Text
                    VII
1С1МЕК11ЕК
Оп8О2.
ВдьОМ 1. МАТК18БЕК ҮЕ ОЕТЕКМ11ЧАМТЕАК............................2
1.1	Ма1пз1ег уе огйапп йхеппе уарйасак 1§1егп1ег................2
1.2	Ое1ептппап11аг.............................................18
1.3	Тегз (1пуегз) Ма!пз........................................32
1.4	Вй Майчзт Капк1............................................40
1.5	А11§игта1аг................................................54
1.6	Сеүар!аг...................................................68
ВОЬйМ 2. Ы1ЧЕЕК СЕВ1К8ЕЕ ПЕМКЬЕМ 818ТЕМ1........70
2.1.	Тете1 Каугапйаг уе Татпйаг..................................70
2.2.	п ВПттеуепН уе п Ьтеег ОепИетПеп о!и§ап Ыг 8181ет. Сгатег
РогтйШ уе Тегз Ма1пз МейхГи.......................................74
2.3.	баизз Ме!о<1и...............................................86
2.4.	п ВПттеуепН т Ыпеег СеЫгзе! Оепк1ет 8181епн................102
2.5.	Ното§еп Ыпеег СеЫгзе! ОепИет 81з1:ет1.	Ваг 6огйт1ег Сйт1е81.110
2.6.	А11§11гта1аг...............................................120
2.7.	Сеүар1аг...................................................132
воьйм 3. ҮЕКТбКЕЬ СЕВ1К..................138
3.1.	Үбп1еп<Нп1т1§ Ооёги Раг?а81. 8ау1за1 Екзеп. Ойхктйе уе
Нхауйа КагТегуеп КоогсНпа! 8181ет1еп.................................  138
3.2.	Эйхктйе уе Нхауйак! Уек1ог1ег. Оп1апп йгеппе уарйасак 1§1ет1ег.
В1г УекХогйп Екзеп йгеппПек! 1/с1й§йти. В1г УекЮгйп КоопНпаПап...150
3.3.	Үек!ог1епп 8ка1ег уе УекТоге! багрти. Кагта§1к (^агрпп...........168
3.4.	А11?11гта1аг.....................................................184
3.5.	Сеуар1аг.........................................................198
ВОЬйМ 4. Ы^ЕЕК СЕВ1К1М Е8А8ЕАК1..................................204
4.1.	Ыпеег Охау..................................................204
4.2.	Үет Ва2’оа Кооп1та11апп Ое§1?1гт............................218
4.3.	А1( Шау.....................................................226
4.4.	ОкНП Шау!...................................................234
4.5.	Ыпеег Обпй§йт1ег..........................................  242
4.6.	Ыпеег Обпй§йтйп Ог Ое§еп уе 6г УекШгй.......................258
4.7.	КиайгаНк Гогт1аг............................................278
4.8.	А11§1:1гта1аг...............................................300
4.9.	Сеуар1аг....................................................332
Каупак1аг.....;............................................348

АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 1 ГЛАВА. МАТРИЦАЛАР ЖАНА АНЫКТАГЫЧТАР 1.1. Матрица жана алар менен аткарылуучу амалдар АНЫКТАМА. Берилген ап, а12 ,...,ат„ сандарынын т жолчодон жана п мамычадан турган төмөнкү тик бурчтуу таблица \Чт! @т2‘" ^тп ) матрица деп аталат. Мында ап, а12 ,...,атп сандары матрицанын элементтеои деп аталат. Берилген (аи) матрицанын а1} элементи, матрицанын / жолчосу менен у мамычанын кесилишинде жайланышкан. Эгерде матрицанын жолчолорунун саны менен мамычаларынын саны барабар болсо, б.а. т = п болсо, анда матрица квадраттык матрица деп аталат жана п анын тартиби деп аталат. Эгерде т п болсо, анда матрица т х п өлчөмдүү тик бурчтуу матрица деп аталат. Мында, т матрицанын жолчолорунун саны, ал эми п мамычаларынын саны. Биз 1хп- өлчөмдүү (ап, а12 ,...,а1п) матрицаны жолчо же ач жолчо вектор деп атайбыз. Ал эми, т х 1 - өлчөмдүү а21 матрицаны мамыча же мамыча-вектор деп атайбыз. Матрица, көбүнчө чоң латын тамгалары менен белгиленет. Мисалы, Квадраттык А=(ау) - пхп - өлчөмдүү матрицанын г=/ болгондогу ац, а22,...,а„„ элементтери (г = 1, 2,..., п) матрицанын
АУ1Т А8АМОУ. КАМ1Х КАГАТОУ 2 ЕГАЕЕК СЕВ1К ВбЬЁМ 1. МАТК18ЕЕК УЕ 1)ЕТЕКМ1!8А8ТЕАК 1.1. Ма1п81ег үе оп1апп игеппе уарйасак 1$1ет1ег ТАММ: Уеп1еп ап, а12 ,...,атл зауйаппт т зайг уе п ко1опс!ап о1и?ап ап,.,аХп а2\ а22'-'а2п = («!/) (1-1) ^ат\ апг2*” атп ) $екНпс1ек1 Ыг сНк с1бгС§еп СаЫовипа таСпз <1етг. Вигас1а ац, а12 ,...,а„т зау11аппа таСпзт е1етап!ап <1етг. Е§ег таСпвт заСМаппт 5аус81 опип ко1оп1аппт заусзта е§11 1§е, уат т=п 1зе, о гатап Ьбу1е таСпяе кагезе! та!п$ с1етг уе п Бауш 1зе таСпзт тегСеЬем асЬт акг. Е§ег т п 18е, о гатап Ьи таСпзе тхп-б^иШ Ыг (Пк дбг1§еп таСпз! бетг. Вигаба т-таСпзт закйаппт вауш уе п 1 зе опип ко1оп1аппт 5аушс11г. /х п- б19й1и (ац, а12 ,...,а1п) таСпзте - 8айг- таСпм үеуа вайг - үекСбгй с!ешг, отх/-б19й1й а2| -таСпзте - ко!оп -та(пм үеуа ко1оп - \ат1 ) уексбгй с1етг. МаСп51ег §епе1Нк1е Ьйуйк 1аСт ЬагГеп Пе §б5СепНг. Оте§т А=(ау) - пхп - б1?й1й кагезе! таСпвт /=у ЬаНпбе еШе есЫеп кб§е§еп
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 3 диагоналдык элементтери болуп, алар А матрицанын башкы диагоналын түзүшөт. Эгерде квадраттык А = (ау)-пхп матрицанын башкы диагоналында жатпаган элементтери нөлгө барабар болсо, анда ал матрица б.а. (ахх 0... 0 > 0 0... ат) матрицасы диагоналдык матрица деп аталат. Башкы диагоналынын элементтери бирге барабар болгон пхп - өлчөмдүү диагоналдык матрица Еп- бирдик матрица болот, б.а. 0 Матрицанын жардамы менен кээ бир байланыштарды жазсак болот. Мисалы, өнөр жай менен айыл чарбасында ресурстардын керектелүүсү (шарттуу бирдик менен) көрсөтүлгөн төмөнкү таблицаны ресурстар Өнөр жай Айыл чарба Электр энергиясы 5,3 4,1 Эмгек ресурстары 2,8 2,1 Суу ресурстары 4,8 5,1 матрицанын жардамы менен 3.3 4.1 > А = 2.8 2.1 <4.8 5.1?
АУ1Т А8А5ЮҮ, КАМIX КАГАТОУ 1ЛАЕЕК СЕВ1К 4 с1етап1ап ац, а^2 ,---,ат е1етап1апд1г уе Ьип1аг А таТпзтт езаз кб^е^етгн о1и§Шгиг!аг. Е§ег А=(ау) - пхп кагезе! таШзтт езаз кб§е§ептт <11§1пс1а Ьи1ипап е1етап1апп Штй 81йг 1зе, уат 1^0 0... апп) §екНп(1е 1зе, о хатап Ьи та1пзе кб§е§еп пШгЫ Нетг. Езаз кб$е§еп е1етап1ап Ыге е§к о1ап пхп - б1<рй1й кб§е§еп та!п81 Еп- Ыпт та1п81(11Г, уат Шг. Ма1п81епп уагскт1у1а Ьах1 Ьа§тЫап уахаЫНпх. Оте§т, Епййз^п уе Тапт каупак1аппт киПапйтазт! (§егекеп Ыпт1еп Пе ) §б81егеп а§а§1с!ак1 ТаЫо Каупак1аг ЕпдйзШ Тапт Е1ек1пк Епегрз! 5.3 4.1 Етек Каупак1ап 2.8 2.1 8и каипак!ап 4.8 5.1 тайчзт уагс11т1у1а
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 5 түрүндө кыскача жазсак болот. Мында элемент ап=5 3 өнөр жайга канча электр энергиясы жумшаларын көргөзөт, ал эми элемент а33=5 1 айыл чарбасына канча суу жумшаларын көргөзөт. МАТРИЦАЛАР МЕНЕН АТКАРЫЛУУЧУ АМАЛДАР 1 .Кошуу амалы: Бирдей тхп өлчөмдөгү А=(а,) жана В = (Ь1}) матрицаларынын суммасы С=(с^ ) - тхп өлчөмдүү матрица болот Мында С матрицанын элементтери су төмөнкү су= а,у +Ь,} (1=1,2, ...,т, ] = 1.2,.. ,п) барабардыктарынан аныкталат жана ал сумма С = А + В менен белгиленет. 1-МИСАЛ. ' 7 2 л ч 4 7 , 2-МИСАЛ. г 3 4 Г [13 2, л 5 5 0 л ч 1 9 ю; 2 1 -Г_/ 3 + 2 4 + 1 1 + (-1)л 0 6 1 + 0 3 + 6 2 + 8 , Бирдей тх п - өлчөмдүү А, В жана С матрицаларды кошуунун төмөнкүдөй касиеттери бар: 1°. А+В=В+А (коммутативдүүлүк); 2°. (А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативдүүлүк) 3° А+(0)=А, мында (О)-матрицасы, бардык элементтери нөл болгон т х п - өлчөмдүү матрица. Бул(О)-матрицасы т х п- өлчөмдүү нөлдүк матрица деп аталат. Мисалы, 3x2 - өлчөмдүү нөлдүк матрица (О)-төмөнкүдөй жазылат: ( 0 0> (О) = 0 0 <0 °> Ал эми (О) = I о 0л 0, -2x2 — өлчөмдүү нөлдүк матрица болот.
АУ1Т А8АЫОҮ, КАМ1Х КАЕАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1К 6 1пк1е к18аса уахйаЫНг. ВигаНа та1пзт ац=5 3 е1етат Епдйзй! 1агайпс1ап |0пк Шкейпмт §бз1епуог, а32=5 1 е!етат 1зе (апт 1§1егтс1ек1 §егекеп зи 1апт §бз1егеп <1е§егсНг. МАТК18ЕЕК ЁХЕК11МЕ ҮАР1ЕАСАК 1§ЬЕМЬЕК 1.Тор1ата 1§1егт А(оу) уе В=( Ь,}) аут т х п - о1?и1и та(п81епп |^Ьт1 С=(су) тхп - б1?й1й та(п8 о!иг. Вигаба С таййзтт е1етап!ап С,,= сИг (1=1,2, ...,т,]=1,2, ...,п) уе Ьи 1ор1ат А + В = С $ек1тс1е §б81епНг. О1СЧЕК 1.: з 4 А Г 4 -1 0 ГЬ -2 Г _ Г 3 + 4 7 Л-1 + 5 4-2 А _ Г 7 2 л 0 + 7 Г1 4 7 ? ОК^ЕК 2.: " 3 4 1 > Г 2 < 1 3 2Г° 1 -С_Г 3 + 2 6 8^ " ( 1 + 0 ( 5 5 0 ' < 1 9 Ю/ 4 + 1 1 + (-1)л 3 + 6 2 + 8 } Аут тхп - б1?й1й А, В се С та1п81епт 1ор1ата 1?1егт а§а§14ак1 ВкеИШеге заЫрбг. 1°. А+В=В+А (Эе§1§те Капит) 2°. (А+В)+С=А+(В+С) (Оа§йта Капипи) 3°. А+(0)=А (Охс1е§11к Капипи) Вигаба (0) та1п81 Ьег е!етат 81йга е§11 о1ап тхп - б1?й1й та1П8Йг. Ви (0) - та1п81пе тхп - б1?й1й 8Шг та(п81 с1ешг. Огпе§т 3x2 - б1?й1й таШ81 л 0 ол (О) = 0 0 < 0 0, уах111г, 0 0" (О) = < 0 о; двагпз! 2x2 - о19и1й 81йг тайпзШк.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 7 2 .Кемитүү амалы . Бирдей тхп- өлчөмдүү А=(ау) жана В = ( Ьу) матрицаларынын айырмасы С = (су )- т х п- өлчөмдүү матрица болот. Мында С матрицанын элементтери төмөнкү Су = Оу - Ъу , 1=1,2,..., т; 1=1,2,...,п барабардыктарынан аныкталат жана ал айырма А-В = С менен белгиленет. 3-МИСАЛ. 5 10 12 5-1 10-12 4 -2 л -2 Д-2-4 7-(-2) Д-6 9 , З .Матрицаны санга көбөйтүү. Берилген тхп - өлчөмдүү т4=(ау) матрицасын X санына көбөйткөндөгү ХА матрицасынын элементтери А матрицанын элементтерин X санына көбөйткөнгө барабар, б.а. 'Лаи Лап...Ла]п Ла,, Ла,г..-Ла-,п = X (ау) = (X ау). 1 = 1,2, т; ) = 1,2,...,п . 4-МИСАЛ. ' 3 2 0) '7-2 7-2 7-0 " 21 14 71-14= 7-1 7-(-1) 7-4 = 7 -7 <° ’3 ~51 /7-0 7-(-3) 7-(-5), -21 0 28 -35, 4 . Матрицаны матрицага көбөйтүү. Эгерде А = (ау) матрицасы тхп - өлчөмдүү, ал эми В = (Ь„) матрицасы п х к - өлчөмдүү болсо, анда А жана В матрицасынын көбөйтүндүсү т х к - өлчөмдүү АВ = С =(с15) болот. Мында С матрицанын элементтери С}5 төмөнкү формула менен аныкталат; п ^18 18 ^11^18 (^12^28^ЪП8 , I 1,2,...,1П, 8 1,2,...,к. /=1
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАГАТОҮ Ы^ЕЕК СЕВ1К 8 2. фкагта !$1епн . Ауш тхп - б1$й1й А=(а,;) уе В=< Ьч) тайчзкптп Гагк1 тхп - б1?й1й Ыг С=(с1}) тайзЫк. Ви С тайлзтт е1етап1ап а§а§14ак1 су = ау-Ь^, 1=1,2,]=1,2,...,п Е$й11к1еп Пе 1атт1ап1г үе А-В = С Йе вблепНг. ОК1ЧЕК 3.: 5 10 > р -2 7 Д 4 12 5-1 10-12 4 -2 л -2 Д-2-4 7-(-2) Д-6 9 , 3. Ма<Н81епп $ка!ег Пе ^агрнт. УегПеп т х п - о!дй1й А=(ау) П81П1П X зка1ег Пе ^агртм о!ап лА тайчзтт е1етап1ап А тайчзтт 1ап1аппт X зауш Пе <?агр1т1агк11Г, уат = Л(а,;)=( Ла,;). / = 1,2,...,т; )=1,2, п. \/^’т 1 ^т2 •' •^атп ) ОК1ЧЕК 4.: Г 21 ( 3 2 О^ 7 1-14 к0 -3 -5, ( 7-2 7-2 7-0 7-1 7-(-1) 7-4 к7-0 7-(-3) 7- (-5), 14 -7 -21 0 л 28 -35, 7 4. Ма(н81епп дагрнт Е§ег А = (ау) гпа1п81 тхп- б1<?й1й уе В=( Ь,,) та1п81 с!е п х к - о1£й1й 1зе А уе В таТпзкппт ?агршн яхк - о!?й1й АВ = С = (с15) та1П81<Пг. Вигайа С таТпзтт с18 е!етап1ап «5а§1<1ак1 Гогтй! Пе СашгЫатг: п = + «/2^+- -+ ат ьт , 1=1,2,...,т; 8=1,2,...,к. 7=1
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 9 Берилген А жана В матрицаларынын көбөйтүндүсү С=АВ А матрицасынын мамычаларынын саны п, В матрицасынын жолчолорунун санына барабар болгон учурда гана аныкталат. 5-МИСАЛ.Төмөнкү А жана В матрицаларынын көбөйтүндүсүн тапкыла: ЧЫЕАРУУ: Мында А - 2 х 3 - өлчөмдүү, В - 3 х 3 - өлчөмдүү болгондуктан, С = АВ матрицасы 2x3- өлчөмдүү болот. Демек Л1 (-1) + 0 5 + 2 • (-2) 1-0 + 0-1 + 2-0 Ы + 0-4 + 2-П чЗ-(-1) + Ь5 + 0-(-2) З-О + Ы + О-О 3-1 + 1-4 + 0-1, Г-5 0 3^1 Матрицалар менен аткарылган амалдар төмөнкү касиеттерге ээ: 1) Л(А+В)= ЛА+ЛВ, Т-сан 2) А(В+С)=АВ+АС 3) (А+В)С=АС+ВС 4) Л(АВ)= (ЛА)В=А(ЛВ) 5) А(ВС)=(АВ)С 6) АЕ„ = Е„А=А Мында А - п х п - өлчөмдүү матрица, Еп'- п х п - өлчөмдүү бирдик матрица.
АҮ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ1Х КАГАТОҮ и\ЕЕК СЕВ1К 10 Уеп1еп А уе В таГпзкптп ^агрпгн о1ап С=АВ та1п81 апсак А МП81П1П ко1оп1апп1п 8ау181 п В таТпзтт заййаппт заутзта е$й о1(1и§и Ыде 1атт1атг. ОШЧЕК 5.: А§а§к!а уегПеп А үе В та1гйз1епЫп сагртит ЬиЫпих: РОХЁМ: Вигада А-2хЗчеВ-ЗхЗ б1?и1и оШиИаппбап : = хв таГпз! 2 х 3 - б^йзйпе заЫрйг. Оетек 1-(-1) + 0-5 + 2-(-2) ЬО + 01 + 2-0 Ы + 0-4 + 2-Р1 3-(-1) + 1-5 + 0-(-2) 3-0 + 1-1 + 00 3-1 + 1-4 + 0-1у _л-5 0 3" "<2 17, «X. Мкп$1ег йхеппйек! 1§1ет1ег а§а§1 йак! бхеШИеге заЫрйг: 1) Л(А +В) = АА +ЛВ, Л - зау1. 2) А(В+С) = АВ+АС 3) (А+В)С = АС+ВС 4)Л(АВ) = (ЛА)В=А(ЛВ) 5)А(ВС) = (АВ)С э) АЕп = Е„А = А аг. Вигаба А - п х п - б1<?й8йпе заЫр кагезе! тайчзйг, Еп 18е п х п -б1?й1й ^япт та(п81сНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 11 ЭСКЕРТҮҮ: 1) Берилген А жана В матрицалары үчүн АВ көбөйтүндүсү жашап, ал эми ВА көбөйтүндүсү жашабай калышы мүмкүн . Чындыгында эле, жогорудагы 5-мисалда АВ матрицасы аныкталат, ал эми ВА матрицасы жашабайт. Себеби В матрицасынын мамычаларынын саны 3, ал эми А матрицанын жолчолорунун саны 2, 3^2. 2) Берилген А жана В матрицалары үчүн АВ жана ВА көбөйтүндүлөрү жашап, бирок АВ * ВА болушу мүмкүн. 6-МИСАЛ: Берилген матрицалары үчүн АВ жана ВА матрицаларын тапкыла. ЧЫГАРУУ: АВ = ^•О + Н + Ң-!) ^о-о+зч + г-с-!) 2-3 + 1 -5 + 1 -1 > _ Г 0 0-3 + 3-5 + 2-1 ) 1^1 12^ 17, ' 0 ВА= 1 С1 1 Р 3 V л0 • 2 + 3 • 0 1-2 + 50 ^-П-г+ьо 01 + 3-3 1-1 + 5-3 (-1)-1 + 1 -3 01 + 3-2 1 • 1 + 5 • 2 (-1)-1 + 1-2? ^О 9 6' 2 16 11 1-2 2 1? АВ * ВА. Мында АВ жана ВА матрицаларынын өлчөмдөрү ар түрдүү. 3) АВ жана ВА матрицаларынын өлчөмдөрү бирдей болгондо да, АВ Ф ВА болушу мүмкүн. 7-МИСАЛ: Берилген 2> < 0 5> , В = 4; 16 8) матрицалары үчүн АВ жана ВА ны тапкыла.
АҮ1Т А8АЫОУ, КАМ1Х ВАГАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1К 12 г^\К1: 1) УепЬеп А үе В та1п81еп 19111 АВ ^агрпт 8а§1апд1§1 НаШе тп 8аё1аптауаЫНг. Оег^ек^еп, уикапйак! бтек 5’ 1е АВ та1п81 апап ЬаШе ВА та1п81 8а§1аптат1§ 1Ш. £йпкй В та1п8тт ко1оп1аппт X тайчзтт заййаппт 8ау18118е 2 Шг, 3^2 (Иг. гп1еп А үе В та1П81еп 1аЫ11г. к\ЕК 6.: УегПеп 19111 АВ үе ВА ^агритПап 5а§1апд1§1 каШе Зл 5 гп фп АВ уе ВА та1п51епш Ьиктих. 'ОМ: 2-0 + 1-1 + 1-(-1) ч0-0 + 3-1 + 2-(-1) 2-3 4-1 - 5 + 1 -1 0-3 + 3-5 + 21 12л 17, ВА= л0 1 <-1 Г0-2 + 3-0 1 • 2 + 5 • 0 (-1)-2 + 1-0 0 14-3-3 1-14-5-3 (-1)-1 + 1-3 01 + 3-2 Г0 1-14-5-2 (-1)1 +1 - 2 2 -2 9 16 2 А = ' 2 1 , 0 3 2 ’ В = " 0 1 1 5 2 1 1 0 3 2 6 1 АВ + ВА . г. Вигада АВ уе ВА та1п81епп1п б1<?й1еп с!е Гагк11й1г. 3) АВ уе ВА такЫептп б19й1еп аут о1ап ЬаМе Ы1е АВ^ВА о1аЫНг. ОК1ЧЕК 7.: УегПеп А= В= л0 < 6 3 4 ’ 8 ”зГг181сг1 191П АВ үе ВА ‘у1 Ьи1ипиг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 13 ЧЫГАРУУ: Л-0 + 2-6 1-5 + 2-8 'Л (12 2Й АВ = <3-0 + 4-6 3-5 + 4-8 ) (24 47) о 6 ВА= I 5>Г 1 2^_ ГО-1 + 5-3 8) 3 4^1 ^б-1 + 8-З Ө-2 + 5-4^ 6-2 + 8-4? <15 30 4) Бирдей тартиптеги 20 А 44^1 кээ бир квадраттык матрицалардын АВ Ф ВА. арасында АВ = ВА болгон учуру да кездешүүсү мүмкүн. Маселен 5 2А 3 8. 11 27 18 38 3 2 4 5 3 2 8 3 4 5)Нөлдүк эмес А жана нөлдүк матрица болушу мүмкүн. Мисалы, матрицаларынын көбөйтүндүсү АВ В А= 0 1, Х0), В= -1 Х0) бирок АВ= ло < о 0л 0, =(0) - нөлдүк матрица. 1 5. Матрицаны даражага көтөрүү. Эгерде А-матрицасы квадраттык матрица (т = п) болсо, анда ар кандай к-натуралдык сан үчүн А матрицанын к-даражасы Ак төмөнкү формула менен аныкталат: Ак=А-А-...-А к-жолу Аныктама боюнча А°=Е„-пхп - бирдик матрица, А1 = А менен белгилеп алабыз. Анда төмөнкү формулалар орун алат: 1) Ат Ак = Ат+к; 2) (Ат)к = Атк.
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАГАТОҮ Ы^ЕЕК СЕВ1К 14 СбгСМ: ВА = Л-0 + 2-6 ^3-0 + 4-6 1-5 + 2-8 V <12 2Г 3-5 + 4-^ 7 ~ < 24 47, 2><0-1 + 5-3 0-2 + 5-4" 4,1 <6 1 + 8 • 3 6 • 2 + 8 • 4 , 45 I зо 20л 44, АВ * ВА. уухш теПеЬес!еп Ьаг1 кагезе! та1пз1ег агазтда АВ = ВА е81Ш§1 Шг. Оте§т 1 2И5 3 4) 1з 2> < 11 18л 4,1 ” 1,27 38, 5) 81Г1гдап ГагкП ВННг. Оте§т А үе В та1п81еппт ^агрши АВ 81йг та1пзте е§11 г (1 40), В= V к 1 40) АВ = ол = (0)- 81Ги та1п81<Нг. ^рквкп 1?т Г V 5. Ма<т18т киүүейп! Ьи!та. А таТпз! Ыг кагезе! та<П8 18е (т = п), о ЫеЬег к - <1о§а1 зауш 19111 А та^пзтт к - киууебт, уат Ак ‘у1 а?а§1дак1 |^м&1 уаг<11П11у1а 1атт1ауаЫНпх: Ак = А-А-.„- А к <1еГа Татта §бге А°= Еп - пхп - Ыпт та1п81сНг, А1 = А 11е §б81егесе§12. ^каИе а§а§к!ак1 ГогтйПег е!с!е есПНг. 1) Ат Ак = Ат+к; 2) (Ат)к = Атк.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 15 8-МИСАЛ. Берилген 2" 4, матрицасы үчүн А2 матрицасын тапкыла. ЧЫГАРУУ. 2у 1 2^ _ П-1 + 2-3 4ДЗ 4) ~ ^З-1 + 4-З 1-2 + 2-4 3-2 + 4-4 р 1(Г ,15 22 7 6. Матрицаны транспозициялоо. Берилген тхп - өлчөмдүү А = (а^) матрицасынын саптары менен мамычаларынын алмаштыруудан алынган пхт - өлчөмдүү матрица - транспозицияланган матрица деп аталып, А1же А менен белгиленет. Демек Мисалы, л 1 2 3> Ь 5 6? 4^ 5 б; Транспозициялоо амалынын касиеттери. 1) (А91 = А 2) (ЛА)Ь = ХА1, А-сан. 3) (А+В)1 = Ас + Ве. 4) (АВ)1 = В1А‘.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАЕАТОУ Ы1ЧЕЕК СЕВ1К 16 ОК^ЕК 8.: ҮегПеп А= 3 4 ша1П81191П А2 тайшш Ьи1ипих. СОХЁМ: А2 = 2' 4; ^1-1 + 2-3 .3-1 + 4-3 1-2 + 2-4 л 3-2 + 4-4 , 15 1(Р 22 , 3 4 3 с11г. 6. В1г таШзт 1гап$роги. УегПеп т х п - б1?й1й А=(а13) та1п8т зайНаппт уег1епт о тайлзт кб1бк1аппт уег1еп Пе Ыге Ыг Пе§1§те8тс1еп ойауа ?1кап пхт - б19и1й та1п$те үегПеп А таШзтт 1гап$рохи Петг уе тГүеуа А' Пе §б81епПг. Оетек А= а,, а. ат ^21 ^22*’'^2и а}А а 1зе А’=Ае= -ат\ ап а22...ат2 а 1 а т.. ,а т\ т2 1 а ^2п ••^тп ) сПг. Огпе§т А= 1 2 З^ 4 5 6, 1§е А' = 4^ 5 6 , 2 3 сЬг. Тгапврог 1$1етт1п бгеШНеп §ип!ап11г: 1) (А1)1 = А 2) (ЛА)С = ЛА1, Ьигада Л Ыг зауиЬг. 3) (А+В)1 = А* + Вг. 4) (АВ)1 = ВЧ1.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 17 1.2. АНЫКТАГЫЧ ( Эгерде А=(а,) - пхп - өлчөмдүү квадраттык матрица болсо, анда А матрицасы үчүн аныктагыч деген түшүнүк киргизилет. Бул түшүнүк сызыктуу алгебралык теңдемелердин системасын чыгаруу менен тыгыз байланышкан. А матрицанын аныктагычы I А| же (1е1А аркылуу белгиленет. Биринчи тартиптеги А=(<з//) матрицанын аныктагычы с1е1А=ац саны болот. Мисалы, А=(3) үчүн с1е1А = /А /=3 болот. Экинчи тартиптеги А=(а1}) матрицанын аныктагычы же 2-тартиптеги аныктагыч с1е(А төмөнкү формула менен аныкталган сан болот: Мисалы А= <1е1 А = IА | = 3 -2 үчүн с1е(А = = аца22- а12а21 (1.2) Үчүнчү тартиптеги 3 -2 = 2- (-2) - 4 - 3 = -16. А = (а,7) = (712 ^13 (722 <723 (732 (733 матрицасынын аныктагычы же 3-тартиптеги аныктагыч с/е/А төмөнкү формула менен аныкталган сан болот. 1 (7ц (712 (713 де1А (72| а'2') ^2з — (7//Ф2(72з + сц2а2заз1+а]за21 а32 - а3\ а32 азЗ -(ац а23а32 + а]2а2]а33 + а]3а22а3]) (2.2) а । а 22 2 4 2 4 С1} б?2| ^31
АҮ1Т А8АМОҮ. КАМ1Х КАГАТОУ ЫМЕЕК СЕВ1К 18 1.2. ОЕТЕКМ1^А^ТЕАК Е§ег А=(ау) - пхп - о1£и1и Ыг кагезе! та!п8 1§е А та1пз119111 де1егттап1 каугагтт уегеЬШпх. Ви каугат Нпеег сеЫгзе! депк1ет 8181епнпт ихитшЫе 81к 81к киПапйасакПг. А пШпзтт (1е1егт1пап111 АI уеуа де1А Не §О81епПг. В1ппс1 теЛеЬедеп А = (ац) тайчзтт Не1:еггтпап11 с!е1А = 8^у181с11г. Оте§т А = (3) 191П с1е1А = /А /=3 оЫг. 1ктс1 теЛеЬейеп Ыг А=(ад) таТпзтт (1е1егттап11 уеуа 2. теНеЬебеп йеЫгттап! с!е(А а§а§1<1ак1 Гогтй! Не 1атт1апап зауиИг, уат с!е1 А = IАI = Ыг. Огпе§т ~ Я11 а22- а12а2] (1-2) Яц<7|2 $ 21 $ г 2 3> 2 3 А = 1 4 1ст (ЗеТА = -V 4 -2 = 2-(-2)-4-3 = -16 о1иг. З.тег1ек *с!еп Ыг А = (а,у) = а11 а12 а13 $21 $" ?2 $^73 я31 я32 а33 тапгзтт де^егттапи үеуа 3. тег1еЬейеп (1е1:егттап1: йе!:А а?а§1с!ак1 Актй! 11е ГатгЫапап зауиЬг, уаш $41 $12 $13 де1:А= $21 722 $23 $31 $32 $33 - ац а22 а23 + а^ а22 а3]+а]3 а2] а32 - / . ,1 'Ф1 -($/1 а23а32 + а12а2] а33 + .................*Т| . лШмлЕКсттин ^НИВЕРСИТЕТИ ИЛИМИЙ КИТЕЛКАНА ИНВ. № __ (2.2)
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 19 Төмөнкү Саррустун эрежесин колдонуп, бул (2.2) формуланы оңой эстеп калса, болот. Ф/ й/2 <2/5 а21 а22 а23 а31 а32 а33 1-МИСАЛ. Төмөнкү 3-тартиптеги аныктагычты эсептегиле. 1 2 -1 3 4 5 2 1 2 ЧЫГАРУУ. I А| = 1-1-5 + 2-4- (-1) + 2 -2-3 - [1- 4-2 2-2-5 + З-К-1)] = -16 Эми төмөнкү п - тартиптеги А = аи ап...а} 01 । 01 • »01 > '„I ап2-а. матрицасы үчүн п тартиптеги аныктагыч түшүнүгүн кийирели. Бул А матрицанын жалпы п2 элементтеринен п элементтен турган жыйынды алабыз. Бул жыйындыда А матрицанын ар бир жолчосунун жана ар мамычасынын бирден гана элементи катышышы керек. Мисалы, мындай жыйынды (ац а22--- аПп) же (а„, ап-12 а1п) жыйындысы боло алат. Жогорудагы алынган жыйындыны, 1-жолчонун элементин биринчи жазып, андан кийин 2-жолчонун элементин жазып, дагы ушул сыяктуу улантып (а171а2у2...а„7и) (3.2) түрүндө тартипке келтирип жазабыз.
А\ ГГ А8АРЮУ, КАМ12 КАГАТОҮ Ы^ЕЕВ СЕВ1К 20 А?а§к1ак1 кига!1 (8агги«8 Кига11) иу§и1агзак (2.2) ГоггпйШпй ко!ауса ехЬег1етек о1иг: ац <112 а/3 а21 а22 а23 а31 а32 а33 ОКМЕК 1.: А?а§Шак1 З.тегТеЬейеп де(егттапй Ьезаркуиих: 2 3 1 4 2 5 СОХЁМ: | А| = 1-1-5 + 2-4- (-1) + 2 -2-3 - [1-4-2 + 2-2-5 + 3-1(-1)] = -16 о1иг. $1тс11 с1е а§а§1<5ак1 п. теПеЬедеп а21 а22...а2п \ап1 ап2"*апп) та1г181 19111 п. теПеЬедеп с1е1егттап1: каугагтш тсе1еуеНт. Випип 1?т А тайпзтт Шт п2 ас1е1 е1етап1аппт уагскгтук киги1ап 1ор1ат1 а1аса§1х. Ви 1ор1атт Ьег 1епгт А таМзтдек! Ьег Ыг заЬг уе ко1опип Ыгег е1еташшп ^агритскг. Оте§т Ьбу1е 1епт1ег (ац а22... апп) уеуа (ап/ ап.1<2 ... &1ц) §ек1тс1е о1аЫНг1ег. Үикапйа §О81еп1еп 1епт1еп дихепН Ыг $екПс1е уахтак о1иг. Випип 19111 Пк опсе 1. заПгт е1еташш уахапх, зопга 2. заНпп е1етатш уахапх, зопга На 3. заПпп е1еташш уахапх, ... §и §екПс!е Пеуат еёегзек 1ор1атт Шт 1епт1еп ЬеНгН Ыг НйхеЫе («17У2./2 -ап1,) (3.2) §екНп<1е уахПаЫННег.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 21 Биз эми У=(7/, 12, )») орун алмашуусуна инверсия деген түшүнүктү кийирели. Эгерде V орун алмашуусундагы д жана у4 сандары үчүн д > у4 болсо жана 7 орун алмашуусунда д саны у4 санынан мурда жайланышса, анда Эорун алмашуусундагы )к жана /4 сандары инверсияны түзүшөт. Мисалы, Э = (2; 1; 3) орун алмашууда бир гана инверсия бар. Ал инверсия (2; 1). Ал эми 7 = (3; 2; 1) орун алмашуусунда бардык инверсиянын саны үч: (3; 2), (3; 1), (2; 1). Эми 7 = (7/, орун алмашуусунун бардык инверсияларынын санын г(4) аркылуу белгилейли. Мисалы, ./ = (2; 1; 3) орун алмашуусунда г(1) = 1, ал эми 7 = (3; 2; 1) орун алмашуусунда г(]) = 3. АНЫКТАМА.:!. Берилген п - тартиптеги А=(а,) матрицанын аныктагычы же д-тартиптеги аныктагыч деп п! мүчөлөрдүн алгебралык суммасына барабац санды айтабыз. Бул суммадагы ар бир мүчө А матрицанын ар бир жолчосунан жана мамычасынан бирден гана элемент катышкан А матрицанын п элементинин көбөйтүндүсү а,7|,а2]^...аП] санын (-1)г('1> санына көбөйткөн санга барабар. Мында г(1) саны ./=(7/, ]2,,],) орун алмашуусундагы бардык инверсиялардын суммасы болот. Башкача айтканда аныктагыч а>2...а1п 4е(А = Йе1 а2ь.-апк„ (4.2) (Л а„, а^...а. формуласы менен аныкталат. Мында сумма бардык п! 7-орун алмашуулары менен жүргүзүлөт. Практикада (4.2) формуланы колдонуу оор, себеби п дин өсүшү менен (4.2) формуладагы мүчөлөрдүн саны өсөт (п!). Мисалы п = 4 болгондо, (4.2) формуладагы мүчөлөрдүн саны 4! = 24 болот. Ошондуктан чоң л үчүн п- тартиптеги аныктагычты эсептөөдө, практикада башка формула колдонулат. Ал үчүн жаңы түшүнүктөрдү кийирүү керек.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАГАТОҮ Ы^ЕЕК СЕВ1К Ви (3.2) ГогтШйпде §081еп1еп ййхепе §бге уахйпи? о1ап ко1оп питага1агтт (11X181 {/7, ]2, /Р 1,2, ..,п с1о§а1 зауПагт уег с1е§1§11п1те8тс1еп еШе есШгт§Нг. §и уег с1е§1§11гтеу1 1 Пе §б81егейт. Випа Ьепхег ?е§1Ш уег йе§1§йгте1епп Штйпйп 8ау181 п! ^1-2-3-...п сйг (п! - ‘п ГакТбпуеГ окипиг). Огпе§т 1; 2; 3 зауПаппт £е§Ш1 уег с1е§1§Нгте1еппт 8ау181 3! = 1-2-3 = 6 о1иг. Ви уег с1е§1§Нгте1ег а§а§и1а §б81еп1гт§йг: (1; 2; 3), (1; 3; 2); (2; 1;3);(2;3; 1),(3; 1;2), (3; 2; 1). §тий Ыг 7 = (/л ]2,...,]?) уег с1е§1§1птпе81 йхеппе регтШазуоп каугагтт тсе1еуеПт. Е§ег «7 уег с1е§1§Нгте8тс1ек1 ]к уе зауПап 19111 д > 18е уе 7 уег йеёфктезтйе д 8ау181 заушпйап бпсе уег1е§гт§8е, «7 уег с1е§1§Нгте8тс1е д уе вауйап РегтСИавуоп бхе1П§те заЫрйг йетг. Оте§т 7 = (2, 1, 3) уег с1е§1§11гте8тс1е Ыг 1ек РегтШазуоп уаг, 0 На (2; 1) 1кП181 сНг. «7= (3, 2, 1) уег с1е§1§1:1гте8тс1е 18е РегтШазуоп зауш 3 1апе сНг: (3; 2); (3; 1) уе (2.1). §1тсП «7 = (]1, уег с1е§1§йт1е8тс1ек1 регтйШзуоЫагт 8ау181ш г(Г) Пе §б81егеПт. Оте§т <7= (2; 1; 3) уег <1е§1§Нгте8119111 г(})=1 ‘сНг, 7 = (3; 2; 1) уег с1е§1§Нт1е8тс1ек1 РегтШазуоп 8ау18118е г(]) = 3 ’ Нйг. ТАММ 1.: УегПеп п. теЛеЬеНеп А^(аг) таСп81П1П йе^егттапй уеуа п. теНеЬедеп (1е1егт1пап1 п! 1апе 1епт1епп сеЫгзе! 1ор1атта е$П о1ап Ыг заукЬг. Ви 1ор1атс1ак1 Ьег Ыг 1епт А таШзтт Ьег Ыг заНптп уе ко1опипип заНесе Ыгег е1етап1аптп ^агрти о1ап ,а2^ ...ап] 8ау18тт (-1) г(/) Пе ^агртипа е§ПНг. Вигайа г(1) 8ау181 7 = (/), )2, ..,]ц) уег Не^^Нгтезтйек! РегтШазуоп зауйапшп 1ор1атта е§ПНг. Үат де(А= де1 а|2...а,„ ^21 ^22’ *’^2г (У) (4.2) ГогтйШ уагсйпи 11е 1ап1т1атг. Вигадак! 1ор1ат, ЬйШп п! 1апе 7 уег йе§1?11гте1еп йхеппйе Ье8ар1аптак1ас11г. РгайкГе (4.2) ГогтШйпй иу§и1атак рок гог о1иг, рйпкй п зау181 аПап хатап (4.2) ГотйШпйек! 1епт1епп §ау181 с!а агйуог (п!). Оте§т п=4 1зе (4.2) ЕогтйШпйек! Септ1епп зау181 4!=24 оШг. §и ЬаНе Ьйуйк п фп п. тейеЬейеп ёеСегттапй Ьезар1атак 19111 ргайкСе (4.2) йеп Ьа?ка ГогтйПег иу§и1аптак1аШг1аг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 23 Бизге и-тартиптеги А=(а„) квадраттык матрицасы берилсин. АНЫКТАМА 2. Берилген и-тартиптеги А матрицанын а„ элементинин минору М„ деп А матрицанын / - жолчосун жана у - мамычасын сызгандан кийинки алынган (п-1) - тартиптеги матрицанын аныктагычын айтабыз. М22 - а\ \ а\з °31 азз - ац а33- ацал саны болот. Ар бир н-тартиптеги матрицанын н2минору бар. АНЫКТАМА 3. Берилген п - тартиптеги А матрицанын а„ элементинин алгебралык толуктоочу Ау/ деп А„=(-1)'+) М„, 1=1,2,. ,,п; )=1,2,...,п (5.2) санын айтабыз. Мында М„ саны а„ элементинин минору. Мисалы А23 = (-1)2+3 М23 = -М23, А31 = (-1)3+‘ М31 = М31. 2-МИСАЛ. Төмөнкү матрицанын бардык элементтеринин алгебралык толуктоочторун тапкыла: ЧЫГАРУУ: А13=(-О1+3 7 5
АҮ1Т А8АГЮУ, КАМ1Х ЯАЕАТОУ Ы^ЕЕК СЕВТК 24 лш1 фп уегп каугат1ап 1атт1атак §егек1г. п теНеЬебеп Ыг * та^пз! үепЕт. \1М 2.: УегПеп п теНеЬебеп А та^пзт а,, е1етапта аП Му гж две А Пак11-утс1 зайп уе_)-утс1 ко1опи зПсНкТеп зопга ка1ап 'пеПеЬедеп таХпзт деГепгнпагтпа сЗетг. ~эе§т 3. теНеЬебеп А таТттт а22 е1етатпа агТ тТпбгй М22 — «11 «13 «31 «33 = апа33 - а13а31 п. теИеЬебеп та1пз1п (п-1) теПеЬебеп п2 1апе ттбг!еп үагсйг. ГАММ 3.: УегПеп п теПеЬейеп А таМзтт а:] е1етатпа ай «лЁакйбгв (1$аге1П ттбгй) <Пуе А.,=(-1)‘^ Му, 1=1,2,...,п,]=1,2,...,п (5.2) фвм детг. Вигаба Ми зау181 ау е1етапта аП ттбгбйг. Ьфп А23 = (-1)2+3 М23 = -М23 А3] = (-1)3+‘ М31 = М31 Й>'ЕК 2.: А$а§1бак1 тайчзт Ьег е1етапта ак ко£ак1бг1еп Ьи1пих: Ац=(-1)1+1 А|з=(-1)1+3 7 5
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 25 Аныктагычтарды эсептөөдө төмөнкү теорема негизги мааниге ээ. ЛАПЛАСТЫН ТЕОРЕМАСЫ. Берилген л-тартиптеги А = (а,,) матрицанын аныктагычы беЬА, ал матрицанын каалаган жолчосунун (же мамычасынын) ар бир элементин анын алгебралык толуктоочуна көбөйтүп, ал көбөйтүндүлөрдү кошкондогу суммага барабар, б.а. п бе1А а 1[А1[~^’ сл 12 А12+•" + & (6.2) 5 = 1 0=1,2,. ..,п), же п <1е1А а[^Л[^с12]А2'1~^‘...~^'С1П1ЛГ1р (7.2) 5 = 1 0=1,2, Лапластын теоремасын 3-тартиптеги аныктагычты эсептөөдө колдонуп (1-жолчонун элементтери менен ажыратып), төмөнкү формуланы алабыз: #11 #12 #13 #21 #22 #23 #22 #23 + ф2(-1)1+2 #21 #23 + #32 #33 #31 #33 ^31 «32 «33 #21 «31 #22 #32 + #/з(“1)1+3 3-МИСАЛ. Төмөнкү аныктагычты эсептегиле:
26 АУ1Т А8АМОҮ, КАМ1Х КАЕАТОҮ ЫМЕЕК СЕВ1К <Яиг. Ое1егт1пап11аг1 Ье§ар1ата(1а а§а§1бак1 Теогет езаз бпет 1а§1так1аб1г. ЬАРЬАСЕ ТЕОКЕМТ: УегНеп и.тегТеЬебеп А=(а1}) таШзтт деигттапй йе! А, Ьи тайчзт Ьег заЬптп (уеуа ко1опипип) е1етап1аптп ко£ок1бг1еп Пе Ьи е1етап1апп ^агрткппт 1ор1атта е§кйг, уат п с!е1А * а^А^— а ^А^^- а ^А^-^..."^ а 1ПЛ1П, (6.2) 5=1 (I = 1,2„..,п), уеуа с!е1А а3]А3] а^у А[у-ь ^... ал^Ап(7.2) ?=1 а-1,2,...,п). Ьар1асе Теогегтт 3.тег1еЬес1еп сНегттапи Ье§ар1атас1а иу§и1агзак '111ПП е1етап1агта §оге а^агзак), а§а§1дак1 £огтй1й айпх: а\\ ап ^13 ^21 ^22 ^23 =ф,('-1),+1 ^22 ^23 + Ф;(-1)'+2 #21 #23 + Фз(-1),+3 #21 #22 С/32 #33 #31 #33 #3 С1-у2 #31 Я32 <733 ОВ.МЕК 3.: А$а§1с1ак1 йе^егттапй Ьезаркупиг:
27 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 5 3 0 7 0-2 2 3 0 0 3 1 0 0 0 1 ЧЫГАРУУ. алабыз: Биринчи мамыча менен ажыратып, төмөнкүнү 5 3 0 -2 0 0 0. 0 Жогорку мисалдын негизинде үч бурчтук матрицанын аныктагычы ал матрицанын башкы диагоналынын элементтеринин көбөйтүндүсүнө барабар деп жыйынтык чыгарсак болот. Лапластын теоремасынын негизги мааниси п-тартиптеги аныктагычты эсептөөнү (п-1) - тартиптеги аныктагычтарды эсептөөгө алып келет. Аныктагычтар төмөнкү касиетке ээ: 1.Эгерде квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (же мамычасынын) бардык элементтери нөл болсо, анда ал матрицанын аныктагычы нөлгө барабар. 2.Эгерде матрицанын кандайдыр бир жолчосун (же мамычасын) X санына көбөйтсөк, анда ал матрицанын аныктагычы X санына көбөйтүлөт. ДАЛИЛДӨӨ. Берилген матрицанын аныктагычы Д болсун, ал эми бул матрицаны г - жолчосун X санына көбөйткөндөгү матрицанын аныктагычы А’ болсун. Акыркы матрицанын аныктагычын г-жолчонун элементтери боюнча ажыратып (Лапластын теоремасы), төмөнкүнү алабыз.
АУ1Т А8АГЧОҮ, КАМ1Х КАГАТОҮ 28 ЫНЕЕП СЕВ1К 5 3 0 7 0-2 2 3 0 0 3 1 0 0 0 1 СО2ЁМ: В1ппс1 ко1опа §оге а?агзак е§1Ш§1ш еШе едепх. Вигадап а§а§1с!ак1 зописи а1аЫИпх: й?§еп шаТпзт йеТегттапй Ьи таТпзт езаз кб§е§еп е1етап1агтт ^агрипта е$ПЬг. Ьар1асе Теогеттт еп бпетИ зописи п.тег1еЬес!еп (ЗеТегттапйп ЬезаЫт (п-1). тег1еЬес!еп йе1:егттап1т ЬезаЬта Пбпй§Шгте8тс1есНг. ВеШгттапНаг а$а§Шак1 бхеШккге «аМрйг: 1.Е§ег Ыг кагезе! таТпзт ЬегЬап§1 Ыг зайппт (уеуа ко1опипип) 1йт е1етап1ап 81йг 1зе Ьбу1е та(п$1п декгттапй $И1гс11г. 2. Е§ег Ыг тайпзт ЬегЬап§1 Ыг заИпш (уеуа ко1опипи) Л зау181 Пе ^аграгзак, Ьи таСпзт Пекгттапйш йа Л 8ау181 Пе ^агрпм^ о!игиг. 18РАТ: Уегйеп тайлзт беСегттапй Д о1зип, Ьи тайпзт 1-тс1 зайпт Л $ау181 Пе ^аграЬт уе еШе есШеп таШзт ПеТегттапйш Д Пе §б81егеИт. 8оп та1п8ш Пекгттапйш Мпс1 зайппт е!етап1аппа §бге а^агзак (Ьар1асе Теогегт), д' = = л Ха,л 5=1 = лд е§1Ш§1П1 а11П2.
ЛВЫ I Л( АНОВ,РДМИЗ РЛФЛ1ОВ ( ы 1ЫКТУУ АЛГЕБРА .)( К1.РГҮҮ: Квадраггык^матрицанын каалаган жолчосунун (же 'п.1ч.к ы 111.1Н) жалиы к>ө6өйтүүчусүн ал матрицанын аныктагыч и н< П1111Н алдына чыгаргак болот. Мисалы; 1 2 3 2 0 1 -1 1 4 3.1' граттык А ма'трицаны транспозицияласак, анда ал Ч»||п ып аныктагычЫ өзгөрбөйт б.а. &аА = <Ш’, мында А’ - । 11< н щияланган матрица. 1 I граттык матрицанын Эки жолчосунун (же эки п ып) ордун а^лмацтырсак, анда анын аныктагычы сарама-каршы ое^лгиге өзгөртөт. |>де квадраттык матрица бирдей эки жолчону (же эки ш ы) кармаса, ан/да ал матрицанын аныктагычы нөлгө <р. ДАЛИЛДӨӨ. Матршцанын бирдей эки жолчосунун ордун । 1.1Н11 ырсак, ал матрицзанын аныктагычы өзгөрбөйт. Бирок 4- । 11СТП1И негизинде анык^тагыч д белгисин карама-каршы белгиге ортнт, б.а. Д = -Д. Мын/дан Д= о. (>. Эгсрде матрицаныш эки жолчосу (же эки мамычасы) нропорционалдуу болсо, Дщда ал матрицанын аныктагычы нөлгө одрзозр. ДАЛИЛДӨӨ. Про1Ю]рционалдуу Эки жолчонун (же эки мамычапып) биринен коэффИцИент пропорционалдуулугун .шыктагычтын (2-касиетти1н негцзинде) алдына чыгарсак, анда жацы алынган аныктагычцын эки жолчосу (же эки мамычасы) >арабар. Демек, 5-касне'ттин негизинде берилген матрицанын .шыктагычы нөлгө барабар.. 7. Квадраттык матрищанын кандайдыр бир жолчосунун мамычасыпын) ар бир .Шемептин башка жолчонун (мамычанын) жогорудагы ар бир >Л|емст менен бир мамычада турган >лемсн ГШ111Н алгебралыик толуктоочуна көбөптүп, ал кнбнпI үндүлордү кои1конДО|)гу сумма нөлгө барабар, б.а.
АҮ1 Г А8АЫОУ, КАМ1Х КАГАТОҮ г Г1АЕЕКСЕВ1К 30 11ҮАК1: Кагезе! та1п§1п ЬегЬап§1 Ыг зайптп (уеуа ко1опипип) оЛак ка(ч.)у1К1П1 уегПеп та1п$т деЫпгппапипт П1?та а1аЬШпг. Оте£рп 2 4 8 0 -2 2 3 1 8 =2-4-2 1 2 3 2 0 1 -1 1 4 3. Үегйеп Ыг кагезе! таййзт (гапзрохипип с1еГеггтпапй уегПеп таГНзгп ПеШггтпаШта е?1Шг, уат с1е(А=с1е1А сНг. ВигаПа А та1пз1 А тайшпт ТгапзротисШг. 4.Е§ег Ыг кагезе! таШзт ЬегЬап§1 1к1 зайптп (гкд ко1опипип) уейепт <1е§1$Нпг8ек опип ЛеГегттапГтт 1$>агеН с!е§фИг. 5.Е§ег Ыг кагезе! та1пз1п 1к1 аут закп (уе 1кг аут ко!опи) уагза о та<п$т ЛеГегттапй зШгскг. 18РАТ: МаШз1п аут 1к1 зайптп уег!епт <1е§1§Нпг8ек та1пзт <1е1ептпап11 с1е§1?те2, ата 4. огеШ§е §ёге деТептпап! Д’ тп 1загей с!е§1?Шг, уат Д = -Д о!иг. Вигаёап Д = 0 е?1Ш§1т аНпх. 6,Е§ег Ыг таТпзт ЬегЬап§1 1к1 закптп (уеуа гкг ко1опипип) е1етап1ап огапйк 1$е Ьи таГп$т с1еГегттапк 81йгскг. 18РАТ: Огапкк гкг закпп (уеуа 1к1 ко1опип) Ыптп огапк ка1зау131 (2.0те§т §еге§тсе) ^аграп о1агак уахШгза огапкЬ о!ап 1к1 81гапт е1етап1ап Ып Ыптп ауги81 о1иг1аг. Эетек 5.охеШ§т пеНсезтёе уегНеп таШзт скСегттапй зШгскг. 7.В1Г кагезе! таШзт ЬегЬап§1 Ыг зпазтт е1етап1аптп ко1ак1ог1еппт Ьа?ка Ыг рага1е181гапт каг$1Ьк §е1еп е1етап1ап Пе ?агр1т1аппт Гор1ат1 $1Г1гШг, уат
II АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА =0, (8.2) же =о> 1 */ (9-2) >=| ДАЛИЛДӨӨ. Берилген квадраттык А = (ау) матрицанын ] - жолчосун ошол эле матрицаны / - жолчосу менен алмаштыргандагы матриц.шы А менен белгилейли (I *]). Бул А матрицанын бирдей эки жолчосу бар болгондуктан, с1е1А = 0 (5-касиет). Эми А матрпц.шын аныктагычын ф жолчонун элементтери менен ажыратып, Лапластын теоремасынын негизинде (8.2) формуланы алабыз. 8. Эгерде квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосуна (мамычасына), каалаган санга көбөйтүлгөн башка жолчонун (мамычанын) элементтерин кошсок, анда матрицанын аныктагычы озгөрбөйт. 9. Квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун ( мамычасынын) элементтеринин алгебралык толуктоочторун каалаган Ь1г Ь2,...,Ьп сандарына көбөйтүп кошкондогу сумма ошол колчону (мамычаны) 5/, Ь2,...,Ьп сандары менен алмаштыргандагы 'м грицапын аныктагычына барабар. 10. Эки квадраттык матрицанын көбөйтүндүсүнүн аныктагычы 1Л матрицалардын аныктагычтарынын көбөйтүндүсүнө барабар, а. = (с1е1А)( с1есВ), мында С=АВ, А жана В - п - тартиптеги мгрицалар. 1.3.ТЕСКЕРИ МАТРИЦА. Лр бир а * 0 саны үчүн а- а''=1 болгондой тескери а'1 саны ыбылат. Квадраттык матрицалар үчүн да бул түшүнүк аныкталат. АНЫКТАМА. Квадраттык А'1 - п х п - өлчөмдүү матрица п - гартиптеги А=(ау) матрицанын тескери матрицасы деп аталат, эгерде А''А=АА-’ = е„ болсо, мында Е„-пхп- өлчөмдүү бирдик матрица. Эгерде А^О болсо, анда квадраттык А матрицасы кубулбаган матрица дсп аталат. Ал эми с!ег А=0 болсо, анда А кубулган матрица деп аталат. ТГОРЕМА. Квадраттык А матрицанын тескери матрицасы 1 1айт качан гана де1 А*0 болсо, б.а. А-кубулбаган матрица
лугг А8А^ОУ, КАМ12 КАЕАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1К 32 п £чА=°> ’зе $=1 уеуа п ТлЛ =0, ‘ ’8е. 5=1 (8-2) (9.2) 18РАТ: УегПеп кагезе! А = (а,,) тайтзтт )-тс! заЬпт Ъи тайтзт 1-тс1 заип Пе Не§1§те81П(1еп еМе еНПеп та1пз1 А Пе §081егеПт (7 #/)- Ви А таЬпзтт аут 1к1 зайп уагскг. 5.02еШ§т §еге§тсе Не! А =0 о1иг. §1тсН А тайазтт сккгттатЬт)- заипп е1етеп1агта §оге ауагзак Ьар1дсе Теогегт пеНсезтПе (8.2) ГогтШйпй аНпх. 8.Е§ег Ыг кагезе! таСпзт Ьег Ьап§1 Ыг зайппа (ко1опипа) Ьа§ка заЬпп (ко1опип) кеуй Ыг зау1 Пе уагрНап е1етап1апт ек1егзек тайтзт НеСегттапй с1е§1?те2. 9. В1г кагезе! тайтзт ЬегЬап§1 Ыг зайппт (ко1опипип) е1етап1ап коГакСбНеппт кеуй />/, Ь2, ..,Ьп зауПап Пе ^агригйаптп 1ор1агт 802 копизи зайп (ко!опи) Ь/, Ь2,-..,Ъ„ зауПап Пе с1е§1?Нгте8тс1еп теуйапа §е1еп тайтзт ПеСегпйпапйпа е$Мг: 10. 1к1 кагезе! таТпзкпп ^агртппт ПеТептпап!:! о тайгзкпп ПеСегттапНаптп ^агрипта е?ПНг, уат Ае(С = (Ае(А) (сЬеШ) сНг. ВигаПа С=АВ уе А Пе В «-теПеЬеНеп таьгзкгсИг. 1.3. ТЕК8 (1ЫҮЕК8) МАТК18 Нег а зау18119111 а-а'1 = 1 е§ПП§1 8а§1апасак §екПс!е Ыг 1егз (туегз) а'1 8ау 181 Ьи1ипиг. Кагезе! та1пз1ег 19111 Пе Ьбу1е Ыг каугат 1атт1апаЫИг. ТАММ: Кагезе! А'1 - пхп б1?й1й та1П8те п.тегСеЬейеп А=(ау) та^пзтт 1ег8 та1п81 (тует) <1еп1г, е§ег А-'А=А А'1 = Еп ье. Вигас1а Еп- пхп - б1?й1й Ыпт та1п81сНг. В1г та(п81п с1е(егттап1| с!е( А*0 18е Ьи тайгзе ге^йкг та<П8 , акз! ||.||<1е 8пц‘й1ег та(п8 Пстг. I ЕОКЕМ: Ви кагсяе! А 111111118111 (егмгип (түсгзтт) уаг о1та$1 19111
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 33 ДАЛИЛДӨӨ. Зарыл шарты. Квадраттык А матрицанын тескери матрицасы А'1 жашасын, б.а. А''А=А А'1 = Е„ . Анда аныктагычтын 10-касиетинин негизинде с1е( (А'1 А)=(с1е(А) (АеГА'1) = с1е(Е„ =1. Демек с1е1 А *0 жана с1е1 А'1 ^О. Жетишерлик шарты. Матрицанын аныктагычы с!е( А *0 болсун. Анда 7-касиеттин негизинде А матрицанын тескери матрицасы Л1 а2] •••Ап1 1 ^12 А22"-^„2 скХА ................ <Ап А2п...Апп> болот. Тескери матрицаны табуунун схемасы. 1)Берилген А=(а,7) - п тартиптеги матрицанын аныктагычы Д=с1е(А ны табабыз. Эгерде Д = с!е(А = 0 болсо, анда тескери матрица А'1 жашабайт. Ал эми Д=с1е1А * 0 болсо, анда тескери матрица А’1 жашайт. 2) Берилген А матрицанын бардык ау элементтеринин алгебралык толуктоочтору Ап лерди табабыз. 3) Эми Ау - алгебралык толуктоочтордун жардамы менен у4ц А12... А1П т42! А22...Л2и 1 Д А„. АП,...АПП, п\ п2 пп / матрицасын түзөбүз. 4) Тескери матрица А'1 ны төмөнкү А2]...Ап1 А22...у4„2 А ............... \^1п А2п...Апп? формула менен эсептейбиз. 4 5) Тескери матрица А'1 туура табылгандыгын-тГ7/! = Е„ жс
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К 34 1. 8РАТ: СЕКЕК §АКТ1. В1г кагезе! А та(пз1п 1егз1 А'1 теусШ о18ип, утп А 1 А=А А1 = Еп о1§ип. $и ЬаМе <1е1еггтпапйп 10. бхеШётт пеЬсез^пде <1е1 (А-|А)=(с1е(А) (<Зе(А‘) = де1Еп =1 ц1иг. I )стск с1е(АД) уе <1е1А '#0 <Ьг. ҮЕТЕК §АКТ1. Ма(п81п <1е1егттап11 ^О о1зип. §и Ьа1де 7.бхе1Н§1п111 ПсПсснтск А таЬчзтт 1егз1 (туегз!) Д1 а21 ... ап) д-1_ 1 ^12 ^22---^п2 йе1А ................ А2п’"Аппу (>|||г. Тег8 та<П81 Ьи1та $ета§1: I) УегПеп А=(<7у) - п. теПеЬедеп та^пзт с!е(егттап11 Д = с1е(А у| Ьи1иги/. Е|ег А=Ае(А=0 о1игза, 1егз таСпз А'1 уокшг. 2) УегПеп А тайНзтт Ьег ау е1етаттп койкШгй Ау ’ 1еп Ьи1игих. 3) 8опга А^ коГак<бг1епп уагсЬт1у1а А[2 ••• А|П А22...Л2л <^1 Ап9...Апп . п2 пп / |Ьп(г181п1 Ьи1игиг. 4) Тегз та1пз А'1 ‘ / '4, А21... АП1 А’1 = в‘=— Д2 ^22-,,^п2 д .4, 1'чй1п уа1<1нту1а Ьс8ар1ап/.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 35 Кубулбаган матрицалар төмөнкү касиеттерге ээ: 1-~; 2) (Ат)-'-(А-')т, 3) (А~!)'= (А')~!, с1е1 А 4) (А-1)'1 = А, 5) (АВ)-' = В ' А-'. 41 -1 Р МИСАЛ. А= 2 1 1 11 12; матрицанын тескери матрицасын тапкыла. 1 -1 1 ЧЫГАРУУ. 1)Д = ^Л= 2 =2-1+2-(1-4+1)=5*0 1 1 1 2 болгондуктан, А матрицанын тескери матрицасы А-1 жашайт. 2)Берилген А матрицанын бардык элементтеринин алгебралык толуктоочторун табабыз. А13=(-1)4 1=1; А21=(-1)3 а22-(-1)4 3) Эми Ач алгебралык толуктоочтордун 'йсардамы менен
АУ1Т АКАМОУ, КАМГЛ КАЕАТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К 36 Ксцй1ег та1пх1ег а$а£к!ак1 бгеШИеге заЫрйг. 1) с1еГ(А ‘)--——; 2) (А"')-1=(А~')"', 3) (А~')‘ = (А1)'1, 4) (А'1)'1 = А. де1 А 5) (АВ)-' = В~' А-' сНг. ОВ.М.К: ' 1 -1 А= 2 1 <1 1 п 1 2; Ипайчзтт 1егз та1п81т (түегат) Ьи1ипих. -1 СОХЁМ:1) Д=бе1А= 2 =2-1 +2-( 1 -4+1 )=5^0 о1(1и£ип(1ап 1 2 А тайчзтт 1ег81 о!ап А'1 таТпз! уагсЬг. 2) ҮегПеп А та1п8тт Ьег е1етаптт коГак1бгйпй Ьи1игих: Ац=(-1)2 А1з=(-1)4 =1; А21=(-1)3 а22-(-1)4 Аз,=(-1)4 -1 1 =-2; А32=(-1)5 =1, Азз=(-1)6 3) §1тсН коГакТбНепп уаг<11т1у1а
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 37 в = - 5 3 -2 -3 1 1 -2 3 5 3 5 2 5 3 5 _1_ 5 5 2 5 3 5 матрицасын түзөбүз. 4) Тескери А-1 матрицаны эсептейбиз: 5 3 5 3 5 А"1 = Вк = 5 -2 5 5 ]_ 5 3 I 5 5) Эми А’1 матрицаны туура тапканыбызды текшеребиз. -1 АА-1= 1 3 1 ---1--1--- 5 5 5 2 3 1 -------1— 5 5 5 1 3 2 -------1— 5 5 5 2_1 5 5 6 5 3 5 2 5 2 5 5 1 4 5 5 5 3 5 ]_ 5 2 1 3 -------1— 5 5 5 4 1 3 ---1--1--- 5 5 5 2 1 6 ---1--1--- 5 5 5 3 5 5 -2 5 0" 0 =Е3 1- 2 1 1 2 0 0 5 5 3 0 0 болот. Демек А-1 матрицаны туура тапканбыз.
АУ1Т А8А1ХОУ, КАМ|Х КАЕАТОУ Ы1ЧЕЕК СЕВ1К 38 В= - 5 3 -2 -3 1 1 1 -2 5 3 5 2 5 3 5 5 2 5 5 2 5 3 5 1Ш11Г151П1 уахапх. 4) А'1 Хегз таШзт! Ье8ар1апх: А’1 = В* = 5 3 5 1 3 5 _1_ 5 -2 5 5 5 3 5)§1пкН А’1 тайазтт с1о£ги1и§ипи йепеуесе§12: АА'1= 2 1 -1 1 1 г 1 2> _1_ 5 3 5 _[ 5 3 5 2_ 5 -2 5 5 £ 5 3 <13 1 --1-1- 5 5 5 2_3 5 5 1_3 5 2 5 2 5 5 3 5 6 5 3 . —I----- 5 5 2 5 2 5 4 5 2 1 3 -----1— 5 5 5 4 1 3 — 4--1— 5 5 5 2 1 6 — 4--1— 5 5 5 0 0 0 1 0 0 = Г( 1)1.1(1141 ... ь Ч1р1апт1$(1г.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 39 1.4.МАТРИЦАНЫН РАНГЫ Математиканын жана башка илимдердин маселелерин изилдөөдө жана чыгарууда матрицанын рангы деген түшүнүк негизги мааниге ээ. Ар кандай тхп - өлчөмдүү А = (а^ матрицанын к жолчосун жана к мамычасын сызып к-тартиптеги квадраттык айрым матрицаны бөлүп алууга болот. Мында к < тт (т, п). Бул айрым квадраттык матрицанын аныктагычы А матрицанын к-тартиптеги минору деп аталат. Мисалы Зх4-өлчөмдүү А = (а,^ матрицасынан биринчи, экинчи жана үчүнчү тартиптеги айрым квадраттык матрицаларды бөлүп алууга болот. АНЫКТАМА. Берилген А матрицанын рангы деп бул матрицанын нөлдөн айырмалуу болгон минорлорунун эц жогорку тартибин айтабыз. Матрица А нын рангы гап§ А же г(А) аркылуу белгиленет. Аныктамадан төмөнкүлөрдү алабыз: 1 .Берилген тхп - өлчөмдүү А матрицанын рангы г(А) <тт (т,п); 2 . г(А) = 0 качан гана А матрицанын бардык элементтери нөлгө барабар болсо. З .Квадраттык п - тартиптеги А матрицанын рангы г(А) = п качан гана А- кубулбаган матрица болсо. 1-МИСАЛ: р 0 -8 (Р 2 0-40 А- 3 0-60 0 -2 0? матрицанын рангын эсептегиле. ЧЫГАРУУ. Матрица А 4-тартиптеги матрица болгондуктан 7’64? < 4 . Бирок Зе^А = 0, себеби матрица А нөлдүк мамычаны кармайт. Демек, 7’64? < 3. Бул матрицанын 3 - тартиптеги бардык айрым матрицалары да нөлдүк мамычаны кармагандыктан ал матрицалардын аныктагычтары нөлгө барабар.^Цемек, 7’64? < 2. Ал эми 2-тартиптеги бардык айрым матрицалары же нөлдүк мамычапы 1<;п)м;нТг (.шпнчи же төптунчу мамычалар) же'пропорционалдуу
АУ1Т А8А1\ОУ, 1<АМ|Х КАЕАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 1.4. В1К МАТК181^ КАМС! Ма(ста1|£т ус Л£ег ВПптйепп РгоЬКет1епт тсе1етес!е уе 90x111, 11ПК1П 1<апк1 с1ет!еп каугат езая Ыг бпет 1а$1так1ас11г. I кч тх11 - б1?и1и А -- (а,,) та1пытп Иег 11ап§1 к хайгта уе 11сг Ьапц! । < >ш1п;| а11 окт е1етап1аппс1ап Ыг к-тс! тег1еЬес1еп кагеяе! к|ят1 пц^ >/ Ви1;и1а /< " т'и\ (т.п) скг. Ви кыт кагеке! та1п81п с1е1егтташта А таТпзтт к-1пс1 тепеЬС|| тт«н II <1етг. (>те£>т 3 х 4 - б1<;и1и А = (ач) тз^пзтт ЫппЫ, 1ктс1 ус ||Ц'П( 1'ес1еп к18П11 кагеве! та1п81епт а1тако!иг. ТАММ: УегПеп Ыг А тайтзтт Капк1 сИуе Ьи тайчзт 81йгдап (:ц^]| окт ттбг1еппт еп уикзек теНеЬезте <1еп1г. Ц|г Л та(г181П1п Капк1, КапкА уеуа г(А) Пе §б81епНг. Ви (аптШап а?а§1<1ак1 8опи?1ап акпх: 1.УегПеп тх п - о19йШ А пШпзтт Капк1 г(А) <тт (т,ц) 2.г(А) = 0 <=> А та(п81 (О) - 81Г1Г та^пзШи. З.В1Г кагезе! пчпс! тейеЬейеп А пШпзтт Капк1 г(А) = п <=> А - 1ШН118С11Г. геКЦе| б1^ЕК 1.: л= г 4 0 2 0 3 0 Ь 0 -8 0" -4 0 -6 0 -2 0, пш1ммп1п Капкш! Ие8ар1ау1тг. <Д?/1!М: А та1гг । 1-йпсй тег(с1кч1(‘п пийпь ок1иии1нкт /7 \) • \и1.1 А/ I 0. (/йпкй А та1пч11нп чй'1г ко1()пи уагйи. 1)етск г I) Л о| ц|| н 111 >-йпсй тспсЬсйсп Нсг к18пй та1п81тп йс О- ы11г ко1опи I) • ? (1п . ?-ис1 тсНсЬсйсп йсг к|8Ш1 пийп.чт <1с 81 Г|г ко1опц । 4 йпси ко1оии) 1 X 111 Г.1 '•Ч
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 41 мамычаларды кармайт (биринчи жана үчүнчү мамычалар). Демек, ал матрицалардын да аныктагычтары нөлгө барабар. Мындан г(А) < 1 болот. Бирок матрица А кармагандыктан, г(А) = 1 болот. 2-МИСАЛ. Г1 з о А= 3 2 0 к2 -1 0 нөл 4Л 1 -V эмес элементтерди матрицанын рангын эсептегиле. ЧЫГАРУУ.Бул матрица 3 х 4-өлчөмдүү болгондуктан, г(А) < тт(3; 4) = 3. Ранг 3 кө барабар болор болбосун текшеребиз. Ал үчүн А матрицанын бардык 3-тартиптеги минорлорун эсептейбиз (алар А матрицанын кандайдыр бир мамычасын сызып салуу аркылуу алынган айрым матрицанын аныктагычтары болот. Алардын саны төрт болот): 3 0 4 1 0 4 1 3 4 1 3 0 2 0 1 =0, 3 0 1 =0, 3 2 1 =0, 3 2 0 =0 -1 0 -3 2 0-3 2 -1 -3 2-10 Бардык 3-тартиптеги минорлору нөл болгондуктан г(А) < 2. Бирок 2-тартиптеги нөлгө барабар болбогон минор бар, мисалы, 1 3 = -7 ^О. Демек г (А) = 2. Жалпы учурда матрицанын рангын бардык минорлорду эсептөө аркылуу табуу көп эсептөөлөрдү талап кылат. Бул эсептөөлөрдү жеңилдетүү үчүн, матрицанын рангын сактаган элементардык өзгөртүүлөр колдонулат. Ал элементардык өзгөртүүлөргө төмөнкү өзгөртүүлөр кирет: 1 .Нөлдүк жолчону (же мамычаны) алып салуу 2 .Матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (мамычасынын) бардык элементтерин нөл эмес санга көбөйтүү. З .Матрицанын жолчолорунун (мамычаларынын) ордун алмаштыруу. <
АУ1Т А8А1ЧОҮ, ПАМ1г ЯАЕАТОУ М1ЧЕЕК СЕВ|К 42 1ап1111 ко1оп1ага яаЫрйг (1 - 1пс1 уе 3-ипсИ ко1оп!аг). Оетек 1>и .... 1.-пп <1с с1с1ептппапй зИЗга е§1Шг. Вигадап г (А) < 1 е$й81211£1т акп/ I пкп! Л пш(П8тт 81Г1гдап Гагкк е1етап1ап <1а уагскг, детек г (А) - 1 <Нг. ОКМ.К 2.: тп(П8тт Капкпи Ьезаркупиг. (^ОхСМ: Ви та(Т18 3x4 - б^йзйпе заЫр о1с!и§итбап г(А) < гтп(3,4)=3 о1иг. $1тсН Ьи таГпзт Капктт й<?е е§к о1аса§1т йепеуесе§12, уе Ьи та<п$т |)сг 3-йпсй тегСеЬейеп ттбг1епт Ьи1аса§12. Вип1аг А тайгзтт ЬегЬап§1 Ыг коктипи зПсккГеп зопга е1йе есШеп к18гт тайгзкпп с1е(епптап(1апс11г. Вип1апп зау181 4 ’ е е§Нйг: 3 0 4 1 0 4 1 3 4 1 3 0 2 0 1 =0, 3 0 1 =0, 3 2 1 =0, 3 2 0 =0 -1 0 -3 2 0-3 2 -1 -3 2-10 З.теИеЬеПеп ттбНепп Штй 81Г1Г о1с!и§ипс1ап г (А) <2 сПг. Ата 2. теИеЬебеп ттоНепп агазтйа 81йгбап Гагк1181 йа уагскг, бте§т 1 3 3 2 = -7 5* 0 с!1г. Эетек г (А) =2 сНг. Оепе! Ьа1с1е Ыг тайгзт Капкпи Ьи1так 19111 Ьи таспзт Шт ттбНепт Ье8ар1агзак, ?ок 1§1ет1ег уартак §егект Ви Ьезар1ата1ап ко1ау1а?(1гтак 19111 тайгзт Капкпп бе§1§теуеп Ьазк ббпй§йт1ег иу§и!апаЫПг1ег. Ви Ьа81( ббпй§ит1ег а§а§к1ак1 §1ЫсИг1ег: 1.81ЙГ зайп (уеуа ко1опи) 91кагта. 2.Ви таСпзт ЬегЬап§1 Ыг зайптп (ко1опипип) Шт е1етап1апт 81Г1гс1ап Гагкк Ыг зау1 Пе ^агрта: З.Майгзт зайНаптп (ко1оп1аппт) уег1епт с1е§1§йгте
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 43 4.Матрицанын жолчосуна (мамычасына), каалаган санга көбөйтүлгөн башка жолчону (мамычаны) элементтеринин жайланыш ордуна карата кошуу. 5.Матрицаны транспозициялоо. ТЕОРЕМА 1. Матрицага элементардык өзгөртүүлөрдү жүргүзсөк, анын рангы өзгөрбөйт. ДАЛИЛДӨӨ. Аныктагычтын касиеттеринин негизинде квадраттык матрицага элементардык өзгөртүүлөрдү жүргүзсөк, анын аныктагычы өзгөрбөйт же нөл эмес санга көбөйтүлүп калат. Демек берилген матрицанын нөл эмес минорлорунун эң жогорку тартиби сакталат б.а. матрицанын рангы сакталат. Элементардык өзгөртүүлөрдүн жардамы менен матрицаны баскычтуу түргө алып келип, рангын оңой эле эсептөөгө болот. АНЫКТАМА: Матрица А баскычтуу деп аталат, эгерде ал матрица төмөнкүдөй түрдө жазылса: й(|1 а12...а1г...а1А 0 а22...а2г...а2к 1° ®-агг...агк ) мында ап ,1 = 1, 2,..., г, г < к. ЭСКЕРТҮҮ. Матрицаны транспозициялоо аркылуу г <к шарты ар дайым аткарылат. Жогорудагы баскычтуу матрицанын рангы г(А) = г , себеби йн а12 ...аХг 0 а22...а2г = аиа22... агг*0 0 0 - Элементардык өзгөртүүлөрдүн жардамы менен матрицанын рангын эсептөөнүн алгоритмин төмөнкү мисалйа көрсөтөбүз. 3-МИСАЛ.
АУ1Т АКАМОУ, КАМ12 КАЕАТОУ Ь||ЧЕЕКСЕВ|К 44 4.Ма1п»1п зайппа (ко1опипа) кеу(1 Ыг яау1 Ие <;агр11гш? о!ап Ьазка Ы мнПпп с1етап1апп1 уеНеппе §дгс ек!етек. 5.Ви таГгЫе [гапзрох 1§1егтт уартак. ТЕОКЕМ 1.: В1г та1п8 йхеппе Ьазк <1бпй§йт1ег уарагзак, Ьи 11инпят Капк! йе§1$те2. 1КРАТ: ОеТегттапйп бхеШк1еп пейсезтде Ыг кагезе! та1п8 йгспн I' ги( с1дп1'и?йт1ег уарагзак, Ьи тайазт с!е1егттапй <1е§1§те2 уеуа 8|Г||<1т । пк1| Ыг зау1 Не <?агр11аЫНг. Оетек уегПеп таГпзт 81Нгйап Г:нИ| п и11дг1еппт еп Ьйуйк тегГеЬез! <1е§1?те2, уат Ьи таГпзт К.апк1 <1е£1§те/ ВаяИ с!дпй§йт1ег уагскпиук Ыг та(П81 МЕШЛУАГО ?ек1те <4дпй§К1п । нI ус Капкт! ко!ауса Ье8ар1атак о1иг. ТАММ: В1г А таТпзте МЕВООАА МАТКЕМЕЙК йетг, е£с! 1ш Ша1П8 А = Ч. ап...а[г...ахк 0 а22...а2г...а2к 1° 0... агг... агк) $ек1тс1е уагШгза. Вигайа а„ *0 скг, / = 1, 2,..., г, г < к. 11ҮАК1: В1г таГпз! 1гап8ро218уоп уаг<11т1у1а дата г < к $аг1н11 |Д|ауаЫНп2. ҮикапдаЫ тегсНүап тайчзтт Капк1 г (А) = г, сНг ?йпкй «11 «12 -«1г 0 а22...а2г = аца22.: агг А0 0 0... а„ <11Г. Вазк <1дпй§йт1ег уагскгтуЬ таГпзт Капкии Не8ар1ата А1§ог1(таап1 |’’ к!ак1 дгпек йгеппйе §д81егеНт: ОККЕК 3.:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 45 г0 -1 3 0 2" 2-4 15 3 А = -4 5 7 -10 0 с2 1 8 -5 3? матрицанын рангын эсептегиле. ЧЫГАРУУ.10. Эгерде ац= 0 болсо, анда жолчолорун же мамычаларын алмаштырып, ац * 0 болгонго жетишебиз. Бул мисалда матрицанын 1- жана 2- жолчолорун алмаштырып ац= 2 Ф 0 болгонго жетишебиз. ( \ О,, 2°. Эгерде ац * 0 болсо, анда 1-жолчонун элементтерин--- V а\\ ) санына көбөйтүп 2- жолчого кошуп, санына көбөйтүп 3- жолчого кошуп, санына көбөйтүп 4-жолчого кошуп, 1-мамычанын ап элементинен башка элементтери нөлгө барабар болгонуна жетишебиз: (2 -4 0 -1 -4 5 <-2 1 1 5 3 л 3 0 2 7 -10 0 8 -5 3, 3°.Эгерде алынгын матрицада а22 * 0 -4 1 5 З^ -13 0 2 -3 9 0 6 -3 9 0 6? (мында а22 = -1 * 0) болсо, 0 0 анда 2-жолчонун элементтерин санына көбөйтүп 3-жолчого кошуп, Д42 а22 ) санына көбөйтүп 4-жолчого кошуп, 2-мамычанын а22 элементинен, төмөн жайланышкан элементтери нөл болгонго жетишебиз. Эгерде өзгөртүүдөн кийин нөлдөн жолчолор (же мамычалар) пайда болсо, анда ал нөлдүк жолчолорду (же мамычаларды) алып салабыз. Биздин мисалда:4
АУ1Т А8АМОУ, ЯАМ1г КАГАТОҮ Ъ11ЧЕЕН СЕВ1К 46 '0-1 3 0 2Л 2-4 153 -4 5 7 -10 0 с2 1 8-5 3, > |Н|ч1п1п Капк1Ш Ьезар1ауш12. <.'0хСМ: 1”. Е§ег ац = 0 1зе, зайг1ап уеуа ко1оп1ап де|1?11пр, ац X 0 типи кагатпг. Ви бтек(е 1- тс! уе 2-тс1 заИНапп уеНепт де§1$Нпр, ? 0 а11пх. 1>Й* а| 1Ф 0 1 зе, 1 -тс1 зайпп е1етап1апп1 зау181 Пе ?аграг, 2-1Гк । ||на ек1еп2, 8ау1м 8ау181 Ие ?аграг, 3-йпсй зайга ек1епх, <;аграг 4-йпсй зайга ек1ег уе 1-1ПС1 ко1опип 67/7 е1етат Ьапс Шт 1етал1апш 81йга <1бпй§Шгйгй2. '2-4 1 5 3 '2 -4 1 5 З^ 0-130 2 0 -1 3 0 2 -4 5 7 -10 0 0 -3 9 0 6 00 »—< । > 3, <0 -3 9 0 6> Е§ег е1йе есШеп та1п81 а22 * 0 18е (Ьигайа а22 =-7 * 0 скг ) 2-пс1 зайпп < 1етап1апш / \ _£з2_ \ а22 7 8ау181 Ие ?аграг 3-йпсй зайга ек1еп2, 8ау18! 1к ^аграг 4-йпсй заига ек1епх. О гатап 2-пс1 ко1опип а]2 уе а22 е1етап1ап Ьага (йт е1етап1ап 81йга <1бпй§йг1ег. Е§ег Ьи с!бпй§йт1ег пейсезтйе 81йг §а11г1;н (уеуа ко1оп!аг) ойауа £1каг1аг8а, о хатап Ьи 81йг 8айг1ап (уеуа ко1оп1ап) Пепх. В121т бтекХе
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 47 г 2 -4 0 -1 0 -3 к 0 -3 -4 1 5 Зл -13 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0, л2 -4 1 5 3" ч0 -1 3 0 2, Акыркы матрица баскычтуу матрица жана ал матрица нөлгө барабар эмес 2-тартиптеги минорго ээ. Мисалы = -2*0 Мындан акыркы баскычтуу матрицанын, демек берилген матрицанын рангы 2 ге барабар, б.а. г(А) = 2. Матрицанын рангы төмөнкү касиеттерге ээ: 1. г (А+В) <г(А) + г(В) 2. г (А+В) >/г (А)-г (В) / 3. г(АВ) <пип {г (А), г (В)} 4. г (АА) = г (А) 5. г (АВ) = г (А), мында В-квадраттык матрица жана с!е1;В * 0; б. г (АВ) > г (А) + г (В) - п , мында п-А матрицанын мамычаларынын же В матрицанын жолчолорунун саны. Матрицанын рангы түшүнүгү, ал матрицанын жолчолорунун же мамычаларынын сызыктуу көз каранды (көз каранды эмес) түшүнүктөрү менен тыгыз байланышкан. Берилген тхп -өлчөмдүү А = (а^ матрицанын жолчолорун ^ = (.ап, а/2,..., а1п), е2 = (а21 , а22 , — , а2п), Ст (@т I 9 &т2 > • • •, ®тп) аркылуу белгилейбиз. Вектор жолчолорун санга көбөйтүү жана вектор жолчолорду кошууну төмөнкүдөй аныктайбыз: 2е к (Аа 2 а к2— •, 2а ). е к + е 4 - (ак> + а,,, а к2 + а,2,-, а кп-+ а
АУ1Т А8А1МОУ, НАМ(г НЛГАТОУ Ь|^ЕЕКСЕВ|К 4Н ' 2 -4 0 -1 0 -3 , 0 -3 1 5 3 0 9 0 9 0 -4 1 5 3' -13 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0, л2 -4 1 5 к 0 -1 3 0 2, цц|(гЫп1 а11П2. Ви 8оп та(п8 тепИуап та1п81сНг үе опит 81Г1Г<1ап Еагкк 2-пс1 теПеЬсдеп пнпбгй үагОт Оте§т 2 0 -4 -1 = -2*0 <1п‘. Вигайап зоп тегсНуап таГпзт, йетек уегПеп таСпзт К.апк1 2 уе е§11(1Г, уат г (А) = 2 <Иг пеОсез! еИе еШНг. В1г таГп^т Капк| а§а§к!ак1 бге1Пк1еге ваЫрйг: / г (А+В) <г(А) + г(В) ’ г (А+В) >/г (А)-г (В) / < г (АВ) <тт {г (А), г (В)} I г (А А) = г (А) > г (АВ) = г (А). Вигаба В кагезе! уе 4е(В * 0 §аг11т 8а§1ауап Ыг та1п8йг. 6 г (АВ) > г (А) + г (В) - п. Вигада п - А таСпзтт ко1оп1аптп уеуа В та1П8тт заИгЬптп зау181с11г. В1г та(П8т Капктт о таГпзт зайНаппт уеуа ко1оп1апп1п Нпеег Ьа§1т1111§1 (Нпеег Ьа§1ГП81г11§1) каугат!ап Пе ^окуакт Ьа§1ап(181 уагскг. ҮегНеп тхп- б19й1йЯ= (а,) та(п5тт зайНапт е1 ~ (^/7. 0)2 ,..., а/п), е2= (С>21 , <322 >•••, <32п), Ст (С1т1 @тн/ 11е ёбзГегеПт. 8айг - уекгбйепт Ыг зау1 Ие ^агрта уе 1ор1ата 1§1ет1епп1 а?а§1йак1 §1Ы ЬеНЛеНт: Ле к = (Ла м, Л а Л/зкп)- е к + е , = (а */ + а а к2 + а , а кп + а
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 49 АНЫКТАМА 1.: Вектор жолчо е = (аа2,..., а „) е !, е 2,—, е 4 вектор жолчолорунун сызыктуу комбинациясы деп аталат, эгерде е — Л! е! + Я 2 е2 +...+ Л „ е 5 болсо, мында Л / , Л 2 ,, Л 5 - анык сандар. АНЫКТАМА 2.: Вектор жолчолор е ;, е 2 ,..., е т сызыктуу көз каранды деп аталат, эгерде ЛI е, + Л2 е2 +... + Лт е т = 0 (1) болсо, мында Л 1, Л 2,..., Л т сандары бир мезгилде нөлгө барабар эмес жана 0 = (0, 0, ..., 0). ТЕОРЕМА. Матрицанын вектор-жолчолору сызыктуу көз каранды болот, качан гана матрицанын кандайдыр бир жолчосу матрицанын башка жолчолорунун сызыктуу комбинациясы болсо. ДАЛИЛДӨӨ. Вектор-жолчолор е;, е2 ,..., ет сызыктуу көз каранды болсун б.а. (1) барабардык Лт*0 (жолчолордун ордун алмаштыруу аркылуу ар дайым Лт # 0. ) болгондо аткарылсын. Анда (1) барабардыктан мында Л' =----/ =1,2,...,т-1. Демек вектор-жолчо ет калган л, вектор-жолчолордун сызыктуу комбинациясы болот. АНЫКТАМА 3. Вектор-жолчолор е^, е2 ет сызыктуу көз каранды эмес деп аталат качан гана (1) барабардык Х1 = = = А,т = 0 болгондо гана аткарылса. ТЕОРЕМА 2. Матрицанын рангы ал матрицанын сызыктуу көз каранды эмес жолчолорунун же мамычаларынын максималдуу санына барабар. ДАЛИЛДӨӨ. Берилген т х п - өлчөмдүү матрица А нын рангы г(А) = г болсун (г < тт(т; п)). Бул болсо матрицанын нөлдөн айырмалуу болгон г - тартиптеги минору табылат дегенди билдирет. Матрицанын ар кандай нөлдөн айырмалуу болгон г - тартиптеги минорун базис минор деп айтабыз. Анык болсун үчүн бул базис минор
АУ1Т А8АМОҮ, ВАМ1Х НАГАТОУ Ь|МЕЕКСЕВ|К ТАММ 1.: е = (а I, а 2,—, а „) за11г - уекхбгйпе е /, е 2,..., е , заПг уск(бг1епп Ппеег котЫпегопи бетг, е|ег е = ЯI е / + Л 2 е2 +... + Л „ е , । .<•. Вигаба Л/, Л2,-, Л , -гее1 зауйагдп. ТАММ 2.: е /, е 2 ,—, е т зайг - уек(:бг1еппе Ппеег Ьа£ип1| уск(<>11<т |<Ыг, е£ег I Л I е I + Л 2е 2 +... + Л те т - 0 18е. Вигаба Л /, Л 2,..., Л т зауПагтт еп аг Ыпз! 81йгдап £агк11 о1асак(п О = (0, 0,..., 0) сЬг. ТЕОКЕМ: Ви таТпзт заЬг-уекЫйепЫп Ппеег Ьа§ип11 о1та81 191 п §егек \ с ус(ег §ай, Ьи тайпзт ЬегЬап§1 Ыг зайппт тайазт <П§ег заЬНаппт Нпеег .18РАТ: 8а11г-үек(бг1ег е /, е 2 .. е т Нпеег Ьа§1тН о1зип1аг, уат (1) с!?1111|1 А, т * 0 ЬаШе 8а§1апзт (8а(г1агт уег!епЫ с1е§1$1ите убп1егту1е X т Ф 0 $агйт кагапаЫПпг). О хап ап (1) е§кН§т(1еп е, +----------— . + ет-1 ~ Ле1 ^2.е2 "* ••• "* ^т-^т I а11П2. Вигаба Л, =---1=1,2,—,т-1. Оетек ет заЬг-уекЫги Ы£ег ка!ап заПг-уексбНепп Нпеег котЫпегопидиг. ТАММ 3.: в/, е2,е,„ 8а11г-үек1бг1еппе Ипеег Ьа^шшг уек1бг1ег детг, с£ег (1) е?Ы1§1 апсак Л = Л2 =... = Лт = 0 о1ди§и ЬаНе 8а§1апаЫНг8е. ТЕОКЕМ: В1г та1пзт Капк1 о таТпзт 1теег Ьа§1гп812 заЬНаппт уеуа кпеег Ьа§1тв12 ко1оп1апта заушпт такзЬпитипа е§1Шг. 18РАТ: ҮегПептхп -сЯдикй А таТпзт К.апк1 г(А) = г о18ип (г < тт (т,п)) Ви 18е таГпзт 81Нгс1ап Гагкк г-тЫ теИеЬеЬеп гтпбгП Ьиктиг с!етекНг. МаЬчзт Ьег Ьап§1 Ыг 81Г1гс1ап Гагкк г-тЫ тейеЬебсп ттбгйпе Ьаг гтпбг йеЫг. АускпЬк 19111 Ьи Ьаг ттбг
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 51 (2) аа а/2 ...ан болсун. Анда матрицанын е;, е2 ,..., е, жолчолору сызыктуу көз каранды эмес болот. Чындыгында эле тескерисинче алар сызыктуу көз каранды болсун дейли. Бул учурда бул жолчолордун бири, мисалы ег жолчону калган жолчолордун сызыктуу комбинациясы болот б.а. е: = Л / е /+ Л 2 е2 +...+ Л,./ е,_/ (3) Эми матрицанын 1-жолчосунун элементтерин Л/ ге көбөйтүп, 2- жолчосунун элементтерин Л2 ге көбөйтүп жана ушул сыяктуу улантып, акырында (г - 1) - жолчосунун элементтерин Л ,./ ге көбөйтүп, аларды матрицанын г - жолчонун элементтеринен кемитип, г - жолчону нөлдүк жолчого өзгөртөбүз. Бул өзгөртүүлөрдү Д аныктагычына жүргүзсөк, аныктагычтардын 8-касиетинин негизинде аныктагыч Д өзгөрбөйт. Бирок бул өзгөрүүдөн кийин, (3) формуланын негизинде Д аныктагычтын г - жолчосу нөлдүк жолчо болгондуктан, ал аныктагыч Д = 0. Бул (2) формулага карама-каршы. Демек, жолчолор е2, е2,..., е, сызыктуу көз каранды деген биздин оюбуз туура эмес. Бул в/, е2,..., е, жолчолорун базис жолчолор деп айтабыз. Эми матрицанын каалаган жолчосу бул базис жолчолордун сызыктуу комбинациясы болорун көрсөтөбүз. Ал үчүн көз каранды Д аныктагычына / - жолчо жана у - мамыча кошулган матрицанын (г +1) - тартиптеги төмөнкү минорун карайлы: а 11 а । «а । а । а,\й,2 -ап а,\ аа ••• а,г а,2
АУ1Т АНАГЧОҮ, КАМ1х КАЕАТОУ Ы№ЕКСЕВ1К Д = Д12 •” а2] а22 ...а2 (2) *0 а/} а/2 ...а^г н1 дт. $ц На1(1с та1г1з1п е /, е 2,. ., ет 8айг1ап 1теег Ьа§1т812с11г1аг. Оег^еИсп, 1м|1т| с(1е1пп к1 {егзше, Ьи 8аЬг1аг Ппеег Ьа§1т11д1г1аг. О гатаг Ьи за11г1апп Iнпм, бтс£|п е{ 8айп сН§ег заЬНапп Ипеег котЬтегопи о1иг, уат е, ~ Л I е{ + Л 2 е2 +...+ Л,_/ е,.] $ппсП 1 -тс1 зайгт е1етап1апт X] Пе ^аграНт, 2-пс1 зайгт е1етап1апп1 / |1е <;агра11т, үе Ьта Ьепхег 1§1ет1еп деүат едегек 8опипс1а (г-1)-тс1 М111ПШП с1етеп]апт Хг_] Пе ^аграпбап зопга оп1агт Ппеег котЬтехопи г-тс1 мн1пч1ап 91ка1а11гп. Воу1есе таТпзт г-тс! 8а11п 81йга Пбпй^йг. Үикапс1ак1 |1бп(1^(1т1еп Д беТегттапй йхеппе уарагзак сНегттапПагт 8-1пс1 бгеШёте цбге (1е1егттагП с1е§1§те2, ата (3) ГогтШйпйп пейсезтйе Д де1егттап1пнп । тс1 яайп 81йг зайг оШи§ипдап Ьи сНегттагП Д = 0 о1иг. Ви с1а (2) 1<итй1йпе каг§1Шг. Ви ^еП^кШеп е/, е2>..., ет 8айг1агтт Ппеег Ь нйт81х11§1 еМе есННг. Ви е 1, е 2, ., ет 8айг1агта Ьаг 8айг1аг бетг. $ппсН тайчят Ьег 8айп Ьи Ьаг 8айг1агт Нпеег катЬтегопи о1аса^Ш1 ^оч1егесе§1х. Випип 1$т Д с!е1:егттапйпа та(п8т 1-тс1 зайп үе ]-тс1 ко1опипа ск1еу1р ек1еухр еШе есШеп (г+1)-тс1 теПеЬейеп гтпбгйпй §02 бпйпе а1а1пп: С7И а]2 ...аь а}/ а 21 а 22... а 2т а, 2 д’ = «,1 аг2-а„ ач ал а,2 - а„ а„
53 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Матрицанын рангы г ге барабар болгондуктан, жогорудагы +1) - тартиптеги Д’ минору нөлгө барабар. Бул Д’ минорун акыркН кошулган мамычанын элементтери менен ажыратып төмөнку формуланы алабыз; Д = Ац+...+а,у Аг, + а^ Ау = 0 мында А]д - саны Д’ аныктагычын аныктаган матрицадагы ак) элементинин алгебралык толуктоочу (к = 1, 2,..., г, 1), Ац = Д 0. Акыркы барабардыкты Ац санына бөлүп, аи элементин табабыз: <4) 5 = 1 мында X ь = - А«у /Ау = - А8/Д, А^ - 8 менен 1 ден көз каранды. Эми (4) формулада 1 санын өзгөртпөй, ал эми ] санын өзгөртүп 0 = 1,2,..., п), (4) формуладан 1 -жолчо е, нин элементтери е7, е2 ,..., ег жолчолорунун элементтери менен сызыктуу туюнтууларын көрөбүз. Башкача, айтканда в/жолчо 0 = 1, 2,..., т) - е{, е2,..., ег жолчолорунун сызыктуу комбинациясы болот: 5=1 1.5. КӨНҮГҮҮЛӨР л2 1 -Н <° 1 -4; 1. 1 ол 2 2, матрицалары үчүн ЗА+2В, ЗА-В матрицаларын аныктагыла. -2^ -4/ матрицалары үчүн 2А+5В, ЗА-2В, А+2В, 2А2, А1 , АВ матрицаларын аныктагыла. З.Төмөнкү матрицалардын көбөйтүндүсүн тапкыла:
АУ1Т АБАЫОУ, КАМ1Х КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕП СЕВ1К 54 । ||сп та(п8т К.апк1 г оИиёийап, уикапс!ак1 (г+1). тег1еЬе<1еп Л 11II и с^Нйг. Ви Д ттбгйпй зоп ек1епеп ко1опа §бге а^агаак, а$а£к1ик1 П 1п/.: Д п/у .Л/у+... АГ}- + С1у Ау 0. «1а Лк! зау181 Д’ беГегттапйт ЬеПйеп та1п8т ектаптт к1(1г (к=1,2,...,г, 1), Ац = Д Ф 0. 8оп е§ИИ|1 А у зау^зта Ьб!ег8ек. </,, н Ьи1игих: / (4) Г.< = - Ау /Ау = - А5/Л, Ау - 8 уе / <1еп Ьа§1т1и11г. <сИ (4) ГогтШйпбе 1 зау181 (1е§1§те8т, уат заЬИ о1зип уе ] заукч! । (]=1,2,...,п). §и ЬаИе (4) ГогтйШпйеп 1 - тс! зайг е, пт е1етап1аппт <• _> ,...,ег заййаптп е1етап1апп<1ап Ипеег Ьа§пп11 о1дик1апт §бгйуоги/.. > .1111 е, 8айп (1=1,2,...,т) - е /, е?,..., ех зайНаппт кпеег котЫпехопи о1иг: е, =ЕЛа • 5=1 1.5. АЫ§Т1КМАЬАК 1. л2 1 -Г Ь 1 -4/ (-2 (Р 2? таШзкп 19111 ЗА+2В/ В = I -з 1 2 ЗА-В та1п81епт Ьи1ипих . -2 "4 7 таЬпзкп 19111 2А+5В, ЗА-2В, в = ( 3 12 41 Л+2В, 2А2, А1 , АВ таЬпзкпт Ьи1ипиг . 3. А§а§к1ак1 та(п81епп ^агритт Ьи1ипих:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 55 1) ( 1 3 1 Г о 1 , л3 1 2 1 < 1 0 > 4) ( 2 -3 > 4 -6 6 -6 I- -4 ’ 5) ( 2 1 0 3 0 6) 2 0 ( 2 0 3 3 0 Г 1 Г 7) 4 3 2 4 0 1 2 5 -1 8) ( 1 2 3) 1 9) -3 (6 -2 ( о 2 0 3 2 7) 0 3 6 -2 7 4 3 5 4 4. А = 0 1 2\ 5 ’ ( 2 в = 1 3 0 5 с = 1 0 3 4 матрицалары үчүн О = (АВГ - С2 матрицасын тапкыла. 5. А = л-28 93 л . 38 -126 )’ 2 1; 7 5 В = матрицалары үчүн АВС матрицасын тапкыла .
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ12 ЯАГАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 56 г 0 (>) 2 -З^ Г9 -6Л .6} и -4} 1 л 1 ; 0 > 2 3 1 1 0 0 2 1 5 1 -1 0 3; Г 6 -2 7 8) ( 1 7) . 2 3 та1пз1еп 19111 В = (АВ)1 - С2 таШзш! Ьи1ипиг . В = л-28 93 к 38 -126? ' 7 З^ .2 1 . та1пз1еп 19111 АВС таШзт! Ьи1ипиг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 57 2 0 5 2 2 3 В = 1 4 6. А = , С = (2, 0, 5) матрицалары үчүн О=АВС-ЗЕ3 матрицасын тапкыла. Мында Е3 - 3 х 3- өлчөмдүү бирдик матрица. Г1 1 -Н 7. А= 3 -1 2 <2 -1 о; матрицасы үчүн А3 матрицасын тапкыла. 8. Төмөнкү аныктагычтарды эсептегиле: 4 -зта -5 -4 -2 5 ’ СО8СГ 81па соа 2 ; 2) 3 ; 3) 2 3 3 4 3 6 -5 -5 4) ; 5) -2 ; б) 16 -2 -1 7) -1 -1 10) ; 8) 9) -1 -1 -3 11) -1 -5 4 7 а а 5 8 а 3 1 1 6 9 а 1 а 1 1 3 1 1 3 8 7 8 2 8 2 4 8 1 1 2 1 0 1 2 3 0 2 3 2 2 6 2 6 3 1 2 3 0 3 3 4 2 0 1 2 6 3 1 4
АУ1Т А8А1ХОУ, КАМ1/> НАГАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 58 П-АПС-ЗЕ, та1п81Ш Ьи1шшг . Вигас1а Е3-ЗхЗ- б^ШиЫпт та1П8кНг 7. А = 3 -1 I -1 2 , та£п81 19111 А3 таШзт! Ьи1ипиг . Н. Л$а£1с1ак1 с!е(:егттапНап Ье8ар1ау1П1г: 1 \ -1 4 • 3 -2 соза - 81П« 1 / -5 2 > -4 5 >/ зта соа 1 2 3 3 4 -5 3 6 -5 4) 4 5 6 ; 5) 8 7 -2 ; ( 5) 8 16 -2 7 8 9 2 -1 8 2 4 8 7) 10) 3 1 1 I 3 1 I 1 3 1 1 1 2 0 3 3 1 0 2 -1 2 3 6 I 3-3 4 1 -1 2 2 1 0 3 0-5 Г1 1 а 1 -1 а а -1 а 1 ; 8) а 1 1 3 1 1 1 1 2 3 1 3 ; 9) 6 2 2
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛ ГЕБРА 59 9. Төмөнкү аныктагычтарды эсептегиле. 1) 2 1 3 5 3 2 1 4 3 ; 2) 114 1 2 13 0 3 12 1 4 110 ; з) 0 1 1 1 1 0 1 ; 1 0 4) 1111 1-111 11-11 111-1 ; 5) 2-512 -3 7-14 5-927 4-612 ; 6) 1 1 1 2 -3 1 4 -1 -5 0 12 3 4 2 3 4 1 3 4 12 4 12 3 8) 5 -3 6 2 1 8 3 4 4 7 5 1 1 0 3 2 6 1 4 0 1 0 3 1 1 1 10. х, х2 х2 = (х2 — Х/)(х3 — х2)(х3 — х3) экендигин көрсөткүлө. X, X) Ху 1111 11. х, х2 х3 х4 2 2 2 2 х, х2 х3 х4 х,3 х2 х33 х4 = (х2 - Х/)(х3 - Х2>(Хз - Х1)(х4 - х3)(х4 - х2)(х4 - X/) экендигин көрсөткүлө.
Л\ 11 А.ЧЛКОУ, КЛМ1/ КЛЕЛТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ|К 60 с1е1епгнпап11ап Ие8ар1а1П1х: 2 5 I 3 4 3 2 3 I ) 114 1 2 13 0 3 12 1 4 110 0 1 1 0 1 1 0 3) 1 1 1) 1111 1-111 11-11 111-1 ; 5) 2-512 -3 7-14 5-927 4-612 ; 6) 1 1 1 2 -3 1 4 -1 -5 1 2 2 3 3 4 /) 3 4 1 4 1 2 1 1 1 10. Х| х2 х3 = 7 2 х- х2 хъ <х2- 1111 4 1 2 3 : 8) 0 -3 5 -3 1 6 3 5 1 2 4 10 14 3 2 8 7 6 1 0 3 4 0 Х1)(х3 - Х2)(х3 - X,) 11. Х| х2 х3 х4 2 2 2 2 хх х2 хъ х4 X, х| = (Х2 - Х!)(х3 - Х2)(х3 - х,)(х4 - Х3)(х4 ~Х2)(х4 - X,) о1ди§ипи §081епгЙ2
АВЫ Г АСЛНОВ, РЛМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕЬРА 61 12. 1 1 ....... 1 х, х2....... хп (х, - х,) экендигин көрсөткүлө. 1 </<у <п 13. Фирма эки гүрдүү сырьёну колдонуп, үч түрдүү продукцияны чыгарат. Түрүнө карата бир даана продукцияны чыгарууга сарп кылынган ар бир сырьёнун нормасы А = <2 1 3 > матрицасы менен берилген. Сырьёнун ар бир түрүнүн бирдигинин баасы В = (10 15) матрицасы менен берилген. Фирманын 100 даана 1-түрдөгү продукцияны, 200 даана, 2 - түрдөгү продукцияны жана 150 даана 3-түрдөгү продукцияны чыгарууга сарптаган жалпы чыгымын аныктагыла 14. Төмөнкү матрицалардын тескери матрицаларын тапкыла:
АУ1Т А8АЫОУ, НАМ|Х ЯАГАТОУ Ы^ЕЕКСЕВ1К 62 I I .......... 1 '‘2 ..... Хп Ь' V/ х2..... х2 = Л (х7-х,) 1 </<У <Л7 < ...хГ' Р.1ПН1 уб81еПП12. Ни Игта 2 Шг1и Ьат тасШеу! киПапагак 3 Шг1й таЬзи! а1так!ас11г. 1ис убге 1 1апе таЬзиШ йгейпек фп Ьагсапап Ьег Ыг Ьат тасШепт пи 2 1 3 1 3 4 н 181 Пе уеп1гт$Ш. Нат тасЮепт Ьег Ыг Шгйпйп Ыпттт ЛуаЬ (10 15) тайчз! Пе үегПтцйг. Рптпатп 100 айе! 1-тЫ Шг таЬзиШпй ас!с( 2-1ПС1 Шг таЬзиШпй уе 15 айе! 3-йпсй Шг таЬзиШпй йгеШпек фп апап Шт тазгай Ье8ар1аут12. Л$а£н1а үегИеп та1п81епп 1егз та!п51епт ЬиШпи/ '3 -4 5" / 2 2^ 4М = 2 -3 1 ; 5) А = 2 1 -2 5 3 -5 -ъ 2 -2 Ъ л3 2 2' ( 4 -8 - 5Л ь > А = 1 3 1 , 7) А = -4 7 -1 3 4у 5
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕВРА 63 15. А = 0 11 2 -Зл 1 2 0 4) матрицасы үчүн В = 11(А'1)): + Ае матрицасын тапкыла 'А 4 П 16. А = 2 5-1 матрицасы Л санынын кандай маанилеринде тескери матрицага ээ болбойт? 17. Төмөнкү п - тартиптеги аныктагыч үчүн: х а ... а а х ... а = [х + (п -1) а](х - а)п~' а а .... х экендигин далилдегиле 1 + / 1-1 3-1 18. 21 3 1-2 аныктагычын эсептегиле 1-1 1 + 2 0 19. Төмөнкү матрицалардын рангын аныктагыла: '2 5 6Л р 3 7 2 5Л 1)А = 4 -1 5 ; 2) А = -1 0 4 8 3 2 -6 -1, ч 3 6 10 -4 V 1 7 4Л Г 1 2 1 4^ 1 2 5 3 3) А = 0 5 -1 4 ; 4) А I = 0 0 0 0 С1 3 4 6 7 <0 -1 0
АУ1Т АХАМОУ, КАМ1/, КАГАТОУ Ь|МЕЕКСЕВ)К 64 'I 2 -3" 10 12 I 0 4? таГпз! 1<?1п В = ЩА’1)^ А1 ма1пз1П1 Ьи1ипи2. ,Л 4 Р I 2 5 И 0 Л 1, та1п81 X зауштп Ьап§1 <1е§ег1еп 1<?т 1ег§ Iг!не |1нр о!атах ? А$и^1с1ак1 п. теПеЬейеп Йе1егт1пап11<?т х а ... а а х .... а . = [х + (п -1) а](х - а)п' а а ... х пИВЙтт §а£1апаса§1П1 §б81епп1х. 1+/ 1-1 3-1 1Н. 21 3 1-2 <1е1егттап11П1 Ьезар1аи1П12 1-1 1 + 2 0 19. А?а§1с1а үегПеп та1пз1епп Яапкнн Ьиктиг : 5 6" -1 5 ; -6 -1, 2 1 4Л 5-14 3 4 6? Л1 3 2)А= -1 0 7 2 5Л 4 8 3 10 -4 7? (0 1 7 4^ ^0-10 о;
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 65 '2 -1 3 -2 4Л '3 5 7" 5) А = 4 -2 5 1 7 ; 6) А = 1 2 3 , <2 1 8 2; 3 $ > Т>А = 3 5 -Г -1 -3 4 1 -1 7 7 9 1, Г1 0 0 0 5) 9) А = 0 0 0 0 0 <2 0 0 0 и; '1 2 3 6 > ' 0 2 0 0 11) А = 2 3 16 ; 12) А = 10 0 4 9 <3 12 6 , ^О 03 0? 20. Төмөнкү матрицалардын сызыктуу көз каранды эмес жолчолорунун максималдуу санын тапкыла: 1)А = '2 0 3 5 4 3 17 0 3-5-3 к2 3-2 2 1> 5 3 4, ; 2) А = '3 5 1 <7 -1 3 2 5" -3 2 3 4 -3 -5 0 -7 -5 1 4 1? 3) А = '2-4 3 1 0 1-21-42 0 1-1 31 .4 -7 4-4 5
АУ1Т АХАЫОУ, НАМ|Х НАЕАТОУ Ь1М£ЕЯСЕВ1К 66 '2 -1 3 -2 4" '3 5 7" 1 4 -2 5 1 7 ; 6) А = 1 2 3 , <2 -1 1 8 <1 3 Г ' 1 3 5 -Р / 1 2 3 4 1 < 2 -1 -3 4 ; 8) А = /> 4- 2 4 6 8 5 1 -1 7 3 6 9 12 , г 7 9 Г / 1 0 0 0 5 ' Г4 3 2 2 •п 1 = 0 0 0 0 0 ; 10) А = 0 2 1 1 2 0 0 0 11 0 3 3 / ' 1 2 3 6л ' 0 2 0 0 11)Л = 2 3 1 6 ; 12) А = 1 0 0 4 9 1 2 6 , 0 3 о, /0. А§а§1с1а уегПеп та1пз1епп Нпеег Ьа§1тз12 заНйаппт тнЫтитипи Ьи1ипих: зауПаптп л2 0 3 5 Г 4 3 17 5 03-5-3 3 Г 3 -2 2 4у (3 -1 3 2 5-323 -3-5 0 - Г -5 14 <2-431 0 < 3) А = 1 0 -2 1 -4 1 -1 3 2 1 Г -74-4 5
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 67 1 ГЛАВА. ЖООПТОРУ: ( 2 5 -3 ) л8 2 -З^ 1. ЗА + 2В = оо 1 чо 1 > , ЗА-В = 1 -14, Г21 16 л ^З -14^ 2. 2А + 5В= , ЗА-2В = ч 20 17, < Н -22) л-2 4^ , А' = ^З 5Л ' 5 2 " 2А2 = АВ = <-ю Ы <-2 -4, <7 о > ^пГ Ы; 0 1 2 2 0 3, л5 7) 6 9 7, ' 24 -8 28 > Г 9 8) (13). 9) -18 6 -21 . 4. 1 22 <30 -10 35, \ -13^ 9, 8.1) 18; 2) 26; 3) 1; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7) 4а 8) 1; 9) 0; 10) 48; 11) 48. 9. 1) 40; 2) 0; 3) 2; 4) -8; 5) -9; 6) 40; 7) 160; 8) 0. 13. 28000. 14. 1) л-2 <1,5 1 -0,5, 2) -5 -4\ 3 ’ 3) -38 17 41 -34 -29 24}
ЛУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1г КАГАТОУ Ы|\ЕЕКСЕВ|К 6« ВбЬЁМ 1. СЕУАРЬАК: (I /) -6 21 20 17/ 10 10 6^1 О^ ЗА-В = (8 ЗА-2В = 11 -3) -14л -22 ’ 41 12 ’ А' = 2) -2 10 5) 8) (13). 9) 6. -3 15 -4 ’ ( 24 -7 6) -18 30 АВ = -8 -10 7. 3) г10\ < 8 ’ 28) -21 35 22 -13> ( т \1 И 5 7 -8 ’ 3 о 5 2 0 2 5 3 7 2 0 3 0 \ 0 ’ 9 7 3 2 6 3 2 9 5 2 0 0 4 9 6 2 2 0 3 . 4. 9 9 0 ю > 7 0 0 7 о 0 34 0 82 0 0 7 ') 18; 2) 26; 3) 1; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7) 4а 8) 1; 9) 0; 10) 48; 11) 4 I) 40; 2) 0; 3) 2; 4) -8; 5) -9; 6) 40; 7) 160; 8) 0. 13. 28000 1 А “14. 1) л-2 ,1,5 2) -5 -4\ 3 ’ 3) -38 27 -1 41 -34 -29 24
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 69 17 -43^ 11 -24 -4 4; " 5 15. -6 2 (Г 8 2 0 5 , 16. {-8; 1}. 18. -5+271. 19. 1) 2; 2) 2; 3) 3; 4)3; 5)2; 6)2; 7)3; 8) 1; 9) 2; 10)3; 11)3; 12) 3. 20. 1) 2; 2) 3; 3) 3. 2 ГЛАВА. СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ 2.1. НЕГИЗГИ ТҮШҮНҮКТӨР ЖАНА АНЫКТАМАЛАР Теңдемелеринин саны т, ал эми белгисиздеринин саны п болгон сызыктуу алгебралык теңдемелердин системасы жалпы түрдө төмөнкүдөй жазылат: ЯцХ, + а12х2 + ... + а1пхп = Ъ}, а2}х}+а22х2+... + а2пх„ =Ъ2, атМ + ат2х2 + - + ат„хп=Ьт- Мында ау, Ъ, (7=7, 2,..., т,] = 1, 2, белгилүү сандар, х7, х2,..., хп ~ биз издеген белгисиз сандар, ау - белгисиздердир коэффициенттери деп аталат, ал эми Ь, - системанын бош мүчөлөру деп аталат.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ17. КЛЕЛТОУ Ь11ЧЕЕКСЕВ1К 70 н I 29 -11\ р IX -7 ;. 5) — 2 9 -з 1) и 2 2' 1 -2 -2 р 9 -2 -4Л 1 2-1 >-12 1 7, 7) <-12 17 -43л 11 -24 -4 4, ( 5 2 °1 Г. -6 8 2 , 4 0 5 , 16. {-8; 1}. 18. -5+271. 19. 1) 2; 2) 2; 3) 3; |.3, 5)2; 6)2; 7)3; 8) 1; 9) 2; 10)3; 11)3; 12) 3. । I) 2; 2) 3; 3) 3. ВОЬБМ 2. Ы1ЧЕЕК СЕВ1К8ЕБ ОЕ^КЬЕМ 818ТЕМ1 2.1. ТЕМЕЬ КАУКАМЬАК ҮЕ ТАММЬАК Оепк1ет1епп зауш т, Ье11г8121епп зау181 п уе е§й Ппеег сеЫгзе! с1епк1ет •.г.1ст1 §епе1 ЬаМе а$а§1с!ак1 §1ЫсНг: а} х, + а}2х2 +... + а}пхп = Ь} а21х, + а22х2 +... + а2пхп -Ъ2 а>„^ + а„,2х2+- + а„,„х„=ь„, Вигада ач, Ь, ([=], 2,..., т, ]=1, 2, ...,п) - ЫНпеп зауПагЫг, х2, х„ - пгапап ЫНптеуеп зауйагЫг, ац - Ы1ттеуеп1епп ка^зауйапЫНаг, - ЫНпеп |\ |1аг(11г.
АВЫТ АСАНОВ, РАМШ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 71 Суммалоо белгисинин жардамы менен (1) системаны кыскача төмөнкүдөй жазууга болот: ачх} = Ь, (/ = 1, 2, т). (2) 7 = 1 АНЫКТАМА 1.Эгерде х,= х°, х2 = х2,...,х„ = х°„ п санынын жыйындысын (1) системанын теңдемелерине койгондо, ал теңдемелердин ар бири барабардыкка айланса, анда ал п сандын жыйындысы (1) системанын чыгарылышы деп аталат. АНЫКТАМА 2.Эгерде (1) система жок эле дегенде бир чыгарылышка ээ болсо анда ал система биримдүү деп аталат. АНЫКТАМА З.Эгерде (1) системанын эч бир чыгарылышы жок болсо, анда ал система биримдүү эмес деп аталат. Жалгыз гана бир чыгарылышка ээ болгон биримдүү система аныкталган деп аталат. Ал эми бирден көп чыгарылышы бар биримдүү система аныкталбаган деп аталат. Мисалы: Х| + х2 =10 Х( - х2 =10 системасы биримдүү жана аныкталган, себеби бул система жалгыз гана (10; 0) чыгарылышына ээ болот; 2%] + х2 =5; 4х, + 2х2 = 11 системасы биримдүү эмес, себеби эч бир чыгарылышы жок; х, + Зх2 = 6 2Х] + 6х2 =12 системасы биримдүү жана аныкталбаган, себеби бирден көп чыгарылышка ээ (х/ =6 - ЗС; х2 = С, мында С - каалаган сан). Теңдемелердин эки системасы тең күчтүү же эквиваленттүү деп аталат, эгерде бул эки системанын чыгарылыштарынын көптүктөрү дал келсе (бир көптүк болсо). Берилген (1) системаны матрицалык формада жазуу үчүн төмөнкү белгилөөлөрдү кийирели:
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 КАЕАТОУ 72 О1ЧЕЕКС ЕВ1К Торкипа зстЬоП уагЫгтуЫ (1) 818(егт кдзаса а§а£к!ак1 §1Ы уах11аЫ1п. £ а.х^Ь, (1 = 1,2, ..,т). (2) /=| ТАММ 1.: Е§ег х°, х2 - х°,..„хп = х* п зауПаппт 1<>р1и1ийи (I) 81$1етт (1епк1ет1егтс1ек1 уег1еппе копйигиШи^ипда (1спк1с1п1спп 1)С1 Ыг1 02(1е§11§е йбпйуогза, о хатап Ъи зауЯаг 1ор1и1и§ипа (I) Н18(епйп1п ^блйти детг. ТАММ 2.: Е§ег (1) 8181етт еп аг Ыг ^бгйтй уагаа, о /ат.т Ьн 818(ете ^бгйкЬПеп 8181ет йетг. ТАММ 3.: Е§ег (1) 8181етт Ы? Ыг ^бгйтй уокза, Ьи !ЙьЬ ^бгШтег 8181ет бетг. Е§ег 9бгй1еЫ1еп 8181ет1п уаЫ12 Ыг 1ек <рб2йтй уагза, Ьи 8181ете (аттЬ 818(ет бетг. Е§ег ^бгЫеЬПеп 8181в1пт Ыгбеп Га21а ^бгйтй уш о гатап Ьбу1е 818(ете Гашт812 818кт йетг. Огпе§т х, + х, =10 х, - х2 =10 М81ет 9б2и1еЫ1еп 8181ет<Иг, аут гатапба 1атт1Ы1г, ?йпки Ьи 8181етт уа1т/ Ыг (10, 0) ^бгйтй хагЫг. 2х^ + х2 =5; 4Х| + 2х, =11 '>18(егт 9б2й1тег 8181етсПг, ^йпки Ьи 818(егтп Ы? Ыг ^бгйтй уокшг. х, + Зх2 = 6 2Х| + 6х, = 12 8181епй ^02й1еЫ1еп уе Тагптзигскг, фйпкй Ьи 818(етт Ыгбеп £аг1а ^бгйтй хагШг: (х, =6 - ЗС; х2 = С, Ьигаба С-кеуГ1 Ыг заукЫ) УегПеп 1к1 818(ет< 1ш । Ыппе йепкйг бетг, е£ег ЬиЫагт <?б7йт сйт1е1еп Ып Ыппе бепк ье (уагй аут сйт1е 18е). УегПеп (1) 8181ет1П1 та(пз уагЫгту1а уагтак ата?1у1а а§аёк!.|к I '.етЬоПеп каЬи! ебеНт:
ЛВЫТ АСАНОВ, РЛ1МИЗ РЛФЛТОВ СЫЗЫКТУУ Л.)11 ЕБРЛ 73 Мында А-белгисиздердин коэффициенттеринин матрицасы же (1) системанын матрицасы, х- белгисиздердин вектор-мамычасы, Ь - бош 'мүчөлөрдүн вектор-мамычасы. Эми + а12х2 +... + а{пхп Ах = а2[хх + а22х2 + ... + а2пхп Уат\х\ + атгхг + - + атЛ) болгондуктан, (1) системаны төмөнкүдөй жаза алабыз: Ах = Ъ (3) Бул (3) формула, (1) системанын матрицалык формада жазылышы деп аталат. 2.2. БЕЛГИСИЗДЕРИ п БОЛГОН п СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ. КРАМЕРДИН ФОРМУЛАСЫ ЖАНА ТЕСКЕРИ МАТРИЦА МЕТОДУ Эми берилген (1) системада белгисиздердин саны менен теңдемелердин саны барабар болсун, б.а. т = п болсун: + аХ2х2 + ... + аХпхп = ЬХ, а2ххх + а22х2 + ... + а2пхп = Ь2, ап\х\ +а„2х2 + - + атх„ Төмөнкү белгилөөлөрдү кийирели: (4)
АҮ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ|Х НАЕАТОҮ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 74 Вш ада А ЫНптеуегПег каСзауПаппт та^пзИк, х-ЫНттеуеп1епп кокт- Уск 1бгй, Ь - ЬПтеп заЬШепп ко1оп-уек1дгйс1йг. $1тсН <а11х1+а12х2-И... + а1пхп а21х, + а22х2 +... + а2пхп \.ат\Х\ + ат2Х2 + - + атпХп) ок!иёипс1ап (1) 8181етт! а§а§1дак1 ?екП(1е уахаЫПпх: Ах = Ь (3) ҮегПеп 8181етт Ьи (3) Гогтипа (1) 8181еттт та(п8 Гогти детг. 2.2. п В1Ы1ЧМЕҮЕ1ЧЫ УЕ п ЫМЕЕК ОЕ1ЧКЕЕМОЕ1Ч ОЫ)$А1Ч В1К 818ТЕМ. СКАМЕК ЕОКМЁЬЁ УЕ ТЕК8 МАТК18 МЕТООБ §1тЫ уегПеп (1) 8181:еттс1е Ы1ттеуеп1епп зау181 Пепк1ет1епп 8ау18та е§11 окип, уат т - п о1зип; о хатап апх, + а12Х;, + ... + а1пхп = Ь„ о2|Х| + а22х2 +... + а2пхп — Ъ2, (4) ап\Х\ +а„2Х2 +-+Й„Л =Ьп VI а11П2. КаЬи1 едеНт И
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 75 Га\\ а\2 - а\„ А = <з21 а22 ... а2п \ап\ ап2 ••• апп ) ... |Ч, д2... а,2 "• а2,п-\^1 п_ А1 ^22—^2п , о — ••• ап,п-\ ^п2 ••• ^пп / Л2|... Ап1л "^12 Д22 •" ^п2 \^1л ^2п •" ^пп / Мында Ау - А матрицадагы ау элементинин алгебралык толуктоочу (7,у = 1, 2,..., п). Анда (4) системаны төмөнкү матрицалык формада жаза алабыз: Ах = Ь (5) КРАМЕРДИН ТЕОРЕМАСЫ. Эгерде Д = с!е1А Ф 0 болсо, анда (4) система жалгыз чыгарылышка ээ болот жана ал чыгарылыш Д/ х>=-т а=1>2’-’п) (6) д формуласы менен аныкталат. Мында Д = . ДАЛИЛДӨӨ. Биз (5) системанын эки жагын тең В * матрицасына көбөйтөлү: В'Ах =В'Ь<=> (В'А)х = В'Ь (7)
АУ1Т А8АГЮУ, КАМ<2 КАГАТОУ Ь(1ЧЕЕКСЕВ|К 76 (I 22 ... а{„ у а12... а{„ л '«Н Ь\ - ... а2„ , В,= /?2 ^22 ^2п , В2= а2| Ь2... а21 ’"^пп ) \ЬП ап2 '”апп ) ^ап\ Ьп ... С1пп (I ... а ... а„„_{ Ь, В = - ^2,и-1 Ь. <||г. Вигаба Ад- А тайчзтбек! ау е1етаптт коГакСбгибйг (1,]=1,2,...,п). Чц 11а1с1е (4) 8181етт1 та1п81ег уагс11т1у1а а$а§1дак1 $ек11с!е уахаЫКпх: Ах = Ъ СКАМЕК ТЕОКЕМ1: Е§ег Д=Ве1АА) 1зе (4) $1$1епп уа1ш2 Ыг 1ек убхите заЫр о1иг че Ьи ?02йт Д, *Г~ () = 1, 2,...,п) (6) Д ГогтйПеп уагс!1т1у1а 1ап1т1атг. Вигаба Д} = Ве1В сНг. 18РАТ.: (5) 8181етт Ьег 1к11агайт В' та1п81 Пе ^аграгзак: у! а11П2 В’Ах =8^ <=> (В‘А) х = ВЪ
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 77 Мында (8) 0 = 1.2..... п) (9) 5 = 1 Аныктагычтын 7-касиетинин жана Лапластын теоремасынын негизинде, (8) формуладан төмөнкүнү алабыз: п ^=£^=0, 1*) 5 = 1 си = ХЛА =^А = Д 5=1 Демек, В1А = ЛЕп , мында Еп-пхп - өлчөмдүү бирдик матрица. Аныктагычтын 9-касиетинин негизинде, (9) формуладан төмөнкүнү алабыз: су=ХМ=(1е1В)=ДР ] = Г2,...,п (10) 5=1 Эми В*А = ЛЕ„ жана (10) формуларынын негизинде (7) системасын төмөнкүдөй жаза алабыз: Л-х} = Л (] = 1,2,...,п). (11) Эгерде Д Ф 0 болсо, анда (11) системадан (6) формуланы алабыз. Теорема далилденди. Формула (6) Крамердин формуласы деп аталат.
АУ1Т А8А1ЧОҮ, ЯАМ1Х КАГАТОУ Ь1^ЕЕКСЕВ1К 78 Вигайа (8) с,=£аА 0 = 1.2,...,п) (9) 5=1 (Нг. 0е1егттапип ГогтШйпдеп 7. ОгеШ§т уе Ьар1асе Теогегт пеНсе8тс1е (8) п Су = ХААу =0’ ’8е Л=1 у! а11П2. Эетек С„ =де1А = Д Л = 1 В'А = ДЕ„ сН г. ВигадаЕ„-пхп - о1?и1иЫпт таГпзИхг. ОеТегттапСт 9-ипси ОхеШ§1 пейсезтйе (9) Гогтй1йпс1еп п с, =ХЛД =с1е1В1 = Др 3 = 1,2,...,п (10) 5=1 у! а11П2. §1тсН В ' А = Д • Е„ уе (10) ГоппйПеп §еге§тсе (7) 8181егтт ;и?а§1дак1 §1Ы уахаЫНпх: Д-х^ = Ду (]’ = 1, 2,..., п). (Н) Е§ег Д 1зе (11) йеп (6) е§ННк1епт акпг. Теогет 1зра11апт1§йг. (6) ГогтйПеппе Сгатег ГогтйПеп с1етг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 79 Эми (4) системаны тескери матрица методу менен чыгаруу үчүн А = с1е(А + 0 болсун дейли. Анда А матрицанын тескери матрицасы А1 жашайт жана А''= — В' болот. Д Берилген (5) системаны А'1 тескери матрицага сол жагынан көбөйтүп А'1 (Ах) =А''Ь ны алабыз. Бирок А''(Ах) =( А''А)х = Еус = х болгондуктан, (4) системанын тескери матрица методу боюнча чыгарылышы х=А''Ь (12) вектор-жолчосу болот. МИСАЛ. Төмөндөгү системаны х + 2у-г = 2 < 2х-3у + 2г = 2 Зх + у + г = 8 а) Крамердин формуласы менен чыгаргыла; б) Тескери матрица методу менен чыгаргыла. ЧЫГАРУУ. о) Бул учурда -Р| 2 1 , 1 2 -1 А = с/е(А =2 -3 2 = -3 +12-2-(2 + 4 + 9) = -8* 0 3 1
АУ1Т АБАЫОУ, КАМ1/. КАГАТОУ МКЕЕК СЕВ1К 80 $1тсП (4) 8181ет1П11егз та1п8 те1оди Пе ^б/тек 19111 сПуеПт к! Д - с/еМ *0 о18ип. $и Ьа1с1е А тайчзтт (ег8 та1пз1 Пе зо1 (агайап ^аграгзак А''(Ах) = А''Ь у! а11пх. Ата А''(Ах) =(А''А)х = Е„х = х о1с!и§ипс1ап (4) 8181еттт 1егз т.Н 1пя уаг<11т1у1а ?бгитй х = А''Ь (12) .чайг - уексбгй о!иг. ОК1ЧЕК: А?а§к1ак1 х + 2у- г = 2 < 2х — Зу + 2г = 2 Зх + у + г = 8 М81ет1т а) Сгатег ЕоппйПеп уагс11т1у1а; Ь) Тегз МаТпз МеЮйи уагс11т1)у1а \-Й2йпй2. СОХЁМ: а) Вигайа 1 2 -1 Д = <1е(А =2 - 3 3 1 2 = -3 +12-2-(2 + 4 + 9) = -8 Ф 0
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 81 2 2 Д| = <7е/5/ = 2 2 =-6 + 32-2-(4 + 4 + 24) =-8; 8 1 2 2 8 Д2 = с1е(В2 = 2 -1 2 1 = 2 + 12-16-(16 + 4-6) =-16; Д3 = с1е1В2 = 2 -3 1 =-24 + 12+ 4-(2 +32-18) =-24 3 2 3 2 2 8 Эми Крамердин (6) формуласынын негизинде х = д -16 -8 = 2; 2=—^- д -24 -8 = 3, б.а. (1; 2; 3) берилген системанын чыгарылышы болот. б) Төмөндөгү Н 2 -Г А = 2 -3 2 , х = У , ь = 2 белгилөөлөрүн 1 г Л киргизсек, анда берилген система Ах = Ъ түрүндө жазылат. Эми А’1 тескери матрицасын табуу үчүн, Д = Ве(А жана А,, алгебралык толуктоочторду (7,у = I, 2, 3) табалы: 1 2 -1 Д = Ве(А =2 - 3 3 1 2 =-8*0,
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|Х КАГАТОУ ЫНЕЕВСЕВ|К 82 2 2 1 Д| = <1е1В1 = 2 -3 2 : =-6 + 32-2-(4 + 4 + 24) =-8; 8 1 1 1 2 -1 Д2 = с1е1В1 = 2 2 2 = 2 + 12-16-(16 + 4-6) = -16; 3 8 1 1 2 2 Дз = с1е<В3 = 2 -3 2 =-24 + 12+ 4-(2 +32-18) =-24 3 1 8 $1тсН Сгатепп (6) ГогтйПеп §еге§тсе <>1«|г, угш (1; 2; 3 ) үегПеп 81з1етт ^бхйтйсШг, Ь) А?а§1<1ак1 нетЬоПеп каЬи! еПегзек уеп1еп 8181егт Ах = Ъ §ек1тйе уахаЫНпг. §1т<П А'1 1егз та1п81П1 Ьи1так 19111 Л=с1е<А хеА,, ко£ак1бг1епт (7,у = 1,2,3) Ьи1акт: 1 2 Д = с/е(А = 2 - 3 -1 2 1 = -8*0, 3 1
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 83 Мындан А22=(-1)2+2 = 11; А21 = (-1)2+1 = 4; А23 = (-1)2+3 А3з = (-1)3+3 болот. Эми (12) формула боюнча X = А’*Ь = 11 11 -3 4 5 1 (-8) Г(-5)2 + (-3)2 + 1-8 4-2 + 4-2 + (-4)-8 ^п^+з-г+рэ-в, <8 -16 <-24, б.а берилген системанын чыгарылышы (1; 2; 3) болот. Крамердин формуласы менен тескери матрица методунун негизги жетишпегендиги, бул методдор көп эсептөөнү талап кылат. Ошондуктан белгисиздеринин жана теңдемелеринин саны көп болгон сызыктуу алгебралык системаны изилдөөдө бул эки метод практикада аз колдонулат.
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ|Х КАГАТОУ ЫКЕЕКСЕВ|К 84 сНг. Вигайап 11 -3 1 " 4 -4 5 -7, а11пх. $1тсН (12) ГогтйШпе §оге х = д-'ь=—!— (-8) г-5 4 . И 1 (~8) <(-5)2 +(-3)2 + 1-8 " 4-2 + 4-2 + (-4)-8 ч1Ь2 + 5-2 + (-7)-8, г-8 -16 С24> о1иг, уат уегПеп 8181етт ?бхйтй (1 ;2;3) й^йвйййг. Сгатег ГогтйШ уе 1егз тайчв теЮйипип езав ек81кйк1еп §ип1агс11г: Ьи теТосПаг $ок Гах1а кагта§1к Ье8ар1ата1ап §егектек1:ес11г1ег. Ви пейеп1с Ы1ттеуеп1епп уе йепк1ет1епп зауш Ьйуйк о1ап ИаШе Нпеег йепкк-т мзГепйт тсе1етес!е Ьи теТосНапп 1к181 йе ргаПк1е ?ок ах иу§и1аптак1ас1н 1<п
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 85 2.3. ГАУССТУН МЕТОДУ Теңдемелеринин саны т, ал эми белгисиздеринин саны п болгон (1) системасы берилсин, мында ап& 0 (Эгерде ап& 0 шарты аткарылбаса, анда системадагы теңдемелердин ордун алмаштыруу аркылуу ап&0 шартынын аткарылышына жетишебиз). Гаусстун методу - сызыктуу теңдемелер системасын чыгарууда белгисиздерди удаалаш жоюу методу. Бул методдо элементардык өзгөртүүлөрдүн жардамы менен теңдемелердин системасы тең күчтүү баскычтуу (же үч бурчтуу) системага келтирилип, ал системанын акыркы (номерине карата) теңдемесинен биринчи теңдемени көздөй бардык белгисиздери удаалаш табылат. Башкача айтканда Гаусстун методу төмөндөгүдөн турат: 1-кадам: Мында системанын 1-теңдемесинен башка теңдемелердин бардыгынан белгисизи жоюлат. Ал үчүн 1- а21 я31 а . теңдемени кезеги менен ------,----,...,- сандарына көбөйтүп, а}} а}} алынган теңдемелер 2-, 3 -,..., эң акыркы теңдемелерден кемитилип, төмөнкү системаны алабыз: апхх + апх2 +... +а[пхп = Ь{, а22х2 + ... + а2}хп = Ь2}, а"х2+... + а"хп=Ь", Мында ь!‘>=*,-~, = 2,з, а\ 1 а\ 1 2-кадам: Эми а22 Ф 0 болсун (Эгерде =0 шарты аткарылбаса, анда теңдемелердин ордун алмаштыруу аркылуу же белгисиздердин номерлерин өзгөртүү аркылуу а22 * 0 шартынын аткарылышына жетишебиз). Акыркы алынган (13) системанын 1- жана 2-теңдемелеринен башка теңдемелердМй бардыгынан х2 белгисизин жоебуз.
АУ1Т АКАМОУ, КАМ1/. КАГАТОҮ 1,|М1К СЕВ1К Х6 2.3. СА1188 МЕТОО1) □епк1ет1епп зау181 т, Ы1ттеуеп1егт 8ау181 18е п уе е?к (1) $екН|и1<- Ыг 818(егт уегПзт уе ац^О о18ип (е§ег 0 18е 8181:етс1ек1 йепк1ет1снп усНепт с1е§1$Нгегек ап^0 ^агйт 8а§1ауаЫНпх). Саизз теШди - 1теег депк1ет 8181епнт ^дхтеде Ы1ттеуеп1еп З1гам \ 1.1 «Нтек теШйийиг. Вигада е1етап1ег ко!оп орегазуоЫап уагскт1у1а с1епк1ст 8181епи тегсНуап (уеуа й?кеп) 8181етте с1бпй§Шгй1йг уе 8181етт мт <1спк1еттс1еп Ьа§1ауагак Ыппс! йепк1етте кайаг Шт ЫНптеуеп1ег $1гак1у1а Ьиктиг, уат Оаи88 теШйи а§а§1с!ак1 §1ЫсНг. 1. АВ1М: Вигайа 1-тс1 с!епк1ет Ьап? Иег с!епк1етс1ек1 X/ ЫНптеует а21 а31 а \ 8111П1Е. Випип 1?т 1-тс1 йепк1егт 81га81у1а --,---— а\\ а\\ а\\ яау11ап Не ^аграг уе еМе есШеп с!епк1ет1еп 2., 3.,... 8оп с!епк1етс1еп ?1капп/. () хатап а$а§1с!ак1 8181ет1 а11пх: «цХ, + а12х, + ... + а]пх„ = Ьх, а22Х2 + •" + а2пХп ~ Ь2^ ^х2+-+«(Х = Г (13) «(|>+...+Л = ь{}}. ш тп п т Вигаёа (0 а1/а:\ . (I) > анЬ\ • • -> -> а,, =а/,------’ Ь' = Ь>----------I,] =2,3,...,П а\ 1 а\ 1 сНг. 2. АВ1М: 0 о18ип (е§ег <1епк1ет1епп уег1епш с1е§18йгегек уеуа Ы1ттеуеп1епп 1п<1181ег!п1 <1е§1§игегек а22 Ь ?аг1пн 8а§1ауаЫПп2). Ви зоп (13) 8181етт 1-тЫ че 2-тс1 <1епк1егт Ьапс 1йт <1спк1ет1егс1ек1 х2 ЫПптеуетт зПепх.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 87 Ал үчүн 2-теңдемени кезеги менен сандарына «22 «22 «22 көбөйтүп, алынган теңдемелер 3-, 4-,..., эң акыркы теңдемелерден кемитилип, төмөнкү системаны алабыз: «,!*, + «12*2 +«13*3 +- + «|Л = 61> а22х2 + а33х3 + ... + а2)хп = Ь2}, а^х3+... + а^х„=Ь{2\ (М) х, +... + а х 3 тп п Мында а0)а(1) лтЬт М=3;4....,„. а22 а22 Бул процессти улантып, (14) системанын кээ бир теңдемелеринен жогорудагыдай жол менен х3 , х4 ,..., хг.1 белгисиздерин жоюп, төмөнкү системаны алабыз: «н%| + апх2+ахзх3+... + аьхг + а|>г+1хг+1 + ... + аХпхп = ЪХ, а22Х2 +а23Х3 + ••• + а2,Х1 + «2;г+1"^/+1 +••• + а2пХп =Ъ1\ а(х'\ +«,':,+,++.+.+«гч=^Ч), «=с\ [ о = Ъ\Х (15) Мында ац*О, Ф 0, / = 1,2,..., г. Берилген (1) система менен (15) система тең күчтө. Ал эми (15) системадан төмөнкү теоремалардын туура экендиги келип чыгат.
АУ1Т А8АМ)У, КАМ(Х КАЕАТОУ к1,\ЕЕК(ЕВ1К 88 а(|) а(,} а(,} Ви педеп1е 2-пс1 с1епк1ет1 81га81у1а вауйап Пе даграпх уе «22 «22 «22 с!де есШеп <1епк1ет1еп 3., 4.,..., зоп <1епк1етс1еп 91каппг. ИеПседе ацХ{ + а|2х2 + а|3х3 + ... + «,„х„ = Ь}, а22х2 + а33)х3 + ... + а21„)х„ = Ь^}, <х3+... + <х„=6(2), (14) «<2)х3+... + а(2)х = Ь(2}. тЗ 3 пт п т у> айпг. Вигада а(,}а(,} а(,}Ь(,} Ь(2}=Ь(,}-^-, и = ЗА,...,п 6^22 <Пг. Ви 1§1ет1еп с1еуат едегзек (14) 818(ет1пт Ьа/1 с!епк1ет1еппс1еп уикапдакта Ьепхег уоп1ет1епп уагс11т1у1а х3 , х4 ,..., х,., ЫИптеуеп1епт м1епг үе а?а§1с1ак1 8181:ет1 аИпг: с/их, +а12х2 +а|3х3 + ... + а1гх, + а, ,+1хг+| + ... + а,„х„ =Ь{, а22 х2 + а23 х3 +... + а2г х, + а2 }г^хг^ +... + а2пхп = Ь2}, ’ «,(Г1>хг + «*7+1хг+1 +......+ «271>хп =Ь(гг~'\ (15) о = ь(;-,} о = ъ;-,}. Вигада ац*0, а(' () Ф 0, / = 1,2,..., г , <Пг. УегИеп (1) 8181ет1 Ие (15) 81з1ет1 Ып Ыппе йепкННег. (15) 8181:еттс1еп де а§а§1дак11еогет1епп 8а§1апаса§1 еШе еЫНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 89 ТЕОРЕМА 1. Эгерде (15) системадагы сандарынын жок дегенде бирөө нөлдөн айырмалуу болсо, анда (1) система биримдүү эмес система б.а. (1) системанын эч бир чыгарылышы жок. ТЕОРЕМА 2. Акыркы (15) системадагы 6^1),...,2>^-1) сандарынын бардыгы нөлгө барабар болсо, анда (1) система биримдүү система болот. Мында төмөнкү эки учур болушу мүмкүн^ 1)Эгерде (15) системада белгисиздердин саны мене! теңдемелердин саны барабар б.а. г = п (бул учурда (15) система ү1 бурчтуу түргө келет) болсо, анда (1) система жалгыз чыгарылышк| ээ: Бул учурда (15) системанын акыркы теңдемесинен жогор| карай хг, х,_/,..., XI белгисиздерин аныктайбыз; 2) Эгерде (15) системада г < п болсо, анда (1) система хг+/,..., дЯ белгисиздери эркин өзгөрмөлөр болгон чексиз чыгарылышка ээ| Бул учурда (15) система баскычтуу система болот жана (151 системанын акыркы теңдемесинен жогору карай хг , хг./ ,..., системага өтүү процесси Гаусстун методунун түз жүрүшү деп аталат, ал эми (15) системасынан хг, хг_/,..., X/ белгисиздерин табуу процесси Гаусстун методунун тескери жүрүшү деп аталат. Гаусстун өзгөртүүлөрүн (1) системанын теңдемелерине жүргүзбөстөн, ал системанын коэффициенттери менен бош мүчөлөрү аркылуу түзүлгөн Ч| а{2... аХп Ь{ " @22 ••• @2п ^2 @т2 -а,т ът) кеңейтилген матрицага жүргүзгөн ыңгайлуу болот х, + 2х2 + Зх3 - 2х4 = 6, 2х, + 4х2 — 2х3 - Зх4 =18, Зх, + 2х2 - х3 + 2х4 = 4, 1-МИСАЛ: ( 2х, - Зх2 + 2х3 + х4 = -8 системасын Гаусстун методу менен чыгаргыла.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ12 КАЕАТОУ оп ЫНЕЕКСЕВ1П ТЕОВЕМ 1: Е§ег (15) 8181еттс1ек1 2)8ау11аптп еп п/ Ьн 81йгс1ап ГагкЬ 18е (1) 8181егт ^бгШтегдй, уагн (1) 8181еттт Ы? Ьп <,<»/шн уокШг. ТЕОКЕМ 2: Е§ег (15) 8181еттс1ек1 зауПагтп 1и |н 81йг 18е (1) 8181егт ^бхШеЬНеп 8181етс11г. Вигаба а§а§1дак1 1к1 1ш1 •»<» копизи о1аЫНг: 1) Е§ег (15) 8181еттс1е ЫНптеуеЫепп зау181 с!епк1ет1егт зауып! 18е, уат г=п (Ьи ЬаШе (15) 8181егт и?§еп §ек1те ббпизиг) 18е (11 8181егт 1ек ^бгите заЫр о1иг. §и ЬаШе (15) 8181еттт зоп с!епк1еттс1е| Ьа$1ауагак уикап 1ага£а §Шег8ек, хг, хг./,..., х / у1 ЬЫигих. 2) Е§ег (15) 8181еттс1е г < п 18е (1) 8181ет1, х/+7,..., X, ЫНитеуеШеп кеуй бе§1§кеп1ег о1так йгеге зопзиг 8ауШа ^бгйгЫеге 8аЫ|: о1иг. §и Ьа1де (15) 8181егт тегсНуап 8181егтт о1и§1игиг уе (15), 8181егттг 8оп с!еепк1еттс1еп Ьа81ауагак уикап 1ага£а §Шег8ек хг , х,../ ,..., ЫНптеуеЫепЫ хг+1,...,хп кеуй с1е§1§кеЫеппе Ьа§11 о1агак ЬЫигих. УегНеп (1) 8181еттдеп опа депк о1ап (15) 8181етте дбпй§й 1§1ет1еп1| Саи88 теЮдипип до|ги убпи детг. (15) 8181еттдеп хг, х,.{,..., х{ ЫНптеуеЫепЫ ЬЫтак убЫетте Саи> теЫдипип 1:ег8 убпй детг. Саизз дбпй§йтйпй (1) 8181еттт депк1ет1еппе де§П Ьи 8181ет| ка18ау11ап уе за§ Шгайак! ЫНпеЫег йгеппе, уат а?а§1дак1 §еЫ§1еН1т1§ а\г- а\Л Л С?2] ^92 *** п \^т| ат2 '"атп Ьт ) та1п81 йгеппе бйгегйегзек, 1§1ет1ег даЬа ко1ауса уарйи. ОК^ЕКк Л] + 2х2 + Зх3 - 2х4 - 6, 2х{ + 4х2 - 2х3 - Зх4 =18, Зх, + 2х2 - х3 + 2х4 - 4, 2х, - Зх2 + 2х3 + х4 - -8 8181етт1 Оаизз теТоди уагс!1т1у1а ^бгйпйг:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 91 ЧЫГАРУУ. Берилген система үчүн '1 2 3 -2 6 Л 2 4-2-3 18 В = 3 2-124 ,.2 -3 2 1 -8, матрицасы кеңейтилген матрица болот. Эми В матрицанын жолчолоруна төмөнкү элементардык өзгөртүүлөрдү жүргүзөбүз: 1-КАДАМ. Мында ац =7# 0, болгондуктан, В матрицанын 1- жолчосун кезеги менен 2; 3; 2 сандарына көбөйтүп, алынган жолчолорду 2-, 3-, 4- жолчолордон кемитип, акыркы үч жолчодон х/ белгисизин жойобуз, б.а. төмөнкүнү алабыз: р 2 3 -2 6 > р 2 3 -2 6 0 0 -8 1 6 0 -4 -10 8 -14 в~ — 0 -4 -10 8 -14 0 0 -8 1 6 <0 -7 -4 5 -20, <0 -7 -4 5 -20, Мында экинчи жана 3-жолчолорду алмаштырдык. 2-КАДАМ. Акыркы матрицада а()) = -4^0 болгондуктан ал 9 ("П 7 А - матрицанын 2-жолчосун = — санына көбөитүп алынган жолчону 4-жолчодон кемитип, акыркы эки жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а. <1 2 3 -2 6^1 0 -4 -10 8 -14 00-81 6 ^0 -7 -4 5 -20,1 3-кадам: Акыркы матрицада а^ 2 3 -2 6 " 0 -4 -10 8 -14 00-8 16 к0 0 13,5 -9 4,5, = -8^0 болгондуктан, ал матрицанын 3-жолчосун —— =-------санына көбөйтүп, алынган — 8 \ 16 ) жолчону 4-жолчодон кемитип, 4
АУ1Т А8АМОУ, КАМ|Х КАГАТОУ ЫКЕЕК СЕВ1К СОХйМ: ҮегПеп 5181ет 19111 П 2 3-2 В = 4 -2 -3 18 2-124 ^2-32 1 -8) та1п61 §ет§1е1Пгт§ таШзбг. §1т<Н Ьи таСпзт зайНап ихеппе а$а£|9Я1 е1етап1ег <1бпй§йт1еп уараПт. 1. АВ1М: Вигаёа а{1 =7# 0, о1с!и§ипс1ап В таСпзтт 1-тс1 за11ПП| 51га51у1а 2, 3 уе 2 Пе ^аграПт уе е1Пе есШеп зайНап 2-тс1 , 3-йпсй уе 4 йпсй 8айг1агс1ап 91кага11т. КеНсеПе зоп й? зайгПап х7 ЬПттеует зШгнг, у:т! а$а§1<1ак1 таТпз! акпх: ^1 2 3 -2 6 Г1 2 3 -2 6 0 0 -8 1 6 0 -4 -10 8 -14 0 -4 -10 8 -14 0 0 -8 1 6 <0 -7 -4 5 -20, <0 -7 -4 5 -20, Вигайа 2 - тс! уе 3 - йпсй 8айг1агт уег1епт Пе§1?йг<Пк. 2. АБ1М: 8оп таТпзПе а)) = -4^0 о1с!и§ипс1ап Ьи таТпзт 2-тс1 (-7) 7 зайпт ------— — зау181 Пе саграПт уе еМе еППеп зайп 4-йпсй заПгйап (-4) 4 91кагаПт. Вбу1есе зоп 1к1 заПгйак! х2 ЬПттеуетт вПепх, уат Л1 2 3 -2 6 Г1 2 3 -2 6 > 0 -4 -10 8 -14 0 -4 -10 8 -14 0 0 -8 1 6 0 0 -8 1 6 <0 -7 -4 5 -20, <0 0 13,5 -9 4,5; тайчзпп еМе еПепг. 3. АВ1М: 8оп таТпзСе — —8^0 о1Пи§ипПап Ьи та1п8т 3-йпсй вайпт 13,5 -8 27> 16 ) зау181 Пе ^аграПт уе е1Пе ес1Пеп 8айп 4-йпсй 8айгс1ап
93 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА акыркы жолчодон х3 белгисизин жоебуз, б.а. р 2 3 -2 6 л р 2 3 -2 6 л -14 0 -4 -10 8 -14 0 -4 -10 8 0 0 -8 1 6 0 0 -8 1 6 4,5, 117 117 .0 0 13,5 -9 0 0 0 '~16~ ~8~~, Акыркы матрицага, төмөнкү система туура келет: х, + 2х2 + Зх3 - 2х4 = 6, - 4х2 - 10х3 + 8х4 = -14, - 8х3 + х4 = 4, 117 117 ----х4 ------. 16 8 Мындан, Гаусстун методунун тескери жүрүшүн колдонуп, системанын 4-теңдемесинен х4 =-2 ни алабыз; 3-теңдемеден 6 - 6 + 2 ү. — ---- = ---- = — ] • бул „ -14 + 10х3-8х4 -14 +10(-1)-8(-2) „ 2-теңдемеден х2 =------------- =----------------- = 2; -4 -4 1-теңдемеден х/= 6 - 2х2-Зх3 +2x4=6- 2-2-3-(-1)+2(-2)=1 болот. Демек (1; 2; -1; -2) берилген системанын чыгарылышы болот. 2-МИСАЛ. х, + 2х2 + Зх3 - х4 = 0, X] — х2 + х3 + 2х4 = 4, х, + 5х, + 5 х3 - 4х4 = -4, х, + 8х, + 7х3 - 7х4 = 6
АУ1Т АЗАМОУ, КАМ1Х КАЕАТОУ Ь|КЕЕКСЕВ1К 94 ^кагаИт. ^еНседе зоп зайгдак! Хз ЫПптеуетт 811епг, уат а?а£|<1.|к ПШ1П8! а11П2! Г1 0 0 10 2 3 -4 -10 0 -8 0 13,5 -2 6 л 8 -14 1 6 -9 4,5у Г1 0 0 0 2 -4 0 0 3 -10 -8 0 - -2 8 1 117 16 6 л -14 6 117 8 > Вигадак! зоп та1пзе а§а§1с1ак1 8181ет каг§1 §е11уог: х, + 2х2 + Зх3 - 2х4 - 6, - 4х2 -10х3 + 8х4 =-14, " - 8х3 + х4 - 4, 117 117 ------х4 =----. I 16 8 Нигаёа Оаизз теМипип 1егз уопйпи иу§и1агзак Ьи з^зкепнп 4-йпс(1 '1епк1еттс1еп х4 =-2 у! айпх; 3-йпсй йепк1егтпс1еп 6 - х4 6 + 2 , Хз = ----- =----- = —1 -8 -8 I Ьи1игих; 2-пс1 йепИетйеп _ -14 + 10х3 -8х4 _ -14 + 10(-1)-8(-2) __ -----------------_---------------------_ 2 -4 -4 \1 а1|П2. Ыпс! йепк1етс1еп йе х/= 6 - 2х2-Зхз +2х4=6 - 2-2-3-(-1)+2(-2)=1 Ц|иг. Оетек уегПеп 8181ет1п ^бхйтй (1; 2; -1; -2) сНг. ОК^ЕК 2.: х, + 2х2 + Зх3 - х4 = 0, х, - х2 + х3 + 2х4 = 4, х, + 5х2 + 5 V, - 4х4 = -4, •• *- 8 г । 7, 7 г -6
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 95 ЧЫГАРУУ. Бул система үчүн 2 3-1 0> 1-1124 В = 1 55-4-4 Ч1 8 7 -7 6, матрицасы кеңейтилген матрица болот. 1-КАДАМ. Мында ац=1А) болгондуктан, 1-жолчону кезеги менен 2-, 3-, 4-жолчолордон кемитип, белгисизин жойобуз, б.а. <12 3-1 0 0 акыркы үч жолчодон 0^1 -3 3 -2 3 4 2 -3 -4 ^0 6 4 -6 6) 2-КАДАМ. Акыркы матрицада =—3^0 болгондуктан 2- 3 жолчону ------= (_1) санына көбөйтүп, алынган жолчону, 3- 3) 6 жолчодон кемитебиз, андан кийин 2-жолчону --------= (-2) санына ( 3) көбөйтүп, алынган жолчону 4-жолчодон кемитип, акыркы эки жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а. Д 2 0 -3 0 3 ч0 6 3 -2 2 4 1 3 -3 -6 0" 4 -4 6> <1 0 0 2 -3 0 0 3 -1 0 -2 3 4 0 0 0 0 0 14, <123-1 0^ 0-3-2 34 ^0 0 0 0 14,
АУ1Т А8А1ЧОУ, ЯАМ1х КЛГАТОҮ Ы1\ЕЕК СЕВШ 96 СОХ11М: $и 8181ет 19111 Л1 2 1 -1 1 5 11 8 3 -1 0" 1 2 4 5 -4 -4 7 -7 6, та1п81 §ет§1еШт1§ таСпзйг. 1.АВ1М.: Вигайа ац=1*0 о1с!и§ипс1ап 1-тс1 зайп 81га81у1а 2-та, .1 йпсй, 4-йпсй 8айг1агс1ап 91каппх. Вбу1есе зоп й? 81гас1ак1 х/ Ы1ттсус1н чПпгт? о1иг, уат Л1 2 0 -3 0 3 6 3 -1 0л -2 3 4 2 -3 -4 4 -6 6, у1 а11пх. 2. АВ1М: Ви зоп таМзТе = -3^0 о!с!и§ипс1ап 2-тс1 за1п । 3 (-3) = (-1) зау181 Ие (?аграп2 уе еИе есШеп зайп 3-йпсй зайгйап 91каппх. □ака 8опга 2-пс1 8айп = (“2) 8ау181 Пе <?аграп2 уе еШе есШеп зайп 4-йпсй зайгйап 91капп2. Вбу1есе зоп 1к1 зайгсЫа х2 ЫИптеуетт зйепг, уат (\ 2 0 -3 0 3 ч0 6 3 1 0> <1 2 -2 3 4 0 -3 2-3-4 00 4 -6 6; 1^0 0 3 -2 0 0 -1 0 л 3 4 0 0 0 14, (\ 2 3 -1 0 > 0-3-2 34 ^0 0 0 0 14,
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 97 Мында нөлдүк 3-жолчону алып салдык. Акыркы матрицага, төмөнкү система туура келет: х, + 2х2 + Зх3 — х4 = 0, < - Зх2 - 2х3 + Зх4 = 4, 0 = 14, б.а &32) =14^0. Демек теорема 1 боюнча (0=14 карама- каршылыгынан), берилген системанын биримдүү эместиги келип чыгат. 3-МИСАЛ. ( х{ 4- 2х2 — х3 = 7, 2х\ -3 х2+ х3 =3, 4х} + х2 - х3 = 17 системасын Гаусстун методу менен чыгаргыла. ЧЫГАРУУ: Бул система үчүн Г1 2 -1 7^1 В= 2 -3 1 4 4 1 17> матрицасы кеңейтилген матрица болот. 1-КАДАМ. Мында ац=1?Ю болгондуктан, кезеги менен экиге көбөйтүлгөн 1-жолчону 2-жолчодон кемитип жана төрткө көбөйтүлгөн 1-жолчону 3-жолчодон кемитип, акыркы эки жолчодон Х1 белгисизин жойобуз, б.а Г1 2 -1 7> В~ 0 -7 3 -11 1° -7 3 -11} (—7) 2-КАДАМ. Акыркы матрицада = -7^0 жана -—- = (1) (-7) болгондуктан, 2-жолчону 3-жолчодон кемит^п х2 белгисизин жойобуз (мында х} белгисизи да жоюлат) б.а.
АУ1Т А8А1ЧОУ, ПАМ1Х КАГАТОУ Ы^ЕЕП СЕВ1К 98 1Н1||ПК1П1 Ьи1игиг. Вигада 3-ипсй зайг, уаш 81Нг зайг 81Нпт1§йг. Ви «011 тагпзе а§а£к!ак1 8181ет каг§1 §еНуог: х, + 2х2 + Зх3 - х4 - 0, - Зх2 - 2х3 + Зх4 = 4, 0 = 14, уит />‘2) = 14 0 (11г. Оетек Теогет 1т §еге§тсе уеуа 0 - 14 ^сН^тезтйеп 818Гетт Ы? Ыг ?бгйтй о1та<11§1 ог1ауа ?1к1уог. 0В1ЧЕК 3.: х, + 2х2 - х3 =7, < 2х, - 3 х2 + х3 = 3, 4Х| + х2 - х3 = 17 । 1стпН Саизз те1ойи уагдтмук убгйпйг. £О2ЁМ: Ви 818(ет фп Г1 2 -1 7> В= 2 -3 1 4 Н 1 -1 п; та(П81 §егп§1еШт1§ тайазНг. 1. АВ1М: Вигас1а аи=1*0 о1с!и§ипс1ап 1-тс1 зайп 2 Пе ^аграпх уе е1де ссШеп заип 2-тс1 зайгдап 91каппх уе 1-тс1 8айп 4 Ле ^аграпх үе еМе ес!Пеп ВаИп 3-йпсй зайгйап 91каппх. Зопи^йа зоп 1к1 зайпЗап X/ ЫНптеуетт 811епх, уат '\ 2 -1 7> В~ 0 -7 3 -11 к0 -7 3 -11, та1п81 еИе есПНг. 2.АВ1М: Ви зоп таТпз^е <з22 =-7^0 (-7) уе-----= 1 оМийипбап (-7) ’ тс1 зайп 3-йпсй зайгбап ?1кагагак х2 ЫНптеуетт 811епг (Вигаба аут ' нпапйа х2 ЫНптеуетт бе вШтг), уат
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 99 2 -1 В~ 0 -7 3 к0 -7 3 7^ Г1 2 -1 -11 -0-73 -п; (^о о о 7^1 2 -1 7' -7 3 -11, Мында нөлдүк 3-жолчону алып салдык. Акыркы матрицага төмөнкү система туура келет: х, + 2х> - х3 =7, - 7х2 + Зх3 =-11. (16) Акыркы система баскычтуу система, мында г = 2 < 3 = п. Демек, Хз - эркин өзгөрмө болот жана (16) системанын экинчи теңдемесинен х2 белгисизин аныктайбыз, андан кийин (16) системанын 1-теңдемесинин х; белгисизин аныктайбыз: Жообу: < 1 27 х, = —х.Н---, 7 3 7 3 11 х, = —х, 4---, ‘ 7 3 7 х3 - каалаган сан.
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАРАТОҮ Ы^ЕЕК СЕВ1К 2 -1 -7 3 -7 3 2 -1 -7 3 0 0 Л1 2-1 ч0 -7 3 11)||1п81П1 Ьи1игих. Випа каг§111к §е1еп 8181ет йе а$а§к!ак1 §1ЫсПг: х, + 2х, - х-, = 7, < (16) -7х,+Зх3 =-11. Боп 8181ет тегШуап 8181егтсНг, уе г = 2 < 3 = п сИг. Оетек х2 кеуЬ г^кепсПг уе (16) 8181еттт 2-тс1 депккттдеп х2 ЫИптеуетт Ьи1иги/ ||».18опга (16) 8181етт 1-тс1 с!епк1еттс1епX/ ЫПптеуетт ЬеНгНпг: Ь ишг. 8181етт ^охйтй, уат сеүаЫ §ис!иг: 1 27 —— <1а Хз кеуЛ зауккг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 101 2.4. БЕЛГИСИЗДЕРИ п БОЛГОН т СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ Эми биз (1) системаны жалпы учурда изилдейбиз. Ал үчүн төмөнкү белгилөөлөрдү кийирели: а]] а}2.., • «1« а]] аХ2... а,„ Ъ А= а2] а22.. • «2„ , в = а2] а22 .. а2п ‘ \ат] °т2- •• атп ) \ат] ат2 ’ ” атп ьт> мында матрица В - (1) системанын кеңейтилген матрицасы деп аталат. Берилген (1) системанын чыгарылышка ээ болушу жөнүндөгү суроого төмөнкү теорема жооп берет: КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИНИН ТЕОРЕМАСЫ. Берилген (1) система биримдүү система болот качан гана бул системанын А матрицасынын рангы кеңейтилген В матрицанын рангына барабар болсо, б.а. г (А) = г (В) болсо. Биримдүү система үчүн төмөнкү теоремалар туура болот: ТЕОРЕМА 3. Эгерде (1) система биримдүү система болсо жана г(А) = п болсо, анда (1) система жалгыз гана чыгарылышка ээ болот. ТЕОРЕМА 4. Эгерде (1) система биримдүү система жана г(А)< п болсо. анда (1) система чексиз чыгаоылышка ээ болот. Эми г = г(А)< п жана г(А) = г(Аг) болсун. Мында Яц а]2... й]г а21 ... а2г Анда х/, х2х г белгисиздери негизги же базистик өзгөрмөлөр деп аталат. Ал эми хг+х„ белгисиздери негиз^ эмес же эркин өзгөрмөлөр деп аталат.
АУ1Т АХАМОУ, ПАМ1/, КАЕАТОҮ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К 102 2.4. п В11Л1\МЕҮЕМЛ т ЫМЕЕК СЕВЁ18ЕЕ ОЕ1ЧКЕЕМ 818ТЕМ1 $ппсН Ых (1) 8181еш1 §епе1 ИаИе тсе1еуесе§12. Ви пес1еп1е а§аёк1ак! 1Ьо11ег! §бх бпйпе а1а!1т: ВигасЫа В та^пзте 8181етт §еш81еП1гт§ та1п81 йетг. УегПеп (1) 8181егтп ^бхйт 8аЫЫ о1та81 зогизипи а§а§1Пак1 (еогст уат11аг: ККО^ЕСКЕК-КАРЕЫД ТЕОКЕМ1: УегПеп (1) 8181егтпт 9б2й1еЬПеп 8181ет о1та81 фп §егек уе уе1ег §аг1 Ьи 8181етт А пШгЫ Капктт §еш$1еП1гт§ В та1п81 Капкта е§й о1та81Ыг, уаш г (А) = г (В) сНг. ^бхШеЬПеп 8181ет фп а§а§1Пак11еогет1ег 8а§1ашг1аг: ТЕОВ.ЕМ 3: Е§ег (1) 8181егш ^бхШеЬПеп 18е уе г (А) = п 18е (1) 8181егт уа1ш2 Ыг 1ек ^бхйте 8аЫрПг. ТЕОК.ЕМ 4: Е§ег (1) 8181егт 9бхй1еЫ1еп 18е уе г (А) < п 18е (1) 8181егт мтзиг 8аук1а ^бгйгЫеге 8аЫрНг. §1тсП г = г (А) < п үе г (А) = г (А ,) о18ип. Вигас1а ^11 ^12 аь а। с/••• ^2г кНг. О хатап х;, х2 ,..., х,. Ы1ттеуеп1еппе езаз уеуа Ьаг <1е§1§кеп1ег <.1епи V,, х„ ЫПптеуеЫегте 18е езаз о1тауап үеуа кеуГ1 <1е§1§кеп1ег детг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 103 Бардык эркин өзгөрмөлөр нөлгө барабар болгондогу (1) системанын чыгарылышы (1) системанын базистик чыгарылышы деп аталат. Берилген (1) системанын бардык базистик чыгарылыштарынын саны , _ н(н-1)...(н-(г-1)) _ п\ п г! г!(н-г)! санынан ашпайт. 1-МИСАЛ. Төмөнкү 2х, - х, + х3 - х4 = 5 < х, + 2х2 - 2х3 + Зх4 = -6, (17) Зх, + х2 - х3 + 2х4 = -1 системанын биримдүү же биримдүү эмес экендигин аныктагыла. ЧЫГАРУУ. Мында А = (2 -1 1 -Р 12-23 <3 1 -1 2, н и л2 1 <з -1 1 -1 5Л 2-2 3-6 1-1 2 -1 , Элементардык өзгөртүүлөрдүн матрицанын рангын эсептейли: жардамы менен кеңейтилген В В~ 2 2-2 3 -6^1 <1 2 -2 -1 1-1 5-0-5 5 1-1 2 -1) 1^0 - 5 5 3 -7 -7 6" 17 17, <1 2 -2 3 6Л 0-5 5-7 17 ^О 0 0 0 0, Л1 2 -2 3 6Л ,0 -5 5 -7 17, г (В) = 2 жана А ~ 2-2 3
АУ1Т А8А1ЧОУ, НАМ|Х НАГАТОУ Ь11ЧЕЕНСЕВ1к 104 Тйт кеуй с!е§1§кеп1ег 81Пга е§К ос!и§и Ьа1с1е (1) ыйетт ^огйтйпс Ьи ( I) н1ь1етт Ьаж ^бхйтй йетг. Уегйеп (1) 8181етт Шт Ьах ^бхшШептп зау181 _ п(п - 1)...(я - (г -1)) _ п\ г\ г\(п-г)\ чи Ү181пс1ап Ьйуйк о1атах. бК1ЧЕК 1 А§а§к1ак1 2Х' - х2 + х3 - х4 =5 < х} + 2х2 - 2х3 + Зх4 = -6, (17) Зх{ + х2 — х3 + 2х4 = -1 чиЛетт ^бхШеЬПеп 8181ет уеуа ^бгШтех 8181ет о1с1и§ипи тсе1еут1г. СОХйМ: Вигайа -1 1 -Р| <2 -1 1 2 -2 3 , В= 1 2-2 1-12) (з 1 -1 -1 5" 3 -6 2 + с!|г. Е1етап1ег допи§йт1епп уагс11т1у1а §ет§1еН1т18 В та^пзтт К.апкш1 1)С8ар1ауа11т. Г1 2 -2 В~ 2 -1 1 ч3 1 -1 3 -6> <12-2 3 -15-0-5 5-7 2-1) (о -5 5 -7 6 л 17 ^1 2 -2 3 6Л 0-5 5-7 17 к0 0 0 0 07 Л1 2 -2 3 6> к0 -5 5 -7 п) сНг. г(В) = 2 үе А - Г1 2 -2 -5 5 3 л
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 105 Мындан г(А) =2 = г(В) болот демек, Кронекера-Капеллинин тео- ремасы боюнча берилген системанын биримдүү экендиги келип чыгат. 2-МИСАЛ. Жогорудагы 1-мисалдагы (17) системанын бардык базистик чыгарылыштарын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Берилген (17) сгстеманын матрицасынын рангы экиге барабар. Демек, (17) системанын бир теңдемесин алып салсак болот. Мисалы, 3-теңдемесин алып салсак болот. Негизги өзгөрмөлөрдүн группасынын жалпы саны С,; = С) = (;)= — = « санынан ашпайт. Ошонд^ктан, негизги өзгөрмөлөрдүн группалары төмөнкүдөй жолдор менен түзүлүшү мүмкүн: хь х2 х^ ,х3; X/ ,х4; х2, х3; х2 ,х4; х3 ,х4. Берилген системанын 1-жана 2-теңдемесиндеги менен х2 нин коэффициенттеринен түзүлгөн матрицанын аныктагычы 2 -1 1 2 = 5*0 болгондуктан, х7 менен х2 өзгөрмөлөрү негизги өзгөрмөлөр болот. Ушундай эле жол менен х7 ,х3; X/ ,х4; х2 ,х4; х3 ,х4 өзгөрмөлөрү негизги өзгөрмөлөр болорун көргөзө алабыз. Ал эми х2, х3 өзгөрмөлөрү негизги өзгөрмөлөр болбойт, себеби, х2 менен х3 өзгөрмөлөрүнүн коэффициенттеринен түзүлгөн матрицанын аныктагычы Эми х/, х2 өзгөрмөлөрүн негизги өзгөрмөлөр деп алып, системанын 1-базистпк чыгарылышын табалы. Ал үчүн эркин өзгөрмөлөрдү нөлгө барабарлап, б.а. х3 = х4 = 0 деп, (17) системаны чыгарабыз: 2Х] -х2 = 5, = 4/5, х^ + 2х2 =-6 [х2 =-17^5
АУ1Т АХАЫОУ, НАМ|Я КАЕАТОУ 1.1М<ЕКС1 В1К 106 Вигайап г (А) = 2 = г (В) ‘ у! а11пх. Оетек Кгопескег-КареШ (еоп-пи £сге§тсе уегПеп 8181етт ^бгШеЬПеп о1<1и§и оНауа <?1каг. ОК^ЕК 2.: Үикапба Огпек Г <1ек1 (17) 8181еттт Ьах 9бгйт1с1111111 (йтйпй Ьи1ипих. СОХОМ: УегПеп (17) 8181еттт та^пзтт К.апк1 1к1уе е§кНг. Оетск (17) 8181ет1П1п Пепк1ет1еппт Ыпт зПтек о1иг. Оте§т 3-йпсй депк1епн нПтек о11г. Езаз с!е§1$кеп1епп §гиЬипип §епе! зауш С. =(',') = й=^| = 6 8ау181пс1ап Ьйуйк о1атаг. Ви пебеЫе езаз (1е§1§кеп1епп §гир1ап а?а§и1ак1 убЫеггПег Пе е!<1е есШеЫПг: X/, х2 х, ,х3; X/ ,х4; х2 ,х3; х2 ,х4; х3 ,х4. УегПеп 8181етт 1-тс1 уе 2-тс1 <1епк1еттс1ек1 х/ уе х2 ‘ пт ка18ауПаппдап о!и$ап та1п$т беЫгттапи 2 -1 1 2 = 5*0 о1(1и§ип(1ап х, че х2 Пе§1§кеп1еп езаз (1е§1§кеп1егШг. Вепхег §екП(1е X/ ,х3 ; X/ ,х4 ; х2 ,х4 ; х3 ,х4 <Ле§1§кеп1ег1 езаз Пе§1§кеп1ег о1аса£т1 §б8(егеЫНп2. х2 ,х3 (1е§1§кеп1еп 18е езаз Пе§1§кеп1ег Пе§П(Пг1ег, ^йпкй х2 ус г( (1е§1§кеп1еппт каЫауПаппбап о11§ап таТпзт (1е1егттап11 -1 2 1 -2 = 0 (||Г. $1т(П X/, х2 (1е§1§кеп1епт езаз Пе§1§кеп1ег о!так зйгейук 818(ст1п Ыппс! Ьах ^бхйтйпй Ьи1аса§их. §и пеПеЫе кеуГ1 Пе§1?кеп1еп 81Пга с>П1еуегек, уат х3 = х4 = 0 П1уе (17) 8181епм <?бхесе§12: 2%] - х2 =5, + 2х2 = —6 X, =4/5, < х2 =-17/5
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 107 Демек, 15 17 —;0;0 И 5 - системанын 1-базистик чыгарылыш болот. Ал эми Х1, х3 өзгөрмөлөрүн негизги өзгөрмө деп алып жана х2 - х4 = 0 деп алып, (17) системанын 2-базистик чыгарылышы <4 17 "1 I — ;0; —;0 I болорун аныктайбыз. Ушундай эле жол менен калган төмөнкү үч базистик чыгарылыштарын табабыз: ( а 17> -; 0; 0;-; (0;-9;0;4); (0;0;9;4). <7 7 ) Жалпы учурда (1) системанын биримдүүлүгүн изилдебей эле, ал системаны чыгаруу үчүн Гаусстун методун колдонгон ыңгайлуу болот. 3-МИСАЛ. Жогорудагы (17) системанын чыгарылышын Гаусстун методу менен чыгаргыла. ЧЫГАРУУ. Берилген (17) системанын кеңейтилген матрицасынын 1-жана 2-жолчолорунун ордун алмаштырып, Гаусстун методун колдонолу: '12-2 3 2-1 1-1 ч3 1 -1 2 -6^1 <12-2 3 5-0-5 5-7 -1) [о -5 5 -7 -6Л 17 17, '12-2 3 0-5 5-7 ч0 0 0 0 '12-2 3 .0 -5 5 -7 -6" 17, Мындан төмөнкү системаны алабыз: х, + 2х2 - 2х3 + Зх4 = -6, -5х2 + 5х3 -7х4 = 17. Акыркы системада, X/ менен х2 ни негизги өзгөрмө, ал эми х3 менен х4 тү эркин өзгөрмө катарында карап төмөнкүнү алабыз. 4
АУ1Т А8АЫОУ, ВАМ1г КАГАТОУ 1Л1МЕЕВ СЕВ1К 108 0;0 - ббПЗйзй 8181етш 1-тс1 Ьах ^бгйтйбйг. X/, ' §аё1апап ЬаШе (17) 8181ет1пт 2чпс1 Ьах ^бхйтй П V 5 17 1)етек —;----- (4 5 11её1$кеп1епт езаз <1е§1§кеп1еп каЬи! ейегзек уе х3 - х4 = 0 с$И11к1г1 < (4 17 -;0; —;() >ек|1<1. 15 5 Р о1аса§1ш §081еппх. Вепгег §екП<1е ка1ап й? Ьаг 9б/йт1еп Ьи1игиг: 0 17 1 у;0;0;-у I; (0;-9;0;4); (0;0;9;4). Оепе! Ьа1бе (1) 8181етт ^бгШеЬПеп о1та8Ш1 тсе1ете(1еп 0 818(ет1 0хтек 19111 Оаизз теТойипи иу§и1атак баЬа иу§ип о1аЫПг. ОЮ4ЕК 3.: Үикапбак! (17) 8181егтп ^бгйтйпй Оаизз теЮйи уагсЬт1у1а ЫЯипиг. СОХйМ: УегПеп (17) 8181етт §ет$1еН1гт§ таЗпзтт 1-тс1 уе 2-тс1 8аиг1аптп уеНепт с1е§1§1лгегек Саизз теюбипи иу§и1ауа1ип: Л1 2 -2 3 2-1 1-1 ч3 1 -1 2 6> (12-2 3 5-0-5 5-7 -\) (о -5 5 -7 6 17 Л1 2 -2 3 0-5 5-7 17 ч0 0 0 0 0, "1 2-2 3 -6Л к0 -5 5 -7 17, Вигабап а§а§и1ак1 818(.егт аЬпг: х, + 2х2 - 2х3 + Зх4 = —6, -5х2 + 5х3-7х4 = 17. 8оп 818(ет<1е X/ уе х2 у! езаз <3е§1§кеп х3 уе х4 1зе кеуй де§1§кеп1ег<Яг (Ь>( каЬи! ебегзек а?а§к!ак1 818(егт аЬпх:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 109 х, + 2х2 = -6 + 2х3 - Зх4, -5х2 =17-5х3 +7х4 Эми х3, х4 эркин өзгөрмөлөрүнө каалаган маани берип, акыркы формуладан (17) системанын чексиз чыгарылыштарын табабыз: 4 1 “ 5 5*4 17 7 =------Ь х, — х3 менен х4 -каалаган сандар. 2.5. БИР ТЕКТҮҮ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ. ЧЫГАРЫЛЫШТАРДЫН ФУНДАМЕНТАЛДУУ СИСТЕМАСЫ Белгисиздери п болгон т сызыктуу теңдемелердин системасы (1) бир тектүү система деп аталат, эгерде ал системанын бардык бош мүчөлөрү нөлгө барабар болсо, б.а. Ъ1=Ь2 =- = Ьт = 0 болсо. Мындай бир тектүү система төмөнкүдөй жазылат: ^цХ, +а12х2 + ... + й,„х„ =0, а2|х, + а22х, + ... + а2нх„ =0, + ат2Х2 + " + = (18) Бул (18) система ар дайым биримдүү система^болот, себеби жок дегенде (0; 0; ... 0) - нөлдүк (тривиалдык) чыгарылышка ээ.
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ|Х КАЕАТОУ цо Ы^ЕЕКСЕВ1К X] + 2х2 = -6 + 2х3 - Зх4, -5х, =17-5х3 +7х4 х3 ,х4 кеуй с!е§1?кеп1еппе кеуП де§ег уегегек зоп ГогтйШеп (17) шСстт 8ОП8112 9бхйт1епт ЬШигих: 4 1 Х' = 5~5*4 17 7 х, =-----Ь X,--X . 5 3 5 Вигадахз уе х4 кеуй зауйагсНг. 2.5. НОМОСЕ^ Ы^ЕЕК СЕВ1К8ЕЕ ВЕ1ЧКЬЕМ 818ТЕМ1. ВАХ СОХЁМЬЕШ^ СЁМЕЕ81 ВПттеуегйеп п Нпеег с1епк1ет1еппт зау181 т о1ап (1) 818{етте 1юто§еп 8181ет детг, е§ег о 8181етт заЫИептп Ьег Ып 81йг 18е, уаш /)/ = Ъ2 =...= Ьт = 0 18е. Вбу1е Ыг Ьото§еп 818(ет а§а§1с1ак1 §1Ы уахШуог: «цХ, +а12х2 +... + а,пхп =0, «21х, +а22х2 + ... + <72„хи =0, .V, +ат2х2 +- + атЛ =0- 1(18) Ви (18) 8181еггн да!та ^бхШеЬПеп 8181етсНг, ^йпки Ьи 8181ет еп ах Ыг (0,0 ,..., 0) - 81Г1Г (а?1каг) ^бгйт заЫЫсНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 111 ТЕОРЕМА 1. Бир тектүү (18) система нөлдүк эмес чыгары- лышка ээ болот качан гана г = г(А) < п болсо. Мында \.ат1 ат2 •••атп / НАТЫЙЖА. Бир тектүү (18) система жалгыз гана нөлдүк чыгарылышка ээ болот, качан гана г(А) = п болсо. Бир тектүү сызыктуу теңдемелердин системасынын чыгарылыштары төмөнкү касиеттерге ээ: 1°. Эгерде е = ( к, , к2 кп ) жолчо-вектору (18) бир тектүү системанын чыгарылышы болсо, анда ар кандай АеК. саны үчүн Хе = ( Лк^, Ак 2, ..., Лк„) жолчосу да (18) системанын чыгарылышы болот. 2°. Эгерде е; = ( к: , к2 ,..., к„ ) жана е2 = ( Ц , 12 , , 1„ ) жолчолору(18) системанын чыгарылыштары болсо, анда ар кандай с/, с2 еК сандары үчүн жогорудагы эки жолчо-вектордун сызыктуу комбинациясы + с2е2 = с2(, с,к2 + с212,..., С/к„ + с21„) да (18) системанын чыгарылышы болот. АНЫКТАМА. Бир тектүү (18) системанын сызыктуу көз каранды эмес <?/ ,е2 ,..., ек чыгарылыштарынын системасы фундаменталдуу системасы деп аталат, эгерде (18) системанын ар бир чыгарылышы е/ ,е2 ,..., ек чыгарылыштарынын сызыктуу комбинациясы болсо. ТЕОРЕМА 2. Эгерде (18) система үчүн г= г(А)< п болсо, анда (18) системанын ар кандай фундаменталдуу сисгемасы п-г чыгарылыштан турат. Ошондуктан, бул учурда бир тектүү (18) системанын жалпы чыгарылышы төмөнкү формула менен аныкталат: X — С/в/4"С2в2~Ь... Мында к= п-г, в/ ,е2,..., ек (18) системанын ар кандай фундаменталдуу системасы с^, С2,..., ск - каалаган сандар. ТЕОРЕМА 3. Бир тектүү эмес (1) системанын жалпы чыгарылышы, бир тектүү (18) системанын жалпь^чыгарылышы менен (1) системанын каалаган айрым чыгарылышынын, суммасына барабар.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 КАГАТОУ ^ЕЕК СЕВ1К 112 ТЕОКЕМ 1.: Ното§еп (18) 8181егт 81йг(1ап Гагкй ^бгйт заЫЫ о1таз119111 §егек уе уе(ег §аН опип Капктт г = г (А) < п окпазкйг. Вигаба А = °11 °12 ••• °1и °21 а22 •" а2п ат2 '"атп > сНг. 8ОМСС: Ното§еп (18) 8181етт уа1п12 Ыг 1ек 81йг ^бгйте заЫр о1таз| 19111 §егек үе уе!ег §аг! г (А) = п сНг. Ното§еп Ипеег бепк1ет 8181етт 9б2йт1еп а$а§14ак1 бгеШЫеге заЫрНг: Г Е§ег е = (к^ , к2, , к„) зайг- уек1бгй (18) Ьото§еп 8181етт ^бгйтй 1зе, о ЬаШе Ьег ке К зауш 191П Ле = (Лк] ,Лк 2, —, Лк„) зайп ба (18) 818(етт фб/йтйбйг. 2°. Е§ег ё] = (к], к2,..., к„) уе е2 = (//, 12, —, 1„) заНг1ап (18) 8181епйп 9бгйт1еп 1зе, о гатап Ьег с, , с2 еК заЬЬ зауПап 19111 уикапбаЫ 1к1 зайг- уек!бг1епп Ипеег котЫпегопи С/в/+с2в2 = (С]к]+с21], С]к2+с212,..., С]к„+с21„) ба(18) 8181ет1п 902йтйбйг. ТАММ: Ното§еп (18) 8181етт Нпеег Ьа§1тз12 в/ ,е2 ,..., ек 9б2йт1еппт сйт1езте Ьаг сит!е бетг, е§ег (18) 8181еттт Ьег Ыг 9бгйтй е/ ,е2,..., ек 9б2йт1епшп Нпеег котЫпегопи 1зе. ТЕОКЕМ 2.: Е§ег (18) 8181епп 19111 г = г (А) < п 18е, о гатап (18) 8181етт Ьег Ьаг сйт1е81 п-г ^бгйтбеп о1и§иг. Ви пейеп1е ?и ЬаМе Ьото§еп (18) 8181етт §епе1 ^бгйтй а?а§к1ак1 ГогтйШп уагсЬт1у1а 1атт1ап1уог: х = С]е]+с2е2+...+скек. Вигаба к = п-г <Нг. е7, е2,... ек 18е (18) $1$<еттт Ьег Ьап§1 Ыг Ьаг сйт1е81(Нг, с^ , с2, ..., ск - кеуй заЫНегскг. ТЕОКЕМ 3.: Ното§еп окпауап (1) 8181етт §епе1 ^бгйтй Ьото§еп (18) 8181етт §епе! ^бгйтй Пе (1) 8181етт Ьег Ьап§1 Ыг к18гт ^бгйтйпйп 1ор1атп1а е§1Шг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗРАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 113 1-МИСАЛ. Берилген матрицалары үчүн а) АХ=В; б) ХА^С теңдемесин чыгаргьца. ЧЫГАРУУ.беМ = = 3 • 1 - 2 • 1 = 1 Ф 0 болгоцдуктан, берилген А матрицанын тескери матрицасы А’1 табылат зкана А~' = ( 1 1-1 -2Л а) АХ=В теңдеменин эки тарабын тең сол жактан А’1 мцтрицасына көбөйтүп жана А'1 А=Е? бирдик матрица экендигин эске адсак, анда (1 -2> <1 2 7 л С1 3) 1.0 4 8 , <1 -6 -9 л .-1 10 17, б) ХА=С теңдеменин эки тарабын тең оң жактан А'1 матрицасына көбөйтүп жана А А~' =Е? экендигин эске алсак, анда болот.
АУ1Т А8АГООУ, КАМ1х КАГАТОУ Ы1ЧЕЕК СЕВ1К 114 бК^ЕК1 Үеп1еп <4 7 Л <3 2Л Л1 2 7 Л 0 1 1) 1^0 4 8) 2 3 <3 4, та(п81еп 19111 а) АХ = В ; Ь) ХА = С 11епк1ет1епп1 90261162. СО2ЁМ: 3 1 2 1 (1е1А = =31-21=1*0 оЫиципбап үегПеп А такйзтт 1егз та1пз1 А'1 Ьи1ипиг үе А'1 -2^ 3) 01иг. а) АХ = В Йепккгптт Ьег 1к1’ (агайш ба зо1 (агайап А'1 та1пз1 Пе ^аграгзак уе А 1 А=Е2 - Ыпт та(т181 оШи§ипи §62 бпйпе акгзак, о гатап Х = А'В = 1-1 01иг. -2У 3> 1 2 7 л 0 4 8у Л1 -6 -9 л С1 10 17, Ь) ХА=С 0епк1етт Ьег 1к11агаЕ1т ба за§ 1агайап А’1 тайгзмк ^аграгзак уе АА‘|=Е3 )1<1и§ипи §б2бпйпе аЬгзак, о гатап <-к!е есННг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 115 2-МИСАЛ. (4 3 Кб X теңдемени чыгаргыла. ЧЫГАРУУ. Г 4 4 о белгилөөлөрүн жазабыз. кийирип, берилген теңдемени АХВ=С түрүндө Г 4 (1е1А = 1^1 =4~з=I*0 жана 1 &&.В = 8^ Гб = 6-16 = -10 * 0 2 1 болгондуктан, А’1 жана В'1 тескери матрицалары табылат жана А'' = 1 -1 В'1 _1_ Г 1 10Д2 -8" 6, болот. Эми АХВ=С теңдемени сол жагынан А'1 матрицасына көбөйтүп, ал эми оң жагынан В’1 матрицасына көбөйтүп төмөнкүнү алабыз: , , Г 1 Х = АСВ‘ = -ЗУ 5 4^ 4Д-2 о; 1 ( 1 10 [-2 -8 6 _1_ Г 11 ю[-13 -8 6 —Г3 юГ-5 -64^ 80^ 6.4Л -8.0/ 3-МИСАЛ. Эки фирмадан эки жогорку окуу жайына компьютерлер жеткирилет. Биринчи жогорку ок$у жайына 200
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ(Х КАЕАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1К 116 6К1ЧЕК2.: % .2 " 5 .-2 11спк1ет1П1 ^бгйпйг. СйхОМ: ( 4 А= ПШ1п51еп уагйшиук үегПеп с1епк1епй |екПпс1е уахапг. 8^1 5 -2 АхВ = С 4 1 1 х 8^ 0 1 , в = % С = 0 = =4-3=1^0 де(5 = 8> = 6-16 = -10*0 о1с1и§ипс1ап А’1 үе В’1 1ег§ тайг51еп Ьи1ипиг үе 1 3'| В'-- 1 ! 1 '8 -1 4/ 10^-2 6 о!иг. §1тс11 А х В = С <1епк1етт1 зо1 игайап А'1 та1пз1 Пе за§ Шгайап 1§е 1Г1 та1п81 Ие ?аграг8ак а§а§и1ак11£ас1е1еп а1шх: Х = А~'СВ~' =| 1 -3V 5 4 Н-2 —Г 1 "81 юГ-2 6} —Г11 10^-13 4¥ 1 -4Д-2 -8А 6 I 4 0 —Г3 101-5 ’64>|_Г"0-3 6-4 80 ГI 0.5 -8.0 ОК1ХЕК 3: Нег Ьап§1 1к1 Гигпа 1к1 уйкзек оки1а Ы1§18ауаг 1а§1так1ас1п. В1ппс1 уйкзек оки1а 2001апе
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 117 компьютер, ал эми экинчисине 300 компьютер керек. Биринчи фирма 350 компьютер, ал эми экинчиси 150 компьютер чыгарды. Бир компьютерди ар бир фирмадан ар бир жогорку окуу жайына жеткирүү үчүн жол киренин акчасы төмөнкү таблица менен берилген: Фирма Бир компьютерди жеткирүүдөгү жол киренин наркы (акча бирдиги) 1-окуу жайы 2-окуу жайы 1 15 20 2 8 25 Бардык компьютерлерди жеткирүү үчүн минималдык сарптоо 7950 акча бирдиги. Компьютерлерди жеткирүүнүн оптималдуу планын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Биз / - фирмадан / - жогорку окуу жайына жеткирилген компьютердин санын ху менен белгилеп (I, / =1, 2), берилген шарттардын негизинде төмөнкү системаны алабыз: х,1 + х12 = 350 х21 + х22 = 150 < Хц +х2| = 200 х12 + х22 = 300 15х,, + 20х12 + 8х2|. + 25х2, = 7950 Бул системаны Гаусстун методу менен чыгаралы: (\ 1 0 0 350 р 1 0 0 350 0 0 1 1 150 0 0 1 1 150 1 0 1 0 200 — 0 -1 1 0 -150 0 1 0 1 300 0 1 0 1 300 ь 20 8 25 7950? <0 5 8 25 2700?
АУ1Т А8АМОҮ, КАМ1/ КАГАТОУ | | X Ы1ЧЕЕКСЕВ1К Ы1ц1М1уаг 1к1пс181пе с!е 300 Ы1§18ауаг §егек1г. Вшпс1 Пгта 350 1апе ЬПцша).>> |к|пс1х11зе 1501апе 1>|||’.1.чауаг игеитп^Нг. Вп- адеГ Ы1§18ауап Ьег Ыг Нгтабап Ьег Ыг уйк.чек окиЬ । г. ппак 191П §егекеп уо1 рагаз! а§а§1бак1 ТаЫода уеп1гтн?11г: 1 1гта В1г ВП§18ауап 1а§1так 19111 §егекеп уо1 к1гс81 (рага Ыпгт) 1 -тс1 оки! 2-1ПС1 оки! 15 20 2 8 25 Тйт Ы1§18ауаг1ап 1а§1так 19111 §егекеп гтттит Ьагсата 7950 рам |'и птЫг. Ви Ы1§18ауаг1ап 1а§ипак 19111 орПта! р1ап1атау1 <1й2еп1су!тг. £ОХ0М: 1-1ПС1 ЛгтаПап ]-1пс1 оки1а 1а§тап Ы1§18ауаг1апп 8ау181т х„ 1 к- •>> ,1егеНт. ^еПседе а§а§1с!ак1 8181егт аЬпх: хн + х12 = 350 х2| + х22 = 150 < хн + х21 = 200 Х|2 + х22 = 300 15х,, + 20х12 + 8х21- + 25х22 = 7950 Ви 818(егт Саизз теГоди уагсЬппу1а сб/еНт: Г1 1 0 0 350 Г1 1 0 0 350 " 0 0 1 1 150 0 0 1 1 150 1 0 1 0 200 0 -1 1 0 -150 0 1 0 1 300 0 1 0 1 • 300 <15 20 8 25 7950, <0 5 8 25 2700.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 119 1 1 0 0 350 а 1 0 0 350 л 0 1 0 1 300 0 1 0 1 300 0 -1 1 0 -150 0 0 1 1 150 0 0 1 1 150 0 0 1 1 150 0 5 8 25 2700? <0 0 8 20 1200? Г1 1 0 0 350^ Хц + х12 = 350 0 1 0 1 300 < *12 -^22 = 300 0 0 1 1 150 Х2| %22 = 150 0 0 12 о; [12; ^22 ~ 0 Акыркы системаны чыгарып, төмөнкүнү алабыз: Х22 =0, Х2[=150, X12 =300, Хц =50. Демек, компьютерлерди жеткирүүнүн оптималдуу планы төмөнкүдөй болот: Хц =50, х/2 =300, х21 =150, х22 =0. 2.6. КӨНҮГҮҮЛӨР Төмөнкү теңдемелер системасын Крамердин эрежеси жана тескери матрица методу менен чыгаргыла: Зх - 5у = 13, [2х + 7_у = 81. 2. Зх, + 2х2 + 2х3 = 1 X] + Зх2 + х3 =0, 5х, + Зх2 + 4х3 = 1 3. Г3х-4у = 1, [Зх + 4у = 18. 1х-3у + 5г = 32, х + у -2 = 36, 4. < 5х + 2у + 2 = 11, 5. 2х- у + 3г = 14. Х + 2-у = 13, у + 2~Х = 7. х + 1у + г = 4, 6. < Зх — 5у + Зг = 1, 2х + 7у-д = 8.
АУ1Т А8АЫОУ, КАМ1Х КАГАТОУ Ь11ЧЕЕКСЕВ|К 120 '1 1 0 0 350 "1 1 0 0 350л 0 1 0 1 300 0 1 0 1 300 0 1 1 0 -150 0 0 1 1 150 0 011 150 0 0 1 1 150 .0 5 8 25 2700, <0 0 8 20 1200, ^1 1 0 0 350^ хИ + х12 = 350 0 10 1 300 х12 + х22 = 300 0 0 11 150 х21 + х22 = 150 ^О 0 0 12 1 12х22 = 0 |1и зоп 8181ет1 фбгегзек, а§а§к1ак11ег Ьи1ипиг: Х22 -0, Х21 = 150; Х12 = 300; Хц = 50. Оетек Ы1§18ауаг1ап 1а§1татп орОта! р1ат а§а§1дак1 §1ЫсИг: Хц = 50; Х)2 = 300; Х21 = 150; Х22 =0. 2.6. АЫ$Т1КМАЬАК А§а§1с1ак1 депк1ет 8181ет1епт Сгатег Кига11 уе Тегз Ма1пз Ме1ос1и упгд1т1у1а рбхйпйх: 3х-5^ = 13, 2х + 1у = 81. 2. Зх, + 2х2 + 2х3 = 1, X] + Зх2 + х3 =0, 5х, + Зх2 + 4х3 = 1 Г3х-4д> = 1, [Зх + 4^ = 18. 7х — Зу + 5г = 32, 4. < 5х + 2у + г = 11, 2х — у + 3г = 14. х + у - 2 = 36, X + 2 - у = 13, у + 2 - X = 7. х + 2 у + г = 4, 6. < Зх — 5у + 3г = 1, 2х + 1у -г = 8. 5. 4
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 121 2х - 4у + 9г = 28, 2х + у = 5, 7. < 7х + Зу-6г = -1, 8. < х + Зг = 16, 7х + 9у - 9г = 5. 5у- 2 = 10. Х + у + 2 = 36, 9. <2х — Зг = -17, 6х-5г = 7. 7х + 2у + 3г = 15, х+у+2=а, х-у+2=а, 10. < 5х-Зу + 22 = 15, 11. < х—у+2=Ъ, 12. < х+у—г=Ъ, 10х-11у + 5г = 36. Х+у~2=С. у+2-Х=С. х - 2 у + Зг = 6, 5% + у-Зг = -2, 5х - Зу + 4г = 6, 13. ^2х + 3у-4г = 20, 14. <4х + 3у + 2г = 16, 15. <2х - у - г = 0, Зх — 2у-5г = 6. 2х-3у+ г = 17. х -2у + г = 0. Зх + у = 5, 5х + Зу + Зг = 48, х + у - 2г = 6, 16. < 16х + 3г = 16, 17. < 2х + 6у-Зг = 18, 18. < 2х + Зу - 1г = 16, 5у - 2 = 10. 8х -Зу + 2г = 21. 5х + 2у + г = 16. 4*] + 4х2 + 5х3 + 5х4 19. = 0, 2х, + Зх3 - х4 =10, х, + х2 -5х3 = -10, Зх2 + 2х3 = 1. х + у + 2г = -1, 20. <2х- у + 2г = 16, 4х + у + 4г = -2. 21. 2х, - х2 + Зх3 + 2х4 = 4, Зх, + Зх2 + Зх3 + 2х4 = 6, ЗХ] - х2 - х3 - 2х4 = 6, Зх, — х2 +Зх3 -х4 =6. Зх} + 4х2 + х3 + 2х4 +3 = 0, 22. Зх, + 5х2 + Зх3 + 5х4 +6 = 0, 6х, + 8х2 + х3 + 5х4 +8 = 0, Зх, + 5х2 + Зх3 + 7х4 +8 = 0 Төмөнкү теңдемелер системасын Гаусстун методу менен чыгаргыла: 4
АУ1Т А8А1\()У, НАМ1Е КАЕАТОУ Ы^ЕЕКСЕВ1К 122 7 « 2х - 4 у + 9г = 28, 7х + Зу - 6г = -1, 8. < 7х + 9у-9г = 5. 2х + у = 5, х + Зг = 16, 5у-г = 10. 9. < X + у + 2 = 36, 2х-3* = -17, 6х-5х = 7. 7х + 2у + Зг = 15, х+у+г=а, Х-у+2-<1. 10 < 5х-3у + 2г = 15, 11 10х-11у + 5г = 36. . < х-у+г=Ъ, Х+у~2=С. 12. <х+у-2=/>. У+2~Х=< 5х + у - Зг = -2, 5х-3.у + 4г - <> х - 2у + Зг = 6, 13. - 2х + Зу - 4г = 20, Зх-2_у-5г = 6. 14. < 4х + Зу + 2г = 16, 15. <2х- у-2 = 0 2х-3у+ г = 17. х - 2у + г = 0 Зх + у = 5, 5х + 3у + Зг = 48, х + у - 2г = 6, 16. < 16х + 3г = 16, 17. <2х + 6у-3г = 18, 18. <2х + 3у-1г = 16, 5у - г = 10. 8х -Зу + 2г = 21. 5х + 2у + г = 16. 4х, + 4х2 + 5х3 + 5х4 = 0, 19. 2х, + Зх3 — х4 =10, х, + х2 - 5х3 = -10, Зх2 + 2х3 = 1. 20. < 2х - у + 2г = 16, 4х + у + 4г = -2. 21. 2х^ - х2 + Зх3 + 2х4 = 4, Зх, + Зх2 + Зх3 + 2х4 = 6, Зх} - х2 - х3 - 2х4 = 6, Зх! - х2 + Зх3 - х4 =6. 22. Зх, + 4х2 + х3 + 2х4 +3 = 0, Зх, + 5х2 + Зх3 + 5х4 +6 = 0, 6х, + 8х2 + х3 + 5х4 + 8 = (к Зх, + 5х2 + Зх3 + 7х4 -мНН А§а§к1ак1 <1епк1ет 8181ет1епт баизз Ме1оди уагс11т1у1а ^бхйпйх:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРЛ 123 Зх + 2у + г = 5, 2х, + х2 - х3 =5, 23. <х + у-г = 0, 24. < X] - 2х2 + 2х3 = -5, 4х-у + 5г = 3. 7х, + х2 - х3 =10. х, + х2 - х3 + х4 = 4, 2х, - х2 + Зх3 - 2х4 = 1, ЗХ' - х2 + х3 - х4 =0, X] - х3 + 2х4 = 6. 4х, + 2х2 +Зх3 = -2, 26. < 2х, + 8х2 - х3 =8, 9х, + х2 + 8х3 = 0. 2х{ + 5х, + х4 + х5 = 33, Зх, - х2 + х3 + 2х5 = 18, 5х( + 8х2 + х3 =2, 27. < х( - х4 + 2х5 = 8, 28. < Зх, - 2х2 + 6х3 = -7, 2х2 + х3 + х4 - х5 =10, X] +х2 -Зх3 +х4 =1. 2Х| + х2 -х3 = -5. х, + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 0, 7Х( +14х2 +20х3 + 27х4 =0, 5Х| +10х2 +16х3 +1 9х4 = -2, Зх । +5х2 + 6х3 + 13х4 = 5. 2х, - Зх2 + х3 = -7, 30. < х{ + 4х2 + 2х3 = -1, Х| - 4х2 = -5. 31. 2х} + Зх2 +11х3 + 5х4 = 2, х, + х2 + 5х3 + 2х4 = 1, 2х, + х2 + Зх3 + 2х4 = -3, Зх, + 2х2 + х3 =5, 32. < 2х, - х2 + х3 = 6, х, + х2 + Зх3 + 4х4 = -3. х, + 5х2 = -3. Төмөнкү теңдемелер системасынын биримдүүлүгүн изилдегиле. Биримдүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла.
АУ1Т АКАМОҮ, 1<АМ|Х КАГАТОУ 1Л№ЕК СЕВ1К 124 23. З.г + 2у + г = 5, * х + у - г = 0, 4х - у + 5г = 3. 2х, + х, - \, = 5, 24. < х( - 2х, + ? 7х, + х, - \ ,=-5, = 10. X] + х, - х3 + х4 =4, 2Х] - х2 + Зх3 - 2х4 = 1, Зх, - х2 + х3 - х4 = 0, х, — х3 + 2х4 = 6. 2х, + 5х2 + х4 + х5 = 33, Зх, - х, + х3 + 2х5 = 18, 5х, + 8х2 + х3 = 2, 27. < х, - х4 + 2х5 = 8, 28. < Зх, - 2х2 + 6х3 = -7, 2х2 + х3 + х4 -х5 = 10, Х| + х2 — Зх3 + х4 = 1. 2Х] + х, - х3 = —5. х, + 2х, + Зх3 + 4х4 = 0, 7х, + 14х2 + 20х3 + 27 х4 = 0, 5х, + 10х2 + 16х3 + 19х4 = -2, Зх, + 5х2 + 6х3 + 13х4 = 5. 2х, -Зх, +х3 = -7 30. < х, + 4х2 + 2х3 х; -4х2 = —5. 2Х] + Зх2 +11х3 + 5х4 = 2, х, + х2 + 5х3 + 2х4 = 1, 2х, + х, + Зх3 + 2х4 = -3, Х| + х, + Зх3 + 4х4 = -3. Зх, + 2х2 + х3 =5, 32. ^2Х] -х2 +х3 = 6, х, + 5х2 = —3. А$а§14ак1 Оепк!ет 8181ет1ептп ^бгШеЫНг оШиккпт 1псе!в?чи^ (,'бгйкЫИг Оепк1ет 8181ет1еппт §епе1 ^бхйткпт Ьи1ипиг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 125 2х + у + 2 = 4, 2х, + 7х2 + Зх3 + х4 =6, х - Зу + г = 1, Зх - 2у + 2г = 6. 34. < Зх, + 5х2 + 2х3 + 2х4 = 4, 9х, + 4х2 + х3 + 7х4 = 2, 2Х' - Зх2 + 5х3 + 7х4 = 1, Зх, - 5х2 + 2х3 + 4х4 = 2, 4х, - 6х2 + 2х3 + Зх4 = 2, 36. < 7х, - 4х2 + х3 + Зх4 = 5, 2х, - Зх2 - 11х3 -1 5х4 = 1. 5х, + 7х2 - 4х3 - 6х4 = 3. Зх\ + 4х2 + х3 + 2х4 = 3, 38. < 6х, + 8х2 + 2х3 + 5х4 = 7, х, + 8х2 - 7х3 = 12. 9х, + 12х2 +Зх3 + 10х4 = 13. 3х, - 2х2 + 5х3 + 4х4 = 2, 2х - у + г = -2, 39. < 6х, - 4х2 + 4х3 + Зх4 = 3, 40. <^ х + 2у + Зг = -1, 9х, - 6х2 + Зх3 + 2х4 = 4. х-Зу-22 = 3. 41. 43. Зх^ - 2х2 - 5х3 + х4 = 3, 2х, - Зх2 + х3 + 5х4 = -3, X] + 2х2 - 4х4 = -3, X] - х2 - 4х3 + 9х4 = 22. 2х, + 5х2 + 4х3 + х4 = 20, х, + Зх2 + 2х3 + х4 =11, 2х( +10х2 + 9х3 + 7х4 = 40, Зх, + 8х2 + 9х3 + 2х4 = 37. 42. 44. Зх, + 2х2 = 4, х, + 4х2 = -1, 7х, +10х2 = 12, 5Х] + 6х2 = 8, Зх, - 16х2 = -5. X] + 5х2 + 4х3 = 1, 2Х] +10х2 + 8х3 = 3, ЗХ] +15х2 +12х3 = 5.
АҮ1Т А8А1ЧОУ, ЯАМ1Х НАГАТОУ Ы1ЧЕЕЯСЕВ1К 126 2х + у + г = 4, 2х, + 7х2 + Зх3 + х4 =6, 33. <х-3у + г = 1, 34. <] Зх, + 5х2 + 2х3 + 2х4 = 4, Зх -2у + 2г = 6. 2х, - Зх2 + 5х3 + 7х4 = 1, 36. 9х, + 4х2 + х3 + 7х4 = 2, Зх, - 5х2 + 2х3 + 4х4 = 2, 1х{ - 4х2 + х3 + Зх4 = 5, 37. 2х} - Зх2 -11х3 -1 5х4 = 1. 5х, + 7х2 — 4х3 - 6х4 = 3. 2х, + 5х2 - 8х3 = 8, 4х, + Зх2 - 9х3 = 9, 2х{ + Зх2 - 5х3 = 7, Зх, + 4х2 + х3 + 2х4 = 3, 38. 6х, + 8х2 + 2х3 + 5х4 = 7, х, + 8х2 - 7х3 = 12. 9х, +12х2 +Зх3 +10х4 = 13. Зх^ - 2х2 + 5х3 + 4х4 = 2, 2х - у + 2 = -2, 40. < х +2^ + Зг =-1, х-3>>-2г = 3. ЗХ| - 2х2 - 5х3 + х4 =3, 2Х] - Зх2 + х3 + 5х4 = -3, х, + 2х2 - 4х4 = -3, х} - х2 - 4х3 + 9х4 = 22. Зх, + 2х2 = 4, х, + 4х2 = -1, 42. < 7Х] + 10х2 = 12, 5Х] + 6х2 = 8, ЗХ] - 16х2 = -5. 2Х] + 5х2 + 4х3 + х4 = 20, X] + Зх, + 2х3 + х4 =11, 2х, + 10х2 + 9х3 + 7х4 = 40, Зх, + 8х2 + 9х3 + 2х4 = 37. X] + 5х2 + 4х3 = 1, 44. 2Х| +10х2 +8х3 = 3, Зх, + 15х2 + 12х3 = 5.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФА IОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 127 Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын чыгарылыш- тарынын фундаменталдуу системасын жана жалпы чыгарылышьш тапкыла. 2х + у-г = 0, (х-у-г = 0, 45. <х + 2у + г = 0, 46. < х + 4у + 2г = 0, 2х - у + Зг = 0. Зх + 7у + 3г = 0. 47. 3х, - 2х2 + Зх3 - Зх4 = 0, ‘ ЗХ] - 2х2 - х3 + х4 = 0, х, - х2 + 2х3 + 5х4 = 0. 2х, + х2 + х3 + х4 = 0, 48. < х2 - х3 + 2х4 = 0, 2х} + 2х, + Зх4 = 0. 49. Х( + 2х2 - х3 =0, 2х, - х2 - Зх3 = 0. 50. Зх, + х2 - х3 - 2х4 = 0, < х, + х2 - х3 + 2х4 = 0. 51. %1 + х2 + х3 + х4 =0, 2х, + 2х2 - х3 + 2х4 = 0, х, - х2 - х4 = 0. х, + х2 + х3 - 2х4 = 0, 52. < - х, - х2 + 2х4 = 0, Зхх - х2+ 2х3 + 2х4 = 0. 53. ахх+Ъ\у=С\, < а2х+Ь2у=с2 а3х+Ь3у=с3 системасынын биримдүүлүгүн зарыл жана жетишерлик шарты «I <Ъ а2 Ь2 с2 = 0 аз Ьз сз экендигин далилдегиле.
АУ1Т А8АМОҮ, НАМ|Х НАГАТОУ 128 Ь1^ЕЕЯСЕВ1К А$а£1бак1 Ьото§еп депк1ет 5Г8(ет1ептп ?б2йт1еп агазтба Вах (,’б/(1т1епт үе Оепе! Сбгйпйепт Ьи1ипих. 2х + у - 2 = 0, X - у - 2 = 0, 46. <х + 4^ + 2г = 0, 47. 49. 2х - у + Зг = 0. Зх + 7 у + 32 = 0. Зх, - 2х2 + Зх3 - Зх4 = 0, Зх, - 2х, - х3 + х4 =0, х, - х2 + 2х3 + 5х4 = 0. х, + 2х2 - х3 =0, 2х, - х2 - Зх3 = 0. х, + х2 + х3 + х4 = 0, X] + х2 + х3 — 2х4 = 0, 51. < 2х, + 2х2 - х3 + 2х4 = 0, 52. <-Х] - х2 +2х4 = 0, а{х+Ъ\у=съ Зх, - х2 + 2х3 + 2х4 = 0. 53. <а2Х+Ь2у=С2, а3х+Ь3у=с3 (егттп <?б2й1еЫ11г11§тт §егек үе уеСег §аН1 а} Ъх с^ «2 Ъ2 с2 аз ъз с3 = 0 (1|г. Тзрайаухтх.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФЛТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 129 Зх - 2 у + г = Ъ, 54. < 5х - 8у + 9г = 3, 2х + у + аг = -1 системасы а менен Ь нын кандай маанилеринде: Ожалгыз чыгарылышка ээ болот; 2) чыгарылышы жок; 3) чексиз чыгарылышка ээ болот. Төмөнкү теңдемелер системасынын тапкыла: 2х + у - г = 0, х + 2у + 2 = 3, 2х-^ + Зг = 2. 55. 56. жалпы чыгарылышын х-^-г = 1, х + 4у + 2г = 1, Зх + 7у + Зг = 3. 3%! - 2х2 + Зх3 - Зх4 = 3, 2х} + х2 + х3 + х4 = 5, 57. Зх} - 2х2 - х3 + х4 = 3, 58. < х2 - х3 +2х4 =2, х, - х2 + 2х3 + 5х4 = 1. 2Х| +2х2 + Зх4 = 7. 59. < х, + 2х2 - х3 =4, 60. < Зх^ + х2 - х3 - 2х4 = 4, 2Х) — х2 -Зх3 = 4. х, + х2 - х3 + 2х4 = 2. 61. х, + х2 + х3 + х4 = 3, 2х} + 2х2 - х3 + 2х4 = 3, X] -х2 -х4 = 0. 62. X] + х2 + х3 - 2х4 = 2, - х, - х2 + 2х4 = -1, ЗХ] - х2 + 2х3 + 2х4 = 1. 2х, + Зх2 - х3 + х4 = 5, Зх} -х2 + 2х3 +х4 =1, х, + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 6, бХ] + 4х2 + 4х3 + 6х4 = 1.
АУ1Т А8А1МОУ, КАМ1Х ЯАГАТОУ ЫМЕЕК СЕВ1к 130 Зх - 2у + г = Ь, 54. < 5х - 8^ + 9г = 3, 2х + у + ах = -1 |1я1ет1пдек1 а уе Ь тп кап§1 де§ег1еп 19111 Ьи 8181етт: 1) Ыг 1ек фбгити уагЫг; ' 2) Ы? Ыг ^бхйтй уокШг; 3) зопзиг 8ауи1а фбхйтй уагскг. А§а§1бак1 с!епк1ет 8181ет1епшп §епе1 ^бхйткпт Ьи1ипих: х-у-2 = I, <х + 2у + г = 3, 56. <х + 4у + 2г = 1, Зх + 1у + Зг = 3. 2хх + х2 + х3 + х4 =5, 58. < х2 -х3 + 2х4 = 2, 2х} + 2х2 + Зх4 = 7. хх + 2х2 - х3 =4, 2х( - х2 - Зх3 = 4. 2х{ + Зх2 - х3 + х4 =5, 63. 3%! - х2 + 2х3 + х4 =1, х, + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 6, 6хх + 4х2 + 4х3 + 6х4 = 1.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 131 2.7. ЖООПТОРУ 1. х=16, у-7, 1.Х1=1,х2 = 0, х3 = -1 3. х = 19/6, у = 17/8 4. х = 2, у= -1, 2 = 3. 5. х = 24,5, у =21,5 , г = 10. 6. х = 1, у = 1, г = 1. 7. х = 2, у= 3, 2 = 4. 8. х = 1, у= 3,2 = 5. 9. х = 13,25, у= 8,25, 2 =14,5. \§. х = 2, у=-1, 2 = 1. 11. х =(1/2) (Ъ + с), у=(1/2)(а - Ъ) , г =(1/2) (а - с). 12. х =(1/2) (а +Ь), у=(1/2)(Ъ + с) , 2 =(1/2) (а+ с). 13. х =8, у= 4,2 = 2. 14. х = 3, у= -2, 2 = 5. 15. х = 1, у= 1, г = 1. 16. х = 1, у = 2, 2 = 0. \7. х = 3,у = 5, 2 = 6. 18. х = 3,у = 1, г = -1. 19. Х[=1,х2=-1, х3 = 2, х4=-2. 20. х = 1, у = 2, г = -2. 21. Х/=2, х2 = х3 = х4 = 0. 22. Х]=2, х2 = -2, х3 = 1, х4 = -1. 23. х = -1, у= 3, 2 = 2. 24. Х/=/, х2 = 5, х3 = 2. 25. х/=1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4. 26. Системанын чыгарылышы жок. 27. Х/=5, х2 = 4, х3 = 3, х4= 1, х3 = 2 28. х/= -3, х2 = 2, х3= 1. 29. Х/=/, х2 = -1, х3 = -1, х4 = 1. 30. Х/=-7, х2 = 1, х3 = -2, 31. Х/= -2, х2 = 0, х3 = 1, х4 = -1 32. Х/= 2, х2 = -1, х3 = 1. 33. Система биримдүү эмес. 34. Х!=(1/11)(х3 -9х4 -2), х2 = (1/11)(-5х3 + х4 +10), х3 менен х4 - каалаган чыныгы сандар. 35. х3 = 22х! - 33х2 -11, х4 = - 16хг + 24х2 + 8, х, менен х2 - каалаган сандар. 36. Система биримдүү эмес. 40. Система биримдүү эмес. 41. Х/= -1, х2 = 3, х3 = -2, х4 = 2 42. Х/= 1, х2 = 1/2. 43. Х1=1, х2 = 2, х3 = 2, х4 = 0. 44. Система биримдүү эмес. 45. Система жалгыз гана х = у= 2 = 0 чыгарылыш^на ээ болот.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ|Х КАГАТОУ Ы^ЕЕПСЕВ1П 132 2. 7. СЕУАРЬАК I \ 16, у=7, 2.Х1=1,х2=0, х3 = -1 3. х = 19/6, у = 17/8 4. х 33 2, । -1,2 = 3. 5. х = 24,5, у =21,5, 2 = 10. 6. х = 1, у= 1, 2 ~ I. 7 V - 2, у= 3, 2 = 4. 8. х = 1, у=3,2 = 5. 9. х = 13,25, у= 8.2^ 14,5. 10. х = 2, у= -1, 2 = 1. 11. х =(1/2) (Ь + с), у=(1/2)(<> Ь) , (1/2) (а - с). 12. х =(1/2) (а +Ь) , у=(1/2)(Ъ + с) ,2 = (1/2) (а । с). 16. х = 1, у = 2, 2 = 0. 17. х = 3, у = 5, 2 = 6. 18. х = 3, у = 1, 2 - -/. 19. х}=1,Х2=-1, х3 = 2, х4=-2. 20. х = 1, у = 2, 2 = -2. 21. Х/=2, \ х3 = х4= 0. 22. Х]=2, х2 = -2, х3 = 1, х4 = -1. 23. х = -1, у= 3, 2 2. 24. Х1=1, х2 = 5, х3 = 2. 25. х{=1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4. 26. 8181етт ^охйти уок1иг. х^=5, х2 = 4, х3 = 3, х4= 1, х5 = 2 28. Х}= -3, х2 = 2, х3= 1. 29. х{=1, х2 = -1, х3 = -1, х4 = 1. 30. Х1=-1, х2 = /, \ , = -2, 31. Х1= -2, х2 = 0, х3 = 1, х4 = -1 32. Х]= 2, х2 = -1, х3 = 1. 33. 8181ет ^бхШеЬЛи де§ИШг. 34. Х1=(1/11)(х3 -9х4 -2), \2 = (1/11)(-5х3 + х4 +10), х3 үе х/-кеуГ1 зауйагскг. 35. х3 = 22x1 - 33х2 II, \ I = - 16x1 + 24х2 + 8, Х1 үе х2 - кеуй зауйагскг. 36. 8181ет ^бхШтехскг. 40. 8181ет ^бхШтехШг. 41. Х1= -1, х2 = 3, х3 = -2, х4 = 2 42. х}= 1, х2 = 1/2. 43. х}=1, х2 = 2, х3 = 2, х4 = 0. 44. 8181ет ^бхШтехскг. 45. 8181ет Тек х = у = 2 = 0 ^бхйтйпе заЫрйг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФЛТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 133 46. Системанын (х; у; 2 ) = (2; -3; 5) чыгарылышы бир вектордон турган фундаменталдуу система болот жана х = 2с, у = -Зс, г = 5с системанын жалпы чыгарылышы болот. Мында с-каалаган сан. Система чексиз чыгарылышка ээ болот. 47. (14; 21; 1; 1) - вектору системанын фундаменталдуу системасы болот жана каалаган с саны үчүн системанын жалпы чыгарылышы (ху х2 ;х3; х4) = (14; 21; 1; 1) с болот. 48. Системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы, в/ = (-1; 1; 1; 0) жана е2 = (1/2; -2; 0; 1) эки векторунан турат. Жалпы чыгарылышы (ху, х2 ; х3; х4) = с^е^ с2е2 = (-С/ +( 1/2)с2; С) - 2с2; с,; с2) болот. Мында с/; с2 - каалаган сандар. 49. (7; -1; 4) вектору системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы болот. Жалпы чыгарылышы каалаган С саны үчүн (х;; х2 ; х3) = (7; -1; 5)С болот. 50. Системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы в/ = (2; -4; 0; 1) жана е2 = (0; 1; 1; 0) эки векторунан турат. Жалпы чыгарылышы (х7; х2 ;х3; х4) = С/С/+ с2е2 = (2С1;-4С1+ с2; с2; с) болот. Мында с2; с^ - каалаган сандар. 51. (0; 1; 0; -1) вектору системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы болот. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х/; х2 ; х3; х4) = (0; 1; 0; -1) с болот *
АҮ1Т АХ А1ЧОУ, КАМ1Е КАГАТОУ Ь1^ЕЕКСЕВ|К 134 46. 8181ет1п (х ; у; х) = (2; -3; 5) «убхйтО 1ек уек1бг<1еп о1и§ап Ыг Ьаг <;бгйтй уагй1г уе х = 2с, у = -Зс, 2 = 5с 8181ет1п §епе1 ^бгйтйбйг. Вигада с-кеуй заукйг. 8181егтп зопзих заук1а фб/йтй уагбк. 47. (14; 21; 1; 1) - уекТбги 8181етт Ьаг ^бгйтйбйг уе кеуй с 8ау181 19111 8181ет1п §епе1 ^бхйтй (х7; х2 ; х}; х4) = (14; 21; 1; 1) с сНг. 48. 818£етт ^бгйпйеппт Ьаг ^бгйгЫеп, в/ = (-1; 1; 1; 0) уе е2 = (1/2; -2; 0; 1) 1к1 үек1бг1еп<йг. 8181ет1п £епе1 <?бгйтй (х/,- х2 ;х3; х4) = С/С/ + с2е2 = (-с} + (1/2) с2; с/ -2с2; сг с2) <Нг. Вигаба с7; с2 - кеуй зауйагскг. 49. (7; -1; 5) уекйэги з^зСетт ^бгйгЫеппт Ьаг уекГбгйййг. Оепе! ?бгйтй 18е кеуй с зау18119111 (х;; х2 ; х}) = (7; -1; 5) с сПг. 50. 818кет1п <?бгйт1еппт Ьа/ фбгйггйеп в/ = (2; -4; 0; 1) уе е2 = (0; 1; 1; 0) 1к1 уек^бгйбйг. Оепе! ^бгйтй 1зе (х;; х2 ;х}; х4) = с/е}+ с2е2 =(2сг,-4с!+ с2; с2; с^) сйг. Вигаба с2; С/ - кеуЛ зауйагскг. 51. (0; 1; 0; -1) уекСбгй 8181етт ^бгйгЫептп Ьаг үекСбгйбйг. Оепе! ^бгйтй 1зе кеуй с зауш 19111 (х;; х2 ;х3; х4) = (0; 1; 0; -1) с Шг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 135 52. (0; 2; 0; 1) вектору системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы, ал эми жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (%/; х2 ‘,х3; х4) = (0; 2; 0; 1) с болот. 54. 1) а *-3; 2) а = - 3, в* 1/3; 3) а = - 3 , в = 1/3. 55. х = 0; у = 1, 2 = 1. 56. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х, у, 2 ) = (1 + 2с; -Зс ; 5с) болот. 57. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х7; х2 ; х3; х4) = (1 + 14с; 21с ; с; с) болот. 58. Жалпы чыгарылышы каалаган с/ жана с2 сандары үчүн (х7; х2 \х3;х4) = (1- с} + (1/2) с2; 7+ с} -2с2; 7 + с7; 7+ с2) болот. 59. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х7; х2 ; х3) = (1 + 7с; 1- с; -1+5 с) болот. 60. Жалпы чыгарылышы каалаган с} жана с2 сандары үчүн (х7; х2 ; х3; х4) = (1+2с}; 1-4 с} + с2; с2; с}) болот. 61. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х7; х2 ; х3; х4) = (1;1+ с; 1; - с;) болот. 62. Жалпы чыгарылышы каалаган с саныүчүн (х7; х2 ',х3; х4) = (0;1+ 2с; 7; с) болот. 63. Система биримдүү эмес
АУ1Т А8АКОУ, ПЛМ|Х НАГАТОУ ЫИЕККС I вт 130 52. (0, 2; 0; 1) уекзбгй з1з1ет1п ^бгиткппт Ьаг уек1бгйс1иг. Оепе! ^бяйтй !яе кеуН с зау18119111 (х;; х2 ; х3; х4) = (0; 2; 0; 1) с <Яг. 54. 1) а *-3; 2) а = -3, в * 1/3 ; 3) а = - 3 , в = 1/3. 55. х = 0; у = 1, г = 1. 56. ЗгзЬетт §епе1 ^бгйтй кеуй с зауш 19111 (х;; х2 ; х3; х4) = (1 +2с; -Зс; 5с) сНг. 57. 818кет1п Оепе! ^бгйтй кеуГ1 с §ау18119111 (х;; х2 ; х3; х4) = (1 +4с; 21с ; с; с) сйг. 58. Оепе! ^бгйт с/ уе с2 зауйап 191П (х/; х2 ; х3; х4) = (1- с, + (1/2) с2; 1+ С/ -2с2; 1+ С/; 1+ с2) сНг. 59. 818Ьетт §епе1 ^бгйтй кеуй с зауш 19111 (х/; х2 ; х3)= (1 + 7с; 1 - с; -1 + 5с) сНг. 60. Згзкетт §епе1 ^бхйтй кеуГ1 с/ хе с2 зауйап 19111 (х/; х2 ; х3; х4) = (1 + 2с/; I - 4 сг + с2; с2; с^) сНг. 61. 818кетт §епе1 ^бхйтй кеуГ1 с зауш 19111 (х/; х2 ; х3; х4) = (1;1 + с; 1; - с;) сНг. 62. 818(етт §епе1 ^бгйтй кеуй с 8ау18119111 (х/; х2 ; х3; х4) = (0;1+ 2с; 1; с) сНг. 63. 818(ет 9бгй1тегсНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 137 3 ГЛАВА. ВЕКТОРДУК АЛГЕБРА 3.1. БАГЫТТАЛГАН КЕСИНДИ. САН ОГУ. ТЕГИЗДИКТЕГИ ЖАНА МЕЙКИНДИКТЕГИ ТИК БУРЧТУУ КООРДИНАТ СИСТЕМАЛАРЫ 1.Сан огу. Багыты бар түз сызык ок деп аталат (3.1-сүрөт). Ал багыт жебе менен белгиленет. Октон каалаган А жана В эки чекитин алалы. _________________ 3.1-сүрөт Эгерде четки чекиттери А жана В болгон кесиндинин бир чекитин башталыш чекити, ал эмч экинчисин аякталыш чекити катарында карасак, анда ал кесинди башталыш чекитинен аякталыш чекитине карай багытталган кесинди деп аталат. Багытталган кесинди же вектор АВ же АВ аркылуу белгиленет, мында А-башталыш чекити, ал эми В-аякталыш чекити. Биз АВ же |Д2?| аркылуу А жана В чекиттеринин ортосундагы аралыкты жана АВ векторунун чоңдугун АВ аркылуу белгилейбиз. Эгерде багытталган кесинди АВ менен октун багыты дал келсе, анда АВ = |лв|. Ал эми багытталган кесинди АВ менен октун багыты карама-каршы болсо, анда АВ = - |Д2?| болот. Октун ар кандай А, В жана С үч чекити үчүн АС кесиндини чоңдугу АВ менен ВС кесиндилеринин чоңдуктарынын суммасына барабар б.а. АС = АВ + ВС. Эсептөөнүн башталыш чекити бар, багыты бар жана чен бирдиги бар түз сызык сан огу же координат түз сызыгы деп аталат (3.2-сүрөт).Бул 3.2-сүрөттө О чекити сан огунун башталыш чекити. Эми Ох сан огунан каалаган М чекитин алалы (3.2-сүрөт). О М 0 1 3.2-сүрөт
АУ1Т А8А1ЧОҮ, ЯАМ|Х КАГАТОҮ Ь11\ЕЕКСЕВ1В 138 ВОЬОМЗ. УЕКТОКЕЬ СЕВ1К 3.1. ҮО1ЧЬЕ^ППйЬМ1§ ООСКЫ РАКСА81. 8АҮ18АБ ЕК8Е1Х. |И1ХЬЕМОЕ ҮЕ 11ХАҮВА КАКТЕХҮЕМ КООКО118АТ 818Т1- М1Л К1 1 8АҮ18АБ ЕК8ЕТЧ. Үбп1епШй1т1§ до§гиуа екзеп детг ус .1>.1)'к1.|к। ц1Ы ок 1§агей Пе §б8(епНг (§екП 3.1) §екП3.1. Екзеп йхеппПе ЬегЬап§11к1 А уе В пок1а1апт а!аЬт. Е§ег ис пок1и1ип А ке В о1ап <1о§ги раг^азтт Ыг поЫазии Ьа$1ап§19 покказ! '1ктс18т1 1ас яоп Пок1аз1 Пегзек о гатап о По^ги раг^азта Ьа§1ап§1? покизтНап зоп покижти ^бгс убпкпШгПт!? йо§ги раг^ам сктг. Үбп1епсНп1пн§ <к>§ги раг^ав! үес(бг АВ уеуа АВ Пе ёбзкепНг. ВигаПа А Ьа81ап§1? покТаз! В 18е зоп покйшсИг. АВ уеуа |ЛВ| Пе А үе В пок1а1аппт агазтбак! и/акНк уе АВ Пе АВ үек1огипйп Ьоуи (Ьйуйк1й§й) §081епНг. Е§ег убп1епсНп1пн§ <1о§ги раг?а81 АВ Пе екзетп убпй аут 18е АВ = АВ о1иг. Е§ег убп1епсНгПт1§ с!о§ги раг?а81 АВ Пе екзетп убпй Ып Ыппе каг§11§е, о хатап АВ = - ЛВ о!иг. Екзетп ЬегЬап§1 й? А, В уе С пок1а1ап 19111 АС рагфазтт ЬйуйкШйй АВ уе ВС раг^акппт Ьйуйк1йк1еппт 1ор1атта е§1й1г, уат АС=АВ+ВС Ыг. Не8ар1атапт Ьа§1ап§19 пок1а81, убпй уе Ыпт б19й8йпе заЫр о!ап Йо§гиуа »ау18а1 еквеп уеуа коогШпа! По^гияи с!етг (§екП 3.2). Ви 3.2. 5>екНпс1е О покСаз! 8ау1за1 екзетп Ьа§1ап§19 покСазкЬг. §1тсН Ох зау18а! екзет Игеппйе кеуй Ыг М покЫзин а1а11т (§екП 3.2) О М ! I[ 0 1 8екП 3.2.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 139 Анда М чекитинин координаты ОМ багытталган кесиндинин чоңдугу х санына барабар болот, б.а. х=ОМ. М(х) символу М чекитинин координаты х ге барабар дегенди билдирет. Демек, чыныгы сандар, сан огунун чекиттерин сүрөттөйт. Ошондуктан, бардык чыныгы сандардын көптүгүн сан огу деп, ал эми ар кандай чыныгы санды сан огунун чекити катарында карай алабыз. Эгерде А(х/) жана В(х2) сан огунун каалаган эки чекити болсо, анда АВ=Х2-Х], (1) формуласы АВ багытталган кесиндинин чоңдугун аныктайт, ал эми 1ав1=1х2-Х11 (2) формуласы бул эки чекиттин арасындагы аралыкты аныктайт. 1-МИСАЛ. Сан огунан А(-2), В(3) жана С(-5) чекиттерин тапкыла. 1) АВ, ВС жана АС багытталган кесиндилеринин чоңдуктары АВ, ВС жана АС ны тапкыла. 2) АС = АВ + ВС экендигин текшергиле. 3) I АВ|, I ВС| жана I АС| аралыктарын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Берилген А, В жана С чекиттерин сан огунан табабыз (3.3-сүрөт). С А О В ---1----------1-----1-------1------► -5 -2 0 3 х 3.3-сүрөт 1) Жогорудагы (1) формуланын негизинде АВ = 3-(-2) = 5, ВС = (-5)-3 = -8, АС=(-5)-(-2) = -3 болот. 2) АВ + ВС = 5 + (-8) = -3 = АС. 3) Жогорудагы (2) формуланын негизинде АВ| = | 3-(-2)| = 5; I ВС| = I (-5)-3| = 8; | АС| = I (-5)-(-2)| = 3 болот.
АУ1Т А8АМОҮ, КАМ>2 КАГАТОУ Ь|^ЕЕКСЕВ1К 140 $и ИаМе М пок1а81П1п коогсНпаи ОМ убгйепсНгПпм? раг^апт ЬЦуикШ^и 1 хау181па е§йНг, уат х =ОМ <Иг. М(х) зетЬо1и М покШзтт коогсНпай х с с>Ш1г детекНг, уат гее! зауйаг зау18а1 екзепт пок1а1апт ЬеНг11г1ег. О Ьа1с1с К1т гее! зауйапп сшгйезт! зау18а1 екзепсНг, Ьег гее! зау1у1 зау!8а1 екзепт пок1а81с11г сИуе ЫНпх. Е§ег А(х/) уе В(х2) 8ау1за1 екзетп Ьег Ьап§11к1 пок!а811яе АВ = Х2 -XI (1) (огтиШ АВ убп1епсНп1ггп? до§ги рагдазтт Ьйуйк1й§йпй ЬеИгНг, 1ав1 =/ х2-Х1/ (2) I <>гтй1й 1зе Ьи 1к1 пок1апт агазтйак! игак11§11атт1аг. 0К1ЧЕК 1.: В1г зау18а1 екзепт А(-2), В(3) уе С(-5) пок1а1апт Ьи1ипи/.. I) АВ , ВС уе АС убгйепсНгПгт? йо§ги раг?а1апп1п Ьйуйк1ик1еп о!ап АВ, ВС уе АС у! ЬЫипих. 2) АС = АВ + ВС о1с!и§ипи §б81ептх. <) I АВ| I ВС| уе I АС| ихип1ик1апт Ьи1ипиг. СОХИМ: С А О В -----1---------1------1--------1------► -5 -2 0 3 х $екН 3.3. УегНеп А, В уе С пок1а1апт 8ау1за1 екзеп йгегтйе ЬЫигих ($екН 3.3). I )Үикапс1ак1 (1) ГогтйШпйп пеНсезтде АВ = 3-(-2)= 5, ВС = (-5) - 3 =-8, АС = (-5) - (-2)= -3 о!иг. е) АВ + ВС = 5 + (-8) =-3=АС Шг. 3) Үикапйак! (2) ГогтШйпйп пейсезтйе I АВ| = | 3-(-2)| = 5; I ВС| = I (-5)-3| = 8; I АС| = | (-5)-(-2)| = 3 с$Ш1к1епт а1тг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФА ГОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 141 2.Тегиздиктеги тик бурчтуу координат системасы. Тегиздиктеги ар кандай чекиттин абалы эки координат менен аныкталат. Ал төмөнкүдөй жол менен аныкталат. Өз ара перпендикулярдуу х’х жана у’у окторун (багыты бар түз сызыктарын) жүргүзөбүз (3.4-сүрөт). Ал багыты бар түз сызыктар координат октору деп аталат. Горизонталдуу х’х огу - абсцисса огу деп аталат, ал эми у ’у огу-ордината огу деп аталат. 4У У 3.4-сүрөт Бул эки октун кесилүү чекити 0-координат башталмасы деп аталат. Ар бир координат огунда ар кандай же бирдей чен бирдиги кабыл алынат жана жебе менен белгиленген оң багыт тандалат. 4- сүрөттө Ох-нуру абсцисса огунун оң багыты, ал эми Оу-нуру ордината огунун оң багыты. Чен бирдиги жана оң багыты бар, х’х жана у’у координат октору-тик бурчтуу координат системасын (Оху) түзөт. Тегиздиктеги каалаган М чекитинин абалы, тик бурчтуу координат системасында төмөнкүдөй аныкталат. Берилген М чекитинен у’у огуна жарыш түз сызыкты х’х огуна кесилгенге чейин жүргүзөбүз. Ал кесилүү чекитин Р менен белгилейбиз (3.5-сүрөт). Эми М чекитинен х ’х огуна жарыш түз сызыкты у ’у огуна кесилгенге чейин жүргүзүп, ал кесилүү чекитин () менен белгилейбиз. У 4 > X У' 3.5-сүрөт
АУ1Т А8АМОҮ, КАМ|Х КАГАТОУ 1Л1МЕЕКСЕВ1К 142 2. Вйл1ешйе каНегуеп коопПпаС 8181ет1. 0й21етс1ек1 кег пок|птп |1игити 1к1 коогдта! Пе ЬеНгННг. Ви а§а§к!ак1 §1Ы уарйаЫНг. Внч Ыппе Ыкх'х уе у'у екзепкпт (уоп1епсНп1гт§ По^гЫапт) <?1хеНт (§екН 3.4). Ви \бп1епсНп1гт§ с1оёги1аппа коогдтаС ек8еп1еп с1етг. * х §екП 3.4. Үа1ау х‘х екзетпе аЬ818 еквет <1етг, у‘у екзепте 1зе - огбта( ек8сп! етг. Ви 1к1 екзетп кез1§те покСазта О-коогс1та1 Ьа§1ап§191 уеуа опрп ок1аз1 <1етг. НегЫг коопНпа! екзетпНе ГагкН уеуа е§И Ыпт б1?й8й аНтг ус к 1?агеН Не рогтГубп §б81епНг. §екП 3.4. бе Ох - бо§гизи - аЬз18 екзетпт Ю/лНГ убпй, Оу - бо^гизи 1зе огсНпа! екзептт рохШГ убпйсШг. В1пт б1?й8й уе роаНГубпй о1ап х‘х чеуу коогсНпа! екзегПеп сНк а<,||| оогсНпаС 8181етт1, уат (Оху) каПехуеп коогсНпаС 8181егтт о1и§1игиг. В1г <1йх1етс1ек1 М покТазтт уеп каНехуеп коогсНпа! 8181еттс1е $а§1с!ак1 §1Ы ЬеПгННг. УегПеп М поЫазтбап у ’у екзепте рага1е1 до^гиуи 'х екзет Пе ке81§епе кабаг 91геНт. Ви ке81§те пок1а81т Р Пе §б81егеНт (§екП 3.5). §1тсН М покизтПаи 'х екзетпе рагаПе! бо^гиуиуу екзет Пе ке81§епе кабаг 912есе|12 уе ек1е 1С1Пеп пок!ау1 9 Пе §б8(егесе§12. Р х §екП 3.5.
143 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА коордиттыУх^е^белгш^^52' ЭМИ л чекитинин х'х сан огУВДагы координатын у ^„ен белХТ’ Т”" 9 чекитинин/У сан огУнДа™ кооппинят систа* ен оелгилеИли. Анда х менен у М чекитинин Оху- чекитинин абсц аСЫНДаГЫ кооРдинаталаРын аныктайт. Мында, х саны М оплинятяск. п.?ссасы деп аталат, зл эми у саны М чекитинин жазуу, М чекитИ1(а”циБссасЬЖУ; ЖаЗЬ1ЛаТ' ДемеК’ М(а,Ь) ДеГеН билдипет Мисал х = «, ал эми ординатасы у = Ь дегенди өздөрүнүн ОхДЫ рдинатРӨТТӨГҮ М1’ Мь Мз’ ° чеКИТГерИ 3.6-сүрөт системасындагы кППппинятЯп.. м.бч-кл < т. т. ирдинатал^ры аркылуу төмөнкүдөи жазылат: ЭСКЕРТЙ ’ ^з(’2; -4)’-3)-анаО(0; 0). копппинят систа?" 1егиздикте берилген М чекитинин ар башка эки ЭСКЕРТҮҮ ?сындагь1 координаталары да ар башка болот. кудай эле жол меьенан ыЕ координат системагь1 да- Ж0Г0Р- координат система лНы Хя?т К бУрчтУУ жана тик бУрчтУУ эмес Координат ог?Х I координат системалары деп аталат. координат бупчтак У Ка уу менен аиыкталган төрт бурч, бурчтары 3.7сүрР“өЖСКВс^ХатНТТар ?еП аТаЛаТ’ Ал координат ар бир кооь ^Р^Ү^гөндөи номерленет жана ал сүрөттө к”РД™а™ларь^^
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1г КАГАТОУ 1ЛМЕЕЯ СЕВ1К 144 Оетек МР1. х'х уе Л/£>±/у Шг. §ткН Р покЫзтт х‘х нау1.чп) екзептдек! коогсНпаНт х Пе §б81егеНт. 0 покШзтт у‘у 8ау18а1 ек8сп1|к1ек| коогсНпаНт 18еу Пе §б81егеНт. О хатап х уе у зауйап М покШхтт каПехуеп коогсНпа! 818(етт(1ек1 коогдтаИапт ЬеНгННег. Вигас1а г чаүг.тп М покизтт аЬ8181 детг у заушпа 18е М покЫзтт огсНпай с1е1ш I 1и М(х,у) §ек1тс1е уахйк. Оетек М(а,Ъ) ИаНез! М поксазтт аЬ8181 \ Чг огсНпай 18е у = Ъ сНг ПетекНг. Оте§т 3.6.§екИпс1ек1 Мь Мг, Мь М, О покга1ап Ьип1апп Оху коогсНпа! 8181еттс1ек1 коогсПпаНап уак!п 1а а?а§к!ак1 §1Ы уахПаЫНг: М।(3;3), М2(-3; 2), М3(-2; - 4), М4(4; -3) үе 0(0,0). М2 М1 Рз Р2 !Рд --------->. Р, I X §екП 3.6 ЫҮАК1 1. В1г <1й21ет<1е уегНеп М покГазтт Иег 1к1 РагкН каНе/уеп коогсНпаС 818(егтпс1ек1 коогсНпаНап с!а Гагк11с11г1 аг. 15ҮАК1 2. О1к о1тауап коогсНпа! 8181егт 4е уикапс1ак1 $ск11с1с (атпЯапаЫНг. О1к уе сНк о!тауап коогШпа! 818Сет1еппе ЭезсаЛез коогсНпа! 818Сет1еп Нетг. СоогсНпа1ес1 екзегйеп о1ап х'х у‘у Не ГатпНапап Нбг! а?1уа коон1ш.|| а?11ап уеуа ?еугек1ег Нетг. О коогсНпа! а^Паппа ?екП 3.7 Пе ёбзГегНсН^! §1Ы питага1аг уепНг уе о §екП<1е Иег Ыг коогсНпаГ а^Паппа аП о1ап пок1а1ш т коогсНпаПаптп 1?агеГ1еп §О81еп1т1§Нг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 145 3.7-сүрөт. Жогорудагы 3.6-сүрөттөгү М] чекити 1 координат бурчунда, М2 чекити II координат бурчунда, М3 чекити III координат бурчунда жана М4 чекити IV координат бурчунда жатышат. З.Мейкиндиктеги тик бурчтуу координат системасы. Берилген О чекити аркылуу өтүшкөн жана өз ара перпендикулярдуу үч Ох, Оу, О? сан октору тик бурчтуу координат системасын түзүшөт. Мында Ох, Оу, Ог - сан октору координат октору деп аталат, О чекити - координата башталмасы деп аталат (3.8-сүрөт). 3.8-сүрөт Ошондой эле Ох-абсцисса огу, (Эу-ордината огу жана Ог-апликат огу деп аталат, ал эми хО у, уО т., хОг-координат тегиздиктери деп аталат. Ох, Оу жана Ог сан окторунда чен бирдик ар түрдүү же бирдей болушу мүмкүн. Тик бурчтуу координат системасы оң жана сол болушу мүмкүн 3.8-сүрөттө берилген координат системасы - оң координат система. Себеби хОу тегиздигинде Ох (^гу Оу огу
АУ1Т А8А^ОУ, ЯАМ|Х КАЕАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 146 (-; +) п I (+; +) $екП 3.7. ҮикапПа 3.6.§ек1тс1ек| пок1а81 1-тс1 коогсИпа! а^^зта, М2пок1ам 11 - 1пс1 коогсИпа! а§18та, М3 пок1а§1 III - ипси коогсНпа! а91зта уе М4 пок(ах| 1яе IV - йпсй коогсНпа! а^зта аПНг. 3. Шауйа каНегуеп коогсИпа! 8181ет1. УегПеп О пок1а8тс1ап £е<;с!1 ус Ып Ыппе сНк о1ап й<? Ох, Оу, Ог зау^за! екзегйеп сПк а?111 коогсНпа! 8181ет1т уеуа Охау каНехуеп коогсПпа! 8181егтт о1и§1игиг. Вигас1а Ох, Оу, Ох зау 1ха1 екзеЫепге коогсИпа! екзеп1еп <1етг. О покЫзта коогсНпа! 8151ет1П1П Ьа§1ап§1с 11ок1а81 үеуа огцш йетг (§екП 3.8). Вигайа с!а Ох - аЬ818 екзетсНг, Оу - опНпба! екзетсНг, 0? - арПка! екзетсНг, хоу, уог, хог - коопПпа! с1й21ет1епсНг1ег. Ох, Оу уе 0? 8ау1ха1 екзегПеппйек! Ыпт б1<?йкп ГагкИ ба е?И йе о1аЫИг1ег. ОИс а?111 коогНтп! 8181егт за§ уе зо1 убп1й с1аЫПг. $екИ 3.8' с!е уегИеп коогсИпа! 8181егт । коогсИпа! 8181егтсНг, фйпкй хоу <1йх1еттс1е Ох-екзет 90° уе с1бпс1йгй1с1ш’Ш1<1 Оу-екзет Ие аут о1таз119111 §егек уе уе!ег §аг! Ох-екзетпт заа! {Ьгезтс 1с< убпйе 90° уе йбпсШгШтевИк. $екИ 3.9 с!а уегПеп коогсИпа! 8181ет1 коогсИпа! 8181егтсНг, ^йпкйхОу сИ21еттс1е Ох-
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 147 менен 90° ка бурганда дал келет качан гана Ох огун саат жебесинин багытына карама-каршы бурганда. Ал эми 3.9-сүрөттө берилген координат система - сол координат система. Себеби хОу тегиздигинде Ох огу Оу огу менен 90° ка бурганда дал келет качан гана Ох огун саат жебесинин багыты боюнча бурганда. Мейкиндиктеги каалаган М чекитинин абалы, тик бурчтуу координат системасында төмөнкүдөй аныкталат. Берилген М чекитинен хОу тегиздигине перпендикуляр түз сызык жүргүзүп, ал перпендикулярдын хОу тегиздиги менен кесилүү чекитин Р менен белгилейли (3.10-сүрөт). 3.10-сүрөт Эми хОу тегиздигиндеги Р чекитинин хОу координат системасындагы координаталарын х жана у менен белгилейли. Ал эми т. санын төмөнкүдөй жол менен тандап алалы: Эгерде М чекити хОу тегиздигинен жогору турса (Ог- багытына карата), анда г = =1 МР| , ал эми М чекити хОу тегиздигинен төмөн турса (Ох багытына карата), анда 2 = - I МР|. Мында I МР| - М жана Р чекитинин арасындагы аралык. Анда х, у жана г сандары М чекитинин Охуг - координат системасындагы координаталарын аныктайт. Мында, х саны М чекитинин абциссасы, у саны М чекитинин ординатасы, ал эми г саны М чекитинин апликатасы деп аталат. Бул М(х,у,г) деп жазылат. Мисалы 3.11-сүрөттөгү М чекити төмөнкүдөй координаталарга ээ: х=1, у= - 2,г =3 б.а М(-1; $; 3).
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 КАГАТОҮ 1Л^ЕЕКСЕВ1К 148 сккегп 90° уе <1бпдйгй1дй§йпде (Эу-екзегн Пе ауш о1таз1 фп §егек ус уе)ег ^агг Ох-екзетп 8аа11Ьгез1 убпйпйе 90° уе ббпсШгШтезНИ. В1г Ьгауба Ьег М покЫзтт уеп каПегуеп коогсНпа) 8181еттс1с а$а£кI «I । §1Ы ЬеНгННг. УегПеп М покгазтбап хОу бйх1ет1пе сНк с1о§гу ^хеНт уе Ьи <Нк бо§ги Не хОу сШг1еттт кез!§те покТазт! Р Пе §б8)егеНт (§екН 3.10). §екП3.10. $1тсН хОу сШг1еттс1ек1 Р покизтт хОу каПехуеп коогсНпа! 818(еттс1ск1 коогсНпаНапт х уе у Не §б81егеПт. 2 заушт 1зе а§а§к!ак1 уогйст уагскгтуЬ зе^еНт: е§ег М пок1аз1 хОу бй21еттт уикапзтба уег1е$гт$.чс (Ог-убпйпе §бге) г = | МР| сНг; М покСаз! хОу бй21еттт а$а§)8т<1а уег1е§гт§8е (Ог-убпйпе §бге) о гатап 2 = -1 МР| о!иг. Вигас1а | МР| - М ус Р пок1а1аппт агазтбак! игакНкйг. О ЬаМе х, у се 2 зауНап М поккжтт Охуг каПехуеп коогбта] 8181еттс1ек1 коогсНпайапт ЬеНгНгкг. Вигайа \ 8ау18та М покТазтт аЬз^згсНг, у 8ау18та М пок1а81тп огсНпайсЬг, / 8ау18та 18е М покизтт арНкайскг йетг. Ви <1а М(х,у,г) §екНпс!е уа/|1н Оте§т §екН 3.11 дек! М пок(а81 а§а§Мак1 коогсНпаНага заЫрНг: х у= -2, 2=3, уат М(1; - 2; 3) с!йг. 1
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 149 3.11-сүрөт 3.2. ТЕГИЗДИКТЕГИ ЖАНА МЕЙКИНДИКТЕГИ ВЕКТОРЛОР. АЛАР МЕНЕН АТКАРЫЛУУЧУ АМАЛДАР Башталыш чекити А, ал эми аякталыш чекити В болгон АВ багытталган кесиндиси вектор деп аталат. Векторлор үстү сызыкча же жебе менен сызылган бир кичине тамга менен же эки чоң тамганын жардамы менен белгиленет. Мисалы, а — АВ же а - АВ (3.12-сүрөт). Векторду ал жаткан түз сызыкты бойлото жана параллел жылдырсак, ал вектор өзгөрбөйт. Берилген АВ векторунун узундугу деп, АВ кесиндинин узундугун айтабыз жана ал I АВI менен белгиленет. Эгерде эки жарыш вектордун багыттары бирдей жана узундуктары барабар болсо, анда ал эки вектор барабар деп эсептелет. Узундугу бирге барабар болгон вектор бирдик вектор деп аталат. Бир түз сызыкта же жарыш түз сызыктарда^жаткан векторлор коллинеардуу векторлор деп аталат.
АУ1Т А8АКОУ, КАМ1/ КАЕАТОҮ 1Л|ЧЕЕКСЕВ(К 150 §екП 3.11. 3.2. ОйХЬЕМПЕК1 УЕ 17.АҮ0АК1 УЕКТОКЪЕК УЕ О1ЧЕАК11Ч йХЕК1ИЕ ҮАР1ЕАСАК 1§ЬЕМЬЕК Ва§1ап§к? пок(а81 А зоп пок1ак1 1§е В о!ап АВ убп1епсНгПггн§ Но^ги раг^азта уекЫг Негнг. Уек1бг1еп йхеппйе уеуа ок 1§агей о!ап Ьн кй?йк ЬагЛе уеуа 1к1 Ьйуйк ЬагЯе ЬеПгННег. 6гпе§т а = АВ уеуа а = АВ ($екП 3.12). Уек1бгй йхеппйе ЫНипап с!о§ги Ьоуипса уеуа рага1е! о!агак 1а§1гзак о уек!бг Не§1§те2. §екП3.12. ҮегПеп АВ уекЫгйпйп Ьйуйк1й§й сПуе АВ с!о§ги раг^азтт и2ип1и£ш1а с1еп1г уе | АВ | Пе §б81епНг. Е§ег 1к1 рага1е! уек!бгйп убп!еп аут м Ьйуйк1йк1еп е?П 18е о хатап Ьи 1к1 уек1бг Ып Ыппе зауНт Вйуйк1и£и Ыге е§П о!ап уекгбге Ыпт уек1бгй Нешг В1г <1о§ги йхегтНе уеуа рага1е1 Но§ги1аг йхегтНе уег1е§еп уек1бг1ен рага!е1 үек1бг!ег Нетг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РЛФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 151 Эгерде вектордун башталыш жана аякталыш чекиттери дал келсе, анда ал вектор нөлдүк вектор деп аталат жана ал 0 же 0 менен белгиленет. Мисалы, 0 = АА жана анын узундугу |о| = |.44| = 0. Нөлдүк вектордун багыты каалаган багыт болгондуктан, аны ар кандай векторго коллинеардуу дейбиз. Векторлор менен төмөнкү жөнөкөй амалдар аткарылат: 1. Вектор а ны каалаган АеК. санына көбөйтүүсүн Ъ =ка менен белгилесек, анда I Ъ I =1 Х| | а | жана А > Оүчүн а жана Ъ векторлорунун багыттары дал келет, ал эми Х<0 саны үчүн а жана Ъ векторлорунун багыттары карама-каршы болот (3.13-сүрөт). Биз -а= (-!)• а векторун а векторуна карама-каршы вектор деп айтабыз. 3.13 сүрөт 2. Берилген а жана Ъ векторлорунун суммасы деп, башталыш чекити а векторунун башталыш чекити менен дал келген, ал эми аякталыш чекити Ъ векторунун аякталыш чекити менен дал келген С=а+Ъ векторун айтабыз. (3.14-сүрөт). 3.14-сүрөт.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КЛМ1Л КАГАТОУ ЫКЕЕК СЕВ1К 152 Е£ег уек1бгйп Ьа?1ап|19 уе зоп пок1а1ап ауш 15е о уекЮге 51Г1г уск(бг (1еп1гуе о үеуа о Пе §бз1епПг. Оте§т о = АА Ыг уе опип Ьйу11кИ1§0 |о| = |АА^ = 0 скг. 81Г1г уек(бгйп убпй кеуй Ыг убп о1аса£1пс1ап о уек(<">И1 Кег уекгбге рага1е!Ыг Пешг. Уек(бг1ег йгеппе а$а§к!ак1 Ьа$И 1§1ет1ег уарПи*. 1. Үек<бг а шп кег ЛбК $ау1$1 Пе ^агршп Ь = Лл Пе §бз1ег!гяск о Ка1с1е |/>| = |Я.||а| уе Л>0 19111 а уе Ь уек1бг1еппт убп1еп аутсИг, Х< 0 $ау181191П 1§е а уе Ь уек1бг1еппт убп1еп Ып Ыппе каг§1 о1иг ($екП 3.13). В1г -а = (-!)• а үеЫбгйпй а үек(бгте каг?1, уаш 1егз үек(бг ПеЫг. §екП 3.13. 2. УегПеп а үе Ъ \ек(бг1ег!гнп ГорЫгт <11уе, Ьа§1ап§19 покГаз! а үекГбгйпйп Ьа§1ап§1д покГаз! Пе ауш, зоп пок1аз11зе Ъ уекГбгйпйп \оп покГаз! о1ап с = а + Ь уекГбгйпе йегнг (§екП 3.14). §екП 3.14.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 153 Мында С вектору а жана Ъ векторлорунун жардамы менен түзүлгөн параллелограммдын диагоналы болот (параллелограмм эрежеси). Ушундай эле жол менен_ бир_ нече вектордун суммасы аныкталат._ Мисалы а, Ъ, С, (1 төрт_ вектордун суммасы е=а+Ъ+с+с1 төмөнкүдөй аныкталат: Ъ векторун жарыш которуп, анын башталыш чекитин а векторунун аякталыш чекити менен дал келтиребиз. Андан кийин, с векторун жарыш которуп, анын башталыш чекитин Ъ векторунун аякталыш чекити менен дал келтиребиз. Ал эми векторун жарыш которуп, анын башталыш чекитин С векторунун аякталыш чекити менен дал келтиребиз. Анда, башталыш чекити а векторуиун башталыш чекити менен дал келген, ал эми аякталыш_ чекити векторунун аякталыш чекити менен дал келген вектор е = а.+Ъ + с +с1 болот (3.15-сүрөт). 3. Берилген а жана Ъ векторлорунун айырмасы деп, а вектрруна &_векторуна карама-каршы (-Ъ ) векторун кошкондогу с = а - Ъ = а +(-Ъ ) векторун айтабыз. (3.16-сүрөт)
АҮ1Т А8А1ЧОУ, ЙАМ1Х КАГАТОУ Ь1НЕЕКСЕВ|К 154 Вигаба с уек(бгй а уе Ъ уек1бг1еп уагс111гау1а кипЯап рага1е1кепапп кб?е£етсПг (рага1е1кепаг кигак). Вепхег §екПс!е Ыг ка? уеЫбгйп 1ор1апи 1атт1атг. 0гпе§1п а,Ь ,с,(/ с!бг1 уек1бгйп 1ор1агт е =а +Ъ +С +с1 а?а§1с!ак1 §1Ы 1атт1аш1 Ь уек!бгйпй кепсНзте рага1е1 ?екНс!е уег <1е§1§йгегек Ьа$1ап£19 поИазии о уексбгйпйп зоп пок1:а81 Пе аут покТауа §еНпп2. ЭаЬа зопга с Уек1б1 ипи кепсПзте рага1е1 §екПс!е уег с!е§1§йгегек опип Ьа$1ап§1<? поИахии '• уекТбгйпйп зоп покСаз! Пе аут покТауа §ейппх. (1 үекюгйпй йе кспсЬ ?екПс!е уег с!е§1?Нгегек Ьа§1ап§1? покХаз! а уекСбгйпйп Ьа?1ап§1? покСаз! Пе аут уе зоп покгаз! с! уекЮгйпйп зоп пок1а81 Пе аут поЫайа Ьи1ипап уек1бг ё = а+Ъ +С +с1 о1иг(§екП 3.15). 3. УегПеп а че Ь уекК>г1еппт Гагк1 сНуе а уексбгй Пе Ь уексбгйпе каг§1 (-Ь ) уеЫбгйпйп 1ор1агт о1ап с =а-Ь =а+(-Ь ) уекЮгйпе Петг (§екП 3.16). -Ь §екП 3.16.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 155 Векторлор менен аткарылуучу амалдар төмөнкү касиеттерге ээ: 1°. 0 • а = О , - мында О -нөлдүк вектор; 2°. т-О=О,теК; 3°. 1 • а=а- 4°. к • т а= к(та), к, т е К; 5°. а + Ь = Ь + а (коммутативдүүлүк); 6°. (а + Ъ ) + с = а + (Ь +с ) (ассоциативдүүлүк); 7°. а + О = а; 8°. а+(-а)=О‘, 9°. к а + т а = (к + т) а, к, т е К; 10°. т(а + Ь ) = т а + т Ь , т е К. Эгерде мейкиндиктеги а , Ъ жана С үч вектору бир тегиздикте жатса же аларга параллель (жарыш) болгон тегиздик бар болсо, анда бул үч вектор компланардуу векторлор деп аталат. Вектордун окко түшүрүлгөн проекциясы: Бизге Ох огу жана ал ок менен <р бурчун түзгөн а вектору берилсин . Мында <р бурчу Ох огунан а векторун көздөй саат жебесине карама-каршы багытта ченелген бурч. Анда а вектордун Ох огуна түшүрүлгөн проекциясы Прха төмөнкү формула менен аныкталат: Прх а =1 а\ со8ф. Ар кандай эки вектордун суммасынын 0х огуна түшүрүлгөн проек- циясы, ал векторлордун проекцияларынын суммасына барабар б.а. Прх(а+Ъ)=Прха +ПрхЪ . Вектордун координаталары. Тегиздикте же мейкиндикте координат системасы жана каалаган а вектору берилсин. Ал а векторун өзүнө карата параллель (жарыш) которуп, ал а вектордун башталыш чекитин коодинат башталмасы менен дал келтиребиз. Бул алынган а вектордун аякталыш чекитинин координаттары а векторунун координаттары деп аталат. Берилген Оху тегиздигиндеги а = ОМ, векторунун координаталары М чекитинин координаталары х менен у болот жана ал а = {х; у} деп жазылат (3.17-сүрөт). *
I >с> АУ1Т АНАМОҮ, КАМ1Х КЛЕА ГОУ ЫМЕЕЕСЕВШ Уек(бг1ег йгеппе уарйап 1$1еш1ег а$а£к!ак1 бгеШк1еге заЫр(1г: I 0 • а = 0 , Ьигайа О - 81йг уекгбгййг 2". 111-0=0 , т е К; V'. I • а = а; •I" к-та = к(та), к,теК; а + Ь = Ь + а (уег (1е§1§Нгте); (а + Ь ) + с = а + (Ь +с) (<1а§1(та). а + 0 = а; Ьа + (-а) = 0 ; к а + та = (к + т) а, к, тсК; I ()*’. т(а + Ь) = та+тЬ, т е К. Е§ег Ыг ихаус1ак1 а, Ь уе с и<? уек(бг аут с1йг1ете аП 1 зе уеуа I и пНага рага1е1 о1ап Ьйг <1й21ет уагза, о ЬаШе Ьи й<? уек(бге 1теег Ьа£т11| сск(бг1ег йетг. В1г уек(бгйп ек$еп йгеппйек! кйй^йтй: Ох - екзет уе а уекЮгП усгИзт уе Ьип1апп агазтйак! а?1 ср оЬип. Вигайа ср = (а лох) - ау1М1 Ох - екзептйеп а уек(бгйпе (агаГ заа( 1Ьгезте каг§1 убпйе б1?й1еп а(;к1и 0 ЬаШе а уек(бгйпйп Ох екзет йгеппйек! кйй^йтй (рго]ек$1уопи) Р1\ а а$а§1с1ак1 Гогтй1 Пе (апшПатг: Ргл а = \ а\ созср. НегЬап§1 1к1 уек(огйп (ор1аттт Ох- екзет йхегтйек! 12(1й§йтй о уек(бг1епп 1гс!й§йт1еппт (ор1атта е§1((1г, уат РгА (а + Ь) = Ргл а + Ргг Ь (Нг. В1г уек(бгйп коопНпа(1ап. В1г <3й21етс1е уеуа игауйа коогс!та( 818(е1т уе Ьег Ьап§1 Ыг а уек(бгй уегПзт. а уек(бгйпй кепсНзте рага1е1 §екПс1е уег с1е§1§(1гегек о уек(бгйп Ьа§1ап§19 пок(а81т огцт пок(а81 Пе аут пок(ауа це(1геЫ11П2. Ви а уек(бгйп зоп пок(а8тт коогс!та(1аппа а уек(бп'п|(1п коог(Ппа(1ап с1етг. УегПеп Оху с1йг1еттс1ек1 а= ОМ үексбгйпйп коогсПпа(1ап М покГазтт коог<1та(1ап о1ап х хе у <1е§ег1епсПг уе а = {х , у} §екПпс1е уагПп- (*м I 3.17).
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОТ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 157 Берилген Охуг мейкиндигиндеги а = ОМ, векторунун координаталары М=М(х;у;г) чекитинин координаталары х, у жана г болот жана ал а = {х; у; г} деп жазылат (3.18-сүрөт). Эгерде тегиздикте а} = {х,; у,} жана а2 = {х2; у2} векторлору берилсе, анда ар кандай ЛеН үчүн ).а} = {Хх]; Ху1} жана ал эки вектордун суммасы менен айырмасы төмөнкү формулалар менен аныкталат: а = <7] + а2 = {х/ + х2; у/+у2} , Ъ = ах-а2 = {Х!-Х2; угу2} Ал эми а = {х; у} векторунун узундугу \а\ = у/х2+у2 (1) формуласы менен аныкталат. Эгерде мейкиндикте а = {х;у; г}, а{ {х^; у^; г^} жана й2 = {х2; у2; г2} векторлору берилсе, анда ар кандай ЛеВ үчүн Ла = {Лх; Лу; Лг} жана а вектордун узундугу, а} менен а2 векторлорунун суммасы жана айырмасы төмөнкү формулалар менен аныкталат:
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 ЯАЕАТОУ Ы^еенсев1н 158 УегПеп Охуг ихаушдакл а = ОМ үек!бгйпйп коогсНпаНап М(х,у,г) покСазшт коог<Нпа11ап х, у уе 2 о1иг уе а = {х, у, 2} §екНпс1е уа2111г (§екП 3.18). Е§ег дй21етде а\ = {х/ , х^} ус а^ = {х2 , У2} уек1бг1еп уеп1т1§зе, о гатап Иег ХеК фп Ха\ = {Л, х/ , "к у^} сНг уе Ьи 1к1 уек1бгйп 1ор1агт үе Гагк1 а§а§1йак1 ГогтйПег Пе 1атт1ап1г: а= а\+ а2 = {*/ + х2, у/+ у2}, Ь = ага2 = {х!-х2,у1 - у2} а уекШгйпйп Ьйуйк1й§й 1зе (1) ГогтШй Пе 1ап1т1атг. Е§ег Ыг игауйа а = {х ; у; 2}, а \ = {х,; у,; 2,} уе а2 ={х2 ; у2; уекГбНеп уеп1гт§8е, о гатап кег ХеК. 191П ка = {Л х; Л у; X 2} о!иг ус и уек1бгйпйп Ьйуйк1й§й, а\ хе а2 уек1бг1еппт 1ор1агт уе Гагк1 а?а§к1ак| ГогтйПег Пе 1атт1атг:
159 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА | а\ = ^х2 + у2 + х2 (2) С = а 1+ а2 = {х/ + х2, у/+ у2, г,+ г2 }, с1=а\-а2 = {х,-х2,у1 -у2, 2!-г2}. Берилген Оху тегиздигиндеги / = {1; 0} бирдик векторунун багыты Ох огунун багыты менен дал келет. Ал эми у = { 0; 1} бирдик векторунун багыты Оу огунун багыты менен дал келет. Ар кандай а = {х; у} вектору үчүн а = х1 +уу (3) барабардыгы орун алат. Ошондуктан / жана } бирдик векторлору тегиздиктеги векторлордун базиси деп аталат. Бул / жана / бирдик векторлорун Оху координат системасынын орталары деп да айтышат. Берилген Охуг мейкиндигиндеги /={1; 0; 0} бирдик векторунун багыты Ох огунун багыты менен дал келет. Ал эми / = {0; 1 ;0} жана к = {0;0;1} бирдик векторлорунун багыттары жазылуу ирети боюнча Оу огунун багыты менен жана 0г огунун багыты менен дал келет. Ар кандай а = {х;у; г} вектору үчүн а = х1 +у] +гк (4) барабардыгы орун алат. Ошондуктан / , ) жана к бирдик векторлору мейкиндиктеги векторлордун базиси деп аталат. Бул / , 7 , к бирдик векторлорун Охут, координат системасынын орталары деп да айтышат. Жогорудагы (3) же (4) формулалары а векторун орталар менен ажыратуу деп аталат. Берилген а = {х;у; г } векторунун багыты, ал вектордун Ох, Оу жана 0г координат октору менен түзгөн а,Р жана ү бурчтары менен аныкталат. Бул бурчтардын косинустары а вектордун багыттоочу косинустары деп аталышат жана алар төмөнкү» формулалар менен аныкталат:
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАГАТОУ 1ЛМЕЕК СЕВ1К 160 | «| = ^х2 + у2 +г2 (?) С = а 1+ а2 = {X) + х2, У1+ у2, х,+ ?2}, б7= О,- Я2 = {Х/-Х2, У1-У2, 21-22 }. УегПеп Оху <1й21еттдек1 / = {1; 0} Ыпт уекТбгйпйп убпй Ох -скнсп1тп убпй Пе аушскг. ] = { 0; 1} Ыпт уек1бгйпйп убпй 1зе Оу скхсттп убин Пе аутскг. Нег а = {х; у;} үекгбгй 19111 а = хг + у} ('1 е§М1§1 8а§1атуог. Ви пе<1еп1е / уе ] Ыпт уек1бг1еппс с1й/.1стс1с1> । уек1бг1епп Ьаи Петг. Ви / уе у Ыпт уек1бг1еппе Оху коогскла! 818(стти) Ьах уек(бг1еп <1е Петг. УегПеп Охуг ихаутбак! / = {1; 0; 0} Ыпт уекТбгйпйп убпй Ох - ек8с-1и убпй Пе аутскг. 7 = {0; 1; 0} уе к = {0; 0; 1} Ыпт үек1бг1еппт убпк-н 18е 81газ1у1а Оу - екзетп убпй уе Ог- екзепт убпй Пе аутскг. Нег кап§1 Ыг а = {х; у; 2} үек/бгй 191П а = х1 + у] + гк (4) е?кк§1 8а§1атуог. О пебегПе /,] уе к Ыпт уек(бг1еппе и/.ау<1ик1 уек1бг1епп Ьа/1 Петг. Ви /,] уе к уек1бг1еппе Охуг каПе/уеп коогскпа! 8181еттт с4е Ьах уекЫНеп <1етг. ҮикапПак! (3) уеуа (4) ГогтйПеп а уекТбгйпйп Ьаг уек1бг1еппе аупЬт! сДетг. УегПеп а = {х ; у; 2} уекйгйпйп убпй Ьи уексбг Пе Ох, Оу ус Ог коогсНпа! екзеЫеп агазтбак! а^Паг о1ап а , Р уе ү а^Пап уагс1нп1у1а (атггПатуог. Ви а^Папп ко8тй81еппе а уек/бгйпйп убп1еп(Ппс1 ко$1пПчкг1 Негйг үе а§а§1Пак1 когтйПег Пе ЬекгйННег:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОН СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 161 |«| д/х2 + у2 +г2 ’ |а| ’ |д| (5) Вектордун багыттоочу косинустары төмөнкү формула менен байланышкан: соз2а + соз2 Р + соз2 ү = 1. 1-МИСАЛ. Берилди а = { 2; -1; -2} жана Ъ = { 8; -4; 0}. 1) С=2#жана А=Ъ-а векторлорун; 2) С жана <7 векторлорунун узундуктарын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Аныктама боюнча С=2а={ 2- 2; 2(1); 2(-2)} = = {4; -2; -4} жана с! =Ъ-а = { 8 -2; -4-(-1) 0-(-2)} = { 6; -3; 2} болот. 2) Жогорудагы (2) формуланын негизинде I с1= д/42+(-2)2+(-4)2 =6; Ы= 7б2+(-3)2+22 =7. Берилген а= {х;у; х }* 0 вектору үчүн а0 = вектору бирдик М вектор болот жана а менен ао векторлорунун багыттары дал келет. Бул ао бирдик вектору берилген а векторунун ортасы деп аталат. Ал эми ао векторун табуу а векторун нормалдаштыруу деп аталат. Демек, а =| а | ао болот. 2-МИСАЛ. Берилген АВС үч бурчтугунун АВ жагын М жана N чекиттери үч барабар кесиндилерге бөлөт, б.а. |ВИ|= |ЫМ|= |МА|. Эгерде СА = а жана св = ъ болсо, анда СМ векторун тапкыла (3.19 - сүрөт).
АУ1Т АЯАЫОУ, КАМ12. КАГАТОУ 1Л1\ЕЕК СЕВ1К 162 XX у 2, СО8 а = Г27 = , СО80 = Т2Т, созү = . (5) |а| у]х2+у2+22 |«| Н В1г уекШгйп убп1епс11пс1 ко8тй51еп а§а§к!ак1 е§ИН§1 за§11уог1аг: СО82а + СО82 Р + СО82 ү = 1. ОК^ЕК1.: а = {2; -1; -2} уе Ь = {8; -4; 0} уеп1пн§Нг. |)с=2ауе с1 = Ь —а уек(ог1епп1 2) с уе <7 үек1бг1епп1п Ьйуйк1йк1епт Ьи1ипих. 6ОХЁМ: 1) V ек1бг1епп Таттта §бге с = 2а = {2-2; 2-(-1); 2-(-2)}={4;-2;-4} уе А = Ь -а ={8-2; -4-(-1); 0-(-2)}={6; -3; 2} о1иг. 2) Үикапйак! (2) ГогтШй пеНсезтйе I с| = д/42 +(-2)2 +(-4)2 =6; I Л = д/б2 + (—З)2 + 22 = 7 1 а11П2. УегПеп а= {х; у; г}& 0 уекТбгй 1§т а 0 = т-^т уек(бгй Ыпт I а\ уекШгйййг уе а уе а 0 уекЮНеппт убп1еп аушШг. Ви а о Ыпт уекЮгйпс уегПеп а уек1бгйпйп Ыпт уек1бгй <1етг. а 0 уек1бгйпй ЬЫтак а уекШгйпй погт1а§йгтак йетекНг. Вигайап а = I а | а 0 е§11И§1т акпх. ОК1ЧЕК 2.: УегИеп АВС й9§ептт АВ кепапт М уе N пок1а1ап й? 1апс Ып Ыппе е§11 йо§ги раг^аЬппа Ьб1йуог1аг, уаш |ВЫ|= |ЫМ|= |МА| (||г. Е§ег СА =а үе СВ = Ъ 1зе СМ үекТбгйпй ЬЫипиг (§екП3.19).
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 163 3.19-сүрөт. ЧЫГАРУУ. Аныктама боюнча СВ = СА + АВ. Мындан 7ё=6-д.Алэми АМ = (1/3) АВ = (1/3)(&-а ). Бирок СМ = СА + АМ болгондуктан, СМ = а + (1/3) (Ь -а ) = = (1/3) (2а +Ь ) болот. 3-МИСАЛ. Берилген а ={ 2; -2; -1} векторунун координат октору менен түзгөн бурчтарын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Жогорудагы (5) формуладан 2 2 о -2 1 соз а = , .. ..... — = — , созр =-; созү = — л/22 +(-2)= +(-1)2 3 3 3 Мындан а«48°1Г; р = 131°49’; ү=109°28’. Берилген а ( = {х^; у:; г^} жана а 2 {х2; у2; г2} векторлору коллинеардуу болот качан гана ал векторлордун координаталары пропорционалдуу болсо, б.а. х7 у, 2, , -1- = ^- = ^- = Л (6) X, у{ 2, болсо. Эгерде А > 0 болсо, анда а , жана а 2 векторлорунун багыттары дал келет. Ал эми X < 0 болсо, анда а 1 жана а 2 векторлорунун багыттары карама-каршы болот. ЭСКЕРТҮҮ. Эгерде а 1 векторунун кандайдыр бир координатасы нөл болсо, анда (6) пропорцияда, ал координатага туура келген а 2 векторунун координатасы да нөл болот.
АУ1Т А8А1ЧОУ, ЙАМ|Х КАГАТОУ Ь1^ЕЕКСЕВ1К 16,4 (1ОХЁМ: Уек1бг1епп 1ор1ат1 Таттта §бге СВ = СА + АВ с1п Вигайап АВ = Ъ -а акпх уе АМ = (1/3) АВ = (1/3)х х (Ь -а) <11г. Ата СМ = СА + АМ оИи§ип(1ап СМ = а+ (1/3)(Г-а) = (1/3)(2а+6) у1а11пх. ОК1ЧЕК 3: УегПеп а ={ 2; -2; -1} уек1бгй Пе коогсНпа! ек8еп1сп агазиШаШ а?11ап Ьи1ипих. СОХОМ: Үикапс1ак1 (5) ГогтЫйгШеп 2 2 п -2 1 со8 ос = ----....... . , созр =---; созү = —. д/22 +(-2)2 +(-1)2 3 3 3 е?1Шк1епп1 акпх. Вигадап с1а а ~ 48° 11 ; р ~ 13Г49; ү ~ 109°28 . о1иг. УегПеп а । = {хг уг че а 2 = {х2; у2; 2 2} уек1бг1еппт рага1е1 о1тая1 1 (;ш §егек уе уе1ег §аг1 оп1агт коогсНпаПаппт огапйк о1та81с11г, уат Х2 У1 21 2 — = —= —= Я (6) х, у^ е§й11к1еппт 8а§1апта81с11г. Е§ег X > 0 18е, а х уе а 2 уек1бг1егтт уоп1еп аутШг, X < 0 18е а । уе а 2 Уек1бг1епп1п убп1еп Ып Ыппе каг§1с!1г. 11ҮАК1: Е§ег а 1 уекТогипип кег11ап§1 Ыг коогсПпаН 81йг 18е, §и какк но е§кПк1еппс1ек1 а 2 уекШгйпйп Ьи коогсНпаШ каг§111к §е1еп коогсПпаи <11 81Йгд1Г.
165 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 4-МИСАЛ. а = {-2; 1; 3} жана <72 = {4; -2; -6} векторлору коллинеардуу жана карама-каршы багытта. Себеби, (6) формула боюнча 5-МИСАЛ. а ] = { 4; 0; 10} жана <72 = { 6; 0; 15} векторлору коллинеардуу жана багыттары дал келет. Себеби = { 2; 0; 4} жана <7 2 = { 4; 0; 2} векторлору Себеби (6) формула боюнча 4 п 22 2 6-МИСАЛ. <7 1 коллинеардуу эмес. *2_._ 2 2> 4 Тегиздикте А.{хг у/} жана В {х2; у2;} чекиттери берилсе, анда АВ = {х2 — хг,у2—у1} формуласы менен аныкталат. Мейкиндикте А{хг уг 21} жана В{х2; у2; 22} чекиттери берилсе, анда АВ вектору АВ = {х2 - хг у2 -уг 22-21} (7) формуласы менен аныкталат. Мисалы А(-2; 4; 5) жана В(7; -1; 6) чекиттери үчүн (7) формуланын негизинде АВ = {7-(-2); -1 - 4; 6 -5} = {9; -5; 1}, ВА = {-2-7; 4-(-1), 5-6} = {-9; 5; <1} болот.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 КАГАТОУ Ь|^ЕЕКСЕВ|К 166 ОК^ЕК 4.: <7 1 = {-2 ; 1; 5} уе а 2 = {4 ; -2; -6} уекК5г!еп рага!е1 уе каг§1 уоп1ис1иг1ег ?йпкй (6) ГогтйШпе §бге Л^^^ = _2<0 (-2) 1 3 <11 г. ОКИЕК 5.: а 1 = {4; 0; 10 } ге а 2 = {6; 0; 15} уек(бг1еп рага!с1 ус ауш убп1йс1йг1ег, <?йпкй (11Г. О1ЖЕК 6.: <7 1 = {2 ; 0; 4} уе <7 2 = {4 ; 0; 2} уек1бг1еп рага1е! (1е§ПсПг1ег, фйпкй (6) ГогтиШпе §бге ^- = - = 2 уе — = — = 0.5, 2*0.5 х} 2 г, 4 сИг. В1г сШ/Штйе А(х/л у^) үе В(х2, у2) покЫап үегПгт^зе АВ уекШгй АВ = {х2 — хгу2—у1} ГоппйШ Пе 1атт1атг. В1г ихауйа А(х/, у^ уе В(х2>, у2„ х2) пок1а!ап үеп1пй$5е АВ уекШгй АВ = {х2 - хг, у2 -уг, 22-2,} (7) ГогтйШ Пе 1атт1атг. Оте§т А(-2; 4; 5) уе В( 7; -1; 6) пок1а1ап 19111 (7) ГогтйШ пейсезтск ~АВ = {7-(-2); -1 - 4; 6 -5}={9; -5; 1}, ИА = {2-7; 4-(-1), 5-6}= {-9; 5; -1}
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 167 3.3. ВЕКТОРЛОРДУ СКАЛЯРДЫК ЖАНА ВЕКТОРДУК КӨБӨЙТҮҮ. АРАЛАШ КӨБӨЙТҮҮ 1. Эки а жана Ъ векторунун скалярдык көбөйтүндүсү ал векторлордун узундуктарынын көбөйтүндүсүн алардын арасындагы бурчтун косинусуна көбөйткөнгө барабар. Ал эки вектордун скалярдык көбөйтүндүсүн а -Ь менен белгилеп, ал эми арасындагы бурчту ф менен белгилесек, анда а -Ъ =1 а\-\ Ъ |-со8ф (1) Демек эки вектордун скалярдык көбөйтүндүсү санды аныктайт жана ал төмөнкүдөй касиеттерге ээ: 1) а • а = I а I2; 2) а -Ъ = 0, эгерде а = о же Ъ = 0, ал эми а *о жана Ъ * о .болсо, анда а ± Ъ болот. 3) а -Ъ = Ъ • а (коммутативдик); 4) а (Ъ + с ) = а -Ь + а -С (дистрибутивдик); 5) (та)-Ъ = а (тЪ ) = т(а -Ъ ), мында т - чыныгы сан. Берилген Оху тегиздигиндеги а = {ху у,} жана Ъ = {х2; у2} векторлору үчүн а -Ъ = X! х2 + У1у2 (2) болот. Ал эми бул эки вектордун арасындагы бурч төмөнкү а Ъ х. • х, + у. - у, С03(Р= 7^ГН = ~Г=^=^Г=^== (3) ИН А2 +х чч2 + л2 формуласы менен аныкталат. Мейкиндиктеги тик бурчтуу Охуг координат системасында а = {ху уу 2)} жана Ь = {х2; у2; х2} векторлору үчүн а-Ъ = X; Х2 + У/у2 + ?! 22 (4) болот. Ал эми бул эки вектордун арасындагы бу^ч төмөнкү
АУ1Т А8АМОУ, КАМ|Х КАГАТОҮ |(,Х Ы^ЕЕКСЕВ1К 3.3. УЕКТОКЬЕК!^ 8КАЬЕК ҮЕ ҮЕКТОКЕЬ САКР1М1. КАКМА§1К САКР1М 1. УегПеп 1к1 а уе Ъ үек1бг!епгпп $ка1ег ^агрпти Ьи уек1(к1сП11 |уйк1йк1епп1п уе агазшйак! а^шш козтйзйпйп ^агршипа е>н(1Г. () Пм к1бгйп зка1ег еагршиш а • Ъ Пе үе агазтйак! а?1у1 (р Пе §б81епг8ек а Ъ = I а I -I Ъ\ созф (I) (Ш§ 1т а11пх. Оетек 1к1 уекхбгйп зка1ег <?агр1т1 Ыг 8ау1у1 ЬеИгХ1г ус а^а§к1ак| 'е1Пк1еге заЫрйг: 1) а а = I <7р; 2) а Ъ = 0 е§ег а = о 18е уеуа Ъ = о 1зе; е§ег а*о ус Ь * Ъ е, о хатап а 1_Ъ <Пг; 3) а Ъ = Ъ а (уег <1е§1§Ште бхеШ§1); 4) а(Ъ+С)=а-Ъ+а-С ((1а§11табгеШ§1); 5) (т<7 )Ъ = а (тЪ ) = т(а Ъ ). Вигайа т — гее! заупкг. УегПсп Оху <Шх1еттс1ек1 а = {х/; у^} хе Ъ = {х2; у2} уек(бг1еп 19111 а-Ъ =х/х2+у,у2 (2) о1иг. Ви 1к1 уекТбгип агазтйак! а?1 а$а§1<1ак1 а-Ъ х, • х2 + у, • у2 СО8 ф = ----1—1 = ------------77-— ( 1) ИН л/Х1 + У1 • л/*22 + у1 ГогтйШ Пе ЬеПпШг. 1}хаус1ак1 Шк асШ Охуг коогШпа( 818(еттс1е а = {х7; у,; г,} уе ъ = {х2 : У2>' ^2} Уек1ог1еп 19111 а Ъ =Х1Х2+у!у2+ 2122 (4) о1иг. Ви 1к1 уекЮгйп агазтйак! а?1 а§а§1с1ак1
169 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА х,х2 + у,у2 +г,22 соз ф = .. ..... _............. — (5) д/х, + У,2 + 2,2 • у/х! + у2 + 222 формуласы менен аныкталат. Тегиздиктеги а = {ху у/} жана Ь = {х2; у2} векторлору үчүн: . ч -11 г х2 у, , 1) а II о качан гана — = — = т оолсо; х, Т1 2) а1 Ъ качан гана х/ х2 + У1у2 = 0 болсо. Мейкиндиктеги а = {ху уу, г^} жана Ъ = {х2; у2; г2} векторлору үчүн 1) а 11 Ь качан гана — = —= — болсо- х, у{ г, 2) а ± Ь качан гана X/ х2 + у, у2 + г/ г2 = 0 болсо. Берилген /, у’, к орталары үчүн / • I = / • / = к • к =1, I у = / к = у • к = 0 болот. СКАЛЯРДЬШКӨБӨЙТҮҮНҮН ФИЗИКАЛЫК МААНИСИ: Эгерде а = ОА (3.20-сүрөт) материалдык чекиттин которулуп жылышын сүрөттөсө, ал эми вектор Р = ОР материалдык чекитке таасир эткен күчтү билдирсе, 3.20 - сүрөт. анда алардын скалярдык көбөйтүндүсү а Р саны Р күчүнүн жумушуна барабар. 1-МИСАЛ. а = {-2; 1; 2} жана а2 = {-2; -2; 1} вектор лорунун: 1) узундуктарын жана скалярдык көбөйтүндүсүн тапкыла; 2) арасындагы бурчту тапкыла.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАГАТОУ ЫИЕЕН СЕВ1К + У1У2 +21*2 1огтй1и Ие ЬеПгННг. 0й21ет<1ек1 а = {х;: у/} хе Ь = {х2;у2} уек1бг1еп 11 -1'1 — Х2 У2 I) а 11 Ь о1таз119111 §егек уе уе1ег §аП: — = — = т сНг; Х1 У1 2) а ± Ъ о1таз119111 §егек үе уе1ег §аН X/ х2+ у/у2 =0 с11г. Ыгауйак! а = {х/; уг, ?:} че Ь = {х2; у2, г2} уекЮг1еп 191П -II - Х2 У2 г2 I) а\ I Ъ о!таз119111 §егек уе уе1ег §аН — = — = — сНг; Х1 У, 2, 2) а ± Ъ о1таз119111 §егек уе уеТег §аг1 X/ х2+ у/у2+ ?/+ х2=0 скг. УегПеп /, 7, к Ьах уек1бг1еп 19111 / • / = у • у = к • к / ] = I • к = 7 -к = 0 о1иг. 8КАЕЕК САКР1М1ГС ЕШК8ЕЬ А^ЬАМ! Е, Ах 77 а / §екП 3.20. Е§ег а = ОА (§екП 3.20) уекГбгй тасИезе! пок1атп Иагекейт §б81епуог8а, Р = ОР уекГбгй тасШезе! покТау ЬагекеГе §еНгеп §69 18с, уекГбНепп зка1ег ^агрит о!ап а • Р зауш Р §й^й ГагаГтбап уарНап 1§е е§ййг. ОК1ЧЕК 1.: а । = {-2 ; 1; 2} уе а2 = {-2 ; -2; 1} үек1бг1ептп: 1) Ьйуйк1йк1епт уе зка!ег ^агритт Ьи1ипиг; 2) агазтПак! 391^1 Ьи1ипиг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 171 ЧЫГАРУУ. 1) Берилген векторлордун узундуктары: | = у](-2)2+\2+22 = 3; |а2| = д/(-2)2+(-2)2+1 = 3 Алардын скалярдык көбөйтүүсүн (4) формула менен аныктайбыз: а । а 2 = (-2)(-2) + 1(-2) + 2-1=4. 2) Векторлордун арасындагы бурчту (5) формула менен аныктайбыз: а. • а, 4 4 СО5ф = , . , . =---= —. |а1|-|а2| 3-3 9 Мындан, арасындагы ср бурчун аныктайбыз: ф = агс со5 (4/9) « 63°37’. 2-МИСАЛ. Материалдык чекитке таасир эткен Р күчүнүн модулу 5Н, ал эми материалдык чекитти которуу вектору а нын узундугу 4 метр болсун. Бул эки вектордун арасындагы бурч а=45° болсун. Анда Р күчүнүн жумушу төмөнкүдөй аныкталат: Р а = 1 РI • I а \ -сова = 5-4 С05 45°= 5- 4- = 10л/2 = 14,1 (Дж) 3-МИСАЛ. Берилген /, у, к орталары үчүн (/ + к) • (/ - к) скалярдык көбөйтүүсүн аныктагыла. ЧЫГАРУУ. Берилген I, 7’ ,к бирдик векторлору өз ара перпендикуляр болгондуктан / • у = I • к = у • к = 0 жана к -к = / • / = у • ] = 1. Демек (/ + к) • (у - к) = / • у - / • к + у -к -к • к = -1. 4-МИСАЛ. Берилди а = ш / + 37 + 9к жана Ь = 4/ + пу —2к . Бул эки вектор ш параметринин кандай маанисинде өз ара перпендикулярдуу? ЧЫГАРУУ. Мында а = { т ; 3 ; 9 } , Ъ = { 4; т; -7} болгондуктан, а-Ъ = т • 4 + 3 • т + 9(-7) = 7т - 63.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ12 КАРАТОУ иИЕЕК СЕВ1К 172 СОгОм: 1) уегйеп уек1ог1ег1п Ьйуик1йк1еп: |а,| = 7(~2)2+12 + 22 = 3; |а2| = д/(-2)2 + (-2)2 +1 = 3 111иг. ҮекГбг1епп зка1ег ^агртнш (4) ГогтШй Пе ЬШигих: -а2 = (-2)-(-2)+1-(-2)+2 -1 = 4. УекГбг1егт агазтПак! а<?1у11§е (5) ГогтШй Пе ЬШигиг: СО8ф = а} а2 _ 4 _ 4 |а1|-|а2| 3-3 9 ВигаПап Ф = агссоз (4/9) == 63°37 о!иг. ОК^ЕК 2.: МасШезе! покГау1 НагекеГе §еГ1геп §й?йп тосКПй ‘'М, тасШезе! покГазтт Га§тта үекГбгй о!ап а пт Ьйуйк1й§й 4 теГге о1яип. Ви 1к1 уекГбгйп агазтбак! а?11§е а = 45° о1§ип. О хатап Р §й?ипйп уарГ1§1 !? а^а^Шак! §1Ы ЬеНгННг: Р -а = \ Р\-I а I-соза = 5-4 соз 45°= 5-4-2^- = Юл/2 = 14,1 (1) о!иг. ОК1ЧЕК 3.: УегПеп /, у, к Ыпт уекГбйеп 19111 (/ + к) • - к) $ка1ег фагртнт ЬШипих. СО2ЁМ: УегПеп /, у, к Ыпт уекгбйеп Ып Ыппе сНк о1с!ик1аппбап / •} = / -к = ] • к = 0 уе к к = / • / = у • / = 1 сНг. Оетек (/ + к) • (у - к) = / • у - / • к + / -к -к -к = -1 о1иг. ОК]ЧЕК 4.: а = тг +3/ + 9к уе Ъ = 4/ + пу — 7к уекСбНеп уепНуог. Ви 1к1 уекГбгйп Ып Ыппе сНк о1таз1 19111 т рагатеГгезтт <1е£ег1 Ьап§1 §ау1уа е§И о1асакГ1г? (рОгЁМ.: ВигаПа а = {т ; 3 ; 9 }, Ь = {4; т ; -7 } о1с!ик1аппс1ап а -Ъ = ти-4 + З т + 9(-7) = 7т-63 о1иг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 173 Бирок а кЪ качан гана а-Ь =0 болсо. Мындан 7т — 63 =0 => т = 9. _ £.’Вектордук көбөйтүү. Мейкиндиктеги а жана Ь векторунун вектордук көбөйтүндүсү деп, төмөнкү үч шартты канаттандырган С вектору аталат:_ _ 1) | с| = I а I | Ъ |8ш(р, мында (р - а жана Ъ векторлорунун арасындагы бурч жана 0<(р<л;б.а. С нын модулу а жана Ъ векторлору менен түзүлгөн параллелограммдын аянтына барабар; 2) С±а жана С А.Ъ ; 3) а, Ъ жана С векторлорунун баштапкы чекиттерин параллел которуу аркылуу бир чекитке алып келсек, анда алар жазылуу иретине карата жана к орталары сыяктуу жайланышкан б.а. а , Ъ жана С үч вектору оң системаны түзөт. _ ЭСКЕРТҮҮ: Компланардуу эмес а, Ъ С үч вектору жазылган ирети боюнча (а - биринчи - вектор, Ъ - экинчи вектор, С - үчүнчү вектор) оң (сол) системаны түзөт, эгерде аларды параллел которуп. баштапкы чекиттерин бир О чекитине алып келип жана ОА = а, ОВ = Ъ , ОС = С белгилөөлөрүн киргизсек, анда С чекитинен караган байкоочуга карата ОА векторун буруп, а нын багытын ОВ векторунун багыты менен дал келтире турган эң кыска жол саат жебесинин (багытындай) багытына карама-каршы багытта жүргүзүлөт. 3.21 — сүрөт 3.22-сүрөт 3.21-сүрөттөгү а , Ъ , С үч вектору оң системаны, түзүшөт, ал эми 3.22-сүрөттөгү а , Ъ , С үч вектору сол системаны түзүшөт.
АҮ1Т А8АМ0У, КАМ1Х ЯАГАТОУ Е118ЕЕК СЕВ1К 174 Ата а ± Ь о!таз1 фп §егек уе уе!ег §аг! а -Ь~ 0 сЬг. Вига<1.п1 7т - 63 = = 0 => т = 9 е§1Ш§1т окпх. 2.Уек<оге1 ^агрпп. Игаудак! а уе Ь уек1бг1ептп уекюге! ^агрпш <1пе .г?а§1<1ак1 й<? §агй 8а§1ауап С уекРбгйпе бетг: I) I С I = | а| I Ь I зтф <.1и". Вигас1а (р - а уе Ъ уек1бг1ептп агазтбак! а?к1|г ус <11г, ).нн С пт тодйШ а уе Ъ уек1бг1еп йгеппйе киги1ап рага1е1кепагт а1а11пы е§|Шг; 2) С ± а уе с ± Ъ сНг. 3) а, Ь че с уек1бг1еппт Ьа§1ап§1? пок(а1апт Ыг аут п<>к1ауа §ейгтск ата?1у1а Ьи уекйэНепп ЬегЫпт кепсШеппе рага!е1 ка1агак §ск|'Ме усг1сг1п1 с1е§1§1шгзек, Ьип1апп уах111§ 81га1апта§1 уе к Ыпгп үек1бг1еппт 81га1апта8ша Ьепхег о1иг, уат а, Ъ уе С й<? Уек1бг ‘£а§ Е1 8|81ет1’ <>1и§1игиг. 13ҮАК1: Ыпеег Ьа§1Ш812 а, Ь , С уек1ог1еп 81га1апг»1а8та §бге (5- Ь1ппс1 уек!бг, Ъ - 1ктс1 уек(бг, С - й<?йпсй уек(бг) (8о1) 8181епй’ <>1и§1игиг, е§ег Ьип1ап рага1е1 о1агак уег <3е§]§йгтек ц8и1иу1а Ьа§1апё19 покЫапт аут пок1ауа §еНпр уе ОА = а, ОВ- Ь ОС = с Пе §б81епг8ек, о гатап С покйзтйа Ьи1ипап зеупЫуе §бге (ОА уекШгйпйп убпй ОВ үекШгйпйп убпй Пе аут о1асак §екП<1е уарйасак еп Шза Ьагеке! уо1и заа! 1Ьге81 убпйпе каг§1 (заа! 1Ьге81 убпй Пе аут) о1асаки г- $екП 3.21. <3е а, Ь , С й<? уек!бг 8а§ 8181егт о!и$игиг, §екП 3.22’ дек| а~, Ъ , С й? уек1бг 18е 8о1 8181егт о!и§1игиг. С1 а ^-гВ а А §екП 3.21. §екП 3.22.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 175 Берилген а жана Ь векторлорунун вектордук көбөйтүндүсүн ахЪ же [а Ь ] менен белгилейбиз. Вектордук көбөйтүү төмөнкүдөй касиеттерге ээ: 1) ах Ъ = - (Ь х а ); 2) ах Ъ = 0 , эгерде а = О - нөлдүк вектор же Ъ = О , ал эми а + О жана Ъ+ О болсо, анда а жана Ъ коллинеардуу векторлор болушат. 3) (та)хЬ = а х(тЪ )= т(а хЪ ), мында т еП; 4) ах(Ь +с) = ахЪ + ах с . Мейкиндиктеги тик бурчтуу Охуг координат системасындагы а ={х1,- уу 2// жана Ъ ={х2; у2; г2} векторлорунун вектордук көбөйтүндүсү төмөнкү формула менен аныкталат: I к 2 ахЪ = х. У, У, 21 т I - У1 г к . х2 У2 г2 У2 22 х2 22 х2 у2 (6) Мындан а X Ь = {у122-у22,; Х22!-Х!22; Х!У2-Х2У1 }. Орталардын вектордук көбөйтүндүсү: / X 1 = о ; /X]=к; 1 X к = -/; / X / = —к; 1*1=0; 7 X к = / ; к X / = у ; к X У = --1! ; кхк =0. (7) 5-МИСАЛ. сГ = { 3; -4; -8} жана Ъ= {-5; 2; -1} векторлорунун вектордук көбөйтүндүсүн тапкыла. ЧЫГАРУУ. Жогорудагы (6) формуланын негизинде 1 ] к -4 -8 3 -8 3 -4 а~ х Ь = 3 -4 -8 = 2 -1 1 - -5 -1 1 + -5 2 к = -5 2 -1 = (4 +16) / -(-3 - 40); + (6 - 20)к = {20;443; -14}
АУ1Т А8АНОУ, КАМ1Х КАГАТОУ М^ЕЕК СЕВ1К 176 УегПеп а уе Ь уек1бг1ептп уек1бге1 ^агритт ~а х Ь уеуа [ЭЬ] 11е ебз^еппх. Уек1бге1 <?агр1т а§а§1дак1 бхеШккге заЫрПг: I) а~ х Ъ = - (Ь ха); 2) сГ х Ь = О о1иг, е§ег а = О - 81£1г уек1бг уеуа Ъ = О 1зе. Е£ег 5*0 ус Ь*О 18е а уе Ь уек1бг1еп рага1е1 о1та11<11г1аг. 3) (1Ьа)х Ь = ах(тЬ ) = т (сГ х Ь ), теК <Иг; 4) ах (Ъ +С ) = 5” х Ъ + сГ х с сНг. В1г ихаудак, Оху каНехуеп коопПпа! 818(:еттс1ек1 а = {х/;у{; 2/} уе Ь = {х2; у2; г2} уекХбНептп үексбге! ^агрши а§а§1бак1 ГогтШ Пе ЬеПнШг: а х Ъ = / Х1 х2 1 У, у2 к г1 г2 = У, г1 У2 22 / - X, 2, Х2 22 1 + Х2 У1 У2 к ВигаПап а х Ъ = {у^-у^,; х^-х,^; Х1у2-х2у, } |1иг. (6) /,у,к Ыптуек1бг1ептп уеЫбге! ^агрпт: 1X1=0 ; IX у = к ; I хк =-} ; }Х1=-к; ]Х]=О; ]хк=1; (7) кх1 = /; кх] = —1; кхк =0 (11Г. ОШЧЕК 5.: УегПеп а = {3 ; -4; -5} уе Ъ = {-5 ; 2; -1} уек£бг1ептп уек!бге1 ^агригпт Ьи1ипих. СОХЁМ: Үикапдак1 (6) ГогтШи пеНсезтйе ~1 ) к -4 -8 3 -8 3 -4 сГ х Ъ = 3 -4 -8 = 2 -1 / - -5 -1 1 + -5 2 к = -5 2 -1 = (4+16) /-(-3-40)у + (6-20)^ = {20; 43;-14} о!иг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 177 6-МИСАЛ. Чокулары А (1; 1; 1), В (2; 3; 4), С(4; 3; 2) чекиттери болгон үч бурчтуктун аянтын тапкыла. ЧЫГАРУУ. АВ жана АС векторлорун табалы: АВ={2-\;3-1, 4-1}= {\ ; 2; 3 }, АС ={4-1; 3-1; 2-1}={3; 2; 1}. АВС үч бурчтугунун аянты АВ жана АС векторло-ру менен түзүлгөн параллелограммдын аянтынын жарымына барабар. Ошондуктан ал эки вектордун көбөйтүндүсүн табабыз: Мындан = -41 +8] -4к= {-4; 8; -4}. 8авс = ~ I АВ х А СI = =— т/(-4)2 + 82 + (—4)2 = • >/96 = >/24 = 2 • >/б кв.бирдиги. 7-МИСАЛ: (2I — Зу’ + 6к )х(4 / — 6у +12£ ) көбөйтүндүсүн жөнөкөйлөткүлө: ЧЫГАРУУ: Вектордук көбөйтүүнүн касиеттеринин жана (7) таблицанын негизинде төмөнкүнү алабыз: (2/ -37 + 6к )х(4/ -67 + 12Аг) = 8 (/ X / )-12 ( / X ] ) +24 (/ X к )- -12 (7 х /)+ 18 (7 х7 )-Зб (7 х к )+24 (к х / )-Зб (к х7 )+72 (к х к )= = -12Аг-247 + 12Л -36/ + 247 + 36/ =0-/ +0-7 + 0-к = о .
АҮ1Т А8АМ0У, КАМ1Х КАЕАТОУ ЫКЕЕК СЕВ1К 178 ОкМЕК 6.: Кб§е1еп А(1;1;1), В(2; 3; 4), С(4; 3; 2) пок1а1апт1а Ьи1ип.т (^спт а!ап1П1 Ьезар1ау1П12. СбхСМ: АВ үе АС уек1бг1епт Ьи1а1пп: АВ = {2-\;3-1; 4-1}= {1 ;2;3 }, АС ={4-1;3-1; 2-1}={3; 2; /}. АВС й9§еп1пт а1ат АВ уе АС уек1бг1еп йхеппйе киги!ап 1>.1га1е1кепапп а1аттп уапзта е$И оШи§ипс1ап о 1к1 үекЮгйп үек1бге1 (, .1грипт1 Ьи1аса§12: АВхАС= ) к 2 3 2 1 / 1 3 3 1 Т 2 2 1 2 3 2 1 3 7 3 1 + к = I Вигайап = -4/ +8] -4к = {-4; 8; -4}. Здвс = — I АВ х А СI = =- 7(“4)2 +82 +(-4)Г = |-796=724= 2-7б (Ьг2) 2 2 у! а11П2. ОК^ЕК 7.: (2 / - 3/ + 6к )х(4 / — 6] + 12к ) ^агршит 8аде1е$11птг. ^ОХЁМ: УекТбге! ^агрппт бгеШИеппбеп уе (7) (аЫопип пейсезтйе (2/-Зу + 6^)х(4гТ-б} + 12^)=8(/ Х/)-12(/ ху)+24(/ Хк)- -12(/Х/)+18(/Х))-35(4Хк)+24(кХ1)-36(кХ })+72(кхк )- -12£-247 + 12^-36/ -24/ + Зб7=0-/+0-у + 0.£ = о 81Г1Г уекШгйпй а11П2.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 179 З.ҮЧ ВЕКТОРДУ АРАЛАШ КӨБӨЙТҮҮ. Берилген а, Ь , С векторлорунун аралаш көбөйтүндүсү деп, а жана Ъ векторлорунун вектордук көбөйтүндүсүн с векторуна скалярдык көбөйткөндөгү санды айтабыз. Эгерде ал аралаш көбөйтүндүнү аЬс менен белгилесек, анда аЬс = ( ахЬ )с_санына барабар. Компланардуу эмес а, Ь , с үч векторунун аралаш көбөйтүндүсүнүн модулу, ал үч вектор менен түзүлгөн параллелепипеддин көлөмүнө барабар. Аралаш көбөйтүү төмөнкү касиеттерге ээ: 1°. Үч вектордун аралаш көбөйтүндүсү нөлгө барабар, эгерде: 1)аралаш көбөйтүүдөгү үч вектордун жок эле дегенде бири нөлдүк вектор; 2) үч вектордун эки вектору коллинеардуу векторлор; 3) үч вектор компланардуу векторлор. 2°. Аралаш көбөйтүндүдөгү вектордук көбөйтүүнүн (х) белгиси менен скалярдык көбөйтүүнүн (•) белгисинин орундарын алмаштырсак, анда аралаш көбөйтүндү өзгөрбөйт, б.а. аЪс = (а х Ь )С = а(Ь хс) = (Ь хс )а = Ьса 3°. Аралаш көбөйтүндү өзгөрбөйт, эгерде аралаш көбөйгүндүдөгү векторлордун арткысын айлантып биринчи орунга алып келсек, б.а. аЪс = саЪ = Ьса. 4°. Аралаш көбөйтүүдөгү каалаган эки вектордун ордун алмаштырсак, аралаш көбөйтүндүнүн белгиси гана өзгөрөт: Ьас = - аЬс; сЬа = - аЬс; асЬ = - аЪс. Эгерде /, ],к базисине карата а = {х; ;у;,- 7/}, Ь = {х2 ;у2; г2}, С = {х3 ; у3; г3} векторлору берилсе, анда алардын аралаш көбөйтүндүсү төмөнкү формула менен табылат: х, 7, аЬс = Х2 У2 22 (8) х3 у3 23 Берилген а, Ь , с үч вектору компланардуу болот качан гана аЬс = 0 болсо. _ Берилген а, Ь ,С үч вектору менен түзүлгөн параллелепипеддин көлөмүн V) менен белгилесек, ал эми үч бурчтуу пирамиданын көлөмүн менен белгилесек, анда
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ1х КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К I ко 3. Ос УЕКТбКйИ КАКМА§1К САКР1М1. а, Ь , С үек(бг1епшп кагта$1к ^агрнт <Иуе а уе Ь уек(ог1епгпп уектбге! фагртп а~ х Ь уек(бИ1 Не С уекТбгйпйп зка1ег фагритнпа <1етг. Е§ег о кагта§1к ^агртн аЬс Пс £оя1епгзек аЬс = (сГ х Ь )с чау18Ш1 а11П2. Ыпеег Ьа§1т812 й? а, Ъ , с уек1бгйп кагта§1к ^агртипт тосШ1(1 о > \ ек(бг йгеппбе киги1ап рага1е1уйхйп Ьаспппе е?ПНг. Кагта§1к ^агрип а§а§1бак1 бгеШИеге заЫрйг: Г. 0? уек(бгйп каппа§1к ^агрти 81йга е?1Шг, е§ег: I) кагта$1к ^агрипбак! й? уекШгйп еп аг Ып зШг уек(бг 1зе; 2) 0? уек(бгйп Пиз! рага1е1 уек(бг1ег 18е; 3) Ви й$ уек(бг Ипеег Ьа§1тЬ уек(бг1ег 18е. 2°. Кагта§1к ^агртШак! уекгбге! ^агрпп (х) 1§агеН Пе зка1ег ?агр1т (•) 1§агейп1п уег1епт с1е§1$Нпг8ек кагта§1к ^агрт Пе^тег, уат аЪс = (а~ х Ь )с = а(Ь хс ) = (Ь хс )а~ = Ьса Шг. 3°. Кагта§1к ^агрип Пе§1§те2 е§ег Ьи ^агрипбак! уек1бг1епп еп вопипсизипи ^еутте уо1и Пе ЫппЫзтт уеппе §ейг1гзек, уат аЬс = саЬ = Ьса скг. 4°. Кагта§1к ^агртбак! ЬегЬап§1 1к1 уек1бгйп уег1епт с1е§1§(1пг8ек кагта$1к Сагрипт забесе 1§агей с!е§1§Шг, уат Ьас = - аЬс; сЪа = - аЬс; асЬ = - аЬс о!иг. Е§ег /, у, к Ьаг уек(ог1еппе §бге а = {х/;у^; ?/}, Ъ = {х2;у2; г2}, С = {хз ; уз; г3} уек(бг1еп уеп1гш§8е оп1апп кагта$1к ^агрти а§а^|бак! Еоппй! Пе ЬеНлШг: аЬс = *1 У, г1 х2 у2 2, х3 у, 23 (К) УегПеп а, Ъ , С й? уекШгйп Нпеег Ьа§1т11 о1таз119111 §егек уе уе(ег ^.н! аЬс = 0 е§1Ш§1сПг. УегПеп а, Ъ , С й? үек!бг йгеппбе кипПап рага1е1уйгйп Ьасгтт V, Ы цбзГепгзек үе Й9§еп рЬагтскп ЬаспПт Ү2 Пе §08(епг8ек о гатап
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 181 У,= | аЪс\, У2= - V! = -|а6с| (9) 6 6 8-МИСАЛ. Берилген а = 2/ + 5/ + 1к , Ь = / + у — к , С = / + 2у + 2к векторлорунун аралаш көбөйтүндүсүн тапкыла. ЧЫГАРУУ. Жогорудагы (8) формула менен = 2-(2+2)-5-(2+1)+7-(2-1)= 0 Демек а, Ь , с үч вектору компланардуу векторлор. 9-МИСАЛ. Чокулары А (2; 2; 2), В (4; 3; 3), С(4; 5; 4) жана 0(5; 5; 6) болгон үч бурчтуу пирамиданын көлөмүн тапкыла. ЧЫГАРУУ.Пирамиданын кырлары болгон АВ, АС, АО векторлорун табалы: АВ = {4-2; 3-2; 3-2}= {2; 1; 1 }, АС = {4-2; 5-2; 4-2}= {2 ;3; 2 }, АЭ={5-2; 5-2; 6-2}= {3 ; 3 ; 4 }. Бул үч вектордун аралаш көбөйтүндүсүн табалы: 2 АВАСАЪ= 2 1 1 3 2 3 3 4 2- 2 2 -1- 4 3 + 1- 3 3 2 4 2 3 3 3 = 2(12-6)-(8-6)+ (6-9) = 7
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1х КАГАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 182 У|=| аЬс\, У2 = — V] = — \аЬс\ 6 6 (9) о1иг. ОК^ЕК 8.: ҮегПеп а = 2 / + 5/ + 1к , Ъ = / + у' -к , С = / + 2у + 2к уекК>г1епшп кагта§1к ^агршшн ЬЫипих. (^ОХСМ: Үикапдакд (8) ГогтйШ уагскгтук = 2-(2+2)-5-(2+1)+7-(2-1)=0 а11пх. Оетек а, Ь , С й? уек!бг Нпеег Ьа§1т1к!1г, уат Ьи й? уек(бг Ыг <1й/1ете рага1е1<Нг1ег. ОК1ЧЕК 9.: Кб§е1еп А(2; 2; 2) , В(4; 3; 3), С(4; 5; 4) уе 0(5; 5; 6) пок(а1агпк1а Ьи1ипап й?§еп р1гат1<Нп Ьасгтш Ье8ар1аут12. СО2Ё1М: Ркапнйт кепаг1апт уат АВ, АС, АО уек(бг1епт 1ш1а11т: АВ={4-2; 3-2; 3-2}= {2; 1; I }, АС ={4-2; 5-2; 4-2}= {2 ;3; 2 }, АО = {5-2; 5-2; 6-2}= {3 ; 3 ; 4 }. Ч1пкН Ьи й? үек1бгйп кагта§1к ^агршпт Ьи1а1ип: АВАСАО = 1 1 3 2 3 4 3 3 3 2 2 -1- 4 3 3 3 = 2(12-6)-(8-6)+ (6-9) = 7
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 183 Биз издеген пирамиданын көлөмү V ны (9) формула боюнча табабыз: V = — I АВ АС АИ\ =— -7 =— (куб. бирдиги). 6 6 6 3.4. КӨНҮГҮҮЛӨР 1 .Сан огунан А(-4), В(4) жана С(-3) чекиттерин тургузгула жана АВ, ВС АС векторлорунун АВ, ВС, АС чоңдуктарын тапкыла. АВ+ВС=АС экендигин көрсөткүлө 2. Сан огундагы А(-4), жана В(-5) чекиттеринин кайсынысы оң жакта ? 3. Төмөнкү берилген А жана В чекиттери үчүн АВ векторунун IАВI узундугун жана АВ чоңдугун тапкыла: 2) А(5) жана В(2); 4) А(-5) жана В(-2); 6) А(1) жана В(-4); 8) А(-1)жана В(3); 1) А(4) жанаВ(14); 3) А(-2) жана В (4); 5) А(-2) жана В (-5); 7) А(0) жана В (7); 9) А(7) жана В (9) 4. Төмөнкү учурлар үчүн эсептегиле: 1) В(4) жана АВ = 4; 3)В(-1)жана ВА = 2; 5) В(0) жана IАВI = 2; 7)В(-1)жана |АВ| = 6; 9)В(0)жана |АВ| = 3. 5. Сан огундагы координаталары төмөнкү теңдемелерди А чекитинин сан огундагы координатын 2) В(2) жана АВ = -3; 4) В(-4) жана ВА = -2; 6) В(2) жана | АВI = 4; 8)В(-5)жана | АВ | = 2; канааттандырган чекиттерди тапкыла: 1)/х/=3; 2)/х-1/=2; 3) /2х - 4/= 2х-4; 4)/2-х/=3; 5)/3+х/=1; 6)/-Зх + 4/=5 6. Координаталары төмөнкү барабарсыздыктарды канааттандырган чекиттердин көптүгүнүн сан огундагы жайланышын мүнөздөгүлө (Чиймесин чийгиле): 1)х> 3; 4) 1 < х <2; 7) 10-х<0; 10)х2-8х + 15 <0. 2)х-2<0; 5) х2 - 4 < 0; 8)Зх-5>0; 3)2х-3>0; 6) х2 — 6х + 5 < 0; 9)-2<х<3;
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ1Х ЯАЕАТОУ МНЕЕК СЕВ1К 184 Р1гаггпс11п 1§1епеп Иасггн V у1 (9) ГогтШйпдеп ЬШигиг: 1 -------------------- ----- ----- 1 7 У= — I АВ АС- АОI =— -7 =— (Наспп Ыпт1) 6 6 6 Шг. 3. 4. АЫ§Т1КМАЬАК ___ 1. В1г, зау18а1 екзеш йгеппПе А(-4), В(4) уе С(-3) покЫапт 9121П12 ус АВ, ВС, АС уек1бг1еппт АВ, ВС, АС Ьйуйк1йк1епт Ьи1ипиг. АВ + ВС И АС оИи^ипи §081епш2. 2. 8ау1за1 екзет йгеппйек! А(-4), уе В(-5) пок1а1аппт Ьап§181 8а& 1ига11и уег1е§гт§Нг ? 3. А$а§к1а уегПеп А уе В пок1а1ап 19111 АВ уек1бгйпйп | АВ| игигНигипи (тоййШпй) уе АВ Ьйуйк1й§йпй Ьи1ипиг. 1)А(4) үеВ(14); 3) А(-2) уе В (4); 5) А(-2) уе В (-5); 7) А(0) уе В (7); 9) А(7) уе В (9) , А?а§1йак1 £О81:еп1еп ЬаПегде А покХазтт зау18а1 екзептйек! коогйтайт Ье8ар1ауш12: 1)В(4) уеАВ = 4; 3) В(-1)уеВА = 2; 5) В(0) уе |АВ| = 2; 7) В(-1)уе | АВ| = 6; 9) В(0) уе | АВ|= 3. 5. 8ау1за1 екзетпПек! коог&паПап а§а§1<1а уегПеп Пепк1ет1еп 8а§1ап<11гап пок1а1ап Ьи1ипиг. 2) А(5) уе В(2); 4) А(-5) уе В(-2) 6) А(1)уеВ(-4); 8) А(-1)уе В(3); 2) В(2) уе АВ = -3; 4) В(-4) уе ВА = -2; 6) В(2)уе |АВ| = 4; 8)В(-5)үе I АВ| = 2; 2) /х-?/= 2; 5) /3+ х/= 1; 3) /2х-4/= 2х-4; 6) /-Зх + 4/= 5 4)/2-х/=3; 6. КоопПпаПап а§а§1<1ак1 е§11з1хНк1ег1 за§1ап<11гап пок1а1аг сиггйезтт заужа! екзептйек! уег1е§1гтт кагак1епхе есПшг ($екП1ш 91211112): 1)х> 3; 4) 1 < х <2; 7) 10-х<0; 10) х2 -8х + 15 <0. 2)х-2<0; 5)х2-4<0; 8)Зх-5>0; 3)2х-3>0; 6) х2 -6х + 5 < 0; 9) -2 <х <3 ;
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 185 7. Координаталары төмөнкү барабарсыздыктарды канааттандырган чекиттердин көптүгүнүн сан огундагы жайланышын мүнөздөгүлө: 1) 1x1 < 1; 2) /х/>3; 3) /х/<3; 4) /х-3/<2; 5)/х-1/>2; 6) х2 - 5х + 6> х2; 7)/2х-1/>2; 8)/х/<х + 1. 8. Тегиздиктеги декарт координат системасындагы А(2; 3), В(4; -2), С(-2; 7), В(-2; -2), Е(0; 2), Р(4; 1) чекиттерин тургузгула. 9. А (2; -4) чекитин тургузбай туруп, анын кайсы координаттык бурчта жатарын аныктагыла. 10. Ох - огундагы чекиттин координатасы (-4). Бул чекиттин тегиздиктеги координаталары кандай? 11. Төмөнкү чекиттерге Ох - огуна карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1)А(2; 4); 2) В(-3; 1); 3)С(-1;-1); 4)Э(3; 1); 5)Е(0;2); 6) Р (а; Ь). 12. Төмөнкү чекиттерге Оу - огуна карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1) А(-1; 3); 2) В (3; -2); 3) С (-2; -3); 4) О (5; 7); 5) Е (0; 3); 6) Р (а; Ъ). 13. Төмөнкү чекиттерге координат башталышына карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1)А(4;5); 2) В (-4; 3); 3) С (-2; 3); 4)О(-1;2); 5)Е(0;6); 6) Р (а; Ь). 14. Төмөнкү чекиттерге I менен III координаттык бурчтардын биссектрисасына карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1) А(1; 4); 2)В(-2;1); 3)С(-2;-1); 4)0(2; 1); 5) Е(0;3); 6) Р (а; Ь). 15. Төмөнкү чекиттерге II менен IV координаттык бурчтардын биссектрисасына карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1) А(-2; 3); 2) В (2; -2); 3) С (-3; - 4); 4) О (6; 2); 5) Е (0; 5); 6) Р (а; Ь). 16. Координаталары төмөнкү шарттарды канааттандырган М(х; у) чекитинин кайсы координаттык бурчта жатарын аныктагыла : 1) ху > 0; 2) ху < 0; 3) х-у = 0; 4) х + у = 0; 5) х + у> 0 ; 6) х + у < 0; 7) х-у>0, 8)х-у<0
АУ1Т А8АНОУ, КАМ12 КАГАТОУ и^ЕЕК СЕВ1К 186 7. КогсНпаГ1ап а$а§к1ак1 е§11812Нк1еп 8а§1апскгап пск!а1аг сигЫезтт зау|$а1 скхептдек! уег1е§1т1т кагак1епхе есНтх: I) 1x1 < 1; 2) 1x1 > 3; 3) 1x1 <3; 4) /х-3/<2; 5)/х-1/>2; 6) х2 - 5х + 6 > х2; 7)/2х-1/>2; 8)/х/<х + 1. 8. В1Г с1й21етс1ек1 сНк коогйта! 8181етт<1е уегПеп А(2; 3), В(4; -2), < ( ' |)(-2; -2), Е(0; 2), Р(4; 1) покЫапш 9121П12. 9. А(2; -4) покизтт §ек1Пт ^л/тейеп опип Ьап§1 коогсНпа! 9еугс"1п । о!с1и§ипи ЬеИгйшг. !0. Ох - екзешпйек! Ыг пок1атп коогсНпай (-4) 18е, Ьи пок1атп сН.1/.1с1и । коогсНпаНапт Ьи1ипиг. II. А§а§1с1ак1 пок!а1ага Ох - екзетпе §бге зтеГпк о!ап пок1а1апп коопНпаНапт Ьи1ипиг: I) А(2; 4); 2) В (-3; 1); 3)С(-1;-1); 4) 0 (3; 1); 5) Е (0; 2); 6) Р (а; Ь). 12. А§а§к1ак1 пок1а1апп Оу - екзетпе §бге 81те(пк о1ап пок1а1агт коогсНпаНапт ЬиЫпиг: 1)А(-1;3); 2) В (3;-2); 3) С (-2;-3); 4) О (5; 7); 5) Е (0; 3); 6) Р (а; Ъ). 13. А§а§и1ак1 пок1а1ага огут покЫзта §бге 8Ш1е1пк о!ап пок1а1апп коопНпаНапт ЬиЫпиг: 1)А(4;5); 2) В (-4; 3); 3) С (-2; 3); 4)О(-1;2); 5) Е (0; 6); 6) Р (а; Ь). 14. А§а§1с1ак1 пок!а1ага I. уе III. коопНпа! адНагтт ЫзеЫпзте §бге 81те1пк о1ап покГаЫпп коопНпаНапт ЬиЫпиг: I 1)А(1;4); 2) В (-2; 1); 3)С(-2;-1); ‘4)О(2;1); 5) Е (0; 3); 6) Р (а; Ь). 15. А§а§1йак1 покЫага I. уе III. коопНпа! а^йагтт Ызекйчзте §бге 81те1пк о1ап пок1а1аппт коопИпаПапт Ыйипиг: 1) А(-2; 3); 2) В (2; -2); 3) С (-3; - 4); 4) В (6; -2); 5) Е (0; 5); 6) Р (а; Ь). 16. КоогсНпаОап а$а§1с!ак1 §аП1ап 8а§1ап<11гап М(х;^) покйзтт Ь.т§1 коогсНпа! 9еуге§1пе а11 о1с1и§ипи ЬеПгНтг: 1) ху > 0; 2) ху < 0; 3) х-у = 0; 4) х + у = 0; 5) х + у > 0; 6) х + у < 0; 7) х - у > 0; 8) х - у < 0.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 187 17. ОАСВ - тик бурчтугунун ОА жана ОВ жактарында жаткан / жана 7 бирпик векторлору берилген. Эгерде 04 = 3 жана ОВ = 4 болсо, анда ОА , АС , СВ , ВО жана ВА векторлорун г жана / векторлору аркылуу ажыраткыла. 18. 3.23 - сүрөттө М чекити ВС жагынын ортосу, ал эми N чекити АС жагынын ортосу, С N А I 3.23 - сүрөт. ОА = 3 жана ОВ = 4. ОМ, ОМ, МЫ векторлорун / жана / векторлору аркылуу ажыраткыла. 19. АВСЭ параллелограммы берилген. О чекити параллелограммдын диагоналдарынын кесилиши, ал эми М чекити СВ жагында жатат. Төмөнкү сумманы же айырманы тапкыла: 1) АВ + 40; 2) МА + ОМ ; 3) АВ + СО; 4) 04 + ВМ ; 5) ~АВ - Ад ; 6) ОО - СВ ; ъсд -ов ; 8) (-ОЛ)- АВ ; 9) 40 - МС 20. Материалдык чекитке өз ара ос бурчун түзгөн Р^ жана Р^ эки КҮЧ таасир этет. Төмөнкү учурлар үчүн бул күчтөрдүн суммасынын модулун тапкыла: 1)|О11=ЗН; |Р21 = 4Н; а = 90°; 2) I Р\ | = ЗН; | А | = 7Н; а = 30°; 3) I Р\ I = 11,7Н; |А1 = 20,5Н; а = 35°. 21. Модулдары | Рх | = 5Н жана | Р2 1= 16Н болгон Рх жана Р2 КҮЧҮ бир чекитке таасир этэт. Төмөнкү учурлар үчүн бул күчтөрдүн өз ара түзгөн а бурчун аныктагыла: 1) I Р\+Р2 I = 19Н; 2) | Р\ + Р2 I = 13Н.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ12 КАГАТОУ Ы1\ЕЕК СЕВ1К 188 17. ОАСВ - <Ик дб11§егпп1п ОА уе ОВ кепаНаппда иуеип Ыг §екПс1е / үе / Ыпт уек1бг1еп уег1е§ип1т1$Нг. Е§ег ОА = 3 уе ОВ = 4 1ве ОА, АС, СВ, ВО уе ВА уек1бг1епшп / уе / уек1бг1еппе §бге ау|пт/ 18. $екП 3.23’ бе М пок1аз1 ВС кепаптп ойазкЬг, N пок1а§118е АС кешп ннп С N А / §екП 3.23 оПазкйг, ОА = 3 уе ОВ = 4 сШг. ОМ, О1С, МЫ уек1бг1спт / ус / уек1бг!еппе §бге ауттг. 19. АВСО рага!е1кепап уегПтфт О пок1а81 рага1е1кепапп сНуа§опа11епти кезцте пок(а81с11г, М пок1аз1 18е СЭ кепаппа акйг. А§а§к1ак1 (ор1апи уеул 1 ’агк1 Ьи1ипи2: I) АВ + АВ; 4) ОА + ВМ ; 7) СО - ов -, 20. Маййезе! пок1ауа 2) МА + ОМ ; 5) АВ - АО ; 8) (~Оа)- АВ ; Ып Ыппт агазтдак! а$181 3) АВ + СО; 6)00 -СВ ; 9)АО-МС ’ уа е§11 о1ап 1к1 ус /'. киууейеп е1к1 уартак1ас!1г1аг. А$а§1<1а §бз1еп1еп ЬаПегйе Ьи киууеНепи 1ор1аттт тос1й1йпй Ье8ар1ау1тг: 1)1^ |=ЗЧ 1 = 44 а = 90°; 2)1^1=34 1^21=74 а = 30°; 3)1^1=11,74 1^21 = 20’5т4; а = 35°. 21. МосШПеп I /^ | = 5И уе | 1= о1ап уе Р^ киууеН Ыг покГауа е(к1 уартакСасЬйаг. А$а§к1а §б81еп1еп Ьа11егс1е Ьи киууе11<пп агазтйак! а ау18ти Ьи1ипих: 1) I Р\ + Р2 I = 1°4 2) I ^ + Г21 =13К
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 189 22. Аралыктары I ге барабар болгон +(? жана эки заряд электрдик диполду түзөт. Төмөнкү учурлар үчүн, берилген эки заряддан бирдей г аралыгында жайланышкан жана оң заряд ц га таасир эткен күчтүн модулун тапкыла: 1)О=10'8С, д = 1С, 1 = 0,1м, г = 0,1м 2) 0= 3,6-10’7С, д = !С, 1 = 0,1м; г = 100м; 23. Эки материалдык чекит өз ара ос бурчун түзүп, бир чекиттен У| жана ү2 ылдамдыкта бир калыптагы кыймылын баштайт. Төмөнкү учурлар үчүн, ал эки материалдык чекит бири-биринен кандай ылдамдыкта алыстарын тапкыла: 1) 125 , V, = м/сек, 9 ^2 = 25 9 м /сек; а = 90°; 2) V] = 2 м /сек, ^2 = 4 . м /сек; а = 60°; 3) ю , VI = — м /сек, з ^2 = 5 3 м /сек, а = 37°; 4) 125 V! = м /сек, 36 У2 = 31 18 м /сек, а = 38°. 24. Тегиздикте А(3; 3), В(-3; 3) жана С(-3; 0) чекиттери берилген. Координат башталмасына ОА, ОВ, ОС күчтөрү таасир этет. Бул үч күчтүн суммасы болгон ОМ векторун тургузгула. ОА, ОВ, ОС жана ом күчтөрүн координат окторунун бирдик векторлору / менен 7 аркылуу туюнткула. 25. Компланардуу т, лжанарүч бирдик векторлор берилген. Мында т менен п векторлорунун арасындагы бурч 30° , ал эми п менен р векторлорунун арасындагы бурч 60° . и = т + 2п - Зр векторун тургузгула жана анын модулун тапкыла. 26. Төмөнкү вектордук теңдештиктерди аналитикалык жана геометриялык жолдор менен текшергиле: - а + Ь а — Ь 2) а- _ Ь -а а + Ъ 1) а +------------- 2 2 2 2 27. Төмөнкү учурлар үчүн а векторун калган векторлор аркылх туюнткула:
АУ1Т А8АЫОУ, НАМ1Х ЯАГАТОУ 19() Ь|^ЕЕКСЕВ(К ?2. В1п Ыппдеп I ихаккётда уег1е?еп +() уе -£) 1кл е1ек(пк у(1кй <, И( уйкПп । ь к(пк а1атп1 о1и§1игиуог. А§а§к1а §бз(еп1еп ЬаПегде уегПеп 1к1 уик(сп пми । игакП^тда Ьиктап уе рогПлЕ уйк ц’ уе е(к1 уарап киууе1т пнк1и1(инк 1)и1ипих: 1)0=10’8с, д = 1С, 1 = 0,1т, г = 0,1т 2) 0= 3,610'7С, д=1С, I = 0,1т; г = 100т; 23. 1к1 таййезе! пок(а ага1аппс1ак1 а?1 а о1так йхеге Ыг покиккт У| ус V) 111/1 Пе сШ/епН ЬагекеЙепт Ьа§1ат1§1агсЬг. А§а§1йак1 ЬаПегёе о Пм та<1(1сяе1 пок(а Ып Ыппйеп па§11 Ь1/1а и2ак1а§аса§1т Ьезар1аут12: 125 т 1) V' “ п 9 8 25 т у2 = ; а = 90 ; 9 5 * т 2) V! = 2 — , 8 т У2 = 4— ; а = 60°; 8 10 т 3) У) = , 3 8 5 т що у2 = а = 37 ; 3 125 т 4) V, - 30 5 . 21^ «.38». 18 5 24. В1г ййгктйе А(3; 3), В(-3; 3) уе С(-3; 0) пок1а1ап уегНтфк. ОЫрп покизта ОА , ОВ, ОС киууеПеп ЬауекеГ уартакСасЬг. Ви й<? киууеНп (ор1ат1 о1ап ОМ үек1бгйпй 91211112, ОА, ОВ, ОС уе ОМ киууе(1сгт1 коогсПпа! екзегйеппт Ыпт уек(бг1еп о1ап / уе у Пе ЬеПгйтг. 25. В1г сШгкте рага1е1 о1ап т, п уе р й? Ыпт уек(бг1еп уеп1т!§йг. Вига<1а т уе п уек(бг1еп агазтйак! а?1 30° сПг, пче р уек(бг1еп агазтбак! а?1 1зс 60" сПг. и = т + 2п-3р уекГбгйпй 91211112уе опип тосППйпй Ьи1ипиг. 26. А§а§1с1ак1 уексбге! е$ННк1еп апаППк уе §еоте(пк изиПаг Пе с1епеут17: , ~ Ь-а а+Ъ - а+Ъ а-Ь I) а+-------=------- ; 2) а---------=------- 2 2 2 2 27. А$а§1с1а §бз(:еп1еп ЬаПегбе а уексбгйпй <П§ег уек(бг!ег уагсЬтПа ЬеПг(11Н/
191 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 28. а жана аа векторлору берилген. Төмөнкү учурлар үчүн а е К. санын тапкыла: 1) а менен а а барабар; 2) модулдары барабар, жана багыттары карама-каршы; 3) багьптары карама-каршы; 4) бирдей багытталышкан; 5) коллинеардуу. 29. М(5; -3; -4) чекитин тургузгула жана ОМ векторунун узундугу менен багытын аныктагыла. _ 30. Г = ОМ= 21 + Зу + бк иекторунун узундугун жана багытын аныктагыла. 31. Берилген вектор Ох жана Ог - октору менен 40° жана 80° бурчтарды түзөт. Бул вектордун Оу - огу менен түзгөн бурчун аныктагыла. 32. А (1; 2; 3) жана В (3; -4; 6) чекиттери берилген. и = АВ векторун тургузгула. Бул вектордун узундугун, багытын жана координат окторундагы проекцияларын аныктагыла. 33. ОА = I + у жана ОВ = к - 3 у векторлору менен параллелограмм_түзгүлө жана анын диагоналын аныктагыла. 34. | а I =ЛЗ; I Ъ I = 19 жана I а + Ъ I = 24 үчүн | а^-Ъ | ны тапкыла. 35. а ± Ъ I а | = 5; жана | Ъ | = 12 болгондо | а + Ъ | менен | а-Ъ | ны тапкыла. 36л Векторлор а менен Ъ нын арасындагы бурч ф = 60° , | а I =5; I Ъ | = 8 болгондо I а + Ъ | менен | а-Ъ I ны тапкыла. 37. а менен Ъ_~ нын арасындагы бурч (р = 120° , | а I = 3; | Ъ | = 5 болгондо, I а + Ъ I менен | а_^Ъ I нытапкыла. 38. Берилген а жана Ъ векторлорунун жардамы менен төмөнкү векторлорду тургузгула: 1)35, 2)--6; 3)2Й+-Ь; 4)-а-ЗЬ. 2 3 2 <
АУ1Т А8А1ЧОҮ, НАМ|£ КЛЕАIОV ЫКЕЕК СЕВШ 192 I) $екП 3.24; 2) $екН 3.25; 3) $екП 3.26; 28. а уе аа Уек1бг1еп уеп1пй§ 1зе а§а§1<1ак1 ЬаПегПе а 6 Н .чну|чпн ЬШипих: 1) а уе <ха е§П уек1бг1ег<Пг; 2) огйапп тосШПеп е§И ус уОпкт! Ьш Ыппе каг§1Шг; 3) ак§1 убп<1е<11г1ег; 4) аут убп<1е<11г1ег; 5) рага1ск1пк । 29. М(5; -3; -4) пок1а81т сгатх уе ОМ уек1бгипип Ьиуйк1и§0п11 ус м)п11п0 ЬеНгйтх. 30. Г=ОМ = 21 + 3]' + бк уекШгйпип Ьиуйк1й§ипй уе убпйпй ЬеКгйт 31. УегПеп үекТбг Пе Ох уе 0г - екзеп1еп агазтйак! а<?1 81га51у1а 40" уе 80") е§Мг. Ви уек1бг хе Оу - екзет агазтйак! а<?<у 1 Ьикти/. 32. А(1; 2; 3) уе В(3; -4; 6) пок(а1ап уегПтфт и = АВ уек1бгйпй <;1/.т1/ Ви уек1бгйп Ьйуйк1й§йпй, убпйпй уе коогсПпа! екзегПеппбек! ЬПе$сп1спт Ьи1ипих. 33. ОА = I + у уе ОВ = к - 3 у уек1бг1еп уагскт1у1а рага1е!кспаг 9121Ш2 уе опип (Иа§опакп1 Ьи1ипи2. 34. | а I = 13; | Ъ | = 19 уе | а + Ъ I =24 1?т | а-Ъ | у1 Ьи1ипих. 35. а ± Ъ , I а I = 5; уе I Ъ I = 12 1зе I а + Ь | уе I а ~Ь | у! Ьи1ипи/. 36. а уе Ъ үек1бг1еп агазтёак! а$1 (р = 60°, I а I = 5; уе I Ь I = 8 !нс I а + Ъ | уе | а - Ъ | у1 Ьи1ипиг. 37. а уе Ъ уек1бг1еп агазтёак! а$1 (р = 120°, | а I = 3; уе | Ъ I 5 в.чс I а + Ъ I уе | а - Ъ | у1 Ьи1ипиг. 38. ҮегПеп а уе Ъ үекЮНеп уагскпиу1а а§а§1(1ак1 уек1ог1еп 9121П12: 1)3я, 2)--|^; У)2а+^Ъ-, 4)^а-зЪ.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 193 39. а= {2;-1;3}жана Ъ = {-6; 3; -9} векторлорунун коллинеардуулугун текшергиле. 40. а = -2 / + 3 / + Р & жана Ъ = а / - 6у + 2к векторлору коллинеардуу болгондой а жана 0 сандарын аныктагыла. 41. а {3; -5; 8} жана Ь {-1; 1; -4} векторлорунун суммасынын жана айырмасынын модулун тапкыла. 42. а = 3/ +4/ -\2к векторун нормалдаштыргыла. 43. а = I -2У -2к векторун нормалдаштыргыла. 44. а менен Ъ векторлорунун арасындагы бурч <р =у7Г > I 47 1= 3; I Ъ 1 = 4 үчүн, төмөнкүлөрдү эсептегиле: \)а-Ъ; 2)а2=аа; 3)Ъ2; 4)(а + Ь)2; 5)(За-2Ъ)(а+2Ь); 6)(а-Ь)2; 1)(За+2Ь)2. 45. а {4; -2; -4} менен Ь {6; -3; 2} векторлору үчүн, төмөнкүлөрдү эсептегиле: \)а-Ь; 2)7?; 3)7?; 4)(2а-зЬ )(а+2Ъ); 5)(а+Ъ)2; 6)(а-Ъ)2. 46. а = -I + у менен Ъ = I - 2/ + 2к векторлорунун арасындагы бурчту тапкыла. 47. Чокулары А(2; -1; 3); В(1; 1; 1) жана С(0; 0; 5) болгон үч бурчтуктун бурчтарын тапкыла. 48. Жөнөкөйлөткүлө: (2 / - у )• ] +(] ~2к)к + (/ - 2 к )2 49. Компланардуу төрт күч О чекитине таасир этет. Ар бир күчтүн чоңдугу 10 Н жана эки жанаша жаткан күчтөрдүн арасындагы бурч 45°. Бул төрт күчтүн суммасынын чоңдугун тапкыла. 50. а менен Ъ векторлорунун арасындагы бурч I 5 1 = 4; I Ъ 1 = 6 болгондо (3 а -2Ъ )(5а~бЪ ) ны тапкыла. 51. а = 3/ + 4 ] + 5к менен Ъ = 41 + 5 у - Зк векторлорунун арасындагы бурчту тапкыла. 4
АУ1Т А8АНОҮ, ПАМ(% КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕЯ СЕВ1Я I ‘>4 39. а = {2;-1;3}үе Ъ = {-6; 3; -9} Уек1бг1епп1п рага1е1Н§1П1 депеу!п!/.. 40. а = -21 + 3/ + $к уе Ъ = а/ - 67 + 2к уек1ог1еп рага!е1 о1тпк (1/.еге а уе Р зауПапш Ъи1ипиг. 41. а {3; -5; 8} уе Ъ {-1; 1; -4} уек1бг1епшп 1ор1ат1пт ус 1.н1 ттк тос1й11епп1 (Ьйуйк1йк1епп1) Ьи1ипиг. 42. а = 3 I + 47 - 12 к уекТбгйпй погта11е§Нпп12. 43. а = / - 27 -2к уеккбгйпй поппа11е§Нпт2. 44. а уе Ъ уек1бг1еп агазтбак! а<?1 <р = —Л сНг, | а I = 3; I Ь | 4 19|ц а$а£1<1ак11£абе1еп Ье8ар1аут12: \)а-Ъ; 2)а2=аа; 3)Ь2; 4)(а+Ь)2; 5)(За-2Ъ)(а+2Ъ); 6)(а-Ъ)2; Т>(3а+2Ъ)2. 45. а {4; -2; -4} уе Ъ {6; -3; 2} уек!бг1еп 19111 а§а£к1ак1 1£абе1сг|| Ье8ар1аут12 \)а-Ь; 2)71?; 3) ; 4)(2а-зЬ)(а+2Ь); 5)(а+Ъ)2; 6)(а-Ъ)2. 46. <7 =- / + ]' уе Ъ = 1 -2] +2к уек1бг1епптагазтбак! аф1у1 Ьи1ипц/, 47. Кб§е1еп А(2; -1; 3); В(1; 1; 1) уе С(0; 0; 5) покЫаппба Ьиктап йда+Ш] а^Напт ЬезарЬуиих. 48. (2 / - 7 ) 7 +(7 -2к)к + (/ - 2 к )2 Иабезт! ЬазЫе^Нптг. 49. В1г бйг1ете рага1е1 о1ап ббг! 1апе киууе! О поксазта е1кПетек(есНг. Нв|. Ыг киууейп Ьйуйк1й§й 10 пе\у1оп’биг уе 1к1 кот§и киууеОег агазтбак! 45° сНг. Ви ббП киууейп 1ор1аттт Ьйуйк1й§йпй Ьи1ипиг. 50. а уе Ъ уек1бг1еп агазтсЫп а?1 Ф=у I 5 | = 4; | Ъ | = 6 18е (3а-2Ъ )(5а-бЬ ); У1 Ьи1ипиг. 51. а = 3 / + 47' + 5к уе Ъ = 4/ + 5] -Зк уек1бг1еппт агазтбак! а?•' Ьи1ипи2.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 195 52. а = т1 + у менен Ъ = 31 - 3 7 + 4к векторлору т санынын кандай маанисинде перпендикулярдуу? 53. Р = {3; -5; 2} күчүнүн таасири менен 8 = {2; -5; -7} которулуусундагы Р күчүнүн аткарган жумушун тапкыла. 54. Р менен 8 векторлорунун арасындагы бурч ф = — , I Р 1= 2 , I 4$ I = 5 болсо, Р күчүнүн таасири менен 5* которулуусундагы Р күчүнүн аткарган жумушун тапкыла. 55. Төмөнкү учурлар үчүн С = ах Ъ векторун жанае а менен Ъ векторлоруна тургузулган параллелограммдын аянтын тапкыла: 1) 5=3/, Ъ = 2 к ; 2) а= I + 7 , Ъ = / - / ; 3) а = 2 / +3 7 , Ъ = 3 7 + 2 к . 56. Чокулары А(7; 3; 4), В(1; 0; 6) , С(4; 5; -2) болгон үч бурчтуктун аянтын тапкыла. 57. а= 2 7 + к жана Ъ = / + 2к векторлоруна параллелограмм тургузгула. Анын аянтын жана бийиктигин тапкыла. 58. а менен Ъ векторлорунун арасындагы бурч 45°, I а I = I Ъ I =5 болсо, анда а - 2 Ъ менен 3 а + 2 Ъ векторлоруна тургузулган үч бурчтуктун аянтын эсептегиле.. 59. Жөнөкөйлөткүлө: 1) / х( 7 + к)- / х (/ + к) + кх(1 + 7 +к); 2) (а+Ъ +с)хс +(а+Ъ +с)хЪ +(Ъ -с)ха; 3) (2а + Ъ )(с - а) + (Ъ -с )(а + Ъ ); 4) 2/ (7 х к) + 37 (/ х к ) + 4к (/ ху ). 60. а=21 + 5]+к менен Ъ = I + 2 ] - Зк векторлорунун вектордук көбөйтүндүсүн тапкыла. 61. Чокулары А(2; 2; 2), В(4; 0; 3) , С(0; 1; 0) болгон үч бурчтуктун аянтын тапкыла. 62. а = I - 7 + к , Ъ = / + 7 + к , С = 21 + 3 ] + 4к векторлорунун аралаш көбөйтүндүсүн тапкыла.
АУ1Т А8АМОУ, ПАМ1г ПАГАТОУ Ы|ЧЕЕКСЕВ(П 196 52. 5 = т/ +7’ уе Ъ = 3/ -37 + 4к уек1бг1еп т 8ау18тт Ьапц! с!ер ц ң П1 Ып Ыгте сНк о!иг1аг? 51. Р = {3; -5; 2} киууей е1к181 Пе 8 = {2; -5; -7} уег ск- нн ча£1агиуог8а, Ьигада Р киуүеНтп уар11§1ф Ье8ар1аут17.. 54. Р уе 8 уек1ог1еп агазтПак! а?1 ф = у, I Р I = 2 , | 8 I / киууеН 5* уег Пе^Нгтезтдек! уарй§11§1 ЬезарЬуии/. 55. А§а§1дак1 ЬаПегйе С = ах Ъ уекхбгйпй \'е а Пе Ъ уск(бг1сп (1/с11п>1 киги1ап рага1е1кепапп а1атт Ье§ар1аут12: I) 5=3/, Ъ = 2 к ; 2) а= I + у , Ъ = / - У ; 1) а = 21 +3у , Ъ = Зу + 2к . 56. Кб§е1еп А(7; 3; 4), В(1; 0; 6) , С(4; 5; -2) пок(а1аппда Ьи1ипап и<;£СП111 .Патт Ьиктих. 57. 5=27 + к уе Ъ = / + 2к уек(бг1еп йхеппПе рага1е1кепаг кигипи/.. Ви рага1е1кепапп а1атт уе уйк8екН§1п1 Ьи1ипих. 58. 5 уе Ъ уек(бг1еп агазтйак! а?1 45°, I а I = I Ъ I = 5 1зе 5 - 2 Ъ ус 3 5 + 2 Ъ уек(бг1еп й/еппйе киги1ап й<?§епт а1атш Ьезаркупи/. 59. А§а§1Пак1ПабегеН ЬазШе^йптх: I) / х(] + к ) - / х (/ + к ) + к х (/ +у + к ); 2) (а+Ъ +с )хс + (5+Ъ +с )хЪ + (5 -с )ха; 3) (2 5+5 )(с - а) + (Ъ -с )(а+Ъ ); 4) 2/ х к ) + 3 / (/ х к ) + 4к (/ ху ). 60. а = 2 / + 5 7 + к ус Ъ = / + 2 7 - Зк үек(бг1ептп уек(бге1 ^агрптш Ьи1ипих. 61. Кб§е1еп А(2; 2; 2), В(4; 0; 3) , С(0; 1; 0) покЫаппйа Ьи1ипап т . а1атт Ьи1ипи/. 62. 5 = / - ]+к,Ъ=1+]+к, С = 2/ + 3 7 + ‘Хк уекйп Ь 1111Н1 кагта§1к сагртит Ьи!ипи/.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 197 63. а = 7 / - 3 / + 2 к , Ъ = 3 / - 7 / + 8 к, с = I - 7 + к үч векторунун компланардуу экендигин көрсөткүлө. _ _ 64. а = 3 / + 4 У , Ъ = - 31 + к , С = 2 / + 5к векторлору менен параллелепипед тургузгула жана анын көлөмүн тапкыла. 65. Чокулары 0(0; 0; 0), А(5; 2; 0), В(2; 5; 0) , С(1; 2; 4) болгон пирамиданын көлөмүн тапкыла. 66. Берилген А(2; -1; -2), В(1; 2; 1), С(2; 3; 0) жана 0(5; 0; -6) чекиттери бир тегиздикте жатарын көрсөткүлө. 67. Чокулары А(0; 0; 1), В(2; 3; 5) , С(6; 2; 3) жана 0(3; 7; 2) болгон пирамиданын көлөмүн жана ВСО гранына жүргүзүлгөн пирамиданын бийиктигин тапкыла. _ _ _ _ _ _ _ 68. Берилген а = -/ + 3/ + 2к , Ъ =21 - 3 ] -4к , С = -31 + 12] + бк векторлррунун компланардуу экендигин көргөзгүлө жана С векторун а менен Ъ векторлору аркылуу туюнткула. 69. Берилген А(5; 7; -2), В(3; 1; -1), С(9; 4; -4) жана 0(1; 5; 0) чекиттери бир тегиздикте жатарын көрсөткүлө. 70. [(а - Ъ )х (Ъ - С )](С - а) аралаш көбөйтүндүсүн эсептегиле.. 71. Чокулары А(2; 0; 0), В(0; 3; 0) , С(0; 0; 6) жана 0(2; 3; 8) болгон пирамиданын көлөмүн жана АВС гранына жүргүзүлгөн пирамиданын бийиктигин тапкыла. 72. Чокулары А(2; -1; 1), В(5; 5; 4) , С(3; 2; -1) жана 0(4; 1; 3) болгон тетраэдрдын көлөмүн тапкыла. 3.5. ЖООПТОРУ: 2. А(-4); 3. 1)АВ= 10, |АВ|= 10; 2) АВ =-3, I АВ| = 3; 3) АВ = 6, |АВ| = 6;4)АВ= |АВ| = 3;5) АВ = -3; | АВ| = 3; 6) АВ =-5; |АВ| = 5; 7) АВ= | АВ| = 7; 8) АВ= |АВ| = 4; 9) АВ= |АВ| = 2. 4. 1) 0; 2) 5; 3) 1; 4) -6; 5) -2 жана 2; 6) -2 жана 6; 7) -7 жана 5; 8) -7 жана > -3; 9) -3 жана 3 ; 5. 1) М1(-3) жана М2 (3); 2) М1(-1) жана М2(3); 3) М^(2) жана бул чекиттин оң жагындагы сан огунун бардык чекиттери ; 4) М2(2) жана М](1) менен М2(2) чекиттеринин арасындагы сан огунун бардык чекиттери; 5). М1(-2) менен М2(2) чекиттеринин арасындагы сан огунун бардык чекиттери; 6) М,(1) менен М2(5) чекиттеринин арасындагы сан огунун бардык чекиттери; 7) М(10) чекитинин оң жагындагы сан огунун бардык чекиттери; 8) М( —) чекитинин оң жагындгЬы сан огунун
АУ1Т А8А1ЧОҮ, ЙАМ17 КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К 198 6.1. Я=7/-3 7+ 2& ,/>=3/-7у + 8Л, С — / - у + к 0$ уекМТт Ы г <1(1/.1сте рага1е1 о1йик1апт §б81ептг. _ _ (»4. а = 3 / + 4 / , Ь = - 3 / + к , с = 27 + 5к уек1бг1еп иге1пн1е Ыг ршаЫуйгй кигипих уе Ьастт! ке8ар1аут1г. <»*». Кб§е1еп 0(0; 0; 0), А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) пок1а1аппс1а 1н||ипип р1гат1<11п Ьасгтт Ье8ар1аут1/. 66. УегПеп А(2; -1; -2), В(1; 2; 1) , С(2; 3; 0) уе 0(5; 0; -6) пок1а1.и пип 1>п (К1/.1сте ак оМиИапт 15ра11ауипг. 67. Кб?е1еп А(0; 0; 1), В(2; 3; 5) , С(6; 2; 3) уе Э(3; 7; 2) пок1а1.ипн1л Ьиктап ркатИт Ьасгтт уе ВСО уихйпе киги1ап Ьи рпаткНп уШ I Ь&пн Ьц1ипиг. _ _ _ _ _ _ 6«. ҮегПеп а = - / + 3 / + 2 к , Ъ = 2 / - 3 7 - 4 к , С = -3 / । 12 6 к сск(бг1ептп Ыг ййг1ете рага1е1 о1<3ик1апт §б81ептг уе С уекЮгйпй а \с /> уек1бг1еп уагскпиуЬ ЬеНгйтг. 69. УегПеп А(5; 7; -2), В(3; 1; -1) , С(9; 4; -4) уе 0(1; 5; 0) пок(а1аптп Ьп аут ййг1ете ак^НиИапт §б81епгп2. 70. [(а-Ь ) х (Ъ -С)](С -а) кагта§1к ^агротии Ьезаркуипг. 71. Кб?е1еп А(2; 0; 0), В(0; 3; 0) , С(0; 0; 6) уе 0(2; 3; 8) пок1а1аппс!а ЬЫипап рпагтсНп Ьасгтт уе АВС уйгйпе киги1ап Ьи рйагтсНп уйкзекПфт Ьи1ипиг. 72. Кб?е1еп А(2; -1; 1), В(5; 5; 4) , С(3; 2; -1) уе 0(4; 1; 3) пок1а1аппс1а Ьи1ипап СейаЬейгопип Ьасгтт Ьиктих. 3. 5. СЕҮАРЬАК: 2. А(-4); 3. 1)АВ= 10, IАВ| = 10;2)АВ = -3; I АВ| = 3; 3) АВ = 6; |АВ| = 6;4)АВ= |АВ| = 3;5) АВ =-3; I АВ| = 3; 6) АВ =-5; |АВ| = 5; 7) АВ= | АВ|= 7; 8) АВ = | АВI = 4; 9) АВ= |АВ| = 2. 4.1) 0; 2) 5; 3) 1; 4) -6; 5) -2 уе 2; 6) -2 уе 6; 7) -7 уе 5; 8) -7 уе -3; 9) -3 уе 3 ; 5. 1) М^(-З) уе М2 (3); 2) М,(-1) уе М2(3); 3) М^(2) че Ьи поксатп за§ кагайпда уег1е?еп уе зау18а1 екзепте аП о1ап Ьег поНа; 4) М2(2) . М|(1) уе М2(2) пок1а1ап агазтйа уег1е?еп уе зау18а1 екзепте ак о!ап ксг пок!а; 5) М](-2) Пе М2(2) пок1а1аппт агазтйа уег!е?еп че 8ау1ва1 екзептс аЦ о1ап Ьег пок1а; 6) М,(1) Пе М2(5) покЫагтт агазтйа уег1е?еп ус ч.1 .ц| скзепте ак о1ап Ьег покСа; 7) М(10) покизтт за§ 1агаГтс1а Ьиктап уе чау18а1 екзепте ак о1ап Ьег покТа; 8) М(-|) поМазтт за§ Гагайпйа Ьиктяп уе
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 199 бардык чекиттери; 9) М,(-2), М2(3) жана бул эки чекиттин арасындагы сан огунун бардык чекиттери; 10) М,(3), М2(5) жана бул эки чекиттин арасындагы сан огунун бардык чекиттери. 7. 1) М^-1) менен М2(1) чекиттеринин арасындагы сан огунун бардык чекиттери (мында М/-1) жана М2(1) чекиттери кирбейт). 2) М,(-3) чекитинин сол жагындагы жана М2(3) чекитинин оң жагындагы сан огунун бардык чекиттери; 3) М|(-3), М2(3) жана бул эки чекиттин арасындагы сан огунун бардык чекиттери; 4) М|(1) чекити менен М2(5) чекитинин арасындагы сан огунун бардык чекиттери; 5) М|(-1), М2(3), М|(-1) чекитинин сол жагындагы жана М2(3) чекитинин оң жагындагы сан огунун бардык чекиттери; 6) М(1, 2) чекитинини сол жагындагы сан огунун бардык чекиттери; 7) М|(-0,5), М2(1,5), М1(-0,5) чекитинин сол жагындагы жана М2(1,5) чекитинин оң жагындагы сан огунун бардык чекиттери; 8) М(-0,5) чскитинин оң жагындагы сан огунун бардык чекиттери. 9. IV координаггык бурчта . 10. (-4; 0); 11. 1)(2;-4); 2)(-3;-1); 3)(-1;1). 4)(3;-1); 5) (0;-2); 6) ( а; -Ь). 12. 1)(1;3); 2) (-3;-2); 3) (2;-3); 4) (-5; 7); 5) (0; 3); 6)(-а;/>); 13. 1)(-4;-5); 2) (4;-3); 3) (2;-3); 4)(1; -2); 5) (0;-6); 6) (- а; -Ь). 14. 1)(4; 1); 2)(1;-2); 3 ) (-1;-2); 4) (1; 2); 5)(3;0); 6) ( Ь; а). 15. 1) (-3; 2); 2) (2; -2); 3) (4; 3); 4) (-2; -6); 5) (-5; 0); 6) {-Ъ; - а). 16. 1) 1 жана III координаттык бурчтарда; 2) П жана IV координаттык бурчтарда; 3) I жана III координаттык бурчтарда; 4) II жана IV координаттык бурчтарда; 5) 1, II жана IV координаттык бурчтарда; 6) II, III жана IV координаттык бурчтарда; 7) I , III жана IV координаттык бурчтарда ; 8) I, II жана III координаттык бурчтарда. 17. ОА=?>1, АС = 4}'; СВ = -з1; ВО = -4]; ВА=з1-4]. 18. ОМ=\,51 + 4]; О^=з1 + 1]; М^=\,з1 -1]. 19.1) АС; 2) ОА; 3)0 ; 4) СМ ; 5) ОВ; 6) АО же ОС ; 7) С£>; 8) ВВ; 9) ОМ. 20. 1)5Н; 2) 9,7Н; 3)31Н; 21. 1)60°; 2)134°; 22. 1) 10’6Н; 2) 10’13Н. 23. 1) 51 км/саат; 2) 3,5 м/сек; 3) 8,1 км/саат; 4) 8,5 км/саат. 24. ОМ= {-3; 6}. 25. -^> + 2^3 . 27. \) а = Ь+С + с1 + ё ; 2) а = -Ь -с - А-ё;3) а= -Ъ +с + 2 - е . 28. 1)а = 1; 2) а = -1; 3) а <0; 4) а > 0; 5)а*0. 29. \ОМ 1 = 5 72 „ соз а = 0,5 72 ,
АУ1Т АХЛМОУ, НАМ1г КАГАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 200 М1у1ка1 сккегйпе ай о!ап Ьег пок(а; 9) М|(-2), М2(3) ус Ьи 1к1 пок(апт аы 1п<1.1 Ьиктап уе 8ау18а1 екзепте ай о!ап Ьег покТа; 10) М|(3), Мг(5) ус Ьи 1к| пок(.тт агахтда Ьи1ипап уе 8ау18а1 екзепте ай о1ап Ьег покГа. 7. 1) М|(-1) уе М2(1) пок!а1ап агазтйа уег1е?еп уе 8ау18а1 екзепте аИ окт 1нч пок(а (Ьигайа М,(-1) уе М2(1) пок1а1ап Ьап?); 2) М,(-3) пок^азтт 8о11агаГт<1.1 ус М2(3) покгазтт за§ 1агаГтс1а Ьи1ипап уе 8ау18а1 екзспте аИ окт Ьег покГа; 3) М|(-3), М2(3) уе Ьи 1к1 покГапт агазтда Ьи1ипап ус на) । ‘кяспте ай о!ап Ьег покГа; 4) М,(1) че М2(5) пок1а1ап агазтда уег1е:?еп ус 8ау । кнепте ай о1ап Ьег пок!а; 5) М^-1), М2(3), М^-1) покГазтт 8о1 1агаГт<1.1 \< М (3) 11ок1а81пт за§ гагаГтда уег1е?еп уе 8ау1за1 екзепте а11 о!ап Ьег пок(а; 6) 1,2) пок1а81пт 8о1 ТагаГтёа уег1е§еп уе 8ау1за1 екзептс ай о!ап Ьег пок(и, М»(- 0,5), М2(1,5), М|(-0,5) покГазттт зо1 (агаГтйа ее М2( 1,5) поккшттт шф (агаГтда уег1е§еп уе 8ау18а1 екзепте ай о!ап Ьег покГа; 8) М(-0,5) пок(амптт кац Гагайпда Ьи1ипап уе 8ау18а1 екзепте ай о1ап Ьег покса. 9. IV коогдта! $еуге§те айНг. 10. (-4; 0); II. 1)(2;-4); 2)(-3;-1); 3)(-1; 1). 4)(3;-1); 5) (0;-2); 6)(а;-Ь). 12. 1)(1;3); 2)(-3;-2); 3) (2;-3); 4) (-5; 7); 5) (0; 3); 6) (-«;/>); 13. 1)(-4;-5); 2) (4;-3); 3) (2;-3); 4)(1;-2); 5) (0;-6); 6)(-«;-Л). 14. 1)(4; 1); 2)(1;-2); 3 ) (-1;-2); 4) (1; 2); 5) (3; 0); 6) ( Ь; а). 15. 1)(-3;2); 2) (2;-2); 3) (4; 3); 4) (-2;-6); 5) (-5; 0); 6)(-Ь;-а). 16. 1) 1 уе III коогШпа! 9еугек1егте аМг; 2) II уе IV коогсНпа! 9еугек1егт<- 3) I уе III коогсНпа! ?еугек1еппе аМг; 4) II уе IV коогс!та1 <;сугек1еппе акНг; 5) I, II уе IV коогдта! ?еугек1егте акНг; 6) II, III ус IV коогсНпа! $еугек1егте айНг; 7) I , III уе IV коопНпа! ?еугек1еппе акНг; 8) I II уе III коогсНпа! ?еугек1еппе акНг. 17. ОА=зТ, АС = 4] ; СВ = -з7; ВО=-4}; ВА =зГ-4у, 1«. ОМ=\,51+4 ] ; О^=зТ + 2]; МИ=\,51 -2~] . 19.1) АС; 2) ОА; 3)0 ; 4) СМ; 5) ОВ ; 6) АО уе ОС ; 7) С£>; 8) ВО; 9) ОМ. 20. 1)514; 2) 9,7Ы; 3)Ы; 21. 1)60°; 2)134°; 22. 1) 10'6Н; 2) Ю^М; 23. 1)51км/заат; 2) 3,5 м/з ; 3) 8,1км/заат ; 4) 8,5км/заат. 24. ОМ={-3;6}. 25. ]% + 2л/3 . 27. 1) а = Ь+С+ 2+ е ; 2) а= -Ъ +с + Л- е ; 3) а=-Ъ -с - с1 - е . 28. 1)а= 1; 2) а = -1; 1)а<0; 4)а >0; 5)а*0. 29. | ОМ 1=5^2 , соза = 0,5 л/2 ,
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 201 со80 = - 0,3 72 , созү = 0,4 72 . 30. | г | = 7; соз а = — ; со§Р = —; созү = -|. 31. Р = 52° же 128°. 32. й=21-б] + 1к, | й | = 7. 33. ОС = I - 2] + к, | ОС | = 7б , ОС - диагоналы, ~АВ = -/ - 4/ + к, |7вI = 372.34. \а-Ъ | = 22. 35.\а+Ъ | = \а-Ъ | = 13. 36.|Й+/> |=7129 ,\а-Ъ | = 7. 37. |а+^|=7Т9, |а-/>| = 7. - ~ - 3-4-12-* 40. а = 4, р = -1.41.1 а+Ъ | = 6, \а-Ъ | = 14. 42. — / + — 1'-к 13 13 13 1 - 2 - 2 - 43. - / - - ] - - к . 44. 1)-6; 2)9; 3) 16; 4) 13; 5) -61; 6)37; 7)73. 45.1)22; 2)6; 3)7; 4)-200; 5)129; 6)41. 46. 135°; 47. = ЛС = 45°; 48. 2. 49. 10^4+ 2^2 =25,3 Н. 50. -96. 51. агссоз (—). 52. т = 50 53. А= Г-§ = 17. 54. А= Г § созф = 5. 55. 1)-6 }; 2) -2к ; 3) 6 / - 4 у + 6 £ . 56. 24,5 кв.бир. 57. 72? кв.бир., Ь = д/4,2 . 58.50 72 кв.бир. 59. 1)2(£-Г); 2)2Йх С ; 3) ах С; 4)3. 60. ах Ъ = -17/ + 7у -к ; 61. 765 /2 кв.бир. 62. 4. 64. Ү= 51 куб.бир. 65. 14куббир. 67. 20куб.бир; 47510/17. 68. С = 5а + Ъ . 70. 0. 71. 14 куб.бир.; 773/3. 72. 3 куб.бир.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КА.М1Х КАГАТОУ Ы1ЧЕЕН СЕВ1К 2« 202 =? - 0,3 72 , со8ү = 0,4д/2. 30. |г| = 7; соза= -у; со«Р=у; ^у^-у.31. 0 = 52° уе 128°. 32. й=71-3) + 2к, | й | = 7. ОС = 1 - 2 у + к , | ОС | = 7б , ОС - д1а§опа1(11г, '^0 = . 1. 4у + к, \АВ\ = зТ2.34. \а-Ь | = 22. 35. |</ + Ь | - \а-Ь | 13 ___ _ \а + Ъ |=7129 ,\а-Ъ | = 7. 37. \а+Ъ | = 719 , \и /> | -7. 40, а = 4, Р = -1. 41. | а+Ь | = 6, \а-Ь | = 14. 42. I + ^2 £дз. 1 Г - | >-| £. 44. 1)-6; 2)9; 3)16; 4)13; 5) 61; 6)37, । 3 3 3 7) 73. 45.1)22; 2)6; 3)7; 4)-200; 5)129; 6)41. 46. 135°; 47, ^В = ^С = 45°; 48.2. 49. 10 /4 + 212 « 25,ЗК 50. -96. 17 <1 аг£СО8(—). 52. т = 1. 53.- Р-8 - 17. 54.= р 8 соз ф = 5. 55. 1)'б 7 ; 2)-2Л; 3)6/ -4_/ + бк . 56. 24,5 Ьг2. 57. 12?Ьг2., ь ^/4/. 58. 50л/2 Ьг2; 59. 1)2(£-Г); 2)2ах С ; 3) ахс; 4)3. 60. ах Ъ =-п7+7) - к ; 61. 1б5/2Ьг2. 62.4. 64. Н = 511^| 65, 14 Ьг3; 67. 20 Ьг3; 47510/17. 68. С = 5а+Ь. 70. 0. 7Ь |4Ьг3; 7ТЗ/3. 72. 3 Ьг3.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 203 4 ГЛАВА. СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАНЫН НЕГИЗДЕРИ 4.1. СЫЗЫКТУУ МЕЙКИНДИК 1. Негизги түшүнүк. Кандайдыр бир х, у, г, ... элементтердин Ь көптүгүн карайлы. Каалаган х,уе Ь үчүн кошуу амалы аткарылсын жана алардын суммасы х + уе Ь болсун. Ошондой эле ар кандай X чыныгы саны менен каалаган хеЬ үчүн көбөйтүү амалы аткарылсын жана алардын көбөйтүндүсү Ххе Ь болсун. Бул Ь көптүгүндөгү кошуу амалы үчүн жана X менен чыныгы сандардын К көптүгүндөгү көбөйтүү амалы үчүн төмөнкү шарттар аткарылсын: Г. х+у=у + х, х,уеЬ.. 2° (х+у)+г = х+(у+г), х ,у, ге Ь . 3°. Ь көптүгүнөн нөлдүк элемент Ө табылып, ал элемент үчүн жана ар кандай хе Ь үчүн х+Ө = х болот. 4°. ар кандай хе Ь үчүн х + у=Ө боло тургандай уе Ь табылат. Мындан ары бул элементти у = - х деп жазабыз б.а. х + (-х) = 0 жана (-х) элементин х элементине карама-каршы элемент деп айтабыз. 5°. 1-х = х, хе Ь . 6°. X (цх) = (Л\х)х, Л,\1еК, хе Ь. 7°. (Я+ц)х = Хх+ цх; 8°. X (х+у) = Хх+ X у, Л е К, х,уе Ь. Анда Ь көптүгү сызыктуу мейкиндик деп аталат. Ал эми Ь көптүгүнүн элементтери х, у, г,... векторлор деп аталат. Мисалы, кошуу жана санга көбөйтүү амалдары аткарылган тегиздиктеги же мейкиндиктеги векторлордун көптүгү сызыктуу мейкиндик болот. Сызыктуу мейкиндиктеги каалаган х жана у векторлорунун айырмасы деп, у + V = х барабардыгы аткарыла турган V векторун айтабыз. Ал айырманы х-у менен белгилейбиз. Демек х-у =г. Төмөнкү теоремалар туура болот: 1. х-у = х + (-у) х, у е Ь ; 2. Сызыктуу мейкиндикте жалгыз бир гана нөлдүк элемент бар: 3. Сызыктуу мейкиндиктин ар бир элементинин бир гана карама- каршы элементи бар. 4. Ар кандай х е Ь үчүн 0-х = Ө — нөлдүк элемент болот. 5. Ар кандай Л е К жана Өе Ь үчүн Л 0 = Ө болот.
АУ1Т А8АЫОҮ, КАМ1Х КАГАТОУ Ь||\ЕЕК СЕВ1К 204 Вб1Л)М 4. Ы^ЕЕК СЕВ1К1\ Е8А81ЛК1 4.1. Ы^ЕЕК ЕХАҮ 1. Е8А8 КАҮКАМ. НегЬап§1 Ыг х, у, г,... е1етап1аг сйт1еЫ Ь у, бпйпе а!а!1т. КаЬи1 ейеПт И Ьег х,уе Ь 191111ор1ата 1§1ет1 ,, 1ор1ат, уат х+уе Ь о1зип. Вепхег о1агак ЬегЬап§1 Ыг X гее! зауги П^ |, Л 19111 ?агр1т 1§1ет1 §а£1ап81п уе Ьи ^агрип, уат Лхв £ о!кип. §1т<Ь каЬи! ейеНт к1 Ь сйпНезтйек! 1ор1ата 1?1епи 19111 X >| , । чауПаг сйт1ез1 К Пек1 ^агрпп 1§1ет119111 а§а§1йак| §агХ1аг $а§1апмп 1°. х+у=у + х, х,уеЬ. 2°. (х+у)+2 = х+Су+г), х ,у, ге £ . 3°. Ь сйпНезтйе 81йг е1етап Ө ЬиЫпиг, уе Ьи е1етап 19111 |1Сг ( 19111 х+Ө = х о1иг. 4°. Нег хе Ь 19111 х+у=Ө о1асак §екППе Ыг уе £ Ьи1ипиг. |1спс1с Ы> е1етат у = - х §екНпс!е уахаса§1г, уат х+(-х) = Ө че (-х) е1етапта \ е1етаттп 1егв1 сНуесе§12. 5°. 1-х = х, хе £ . 6°. л (ц х) = (2ц) х, Я.цеТ?, хеЬ. Т. (Я+ц)х = Лх+ цг. 8°. X (х+у)=Ах+ X у, Л е К, х,уе £. §и ЬаЫе Ь сйпйезте Ппеег (уек1бге!) ихау йетг. Ь сйт1е$тт х, у, г,... е!етап1аппа 18е уек!бг1ег йетг. Оте§т 1ор1ата уе зау1 Пе ^агрта 1?1ет1еп за§1апап Пйг1етс1ек1 үс игауйак! уек1бг1егт сйт1ез1 Ыг Нпеег игаусйг. Ьтеег ихауёак! Ьег х уе у уек1бг1еппт Гагк1 <Нуе, у+у = х е;1(Ц^п{ за§1ауап V уеЫёппе йеп1г. Ви Гагк х-у = V Ыг. А§а§и1ак11еогет1еп ко1ауса 18ра11атак о1иг: 1. х-у = х + (-у), х,уе Л • 2. Ыпеег ихауёа Ыг 1ек нйг е!етат уагсЬг. 3. Ыпеег ихауйак! Ьег Ыг е1етап 19111 уа1тг Ыг (егз е!етап уагсйг. 4. Нег хе £ 19111 0 • х = Ө- 81йг е1етатсЬг. 5. Нег Ле7?,үе ӨеЬ. 1^'тЛ-Ө = Ө скг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 205 6. Лх = Ө барабардыгынан X = 0 же х = Ө экендиги келип чыгат. 7. (-1) х элементи х элементине карама-каршы элемент болот. АНЫКТАМА. Берилген х/, х2,.х„ чыныгы сандары үчүн х=(Х1, х2,..„ х„) п - өлчөмдүү вектор деп аталат. Мында х, саны > вектордун /- компонентасы же /- координатасы деп аталат (1=1. 2.....п). 1-МИСАЛ. Бардык п - өлчөмдүү х = (х/, х2,..„ х„), у = (Уь У2,-..,Уп), •£ = (£/, г2,..., г„)... векторлордун көптүгүн К11 менсп белгилейли. Бул көптүктүн каалаган х, у е К ” эки элементинин суммасын х+у = <Х/+У/, х2+у2,..., Х„+Уп) формуласы менен аныктайлы, ал эми ар кандай X чыныгы саны| менен каалаган х е К п п- өлчөмдүү векторунун көбөйтүндүсүн | Лх = (Лх/, Лх2,..„ Лх„) формуласы менен аныктайлы. Бул эки амалга карата Кп көптүгү сызыктуу мейкиндик экендигин далилдегиле. ЧЫГАРУУ. Ал үчүн, берилген К11 көптүгүнүн ар кандай х = ( X/, х2,..„ х„) , у = (у/, у2,...,у^, г = (г/, г2,..., г^... элементтери үчүн жогорудагы 1° - 8° шарттардын аткарыларын көрсөтүү жетиштүү болот. 1° X +у= (Х1+У/, х2 + у2,..„ х„+у„), у + х = (у/+х/, у2 + х2,..., у„+х„), б.а х+у=у + х. 2° х+у= (х/+у/, х2+у2,..„ х„+у„) у + г=(у,+ г/,у2 + г2, ... , у„+ г^ (х+у)+ г= (х/+у/+ г,, х2 + у2+ г2 ,...,х„+ у„+ г„), х + (у + г) = (х/+у,+ г/, х2 +у2+ г2 ,...,х„+ у„+г^ Мындан (х + у)+ г = х + (у + г) болот. 3°. К11 көптүгүндө 0 = (0, 0,..., 0) элементи нөлдүк элемент болот. Чындыгында эле, х + Ө= (х/+ 0, х2+ 0,..., х„+ 0) =х 4°. (-X/, -х2 ,... , -х„) = - х элементи х элементине карама-каршы элемент болот. Себеби х + (-х) = (X/, х2,..„ х„)+(-Х/, -х2,..„ -х„) = (0,0,..., 0). 5°. 1-х = (1-Х/, 1-х2, 1-х„) =х 6°. X (цх) = X (/лх/, !лх2,..„ цх^ = <Х//х/, Л цх2, , уьх^ = (А ц)х.
АУ1Т А8АЫОУ, КАМ|Х КАГАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ|К 206 Л -х = Ө Л = 0 уеуах = Ө детекНг. (-1 )-х е1етат х е1етатп1п 1ег81<Нг. ТАММ: УегПеп Х1, х2,..., х„ гее! зауйап 19111 х = (х,, х2,..., х,) И.Шезте п - ЬоуиВи уекШг Петг. Вигайа х, 8ау181па х уекШгйпйп /-тс! коогсПпай йетг (1=1, 2,..., п). ОК^ЕК 1.: ВйШп п -ЬоуиЙих = (х,, х2,..., х„), у = (у/, у2... . I = (21, г2,..., 2п)... уекШНептп сйпйезт! Кп Пе §О8ШгеНт. Ви сПт1епт 1и-1 к, у е К " 1к1 е1етаттп Шр1агтт [ X + у = (хг +У1, х2 + у2,..., х„+у,) Вогтй1й Пе §б81егеПт, Ьег Ьап§1 Л гее1 зау181 Пе Ьег х е К " н 1>»<у и(1и |екШгйп дагршнт 18е Лх = (Лх/, Лх2,..., Лх,) ВгтйШ Пе §б8(егеПт. Ви 1к11§1ете §бге К " сипПезтт Ппеег игау о1Пи^ипи раПауииг. СО2.СМ: Випи 18ра11атак 191П уегПеп К" сйпйезтт Ьег = ( XI, х2,..., Хп) , у = (уь у2 ,...,Уп), 2 = (21 , 22 ,..., 2,)... е1етап1ап фп ^икагШак! Г-8° §аН1агтт 8а§1апта81ш §б8(егтек §егек!г. X +у = (Х1+У1, х2+у2,..., Х„+Уп), у + х = (У1+х1} у2+ х2, ..., Уп+ Хц), уаш х + у = у + х сПг. 12°. X + у = (х^+у,. Х2+у2 ,..., Х„+у^ у + 2 = (У1+ 2Ьу2 + 22, ... ,у„+г„) (х+у)+2= (Х1+У1+21, Х2 +у2+22,...,Х„+у„+2„), Х + (у+ 2)= (Х1 + У1+ 2Ь Х2 +у2+ 22 ,...,Х„+у„+ 2„) <Пг. ВигаПап (х+у!+ 2 = х+( у+г) оШг. 3°. В" сйтШзтйе 0 = (0, 0,..., 0) е!етат 81йг еШтапШг. Оег^еШец х+Ө= (х^+0, х2+0,..., х„+0) =х (Нг. 4°. (-Х1, -х2,..., -х„) = -х е!етат х е1етатпт (егзИи ?йпкй X + (-х)= (хь Х2 ,..., Х„) + (-Х! , -х2,..., -х,) = (0,0,..., 0) Шг. 5°. 1-х = (1 -X/, 1 -х2,..., 1 -х„) = х сПг. 6° X (цх) = Л С/д-/, цх2,. , /лх,) = (X цхьЛц.х^ ,-..,Л рх>) = (X ц)х о1иг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 207 7°. (Л +ц)х=<(Х +ц)х;, (Л+ц)х2,..., (Х+ц)хЛ1) = = (Лх! + /ЛХ1, Лх2 + цх2 ,..., Ях„ + цхп)= (Лх,, Лх2,..., Лх„) + + (/ЛХ1, ЦХ2 ,..., ЦХп) = А (X/, Х2 ,..., Хп)+ /Л (X/, х2,..., х„)= Лх + /лх. 8°. X (х+у)= Х(Х1+У!, Х2+у2,..., Х„+у,) = (Хх^+Лу!, кх2+ку2,..., кх„+ку^ = = (кх/, кх2 ,..., кх„) + (ку1, ку2,..., ку„)= к (Х/, Х2 ,..., Х„) + + Х (У1, У2,--,Уп)= кх+ку . 2. СЫЗЫКТУУ КӨЗ КАРАНДЫ ЭМЕС ВЕКТОРЛОР Берилген Ь сызыктуу мейкиндигинин х, у, х,..., и векторлору берилсин. Анда каалаган а, Р, ү,..., к чыныгы сандары үчүн У= ах +Ру +үх +...+ Ли вектору Ь мейкиндигинде жатат жана V вектору х, у, г,...,и векторлорунун сызыктуу комбинациясы деп аталат. Эгерде х, у, х,...,и векторлорунун сызыктуу комбинациясы, нөлдүк вектор экендигинен б.а. ' ах +Ру +үх +...+ Хи = 0 (1) экендигинен а = Р = ү= ...Л = 0 экендиги келип чыкса, анда х,у,х,..,и векторлору сызыктуу көз каранды эмес векторлор деп аталат. Эгерде жок эле дегенде бирөө нөлдөн айырмалуу болгон а, Р, ү,..., к чыныгы сандары табылып, ал сандар үчүн (1) барабардык аткарылса, анда х, у, х,,...,и векторлору сызыктуу көз каранды векторлор деп аталат. ТЕОРЕМА 1. Берилген х, у, г,...,и векторлору сызыктуу көз каранды болушат качан гана ал векторлордун бири калган векторлорунун сызыктуу комбинациясы болсо. <
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ)/ КАЕАТОҮ 1Л^ЕЕКСЕВ)К 208 (X +ц)х = (X +ц)х/, (X +ц)хг...(X +ц)хп) = = (ЛХ/ + //X/ , Лх2 + /1Х2, — , Лх„ + /1Х„) = (ЛХ/, Лх2,..., Л \„) । I (/1X1, /1Х2 ,-., ЦХ^ = Х (X), Х2 ,:., Хц)+ /I (х:, Х2 ,..., Х,)= Лх । /( \ <|||. X”. X (х+у)= Л(Х1+У1, Х2+у2,..., Х„+у„)= (ЛХ1+ХУ1, Хх2+Лу2 ,..., X < I I?- (Хх/, Хх2,..., Хх„) + (Лу,, Ху2,..., Луп) = X (Х1, х2,..., х^ + ^Х (У1, У2,-,У,) =Хх+Ху о1иг. 2. ЕЖЕЕК ВАС1М81Х УЕКТОКЬЕК. УегПеп Ь Нпеег ихаушш х, у, г,..., и уек1бг1епп1 §бх опипе а1а1пп. О /атап кег (х, Р, ү,..., X гее1 зауПап 19111 У= ах + Ру + үх +...+ Хи уек!огй Ь ихаута аййг уе V уекЮгипе х, у, үек1бг1егтт Ппссг котЫпехопи йетг. Е§ег х, у, 2,...,и уек1бг1ептп Нпеег котЫпехопи 81йг уек1бг о1ди£ши1а, уат ах + Ру + үх +...+ Хи = 0 (I) оШи§ип(1а тиНаккак а = Р = ү = ...Х = О е§ПНк1еп теуйапа §еПуог8а1а!, хатап х, у, г,...,и уек1бг1еппе Ппеег Ьа|1Ш81х уек1бг1ег Петг. Е§ег еп ах Ып81 81Нгс1ап ГагкИ (X, Р, ү,..., X гее1 зауНап 191П (1) с$Н1|) । 8а§1атуог8а, о хатап х, у, 2,...,и үек1бг1еппе Ппеег Ьа|1т11 үекЫг!ег с1етг ТЕОКЕМ 1.: УегПеп х, у, 2,...,и уек1бг1ептп Нпеег Ьа§1тН о1та1.и । 1?т §егек үе уе1ег §аг1 о үек1бг1епп Ыпзтт ка1ап уек1бг1епп 1теег котЬтехопи о1та81(11г.
209 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА ДАЛИЛДӨӨ. Берилген х, у, г,...,и векторлору сызыктуу кө.з каранды болушсун, б.а. жок дегенде бирөө нөлдөн айырмалуу болгон а, Р, ү,..., Л сандары табылып, ал сандар үчүн (1) барабардык аткарылсын. Мисалы а 0 болсун. Анда (1) барабардыктан төмөнкүнү алабыз: х=|----у 4- -—£+...+-------\и, (2) < а) \ а) \ а) б.а. х вектору калган у, г,...,и векторлорунун сызыктуу комбинациясы болот. Эгерде х, у, г,...,и векторлорунун бири, калган векторлорунун сызыктуу комбинациясы болсо, анда х, у, ?,...,и векторлорунун сызыктуу көз карандылыгын оңой эле көрсөтүүгө болот. 2-МИСАЛ. Эгерде х, у, ?,...,и векторлорунун жок эле дегенде бири нөлдүк вектор болсо, анда алардын сызыктуу көз каранды экендигин көргөзгүлө. ЧЫГАРУУ. Мисалы х = ^болсун. Анда (1) барабардык а Ф 0, Р= ү = ... = X = 0 болгондо аткарылат. Демек, х, у, г,...,и векторлору сызыктуу көз каранды векторлор. 3-МИСАЛ. Бизге Кп сызыктуу мейкиндигинен х}, х2 хп векторлору берилсин. Мында = (хь , Х2/ Хт ) (/=7, 2,...,п) . Берилген х}, х2 ,..., хп векторлору сызыктуу көз каранды эмес векторлор болсун үчүн, алардын координаталары хк, (к=1, 2,..., п; 1=1, 2,..., п) кандай шарттарды канааттандырыш керек? ЧЫГАРУУ. Белгисиз а^, а2,..., ап чыныгы сандары үчүн а^ х/ + а2 х2, + ...+ ап хп =0 барабардыгын карайлы. Бул барабардык төмөнкү теңдемелердин системасы менен тең күчтө; а^Хц + б£2Х|2 +... + апх}п = 0 а^х21 + а2х22 + ... + айх2п =0, + а2хп2 + ••• + ^пхпп “ 0- Берилген X/, х2,..., хп векторлору сызыктуу көз каранды эмес болушат качан гана жогорудагы система жалгыз гана а!= а2 = ...= ап = 0 чыгарылышына ээ болсо, б.а
АУГГ А8А1ЧОҮ, КАМ1г КАЕАТОУ 210 1ЛКЕЕКСЕВ|К 18РАТ: КаЬи! едеИт к1 х, у, г,...,и уексбг1еп Ипеег Ьа£т111 о1яип1:и*. уат еп аг Ыпз! 81Г1гс1ап Гагк11 о1ап бу1е а, Р, ү,..., X зауИап Ьи1ипиг к> ( I > с$11Н§1 8а§1атг. бгпе§т а + 0 о18ип. О хатап (1) е§1111£1пс1еп а$аДИ 1 । 1 Гадеу! акпх: ( /3) ( ү\ ( Л\ х =-------|у +--------р+...+-------\и, (.'1 \ а) I а) \ а) уат х уек1бгй ка1ап у, г,...,и уек1:бг1епп Нпеег котЫпе2отк1иг. Е^егх, у, г,...,и уек1бг1еппт Ыпз! ка!ап уек1ог1епп Ппеег котЫпс/опи с.е > р, г,...,и үек1бг1еппт Ппеег Ьа§1т1111§1т ко1ауса §б81егтск о!иг. ОК1ЧЕК 2.: Е§ег х, у, г,...,и уекГбгкппт еп аг Ыпз1 811 и ускь н уек1бг1епп Нпеег Ьа§1т11 о1бик1апт §б81епт2. СО2ЁМ: Оте§т х=0 о1зип. О ЬаМе (1) е§1111§1 а + 0, 3= ү = ... = X = 0 вауПап 19 1 8а§1атг. Оетек к1 х, у,г,...,и уекГбНеп Нпеег Ьа§1т11б1г1аг. ОКГ.ЕК 3.: К.” Нпеег ихаутба X/, х2,..., х„ уек1бг1еп уегПзт. Вигаба Х( = (х :, Х,;Хт ) (1=1, 2,...,п) <Иг. УегПеп х/, х2,..., х„ уек1бг1еппт 1теегЬа§1гп812 о1та1ап 19111 ЬиЫапп коопПпаПап о!ап хк, (к=1, 2,..., п; 1=1,2,..., п) зау11ап 19111 пазй Ыг §ай1агт 8а§1апта1ап §егек!г? ООХСМ: ВПттеуеп а,, а2,..., ап гее! зауПап 19111 а^ X/ + а2 х2, + ...+ ап х„ =0 с§кН§1т §02 бпипе а1а1ип. Ви е§1Шк а$а§1бак1 с1епк1ет 8181етте бепкНг: аус{] + а2х,2 +... + апх1п =0 а,х21 +а2х22 +--- + апх2п =0, Сл1 + ^2Хп2 "* •••"* ^пХт ~ УегПепх/, х2,..., х„ үек1бг1еппт Ппеег Ьа§1тз12 о!та!ап 19111 §егек ус )е1ег §аг! уикапбак! з^зТетт Ыг 1ек а^= а2 = ...= ап = 0 ^бгйтйпе ч.Нн о1та81П1г, уат
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 211 Хц х12 ...Х1п х21 х22... х2и Х„1 Х„2 -Хт болсо. Мисалы, х/ = (хц, х21), х2 =(х12, х22) векторлору сызыктуу ко । каранды эмес болушат качан гана хц х22 -Х12х21*0 болсо. 4-МИСАЛ. Даражасы экиден чоң эмес болгон көп мүчөлөрдүп сызыктуу мейкиндигин карайлы. Анда Р/ = 1+21 + 312, Р2 = 2 + 31 । 4Г, Р3 = 3 + 51 + 7(2 векторлорунун сызыктуу көз каранды экендигип көргөзгүлө. ЧЫГАРУУ. Бул учурда Р3 = 1Р, + 1 Р2 экендигин байкайбыз Демек Р/, Р2, Р3 векторлору сызыктуу көз каранды. З.Сызыктуу мейкиндиктин өлчөмү жана базиси. Эгерде 1. сызыктуу мейкиндигинен п сызыктуу көз каранды эмес векторлору табылып, бирок бул мейкиндиктин ар кандай п + 1 векторлору сызыктуу көз каранды болсо, анда Ь мейкиндиги п - өлчөмдүү деп аталат. Бул учурда Б сызыктуу мейкиндигинин өлчөмү п ге барабар деп да айтышат жана аны с1(Ь) = п деп жазышат. Мындай мейкиндиктер чектүү өлчөмдүү мейкиндиктер деп аталат. Эгерде ар кандай пв N саны үчүн Б мейкиндигинен п сызыктуу көз каранды эмес векторлор табылса, анда Ь - чексиз өлчөмдүү мейкиндик деп аталат жана аны с!(Ь) = °°деп жазышат. Берилген «-өлчөмдүү сызыктуу мейкиндиктин ар кандай п сызыктуу көз каранды эмес векторлору базис деп аталат. ТЕОРЕМА 2. Берилген п - өлчөмдүү сызыктуу мейкиндиктин ар кандай вектору жалгыз гана жол менен ал мейкиндиктин базисинин векторлорунун сызыктуу комбинациясы болот. Башкача айтканда, эгерде е2 ,..., е„ векторлору и-өлчөмдүү Ь сызыктуу мейкиндигинин базиси болсо, анда ар кандай хеЬ вектору жалгыз гана жол менен х =<Х| в/ + а2 е2+ ...+ 0Сп е„ түрүндө жазылат. Демек, ар кандай х вектору е,, е2 ,..., е„ базисинде бир гана жол менен СС/, а2, ..., а„ чыныгы сандары аркылуу аныкталат. Мында «/, а2 , ..., а„ чыныгы сандары х векторунун е,, е^,..., е„ базисиндеги координаталары деп аталышат.
АУ1Т А8АЫОУ, КАМ|Х КАЕАТОҮ Ы^ЕЕКСЕВ|К 212 Хц Х|2 ... Х1п Х2| Х22 ••х2п Хп1ХП2-Х,т : (Iп. 0гпе§1п X/ = (хц, х21), х2 =(х12, х22) уек1бг1еп Нпеег Ьаёпи I/ о1тп1ап н, т цегек уе уе1ег §аг( Хц, х22 - х12, х2; Ф 0 сЬг. ОК^ЕК 4.: Оегесе1еп 1кИеп Ьиуик окпауап роНпот1апп 1т< । сспЫп. §и Ьа1бе Р/ = 1+21 + 312, Р2 = 2 + 31 + 4Г, Р.< 1 । \ск1бг1еппт 1теег Ьа§1тН оШик1апт §б81епгп2. СОХЁМ: Вигас1а Р3= 1-Р^ + 1-Р2 о1би§ипи §бгйуогиг. 1)етск Р1, Рз уек1бг1еп Нпеег Ьа§пп11с11г1аг. 3. Ыпеег игаут Ьоуи1:и уе Ьагь Е§ег Ь Ыг Нпеег ихау о!так (17.01 > п Кпеег Ьа§ип812 уек(бг1еппе заЫр 1§е ата Ьи ихаут Иег п+1 \ ск(бг1еп Нпеег Ьа§1т111зе Ьи й Нпеег ихаута п ЬоуиНи ихау депп. >и ЬаШе Ь Ппеег ихаутт ЬоуиШ п 'е е§кНг бетг уе <1(Ь) =п чекПгШе уаглНг. Вбу1е ихау!ага 81шг11 ЬоуиНи ихау1аг <1етг. Е§ег Ьег пе N яауш 19111 Ь ихаутба п Нпеег Ьа§1т812 уекШгкч ЬЫипиуогза Ьи Ь игаута зопзиг ЬоуиНи игау бетг уе с! (Ь) = «> ^екНпсЬ уагПи. УегПеп п ЬоуиНи Ппеег игаут Ьег п Нпеег Ьа§1т812 Үек1бг1еппе Ьн/ уек(бг1ег детг. ТЕОКЕМ 2.: УегПеп п ЬоуиНи Нпеег игаут Ьег уекТбгй Ыг (ек ап1ат«11 Ьи игаут Ьаг уек1бг1еппш Нпеег котЫпегопи о1иг. Үат, е1,е2,...,е„ п ЬоуиНи игаут Ьаг уекСбНеп 1зе, Ьег хеЬ уекСбгйСек ап1ат<1.1 х =О[ в/ + у.2е2 + ...+ Оп е„ ?ек!тс1е уагйт ОетекЬегх уекСбгй е/л е2,..., е„ Ьаг уек1бг1еп йгеппбе 1ек ап1атс1а а|,а2,---,®п гее! зауйап уагс11т1у1а ЬеНгННг. Вигайа <7/, а2, .... а„ гее! зауйаппах уексбгипйп е,, е2,..., е„ Ьаг үекСбг1еп йгегтйек! коогсНпаНап йетг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 213 ТЕОРЕМА 3. Эгерде Ь сызыктуу мейкиндиктин ар кандай вектору, ал мейкиндиктин сызыктуу көз каранды эмес е2 ,..., е„ векторлорунун сызыктуу комбинациясы болуп жазылса, анда (Ь) =п б.а. е/. е>..е„ вектоолооу Ь мейкиндигинин базиси болот. 5-МИСАЛ. Элементтери х = (&, &>,..., түрүндөгү векторлор болгон Кп сызыктуу мейкиндигинде е, = (1, 0, 0,...,0), е2 = (0, 1, 0,...,0), е3 = (0, 0, 1,...,0), е„ = (0, 0, 0,..., 1) векторлору базис болорун көргөзгүлө. Мында „ чыныгы сандар. ЧЫГАРУУ. Ар кандай х = (&, ,, £п) 6В.П үчүн х = ^(1, 0, 0,...,0) + %2(0, 1, 0,...,0)+...+ £„(0, 0, 0,..., 1) экендиги өзү эле көрүнүп турат. Мындан х = & е: + ^2 е2 + ...+ е„. Демек, Ь мейкиндигинин ар кандай вектору е2 ,..., е„ векторлорунун сызыктуу комбинациясы болот. Ошондой эле е2,..., е„ векторлору сызыктуу көз каранды эмес. Себеби б/е/(в/, е2,..., е„) = 1 0 0...0 0 1 0...0 0 0 1...0 = 1*0. 0 0 0...1 Мындан, в/, е2,..., е„ векторлору и-өлчөмдүү Ь мейкиндигинин базиси экендиги келип чыгат. 4. Сызыктуу мейкиндиктердин изоморфтуулугу. Эки Ь жана Ь' сызыктуу мейкиндиктерди карайлы. Ь мейкиндигинин элементтерин х, у, ?,..., менен белгилейли, ал эми Ь' мейкиндигинин элементтерин х'у', х',..., менен белгилейли. Төмөнкү шарттарды канааттандырган ф: Ь —> Ь' чагылтуусу (оператору) табылсын: 4
АҮ1Т А8АЫОУ, НАМ12 ЧАЕАТОУ Ы^ЕЕКСЕВШ 214 ТЕОВЕМ 3.: Е§ег Ь Нпеег ихаушш Ьег уекЮгй Ьи игауш Ипссг Ьа^!т812 в], е2,..., е„ уек1бг1ептп Ппеег котЫпехопи §екПп<1е уаг|||гяа, </ (I,) = п о1иг, уат е1г е2,..., е„ уек1:бг1еп Ь игаутт Ьаг уск1бг1спс1|г1сг. ОКМЕК 5.: Е1етап1ап х = (^, %,) §ек!т<1е уагПап Уск1бг1егс1еп о1и?ап В.п Нпеег игаутба е/ = (7, 0, 0,...,0) е2 = (0, 1, 0,...,0), е3 = (0, 0, 1,...,0), е„ = (0, 0, 0,..., 1) ускЮНептп Ьаг уекЮНеп о1асак1апт ^бзЮгЫг. Вигаба %2.................. £ „ гее! вауНагсПг. СОХСМ: Негх = (&, &..........е Кп 19111 х = ^(1, 0, 0,...,0) + &(0, I, 0,...,0)+...+ £п(0, 0, 0,..., 1) о1би§и а^ткбг. ВигаПап х = (^е/ + £262 + ...+ ^„е^ о1иг. Оетек Ь игаутт Ьег уексбгй в/, е2 ,, е„ уекСбНеппт Ппеег котЬтегопийиг. Ви уек!бг1ег Ппеег Ьа§1тз1гс1,г1аг, ^йпкй 1 <7еГ(в/, е2,..., е„)= 0 0 0...О 1 0...0 0 1...0 1*0 0 0 0 0...1 с!1г. Вигаёап с!а е/, е2,..., е„ уекЮНеппт п ЬоуиНи Ь игаутт Ьаг уек1бг1еп о1с!ик1ап а<?1к11г. 4. Ыпеег игау1апп котогПгшн. Нег Ьап§1 1к1 Ь уе I/ Ппеег игау1апт §бг бпйпе а1аЬт. Ь е1етап1апт х, у, г,..., Пе, Ь' игаутш е1етап1апт 1зе х'у' г'..., Пе §бз1егеПт. КаЬи1 ебеПт к1 а?а§<1ак1 §аП1ап за§1ауап <р: Ь Обпй?итй (орагаЮгй) Ьи1ипзип:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 215 1) ар кандай х е Ь үчүн <р(х)е Ь' болот жана каалаган у' е Ь' элементи үчүн <р (у) = у' аткарылгандай у е Ь элементи табылат; 2) эгерде х, у е Ь элементтери үчүн <р(х) = <р(у) болсо, анда х = у экендиги келип чыгат; 3) каалаган х , уе Ь элементтери жана ар кандай А чыныгы саны үчүн ф(х+у) = ф(х) + <р(у) жана ф(Л х) = Л (р(х) барабардыктары аткарылат. Анда Ь жана Ь' сызыктуу мейкиндиктери изоморфтуу мейкиндиктер деп аталат. ТЕОРЕМА 4. Чектүү өлчөмдүү эки Ь жана Ь' сызыктуу мейкиндиктери изоморфтуу болушат качан гана ал мейкиндиктердин өлчөмдөрү барабар болсо. 6-МИСАЛ. Эки Ь жана Ь' сызыктуу мейкиндиктери берилсин. Ь мейкиндигинин элементтери ( = 0 е (-Т, Т), Т> 0 чекитинде нөлгө барабар жана (-Т, Т) интервалында дифференцирленүүчү функциялар болсун. Ал эми Ь' мейкиндигинин элементтери Ь мейкиндигинде жаткан функциялардын туундусу болсун. Бул эки Ь жана Ь' мейкиндиктери изоморфтуу экендигин көрсөткүлө. ЧЫГАРУУ. Ь мейкиндигинен каалаган х(() функциясын алалы. Анда ------6 Ь жана ф: Ь —> Ь чагылтуусун (операторун) ф(х) = (11 (1х(1) ---- формуласы менен аныктай алабыз. Мындан (р чагылтуусу <7/ жогорудагы 1) шарты канааттандырарын оңой эле көрүүгө болот. Эми 2) шарты текшерели. Кандайдыр бир х((), . . т . / , / , х х ^(0 у (() еЬ функциялары үчүн ф(х> = ф(у) болсун б.а. --= . (1( (1( Эми ар кандай (е (-Т, Т) саны үчүн акыркы барабардыкты 0 санынан 1: санына чейин интегралдап төмөнкүнү алабыз: ф ш 0 ш Демек, шарт 2) да аткарылат. Акыркы 3) шартты текшерели. Каалаган х(() , у (() еЬ үчүн жана Л чыныгы саны^чүн
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|Х КАГАТОУ ГЛКЕЕК СЕВ1К 216 I) Иег х бЬ 1?ш ф(х)е Ь' о1иг уе Нег у'е Ь' е1ешаш 19111 <р(у)“,у' е§ИН§1ш за§1ауап у е Ь е1еташ Ьи1ипиг; 2) е§егх,уеЕ е1етап1ап 19111 ф(х) = <р(у) 18е х=у еИеесННг; 3) Ьег х, уеИ е1етап1ап уе кеуГ1 X гее! зау18119111 ф(х+у) = ф(х) 1 ф(у) уе ф(Л х) = X ф(х) е?Н11к1еп за§1ап1г1аг. О хатап Ь уе Ь' Нпеег и/ау1пппп котог? игау1ап детг. ТЕОКЕМ 4.: 81тг11 ЬоуиНи 1к1 Ь уе Ь' ихауЬппт 1/отогГ о1пиж| 19111 §егек уе уе(ег §аП оп1апп ЬоуиНаптп е§11 о1таз1с11г. ОГСЧЕК 6.: 1к1 Ь уе Ь' Ипеег игау1ап уегПзт. Ь игаутт с1етап1пп / = 0 е (-Т, Т), (Т> 0) покгазтйа 81Г1га е§к уе (-Т, Т) агаН^тда Шгсү1спсЫНг Гопк81уоп1аг о18ип1аг. Ь' ихаутт е1етап1ап 1зе Ь ихаутскк! е1етап1агт Шгеу1еп о1зип1аг. Ви 1к1 Ь уе Ь' и2ау1аппт 1готогГо1дик1апт §б81епт/. СОХЁМ: Ь игаутйа кеуй Ыгх(?) Гопк81уопипи а1а11т. §и На1де с/х(/) т, ........... <7х(0 ----6 Ь уе ф: Ь —>Ь аопи$итипи ф(х) =-------------- Гогтши 11е ЬеИНе Л Л ЫНп2. Вигадап ф дбпй§йтйпйп уикапйак! 1) §агйп1 8а§1апсНгс11§1 а^киг. $ппсН 2) §агйт йепеуеНт. Нег Нап§11к1 х(1) , у (I) ек Гопк81уоп1ап 191П <р(х) = ф(у) о1зип, уат = ^У^ о18ип. §ппсН Ьи зоп е§ИНёпи1еп Нег л л (-Т, Т) уе §бге 0 зауштдап I 8ау18та кайаг т1е§га! аИгзак, а$айк1ак1 1Гас1е1еп Ьи1игиг: ‘г(Тх(Т) , ‘ссМ() , I—7^^= =>х(1) =у(1). • Л д м Оетек к1 2) §аг11 йа 8а§1атуог. 8оп о1агак 3) ^агйт депеуеНт. Нег хбД у (I) е Ь үе X гее! 8ау18119111
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 217 Ф (х+у) = ~~ (х(1) + У(1)) = = Ф (х) + Ф (у), си сИ ш с1 с1х(1) <р (X х) =— (X х(1)) = X —— = X ф (х) болот. 4.2 ЖАҢЫ БАЗИСТЕГИ КООРДИНАТАЛАРДЫН ӨЗГӨРҮШҮ н-өлчөмдүү К ” сызыктуу мейкиндигинде эки е^, е2еп (эски) жана е{, е2,..., еп(жаңы) базистери берилсин. Жаңы базистин ар бир вектор-мамычасынын эски базис аркылуу ажыралышы төмөнкү формула менен берилсин: 6] +^21^2 + ••• ап\еп ’ ^2 “^12^1 + #22^2 ••• ап2^п ’ е'п =а,е} + а2пе2 + ... + аппеп. (1) Мында ац, а21, Төмөнкү ат- белгилүү чыныгы сандар. матрицасы эски базистен жаңы базиске өтүү матрицасы деп аталат. Бул А матрицанын жардамы менен (1) формуланы төмөнкүдөй жаза алабыз ( , ^2 ’• ‘ •’ ) (^1> &п) А (2)
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|Х КАГАТОҮ иИЕЕК СЕВ1К 218 Ф (х+у) = -у <+ У(1^ = + ~Г~ = Ф (х) + Ф (у), Л сн ш Ф (Xх) =^~ (Xх(1)) = X = X ф (х) си са о1иг. 4.2. ҮЕМ ВАХЪА КООКП1^АТЬАКПЧ ОЕб1$1м( Ви п Ьоуи11и 7? " Нпеег ихаушда 1к1 в/, е2,..., е„ (езк1) уе в, ,е, ,...,вн (уеги) Ьах уек1бг1еп уегПзт. Үет Ьа/т Ьег Ыг уек1бг-ко1опи езк1 Ьа/а §бге а§а§к1ак1 ГогтШ1ег Пе уегПвт: в] — +д21е2 +... + ап1еп, в2 — Д|2£, + сг22в2 + ... + (2п2вп, < (I) А =^1 +а2пе2 +- + ате„- ВигаНая//, аг/,...,а„„-ЬеНгП гее! зауПагЫг. §и °П О12"ф а\п . а2\ а22'"а2п А = Ч°П| ап2 — апп2 таГпзте езк1 ЬахМап ует Ьах'а таГп$1 <1етг. । Ви А таГпз! уагЫт1у1а (1) ГогтШйпй а?а§1дак1 §1Ы уагаЫНг! (е^,е2,...,еп) — (е/, е2,..., е„) А ( ’)
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 219 Мында с1е1А & 0, б.а А - кубулбаган матрица, себеби е{,е,,...,еп векторлору сызыктуу көз каранды эмес. Ал эми е} ,е, ,...,еп жаңы базисинен е,, е2 ,..., е„ эски базисине А’1 тескери матрицанын жардамы менен өтөбүз: (е/, е2,..., е„) — (е^,е2еп)А . (э) Эми К.п сызыктуу мейкиндигинен каалаган х векторун алалы. Бул х вектордун эски базистеги координаталары (X/, х2,..., х„ ), ал эми жаңы базистеги координаталары (Х{,Х,,..., Хп) болсун, б.а. х = х,е, + х2е2 +... + хпеп = х/в/ + х2е2 +... + х„е„. Акыркы барабардыкты төмөнкүдөй жазсак болот: (4) Жогорудагы (2) формуланы (4) формулага коюп, х векторунун эски координаталарынын жаңы координаталар менен туюнтулушун табабыз х, = а„х} + а}2х2 + ... + а}пхп, х2 — <721Х] + а22х2 + ... + а2пхп (5) хп = а.х. +а ,х, + ... +а Хл. V п /7 1 I п 2 2 пп 41
ЛУ11 А8А1М)У, КАМ(Х КАЕЛТОУ |Л1\ЕЕКСЕВ1К 220 ВигаЬа <1е1А + 0, уаЫ А - ге§и!ег таЫкЫг, ?йпки е} ,в2,...,вп уекКИЬ и 1теегЬа§1т512с11г1аг. е}, е,,..., еп ует Ьаг'с1ап е5к1 Ьаг'а 18е А’1 1егз та1н < уагсктгуЫ §е<?епг: (с?/, с?2,..., е„) — (е^, е2,...,е„)А . (>> §пгкН Кп ихаутда кеуй Ыгх уекХбшпйп езк! Ьаг'с1ак1 коо< <1та11ап (х/, ъ,..., х„ ), уегн Ьах йак1 коогсНпайап 1зе (х,, Х2,..., Хп ) о1.чип, уаш х = х{е} + х2е2 +... + хпеп = х1е/ + х^е? +... -ь х„ е„. о15ип. 8оп е§1111§1 а§а§к!ак1 §екНбе уахаЫИпг: *1 (6, ,е2,...,еп) х2 (Сү ,&2 п) х2 (4) х
АВЫТ АСАНОВ, РАМИ 1 РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕЬРА 221 Ал эми х векторунун жаңы координаталары анын эскп координаталары менен төмөнкүдөй туюнтулат: 1-МИСАЛ. 3 - өлчөмдүү К3 мейкиндигиндеги в/, е2 , е, базисинде е^ = (1; 1; 0) (1; -1; 1) жана е^= (-3; 5; -6) векторлору берилсин. а) , е,, е3 векторлору К3 мейкиндигинде базис экендигин көргөзгүлө; б) е2, е3 базисиндеги Ь = (4; -4; 5) векторун е},е,,е3 базиси аркылуу туюнткула. ЧЫГАРУУ: а) Эгерде е{,е2,е3 векторлору сызыктуу көз каранды эмес болсо, анда алар базис болушат. Лхех + Л,е2 + Л3е3 =0 вектор барабардыгын жазалы. Ал барабардыкты А. 1 1 о түрүндө жаза алабыз. Мындан Хь Х2, Х3 белгисиздерине карата төмөнкү системаны алабыз: 'Л, + Л2 -ЗЛ3 =0, < Д-Л2 + 5Л3 =0, Л2 - 6Л3 = 0.
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ12 КАЕАТОУ 1ЛМЕЕКСЕВ1К <Нг. х уекСбгйпйп уегп коогсНпаНап 1зе опип езк1 коогсНпаОап л?а|1с1ак1 §1Ы уах111г: уаг<11/ I ОВИЕК 1.: 3 ЬоуиНиК.3 игаушбак! е2, е3 Ьа/тйа с'| = (1; 1; 0),е2=(1; -1; 1) үе еу= (-3; 5; -6) уек1бг1еп уепНу/^ а) е,, е2, е, уекСбНеппт В3 игаутба Ыг Ьах о1би§ипи §б81ег1П12; Ь) е7, е2, ез ЬагЗпда Ь = (4; -4; 5) уек1бгйпй е,,е2,ез Ьа2 уек/1^ уагскгтуЫ §б81епгпг. (^ОХЁГМ: а) Е§ег е,, е,, ез уек1бг1ег1 Нпеег Ьа§1т812 1зе, оп1/^ уек1бг1егсНг. +Я2е2 +/13в3 =0 үекСбг е?Ш1§1П1 уагаЬт. Ви е§кН§1 +Х 2 -1 < 1 > з 5 С6> 0 §ек1тс!е уахаЫПпх. Вигадап Хь Х2, Х3 Ы1ттеуеп1еппе §оге а§а§1с!ак1 8 акпх: Л| + Л2 ~ ЗЛ^ — 0, <Л} -Я2+5Л3 =0, Л2-6Л3=О.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 223 Бул системанын белгисиздеринин коэффициенттеринен түзүлгөн матрицанын аныктагычы 1 1 -3 1 -1 5 0 1 -6 = 6-3- (-6+5) = 4 болгондуктан, Крамердин формуласы боюнча жогорудагы система жалгыз гана X, = Х2 = Х3 = 0 чыгарылышына ээ болот. Демек, е15е2,ез векторлору сызыктуу көз каранды эмес б.а. е{,е2,е3 векторлору К3 мейкиндигинде базис болушат. б) Базистердин ортосундагы байланышты жазалы: ^1 ^2 ’ е3 = -Зе, + 5е2 - 6е3. Эски е/, е2, е3 базисинен жаңы е}, е2, е3 базисине өтүү матрицасы Л1 1 -З^ А= 1 -1 5 болот. Бул А матрицанын тескери матрицасы А'1 табабыз: Г1 3 2Л А~'= — 6 -6 -8 4 I1 -1 ~2) Эми (6) формула боюнча, Ь вектор)<йун жаңы е(,е2,в3 базисиндеги координаталарын табабыз:
АУ1Т А8АЫОУ, КАМ|£ КАЕАТОУ Ы1МЕЕКСЕВ1К 224 Ви 815(егп1п Ь1Нптеуеп1епгнп ка15ау11аппс1ап о!и§ап та1п$1п с1е1е1пппагН1 1 1 -3 1 -1 5 = 6-3- (-6+5) = 4 *0 0 1 -6 о1(1и§ипдап, Сгатег ГогтйЮпе §оге уикапбак! ву51ет уа1ш7. к| = X • ,“() ^бхйтипе 5аЬ1рНг. Оетек ех,е2,е2 уек1бг!еп Ппесг Ьа£пш1 уиш в,, е,, е3 үекЮНеп В3 ихаутба Ыг Ьах уек1бг1епт о1и$1игиг!аг. Ь) ВахПапп агазтбак! 1П§к1у1 уахаПт: — £| "Ь ^2 ’ < ^2 = ~ ^2 ^З’ е3 =-Зе, +5е2 -6е3. Е5к1 е;, е2, е3 Ьа/тбап ует е{,е2, е2 Ьах'а §е?1§ тайчв! Л1 1 -Зл А= 1 -1 5 ч0 1 -б] сПг. Ви А та1п5тт 1егз та1п$1 А'1 / Ьи1аПт: §тнН (6) ЕогтйЮ уапНт1у1а Ь уекХбгйпйп е,, е2, е2 Ьа7'ии1.|1 । коогсНпа11апт Ьи1а11т:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 225 хг ( 2^ 1 „ X ' 0,5 л 2 <-°л Демек Ь = 0,5 е, + 2е2 - О,5е3. 4.3. КАМТЫЛГАН МЕЙКИНДИК 1.Сызыктуу мейкиндиктин камтылган мейкиндиги. Эгерде Ь' сызыктуу мейкиндигинин ар бир элементи Ь сызыктуу мейкиндигинин элементи болсо, анда Ь' мейкиндиги Ь мейкиндигинин камтылган мейкиндиги деп аталат. Мисалы, бир тегиздикке параллель болгон бардык векторлордун көптүгү мейкиндиктеги бардык векторлордун камтылган мейкиндиги болот. Эгерде Ь сызыктуу мейкиндигинен кандайдыр бир х, у,...,и элементтерин алсак, анда ар кандай а,Р,...,Х - чыныгы сандары үчүн ах)-(Зу+...+Ли түрүндө жазылган бардык векторлордун көптүгү Ь мейкиндигинин камтылган мейкиндиги болот. Ал камтылган мейкиндик х, у,...,и векторлорунун сызыктуу кабыгы деп аталат жана ал Цх, у,...,й) аркылуу белгиленет. ТЕОРЕМА 1. Эгерде Ь1 сызыктуу мейкиндиги Ь сызыктуу мейкиндигинин камтылган мейкиндиги болсо, анда Ь 1 мейкиндигинин өлчөмү Ь мейкиндигинин өлчөмүнөн кичине же барабар болот, б.а. сЦЪО ) Берилген Ь, жана Ь2 камтылган мейкиндиктеринин кесилиши деп, бир мезгилде Ь1 жана Ь2 мейкиндиктеринде жаткан бардык векторлордун көптүгүн айтабыз. Ал көптүктү Ь 3 менен белгилесек, анда Ь 3 = Ь| П Ь 2 түрүндө жазылат. Ал эми Ь । жана Ь 2 айрым мейкиндиктеринин суммасы деп, ар кандай х еЬ1 жана ар кандай у бЬ 2 үчүн, х+у түрүндө жазылган бардык векторлордун көптүгүн айтабыз. Ал көптүктү Ь 4 менен белгилесек, анда Ь4 = Ь, + Ь 2 түрүндө жазылат
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ|Х КАГАТОҮ 1Л1ЧЕЕКСЕВ1К 226 V х'г о!иг. Оетек дИг. 4 г 0,5 ' 2 ч-0.5, Ь = 0,5 е\ + 2е2 - 0,5е3 4.3. АЬТ УХАҮ. 1. В1г Ппеег ихаут ак игау!. Е§ег Ь' Нпеег ихаушт Ьег е1етат I. Нпсе1 ихаутт с!а е1етат 1зе Ь' игаута Ь ихаутт а!1 ихау! с!етг. Оте§т Ыг с1й21ете рагаПе! о1ап ЬйШп үек1бг1егт сйт1ез1 и/ау<1ак| ЬйШп уек!бг1епп а!1 игау1 о1иг. Е§ег Ь Нпеег ихаутт Ьег Ьап§1 х,у, ...,и е1етап1апт аЬгзак, Ьег а, р,...Л гее! зауПап 1<?т ах + |3у+...+Хи ?екНпйе уагНап ЬйШп уек1бг1епп сйт1е81 Ь ихаутт а11 ихаукЬг. Ви а11 ихауа х,у, ...,и уек1бг1ептп Нпесг котЫпехопи йетг уе Ь(х, у, ...,и) Не §О81епНг. ТЕОКЕМ 1.: Е§ег Ь1 Ипеег ихау1 Ь Нпеег ихаутт ак ихау! 1$с о Ьа1с1е Ь1 игаутт ЬоуиШ Ь ихаутт ЬоуиШпПап кй<?йк уеуа опа е$П о!а ЫНг, уат с1(Ъ\) < й(Ь) Шг. УегНеп Ь, уе Ь2 а11 и2ау1агтт агаке^Ш Шуе, аут гатапйа Ь, ус 1 и2ау1агта ак о1ап ЬйШп уек!бг1епп сйпПезте сАегпг. Е§ег о сйт1еу1 11 Нс §б81епгзек Ь 3 = Ь1 П Ь 2 §екПпс!е уагН1г. Ь, уе Ь2 ак и2ау1аптп 1ор1агт сНуе Ьег хеЬ| уе Ьег у^еЬ2 19111 х+у §екНпс1е уагПап ЬйШп уек!бг1епп сипНезте с1етг. Е§ег Ьи сйт!еу1 1,4 Пе §б81епг8ек, Ь 4 = Ь| + Ь 2 о1иг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФА IОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 227 ТЕОРЕМА 2. Эгерде Ц жана Ь 2 көптүктөрү Ь сызыктуу мейкиндигинин камтылган мейкиндиктери болсо, анда Ьз = Ь] П Ь2 жана Ь4 = Ь] + Ь2 көптүктөрү да Ь сызыктуу мейкиндиктин камтылган мейкиндиктери болот. Мында 4(1,) + с1(Ь2) = с1(Ь3) + с1(Ь4) болот. 1-МИСАЛ. Даражасы жетиден ашпаган бардык көп мүчөлөрдүн көптүгүн Ь менен белгилейли. Ар кандай а0 жана <?/ -чыныгы сандары үчүн а01 + а^ түрүндө жазылган бардык көп мүчөлөрдүн көптүгүн Ь, менен белгилейли. Ал эми ар кандай Ьо, , Ь2, Ъ3- чыныгы саңдары үчүн Ьо14 + Ь/ I3 + Ь2 12 + Ь3 түрүндө жазылган бардык көп мүчөлөрдүн көптүгүн Ь2 менен белгилейли. а) Кадимки кошуу амалына жана көп мүчөнү чыныгы санга көбөйтүү амалына карата Ь, Ь1 жана Ь 2 көптүктөрүнүн сызыктуу мейкиндиктер экендигин көрсөткүлө, б) Ь, П Ь2жана Ь, + Ь2 сызыктуу мейкиндиктерин аныктагыла. ЧЫГАРУУ. а) Эгерде Ь көптүгүнөн каалаган эки элемент алсак, б.а. даражалары жетиден ашпаган эки көп мүчөнү алсак, анда алардын суммасы да даражасы жетиден ашпаган көп мүчө болот. Ал эми Ь көптүгүнөн каалаган элемент алып, б.а. даражасы жетиден ашпаган көп мүчө алып, ал көп мүчөнү каалаган X чыныгы сацына көбөйтсөк, анда да даражасы жетиден ашпаган көп мүчө алдбыз. Демек, Ь сызыктуу мейкиндик болот. Ушундай эле жол менен Ь| жана Ь 2 көптүктөрүнүн сызыктуу мейкиндик экендигин көргөзөбүз. б) Туруктуу сан гана бир мезгилде Ь жана Ь 2 мейкиндиктеринде жатат. Демек Ь Г1 Е? мейкиндиги, бардык туруктуу сандардын мейкиндиги болот. Ал эми каалаган аоС + а, түрүндө жазылган көп мүчөнү, ар кандай Ь^+Ь^ I3 + Ъ2 I 2 + Ь3 түрүндө жазылган көп мүчөгө кошсок, анда даражасы төрттөн ашпаган көп мүчөнү алдбыз. Демек Ь , + Ь 2 даражасы төрттөн ашпаган бардык көп мүчөлөрдүн көптүгү болот. 2. Бир тектүү сызыктуу алгебралык теңдемелер системасынын чыгарылыштары түзгөн камтылган мейкиндик. Төмөнкү бир тектүү сызыктуу теңдемелер системасын карайлы: 4
228 ЛУ1Т ЛЯАГЮУ, ПАМ1Х КАЕЛТОУ Ы^ЕЕВ СЕВ1К. ТЕОКЕМ 2.: Е§ег Ь1 уе Ь2 сйт1е1еп Ь Ппеег ихаутт а11 ихау!ап 1ме Ьи ЬаШе Ь3 = Ц П Ьз уе Ь 4 = Ц + Ь2 сйт1е1еп <Де Ь Ппеег ихаутт аН ихау1ап о1иг1аг. Вигайа а(Ц) + а(ь2) = а(ь3) + а(ь4) ййг. ОВТ^ЕК 1.: Вегесез! уесййеп Ьйуйк окпауап ЬйШп ро1тот1апп сйт1е81т Ь Не §б81егеНт. Нег ао уе гее! зауйап фп ао1 । а/ §ск1пи1е уахНап ЬйШп роНпопНапп сйпНезпй Ц Пе §б81егеНт. КеуН Ъо, Ь2, Ь^ гее! зауПап 19111 Ъо14+Ъ1I3 + Ь212 + Ь3 §екНпйе уахПап ЬШйп роНпот1апп сйт1е81П118е Ь2 Не §б81егеНт. а) Вауа§11ор1ата уе роНпоти гее! 8ау1 Не ^агрта 1?1ет1еппе ^бге Е, Ц \ < Ь2 сйтЫеппт Нпеег ихау!ап оМик1апш §О81егетх. Ь) Ь1 П Ь? 1Ч « I Нпеег ихау1апт 1атт1ау1тх. £ОХСМ: а) Е§ег Ь сйпНезтт кег 1к1 е1етатш аИгзак, уат Негесе1сп уесННеп Ьйуйк о1тауап 1к1 роНпоти аНгзак, о ЬаИе Ьип1апп 1ор1апи с!а с1егесе81 уесННеп Ьйуйк о1тауап Ыг роНпот о1иг. Ь сйпПезтт Ьег е1етатт аИгзак, уат Негесез! уесННеп Ьйуйк о1тауап роНпоти аНгзак уе опи кеуП Ыг X гее! 8ау181 Пе ^аграгзак, о ЬаШе Не Негесе81 уесННеп Ьйуйк оИпауап роНпоти еШе ейепх. Эетек Ь Ппеег ихаускг. Вепхег §екПс1е Ь| ус I • сйт1е1еппт Нпеег ихау1ап оМик1апт §б81егеЫНпх. Ь) Апсак 8аЬН 8ау1 аут хатапйа уе Ь2 ихау1агта аП о1иг. Эетек Ь| П ихау1 ЬйШп заЬП зауПагт ихауиНг. Нег ао1 + а} ?ек1тс1е уЬакт роНпотиИег Нап§1 Ъо14+Ь/I3 + Ь2 (2 + Ь3 §ек1тс!е уахНапроНпот Не ЫгПк1с Шр1аг8ак, с1егесе81 НбгПеп Ьйуйк о1тауап роНпоти аИпх. Ветек Ь| + Ь. с!егесе81 Нбгйеп Ьйуйк о1тауап ро1тот1апп сйт1е81сНг. 2. Ното§еп Ппеег сеЫгзе! (1епк1ет ызкгттп ^охиткппйеп о1иуап ак ихау. А§а§1с1ак1 Иото§еп Нпеег с!епк1ет 8181егтт §бх бпйпе а1а11т:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФА ГОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 229 а}1х{ + а]2х2 + ... + а]пхп = 0, <я21х, + а22х2 +... + а2пхп = 0. (1) ат\Х\ + ат2Х2 + -+атпХп =0- Берилген (1) системанын кандайдыр бир чыгарылышы х; = а,, х2 =а2„..., х„ = а„ болсун. Бул чыгарылыштын вектор түрүндө жазылышы у = (а2 , ау,..., ап) болот. Берилген (1) системанын сызыктуу көз каранды эмес у2, у2 ,..., ук чыгарылыштарынын жыйындысы (1) системанын чыгарылыштарынын фундаменталдык системасы деп аталат, эгерде (1) системанын ар кандай у чыгарылышы сызыктуу көз каранды эмес уь у2,..., ук векторлорунун сызыктуу комбинациясы болсо, б.а. У = С1У1 + с2у2+...+ скук (2) мында с/, с2 ,..., ск турактуу сандар. Бул учурда (1) системанын чыгарылыштарынын көптүгү Кп мейкиндигиндеги к - өлчөмдүү камтылган мейкиндик болот жана у,, у2 ,..., ук векторлору бул камтылган мейкиндиктин базиси болот. Ал эми (1) системанын жалпы чыгарылышы (2) формула менен аныкталат. Мында <?/, с2„.„ ск каалагандай турактуу сандар. ТЕОРЕМА 2. Эгерде төмөнкү а\\ а]2...а]п А = а21 а22‘-'а2п \ат\ ат2 — атп ; матрицанын рангы г санына барабар болуп, г< п болсо, анда (1) система нөлдүк вектордон айырмаланган чыгарылыштарга ээ болот жана (1) системанын чыгарылыштарынын фундаменталдык системасын түзгөн векторлордун саны к = п - г санына барабар болот.
АҮ1Т А8АЫОУ, НАМ1/ КАЕАТОУ Ы1МЕЕКСЕВ1В 230 «11*1 + «12*2 +...+ %Л, =0, ЙГ21Х1 + «22*2 +--+а2пХп = 0, А,Л +ат2х2 + - + атЛ = °- Уеп1еп (1) 8181ет1п Иег11ап§1 Ыг ?б2йти х/ = О/ , X/ =а2..х„ а„ о1зип . Ви ^бхйтй уек1бг §ек1т<1е уахагзак, у = (а./, а2.а„) у< аНп/.. УегПеп Нпеег Ьа§1тз12 у/( у2,..., ук сбгйгЫеппт сйпНеатс (I) нЬ, ш Ьаг ^бгйткг сйт1е81 бетг, е§ег (1) 8181етт кеуй у ^б/йтй Нпеег Ьа> । </ У1, У2 ,, Ук үекГбНеппт Ппеег котЫпегопи 1зе, уат у = с/у, + с2у2+...+ скук (2) 1зе. Вигаба С/, с2 ,..., ск заЬН зауйагЫг. $и ИаШе (1) 8181етт 9бгйт1еппт сйт1е81 К.п игаутбак! к-Ьоуи11и аИ игауЫг уе уь у2,..., ук уекТбНеп Ьи а11 игаут Ьах’к11г1аг. (1) 8181етт §епе! ^бгйтй 1зе (2) ГогтйШ Пе ЬеНгННг. Вигайа С/, с2,..., ск кеуй заЬИ зау11агс11г. ТЕОК.ЕМ 2.: Е§ег а§а§и1ак1 таТпзт гапк1 г зау^зта е§И уе г< п 18е, (1) 8181ет 81йг уекгбгбеп ГагкН ?02йт1еге заЫр о1иг уе (1) 8181етт 9б/йт1ептп Ьаг’ии о1и$1ипт үек(бг1епп зауш к = п - г зау^зта е?1й1г.
АВЫТ АСАНОВ, РЛМРВ 1‘АФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГ ЕЫ’А 231 2-МИСАЛ. Төмөнкү %1 + х2 - + х4 = 0, X' - х2 + х3 - х4 = 0, ЗХ| + х2 - х3 + х4 = 0, ЗХ| - х2 + х3 - х4 = 0 (3) системанын чыгарылыштары түзгөн камтылган мейкиндиктин өлчөмүн жана базисин аныктагыла. ЧЫГАРУУ. Берилген (3) системанын белгисиздеринин коэффициенттеринен түзүлгөн "1 1-1 Р 1-1 1-1 3 1-11 -1 1 -Ъ матрицанын рангын эсептейли. 2-жолчодон 1-жолчону кемитип, ал эми 3-жолчодон жана 4-жолчодон үчкө көбөйтүлгөн 1-жолчону кемитип төмөнкүнү алабыз: '1 1-11 0-22-2 0-2 2-2 к0 -4 4 -4 Эми акыркы матрицанын 3-жолчосунан 2-жолчону кемитип, ал эми 4-жолчодон экиге көбөйтүлгөн 2-жолчону кемитип төмөнкүнү алабыз '1 1 -1 1 л 0-2 2-2 <11 -1 П А~ 0 00 0 1^0 -2 2-2) к0 0 0 0 ?
АҮ1Т А8А^ОУ, НАМ|Х КАЕАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К ОК1ЧЕК 2.: А§а§1дак1 х, + х, - х3 + х4 = 0, х, - х, + х3 - х4 = 0, Зх, + х2 - х3 + х4 = 0, Зх, -х2 +х3 -х4 = 0 818Геш1п 9б2йт1епгпп а11 игаутт ЬоуиШпи уе Ьа2'1т Ьи1ипих. (Д)ХйМ: ҮегПеп (3) 8181етт Ы1ттеуеп1еппт ка18ау11аппс1ап о!у$ап Л1 1-1 Г 1-1 1-1 3 1-11 Г -1 1 -ъ таТпзтт гапкхш Ьи1а11т. 2-1ПС1 заиЫап 1-тс1 зайп ?1кага11т, 3-йпсй зайгйап уе 4-йпсй зайгйап 3 зау181 йе 9агр11гт§ о1ап 1-тс1 зайп 91кага11т. О гатап а§а§1йак1 таТгЫ а!|п/: а 1 -1 1 0-22-2 0-22-2 ,0 -4 4 -4 ? §1т<11 8оп гпайпзт 3-йпси зайппйап 2-тс1 зайпт <?1кага11т. 4-йпсй зайгйап 1зе 2 зау18111е <?агр11гт§ о!ап 2-тс1 зайп 91кага11т. О гатап а§а§1йак1 та1г1Я1 акпг: а 1-1 т 0-2 2-2 <1 1 -1 Г 0 0 0 0 \о -2 2 -2, ,0 0 0 0 ?
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 233 Мындан, А матрицанын рангы г = 2 жана к = п - 2 = 4 2 экендиги келип чыгат. Демек, (3) системанын чыгарылыштарЫ мейкиндигинин өлчөмү к = 2 болот. Бирок, <1 1-1 п А ~ 1^0—2 2-2/ болгондуктан, (3) система төмөнкү система менен эквиваленттүү| ' X' +х2 -х3 + х4 =0, - 2х2 + 2х3 - 2х4 = 0. Мындан ^1 ~ ~Х2 + Х3 " Х4 х2 = х3 - х4 (хз менен х4 - каалаган сандар) келип чыгат. Акыркы системага хз = I, х4 = 0 деп коюп, х2 = 1, X/ = 0 экендигин билебиз. Демек, у, = = (0; 1; I;0) вектору (3) системанын нөлдүк эмес чыгарыльп Эми акыркы системага х3 = 0, х4 = 1 деп коюп, х2 = -1, х/ экендигин билебиз. Демек,у2 = (0, -1, 0, 1) вектору (3) системаны: 2-нөлдүк эмес чыгарылышы болот. Бул у, жана у2 векторл сызыктуу көз каранды эмес болгондуктан, алар (3) системанын чыгарылыштарынын мейкиндигинин базиси болот. Демек, системанын жалпы чыгарылышы у =С/У/+ с2у2 формуласы менен аныкталат. Мында с^ менен сз _ каалаг турактуу сандар. 4.4. ЕВКЛИД МЕЙКИНДИГИ Берилген Н сызыктуу мейкиндигинин ар кандай х жана 1 векторлору үчүн кандайдыр бир эреже менен ал векторлордун скалярдык көбөйтүндүсү деп аталган чыныгы сан туура келсин жана ошондой эле (х, у) менен белгиленген ал скалярдык көбөйтүндү төмөнкү шарттарды канааттандырсын: Г. (ху) = (у,х), \/х,уе Н ; 2°. (х,у+х) = (х,у) + (х,г), Х/х,у,г е Н ; 3° ар кандай X чыныгы саны үчүн (Л х,у) = Л (х,у), \/х,уе Н ;
АУ1Т А8А1ЧОУ, ЯАМ|Х КАЕАТОУ ММЕЕП СЕВ1К 234 к!ап да А та1г181П1п гапк1 г = 2 пе к = п-2 =4-2=2 о1с1и£ипи (уогих. Оетек (3) 8181етт рбхйгЫеп ихаутт ЬоуиШ к = 2 сНг. Еака1 П 1 -1 п А~ -2 2 -2) <<1<1и£ипс1ап (3) 8181ет а$а§к1ак1 8181ет Пе ПепкОг: X, + Х2 - Х3 + Х4 = 0, - 2х2 + 2х3 - 2х4 = 0. Вшадап 4 х2 = х3 - х4 есНИг. Вигаба х3 уе х4 кеуй зау1агб1г. 8оп 8181ет<1е х3 =1, х4 = () ;ак х; =/, х/ =0 о1<1и§ипи Ьи1игих. Оетек у/ = (0; 1; 1 ;0) уек(бгй (3) ,'тт 81Г1гс1ап ГагкИ рбхйтйсШг. §ппсН зоп 8181етбе х3 =0, х4 = 1 аЬтгза, -1, X] =0 е§ЬНк1еп Ьи1ипиг. Оетек у2 = (0, -1, 0, 1) уек(бгй (3) 818(етт |ктс1 81йгбап ГагкЬ рбхйтйсШг. Ви у/ уе у2 Уек1бг1еп Нпеег Ьа§1гп81г о1с1ик1аппс1ап оп1аг (3) 818(ет1п рбхйткп ихаутт ЬахЬт о1и§(игиг1аг. Оетск (3) 8181егтп §епе1 рбхйтй у = С| +/+С2+2 ГогтйШ Пе ЬеПгННг. Вигаба уе с2 кеуй заЬк зау11агс11г1аг. 4.4. ОКЫО 112АҮ1 КаЬи! ебеПт к1 уегПеп Н Ппеег ихаутт Ьег х уе у уексбг1еппе ЬегЬапц! Ыг кига1а §бге о үек(бг1епп зка1ег ^агрпги бепПеп Ыг гее! зау1 каг§111к §еНуог уе (х, у) Пе §08(еп1еп Ьи зка1ег рагрип а§а§1с!ак1 §аг(1ап 8а§1апсЬпуог: Г. (х,^)= (у,х), Х/х,уе Н ; 2°. (х,у+?) = (х,у) + (х,") , Ух,у,г е Н ; 3° Ьег Я е К. 19111 (Л х,у) = Л (х,у), \/х,уе Н ;
235 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 4°. Эгерде х - нөлдүк эмес вектор болсо, анда (х, х) >0 болсун, ал эми (х, х) = 0 качан гана х = Ө - нөлдүк вектор болсо. Бул учурда Н - мейкиндиги евклид мейкиндиги деп аталат. Демек, Н-сызыктуу мейкиндиги евклид мейкиндиги болот качан гана ал мейкиндикте 1°-4° шарттарды канааттандырган скалярдык көбөйтүндү табылса. Жогорудагы 1°-4° шарттардан төмөнкү касиеттер келип чыгат: а) (у+г,х) = (у,х) +(г,х), \/х,у,г еН; Ь)(х,Лу) = Я (х,у), \/х,уеН, \/ЛеК; с) (Ө, х) = 0, \/хе В.. Ар кандай хеН үчүн (х, х) саны х векторунун скалярдык квадраты деп аталат. Ал эми Н мейкиндигиндеги х векторунун скалярдык квадратынын тамыры, ал х векторунун узундугу же нормасы деп аталат. Эгерде х векторунун узундугун |х| менен белгилесек, анда 1x1= у/(х,х). Вектордун узундугу, төмөнкү касиеттерге ээ: 1. | х I = 0 качан гана х = Ө - нөлдүк вектор болсо; 2. | ХхI =1 А| |х| , мында А чыныгы сан; 3.1 (х,у) | < I х | | у I, V х,уе Н (Коши-Буняковскийдин барабарсыздыгы); 4. | х+у I < I х | +1 у I (үч бурчтук барабарсыздыгы). Эгерде х векторунун узундугу бирге барабар болсо, анда ал вектор нормалдуу вектор деп аталат. Ар кандай нөлдүк эмес хеН 1 үчүн т-т -х вектору нормалдуу вектор болот. |х| Ар кандай нөлдүк эмес х, уе Н үчүн Коши-Буняковскийдин барабарсыздыгынан төмөнкү -1< “ 1->| барабарсыздыктары келип чыгат. Демек, Н-евклид мейкиндигинин нөлдүк эмес х жана у векторлорунун арасындагы <р бурчун төмөнкү
АУ1Т Л.ЧЛМОУ, НАМ(Л КАГАТОУ Ь|^ЕЕКСЕ1ЙК 236 4°. Е§ег х 81Г1гдап Гагкк уек1бг 1зе, о гатап (х, х) >0 үс (\, \) = 0 о1таш । <;1п §егек уе уе1ег §аг1 х = Ө - 81Г1Г үек1ог о1та81(11г. $и ЬаШе Н игаута ОкНд ихау1 детг. Оетек Н Ипеег и/аутт ОкН(1 и/ау1 о1та81 фп §егек уе уе1ег §аг1 Ьи ихауНа Г- 4° §агНапт 8а&1агк1|гап чка1ег ^агриптт ЬиШптазккг. Үикапдак! Г- 4° §агНагтс1ап а§а§1дак1 02еШк1ег еМе еШННег: </) (у+г,х) = (у,х) + (2,х), \/х,у,х еН; Ь) (х,Лу) = Л (х,у), \/х,уЕН, /ЛеК; с) (Ө,х) = 0, УхеК. Нег хе Н 19111 (х, х) 8ау18та х уекЮгйпйп §ка!ег каге$1 йетг. Н игаутт х уек1бгй 8ка1ег кагезтт каге кбкйпе х үек1бгйпйп ихип!и§и уеуа погти йетг. Е§ег х үеМбгйпйп ихип1и§ипи | х I Не §О81епг8ек |х| = у1(х,х) е$Ш1йт1 а11П2. В1г уекгбгйп игип1и§и а§а§1с!ак1 бгеШк1еге заЬфйг: 1. 1x1 = 0 <+> х = Ө - 81йг уек1бгс1йг; 2. I Хх I = I X11 х |, Ьигайа X - гее1 заукйг; 3. I х,у | < | х | | у I, V х, уе Н (СаисЬу - Випуакоузку е$1(:81х11§1) сПг; 4. I х+у | < I х | +1 у | (С?§еп е§1181гН§1) сНг. Е§ег х уекгбгйпйп ихип1и§и Г е е§й 1зе, Ьи х уек1бгйпе погта! үек1йг йегпг. Нег хеН (х# 0) 19111 т-т • х үек1бгй погта! үек1бгс1йг. |х| 81йгйап ГагкН Нег х,у е Н 191П СаисЬу-Випуакоузку е§11812Н§1П(1сп а§а§и!ак1 е§й81211§1 еМе есННг. Оетек Н Ок1М игаутт 81йгс1ап ГагкНх уе у уек1бг1ептп ага8ии1ак| а?1у1 а§а§Мак1
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 237 (х,у) С°8Ф = Т-й-Г 1*1 и барабардыгынан аныктай алабыз. Мында ()<ср<п . Эгерде х жана у векторлорунун скалярдык көбөйтүндүсү (х,у) = 0 болсо, анда ал х жана у векторлору ортогоналдуу векторлор деп аталат жана ал х _1_ у менен белгиленет. Мында 0-нөлдүк вектор ар кандай х векторуна ортогоналдуу экендиги келип чыгат, б.а. Ө1у. Евклид мейкиндигинин каалаган х жана у векторлору үчүн төмөнкү барабардыктар аткарылат: 1.|х-у|2 = |х|2 + |у|2-2|х||у| созф (косинус теоремасы), мында (р бурчу х менен у векторлорунун арасындагы бурч; 2.Эгерде х _1_ у болсо, анда |х-у|2 = |х|2 + I у I 2, |х+у|2 = |х|2 + | у 12 , (Пифагордун теоремасы) болот. Берилген п - өлчөмдүү Н - Евклид мейкиндигинин еь е2 ,...,еп базиси ортонормалдуу базис деп аталат, эгерде бул базистин ар кандай түгөй векторлору ортогоналдуу болушса жана базистин каалаган векторунун нормасы (узундугу) бирге барабар болсо, б.а. (е„ е}) = 0, I у) болгондо жана I = 1,2,...,п үчүн | е,| = 1 болсо. ТЕОРЕМА 1. Ар кандай п - өлчөмдүү евклид мейкиндигинде ортонормалдуу базис табылат. 1-МИСАЛ. Берилген Кп сызыктуу мейкиндигинин каалаган х = (X/, х2,..., х„ ) жана у = (уь у2.у„) векторлору үчүн скалярдык көбөйтүндүнү (х,у) = X/ У1+ х2 у2 +... + х„ у„ (1) түрүндө аныктоого мүмкүн экендигин көрсөткүлө. Башкача айтканда Кп мейкиндиги п - өлчөмдүү евклид мейкиндиги экендигин көрсөткүлө. ЧЫГАРУУ. Ал үчүн жогорудагы 1°-4° шарттарынын аткарылышын текшерели: 1°. (у, х) = у, X/ + у2х2 +... +у„хп болгондуктан, (х,у) = (у,х) ; 2°. Эгерде г = (х^, г2,..., г,) € К" болсо, анда у + 2 = = ( У1+21, у2 + 22,..., у„ + 2„) жана
АУ1Т А8АМОУ, НАМ|Х ЯАГАТОУ > <к ЫКЕЕК СЕВ1В с°8ф = ү-гт-г к1и е§Ш1§1пдеп ЬеНгСе ЫНпг. Вигада 0< (р < п Шг. Е§ег х че у уек1бг1ептп зка!ег ?агр1Ш1 (х,у) = 0 1зе, Ьи х ус уек1бг1еппе ог1о§опа1 уек1бг1ег с!еп1г үе X _1_ у зетЬо1и йе §б8(епНг Вигадап Ө - 81йг уек1бгйпйп Ьег х үек1бгйпе ог1о§опа1 оМи§и сИе сйПп. уат Ө Л у сНг. ОкНй игаутт Ьег х уе у уек1бг1еп 19111 а§а§Мак1 е§йНк1ег 8а§1апп’1аг: 1. I х-у 12 = I х 12 + |у|2-2|х||^| со8(р (Ко81пй8 Теогегт) сНг. Вигайа ср а<;181 х уе у үек1бг1еппт агазтйак! а^кЬг; 2. Е§ег X Л у 18е, о ЬаШе 1х-уР-| + Р + 1уР сНг. I х+у |2 = |х|2 + I у 12 (Р18а§ог Теогегт) сНг. УегПеп п ЬоуиНи Н - ОкНс! ихаутт еь е2 ,...,еп Ьах'та , оНопогта! Ьах йетг, е§ег Ьи Ьа/т Ьег үекТбгйпйп погти (ихип!и§и) Г е е§1118е, уат /^/ 19111 Ьег уекМгйпйп погти (и2ип1и§и) Г е е§Ь 18е, уат , / #/ 19111 (е,, е7) = 0, уе / = 1, 2,..., п 191111 е, | = 1 18е. ТЕОКЕМ 1. Нег п ЬоуиНи ОкНс! ихаутйа ог!опогта1 Ьах Ьи1ипиг. О1ЖЕК 1. УегПеп Вп Нпеег игаутт Ьег х = (х^ х2,..., хп)че у = (у1, у2,..., уп) уек1бг1ептп 8ка1ег ^агртипт (х,у) = Х1 У1+ х2 у2 + ... + Хп уп ( I ) §ек1тс!е 1атт1апа ЬПесе§т1 §б81ептх. Үат Вп ихаутт п ЬоуиНи ОкПс! Ыгау! оМи§ипи §б81ептх. ^ОХЁМ: ҮикагМак! Г-4° §аП1аптп 8а§1апск§1т ПепеуеНт: Г. (у,х) =у1 Х{ +у2х2 +... + упх„ оМи§ипс!ап (х,у) = (у,х) сНг; 2°. Е§ег х= (/], х2,..., 2П) е Кп 18е у + г = ( у^+ 2/, у2 + 22, ..., + уп хп) ус
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 239 (х, у + г) = х /( у/+2,) + х2 (у2 + г2) + ... + х„(у„ + г„) = = (X/ У1 + Х2 у2 + ... + Х„ у,) + (X/ £/+ Х2 22 + ... + Х„ 2„) = (х, /) + (х, г) 3°. (Лх, у) = (Лх/)у,+ (Лх2)у2+...+ (Лх,)у„ = = Л(х/у/+х2 у2 + ...+ х„ уп) = Л(х,у) , \ЛЛеК. 4°. (х, х) = X' +х| + ... + х* >0 качан гана х, , х2 ,..., х„ чыныгы сандарынын жок дегенде бири нөлдөн айырмалуу болсо. Ал эми (х, х) = 0 качан гана х, = х2 = ... = х„ = 0 болсо. Демек, Кп мейкиндигинин каалаган эки элементинин (1) формула менен аныкталган көбөйтүндүсү 1°-4° шарттарды канааттандыргандыктан, ал көбөйтүндү скалярдык көбөйтүндү болот. Ал эми Кп мейкиндиги п - өлчөмдүү мейкиндик экендигин биз билебиз. ТЕОРЕМА 2. Эгерде е/, е2 ,..., е„ векторлору п - өлчөмдүү евклид мейкиндигинин ортонормалдуу базиси болсо, анда ал мейкиндиктин каалаган х элементи үчүн х ^/ е/ + )) 2 е2 +...+£„ е„ 1x1 =7^+^+...+^ болгондой I, 2,..., £ п чыныгы сандары табылат. 2-МИСАЛ. 4 - өлчөмдүү евклид мейкиндигинин /, /,, /, / базиси берилсин. Бул базистин жардамы менен берилген мейкиндиктин ортонормалдуу базисин тургузгула. ЧЫГАРУУ. Биринчи берилген мейкиндикте § , , § 2 , ё з , ё 4 ортогоналдуу базисин тургузалы. Ал үчүн § 1 =/, § 2 = / +а^ деп алалы. Мында а чыныгы санын _1_ болгондой тандап алабыз. Акыркы барабардыкты §1 векторуна скалярдуу көбөйтүп, төмөнкүнү алабыз: (ёь ё 2) = (ёь/) + <^(ёьё1) Мындан (§ I, § 2) = 0 экендигин эске алып, а санын табабыз: «=- (вьЛ)/1 §|12. Эми § з =/, + / / + /2 § 2 деп алалы. Мында Р1 жана Р2 сандарын -Ь -Ь §2 болгондой тандап алабыз: < (§ь ё з) = (ёь/з + р/81+ /282) = (§ь/з) + Ля^ь § )+ /2 (ёь В 2),
24С АҮ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАЕАТОУ 1Л1ЧЕЕЯСЕВ)К (х,у + г) = х/( У1+21) + х2 (у2 + ?2) + ... + х„(у„ + г„) = = (х, у,+ х2 у2 +... + х„ у„)+(X/ Х/+ х2 г2 +... + х„ г,) = (х, у) 4 (х, 2) 3°. (Лх,у) = (Лх/)у/ + (Лх^)у2 +...+ (Лх„)у„ = = Л(х/У/+х2 у2 +... + х„ Уг) = Л (х,у) , УЛеК. 4°. (х, х) = х? + х22 + ... + х2 >0 о1та§119111 §егек уе уе1ег ?аг1 X/, х2,..., х„ гее! зауПаппт еп агЫпзтеп 81йг<1ап Гагкй о1тази1|г. (х, х) = 0 <=> X/ = х2 = ... = х„ = 0 <Нг. Эетек Кп игаутт Ъег 1к1 е1етаптт (1) £огтй1й Пе 1ап1т1;та 9агрти 1°-4° §аН1апп1 8а§1ап<11г<11§1гк1ап, о ^агрип зка!ег ^агртиЬг II игаутт п Ьоуи11и ихау о1<1и§ипи 1зе Ыг ЫПуогих. ТЕОРЕМА 2. Е§ег в/, е2,..., е„ Уек1бг1еп п ЬоуиНи ОкНс! и оНопогта! Ьах’11зе, Ьи Ьа1<1е о и2аут Ьег х е1етап 19111 х / е/ + (^2 е2 +...+^„ е„ уе 1х| = 7^+£+...+£ о1асак §екП<1е ,, Е, 2,..., £ п гее! зауПап Ьиктиг. ОК1ХЕК 2.: 4 Ьоуи11и ОкН<1 ихаутт //,/2,,/з,/4 Ьа/1 үегПзт. Ви Ьал' } агй1т1у1а уегПеп игаут оНопогта! Ьаг'т1 кигипих. СОХЁМ: Пкёпсе уегПеп ихауйа § 2, ё з, ё 4 ойо§опа1 Ьа/ни кига1и Випип 191П каЬи! ейеИт к1 §| =/, ёг = /2 +«§1 <Пг. ВигасЫй ап 8ау181ш _1_ о1асак §екПс!е зе^еПт. 8оп е§ПИ§1 §! уек^бгй Пе яка ^аграгзак. (ёь ё 2) = (§ьЛ) + »(§ь§ 1) 1Гас1е81п1 а11П2. Вигайап (§ь § 2) = 0 о1<1и§ипи §02 бпйпе аПгзак, (X кауш Ьи1игиг: «=- (§ьЛ) /1 §;12- §1тсП ё з =/з, + $ 1 §1 + /32 § 2 ИаПезпп а1аПт. Вигайак! /3 ,, (32 зач >1 и £1 уе £з -I-§аН1аппдап Ьи1аса§12: (§Ь§3)= (§ь/з+/?/§1 +Л§2) = (ёьЛ> +//(§!,§ 1>+
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 241 (&, ё З) = (&,Л+ Р / ё> + Ргё 2) = (&,/) + Р /(&, ё 1>+ @2 (&, ё 2)- Мындан, (§ь ё г) = (ёь ё з) = (&, ё з) = 0 экендигин эске алып, 01 жана 02 сандарын табабыз: Д/ = - (&,/з)/1§112, /з = - (ёг,/)/1ёг12 Акырында § 4 =/ + & + ү2 8 2 + Уз § з барабардыгынан Ү1, ү2 жана Үз сандарын _1_ £4 _1_ _1_ болгондой тандап алабыз: (ё1,ё4)= (ёь/Д +Ү1 (ёь ё 1)+Үг (ёь ё г) + Үз (ёь ё з) , (ё2, ё 4) = (ё 2,/4) + Ү ! (ё 2, ё 1>+ Ү 2 (ё 2, ё 2) + Ү 3 (ё 2, ё з), (ёз, ё 4) = (ё з,/Д + ү 1 (ё з, ё 1>+ ү 2 (ё з, ё 2) + ү з (ё з, ё з) Мындан (§!, § 2) = (§|, ё з) = (§1, § 4) = (ё2, ё з) = (ё 2, ё 4) = (ёз, ё 4) = 0 экендигин эске алып, Ү1, ү2 , Үз сандарын табабыз: Ү1= - (ё1,/4)/1ё112,ү2=- (ё2,/)/1ё2!2, үз= - (ёз,/)/1ёз12 Демек, а , 01, 02, Ү1, ү2 , Үз сандарынын табылган маанилеринде, ёь ё 2, ёз, ё 4 векторлорунун ар кандай түгөйү ортогоналдуу болот. Анда ез = §1 /1 ё11 = §2 /1 §21 , е3 = §3 /1 §3|, е4 = & /1 ёЛ векторлору ортонормалдуу базисти түзүшөт. 4.5. СЫЗЫКТУУ ОПЕРАТОРЛОР Сызыктуу оператор түшүнүгү алгебранын негизги түшүнүктөрүнүн бири болуп эсептелет. Эми п - өлчөмдүү Кп жана /я-өлчөмдүү Кт сызыктуу мейкиндиктерин карайлы. АНЫКТАМА. Эгерде 7Г мейкиндигинин каалаган х векторуна берилген эреженин негизинде 7?” мейкиндигинин А(х) вектору туура келсе, анда К" мейкиндигин 7Г мейкиндигине чагылдырган А оператору берилди деп айтабыз. Аны у=А(х) же А: Кп Кт түрүндө жазабыз. Мында, у=А(х) - вектору х векторунун түспөлү ал эми х- вектору у=А(х) векторунун алгачкы түспөлү деп аталат. Эми Кп мейкиндигинин каалаган х менен т. векторлору жана ар кандай А. - чыныгы саны үчүн төмөнкү барабардь^тар аткарылсын:
АУ1Т А8АМ0У, ЯАМ1г КАГАТОУ Ь(НЕЕКСЕВ|К 242 (§2, ё з) = (§2,/ + Р / §1 + Р2 ё 2) = (§2,Ь) + / /(§2, § 1>+ Л (§2, ё 2), сПг. Вигадап (§,, § 2) = (§1, ё з) = (ёг, § з) = 0 оШи§ипи §02 бпйпе аНгяпк. РI, уе /32 зауйапш Ьи1игиг: Р1 = - (§1,/) /1 §112, А = - (§ 2,Л) /1 § 2!2 сНг. 8оп о1агак §4 = Г4 + ү|§1+ү2§2 + Үз§з е§йН§тс1еп ү ( , ү 2 ус ү । зауйапш £4 ± , £4 ± £2, £4 ± §аг11аг1пс1ап Ьи1аса§1/: (§1, § 4) = (§1,/± + ү I (§1, § !>+ Ү 2 (§!, § 2) + ү 3 (§1, § з), (§2, § 4) = (§ 2,// + Ү I (ё 2, § 1>+ Ү 2 (§ 2, § 2) + Ү 3 (§ 2, § з), (§3, § 4) = (§ 3, + ү 1 (§ 3, § |>+ Ү 2 (§ 3, § 2) + ү 3 (§ 3, § з) е§йИк1еппдсп (§1, § 2) = (§1, § з) = (§1, § 4) = (§2, § з) = (§ 2, § 4) = (§з, § 4) = 0 о1ди§ик1ап1н §бх бпйпе [Игзак ү । , ү 2, Ү з зауйапш Ьи1ишг: Ү1= - (§1,Л) / I §11 2 , Ү 2= - (§ 2,/4) / I § 21 2 , Үз= - (§ 3,/4) / I § з1 2 о1иг. Эег ек а, /3 7, /??, Ү 1 , Ү 2, Ү з вауйаппт Ьи1<1и§итих де§ег1еп 1£1п §ь § 2, оз, § 4 Үек1бг1епп1п Ьег 1к181 ог1о§опа1<11г. §и ЬаМе е} = §1 /1 §11, е2 = §2 /1 &1 , е5 = §3 /1 §31, е4 = §4 / | §4| уек1бг1ег ог!опогта1 Ьа/1 оЬ1§1игиг1аг. 4.5. ВОМЁ§ЁМЬЕК Ьтеег Вбпй§йт каугапи - сеЫпп езаз каугапйаптп ЫпсНг. $ткЬ п Ьоуийи Кп уе т Ьоуийи Кт Нпеег ихау1апт §бх бпйпе а1аЬт. ТАММ.: Е§ег Кп ихаутт Ьег х уек1бгйпе уегйеп Ыг кига1а §бгс К” ихаутт А (х) уек1бгй каг§1 §еНуог8а, о ЬаШе Кп ихаут! Кт игаута йбпй^йгсг Ыг А йбпй^йти уегПтфл* йетг. Ви йа у=А(х) уеуа А: Кп —> Кт ^екНтй уа21Ьг. Вигайа у^А(х) 5 екГбгйпе х уекШгйпйп §бгйп1:й8й, х үск1бп1|и । * у=А(х) уек1бгйпйп 1ег8 §эгйп1:й8й йетг. §ппсН каЫ±1 ейеНт к1 Кп ихаутт Иег х Не 2 уек!бг1еп уе Ьс1 НапЫ гее! 8ау181 фп а§а§1йак1 е§ЬНк1ег 8а§1атуог1аг:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 243 1. А(х+г) = А(х)+А(г); 2. А(Ах) = ЛА(х): Бул учурда А оператору сызыктуу оператор деп аталат. Эгерде К.11 жана Кт мейкиндиктери дал келсе, б.а. т = п болсо, анда А оператору Кп мейкиндигин өзүнө чагылдырат. Мындан ары биз Ки мейкиндигин өзүнө чагылдырган сызыктуу операторлорду гана карайбыз. 1.Сызыктуу оператордун матрицасы: Бизге п- өлчөмдүү Кп мейкиндигинин е1: е2,..., е„ базиси берилсин жана Кп мейкиндигин өзүнө чагылдырган А - сызыктуу оператору берилсин. Ал эми А(е,), А(е2) ,..., А (е„) векторлору Кп мейкиндигинде жаткандыктан, алардын ар бирин базис менен ажыратып жазабыз: А^ё^) ^||^| + ^21^2 п!^п ’ ^12^1 + ^22^2 "I"•••"! апгеп, Л(е„) = аХпе{ + а2пе2 + ... + аппеп. (1) Бул учурда йГц а12 ... а2п (2) . С1 . 67 ~ ... €7 I \ п\ п2 пп / матрицасы е^, е2 ,..., е„ базисиндеги А- сызыктуу оператордун матрицасы деп аталат. Ал эми А матрицанын рангы А оператордун рангы деп аталат. Эми Кп мейкиндигинин каалаган х векторун алып, аны базис менен ажыраталы: х = X/ С/+ х2 е2 +... + х„ е„.
244 АУ1Т А8АМОҮ, НАМ|2 КЛГАТОУ Ь|МЕЕПСЕВ|К 1. А(х+г) •= А(х) +А(г); 2. А(Лх)=кА(х): $и Иа1де А дбпй§йтйпе Нпеег йбпй§йт (Зетг. Е§ег Кп уе Кт и2ау1ап Ып Ыгте е§11 18е, уат т^п 18е, §и ЬаЫ йбпй§йтй Кп ихауии кепЫзте йбпй§Шгеп Ыг <1бпй§йтс1йг. 11ег1с1е Ы / ч.1 А: Кп—> Кт §екНп<1е уегНеп Нпеег <1бпй§йт1еп тсе1еуесе§1х. 1. В1Г Ппеег с1опй§йтйп та(п$Е КаЬи! ейеНт к1 п ЬоуиНи игаутт еь е2,..., еп Ьах'1 уе А : Кп—»Кт (1бпй§йтй уеп1т!§Нг. Л (еД А(е2),..., А (е^) уек1бг1еп Кп и/аут.1 .и о1с1ик1аппс1ап, Ьип1апп Ьег Ыпт Ьах уекШНеп уагсйгтук уахаЫНпх: А{е^ = апех +а21е2 + ... + ап|е„, Л(е2) = а12е} + а22е2 + ... + ап2еп, +е„) = а1^ +а2„е1+- + атеп- Ви ЬаМе та1п5ше А Ппеег <1бпй§итйпйп та1п.ч йетг. А тайчзтт гапкта Кс с1бпй§йтйпйп гапк1 <1етг. §1тсН В.п игаутт кеуй х уекШгйпй I» үек!бг1еппе ауиакт: х = X/ в/+ х2 е2 +... + хп еп .
245 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Бирок у = А (х) е П п жана А -сызыктуу оператор экендигин эске алып, ошондой эле (1) формуланы колдонуп төмөнкүнү алабыз: А (х) = у, в) + у2е2 + ... + у„е„, (3) А (х) = А (X] е/ + х2е2 +...+ х„е„) = = х, А (е,) + х2А (е^ +...+ х„А (е^ = = х^аце, + а2,е2 + ...+ ап1е„) + + х2(а)2е1 + а22е2 +...+ а„2е„) + + хпф;„в/ + а2„е2 + ...+ а„„ е„) = (ацХ! + а12х2 +...+ а^в! + + (а2)Х! + а22х2 + ...+а2пх„)е2 + (а„1Х) + а„2х2 +...+ аппх„)е„ . (4) Алынган (3) жана (4) формулаларды салыштырып жана вектордун базис менен ажыралышынын жалгыздыгын эске алып, төмөнкү барабардыктардын системасын алабыз: ^1 = «11*1 + «,2*2 + - + «!„*„> у, =а^хх + «,,х, + ... + а2пхп, (5) и,=«„1*1 +«„2*2+-+«,„,*„
24<> АУ1Т А8АМ)У, КАМ1х КАЕАТ<* ЕТ1МЕЕКСЕВ1К Гака1 у= А (х) е К " уе А - Ппеег с1бпй?йт оМиёипи уб2^п^пе акгаак ус (1) ЕоппйШпй иу§и1агзак а§а§и!ак1П1 Ьи1игиг: А (х) = у1б] + у2е2 + ... + У„е"' * А (х) = А (х; в| + х2е2 +... +хвеп) ~ = Х) А ( е) + х2А ( е2) +...+ Хп^ ~ = х/(а//е/ +а2!е2 +...+ + + х2(а12е2 + а22е2+... + ап2 + + х„(а/пе/ + а2пе2 + ... + аппг^= = (ацх2 + а12х2 + ... + а/пХп)6'*' + (а21Х/ + а22 х2 + ... + а2пхАе2+ + (ап>Х1 + а„2х2 + ...+ аппХ,)е« ВиМийитиг (3) уе (4) ГогтйНепт каг§11а?ИПГ8ак уе Ыг уек1бгйп Ьа/, уек1бг!еппе а^кттт ГекН£т1 §ёг бпйпе акгзак, а^аё1^’ е?кНк1ег 81Жетт1 акпг: у, =апхх +а12х2+... + а1пхп> 3^2 <?2|Х| + а22х2 +... + а2пхп, У>, ~аП1х> +аП2х2 +- + атх„.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 247 Демек, К11 мейкиндигин өзүнө чагылдырган ар кандай А - сызыктуу операторго берилген базисте (2) формула менен аныкталган А квадраттык матрица туура келет. Тескерисинче, (2) формула менен аныкталган ар кандай А квадраттык матрица, (1) формуланын жардамы менен Кп мейкиндигин өзүнө чагылдырган А сызыктуу операторду аныктайт. Эгерде Кп мейкиндигинин х жана А (х) векторлорунун е2,.... е„ базис боюнча ажыралышы х=(х/, х2...., х„) ' жана у = А (х)=(у1 , у^Уп)' болсо, анда (5) формуланын негизинде х жана А (х) векторлору матрицалык формада у = А (х) (6) формуласы менен байланышкан. Мында матрица А (2) формула менен аныкталат. 1-МИСАЛ. К3 мейкиндигин өзүнө чагылдырган А оператору в1, е2, е3 базисинде ' 3 2 4' А = -1 5 6 .18 2, матрицасы менен берилсин. Берилген х = 4 е, - Зе2 + е3 векторунун у = А (х) түспөлүн тапкыла. ЧЫГАРУУ. Жогорудагы (6) формуласы боюнча болот. Демек у = 10 е, -13е2 -18 е} . 2.Сызыктуу операторлор менен жүргүзүлгөн амалдар. Эми Кп мейкиндигин _ өзүнө чагылдырган сызыктуу операторлордун суммасын, көбөйтүндүсүн жана сызыктуу операторду чыныгы санга көбөйтүүнү аныктайбыз. Эки А жана В сызыктуу операторлорунун суммасы деп, ар кандай хеК " үчүн (А+В)(х) = А(х) + В(х) 4
АУ1Т А8А1\ОУ, КАМ12 КА1А | ()У Ъ№еЕК СЕВ|К 246 1)стек Иег А : К" —> В" Нпеег дбпи§итипе уегНеп ЬагМа (2) Гогти1и уагд1т1у1а ЬеНнНеп А кагезе! та(П81 каг§1 §еНуог. Тегзте, (2) ГогтШО 11« 1атт1апап Ьег А кагезе! та(п81, (1) ГогтйШ уагШгтук 1атт1апап А : Кл —> К.л Нпеег Нбпй§йтйпй Ье11Птек1есНг. Е§ег К" игаутт х уе А (х) уекШНептп е/л е2,..., е„ Ьа/та цйгс асИтЯап х=(х/, х2,..., х„) ' че у= А (х)=(у/, у2,..., у„)' о1игза, о гатап ( ГогтйШ §еге§тсе х үе А (х) үекШНеп 19111 у = А (х) 1' I ?ек1тс1ек1 таСпз е§ПН§1 8а§1аптак1ас11Г. ВигаНа А тагпз! (2) ГогтйШ Н* 1атт1ашг. ОВ1ЧЕК 1.: КаЬи1 ес!еНт к! К3 ихауии К3 е с1бпй§Шгеп А ёбпй$йтО е;, е2,..., е„ Ьах'1 йгеппде а§а§Шак1 А таТпз! Не үепПуог: УегНеп х = 4 в/ - Зе2 + е3 уекГбгйпйп у= А (х) §бгйпШ8йпй Ьи1ипиг. Сбгйм: Үикапс1ак1 (6) ГоггпШй §еге§тсе У1 4" 6 V '1(Р -13 1-18, о1иг. Эетек у = 10 в/ -13е2 -18 е3 с!йг. 2.1Лпеег с1бпй§йт1ег йгеппйе 1§1ет1ег. §1тсН К” —> Кл Ппеег йбпй$йт1еппт 1ор1атт1, сагртит уе Нпеег с1бпй§йтйп гее! яау! Н фагртит 1атт1ауаНт. НегЬап§11к1 А уе В Ппеег Нбпй^йпПептп 1ор1ат1 сНуе, Ьег хе А’ цш (А+В)(х) =А(х)+В(х)
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 249 барабардыгы менен аныкталган А + В сызыктуу операторун айтабыз. Эки А жана В сызыктуу операторунун көбөйтүндүсү деп, ар кандай хеКп үчүн (АВ)(х) = А(Вх) барабардыгы менен аныкталган АВ сызыктуу операторун айтабыз. Берилген А. чыныгы саны менен А сызыктуу операторунун көбөйтүндүсү деп, ар кандай хеК" үчүн (Л А) (х) = X А(х) барабардыгы менен аныкталган АА сызыктуу операторун айтабыз. Ар кандай хеК " үчүн О (х) = Ө &К " барабардыгы менен аныкталган О операторун нөлдүк оператор деп айтабыз. Ар кандай хеК " үчүн Е (х) = х барабардыгы менен аныкталган Е операторун бирдик оператор деп айтабыз. Жогорудагы амалдар төмөнкү касиеттерге ээ: 1°. А + О = А; 2°. А+В = В+А: 3°. А(ВС) = (АВ)С; 4°.АЕ = ЕА = А; 5°. (А+В)С = АС+ВС; 6° С(А+В) = СА+СВ. Жалпы учурда АВ оператору ВА операторуна барабар болбой калышы мүмкүн. Эгерде А сызыктуу оператору үчүн АА'1 = А-'А = Е барабардыгын канааттандырган А'1 сызыктуу оператору табылса, анда А'1 оператору А операторунун тескери оператору деп аталат. ТЕОРЕМА-1. Жогорудагы (1) формула менен аныкталган А сызыктуу оператору үчүн А ’’ тескери оператору табылат качан гана А сызыктуу операторунун матрицасыА. кубулбаган матрица болсо, б.а. Ае1А е 0 болсо. Бул учурда А ’’ сызыктуу операторунун матрицасы А'1 матрицасы болот. Мында А'1 матрица А матрицанын тескери матрицасы болот, ал эми А матрица (2) формула менен аныкталат. _ ТЕОРЕМА-2. Эгерде А - сызыктуу операторунун е2, е2 ,..., еп бдзисиндегң матрицасы А болсо, ал эми А операторунун е},е2,...,еп базисиндеги матрицасы А’ болсо, анда
250 АУ1Т А8А1ЧОУ, НАМ17 КАГАТОУ Ь11ЧЕЕКСЕВ1К е$к!Ц>1 Пе 1ашт1апап А + В ддпй$йётйпе детг 11егЬап§11к1 А уе В Ппеег ддпй§йт1еппт ^агрши сйуе, Ьег хе Н. " фп (АВ)(х) = А(Вх) е§1Ш£1 Не 1атт1ап АВ ддпй§йтипе детг. ҮегПеп X гее1 зауш Пе А Ппеег Пдпй^йтйпйп ^агртн сНуе, Ьег хеК " 1дт (X А) (х) = X А(х) Пе 1атт1апап X А Нпеег с1дпй?йтйпе детг. Нег хеК " 191П О (х) - ӨеК " е§Ш1§1 Пе 1атт1апап ддпй?йте мГи’ ддпй$йтй детг. Нег хеК " 19111 Е(х) = х е§ПН§1 Пе <этт1апап Е <1дпй§йтйпе Ыг1т ддпй$йтй детг. Үикапдак! 1§1ет1ег а§а§1дак1 дхеШккге заЫрйг: 1°. А + О = А; 2°. А+В = В+А: 3°. А(ВС) = (АВ)С; 4°.АЕ = ЕА = А; 5°. (А+В)С = АС+ВС; 6° С(А+В) = СА+СВ. ОепеШкТе АВ йдпй§йтй ВА ддпй§йтйпе е§И о1тауаЫПг. Е§ег А Нпеег ддпй?йтй 19111 АА’1 =А-'А=Е е?1Ш§1т 8а§1ауап А’1 Ппеег йдпй?итй ЬиШпигза о хатап Ьи А’1 ддпй§йтйпе А ддпй§йтйпйп Гегв <1дпй§йтй детг. ТЕОКЕМ 1.: Үикапдак! (1) ГогтШй Пе 1атт1апап А Ипеег ддпй^йтй 19111 А1егз ддпй§йтйпйп ЬЫиптаз! 19111 §егек уе уе1ег §аг1 А 1пич-1 <1дпй§йтйпйп та!п81 А тп ге§Шег о1таз1П1г. Үат Ве(А окпазкИг. §и Ьа1с1е А ’’ Нпеег с!дпй§йтйпйп та1пз1 А'1 та1п81сНг. Вигайа Л ' таШз! А таШзтт 1егз та1п81д1г; А таТпз! 1зе (2) £огтй!й Пе 1атт1апп. ТЕОКЕМ 2.: Е§ег А Нпеег ддпй$йтйпйп в/, еп Ьа/тскйи та1п81 А' 1зе , о хатап
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РЛФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 251 А'=С‘ АС (7) болот. Мында С матрицасы эски е/л е2,..., еп базисинен жаңы в,, е2,..., еп базисине өтүү матрицасы. 2-МИСАЛ. Берилген А оператору хОу тегиздигиндеги ар кандай я векторду а = — бурчуна бура турган оператор болсун. А+Е 4 операторунун координаттык түрдө жазылышын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Берилген 1=(1,0) жана )=(0,1) бирдик векторлору үчүн , п п 42 72 Аг = 1соз— + й/и— =---Л----]. 4 4 2 2 л. Ъп Зд’ д/2 л/2 А] = 1СО5---------'г]81П--- =-------1+------] 4 4 2 2 болот. Демек, К2 мейкиндиктин /, у базисиндеги А оператордун болот. Демек, тегиздиктеги ар кандай г=(х,у)' вектору үчүн, /' = (А+Е)х = (х',у'У өзгөртүүсүн төмөнкүдөй жаяЬак болот:
АУ1Т А&ЛМОҮ, НАМ|Х НЛ1Л I <>V иЯЕЕЯ СЕВ1К 252 А'=С' АС (7) о1иг. Вигада С та1пз1 езк1 е/, е2,..., е„ Ьа/тдап е^,е2,...,еп уеш Ьахта §е?1§ татзМт ОВ^ЕК 2.: УегПеп А дбпи$итй хоу дй21еттйе Ьег уексбгй 71 а = — а^зта ПбпПйгеп <1бпй§йт о§1зип . А+Е Пбпй§йтйпйп зка1ег 4 Гогтипи Ьи1ипих. СОХЁМ: ҮегПеп 1=(1,0) үе )=(0,1) Ыпт үекГбНеп фп , л п 72 41 . А, = 1СО5— + ШП— = --1+---1. 4 4 2 2 л Зл’ Зл 72 л/2 А, = 1соз-------Нзт— =------------/Н-----1 7 4 4 2 2 о1иг. Оетек, К2 ихаутт /, у Ьа/тйак! А йбпй^йтйпйп та1п81 сПг. Эетек ййгктйек! Ьег г=(х,у)‘ уекгбгй 19111 х' = (А+Е)х = (х' V')1 с!е§1§1тт1 а?а§к!ак1 §1Ы уахаЬПтх:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 253 2 72 72 х'= —+ 1 х-—у, ,2 , 2 2 /2 2 /2 2 3-МИСАЛ. Берилсин А жана В сызыктуу операторлору: х х у' =В 2 + X У 2 ЗА-2В, АВ жана ВА сызыктуу операторлорун тапкыла. ЧЫГАРУУ. Бул сызыктуу операторлордун төмөнкүдөй жазылат: матрицалары 0> 1 1 0 А = В = 0 1 1 0 0 1 Мындан ЗА-2В = 3 <0 1 1 -2 -2 1 1 3 -2 -2Л + 1 , 3 , 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 АВ = оүо 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 <2
АУ1Т А8АМОҮ, НАМ1/ КАГАТОҮ Ь^ЕЕКСЕШК 254 ОК1МЕК 3.: А үе В Нпеег с!бпй§йт1еп үегПзт: ЗА-2В, АВ уе ВА Ппеег с!бпй§йт1епт Ьи1ипих. СОХБМ: Ви Нпеег дбпй§йт1епп та1пз1еп а?а§к!ак1 §1ЫсПг: Г1 10^ А= 0 1 1 <1 0 1, л0 1 В= 1 0 Ь 1 п 1 °> Вигайап Г1 1 0Г ЗА-2В = 3 0 1 1 -2 1 ' 3 1-2" -2 3 +1 <1-2 3, и 0 1 о 1 п 1 о1иг. Г1 1 оКо 1 АВ= 0 1 и о 1 1> 1 <1 0 1 1 1 1 2" 2 1 1 [1 2 1,
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 255 Бул учурда АВ=ВА жана АВ сызыктуу оператордун координаттык түрдөгү жазылышы төмөнкүдөй болот: лх + у + 2гу 2х + у + г чх + 2у + 4-МИСАЛ. Берилген А -сызыктуу оператордун е/л е2 базисиндеги матрицасы <17 6> А= 1б болсун жана е’, е2 базиси е,, е2 базиси менен төмөнкүдөй байланышта болсун: е\ =е,-2е2> ег = 2е! + е2 А оператордун е{, е2 базисиндеги А’ матрицасын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Эски ел е2 базисинен жаны е\,е2 базисине өтүү матрицасы ( 1 2> С- , ((еге2) =(е,ле2)С) \ 2 V болот. Ал эми С матрицанын тескери матрицасы , 1 Г1 -2^1 С'1 = - 5 I2 1) болот. Анда жогорудагы (7) формуланын негизцрде
АУ1Т АБАЫОУ, КАМ1/ НАГАIОУ ЫИЕЕК СЕВ1К 25< г0 ВА = 1 <1 1 1>Р 10' 0 10 11 1 о Д1 0 1, Г1 1 2' 2 1 1 I1 2 1? сПг. Ви ЪаИе АВ=ВА с!1г уе АВ Ппеег дбпй$йтйпйп коогсПпаНаг §ек1пи1ск| уа2111§1 а§а§к!ак1 §1Ы(Пг: У' =(АВ) у Ы Ы х + у + 2г^ 2х + у + 2 чх + 2у + г, О1ШЕК 4.: КаЬи1 ейейт к1 уегПеп А - Ппеег с1бпй§йтйпйп в/, е2 Ьахтйак! та1п81 (17 6) А= 1^6 8) о1зипүе е\,е\ Ьа/1 үе е/( е2 Ьа/1 агазтйа е\ = е1-2е2, ё2 = 2е1 + е2 §екНпс1е Ыг Ьа§1ап11 уагЫг. А с!бпй§йтйпйп е/( е2 Ьаг'т(1ак1 А'та1п$пн ЬиЫпих. СОХЁМ: Езк1 е;, е2 ЬахНпбап ует е\, ё2 Ьах'та ёе?1§ та1пз1 С = 2) , , ,((еге2) = (е|,е2)С) сНг. С таСпзтт 1егз та1пз11зе С'1 = 1 р -2' 5 ^2 1? сПг. О хатап уикапйак! (7) ГогтШй §еге§тсе
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 257 , 1 1 Г1 А = С ’ АС = - 5 12 21Г17 1Дб 6Д 1 2Л 8Д-2 1 <1 -2Д 5 40Л (5 0> 5 1,2 1) 1,-10 20) Д 20^1 болот. 4.6. СЫЗЫКТУУ ОПЕРАТОРДУН ӨЗДҮК МААНИСИ ЖАНА ӨЗДҮК ВЕКТОРЛОРУ п - өлчөмдүү Ь сызыктуу мейкиндигин өзүнө чагылдырган А сызыктуу оператору берилсин. АНЫКТАМА. Эгерде Л саны үчүн Ь сызыктуу мейкиндигинен нөлдүк эмес х вектору табылып, ал үчүн А (х) = Лх (1) барабардыгы орун алса, анда X саны А сызыктуу оператордун өздүк мааниси (саны) деп аталат, ал эми х вектору А сызыктуу оператордун X өздүк маанисине туура келген өздүк вектору деп аталат. Демек аныктаманын негизинде өздүк векторго А сызыктуу оператору менен таасир этсек, анда анын түспөлү өзүнө коллинеардуу болгон вектор болот. Жогорудагы (1) барабардык, Ь мейкиндигинин е1г е2 ,..., е„ базисинде матрицалык түрдө төмөнкүдөй жазылат: Ах =Лх, Мында х = (х/, х2.хп)' л|2 ... аХп (2) д_ Д21 а22 •а2п . а । а -у ,.,а > \ п1 п2 пп А Эми (2) барабардыкты ачып жазалы:
АУ1Т АБАКОУ, КА1М1г КАГАТОҮ ЬГ\ЕЕКСЕВ|К 258 1 1 Г1 А'= С"1 АС = — 5 [2 -2Н17 6>Г 1 1Дб 8^-2 1, 1(1 -2Л 5 40 5 0л 0 20, о!иг. 4.6. Ы^ЕЕК ПбМй§бМЫЧ 02 ОЕСЕК1 УЕ 02 УЕКТбКО КаЬи! ебеНт к1 Ь - п ЬоуиОи Нпеег ихауди уе Ьи ихауда А : Ь —> Ь Нпеег дбпй^шпй уегПтфп-. ТАММ.: Е§ег X зауш19111 Ь Ипеег ихаутйа А (х) = Хх (I) е§1Ш§1т за§1ауап х* 0 уекТбгй ЬЫипигза, о хатап X заушпа А Ппеа йбпй§йтйпйп бх де|еп йетг, х уекГбгйпе 1зе А Нпеег ббпй§йтйпйп X б/ бе§еппе каг§111к §е1еп бх уекГбгй бетг. Эетек Ьи 1ашта §бге, е§ег 62 уекШге А Ппеег <3бпй§йтйпй иу§и1агч > ЬаШе опип §бгйпШзй 62 уекШге рага1е! Ыг уекШг о1иг. Үикапбак! (1) е§1Ш§1 Ь ихаутт в/, е2,..., е„ ЬагЬпбатайаз уан1ишу| а§а§1бак1 §екНбе уа21кг: Ах = Хх. Вигаба х = (х/, х2,..., х„)' сНг үе
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 259 аих} + а|2х2 + ... + а1пхп = /Ц, а21х, + а22х2 +... + а2пхп = Лх2, а„Л +а„2х2 + • + « =^„- Бул акыркы системанын оң тарабындагы мүчөлөрдү, сол тарабына которуп төмөнкүнү алабыз: (а,, - Я)х, + <712х2 +... + а1пхп = 0, <721х, + (<722 -Я)х2 +... + а2пхп = 0, а^х, + <7й2х2 +... + (а„„ - Л)х„ = 0. (3) Ал эми бир тектүү (3) система матрицалык түрдө төмөнкүдөй жазылат: (А-ХЕ)х = 0 мында Е - п - тартиптеги бирдик матрица. Алынган (3) бир тектүү система ар дайым х=Ө =(0,0,..., 0) ' нөлдүк чыгарылышына ээ болот. Ал эми (3) системанын нөлдүк эмес чыгарылышка ээ болушунун зарыл жана жетишерлик шарты болуп (А-ЛЕ) =/А-ЛЕ\ = б?и Л ах2 ... <з|й °21 а22 ~ а2п (4) = 0 а . а . ... а — Л п1 п2 пп шарты экендигин биз билебиз. I А-ХЕ I аныктагычы Х-өзгөрмөсүнө карата и-даражадагы көп мүчө болот жана бул көп мүчө А операторунун же А матрицанын мүнөздөгүч көп мүчөсү деп аталат. ТЕОРЕМА 1. Сызыктуу оператордун мүнөздөгүч көп мүчөсү базисти тандоодон көз каранды эмес<
АУ1Т А8АМОУ, ЯАМ1х КАГАТОУ Ь|КЕЕКСЕВ|К 26С 'а^х, + а12х2 + ... + а1пх„ = /Ц, а21х, + а22х2 +... + аг„х„ = Лх2, а„^+ап2х2+... + аппхп = Лх„. Ви зоп 8151ет1П за§ 1агаЕ1пс1ак11епт1еп зо! 1агаГа ^екегзек, («,, -Л)х^ +а12х2 + ... + а1пх„ =0, а2|х, + (а22 - Л)х2 +... + а2„х„ = 0, А>х1 + ап2х2 + - + («„„ - (1 818Сепнт а11П2. Ното§еп (3) 8181:егт та1г1з1ег уагскгтук (А - ХЕ) х = 0 §екНп<1е уагПаЬШг . Вигада Е - п - тс! тег1еЬе<1еп Ыпт таСпзкНг. Е1< е<П1еп (3) Ьото§еп 8181ет <1а1та х=Ө=(0,0,..., 0) ' 81йг убхйтйпе 8а1ир11г. ( 8181егтп 81Вг<1ап ГагкИ убхйте заЫр о1та81191 п §егек үе уеГег §аг1 ӨеТ(А-ЛЕ) =/ А-ЛЕ\ = а\\ а\2 "• а\п а2\ а22 ~ •" а2п а , а ^ ... а —А /71 /7 2 /7/7 оШи§ипи ЬШуогиг. I А-ЛЕ I - деигттапЬ Л <1е§1?кепте §оге п-тс1 дегеседеп Ыг роПпот<1и1 Ьи роПпота А (1опй§итйпйп уеуа А та^пзтт кагак<егЫ1к р<>1им>н йетг. ТЕОКЕМ 1.: Ьтеег йбпй§йтйп кагаШепзйк роНпоти Нпсс Ьа/тйап Ьа§1тз12д1г.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 261 ДАЛИЛДӨӨ. А операторунун в/ , е2 ,.., е„ базисиндеги мүнөздөгүч көп мүчөсү I А-ХЕ I аныктагычы болсун, ал эми ех, е,еп базисиндеги мүнөздөгүч көп мүчөсү I А'-ХЕ I аныктагычы болсун, эски в/ , е2,.., е„ базисинен жаңы е^,е2,...,еп базисине өтүү матрицасы С болсун. Анда А'= С'АС экендигин эске алып, төмөнкүнү алабыз: I А'-ХЕ| = I СЧС-ХС^ЕС 1 = 1 С’(А-ХЕ)С |. Эми, эки квадраттык матрицанын көбөйтүндүсүнүн аныктагычы, ал матрицалардын аныктагычтарынын көбөйтүндүсүнө барабар экендигин эске алсак, анда акыркы барабардыктан төмөнкү барабардыкты алабыз: I А'-ХЕ|=| С‘(А-ХЕ)С 1= I с‘1 |а-хе| |с 1= I с'с| |а-хе|= = I А-ХЕ I |Е |= |А-ХЕ|, б.а. I А'-ХЕ I = IА - ХЕ|. Демек, I А-ХЕ | мүнөздөгүч көп мүчө базисти тандоодон көз каранды эмес. ТЕОРЕМА-2. Эгерде А сызыктуу оператордун А матрицасы симметриялуу матрица болсо, б.а. А=А' болсо, анда (4) мүнөздөгүч теңдеменин бардык тамырлары чыныгы сандар болот. 1-МИСАЛ. Матрицасы Г1 4>1 А = 19 1} болгон А сызыктуу оператордун өздүк маанилерин жана өздүк векторлорун тапкыла. ЧЫГАРУУ. А оператордун мүнөздөгүч теңдемесин түзөлү: I А - ХЕ | = 1-Л 4 9 1-Л 0 <=> X2- 2Х - 35 = 0. Мындан А сызыктуу оператордун өздүк маанилери Х1 = - 5 жана Х2 = 7 экендигин табабыз. 1) X) = - 5 өздүк маанисине туура келген А оператордун х(1> =(х/, х2)' өздүк векторун тайалы. Ал үчүн
АУ11 Л8АМОҮ, КЛМ|Х КЛ1АТО\ ЫИЕЕК СЕВ1К 18РАТ: А Обпй§йтйпйп в/, е2...е„ Ьа/тйак! кагак1епзйк роНпопш I А-ЛЕ I йе^егттапй о18ип, ,е2,...,еп Ьа/тсЫа кагак^епзйк роПпоти 1$е I А'-ХЕ I йе1егттап11 окип. Езк1 <?/ , е2 ,., е„ Ьаг'тс1ап уст (?! ,е,,..., еп Ьаг'1па §е?1§ та(п811зе С о18ип. О ЬаМе А'= С'АС ок1ийипи §бг бпйпе акгзак I А'-ЛЕ|= I С‘АС-ХС'ЕС 1=1 С’(А-ХЕ)С I е$кН§1т еИе ебепх. §1тсН 1к1 кагезе! та1пз1епп ^агртипт 4е1егт1пап11 9аграп1агт с1е1егттап<:1аппт ^агртипа е§11 оМи§ипи §бг бпйпе акгзак, яоп е§ЬПк1еп I А'-ХЕ|=| С'(А-ЛЕ)С 1= I с'1 |а-хе| 1с 1= I с'с| 1а-ле|= = I А-ХЕ I |Е 1= |А-ХЕ|, уат I А'-ХЕ| = |а-хе| е§ЬП§т1 а11пх. Эетек, |А - ХЕ| кагаИепзНк роПпот Ьах 8е<?птнпс1сп Ьа§1т812с11г. ТЕОКЕМ 2.: Е§ег А Ппеег йбпй§йтйпйп А та<п81 81те1пк 1яе, үат А =А' 18е. о ЬаНе (4) кагаЙепзПк с!епк1етт Ьег кбкй гее1 заҮ1 о1иг. ОКМЕК 1.: Ма<п81 <1 4> V А = о1ап А Ппеег йбпй?йтйп бх бе§ег1епп1 үе бх уек<бг1епт Ьи1ипих. СО2ЁМ: А Обпй§йтйп кагакМпзПк с!епк1егтт уахакт: IА-ЛЕ | = 1-Я 4 9 1-Л = 0 Л2- 2 Л - 35 = 0. Вигадап А Ипеег йбпй§йтйп бх <1е§ег1еппт X, = - 5 уе Х2 = 7 оккцчинг Ьи1ишх. 1)§1тсН Х1 = - 5 бг бе§еппе каг§1Ьк §е1еп А ббпй?йтйпйп х(,) =(Х/, х2) 02. үек1бгйпй Ьи1аЬт. Випип фп
АВЫТ АСАНОВ, 1’АМИ I РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 263 теңдемесин б.а. системаны чыгарабыз. Мындан х2 = -1,5x1 Эми х/ каалагандай С турактуу санына барабар болсо б.а. X/ = С болсо, анда х2 = -1,5С болот, ал эми өздүк векторлор х(,) = (С; -1,5С)1 = (1; -1,5)1С болот. 2) Х| = 7 өздүк маанисине туура келген А оператордун х<2> =(х,, х2)' өздүк векторун табалы. Ал үчүн (А-\ 2 Е) = 0 теңдемени б.а. системаны чыгарабыз. Мындан х2 = 1,5x1 Эми х/ каалагандай С1 турактуу санына барабар болсо б.а. X/ = С/ болсо, анда х2 = 1,5С1 болот, ал эми х^ = (Сь 1,5С1)‘ = (1; 1,5)'С, болот. Эми е, , е2 ,..., е„ базисинин ар бир е, вектору А сызыктуу оператордун X , (7=7, 2,..., п) өздүк маанисине туура келген өздүк вектору болсун б.а. А (е) = Я, е,, 1=1, 2,..., п (5) Анда (5) барабардыктын негизинде А сызыктуу оператордун в/, е2,..., е„ базисиндеги А матрицасы
264 АУ1Т А8АЫОУ, КАМ1Л КАЕАТОУ ЫМ1Н ( I 1И1< (А-Х Е) \Х2) с!епк1ет1т, уат 4> Гх, л 6Л-м ы&егтт 9О2есе§12. Вигадап х2 = -1,5х! е§йП§1т а11пг. §1тсП X/ Ьег Ьапц! Ыг С заЬй 8ау181па е§к 18е, уат х/ = С 18е, о Ьа1йе х2 = -1,5С о1иг. Ог уекШг 1зехг/> = (С; -1,5С)‘ = (1; -1,5)‘С о1иг. 2) X, = 7 02 де§еппе каг$111к §е1еп А йбпй§йтйпйп х(2> =(х/, х2)' 02 үек1бгйпй Ьи1а11т. Випип 19111 (А-Х 2 Е) йепк1егтт, уат 9 4>| Гх, л Г°1 А 8181етнп ?д2ее§12. Вигадап х2 = 1,5x1 е§1Ш§1т Ьи1иги2. §шкН X/ Ьег Ьап§1 Ьн С1 заЬк 8ау18та е?к 18е, уат х/ = С/ 18е, о ЬаШе х2 = 1,5С} о1иг. Вигадап х/2/ = (Сь 1,5С,)‘ = (1; 1,5) ‘С, е§Ы1§ш1 а11П2. §ппсП е/,е2,..., еп Ьаг^шп ЬегЫг е, уекШгй А Ппеег йдпй§йтйпйп X / (1^1, 2,..., п) т де§ег1егте каг§111к §е1еп дг үек!дгй оЬип, уат А ( в/) = Л , е,, 1=1, 2,..., п (5’ е§1Шк1еп 8а§1ап8ш1аг. О ЬаШе (5) е§1Ш§те §дге А Нпеег (1дпй§йтйп в/, е2,...» еп Ьа2'тс1ак1 А та1п81
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 265 х(!> = (2; -3)', х<2> = (4; 6) ' (Л{ 0 ... (Л о-4; пхп - өлчөмдүү диагоналдуу матрица болот. Тескери ырастоо да туура: Эгерде кандайдыр бир базистеги А сызыктуу оператордун матрицасы А диагоналдуу болсо, анда бул базистин ар кандай вектору А оператордун өздүк вектору болот. ТЕОРЕМА 3. Эгерде А сызыктуу оператор п ар түрдүү өздүк маанилерге ээ болсо, анда ал өздүк маанилерге туура келген п өздүк векторлор сызыктуу көз каранды эмес базис болушат жана А оператордун бул базистеги матрицасы диагоналдуу матрица болот. 2-МИСАЛ. А сызыктуу оператордун Г1 4>1 А = 19 1) матрицасын диагоналдуу матрицага келтиргиле. ЧЫГАРУУ. 1-мисалда, бул матрицанын өздүк маанилери X] = -5, ^2 = 7 жана аларга туура келген өздүк векторлору Х^ = (1; -1,5) 1С, х = (1; 1,5) 'С, табылган болчу. Табылган х' жана х2 векторлору сызыктуу көз каранды эмес болгондуктан х(!> = (1; -1,5) 'С, х(2) = (1; 1,5) 'С, векторлору ар кандай С * 0, С] Ф 0 сандары үчүн базис болот. Бул базисте матрица А төмөнкү диагоналдуу түргө келет: А, гд °СР5 °' 1° С I 0 7/ Мисалы С = 2, С) = 4 болгондогу
АУ1Т А8А1Ч0У, КАМ1/ КАЕАТОУ 26< ЫНЕЕКСЕВ1К х(!> = (2; -3)', х(2> = (4; 6)' о ... (Г Л2... 0 10 о...л„) п хп- Ьоуи11и сНуа§опа1 та1пз1 о1иг. Ви пейсетп 1ег81 <5е с1о£гис1иг, у.ин Ьн Ьаг'с1а А Ипеег <1бпй§йтйпип таТпз! А (Нуа§опа1 та1г1811зе, о ЬаЫе Ьи Ьах'1п Ьег уекСбгй А Ипеег <1бпй§йтйпйп 07 үекТбги о1иг. ТЕОКЕМ 3.: Е§ег А Нпеег <1бпй§йтй Ып Ыппбеп ГагкЬ п <> <1е§ег1еге заЫр 1зе, о Ьа1<1е Ьи бх бе§ег!еге каг§111к §е1еп п 07 ускйиЬ Нпеег Ьа§1т817 о1иг уе А <1бпй§йтйпйп Ьи Ьа7'дак1 та1п81 сНуар< таГпзНг. ОКМЕК 2.: А Ипеег <1бпй§йтйпйп Г1 4>1 А = 19 м та1п81т (Нуа§опа1 та1пзе йбпй^йгйпйх. ^ОХСМ: Отек Г йе Ьи та1пзт бх <1е§ег1еп о1ап Х1 = -5, т 7 зауйапт Ьи1ти?1ик уе Ьип1ага каг§111к §е1еп бх уек1бг1ег йе х(!> = (1; -1,5)'С, х(2> = (1; 1,5) 'С^ уек1бг1еп 1<Н . ВиЫпап х(!> уе х(2> үек1бг1ептп Нпеег Ьа§1тз17 о1бик1аппс1ап х(!> = (1, -1,5)' С, х(2> = (1; 1,5) 'С1 уеЫбНеп Ьег С Ф 0, С| Ф 0 зауйап 19111 Ьа7 уекСбНепт о1и§1игиг1аг: Ви Ьа7'<1а А та1г181 а?а§1бак1 §екНе <1бпй§йг: . а (Н г-5 (Л а = ‘ = 1о л2) 0 1) Оте§ш С = 2, С1 = 4 зауйаппа каг§111к §е!еп
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 267 базисин алсак, анда эски базистен жаңы базиске өтүү матрицасы болот. Ал эми анын тескери матрицасы с->_±Г6 -4^ 24 1^3 2, болот. Анда А сызыктуу оператордун х(1> = (2 ; -3) ', х (2) = (4; 6) ' базисиндеги матрицасы А’ : "6 <3 А'= С-^АС = — 24 41Г1 2; (9 4у 2 4^ Л"3 6> 1 24 "6 <3 -4у-10 28Л 2) [15 42 ) г-5 0л < 0 Л 3-МИСАЛ. Матрицасы <2-1 С А = -1 2 -1 ч0 0 1, болгон А сызыктуу оператордун өздүк маанилерин жана өздүк векторлорун тапкыла. ЧЫГАРУУ. А оператордун мүнөздөгүч теңдемесин түзөлү: I А -%Е 2-/1 -1 1 -1 2-Л -1 0 0 1-Я = о, б а. (1-А) [(2-Х)2 -1] = 0 « (1-А)2 ($-А) = 0
268 АУ1Т А8АМЛ , КАМ1/. КАЕАТОҮ Ь1М КК сев!к I >а/ үек1бг1епгн акгзак, о ЬаИе езк1 ЬахМап уеп! Ьа/а §е£1§ та<П81 С = (/'<х^) = " 2 1-3 4Л 6> <>1иг. Випип 1егз тай18118е С’1 1 <6 -4" 24 1з 2, сНг. $и ЬаМе А Нпеег <1бпй§йтйпйп х(1> = (2 ; -3) Ьах'тс1ак1 та1пз1 А': А'= С1АС = 1 Гб 24 [з ‘41Г1 2Л9 , х (2> = (4; 6) 4\ 6> = 1 Г6 24 (3 о1иг. ОБИЧЕК 3.: -4у-10 28>_<-5 2} [15 42 ) [ 0 0" 7) А = 0 -1 Г 2 -1 0 1) таЬпзте заЫр о1ап А Ппеег йбпй§йтйпйп 02 <1е§ег1епт уе 62 үек1бг1спп1 Ьи1ипиг. £ОХ1}М: А 1теег ддпй§йтйпйп кагаЙепзНк депИепйт уагаЬт <) ЬаНе А-Л.Е | = 2-Л -1 1 -1 2-Л -1 0 0 \-Л = 0, уеуа (1-Л) [(2-Л)2 -1] = 0 (1-Х)2 (3-Х) = 0 депИепмт еМе ейепг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 269 Мындан, А сызыктуу оператордун өздүк маанилери X । = Х2 = 1, Х3 = 3 экендигин табабыз. 1)Х । = Х2 = 1 өздүк маанисине туура келген А оператордун х(1> = (х!, х2, х3) өздүк векторун табалы. Ал үчүн (А-Л ]Е) х2 = 0 теңдемени, б.а. х, - х2 + х2 = 0, - х, + х2 - х3 = 0 системаны чыгарабыз. Бул системанын чыгарылышы х(1> = (С) - С2, С/, С2)' болот. Мында С] менен С? - каалагандай турактуу сандар. Демек, X । = X 2 = 1 өздүк маанисине х(1> = (С, - С2, С^ , С2) ' өздүк векторлорунун жыйындысы туура келет. 2) X 3 = 3 өздүк маанисине туура келген А сызыктуу оператордун х<2> = (Х1, х2, х3)' өздүк векторун табалы. Ал үчүн теңдемени, б.а. системаны чыгарабыз. Бул системанын чыгарылышы х<2> = (С; - С;0)' вектору болот. Мында С-каалагандай турактуу сан. Демек, X 3 = 3 өздүк маанисине х<2> = (С; - С; 0)' өздүк векторлорунун жыйындысы туура келет. Азыр турмуштагы кээ бир маселелердин математикалык моделдери матрицанын өздүк мааниси жана өздүк вектору түшүнүгүнө алып келерине мисал көргөзөлү.
270 АУ1Т А8А1ХОУ, КАМ|Х КАГАТОУ ь!м<:ек сев!к Вигадап, А Ппеег ббпй§йтйпйп б/ <1е§ег1еп Л| = X 2 = 1, Х3 = 3 о1ди§и а?1к11г. I) Л 1 = Л 2 = 1 02 де£еппе каг?111к §е1еп А дбпй?йтйпйп х(>> = (х^, х2, хС' 0/ уек1бгйпй Ьи1акт. Ви педегйе (А-Х 1 Е) с!спк1етт1, уат х, - х2 + х, = 0, - х} + х2 - х3 = 0 м<>1етт1 ^бхесе^х. Ви 81з1:ет1п ^бгйтйх^ = (С -С2, С/, С2) 1 сНг. Вигайа ('/, С2 кеуй заЬк зауйагсИг. Оетек X 1 = X 2 = 1 бг <1е§егте \'л' = (С1 - С2, С1, С2) ‘ бх уек1бг1епп сйт1ез1 каг?111к §е!тек(есНг. 2) $1т<ИХ 3 = 3 02 бе§еппе каг?111к §е1еп А Ипеег ббпй?йтйпйп х2' = (х,, х2, х3)' 02 үек1бгйпй Ьи1а11т. Ви пебегйе (А-Х з Е) йепИепвт, уат - х} -х2 + х2 =0, < - + х2 - х2 =0, - 2х3 = 0 Я1'81егтт ^б2есе§12. Ви 8181егтп ?бгйтй х<2> = (С; - С;0) 1 уек1бгйбйг. Нигаба С — кеуЛ заЬк 8ау1 сйг. Оетек, X 3 = 3 бг бе§еппе 1 = (С; - С ; 0)' 02 уекШг1епп сйт1ез1 каг§1 §е1тек!есНг. §1тб1 Иауайп Ьа21 ргоЫет1еппт та^етаНкзе! тобеИеппт та11г.ш < < 1е§еп үе бг үекТбгй каугатЫагта §еИгесек о1ап бтек1еп тсе1еуесе£|/.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 271 ЭЛ АРАЛЫК СООДАНЫН МОДЕЛИ. Өз ара соода жүргүзүшкөн 8| , 8 2 8 п мамлекеттеринин ар биринин улуттук кирешеси жазылуу иретине карата х/ , х2 ,..., хп болсун. Ал эми а,7 аркылуу 5, мамлекетинин 5, мамлекетинен товар сатып алганга сарп кылган улуттук кирешесинин бөлүгүнүн коэффициентин белгилейли. Жогорудагы ар бир мамлекет өзүнүн улуттук кирешесинин кандайдыр бир бөлүгүн өз өлкөсүнүн ичинен сатып алууга ал эми улуттук кирешенин калганын башка мамлекеттерден импорт кылганга сарп кылат деп эсептейли. б.а. ^а,у=1 0 = 1,2, ...,п) (6) 1=1 Анда төмөнкү «12 •••«!„ а21 й22...а2п <«„1 ап2-апп) матрицасы соода түзүү (структуралык) матрицасы деп аталат. Ар бир 2,..., п) мамлекети үчүн, ички жана тышкы соодадан түшкөн акча Р, = ацХ! + а2, х2 +... + а1пхп (7) формуласы менен аныкталат. Теңдеш соода жүргүзүү үчүн, ар бир 8, өлкөнүн соодадан түшкөн акчасы улуттук кирешеден аз болбош керек, б.а. Р/>Х! 0 = 1,2,..., п) Эгерде жок дегенде бир / үчүн Р, > х,- болсун десек (1 = 1, 2,..., п), анда (7) формуланын негизинде төмөнкүнү алабыз: аих, + а12х2 + ... + аХпхп >хх, (а,.,х, + а<2х2+... + а!пхп >х,.. (8) ап1х, +ап2х2 + ...+ атх„ >хп Бул (8) системадагы бардык барабарсыздыкта^ды кошуп,
АУ1Т А8АМОУ, КЛМ|Х НАРЛТОУ ЫМ.1.К сев!к 272 15ЕН8ЕАК АКА81 Т1САКЕТ МООЕЫ. В1Г Ыпу1е Нсаге! П1?кПеппс1е Ьи1ипап й1ке!еп 8, , 8 2§ п Пе, Ьи й!ке1епп тПН §еНг1епт 81га81у 1а X/, х} ...х„ Пе §б81егеНт. а0 1зе 8 ,• Шкезтт 8, Шкезтдеп та! зайп а!так ц;1п кагсайф тПП §е11пп Ыг Ьб1й§йпйп ка1зау131 о1$ип. КаЬи! сс!еНт к| уикапйак! Ьег Ыг й1ке кепШзтт тПП ^еИппт Ьег Ьап§1 Ыг ЬбШтйпй кспсП Шкезтт фпйе зайп а1так фп, Ьи тПП §еНпп ка1ап ЬбШтйпй 1зс Шйсг й1ке1еМеп заПп а1так 19111 Ьагсатак1а61Г, уат (6) сПг. §и ЬаШе таСпзте йсаге! кигтак (8(гйкШг) та(и81 бетг. Нег Ыг 8,(/=/, 2,..., п) й1кез11911119 уе 61? НсагеПеп кахапНап рага Р| = а,/Х/ + а} , х} +... + а1пхп ГогтйШ Пе (аптПатуог. Оепк Нсаге1 кигтак 19111 Ьег Ыг 8-, Шкезтт Нсагс уо1и Пе §е1еп рага гткип тПП §еПг6еп кй^йк о1тата§1 §егек, уат Р,>х, (I = 1, 2,..., п) е?к81гП§1 8а§1апасакПг. Е§ег еп аг Ыг 119111 Р, > х, е§1181хН§1 8а§1ап8т Псгзек (I = 1,2,..., п), о ЬаИе (7) СогтйШ §еге§тсе апх1 +<*\2хг +••• + а\пх„ 5а,.,х. +а,.7х7 + ... + «,. х„ >х,.. /11 /2 2 1П П I а„\Х\ +а„1Х2 +- + атХП^Хп 8181е1шт аПпг. Ви (8) 8181ет1пбек1 ЬйШп е?1181гНк1еп 1ор1агзак
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 273 Х1(ац + а21+...+а„1)+х2(а!2 + а22 +...+а2 „)+... ... + х„ (а/„ + а2 „ +... +а„„) > X/ + х2 +... + х„ барабарсыздыгын алабыз. Мындан (6) формуланы эске алсак, анда төмөнкү карама-каршылыкка келебиз: X/ + Х2 +... + Х„ > X/ + х2 +...+ х„ Демек, жок дегенде бир I е (1, 2,..., п) үчүн Р,->х, болушу мүмкүн эмес. Мындан, Р,>х, шарты, ( Л =Х1, I = 1, 2,..., п (9) шартына келет. Мамлекеттердин улуттук кирешесинин векторун х = (Х1 , х2 ,..., х„ ) ‘ менен белгилесек, анда (9) шарт төмөнкү системага келет Ах = х, (10) б.а. А матрицанын Х=1 өздүк маанисине туура келген өздүк векторлорун табуу керек. 4-МИСАЛ: Үч 81, 82 , 83 мамлекеттеринин соода түзүү матрицасы (1 3 2 з ]_ <3 2 4 2 2 2 4 Р 2 2 2 0 болсун. Теңдеш соода жүргүзүү үчүн мамлекеттердин улуттук 1 кирешеси кандай болушу керек? 3 ЧЫГАРУУ. Берилген А матрицанын Х=1 өздүк маанисине туура келген өздүк векторун табуу үчүн, теңдемесин, б.а. (А - Е)х = 0
274 АҮ1Т АКАЫОУ, КАМ12 КАГАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К Х/^ац + а21+...+аП1)+х2(а12 + а22 +...+а2„)+... ... + х„ (а/„ + а2 „ +... +а„ „) > х/ + х2 +... + х„ с$к812К§1ш еИе ейепх. Вигадап, (6) ГоппйЮпи §02 опйпе аИгзак, а$а£к1ак1 X/ + Х2 +... + Х„ > X/ + х2 +...+ х„ .•П§кепН§т1 а11П2. Оетек Ы? Ыг / е (1, 2,..., п) 1?т Р, > х, е$1191211$тт |§1апта81 тйткип <1е§П. I (игаёап уе Р, > х, ^агТтйап Р, = х,, 1 = 1,2,...,п (V) лгПапт а11П2. 01ке1епп тПН §еНг1еп уекгогйпй х = (х/ , х2 ,..., х„) ' Пс ёЖепгзек, (9) §аПт<1ап Ах - х !>11Н§1т ;Ые ейепг , уат А тайшпт Л = 1 02 йе§еппе каг§111к де1еп бг сЫбгйпй Ьи1так §егек1г. ОКГ ЕК 4.: й? 8| , 82, §з й1ке1ептп НсагеГ кигта та1г131 Ч Р 3 4 2 *»1кип. Оепк НсагеГ уйгйТтек 1?т й1ке1егт тПН §еНп пе о1асакйг? , ООХйМ: УегПеп А таХпзтт X = 1 б/ <1е§еппе каг;Н1к §е!еп ё/. рк1бгйпй Ьи1так 19111 4епк1етт1 уат (А-Е)х =0
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 275 "_2 2 3 4 3 ’ 2 2 2 I 3 4 2 2 2 -1 '(Г о А системасын чыгарышыбыз керек. Бул системаны Гаусстун методу менен чыгарабыз: Ал үчүн системанын кеңейтилген матрицасын жазып, ал матрицанын 1-жолчосун санына көбөйтүп, аны 2- жолчого жана 3-жолчого кошобуз: л_2 3 2 3 2 I з 1 -2 0) Мындан төмөнкү системага келебиз: х. —х., —х, = 0, 1 8 2 4 3 х2 — 2х3 = 0.
276 АҮ1Т А8АМОҮ, ЙАМ|7> КАГАТОУ Ь|№ЕПСЕВ(П '_2 3 4 2 2 3 ’ 2 1 1 < 3 4 8181егтп1 ^бхгпек §егек!г. Ви 8181ет1 баизз МеЮйи уаг<11пиу1а <?бхесе£|/ 11и пейегйе 8181етт §ет§1еШгт5 та1п81П1 уахаса§12 уе Ьи тайчзт 1 -тс! ч.п и нн 1/2 Пе ?аграса§12. ЕШе есШеп зайп 2-тс1 хе 3-йпсй заиНага ек!еуесе§1/.. НеНседе 1 2 1 1 о' 3 4 2 1 -1 1 0 3 2 2 - - -1 0 3 4 ) р 1 ’о 3 8 4 3 3 0 -- - 0 8 4 0 0 0 0 1 ) Г-1 1 1 о' 3 8 4 3 3 0 -- - 0 8 4 3 -3 1 8 4, ' 3 3} 1 -- --0 8 4 ч 0 1 -2 0; ) — та1п81П1 а11пх. Вигас1ап йа а§а§1с!ак1 Г 3 3 х, —х,-------х, = 0, < 8 2 4 3 х2 - 2х3 = 0 8181ет1 еИе ейепг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 277 Бул с^истеманын чыгарылышы: х2 = С; х2 = 2С; х/ = — С , б.а. х= (— С; 2С; С ) ' болот. Мында, С-каалагандат? турактуу сан. Деме^, үч мамлекет теңдеш соода жүргүзө алышат качан гана алардын улуттук кирешелеринин вектору х = (3/^; 2; 1)'С болсо. Башкача айтканда алардын улуттук кирешелери —: 2: 1 же 3:4:2 катышында болсо. 4.7. КВАДРАТТЫК ФОРМАЛАР Турмуштагы ар түрдүү маселелерди чечүүдө көбүнчө квадраттык формаларды изилдөөгө туура келет. АНЫКТАМА.Берилген X/, х2,..., .х„чыныгы өзгөрмөлөрүнүн квадраттык формасы Ь (х; , х2 ,..., х„) деп, ар бир мүчөсү же жогорудагы өзгөрмөлөрдүн квадралын кандайдыр бир чыныгы санга көбөйтүлгөн туюнтма болгод же ар түрдүү өзгөрмөнүн көбөйтүндүсү чыныгы санга көбөйтүлгөн туюнтма болгон сумманы айтабыз, б.а. « « С = С(х1,х2,...,хг)=2_^а.Х1Х] (1) Мында а1} чыныгы сандары квадраттык форманын коэффициенттери деп аталат жана алар үчүн = а^, (7, у = 1, 2,..., п) болот. Бул коэффициенттерден түзүлгөн төмөнкү симметриялуу ап а12... а1п А= <721 а22... а2п (2: матрица, Ь (х; , х2 ,..., х„) квадраттык форманын матрицасы деп аталат. ЭСКЕРТҮҮ. Жогорудагы (2) фсормула менен аныкталган п - тартиптеги квадраттык матрица А симметриялуу матрица деп аталат, Эгерде А1 = А' = А болсо б.а. ог(/ = а^ ар кандай е {1, 2,..., п} үчүн аткарылса.
АҮ1Т А8А1ЧОУ, НАМ1/. КЛЕАТОУ 1Л1ЧЕЕКСЕВ1К 278 Ви мМспнп ?бхйтй 3 х3 = С: х2 = 2С; X/ = —С , уап! х= (~С;2С; С)' 2 (Кг. ВигаПа С- кеуй заЬй зауккг. Оетек, й? Шкепт йепк йсаге! уйгШтсм 1(, |п уегек уе уеГег §агС, Ьип1апп тПП §еНг1еппт уекШгйпйп х = (3/2; 2; 1)'С 1>ск1тс1е о1тазк11г, уат оп1апп тПН §еПг1еппт 3/2: 2: 1 уеуа 3:4:2 опттПа о1тазк11г. 4.7. КГЛВВАПК ГОКМЬАК. РгаНкГе Ьег Шг1й ргоЫет1епп ^бгйтйпйе 90§ип1ик1а киаПгаНк Гогт1апп ии е1епте81 §егектек1е<Ьг. ТАММ: УегПеп х/, х2,..., х„ гее! <1её1§кеп1епп киаскаНк Гогти I (\/ , х2,..., х„) Шуе, ЬегЫг Геппп уикапсЫа йе§1$кеп1епп киас1га11;нии ||.т!>1 Ыг гее1 зау1 Пе ?агртас!ап теуйата §е1еп Иас1е1епп уеуа Ьс! н •к ц^кегПепп ^агрттт гее! зау1 Пе фагртайап е1с!е есЫеп Иас1е1епп 1ор1.ии <1стг, уат п п Е С (X/ , Х2 ,..., Х„) '^*/'^/ <•=1 ;=1 ВигаПак! а/у гее! зауПаппа киайгайк Гоппип каГзауПап с!етг уе Ьии1аг р а7, , (I, у = 1, 2,..., п) §аг11аппа 1аЫсПг1ег. Ви каГзауПагйап о1и$ип |||дак1 81те1пк Дц сг|2 ... а1п сг2| а22 •а2„ (2) . а , а • • • а > \ «1 п2 пп / 'тЦНате Ь (х/, х2,..., х„) киайгайк Гогтит таГпя Петг. ИҮАК1: ҮикапПак! (2) ГогтйШ Пе 1атт1апап п - тс! тейеЬсск п \ .ц||.тк таГпзте мтеГпк тайчз Петг, е§ег А1 = А' = А 1зе, уат 1и I < ;1 п} фп ау = а^ 18е.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 279 Матрица аркылуу квадраттык форма (1) төмөнкүдөй жазылат: Ь = Ь (х/, х2,..., х„) = х1 Ах. (3) Мында х = (Х1, х2.х„) х' = (х!, х2.х„) 1-МИСАЛ. 2 2 2 Ь (х/, х2, Хз) = 4х, -12x1 х2 -10 X/ х3 + х2-3 Х3 квадраттык формасын матрица аркылуу жазгыла. ЧЫГАРУУ. Квадраттык форманын матрицасын табалы. Ал матрицанын диагоналдык элементтери өзгөрмөлөрдүн квадраттары катышкан мүчөлөрдүн коэффициенттерине барабар, ал эми калган элементтери квадраттык форманын калган мүчөлөрүнүн коэффициенттеринин жарымына барабар, б.а. ац = 4, а22 = 1, а33 = -3, ®12 = а21 = - 6, й!3 = а31 = -5; а23 = а32 = 0. Демек <4 -6 Ь (X/ , х2, х3) = (X/ , х2, х3) -6 ^-5 0 -5" 0 Л X, х2 Эми х = (х/, х2,..., х„) ' өзгөрмөлөрдүн вектор-мамычасы менен у = (у1 ,у2,..., у„) ' - өзгөрмөлөрдүн вектор-мамычасы х = Су (4) формуласы менен байланышсын дейли. Мында С11 С\2-"С\п С21 С22-"С2п <Сп\ Сп2"-Спп) пхп - өлчөмдүү кубулбаган матрица, б.а. с1е1С * 0. Анда (4) формуланын негизинде (3) формула менен аныкталган квадраттык форма, жаңы у^ ,у2,..., у„ өзгөрмөлөрүнө карата_төмөнкү квадраттык форма болот:
АУ1Т А8А1ЧОУ, ЯАМ|2 НАГАТОУ Ь|НЕЕПСЕВ1В 280 Ма(г1з1ег уагсПгтук киасЬайк Гогт (1) а§а£к!ак1 §1Ы уагйаЫИг: Ь = Ь (х/, х2,..., х„) ~х1 Ах. <4 Вигада X = (X), х2..х„) х' = (х,, х2,..., х„) сНг. ОВ^ЕК 1.: Ь (х/, х2, х3) = 4х* -12X1 х2 -10X/ х3 + х\ - 3 X* киадгаНк Гогти та1п5 уагс11гту1а уаатх. СО7Д1М: КиайгаПк Гогтип та1пзт1 Ьи1а11т. О таГпзт сИуа^опа! е1етап1ап с1е§1§кеп1епп кагекпт 19егеп 1епт1епп ка1зау11апс11г, ка!ап е!етап1ап 1зе киаскайк Гоппип ка1ап кпткппт какауПаппт уапзта с§11Нг, уат ац = 4, а22 = 1, а33 = -3, а12 = а21 = - 6, а13 = а3/ = -5; а23 = а32 = 0 сНг. Эетек <4 -6 Ь (х/, х2, х3) = (X/ , х2, х3) - 6 1 ^-5 0 -5^ 0 -V х2 о1иг. §ипсИ каЬи! едеПтк, х = (X/, х2,..., х„) ‘ с1е§1$кеп1епп зи1ип - уекЮгО У = (У1 ,У2...Уп)' <кшкеп1епп зиШп-үекТбги х = Су (4) ЕогтШй Ие Ьа§1апт18 о!$ип. Вигайа сн С12...С1п с2) С22...С2п . С 1 С ... с \ л! п2 пп 7 пх п - ЬоуиНи ге§й!ег таййзШг, уат (1е(С * 0 <11г. О Ьа1с1е (4) ГогтШй §еге§тсе (3) Гоппйй Це (атт1апап киаскайк Гогт, ует , у2 , . де£1$кеп1еппе §ёге а§а£1с!ак1 киайгайк Гогта йбпй§йг:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 281 Ь = X ‘ Ах = (Су)‘ АСу=у‘С ‘АСу = у '(С ‘АС)у. б.а. Ь=у'А'у, (5) мында А’= С АС. 2 2 2-МИСАЛ. Берилсин Ь = Ь (х/ , х2 ) = 2 х} + 4X1 х2 - 3 х2 квадраттык формасы. Бул квадраттык форманы х7 = 2 у^ - 3 у2, х2 = У1 + У2 формуласы менен сызыктуу формасын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Бул учурда өзгөрткөндөгү квадраттык 2 <3 1Ш -4^ 1Д1 -9> ^13 -17^ с17 3? Эми (5) формула боюнча, С (у,, у2) квадраттык формасы Ь (У1, Уг) = (У/ > УА ' 13 <-17 -17^ 3 , = (У1, уА ЧЗу, -17^/ С!7У1 + 3у2 , = 13у}-34у!у2+ Зу\ формуласы менен аныкталат. АНЫКТАМА. Эгерде (1) формула менен аныкталган Ь (х/, х2,..., х„) квадраттык формасында бардык / үчүн ау- = 0 болсо, анда Ь (х;, х2,..., х„) квадраттык форма каноникалык түрдөгү квадраттык форма деп аталат жана ал төмөнкүдөй жазылат: Ь (х/, х2,..., х„) = аи . (6) Мында диагоналдуу матрица, 4
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1/ НАЕАТОУ 282 Ы1ЧЕЕК СЕВ1К Ь = х' Ах = (Су)' АСу=у'С'АСу -у'(С 'АС)у. уагп Ь=у'А'у (5) о!иг. Вигайа А'=С'АС <Иг. ОКМЕК 2.: КаЬи! ейеПт И Ь = Ь (х/ , х2) = 2 х2 + 4х/ х2 киасЬаПк Гогти үеп1гт$Пг. Ви киаПгаНк Гогтип ху = 2 у^ - 3 у2, х2 - ; , Ппеег Пбпй$йтй пеНсезтйе а!аЫ1ес§1 §екПп1 Ьи1ипих. СОХЁМ: Ви ЬаИе (2 2> (2 -З') , (2 0 12 -3; 1} 1-3 1} А'=С'АС = 1К2 2К2 -3' 1Д2 -зД1 1, 2 -3 1>Гб -4ДГ13 -17' 1Д1 -9П-17 3? та1п81епгн е!Пе едепх. $1тсП (5) ГогтШйпе §бге, Ь (у^, у2) киасПаПк Гогти Г13 -17ПЛ1 ПЗу, -17к'| С(у! ,у2)=(у1 ,у2) =(У1,У2) V17 3ДЗМ <'17У1 +3У2) = 13у2{ -34у1у2+ Зу22 §екНпйе 1ашт1ап1г. ТАММ: Е§ег (1) Гогтй1й Пе 1атт1апап Ь (х/, х2х„) киайгаПк £огтипс1ак1 ЬШйп / 191П а,2 = 0 18е, о ЬаИе Ь (х;, х2,..., х„) киаскаПк Гогтипа капотк киайгаНк Гогт Петг үе а§а§1с!ак1 §екПс!е уахПт п Ъ (х), х^) — (Л..X. . (Ь Вигада <Иуа§опа1
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 283 А = а1} 0...0 0 ... 0 <0 ^-апп) Ь (х/, х2х„) каноникалык квадраттык форманын матрицасы болот. ТЕОРЕМА-1. Ар кандай (1) формула менен аныкталган Ь (х/, х2 ,.., х„) квадраттык форма үчүн С-кубулбаган матрицасы табылат жана ал матрица менен аныкталган (4) сызыктуу өзгөртүү Ь (х/ , х2 ,..., х„) квадраттык форманы каноникалык (түрдөгү) квадраттык формага келтирет. 3-МИСАЛ. 2 2 Ь = Ь (х/, х2, Хз) = х । - Зх/ х2 + 4х/ х3 + 2х2 х3 + Х3 квадраттык форманы каноникалык түргө келтиргиле. ЧЫГАРУУ. Биринчи х7 өзгөрмөсү катышкан мүчөлөрдүн толук квадратын бөлүп алалы: , 1 1 ,1 , Ь = [х, - 2х/< — (Зх2 - 4х3))+( — (Зх2 - 4х3)) ]- ( — (Зх2 - 4х3))2 + 2х2 х3 + 2 3 9 2 2 2 + Х3 = (Х] - — х2 + 2хз) - — х 2 + 6х2 хз - 4 Х3 + 2х2 х3 + Х3 = 3 , 9 2 2 = (х, - — х2 + 2х3) - — х 2 + 8х2 х3 - 3 Х3 Эми х2 өзгөрмөсү катышкан мүчөлөрдүн толук квадратын бөлүп алалы: т / 3 , \2 9 г 2 л 16 (\6 ь = (х/ -—х2 + 2х3) -—[х7-2—х2х3 + — 2 4^9 (9 2 + хз-3х1 = (х, - |х2 + 2х3)2-х3)2 + Мындан кубулбаган төмөнкү
284 ЛУ11 АЯАМОУ, НАМ1Л КЛЕЛIО\ Ы^ЕЕН СЕВ|К 0...0 0 а22...О 1о о •••«„„ та(п81, Ь (х/, х2,. , х„) капотк киабгаНк Гогтип та1п81сНг. ТЕОКЕМ 1.: (1) ГогтШй Не (атт1апап Ьег Ь (х/, х2,..., х„) киа<1|п(>к Гогти 19111 С ге§й1ег таГпз! Ьи1ипиг уе Ьи таГпз Не (апигйапап (4) Нпсс1 йбпйзйти Ь (х/, х2,..., х„) киайгаНк Еогтипи капотк §екНпе дбпй$1йгйг. ОКМК 3.: | Ь = Ь (х/, х2, .., х„) = х* - Зх/ х2 + 4х! х3 + 2х2 х3 + Х32 киайгаНк Гогтипи капотк §екНе йбпй§Шгйпй2. СО2Х1М: Опсе X/ <1е§1?кетт 1?егеп 1ат киабгай аупакт: Ь = [х* - 2х1(~ (Зх2 - 4х3))+( у (Зх2 - 4х3))2]- ( (Зх2 - 4х3))2 + 2х2х< । 2 3 2 9 2 2 2 + Х2 = (х{ — (Зх2 - 4х3)) - — х ~ + 6х2х3 - 4 + 2х2 х3 + X = 3 2 4 3 9 2 2 = (^Х/ - ~^х2 + 2х3) 2 - х2 + 8х2х3 - Зхз Т / 3 12 9. 2 9 16 Ь = (X] - ~х2 + 2х3) - — / х 2 - 2 — х2х3 + §1т<П х2 <1е§1$кетт {^егеп 1епт1епп 1ат киайгаЬт аупакт: Г16Ү 2 7 I9) 3 9 Г16Ү 2 , 2 х 3 , 12 9 , 16 \2 37 2 4 I 9 I ^'3 (Х1 2 ^2 2хз) ~ (Х2 ~ хз) + X] Вигайап а§а§1йак1
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 285 3 а.0 У1 16 У1 = *2 Уз = хз сызыктуу өзгөртүүнү жүргүзүп, Ь (х/ , х2 , х3) квадраттык форманы төмөнкү каноникалык түргө келтиребиз: 2 9 , 37 9 Ь1(У/,^2,Уз)=У| - ~У2+ — Уз (7) Квадраттык форманын каноникалык түрү жалгыз эмес. Бирок, алардын жалпы касиети төмөнкү теорема менен берилет. ТЕОРЕМА-2. (Квадраттык форманын инерция закону). Квадраттык форманын каноникалык түрүнүн оң (терс) коэффициенттеринин саны, ал квадраттык форманы каноникалык түргө келтирүүчү жолдордон көз каранды эмес. Мисалы, 3-мисалдагы 2 2 Ь (х/, х2, хз) = х ] - Зх/ х2 + 4х, х3 + 2х2 х3 + Х3 квадраттык форманы У1 = Х1> < у2 = 2х, + х2 + х3, 7 Уз=-^+^2 сызыктуу өзгөртүүнүн жардамы менен да төмөнкү каноникалык түргө келтиребиз: Ь(У/,У2,Уз)=х^- Зх,х2 +4x^X3 +[4 х\ + 4х, (х2 + х3) + (х2 + х3)2]- 4х\ - -4x1 (х2 + х3) - х2 = (2x1 + х2 + х3) 2-Зх \ -7х,х2 - х2 =М(С2х/ +х2 + х3) 2 -
АУ1Т А8АКОҮ, КАМ|2 ЯАГАТОУ 1ЛИЕЕК СЕВ(К 286 3 У( = *! -~*2 +2*з> 16 У2 “ Х2 о Х3’ Уз = хз ге§й!ег Нпеег <1бпй§йтй Ь (х/, х2, хН киаскаПк Гогтипа иу§и1агзак, 2 9 2 37 2 Ь|СУ/,У2,У0=У, --у2+—(7) капотк киаПгаНк Гогтипи аИпх. В1г киаскаНк Гогтип капотк §ек!Н 1ек <Зе§11сИг. Ата оп1аг Ыг §епе1 бхеШ§е заЫрЬНег. О бхеШк <5е а§а§к!ак1 Геогет Пе уегПеЫНг. ТЕОКЕМ 2 (КиайгаНк Гогтип Еуктз^хНк Капипи). Киайгайк Гогтип капотк §екПт<1ек1 рохШГ (пе§аПГ) какауНагт 5ау181, о киайгаНк Гоппи капотк $екПе Пбпй^Шгеп изиПагйап ЬаД1т81хс11г. Оте§т. 3-йпсй бгпек1ек1 2 2 Е (X/, х2, ху) - X] - Зх/ х2 + 4х/ х3 + 2х2х3 + Х3 киайгаНк Гогтипи У1 =^1> < у2 = 2хх + х2 + х3, 7 Уз =“^1 +Х2 Ппеег йбпй^йтйп уагсЬгтук а$а§1с1ак1 капотк $екПе Пбпй^йгйгйх: ь (У/,+2,+з) =Х^ - Зх,х2 +4х/х3 +[4хгх + 4х, (х2 + х3)+ (х2 +х3):/ / \ , -4х/(х2 +х3)-х\= (2х/+ х2 + х3) 2-Зхг-7х/х2 - х2~ (2х/+х2 + х3)
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 287 [х\ +2---X/ Х2 + (8) Эми (7) жана (8) формулаларды салыштырып, эки каноникалык түрдүн оң жана терс коэффициенттеринин саны бирдей экендигин көрөбүз. АНЫКТАМА. Квадраттык форманын матрицасынын рангы, ал квадраттык форманын рангы деп аталат. Ал ранг квадраттык форманы (4) формула менен сызыктуу өзгөрт- көндө өзгөрбөйт жана ал ранг квадраттык форманын каноникалык түрүнүн нөлгө барабар эмес коэффициенттеринин санына барабар. АНЫКТАМА. Берилген Ь (х,, х2,..., х„) квадраттык формасы оң (терс) аныкталган деп аталат, эгерде ар кандай х = (х^, х2,..., хп) ' - нөлдүк эмес вектору үчүн Ь (х/, х2,..., х„)> 0 (Ь (х;, х2,..., х„)< 0 ) болсо. Мисалы, Ь1 (х/ , х2, х[) = 3 х* + 4 х\ + 7 х\ квадраттык формасы 2 2 оң аныкталган, ал эми Ь (х/, х2) = - х^ + 2х/ х2 - 2 х2 = = - (х,-х2)2 -х\ - квадраттык формасы терс аныкталган. ТЕОРЕМА-3. Берилген Б (х/, х2,..., х„) = х1 Ах квадраттык форма оң (терс) аныкталган болот качан гана А матрицанын бардык өздүк маанилери оң (терс) сан болсо. ТЕОРЕМА-4. (Сильвестрдин критерийи). Берилген Ь (х/, х2,..., х„) = х ' Ах квадраттык форма оң аныкталган болот качан гана А= <7ц П12 ...«!„ а21 п22...п2„ \ап1 ап2—апп)
ЛУ1Т А8А1ЧОҮ, НАМ1л КЛ1 Л ЮҮ Ь|МЕЕПСЕВ|Н /х2 +2— X/ х2 + 37 4 X2 + (2X1 + Х2 4- х<) 7 1 7 V 37 2 2 2 х2 + 2ХЧ = ~ТУ' Уг'Уз §1тсН (7) уе (8) Гопп1апп1 каг§11а$11гагак, Иег 1к1 капошк Шгйп ро/н 11 пе§аНГка18ау11аг1 зауюшш с!епк оМи§йпй §бгйуогй2. ТАММ.: В1г киайгайк Гоппип такпзттгапкта Ьи киадгайк йи ппи гапк1 йегнг. Ви гапк, киайгайк Гоппипа (4) ГогтйШ уагс11т1у1а Ппеег с1бп(|>( иу§и1агзак, ск§1$тег уе Ьи гапк киаскайк Гогтип капотк §ек1тс!ек| м1п Гагк11 ка18ау11апп заушпа е$кйг. ТАММ.: УегПеп Ь (х/, х2,..., х„) киаскайк Гогтипа рогШГ (пец| Гаттй с!етг, е§ег Ьег 81йгйап Гагкй х = (х;, х2,..., х„) ' уекйгй 19111 Ь (х/, х2,..., х„)> 0 (Ь (х/, х2,..., х„)< 0) 1зе Огпе§т Ь, (х/ , х2, х3) = 3 х2 + 4 х2 + 7 X2 киаскайк Гогти р 2 2 2 2 {аттксйг, Ь (х7, х2) = - х} + 2х/ х2 - 2 х2 = -(х/ - х2) - х2 - киас!га(1к I 18е пе§аЬГ (аттйсЬг. ТЕОКЕМ 3.: ҮегПеп Ь (х/, х2,..., х„) = х1 Ах киа<1гайк Гоппи ро21йГ (пе§айГ) 1атт11 о1таз1 19111 §егек уе уеь таГпзтт ЬШйп 02 с!е§ег1еппт рогШГ (пе§айГ) зау1 о1та81д1г. ТЕОКЕМ 4.: (ЗПуезГег КпГегуити): УегПеп Ь (х/, х2,..., х„) . киадгайк Гогтипип рогШГ (пе§айГ) ГаттЬ о1та8119111 §егек уе ус1ег ! («11 «12 -«и <721 а22 ...а2л а , а г, ...а
289 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА матрицанын башкы минорлору оң сан болушса, б.а. Д= ап >0, Д 2 >0,...,Дп >0... болушса. Мында А к ~ а\\ ап...аХк а2\ а22**'а2к , к = 2,3,...,п ак\ ак2'-'акк 4-МИСАЛ. Берилген Ь (х/, х2) = 13х\ -6x1 х2 + 5 х 2 квадраттык форманын оң аныкталгандыгын далилдегиле. ЧЫГАРУУ. 1-жолу. Бул квадраттык форманын матрицасы г13 -Зл 5? болот. Эми А матрицанын мүнөздөгүч теңдемесин жазалы: I А-ХЕI = 13-Я -3 -3 5-Л = 0<=>Х2- 18Х + 56 = 0. Акыркы квадраттык теңдеменин чыгарылышы X |= 4 жана X 2 =14 болот. Мындан А матрицанын бардык өздүк маанилери оң экендигин көрөбүз. Демек, 3-теореманын негизинде берилген Ь квадраттык форма оң аныкталган. 2-ЖОЛУ. А матрицанын башкы минорлорун эсептейли: А|— а! 1 — 13 >0, А 2 — а\\ а\2 _ 13 <?2| а22 “ 3 -3 5 = 56>0. Мындан, Сильвестрдин критерийинин (4-теорема) негизинде, берилген Ь квадраттык форманын оң аныкталганДыгы келип чыгат.
290 АУ1Т А8АМОУ, КАМ17 КАРАТОУ 1Л1МЕЕК СЕВ||< та^пзпмп езаз ттбг1еппт рохй1Г зау1 о1тазк11г, уат Д|= ац >0, Д > >0...... Д„ >0 о1та81<11г. Вигада Лк = а|2...аи °21 а22--а2к к = 2, 3,..., п ак\ ак2—акк <Нг. бКМЕК 4.: Үегйеп Ь (Х/ , Х2) = 13х\ -6X1 Х2 + 5х2 киайгайк Гогтип рохШГ 1атт11 о1ди|ипи ^зрайауииг. (^ОХСМ: ГЗзи! 1. Ви киайгайк Гогтип таГпз! -З^ сНг. §йпс11 А таЫзтт кагакХепзйк депк1етт1 уагакт: I А-ХЕ1 = 13-Я -3 -3 5-Л = 0<=> X2-18%+ 56 = 0. 8оп киадгаНк <1епк1етт догйти X |= 4 уе % 2 =14 <5иг. Вигадап А таГпзтт ЬиШп бх с!е§ег1еппт ро/ШГ о1йи§ипи §бгйубгйх. Оетек, Теогет 3' йп §еге§1псе уегПеп Ь киайгаНк Гогти роглйГ Гатт1к11г. Ызи1 2. А та1п81П1п езаз ттбНепт Ьезар1ауа11т: Д|— а^ 1 — 13 > 0, Д2 — Яц а12 а2, а22 13 -3 -3 5 = 56>0. Вигайап, ЗПуезТегЧп Кгйегуитипа §бге (Теогет 4) уегйеп Ь киа<1|;И|1 Гогтип ро/ЮГ Гаттй о1йи§и оНауа 91к1уог.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 291 Жогорудагы (1) формула менен аныкталган Ь (х/ , х2 ,.... \«Л квадраттык форманын матрицасы А - симметриялуу болгондукып, ал матрицанын бардык өздүк маанилери чыныгы сан болушат, б .1 а\\ а\2-"а\п а2\ а22 ~ ^'••а2п _д а , а -,...а — Л п\ п2 пп теңдеменин бардык чыгарылыштары чыныгы сандар болуп^ат. Эми (1) формула менен аныкталган Ь (х/ , х2 ,..., х„) квадраттьи! форманы каноникалык түргө келтирүүнүн жалпы методун көргөзөлү. Ал квадраттык форманын матрицасы А нын өздүк маанилери X ь X 2 ,..., X п болсун, ал эми аларга туура келген өздүк векторлору е^,е2,...,еп болсун б.а. Ае ^Ле^, 1 = 1,2,..., п Векторлор в/ , е2 ,..., е„ эски базис болсун, ал эми е^,е2,...,еп векторлору ортонормалдуу жаңы базис болсун. Бул эки базис өз ара төмөнкүдөй байланышта болсун: е\ ^\\е\ + Ъ,{е2 + ••• + &п\еп, е2 ~^\2е\ +^22^2 "*'••• + ^п2вП ’ е = Ь, е, + Ь, е + ... + Ь е . п \п 1 2п п пп п Анда В = 'Ъ\\ ь12...ь[п Ь2\ Ь22 — ^2п ’ (( £\ , ^2 ,•••, ^„) ( £\ 9 ^2 >•••> ^„) В) \Ь„} Ьп2...ьт) матрица в/, е2, .., е„ базисинен е,, е2,..., еп базисине өтүү матрицасы болот.
292 АУ1Т А8А1ЧОУ, КЛМ1Х КА1- АТОУ ь!м:1 К ( ЕВ1К Үикапдак! (I) Гоппй1й Пе 1атт1апап Ь (х/, х2.х„) киаскайк Гогтитт иШгЫ А 81те1пк оМи^ипйап, Ьи та(П8т ЬйШп бг 4е£ег1еп гее! 8ау11ап1п, уат °11 Л <712...<7|п а 'у д а ,2 ... а = 0 «„I а„2-ат с1епк1еттт ЬйШп ^бгйткп гее! зауйагскг. §1тсН (1) ЕогтйГй Пе 1атт1апап Ь(%/ , х2 хп) киаскаНк Гогптт капотк §екШе йбпй^Шгтетп §епе1 теШскти §08ШгеПт. Ви киаскаШ Гогтип та1п81 А тп бх с1е§ег1еп X ь X 2 п Уе Ьип1ага каг$111к уе1еп б уекШг1еп 18е ех е2,..., вп окиЫаг, уат = Дбр / = 1, 2,..., п о1зип. е/ , е2 , .., еп уекШг1еп езк1 Ьах о18ип, е}, в2еп уекШгкп । огШпогта! ует Ьах о18ип уе Ьи 1к1 Ьах уекШНеп а§а§1с!ак1 Ьи1ип8ип1аг: е1 •••"*" ^п\еп ’ е2 ~^^\2е\ ~^^22е2 •••“*" ^п2еп^ е = Ъ, е. + Ъ, е +... + Ъ е . п \п 1 2п п пп п $и ЬаМе Ьп...ЬХп 62| Ьгг ...Ь2„ . (( ^1 ? ^2 ) ( ^1 ’ ^2 ’•••’ ) В) В = 1^1 ь„2...ь„„; та1пз1 е/, е2, е„ ЬагЬпбап е,, в2вп Ьаг'1па та(П81с1п
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 293 Эгерде ар кандай п - өлчөмдүү х вектору е/ , е2 ,..., еп базисинде х= (х/, х2,..., хпУ түрүндө жазылса, ал эми ^,е2,...,е„ базисинде х = (х\,х'2,...,х'п)' түрүндө жазылса, анда алар />цХ1 +6|2х2 +... + Ь1пхп 62|Х| + Ь22х2 +... + Ь2пхп + Ьп2Х2 + - + ЬппХп2 (9) формуласы менен байланышта болот. Эми Ь (х/, х2,..., х„) квадраттык формада (9) формуланын жардамы менен жаңы %|,х2,...,хй өзгөрмөлөрүн кийирсек, анда Ь (х/, х2,..., х„) квадраттык формасы төмөнкү каноникалык түргө келет: 1>]( X] , х2,..., Хп ) X 1 + X 2 "^”*** п X „ . Бул учурда Ь (х/ , х2 ,..., х„) квадраттык формага ортогоналдуу өзгөртүү жүргүзүп, аны каноникалык түргө келтирдик деп айтабыз. 5-МИСАЛ. Төмөнкү 2 2? Ь (х/, х2, х3) = 3 х^ + 2 х2 + х3 + 4x1 х2 + 4х2 х3 (10) квадраттык форманы каноникалык түргө келтиргиле. ЧЫГАРУУ. Мында п=3, ап =3, а22 =2, а33 =1, а12 = а21 =2, а13 = а31 =0, а23 =а32 =2 . Мүнөздөгүч теңдемени түзөлү: 3-Л 2 0 2 2-Я 2 =0«(3-Х)(2-Х)(1-Л)-4(1-А)-4(3-А) = 0 0 2 1-Я (3-Х) (2-Х) (1-Х) - 8(2-Х) = 0, (2-Х) (А2 - 4Х - 5) = 0. Мындан, X 1= 2, X 2 =-1; X з= 5 өздүк маанила|>ин табабыз. Эми бул өздүк маанилерге туура келген өздүк векторлррду табалы.
294 АУ1Т АБАЫОУ, КАМ1Х КАЕА I <)V ь1м;ексев1к Е|еги ЬоуиНи ЬегНап§1 Ыг х уек(бгй , е2..............е„ Ьаг'1пс1а х= (х/, х2.....х„)1 ?екНпде уе е{,е2,...,еп ЬагНпйа 18е х = ('х|,х2,...,хи/ §екНп<1е уа/Низа, о хатап Ьа§1ап<181 еШе есННг. $ппсН Ь(х/, х2х„) киаскаНк Гогтипда (9) ГогтШйпйп уагсНт1у1а усп Х],х2,...,хп <1е§1§кеп1епт копйигигзак, Ь(х7 , х2 .... х„) киайгайк Гоггт а?а§1<3ак1 капотк §екНт а11г: Е1( Х|, х2,..., х„) X । + Х2х2-К.. -ьХпхи . §и ЬаМе Ь(х; , х2,..., х„) киайгаНк Гогти оПо§опа1 <1бпй§йтй уйгШтск уо1 Пе капогнк §екПпе §1гсН йепх. ОК^ЕК 5.: А§а§к1ак1 2 2 2 Ь(%/ , х2 , Х3) = 3 + 2 Х2 4- Х3 4- 4X1 Х2 4- 4х2х3 (|( киаскаНк Гогти капотк §ек1те с1дпи§Шгйпй2. Сбгим: Вигайа п=3, ап =3, а22 =2, а33 =1, а12 = а21 =2, а13 = а3/ -- 0, 023 =а32 =2 сНг. КагакГепзНк йепк1ет а$а§1с!ак1 §1ЫсНг: 3-Я 2 0 2 2-Л 2 0 2 1-Л = 0 <=> (3-Л) (2-Л) (1-Л) - 4(1-Л) - 4(3-Х) = 0 (3-Л)(2-Л)(1-Х)-8(2-Л) = 0, (2-Х) (X2 - 4Л - 5) = 0. Вигайап Х,= 2, Л2=*1; X 3= 5 бх йе§ег1епт Ьи1игих.
295 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФЛТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРЛ Ал өздүк векторлордун координаталарын аныкташ үчүн төмөнкү үч системаны алабыз: 1) X = 2 үчүн, х, + 2х, = 0, ‘ 2х, + 2х3 = 0, 2х2 -х3 = 0 Бул системанын жалпы чыгарылышы х(>>= (2С, -С, -2С)' векторлорунун жыйындысы болот. Мында С-каалагандай турактуу сан. Ал эми С = —• болгондо х(>> векторунун узундугу бирге барабар болот б.а. <о Г2 1 2Ү е, =х' ’ = —;----.- 1 1.3 3; М вектору нормалдуу өздүк вектор болот. 2) X = -1 үчүн 4х, + 2х2 = 0, < 2х, + Зх2 + 2х3 = 0 2х2 + 2х3 = 0 Бул системанын жалпы чыгарылышы х(2>=(С, -2С, 2С)' векторлорунун жыйындысы болот. Мында С-каалагандай турактуу сан. Ал эми С = — болгондо х(2> векторунун узундугу бирге барабар болот б.а. (2) Г1 2 2Ү е2 =х1 ' = -— <3 3 3) вектору нормалдуу өздүк вектор болот
АУ1Т А8ЛМ)У, КЛМ|Х КЛГАЮУ 20< Ь11\ЕЕКСЕВ|К ^ппЫ Ы1 бг бе|ег1еге каг?111к §е!еп 62 үек1бг1еп Ьи1а11т. Ви 62 үск1б|1чш коо1чНпа11апп1 Ьи1так 19111 а$а§14ак1 й? 8181ет11псе1еуесе§12: I) X = 2 фп: + 2х2 = 0 < 2Х] + 2х3 = 0 2х2 - х3 = 0 1 а11П2. Ви 818(етт §епе! ^бгйтй /"= (2С, -С, -2С)' үек1бг1еппт сйткзИк. Вигаба С- кеуй заЫШг. С = о1игза, х 111 уекХогйпйп ихип1и§и Ыге е§й о1иг, уаш 0) Г2 1 2Ү <3 3; 3) уеклбгй погта! 62 уекТбгбйг. 2) X = -1 191П 4х, + 2х2 = 0, < 2^! + Зх2 + 2х3 = 0 2х, + 2х3 = 0 1 а11П2. Ви 8181епмп §епе1 ^бгйтй х'2)=(С, -2С-2С)' үек1бг1еппт сйгЫезМт Вигаба С - кеуЛ заЬк зауЫт С = о1игза үекГбгйпйп игип1и§и йа Ыге е§11 о1иг, уат е2 1.1У 3’ 3) үек1:бгй погта! 02 үекйгсШг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 297 2,1.2. х, = — х, +—х, 4—х, 1 3 3 3 1 . 2 . 2 . 2 3 3 3 3 2.2. 1 . х. = —х. + —х, + — X, [ 3 3 3 3) X = 5 үчүн - 2х, + 2х2 = 0, * 2х, - Зх2 + 2х3 = 0 2х2 - 4х3 = 0 Бул системанын жалпы чыгарылышы х(3>=(2С, 2С,С)' (Н) векторунун жыйындысы болот. Мында С-каалагандай турактуу сан. Ал эми С = болгондо х(3>' векторунун узундугу бирге барабар болот б.а. ез Г-- -• -Ү Ь ’ 3’ 3) вектору нормалдуу өздүк вектор болот. Демек, ортогоналдуу өзгөртүүнүн матрицасы В ны төмөнкүдөй жазабыз: <2 1 2 А Ал эми (9) формуланын негизинде, жаңы кийирүүнүн формуласы төмөнкүдөй болот: өзгөрмөлөрдү
§1ЫсНг. 3) X = 5 19Ы АУ1Т А8А1Ч()\, кам17 НАЕЛТОУ Ь|М<ЕНСЕВ|К < Г 2.1.2. X, = — х, + — х2 + — X-. 1 3 3 3 3 1 . 2 . 2 . X, = —х, —х, +— X-, 2 3 3 3 3 2 . 2 . 1 . х, =—X. + —х, +—х3 [ 3 3 3 3 (II) - 2х, + 2х2 = 0, < 2х, - Зх2 + 2х3 = 0 2х2 - 4х3 = 0 1 акпх. Ви 518<ет1п §епе1 ^бхйтй х(3)=(2С, 2С,С)‘ §екНпс1ек1 үек1бг1епп сйт1е81сНг. Вигайа С- кеуГ1 заЫШг. С= — с1е§ег!т х(3) йек1 уегте копйигигзак, х(3) үек1огйпйп ихип1и§и Ыге е§11 о1иг, уат уек1огйпйп погта! бх уекШгй оШи§ипи §бгйгйх. Эетек Ог1о§опи Обпй$йтйп Ма1п81 В ’ у1 а§а§к1ак1 ^екПйе уахапх: 1 2 2 3 3 3 В ( в| ? С?2 э ) -1 2 2 3 ’ 3 3 2 2 1’з 3 3 ) (9) ГогтШй §еге§тсе ует йе§1§кеп1епп ЕогтШй 18е
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 299 Эми (11) формуланы (10) формулага коюп, төмөнкүнү алабыз: 2 .Ү — х, 3 ) , • ’ ' ч о (2 . 1 . Ь1(Х|, х2 5*х п) 3 I з + з х2 2 — х, 3 + 2-1-х-^х I 3 2 . 3 4.8. КӨНҮГҮҮЛӨР 1. Бардык комплекстүү сандардын көптүгү сызыктуу мейкиндик экендигин далилдегиле. 2. Ар кандай £ ь £ 2 - чыныгы сандары үчүн бардык (£ ь £ 2 ; 0; 0) түрүндөгү элементтердин көптүгү сызыктуу мейкиндик болобу ? 3. Ар кандай £ ь £ 2 - чыныгы сандары үчүн бардык (£ ь £ 2 ; 1; 1) түрүндөгү элемеңттердин көптүгү сызыктуу мейкиндик болобу ? 4. ао х2 + а,х + а2, ао * 0, түрүндөгү бардык экинчи тартиптеги көп мүчөлөрдүн көптүгү сызыктуу мейкиндик болобу? 5. Тартиби үчүнчү тартиптен жогору эмес бардык көп мүчөлөрдүн көптүгү сызыктуу мейкиндик болобу? 6. Төмөнкү ахх + Ьху + с{2 = 0, а2х + Ь2у + с2г = 0 бир тектүү сызыктуу теңдемелердин системасынын бардык чыгарылыштарынын көптүгү сызыктуу мейкиндик болорун далилдегиле. КӨРСӨТМӨ: Ар кандай X чыныгы саны үчүн жана системанын каалаган (х/, у/, 2/) менен (х2, у2, г2) эки чыгарылышы үчүн (х/ + х2; У1+ У2; 2/+ г2) жана (X X, ; X уг, X х;) дагы системанын чыгарылышы болорун көрсөтүү керек. 7. Сызыктуу мейкиндик жалгыз гана бир вектордон турабы? Ар түрдүү эки вектордон турабы? *
<»<) АУ1Т АЬАМОУ, НАМ1г КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕН СЕВ|К §1тд1 (11) ГогтШйпй (10) ГогтйШпе коуагвак ( 2 . 2 . 1 .7 (2 . 1 . 2 .ҮГ 1 . 2 . 2 + +у*2 + зхз I +4|т*1+у*2+у*з I I ~5Х| "з*2 + у' / 1 . 2 . 2 .V 2 . 2 . 1 .) .; а _ ., +4 —х. х? + — х, —х} + — х? + ~х, = 2х} — х? + 5х. I з з з Зд з з з ) киабгаНк Гогтипи е1де ебепг. 4.8. АЫ§Т1КМАЬАК 1. Тйт котр1екз зауйаппт сйпйезтт Ппеег игау о1би§ипи 1зра11ауут1/.. 2. Нег £ ь £ 2 - гее! зауйап фп ЬйШп (1; ь 2; 0; 0) §ек1тйек1 е1етап1аг<1иг о1и§ап сйт1е Нпеег игау о!а ЫНгпн ? 3. Нег Е, ь £ 2 - гее1 зауйап 1<?т ЬйШп (£ ь 2; 1; 1) §ек1тс!ек1 е1етап1аг<1ш о!и§ап сит1е Нпеег игау о!а ЫНтн ? 4. ао х2 + фх + а2 , ао 0, §екНпскк1 ЬйШп 1ктЫ бегесебеп роНпап1агйа1 о1и§ап сйт!е Нпеег игау о!а ЫПтм? 5. Оегесез! йрйпсй бегесебеп уйкзек о1тауап ЬйШп роНпап1апп сйт1е» Нпеег игау о!а ЫНтм ? 6. А§а§1дак1 а\Х + Ь}у + схх = 0, а2х + Ъгу + с2г = 0 Ьото§еп Ипеег йепИет з^зГеттт Шт ^бгйпНеппт сйпйезтт Нпеег ихау о1аса§ш11зра11аут12. 11ҮАК1: Нег X гее! зау181 уе 818(етт Ьег (х/, уь уе (х2, у2, г2) 1к1 рбгйтй 1<?т (х/ + х2; у^+ у2 ; г^+ г2) уе (X х/ ; X у,; X 818<егтп рбгйти о1аса§т1 §бз1етек §егек!г. 7. Үа1шг Ыг 1ек үекШг Нпеег игау о1аЫНтн?
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 301 8. Башталышы координат башталышында жана I координаттык бурчта жайланышкан тегиздиктеги бардык векторлордун көптүгү сызыктуу мейкиндик болобу? 9. Вагондор депосунун паркына күндө төмөндөгү ар түрдүү: жүк, почта, жалпы жупуну, бөлмөлүү жана жумшак бөлмөлүү вагондор келет. Алардан күндө жүргүнчү жана ылдам поезддер түзүлүп, жөнөтүлүп турат. Эми ^1,^2,^з,^4,^5 сандары аркылуу тиешелүү вагондордун бир күндөгү өсүндүсүн белгилейли. Эгерде £ 4 > 0 болсо, анда ал күндөгү бөлмөлүү вагондордун келгени жөнөтүлгөнүнөн £ 4 санына көп болот. Ал эми 2 < 0 болсо анда ал күндөгү почта үчүн вагондордун келгени жөнөтүлгөнүнөн (-%2) санына аз болот. Бардык (£ , % 2 , % з , £ 4 , £5) сандарынын жыйындысы сызыктуу мейкиндик болобу? Ошондой эле (-1; 2; 0; 4; 3) вектору эмнени билдирет? 10. Компланардуу а, Ъ жана С үч вектору сызыктуу көз каранды экендигин далилдегиле. 11. Компланардуу эмес <2, Ъ жана С үч вектору сызыктуу көз каранды эместигин далилдегиле. 12. Мейкиндиктеги ар кандай а^Ъ , С жана сЪ төрт вектору сызыктуу көз каранды экендигин далилдегиле. 13. Эгерде сызыктуу мейкиндиктин е2 векторлору (п вектору) сызыктуу көз каранды болсо, анда ал мейкиндиктин е2е п, еп+1 векторлору (п+1 вектору) да сызыктуу көз каранды экендигин далилдегиле. 14. Базиси 1, х, х2, ... , х п~], х п болгон сызыктуу мейкиндик кандай элементтерден турат ? 15. Бардык экинчи тартиптеги матрицалардын көптүгү төрт өлчөмдүү сызыктуу мейкиндик экендигин көрсөткүлө. Ал эми т (Р <0 '0 (о 0? ло ол о, ло ол <0 < матрицалары бул сызыктуу мейкиндиктин базиси болорун далилдегиле. 16. Төмөнкү , а2, жана а3, векторлору сызыктуу көз каранды болорун же болбосун аныктагыла: 1) ах = { 2; -1; 3}, а2 = { 1; 4; -1}, а3 = { 0; -9; 5}; 2) ах = {1;2;0}, а2 = { 3; -1; ]}, а3 = {0; 1; Ц.
АУ1Т А8АМ0Ү, КАМ|£ КАГАТОУ Ь|^ЕЕКСЕВ1К 8. Ва§1ап§1<? пок1а§1 Оп§1п’де о1ир че I. коог<Нпа1 9еуге$гк1с уег1е!>< > > дйх1етдек1 Шт уекШНепп сйт1е81 Нпеег ихау о1а ЫНггт? 9. Уа§оп1апп рагкта Ьег §йп а$а§1с!ак1 Ьег Шг1й: уйк 191П, ро$1а 1<;1п он И уа§оп1аг, за1оп1и уе уаТакЬ уа§оп1аг §е1текШсНг1ег. ОЫагйап Ьсг цйп уо1< н екзргез (геп1еп сШхеп1етр §опс1еп1тек1есНг. §1тсН , £4 , >1.1П Пе Ьип1ага каг§111к §е1еп уа§оп зауПаптп агЬгЫапт §б8ШгсНт. Е$С1 0 1зе, о §йпй 8а1оп1и уа§оп1апп §е1еп1еппт 8ау181 §бпс!еп1еп1епп »иу1яп > » 8ау18та Гах1ас11г йетекНг. £2 < 0 1§е о гатап о §йпй ро8(а үацоп §е1еп1егтт 8ау181 §бпс!еп1еп1ептп 8ау18тс1ап (-£2) уе агсЬг бетекШ I £, 2, £>з, ^4, £5) зауйагтт сйт1е81 Нпеег ихау о1а ЫНгпН? Випа Ьеп < । нн (-1; 2; 0; 4; 3) уекШгйпйп ап1агт песНг? 10. В1г с1йх1ете рага1е1 о1ап й<р <5, Ъ үе С уекШНеп Нпесг Ьа§1т1к1|г1пг. 18га11аут12. 11. В1г с1йх1ете рага1е1 о1ап шр а^ Ъ уе с үекШНеп Нпеег Ьаёип1к1|г1аг. ТзгаПауних. 12. 0? ЬоуиНи ихауба Ьег а,Ъ , С уе с1 ббП уекШг Нпеег Ьа£1т1 ц||г1аг 18гаНау1Ш2. 13. Е§ег Ыг Нпеег ихауйа 1Ь 12,..., 1 п УекШНеп (п уекШг) Нпеег Ьа£1т11 । • • ихауйа 11? 12 ,..., 1 п , 1 п+1 уекШг!еп (п+1 уекШг) йе Нпеег Ьа§1т1ц1п I п 18га11аут12. 14. 1, х, х2, ... , х "’7, х п Ьах’та заЫр о1ап Нпеег ихау па811 е1етап1аг<1а1 о1и§иг? 15. 1ктс1 тегШЬейеп та1п81епп Штйпйп сйт1е81 сйгГ Ьоуи11и Нпеег и/.ау<1н 18га11аут1х. Л1 (р <° °7 л0 2^1 _ Г° °> ч0 о} Мз ло ол <0 + е1 ~ та1г1з1еп 1§е Ьи Нпеег игау’т Ьаг’1 оИи§ипи §б81епт2. 16. А§а§1<1ак1 а^, а2 үе а3 уек1бг1еп Нпеег Ьа§1т11 гтскНаг усуа Нис Ьа§1тз12 тк!1г1аг? 1псе1еут12. 1) ах = {2;-1;3}, а2 = {1;4; -1}, а3 = {0;-9; 5}; 2) а^ = {1; 2; 0}, а2 = {3; -1; 1}, а3 = { 0; 1; 1}.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 303 17. К.3 сызыктуу мейкиндигинде а = {1; 2; 0}, Ъ = {3; -1; 1}, С = {0; 1; 1} векторлору базисти түзөрүн көрсөткүлө. 18. К3 сызыктуу мейкиндигиндеги е/ = {1; 0; 0}, е2 = { 0; 1; 0}, е3 = { 0; 0; 1} базиси үчүн, а = в/ + е2 + е3, Ъ =2 е2 +3 е3; С = е2 + 5 е3 үч вектору базис болорун көрсөткүлө. 19. Мейкиндиктеги бардык векторлордун көптүгү б.а. К3 көптүгү менен тартиби 2 санынан чоң эмес бардык көп мүчөлөрдүн көптүгү изоморфтуу экендигин далилдегиле. . 20. Мүмкүн болгон бардык чыныгы сандардын түгөйлөрү (£/, т/Д (£ ,Х12), £ ,ъ),- үчүн төмөнкү эки сызыктуу мейкиндикти аныктайлы: Элементтери х3 = (£,1)1), х2 = (£,11^), х3 = £,Г13),... болгон Ь мейкиндигин жана элементтери х, = (е^1, е'11'), хг=(е~^-, е~П2), х3=(е~&, е~'!'),.... болгон Ь'мейкиндигин түзөлү. Мында ар кандай X е К, х:, х2 е Ь , € Ь' үчүн Х1 + х2 = (£,+ £; Т]1+ т^еЪ, X = (к£ , X т/,) е Ь, х,'+ х2 = е~’1'~’12)е Ь', X х,’ = (е~^'\ е~Лг,')е Ь' . Бул Ь жана Ь’ эки сызыктуу мейкиндиктеринин изоморфтуу экендигин далилдегиле. 21. Берилген Ь сызыктуу мейкиндиги х, у, ?,.... элементтеринен турат, ал эми I/ сызыктуу мейкиндиги 2х, 2у, 22,.... элементтеринен турат. Бул эки сызыктуу мейкиндиктердин изоморфтуу экендигин далилдегиле жана Ь = Ь' экендигин көргөзгүлө. 22. Берилген е/, е2, е3 базисинен е2, е3, е/ базисине өтүү матрицасын тапкыла. 23. Берилген е/, е2 базисиндеги А сызыктуу оператору матрицасы менен берилген. х = 4е/ - Зе2 элементи үчүн у = А х элементин тапкыла.
АУ1Т АЬАМОУ, КАМ1г КА1 А ГОУ 1Л1ЧЕЕКСЕВ|К 104 17. К3 Кпеег иаутда а= {1; 2; 0}, Ь = { 3; -1; 1}. с = { 0; I; // уек1бг1еп Ьах уек1бг1епсНг1ег. ОбзГептх. 18. К3 Нпеег ихаутда в/ = {1; 0; 0}, е2 = { 0; 1; 0 }, е3 = { 0; 0; 1} Ьах уек1бг1еп фп а = е3 + е2 + е3, Ь ~2 е2 +3 е,; С = е2 + 5 е3 й? 1апе үекХбг Ьаг уек(бг1егсНг. Об81епт/. 19. 0? Ьоуийи ихаудак! 1йт уек1бг1епп сйпйезтт Пегесез! 2 .чауттйнп уйкзек о!тауап ро1тап1апп сйпйезте 1хотогЯи оМи§ипц зОДегпн/. 20. Нег Шг1й зауПапп Штйпйп 1кППегтс1еп о1и?ап (£/, ,/)[) 1<?т а§а§1с!ак11к1 Ппеег ихау’1 1атт1ауа11т: е1етап1ап X/ = (& V:), х2 = х3 = (£3,1]3),... о1ап Ь ихау’т1 уе е1етап1ап х\=(е~^', е~п'), х'2=(е~^-, е~т), х3=(е"Й, е"'71),.... о!ап Л' ихауии §бг бпйпе а1акт. ВигаПа Ьег X е К , X/ х2 е Ь , Х\, £ Ь' 1?т х, + х2 = (^/,+ £; 7/ + %/ 6 ь х/ = (Л$, X г)Ь е Ь, %;+ Х2 = (е~^2; е-'71-'72) 6 Ь' , X х{ = (е~л^; е~л>!')е ь' о1иг. Ви Ь уе Ь' 1к1 Нпеег и2ау1аппт 12отогПи оИиИапт 18раГ1аут1/.. 21. УегПеп Ытеег ихау1 х, у, г,.... е1етап1аппПап о1и$иг, Ь' Ппеег и/.ау’| 2х, 2у, 2г,.... е1етап1апгк1ап о1и?иг. Ви 1к1 Ппеег ихаущ Ып Ыппе 1/.01П0 о1Пик1апт ^зраЙауинг уе Ь = Ь' е§ИИ§1т §б81ептг. 22. УегПеп е,, е2, е3 Ьах үек1бг1епт е2 , е3, е, Ьах уек1бг1еппе Пбпй^П та1п81 Ьиктих. 23. ҮегПеп в/, е2, Ьах үек1бг1еппе §бге А /теег Пбпй§йтй та(п81 уаг<11т1у1а үеп1пй§Нг. х = 4е/ - Зе2 е^етатфп у = А х е1> 'н Ьи1ипиг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 305 24. Берилген в/ , е2 , е3 , е4 базиси жана 6^,62,62,64 жаңы базиси) Мында = е2 + е3 + е4, б^ - С/ + е3 + е4, 65 = е/ + е2 + е4, 64 = ег + е2 + е3 . Эми х = в/ + е2 + е3 + е4 векторун жаңы базиск^ карата ажыраткыла. 25. Берилген 6\, , б^, 64 жаңы базиси менен е, , е2 , е3 , е4 эск^ базиси төмөнкүдөй байланышта болсун: б^ = -Зв/ + е2 + е3 + е4, 62 = ^61 - 4 е2 + е3 + е4, = е3 + 3 е2 - 5 е3 + е4, 64 = е3 + е2 + 4 е3 - 6 е4 . Эми х = 8е/ + 6е2 + 4е3 - 18е4 векторун жаңы базисине карата ажыраткыла. 26. Жаңы е^е^, ...,бп базиси, эски е/ , е2 ,..., е„ базиси менен төмөнкүдөй байланышта болсун: б\ е/ + е2, б^ е2 + е3,..., 6^_^ е„./ + е„, б^ е„ + в/. х = 2(е, + е2 + ... + е„) векторун жаңы базиске карата ажыраткыла. 27. Жаңы 6\, б^, б^ базиси менен эски в/ , е2, е3 базиси төмөнкүдөй 6\ = е2 - е3, = е3 - е3, 6^ = 6/- е3 байланышта болушу мүмкүнбү ? 28. Жаңы 6\, 62, б^, 64, е$ базиси , эски в/, е2, е3, е4, е5 базиси менен төмөнкүдөй байланышта болсун: = ос е2, е2 = Р е3, еъ = 1 е4, 64 = 8 е3, 65 = £ е/. Берилген х векторунун эски , ^2,^3, ^4 Д 5) координаталарын жаңы координаталары менен байланыштырган формуланы жазгыла. 29. Сызыктуу мейкиндиктин камтылган мейкиндиги бир элементтен турушу мүмкүнбү ?
АУ1Т А8АМОУ, НАМ1/, НЛГАТОУ Е11ЧЕЕКСЕВ|П 306 24. < /, е2, е3, е4 Ьах уек1бг1еп уе уеги 6], е2, 63, 64 Ьах үек(бг1сп усп1 т ус Ьшада е\ = е2 + е3 + е4, е2=б1 + ез + е4, ез=е1 + е2 + е4, <'.| <’/ * 62 + е3 о1зип. §йпсП х = е/ + е2 + е3 + е4 уекЮгОии ует Ь.< уек । < >11еппе §бге ЬеПгНшг. 25. УсгНеп 6], е2, 63, бц уегп Ьах уек1бг1еп в/, е2, ез, е4 езк 1 Ьа/ V « 1< 1 уак1ип1у1а а?а§1(1ак1 $екПс1е ЬеНгШгт$1ег<Нг: 6] = -Зв/ + е2 + е3 + е4, е2 = 2е/ - 4 е2 + е3 + е4, 63 = е/ + 3 е2 - 5 ез + е4, е^ = е/ + е2 + 4 е2 - 6 е4. $1тсН х = 5в/ + 6е2 + 4 е3 - 18 е4 уекйгйпй ует Ьах уек1бг1еп уагдп>н\ I ЬеНгНгнг 26. Үет 6],62,..., 6п Ьаг уек1бг1еп езк! <?/ , е2 ,..., е„ Ьаг уекЮгкп Н а$а£1с!ак1 е§йПк1ег1е Ьа§1апт1§ о18ип1аг: 6?] в/ + е2, 62 е2 + е3,..., 6^—। еп./ + еп, е^ еп + в/. г = 2(в! + е2 + ... + е„) уекШгйпй ует ЬахуекСбНеп уагс11т1у1а ЬеПЛ1П1/.. 27. Үет 6], е^, 63 Ьах уекШНеп үе езк! е: , е2, е3 Ьаг үек1бг1еп агаятс е^ = е2- е3, е^^бз - в/, 63 = 61- ез §1Ы Ьа§1апй1аг 8а§1апа ЫПгпй ? 28. ҮеЫ 61,^2,63,64,65 Ьах Уек1бг1еп Пе езк1 в/ , е2 , е3 , е4 , е3 Ы уексбгкп агазтба 6] = (хе2, 63 = ^63, 63 = ү е4, 64 = 865, 65 =Еб/ Ьа|1апй1ап теусиГ окип. ҮегПеп х уекСбгйпйп езк1 (£ 1, £ 2 , £ з, £ 4 < £ коогсПпаНапт опип ует (^, , ^4, ^5) коогсНпаПаппа ГогтШй Ьи1ипиг. 29. Ыпеег игауПп ак игау’1 Ыг Гек е1етапс!ап о1и§аЫНптн ?
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕВРА 307 30. Ар кандай 4 । , 2 , £ з , £ 4 чыныгы сандарынын сис'1гг> бардык х = (^|,^2,^з,^4^ векторлорунан |урган К' мейкиндиги берилсин. Мында каалаган Ае В., х = ।, § 2,1, , У = (Г]1, т]2, т]3, т]4)еК? үчүн Лг^/Я^ь/Цг.Л^з./Цф»' I х+у = (£ 1+ Т]Г, %>г+Т]2; £>з+т]3; ^4+ Т]4) е В4 . Бардык XI = (0, £2, £з, ^4? векторлорунантурган К1 көптүгү эк.иы н > Х1 = (2, 1 , 0 , £ з , £ 4) векторлорунан турган К.2 көт \ । \ мейкиндигинин камтылган мейкиндиктери экендигин кор< В.1 жанаВ.2 мейкиндиктеринин кесилүүсүн жана суммасын В.з = В-1 п В2 жана Вд = В] + В2 ни тапкыла. <У(7?^ + <7(7?р </(/ экендигин көрсөткүлө. 31. Тартиби 5 санынан чоң эмес бардык көп мүчөлөрдүн кн1нүц I сызыктуу мейкиндик болот. Бардык а„х + <2/ түрүнднгү бп, тартиптеги көп мүчөлөрдүн көптүгү Ь, жана бардык Ь„ х4 I />д түрүндөгү төртүнчү тартиптеги көп мүчөлөрдүн кнпгүгү I сызыктуу мейкиндигинин камтылган көптүктөрү экгн көрсөткүлө. Ошондой эле Ь3 = Ь, п Ь2 менен Ь4 = Ь, + 1.2 ни ип Мында а0, О1 ,ЪО,Ь!, Ь2 - чыныгы сандар. Төмөнкү (32-34) системанын чыгарылыштарынын ким1> мейкиндигинин өлчөмүн жана базисин аныктагыла. Сигггм жалпы чыгарылышын тапкыла: х, + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 0, 1 3 — х, + х, + —х3 + 2х4 = 0, 2 2 32. < 12 4 — х, +—х0 + х, +—х, +х4 = 0. 3 3 3 3 1 1 з -х, +-х2 +-х3 +х4 =0. - 2х2 + х3 = 0, 33. < 2х, - х2 - х3 = 0, - 2х, + 4х2 - 2х3 = 0.
АУ1Т АЯЛКОУ, КАМ|Х КААГОД | < |ЛКЕЕК СЕВ1к »1 . , ^4 гсе! зауПаг с0т1е81 ИҢЦт Л цц1сп о1|$ап К.4 Кпесг ихау’1 уепЫп. Вииг-аНа Нс |41 Л. 6 К4 - У = Ъ) е 1*Ч4 19«п №1' ; £ 2 +%; £з +т: Ъ + Ъ) е к4, /) 4| • ^2, ^эз, Л К4 о!иг. _ ( 0, £,2 . 4з, ^) УекХбНеппдеп о1и$ап К», сит1е81 уе (йт । 0 • £з, ^4? уекгбг1епп<1еп о!и§ап В.2 Пйги.еег цгауЧтп ак игау!аН 1П1Х. Ви 1к1 К1 Уе К.2 и2ау1агтт агакезШ(пз] уе {ор!атт1, уат I , п К2 үе Кд = К, + К2 у! Ьи1ипиг. с^(^}) + е)(Пг) = с!(К,) + сЯ (Мептг. ] м 5 8ау181п<1ап уйкзек о!тауап (йт. ^оПпшЯапп сйт1с81 Е — <11г. Тйт а^х а, §екПпдек! Ънгчцс! бегесейеп роИпот!! 1п уе Шт Ьо х + Ь,х + Ь2 §еекс11пс1ек! ббгдйпсй с1егссс т сйт1е81 Ь2 тп Ь Нпеег игау^ц^щ игау1ап о1йик1п । । Вепгег ^екПйе Ь3 = Ь, п Ь2 уе Ь4 =&= + Ь2 у! Ьи1ипиг. Вш Ь„.Ь!, Ь2-гее\ зауйагШг. Л^а^|бак1 32-34 818(ет1епп ^бгйтШц-! цбеп о1и§ап ак игау'1 4пт уе Ьаг 1апш ЬеКгНтг. 818(етт §епое1 рбг0т1епт Ьи1ипиг: Х| + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 0, 3 —х3 +2х4 = 0, 4 + х, + — х. + хл =0. 3 3 х2 + —^з + х4 = 0. Х| + X, + 2 I 2 -х. + —х2 3 ' 3 2 I 1 -х, + — 4 1 2 2 г2 + х3 =0, 2х, - х2 - х3 = 0, - 2 г, + 4х2 - 2х3 = 0.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 309 34. ) х, + 2х2 + х3 + х4 + х5 = 0, х, - 2х2 + х3 + х4 - х5 = 0. 35. К.п - евклид мейкиндиги берилсин жана х - (с. ], 2 »•••,£ п) £ Кп, у = (т]1, Т]2,.... Т]„) е К.п . Мында, 2,..., £ п - завод иштеп чыгарган п түрдүү, буюмдардын ар биринин саны, ал эми Т];, т)2,..., Т]„ - жогорудагы ар бир буюмдун тиешелүү баасы. Анда скалярдык көбөйтүндү (Х,у) =^}Т]! + С2Г]2+...+ ^пТ]п эмнени билдирет? 36. Берилген [а, Ь] сегментинде үзгүлтүксүз болгон бардык функциялардын көптүгү С [а, 6] берилсин. Эгерде ар кандай х(1), У(?)е С \а> үчүн скалярдык көбөйтүндүнү ь (х(1), у(Т)) = | х(Т) у(1)Л а формуласы менен аныктасак, анда С [а, 6] көптүгү евклид мейкиндиги болобу? 37. К4- евклид мейкиндигиндеги х = (4; 1; 2; 2) жана у = (1; 3; 3; -9) векторлорунун арасындагы ф бурчун тапкыла. 38. Кп - евклид мейкиндигиндеги х = (1; л/з ; у/5 ;...; л/2п -1) жана у = (1; 0; 0;...; 0) векторлорунун арасындагы ф бурчун тапкыла. 39. К6 - евклид мейкиндигинин х = (1; 0; 2; 0; 2;0) жана у = (0; 6; 0; 3; 0;2) векторлорунун ортогоналдуу экендигин көрсөткүлө. Бул эки вектор үчүн Пифагордун теоремасы б.а. |х|2+|у|2=|х+у|2 барабардыгы аткарыларын далилдегиле. 40. Ар кандай х = , £, 2 ,•••>£ п), У = (П/, Ъ,-> 0п) е Кп үчүн төмөнкү барабарсыздыктардын аткарыларын далилдегиле: + 71 )2 + (£ + 72 )2 + - + (£, + /?„ )2 < + ^2 + - + £ + + ^72+72 +--- + 7/; (£2 + £+••• + £ )(7/ + 72 + - + 7») (£ 10! + £ гГ]2 *••• + £ п % )\ б.а.
АУ1Т А8А1М)Ү, КЛМ1Х КАГАI < >V 31 (I ь1М1:нсев1к 34. %] + 2х2 + х3 + х4 + х5 = 0, - 2х2 + х3 + х4 - х5 = 0. 35. К.п - ОкИП ихауЧш бпйпе а1а11т хех = (^ ।, 4 2 ,• • •, 4 п) 6 Я", У = (УЪ> 72 ••••• 7»? е К” о1зип. Вигаба £ 1 2 ,...,£ п - Ьвг ГаЬпкайа йге111с1 п 9е§йН таПапп Ьег Ыппт зауш, /?/, т]2........ т]п 1зе уикапйа £<).ч1сг11с1 таПапп Ьег Ыппе каг§111к §е1еп йуай о1зип. Ви х уе у е1етап1аптп .чкпк 9агр1т1пт, уат (х,у) = Т]1 + ^2 Ъ++£> тп ап1агт песПг ? 36. УегПеп [а, 6] ага11§тба 1атт1апт1§ хе зйгекИ Гопк81уоп1апп сйт1еь1 С [а, 6] ‘ у! §бх бпйпе а1а11т. Е§ег Ьегх(7/ у(1)е С [а, 6] 1<?1п 8ка1ег ^агртп Ь (х(1),у(Т))= | х(Т)у(1)Л а ГогтйШ Пе (атггПагзак С [а, 6] сйт1ез1 ОкИс! ихау’1 о1игти? 37. К4- ОкПП ихауЬпПак! х = (4; 1; 2; 2) уе у = (1; 3; 3; -9) уекШгк агазтбак! ф а9181ш ЬЫипих. 38. Кп - ОкИ<1 ихауИпба уегПеп х = (1; л/з ; д/5 ;...; д/2п -1) уе у = (1; 0; 0;...; 0) уек1бг1еп агазтбак! ф а9181т ЬиШпих. 39. К* 6 - ОкИП ихауИшп х = (1; 0; 2; 0; 2;0) уе у = (0; 6; 0; 3; 0;2) уек!бг1ептп огГо§опа1 оШиИапш §б81ептг. Ви 1к1 уек1бг 19111 Р18а§ог Теогеттт, уат |х|2 + |у|2 = |х +у|2 е§ПН§1тп за§1апа ЫИгИ£1т 18раНаут12. 40. Негх= ^2,---ЛпЛ У = (0,. О2,-, Оп) е Кп 19111 а$айк!ак1 е$Й81хИк1епп 8а§1апа ЫИгИк1епш ^зраНауиих: 7(^1 +7А)2 +(^2 +^)2 +- + (^ +7„)2 <д/^12 +^2 + —+ ^« +^1+02+-+^ & + + - + С2)(7]2 + 722 +... + 7„2) 17/ + ^ 272 +... + £ п 7п)’• уаги
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 311 |х +_у| < |х| + I ; [(х,^)]2< 1х|2|у|2. 41. Эгерде Кп мейкиндигинин ар кандай х = , £ 2 ,•••,£ п Л жана у = (т]1, т]2,..., Т]„) векторлору үчүн скалярдык көбөйтүндүнү (х, у) = 1x11 у| = + £+- + £2 • 7712+72+- + 72 формуласы менен аныктасак, анда В.п евклид мейкиндиги болобу? 42. Скалярдык көбөйтүндү 1 (хМ) = | х(()у(()<1( -1 формуласы менен аныкталган С[-1, 1] - евклид мейкиндиги үчүн и(() = 3(2 - 1 жана у(() = 3( - 5( 3 үзгүлтүксүз функцияларынын арасындагы ср бурчун тапкыла. 43. С[0, 1] - евклид мейкиндигинин х(() = т2 + 1 жана у(() = Л? + 1 элементтери ортогоналдуу болгондой X санын тапкыла. Ал ортогоналдуу эки функция үчүн Пифагордун теоремасы аткарыларын далилдегиле. 44. С[0, 1] - евклид мейкиндигинин ар кандай х((), у(() функциялары үчүн төмөнкү барабарсыздыктарды аткарыларын далилдегиле: Н 11 0 1) } {(х(0 + у(0)2^ (х2 (()</( + ^у2(()<!(; V о V о V о 2) Эгерде х(0) &0 болсо, анда 45. В4 - евклид мейкиндигиндеги х = 4в/ - 2е2 + 2е3 — е4 векторунун узундугун тапкыла. Мында в/, е2, е3„ е4 - ортонормалдуу базис.
АУ1Т АБАМОУ, НАМ1Л КА1'Л 1 <)У 312 Ь|НЕЕКСЕВ|К |х + у| < 1х| + I у|; [(х.у)]2< 1хР1 у[2 е§Й51гНк1епгн ^зраНауииг. 41. Е§ег Кп игауЧшп Ьег х = (£ 1, ) Уе у = (7/, //„ / уек1бг1еп 19111 зка1ег ^агршн (х, у) = 1x1 I у| = +&2+—+<эп 7^ + г11 + - + 7« ГогтиШ Пе 1атт1аг8ак Кп ОкН<1 ихау’1 о1аЬШтн? 42. 8ка1ег ^агрпт 1 (х(1), у(1)) — | х(1)у(1)Л -1 ГогтйШ Ие 1атт1апап С[-1, 1] - ОкНй игау’1191П и(1) =3^-1 уе х(1) = 31-513 зйгекН Гопк81уоп1апп агазтбак! ср а^тзии Ьи1ипи2. 43. С[0, 1] - ОкН<1 игауТпт х(1) = I2 + 1 уе у(1) = Й/2 + I е1етап!ип оНо§опа1 о1таз1 ЬаНпбе X заушт Ьи1ипиг. Ви 1к1 оНо§опа1 Гопк81уоп1аг »<911 Р18а§ог Теогеттт 8а§1апаса§1т 18ра11аут1г. 44. С[0, 1] - 6кНс1 игауТтп Ьег х(1), у(1) Гопк81уоп1ап 191П а$а§к!ак е$Й81211к1епп 8а§1апс11к1апт 18ра11аут1г: 11 11 11 1) |(х(/) + у(1))2Л < |х2(/)с7/ + ^у2(()&; V о V о V о 2) Е§ег х(0) &0 18е сНг. 45. К4 - 6кНс1 игау’тдак1 х = 4е/ - 2е2 + 2ез - е4 уекГбгйпйп Ьйуйк1(1|й1 Ьиктиг. Вигаба е^, е2, е2„ е4 - оПо§опа1 Ьаг үек1бг1епсНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 313 46. К4 - евклид мейкиндигиндеги х = + 2^2 е2 + З^З + е3 43 + г~ X + 8е4 + 5л/5 векторун нормалдаштыргыла б.а. т-ү векторун тапкыла. г1 47. Эгерде ески е7, е2, е3„ ортонормалдуу базисинен жаңы в|, в2, базисине өтүү матрицасы 2 3 (Р 7 7 7 а 6 2 3 7 7 7 3_ 6 2 <7 7 '7> болсо, анда в^, в2, вд базисинин ортонормалдуу экендигин далилдегиле. 48. К4 - евклид мейкиндигиндеги х = е^1п3а + е2$1п2 асоза + е3 зта соза + е4 соза векторун нормалдаштыргыла. 49. К4 - евклид мейкиндигиндеги х = е^ 41 + е2 4~5 + е3 4з + е4 жана у = е] 41 + е2 4~5 векторлорунун арасындагы ф бурчун тапкыла. 50. К4 - евклид мейкиндигиндеги х = Зе^ - е2 - е3- е4, у = е^ - Зе2 + + е3 + е4,2 = е^ + е2- Зе3 + е4 векторлоруна ортогоналдуу болгон жана нормалдаштырылган векторду тапкыла. 51. К4 - евклид мейкиндигиндеги х = Ле^ + Ле2 - е3 - Ле4, жана у = е]~ е2 + Ле3- е4 векторлорунун узундуктары Л санынын кандай маанисинде барабар болушат? 52. Скалярдык көбөйтүндү 1 Ш,ув))= | х(1)у(1)Л о формуласы менен аныкталган, тартиби 2 санынан чоң эмес болгон бардык көп мүчөлөрдүн көптүгү евклид мейкиндиги болот. Бул евклид мейкиндигинин / = 1; /2 = Гз= базисинин жардамы менен берилген мейкиндиктин ортонормалдуу базисин тургузгула.
АУ1Т А8АНОУ, КАМ1г КАГАТОУ ЫМЕЕК СЕВ1К 314 46. К4- Ок.Ис1 ихауЧпдакл х = е/ + 2л/2 е2 + Зл/З + е3 л/з + + 8е4 + 5л/5 уекШгйпй погт1апскптг , уат -рг уекШгйпй ЬиШпиг . Н 47. Е§егезк1 е;, е2, е3„ ог1о§опа1 Ьаз уек1бг1епт ует в|, в^, €$ Ьаз үек1бг1еппе йбпй§Шгеп такйз "_2 3 6Л 7 7 7 л 6 2 3 7 7 7 3 6 2 Ь 7 ' 7 ) тайлзИзе е^, е^, е^ Ьаг уекШйеппт ог1о§опа1 оИиИапт 18ра11аут1Х.. 48. К4 - ОкНс! игау’тбак1 х = е!8т3а + е/пасоаа + е3 зтасоза • + е4 соза уекШгйпй попШапскптг. 49. К4 - Ок1Ш игау’1пс1ак1 х = е/ 41 + е2 л/5 + е3 л/З + е4 уе у = е/ + е2 л/5 үекШНеп агазтсШп ср а^тзии Ьи1ипиг. 50. К4 - ОкНс! игау’1пс1ак1 х = Зе^ - е2 - е3 - е4, у = е/ - Зе2 + е3 + е4, 2 = е; + е2 - Зе3 + е4 уекШйеппе огШ§опа1 о1ап уе погт1апс11п1т1§ уекШгй Ьи1ипиг. 51. К4 - ОкНй игауЧпйак! х = Ле^ + Ле2 - Ле3 -Л е4, че у = е/ - е2 + Ле3 - е4 уекШг1еппт Ьйуйк1йк1еп е§11 о1<1ик1ап ЬаШе Л 8ау181шп бе§ег1п1 Ьи1ипиг. 52. 8ка1ег ^агрит 1 -1 ГогтйШ Не (атт1апап йегесез! 2 зау181пс1ап уйкзек о1тауап ЬйШп ро1тот1апп сйт1е§1 ОкНй игауЧт о1и§Шгиг. Ви ОкПс! игау’тт // = 1; С2 = I; /3= Н Ьаг уекШг1еп уагскгту1а уегПеп ак игау’т огШпогта! Ьл/ уекШг!епт Ьи1ипиг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 315 53. К4 - евклид мейкиндигиндеги = Л е/ + е2 + е3 + е4, %2 = в/ + +Л е2 + е3 + е4, §3 = е3 + е2 + Л е3 +Л е4, §4= е; + е2 + е3 +Л е4 базис, Л санынын кандай маанисинде ортогоналдуу базси болот ? Ортогоналдуу базисти нормалдаштыргыла. 54. В3 - евклид мейкиндигиндеги а е1 - у е’ + —— е2+ Ре3, I 1 — ’ (X 1 — (X е2=------е1 +@е2 + — е^ ву= @е1 + — е2 +-------е3 базис, а менен Р^сандарынын ка^дай маанилеринде^ртонорм^пдуу базис болот ? 55. Ар кандай ос - чыныгы саны үчүн, Ах = осх формуласы менен аныкталган А оператордун сызыктуу экендигин көрсөткүлө. 56. Сызыктуу Ь мейкиндигинде нөлдүк эмес хое Ь үчүн Ах = х + хо формуласы менен А оператору аныкталган. Бул А оператор сызыктуубу? 57. В3 сызыктуу мейкиндигинде ар бир векторду анын узундугуна көбөйтүү операциясы сызыктуу оператор болобу? 58. Сызыктуу Ь мейкиндигинин каалаган хо е Ь элементи үчүн Ах = хо формуласы менен аныкталган А оператору сызыктуу оператор болобу? 59. Сызыктуу Ь мейкиндигинде в/ , базиси берилсин. Ь мейкиндигинин каалаган х =% \ е/ + £> 2 &2 + %> з е3 + % 4 е4 элементин Ах =% 1 е/ + £ 2 е2 + £ з е3 + £ 4 е4 формуласы менен өзгөрткөн А оператору сызыктуубу? 60. Берилген А - сызыктуу оператору үчүн Вх = Ах + 7х формуласы менен аныкталган В оператору сызыктуу экендигин далилдегиле. 61. Берилген п - өлчөмдүү К?_сызыктуу мейкиндигинде Е х = х формуласы менен аныкталган Е - бирдик операторунун матрицасын тапкыла. 62. Берилген п - өлчөмдүү сызыктуу мейкиндигинде Ах = ах, ае К формуласы менен аныкталган А сызыктуу операторунун матрицасын тапкыла. _ 63. Сызыктуу А оператору в/, е2, е3 базисинде матрицасы менен ^-1 0 2^ А= 2 1 1 <3 0 -1,
Ак1ТАЬАМ)Ү, КАМ|ХНЛГАТОҮ 31 Ым:ен СЕВ|Н 53. К4-йкНП ихауЬпйак! %/ = Ле, + е2 + е3 + е4, %2 = е/ + Ле3 + + е3 + е4, §3 = е, - е2 + Ле3 +Л е4, §4 = е, + е2+ е3 +Ле4 Ьаг уек1»г1сп Л 8ау181пт Ьап§1 де|еп 19111 ог1о§опа! Ьах үек1бг!еп о1иг1аг ? 54.К3 - ОкПа , л . а ихау шаак! е^= — е2 + 1-а ~г е2 + (Зе3, ' 1 -« п а ' п а , 1-а . в2 =------е!+/3е2+ — е3, е3=/Зе1+ — е2 + е3 Ьах\>к1йНсг1 3 3 3 3 а уе р 8ау1апп1п Ьап§1 с!е§ег1еп 19111 оПопогта! Ьах уек1бг1еп окп 1.н ? 55. Нег а - гее1 зау181191П Ах = ах ГогтйШ Не 1атт1апап ббпй^йтйп Ппсег с1бпй§йт о1с!и§ипи §б81ептх. 56. Ыпеег Ь ихауЬпПа 81йгс1ап ГагкЬ хоеЬ 19111 Ах = х + хо ГогтйШ Пс Л с!опй?йтй 1атт1апт1?Иг. Ви А йбпй§йтй Нпеег гтсНг ? 57. К3 Нпеег игау’1п<1ак1 ЬегЫг уек1бгй опип Ьйуйк1й§йпе ^агрта ббпй^йтй Ыпеег гтсНг ? 58. Ыпеег-Ь игауктп Ьег хо е Ь е1етат 19111 Ах=хо ГогтйШ Пе 1ап1т1ит111 А ббпй^йтй Нпеег гтсНг ? 59. Ыпеег Ь игау’тс1а в/, е2, е3, е4, Ьаг үек1бг1еп үегПзт скуеПт. 1, игаутт Ьег х =£ \ е3 + ^2е2 + з е3 + ^4е4 е1етатпа Ах । е/ । । 2 е2 + з е3 + 4 е4 е1етатт каг?111к §еНгеп А с!бпй§йтй Нпеег ткНг */ 60. УегПеп А Нпеег <1бпй§йти 19111 Вх = Ах + 7х ГогтйШ Пе 1атт1апап В с1бпй§йтйпйп НпееП§1т ^зраПауиих. 61,ҮегПеп п - ЬоуиНи Кп Нпеегихаукпйа Ех=х ГогтйШ Пе ип1т1ш1ап Е - Ыпт Пбпй?йтйпип та1п51т ЬиШпих. 62. Уеп1еп «-ЬоуиПи НпеегихауШа Ах = ах, аеВ ГогтйШ Пе 1атт1апап А Нпеег Пбпй^йтйпйп та1п81т ЬиШпих. 63. Ыпеег А с!бпй§итй е2, е2, е3 Ьах үекШНеппе §бге Г-1 0 2^ А= 2 1 1 <3 0 -1 )
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 317 аныкталган . Берилген х = 2в/ + 4е2 - е3 элементи үчүн у = А х түспөлүн тапкыла. 64. Сызыктуу А оператору е/, е2 базисинде А = матрицасы менен аныкталган. Бул А оператордун = е2 - 2 в/, = 2в/ - 4е2 базисиндеги матрицасын тапкыла. 65. Берилген е/ , е2 , е3 , е4, векторлору 4 - өлчөмдүү сызыктуу мейкиндиктин базиси болсун жана А сызыктуу оператору Ае, = е3 + + е4,Ае2 = е/ + е4,Ае3 = е4 + е2,Ае4 = е2 + е3, формуласы менен аныкталсын. Ар кандайх = ^1е/ + ^2е2 + ^зе3 + ^,4е4 вектору үчүн у = Ах түспөлүн координаттык формада жазгыла. 66. Берилген е/ , е2 , е3 , е4, векторлору 4 - өлчөмдүү сызыктуу мейкиндиктин базиси болсун жана ар кандай х = %|е/ + ^2в2 + %зез + + £ 4 е4 векторун Ах = ^2е/ + ^,зе2 + 1:,4е3 + ^;1{е4 формуласы менен өзгөрткөн А оператору сызыктуу экендигин далилдегиле. Бул оператордун е/, е2, е3, е4, базисиндеги А матрицасын тапкыла. 67. Эки А жана В сызыктуу операторлору 3- өлчөмдүү мейкиндикте төмөнкү формулалар менен аныкталсын: ^х + 2у + Зд 4х + 5у + 6д ч7х + 8у + 9г^ У =5 у <2') I2. ^х + Зу + 4,5.? 6х + 7 у + 9? ^10,5x412у + 13г? ЗА - 2В сызыктуу операторун тапкыла.
АУ1Т А8А^ОУ, КАМ1г КАГАТОУ Ь||ЧЕЕК СЕВ|К 318 та1п51 Пе 1агшп1апт1? окип. УегПеп х = 2в1 + 4е2 - е3 е!етат 19111 р /1 < §бгйпШ е1етап1т Ьи1ипих. 64. Ьтеег А с!бпй?йтйе/, е2 Ьах уек1бг!еп йгеппбе <2 4"| таМз! Пе үеп1пй§Нг. Ви А с!бпй§йтйпйп 6\= е2 -2 е,, = 2в/ - 4е2 Ьах уек1бг1еппе §бге таСпзт! Ьи1ипиг. 65. УегПеп е3, е2, е3, е4, уекСбНеп 4-Ьоуи11и Нпеег игау’т Ьах уек1бг!сп о18ип1аг уе А 1теег с1бпй§йтй Ае3 = е3 + е4, Ае2 = е/ + е4, Ае3 = е4 + е2,Ае4 = е2 + е3, е§ПНк1еп Пе (апшйапзт. Нег х = 1 е; + £, 2 е2 + £ 3 е3 + 5, 4 е4 уекСбгй 19111 у = Ах §бгйпШ уексбгйпй коогсНпаПап уаг<йт1у1а уагти. 66. УегПеп е!,е2,е3, е4, уексбг1еп 4-ЬоуиПи Нпеегигау’ттЬахуек1йг1сп о18ип1аг. Нег х = ^|е/ + ^2в2 + ^зе3 + ^4е4 уек1бгйпе Ах = ^2е1 + ^,3е2 + ^4е3 + ^\е4 уексбгйпйкаг§П1к§еНгеп А с!бпй§йтипип Нпеег о1Пи§ипи {зраПауииг. Ви <3бпй§йтйп е/, е2, е3, е4, Ьа; уек1бг!еп йхеппйек! А та1п81т Ьи1ипиг. 67. 1к1 А уе В Нпеег <1бпй§йт1еп 3- ЬоуиПи игауМа а$а§1<1ак1 ГогтйИег 11< 1атт1ап81п1аг: ЗА - 2В с1бпй$йтйпй Ьи1ипих.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 319 68. Эки А жана В сызыктуу операторлору тегиздиктеги ар кандай и = х1 -ь у ] вектору үчүн Аи = х1 жана Ви = х] + у1 формулалары менен аныкталсын. АВ жана ВА операторлорун тапкыла. 69. Сызыктуу А оператору хОу тегиздигиндеги ар бир векторду ос бурчуна бурган оператор болсун б.а. I = {1; 0} жана у = {0; 1} векторлору үчүн А/ = / со$а + ] зта, А] = - I $та + у соза болсун . А2 операторун тапкыла. 71 70. Сызыктуу А оператору хОу тегиздигиндеги ар бир векторду ос = — 4 бурчуна бурган оператор болсун. В = А2 + л/2 А + Е операторун тапкыла. Мында Е - бирдик оператор . 71. Сызыктуу А оператору төмөнкү формула менен аныкталсын: г - 0,5(у + г) х х У' =А у = -0,5(х + г) 2* <-0,5(х + у); 2 Берилген А оператордун тескери А’1 операторун тапкыла. 72. Берилген , е2 векторлору базис болгон сызыктуу мейкиндикте А сызыктуу оператору Ае^ = е2, Ае2 = в/ формуласы менен аныкталсын. Тескери А’1 операторун тапкыла. 73. Сызыктуу А оператору хОу тегиздигиндеги ар бир векторду ос бурчуна бурган оператор болсун. В = А + А1 операторун тапкыла. 74. Сызыктуу А оператору тегиздикте х = А (х + Х) х (2(х + у)} формуласы менен аныкталсын. Тескери А'1 операторун тапкыла. 7Г 75. Сызыктуу А оператору хОу тегиздигиндеги ар бир векторду а = — 4 бурчуна бурган оператор болсун. А’2 = (А'1)2 операторун тапкыла.
АУ1Т А8АЫОҮ, КАМ1/. КАЕАТОҮ 320 1ЛЫЕЕК СЕВ1К 68. 1к1 А уе В Ппеег <1бпи§йт1еп сШг1етс1ек1 Ьег и = х / + у у уекЮгО ң << Аи = х/Ви = ху + у/ ГогтйПеп Пе СаптЯапзтШг. АВ ус н ' Пбпй?йт1епт Ьи1ипиг. 69. Глпеег А с1бпй§йтй хОу <1й21еттс1ек1 Ьег Ыг уексбгй а а^гата <;е' с!бпй§йт о1зип, уат / = {1; 0} уе у’ = {0; 1} уек(бг1еп 19111 А/ = / соза + ] згпсс, А] =- / зта + ] соза о1зип. Аг <1бпй§итйпй Ьи1ипиг. Л 70. Ыпеег А с!бпй§йтй хОу <1йг1ет1пдек1 ЬегЫг уексбгй а = — афгата 4 ^еукеп ббпй?йт о1зип, В = А2 + д/2 А + Е Пбпй§йтйпй ЫПипиг. Вига<1а I - Ыпт с!бпй§йтйс1йг. 71. Ьтеег А йбпй?йтй а?а§1с!ак1 ^-0,5^ + г)" - 0,5(х + г) С 0,5(х + у\ Гогтй! Пе 1атт1апт1§ о1зип. УегПеп А <1бпи§йтйпйп 1егат1, уат А"1 с1бпй§йтйпй Ьи1ипиг. 72. УегПеп в/ , е2 уек1бг1еп Ьаг уек1бг1еп о1ап Ппеег игау’с!а А 1тс с!бпй§йтй Ав/ = е2 , Ае2 = в/ ГогтйПеп Пе {атпПапзт. Тегх / Пбпй?йтйпй Ьи1ипих. 73. Ьтеег А <1бпй§йтй хОу (1й21еттс1ек1 Ьег Ыг уексбгй а а^гата ^еук с!бпй§йт о1зип. В = А + А’1 с1бпй§йтйпй Ьи1ипиг. 74. Ьтеег А Пбпй§йтй с!йг1етде х + у ^2(х + у) ГогтШй Пе 1атт1апт1§11г. Тегз А’1 Пбпй§йтйпй Ьи1ипиг. 75. Ьтеег А дбпи^ити хОу дйх1еттс1ек1 кегЫг уек1бгй а = 9еү1геп с!дпй§йт о1зип. А’2 = (А’1)2 йдпй§йтйпй Ьи1ипих. ;*Ч I-
321 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 76. Төмөнкү г-2х + у + г^ х-2у+г ^х + у + Аг ? формуласы менен аныкталган А сызыктуу оператор, X санынын кандай маанисинде тескери А’1 операторуна ээ болбойт? 77. Төмөнкү формуласы менен (лЛ ГлЛ (5х + 4>Л аныкталган А сызыктуу операторунун өздүк векторлорун тапкыла. 78. Матрицасы 'а (Г болгон А сызыктуу оператордун өздүк векторлорун тапкыла. 79. Матрицасы Г6 -4>1 А = Н -2) болгон А сызыктуу операторду н өздүк маанилерин жана өздүк векторлорун тапкыла. 80. Матрицасы 'а -Ьу А = а> болгон А сызыктуу оператордун өздүк маанилерин жана өздүк векторлорун тапкыла. 81. Матрицасы А = ЛО 1 к? 1 о м - 1 болгон А сызыктуу оператордун өздүк маанил^рин жана өздүк векторлорун тапкыла.
АУ1Т А8АМ0Ү, КАМ|Х КАРАТОУ 323; 1Л1МЕЕКСЕВ1К 76. А§а§к1ак1 '~2х + у + х - 2у + г ^х + у + Лг , ГоппШй Ие 1ашт1апап А Нпеег <1бпй§йтй А заугетт Ьап§1 де§ег! фп 1егв А'1 <1бпй§йтйпе заЫр о1атах ? 77. А§а§1бак1 (лГ (5х + 4Г = А = л Ш Ы <8х + 9^; ГогтШй Пе 1атт1апап А Нпеег <1бпй§йтйп бг йе§ег1епт уе бг уекК5г1ег1г— ЬШипих. 78. Ма1п81 (а Г А = I» р) уа е§к о1ап А Ппеег ббпй^йтйпйп бх <1е§ег1епт уе бх уек1бг1епт Ьи1ипи;: 79. Ма1п81 Гб -4А уе е§11 о1ап А Ппеег 4бпй§йтйпйп бх <1е§ег1епт уе бг уек1бг1епт Ьи1ипиз** 80. Ма1л81 уа е$11 о1ап Нпеег дбпй$йтйпйп бх <1е§ег1епт уе бх уек1бг1епт Ьи1ипиг. 81. Ма!п81 '2-1 Г А= -1 2 -1 Г 0 Г е е§к о1ап А Ппеег с1бпй§йтйпйп бх <1е§ег1епт үе бх уек<бг1епт Ьи1иш1
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 323 82. Матрицасы А 1 Зл 1 5 1 ч3 1 1? А = болгон А сызыктуу оператордун өздүк маанилерин жана өздүк векторлорун тапкыла. 83. Эгерде а\\ а\2 а\3 а2\ а22 а23 \а3\ а32 азЗ 7 матрицасы симметриялуу матрица болсо, анда ар кандай нөлгө барабар эмес ос, Р жана А, сандары үчүн А = а21 (3/а <«31 Г/« апаЦЗ а22 «32 ү!& а^а{ү а2з Р) ү матрицанын мүнөздөгүч теңдемесинин бардык чыгарылыштары чыныгы сан болорун далилдегиле. КӨРСӨТМӨ. Матрицасы А болгон А сызыктуу операторун карайбыз жана ал оператордун = а , е^ = (Зе2, еу= у е2 базисиндеги матрицасы берилген симметриялуу матрицага барабар экендигин көргөзөбүз. 84. Матрицасы '1/2 -Тз/2 (Р А= Тз/2 1/2 0 0 0 1 болгон А оператордун өздүк маанилерин жана өздүк векторлорун тапкыла. 85. Сызыктуу А оператордун өздүк маанилери белгилүү болсо, анда тескери А'1 сызыктуу оператордун өздүк маанилервгн тапкыла.
АУ1Т А8А1М0У, КАМ1Х КАГАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1Я 82. Ма(п81 /1 1 3^1 А= 1 5 1 ,3 1 1, е е§к о1ап А Ппеег <3бпй$йтйпйп бг <1е|ег1епп1 үе бг Уек1бг1ег1п1 Ьи1игЦ|г 83. Е§ег Яц «12 «13 а21 «22 «23 <«31 «32 «33 > та1п81 81те(пк 1§е §1йгбап ГагкЬ Ьег ос, (3 үе X зауйап 191П 'яц апа/Р «21 Р/ос а2г <«3> «32 ү!Р а{3а/үу «23 Р/Ү азз > та1п$тт кагакТепзйк йепккттт Ьег ^бхйтй гее! заукЬг. Ьра11ауш12. 11ҮАВ1. Ма1пз1 А уа е§П о1ап А Ппеег ббпй§йтйпй §бх бпйпе а1аса§1/уе опип = осв/, в2 = Ре2, е^= үе3 Ьагуек1бг1еп йгеппс1е|(| та1пзт уегПеп 81те1пк тайчзе е§П о1йи§ипи §б81егесе§1г. 84. Ма1пз1 Г1/2 -Тз/2 0 А= л/з/2 1/2 0 0 0 1 е е^йокп А Нпеег дбпй^итйпип бх Йе§ег1епп1 уе ох уек1бг1епт Ьикц)^ 85. Ьтеег А йбпй^йтйпйп бх с1е§ег1еп уегПгт^е 1егз А’1 Ппеег йбпй^йтйпйп бх <1е§ег1епт Ьи1ипих.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 325 КӨРСӨТМӨ. 1 А1 - ЛЕ1 = 0 теңдемесинен 1 А-|-| е|=о экендигин көргөзөбүз. 86. Матрицасы А = болгон А сызыктуу операторду] '0 10 0' 0 0 10 0 0 0 1 <1 0 0 0? зөздүк маан [илерин жана өздүк векторлорун тапкыла. 87. Матрицасы А = 'а (3 үу ү а /3 Ү болгон А сызыктуу оператордун өздүк маанилерин жана өздүк векторлорун тапкыла. 88. Матрицасы А менен берилген А сызыктуу оператордун өздүк маанилерин жана өздүк векторлорун тапкыла: 1)А = '2 <-1 4> Л ; 2) а = А 2 -2^ 1 0 3 11 3 0? 89. Төмөнкү берилген сызыктуу оператордун диагоналдык түргө келтиргиле: матрицаларын п 3)А = 1 1 3" 5 1 1 Г 1 -3 5) А = А 2 -2Л 10 3; ,1 3 0, 6) А = А 2 -Г 0 2 4; Л* 0 Зу 2 4
32( ЛҮП ЛХАГЮУ, КЛМ|Х КАГАТОҮ ЫКЕЕК СЕВ|К 11ҮАК1. I А'1 - ЛЕ| = 0 депк1ет1пдеп | А - — ЕI = 0 с1епк1ет1 сШс есШесе§1П1 §бз1еппг. 86. Ма1п81 л0 1 0 (Р 0 0 10 А = 0 0 0 1 Ч1 0 0 0, а е§ко1апЛ Нпеег <1бпй§йтйпйп бг <3е§ег1епт уе дг уек1бг1епт Ьи1ипи/. 87. Ма1п81 а А = 0 ү' а /3 Ү а, уае§11о1ап А Ппеег Пбпй?йтйпйп бг йе§ег1епт уе дг үек1бг1епт 88. МаГпз! А а§а|н1а уеп1т1§ о1ап А Ппеег Пбпй§йтйпйп дг де§ег1е11П1 \ 02 үек1бг1епп1 Ьи1ипиг: ^2 4 <1 -з> <1 2 -2> 1)А = 2) А= 1 0 <1 3 3 89. А§а§1с1а уегПеп Ппеег ббпй$йт та1п81епт сПуа§опа11а§1шп12: Р 1)А = л2 <3 2) А = 3) А = 5 1 1 Ь А 2 -2> А 2 -Р 5) А = 1 0 3 ; 6)А = 0 2 4 Р 3 0, ,0 0 3 ,
327 АВЫТ АСЛНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГКБРА ^-1 0 (Г г-3 0 0^1 '0 -1 Р 7)А = 3 0 0 ; 8)А = 1 2 0 ; 9) А = 0 1 2 <2 11] + -1 + 0 7} 90. Төмөнкү квадраттык формалардын А матрицасын тапкыла жана аларды матрица аркылуу жазгыла: 2 2 2 1) Ь(х,, хт, Хз) = 2Ху + 3 + 4 Х/Х2 - 6 Х/Х3 + 10х2х3; 2 г~ 2 2) Ь(Х], х2) = 6 Х\ + 2 л/5 Х]Х2 + 2 %2 / 2 3) Ъ(Х], х2) = 4 Х]Х2 + 3 Х2 / 4) Ь(х/, х2) = 5 Х|2 + 4 д/б Х]Х2 + 7X; 2 2 5) Ь(х/, х2) = 17Х| + 12х]Х2 + 8X2 ; 2 2 2 6) Ь(Х1, х2, х3) = 6+ 3 Х^ + 3 + 4 Х)Х2 + 4 X} х3 + 8х] Хз; 2 2 2 7) 1/х/, х2, х3) = 3 + 2 Х^ + 4 Х^ + 4 х}х2 - 4 х2х3 + 2х] х3 ; 2 2 2 8) Ь(х}, х2, х3) = Хү + 4%2 + 3 + 2х1Х2 - 4х^х3 + х2 х3 ; 2 2 2 9) Ь(Х1, х2, х3) = - - 2 Х^ - 2 Х^ + х}х2 - Х/Х3 + 2х2 х3; 2 2 10) Ь(Х], х2) = Зх^ -4X2+ $х/х2 >' 2 2 2 11) Ь(х/, х2, х3) = 7 Хү - Х^ - 9х^ + х}х2 - Х1 х3 + х2 х3; 2 2 2 12) Цх/, х2, х3) = Ху - Х^ + Х3 - 2х/Х2 + 3 х2х3 ; 2 2 2 13) Ь(Х1, х2, х3) = 2 Х1 - 3X2 + 4 Х3 + Х/Х2 - Х]Х3 ; 2 2 14) Цх] ,х2)=4Ху - 6 + 9х]Х2 ; 91.Төмөнкү берилген Ь(х],х2) квадраттык форманы X/ = С1]у + Ь] у2 , х2 = а2у] + Ь2у2 формуласы менен сызыктуу өзгөрткөндөгү V (у1, у2} квадраттык формасын тапкыла:
АУ1Т А8А1МОУ, НАМ1/ КАРАТОҮ Ь|КЕЕК( ЕВ1К 328 г-1 0 (Г (-3 0 ол "0 -1 Р 7)А = 3 0 0 ; 8)А= 1 2 0 ; 9) А = 0 1 2 <2 1 Г 19 -1 4; ч0 0 7, 90. А§а§1дак1 киаскаНк Гогт1апп А та1п81П1 Ьи1ипих үе тайчз уапйт) уахиих: 2 2 2 1) Цх1, х2, х3) = 2 Хү + 3 + 4 Х]Х2 - 6 Х]Хз + 10 х2 х3 ; 2) Ь(Х], х2) = 6 х^ + 2 л/5 Х]Х2 + 2X2 ; 2 3) Ь(х}, х2) = 4 Х]Х2 + Зх^; 2 г~ 2 4) £(Х/, х2) = 5 + 4 д/6 Х/Х2 + 7 Х^ ; 2 2 5) Цх/, х2) = 17 Х^ + 12х/х2 + 8х^ : 2 2 2 6) Ь(х,, х2, х3) = 6 Х^ + 3 Х^ + 3 Ху + 4 х/х2 + 4 X/ х3 + 5х/ х3; 2 2 2 7) Цх/, х2, Хз) = 3 Ху + 2 %2 + 4 Ху + 4 Х/Х2 - 4 х2х3 + 2ху х3; 2 2 2 8) Цх/, х2, Хз) = Х\ + 4X2 + 3 Х^ + 2х/х2 - 4Х/Х3 + х2 х3; 2 2 2 9) Цх{, х2, х3) = ~Х1 - 2 Х2 - 2х^ + Х/Х2 - Х/Х3 + 2х2 х3; 2 2 10) Цх/, х2) = 3 Х^ - 4 х2 + 5х/Х2 ; 2 2 2 11) Цх/, х2, х3) = 7Ху - Х^ - + Х/Х2 - Х/Х3 + х2х3; 2 2 2 12) Цх/, х2, х3) = Ху - х2 + хз - 2х/х2 + 3 х2х3 ; 2 2 2 13) Ь(х/, х2, х3) = 2 - 3 Х^ + 4 Х^ + Х/х2 - х,х3 ; 2 2 14) Цх/, х2) = 4 Х\ - 6X2 + 9х/х2 ; 91. А§а£1(1а уегПеп Цх/, х^) киадгабк Гогти X/ = а/у + Ь/у2, х2 = а2у/ + Ь2у2 ГогтйПеп Пе Нпеег <1е§1§йгте8т<1еп е!<3е еППеп I '(>, > > кигйгайк Гогт1апп1 Ьи1ипиг:
329 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 2 2 1) Ь(Х1, х2) = 3 Х{ - Х2 + 4Х1Х2; Х1 = 2у1 - у2, х2 = у, + у2; 2 2 2)Цх1, х2) = 2х{ - 4х,х2 + Зх2 ; Х1 = 2у1-3у2, х2 = у, - у2; 2 2 3) Ь(Х1 ,Х2) = -Х\ + 2Х1Х2 + 2 Х2; X/ = у, - 2у2, х2 = У1 + Зу2. 2 2 4) Ь(х,, х^) = 4 Х} - 5х,х2 + 6 Х2 ; Х1=2у1 + 3у2, х2 = У1+у2; 2 2 5)£<х;, х2) = 7хг - 2х]Х2 + 9х2 ; */ = У/ + Зу2, х2 = 2у/ - у2 ; 92. Төмөнкү квадраттык форманын оң аныкталгандыгын далилдегиле: 2 2 1) Ь(Х], х2) = 27 Х\ - 10х]Х2 + Зх2 ; 2 2 2) Цх}, х2) = 17Х^ + 12х]Х2 + 8 Х2; 2 2 2 3) Цх], х2, х3) = 2Х\ + 3 Х2 + 3 Х2 - 2х]Х2 - 2х] х3 - 4х2 х3; 2 2 2 4) Цх}, х2, х3) = 5 Х\ + 3 Х2 + 4 Х2 - 4х]Х2 - бХ] х3 - 2х2 х3; 2 2 2 5) Цх], х2, х3) = 4Х\ + 3 Х2 + 3 Х2 - 4х]Х2 + 4 Х]Х3 + 2х2х3; 2 2 2 6) Цх/, х2, х3) = 6 Хү + 7 Х2 + 5 Х2 - 8х/х2 + 4 Х]Х3 - 6х2 х3; 2 2 2 7) Цх], х2, х3) = 3 Ху + 2 Х2 + 3 Х2 + 2х]Х2 - 4 Х]Х3 + 2х2 х3. 93. Төмөнкү квадраттык форманы каноникалык түргө келтиргиле: 2 2 1) Цх], х2) = 27Х^ -1ОХ]Х2 + Зх2; 2 2 2) Цх}, х2) = 2 Х\ + 8х]Х2 + 8 Х2 ; 2 2 2 3) Цх], х2, х3) = 3 + 2 Х2 + Х2 + 4Х]Х2 + 4х2 х3 ; 2 2 2 4) Цх], х2, х3) = 6 Х\ + 3 Х2 + 3 Х2 + 4Х]Х2 + 4х] - ^х2 х3 : 2 2 2 5) Цх/, х2, х3) = Ху + 4 Х2 + 3 + 2х]Х2 ; 2 2 2 6) Цх/, х2, х3) = -2х2 - Хү - 2х]Х3 + 2х2х3 - 2х2 ; 2 2 2 1) ЦХ1, х2, х3) = 2 + 3 Х2 - Х2 + 4х]Х2 - 6х] х3 + Юх2 х3; 2 2 8) Цх], х2) = 3 - Х2 + 8х]Х2 ;
АУ1Т АЗАМОУ, ЯАМ1/, КАРАТОУ и1ЧЕЕЯСЕ1|||< ЗЗС 2 2 1) Цх, ,Х1) = зх\ - х2 + 4х'х2 ; х> = 2у1 - У2, х2 = у/ + У2; 2 2 2) Цх}, х2) = 2 х^ - 4х[Х2 + 3 ; X/ = 2 уг - Зу2, х2 = у/ - у2; 2 2 3) Цх}, х^) = - Ху + 2х1Х2 + 2X2 ; Х1 = Уг ~ 1У1 > х2 = У/ + Зу2. 2 2 4) ЦХ1, х2) = 4Х\ - 5Х1Х2 + 6 Х2 ; Х1 = 2У1 + Зу2, х2 = у} + у2 ; 2 2 5) ЦХ1, х2) = 7 Ху - 2Х1Х2 + 9 х2 ; Х1 = У1 + Зу2, х2 = 2у^ - у2; 92. А?а§1с1ак1 киаскаНк £огт1апп рохШГ 1атт11 о1с1ик1агт1 18ра11аут1/: 2 2 1)ЦХ1, х2) =27X1 “ ЮХ1Х2 + ЗХ2 ; 2 2 2)Цх1, х2) = 17X1 + 12х]Х2 + §Х2 ; 2 2 2 3) Цх], х2 ,х3) = 2X1 + 3 Х^ + 3 Х3 - 2Х]Х2 - 2х]Х3 - 4х2х3; 2 2 2 4) Цх], х2, х3) = 5 Х| + ЗХ2 + 4Х^ - 4Х]Х2 - 6х}х3 - 2х2х3; 2 2 2 5) Цх}, х2, х3) = 4X1 + 3 Х^ + 3Х3 - 4Х]Х2 + 4 х}х3 + 2х2 х3; 2 2 2 6) Цх}, х2 ,х3) = 6X1 + 7Х2 + 5X3 - 8х]Х2 + 4 Х]Х3 - 6х2 х3; 2 2 2 7) Цх}, х2, х3) = 3 Х| + 2Х2 + 3Х3 + 2х]Х2 - 4 х}х3 + 2х2 х3; 93. А§а§1с1ак1 киадгаНк Гогт1апп капотк §екПт Ьи1ипих, уат &уа£опа11а§Ьпп1г: 2 2 1) Цх}, х2) = 27X1 - Юх]Х2 + 3 Х^ ; 2 2 2) Цх}, х2) = 2X1 + $Х1Х2 + #Х2 ; 2 2 2 3) Цх}, х2, х3) = 3 Х1 + 2 Х2 + Х3 + 4Х]Х2 + 4х2 х3 ; 2 2 2 4) Цх}, х2, х3) = 6 Х| + 3 Х2 + 3 Х3 + 4Х]Х2 + 4Х]Х3- 8х2 х3 ; 2 2 2 5) Цх{, х2, х3) = Х1 + 4X2 + ЗХ^ + 2х]Х2 ; 2 2 2 6)Цх], х2, х3) = -2X2 “ Х1 “ 2х]Х3 + 2х2х3 - 2х^ ; 2 2 2 7) Цх}, х2, х3) = 2 Х1 + 3 Х2 - Х3 + 4Х]Х2 - 6Х]Х3 + 10х2 х3 ; 2 2 8) Цх} ,х2) = 3X1 “ х2 + &х1Х2;
331 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 2 2 9) Ь(х/, х2) = -Хү - 4х^ + 4х&2; 2 2 10) Ь(Х1, х2) = Х| + 4 Х2 + бх;х2 ; 2 2 2 11) Цх/, х2, х3) = 4Х\ + 3 Х^ + 3 Х3 - 4х/Х2 + 4х/ х3 + 2х2 х3; 2 2 2 12) Цх,, х2, х3) = 3 X] + 2 Х^ + 3 Х3 + 2х/х2 - 4X1 х3- 2х2 х3 ; 2 2 2 13) Ь(Х1, х2, х3) = - 2Х| - 3 Х^ - 3 Х3 + 2х/х2 + 2х/Х3 - 4х2х3; 2 2 14) Ь(х3, х2) = -17Х\ + 12Х1Х2- 8X2 ; 2 2 15) Ь(х,, х2) = -27Х\ + 12х1Х2 - ЗХ^; 2 2 2 16) Цх/, х2, х3) = 3 Хү + 2X2 + 2X3 - 2х)Х2 + 2X1 х3 + 2х2 х3 . 4. 9. ЖООПТОРУ 2. Ооба. 3. Жок. Себеби көптүктүн эки элементинин суммасы бул көптүктө жатпайт. 4. Ооба. 5. Ооба. 7. Жалгыз гана нөлдүк вектордон турга’н сызыктуу мейкиндик болот. Сызыктуу мейкиндик эки вектордон турбайт. Себеби, эгерде ал мейкиндик х менен у эки векторунан турса, анда аныктама боюнча ар кандай X жана Ц сандары үчүн X х + ц у вектору да бул мейкиндикте жатыш керек. 8. Жок. Себеби I октантагы вектордун карама-каршы вектору I октантада жатпайт. 9. Жок. 14. Тартиби п санынан чоң эмес бардык көп мүчөлөрдүн көптүгү. 16.1) Көз Г0 0 каранды болот; 2) Көз каранды эмес. 22. 1 0 0 1 о; 23. у = 6в1 - 19е2., 24. х = ~(е1 + е2+е3 + е4^ • 25. х = 6Ц +263+363+464 . 26. х = в| + &з +...+ 6п. 27. Жок , себеби е1+ е2+е3 = @ барабардыгы орун алат. Бул б\, е2,63 базисинин сызыктуу көз каранды эместигине карама-каршы келет. 28. ^ = е ^5, ^2=0С^1, ^3=Р^2’ %4 = Ү^З’ ^5=5^4 • 29. Ооба. Бул камтылгын мейкиндик нөл - векторДш гана турат.
АУ1Т А8АМ)У, НЛМ1Л НАГАТОУ ьНеек < 1в1н 2 2 9) Цх/, х/) = - Х[ - 4Х^ + 4х,х2 ; 2 2 10) Цх/, х2) = Х\ + 4 Х^ + 6х/х2; 2 2 2 11) Цх/, х2 ,х3) = 4Х\ + 3 Х^ + 3 Х^ - 4х,х2 + 4х1Х3 + 2х2 х3; 2 2 2 12) Цх/, х2, х3) = ЗХ\ + 2X2 + Зх^ + 2х/х2 - 4х/х3 - 2х2х3 ; 2 2 2 I Ч Цх/, х2, х3) = - 2 Х\ - ЗХ^- ЗХу + 2х,х2 + 2х/х3 - 4х2х3; 2 2 14) Цх/, х2) = -17 Х\ + 12х/Х2 -8X2 ; 2 2 15) Цх/, х2) = -27Ху + 12х/х2 - ЗХ2 ; 2 2 2 16) Цх/, х2, х3) = 3 Х^ + 2 Х^ + 2 Х^ - 2х/х2 + 2х/х3 + 2х2 х3. 4.9. СЕҮАРЬАК 2. Еуе1. 3. Нау1г, ?йпки сйт1епт 1к1 е1етаптт 1ор1агт Ьи сйт1су< йе^ИЛг. 4. Еуе1. 5. Еуе1. 7. Үа1т2 81йг - уекШгйеп о1и§ап сйт!е Ы| үекГбгйеп о!и§ап Ппеег игау о!аЫНг. Ыпеег ихау зайесе 1к1 уек1бг'с > о1атах. (^йпкй о ихау х че у Па уек(бг’е заЫр 1зе Нпеег ихау’т 1п §еге§тсе Ьег X уе ц зауйап 19111 X х + ц у уекТбгй <1а Ьи и/.пу' о!асакйг. 8. Нау1г. (^йпкй Екоогдта! ^еуге^Ые ай о!ап үек(бг’с (егх у(И уес(бг Ьи 9еуге§е ак о1атах. 9. Нау1г. 14. Вегесез! п 5ау18Ш(1ап у(1 о1тауап Шт ро1тот1апп сйт1ез1. 16. 1) Ыпеег Ьа^ипЬШг; 2) 1, Ьа§ш1812(11г. III III 26. х = 6] + + •••+ ^п- ‘Ъ’!. Нау1г, ^йпкй + е^ +63 = 0 <1>г, Ьи 1м е1 ’ е2 ’ ^а2 ҮекШгкптп Ппеег Ьа§1тз1211§та акзтеЫг. 28. £|-е ^5> -Р^2’ ^4~Ү^З’ ^-5^4- 29. ЕхеЕ Ви а11 игау зайесе 81йг - үекЫгйеп о1и§иг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 333 30. Кз = К.] П К2 камтылган мейкиндиги бардык х = (0; 0; түрүндөгү векторлордон турат. Кд = К^ + К2 = К4. 31. Ь3 = Ь| А Ь2 камтылган мейкиндиги турактуу чоңдуктардын көптүгү болот. Ал эми Ь4 = Ь1 + Ь2 камтылган мейкиндиги бардык С,у4 + С/Х2 + С2х + С3 түрүндөгү көп мүчөлөрдүн көптүгү болот. 32. Системанын чыгарылыштарынын камтылган мейкиндигинин өлчөмү 3 кө барабар. Ал эми (-2; 1; 0; 0), (-3; 0; 1; 0), (-4; 0; 0; 1) векторлору бул камтылган мейкиндиктин базисин түзүшөт. Ар кандай С/, с2, с3- турактуу сандары үчүн системанын жалпы чыгарылышы болот. 33. Системанын чыгарылыштарынын камтылган мейкиндигинин өлчөмү 1 ге барабар. Бул камтылгын мейкиндиктин базиси (1; 1; 1) вектору болот. Ал эми системанын жалпы чыгарылышы X/ = С, х2 = С, х3 = С болот. Мында С - каалаган турактуу сан. 34. Системанын чыгарылыштарынын камтылган мейкиндигинин өлчөмү 3 кө барабар. Бул камтылгын мейкиндиктин базиси (-1; 0; 1; 0; 0); (-1; 0; 0; 1; 0) ; (0; - —; 0; 0; 1) үч вектору болот. Системанын жалпы чыгарылышы болот. Мында С1, с2, с3 - каалаган сандар. 35. (х, у) - бардык буюмдардын жалпы баасы . 36. Ооба. 37. (р = агссоз (-0,1) ~ 174°15'. 38. ср = агссоз
АУ1Т АКАМОУ, КАМ1г НАРАТОУ Ь||\ЕЕКСЕВ1К 30. Кз = К| П В-2 аН ихау’1 Шт х = (0: 0; §ск11пс1ск1 уек1бг1сг о!и?иг. К, = К| + К.2 = К4. 31. Ь3 = Ь| П Ьт ак ихау’1 заЬк зауПапп сйт1е81д1г. Ь4 = Ь| । !,_• пН и/ 18е1ит Сус4 + Срс2 + С2х + С} ?екНпбек! роНпот1агт сйт1с81сНг. 32. 8181етт ^бхйггПеппйеп о1и?ап ак ихауИп Ьоуи1и 3 зауичта е$ИНг. (-2; 1; 0; 0), (-3; 0; 1; 0) , (-4; 0; 0; 1) уекГбНеп 1зе Ьи ак и/,ну'т үек1бг1епб1г. Нег с/, с2, с3 - кеуН заЬк зауйап фп 8181етт §епс! ^й/йтй ^екНпбесНг. 33. 8181етт сбгйпНеппбеп о1и§ап ак ихау’т ЬоуиШ 1 сНг. Ви ак и/и Ьах’1 (1; 1; 1) уеккбгйбиг. 8181етт §епе1 <?бхйтй 1зе X/ = С, \ • С, х( §екНпбеб1г. Вигаба С - кеуЯ заЬк заукИг. 34. 8181етт ^бхйггйегтбеп о1и§ап ак ихау’т ЬоуиШ 3 бйг. Ви а 11 и/.1у’т уек1бг1еп 18е (-1; 0; 1; 0; 0); (-1; 0; 0; 1; 0) ; (0; - ; 0; 0; I) <Нг. 81,чй §епе! ^бхйтй §екНпс!есНг. Вигаба <?/, с2, с3 -кеуй зауйапИг. 35. (х, у) - 1йт таПапп 1ор1ат йуайскг. 36. Еуей 37. <р анч>'. ( " =174° 15’ сНг. 38. ф = агссоз [ — | <Нг. \п )
335 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 41. Жок. 42. (и, V) = 0, б.а. и(() менен у(1) ортогоналдуу. 43. X --. 2 /— 3 г~ 8 1 I— 45. |х| = 5. 46. 7-7= —е2 + — е2 -I---д/З е3 + —е4 + — \5 е3. X 15 15 15 15 3 48. х- нормалдаштырылган вектор. 49. (р = — . 50. ±0,5(в1 + е2 + + е3 + е4). 51. X = ± 1 . 52. е, = ^5 ?; е2 = л/З (4-5?); е3 = 3-121 + 10(2. 53. X = - 1; в| = 0,5(-в/ + е2 + е3 + е4), е^ - 0,5(в/ - е2 + + е3 + е4) , = 0,5(в/ + е2 - е3 + е4) , е^ = 0,5(е/ + е2 + е3- е4). 2 2 54.0С1 = -1; Р| = - —; 012=2; р2=~- 56. Жок. 57. Жок.Себеби |х[•|>’|^0 болгондо |х + у|(х + у) = Iх|х +1у\у барабардыгы аткарылбайт. 58. хо = 0 болгон учурда гана А оператору сызыктуу болот. 59. Ооба. (а 0 О-.О^ 0 а 0...0 63. у = -4е! + 7е2 + 7е3. (0 0...1у (0 0 0...а) (010 0> 67. ЗА-2В = Е- бирдик оператор. (1 0 0 0)
АУ1Т А8АМОҮ, НАМ1Х КАГАТОУ 1,1иЕЕНСЕВ||< 41. Нау1г. 42. (и, V) = 0, уагп и(1) уе у(1) ог1о$опа1(11г1аг. 43. X Iх| = 5. 45. |х| = 5. 1 2 гг 3 /т 8 1гт 46. 7-т = — в/ + — л/2 е2 + — л/3 е3 + — е4 + - а/5 е3 с!п х 15 15 15 15 3 л 48. х - попп1а?11Г11т1§ уеИбгдиг. 49. <р= — бйг. 50. ±0,5(е, । е2 * + е3 + е4). 51. Л = ± 1 . 52. е, = л/5?; е2 = л/З (4-512); е2 = 3 121 ♦ 53. X = - 1; в|= 0,5(-в1 + е2 + е3 + е4), е^ = 0,5(е/ - е2 + + е3 I е4) , 0,5(е/ + е2 - е3 + е4) , вд = 0,5(е/ + е2 + е3 - е4). 2 2 54. 0С| = -1; Р)=-у; а2 = 2; $2=—. 56. Науи. (^йпкй |х| •|у|# 0 Ьи |х + у|(х + у) = |х|х +1.у1.у е?Ш1§1 за§1апата2. 58. 8адесех0 = 0 Иа1п><1 дбпи§йтй Ипеег йбпй§йт о!иг. 59. Еуе1. 61. Е = Л1 О...ОЛ 0 1...0 .62. (а 0 О.-.О^ 0 а 0...0 . 63. = -4в1 + 7е2 + 7е3 ^О 0...1, ч0 0 О...а? 67. ЗА - 2В = Е - Ыпт <1бпй§йтй<1йг. "0 1 0 0 0 0 1 0 66. А = 0 0 0 1 <1 0 0 0
337 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 71. А'1 = -11-1. 72. А~' = 73. В = 2Есо8а. 74. Сызыктуу А оператору тескери А~' операторуна ээ болбойт. 75. А'2 = (А'1)2 = ' о 1А ,-1 о; 76. Х = -2. 77. Х] = 1, м/ = С1(в1 -е2), X 2 = 13; и2 = с2(е! + 2е2), С/менен с2 - турактуу сандар. 78. 1) Эгерде а Ф 0 болсо, анда X । = а, м/ = с/ в/, X 2 = 0, и2 = с2 е2 . 2) Эгерде а = 0 болсо, анда X । = X 2 = а, и = с/ в/ + с2 е2 . 79. X । = X2 = 2 , и = с^е, + е2) . 80. 1)Эгерде Ь* 0 болсо, анда сызыктуу оператор өздүк векторго ээ болбойт; 2) Эгерде Ь = 0 болсо, анда X । = X 2 = а, и = с/ в/ + с2 е2. 81. X 1 = X 2 = 1, ы/ = м2 = С/(е/ + е2); X 3 = 3, и3 = с2 (е/ - е2) . 82. X । = -2 , и/ = С1 (в) - е3), X 2 =3, и2 = с2 (е, - е2 + е3), X 3 =6, и3 = с3 (е3 + 2е2 + е3). 84. X = 1, и = С/ е3. 86. X, = -1, м/ = С/ (е/ -е2 + е3 -е4) ,Х2 =1, и2 = с2(е, + е2 + е3 + е4). 88. 1) Х1 = -2 ; М/ = С/ (в/ -е2) ; X 2 = 1 , и2 = с2(4в! -е^; 2) X ^ = -3; и/ = С/ (бе^ -7е2 + 5 е3); X 2 =1, и2 = с2 (-2е1 + е2 + е3) , X 3 =3, и3 = с3 (е2 + е3);
33 АУ1Т А8АМОУ, ВАМ|Х КАГАТОУ Ы1чеек сев!к ' 1 -1 -Г 71. Л’'= -1 1 -1 .72. А'1 = 73. В = 2ЕСО80С. 74. А Нпеег <1бпй§йтйпйп 1егз1 уокШг. ( о О 75. А'2 = (А ')2 = . 76. X = -2 . 77. X , = 1, м, = С/(е/ - е/). I-1 X 2 = 13; и2 = с2 (е/ + 2е2), с/ уе с2 - заЬк зауйагсНг. 78. 1) Е§ег а + 0 1зе X [ = а, И/ = с/ е/, X 2 - 0, и2 = с2 е2 о1иг. 2) Е§ег а = 0 1зе X , = X 2 = а, и = с/ е; + с2 е2 о1иг. 79. X । = ( 2 = 2 , и = с/(е/ + е2) <Нг. 80. 1) Е§ег Ъф 0 1зе Нпеег Нбпй§ит бх уекСбгйпе заЫр о1атах. 2) Е§ег > = 0 1§е X । = X 2 = а, и = с/ е/ + с2 е2 о1иг. 81. X । = X 2 - I и/ = и2 = с/(е/ + е2); X 3 = 3, и3 = с2 (е/ - е2) <Нг. 82. X । = -2 , и, = С/ <е; - е3), X 2 =3, и2 = с2 (е, - е2 + е3), X 3 = 6, и3 = с3 (е, ( 2е} I е 84. X = 1, и = С/ е3. 86. Х1 = -1, ы/ = С/ (в/ - е2 + е3 - е4) , X 2 I, и2 = с2(е/ + е2 + е3 + е4). 88. 1) X] = -2 ; и/ = С/ (е/ - е^) ; X 2 = I , и2 = с2 (4е> - е2); 2) X 1 = -3; и/ = С/ (бе/ -7е2 + 5 е3); X 2 = 1, и2 = с2 (-2е: + е2 + е3) , X - =3, и3 = с3 (е2 + е3); 0 1
339 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА ( 2 2 (Х1, х2, х3) 2 3 .-3 5 ; 2) х2 , Х2) = (Х), х2) 'б л/5 V*! ^л/5 2? ^х2; 4) Г5 2д/б ч27б 7, Ь(х/, х2) = (Х1, х2) Л5 2л/б V*! 1,276 77 кХ2У
АУ1Т А8А1ЧОҮ, НАМ|й КАГАТОУ Ь1^ЕЕКСЕВ|К '-3 0 (Г 0 2 0 ч 0 0 4, 1/х/, х2, х3) = х' Ах " \х1) 4) А = Л5 2д/б ч2л/б 7? , Ь<Х/, Х2) = (Х[, х2) Ь(х/( х2) = <х/, х2) , Цх1г х2) = (Х1, х2) 2V*! 5 2л/б У *1 2д/б 7) ) б> Г*1л 8/ '6 2 2> '6 2 6)А = 2 3 4 , Ь(Х1, Х2, Х3) = (Х1, х2, х3) 2 3 Ь 4 з; <2 4 х2 \ХУ •
341 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 1 1 Г1 1 г х\ 8)А = 1 4 -2 , Ъ(Х/, Х2, Х3) = (Х/, х2, х3) 1 4 -2 х2 1 -2 3 и -2 з; 9)А = 10) А = 11) А = 12) А = 13) А = -1 0,5 0,5 -2 -0,5 1 -0,5л 1 -2> , Ъ(Х/, Х2, Х3) = (X/, х2, х3) (-\ 0,5 -0,5> х\ х2 <хз) 0,5 -2 ч-0,5 1 - 1 2; л3 2,5 ч2,5 -4, Г 0,5 , Цх -0,5 4 (3 2,5 А /, Х2) = (X/, х2) 12,5 -4) л1 <хг) ^7 0,5 -0,5л (х ' Х1 0,5 -1 0,5 , Ь(Х/, Х2, Хз) = (X/, Х2, Хз) 0,5 -1 0,5 х2 .-0,5 0,5 -9 \ 7 > ч-0,5 0,5 V чХ3. '1 -1 -1 -1 : о А р 1,5 , Ь(х/, х2, х3) = (х/, х2, х3) 1-1 0 > 1 -1 1,5 (х х\ х2 5 ,о 1,5 '2 0,5 1 ) -0,5' 1' ) 1,5 1 ? '2 0,5 - <хз 0,5^ ) (х ' х\ 0,5 -3 0 , Цх/, Х2, Х3) = (X/, х2, х3) 0,5 -3 0 х2 -0,5 0 4 -0,5 0 4,
342 АУ1Т ЛКАМОУ, КАМ1/, НАГАТОҮ ММЕЕНСЕВ^К '3 2 -2' ( 3 2 2^ (ү > х! 7)А = 8)А = 9)А = 10) А = 11) А = Г1 1 1’ 2 2 1 -2 1 4 1 1 4 -2 -2 3, 1 0,5 3,5 -2 -0,5 1 "3 2,5' ,2,5 -4 л7 0,5 0,5 -1 ,-0,5 0, (\ -1 , ь ,Ь(х -0,5 1 -2 -0,‘ 0,: ,5 - 0 л (> 1, \ ( 5 9 :/ 5 С/ \ \ Х2, Х3) = (Х), Х2 С2, Хз) = (XI, х2,: ЦХ1, Х2, Хз) = ( ,х2) = (х,, х2) , Ь(Х1, х2, Хз) = ', Хз, х3) Х1, X '3 ,2,5 (Х1, ) р 1 и '2, 2 X; 2 1-2 1 ' 4 [ -2 Хз) ^ -V Ъ Х3, / 2 1 к 1 ) । 1 п 2 з, -1 0,5 -0 %1 х2 <7 0, 1 5 0 1 V 0 / 0 ,5 V Г Х 4 1, •^2 1*3 > \ 1 2 < з) 5 -0 > 1 - 5 -( -1 ( 0,5 0 л * ',5' 1 2 / ),5" 3,5 9> / *2 *3 > 'ү \ *1 *2 4*3, 12) А = 13) А = -1 -1 <0 1,5 г2 0,5 0,5 -3 ,-0,5 С 1,5 1 ) -о, ( 1 < ,1 5Л ) ь /Х/, Х2, Хз) = (XI, Х2, Хз) \ , Ъ(Х1, Х2, Хз) = (Х1, х2, х3, 0 ) 1 -1 1,5 1,5 1 } (2 0,5 - 0,5 -3 ,-0,5 0 *: 0,5' 0 4 ) 1, / *2 ' (
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 343 14) А= ’ , Ъ(х/, х2) = (х/, х2) ’ \4,5 -6) <4,5 -6){х2) 91.1) Ь = 19у/-2у2-10у,у2; 2) Ь = 3 у/ + 9 у2~ 10у/у2; 3)Ь = Зу/ + 2у2 + 18у,у2; 4) Ь = 12у/ + 5 у2 + 13У1у2; 5)Ь= 39у/ + 78у2-4у,у2. 93. 1)Ь = 2(х')2 + 28(х2)2; х/ = (1/726) х\- (5/^2б)х2, х2=(5/Лб)х\+ (1/726)х2; 2)Ь= Ю^)2.*/ = (2 /Тб) (1/-/5)х2, х2 = - (1/75 ) Х\ + (2 /75 ) Х2. 3) Ь = 2 (7 )2 - (х2 )2 + 5 (х3 У, 2-1'2- 1'2'2' 2' Х! = -Х}+-Х2+-Х3, х2 = --Х1--Х2+-Х3, х3 = --Х{ + Ш-Х 2 -^2 + %3 > 4) Ь 7 (х,) + (х2) - 2 (х3) , X/ (2/75) Х| + + (2/(з75))Х2 + Х3, х2= (Тб/з) Х2- (2/3) Х3, х3= (1/75)хг (4/(з75)) Х2 - (2/3) Х3; 5)Ь= (%! ) +з(х2) + з(х’ )\ х, =ХГ Х2 , Х3 — ; 6) Ь — (.Х| “ (^з) , X/ — Ху - Х^ +* Х^, Х2 ~~ %2 > %з ~~ ^2 ~ х3 ’
АҮ1Т АЯА1ЧОУ, ИАМ1/. НАКАТОҮ 1.1МЛ.КСЕВ||< 14) А = , Ъ(Х/, х2) = (X/, Х2) Ч 4,5 Л ,4,5 -б; ^4 4,5 5 Л5 Л чх2 у 91.1) Ь = 19у1-2у22-^у!у2; 2) £ = 3 у/ + 9 у2~ Ю у, у2: 3) Ь = 3 у/+ 2 у2 + 18у1У2; 4) Ь = 12 у/ + 5у\ + 13У/у2; 5)Ь = 39у/ +78у1-4У/у2. 93. 1) Ь = 2^ + 2з(х2 ; х, = (1Д/2б) х\-(5/42б)х2, х2= (5/л/2б)^+ (1Д/2б) Х2; 2)Ь= Ю^)2.*/ = (2 /^) х[+(1/^)х2, х2 = -(1/75)*!+(2 /4б)х2. 3)£ = 2(х;)2-(х2)2 + 5 (х3)2, 2-1-2- 1-2-2- 2' х' = Т Х1 + Т х2 + Т х3’ х2 ~ - 7 ХГ Т х2 + 7 х3’ хз ~ "7 Х1 4 3 О 3 3 3 3 2'1' - Х?+ - Х->; 3 2 3 3 77 // 7^! ) + (%2 ) ~ 2 (*3 ) , X/ = (2/ л/5*)х| + + (2/(з7з))х;+1 Х3, х2 ~ (\^/з) ^2" (2/3) Х3, х3 — (1М)х(. (4/(Зл/5))х/ - (2/3) Х2; 5) Ь= (х^ )2 + 3 (х2 / + 3 (х3 )2, х, = Х\ - Х2. х^ ~~ Х^ । х3 — Х3;
345 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 4 = X/ + — х2, Х^ = х2; 9)Ь=-(х^, -Х) = х/-х2, Х2 = х2, 10) Ь = £ (х, )2 + 4(х2)2, Хү = х^, 3 х2=~Х1 + х2'< 11) Ь = 2 (х, )2 + 2 (х2 )2 + (х3 )2 — X/ —х2, Х2 = Х1+хз, Ху = х2 + х3; 12) Ь = (х, )2 + 2 (х2 )2 + (х2 )2, Х\ =х/ + х2, %2 = Х1 - х3, Ху = х2 - х3; 13) Ь = - (х^ )2 - (х2 )2 - 2 (хз )2, Л1 = х/ -х2, ^2 = X/ - х3, Х^ = х2 + х3; Х^ — X], < 3 Х^ = — Х/ - х2; 15) £ = -75 — X/, Х^ ~ 2х/ —х2.
346 АУ1Т АНА1ЧОҮ, КАМ|7 К ХЕАТОУ Ь|»ЕЕПСЕВ|К 9) Л = - (х, )2, Хү=Х1~х2, Х2 = х2, 10) Ь = £ (х, )2 + ^(х2)2, Х) = х/, - 3 %2 =“*/ + х2 '> 11) £ = 2 (х^ )2 + 2 (х2 )2 + (х3 )2 = X/ -х2, %2 */+ хз > Х^ = х2 + х3 ; 12) Ь = (х’ )2 + 2 (х2 У + (^з )2 > = X/ + х2, = X/ - х3, %з = х2 - Хз; 13) Ь = - (х^ )2 - (х2 )2 - 2 (х3 )2, = X/ -х2, Х^ Х1 - хз > Х^ = х2 + Хз ; Х^ ~ X/, ’ 3 Х2~~х1 ~ х2 = Х/, Х2 = ^х/-х2«
347 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА КОЛДОНУЛГАН АДАБИЯТТАР 1. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: М. Наука, 1984. 2. Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии М. Наука, 1984. 3. Е.И.Гурский. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. Минск, Высшая школа, 1982. 4. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа, 1999 часть I, II. 5. В.С.Минорский. Сборник задач по высшей математике, М. Наука, 1987. 6. П.С.Моденов, А.С.Пархоменко. Сборник задач по аналитической геометрии. М. Наука, 1976. 7. И.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре, М. Наука, 1984. 8. С.В.Тйотаз, В..Ь.Ртпеу. Са1си1и§, АбсНзоп - \Үе81еу РиЫ1зЫп§ Сотрапу 1992. 9. С.Н Едм/агсЕ, О.Е. Реппеу Са1си1из, РгепПсе На11. 1п1етабопа1, 1п§. 1994. 10. Ьтеег СЕВ1К.. СШ ГРгоЕ Ог. Н.Нас18айо§1и. Апкага, 1998. 11. Зеутоиг ЫрзсИйх РЬ. О. Теоп уе РгоЫет1ег1е ЬПЧЕЕК СЕВ1К. Апкага. 1978. 12. 1ЛИЕЕК СЕВ1К. Рго£. Ог. Н.Н.НПпп Нас18а110§1и. Т.С.Саи Сп1Уег8Йе81 Реп Ракикезг 4. Вазк1. Ве§еү1ег. Апкага. 1975 үе 1982.
34К АУ1Т АХАЫОҮ, КАМ(Х КАРАТОУ 1.1 N11.К СЕВ1К КАҮ^АКЬАК 1. В.У.ВеккгтзИеу. Кигз апаКНсЬезкоу §еоте1гп 1 Ппеупоу а1д;еЬгу. МЛЧаика, 1984 (ш Кизз^ап). 2. Ү.З.Ви^гоү, 8.М.№ко1зку. Е1етеп1у Ппеупоу а1^еЬгу I апаНИскезкоу §еоте1ти. М. №ика, 1984 (т Ки881ап). 3. ЕЛ.Сигзку. Озпоуу Нпеупоу а)§еЬгу 1 апаННсЬсякоу ^еоте! г11. Мтзк, УузЬауа §Ько1а, 1982 (т Киз81ап). 4. Р.Е.Дапко, А.О.Ророу, Т.Ү.Ко)еүткоуа. УузЬауа та(.ета( 1ка V ирга)пешуаЬ 1 хаНасЬаЬ. УузЬауа зЬко1а, 1999 сЬахк I, II. (1п Ки881ап). 5. У.З.Мтогзку. ЗЬогтк хаНасЬ ро уузЬеу та1ета1(ке. М. Ыаика, 1987 (т Кизз^ап). 6. Р.З.МоНепоу, А.З.РагЬотепко. ЗЬогтк гаНасЬ |»«> апаИИсЬезкоу ^еотекгп. М. Ыаика, 1976 (т Кизз^ап). 7. ЕРгозкигуакоу. ЗЬогтк хаЛасЬ ро Ипеупоу а1§еЬге. М. 1Чаика, 1984 (т Ки881ап). 8. О.В.ТЬотаз, К.Ь.Пппеу. Са1си1из, АскИзоп - АҮез1еу РиЫЫнпк Сотрапу 1992. 9. С.Н ЕсЬуагсҢ Э.Е. Реппеу Са1си1из, РгепПсе На11. 1п1етаПопи1, 1пм. 1994. 10. Ыпеег СЕВ1К. СП11.Рго£. Эг. Н. Нас18аПо§1и. Апкага, 1998. 11. Зеутоиг ЫрзсЬкх РЬ. О. Теоп уе РгоЫет1ег1е ЬПЧЕЕК СЕВ|К. Апкага. 1978. 12. ЬШЕЕК СЕВ1К. РгоГ. Ог. Н.Н. НПпп Нас18аНоё1и. Т.С. Оах( йтүегзкез! Геп Ракикезк 4. Вазк1. Ве§еу1ег. Апкага. 1975 үе 1982.
А. Асанов, Р. Рафатов СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Кыргыз — Түрк «Манас» университетинин Башкармасынын жана Б< комиссиясынын чечими менен чыгарылды Мукабанын дизайнери: Талант Жандралиев Көркөмдөгөн: Бактыгүл Эрматова Басууга 06. 01. 2003 кол коюлду Китептин өлчөмү 16.5 х 24.5 см, 80 граммдык офсет кага и»1 Тиражы 500 даана КТМУ «Меда шесНа» басмаканасында басылды КТМУ типографиясы, Бишкек ш., «Жал» кичираиону
и/2^69 I
VII 1С1МЕК11ЕК Оп8О2. ВдьОМ 1. МАТК18БЕК ҮЕ ОЕТЕКМ11ЧАМТЕАК............................2 1.1 Ма1пз1ег уе огйапп йхеппе уарйасак 1§1егп1ег................2 1.2 Ое1ептппап11аг.............................................18 1.3 Тегз (1пуегз) Ма!пз........................................32 1.4 Вй Майчзт Капк1............................................40 1.5 А11§игта1аг................................................54 1.6 Сеүар!аг...................................................68 ВОЬйМ 2. Ы1ЧЕЕК СЕВ1К8ЕЕ ПЕМКЬЕМ 818ТЕМ1........70 2.1. Тете1 Каугапйаг уе Татпйаг..................................70 2.2. п ВПттеуепН уе п Ьтеег ОепИетПеп о!и§ап Ыг 8181ет. Сгатег РогтйШ уе Тегз Ма1пз МейхГи.......................................74 2.3. баизз Ме!о<1и...............................................86 2.4. п ВПттеуепН т Ыпеег СеЫгзе! Оепк1ет 8181епн................102 2.5. Ното§еп Ыпеег СеЫгзе! ОепИет 81з1:ет1. Ваг 6огйт1ег Сйт1е81.110 2.6. А11§11гта1аг...............................................120 2.7. Сеүар1аг...................................................132 воьйм 3. ҮЕКТбКЕЬ СЕВ1К..................138 3.1. Үбп1еп<Нп1т1§ Ооёги Раг?а81. 8ау1за1 Екзеп. Ойхктйе уе Нхауйа КагТегуеп КоогсНпа! 8181ет1еп................................. 138 3.2. Эйхктйе уе Нхауйак! Уек1ог1ег. Оп1апп йгеппе уарйасак 1§1ет1ег. В1г УекХогйп Екзеп йгеппПек! 1/с1й§йти. В1г УекЮгйп КоопНпаПап...150 3.3. Үек!ог1епп 8ка1ег уе УекТоге! багрти. Кагта§1к (^агрпп...........168 3.4. А11?11гта1аг.....................................................184 3.5. Сеуар1аг.........................................................198 ВОЬйМ 4. Ы^ЕЕК СЕВ1К1М Е8А8ЕАК1..................................204 4.1. Ыпеег Охау..................................................204 4.2. Үет Ва2’оа Кооп1та11апп Ое§1?1гт............................218 4.3. А1( Шау.....................................................226 4.4. ОкНП Шау!...................................................234 4.5. Ыпеег Обпй§йт1ег.......................................... 242 4.6. Ыпеег Обпй§йтйп Ог Ое§еп уе 6г УекШгй.......................258 4.7. КиайгаНк Гогт1аг............................................278 4.8. А11§1:1гта1аг...............................................300 4.9. Сеуар1аг....................................................332 Каупак1аг.....;............................................348
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 1 ГЛАВА. МАТРИЦАЛАР ЖАНА АНЫКТАГЫЧТАР 1.1. Матрица жана алар менен аткарылуучу амалдар АНЫКТАМА. Берилген ап, а12 ,...,ат„ сандарынын т жолчодон жана п мамычадан турган төмөнкү тик бурчтуу таблица \Чт! @т2‘" ^тп ) матрица деп аталат. Мында ап, а12 ,...,атп сандары матрицанын элементтеои деп аталат. Берилген (аи) матрицанын а1} элементи, матрицанын / жолчосу менен у мамычанын кесилишинде жайланышкан. Эгерде матрицанын жолчолорунун саны менен мамычаларынын саны барабар болсо, б.а. т = п болсо, анда матрица квадраттык матрица деп аталат жана п анын тартиби деп аталат. Эгерде т п болсо, анда матрица т х п өлчөмдүү тик бурчтуу матрица деп аталат. Мында, т матрицанын жолчолорунун саны, ал эми п мамычаларынын саны. Биз 1хп- өлчөмдүү (ап, а12 ,...,а1п) матрицаны жолчо же ач жолчо вектор деп атайбыз. Ал эми, т х 1 - өлчөмдүү а21 матрицаны мамыча же мамыча-вектор деп атайбыз. Матрица, көбүнчө чоң латын тамгалары менен белгиленет. Мисалы, Квадраттык А=(ау) - пхп - өлчөмдүү матрицанын г=/ болгондогу ац, а22,...,а„„ элементтери (г = 1, 2,..., п) матрицанын
АУ1Т А8АМОУ. КАМ1Х КАГАТОУ 2 ЕГАЕЕК СЕВ1К ВбЬЁМ 1. МАТК18ЕЕК УЕ 1)ЕТЕКМ1!8А8ТЕАК 1.1. Ма1п81ег үе оп1апп игеппе уарйасак 1$1ет1ег ТАММ: Уеп1еп ап, а12 ,...,атл зауйаппт т зайг уе п ко1опс!ап о1и?ап ап,.,аХп а2\ а22'-'а2п = («!/) (1-1) ^ат\ апг2*” атп ) $екНпс1ек1 Ыг сНк с1бгС§еп СаЫовипа таСпз <1етг. Вигас1а ац, а12 ,...,а„т зау11аппа таСпзт е1етап!ап <1етг. Е§ег таСпвт заСМаппт 5аус81 опип ко1оп1аппт заусзта е§11 1§е, уат т=п 1зе, о гатап Ьбу1е таСпяе кагезе! та!п$ с1етг уе п Бауш 1зе таСпзт тегСеЬем асЬт акг. Е§ег т п 18е, о гатап Ьи таСпзе тхп-б^иШ Ыг (Пк дбг1§еп таСпз! бетг. Вигаба т-таСпзт закйаппт вауш уе п 1 зе опип ко1оп1аппт 5аушс11г. /х п- б19й1и (ац, а12 ,...,а1п) таСпзте - 8айг- таСпм үеуа вайг - үекСбгй с!ешг, отх/-б19й1й а2| -таСпзте - ко!оп -та(пм үеуа ко1оп - \ат1 ) уексбгй с1етг. МаСп51ег §епе1Нк1е Ьйуйк 1аСт ЬагГеп Пе §б5СепНг. Оте§т А=(ау) - пхп - б1?й1й кагезе! таСпвт /=у ЬаНпбе еШе есЫеп кб§е§еп
3 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА диагоналдык элементтери болуп, алар А матрицанын башкы диагоналын түзүшөт. Эгерде квадраттык А = (ау)-пхп матрицанын башкы диагоналында жатпаган элементтери нөлгө барабар болсо, анда ал матрица б.а. (ахх 0... 0 > 0 0... ат) матрицасы диагоналдык матрица деп аталат. Башкы диагоналынын элементтери бирге барабар болгон пхп - өлчөмдүү диагоналдык матрица Еп- бирдик матрица болот, б.а. 0 Матрицанын жардамы менен кээ бир байланыштарды жазсак болот. Мисалы, өнөр жай менен айыл чарбасында ресурстардын керектелүүсү (шарттуу бирдик менен) көрсөтүлгөн төмөнкү таблицаны ресурстар Өнөр жай Айыл чарба Электр энергиясы 5,3 4,1 Эмгек ресурстары 2,8 2,1 Суу ресурстары 4,8 5,1 матрицанын жардамы менен 3.3 4.1 > А = 2.8 2.1 <4.8 5.1?
4 АУ1Т А8А5ЮҮ, КАМIX КАГАТОУ 1ЛАЕЕК СЕВ1К с1етап1ап ац, а^2 ,---,ат е1етап1апд1г уе Ьип1аг А таТпзтт езаз кб^е^етгн о1и§Шгиг!аг. Е§ег А=(ау) - пхп кагезе! таШзтт езаз кб§е§ептт <11§1пс1а Ьи1ипап е1етап1апп Штй 81йг 1зе, уат 1^0 0... апп) §екНп(1е 1зе, о хатап Ьи та1пзе кб§е§еп пШгЫ Нетг. Езаз кб$е§еп е1етап1ап Ыге е§к о1ап пхп - б1<рй1й кб§е§еп та!п81 Еп- Ыпт та1п81(11Г, уат Шг. Ма1п81епп уагскт1у1а Ьах1 Ьа§тЫап уахаЫНпх. Оте§т, Епййз^п уе Тапт каупак1аппт киПапйтазт! (§егекеп Ыпт1еп Пе ) §б81егеп а§а§1с!ак1 ТаЫо Каупак1аг ЕпдйзШ Тапт Е1ек1пк Епегрз! 5.3 4.1 Етек Каупак1ап 2.8 2.1 8и каипак!ап 4.8 5.1 тайчзт уагс11т1у1а
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 5 түрүндө кыскача жазсак болот. Мында элемент ап=5 3 өнөр жайга канча электр энергиясы жумшаларын көргөзөт, ал эми элемент а33=5 1 айыл чарбасына канча суу жумшаларын көргөзөт. МАТРИЦАЛАР МЕНЕН АТКАРЫЛУУЧУ АМАЛДАР 1 .Кошуу амалы: Бирдей тхп өлчөмдөгү А=(а,) жана В = (Ь1}) матрицаларынын суммасы С=(с^ ) - тхп өлчөмдүү матрица болот Мында С матрицанын элементтери су төмөнкү су= а,у +Ь,} (1=1,2, ...,т, д=1,2,.. ,п) барабардыктарынан аныкталат жана ал сумма С = А + В менен белгиленет. 1-МИСАЛ. ' 7 2 л ч 4 7 , 2-МИСАЛ. г 3 4 Г [13 2, л 5 5 0 л ч 1 9 ю; 2 1 -Г_/ 3 + 2 4 + 1 1 + (-1)л 0 6 1 + 0 3 + 6 2 + 8 , Бирдей тх п - өлчөмдүү А, В жана С матрицаларды кошуунун төмөнкүдөй касиеттери бар: 1°. А+В=В+А (коммутативдүүлүк); 2°. (А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативдүүлүк) 3° А+(0)=А, мында (О)-матрицасы, бардык элементтери нөл болгон т х п - өлчөмдүү матрица. Бул(О)-матрицасы т х п- өлчөмдүү нөлдүк матрица деп аталат. Мисалы, 3x2 - өлчөмдүү нөлдүк матрица (О)-төмөнкүдөй жазылат: ( 0 0> (О) = 0 0 <0 °> Ал эми (О) = I о 0л 0, -2x2 — өлчөмдүү нөлдүк матрица болот.
АУ1Т А8АЫОҮ, КАМ1Х КАЕАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1К 6 1пк1е к18аса уахйаЫНг. ВигаНа та1пзт ац=5 3 е1етат Епдйзй! 1агайпс1ап |0пк Шкейпмт §бз1епуог, а32=5 1 е!етат 1зе (апт 1§1егтс1ек1 §егекеп зи 1апт §бз1егеп <1е§егсНг. МАТК18ЕЕК ЁХЕК11МЕ ҮАР1ЕАСАК 1§ЬЕМЬЕК 1.Тор1ата 1§1егт А(оу) уе В=( Ь,}) аут т х п - о1?и1и та(п81епп |^Ьт1 С=(су) тхп - б1?й1й та(п8 о!иг. Вигаба С таййзтт е1етап!ап С,,= сИг (1=1,2, ...,т,]=1,2, ...,п) уе Ьи 1ор1ат А + В = С $ек1тс1е §б81епНг. О1СЧЕК 1.: з 4 А Г 4 -1 0 ГЬ -2 Г _ Г 3 + 4 7 Л-1 + 5 4-2 А _ Г 7 2 л 0 + 7 Г1 4 7 ? ОК^ЕК 2.: " 3 4 1 > Г 2 < 1 3 2Г° 1 -С_Г 3 + 2 6 8^ " ( 1 + 0 ( 5 5 0 ' < 1 9 Ю/ 4 + 1 1 + (-1)л 3 + 6 2 + 8 } Аут тхп - б1?й1й А, В се С та1п81епт 1ор1ата 1?1егт а§а§14ак1 ВкеИШеге заЫрбг. 1°. А+В=В+А (Эе§1§те Капит) 2°. (А+В)+С=А+(В+С) (Оа§йта Капипи) 3°. А+(0)=А (Охс1е§11к Капипи) Вигаба (0) та1п81 Ьег е!етат 81йга е§11 о1ап тхп - б1?й1й та1П8Йг. Ви (0) - та1п81пе тхп - б1?й1й 8Шг та(п81 с1ешг. Огпе§т 3x2 - б1?й1й таШ81 л 0 ол (О) = 0 0 < 0 0, уах111г, 0 0" (О) = < 0 о; двагпз! 2x2 - о19и1й 81йг тайпзШк.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 7 2 .Кемитүү амалы . Бирдей тхп- өлчөмдүү А=(ау) жана В = ( Ьу) матрицаларынын айырмасы С = (су )- т х п- өлчөмдүү матрица болот. Мында С матрицанын элементтери төмөнкү Су = Оу - Ъу , 1=1,2,..., т; 1=1,2,...,п барабардыктарынан аныкталат жана ал айырма А-В = С менен белгиленет. 3-МИСАЛ. 5 10 12 5-1 10-12 4 -2 л -2 Д-2-4 7-(-2) Д-6 9 , З .Матрицаны санга көбөйтүү. Берилген тхп - өлчөмдүү т4=(ау) матрицасын X санына көбөйткөндөгү ХА матрицасынын элементтери А матрицанын элементтерин X санына көбөйткөнгө барабар, б.а. 'Лаи Лап...Ла]п Ла,, Ла,г..-Ла-,п = X (ау) = (X ау). 1 = 1,2, т; ) = 1,2,...,п . 4-МИСАЛ. ' 3 2 0) '7-2 7-2 7-0 " 21 14 71-14= 7-1 7-(-1) 7-4 = 7 -7 <° ’3 ~51 /7-0 7-(-3) 7-(-5), -21 0 28 -35, 4 . Матрицаны матрицага көбөйтүү. Эгерде А = (ау) матрицасы тхп - өлчөмдүү, ал эми В = (Ь„) матрицасы п х к - өлчөмдүү болсо, анда А жана В матрицасынын көбөйтүндүсү т х к - өлчөмдүү АВ = С =(с15) болот. Мында С матрицанын элементтери С}5 төмөнкү формула менен аныкталат; п ^18 18 ^11^18 (^12^28^ЪП8 , I 1,2,...,1П, 8 1,2,...,к. /=1
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАГАТОҮ Ы^ЕЕК СЕВ1К 8 2. фкагта !$1епн . Ауш тхп - б1$й1й А=(а,;) уе В=< Ьч) тайчзкптп Гагк1 тхп - б1?й1й Ыг С=(с,}) тайзЫк. Ви С тайлзтт е1етап1ап а§а§14ак1 су = ау-Ь^, 1=1,2,...,т; ]=1,2,...,п Е$й11к1еп Пе 1атт1ап1г үе А-В = С Йе вблепНг. ОК1ЧЕК 3.: 5 10 > р -2 7 Д 4 12 5-1 10-12 4 -2 л -2 Д-2-4 7-(-2) Д-6 9 , 3. Ма<Н81епп $ка!ег Пе ^агрнт. УегПеп т х п - о!дй1й А=(ау) П81П1П X зка1ег Пе ^агртм о!ап лА тайчзтт е1етап1ап А тайчзтт 1ап1аппт X зауш Пе <?агр1т1агк11Г, уат = Л(а,;)=( Ла,;). / = 1,2,...,т; )=1,2, п. \/^’т 1 ^т2 •' •^атп ) ОК1ЧЕК 4.: Г 21 ( 3 2 О^ 7 1-14 к0 -3 -5, ( 7-2 7-2 7-0 7-1 7-(-1) 7-4 к7-0 7-(-3) 7- (-5), 14 -7 -21 0 л 28 -35, 7 4. Ма(н81епп дагрнт Е§ег А = (ау) гпа1п81 тхп- б1<?й1й уе В=( Ь,,) та1п81 с!е п х к - о1£й1й 1зе А уе В таТпзкппт ?агршн яхк - о!?й1й АВ = С = (с15) та1П81<Пг. Вигайа С таТпзтт с18 е!етап1ап «5а§1<1ак1 Гогтй! Пе СашгЫатг: п с^=^а1}Ь^ =а,/й/5 + а,2Ь2,+...+ а,„ Ьт , 1=1,2,...,т; 8=1,2,...,к. 7=1
9 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Берилген А жана В матрицаларынын көбөйтүндүсү С=АВ А матрицасынын мамычаларынын саны п, В матрицасынын жолчолорунун санына барабар болгон учурда гана аныкталат. 5-МИСАЛ.Төмөнкү А жана В матрицаларынын көбөйтүндүсүн тапкыла: ' 1 0 2 <3 1 0, (о Г В= 5 1 4 с2 0 1, ЧЫЕАРУУ: Мында А - 2 х 3 - өлчөмдүү, В - 3 х 3 - өлчөмдүү болгондуктан, С = АВ матрицасы 2x3 - өлчөмдүү болот. Демек /Ь(-1) + 0-5 + 2-(-2) Ь0 + 0-1 + 2-0 Ы + 0-4 + 2-Г \з-(-1) + Ь5 + 0-(-2) 3-О + Ы + О-О 3-1 + Ь4 + 0-1,~ _(-5 0 З^ \ 2 1 7, Матрицалар менен аткарылган амалдар төмөнкү касиеттерге ээ: 1) Л(А+В) = ЛА+ЛВ, Т-сан 2) А(В+С)=АВ+АС 3) (А+В)С=АС+ВС 4) Л(АВ)= (ЛА)В=А(ЛВ) 5) А(ВС)=(АВ)С 6) АЕ„ = Е„А=А Мында А - п х п - өлчөмдүү матрица, Еп'- п х п - өлчөмдүү бирдик матрица.
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАГАТОУ и\ЕЕК СЕВ1К 10 Уеп1еп А уе В та1п81еппт <?агрш11 о1ап С=АВ та1п81 апсак А МП81П1П ко1оп1апп1п 8ау181 п В таТпзтт зайНаптп заушпа е$й о1(1и§и Ыде 1атт1атг. ОШЧЕК 5.: А§а§к!а уегПеп А үе В тайтзкптп ^агрнтт ЬиЫпих: РОХЁМ: Вигада А-2хЗчеВ-ЗхЗ б1<?и1й оШиИаппбап : = хв таГпз! 2 х 3 - б1$й8йпе заЫрйг. Оетек 1-(-1) + 0-5 + 2-(-2) ЬО + О-1 + 2-О 11 + 0-4 + 2 Г 3 • (-1) +1 • 5 + 0 - (-2) З-О + Ы + О-О 3-1 + 1-4 + 01^ -5 0 Зл \ 2 1 7, вйх. Мкп$1ег йгеппбек! 1§1ет1ег а§а§1бак1 бхеШИеге заЫрйг: 1) &(А +В) - ЛА +ЛВ, Л - зау1. 2)А(В+С) =АВ+АС 3) (А+В)С = АС+ВС 4) Л(АВ) = (ЛА)В=А(ЛВ) 5)А(ВС) = (АВ)С э) АЕп = Е„А = А аг. Вигаба А - п х п - б1<?й8йпе заЫр кагезе! тайчзйг, Еп 18е п х п -б1?й1й ^япт таСп81сНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 11 ЭСКЕРТҮҮ: 1) Берилген А жана В матрицалары үчүн АВ көбөйтүндүсү жашап, ал эми ВА көбөйтүндүсү жашабай калышы мүмкүн . Чындыгында эле, жогорудагы 5-мисалда АВ матрицасы аныкталат, ал эми ВА матрицасы жашабайт. Себеби В матрицасынын мамычаларынын саны 3, ал эми А матрицанын жолчолорунун саны 2, 3^2. 2) Берилген А жана В матрицалары үчүн АВ көбөйтүндүлөрү жашап, бирок АВ * ВА болушу мүмкүн. 6-МИСАЛ: Берилген жана ВА Г 0 г 2 1 Г < 0 3 2’ А В = Зл 5 1 , АВ жана ВА матрицалеры үчүн ЧЫГАРУУ: <2-0 + Ы + 1-(-1) ^о-о+зл + г-с-!) АВ = матрицаларын тапкыла. 2-3 + 1-5 + Ы 0-3 + 3-5 + 2-1 12^ 17, ( 0 ВА= 5 1 0 3 2 ^О • 2 + 3 • 0 1-2 + 50 (-!)• 2 +1 • 0 0 1 + 3-3 Ы + 5-3 01 + 3-2 л Ы + 5-2 (-1).1 + 1-2, л0 2 <-2 9 16 2 11 1 6 > АВ * ВА. Мында АВ жана ВА матрицаларынын өлчөмдөрү ар түрдүү. 3) АВ жана ВА матрицаларынын өлчөмдөрү бирдей болгондо да, АВ Ф ВА болушу мүмкүн. 7-МИСАЛ: Берилген 2Л 4 ’ ( 0 < 6 А = В = 8 матрицалары үчүн АВ жана ВА ны тапкыла.
АҮ1Т А8АЫОУ, КАМ1Х ВАГАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1К 12 г^\К1: 1) Уепкеп А уе В та1пз1еп 1910 АВ ^агрти за§1апс11§1 НаМе ти 5а§1аптауаЫПг. Оег?ек1еп, уикапйак! бтек 5’ 1е АВ та1п81 апап Ьа1бе ВА таХпз! 8а§1аптат1§ 1сН. £йпки В тайчзтт ко1оп1апп1п X тайазтт зайНаптп 8ау18118е 2 сНг, 3^2 <Нг. гп!еп А уе В та1пз1еп 19111 АВ \е ВА рагршйап за§1ап<11§1 НаИе 1аЫНг. ♦к\ЕК 6.: ҮегПеп гп фп АВ уе ВА та1п81епт Ьи1ипих. 'ОМ: 2 • 0 +1 • 1 + 1 (-1) 2-3 + 1-5 + 1-1 ГО 12> ч0-0 + 3-1 + 2-(-1) 0-3 + 3-5 + 2-1 ) ^1 17; ( о 1 ВА= 1-1 3Ъ ч ( 2 1 Р । I 0 3 2, Г0-2 + 3-0 1 • 2 + 5 • 0 к(-1)-2 + 1-0 0-1 + 3-3 1-1 + 5-3 (-1)-1 + 1-3 0-1 + 3-2 л 1-1 + 5-2 (-1)-1 + 1-2? < 0 9 6 > 2 16 11 <-2 2 1? АВ/ВА . г. Вигаба АВ уе ВА та1п81еппт б1рй1еп <1е ГагкПсПг. 3) АВ уе ВА та1п81еппт б19й1еп аут о1ап НаМе Ы1е АВ^ВА о1аЫНг. О1ШЕК 7.: ҮегНеп ~айп81еп фп АВ үе ВА ‘у: Ьи1ипиг.
13 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА ЧЫГАРУУ: О-0 + 2-6 1-5 + 2-8 (12 21> АВ = ^3-0 + 4-6 3-5 + 4-8 ) 1^ 24 47; о 6 ВА= I 5>Г1 2>_<0-1 + 5-3 8Дз ^^ДбЧ + З-З о-г+б^ 6-2 + 8-4, "15 ^30 20 4 44, АВ Ф ВА. 4) Бирдей тартиптеги кээ бир квадраттык матрицалардын арасында АВ = ВА болгон учуру да кездешүүсү мүмкүн. Маселен 2^ ( 1 8 27 18 38 5)Нөлдүк эмес А жана нөлдүк матрица болушу мүмкүн. Мисалы, матрицаларынын көбөйтүндүсү АВ А= Х0), В= Х0) бирок АВ= "0 < 0 =(0) - нөлдүк матрица. 3 2 4 5 2 3 8 0 5 3 В 3 4 5. Матрицаны даражага көтөрүү. Эгерде А-матрицасы квадраттык матрица (т = п) болсо, анда ар кандай к-натуралдык сан үчүн А матрицанын к-даражасы Ак төмөнкү формула менен аныкталат: Ак=АА-...-А к-жолу Аныктама боюнча А°= Еп - п х п - бирдик матрица, А1 = А менен белгилеп алабыз. Анда төмөнкү формулалар орун алат: 1) Ат Ак = Ат+к; 2) (Ат)к = Атк.
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАГАТОҮ Ы1ЧЕЕК СЕВ1К 14 СбгСМ: АВ= 1-0 +2-6 .3-0 + 4-6 ВА = 1-5 + 2-8 > <12 2? 3-5 + 44 ) ~ < 24 47, 2^_ 4М + 5-3 0-2 + 5-4^ 4,1 Д 6-1 + 8-3 6-2+ 8-4, иухш тег!еЬе<1еп Нг. Оте§т 5) 81Г1гдап Гагк11 ВННг. Оте§т 45 ^30 20Л , АВ * ВА. 44) Ьах1 кагезе! та1пз1ег агазтда АВ = ВА 2' 8; 2) < 1 8; Ь ез11П§1 2> _ <11 18^ 4; Д 27 38, А үе В та1п81ептп ^агрит АВ 81йг тайтзте е§1Т С (1 1 в= .1 V к 1 40) АВ = = (0)- 81йг та1п81д1г. 1 3 2 V 5 ^рквкп 1(т Р ъ 4 4 5. МаСгЫп киүуейп! Ьи1та. А та1п81 Ыг кагезе! та1п8 18е (т = п), о ШйеЬег к - до§а1 8ау18119111 А пШпзтт к - киүүейт, уат Ак ‘у1 а§а§1дак1 |рмШ уагдшнук 1атт1ауаЫНпх: Ак = А-А-.„-А к <1еГа Ташта §бге А°= Еп - пхп - Ыпт тай181<11г, А1 = А 11е §б81егесе§12. ^каИе а§а§к1ак1 ГогтйПег ек!е есППг. 1) Ат Ак = Ат+к; 2) (Ат)к = Атк.
15 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Г1 < 3 8-МИСАЛ. Берилген 2" 4, матрицасы үчүн А2 матрицасын тапкыла. ЧЫГАРУУ. „ <1 2У1 2^ <1-14-2-3 1-2 + 2-4 д2 — - I3 (У1 + 4-3 3-2 + 4-4 р 10" ч 15 22, 6. Матрицаны транспозициялоо. Берилген тхп - өлчөмдүү А = (а^) матрицасынын саптары менен мамычаларынын алмаштыруудан алынган пхт - өлчөмдүү матрица - транспозицияланган матрица деп аталып, А1же А менен белгиленет. Демек Мисалы, (1 2 зА <4 5 6, А1 = 4" 5 2 3 Транспозициялоо амалынын касиеттери. 1) (Ас)1 = А 2) (ЛАГ = ХА1, Л-сан. 3) (А+ВГ = Ас + Ве. 4) (АВГ = В1А‘.
АҮ1Т А8АГЧОУ, КАМ1Х КАЕАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1К 16 ОВМК 8.: ҮегПеп А= 3 4 та!г18119111 А2 та1п81т ЬиШпиг. СОгЁМ: А2 = 2" 4; ^1-1 + 2-3 .3-14-4-3 1-2 + 2-4 " 3-2 + 4-4 ; 7 15 10" 22 , 3 2 4 3 <Пг. 6. Вт таСпзт Сгапзроги. УегПеп т х п - о1?и1и А=(а1}) таТпзт 8а11г1аптп уег1епт о та(г181п кб1бк1аппт уег!еп Пе Ыге Ыг с1е§1$те8тс1еп огТауа 91кап пхт - Ы^йШ таТпзте үегПеп А таТпзтт Ыап^роги «Тегпг уе т4'үеуа А' Пе §О81епНг. Оетек а„ а. А= ”а\п а2\ а22’”а2п 1зе а’=а1= а2\‘"ат\ а\2 а22"’ат2 сНг. Огпе§т а , а ^...а т\ т2 тп / а2п’”а. А= 1 2 4 5 61 18е А' = 4" 5 6 , 2 3 скг. Тгапзрог 1$1еттт бге1Пк1еп §ип1агсПг: 1) (А1)1 = А 2) (ЛА)С = ЛА1, Ьигаба Л Ыг заукЬг. 3) (А+ВУ = А* + Вг. 4) (АВ)1 = ВЧ1.
17 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 1.2. АНЫКТАГЫЧ ( Эгерде А=(а,) - пхп - өлчөмдүү квадраттык матрица болсо, анда А матрицасы үчүн аныктагыч деген түшүнүк киргизилет. Бул түшүнүк сызыктуу алгебралык теңдемелердин системасын чыгаруу менен тыгыз байланышкан. А матрицанын аныктагычы | А| же с!е1А аркылуу белгиленет. Биринчи тартиптеги А=(а//) матрицанын аныктагычы <1е1А=ац саны болот. Мисалы, А=(3) үчүн с1е1А = /А /=3 болот. Экинчи тартиптеги А=(а,) матрицанын аныктагычы же 2-тартиптеги аныктагыч с1е(А төмөнкү формула менен аныкталган сан болот: <1е{А=\М=а"а'2 = аца22- а12а21 (1.2) ( 2 Мисалы А= I 4 Үчүнчү тартиптеги үчүн с!е[А = ац а12 а^3 а21 а22 а23 ^32 азз) матрицасынын аныктагычы же 3-тартиптеги аныктагыч с1е1А төмөнкү формула менен аныкталган сан болот. 1 а\\ ап а\з де1А = <721 а22 а23 — а^ а22а22 + а12а2за21+а]2а2] а22 - ^31 а31 ^ЗЗ -(ац а2з а22 + а12 а2/ азз + а^з а22 аз/) (2.2) а । а 22
АҮ1Т А8АМОУ, КАМ12 КАЕАТОУ ЫМЕЕК СЕ1ИК 18 1.2. ВЕТЕКМ11ЧАМТЕАЯ Е§ег А=(а1}) - пхп - б1?й1й Ыг кагезе! та!п8 1зе А та1пз119111 ПеГегттаШ каүгагтт уегеЫИпх. Ви каугат Ипеег сеЫгзе! с1епк1ет 8181еттт 9 ахйтйпйе 81к 81к киПапйасакйг. А тайчзтт сНегттапй I АI уеуа йе!А Ие §О81епПг. В1ппс1 теПеЬейеп А = (ац) тайпзтт <1е1егттап11 с1е(А = 8йу181<йг. Оте§т А = (3) 191П с1е(А = /А /=3 о1иг. 1к1пс1 теНеЬейеп Ыг А=(ау) тайчзтт йеГепшпапЬ үеуа 2. теНеЬейеп ПеГепшпапГ йе(А а§а§к!ак1 Гогтй! Пе 1атт1апап зау 1й1Г, уат с!е( А = IАI = <11г. Огпе§1п - ац а22- а 12^21 (1-2) С7ц<7|2 б?2! 67 92 " 2 2 3 А = ч 4 1ст де1А = -2) 4 -2 = 2-(-2)-4-3 = -16 о1иг. З.теПеЬ *с1еп Ыг аа а\2 а\з А = (ау) = б?21 ^"72 ^^73 #31 я32 а33 жипзтт де!егт1папи уеуа 3. тег^еЬеДеп <1е1:егтшап1: йе1А а?а§1с1ак1 Схтй) Пе (атгЫапап зауккг, уаш ап а 12 а, 3 с!е1А= Я2| ^22 @23 а3\ а32 а33 - ф/ а22 а2з + ®12 а2з ^з1+^1з а21 вз2 - / 1 11 ~(а 11^22^22 + а12а21а2з + . ^НИВЕРСИТЕТИ ИЛИМИЙ КИТЕПКАНА инв. № .£.£2±Д (2.2)
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 19 Төмөнкү Саррустун эрежесин колдонуп, бул (2.2) формуланы оңой эстеп калса, болот. (7// 67/2 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33 1-МИСАЛ. Төмөнкү 3-тартиптеги аныктагычты эсептегиле. I А|= 2 -1 2 3 1 4 2 5 ЧЫГАРУУ. I А I = 1-1-5 + 2- 4- (-0 + 2 -2-3 - [1- 4-2 + 2-2-5 + З-К-1)] = -16 Эми төмөнкү п - тартиптеги 'аи ап-а\„ ^21 а22'"а2п ап2"'апп) матрицасы үчүн п тартиптеги аныктагыч түшүнүгүн кийирели. Бул А матрицанын жалпы п2 элементтеринен п элементтен турган жыйынды алабыз. Бул жыйындыда А матрицанын ар бир жолчосунун жана ар мамычасынын бирден гана элементи катышышы керек. Мисалы, мындай жыйынды (аца^^... апп) же (ап1 а„.12... сңп) жыйындысы боло алат. Жогорудагы алынган жыйындыны, 1-жолчонун элементин биринчи жазып, андан кийин 2-жолчонун элементин жазып, дагы ушул сыяктуу улантып («1^ Я2;2 •••«„/„ ) (3.2) түрүндө тартипке келтирип жазабыз.
20 А\ ГГ А8А.АОҮ, КАМ12 КАГАТОҮ Ы^ЕЕВ СЕВ1К А?а§1с1ак1 кига!1 (8агги«8 Кига11) иу§и1агзак (2.2) ГогтйШпи ко!ауса ехЬег1етек о1иг: ац а{2 а/з а2) а22 а23 ац а}2 а2з ОК1МЕК 1.: А$а§1с1ак1 3.тег1еЬес1еп деШгттапй Ьезаркуиих: 2 3 1 4 2 5 СОХйМ: | А| = 1-1-5 + 2-4- (-1) + 2 -2-3 - [1-4-2 + 2-2-5 + 3-1(-1)] = -16 о1иг. $1тс11 с1е а§а§1<5ак1 п. теПеЬедеп а[2...а1п а21 а22...а2п \ап\ ап2'"апп) та1г181 19111 п. теПеЬедеп с1е1егттап1: каугагтш тсе1еуеНт. Випип 1?т А тайпзтт Шт п2 ас1е1 е1етап1аппт уагскгтук киги1ап 1ор1ат1 а1аса§1х. Ви 1ор1атт Ьег 1епгт А та1п8тс1ек1 Ьег Ыг заЬг уе ко1опип Ыгег е1етатшп ^агртпскг. Оте§т Ьбу1е 1епт1ег (ац а22... апп) уеуа (аП1 ап.1<2 ... а^ §ек1тс1е о1аЫНг1ег. Үикапйа §О81еп1еп 1епт1еп сШхепН Ыг $екПс1е уахтак о1иг. Випип 191П Пк опсе 1. заПпп е1еташш уахапх, зопга 2. заНгш е1еташш уахапх, зопга На 3. заПгт е1етатт уахапх, ... ?и §екПс!е Пеуат еёегзек 1ор1атт Шт 1епт1еп ЬеНгН Ыг НйхегПе ^а\]{а2]2 •а!уп ) (3-2) §екНп<1е уах11аЫНг1ег.
21 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Биз эми /=(//, Уг,орун алмашуусуна инверсия деген түшүнүктү кийирели. Эгерде V орун алмашуусундагы д жана /4 сандары үчүн д > /4 болсо жана 7 орун алмашуусунда д саны /4 санынан мурда жайланышса, анда /орун алмашуусундагы жана /4 сандары инверсияны түзүшөт. Мисалы, 7 = (2; 1; 3) орун алмашууда бир гана инверсия бар. Ал инверсия (2; 1). Ал эми 7 = (3; 2; 1) орун алмашуусунда бардык инверсиянын саны үч: (3; 2), (3; 1), (2; 1). Эми 7= 0) Ог.-Оп) орун алмашуусунун бардык инверсияларынын санын г(4) аркылуу белгилейли. Мисалы, ./ = (2; 1; 3) орун алмашуусунда г(4) = 1, ал эми 7 = (3; 2; 1) орун алмашуусунда г(У) = 3. АНЫКТАМА.:!. Берилген п - тартиптеги А=(а,) матрицанын аныктагычы же л-тартиптеги аныктагыч деп п! мүчөлөрдүн алгебралык суммасына барабар санды айтабыз. Бул суммадагы ар бир мүчө А матрицанын ар бир жолчосунан жана мамычасынан бирден гана элемент катышкан А матрицанын п элементинин көбөйтүндүсү <7|у| ,а2ъ ...аП] санын (-1)г('1> санына көбөйткөн санга барабар. Мында г(1) саны •/=(//, )2,,]„) орун алмашуусундагы бардык инверсиялардын суммасы болот. Башкача айтканда аныктагыч Г«II «12'**«1и 4е(А = йе! ^21 ^22*”^2п (7) а2 (4.2) а„, а„,...а. формуласы менен аныкталат. Мында сумма бардык п! 7-орун алмашуулары менен жүргүзүлөт. Практикада (4.2) формуланы колдонуу оор, себеби п дин өсүшү менен (4.2) формуладагы мүчөлөрдүн саны өсөт (п!). Мисалы п = 4 болгондо, (4.2) формуладагы мүчөлөрдүн саны 4! = 24 болот. Ошондуктан чоң п үчүн п- тартиптеги аныктагычты эсептөөдө, практикада башка формула колдонулат. Ал үчүн жаңы түшүнүктөрдү кийирүү керек.
АУ1Т А8АГЧОҮ, ВАМХХ КАЕАТОҮ Ы^ЕЕК СЕВ1К 22 Ви (3.2) ГогтйШпде §бз1еп!еп ййхепе §бге уахНгт? о1ап ко1оп питага1аппт (11x181 (/), ]2, .... 1,2, ,.,п до§а1 зауйагт уег де§1§11п1те81пс1еп еке есЫгт$йг. §и уег с!е§1§Нгтеу1 1 Пе §б8(егеНт. Випа Ьепхег де^кП уег с1е§1§игте1епп Штйпйп зау181 п! =1-2-3-...п сНг (н/ - ‘п Гак1бпуеГ окипиг). 6гпе§1п 1; 2; 3 зауПаппт уе$11Н уег ск§1§Нгте1еппт зау181 3! = 1-2-3 = 6 о1иг. Ви уег <1е§1§1:1гте1ег а§а§1(1а §бз!:еп1т1§11г: (1; 2; 3), (1; 3; 2); (2; 1; 3); (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1). $1тсИ Ыг 7 = (//, Уег Не§1§Нгте81 йхеппе регтШазуоп каугагтт тсе1еуеПт. Е§ег 7 уег йе^Нгтезтйек! ]к уе зауйап 1у1п д > гзе уе 7 уег йе^Нгтезтйе д зау181 ул 8ау18шс1ап ёпсе уег1е§гт$8е, 7 уег де§1§Нгте8тде ]к уе зауйап РегтйГазуоп бге1П§те заЫрйг йетг. Оте§т .7 = (2, 1, 3) уег (1е§1§1:1гте8тс1е Ыг гек РегтШазуоп уаг, 0 йа (2; 1) гкШз! сНг. 7= (3, 2, 1) уег с1е§1§(:1гте8т(1е 1зе РегтШазуоп зау181 3 1апе сНг: (3; 2); (3; 1) уе (2.1). §1тсП 7 = (/), 7?,...,/^ уег с1е§1§Нгте8тс1ек1 регтШазуогПагт 8ау18Ш1 г(Г) Пе §б81егеПт. 6те§т 7= (2; 1; 3) уег с1е§1§Нгте81 фп г(2)=1 ‘сПг, 7 = (3; 2; 1) уег с1е§1§Нгте8тс1ек1 РегтШазуоп 8ау18118е г(1) = 3 ’ с!Ш. ТАММ 1.: ҮегПеп п. теПеЬейеп А=(а1к) таГгЫпт йеГегпнпапН уеуа п. тегГеЬедеп НеГегттапГ п! 1апе 1епт1епп сеЫгзе1 Гор1атта е§1С о1ап Ыг зауийг. Ви 1ор1атс1ак1 Ьег Ыг 1епт А таНчзтт Ьег Ыг зайппт уе ко1опипип зайесе Ыгег е1етап1аппт ^агртп о1ап а1у| ,а2^ ...ап] заушпт (-1) г(1> Пе уагртипа е§ННг. Вигада г(1) зау181 7 = (//, у2, ...у^) уег де§1§Г1гте8тдек1 РегтШазуоп зауПаптп 1ор1атта е§1П1г. Үат ап а12...а1п а«л-ам °г' ап-аг" (4.2) а„2-ат) ГогтйШ уагсйпи Пе 1атт1атг. Вигадак! 1ор1ат, ЬШйп п! 1апе 7 уег йе§1511гте1еп йхеппск ЬезаркптаШасЬг. РгайкСе (4.2) ЕогтШйпй иу§и1атак </ок хог о1иг, ?йпкй п зау181 агСап хатап (4.2) ГотйШпйек! 1епт1епп 8ау181 с!а агйуог (п!). 6те§т п=4 1зе (4.2) ГогтйШпйек! 1епт1епп 8ау181 4!=24 о1иг. §и ЬаНе Ьйуйк п фп п. теПеЬейеп йесеггтпапи Ьезар1атак 19110 ргайксе (4.2) деп Ьа?ка ГогтйПег иу§и1аптак1ай1г1аг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 23 Бизге и-тартиптеги А=(а„) квадраттык матрицасы берилсин. АНЫКТАМА 2. Берилген н-тартиптеги А матрицанын а„ элементинин минору М„ деп А матрицанын / - жолчосун жана у - мамычасын сызгандан кийинки алынган (п-1) - тартиптеги матрицанын аныктагычын айтабыз. М22 - \ а\з аз\ азз = апа33-а13а31 саны болот. Ар бир н-тартиптеги матрицанын п2 минору бар. АНЫКТАМА 3. Берилген п - тартиптеги А матрицанын а„ элементинин алгебралык толуктоочу Ау/ деп А„=(-1)'+) М„, 1=1,2,. „п;)=1,2,...,п (5.2) санын айтабыз. Мында М„ саны а„ элементинин минору. Мисалы А23 = (-1)2+3 М23 = -М2}, А31 = (-1)3+1 М31 = М31. 2-МИСАЛ. Төмөнкү матрицанын бардык элементтеринин алгебралык толуктоочторун тапкыла: ЧЫГАРУУ: А11=(-1)1+1
24 АҮ1Т А8АГЮУ, КАМ1Х ЯАЕАТОУ Ы^ЕЕК СЕВТК лш1 фп уегп каугат1ап 1атт1атак §егек1г. п теНеЬебеп Ыг * та^пз! үепЕт. \1М 2.: УегПеп п теНеЬебеп А та^пзт ац е1етатпа аП Му гж две А дак! 1-утс1 зайп уе )-утс1 ко1опи зПсНкСеп зопга ка1ап тепеЬебеп таХпзт йе1егттап(та с!етг. ~эе§т 3. теИеЬебеп А таСпзтт а22 е1етатпа ак тЫбгй М22 — «II «13 «31 «33 — ац ац - а/зйзз п. теИеЬебеп таСпзт (п-1) теНеЬеПепп2 1апе ттбг!еп үагсйг. ГАММ 3.: УегПеп п теПеЬейеп А таСпзтт а:] е1етатпа ай «лЁакйбгв (1$агеШ ттбгй) сПуе А.,=(-1)‘^ Му, 1=1,2,...,п, )=1,2,...,п (5.2) мрвт детг. Вигада Мц $ау1$1 ау е1етапта ах! ттопЗйг. £к^т А23 (-1)2+3 М2з = -М2з Аз1 = (~1)3+1 М31 = Мз) ИХЕК 2.: А$а§1с1ак1 таТпзт Ьег е1етапта ак ко£ак1бг1еп Ьи1пих:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 25 а22=(-1)2+2 Аз1=(-1)3+1 =8; А23=(-1)2+3 =1; А32=(-1)3+2 =-4; —2, А33 - (- 3 7 1 5 5 7 2 3 3 5 1 3 3 7 1 3 1)3+3 3 5 1 2 = 1 Аныктагычтарды эсептөөдө төмөнкү теорема негизги мааниге ээ. ЛАПЛАСТЫН ТЕОРЕМАСЫ. Берилген н-тартиптеги А = (а,/) матрицанын аныктагычы НеБА, ал матрицанын каалаган жолчосунун (же мамычасынын) ар бир элементин анын алгебралык толуктоочуна көбөйтүп, ал көбөйтүндүлөрдү кошкондогу суммага барабар, б.а. бе{А //-Ф/ + & (2^4/2+*** + (1=1,2,...,п), <1е1А а5у а 1 ЛIа22 А22+... + / А,у, (6-2) (7-2) а=1,2,...,п). Лапластын теоремасын 3-тартиптеги аныктагычты эсептөөдө колдонуп (1-жолчонун элементтери менен ажыратып), төмөнкү формуланы алабыз: а12 а13 °21 ^22 ^23 ^31 ^32 ^ЗЗ = ф/(-1)1+1 б?22 ^93 ^32 ^ЗЗ + а!2 (-1)1+2 (?21 ^23 а31 а33 + Фз(-1)1+3 #21 а22 а3\ а32 3-МИСАЛ. Төмөнкү аныктагычты эсептегиле:
26 АУ1Т А8АМОҮ, КАМ1Х КАЕАТОҮ ЫМЕЕВ СЕВ1К <Яиг. Ое1егттап11ап Ье§ар1ата(1а а§а§1бак1 Теогет езаз бпет 1а§1так1аб1г. ЬАРЬАСЕ ТЕОКЕМТ: УегНеп м.тегТеЬебеп А=(а1}) таШзтт <1е1егт!пап11 бе! А, Ьи таГпзт Ьег заЬптп (уеуа ко1опипип) е1етап1аптп ко£ок1бг1еп Пе Ьи е1етап1апп ?агр1т1апп1п 1ор1атта е$кНг, уат п с!е1А * с/^А^— а г] А1]~^~ а аА^-^...-^ а 1ПА1П, (6.2) 5=1 (7 = 1,2,...,п), уеуа с1е1А а,3^А3^ &]у А]у-ь А^] “Н •• ^п]Ап(7.2) ?=1 а = 1}2,...,п). Ьар1асе Теогепмт 3.тег1еЬес1еп сНегттапй Ьезар1атас1а иу§и1агзак аОгт е1етап1агта §оге а^агвак), а§а§1дак1 ГогтиШ а1тх: а\\ а\2 а\3 а22 а23 = а/7(-1)м а22 а23 + ф2(-1)'+2 С721 #23 + Фз(-1),+3 #21 #22 а32 а33 #31 #33 #31 #32 а3\ а32 а33 ОКМЕК 3.: А§а§1с1ак1 деСегттапП Ье8ар1аут1х:
27 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 5 3 0 7 0-2 2 3 0 0 3 1 0 0 0 1 ЧЫГАРУУ. алабыз: Биринчи мамыча менен ажыратып, төмөнкүнү 5 3 0 -2 0 0 0. 0 Жогорку мисалдын негизинде үч бурчтук матрицанын аныктагычы ал матрицанын башкы диагоналынын элементтеринин көбөйтүндүсүнө барабар деп жыйынтык чыгарсак болот. Лапластын теоремасынын негизги мааниси п-тартиптеги аныктагычты эсептөөнү (п-1) - тартиптеги аныктагычтарды эсептөөгө алып келет. Аныктагычтар төмөнкү касиетке ээ: 1.Эгерде квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (же мамычасынын) бардык элементтери нөл болсо, анда ал матрицанын аныктагычы нөлгө барабар. 2.Эгерде матрицанын кандайдыр бир жолчосун (же мамычасын) А санына көбөйтсөк, анда ал матрицанын аныктагычы А, санына көбөйтүлөт. ДАЛИЛДӨӨ. Берилген матрицанын аныктагычы Д болсун, ал эми бул матрицаны г - жолчосун А санына көбөйткөндөгү матрицанын аныктагычы А’ болсун. Акыркы матрицанын аныктагычын г-жолчонун элементтери боюнча ажыратып (Лапластын теоремасы), төмөнкүнү алабыз.
АУ1Т А8АМОҮ, КАМ1Х КАГАТОҮ 28 ЫНЕЕП СЕВШ 5 3 0 7 0-2 2 3 0 0 3 1 0 0 0 1 СО2ЁМ: В1ппс1 ко1опа §оге а?агзак х(-1)1+1 + 0 + 0 = 5- (-2) • 3 = -30 е§1Ш§1т еШе едепх. Вигадап а?а§к!ак1 зописи а1аЫНпх: и?§еп шаТпзт с1е1егттап11 Ьи таТпзт езаз ко§е§еп е1етап1аппт ^агртипа е§1Шг. Ьар1асе Теогеттт еп опетН зописи п.тег!еЬес1еп с1е1егттап1т Ье8аЬ1ш (п-1). тег!еЬес1еп с1е1егт1пап1т ЬезаЬта с1опй§Шгте8тс1есНг. ВеШгттапНаг а$а§к1ак1 бхеШМеге заЫрИг: 1.Е§ег Ыг кагезе! таТпзт ЬегЬап§1 Ыг зайптп (уеуа ко1опипип) 1йт е1етап1ап 81йг 18е Ьбу1е таЫчп йе^егттапй ыйпкг. 2. Е§ег Ыг та1п8т ЬегЬап§1 Ыг зайпт (уеуа ко1опипи) Л 8ау181 йе сраграгзак, Ьи та(п81п сЫегттапйт йа Л 8ау181 Пе ^агргт^ о!игих. 18РАТ: Уегйеп таШзт сНегттапй Д о18ип, Ьи таМзт 1-тс1 зайпт Л 8ау181 Пе ?аграЬт уе еШе есШеп таШзт йеТегттапйш Д Пе §б81егеНт. 8оп таТпзт НеШгттапйш Мпс1 зайпшп е!етап1аппа §бге а^агзак (Ьар1асе Теогепп), д’=Е^,л .=1 у = ЯД е§1Ш§1П1 аИпх.
ЛВЫ I Л( АНОВ,РДМИЗ РЛФЛ1ОВ ( ы 1ЫКТУУ АЛГЕБРА .)( К1.РГҮҮ: Квадраггык^матрицанын каалаган жолчосунун (же н.п.к ыпын) жалиы к>ө6өйтүүчүСүН ал матрицанын аныктагыч и п< 111И111 алдына чыгаргак болот. Мисалы; 1 2 3 2 0 1 -1 1 4 3.|. граттык А малрицаны транспозицияласак, анда ал 'рин ып аныктагычЫ өзгөрбөйт б.а. а&А= сШ’, мында А’ - । п<'11 щияланган матрица. 1 I (раттык матрицанын Эки жолчосунун (же эки п ын) ордун ашмацтырсак, анда анын аныктагычы сарама-каршы беутгиге өзгөртөт. оде кнадраттык матрица бирдей эки жолчону (же эки ш ы) кармаса, ан/ца ал матрицанын аныктагычы нөлгө >р. /IАЛ ИЛДӨӨ. Матршцанын бирдей эки жолчосунун ордун । |.||ц। ырсак, ал матрицзанын аныктагычы өзгөрбөйт. Бирок 4- > нстгин негизинде анык'тагыч д белгисин карама-каршы белгиге ортнт, б.а. Д = -А. МьДУцан Д= о. (>. Эгсрде матрицаныш эки жолчосу (же эки мамычасы) нропорционалдуу болсо, Зшда ал матрицанын аныктагычы нөлгө одрзозр. ДАЛИЛДӨӨ. Пропо^рционалдуу Эки жолчонун (же эки мамычапып) биринен коэффИциент пропорционалдуулугун апыктагычтын (2-касиетти1н негизИНде) алдына чыгарсак, анда жацы алынган аныктагычцын эки жолчосу (же эки мамычасы) >арабар. Демск, 5-касне'ттин иегизинде берилген матрицанын апыктагычы нөлгө барабар.. 7. Квадраттык матрищанын кандайдыр бир жолчосунун (мамычасыпын) ар бир .Шемептин башка жолчонун (мамычанын) жогорудагы ар бир >Л|емст менен бир мамычада турган >лемсн гинин алгебралыик толуктоочуна көбөптүн, ал кнбнпI үндүлордү ко1нко||Д<>1)гу сумма нөлгө барабар, б.а.
АҮ1 Г А8АЫОУ, КАМ1Х КАГАТОҮ г Г1АЕЕКСЕВ1К 30 11ҮАК1: Кагезе! та1п§1п ЬегЬап§1 Ыг зайптп (уеуа ко1опипип) оЛак ка(ч.)у1К1П1 уегПеп та1п$т деЫпгппапипт П1?та а1аЬШпг. Оте£рп 2 4 8 0 -2 2 3 1 8 =2-4-2 1 2 3 2 0 1 -1 1 4 3. УегПеп Ыг кагезе! таМзт (гапзрохипип с1еГептппапй уегПеп таГггзгп ПеГегттаЫта е^гГОг, уат (1е1А=с1е1А Шг. ВигаПа А таГпз! А тайшпт ГгапзротиПиг. 4.Е§ег Ыг кагезе! таГпзт ЬегЬап§1 1к1 зайптп (гкг ко1опипип) уейепт <1е§1$Нпг8ек опип деГегттапкпт 1$>агеН с!е§фИг. 5.Е§ег Ыг кагезе! такгзт 1кг аут закп (уе Гкс аут ко!опи) уагза о таГпзт ПеГегттапй зШгскг. 18РАТ: МаШзт аут гкг закппт уейепт <1е§1$Нпг8ек тактзт <1е1ептпап11 с1е§1?те2, ата 4. огеШ§е §ёге деГептпап! А’ тп 18агеН 4е§1?Шг, уат А = -А о!иг. Вигаёап Д = 0 е?1Ш§1т аНпх. 6,Е§ег Ыг таГпзт ЬегЬап§1 1к1 закптп (уеуа гкг ко1опипип) е1етап1ап огапйк 1$е Ьи таГпзт ПеГегттапк 81йгскг. 18РАТ: Огапкк гкг закпп (уеуа 1к1 ко1опип) Ыптп огапк ка1зау131 (2.0те§т §еге§тсе) ^аграп о1агак уахШгза огапкЬ о!ап 1к1 81гапт е1етап1ап Ып Ыптп ауги81 о1иг1аг. Эетек 5.охеШ§т пеНсезтёе уегНеп таГпзт с1е(еггтпап11 зШгскг. 7.В1Г кагезе! таШзт ЬегЬап§1 Ыг зпазтт е1етап1аптп коГак1ог1ег1П1п Ьа?ка Ыг рага1е181гапт каг$1Ьк §е1еп е1етап1ап Пе ?агр1т1аппт Гор1ат1 $1Г1гШг, уат
II АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 2>,Л=0’ (8-2) же =о> ' */ (9-2) >=| ДАЛИЛДӨӨ. Берилген квадраттык А = (ау) матрицанын ] - жолчоеуп ошол эле матрицаны / - жолчосу менен алмаштыргандагы матриц.шы А менен белгилейли (I *]). Бул А матрицанын бирдей эки жолчосу бар болгондуктан, с1е( А = 0 (5-касиет). Эми А матрпц.шын аныктагычын ф жолчонун элементтери менен ажыратып, Лапластын теоремасынын негизинде (8.2) формуланы алабыз. 8. Эгерде квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосуна (мамычасына), каалаган санга көбөйтүлгөн башка жолчонун (мамычанын) элементтерин кошсок, анда матрицанын аныктагычы озгөрбөйт. 9. Квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун ( мамычасынын) элементтеринин алгебралык толуктоочторун каалаган Ь1г Ь2,...,Ьп сандарына көбөйтүп кошкондогу сумма ошол колчону (мамычаны) Ь/, Ь2,...,Ь„ сандары менен алмаштыргандагы 'ы грицапын аныктагычына барабар. 10. Эки квадраттык матрицанын көбөйтүндүсүнүн аныктагычы 1Л матрицалардын аныктагычтарынын көбөйтүндүсүнө барабар, а. г/с/С = (с1е!А)( с1е!В), мында С=АВ, А жана В - п - тартиптеги шгрицалар. 1.3.ТЕСКЕРИ МАТРИЦА. Лр бир а * 0 саны үчүн а- а''=1 болгондой тескери а'1 саны шбылат. Квадраттык матрицалар үчүн да бул түшүнүк аныкталат. АНЫКТАМА. Квадраттык А'1 - п х п - өлчөмдүү матрица п - гартиптеги А=(ау) матрицанын тескери матрицасы деп аталат, эгерде А''А=АА-’ = е„ болсо, мында Е„-пхп- өлчөмдүү бирдик матрица. Эгерде А^О болсо, анда квадраттык А матрицасы кубулбаган матрица дсп аталат. Ал эми с!е(А=0 болсо, анда А кубулган матрица деп аталат. ТГОРЕМА. Квадраттык А матрицапын тескери матрицасы 1 »айт качан гана де1 А*0 болсо, б.а. А-кубулбаган матрица
лугг А8А^ОУ, КАМ12 КАЕАТОУ Ы^ЕЕК СЕВ1К 32 п £чА=°> ’зе 8=1 уеуа п ТлЛ =0, ‘ ’8е. 5=1 (8-2) (9.2) 18РАТ: УегПеп кагезе! А = (а,,) тайпзтт )-тс! заЬпт Ъи тайтзт 1-тс1 заип Пе Не§1§те81П(1еп еМе еНПеп та1пз1 А Пе §081егеПт (7 #/)- Ви А та^пзтт аут 1к1 заЬп уагПи. 5.02еШ§т §еге§тсе Не! А =0 о1иг. §1тсН А тайтзтт (ЫегттатЬт)- заипп е1етеп1агта §оге ауагзак Ьар1дсе Теогегт пеНсезтПе (8.2) ГогтШйпй а11П2. 8.Е§ег Ыг кагезе! тайгзт Ьег Ьап§1 Ыг зайппа (ко1опипа) Ьа§ка заЬпп (ко1опип) кеуй Ыг зау1 Пе уагрНап е1етап1апт ек1егзек тайтзт с1е1егттапй с1е§1?те2. 9. В1г кагезе! тайтзт ЬегЬап§1 Ыг заЬптп (ко1опипип) е1етап1ап коГакСбНеппт кеуй />/, Ь2, ..,Ь„ зауПап Пе ^агритйаппт 1ор1агт 802 копизи зайп (ко!опи) Ь/, Ь2,...,Ь„ зауПап 11е с!е§1?1:1гте8тс1еп теуйапа §е1еп тайтзт ПеСептпапйпа е$1Шг: 10. 1к1 кагезе! тайЫепп ^агртипт Пе^егттапЬ о тайтзЫпп с!е1егттапНаппт ^агршипа е?ПНг, уат Ае(С = (Ае(А) (сЬеШ) сНг. ВигаПа С=АВ уе А Пе В «-теПеЬейеп таитзЫгсНг. 1.3. ТЕК8 (1ЫҮЕК8) МАТК18 Нег а зау18119111 а-а'1 = 1 е$Ш1§1 8а§1апасак §екПс!е Ыг 1егз (туегз) а'1 зау 181 Ьи1ипиг. Кагезе! та1пз1ег 19111 Пе Ьбу1е Ыг каугат 1атт1апаЫНг. ТАММ: Кагезе! А'1 - пхп сЯ^Шй та1П8те п.теНеЬеПеп А=(ау) та(п8тт 1ег8 та1п81 (1пуег81) <1еп1г, е§ег А-'А=А А'1 = Е„ ье. Вигас1а Е„- пхп - б19й1й Ыпт та1п81(Нг. В1г та(п81п с1е(еггтпап1| с!е( А*0 18е Ьи тайгзе ге^йкг та1П8 , акз! 1ы1с1е 8пц‘й1ег та(п8 <1стг. I ЕОКЕМ: Ви кагсяе! А 111111118111 (егмгип (түсгзтт) уаг о1та$1 19111
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 33 ДАЛИЛДӨӨ. Зарыл шарты. Квадраттык А матрицанын тескери матрицасы А'1 жашасын, б.а. А'‘А=А А'1 = Е„ . Анда аныктагычтын 10-касиетинин негизинде с1е( (А~' А)=(с1е(А) (Ае1А'!) = с1е(Е„ =1. Демек с1е1 А *0 жана Ае/А'^0. Жетишерлик шарты. Матрицанын аныктагычы с!е( А *0 болсун. Анда 7-касиеттин негизинде А матрицанын тескери матрицасы Л1 а2] •••Ап1 1 ^12 А22"-^„2 (1е1А ................ <Ап А2п...Апп> болот. Тескери матрицаны табуунун схемасы. 1)Берилген А=(а,7) - п тартиптеги матрицанын аныктагычы Д=с1е1А ны табабыз. Эгерде Д = с!е(А = 0 болсо, анда тескери матрица А'1 жашабайт. Ал эми Д=с1е1А * 0 болсо, анда тескери матрица А’1 жашайт. 2) Берилген А матрицанын бардык ау элементтеринин алгебралык толуктоочтору Ап лерди табабыз. 3) Эми Ау - алгебралык толуктоочтордун жардамы менен у4ц А12... А1П т42! А22...Л2и 1 Д А„. АП,...АПП, п\ п2 пп / матрицасын түзөбүз. 4) Тескери матрица А'1 ны төмөнкү А2]...Ап1 А22...у4„2 А ............... А2п...Апп? формула менен эсептейбиз. 4 5) Тескери матрица А'1 туура табылгандыгын-тГ7/! = Е„ жс
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К 34 1. 8РАТ: СЕКЕК §АКТ1. В1г кагезе! А тайазт 1егз1 А'1 теусШ о18ип, упш А 'А=А А’1 = Еп о1§ип. $и ЬаМе деШгттагПт 10. бге!П§тт пейсезтде <1е1 (А'А)=(<1е(А) (йеЬА1) = де1Еп =1 (*1пг. I )етек с1е(А^0 уе скЬА^О сЬг. ҮЕТЕК §АКТ1. Ма1п81п с!е1егттап11 #0 о1зип. §и Ьа1де 7.бге1Н§1п1п ПсПсснтск А таЬчзтт 1ег51 (түегз!) с!е1 А \^1и ^2п'"^пп) О1иг. Тег$ та(п$1 Ьи1та $ета$1: I) УегПеп А=(<Яу) - п. теПеЬеНеп та^пзт с1е(егттапП Д = с/еМ у) Ьи1иги/. Е|ег Д=с1е1А=0 о1игза, 1егз таЬчз А'1 уокшг. 2) УегПеп А таТпзтт Ьег ау е1етатпт коЬакШги Ау ’ 1еп Ьи1игих. 3) 8опга А^ ко£ак1бг1епп уагсЬт1у1а Ап9...Апп . п2 пп / |Ь11(Г181п1 Ьи1игиг. 4) Тегз та(пз А'1 ‘ I -А-21 ••• Ап) А-22” фД12 4, А.„...л 1 уап1тиү1а 11С8ар1ап/.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 35 Кубулбаган матрицалар төмөнкү касиеттерге ээ: 1-~; 2) (Ат)-'-(А-')т, 3) (А~!)'= (А')~!, с1е1 А 4) (А-')-' = А, 5) (АВ)-' = В ' А'1. 41 -1 Р МИСАЛ. А= 2 1 1 11 1 2^ матрицанын тескери матрицасын тапкыла. 1 -1 1 ЧЫГАРУУ. 1)Д = ^Л= 2 =2-1+2-(1-4+1)=5*0 1 1 1 2 болгондуктан, А матрицанын тескери матрицасы А-1 жашайт. 2)Берилген А матрицанын бардык элементтеринин алгебралык толуктоочторун табабыз. А13=(-1)4 1=1; А21=(-1)3 а22-(-1)4 3) Эми А,, алгебралык толуктоочтордун 'йсардамы менен
АУ1Т АКАМОУ, КАМГЛ КАЕАТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К 36 Ксцй1ег та1пх1ег а$а£к!ак1 бгеШИеге заЫрйг. !)<&(*') = 2) (Ат)-1=(А-1)т, 3) (А'1)1 = (А1)'1, 4) (А'1)'1 = А. де1 А 5) (АВ)-' = В'1 А'1 сНг. ОВМ.К: ' 1 -1 А= 2 1 <1 1 п 1 2; ипайчзтт 1егз та1п81т (туегат) Ьи1ипих. -1 СбХЁМ:1) Д=бе1А= 2 =2-1 +2-( 1 -4+1 )=5^0 о1(1и£ип(1ап 1 2 А таМзтт 1ег81 о!ап А'1 таТпз! уагсЬг. 2) ҮегНеп А та1п8тт Ьег е1етаптт ко£ак1бгйпй Ьи1игих: А22=(-1)4 А3|=(-1)4 -1 1 =1, А33=(-1)6 3) §1тсН А:/ коГакТбНепп уагсНт1у1а
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 37 I 5 матрицасын түзөбүз. 4) Тескери А'1 матрицаны эсептейбиз: А'1 = В1 = 3 Г 5 5 1 2 5 ~5 1 2 5 5; Г 1 з 2^ 5 3 5 1 5 5 2 5 5 -2 3 5 5 5) Эми А'1 матрицаны туура тапканыбызды текшеребиз. Ч -1 АА‘1= 2 1 3 2"| 5 ’? 2 1 5 5 -2 3 5 5, 5 5 5 2 3 1 ------1— 5 5 5 1 3 2 ------1— 5 5 5 2_1 5 5 6 5 3 5 2 5 2 5 5 5 5 2 1 _ --------1— 5 5 ' 4 1 _ 5 5 2 1 ----1- 5 5 ол о =Е3 V 5 1 3 5 3 5 6 0 0 0 1 0 болот. Демек А1 матрицаны туура тапканбыз.
АУ1Т А8А1ХОУ, КАМ|Х КАЕАТОУ Ы1ЧЕЕК СЕВ1К 38 1 2 5 ’5 3 1 5 5 _2 _[ к 5 5 ПН11Г181П1 уахапх. 4) А'11ег8 та(п81т Ьезар1апх: Г1 2 2' 5 5 ~5 Р 5 2 5 3 5> 1 -2 3 ч 5 5 5, 5)$1тсН А’1 таТпзтт йо§ги1и§ипи депеуесе§1х: ( 1 -1 АА'1= 2 1 <1 1 3 2> 5 "5 £ £ 5 5 -2 3 5 5, <13 1 -------------1-------------------1-------------- 5 5 5 2 5 -----1---- 5 5 3 1 2 5 5 5 6 1 2 ---1-------- 5 5 5 1 3 --------+ 5 1 - + - + 5 1 0 0 0 1 0 0 = г( 3 --- 5 2 1 6 --+-+- 5 5 5 I' 1 ' ' ' т<||| 1м ....... ь М1р1апт1$11г.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 39 1.4.МАТРИЦАНЫН РАНГЫ Математиканын жана башка илимдердин маселелерин изилдөөдө жана чыгарууда матрицанын рангы деген түшүнүк негизги мааниге ээ. Ар кандай тхп - өлчөмдүү А = (а^ матрицанын к жолчосун жана к мамычасын сызып к-тартиптеги квадраттык айрым матрицаны бөлүп алууга болот. Мында к < тт (т, п). Бул айрым квадраттык матрицанын аныктагычы А матрицанын к-тартиптеги минору деп аталат. Мисалы Зх4-өлчөмдүү А = (а,^ матрицасынан биринчи, экинчи жана үчүнчү тартиптеги айрым квадраттык матрицаларды бөлүп алууга болот. АНЫКТАМА. Берилген А матрицанын рангы деп бул матрицанын нөлдөн айырмалуу болгон минорлорунун эң жогорку тартибин айтабыз. Матрица А нын рангы гап§ А же г(А) аркылуу белгиленет. Аныктамадан төмөнкүлөрдү алабыз: 1 .Берилген тхп - өлчөмдүү А матрицанын рангы г(А) <тт (т,п); 2 . г(А) = 0 качан гана А матрицанын бардык элементтери нөлгө барабар болсо. З .Квадраттык п - тартиптеги А матрицанын рангы г(А) = п качан гана А- кубулбаган матрица болсо. 1-МИСАЛ: р 0 -8 (Р 2 0-40 А- 3 0-60 0 -2 0? матрицанын рангын эсептегиле. ЧЫГАРУУ. Матрица А 4-тартиптеги матрица болгондуктан гб4? < 4 . Бирок с!е1А = 0, себеби матрица А нөлдүк мамычаны кармайт. Демск, гб4? £ 3. Бул матрицанын 3 - тартиптеги бардык айрым матрицалары да нөлдүк мамычаны кармагандыктан ал матрицалардын аныктагычтары нөлгө барабар.у^емек, гб4? < 2. Ал эми 2-тартиптегп бардык айрым матрицалары же нөлдүк мамычапы капмайт (.жинчи же гөптунчу мамычалар) же'пропорционалдуу
АУ1Т А8А1\ОУ, 1<АМ|Х КАЕАТОУ Ь|1ЧЕЕКСЕВ!К 1.4. В1К МАТК1811Ч КАМС! Ма(ста1|£т ус Л£ег ВПптйепп РгоЬКет1епт тсе1етес!е уе 90x111, 11ПК1П 1<апк1 с1ет!еп каугат езая Ыг бпет 1а$1так1ас11г. I кч тх11 - б1?и1и А -- (а,,) та1пытп Иег 11ап§1 к хайгта уе 11сг Ьапц| । < >ш1п;| а11 окт е1етап1аппс1ап Ыг к-тс! теЛеЬедеп кагеяе! к|ят1 пц^ >/ Вшас1а /< " т'и\ (т.п) скг. Ви кыт кагеке! та1п81п декпгптапгта А таТпзтт к-1пс1 тепеЬС|| тт«н II <1етг. (>те£>т 3 х 4 - б1<;и1и А = (а^ тз^пзтт ЫппЫ, 1ктс1 ус ||Ц'П( 1'ес1еп к18П11 кагеве! та1п81епт а1тако!иг. ТАММ: УегПеп Ыг А тайтзтт Капк1 сИуе Ьи тайазт 81йгдап (:ц^]| окт ттбг1еппт еп уикзек теНеЬезте <1еп1г. Ц|г Л та1г181П1п К.апк1, КапкА уеуа г(А) Пе §б8(епНг. Ви 1ап1пк1ап а^а^кЗак! 8опи?1ап акпх: 1 .УегПеп тх п - о19йШ А пШпзтт Капк1 г(А) <тт (т,ц) 2 .г(А) = 0 <=> А та1п51 (О) - 81йг та^пзШи. З.В1Г кагезе! пчпс! тейеЬейеп А пШпзтт Капк1 г(А) = п <=> А - ти||'Ы1г. геКЦе| б1^ЕК 1.: 0 -8 (Р 0-4 0 0-6 0 0 -2 0, пш1ммп1п Капкш! Ье.чар1аут!г. <Д?/1!М: А та(гг । 1-йпсй тег(с1кч1(‘п пийгь ок1иии1нкт /7 \) • \и1.1 А/ I 0. (/йпкй А та!пч11нп чНп’ ко1опи уагс!п\ 1)етск г I) Л о| |н| н 111 >-йпсй тспсЬсйсп Нсг к18пй пийпьтт йе О- ыПг ко1опи I) • ? (1п . ?-ис1 тсНсЬсйсп йсг к|.чпй пийп.чт <1с <Ч1 Г|г ко1опц । 4 йиси ко1оии) 1 X 111 Г.1 '•Ч
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 41 мамычаларды кармайт (биринчи жана үчүнчү мамычалар). Демек, ал матрицалардын да аныктагычтары нөлгө барабар. Мындан г(А) < 1 болот. Бирок матрица А кармагандыктан, г(А) = 1 болот. 2-МИСАЛ. Г1 з о А= 3 2 0 1,2-1 0 нөл 4Л 1 -V эмес элементтерди матрицанын рангын эсептегиле. ЧЫГАРУУ.Бул матрица Зх7-өлчөмдүү болгондуктан, г(А) < тт(3; 4) = 3. Ранг 3 кө барабар болор болбосун текшеребиз. Ал үчүн А матрицанын бардык 3-тартиптеги минорлорун эсептейбиз (алар А матрицанын кандайдыр бир мамычасын сызып салуу аркылуу алынган айрым матрицанын аныктагычтары болот. Алардын саны төрт болот): 3 0 4 1 0 4 1 3 4 1 3 0 2 0 1 =0, 3 0 1 =0, 3 2 1 =0, 3 2 0 =0 -1 0 -3 2 0-3 2 -1 -3 2-10 Бардык с >-тартиптеги минорлору нөл болгондуктан г(А) < 2. Бирок 2-тартиптеги нөлгө барабар болбогон минор бар, мисалы, 1 3 2 = -7 ^О. Демек г (А) = 2. Жалпы учурда матрицанын рангын бардык минорлорду эсептөө аркылуу табуу көп эсептөөлөрдү талап кылат. Бул эсептөөлөрдү жеңилдетүү үчүн, матрицанын рангын сактаган элементардык өзгөртүүлөр колдонулат. Ал элементардык өзгөртүүлөргө төмөнкү өзгөртүүлөр кирет: 1 .Нөлдүк жолчону (же мамычаны) алып салуу 2 .Матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (мамычасынын) бардык элементтерин нөл эмес санга көбөйтүү. З .Матрицанын жолчолорунун (мамычаларынын) ордун алмаштыруу. <
АУ1Т А8А1ЧОҮ, ПАМ1г ЯАЕАТОУ 42 М1ЧЕЕК СЕВ|К 1ап|||| ко1оп1ага яаЫрйг (1 - 1пс1 уе 3-ипсИ ко1оп!аг). Оетек 1>и .... 1.т|п <1с сИегттапй 81Г1га е§1Шг. Вигадап г (А) < 1 е$й81211£1т а!нт/ I пкп! Л та(П8тт 81Г1гдап Гагкк е1етап1ап <1а үагскг, детек г (А) - 1 сНг. ОКМ.К 2.: < 1 3 0 4~) А= 3 2 12 -1 0 1 0 -3, тп(П8тт Капкии Ъе8ар1аут12. (^ОхСМ: Ви та(Т18 3x4 - б^йзйпе заЫр о1<1и§итбап г(А) < тт(3,4)=3 о1иг. $1т<Н Ьи таГпзт Капктт й<?е е§к о1аса§1т йепеуесе§12, уе Ьи та<п$т |)сг 3-йпсй теПеЬедеп ттбг1епт Ьи1аса§12. Вип1аг А тайгзтт ЬегЬап§1 Ыг коктипи зПЫкГеп зопга е1йе ейПеп к18гт тайгзкгт <1е1егттап11апс11г. Вип1апп зау181 4 ’ е е§Нйг: 3 0 4 1 0 4 1 3 4 1 3 0 2 0 1 =о, 3 0 1 =0, 3 2 1 =0, 3 2 0 =0 1 Н--к о 1 2 0-3 2 -1 -3 2-10 З.теПеЬебеп ттбНепп Штй 81Г1Г о1Пи§ип(1ап г (А) <2 <Пг. Ата 2. теНеЬейеп ттоНепп агазтйа зШгбап Гагккз! <1а уапкг, бгпе§т 1 3 3 2 = -7 5* 0 <11г. Эетек г (А) = 2 сНг. Оепе! Ьа1<1е Ыг тайгзт В.апк1ш Ьи1так 19111 Ьи таспзт Шт ттбНепт Ье8ар1агзак, ?ок 1§1ет1ег уартак §егект Ви Ьезар1ата1ап ко1ау1а?йгтак 19111 тайгзт Капкип Пе§1§теуеп Ьазк Пбпй§йт1ег иу§и1апаЫПг1ег. Ви Ьазк <1бпй§ит1ег а§а§1Пак1 §1Ы<Нг1ег: 1.81ЙГ зайп (уеуа ко1опи) 91кагта. 2.Ви таСпзт ЬегЬап§1 Ыг зайптп (ко1опипип) Шт е1етап1апт 81Г1г<1ап Гагкк Ыг зау1 Пе ^агрта: З.МаСпзт заййаппт (ко1оп1аппт) уег1епт <1е§1§Пгте
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 43 4.Матрицанын жолчосуна (мамычасына), каалаган санга көбөйтүлгөн башка жолчону (мамычаны) элементтеринин жайланыш ордуна карата кошуу. 5.Матрицаны транспозициялоо. ТЕОРЕМА 1. Матрицага элементардык өзгөртүүлөрдү жүргүзсөк, анын рангы өзгөрбөйт. ДАЛИЛДӨӨ. Аныктагычтын касиеттеринин негизинде квадраттык матрицага элементардык өзгөртүүлөрдү жүргүзсөк, анын аныктагычы өзгөрбөйт же нөл эмес санга көбөйтүлүп калат. Демек берилген матрицанын нөл эмес минорлорунун эң жогорку тартиби сакталат б.а. матрицанын рангы сакталат. Элементардык өзгөртүүлөрдүн жардамы менен матрицаны баскычтуу түргө алып келип, рангын оңой эле эсептөөгө болот. АНЫКТАМА: Матрица А баскычтуу деп аталат, эгерде ал матрица төмөнкүдөй түрдө жазылса: й(|1 а{2...а[г...а^к 0 <722-"^2г",^2* 1° ®-агг-агк ) мында а„ ,1 = 1, 2,..., г, г < к. ЭСКЕРТҮҮ. Матрицаны транспозициялоо аркылуу г <к шарты ар дайым аткарылат. Жогорудагы баскычтуу матрицанын рангы г(А) = г , себеби йц 0,2 ... аХг 0 а22...а2г = аца22... агг*0 0 0... агг Элементардык өзгөртүүлөрдүн жардамы менен матрицанын рангын эсептөөнүн алгоритмин төмөнкү мисалйа көрсөтөбүз. 3-МИСАЛ.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ12 КАЕАТОУ Ь||ЧЕЕКСЕВ|К 44 4.Ма1п»1п заНппа (ко1опипа) кеу(1 Ыг яау1 Ие <;агр11гш? о!ап Ьазка Ы мнПпп с1с1пап1апп1 уег!еппе §дгс ек!етек. 5.Ви та(п8с1е [гапзрох феппт уартак. ТЕОКЕМ 1.: В1г та1п8 йхеппе Ьа«к <4бпй§йп11ег уарагзак, Ьи та1п8т Капк> йе§1$те2. 1КРАТ: ОеТегттапйп дге1Нк1еп пейсезтйе Ыг кагезе! та(п8 йхснн I' ги( с1дпи§йт1ег уарагзак, Ьи тайчзт с!е1егттапй <1е§1§те2 уеуа 8|Г||<1т I пк1| Ыг зау1 Не <?агр11аЫНг. Оетек уегПеп та1пзт 81йгйап Г;нИ| п 1111дг1еппт еп Ьйуйк тегГеЬез! <1е§1?те2, уат Ьи таГпзт К.апк1 <1е£1§те/ ВаяИ с!дпй§йт1ег уагс11т1у1а Ыг та(П81 МЕШЙУАГО ?ек1те <1дпй§1(1п । нI ус Капкии ко!ауса Ьезар1атак о1иг. ТАММ: В1г А та/пзте МЕКОГҮА^ МАТК181О1К детг, е£с1 1>и та(П8 А = Ч. ап...а[г...ахк 0 а22...а2г...а2к 1° 0... агг... агк) $ек1тс1е уагШгза. Вигайа а„ Ыг, / = 1, 2,..., г, г < к. 11ҮАК1: В1г таГпз! (гапзрох^зуоп уагдтиу]а сЫта г < к $аг1н11 |ц1ауаЫПп2. ҮикапдаЫ тегсПуап тайчзтт Капк1 г (А) = г, сНг фйпкй «11 «12 -«1Г 0 а22...а2г = аиа22... агг^0 0 0... а„ <11Г. Вазк <1дпй§йт1ег уагс1тиу1а таСпзт Капкпи Ье8ар1ата А1§ог1(таап1 |’’ к!ак1 дгпек й/еппйе §д81егеНт: ОККЕК 3.:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 45 г0 -1 3 0 2" 2-4 15 3 А = -4 5 7 -10 0 с2 1 8 -5 3? матрицанын рангын эсептегиле. ЧЫГАРУУ.10. Эгерде ац= 0 болсо, анда жолчолорун же мамычаларын алмаштырып, ац * 0 болгонго жетишебиз. Бул мисалда матрицанын 1- жана 2- жолчолорун алмаштырып ац= 2 Ф 0 болгонго жетишебиз. 2°. Эгерде а^ * 0 болсо, анда 1-жолчонун элементтерин санына көбөйтүп 2- жолчого кошуп, санына көбөйтүп 3- жолчого кошуп, санына көбөйтүп 4-жолчого кошуп, 1-мамычанын ап элементинен башка элементтери нөлгө барабар болгонуна жетишебиз: (2 -4 0 -1 -4 5 <-2 1 1 5 3 л 3 0 2 7 -10 0 8 -5 3, 3°.Эгерде алынгын матрицада а22 * 0 -4 1 5 З^ -13 0 2 -3 9 0 6 -3 9 0 6? (мында а22 = -1 * 0) болсо, анда 2-жолчонун элементтерин санына көбөйтүп 3-жолчого кошуп, ^42 7 санына көбөйтүп 4-жолчого кошуп, 2-мамычанын а22 элементинен, төмөн жайланышкан элементтери нөл болгонго жетишебиз. Эгерде өзгөртүүдөн кийин нөлдөн жолчолор (же мамычалар) пайда болсо, анда ал нөлдүк жолчолорду (же мамычаларды) алып салабыз. Биздин мисалда:4
46 АУ1Т А8АМОУ, ЯАМ1г КАГАТОҮ Ъ11ЧЕЕН СЕВ1К '0-1 3 0 2Л 2-4 153 -4 5 7 -10 0 с2 1 8-5 3, > |Н|ч1п1п Капк1Ш Ьезар1ауш12. <.'0хСМ: 1”. Е§ег ац = 0 1зе, зайг1ап уеуа ко1оп1ап де|1?11пр, ац X 0 типи кагатпг. Ви бтек(е 1- тс! уе 2-тс1 заийапп уеНепт де§1$Нпр, ? 0 а11пх. 1>Й* а 11Ф 0 1 зе, 1 -1пс1 зайгт е1етап1апт зау181 Пе ?аграг, 2-1Гк । 11п и ек1еп2, 8ау1м 8ау181 Пе ?аграг, 3-йпсй зайга ек1епх, 41 <;аграг 4-йпсй зайга ек1ег уе 1-1ПС1 ко1опип ац е1еташ Ьапс Шт 1втап1апт зшга йопи^шгигих. ' 2 -4 1 5 3 '2 -4 1 5 Зл 0 -1 3 0 2 0 -1 3 0 2 -4 5 7 -10 0 0 -3 9 0 6 С2 1 8 -5 3, <0 -3 9 0 6> ( Е§ег е1йе есШеп та1п81 а22 * 0 18е (Ьигайа а22 =-7 * 0 скг ) 2-пс1 зайпп < 1етап1апп1 / \ _£з2_ \ а22 7 8ау181 Пе ?аграг 3-йпсй зайга ек1епх, 8ау18! 1к ^аграг 4-йпсй заПга ек1епх. О хатап 2-пс1 ко1опип а12 уе а22 е1етап1ап Ьагн (йт е1етап1ап 81йга с!бпй§йг1ег. Е§ег Ьи с!бпй§йт1ег пейсезтйе 81йг заигки (уеуа ко1оп!аг) ойауа £1каг1аг8а, о хатап Ьи 81йг 8айг1ап (уеуа ко1оп1ап) Пепг. В121т бтекХе
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 47 л 2 -4 0 -1 0 -3 к 0 -3 -4 1 5 Зл -13 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0, ^2 -4 15 З^ ч0 -1 3 0 2, Акыркы матрица баскычтуу матрица жана ал матрица нөлгө барабар эмес 2-тартиптеги минорго ээ. Мисалы = -2*0 Мындан акыркы баскычтуу матрицанын, демек берилген матрицанын рангы 2 ге барабар, б.а. г(А) = 2. Матрицанын рангы төмөнкү касиеттерге ээ: 1. г (А+В) <г(А) + г(В) 2. г (А+В) >/г (А)-г (В) / 3. г(АВ) <пип {г (А), г (В)} 4. г(АА)=г(А) 5. г (АВ) = г (А), мында В-квадраттык матрица жана <1еСВ * 0; б. г (АВ) > г (А) + г (В) - п , мында п-А матрицанын мамычаларынын же В матрицанын жолчолорунун саны. Матрицанын рангы түшүнүгү, ал матрицанын жолчолорунун же мамычаларынын сызыктуу көз каранды (көз каранды эмес) түшүнүктөрү менен тыгыз байланышкан. Берилген тхп -өлчөмдүү А = (а,) матрицанын жолчолорун ^ = (.ап, а/2,..., а/п), е2 = (а21 , а22 >•••, а2п), Ст (@т! 9 &т2 ®тп) аркылуу белгилейбиз. Вектор жолчолорун санга көбөйтүү жана вектор жолчолорду кошууну төмөнкүдөй аныктайбыз: 2е к (Аа к/, А а к2>.. ., 2x1 кп). е к + е 4 - (ак> + а,,, а к2 + а,2,-> а к„-+ а „)
АУ1Т А8А1МОУ, ПАМ|Х КЛГАТОУ Ь|^ЕЕКСЕВ||< 48 ( 2 -4 0 -1 0 -3 , 0 -3 1 5 3 0 9 0 9 0 6; -4 I 5 3' -13 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0, 3 2 ( 2 0 о (2 -4 1 5 Зч к 0 -1 3 0 2, ппНгиигп а11П2. Ви зоп та(п8 тепНуап таТпзШи уе опит зШгбап Еагкк 2-пс1 теПеЬсдеп пйпбгй үагдт Огпе§т 2 0 -4 -1 = -2*0 <||г. Вигайап зоп тегсНуап таГпзт, детек уегПеп таСпзт К.апк1 2 уе е§1111Г, уат г (А) = 2 <Нг пеНсез! еИе еПШг. В1г таГп81п Капк1 а§а§к!ак1 бге1Пк1еге ваЫрйг: / г (А+В) <г(А) + г(В) ’ г (А+В) >/г (А)-г (В) / < г (АВ) <тт {г (А), г (В)} I г (А А) = г (А) > г (АВ) = г (А). Вигада В кагезе! уе бегВ * 0 §аПт1 за§1ауап Ыг тайчзНг. 6 г (АВ) > г (А) + г (В) - п. Вигада п - А тайазтт ко1оп1аппт уеуа В та1П8тт заиНаппт зау18к11г. В1г та1пзт Капктт о таГпзт зайНаппт уеуа ко1оп1аппт Нреег Ьа§1т1111§1 (Ппеег Ьа§1т81г11§1) каугат!ап Пе ^окуакт Ьа§1ап1181 уапйг. ҮегПеп тхп- б19й1йЯ= (а,} тайчзтт заЬНапт 11е §О81егеПт. 8айг - уекгбйепт Ыг зау1 Пе ?агрта уе 1ор1ата 1§1ст1епп1 а?а§1йак1 §1Ы ЬеНЛеНт: А& к = (Аа к1, А а к2,..., Аакп)- е к + е , = (а к1 + а ,1, а к2 + а , а кп + а „).
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 49 АНЫКТАМА 1.: Вектор жолчо е = (а а2,..., а „) е 1, е 2,—, е „ вектор жолчолорунун сызыктуу комбинациясы деп аталат, эгерде е = Л , е, + Я 2 е2 +...+ Л „ е 5 болсо, мында Л / , Л 2 ,, Л 5 - анык сандар. АНЫКТАМА 2.: Вектор жолчолор е /, е 2 ,, е т сызыктуу көз каранды деп аталат, эгерде Л / е/ + Л 2 е2++Лт е т = 0 (1) болсо, мында Л /, Л 2,..., Л т сандары бир мезгилде нөлгө барабар эмес жана 0 = (0, 0, ..., 0). ТЕОРЕМА. Матрицанын вектор-жолчолору сызыктуу көз каранды болот, качан гана матрицанын кандайдыр бир жолчосу матрицанын башка жолчолорунун сызыктуу комбинациясы болсо. ДАЛИЛДӨӨ. Вектор-жолчолор е/, е2 ,..., ет сызыктуу көз каранды болсун б.а. (1) барабардык Лт^0 (жолчолордун ордун алмаштыруу аркылуу ар дайым Лт * 0. ) болгондо аткарылсын. Анда (1) барабардыктан мында Л' =----/ =1,2,...,т-1. Демек вектор-жолчо ет калган л, вектор-жолчолордун сызыктуу комбинациясы болот. АНЫКТАМА 3. Вектор-жолчолор е,, е2,..., ет сызыктуу көз каранды эмес деп аталат качан гана (1) барабардык Х1 = = = Хт = 0 болгондо гана аткарылса. ТЕОРЕМА 2. Матрицанын рангы ал матрицанын сызыктуу көз каранды эмес жолчолорунун же мамычаларынын максималдуу санына барабар. ДАЛИЛДӨӨ. Берилген т х п - өлчөмдүү матрица А нын рангы г(А) = г болсун (г < т!п(т; п)). Бул болсо матрицанын нөлдөн айырмалуу болгон г - тартиптеги минору табылат дегенди билдирет. Матрицанын ар кандай нөлдөн айырмалуу болгон г - тартиптеги минорун базис минор деп айтабыз. Анык болсун үчүн бул базис минор
АУ1Т А8АМОҮ, ВАМ1Х НАГАТОУ 50 Ь|МЕЕКСЕВ|К ТАММ 1.: е = (а I, а 2,—, а „) за11г - уекхбгйпе е /, е 2,..„ е , заОг уск(бг1епп Ппеег котЫпегопи бетг, е|ег е — Я/ е/ + Л 2 е2 +... + Л „ е , । .<•. Вигаба Л/, Л2,-, Л , -гее1 зауйагдп. ТАММ 2.: е /, е 2....е т зайг - уек(:бг1еппе Ппеег Ьа£ип1| уск(<>11<т |<тг, е£ег I Л/е/+Л2е2+...+ Лтет = 0 (I) 18е. Вигаба Л /, Л 2,.... Л т зауПаппт еп аг Ыпз! 81йгдап £агк11 о1асак(п О = (0, 0,..., 0) сЬг. ТЕОКЕМ: Ви таХпзт заЬг-уекЮйеппт Ппеег Ьа§ип11 о1таз1191 п §егек \ с ус(ег §ай, Ьи таЬпзт ЬегЬап§1 Ыг заЬппт тайазт <П§ег заЬНаппт Нпеег .18РАТ: 8аЬг-үек(6г1ег е ,, е 2 ,..., е т Нпеег Ьа§ппН о1зип1аг, уат (1) с!?1111|1 Л т * 0 ЬаШе 8а§1апзт (8а(г1апп уеНепт с1е§1$игте убп1егту1е А, т Ф 0 $аП1т кагапаЫПпг). О хап ап (1) е§кН§тс1еп а11П2. Вигаба Д =--------1=1,2,...,т-1. Оетек ет заЬг-уекЫги Ы£ег ( ка!ап заПг-уексбНегт Нпеег котЫпегопидиг. ТАММ 3.: е/, е2,.., е,„ 8а11г-үек1бг1еппе Ипеег Ьа^шшг уек1бг1ег детг, с£ег (1) е?Ы1§1 апсак Л/ = Л2 =... = Лт= 0 о1ди§и ЬаНе 8а§1апаЫНг8е. ТЕОКЕМ: В1г та1пзт Капк1 о таТпзт 1теег Ьа§1гп812 заЬНаппт уеуа кпеег Ьа§1гп812 ко1оп1апта заушпт такзтаитипа е§1Шг. 18РАТ: ҮегПептхп -сЯдиТй А таТпзт К.апк1 г(А) = г о18ип (г < тт (т,п)) Ви 18е таГпзт 81Нгс1ап Гагкк г-тЫ теИеЬеЬеп ттбп! Ьиктиг с!етекНг. МаЬчзт Ьег Ьап§1 Ыг 81Г1гс1ап Гагкк г-тс1 тейеЬескт тиюгйпе Ьаг гтпбг йетг. АускпЬк 19111 Ьи Ьаг ттбг
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 51 «11 «12 • ••«1, д = «21 «22 ' •«2, а । а • (2) болсун. Анда матрицанын е;, е2 >•••> е, жолчолору сызыктуу көз каранды эмес болот. Чындыгында эле тескерисинче алар сызыктуу көз каранды болсун дейли. Бул учурда бул жолчолордун бири, мисалы ег жолчону калган жолчолордун сызыктуу комбинациясы болот б.а. е, = Л , е, + Л2е2 +...+ Л,., е,./ (3) Эми матрицанын 1-жолчосунун элементтерин Л, ге көбөйтүп, 2- жолчосунун элементтерин Л2 ге көбөйтүп жана ушул сыяктуу улантып, акырында (г - 1) - жолчосунун элементтерин Л ге көбөйтүп, аларды матрицанын г - жолчонун элементтеринен кемитип, г - жолчону нөлдүк жолчого өзгөртөбүз. Бул өзгөртүүлөрдү Д аныктагычына жүргүзсөк, аныктагычтардын 8-касиетинин негизинде аныктагыч Д өзгөрбөйт. Бирок бул өзгөрүүдөн кийин, (3) формуланын негизинде Д аныктагычтын г - жолчосу нөлдүк жолчо болгондуктан, ал аныктагыч Д = 0. Бул (2) формулага карама-каршы. Демек, жолчолор е/( е2,..., е, сызыктуу көз каранды деген биздин оюбуз туура эмес. Бул е/, е2,..., е, жолчолорун базис жолчолор деп айтабыз. Эми матрицанын каалаган жолчосу бул базис жолчолордун сызыктуу комбинациясы болорун көрсөтөбүз. Ал үчүн көз каранды Д аныктагычына / - жолчо жана у - мамыча кошулган матрицанын (г +1) - тартиптеги төмөнкү минорун карайлы: а 11 а । «а । а । а^а,2 -ап «,/ а11 •" а,Г
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1/. КАГАТОУ Ы№ЕКСЕВ1К Д = Д12 •” а2] а22 ...а2 *0 (2) а/} а/2 ...а^г н1 дт. $ц На1(1с та1г1з1п е /, е 2., ет 8айг1ап 1теег Ьа§ип812с11г1аг. Оег^екСсп, 1м|1т| сс1е11т к1 1ег8ше, Ьи 8аЬг1аг Ппеег Ьа§1т11д1г1аг. О гатаг Ьи за11г1апп Iнпм, бтс£|п е{ 8айп сН§ег заЬНапп Кпеег котЬтегопи о1иг, уат е, — Л / е 1 + Л 2 е 2 + Л > -/ е{./ $ппсП 1 -тс1 зайгт е1етап1апт X] Пе ^аграНт, 2-пс1 заЪгш е1етап1апп1 / |1е <;агра11т, уе Ьта Ьепхег 1§1ет1еп деүат едегек зопипйа (г-1 )-тс1 мнИгтт с1етеп]апт Хг.] Пе ^аграпбап зопга оп1агт Ппеег котЬтехопи г-Н1С1 мн1пч1ап <?1ка1а11т. Воу1есе таГпзт г-тс! 8айп 81йга йбпй^йг. Үикапс1ак1 |1бп(1^(1т1еп Д деТегттапй йхеппе уарагзак сНегттапЙапп 8-1пс1 бгеШёте цбгс (1е1егттап( с1е§1§те2, ата (3) &гтй1йпйп пейсезтйе Д де1егттап1пнп । тс1 яайп 81йг зайг о1с!и§ипдап Ьи сНегттап! Д = 0 о1иг. Ви с1а (2) 1<итй1йпе каг§1Шг. Ви 9еП$к1с1еп е ь е2,..., ет 8айг1агтт 1теег Ь нйт81х11§1 еМе есННг. Ви е /, е2, ., ет зайгкгта Ьаг яайНаг бешг. $1тсН та1п81п Ьег 8айп Ьи Ьаг 8айг1агт Нпеег катЬтегопи о1аса^Ш1 ^оч1егесе§1х. Випип 1?т Д сНегттапйпа та1п8т 1-тс1 зайп үе ]-тс1 ко1опипа ск!еу1р ек1еу!р еШе есШеп (г+1)-тс1 теПеЬейеп ттбгйпй §02 бпйпе а!а11гп: С7И а}2... аь а}; с/ 21 а 22... а 2 р а 2 д’ = а,, агг ...а„ аг] ал а12... а„ а^
53 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Матрицанын рангы г ге барабар болгондуктан, жогорудагы +1) - тартиптеги Д’ минору нөлгө барабар. Бул Д’ минорун акыркН кошулган мамычанын элементтери менен ажыратып төмөнку формуланы алабыз; Д = Ац+...+а,у АГу + ау Ау = 0 мында А]д - саны Д’ аныктагычын аныктаган матрицадагы ак) элементинин алгебралык толуктоочу (к = 1, 2,..., г, 0, А^ = Д 0. Акыркы барабардыкты Ац санына бөлүп, а^ элементин табабыз: <4) 5 = 1 мында X= - А^ /Ау = - А8/Д, А8] - 8 менен 1 ден көз каранды. Эми (4) формулада 1 санын өзгөртпөй, ал эми ] санын өзгөртүп (7 = 7, 2,..., п), (4) формуладан 1 -жолчо е, нин элементтери е2 ,..., ег жолчолорунун элементтери менен сызыктуу туюнтууларын көрөбүз. Башкача, айтканда в/жолчо (7 = 7, 2,..., т) - е{, е2,..., ег жолчолорунун сызыктуу комбинациясы болот: е, • 5=1 1.5. КӨНҮГҮҮЛӨР 1 (Р 2 2, матрицалары үчүн ЗА+2В, ЗА-В матрицаларын аныктагыла. ( 3 2. А = ( 3 в = 2 матрицалары үчүн 15 2А+5В, ЗА-2В, А+2В, 2А2, Ае , АВ матрицаларын аныктагыла. З.Төмөнкү матрицалардын көбөйтүндүсүн тапкыла:
АУ1Т АБАЫОУ, КАМ|Х КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕП СЕВ1К 54 । ||сп та(п8т К.апк1 г о1с!иёис1ап, уикапдак! (г+1). тег1еЬедеп Л 11II и с^Нйг. Ви Д ттбгйпй зоп ек1епеп ко1опа §бге а^агаак, а$а$1с1ик| П 1п/.: Д а ц Ац+... +с1г1 А^ + С1у Ау 0. «1а Лк! зау181 Д’ деГегпппапЬт ЬеПйеп таМзт ак, ектаттп к1(1г (к=1,2,...,г, 1), Ац = Д Ф 0. 8оп е§йИ|1 А у зау^зта Ьб!ег8ек. </,, н Ьи1игих: / г 5=1 (4) <1 = - Ау /Ау = - А5/Л, Ау - 8 уе / <1еп Ьа§1т11<11г. иН (4) ГогтйШпбе 1 зау181 де§1§те81п, уат заЬИ о1зип уе ] заукч! । (]=1,2,...,п). §и ЬаИе (4) ГогтйШпйеп 1 - тс! зайг е, пт е1етап1аппт <• _> ,...,ег заййаптп е1етап1апп<1ап Нпеег Ьа§ип11 о1дик1апш §бгйуоги/.. < .1111 е, 8айп (1=1,2,...,т) - е I, е2. ег заййаппт 1теег котЫпехопи о1иг: г е, - У • 5=1 1.5. АЫ§Т1КМАЬАК 1. л2 1 -Г Ь 1 -4/ (-2 (Р 2? та1п81еп 191П ЗА+2В/ В = I -з 1 2 ЗА-В та1п81епш Ьи1ипих . -2 "4 7 12 таЬпзкп 1<?т 2А+5В, ЗА-2В, в = ( 3 41 Л+2В, 2А2, А11 , АВ таЬпзкпт Ьи1ипиг . 3. А§а§1<1ак1 та(п81епп ^агртит Ыйипих:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕВРА 55 0 ( 1 1 1 3 0 1 2 1 1 0 -3 2 5 2) 3 -4 1 2 5 ; 3) 3 2 1 2 -5 3 3 2 0 1 2 2 3 4) -3 > ( 9 4 -6 6 -6 I- -4 ’ 5) ( 2 3 ( 0 1 0 2 0 0 3 6) ( о 2 0 ( 2 1 0 2 6 0 3 3 0 7) 4 3 1 5 3 -2 2 4 -1 2 7 4 8) ( 1 2 3) 9) -3 (6 -2 7) 3 5 ( 2 0> 4. А = 21 5 ’ 4 1 3 1 3 В = 1 0 С = 0 5 0 4 матрицалары үчүн В = (АВ)1 - С2 матрицасын тапкыла. ( 4 3 л 5; 5. А = л-28 93 л к 38 -126? "7 3" Ь 1, матрицалары үчүн АВС матрицасын тапкыла .
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ12 ЯАГАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 56 г 0 (>) 2 -З^ Г9 -6Л -б^ и -4, 1 л 1 ; 0 > 2 3 1 0 2 1 5 1 -1 0 3; Г 6 -2 7 8) ( 1 7) . 2 3 4) та1пз1еп 19111 В = (АВ)1 - С2 таШзш! Ьи1ипиг . В = л-28 93 к 38 -126? ' 7 З^ .2 1 . та1пз1еп 19111 АВС таШзт! Ьи1ипиг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 57 6. А = 1 4 2 0 5 2 3 В = 2 , С = (2, 0, 5) матрицалары үчүн В=АВС-ЗЕ матрица. матрицасын тапкыла. Мында Е3- 3 х 3- өлчөмдүү бирдик 7. А = 3 2 2 0 матрицасы үчүн А3 матрицасын тапкыла. 8. Төмөнкү аныктагычтарды эсептегиле: -5 4 2 ; 2) 3 -4 -2 . 5 ’ ; 3) СО8СГ 81па -81па соа 4) 4 7 2 5 8 3 6 9 ; 5) 3 8 2 4 7 -1 -5 -2 8 ; 6) 3 8 2 6 16 4 -5 -2 8 7) 10) а -1 а 1 1 1 а -1 3 1 1 а 1 а 1 1 3 1 ; 8) 1 1 3 1 1 1 2 3 1 3 6 9) 2 0 3 3 1 -1 1 1 2 2 6 0 -1 3 1 ; 11) 2 2 6 2 3 1 2 3 -3 -1 1 0 4 2 0 -5 4
АУ1Т А8А1ХОУ, КАМ1/> НАГАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 58 П-АПС-ЗЕ, та1п81Ш Ьиктиг . Вигас1а Е3-ЗхЗ- б^йШЫпт та1П8кНг Г1 1 7. А= 3 -1 I -1 2 , та£п81 19111 А3 таШзт! Ьи1ипиг . Н. Л$а£1с1ак1 с!е(:егттапНап ЬезарЫуииг: 1 \ -1 4 3 -2 соза - 81110' 1 / -5 2 > -^/ -4 5 >/ соа 1 2 3 3 4 -5 3 6 -5 4) 4 5 6 ; 5) 8 7 -2 ; ( 5) 8 16 -2 7 8 9 2 -1 8 2 4 8 7) а 1 -1 а а -1 а 1 ; 8) а 1 1 1 1 2 3 1 3 ; 9) 6 2 0 3 3 1 0 2 -1 2 3 6 I 10) 3 1 1 I 3 1 I 1 3 1 1 1 1 1 3 2 2 3-3 4 1 -1 2 2 1 0 3 0-5
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛ ГЕБРА 59 9. Төмөнкү аныктагычтарды эсептегиле. 2 5 1 3 4 3 2 3 ; 2) 114 1 2 13 0 3 12 1 4 110 ; 3) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 4) 1111 1-111 11-11 111-1 ; 5) 2-512 -3 7-14 5-927 4-612 ; 6) 1 1 1 2 -3 1 4 -1 -5 0 12 3 4 2 3 4 1 3 4 12 4 12 3 1 1 1 10. 11. 8) 5 -3 6 3 2 4 1 4 8 7 1 0 3 5 1 1 0 3 2 6 1 4 0 Х1 хг хз = (х? ~ Х/)(х3 — х2)(х3 — х^) экендигин көрсөткүлө. х; Ху 1111 х, хг х3 х4 2 2 2 2 х, х2 х3 х4 х\ х\ х\ Хд = (х2 - Х/)(х3 - х2)(х3 - х,)(х4 - х3)(х4 - х2)(х4 - Х1) экендигин көрсөткүлө.
60 Л\ 11 А.ЧЛКОУ, КЛМ1/ КЛЕЛТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ|К с1е1епгнпап11ап Ие8ар1а1П1х: 2 5 I 3 4 3 2 3 I ) 114 1 2 13 0 3 12 1 4 110 0 1 1 0 1 1 0 3) 1 1 1) 1111 1-111 11-11 111-1 ; 5) 2-512 -3 7-14 5-927 4-612 ; 6) 1 1 1 2 -3 1 4 -1 -5 1 2 2 3 3 4 /) 3 4 1 4 1 2 1 1 1 10. Х| х2 х3 = 7 2 7 х- х2 х3“ <х2- 1111 4 1 2 3 : 8) 0 -3 5 -3 1 6 3 5 1 2 4 10 14 3 2 8 7 6 1 0 3 4 0 Х1)(х3 - х2)(х3 - 11. х, х2 х3 х4 х) х\ х3 х4 X]3 х| х3 х4 = (х2 - Х/7 (х3 - х^) (х3 -X/) (х4 - х3) (х4 - х^ (х4 -X,) о14и§ипи §081епгЙ2
АВЫ Г АСЛНОВ, РЛМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕЬРА 61 (х, - х,) экендигин көрсөткүлө. 1 </<у <п 13. Фирма эки гүрдүү сырьёну колдонуп, үч түрдүү продукцияны чыгарат. Түрүнө карата бир даана продукцияны чыгарууга сарп кылынган ар бир сырьёнун нормасы А = <2 1 матрицасы менен берилген. Сырьёнун ар бир түрүнүн бирдигинин баасы В = (10 15) матрицасы менен берилген. Фирманын 100 даана 1-түрдөгү продукцияны, 200 даана, 2 - түрдөгү продукцияны жана 150 даана 3-түрдөгү продукцияны чыгарууга сарптаган жалпы чыгымын аныктагыла 14. Төмөнкү матрицалардын тескери матрицаларын тапкыла: -8 -5Л 7 -1 5
АУ1Т А8АЫОУ, НАМ|Х ЯАГАТОУ Ы^ЕЕКСЕВ1К 62 Р.ШН1 уб81еПП12. Ни Пгта 2 Шг1и Ьат тасИеу! киПапагак 3 Шг1й таЬзи! а1так1ас11г. 1ис убге 1 1апе таЬзиШ йгейпек 19111 Ьагсапап Ьег Ыг Ьат тасШепт пи 2 1 3 1 3 4 181 Ие уегПтфк. Нат тасШепт Ьег Ыг Шгйпйп Ыпттт Луай (10 15) та1п81 Пе уегПтфк. Рптпатп 100 айе! 1-тс1 Шг таЬзиШпй ас!е( 2-1ПС1 Шг таЬзиШпй уе 15 айе! 3-йпсй Шг таЬзиШпй йгейпек 191П апап Шт тазгай Ье8ар1аут12. Л$а£н1а үегПеп тайгзШпп 1егз таСпзкпт Ыйипиг '3 -4 5" 4)А = 2 -3 1 3 -5 -ъ л3 2 2' ь > А = 1 3 1 .5 3 4 ^1 2 2^1 5)А = 2 1 -2 , ч2 -2 -8 -5Л 7 -1 5 V
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕВРА 63 15. А = 0 2 -Зл 1 2 о 4; матрицасы үчүн В = 11(А‘1)): + Ае матрицасын тапкыла 16. А = 2 [о 4 Р 5 -1 А 1, матрицасы Л санынын кандай маанилеринде тескери матрицага ээ болбойт? 17. Төмөнкү п - тартиптеги аныктагыч үчүн: х а ... а а х ... а = [х + (п -1) а](х - а)”'1 а а .... х экендигин далилдегиле 18. 21 1-1 3-1 1-2 аныктагычын эсептегиле 1 + / 3 1-1 1 + 2 0 19. Төмөнкү матрицалардын рангын аныктагыла: '2 5 6Л р 3 7 2 5Л 1)А = 4 -1 5 ; 2) А = -1 0 4 8 3 2 -6 -1, ч 3 6 10 -4 V 1 7 р ( 1 2 1 4^ 1 2 5 3 3) А = 0 5 -1 4 ; 4) А I = 0 0 0 0 С1 3 4 Ь А <0 -1 0
АУ1Т А8АКОУ, КАМ1/, КАГАТОУ Ь|МЕЕКСЕВ)К 64 'I 2 -3" 10 12 I 0 4? таГпз! 1<?1п В = ЩА’1)^ А1 ма1пз1П1 Ьи1ипи2. ,Л 4 Р I 2 5 И 0 Л 1, таТпз! X заушпт Ьап§1 <1е§ег1еп 1$т 1ег§ 1г1нс |1нро1ата2? Л$и£к1ак1 п. теПеЬесЛеп 4е1егт1пап119111 х а ... а а х .... а , = [х + (п -1) а](х - а)п' а а ... х •”;||Ц§тт §аё1апаса§1П1 §бз!:епп12. 1+/ 1-1 3-1 1Н. 21 3 1-2 <1е1егт1пап1т1 Ьезар1аит12 1-1 1 + 2 0 19. А?а§к1а уегПеп та1пз1епп К.апкт1 Ьи1ипиг : (1 3 г 2 I) А = 4 ^2 3) А= 0 <-1 5 6" -1 5 ; -6 -1, 2 1 4Л 5-14 3 4 6? 7 2 5^ 4 8 3 10 -4 7? (0 1 7 4^ ^0-10 о;
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 65 л2 -1 3 -2 4Л '3 5 7" 5) А = 4 -2 5 1 7 ; 6) А = 1 2 3 , <2 -1 1 8 <1 3 Т>А = 3 5 -Р -1 -3 4 1 -1 7 <7 7 9 1; <1 0 0 0 5^ 9) А = 0 0 0 0 0 <2 0 0 0 и; 3 2 2 л 2 1 1 0 3 3 ? ч 2 3 6 > '0 2 0 0 11) А = 2 3 1 6 ; 12) А = 1 0 0 4 9 ь 1 2 6 > ь 0 3 20. Төмөнкү матрицалардын сызыктуу көз каранды эмес жолчолорунун максималдуу санын тапкыла: 1)А = ^2 0 3 5 О 4 3 17 5 03-5-3 3 ч2 3 -2 2 4, ; 2) А = г3 -1 3 2 5 4 5-3234 1 -3-50 -7 к7 -5 1 4 1? <2-4 3 1 0 4-74-45
АУ1Т А8АМОУ, НАМ|Х НАЕАТОУ Ь1М£ЕЯСЕВ1К 66 '2 -1 3 -2 4" (3 5 7" 1 4 -2 5 1 7 ; 6) А = 1 2 3 , <2 -1 1 8 <1 3 г /> 4- ' 1 2 5 г 3 -1 1 7 5 -3 -1 9 -Г 4 7 Г / ; 8) А = 2 3 2 4 6 3 6 9 4 л 8 12,1 9 / 1 0 0 0 5 ' Г4 3 2 2 \ •п 1 = 0 0 0 0 0 ; 10)А = 0 2 1 1 9 2 0 0 0 11 0 3 3 / ( 1 2 3 6 л ( 0 2 0 0 11)Л = 2 3 1 6 ; 12) А = 1 0 0 4 9 г 1 2 6 , 0 3 о^ /0. А§а£1с1а уегПеп та1пз1епп Нпеег Ьа§1тз12 заНйагтт зауПаптп тнЫтитипи Ьи1ипих: (1 0 3 5 Г 4 3 17 5 03-5-3 3 Г 3 -2 2 4у (3 -1 3 2 5> Г -5 1 4 Г <2-431 0 3) А = -2 1 -4 1 -1 3 2 1 <4 -7 4-4 5
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 67 1 ГЛАВА. ЖООПТОРУ: л2 5 -3 л л8 2 -З^ 1. ЗА + 2В = ч-6 7 -8, , ЗА-В = 1 -14, Г21 16 л л3 -14^ 2. 2А + 5В= , 3 А - 2 В = ч 20 17, ч Н -22, 2 " 0 > 4Л 12 ’ 2Л2 -10 3. 1) 9 , 1° зл 3> ; 2) ( 1 3 и 5 10 9 -5' 0 -7 / ; 3) 3 ( Ь; 3 9 1 (о 0 ( 6 5 л _ 4) 5) 6) 4 : 2 2 1о 0; 12 2/ 9 ( 3 V "5 б^ ' 24 -8 28 А ( 9 7) 6 .1 9 7; ; 8) (13). 9) -18 <зо 6 -10 -21 35^ . 4. 22 -13^ 9, 8.1) 18; 2) 26; 3) 1; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7) 4а 8) 1; 9) 0; 10) 48; 11) 48. 9. 1) 40; 2) 0; 3) 2; 4) -8; 5) -9; 6) 40; 7) 160; 8) 0. 13. 28000. 14. 1) л-2 ч1,5 1 -0,5, 2) -5 -4\ 3 ’ 3) -38 17 41 -34 -29 24,
ЛУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1г КАГАТОУ Ы|ЧЕЕКСЕВ|К 6« ВбЬЁМ 1. СЕУАРЬАК: (I /) 10 10 -6 21 20 4 I 12 ’ 5) ЗА-В = (8 -и; 17 ’ ЗА-2В = А' = 2) 11 -14^ -22Г -2 10 -7 6) АВ = -8 3) г10\ < 8 ’ 28^ 9 ; 7; 8) (13). 9) -18 -21 -13> 6. -3 15 30 -10 35 22 7. \1 И ( т 5 7 -8 ’ 3 5 2 0 2 5 3 2 3 0 \ 0 ’ 0 3 2 6 3 2 9 5 2 0 -4 ’ Г 24 Ю > 7 0 0 Г 3 4 9 6 ( 7 0 0 2 2 0 0 7 3 . 4. 9 9 о > 0 34 0 82 0 0 7 ') 18; 2) 26; 3) 1; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7) 4а 8) 1; 9) 0; 10) 48; 11) 4 I) 40; 2) 0; 3) 2; 4) -8; 5) -9; 6) 40; 7) 160; 8) 0. 13. 28000 “14. 1) л-2 ,1,5 1 -0,5 2) ' 7 <-5 -4 3 3) -38 -1 1 л 41 -34 - 29 24? 27
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 69 4) "-8 -5 , 1 29 18 -3 -7 1 5) - 9 1 -2 -2 6) - 5 15. -12 -6 4 4) 3; 20. 1) -2 2 -4Л -1 7, 7) — 13 "-12 -7 .-1 17 11 -4 -43л -24 4, 5) 2; 16. {-8; 1}. 18. -5+271. 19. 1) 2; 2) 2; 3) 3; 6)2; 7)3; 8) 1; 9) 2; 10)3; 11)3; 12) 3. 2; 2) 3; 3) 3. 9 1 2 8 0 2 5 2 2 2 1 2 ГЛАВА. СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ 2.1. НЕГИЗГИ ТҮШҮНҮКТӨР ЖАНА АНЫКТАМАЛАР Теңдемелеринин саны т, ал эми белгисиздеринин саны п болгон сызыктуу алгебралык теңдемелердин системасы жалпы түрдө төмөнкүдөй жазылат: + «12х2 + ... + а,„х„ =ЪХ, а2}х}+а22х2+... + а2пхп =Ь2, а т\х\ + ат2х2 + - + атпх„=Ьт. Мында а,2, Ъ, (1=1, 2,..., т,]=1, 2, ...,п) - белгилүү сандар, х;, х2,..., х„ - биз издеген белгисиз сандар, а,2 - белгисиздердиц коэффициенттери деп аталат, ал эми Ъ, - системанын бош мүчөлөрү деп аталат.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ17. КЛЕЛТОУ Ь11ЧЕЕКСЕВ1К 70 н I 29 -11\ р IX -7 5) — 2 9 -з 1) и 2 2" 1 -2 -2 р 9 -2 -4Л 1 2-1 ,-12 1 7, 7) <-12 17 -43" 11 -24 -4 4, ( 5 2 °1 Г. -6 8 2 , 4 0 5 , 16. {-8; 1}. 18. -5+271. 19. 1) 2; 2) 2; 3) 3; |.3, 5)2; 6)2; 7)3; 8) 1; 9) 2; 10)3; 11)3; 12) 3. । 1)2; 2) 3; 3) 3. ВОЬБМ 2. Ы1ЧЕЕК СЕВ1К8ЕБ ОЕ^КЬЕМ 818ТЕМ1 2.1. ТЕМЕЬ КАУКАМЬАК ҮЕ ТАММЬАК Оепк1ет1епп зауш т, Ье11г8121епп зау181 п уе е§й Ппеег сеЫгзе! Зепккт •.г.1с1П1 §епе1 ЬаМе а$а§1с!ак1 §1ЫсНг: + а12х2 + ... + а1„х„ = Ьх а2Хх{ + а22х2 +... + а2пх„ = Ь2 (1) атЛ +ат2х2+- + атпхп=Ь„, Вигада ач, Ь, (1=1, 2,..., т, ]=1, 2, ...,п) - ЫНпеп зауПагЫг, х2, х„ - пгапап ЫНптеуеп зауйагЫг, ац - Ы1ттеуеп1епп ка^зауйапЫНаг, - ЫНпеп |\ |1аг(11г.
АВЫТ АСАНОВ, РАМШ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 71 Суммалоо белгисинин жардамы менен (1) системаны кыскача төмөнкүдөй жазууга болот: = Ь, (/ = 1, 2, .... т). (2) 7 = 1 АНЫКТАМА 1.Эгерде х,= х°, х2 = х°2,...,х„ = х°„ п санынын жыйындысын (1) системанын теңдемелерине койгондо, ал теңдемелердин ар бири барабардыкка айланса, анда ал п сандын жыйындысы (1) системанын чыгарылышы деп аталат. АНЫКТАМА 2.Эгерде (1) система жок эле дегенде бир чыгарылышка ээ болсо анда ал система биримдүү деп аталат. АНЫКТАМА З.Эгерде (1) системанын эч бир чыгарылышы жок болсо, анда ал система биримдүү эмес деп аталат. Жалгыз гана бир чыгарылышка ээ болгон биримдүү система аныкталган деп аталат. Ал эми бирден көп чыгарылышы бар биримдүү система аныкталбаган деп аталат. Мисалы: Х| + х2 =10 X' - х2 =10 системасы биримдүү жана аныкталган, себеби бул система жалгыз гана (10; 0) чыгарылышына ээ болот; 2%, + х2 =5; 4х, + 2х2 = 11 системасы биримдүү эмес, себеби эч бир чыгарылышы жок; + Зх2 = 6 2Х] + 6х2 =12 системасы биримдүү жана аныкталбаган, себеби бирден көп чыгарылышка ээ (х/ =6 - ЗС; х2 = С, мында С - каалаган сан). Теңдемелердин эки системасы тең күчтүү же эквиваленттүү деп аталат, эгерде бул эки системанын чыгарылыштарынын көптүктөрү дал келсе (бир көптүк болсо). Берилген (1) системаны матрицалык формада жазуу үчүн төмөнкү белгилөөлөрдү кийирели:
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 КАЕАТОУ О1ЧЕЕКС ЕВ1К 72 Горкипа зстЬоП уагскгтуЫ (1) 818(егт кдзаса а?а£к1ак1 §1Ы уах11аЫ1п. £ а.х^Ь, (1 = 1,2,..,т). (2) /=| ТАММ 1.: Е§ег х°, х2 = ,...,хп = х* п зауПаптп 1<>|>1и1и&и (I) 81$1етт (1епк1ет1егтс1ек1 уег1егте копбигиШи^ипПа (1спк1с1п1спп 1)С1 Ыг1 бгс1е§Н§е йбпйуогза, о хатап Ьи зауЯаг 1ор1и1и§ипа (I) 818№пйп1п ^блйти йешг. ТАММ 2.: Е§ег (1) 81з1етт еп аг Ыг ?бхйтй уагза, о гапып Ьи 818(ете ^бхйкЬПеп 8181ет йешг. ТАММ 3.: Е§ег (1) 8181етт Ы? Ыг ?бхйтй уокза, Ьи нЫ’ ^бгШтех 8181ет йешг. Е§ег србгШеЬПеп 8181еп1т уа1шг Ыг 1ек ^бгйтй үагза, Ьи 818(етс (аттк 8181ет йешг. Е§ег ^бхШеЬПеп 818{еггнп Ыгйеп Гах1а ^бхйтй уш о гатап Ьбу1е 8181ете 1атт81х 818кт йешг. бгпе§т хх + х2 =10 < -Г| - х2 = 10 мь1ет ^б/ШеЬПеп 8181етс11г, ауш хатапйа 1ашт1к11г, ^йпки Ьи 818(етт уа1ш/ Ыг (10, 0) ^бхйтй уагсЫ. 2хх + х2 = 5; 4х} + 2х2 = 11 ч18(епй ^бхШтех 8181етсНг, ?йпки Ьи 8181етт Ы? Ыг србгйтй уокшг. Х} + З.Г2 = 6 2%| + 6х2 = 12 818(егт <;бхй1еЫ1еп уе Тагптзигскг, фйпкй Ьи 8181ет1п Ыгйеп Га/1а ^бхйтй \агй1г: (х; =6 - ЗС; х2 = С, Ьигас1а С- кеуй Ыг зауИи) УегИеп 1к1 з.Мош 1ш । Ыппе йепкНг детг, е£ег ЬиЫагт <?б7йт сйт1е1еп Ып Ыппе йепк ье (уагй аут сйт1е 1зе). УегПеп (1) 8181ет1т тайз уагдтиуЫ уахтак ата?1у1а а§аёк1.|М '.стЬоПеп каЬи! ейеНт:
ЛВЫТ АСАНОВ, РЛМИЗ РЛФЛТОВ СЫЗЫКТУУ А.)11 ЕБРЛ 73 Мында А-белгисиздердин коэффициенттеринин матрицасы же (1) системанын матрицасы, х- белгисиздердин вектор-мамычасы, Ь - бош мүчөлөрдүн вектор-мамычасы. Эми + а]2х2 + ... + а1пхп Ах = аих} + а22х2 +... + а2пхп + - + атпХп) болгондуктан, (1) системаны төмөнкүдөй жаза алабыз: Ах = Ь (3) Бул (3) формула, (1) системанын матрицалык формада жазылышы деп аталат. 2.2. БЕЛГИСИЗДЕРИ п БОЛГОН п СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ. КРАМЕРДИН ФОРМУЛАСЫ ЖАНА ТЕСКЕРИ МАТРИЦА МЕТОДУ Эми берилген (1) системада белгисиздердин саны менен теңдемелердин саны барабар болсун, б.а. т = п болсун: а\\х\ + апх2 + ... + а}пхп = Ь}, а2}х} + а22х, + ... + а2пхп = Ь2, а„\х\ +а„2х2 +- + аппхп =Ь„- Төмөнкү белгилөөлөрдү кийирели: (4)
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ|Х НАЕАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 74 ВшаНа А ЫНптеуеп1ег ка^зауПаппт та1г131с11г, х-ЫНттеуеп1епп ко!оп- Уск 1бг0, Ь - ЬПтеп заЬШепп ко1оп-үек1бгйс1йг. $1тсН <а11х, + а12х24-... + а1йх„ Й^Х, + Д22Х2 + ••• + а1п^п И„1*1 + ат2х2+... + атпхп) ок!иёипс1ап (1) 8181:ет1т а§а§1дак1 ?екН(1е уахаЫНпх: Ах = Ь (3) ҮегНеп 5151егтп Ьи (3) Гогтипа (1) 5151ет1тп таШз Гогти детг. 2.2. п В1Ы1ЧМЕҮЕ1ЧЫ УЕ п ЫМЕЕК ОЕ^КЬЕМОЕ^ ОЫ)$А1Ч В1К 818ТЕМ. СКАМЕК ЕОКМЁЬЁ УЕ ТЕК8 МАТК18 МЕТООБ §1тЫ уегПеп (1) 515(:еттс1е ЫНптеуеЫепп 5ау151 Непк1ет1епп зау181па е§11 окип, уат т = п о15ип; о гатап а^х, + «|2х, + ... + а1пх„ = Ь}, а2|Х, +а22х2 +... + а2пхп = Ь2, (4) «п1х, +ай2х2 +- + «„Л =Ьп у| а11П2. КаЬи1 едеНт И
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 75 Вп= а\\а\2- а\п а2\ а22 •*• а2п ап\ ап2-а. ... а •** «2,я-1 Ь^ • ап,п-\ ь. В.= ,В = Мында Ац - А толуктоочу (7,у = /, 2,.. формада жаза алабыз: ^1 «12 - а\п Ь^ «22 *** «2л ьп а„2 -а, ^21 ^22 Д , В2 = а\\ Ь\ ••• Я|„ б/2| Ь2... а2п ап\ •••апп ) Д21 ••• Ап1 ^12 ^22 •’• 4,2 пп 7 4?! 412 •*• ^пп ? ау элементинин алгебралык матрицадагы ., п). Анда (4) системаны төмөнкү матрицалык Ах = Ь (5) А = а а а , в' = КРАМЕРДИН ТЕОРЕМАСЫ. Эгерде Д = ае1А * 0 болсо, анда (4) система жалгыз чыгарылышка ээ болот жана ал чыгарылыш Д/ х7=— (]=1,2,...,п) Д формуласы менен аныкталат. Мында Д = . (6) ДАЛИЛДӨӨ. Биз (5) системанын эки жагын тең В1 матрицасына көбөйтөлү: В'Ах =В'Ь<=> (В'А)х = В'Ь (7)
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ<2 КАГАТОУ Ь11ЧЕЕКСЕВ1К 76 ' (/|| "12 " • "|„ \ а12.. • а\п \ '"11 \ - • а\п \ II "?2 " - «2„ , в,= Ь2 а22.. .. а2п , В2= "21 ' •• "2„ ! | -ат \рп ап2 • • • апп ) '\\ ••• "1,И-1 "1 ••• "2,„-1 , в = Д1 Дг ••• А1п ^21 ^22 ••’ ^2п ,в1 = 41 ^21 ••• А|11 Д2 ^22 ‘••4/2 < ан\ ••• ап,п-\ > ^п2 ••* ^пп ) \4/7 ^2п ••• ^пп ) <1и’. Вигада Ад- А та1п81п<1ек1 е1етаптт коГакСбгйПйг (1,)=1,2,...,п). Чц 11а1с1е (4) 8181:егтт та1пз1ег уагс11гту1а а?а§к!ак1 §екПс!е уахаЫПпх: Ах = Ъ (5) СКАМЕК ТЕОКЕМ1: Е§ег Д=<1е1АА) 1зе (4) $1$1епн уа1тх Ыг 1ек убхите заЫр о1иг уе Ьи ?бхйт Д, *г~ () = 1, 2,...,п) (6) А ГогтйПеп уагскт1у1а 1ап1т1атг. ВигаПа Д] = (1е1В 2 сНг. 18РАТ.: (5) 8181етт Ьег 1к11агайт В' та1п81 Пе уаграгзак: В’Ах =В'Ь <=> (В‘А) х = В'Ь у! а11П2
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 77 Мында (8) (9) Аныктагычтын 7-касиетинин жана Лапластын теоремасынын негизинде, (8) формуладан төмөнкүнү алабыз: С„ =ХАЛУ=0’ сп = £4,4, =<^А = Д 5=1 Демек, В1А = ЛЕп , мында Еп-пхп - өлчөмдүү бирдик матрица. Аныктагычтын 9-касиетинин негизинде, (9) формуладан төмөнкүнү алабыз: су=ХМ=(1е1В)=Д1’ ] = 1,2,...,п (10) 5=1 Эми В‘А = ДЕп жана (10) формуларынын негизинде (7) системасын төмөнкүдөй жаза алабыз: А-ху=Ду а = 1,2,...,п). (11) Эгерде Д Ф 0 болсо, анда (11) системадан (6) формуланы алабыз. Теорема далилденди. Формула (6) Крамердин формуласы деп аталат.
АУ1Т А8А1ЧОҮ, ЯАМ1Х КАГАТОУ Ь1^ЕЕКСЕВ1К 78 ВигаНа (8) с,='ЕАА. 0 = 1.2.-.") <»> 5=1 (Нг. 0е(:епптап11п 7. 6ге1П§т уе Ьар1асе Теогепй пеНсезтде (8) ГогтйШпдеп =1ХЛ/ = °’ ] ’8е у! а11пх. Эетек 6,- =^4А/ =<1е1А = Д 5 = 1 В'А = ЛЕ„ сйг. ВигайаЕ„-пхп - б!$й1й Ыпт таГпзИп1. ОеГегттапИп 9-ипси 6хе1Н§1 пеПсезтде (9) ГогтйШпдеп п с/=ае1В1= Д1’^=1’2’-’п <101 5=1 у! а11П2. §1тсН В ' А = Л • Е„ уе (10) ГогтйПеп §еге§тсе (7) 8181епйт а$а§1<1ак1 §1Ы уахаЫНпх: = а = 1,2,...,п). Е§ег Л^О хзе (11) йеп (6) е§йНк1епп1 аПпх. Теогет 1зра1:1апт1§11г. (6) ГогтйПеппе Сгатег ГогтиПеп с1етг. (II)
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 79 Эми (4) системаны тескери матрица методу менен чыгаруу үчүн А = с1е(А Ф 0 болсун дейли. Анда А матрицанын тескери матрицасы А1 жашайт жана А'1= — В' болот. Д Берилген (5) системаны А'1 тескери матрицага сол жагынан көбөйтүп А'1 (Ах) =А''Ь ны алабыз. Бирок А''(Ах) =( А''А)х = Е„х = х болгондуктан, (4) системанын тескери матрица методу боюнча чыгарылышы х=А''Ь (12) вектор-жолчосу болот. МИСАЛ. Төмөндөгү системаны х + 2у-г = 2 < 2х - Зу + 2г = 2 Зх + у + г = 8 а) Крамердин формуласы менен чыгаргыла; б) Тескери матрица методу менен чыгаргыла. ЧЫГАРУУ. а) Бул учурда 1 2 -1 А = с1е(А =2 -3 2 = -3 +12-2-(2 + 4 + 9) = -8* 0 3 1
АУ1Т А8ЛМОУ, КЛМ17 КАГАТОУ 80 к1МЕЕКСЕВ1К $1тсП (4) 8181ет1П11егз та1п8 те1оди Пе ^б/тек 19111 сНуеПт к! Д - с1е(<Л *() о18ип. $и ЬаМе А тайчзтт 1ег8 та1п81 Пе зо! (агайап ^аграгзак А''(Ах) = А''Ь у! а11пх. Ата А''(Ах) =(А''А)х = Е„х = х о1с!и§ипс1ап (4) 8181еттт 1егз т.Н 1пя уагскгтуЬ ?бгитй х = А''Ь (12) .чаОг - уексбгй о1иг. ОК1ЧЕК: А§а§1с1ак1 х + 2у- х = 2 < 2х — Зу + 2г = 2 Зх + у + г = 8 М81еппт а) Сгатег ЕоппйПеп уагсйгтук; Ь) Тегз МаТпз МеСойи уагс11т1)у1а <,б2йпйх. СОХЁМ: а) Вигайа 1 2 -1 Д = <1е1А =2 - 3 3 1 2 = -3 + 12-2-(2 + 4 + 9) = -8 Ф 0
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 81 2 2 8 Д| = <7е/Б/ = Д2 = с1е1В2 = Д3 = Ве1В3 = 2 -3 2 -3 -1 2 1 -1 2 1 =-6 + 32-2-(4 + 4 + 24) =-8; = 2 + 12-16-(16 + 4-6) =-16; = -24 + 12 + 4-(2 + 32-18) = -24 2 3 2 2 8 2 3 2 2 8 Эми Крамердин (6) формуласынын негизинде Д, -8 . Д, -16 _ Д3 -24 . х = —- =— = 1; у = —=---= 2; 2 = —- =--= 3, Д -8 Д -8 Д -8 б.а. (1; 2; 3) берилген системанын чыгарылышы болот. б) Төмөндөгү А = 2 3 2 -3 2 , 1> Ь = 2 белгилөөлөрүн >8, X = х У г киргизсек, система Ах = Ъ түрүндө жазылат. Эми А’1 тескери анда берилген матрицасын табуу үчүн, Д = с!е1А жана А,, алгебралык толуктоочторду (7,у = I, 2, 3) табалы: Д = Ве1А = 2 -3 = -8*0, 2 3 2
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|Х КАГАТОУ ЫНЕЕВСЕВ|К 82 2 2 1 Д| = (1е1В1 = 2 -3 2 : =-6 + 32-2-(4 + 4 +24) =-8; 8 1 1 1 2 -1 Д2 = с!е(В 2 = 2 2 2 = 2 + 12-16-(16 + 4-6) = -16; 3 8 1 1 2 2 Дз = (1е1В3 = 2 -3 2 =-24 + 12+ 4-(2+ 32-18) =-24 3 1 8 $1тсН Сгатепп (6) ГогтйПеп §еге§тсе Д. -8 X - —!- =--- Д -8 Д2 -16 э у = — =----= 2; Д -8 Д3 -24 . 2 = —=--= 3 Д -8 1иг, угш (1; 2; 3 ) үегПеп 8181етт ^бхйтйсШг, Ь) А?а§1<1ак1 нетЬоПеп каЬи! ебегзек уегПеп 8181егт Ах = Ъ §ек1тйе уахаЫНпг. §ткН А'1 1егз та1п81т ЫНтак 19111 Д=Ае1А уеА1} ко£ак1бг1епт (7.7 = 1,2,3) Ьи1а1ип: 1 2 Д = с!е1А = 2 - 3 -1 2 1 = -8*0, 3 1
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 83 Мындан Ап = (-1)|+1 А22=(-1)2+2 = 4; А23 = (-1)2+3 -3 1 " 4 -4 5 болот. Эми (12) формула боюнча X = А’'Ь = -3 4 5 -4 -л 1 (-8) Г(-5)2 + (-3)2 + 1-8 4-2 + 4-2 + (-4)-8 ^п-г+з-г+рэ-з, <8 -16 <-24, б.а берилген системанын чыгарылышы (1; 2; 3) болот. Крамердин формуласы менен тескери матрица методунун негизги жетишпегендиги, бул методдор көп эсептөөнү талап кылат. Ошондуктан белгисиздеринин жана теңдемелеринин саны көп болгон сызыктуу алгебралык системаны изилдөөдө бул эки метод практикада аз колдонулат.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАГАТОУ Ы^ЕЕКСЕВ|К 84 (||г. Вигайап -3 1 " 4 -4 5 -Л а11пх. §1т(Н (12) ГогтШйпе §оге <-5 -4 -л — 4 А 2 Ы 1 <(-5)2 +(-3)2 +1-8 4-2 + 4-2 + (-4)-8 к1Ь2 + 5-2 + (-7)-8, (-8) г-8 -16 <-24, 1 о1иг, уат уегПеп 8181етт ?бхйтй (1 ;2;3) й^Шайййг. Сгатег ГогтйШ уе 1егз тайчв теЮсШпип езав ек81кНк1еп §ип!агс!1г: Ьи теТосПаг $ок Гах1а кагта§1к Ье8ар1ата1ап §егектек1е<11г1ег. Ви пес!еп1е ЫНптеуегПегт уе йепк1ет1епп зауш Ьйуйк о1ап ИаШе Нпеег йепкк-т мзГепйт тсе1етес!е Ьи теТосНагт 1к181 йе ргаПк1е ?ок ах иу§и1аптак1ас1н 1<п
85 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 2.3. ГАУССТУН МЕТОДУ Теңдемелеринин саны т, ал эми белгисиздеринин саны п болгон (1) системасы берилсин, мында 0 (Эгерде ац^ 0 шарты аткарылбаса, анда системадагы теңдемелердин ордун алмаштыруу аркылуу ап&0 шартынын аткарылышына жетишебиз). Гаусстун методу - сызыктуу теңдемелер системасын чыгарууда белгисиздерди удаалаш жоюу методу. Бул методдо элементардык өзгөртүүлөрдүн жардамы менен теңдемелердин системасы тең күчтүү баскычтуу (же үч бурчтуу) системага келтирилип, ал системанын акыркы (номерине карата) теңдемесинен биринчи теңдемени көздөй бардык белгисиздери удаалаш табылат. Башкача айтканда Гаусстун методу төмөндөгүдөн турат: 1-кадам: Мында системанын 1-теңдемесинен башка теңдемелердин бардыгынан белгисизи жоюлат. Ал үчүн 1- а21 я31 а . теңдемени кезеги менен -----,--,...,- сандарына көбөйтүп, а}} а}} алынган теңдемелер 2-, 3 -,..., эң акыркы теңдемелерден кемитилип, төмөнкү системаны алабыз: апх\ +апхг+ ... + аУпхп = Ь{, а22х2 + ... + а2}хп = Ь2}, а"х2+... + а"хп=Ь", Мында /,; = 2,з, а\ 1 а\ 1 2-кадам: Эми а22 Ф 0 болсун (Эгерде =0 шарты аткарылбаса, анда теңдемелердин ордун алмаштыруу аркылуу же белгисиздердин номерлерин өзгөртүү аркылуу а22 * 0 шартынын аткарылышына жетишебиз). Акыркы алынган (13) системанын 1- жана 2-теңдемелеринен башка теңдемелердМй бардыгынан х2 белгисизин жоебуз.
Х6 АУ1Т АХАМОҮ, КАМ1/. КАГАТОҮ 1,|М1К СЕВ1К 2.3. СА1188 МЕТОО1) 0епк!ет1епп зау181 т, ЫНптеуеЫепп зау181 1§е п уее§к(1) ^скНп<1>- Ыг 8181ет1 уепкт уе а//^0о18ип (е§ег ац= 0 18е 8181етс1ек1 бепк1етк1 т уеНепт <1е§1§Нгегек ац^О ^агНт 8а§1ауаЫНпх). Саи88 те(ос!и - Нпеег с!епк1ет 818(егтт рбхтебе ЫПптеуеЫеп зп-ахп 1.1 8Нтек те(ос1ис1иг. Вигаба е!етап1ег ко1оп орегазуоЫап уагскт1у1а с1епкк т мх1егт тегсНуап (уеуа й?кеп) 8181етте йбпй^ШгйШг уе 8181етт мт (1спк1еттс1еп Ьа$1ауагак Ыппс1 <1епк1етте кабаг Шт Ы1ттеуеп1ег 81га«1у 1а Ьиктиг, уат 6аи88 теГойи а§а§к!ак1 §1Ы<Нг. 1. АВ1М: Вигайа 1-тс1 <1епк1ет кап<? Ьег <1епк1етс1ек1 х, ЫНптсуст а2| а , 8|Нп1г. Випип 19111 1-тс1 с1епк1епи 81га81у1а -,--— а\\ а11 а\1 яауНап Не раграг уе еШе есН1еп <1епк1ет1еп 2., 3.,... зоп <1епк1етс1еп рШаппх. () /атап а^а^Шак! 818(егт акпх: ЯцХ, + а12х, + ... + а1пх„ = Ь}, а22Х2 + ••• + а2пХп = Ъ2^ а^х2+... + а^хп=Ь^ (13) а(1> +... + Л = Ь0}. т2 тп п т Вигайа (0 а1/а:1 < (I) , а1\^\ • • -> т ао =ао---------’ ь' =ъ>—= 2,3,...,П 1 а\ 1 с11Г. 2. АВ1М: $1’тШ а22 Ф 0 о18ип (е§ег *8е <1епк1ет1епп уеНепш с1е§18Шегек уеуа ЫНптеуеЫепп тсНзкпт <1е§1§Нгегек а22 0 ?агШн 8а§1ауаЫ11П2). Ви зоп (13) 818(етт 1-тс1 уе 2-тс1 <1епк1егт Напс Шт <1спк1ет1егс1ек1 х2 ЫНптеуетт зНепх.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 87 Ал үчүн 2-теңдемени кезеги менен ур- сандарына «22 «22 «22 көбөйтүп, алынган теңдемелер 3-, 4-,..., эң акыркы теңдемелерден кемитилип, төмөнкү системаны алабыз: «11Х1 + «12Х2 + «13Х3 + - + «|Л = ^1’ а22х2 + а33х3 + ... + а2)хп = Ь2}, а(3г)х3+... + а(г)хп=Ь(г), (14) «^3+-+«^=е- Мында а(,)а(,) атЬт а22 а22 Бул процессти улантып, (14) системанын кээ бир теңдемелеринен жогорудагыдай жол менен х3 , х4 ,..., х^ белгисиздерин жоюп, төмөнкү системаны алабыз: «цХ, +а|2х2 + ахзх3+... + ах,хг + а|>г+|хг+1 + ... + а1пхп = ЪХ, а22х2 + а23х3 + ... + а(,)х1 +н*1)г+|х,+1 +... + а(,)хп = Ь(21), + «,(7>,+1 +......+ «ГЧ=^Л о = Ь(г~1), [ о = Ь\\ (15) Мында ац*О, Д',<,'~1, Ф 0, / = 1,2,..., г. Берилген (1) система менен (15) система тең күчтө. Ал эми (15) системадан төмөнкү теоремалардын туура экендиги келип чыгат.
АУ1Т А8АМ)У, КАМ(Х КАЕАТОУ 1.1,\ЕЕК(ЕВ(К 88 а(|) а(1) а(1) Ви педеп!е 2-пс1 (1епк1епн 81га81у1а —вауйап Ие даграпх уе «22 «22 «22 с!де есШеп депк1ет1еп 3., 4.,..., зоп <1епк1епк1еп 91каппг. ИеПседе «ИЛ1 + «12Х2 + «13Х3 + «22 х2 + а°Гз + аззхз + • + «1Л =6,, + <х„=Ь(2}, атЗХ3 +• +а^хп=ьГ- (14) у| а11пг. ВигаПа а°}а('} л(1)Л(1) С<2э ^22 <Пг. Ви 1§1ет1еп деуат едегзек (14) $1$(еттт Ьа/1 <1епк1ет1епгк1еп уикапдакта Ьепхег уоп1ет1епп уаг<11т1у1а х3 , х4 ,..., х,.: Ы1ттеуеп1епт м!епг үе а?а§к1ак1 8181егт а11пг: <7,!%! + а|2х2 + а|3х3 + ... + а1гх, + а,,+1хг+| + ... + а,„х„ = ЪХ, «22 Х2 + «23 Х3 + "• + «2г Х> + «2 г+1 •*>+! + "• + ^2п^п ~ ^2 ’ «гч +«,<;+1ч+1 +........+«Г;Ч =ь(г\ (15) о-ъг'}. Вигада ац*0, а(' Ф 0, / = 1,2,..., г , <Иг. УегПеп (1) 8181ет1 Пе (15) 8181егт Ып Ыппе <1епкНг1ег. (15) 8181егтгк1еп де а§а§к!ак1 Сеогет1епп 8а§1апаса§1 еШе едШг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 89 ТЕОРЕМА 1. Эгерде (15) системадагы сандарынын жок дегенде бирөө нөлдөн айырмалуу болсо, анда (1) система биримдүү эмес система б.а. (1) системанын эч бир чыгарылышы жок. ТЕОРЕМА 2. Акыркы (15) системадагы д^|),...,б£’-1) сандарынын бардыгы нөлгө барабар болсо, анда (1) система биримдүү система болот. Мында төмөнкү эки учур болушу мүмкүн! 1)Эгерде (15) системада белгисиздердин саны мене! теңдемелердин саны барабар б.а. г = п (бул учурда (15) система ү1 бурчтуу түргө келет) болсо, анда (1) система жалгыз чыгарылышк| ээ: Бул учурда (15) системанын акыркы теңдемесинен жогор| карай хг, х,.!,..., х, белгисиздерин аныктайбыз; 2) Эгерде (15) системада г < п болсо, анда (1) система хг+дЯ белгисиздери эркин өзгөрмөлөр болгон чексиз чыгарылышка ээ| Бул учурда (15) система баскычтуу система болот жана (151 системанын акыркы теңдемесинен жогору карай хг , хг.1 ,..., системага өтүү процесси Гаусстун методунун түз жүрүшү деп аталат, ал эми (15) системасынан хг, хг./,..., х, белгисиздерин табуу процесси Гаусстун методунун тескери жүрүшү деп аталат. Гаусстун өзгөртүүлөрүн (1) системанын теңдемелерине жүргүзбөстөн, ал системанын коэффициенттери менен бош мүчөлөрү аркылуу түзүлгөн 41 «12 ••• а\п Ь\ б?2[ @22 "• а2п ^2 \,ат\ ат2 атп ^т > кеңейтилген матрицага жүргүзгөн ыңгайлуу болот х, + 2х2 + Зх3 - 2х4 = 6, 2х, + 4х2 — 2х3 - Зх4 =18, Зх, + 2х2 - х3 + 2х4 = 4, 2х, - Зх2 + 2х3 + х4 = -8 1-МИСАЛ: ( системасын Гаусстун методу менен чыгаргыла.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ12 КАЕАТОУ ЫНЕЕКСЕВ1П оп ТЕОВЕМ 1: Е§ег (15) 8181еттс1ек1 Ъ{ГГ+ХХ\...)Ъ^ 2)8ау11аптп еп п/ Ьн 81йг<1ап ГагкЬ 18е (1) 8181епн ^бгШтегдй, уат (1) 8181еттт Ы? Ьп <,<»/шн уокШг. ТЕОКЕМ 2: Е§ег (15) 8181еттс1ек1 зауПаппп 1и |н 81йг 18е (1) 8181егт ^бхШеЬНеп 8181етс11г. Вигаба а§а§1дак1 1к1 1ш1 •»<» копизи о1аЫНг: 1) Е§ег (15) 8181еттс1е ЫНптеуеЫепп зау181 с!епк1ет1егт зауып] 18е, уат г=п (Ьи ЬаШе (15) 8181егт и?§еп §ек1те ббпизиг) 18е (11 8181егт 1ек ^бгите заЫр о1иг. §и ЬаШе (15) 8181еттт зоп с!епк1еттс1е| Ьа$1ауагак уикап 1ага£а §Шег8ек, хг, хг./,..., х 7 у1 ЬЫигих. 2) Е§ег (15) 8181еттс1е г < п 18е (1) 8181ет1, х/+7,..., X, ЫНитеуеШеп кеуй бе§1§кеп1ег о1так йгеге зопзиг 8ауШа ^бгйгЫеге 8аЫ|: о1иг. §и Ьа1де (15) 8181егт тегсНуап 8181егтт о1и§1игиг уе (15), 8181егттг 8оп беепк1еттбеп Ьа81ауагак уикап 1ага£а §Шег8ек хг , х,..} ,..., х, ЫНптеуеЫепЫ хг+1,...,хп кеуй с1е§1§кеЫеппе Ьа§11 о1агак ЬШигих. Уеп1еп (1) 8181еттдеп опа депк о1ап (15) 8181етте дбпй§й 1§1ет1еп1| Саи88 теЮдипип до|ги убпи детг. (15) 8181еттдеп хг, х,^,..., х{ ЫНптеуеЫепЫ ЬЫтак убЫетше Саи> теЫдипип 1:ег8 убпй детг. Саизз дбпй§йтйпй (1) 8181еттт депк1ет1еппе де§П Ьи 8181ет| ка18ау11ап үе за§ 1агайак1 ЫНпеЫег йгеппе, уат а?а§1дак1 §еЫ§1еН1т1§ Ч. ап... аХпЪх ' ^21 ^92 *** п \^т| ^т2 "'^тп ^т ) та1п81 йхеппе ййхепкгзек , 1§1ет1ег даЬа ко1ауса уарПи. ОК^ЕКк х, + 2х2 + Зх3 - 2х4 = 6, 2Х| + 4х2 - 2х3 - Зх4 =18, Зхх + 2х2 - х3 + 2х4 = 4, 2х, - Зх2 + 2х3 + х4 = -8 8181етт1 Оаизз теТоди уагскт1у1а ^бхйпйх:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 91 ЧЫГАРУУ. Берилген система үчүн '1 2 3 -2 6 Л 2 4-2-3 18 В = 3 2-124 ,.2 -3 2 1 -8, матрицасы кеңейтилген матрица болот. Эми В матрицанын жолчолоруна төмөнкү элементардык өзгөртүүлөрдү жүргүзөбүз: 1-КАДАМ. Мында ап =7# 0, болгондуктан, В матрицанын 1- жолчосун кезеги менен 2; 3; 2 сандарына көбөйтүп, алынган жолчолорду 2-, 3-, 4- жолчолордон кемитип, акыркы үч жолчодон х/ белгисизин жойобуз, б.а. төмөнкүнү алабыз: /Т 2 3-2 0 -4 -8 -10 -7 -4 5 6 > Г1 2 3 -2 6Л 6 0 -4 -10 8 -14 -14 0 0 -8 1 6 -20, <0 -7 -4 5 -20, 0 0 Мында экинчи жана 3-жолчолорду алмаштырдык. 2-КАДАМ. Акыркы матрицада = -4^0 болгондуктан ал Э ("7) 7 А - матрицанын 2-жолчосун —— = — санына көбөитүп алынган жолчону 4-жолчодон кемитип, акыркы эки жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а. 2 3 -2 6^1 0 -4 -10 8 -14 00-81 6 ^0 -7 -4 5 -20,1 3-кадам: Акыркы матрицада а(£ Т 2 3 -2 6 ' 0 -4 -10 8 -14 00-8 16 к0 0 13,5 -9 4,5, = -8^0 болгондуктан, ал матрицанын 3-жолчосун —— =-------санына көбөйтүп, алынган — 8 \ 16> жолчону 4-жолчодон кемитип, 4
АУ1Т А8АМОУ, КАМ|Х КАГАТОУ ЫКЕЕК СЕВ1К СОХйМ: ҮегПеп 5181ет 19111 П 2 3 -2 В = 4 -2 -3 18 2-124 ^2-32 1-8; та1п61 §ет§1еЫгт? таЫзйг. §1тсН Ьи тайчзт зайг1ап й/еппе а$а£|9Я1 е1етап1ег <1опй§йт1еп уарайт. 1. АВ1М: Вигаёа а{1 =7# 0, о1с!и§ипс1ап В таййзтт 1-тс1 8а11пп| 51га51у1а 2, 3 уе 2 Пе ^аграИт уе е1<1е есШеп зайНап 2-тс1 , 3-йпси уе 4 йпсй 8айг1агс1ап 91кага11т. КеНсейе зоп й? зайгйап X/ ЫНптеует зШтг, у:т! а$а§1с1ак1 та1п81 акпх: ^1 2 3 -2 6 '\ 2 3-2 6 0 0-8 16 0 -4 -10 8 -14 в~ 0 -4 -10 8 -14 0 0-8 16 ,0 -7 -4 5 -20. ,0 -7 -4 5 -20 Вигайа 2 - тЫ уе 3 - йпсй 8айг1апп уег1епт с1е§1§11гс11к. 2. АБ1М: 8оп таТпзйе а)) = -4^0 о1с1и§игк1ап Ьи таТпзт 2-тЫ (-7) 7 зайпт -------= — зауш Пе сагракт уе еНе есШеп зайп 4-йпсй заЬгйап (-4) 4 ?1кага11т. Вбу1есе зоп 1к1 зайгйак! х2 ЫНптеуетт зПепх, уат Л1 2 3 -2 6 Г1 2 3-2 6 " 0 -4 -10 8 -14 0 -4 -10 8 -14 0 0 -8 1 6 0 0 -8 1 6 <0 -7 -4 5 -20, <0 0 13,5 -9 4Л тайчзпи еШе ейепг. 3. АВ1М: 8оп таТпзСе =—8^0 о1с!и§ипс1ап Ьи тайчзт 3-йпсй зайпт 13,5 -8 27 > 16 ) зау181 Пе еаграйт уе еШе есШеп зайп 4-йпсй зайгёап
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 93 акыркы жолчодон х3 белгисизин жоебуз, б.а. (1 2 3 -2 6 л (1 2 3 -2 6 " -14 0 -4 -10 8 -14 0 -4 -10 8 0 0 -8 1 6 0 0 -8 1 6 4,5^ 117 117 .0 0 13,5 -9 0 0 0 '~16~ ~8~, Акыркы матрицага, төмөнкү система туура келет: х, + 2х2 + Зх3 - 2х4 = 6, - 4х2 - 10х3 + 8х4 = —14, - 8х3 + х4 = 4, 117 117 I 16 4 8 колдонуп, бул Мындан, Гаусстун методунун тескери жүрүшүн системанын 4-теңдемесинен х4 =-2 ни алабыз; 3-теңдемеден 6 - х. 6 + 2 . х3 =------=------= —1; -8 -8 „ -14 + 10х3-8х4 -14 +10(-1)-8(-2) 2-теңдемеден х2 =------------- =-----------------= 2; -4 -4 1-теңдемеден х7= 6 - 2х2-Зх3 +2х4=6- 2-2-3-(-1)+2(-2)=1 болот. Демек (1; 2; -1; -2) берилген системанын чыгарылышы болот. 2-МИСАЛ. х, + 2х2 + Зх3 - х4 = 0, Х| — х2 + х3 + 2х4 = 4, х, + 5х, + 5 х3 - 4х4 = -4, х, + 8х, + 7х3 - 7х4 = 6
АУ1Т АЗАМОУ, КАМ1Х КАЕАТОУ Ь|КЕЕКСЕВ1К 94 ^кагаЬт. 14ейсес1е зоп зайгдак! *3 ЫИптеуетт зПепх, уат а?а£|<1.|к пш1п8! акпх: Г1 2 3 -2 6 л Г1 2 3 -2 6 л -14 о -4 -10 8 -14 0 -4 -10 8 о 0 -8 1 6 0 0 -8 0 13,5 1 6 4,5у 117 117 -9 0 0 0 - Лб" ~8~, Вигабак! зоп та1г1зе а§а§1с!ак1 81з1ет каг§1 §еИуог: х, + 2х2 + Зх3 - 2х4 = 6, — 4х2 -10х3 +8х4 = -14, " - 8х3 + х4 = 4, 117 117 ------х4 =----. I 16 8 Вигаба Оаизз теМипип 1егз убпйпи иу§и1агзак Ьи 8181етт 4-йпсй 4спк1етт<1еп х4 =-2 у! айпх; 3-йпсй йепНеттйеп 6 - х4 6 + 2 , Хз = ----- =----- = —1 -8 -8 I Ьи1игих; 2-пс1 йепИетйеп _ -14 +10х3-8х4 _ -14 + 10(-1)-8(-2) _ -----------------_---------------------_ 2 -4 -4 \1 а1|П2. 1-тс1 <1епк1етс1еп йе х/= 6 - 2х2-Зх3 +2х4=6 - 2-2-3-(-1)+2(-2)=1 Ц|иг. Оетек уегПеп 8181етт ^бхйтй (1; 2; -1; -2) сПг. ЛК^ЕК 2.: х, + 2х2 + Зх3 - х4 = 0, х\~ х2 + х3 + 2х4 = 4, < х, + 5х2 + 5 V, - 4х4 = -4, •• *- 8 г । 7, 7 г -6
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 95 ЧЫГАРУУ. Бул система үчүн 2 3-1 (Г 1-1124 В = 1 55-4-4 Ч1 8 7 -7 6, матрицасы кеңейтилген матрица болот. 1-КАДАМ. Мында ац=1А) болгондуктан, 1-жолчону кезеги менен 2-, 3-, 4-жолчолордон кемитип, белгисизин жойобуз, б.а. <12 3-1 0 0 акыркы үч жолчодон 0^1 -3 3 -2 3 4 2 -3 -4 ^об 4-6 6; 2-КАДАМ. Акыркы матрицада аУ = —3^0 болгондуктан 2- 3 жолчону ------= (~1) санына көбөйтүп, алынган жолчону, 3- (~3) жолчодон кемитебиз, андан кийин 2-жолчону = (-2) санына (—3) көбөйтүп, алынган жолчону 4-жолчодон кемитип, акыркы эки жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а. Д 2 0 -3 0 3 ч0 6 3 -2 2 4 1 3 -3 - 6 0" 4 -4 6, <1 0 0 2 -3 0 0 3 -2 0 0 -1 0л 3 4 0 0 0 14, <123-1 0-3-2 34 ^0 0 0 0 14,
АУ1Т А8А^ОУ, ЯАМ1х КЛГАТОҮ Ы1\ЕЕК СЕВШ 96 СОХ11М: $и 8181ет 19111 Л1 2 1 -1 1 5 Ь 8 3 -1 0" 1 2 4 5 -4 -4 7-7 6, та1п81 §ет§1е111т1§ таСпзйг. 1.АВ1М.: Вигайа ац=1*0 о1<1и§ипс1ап 1-тс1 зайп 81га81у1а 2-тс1, 3 йпсй, 4-йпсй 8а11г1агс1ап 91капп2. Вбу1есе зоп й? 81га<1ак1 х/ ЫНптеуеш чШтгп? о1иг, уат Л1 2 0 -3 0 3 6 3 -1 0л -2 3 4 2 -3 -4 4 -6 6, у1 а11П2. 2. АВ1М: Ви зоп тайНзСе =-3^0 о!<1и§ипс1ап 2-тс1 за1п < 3 (-3) = (-1) зауш Ие (?аграп2 уе еИе есШеп зайп 3-йпсй зайгйап 91каппх. □ака зопга 2-пс1 зайп ^4^ = Н) 8ау181 Пе ^аграпх уе еШе есШеп зайп 4-йпсй зайгйап 91каппх. Вбу1есе зоп 1к1 8айгс1ак1 х2 ЫПптеуетт 811епг, уат (\ 2 0 -3 0 3 ч0 6 3 1 0> <1 2 3 -234 0-3-2 2 -3 -4 0 0 0 4 -6 6; 1^0 0 0 -1 0 л 3 4 0 0 0 14, (\ 2 3 -1 0 > 0-3-2 34 ^0 0 0 0 14,
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 97 Мында нөлдүк 3-жолчону алып салдык. Акыркы матрицага, төмөнкү система туура келет: х, + 2х2 + Зх3 - х4 =0, < - Зх2 - 2х3 + Зх4 = 4, 0 = 14, б.а &32) =14^0. Демек теорема 1 боюнча (0=14 карама- каршылыгынан), берилген системанын биримдүү эместиги келип чыгат. 3-МИСАЛ. ( х, + 2х2 - х3 =7, 2х, - 3 х2 + х3 =3, 4х, + х2 - х3 = 17 системасын Гаусстун методу менен чыгаргыла. ЧЫГАРУУ: Бул система үчүн Г1 2 -1 7^1 В= 2 -3 1 4 <4 1 17> матрицасы кеңейтилген матрица болот. 1-КАДАМ. Мында ац=1А) болгондуктан, кезеги менен экиге көбөйтүлгөн 1-жолчону 2-жолчодон кемитип жана төрткө көбөйтүлгөн 1-жолчону 3-жолчодон кемитип, акыркы эки жолчодон X/ белгисизин жойобуз, б.а Г1 2 -1 7> В~ 0 -7 3 -11 1° -7 3 -11} (—7) 2-КАДАМ. Акыркы матрицада а22 =-7^0 жана -—- = (1) (-7) болгондуктан, 2-жолчону 3-жолчодон кемит^п х2 белгисизин жойобуз (мында х} белгисизи да жоюлат) б.а.
98 АУ1Т А8А1ЧОУ, ПАМ1Х КАГАТОУ Ы1ЧЕЕП СЕВ1К нн||Г1К1П1 ЬиЫгиг. Вигада 3-йпсй зайг, уагн 81Г1Г зайг 81Нпт1§йг. Ни 8оп таСпзе а§а§к1ак1 8181ет каг§1 §еПуог: х} 4- 2х? + Зх3 - х4 = 0, - Зх2 - 2х3 + Зх4 = 4, 0 = 14, уши Ь\2} = 14 Ф 0 скг. Ветек 1еогет 1т §еге§тсе уеуа 0 14 ^сй$те8тдеп 8181етт Ы? Ыг ^бгйтй о1таск§1 огТауа £1к1уог. ОК^ЕК 3.: х} + 2х2 - х3 = 7, < 2х^ - 3 х2 + х3 =3, 4х^ + х2 - х3 = 17 । 1ст1Ы Саи88 те!оди уагдтиу^а ^бхйпйх. (^ОХйМ: Ви 8181:ет фп Г1 2 -1 7> В= 2 -3 1 4 Н 1 -1 п; та(П81 §еЫ§1еШпй§ тайазНг. 1. АВ1М: Вигайа ап=1*0 оШи§ипйап 1-тс1 заНп 2 Не ^аграпг уе е!де еййеп зайп 2-тс1 зайгдап (?1капп2 уе 1-тс1 8айп 4 Пе ^аграпг үе еМе есЫеп Найп 3-йпсй зайгйап 91капп2. 8опи<?да зоп 1к1 зайгдап X/ ЫНптеуеЫЫ Н|1еп2, уаЫ '\ 2 -1 7> В~ 0 -7 3 -11 к0 -7 3 -11, т.1(п81 еИе едШг. 2.АВ1М: Ви зоп таТпз^е = -7^0 (-7) үе —— = 1 о1с!и§ип(1ап ’ тс1 8а11п 3-йпси зайгйап ?1кагагак х2 ЫПптеуетт зПепг (Вигайа аут ' нпапйа х2 ЫНптеуетт йе 81Птг), уат
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 99 2 -1 В~ 0 -7 3 к0 -7 3 7^ Г1 2 -1 -11 -0-73 -п; (^о о о 7^1 2 -1 7' -7 3 -11, Мында нөлдүк 3-жолчону алып салдык. Акыркы матрицага төмөнкү система туура келет: х, + 2х2 -х3 = 7, - 7х2 + Зх3 =-11. (16) Акыркы система баскычтуу система, мында г = 2 < 3 = п. Демек, Хз - эркин өзгөрмө болот жана (16) системанын экинчи теңдемесинен х2 белгисизин аныктайбыз, андан кийин (16) системанын 1-теңдемесинин белгисизин аныктайбыз: 1 27 —х,3--- Жообу: 3 11 — X. 4--- 7 3 7 х3 - каалаган сан.
АҮ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАРАТОҮ Ы^ЕЕК СЕВ1К 2 -1 -7 3 -7 3 2 -1 -7 3 0 0 Л1 2-1 ч0 -7 3 11)||1п81П1 Ьи1игих. Випа каг§111к §е1еп 8181ет йе а$а§к!ак1 §1ЫсПг: х, + 2х, - х-, = 7, < (16) -7х2 + Зл3 =-11. Боп 81§1ет тегШуап 8181егтс11г, уе г 2 < 3 = п сНг. Оетек х3 кеуЬ |‘^1чкепс11г уе (16) 8181еттт 2-тс1 с!епк1еттс1еп х2 ЬПттеуетт Ьи1иги/ ||».18опга (16) 8181етт 1-тс1 с!епк1еттс1епX/ ЬПттеуетт ЬеНгПпг: Ь ишг. 8181етт ^охйтй, уат сеүаЬ1 §ис!иг: 1 27 —д\+— <1а Хз кеуЛ зауккг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 101 2.4. БЕЛГИСИЗДЕРИ п БОЛГОН т СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ Эми биз (1) системаны жалпы учурда изилдейбиз. Ал үчүн төмөнкү белгилөөлөрдү кийирели: а|2... • «1« а\\ а]2... а,„ Ъ А= #2] б?22 •• • а2П , в = #2] &22 •’ а2п ‘ \ат\ •• атп ) ^ат\ ат2 * ” атп ьт> мында матрица В - (1) системанын кеңейтилген матрицасы деп аталат. Берилген (1) системанын чыгарылышка ээ болушу жөнүндөгү суроого төмөнкү теорема жооп берет: КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИНИН ТЕОРЕМАСЫ. Берилген (1) система биримдүү система болот качан гана бул системанын А матрицасынын рангы кеңейтилген В матрицанын рангына барабар болсо, б.а. г (А) = г (В) болсо. Биримдүү система үчүн төмөнкү теоремалар туура болот: ТЕОРЕМА 3. Эгерде (1) система биримдүү система болсо жана г(А) = п болсо, анда (1) система жалгыз гана чыгарылышка ээ болот. ТЕОРЕМА 4. Эгерде (1) система биримдүү система жана г(А)< п болсо. анда (1) система чексиз чыгаоылышка ээ болот. Эми г = г(А)< п жана г(А) = г(Аг) болсун. Мында <аг| аг1...агг ; Анда х/, х2,..., х г белгисиздери негизги же базистик өзгөрмөлөр деп аталат. Ал эми хг+/,..., х„ белгисиздери негизг^ эмес же эркин өзгөрмөлөр деп аталат.
102 АУ1Т АХАМОУ, ПАМ1/, КАЕАТОҮ ЫМ£ЕН СЕВ1К 2.4. п В11Л^МЕҮЕМЛ т ЫМЕЕВ СЕВЁ18ЕЕ ОЕМКЬЕМ 818ТЕМ1 $ткН Ых (1) 8181еш1 §епе1 ИаИе тсе1еуесе§12. Ви пес1еп1е а§а£Ыак! 1Ьо11ег! §02 бпйпе а1а11т: (2, । ап ... • °|| а12 ••• Ъ А = а21 С?22 •• • а2п , в = а,, а,2.. а2п 1 \ат\ а,п2 • а,т ) \ат\ ат2 ’ •• атп Ът; ВигайаЫ В та^пзте 8181етт §еш81еШгт§ та1п81 йетг. УегПеп (1) 8181етт ?б2йт 8аЫЫ о1та81 зогизипи а?а§Ыак1 (еогет уат11аг: ККО^ЕСКЕК-КАРЕЫД ТЕОКЕМ1: УегПеп (1) 8181егтпт 9б2й1еЫ1еп 8181ет о1та81 фп §егек уе уе!ег §аг1 Ьи 8181етт А пШгЫ Капктт §ет$1еЫгт§ В та1п81 Капкта е§к о1та8к11г, уат г (А) = г (В) сНг. Сб2й1еЬПеп 8181ет 19111 а$а§к!ак11еогет1ег 8а§1атг1аг: ТЕОВ.ЕМ 3: Е§ег (1) 8181егт ^бгШеЬПеп 18е уе г (А) = п 18е (1) 8181егт уа1ш2 Ыг 1ек ^бгйте заЫрПг. ТЕОК.ЕМ 4: Е§ег (1) 8181ет1 ^бгШеЬПеп 18е уе г (А) < п 18е (1) 8181егт м)П8и2 8аук1а 9б2йт1еге 8аЫрНг. §1т(П г = г (А) < п үе г (А) = г (А ,) о18ип. Вигайа сНг. О гатап х}, х2 ,..., хЬПттеуеЫеппе езаз уеуа Ьах (1е§1§кеп1ег с1спп \;хп ЬПттеуеЫеппе 18е езаз о1тауап үеуа кеуй Пе§1§кеп1ег Петг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 103 Бардык эркин өзгөрмөлөр нөлгө барабар болгондогу (1) системанын чыгарылышы (1) системанын базистик чыгарылышы деп аталат. Берилген (1) системанын бардык базистик чыгарылыштарынын саны , _ п(п -!)...(«- (г -1)) _ п\ п г! г!(и-г)! санынан ашпайт. 1-МИСАЛ. Төмөнкү 2х, - х2 + х3 - х4 = 5 < х, + 2х2 - 2х3 + Зх4 = -6, (17) Зх, + х2 - х3 + 2х4 = -1 системанын биримдүү же биримдүү эмес экендигин аныктагыла. ЧЫГАРУУ. Мында (2 -1 1 -Р <2 -1 1 -1 5Л А = 12-23 , в = 1 2-2 3-6 <3 1 -1 2, <3 1 -! 2 -1 , Элементардык өзгөртүүлөрдүн жардамы менен кеңейтилген В матрицанын рангын эсептейли: 4 2-23 -6' В~ 2 -1 1-1 5 ч3 1 -1 2 -1, <12-2 3 0-5 5 -7 17 ~ 0 0 0 0, г (В) = 2 жана А ~ [12-2 3 -0-5 5 -7 17 - ч0 -5 5 -7 17, Л1 2 -2 3 Г? ,0 -5 5 -7 17, р 2 -2 3 л 1° -5 5 7; ‘
104 АУ1Т А8А1ЧОУ, НАМ|Х НАГАТОУ Ь11ЧЕЕНСЕВ1к Тйт кеуй с!е§1§кеп1ег 81Пга е§К ос!и§и Ьа1с1е (1) 8181етт ^охйтйпс Ьи (I) нЫетт Ьаж ^бгйтй йетг. Уегйеп (1) 818(етт Шт Ьаг ^бхйпЯеппт 8ау181 _ п(п - 1)...(я - (г -1)) _ п\ г\ г\(п-г)\ чиү|$1П(1ап Ьйуйк о1атаг. бк^ЕК 1 А§а§1с1ак1 2Х] - х2 + х3 - х4 = 5 < X, + 2х2 - 2х3 + Зх4 = -6, (17) Зх, + х2 - х3 + 2х4 = -1 м^етт ^бхШеЬИеп 8181ет уеуа ^бгШтех 8181ет оШи§ипи тсекутхх. СОХЁМ: Вигаба (2 -1 1 -Р А= 1 2 -2 3 ,3 1 -1 2, <2 -1 1 -1 5> В= 1 2 -2 3-6 к3 ! -1 2 -1, с!|г. Е1етап1ег с!бпй§ит1епп уагсЬпиук §ет$1еЫгт8 В тайазтт К.апкш1 1)С8ар1ауа11т. <1 2 -2 В~ 2 -1 1 ч3 1 -1 3 -6> <12-2 3 -15-0-5 5-7 2-1) (О -5 5 -7 6 л 17 2 -2 3 6Л 0-5 5-7 17 ч0 0 0 0 07 Л1 2 -2 3 6> к0 -5 5 -7 17) сНг. г(В) = 2 үе А - "1 2 -2 -5 5 3 л
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 105 Мындан г(А) =2 = г(В) болот демек, Кронекера-Капеллинин тео- ремасы боюнча берилген системанын биримдүү экендиги келип чыгат. 2-МИСАЛ. Жогорудагы 1-мисалдагы (17) системанын бардык базистик чыгарылыштарын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Берилген (17) сгстеманын матрицасынын рангы экиге барабар. Демек, (17) системанын бир теңдемесин алып салсак болот. Мисалы, 3-теңдемесин алып салсак болот. Негизги өзгөрмөлөрдүн группасынын жалпы саны с,=<:) = (;)= санынан ашпайт. Ошовдуктан, негизги өзгөрмөлөрдүн группалары төмөнкүдөй жолдор менен түзүлүшү мүмкүн: х/, х2 х, ,х3; х: ,х4; х2, х3 ; х2 ,х4; х3 ,х4 . Берилген системанын 1-жана 2-теңдемесиндеги х; менен х2 нин коэффициенттеринен түзүлгөн матрицанын аныктагычы 2 -1 1 2 = 5*0 болгондуктан, х; менен х2 өзгөрмөлөрү негизги өзгөрмөлөр болот. Ушундай эле жол менен X/ ,х3; X/ ,х4; х2 ,х4; х3 ,х4 өзгөрмөлөрү негизги өзгөрмөлөр болорун көргөзө алабыз. Ал эми х2, х3 өзгөрмөлөрү негизги өзгөрмөлөр болбойт, себеби, х2 менен х3 өзгөрмөлөрүнүн коэффициенттеринен түзүлгөн матрицанын аныктагычы Эми х/, х2 өзгөрмөлөрүн негизги өзгөрмөлөр деп алып, системанын 1-базистпк чыгарылышын табалы. Ал үчүн эркин өзгөрмөлөрдү нөлгө барабарлап, б.а. х3 = х4 = 0 деп, (17) системаны чыгарабыз: 2х, -х2 = 5, [х, = 4/5, х,+2х2=-6 [х.,^-17^5
106 АУ1Т АХАЫОУ, НАМ|Я КАЕАТОУ 1.1М<ЕКС1 В1К Вигайап г (А) = 2 = г (В) ‘ у! а11П2. Оетек Кгопескег-КареШ (еои-пи £сге§тсе уегПеп 8181етт <?б2й1еЫ1еп оИи^и оНауа <?1каг. ОК^ЕК 2.: Үикапба Огпек Г Пек1 (17) 8181егтпт Ьах 9б2йт1с1111111 (йтйпй Ьи1ипиг. СОХОМ: УегПеп (17) 8181еттт та^пзтт К.апк1 1к1уе е§к(лг. Оетск (17) 8181еттт Пепк1ет1ептп Ыпт зПтек о1иг. Оте§т 3-йпсй депк1ет1 нПтек о11г. Езаз (1е§1§кеп1епп §гиЬипип §епе! зау181 с;=о=Й=™=б 8ау181пйап Ьйуйк о1атаг. Ви пебегйе езаз <1е§1§кеп1ег1п §гир1ап а?а§1<1ак1 убп!ет1ег Пе е1<1е есШеЫПг: х/л х2 х3 ,х3; X/ ,х4; х2 ,х3; х2 ,х4; х3 ,х4. УегПеп 8181етт 1 -тс! уе 2-тс1 с1епк1еттс1ек1 X/ уе х2 ‘ пт каОауПаппбап о!и$ап та1п8т Пеигттапи 2 -1 1 2 = 5*0 оЫиёипйап х, уе х2 <1е§1?кеп1еп езаз с!е§1§кеп1ег(11г. Веп/ег §екПс!е .V/ ,х3 ; X/ ,х4 ; х2 ,х4 ; х3 ,х4 Пе§1§кеп1ег1 езаз <1е§1§кеп1ег о1аса£1П1 §б8(егеЫ11П2. х2 ,х3 с!е§1§кеп1еп 18е езаз с1е§1$кеп1ег с!е§П(11г1ег, §йпкй х2 ус г( (1е§1§кеп1ептп ка18ауПапп(1ап о!1§ап тайчзт (1е1егттап11 (11Г. $1т(П X/, х2 (1е§1§кеп1епт езаз с1е§1§кеп1ег о!так 8йгеНу1е 8181стт Ыппс! Ьах ^охйтйпй Ьи1аса§их. §и пес!еп1е кеуй с1е§1§кеп1еп 81Пга с>П1еуегек, уат х3 = х4 = 0 П1уе (17) 8181ет1 <?б2есе§12: 2Х] -х2 =5, х, + 2х2 = —6 ГдТ) =4/5, \х2 =-17/5
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 107 Демек, '5 ^;0;0 5 - системанын 1-базистик чыгарылыш болот. Ал эми Х1, х3 өзгөрмөлөрүн негизги өзгөрмө деп алып жана х2 = х4 = 0 деп алып, (17) системанын 2-базистик чыгарылышы <4 17 I — ;0; —;0 I болорун аныктайбыз. Ушундай эле жол менен калган төмөнкү үч базистик чыгарылыштарын табабыз: С а 17> -; 0; 0;-; (0;-9;0;4); (0;0;9;4). <7 7 ) Жалпы учурда (1) системанын биримдүүлүгүн изилдебей эле, ал системаны чыгаруу үчүн Гаусстун методун колдонгон ыңгайлуу болот. 3-МИСАЛ. Жогорудагы (17) системанын чыгарылышын Гаусстун методу менен чыгаргыла. ЧЫГАРУУ. Берилген (17) системанын кеңейтилген матрицасынын 1-жана 2-жолчолорунун ордун алмаштырып, Гаусстун методун колдонолу: '12-2 3 2-1 1-1 ч3 1 -1 2 -6^1 <12-2 3 5-0-5 5-7 -1) [о -5 5 -7 -6Л 17 17, '12-2 3 0-5 5-7 ч0 0 0 0 '12-2 3 .0 -5 5 -7 -6Л 17, Мындан төмөнкү системаны алабыз: х, + 2х2 - 2х3 + Зх4 = -6, -5х2 + 5х3 -7х4 = 17. Акыркы системада, X/ менен х2 ни негизги өзгөрмө, ал эми х3 менен х4 тү эркин өзгөрмө катарында карап төмөнкүнү алабыз. 4
108 АУ1Т А8АЫОУ, ВАМ1г КАГАТОУ 1Л1МЕЕВ СЕВ1К ;0;0 - йбйШзй 8151етт 1-тс1 Ьах ^бгйтйбйг. X/, ' §аё1апап ЬаШе (17) 8181ет1тп 2чпс1 Ьах ^бхйтй П V 5 17 Оетек —;-------- (4 5 11её1$кеп1епт езаз <1е§1§кеп1еп каЬи! ейегзек че х2 - х4 = 0 е§И1 |ккч < <4 17 Л -;0; —;() >екП<1. 15 5 Р о1аса§1Ш §бз1епп2. Вепгег §екП<1е ка1ап й? Ьаг 9бгйт1еп Ьи1игиг: 0 17 1 у;О;О;-у I; (0;-9;0;4); (0;0;9;4). Оепе! ЬаИе (1) 8181етт ^бгШеЬПеп о1та8Ш1 тсе1ете(1еп 0 818(ет1 <?бхтек 19111 Оаизз теТобипи иу§и!атак ПаЬа иу§ип о1аЫПг. ОЮ4ЕК 3.: Үикапбак! (17) 818(егтп ?бгйтйпй Оаи88 те1ос1и уагсЬт1у1а Ьи1ипиг. СОХйМ: УегПеп (17) 8181егтп §ет$1еШгт§ та1п8тт 1-тс1 уе 2-тс1 8аИг1аппт уеНепт Пе§1§Нгегек Оаизз те1о<1ипи иу§и1ауаЬт: Л1 2 -2 3 2-1 1-1 ч3 1 -1 2 6> (12-2 3 5-0-5 5-7 -1) (о -5 5 -7 6 17 17> Л1 2 -2 3 0-5 5-7 17 ч0 0 0 0 0; "1 2-2 3 -6Л к0 -5 5 -7 17, Вигабап а§а§и1ак1 818(.егт аЬпг: х, + 2х2 - 2х3 + Зх4 = —6, -5х2 + 5х3-7х4 = 17. 8оп 818(етс1е X/ уе х2 у! езаз с1е|1§кеп х3 уе х4 1зе кеуй <1е§1§кеп1егсНг <Ь)< каЬи! еПегзек а?а§кЗак1 8181егт аЬпх:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 109 X] + 2х, = -6 + 2х3 - Зх4, -5х2 =17-5х3 +7х4 Эми х3, х4 эркин өзгөрмөлөрүнө каалаган маани берип, акыркы формуладан (17) системанын чексиз чыгарылыштарын табабыз: 4 1 =------х 5 5 ' х} менен х4 -каалаган сандар. 2.5. БИР ТЕКТҮҮ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАЛЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫ. ЧЫГАРЫЛЫШТАРДЫН ФУНДАМЕНТАЛДУУ СИСТЕМАСЫ Белгисиздери п болгон т сызыктуу теңдемелердин системасы (1) бир тектүү система деп аталат, эгерде ал системанын бардык бош мүчөлөрү нөлгө барабар болсо, б.а. Ъ[=Ъ2 =...= Ьт = 0 болсо. Мындай бир тектүү система төмөнкүдөй жазылат: ЛцХ, + а12х2 + ... + «,„х„ =0, 6?2|Х| + а22х, +... + а2„х„ — 0, (18) К|*1 +ат2*2+- + “тЛ =0. Бул (18) система ар дайым биримдүү система^болот, себеби жок дегенде (0; 0; ... 0) - нөлдүк (тривиалдык) чыгарылышка ээ.
АҮ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ|Х КАЕАТОҮ Ы^ЕЕКСЕВ1К X] + 2х2 = -6 + 2х3 - Зх4, -5х, = 17 -5х3 +7х4 17 7 — + х. ~ — х. $1тсП х3 ,х4 кеуй с!е§1?кеп1еппе кеуП де§ег уегегек зоп ГогтШдеп (17) шСстт 8ОП8112 9бхйт1епт Ьи1игиг: 4 1 Х| ~ 5 5 17 7 х, =------1- х, — Вигада х3 үе х4 кеуП зауйагскг. 2.5. НОМОСЕ!\ Ы^ЕЕК СЕВ1К8ЕЕ РЕ^КЬЕМ 818ТЕМ1. ВА7. СОХйМЬЕШ^ СйМЬЕ81 ВПттеуегйеп п Нпеег <1епк1ет1еппт зау181 т о1ап (1) 81йетте 1юто§еп 8181ет детг, е§ег о 8181етт Ь, заЬШеппт Ьег Ып 81йг 18е, уагп А/ = Ь2 =...= Ьт = 0 1'зе. 11оу1е Ыг Ьото§еп 818(ет а§а§1дак1 §1Ы уахШуог: ,х, + «12х2 +... + а]пхп = 0, «2|Х, +а22х2 + ... + а2пхп =0, А,1*1 +«т2^2+- + «тЛ=0- Ви (18) 8181ет1 да!та <?02и1еЫ1еп 8181етсНг, ^йпки Ьи 8181ет еп ах Ыг (0,0 ,..., 0) - 81Пг (а?1каг) ^бгйт заЫЫсЬг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 111 ТЕОРЕМА 1. Бир тектүү (18) система нөлдүк эмес чыгары- лышка ээ болот качан гана г = г(А) < п болсо. Мында \.ат1 ат2 •••атп / НАТЫЙЖА. Бир тектүү (18) система жалгыз гана нөлдүк чыгарылышка ээ болот, качан гана г(А) = п болсо. Бир тектүү сызыктуу теңдемелердин системасынын чыгарылыштары төмөнкү касиеттерге ээ: 1°. Эгерде е = ( к: , к2 к„ ) жолчо-вектору (18) бир тектүү системанын чыгарылышы болсо, анда ар кандай АеК. саны үчүн Хе = ( Лк,, Лк 2, Лк„) жолчосу да (18) системанын чыгарылышы болот. 2°. Эгерде е; = ( к] , к2 ,..., к„ ) жана е2 = ( I; , 12 , 1„ ) жолчолору(18) системанын чыгарылыштары болсо, анда ар кандай с/, с2 еК сандары үчүн жогорудагы эки жолчо-вектордун сызыктуу комбинациясы с/в/ + с2е2 = (с/к^ + с21:, с/ к2 + с212,..., С/ к„ + с21„) да (18) системанын чыгарылышы болот. АНЫКТАМА. Бир тектүү (18) системанын сызыктуу көз каранды эмес <?/ ,е2 ,..., ек чыгарылыштарынын системасы фундаменталдуу системасы деп аталат, эгерде (18) системанын ар бир чыгарылышы в/ ,е2 ,..., ек чыгарылыштарынын сызыктуу комбинациясы болсо. ТЕОРЕМА 2. Эгерде (18) система үчүн г= г(А)< п болсо, анда (18) системанын ар кандай фундаменталдуу системасы п-г чыгарылыштан турат. Ошондуктан, бул учурда бир тектүү (18) системанын жалпы чыгарылышы төмөнкү формула менен аныкталат: X — С/в/4"С2в2+... Мында к= п-г, в/ ,е2,..., ек (18) системанын ар кандай фундаменталдуу системасы ср С2,..., ск - каалаган сандар. ТЕОРЕМА 3. Бир тектүү эмес (1) системанын жалпы чыгарылышы, бир тектүү (18) системанын жалпь^чыгарылышы менен (1) системанын каалаган айрым чыгарылышынын, суммасына барабар.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 КАГАТОУ ^ЕЕК СЕВ1К 112 ТЕОКЕМ 1.: Ното§еп (18) 8181егт 81йг(1ап ГагкЬ ^бгйт заЫЫ о1таз119111 §егек уе уе(ег §аН опип Капктт г = г (А) < п окпазиЬг. Вигаба А = °11 °12 •" а\п °21 а22 •" а2п \ат\ ат2 '"ат/г > сНг. 8ОМ}С: Ното§еп (18) 8181етт уа1тг Ыг 1ек 81йг ^бгйте заЫр о1таз| 19111 §егек үе уе!ег §аг! г (А) = п <Иг. Ното§еп Ипеег бепк!ет 8151етт 9бгйт1еп а?а§1бак1 бге1Ик1еге заЫрНг: Г Е§ег е = (к^ , к2, , к„) зайг- уекХбгй (18) Ьото§еп 8181етт ^бгйтй 1зе, о Ьа1бе Ьег Ле К $ау18119111 Ле = (Лк] ,Лк 2, —, Лк„) 5а11п с!а (18) 8181етт ^бхйтйбйг. 2°. Е§ег ё] = (к], к2к„) уе е2 = (1], 12, , 1„) 8аИг1ап (18) 8181етт 9б2йт1еп гзе, о гатап Ьег с, , с2 еК заЫ! зауйап 19111 уикапбаЫ 1к1 зайг- уек1бг1епп Ипеег котЫпехопи С]еЛс2е2 = (С1к]+с21], С]к2+с212,..., ак„+с21^ ба(18) 8181ет1п 902йтйбйг. ТАММ: Ното§еп (18) 8181етт Ипеег Ьа§Ш181х в/ ,е2 ,..., ек 9б2йт1егтт сйпйезте Ьаг сит!е беп1г, е§ег (18) з^зГегтгнп Ьег Ыг 9бгйтй е/ ,е2,..., ек 9б2йт1епшп Ипеег котЫпехопи 18е. ТЕОКЕМ 2.: Е§ег (18) 8181епп 19111 г = г (А) < п 18е, о гатап (18) 8151етт Ьег Ьаг сйт1е51 п-г ^бгйтбеп о1и§иг. Ви пейеп1е ?и ЬаМе Ьото§еп (18) 8181етт §епе1 ^бгйтй а?а§к1ак1 ГогтйШп уагбтнук Шттктуог: х = С]е]+с2е2+...+скек. Вигаба к = п-г <Иг. е7, е2,... ек 18е (18) 8151еттт Ьег Ьап§1 Ыг Ьаг сйт1е81(Иг, с^ , с2,..., ск-кеуЯ заЫйепЬг. ТЕОКЕМ 3.: Ното§еп окпауап (1) 8181етт §епе1 ^бгйтй Ьото§еп (18) 5181етт §епе1 ^бгйтй Ие (1) 8181етт Ьег Ьап§1 Ыг к18т1 ^бгйтйпйп 1ор1атн1а е§ЬНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИ1 РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕЬРА 113 1-МИСАЛ. Берилген ГЗ 2А матрицалары үчүн а) АХ=В; б) ХА^С теңдемесин чыгаргьца. ЧЫГАРУУ. &ЛА = = 3 • 1 - 2 • 1 = 1 Ф 0 болгоцдуктан, берилген А матрицанын тескери матрицасы А'1 табылат хана А~х = -2Ч а) АХ=В теңдеменин эки тарабын тең сол жактан А'1 матрицасына көбөйтүп жана А'1 А=Е2 бирдик матрица экендигин эске алсак, анда , Г1 -2> 2 7 Л Г1 ‘6 -9 X = А'В = 1^-1 зДо 4 8; 1^-1 ю п) б) ХА=С теңдеменин эки тарабын тең оң жактан А'1 матрицасына көбөйтүп жана А А'! =Е2 экендигин эске алсак, анда <4 7> 0 1 2 3 12 4) л-3 13^ -1 3 -1 5 С1 б) болот.
АУ1Т А8АГООУ, НАМ|Х КАГАТОУ Ы1ЧЕЕК СЕВ1К 114 бК^ЕК1 ҮегПеп <4 7 Л <3 2Л Л1 2 7 Л 0 1 1) 1^0 4 8) 2 3 <3 4, та(п81еп 19111 а)АХ = В; Ь) ХА = С 11епк1ет1епт 90261162. СО2ЁМ: 3 1 2 1 с1е1.4 = =31-21=1*0 ок1иципбап үегПеп А таХпзтт 1егз та1пз1 А'1 Ьи1ипиг үе А'1 -2^ 3) 01иг. а) АХ = В Йепккгтпт Ьег Пп Тагайт ба зо11агайап А'1 та1п§1 Пе ^аграгзак уе А 1 А=Е2 - Ыпт та1п81 оШи§ипи §02 бпйпе акгзак, о гатап Х = А'В = 1-1 01иг. -2^ 3> 1 2 7 ' 0 4 8У Л1 -6 -9 л С1 10 17, Ъ) ХА=С 0епк1етт Ьег 1к1 Тагайт с!а за§ Тагайап А’1 таТпзНк ^аграгзак уе АА‘|=Е3 )1<1и£ипи §б2бпйпе акгзак, о гатап |‘к1е еЫНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 115 2-МИСАЛ. (4 3 Кб X теңдемени чыгаргыла. ЧЫГАРУУ. 4 о Г 4 белгилөөлөрүн жазабыз. кийирип, берилген теңдемени АХВ=С түрүндө =4~з=1*0 жана Г 4 (1е1А = 1 1 &&.В = Гб 8^1 = 6-16 = -10*0 2 1 болгондуктан, А’1 жана В'1 тескери матрицалары табылат жана А'' = 1 -1 В'1 = _1_ Г 1 10^-2 -8" 6, болот. Эми АХВ=С теңдемени сол жагынан А'1 матрицасына көбөйтүп, ал эми оң жагынан В’1 матрицасына көбөйтүп төмөнкүнү алабыз: । . ( 1 х = а~1св~1 = -3¥ 5 4 Д-2 —Г1 101,-2 -8 6 —Г11 101,-13 -8 6 —Г3 101,-5 -64^ 8о; -0.3 0.5 6.4> -8.0/ 4 0 3-МИСАЛ. Эки фирмадан эки жогорку окуу жайына компьютерлер жеткирилет. Биринчи жогорку ок$у жайына 200
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ(Х КАЕАТОУ Ы1ЧЕЕК СЕВ1К 116 6К1ЧЕК2.: 81-Г5 1Д-2 4^1 0, 11спк1ет1П1 ^бгйпйх. СйхОМ: ( 4 А= I 1 з> (6 8"| ( 5 4> , С = м 1-2 о; пш1п$1еп уагйшиук үегПеп йепккпп АхВ = С |екПпс1е уахапх. 4 1 3> (6 = 1 =4-3=1^0 л6 ч2 де(5 = 8> = 6-16 = -10*0 V о1(1и§ип<1ап А’1 үе В’1 1ег§ таСпхкп Ьи1ипиг үе о!иг. §1тс11 А х В = С депк1е1гнт зо11агайап А'1 та1пз1 11е за§ 1агайап 1§е 1Г1 та1п81 Ие ?аграг8ак а§а§и1ак11£ас!е1еп а1шх: Х = А~'СВ~' =| 1 -3V 5 4 Н-2 —Г 1 "81 юГ-2 6} —Г11 10^-13 4¥1 -4Д-2 -8А 6 I 4 0 —Г3 101-5 -бдр-о.з 6-4 80 Н 0.5 -8.0 ОК^ЕК 3: Нег Ьап§1 1к1 йгта 1к1 уйкзек оки1а Ы1§18ауаг 1а§1такик1п. В1ппс1 уйкзек оки1а 2001апе
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 117 компьютер, ал эми экинчисине 300 компьютер керек. Биринчи фирма 350 компьютер, ал эми экинчиси 150 компьютер чыгарды. Бир компьютерди ар бир фирмадан ар бир жогорку окуу жайына жеткирүү үчүн жол киренин акчасы төмөнкү таблица менен берилген: Фирма Бир компьютерди жеткирүүдөгү жол киренин наркы (акча бирдиги) 1-окуу жайы 2-окуу жайы 1 15 20 2 8 25 Бардык компьютерлерди жеткирүү үчүн минималдык сарптоо 7950 акча бирдиги. Компьютерлерди жеткирүүнүн оптималдуу планын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Биз / - фирмадан / - жогорку окуу жайына жеткирилген компьютердин санын ху менен белгилеп (I, / =1, 2), берилген шарттардын негизинде төмөнкү системаны алабыз: Хц + х12 = 350 х21 + х22 = 150 < хи + х21 = 200 х12 + х22 = 300 15х, ( + 20х12 + 8х2|. + 25х2, = 7950 Бул системаны Гаусстун методу менен чыгаралы: 1 0 0 350 р 1 0 0 350 0 0 1 1 150 0 0 1 1 150 1 0 1 0 200 — 0 -1 1 0 -150 0 1 0 1 300 0 1 0 1 300 ь 20 8 25 7950? <0 5 8 25 2700?
АУ1Т А8АМОҮ, КАМ1/ КАГАТОУ | | X и^ЕЕКСЕвт Ы1ц1М1уаг 1клпс181пе де 300 Ы1§18ауаг §егек1г. Вшпс1 Пгта 350 1апе Ы1ц18а).п |к|пс1х11зе 1501апе 1>|||’.1.чауаг игеитн^Нг. В1г адеГ Ы1§18ауап Ьег Ыг Нгтабап Ьег Ыг уйк.чек окиЬ । г. ппак 191П §егекеп уо1 рага81 а§а§1бак1 ТаЫода уеп1гт?11г: Ыгта В1г ВП§18ауап 1а?1так 1?т §егекеп уо! к1 ге»1 (рага Ыпгт) 1-тс1 оки1 2-1 пс! оки! 15 20 2 8 25 Тйт Ы1§18ауаг1ап 1а§1так 19111 §егекеп гтттит Ьагсата 7950 рам |'и птЫг. Ви Ы1§18ауаг1ап 1а§ипак 19111 орПта! р1ап1атау1 4йхеп1су!тг. (^бхОМ: ЬтЫ Нгтадап з-тс1 оки1а Са^тап Ы1§18ауаг1апп 8ау181т х„ 1 к- •>> ,1егеНт. ]ЧеПсес1е а§а§1бак1 8181егт аЬпг: Хц + х12 = 350 х2| + х22 = 150 < Хц + х21 = 200 х,2 + х22 = 300 15Х|, + 20х12 + 8х21. + 25х2, = 7950 Ви З181егт Саизз теСоди уапЬгту1а сбхеНт: Л1 1 0 0 350 Г1 1 0 0 350 " 0 0 1 1 150 0 0 1 1 150 1 0 1 0 200 0 -1 1 0 -150 0 1 0 1 300 0 1 0 1 • 300 <15 20 8 25 7950, <0 5 8 25 2700.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 119 1 1 0 0 350 а 1 0 0 350 л 0 1 0 1 300 0 1 0 1 300 0 -1 1 0 -150 0 0 1 1 150 0 0 1 1 150 0 0 1 1 150 0 5 8 25 2700? <0 0 8 20 1200? Г1 1 0 0 350^ Хц + х12 = 350 0 1 0 1 300 < *12 “Ь -^22 = 300 0 0 1 1 150 х21 “Ь = 150 0 0 12 о; [12. ^22 ~ 0 Акыркы системаны чыгарып, төмөнкүнү алабыз: х22 =0, х2/ -150, Х12=300, хц =50. Демек, компьютерлерди жеткирүүнүн оптималдуу планы төмөнкүдөй болот: Хц =50, х12 =300, х21 =150, х22 =0. 2.6. КӨНҮГҮҮЛӨР Төмөнкү теңдемелер системасын Крамердин эрежеси жана тескери матрица методу менен чыгаргыла: * ГЗх- 5у = 13, 2х + 7_у = 81. Зх, + 2х2 + 2х3 = 1, 2. <Х! +3х2 +х3 = 0, 3. 1х-3у + 5г = 32, 4. < 5х+ 2у + г = 11, 5. 5х, + Зх2 + 4х3 = 1 х + у-г = 36, 2х- у + 3г = 14. X + г —у = 13, у + г-х = 7. Зх-4у = 1, [Зх + 4у = 18. х + 2у + г = 4, 6. < Зх -5у + Зг = 1, 4 2х + 1у - г = 8.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАГАТОУ Ь11ЧЕЕКСЕВ|К 120 Г1 1 0 0 350 "1 1 0 0 350л 0 1 0 1 300 0 1 0 1 300 0 1 1 0 -150 0 0 1 1 150 0 011 150 0 0 1 1 150 .0 5 8 25 2700, <0 0 8 20 1200, ^1 1 0 0 350^ Хц + *|2 = 350 0 10 1 300 Х|2 + х22 = 300 0 0 11 150 х21 + х22 = 150 ^О 0 0 12 1 12х22 = 0 |1и зоп 8181ет1 рбгегзек, а$а§к1ак11ег ЬЫипиг: Х22 =0, Х21 = 150; Х12 = 300; хц = 50. Оетек Ы1§1зауаг1ап 1а§1татп орйта! р!ат а§а§к!ак1 §1ЫШг: хц = 50; Х)2 = 300; х2/ = 150; х22 -0. 2.6. АЫ$Т1КМАЬАК А§а§к1ак1 4епк1ет 8181ет1епт Сгатег Кигак уе Тегз Ма1п5 МеЮйи упгд1т1у1а рбхйпйх: Зх-5>> = 13, 2х + 7у = 81. Зх, + 2х2 + 2х3 = 1, х, + Зх2 + х3 = 0, 5х, + Зх2 + 4х3 = 1 Г3х-4д> = 1, [Зх + 4^ = 18. 1х-3у + 5г = 32, 4. < 5х + 2у + г = 11, 2х-^ + Зг = 14. х + у — г = 36, х + г - у = 13, у + г-х = 7. х + 2у + г = 4, 6. <3х — 5у + 3г = 1, 2х + 1у — г = 8. 5. 4
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 121 2х - 4у + 9г = 28, 2х + у = 5, 7. < 7х + Зу - 6г = -1, 8. < х + Зг = 16, 7х + 9у - 9г = 5. 5у-г = 10. х + у + г = 36, 9. <2х — Зг = -17, 6х-5г = 7. 7х + 2у + Зг = 15, х+у+г=а, х-у+-г=а, 10. 13. < 5х -Зу + 2г = 15, 10х-11у + 52 = 36. х - 2у + Зг = 6, 2х + Зу-4г = 20, 14. < 11. < 5х + ; 4х + ' х—у+г=Ь, Х+у~2=С. \>-Зг = -2, Зу + 2г = 16, 15. 12. < 5х - < 2х - х+-у-г=Ъ, у+-г-х=с. Зу + 4г = 6, у - 2 = 0, Зх —2у-5г = 6. Зх + у = 5, '5 2х-3у + г = 17. х + Зу + 3г = 48, х - \ X + у 1у + 2 = 0. - 2г = 6, 16. < 16х + 3г = 16, 17. < 2 х + 6у >-3? = 18, 18. < 2х + 3у -1 г = 16, 5у - г = 10. 8х -Зу + 2г = 21. 5х + 2у + 2 = 16. 4*] + 4х2 + 5х3 + 5х4 19. = 0, 2х, + Зх3 - х4 =10, Х| + х2 — 5х3 = -10, Зх2 + 2х3 = 1. х + у + 2г = -1, 20. < 2х - у + 2г = 16, 4х + у + 4г = -2. 21. 2х, - х2 + Зх3 + 2х4 = 4, Зх, + Зх2 + Зх3 + 2х4 = 6, Зх^ - х2 - х3 - 2х4 = 6, ЗХ] — х2 +Зх3 -х4 =6. Зх} + 4х2 + х3 + 2х4 +3 = 0, 22. ЗХ] + 5х2 + Зх3 + 5х4 +6 = 0, 6х, + 8х2 + х3 + 5х4 +8 = 0, Зх + 5х2 + Зх3 + 7 х4 +8 — 0 Төмөнкү теңдемелер системасын Гаусстун методу менен чыгаргыла: 4
АУ1Т А8А1\()У, НАМ1Е КАЕАТОУ Ы^ЕЕКСЕВ1К 122 7 « 00 С4 I Ш II II II NN N О\ 40 О\ + 1 1 3? О\ 1 + + > сч г- г- 8. < 2х + у = 5, х + Зг = 16, 5у-2 = 10. 9. < X + у + 2 = 36, 2х-3г = -17, 6х-5х = 7. 7х + 2у + Зг = 15, х+у+г=а, Х-у+2-<1. 10 * 5х-3у + 2г = 15, 10х -11у + 5г = 36. 11 . < х-у+г=Ь, Х+у~2=С. 12. <х+у-2=/>. У+2~Х=< 5х + у-Зг = -2, 5х-3.у + 4г = >' х-2у + 3г = 6, 13. - 2х + Зу - 4г = 20, Зх - 2у - 5г = 6. 14. <4х + 3у + 2г = 16, 15. <2х- у-г = 0 Зх + у = 5, 16. < 16х + Зг = 16, 5у- г = 10. 2х-3у + г = 17. 5х + 3у + 3г = 48, 17. Пх + 6у-3г = 18, 8х -Зу + 2г = 21. х-2у + г = 0 х + у - 2г = 6, 18. <2х + 3у-1г = 16, 5х + 2у + г = 16. 4х, + 4х2 + 5х3 + 5х4 = 0, 19. 2х, + Зх3 — х4 =10, х, + х2 - 5х3 = -10, Зх2 + 2х3 = 1. 20. <2х- у + 2г = 16, 4х + у + 4г = -2. 21. 2х{ - х2 + Зх3 + 2х4 = 4, Зх{ + Зх2 + Зх3 + 2х4 = 6, Зх} - х2 - х3 - 2х4 = 6, 22. ЗХ] -х2 + Зх3 -х4 =6. Зх, + 4х2 + х3 + 2х4 +3 = 0, Зх, + 5х2 + Зх3 + 5х4 +6 = 0, 6х, + 8х2 + х3 + 5х4 + 8 = (к Зх, + 5х2 + Зх3 + 7х4 -мНН А§а§1с1ак1 с!епк1ет 8181ет1епп1 баизз Ме1оди уагс11т1у1а ^бхйпйх:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФЛТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРЛ 123 Зх + 2у + г = 5, 2ху + х2 - х3 =5, 23. <х + у-г = 0, 24. 4х - у + 5г = 3. х, - 2х2 + 2х3 = -5, 1х} + х2 -х3 = 10. X] + х2 — х3 + х4 = 4, 2х, - х2 + Зх3 - 2х4 = 1, Зх, - х2 + х3 - х4 = 0, Х| — х3 + 2х4 = 6. 4х, + 2х2 + Зх3 = -2, 26. $ 2Х' + 8х2 - х3 =8, 9х, + х2 + 8х3 = 0. 2х, + 5х2 + х4 + х5 = 33, Зх, — х2 +х3 +2х5 =18, 5х, + 8х2 + х3 =2, 27. < х, - х4 + 2х5 = 8, 28. ^Зх^ -2х2 +6х3 =-7, 2х2 + х3 + х4 -х5 = 10, X] +х2 -Зх3 +х4 =1. 2х, +х2 -х3 =-5. х, + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 0, 7х, + 14х2 + 20х3 + 27 х4 = 0, 5х} + 10х2 + 16х3 + 19х4 = -2, Зх, + 5х2 + 6х3 + 13х4 = 5. 2Х| -Зх2 + х3 = -7, 30. +4х2 +2х3 = -1, х, -4х2 = -5. 2х^ + Зх2 +11х3 + 5х4 = 2, Х| + х2 + 5х3 + 2х4 = 1, 2х} + х2 + Зх3 + 2х4 = -3, х, + х2 +Зх3 + 4х4 = -3. Зх^ + 2х, + х3 =5, 32. < 2Х' - х, + х3 = 6, х, + 5х2 = -3. Төмөнкү теңдемелер системасынын биримдүүлүгүн изилдегиле. Биримдүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла.
АУ1Т АКАМОҮ, КАМ1г КАГАТОУ Ь(1ЧЕЕК СЕВ|К 124 23. З.г + 2у + г = 5, « х + у - 2 = 0, 4х - у + 5г = 3. 2Х] + х2 — \ 24. х( - 2х, + 7х, + х, - \ = 5, ,=-5, = 10. х, + х, — х3 + х4 = 4, 25. 2Х( - х2 + Зх3 - 2х4 = 1, Зх, - х2 + х3 - х4 = 0, х, - х3 + 2х4 = 6. 2х, + 5х2 + х4 + х5 = 33, 28. 4 5Х] + 8х2 + х3 = 2, Зх, - 2х2 + 6х3 = -7, 2Х] + х, - х3 = —5. Х] + Х2 ~3хз +х4 = 1. х, + 2х, + Зх3 + 4х4 = 0, 7х, + 14х2 + 20х3 + 27 х4 = 0, 5Х| + 10х2 + 16х3 + 19х4 = -2, Зх ] + 5х2 + 6х3 + 13х4 = 5. 2х, - Зх, + х3 = -7 30. < х, + 4х, + 2х3 = -1 X, - 4х2 = —5. 2Х] + Зх2 +11х3 + 5х4 = 2, х, + х2 + 5х3 + 2х4 = 1, 2х, + х, + Зх3 + 2х4 = -3, х ] + х, + Зх3 + 4х4 = -3. ЗХ] + 2х2 + х3 =5, 32. 5 2Х] - х2 + х3 = 6, X] + 5х2 = -3. А$а§1с1ак1 Вепк1ет 81з1ет1еппт ^бгШеЫПг о1с!ик1апт 1псе1 лучпг? (/бхШеЫПг Оепк1ет 8181ет1еппт §епе1 $бхйт1епт Ыйипих.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 125 2х + у + х = 4, 2х, + 7х2 + Зх3 + х4 =6, х - Зу + х = 1, Зх -2у + 2х = 6. 34. < Зх, + 5х2 + 2х3 + 2х4 = 4, 9х, + 4х2 + х3 + 7х4 = 2, 2Х' - Зх2 + 5х3 + 7х4 = 1, Зх, - 5х2 + 2х3 + 4х4 = 2, 4х, - 6х2 + 2х3 + Зх4 = 2, 36. < 7х, - 4х2 + х3 + Зх4 = 5, 2х, - Зх2 - 11х3 -1 5х4 = 1. 5х, + 7х2 - 4х3 - 6х4 = 3. 2х, + 5х2 - 8х3 = 8, 4х, + Зх2 -9х3 = 9, 2Х( + Зх2 - 5х3 = 7, х, + 8х2 - 7х3 = 12. Зх, + 4х2 + х3 + 2х4 = 3, 38. < 6х, + 8х2 + 2х3 + 5х4 = 7, 9х, + 12х2 +Зх3 + 10х4 = 13. Зх, - 2х2 + 5х3 + 4х4 = 2, 2х - у + х = -2, 39. < 6х, - 4х2 + 4х3 + Зх4 = 3, 40. <х + 2у + Зх = -1, 41. 43. 9х, - 6х2 + Зх3 + 2х4 = 4. Зх, — 2х2 -5х3 +х4 = 3, 2х, -Зх2 +х3 +5х4 X] + 2х2 - 4х4 = -3, =-3, 42. х -Зу -2х = 3. Зх, + 2х2 = 4, х, + 4х2 = -1, 7х, + 10х2 = 12, X] - х2 - 4х3 + 9х4 = 22. 2х^ + 5х2 + 4х3 + х4 = 20, х, + Зх2 + 2х3 + х4 =11, 2х( + 10х2 + 9х3 + 7х4 = 40, 44. Зх, + 8х2 + 9х3 + 2х4 = 37. 5Х] + 6х2 = 8, Зх, — 16х, = -5. X] + 5х2 + 4х3 = 1, 2Х| +10х2 + 8х3 = 3, ЗХ] +15х2 +12х3 =5.
АҮ1Т А8А1ЧОУ, ЯАМ1Х НАГАТОУ Ы1ЧЕЕЯСЕВ1К 126 33. 35. 2х, - Зх2 + 5х3 + 7х4 = 1, 4х, - 6х2 + 2х3 + Зх4 = 2, 2х, - Зх2 -11х3 -1 5х4 = 1. 34. 36. 37. 2х, + 5х2 - 8х3 = 8, 4х, + Зх2 -9х3 = 9, 2х, + Зх2 - 5х3 = 7, х, + 8х2 - 7х3 = 12. 38. 39. Зх( - 2х2 + 5х3 + 4х4 6х, - 4х2 + 4х3 + Зх, 9х} — 6х2 '4 + Зх3 +2х4 = 2, = 3, = 4. 41. ЗХ| -2х2 2Х] -Зх2 - 5х3 + х4 =3, + х3 + 5х4 = —3. х, + 2х2 — 4х4 = -3, х, - х2 - 4х3 + 9х4 = 22. 43. 2х, + 5х2 + 4х3 + х4 = 20, X] + Зх2 + 2х3 + х4 =11, 2х, + 10х2 + 9х3 + 7х4 = 40, Зх, + 8х2 + 9х3 + 2х4 = 37. 2х, + 7х2 + Зх3 + х4 =6, Зх, + 5х2 + 2х3 + 2х4 = 4, 9х, + 4х2 + х3 + 7х4 = 2, Зх, - 5х2 + 2х3 + 4х4 = 2, 7Х] -4х2 +х3 +Зх, 5х, + 7х2 5, -4х3 -6х4 = 3. Зх, + 4х2 6х, + 8х2 9х, + 12х2 +Зх3 + 10х4 = 13. + х3 + 2х4 = 3, + 2х3 + 5х4 = 7 2х - у + 2 = -2. 40. 42. 44. х-3.у-2г = 3. Зх, + 2х2 = 4, х, + 4х2 = -1, 7х, + 10х2 = 12, 5Х] + 6х2 = 8, ЗХ] - 16х2 = -5. X] + 5х2 + 4х3 = 1, 2х, + 10х2 + 8х3 = 3, Зх, + 15х2 + 12х3 = 5.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФА IОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 127 Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын чыгарылыш- тарынын фундаменталдуу системасын жана жалпы чыгарылышыи тапкыла. 2х + у - 2 = 0, х- у - 2 = 0, 45. <.х + 2у + г = 0, 46. < х + 4у + 22 = 0, 2х - у + Зг = 0. Зх + 1 у + 3г = 0. 47. 3%! - 2х2 + Зх3 - Зх4 = 0, ЗХ] - 2х2 — х3 + х4 =0, х, - х2 + 2х3 + 5х4 = 0. 48. 2х, + х2 + х3 + х4 = 0, Х2 ~ *3 + 2*4 - 0, 2%! + 2х2 + Зх4 = 0. 49. + 2х2 - х3 =0, 2х, - х2 - Зх3 = 0. 50. Зх, + х2 - х3 - 2х4 = 0, < х, + х2 - х3 + 2х4 = 0. 51. х, + х2 + х3 + х4 = 0, 2х, + 2х2 - х3 + 2х4 = 0, х, - х2 - х4 = 0. х, + х2 + х3 - 2х4 = 0, 52. < - X] - х2 + 2х4 = 0, Зх, - х2 + 2х3 + 2х4 = 0. 53. ахх+Ъ\у=С\, < а2х+Ь2у=с2 а3х+Ь3у=с3 системасынын биримдүүлүгүн зарыл жана жетишерлик шарты «I а2 Ь2 с2 = 0 а3 Ъ3 с3 экендигин далилдегиле.
АУ1Т А8АМОУ, НАМ|Х НАГАТОУ Ь1^ЕЕЯСЕВ1К 128 А$а£1бак1 Ьото§еп депк1ет 5Г8(ет1ептп ?б2йт1еп агазтба Вах (,’б/(1т1спт үе 6епе1 Сбгйпйепт Ьи1ипих. 2х + у - 2 = 0, X - у - 2 = 0, 46. <х + 4у + 2г = 0, 47. 49. 2х - у + Зг = 0. Зх + 7^ + 32^0. Зх, - 2х2 + Зх3 — Зх4 = 0, < Зх, - 2х, - х3 + х4 =0, ху - х2 + 2х3 + 5х4 = 0. х, + 2х2 - х3 =0, 2х, — х2 -Зх3 = 0. 50. Зх, + х2 - х3 - 2х4 = 0. х, + х2 — х3 + 2х4 = 0. • 2х, + 2х2 - х3 + 2х4 = 0. X] - х2 - х4 = 0. 52. х, + х2 + х3 - 2х4 = 0, - X] - х2 + 2х4 = 0, Зх, - х2 + 2х3 + 2х4 = 0. а^х+Ь^у^с^, 53. <а2х+Ь2у=с2, а3х+Ь3у=с3 (егттп <?б2й1еЫ11г11§1пт §егек үе уеСег §аН1 а} Ъх с^ «2 Ъ2 с2 аз ъз с3 = 0 (1|г. Тзрайаухтх.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФЛТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 129 54. Зх - 2 у + г = Ъ, 5х - 8у + 9г = 3, 2х + у + аг = -1 системасы а менен Ь нын кандай маанилеринде: Ожалгыз чыгарылышка ээ болот; 2) чыгарылышы жок; 3) чексиз чыгарылышка ээ болот. Төмөнкү теңдемелер системасынын тапкыла: 2х + у - г = 0, х + 2у + г = 3, 2х- у + 3г = 2. 55. 56. жалпы чыгарылышын х - у - г = 1, х + 4у + 2г = 1, 3х + 2у + 3г = 3. 57. I Зх} - 2х2 + Зх3 - Зх4 = 3, Зх} - 2х2 - х3 + х4 =3, х, - х2 + 2х3 + 5х4 = 1. 58. 2х, + х2 + х3 + х4 = 5, х2 - х3 + 2х4 = 2, 2Х| + 2х2 + Зх4 = 7. 59. X, + 2х2 - х3 =4, 2Х) - х2 - Зх3 = 4. 60. Зх, + х2 - х3 - 2х4 = 4, х^ + х2 - х3 + 2х4 = 2. 61. х, + х2 + х3 + х4 = 3, 2х, + 2х2 — х3 + 2х4 = 3, X] -х2 — х4 = 0. 62. х, + х2 + х3 - 2х4 = 2, -х, — х2 +2х4 = -1, Зх^ - х2 + 2х3 + 2х4 = 1. + х4 = 5, + х4 = 1, + 4х4 = 6, 63. 2х, +3х2 -х3 Зх, - х2 + 2х3 X] + 2х2 + Зх3 бХ] + 4х2 + 4х3 + 6х4 = 1.
АУ1Т А8А1МОУ, КАМ1Х ЯАГАТОУ ЫМЕЕК СЕВ1к 130 Зх - 2у + г = Ь, 54. < 5х - 8^ + 9г = 3, 2х + у + аг = -1 |1я1ет1пдек1 а уе Ь тп кап§1 де§ег1еп 19111 Ьи 8181етт: 1) Ыг 1ек фбгити уагЫг; ' 2) Ы? Ыг ^бхйтй уокШг; 3) зопзиг 8аук1а фбхйтй уагскг. А§а§1<1ак1 с!епк1ет 8181ет1епшп §епе1 ^бхйткпт Ьи1ипих: 2х + у — г = 0, х — у — г = I, <х + 2у + г = 3, 56. 2х-у + 3г = 2. <х + 4^ + 2х = 1, Зх + 2у + Зг = 3. Зх, - 2хг + Зх3 - Зх4 = 3, 2х{ + х2 + х3 + х4 =5, 57. < ЗХ] - 2хг - х3 + х4 =3, X] - х2 + 2х3 + 5х4 = 1. 58. < х2 - х3 + 2х4 = 2, 2х\ + 2х2 + Зх4 = 7. х, + 2х2 - х3 =4, 2х( - х2 - Зх3 = 4. 2х, + Зх2 - х3 + х4 =5, 63. ЗХ| - х2 + 2х3 + х4 =1, х, + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 6, бХ] + 4х2 + 4х3 + 6х4 = 1.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 131 2.7. ЖООПТОРУ 1. х=16, у=7, 2.Х]=1,х2=0, х3 = -1 3. х = 19/6, у = 17/8 4. х = 2, у= -1, 2 = 3. 5. х = 24,5, у =21,5 , 2 = 10. 6. х = 1, у = 1, 2 = 1. 7. х = 2, у= 3, 2 = 4. 8. х = 1, у= 3, 2 = 5. 9. х = 13,25, у= 8,25, 2 =14,5. 10. х = 2, у=-1, 2 = 1. 11. х =(1/2) (Ъ + с), у=(1/2)(а - Ъ) , 2 =(1/2) (а - с). 12. х =(1/2) (а +Ь) , у=(1/2)(Ъ + с) , 2 =(1/2) (а+ с). 13. х =8, у= 4, 2 = 2. 14. х = 3, у= -2, 2 = 5. 15. х = 1, у= 1, 2 = 1. 16. х = 1, у = 2, 2 = 0. \7. х = 3,у = 5, 2 = 6. 18. х = 3, у = 1, 2 = -1. 19. Х1=1,х2=-1, х3 = 2, х4=-2. 20. х = 1, у = 2, 2 = -2. 21. ху=2, х2 х3 = х4 = 0. 22. Х1=2, х2 = -2, х3 = 1, х4 = -1. 23. х = -1, у= 3, 2=2. 24. х7 = /, х2 = 5, х3 = 2. 25. Х}=1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4. 26. Системанын чыгарылышы жок. 27. Х1=5, х2 = 4,х3 = 3, х4 = 1, х5 = 2 28. Х1= -3, х2 = 2, х3= 1. 29. Х1=1, х2 = -1, х3 = -1, х4 = 1. 30. х}=-1, х2 = 1, х3 = -2, 31. Х1= -2, х2 = 0, х3 = 1, х4 = -1 32. х;= 2, х2 = -1, х3 = 1. 33. Система биримдүү эмес. 34. Х]=(1/11)(х3 -9х4 -2), х2 = (1/11)(-5х3 + х4 +10), х3 менен х4 - каалаган чыныгы сандар. 35. х3 = 22x1 - 33х2 -11, х4 = - 16x1 + 24х2 + 8, х^ менен х2 - каалаган сандар. 36. Система биримдүү эмес. 40. Система биримдүү эмес. 41. Х1= -1, х2 = 3, х3 = -2, х4 = 2 42. х7= 1, х2 = 1/2. 43. Х1=1, х2 = 2, х3 = 2, х4 = 0. 44. Система биримдүү эмес. 45. Система жалгыз гана х = у= 2 = 0 чыгарылыш^на ээ болот.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х «АГАТОҮ Ы1ЧЕЕК СЕВ1К 13? 2. 7. СЕУАРЬАН 1 \ 16, у=7, 2.х/=1,Х2=0, х3 = -1 3. х = 19/6, у = 17/8 4. х = 2, > -1,2 = 3. 5. х = 24,5, у=21,5, 2 = 10. 6. х = 1,у= 1,2 = I. 7 г - 2, у= 3, 2 = 4. 8. X = /, у= 3, 2 = 5. 9. х = 13,25, у= 8.2^ 14,5. 10. х = 2,у=-1,2 = 1. 11. х =(1/2) (Ь + с), у=(1/2)1< / Ь) , (1/2) (а - с). 12. х =(1/2) (а +Ь) , у=(1/2)(Ь + с) ,2 = (1/2) м । с). 16. х = 1, у = 2, 2 = 0. \7. х = 3,у = 5, 2 = 6. 18. х = 3, у = 1,2 = -/. 19. Х1=1,Х2=-1, х3 = 2, х4=-2. 20. х = 1, у = 2, 2 =-2. 21. х/=2, > - х3 = х4 = 0. 22. Х/=2, х2 = -2, х3 = 1, х4 = -1. 23. х = -1, у = 3, г 2. 24. Х:=1, х2 = 5, х3 = 2. 25. Х1=1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4. 26. 8151етш ^бхйтй уокШг. х3=5, х2 = 4, х3 = 3, х4= 1, х5 = 2 28. Х/= -3, х2 = 2, х3= 1. 29. х/=7, х2 = -1, х3 = -1, х4= 1. 30. %/=-/, х2 = /. \ , = -2, 31. Х1= -2, х2 = 0, х3= 1, х4 = -1 32. х7= 2, х2 = -1, х3 = 1. 33. 81з1:ет 9О2й1еЫНг йе£11с11г. 34. Х!=(1/11)(х3 -9х4 -2), \2 = (1/11)(-5х3 + х4 +10), х3 уе х4 - кеуй зауйагЫг. 35. х3 = 22х/ - 33х2 11, \ I = - 16х! + 24х2 + 8, X/ уе х2 - кеуй зауПагШг. 36. 81з1ет сбхйкпехсНг. 40. 8181ет ^бхШтегсНг. 41. Х/= -/, х2 = 3, х3 = -2, х4 = 2 42. Х/= 1, х2 = 1/2. 43. Х/=/, х2 = 2, х3 = 2, х4 = 0. 44. 81§1ет ^бхШтехсПг. 45. 81з1ет Сек х = у= 2 = 0 ^бхйтйпе заЫрйг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 133 46. Системанын (х; у; г) = (2; -3; 5) чыгарылышы бир вектордон турган фундаменталдуу система болот жана х = 2с, у = -Зс, г = 5с системанын жалпы чыгарылышы болот. Мында с-каалаган сан. Система чексиз чыгарылышка ээ болот. 47. (14; 21; 1; 1) - вектору системанын фундаменталдуу системасы болот жана каалаган с саны үчүн системанын жалпы чыгарылышы (ху х2 ;х3; х4) = (14; 21; 1; 1) с болот. 48. Системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы, в/ = (-1; 1; 1; 0) жана е2 = (1/2; -2; 0; 1) эки векторунан турат. Жалпы чыгарылышы (ху, х2 ; х3; х4) = с;с/+ с2е2 = (-С/ +( 1/2)с2; С) - 2с2; с,; с2) болот. Мында сд с2 - каалаган сандар. 49. (7; -1; 4) вектору системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы болот. Жалпы чыгарылышы каалаган С саны үчүн (х;; х2 ; х3) = (7; -1; 5)С болот. 50. Системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы в/ = (2; -4; 0; 1) жана е2 = (0; 1; 1; 0) эки векторунан турат. Жалпы чыгарылышы (хд х2 ;х3; х4) = с/е/+ с2е2 = (2С1;-4С1+ с2; с2; с/) болот. Мында с2; с^ - каалаган сандар. 51. (0; 1; 0; -1) вектору системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы болот. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х/; х2 ; х3; х4) = (0; 1; 0; -1) с болот *
АУ1Т А8 А1ЧОУ, КАМ1Х КАГАТОУ Ы^ЕЕКСЕВ1К 134 46. 8181епйп (х ; у; г ) = (2; -3; 5) ^бхйтй 1ек уекТбгбеп о!и§ап Ыг Ьаг <;б2йтй уагсйг уе х = 2с, у = -Зс, г = 5с 8181етт §епе1 ^бгйтйсШг. Вигада с-кеуГ1 зау1й1г. 8181етт зопзих заукЗа ^бгйтй уагскг. 47. (14; 21; 1; 1) - уекГбгй 8181етт Ьаг ^бгйтйсШг уе кеуП с 8ау>81 1911) 8181етт §епе1 ^бхитй (х;; х2 ;х3;х4) = (14; 21; 1; 1) с сНг. 48. §18Ьетт фбгйтШппт Ьаг 9б2йт1еп, е/ = (-1; 1; 1; 0) уе е2 = (1/2; -2; 0; 1) 1к1 үек!бг1епсНг. 8181етт £епе1 9бгйтй (х/; х2 ;х3; х4) = с,е, + с2е2 = (-с/ + (1/2) с2; с^ -2с2; с:; с2) сНг. Вигаба с7; с2 - кеуй зауйагсйг. 49. (7; -1; 5) уекгбгй 8181егтп ^бгшгйеппт Ьах уекСбгйсШг. Оепе! фбгйтй 1зе кеуй с зауы 19111 (х/,-х2 ;х3) = (7; -1; 5) с сНг. 50. 8181етш 9б2йт1епшп Ьаг ?б2йт1еп С/ = (2; -4; 0; 1) уе е2 = (0; 1; 1; 0) 1к1 үек(бгйсШг. Оепе! ^бхйтй 1зе (х7; х2 ;х3; х4) = с^е^+ с2е2 =(2с1;-4с/+ с2; с2; с,) сПг. Вигаба с2; с^ - кеуЛ 8ау11агб1г. 51. (0; 1; 0; -1) уекТбгй 8181етт 9бгйт1еппт Ьах уекСбгйсШг. Оепе! ^б/йтй 18е кеуй с зауш 19111 (х7; х2 ; х3; х4) = (0; 1; 0; -1) с сПг.
135 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 52. (0; 2; 0; 1) вектору системанын чыгарылыштарынын фундаменталдуу системасы, ал эми жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (%/; х2 ;х3; х4) = (0; 2; 0; 1) с болот. 54. 1) а *-3; 2) а = - 3, в* 1/3; 3) а = - 3 , в = 1/3. 55. х = 0; у = 1, г = 1. 56. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х, у, 2 ) = (1 + 2с; -Зс ; 5с) болот. 57. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х7; х2 ; х3; х4) = (1 +14с; 21с ; с; с) болот. 58. Жалпы чыгарылышы каалаган с/ жана с2 сандары үчүн (х7; х2 ;х3; х4) = (1- с} + (1/2) с2; 1+ с}- 2с2; 1 + с}; 7 + с2) болот. 59. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х7; х2 ; х3) = (1 + 7с; 1- с; -1+5 с) болот. 60. Жалпы чыгарылышы каалаган с} жана с2 сандары үчүн (х7; х2 ;х3; х4) = (1+2с}; 1-4 с} + с2; с2; с}) болот. 61. Жалпы чыгарылышы каалаган с саны үчүн (х7; х2 ; х3; х4) = (1;1+ с; 1; - с;) болот. 62. Жалпы чыгарылышы каалаган с саныүчүн (х7; х2 ;х3; х4) = (0;1+ 2с; 1; с) болот. 63. Система биримдүү эмес
АУ1Т А8АМОУ, 1<АМ|Х ЯАГАТОУ 1ЛМ<:ЕК( ЕВ1К 130 52. (0, 2; 0; 1) уектбгй 818(етт ^бхйггйеппт Ьах уекСбгйсШг. Оепе1 ^бхйтй 1яе ксуП с 8ау181191П (х/; х2 ; х3; х4) = (0; 2; 0; 1) с сНг. 54. 1) а *-3; 2) а = - 3, в * 1/3; 3) а = - 3 , в = 1/3. 55. х = 0; у = 1, 2 = 1. 56. 8181ет1п §епе1 ^бхйтй кеуй с 8ау18119111 (х/; х2 ; х3; х4) = (1 +2с; -Зс ; 5с) сйг. 57. Зхз^етт Оепе! ?бхйтй кеуП с 8ау18119111 (х/, х2 ; х3; х4) = (1+4с; 21с ; с; с) сйг. 58. Оепе1 ^бхйт с} үе с2 8ау11ап 19111 (%/; х2 ; х3; х4) = (1- С/ + (1/2) с2; 1 + с} -2с2; 1 + с}; 1+ с^) сНг. 59. 8181:етт §епе1 ^бхйтй кеуй с 8ау181 фп (х/; х2 ; х3)= (1 + 7с; 1 - с; -1 + 5с) сНг. 60. 8181етт §епе1 ^бхйтй кеуй С/ үе с2 зауйап 19111 (х}; х2 ; х3; х4) = (1 + 2с}; 1 - 4 с} + с2; с2; с}) сНг. 61. 8181:етт §епе1 ^бхйтй кеуй с 8ау18119111 (х}; х2 ; х3; х4) = (1;1 + с; 1; - с;) (Нг. 62. 8181етт §епе1 ^бхйтй кеуГ1 с 8ау18119111 (х}; х2 ; х3; х4) = (0;1+ 2с; 1; с) (Нг. 63. 8181ет ^бхШтехсНг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 137 3 ГЛАВА. ВЕКТОРДУК АЛГЕБРА 3.1. БАГЫТТАЛГАН КЕСИНДИ. САН ОГУ. ТЕГИЗДИКТЕГИ ЖАНА МЕЙКИНДИКТЕГИ ТИК БУРЧТУУ КООРДИНАТ СИСТЕМАЛАРЫ 1,Сан огу. Багыты бар түз сызык ок деп аталат (3.1-сүрөт). Ал багыт жебе менен белгиленет. Октон каалаган А жана В эки чекитин алалы. _________________ 3.1-сүрөт Эгерде четки чекиттери А жана В болгон кесиндинин бир чекитин башталыш чекити, ал эмч экинчисин аякталыш чекити катарында карасак, анда ал кесинди башталыш чекитинен аякталыш чекитине карай багытталган кесинди деп аталат. Багытталган кесинди же вектор АВ же АВ аркылуу белгиленет, мында А-башталыш чекити, ал эми В-аякталыш чекити. Биз АВ же |Д2?| аркылуу А жана В чекиттеринин ортосундагы аралыкты жана АВ векторунун чоңдугун АВ аркылуу белгилейбиз. Эгерде багытталган кесинди АВ менен октун багыты дал келсе, анда АВ = |лв|. Ал эми багытталган кесинди АВ менен октун багыты карама-каршы болсо, анда АВ = - |Д2?| болот. Октун ар кандай А, В жана С үч чекити үчүн АС кесиндини чоңдугу АВ менен ВС кесиндилеринин чоңдуктарынын суммасына барабар б.а. АС = АВ + ВС. Эсептөөнүн башталыш чекити бар, багыты бар жана чен бирдиги бар түз сызык сан огу же координат түз сызыгы деп аталат (3.2-сүрөт).Бул 3.2-сүрөттө О чекити сан огунун башталыш чекити. Эми Ох сан огунан каалаган М чекитин алалы (3.2-сүрөт). О М ----------!----;-----------,----------------------- 0 1 3.2-сүрөт
АУ1Т А8А1ЧОҮ, ЯАМ|Х КАГАТОҮ Ь11\ЕЕКСЕВ1В 138 ВОЬОМЗ. УЕКТОКЕЬ СЕВ1К 3.1. ҮО1ЧЬЕ^ППйЬМ1§ ООСПЪ РАКСА81. 8АҮ18АБ ЕК8Е1Х. |И1ХЬЕМОЕ ҮЕ Ы2АҮВА КАКТЕХҮЕМ КООКО118АТ 818Т1- М1П<1 1 8АҮ18АБ ЕК8ЕТЧ. Үоп1епШй1т1§ до§гиуа екзеп дегпг ус .1>.1)'к1.|к। ц1Ы ок 1§агей Пе §б8(епНг (§екП 3.1) §екП3.1. Екзеп йхеппПе ЬегЬап§11к1 А уе В пок1а1апт а1аЬт. Е§ег ис покЫап А ке В о1ап <1о§ги раг^азтт Ыг покказии Ьа§1ап§1? покказ! 1ктс181т 1ас яоп Пок1аз1 Пегзек о гатап о <1о§ги раг^азта Ьа§1ап§1? покизтбап зоп покижти ^бге убп1епй1п1т1§ йо§ги раг$а»1 Петг. Үбп1егкНп1пн§ <1о§ги раг^ав! уес(бг АВ уеуа АВ Пе §О81епНг. ВигасТа А Ьаз1ап§19 пок1аз1 В 18е зоп покйшсИг. АВ уеуа |ЛВ| Пе А үе В пок1а1аптп агазтНак! и/акЬк уе АВ Пе АВ үек1огипйп Ьоуи (Ьйуйк1й§й) §бз1епНг. Е§ег убп1егкНп1гт§ По§ги раг?а81 АВ Пе екзегпп убпй аут 18е АВ = АВ о1иг. Е§ег убп1епсНп1гт§ с!о§ги раг?а81 АВ Пе екзепт убпй Ып Ыппе каг§11§е, о хатап АВ = - ЛВ о!иг. Екзепт ЬегЬап§1 й? А, В уе С пок1а1ап 19111 АС раг^азтт ЬйуйкШйй АВ уе ВС раг^аЫптп Ьйуйк1йк1ептп (ор1атта е§1Шг, уат АС=АВ+ВС Ыг. Не8ар1атапт Ьа§1ап§19 покГаз!, убпй уе Ыпт б^йзйпе заЫр о!ап Йо§гиуа »ау18а1 еквеп уеуа коогсНпаС По^гияи с!етг (§екП 3.2). Ви 3.2. 5>екНпс1е О покСаз! 8ау1за1 екзетп Ьа$1ап§19 покСазкЬг. $1тсН Ох зау18а1 екзет Игеппйе кеуй Ыг М поЫазин а1аЬт (§екП 3.2) О М ! I[ 0 1 8екП 3.2.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 139 Анда М чекитинин координаты ОМ багытталган кесиндинин чоңдугу х санына барабар болот, б.а. х=ОМ. М(х) символу М чекитинин координаты х ге барабар дегенди билдирет. Демек, чыныгы сандар, сан огунун чекиттерин сүрөттөйт. Ошондуктан, бардык чыныгы сандардын көптүгүн сан огу деп, ал эми ар кандай чыныгы санды сан огунун чекити катарында карай алабыз. Эгерде А(х>) жана В(х2) сан огунун каалаган эки чекити болсо, анда АВ = Х2-Х1, (1) формуласы АВ багытталган кесиндинин чоңдугун аныктайт, ал эми /ЛВ/=/х2-х// (2) формуласы бул эки чекиттин арасындагы аралыкты аныктайт. 1-МИСАЛ. Сан огунан А(-2), В(3) жана С(-5) чекиттерин тапкыла. 1) АВ, ВС жана АС багытталган кесиндилеринин чоңдуктары АВ, ВС жана АС ны тапкыла. 2) АС = АВ + ВС экендигин текшергиле. 3) I АВ|, I ВС| жана | АС| аралыктарын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Берилген А, В жана С чекиттерин сан огунан табабыз (3.3-сүрөт). С А О В ---1----------1-----1--------1-----► -5 -2 0 3 х 3.3-сүрөт 1) Жогорудагы (1) формуланын негизинде АВ = 3-(-2) = 5, ВС = (-5)-3 = -8, АС=(-5)-(-2) = -3 болот. 2) АВ + ВС = 5 + (-8) = -3 = АС. 3) Жогорудагы (2) формуланын негизинде АВ| = | 3-(-2)| = 5; I ВС| = I (-5)-3| = 8; | АС| = I (-5)-(-2)| = 3 болот.
АУ1Т А8АМОҮ, КАМ>2 КАГАТОУ Ь|^ЕЕКСЕВ1К 140 $и ИаМе М пок1а81П1п коогсНпаО ОМ убгйепсНгПпм? раг^апт ЬЦуикШ^и 1 хау181па е§йНг, уат х =ОМ <Иг. М(х) зетЬо1и М покизтт коогсНпай х с с>Ш1г детекНг, уат гее! зауйаг зау18а1 екзепт пок1а1апт ЬеНг11г1ег. О Ьа1с1с К1т гее! зауйапп сшгйезт! зау18а1 екзепсНг, Ьег гее! зау1у1 зау!8а1 екзепт пок1а81с11г сИуе ЫНпх. Е§ег А(х/) уе В(х2) 8ау1за1 екзетп Ьег Ьап§11к1 пок!а811яе АВ = х^ -X/ (1) (огтиШ АВ убп1епсНп1ггп? до§ги рагдазтт Ьйуйк1й§йпй ЬеИгНг, /ав/ =/ Х2-Х/1 (2) I <>гтй1й 1зе Ьи 1к1 поШагип агазтсЫи игак11§11атт1аг. 0К1ЧЕК 1.: В1г 8ау1за1 екзепт А(-2), В(3) уе С(-5) пок1а1апт Ьи1ипи/.. I) АВ , ВС уе АС убгйепсНгПгт? йо§ги раг?а1апп1п Ьйуйк1ик1еп о!ап АВ, ВС уе АС у! ЬЫипих. 2) АС = АВ + ВС о1с!и§ипи §б81епгнг. () | АВ| I ВС| уе I АС| игип1ик1апп1 Ьи1ипиг. СОХИМ: С А О В -----1---------1------1--------1------► -5 -2 0 3 х $екН 3.3. УегНеп А, В уе С покЫапт 8ау1за1 екзеп йгеппйе ЬЫигих ($екН 3.3). I )Үикапс1ак1 (1) ГогтйШпйп пейсезтйе АВ = 3-(-2) = 5, ВС = (-5) - 3 =-8, АС = (-5) - (-2)= -3 о!иг. Й) АВ + ВС = 5 + (-8) =-3=АС Шг. 3) Үикапйак! (2) ГогтШйпйп пейсезтйе I АВ| = | 3-(-2)| = 5; I ВС| = I (-5)-3| = 8; I АС| = | (-5)-(-2)| = 3 с$Ш1к1епт а1тг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФА ГОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 141 2.Тегиздиктеги тик бурчтуу координат системасы. Тегиздиктеги ар кандай чекиттин абалы эки координат менен аныкталат. Ал төмөнкүдөй жол менен аныкталат. Өз ара перпендикулярдуу х’х жана у’у окторун (багыты бар түз сызыктарын) жүргүзөбүз (3.4-сүрөт). Ал багыты бар түз сызыктар координат октору деп аталат. Горизонталдуу х’х огу - абсцисса огу деп аталат, ал эми у ’у огу-ордината огу деп аталат. 4У У 3.4-сүрөт Бул эки октун кесилүү чекити 0-координат башталмасы деп аталат. Ар бир координат огунда ар кандай же бирдей чен бирдиги кабыл алынат жана жебе менен белгиленген оң багыт тандалат. 4- сүрөттө Ох-нуру абсцисса огунун оң багыты, ал эми Оу-нуру ордината огунун оң багыты. Чен бирдиги жана оң багыты бар, х’х жана у’у координат октору-тик бурчтуу координат системасын (Оху) түзөт. Тегиздиктеги каалаган М чекитинин абалы, тик бурчтуу координат системасында төмөнкүдөй аныкталат. Берилген М чекитинен у’у огуна жарыш түз сызыкты х’х огуна кесилгенге чейин жүргүзөбүз. Ал кесилүү чекитин Р менен белгилейбиз (3.5-сүрөт). Эми М чекитинен х ’х огуна жарыш түз сызыкты у ’у огуна кесилгенге чейин жүргүзүп, ал кесилүү чекитин () менен белгилейбиз. У 4 > X У' 3.5-сүрөт
АУ1Т А8АМОҮ, КАМ|Х КАГАТОУ 1Л1МЕЕКСЕВ1К 142 2. Вйл1ешйе каНегуеп коопНпаГ 8181ет1. 0й21етс1ек1 кег пок|птп |1игити 1к1 коогдта! Пе ЬеНгННг. Ви а§а§к!ак1 §1Ы уарйаЫНг. Внч Ыппе Ыкх'х уе у'у екзепкпт (убп1епсНп1гт§ (к>ёги1апт) <?1хеНт (§екН 3.4). Ви \бп1епсНп1гт§ до§ги1аппа коогсНпа! екзепкп сЛетг. У ► х‘ 0------------х у' §екП 3.4. Үа1ау х‘х екзетпе аЬ818 екзет <1етг, у‘у екзепте 1зе - огсПпаС екзеп! етг. Ви 1к1 екзетп кез1§те покизта О-коогбта1 Ьа§1ап§191 уеуа опрп ок1аз1 «Легнг. НегЫг коогсНпа! екзетпс1е ГагкН уеуа е$П Ыпт б1?й8й аЬгиг ус >к 1?агеН Не рогкИубп §б81епНг. §екН 3.4. бе Ох - ск>§гизи - аЬз18 екзетпт юглНГ убпй, Оу - бо§гизи 1зе огсНпа! екзептт рог1НГ убпйсЮг. В1пт б^йзй уе роабГубпй о1ап х‘х у’у коогсНпа! екзеп1еп сНк а<,ч1| оогбта! З1з1етт1, уат (Оху) каПехуеп коогсНпаС 81з1егтт о1и§1игиг. В1г бйг1етбек1 М покТазтт уеп каНегуеп коогсНпа! 8181еттс1е $а§1с!ак1 §1Ы ЬеПгННг. УегПеп М поЫазтсАап у ’у екзетпе рага1е1 до^гиуи 'х екзет Пе кез1$епе кабаг 91геНт. Ви ке81§те покизпи Р Пе §б81егеНт (§екП 3.5). §1тсН М покизтскт 'х екзетпе рагаПе! с!о§гиуи у ’у екзет Пе кез1§епе кас!аг ^хесе^г уе ек1е 1С1Пеп пок1ау1 9 Пе §б81егесе§12.
143 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Демек, МРух'х л-;,ня мо / / п, _ , коопдинатын г ъ а 1УУ- Эми р чекитинин хх сан огундагы координатын у ^енен ^белгил?11’ ТМИ 9 чекитинин У’У сан огУнДагы координатсисте^сында™^™- Анда х менен У Мчекитинин Оху- чекитинин абс11 ЫВДаГЫ кооРдинаталаРЬ1Н аныктаит. Мында, х саны М оплинятясм прп1,ссась' деп аталат> зл ЭМИ у саны М чекитинин жазуу, М чекитИ11и™циссЛасьЖ^ ЖаЗЬ,лаТ- ДеМеК’ М(а,Ь) деген билдирет Мисал л а Ц 1 х = эми °РДинатасы У = ь Дегенди -дерГнүн^ Мь М2, М3, М4 жана О чекитгери 3.6-сүрөт системасындагы кооппинятап.. ч'» лл ( 1. тхк°ерДина1ал<1ры аркылуу төмөикүдөи жазылат: ЭСКЕРТЙ ’ ¥3(’2; 4)’ -3)жанаО(0; 0). кооппинят гигтои ’ 1 егиздикте берилген М чекитинин ар башка эки ЭСКЕРТҮҮ 2^1ндагы координаталары да ар башка болот. кудай эле жол меьен^ык™> координат системаеы да’ жогор- координат система „ТпЦ Хя Д Тик бУрчтУУ жана тик бУрчтУУ эмес Коордииат О1ЛХ Р К00рДинат системалары деп аталат. координат бурчтаь™ же ква^ УУ аныкталган төрт бУрч’ буочтапы Ч 7-г1/г>^Ь1 же кваДранттар деп аталат. Ал координат ар бир кГТТӨ көрсөтҮдгөндөй номерленет жана ал сүрөттө коопдинаталапынг И^аТ бУрчтарында жаткан чекиттердин координаталарын^1Н белгилери көрсөтүлгөн. <
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1г КАГАТОУ 1ЛМЕЕЯ СЕВ1К 144 Оетек МР1. х'х уе Л/0±Уу сНг. §ткН Р покЫзтт х‘х нау1.чп) екзетпПек! коопНпаНт х Пе §б81егеПт. 0 покШзтт у‘у заут! ек8сптс1ск| коогсНпаНгм 1зеу Пе §бз1егеНт. О хатап х уе у зауПап М покШхтт каПехуеп коопНпа! 8181етт(1ек1 коогдтаПапт ЬеНгННег. ВигаИа г чаүг.тп М покизтт аЬ8181 <1етг у заушпа 1зе М покТазтт огсНпай с1е1ш I 1и М(х,у) ^екНпПе уахН1г. Оетек М(а,Ъ) ПаПез! М пок1а81пт аЬ8181 \ Чг огсНпаИ 18е у = Ъ <Иг ПетекПг. Оте§т 3.6.§ек1тс1ек1 Мь Мг, Мь М, 0 покга1ап ЬигПапп Оху коогсНпа! 8181еттс1ек1 коопНпаНап уап1о 1а а?а§к1ак1 §1Ы уахПаЫНг: М।(3;3), М2(-3; 2), М3(-2; - 4), М4(4; -3) үе 0(0,0). М2 М1 Рз Р2 !Рд --------->. Р, I X §екП 3.6 ЫҮАК1 1. В1г с1йх1ет<1е уегПеп М покГазтт Ьег 1к1 ГагкП каНегуеп коогсНпаГ 8181егтпс1ек1 коогсПпаНап с!а Гагк11П1г1аг. 15ҮАК1 2. О1к о1тауап коогсПпаГ 8181егт <1е уикапПак! $ск11с1с ГаптЯапаЫИг. О1к уе сНк о!тауап коогсПпа! 818(ет1еппе ЬезсаЛез коогсПпа! 818<ет1еп Петг. СоогсНпаГес! екзегПеп о1ап х'х у‘у Пе ГатпЯапап Пбг! а?1уа ко<» а^Пап уеуа ?еугек1ег Петг. О коогсНпаГ а^Паппа ?екП 3.7 Пе §б81ег11П1(1.1 §1Ы питага1аг уепНг уе о §екП<1е Ьег Ыг коогсНпаГ а^Паппа аП о1ап пок(акн т коопНпаПаптп 1§агеПеп §б81еп1гт§Нг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 145 I (+; +) х' -------------- 0 (-;-) П1 (-; +) и IV (-; -) > х 3.7-сүрөт. Жогорудагы 3.6-сүрөттөгү М; чекити 1 координат бурчунда, чекити II координат бурчунда, Мз чекити III координат бурчунда жана Мд чекити IV координат бурчунда жатышат. З.Мейкиндиктеги тик бурчтуу координат системасы. Берилген О чекити аркылуу өтүшкөн жана өз ара перпендикулярдуу үч Ох, Оу, Ог сан октору тик бурчтуу координат системасын түзүшөт. Мында Ох, Оу, Ог - сан октору координат октору деп аталат, О чекити - координата башталмасы деп аталат (3.8-сүрөт). 3.8-сүрөт Ошондой эле Ох-абсцисса огу, (Эу-ордината огу жана Ог-апликат огу деп аталат, ал эми хО у, уО г, х<Эг-координат тегиздиктери деп аталат. Ох, Оу жана Ог сан окторунда чен бирдик ар түрдүү же бирдей болушу мүмкүн. Тик бурчтуу координат системасы оң жана сол болушу мүмкүн 3.8-сүрөттө берилген координат системасы - оң координат система. Себеби хОу тегиздигинде Ох ёгу Оу огу
АУ1Т А8А^ОУ, ЯАМ|Х КАЕАТОУ Ы1ЧЕЕКСЕВ1К 146 (-; +) п I (+; +) $екП 3.7. Үикапда 3.6.$екПп(1ек1 пок1а§1 1-тс1 коогсНпа! а^^зта, М2пок1ам II - тс! коогсНпа! а§18та, М3 пок1а§1 III - ипси коогсНпа! а91зта уе М4 покиш 1яе IV - йпсй коогсНпа! адвта аййг. 3. Шауйа кагГегуеп коогсИпа! 8181ет1. ҮегПеп О пок1аз1пс1ап ус Ып Ыппе сНк о!ап й<? Ох, Оу, Ог зау^за! екаегйеп сНк а?111 коогсНпа! 8181етт1 уеуа Охау каПехуеп коогсНпа! 8181етт1 о1и§Шгиг. Вигайа Ох, Оу, Ох зау 1ха1 екзегйепге коогсИпа! ек$еп!еп Петг. О покТазта коогсНпа! 818(еттт Ьа§1ап§1с лок1а81 үеуа опрп сЛегмг (§екП 3.8). Вигайа с!а Ох - аЬ818 екзетсНг, Оу - огсНпс1а( екзетсНг, 0? - арНка! екзетсНг, хоу, уог, хог - коогсНпа! <1й21ет1епсНг1ег. Ох, Оу уе 0? 8ау1ха1 ек8еп1еппс1ек1 Ыпт б1<?йкп ГагкИ ба е?к Пе о1аЫИг1ег. О1к а?111 коогНтп! 8181егт за§ уе зо1 убп1й с1аЫНг. $екП 3.8' с!е уегПеп коогсНпа! 8181егт । коогсНпа! 8181еггнсНг, фйпкй хоу Пйх1еттс1е Ох-екзет 90° уе с1бпс1йгй1с1ш’,|111<1 Оу-екзет Пе аут о1таз119111 §егек уе уе!ег §аг! Ох-екзеттп заа! 1Ьге81пе 1с< убпс1е 90° уе <1бпс1йгй1те81сНг. $екП 3.9 с!а уегПеп коогсНпа! 8181егт коогсНпа! 8181егтсНг, ?йпкй хОу сН21еттс1е Ох -
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 147 менен 90° ка бурганда дал келет качан гана Ох огун саат жебесинин багытына карама-каршы бурганда. Ал эми 3.9-сүрөттө берилген координат система - сол координат система. Себеби хОу тегиздигинде Ох огу Оу огу менен 90° ка бурганда дал келет качан гана Ох огун саат жебесинин багыты боюнча бурганда. Мейкиндиктеги каалаган М чекитинин абалы, тик бурчтуу координат системасында төмөнкүдөй аныкталат. Берилген М чекитинен хОу тегиздигине перпендикуляр түз сызык жүргүзүп, ал перпендикулярдын хОу тегиздиги менен кесилүү чекитин Р менен белгилейли (3.10-сүрөт). 3.10-сүрөт Эми хОу тегиздигиндеги Р чекитинин хОу координат системасындагы координаталарын х жана у менен белгилейли. Ал эми т. санын төмөнкүдөй жол менен тандап алалы: Эгерде М чекити хОу тегиздигинен жогору турса (<9г- багытына карата), анда г = =1 МР| , ал эми М чекити хОу тегиздигинен төмөн турса (Ох багытына карата), анда 2 = - I МР|. Мында I МР| - М жана Р чекитинин арасындагы аралык. Анда х, у жана г сандары М чекитинин Охуг - координат системасындагы координаталарын аныктайт. Мында, х саны М чекитинин абциссасы, у саны М чекитинин ординатасы, ал эми т. саны М чекитинин апликатасы деп аталат. Бул М(х,у,г) деп жазылат. Мисалы 3.11-сүрөттөгү М чекити төмөнкүдөй координаталарга ээ: х=1, у= - 2, т. =3 б.а М(-1; $; 3).
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 КАГАТОҮ 1Л^ЕЕКСЕВ1К 148 сккегп 90° уе йбпдйгйШйёйпде Оу-екзегн Пе ауш о1таз1 1<?1п §егек ус уе1ег ^агг Ох-екзетп 8аа11Ьгез1 убпйпбе 90° уе йбпсИп-ШтезИи. В1г ихауба Ьег М покизтт уеп каПехуеп коогсНпа! 8181еттс1е а$а£кI «I । §|Ы ЬеНгННг. УегПеп М поктазтйап хОу с1й21етте сНк бо§гу ^хеНт уе Ьи <Нк <1о§ги Пе хОу с1й21еттт кез!§те покгазт! Р Пе §б81егеНт (§екП 3.10). §екП3.10. $1тсП хОу <1й21еттс1ек1 Р покизтт хОу каПегуеп коогсНпа! 8181еттс1ск| коогсНпаНапт х уе у Пе §б81егеПт. 2 заушт 1зе а§а§1<1ак1 уогйст уагсЬгтуЬ зе^еНт: е§ег М поксаз, хОу с1й21еттт уикапзтба уег1е$гт$8с (Ог-убпйпе §бге) 2 = | МР| сНг; М пок1аз1 хОу сШгкттт а$а§)!Ш1<1а уег1е§гт§8е (Ог-убпйпе §бге) о гатап 2 = -1 МР| о1иг. Вигас1а | МР| - М ус Р пок1а1аптп агазтйак! игакНкйг. О ЬаМе х, у уе 2 зауПап М поккжтт 0ху2 каНегуеп коогсНпа! 8181еттс1ек1 коогсНпаНапт ЬеНгНг1ег. Вигас1а \ 5ау18ша М покйзтт аЬз^згсНг, у 8ау18та М покизтт огсНпайсЬг, / 8ау18та 18е М поМазтт арНкайсНг с1етг. Ви <1а М(х,у,г) §екНпс!е уа/.|1н Оте§т §екП 3.11 Пек1 М пок1аз1 а§а§1<1ак1 коогсНпаНага заЫрНг: х у= -2, 2=3, уат М(1; - 2; 3) Нйг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 149 3.11-сүрөт 3.2. ТЕГИЗДИКТЕГИ ЖАНА МЕЙКИНДИКТЕГИ ВЕКТОРЛОР. АЛАР МЕНЕН АТКАРЫЛУУЧУ АМАЛДАР Башталыш чекити А, ал эми аякталыш чекити В болгон АВ багытталган кесиндиси вектор деп аталат. Векторлор үстү сызыкча же жебе менен сызылган бир кичине тамга менен же эки чоң тамганын жардамы менен белгиленет. Мисалы, а = АВ же а = АВ (3.12-сүрөт). Векторду ал жаткан түз сызыкты бойлото жана параллел жылдырсак, ал вектор өзгөрбөйт. Берилген АВ векторунун узундугу деп, АВ кесиндинин узундугун айтабыз жана ал I АВI менен белгиленет. Эгерде эки жарыш вектордун багыттары бирдей жана узундуктары барабар болсо, анда ал эки вектор барабар деп эсептелет. Узундугу бирге барабар болгон вектор бирдик вектор деп аталат. Бир түз сызыкта же жарыш түз сызыктарда^жаткан векторлор коллинеардуу векторлор деп аталат.
АУ1Т А8АКОУ, КАМ1/ КАЕАТОҮ 1ЛКЕЕКСЕВ1К 150 §екП 3.11. 3.2. ОйХЬЕМПЕК1 УЕ 17.АҮ0АК1УЕКТОКЬЕК УЕ ОМЬАКЖ йХЕК1ИЕ ҮАР1БАСАК 1§ЬЕМЬЕК Ва§1ап§1<? пок1а§1 А зоп пок1а81 1§е В о!ап АВ убп1еп<ПгПт1§ Но£ги раг^авта уек!бг Нетг. Уек!бг1еп йгеппйе 91x^1 уеуа ок 1§агей о!ап Ы| кй?йк НагЛе уеуа 1к1 Ьйуйк ЬагЯе ЬеПгННег. Оте§т а = АВ уеуа а = АВ ($екП 3.12). Уек1бгй й/еппНе Ьи1ипап с!о§ги Ьоуипса уеуа рага1е! о!агак 1а§1гзак о уек!бг Не§1§те2. $екП3.12. ҮегПеп АВ уек1бгйпйп Ьйуйк1й§й сПуе АВ с!о§ги раг^азтт итигПийипа дегнг уе | АВ | Пе §б81епНг. Е§ег 1к1 рага1е! уек!бгйп убгНеп аут м Ьйуйк1йк1еп е?11 1§е о /атап Ьи 1к1 уек!бг Ып Ыппе е$П зауНт Вйуйк1и£й Ыге е§11 о!ап уек!бге Ыпт уек1бгй Нешг В1г <1о§ги йгеппбе уеуа рага1е1 Но§ги1аг йгеппйе уег1е§еп уек1бг1ен рага!е1 үек!бг1ег Нетг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РЛФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 151 Эгерде вектордун башталыш жана аякталыш чекиттери дал келсе, анда ал вектор нөлдүк вектор деп аталат жана ал 0 же 0 менен белгиленет. Мисалы, 0 = АА жана анын узундугу |о| = |.44| = 0. Нөлдүк вектордун багыты каалаган багыт болгондуктан, аны ар кандай векторго коллинеардуу дейбиз. Векторлор менен төмөнкү жөнөкөй амалдар аткарылат: 1. Вектор а ны каалаган АеК. санына көбөйтүүсүн Ъ =Ха менен белгилесек, анда I Ъ I =1 Х| | а | жана А > Оүчүн а жана Ъ векторлорунун багыттары дал келет, ал эми Х<0 саны үчүн а жана Ъ векторлорунун багыттары карама-каршы болот (3.13-сүрөт). Биз -а = (-!)• а векторун а векторуна карама-каршы вектор деп айтабыз. 3.13 сүрөт 2. Берилген а жана Ъ векторлорунун суммасы деп, башталыш чекити а векторунун башталыш чекити менен дал келген, ал эми аякталыш чекити Ъ векторунун аякталыш чекити менен дал келген С=а+Ъ векторун айтабыз. (3.14-сүрөт). 3.14-сүрөт.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КЛМ1Л КАГАТОУ ЫКЕЕК СЕВ1К 152 Е£ег уек(бгйп Ьа?1ап|1? уе зоп пок1а1ап ауш 15е о уекЮге 51Г1г уск(бг (1еп1гуе о үеуа о Пе §бз1епПг. Оте§т о = АА <11г уе опип Ьйу11кИ1§0 |о| = |АА^ = 0 скг. 81Г1г уекШгйп убпй кеуй Ыг убп о1аса£1пс1ап о уек(<">И1 Кег уекгбге рага1е!сИг бешг. Уек(бг1ег йхегше а$а§к!ак1 Ьа$к 1§1еш1ег уарШг. 1. Үек<бг а шп кег ЛбК $ау1$1 Пе ^агршп Ь = Лл Пе §бз1ег!гяск о КаИе |/>| = |Я.||а| уе Л>0 19111 а уе Ь уек1бг1еппт убп1еп аутскг, Х< 0 $ау181191П 1$е а уе Ь уек(бг1еппт убгПеп Ып Ыппе каг§1 о1иг ($екП 3.13). В1г -а = (-!)• а үек(:бгйпй а үек(бппе каг?1, уапИегз үек(бг Петг. §екП 3.13. 2. УегПеп а үе Ъ \ек(бг1ег!п1п ГорЫгт <11уе, Ьа§1ап§19 покГаз! а үекГбгйпйп Ьа§1ап§19 покГаз! Пе ауш, зоп пок1аз11зе Ь уекГбгйпйп ^оп покГаз! о1ап с = а + Ь уекГбгйпе йегнг (§екП 3.14). §екП 3.14.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 153 Мында с вектору а жана Ъ векторлорунун жардамы менен түзүлгөн параллелограммдын диагоналы болот (параллелограмм эрежеси). Ушундай эле жол менен_ бир_ нече вектордун суммасы аныкталат._ Мисалы а, Ь, С, <7 төрт_ вектордун суммасы е =а +Ь +с +с1 төмөнкүдөй аныкталат: Ь векторун жарыш которуп, анын башталыш чекитин а векторунун аякталыш чекити менен дал келтиребиз. Андан кийин, с векторун жарыш которуп, анын башталыш чекитин Ь векторунун аякталыш чекити менен дал келтиребиз. Ал эми (1 векторун жарыш которуп, анын башталыш чекитин С векторунун аякталыш чекити менен дал келтиребиз. Анда, башталыш чекити а векторунун башталыш чекити менен дал келген, ал эми аякталыш_ чекити векторунун аякталыш чекити менен дал келген вектор е =а.+Ъ + с +с1 болот (3.15-сүрөт). 3. Берилген а жана Ъ векторлорунун айырмасы деп, а вектрруыа £_векторуна карама-каршы (-Ъ ) векторун кошкондогу с = а -Ъ = а +(-Ь ) векторун айтабыз. (3.16-сүрөт)
154 АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ12 КАГАТОУ Ь1ИЕЕК СЕВ1К Вигаба с үек1бги а уе Ь үек1бг!еп уагбиг.1у1а киги!ап рага!е1кепагт кб$е£етсПг (рага1е1кепаг кигаЬ). Вепхег §екПде Ыг ка? уекгбгйп 1ор1ат1 (атпПашг. Огпе^т а,Ь ,с ,<1 ббн уек1бгйп 1ор1ат1 ё = а+Ь+С+(1 а§а£1с1ак1 §1Ы 1атт1апи Ь уек1бгйпй кепсНзте рага1е1 ?екПбе уег бе^Пгегек Ьа$1ап§19 поИазии ./ уек1бгйпйп §оп пок1а§1 Пе аут пок1ауа §ейппг. ЭаЬа зопга с уек1Ы 111111 кепсПзте рага1е1 §екПбе уег с!е§1§Нгегек опип Ьа§1ап§1<? покГахпи ' уекСбгйпйп зоп пок(аз1 Пе аут покСауа §еНппх. <7 уекЮгйпй <1е кепс11 ?екПс!е уег с1е§1§Нгегек Ьа§1ап§1? пок1а81 а уек1бгйпйп Ьа§1ап§1£ пок1аз1 Пе аут уе зоп пок1аз1 с1 үексбгйпйп зоп пок1а81 Пе аут покСаба Ьи1ипап уекЮг е=а+Ъ+С+б1 о1иг (§екП 3.15). 3. УегПеп а \е Ъ уекСбНептп Гагк1 сПуе а уекГбгй Пе Ь уекГбгипе каг§1 (-Ь ) уекГбгйпйп 1ор1агт о1ап с =а- Ъ =а+(-Ь ) уекГбгйпе бетг (§екП 3.16). §екП 3.16.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 155 Векторлор менен аткарылуучу амалдар төмөнкү касиеттерге ээ: 1°. 0 • а = О , - мында О -нөлдүк вектор; 2°. т-О=О,теК; 3°. 1 • а=а; 4°. к • т а= к(та), к, т е К; 5°. а + Ь = Ь + а (коммутативдүүлүк); 6°. (а + Ъ)+с=а+(Ь+с) (ассоциативдүүлүк); 7°. а + О = а; 8°. а+(-а)=О; 9°. к а + т а = (к + т) а, к, т е К; 10°. т(а + Ь ) = т а + т Ь , т е К. Эгерде мейкиндиктеги а , Ъ жана С үч вектору бир тегиздикте жатса же аларга параллель (жарыш) болгон тегиздик бар болсо, анда бул үч вектор компланардуу векторлор деп аталат. Вектордун окко түшүрүлгөн проекциясы: Бизге Ох огу жана ал ок менен <р бурчун түзгөн а вектору берилсин . Мында <р бурчу Ох огунан а векторун көздөй саат жебесине карама-каршы багытта ченелген бурч. Анда а вектордун Ох огуна түшүрүлгөн проекциясы Прха төмөнкү формула менен аныкталат: Прх а =1 а\ со8(р. Ар кандай эки вектордун суммасынын Ох огуна түшүрүлгөн проек- циясы, ал векторлордун проекцияларынын суммасына барабар б.а. Прх(а+Ъ)=Прха +ПрхЪ . Вектордун координаталары. Тегиздикте же мейкиндикте координат системасы жана каалаган а вектору берилсин. Ал а векторун өзүнө карата параллель (жарыш) которуп, ал а вектордун башталыш чекитин коодинат башталмасы менен дал келтиребиз. Бул алынган а вектордун аякталыш чекитинин координаттары а векторунун координаттары деп аталат. Берилген Оху тегиздигиндеги а = ОМ, векторунун координаталары М чекитинин координаталары х менен у болот жана ал а = {х; у} деп жазылат (3.17-сүрөт). *
I к> АУ1Т АНАМОҮ, КАМ1Х КЛЕА ГОУ ЫМЕЕЕСЕВШ Уек(бг1ег йгеппе уарйап 1§1ет1ег а$а£к!ак1 бгеШк1еге заЫр(1г: I 0 • а = 0 , Ьигайа О - 81йг уекгбгдйг 2". 1>1 0 =0 , т е К; V'. I • а = а; I" к • т а= к(та\ к, т е К; а + Ь = Ь + а (уег <1е§1§Нгте); (7)+ Ь)+с=с1+(Ь+с) (йа§1(та). а + 0 = а; ь71 +(-а) = 0 ; 0". к а + та = (к + т) а, к, т Е К; 10". т(а + Ь) = та+тЬ, т е К. Е§ег Ыг ихаус1ак1 а, Ь уе с и<? уек(бг аут с1йг1ете ай 1§е уеуа 1тп1ага рага1е1 о1ап Ьйг йй21ет уагза, о ЬаШе Ьи й? уек(бге 1теег Ьа£т11| сск(бг1ег йетг. В1г уек(бгйп ек$еп йгеппйек! кйй^йтй: Ох - екзет уе а уекШгЙ усгИзт уе Ьип1агт агазтйак! а?1 ф оЬип. Вигайа (р = (а лох) - а^181 Ох - екзептйеп а уек(бгйпе (агаГ заа( Шгезте каг§1 убпйе б1?й1еп а<;к1и 0 ЬаЫе а уек(бгйпйп Ох екзет йхегтйек! кйй^йтй (рго]ек$1уопи) Р1\ а а!?а§к1ак1 Гогтй1 Не (атпНатг: Ргл а = \ а\ со8(р. НегЬап§1 1к1 үекгогйп (ор1аттт Ох- екзет йхеппйек! 1хс1й$йтй о с ек(бг1епп 1гс1й§йт1еппт (ор1атта е§1((1г, уат РгА (а + Ь) = Ргл а + Ргг Ь <Нг. В1г уек(бгйп коогсНпа(1ап. В1г <1й21етс1е уеуа игауйа коог<Нпа( 818(е1т уе Ьег Ьап§1 Ыг а уек(бгй уегНзт. а уек(бгйпй кепсИзте рага1е1 §екНйе уег с1е§1§(1гегек о уек(бгйп Ьа$1ап§1<; пок(а81т огут пок(а81 Не аут покоуа цейгеЫНпг. Ви а уек(бгйп зоп покЫзтт коог<1та(1аппа а үекСбгйпйп коог(Ппа(1ап с1етг. УегПеп Оху с1йг1егтпс1ек1 а= ОМ уексбгйпйп коогсНпа(1ап М покГазтт коогс!та(1ап о1ап х у ПеёеНепсНг уе а = {х , у} §ек1тс!е уагШг I 3.17).
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОТ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 157 Берилген Охуг мейкиндигиндеги а = ОМ, векторунун координаталары М=М(х;у;г) чекитинин координаталары х, у жана г болот жана ал а = {х; у; г} деп жазылат (3.18-сүрөт). Эгерде тегиздикте ах = {ху у:} жана а2 = {х2; у2} векторлору берилсе, анда ар кандай ХеН үчүн ка} = {Хх^; Ху1} жана ал эки вектордун суммасы менен айырмасы төмөнкү формулалар менен аныкталат: а = ах+ а2 = {х,+ х2; У1+у2}, Ъ = ах-а2 = {х,-х2; угу2} Ал эми а = {х; у} векторунун узундугу | а| = ^х2 +у2 (1) формуласы менен аныкталат. Эгерде мейкиндикте а = {х;у; г} , а, /х/,-у,; г^} жана а2 = {х2; у2; г2} векторлору берилсе, анда ар кандай ХеН үчүн Ла = {Ах; Лу; Лг} жана а вектордун узундугу, а} менен а2 векторлорунун суммасы жана айырмасы төмөнкү формулалар менен аныкталат:
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ|2 ЯАЕАТОУ Ы^еенсев1н 158 УегПеп Охуг игаутбак! а = ОМ уек1бгйпйп коопНпаПап М(х,у,г) покСазтт коогсНпаНап х, у уе 2 о1иг уе а = {х, у, г} §екНпйе уагШг (§екП 3.18). Е§ег дй21етде а\ = {х/ , х^} че а^ = {х2 , У2} уек1бг!еп уеп1т1§зе, о хатап Иег ХеК фп ка\ = {Л, х/ , "к у^} сНг уе Ьи 1к> уек1бгйп 1ор1агт үе Гагк1 а§а§1йак1 ГогтйПег Пе 1ап1т1атг: а= а}+ а2 = {х/ + х2, у,+ у2}, Ь = а}-а2 = {х; -х2,У1 -у2} а уек1бгйпйп Ьйуйк1й§й 1 зе (1) ГогтШй Не 1ашт1атг. Е§ег Ыг игауйа а = {х ; у; г}, а} = {х/; уу, г,} уе а2 ={х2 ; у2; уекГбНеп уеп1гт§8е, о гатап кег ХеК. 19111 Ла = {Л х; Л у; X г } о!иг ус и уек1бгйпйп Ьйуйк1й§й, а} уе а2 үек1бг1ептп 1ор1агт уе Гагк1 а?а§к!ак| ГогтйПег Пе 1атт1атг:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 159 I а| = ^х2 + у2 + х2 (2) С = а 1+ д2 = {х/ + х2, у/+ у2, г,+ г2 }, (1= а\- «2 = {х, -х2,У1 -у2, ?1-?2 }• Берилген Оху тегиздигиндеги / = {1; 0} бирдик векторунун багыты Ох огунун багыты менен дал келет. Ал эми у = { 0; 1} бирдик векторунун багыты Оу огунун багыты менен дал келет. Ар кандай а = {х; у} вектору үчүн а = х1 +у ] (3) барабардыгы орун алат. Ошондуктан / жана / бирдик векторлору тегиздиктеги векторлордун базиси деп аталат. Бул I жана ] бирдик векторлорун Оху координат системасынын орталары деп да айтышат. Берилген Охуг мейкиндигиндеги /={1; 0; 0} бирдик векторунун багыты Ох огунун багыты менен дал келет. Ал эми ] = {0; 1 ;0} жана к = {0;0;1} бирдик векторлорунун багыттары жазылуу ирети боюнча Оу огунун багыты менен жана Ог огунун багыты менен дал келет. Ар кандай а = {х;у; г} вектору үчүн а = х1 +у ] +гк (4) барабардыгы орун алат. Ошондуктан / , у жана к бирдик векторлору мейкиндиктеги векторлордун базиси деп аталат. Бул / , у , к бирдик векторлорун Охут, координат системасынын орталары деп да айтышат. Жогорудагы (3) же (4) формулалары а векторун орталар менен ажыратуу деп аталат. Берилген а = {х;у; г } векторунун багыты, ал вектордун Ох, Оу жана 0г координат октору менен түзгөн а,Р жана ү бурчтары менен аныкталат. Бул бурчтардын косинустары а вектордун багыттоочу косинустары деп аталышат жана алар төмөнкү» формулалар менен аныкталат:
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1Х КАГАТОУ 1ЛМЕЕК СЕВ1К 160 | «I = ^Х2 + у2 +22 (?) С = а |+ «2 = {X! + х2, У1+ у2, г,+ г2}, (1 = а г а2 = {х; - х2, у,-у2, 2,- г2}. УегПеп Оху <1й21еттдек1 / = {1; 0} Ыпт уекТбгйпйп убпй Ох -скнсп1пт убпй Пе аушскг. ] = { 0; 1} Ыпт үек1бгйпйп убпй 1ке Оу ск$етитубШ1 Пе аутскг. Нег а = {х; у;} үекгбгй 1?т а = хг + у] ( ь е§1Н1§1 8а§1атуог. Ви пе<1еп1е / уе ] Ыпт уек1бг1еппс с1й/.1стс1с1> । уек1бг1епп Ьаи Петг. Ви / уе у Ыпт уек1бг1еппе Оху коогсНла! $Ь1сттш Ьа/ уекСбг1еп <1е Петг. УегПеп Охуг ихаутбак! / = {1; 0; 0} Ыпт уекТбгйпйп убпй Ох - скы-ш убпй Пе аутскг. у = {0; 1; 0} уе к = {0; 0; 1} Ыпт уек(бг1ептп убпк-н 1зе 81газ1у1а Оу - екзетп убпй уе О/- екзепт убпй Пе аутскг. Нег кап§1 Ыг а = {х; у; г} үек/бгй фп а = х1 + у] + гк (4) е?кк§1 8а§1атуог. О пеПегПе /,] уе к Ыпт уек1бг1еппе и/ау<1ик1 уек1бг1епп Ьа/1 Петг. Ви /,{ уе к уек1бг1еппе Охуг каПехуеп коогсктП 8181еттт <1е Ьах уекЫНеп <1еп1г. ҮикапПак! (3) уеуа (4) ГогтйПеп а уексбгйпйп Ьах уек1бг1еппе аупЬт! Петг. УегПеп а = {х ; у; 2} уекйгйпйп убпй Ьи уек1бг Пе Ох, Оу ус Ог коогсНпа! екзеЫеп агазтбак! а?11аг о1ап а , Р уе ү а?11ап уагсЫшу1а СапптПатуог. Ви а^Папп козтйзЫппе а уек/бгйпйп убп1еп(Ппс1 ко$1п(1ч1сг1 Петг үе а§а§1с!ак1 когтйПег Пе ЬекгНННег:
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 161 XX у 2 СО8 а = 7—г = ... .. , СОвВ = 5—-, СО8Ү = :—г . |а| д/х2 + уг+2г |а| |а| Вектордун багыттоочу косинустары төмөнкү формула менен байланышкан: СО82а + СО82 Р + СО82 ү = 1. 1-МИСАЛ. Берилди а = { 2; -1; -2} жана Ъ = { 8; -4; 0}. 1) С=2#жана с!=Ъ-а векторлорун; 2) С жана с1 векторлорунун узундуктарын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Аныктама боюнча С=2а={ 2- 2; 2(1); 2(-2)} = = {4; -2; -4} жана А =Ъ-а = { 8 -2; -4-(-1) 0-(-2)} = { 6; -3; 2} болот. 2) Жогорудагы (2) формуланын негизинде I с1 = ^42 +(-2)2 +(-4)2 =6; | а\ = 7б2 +(-3)2 +22 = 7. Берилген а= {х;у; г }* 0 вектору үчүн а0 = вектору бирдик М вектор болот жана а менен ао векторлорунун багыттары дал келет. Бул ао бирдик вектору берилген а векторунун ортасы деп аталат. Ал эми ао векторун табуу а векторун нормалдаштыруу деп аталат. Демек, а =| а | ао болот. 2-МИСАЛ. Берилген АВС үч бурчтугунун АВ жагын М жана N чекиттери үч барабар кесиндилерге бөлөт, б.а. |ВИ|= |ЫМ|= |МА|. Эгерде СА -а жана св= ъ болсо, анда СМ векторун тапкыла (3.19 - сүрөт).
АУ1Т АЯАЫОУ, КАМ12. КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К 162 хх у X СО8 а = 7—Г = , СО80 = Г~Т , СО8Ү = ]—7 . (5) |а| |«| |«| В1г уек^бгип убп1епс11пс1 ко8тй81еп а§а§к!ак1 е§ИН§1 за§11уог1аг: СО82а + СО82 Р + СО82 ү = 1. ОК^ЕК1.: а = {2; -1; -2} уе Ь = {8; -4; 0} уеп1пн§Нг. |)с=2ауе с1 = Ь - а уек(ог1епп1 2) с уе с/ уек1бг1ептп Ьйуйк1йк1епт ЬЫипих. 6ОХЁМ: 1) V ек1бг1епп Татпнпа §бге с = 2а = {2-2; 2-(-1); 2-(-2)}={4; -2; -4} уе Л = Ь -а ={8-2; -4-(-1); 0-(-2)}={6; -3; 2} (>1иг. 2) Үикапйак! (2) ГогтШй пеНсезтйе I с| = д/42 +(-2)2 +(-4)2 =6; I Л = д/б2 + (—З)2 + 22 = 7 1 а11П2. УегПеп (7 = {х; у; г}^0 уекТбгй 19111 а 0 = т-^т уек!бгй Ыпт I а\ уекШгйййг уе а уе а 0 уек(бг1епп1п убп1еп аушШг. Ви а о Ыпт уекЮгйпс уегПеп а уек1бгйпйп Ыпт уек!бгй <1еп1г. а 0 уек1бгйпй ЬЫтак а уекШгйпй погт1а$11гтак йетекНг. Вигайап а = I а | а 0 е§11И§1т акпх. ОК1ЧЕК 2.: УегИеп АВС йф^ептт АВ кепапт М уе N пок1а1ап й<? 1апс Ып Ыппе е§11 <1о§ги раг9а1аппа Ьб1йуог1аг, уаш |ВЫ|= |ЫМ|= |МА| (||г. Е§ег СА =а үе СВ = Ъ 1зе СМ үекТбгйпй ЬЫипиг (§екП3.19).
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 163 3.19-сүрөт. ЧЫГАРУУ. Аныктама боюнча СВ = СА + АВ. Мындан Тб=Г-а.Алэми ~АМ = (1/3) ~АВ = (1/3)(&-а). Бирок СМ = СА+АМ болгондуктан, СМ = а + (1/3) (Ь -а ) = = (1/3) (2а + Ъ ) болот. 3-МИСАЛ. Берилген а ={ 2; -2; -1} векторунун координат октору менен түзгөн бурчтарын тапкыла. ЧЫГАРУУ. Жогорудагы (5) формуладан 2 2 -2 1 соз а = , .. ..... = = — , созВ = —; созү = — л/22 +(-2)= +(-1)2 3 3 3 Мындан а«48°1Г; р = 131°49’; ү=109°28’. Берилген а ( = {ху, у,; г^} жана а 2 {х2; у2; г2} векторлору коллинеардуу болот качан гана ал векторлордун координаталары пропорционалдуу болсо, б.а. х7 у, г, , -2- = ^ = -?- = Я (6) х, у^ г, болсо. Эгерде А > 0 болсо, анда а 1 жана а 2 векторлорунун багыттары дал келет. Ал эми X < 0 болсо, анда а 1 жана а 2 векторлорунун багыттары карама-каршы болот. ЭСКЕРТҮҮ. Эгерде а 1 векторунун кандайдыр бир координатасы нөл болсо, анда (6) пропорцияда, ал координатага туура келген а 2 векторунун координатасы да нөл болот.
АУ1Т А8А1ЧОУ, ЙАМ|Х КАГАТОУ Ь1^ЕЕКСЕВ1К 16,4 $екП 3.19. ^ОХЁМ: Уек1бг1епп 1ор1ат1 1аттта §бге СВ = СА + АВ с1п Вигабап АВ = Ъ -а е§Ш1§1т акпх уе АМ = (1/3) АВ = (1/3)х х (Ь -а) Лг. Ата СМ = СА + АМ оИи§ип(1ап СМ = а + (1/3)(Г-а) = (1/3)(2а+Г) у! аИпх. ОК1ЧЕК 3: УегПеп а ={ 2; -2; -1} уек1бгй Пе коогсПпа! ек8еп1сп агазтбак! а?11ап Ьи1ипих. СО2Ё1М: Үикапс1ак1 (5) ГогтШйпПеп с§11Нк1епт а11пх. ВигаЗап За ос = 48°11 ; |3 == 13 Г49; ү = 109°28 . о!иг. УегПеп а 1 = {ху уу уе а 2 - {х2; у2; 2 2} үек!бг1еппт рага1е1 о!тиж иДп §егек үе уе!ег $аН огПапп коогсПпаПаппт огапйк о1таз1(11г, уат ^. = 21 = £2. = я х, У' г, е§ПНк1ептп 8а§1апта81с11г. Е§ег X > 0 1зе, а । уе а 2 уек1бг1ептп убгПеп аупк11г, X < 0 1зе а । уе а 2 уекббНеппт убгЯеп Ып Ыппе каг$и11г. 11ҮАК1: Е§ег а । уекХбгйпип ЬегЬап§1 Ыг коогПтай 81йг 15е, §и ЬаЬк (<>1 е§1Шк1еппс1ек1 а 2 УекШгйпйп Ьи коогсПпаТа каг§П1к §е1еп коогсПпай <11 51£1гб1г.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 165 4-МИСАЛ. а । = {-2; 1; 3} жана а2 = {4; -2; -6} векторлору коллинеардуу жана карама-каршы багытта. Себеби, (6) формула боюнча 5-МИСАЛ. а ] = { 4; 0; 10} жана а2 = { 6; 0; 15} векторлору коллинеардуу жана багыттары дал келет. Себеби = { 2; 0; 4} жана а 2 = { 4; 0; 2} векторлору Себеби (6) формула боюнча 4 п г2 2 6-МИСАЛ. ах коллинеардуу эмес. 2 2> 4 Тегиздикте А/хдуд/ жана В {х2; у2;} чекиттери берилсе, анда АВ = {х2-хг, у2-у1} формуласы менен аныкталат. Мейкиндикте А{хг, уг г^} жана В{х2; у2; г2} чекиттери берилсе, анда АВ вектору АВ = {х2 - хг у2 -уг 22-21} (7) формуласы менен аныкталат. Мисалы А(-2; 4; 5) жана В(7; -1; 6) чекиттери үчүн (7) формуланын негизинде ~АВ = {7-(-2); -1 - 4; 6 -5} = {9; -5; 1}, ВА = {-2-7; 4-(-1), 5-6} = {-9; 5; <1} болот.
АУ1Т А8А1Ч0У, КАМ|Х КАГАТОУ [ЛКЕЕК СЕВ1К 166 ОК^ЕК 4.: <7 1 = {-2 ; 1; 5} уе а 2 = {4 ; -2; -6} уекК5г!еп рага!е1 уе каг$1 уоп1ис1иг1ег ?йпкй (6) ГоппШйпе §бге (-2) 1 3 <11 г. ОКТЧЕК 5.: а 1 = {4; 0; 10 } ге а 2 = {6; 0; 15} уек!бг1еп рага!с1 ус ауш убпШсШНег, ?йпкй (11Г. ОК1МЕК 6.: а } = {2 ; 0; 4} уе а 2 = {4 ; 0; 2} уек1бг1еп рага1с! с1е£11<Нг1ег, ?йпкй (6) ГогтйШпе §бге ^- = - = 2 уе — = — = 0.5, 2*0.5 х} 2 2] 4 сНг. В1г сШгктбе А(х/, у,) үе В(х2, у2) покГа1ап үеп1гт?5е АВ үекГбгй АВ = {Х2-Х,; у2-у/} ГогтйШ Пе (аптйатг. Вй ихауйа А(х/; у^^г^) уеВ(х2„у2,, х2) пок1а1ап уеп1пп$8е АВ үекГбгй АВ = {х2 -ху у2-уу Х2-21} <Ъ ГогтйШ Ие 1атт1атг. Оте§т А(-2; 4; 5) уе В( 7; -1; 6) пок1а1ап фп (7) ГогтйШ пейсезтйс ~АВ = {7-(-2); -1 - 4; 6 -5}={9; -5; 1}, Иа = {2-7; 4-(-1), 5-6}= {-9; 5; -1}
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 167 3.3. ВЕКТОРЛОРДУ СКАЛЯРДЫК ЖАНА ВЕКТОРДУК КӨБӨЙТҮҮ. АРАЛАШ КӨБӨЙТҮҮ 1. Эки а жана Ъ векторунун скалярдык көбөйтүндүсү ал векторлордун узундуктарынын көбөйтүндүсүн алардын арасындагы бурчтун косинусуна көбөйткөнгө барабар. Ал эки вектордун скалярдык көбөйтүндүсүн а -Ь менен белгилеп, ал эми арасындагы бурчту ф менен белгилесек, анда а Ъ =1 а\-\ Ъ |-со8ф (1) Демек эки вектордун скалярдык көбөйтүндүсү санды аныктайт жана ал төмөнкүдөй касиеттерге ээ: 1) а • а = I а I2; 2) а -Ъ = 0, эгерде а = о же Ъ = 0, ал эми а *о жана Ъ Ф о .болсо, анда а ± Ъ болот. 3) а -Ъ = Ъ • а (коммутативдик); 4) а (Ъ + с ) = а -Ъ + а -С (дистрибутивдик); 5) (та)-Ъ = а (тЪ ) = т(а -Ъ ), мында т - чыныгы сан. Берилген Оху тегиздигиндеги а = {ху у/} жана Ъ = {х2; у2} векторлору үчүн а-Ъ =х/х2+у,у2 (2) болот. Ал эми бул эки вектордун арасындагы бурч төмөнкү а Ъ х. • х, + у. • у, «“Ч1- г-,--2 (3) Ит1 А+л УУ+у, формуласы менен аныкталат. Мейкиндиктеги тик бурчтуу Охуг координат системасында а = {х,; у/; 2/} жана Ъ = {х2; у2; 22} векторлору үчүн а-Ъ =Х/Х2+у/у2+ 2/22 (4) болот. Ал эми бул эки вектордун арасындагы бу^ч төмөнкү
АУ1Т А8АМОУ, КАМ1& КАГАТОҮ |(,Х Ы^ЕЕКСЕВ1К 3.3. УЕКТбКЬЕК!^ 8КАЬЕК ҮЕ ҮЕКТОКЕЬ САКР1М1. КАКМА§1К САКР1М 1. Уеп1еп 1к1 а уе Ъ уек1бг1епгпп $ка1ег ^агрпти Ьи ^екЮг1сг1п |уйк'1ик1еппт уе агазтйак! а?1пт козтйзйпйп ^агртппа с>нпг. () йм к1бгйп зка1ег еагртпш а • Ъ Пе үе агазтбак! а^гуг <р Пе §б81епг8ек а Ъ = I а I -I Ъ\ созф (I) ИН§ 1т а1тх. Е>етек 1к1 уекгбгйп зка1ег ^агрти Ыг 8ау1у1 ЪеИгбг ус а^а§н1ак| 'е1Пк1еге заЫрйг: 1) а а = I а\2-, 2) а Ъ = 0 е§ег а = о 1зе уеуа Ъ = о 1зе; е§ег а*о ус Ь * Ъ е, о хатап а кЪ Ыг; 3) а Ъ = Ъ а (уег <1е§1$Нгте бхеШ§1); 4) а{Ъ+С)=а-Ъ+а-С (с!а§11табгеШ§1); 5) (т<7 )-Ъ = а {тЪ ) = т{а -Ъ ). Вигайа т — гее! зауикг. УегПсп Оху <Шх1еттс1ек1 а = {х/; у^} хе Ъ = {х2; у2} уек(бг1еп фп а -Ъ =Х! Х2+У!У2 (2) о1иг. Ви 1к1 уекТбгип агазтбак! а?1 а§а§1<1ак1 а-Ъ х, • х2 + у, • у2 СО8 ф = -----т—:---====== ( () А2 +^>2 -^х1+у1 ГогтШй Пе ЬеПпШг. 1}хаус1ак1 сПк а?111 Охух коогШпаГ 818Геттс1е а = {х,; уг, г/} уе Ъ = {х2 : У2> ^2} уек1ог1еп 19111 а • Ь = XI Х2+ У1У2+ ^1^2 ( I) о1иг. Ви 1к1 үекЮгйп агазтйак! а?1 а§а§1йак1
169 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА Х,Х2 + У,У2 + 2,2 формуласы менен аныкталат. Тегиздиктеги а = {ху у,} жана Ь = {х2; у2} векторлору үчүн: _ . . -Г Х-> У-, 1) а 11 Ъ качан гана — = — = т болсо; У У, 2) а1 Ъ качан гана %/ х2 + у/у2 = 0 болсо. Мейкиндиктеги а = {х,; уу, г^} жана Ъ = {х2; у2; г2} векторлору үчүн 1) а 11 Ь качан гана — = — = — болсо; х( у, г, 2) а 1 Ь качан гана X/ х2 + у/у2 + г2 г2 = 0 болсо. Берилген /, у’, к орталары үчүн /•/=/’•/= А: • А: = 1, / • у = / • к = у • к = 0 болот. СКАЛЯРДЬШКӨБӨЙТҮҮНҮН ФИЗИКАЛЫК МААНИСИ: Эгерде а = ОА (3.20-сүрөт) материалдык чекиттин которулуп жылышын сүрөттөсө, ал эми вектор Р = ОР материалдык чекитке таасир эткен күчтү билдирсе, 3.20 - сүрөт. анда алардын скалярдык көбөйтүндүсү а Р саны Р күчүнүн жумушуна барабар. 1-МИСАЛ. а । = {-2; 1; 2} жана а 2 = {-2; -2; 1} векторлорунун: 1) узундуктарын жана скалярдык көбөйтүндүсүн тапкыла; 2) арасындагы бурчту тапкыла.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАГАТОУ ЫИЕЕН СЕВ1К х,х2 + у,у2 + г,г2 1огтП1и 11е ЬеПгННг. 0й21ет<1ек1 а = {х/: уА хе Ъ = {х2;у2} уек1бг1еп 11 -м — х2 У? I) а 11 Ь о1таз119111 §егек уе уе1ег §аП: — = — = т (Яг; У, 1) а 1. Ъ о1таз119111 §егек үе уе1ег §аН X/ х2+у1у2 -0 с!1г. Ыгауйак! а = {х/; уу £/} хе Ъ = {х2; у2, ?2} хекюНеп 191П -II - Х2 У2 22 I) г7|| Ъ о!таз119111 §егек уе уе1ег §аН — =----= — сНг; Ух 2х 2) а 1. Ь о1таз119111 §егек че уеТег §аг1 х/ х2+ у, у2+ £/+ г2=0 с!1г. УегПеп /, 7, к Ьах уек!бг1еп 19111 / • / = у • у = к • к I • 7 = г • к = 7 • к = 0 о1иг. 8КАЕЕК САКР1М1ГС ЕШК8ЕЬ А^ЬАМ! ^4 Ах Р1 а / §екП 3.20. Е§ег а = ОА ($екП 3.20) уекГбгй таййезе! пок1атп Иагекейт §б51епуогза, Р = ОР уекГбгй таййезе! пок!ау ЬагекеГе §еНгеп §69 15с, уекГбНепп зка1ег ^агрит о!ап а • Р зауш Р §й^й (агаГтбап уарйап 1§е е§Мг. ОК1ЧЕК 1.: а । = {-2 ; 1; 2} уе а2 = {-2 ; -2; 1} үек1бг1ептп: 1) Ьйуйк1йк1епт уе зка!ег ^агритт Ьи1ипиг; 2) агазтйак! 391^1 Ьи1ипиг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 171 ЧЫГАРУУ. 1) Берилген векторлордун узундуктары: |а,| = д/(-2)2 +12 +22 =3; |а21 = д/(-2)2 + (-2)2 +1 = 3 Алардын скалярдык көбөйтүүсүн (4) формула менен аныктайбыз: а ( а г = (-2)(-2) + 1(-2) + 2-1=4. 2) Векторлордун арасындагы бурчту (5) формула менен аныктайбыз: СО5ф = а} • аг _ 4 _ 4 |«1|'|«2| 3-3 9 Мындан, арасындагы ср бурчун аныктайбыз: ф = агс со5 (4/9) « 63°37’. 2-МИСАЛ. Материалдык чекитке таасир эткен У7 күчүнүн модулу 5Н, ал эми материалдык чекитти которуу вектору а нын узундугу 4 метр болсун. Бул эки вектордун арасындагы бурч а=45° болсун. Анда Р күчүнүн жумушу төмөнкүдөй аныкталат: Р а = 1 РI • I а \ -сова = 5-4 С05 45°= 5- 4- = Юл/2 ~ 14,1 (Дж) 3-МИСАЛ. Берилген /, у, к орталары үчүн (/ + к) • (7 - к) скалярдык көбөйтүүсүн аныктагыла. ЧЫГАРУУ. Берилген I,],к бирдик векторлору өз ара перпендикуляр болгондуктан / • 7 = I • к = 7 • к - 0 жана к -к =1 • / = 7 • ] = 1. Демек (/ + к) • (7 - к) = / • у - / • к + 7 • к - к • к = -1. 4-МИСАЛ. Берилди а = ш / + 37 + 9к жана Ъ = 4/ + пу - 7к . Бул эки вектор ш параметринин кандай маанисинде өз ара перпендикулярдуу? ЧЫГАРУУ. Мында а = { пг ; 3 ; 9 } , Ъ = { 4; т; -7} болгондуктан, а-Ъ = т • 4 + 3 • т + 9(-7) = 7т - 63.
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1Х КАРАТОУ иИЕЕК СЕВ1К 172 (^ОхСМ: 1) уегПеп уек1бг1епп Ьйуйк1йк1еп: |а(| = 7(~2)2+12+22 = 3; |а2| = д/(-2)2 + (-2)2 +1 = 3 111иг. Үек1бг1епп зка1ег ^агртит (4) ГогтйШ Пе ЬиШгих: 5,-а2 = (-2)-(-2)+1-(-2)+2 -1=4. Уек1бг1епп агазтбак! 39154 1§е (5) ГогтйШ Пе ЬиШгиг: а.-а-, 4 4 СО8ф = , =----= —. ВигаПап Ф = агссоз (4/9) == 63°37 о1иг. ОК^ЕК 2.: МасШезе! пок!ау1 ЬагекеГе §ейгеп §й<;йп тосШШ ‘'М, таййезе! покГазтт 1а$тта уекШгй о!ап а пт ЬйуйкШ^й 4 тейе о1яип. Ви 1к1 уекШгйп агазтбак! а?115е а = 45° о1§ип. О хатап Р ^й^йпйп уарй§1 I? а§а§1йак1 §1Ы ЬеНйШг: Ё -а = \ Р\ -I а I-соза = 5-4 соз 45°= 5-4-2^-= Юл/2 = 14,1 (1) »>1иг. ОК1ЧЕК 3.: УегПеп /, ], к Ыпт уекГбйеп 19111 (/ + к) • - к) $ка!ег фагртит ЬиШпих. £ОХйМ: УегПеп /, у, к Ыпт уекГбНеп Ып Ыппе Шк о1с1ик1аппдап / • у = / • к = у • к = 0 уе к к = / • / = у • / = 1 Шг. Оетек (/ + к) • (/ - к) = / • у - / -к + / • к - к • к = -1 о1иг. ОК1ЧЕК 4.: а = тг + Зу + 9к уе Ъ = 4/ + пу — 7к уек1бг1ет1 уепНуог. Ви 1к1 уекШгйп Ып Ыгте <Пк о1та81 19111 т рагате/гезтт Пе^еН Ьап§1 зау1уа е§П о1асакйг? £ОХйМ.: Вигаба а = {т ; 3 ; 9 }, Ь = {4; т ; -7 } оШиИаппбап а -Ъ = т-4 + З т + 9(-7) = 7т- 63 о1иг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 173 Бирок а кЬ качан гана а-Ъ =0 болсо. Мындан 7т — 63 =0 => т = 9. _ £.’Вектордук көбөйтүү. Мейкиндиктеги а жана Ъ векторунун вектордук көбөйтүндүсү деп, төмөнкү үч шартты канаттандырган С вектору аталат:_ _ 1) | с| = I а I | Ъ |8ш(р, мында (р - а жана Ъ векторлорунун арасындагы бурч жана 0<(р<л;б.а. С нын модулу а жана Ъ векторлору менен түзүлгөн параллелограммдын аянтына барабар; 2) С Үа_ жана С 1_Ъ ; 3) а, Ъ жана С векторлорунун баштапкы чекиттерин параллел которуу аркылуу бир чекитке алып келсек, анда алар жазылуу иретине карата жана к орталары сыяктуу жайланышкан б.а. а , Ъ жана С үч вектору оң системаны түзөт. _ ЭСКЕРТҮҮ: Компланардуу эмес а, Ъ С үч вектору жазылган ирети боюнча (а - биринчи - вектор, Ъ - экинчи вектор, С - үчүнчү вектор) оң (сол) системаны түзөт, эгерде аларды параллел которуп. баштапкы чекиттерин бир О чекитине алып келип жана ОА = а, ОВ = Ъ , ОС = С белгилөөлөрүн киргизсек, анда С чекитинен караган байкоочуга карата ОА векторун буруп, а нын багытын ОВ векторунун багыты менен дал келтире турган эң кыска жол саат жебесинин (багытындай) багытына карама-каршы багытта жүргүзүлөт. 3.21 - сүрөт 3.22-сүрөт 3.21-сүрөттөгү а , Ъ , С үч вектору оң системаны, түзүшөт, ал эми 3.22-сүрөттөгү а , Ъ , С үч вектору сол системаны түзүшөт.
АУ1Т А8А1Ч0Ү, КАМ1Х ЯАГАТОУ Е118ЕЕК СЕВ1Я 174 Ата а ± Ь о1таз1 фп §егек уе уе!ег §аг1 5 Ь ~ 0 скг. Вига<1.1п 7т - 63 = = 0 => т = 9 е§ПН§т1 окпх. 2.Уек(бге1 ^агрнп. Ьхауйак! а уе Ъ уек1бг1ептп Уек1фгс1 ^агрнт <1ң<• .г?а£1с!ак1 й<? §аП1 $а§1ауап С уекСбгйпе с!етг: I) | с I = I а\ | Ь I зтф <1и-. Вигас1а ф - а уе Ь уек1бг1ептп агазтйак! а<?1с!1г уе сПг, у.нн С тп тоййШ а уе Ь уек1бг1еп йхеппйе киги1ап рага1е1кепагт а1а11пы е§1й1г; 2) С ± а уе с ± Ъ сНг. 3) а, Ъ уе с? уек1бг1еппт Ьа§1ап§1? пок1а1апт Ыг аут п<эк1ауа §еНгтск ата91у1а Ьи уек1ог1епп ЬегЫпт кепсШеппе рага1е! ка1агак $скП<1е уеНспгн с1е§1§Ьпг5ек, Ьип1апп уа2111§ 81га1аптаз1 / , у уе к ЫгЦп уек1бг1еппт 81га1апта81па Ьепхег о1иг, уат а, Ъ уе С й? үек(бг ‘£а§ Е1 81з1ст|’ <)1и§Сигиг. 11ҮАВ1: Ьтеег Ьа§1т812 а, Ь , С үек!ог1еп 81га1апг*1а5,па ёоге (а- Ыппс! уек!бг, Ъ - 1ктс1 уек!бг, с - й?йпсй уексбг) (8о1) 818<ет1* о1и§Шгиг, е§ег Ьип1ап рага!е! о1агак уег Пе§1§Нгтек и$ц1иу1а Ьа§1апЙ1ф —---------------------------------------- ------------- ----------- пок1а1апт аут пок!ауа §еНпр уе ОА^ а, ОВ~ Ь ОС = С Пе §О81епг8ек, о хатап С покГазтйа Ьи1ипап зеутлуе §бге (ОА уексбгйпйп убпй ОВ үекГбгйпйп убпй Пе аут о1асак §екПс!е уарйасак еп кша Ьагекс! уо!и заа! сЬгез! убпйпе каг§1 (заа! 1Ьге81 убпй Пе аут) о1асаки г- $екП 3.21. с!е а, Ъ , С й<? уекгбг 8а§ 8181ет1 о1и§1игиг, §екП 3.22 с1ек| С1 , Ъ , с й<? уекТбг 1зе 8о1 8181ет1 о1и§Шгиг. 4 СТ С_ с с а ^гВ а А §екП 3.21. §екП 3.22.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 175 Берилген а жана Ъ векторлорунун вектордук көбөйтүндүсүн ахЪ же [а Ъ ] менен белгилейбиз. Вектордук көбөйтүү төмөнкүдөй касиеттерге ээ: 1) ах Ъ = - (Ъ х а ); 2) ах Ъ -О , эгерде а = О - нөлдүк вектор же Ъ = О , ал эми а О жана Ъ Ф О болсо, анда а жана Ъ коллинеардуу векторлор болушат. 3) (та)хЪ = а х(тЪ )= т(а хЪ ), мында т еП; 4) а х(Ь +с ) = ахЬ + ах с . Мейкиндиктеги тик бурчтуу Охуг координат системасындагы а ={ху уу х/} жана Ъ ={х2; у2; г2} векторлорунун вектордук көбөйтүндүсү төмөнкү формула менен аныкталат: I к 2 ахЪ = У1 У, 2! т I - •*1 У'Г. Х2 Уг г2 Уг 22 х2 22 '2 У2 (6) Мындан « X ъ = {у, г2 —у2 гу х2 г, - г2; х, у2 - х2у, }. Орталардын вектордук көбөйтүндүсү: / X I = О ; / X У = к ; / X к = -] ; 7 X / =-к ; 7 X у = О ; 7 X к = / ; кх1 = 7 ; кх7 = -/; кхк =0. (7) 5-МИСАЛ. сГ = { 3; -4; -8} жана Ь= {-5; 2; -1} векторлорунун вектордук көбөйтүндүсүн тапкыла. ЧЫГАРУУ. Жогорудагы (6) формуланын негизинде = (4 +16) / -(-3 - 40) 7 + (6 - 20)к = {20;443; -14}
АУ1Т А8АНОУ, КАМ1Х КАГАТОУ М^ЕЕК СЕВ1К 176 УегПеп а уе Ь уек1бг1ептп уек1бге1 ^агритит 5" х Ь уеуа [аЬ ] 11е £б81епп2. Үек1бге1 ^агртг а§а^1бак1 бгеШИеге заЫрШ: I) а х Ь = -(Ь ха); 2) 5" х Ъ = О о1иг, е§ег а = О - 81£1г уек1бг уеуа Ъ = О 1зе. Е£ег 5*0 ус Ь + 0 18е а уе Ъ уек1бг1еп рага1е1 о1та!1<11г1аг. 3) (1Ьа)х Ъ = ах(тЪ ) = т (а~ х Ъ ), теК сПг; 4) ах (Ъ +С ) = сТ х Ъ + сГ х с сНг. В1г ихаубак] Оху каПехуеп коогсНпа! 818Сеттс1ек1 а = {х/; у{; X/} уе Ь = {х2: У21 22} уек1бг1еппт үекСбге! ^агршп а$а§1бак1 £огтй! Пе ЬеПнШг: а х Ь = / Х2 1 У, у2 к г2 = У1 г1 У2 22 1 - X, 2( Х2 22 ] + X, X, У. У2 к ВигаПап (6) а X Ь = {У/22-У221; Х2Х1-Х112; Х1У2-Х2У1 } |1иг. /, 7,к Ыпт үек1бг1еппт үек!бге1 ^агрит: / X 7 = к; 1X1=0; /X / =-к; к X / = / ; 0; 1Хк = -] ; 7 X к, = I ; кхк =о (7) I = {3 ; -4; -8} 61Г. ОК^ЕК 5.: УегПеп а уек(бге1 ^агртпт Ьи1ипих. СОХОМ: Үикапбак! (6) £огтй!й пейсезтбе а х Ь = үе Ъ = {-5 ; 2; -7} үек1бг1еппт 1 7 3 -4 -5 2 к -8 -1 -4 2 3 -5 -8 -1 7 3 -4 -5 2 -8 _ / - к = = (4 +16) / -(-3 - 40) 7 + (6 - 20) к = {20; 43; -14} о!иг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 177 6-МИСАЛ. Чокулары А (1; 1; 1), В (2; 3; 4), С(4; 3; 2) чекиттери болгон үч бурчтуктун аянтын тапкыла. ЧЫГАРУУ. АВ жана АС векторлорун табалы: АВ={2-\;3-1,4-1}= {1 ;2; 3 }, АС={4-1; 3-1; 2-1}={3; 2; 1}. АВС үч бурчтугунун аянты АВ жана АС векторло-ру менен түзүлгөн параллелограммдын аянтынын жарымына барабар. Ошондуктан ал эки вектордун көбөйтүндүсүн табабыз: Мындан = -4/ + 8]-4к = {-4; 8; -4}. 8авс ~ ~ I АВ хАС\ = =— д/(-4)2 + 82 + (—4)2 = ± • л/96 = л/24 = 2 • д/б кв.бирдиги. 7-МИСАЛ: (2 / — Зу’ + 6к )х(4 / — 6у +12Аг) көбөйтүндүсүн жөнөкөйлөткүлө: ЧЫГАРУУ: Вектордук көбөйтүүнүн касиеттеринин жана (7) таблицанын негизинде төмөнкүнү алабыз: (2/ -Зу + 6к )х(4/ -6у +12& ) = 8 (/ X/ )-12 ( / X 7) +24 (/ X к )- -12 (у х /)+ 18 (7 ху )-Зб (/ х к )+24 (к х / )-Зб (к х7 )+72 (к х к )= = -12Аг-247 + 12Л -36/ + 247 + 36/ = 0-/ +0-7 + 0-к = о .
АУ1Т А8АМ0У, КАМ|Х КАЕАТОУ ЫКЕЕП СЕВ1К 178 ОВМЕК 6.: К.б§е1еп А(1;1;1), В(2; 3; 4), С(4; 3; 2) пок1а1аппс1а Ьи11им11 (1(г,цеп1п а1ап1гн Ьезар1ау1П12. СбхСМ: АВ үе АС уекйНепт Ъи1а1ип: Л5 = {2-1; 3-1; 4-1}= {1 ; 2 ; 3 }, АС ={4-1; 3-1; 2-1}={3; 2; /}. АВС й9§етгнп а1аш АВ \е АС уек(бг1еп ихеппйе киги!ап 1>,1га1е1кепапп а1ашп1п уапзта е§И оШи§ипс1ап о 1к1 үекЮгйп үекШге! (, .1грип1П1 Ьи1аса§12: АВхАС= / 1 3 к 3 1 3 2 2 3 1 Т 2 2 1 2 3 2 1 3 7 3 1 + к = I Вигайап = -4/ +8] -4к = {-4; 8; -4}. 8лвс = — I АВ х А СI = =-#4)2 + 82+(-4)Г = |-796 =724 = 2-7б (Ьг2) 2 2 у1 а11П2. ОК^ЕК 7.: (2 / - 3/ + 6к )х(4 / — 6/ + 12к ) дагритт 8ас1е1е§11пт2. ^ОХСМ: УекГбге! ^агритп б2еШк1еппс1еп уе (7) (аЫопип пе6се8тс1е (2 7 - 3] + 6к )х(4 7 - 6] + 12к )=8 (/ X / )-12 (I X ]) +24 (/ X к )- -12 (/X / )+18 (/X 7)-35(/хА:)+24(^Х/)-36(А:Х у)+72(А-х4 ) -12^ -24у + 12Л-Зб7--24/+ 367 =0-7 +0 у + 0• ^ = О 81Йг уекШгйпй айпг.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 179 З.ҮЧ ВЕКТОРДУ АРАЛАШ КӨБӨЙТҮҮ. Берилген а, Ь , С векторлорунун аралаш көбөйтүндүсү деп, а жана Ъ векторлорунун вектордук көбөйтүндүсүн с векторуна скалярдык көбөйткөндөгү санды айтабыз. Эгерде ал аралаш көбөйтүндүнү аЬс менен белгилесек, анда аЪс= (а~ х Ь )С_санына барабар. Компланардуу эмес а, Ь , С үч векторунун аралаш көбөйтүндүсүнүн модулу, ал үч вектор менен түзүлгөн параллелепипеддин көлөмүнө барабар. Аралаш көбөйтүү төмөнкү касиеттерге ээ: 1°. Үч вектордун аралаш көбөйтүндүсү нөлгө барабар, эгерде: 1 )аралаш көбөйтүүдөгү үч вектордун жок эле дегенде бири нөлдүк вектор; 2) үч вектордун эки вектору коллинеардуу векторлор; 3) үч вектор компланардуу векторлор. 2°. Аралаш көбөйтүндүдөгү вектордук көбөйтүүнүн (х) белгиси менен скалярдык көбөйтүүнүн (•) белгисинин орундарын алмаштырсак, анда аралаш көбөйтүндү өзгөрбөйт, б.а. аЪс = (сГ х Ь )С = а(Ь хс ) = (Ь хС)сГ = Ъса 3°. Аралаш көбөйтүндү өзгөрбөйт, эгерде аралаш көбөйгүндүдөгү векторлордун арткысын айлантып биринчи орунга алып келсек, б.а. аЪс = саЬ = Ьса. 4°. Аралаш көбөйтүүдөгү каалаган эки вектордун ордун алмаштырсак, аралаш көбөйтүндүнүн белгиси гана өзгөрөт: _ _ _ Ьас = - аЬс; сЬа = - аЬс; асЬ = - аЬс. Эгерде I, ], к базисине карата а = {х,; у,; 2/}, Ь = {х2; у2; г2}, С = {х3 ; у3; г3} векторлору берилсе, анда алардын аралаш көбөйтүндүсү төмөнкү формула менен табылат: аЬс = X, у, 2, х2 Уг 22 х3 у3 23 (8) Берилген а, Ь , С үч вектору компланардуу болот качан гана аЬс = 0 болсо. _ Берилген а, Ь ,С үч вектору менен түзүлгөн параллелепипеддин көлөмүн менен белгилесек, ал эми үч бурчтуу пирамиданын көлөмүн менен белгилесек, анда
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ1х КАГАТОУ 1Л1ЧЕЕК СЕВ1К I ко 3. Ос УЕКТбКйИ КАКМА§1К САКР1М1. а, Ь , С үек(бг1ептп кагта$1к ^агрнт <Иуе а уе Ь уек(ог1епгпп уекТбге! фагрнтн а~ х Ь уек(бИ1 Не С уекТбгйпйп зка1ег фагритппа бегпг. Е§ег о кагта§1к ^агрптп аЬс |1с £оя1епгзек аЬс = (сГ х Ь )С чау18Ш1 а11П2. Ыпеег Ьа§1гп812 й? а, Ъ , с уек1бгйп кагта§1к ^агртипт пюс1и1(1 о > \ек(бг йгеппбе кипйап рага1е1уйгйп Ьастте е?1Шг. Кагта§1к ^агрип а§а§Шак1 бгеШИеге заЫрйг: Г. 0? уек(бгйп кагта§1к ^агрти 81йга е$1Шг, е§ег: I) каппа^Ш ^агртШак! й? уекШгйп еп аг Ып зШг уек(бг 1зе; 2) 0? уекШгйп 1к181 рага1е1 уек1бг1ег 18е; 3) Ви й? уекШг Ипеег Ьа§1тП үек(бг1ег 18е. 2°. Кагта§1к ^агртШак! уекШге! ^агрип (х) 1§агей Пе зка1ег ^агрип (•) 1$агейтп уег1епт бе§1§йг1г8ек кагта§1к ?агр1т йе§1$те2, уат аЬс = (а~ х Ъ ) С = а(Ь хс ) = (Ь хс )а~ = Ьса Шг. 3°. Кагта§1к ^агрип с1е§1§те2 е§ег Ьи ^агртШак! уек1бг1епп еп вопипсизипи ^еутте уо1и Пе Ыппс18тт уеппе ^ейпгзек, уат аЬс = саЬ = Ьса скг. 4°. Кагта§1к ^агртйак! ЬегЬап§1 1к1 уек(бгйп уег1епт с1е§1§(лпг8ек кагта$1к Сагрипт забесе 1§агей с!е§1§Шг, уат Ьас = - аЬс; сЬа = - аЬс; асЬ = - аЬс о!иг. Е§ег /, у, к Ьаг уек(ог1еппе §бге а = {х7;у^; 2/}, Ь = {х2;у2; г2}, с = {хз ; уз; г3} уек(бг1еп уеп1гт§8е оп1апп кагта§1к дагрти а$а^к1ак1 Еогтй! Пе ЬеНлШг: аЬс = *1 У, 21 х2 у2 г2 х2 у2 23 (К) УегПеп а, Ь , С й? уекШгйп Нпеег Ьа§ип11 о1таз119111 §егек уе уе!ег ^.нI аЬс = 0 е$1Ш§1сПг. УегПеп а, Ъ , С й? үек(бг йгеппбе киги1ап рага1е1уйгйп Ьасгтт V, Ы цбзСепгзек үе Й9§еп рйагтсИп Ьаспйт Ү2 Пе §081епг8ек о гатап
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 181 У|=|о6с|, У2=- У1 = -|а&с| (9) 6 6 8-МИСАЛ. Берилген а = 2/ + 5у + 1к , Ъ = / + ] — к , С = / + 2у + 2к векторлорунун аралаш көбөйтүндүсүн тапкыла. ЧЫГАРУУ. Жогорудагы (8) формула менен 2 5 7 1-1 1-1 11 аЬс = 1 1 -1 =2- -5- +7- 2 2 12 12 1 2 2 = 2-(2+2)-5-(2+1)+7-(2-1)= 0 Демек а, Ь , С үч вектору компланардуу векторлор. 9-МИСАЛ. Чокулары А (2; 2; 2), В (4; 3; 3), С(4; 5; 4) жана 0(5; 5; 6) болгон үч бурчтуу пирамиданын көлөмүн тапкыла. ЧЫГАРУУ.Пирамиданын кырлары болгон АВ, АС, АИ векторлорун табалы: АВ = {4-2; 3-2; 3-2}= {2 ; 1; 1 }, АС = {4-2; 5-2; 4-2}= {2; 3; 2 }, АЭ={5-2; 5-2; 6-2}= {3 ; 3; 4 }. Бул үч вектордун аралаш көбөйтүндүсүн табалы: 2 АВАСАЭ = 2 1 1 3 2 3 3 4 3 3 2- 2 2 -1- 4 3 = 2(12-6)-(8-6)+ (6-9) = 7
АУ1Т А8А1ЧОУ, КАМ1х КАГАТОУ 182 Ы^ЕЕКСЕВ1к У|=|аАс|, У2=- У| = -|а/>с| (9) 6 6 о1иг. 0К1ЧЕК 8.: ҮегПеп а = 2 / + 5/ + 1к , Ь = / + у' -к , С = / + 2у + 2к уекК>г1епшп кагта§1к ^агритпт ЬЫипих. (^ОХСМ: Үикапдакд (8) ГогтйШ уаг<11т1у1а 2 5 7 = 2-(2+2)-5-(2+1)+7-(2-1)=0 а11пх. Оетек а, Ь , С й? уек!бг Нпеег Ьа§1гп11<11г, уат Ьи й? уек(бг Ыг <1й/1ете рага1е1<Нг1ег. О1ШЕК 9.: Кб§е1еп А(2; 2; 2) , В(4; 3; 3), С(4; 5; 4) уе 0(5; 5; 6) пок(а1апгк1а Ьи1ипап й?§еп р1гат1<Нп Иасгтт Ье8ар1аут12. СОХСМ: Ркагтйт кепаг1апт уат АВ, АС, АО үек1бг1епт 1ш1а11т: АВ={4-2; 3-2; 3-2}= {2; 1; 1 }, АС ={4-2; 5-2; 4-2}= {2 ;3; 2 }, АО = {5-2; 5-2; б-2}= {3 ; 3 ; 4 }. ЧтсН Ьи й? үек!бгйп кагта§1к ^агртит Ьи1а1ип: АВАСАО = 1 1 3 2 3 4 3 3 3 2 2 -1- 4 3 3 3 = 2(12-6)-(8-6)+ (6-9) = 7
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 183 Биз издеген пирамиданын көлөмү V ны (9) формула боюнча табабыз: V = — I АВ • АС • АИ\ =— -7 =— (куб. бирдиги). 6 6 6 3.4. КӨНҮГҮҮЛӨР 1 .Сан огунан А(-4), В(4) жана С(-3) чекиттерин тургузгула жана АВ, ВС АС векторлорунун АВ, ВС, АС чоңдуктарын тапкыла. АВ+ВС=АС экендигин көрсөткүлө 2. Сан огундагы А(-4), жана В(-5) чекиттеринин кайсынысы оң жакта ? 3. Төмөнкү берилген А жана В чекиттери үчүн АВ векторунун IАВI узундугун жана АВ чоңдугун тапкыла: 2) А(5) жана В(2); 4) А(-5) жана В(-2); 6) А(1) жана В(-4); 8) А(-1)жана В(3); 1) А(4) жанаВ(14); 3) А(-2) жана В (4); 5) А(-2) жана В (-5); 7) А(0) жана В (7); 9) А(7) жана В (9) 4. Төмөнкү учурлар үчүн А чекитинин сан огундагы координатын эсептегиле: 1) В(4) жана АВ = 4; 3)В(-1)жана ВА = 2; 5) В(0) жана | АВI = 2; 7)В(-1)жана |АВ| = 6; 9)В(0)жана |АВ| = 3. 2) В(2) жана АВ = -3; 4)В(-4)жана ВА = -2; 6) В(2) жана IАВI = 4; 8)В(-5)жана | АВ | = 2; 5. Сан огундагы координаталары төмөнкү теңдемелерди канааттандырган чекиттерди тапкыла: 1)/х/=3; 2)/х-1/=2; 3) /2х - 4/= 2х-4; 4)/2-х/=3; 5)/3+х/=1; 6)/-Зх + 4/=5 6. Координаталары төмөнкү барабарсыздыктарды канааттандырган чекиттердин көптүгүнүн сан огундагы жайланышын мүнөздөгүлө (Чиймесин чийгиле): 1)х> 3; 2)х-2< 0; 3)2х-3>0; 4) 1 < х <2; 5)х1 2-4< ' 0; 6) х2 -6х + 5 < 0; 7) 10-х<0; 10) х2 -8х + 15 <0. 8) Зх-5 > 0; 9)-2<х<3;
АУ1Т А8А1ЧОҮ, КАМ1Х ЯАЕАТОУ Ь(1ЧЕЕК СЕВ1К 184 Р^гаггисНп 1§1епеп Иасггп V у1 (9) ГогтШйпдеп Ьи1игих: 1 ----- ----- ------ 1 7 У= — I АВ АС- АОI =— -7 =— (Наспп Ыпгт) 6 6 6 с!1г. 3. 4. АЫ§Т1КМАЬАК ____ 1. В1г, 8ау1§а1 екзеш йгеппПе А(-4), В(4) уе С(-3) покЫапт 9121П12 ус АВ, ВС, АС үек1бг1еппт АВ, ВС, АС Ьйуйк1йк1епт Ьи1ипиг. АВ + ВС И АС оИи^ипи §081епт2. 2. 8ау1за1 екзет йгеппйек! А(-4), уе В(-5) покЫаппт Ьап§181 1ига11п уег1е§гт§Нг ? 3. А$а§к1а уегПеп А уе В пок1а!ап 1?т АВ уек!бгйпйп | АВ| игигНигипи (тосШШпй) уе АВ Ьйуйк1й§йпй Ьи1ипиг. 1) А(4) уе В (14); 3) А(-2) уе В (4); 5) А(-2) уе В (-5); 7) А(0) уе В (7); 9) А(7) уе В (9) , А?а§1Пак1 §б81:егПеп ЬаПегде А покХазтт зау18а1 екзептйек! коогПтайт Ье8ар1ауш12: 1)В(4) уеАВ = 4; 3) В(-1) уе ВА = 2; 5) В(0)уе I АВ| = 2; 7)В(-1)уе | АВ| = 6; 9) В(0) уе | АВ|= 3. 5. 8ау1за1 екзетпНек! коогЛпаНап а§а§1<1а уегПеп Пепк1ет1еп 8а§1ап<11гап пок!а1ап Ьи1ипиг. 2) А(5) уе В(2); 4) А(-5) уе В(-2) 6) А(1) уе В(-4); 8) А(-1)уе В(3); 2) В(2) уе АВ = -3; 4) В(-4) уе ВА = -2; 6) В(2) уе |АВ| = 4; 8)В(-5)үе I АВ| = 2; 2) /х-1/= 2; 5) /3+ х/= 1; 3) /2х-4/=2х~4; 6) /-Зх + 4 /= 5 4)/2-х/=3; 6. КоогсПпаПап а§а§1<1ак1 е$к81хНк1еп за§1ап<11гап пок!а1аг сиггйезтт заужа! екзептйек! уег1е§1гтт кагакхепге еШтг (§екП1т 9121П12): 1)х> 3; 4) 1 < х <2; 7) 10-х<0; 10) х? -8х + 15 <0. 2)х-2<0; 5)х2-4<0; 8) Зх-5 > 0; 3)2х-3>0; 6) х2 -6х + 5 < 0; 9) -2 <х <3;
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 185 7. Координаталары төмөнкү барабарсыздыктарды канааттандырган чекиттердин көптүгүнүн сан огундагы жайланышын мүнөздөгүлө: 1) /х/< 1; 2) /х/>3; 3) /х/<3; 4) /х-3/<2; 5)/х-1/>2; 6) х2 - 5х + 6 > х2; 7)/2х-1/>2; 8)/х/<х + 1. 8. Тегиздиктеги декарт координат системасындагы А(2; 3), В(4; -2), С(-2; 7), О(-2; -2), Е(0; 2), Р(4; 1) чекиттерин тургузгула. 9. А (2; -4) чекитин тургузбай туруп, анын кайсы координаттык бурчта жатарын аныктагыла. 10. Ох - огундагы чекиттин координатасы (-4). Бул чекиттин тегиздиктеги координаталары кандай? 11. Төмөнкү чекиттерге Ох - огуна карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1) А(2; 4); 2) В(-3; 1); 3)С(-1;-1); 4)Э(3; 1); 5)Е(0;2); 6) Р (а; Ь). 12. Төмөнкү чекиттерге Оу - огуна карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1) А(-1; 3); 2) В (3; -2); 3) С (-2; -3); 4) О (5; 7); 5) Е (0; 3); 6) Р (а; Ь). 13. Төмөнкү чекиттерге координат башталышына карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1)А(4;5); 2) В (-4; 3); 3) С (-2; 3); 4)О(-1;2); 5)Е(0;6); 6) Р (а; Ь). 14. Төмөнкү чекиттерге I менен III координаттык бурчтардын биссектрисасына карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1) А(1; 4); 2) В (-2; 1); 3) С (-2; -1); 4)0(2; 1); 5) Е (0; 3); 6) Р (а; Ь). 15. Төмөнкү чекиттерге II менен IV координаттык бурчтардын биссектрисасына карата симметриялуу болгон чекиттердин координаталарын тапкыла: 1) А(-2; 3); 2) В (2; -2); 3) С (-3; - 4); 4) О (6; 2); 5) Е (0; 5); 6) Р (а; Ь). 16. Координаталары төмөнкү шарттарды канааттандырган М(х; у) чекитинин кайсы координаттык бурчта жатарын аныктагыла : 1) ху > 0; 2) ху < 0; 3) х-у = 0; 4) х + у = 0; 5) х + у> 0 ; 6) х + у < 0; 7)х-у>0, 8)х-у<0
АУ1Т А8АНОУ, КАМ12 КАГАТОУ и^ЕЕК СЕВ1К 186 7. КогсНпаГ1ап а$а§к1ак1 е§к812Пк1еп 8а§1апскгап пск1а1аг сигЫезтт зау|$а1 скхептдек! уег1е§1ппт кагак1епхе есНтх: \)/х/<1; 2)/х/>3; 3) /х/<3; 4) /х-3/<2; 5) /х-1/>2; 6) х2 - 5х + 6 > х2; 7)/2х-1/>2; 8)/х/<х + 1. 8. В1Г с1й21етс1ек1 сПк коогйта! 8181еттс1е уегПеп А(2; 3), В(4; -2), < ( ' 1)(-2; -2), Е(0; 2), Р(4; 1) пок1а1апт 9121т2. 9. А(2; -4) покЫзтт §екП1т 912тес1еп опип кап§1 коогсПпа! 9еугс”1п । о!с1и§ипи ЬеИгйтг. !0. Ох - екзетшЗек! Ыг пок1апт коогсНпай (-4) 1зе, Ьи пок1атп сК.1/.1с1и । коогс1та11апт Ьи1ипиг. II. А§а§1с1ак1 пок1а1ага Ох - екзепте §бге З1те1пк о!ап пок1а1апи коогсНпаНапт ЬиЫпиг: I) А(2; 4); 2) В (-3; 1); 3)С(-1;-1); 4) 0 (3; 1); 5) Е (0; 2); 6) Р (а; Ь). 12. А§а§1<1ак1 пок1а1апп Оу - екзетпе §бге з1те1пк о1ап пок1а!агт коогсНпаиапт ЬиЫпиг: 1)А(-1;3); 2) В (3;-2); 3) С (-2;-3); 4) О (5; 7); 5) Е (0; 3); 6) Р (а; Ъ). 13. А§а§1<1ак1 пок!а1ага огцт покЫзта §бге 81те1пк о!ап пок1а1апп коогсНпаНапт ЬиЫпиг: 1)А(4;5); 2) В (-4; 3); 3) С (-2; 3); 4)О(-1;2); 5) Е (0; 6); 6) Р (а; Ь). 14. А§а§1с1ак1 пок1а1ага I. уе III. коогсНпа! адйагтт ЫзеЫпзте §бге 81те1пк о1ап пок1а1апп коогсНпаОапт Ьи1ипиг: I 1)А(1;4); 2)В(-2;1); 3)С(-2;-1); ‘ 4) О (2; 1); 5) Е (0; 3); 6) Р (а; Ь). 15. А§а§1йак1 пок<а1ага I. уе III. коогсНпа! а^Паптп ЫзекГпзте §бге 81те11|к о1ап пок1а1аптп коогсНпаПапт ЬиЫпиг: 1)А(-2; 3); 2) В (2;-2); 3)С(-3;-4); 4) В (6; -2); 5) Е (0; 5); 6) Р (а; Ь). 16. КоогсНпаИап а?а§1с!ак1 ?аП1ап 8а§1апс11гап М(х,7) покГазтт Ь.т§| коогсНпа! <?еуге§1’пе а11 о1с1и§ипи ЬеПгНтг: 1)ху>0; 2)ху<0; 3)х~у= 0; 4) х + у = 0; 5) х + у > 0; 6) х + у < 0; 7) х - у > 0; 8) х-у < 0.
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 187 17. ОАСВ - тик бурчтугунун ОА жана ОВ жактарында жаткан / жана / бирпик векторлору берилген. Эгерде ОА = 3 жана ОВ = 4 болсо, анда ОА , АС , СВ , ВО жана 'ВА векторлорун г жана / векторлору аркылуу ажыраткыла. 18. 3.23 - сүрөттө М чекити ВС жагынын ортосу, ал эми N чекити АС жагынын ортосу, С N А I 3.23 - сүрөт. ОА = 3 жана ОВ = 4. ОМ, ОМ, МЫ векторлорун / жана / векторлору аркылуу ажыраткыла. 19. АВСЭ параллелограммы берилген. О чекити параллелограммдын диагоналдарынын кесилиши, ал эми М чекити СВ жагында жатат. Төмөнкү сумманы же айырманы тапкыла: 1) АВ + АО; 2) МА + РМ ; 3) АВ + СО; 4) ОА + ВМ ; 5) ~АВ - Ад ; 6) ЕЮ - СВ ; Т)СО -ОВ; 8) (~ги)- АВ ; 9) 7д - мс 20. Материалдык чекитке өз ара ос бурчун түзгөн Р^ жана Р^ эки КҮЧ таасир этет. Төмөнкү учурлар үчүн бул күчтөрдүн суммасынын модулун тапкыла: 1)|^|=ЗН; |Р21 = 4Н; а = 90°; 2) I Р\ | = ЗН; | А | = 7Н; а = 30°; 3) I Р\ I = 11,7Н; |А1 = 20,5Н; а = 35°. 21. Модулдары | Рх | = 5Н жана I Г2 | = 16Н болгон Рх жана Р2 күчү бир чекитке таасир этэт. Төмөнкү учурлар үчүн бул күчтөрдүн өз ара түзгөн ос бурчун аныктагыла: 1) I Р\+Р2 I = 19Н; 2) | Р\ + Р2 I = 13Н.
АУ1Т А8АМОУ, КАМ12 КАГАТОУ Ы1\ЕЕК СЕВ1К 188 17. ОАСВ - <Ик дбг1§еп1П1п ОА уе ОВ кепаНаппда иукип Ыг §екПс1е / үе / Ыпт уек1бг!еп уег1е$йп1гш$йг. Е§ег ОА = 3 уе ОВ = 4 1ве ОА, АС, СВ, ВО үе ВА уек1бг1епп1п / уе / үек1бг1еппе ёбге ау!пт/ 18. $екП 3.23’ бе М пок1аз1 ВС кепаптп ог1а81с11г, N пок1а§118е АС кешп ннп С N А / §екП 3.23 оПазкЬг, ОА = 3 үе ОВ = 4 сШг. ОМ, ОИ, МЫ уек1бг1спт / ус / уек1бг!еппе §бге ауттг. 19. АВСО рага!е1кепап уегПтфт О пок1а81 рага1е1кепапп сНуа§опа11епти кезцте пок(а81с11г, М пок1а81 18е СЭ кепаппа акйг. А$а§и1ак1 (ор1апи уеул 1 агк1 Ьи1ипи2: I) АВ + АО; 4) ОА + ВМ ; 7) сд - ов - 20. Маййезе! пок!ауа 2) МА + ВМ ; 5) ~АВ - ~Ад - 8) (~1м)- АВ-, Ып Ыгтт агазтдакт а$181 3) АВ + С£>; 6) ЕЮ - СВ ; 9) Ад - МС ’ уа е§11 о1ап 1к1 ус /'. киууейеп е1к! уартак1ас!1г1аг. А§а§1(1а §081еп1еп ЬаПегйе Ьи киууеНепи 1ор1аттт тойШйпй Ье8ар1ау1тг: 1)|Д|=3^; |^21 = 4М; а = 90°; 2)|Г1|=ЗК; |£’2|=7М; а = 30°; 3) I Р\ I = 11,7М; |^21 = 20,5Н; а = 35°. 21. МоййПеп I £] | = 5И уе 1/^1= 16^ о1ап үе Т^2 киууеН Ыг покТауа е(к1 уартак1:ас11г1аг. А§а§к1а §08Геп1еп ЬаПегйе Ьи киууе11<пп агазтйак! а ау18ти Ьи1ипиг: 1) I Р\ + Р2 I = 19И; 2) I ^ + ^1 =13К
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 189 22. Аралыктары I ге барабар болгон жана -() эки заряд электрдик диполду түзөт. Төмөнкү учурлар үчүн, берилген эки заряддан бирдей г аралыгында жайланышкан жана оң заряд ц га таасир эткен күчтүн модулун тапкыла: 1)О = 10’8С, д = 1С, 1 = 0,1м, г = 0,1м 2) ()= 3,6-10’7С, д=1С, 1 = 0,1м; г = 100м; 23. Эки материапдык чекит өз ара сх бурчун түзүп, бир чекиттен У| жана ү2 ылдамдыкта бир калыптагы кыймылын баштайт. Төмөнкү учурлар үчүн, ал эки материалдык чекит бири-биринен кандай ылдамдыкта алыстарын тапкыла: 1) V, = 125 , м/сек, 9 25 у2 = — м /сек ; 9 а = 90°; 2) у,= 2 м /сек, N2 = 4 м /сек ; а = 60°; 3) У,= Ю X — м/сек, 3 5 у2 = — м/сек, 3 а = 37°; 4) V! = 125 м/сек, 36 31 у2 = — м/сек, 18 а = 38°. 24. Тегиздикте А(3; 3), В(-3; 3) жана С(-3; 0) чекитгери [ берилген. Координат башталмасына ОА , ОВ, ОС күчтөрү таасир этет. Бул үч күчтүн суммасы болгон ОМ векторун тургузгула. ОА, ов, ос жана ом күчтөрүн координат окторунун бирдик векторлору / менен у’ аркылуу туюнткула. 25. Компланардуу т, п жана р үч бирдик векторлор берилген. Мында т менен п векторлорунун арасындагы бурч 30° , ал эми п менен р векторлорунун арасындагы бурч 60° . и = т + 2п - Зр векторун тургузгула жана анын модулун тапкыла. 26. Төмөнкү вектордук теңдештиктерди аналитикалык жана геометриялык жолдор менен текшергиле: ,, _ Ь —а а + Ь 1) а +------=-------- ; 2 2 27. Төмөнкү учурлар үчүн туюнткула: - а + Ь а-Ь а-------=------ 2 2 а векторун калган векторлор аркылх
АУ1Т А8АЫОУ, НАМ1х ЯАГАТОУ Ь|^ЕЕКСЕВ(К 190 ?2. В1п Ыппдеп I ихак11£1пс1а уег1е?еп +() уе -£) 1кл е1ек1пк у(1кй <, И( уйкПп । ь к(пк а1атп1 о1и§1игиуог. А§а§к1а §бз(еп1еп ЬаПегде уегПеп 1К1 уик1сп пми । И2ак11§1п(1а ЬиШпап уе рогШЕ уйк ц’ уе е(к1 уарап киууе1т пнкН||(инк 1)и1ипих: 1)О=10’8С, Ч = 1С, 1 = 0,1т, г = 0,1т 2) 0= 3,610'7С, д=1С, 1 = 0,1т; г = 100т; 23. 1к1 таййезе! пок1а ага1аппс1ак1 а?1 а о1так йхеге Ыг покиккт У| ус У2 111/1 Пе сШгепП ЬагекеНепт Ьа§1апи§1агс11г. А§а§1Пак1 ЬаПегёе о 1к< та(Шсяе1 пок(а Ып Ыппйеп пазП Ь121а и2ак1а§аса§1т Ьезар1ау1П12: 125 т 1) V' “ п 9 8 25 т у2 - ; а - 90° ; 9 8 _ т 2) V! = 2 — , 8 т у2 = 4— ; а = 60°; 8 10 т 3) у( = , 3 8 5 т у2 = а = 37 ; 3 125 т 4) V, - 30 5 31 т у2 = а = 38 . 18 5 24. Вп ПйгктПе А(3; 3), В(-3; 3) уе С(-3; 0) пок(а1ап уеп1пН§йг. ОЫрп покизта ОА , ОВ, ОС киууеПеп Ьауеке( уартакСасЬг. Ви й<? киууеНп (ор1апи о1ап ОМ уекШгйпй 91211112, ОА , ОВ, ОС уе ОМ киууе(1сп1и коогсНпа! екзеЫеппт Ыпт уек(бг1еп о1ап / уе у Пе ЬеНгйтх. 25. Вп сШг1ете рага1е1 о1ап т, п уе р й? Ыпт уек(бг1еп уеп1пп§Нг. Вигас1а т уе п уек(бг1еп агазтйак! а?1 30° сПг, п уе р уек(бг1еп агазтйак! а?1 1зс 60" сЬг. и = т + 2п- Зр уекШгйпй 9121^12 уе опип тосШШпй ЬиШпиг. 26. А§а§1Нак1 уеШбге! е$ННк1еп апаНйк уе §еоте(пк изиПаг Пе Пепеут17: , _ Ь-а а + Ь - а + Ь а-Ь I) а+-------=------ ; 2) а--------=------- 2 2 2 2 27. А$а§1с1а §б8(еп1еп ЬаПегйе а уексбгйпй сП§ег үек1бг1ег уагсЬтПа ЪеНг11П1/
191 АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 1) 3.24-сүрөт; 2) 3.25-сүрөт; 3) 3.26-сүрөт; 28. а жана а.а векторлору берилген. Төмөнкү учурлар үчүн а е К. санын тапкыла: 1) а менен а а барабар; 2) модулдары барабар, жана багыттары карама-каршы; 3) багьптары карама-каршы; 4) бирдей багытталышкан; 5) коллинеардуу. 29. М(5; -3; -4) чекитин тургузгула жана ОМ векторунун узундугу менен багытын аныктагыла. _ 30. Г = ОМ= 21 4- 3 ] 4- бк иекторунун узундугун жана багытын аныктагыла. 31. Берилген вектор Ох жана Ог - октору менен 40° жана 80° бурчтарды түзөт. Бул вектордун Оу - огу менен түзгөн бурчун аныктагыла. 32. А (1; 2; 3) жана В (3; -4; 6) чекиттери берилген. и = АВ векторун тургузгула. Бул вектордун узундугун, багытын жана координат окторун^агы проекцияларын аныктагыла. 33. ОА = I + У жана ОВ = к - 3 / векторлору менен параллелограмм_түзгүлө жана анын диагоналын аныктагыла. 34. | а I =ЛЗ; I Ъ I = 19 жана I а + Ъ I =24 үчүн | а^-Ъ | ны тапкьша. 35. а ± Ъ I а | = 5; жана | Ъ I = 12 болгондо | а + Ъ | менен | а-Ъ | ны тапкыла. 36л Векторлор а менен Ъ нын арасындагы бурч ф = 60° , | а I =5; I Ъ | = 8 болгондо I а + Ъ | менен | а-Ъ I ны тапкыла. 37. а менен Ъ_~ нын арасындагы бурч (р = 120° , | а I = 3; | Ъ | = 5 болгондо, I а + Ъ I менен | а_^Ъ I нытапкыла. 38. Берилген а жана Ъ векторлорунун жардамы менен төмөнкү векторлорду тургузгула: 1)35, 2)--6; 3)2а+-6; 4) - а - 3 Ъ . 2 3 2 <
АУ1Т А8А1ЧОҮ, НАМ|£ КЛЕАIОV ЫКЕЕК СЕВШ 192 I) $екП 3.24; 2) $екН 3.25; 3) $екП 3.26; 28. й уе аа уек1бг!еп уегПпй§ 1зе а§а§1с!ак1 ЬаПегПе а 6 Н .чну|чт1 ЬШипих: 1) а уе аа е§П уек1бг1егсИг; 2) оп1апп тосШПеп е§И ус уОпкт! Ьш Ыппе каг§1й1г; 3) акз! убпс!есПг1ег; 4) аут убпс1ес11г1ег; 5) рагаЫсНгк । 29. М(5; -3; -4) пок1а81т <?гатх уе ОМ уек1огйпйп Ьйуйк1й£йпй ус \<)пйпй ЬеНгНшг. 30. Г = ОМ = 21 + 37 + бк уекШгйпйп Ьйуйк1й§йпй уе убпйпй ЬсНгНп! 31. УегНеп уекТбг Не Ох уе Ог - екзеп1еп агазтбак! а<?1 81газ1у1а 40" уе 80") е§Мг. Ви уек1бг уе Оу - екзегн агазтбак! а<?1у 1 ЬЫипиг. 32. А(1; 2; 3) уе В(3; -4; 6) пок1а1ап уеп1пп§Нг. и = АВ уекЮгйпй 91x1111/ Ви уекЮгйп Ьйуйк1й§йпй, убпйпй уе коогсНпа! екзеЫеппбек! Ы1е§сп1спт Ьи1ипих. 33. ОА = I + / уе ОВ = к - 3 у уек1бг1еп уагскгту1а рага1е1кспиг 9121Ш2 уе опип <На§опа1т1 Ьи1ипиг. 34. | а I = 13; | Ъ I = 19 уе I а + Ъ I = 24 19111 I а -Ъ I у1 Ьи1ипи2. 35. а 1. Ъ , I а I = 5; уе I Ъ | = 12 1зе I а + Ъ | уе I а-Ъ | у! Ьи1ипи/.. 36. а уе Ъ уек1бг1еп агазтбак! а<?1 <р = 60" , I а I = 5; уе I Ь | = 8 18С I а + Ъ | уе I а - Ъ | у1 ЬиЫпиг. 37. а уе Ъ уек!бг1еп агазтбак! а<?1 ср = 120°, I а I = 3; уе I Ъ I 5 1.чс I а + Ъ I уе I а - Ъ | у1 ЬЫипиг. 38. ҮегПеп а уе Ъ үек1бг1еп уагскпиуЫ а?а§1<1ак1 уек1бг1еп 9121П12: 1)3«, 2)--|^; У)2а+^Ъ-, 4)Я -ЗЪ .
АВЫТ АСАНОВ, РАМИЗ РАФАТОВ СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРА 193 39. а = {2; -1; 3} жана Ъ = {-6; 3; -9} векторлорунун коллинеардуулугун текшергиле. 40. а = -2 / + 3/ + $к жана Ъ = а / - 67 + 2к векторлору коллинеардуу болгондой а жана 0 сандарын аныктагыла. 41. а {3; -5; 8} жана Ь {-1; 1; -4} векторлорунун суммасынын жана айырмасынын модулун тапкыла. 42. а = 3 / + 4/ -12 к векторун нормалдаштыргыла. 43. а = I - 2у -2к векторун нормалдаштыргыла. 44. а менен Ъ векторлорунун арасындагы бурч <р =у7Г > I 47 1= 3; I Ъ 1 = 4 үчүн, төмөнкүлөрдү эсептегиле: \)а-Ъ; 2)а2=аа; ?>)Ъ2; 4)(а + Ь)2; 5)(За-2Ъ)(а+2Ь); 6)(а-Ь)2; 1)(За+2Ь)2. 45. а {4; -2; -4} менен Ь {6; -3; 2} векторлору үчүн, төмөнкүлөрдү эсептегиле: \)а-Ь; 2)4^; 3)^Р; 4)(2а-зЪ)(а+2Ъ); 5)(а+Ъ)2; 6)(а-Ъ)2. 46. а = -I + / менен Ъ = / - 2] + 2к векторлорунун арасындагы бурчту тапкыла. 47. Чокулары А(2; -1; 3); В(1; 1; 1) жана С(0; 0; 5) болгон үч бурчтуктун бурчтарын тапкыла. 48. Жөнөкөйлөткүлө: (2 / - 7 )• 7’ +(7’ -2к)к + (/ - 2к )2 49. Компланардуу төрт күч О чекитине таасир этет. Ар бир күчтүн чоңдугу 10 Н жана эки жанаша жаткан күчтөрдүн арасындагы бурч 45°. Бул төрт күчтүн суммасынын чоңдугун тапкыла. 50. а менен Ъ векторлорунун арасындагы бурч (р=—, | а 1 = 4; I Ъ 1 = 6 болгондо (3 а -2Ъ )(5а-бЪ ) ны тапкыла. 51. а = 3/ + 4 у + 5к менен Ъ = 4 / + 5 у - Зк векторлорунун арасындагы бурчту тапкыла. 4
АУ1Т А8АЫОУ, ЯАМ|Х НАГАТОУ 1*>4 1Л№ЕЯСЕВ|Я 39. а= {2;-1;3}уе Ъ = {-6; 3; -9} уекГбНепшп рага1еШ£1т депеу!»!/.. 40. а = -2/ + 3/ + $к уе Ъ = а/ - 6у + 2к уек!бг1еп рага!е1 о1тцк (кеге а уе Р зауПапт ЬШипих. 41. а {3; -5; 8} уе Ъ {-1; 1; -4} уек(бг1епгпп 1ор1ат1пт уе 1.п1 .....( тобйПепт (Ьйуик1ик1епт) Ьи1ипих. 42. а = 3 I + 4] - 12 к уекТбгйпй погта11е§Нптх. 43. а = I -2] -2к уеккбгйпйпоппа11е§11пп1х. 44. а уе Ъ уеккбНеп агазтбак! а?1 ср = —Л сНг, | а 1= 3; I Ь I 4 а§а|1с1ак11£абе1еп Ье8ар1ау1тх: \)а-Ъ; 2)аг=аа; У)Ъ2; 4)(5+£)2; 5)(За-2Ъ )(а+2Ь); 6)(а-Ь)2; 1)(За+2Ъ)2. 45. а {4; -2; -4} уе Ъ {6; -3; 2} уек1бг1еп г^т а§а£1с1ак1 1Гас1е1ег^ Ье8ар1ауш12 \)а-Ъ; 2)71^; 3)7^; 4)(2а-зЬ )(а+2Ъ); 5)(а + Ь)2; 6)(а-Ъ)2. 46. а = -1 + / уе Ъ = / - 2 у + 2 к уек!бг1ептп агазтбак! а?1у1 Ьи1ипц/, 47. Кб$е1еп А(2; -1; 3); В(1; 1; 1)