежем малым отличием функций
распределения от локальных максвелловских, т. е.
дп
-^ = -div(nat>0), A4.3)
д \ i dp , i sr\ n i,ii,
1* W°- — <£ + —2"Л A4.4)
a
дТ дТ 2 „ ,. ... С1
— = -t,0 — rTdivv0. A4.5)
ЗдеСЬ р = 2 пата> Р — пУ^-
а
После использования таких выражений получаем
^»»*".^.61 Л" (% + ф» - 9. - Фь). (И.6)
где
Ь
Для бинарной смеси
a, -^ ■! — \- [т„ — т,] —3 \-
В частности, если масса частиц одной из компонент газа мала
по сравнению с массой частиц второй компонененты (m1<sg:m2),
то
Систему уравнений A4.6) следует решать совместно с дополни-
дополнительными условиями:
5рв/?'фв = 0, A4.10)
f™yara^O, A4.11)
|-«a^ = 0. A4.12)

§ i5. ИКРКНОС МАССЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФУЗИИ 65
В случае бинарной смеси решение системы уравнений A4.6)
можно записать в пиде
-- A (m'V\\/ m" V д1пТ
2x7' "а\ШГ)У eiK« 3
v ._-L«.
Для вычисления функций А, В, С снова используем разложения
по ортогональным полиномам Сонина — Лагерра:
Аа(х) = 2 Аа(п)Т%(х); Ва{х) = S Ва{п)Ь^ {х);
A4.14)
При этом дополнительные условия можно представить в виде
пх 1/тГЛ! @) + п2 Ym7A2 @) = 0, A4.15)
^ @) + п2 У^Сг @) = 0. A4.16)
§ 15. Перенос массы и коэффициенты диффузии
бинарной газовой смеси
Уравнения переноса газоном смеси отличаются от соответству-
соответствующих уравнений простого газа прежде всего потому, что в них
входит средняя диффузионная скорость
<Fa) = ±-\dpJa(pat r, t)(va-v0). A5.1)
а "
Эта величина определяет, в чаЬтности, плотность потока массы
а-й компоненты газа
Ja^mana(Vay. A5.2)
Формула A4.13) позволяет выявить явную зависимость такой плот-
плотности потока массы от градиентов макроскопических величин и
сил, действующих на частицы газа. Именно:
Ja = me$dpe/?4Fe =- ma j/^fr \-\dpaVl№ X
X 1 —
3 В. П. Силин

60 Гл. П. ВЫ ПОД УРАВНЕНИЙ ПКРЕПОГ.А
Эту формулу можно записать в следующих обозначении^
•Т* - - Di -^ - Dabd. A;>.4)
Коэффициенты диффузии Dah и коэффициент термодиффузии £>„ би-
бинарной смеси имеют вид
3 Vn nmimt ,) у aw " v ;
о
>„,,
Т' нв j dyy* е-"' Аа (у"). A5.6)
о
Подставляя в эти формулы разложения функций А и С по полино-
полиномам Сонина —Лагерра A4,14), получаем*)
Dl - nama j/щ; Аа @). A5.8)
Согласно дополнительным условиям A4.15) и A4.16) имеем
п1 Ymi -^i @) = — n2 l^mj Л2 @),
пл Vmi Ci @) — — Щ Ym2 C2 @).
Поэтому имеют место следующие два соотношения:
Dl=-Dj, A5.9)
2>„ =-©!,. A5.10)
Термодиффузионное отношение &,. определяется ранепством
Ж7 ~ ~ ~n С (Of •
При этом формула A5.4) может быть переписана в виде
Наконец, выпишем пыраженне для потока тепла, обусловленного
а-й компонентой газа. Имея в виду формулы A3.2) и A3.3),
*) При этом учтено, что \ <1у\/е у! = _1_ }^я.
J о

§ 1A. ПЫЧИС ПИНИК КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ 67
получаем
A5.13)
Соответственно этому для полного потока тепла имеем
-п'Г
'lit'I
С помощью выражения A5.12) исключим отсюда (I. Тогда поток
тепла может быть записан в виде
q - _ X £11 + J^ f/ -Ь " -хГ^^Л, A5.15)
где
(№.16)
5 |/xf» rnjCijl) | mCajl)! A5 17)
2 ^2 пт-л L T^mi l^"^a J
Коэффициент теплопроводности "к полностью определяет тепловой
поток, обусловленный градиентом температуры и условиях, когда
отсутствует поток массы. Ниже с помощью соотношений симмет-
симметрии кинетических коэффициеитои мы покажем, что
l = Dj iiL-j- A5.18)
(см. задачу П. 2 и Приложение 1). В этом также можно и нопосред-
стнонно убедиться, рассматривая следствия уравнения A4.16).
§ 16. Вычисление коэффициента диффузии бинарной смеси
Общая схема решения кинетического уравнения A4.6) приме-
применительно к вычислению коэффициента диффузии во мпогом подоб-
подобна тому, с чем мы познакомились при нахождении теплопроводно-
теплопроводности и вязкости простого газа. Некоторое усложнение возникает
из-за необходимости решения системы двух кинетических
уравнений, соответствующих двум компонентам бинарной смеси.
Ниже мы ограпичимся приближением одного полинома в разло-
разложениях A4.14). Тогда для интересующей нас задачи може.м

68 Гл. II, ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
записать
9»=l/-^r'»4«FeCe@). A6.1)
A6.2)
Далее в силу дополнительного условия A4.16)
достаточно (в этом приближении одного полинома) определить
лить одну величину, например, Сх @). Учтя формулы A6.1) и
A6.2), ин уравнения A4.6) получаем
1 /™ /"^ [г; - Fx - -£ (Fi - F,)) С, @),
A6.3)
Подчеркнем, что столкновения одинаковых частиц в этом прибли-
приближении дают нулевой вклад в силу закона сохранения импульса.
Умножив это уравнение на V1 и проинтегрировав по скоростям,
находим соответственно для левой части
-^~ A6.4)
mi v ;
и для правой части
•X (F,, V\ - Г,). A6.5)
Здесь был учтен закон сохранения импульса при столкновениях
частиц. Приравнивая выражения A6.4) и A6.5), находим
С, @) =
A6.6)
В правой части формулы A6.6) проведем возможное интегрирова-
интегрирование и используем обозначения A1.16) и A1.18). При этом целесо-
целесообразно воспользоваться переменными центра инер ции (сц,

5 16. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ 69
формулу C.3)):
F, — F2 =- wt->; mlVi + m2V2 -= P\ fj
„ li . P U
mi 4 "i.1 '
-f- mi J
(mi 4-
mfm3
Ft — F, --- (y12w — v12) и
В результате интегрирования получаем
A6.7)
Cl @) = _ A
ГДП
16 r mi [ion i Q( ' ' (T)
dy ■ ,fc-» Q
у
A6.8)
A6.9)
Результат A6.8), полученный нами в приближении одного полино-
полинома, позволяет записать следующее выражение для коэффициента
диффузии бипарпой смеси:
2т,
3
6
В случае газа непроницаемых шариков с радиусами а, и а2
d3=--4-(fli f a2Kdo. A6.11)
Поэтому
Я"-.) (f) =
A6.12)
A6.13)
Следовательно, для такого газа коэффициент диффузии равен
Оп = 3_]^ _а . A644)
* R V ?, «(ai + asP \* • /

70 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
§ 17. Вычисление коэффициента термодиффузии
Для определения последнего коэффициента переноса —коэффи-
—коэффициента термодиффузии — следует рассмотреть решение уравне-
уравнения A4.6)
Функции Ап подчиняются системе уравнений
^,- [Кл. ("#) -
Подставим в правую часть этого уравнения разложения A4.14)
функций А по полипомам Сонина —Лагерра, затем умножим
уравнение A7.2) на
/ ™ т/2 \
A7.3)
и проинтегрируем по импульсам, Тогда получаем
со
Вычисление левой части уравнения было проведено выше (§11).
Там же нам пришлось столкнуться с вычислением матричных
элементов а^"' (формула A1.9)). Общие формулы для а[^Ь'Ъ) и
ав"ь>а> имеют вид
dn,,\V —V,\ds, fm п?1 -^—Л- Lh —S-- v
A7.5)
2vT~
V I ''{ а — V Т" _а а

i 17. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТР.РМОДИФФУЗИИ 71
Заметим, что и силу закона сохранения импульса при соударении
обращаются в нуль все матричные элементы а[°\ у которых хотя бы
один нижний индекс ррьен нулю. Также согласно закону сохра-
сохранения импульса уравнения для двух сортов частиц при s = 0 не
являются независимыми, ибо их сумма равна нулю. Недостающее
уравнение восполняет дополнительное условие A4.15)
пг \/'т[ Л, @) + щ у' т, Аг @) = 0. A7.7)
В приближении двух полиномов иа A7.4) имеем следующую систе-
систему уравнений:
0 ^ с&^Ч @) + а^-'Ч A) + c&"U, @) + <№ЛА« A), A7.8)
»„ = а*ч.4 @) 4. [a 2'1) +a V] 4XA) + aft1-1 4- @) + a 'Г2Ч (!)•
A7.9)
~т~ Пг = *io' 4j @) ~Ь an ' A1 A) 4~ "'lo ^2 (^) Ь [^n ' -|~& n] 4^A).
A7.10)
Эта система уравнений совместно с дополнительным условием
A7.7) позволяет определить все четыре коэффициента. Рассмотрим
эту систему уравнений в том случае, когда плотность числа частиц
сорта 1 относительно мала (щ<^:щ). Тогда в силу дополнитель-
дополнительного условия Л2 @)<^ Лх @). Поэтому в уравнениях A7.8) —
A7.10) можно пренебречь величиной Ла @). Далее в уравнении
A7.9) можно пренебречь членом, содержащим ац', пропорциональ-
пропорциональным п2 и соответствующим столкновениям одинаковых частиц сор-
сорта 1. Напротив, в правой части уравнения A7.10) старший член
соответствует столкновениям одинаковых частиц. В результате
система уравнений принимает вид
-J % = «1» L1 @) + *^ЛА1 A) 4- сС2)Л2 A), A7.12)
^-п.2=а121)Л3A). A7.13)
Уравнение A7.13) совпадаете возникавшим при вычислении тепло-
теплопроводности простого газа. Поэтому
где
со
{ dxx7e-x" \daM(I —cos29). A7Л5)

72 Гл. II. ВЫВОД УРАВНКНИЙ ПЕРЕНОСА
Наконец, с помощью уравнений A7.11) и A7.12) находим
Аг (°) = a(ft.i)a(ia,i) _ „(li^uT) {^Г niaoi2>1 —
aio aoi aii aoo '■
г_аг.1)-A2,2) ju,i) (n^ipi/2^' 1 1 A7 Ш
-[«01 «11 -«11 «01 J 16 |/ mi niQB,2) (T) J ■ ll'-lO)
Найдем матричные элементы, входящие в правую часть формулы
A7.16), используя определения A7.5) и A7.6),
A2,1) _ / ,/о "Ч -,/ >П\ оA.1) ,лп
~('2>1) _ „A2,1
а00 — а10
„A2,2) „A2,2) ./mi A2Д) ,.7 .q.
«10 =«01 — — J/ — а10 1 A(.1У)
„U2.D ./о „ „ mim3 -i/mi ( I ЧЦ mi j or. '
an = V 2 »i«2 ^Г-Г^M- К ^T |~ L ^ +
+ 20-^ Q^'2) -4-J- Q&s) - 8Q<22'2) |, A7.20)
A2,2) __ ,Г7) "li^ ,/ "H ,rm(l,l)
4Q(,2l3) — 8Q^a)}. A7.21)
Эти формулы определяют Ах @), а поэтому и коэффициент термо-
термодиффузии.
В частном случае тяжелых изотопов, когда ту — т2 <Sg; ni2.
формула A7.16) принимает иид
Ах @) =
15
64 йB2) оао020021)]П-'--
о}. A7.22)
Укажем здесь на одпу возможность [6] приближенного решения
уравнений вида A7.4). В этом уравнепии недиагональные элемен-
элементы матрицы а малы по сравнению с диагональными. Поэтому при
решении уравнения A7.4) можно воспользоваться разложением
по степеням малых недиагональных элементов. Соответствующее
решение первого приближения будет отличаться от формулы
A7.22) отсутствием [а',!21'!2.

S 18. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНТРОПИИ 73
§ 18. Уравнение баланса энтронии
Результаты для коэффициентов переноса, полученные нами,
базировались па решении линеаризованного кинетического урав-
уравнения. Действительно, мы записывали решение в виде
/а = Д01A+фа), Фа<1. A8-1)
и всюду пренебрегали нелинейными по сра выражениями. Вычис-
Вычислим в этом же приближении отнесенную к единице объема плот-
плотность энтропии газа
A8-2)
В нулевом приближении имеем
^o=-SSdj»e/S>]ln/£>1l A8.3)
а
где Д0-' —локально равновесное максвелловское распределение.
Выражение первого приближения имеет вид
<*! = ~ 2 S dP« {/™Фа Ь № + iaSa}. A8.4)
а
Благодаря дополнительным условиям (9.7) —(9.9), которые мож-
можно записать в виде
Wa\ - 0, 2 S dpa -i-maF^01 Фв = 0, A8.5)
a
выражение A8.4) обращается в нуль.
Следовательно, можно сделать вывод о том, что с точностью до
линейных по фа членов (включительно) энтропия является локаль-
локальной функцией температуры Т и плотности числа частиц па, т. е.
такой же функцией как и в термодинамическом равновесии, но
уже_зависящей от неравновесных значений Т и па. Поэтому в та-
таком приближении имеем
TdS = de + pdV — ^\iadna, A8.6)
a
где е — внутренняя энергия единицы объема, u.a — химический
потенциал я-компоненты.
Соотношение A8.6) может быть использовано для получе-
получения уравнения, описывающего изменение энтропии во времени
в линейном по <р приближении. Для получения более точного

74 Гл, II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРКНОСА
уравнения баланса энтропии мы воспользуемся кинетическим
уравнением Больцмана
Продифференцируем по времени формулу A8.2) и используем
уравнение Больцмана A8.7). Тогда
Обозначим
"^ P.b/.[^f]rt. A8-9)
Эту величину будем называть производством энтропии. Исполь-
Используя такое обозначение, легко записать формулу A8.8) в ниде
а ^
Наконец, введем вектор плотности потока энтропии
A8.11)
Тогда уравнепие баланса энтропии принимает вид
= Д A8.12)
Вычислим вектор плотности потока энтропии, считая функции
распределения частиц слабо отличающимися от локального макс-
велловского распределения (см. A8.1)). При этом линеаризуем вы-
выражение A8.11) относительно малого сра. Тогда
' Фа) [1П /а°] + 1П A + фа)] ~
■ фа A + 1П fa1)} '-
т Vl п
A8.13)

§ 18. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНТРОПИИ 75
Следовательно, левая часть уравнения баланса энтропии A8.12)
мозкет считаться определенной, если определен вид теплового
потока q и векторов плотности потока массы Jа.
Обратимся теперь к рассмотрению производства энтропии.
Подставив в формулу A8.9) явное выражение 1п/а, имеем
М « - S S dp. /in ~-^. - - ^ + Ш A + Фо) 1 [%1 .
A8.14)
Учтя соотношения
получаем
ДЛ = - 2 I dPa 1П A + Фа) Й] = - S 5 ^ГР* \^ I ■ A8.16)
а L Jst а L Jst
Заметим, что поскольку в первом неисчезающем приближении по
степеням д>л интеграл столкновений имеет вид
bvab {Ф; + Ф; -фа- Фб). A8.17)
то производство энтропии отлично от нуля лишь в приближении,
учитывающем квадратичные по ф члены.
Для дальнейшего вспомним, что в первом приближении метода
Энскога —• Чепмена имеет место уравнение
ф„ + фь — фа — ф(,} =
A8.18)
Используя уравнение A8.18), можно выразить правую часть фор-
формулы A8.16) через потоки массы, тепла и плотность потока импуль-
импульса:
У 1 г

76 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
Последняя формула показывает, что производство энтропии пред-
представляет собой билинейную комбинацию «потоков» (Ja> 9% аи)
и «термодинамических сил» (da, VT\dvojdrj), вызывающих яти по-
потоки. Ранее мы уже видели, что сами «потоки» являются линей-
линейными формами относительно таких «термодинамических сил».
Поэтому производство энтропии может быть представлено в виде
квадратичной формы либо «потоков», либо «термодинамических
сил».
Для состояний, слабо отличающихся от равновесного, такое
положение является весьма общим. Действительно, согласно При-
Приложению I можно записать
AS=-~ZXJn, A8.20)
п
где /„ —потоки, а Хп —термодинамические силы. Соответст-
Соответственно первому приближению метода Энскога — Чепмена потоки
линейно зависят от термодинамических сил
Xn. A8-21)
где Lmn — кинетические коэффициенты. Для последних имеют
место соотношения симметрии Онсагера,доказательство которых
дано в Приложении Т. Для связи параметров одинаковой четности
эти соотношения имеют вид
Lmn = Lnm. A8.22)
Соотношения симметрии Онсагера позволяют уменьшить число
кинетических коэффициентов, для которых необходимо прово-
проводить непосредственные вычисления, решая кинетические уравне-
уравнения (см. задачу II. 2).
§ 19. Частота столкновений и длина свободного пробега.
Необходимые условия применимости метода Энскога — Чепмена
Кинетические коэффициенты (вязкость, теплопроводность, ко-
коэффициенты диффузии и термодиффузии) определяются столкно-
столкновениями частиц. Часто для характеристики эффектов, обусловлен-
обусловленных столкновениями, используются понятия частоты столкновений
частиц и длипы свободного пробега.
Число столкновений между частицами двух сортон, происходя-
происходящих п единицу времени и в единице объема, равно
= J dp1
A9.1)

§ 19. ЧАСТОТА СТОЛКНОВЕНИЙ II СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ 77
Для равновесного газа
(Р„-т„П)'
ra a
--—:т е
и формула A9.1) может быть представлена в виде
2
Замечая, что
$a12 = <?<0); Q<l>l0> - f/^- f^-xV^i?'"), A9.3)
запишем формулу A9.2) следующим образом:
N12 = &nxn2ul0'n). (UK4)
Поскольку размерность интегралов £2<''s> одинакова, то в оценках
кинетических коэффициентов можно использовать понятие числа
столкновений.
Для газа непропицаемых шариков
da = a2do; Qm = 4яа2; Q(o'o> = о2 ^2лхГ/ц. A9.5)
Поэтому
f A9.6)
Среднее число столкноиений частицы сорта 2 с частицами сорта 2
в единицу времени равно
v1>2 = ^Ь-2 = 8n2Q<0l0) (Г). A9.7)
Эта величина называется частотой столкновений частиц сорта /
с частицами сорта 2. Для газа непроницаемых шариков
Полная частота столкновений частиц сорта / со всеми части-
частицами газа, очевидно, имеет вид
vi= -^-(Л'и + ЛГ,, + ...). A9.9
По порядку величины частота столкновений равна
A9.10)

78 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПКРКНОСА
где 0 = Q(o) — соченис рассеяния, vT = |/хГ/т, п -- плотность
числа частиц газа.
Из онределения частоты столкновений следует, что величина
A9.11)
представляет собой сроднее время, в течение которого частицы сор-
сорта 1 не претерпевают столкновений. Это — время свободного про-
пробега. Наконец, среднее расстояние, проходимое частицей сорта 1
аа время свободного пробега, называется длиной свободного про-
пробега:
A9.12)
где vti — У Y.T 1тх.
Полученные выражения для коэффициентов переноса еоотнет-
ствуют получаемым в элементарной общей физике. Действительно:
/>„„ JL "I-* J*_* ± = luT, A9.13)
5 кТ х'Г
Ц - -8-
Понятия длины пробега и частоты столкновений удобны для
формулировки условий применимости метода Эпскога —Чепмена.
Для этого прежде всего оценим правую часть кинетического урав-
уравнения — интеграл столкновений:
F = S \ dPbd<3abVab {fafb — fafb} ~ fa S \ dPb^al,Vahfb ~
L M !st ь ' ь *-
vfa. A9.16)
В методе Эпскога — Чепмена правая часть кинетического урав-
уравнения считается наибольшей. Сравнивая выражение A9.16) со
слагаемым левой части кинетического уравнения, содержащим
производную функции распределения по времени, можем сказать,
что для применимости метода Энскога —Чепмена необходимо,
чтобы характерное для макроскопических (гидродинамических)
процессов время Г0было значительно больше времени свободного
пробега:
4

§ it). ЧАСТОТА СТОЛКНОВЕНИИ И СВОБОДНЫЙ ЛРОГ.ЕГ 79
Далее, можно написать следующую оцепку:
где Tj0 — характерный пространственный масштаб, характеризую-
характеризующий макроскопический процесс. Сравниная выражения A9.16)
и A9.18), получаем, что необходимым условием применимости
метода Энскога —Чепмона является условие малости длины сво-
свободного пробега по сравнению с характерным пространственным
масштабом макроскопического процесса:
l^L0, A9.19)
В высших приближениях метода Энскога —Ченмена при вы-
вычислениях потоков массы, тепла и плотности импульса возникают
более высокие степени пространственных градиентов. Их отно-
относительный порядок величины определяется отношением
(l/L0) ^ Кп, A9.20)
называемым числом Кнудсе.на.
Здесь необходимо сделать одно замечание, касающееся описа-
описания временной зависимости релаксациошшх процессов, дающего-
дающегося решениями кинетического уравнения, получаемыми с помощью
метода Энскога — Чепмеиа. В методе Энскога — Чепмена вромеп-
ная яависимость распределений определяется иремепной зависи-
зависимостью гидродинамических величин па, v0, Т. Иными словами, отот
метод позволяет описать последующее состояние газа, если и дан-
данный момент времени состояние определяется макроскопическими
гидродинамическими параметрами. Следовательно, в таком методе
мы не получаем ответа на вопрос о поведении во времени произ-
произвольных начальных состояний газа. Теперь следует вернуться
к неравенству A9.17), согласно которому характерное время
изменения гидродинамических величин, а поэтому и распределе-
распределений частиц газа, получаемых при решении кипетичееких уравне-
уравнений с помощью метода Энскога —Чепмена, должно быть значи-
значительно больше времени свободного пробега. С другой стороны,
неравенство A9.17) нарушается для целого ряда релаксационных
процессов, рассмотренных в § 6, характерное время изменения
которых соответствует времени свободного пробега. Именно такие
быстрые релаксационные явления не могут быть описаны с по-
помощью решений кинетического уравнения, найденных методом
Энскога — Чепмена. Однако быстрые релаксационные процессы
(в том числе пространственно однородные, ср. § 6) фактически
заканчиваются за время порядка времени свободного пробега, пос-
после чего дальнейшая релаксация протекает медленно по законам
гидродинамики или, что одно и то же, но законам изменения

80 Гл. II. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
распределений частиц, соответствующих решениям кинетического
уравнения, получаемым методом Энскога —Чепмена. В качестве
примера гидродинамической релаксации отметим найденный в § 6
релаксационный закон F.32).
Задачи
Задача II. 1. Найти выражение для вязкости простого газа в приближе-
приближении двух полиномов Сонипа — Лагерра. Определить п процентном отно-
отношении поправку к приближению одного полипома для случая гааа непрони-
непроницаемых шариков.
Решение, Вычисляя с помощью формулы A2.5) матричные элементы
J5sr, получаем
Роо = 4п2Й<2' 2) (Г),
Рт — Poi - 7n2fiB' 2) (Г) — 2?!2fi<2' 3) (Т),
3„ ^ -т-=- rc2fiB' а> (Т) — 7n'JQB' 3) ("/') -f цгд(а. i) ^y
И а уранпепин A2.4) в приближении двух полиномов имеем
ои 1 Ъп Г 310
I'' @) - =
Поэтому для вязкости простого газа в таком приближении получаем
4Q<"> (Г) I ~ Й<2-2) (Т) — 7Q<2'3> B')+QB'4> (Г)]—[7Й<М> (Г)— 2ЙB'3>(Г)]'2
Для газа непроницаемых шариков:
аBл) _ 160аг /яиГ/m .
Следоватслкно, п ириближеиии двух полиномов вяакосп. простою газа ни-
проипцаемых шариков равна
64 У Л
202f-
Таким образом, поправка, возникающая при переходе от приближения од-
одного полинома к приближению двух полипомов, составляет 1,5%.
Задача II. 2. С помощью соотношений симметрии Оисагера для бинар
ной газовой смеси выразить коэффициент | в тепловом потоке A5.15) через
коэффициент термодиффузи».

ЗАДАЧИ 81
Решение. Пренебрегая вязкостью, можем записать формулу A9.19)
пр _, Г 5 ^m,-ra, I 1 3lnT
(л or
Поскольку согласно формулам A5.4) и A5.15)
— m* ~mi i дТ *-хТ
- 2 'лТ га,га2 Ji = ~ Х дг + "ЖГ Jl =
то соотношение снмметрпи кинетических коэффициентов (см. Приложение I)
позволяет записать равенство
Поэтому
"Р

ГЛАВА III
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КИНЕТИКИ СИЛЬНО
РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
§ 20. Уравнения и граничные условия
В условиях движения искусственных спутников число Кнуд-
сена отнюдь не мало. Именно, отношение длины пробега частиц
к характерному размеру спутника может достигать нескольких
сотен. В таких условиях гидродинамика непригодна. Аналогичная
ситуация имеет место и в земных условиях, когда приходится иметь
дело с сильно разреженными газами. Будем называть сильно
разреженными газами такие, для которых число Киудсена велико.
При больших числах Кп, очевидно, для решения кинетического
уравнения Больцмана нельзя использовать метод Эпскога —
Чепмена, основанный на разлопшшш по степеням Кп. Однако
наличие большого параметра (Kn.?g>l) позволяет развить другой
приближенный метод кинетического описания сильно разрежен-
разреженных газов. Именпо в таком случае можно считать малым интеграл
столкновений.
Запишем кинетическое уравнение в виде
B0.1)
где е — малый параметр, соответствующий 1/Кп. Решение урав-
уравнения B0.1) будем искать в виде ряда по степеням малого пара-
параметра:
/а=/(а°)+в/(а1)+е2/12)+... B0.2)
Подставляя разложение B0.2) в кинетическое уравнение Больц-
Больцмана B0.1) и приравнивая члены при одинаковых степенях е,

§ 20. УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 83
получаем систему уравнепии
'а У, I Г id0") ^!>1 1 Г [•;(!) ЛО)\Л /ЧП ^\
—t 1" "а —-— -I" х' а^Гр = t-li-lab 1/а ./(>]+ ■'аЬ \1а . /(> ]}. (^U.t))
и так далее. Последовательно решая эту систему уравнений, мож-
можно с нужной точностью определить распределение частиц газа.
Ниже мы ограничимся использованием уравнения нулевого приб-
приближения B0.3) — уравнения молекулярного течения.
Если нет внешних сил, действующих на частицы газа (!*'„= 0),
то уравнение нулевого приближения B0.3) имеет вид
= 0. B0.6)
Это уравнение описывает свободно-молекулярпые течения газа.
Для стационарного случая имеем
Очевидно, что для отыскания регаепия уравнения B0.7), а также
и уравнений B0.6), B0.3) — B0.5) пеобходимо знать граничные
условия, которым подчиняются распределения частиц.
В большинстве задач кинетики разреженного газа речь идет
о взаимодействии потока с твердыми поверхностями. Имепнона
таких поверхностях следует иметь в виду граничные условия, на-
накладываемые на функции распределения частиц. Для установле-
установления соответствующих условий следует рассматривать конкретные
процессы взаимодействия частиц с поверхностями твердых тел.
Теоретически возможно зеркальное отражение частиц от по-
поверхности твердого тела. При этом компонента скорости, перпен-
перпендикулярная поверхности, после столкновения частицы с твердым
телом меняет только лишь свой знак, а касательные проекции оста-
остаются неизменными. Таким образом,
v' =1> — 2» (nv), B0.8)
где п — единичная внешняя нормаль к поверхности твердого тела,
направленная внутрь газа, v и v' — соответственно скорости до
столкновения и после столкновения с твердым телом. Поэтому

84 Гл. III. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
граничное условие имеет вид
f(p-2n(pn), r@),t) = f(p,r@),t), B0.9)
где г @) — координата поверхности.
Поскольку при зеркальном отражении не меняются касатель-
касательные к поверхности тела компопенты импульса ударяющихся час-
частиц, то такое взаимодействие частиц не приводит к «вязким» поте-
потерям потока импульса, для которых необходимо учитывать эффекты
трения газа о поверхность.
В известном смысле противоположный пример граничного
условия представляет собой случай диффузного отражения. При
этом предполагается, что распределение частиц, отраженных от
твердой поверхности, не зависит от распределения падающих час-
частиц и, например, является максвелловским с температурой твер-
твердой поверхности Тп. Следовательно для функции распределения
отраженных частиц (vn ^> 0) имеем
Bnmx.Tn
B0.10)
Реальпаякаютина взаимодействия частиц с поверхностями твер-
твердых тел значительно более сложна, ибо помимо отражения частиц
возможны ины" процессы. Так, при частичной аккомодации части-
частица отражается от поверхности, сохранив лишь часть первоначаль-
первоначальной энергии. Поверхность твердоготола может поглощать падающие
на пее частицы. С другой стороны, с поверхности твердых тел
может происходить эмиссия частиц газа. В пашем последующем
изложении мы ограничимся простейшими представлениями о зер-
зеркальном и дифАузном отражении частиц поверхностями твердых
тел *).
§ 21. Эффузия [1]
Рассмотрим (тациопарное течение газа через малое отверстие,
размеры которого малы но сравнению с длиной свободного пробе-
пробега. Такое течение называется эффузионным. Очевидно, что число
Кнудсена в этом случае иелико. Поэтому молекулы выходят в от-
отверстие независимо друг от друга. Если пне сосуда нет газа, то
полное число частиц, уходящее в единицу времени через отверстие
площади S, равно числу столкновений молекул газа с равной по
величине площадью стенки сосуда, происходящих в единицу
•) Обсуждение более сложных условий иа поверхностях тпердых тел
читатель найдет в гиигах [1—4].

S 22. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 85
времени:
Ось а: здесь принята перпендикулярной площадке отверстия; nj,
Тг и ??ij — соответственно плотность числа частиц, температура и
масса молекул газа в сосуде.
Если вне сосуда имеется газ с плотностью п2, температурой
1\ и массой молекул тп2, то благодаря отсутствию столкновений
скорость его втекания в сосуд будет определяться формулой, ана-
аналогичной B1.1):
Таким образом, общий поток массы газа, истекающий из сосуда,
равен
S , .г т.
щ У тгу.Т2)- B1.3)
В случае, когда внутри и снаружи сосудк имеется один и тот же
газ, пьх = гпг — тп, то вместо формулы B1.3) имеем
где pt и рг — давление газа в еосуде и вне его.
Рапновесио устанавливается тогда, когда поток пещества через
отверстие обращается в нуль. При этом
B1.5)
Следовательно, в области более высокой температуры устанавли-
устанавливается более высокое давление.
§ 22. Свободно-молекулярное течение
вдоль длинной трубы [2, 3]
Рассмотрим сравнительно простой, но в то же время практиче-
практически важный случай свободно-молекулярного течения вдоль длип-
ной цилиндрической трубы. При этом будем считать, что попереч-
поперечные размеры трубы .малы по сравнению с длиной пробега и по
сравнению с характерным расстоянием изменения распределения
частиц вдоль трубы. В наших последующих вычислениях длипа
трубы будет приниматься бесконечной. Это будет означать, что
длина трубы велика по сравнению с расстоянием, характеризую-

86
Гл. III. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
щим продольное распределение частиц. В то же время, полностью
пренебрегая столкновениями частиц друг с другом, мы не можем
считать трубу намного длиннее, чем расстояние сноб од ног о пробега
молекул газа относительно их взаимных соударений. В таких
условиях эффектом, определяющим течение газа по трубе, являет-
является рассеяние частиц стенками трубы. Мы будем считать, что час-
частицы отражаются стенками диффузно. Это означает, что от стенок
трубы летят частицы с распределением по импульсам:
здесь Т —температура стенок, которую будем считать постоян-
постоянной, а п (х) —плотность числа частиц, меняющаяся по длине
, трубы (координатная ось х
I ! принята вдоль оси трубы),
dp = p2dp do, где do — эле-
элемент телесного угла в на-
направлении р.
Определим полпое чис-
число частиц, проходящих в
единицу времени через
площадку dS поперечного
сечения трубы к направле-
направлении оси х (рис. 1). По-
Поскольку такие частицы
проходят через оту пло-
площадку после отражения
стенками трубы, то прежде
всего получим число ча-
частиц dN (S, S', р) с импульсами в интерпале р, р + dp, при-
прилетевших в единицу времени к площадке dS с элемента поверх-
поверхности стенки трубы dS' — dx'di (dl —элемент контура попереч-
поперечного сечения трубы, см. рис. 1). Обозначив посредством в угол
между нормалью элемента поверхности поперечного сечения dS
и направлением на элемент поверхности трубы dS', а 6' —угол
между тем же направлением и нормалью к dS' (лежащей в плос-
плоскости поперечного сечения), можем записать
Рис. 1.
= v соя 6'
p2dpdodS'
B2.2)
[]
Здесь do — элемент телесного угла, под которым видна площадка
dS с элемента поверхности трубы dS', равный
do = ^f cos 0,
где г — расстояние между площадками dS и dS'.
B2.3)

§ 22. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 87
Полное число частиц, приходящих с элемента поверхности тру-
трубы dS' на поверхность поперечного сечения dS, получается инте-
интегрированием выражения B2.2) по абсолютной величине импуль-
импульса р. В результате такого интегрирования получаем
dN(s, s') = ds ds-cosегГfl/ ~
Полное число частиц, проходящих в единицу времени через пло-
площадку dS и приходящих со всей поверхности трубы, представляет
собой результат интегрирования но dS' или, что то же самое, по
всем значениям I вдоль контура сечения трубы при данном х' и
затем по всем значениям х' вдоль оси трубы. В связи с этим целе-
целесообразно выразить через х' и переменные, определяющиеся поло-
положением площадки dS и положением dS' на контуре сечения. Это
нетрудно сделать, если, во-первых, учесть, что
х — х' = г cos 6, B2.5)
и, во-вторых, обозначим буквой \jj угол между нормалью к поверх-
поверхности dS', лежащей в плоскости поперечного сечения трубы, и
расстоянием р между центром проекции площадки dS на то же
сечение и центром площадки dS', можно написать
г cos 6' = р cos\jj -— r sin 6 cosij), B2.6)
Учтя формулы B2.5), B2.6), можно получить следующее выраже-
выражение для полного числа частиц, проходящих в единицу времени
через элемент поперечного сечепия:
B2.7)
Эта формула определяет плотность потока числа частиц вдоль
оси х. Отсюда для полного числа частиц, проходящих в единицу
времени через все сечения трубы, имеем
+
— \dS
B2.8)
Формулы B2.7) и B2.8) принимают значительно более простой
вид в случае медленного изменения плотности числа частиц, ког-
когда можно Припять
п(*') = и(*) + 0с'-*)^. B2.9)

88 Гл. III. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
Тогда после интегрирования по х' получаем следующее выраже-
выражение:
--АУ-J-/Ж^ #«"«»*, B2.10)
^^^ B2.11)
Следует подчеркнуть, что j> dl cos\|з зависит от положения эле-
элемента dS на поперечном сечении. Это означает, что плотность пото-
потока частиц B2.10) неоднородна по сечению.
Обозначив через <р угол между прямой р и линией фиксирован-
фиксированного направления (прямой отсчета), выходящей из dS, можно для
проекции dl на плоскость, перпендикулярную р, написать
dl cosaf = prfq>. B2,12)
Соответственно этому формулы B2.10), B2.11) принимают вид
B2.13)
Умножив B2.14) на массу молекулы т, получим выражение для
массового расхода газа
<22-15>
Имея в виду, что градиент давления газа Р = пхТ может быть
представлен следующим образом:
£=£^\ B2.16)
где L — расстояние между двумя поперечными сечениями, в кото-
которых давление соответственно равно Рг и Р2, запишем массовый
расход газа в виде
При вычислениях для случая кругового цилиндра радиуса R
удобно воспользоваться прямоугольными координатами с началом

I 23. СВОБОДНОЕ РАСШИРЕНИЕ ГАЗА В ПУСТОТУ 89
отсчета в центре поперечного сечения трубы. Тогда
J pd<p= j
о о
_f-H _f- У"Н'—г1
О
J dz I dylfW-zb-y] =i^5f! B2.18)
-Л _ УдЕГЗ
Поэтому для массового расхода газа через трубу кругового сечения
получаем
То, что массовый расход газа через трубу с радиусом отверстия,
меньшим длины пробега частиц, оказывается прямо пропорцио-
пропорциональным кубу радиуса и обратно пропорциональным длине трубы,
было подтверждено экспериментально Кнудсеном [1]. Заметим, что
в этих экспериментах получилось согласие с формулой B2.19)
вплоть до подтверждения численного коэффициента. Однако,
имея в виду, что в принципе могут быть такие условия, когда от
поверхности трубы диффузно отражаются не все падающие на нее
частицы, а лишь доля Ъ от полного числа, укажем, что в таком
случае формула для N (х) окажется отличающейся от B2.14) на
множитель B/ф) — 1.
§ 23. Свободное расширение газа в пустоту
Пусть газ занимает полупространство х < 0. Частицы газа
распределены по скоростям согласно максвелловскому распре-
распределению. В начальный момент времени t = 0 удаляется стенка,
ограничивающая газ, и он начинает расширяться в пустоту. Для
функции распределения при таком свободно-молекулярном рас-
расширении имеется уравнение
Проинтегрировав уравнение характеристики
vx
B3.2)
видим, что решение уравнения B3.1) имеет вид
f{x,v,t) = F(x — vxt;v). B3.3)

90 Гл. Ill, КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
Поскольку в начальный момент (I — 0) распределение частиц опи-
описывается формулой
7. _
ть2
f(x,<u,O) = ne{-j-^rj e ахТв(— х), B3.4)
где
*<0' 1 B3,5)
io решение уравнения B3.1), удовлетворяющее начальному усло-
условию B3.4), оказывается равным
/ (х, v, t) = щ (^'«"^ 0 (vxt - х). B3.6)
С помощью распределения B3.6) можно найти теперь зависимость
плотности числа частиц от времени и координат *)
п(х, t)=
В пределе (x/t) -> — сю плотность числа частиц обращается в п0.
Найдем также среднюю скорость газа, свободно расширяющего-
расширяющегося в пустоту:
Поскольку зависимость плотности частиц и средней скорости от
времени и координат определяется комбинацией (x/t), то их рас-
распределения в различные моменты времени подобны и отличаются
лишь масштабом вдоль оси х, который растет пропорционально
времени. Такое движение называется автомодельным. В заклю-
заключение этого параграфа определим зависимость от координат и
2, г* ,j
*) Ф (х) = erf (х) = —р= \ dte — интеграл вероятности.
у я J

§ 23. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛЛ В ПОТОКЕ ГАЗА 91
времени плотности числа частиц и средней скорости газа, свобод-
свободно расширяющегося в пустоту, если в начальный момент газ с рас-
распределением Максвелла занимал плоский слой толщины Lo [3].
Считая, что в момент t= О одна из ограничивающих поверхно-
поверхностей газа расположена при х = 0, а вторая —при х = —La,
имеем для начальной функции распределения выражение
f(x,v, О) = по(-2^г) в *хт{в (_,,)_ в (_*_£„)}. B3.9)
Соответственно этому
§ 24. Сопротивление тел в установившемся
свободно-молекулярном потоке газа
Рассмотрим простейший случай, когда в свободно-молекуляр-
свободно-молекулярном потоке V находится плоская пластина*). Пусть поток направ-
направлен вдоль оси 2и имеет скорость V.
Поэтому распределение частиц
в набегающем потоке имеет вид
/(«) =
2Л-Х.Т
B4.1)
Ось у расположим в плоскости
пластины. Угол р между плоско-
плоскостью пластины и осью z называет- Рис- 2-
ся углом атаки (рис. 2).
Определим прежде всего число частиц, падающих п единицу
времени на единицу поверхности пластины:
vvj, B4.2)
где vn — скорость, перпендикулярная поверхности пластины, а
интегрирование ведется лишь по положительным значениям vn.
Поэтому целесообразно преобразовать переменные
vn = wxcosP + b^sinp; vx = vn cos p -- v,smp, ")
■ n i (^i.d)
vx = — y^sinp + y2cosP; v = vx cos p -f- vn sin p. J
•) См. также [2—4].

92 Гл. III. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
Тогда функцию распределения B4.1) можно записать в пиде
Соответственно этому интеграл B4,2) принимает вид
-}-оо -}-оо
^ l\ ^ dvyf(vni Ут, У„) =
—оо —оо
—Vstnf3
mV*sin»f}
Определим давление со стороны свободно-молекулярного то-
точения на пластину. Рассмотрим прежде всего вклад в давление,
обусловленный частицами, падающими на поверхность пластины,
обращенную в сторону набегающего потока:
+ ОО -(-С
A.a« = ^^«-^n ^ d^x ) dvvf = nom]/ ^r
X С dv(v -
р + ^L] [i + Ф (sin p /U)]} . B4.6)
+ J_
Помимо воздействия падающих частиц, давление на эту поверх-
поверхность возникает также и от отраженных молекул газа. Будем
считать, что отражение частиц диффузное. Это означает, что для
отраженных от поверхности частиц имеет место распределение
B1.10):
mv*
е • {~*- '
где Тп —температура пластины.
Давление, возникающее от диффузпо отраженных частиц, но
величине равно плотности потока импульса таких частиц. Следо-
Следовательно,
ротр = ±- пхТа. B4.8)
В B4.8) не определена п — плотность числа диффузно отра-
отраженных частиц. Для определения этой величины найдем с помощью

5 24. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛА В ПОТОКЕ ГАЗА 93
формулы B4.7) число частиц, диффузно отражаемых единицей
поверхности в единицу времени
О +оо +оо
Nmp = - J dvn-vn $ dvx I dvyfOTp = пУ -^ . B4.9)
Для рассматриваемого нами установившегося течения
#„ад = Nmv. B4.10)
Это означает, что
-^-Nmm. B4.11)
Таким образом, суммируя выражения B4.6) и B4.9), а также учи-
учитывая выражение B4.11), находим для давления на поверхность
пластины, обращенную в сторону набегающего потока:
p =
mV'sin'P
Помимо давления свободно-молекулярный поток приводит к
возникновению касательных напряжений
= ^ mvn dvn ^ yT dvr \ dvyf =
+3O
ii>- \ di>yf — mV cos (i/V,,an. B4.13)
0 —oo —oo
Полученные формулы могут рассматриваться как описывающие
силовое воздействие со стороны свободно-молекулярного потока
па единичную поверхность тела.
В частности, если в свободно-молекулярном потоке; находится
тонкая плоская пластина (рис. 3), полная площадь одной стороны
которой равна S, то полная сила сопротивления и подъемная сила,
возникающие от суммарного воздействия на обе стороны пластины,
могут быть выражены с помощью формулы B4.12) и B4.13)

94
Гл. Ш. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
следующим образом:
F, = S lp(fi)-p (-p)] sin р + S [т (р) + т <-рI cos р, B4.14)
Fx =S [р (p)_^(_p)]cosp -5 [т(р) + T(-p)]siap. B4.15)
В пределе очень быстрого потока, когда
sin2
> х Г,
B4.16)
из формул B4.12) и B4.13) следует
/? =s «„mV* sin2 P;
т ж гаощУа sin p cos p. B4.17)
Соответственно этому в таком пре-
пределе для силы сопротивления имеем
Fz = n</nV2 sin P, B4.18)
а для подъемной силы в рассмотрен-
Рис. 3. ном нами случае диффузного отра-
отражения частиц отличное от нуля вы-
выражение для подъемной силы возни-
возникает лишь при учете теплового движения.
§ 25. Область разрежения позади тела,
обтекаемого свободно-молекулярным потоком
разреженного газа [5]
Из рассмотрения предыдущего раздела следует, что со стороны
тела, обращенной к набегающему потоку, благодаря отражению
частиц газа от поверхности тела возникает увеличение числа
частиц газа в единице объема. Напротив, с противоположной сто-
стороны тела возникает область разрежения. Очевидно, что если бы
все частицы в потоке двигались со скоростью V, то за телом частицы
газа отсутствовали. Поскольку в газе имеется распределение час-
частиц по скоростям, то область за телом заполняется. Ниже мы рас-
рассмотрим случай весьма быстрого потока, когда
-±.mF2>x7\ B5.1)
В этом случае, как мы увидим, возможно сущестпенное упрощение
всего рассмотрения.
Действительно, поскольку распределение частиц в набегаю-
набегающем потоке имеет вид
i
-it-e
2хТ
B5.2)

8 25. ОБЛАСТЬ РАЗРЕЖЕНИЯ ПОЗАДИ ТЕЛА 95
то число частиц в области разрежения, попавших туда после стол-
столкновения с телом, экспоненциально мало при выполнении условия
B5.1). Действительно, такими могут быть лишь частицы до столк-
столкновения, двигавшиеся противоположно направлению потока. Для
их числа имеем
B5.3)
Это позволяет пренебречь заполнением области разрежения за
счет столкновений частиц с поверхностью тела. Более того, можно
Рис. 4.
не учитывать койкретной формы тела. Поэтому будем рассмат-
рассматривать пластину, соответствующую сечению тела и перпендику-
перпендикулярную оси z — направление, вдоль которого течет поток разре-
разреженного газа (рис. 4).
Для установившегося потока распределение частиц находится
из уравнения
vx-^+v V+VV=Q B54)
* дх ' и ду ' z Sz v '
решение которого нам следует найти для области слева • от пла-
пластины.
Поместив пластину в плоскости г = 0, мы на этой плоскости
должны сформулировать граничное условие, которому должно под-
подчиняться решение уравнения B5.4). Поскольку эффектами стол-
столкновений частиц газа с поверхностью тела мы пренебрегаем, то
нне сечения тела при z = О распределение частиц не отличается от
распределения B5.2) в набегающем потоке. В то же время вне
сечения тела число частиц с vz ^> 0 экспоненциально мало. Поэто-
Поэтому с принимаемой нами точностью будем считать такие частицы
отсутствующими. Наконец, слева от тела (z = 0) с такой же точ-
точностью нет частиц, движущихся влево (vz < 0), поскольку такие
частицы могут возникать лишь в результате отражения от поверх-
поверхности тела. Таким образом, граничное условие для нашей задачи
имеет вид
0, у0, z = 0, V) = щ (^Jj ^ l (
B5.5а)

96 Гл. III. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
если s,<0b координаты лежат вне пластины, и
/ (х0, у0, z = - 0, v) = 0, B5.56)
если vz^> О или координаты лежат в области пластины.
При отыскании решения уравнения B5.4) заметим, что урав-
уравнения характеристик
_^=^_*1 B5.6)
имеют решение
x-zvxfut = x9, B5?)
у - zvyjvz = у0.
Поэтому общее решение уравнения B5.4) имеет вид
B5.8)
Функция F (х, у, v) определяется с помощью граничного условия
B5.5V Следовательно, окончательно для функции распределения
частиц газа в области разрежения (z < 0) находим
/(г, v) = Bo(^r)Vlexp {- ^г \vl + vl + (иг + V)*]\, B5.9a)
если vz <^ 0 и точка (х — zvx/vz, у — zvy/vz) лежит вне пластины, и
f(r,v) = 0, B5.96)
если vz^> 0 или точка (х — zvjvz, у — zvy/vz) лежит в области
пластины.
С помощью найденной функции распределения можно опреде-
определить плотность числа частиц в области разрежения позади тела,
проинтегрировав функцию распределения по скоростям:
п (г) = { dvxdvv dvzF (x — гих/иг; у — zvu/v2; v). B5.10)
Используя формулы B5.7), перейдем от переменных интегриро-
интегрирования vx и vy к переменным х0 и у0. При этом
х — хо
vx = vz,
B5.11)

§ 25. ОБЛАСТЬ РАЗРЕЖЕНИЯ ПОЗАДИ ТЕЛА
Имея в виду, что якобиан такого преобразования равен
dv dv
дхп ' дув
дх0 ' Uffn
97
B5.12)
получаем
n (x, y,z) = -r ^ dv
+CO
n I X — Xn
y0F '*o. y0; —:—
— Уа
B5.13)
Согласно формулам B5.9) функция F отлична от нуля лишь для
отрицательных vz и значений (хп, у0), лежащих вне пластины
(т. е. вне сечения тела). Таким образом,
п {х, у, z) = -%■
X ехр
2 D-
(У
B5.14)
Здесь интегрирование по (х0, у0) ведется по области вне сечения
тела.
Соответственно для возмущения плотности числа частиц в обла-
области разрежения получаем
8п(х, у,
no — n(x, y,z) = —-
kTI'
X
X ехр
1 -Л- \и
\ 2-х.Т lV
2 (X-
-\- (у — у0J
V)'
B5.15)
Здесь интеграл по х0 и y0 берется по площади сечевшя тела. Инте-
Интегрирование по vz может быть проведено точно. При этом получаем
ответ, в котором зависимость распределения от формы сечения про-
проявляется в результате интегрирования по х0 и у0. Формула
B5.15) тогда принимает вид
— О/г (х, у, г) = ^7-\-
я " •) [
X ехр Г-
mV> (x —
(у — уо)г 1
1
2-х.Т

98 Гл. III. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАПОВ
где
ОО
/ (а2) = $ dt, (£ + аГ e~v = ~- [ае'*' + У я (~- + а3) 11 + Ф (а))} .
B5.17)
Для не очень малых расстояний от тела, когда
~~v% *< ,г i ы _7.Л2 ■_■/,. _Г^лг ' B5.18)
имея в виду, что
оо
/ (а2) ж^ d£■а2■ е-f Л5 /п а1 при а ;> 1, B5.19)
можно записать формулу B5.16) в следующем сравнительно про-
простом виде:
Г dxody» Г тУ* (д —ДоJ + (у- yttf 1
Х J [ 2» + (х - *„)* + (У ~ УоГР' L 2хГ х2 + (х - Жо)а + (У - УоJ J ■
B5.20)
На больших расстояниях позади тела, но в то же время не
слишком далеко от оси z (т. е. от линии х = у ==()), когда выпол-
выполнено неравенство
^(i-^L(j-^l, B5.21)
формула B5.20) для возмущения плотности числа частиц дает
б
где So — площадь сечения тела. Таким образом, возмущение плот-
плотности убывает как 1/г2.
Задачи
Задача III. 1. Расстояние между двумя плоскоиараллелышми пласти-
пластинами, одна из которых движется со скоростью Vx, а вторая со скоростью
V2, значительно меньше длины свободного пробега. В установившемся
режиме свободно-молекулярного течения определить плотность потока им-
нульса, переносимого газом от одной пластины к другой, и предположении
диффузионного отражении молекул от поверхности пластин, температуры
которых соответственно равны Тх и Г2.
Решение. Распределение частиц по скоростям устанавливается па по-
поверхностях пластин. При этом для молекул, летящих от первой пластины

ЗАДАЧИ 99
второй, имеем
1 f (р — mV
h(p) ni ]i^Fexp l~ ~^5
Соответствеино для молекул, летящих от второй пластины к первой, функция
распределения имеет вид
1 ( (р
и () охр |
Поскольку в стационарном режиме чпсло частиц, падающих на поверхность
в единицу времени, равно числу отраженных, то
т VTi "= "г У%.
Имея в виду, что для полной плотности числа частиц п, согласно распределе-
распределениям /j и /2, можно написать
1
п =-у(п! + "а),
2п У ft 2п
пл - утг+ ут-,' VTi + у ft ■
Наконец, для перпендикулярной поверхности цластин проекции плотности
потока импульса, переносимого газом от одной пластины к другой, получаем
Подчеркнем, что в свободно-молекулярном режиме плотность потока
импульса не зависит от расстояния между пластинами.
Задача III. 2. В начальный момент t = 0 гая с распределением Максвелла
занимает слой толщиной L(—L<Cx<C0), т.е.
I (х, v, 0) = по {j^fj 'е ахГ [в (_ х) - в ( - х - L)].
Затем газ начинает свободно расширяться вплоть до стенок, зеркально отра-
отражающих всо частицы и расположенных в плоскостях х = Lx и х = —L — Ь\.
Найти распределение частиц, а также плотность числа частиц.
Решение. Поскольку характеристика имеет вид х — vt = const, то
V. -
(х, v, t) = п0 [-j^jrj е 2хГ $ (х- vt).
Рассмотрим сначала вклад t|i+ в функцию ф (х — vt), возникающий
от частиц, имевших в начальный момент t = 0 положительные скорости.
До того как такие частицы достигнут правой стенки, их скорость поло-
положительна и
ф+ = в (») [в (vt — х) — в (vt — х — £)].

100 Гл. III. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
После столкновения с правой стенкой эти частицы приобретают отрицатель-
отрицательную скорость, в результате чего
ф+ = в (v) [в (vt — х) — в (vt — х — L)] + в (—1>) [в (х — vt — 2Lt) —
— в (х — vt — 2Ly — V)\.
Затем после столкновения с левой стенкой эти частицы приобретают поло-
положительную скорость и, следовательно,
фт = в (у) [в (vt — х) — в (vt — х — Щ +
+ в (—и) [в (х— vt— 2LJ — в (х — vt — 2L, — Ц] +
+ в (v) [в (vt — х — 2L — 4Lt) — в (vt — х — L — 2L — 4/,,)].
Далее, после второго столкновения с правой стенкой получаем
1
\jr = В (v) 2 {Q[vt—x — п BГ. + 4Li)J — 6 [vt — х — L — п BL
71=0
1
— в [х — vt — L — 2Li — п BL + 4Li)]}.
Очевидно, что общее выражение, соответствующее вкладу таких частиц,
имеет вид
2 {в [»* — х — 2n (L + 2Lj)] — в [v/ — х — L — 2n (L + 2Lt)]} -f
ао
+ е (—») 2 (© Iх —»' — 2/-i —2п (г- + 2/-i)J —
— в [х — vt — L — 2Li — 2л (L + 2Ц)]).
Аналогично частицы, имевшие в начальный момент отрицательные скорости,
дают вклад
ф- = 6 (— v) 2 {© \vt-x-\- 2д (L + 2Li)] — Q[vt — x — L + 2n(L + 2Li)]} +
+ 6 (v) 2 F [x - »f + 2 (L + Li) -f 2n(L + 2L,)] -
71=0
- 6 [i - tf + L + 2/.! + 2n (L + 2L0J).
Поскольку
ф(х — »*,»)= ф
то распределение частиц найдено.
Для плотности числа частиц получаем
п = 0
г) e~2' + \ rfzO (г)
—х—Z.+"(^-faLi)
t V гхТ/т

ЗАДАЧИ 101
В частности, при х > 0 имеем
л (х, t) = -5- По >. i Ф , — Ф —
n=l
Задача III. 3. Определить силу сопротивления шара радиуса R, обте-
обтекаемого свободно-молекулярным потоком.
Решение. Силу, действующую на поверхность dS = 2л/?2 cos E dp эле-
элементарного кольца, расположенного на шаре, с помощью формул B4.12)
и B4.13) представим в виде
dFz = (р sin 3 + т cos 3) 2ЯЙ2 cos МЗ =
"sin19
= 2rt/?*cos3d3 '
Проинтегрировав по значениям угла 3. получаем
F =
z
2 \ 2 \ rriV- j I \ 2кТ ) ^ \ 2v.T
3
В пределе тУ^^жГ отсюда, в частности, получаем
Задача III. 4. Определить силу сопротивления цилиндра радиуса R
и единичной длины, обтекаемого свободно-молекулярным потоком.
Решение.
я'/. , / 2нГ„
-*/2
3
* У
14
ту

102
Гл. III. КИНЕТИКА СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
Задача III. 5. Найти возмущение плотности позади быстро движущегося
тела прямоугольного сечения с размерами 2LX и 2LV ндали от тела, когда
г» >(* - *„)* + (у - уо)К
Решение. Для таких расстояний формула B5.20) принимает вид
1 Г
— On (х, у, z) =
Проведя в правой части этой формулы интегрирование по сечению прямо-
прямоугольника со сторонами 2LX и 2Ly, получаем
— Ьп (х, у, z) = — п<
— erf
о
x + L
erf _.
P-Y
2х.Т
2хТ
erf ( y~L» I/ _1!H
1 У 2у.Т
— erf
E.- I/
2y.T
На оси z (т. е. при х = у = 0) отсюда имеем
*^~. . / 771
— 6л (х, у, г) = no erf
erf
4 -,/ mP

ГЛАВА IV
ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
§ 26. Уравнения самосогласованного ноля
Кинетическая теория газа заряженных частиц (электронш;-
ионноы плазмы) имеет специфические особенности, отличаю
щие ее от кинетики газон нейтральных частиц, ибо в плазме су-
существенную роль играют электромагнитные поля. Такие поля
связаны как с внешними источниками так и с частицами самого
ионизованного газа. Под дейстпием таких полей в плазме могут
возникать состояния и движения, качественно отличающие дина-
динамику плазмы от динамики нейтральных газон.
Наше рассмотрение мы начнем со случая больших чисел Кнуд-
сена, когда столкновениями частиц плазмы можно пренебречь.
При этом функции распределения частиц плазмы подчиняются
уравнениям (ср. B1.3))
^ + »а^ +Fa^ = 0, B6.1)
где
Fa~**{u + ±-\vaHy} B6.2)
представляет собой силу Лоренца, а Е и И— напряженности элек-
электрического и магнитного полей. Электромагнитное ноле в плазме
связано с возникающими в плазме распределениями плотности
заряда р и тока j. Последние могут быть получены с помощью ре-
решения кинетического уравнения B6.1)
paUva. B6.4)
Используя эти выражения, можно в следующем виде записать
уравнения Максвелла, определяющие электромагнитное поле в

104 Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
плазме:
B6.5)
о «'
+ 2e\dpfv Bb. 6)
B6.7)
B6.8)
Система уравнений B6.1) —B6.8), получившая название уравне-
уравнений самосогласованного поля, легла в основу большого числа
работ по теории колебаний и устойчивости плазмы. Продуктив-
Продуктивность приближения самосогласованного поля впервые была по-
показана А. А. Власовым [1]. Ниже мы рассмотрим несколько про-
простейших задач кинетической теории плазмы без столкновений,
основываясь на уравнениях самосогласованного поля *).
§ 27. Поле покоящегося точечного заряда в тазме
При обсуждении возможности использования интеграла стол-
столкновений Больцмана для газа заряженных частиц уже говори-
говорилось, что закон взаимодействия таких частиц в газе отличается
от закона Кулона. Покажем здесь, что это действительно так.
После покоящегося заряда е, очевидно от времени не зависит
и является потенциальным:
Е = - Уф. B7.1)
Поэтому система уравнения самосогласованного поля сводится
к уравнениям
L-eaLl
дг а дг др
а
B7.2)
B7.3)
Здесь принято, что рассматриваемый заряд е расположен п точке
г = 0. Заметим, что фактически нами также принято, что нет
каких-либо других причин, делающих состояние плазмы завися-
зависящим от времени. Решение уравнения B7.2) имеет вид
fair, P) = Fj-£- + eaq,(r)\, B7.4)
•) Большое число конкретных задач кинетической теории плазмы чи-
читатель сможет найти в книгах [2—6].

§ 27. ПОЛЕ ПОКОЯЩЕГОСЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА В ИЛА.ЧМЕ 105
где Fa — произвольная функция. Для ее определения необходимо
граничное условие. Соответствующее условие может быть полу-
получено, если мы учтем, что при г = оо потенциал поля заряда равен
нулю, и на больших расстояниях от заряда распределение частиц
будем считать максвеллопским. Тогда формула B7.4) принимает
следующий вид:
^4^[4H}- B7-5)
Здесь учтена возможность того, что температуры различных сор-
сортов частиц плазмы могут быть различными.
Будем считать, что в отсутствие заряда пла.чма электрически
нейтральна, т. е.
2«V'. = 0. B7.6)
Используя это условие, после подстановки распределения B7.5)
в ураннение B7.3) получаем
ДФ = -4пе6(г) + 4п%еапаЦ ~ е~*а*"Та]. B7.7)
а
На больших расстояниях, когда
Кф|<хГ„, B7.8)
вместо уравнения B7.7) имеет место линейное уравнение
дф L<p= _4яеб(г), B7.9)
гЪ
где
представляет собой радиус дебаевского экранирования. В этом
случае потенциал поля может быть легко найден. Решение урав-
уравнения B7.9) имеет вид
cp(r)=-lexP{-f4. B7.11)
Отсюда следует, что на расстояниях, больших дебаевского радиу-
радиуса, кулоновское поле экранируется. Именно этим определяется
название rD как радиуса экранирования.

lOi) Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ Г.ТОЛКНОПКИИЙ
§ 28. Вечны в «холодной» изотропной плазме
Рассмотрим колебания, которые могут существовать в плазме
без столкнопепий. Пусть нет внешних полей, действующих на
частицы плазмы. При изучении колебаний плазмы будем рассмат-
рассматривать малые отклонения от равновесия. Соответственно в рав-
равновесном состоянии будем считать выполненным условие квази-
пейтральности, а также будем считать, что в таком состоянии
плазмы пет направленного движения ее частиц. В отсутствие
ппенгаих полей можно считать, что ранпопоспое состояние про-
пространственно однородно. Тогда для малых колебаний зависимость
от времени и координат может быть принята в виде
g-twWfcr^ B8.1)
Соотпетстиенпо этому кинетическое уравнение запишем в виде
- * (© - *«„)8/„ + еаЬкЦ^- = 0; B8.2)
здесь б/а — малое отклонение от равновесной функции распреде-
распределения /а0, которая, соответственно предположению об отсутствии
направленных движений, зависит лишь от модуля импульса;
б В —электрическое поле, соответствующее малым колебаниям
в плазме.
В том случае, когда фазовая скорость колебаний ut/k велика
по сравнению с характерными скоростями беспорядочного дпи-
жения частиц плазмы, можно говорить о холодной плазме. Тогда
вместо уравнения B8.2) можно записать следующее приближен-
приближенное уравнение:
- шб/о + еа6Е ^- = 0. B8.3)
Отсюда на .одим
$(^)^S^e*. B8.4)
Поскольку для возмущений с пространственно временной зависи-
зависимостью B8.1) из уравнения поля следует
B8.5)
то, используя выражение B8.5), получаем
{(аЧ — с2к2) 6tJ + сЧгк}} ЬЕ} = 0. B8.6)
Здесь

§ 2i». ДИСПЕПСИЯ И ЗАТУХАНИК ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 107
представляет собой диэлектрическую проницаемость плазмы;
a>La = V 4пеаПа/та называется ленгмюровской частотой частиц
сорта а. Очевидно, что при использовании выражения B8,7)
с большой точностью можно учитывать лишь вклад электронов
плазмы.
Система уравнений B8.6) может быть легко решена. Заметим,
что решения этой системы характеризуются поляризацией элект-
электрического ноля. Для колебаний с электрическим вектором, ориен-
ориентированным вдоль волнового вектора /с (продольные колебания),
из уравнений B8.6) вытекает следующее условие существования:
с (ш) =0 B8.8)
Согласно B8.7) это означает, что продольные колебания в плазме
возможны с частотой
со = o)Le = УШеЪОпГ, B8.9)
где е—заряд, т—масса, пв —число электронов в единице
объема.
Соответственно для колебаний с электрическим вектором, пер-
перпендикулярным волновому вектору h (поперечные колебания),
имеем
<о2с (о>) — с%2 = 0 B8.10)
и
со = /coL + с2к3. B8.11)
Из формулы B8.11) следует, что фазовая скорость поперечных
колебаний превышает скорость света. Поэтому влияние теплового
движения частиц плазмы на такие колебания всегда мало.
§ 29. Дисперсия и затухание продольных колебаний
электронной плазмы
Обратимся теперь к изучению влияния теплового движения
частиц плазмы на продольные колебания. При этом, имея в виду,
что согласно формуле B8.9) влияние ионов пренебрежимо мало,
их движением пренебрежем. Поэтому продольные колебания элек-
электронной плазмы описываются следующими дпумя уравнениями:
Щ1 ^1 д^(), B9.1)
B9.2)
Для электрического поля, связанного с продольными колебания-
колебаниями, можно ввести потенциал
ЬЕ = — grad бф, B9.3)

108 Гл. IV. ПЛАЗМА ВЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
который с помощью решения уравнения Пуассона представляется
в виде
\\, r'). B9.4)
Таким образом, задача сводится к изучению уравнения
dbf . dbj а/о д
\r') = 0. B9.5)
Решим начальную задачу, описываемую этим уравнением.
Иными словами, найдем распределение электронов, задав в на-
начальный момент времени t0 функцию распределения б/ (р, г, t0).
Поскольку равновесная функция /0 не зависит от времени и коор-
координат, то при решении уравнения B9.5) удобно использовать пре-
преобразование Фурье —Лапласа:
б/(р, г, t) = --^-{dke*"* [ dcoH«<'-'«)d/(p, к, со), B9.6)
6f(p, к, ш) = \dre-ikr\dte^bf{p, r, t). B9.7)
г.
Тогда из уравнения B9.5) получаем
_ i (со - kv) bj{p, 1с, со) - ik ^-^L^dp'bf(p\ Л. ") =
= §dre-ikr6f(p, г, «0). B9.8)
Отсюда следует
е,(со, k)eidp6f(p,k, со) = i\dre-ikre\dp 6/^^о) . B9.9)
где функция
«£$ ji-^Jfc-g- B9.10)
представляет собой продольную диэлектерическую проницаемость
электронной плазмы.
Окончательно, подставив выражение B9.9) в уравнение B9.8),
находим
B9.11)

§ 29. ДИСПЕРСИЯ II ЗАТУХАНИИ ПРОДОЛЬНЫХ Ю >ЛКПЛ.Т1 ИЙ 109
После интегрирования первое слагаемое фигурной скобки пра-
правой части формулы B9.11) даот б/ (р, >• — v (t — О-'о)- Это вьь
ражение соответствует свободному движению невзаимодействую-
невзаимодействующих частиц. Такое свободное движение связано с полюсной осо-
особенностью подынтегрального выражения в точке ы = kv. Напро-
Напротив, нули диэлектрической проницаемости соответствуют коллек-
коллективным движениям, обусловленным взаимодействием частиц плаз-
плазмы между собой. Смещая контур интегрирования но ш п нижнюю
полуплоскость, получаем при больших временах асимптотиче-
асимптотическую зависимость второго слагаемого правой части формулы
B9.11)
~е*'"-*<°<*><, B9.12)
где (о (к) определяется уравнением
е, (со, &) = 0. B9.13)
В дисперсионном уравнении B9.13) диэлектрическая проницае-
проницаемость как функция со в нижней полуплоскости переменного пред-
представляет собой аналитическое продолжение функции, определенной
формулой B9.10).
Дли исследования дисперсионного уравнения B9.13) следует,
очевидно, изучить продольную диэлектрическую проницаемость
B9.10). Будем считать фазовую скорость продольных колебаний
большой. Тогда в подынтегральном выражении B9.10) можно
провести разложение по степеням kv/at. С точностью до кубических
членов получаем
B9.14)
где
Если равновесное распределение электронов является максвел-
ловским, то <(&«J> = 3 (y.TJm) к3. Тогда, подставляя выражение
B9.14) в дисперсионное уравнение B9.13), получаем
ш* = ш1,+ 3^jlP. B9.15)
m
Второе, относительно малое слагаемое в этой формуле важно по-
потому, что оно описывает дисперсию продольных колебаний плаз-
плазмы и, в частности, определяет их групповую скорость

110 Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
Полученные здесь результаты еще не полны, ибо в действи-
действительности возможно затухание плазменных колебаний. Для того
чтобы выявить такую возможность, обратим внимание на тот
факт, что в силу использования преобразования Лапласа по вре-
времени формула B9.11) определена для комплексных значений ча-
частоты со с положительной мнимой частью. В нашем решении дис-
дисперсионного уравнения при пренебрежении тепловым движением
частота плазменных колебаний оказалась чисто действительной.
Поэтому можно предполагать, что для достаточно больших фазо-
фазовых скоростей затухание плазменных волн может быть лишь
малым.
Поэтому выясним, к каким особенностям приводит выражение
B9.10) для случая малой мнимой части частоты о>. Прежде всего
заметим, что в пределе стремящейся к нулю мнимой части частоты
имеем
L— = —— in&((o—kv). B9.17)
ш — kv (о — kv v ' v '
где в первом слагаемом Р означает главное значение особен-
особенности в смысле Коши. Наличие второго слагаемого в правой части
формулы B9.17) означает, что при действительном со и к продоль-
продольная диэлектрическая проницаемость B9.10) оказывается комп-
комплексной. При этом мнимая часть ее равна
), к) ==е!(ш, к) = — i^lC dpk-^- 6 (ю — kv). B9.18)
Для максвелловского распределения электронов получаем
гдеиТв= fv.TJm.
С учетом мнимой части продольной диэлектрической проницае-
проницаемости решение дисперсионного уравнения B9.13) следует искать
в виде
о)=о)' + ico", B9.20)
При этом в случае фазовых скоростей колебаний, значительно пре-
превышающих тепловую скорость электронов г>хе, для действительной
части частоты имеем выражение B9.15), а для мнимой находим
Формула B9.21) описывает затухание плазменных колебаний
с декрементом у. Релаксационный процесс, иозникающий в плазме

S 30. ИОННО-ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ 111
без столкновений и приводящий к уменьшению с течением времени
амплитуды колебаний, называют затуханием Ландау [7]. Физи-
Физической причиной возникновения затухания плазменных волн явля-
является обратный эффект Черенкова. Действительно, как это следует
из формул B9.17) и B9.18), в плазме имеются частицы, для кото-
которых по отношению к продольным колебаниям выполнено черен-
ковское условие
со = kv. B9.22)
Это означает, что такие частицы могут поглощать продольные
плазменные волны.
Заметим, наконец, что если длина волны колебания но порядку
величины сравнима с дебаевским радиусом электронов (krDe -^ 1),
то декремент затухания B9.21) оказывается немалым по сравне-
сравнению с частотой. Поэтому в электронной плазме могут распростра-
распространяться продольные волны лишь с длиной волны, много большей
дебаевского радиуса.
§ 30. Ионно-звуковые колебания
неизотермической плазмы
Продольные колебания в электронно-ионной плазме могут
иметь еще одну низкочастотную ветвь, которая существенно свя-
связана с наличием ионов плазмы. Как мы покажем для плазмы, час-
частицы которой распределены по скоростям по закону Максвелла,
такие колебания возможны, если температуры электронов Те
значительно превышает температуру ионов.
Дисперсионное уравнение продольных колебаний электронно-
ионной плазмы
ег (ю, к) = 0 C0.1)
имеет тот же вид, что B9.13), с тем лишь отличием, что продоль-
продольная диэлектрическая проницаемость теперь определяется не толь-
только алектронами, но и ионами:
e'(to, ft) = 1+2^^^^-^-A-^Lsl+2^ К*). C0.2)
где суммирование ведется по всем сортам заряженных частиц
плазмы.
Мы уже видели при рассмотрении продольных колебаний элек-
электронной плазмы, что мнимая часть диэлектрической проницае-
проницаемости мала (а поэтому сравнительно невелико поглощение волн),
если фазовая скорость значительно превышает тепловую скорость
частиц. Будем считать, что такое неравенство выполнено по

112 Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
отношению к тепловой скорости ионов a/k'^>vn — j/"x7Vw4. Тогда
Напротив, тепловую скорость электронов будем считать много
большей фазовой скорости колебаний: со/А <gj Угг = У^хТе/т. Тогда
/■"
Используя выражения C0-3) и C0.4), находим следующее решение
дисперсионного уравнения C0.1):
(со'у* __ м" C0.5)
со" = — х —
^К)|^-ГГ^7+таехр{~^^-- C0л>)
В пределе длин волн, много больших дебаевского радиуса
электронов, формула C0.5) дает
со' = kv,, C0.7)
где
/^IlvTe. C0.8)
Такие колебания называют ионным звуком.
Согласно формуле C0.5) фазовая скорость ионно-звуковых
колебаний всегда мала по сравнению с тепловой скоростью элект-
электронов. В то же время фазовая скорость существенно превышает
тепловую скорость ионов, если выполнено неравенство
rL>rbi[l + *VDe]. C0.9)
Это означает, что ионно-звуковые колебания существуют лишь
в плазме, температура электронов которой значительно превышает
температуру ионов, и лишь для длин волн, больших дебаевского
радиуса ионов [8].

3 31- ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА В ПЛАЗМ К ИЗ
§ 31. Ноте равномерно движущегося заряда в плазме
Рассмотрим электромагнитное поле, возникающее в плазме
при движении в ней точечного заряда д. Мы ограничимся случаем
равномерного движения с постоянной скоростью и. Сразу заме-
заметим, что в сравнении с результатом § 27, помимо очевидного воз-
возникновения наряду с электрическим так же и магнитного поля,
при таком движении заряда в плазме может возникать поле излу-
излучения. Такое излучение отвечает возможности эффекта Черенкова
в плазме, который может иметь место в изотропной плазме для
продольных волн, когда при равномерном движении заряда вы-
выполняется условие ft> = hu, связывающее скорость заряда с часто-
частотой и волновым гектором пламменного колебания.
Электромагнитное поле движущегося заряда в плазме опреде-
определяется уравнениями поля
div Е = 4л 2еа J" dpja + Алд8(r — ut); rot E = — -i ^- ,
а
rot В = i-i*. + ^-^еа ]dpjava + ^qu8(r - ut); div В = О,
C1.1)
в которых принято, что в момент t = 0 заряд находится и начале
системы координат.
При нахождении электромагнитного ноля заряда с помощью
уравнений C1.1) следует иметь в виду, что ноле такого заряда
возмущает распределение частиц. Поэтому необходимо найти рас-
распределения частиц, подчиняющиеся кинетическому уравнению
с самосогласованным полем:
^ lkj ±^=0. C1.2)
В нашем рассмотрении ограничимся случаем малого поля,
когда можно говорить об использовании линейной электродинами-
электродинамики и о возникновении лишь малых отклонений б/о распределений
частиц от равновесных, которые будем считать изотропными в про-
пространстве импульсов /о0. Тогда из урапцсния C1,2) следует
а а
Решение этого уравнения, очевидно, можно записать следующим
образом:
«/«(Ре. >V 0 = б/в(рв1 Га - Va[t - t0], t0) +
t'eaE{r — va\t — t'],t')^-. C1.4)

114
Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
В нашей задаче естественно интересоваться установившимся
решением, несвязанным с эффектами возмущения плазмы в на-
начальный момент. Соответственно этому положим t0 = — оо и
примем й/а (t0 = — оо) = 0. Тогда
C1.5)
Используя это выражение для определения плотности заряда и
плотности тока, индуцируемых в плазме полем заряда, можем те-
теперь записать следующую замкнутую систему уравнений электро-
электромагнитного поля в плазме:
= 0, rot JE= —
X Va-
1 дВ
4nq& (#•— ut),
*/«("«) . in
ut),
IC1.6)
Интегро-дифференциальную систему уравнений поля C1.6) мож-
можно реишть с помощью преобразования Фурье
-WB(а, к), C1.7)
В (г, t)= ~f
+оо
, к).
C1.8)
Тогда для трансформаций Фурье могут быть записаны следующие
алгебраические уравнения:
ikl] (со, к) е' (со, к) = 8я2дб (со — ки),
=—»-у 8У (со, &)£,-(©, к) +8
кВ(и>, к) = 0.
|fcJB?(co, Щ = — В (со, А),
-б (со — ки),
C1.9)

i 31. ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА В ПЛАЗМЕ 115
где для изотропных в пространстве импульсов распределений
тензор комплексной диэлектрической проницаемости еу имеет
вид
е4/(со, Л) = е1 (со, к) tp. + е" (со, к) [«„ - ^Щ , C1.10)
а продольная и поперечная проницаемости определяются форму-
формулами
Здесь Д —положительная бесконечно малая величина, воз-
возникшая при взятии интеграла вида
о
' i *L— + яб (со - *»„), C1.13)
«А — kva
где Р означает главное значение Коши.
Алгебраическая система уравнений C1.9) легко может быть
решена- Решение имеет следующий вид:
Е (со, к) = - »8*V (со - Ли) I д-* + a>iIfc[Mfc]] 1 ,
C1.14)
В (М, Л) = - <8«»g6 (со - hu) ^tr £*£_ cV ■ C1.15)
Подставляя эти выражения в формулы C1.7), C1.8), па ходим
Elr t\ - " С dk e**(r-«/) f fe i (fcu)[fc[ufc]]
1 ' ;~ 2n4 } кг \zi(ku,k) ^(kuWiku.ty — c
C1.16)
Формула C1.16) может быть использована, в частности, для
определения энергии, теряемой заряженной частицей на черенков-
ское излучение плазменных волн. Для этого заметим, что энергия,
теряемая частицей на единице ее пути, равняется работе на та-
таком пути, производимой силой торможения, действующей на
частицу со стороны создаваемого заряженной частицей поля

116 Гл. ПГ. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
в плазме:
C1.18)
Подставив в это выражение электрическое поле C1.16), взятое
в точке нахождения заряда г = ut, получаем
i
fc* \ei(ku,k) +~(ku
Вклад излучения волн дается нулями знаменателей, соответствую-
соответствующими решениям дисперсионных уравнений колебаний плазмы:
е' (со, к) = 0, C1.20)
coV (со, к) — cV = 0. C1.21)
Решение уравнения C1.21) для изотропной плазмы с максвел-
ловским распределением соответствует волнам поперечной поляри-
поляризации с фазовой скоростью, большей скорости света, а поэтому
практически не отличается от результата, получаемого при полном
пренебрежении тепловым движением частиц плазмы. Тот факт, что
фазовые скорости поперечных волн превышают скорость света,
означает, что невозможно выполнение условия черепковского
излучения. Напротив, продольные волны, определяющиеся кор-
корнями уравнения C1.20), могут иметь малые фазовые скорости,
а поэтому могут излучаться равномерно движущейся заряженной
частицей. В окрестности области прозрачности, где действитель-
действительная (е ) часть диэлектрической проницаемости обращается в нуль,
мнимая (в'") часть также мала, что и соответствует возможности
слабозатухающих колебаний. При этом мнимая часть диэлектри-
диэлектрической проницаемости имеет тот же знак, что и частота. Поэтому
в пределе малой е.1" имеем
*— =л. р 1Яб [е'' (&м, к)] sgn (Ли),
е1 («ем, к) + «V (ки, к) el(ku,k) '
C1.22)
где sgn х = х/ | х | .
Поскольку в1' (—со, —Л) = е''(со, Л), то вклад излучения про-
дольпых волн, согласно формуле C1.19) имеет вид
Поскольку последняя формула может быть переписана в виде
<'(<■>.*)!. C1.24)

§ 32. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПУЧКОВ В ПЛАЗМК 117
то ясно, что теперь можно записать спектральпую плотность че-
ренковского излучения продольных волн равномерно движу-
движущимся зарядом в единицу времени:
dl' (к) = - udW1 (к) = dk -^-{ dcoGN(c> - ки)8 [г1' (со, к)).
C1.25)
В частном случае длинноволновых электронных ленгмюров-
ских колебаний, когда
е''(«).*)*1--^-, C1-26)
согласно формуле C1.25) получаем
l ^^ C1.27)
§ 32. Неустойчивость пучков в плазме
Многопотоковая гидродинамика «холодной» плазмы
Поскольку столкновения в разреженной плазме несуществен-
несущественны, то распределения частиц могут значительно отличаться от макс-
велловских. В частности; можно говорить о пучках частиц в плаз-
плазме. При этом часть частиц имеет среднюю направленную скорость.
Однако при наличии пучков плазма может оказаться иаустойчи-
вой. Именно в ней нарастают во времени возмущения электро-
электромагнитного поля [9—12] (см. также [2—4]).
Рассмотрим возмущения потенциального электрического поля
в плазме. При этом ограничимся рассмотрением высокочастотных
колебаний, для которых влиянием ионов можно пренебречь.
Тогда дисперсионное уравнение колебаний потенциального поля
имеет вид B9.10)
8(со, k) = i+-^-[dp l—k4p-=0. C2.1)
Ниже ограничимся случаем больших фазовых скоростей, когда
можно полностью пренебречь тепловым разбросом скоростей ча-
частиц.
Функция распределения электронов соответствует наличию
покоящейся плазмы и пучка
fo(p) = nlb(p)+n2b(p~mu). C2.2)
При этом дисперсионное уравнение C2.1) принимает вид
* ^ C2.3)
1
ша (ш —
где ale.a — 4пе2па1т.
_ о

118 Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИИ
Простейшее решение этого уравнения возникает при nt = пг=п.
Тогда дисперсионное уравнение дает
/coL + (Л**)г. C2.4)
При знаке минус правая часть этой формулы оказывается отри-
отрицательной, если
ЯмЬ >(*«)». C2.5)
Следовательно, в таких условиях
—(ai, — -j-(kuJ. C2.6)
При знаке плюс последняя формула даст решение дисперсионного
уравнения, соответствующее нарастанию в плазме потенциального
поля.
Рассмотрим теперь случай плотного пучка в разреженной плаз-
плазме (па>* п,). Примем, что | feu | Э> I ш |. Тогда уравнение C2.3)
приближенно можно переписать в виде
— 2а*ки + аг [(ЛиJ — ю2ил] — а),еЛ(ки)г =- 0, C2.7)
откуда при | «Ли |<^| (feuJ — а>1.е,г |. когда можно пренебречь
первым слагаемым левой части уравнения C2.7), следует
«^j-'^'^J—. C2.8)
Согласно этой формуле возмущения потенциального поля нара-
нарастают во времени, если
|*«|OLe.«- C2-9)
Формула C2.8) не может быть использована вблизи \fcu\ =cl>j>i2.
Последняя область интересна потому, что в ее окрестности ин-
инкремент нарастающих возмущений максимален. В этой области
можно пренебречь вторым слагаемым левой части уравнения
C2.7). Тогда
co^-'-LcoL.iWl..*- C2.10)
При этом один из корней этого уравнения
отвечает нарастающим колебанийм потенциального поля.

§ 33. УДЕРЖАНИЕ ПЛАЛМЫ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ 119
В только что рассмотренной задаче был несущественным раз-
разброс частиц плазмы и пучка по скоростям. Также полностью
прсиебрегалось тепловым движением частиц при рассмотрении
воли в холодной плазме. В условиях, когда тепловым разбросом
частиц можно препсбречь, плазма описывается уравнениями мно-
многопотоковой гидродинамики. Это означает, что распределения
частиц плазмы или пучков имеют вид
/« (Р. г, t) = п. (г, I) б (р - таиа (г, 0). C2.12)
Подставив это выражение в кинетическое уравнение с самосогласо-
самосогласованным полем, после умножения кинетического уравнения соот-
соответственно па единицу инари после интегрирования по импуль-
импульсам получаем
-§Г л. (**, 0 + div К (г, 0 иа (г, 0) = 0, C2.13)
-|г патаиа + -~ патаиа(иа ^ сапа|Е -f -А- [«„Я)] . C2.14)
Уравнение движения C2.14) при учете уравнения непрерыв-
непрерывности C2.13) можно записать в виде
±} C2.15)
Далее уравнения поля при использовании функций распределений
вида C2,12) имеют вид
div Е = 4я2еЛ (**> 0> Г0^ & = $1 1 £leanaua- C2.16)
а а
Такая система уравнений многопотоковой гидродинамики позволя-
позволяет, очевидно, получить результаты, описывающие рассмотренные
неустойчивости пучков в плазме.
§ 33. Удержание плазмы магнитным полем [13J
Рассмотрим неоднородную плазму в постоянном магнитном
поле В. Магнитное поле ориентируем вдоль оси z, считая его сило-
силовые линии прямыми. Ось х направим вдоль направления изменения
распределения частиц и магнитного поля. Равновесное состояние
плазмы в таких условиях описывается кинетическим уравнением
и '" 1 О (т\ I» 71 \ / Г) 1ЧЧ i \
OX \ ¥ OVX OVy J
где Qa (x) = еаВ/т„с — частота гироскопического вращения ча-
частицы сорта а в магнитном поле. Решим это уравнение прибли-

120 Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
женно, пренебрегая зависимостью гироскопической частоты от
координат. Это возможно тогда, когда распределение частиц
меняется существенно на расстояниях, на которых магнитное
поле практически не изменяется. Тогда уравнения характеристик
Qa_^L = ^L = __^L C3.2)
имеют следующие решения:
vl + vl=cv C3.3)
*+т£-=с«« C3.4)
Поэтому решение кинетического уравнения можно записать в виде
/„(»,*) --= F(vz, vt + vl,x-\- vg/Qa). C3.5)
Будем считать, что характерное расстояние изменения про-
пространственной неоднородности плазмы велико по сравнению со
средним радиусом гироскопического вращения частиц плазмы.
Тогда
Отсутствие электрического поля требует выполнения условия
электроиейтральности. Согласно C3.0) это означает
2ieAdpFa(vz, vl + v\,x) = %еапа = 0. C3.7)
a J
Уравнения поля дают, кроме того, условия
dB 4я , 4я
/
__
0, C3.8)
Соотношение C3.8) выполняется, например, тогда, когда нет
направленных движений вдоль оси г, т. е. Fа является функцией v2z.
Уравнение C3.9) можно переписать в виде
-AJJL-j- яЛ = о, (ЗЗ.Ю)
dx \ 8я ' ±/
где
~" p_Lma(vx +vl)Fa(vl,v2x-{-vl,x). C3.11)

I 34. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ МАГНИТНОГО УДЕРЖАНИЯ 121
Следовательно, согласно C3.10) должна быть неизменной сумма
магнитного давления и давления плазмы. Заметим, что нате пред-
предположение о плавности пространственного изменения магнитного
поля по сравнению с изменением распределения частиц выполня-
выполняется согласно соотношению C3.10) в практически интересном слу-
случае плазмы низкого давления:
Р = Р± : 52/8я<1. C312)
Функция распределения Fа может быть, например, максвел-
ловской:
£ {fe} <3313>
Это, в частности, означает, что
р = 2"аХУ«:£-/8я. C3.14)
а
Тогда согласно условию равновесия плазмы C3.10) в направлении
нарастания магнитного ноля спадает давление плазмы, а при
одпородпой температуре спадает плотность плазмы. Поэтому
имеется возможность удержания плазмы с помощью магнитного
поля.
§ 34. Гравята %аэнная (жэшбковая) неустойчивость
маглигнэго удержания птазмы [16|*)
Рассмотрим плазму в магнитном поле В, перпендикулярно
которому направлено однородное поле тяжести д. Плазма неодно-
неоднородна в направлении поля тяжести. Для простоты ограничимся
случаем холодной плазмы. Тогда можно использовать уравнения
многопотоковой гидродинамики
-^- + divnawa = 0, C4.1
-%- + («aV) ua = -£~{е + -L [uaB]j + д. C4.2)
Отсюда для равновесного состояния плазмы имеем
па = п1(х), C4.3)
««» = -*/O«(*)=«2v C4.4)
Здесь Qa — eaBlmac — частота гироскопического вращения ча-
частицы сорта а в магнитном поле.
*) Изложение в этом параграфе близко работе [7].

122 Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
Для отсутствия в равновесном состоянии электрического поля
необходимо выполнение условия электронейтральности
епТ + е{п^ = 0. C4.5)
Наконец, из уравнений поля получаем
-£Г "8я" = 8 2 mana =Pmg~ §тгпТ (х). C4.6)
Формулы C4.3) — C4.6) позволяют при заданном магнитном
поле найти пространственное распределение частиц и их скоростей
в равновесном состоянии плазмы. Поскольку заряды электронов
и ионов противоположны по знаку, то скорости их гравитационного
дрейфа C4.4) также противоположны. Следовательно, в равновес-
пом состоянии имеется относительное движение различных ком-
компонент плазмы.
Обратимся теперь к изучению устойчивости такого равновесно-
равновесного состояния плазмы. Для этого рассмотрим малые возмущения
равновесия, когда
па = 40> + бпа, иа = «40> + 6иа, Е = ~ V6f. C4.7)
Ограничимся при этом лишь возмущениями потенциального поля.
Примем зависимость от времени и координат малых величин
в C4.7) в виде
e-iu,uiky_ C4.8)
Такая зависимость от времени возможна, поскольку равновесное
состояние от времени не зависит. Поскольку основное состояние
однородно вдоль магнитного поля, а поэтому не зависит от коорди-
координаты z, то возможны и возмущения, также не зависящие от этой
координаты. Это — так называемые желобковые возмущения. На-
Наконец, благодаря зависимости пространственного распределения
частиц от координаты х возмущения также должны содержать
такую зависимость. Однако для достаточно больших к (коротко-
(коротковолновые возмущения), когда длина волны \ = ilk значительно
меньше характерного расстояния изменения числа частиц в рав-
равновесном состоянии, можно приближенно пренебречь зависи-
зависимостью возмущений от координаты х. Тогда для возмущений вида
C4.8) уравнения C4.1), C4.2) и уравнения Пуассона дают
— * (ш — ku°av) 6па +. ~^2_ биах + 1Шаупаа = 0, C4.9)
— i (а — киаау) Ьиах - Qa6uau = 0, C4.10)
— i (ш — ки°ау) Ьиау + Яа6иах = _ ££ -fa- 6qp. C4.11)
та
4rt2«a6rca- C4.12)

ЗАДАЧИ 123
Ограничимся рассмотрением возмущений, для которых
|м-Аи»у|<Ов. C4.13)
Тогда получаем
6ua,,= -;^-6tp, C4.14)
C416)
Поэтому для потенциала электрического поля возмущения имеем
уравнение
i^! C4.17)
Это уравнение определяет ш, а тем самым и характер временной
зависимости возмущений. Имея в виду, что согласно условию
электронейтральности основного состояния
dn°e dn»
dx
а также учитывая малость ионной гироскопической частоты по
сравнению с электронной, получаем
dx
Здесь рт = m4rc* -|- men°e st; тгп\— плотность массы плазмн. Из
уравнения C4.18) получаем
- 1 f ^ ,
Отсюда следует, что если ускорение силы тяжести направлено
в сторону уменьшения плотности плазмы, то возникает неустой-
неустойчивость.
Задачи
Задача IV. 1. Решить уравнение B7.9).
Решение. Уравнение B7.9) может быть решено с помощью преобразова-
преобразования Фурье

124 Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
— \ е%кг
Поскольку б (г) — \ /2д\з е%кг, то Для фурье-компоненты потенциала по-
получаем
4яе
Используя это выражение, имеем
—L
Задача IV. 2. Найти продольную комплексную диэлектрическую прони-
проницаемость электронной плазмы без столкновений, если равновесное распре-
распределение электронов по импульсам имеет вид
/о (Р) =
(р» -f
Определить собственную частоту и декремент затухания продольных коле-
колебаний в плазме с таким распределением электронов.
Решение. После интегрирования формула B9.10) дает
е' (со,/с) ^ 1 —. W
(со +
Поэтому решение дисперсионного уравнения продольных колебаний может
быть записано в точном виде: со — со' -f ico" = ± ^Le — ikw- ^Ри этом груп-
групповая скорость продольных колебаний оказывается равной нулю.
Задача IV. 3. Вывести дисперсионное уравнение продольных колебаний
плазмы, состоящей из электронов и нескольких сортов ионов.
Задача IV. 4. Найти частоту и декремент затухания продольных коле-
колебаний плазмы, состоящей из электронов, легких и тяжелых ионов с максвел-
ловским распределением по импульсам, в предположении, что фазовая ско-
скорость колебаний много меньше тепловой скорости легких ионов vTl и много
больше тепловой скорости тяжелых ионов vTt.
Ответ.
l-i
kvTe
De ' D
1 СО' 1

ЗАДАЧИ 125
Задача IV. 5. Получить дисперсионное уравнение колебаний попереч-
поперечного поля электронной плазиы с распределением частиц по закону Максвелла.
Решение. Рассматривая начальную задачу для кинетического уравнения
и уравнения поля
4я
для решений вида B9. 12) наряду с дисперсионным уравнением B9. 13)
для компонент электрического поля, направленных вдоль волнового векто-
вектора, получаем следующее дисперсионное уравнение колебаний поперечного
поля (кЕ = 0):
ш-е'г(ш, к) — с2Аа = О,
Здесь поперечная диэлектрическая проницаемость электронной плазмы имеет
вид
8 «0,*)=1+
Поскольку фазовая скорость поперечных колебаний превышает скорость
света, то
' со2
Поэтому решение дисперсионного уравнения можно записать в виде
Последнее слагаемое, обусловленное тепловым движением электронов, оче-
очевидно, представляет собой малую поправку.
Задача IV. 6. В неизотермической плазме с температурой электронов,
значительно превышающей температуру попов, электроны равномерно
дрейфуют относительно ионов со скоростью, много меньшей их тепловой ско-
скорости. Найти условие возникновения неустойчивости относительно раскач-
раскачки нонно-звуковых колебаний плазмы [12].
Решение. Используя в качестве функций распределения
Oi 2m.xT,
(р — теы
!Ой (Р) =
{2птекТе)'''
можно записать следующее выражение для продольной диэлектрической
проницаемости плазмы:
о?;

126
Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
пригодное при kvTi <^ &-^.kvTe. Приравнивание нулю такой диэлектриче-
диэлектрической проницаемости дает для частоты (со') обычное выражение, соответствую-
8-S
шее ионно-звуковым колебаниям, а для декремента колебаний позволяет
написать следующее выражение:
1 со' — fei*
+ fc2rDe kvTe
Поэтому неустойчивость относительно раскачки ионно-звуковых колебаний
наступает при выполнении неравенства
vTe
X ехр
feu
kvT~
rD. J
x
На рис. 5 приведены гаафики функции F (х, А, В), построежные для
водородной плазмы (А = 0,0233) и для четырех значений отношения
электронного дебаевского радиуса к ионному (В = 3, 4, 5, 10).
Задача IV. 7. Показать, что удерживаемая магнитным полем плазма
низкого давления E<^ 1 с локально максвелловсктш распределениями час-

ЗАДАЧИ 127
тиц (см. формулу C3. 13)) неустойчива относительно нарастания потенциаль-
потенциального электрического поля с инкрементами и частотами колебаний, малыми в
сравнении с гироскопической частотой ионов Qj = еф/пце и «фазовыми ско-
скоростями» вдоль магнитного поля, большими тепловой скорости ионов п
меньшими тепловой скорости электронов (кгиТг<^ | ш -+■ ly | <sg k2vTe). В то же
время длина волны возмущейий в направлении поперек магнитного поля
велика по сравнению с радиусами гироскопического вращения как электро-
электронов, так и ионов [14] (см. также [6, 15]).
Ответ. В предположении, что характерный размер неоднородности велик
по сравнению с поперечной длиной волны, получаем следующие решения
дисперсионного уравнения:
(» + ,-тГ~-*К-^3!*1£1
2. со —
2 \kz\ vTe L 2 rf In /V J '
3. eo = —
&wd In N/dx
d\nN Г „ /. . Г, ain
dx
4.t=_j/4-.
i-MvLX
XL14 Ге dln.-V J Qf- 2
d\nTe
dln/V
где «* = | ej/e | к TJnii — квадрат скорости иопного звука. Первое решение
возможно при d XnTild ln N^> 1, второе - при Те^> Tt. Во всех трох слу-
случаях, как легко нидеть, возможно возникновение неустойчивости (подробнее
см. [15,6, 12]).
Задача IV. 8. Найти комплексную диэлектрическую проницаемость плаз-
плазмы без столкновений, находящейся в постоянном, пространственно однород-
однородном магнитном поле при условии полного пренебрежения тепловым движе-
пием частиц и в отсутствие потоков частиц в равновесном состоянии.
Решение. Для решения задачи в качестве исходных могут быть приняты
уравнения движения холодной плазмы C2. 15), из которых в линейном при-
приближении получаем
где Bg —• постоянное поле, Е — электрическое поле волны, иа — скорость
частицы сорта а, возникающая под действие»! поля волны. Принимая времен-
временную зависимость —e~iu>l, получаем отсюда
,?,Я4|1 j
где Яа = еаВо/пгас, 6 — Во/Во. Соответственно для плотности тока имеем

128 Гл. IV, ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
Последняя формула определяет тензор комплексной проводимости (/Ч = ои-
для которого может Сыть записано следующее выражение:
Sieana I 1
П1а
где eijk — единичный совершенно антисимметричный тензор.
Поскольку тензор комплексной диэлектрической проницаемости связан
с тензором проводимости соотношением
41 = б„- + — а»-,
то окончательно полз'чаем
Задача IV. 9. Для плазмы, состоящей из электронов и одного сорта
ионов, при выполнении условий предыдущей задачи определить показатель
преломления электромагнитной волаы.
Решение. Дисперсионное уравнение электромагнитной волны, связы-
связывающее частоту с волновым вектором, имеет вид
= 0.
В соответствии с решенном предыдущей задачи
/е,, lg, О
«4i = ( — *8 е'> °
V 0, 0, 82,
где ось z ориентирована вдоль постоянного магнитного поля и
ei — 1 — ш.г _ q3 — Ш2 _ Q? ' г-= ~~ и5 '
_
g"~ и (оM — Q^) ~~ (о (оJ — Q?)
Поэтому дисперсионное уравнение имеет вид (О — угол между векторами
ft н JB0)
n* {et sin» d + е, cos2 *) — n» [(ej — g> — EiE,) sin*0 + 26,6^] + e2(e= — g2) = 0
и, очевидно, имеет следующие два решения:
Ь = 2 (в, sin'ft Vs, cos'О)
в* — г2 — eie2J sin4 * + 4^г coss 0}.

ЗАДАЧИ 129
Заметим, что при 0 = 0 дисперсионное уравнение обращается в нуль
также и прн е2 (ш) = 0, что соответствует продольным колебаниям.
Компоненты электрического поля (поперечного) связаны соотношением
\
Ехх,г гу—п\л
В частном случае распространения волн вдоль магнитного поля имеем
что соответствует волнам круговой поляризации.
Задача IV. 10. В холодной магнитоактивной плазме найти спектр попе-
поперечных волн с частотой, много меньшей гироскопической частоты ионов,
н длиной волны, много большей c/a>Le, считая при этом, что (oLi ^> Q*.
Решение. В соответствии с указанными условиями имеем
Подставляя эти выражения в формулу для показателя преломления
электромагнитных волн, полученную в задаче IV. 9, находим следующие два
спектра колебаний:
ш» = kh?A, <о* = кЧ\ cos в;
ядесь
Скорость vA называют альфвепонскоЁ скоростью, а волну со спектром щ—
альфвеновской волной. Спектр ш2 неточен в узкой области вблизи в = я/2.
Задача IV. 11. Найти спектр понеречных волн в холодной магнитоактив-
магнитоактивной плазме с частотой, много меньшей гироскопической частоты электронов,
но в то же время много большей корня из произведепия электронной и ион-
ионной гироскопических частот (|Qe| ^> ш ^> j/^Qg/Qj).Одновременно считается
выполненным неравенство (o^f §> Q*.
Решение. Ответ может быть найден из полученного в задаче IV.9
выражения для показателя преломления. С другой стороны, простой путь
может быть использован, если учесть, что в интересующем нас случае можно
полностью пренебречь влиянием ионов, а движение электронов можно описы-
описывать уравнением
+ lMeBo].
В соответствии с этим для плотности тока имеем
епес
а уравнения поля принимают следующий вид:
-~1Г -«»tЯ, rolB = --~^-
5 В. П. Силии

130 Гл. IV. ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ
Последние два уравнения дают
rotrotJS=^
Отсюда для волны JB ~ е~*"|+**г, считая jgfc _ ot получаем
Окончательно получаем
и £х = — |£и. Такие волны носят название свистящих атмосфериков или
геликонов (спиральных волн).
Задача IV. 12. Найти функцию распределения частиц плазмы низкого
давления (f$ = &np/Ba <gg 1), находящейся в скрещенных магнитном и грави-
гравитационном полях.
Решение. Ориентируя ось z вдоль магнитного поля, а ось х вдоль грави-
гравитационного, которое также является направлением неоднородности плазмы,
запишем кинетическое уравнение в виде
3/ 3/ / д д
Поскольку в приближении, пренебрегающем зависимостью магнитного поля
от координат, уравнение характеристик этого уравнения
dx dvx dvv
имеет решения вида
"J + (ру+ g/^J = const; г + vv/Q = const,
то распределение частиц дается функцией
/=*•(*+ р„/а, vl + {vy + g/Q)a, vz).
В частности, таким решением является
"(с)
-^-ь
где с = х + uu/Q. Если при этом ларморовский радиус мал по сравнению
с характерным расстоянием изменения температуры и плотности частиц, то
/ vv д\ п(х) |
t-\}+ a axj [2ятиГ(*)]^« ехр Г

ГЛАВА V
СТОЛКНОВЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
И ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ИМИ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ
ПРОЦЕССЫ В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
§ 35. Интеграл столкновений Ландау [1]
Перейдем теперь к рассмотрению релаксационных эффектов
и процессов переноса, обусловленных столкновениями частиц
плазмы. Но прежде чем использовать уравнение Больцмапа с ин-
интегралом столкновений, учтем характерные свойства взаимодей-
взаимодействия заряженных частиц, позволяющие в определенном отноше-
отношении упростить кинетическое уравнение. Для того чтобы о плазме
можно было говорить как о газе частиц, необходимо, чтобы сред-
средняя энергия кулонопского взаимодействия была мала по сравне-
сравнению с кинетической энергией. Это условие можно записать в виде
Это условие выполняется практически во всех реальных газовых
плазмах. Например, если п — 1013 см~3, Т = 104 градусов Кель-
Кельвина, то <?V/«: хГ х 5 • 10~3.
С другой стороны, введя радиус дебаевского экранирования,
то же неравенство можно переписать следующим образом:
■у
Отсюда следует, что слабость взаимодействия частиц плазмы
одновременно означает, что в области действия сил, где кулонов-
ское поле еще не экранировано, находится большое число частиц.
В условиях, когда энергия взаимодействия частиц мала по срав-
сравнению с их кинетической энергией, можно утверждать, что благо-
благодаря дальнодействующему характеру кулоновских сил столкнове-
столкновения частиц сопровождаются рассеянием главным образом на ма-
малые углы (9<^1). При таких рассеяниях изменение импульса
частиц относительно мало. Для использования факта малости изме-
изменения импульса частиц при столкновении целесообразно выразить
5»

132 Гл. V. СТОЛКНОВЕНИЯ В ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
сечение рассеяния через передаваемый импульс (см.формулу(З.З)):
Ра- Ра= ^+Ьть (('°Ьп'— Vab) = — jPb + Ръ = &Р- C5.1)
Имея в виду, что при столкновении частицы а с покоящейся
частицей 6 последняя после столкновения приобретает импульс
Ьр = р'ъ^2 т™°™1ь vab sin -fl s 2цаЬг,а1) sin -jl, C5.2)
легко видеть, что записанное для такого случая покоящейся ча-
частицы Ь сечецие кулоповского рассеяния может быть представлено
в виде
x-dow. C5,3)
Это выражение, очевидно, имеет место и для случая движущейся
частицы Ь.
Перейдем теперь к упрощению интеграла столкповепий Больц-
иава, используя факт малости передаваемого импульса (см. так-
также 121). Тогда с точностью до величин, квадратичных по Ар вклю-
включительно, имеем
х
X
C5.5)
Подставляя выражения C5.3) и C5.4) в интеграл столкновений
Больцмана, получаем
Докажем, что с той же точностью
dPai дРЫ ) 2(Др)« J ~~

i 35. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЛАНДАУ 133
Рассмотрим сначала первое слагаемое левой части. Используя
формулу C5.5), получаем
Здесь учтено равенство б' (vAp) = (Ар)~% Apd8(vAp)/dv. Далее,
поскольку д/дра— д/дрь = \faldldvah, то второе слагаемое имеет
вид
Согласно формуле C5.5) этот интеграл с рассматриваемой точ-
точностью равен
Таким образом, действительно рассматриваемый интеграл равен
нулю.
Следовательно, интеграл столкновений можно записать в виде
wK <35-6)
Интеграл по передаваемому импульсу
^l^ C5.7)
логарифмически расходится как при больших, так и при малых
значениях Ар. Расходимость при малых передаваемых импульсах,
соответствующих малым углам рассеяния, связапа с уже обсуж-
обсуждавшимся следствием дальнодействующего характера кулонов-
ских сил, приводящего к бесконечному полному сечению рас-
рассеяния. Как уже говорилось, обычно в применениях уравнения
Больцмана к плазме используют экранированный потенциал
{ijr)e-rlTD. При этом можно говорить, что максимальным прицель-
прицельным параметром, существенным для столкновений частиц, является
радиус дебаевского экранирования rD. С другой стороны,

134 Гл. V. СТОЛКНОВЕНИЯ В ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
расходимость при больших передаваемых импульсах возникает
из-за использованного предположения о малости Ар. Это предполо-
предположение нарушается при прицельных параметрах -—^гт^ = \еаеь\ ЫТ,
когда энергия кулоновского взаимодействия двух частиц сравни-
сравнивается с их средней кинетической энергией. Поэтому, имея в виду
обратную пропорциональность передаваемого импульса и соответ-
соответствующего прицельного параметра, получаем
J C5 8)
Для типичных плазм кулоновский логарифм L по порядку вели-
величины равен 6 -г- 20. Именно возникновение такого большого па-
параметра позволяет ограничиться в разложении интеграла столкно-
столкновений Больцмана лишь членами — (Д/>J> а при вычислении инте-
интеграла C5.8) не уточнять численных коэффициентов под логариф-
логарифмом. Кроме того, можно полностью пренебречь вкладом области
малых прицельных параметров, приводящих лишь к поправке,
мало меняющей коэффициент под логарифмом выражения C5.8).
Наконец, следует заметить, что при достаточно высоких тем-
температурах разложение по степеням Ар, проведенное нами в инте-
интеграле столкновений Больцмана, окажется незаконным при боль-
больших прицельных параметрах, чем это вытекает из ограничений,
определяющихся применимостью теории возмущений. Очевидно,
что нельзя говорить о малом изменении импульса на таких при-
прицельных параметрах, при которых квантовая неопределенность
импульса окаж тся немалой по сравнению со средним тепловым
импульсом частиц. Поскольку неопределенность импульса ~ Й/г,
то минимальное прицельное расстояние, возникающее из-за
кзантовомехапических ограничений, оказывается -~ hl\LVT, где
vr = уЧсТ/ц. Используя такой минимальный прицельный пара-
параметр, получаем вместо C5.8) следующее выражение:
-In Г
I.
h
которое следует использовать вместо C5.8) при
Полагая и. равной массе электрона, получаем отсюда, что кванто-
квантовое обрезание становится определяющим при Т^> 3-105°К (Т^
>27 эв).
Таким образом, окончательно имеем

§ 36. ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ОТ ЭЛККТРОНОВ К ИОНАМ 135
Такая форма интеграла столкновений для заряженных частиц
была предложена Ландау и затем широко использовалась в теории
явлений переноса в плазме.
Формула C5.9) может быть переписана в виде
где
p
^J^L^. . C5.12)
Соответственно такой форме записи D^ называют коэффициентом
диффузии в пространстве импульсов, а коэффициент А — силой
трения.
§ 36. Передача энергии от электронов
к ионам — релаксация температуры
Используем интеграл столкновений Ландау для рассмотрения
воироса об изменении во времени энергии компонент электронно-
ионной плазмы. При отсутствии внешних сил и пространственно
однородном распределении кинетическое уравнение для плазмы
имеет вид
Цг - wz2 2«Wi 1*»*''6"
Пусть функции распределения частиц максвелловские, но с
различными температурами. Тогда изменение во времени функ-
функции распределения сводится к изменению во времени температу-
температуры. Поэтому получим уравнение для температуры. Столкновения
внутри одного сорта частиц не меняют их температуры. Это явля-
является следствием сохранения энергии, а также может быть усмо-
усмотрено непосредственно, ибо для максвелловских функций
C6.2)
Для одинаковых частиц правая часть этого соотношения представ-
представляет собой составляющую вектора, параллельного относительной
скорости, а ядро интеграла столкновений ортогонально такому

130 Гл. V. СТОЛКНОВЕНИЯ В ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАГШЕ
вектору. Поэтому действительно столкновения одинаковых частиц
дают в таком случае пулевой вклад.
Умножим кинетическое уравнение на р\12та и проинтегриру-
проинтегрируем по импульсам ра. Тогда
-JT -у пахТа = — 2 2ne*aelL ~ { dpa dpbvai x
ь а
ИЛИ
, "■ = — ^| (Ta — Ть) Vj, C6.4)
ь
где
vT = -г „ " * ,„ „, * _ m ,, \ dpa dpb x
<ь
Пусть индексом а обозначены электроны, а индексом 6 — ион ы
Будем считать, что выполнено легко осуществимое неравенство
/Y.T. Г ХГ
Тогда при вычислении интегралов в формуле C6.5) целесообразио
разложить выражение
„ „ v<A^ii ~ (vab)i (vab)j
VaiVb.
vab
uo степеням vb вплоть до квадратичных. В силу того, что это вы
ражение точно эквивалентно
аЬ ij \ ab)i \ abfj
то искомое приближенное выражение имеет вид
" °'ai . C6.6)

§ 37. РЕЛАКСАЦИЯ ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОНОВ 137
Далее
^dpadp
bvbivbi
Следовательно, окончательно получаем
2m« 4 /2я4^
C67)
Время релаксации tel характерно для процессов, связанных с
передачей импульса от электронов к ионам (см. ниже).
Частота столкновений C6.7), связанная с передачей энергии,
в 2me/mi раз меньше частоты, описывающей передачу импульса,
ибо в силу большого отношения масс лишь малая доля энергии
передается при столкновении электрона с ионом.
§ 37. Релаксация импульса этектфонов |3]
Для определения времени, характеризующего релаксацию
электронного импульса, примем, что функция распределения
электронов имеет вид
f (n t) — * exn i — u
2лтяГц (t) у 2rt.m4iTj_ (t) ( гт%Г^A) Imnl fl (t)
C7.1)
Поставим перед собой задачу получения уравнения, описывающе-
описывающего выравнивание во времени значений «(продольной» и «поперечной»
температур электронов. Очевидно, что такое уравнение будет опи-
описывать релаксацию распределения по импульсам электронов
C7.1) к максвелловскому. Из соображений простоты примем,
что | Гц — Т± | <gg Tj_ m Т. Так же из соображений простоты
ограничимся учетом столкновений лишь с ионами. Последнее
возможно тогда, когда ионы являются многозарядными
| ei | ^>-1 е |. При этом будем считать, что распределение "'ионов
по импульсам является максвелловским с температурой Тг.
Тогда для электронной функции распределения можно написать

138 Гл. V. СТОЛКНОВЕНИЯ В ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
кинетическое уравнение:
Легко видеть, что если температура ионов не превышает чрезмерно
температуру электронов, то для интересующего нас процесса ре-
релаксации в интеграле столкновений C7.2) можно пренебречь ско-
скоростями ионов по сравнению со скоростями электронов. Тогда
C7 3)
Поскольку правая часть пропорциональна малой разности про-
продольной и поперечной температур, то в электронной функции рас-
распределения (в той же правой части) можно считать Гц = Т± = Т.
Тогда уравнение C7.3) принимает вид
Умножив, это кинетическое уравнение для электронов соответ-
соответственно на (pi + pl)l2mene и p\lmene и проинтегрировав по импуль-
импульсам, получаем*)
^ C7.5)
где
j _ ' ■ _ о Зр, — р 4 1
^руГ е • ^ р ~ TtT ■
C7.6)
Если учесть столкновения электронов с электронами, то для
характерной частоты столкновений, описывающей согласно урав-
уравнениям C7.5) релаксацию импульса, получаем вместо C7.6) вы-
выражение
*) При этом учтено, что

I 38. ПОТОК ЭНЕРГИИ В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛК 139
§ 38. Поток энергии частиц плазмы
поперек сильного магнитного поля [4]
При удержании плазмы сильным магнитным полем ставится
также задача термоизоляции плазмы. В действительности, как мы
увидим ниже, поток энергии частиц плазмы в направлении попе-
поперек сильного магнитного поля, обусловленный неоднородностью
температуры, уменьшается с ростом магнитного поля.
Говоря о сильном магнитном поле, будем подразумевать, что
гироскопические частоты Qa = eaB/mac велики по сравнению
с характерными частотами столкновений. Пространственной не-
неоднородностью магнитного поля будем пренебрегать.
Для получения потока энергии в плазме рассмотрим стацио-
стационарное распределение частиц, определяющееся кинетическим
уравнением
d^ { )^=2iIab[faJb]. C8.1)
Старшим членом в уравнении C8.1) является
еа dfa
Заметим, что для максвелловского распределения он тождествен-
тождественно обращается в нуль. В связи с этим в интересующем нас случае
неоднородного распределения плазмы в направлении поперек
магнитного поля можно искать решение уравнения C8.1) в виде
ряда по обратным степеням магнитного поля. Тогда для определе-
определения членов разложения функции распределения
/« = /«■+/«!+/«• + ... C8.2)
имеем последовательность уравнений
I V алу j — ^= у), I ОО. 01
Q
е 3/„, df . df „ _-,
-Г [««-Bl э?=-»'-§Г-е»ЕэГ + 21*ъ I/.., /ьо1, C8.4)
+ S Vat [/«о. /ы] + 1аь [/«i. /wl). C8.5)
b

140 ГЛ. V. СТОЛКНОВЕНИЯ В ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
В качестве решения уравнения нулевого приближения примем
распределение Максвелла:
U{Pa.r)= 9 1\же - C86)
[2яточГ (г) ] '•-
Тогда в уравнении первого приближения обращается в нуль ин-
интеграл столкновений. Поскольку нас интересует поток тепла,
обусловленный неоднородностью температуры, удержим в правой
части уравнения C8.4) лишь члены, пропорциональные градиенту
температуры. Тогда это уравнение принимает вид
Oa [vab] Ц£ = - va^J-fa0 -^L_ _ ^- , C8.7)
где Ь — BIB — единичный вектор вдоль направления магнитного
поля. Интересуясь неоднородностью температуры поперек маг-
магнитного поля, примем b д In Tldr— 0. Легко видеть, что решение
уравнения C8.7) "имеет вид
е in т I , \ р1 з\ 1 г, аг 1 д1ас
C8.8)
Решение первого приближения дает для потока энергии следующее
выражение:
8а = Upava ±mavlfal = Ь^-[Ь g-] . C8.9)
Этот поток перпендикулярен направлению неоднородности темце-
ратуры, а поэтому не характеризует энергетические потери плазмы.
Для этой цели необходимо определить вклад второго прибли-
приближения. Умножим уравнение C8.5) на vamav%j2 и проинтегри-
проинтегрируем но импульсам. Тогда получаем
[bSa,] =\dpava^-mavl'Z(Iab IU, fbl]+ Iah l/el,/b»I). C8-10)
Рассмотрим, далее, ионный поток энергии, который, как это
станет видно, является основным. Поскольку столкновения ионов
с электронами дают малый вклад, то ограничимся учетом лишь

§ 3». ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПЛАЗМЫ 141
ион-ионных столкновений. Тогда уравнение C8.10) дает
[ft^isli = -^jr\dpdP' [*>«*>.•: +-4~у26*г] х
(v—■ t?')a б, •—■ (v—■ vr), (v— v'\ • /я ft \
/M <•>+.; ^/.«][£»].-
x|..f^
здесь
X |(w — г?')аУ2 [2у2—у'2 — vv'\ — (у2 — vv'J^- (у2 — у'J -
v.. 2ч*Гп.
C8.12)
где
v = J у_^е<п» _ C8.13)
d у m. (k7') ''
Таким образом,
8 ,. = _Y|^-. C8.14)
Сравнение потока энергии первого приближения C8.9) с выра-
выражением C8.14) показывает, что фактическим параметром разложе-
разложения в нашем решении C8.2) является v^iQi.
Заметим, наконец, что поскольку ионный поток энергии вдоль
градиента температуры пропорционален Ymu то он является
основным (если, конечно, температура электронов не превышает
аномально сильно температуру ионов).
§ 39. Высокочастотная проводимость плазмы
Поставим перед собой задачу получить выражение для плотно-
плотности электрического тока, возникающего в полностью ионизованной
плазме под действием высокочастотного электрического поля.
Говоря о высокочастотном поле, будем подразумевать, что частота
электрического поля велика по сравнению с частотой столкнове-
столкновений электронов и ионов. Ограничимся относительно слабым элек-
электрическим полем, для которого амплитуда скорости осцилляции
электрона во внешнем поле невелика по сравнению с тепловой

142 ГЛ. V. СТОЛКНОВЕНИЯ В ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
скоростью. Тогда можно ограничиться линейным приближением
по электрическому полю, зависимость которого от времени примем
в виде
E(t) = Ее-1*1. C9.1)
Будем считать, что отсутствует внешнее постоянное магнитное
поле. Будем также пренебрегать влиянием переменного магнит-
магнитного поля. Поскольку отношение высокочастотного магнитного
поля к электрическому по порядку величины равно clatk, где
с — скорость света, а К — характерное расстояние изменения
высокочастотного поля, то вкладом такого магнитного поля в силу
Лорепца можно пренебречь, если
(ух/ш)<О. C9.2)
Это неравенство будем считать выполненным. Заметим, что при
выполнении неравенства C9.2), т. е. когда среднее расстояние,
проходимое тепловым электроном за период колебания внешнего
поля, мало по сравнению с характерным масштабом пространст-
пространственного изменения высокочастотного поля, можно пренебречь
в кинетическом уравнении слагаемым, содержащим производные
по пространственным координатам. Поэтому кинетическое урав-
уравнение можно теперь записать в следующем виде:
■£+«.■*«> з£ - 2 Ме^ь
х (£-£)'•*• (89Л>
Имея в виду относительную слабость электрического поля, можно
считать, что функции распределения частиц слабо отличаются от
максвелловских:
C9/0
Основной вклад в плотность электрического тока дают электроны,
поэтому нам следует определить 6/е в линейном приближении по
электрическому полю.
Учтем тот факт, что частота ш велика по сравнению с частотой
столкновений электронов и ионов. Это означает, что правая часть
кинетического уравнения C9.3) фактически оказывается относи-
относительно малой. Поэтому б/е можно искать в виде ряда по степеням
отношения частоты столкновений к частоте поля:
в/. = <riMl F/,д + в/,., + ...)• C9.5)

I 39. ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПЛАЗМЫ 143
При этом в первом приближении имеем
— г<о6/ед +еЕ^ =0. C9.6)
Отсюда следует
8/..Д = — i -^- E -1?± . C9.7)
Такое выражение для функции распределения позволяет записать
первое приближение для плотности электрического тока:
C9.8)
Следовательно, в нервом приближении (без учета столкнове-
столкновений) высокочастотная проводимость оказывается чисто мнимой,
а поэтому не приводит к диссипации энергии поля. Для описания
диссипативных эффектов следует иметь выражение для проводи-
проводимости второго приближения. Во втором приближении кинетиче-
кинетическое уравнение имеет вид
dp. ^ U—™—i pjHii bh x
x [w - Щ;\ (/е-°6/ь-1 + ^.об/м)- C9.9)
Эта формула определяет второе приближение для электронной
функции распределения, а следовательно, и второе приближение
для плотности электрического тока. Заметим, что в формуле
C9.9) можно пренебречь ионной неравновесной функцией 8/;а,
поскольку ее относительный вклад определяется отношением
массы электрона к массе иона. Наконец, в плотность тока не дают
вклада столкновения электронов с электронами, что связано с
выполнением закона сохранения импульса при столкновениях.
Поэтому в предположении, что плазма состоит из электронов
и одного сорта ионов, для плотности тока второго приближения
получаем
^^^ТЩ^Ф~ Ег^^Ъ**Ег = о<»Яг. C9.10)
Итак, во втором приближении получена действительная часть
проводимости, описывающая поглощение электромагнитного поля
плазмой благодаря электрон-ионным столкновениям.

144 Гл. V. СТОЛКНОВЕНИЯ В ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
Задачи
Задача V. 1. Вывести формулу C5.5),
Решение. Направив ось z вдоль вектора V, а ось х перпендикулярно Ар,
имеем
2п п
\ don6 (Ар — ц [vn — v]) = \ dtp \ sin в dm (\iv sin в cos <p) 6 (Apy —
о о
— H»sm6sin(pN(Ap2 4- [ip [1 —cosв]) =
n
= J^ у66 (APi + liw [1 - cos 9J) [6 (Д Py - \iv sin в) + б (Д py I iiv sin в)].
Имея в виду малость Ар, можно с точностью до членов, квадратичных до
Ар включительно, переписать это вырач<ение в впде
о
что, очевидно, равно
Пренебрегая в последнем выражении членами старше (АрK, получаем формулу
C5.5).
Задача V. 2. Предпелагая, что распределение ионов имеет не равные, ио
относительно мало отличающиеся продольную п поперечную температуры,
найти уравнения, описывающие изменения во времени таких температур
благодаря столкновениям ионов с ионами.
Ответ.
dl ~~ 5 у>*1л-±~AJ IIJ' Л -
где
4 У ле\гц1
Задача V. 3. Определить декремент затухания электронных продольных
колебаний плазмы, обусловленный электрон-ионными столкновениями.
Решение* Поскольку эффективная частота столкновений электропоп
с ионами Vgj,,}, мала по сравнению с электронной ленгмюровской частотой,
то и соответствующее затухание колебаний относительно невелико. Поэтому
его можно получить как аддитивную независимую добавку к затуханию,
обусловленному эффектом Черенкова. Тогда, пренебрегая зависимостью ди-
диэлектрической проницаемости от волнового вектора, согласно формулам C9.8)
и C9.10)

ЗАДАЧИ 145
Отсюда следует
Задача V. 4. Найти комплексную диэлектрическую проницаемость
плазмы f.jj (со), находящейся в постоянном и однородном магнитном поле
jB, в предположении, что разность частоты электромагннтного поля со и
гироскопических частот частиц плазмы (Qa = eaB/mac) велика по сравнению
с эффективной частотой столкновений.
Решение. Используя связь комплексной диэлектрической проппцаемос-
ти с тензором проводимости оц:
поело вычислении, во многом подобных проведенным для случал плалмы
без магнитного поля, получаем
e
Qi 1 1 WL
Qf
Q*
где ft — единичный вектор вдоль направления магнитного поля, a fjj; — еди-
единичный совершенно антисимметричный тензор.

ГЛАВА VI
ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
МЕТОДОМ ГРЕДА
§ 40. Основные положения метода Греда [1]
Благодаря значительному различию масс электронов и ионов
в плазме следует говорить о нескольких различных временах ре-
релаксации. Как мы уже видели, время релаксации импульса элек-
электронов по порядку величины равно
Vm (У.Те)'''
е*п
D0.1)
а время релаксации энергии электронов равно
D0.2)
Наконец, согласно задаче V.2 время релаксации импульса
ионов может быть оценено по формуле
T«J> ~ ^ "*' (ЧГ{) ' . D0.3)
Если температура ионов не очень сильно превышает температу-
температуру электронов, то очевидно, что время релаксации температуры
значительно превышает времена релаксации как электронного,
так и ионного импульса. Поэтому можно мыслить себе такую ситуа-
ситуацию, в которой хотя характерные времена изменения распределе-
распределения частиц будут велики в сравнении с временами релаксации
импульса, они все же окажутся сравнимыми с временем релак-
релаксации температуры. Это означает, что для плазмы следует иметь
уравнения, описывающие усредненные макроскопические движе-
движения, в условиях, когда температуры различных компонент плазмы
различны. Для получения таких уравнений можно определенным
образом модифицировать метод Энскога — Чепмена [21. Однако

S 40. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ГРЕДА 14?
ниже мы пойдем по иному пути, следуя методу Греда, который
также называют методом моментов [1, 3, 4] *).
Под моментами различного порядка скоростей частиц будем
понимать следующие величины:
па (г, t) = ^dpfa (p, r, t) D0.4)
— число частиц а-го сорта в единице объема;
мо (г, I) = ~Upfa (р,г, 0 v D0.5)
"a J
— средняя скорость частиц сорта а;
a^-[V-Ua}* D0.6)
— температура а-й компоненты плазмы;
Pij(r, t) = ma^dpfa (v - ua)i (v — ua)j ~biiTia%Ta — o?,- (r, t)
D0.7)
— тензор напряжений а-й компоненты плазмы (<jy — тензор вяз-
вязких напряжений) и, наконец, момент третьего порядка
q?jk (r, t) = та J dpfa (v - ua)t (v - иа)} (v - иа)к. D0.8)
Последняя формула позволяет, в частности, записать вектор те-
теплового потока а-й компоненты как сокращенный момент третьего
порядка**):
ql = 4" (lm = \ ma\dpU (v - Мв)* (v - иа)к. D0.9)
Очевидна симметрия моментов относительно перестановки ин
дексов. Более высокие моменты скоростей могут быть записаны
как естественное обобщение выписанных здесь формул. Заметим,
что число различных моментов порядка и равно (Ч2) (п + 1) (п -j- 2).
Знание всех возможных моментов скоростей частиц, очевидно,
эквивалентно знанию фупкции распределения. С другой стороны,
используя этот факт, можно попытаться представить функцию
*) Метод Греда использовался для получения уравнений переноса н
плазме в работах [3, 5—10].
**) Подчеркнем, что как вектор теплового потока, так и тензор напря-
напряжений а-й компоненты, используемые в методе Греда, отличаются от подоб-
подобных величин, использовавшихся в методе Энскога — Чепмена, где отсчет
тепловых скоростей велся относительно средней массовой скорости.

148 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
распределения в таком виде, что вся зависимость от времени и
координат будет проявляться через соответствующую зависимость
моментов скоростей частиц. В методе Греда это достигается с по-
помощью разложения функции распределения в ряд по трехмерным
полиномам Эрмита — Чебышева, аргументом которых является
{r,t). D0.10)
Такие полиномы определяются соотношением
//£?..;{„ (г) = (— 1 )n e4'r -х-^—j~T— е~ ~*~Г'■ (/t(J-!*)
Соответственно тому, что вектор г имеет три компоненты г1т г2, гя,
индексы iv ..., in могут принимать значения 1, 2, 3. Из формулы
D0.11), в частности, следует
#<°> (г) = 1, ЯР (г) = г(; Я{?(г) = г;г,- -
Яш (Г) = Г:Г;Гк — ЬцГк — 8i4rj — бк;Ги
* ) D0.12)
Очевидно, что полином Эрмита — Чебышева п-й степени является
тензором и-го ранга.
Полиномы D0.11) образуют ортонормированную систему, при-
причем их условие ортогональности и нормировки имеет вид
тЧ!.цМЯГ!4И = б)Д,.;^...^ D0.13)
где 8пта — символ Кронекера, a 8i,...i n,jx...jm отлично от нуля и
равно единице лишь в том случае, когда последовательность индек-
индексов ij, ..., in может быть получена перестановкой совокупности
индексов /1Т ..., /т.
Используя так определенные полиномы Эрмита — Чебышева,
представим функцию распределения в виде ряда
, , J4 ria(r,t)
D0.14)

I 40. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ГРЕДА 149
Используя условие нормировки D0.13), нетрудно видеть, что
а«»-и--=1, D0.15)
Р^ D0.16)
яа»Та Па*Та
Для последующих коэффициентов разложения формулы D0.14)
может быть установлена связь с более высокими моментами ско-
скоростей.
В практическом испочьз ;пании метода Греда ограничиваются
конечным числом членов разложения D0.14). Например, огра-
ограничение лишь нулевым членом разложения соответствует определе-
определению функции распределения через пять моментов: па, иа, Та.
При этом не учитываются эффекты, обусловленные вязкостью
(ср. D0.17)) и тепловым потоком д. Далее учет в разложении
D0.14) членов вплоть до п = 2 позволяет учесть вязкость. По-
Поскольку тензор вязких напряжений является симметричным,
а след его равен нулю, то он соответствует пяти моментам скоро-
скоростей. Поэтому можно говорить о десятимоментном приближении.
Двадцатимоме.тное приближение возникает при учете д,"ь т. е.
членов вплоть до п = 3 в разложении D0.14). ' асто используется
также тринадцатимоментное приближение, в котором динамика
газа описывается переменными па, иа, Та, оц и да. Соответственно
этому используются сокращенные полиномы Эрмита — Чебышева
(»-) = г,(г*-5) = Я$(г). D0.19)
В тринадцатимоментном приближении функция распределения
частиц сорта а имеет вид
V J 1 _1_ . _.
2
ИЛИ
, , "а <*'• ') Г та
/а (Р, f, t) = — г?" е^Р I "
х {l + ~ 4?>' "НУ + «'3)> аН'3)} (М.20)
2па(»-,г)хГа(г,«)
п (г, t) [чГ (г, г)]4

150 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИИ УРАВНЕНИЙ ЦЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
Умножая это выражение на несокращенные полиномы Эрми-
та — Чебышева, после интегрирования по импульсам можно вы-
выразить щ]1'а через с48>'а или, имея в виду формулу D0.18), третий
момент q\"l через тепловой поток:
чШ = 4
Это соотношение имеет место в приближении тринадцати моментов.
Важное отличие метода Греда от метода Энскога — Чспмсна
заключается в том, что теперь такие моменты скоростей, как тен-
тензор вязких напряжений, тепловой поток и т. д., рассматриваются
не как вспомогательные переменные, выражения которых необ-
необходимо знать для получения уравнений гидродинамики, а как
вполне самостоятельные переменные, характеризующие движе-
движение газа. Для таких высших моментов следует рассматривать
свои уравнения наряду с уравнениями для па, иа> Та.
§ 41. Уравнения переноса в плазме в пятимоментном
приближении метода Греда
Рассмотрим здесь простейшее приближение метода Греда,
соответствующее удержанию лишь пяти моментов скоростей.
В этом приближении предполагается, что функция распределения
имеет вид
п (r.t) с m [v —и (г,О]4
'-<*"г'1) = 1^(го,*ехр {-—^(;@
Задача заключается в получении уравнений для д. (г, I), иа (г, I)
и Та (г, I), имея в виду, что функция распределения подчиняется
кинетическому уравнению
где
Iab Ifa< h\ = 2nelelLj^{ dph -—±-^{(va - vbL,;l -
- (*„ - Vb)k (»„ - Vb),} (~ - ~~^ fa (Pa) fb (Pb). D1.3)
Первое из необходимых уравнений — уравнение непрерывности
-%- + div(n«Me) = 0 D1.4)

§ 41. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА В 5-МОМЕНТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 151
— получается в результате интегрирования но импульсам левой
и правой частей кинетического уравнения D1,2). Далее уравнения
движения компонент плазмы мы получим, умножив уравнение
D1.2) на та (va — иа) и проинтегрировав по импульсам. Тогда
+ -^ пахТа + патпа (иа ~j иа — па«а f J57 + — t^-
\ pa^(va - иа) /„«, [/„, fb)= ^ К""-
I)
где КаЬ называют силой трения.
Благодаря закону сохранения импульса при столкновениях
отличный от нуля вклад в правую часть уравнения D1.5) могут дать
лишь соударения различных сортов частиц. Это означает, что при
суммировании b =f= а. Кроме того, согласно сохранению импульса
имеем
Прежде чем рассматривать правую часть уравнения D1.Г)),
получим уравнения, описывающие изменение энергии компонент
плазмы. Для этого умножим кинетическое уравнение D1.2) на
f/,)me (vа — иаJ и проинтегрируем по импульсам. В результате
получаем
-gj- -jj- пахТа + div f-jj- naxTaua J + пахТа div ua =
где Qаь — тепло, выделяющееся в a-й компоненте за счет столкно-
столкновений с частицами сорта Ь. Это уравнение можно записать в не-
несколько более простом виде, учитывая уравнение непрерывности
D1. ф. Именно:
дх.Т дкТ 9 ? ■*-*
-гГ + иа-~~ + 4 Xf° dlV "« = -Щ- S Qa: ■ (^ ■«)
" Ь
Благодаря сохранению энергии сталкивающихся частиц при сум-
суммировании в правой части можно считать b =j= а. Так же благодаря
сохранению энергии имеет место соотношение
2<?аЬ = - %иаПаЬ. D1.9)
я, Ь а,Ь

152 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ П'ЕДА
Пусть плазма состоит из электронов и одного сорта ионов.
Тогда достаточно, рассмотрев столкновения электронов с ионами,
получить уравнения лишь для электронной компоненты. Законы
сохранения импульса и энергии позволят при этом сразу получить
и уравнения для ионной компоненты плазмы.
Рассмотрим интеграл столкновений D1.3) для случая столкно-
столкновений электронов с ионами. При этом используем тот факт, что
средняя тепловая скорость электронов значительно превышает
ионную. Кроме того, будем считать, что относительная скорость
электронов и ионов и = ие — tt4 мала по сравнению со средней
тепловой скоростью электронов. Тогда, имея в виду разложение
("а - У 5h-| ~ ("а - »ь )ft ("а ~ % >С f „ „ 9 ,
| Р Vbr "+*
+
можно записать следующее приближенное выражение для элек-
электрон-ионного интеграла столкновений:
х j1 - («1 - ««. -^г) + 4"
s D1 10)
л I» — «J* ■ v
В правой части этой формулы после подстановки ионной функции
распределения в виде D1.1) легко провести интегрирование по
импульсам ионов. В результате находим
Это выражение уже сравнительно просто и с помощью него полу-
получаем
j i 1

41. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА В 5-М0МЕНТН0М ПРИБЛИЖЕНИИ 153
x i¥=^7p j - - dn« -^Г"Щ +
< 3m n
+ ^-«emeii2= IL__L./X7' xr )_ WRH. D1.13)
Tci mi Tfi
Мы видим, что тепло, выделяющееся в электронной компоненте
плазмы за счет столкновений с ионами, возникает, во-первых,
благодаря передаче энергии от электронов к ионам, связанной
с релаксацией температуры, и, во-вторых, благодаря работе силы
трения. Имея в виду, что для плазмы, состоящей из электронов и
одного сорта ионов,
Rei = —B", D1.14)
Qei + uR" = — Qie, D1.15)
можем теперь записать систему уравнений переноса электронно-
ионпой плазмы, соответствующую пятимоментному приближению
Греда:
JLl 4-div(raew,.) = 0, D1.16)
дп.
-jf-+ div (пгщ) = 0, D1.17)
i да. , ;> \ \ дп%Т_ _
ег
D1.18)
D1.19)
.А.__£.(Мг_м.J, D1.20)
дкТ. дкТ.
Целый ряд явлений в плазме может быть описан на основании
системы уравнений D1.16) — D1.21).

154 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
Заметим, что в случае плазмы с однозарядными ионами плот-
плотность электрического тока равна j = еп„ (ие — щ). При этом
= P1^~^JrP D1.22)
представляет собой джоулево тепло, а
о=^ти D1.23)
является проводимостью плазмы.
§ 42, Трипадцатимоментное приближение
Уравнения переноса, полученные в пятимоментном прибли-
приближении метода Греда, не описывают явлений вязкости и теплопро-
теплопроводности. Это естественно, поскольку пятимоментная аппрокси-
аппроксимация функции распределения предполагает равными нулю тен-
тензор вязких напряжений и вектор теплового потока. Напротив,
эти величины отличны от нуля в тринадцатимоментном прибли-
приближении, которое поэтому успешно может использоваться для опи-
описания таких движений, для которых существенна вязкость и те-
теплопроводность.
Для получения уравнений переноса в тринадцатимоментном
приближении метода Греда используем аппроксимацию функции
распределения D0.22)
(г'')]2!х
X {* - 2п (Д(^(%1
) ma [va - »' ), / та jva - и- (г, Q] \ \
Задача получения уравнений для тринадцати моментов функ-
функций распределения в принципе аналогична соответствующей зада-
задаче пятимоментного приближения. Отличие сводится лишь к боль-
большему числу моментов, а поэтому и к необходимости получить
большее число уравнений, представляющих собой моменты кине-
кинетического уравнения:
где /аЬ [/а, /ь) — интеграл столкновений Ландау D1.3).

§ 42. ТРИНАДЦАТИМОМЕНТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 155
Момент нулевого порядка кинетического уравнения D2.2),
получаемый интегрированием по импульсам левой и правой части
кинетического уравнения, представляет собой уравнение непре-
непрерывности:
^Sf-+div(net«e) = O. D2.3)
Моменты первого порядка кинетического уравнения, представля-
представляющие собой уравнения движения газа, получаются в результате
умножения левой и правой частей уравнения D2.2) на та (va — иа)
и интегрирования по импульсам:
D2.4)
В левой части этого уравнения возник вклад от тензора вязких
напряжений, которого не было в уравнении D1.15) пятимоментно1 о
приближения.
При написании моментов второго порядка уравнения D2.2)
прежде всего умножим это уравнение на l/2mo (v а — иа)г и проин-
проинтегрируем по импульсам. Имея в виду соотношение (ср. D0.23)
и D0.7))
(va — ua)t (va — un)r vja = 4"{6"-?2 ?
+ uk{6lTnaxTa-<£r}, D2.5)
получаем
-^- -j- naxTa + div ^-|- naxTaua^ + naxTa divu" + div qa -
~ e« IT = ^Pa'Z-T' ^ ~ иУ Г«Ь Ua, fbl^IlQab- D2.6)
* J b b
Исключив, наконец, с помощью уравнения непрерывности произ-
производные по времени плотности числа частиц, имеем
Это уравнение, в отличие от соответствующего уравнения D1.8)
пятимоментного приближения, содержит в левой части как тепловой

156 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
поток, так и тензор вязких напряжений. Для последних (в от-
отличие от обычной гидродинамики) ниже мы также получим урав-
уравнения, определяющие их изменение в пространстве и времени.
Уравнения для тензора вязких напряжений соответствуют
центральным моментам второго порядка кинетического уравнения.
Действительно, умножив уравнение D2.2) на
л
а ** III \va ** /( Т" uifl \va ** /
4
и проинтегрировав по импульсам, получим
вв« л. д < ,а -М .1. Г « а"? л. * ди* 2
__ + __ (UiOk|) + | aks ^_ + ав( _ _
2 . ,.
j" 6k, div м
S D2.8)
ь ь
Наконец, последнее уравнение, соответствующее моментам
третьего порядка кинетического уравнения, получается умноже-
умножением уравнения D2.2) на
и интегрированием по импульсам. В результате находим
^ (va - иа)к (va - иа)ЧаЬ |/ef /ь]. D2.9)
ь
При этом учтено, что согласно выражению D2.1) имеет место соот-
соотношение
"а" та («о — W°)k ("a ~ «")• («a ~ Ma)' /« -

§ 42. ТРИНАДЦАТИМОМЕНТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 157
Исключая из уравнения D2.9) производные по времени с помощью
уравнепия D2.4), находим
1 /
-i- ^ 7^ div ua + 7 (g«V) ^
IF Ti" ''чк~г 5
it in _ or,. m dr Z
Уравнения D2.3), D2.4), D2.8) и D2.10) представляют собой
систему уравнений, описывающих моменты функции распределе-
распределения тринадцатимоментного приближения. В этих уравнениях не-
необходимо детализировать вклады, даваемые интегралами столкно-
столкновений, которые следует выразить через моменты функции рас-
распределения. Ограничим себя далее для простоты случаем плазмы.
состоящей из электронон и одного сорта ионов.
Рассмотрим прежде всего влияние соударений одинаковых
частиц. Благодаря сохранению при столкновениях импульса и
энергии такие соударения не дают вклада в правые части урав-
уравнений D2.4) и D2.6). Поэтому нам следует вычислить лишь два
интеграла, определяющих правые части уравнений D2.8) и
D2.10). Эти интегралы имеют вид
J dPa<pa (va - О Iaa [/„ (ра), faiP'Jl D2.11)
При вычислениях для тяжелой компоненты ограничимся ли-
линейными членами по плотностям потоков тепла и импульса, а для
легкой компоненты удержим также квадратичные члены по потоку
тепла. Это позволит нам получить уравнения переноса, пригодные
для описания явлений в плазме с током, когда средняя относитель-
относительная скорость электронов и ионов может быть определяющей все
гидродинамическое течение плазмы. Тогда, интегрируя, получаем
g Упеп L
dpeme (»„ — ие)к (ve - ие), Гее = -г- г—. т ,.,. X
V т 'х
V тс 'х е '
)} <42-12>

158 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
)
— иг)г 1ц = <*ы 20J^\kT M \dpi dp'{ x
8 VneU-L j
^_7_L^ali, D2.13)
dPa -2- ma (va -u°)k(va- uaf Iaa = qi mJJ(vT - X
X
■Ifi
4
Последние две формулы исчерпывают вклад столкновений одина-
одинаковых частиц в уравнения переноса трииадцатимоментного при-
приближения.
Обратимся теперь к рассмотрению вклада электронно-ионных
столкновений. Считая тепловую скорость ионов, а также относи-
относительную скорость электронов и ионов и — ие — и{ много мень-
меньшими тепловой скорости электронов, используем электронпо-
иоиный интеграл столкновений в виде D1.10)
X jl - {vt - ие, -§^i + 4" (»i- v<)r (»i - «.). -Щд^) x
X
\v-ut\*
Поскольку функция распределения ионов имеет вид D2.1), то
после интегрирования по импульсам можно записать интеграл
столкновений D2.15) в виде
/.. /.1 ?г
* /tt 4- б
Последнее выражение по форме отличается от D1.11) лишь отно-
относительно малым слагаемым, содержащим ионный тензор вязких

5 'i2. ТРИНАДЦАТИМОМЕНТНОР. ПРИБЛИЖЕНИЕ 15^)
напряжений. Ниже мы будем пренебрегать малыми поправками
порядка a$JnexTe и ols/rijXTi. В результате, используя интеграл
столкновений D2.16), получим
х „
1
Аналогично, для тепла, выделяющегося при столкновениях
электронов с ионами, имеем
. хн
При вычислении правых частей уравнений D2.8) и D2.10) опу-
опустим малые билинейные комбинации потоков. Тогда с помощью
интеграла столкновений D2.16) находим
e ~ u% (ve- ue)t - ~6kl (ve - иу\ Iei[fe, h) ~
n
D2.19)
D2.20)
Нам осталось понять роль ион-электронных столкновений
Здесь прежде всего следует заметить, что согласно законам со-
сохранения при столкновениях импульса и энергии имеют место
соотношения D1.14) и D1.15):
liei = — Rie, Qie = — Qei — uRei. D2.21)
Поэтому в ионных уравнениях переноса следовало бы проводить
вычисления с ион-электроиным интегралом столкновений лишь
для уравнений D2.8) и D2.10). Однако вклад в правые части этих
уравнений, обусловленные ион-электронными столкновениями,
пренебрежимо мал по сравнению с вкладом иоп-ионных столкно-
столкновений, описываемым формулами D2.13) и D2.14). Такое положение
обусловлено тем, что сечение столкновений заряженных частиц
быстро падает с ростом их относительной скорости. Поэтому

160 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
имея в виду малость скорости ионов по сравнению со скоростью
электронов, легко понять, что ион-ионные столкновения оказыва»
ются более существенными, чем ион-электронные. Последнее ут-
утверждение, верное и случае уравнений D2.8) и D2.10), не имеет
места при вычислении силы трения ионов об электроны и при вы-
вычислении тепла Qie, поскольку в этих случаях ион-ионные столк-
столкновения не дают никакого вклада.
Теперь можно записать в окончательном виде уравнения пере-
переноса электронно-ионной плазмы, соответствующие тринадцати-
моментному приближению:
dn
dt
L 4- div (щщ) = 0,
D2.22)
D2.23)
дхТе
-иг*
0
с
дкТ
1 [щВ]) = пете
2
еЛ-(ие
*dlvи
(щ - щ - \ -^
+ -^7dlv * - n
D2.25)
D2-26)
D2-27)

§ 43. УРАВНЕНИЯ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОИ ПЛАЗМЫ 161
9 пете е-пе 1 (ее 1 „ e»N
2
D2.28)
'
-1-
4- -
+ 2
10
)к, D2.30)
^^. 7 4.
Er8 2 m;
j
D2.31)
4 ?)с
5 ~х^
Здесь Гц означает время свободного пробега иона:
1 4 Vn^ntL
D2.32)
Уравнения D2.22) — D2.31) следует рассматривать наряду
с уравнениями электромагнитного поля
div 13 = 4rtp ^ 4л (cne + егщ); rot jE7 =
с dt
4л
rot В - - -^- = —- j = — (впеМ(! + е{щщ),
div £ = 0.
б В. П. Силин
D2.33)

162 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
§ 43. Гидродинамические уравнения
неизотермической плазмы
Благодаря тому, что время выравнивания температуры элек-
электронов и ионов плазмы значительно превышает время релаксации
импульсов, то часто оказывается возможной ситуация, в которой
температуры электронной и ионной компонент плазмы значительно
отличаются друг от друга. Естественно, что в такой ситуации
обычная гидродинамика не может быть использована. Напротив,
подобная неизотермическая плазма может быть описана уравне-
уравнениями переноса, полученными в предшествующих двух парагра-
параграфах. Однако эти уравнения переноса существенно упрощаются
в условиях, которые можно называть гидродинамическими.
Именно, будем считать, что характерное время т изменения
усредпенных величин, представляющих собой моменты функций
распределения, значительно превышает времена релаксации им-
импульса электронов и ионов, хотя и может быть меньше времени ре-
релаксации температур:
4е)<т; т£><т. D3,1)
Кроме того, будем считать, что характерное расстояние L изме-
изменения усредненных величин велико по сравнению с длинами сво-
свободного пробега электронов и ионов:
L ^> vTe т£>; L ^> уТ1т£>. D3.2)
Это означает, что правые части уравнений D2.24), D2.28), D2.29)
D2.30), D2.31) содержат большие параметры эффективной частоты
столкновений. Наличие таких больших параметров допускает
дальнейшее упрощение. В частности, в этих уравнениях можно
пренебречь временными производными. Последнее означает, что
начальные возмущения за малое время (порядка времени свобод-
свободного пробега) релаксируют к состояниям, изменение во времени
которых определяется изменением медленных гидродинамических
величин. Под последними следует понимать температуры электро-
электронов и ионов, изменение во времени которых медленно в силу отно-
относительной медленности процесса выравнивания температур. Далее
медленно меняющимися величинами являются плотность числа
электронов и ионов или, что то же самое, определяющаяся ими
плотность массы
Рт — mtne + mini ~ "V'i D3,3)
и плотность заряда
p = me-Mi»i- D3.4)

i 43. УРАВНЕНИЯ НЕИЗОТКРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ 163
Для этих величин из уравнений D2.22) и D2.23) имеем
^p. + divpmt>0 = 0, D3.5)
4r + divj^0. D3.6)
где средняя массовая скорость va и плотность тока j определяются
соотношениями
Vo = (тепеие + miniui)ipm ~ щ, D3.7)
j =- епеие + е#цщ. D3.8)
Средняя массовая скорость, которая с точностью до величин по-
порядка отношения масс электрона и иона совпадает со средней
скоростью ионов, также является медленно меняющейся гидро-
гидродинамической переменной, уравнение для которой получается
сложением урапнений D2.25) и D2.24):
D3.9)
где
р = п/и.Тг -}- nty.T';.
Заметим, что в силу закона сохранения импульса электрон-
ионные силы трения взаимно сокращаются при сложении урав-
уравнений D2.24) и D2.25). Именно, благодаря этому средняя массо-
массовая скорость оказывается медленно меняющейся величиной.
Прежде чем вынисг.шать уравнения для температур электронов
и ионов (см. D2.26) и D2.27)), определим неравновесные потоки.
Необходимое рассмотрение начнем с решения уравнений D2.29)
и D2.31) для ионного потока тепла и плотности потока импульса.
В гидродинамическом приближении малы пространственные гра-
градиенты скоростей по сравнению с частотой столкновений
D3.10)
Поэтому, помня также о малости длины свободного пробега иона
по сравнению с характерным размером неоднородности L гидро-
гидродинамического течения, можно записать уравнения D2.29) и
D2.31) в следующем приближенном виде:
D3.11)
пц

164 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА.
Теперь легко можно записать решения этих алгебраических
уравнений, определяющих неравновесные ионные потоки. Запишем
прежде всего соответствующие решения в пределе слабого магнит-
магнитного поля, когда
Тогда, пренебрегая в левых частях уравнений D3.11) и D3.12)
магнитным полем, получаем
ди] - ~- - D3.14)
Индекс 0 у этих потоков отвечает нулевому магнитному полю.
Если же неравенство D3.13) не выполняется, то, удерживая
в левой части уравнения D3.12) магнитное поле, получаем
D3.16)
где b = BIB. Отсюда, в частности, следует, что ионный поток
тепла вдоль направления магнитного поля оказывается независя-
независящим от напряженности магнитного поля. Аналогично из уравнения
D3.11) для ионного тензора вязких напряжений находим
* iv' «\\ . **» A) ~EQ'Т"/3) W*1 C) . ^'B) ~ W
D3.17)
Здесь тензоры W\i (n) определяются формулами*):
Wi, @) = 1 (bHbt - Ukl)(brbt - 1 вг|) atf, D3.18)
U A) = (б^г6,|-{46А&гЬ() <4i°. D3.19)
l, B) = F^6,6, + Ф*ЪГ) elf, D3.20)
*) Отметим, что для величины
Wkl („) = Ь, [e^Wj, (n) I- ешЩ3 („)]
имеют место следующие соотношения:
^W @) = 0: WM A) = - 2W\t C); #„ B) = - W{, D),
#„ C) = 2W», A); #Н1№=П(B).

S 43. УРАВНЕНИЯ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ 165
Wl, C) = 4 (8*re''< + 6» e*«r) <3'''0&S' D3-21)
WU D) = (bHbrelst + hb^r) alfb, D3.22)
и, наконец,
б£ = 6„г-ЬА. D3.23)
Поскольку «' яй #0, то в правой части D3.14) фактически стоит
тензор сдвига средней массовой скорости.
Для переноса ионной температуры теперь можно записать
уравнение
где ионный поток тепла и ионный тензор вязкости определены
выше. Заметим, что в пределе сильного поля, когда Щх{{ >> 1,
формула D3.16) соответствует результатам § 38.
Перейдем теперь к рассмотрению электронного потока тепла,
плотности потока импульса и относительной скорости элек-
электронов и ионов.
Обратимся прежде всего к уравнению D2.30), описывающему
электронный поток тепла. Имея в виду неравенство D3.1), можем
пренебречь производной по времени, что соответствует быстрой
релаксации (за время ~ xei) начальных возмущений к медленно
меняющемуся гидродинамическому состоянию. Далее, благодаря
малости длины пробега по сравнению с характерным размером
гидродинамических неоднородностей (неравенство D3.2)), можно
записать уравнение D2.30) в виде
е г п„<1 л. 5 п<к
шс ' q ' + Т ~^
10 X,,i i. ti
Прежде всего обсудим случай слабого магнитного поля, когда
выполняется неравенство
fi =!lLL«^_L. D3.26)
Подчеркнем, что это неравенство нарушается при полях, значи-
значительно меньших тех, для которых согласно неравенству D3.13)
все еще можно пренебрегать влиянием магнитного поля на

166 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА. МЕТОДОМ ГРЕДА
ионные потоки. Итак, в случае слабого поля при выполнении не-
неравенства D3.26) из уравнения D3.25) получаем
^J D3.27)
где
Tl = ^ . D3.28)
1 13 + 4/2*1,/**,,, V '
В условиях, когда магнитное поле не мало и нерапенство
D3.26) не выполнено, следует использовать точное решение урав-
уравнения D3.25), которое можно записать в виде
q< = W») Ь + ^2ЯЩЩ&} , D3.29)
где qe'° определено формулой D3.27). Отсюда, в частности, следует,
что поток тепла вдоль магнитного поля не отличается от D3.27),
а компоненты потока тепла поперек магнитного поля уменьша-
уменьшаются в условиях достаточно сильного поля, когда Оет, ^> 1.
В формулах D3.27) — D3.29) поток тепла определяется не
только градиентом температуры, но и относительной скоростью
электронов и ионов. Для определения и обратимся к уравнению
D3.24), которое в изучаемом нами гидродинамическом пределе
можно записать приближенно в виде
V (пепеТе) + -1_ (JS + I lv0B]) =
nemr s ' '" ' mt \ 'с
Здесь учтено, что иг = (и, — щ) -\~ щ «и,- щ + «о-
В случае слабого магнитного поля при выполнении неравенства
D3.26), используя выражение D3.27) для электронного теплового
потока, получаем из уравнения D3.30):
ие-щ =
± V (пепТе)) [13 + 4/2 -^-1 - 15у*гЛ . D3.31)
Формула D3.31) может быть переписана в форме закона Ома:
j - 9v0 = <з0 \Е + ^ 1»„В] - Zi^Is)} + a0VТ., D3,32)

§ 'i3. УРАВНЕНИЯ НИИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ 16?
где проводимость 0О и термоэлектрический коэффициент а0 имеют
вид (ср. задачу VI.4)
ац ■= ML -се. _ИГ 4 V ^Vei"« ^ D3.33)
о^ = _ ^s!L Tei ^-77=1 i ■ D3.34)
Поскольку
то ясно, что проводимость плазмы растет с увеличением температу-
температуры электронов как Те . С другой стороны, при выполнении ус-
условия электронейтральности (епе + е(пг — 0) проводимость плаз-
плазмы не зависит от плотности числа заряженных частиц. При тем-
температуре электронов ~ 10е °К проводимость равна ~ 101в сект1.
Если магнитное поле достаточно сильное, так что неравенство
D3.20) нарушено, то необходимо удерживать слагаемое с магнит-
магнитным нолем в прапой части уравнения D3.30). Кроме того, для элек-
электронного теплового потока нужно использовать выражение
D3.29), Поэтому уравнение, определяющее относительную ско-
скорость электронов и ионов, записывается в виде
4 A + У2#п /г?л.) 1 + Qat? + (»т?/1ОЛ)
Ь (Ьи) ^_£_-L_J_ 4- [мб] QeTei ^-i——-!-—— +
- 4 JL \b (bV«Te)+ Ъ*№Л-Щ™Щ . D3.35)
Решение этого уравнения можно записать в следующей форме:
и, — м4 = м es (j — pvo)jene = АЪ + [б, 5Х (JE? 4
L I c
^] \\ D3.36)
где
4 [1 + У2егпе1е\пг] ™
15^LVr D3.37)

168 гл. vi. получение уравнений переноса методом греда
В^^о^г1±^±^Щ1^ D3.38)
С = - Ли. [* + O^|[l(9Ti/10t)f Qffl
1 "» [1 (
Qyei [1 + q«i« + 9т?/10rJ,]» '
D3.39)
С =~ Л- * - (Oti/HH.,) + ОМ [1 - (уг,)A + Q^ + Эт'/Ют»!)!
2 2 «. Il-(9T,/10Trt) + Qjr;]M-Q!t;i[i+O»t11 + 9Tj/lOr;,]« '
D3.40)
2m- 9 ti f Г 9 T?
- 10 Tei + Qej I/ T
D3.41)
Сравнение выражения D3.37) с формулой D3.31) позволяет
сказать, что проекция относительной скорости на магнитное поле
не зависит от напряженности магнитного поля. Иное положение
имеет место для поперечных компонент. Так, в пределе сильного
магнитного поля, когда выполняется неравенство, обратное не-
неравенству D3.26), формула D3.36) принимает вид
3 - pv0 = Ъ (ь, а0 [Е + i [v0B]- ^p4 + <x,vT.
\b, з±\е + — [VOB[— —^^-} + a1V7'JI , D3.42)
гдо a0 и a0 определены формулами D3.33) и D3.34),
*л = -^ 4- . («.43)
D3.44)
D3.45)
3 епм
т.
егг.
т
е
е
3
пе
1
en,
•
ei
вУ. Tej -f Tr
T
D3.40)
Уменьшение проводимости и термоэлектрического коэффициента
в направлении поперек магнитного поля отвечает термоизоляции
плазмы магнитными полями.

S 43. УРАВНЕНИЯ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ 169
Полученные явные выражения для относительной скорости
электронов и ионов позволяют записать явные выражения для
электронного потока тепла. Например, в случае слабого магнит-
магнитного поля, используя формулы D3.27) и D3.31), получаем
Аналогично может быть записано выражение для электронного по-
потока тепла и в случае неслабого магнитного поля, когда для этого
следует использовать формулы D3.29) и D3.36) — D3.41). В част-
частности, для случая сильного магнитного поля, когда имеют место
формулы D3.43) — D3.46), для компоненты электронного потока
тепла, параллельной магнитному полю, имеем выражение, давае-
даваемое формулой D3.47), а для поперечных компонент получаем
2 meQa l"
]. D3.48)
В рассматриваемых нами гидродинамических уравнениях плаз-
плазмы остался неопределенным неравновесный тензор плотности по-
потока электронного импульса а'к, для которого в тринадцатимо-
ментном приближении было получено уравнение D2.28). Исполь-
Используя это уравнение, в гидродинамическом пределе можем пренеб-
пренебречь временной производной тензора а'к, что соответствует нера-
пенству D3.1), а также в соответствии с неравенством D3.10)
можно пренебречь всеми слагаемыми левой части, содержащими
электронный тензор неравновесной плотности потока импульса,
среднюю электронную скорость и градиент. Далее, нелинейными
по и и qe слагаемыми правой части уравнения D2.28) можно пре-
пренебречь, если не интересоваться недиссипативным анизотропным
пкладом в тензор давлений плазмы, который по сравнению с элек-
электронным изотропным давлением является малой величиной по-
порядка теигЫТе. Тогда уравнение D2.28) принимает вид
2 г К dq\ 2 .
~[+ 6
-£- - ^ 6,tl div ме] + OJbt (eklleU + ешви) =
D3"9)

170 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
Если магнитное поле слабое и выполняется неравенство D3.26),
то решение этого уравнения имеет вид
-J.
где
+ в?" - У6*' div^J|. D3.50)
^T' D3'51)
Если же магнитное поле достаточно сильно, так что неравенство
D3.26) нарушается, то для решения уравнения D3.49) можно за-
записать выражение, подобное D3.17):
D3.52)
где тензоры Wii(n) определяются формулами, отличающимися от
D3.18) — D3.22) лишь заменой alTf на о'1,0.
Таким образом, найдены все неравновесные потоки, определяю-
определяющие уравнения для гидродинамических величин. Нам следует вы-
выписать последнее из системы уравнений гидродинамики неизо-
неизотермической плазмы — уравнение изменения электронной тем-
температуры;
Г 5
D3.53)
Заметим, что при использовании электронного тензора а\-3
в этом уравнении возможно дальнейшее упрощение. Именно,
вклад в тензор вязкости, обусловленный пространственными
производными электронного теплового потока, приводит к малым
поправкам порядка квадрата малого параметра соотношения D3.2)
по сравнению со вторым слагаемым правой части уравнения D3.53).
Имея также в виду, чтом' ж (и' —м4) + w0, можно использовать
в уравнении D3.53) выражение для тензора о|у, в котором пренеб-
режено вкладом теплового потока, а средняя электронная ско-
скорость заменена на среднюю массовую скорость v0. Заметим, что

ЗАДАЧИ 171
для течения плазмы без тока, в котором и' = м*, выделение тепла
становится обусловленным электронной вязкостью лишь в усло-
условиях, когда температура электронов заметно превышает темпера-
температуру ионов ((Гв/П) > (пн/теу'').
Задачи
Задача VI. 1. В пятимоментном приближения метода Греда получить
систему уравнений переноса плазмы, состоящей из электронов, легких н
тяжелых нонов (т, ^> та,).
Ответ.
"Г W
— Ml Mg —
+
Mg — U*\
mini \ —яГ + \ "i TUT I МЧ = — "—a^ \-mei[*»-r c
Ml — Me Ml — Ms
гам2 / в \ 1 dm%Tt , /_ . 1
"aT + («• g^rj «t| - - —^7- + »•*! ^ + —
m» — м, m3 —Mi
neme nimi
дкТ, dxTe 2 . . 2m, хГ, — хП 2me хГ, — хГ,
-ar + «e-aF- + -3-xrediv« • = —— —— -^——— +
+_ _ (Me _ М1)»+_ __ (Me _ M
—хГ„ 2mixri —хГ»
_ _ _
__ + Ml___ + _xridivM1 = __ _
2 mi
+
2т„хГ1—хП 2mixTi
„иъ = ~ __ + _—^
где _ _
3 Vme (хГ,K^8 3 ^m.txr,K^
T Т
При этом следует считать, что У^х ^ У/
Задача VI.2. Определить скорости иа стационарного движения компо-
непт электронно-ионпой плазмы поперек сильного пространственно одно-
однородного магнитного поля, когда гироскопическая частота влектронов велика
по сравнению с частотой столкновений (т. е. 0гт^5>-1), счмтая также, что
наличием электрического поля можно пренебречь.

172 Гл. VI. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ГРЕДА
Решение. Направив ось z вдоль направления магнитного поля В, а
ось х вдоль направления неоднородности, можем записать уравнения D1.18)
н D1.19) в виде
е?^+- «
В пределе сильного поля ату систему уравнений можно решать, разлагая
решения по обратный степеням В. Тогда с точностью до В'г получаем
_ с дппкТп
ua.x = - g^ Yx К*Г« + n^Ti)-
Последнее выражение называют скоростью двффузии плазмы поперек маг-
магнитного поля (или, более точно, скоростью просачивания плазмы через маг-
магнитное поле).
Задача VI.3. Для пространственно однородной электронно-ионной плаз-
плазмы без учета влияния электромагнитных полей найти зависимость от вре-
времени средних скоростей частиц.
Решение. Система уравнений переноса дает
див 1 du4 «eme 1
Отсюда следует, что средняя массовая скорость сохраняется:
пепгвив -f- njmiMj = const,
а относительная скорость электронов и ионов релаксирует по закону
и, — щ = и @ = и (U>) exp (- [t - te] /Tei)-
При написании последней формулы не учтена пренебрежимо малая поправ-
поправка порядка отношения масс электрона и иона.
Задача VI.4. В тринадцатимоментном приближении получить высоко-
высокочастотную проводимость пространствеино однородной плазмы (в отсутствие
внешнего магнитного поля).
Решение. Считая, что причиной возмущения плазмы является одно-
однородное переменное электрическое поле

ЗАДАЧИ 173
можем пренебречь возмущениями тяжелых ионов, а также можем считать,
что отсутствуют пространственные неоднородностц возмущений электронных
переменных. Тогда уравнения тринадцатимомеитного приближения дают
Отсюда для электрического тока получаем
j = eneue =a(<o
где комплексная проводимость имеет вид
13 + 4 V 2 I e/e{ | — HOurtei
В частности, для низких частот (<оте{ «^ 1) отсюда следует
13 + 4 У 2 | е/е{ | eln4Tei
В противоположном пределе высоких частот (о)т,,( ^> 1) имеем

ГЛАВА VII
ОБОСНОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ)
§ 44. Уравнение Лиувилля
Газ, состоящий из молекул одного или нескольких сортов,
представляет собой систему большого числа частиц, или, как часто
говорят, систему многих частиц. Отдельные частицы газа, взаимо-
взаимодействуя с другими частицами, движутся по законам механики.
Так же по законам механики происходит изменение состояния и
всей системы многих частиц. При этом с точки зрения, например,
классической механики состояние такой системы многих частиц,
какой является газ, определяется заданием в данный момент вре-
времени яначепий координат и импульсов всех частиц газа. Очевидно,
что такое определение состояния газа является значительно более
детальным, чем используемое в кинетической теории и основываю-
основывающееся на применении функции распределения одной частицы по ее
состояниям.
Мы поставим перед собой задачу показать, как осуществляется
переход от механического (или, как чаще говорят, динамического)
рассмотрения системы многих частиц к кинетическому, уже ис-
использовавшемуся нами, методу описания газов. При этом мы из-
изложим выводы кинетических уравнений, основанные на класси-
классической и квантовой статистической механике систем многих ча-
частиц.
В этой главе мы ограничимся выводом классического кине-
кинетического уравнения Больцмана. Однако, помимо интеграла
столкновений Больцмана, который, как мы увидим, имеет отнюдь
не универсальную область применимости, ниже будут получены
также иные интегралы столкновений. Последние уже нашли ши-
широкое применение в кинетической теории ионизованных газов.
В основу классической статистической механики A,2) систем
многих частиц кладутся следующие вероятностные представления.
Пусть имеется система N частиц. Вместо того, чтобы рассматри-
рассматривать все возможные значения, которые могут принимать коорди-
координаты и импульсы частиц такой системы, можно рассмотреть всю

§ 44. УРАВНЕНИИ ЛИУВИЛЛЯ 175
возможную совокупность таких систем частиц, имея в виду, что
различие систем заключается в различии состояний частиц. По-
Последнее указывает на эквивалентность таких подходов. Задачей
статистической механики является изучение распределения числа
систем N частиц между различными состояниями. В классической
статистической механике систем многих частиц вероятность рас-
распределения систем описывается функцией распределения
xN;t), D4.1)
или, как иногда говорят, фазовой плотностью систем. Здесь
Х{ = (ги р^ означает декартовы координаты и импульс частиц.
Поскольку для каждой частицы имеется шестимерное фазовое про-
пространство координат и импульсов, то очевидно, что для системы N
частиц моншо говорить о бЛ^мерпом фазовом пространстве. Точку
в бЛЧиерном пространстве (xv ..., х^) называют фазой системы.
Бесконечно малый элемент такого фазового пространства имеет
вид
dr1dp1. . . drNdpN ■-- dxx. . . dxN. D4.2)
Функция распределения в бЛ^-мерноы пространстве представляет
собой плотность вероятности, а
DN(x1,..., xN; t) dxl... dxN D4.3)
является вероятностью того, что в момент времени t система на-
находится в состоянии, для которого координаты и импульсы первой
частицы находятся в бесконечно малом объеме dxx = dr1dp1 около
точки хх = (гх, рх), и т. д. вплоть до iV-й частицы, координаты
и импульс которой находятся в бесконечно малом объеме
dx?! = drNdpN около точки х^ = (r?i, Pn).
Условие нормировки бЛ^мерпого распределения можно запи-
записать в виде
J dxx. . . dxNDN(xx, . . . ,xN; t) = 1, D4.4)
где интегрирование ведется по всему допустимому фазовому про-
пространству. Действительно, левая часть этого равенства представ-
представляет собой вероятность нахождения системы N частиц в каком-
либо произвольном из допустимых состояний.
Если газ состоит из частиц одного сорта, то функция DN яв-
является симметричной функцией координат частиц в фазовом про-
пространстве:
DN (xlt . . . , хп, . .. , хт,.. . , xN; t) =
= DN (Xl, . . . , xm, . . . , xn, . . . , xN; t).

176 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Для газа, состоящего из нескольких сортов частиц, имеет место
аналогичная симметрия, но лишь для зависимости функции DN
от координат фазового пространства частиц одного сорта.
Поскольку в статистической механике распределение систем
в данный момент времени определяется лишь функцией распреде-
распределения в бТУ-мерном фазовом пространстве (и не требуется задания
ее временных производных), то принцип причинности можно фор-
формулировать следующим образом: если в некоторый начальный
момент задано распределение числа систем между различными про-
пространственными координатами и импульсами частиц, то уравнение,
описывающее изменение во времени такого распределения, по-
позволяет определить распределение систем по заданному начальному
в любые последующие моменты времени. Простые соображения
о начальных условиях позволяют утверждать, что уравнение,
которому подчиняется функция DN, содержит производную по
времени лишь первого порядка.
Для записи уравнения, определяющего временную эволюцию
функции DN, заметим, что изменение во времени вероятности рас-
распределения систем в заданном элементе объема фазового про-
пространства возможно только в результате прохождения систем
через границы такого объема. Поэтому для функции DN можно за-
записать уравнение непрерывности
Щ?- + <НувЛГГад0« = 0, D4.5)
где VtN — 6Л^-мерный вектор «скорости» с компонентами i\, р1%...
.. . , rN, pN. Поэтому в явном виде уравнение D4.5) мо.кно пере-
переписать в виде
N
D4.6)
dDN , V Г д
Согласно уравнениям движения Гамильтона
дН . дН , . с
D4.7)
где Н — функция Гамильтона систем N частиц. Поэтому, подстав-
подставляя D4.7) в D4.6), получаем
dt +£l[dPi drt dr. dp. /-u- D
Уравнение D4.8) называется уравнением Лиувилля 11—31.
8)

§ 44. УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ 177
Если силы, действующие в системе частиц, обусловлены пар-
парным взаимодействием с потенциалом центральных сил, то
2ё S иц(\Г1-г}\). D4.9)
2ё S ц\}
1=1 * l«i<j</V
Для такой функции Гамильтона уравнение Лиувилля имеет вид
^+2^-£^т£:2*«<|г1-гЛ) = 0; D4.10)
здесь Vi — Pifnii — скорость i-a частицы.
В ряде случаев необходимо учитывать влияние внешних сил.
Очевидно, что легко может быть записано уравнение Лиувилля,
обобщающее на такой случай уравнение D4.10).
Следует особо остановиться па примере системы заряженных
частиц, находящейся во внешних электрическом Е и магнитном Л
нолях и взаимодействующих друг с другом по закону Кулона.
Для системы заряженных частиц удобно пользоваться не капони-
ческим, а кинематическим импульсом. Тогда уравнения движения
частиц можно записать в виде
f, = Vi = pjm,- Р1 = ^-2ж^A ''i - г} |), D4.11)
i + j '
где
D0 D4.12)
есть сила Лоренца и, кроме того, учитывается лишь потенциаль-
потенциальное (кулоновское) взаимодействие частиц, а магнитным взаимо-
взаимодействием заряженных частиц пренебрегается, т. е.
D4ЛЗ)
В результате для заряженных частиц можно записать следующее
уравнение Лиувилля:
Уравнения D4.10), D4.14) мы положим в основу последующего
вывода кинетических уравнений, базирующегося на классической
статистической механике D) *).
•) Изложение метода Боголюбова [4J дайо также в книгах [5, 6J.

178 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Поскольку уравнение Лиувилля может быть записано в виде
то очевидно, что левая часть его представляет собой полную про-
производную по времени фазовой плотности систем. Поэтому урав-
уравнение Лиувилля означает сохранение во времени распределения
систем в фазовом пространстве, если координаты и импульсы ча-
частиц меняются во времени но законам движения механики. Такое
положение можно охарактеризовать как принцип сохранения
фазового объема [3]. Именно, если границы объема фазового про-
пространства
I dv± dp1. .. dv;>i dpw
изменяются во времени согласно законам динамики системы, то
такой фазовый объем сохраняется. Покажем ото на примере бес-
бесконечно малого объема [2).
Число систем, заключенных в таком фазовом объеме
dr1\dpl,.. drN\dpNDN,
сохраняется, ибо при движении границ по законам динамики си-
системы ни одна из систем границы не пересекает. Для бесконечно
малого объема Dn можно вынести из-под интеграла. Тогда в силу
неизменности Dr с очевидностью следует сохранение фазового
объема.
Принцип сохранения фазового объема позволяет дать ответ на
важный вопрос о том, «вернется ли рассматриваемая система с те-
течением времени к своей первоначальной фазе, или, если она не
вернется к этой фазе в точности, произойдет ли это с любой тре-
требуемой степенью приближения в течение достаточно долгого
времени?» 12].
Можно указать следующий путь рассуждений, на котором воз-
возникает ответ на этот вопрос в предположении, что полный фазовый
объем для систем, заключенных между двумя граничными значе-
значениями энергии, конечен. Пусть в начальный момент времени си-
системы заполняют некоторый объем Г фазового пространства.
Обозначим Г'@) скорость изменения этого фазового объема в на-
начальный момент времени за счет выхода систем из заданного
объема Г. Выходящие при этом системы (фронт ансамбля) поро-
порождают, образуют фазовый объем, через который они с течением
времени проходят. Согласно принципу сохранения фазового объе-
объема в равные промежутки времени фронт ансамбля образует рав-
равные фазовые объемы. Поскольку все эти фазовые объемы содержат-
содержатся в конечном объеме фазового пространства, то при истечении
достаточно долгого времени фронт должен образовывать объемы,

i 44. УРАВНЕНИЕ ЛЙУВИЛЛЯ i?9
уже образовавшиеся ранее. Иными словами, возникает возвра-
возвращение к объему, в котором ранее уже находилась система. Анало-
Аналогичное положение имеет место и для систем, следующих за фрон-
фронтом. Все эти рассуждения могут быть повторены и для случая
сколь угодно малого объема Г. Тем самым делается ясным, что по
истечении достаточно долгого времени возвратного цикла система
возвращается достаточно близко к исходному положению в фазо-
фазовом пространстве (к исходной фазе).
На первый взгляд нельзя совместить эту возвратную теорему
с фактом необратимости релаксационных нроцессов, описываемых,
в частности, кинетическим уравнением Больцмана. Однако уже
Больцманом [1], а в особенно четкой форме Смолуховским [101,
было дапо решение возникающей при этом проблемы. Именно
исходя из того, что согласно механике все процессы принципиаль-
принципиально обратимы, следует разъяснить, ночему в широком круге яв-
явлений проявляется необратимость. Здесь прежде всего необхо-
необходимо подчеркнуть, что необратимость может иметь место лишь для
интервалов времени, малых по сравнению с временем возврата,
в течение которых система может очепь далеко отойти от началь-
начального состояния. Поэтому процесс является необратимым тогда,
когда рассматриваемое начальное состояние обладает длительным
пременем возврата по сравнению с тем интервалом времени, п те-
течение которого процесс протекает. Напротив, обратимым (или
точнее — обращающимся) япляется процесс тогда, когда время
возврата начального состояния невелико по сравнению со време-
временем протекания процесса *). В то же время следует подчеркнуть,
что отсутствие последовательного вывода необратимого кинетиче-
кинетического уравнения Больцмана из обратимого уравнения Лиувилля
составляло определенный разрыв в молекулярно-атомистической
картине, кладущейся в основу кинетической теории газов. Это
также во многом затрудняло понимание последовательности кине-
кинетической теории Больцмана. В середине нашего века был достиг-
достигнут значительный успех в обосновании кинетической теории, свя-
связанный с разработкой методов вывода кинетических уравнений
на основании уравнения Лиунилля для системы многих частиц.
Некоторые полученные в этом направлении результаты, пред-
представляющиеся нам основными, будут изложены ниже.
*) Для того чтобы возникло определенное понимание порядка величины
времени возврата, приведем полученную Смолуховским [101 оценку времени.
в течение которого в сфере радиуса а в атмосферном воздухе нормального
давления произойдет такая флуктуация, что в объеме внутри сферы кон-
концентрация кислорода станет на 1% выше нормальной. Именно, при а =
= 1 « время возврата составляет 10ш сек, при а = 3-1СГ' см время возв-
возврата порядка 10е сек н, наконец, при а = 1СГ* см время возврата —101 сек.
Иными словами, диффузия, приводящая к разделению кислорода и азота
воздуха, для макроскопических объектов является необратимым процессом,
а для микроскопических масштабов оказывается обращающимся явлением.

180 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
§ 45. Многочастичные функции распределения
и корреляционные функции
Использование функции распределения DN, являющейся функ-
функцией 4N + 1 переменных и дающей полное описание системы N
частиц, связано с необходимостью решения уравнения Лиувилля.
Точное решение такого уравнения для реальных систем наталки-
наталкивается на целый ряд трудностей, связанных в первую очередь
с большим числом переменных, от которых зависит функция DN.
С другой стороны, для разреженных газов в силу относительной
малости взаимодействия частиц, очевидно, должны быть продук-
продуктивными понятия, относящиеся к отдельным частицам газа.
Обычная кинетическая теория газов использует одночастичяую
функцию распределения по состояниям одной частицы.
С помощью функции DN можно записать следующее определе-
определение для одночастичпой функции распределения. Пусть хп =
= (гп> Рп) — совокупность координат и импульсов частицы сор-
сорта а газа. Тогда для одночастичной функции распределения
частиц сорта а имеем
-у- Fa (хп, t) = ^dx1... dxn^dxn+1. . . dxNDN (г„ . . . , xN; I), D5.1)
где V — объем, занимаемый газом. При этом по смыслу функции
Dn (cm. формулу D4.3)):
-LFf(x,t)dx, D5.2)
дает вероятность того, что в момент t частица сорта а находится
в бесконечно малом объеме dx = drdp вблизи точки фазового про-
пространства х= (г, р). Часто пользуются одночастичной функцией
распределения сорта а, нормированной на полное число частиц Na
такого сорта, определяемой соотношением
fa(r,p,t) = ^f-Ft(x,t). D5.3)
Функция fa уже нами ранее использовалась.
Для широкого круга процессов, протекающих в газах, доста-
достаточно описания с помощью одночастичных функций распределения
Уравнения, которым удовлетворяют одночастичные функции рас-
распределения, называют кинетическими. Продуктивность их исполь-
использования уже была продемонстрирована ранее. Теперь перед нами
стоит задача вывода кинетических уравнений. При решении такой
задачи нам придется использовать не только одночастичные функ-
функции распределения.

§ 46. МНОГОЧАСТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 181
Аналогично формуле D5.1) можно ввести двухчастичные,
трех частичные или, более общие, «-частичные функции распреде-
распределения:
-у%~ Fi (^n. хт\ 0 = \dxx. . . dxn-idxn+l. . . dxm-idxmn . . . dxNDy,
D5.4)
-рГ F* (xn< xm< xi\ t) — \ dxi ■ ■ ■ dxn^dxnn . . . dxmldxm^ . . .
. . . dxi_xdxux . . . dxNDN, D5.5)
x x,;t) = ^dxa,t. . . dxNDN. D5.6)
При этом, например, левая часть формулы D5.6), умноженная гга
соответствующий 6«-мерныйэлемент объема фазового иростраггства,
дает вероятность того, что координаты и импульсы s частиц на-
находятся в бесконечно малом фазовом объеме dxx ... dxs около точки
фазового пространства xlt ..., xs.
Такие многочастичные функции распределения содержат ин-
информацию о взаимозависимом движении частиц газа. Эффект такой
взаимозависимости частиц может быть охарактеризован с по-
помощью корреляционных функций. Например, для двухчастичной
функции распределения можно записать следующее соотношение:
N N
?^ yf (*a> Хь. t)=fa(ra, pa; i)fb(rb, рь; t)+gab (г„, pa,rb, pb;t).
D5.7)
Первое слагаемое правой части этой формулы представляло бы
собой точную двухчастичную функцию распределения в отсутствие
какого-либо взаимодействия между частицами. Действительно,
невзаимодействующие частицы, как это очевидно из классической
механики, движутся независимо друг от друга. В то же время
вероятность состояния двух независимых частиц представляет
собой произведение вероятностей их состояний. Отсюда уже дол-
должно быть ясно, что функция gab является мерилом взаимозависи-
взаимозависимости движения частиц. Эта функция называется парной корреля-
корреляционной функцией.
Аналогично формуле D5.7) для трехчастичггой функции можно
записать соотношение
-^2- -^ -^ Ff ° (ха, ХЪ, xcl t) = /„ \ха, I) /„ (Х„, t) U (*с О +
+ fa (xa, t) gbc (хь, хс; t) ф- /ь (хь, t) gac (ха, хс; I) +
■ + /с (хс> 1)ё*ь (ха< хь; 0 + dabc (xa, хь,хс; П. D5.8)

182 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Первое слагаемое правой части формулы D5.8) соответствует
пределу независимых частиц. Следующие три слагаемых отра-
отражают факт парных корреляций в совокупности трех частиц. На-
Наконец, последнее слагаемое представляет собой тройную корреля-
корреляционную функцию.
Очевидно, что формулы, аналогичные D5.7) и D5.8), могут быть
записаны и для других многочастичных функций распределения.
Для последующего нашего изложения будет достаточно формул
D5.7) и D5.8).
§ 46. Кинетическое уравнение
с самосогласованным полем
Для систем частиц со слабым взаимодействием можно построить
приближенные решения уравнения Лиувилля или, что ближе к
нашему изложению, построить приближенные уравнения, описы-
описывающие одночастичные функции распределения. Кинетическое
уравнение, возникающее в первом приближении теории возмуще-
возмущений по малой энергии взаимодействия частиц, называют кинети-
кинетическим уравнением с самосогласованным полем. При получении
такого уравнения из уравнения Лиувилля, имея в виду малость
отношения средней энергии взаимодействия частиц к их средней
кинетической энергии, нетрудно понять, что взаимозависимость
движения частиц должна быть сравнительно небольшой. Это озпа-
чаот сравнительную малость корреляционных функций. Поэтому
в первом приближении можно представить многочастичные функ-
функции распределения в виде произведения одночастичных:
^■-а. (*lf . . . , xs; t) = -g-fal (*!, t)...J-fat (*„ t). D6.1)
aJ as
as
Соответственно этому
DN(Xl Xlt;t) = l^L...l^-. D6.2)
Подставляя выражение D0.2) в уравнение Лиувилля для системы
частиц, взаимодействующих но центральному закону сил,
dD» . s?%v d°N V Ч Ч d°N aU<*"**-*»" _() Мб 3)
проинтегрируем по координатам и импульсам всех частиц, кроме
одной. В результате получаем
D6.4)

§ 46. УРАВНЕНИЕ С САМОСОГЛАСОВАННЫМ НОЛЕМ 183
Суммирование по а и Ь в формулах D6.3) и D6.5) означает сумми-
суммирование по различным сортам частиц газа.
Говоря о системе многих частиц, будем рассматривать предел
Nа —> ею. Имея в виду конечную плотность числа частиц, следует
одновременно принять V —> оо, так что N JV остается конечным.
В таком пределе уравнение D6.4) принимает вид
^f + v" Ъ~ ~ W~ ТГ 2$ dPb drbUab (| ra- rb |) /„ (pb, rb; *) = 0.
а "а а ь
D6.5)
Это уравнение называется кинетическим уравнением с самосогла-
самосогласованным полем, причем роль потенциала самосогласованного
ноля играет величина
^pbdrbUab(\ra-rb\)fb. D6.6)
ь
Приближение самосогласованного поля особенно продуктивно
в применении к кинетике систем заряженных частиц (плазмы).
Уравнение D6.5) соответствует учету лить кулоновского взаимо-
взаимодействия заряженных частиц. При этом оно имеет вид
0- D6-7)
Для того чтобы лучше понять смысл кинетического уравнения
с самосогласованным полем, покажем прежде всего, что величина
b',t) D6.8)
представляет собой среднюю плотность заряда плазмы. Для этого
нам следует провести усреднение микроскопической плотности
заряда, определяемой формулой
Nb
D6.9)
Действительно, усредняя это выражение с помощью функции Dt\
и имея в виду формулы D5.1) и D5.3), получаем
Ь ib=l
Nb
Ь bl
drbdpb8 (r - rb) fb (r, pb, t). D6.10)

184 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Таким образом, мы зидим, что р (г, t) является средней плотностью
заряда системы заряженных частиц.
Далее заметим, что величина
pbdrb |rlbrJ fb^E(r,t) D6.11)
удовлетворяет уравнению Пуассона
^'0- D612)
С помощью формулы D6.11) можно теперь записать кинетическое
уравнение D7.7) в следующем виде:
а/ а/ а/
—£L-|_ Wo—9L _(-P(jj5;(r, <) — = 0. D0.13)
Это кинетическое уравнение содержит напряженность электри-
электрического поля .К, подчиняющуюся уравнению Пуассона D6.12),
правая часть которого определяется функциями распределения
частиц. Иногда говорят, что поле согласовано с распределениями
заряженных частиц.
В мультипликативном приближении D6.2) из уравнения Лиу-
вилля D4.14) для заряженных частиц, как это очевидно, вы-
вытекает кинетическое уравнение
^. = 0. D6.1-4)
Поскольку в уравнении D4.14) магнитное и электрическое ноля
были внешними, то в кинетическом урзвнении Dfi,14) электриче-
электрическое поле складывается как из внешнего, так и из самосогласован-
самосогласованного поля, определяющегося состоянием зарядов плазмы согласно
уравнению Пуассона D6.12).
Фактически уравнение вида D6.14) имеет смысл и тогда, когда
не только электрическое, но и магнитное поле определяется не
только внешними токами, но и внутренними движениями зарядов
плазмы. Для того чтобы показать это, необходимо расширить
используемое нами статистическое описание. Именно, исполь-
используем функцию распределения
DN>a,(Xl,... ,xN;Q,P;t),
определяющую вероятность состояния системы N частиц и беско-
бесконечного числа осцилляторов поля. Для рассматриваемого нами
приближения самосогласованного поля достаточно использовать
приближенное мультипликативное выражение для функции Z)jv|OC,

§ 47. ЦЕПОЧКА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 185
которое соответствует пренебрежению как корреляцией между ча-
частицами, так и корреляцией между частицами и полем. Тогда дли
функции распределения частиц сразу получается уравнение
D6.14), в котором Е и J5 — средние по ансамблю электрическое
и магнитное поля. При этом такие средние поля подчиняются
уравнениям
div Е = 4я(рвн + рпл); —-L-^-= rol E, )
, , , ' \ D6.15)
rotJB = -l-^-+-T-W»- + ^); divJ3 = 0. J
Здесь рвн и jBH — плотность заряда и плотность тока внешних
источников поля, а соответствующие плотности для плазмы
имеют вид
D6.16)
Действительно, при усреднении уравнений поля приходится усред-
усреднять выражение для тока частиц вида
2еа 2viJHr-ria). D6.17)
a ia=i
Поэтому (см. формулу D6.10))
Рпл (»'.*) = '2lea\jdpJa(f, pa;t),
с
jmi('\ t) = V ea \ dpaVja (/•, pa; t).
что, очевидно, соответствует формуле D6.16).
Кинетическое уравнение вида D6.14) с самосогласованным по-
полем, определяющимся уравнениями D6.15), составляет, как мы
знаем из содержания главы VI, основу теории плазмы без столк-
столкновений *).
§ 47. Цепочка уравнений дня функций распределения
При выводе кинетического уравнения с самосогласованным
полем мы полностью пренебрегли отличием функции D$ от про-
произведения одночастичных функций распределения D6.2). Для
*) Укажем, что для статистического описания плазмы возможен подход,
основанный на использовании микроскопических плотностей и подобный
квантовомеханическому представлению Гейзенберга [8].

186 Гл. VII. ОБОСНОВАНИИ КЛАОСИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТКОРИИ
того чтобы понять возможность такого приближения, а также для
построения кинетических уравнений, учитывающих корреляцион-
корреляционные эффекты, следует вернуться к исходному уравнению Лиувил-
ля (ср. D4.14)):
D7.1)
Здесь Uij — потенциальная энергия парного взаимодействия,
a Fi — внешняя сила, действующая на i-io частицу; эта сила для
случая заряженных частиц может быть силой Лоренца D4.12).
С помощью уравнения Лиувилля можно понять, что необхо-
необходимо знать для получения уравнения, которому подчиняется одно-
частичная функция распределения. Более того, изучая следствия,
вытекающие из уравнения Лиувилля, можно найти путь для по-
построения его приближенных решений, дающих, в частности, кине-
кинетические уравнения. Такой путь открывается при рассмотрении
цепочки уравнений для многочастичных функций распределения,
получаемой с помощью уравнения Лиувилля.
Для получения такой цепочки уравнений прежде всего про-
проинтегрируем уравнение D7.1) по всем переменным, кроме xv
принадлежащим частице сорта а. Тогда, имея в виду исчезновение
многочастичной функции распределения при бесконечно больших
импульсах и предполагая обращение в пуль D^ на границах
системы, получаем
i+i
,«.2,
При этом мы учли определения одночастичной и двухчастичной
функции распределения согласно формулам D5.1) и D5,4), а также
тот факт, что функция D^ является симметричной функцией ко-
координат фазового пространства частиц одного сорта.
Рассматривая газ как систему многих частиц, следует считать,
что Na^i. Тогда, пренебрегая малыми величинами ~\IN, можем

§ 47. ЦЕПОЧКА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 187
переписать уравнение D7.2) в виде
« Ь
Из этого уравнения ясно, что вид кинетического уравнения —
уравнения для одночастичной функции — в той мере, в которой
он отражает наличие взаимодействия между частицами, опреде-
определяется двухчастичной функцией распределения. Поэтому, очевид-
очевидно, что для построения вывода кинетических уравнений следует
изучать двухчастичные функции, для чего следует иметь урав-
уравнения, которым такие функции подчиняются.
Уравнение для двухчастичной фупкции распределения полу-
получается подобно уравнению D7.2) интегрированием уравнения
Лиувилля по всем переменным, кроме ха и хь, принадлежащим
соответственно частицам сорта а и Ь. Тогда, пренебрегая малыми
~IIN, получаем
^ F% {Га, ра, rb, Pb, t) -
4ra, pa; rb, Pb; rB. pc
+
D7.4)
В атом уравнении двухчастичная функция распределения
связана с трехчастичной, и без определения трехчастичной фупк-
фупкции распределения, строго говоря, нельзя определить и двухча-
двухчастичную. Подобное положение имеет место и для высших много-
многочастичных функций распределения. Действительно, из уравнения
Лиувилля вытекает следующее уравнение, связывающее s-час-
тичную функцию с s -|- 1-частичными:
х
a
D7.5)

188 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Такая цепочка уравнений qacTO называется цепочкой уравнений
Боголюбова. На первый взгляд переход от уравнения Лиувилля
к такой цепочке уравнений не приводит к упрощению задачи.
Однако в действительности анализ цепочки уравнений Боголю-
Боголюбова может быть проведен проще, чем непосредственное решение
уравнения Лиувилля. Это, в частности, связано с тем, что в рас-
рассматриваемой нами цепочке уравнений видно, что нужно знать
для получения кинетических уравнений. Кроме того, на языке
многочастичных функций легче выявлять малость входящих в це-
цепочку уравнений величин.
Полученную цепочку уравнений для многочастичных функций
можно записать в иной форме, используя корреляционпые функ-
функции. Рассмотрим прежде всего уравнение D7.3). При этом мы
воспользуемся функцией распределения /а = (NJV) F*, a также
представим двухчастичную функцию распределения в виде D7.5)
-у- -у- F? (ха, хь; t) = fa (xat t) h (хь, 0 + gab (ха, хь; t).
Прежде всего заметим, что первое слагаемое правой части ятой
формулы приводит к возникновению в уравнении D7.3) дополни-
дополнительной силы, действующей на частицу а, связанной с наличием
самосогласованного поля. Поэтому, обозначая
Ра = Ра - -^г- 2$drbdpbfb (rb, Pb, t) Uab (| ra - гь |), D7.6)
получаем из уравнения D7.3):
df df ~ dl
dl
, гь, pb\ t) ^ *- . D7.7)
В случае газа заряженных частиц дополнительная самосогласо-
самосогласованная сила в D7.6), как мы уже видели раньше, соответствует
самосогласованному электрическому полю. Соответствующие эф-
эффекты, как мы видели, в кинетической теории плазмы без столкно-
столкновений весьма существенны и определяют целый ряд явлений. На-
Напротив, для газа нейтральных частиц эффект самосогласованного
поля в классических условиях обычно мал, и в кинетической тео-
теории нейтральных газов самосогласованным взаимодействием моле-
молекул пренебрегают.

§ 47. ЦЕПОЧКА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 189
Правую часть уравнения D7.7) можно определить как обобщен-
обобщенный интеграл столкновений
Jst
25 dTb dpbgab (A, pa; А. Рь, 0 --o-^^^ . D7.8)
25
Ь
ь
Строго говоря, это выражение описывает не только обычные эф-
эффекты столкновений частиц. Вычисления выражения D7.8), ко-
которые будут проведены в последующих параграфах, помогут по-
понять это лучше.
Для нахождения явного выражения интеграла столкновений
D7.8) необходимо знать парную корреляционную функцию. Найдем
уравнение для такой функции, которое получается из уравне-
уравнения D7.4) после подстановки туда выражений D5.7) и D5.8).
Имея в виду также уравнение D7.7), получаем
д , д , _. О t ^ О , jp О gh ^ a Ь ' ,,
dt "Г "« дг Г "* дГь Г а дра
Ь
Х ( _^_ _ _^_ ) \ga[> (Га> ^; П, ^ь; <) =
п /Ь /а '
дРа ь а
(П, Рь; ,с, рс; t)
SS^dj»^ {Га, Ра', П, Рс; t)
L
a a
pa; rb, pb; rc, pc; t)
а, Pa, A- Pb, **c Pc\
D7.9)
Структура уравнения D7.9) характерна и для уравнений, кото-
которым подчиняются высшие многочастичные корреляционные функ-
функции. Поэтому с помощью уравнения D7.9) можно провести общее
обсуждение параметров малости, которые могут быть использова-
использованы при приближенных решениях цепочки уравнений для много-
многочастичных функций распределения.

190 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛЛССИЧ. КИНЕТНЧВСКОП ТЕОРИИ
§ 48. Физические параметры малости, используемые
при выводе кинетических уравнений,
и приближенные уравнения для парной
корреляционной фупкцип
Простейшим параметром малости, с которого мы начнем наше
обсуждение, является параметр теории возмущений по малому
взаимодействию. Именно, можно предположить, что энергия вза-
взаимодействия частиц всегда мала по сравнению с их средней кине-
кинетической энергией. Это, в частности, означает, что п первом приб-
приближении н левой части уравнения D7.9) можно в таком случае
пренебречь слагаемым, содержащим парную корреляционную
функцию. Сама функция gab при этом мала, поскольку сравнение
левой части и первого слагаемого правой части уравнения D7.9)
дает
gab — fafbUab/'S, D8.1)
где Щ — кинетическая энергия частиц. Аналогичпая оценка для
трехчастичной коррелятивной функции, очевидно, дает
Поэтому в случае газа частиц со слабым взаимодействием можно
в первом приближении пренебречь последними двумя слагаемыми
правой части уравнения D7.9). Таким образом, для газа частиц
со слабым взаимодействием уравнение первого приближения для
парной корреляционной функции имеет следующий вид:
c{rb, рь- re, Pc;
a, pa; rc, pc, O
Ъ
Это уравнение может быть значительно упрощено в том случае,
когда взаимодействие частиц газа является не только слабым, но
в то же время радиус действия потенциала взаимодействия частиц
является малой величиной. Обозначая такой радиус действия по-
посредством d и замечая, что характерное расстояние корреляции
движения частиц также порядка d, можем усмотреть, что отноше-
отношение каждого из двух последних слагаемых правой части уравне-
уравнения D8.3) к первому составляет примерно
(nd3)U/S, D8.4)

§ 48. ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ МАЛОСТИ 191
где п — число частиц в единице объема. Например, в том случае,
когда радиус действия сил мал по сравнению со средним расстоя-
расстоянием между частицами, такое отношение весьма мало. Поэтому
для газа частиц со слабым взаимодействием и малым радиусом
действия сил в уравнении D8.3) можно препебречь двумя послед-
последними слагаемыми и записать следующее значительно более простое
уравнение первого приближения для парной корреляционной
функции:
; 0 = (Й/ь -/.^) ^Щ^- D8-5)
Строго говоря, нет реальных газов, для которых это уравнение
полно описывает корреляцию частиц. Однако, например, для слу-
случая газа заряженных частиц можно говорить об определенной об-
области значений относительного расстояния между двумя частица-
частицами, для которого приближенное решение уравнения D8.5) в до-
достаточной мере точно описывает корреляции частиц.
В случае газа заряженных частиц благодаря дальнодействую-
щему характеру кулоновских сил уравнение D8.5) неправильно
описывает корреляцию частиц на больших расстояниях. Для того
чтобы это стало понятно, вспомним, что в плазме кулоновское
поле экранируется на дебаевском радиусе гD ~ |/хГ/4яе2п ■
Ото расстояние представляет собой эффективный радиус действия
сил. Поэтому на расстояниях порядка радиуса дебаевского экра-
экранирования параметр D8.4) принимает вид
Следовательно, действительно на больших расстояниях, не малых
по сравнению с радиусом дебаевского экранирования, нельзя пре-
пренебрегать последними двумя слагаемыми уравнения D8.3). Иными
словами, на таких расстояниях для описания корреляции частиц
в плазме необходимо пользоваться уравнением D8.3), а не приб-
приближенным уравнением D8.5), годным для сил малого радиуса
действия.
С другой стороны, в реальных нейтральных газах потенциал
энергии взаимодействия двух молекул обычно весьма велик. В част-
частности, сильное отталкивание молекул на малых расстояниях дела-
делает часто разумной модель непроницаемых шариков, соответству-
соответствующую бесконечно большому потенциалу отталкивания. Естествен-
Естественно, что и этих условиях нельзя говорить о слабости взаимодейст-
взаимодействия частиц р том смысле, который подразумевался до сих пор.

192 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТКОРИН
Важной особенностью взаимодействия нейтральных молекул яв-
является малый радиус потенциала сил их взаимодействии. Поэтому
при получении кинетического уравнения для нейтральных газов
можно использовать малость «газового» параметра
п(Р << 1. D8.6)
Не считая взаимодействие слабым, следует сохранить в левой части
уравнения D7.9) слагаемое, содержащее потенциальную энергию
взаимодействия. Далее из сравнения левой части уравнения
D7.9) с первым слагаемым правой части видно, что парная корре-
корреляционная функция может быть соизмерима с произведением двух
одночастичных функций. Аналогично и трехчастичная функция не
является пренебрежимо малой по сравнению с произведением трех
соответствующих одночастичных функций. Однако и в такой си-
ситуации существенное упрощение уравнения D7.9) может быть
достигнуто с помощью параметра D8.6). Действительно, благода-
благодаря тому, что характерный радиус корреляции движения частиц по
порядку величины соизмерим с радиусом действия сил, отношение
каждого из четырех последних слагаемых правой части уравнения
D7.9) к первому по порядку величины ровно nd3. Поэтому в усло-
условиях малости газового параметра можно записать в следующем
виде уравнение первого приближения для парной корреляционной
функции:
r r а
——— . D8.7)
\дРа"> '« дРъ
Эффективно благодаря неравенству D8.6) взаимодействие частиц
газа в среднем невелико. Однако, например, при столкновении
двух частиц уравнение D8.7) позволит получить правильное
описание для рассеяния на большие углы, поскольку потенциал
парного взаимодействия при выводе этого уравнения не считался
малым (в отличие от уравнений D8.3) и D8.5)).
Уравнения D8.3), D8.5) и D8.7), как будет показано ниже,
могут быть решены и с их помощью могут быть получены кинети-
кинетические уравнения.
Однако прежде чем переходить к изложению решений этих
уравнений, следует сделать замечание общего характера. Кинети-
Кинетическое описание с помощью кинетического уравнения для функ-
функций распределения естественно беднее, чем описание с помощью
одночастичных функций распределения и двухчастичных корре-
корреляционных функций, приближенные уравнения для которых, не

§ 48. ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ МАЛОСТИ 193
содержащие нысших корреляционных функций, получены с этом
параграфе. Поэтому только частный вид решений уравнении для
корреляционных функций может соответствовать обычному одно-
частичному кинетическому описанию. Эти решения должны соот-
иетствовать таким дпижеииим гам, которые не зависят от началь-
начальных значений корреляционных функций. Подобные решения стано-
становятся возможными тогда, когда начальные возмущения корреля-
корреляционных функций могут быстро релаксировать. В этом отношении
имеется глубокая аналогия с переходом от кинетического описа-
описания к гидродинамическому, или с переходом от тринадцатимо-
ментного приближения уравнений метода Гредак гидродинамике.
Как и в этих случаях, такая возможность возникает благодаря
наличию различных шкал времени. Роль характерного медленного
времени теперь играет время изменения функций распределения,
которые по порядку величины представляют собой время свобод-
свободного пробега частицы газа т. С другой стороны, быстрое время
релаксации парной корреляции в целом ряде случаев представля-
представляет собой время, в течение которого протекает столкновение двух
частиц £ст, Например, для газа непроницаемых шариков
Очевидно, что в условиях малости газоного параметра D8.6) выпол-
выполняется неравенство ,л
В случае газа заряженных частиц, когда эффективный радиус
действия сил равен дебаевскому радиусу, имеем
-. D8.10)
Поэтому для плазмы неравенство D8.9) выполняется, если имеет
место неравенство
T^fV D8.11)
Это условие, как уже говорилось ранее (см. § 35), выполняется
практически во всех реальных газовых плазмах. Однако в отно-
отношении системы заряженных частиц положение все же оказывается
несколько более сложным, чем это можно понять, считая время
релаксации парной корреляции по порядку величины равным вре-
времени столкновения 1СГ. Дело заключается в том, что в плазме
возможны коллективные движения — плазменные колебания,
которые в определенных условиях весьма существенно определяют
временное изменение парной корреляционной функции. Поэтому
7 В. П. Силин

194 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
премя релаксации корреляционной функции gab можот оказаться
порядка времени аатухания плазменных колебаний, которое в ус-
условиях выполнения неравенства D8.11) также может быть малым
по сравнению с временем релаксации одночастичных распределе-
распределений.
С другой стороны, возможны задачи, в которых плазменные
колебания релаксируют не быстрее функции распределения час-
частиц. В этом случае возникает необходимость кинетического описа-
описания таких колебаний как новой степени свободы. Забегая вперед,
укажем, что такое описание достигается с использованием следст-
следствий уравнения D8.3).
§ 49. Приближенная парная корреляционная функция,
приводящая к интегралу столкновений Ландау.
Условие ослабления корреляции
Простейшее приближение теории возмущений для газа частиц
со слабым взаимодействием в случае сил с малым радиусом дейст-
действия позволяет получить парную корреляционную функцию, при-
приводящую, как это впервые показал Боголюбов [4], к интегралу
столкновений Ландау [9]. Для того чтобы в этом убедиться, рас-
рассмотрим решение уравнения D8.5). Заметим, что переход от урав-
уравнения D8.3) к уравнению D8.5) делает его неточным для больших
расстояний между парой частиц в случае их взаимодействия по
закону Кулона. В то же время пренебрежение последним слагае-
слагаемым левой части уравнения D7.9) делает уравнение D8.5) неточ-
неточным для малых расстояний между парой частиц, коррреляция
которых описывается функцией gab, если их взаимодействие на
малых расстояниях не является малым. Однако именно такой
случай и соответствует интегралу столкновений Ландау, в кото-
котором приходится проводить обрезание интегрирования как со сто-
стороны больших, так и со стороны малых прицельных параметров.
Для интеграла столкновений Ландау, как и для интеграла
столкновений Больцмана, характерно пренебрежение воздействи-
воздействием внешних полей на процесс соударения частиц. Поэтому в этом
параграфе будем считать, что внешние поля пренебрежимо малы.
Также будем считать пренебрежимо слабыми силы, обусловлен-
обусловленные самосогласованным взаимодействием частиц. Тогда уравнение
для парной корреляционной функции D8.5) можно записать в
следующем виде:
pa
= /
дРа >а >а дРь ) дг

§ 49, КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАНДАУ 195
Прежде чем переходить к рассмотрению решения этого уравнения
для неравновесных состояний, получим решение уравнения D9.1)
для случая не зависящих от времени, пространственно однород-
однородных, максвелловских одночастичных функций распределения
Очевидно, что и этом случае зависимость парной корреляционной
функции от координат сводится к зависимости от расстояния
между частицами, и уравнение D9.1) принимает вид
a -Vb, -£-\ gab --=—-^7- fjb (*>а ~ Vb, ~A U ab (| Va - I',, |) .
a } \ a j
Отсюда следует равновесное решение для парной корреляционной
функции
gab (Г., Va\ ГЬ, Ph) = --LrUab (| Га - ГЬ |) fjb. D9.2)
Этот результат является поправкой первого приближения теории
возмущений к двухчастичной функции распределения, линейной
по малому параметру Uab/xT. Заметим, что подстановка выраже-
выражения D9.2) в правую часть формулы D7.8) обращает ее в нуль. Это
подтверждает утверждение о том, что корреляционная функция
D9.2), а также и одночастичная максвелловская функция распре-
распределения являются функциями, описывающими равновесное состоя-
состояние газа.
Для получения кинетического уравнения, описывающего не-
неравновесное состояние газа, нам следует рассмотреть решения
уравнения D9.1) для того случая, когда входящие в его правую
часть одночастичпые функции распределения являются неравно-
неравновесными. Это сделать нетрудно, поскольку общее решение урав-
уравнения D9.1) имеет вид
ра\ П, рь; t)=gab(ra—va(t — t0), pa; rb — vb(t~
t
- Ol)}
x
X {/ь (П ~vb[t~ t'], pb; f) -£- fa (ra -va[t- t'], pa; t') -
~fa(ra~-va[t-t'], pa, t')-£-fb{rb-vblt-f], pb; t')}, D9.3)
гДе 8аь(га> Pa'y rbi Рь'> ^o) — начальное значение корреляционной
функции. Необходимо оговорить, что дифференцирование по им-
7*

196 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
пульсу в правой части формулы D9.3) подразумевает частную про-
производную одночастичпой функции распределения, отвечающую
ее зависимости от импульса (но ие дифференцирование по смещен-
смещенному на v It — t'\ пространственному аргументу). В этой оговорке
не возникает необходимости в частном случае пространственно
однородных распределений, когда одночастичные функции не за-
зависят от координат. При этом формула D9.3) принимает вид
gab (>'а> Ра, Гь, рь; t) = gab (Га —Va[t — t0], pa, Гь —
t
pb; to)+^dt'^~Uab(\ra~- rh--{va-vb){t-t')\))x
to
x (^7 ~ ^k)h {Pa' n h iPbl n' {А9Л)
Следует заметить, что не зависящее от начального возмущения
парной корреляционной функции второе слагаемое правой части
формулы D9.4) зависит лишь от разности координат двух частиц.
Это свойство является общим свойством корреляционных функций
двух частиц, определяющихся одночастичпыми распределениями
в пространственно однородном состоянии.
Поскольку в реальных условиях неравновесные состояния
газа часто являются пространственно неоднородными, то необ-
необходимо выяснить, что является малым параметром пространствен-
пространственной неоднородности, позволяющим осуществлять переход от
формулы D9.3) к D9.4), если в последней все же считать одночас-
одночастичные функции распределения зависящими от пространствен-
пространственных координат. Это нетрудно понять, заметив, что такой переход
соответствует пренебрежению в разложении
fa(ra-va[t-t'))=fa(ra)-va[t-t'}-^- + ... D9.5)
а
всеми членами разложения кроме первого. Поскольку благодаря
конечному радиусу действия сил подынтегральное выражение пра-
правой части формулы D9.3) заметно отлично от нуля лишь при
\ra-rb-(va-vb)(t-t')\<d. D9.6)
то ясно, что все члены разложения D9.5) будут малы по сравнению
с первым, если характерный размер неоднородности одночастичного
распределения будет велик по сравнениюс радиусом действия сил,
действующих между двумя частицами газа. Такое условие малой
пространственной неоднородности практически во всех задачах
кинетической теории газов выполняется с очень большим запасом.
Поэтому формула D9.4) может использоваться во всех таких зада~
чах для слабонеоднородных распределений газа.

§ 49. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАНДАУ 197
Определенное упрощение возникает для одночастичных рас-
распределений, медленно меняющихся во времени. Действительно, по-
поскольку подынтегральное выражение и формуле D9.4) отлично от
нуля лишь в условиях выполнения неравенства D9.6), то эффек-
эффективная область интегрирования по V соответствует значениям
t — V порядка времени столкновения, равного времени пролета
частицы через область взаимодействия (— djv). Поэтому для рас-
распределений, характерное время изменения которых значительно
превышает время столкновения, можно не делать различия между
t и I' в аргументах функций распределения, входящих в подынте-
подынтегральное выражение формулы D9.4), В связи с этим для медленно
изменяющихся и слабо пространственно неоднородных состояний
газа можно записать следующее выражение для парной корреля-
коррелятивной функции:
ga>Ara, ра;гь, рь; t) = gab(ra—va[t—t0\, ра; rb~vblt-t0], pb;t0)+
t
X
«I
I
С df -£- Ual, (| ra - rb - (va - vb) (t - t') |). D9.7)
Следует отметить, что подстановка D9.7) в интеграл столкно-
столкновений D7.8) делает его (а поэтому и уравнение для одночастичной
функции распределения) зависящим от начальной коррелятивной
функции gab (t0). Естественно, что эта начальная функция должна
подчиняться целому ряду условий, которые не должны приводить
к возникновению быстрого изменения одночастичной функции
распределения или появлению сильной пространственной неодно-
неоднородности. Эти условия автоматически выполняются в предполо-
предположении так называемого условия ослабления корреляции, к обсуж-
обсуждению которого теперь и следует перейти.
Выскажем важную гипотезу об асимптотических свойствах
функции
gab(ra — va[t — t0], pa; rb — vb[t — ta\, pb; t0)
при t0, стремящемся к отрицательному бесконечному значению.
Замечая, что с ростом £„ увеличиваются аргументы, соответствую-
соответствующие зависимости парной корреляционной функции от координат,
можно считать, что наиболее вероятным будет удаление частиц
друг от друга. Очевидно, что с ростом расстояния между частица-
частицами ослабляется их корреляция. Поэтому будем считать, что
lira gab(ra—va[t — to],pa;rb — vb[t — to],pb;to)=O. D9.8)
Это условие ослабления корреляции при tQ ->• —оо (но не при

198 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
t0 —v 4- °°), предложенное Боголюбовым [41, выделяет направле-
направление времени и приводит к соответствующей опыту необратимости
в кинетической теории. Последний момент, очевидно, является
весьма существенным, поскольку механика системы многих час-
частиц и, в частности, уравнения Лиувилля во времени обратимы.
Поэтому следует попытаться глубже проникнуть в смысл утвер-
утверждения D9.8).
Фактически предел D9.8) позволяет говорить о том, что на-
начальное возмущение корреляции быстро релаксирует к состоянию,
не зависящему от начального возмущения, а поэтому впоследствии,
вообще говоря, никогда сколько-нибудь близко не совпадающему
с начальным. С другой стороны, в системе многих частиц, подчи-
подчиняющихся механике, через достаточно большое время возникает
состояние, достаточно близко повторяющее исходное. Однако
необходимое для этого время (время возвратного цикла Пуанка-
Пуанкаре) очень велико для системы большого числа частиц. Фактически
благодаря неизолированности такой системы многих частиц, ка-
каким является газ, от внешних систем можно говорить о реальной
неповторимости состояний системы многих частиц. Во всяком слу-
случае становится возможной постановка вопроса об изучении ре-
релаксационных процессов в системе многих частиц за время, много
меньшее возвратного цикла Пуанкаре. В этом смысле можно пони-
понимать возникающую благодаря условию ослабления корреляции
необратимость кинетических уравнений. С другой стороны, дело
уже конкретного рассмотрения заключается в выявлении реаль-
реального малого времени релаксации парной коррелятивной функции.
В рассматриваемом сейчас пами случае такое время релаксации
соответствует времени столкновения, много меньшего времени
свободного пробега, характеризующего время релаксации функ-
функции распределения. Поэтому, используя условие D9.8), получаем
из формулы D9.7)
. ра; А, Ръ; 0 = [-^У'^МП. Рь\ t) -
b *} а
-(va-vb)(t-f)\). D9.9)
Согласно этому выражению парная корреляционная функция пол-
полностью определяется заданием медленно меняющихся одночастич-
ных функций. Поэтому, подставляя выражение D9.0) в интеграл
столкновений D7.8), представляющий собой правую часть урав-
уравнения для одночастичной функции D7.7), мы получим кинетичес-
кинетическое уравнение, т. е. уравнение только для одночастичной функции,
не содержащее какой-либо информации о начальных значениях

§ 49, КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАНДАУ 199
парных корреляций. При этом для интеграла столкновений полу-
получается следующее выражение:
| dt Jst дра
где
с CU . (\ г — г. \) £ я
it7rr—Uab(\t-a-rb + vt\). D9.11)
Используя разложепие Фурье для потенциала взаимодействия
~ФаЬ(£)е1кг, D9,12)
можно записать правую часть формулы D9.11) в виде
о
(* /i Jc £* 't t f* die
\ W к^ФаЬ W ) dt e ^n) 12SF ^;ф'с (k) S (Лу)-
Поэтому получаем
Для кулоновского взаимодействия
4яе ек
и интеграл по Л в D9.13) расходится. Обрезая такое интегрирова-
интегрирование со стороны больших (ктах — l/rmin) и малых (кт1п = 1/гл)
значений, получаем
In
rmln
Последнее выражение в точности отвечает ядру интегрального опе-
оператора иптеграла столкновений Ландау C5.9).
Необходимость обрезания пределов интегрирования в случае
кулоновского взаимодействия соответствует тому, что в таком
случае корреляционная функция D9.9) пригодна лишь в промежу-
промежуточной области расстояний. На малых расстояниях она неверна,
ибо там сильно взаимодействие пары частиц. На больших расстоя-
расстояниях она неправильна, ибо не учитывает эффектов экранировки
взаимодействия. Однако, как уже об этом говорилось в § 35, имен-
именно промежуточная область расстояний дает наибольший вклад
в интеграл столкновений, соответствующий большому кулоновско-
му логарифму при больших значениях параметра D8.11).

200 Гл. "VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Задача. Найти понравку к парной корреляционной функции
слабонеоднородного газа частиц со слабым взаимодействием, обус-
обусловленную первым поправочным членом разложения D9.5).
§ 50. Приближенная парная корреляционная функция,
приводящая к интегралу столкновений Больцмана [4J
В соответствии с идеями Больцмана [1] о том, что взаимодейст-
взаимодействие частиц газа проявляется лишь в их попарном столкновении,
мы используем в излагаемом нами динамическом выводе интеграл
столкновений Больцмана уравнения D8.7), в котором благодаря
использованию малого параметра d3n парная корреляционная
функция не зависит от распределений других частиц, кроме двух
взаимодействующих. Также в соответствии с концепцией парных
соударений свободных частиц будем считать, что внешние и само-
самосогласованные силы невелики, и их влиянием пренебрежем. Тогда
исходное уравнение для парной корреляционной функции можно
записать в виде
0t от* 1* uv
X *„„(*•„. ра; гь, рь; t)=^b *"" г"^(-1^-Д-/а-^-). E0.1)
В отличие от уравнения D9.1) это уравнение получено без пред-
предположения о малости взаимодействия. Поэтому оно пригодно для
точного описания парного взаимодействия пары коррелирую-
коррелирующих частиц.
Рассмотрим прежде всего решение уравнения E0.1), соответ-
соответствующее равновесному не зависящему от времени пространствен-
пространственно однородному распределению частиц газа, когда одночастичные
функции являются максвелл овскими- Тогда, имея в виду, что
в пространственно однородном случае парная корреляционная
функция зависит от разпости координат частиц, получаем
[va
■ гь I)
Uab(\ra~rb\). E0.2)
Нетрудно убедиться, что решение этого уравнения имеет вид
gab (Га, Ра, П, Pb) = С ^ — 1J X
ft """"■ "J"'""' '—^ ft , Г~ ^Г"
X Т—~—i?~ е а —J7" е ь • E0.3)
Bлт xV) '• Bят.иУ) "

§ 50. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 201
Очевидно, что формула D9.2) вытекает отсюда при разложении
правой части E0.3) по степеням Uab/xT и удержании лишь линей-
линейного члена такого разложения.
При решении уравнения E0.1) для неравновесных состояний
газа будем считать, что одночастичные функции распределения
медленно меняются во времени и слабо зависят от пространствен-
пространственных координат подобно тому, как зто уже обсуждалось в § 49.
Иными словами, примем, что характерное время изменения одно-
частичного распределения велико по сравнению с тем временем,
в течение которого происходит столкновение частиц. Аналогично
характерный масштаб пространственной неоднородности будем
считать значительно превышающим радиус действия потенциала
энергия взаимодействия двух частиц. Тогда, так же как это было
при выводе формулы D9.7), интегрируя уравнение E0.1), можем
пренебречь зависимостью одночастичных функций распределения
от времени и координат.
Решение уравнения E0.1) определяется характеристиками
дифференциального оператора, стоящего в левой части зтого урав-
уравнения. Уравнения характеристик зтого оператора
dt ~ v<" dt ~ dra
ь'
dl ь' dt дга
представляют собой уравнения движения двух частиц, взаимодей-
взаимодействующих по закону центральных сил. Введем обозначения, позво-
позволяющие символически записать решения уравнений E0.4):
г а = Паг) (r'a, р'а; r'b,p'b;t-t)^ В?> {t-t J
Ра = Р(аУ (П. Pa, t%, Pf, t - t) = P» (t - t). }
Правые части этих формул выражают соответственно координату
и импульс частицы в момент t через координаты и импульсы двух
взаимодействующих частиц в момент t''.
Формулы E0.5) позволяют записать решение E0.1) для парной
корреляционной функции медленно изменяющегося во времени
и слабонеоднородного состояния газа в следующем виде:
ёаЪ (Та, ра, ГЬ, Рь, t) = gabiTif (<« ~ <). ^ (<0 ~ <). ^ (h - t).
yt
E0.6)

202 Гл. VII. ОБОСНОВАНИЕ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Так же как и в§ 49, воспользуемся условием ослабления корреля-
корреляции, которое теперь запишем в виде [4]
lim gab (Ra2) (га, ра; rb, pb; to — t),...
to-*—oo
■ ■ ;Н2)(П. Ръ\ ra, p., to-t); t0) = 0. E0.7)
Иными словами, будем считать, что при изменении во времени
координат двух частиц наиболее вероятным будет их удаление.
Следует заметить, что для этого необходимо, чтобы траектории
частиц соответствовали инфинитным движениям в задаче двух
тел. Финитные движения или, что то же самое, связанные состоя-
состояния системы двух тел, следует описывать на языке функций рас-
распределения с дополнительными аргументами, отвечающими внут-
внутренним дискретным состояниям системы двух тел, что последова-
последовательно достигается с использованием кпантовой механики.
Благодаря условию ослабления корреляции E0.7) из формулы
E0.6) вытекает следующее выражение для парной корреляцион-
корреляционной функции:
gab (>V Va\ П. Pi,; t) =
x[ з _____a I
L^ia) (ra, Pa, rb, p,- П ЭР*-» (rb, pb; ra. pa, f) J
X /„ (Pi2) (ra, pa; rb; pb; f), ra- t) fb (Pi2> (rb, pb; ra, pa, /'), n: t).
E0,8)
В этом выражении парная корреляционная функция полностью оп-
определяется одночастичными функциями распределения и поэтому
может быть использована для написания кинетического уравнения.
Замечая, что в правой части формулы E0.8) одночастичиыо
функции распределения зависят от времени V лишь через соот-
соответствующую зависимость импульсов, для пространственно одно-
однородных распределений можно провести интегрирование по време-
времени. Действительно, согласно определению скобок Пуассона име-
имеем [3]
- {.и . U -
м
где /7B) — функция Гамильтона системы двух частиц:
# 4 + и» (I '. - >-ь D-
4г

§ 50. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНЛ 203
Поэтому для пространстяенпо однородных распределений имеем
Это соотношение позволяет преобразовать формулу E0.8):
о
gab (ra, pa\ rh, рь; t) = — J dt' X
— по
X ^r-{/a(Pl2>('-a, Ра, 'V Pbi t'), t)fb (P?' (»V Pb\ Га, Pa; t'), t)} =
= fa {Pf (~ "C). t)h (P?}(- ЭО), Й - fa (pa, t)fb(Pb, t). E0.12)
Здесь для предельных значений интегралов при t — — оо исполь—
зованы обозначения
Н} (- со) = Р« (»•„, i>a; гь, 2?ь; - эо), |
Pf (-00)== Pf(tb, pb; ra, pa; - 00). (
Поскольку второе слагаемое формулы E0.12) в случае прост-
пространственно однородных распределений не дает отличного от нуля
вклада в интеграл столкновении, то после подстановки выражения
E0.12) в правую часть формул D7.8) получаем
).dv ab(|ab|)
X /a (Pf (- 00), t) /„ (Pi2) (- OO), t). E0.14)
В такой форме интеграл столкновений был получен Боголюбовым
[4] при выводе интеграла столкновений Больцмана. Покажем, что
этот интеграл столкновений совпадает с больцмановским.
Прежде всего заметим, что из определения предельных импуль-
импульсов E0.13), соответствующих бесконечному удалению двух частиц
Друг от друга, следует равенство
2т
1
E0.15)
Это равенство сразу позволяет понять, что в случае максвеллов-
ского распределения частиц по импульсам формула E0.12) пере-
переходит в полученную ранее формулу E0.3).

204 Гл. VII. ОБОСНОВАНИИ КЛАССИЧ. КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Далее очевидно, что следующая скобка Пуассона равна нулю:
{/а (Р?> (- оо)) U (Pia> (- оо)), Hi2) (Р<2> (- оо), Н* (- оо))} = 0.
E0.16)
В то же время, поскольку изменение во времени динамических
переменных является одним из частных случаев канонического
преобразования и так как скобки Пуассона инвариантны [3] от-
относительно канонических преобразований *), то, имея в виду фор-
формулу E0.15), можно записать формулу E0.16) в следующем виде:
X /„ (Pi* (- оо)) U (Р£° (- эо)) = 0. E0.17)
Учтя тот факт, что в задаче двух частиц зависимость от простран-
пространственных координат входит в импульсы Р^' (— оо) и Р(ь2) (—оо)
лишь как зависимость от разности га — гь, можно переписать
формулу E0.17) в виде
'a b / a
) fa (Ра} (~ ~), t) fb (Pf (- ~), 0- E0.18)
Последнее соотношение позволяет представить интеграл столкно-
столкновений E0.14) следующим образом:
х /„ (JPi2> (- оо), о /ь (Pf ( - =о), о- E0.19)
Введем для га — гь цилиндрические координаты (г, Ь, (р)
с осью z, ориентированной вдоль вектора относительной скорости
va —vb =vab. Тогда после интегрирования по г формула E0.19)
запишется в виде
= S J
b
fe(P!fJ(- оо))/„
E0.20)
•) Действительно, если (р, q) и (Р, Q)—канонические переменные,',связан-
ные каноническим преобразованием, и если {/, g}p,q— скобка Пуассона, в
которой дифференцирование производится по переменным р и q, а {/, gfp q —
скобка Пуассона тех же величин, но в которой дифференцирование ведется
ПО Р И <?, ТО {/, g)p,q = {/, g}P<Q.

§ 50. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 205
Заметим, что dtfb db представляет собой дифференциальное сечение
рассеяния, поскольку b представляет собой прицельный пара-
параметр •—■ проекцию расстояния между частицами на плоскость, пер-
перпендикулярную направлению относительной скорости частиц до
соударения. Действительно, считая, что при t = — оо z = — оо
и указанная проекция есть Ь, имеем
{1>f (_ »)}lM, = ра, {.Pia) (_ оо)}2__ - рь, E0.21)
поскольку в задаче двух тел Pf (—оо), jp(ba> (—сю) являются им-
импульсами на бесконечности частиц а и Ь, которые затем проходят
через точки фазового пространства (га, ра)ч (vb, рь). Соотвотствеи-
но при z = +oo
{Р <» (- oo)}tefco = р'а; {Р?> (_ оо)}2ет+«, = р'ь (Г.0.22)
суть импульсы после соударения, связанные с импульсами до со-
соударения законами сохранения полной энергии и импульса двух
сталкивающихся частиц. Таким образом, действительно получает-
получается интеграл столкновений Больцмана.
Приведенный вывод позволил четко выявить ряд необходимых
предположений, при которых оказывается возможным получить
интеграл столкновений Больцмана. В то же время ясно, что дол-
должен существовать путь для получения кинетических уравнений и
в условиях, когда предположения, положенные в основу вывода
уравнения Больцмана, не выполняются. Ряд таких задач мы рас-
рассмотрим в следующих главах, где мы выйдем за рамки проблемы
обоснования обычной кинетической теории газов.

ГЛАВА VIII
ОБОСНОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
(КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ)
§ 51. Матрица плотности.
Квантовое уравнение Лиувилля
Необходимость вывода кинетического уравнения на основе
квантовомеханического рассмотрения диктуется целым рядом при-
причин. Прежде всего, столкновения молекул газа отнюдь не всегда
происходят по законам классической механики. Последнее прояв-
проявляется в том, что сечение соударения частиц, входящее в интеграл
столкновений Больцмана, должно вычисляться с помощью кван-
квантовой теории. С другой стороны, квантовое кинетическое уравне-
уравнение необходимое условиях, когда оказываются немалыми средние
числа заполнения квантовых состояний частиц, а поэтому стано-
становится существенной квантовая статистика. В последующем изла-
излагаемом здесь выводе кинетических уравнений, во многом подоб-
подобном предложенному Боголюбовым и Гуровым [1, 2], мы будем
стремиться учесть оба таких квантовых эффекта.
В квантовой механике роль, подобную роли классической
функции распределения DN, играет матрица плотности pN |3, 41.
Например, в координатном представлении матрица плотности си-
системы N частиц является функцией времени и координат и дискрет-
дискретных спиновых переменных *) частиц
(аи . . ., aN; i\,. .., rN \pN (l)\ait. .., aN; rlt.. ., rN) =
= 2^Y**i(»'i> • ■ •• r'f, <», ■ • ., o'n) ^i(ri rN; alt . . ., aN),
i
E1.1)
•) Например, для электрона сшшовая переменная соответствует двум
возможным проекциям спина ^Л/2

2
4-..«N
drN[
\ d^i ■
a(a'u..
-,rN\
IPivl^i, •
• .. ыц.
1
7" ..
1
',.■■•
'• TN rN
§ 51. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 207
где Р{ — вероятность чистого состояния i. С помощью матрицы
плотности среднее значение оператора а записывается в виде
<а> _
°l — aN J
E1.2)
При этом оператор а действует лишь на нештрихоианиые перемен-
переменные матрицы плотности; только после такого воздействия следует
приравнять штрихованные переменны© нештриховашшм. Диаго-
Диагональные элементы матрицы плотности
(«V ■ ■ •• aN< Г1 »*wlP« К- • " - aN- rV ■ ■ ■' riv) E1-3).
представляют собой распределение по спиноным состояниям и
координатам систем N частиц.
Матрица плотности подчиняется уравнению
|гЛ JL _ ж + Ж"} (а;, . . ., eN: r[ г;. | рл. | V .. .
...,aN;rv .... гл.)=0, E1.4)
где Ж — оператор Гамильтона системы частиц, действующий на
нештрихованные переменные, а Ж' —тот же оператор, действую-
действующий на штрихованные переменные, наконец, знак звездочки озна-
означает комплексно сопряженное. Уравнение E1.4), которое может
быть названо квантовым уравнением Лиувилля, кладется в основу
квантовой статистической механики.
Для системы частиц с парным взаимодействием оператор Га-
Гамильтона имеет вид D4.9), где теперь pi и ^следует рассматривать
как пекоммутирующие операторы. Тогда уравнение E1.4) можно
записать в следующем виде:
N
\М 4т + S -£г (А; - А!) - 2 (и (I Ъ - i-j |) -
- U(\ r\- [)]}(;, , N; [, v|pw(OlV
...,oiy;rv...,rN) = 0, E1.5)
где Д{ — оператор Лапласа, действующий на координаты 1-й
частицы. С помощью этого уравнения мы рассмотрим впоследствии
квантовый вннод кинетического уравнопия.
Стремясь к наибольшей близости квантовомеханнческого
изложения к уже описанному нами классическому выводу

208 гл. vm. обоснование квантовой кинетической теории
кинетических уравнений, наряду с координатным представлением
для матрицы плотности мы будем также пользоваться смешанным
представлением, предложенным Вигнером [5—8]. Матрицы плот-
плотности в представлении Вигнера и координатном представлении
связаны соотношениями
l' ' N' 1' ' N
N
— ! (Л\ 4- —
х Л„. ...
E1.7)
Заметим, что согласно формулам E1.3) и E1.7) распределение по
спиновым и координатным состояниям систем N частиц дается
следующим интегралом по импульсам матрицы плотности в пред-
представлении Вигнера:
jdpj. . .dpNDNiav...taNiai aN(rl , rN; pv . . ., pN; t). E1.8)
Апалогично для распределения по спиновым и импульсным состоя-
состояниям имеем
ri...drNDN.ai ау.в1 ,N(rv..., rN;pv..., pN;t). E1.9)
Рассмотрим вопрос о том, как следует вычислять средние зна-
значения произвольных эрмитовских операторов с помощью матри-
П"ы плотности смешанного представления 18). При этом мы отвле-
отвлечемся от спиновых переменных, поскольку в этом'отношении не
возникает чего-либо специфичного для такого представления.
Прежде всего примем, следуя Вейлю [9), что эрмитовский опе-
оператор, соответствующий действительной классической функции
Ф (г, р) канонически сопряженных переменных г и р, определяет-
определяется следующим соотношением:
Ф(г, р) ^[dxdQdrdpe-^^P^ir, p) е1(т?+"?> т^г • E1.10)

§ 51. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 209
Заметим, что вместо соотношения E1.10) можно было бы предло-
предложить иной закон, например, введенный в работе [10]. При "этом
оператор, соответствующий функции p?rs, будет отличаться от
оператора, определяемого согласно формуле E1.10), если только
q и s оба больше единицы [11]. В рассматриваемых ниже операто-
операторах таких комбинаций не встречается, поэтому получаемые ре-
результаты не зависят от способа построения операторов.
Из соотношения E1.10) вытекает следующее выражение для
матричных элементов оператора:
( p)e~i<t'4e"> X
x(Tb^Fs)____ (<)М1)
Поскольку ? и р — канонически сопряженные операторы, для
которых выполняется перестановочное соотношение
р?— fp= ~ih, E1.12)
то
При этом очовидпо, что матричные элементы оператора E1.13) при
использовании нолновых функций координатного представления
можно записать в виде
$£)l ) E1.14)
Поэтому
r, р) Т; (г- ™-)e-^VkU + -h^I±-F. E1.15)
Последняя формула при I =- к дает
r«P(F(r + -|L)T±F. E1.16)
Поскольку ¥* (rr) W (г) = р (г', г) представляет собой матрицу
плотности в координатном представлении для чистого состояния,
то, имея в виду определение E1.6), можно теперь записать следу-
следующее соотношение, определяющее правило вычисления средггах
с помощью матрицы плотности смешанного представления:
г, р) D(r, p), E1.17)

210 Гл. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Следовательно, для вычисления средних значений квантовых
операторов с помощью матрицы плотности смегаапного представ-
представления D (г, р) следует пользоваться обычными правилами класси-
классической статистической механики, усредняя вместо квантового
оператора соответствующую ему классическую функцию и исполь-
используя вместо классической функции распределения в фазовом про-
пространстве координат и импульсов матрицу плотности смешанного
представления.
Заметим, что согласно E1.18) функция D (г, р) является дейст-
действительной величиной. Однако в отличие от классической статисти-
статистической механики в силу невозможности одновременного проявле-
проявления координаты и импульса квантовой частицы функция D (г, р)
не япляется плотностью вероятности, а поэтому, в частности, но
является положительно определенной величиной ♦).
Квантовое уравнение Лиувилля E1.5) в смешанном представ-
представлении принимает вид
". арр (?>; + Pj— Pi — P)e X
X
uj
ri — ri + ~2 hx
— и.
- 4"hx i) ix
4
x
E1.19)
Отметим, что, сравнивая уравнение E1.19) с классическим
уравнением Лиувилля D4.10), нетрудно видеть, что левая часть
уравнения E1.19) имеет классический вид. Напротив, правая
часть этого уравнения, возникающая благодаря учету взаимодей-
взаимодействия частиц и содержащая явно постоянную Планка h, обуслов-
•) Невозможность состояний с определенными импульсом р и координа-
координатой г может быть понята также следующим образом. Как легко пидеть из
формулы E1.1), нормированная на единицу матрица плотности в коорди-
координатном представлении должна удовлегворять условию
$rfrrfr'p(r,r')p(r',r)<l.
При этом мы отвлекаемся от спиновых переменных.
Используя определение E1.18), можно переписать это соотношение в
виде [8]
ldrdpD(r, p)D(r, />)<1.
Очевидно, что предположение о том, что D (г, р) имеет вид 5 (г — г0) Ь (р —
<— р0), противоречит этому неравенству.

§ 52. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ МАТРИЦ ПЛОТНОСТИ 211
ливает отличие квантовой теории обоснования кинетики . от
классической.
Другая причина, существенно отличающая квантовую теорию,
связана с симметрией волновой функции системы многих частиц,
обусловленной их тождественностью. При этом, если в квантовой
системе N одинаковых частиц (ниже в этом параграфе мы ограни-
ограничимся липа таким случаем) можно пренебречь взаимодействием,
то матрица плотности не представляет собой произведения мат-
матриц плотности отдельных частиц. Для системы частиц со спином
половина, подчиняющихся статистике Ферми —Дирака, благо-
благодаря детерминантнои форме волновой функции матрица плотности
системы невзаимодействующих частиц имеет вид [12]
(<V r'i I Pi I 6i' г\)' • • • • <°i- К I Pi I <V '*'*)
V VN I Pi I °1> }\) (<V VN I Pi I<V riv)
гДе Pi — матрица плотности отдельной частицы.
Ниже мы ограничимся выьодом кинетических уравнений для
частиц со спином половина. При этом формула E1.20) будет ис-
использоваться нами для построения приближенных или асимптоти-
асимптотических выражений.
§ 52. Цепочка уравнений для многочаст очных
матриц плотности. Квантовое кинетическое
уравнение с самосогласованным полем
Удобно ввести матрицы плотности комплексов s-частиц, опре-
определенные подобно s-частичным функциям распределения D5.6)
следующим образом:
(<3i> .. ., а,; ту г, | р, | Sl . . ., з,: i\ >•„) =
E1.20)
Эта формула может быть записана в смешанном представлении
Вигнера следующим образом:
1 • Г »
= V j drtiidpM . . . dpN drNX
X oS DN;< <;o>+i vai aN (rv .. ., rN; pv .. ., pN; t). E2.2)
В пределе N -*■ oo и V -*■ oo при N/V = const нетрудно получить

212 Гл. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
квантовый аналог уравнения D7.5) для s-частичной функции рас-
распределения. При этом из уравнения E1.19) в коордипатном пред-
представлении получаем
- 2
х
X (в;, . . ., о- rv . . ., i-.lp.l^, . . ., а,; ,-v . . ., ,-,) =
= fS drM S [U (| r. - rM |) - U (|K - rM|)J x
X
E2.3)
Соответственно в смешанном представлении запишем это уравне-
уравнение для s = 1 и s = 2:
- гг - -J-
2.a_e.a^
lt r,, pv p2;t), E2.4)
-^i-^ X
X exp
i | [(p; - pj - (Pl - pt)]} [U (| rx - r2 + |ftT |) -
з-a o a ■„ о о (i. •. з; л, pi, ps; 0}- E2-5)
i* а" з' Г а' з
Аналогия уравнений E2.4) и E2.5) с уравнениями D7.3) и D7.4)
классической теории особенно облегчает рассмотрение в случае
газа со слабым взаимодействием, когда потенциал сил можно рас-

§ 52. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ МАТРИЦ ПЛОТНОСТИ 213
сматривать как слабое возмущение. Имепно таким случаем мы и
ограничимся в пашем изложении.
Введем подобно D5.8) нормированную на полное число частиц
одночастичную матрицу плотности
fao- (Г, Р, 0 = -
l- "«'
"' Р>
E2<6)
Соответственно для двухчастичной матрицы плотности восполь-
воспользуемся подобно D5.7) формой записи, в которой можно явно выде-
выделить эффект корреляции частиц, обусловленный их взаимодейст-
взаимодействием. Именно в координатном представлении можно записать
(oi. П | Pi К,
(as. r'3\p1\a1,
i r'l\p1j a2, r2)
a, r'2\Pl\a2, r,)
gfa, o2; rt, r2).
E2.7)
Эта формула по смыслу аналогична классической формуле
D5.7). Однако ее важное отличие обусловлено тем, что благодаря
тождественности частиц первое слагаемое правой части формулы
E2.7), которое, как это следует из E1.20), представляло бы собой
точную матрицу плотности двух частиц в отсутствие взаимодейст-
взаимодействия, не представляет лишь произведения одночастичных матриц
плотности. Поэтому первое слагаемое описывает также и кванто-
квантовый эффект корреляции невзаимодействующих частиц, связанных
с их тождественностью, а корреляционная матрица g характеризует
эффекты взаимозависимости движения частиц, вызываемые их
взаимодействием.
В смешанном представлении формула E2.7) принимает вид
о о-, о
1 2 1" 2
P2-, 0=/0'0 (л.
11
Я 2
X
l" a" i' 2
Подставив это выражение в уравнение E2.4), получаем
E2.8)

214 Гл. \'П1. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТКОРШ1
X [tf (|rt - г, + -5-ftT|) - ^(| '■• - '"» - 4-Йт |)J х
Х /о'о (Л' *V OS j ^г/соЛП. ;Ра> 0 г
11 о.
+ "Ж B^Idx dr*dp*dp'* [U (Ir» - r» + T
- i- At I)] exp {- i- (P; -
l [U (I r, - r, + -i- ftT I) -
- r, - |Лт I)] *.;>„^ (rlf r,; pif „,; t) S
E2.9)
Для получения замкнутого кинетического уравнения для одно-
частичной матрицы плотности достаточно определить г<орреля-
г<орреляционную матрицу g как функционал одночастичных матриц. Пра-
Правая часть уравнения E2.9) представляет, как мы увидим, кванто-
квантовый интеграл столкновений. Однако прежде чем переходить к ре-
решению задачи об отыскании интеграла столкновений, заметим,
что, имея в виду малость корреляционной матрицы, линейной по
параметру малости потенциала взаимодействия двух частиц, в пер-
первом приближении можно пренебречь правой частью уравнения
E2.9). Возникающее при этом приближенное уравнение называет-
называется квантовым кинетическим уравнением с самосогласованным по-
полем, учитывающим обменное взаимодействие. Обменные эффекты,
связанные с тождественностью частиц, описываются последним
слагаемым левой части уравнения E2.9).
В ряде задач обменные эффекты оказываются малыми. Тогда,
пренебрегая последним слагаемым левой части, можем записать
следующее уравнение [6, 7, 8]:
x[u
i- hx |) - U [\rx ~r3- l»t|)] /o>0i (rx, p[; t) X
0. E2.10)

§ 52. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНЫХ МАТРИЦ ПЛОТНОСТИ 215
Это квантовое кинетическое уравнение с самосогласованным по-
полем позволяет, в частности, получить спектр собственных коле-
колебаний квантового газа заряженных частиц, а также спектр само-
самосогласованных звуковых колебаний в газе частиц со слабым вза-
взаимодействием конечного радиуса (см. задачи VIII.3 и VIII.4).
Используя квантовое кинетическое уравнение с самосогласо-
самосогласованным полем, учитывающим обменное взаимодействие, получае-
получаемое при пренебрежении правой частью уравнения E2.9), удобно
рассматривать следующие комбинации матричных элементов одно-
частичной матрицы плотности *):
f(r, р; 0 =2/00(", .«; 0.
E2.11
р;
0 = 2
/и) + J ('/« -
+ * (/.i-/2,). E2.12)
где з — вектор спиновых матриц Паули [3, 4]. При этом формула
E2.11) дает «квантовую функцию распределения», а формула
E2.12) — «квантовую плотность распределения спина в фазовом
пространстве координат и импульсов». Подчеркнем, что кванто-
квантовый характер этих распределений не позволяет трактовать форму-
формулу E2.11) как плотность вероятности в фазовом пространстве, по-
поскольку она может, вообще говоря, принимать и отрицательные
значения.
Для функций / и а согласно уравнению E2.9) имеет место сле-
следующая система уравнений [13]:
dt ' m dr ti Bi):
r~r'~^-hx\)\\f(r;p')f(r'; р")ехр[Цт, p' - p)\ —
- г'
— U
±(r-r'; рГ-р')
X
-Tn№Yxdr*dP2dp'f
•ir + r'
" It/
r — r2+-j lit
r2; Pv Pi\ t) s=
E2.13)
•) Соответстпенно формулам E2.11) и E2.12) можем записать
111 I
/а = -у (/ + в*): /sa = -j- (/ — в»); /« = -у (оя + »зу); /21 = "jf (з* — Ьу).

216 Гл. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
да , /р д \ , i I
dpdp
и
■ — г' — т Кх |j]\a(r, p')f(r', p")exp[i(x, p' — р)] —
г — г2 — 4- Tix |) | X
X 2л Wa'a, l>o', ai; о,, о, (**' **2' Pi' Pi) = \ Qt I • v■---•- ч
'11 L Jst
в , (jj, a2
1
Правая часть этих уравнений описывает эффекты столкнове-
столкновений частиц. Например, в случае уравнения E2.8) и пространст-
пространственно однородных квантовых распределений левая часть сводится
лишь к производной по времени квантовой функции распределе-
распределения /. Поэтому пренебрежение правой частью уравнения E2,8),
а следовательно, и использование приближенного кипетического
уравнения с самосогласованным полем, учитывающим обменные
эффекты, возможно лишь для случая достаточно сильной простран-
пространственной неоднородности. Кинетические уравнения такого при-
приближения описывают колебания распределения /, часто называе-
называемые нулевым звуком, и колебания распределения спина — спино-
спиновые волны (см. задачи VIII,1 и VIII.5).
§ 53. Квантовый вывод кинетического уравнения.
Интеграл столкновений Вольцмана
Для получения правой части уравнения E2.13) в определенных
условиях, как мы увидим ниже, соответствующей интегралу стол-
столкновений Больцмана, воспользуемся теперь предположением о ма-
малости потенциала взаимодействия пары частиц. Это предположе-
предположение позволяет вместо уравнения E2.5) использовать приближен-
приближенное, отличающееся от E2.5) тем, что в слагаемых, содержащих по-
потенциал взаимодействия, вместо двухчастичной и трехчастичной
функций распределения используются их приближенные выра-
выражения Fa0) hF'j0', в которых полностью пренебрегается корреля-
корреляционными эффектами, связанными с силовым взаимодействием
частиц. Поэтому в основу нашего рассмотрения в этом параграфе

§ 53. КВАНТОВЫЙ ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 217
мы положим уравнение
е %'PlPt 8 (р[ + P'2-Pl- Pt) F*Kt а.. а> о_ (Л, r2; pv р^ t) +
у |)] ^f„;.„;.„.,„,.„,.„. (rlt r2, rt; p'v p%, ps; t) +
[U (| r2 - r3 + 4 Kx |) - f/ (| ra - r3 - 1 £т |j] x
x ^«V.;.;.,^*^!. «v »-3; л. p;. pa; o}. E3.1)
При этом согласно формуле E2.8) можно написать
а,. ",. "i. "t
где
— P[- P't)
Xexp {-^(Л — *-2; К - i>;) — у (т, 2>! - Pi)\ X
E3.3)
Последнее выражение представляет собой двухчастичную корреля-
корреляционную функцию, возникающую из-за тождественности частиц,
приводящей к симметрии волновой функции, а поэтому и матрицы
плотности системы одинаковых частиц.
Аналогично, соответственно формуле E2.5) имеем следующее
выражение для приближенной трехчастичной матрицы плотности,

218 Гл. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
не учитывающей силовую корреляцию:
(Г7
+ /о-, о. (ri. л; Og0»6" • ('•». »-3; jp*. ^3; 0 +
+ /„', „г (»*i, Ра; 0 g(?°M^ (rlt r3; plf p,; 0 +
* oi, oil Oj, Oj
+ /„• „, (»•». Ръ\ t) g(?6-> (n. »*i; Pi, p2; 0 +
3' it, яг! a,, a^
+ d(t?CM3 . {rx, rs. r,; i?!, p8, p3; 0. E3.4)
a , at, яз; nt, o2# aj
где трехчастичная обменная корреляционная функция, обуслов-
обусловленная тождественностью частиц, имеет вид
<#""> -. ()\, г„ r3; plf p2, р3; 0 =
O ° °8 a а <*
X [exp {i- (j,;, г, - г, + Й H±i) + i (j,;, г, - г, + Й T^j +
х
2 г "Т
E3.5)
При получении следствий из уравнения E3.1) ограничим себя
случаем несильного самосогласованного поля, так что примем,
что можно пренебречь влиянием поля на столкновение частиц. Это
фактически означает, что распределение частиц является слабо-
слабонеоднородным (поскольку в противном случае эффект самосогла-
самосогласованного взаимодействия может стать большим). Далее заметим,
что в правой части уравнения E3.1) имеются два слагаемых, пер-
первое из которых не содержит явно (N/V), а второе содержит. Второе
слагаемое становится существенным тогда, когда число частиц,
находящихся в данном квантовом состоянии, становится достаточ-
достаточно большим. Это осуществляется при низких температурах. Для

§ 53. КВАНТОВЫЙ ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
219
упрощения изложения поставим прежде всего перед собой задачу
получения интеграла столкновений для высокотемпературного
случая. При этом можно будет пренебречь вторым слагаемым пра-
правой части уравнения E3.1). После подстановки в левую часть этого
уравнения выражения E2.7) можно написать следующее уравне-
уравнение для парной корреляционной функции, учитывающей, как мы
увидим, квантовые (и в том числе обменные) эффекты при столкно-
столкновениях частиц:
_ и (I г, - r2 - £
»i+ p%~~Pi — Pt) [# [
:a',Ol (П. 2V 0 /„- „. (гг, p',; t) eu
— exp —
/.
~ т • p'v ') /.;,.. D* +
т
;; l
Это уравнение является квантовым аналогом уравнения D9.1)
для парной корреляционной функции, которое было использовано
нами при выводе интеграла столкновений Ландау. При h = О
уравнение E3.0) переходит в D9.1).
Решение неоднородного линейного уравнения первого порядка
с постоянными коэффициентами при производных, очевидно, легко
может быть найдено:
dt' ii
X
- r, + J - (»i -
-t/
-О |)] {exp[i(t, Pi-
E3 7)

220 ГЛ. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Для медленно меняющихся во времени квантовых распределений
и для случая слабой пространственной неоднородности это выра-
выражение может быть упрощено (ср. § 49). Именно, считая, что харак-
характерный масштаб расстояния прострапственного изменения функ-
функции fa & велик в сравнении с размером области действия сил, а
характерное время изменения квантового распределения велико
по сравнению с временем соударения, в первом приближении пол-
полностью пренебрежем пространственной и временной зависимостью
функции /0|0- при интегрировании правой части E3.7). Кроме того,
примем ta -> — оо и, имея в виду условие ослабления корреляции,
опустим в таком пределе первое слагаемое левой части E3.7).
Последнее соответствует тому факту, что при достаточном удалении
частиц друг от друга можно пренебречь их взаимодействием и счи-
считать, что матрица плотности принимает вид E2.5). Соответственно
всему этому можно теперь переписать формулу E3.7) в виде
- vt] )}
-O^lp,- Pi\) X
X [ехр{д- (pt - р[, г, - r% +
-expj- | (px~pv Vi-^ + lVi-v
X /„;> „, (p[, t) fo.w oi (pr /)[exp [j(Pl - p\, rt- r2+ [Vi- vt] /')}-
- exp[| (рг - pv Vi-r, +[Vl - vt] /')}]} , E3.8)
где
\(\r\). E3.9)
Формула E3.8) позволяет следующим образом записать интеграл
столкновений, входящий в правую часть квантового кинетическо-
кинетического уравнения E2.9):
. (Pi)]
^Чг- -L = т wrj d^M« <л + л - Pi - рЭ х

§ 53. КВАНТОВЫЙ ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 221
+ Ф (|I Pl - Р\|)Ф(~\.Р* - Р\|)[| /„;, „, (Л)/„,. „, (».) +
X ф(-1| Р2 - р\ \)\ia>t (Pl) 4, „, (р,) - /„;, a{P*)fBu ei(j»!)l}. E3.10)
где символ Р озпачает, что особенности при р\ -\- р\ — р^2 + jc22
следует понимать в смысле главного значения Коти.
Формула E3.10) определяет, очевидно, также и правые части
уравнений E2.13) и E2.14). Так, получаем *)
S dpdp^b (P + р2-р[- р2) X
»D/(Pi)
X [a (j?;) a (j»;)- a(p,)e(pt)]\, E3.11)
где wtt и i£>j4 — квадраты амплитуд вероятности рассеяния частиц
соответственно с параллельными спинами (триплетное состояние)
и с антипараллельными спинами (синглетное состояние), которые
в нашем рассмотрении соответствуют первому борновскому прибли-
приближению и имеют вид
wn (Pi, Рг\ Р,< Р'.) = ^г Гф/4-IPi — РМ + ®(-ir\Pi — РпШ .
1» п I \ п < х i>/ \л < »yj
E3.12)
W** (р, , р%\ Р , Р' ) = -г- Ф I -»■ I Р\ Р I ) Ф ( ~£ I Р\ Р' 1/1
E3.13)
где импульсы до рассеяния и после рассеяния связаны законом
сохранения.
Усредненная по спиновым состояниям вероятность столкнове-
столкновения соответствует рассеянию без изменения спина. Напротив,
♦) При этом учтено, что
Aw,

222 Гл. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
разность вероятностей рассеяния для различных спиновых состо-
состояний сталкивающихся частиц определяет изменение квантовой
функции распределения из-за различной заселенности частицами
различных спиновых состояний.
Далее, для правой части уравнения E2.14), используя выраже-
выражение E3.10), можем написать *)
P^P[dPib (Pl + рг - р\ - р'2) х
1, р2; рг, p'2)]{o(p'l)f(p2)—o(p1)f(pi)}
P'i< P'2) — Т WU (Pl' P*; P'v P'j] (a (P'J
— a (Pi) f (Pi)}} + ^Ef\dpidp\dP'ib (pi + Рг - P'x — P2) X
д ">tt (Pi' P* P'i< P'2) — Т
Рг, Р\, P2)][3(Pt), 0(Pi)\- E3.14)
Первый интеграл правой части формулы E3.14) по виду и по смыс-
смыслу отдельных слагаемых подобен интегралу столкновений E3.11).
Напротив, второе интегральное слагаемое в E3.14) не связано
с релаксационными процессами и соответствует поправкам, обус-
обусловленным взаимодействием частиц, к динамической части урав-
уравнения спиновой плотности распределения, которая определяет,
в частности, спиновые осцилляции (ср. задачу VIII.1).
В заключение вывода интеграла столкновений, соответствую-
соответствующего случаю высоких температур, сделаем одно замечание. Для
состояний газа, в которых о (р) = 0, интеграл столкновений не-
несколько упрощается, поскольку в нем можно опустить слагаемое,
соответствующее перебросу спина. Получаемое ори этом выраже-
выражение по форме имеет вид интеграла столкновений Больцмана, а по
сути дела является квантовым аналогом интеграла столкновений
Ландау D9.10). Следует заметить, что использование интеграла
столкновений E3.11), например, в случае экранированного куло-
новского взаимодействия не приводит к возникновению расходи-
расходимости при больших передаваемых импульсах. При этом, посколь-
•) Нетрудно убедиться, что
• о„ о,
+ 1 <Р>) в (pi) - i [<J (Pi), б (pt)]j.

§ 53. КВАНТОВЫЙ ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 223
ку для перехода от E3.11) к интегралу столкновений Ландау
следует взять предел Тъ -*- О, что соответствует предположению о
малости де-бройлевской длины волны частиц по сравнепию с при-
прицельными параметрами столкновений, нетрудно понять, почему
при использовании интеграла столкновений E3.11) в случае ку-
лоновского взаимодействия возникает аффективное обрезание при
малых прицельных параметрах, приводящее к появлению в куло-
новском логарифме в качестве минимального прицельного пара-
параметра величины rmin = Н/црт.
Обратимся теперь к выводу интеграла столкновений, пригод-
пригодного для случая газа частиц, находящегося при низких темпера-
температурах, когда числа заполнения квантовых состояний не малы по
сравнению с единицей. Имея в виду соображения, использованные
при переходе от формулы E3.7) к E3.8), пренебрежем зависимо-
зависимостью одночастичных квантовых распределений от проетрапствен-
ных координат. Тогда формулы E3.3) и E3.5) можно записать
в виде
(П) Гз. Ри р%. t) = _ б (Pl- pSdp[dp$Pl - Щ^) X
V V ««. »» J \ /
X /„;, Oj (pt, t) /о. в) {р\, t) exp {I (r, - r2, Pl - jh)}, E3.15)
= ypldpidp.6[p1- 2 2J б {Pi~ — 2—
x
xexp ||- {p'r rx - r2) + -i- (р'з, }<2 - r3) +
~ (p[, r3 -
<53Л6)
Используя эти выражения, можно показать, что учет инте-
интегрального слагаемого уравнения E3.1), содержащего F д0), приво-
приводит к возникновению в правой части в уравнении E3.6) для пар-
парной корреляционной функции следующего дополнительного ад-
аддитивного выражения:
1 ^i(* , ., ,, .о. I ю — »' — т>') 1ф1—\т — п \) v
1 а L ча Х 2 J

224 Гл. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
f ' A> ) f '
'о,, a, V-^V ' aJt i
— ( '_ ' _ \
/а. oi (р;) [/о. я> (Р;) /аа, ei (Рз) г т (».-»:; —) _
- /0;,0,(^з)/0„01(Р2)еХ 1><~1>" Г'~Г!)]}}- E3-17)
В предположении медленного изменения во времени квантовых
распределений при интегрировании уравнения для парной корре-
корреляционной функции можно пренебречь зависимостью от времени
функций /0,0', входящих в E3.17). Очевидно, что в таком случае
выражение E3.17) дает следующее дополнительное слагаемое
к правой части формулы E3.8), определяющей функции
&>•'.<>•'.<»•,<»• (ru r2; Pi, pt; t):
о
dt' lh S $ rfj»'Av*A* (Pi + Pi ~ Pi ~ P
[б (A_ -^4Aku (a) /
y
i (A) /«..* (Pi) 1 - Ф I Tl P^ - Рз i) | 6( p2- ^j^) X
,- (A)/o,.o,(A)-
,,a, (ft) /o; oj (ft)!} exp j-i- (Pa - Ps- П — П + I«i - «si OJ -

§ 53. КВАНТОВЫЙ ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРЛВНГСННЯ 225
л (a) faU (рг) fgiat (а)]
ф D | А - Рз |) [в (а- ^3)/0;,о, (Pa) /o,0, (A) /Oi'roi (A)
X охр 1— -j- (а — Ps, >\ — r-i + f"i — "■>) OJ- ' (.rK.18)
Подставив выражение E3.18) в правую часть квантового кинетиче-
кинетического уравнения E2.9), находим следующую добавку к интегралу
столкновений E3.10):
(Pi) ( .,„ „ г
• (Pi + Рг — Pi — Ps) X
4 ГЛь.о, (A) — /а,.о,(РгI X
X [// (Pi) /o,,Ol (Pi) + f ■ (Pi) /o,.o, (Pi)]} — Ф ( -j- | Pi — Pi I) X
"ft" 1 P2— Pi I l\ -n- If' n (Pi) /o,, O, (Pi) + / ' „ (Pi) /o,, 0, (Pi) ) X
X [/o,,o, (p2) — /o,,o, (Pa)] + /o,,o, (P2) / ' (Pi) fo,,o, (Pa)
4" I/ ' (Pi) /»..»» (Pa) + /„' „ (Pa) /=..=« (Pi)) /»..
- S \dpidp2dp28 (Pi -|- Рг — Pi — A) -v-—; sc тт-~- X
X ({[/O!,o, (Pa) - /о..», (А)! [ф D" I Pi ~ ^h |J] I/o; o (A) /0,,;0, (pO
Ф (-F 1 Pi - Pi l) Ф (-J- I ^ - ^ l) X
i) X
„ (pi)/o,.o.(P2)]/o,,o1Bl) + I/
- /О'|Л (Pi) /e,.r, (A)] /o,.a, (A)})- E3.19)
Очевидно, что ото выражение позволяет записать соответствующие
добавки к интегралам столкновений E3.11) и E3.14). Предоставляя
8 В. П Силик

226 Гл. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТК0Р1Ш
это читателю, мы ограничимся теперь случаем о(р) — 0. Тогда
согласно формулам E3.10) и E3.19) можем записать следующее
выражение для интеграла столкновений:
. = 19^W \ dptdptdp^ (Pi + Р%~ Pi
, p\ P'i Р'з \ Г 1 / ' 3 / ' '
H—о —о о—\\~1~Щ1\Р\.тР*'- Pir PA-V ~т w\\ (Pi< Pi', Pxlh
' ' \ Г " 1 II 1
I / (Pi) / (Pa) 1 Г BяЙK / (j>2) 1 ;r- BЯЙ)'
1 l JL
Г 1 ' i Г 1 ii
x /^© и 1 —^я^-1) / (t) nil —- BijifiK f G2 ') r E3 20)
Здесь помимо обменных эффектов, проявляющихся в выражениях
для вероятностей рассеяния частиц E3,12) и E3.13), тождествен-
тождественность частиц проявилась в возникновении множителей
отражающих принцип запрета (принцип Паули), согласно которо-
которому в одном и том же квантовом состоянии пе может быть больше
одной частицы со спином 1/2. Действительно, такой множитель
представляет собой вакантное число мест в соостоянии с импуль-
импульсом р.
Таким образом, формула E3.20) представляет собой интеграл
столкновений, отличающийся от классического больцмагювского
лишь статистикой Ферми — Дирака для частиц со спином полови-
половина [14]. Такой интеграл столкновений часто называют квантовым
интегралом столкновений Больцмана.
В заключение этого параграфа получим квантовый аналог
уравнения для парной корреляционной функции D8.3), позволя-
позволяющего последовательно учитывать эффекты, обусловленные даль-
нодействующим характером кулоновского взаимодействия заря-
заряженных частиц. При этом ограничимся случаем процессов, для
которых <т = 0. Кроме того, полностью пренебрежем тождествен-
тождественностью частиц, что возможно при ограничении случаем не очень
низких температур, когда число частиц, находящихся в данном
квантовом состоянии, мало. Поскольку тождественность частиц
проявляется в обменном взаимодействии частиц, существенном
при больших передаваемых импульсах, то в подобном приближе-
приближении рассеяние частиц с малыми относительными прицельными па-
параметрами будет описываться неполно. Имея все это в виду, можно

§ 53. КВАНТОВЫЙ ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 227
считать, что (ср. § 45)
/ 2 ^ ( ) / (
8 (xx, X2),
E3,21)
0,0,0,
В предположении малости взаимодействия частиц, пренебрегая
трехчастичной корреляционной функцией d, с помощью уравне-
уравнения E2.4) и E2.5) нетрудно записать следующую систему уравне-
уравнений для одпочастичной квантовой функции распределения и кван-
квантовой корреляционной функции g:
■ +v ~) f (r, p, t) - _
_
х
hx
X
-г
«r^1;i»=[lL4wS
X
U
hx
, _ ,.'
•.г'; p", p';t).
E3.22)
X
fix
2
\U (I
-r, - r3 + •§
j\f(r3,
1 1
dxdp3dr3dp2 x
X
4
P'X

228 Гл, VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
X
Нх
2
— U
_ Гз _
.J.
I)]"
t, р2> t) х
E3.23)
Если в этом уравнении пренебречь последним слагаемым левой
части, которое в силу малости взаимодействия частиц мало по
сравнению с первым слагаемым правой части, то получим кванто-
квантовый аналог уравнения D8.3).
Два других интегральных слагаемых левой части уравнения
E3.23) соответствуют самосогласованному полю. В условиях,
когда самосогласованное поле не влияет на столкновения частиц,
уравнение E3.24) может быть записано в более простом виде[19]г
X
— и
X
dxdPl
Pl) б (Pi + Ръ — Pi~ Pi) \tf { Tj — ra + -j-'
X
-L.hr \ )-U
\ f (>'v p'i, t)g (r2, r3; p2,
^-^dxdr3dp3
X dp2eitipz- ■"■> [С/ С | r2 - r3 + ~ %x |) - U
V, ~ Га n- ft X
>\,i^;Pi,p3;t). E3.24)
Это уравнение впоследствии будет использовано нами для вывода
квантового интеграла столкновений, учитывающего эффекты ди-
динамической поляризации заряженных частиц при их взаимодейст-
взаимодействии.
Задачи
Задача VIII.1. В приближении квантового кинетического уравнения,
учитывающего обменное взаимодействие (приближение Фока), определить
изменение во времени пространственно однородной квантовой плотности
распределения спина, считая радиус действия сил между частицами малым.
Решение. Для пространственно однородного случая согласно уравнению
E2-9) без учета столкновений имеем
So i

задачи 229
Отсюда, в частности, непосредственно следует
\da(p, t) — const.
Иными словами, полный спив сохраняется.
Для малого радиуса сил, действующих между частицами, можно принять
— If
ф (к) = const. Тогда обозначая ша = -^ Ф } dpa и ориентируя ось z вдоль
этого вектора, можно записать решение задачи следующим образом:
бг (р, t) = const,
«ж (Р. <) = вх (Р. 0) cos cuot -| — <s'x (p, 0) sin coet,
<J« (P. 0 = e« (Pi °) cos cuo« + — 6^ (p, 0) sin сйог.
При этом
e^.(p,0) -^ — <йа0у (р, 0),
з„ (р, 0) = сйаах (р, 0).
Кроме того, должны выполняться условия
dpax (р, 0) = | dpov (р, 0) = 0.
Задача VIII.2. Найти равновесное решение квантового кинетического
уравнения для случая пространственно однородного газа с равным числом
частиц в различных спиновых состояниях (а = 0).
Решение. Искомое распределение должно удовлетворять кинетическому
уравнению, которое в интересующем нас случае сводится к [df/dt]st = О,
где иитеграл столкновений имеет вид E3.20). Повтому равновесная кванто-
квантовая функция распределения определяется уравнением
/ (Pi) J (P.) [l - уBяА)а / (Pi) ] [* - Т Bяй>3 / (Pi)] =
ц) / (p't) [l - у BяйM / (Р')] [{ - Т BяА>3 / (
где штрихованные и нештрихованные переменные связаны законами сохра-
сохранения импульса и энергии. Это соотношение можно переписать в виде
1 /(Pi) , , /(Р2)
In \ + In —— =
'<pi> , /(Ра)
=in i ; + ln

230 Гл. VIII. ОБОСНОВАНИЕ КВАНТОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Такая форма записи позволяет говорить о сохранении при столкновении.
Имея в виду законы сохранения импульса н энергии, можем поэтому записать
/ (р) Рг
1п —+ '!> + е [» 4 ]
1п _— = «5S- + '!> + е = а [» 4- «.,].
1 - -у- Bл*)* / (р)
где W = (р — mvo)s/2m. Таким образом, получаем распределение Ферми
(ср. [14])
где Т — температура, аи, — химический потенциал.
В пределе высоких температур это выражение переходит в распределение
Максвелла. В противоположном пределе низких температур, когда -лТ <g:
<С <?/,■ = Р/,"/2т(где Рр = (Зл3Л'/К) ''h), получаем пырожденнос распределение
2
Ферми:/ ~-72йдпг при 5?< #7,. и / =; 0 при #> $F, соответствующее тому,
что почти все частицы находятся пнутри сферы радиуса рр фазового прост-
пространства импульсов.
Задача VIII.3. В приближении квантового кинетического уравнения
с самосогласованным нолем найти спектр собственных колебапий электрон-
электронного газа [6—8, 15].
Решение. Для малого отклопения от состояния равновесия, в котором
/ = /0 (р) и о = 0, уравнение E2.10) имеет пид
/ д д \ . . . 11
Ж
1' ~ -*- " 7пг 6/ \»'. Р- 0 - 7F Гя^5 \ ^т rfp"di-70 (P") «11Г (* -р) х
х I г/ ( | г - г' ч -^r *t 11 - и ( I г - г- - 4-*т
]] ^rfp'/ (r', p'; /) = 0.
Рассматривая подобно тому, как это было сделано в § 29, начальную задачу,
находим следующее дисперсионное уравнение, описывающее зависимость
частоты собственных колебаний от волнового вектора:
Г
L/
hk
I — /о Р —
/|7с
2
гдн А — бесконечно малая положительная величина, использование которой
определяет особенность в точке (о = fcw, а Ф(к\ в случае кулоиовского
взаимодействия равно Апе2/к2. Для длинных волп п состоянии, слабо отличаю-
отличающемся от вырожденного ('лТ <sj ^f)> n частности, получаем
где fp = pF/m — скорость электрона иа (чрерс Ферми. В пределе /cnF
>> coL< ^> hk2/2m имеем
2 *24
Если в последней формуле пренебречь малым экспоненциальным слагаемый,
то получится спектр, соответствующий возбуждению отдельных электронов,
поднимаемых при возбуждении пад поверхностью Формп.

:<ад\чн 1231
Задача VIII.4. Для вырожденного ферми-газа со слабым взаимодейст-
взаимодействием, имеющим малый радиус действия сил, найти спектр незатухающих
собственных колебаний с длинами воли, значительно превышающими рас-
расстояния между частицами [8, 16].
Решение. Подставив в общее дисперсионное уравнение, полученное в
предыдущей задаче Ф (к) = Ф — const, и считая hk <g:pF, получаем
2%F j ш со -j- kv F
3 (NfV) Ф = ~ 1 + ~T kV^ ln "^TYJJ" ■
Поскольку для слабого взаимодействия левая часть этого уравнения ие.чи-
ка, то очевидно, что частота должна быть близка к значению kvj:.. Действи-
Действительно, находим
еХр
f _ _1 _ ?1 - 2
L з (Л-/К)Ф
При этом необходимо считать, что Ф ^> 0.
Такие колебания ферми-газа получили название нулевого звука, кото-
который может распространяться в реальной фермн-жпдкости (подробнее об
этом см. [17, 18]).
Задача VIII.5. В приближении квантового кинетического уравнении
с самосогласованным нолем, учитывающим обмен (црпблнжриис Фока),
для вырожденного ферми-газа частиц со слабым взаимодействием малого
радиуса найти спектр незатухающих длинноволновых колебаний кванто-
квантовой плотности распределения спина.
Решение. Дли зависимости от времени и координат ~-е~'ш(+1Асс дли
малых колебаний около состояния а0 (р) — 0 уравнение E2.9) ц пределе
длинных воли (hk <=g py) принимает вид
Г ! \ д С /1 ),-]
[со — [к, v\---Z~dp- уР7о(р')Ф1,-й- \Р — P'W)J3(P) =
1 д С I 1
— -ту- к -— \ dp'a (р'\ ф т— '• р — р'
с. op J \ п
Считая Ф — const, отсюда получаем в качестве условия разрешимости сле-
следующее дисперсионное уравнение:
которое отличается от дисперсионного уравнения предыдущей задачи VIII.4
лишь вдвое большей левой частью. Имея в виду малость взаимодействия,
окончательно получаем (Ф > 0)
expf—1
3 (NJV) Ф

ГЛАВА ТХ
ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ,
УЧИТЫВАЮЩИЙ ДИНАМИЧЕСКУЮ ПОЛЯРИЗАЦИЮ
ПЛАЗМЫ, И КИНЕТИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ
И ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
§ 54. Уравнение для уставных вероятностей
облаков потяризации
Предположение об экранировке кулоновского взаимодействия
частиц в плазме позволяет сохранить смысл интеграла столкнове-
столкновений Больцмана (или, что в известном смысле идентично, интегра-
интеграла столкновений Ландау) применительно к кинетической теории
газа заряженных частиц. Однако то, что радиус дебаевского эк-
экранирования кулоновского поля заряда определяется плотностью
числа заряженных частиц, является указанием на необходимость
выхода за рамки представлений, положенных в основу вывода
кинетического уравнения Больцмана, учитывающего лишь пар-
парные столкновения частиц. Такой выход получается при примене-
применении теории многих частиц, позволяющей не только обосновать
обычную кинетическую теорию, но и построить аппарат, пригод-
пригодный для анализа явлений, для которых кинетическое уравнение
Больцмана оказывается непригодным. В настоящее время уже из-
известен ряд таких явлений. Одно из них, связанное с эффектом дина-
динамической поляризуемости плазмы и проявляющееся, с одной сто-
стороны, в экранировке кулоновского поля заряда, а с другой,—
во взаимодействии заряженных частиц с колебаниями плазмы, мы
и рассмотрим здесь.
Поскольку длины волн колебаний плазмы не малы по сравне-
сравнению с радиусом экранирования, то можно говорить, что интере-
интересующие нас эффекты возникают из-за взаимодействия частиц, ког-
когда среднее расстояние между ними больше дебаевского радиуса
(или сравнимо с ним). В газе заряженных частиц со слабым взаи-
взаимодействием выполняется неравенство
x7\ E4.1)

§ 54. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 233
Отсюда следует неравенство ^N/V^ 1, означающее, что ради-
радиус дебаевского экранирования значительно превышает среднее
расстояние между частицами. Поэтому интересующие нас эффекты
обусловлены взаимодействием большого числа частиц и в связи
с этим такие эффекты часто называют коллективными.
Малость среднего расстояния по сравнению с радиусом дебаев-
дебаевского экранирования означает, что энергия взаимодействия пары
частиц на важных для нас больших расстояниях оказывается зна-
значительно меньше средней энергии взаимодействия, которая согласно
E4.1) является малой. Последнее позволяет успешно исполь-
использовать приближение теории возмущений, предполагающей ма-
малость взаимодействия частиц. Это означает, что для парной корре-
коррелятивной функции gab можно пользоваться приближенным урав-
уравнением [1] (см. формулу D8.3))
д ' - д ' " д ' ™ д ' " д I а ,. (г ю ■ Ги п ■ i\ =
I ь аЪ \ ' а' If а > ' 6 > 1'Ь > ' / —
огь ор
а/ь ) эиаъ(\га-гь\)
ЭРьI дга *
j , , А dUar(\ra—rr\)
c, pc;t)
здесь
(rb, p,- t) i
E4.3)
Сила Лоренца Fa определяется внешними электрическим Е и
магнитным В полями, а также самосогласованным электрическим
полем, обусловленным кулоновским взаимодействием частиц
В нашем изложении мы полностью опустим эффекты, связанные
с вихревым самосогласованным полем токов плазмы, которое не
может быть рассмотрено при учете лишь кулоновского взаимодей-
взаимодействия *).
Парная корреляционная функция на интересующих нас боль-
больших расстояниях мала по сравнению с произведением двух одно-
частичных функций. Их отношение определяется параметром ма-
малости (е2/г) : <#). В то же время уравнение E4.2) получено при
пренебрежении членами второго порядка малости — [(ег/г) :< #) I2.
*) С другой стороны, именно такому ограничению соответствует наиболее
важное взаимодействие частиц с потенциальными колебаниями цлазмы.

234 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Это означает, что уравнение E4.2) может быть использовано для
расстояний между частицами больших rmjn = е2/($у. В то же вре-
время при построении решения уравнения E4.2) можно пренебре-
пренебрегать малыми того же порядка, как и отброшенная при его напи-
написании. В связи с последним воспользуемся дальнейшей детализа-
детализацией парной корреляционной функции, представив ее в виде [2]
gab (Га, Ра\ П, Рь\ t) = /о (Га, ра\ t) РаЬ (га, ра | Гь, рь\ t) +
cdpJc (rc, pc; t) x
X Р,а (гс, рс | ra, pa\ t) РсЬ (гс, рс | гь, р„; I). E4.4)
Поскольку частица в плазме вызывает ее поляризацию, то
можно говорить о следующей интерпретации формулы E4.4). Первое
слагаемое правой части формулы E4.4) соответствует произведе-
произведению вероятностей состояния частицы о и состояния облака поля-
поляризации плазмы, созданного частицей Ь. Аналогично, второе сла-
слагаемое содержит произведение вероятности состояния частицы b
на вероятность состояния облака поляризации плазмы, создан-
созданного частицей а. Наконец, последнее слагаемое представляет со-
собой сумму вероятностей состояний всех остальных частиц плазмы,
умноженных на вероятности облаков поляризации, созданных
частицами о и Ь.
Соотнетстненно формуле E4.4) правая часть уравнения D7.7)
для одиочастичной функции распределения определяется услов-
условными вероятностями согласно формуле
Х/С (rc, pc, t) Pca(rc, pc\ra, pa, t) РсЬ (гс, рс | гь, рь\ t)}. E4.5)
Очевидно, что условные вероятности РаЬ, так же как и парная
корреляционная функция, являются величинами первого порядка
малости. При этом последнее слагаемое правой части E4.4) стано-
становится существенно лишь для расстояний между частицами, нема-
немалыми по сравнению с радиусом экранирования-
Для получения уравнения, определяющего изменение во вре-
времени условных вероятностей, следует подставить выражение
E4.4) в уравнение E4.2). Имея в виду тот факт, что в уравнении
E4.2) не учитываются члены второго порядка малости, при под-
подстановке в это уравнение выражения E4.4) можно пренебречь
всеми членами второго порядка, возникающими от дифференци-
дифференцирования по времени одночастичных функций. Иными словами,
для одночастичных функций можно при этом использовать урав-

j 58. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 235
аение приближения самосогласованного поля
Ms
at
Тогда уравнение E4.2) принимает вид
э
Это уравнение, очевидно, тождественно удовлетворяется, если
условные вероятности РоЬ подчиняются уравнению
д
E4-7>
Интегро-дифференциальное уравнение E4.7) получено с той же
точностью, что и уравнение для парной корреляционной функции
E4.2). Однако оно оказывается значительно более простым, в свя-
свяли с чем его можно использовать для решения целого ряда задач
кинетической теории газа заряженных частиц. Некоторые из та-
таких задач мы ниже и рассмотрим.
§ 55. Интеграл столкновений заряженных частиц,
учитывающий динамическую поляризацию плазмы
Рассмотрим случай слабых внешних и самосогласованных по-
полей. При этом, говоря о слабом поле, будем считать, как это дела-
делалось при выводе интеграла столкновений Больцмана, что такое поле

236 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
пренебрежимо слабо влияет на столкновения частиц. Помимо этого
в условиях существенного проявления взаимодействия частиц с ко-
лебаниями слабость полей должна соответствовать возможности
пренебрежения их влиянием на свойства плазменных колебаний.
Тогда уравнение для условных вероятностей E4.7), которое мы
используем для получения интересующего нас интеграла столкно-
столкновений, запишется в следующем виде [2):
dfb(rb, pb: t)
E5.1)
Поставим перед собой задачу найти решение этого уравнения
для распределений частиц, медленно меняющихся при изменении
как пространственных координат, так и ремени. Соответственно
этому при отыскании решения уравнения E5.1) пренебрежем за-
зависимостью функции распределения от координат и времени. Оче-
Очевидно, что в таком случаеРаЬ можно считать функцией разности
га — гь и воспользоваться следующим разложением Фурье:
РаЬ {Га, Ра I П- Phi 0 = [~^f е'^"^ Pab (^ Ра | Рь, О-
Подставляя такое разложение в уравнение E5.1), получаем
j-t i (ft, va — «„)] РаЬ (ft; ра I рь\ t) =
S ec \ dPcPac (*; Pa | Pc t)\ . E5.2)
Дифференциальное уравнение E5.2) может быть записано в следу-
следующей интегральной (по временной переменной) форме:
РаЬ (*; Ра | Рь\ 0 = РаЬ (*? Ра I Рь', Ь) в1*<'«-Ь>«"'«> +
E5.3)
Граничное условие ослабления корреляции D9.8) дает аналогич-
аналогичное условие, налагаемое на условные вероятности РаЬ:
lim РаЬ(га-ьа11-1,],ра\гь-ьь11-Ь),рьи0)=0. E5.4)

§ 55. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 237
Используя такое условие и замечая, что первое слагаемое правой
части формулы E5.3) представляет 'собой фурье-образ условной
вероятности, стоящей под знаком предела в E5.4), можем,,запи-
можем,,записать уравнение E5.3) в следующем виде:
. \
+s e° S йр*р™(/fc; p« I р^i+ь>)\
Вспоминая, что при решении уравнения E5.1) мы пренебрегли зави-
зависимостью функции распределения от времени, заметим, что уравне-
уравнение E5.5) имеет независящее от времени решение, для которого
уравнение E5.5) принимает следующий вид:
X {«« + 2 5 dPcPac (Л', Pa | Pc)} ■ EГ).б)
Интегральное уравнение E5.6) легко может быть решено. Дей-
Действительно, после интегрирования но импульсам частицы Ь, умно-
умножения на заряд еь и суммирования по сортам частиц левой и правой
части уравнения E5.6), получаем
E5.7)
где
е (со, /с) = 1 -f 2'
(А — бесконечно малая положительная величина). Формула
E5.8) совпадает с выражением C0.2) для продольной диэлектриче-
диэлектрической проницаемости плазмы.
Подставив выражение E5.7) в правую часть формулы E5.6),
получаем следующее решение уравнения E5.2):
fc)fc-^ fc^.^+iA • E5.9)
Отметим, что использующаяся при получении формулы E5.7)
операция деления на е (kva, к) имеет смысл лишь тогда, когда эта
величина не обращается в нуль.
Имея в виду формулы E4.4) и E5.2), теперь можно с помощью
решения E5.9) записать выражение для парной корреляционной

238 Гл. XX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
функции
у J fjc —5 __ " _ fafc
e(fcVfc) lb dpa
1 Anef.
|.(>vfc)P -p-
x (*^)
Здесь учтено, что при действительных ш и /с имеет место соотноше-
соотношение е (— со, —к) = е* (ш, /с).
Теперь мы можем записать соответствующий такой корреля-
корреляционной функции интеграл столкновений. Замечая, что после
подстановки разложения E5.2) формула E4.5) принимает вид
dk 4Яея С
* {/ 2^ь)dp,,Pab (к; Рп | Рь) +
{—к;Рь\Рс
E5.11)
и используя соотношение E5.7), получаем
, I e'(fc« ,k)~t(kva, к)
- E5.12)
Подставив сюда выражение E5.9), получаем следующий интеграл
столкновений:
[
E5.13)
где
vn — kvA
1° in ik\ — it \ ——-
[e (*»„,*) I*
E5.1.4)

§ 55. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 239
Такой интеграл столкновений был получен Балеску [3), Лснар-
дом [4] и для слабых отклонений от термодинамического равнове-
равновесия Константиновым и Перелем [5] (вывод квантового интеграла
столкновений см. [6]). Сравнение полученного результата с инте-
интегралом столкновений Ландау показывает, что и формуле E5.14)
учитывается тот факт, что поле движущегося заряда в плазме отли-
отличается от кулоновского поля, а соответствующее отличие опреде-
определяется диэлектрической проницаемостью, характеризующей ди-
динамическую поляризуемость плазмы.
В области больших значений волнового числа к диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость е (&?.>„, Щ стремится к единице. Это отвечает
тому факту, что на малых расстояниях поле заряда в плазме не
отличается от кулоповского. Поэтому интегрирование по области
таких значений соответствует вкладу, возникающему в интеграле
столкновений Ландау. В частности, это означает, что в формулах
E5.14) и E5.13) при больших волновых числах возникает логариф-
логарифмическая расходимость, обрезание которой следует проводить
в точности так же, как и в случае формулы D9.13). Существенное
отличие выражения E5.13) происходит из-за изменения поля за-
заряженных частиц на больших расстояниях. Далее мы детально
рассмотрим вытекающие из этого пекоторые количественные след-
следствия.Для предварительного же качественного понимания пологке-
пия примем, что распределения частиц являются максвелловски-
ми. Поскольку при этом в пределе значений со/А: малых по сравне-
сравнению с тепловой скоростью частиц диэлектрическая проницаемость
принимает вид
e(<o,*)=£l + {krD)-\
где rD — радиус дебаевского экранирования, то ясно, что в обла-
области малых значений волновых чисел интеграл E5.14) не расходит-
расходится, причем для состояний, близких к термодинамически равновес-
равновесному, эффективный параметр обрезания соответствует радиусу
дебаевского экранирования-
Вклад длинных волн в интеграл столкновений E5.13) приво-
приводит, как мы увидим, к качественно новым эффектам, поскольку
он описывает взаимодействие частиц с колебаниями, могущими
распространяться в плазме. Условие распространения таких
волн соответстнует малости диэлектрической проницаемости
е (ы, к). Как это следует из формулы E5.14), такая область зна-
значений диэлектрической проницаемости может дать существенный
вклад.
При выводе интеграла столкновений E5.13), решая уравнение
E5.1), мы пренебрегли зависимостью функций распределения от
чоординат и времени, считая такие зависимости достаточно медлен-
медленными. Для того чтобы понять смысл такого приближения, заметим,
нто возможны две различные ситуации. В первом случае вклад

240 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
взаимодействия с волнами в интеграл столкновений E3.13) мал
и основной эффект, обусловленный динамической поляризацией
плазмы, проявляется лишьвдебаевской экранировке кулоновского
поля. Очевидно, что в этом случае положение аналогично тому,
которое имеет место для интеграла столкновений Ландау. Именно,
можно говорить о применимости интеграла столкновений в случае
распределений, пренебережимо слабо меняющихся на расстояниях
порядка радиуса дебаевского экранирования (определяющего
радиус действия сил) и пренебрежимо медленно изменяющихся за
время полета частицы через область действия сил. Последнее озна-
означает, что характерное время изменения распределений заряжен-
заряженных частиц должно быть велико по сравнению с соответствующими
ленгмюровскими частотами плазменных колебаний.
В качественно новой ситуации, когда в интеграл столкновений
дают существенный вклад плазменные колебания, возникают
иные характерные масштабы. Именно, интеграл столкновений
E5.13) может дать правильное описание взаимодействия лишь с ко-
колебаниями, длина волн которых много меньше характерного
масштаба пространственного изменения функции распределения.
Далее, характерное время изменения функции распределения
должно быть велико не только по сравнению с периодом соответ-
соответствующих плазменных колебаний, но так же и по сравнению с их
характерным временем затухания, поскольку в противоположном
случае необходимо одновременно с изучением временной зависи-
зависимости распределений частиц рассматривать кинетику колебаний
плазмы.
§ 56. Асимптотическая форма интеграла столкновений,
учитывающего динамическую поляризацию
неизотермической плазмы, обусловленную
эффектом взаимодействия частиц с ионным звуком
В изотермической плазме с равными температурами электронов
и ионов могут распространяться лишь электронные ленгмюров-
ские колебания. Фазовая скорость ы/к таких волн велика по срав-
сравнению с тепловой скоростью электронов. Это означает, что оказы-
оказывается относительно весьма малым число частиц, для которых вы-
выполнено условие эффекта Черенкова ш = kv и которые, как это
следует иа формулы E5.13), лишь и могут взаимодействовать с
плазменными колебаниями. Поэтому в случае изотермической
плазмы вклад взаимодействия с волнами, описываемый интегралом
столкновений E5.13), оказывается сравнительно очень малым
[7, 8] (см. также [38]).
Совершенно противоположная возможность открывается для
случая неизотермической плазмы, в которой температура электро-
электронов достаточно сильно превышает температуру ионов. Действи-

6 56. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ 241
тельно, в таких условиях в плазме существуют ионно-звуковые
волны с фазовой скоростью, большей тепловой скорости ионов,
но в то же время малой по сравнению с тепловой скоростью элект-
электронов. Такие волны при Те ^> Ti слабо затухают для длин поли,
много больших радиуса дебаевского экранирования, который п рас-
рассматриваемых условиях неизотермичности совпадает с ионным:
/хТ,
—-1— .
4ж;гл.
Можно поставить задачу получения с помощью общого выраже-
выражения E5.13) асимптотического интеграла столкновений, пригодного
п условиях сильной неизотермичности Те^> Tit в котором явно
выделен вклад взаимодействия с ионно-звуковыми волнами [9].
При решении такой задачи прежде всего следует заметить, что
иоино-звуковые волны с длиной волны меньше р.чдиуса дебаевско-
дебаевского экранирования по существуют. Поэтому можно пренебречь по-
поляризацией плазмы для таких коротких волн и пместо формулы
E5.14) записать следующую:
U; («а. "ь) ~ f'if (Va — »b) "I" Ы'1} (»V Wl,), ('Г)('.-)
где
va dk
— n
-1 , -1
rmin>";>1'ni
E6.3)
Выражение E6.3) представляет собой интеграл столкновений Лан-
Ландау и отвечает учету лишь парных соударений заряженных частиц.
Формула E6,4) содержит вклад, обусловливаемый плазменными
колебаниями. Поскольку частота плазменных волн определяется
из условия обращения в нуль действительной части диэлектриче-
диэлектрической проницаемости, то в условиях малости затухания плазмен-
плазменных колебаний в окрестности е = 0, можно воспользоваться сле-
следующим соотношением:
яб [е* ((.), Щ
E6.5)
где е' и е' — действительная и мнимая части диэлектрической
проницаемости. Поэтому вместо формулы E6.4) можно записать

242 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
следующее приближенное выражение, описывающее взаимодей-
взаимодействие с колебаниями:
Хб(<о — kva)8(a>~ Jcvb). E6.6)
Наибольший эффект, обусловливаемый взаимодействием с ионным
звуком, возникает в электрон-электронном интеграле столкнове-
столкновений. Поскольку фазовая скорость ионно-звуковых волн мала по
сравнению с тепловой скоростью электронов, то для распределе-
распределений, слабо отличающихся от максвелловских, можем записать
E6.7)
Здесь диэлектрическая проницаемость определяется формулой
E5.8), в которой используются максвелловские распределения,
а поэтому не зависит от направления вектора к. После интегриро-
интегрирования по углам в правой части формулы E6,7) получаем
6i"(w,v') = 2G —" . '^Т, , E6.8)
где
rDi
E6.9)
Поскольку для плазмы, состоящей из электронов и одного сорта
ионов, в области существования ионного звука действительная и
мнимая части диэлектрической проницаемости имеют вид
E6.10)

I 57. И0НН0-ЗВУК0ВЫВ КОЛЕБАНИЯ 243
то, выполнив в E6,9) интегрирование по частотам, получаем
R условиях сильной неизотермичности основной вклад в ин-
интеграл вносит область значений
, Г <о* »i. I г*
Z2 _* __ /Г. Г„Л2 ln Li Te_ I \ -Р'
Поэтому при Те 5s> 1\ получаем следующее асимптотическое выра-
выражение для интеграла E6.12) (принято епе + е^ = 0):
H4£
E6.13)
Проведенное рассмотрение для распределений, слабо отличаю-
отличающихся от максвеллоиских с разными температурами, позволяет
теперь в следующей форме записать интеграл столкновений элек-
электронов с электронами [9]:
dt Jst "Л J ^ I I «—«'I*
Добавка к интегралу столкновений Ландау, возникшая в формуле
E6.14), становится доминирующей при Те/Т{ ^ Ю3. Для элект-
электрон-ионного интеграла столкновений возникает аналогичная до-
добавка, которая содержит, однако, дополнительный малый множи-
множитель 2 [\п{^тгТ3е1егтеТ\)ГК
§ 57. Влияние ионно-звуковых колебаний
на э^ектрониыэ потоки в неизотермической плазме
Из рассмотрения, проведенного в предыдущем параграфе, вы-
вытекает, что в условиях сильной неизотермичности плазмы ионно-
звуковые колебания существенно видоизменяют интеграл столкно-
столкновений электронов с электронами. Это позволяет ожидать значи-
значительного влияния ионного звука и на коэффициенты переноса.

244 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Поскольку наиболее существенное проявление взаимодействий
с ионным звуком связано с электронной компонентой плазмы, то
мы поставим перед собой задачу выявить влияние такого взаимо-
взаимодействия на неравновесные электронные потоки в неизотермиче-
неизотермической плазме [10—13].
Ограничиваясь случаем плазмы без магнитного поля, восполь-
воспользуемся здесь методом Энскога—Чепмена, с помощью которого оп-
определим электрический ток и электронный поток тепла. Считая,
что функция распределения электронов имеет вид
U (г, ре, t) = fe0 (г, ре, t.)[l+ Фе(г, ре, 01, E7.1)
где fe0 — локальное максвелловское распределение, можно запи-
записать следующее уравнение первого приближения метода Энскога —
Чецмена:
аы(пе*те) ев / pi 5 \ аыт
E7.2)
В правой части уравнения E7.2) следует использовать линеаризо-
линеаризованное по Ф„ выражение интеграла столкновений E5.13). Прене-
Пренебрегая отличием ионной функции распределения от максвеллов-
ской, что возможно благодаря относительной малости скоростей
ионов по сравнению со скоростями электронов, линеаризован-
линеаризованный интеграл столкновений E5.13) можно записать в виде
(Pb)
1
x
£о (со, к) (со — kvc + /А)
''}. E7.3)
е0((о, 1с) (м- kvc — iA)
где
X
'l-i С dte"/*. E7.5)

S 57. ИОННО-ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ 245
Суммирование но сортам частиц предполагает, что индексы а, Ь, с
принимают дна значения, соответствующие электронам и ионам,
причем Ф; — 0. Заметим, что интегрирование по А-, в формуле
E7.3) ограничено со стороны больших значений величиной
•fcmax = rmin, как и в обычном интеграле столкног.ений Ландау.
Решение уравнения E7.2) представим и виде разложения в ряд
по полиномам Сонина — Лагерра:
Фе= 2 {veCr)L?{mevl/2xTe). E7.6)
vo Цх7'е дг
г
где
При этом для коэффициентов разложения Ог после подстановки
выражения E7.6) в уравнение E7.2) возникает следующая систе-
система уравнений [12]:
1 [\ еЕ <Нп(«ехГЛ 1 с _ с г, О1иТл _
-зг-(-
Л — In (гц/гш1п1, ч
4 У^^пе \ (г,7.8)
Матрицы МГ и 6М„Г возникают от интеграла столкновений
электронов с электронами, причем первая из них отражает факт
обычных парных столкновений и имеет вид
0 0 0 0 ...
/0 1 3/2 45/16 ...\
С = -^С dxe-*MiTC*) -= I 0 3/2 45/4 927/32 ... | .
% ~t \Ю 45/16 927/32 50913/256 ... /
E7.9)
Влияние динамической поляризации плазмы на электрон-элект-
электрон-электронные столкновения характеризуется матрицей ЬМST, определяю-
определяющейся следующим образом:
со
8МЯГ = - -±= ^ dx е-* М,г (лг») [^ In (А* + В*) +

246 Гл, IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
где
, E7.11)
В
(х) - i/Z-
а элементы матрицы М„ (z) имеют вид
М.о = Me. = 0; Ма = 1 + 2z, М„ = М21 = 3 + 3z - 2z2, I
М13 = М31 = -|- [15 — 15z2 + 2z3],
Мш = 13 + I6z — 3z2 -j- 2z3,
Л^гя = Мгг = 4- 169 + 27z - 17z2 + Hz3 — 2z4],
222z
2z5],
E7.13)
Матрицы У8Г и Хзг, входящие в правую часть уравнения E7.7),
возникают благодаря интегралу столкновений электронов с иона-
ионами. При этом
Y — D P D _ d 3 15 i05
Asr — rsrT, где i „ — ^l, -g- , -^— , g ,
1 3/2 15/4 105/8
/ 3/2 13/4 69/8 495/16
Fsr= 15/4 69/8 433/16 3231/32
I 105/8 495/16 3231/32 26613/64
E7.14)
E7.15)
Заметим, что матрица Y„ возникает и и теории, неучнтывающей
динамической поляризации плазмы. Это ясно из того факта, что
при ней стоит множителем кулоновский логарифм Л. Заметим
здесь, что возникновение радиуса дебаевскогоакранированияв ку-
лоновском логарифме при использовании интеграла столкновений
E5.13) является следствием учета поляризации.
В нашей записи Л учитывает статическую поляризацию плаз-
плазмы. Влияние динамической поляризации на столкновения электро-

§ 57. ИОННО-ЗВУКОВЫК КОЛЕБАНИЯ 247
нов с ионами характеризуется величинами g н К, определяемыми
следующими формулами:
1 f J ~t/» Г ^ i , Л1 , rav i Л / я
g = ~гг=\ "~х е~ ~2~ ' ~^~ ' ~^~ ГвТ \~2 агс*'8 г
E7.16)
к = А
где А ш В имеют вид E7.11) и E7.12) »
В системе уравнений E7.7) все матрицы являются числовыми.
Исключением является только матрица ЬМsr. Но и для последнс!!
можно также получить приближенное выражение, позволяющее
свести ее также к числовым матрицам. Покажем это.
Прежде всего заметим, что матрицу MST (л;2) можно предста-
представить в виде ЛГ,Г -(- \x,sr (x2), где матрица ц обращается в нуль при
х* = 0, а
0 0 0 0 ....
О 1 3 45/4 ...\
0 3 13 207/4 .... E7.19)
0 45/4 207/4 3897/16 ... /
Эта матрица входит в уравнения E7.7) с множителем вида
E7.20)
В таблице приведены результаты численного интегрирования этого
интеграла для случая водородной плазмы [(т{/те) яг 1840]. В ус-
условиях сильной неизотермичности GVJs> 7^) можно получить асимп-
асимптотическое выражение интеграла E7.20). При этом основной

248 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Т а б л и ц а
/,
1,
g
к
к
численное . . .
гю E7. 21) ...
. ..•-...
численное . . .
но E7. 27) . .
i
0
0
-0,4
0
0
10
0,Г»
0,35
—0,16
0,029
0,048
„
2
1С
,56
35
—0,01
0
0
,28
22
18
17
—_
1
1
те/т{
10'
,5
,8
),0?.5
.40
,2«
10'
138
112
—0,022
8,7
8,1
1С
1181
1190
-0,022
59
57
10'
10*
1,02■104
—
вклад дает область малых значений .г, в которой А(х) <^ U, а
В(х) <.%. 1. Эта область как раз соответствует фазопыы скоростям
слабо затухающих ионно-звуковых колебаний плазмы. При этом
л (х) =
Т.
т
р
т.
Подставляй ото иыражение и E7.20), заменяя arctg Л/В на
— я/2 и опуская относительно малое логарифмическое слагаемое,
получаем
1 ~~2~
Т'
E7.21)
Это выражение уже возникало у нас при построении асимптотиче-
асимптотического выражения для интеграла столкновений, учитывающего
взаимодействие с ионным звуком. Оно отражает асимптотически
наиболее существенное проявление такого взаимодействия.
Далее следует заметить, что при учете вклада \i3T (x2) область
малых значений х оказывается малосущественной, а основной
вклад в интеграл дают значения х — 1. В области х такого поряд-
порядка величины
А (х) =
= Л/' — -
у 2
т.
Поэтому окончательно формулу E7.10) можно записать в виде
r - INrt + Jrs h —- In
(Л7.22)

§ 57. ИОННО-ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ 249
W Jts и -^rs (так Ж(Ч как и Nri) — численные матрицы, опреде-
определяемые формулами
о
E7.24)
и имеющие следующий вид:
,0 0 0 0 .
О 0,094 —0,56 -1,31 .
Лз = | 0 —0,50 3,2 —3,67 ... |, E7.25)
О —1,31 —3,67 7,19 ...
,0 0 0 О
О 1/2 0 —45/16 .
Lr, = |0 0 19/4 99/32 ... |. E7.26)
О -45/16 99/32 19737/256 .
Функции К и g, так же как и функция /, имеют простой асимп-
асимптотический вид при Те J§> T{. Именно,
Т,
4-1 !ш.
= J dx tr** {4 In [A - Re /+ (x)f + ~
-$- — arctg 'Д"^^ Ц = —0,022. E7.28)
~£ __ xttn
В таблице приведены результаты численного вычисления функций
/, К, g, а также для сравнения приведены значения функций I и К,
полученные с помощью асимптотических формул E7.21) и E7.27).
В приблизкении четырех полиномов Сопина — Лагерра, решая
систему четырех уравнений E7.7), для однократно ионизован-
ионизованной (|е| = е{) плазмы получаем следующие выражения для

2ГH Гл, IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
электрического тока и электронной плотности потока тепла:
=e\idp.vj. = -^ нТ,С0 =
1
}, E7.29)
i-
где
„ A x7», A _ "* {КТ°Г (a10 f ^ - ^lnIra.K/'el \ _ a g'n^el
E7.30)
a00 = i|2£-A3 (l + 0,491 4"+ 0,649 4 + 0,997 4 + 2,255 4 +
+ 0,670 4+ 0,202 ^t+0,454^+ 0,125^+0,456^- +
+ 0,324-J-+ 0,340-—-+ 0,225 ~ + 0,303 A + 0,00743 ^ +
+ 0,0425 -^- + 0,0374 IL+0,714^-) , E7.31)
«io = «ei = -^ Л3 (Л + К + g) (l + 0,533 4 + 0,771 A +
+ 0,557 4 + l-r»9 4 + 0,053-J- + 0,248-^- + 0,415-J^ +
+ 0,204-^ + 0,122 £+0,147 A), E7.32)
«п = ^р-Л2 (А + Я + g)(l + 0,497 4 + 0,631 А + 1.
+ 0,390 4 + 0.074 -£ + 0,54 -g- + 0,28 § + 0,52
+ 0,19 A + 0,054 ^ + 0,046 AJ ; E7.33)
здесь Л = In (гв/гюш); S = -i=ln A +
Д = Л8 (Л + К + g) (I + 0,875-J- + 0,982 А +1,92 jL + 0,67 4 +
+ 0,18 -g- + 1,02 £ + 0,50 A + 0,34 A + 0,28 £ +0,015 J-f
+ 0,09 ^ + 0,073 £ + 0,25 *L + 0,13 ^) . E7.34)
Для изотермической плазмы согласно таблице влияние взаимо-
взаимодействия с ионно-звуковыми волнами приводит лишь к пренебре-

§ 57, ИОННО-ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ
251
жимо малым поправкам к кулоновскому логарифму Л, который
для типичных плазм меняется в пределах от 5 до 20. Если пре-
пренебречь такими поправками, то (ср. [14, 15])
1,963
1,403 4,166
= аО1 = —д— ; ап =—-г—
E7.35)
Если отношение температур электронов и ионов лежит между
десятью и ста, то ионно-звуковые поправки становятся суще-
существенными, хотя они все еще остаются поправками. Тогда можно
написать
«оо = Цг- A - 0,226^- + 0,015 А\ ,
„ J4°i(i -0,343-L- 0,211 A- M12 4-] .
10 Л \. Л Л Л j
плл = А№- U _ 0,378 А - 0,351 А - 0,278 -U •
и
E7. .46)
Взаимодействие с ионно-звуковыми колебаниями становится
определяющим при {TJT^ > 103. При этом формулы E7.31) —
E7.34) могут быть записаны в виде
О-пп =
АГ)Д
1 + 135 -д- + 66 -^ + 87,5 -р- + 134 -jr
«п =
+ 90 -£ + 27 ££- + 61 ^ + 16,8 -2- + 01 '-£
-5jJL Л 4- 18,8 А + Ю -у" + 14'5 7^" + 1П'5 -W ^"
+ 4,6 А + 3,8 А + 2,3 ~ -1-2,8 А)
21,2 /. , . о г Л2 . о ^ Л . о г Лб i с Л ,
-J5~(l + 13,5 -^- -f- 6,7 — + 8,5 -р- + 5 -^- -f-
= 1 + 68,6 А + 60^
124 А
4 34,6 А + 23,6^ + 19,4
E7.37)
E7.38)
E7.39)
E7.40)
Особенно упрощаются эти формулы при (Те/Т{) ^> 10*. В этом
случае формулы E7.29) и E7.30) принимают следующий асимпто-
асимптотический вид:
_
_
mfv./
dr
dr
E7.42)

252 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
В таком асимптотическом пределе взаимодействие с ионным звуком
привело к качественному видоизменению коэффициентов электрон-
электронного переноса. В условиях сильной неизотермичности оказывается
весьма большой интенсивность ионно-звуковых колебаний, что
и является фактической причиной полученного эффекта измене-
изменения коэффициентов переноса.
§ 58. Кинетические уравнения, описывающие
релаксацию распределения пчазменных колебаний
и релаксацию распределений частиц, обусловленную
взаимодействием с плазменными колебаниями
Хотя интеграл столкновений заряженных частиц, учитывающий
динамическую поляризацию плазмы, позволяет рассмотреть влия-
влияние плазменных колебаний на релаксацию распределений частиц
и на процессы переноса в плазме, однако такое рассмотрение оста-
остается все еще сравнительно ограниченным. Именно, при этом пол-
полностью выпадает из поля зрения вопрос о временнбй зависимости
колебаний, которые, как известно из теории колебаний плазмы,
могут затухать во времени или нарастать, если плазма неустой-
неустойчива. Последний случай представляет особый интерес, поскольку
благодаря развитию неустойчивости интенсивность колебаний мо-
может стать весьма большой, а поэтому плазменные колебания могут
существенно изменить закономерности релаксации частиц. Ниже
мы ограничимся именно таким случаем неустойчивой плазмы,
в которой могут раскачиваться колебания с инкрементом, значи-
значительно меньшим частоты.
Для того чтобы расширить наше описание взаимодействия час-
частиц с плазменными колебаниями, поставим задачу отыскания пар-
парной корреляционной функции, и которой учитывалось бы измене-
изменение во времени не только благодаря медленному изменению функ-
функций распределений частиц, как это предполагается обычно при
выводе кинетических уравнений и как это делалось нами до сих
пор, но и благодаря релаксации плазменных колебаний. Посколь-
Поскольку при этом скорость изменения распределения частиц может быть
сравнима со скоростью изменения интенсивности колебаний, то
уже нельзя пользоваться уравнением E4.7) для условной вероят-
вероятности облака поляризации РаЬ, а для решения нашей задачи при-
придется снова вернуться к уравнению для парной корреляционной
функции E4.2).
Ограничиваясь рассмотрением случая пространственно одно-
однородной плазмы и пренебрегая влиянием полей на спектр плазмен-
плазменных колебаний (подобно тому, как это делалось в § 55), запишем
согласно E4.2) для фурье-компоненты парной корреляционной
функции
Gab (Л; р9, рь; t) т. J d (г, - n) •-t*cW*„„ (г., Р9, гь, рь; t) E8.1)

§ 58. РЕЛАКСАЦИЯ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 253
следующее уравнение:
.*. Ь ih {Va _ Vb)) Gab (Л; pa, pb; i) = [^jh - U *£ jtf, ^ь-b
df 4яе„
ypcGbc(-k; рь, рс; t)
df AtJic
^^2
^сGас (&; ^ai ^c; °- E8-2)
В отличие от § 55, будем интересоваться такими временами, на
которых еще не произошла релаксация двухчастичных распределе-
распределений к асимптотическим значениям, полностью определяющимся од-
ночастичными распределениями. Более того, для интересующего
нас случая неустойчивой (согласно линейной теории колебаний)
плазмы можно считать, что интенсивность возникших колебаний
весьма велика, в связи с чем вклад таких колебаний в парную
корреляционную функцию значительно превышает вклад, соответ-
соответствующий асимптотическому распределению частиц и найденный
в § 55. Это означает, что неоднородная часть уравнения E8.2) отно-
относительно мала. Поэтому в дальнейшем мы ее опустим и будем рас-
рассматривать однородное уравнение
[ж + * (kv« ~ kvb)}Gab (Л; JPa. Рь, 0 =
df 4яв
= ik
dPll *2
; pa, pc;t). E8.3)
Решение этого уравнения может быть представлено в виде, допус-
допускающем разделение переменных
Gab(k; pa, рь\ t) = tya(k; ра; t)tyb(~Ie; pb; t). E8.4)
При этом функции t|j удовлетворяют уравнению
{-JF + ikv°\ *« (к'> Р°> l) = ik -fp— ~W Pfc (*■) • (г>8-5)
гдо
~ " Рс$с(к; Рс\ t). E8.6)
Уравнение E8.5) аналогично линеаризованному кинетическому
уравнению, нспользующеыуся в линейной теории плазменных ко*
лебаний,

25'l Гл. IX, ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Формулы E8.4), E8.6) позволяют теперь записать следующее
выражение для обобщенного интеграла столкновений:
№ Т*.<*: Р« 0^@- E8Л)
Используя выражение E8.7), рассмотрим изменение энергии
частиц плазмы. Для этого умножим E8.7) на кинетическую энер-
энергию частиц сорта о, проинтегрируем по импульсам и просумми-
просуммируем по сортам частиц. Тогда
^ \
Используя уравнение E8.5), очевидно, получаем
Это, в частности, означает, что в однородной плазме беи висшних
полей сохраняется полная энергия
E8.9)
Второе слагаемое формулы E8.9) обусловлено энергией куло-
новского поля. Следует подчеркнуть, что плотность заряда в одно-
однородной электронейтральной плазме равна нулю. Поэтому р^ (t.)
представляет собой фурье-компоненту флуктуационной плотности
заряда плазмы. Удобно, кроме того, ввести потенциал ц>к (t) и
напряженность JE7fc (t) флуктуационного поля
4? 0- (г>8.Ю)
Эти формулы позволяют записать выражение E8.9) в виде
-fcW. E8.H)
Аналогично, обобщенный интеграл столкновений может быть за-
записан в виде

§ 58. РЕЛАКСАЦИЯ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕПАШ1П 2Г>5
Для дальнейшего запишем уравнение E8.5) в интегральной фор-
форме, учитывающей начальное условие:
Pa, t) = ♦„(*. Ра,
- \dt'Ek (Г) ^le'ik"^-n . E8.13)
Первое слагаемое правой части E8.13) отвечает временной зави-
зависимости, обусловленной свободным движением частиц, и не связа-
связано со специфическими эффектами плазменных колебаний, в связи
с чем ниже мы его учитывать не будем.
Заметим, что благодаря обратному воздействию волн на части-
частицы нарастание интенсивности колебаний не является неограничен-
неограниченным. Поэтому для построения решения для времен, удаленных от
начального момента на много периодов колебаний плазмы, можно
в E8.13) принять t0 = —оо. Соответственно этому получаем
fa (*. Pa, t)=-ea j dt'Ek (t + f) dJj^±p-eikval\ E8.14)
Эта формула позволяет выразить обобщенный интеграл столкнове-
столкновений через одночастичную функцию распределения и флуктуацион-
ное поле
Г ^/ 1 д С dk 9 С ^i С ~t~' ) ikv t'
' —oo
E8.15)
В то же время соотношение E8.14) при использовании формул
E.10) позволяет получить следующее уравнение, определяющее
временную зависимость потенциала флуктуационного поля:
= \
E8.16)
Определенное упрощение формул E8.15), описывающих кине-
кинетику флуктуационного поля и частиц плазмы, возможно в услови-
условиях медленного1 изменения во времени распределения частиц, когда
за период плазменных колебаний распределение частиц изменяется
мало. При рассмотрении такого упрощения ограничимся случаем
взаимодействия частиц с колебаниями, инкремент которых мал
по сравнению с частотой.

256 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Заметим, что если бы распределение частиц во времени остава-
оставалось неизменным, то уравнение E8.16) имело бы решения вида
Ф* @ = 2 Ф («г, *) e""r'+Yr'. E8.17)
Г
При этом <ог -+- ijT определяется уравнением
е(Шг 4-г'Гг- к) =0, E8.18)
где диэлектрическая проницаемость имеет обычный вид
-*zrk4i?-- E8-19)
Для колебаний с малым инкрементом формула E8.18) дает
e'(wr(fc), к) =0, E8.20)
Гг (*) = - е" К Aс), 1с) рЦ^Ц( J-; E8.21)
здесь е' и е" — действительная и мнимая части комплексной ди-
диэлектрической проницаемости. Формула E8.20) определяет соб-
собственные частоты шг (к) плазменных колебаний, а формула E8.21) —
соответствующие им инкременты нарастания.
В интересующих нас условиях медленного изменения во вре-
времени распределения частиц можно воспользоваться подходом,
обычным для теории колебаний и нашедшим наиболее широкое при-
применение в геометрической оптике. Именно, представим решение
уравнения E8.16) в виде
Ф*@
Здесь быстрая зависимость отделена, а функция ср и частота сог
являются медленными функциями времени. Заметим, что зависи-
зависимость от времени собственной частоты плазменных колебаний, оп-
определяемой уравнением E8.20), обусловлена зависимостью от
времени диэлектрической проницаемости E8.19), которая теперь
определяется медленно изменяющимися во времени распределе-
распределениями частиц.
Подставляя выражение E8.22) в уравнение E8.16) и ограни-
ограничиваясь учетом лишь первых производных медленно изменяющих-

§ 5H. РЕЛАКСАЦИЯ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 257
ся величин, получаем
Ф(ш,(Л, t), &,<) =
о i+i'
= J dt'y (шг (Аг, < -f- Г), &, г -f- t') ехр {— i j dfmT (к, Г)} х
х S^^iV*^^-^1'0''^1 -eK(*. 0. *. 0] х
rf Г defco (fc, *), fc, 0 1
хфК(*, 0, fc- 0- '^[ф(«г (*. 0. fc> 0 аиг(*.о—" J +
; 9cd (fc, 0 o2e(cD (fc, t), fc, П
+ T-4^*K<*'0.*.0—4^-^-. E8.23)
Здесь полная производная по времени подразумевает дифференци-
дифференцирование так же и по времени, определяющему изменение плазмен-
плазменной частоты.
Заметим, что согласно уравнению E8.20) имеет место соотно-
соотношение
dt' (шг (fc, t), fc. t) 3<or (fc, t) де' (шг (fc, t), fc, 0
ао)(Л0 Ш I щ = U. (Й8.24)
Далее, учтя уравнение E8.20) и пренебрегая относительно малым
вкладом мнимой части диэлектрической проницаемости в слагае-
слагаемых с производными, можно записать уравнение E8.23) в виде
дг' (<°r (fc>J). fc.
__,(„,.(*, 0,*, о—^у^ S!—-
= —в"(<дг(к, t), к, «)ф(щг(й5, г), &, /). E8.25)
Для детализации влияния плазменных колебаний на обобщен-
обобщенный интеграл столкновений подставим выражение E8.22) в фор-
формулу E8.15) и вычислим возникающий интеграл по времепи с точ-
точностью до первых производных медленно меняющихся величин.
Тогда получим
X ехр {— i J dt"u>r (—к, Г)} J dl'y (w4 (к, t + t'), к, t' +t) x

258 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
r+t
if
X ехр{- i J dfia.(k, t") + thv
<-*. 0. -*. 0
X exp{- i J df [шг (- &, П + со, (Л, Г))} X
X \
X exp{— i
1 i dms (fc, /) r a» i l_
X ^ • "- " ' 'A ^ 2 dt bmj(fc, t) cos(fc, О + 'Д—*»o J
4+1
«Д — fc»a J [ 4 ( 0
*, t),k,t)^-L, E8.26)
Поскольку комплексная диэлектрическая проницаемость
E8.19) обладает свойством
е (— (о, — к, 0 = е* (со, Л, «), E8.27)
то всякому решению уравнения E8.20) соответствует равное по
величине и обратное по анаку значение частоты, соответствующее
противоположно направленному и равному по величине волновому
вектору (при этом согласно E8.21) инкременты таких двух реше-
решений оказываются одинаковыми). Поэтому можно сказать, что вы-
выражение E8.26) состоит из двух слагаемых —медленно изменяю-
изменяющегося во времени, для которого шг( — к) + ojs (fc) = 0, и быстро-
переменного, осциллирующего с комбинационными частотами
плазменных колебаний, для которого o)r( — k)+ <&s(k) -=f= 0. Такая
зависимость от времени интеграла столкновений означает, что
функция распределения может быть также подразделена на два
слагаемых: медленную и быстропеременпую части. Однако нетруд-
нетрудно подтвердить предположение о том, что быгтроосциллирующая
добавка к функции распределения является малой в условиях

S 58. РЕЛАКСАЦИЯ ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИИ 259
малости периода колебаний по сравнению с характерным време-
временем медленного изменения распределения частиц. Это вытекает уже
из того факта, что уравнение для медленно изменяющейся функ-
функции распределения, получающееся усреднением по времени, боль-
тему периода плазменного колебания, содержит вклад от быстро-
переменной части интеграла столкновений, являющийся малой
поправкой порядка отношения периода плазменного колебания
к характерному времени изменения распределения. Заметим, что
положение здесь весьма подобно тому, которое имеет место и в тео-
теории обычного интеграла столкновений, когда характерное время
изменения распределения велико по сравнению с временем соуда-
соударения частиц.
Имея в виду эти замечания, после усреднения формулы E8.26)
получаем следующий обобщенный интеграл столкновений, учиты-
учитывающий взаимодействие частиц с плазменными колебаниями:
X ф(-ю5(&, I), -к, t)q>(ms(k, t), k, t) +
~т~ 2 dpaj dt \\dms(k,t) kva—ma(k,t)
X <p(—w,(fc, t), —k, /)<p(w,(fc, t), k,
(
f dt dPai \дыа(к, t) kva-(osGe, r)
X q>(—coe(fc, /), - k, /)cp(o)e(fc, /), k,
i.-x 96 (cd, (ft, t) — kv ) d1n I
-| LiLjJ ± JJ^ 1 ф (и (fg t) k,l)X
2 dco8 (ft, /) 9pa • [
d
x — ф(—ws(fe. О- —*,<)—Ф(—w-«(fe.O- —fc.O x
a/
)-
О)- E8.28)
В целом ряде случаев зависимость частоты плазменных колеба-
колебаний значительно мепее существенна, чем соответствующая зависи-
зависимость инкремента. Такое положение обусловлено тем, что частоты
плазменных колебаний определяются сравнительно медленно из-
изменяющимися параметрами, определяющими распределения час-
частиц. Так, в случае электронных ленгмюровских и в случае ионно-
звуковых колебаний частоты плазменных колебаний являются
плавными функциями плотности числа частиц и их температуры.
Напротив, инкременты (так же как и декременты) колебаний часто
определяются малыми группами резонансных частиц, перераспре-
перераспределение которых, возникающее в результате взаимодействия с
9»

260 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
плазменными колебаниями, приводит к значительному изменению
инкрементов, оставляя практически неизменными частоты колеба-
колебаний. При этом в уравнении E8.25) можно пренебречь временными
производными частоты и действительной части диэлектрической
проницаемости. Тогда для распределения по волновым числам ин-
интенсивности колебаний
/,(*. 0 =ф(-©.(*). -*. <)<Р («».(*). ]е> t)k* = EkE_k E8.29)
из уравнения E8.25) следует
!£4^ = 2г. (*.*)/.(*. 0- E8.30)
at
Соответственно обобщенный интеграл столкновений E8.28) при-
принимает вид
[KLI&} E8-31)
где коэффициент диффузии в пространстве импульсов частицы
сорта а определяется выражением
Р]} E8.32)
Поскольку инкремент нарастания плазменных колебаний уг оп-
определяется распределениями частиц, то уравнение E8.30) и ки-
кинетические уравнения с интегралом столкновений E8.31) для всех
сортов частиц плазмы составляют замкнутую систему уравнений,
описывающую релаксацию плазменных колебаний и релаксацию
частиц. Уравнение E8.30) называют кинетическим уравнением
для волн. Систему уравнений E8.30) — E8.31) часто называют
уравнениями квазилинейного приближения. В работах [16—22]
были развиты основы квазилинейного приближения, а также
решен ряд конкретных задач.
§ 59. Квантовый иатеграч стонешвэ.шй заряженных частиц,
учитывающий динамическую поляризацию
Квантовые эффекты, проявляясь при малых прицельных пара-
параметрах, ликвидируют расходимость интеграла столкновений, по-
получаемого в рамках теории возмущений, связанную с большими
передаваемыми импульсами. С этой точки зрения целесообразно
получить интеграл столкновений, в котором, в отличие от E5.13) —

S 59. КВАНТОВЫЙ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВКНИЙ
261
E5.14), не требуется вводить искусственный предел интегрирова-
интегрирования. В излагаемом здесь выводе квантового интеграла столкно-
столкновений заряженных частиц, учитывающего динамическую поляри-
поляризацию, мы пойдем по пути, существенно отличному от использо-
использованного нами в теории классического интеграла столкновений.
Ограничиваясь сначала случаем высоких температур и относи-
относительно слабых внешних и самосогласованных полей, влиянием
которых на взаимодействие частиц можно пренебречь, для парной
корреляционной функции воспользуемся уравнением
- p' - Рь) х
; t)gac(ra, rc; pa, pc, t).
E9.1)
Это уравнение является очевидным обобщением уравнения E3.24)
на случай нескольких сортов частиц и поэтому не учитывает эф-
эффектов, обусловленных симметрией, связанной с тождественностью
частиц. Решение уравнения E9.1) определяет интеграл столкнове-
столкновений квантового кинетического уравнения согласно формуле (ср.
E3.22))
p -p )
a ° X
ь
у. [и,
ab
— rb —
t'a - П +
1
.(»•.. П; Pa, Рь)- E9.2)
Будем интересоваться распределениями частиц, медленно изме-
изменяющимися при изменении пространственных координат и вре-
времени, и при решении уравнения E9.1) такой зависимостью прене-
пренебрежем. Это, в частности, позволяет считать квантовую парную

262 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ*- И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
корреляциопную функцию зависящей от разности га—гь. Поэтому
оказывается удобно воспользоваться разложением Фурье
gat (»'., п; ра, pb\ t) = ^-щр в''*1 Га'Гь)Gab (*; ра, рь; t). E9.3)
Тогда интеграл столкновений E9.2) можно записать в виде
где
К№< Ра) = S Klfb-)dPbGab (*5 Ра> Pb)- E9.5)
Имея в виду формулы E9.3) и E9.5), можно записать уравнение
E9.1) в следующей форме:
X |/a [Pa
,,t,e_t,b)|Cefc(*;pe,Pb)-^Jl.=1jr^_fJ!.j X
hk\ , I . , hk\ , i_ , hk\ , I __ hk
I
- ^J*»(*■ ^). E9.6)
Решение этого уравнения, выражающее функцию G через h и соот-
соответствующее условию ослабления корреляции, неоднократно ис-
использованного нами, имеет вид
hk \ / Hk\ I hh
«] I /. I 'П, 1 I / I /П I 1 V
Jra о I/Ь \ Jt*b \ ~"o~ i /a Jfa \ о ' Л
ЯЛ
/ *fc M 4яе?
fa [Ра+ —)\+ -ЦТ- М*. Р«) Х
)]}; E9.7)

§ 59. КВАНТОВЫЙ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ 203
здесь Д —положительная бескопечно малая величина (ср. E5.6)).
В работе Климонтовича и Темко [23] было показано, что решение
этого уравнения должно давать экранировку вазаимодействия
заряженных частиц на больших расстояниях.
Для отыскания функции А с помощью уравнения E9.7) введем
функции комплексного переменного
^r*. (.+■*. Р.). E9.8)
Эти функции не имеют особенностей как в верхней, так и в нижпей
полуплоскости о, а при переходе через действительную ось претер-
претерпевают скачок. При этом на действительной оси пределы функций
Н+, аналитических в верхней полуплоскости, и функций Н", ана-
аналитических в нижней полуплоскости, подчиняются соотноше-
соотношениям Сохоцкого — Племеля
= Ш 2 J*
(Ра)
T ««в(©-*»„)}. E9.9)
Здесь Р означает, что особенность (<о = fcva) следует понимать
в смысле главного значения Коти.
Проинтегрировав уравнение E9.7) по импульсам b-й частицы,
просуммировав по индексу Ъ и заменив к на —к, получаем
М- ». *) - 4' ^*г— !
X {/а (i>a + -^-j F+ (kVa. к,-) -fa (ра - ^-) F+ (*»а, Л, +) +
• + Н* (kva, к, +) [/а (Ра + ^f)-fa (ра - —)]} . E9.10)
Здесь F* означает предел сверху на действительной оси функции
Заметим, что аналогичный предел функции
е(со,Л) = 1 + -^ [F(<•>,&, +)-F(«,*,—)] E9.12)
представляет собой квантовое выражение продольной диэлектри-
диэлектрической проницаемости плазмы. Поэтому соотношение E9.10)

264 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
можно записать в виде
— fa[Pa 2~\F* {kva, k, +) + IV (kva, k, -f) x
X [fa [Pa + -£-) - fa {Pa - Ц
Аналогично получаем
ha (к, pa) ^ -^- ■ _ ~--a |/n ( pa -f- ^—\ F~ (kva, k, —) —
- fa [Pa - ¥f) F- (kva, k, +) + //- (kva, k, -) x
X
Умножив уравнение E9.13) и E9.14) на 6 (ш —kva), проинтегри-
проинтегрировав по импульсам ра и просуммировав по индексу а, получим
следующие два уравнения, которым подчиняются функции Н:
[//-(«, к, —) — Н+(оу,к,—)]в+(а>,к) — Я+(ш,/с, +) [E-(«,fc) —
— F~((a,k, —)F+((x>,k, +)], E9.15)
j, Л, +) — Я+(ш, Л, — )]е-(ш,*) — Н~(а>,к, — )[?г(и>, к) —
— е+(ш,Л)] = -^i [^+((o, fc, —)/<'-((.), fc, +) —
— F-(co, Л, — )/?+(ai, fc,+)]. E9.16)
Эти два уравнения позволяют определить функции Н.
Замечая, что правые части уравнений E9.15) и E9.16) одина-
одинаковы, после приравнивания этих уравнений друг другу получаем
соотношение
[II (to, fc, +) — Я- (со, И, —)] е~ (со, Л) =
= [/Г(ш, Л, +) — /Г (со, fc, — )]е* (со, Л). E9.17)
Левая часть этого соотношения представляет собой аналитическую
функцию в нижней полуплоскости комплексного переменного ш,
а правая часть — аналитическую функцию в верхней полуплос-
полуплоскости. Равенство E9.17) означает, что на действительной оси эти
функции совпадают. Иными словами, на линии, разделяющей об-
области аналитичности, скачок функции
[Я (to, к, +) — Я (ш, к, —)} е (со, к) E9.18)

§ 59. КВАНТОВЫЙ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ 265
равен нулю. Поэтому функция E9.18) является аналитической во
всей плоскости комплексного переменного. Последнее означает,
что такая функция равна нулю:
[Я (<о, к, +) - Я (со, к, — )] е (<о, к) = 0. E9.19)
В'условиях, когда плазма устойчива относительно возмущений
потенциального электрического поля, функции е* (<о, к) пе имеют
нулей в области своей аналитичности:
е* («, А?) ф 0. E9.20)
Тогда согласно уравнению E9.19) получаем
Я(ю, к, +) =Я(«, к, —) ==Я(<о, к). E9.21)
Это равенство позволяет теперь записать уравнение E9.15) в сле-
следующем виде:
//- (и, fc) _ Я+ (и. fc) _
Е~ @), fc) K+ (ft), fc)
_ 2я< ^+ (<о, fc. -) /=" (<о. fc. 4-) - F- (<o, fc, -) Г (м. fc, +) ,rQ 99.
~~ А в+(to, fc) e~ (to, fc) ■ v^-^4
Уравнение E9.22) определяет скачок аналитической функции
Н (е) на действительной оси комплексного переменного, а поэто-
поэтому оно определяет и саму эту функцию и, следовательно, позво-
позволяет тем самым найти функцию ha (к, ра)и парную корреляцион-
корреляционную функцию Gab(k, pa, рь)(см. задачу IX.2).
Для нашей цели — получения интеграла столкновений — нет
нужды в определении парной корреляционной функции, а доста-
достаточно использовать непосредственно соотношение E9.22), посколь-
поскольку в интеграл столкновений входит разность ha(k,pa)—ha(—к,ра),
для которой согласно формулам E9.13) и E9.14) имеем
c-(fcy , fc,—)
B~{kva, fc)
hk\r F-(kva,k,+) F*(kva,k,+)
e+(lcva, fc) J i"\*'" 2 /| »~(fc«a, fc) e+(fc»o, fc)
+ 17 f» + i*-) - / i'» - -**)l rg"(fcy"'fc)
-)l r
2 /I L e-(fc»e, fc) E+(fcyo, fc)
E9.23)
Используя соотношение E9.22), получаем
M*. Pa) - л. (- *. Pa) = ¥
X {/a {Pa + -?-) (/'-(Л»., Л- ~) - ^+ (*»„. Л, -I -
E9.24)

26G
Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
С помощью этого выражения можно теперь записать интеграл
столкновений E9.4). При этом получаем
it lt К* )Bп)> Х
4га
а т 2m
-, к
— kvb x
< !/„ (P. + hk) fb (pb _ 4*LJ _ /a (Pa) /Црь -f. ^L)j . E9.25)
Обозначив 7ifc-r=pa — pa, можно переписать этот интеграл стол-
столкновений в форме, соответствующей обычному интегралу столкно-
столкновений Больцмана:
dfa "| у 1_
fit ^™* BjtA
^st ь
хб
Ръ
2т
if°(P*)fb(Pb) - fa(Pa) fb(Pb)},
где вероятность перехода wab определяется формулой
2я
.,, | Га—Га Ра- Ра
(Ра-Ра?*{ 2т Л '~~Й
E9.26)
. E9.27)
Здесь опущен индекс плюс у диэлектрической проницаемости.
Отличие этого интеграла столкновений от получаемого при пре-
пренебрежении эффектами динамической поляризации заключается
в том, что вероятность перехода определяется матричным элемен-
элементом не кулоновского потенциала заряда в вакууме, а электриче-
электрическим потенциальным полем заряда в среде (ср. формулу C1.16)).
Такой интеграл столкновений 'был получен в работах [6,24] и
(для слабых отклонений от термодинамического равновесия) в ра-
работе [5] (см. также книги [25, 29]). В пределе h — 0 полученный
интеграл столкновений переходит в классический, найденный
в § 55.
Простой физический смысл формулы E9.27) позволяет усмот-
усмотреть непосредственную возможность для написания интеграла
столкновений электронов с электронами, учитывающего как дина-
динамическую поляризацию, так и факт тождественности частиц. Именно
такой интеграл столкновений может быть записан в виде E3.20),
где вероятность перехода определяется следующими формулами.

S 60. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ
207
заменяющими пыражения E3.12) и E3.13):
Щ\{Рк 2V, Ри Рг) =
2я
4я«4Аг
/■?-"*? Pi-Pi (
+
, . ,2 . Р?--Р? Pi-Pi
E9.28)
2я
i(Pi. Рг; Pi. Рг) = -j
4ле-№
<P.-Pi)lel-2^f
Р?-Я? i>i~P!
ft
яг2-^ ?:-;>!
Имея в виду тот факт, что обменное взаимодействие мало сущест-
существенно при больших прицельных параметрах столкновении, для
которых оказываются важными эффекты динамической поляриза-
поляризации, можно получить следующее приближенное выражение для
усредненной по спиновым состояниям вероятности переходи:
pi. pi) + -4-
pi,
_4я_
h
Im-'h1
(P, - P2)" J
E9.29)
Этот результат был получен в работе [26] с помощью решения
уравнения для квантовой парной корреляционной функции.
В заключение этого параграфа подчеркнем, что проведенное
здесь рассмотрение основывается на предположении об относи-
относительной слабости взаимодействия. Поэтому, например, примене-
применение результатов E9.28) и E9.29) к вырожденному электронному
газу допустимо лишь в пределе большой плотности. Наконец, за-
заметим, что учет обменного взаимодействия приводит к изменению
зависимости энергии электрона от импульса, а также к изменению
диэлектрической проницаемости. Проявление таких эффектов в
интеграле столкновений электронов рассматривалось в работах
[30, 31].
§ 60. Релятивистский интеграп столкновений
В этом параграфе мы дадим вывод интеграла столкновений,
пригодного для использования в релятивистских условиях, а по-
поэтому учитывающего помимо кулоновского взаимодействия также

268 Гл. IX, ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
запаздывающее взаимодействие частиц, переносимое электромаг-
электромагнитным полем. При этом мы отойдем от пути, которому мы следо-
следовали в атой и двух предыдущих главах, хотя и на таком пути так-
также можно с успехом получить искомый ответ. В качестве исходного
положения мы примем обобщение полученного в предыдущем па-
параграфе результата о том, что вероятность перехода при столкно-
столкновении двух заряженных частиц определяется полем частиц к плаз-
плазме, учитывающим динамическую поляризацию частиц. Кроме
того, заметим, что в классическом пределе интеграл столкновений
вида E9.26) с некоторой произвольной вероятностью перехода
wab (Ра, Ра) принимает вид E5.13)
где
Г$ (va, vb) = ^-ща kxkfi (fc«a - kvb) lira. ~ wab (pa, pa + hie).
F0.2)
Поэтому для нахождения классического релятивистского интег-
интеграла столкновений достаточно определить
Inn -5- wab (pa, pa + АЛ). F0.3)
В рамках теории возмущений вероятность перехода может пы-
числяться с помощью волновых функций свободного движения
F0.4)
Релятивистское уравнение движения частиц имеет вид
^ ^i F0.5)
где 2la — гамильтониан свободного электрона Дирака, va — опе-
оператор скорости. Здесь принята такая калибровка электромагнит-
электромагнитного поля, при которой скалярный потенциал равен нулю. Правая
часть этого уравнения определяет собой возмущение свободного
движения, проявляющееся при столкновении частиц. При этом
векторный потенциал определяется в задаче столкновения частиц
а и Ъ движением частицы Ъ. Поэтому при столкновении зависимость
ьекторного потенциала от координат и времени имеет вид (ср. [32])
А (г, t) = АеЧрь-рь- '>/*~WoWb»'/». F0.6)

8 (И). РКЛЯТИПИСТСКИИ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ 209
Это позлоляет для поля, учитывающего динамическую поляри-
поляризацию плазмы, записать следующее уравнение:
I 1Еь(Рь>-Еь^ьП2 ( Еъ (Pi) - Еь <Рь) Ръ - Рь \
\ - ^v е*Ч' ft ' ft /
— 6i; -p- (p6 — jPbJ + -^ (рь — .р|,){ (p(, —
= ^-eb(u'b,vbub), F0.7)
где спрала стоит матричный элемент скорости, вычисляемый с по-
помощью спиноров Дирака.
Имея в виду, что векторный потенциал электромагнитного
поля определяется уравнением F0.7), для интересующей нас ве-
вероятности перехода можем записать
Wab (Ре- Р«) = "ТГ | Т" ("а' *eUe) ^ Г ' F(Х8)
Чтобы найти интересующий нас классический предел F0.3), нет
необходимости в вычислении матричных элементов. Дейстпи-
тельно,
h I e 2
П т -=- wab (ра, ра + Пк) = я -2- wa J. , F0.9)
где wa — классическая скорость частицы а, и вектор-по-
вектор-потенциал определяется классическим пределом уравнения F0.7)
^— е,ц (Kvb, К) — л. Ojj -f- «■{«■;•[ «у = а.{} (Kvb, к) Aj —
F0.10)
Записав решение уравнения F0.10) в виде
А. = -^ebaif (kvb, ft) ub>i, F0.11)
можем теперь представить ядро релятивистского интеграла
столкновений F0.2) в следующей форме [6]."
?]> A,в, Vb) = J ^МЯ« (feya - ftt>6)(-^-*-J | Va, iui} (kva, JC) Vb, ^2.
F0.12)
Поэтому интеграл столкновений записывается в виде
д I Па dfa \ д . .а. .
F0ЛЗ)

270 Гл. IX, ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
где коэффициенты диффузии Dfj и трения Л'\ и простраистие им-
импульсов имеют вид
\va,ra;t(kva, tc)vb,i\\ F0.14)
X I i>o, ran (kva, k) vb, 112. F0.15)
Как показано и работе [33], коэффициент диффузии и пространст-
пространстве импульсов может быть выражен через спектральную плотность
флуктуации электромагнитного поля A?;1?у)Ш|& [34, 35]. Дейстии-
тельно, для спектральной плотности флуктуации силы Лоренца,
де1ктиук>щей на частицу а, при со — kva имеем (см. Приложение II)
{kva - kvb) hk} | Va, ra;l {k,va, k) ub., |2.
F0.16)
Используя это соотношение, получим
^[VaB]i): (G0-17)
В случае изотропного распределения частиц по скоростям тензор
диэлектрической проницаемости имеет вид
[^|. F0-18)
При атом продольная и поперечная проницаемости определяются
формулами
—^---S;^, F0.19)
а Ш Ш ' Va Pa
Соответственно формула F0.18) для обратного тензора аг.1 имеем
следующее выражение:
6"~Ш" к£--^-тг. @0.21)
, к) — к*

§ «о. рклятишп'.тский интеграл столкновений 271
Последнее ныражеиие позволяет записать ядро F0.12) релятивист-
релятивистского интеграла столкновений и форме
/?i C»a. Vb) = Dn^ftJ \ -~r -|^ Яб (fc«a - A!Wb) X
1 , **»„«ь-(*»„)' 2
X
e< (kva, k) (kvaf elr (kva, k) -
F0.22)
Этот результат, полученный в работе [6], существенно упрощается
в пределе полного пренебрежения эффектом поляризации плазмы.
Действительно, принимая ег = etr =1, из формулы F0.22) по-
получаем [36]
die
здесь интегрирование по /с должно быть ограничено как со стороны
больших (l/rrain), так и со стороны малых A/гтах) значений.
Тогда
2C? elK (> J [ d°nni"j б (п -^=
Wa-vb\
F0 24)
где Л = In (Гщяк/fт\п) —кулоновский логарифм, п —единичный
вектор, <№„ —элемент телесного угла в направлении вектора А;.
Тензорный интеграл по телесному углу, входящий и формулу
F0.24), может быть представлен в пиде
Г А>„п4п^6 (па)
У [i-~(niw =
Р;Р,- - (ар) (оцР; + «>Р0}. F0.25)
Такая запись учитывает ортогональность этого интеграла контору
а. При этом для Сх и С2 получаем следующие выражения:
о
«я
1 — 2sin3<p
Эти формулы позволяют следующим образом записать ядро реля-
релятивистского интеграла столкновений F0.23), не учитывающего

272 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
поляризации плазмы:
/?/(»„, vb) - 2rt4*SЯ-^ь/'1I
i | 1 »£-'
4C' (»«'II»1'lV^
X
V (г> P) {V V) + !
"a^ "b
- (Va - Vh)i (Va +-Vb)j - (Va + W,,)i (Va - Vb),]} . F0.28)
Соответствующий такому ядру релятивистский интеграл столкно-
столкновений, полученный Беляевым и Будкером [37], представляет со-
собой релятивистское обобщение интеграла столкновений Ландау
и, очевидно, переходит в него при с — оо.
Задачи
Задача IX.t. Для равновесного максвелловского распределения (/ПA)
частиц однородной изотерм!тческой плазмы в отсутствие внешних полей
найти двухчастичную корреляционную функцию.
Решепие. Поскольку в пространственпо однородном случае двухчастич-
двухчастичная корреляционная функция зависит от разности координат частиц
то для равновесного случая максвелловских распределений уравпешш E4.2)
принимает внд
«е- ''Ь. S?) еаЬ(г' Ра' Рь) = - -^У^ ("а - Vb, ^r) Uab (г) -
д
$r S ) dr'dpcgac (r, pa, pc) vb А
Поскольку Uab(r) = eaetJr, то очевидно, что
ffab (»*: Ра' Рь) = «Wao/bo G d r I).
где функция G(r) определяется уравнением
д д 1 -ст Nc el
дг G(r) = — ^- r -Zj-j7-x:r
Применив к этому уравнению операцию дивергенции и имея в виду, что
&AМ = —4яб(г), получаем
ДС — Гд4С =s 4яб (г),

ЗАДАЧИ 273
где rD = 12 [^яе*/кТ] [NJV]\ — радиус добаевского экранирования.
Поскольку решение этого уравнения, как известно, имеет вид
то окончательно для двухчастичной корреляционной функции равновесной
плазмы получаем
I ~а
ЬI
Х-—— ■ exp < ______ \ ..-.чэ/2 СХР i ~о_ „г,
Г Pi \"ъ \ схрГ
Задача IX.2. Найти квантовую парную корреляционную функцию, оп-
определяющуюся уравнением E9.6) [в].
Решение. Благодаря соотношениям E9,7), E9,13), E9.14) и E9.21)
квантовая парная корреляционная функция может быть следующим образом
выражена через функцию Н (ш, fc):
j5- Gab (fc, pa, pb) = - ¥ ^в_Лдаь + ,д- I—JfcS—j |/« I Pa - Т) X
fifc\ / ftfc, / hk 2ni г / hk
{ hJc\lr / hk, f hk
— h[Pb— -jlL/ + )F(kk)f
hk\]
J X
hk\ I hk
JF^(k fc )/ ^
\1 2я» г / hk\ (
va, fc, +j | + te+(fct,bifc) [fa[Pa --r)-fa [Pa +
I hk\ 1
, fc, -)-/b ^pb- ~2-j F+(*«(,, fc,+)J
I hk)]
'a [Pa— 2 /Jx
2m-rH-(fci>a, fc) H^(fci>b, fc)ir / hk) I hk)]
h ie-(fc»a, fc) ~ e+(fcwb, fc) IL; iP + [P J
Функция Я определяется уравнением E9.22), характеризующим скачок
аналятической функции (Я/е). Задача об определении аналитической функции
91 по ее скачку на контуре Z, решается формулами (см. [27, 28])
Я+ (z) — Я" (г) -= a (z) на £»
1
При этом, в частности, имеем
я+ (z) = ц: | a (z) + o4

274 Гл. IX. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Поэтому решение уравнения E9.22) имеет вид
Н (ш, fc) F (а, к,+) + F (а, к,—) 1 +Р da' 1
в(ш, ft) ~" 2в(ш, fc) ~*~ 2я» J ш'-в2г+(в',к)в"(ш', fc)
— EX)
X [F+ (ш', fc, —) + F+ (ш', fc, +) — F~ (ш', fc, —) — Л" (ш', fc, + )].
Тем самым решена задача об отыскании квантовой парной корреляционной
функции.
Задача IX.3. С помощью интеграла столкновений E6.14) рассмотреть
илияние взаимодействия с ионно-звуковыми колебаниями на скорость нзотро-
пизации электронной функции распределения [10].
Ответ. Приняв функцию распределения электронов в виде C7.1), в пред-
предположении малости анизотропии температур получаем
d(y,T . — xf
_L_J^
где
VII
Задача IX.4. В пределе сильной изотермичное™, считая /;§>Л, с по-
помощью интеграла столкновений E6.14) в приближении трех полиномов
Сонина — Лагерра определить электронный тензор вязких напряжений
(пропорциональный электронному тензору сдвига скоростей).
Решение. Кинетическое уравнение первого приближения метода Эн-
скога — Чепмена можно записать в виде
(
{vv')f \ df, ' о/,',
ГТредстапив неравновесную ноиравку к функции распределения в виде
ф<> %*() £
к£ 2 в
п=0
получаем следующую систему уравнений для коэффициентов В{п):
где матрица Рлг определяется интегралом
и имеет вид
/ 1 3/2 15/4
„ _/ 3/2 17/4 93/8
^г>-\ 15/4 93/8 705/10

ЗАДАЧИ 275
Поэтому в приближении трех полиномов получаем
и соответственно для искомого тензора вязких напряжений имеем
где
а электронный коэффициент вязкости имеет вид
Заметим, что в приближении одного полинома вместо численного коэффи-
коэффициента последней формулы возникло бы 0,835, а в приближении двух иолн-
номоп 1,77.
Задача IX.5. В пределе сильиой нензотермичноети определить электрон-
электронный тензор вязких напряжений для плазмы, находящейся в магнитном поле,
когда электронная гироскопическая частота значительно превышает эффек-
эффективную частоту столкновений илазиы.
Ответ. С помощью интеграла столкновений E6.14) находим (ось z ориен-
ориентирована вдоль магнитного поля [9])
= ч. т («2 + w%)
= cvx = n;u,W - n; 4"
здесь использованы обозначения:
„ 1 g1 ^1? • rf 3
П.-1.81 Vo/ ■ ^i-io Q2 ^- Чя-2|0#|-
Задача IX.0. В пределе / ^> Q определить электронную теплопровод-
теплопроводность плазиы в направлении градиента температуры поперек магнитного
иоля (| Qe | р> ve).
Ответ [9].

ГЛЛВЛ X
КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
СТОЛКНОВЕНИЯМИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В СИЛЬНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ, И КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ
ПРОЦЕССОВ
§ 61. Интеграл столкновений заряженных частиц,
находящихся в сильном поле
В выводе интеграла столкновений Ландау и в выводе интеграла
столкновений Больцмана учитываются эффекты парного взаимо-
взаимодействия сталкивающихся частиц. Наличие всего коллектива
заряженных частиц учитывается в эффекте динамической поляри-
поляризации плазмы в интеграле столкновений Балеску — Ленарда. Од-
Однако все эти интегралы столкновений не учитывают влияния внеш-
внешних сил и средних самосогласованных полей на акт соударения
частиц. Естественно, что такое пренебрежение возможно в доста-
достаточно слабых полях, что имеет место часто, но отнюдь не всегда.
В настоящее время хорошо изучен один случай неслабых полей,
который мы и рассмотрим ниже. Именно, речь пойдет о влиянии
сильного магнитного поля па соударения частиц. При этом маг-
магнитное поле существенно проявляется в закономерностях столкно-
столкновений заряженных частиц тогда, когда характерные радиусы кри-
кривизны траекторий частиц в магнитном поле уже нельзя считать
много большими радиуса действия сил. Иными словами, можно
говорить о сильном магнитном поле, влияющим на столкновения
заряженных частиц, если радиус гироскопического вращения
электрона оказывается меньше радиуса дебаевской экранировки
кулоновского поля. Последнее, например, для случая изотерми-
изотермической плазмы имеет место в условиях выполнения неравенства
^- > петеса или В2 > 10~5 пе,
где В —напряженность магнитного поля в гауссах, а ие — число
электронов в 1 ел*3 плазмы. Имея в виду незатруднительность прак-
практического выполнения этого неравенства в представляющих реаль-
реальный интерес экспериментальных условиях, а также достаточную

S 01. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ В СИЛЬНОМ ПОЛЕ
277
разработанность кинетической теории, последовательно учиты-
учитывающей влияние сильного магнитного поля на столкновения за-
заряженных частиц, мы изложим здесь основные результаты такой
теории *). При этом мы освободимся от предположения о медлен-
медленности изменения распределений во времени, имея и виду прило-
приложения к теории быстропеременных процессов.
Влияние сильного магнитного поля на столкновения можно
изучить, рассматривая следствия, вытекающие из уравнения для
парной корреляционной функции, в котором пренебрегается влия-
влиянием остальных частиц на соударение пары сталкивающихся **):
X
X
°Р„
gabU'a. Pa,
ь\ 0 ^
F1.1)
где UаЬ (г) = еаеь/г. Как и при выводе уравнения Больцмана, бу-
будем считать этот потенциал обращающимся в нуль на расстояниях,
больших Гц. Уравнения характеристик дифференциального опе-
оператора линейного неоднородного уравнения F1.1), имеющие вид
dt,
dr.
dt
dt
dr.
= eh
F1.2)
*) Первое значительное продвижение в иостроении кинетики цлазмы в
сильном магнитном поле было достигнуто Беляевым [1], использовавшим
общие результаты Боголюбова но выводу кинетических уравнений. Кнхара,
Мидзуно и Канеко [2—4] построили более простую и наглядную, но в то и<е
время и более ограниченную теорию столкновений частиц в сильном магнит-
магнитном поле. В работах [5, 6] было получено кинетическое уравнение для цлаз-
цлазмы в сильных полях, пригодное для описания быстропеременных процессов.
Это уравнение было положено в основу исследования кинетики плазмы в
указанных работах, а также в ряде последующих. В нашем изложении мы
будем следовать работам [5, 6].
Отметим, что Гуревич и Фнрсов [7] использовали для построения кинетики
цлазмы в сильном магнитном поле специальную диаграммную технику, ко-
которая из-за сложности не стала популярной.
•*) Роль колебаний в кинетике неизотермической плазмы, находящейся
в сильном магнитном поле, изучалась Намазашннли [8].

278 Гл. X. КИНЕТИКА ЕЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
являются уравнениями движения двух заряженных частиц, взаи-
взаимодействующих между собой по закону Кулона и испытываю-
испытывающих воздействие электрического и магнитного полей. Зиписав ре-
решение уравнений F1.2) с помощью обозначений
Га = В?> (Га, Ра, ГЬ, Ръ\ t, О = В? (t, t), j
pa = P?> (r'a, p'a; rl p'b; t, t) = Pi2) (t, t), j
мы тем самым вводим.функции, выражающие соответственно ко-
координату и импульс частицы а в момент t через координаты и им-
импульсы двух взаимодействующих частиц в момент t', когда дви-
движение частиц описывается уравнениями F1.2).
Формулы F1.3), очевидно, можно использовать для записи
решения уравнения F1.1) для парной корреляционной функции.
Именно для установившегося решения, не зависящего от началь-
начального (при t= —оо) значения парной корреляционной функции,
получаем
gab(ra, Ра\ П, Рь\ t) =
= С df dUab
X
X
X fa (RP (ra, Pa\ rb, pb; t', t), P<,2) (re, pa; rb, pb; t', t), t') x
x /„ (Ki2) (rb, pb; re, pa: <', o. ^2)(n. Рь; *•«. P«; <', 0. <')• F1-4)
Выражение F1.4) позволяет теперь записать кинетическое урав-
уравнение для одночастичной функции распределения в виде
F1.5)
где обобщенный интеграл столкновений имеет вид
О
X dUabi] Д°")(

§ 61. ИНТКГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ 1! СИЛЬНОМ ПОЛЕ 279
X
V Pa- rb, рь. Г, t) дРф(гь, рь. га, Ра, i\ t) \.
х /„ (в£> (*•„, Ра; гь, рь-, v, о, Ра2)(."о, ра; п. Рь; <'. 0. П х
X /„ (М2) (>•„, рь; re, i»b; <', 0, ^s) (П- JV. ra, pa\ t\ t), f). F1.6)
Полученное выражение для интеграла столкновений непросто
использовать, ибо неизвестен явный вид координат и импульсов
частиц как функций времени, поскольку затруднительно в общем
случае решение уравнений F1.2), Однако можно заметить, что
для заряженных частиц ионизованного газа в большой области
расстояний взаимодействие пары частиц является относительно
слабым. Поэтому такое взаимодействие можно рассматривать
с помощью теории возмущений. Заметим, что влияние на столкно-
столкновения частиц с малыми прицельными параметрами (например,
близкими к rmjn -~~> еР/хТ или-—hjmvf) может оказать лишь чрез-
чрезвычайно сильпое поле. Действительно, гироскопический радиус
электрона сравнивается с е2/кТ, если напряженность магнитного
поля оказывается порядка В ~ i/m^c2 [кТ/ё^]3—10Г'/г, где тем-
температура выражена в градусах. Не полагая поле столь силь-
сильным, будем считать, что на столкновения с малыми прицель-
прицельными параметрами магнитное поле не влияет. Поэтому очевидно,
что в таких условиях можно говорить о применимости интеграла
столкновений Ландау для области прицельных параметров от rmjn
и до значений (по порядку величины), соответствующих гироско-
гироскопическому радиусу вращения частиц.
Простейшее приближение, в котором использование интеграла
столкновений оказывается наименее сложным, соответствует воз-
возможности полного пренебрежения взаимодействием двух частиц
при решении уравнений F1.2). При этом, например, п случае по-
постоянного и однородного магнитного поля и также однородного,
но. зависящего*от времени электрического поля имеем
JV- г„, рь: t, t'}-»-pa[Pa, t, I'] ~
i
[bpa] «in £>„ (/ - t') - 1ЫЬра]] cos Qa (t - Г) 1 ca f dt"
v
X (b (bE (l")) — [bE (<*)] «n па (t - О - [6 [b.E (/•)]] cos Qe (t - f)}
F1.7)
[»*«. Pa, rb, pb; t, I'] -> Ra [-ra, pa; t, t'] =
[ d'a \Га, Pa; f, t'l =
a »
1 — COS U (t— t'\
= '"а + (bVj b{t- t') - [bVa] ^

280 Гл. X. КИНЕТИКА БЫСТГОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
— lb[bva]] ^ + ~\^"j dtm {b (b.E (t"')) -
a a t' t'
— [bE(t"')\ sin Qa(t" — tm) — [b [ЬЕ{tm)\ 1 cos Qa(t" — t'")}; F1.8)
здесь Qa = eaB/mac — гироскопическая частота, b = В/Б.
Уточнение приближенного решения F1.7) и F1.8) уравнений
характеристик F1.2) возможно, например, в предположении, что
кулоновское взаимодействие является малым и его можно рас-
рассматривать как малое возмущение. Необходимость в таком уточ-
уточнении возникает в связи со следующим обстоятельством. Именно,
несильном магнитном поле, когда радиус гироскопического вра-
вращения "оказывается меньше дебаевского радиуса, согласно форму-
формулам F1.7), F1.8) частицы с нулевым значением проекции относи-
относительной скорости на направление магнитного поля могут беско-
бесконечно долго находиться в области взаимодействия. В ряде случаев
это может приводить к расходящимся выражениям для коэффи-
коэффициентов переноса. В действительности время взаимодействия ко-
конечно, так как благодаря кулонопскому взаимодействию возникает
относительное движение частиц вдоль магнитного поля. Такой
эффект может быть учтен уже при рассмотрении влияния куло-
новского поля сталкивающихся частиц на траектории их движе-
движения как малого возмущения. Тогда, используя обозначения,
В?} (rl, pl rl pi t, t°) = Ra [rl pi t, tB] + 6Tta, F1.9)
pLVS, Pa; rl pl t, tn) = pa [pl t, tn] + 6Pa,
можно согласно F1.2) записать следующие уравнения первого
приближения для 61? и 6Р, получаемые в предположении малости
кулоиовского взаимодействия:
~Ша[г1 pl rl pl t, to\=±.6Pa[rl, pl rl pl t, t°],
a
dbPa ea
at nt с 1
F1.10)
dt mK "^ "' dt
эвь
Решение этой системы уравнений, удовлетворяющее при t = t°
нулевым начальным условиям, может быть записано следующим

S 01. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИИ В СИЛЬНОМ ПОЛЕ 281
образом:
ЬРа[г1, р\; r%, pi; t, t°\ = \dt'{b(bfa,b(t')) -
io
- sin Qe (t — f) [6/а.ь («')] — cos fi0 (t — f) [b [6/а,ь («')]]}, F1.11)
Ша [»'S, pl; r%, pl; i, t°]=-±-\dt'6Pa [r°a, pi; rg, pl\ t, l°].
Используя в интеграле столкновений F1.6) выражения F1.9),
F1.11), мы получим, что и в случае сильного магнитного поля
частицы лишь конечное время могут находиться в области взаимо-
взаимодействия. Ниже на одном примере мы проследим, как это явно
проявляется при анализе следствий, вытекающих из кинетическо-
кинетического уравнения с интегралом столкновений F1.6), Заметим, что
оценка максимального времени взаимодействия частиц с малой
проекцией скорости на направление магнитного поля, определяю-
определяющегося кулоновским взаимодействием, может быть получена из
следующих соображений [9, 10]. Прежде всего минимальную
скорость вдоль направления магнитного поля можно определить
из следующего соотношения:
U, ... h\2 —= it C,,r"ln\2 ^ Job1
гДо Рщ, = тать/(та + ть) — приведенная масса, а г — параметр
соударения, которому соответствует определяемое значение ми-
минимальной продольной скорости. Благодаря определяющемуся
этим соотношением конечному значению продольной скорости вза-
взаимодействующие частицы за время порядка г/»ц разойдутся на
расстояние, по порядку величины равное параметру соударения.
Поэтому фактическое время взажмодействия при данном прицель-
прицельном параметре г не превышает значения
F1.12)
При вычислениях с логарифмической точностью, что возмож-
возможно, как мы увидим ниже, благодаря возникновению больших лога-
логарифмов, можно следующим образом продуктивно использовать
выражение F1.12). Именно в интеграле столкновений F1.6) можно
ограничиться использованием результатов F1.7) и F1.8), не учи-
учитывающих влияния кулоновского взаимодействия на траекторию
сталкивающихся частиц. В то же время эффект такого взаимодей-
взаимодействия может быть учтен введением конечного времени взаимодей-
взаимодействия F1.12) с помощью ограничения области интегрирования по

282 Гл. X. КИНЕТИКА ВЫСТРОПКР1ШЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
времени t' в правой части формулы F1.6):
\1'\< т,„„ (I >•« - г„ |) яг | *•„ - гь {*'• KlW Ка] ■
Заметим далее, что интеграл столкновений F1.6), в отличие от
обычного интеграла столкновений Больцмана, получен без ис-
использования предположения о медленности изменения во времени
функций распределения. Это означает, что его можно использовать
для анализа задач, в которых характерный временной масштаб
может быть малым по сравнению с временем соударения частиц *),
т. е., например, меньшим периода электронных ленгмюровских
колебаний — ш^ ^= [/^т^Апе^щ. Поскольку в то же время при
получении парной корреляционной функции была опущена на-
начальная корреляционная функция, то следует говорить о возмож-
возможности применения интеграла столкновений F1.6) к задаче уста-
установившихся быстропеременных процессов. В последующих пара-
параграфах мы рассмотрим ряд приложений интеграла столкновений
F1.6).
§ 62. Релаксация температур электродов и ионов плазмы,
находящейся в сильном магнитном поле
Задача о выравнивании температуры в неизотермической плазме
является одной из простейших. Здесь нас будет интересовать, как
в такой задаче проявится влияние сильного магнитного поля,
когда радиус дебаевского экранирования кулоновского поля
больше гироскопического радиуса электронов. Впервые решение
задачи о релаксации температур в подобных условиях было нред-
принято Кихарой 12] (см. также C1). Однако при этом не было
получено разумного ответа. В нашем изложении мы будем следо-
следовать работам [12, 13], которые основывались на использовании
интеграла F1.6) **).
Считая распределение частиц пространственно однородным,
а также имея в виду медленность изменения функций распределе-
♦) В квантовой теории столкновений электронов металла с фонолами ре-
решетки процесс следует считать быстропеременным, когда его частота сравни-
сравнивается с частотой фовонов. Кинетическое уравнение для таких процессов, а
также ряд приложений были рассмотрены Гуржи [11].
**) В работе [12] прн решении задачи о релаксации температур плазмы
в сильном магнитном поле не учитывался факт конечности времепи взаимо-
взаимодействия, который может быть существен для случая плазмы с тяжелыми ио-
ионами. На это обратил внимание Фосламбер [14J, который, однако, предло-
предложил использовать для максимального времени взаимодействия выражение,
не нашедшее пока должного обоснования. С другой стороны, в работе [13]
был проведен учет эффекта конечного времени взаимодействия с помощью
использования интеграла столкновений F1.6), в котором учитывалось как
малое возмущение влияние кулоновского поля сталкивающихся частиц на
их траектории.

§ 62. РЕЛАКСАЦИЯ ТЕМПЕРАТУР В СИЛЬНОМ ПОЛЕ 283
ния частиц при релаксации их температуры, запишем кинетиче-
кинетическое уравнение F1.5) в виде
эиаь
, {PT) h (H9), F2.1)
где PT,RT определены формулами F1.9), F1.7), F1.8) и F1.11).
Иными словами, в интеграле столкновений учтено малое влияние
кулоновского взаимодействия сталкивающихся частиц на их дви-
движение.
Кинетическое уравнение, очевидно, позволяет легко записать
уравнение, описывающее изменение во времени температур частиц.
Так, для плазмы, состоящей из электронов и одного сорта ионов,
считая, что электронная и ионная функции распределения являют-
являются максвеллокскими, после умножения электронного кинетиче-
кинетического уравнения F2.1) на рг/2те и интегрирования по импульсам,
получаем
1 IT Т \_1_ (R0 О)
Время релаксации температуры х-у определяется следующей фор-
формулой:
l if ГС
тт кгпеТеТ. J " ' J ,
где fa0 (р) — максвелловское распределение с температурой Та.
При вычислении многократного интеграла используем разложение
Фурье для кулоновского потенциала
dk Ля ,к С dk ikr,*.,,,
гКг ) е Ф (к),
причем для выполнения предположения о применимости теории
возмущений следует иметь в виду обрезание кулоновского поля
на малых расстояниях, что соответствует более быстрому, чем
1/кг, убыванию Ф (к) при больших значениях к. Помимо этого
для учета экранировки кулоновского поля следует считать, что
Ф (к) не растет при к < l/rD.
Далее, в правой части F2.3) перейдем от интегрирования по
Ра< Рь К интегрированию но переменным Pjf', Pi2). Интересуясь

284 ГЛ. X. КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
вычислениями с точностью до слагаемых, содержащих лишь стар-
старшие по большим логарифмам выражения, пренебрежем при таком
переходе к новым переменным малыми добавками, обусловленны-
обусловленными влиянием кулоновского поля на импульс сталкивающихся
частиц. Тогда имеем
п
1
X {(*&) (bPe) + (ft [6P,])sin Qex - (ft [b [bPt]]) cos Uex) X
X f (ft'6) (ЬРг) + (ft' [6P4]) sin Qit — (ft' [b [ftPjll) cos QtT}. F2.4)
Влияние кулоновского поля на траектории сталкивающихся час-
иц учтено в выражении для JRa:
F2.5)
1 — cos Q х si n Q t
a [ftPg]-—^[dlftP.H, F2.6)
о о
о о
- X h Ih-P^hr i 1cosQaT rftp(lh
-А- С d«'С
° t
С d«'С л» {Ь^М,Ь, sin
t 0
+ («w - Mi) cos Qa («' - t")} -—-_ Uab (| Ba [ra, ^a; Г, 0] -
~nblrb,pb;t",0}\), F2.7)
(Pi1»), = - J Л' {Ьк^ - *Mib, sin Qa (t + « - *') +
+ (б*/ - bkb}) cosQa (r + t- t')} jJL^ Uab(\ Ra[ra, Pa; t', 0] -
-kb[rb.pb]t',0]\). F2.8)
В этих формулах ра в Pa связаны формулой F1.7), в которой
t ->t + т и f'->«.
Наибольшее усложнение интеграла F2.4) связано с наличием
множителя
exp {i (h\ B<° — ЛР)}. F2.9)
Это выражение может быть существенно упрощено, если иметь
в виду логарифмическую точность вычислений. Прежде всего бла-
благодаря относительной малости кулоновского ускорения иона

§ 62. РЕЛАКСАЦИЯ ТЕМПЕРАТУР В СИЛЬНОМ НОЛЕ 285
вместо F2.9) можно написать
ехр (Ш'В<1}). F2.10)
Для малых времен т, меньших периода гироскопического вра-
вращения электрона, это выражение принимает вид
1-1т^т^7п\- F2Л1)
^7
о
Поскольку стоящей в подынтегральном выражении F2.4) мно-
множитель
ехр {*(*>'. Щп)-Щп))} F2.12)
при таких малых временах имеет вид
ехр {£(*;', Fe — Г*)т}, F2.13)
то в основной области интегрирования | Vе — V{ | т < /■. Поэтому
выражение F2.11) можно приближенно записать в виде
На основании последней формулы нетрудно понять, что учет нли-
яния кулоновского взаимодействия на траекторию электрона при-
приводит к возникновению характерного времени взаимодействия
(ср. F1.12)):
У \е\\ fcV. у -J7^T-
При больших (по абсолютной величине) значениях т выраже-
выражение F2.14) быстро осциллирует, что делает вклад таких уначений
пренебрежимо малым.
В этих рассуждениях мы приняли |Оет|<1. При больших
временах т магнитное поле, вообще говоря, существенно влияет на
движение электрона. Наиболее важна роль ускорения, обуслов-
обусловленного кулоновским взаимодействием, для движения электрона
вдоль магнитного поля, поскольку без учета такого ускорения бес-
бесконечное время взаимодействия могло бы возникнуть лишь для
частиц с равной нулю проекцией относительной скорости на маг-
магнитное поле. Учет такого продольного ускорения позволяет тогда
записать формулу F2.10) в виде
хгее, (к'Ь) (rh)
1

286 Гл. X, КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Отсюда следует, что снова можно говорить о возникновении
максимального времени взаимодействия, также определяемого
формулой F2.15).
Поскольку интегрирование по времени т, как мы увидим ниже,
приводит к возникновению больших логарифмов, то с логарифми-
логарифмической точностью можно ограничить область интегрирования в
F2.4) значениями по модулю, меньшими ттах (к), для которых вы-
выражение F2.9) можно считать не отличающимся от единицы. Тог-
Тогда, после интегрирования по координатам и импульсам, получаем
(fc&)aT 4-^^ [&&!*} exp ( —
( sn 1 ( v.T
х \{Ы)' fc»|«j [
sin
2
Q..T
F2.17)
Здесь интегрирование по к ограничено со стороны малых значе-
значений величиной г~в, а со стороны больших значений — величиной
r^fjn, как и в обычном интеграле столкновений Ландау.
В интересующем нас случае сильных магнитных полей, когда
радиус гироскопического вращения электрона много меньше деба-
евского радиуса (ре <^; rD), после интегрирования по углам
вектора к формулу F2,17) приближенно представим в виде
хТ ~~ т. 3
^ * V^k^- F2.18)
Здесь
Ля = ln-^- +6Л, F2.19)
rrain
где для 6Л при ограничении наибольшими дважды логарифмиче-
логарифмическими выражениями имеем следующее приближенное выражение:
^-. F2,20)
В формуле F2.20) верхний предел интегрирования по t является
наименьшим значением из следующих трех величин:

§ Г.2. РЕЛАКСАЦИЯ ТЕМПЕРАТУР В СИЛЬНОМ ПОЛЕ 28?
Ограничение по первой из этих величин соответствует тому факту,
что при вычислении эффективной частоты релаксации температуры
существенное время взаимодействия частиц не превышает периода
гироскопического вращения нона. Вторая величина в формуле
F2.21) соответствует максимальному времени взаимодействия,
когда магнитное поле еще не настолько велико, чтобы заметно
влиять на траекторию иона. При этом, очевидно, характерное, вре-
время взаимодействия определяется отношением прицельного пара-
параметра сталкивающихся электрона и нона к тепловой скорости
иона. Наконец, последнее выражение в формуле F2.21) соответст-
соответствует максимальному времени взаимодействия, определяющемуся
эффектам кулоповского ускорения электрона.
Простое интегрирование в формуле F2.20) позволяет полу-
получить окончательные формулы. Выпишем прежде всего результаты
в условиях, когда кулоновское ускорение электрона несущест-
несущественно. Это имеет место в условиях выполнения неравенства
Ре>г0=ф-^- F2.22)
Тогда согласно F2.20) получаем [12] *):
6Л = 1п-^-1п— при р,>/-л>ре, @2.23)
F2.24)
6Д = * In III In -Щ при rD > i£- > Pi > p.. F2.25)
Неравенство F2.22) совместно с F1.1) означает, что для почти
изотермической плазмы напряженность магнитного поля заключе-
заключена в пределах
3 • 10~3 /^7< В < 7 • Ю-3 (тн/Zmi) Т''\ F2.26)
где Z — кратность ионизации иона, шц — масса атома водоро-
водорода, Т — температура в абсолютных градусах, В — напряженность
в гауссах, пе — число электронов в 1 си8. Отсюда нетрудно понять,
что неравенства F2.26) могут оказаться невыполненными для до-
достаточно тяжелых ионов, когда
2m,
*) В работе [12J получены также асимптотические результаты, найден-
найденные с несколько большей точностью.

288
Гл, X. КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Поэтому выпишем теперь результаты [13], вытекающие из форму-
формулы F2.20) в условиях ре < г0, противоположных F2.22):
Pi
Ч * inJi.
При
< Г0
F2.28)
@2.30)
при
—
F2.31)
при г в > vTe,
6Л
V
vTij
i > Pi
= 4- in
>Г0>ре,
Q l>2
1 ,
IT ln
" ln
4^- F2-32)
F2-33)
при (г>Те/г;Т1K > rD/p{ > (vTe/vTi)
Возникшие в формулах F2.23) — F2.25) и F2.28) — F2.33)
дважды логарифмические выражения, могущие значительно пре-
превышать обычный кулоновский логарифм, обусловлены логариф-
логарифмическим вкладом от большой области прицельных параметров,
а также большим вкладом от длительной области значений премопи,
в течение которых происходит взаимодействие сталкивающихся
частиц (ср. F2.21)).
Следует подчеркнуть, что в нашем рассмотрении релаксации
температуры было принято, что характерное время изменения
температур значительно превышает время эффективного пзаимо-
действия частиц. Заметим, что в рассматрииаемои задаче это нынол-

§ 63. ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ 289
няется, если время изменения функции распределения больше
периода гироскопического вращения иона, больше rp/vr, и, на-
наконец, больше периода электронных ленгмюровских колебаний,
умноженного на корень из числа электронов в дебаевской сфере.
§ 63. Высокочастотная диэлектрическая проницаемость плазмы
в условиях, когда период колебания поля мал
по сравнению с временем взаимодействия
сталкивающихся частиц
В отличие от интеграла столкновений Больцмана, формула
F1.6) пригодна для описания быстропеременпых процессов, ха-
характерный период изменения которых может быть меньше време-
времени, в течение которого взаимодействуют сталкивающиеся части-
частицы. В простейшем случае плазмы без сильного магнитного поля
это означает, что с помощью интеграла столкновений @1.6) можно
построить теорию явлений, характерное время изменения кото-
которых мало по сравнению с периодом электронных ленгмюровских
колебаний. Одно из таких явлений имеет место при распростра-
распространении и поглощении радиоволн в межзвездной среде [15].
Изложение в этом параграфе мы начнем именно с такого про-
простейшего случая плазмы без постоянного магнитного поля. В то же
время будем пренебрегать неоднородностью переменного электро-
электромагнитного поля, что возможно в таком высокочастотном случае
благодаря малости скорости частиц по сравнению со скоростью
света. Тогда для слабого отклонения б/а распределения от макс-
максвелл овского /а0 линеаризованное кинетическое уравнение F1.5)
с использованием выражений F1.7) и F1.8) при IJ = 0 можно за-
записать в виде 16J
X
X [/«о (Ра) б/ь B>ь. t + *) + /bo (Pb) S/a (Pa, < + Т)] —
* dU ,(\r — г. I)
^ЬГ5 ^^^d^a-n + I^-VjTDX
X (eavm + ebvb, E(t + t))J . (G3.1)
Здесь принято, что температуры всех частиц одинаковы. Если по-
положить зависимость поля от времени периодической (— е'1ш1), то
в интересующем нас высокочастотном случае можпо считать пралую
часть уравнения F3.1) малой. Тогда с точностью до линейных по
Vi Ю В. П. Силиа

290 Гл. X. КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
интегралу столкновений членов нетрудно получить
X г~ "- " -• - у)'- - '•" " ^ (А - ^)£, ,63.2,
Используя это выражение для неравновесной функции рас-
распределения при вычислении плотности тока
тем самым определим комплексную проводимость О (J = оЕ), а
следовательно, и комплексную диэлектрическую проницаемость
е = 1+ 4ju'ct/cu:
х
0 1/rmin
X /оо/ьо J ЙТв-*-* ^ (^^-"PC'I*.11»-11^}' F3-3)
Пренебрегая малыми велич!шами порядка отношения масс элект-
электрона и иона, после проведения интегрирования получаем
Здесь суммирование ведется по всем сортам ионов, а
Поскольку го ^> rmin, а также имея в виду, что пределы инте-
интегрирования по к определены с точностью до численного коэффи-
коэффициента порядка единицы, то с тсй же точностью можно записать
Л (со) = Л' (со) -f iA* (со) = i ~ [cos сот + i sin сот]. F3.6)

§ 64. ПРОНИЦАЕМОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 291
В пределе малых частот отсюда получаем обычный кулоновский
логарифм. В противоположном пределе частот, много больших
электронной ленгмюровской, формула F3.6) дает [6]
Л'И = In f-p-^Ji ±_Л F3.7)
Л" (со) = -£- sign со, F3.8)
где у = 1,781 — постоянная Эйлера.
Таким образом, в высокочастотном пределе изменение мнимой
части диэлектрической проницаемости связано с тем, что меняет-
меняется кулоновский логарифм, в который уже не вносят вклада при-
прицельные параметры сталкивающихся частиц, по порядку величи-
величины большие расстояния vrjio, проходимого за период колебания
поля электропом с тепловой скоростью. Иными словами, вклад
дают лишь те расстояния, которые успевает пройти частица за
характерное время изменения распределения [16]. Этот результат
соответствует впервые полученному Крамерсом [17], относящему-
относящемуся к тормозному излучению и заключающемуся в том, что в области
высоких частот роль максимального прицельного параметра со-
соударения играет расстояние, проходимое электроном аа период
колебания поля. Квантовый вывод формулы F3.7) дан в книге
Гинзбурга [15]. Заметим также, что выражение F3.8) приводит
к возпикновению малой поправки к действительной части ди-
диэлектрической проницаемости.
§ 64. Высокочастотная диэлектрическая
проницаемость плазмы в сильном магнитном поле [6, 18, 19]
Необходимость в использовании интеграла столкновений
F1.6) при построении теории диэлектрической проницаемости
плазмы, учитывающей столкновения частиц, очевидна в случае
сильных магнитных полей, при которых радиус дебаевского экра-
экранирования оказывается больше гироскопического радиуса элект-
электронов. Так же пельзя пользоваться обычным интегралом столкно-
столкновений в условиях высоких частот, когда период колебания элект-
электромагнитного поля оказывается сравним или меньше времени
взаимодействия сталкивающихся частиц. Поскольку в сильном
магнитном поле время взаимодействия частиц значительно увели-
увеличивается, то в этом случае, вообще говоря, существенно по срав-
сравнению с рассмотренным в предыдущем параграфе случаем умень-
уменьшается значение тех частот, при которых следует говорить о бы-
стропеременном процессе, т. е. о процессе, заметно меняющемся
за время, меньшее времени столкновения.
Va 11 в. п. сплин

,292 Гл. X. КИНЕТИКА БЫСТР01ШРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Ограничиваясь случаем практически однородного высокочас-
высокочастотного поля, запишем исходное кинетическое уравнение в виде
§ +..(я(о + 4- 1*шВ])%±- Щ' С64-1)
где Е (t) — переменное высокочастотное электрическое поле,
JB — постоянное магнитное поле. Интеграл столкновений запишем
в форме
* /e(-P«[J»a. *', 0. *')Л>(-*\,[1»6. *'» '1, О- F4.2)
где Ка и Ра определены формулами F1.7) и F1.8), а влияние куло-
новского взаимодействия на траектории сталкивающихся частиц
учтено использованием максимального времени взаимодействия, оп-
определенного формулой F1.12).
Интересуясь высокочастотным случаем, в первом приближении
пренебрежем в уравнении F4.1) интегралом столкновений. Тогда
для слабого отклонения от максвелловского распределения /а0
в линейном приближении по электрическому полю получаем
fa (Ра, 0 = fao(Pa) ^f^" *„ J *' Ф {ЪЕ (/')) +
+ [ Е (f) b] sin Qa(t — t')+{b\E (f) b\] cos Qa (t — t')}. F4.3)
Такое приближенное решение можно использовать для нашей цели
в условиях, когда разность гироскопической частоты частиц и
частоты электромагнитного поля значительно превышает частоту
столкновений. Последнее будем считать выполненным.
Считая, что электрическое поле зависит от времени по закону
Е (t) = E cos at,
и подставляя в правую часть уравнения F4.1) функции распреде-
распределения F4.3), найдем уравнение для добавки к функции распре-
распределения, позволяющей описать диссипативную часть диэлектриче-
диэлектрической проницаемости. Однако можно и пе решать такое кинетиче-
кинетическое уравнение, а непосредственно из него получить обобщенный
закон Ома. Именно, обозначая
lpavjat F4.4)

i 64. ПРОНИЦАЕМОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 293
после умножения кинетического уравнения на эаряд и скорость
частицы и интегрирования по импульсам получаем
о
X ^ drsin ^у- (Л, ра —рь) expi—Xa — Xt,)-^^ + fr£JsJ"aI
F4.5)
где
fmax (ft) = А-'Л| eaeb ('/• {mamj\ma + m,])''>, F4.6)
sin ^}, F4.7)
Pa(T)= ;«\
A(<*p IM«in («), F4.8)
где vTa = {v.Tjmayi'\ Qa = eaB/mac; b = B/i5.
Наличие в подынтегральном выражении формулы F4.5) мно-
множителя sin (сот/2) приводит к тому, что при вычислении с логариф-
логарифмической точностью диссипативной части «/"„ (которой мы далее
только и будем иптересоваться) интегрирование по т следует вести
до значений, не превышающих 1/со. Тогда правую часть формулы
F4.5) можно записать в виде
X ^sin^-^-A^-A-J^^^^eosa,,}. F4.9,
Здесь ekji — единичный, совершенно антисимметричный тензор, а
продольная v" и поперечная v-L эффективные частоты соударений
11

294 Гл. X. КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
определяются следующей формулой!
= Ъ± У" dk.J d9sin9 fees' в) г
f 1 Г sin Q т I l Г sin QhT ~\)
X — rcos*e+—^sin'9 -f— tcos26 + ——5-8111*9 X
X exp /—4" fTaA2('T2cos29+-i?sin29sin2-|^] —
a /
^l F4.10)
Интегрирование по т со стороны больших значений ограниче-
ограничено минимальной из двух величин ттах (к) и 1/со. Отметим еще одну
из возможных причин обрезания интегрирования по т со стороны
больших значений. Именно, из области взаимодействия сталкиваю-
сталкивающиеся частицы могут выходить под действием электрического
поля. Возникающее благодаря дрейфу частиц в электрическом
поле ограничение сверху на время взаимодействия сталкивающих-
сталкивающихся частиц является нелинейным эффектом, обсуждение которого
выходит за рамки настоящего рассмотрения, поскольку использо-
использовать понятие тензора диэлектрической проницаемости, строго
говоря, можно лишь в таких условиях, когда нелинейный эффект
электрического дрейфа несуществен *).
Формула F4,9) позволяет записать следующее выражение для
диссипативной (антиэрмитовской) части тензора комплексной ди-
диэлектрической проницаемости плазмы, состоящей из электронов и
одного сорта ионов:
«eg? (со) = i ^- lbkb,v:; (со) + vJf (со) ~ ([8hi - ЪфД х
l
+ 2шекЯЪ, Г—J —-i 1 Г °е , - Q< 1^1 , F4.11)
где co^ = Dne2ne//ne)Vl — электронная ленгмюровская частота.
Обратимся теперь к детальному рассмотрению электрон-ионных
частот столкновений, определяющих диэлектрическую проницае-
проницаемость F4.11). Прежде всего заметим, что на продольную частоту
столкновений vei сильное магнитное поле влияет слабо. Напротив,
*) Роль электрического дрейфа рассмотрена в работах [19, 20].

§ 64. ПРОНИЦАЕМОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 295
такое влияние весьма существенно проявляется в поперечной ча-
частоте столкновений v^-» к рассмотрению которой мы теперь и пе-
перейдем.
Будем считать, что тепловая скорость электронов значительно
превышает тепловую скорость ионов, а гироскопический радиус
ионов больше электронного. Тогда в условиях сильного магнитного
поля, когда радиус дебаевского экранирования больше электронно-
электронного гироскопического радиуса, из формулы F4.10) получаем A9J:
Здесь
vo = -|-—L^i;, F4.13)
*mln
^-2 ■£ S £ S tsin
n _n IllrtX
xmln 1
!gj1*ffi)fF) F4.15)
где xmin = pJrD; xmax = pJrmiD; ^max (a;) = а;-1/' "^р.хГ/е2, а функ-
функция i|j (|) определена выражением
Вычисление интеграла Lx приводит к возникновению больших ло-
логарифмов, подобно тому, что мы уже видели в задаче о релаксации
температур. Ограничиваясь главными дважды логарифмическими
членами, вместо формулы F4.14) можно записать более простую:
где интегрирование по х и £ ведется в области
хш,»<х<1, 1<а<!шах; х|>1; х^A)<1; 6<|Q./«|.
F4.18)
В этих неравенствах проявляются, в частности, различные
механизмы ограничения времени взаимодействия частиц. Это,

296 Гл. X. КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
во-первых, ограничение периодом внешнего поля; во-вторых, сме-
смещение частиц вдоль магнитного поля благодаря их кулоновскому
взаимодействию; в-третьих, выход иона из области взаимодействия,
когда радиус гироскопического вращения больше дебаевского
радиуса.
В условиях, когда Lx не зависит от частоты электрического по-
поля, получаем *)
Lx = [in -~^j [in !£] при г0 <pe < rD < р„ рд/ffl, F4.19)
ПРИ Ре < г0 < rD < VTi/CU,
]nI^i' F4.21)
при ro<pe<p,<rD<>o/'(*W<u)t/',
2 L Pi
xlnJ^E. F4.22)
pe < r0 < pi < rD ^
при pe<r/D<r0!
F4.23)
где г0 = (Pr*/wrt) | ee{ \/xTe.
Ф F419)
0 (r*/r) | { \e
Формула F4.19) соответствует полученной Беляевым [1] для
изотермической плазмы. В этом случае взаимодействие частиц при
всех прицельных параметрах соударений от электронного гиро-
гироскопического радиуса до дебаевского ограничено временем свобод-
свободного выхода иона из области взаимодействия, поскольку при этом
радиус кривизны траектории иона в магнитном поле велик по
сравнению с размером области взаимодействия. Отстальные из при-
приведенных здесь выражений были получены Голантом [9] и Алиевым
и Шистером [10].
Отметим, что формула F4.20) соответствует положению, когда
на расстояниях отредог0 время взаимодействия ограничено эффек-
*) Приводимые ниже результаты получены в работе [19], за исключением
специально оговоренных случаев.

{ 64. ПРОНИЦАЕМОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 29?
том кулоновского ускорения, а на расстояниях от г0до гр—свобод-
гр—свободным выходом иона.
В формуле F4.21) первое слагаемое возникло от области при-
прицельных параметров, заключенной между электронным и ионным
гироскопическим радиусом, в которой время взаимодействия огра-
ограничено свободным выходом иона. Второе слагаемое этой формулы
(а также и в точности такое же выражение — третье слагаемое
формулы F4.22)) представляет собой вклад от столкновений час-
частиц с прицельными параметрами, большими гироскопического ради-
радиуса иона и меньшими дебаевского радиуса, причем время взаимо-
взаимодействия ограничено благодаря эффекту кулоновского ускорения.
Далее, первое слагаемое формулы F4.22) соответствует области
прицельных параметров от редог0, где время взаимодействия огра-
ограничено кулоновским ускорением, а второе слагаемое возникло
в области от га до pi, для которой имеет место свободный
выход иона.
С увеличением частоты переменного поля формулы F4.19) —
F4.23) становятся неприменимыми. Когда максимальное время
взаимодействия частиц, соответствующее каждой из этих формул,
становится больше периода колебаний поля, вместо формул
F4.19) — F4.23) получаем
- l
I
vTi J vTi<arD
при г0<ре0тч/со<г0<р4,
F4.24)
VTi
+ ^ [in !»!!_] L_Ili_l (G4.25)
при р„ < г0 < vTij(u < rD, pt; rD
2 L vTi J [ vTiwD
+ _i_ Mn-^- in —r^-l F4.26)
при Го •<[ pe •<[ pj <^ r0'' (Vti/O))'!' <[ rD <C VtiI<u,
1 Г. ^tVt''го'1Г. Pt^Te 1 1 Г rn«V> 1 »т
+ T-[ln -^pvr-J[ln -^r-J + -r[ln T^vrJ 1п1лг^4Г
F4.27)

298 Гл. X. КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
при Ре <С г0 <С Pi 'С г0* {PTilto)*1* <C fD <. УпМ
Г< ,!* In *,.Ге + ~т- In ° g/ In rr^VvT
F4.28)
Гд (VTi/Ш) *^C ^^ *\ ^0* VTe/Ш*
Нетрудно видеть, что последнее слагаемое в формулах F4.19) —
F4.23) переходит в два последние слагаемые формул F4.24) —
F4.28). Поскольку в формуле F4.19) при всех прицельных пара-
параметрах время взаимодействия определялось лишь свободным вы-
выходом иона, то с дальнейшим увеличением частоты не возникает
изменений формулы F3.11) вплоть до наступления таких условий,
когда столкновения с прицельными параметрами, большими гиро-
гироскопического радиуса ионов, окажутся несущественными, а поэто-
поэтому исчезнут дважды логарифмические выражения. Аналогично,
в формуле F4.23) при всех прицельных параметрах время взаимо-
взаимодействия ограничено кулоновским ускорением. Поэтому дальней-
дальнейшие изменения формулы F4.28) при увеличении частоты также
происходят не из-за ограничений по времени взаимодействия, а из-за
ограничения области прицельных параметров. Именно, вместо де-
баевского радиуса роль максимального прицельного параметра при
больших частотах играет »те/«). Тогда вместо формулы F4.28) по-
получаем
F4.29)
rowTiJ x L wTi"
пРи peOo/'(t;:ri/<u)'/l<rr), r0; rD>yre/w.
Аналогично, вместо формулы F4.25) получаем
4i V "j 1 "TiJL ШЧ 2L PTi\
F4.30)
pe < Г0 < УТ1/СО < УТе/Ш < rD.
Эта формула отличается от F4.25) заменой в последнем слагае-
слагаемом Гд на Vxe/<u-
С ростом частоты формула F4.26) переходит в следующие:
при г0 < ре < pt < rD < vTe/d),
при r0 < pe < Pi < yTi/co < vTe/<x> < rD; r'a' (vTi/(a)'u

S 64. ПРОНИЦАЕМОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 299
F"-33>
при r0
Первое слагаемое в каждой из этих трех формул соответствует
области прицельных параметров между электронным и ионным
гироскопическими радиусами, причем время взаимодействия опре-
определяется свободным выходом иона. Второе слагаемое формулы
F4.31) определяется прицельными параметрами, большими гиро-
гироскопического радиуса иона и меньшими радиуса дебаевской экра-
экранировки, а время взаимодействия частиц не превышает периода
колебаний поля. В формуле F4.32) второе слагаемое возникло от
прицельных параметров, заключенных между гироскопическим
радиусом ионов и расстоянием, которое электрон с теилопой ско-
скоростью проходит за период колебания внешнего поля. Наконец,
в формуле F4.33) второе слагаемое соответствует области прицель-
прицельных параметров от р} до Го'^п/ш)'1; а третье — области от
rl'{vTilu>)'l% До VTe /ш- Отметим, что формула F4.32) соответствует
формуле E9) работы [6].
Аналогично, с ростом частоты формула F4.27) переходит в сле-
следующие:
при ре < г0 < р{ < rD < vTJu>; r'o'
2L PeJ[ 4i V '■oJ^L raJL vTi\^ 2 L wPiJ
F4.35)
при pe < r0 < pj < yTi/co < уТг/ш < rD
_L Г1п!!ф1 Г1п 44-1 +4 Гш DЦ"
F4.36)

300 Гл. X. КИНЕТИКА БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Время взаимодействия ограничено периодом колебаний поля
для всех прицельных параметров в случае формулы [6]:
v 1Гпри р- < £ <гд> р- S -р:" Sг" F4-37)
^=4
При этом вклад дает область значений прицельного параметра от
электронного гироскопического радиуса до расстояния, проходи-
проходимого за период колебаний поля электроном с тепловой скоростью.
Если же г>Т(!/со ]> rD, то
F4.38)
Наконец, выражение
учитывает вклад от областей рв -ь yTi/co и Утч/со -ь
Полученные дважды логарифмические выражения полностью
определяют поперечную частоту столкновений лишь в случае изо-
изотермической плазмы. Для неизотермической плазмы в условиях,
когда температура электронов превышает температуру ионов, необ-
необходимо знать выражение L2. После интегрирования с логарифмиче-
логарифмической точностью из формулы F4.15) получаем [18,19]
L2 = In -^ при г0 < р, < rD < Pi, !П , F4.40)
= ln -j£ при P.<ro<rI)<p,,^1 F4.41)
= In h. при r0 < p« < p, < -^ , rB, F4.42)
= In h. при P. < г» < ft < ^ , rD, F4.43)
= ln ^ ПРИ ro< P. < ^T<Pi. rD, F4.44)
= ln 5 ПРИ P. < ro < ^ < Рь Го- F4.45)

§64. ПРОНИЦАЕМОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 301
Логарифмические выражения не возникают в L2, если
max {р„ r0) > min {rD, pi? vn/a).
Заметим, что при достаточно большой степени неизотермичности
(Те J&» jTj) логарифмы L3 могут оказаться доминирующими в опре-
определении поперечной частоты столкновений F4.12).
Таким образом, мы видим, что в сильном магнитном поле, а
также и при высокой частоте переменного поля последовательное
описание влияния полей на частицы во время их соударения при-
приводит к качественно новым результатам по сравнению с предска-
предсказываемыми кинетической теории, основывающейся на кинетическом
уравнении с интегралом столкновений Больцмана.
12 В. П. Силин

ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Соотношения симметрии кинетических
коэффициентов Онсагера [1,2,3]
При малом отклонении от термодинамического равновесия
неравновесные значения термодинамических величин не сильно
отличаются от своих равновесных значений. В связи с этим их из-
изменение во времени может быть описано линейными уравнениями,
важные свойства которых мы теперь установим.
Разобьем все неравновесные величины на два класса: четные
функции скоростей частиц Лх, Л2,..., Ап и нечетные — Ви B.it...
. . ., Вп. Обозначая их равновесные значения соответственно по-
посредством А\, А\, . . ., An и ВЧ, В\, . , ., В„, для отклонений
от равновесных значений имеем
Изменение во времени этих величин описывается линейными
уравнениями
2 M№***J?> (i = 1. • • • ■ m). (ПЛ.4)
Правые части этих уравнений называют потоками.
Заметим, что поскольку в равновесном состоянии энтропия мак-
максимальна, то при малом отклонении от равновесии можем написать
6.9= --|"S^-V,-4-2^>PA. (П.1.5)
i,* " i,K
гДе {й'н} — положительно определенные .матрицы.

I. СООТНОШЕНИЯ ОНСАГЕРА 303
Производные энтропии
хр = -™, х^=-Щ- (пл.6)
называют термодинамическими силами. В состоянии равновесия
они обращаются в нуль, а в интересующем нас случае слабого от-
отклонения от равновесия, как это следует из формулы (П.1.5),
имеем
Эти формулы позволяют теперь для скорости изменения во вре-
времени энтропии получить уравнение
-£. = _ 2 х|г>-' - 2 х™ - (П-1.8)
ИЛИ
п гп
(П.1.9)
Очевидно, что с помощью формул (ПЛЛ) можно выразить otj
и р4 через Х}х) и Х?К При этом уравнения (П.1.3) и (П.1.4)
запишутся в виде
В последних формулах потоки выражаются через термодинамиче-
термодинамические силы. Именно такие выражения вычисляются обычно в кипе-
тической теории. При этом Lik представляют собой кинетические
коэффициенты, т. е. коэффициенты пропорциональности потоков
различным термодинамическим силам. Отметим также, что вычис-
вычисление производства энтропии с помощью кинетической теории
приводит к билинейной по потокам и термодинамическим силам
форме вида (П.1.9).
Принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера
устанавливает соотношение между коэффициентами перед термо-
термодинамическими силами в формулах для потоков (ПЛ.Ю) и (П.1.11).
Нише мы приведем вывод таких соотношений,
12»

dU4 ПРИЛОЖЕНИЯ
Напомним, что вероятность того, что значения какой-то термо-
термодинамической величины лежат в интервале х, х -\-dx, пропорцио-
пропорциональна
es<*>'*. (П.1.12)
В нашем случае распределение флуктуирующих величин а { и р£
пр опор ционально
Средние значения могут быть вычислены с помощью распределе-
распределения (П.1.13):
, р) = ехр {- -L 2gSV. -
= expl- ^(S «,Z^ + 2 ЪЩ ■ (ПЛ.13)
jda dad|J dPu>(a3)
Для дальнейшего нам потребуются средние вида <aiX(fccl)>.
Чтобы упростить вычисление таких средних значений, временно
примем, что <сц> = ai0 ф 0. Тогда вместо формулы (ПЛ.13)
следует использовать
w(ct — «о, Р) =
= ехр {- ^j-S^l? («Ч - ««) (*» - «„о) - ^S^iP,:}- (Г1Л-15)
При этом можно записать следующее соотношение:
J dai. . . dan dpi. . . d^n и) (a — *>■ P)
m.
X «t exp {--sj- sr
(П.1.16)
Замечая, что
ax. .. dan d^. . . d$mw (a — aB, (B) = \dav .. daj.^. . . d?mw(a, P),
(П.1.17)
а поэтому не зависит от ai0, продифференцируем соотношение
(П.1.16) по Оу0, после чего положим все Що равными нулю. Тогда

I. СООТНОШЕНИЯ ОНСАГЕРА 305
получаем
4-<«* s ertv«^>=в„. (п.1.18)
Имея в виду формулу AI.I.X7), можем окончательно записать
<«,х£°> = хв„. (П. 1.19)
Аналогично, нетрудно получить следующие соотношения:
<P,Xf > - хб„, (IF.I.20)
<«,Xf >> = <р1АТ>> = 0- (П.1.21)
Соотношения (П.1.19) — (П.1.21) получены для того случая,
когда величины Ait 2?{ не равны своим равновесным значениям
благодаря тому, что система испытывает флуктуации. Поскольку
уравнения (П.1.10) — (П.1.11) являются универсальными, при-
пригодными для описания любых слабонерапновесных состояний, то
соотношения (П.1.19) — (П.1.21) могут быть использованы для
получения следствий, касающихся свойств уравнений (П.1.10)
и (П.1.11).
Рассмотрим теперь среднее по времени величины а;, взятой
в момент времени t, иа к, отнесенной ко времени t + т, где значе-
значение х положительпо:
+т>- (ПЛ.22)
С помощью простой замены переменных £—► — t — т, считая
ГЗ^т, получаем
«<@«k (t + х) = Jp Jdtoi (_ t-x)ak (- t). (П.1.23)
Поскольку a; — четные функции скоростей, то, имея в виду сим-
симметрию уравнений механики относительно изменения знака вре-
времени (в отсутствие магнитного поля), можем записать
«»(-«) =«*(«)• (IF.I.24)
Поэтому, сравнивая формулы (П.1.22) и (П.1.23), получаем сле-
следующее соотношение:
'.). (П.1.25)
Аналогичное рассмотрение для средних, содержащих р{, при учете
того, что (в отсутствие магнитного поля)
МО--Р*(-О- (П.Г.26)

306 ПРИЛОЖЕНИЯ
приводит к соотношениям
Pi@ P.t (t +t) = Pi(< + т) [3, (/), (TT.I.27)
а, @ ps (« + т) = - ej (< + т) pt («). (П. 1.28)
Продифференцировав формулы (П.1.25), (П.1.27) и (П.1.28) по т
и приняв затем т — 0, находим
(п-'3°)
В предположении, что средние по времени равны средним по
ансамблю, можно теперь воспользоваться формулами (П.1.19)
и (П.1.21). Именно, считая выполненным такое предположение
и выразив производные по времени в формулах (П.1.29) — (П.1.31)
с помощью уравнений (П.1.10) и (П.1.11), получаем
(П. 1.32)
Подставив в уравнения (П.1.32) — (П.1.34) выражения (П.1.19) —
(II.1.21), окончательно находим
/•(**) _ /■(=>*>. г<яр) т^1-'). г'?'а> т^^ (п т чъ\

I. СООТНОШЕНИЯ ОНСАГЕРА ?,U 7
Формулы (П.1.35), описывающие свойства симметрии кинетиче-
кинетических коэффициентов, называются соотношениями симметрии
Онсагера, дающими математическую формулировку принципа
симметрии кинетических коэффициентов.
В условиях, когда имеется магнитное поле, уравнения меха-
механики симметричны относительно преобразования
f-> — /.; JB-> — J5. (П.1.3E)
Поэтому в этом случае вместо формулы (П.1.35) в качестве соотно-
соотношений симметрии кинетических коэффициентов следует записать
(В) = Ь&'Ч-'*)>
(В) ~ I&» (-В),
-!&*>(-В).
(H.I.37)
Наконец, заметим, что если система вращается как целое с за-
заданной угловой скоростью, то при преобразовании обращения
времени следует одповремешю менять направление вектора угло-
угловой скорости, что приведет к соотношениям вида (П.1.37), в кото-
которых вместо вектора магнитного поля следует писать вектор угловой
скорости вращения системы.
Приманим соотношения симметрии Онсагера к теплопроиодно-
сти в магнитном поле. Для потока тепла q запишем
4i = - Ч- Щ ■ (И-1.38)
Для тензора теплопроводности согласно (П.1.37) имеем
Ьц(В)=\я(-В). (I ГЛ.39)
Имея в виду, что тензор теплопроводности можно разбить на
снмметричпую и антисимметричную части
a# = -i-(*.y + ^t). (к л.40)
для последних согласно формуле (П.1.39) получаем
М? (В) = If (- В) = bg> (- В), (II. 1.42)
*#> (JB) = ^?> (- -В) = - К\? (- В). (П. 1.43)
При рассмотрении теплопроводности в сильном магнитном поле
можно представить тепзор %xi в виде ряда по обратным степеням

поля П. Поскольку замена знака поля для четных степеней поля
ничего не меняет, а для нечетных приводит к изменению знака,
то очевидно, что четные степени поля дают вклад в симметричную
часть тензора теплопроводности, а нечетные — в аитисимметрич-
ную. Это, в частности, имеет место при непосредственном вычис-
вычислении теплопроводности нлазыы в сильном магнитном поле.
II, Флуктуации в плазме без столкновений
Целый ряд важнейших свойств плазмы без столкновений связан
со свойстнамп электромагнитного поля в плазме. Поэтому и флук-
флуктуации в плазме в первую очередь связаны с флуктуациями элек-
электромагнитного поля. Теория тепловых электромагнитных флуктуа-
флуктуации для любой среды, в том числе и плазмы, определяет
флуктуации температурой и тензором комплексной диэлектрической
проницаемости, отличающим уравнения ноля в среде от уравнений
поля в вакууме [1, 2, 3}. Как известно, нет общей теории флуктуа-
флуктуации в неравновесных средах. Однако для плазмы — системы мно-
многих частиц со слабым взаимодействием — теория флуктуации в не-
неравновесном состоянии довольно хорошо развита. Такая теория
представляет особый интерес для разреженной плазмы, в кото-
которой столкновения чрезвычайно редки и которая в связи с этим дол-
долгое время может находиться в термодипамически неравновесном
состоянии.
Излагая теорию электромагнитных флуктуации в плазме, мы
ограничимся относительно простым подходом, который перекли-
перекликается с изложением § 60 (см. также [4]).
Введем компоненты Фурье операторов электромагнитного поля
Е (о), к) = -i- dt
2J(co,fc) = -^- j" d< fdrc""-'*1"!* (»•,*). (П.П.2)
Для получения выражений, определяющих электромагнитные
флуктуации, следует вычислить средние квантовомеханические
операторов вида
-|- [Ё, (со, к) Ёг (со', А;') + Et (со', As') ^ (со, к)]. (П.11.3)
Это может быть сделано непосредственно, если известен явный
вид матричных элементов операторов электромагнитного поля.
Такой явный вид операторов легко определяется в интересующем
нас случае газа частиц со слабым взаимодействием.

П. ФЛУКТУАЦИИ II ПЛАЗМЕ ПЕЗ СТОЛ KHOIi КППЙ 309
Согласно уравнениям электромагнитного поля вид матричных
элементов оператора поля определяется матричными элементами
плотности тока частиц, соответствующих переходам частиц из
одного состояния в другое 15]. Для разреженной плазмы в отсут-
отсутствие сильных полей состояния частиц можпо описывать плоскими
волнами, а матричный элемент перехода плотности тока частицы
сорта а, соответствующий переходу из состояний п в состояние т,
имеет вид
еасатп exp{-i- 1(Рп - Рт, г) - (Еп - Ет) t]} ; (П.Т1.4)
здесь а —матрицы Дирака, a amn — матричные элементы, вычис-
вычисляемые с помощью спиноров, соответствующих состояниям плос-
плоских воли, например, с импульсом р и энергией Е*). С учетом
формулы (П.II.4) для компоненты Фурье оператора электриче-
электрического поля (П.П.1) можно написать следующее уравнение:
Alf («. fc) <m I В} | n> = j-^- ei} (о, к) - к*Ь„ + kfa} х
X (т \Ё} (со, к) | пу = - 4iti еаа\пП 6 (ft fc - рп -\ ■ рт) б (со - ^д^
(II.П.5)
где Ец(а>, fc) — тензор комплексно!'! диэлектрической проницае-
проницаемости.
Поэтому для матричного элемента электрического поля, соот-
соответствующего переходу частицы и.ч состояния п в состояние т,
*) Для матриц а можно пользоваться предстаилепием
О 0 0 1 \ /00 0 i \ /0 01
0010 j j 0 0 — i 0 \ I 0 00—1
0100>С<и=1 0 i 0 0 | z~l 1 00 О
1000' \ —iO 00/ \0 — 1 О О,
При этом для спиноров имеем
1
О
°Рт
тс2 +\Е

310 ПРИЛОЖЕНИЯ
имеем выражение
(т\Ё{ (со, к)\п} =
( fc)J6(fc :
со
(П.И.6)
Эта формула легко позволяет вычислить среднее квантовомехани-
ческое оператора (П.П.З). Для этого прежде всего вычислим сред-
среднее по чистому состоянию с данным импульсом р, а затем усред-
усредним с помощью функции распределения }а{ра)- В результате по-
получаем
-i- (Ej (со, к) Ёг (со' , к') + Ё{ (со', 7с') Ё} (со, Л)> = б (со + со') х
хЬ(к + к')(Е{Е))а.к, (П.II.7)
где
(ЕгЕ})ш, k = -i- 2 (-——) ^ti (w, /г) Л*г (со, 7с) ^ dpafa (pa) х
х \Ь
СО - -j- {^а (Ра + ЙА) - &а (Ра)} ! X
2Еа (ра) Еа {Ра + Пк) + Еа (ра) Иа (ра + hk)
Остальные спектральные функции электромагнитного поля связа-
связаны с (Е{Е])и,зк соотношениями
(BiBj)a к = ~ кгквемеш(Е1Е1)ш к, (П.И.9)
/ n p \ ^ /. „ / jp jp \ /ttt г г л n\
где e{it — единичный совершенно антисимметричный тензор.
В классическом пределе, полагая h = 0, из формулы (П.И.8)
получаем
(EtEi)a, к - S(~^T Л» (со, fc) Л*г (со, fc)^pe/e (Ра) *-ф X
a \ с / , с.
X6(co-fcwa), (П.И.И)
где va —скорость частицы сорта а.

иг. и:1А1[модийсты1к э.-шьттомм нитпых поли н пк.цкствк 311
С помощью формулы (П.II.9) — (П.II.11) получается следую-
следующая формула для спектральной плотности флуктуации силы Ло-
Лоренца, действующей на частицу сорта:
(el (В|.1 [«„Л)). (В + ±Ц,аВ})^ к -■= 2 Р^J х
ь
X ^ dpjbb (со - 7cvh) vl vl [Ьи Г1 - -JT" I + ~) X
Ли 1 д. г,' \
X A„i (со, Л) л;г(со, As) [bjt[i - -j-J ^ -i^J . (II.11.12)
Для изотропного распределения частиц по скоростям плазмы,
когда тензор диэлектрической проницаемости имеет вид
е4у(со, 7с) = l6;j — -rr-l е'г(ю, А1) 4- 42— с' (м, А),
получим
Atj (oj, fc) = " tl. { J,. _ ,t- -|- -
При этом формула (П.II.11) принимает следующий вид 14, 6, 7]:
X
x 1—-L1 + -1 ' "' Л LJL , (П.И.13)
Для равновесного максвелловского распределения частиц изотер-
изотермической плазмы формула (П. 11.13) дает результат теории тепло-
тепловых флуктуации 12]:
(ЕЕ) - /'х'1 ^к{1с' 1ше'(Ш| /с^ ,
* J Mk ~ « 1 *2 ]ег(а>, /:)|>
_1т_е'ГК ^) ) ^ (П.Ц.14)
б"'(О), fc) — (сгй5/ш") I2 '
III. Кинетическая теория взаимодействия
электромагнитных волн в веществе
1. Взаимодействие электромагнитных волн в плазме будет
рассматриваться нами как одна из задач нелинейной электроди-
электродинамики. Поэтому в первую очередь следует обратиться к уравне-
уравнениям электромагнитного поля [1]. Будем понимать под напря-
напряженностью электрического поля JH и магнитной индукцией В

312 приложения
величины, следующим образом определяющие силу:
[vB\\
действующую на точечный заряд е, движущийся со скоростью V,
в этой формуле с означает скорость света в пустоте. Тогда уравне-
уравнения электромагнитного поля можно записать в виде
div Е = 4я (р + р.); rot Е = - -» ж
го1 В = ±-дЛ + ^- (i + i0); div В = О,
(П. III.2)
где р и j —плотность заряда и плотность тока, индуцируемые
в среде, а р0 и j0 — соответствующие плотности внешних источни-
источников поля. Нас будут интересовать процессы, протекающие в среде
пне связи с конкретным видом внешних источников ноля, поэтому
в последующем изложении мы полностью опустим р0 и j0.
Чтобы можно было продуктивно использовать уравнения
(П.III.2) для решения определенных электродинамических задач,
необходимо знать связь индуцируемых в среде плотностей заряда
и тока с электромагнитным полем. Иными словами, необходимо
знать материальные уравнения. Запись материальных уравнений
у ряда авторов руководств по электродинамике весьма различна.
Для интересующих нас проблем не представляется целесообраз-
целесообразным разделять индуцированный ток па какие-либо части и вво-
вводить понятие намагниченности, а поэтому и понятие напряженно-
напряженности магнитного поля *). Более того, мы не будем противопостап-
1 дЕ тт
лять индуцированный ток току смещения т- г- . Поэтому при
помощи соотношения
t
JD'(r, t)--=E(r, 0+4я j dt'j(r,f) (П.1П.З)
введем величину!?', которая позволяет объединить ток смещения
с индуцированным током. При этом уравнения поля (П.III.2)
п отсутствие внешних источников (jo=0; p0 =0) записываются
в следующем виде [11:
div П' = 0; rot E = — * дВ
61
rot B = — ~ ; div В = 0.
с at
(П.1И.4)
*) В связи с этим в теории плазмы часто не делают различия между маг-
магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля. В нашем тексте
это отразится в том, что величину В мы будем также называть магнитим по-
полем.

Ш. ВЗАИМОДКЙСТНИК ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВЁЩКСТИЕ 313
Такая запись возможна благодаря наличию уравнения непрерыв-
непрерывности для индуцированных токов:
Эр
dt
4-divj-=0. (П.III.Г>)
Применительно к уравнениям поля (П.III.4) задача записи
материального уравнения сводится к определению зависимости
JD' от электромагнитного поля. Более конкретно мы будем гово-
говорить о зависимости 13'лишь от электрического поля 12, но не от
магнитного поля. Последнее возможно потому, что между магнит-
магнитным и электрическим полями имеется простая связь
_J_a» rot«,
с (it
которая позволяет исключить магнитное поле.
При записи материального уравнения учтем тот факт, что в сре-
среде имеются релаксационные процессы и явления переноса, которые
делают индуцированный ток в данной точке пространства и дан-
данный момент времени зависящим от поля в других точках простран-
пространства и в предшествующие моменты времени. Это приводит, как из-
известно, к временной и пространственной дисперсии и делает связь
между 1У и JB интегральной (нелокальной). С другой стороны,
интересуясь проблемой взаимодействия волн, мы фактически ог-
ограничиваемся сравнительно небольшими амплитудами поля. По-
Поэтому интересующее нас материальное уравнение запишем в виде
ряда *)
со < tt (П-1
o'i(r, 0=2$ dtl idri ]' dhld>'2-- ■ i dtn 1 d>'n x
j.=l .—oo
x *y(i) -.- i(n) (l — h'< r — ri'< ■ • ■ '. tn~i — tn; Гп-у — rn; tn, *•„) X
X Em{tx, rj . . . £*„)'(*»- rn). (П.Ш.6)
Зависимость от последних аргументов (tn,rn) в ядре сущест-
существенна лишь тогда, когда среда пространственно неоднородна и
нестационарна. Действительно, если такой зависимости нет, то яд-
ядра в интегралах (ПЛИ.6) зависят лишь от разностей пространст-
пространственно-временных координат, что отвечает трансляционной сим-
симметрии.
Фактически в задачах взаимодействия волн используется лишь
несколько первых членов ряда правой части формулы (П.Ш.6).
В нашем изложении мы ограничимся учетом трех членов такого
разложения. Заметим здесь, что соотношение (П. III.6) удобно
*) Всюду виже, где не указываются пределы, интегрирование ведется
от —оо до -!-■«.

314 приложкнця
для теории взаимодействия волн. С другой стороны, для явлений,
в которых поле оказывается весьма сильным, разложение (ПЛИ.6)
может оказаться невозможным.
2. Уравнения электромагнитного поля (П. II 1.4) совместно
с материальным уравнением (П.III.6) представляют собой замкну-
замкнутую систему, с помощью которой можно, в частности, рассмотреть
задачу взаимодействия волн. Мы ограничим свое рассмотрение
взаимодействием волн в однородной и стационарной среде. В этом
случае удобно использовать разложение Фурье для поля
К (,-, t) = { d(odke~':u>nik'lJ (o>, к).
Очевидно, что благодаря вещественности электрического поля,
JE*(o), к) — В(—(о, —&). Как уже говорилось выше, в таком
случае однородной и стационарной среды несущественна зависи-
зависимость ячра
eUO> .. 3 ('О (' 'l> '' ''"it • • • ! 'п-1 ln\ >'tl-l ?'п! 'п> **п)
от последнего пространственно временного аргумента. Поэтому
оказывается удобным использовать многоиндексные тензоры ком-
комплексной диэлектрической проницаемости
f dteiu>t f dre-ihr \ dtleil»'l> f йг^е-™^. . . f dtn^e{"n^ '"-i x
•J V J V V
0 0 0
\ dru^e^""-1 Tn~l eiin)... ;(„)(«, r; tur^ . . . ;tn.u rn-u tn, rn) =
= e4(D ■■■i(n) (ш, fc; (Oi, fci;... ;(£>n-i fc«-i). (ИЛИ.7)
В частности, e^ (со, Jc) представляет собой обычный тензор диэлект-
диэлектрической проницаемости, используемый в линейной теории волн и
учитывающий как частотную, так и пространственную дисперсию.
Поскольку ядра е действительны, то из (П.III.7) следует
ш) )()(
= eij (О-. Я") (—(й' — fc; — tt>1? — fci;. .. ; — (on_lt fcn_i). (II.III.8)
Это свойство тензоров е мы используем ниже.
С помощью тензоров (ПЛИ.8) можно теперь записать материаль-
материальное уравнение (П. III. 6) для компонент Фурье в виде
А(ш, к) — 2 J йщйк^... dwn^dk^Sij A)...дп) (ш, /с; Wj, Л?!;..,
п=1
...; cort^i, fcn-i) jE"j( ) («—сох, Л; — As^... £j(n_i)((on_a — wn_!, /с„^а —
-M^w(wn-b fc^-i). (П.Ш„9)

ИГ. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВЕЩЕСТВЕ 315
Из формы записи правой части этой формулы (П.III.9) легко
можно усмотреть тривиальные свойства симметрии тензоров
е»Л1)-■•any В частности,
, к; со —cuj, A> — fcx), (П.III.10)
i)(@( fc; o> — ш2, к —
з)(ш'/i5; <° +w2 — fox, Л;-(■ fc2 — fcx; f,J, &г). (fI.TTI.ll)
Соотношение (П.ПТ.9) совместно с уравнениями электромаг-
электромагнитного поля (П.III.6) приводит к следующему нелинейному урав-
уравнению для компонент Фурье электрического поля [2]:
h) = S \
x ev(D...л»)(ш' Л'; ^к fti>■ • ■;^s. 'cn-a; «>„_!, /cn-i) x
X Я,-Aч((О — u)x, fc — fca). . . £,•(„_!) (@„_г — d)n_i, fcn-2 — fcn-i) X
X £;,»)(»„-!, fcn-i). (П.ПТ.12)
Уравнение (П.III.12) может быть положено в основу нелиней-
нелинейной электродинамики, с помощью которой следует рассматривать
взаимодействие электромагнитпых волн в плазме. Понятие о плос-
плоских монохроматических волнах является точным в линейной
электродинамике. В нашем рассмотрении мы будем считать пред-
представление о плоских монохроматических волнах приближенно
правильным, что возможно в условиях сравнительной малости не-
нелинейных членов правой части уравнения (П.III.12). Для послед-
пего необходимо принять, что амплитуды ноли малы. В рамках
таких представлений дисперсионные свойства электромагнитных
волн в плазме определяются линейным приближением уравнения
(П.III.12). Условие разрешимости линейного приближения при-
приводит к дисперсионному уравнению [1]
М0-(о), fc) |-0, (П.III.13)
где
Mi} (ш, *>) = ei} (со, к)-^
Уравнение (П.III.13) соответствует равенству нулю детерми-
детерминанта системы уравнений (П. III.12), в правой части которой прене-
брежено всеми слагаемыми с ге > 2. Линейный тензор е^ диэлект-
диэлектрической пропицаемости, входящий в уравнение (П.1П.13), может
быть представлен в виде суммы эрмитовской и антпормитовской
частей:
I- (ш, к) = е|)Г)(«, к) + e^f (о, к). (ТТЛ 11.14)

316 ПРИЛОЖЕНИЯ
При этом решения уравнения (П.III.13) соответствуют слабозату-
слабозатухающим колебаниям тогда, когда антиэрмитовская часть диэлект-
диэлектрической проницаемости относительно мала. Соотпетстненно этому
частота оэ (к) (чисто действительная) собственных колебаний элект-
электромагнитного поля определяется уравнением (П.III.13), в кото-
котором удерживается лишь эрмитовская часть диэлектрической про-
проницаемости.
Взаимодействие волн приводит к тому, что амплитуды собст-
собственных колебаний электромагнитного поля меняются во времени
и пространстве. Поэтому имеет смысл говорить об амплитудах поч-
почти монохроматических плоских волн:
Е (г, t) = Е (г, t; о>, к) <г* <"'-кг1 + Е' (г, t; о>, к) ё <«"-«"•),
(П.III.15)
где о и к — действительная частота и волновой вектор. Для полу-
получения уравнений, описывающих пространственно временное из-
изменение таких амплитуд, поступим так же, как это делается в ли-
линейной электродинамике II, 3] (тем более, что амплитуды почти
монохроматических волн изменяются также и благодаря наличию
линейных диссипативных эффектов). Считая, что характерное
время изменения амплитуд почти монохроматических волн велико
по сравнению с периодом колебаний в волне, а также считая,что
характерный масштаб изменения амплитуд велик по сравнению
с длиной волны, можно записать следующее приближенное соот-
соотношение:
dD.tr, t)
^ж iaeri (»'-«"•) ei} (oj, к) Е} (г, t; o>, к) +
-f ifoe1 М-1»-) e4j (— w, — Л) E](r, t; а, к) +
л ЬЕ-(г, V, со, к)
+ ^(-/-r*)_?_ [wBinco, Щ] ^-^ ^ +
Л ЬЕ'лг, V, о), к)
a _
0k dr
), — k) dE'(r, t; ш, к) dbD{
где 6Di' представляет собой нелинейную часть Df. Считая такую
нелинейную часть сравнительно малой, мы не будем учитывать
в ней отличие амплитуд монохроматических волн от постоянных.
Более того, имея в виду относительную малость пространственных
и временной производных амплитуд почти монохроматических
волн, мы пренебрежем в стоящих перед ними выражениях

Ш. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВЕЩЕСТВЕ 317
антиэрмитовской частью диэлектрической проницаемости, которая,
как говорилось раньше, для слабозатухающих колебаний мала.
Тогда подставляя соотношение (П.III.16) в уравнение Пойнтинга
4-
{Е *-£+* д4) - - е- div
являющееся очевидным следствием урапнений поля (П.III.4), и
имея в виду соотношение (П.III.9), после усреднения по временно-
временному интервалу, значительно превышающему период колебаний
волн, получим
ио 2 ) d(Oi • • ■ ^n-iFii(i)...j(n)(<», fci »i. Лх; . . . ;<о„_1, fcn_i) x
X Я* (О), &) 2?j (i) ((I) — Cux, Л — JCj) . . . £j(n-l) («lt-2 — <»n-l, ftn-2 —
X fiy (i) ••; (n) («. fc". «n^; ■ ■ ■ J Wn-i, fcn-i) Е{(а>, Je) X
X i?J(l) (d> — (!>!, fc — <Vt) . . . ^ (n-l))<J>n-2 — «n-b ^n-2 — fcn-l) X
x4o (»«-i. '-«-I)- (П .111.18)
Здесь учтено, что В =■ (c/a>) [kE], а также соотпошешш (П.III.8)
н .Е (— о, — Л) = ,Б* (со, к).
Уравнение (П.III.18) представляет собой уравнение сохране-
сохранения энергии. Оно соответствует обычно используемым в нелиней-
нелинейной оптике укороченным уравнениям поля [4,5]. Такие уравне-
уравнения продуктивны для задач нелинейной электродинамики,
в которых фазовые соотношения между различными волнами
определенным образом фиксированы. С другой стороны, если фазы
беспорядочны, то возможны дальнейшие уточнения.
3. В статистической электродинамике, пригодной для случая
неупорядоченных фаз волн, можно продвинуться дальше, усред-
усреднив уравнение (П.III.18) по статистическому ансамблю. Такое
продвижение оказывается успешным благодаря относительной
малости нелинейных эффектов и возможности ограничиться не-
небольшим числом членов нелинейного ряда материального уравне-
уравнения (ПЛП.9). В нашем изло'жении мы ограничимся изучением
процессов, для которых достаточно удержать в уравнении (ПЛИ.18)

318 ПРИЛОЖЕНИЯ
члены вплоть до четвертой степени поля. Поэтому ниже мы рас-
рассмотрим уравнение
[сое" (со, ft)] л=
я Г д [шей (О), к)]
X Я; (о, &)> = ^ {^ (о), к) <Е\ (м, й) £j (о, &)> - el, (о), b) x
X <i?i (ш, /с) Я}(со, /с)»+ ^-\ dtOi^^eytDj^to), fc; о^, /сх) х
X <i?,* (со, Л) Ej A) (со — оо!, к — kt) Ej B) (со,, fcx)> —
— еУ A)з т (ш> fc". Ш1
(со,
X {£ii(i)jB)jC)(w, fc; oo!, fcx; oo2, кг)<Ег (cu,Ic)x
X i?j (,) (oo — oox, к — fcx) £j B) (cu! — ooa, kt — k2) Ej (s) (oo2, &2)> —
— R*j(i)iB)jC)(w, Л; со,, Л,; co21 к2)(Е{(си, к) E'Ul) (oo—oolt fc—fcx)X
X Я]B)(оо, —ooa, fc, — /c2)i?}C)(oo2, Аг)>}, (П.III.19)
где символ ( ) означает статистическое усреднение.
При статистическом усреднении произведений компонент элект-
электрического поля в случае стационарных и пространственно одно-
однородных состояний в предположении, что (Ё (со, к)) — 0, обычпо
записывается соотношение [6,1]
(Ei(a, /с) Я} (со', fc')> = E(co — га') б (Л — k'){EiEj)a, k, (П.Ш.20)
где {ЕгЕ;)ц,,к представляет собой спектральную плотность флукту-
флуктуации электрического поля (или спектральную функцию поля).
В нашем рассмотрении амплитуды почти монохроматического
поля, входящие в уравнение (П.III.18), медленно меняются в про-
пространстве и времени. Благодаря медленности такого изменения
мы для них также можем считать выполненным соотношение
(П.III.20). Заметим, что операция статистического усреднения
подразумевает наличие определенной функции распределения
поля. Отыскание такой функции представляло бы собой полное
решение задачи статистической электродинамики. Однако для
наших целей подобное решение не является необходимым. Мы
поставим перед собой более ограниченную задачу: получить урав-
уравнения, описывающие эволюцию спектральных функций поля.
Прежде всего заметим, что и линейной электродинамике (что
соответствует удержанию в правой части (П.III.18) лишь члепов

III. В.'!А1ШиДКЙСТВШ-. иЛ1'.КТР0МАГШГГШ.1Х ВОЛН К ВИЩГХТПК 319
си ~ 1) уравнение для спектральных функций ноля имеет вид
— 1-1 HlJLtF.FA , 1_lJLJ|_ l liJ J_ /F.P.I .1-
Jjld) &j4 ( CO, л?)
Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой
временную производную спектральной плотности энергии поли,
а второе — дивергенцию спектральной плотности потока энергии.
Из такого уравнения сохранения энергии вытекает очевидное
свойство спектральных функций ноля линейной электродинамики.
Именно, функции для разных о> и Л не коррелмровацы. Поэтому,
имея в виду <jE((o, /e)> -0 и отсутствие корреляций волн с раз-
разными со и /v, можем записать следующие соотношения для корреля-
корреляционных функций линейной электродинамики:
(/•;;(о), Ге)Е, (и>',Ге')Еп((а",к")> -=-. 0, (II. III.21)
<£'; (ю, к) Е} (w',fc') Et (со", Л;") i?n (co"',fc'")> = <i?i (ш, Л;) /^- (со', &')> х
X <Я| (со", 7с") Еп {ш'", к'")-) + <£4 (со, 7с) Е1 (га", к")> (Е} (со', Л') X
X Еп (со'", fc'")> + <Et (со, fc) Яп (со'", к'")} (Е} (со', fc') i?, («Л Л')> -|-
+ б„, 1аб„.,к'бш.',о>»бг'Д"'бо>,-о>»б){.-Г {<£"; (СО, Л) ^ ((■>', Л') А', (СО", fe") X
X А'п (со'", fc'")> - <A'i (со, fc) Я| (со"Л")> <Ej (со', fc') Я„ (со'", Л/")» +
+6o>,o>o>',o.»6iu.-o,-6fc,fc-6fc',fc.»6fe,_fc' {<i?j (co,fc) Ej (со', fc') £', (co",fc") x
X En (со'", fc'")> - <££ (со, fc) i?n (со"', fc'")> <^ (со', Л;') El (со", Л*)>} +
+ 6la,0)»6fc,fc»6u,.,0)»6/,.',;c''6o>,_o>'6fc,-*' {<i?i(co, fc) Ej(<u', k') E, (CO*, fc") X
где 6a() — символ Кронекера, возникновение которого в формуле
(П. 111,22) отражает факт корреляции амплитуд одинаковых волн.
В нелинейной электродинамике формулы (П.III.21) и
(П, III.22), строго говоря, не имеют места, поскольку амплитуды раз-
различных воли оказываются коррелированными. Однако п случае сла-
слабой нелинейности, когда в правой части соотношений (П.III.9),
(П. III.12) и (П. III.18) можно ограничиться лишь несколькими
членами ряда по степеням поля, такое отличие, во-перных, будет
сравнительно невелико, а, во-вторых, вместо формул (II,III.21) и
(П. III.22) могут быть получены более точные. Для нашего после-
последующего вывода уравнения, описывающего эволюцию спектраль-
спектральных функций поля, следует получить формз'лу, уточняющую
(П. II 1.21) на случай, когда в нелинейном уравнении ноля (П, II 1.12)
учитываются члены, квадратичные по амплитудам электрического

320 ПРИЛОЖЕНИЯ
поля:
o, fc; coj, fcx) ffjA) (ш — oil, fc — кг) ЯЯа) (и„ Ач),
(П. III. 23)
где
Л4; (©, *) = {6ij (со, *) - -^ (ву - ^L)} = My1 (со, fc).
(П. III. 24)
Этот тензор для краткости будем называть просто обратным.
Правая часть уравнения (П.III.23) соответствует эффектам вза-
взаимодействия электромагнитных волн. Если бы правой части этого
уравнения не было, то его решения соответствовали бы невзаимо-
невзаимодействующим волнам. Можно записать уравнение (ГТ.Ш.23)
в виде
Ei (со, к) = Е\ (со, к) — Ai} (со, к) \ d^dk^i^y) (со, А;; щ, к,) X
— со1( к - kt) Em (cox, kx), (П. III. 25)
где Е\ (со, к) — решение соответствующего уравнения линейной
электродинамики.
Уравнение поля в форме (П.III.25) (или, в более общей форме,
учитывающей и старшие члены по степеням поля) удобно для ре-
решения по теории возмущений, в которой в качестве плиближения
можно рассматривать поле Ей. Для наших целей достаточно пер-
первого приближения, чему соответствует подстановка в нелинейное
слагаемое правой части (П. II 1.25) поля нулевого приближения.
Такое приближение может быть использовано для написания соот-
соотношения, обобщающего (П, III.24) с точностью до членов четвертой
степени по амплитудам электрического поля. С такой точностью
получаем
(со, к) Ei (со', к') Ек (со", /с")> = (Е? (со, к) £f (co\ к') ££(со", к")у -
— \ dw1dfc1 {tjjWm (со, к, col kx) Ai} (со, к) <,Е°т (<о — colt к — кл) х
X Е%(щ, kj) £?(ш', *') Е1(ф",к"))+гт1т)(ф', к'; оЧ,кх) Afj(<o'.к') х
X (Е) (со' - сох, 7С - ку) Е% (сох, кх) £? (со, *) Ei (со", fc")> +
+eipU))B)(co", k'-^kj AKi (w", fc') <£jA)(co"—»„ k''—к^Е]^ (wv kx) X
X £?(©,*)£? (©',*>')>}. (П. 111.26)

ш. взаимодействии элкк'П'омлгнптиых моли в вр.щкстве 321
Первое слагаемое upanoii части AI.III.2C) раин о нулю согласно
формуле (П.III.21), поскольку величины Е\ представляют собой
амплитуды некоррелированных волн. Следовательно, согласно
формуле (П.III.26) очевидно, что при получении уравнения для
эволюции спектральных функций поля члены, содержащие третью
и четвертую степень поля в правой части уравнения (П.III.19),
приводят к эффектам, вообще говоря, одинакового порядка вели-
величины.
Ограничиваясь в искомом уравнении точностью четвертой сте-
степени поля, мы не будем уточнять формулу (П.III.22). Более того,
можно не делать различия в билинейных комбинациях спектраль-
спектральных функций поля между амплитудами Et и Е\. Наконец, в нашем
рассмотрении мы ограничим себя изучением взаимодействия раз-
различных волн и не будем учитывать возможного возденстпия волпы
саму на себя. Последний эффект соответствует корреляции одина-
копых волн в формуле (П.III.22). Поэтому без учета самовоздей-
стеия волн вместо формулы (П.III.22) мы будем употреблять сле-
следующую:
<£\ (со, h) Ej (©',/*') Ei (со", к') Ел К', k"')> = (EiEJU,k (EtEn)a-.k'X
X6(co-rco'N(fc ifc'N(coMmN(fc"IA;'/')T(£l£()o.,fc(£j£n)o.-,fc'6(co+co")x
X 6(fc + к'N(<*'+п'»)&{к'+к"') + (£i£J«..*(£i£»)«.'1fc'8((o+<ew) X
x б (к -f- к"') б (со' + а>")Ь(к' + к'). (П.Ш.27)
Учитывая формулу (П.Ш.27) и сделанные перед ее написани-
написанием замечания, можно теперь записать формулу (П.III.26) в виде
(Ег (со, к) Ei (to', к') Ец К, к")) = — б (со -f- <о' + <■>") б (к -f- к' +
+ к') {Atj (ел, к) [ejHl)K2) (со, fc; — ш", — к") + еЛЧ8);Ч1) (ш, к; — со',
- к')\ (EiEm)u-,k- (EtEm)*-tbr + At} (ш', *'
— к') + еиШ1)(©', к', — «о, — к)] (EiEK1))W
+ Akj (о/, /с")[еу(пЛ4) К, fc"; — <о',—й?')+е{,ЧгШ) (to", fc";—ю,—Л)] х
X (Е1ЕК1))^к(Е!ЕЛг))ш;к-+ [б (ш) S (fc) Ан @, 0) (Я,Як)...*.+ б (©') X
Хб (Л') Л„ @, 0) (Е{Ек)ы,к + б (со') б (*') ilftj @, 0) (EiEiU.b] ^cox x
@, 0; «„ fc.) (ЕдцЯяоклЛ- (П.Ш.28)
Последняя квадратная скобка правой части формулы (П.Ш.28)
для интересующих нас задач взаимодействия электромагнитных
волн несущественна, ибо для волн ш и к одновременно не равны
пулю. Заметим, что аналогичные выражения, также не отвечаю-
отвечающие взаимодействию волн, возникают и при подстановке (П.Ш.27)
в уравнение (П.III.19). Опуская последовательно такие члены, пос-
после подстановки выражений (П.Ш.27) и (П.Ш.28) в (П.Ш.19)

322 приложения
получаем [2]
55 + i" Г"~~ ~F~JJ Ш (£'£^ *> +
O [caeS (со, ft)] ,2
ti. + £[МА,-*А,-*А
= 2iefj(co, fc) {EjE^h + /m\ с£со'сШ'{Л*.;(со, fc) <%1).,\2)(», fc; со', fc') x
* '9ijC)jD) (со, fc; со', fc') (£Л2)£Л4))И-,,,- (Е^Еям),^., fc- fc- + 2^A)i (to—
— со', fc — &') Sim jB) (со, к; со', /с') ^ш)(со — «', fc — fc'; со, к) у
X (Ej{2)EjU-j)a,^k'(EnS)(Ei)b>th—2(E<Ljl)EiH>ih x
X (ЕтЯ}ю)„;ь- ^ладш(з) («, Л; to', fc')}, (II.III.29)
где
Ft' ГЛ Tt* * ( Л ' ft* ' \ О /,ч Ji. ., | .,' "йл | 7* ' * /i\' /«'\ I
vB)^(i)iC) \*"* ™/» *" * ^ / "~" ^ЪЧз)/(i)i(з) v^> ™i ш-j-co , /*/ ~р /^ , ш , /*/ /-+-
+ e'-jB)iC)j(i) (со, А;; со -f со', к + к'; ы, к),
SW№) (со> к; со', к') — еУA)Яа) (со, fc; со', fc') +
+ 8ij(j)iO) (со, fc; со — со', к — /г') = £еЪЧ1да) (со, /с; ю', Л').
Имея в виду процедуру получения уравнения (П.III.29), со-
согласно которой уравнения поля (П.III.18) умпожались на элект-
электрическое поле Е{, очевидно, что для разных поляризаций такого
поля будут возникать, вообще говоря, различные конкретные урав-
уравнения, В этом смысле будем понимать утверждение, что индекс
i в уравнении (П.III.29) помнит о поляризации электромагнитной
волны.
Уравнение (П.III.29) использовалось при рассмотрении ряда
задач в кинетической теории иааимодействия электромагнитных
волн. Это уравнение позволяет получить конкретные кинетиче-
кинетические уравнения для волн, и его можно назвать обобщенным кине-
кинетическим уравнением поля.
Следует отметить, что уравнение (II.III.29) является в опреде-
определенном смысле неполным. В частности, известно, что кинетические
уравнения для волн содержат неоднородную часть, не зависящую
от интенсивности колебаний и обусловленную спонтанным излуче-
излучением (см., например, § 37 книги [7] или § 70 книги [8]). Отсут-
Отсутствие в нашем уравнении (П.III,29) подобной неоднородной части
делает его, строго говоря, пригодным лишь для описания процес-
процессов, в которых интенсивность волны значительно превышает уро-
уровень теплового шума. Именно такие задачи возникают в условиях
раскачки колебательных неустойчивостей в плазме, а также и при
взаимодействии внешних интенсивных волн с искусственно воз-

III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВЕЩЕСТВЕ 323
бужденными плазменными колебаниями. Фактически на основа-
основании уравнения (П.II 1.29) оказывается возможным получить ре-
результаты и для взаимодействия волн с тепловой интенсивностью.
Однако для этого приходится привлечь хотя и тривиальные, но
все же интуитивные соображепия.
Вывод обобщенного кинетического уравнения для волн, при-
приводящий к учету спонтанного излучения, был дан для случая
продольных плазменных колебаний в работе автора [9]. В этой
работе, так же как и в работе Матсуда и Ростокера [10], обобщен-
обобщенное кинетическое уравнение для волн было получено с помощью
развития метода корреляционных функции Боголюбова [11, 12].
Целый ряд приложений обобщенного кинетического уравнения
поля дан, например, в работах [13—26].

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение IV. Газ Лоренца. Релаксация распределения легкой
примеси в тяжелом газе. Диффузия и термодиффузия легкой при-
Рассмотрим такую ситуацию, когда в газе тяжелых частиц имеется
примесь малой плотности частиц легкого газа. Благодаря малости такой
плотности пренебрежем столкновениями легких частиц друг с другом, со-
соответственно этому для эволюции состояний газа легкой примеси (газа
Лоренца) необходимо учитывать столкновения легких частиц с тяжелыми.
Интеграл таких столкновений допускает существенное упрощение. Дейст-
Действительно, принимая т ~ та <g ть = Мт, можно считать скорость частиц
сорта а много большей скорости частиц сорта 6. Поэтому | va — vj,| = ги «
« iv Далее поскольку fiab < mb, то рь = fiabvab Н Р яз P, р'ь =
ГПа + ГП(,
fJ-abvabn' Н Р ~ Р■ Все это дает
ТПа + 7П(,
dpb \va-vb\ daab(\ va - vb |
vaj dpbdaab(va, 0){/; - fa}fb = vanb I doab{va, 6){/« - /a} =
где aab = / daab - полное сечение рассеяния.
Приведенные здесь простые преобразования позволяют для примесной
функции распределения / = /„ записать кинетическое уравнение в следу-
следующем виде:
-J- + v-~- = nTv f da(v,Q)f(p') — nvcr(v)f(p), (II.IV2)
ot от ^
где nT = nb, da = daab, a p' отличается от р лишь направлением рассеяния
n'.
Следует отметить, что пренебрежение взаимными столкновениями час-
частиц примеси друг с другом не позволяет рассмотреть полную релаксацию
к состоянию равновесия. Это, в частности, проявляется в том, что равно-
равновесным решением уравнения (П.IV.2), независящим как от пространствен-
пространственных координат, так и от времени, оказывается произвольное изотропное
распределение, независящее от направления вектора р.
Для того, чтобы получить простое аналитическое описание релаксации
к состоянию равновесия, рассмотрим здесь некоторые следствия, вытекаю-
вытекающие из уравнения (n.IV.2). для независящего от углов изотропного сечения
рассеяния
da(v) = —^-dOn'. (TT.IV3)
4тг

IV. ГАЗ ЛОРЕНЦА. 325
При этом рассмотрим релаксацию пространственно однородного произ-
произвольного распределения f(p,t = 0), заданного в начальный момент време-
времени t = 0. Тогда дело сводится к решению уравнения
О I(Р. t) (г d(J \
~J-^r1 = v\\ — f(p',t)-f{p,t)\ (II.IV4)
at (J a J
с указанным начальным условием. В уравнении (П.IV.4) v = nTva{v) -
частота столкновений. Из уравнения (П.IV.4), во-первых, следует, что
/ dOpf{p, t) = const = I dOpf(p, t = 0). (n.IV5)
Во-вторых, легко может быть записано в следующем виде решение началь-
начальной задачи:
/(Р, *) = f(P, * = 0) e-ui + (l - «Г1") / ^£ f(p', t = 0). (II.IV6)
Отсюда следует, что с ростом времени распределение частиц примеси ре-
лаксирует к изотропному состоянию. Характерное время релаксации - заб-
забвения о начальном состоянии - определяется величиной A/f).
Рассмотрим теперь релаксацию пространственно неоднородного состо-
состояния, для которого, имея в виду линейность уравнения (П.IV.2), начальное
состояние зададим в виде
f(p,r,t = O)= В
где Re обозначает действительную часть. Соответственно этому, считая
f{p,r,t) = Re|/(p,t)e L из кинетического уравнения при выполнении
(n.IV.3) имеем
^ + ikvf(p, t) = v У d~ f(p', t) - f(p, г)} ■ (II.IV8)
Решим это уравнение приближенно в предположении плавности неод-
неоднородности распределения
kv « v. (II.IV9)
Тогда функцию распределения можно представить в виде суммы
/ = /о + /i (n.IVIO)
большой изотропной /о в пространстве скоростей функции и малой j\ ан-
анизотропной. При этом для последней примем
o,t)-0. (n.IVll)

приложения
Тогда для малой анизотропной добавки /i из (ILIV.8) можно записать сле-
следующее приближенное уравнение
-+L + ikvf0 = -«//,. (П.1У12)
Второе уравнение получим из (II.IV.8), усреднив его по направлениям век-
вектора р. Тогда имеем;
f + /^*»/. = 0. (П.1У13)
Предположим, что изучаемая нами релаксация происходит за время много
больше A/f )• Тогда в уравнении (П.IV.12) можно пренебречь временной
производной, что позволяет записать
Последнее позволяет после подстановки (n.IV.14) в (П.IV.13) получить сле-
следующее уравнение
описывающее релаксацию изотропной, а согласно (n.IV.14) и анизотроп-
анизотропной части функции распределения. Решение уравнения (n.IV.15)
(П.1У16)
позволяет сказать, что релаксация пространственно неоднородного рас-
распределения характеризуется временем
При этом предположение о большой величине этого времени отвечает усло-
условию
kv < v. (П.1У18)
Если вместо волнового вектора fc использовать длину волны А = к'1, а
также использовать l(v) = (v/u(v)) - длину свободного пробега частицы
со скоростью v, то условие (n.IV.18) перепишится в виде
A»/(v). (П.1У19)
Иными словами закон медленной релаксации (П.IV.16) пространственно
неоднородного состояния реализуется для состояний, простргшстврнная
длина волны которых на много превышает длину свободного пробега.

IV. ГАЗ ЛОРЕНЦА. 327
Теория переноса, определяющегося легкой примесью в тяжелом газе,
оказывается сравнительно простой благодаря возможности использовать
модель газа Лоренца. Однако прежде чем переходить к использованию та-
такой модели для описания неравновесных потоков, укажем, что решение
нулевого приближения для распределения легких частиц [ср. (9.6)]:
(nJVM)
вытекает из системы кинетических уравнений легкой примеси и тяжелого
газа без каких-либо приближений модели Лоренца. Однако рассмотрение
первого приближения далее мы проведем на основе такой модели.
В качестве исходного используем следующее кинетическоеуравнение для
функции распределения легкой примеси [ср. (П.IV.2)]:
Рассмотрим далее следующее уравнение первого приближения метода
Чепмена-Энскога:
В правой части этого уравнения в сечении и в эффективной частоте столк-
столкновений заменим аргумент v на V =| v — Up |. Ошибка, возникающая при
такой замене, сравнима с неточностью самой модели газа Лоренца, обу-
обусловленной переходом от v — v-p | к и, поскольку vq 5 v-r-
Подстановка выражения (П.IV.20) в левую часть этого уравнения поз-
позволяет записать его в следующем виде:
~Ы, дг) ""кТ \dt "к дтк)
(р — mvn)F
T \dt dr) [ 2тпкТ 2) тпкТ
Для исключения производных по времени в соответствии с уравнениями
A4.3), A4.4), A4.5) воспользуемся следующими уравнениями:
^+ divnuo = 0, (II.IV24)
/ в N = _ 1 Sfcr+n) + 1
\ drj p or p

328 приложения
Используя эти три уравнения, пренебрегая малым п по сравнению с пт и
пренебрегая малым отношением массы тп частицы легкой примеси к массе
М? тяжелой частицы, получаем
_, \д\п(пкТ) F mFT 1 ,
дг \2кТ 2) [ дг кТ МткТ\
где учтено /М = /[0]Ф(У), V = v - v0 = Vn, V = v' - v0 = Vn'. Для
описания диффузии и термодиффузии легкой примеси нет нужды в ис-
использовании последнего слагаемого левой части (П.IV.27). Тогда ясно, что
'' ' \2ktJ V2/cT дг +
Далее поскольку
Jdan'= nj соэв da(V, в), (II.IV29)
то в предположении, что силы F и Ft не зависят от скорости, из уравнения
(П.IV.27) непосредственно следует:
mV2 5 / m (mV2\ 1
ЧА ()
2кТ 2
I m /™Т/2\ 1 .
-cos0]. (n.IV31)
Последние два соотношения дают явные выражения для функций А к С
(mV2__5
к.Т ~ 2
)"
mV*\ ^ ,«« (П.1УЗЗ)
где
■ cos0] = nTVa{l){V). (П.1У34)
Все это позволяет для диффузионного потока записать следующее выра-
выражение:
mV2\ 1 Гга".,, f . (rnV2\ dlnT .

IV. ГАЗ ЛОРЕНЦА. 329
mFT) _
\O\2kT)\~
FT] DTdlnT
[d? л Мтл\^дг (njV35)
где для коэффициента диффузии D и термодиффузии Дг имеем:
dr kT Mk
\дЩпкТ) F mFT] DTdlnT
Dt _ 8кТ
m
к
Для иллюстрации приведем выражения этих коэффициентов в том случае,
когда г/'1' не зависит от скорости. Тогда
кТ „
В частном случае отсутствия сил (F = Ft — 0) и пространственно одно-
однородной температуры (Т = const) диффузионный поток (П.IV.35) приводит
к следующему уравнению диффузии:
~+ div(nvD) = div(DVn). (П.1У38)
at
Если легкая примесь заряженная и заряд частицы примеси равен е, то
при наличии электрического поля F = еЕ. Тогда в случае Т = const и пре-
пренебрежения Ft диффузионный поток (II.IV.35) может быть представлен в
виде
С другой стороны электрический ток дается выражением
3 = en(V) (II.IV40)
или
3 = -eD^ + — DE = -eD~ + aE. (II.IV41)
or кТ or
Здесь электрическая проводимоть связана с коэффициентом диффузии сле-
следующим соотношением
е2п
а = ~7fD. (П.1У42)

ЛИТЕРАТУРА
К главе I
1. Л. Больцман. Лекции по теории газов. Гостехиздат, 1956.
2. Л. Д, Ландау и Е. М. Л и ф ш и ц. Механика. «Наука», 1965.
3. Л. Д. Ландау и Е. М. Л и ф ш н ц. Квантовая механика (нереляти-
(нерелятивистская теория). Физматгиз, 1963.
4. Л. Д. Ландау нЕ.М. Л и ф ш и ц. Статистическая физика, «Наука»,
1964.
5. Г. Д ё ч. Руководство к практическому применению преобразования Лап-
Лапласа. Физматгиз, 1958.
К главе II
1. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Механика сплошных сред. Гостех-
Гостехиздат, 1954.
2. С. Ч е п м с н, Т. К а у л и н г. Математическая теория неоднородных
газов, ИЛ, 1960.
3. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Бор д. Молекулярная
теория газов п жидкостей, ИЛ, 1961.
4. Дж. У л е п б е к, Дж. Форд. Лекции по статистической механике.
«Мир», 1965.
5. М. Н. Коган. Динамика разреженного газа. «Наука», 1967.
6. Т. К i h a r a. Imperfect gases. Tokyo, 1949.
К главе III
1. М. К n u d s e n. The Kinetic Theory of Gases. Some modern aspects. Lon-
London, 1934.
2. M. Д е в и ен. Течение и теплообмен разреженных газов. ИЛ, 1962.
3. В. П. Ш и д л о в с к и й. Введение в динамику разреженного газа.
«Наука», 1965.
4. М. Н. Коган. Динамика разреженного газа. «Наука», 1967.
5. Я. Л. Альперт, А. В. Г у р е в и ч, Л. П. П и т а е в с к ни. Искус-
Искусственные спутники в разреженной плазме. «Наука», 1964.
К главе IV
1. А. А. Власов. О вибрационных свойствах электронного газа. ЖЭТФ
8, 291 A938); УФН 93, 444 A967).
2. В. П. Силин. А. А. Р у х а д з е. Электромагнитные свойства плазмы
и плазмоподобиых сред. Атомиэдат, 1961.
3. В. Л. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в
плазме, «Наука», 1967.

ЛИТЕРАТУРА 331
4. А. И. А х и о а с i>, И. А. А х и с » е р, Р. В. П о л о в и в, А. Г. О и-
теико, К. Н. Степанов. Коллективные колебания в плазме.
Атомшдат, 1964.
5. Я. Л. А л ьн в р т, А. В. Г у рев п ч, Л. П. П ит а е в с кнй. Искус-
Искусственные спутники в разреженной плааме. «Наука», 1964.
6. Сборник «Вопросы теории плазмы». Атомиздат, вып. 1 A963); вып. 2
A963); вып. 3 A963); вып. 4 A964); вып. 5 A967).
7. Л. Д. Ландау. О колебаниях электронной плазмы. ЖЭТФ 16, 574
A946); УФН 93, 527 A967).
8. Г. В. Г о р д е ев. Низкочастотные колебания плазиы. ЖЭТФ 27, 18
A954).
9. А. И. Ахнезер, Я.В. Файиберг. О взаимодействии пучка ва-
ряженных частиц с электронной плазмой. Докл. АН СССР 69, 555
A949).
10. D. В о h m, Б. P. Gross. Theory of plasma oscillations. Excitation and
damping of oscillations. Phys. Rev. 75, 1864 A949).
11. А. И. A x и е з е р, Я. В. Ф а й и б е р г. О высокочастотных колебаниях
электронной плазмы. ЖЭТФ 21, 1262 A951).
12. В. Л. Гинзбург, А. А. Рухадзе. Волны в магнитноактивной плазме.
«Наука», 1970.
13. И. Е. Т а м м. Теория магнитного термоядерного реактора. Статья в
сборнике «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реак-
реакций», т. 2. Изд. АН СССР, 1958, стр. 3.
14. Л. И. Рудаков, Р. 3. С а г д с е в. О неустойчивости неоднородной
разреженной плазмы в сильном магнитной поле. Докл. АН СССР 138,
581 A961).
15. А. А. Р у х а д з о, В. П. С н л и н. Квиетическая теория дрейфово-дпе-
енпативных неустойчивостей плазмы. УФН 96, 87 A968).
16. М. N. Rosenbluth and С. L. L о n g m i r e. Stability of plasmas
confined by magnetic fields. Ann. Pbys. f, 120 A957).
17. E. E. Ловецкий, А. А. Р у х а д з е. Гидродинамика неоднородной
плавмы в поле тяжести. ЖТФ 33, 660 A963).
К главе V
1. Л. Д. Л а н д а у. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимо-
взаимодействия. ЖЭТФ 7, 203 A937).
2. К. П. Гуров. Основания кинетической теории. (Метод Н. Н. Боголю-
Боголюбова.) «Наука», 1966.
3. В. И. Коган. О скорости выравнивания температур заряженных час-
частиц в плазмо. Статья в сборнике «Физика плазиы и проблема управляе-
управляемых термоядерных реакций», т. 1. Изд. АН СССР, 1958, стр. 130.
4. С. И. Брагинский. Потоки частиц и тепла поперек сильного маг-
магнитного поля в полностью ионизованной двухтемпературной плааме.
Статья в сборнике «Физика плазмы и проблема управляемых термоядер-
термоядерных реакций», т. 1, Изд. АИ СССР, 1958, стр. 178.
К главе VI
1. Н. G r a d. On the kinetic theory of rare gases, Comra. Pure and Appl.
Phys. 2, 331 A949). [Имеется русский перевод, сб. «Механика» № 4 и
№ 5, ИЛ, 1952.1
2. СИ. Брагинский. Явления переноса в плазме. Статья в сборнике
«Вопросы теории плазмы», вып. 1. Атомиздат, 1963, стр. 183.
3. К). Л. Климентович. Статистическая теория неравновесных про-
процессов в плазме. Изд. МГУ, 1904.

332
(ТИТШ'АТУУА
4. M. H. Коган. Динамика разреженного газа — кинетическая теория.
«Наука», 1967.
5. R.Herdan, B.Liloy. Dynamical equations and transport relationship
for a thermal plasma. Rev. Mod. Phys. 3:.', 731 A960).
6. M. В. С а м о x и н. Определение коэффициентов переноса в плазме ме-
методом Града. ЖЭТФ 32, 1055 A962).
7. М. В. С а и о х и. н. Токи и потоки тепла в двухтемпературной плазме.
ЖТФ 33, 667 A963).
8. М. В. С а и о х и н. Потоки частиц и тепла в иногокомпонентной плаз-
плазме. ЖТФ 33, 675 A963).
9. В. М. Жданов. Явления переноса в частично ионизированном газе.
ПММ 26, 280 A962).
10. А. Ю. К п р и й, В. П. С и л нн. Уравнения переноса в плазме, ЖТФ
39, 773 A969).
К главе VII
1. Л. Б о л ь ц м а н. Лекции по теории газов. Гостехнвдат, 1056.
2. Дж. В. Г и б б с. Основные принципы статистической механики. Гос-
техиздат, 1946.
3. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц. Механика, Физматгиз, 1958.
4. Н. Н. Боголюбов. Проблемы динамической теории в статистиче-
статистической физике, Гостехиздат, 1946.
5. Дж. У л е н б е к, Дж. Форд. Лекции по статистической механике.
«Мир», 1965.
6. К. П. Гуров. Основания кинетической теории. (Метод Н. Н. Бого-
Боголюбова.) «Наука», 1966.
7. А. А. В л а с о в. О вибрационных свойствах электронного газа. ЖЭТФ
8, 291 A938); УФН 93, 444 A967).
8. Ю. Л. Климентов и ч. Статистическая теория неравновесных про-
процессов в плазмо. Изд. МГУ, 1964.
9. Л.Д. Ландау. Кинетическое уравнение в случае кулоновского
взаимодействия. ЖЭТФ 7, 203 A937).
10. М. Смолуховский. Молекулярно-теоретическио исследования по
вопросу об обращении термодинамически необратимых процессов и о
возврате аномальных состояний. Статья в сборнике «Броуновское дви-
движение, А. Эйнштейн, М. Смолуховский», ОНТИ, 1936, стр. 273.
К главе VIII
1. Н. Н. Боголюбов, К. П. Гуров. Кинетические уравнения в
квантовой механике. ЖЭТФ 17, 614 A947).
2. К. П. Гуров. Основания кинетической теории. (Метод Н. Н. Бого-
Боголюбова.) «Наука», 1966.
3. Д. И. Б л о х и н ц е в. Основы квантовой механики. Гостехиадат.
4. Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц. Квантовая механика. Физматгнз,
1963.
5. Е. P. W i g n e r. On tie quantum correction for thermodynamic equili-
equilibrium. Phys. Rev. 40, 749 A932).
6. Ю.Л.Климоитовпч, В. П. С и л и н. К теории спектров возбуж-
возбуждений макроскопических систем. Докл. АН СССР 82, 361 A952).
7. Ю. Л. К л п м о н т о в и ч, В. II. С и л и н. О спектрах систем взаимо-
взаимодействующих частиц. ЖЭТФ 23, 151 A952).
8. В. П, Си л и н. Исследование спектра системы миогнх частиц методом
квантового кинетического уравнения. Тр. ФИАН, т. 6, стр. 200 A955).
9. Н. W о у 1. The theory of groups and quantum mechanics, London, 1931.
10. M. Born, 1». lord an, Zur Quantenmechanik. Zs. f. Phys. 34, 858
A925).

ЛИТЕРАТУРА 333
11. N. Me Coy. On the function in quantum mechanics wihch corresponds
to a given function in classical mechanics. Proc. Nat. Ac. 18, 674 A932).
12. В. А. ф о к. Приближенный способ решения квантовой задачи многих
тел. Тр. ГОИ, вып. 61, 1 A931); УФН 93, 342 A967).
13. В. П. Силен. К теории коллективного описания взаимодействия элек-
электронов в твердом теле. ФММ 3, 193 A956).
14. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц. Статистическая физика. «Наука»,
1964.
15. И. И. Гол ь д м а н. Колебания электронного газа с функцией распре-
распределения Ферми в состоянии вырождения. ЖЭТФ 17, 681 A947).
16. В. П. Силин. К теории спектра возбуждений системы многих частиц.
ЖЭТФ 23, 641 A952").
17. Л. Д. Ландау. Колебания форми-жидкостн. ЖЭТФ 32, 59 A957).
18. Д. П а й н с, Ф. Н о з ь е р. Теория квантовых жидкостей. «Мир»,
1967.
19. Ю. Л. К л и м о н т о в и ч, СВ. Т е м к о. Квантовое кинетическое
уравнение для плазмы с учетом корреляции. ЖЭТФ 33, 132 A957),
К главе IX
1. Н. Н. Боголюбов. Проблемы динамической теории в статистиче-
статистической физике. Гостехиздат, 1946.
2. N. R о s t о k e r. Tost particle method in Kinetic theory of plasma.
Phys. of Fluids 7, 491 A964).
3. R. Balescu. Irreversible processes in ionized gases. Phys. of Fluids
3, 52 (i960).
4. A. L e n a r d. On Bogolubovs kinetic equation for a spatially homoge-
homogeneous plasma. Ann. Phys. 3, 90 (I960).
5. О. В. Константинов, В. И. П е р е л ь. Столкновения частиц
в высокотемпературной плазме. ЖЭТФ 39, 861 A960).
6. В. П. Сил и и. Об интеграле столкновений для заряжевпых частиц.
ЖЭТФ 40, 1768 A061).
7. Е. И. Д а в ы д о в. О влиянии колебаний плазмы иа ее электропровод-
электропроводность и теплопроводность. Статья в сборнике «Физика плазмы п проблема
управляемых термоядерных реакций, т. 1. Изд. АН СССР, 1958, стр. 77.
8. Ю. Л. К л и м о и т о в п ч. Потери энергии заряженных частиц на
возбуждение колебаний в плазме. ЖЭТФ 30, 1405 A959).
9. В. П. Сил и н. К теории процессов переноса в плазме поперек маг-
магнитного поля. Ядерный синтез 2, 125 A962).
10. Р. Р. Р а м а я а ш п и л ir, A. A. Р у х а д я о, В. П. Сил и н. О ско-
скорости выравнивания температуры заряженных частиц в плазме. ЖЭТФ
43, 1323 A962).
11. В. П. С и л и п, Л. М. Горбунов. К кинетике н< изотермической
плазмы. Докл. АН СССР 145, 12С5 A962).
12. Л. М. Г о р б у и о в, В. П. С и л ин. Теория явлений переноса в неияо-
термичег.кой полностью ионизированной плазме. ЖТФ 34, 385 A964).
13. .11. М. Горбунов. Некоторый вопросы кинетической теории пол-
полностью ионизированной плазмы. Диссертация, ФИА11, 1964.
14. Е. С. Ф р а д к и н. К теории процессов переноса в плазме, находящейся
в магнитном поле, 5КЭТФ 32, 1176 A957).
15. С. И. Б р а г и и с к и й. Явления переноса в плазме. Статья в сборнике
«Вопросы теории плазмы», вып. 1. Атомнздат, 1963, стр. 183,
16. Ю. А. Романов, Г. Ф. ф и л и п п о в. Взаимодействие потоков
быстрых электронов с иродсп.ными плазменными колебаниями. ЖЭТФ
40, 123 A961).
17. А. Л. Веди и о п. К. П. Велико и. Р. 3. Г, а г д о с п. Нелпнейвыо
колебания разреженной плазмы. Ядерный синтез I, 82 A961),

ЛИТЕРАТУРА
18. W. E. Drummond, D. Pines, Non-linear stability of plasma
oscillations. Nuclear Fusion, Suppl., p. 3, 1049 A962).
19. А. А. В е д е н о в. Квазилинейная теорпя плазмы (теория слаботур-
булентиой плазмы) Атомная энергия 13, 5 A962).
20. Б. Б. К а д о м ц о в. Турбулентность нлнамы. Статья в сборнике
«Вонросы теории плазмы», вып. 4. Атомиздат, 1964; стр. 188.
21. Ю. Л. Климентов п ч. Статистическая теория неравновесных про-
цессоп в плазме. Изд. МГУ, 1964.
22. С. В. И о р д а н с к и й, А. Г. Куликове к и й. Кпазилпнейвов
приближение и корреляционные функции в плазме. ЖЭТФ 4E,732A964).
23. Ю. Л. Климентович, С. В. Т е м к о. Кпаптовоо кинетическое
уравнение для плазмы с учетом корреляции. ЖЭТФ 33, 132 A957).
24. R. В а 1 в s с u. Approach to equilibrium of quantum plasma. Phys. of
Fluids 4, 94 A961).
25. К. П, Г у р о в. Основания кинетической теории. (Метод Н. Н. Бого-
Боголюбова.) «Наука», 1966.
26 В, П. С нл и н. Об интеграле столкновений электронов с электронами.
ФММ 5, 805 A961).
27. Н. И. М у с х е л и ш в и л и. Сингулярные интегральные уравнения.
Гостсхиздат, 1946.
28. Ф. Д. Г а х о в. Краевые задачи, Фиэматгнз, 1958.
29. Р. Б а л е с к у. Статистическая механика заряженных частиц. «Мир»,
1967.
30. В. А. Соловьев,' Дипломная работа. МГУ, 1956.
31. Ю. Л. Климонтович, Ю. А. К у х а р е н к о. Квантовое кинети-
кинетическое уравнение для системы заряженных частиц с учетом взаимодей-
взаимодействия частиц с волнами. ФММ 19, 161 A965).
32. С. М б 1 1 е г. Ohcr don Stoss zweier Teilcben unter Bcriicksichtigung
dor Retardation der Krafte. Zs. f. Phys. 70, 786 A931).
33. В.П. Силин. К теории электромагнитных флуктуации в плазме.
ЖЭТФ 41, 969 A961).
34. Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц. Электродинамика сплошных сред.
Гостсхиздат, 1957.
35. В.П. Силин, А. А. Р у % а д з о. Электромагнитные свойства плазмы
и плазмоподобных сред. Атомиадат, 1961.
36. Ю. Л, Климонтович. Релятивистское кинетическое уравнение для
плазмы. ЖЭТФ 38, 1212 A960).
37. СТ. Беляев, Г, И. Б у д к е р. Релятивистское кинетическое урав-
уравнение. Докл. АН СССР 107, 807 A950).
38. А. И. Л а р к и н. Прохождение частиц чорез плазму. ЖЭТФ 37, 264
A959).
К главе X
1. С. Т. Беляев. Кнпетика ионизованного газа в сильном магнитном
поле. Статья в сборнике «Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций», т. 3. Изд. АН СССР, 1958, стр. Сб.
2. Т. К i h a r a. Ion-electron relaxation of plasmas in a strong magnetic
field. J. Phys. Soc. Japan 14, 1751 A959).
3. T. Kihara, Y. Midzuno, Irreversible processes in plasmas in a
strong magnetic field, Rev. Mod. Phys. 32, 722 (I960).
4. T. Kihara, Y. M i d г u n o, S. К a n e k o, Transport properties of
plasmas in a strong magnetic field. J. Phys. Soc. Japan 15, llol A960).
5. В. П. С и л it н. Кинетическое ураппенпе для быстропеременных про-
процессов. ЖЭТФ 38,'1771 (I960).
6. В. П. С и л it и. О высокочастотной днэлектр!гческой проницаемости
Плазмы. ЖЭТФ 41, 861 A961),

ЛИТЕРАТУРА 335
7. В. Л. Г у р в в и ч, 10. А. Ф в р с о в, Теория диффузпп плазмы в маг-
магнитном ноле, ЖЭТФ 41, 1151 A961).
8. Р. Р. Р а м а з a m в и л о. On the relaxation of temperature on the charged
particles in a majfne,toactive plasma, June, 1963, Special Service Do-
Documents, Boeing Scientific Research Laboratories, Seattle, Wasington,
9. В. Е. Г о л а и т. Диффузия заряженных частиц плазмы в сильной ыаг-
питпом поле, влияющем иа столкновение частиц. ЖТф 33, 1 A963).
10. К). М. Алиев, А. Р. Шистср. Яплення переноса в плазме в сильном
магнитном поле. ЖЭТФ Л5, 1499 A963).
11. Р. Н. Г у р ж и. Квантоноо кипетическоо уравнение для электронов в
металлах. ЖЭТФ 33, 451 A957); Р. Н. Г у р ж и. К теории поглощения
цлектромагнитных волн в металлах в инфракрасной области спектра.
ЖЭТФ 33, 660 A957).
12. В. П. С и л и н. О релаксации температур электронов п ионов полностью
ионизированной плазмы, находящейся в сильном магнитном поле.
ЖЭТФ -43, 1813 A962).
13. В. П. Силин, Г. П. 'Горный. К теории релаксации температур
электронов и ионов плазмы, находящейся в сильной магнитном поле,
ЖЭТФ 39, 781 A969).
14. D. Voslamber. Relaxation of electron and ion temperatures in a
strong magnetic field, Journal of Nuclear. Enenrv, part C, 6, 123 A964).
15. В. Л. Г и н а б у р г. Распространение электромагнитных волн в илаз-
ме, Гостехиздат, 1960.
16. В.И. Коган. Флуктуирующее микроволе и многократные столкнове-
столкновения в газе заряженных (или гравнтирующих) частиц. Докл. АН СССР
135, 1374 A960).
17. Н. A. Kramers. On the theory of X-ray absorption and of the conti-
continuous X-ray spectrum. Phil. Mag. 46, 836 A923).
18. E. E. Ловецкий. О высокочастотной диэлектрической проницае-
проницаемости неизотермичоской плазмы. Изв. вузов. Радиофизика 5, 813 A962).
19. В. П. С и л и н, А. Р. Ш и с т е р. К теории поперечной диффузии, стати-
статической и высокочастотной проводимости плазмы, находящейся в сильном
магнитном поле. ЖЭТФ 49, 193 A965).
20. В. П. Сплин. О проводимости плазмы в сильных электрическом и
магнитном полях. Докл. АН СССР 161, 1328 A965).
К приложению 1
l.L. Onsager. Reciprocal relations in irreversible processes, I. Phys.
Rev. 37, 405 A931).
2. L. Onsager. Reciprocal rotations in irreversible processes, II, Phys.
Rev. 38, 2265 A931).
3. jr. Д. Ландау, Е, М. Ли ф nt и ц. Статистическая физика. «Наука»,
1964.
К приложению II
1. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш п ц. Электродинамика сплошных сред.
Гостехиздат, 1957.
2. В.П. Силин, А. А.Рухадзе. Электромагнитные свойства плазмы
и плазмоподобных сред. Атомиздат, 1961.
3. М. Л. Л е в и н, С. М. Р ы т о в. Теория равновесных тепловых флуктуа-
флуктуации в электродинамике. «Наука», 1967.
4. В. П. Силин. К теорииэлектромагнитных флуктуации п плиаме. ЖЭТФ
41, 969 A961).

336
ЛИТЕРАТУРА
5. С. М oiler. Ober den Stoss zweier Tcilchen unter Berucksichtigung der
Retardation der Krafte. Zs. Phys. 70, 786 A931).
в. Ю. Л. К л и м о и т о в и ч, В. П. Сплин. О флуктуациях в плазме
бео столкновений. Докл. АН СССР 145, 764 A962).
7. Ю. Л. Климентович. Статистическая теория неравновесных про-
процессов в плазме. Изд. МГУ, 1964.
К приложению III
1. В. П. Сплин, А. А. Р у х а д з с. Электромагнитные свойства плаз-
плазмы и плаамонодобных сред. Атомиздат, 1961,
2. Л. М. Горбунов, В. В. Пустовал о в, В. П. Сил и н. О нели-
нелинейном взаимодействии электромагнитных волп в плазме. ЖЭТФ 47,
1437 A964).
3. В. М. А г р а и о в и ч, В. Л. Г и п з б у р г. Кристаллооптика с учетом
пространственпой дисперсии и теорпя экептоиов. «Наука», 1965,
4. С. А. А х м а н о в, Р. В. Хохлов. Проблемы нелинейной оптики.
Изд. ВИНИТИ, 1964.
5. Н. Бломберген. Нелинейная оптика, «Мир», 1966.
6. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц. Электродинамика сплошных
сред. Гостехиздат, 1957.
7. В. Л. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в плаз-
плазме. Физматгиз, 1960.
8. Р. Б е к к е р. Теория электричества, Гостехиздат, 1941.
9. В. И. С и л п н. К кинетической теории взаимодействия плазменных
волн. Прикладная механика и техническая физика, вып. 1 A964).
10. N. R ostoker. К. Matsuda. Kinetic theory of particlsand waves. Pla-
Plasma Physics andControlled Nuclear Fusion Research, vol. 1, p. 747. Vienna,
1966.
11. II. H. Боголюбов. Проблемы динамической теории в статисти-
статистической физике, Гостехиздат, 1946.
12. К. П. Гуров. Основания кинетической теории. (Метод Н. Н. Боголю-
Боголюбова.) «Наука», 1966.
13. А. П. Кропоткин. Теоретическое исследование процессов нели-
нелинейного взаимодействия волн в плазме. Диссертация, ФИАН, 1967.
14. Л. М. Горбунов, В.П.Силин. О рассоянпи волп в плазме. ЖОТФ
50, 1094 A966).
15. Л. М. Горбунов. Некоторые вопросы кинетической теории пол-
полностью ионизованной плазмы. Диссертация, ФИАН, 1964.
16. Л. М. Горбунов, В. В. П у с т о в а л о в, В. П. Силин. О рас-
сеяпип электромагнитных волн в плазме. Радиофизика 8, 461 A965).
17. Л. П. Кропоткин, В. В. Пустовало в. Индуцпрованное
комбинационное рассеяние продольных волп в магнптоактивной плазме.
ЖЭТФ 49, 1345 A9G5).
18. Л. М. Горбунов. А. М. Т п м с р б у л а т о в. О законе дисперсии
и нелинейном вэаимодействип ленгмюровскнх волн в слаботурбулент-
слаботурбулентной плазме. ЖЭТФ 63, 1492 A967).
19. А. Р. К г о р о t k i п, V. V. Р о u s t о v a ] о v. Wave-wave scattering
of quasilongitudinal waves in magnetoactivo plasmas with different elec-
electron and ion temperatures. Phys. Fluids 10, 241 A967).
20. А. П. Кропоткин, В. В. Пустовало в. Слияние электромаг-
электромагнитных волн в холодной магннтоактпвной плазме. Радиофизика 8, 886
A965).
21. А. П. Кропоткин, В.В. Пустовало в. Нелинейное взаимо-
взаимодействие электромагнитных волн в магннтоактпвиой плазме. Доклад в
Каламе (Англия)* септябрь 1965 г.; Plasma Physics and Controlled.
Nuclear Fusion Hescarch, vol. 1. Vienna, Ш>Г>, стр. (>!M,

ЛИТЕРАТУРА 337
22. Л. М. Горбунов, В. П. Силин. Нелинейное взаимодеистшге плаз-
плазменных воли. ЖЭТФ 47, 203 A964).
23. А. П. Кропоткин, В. В. П у с т о в а л о в, II. В. Шолохов.
Индуцированное рассеяние квазипродольных воля н магнигоактявнон
плазме, I. ЖТФ 38, 240 A968).
24. А. П. К р о п о т к и н. О нелинейном взаимодействии ноли при наличии
пучковой неустойчивости. ЖЭТФ йЗ, 1765 A967).
25. А. Г а й л и т и с, Л, М. Горбунов, Л. М. К о в р и ж п ы х,
В. В. П у с т о в а л о в, В. П. Сплин, В. Н. Ц ы т о в н ч. Нелиней-
Нелинейное взаимодействие волн в плазме. Доклад в Калэме (Англия), сентябрь
1965 г.; Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, vol. 1.
Vienna, 1966, стр, 673.
26. А. П. Кропоткин, II. В. Ill о л о х о в. Индуцированное рассея-
рассеяние квазнпродольных циклотронных волн в плазме. Препринт ФИАН,
№ 58 A967); ЖТФ 39, G28 A909).
Некоторые другие работы по пелипейвому
взаимодействию колебаний плазмы
Б. Б. Кадомцев, В. И. Иетвиашвилн. Слаботурбулентиая
плазма в магнитном поле. ЖЭТФ 43, 2234 A9С8).
Л. М. А л ь т ш у л ь, В. И. К а р п м а н, Кнпетнка волы в слаботур-
слаботурбулентной плазме, ЖЭТФ 47, 1552 A964).
A. Г. С и т е и к о. Электромагнитные флуктуации в плазме. Харьков,
1965.
Л.М. Коврижных. К теории турбулентной плазмы. ЖЭТФ 48,
1114 A965).
Л. И. Рудаков. Некоторые вопросы нелинейной теории колебаний
неоднородной плазмы. ЖЭТФ 48, 1372 A965).
Д. Д. Р ю т о в. Излучение электромагнитных волн при нелинейном
взаимодействии поверхностных колебаний в плоском слое плазмы.
Докл. АН СССР 164, 1273 A965).
Ю.Р. Аланакян. К взаимодействию электромагнитных волн на
границе плазмы. ЖТФ 36, 806 A966).
Н. П. Г я о р г а д з о, Е. М. X и р с е л и, Н. Л. Цпнцадае. О
распадном взаимодействии волн в магнитоактивиой плазме. Радиофизи-
Радиофизика 9, 489 A966).
B. В. Захаров. О споктре слабой турбулентности в плазме без
магнитного поля. ЖЭТФ 51, 688 A966).
Н. В. Шолохов. О рассеянии электромагнитных волн неравновес-
неравновесной плазмой. Радиофизика 7, 452 A964).
Ю. Л. К л и м о н т о в и ч. О нелинейном взаимодействии волн в нлаз-
ме. ЖЭТФ 48, 488 A965).
А. Б. Михайловский. Нелпнсйпая теория дрейфоно-цаклотрои-
ной неустойчивости цепзотермической плазмы. ДАН СССР 158, 1068
A964).
A. А. В е д о н о в, Л. И. Рудаков. О взаимодействии волн в сплош-
сплошных средах ДАН СССР 159, 767 A964).
И. С. Д а н и л к и н. Трансформация понеречшцй электромагнитной
волны в понно-звуковые колебания плазмы с образованием промежу-
промежуточной ленгмюровскон волны. ЖТФ 36, 813 A966).
B. Н. Ц ы т о в и ч. Нелинейные аффекты в плазме. Москва, 1967.
А. П. Кропоткин, В. В. Пустовал о в. Распады продольных
волн в неизотермической магнптоактнвиой плазме. ПреприитФИАН,1966.

Виктор Павлович Силин
ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ ГАЗОВ
Репринтное издание с исправлениями
и дополнениями с экземпляра
издательства "Наука". 1971 г.
М.. 1998 г., 338 стр.. с илл.
Редактор К. П. Гуров
Техн. редактор Л. А. Пыжова
Корректоры 3. В. Автонеева. Л. Н. Боровина
Исправления вносили В. А. Исаков и И, Н. Черткова
Редакционно-издатсльская и информационная служба
Физического института им. П. Н. Лебедева РАН
Подписано в печать 6 июня 1998 г.
Заказ N180. Тираж 200 экз. П. л. 21,1
Москва. Ленинский проспект. 53