P^∣yj∣lAJ∣lAlj*bl
JΓAΠKb∣PJΙAy
ФО
1 ДЭН 10 ГА КАДӘРГЕ НАТУРАЛЬ САННАРНЫҢ
η
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
η
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
„3
n
1
8
27
Μ
125
216
3⅛
512
729
1000
!3EE13[SEZ32!EΞClιΞιEESIEΞ=l
η
1
2
3
4
l5
6
—
7
8
9
10
2n
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
3n
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
КЫСКАЧА
(α+b)2 = α2+2αb+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a-b)(a+b) = a2-b2
(a+b) (a2-ab+b2) = a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3

ЛГЕБРА
ТАТАР УРТА ГОМУМИ БЕЛЕМ БИРҮ
МӘКТӘБЕНЕҢ 7 НЧЕ СЫЙНЫФЫ ӨЧЕН
ДӘРЕСЛЕК
С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ редакциясендә
Россия Федерациясе Мәгариф министрлыгы
тарафыннан расланган
Тәрҗемә Татарстан Республикасы
Мәгариф министрлыгы тарафыннан расланган
I	бүлек
АҢЛАТМАЛАР, БЕРДӘЙЛЕКЛӘР, ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР
II	бүлек
ФУНКЦИЯЛӘР
III	бүлек
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ
IV	бүлек
КҮПБУЫННАР
V	бүлек
КЫСКАЧА ТАПКЫРЛАУ ФОРМУЛАЛАРЫ
VI	бүлек
СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР СИСТЕМАЛАРЫ
Казан · «Мәгариф» нәшрияты
Москва · «Просвещение»
2004

УДК 373.167.1:512
ББК 22.14 я 72
А47	Авторлар:
Ю Н. МАКАРЫЧЕВ, Н.Г.МИНДЮК,
К.И. НЕШКОВ, С. Б. СУВОРОВА
НвЬ— -	.. .. .. ·..	.. ... . ■ .⅛d⅛
Дәреслек
1988 елда
гомуми урта
белем бирү
мәктәпләре
өчен дәрес¬
лекләрнең
Бөтенсоюз
конкурсында
беренче урын
алган
Шартлы тамгалар
хәтердә калдырырга тиешле текст
■ белергә тиешле материал
мәсьәләне чишә башлау
<] мәсьәлә чишүне тәмамлау
расламаны нигезли яки формуланы чыгара
башлау
О нигезләүне яки формула чыгаруны тәмамлау
221 чишә белү мәҗбүри саналган дәрәҗәдәге бирем
341 өйдә эшләү өчен бирем
529 авыррак мәсьәлә
Алгебра: Учеб, для 7 кл. общеобразоват. учреждений/Ю.Н.Ма¬
карычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией
С. А. Теляковского.— 12-е изд.— М.: Просвещение, 2003.
Охраняется Законом РФ «Об авторском праве и смежных пра¬
вах». Воспроизведение всей книги или её части на любых видах
носителей запрещается без письменного разрешения издательства.
Переводное издание учебника выпущено в свет по Лицензионному
договору 3/124 от 28.11.03. Экземпляры переводного издания подлежат
распространению исключительно в Республике Татарстан, а также среди
татарской диаспоры на территориях других субъектов Российской Феде¬
рации.
Алгебра : Татар урта гомуми белем бирү мәкт. 7 нче с-фы өчен
А47 д-лек / Ю. Н. Макарычев, Η. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суво¬
рова / Русчадан 3. X. Билалова, В. 3. Закиров тәрҗ.— Казан: Мәга¬
риф, 2004.—223 б.: рәс. б-н.
1SBN5-7761-1015-4
БЗ—10(69)—19—2003/2004
ISBN5-7761-1015-4	© Издательство «Просвещение», 1989
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2000
Все права защищены
© Татарчага тәрҗемә, «Мәгариф» нәшрияты, 2004

1
k
A
I бүлек
Аңлатмалар, бердәйлекләр,
тигезләмәләр
§ 1. Аңлатмалар
1.	Санлы аңлатмалар
Мәсьәлә чишик:
«Туристлар 16 км/сәг тизлек белән 2 сәг шоссе
буйлап велосипедта барганнар, аннары 7 км урман аша
үткәннәр. Маршрутның бөтен озынлыгы нинди?»
Туристлар шоссе буйлап 16 · 2 км, ә урман аша
7 км юл үткәннәр. Шуңа күрә маршрутның бөтен
озынлыгы (16 2 + 7) км га, ягъни 39 км га тигез.
Мәсьәләне чишеп, без 16 · 2 + 7 санлы аңлат¬
масын таптык.
Санлы аңлатмалар саннардан гамәл билгеләре һәм
җәяләр ярдәмендә төзелә. Санлы аңлатмаларга тагын
мисаллар китерик:
43 :5;	9,6 - 3 · 1,2;	5 · (7,4 - 6,1).
Санлы аңлатмада гамәлләрне үтәү нәтиҗәсендә табылган сан
аңлатманың кыйммәте дип атала.
Мәсәлән, 96 - 2 62 аңлатмасының кыйммәтен та¬
быйк. Моның өчен без, гамәлләрне үтәүнең кабул
ителгән тәртибен саклап, башта дәрәҗәгә күтәрү,
аннары тапкырлау гамәлен һәм, ниһаять, алу гамәлен
эшләргә тиеш булабыз:
1) 62 = 36;	2) 2 · 36 = 72;	3) 96 - 72 = 24.
96 - 2 ■ 62 аңлатмасының кыйммәте 24 саны була.
Әгәр аңлатмада нульгә бүлү очраса, бу аңлатманың кыйммә¬
те булмый, чөнки нульгә бүләргә ярамый. Андый аңлатмалар
турында сөйләгәндә, бу аңлатманың мәгънәсе юк, диләр.
Мәсәлән: 35 : (4 · 2 - 8), тд—.1 , qa аңлатмаларының
мәгънәсе юк.
3

Күнегүләр
1
2
3
4
5
6
7
8
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	6,965 + 23,3;
б)	76,73 + 3,27;
в)	50,4 - 6,98;
г)	88-9,804;
д)	6,5 · 1,22;
е)	0,48 -2,5;
ж)	3,725-3,2;
з)	0,016 0,25
и)	53,4 :15;
к)	16,94:2,8;
л)	75: 1,25;
м)	123,12:30,4.
Гамәлләрне эшләгез:
а)	481,92: 12-20,16;
б)	6,05 ■ (53,8 + 50,2);
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	155,5 - 5,5 · 20,7;
б)	85,68 : (4,138 + 2,162);
Гамәлләрне эшләгез:
а)	|+|;	λ)lf+∣l
б)	|+{;	е)5-з|;
β) 7_5.	. ) 4.3.
^86’	*/98’
r) 3.-А.	3) 5.9..
7 10 15 ’	3' 8 ' 10 ’
в)	1,08 · 30,5 - 9,72 :2,4;
г)	44,69 + 0,5 ■ 25,5 :3,75.
в)	3,6 :0,08 + 5,2 2,5;
г)	(9,885-0,365); 1,7 + 4,4.
н) lg 1|;
42θj∣ =
л)	б|10;
м)	33 : ⅛ .
— Ә Ό
Исәпләп чыгарыгыз:
аКб|-8; г) 8:(~ю);	у (-49);
б)-2у + 4|;	⅛÷θ)ι з) -16 (~д);
д) 5⅛-6-τj	e)-3∣∙3ι	h)-3∣(-1∣).
Ә Ί
Гамәлләрне эшләгез:
а)	8∣+6∣-3b	B>2⅛ ⅛I2⅜J
б)	12∣-5∣+7∣!	г)1|:2|-26.
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	35 ’ з + 6g :2;
б)	2_ _8..(1+ 1П.
°’ 3	23 (4	б)’
Гамәлләрне эшләгез:
а)	3— +1- ∙--2-∙
a, 015	15 · 3 δ 5 ’
61 (1∣-⅛) :34 + 3:
в) о- - 1- · 1- + 1- · 1- ·
b7 z 6	5 19 17 ·17 ’
D 5∣ √3-l⅛ 2⅜)+⅜.
b) 45-5-2l.l.
b' *6 8	4 6 ’
r>(4-2HM⅛
4

9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	252;	в) 3,52;	д) ;
б)	123;	г) 0.23;	е) (j)2 ;
ж)	(.!)’;
з)	«
2 цифрын өч тапкыр кулланып, кыйммәте а) 6 га, б) 8 гә;
в) 3 кә; г) 1 гә тигез булган аңлатма төзегез.
Ике гамәл тамгасын эченә алган һәм кыйммәте а) 12 гә;
б) 0 гә тигез булган нинди дә булса аңлатма төзегез.
Мәсьәләне чишү өчен санлы аңлатма төзегез: «Аралары 40 км
булган ике пункттан бер үк вакытта кара-каршы ике җәяүле
юлга чыга. Бер җәяүленең тизлеге 4 км/сәг, икенчесенеке
5 км/сәг булса, 3 сәг тән соң алар бер-берсеннән нинди ерак¬
лыкта булыр?»
Мәсьәләне аңлатма төзеп чишегез: «Бер эшче сәгатенә
7 деталь, икенчесе 9 деталь ясый. 4 сәг тә алар ничә деталь
ясар?»
Аңлатманы «сумма», «аерма», «тапкырчыгыш» һәм «өлеш» тер¬
миннарыннан
а)	8,5 - 7,3;
б)	4,7 ■ 12,3;
в)	65:1,3;
файдаланып укыгыз:
г)	5,6 + 0,9;
д)	2 ■ 9,5 + 14;
е)	(10-2,7): 5;
ж)	2,5 - (3,2 + 1,8);
з)	6,1 · (8,4 :4);
и)	(6,4 + 7): 2.
а)	28 һәм 15 саннарының суммасын;
б)	6 һәм 3 саннарының тапкырчыгышын;
в)	3 һәм 8,7 саннарының аермасын;
г)	0,8 һәм 0,4 саннарының өлешен аңлатма рәвешендә языгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
240 санының 1% ын табыгыз. Шул ук санның 5% ын,
85% ын, 150% ын табыгыз.
а)	500 санының 3% ын;	г)	280 санының	9,5% ын;
б)	15 санының 40% ын;	д)	9,5 санының	280% ын;
в)	8,5 санының 120% ын;	е)	1,25 санының	1,2% ын табыгыз.
Берничә китап өчен 320	сум акча түләделәр. Бер	китап¬
ның бәясе тотылган акчаның 30% ын, икенчесенең бәясе
45% ын тәшкил итә. Беренче китап икенчесеннән ничә сумга
арзанрак?
Участокның мәйданы 80 га. Бер тракторчы шул участокның
40% ын, икенчесе калган өлешенең 60% ын сөрде. Аларның
кайсысы күбрәк сөргән һәм ничә гектарга?
Колхоз һәр гектардан 44 ц бодай җыеп ала иде. Әмма интенсив
технология куллану нәтиҗәсендә, колхоз шул ук мәйданнан
бодай җыеп алуны 25% ка арттырды. Колхоз һәр гектардан
ничә центнер бодай җыеп ала башлаган?
5

2.	Үзгәрешлеле аңлатмалар
Автомобиль 60 км/сәг тизлек белән хәрәкәт итеп,
2 сәг тә 60 ■ 2 км, 3 сәг тә 60 ■ 3 км, 5 сәг тә 60 · 5 км
юл үтә. Гомумән, t сәг тә ул 60? км юл үтә. t ның
кыйммәтен үзгәртеп, 60? аңлатмасы ярдәмендә без
автомобильнең төрле вакыт аралыкларында үткән
юлын таба алабыз. Моның өчен, t хәрефе урынына
аның кыйммәтен куеп, тапкырлау гамәлен башкару
җитә. 60? аңлатмасында t хәрефен үзгәрешле дип,
ә 60? аңлатмасының үзен үзгәрешлеле аңлатма дип
атыйлар.
Тагын мисал китерик. Турыпочмаклыкның якла¬
ры а см һәм Ь см га тигез булсын. Ул вакытта аның
мәйданы ab см2 га тигез, ab аңлатмасы ике үзгә¬
решлеле: а һәм Ь ны эченә алган. Бу аңлатма а һәм
Ь ның төрле кыйммәтләре өчен турыпочмаклыкның
мәйданын ничек табарга кирәклеген күрсәтә. Мәсә¬
лән,
әгәр а = 8 һәм Ь = 11 булса, ab = 8 · 11 = 88;
әгәр а = 25 һәм Ь = 4 булса, ab = 25 · 4 = 100.
Әгәр үзгәрешле кергән аңлатмада һәр үзгәрешле урынына аның
нинди дә булса кыйммәтен куйсак, санлы аңлатма барлыкка
килә. Бу аңлатманың үзгәрешленең сайлап алынган кыйммәте
өчен исәпләп чыгарылган кыйммәтен үзгәрешлеле аңлатма¬
ның кыйммәте дип атыйлар.
Әйтик, 88 саны ab аңлатмасының а = 8 һәм
6 = 11 булгандагы кыйммәте, 100 саны шушы ук
аңлатманың а = 25 һәм 6 = 4 булгандагы кыйммәте
була.
Ь	-
⅛7Γ3 аңлатмасын карап китик. Теләсә нинди
6 ≠ 3 өчен аның кыйммәтен табарга мөмкин. Мәсә¬
лән, әгәр 6 = 13 булса, y2^3 = j3T 3 = ю =
6 = 3 булганда, әлеге аңлатманың кыйммәтен та¬
барга ярамый, чөнки бу очракта 6-3 бүлүчесе нульгә
тигез. Биредә 6 ≠ 3 булганда, yz^3 аңлатмасының
мәгънәсе бар, ә 6 = 3 булганда, мәгънәсе юк, диләр.
Кайбер аңлатмалар үзгәрешленең барлык кыйм¬
мәтләре өчен дә мәгънәгә ия була.
х (х + 1), ау - 4, —х—
О
аңлатмалары шундый мисаллар булып торалар.
Үзгәрешлеле аңлатмалар формулалар язганда кул¬
ланыла.
6

Мәсәлән, җөп сан формуласын карап китик. Телә¬
сә нинди җөп т санын 2 саны белән бөтен п санының
тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтергә мөмкин, ягъни
т = 2п.
Әгәр бу формулада п урынына бөтен саннарны
куйсак, т үзгәрешлесенең кыйммәтләре җөп саннар
булыр, т = 2п формуласын җөп сан формуласы дип
атыйлар.
т = 2n + 1 формуласын (биредә п — бөтен сан) так
сан формуласы дип атыйлар.
Теләсә нинди башка натураль санга кабатлы
санның формуласын җөп сан формуласына аналогия
буенча язарга була.
Мәсәлән, 3 кә кабатлы саннарның формуласы
болай язылыр: т = 3п, биредә п — бөтен сан.
Күнегүләр
21	а) х = 7; 0; -5 булганда, 4х - 12; б) у = 3; 0; -6 булганда,
2,8 - 0,5у аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
22	х ның күрсәтелгән кыйммәтләре өчен Зх - 1 һәм -Зх + 1
аңлатмаларының кыйммәтләрен исәпләп чыгарып, таблицаны
тутырыгыз:
X
-2
-1
0
1
2
4
5
Зх - 1
—Зх + 1
Зх - 1 һәм -Зх + 1 аңлатмаларының тиңдәшле кыйммәтләре
нинди саннар булырлар?
23	10 - 2у һәм 10 + 2у аңлатмаларының кыйммәтләрен табыгыз
һәм аларны таблицаның тиешле шакмакларына языгыз:
У
-3
-1
0
2
3
4
6
Ю-2у
10 + 2y
24	х үзгәрешлесенең кыйммәтләре 5, 3, 0, -3 һәм 10 га тигез,
а)	х2 + 4; б) х2 - 8 аңлатмаларының тиңдәшле кыйммәтләрен
табыгыз.
25	Үзгәрешлеләр түбәндәге кыйммәтләргә ия булганда, х + у сум¬
масы һәм ху тапкырчыгышы нинди кыйммәтләр ала:
а)	х = 1,2, у = -2,5;	в) х = 0,1, у = 0,2;
б)	х = -0,8, у = 3;	г) х = -1,4, у = -1,6?
7

26	а) т = -∙∣, «=f;	6) m=02, n = -1,4 булса,
5m - Зп аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
27	а) х = 2,4, у = 0,8;	в) х = 4,8, у = -2,1;
б)	х = -3,6, у = 5;	г) х = -4,4, у = -3
, 1
булса, 2 x ~ У аңлатмасының кыйммәтен исәпләп чыгарыгыз.
28	а - 26 аңлатмасының кыйммәтләрен исәпләп чыгарып, таб¬
лицаны тутырыгыз:
а
5
-2
4
1
6
6
-3
3
0
-1
4
а - 26
29	х һәм у ның ниндидер кыйммәтләре өчен х-у аңлатмасының
кыйммәте 0,7 гә тигез, х һәм у ның шул ук кыйммәтләрендә
а)	5(х - у); б) у - х; в) —!— ;	г) ——-
х- у	у-х
аңлатмалары нинди кыйммәтләр ала?
30	a) m = -2⅛, п-3 булганда, (2m+6)n;
б)	х = 5, у = “1 булганда, х - 2ху;
в)	a = 10, х = -5, у = -| булганда, ах - Зу\
г)	а = I, х = 2, 6 = -3, с = 5,8 булганда, ах + 6х + с аңлатма¬
сының кыйммәтен исәпләп чыгарыгыз.
31	Сыйныфта 35 укучы бар. Аларның һәркайсы түләүсез барлык
бәясе а сумлык булган дәреслекләр һәм берсе 6 сум торган
5 контурлы карта алган. Бу сыйныф укучыларын дәреслекләр
һәм контурлы карталар белән тәэмин итү өчен күпме акча
тотылган?
32	Тәҗрибә басуын ике участокка бүлгәннәр. Беренче участок¬
ның мәйданы а га, ә икенчесенеке 6 га. Беренче участокның
һәр гектарыннан 32 шәр ц, ә икенче участокның һәр гекта¬
рыннан 40 ар ц бодай уңышы җыеп алганнар. Ике участоктан
күпме бодай җыеп алынган? а = 120 һәм 6 = 80 булганда
исәпләп чыгарыгыз.
33	Төзелештә һәркайсында а кеше булган 5 бригада һәм һәркай-
сында 6 кеше булган 3 бригада эшләгән. Төзелештә ничә кеше
эшләгән? а = 25 һәм 6 = 32 булганда исәпләп чыгарыгыз.
34	1 нче рәсемдә кисемтәләрнең озынлыклары (сантиметрларда)
күрсәтелгән. Рәсемдә сурәтләнгән һәр фигураның мәйданын
(квадрат сантиметрларда) исәпләү өчен аңлатма төзегез.
8

35
биеклеге һ м га тигез
кисеп алганнар (рәс. 2).
36
37
38
ж)	⅜ + с;
0
з)	ab + Ьс;
и)	(а - Ь) (а + Ь).
г)	(а + 5)х;
д)	т - 8а;
е)	2x + 1;
39
40
Кубның кабыргасы а м. Бу кубтан
булган турыпочмаклы параллелепипед
Калган кисәкнең күләмен табыгыз.
Турыпочмаклыкның буе а см, иңе Ь см.
a)	ab; б) 2а + 2Ь; в) а + Ь; г) 2а аңлатмасы нәрсә белдерә?
Дәфтәр х сум, ә карандаш у сум тора.
а)	х + у,	в) 2х + Зу;
б)	Зх + у;	г) j~ аңлатмасы нәрсә белдерә?
Аңлатмаларны «сумма», «аерма», «тапкырчыгыш» һәм «өлеш»
терминнарын кулланып укыгыз:
а)	тх;
б)	п -а;
в)	10 + ab;
Аңлатма рәвешендә языгыз:
а)	Ь һәм с саннарының суммасын;
б)	а һәм т саннарының аермасын;
в)	х санының квадратын;
г)	у санының кубын;
д)	х санының а һәм Ь саннары тапкырчыгышы белән суммасын;
е)	т санының х һәм у саннары өлеше белән аермасын;
ж)	а һәм Ь саннары суммасының с санына тапкырчыгышын;
з)	а санының х һәм у саннары суммасына тапкырчыгышын.
Үзгәрешленең нинди кыйммәтләре өчен аңлатманың мәгънәсе
бар:
а)	5у + 2;	в) ;	д)	≈⅞-;
Λ I	О г U
6∖ 18 .	г) —■	е)
у ’	d 4 ’	'	10-ά	’
а)	5 кә кабатлы; б) 10 га кабатлы; в) 101 гә кабатлы санның
формуласын төзегез.
7 гә кабатлы саннарның формуласын языгыз. Бу формула
буенча 7 гә кабатлы ике өчурынлы сан табыгыз.
	 6 га кабатлы саннарның формуласын языгыз. Бу формула
буенча 6 га кабатлы нинди дә булса өч сан табыгыз.
41
42
43
9

Кабатлау өчен күнегүләр
44	а) Санның 3% ы 1,8 гә в) санның 130% ы 3,9 га тигез;
тигез;	г) санның 6,2% ы 9,3 кә тигез
б)	санның 85% ы 17 гә икәне билгеле булса, шул сан-
тигез;	нарны табыгыз.
45	Бидоннан 30% сөтне алганнан соң, анда 14 л сөт калган.
Башта бидонда ничә литр сөт булган?
46	Завод планны 15% ка арттырып үтәп, 230 станок эшләп чыгар¬
ган. Завод план буенча ничә станок эшләп чыгарырга тиеш
булган?
3.	Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштыру
Мәсьәлә чишик: «48 һәм 60 га мәйданлы ике тәҗрибә
участогына бодай чәчкәннәр. Беренче участоктан
1800 ц, икенчесеннән 2100 ц бодай уңышы җыеп
алганнар. Уңыш кайсы участокта югарырак булган?»
Уңыш участоктан җыелган бодай массасын учас¬
ток мәйданына бүлгәннән чыккан өлеш белән күрсә¬
телә. Кайсы участокның уңышы югарырак икәнен белү
өчен, 1800:48 белән 2100:60 аңлатмаларының кыйм¬
мәтләрен чагыштырып карарга кирәк. 1800 :48 = 37,5;
2100 : 60 = 35 булганга күрә, беренче участокның уңы¬
шы югарырак булыр.
Теләсә нинди санлы ике аңлатманың кыйммәтләре
тигезме яки тигез түгелме икәнен, ә инде тигез бул-
маса, аларның кайсысы зуррак һәм кайсысы кечке¬
нәрәк икәнен билгеләп була.
Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштыру нәтиҗә¬
сен тигезлек яки тигезсезлек рәвешендә язарга мөмкин.
Мәсәлән, 1800 : 48 һәм 2100 :60 өлешләрен чагыштыру
нәтиҗәсен
1800 :48 > 2100 :60
тигезсезлеге рәвешендә язарга мөмкин.
Әгәр аңлатмаларга үзгәрешлеләр кергән булса,
үзгәрешлеләрнең төрле кыйммәтләре өчен бу аңлат¬
маларның кыйммәтләрен чагыштыру нәтиҗәләре дә
төрлечә килеп чыгуы бар.
Мәсәлән, 2а һәм а + 4 аңлатмаларының кыйм¬
мәтләрен а = 0, 4, 10 өчен чагыштырыйк.
Әгәр а = 0 булса, 2а = 0 һәм а + 4 = 4 була, ягъни
а = 0 булганда, 2a < а + 4 тигезсезлеге дөрес.
Әгәр а = 4 булса, 2а = 8 һәм а + 4 = 8 була, ягъни
а = 4 булганда, 2a = а + 4 тигезлеге дөрес.
Әгәр а = 10 булса, 2а = 20 һәм а + 4 = 14 була,
ягъни а = 10 булганда, 2a > а + 4 тигезсезлеге дөрес.
Кайвакыт аңлатманың кыйммәте нинди саннар
арасында урнашканлыгын билгеләргә кирәк була.
Ю

Мисал карап китик. Металл шарчыкны үлчәгәндә,
аның массасы 86 г нан күбрәк, 87 г нан азрак булуын
белгәннәр. Шарчыкның массасын (граммнарда) т хәре¬
фе белән тамгалыйк. Ул вакытта үлчәү нәтиҗәсен
болай язарга мөмкин:
т > 86 һәм т < 87
яки башкача:
86 < т һәм т < 87.
86 < т һәм т < 87 тигезсезлекләрен икеле тигез¬
сезлек рәвешендә язарга була:
86 < т < 87.
86 < т < 87 тигезсезлеге болай укыла: «86 кечерәк
т нан һәм т кечерәк 87 дән» яки кыскача:
«т зуррак 86 дан һәм кечерәк 87 дән».
Тагын бер мисал карыйк. Бер айдагы көннәр саны
31 дән кимрәк яки 31 гә тигез. Бер айдагы көннәр
санын п хәрефе белән тамгалыйк. Ул вакытта
п < 31 яки п = 31.
Бу язылышны гадәттә бер тигезсезлек рәвешендә
язалар:
n≤31
(«п кечерәк яки тигез 31 гә» дип укыйлар).
Бер айдагы көннәр саны 28 дән күбрәк (зуррак)
яки 28 гә тигез:
п > 28 яки п = 28.
Мондый очракларда кыскача болай языла:
n≥28
(«п зуррак яки тигез 28 гә» дип укыла).
п ≥ 28 булганга күрә, 28 ≤ п.
28 ≤ η һәм п < 31
тигезсезлекләрен
28≤n≤31
икеле тигезсезлеге рәвешендә язарга мөмкин.
> һәм < тамгалары ярдәмендә төзелгән тигезсезлекләрне төгәл
тигезсезлекләр дип, ә ≥ һәм ≤ тамгалары ярдәмендә төзелгән
тигезсезлекләрне төгәл булмаган тигезсезлекләр дип атыйлар.
Күнегүләр
47	Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
а)	2,06 · 3,05 һәм 21,28 :3,5;	2 + 5 ^әм 3 + 4 ’
б)	97,2:2,4 һәм 62-21,6;	г) 16 -3∣ һәм 15-2j.
И

48	Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
а)	56 · у һәм 56 : ⅞;	в) ⅜ - 7 һәм f · (-7);
/	х	Ә 4	о 4
б)	9 :0,36 һәм 0,9;	г) я - q Һәм ⅛ “ ⅛.
Оч/	ч/	1V
49	Тигезсезлек дөресме:
a) 2∣ ∙∣^23 >(12-1з) '4= б) “7,62 + 3,38 < 4,2 - 7,31?
50	Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
а)	0,7 0,8 0,9 һәм 0,7 + 0,8 - 0,9;
1 и. 1 - 1	111
б)	2 + з 6 һәм 2 3 6 '
51	a) a = 3,8; 0; 5 булганда, 9,5 - а һәм 0,5α;
б) с =1,6; -3; -6 булганда, 3-с һәм 4с-5 аңлатмаларының
кыйммәтләрен чагыштырыгыз.
52	а) х = 8; 0; -3 булганда, х һәм -х;
б)	х = 5; 0; -5 булганда, х һәм ЮОх;
в)	х = 2; 0; -3 булганда, 10 - Зх һәм 10 - 2х;
г)	а = 3,4; Ь = -1,5 булганда, a + Ь һәм a - Ь аңлатмаларының
кыйммәтләрен чагыштырыгыз.
53	a) т = -1; -5; 2 булганда, 5m - 0,8 һәм 0,8m - 5;
б) а = 4,6; Ь = 0,23 булганда, ab һәм a : Ь аңлатмаларының
кыйммәтләрен чагыштырыгыз.
54	х = 4,2; 5; 6,5 булганда, 2х + 5 < Зх тигезсезлеге дөресме?
55	Тигезсезлекне укыгыз:
а)	8,1 < 8,14 < 8,6;
б)	9 < 9,865 < 10;
г)	-40 < -38,7 < -30;
д)	1| <1.7<||:
в) -900 < -839 < -800;
е) 2,42 < 2∣ < 2,43.
56	Икеле тигезсезлек рәвешендә языгыз:
а)	8 кечерәк 13 тән һәм 13 кечерәк 15 тән;
б)	4,1 кечерәк 4,18 дән һәм 4,18 кечерәк 4 2 дән;
в)	63,5 зуррак 63 тән һәм кечерәк 64 тән;
г)	-8,1 зуррак -11 дән һәм кечерәк -7 дән;
д)	а зуррак 1,8 дән һәм кечерәк 2,8 дән;
е)	х зуррак а дан һәм кечерәк Ь дан.
57	Түбәндәге саннар арасында урнашкан нинди дә булса сан
сайлап алыгыз:
а)	8,6 һәм 8,7;
б)	у һәм у;
в)	-3,6 һәм -3,7;
г)	-т һәм 4.
4	о
Нәтиҗәне икеле тигезсезлек рәвешендә языгыз.
12

58	Икеле тигезсезлек рәвешендә языгыз:
а)	0,79 зуррак 0,7 дән һәм кечерәк 0,8 дән;
б)	6^ зуррак 6 дан һәм кечерәк 7 дән;
в)	-4,6 зуррак -10 нан һәм кечерәк 0 дән;
г)	т зуррак -16 дан һәм кечерәк -15 тән;
д)	k зуррак 2,65 тән һәм кечерәк 2,66 дан;
е)	у зуррак т нан һәм кечерәк п нан.
59	a, b һәм с саннары координаталар турысында нокталар белән
билгеләнгән (рәс. 3), a > b һәм с > а икәне билгеле булса, һәр
нокта янына тиешле санны языгыз. < тамгасы ярдәмендә a, b
һәм с саннарыннан икеле тигезсезлек төзегез.
Рәс. 3	ө	∙	⅜	">
х
60	Тигезсезлекне укыгыз:	,
а)	7,3 ≤ х;	г)	k ≤ 0,5;	ж)	-5	≤	a	<	-2;
б)	у > 0,83;	д)	4,4 < п <	6,1;	з) х ≤ b ≤ у.
в)	a ≥ -10,4;	е)	7,6 < т ≤	20,8;
61	Тигезсезлек дөресме:
а)	х = 2,7; 5,3; 6 булганда, x≤5,3j
б)	у = 3,5; 4,8; 7,1 булганда, у > 4,8;
в)	х=0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 булганда, 0,6<x≤0,8j
г)	// = 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5 булганда, 2,1≤∣∕≤2,4.
62	Тигезсезлек тамгалары ярдәмендә языгыз:
а)	х кечерәк яки тигез 8 гә;
б)	у зуррак яки тигез 0 гә;
в)	а зуррак 5 тән һәм кечерәк яки тигез 7 гә;
г)	b зуррак яки тигез - 2 гә һәм кечерәк 1 дән.
63	Тигезсезлек рәвешендә языгыз:
' а) х — тискәре сан;
б)	т — уңай сан;
в)	у — тискәре булмаган сан;
г)	z — уңай булмаган сан.
64	Икеле тигезсезлек рәвешендә языгыз:
а)	х зуррак яки тигез 11 гә һәм кечерәк 12 дән;
б)	у зуррак 50 дән һәм кечерәк яки тигез 100 гә;
в)	а зуррак 350 дән һәм кечерәк 400 дән;
г)	b зуррак яки тигез -100 гә һәм кечерәк яки тигез -10 га.
65	«Жигули» автомобиле х сәг тә 700 км, «Москвич» автомобиле
у сәг тә 630 км юл үткән, а) х = 12,5; у = 10,5; б) х = у = 14
булганда, автомобильләрнең уртача тизлекләрен чагыштырыгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
66	а) 8 саны 200 санының;	в) 0,363 саны 6,6 санының;
б) 2,1 саны 14 санының;	г) 10,2 саны 8,5 санының
ничә процентын тәшкил итә?
43

67	Рационализаторлык тәкъдимнәре нәтиҗәсендә комбинатта эш¬
челәр саны кыскартылган. 1600 эшчедән 1200 эшче калган.
Эшчеләр саны ничә процентка кимегән?
68	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	37,6 - 5,84 + 3,95 - 8,9;	в) 17,1 · 3,8 :4,5 · 0,5;
б)	81 - 45,34 + 19,6 + 21,75;	г) 81,9 : 4,5 :0,28 ■ 1,2.
69	Аңлатма рәвешендә языгыз:
а)	х саны белән а һәм Ь саннары тапкырчыгышының сумма¬
сын;
б)	а санын Ь һәм с саннарының аермасына бүлүдән чыккан
өлешне;
в)	х һәм а саннары суммасы белән х һәм Ь саннары аерма¬
сының тапкырчыгышын.
Контроль сораулар
1	Санлы аңлатмага һәм үзгәрешлеле аңлатмага мисаллар ките¬
регез.
2	х + 3 һәм Зх аңлатмаларының кыйммәтләрен х = -4; 1,5; 5
булганда чагыштырыгыз.
3	Икеле тигезсезлеккә мисал китерегез һәм аны укыгыз.
4	> һәм ≤ тамгалары ничек укыла? Нинди тигезсезлек — төгәл
тигезсезлек дип, ниндие төгәл булмаган тигезсезлек дип атала?
§ 2. Аңлатмаларның рәвешен үзгәртү
4.	Саннар өстендә гамәл үзлекләре
Саннарны кушу һәм тапкырлауның төп үзлекләрен
искә төшерик.
1)	Урын алыштыру үзлеге: теләсә нинди а һәм Ь саннары
өчен
a + b = b + a, ab = Ьа
тигезлекләре дөрес.
2)	Оештыру үзлеге: теләсә нинди a, Ь һәм с саннары өчен
(а + Ь) + с = a + (b + с), (ab)c = a(bc)
тигезлекләре дөрес.
3)	Тарату үзлеге: теләсә нинди a, Ь һәм с саннары өчен
a(b + с) = ab + ас
тигезлеге дөрес.
Кушуның урын алыштыру һәм оештыру үзлекләреннән теләсә
кайсы суммада кушылучыларның урыннарын теләсә ничек
алыштырып куярга һәм кушылучыларны ирекле рәвештә груп¬
паларга берләштерергә мөмкин икәнлеге килеп чыга.
44

1 нче мисал 1,23 + 13,5 + 4,27 суммасын исәплик.
Моның өчен беренче кушылучы белән өченчесен бер¬
ләштерү уңайлырак. Табабыз:
1	94 + 14 Б + 4 97 =
= (1,23 + 4,27) + 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19. <]
Тапкырлауның урын алыштыру һәм оештыру үзлекләреннән
теләсә кайсы тапкырчыгышта тапкырлаучыларның урыннарын
теләсә ничек алыштырып куярга һәм тапкырлаучыларны ирекле
рәвештә группаларга берләштерергә мөмкин икәнлеге килеп
чыга.
мисал
1,8 0,25 64 0,5 тапкырчыгышының кыйммәтен табабыз.
Беренче тапкырлаучыны дүртенчесе белән, ә икенчесен
өченчесе белән берләштереп табабыз:
1,8 0,25 64 0,5 =
= (1,8 ■ 0,5) · (0,25 64) = 0,9 · 16 = 14,4. <
Тарату үзлеге санны өч яки аннан да күбрәк ку¬
шылучылар суммасына тапкырлаганда да дөрес кала.
Мәсәлән, теләсә нинди а, Ь, с һәм d саннары өчен
a(b + с + d) = ab + ас + ad
тигезлеге дөрес.
Без алу гамәлен кушу гамәле белән алмаштырырга
мөмкин икәнен беләбез. Моның өчен кимүче санга
киметүчегә капма-каршы санны кушалар:
a - b = a + (-b).
Бу a - Ь рәвешендәге санлы аңлатманы а һәм -Ь
саннарының суммасы дип, ә a + Ь - с - d рәвешендәге
санлы аңлатманы a, b, -с, -d саннарының суммасы
дип исәпләргә мөмкинлек бирә.
МӨХӘММӘТ ИБН МУСА ӘЛ-ХАРӘЗМИ
(787 — як. 850) —
Урта Азия математигы һәм астрономы. Ариф¬
метика һәм алгебрага нигез салучы трактат¬
лар язган, алар математика үсешенә зур
йогынты ясаган. Ул беренче булып алгебраны
арифметикадан аера һәм аны мөстәкыйль фән
буларак тикшерә башлый.
15

Γ⅜S вче мисал 327 - 6,5 - 2,5 + 1,73 аңлатмасының кыйммәтен табыйк.
Бу аңлатма 3,27, -6,5, -2,5 һәм 1,73 саннарының сум¬
масы ул. Кушуның үзлекләрен кулланып табабыз:
327 - 6,5 - 2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (-6,5 - 2,5) =
= 5 + (-9) = - 4. <
l⅛⅜ иче мисал ’ (⅛ - ⅞) тапкырчыгышын исәпләп чыгарыйк.
15	15
4-18 тапкырлаучысын һәм -^саннарының сум¬
масы дип карарга мөмкин. Тапкырлауның тарату зако¬
нын кулланып табабыз:
36 ’ (I " ⅛) = 36 ’ 4 " 36 ' ⅛ = 9 " 10 = ^1∙ <
Күнегүләр
70	Гамәлләрнең нинди үзлекләре исәпләүләрне эшләми генә түбән¬
дәге тигезлекләрне дөрес дип расларга мөмкинлек бирә:
а)	247 + 35 = 35 + 247;	в) 14 + (16 + 97) = (14 + 16) + 97;
б)	84 · 19 =19 84;	г) 25 · (4 + 7) = 25 · 4 + 25 · 7?
71	Иң рациональ ысул белән исәпләгез:
а)	3,17 + 10,2 + 0,83 +	9,8;	в)	1521 - 3,9 - 4,7 + 6,79;
б)	4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4;	г)	- 427 + 3,8 - 5,73 - 3,3.
72	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	8,91 + 25,7 + 1,09;	в)	7,15 - 9,42 + 12,85 - 0,58;
б)	6,64 + 7,12 + 2,88;	г)	18,9 - 6,8 - 52 - 4,1.
73	Гамәлне эшләгез һәм кушуның нинди үзлекләре кулланылуын
аңлатып бирегез:
a)5∣+13∣j б) 19∣+10∣.
74	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a)5∣-2∣÷l∣-4∣=	6)8∣-6∣-2∣÷1∣.
75	Иң рациональ ысул белән исәпләгез:
а)	50 1,34 02; в) 25 (-15,8) 4;
б)	- 75,7 - 0,5 - 20; г) 0,47 · 0,4 ■ 25.	'
76	Тапкырлауның тарату үзлеген кулланып, гамәлләрне эшләгез:
a)	3∣ -5;	б)7-2|; в) 2∣ · 10;	r)6∙4⅛.
16

77	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	3,5 · 6,8 + 3,5 · 3,2; б) 12,4 · 14,3 - 12,4 · 4,3.
78	Исәпләп чыгарыгыз:
— а) 15,7 ■ 3,09 + 15,7 · 2,91; б) 4,03 · 27,9 - 17,9 · 4,03.
79	а) 24 ■ 17 + 17 · 6 суммасының 5 кә бүленүен;
б)	34 85+ 34 36 суммасының 11 гә бүленүен исбатлагыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
80	Балалар бакчасы өчен 5 данә карандашлар җыелмасы һәм
10 альбом сатып алганнар. Карандашлар җыелмасы а сум тора,
ә альбом b сумга арзанрак. Балалар бакчасы өчен ничә сумлык
әйбер алганнар?
81	Автомобиль t сәг 60 км/сәг тизлек белән, р сәг 50 км/сәг
тизлек белән барган. Автомобильнең уртача тизлеге күпме?
82	6^; 6,3; 6γ саннарын үсә бару тәртибендә урнаштырыгыз.
Җавапны икеле тигезсезлек рәвешендә языгыз.
83	Координаталар турысында билгеләнгән нокталарның координа-
таларын табыгыз (рәс. 4).
В	С	D	А
—I—I—кя-ч—I—I—I—I— ι—I—I—I—:—ι—I—ι—к —ι—ι—I	>-
-2-1	0	1	2 x
Рәс. 4
84	Координаталар турысында 1,4; -1,7; 0,8; -1,2 саннарына тиң¬
дәшле нокталарны билгеләгез.
5.	Бердәйлекләр
х = 5, у = 4 булганда, 3(х + у) һәм Зх + Зу аңлатмала¬
рының кыйммәтләрен табыйк:
3(x + z∕) = 3(5 + 4) = 3 · 9 = 27,
Зх + Зу = 3 ■ 5 + 3 · 4 = 15 + 12 = 27.
Без бер үк сан таптык. Тарату законыннан 3(х + у)
һәм Зх + Зу аңлатмаларының тиңдәшле кыйммәтләре,
үзрәрешлеләрнең теләсә нинди кыйммәтләрендә дә
тигез икәнлеге килеп чыга.
Хәзер 2х + у һәм 2ху аңлатмаларын карыйк, х = 1
һәм (/ = 2. булганда, аларның кыйммәтләр тигез:
2х+ // = 21 + 2 = 4;
2ху = 2 ■ 1 ■ 2 = 4.
2 К4/147
47

Ләкин х һәм у өчен бу аңлатмаларның кыйммәтләре
тигез булмаган кыйммәтләрен дә күрсәтергә мөмкин.
Мәсәлән, әгәр х = 3, у = 4 булса,
2x + z∕ = 23 + 4 =10,
2ху = 2 · 3 ■ 4 = 24.
Бил геләмә. Ике аңлатманың тиңдәшле кыйммәтләре үз-
гәрешлеләрнең теләсә нинди кыйммәтләрендә дә тигез бул¬
са, алар бердәй тигез аңлатмалар дип атала.
3(х + у) һәм Зх + Зу — бердәй тигез аңлатмалар,
ә 2х + у һәм 2ху бердәй тигез аңлатмалар була
алмый.
3(х + у) = Зх + Зу тигезлеге х һәм у ның теләсә
нинди кыйммәтләрендә дә дөрес. Мондый тигезлекләр
бердәйлекләр дип атала.
Билгеләмә. Үзгәрешлеләрнең теләсә нинди кыйммәтлә¬
рендә дә дөрес булган тигезлек бердәйлек дип атала.
Дөрес булган санлы тигезлекләрне дә бердәйлекләр
дип исәплиләр.
Бердәйлекләр мисаллары белән сезнең очрашка¬
ныгыз бар инде. Мәсәлән, саннар өстендә гамәлләрнең
төп үзлекләрен аңлаткан тигезлекләр шулай ук бер¬
дәйлекләр була:
a + b = b + a, (a + b) + с = a + (Ь + с),
ab = ba, (ab)c = a(bc), a(b + с) = ab + ас.
Бердәйлекләргә тагын башка мисаллар да ките¬
рергә мөмкин:
a + 0 = a,	a + (-α) = 0,	α-⅛ = α + (-ft),
a ∙ 1 = a,	a - (-b) = -ab,	(-a) (-b) = ab.
Күнегүләр
85	Гамәлләрнең нинди үзлекләре түбәндәге аңлатмаларны бердәй
тигез дип расларга мөмкинлек бирә:
а)	ab + 16с һәм 16c + ab;	в) ху + 3 һәм 3 + ху;
б)	(a + 2) + х һәм a + (2 + х);	г) 5(⅛ + с) һәм 5⅛ + 5с?
86	Гамәлләрнең нинди үзлекләре нигезендә аңлатмаларны бердәй
тигез дип расларга була:
а)	a ■ 25b һәм 25ab;	в) 2c + ЗаЬ һәм ЗЬа + 2с;
б)	6(х + у) + 4 һәм 6х + 6г/ + 4;
87	Аңлатмалар бердәй тигезме:
а)	(2a) (7Ь) һәм 14αά;
б)	-2а + 2а һәм 0;
88	Аңлатмалар бердәй тигезме:
а)	2 + Sba һәм Sab + 2;
б)	2х + 7 һәм 2(х + 7);
г) 2с · 3 һәм 6с?
в)	х - у һәм у - х;
г)	{χ-y)2 һәм (</-х)2?
в)	(а + Ь) ■ 0 һәм а + Ь;
г)	(а + Ь) · 2 һәм 2а + 2Ь?
48

89	Гамәлләрнең нинди үзлекләре бирелгән тигезлекне бердәйлек
дип расларга мөмкинлек бирә:
a) 12(α⅛ - 4) = ∖2ab - 48; б) (х - х)а = 0?
90	Түбәндәге раслауларны тигезлек рәвешендә языгыз:
а)	теләсә нинди сан белән нульнең тапкырчыгышы нульгә ти¬
гез;
б)	капма-каршы ике санның суммасы нульгә тигез;
в)	ике санның тапкырчыгышы аларга капма-каршы саннарның
тапкырчыгышына тигез;
г)	теләсә нинди санның квадраты аңа капма-каршы санның
квадратына тигез.
91	Нинди дә булса бердәйлек төзегез:
а)	бер үзгәрешле кергән; б) ике үзгәрешле кергән.
92	Мөмкин булса, х үзгәрешлесенең тигезлек дөрес булмый торган
нинди дә булса кыйммәтен күрсәтегез:
а) 5х + 4 = 5(х + 2);	б) Зх - 12 = 3(х - 4).
93	Тигезлек бердәйлек буламы:
а)	6 (х - у) = 6х - бу,	в)	3α - 4 = a + (2а - 4);
б)	25 (а - а) = 25;	г)	О,3а · 5Ь = 1,5а6?
94	Тигезлек бердәйлек буламы:
а)	х + (~х) + у = у;	в)	(-l)α + b= Ь - а;
б)	1 ∙ Ь + 2а = 2а + Ь;	г)	5у - 15 = 5(t∕ - 2)?
Кабатлау өчен күнегүләр
95	Исәпләп чыгарыгыз:
а)	⅜ - 2,4 + ⅜ 0,15; б) 2,08 : § - 0,15 4.
96	a) х = -2, у = 1,6 булганда, x2 - 5z/;
б)	α = -⅛, b = £ булганда, a2~3b аңлатмасының кыйммәтен
табыгыз.
97	a = -20, -8,-6 булганда, 2а - 7 һәм За + 4 аңлатмаларының
кыйммәтләрен чагыштырыгыз.
6.	Аңлатмаларның рәвешен бердәй үзгәртү
ху - xz аңлатмасының кыйммәтен табу өчен, х, у
һәм z ның бирелгән кыйммәтләре белән өч гамәл
эшләргә кирәк. Мәсәлән, х = 2,3, у = 0,8, z = 0,2 бул¬
ганда табабыз:
ху - xz = 2,3 · 0,8 - 2,3 · 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
ху - xz аңлатмасына бердәй тигез булган x(y - z)
аңлатмасыннан файдаланганда исә, бары тик ике генә
гамәл эшләп тә шул ук нәтиҗәне табарга була:
x(y - z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 · 0,6 = 1,38.
2*
49

Без, ху - xz аңлатмасын аңа бердәй тигез булган
x(y - z) аңлатмасы белән алмаштырып, исәпләүләрне
гадиләштердек.
Бер аңлатманы аңа бердәй тигез булган икенче аңлатма белән
алмаштыруны бердәй рәвешүзгәртү яки аңлатманың рәвешен
үзгәртү дип атыйлар.
Үзгәрешле кергән аңлатмаларның рәвешен бердәй
үзгәртү саннар өстендә үтәлә торган гамәл үзлекләре
нигезендә эшләнә.
Аңлатмаларның рәвешен үзгәртү аңлатмаларның
кыйммәтләрен исәпләгәндә һәм мәсьәләләр чишкәндә
киң кулланыла. Кайбер рәвешүзгәртүләрне сезгә эш¬
ләргә туры килде инде, мәсәлән, охшаш буыннарны
берләштерү, җәяләрне ачу. Бу рәвешүзгәртүләрне үтәү
кагыйдәләрен искә төшереп китик:
охшаш кушылучыларны берләштерү өчен, аларның коэффи¬
циентларын кушып, нәтиҗәне уртак хәрефле кисәккә тап¬
кырларга кирәк;
җәяләр алдында «плюс» тамгасы торса, җәяләр эчендәге һәр
кушылучының тамгасын саклап, җәяләрне төшереп калдырырга
мөмкин;
җәяләр алдында «минус» тамгасы торса, җәяләр эчендәге һәр
кушылучының тамгасын капма-каршыга үзгәртеп, җәяләрне тө¬
шереп калдырырга мөмкин.
≡H4e мисал 5х + 2х - Зх суммасында охшаш кушылучыларны бер¬
ләштерик.
► Охшаш буыннарны берләштерү кагыйдәсеннән фай¬
даланабыз:
5x + 2х - Зх = (5 + 2 - 3)x = 4х. <1
Башкарылган рәвешүзгәртү тапкырлауның тарату
үзлегенә нигезләнгән.
2	иче мисал 2а + (Ь - Зс) аңлатмасында җәяләрне ачыйк.
►	Алдында «плюс» тамгасы торган җәяләрне ачу кагый¬
дәсен кулланабыз:
2a + (b - Зс) = 2a + Ь - Зс. <3
Башкарылган рәвешүзгәртү кушуның оештыру
үзлегенә нигезләнгән.
{∣3 иче мисал a - (4⅛ -с) аңлатмасында җәяләрне ачыйк.
►	Алдында «минус» тамгасы торган җәяләрне ачу кагый¬
дәсен кулланабыз:
a - (4b - с) = a - 4b + с. <1
Башкарылган рәвешүзгәртү тапкырлауның тарату
үзлегенә һәм кушуның оештыру үзлегенә нигезләнгән.
20

Моны күрсәтеп бирик. Бирелгән аңлатмада икенче
кушылучы -(46 - с) ны (-l)(46-c) тапкырчыгышы
рәвешендә күрсәтәбез:
a - (46 - с) = a + (-1) (46 - с).
Гамәлләрнең күрсәтелгән үзлекләрен кулланып
табабыз:
a - (46 - с) = a + (-1) (46 - с) =
= a + (-46 + с) = a - 46 + с.
Күнегүләр
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
Тапкырлауның урын алыштыру һәм оештыру үзлекләрен кул¬
ланып, аңлатмаларны гадиләштерегез:
а)	-6,2α · 5;	в) О,3х · (~12г/);
б)	4с (-1,25);	г) -0,16 ∙ (-2,3c).
Аңлатманы гадиләштерегез:
а) 1,6 ■ (-0,2//);	б) -6,4α · (~5с).
Тапкырлауның тарату үзлеген кулланып, аңлатманы бердәй
тигез аңлатмага үзгәртегез:
а)	7(х - у)·,	в) - 23 ∙ (2α - 36 + 1);
б)	(а - 46) · 3;	г) 1,5 ■ (~3x + 4z∕ - 5z).
Тапкырлауның тарату үзлеген кулланып, аңлатманы бердәй
тигез аңлатмага үзгәртегез:
а)	1,2 ■ (5 - а);	в) 2,5 · (4х - 6// - 2);
б)	(m - 4x' · (-6);	г) -0,1 · (ЮОа + 106 - с).
2(6 - а), - 2(а - 6), ~2а - 26, ~2а + 26 аңлатмалары арасыннан
26 - 2а аңлатмасына бердәй тигез булганнарын табыгыз.
Охшаш кушылучыларны берләштерегез:
а)	5а + 27а - а;	в)	6х - 14 - 13х + 26;
б)	126 - 176 - 6;	г)	-8 - у + 17 - 10t∕.
Охшаш кушылучыларны берләштерегез:
а)	13α + 26 - 2а -	6;	в)	-5,Ια - 46 - 4,9α + 6;
б)	41x - 58x + 6//	- у;	г)	7,5х + у - 8,5x - 3,5//.
Охшаш кушылучыларны берләштерегез:
а)	8х - 6// + 7х - 2//;
б)	27р + 14// - 16р - 3<?;
Җәяләрне ачыгыз:
а)	х + (6 + с + d - т);
б)	а - (6 - с -d)∖
в)	3,56 - 2,4c - 0,6с - 0,76;
г)	l,6α + 4x - 2,8α - 7,5х.
Аңлатманы җәяләрсез языгыз:
а)	т + (a - k - 6);	в) х + а + (т - 2);
б)	т - (a - k - 6);	г) а - (6 - с) + (т	+ п).
Җәяләрне ачыгыз:
а)	(х - у) - т;	з)-(т-п + 5);
б)	(a + 6) - (с - d);	г) -(2α - 6) + (т -	1).
ЧА

109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
Аңлатманы җәяләрсез языгыз:
a)	a + (6 - (с - d));	б) x-(y - (р + fe)).
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	5-(а~3);	в) 64-(14 + 7х);
б)	7+ (12-26);	г) 38 + (12р - 8).
Җәяләрне ачыгыз һәм охшаш кушылучыларны берләштерегез:
а)	х + (2х + 0,5);	в) 4а - (а + 6);
б)	Зх-(х-2);	г) 66 + (10-4,56).
Гадиләштерегез һәм:
а)	х = 0,75 булганда, (5x -1)-(2- 8х);
б)	х = -0,2 булганда, (6 - 2х) + (15 - Зх);
в)	х = -1,7 булганда, 12 + 7x - (1 - Зх);
г)	х = -0,03 булганда, 37 - (х - 16) + (11х - 53)
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(х - 1) + (12 - 7,5х); г) b - (4 - 26) + (36 - 1);
б)	(2р + 1,9) - (7 - р);	д) у - (и + 4) + {у - 4);
в)	(3 - 0,4α) - (10 - 0,8а);	е) 4х - (1 - 2х) + (2х - 7).
Теләсә нинди а өчен 3(α + 2) - За аңлатмасының кыйммәте
6 га тигез икәнен исбатлагыз.
кушылучыларны берләштере
г)	2(7,3 - l,6α) + 3,2α - 9,6;
д)	-5(0,36+ 1,7)+ 12,5-8,56;
е)	-4(3,3 - 8с) + 4,8с + 5,2.
Җәяләрне ачыгыз һәм охшаш кушылучыларны берләштерегез:
а)	3(6-5x)+17х-10;	'^ ' ^^
б)	8(3t∕ + 4)-29i∕ +14;
в)	7(2z-3) + 6z- 12;
Гадиләштерегез һәм:
а)	р = 0,5 булганда, 0,6 (р - 3) + р + 2;
б)	q = I булганда, 4 (0,5<y - 6) - 14<? + 21;
в)	a = - 4 булганда, - 0,5 (3a + 4) +l,9a - 1;
г)	6 = -16 булганда, 10(0,7 - 36) + 146 + 13 аңлатмасының кыйм¬
мәтен табыгыз.
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	3 (2m + 1) + 4т - 7;
б)	-6(3n + 1) + 12« + 9;
в)	5 (0,6 - 1,5/?) + 8 - 3,5/?;
г)	0,2 (3a- 1) + 0,3- 0,6a
д)	0,9 (26 - 1)- 0,56 + 1;
е)	-2,6 (5 - с) - с + 8.
Кабатлау өчен күнегүләр
Исәпләүләрне эшләмичә генә, аңлатмаларның кыйммәтләрен
чагыштырыгыз:
а) 12,6 - д һәм 12,6 - ⅛; в) 3,7 · 4 һәм 3,7 : ⅛;
о	/	о	о
5	- 6 һәм 6 - 5 ’ г) 5,6 :2,5 һәм 5,6 · 2,5.
Җавапны тигезсезлек рәвешендә языгыз.
22

119	Цехны техник яктан яңартып кору бер тәүлеккә 160 станок
урынына 180 станок эшләп чыгарырга мөмкинлек биргән. Ста¬
ноклар чыгару ничә процентка арткан?
5	7
120	Координаталар турысында -3,9; 2^; -0,7; 3,2; -lg; 1,25 сан¬
нарына тиңдәшле нокталарны билгеләгез.
121	a = 2,35 һәм Ь = -0,24 булганда, 6α - 56 аңлатмасының кыйм¬
мәтен табыгыз.
Контроль сораулар
1	Кушу һәм тапкырлауның урын алыштыру һәм оештыру үзлек¬
ләрен, тапкырлауның тарату законын әйтеп бирегез.
2	Нинди аңлатмаларны бердәй тигез аңлатмалар дип атыйлар?
Бердәй тигез аңлатмаларга мисал китерегез.
3	Нинди тигезлек бердәйлек дип атала? Бердәйлеккә мисал
№ ⅛ китерегез ≡⅛≡½ ⅛ f⅞ ι' ⅛
§ 3. Бер үзгәрешлеле тигезләмәләр
7.	Тигезләмә һәм аның тамырлары
Мәсьәлә карыйк: «Түбәндәге киштәдә китап югарыгы
киштәдәгегә караганда 4 тапкыр күбрәк. Түбәндәге
киштәдән югарыгы киштәгә 15 китапны алып куйсак,
киштәләрдә китаплар саны бертигез булыр. Югарыгы
киштәдә ничә китап бар?»
Югарыгы киштәдәге китаплар санын х хәрефе
белән тамгалыйк. Ул вакытта түбәндәге киштәдәге
китаплар саны 4х ка тигез булыр. Түбәндәге киштәдән
15 китапны югарыдагысына алып куйсак, түбәндәге
киштәдә 4х - 15 китап калыр, ә югарыдагы киштәдә
х + 15 китап булыр. Мәсьәләнең шарты буенча мондый
күчерүдән соң киштәләрдә китаплар саны бертигез
булыр. Димәк,
4х - 15 = х + 15.
Билгесез китаплар санын табу өчен, без үзгәреш-
лене эченә алган тигезлек төзедек. Мондый тигез¬
лекләрне бер үзгәрешлеле тигезләмәләр яки бер
билгесезле тигезләмәләр дип атыйлар.
Безгә 4х - 15 = х + 15 тигезләмәсендә х урынына
куйгач дөрес тигезлек килеп чыга торган санны табар¬
га кирәк. Андый санны тигезләмәнең чишелеше яки
тигезләмәнең тамыры дип атыйлар.
Билгеләмә. Үзгәрешленең тигезләмәне дөрес тигезлеккә
әйләндергән кыйммәте тигезләмәнең тамыры дип атала.
23

4x - 15 = x + 15 тигезләмәсенең бер тамыры бар,
ул 10 саны. Ике, өч һәм аннан да күбрәк тамыры
булган яки, гомумән, тамыры булмаган тигезләмәләргә
дә мисаллар китерергә мөмкин.
Мәсәлән, (х - 4) (х - 5) (х - 6) = 0 тигезләмәсенең
өч тамыры бар: 4, 5 һәм 6. Дөрестән дә, бу саннарның
һәркайсы (х - 4) (х - 5) (х - 6) тапкырчыгышындагы
бер тапкырлаучыны, димәк, тапкырчыгышның үзен дә
нульгә әйләндерә, х ның бу кыйммәтләрдән башка
теләсә нинди кыйммәте өчен тапкырлаучыларның берсе
дә нульгә әйләнми, димәк, тапкырчыгыш та нульгә
әйләнми, х + 2 = х тигезләмәсенең тамырлары юк, чөн¬
ки х ның теләсә нинди кыйммәтендә тигезләмәнең сул
кисәге уң кисәгеннән 2 гә зуррак.
Тигезләмәне чишү — аның барлык тамырларын табу яки
аның тамырлары юк икәнен исбатлау ул.
х2 = 4 тигезләмәсенең ике тамыры бар: 2 һәм -2
саннары, (χ-2)(x + 2) = 0 тигезләмәсенең дә 2 һәм
-2 гә тигез булган ике тамыры бар. Тамырлары бер үк
төрле булган тигезләмәләрне тамырдаш (тигезкөчле)
тигезләмәләр дип атыйлар. Тамырлары булмаган тигез¬
ләмәләрне дә тамырдаш тигезләмәләр дип исәплиләр.
Тигезләмәләрне чишкәндә түбәндәге үзлекләр фай¬
даланыла:
әгәр тигезләмәдә кушылучыны, тамгасын капма-каршыга үзгәр¬
теп, бер кисәгеннән икенче кисәгенә күчерсәң, бирелгәнгә
тамырдаш (тигезкөчле) тигезләмә килеп чыга;
әгәр тигезләмәнең ике кисәген дә нульгә тигез булмаган бер
үк санга тапкырласаң яки бүлсәң, бирелгәнгә тамырдаш тигез¬
ләмә килеп чыга.
Мәсәлән, 5х = 2х + 7 һәм 5х - 2х = 7 тигезләмәләре
тамырдаш, шулай ук 6х = 2х + 8 һәм Зх = х + 4 тигез¬
ләмәләре дә тамырдаш.
Тигезләмәләрнең әле күрсәтелгән үзлекләрен санлы
дөрес тигезлекләрнең үзлекләренә таянып исбатларга
мөмкин: әгәр дөрес тигезлекнең ике кисәгенә дә бер
үк санны кушсаң яки дөрес тигезлекнең ике кисәген
дә нульгә тигез булмаган бер үк санга тапкырласаң
яки бүлсәң, дөрес тигезлек килеп чыга.
Күнегүләр
122	3 саны a) 5 (2х - 1) = 8x + 1; б) (х - 4) (х + 4) = 7
^^ тигезләмәсенең тамыры буламы?
123	-2, -1, 0, 2, 3 саннарының кайсылары
а)	х2 = 10 - Зх;	б) х (х2 - 7) = 6
тигезләмәсенең тамырлары була?
24

124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
а)	1; б) -1; в) 6; г) -6 саны x(χ-5) = 6 тигезләмәсенең
тамыры буламы?
7, -3 һәм 0 саннарының һәркайсы x(x + 3)(x - 7) = 0 тигез¬
ләмәсенең тамыры икәнен исбатлагыз.
1,2 һәм -1,2 саннарының һәркайсы x2=l,44 тигезләмәсенең
тамыры икәнен исбатлагыз.
а)	Теләсә нинди сан 1,4 (у + 5) = 7 + l,4z∕ тигезләмәсенең тамы¬
ры булганын; б) у - 3 = у тигезләмәсенең тамырлары булма¬
ганын исбатлагыз.
Тигезләмәнең тамыры бармы:
а)	2х + 3 = 2х + 8;	б) 2у = у?
а)	8; б) -12 саны тамыры булган нинди дә булса тигезләмә
төзегез.
Тигезләмәнең тамыры бармы һәм ничә тамыры бар:
а)	IхI = 1;	в) |х| = -5;
б)	J х I = 0;	г) Iх I = 1,3?
Тигезләмәләр тамырдашмы:
а)	7(x-3) = 49 һәм х~3 =7;
б)	= 9 һәм 2х = 27;
в)	2х - 7 = 0 һәм 2х = 7?
Кабатлау өчен күнегүләр
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	O,4(7χ-2)- 1,6+ 1,7х;
б)	(l,2α - 4) + (40 - 4,8а);
в)	2,5 (4 - 3z∕) - у + 2,3;
г)	(14 - 3,66) - (12 + 10,4⅛).
т=-2,5; 1,2; 40 булганда,
8 (3 - 3,5m) - 20 + 23m аңлатма¬
сының кыйммәтен табыгыз.
Координаталар яссылыгында А,
В, С, D, Е һәм F нокталары
билгеләнгән (рәс. 5). Аларның
координаталарын табыгыз.
Координаталар яссылыгында
Λ (-4; -2), В(0; -3), С (3; -3),
D(-2; 0), £(-1; 5), F (0; 1)
нокталарын билгеләгез.
25

8.	Бер үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә
5x = -4, -0,2х = 0, -х = -6,5 тигезләмәләренең һәр-
кайсы ах = Ь рәвешендәге тигезләмә, биредә х — үзгә¬
решле, а һәм Ь — саннар. Беренче тигезләмәдә a = 5,
Ь = -4, икенчесендә a = -0,2, 6 = 0, өченчесендә
a = -1, Ь = -6,5.
Мондый тигезләмәләрне бер үзгәрешлеле сызыкча
тигезләмәләр дип атыйлар.
Билгеләмә, αχ = b (биредә х — үзгәрешле, a һәм b — сан¬
нар) рәвешендәге тигезләмә бер үзгәрешлеле сызыкча тигез¬
ләмә дип атала.
≡≡⅛I
Сызыкча тигезләмәнең ничә тамыры булуы мөмкин
икәнен ачыклыйк.
а коэффициенты нульгә тигез булмаган ах = Ь
сызыкча тигезләмәсен тикшерик. Тигезләмәнең ике
кисәген дә а га бүлеп, х = ны табабыз. Димәк,
a ≠ 0 булганда, ах = Ь сызыкча тигезләмәсенең га
тигез бердәнбер тамыры бар.
Хәзер а коэффициенты нульгә тигез булган ах = Ь
сызыкча тигезләмәсен карыйк. Әгәр а = 0 һәм b ≠ 0
булса, ах = Ь тигезләмәсенең тамырлары юк, чөнки
Ох = Ь тигезлеге х ның бернинди кыйммәте өчен дә
дөрес булмый. Әгәр а = 0 һәм 6 = 0 булса, х ның
теләсә нинди кыйммәте тигезләмәнең тамыры була,
чөнки Ох = 0 тигезлеге теләсә нинди х өчен дөрес.
|Я a ≠ 0 булганда, ах = Ь сызыкча тигезләмәсенең бер тамыры бар;
|Я α = 0 һәм 6 ≠ 0 булганда, тамырлары юк;
■ а = 0 һәм 6 = 0 булганда, тамырлары чиксез күп (теләсә нинди
Ж сан аның тамыры була).
Күп кенә тигезләмәләрне чишүне сызыкча тигезләмә
чишүгә кайтарып калдырырга мөмкин.
4	(х +7) = 3 - х тигезләмәсен чишик.
► Җәяләрне ачыйк;
4х + 28 = 3 - х.
Тамгаларын үзгәртеп, -х кушылучысын тигезлә¬
мәнең сул кисәгенә, 28 кушылучысын уң кисәгенә
күчерик:
4х + х = 3 - 28.
Охшаш кушылучыларны берләштерик:
5х = -25. .
Тигезләмәнең ике дисәген дә 5 кә бүләбез:
х = -5.
26

Тигезләмәләрнең үзлекләрен кулланып һәм бердәй
рәвешүзгәртүләр эшләп, без эзлекле рәвештә бер
тигезләмәне аңа тамырдаш булган икенче тигезләмә
белән алмаштырдык. Димәк, -5 саны 4(x + 7) = 3-χ
тигезләмәсенең тамыры була. <|
Бу мисалда башта бирелгән тигезләмә аңа
тамырдаш һәм х алдындагы коэффициенты нульгә
тигез булмаган сызыкча тигезләмәгә кайтып калды.
Әгәр тигезләмәне чишкәндә без аңа тамырдаш
булган Ox = b рәвешендәге сызыкча тигезләмәгә кил¬
сәк, бу очракта бирелгән тигезләмәнең я тамырлары
булмый, я теләсә нинди сан аның тамыры була.
Мәсәлән, 2х + 5 = 2 (х + 6) тигезләмәсен чишик.
2х + 5 = 2х + 12,
2х - 2х = 12 - 5,
Ох = 7.
Килеп чыккан тигезләмәнең тамырлары юк. Димәк,
2х + 5 = 2(х + 6) тигезләмәсенең тамырлары юк.
3(х + 2) + х = 6 + 4х тигезләмәсе теләсә нинди сан
тамыры булган Ох = 0 тигезләмәсенә китерелә. Шулай
булгач, 3(х + 2) + х = 6 + 4х тигезләмәсенең дә тамыры
теләсә нинди сан була.
Күнегүләр
136	Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а)	5х = -60;	г)	6х = -50;
б)	-10х = 8;	д)	-9х= -3;
в)	7х = 9;	е)	0,5х = 1,2;
137	Сызыкча тигезләмәне чишегез:
а)	⅛ х = 12;	в) -4x = ⅛ ;
о	/
б)	jz/ = 9;	г) 5z/ = -|;
138	Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
	 а) 5х - 150 = 0; г) 12x - 1 = 35;
б)	48 - Зх = 0;	д) -х + 4 = 47;
в)	- 1,5х -9 = 0;	е) 1,3х = 54 + х;
139	Тигезләмәне чишегез:
а) 2х + 9 = 13 - х;
ж)	0,7х = 0;
з)	-1,5х = 6;
и)	42х = 13.
д)	6 y = 3 ’
е)	у х = 0.
ж)	7 = 6- 0,2х;
з)	0,15x + 6 = 51;
и)	-0,7х + 2 = 65.
з)	l⅛x + 4 = ⅛x +1;
ό	ό
и)	ζ - у ζ = 0;
к)	х - 4x = 0;
л)	х = -х;
м)	5z∕ = 6z∕.
б)	14 - у = 19 - Hz/;
в)	0,5α + 11 = 4 - За;
г)	1,2/г + 1 = 1 - п;
д)	1,7 - 0,3zn = 2 + 1,7m;
е)	0,8x +14 = 2- 1,6х;
ж)	15 - р = I р - 1;
27

140	Тигезләмәне чишегез:
а)	Зх - 8 = х + 6;
б)	7а - Ю = 2 - 4а;
х1	1_о 1
в)	&У 2 3 % У’
г)	2,6-0,26 = 4,1-0,56;
Д) Р 4	8 + 2р;
е)	0,8 - у = 3,2 + у;
ж)	| х =|;
з)	2х - 0,7х = 0.
141	Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а)	(у + 4) - {y - 1) = 6//;	в) 6x - (7x - 12) = 101;
б)	3p - 1 - (р + 3) = 1;	г) 20х = 19 - (3 + 12х).
142	Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а)	(13х - 15) - (9 + 6х) = -Зх;
б)	12 - (4х - 18) = (36 + 4х) + (18 - 6х);
в)	l,6x - (х - 2,8) = (0,2х + 1,5) - 0,7;
г)	(0,5x +1,2) - (3,6 - 4,5x) = (4,8 - 0,3x) + (10,5x + 0,6).
143	Тигезләмәне чишегез:
	 а) 5х + (Зх - 3) = 6х + 11; в) (х -7) - (2х + 9) = -13;
б) За - (10 + 5а) = 54; г) 0,6 + (0,5// - 1) = у + 0,5.
144	Үзгәрешленең нинди кыйммәте өчен 86-27 аңлатмасының
кыйммәте а) 5; б) -11; в) 1,8; г) -1 гә тигез?
145	Үзгәрешленең нинди кыйммәте өчен:
а)	2т - 13 һәм т + 3 аңлатмаларының кыйммәтләре тигез;
б)	3 - 5с аңлатмасының кыйммәте 1 - с аңлатмасының кыйм¬
мәтеннән 1 гә кечерәк;
в)	2x + 1 аңлатмасының кыйммәте 8х + 5 аңлатмасының кыйм¬
мәтеннән 20 гә зуррак;
г)	х ның кыйммәте 45 - 10х ның кыйммәтеннән 3 тапкыр
кечерәк;
д)	9 - у аңлатмасының кыйммәте у ның кыйммәтеннән 2 тап¬
кыр зуррак?
146	у ның нинди кыйммәте өчен:
а)	,5у + 3 һәм 36 - у аңлатмаларының кыйммәтләре тигез;
б)	' 7у - 2 !аңлатмасының^кыйммәте 2у 'аңлатмасының кыйм¬
мәтеннән: Ю га зуррак;
в)	1,7// + 37 аңлатмасының кыйммәте 9,3// - 25 аңлатмасының
кыйммәтеннән 14 кә кечерәк?
147	Тигезләмәне чишегез:
а)	2x + 5 = 2 (х + 1) + 11;	в)	3// - (у - 19) = 2у\
б)	5(2//-4) = 2(5//-10);	r)	6x = 1 - (4 - 6х).
148	Тигезләмәне чишегез:
а)	15 (х + 2) - 30 = 12х;	в)	3// + (//- 2) = 2(2// - 1);
б)	6(1 + 5х) = 5(1 + 6х);	г)	бу - (у - 1) = 4 + 5у.
149	Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а)	5 (Зх + 1,2) + х = 6,8;	в) 13 - 4,5// = 2 (3,7 - 0,5//);
б)	4(х + 3,6) = Зх - 1,4;	г) 5,6 - 7у = -4 (2у - 0,9) + 2,4.
28

150	Тигезләмәне чишегез:
	 a) 0,4x + 3 = 0,2 (3x + 1) - х; в) 0,8x - (0,7х + 0,36) = 7,1;
б)	3,4 - 0,6x = 2x - (0,4x + 1); г) х - 0,5 = 2 (0,3x - 0,2).
151	Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
	 a) 6 (х - 1) = 9,4 - 1,7х;	г) -3 (у + 2,5) = 6,9 - 4,2w;
б)	3,5 - 9α = 2 (0,5α - 4);	д)	0,5(/ + 7 = 5 (0,2 + l,5√)j
в)	3 (2,4 - 1,lm) = 2,7т + 3,2;	е)	4 (х - 0,8) = 3,8х - 5,8.
152	Тигезләмәне чишегез:
а)	7(х - 8,2) = Зх + 19;	г)	3 (2,5 - 2х) = 13,5 - 14х;
б)	0,2 (5х - 6) + 2х = 0,8;	д)	0,6t∕ - 1,5 = 0,3 (у - 4);
в)	-(7у + 0,6) = 3,6 - у;	е)	0,5 (4 - 2a) = а - 1,8.
Кабатлау өчен күнегүләр
153	у ның а) - 5 < у < 2; б) 28 ≤ у ≤ 31,2 икеле тигезсезлеге дөрес
булырлык, барлык бөтен сан кыйммәтләрен күрсәтегез.
154	Бирелгән саннар арасында урнашкан нинди дә булса сан сай¬
лап алыгыз. Нәтиҗәне икеле тигезсезлек рәвешендә языгыз:
а)	7,8 һәм 7,9; б) | һәм ∙j; в) - 0,3 һәм - 0,4; г) | һәм ∙∣.
155	Координаталар яссылыгында Д(-3; 4), В(6; 5), С(5; 0), D(~3; 0)
нокталарын билгеләгез.
156	Гадиләштерегез һәм:
а)	с = 2,5 булганда, 6,8c - (3,6с + 2,1);
б)	∕n = -3,5 булганда, 4,4 - (9,6 - 1,2т) аңлатмасының кыйм¬
мәтен табыгыз.
9.	Тигезләмәләр ярдәмендә мәсьәләләр чишү
Мәсьәләләрне тигезләмәләр ярдәмендә чишкәндә тү¬
бәндәгечә эш итәләр:
Н нинди дә булса билгесез санны хәреф белән тамгалыйлар һәм,
мәсьәләнең шартыннан файдаланып, тигезләмә төзиләр:
ул тигезләмәне чишәләр;
табылган нәтиҗәне мәсьәләнең шартына туры китереп
аңлаталар.
I ЯЙе мәсьәлә Кәрзиндә алмалар ящиктагыдан 2 тапкыр азрак булган.
Кәрзиннән ящикка 10 алма алып салганнан соң, ящик-
тагы алмалар кәрзиндәгегә караганда 5 тапкыр күбрәк
булган. Кәрзиндә ничә һәм ящикта ничә алма булган?
► Кәрзиндә х алма булсын, ул вакытта ящикта 2х алма
булыр. Кәрзиннән ящикка 10 алма алып салганнан соң,
кәрзиндә х - 10 алма, ә ящикта 2х + 10 алма була.
Мәсьәләнең шарты буенча ящикта алмалар кәрзин-
дәгедән 5 тапкыр күбрәк. Димәк,
5	(х - 10) = 2х + 10.
29

[ 2 . . ' ^сьәлә
Төзелгән тигезләмәне чишик:
5х - 50 = 2х +10,
5х - 2х = Ю + 50,
Зх = 60,
х = 20.
Шулай булгач, кәрзиндә 20 алма булган.
2х = 2 · 20 = 40 булганлыктан, ящикта 40 алма
була.
Җавап. 20 алма һәм 40 алма. <1
Утырту өчен хәзерләнгән 78 карлыган үсентесен,
беренче бригадага икенчесенә караганда 2 тапкыр
күбрәк, ә өченче бригадага беренчегә караганда
12 үсентегә артыграк тиярлек итеп, өч бригадага бүлеп
бирергә булганнар. Беренче бригадага ничә үсенте
бирергә кирәк?
Беренче бригадага х үсенте бирергә хәл ителгән бул¬
сын. Ул вакытта икенче бригадага 2х үсенте, ә өчен¬
чесенә х + 12 үсенте бирергә кирәк. Үсентеләрнең
гомуми саны х + 2х + (х + 12) мәсьәләнең шарты буен¬
ча 78 гә тигез.
Димәк,
х + 2х + (х + 12) = 78.
Килеп чыккан тигезләмәне чишәбез:
х + 2х + х + 12 = 78,
4х = 78 - 12,
4х = 66,
х = 16,5.
Мәсьәләнең мәгънәсе буенча х ның кыйммәте на¬
тураль сан булырга тиеш, ә тигезләмәнең тамыры —
вакланма сан. Димәк, үсентеләрне күрсәтелгән ысул
белән бүлеп булмый.
Җавап. Үсентеләрне мәсьәләдә күрсәтелгәнчә бү¬
леп булмый. <1
Күнегүләр
157	Кинотеатрның бер кассасы икенчесенә караганда 86 билетка
күбрәк саткан. Барлыгы 792 билет сатылган булса, һәр касса
ничә билет саткан?
158	Өчпочмакның периметры 16 см га тигез. Аның ике ягы үзара
тигез һәм һәркайсы өченче ягыннан 2,9 см га озынрак. Өчпоч¬
макның якларын табыгыз.
159	Ике эшче 86 деталь ясаган. Аларның берсе икенчесенә кара¬
ганда 8 детальгә азрак ясаган, һәр эшче ничә деталь ясаган?
30

160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
Заводның өч цехында 1274 кеше эшли. Икенче цехта беренче
цехтагыга караганда 70 кешегә күбрәк, ә өченче цехта икенче
цехтагыга караганда 84 кешегә күбрәк, һәр цехта ничә кеше
эшли?
Свитер, башлык һәм шарф өчен 555 г йон тотканнар. Башлыкка
свитерга караганда 5 тапкырга азрак, ә шарфка караганда
5 г га күбрәк йон киткән, һәр әйбергә күпме йон киткән?
Беренче киштәдә икенче киштәдәгегә караганда 8 китапка
азрак, ә өченчедәгегә караганда 5 китапка күбрәк булырлык
итеп, 158 китапны өч киштәгә урнаштырып буламы?
Өченче ящикта беренче ящиктагыга караганда 9 банкага күб¬
рәк, ә икенче ящикта өченчедәгегә караганда 4 банкага азрак
булырлык итеп, 59 банка консерваны өч ящикка бүлеп буламы?
Бер участокта кура җиләге куаклары икенчесенә караганда
5 тапкыр күбрәк. Беренче участоктан икенчесенә 22 төп кура
җиләген күчереп утырткач, ике участокта да кура җиләкләре
саны бертигез булган, һәр участокта ничә төп кура җиләге
булган?
Теплоход елга буйлап агым уңаена 9 сәг тә үткән араны
агымга каршы 11 сәг тә үтә. Елганың агым тизлеге 2 км/сәг
булса, теплоходның үз тизлеген табыгыз.
Ике автомашина шоссе буйлап бер үк тизлек белән бара. Әгәр
беренчесе тизлеген 10 км/сәг кә арттырып, икенчесе
10 км/сәг кә киметсә, беренче машина 2 сәг тә икенчесе
3	сәг тә үткән кадәр юл үтәр. Автомашиналар нинди тизлек
белән бара?
Эшчеләр саны беренче бригадада икенчесенә караганда 2 тап¬
кыр күбрәк. Хуҗалык исәбе кертү нәтиҗәсендә беренче брига¬
дада эшчеләр саны 5 кә, ә икенче бригадада 2 гә кимегән.
Хуҗалык исәбе кертелгәннән соң, беренче бригадада эшчеләр
саны икенчесендәгегә караганда 7 гә күбрәк булса, һәр брига¬
дада ничә эшче калган?
Беренче бригадада кешеләр саны икенчедәгегә караганда
4	тапкырга азрак. Икенче бригададан 6 кеше китеп, 12 сен
беренче бригадага күчергәннән соң, һәр ике бригадада кешеләр
саны тигез булган. Беренче бригадада ничә кеше булган?
Тактага ниндидер сан язылган. Шул санны укучыларның берсе
23 кә зурайткан, икенчесе 1 гә киметкән. Беренчесенең нәти¬
җәсе икенчесенекенә караганда 7 тапкыр зуррак булып чыккан.
Тактага нинди сан язылган булган?
Кәрзиндә виноград ящиктагыдан 2 тапкыр азрак. Кәрзингә
2 кг виноград өстәгәннән соң, анда виноград ящиктагыга
караганда 0,5 кг га күбрәк булган. Кәрзиндә күпме виноград
булган?
Бер карбыз икенче карбыздан 2 кг га, ә өченчесеннән 5 тапкыр
җиңелрәк. Беренче һәм өченче карбыз икесе бергә икенче
карбыздан 3 тапкыр авыррак, һәр карбызның массасын та¬
быгыз.
34

172	Хуҗалыкта техникадан рациональ файдалану нәтиҗәсендә
тракторлар саны 12 гә киметелде. Элек тракторлар саны 1,5
тапкыр күбрәк булса, хәзер хуҗалыкта ничә трактор калган?
173	Ике капчыкта 50 кг шикәр булган. Бер капчыктан икенчесенә
караганда 3 тапкыр күбрәк шикәр алгач, анда икенчесендәгегә
караганда 2 тапкыр азрак шикәр калган, һәр капчыкта күпме
шикәр калган?
Кабатлау өчен күнегүләр
174	Координаталар яссылыгында:
а)	абсциссасы 3 кә тигез, ә ординатасы абсциссага капма-кар¬
шы сан;
б)	абсциссасы - 2 гә тигез, ә ординатасы берәмлеккә зуррак;
в)	абсциссасы 1,5 кә тигез, ә ординатасы берәмлеккә кечерәк;
г)	абсциссасы 1,5 кә тигез, ә ординатасы абсциссадан 2 тапкыр
зуррак булган ноктаны төзегез.
175	Очларының координаталары Л4(-1; 4) һәм N(2;-2) икәне бил¬
геле булганда, координаталар яссылыгында MN кисемтәсен
төзегез. Бу кисемтәнең х күчәре һәм у күчәре белән кисешү
нокталарының координаталарын табыгыз.
176	Исәпләп чыгарыгыз:
а)	19,6 ∙2∣ +(5,25∙ l∣-4,5∙4)i
« (3⅛-1l) :27 -1⅜-2.4.
177	а = -10, b = -6 булганда, -0,5(7fe - 12α) - (8,4α - 146) аңлат¬
масының кыйммәтен табыгыз.
178	Аңлатманың кыйммәтен нуль белән чагыштырыгыз:
а)	-3,52 1,7;	b)42∣-53∣j
1-2∣
б)	(-2,86): (-0,9);	г) 	|.
1	+ 2∣
О
Контроль сораулар
-<
Тигезләмәнең тамырына билгеләмә бирегез. 7 саны 2х - 5 = х + 2
тигезләмәсенең тамыры буламы?
Тигезләмәне чишү нәрсә ул?
Нинди тигезләмәләр тамырдаш тигезләмәләр дип атала? Тигез-
мәләрнең үзлекләрен әйтеп бирегез. 5х - 4 = 6 тигезләмәсенә
1мырдаш булган тигезләмәгә мисал китерегез.
ер үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәгә билгеләмә бирегез.
Мисаллар китерегез.
5	Нинди очракта ах = 6 тигезләмәсенең бердәнбер тамыры
λ⅛4⅛ ⅛∙*s⅛ »
32

I	бүлеккә өстәмә күнегүләр
1	нче параграфка
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
3 K4∕147
Исәпләп чыгарыгыз:
а^8:(-1б):	в): 4;	д) (-0,15) ∙
б)	g · (-21);	г) | ■ (-4,9);	е) -16 : (~|).
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	42,5 ■ 10 + 25,5 :17;	в) 20,6 · 8 - 244,8 :6;
б)	16,8 :10 + 7,4 · 0,8;	г) 240,8 :301 + 32 · 0,06.
Исәпләп чыгарыгыз:
а)	12,6 + 5 · (3,251 - 1,171); б) 7,6 - 8,4 : (0,27 + 0,15).
Исәпләп чыгарыгыз:
а)	3∣ l⅛-7⅜z ||; в) (∣∣ + Ц - 3∣) з|;
б)	14:4j + ⅛ 8;	г) 14- 15∣ :2.
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
g∖ ∖z О 4/
(3⅛ 6^52 2∏):43
с	О
а)	һәм J саннарының суммасына;
б)	6,2 һәм 5,8 саннарының аермасына;
в)	һәм саннарының тапкырчыгышына;
г)	4,9 һәм 3,5 саннарының өлешенә кире сан табыгыз.
а)	2,86 һәм - 4,3 саннарының суммасына;
б)	-∙g Һәм саннарының аермасына;
в)	-5,75 һәм 1,6 саннарының тапкырчыгышына;
г)	46 һәм -7^ саннарының өлешенә капма-каршы сан табыгыз.
-102 дән 104 кә кадәрге барлык бөтен саннарның суммасын
табыгыз.
-11 дән 13 кә кадәрге барлык бөтен саннарның тапкырчыгышын
табыгыз.
\ 1 e, m
а)	т = - J булганда, m _ 1;
2a + 1
б)	а = 3,5 булганда, α _ 4 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
33

189	а) х = 4, у =1,5;	в) х = 1,4; у = 0;
б)	х = -1, у = |;	г) х = 1,3, у = - 2,6 булса,
2x + #
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
190	Аңлатма рәвешендә языгыз:
а)	а һәм Ъ саннары тапкырчыгышы белән с санының суммасын;
б)	с саны белән а һәм Ъ саннары өлешенең аермасын;
в)	х һәм у саннары аермасы белән аларның суммасының тап¬
кырчыгышын;
г)	а һәм Ь саннары суммасы белән шул саннарның аермасы
өлешен.
191	а һәм Ь ның кайбер кыйммәтләре өчен 2(α + 6) аңлатмасының
кыйммәте -8,1 гә тигез икәне билгеле, а һәм Ь ның шул ук
кыйммәтләре өчен:
а)	3(α + Ь);	в) 4a + 46;
б)	-0,5 (a + b); r	τ)-ba~bb
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
192	Үзгәрешленең нинди кыйммәтләре өчен аңлатманың мәгънәсе
юк:
я) 5 ·	6)	3	.	r∖ a .	r∖ Ь ■)
’ 2x-4,	°' 4i∕ + 2,	, a-b'	' a + b'
193	Мәсьәләне чишү өчен аңлатма төзегез:
а)	Турыпочмаклыкның периметры 16 см, якларының берсе
т см. Турыпочмаклыкның мәйданы күпмегә тигез?
б)	Турыпочмаклыкның мәйданы 28 м2, якларының берсе а м.
Турыпочмаклыкның периметрын табыгыз.
в)	* Аралары s км булган ике шәһәрдән бер-берсенә каршы ике
автомобиль чыга. Берсенең тизлеге υ1 км/сәг, ә икенчесенеке
¾ км/сәг. Алар ничә сәгатьтән соң очрашыр?
г)	* Мотоциклчы белән велосипедчының араларында s км,
велосипедчының тизлеге vl км/сәг, мотоциклчының тизлеге
υ2 км/сәг булса, мотоциклчы велосипедчыны ничә сәгатьтән соң
куып җитәр?
194	Яклары а см һәм Ь см булган турыпочмаклы катыргы таба¬
гының почмакларыннан ягы х см га тигез булган квадратлар
кисеп алганнар (рәс. 6). Калган кисәктән ачык тартма яса-
34

195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
а = 35, b = 25, х = 5 булганда, тартманың күләмен исәпләп
чыгарыгыз, а һәм Ь ның күрсәтелгән кыйммәтләре өчен х ның
нинди кыйммәтләр алуы мөмкин?
а) 11 гә кабатлы; б) 21 гә кабатлы санның формуласын төзегез.
Диңгез милендә үлчәнгән ераклыкны километрларда күрсәтү
өчен у = l,852x формуласыннан файдаланалар (биредә х — миль¬
ләрдә, ә у — километрларда күрсәтелгән ераклык). Түбәндәге
ераклыкларны километрларда күрсәтегез: 10 миль, 50 миль,
250 миль.
Чагыштырыгыз:
а)	3,48-4,52 һәм-8,93 + 9,16; в) 4,7-9,65 һәм 4,7-9,9;
б)	6,48 ∙ I һәм 6,48 : |;	г) | · 16,4 һәм 16,4 : |.
а)	х = -10; -1,2; 2,4 булганда, 2,7x + 5 һәм l,8x - 4;
б)	т = -0,2; 0,2; 0,4 булганда, 60m - 1 һәм 50m + 1 аңлат¬
маларының кыйммәтләрен чагыштырыгыз.
Тигезсезлекне укыгыз:
а)	9,6 < 10 < 10,1;	г)	57 < 57 ⅛ < 58;
б)	0,7 < 0,75 < 0,8;	д)	-4,8 < -4,71 < -4,7;
в)	640 < 641 < 650;	е)	-10 < -9 j < -9.
Тигезсезлекне укыгыз:
а)	х ≥ -8,3;	в) 4,52 ≤ а;	д) т - n≥ k;
б)	г/≤ 0,07;	γ)-3,64≥⅛j	e)p + x≤y.
Тигезсезлек дөресме:
а)	т = 10; 12; 20 булганда, m ≤ 12;
б)	k = -1; -5; -9 булганда, k > -5?
Тигезсезлек языгыз:
а)	m зуррак яки тигез 5,2 гә;
б)	k кечерәк яки тигез -1,7 гә;
в)	6,5 зуррак яки тигез х ка;
г)	9,1 кечерәк яки тигез у ка.
Икеле тигезсезлек рәвешендә языгыз:
а)	х зуррак яки тигез 100 гә һәм кечерәк яки тигез 110 га;
б)	а зуррак - 7,1 дән һәм кечерәк яки тигез 5,2 гә;
в)	d зуррак 3 тән һәм кечерәк 3,1 дән;
г)	k зуррак яки тигез 0 гә һәм кечерәк 1 дән.
Тигезсезлекләрдән икеле тигезсезлек төзегез:
а)	х < 3 һәм х > -2;	в) a + b < 1 һәм a + b > -4;
б)	а > -5 һәм а < 0;	г) ab > 0 һәм ab < 15.
а)	Әгәр а > 0 һәм b > 0 булса, ул вакытта ab > 0;
б)	әгәр ab > 0 булса, ул вакытта а > 0 һәм Ь > 0 дип әйтү
дөресме?
Теләсә нинди а һәм Ь саннары өчен
a)∣α + 6∣ = ∣α∣+∣⅛∣! б) ∣ ab ∣ = ∣ a ∣ ∙ ∣ b |
тигезлекләре дөресме?
3*
35

207	Iх I = IУI икәне билгеле, x = у дип әйтү дөресме?
208	Ia I *∙ I I икәне билгеле, a < b дип әйтү дөресме?
209	lαl > l⅛∣ икәне билгеле, a<b булуы мөмкинме?
210	a < b икәне билгеле, а һәм b саннарының арифметик уртасы
а һәм b саннары арасында урнашкан булуын икеле тигезсезлек
рәвешендә языгыз.
211	а саны -3 тән зуррак яки аңа тигез һәм 4 тән кечерәк икәне
билгеле, а санының нинди нокта белән билгеләнүе мөмкин
икәнен координаталар турысында күрсәтегез.
2	нче параграфка
212	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	8,7 · 9,6 + 3,5 ■ 8,7 - 8,7 · 3,1;
б)	7,6 ■ 6,8 - 1,5 6,8 + 6,8 · 13,9;
в)	5,9 · 2,6 + 5,9 ■ 3,2 + 5,8 · 4,1;
г)	6,8 8,4 - 1,6 ■ 8,4 + 5,2 · 1,6.
213	Исәпләп чыгарыгыз:
а) (1,25 · 1,7 · 0,8 - 1,7) · 3,45;	б) 3,947 : (3,6 - 2,6 · 4 ■ 0,25).
214	Аңлатмалар бердәй тигезме:
a) -З(а-Ь) һәм ЗЬ - За; б) ~5(y~x) һәм 5у - 5х?
215	Тигезлекнең ни өчен бердәйлек икәнен аңлатып бирегез:
а) |х| = |-х|; б) |х - y∣ = \у - х|; в) ∣2c∣=2∣c∣.
216	Түбәндәге расламаларны тигезлек рәвешендә языгыз:
а)	ике санның аермасы кимүче белән киметүчегә капма-каршы
санның суммасына тигез;
б)	капма-каршы саннарның кубы капма-каршы саннар була.
217	Тигезлек бердәйлек буламы:
а)	∣α + 5∣=α + 5,∙	в) \а - 6| - |6 - а| = 0;
б)	|α2+4|=α2 + 4;	г) ∖a + b∣ - ∣a∣ = |6|?
218	а) Ике санның суммасына аларның аермасын кушсаң, беренче
санның икеләтелгәне килеп чыкканын;
б) әгәр ике санның суммасыннан аларның аермасын алсаң, ике-
ләтелгән икенче сан килеп чыкканын исбатлагыз.
219	Тапкырлауның тарату үзлеген кулланып, аңлатманы бердәй
тигез аңлатмага үзгәртегез:
а)	0,8 · (Их + 10z∕ - 2);	в) -7 ■ (0,5m - 1,2л + 1);
б)	(20 - 12a + 4ά) ∙ 1,5;	г) (-2,2 -т + 1,5л) ∙ (-6).
220	Аңлатманың нульгә бердәй тигез икәнен исбатлагыз:
a) (a + b)x + (a - b)x - 2ах; б) 8(x - у) + 8(y - х).
36

221	Охшаш кушылучыларны берләштерегез:
а)	-3,6х - 5,2 - 2,4х - 9;	г)	l,2x + 3,4х - 5 - 5,3х;
б)	4,6α + 1,5b - 3,2b - 1,8α;	д)	2,4α - 0,8m - 0,4m - 1,5m;
в)	-6,7α + 5b - 0,8a - 2,5b;	e)	-3,8г/ + 2x + 8y - 4,3г/.
222	a) x(-l) + x(-2) + x(~3) + 6x	аңлатмасының нульгә бердәй
тигез; б) a(~5) + a ∙ 4 + a(~3) + a ■ 2 аңлатмасының ~2a га
бердәй тигез икәнен исбатлагыз.
223	Җәяләрне ачыгыз;
а)	—(—х) + (~у);	в) х + (-(-у));
б)	-(-χ) - (-Z/);	г) χ-(-(-t∕)).
224	Җәяләрне ачыгыз һәм охшаш	кушылучыларны берләштерегез;
а)	6,9 - 5,1m + (6m - 1,2);	в) 7,5г/ + (6- 7,3г/) - 5,8;
б)	8,4x - 4,4 -(1,6 + Юх);	г) -(3,7г? - 5,5) + 9г/ - 3,9.
225	а)	a = 6,8, b = 7,3; б)	а	=	-8,9; b = -9,9
булганда, 8a - (4b + За) - (4а - ЗЬ) аңлатмасының кыйммәтен
табыгыз.
226	Аңлатманың кыйммәте a га бәйле булмавын исбатлагыз:
а) a + (2a - (3a - 5));	б) a - (6a - (5a - 8)).
227	17х - 13г/ + 8 һәм 20х + бу аңлатмаларының аермасын төзегез
һәм аны гадиләштерегез.
228	Әгәр бер сан 3 кә кабатлы, икенчесе 5 кә кабатлы булса,
аларның тапкырчыгышы 15 кә кабатлы икәнен исбатлагыз.
229	Ике җөп санның тапкырчыгышы 4 кә кабатлы икәнен исбат¬
лагыз.
3	нче параграфка
230	а) 1,9; б) 2; в) -1,4; г) -3 саннары (2x - 3,8)(4,2 + Зх) = 0
тигезләмәсенең тамырлары буламы?
231	-4,-3,-1, 3, 4 саннарының кайсылары а) х2 + 4х + 3 = 0;
б) х2 + х = 12 тигезләмәсенең тамырлары була?
232	Тигезләмәнең тамырлары бармы:
а)	Зх + 7 = (9 + х) + 2х;	в) х2 = х;
б)	5x - 1 = 4(х + 2) - (9 - х);	г) х + 1 = х - 1?
233	а) |х| = -1; б) ∣x∣ + 3=0 тигезләмәсенең ни өчен тамырлары юк?
234	Тигезләмәне чишегез: а) |х| =5; б) ∣a∣ -17 = 0.
235	а) 8; б) - 10; в) 0 саны тамыры булган нинди дә булса тигез¬
ләмә төзегез.
236	т коэффициентының нинди кыйммәтләре өчен тх = 5 тигез¬
ләмәсенең бердәнбер тамыры була? Бу тигезләмәнең бер тамы¬
ры да булмаган, чиксез күп тамыры булган m ның кыйммәт¬
ләрен табып буламы?
237	р коэффициентының нинди кыйммәтләре өчен рх = 10 тигез¬
ләмәсенең -5 кә; 1 гә; 20 гә тигез тамыры бар?
37

238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а)	3,8% - (1,6 - 1,2х) = 9,6 + (3,7 - 5х);
б)	(4,5ι∕ + 9) - (6,2 - 3,lι∕) = 7,2z∕ + 2,8;
в)	0,6m - 1,4 = (3,5m + 1,7) - (2,7m - 3,4);
г)	(5,3α - 0,8) -(1,6- 4,7α) = 2a - (а - 0,3).
Тигезләмәне чишегез:
а)	(х - 1) (х - 7) = 0;	в) (х + 1) (х - 1) (х - 5) = 0;
б)	(х + 2) (х - 9) = 0;	г) х (х + 3) (х + 3) = 0.
Тигезләмәнең уңай тамыры булуы мөмкинме:
а) (х + 5) (х + 6) + 9 = 0; б) x2 + Зх + 1 = 0?
Тигезләмәне чишегез:
а)	0,15 (х-4) = 9,9-0,3 (х - 1);
б)	1,6 (a - 4) - 0,6 = 3 (0,4a - 7);
в)	(0,7x - 2,1) - (0,5 - 2х) = 0,9 (Зх - 1) + 0,1;
г)	-3 (2 - 0,4i∕) + 5,6 = 0,4 (3t∕ +1).
Үзгәрешленең нинди кыйммәте өчен:
а)	2х + 7 һәм -х + 12 аңлатмаларының суммасы 14 кә тигез;
б)	-5t∕ + 1 һәм Зу + 2 аңлатмаларының аермасы -9 га тигез?
а ның нинди бөтен сан кыйммәтләрендә ах = 6 тигезләмә¬
сенең тамыры бөтен сан була? Шул саннарны табыгыз.
7(2x+ 1)=13 тигезләмәсен чишми генә, аның тамыры бөтен
сан түгеллеген исбат итегез.
Фермада 1000 йорт куяны һәм тавык бар. Әгәр аларның
барысында 3150 аяк булса, фермада ничә йорт куяны һәм тавык
бар?
Ике эшче бер сменага 86 деталь ясаган. Аларның берсе икен¬
чесенә караганда 15% ка артыграк деталь ясаса, һәр эшче ничә
деталь ясаган?
Беренче участокта карлыган икенчесенә караганда 9 төпкә
артыграк. Икенче участоктан беренчесенә 3 төп карлыганны
күчереп утырткач, анда икенчесенә караганда 1,5 тапкыр артыг¬
рак булган. Беренче участокта ничә төп карлыган булды?
Маратның маркалары Айратныкына караганда дүрт тапкыр
күбрәк. Марат 8 маркасын Айратка бирсә, аның маркалары ике
тапкырга арта, һәр малайның ничә маркасы булган?
Китапны китапханәгә вакытында илтү өчен, укучы һәр көнне
40 бит укырга тиеш булган, ләкин ул көненә 15 биткә азрак
укыган һәм китапны 6 көнгә соңрак илткән. Укучы китапны
ничә көндә укып бетерергә тиеш булган?
Пыяла әйберләр ясау артеле, заказны вакытында үтәү өчен, һәр
көнне 40 әйбер эшләргә тиеш булган. Ләкин алар, һәр көнне
20 әйбер артыграк эшләп, заказны 3 көнгә элегрәк үтиләр.
Артель заказны ничә көндә үтәргә тиеш булган?
Әгәр уйлаган санга 7 не кушып, килеп чыккан сумманы 3 кә
тапкырласаң һәм тапкырчыгыштан 47 не алсаң, уйлаган сан
килеп чыга. Нинди сан уйланган булган?
38

II бүлек
Функцияләр
§ 4. Функцияләр һәм аларның графиклары
10.	Функция нәрсә ул
Тормышта без төрле зурлыклар арасындагы бәйле-
лекләр белән еш очрашабыз. Мәсәлән, түгәрәкнең
мәйданы — аның радиусына, металл шакмакның мас¬
сасы аның күләменә һәм металлның тыгызлыгына
бәйле, турыпочмаклы параллелепипедның күләме аның
буена, иңенә һәм биеклегенә бәйле.
Алга таба без ике зурлык арасындагы бәйлелекне
өйрәнербез.
Мисаллар карыйк.
1 нче мисал Квадратның мәйданы аның ягының озынлыгына бәй¬
ле. Квадрат ягының озынлыгы а см, ә аның мәйданы
S см2 га тигез булсын.
а үзгәрешлесенең һәр кыйммәте өчен S үзгәрешле-
сенең тиңдәшле кыйммәтен табарга мөмкин. Әйтик,
әгәр а = 3 булса, S = З2 = 9;
әгәр а = 15 булса, S = 152 = 225;
әгәр α=0,4 булса, S = 0,42 = 0,16;
әгәр a = 0,08 булса, S = 0,082 = 0,0064.
S үзгәрешлесенең а үзгәрешлесенә бәйлелеге
формуласы белән күрсәтелә (мәсьәләнең мәгънәсе
буенча а > 0).
Кыйммәтләре ирекле рәвештә сайлап алына торган
а үзгәрешлесен — бәйсез үзгәрешле дип, ә кыйм¬
мәтләре а ның сайлап алынган кыйммәтләре ярдәмендә
табыла торган S үзгәрешлесен бәйле үзгәрешле дип
атыйлар.
39

2 иче мисал
Автомобильнең 50 км/сәг тизлек белән үткән юлы
хәрәкәт итү вакытына бәйле.
Автомобильнең хәрәкәт итү вакытын (сәгатьләрдә)
t хәрефе белән, ә үткән юлын (километрларда) s хә¬
рефе белән тамгалыйк, t үзгәрешлесенең (биредә t ≥ 0)
һәр кыйммәте өчен s үзгәрешлесенең тиңдәшле кыйм¬
мәтен табарга мөмкин. Мәсәлән,
әгәр t = 0,5 булса, s = 50 · 0,5 = 25;
әгәр t = 2 булса, s = 50 · 2 = 100;
әгәр t = 3,5 булса, s = 50 · 3,5 = 175.
s үзгәрешлесенең t үзгәрешлесенә бәйлелеге
s = 50/
формуласы белән күрсәтелә.
Бу мисалда / — бәйсез үзгәрешле, s — бәйле үзгә¬
решле.
7 нче рәсемдә һава температурасының тәүлек дәва¬
мындагы графигы сурәтләнгән.
3 нче мисал
Рәс. 7
Бу график ярдәмендә һәр вакыт моменты / өчен
(сәгатьләрдә), биредә 0 ≤ / < 24, тиңдәшле температура
р ны (Цельсий градусларында) табарга мөмкин. Мәсәлән,
әгәр / = 6 булса, р = -5;
әгәр / = 12 булса, р = 2;
әгәр / =17 булса, р = 3;
әгәр / = 22 булса, р = 0.
Биредә / — бәйсез үзгәрешле, р — бәйле үзгәрешле.
4	нче мисал Шәһәр янында йөри торган поездга билет бәясе стан¬
ция урнашкан зона номерына бәйле. Бу бәйлелек таб¬
лицада күрсәтелгән (зона номеры — п хәрефе белән,
40

тиңдәшле билет бәясе сумнарда т хәрефе белән там¬
галанган):
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
т
4
4
4,2
4,8
6,4
8
9,6
11,2
12,8
Бу таблица буенча п ның һәр кыйммәтенә (биредә
п = 1, 2, .... 9) т ның тиңдәшле кыйммәтен табарга
мөмкин. Мәсәлән,
әгәр п = 2 булса, т =4;
әгәр п = 6 булса, т = 8;
әгәр п = 9 булса, т = 12,8.
Бу очракта п — бәйсез үзгәрешле, ә т бәйле үзгә¬
решле була.
Без караган мисалларда бәйсез үзгәрешленең һәр кыйммәте¬
нә бәйле үзгәрешленең бердәнбер кыйммәте туры килә. Бер
үзгәрешленең икенче үзгәрешлегә мондый бәйлелеген функ¬
циональ бәйлелек яки функция дип атыйлар.
Бәйсез үзгәрешлене икенче төрле аргумент дип
атыйлар, ә бәйле үзгәрешлене шул аргументтан
t	функция, диләр. Мәсәлән, квадратның мәйданы аның
ягының озынлыгыннан функция; автомобильнең даими
тизлек белән үткән юлы хәрәкәт итү вакытыннан
функция була. Бәйле үзгәрешленең кыйммәтләрен
функциянең кыйммәтләре дип атыйлар.
■ Бәйсез үзгәрешле кабул иткән барлык кыйммәтләр функция¬
нең билгеләнү өлкәсен төзиләр.
Мәсәлән, 1 нче мисалда каралган функциянең бил¬
геләнү өлкәсе — барлык уңай саннардан, ә 3 нче
мисалда 0 дән 24 кә кадәрге барлык саннардан тора.
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
(1646—1716)—
немец философы, математик, физик, тел белгече.
Ул һәм инглиз галиме И. Ньютон (бер-берсенә бәй¬
сез рәвештә) математиканың иң меьим бүлеге —
математик анализ нигезләрен барлыкка китерә¬
ләр. Лейбниц математикада әле хәзер дә кулла¬
ныла торган күп кенә төшенчәләр һәм символларны
кертә.
44-

Күнегүләр
252	Яклары 9 см һәм х см га тигез булган турыпочмаклыкның
мәйданы S см2. S ның х ка бәйлелеге формуласын языгыз.
х= 4; 6,5; 15 кыйммәтләренә S ның нинди кыйммәтләре туры
килә?
253	Поезд, 70 км/сәг тизлек белән хәрәкәт итеп, t сәг тә s км
юл үтә. s ның t га бәйлелеген формула аша күрсәтегез.
Аргументның 2,4; 3,8 гә тигез кыйммәтенә тиңдәшле функция
кыйммәтен табыгыз.
254	Кубның күләме аның кабыргасының озынлыгына бәйле.
а см — куб кабыргасының озынлыгы, ә V см3 аның күләме
булсын. V ның а га бәйлелеген формула белән бирегез.
Аргументның нинди дә булса ике кыйммәтен алып, функция¬
нең аңа тиңдәшле кыйммәтләрен исәпләп чыгарыгыз.
255	Күл буйлап яхта йөзә. Яхтаның базадан ераклыгы s (кило¬
метрларда) хәрәкәт итү вакыты t (минутларда) үтү белән
үзгәрә, s ның t га бәйле рәвештә үзгәрүе 8 нче рәсемдә сурәт¬
ләнгән. 20 минуттан, 1 сәг 20 минуттан, 2 сәг 30 минуттан
яхта базадан нинди ераклыкта булыр? Бу функциянең бил¬
геләнү өлкәсе нинди?
256	9 нчы рәсемдә нарат агачы биеклеге у ның (метрларда) аның
яше х ка (елларда) бәйлелеге сурәтләнгән, а) Наратның 10; 40;
90; 120 яшьләрдә биеклеген; б) наратның 20 яшьтән
60 яшькә кадәр; 60 яшьтән 100 яшькә кадәр араларда күпмегә
үскәнен табыгыз.
257	һәр натураль п санына бу санны 4 санына бүлүдән килеп
чыккан калдык г тиңдәш итеп куела, п = 13, 34, 43, 100 бул¬
ганда, г ны табыгыз. Әле караган функциональ бәйлелектә
аргументны күрсәтегез. Функциянең билгеләнү өлкәсе нинди?
Функциянең кыйммәтләре булып нинди саннар хезмәт итә?
42

268 Таблицада фирманың ярты елда (гыйнвардан алып июнь ахы¬
рына кадәр) чыгарган электр плитәләре саны т ны ай номе¬
ры п га бәйлелеге күрсәтелгән:
п
1
2
3
4
5
6
т
230
270
310
300
360
340
Бәйсез үзгәрешлене (аргументны) күрсәтегез. Нинди саннар
аргументның кыйммәтләре булып, ниндиләре функциянең кыйм¬
мәтләре булып, хезмәт итәләр? п ның 2, 4 кә тигез кыйммәтенә
т ның нинди кыйммәте туры килә? Кайсы айда 310, кайсы
айда 360 электр плитәсе чыгарылган?
Кабатлау өчен күнегүләр
259	Бер резервуарда 380 м3, ә икенчесендә 1500 м3 су бар. Берен¬
че резервуарга сәгать саен 80 м3 су агып керә, ә икенчесеннән
сәгать саен 60 м3 су алалар. Ничә сәгатьтән соң резервуар¬
лардагы су тигезләшер?
260	А (4; - 3) һәм В (-2; 6) нокталарын билгеләгез. АВ турысы
үткәрегез һәм бу турының х күчәре һәм у күчәре белән кисешү
нокталарының координаталарын табыгыз.
11.	Функциянең, кыйммәтен формула буенча исәпләү
Үткән пунктта тикшерелгән функцияләр төрле ысуллар
белән бирелгән иде. Функцияне формула ярдәмендә
бирү иң таралган ысулларның берсе булып тора. Фор¬
мула исәпләүләр юлы белән аргументның төрле кыйм¬
мәтләре өчен функциянең тиңдәшле кыйммәтләрен
табарга мөмкинлек бирә.
43

1 нче мисал
Функция формула белән бирелсен, ди:
3	г _ I
у = —2— > биредә - 3 < х ≤ 3.
х ның бөтен сан кыйммәтләренә тиңдәшле у кыйм¬
мәтләрен табыйк:
„ ,	3 (-3)-1	,
әгәр х = -3 булса, у =		= -5;
o ,	3· (-2)-1	ос , ,
әгәр х = -2 булса, у =		= -3,5 һ. б.
Югарыгы юлда — аргумент кыйммәтләрен, түбәнге
юлда функциянең тиңдәшле кыйммәтләрен урнаштырып,
исәпләү нәтиҗәләрен таблица рәвешендә язу уңайлы:
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
У
-5
-3,5
-2
-0,5
1
2,5
4
Без х ның кыйммәтен адым саен 1 гә арттыра ба¬
рып сайлап алдык. Мондый очракта функциянең кыйм¬
мәтләре таблицасы 1 адымы белән төзелгән, диләр.
Әле караган мисалда функциянең билгеләнү өлкәсе
күрсәтелгән иде.
Әгәр функция формула белән бирелеп, функциянең билгеләнү
өлкәсе күрсәтелмәгән булса, бәйсез үзгәрешленең әлеге фор¬
мула мәгънәгә ия булгандагы барлык кыйммәтләре күплеген
аның билгеләнү өлкәсе дип исәплиләр.
Мәсәлән, у = х (х + 5) формуласы белән бирелгән
функциянең билгеләнү өлкәсе барлык саннардан тора,
ә у = ~~2 формуласы белән бирелгән функциянең
билгеләнү өлкәсе 2 саныннан кала барлык саннардан
тора.
Функция бирелгән формула ярдәмендә бу функ¬
циянең кыйммәтләренә тиңдәшле аргумент кыйммәт¬
ләрен табу мәсьәләсе дә чишелә.
2	иче мисал Функция у = 12х - 3,6 формуласы белән бирелгән.
х ның нинди кыйммәте өчен функциянең кыйммәте
2,4 кә тигез икәнен табыйк.
► у = 12х - 3,6 формуласында у урынына 2,4 санын
куйыйк, х үзгәрешлесе кергән тигезләмә табарбыз:
2,4 = 12х - 3,6.
Аны чишеп табабыз:
х = 0,5.
Димәк, х = 0,5 булганда, у = 2,4. <1
44

Шуны искәртәбез: мәсьәлә чишү ысулы безгә
таныш булган тигезләмәгә китерелде, шуңа күрә без
аны чишә алдык.
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
Күнегүләр
Функция у = 2х + 7 формуласы белән бирелгән. Аргументның
1; -20; 43 кә тигез кыйммәтенә тиңдәшле функция кыйммәтен
табыгыз.
Функция i∕ = 0,lx + 5 формуласы белән бирелгән. Аргументның
10; 50; 120 гә тигез кыйммәтенә тиңдәшле функция кыйммәтен
табыгыз.
12
Функция у = — формуласы белән бирелгән. Таблицада аргу¬
ментның кыйммәтләре күрсәтелгән. Функциянең тиңдәшле
кыйммәтләрен исәпләп, таблицаны тутырыгыз:
X
-6
-4
-3
2
5
6
12
У
Функция у = х2- 9 формуласы белән бирелгән. Таблицаны
тутырыгыз:
х
-5
-4
-з
0
2
3
6
У
г
/ ·
1
Г·
Г
у = х (х - 3,5) (биредә 0 < х ≤ 4 һәм адым 0,5) формуласы белән
бирелгән функциянең кыйммәтләре таблицасын төзегез.
.	9	.	1	.	2	.	4х-1
a)z∕ = x+8j 6)y = 7γ7-,	B)y=j^-,	г)у=—^
формуласы белән бирелгән функциянең билгеләнү өлкәсен
табыгыз.
у = - 5х + 6 формуласы ниндидер функцияне бирә. Аргумент¬
ның нинди кыйммәте өчен функциянең кыйммәте 6; 8; 100 гә
тигез?
9
Функция y= -дХ формуласы белән бирелгән. Таблицаның буш
шакмакларын тутырыгыз:
X
-0,5
4,5
9
У
-2
0
Функция i∕=0,3χ-6 формуласы белән бирелгән. Функциянең
кыйммәте -6; -3; 0 гә тигез булганда, аргументның кыйммәтен
табыгыз.
Бөкенең тыгызлыгы 0,18 г/см3 икәне билгеле булса, бөке
кисәге массасының аның күләменә бәйлелеген формула белән
45

бирегез. Шул формула буенча: а) күләме 240 см3 га тигез
булган бөке кисәгенең массасын; 6) массасы 64,8 г га тигез
булган бөке кисәгенең күләмен табыгыз.
271	Автомобиль, υ км/сәг тизлек белән барып, 6 сәгатьтә s км юл
үткән, s ның υ ка бәйлелеген формула белән бирегез. Шул
формуладан файдаланып: a) υ = 65 булса, s ны табыгыз;
б) s = 363 булса, υ ны табыгыз.
272	Велосипедчы турбазадан 60 км ераклыктагы станциягә
12 км/сәг тизлек белән чыгып китә, s үзгәрешлесенең
t үзгәрешлесенә бәйлелеген формула белән бирегез, биредә s —
велосипедчының станциядән ераклыгы (километрларда),
ә t — аның хәрәкәт вакыты (сәгатьләрдә). Формула буенча:
a)	t = 3,5 булса, s ны; 6) s = 30 булса, t ны табыгыз.
273	Малайның 150 сум акчасы булган. Ул 10 ар сумнан х каран¬
даш сатып алган. Малайның калган акчасын у хәрефе белән
тамгалап, у ның х ка бәйлелеген формула белән бирегез. Бу
функциянең билгеләнү өлкәсе нинди?
Кабатлау өчен күнегүләр
274	Алтынчы һәм җиденче сыйныф укучылары авыл китапханәсе
өчен 315 китап җыйганнар. Җиденче сыйныф укучылары
алтынчы сыйныф укучыларына караганда 10% ка күбрәк җый¬
ган булсалар, алар ничә китап җыйганнар?
275	Координаталар яссылыгында М(0; -4) һәм A (6; 2) нокталары
билгеләгез һәм аларны кисемтә белән тоташтырыгыз. Бу кисем¬
тәнең х күчәре белән кисешү ноктасының координаталарын
табыгыз.
276	Координаталар яссылыгында A (-2; -3) һәм В (4; 5) нокталары
билгеләгез. АВ кисемтәсе уртасының координаталарын табыгыз.
12.	Функциянең графигы
у = (биредә -2 ≤ х ≤ 3) формуласы белән бирел¬
гән функцияне тикшерик. Бу формула буенча аргу¬
ментның теләсә нинди кыйммәте өчен функциянең
тиңдәшле кыйммәтен табарга мөмкин. Мәсәлән, аргу¬
ментның бөтен сан кыйммәтләрен алыйк. Табабыз:
әгәр х = -2 булса, у = 6;
әгәр х = -1 булса, у = 3;
әгәр х = 0 булса, у = 2;
х ның кыйммәтен — абсцисса, ә у ның тиңдәшле
кыйммәтен ордината дип исәпләп, х һәм у ның табыл¬
ган һәр кыйммәтләре парын координаталар яссылыгын¬
да нокта белән күрсәтик (рәс. 10). -2 дән 3 кә кадәрге
аралыкта х ның башка кыйммәтләрен сайлап алып һәм
у = формуласы буенча у ның тиңдәшле кыйммәт-
әгәр х = 1 булса, у = 1,5;
әгәр х = 2 булса, у = 12;
әгәр х = 3 булса, у = 1.
46

ләрен исәпләп чыгарып, без х һәм у ның башка кыйм¬
мәтләре парларын табарбыз. Бу парларның һәркайсына
координаталар яссылыгының шулай ук нинди дә булса
ноктасы туры килә. Барлык шуңдыи нокталар у = χ + 3
(биредә ~2<x<3) формуласы белән бирелгән функ¬
циянең графигын төзиләр (рәс. 11).
I	Билгеләмә. Абсциссалары — аргумент кыйммәтләренә,
ординаталары функциянең тиңдәшле кыйммәтләренә тигез
булган координаталар яссылыгының барлык нокталары
күплеге функциянең графигы дип атала.
мисал у = х (6 - х) (биредә -1 ≤ х < 5) формуласы бедән бирел¬
гән функциянең графигын төзик.
> Аргумент һәм функциянең тиңдәшле кыйммәтләре
таблицасын тутырабыз:
X
-1
0
1
2
3
4
5
У
-7
0
5
8
9
8
5
Координаталар яссылыгында координаталары таб¬
лицада күрсәтелгән нокталарны билгелик. Аларны
салмак сызык белән тоташтырыйк (рәс. 12). Ул вакытта
z∕ = x(6-χ) (биредә -l≤x≤5) формуласы белән би¬
релгән функциянең графигын табарбыз. <
Графикның нокталарын күбрәк билгеләгән саен,
алар тыгызрак урнашыр һәм график төгәлрәк төзелер.
Функциянең графигы ярдәмендә аргумент кыйм¬
мәтләре буенча функциянең тиңдәшле кыйммәтләрен
табып була. Шулай ук моңа кире мәсьәләне дә чи-
47

шәргә мөмкин: функциянең күрсәтелгән кыйммәтләре
буенча аргументның шуларга тиңдәшле кыйммәтләрен
таба алабыз.
2	иче мисал Функциянең 13 нче рәсемдә сурәтләнгән графигы буен¬
ча: а) функциянең х = 3 булгандагы кыйммәтен;
б)	х ның функция кыйммәте 7 гә тигез булгандагы
кыйммәтен табыйк.
► а) х лар күчәренең абсциссасы 3 кә тигез булган
ноктасы аша х лар күчәренә перпендикуляр үткәрәбез.
Бу перпендикулярның функция графигы белән кисешү
ноктасының координаталары (3; 5) була. Димәк, х = 3
булганда, функциянең кыйммәте 5 кә тигез, б) у лар
күчәренең ординатасы 7 гә тигез булган ноктасы аша
х лар күчәренә параллель туры үткәрәбез. Бу туры
графикны ике ноктада: координаталары (5; 7) һәм
(9; 7) булган нокталарда кисеп үтә. Димәк, х = 5 һәм
х = 9 булганда, функция 7 гә тигез кыйммәт ала. <1
График зурлыклар арасындагы бәйлелекне ачык
күзалларга мөмкинлек бирә. Мәсәлән, график буенча
һаваның температурасы кайчан нульгә тигез, нульдән
югары, нульдән түбән булганын, кайчан үскәнен, киме¬
гәнен һ. б. белергә мөмкин. 7 нче рәсемдә сурәтләнгән
график ярдәмендә температураның 9 сәгатьтә һәм
22 сәгатьтә 0 °C ка тигез булганын; сәгать 9 дан
22 сәгатькә кадәр 0 °C тан югары булганын; сәгать
3 тән 15 сәгатькә кадәр күтәрелгәнен белергә була.
Тормышта теге яки бу процессның ничек баруын
(тәүлек дәвамында атмосфера басымының үзгәрешен,
тәүлек дәвамында диңгез тигезлегенең үзгәрешен,
пешкәкнең торышына бәйле рәвештә двигатель ци¬
линдрында пар басымының үзгәрешен һ. б.) автомат
48

рәвештә билгеләп бару өчен еш кына прибордан фай¬
даланалар. Бу приборлар тиңдәшле функциональ бәй-
лелекнең графикларын сызалар.
Күнегүләр
277	Функция у = х (х - 3) (биредә -2 ≤ х < 2) формуласы белән
бирелгән. Таблицаны тутырыгыз:
X
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
У
Бу функциянең графигын төзегез.
278	у = х + 3 (биредә -1 ≤ х ≤ 5) формуласы белән бирелгән функ¬
циянең графигын төзегез. Моның өчен башта 1 адымы белән
функциянең кыйммәтләре таблицасын тутырыгыз.
279	Функция у = θ (биредә 1 ≤ х ≤ 6) формуласы белән бирелгән.
1 адымы белән функция кыйммәтләре таблицасын тутырып, бу
функциянең графигын төзегез.
280	MN кәкресе — ниндидер функциянең графигы (рәс. 14). Аргу-
ментның -2; -1; 0; 1; 5 кә тигез кыйммәтләре өчен функциянең
тиңдәшле кыйммәтләрен график буенча табыгыз.
281	Функциянең 15 нче рәсемдә сурәтләнгән графигыннан файда-
ланып, таблицаны тутырыгыз:
х
-3
-1,5
-0,5
0
0,5
3,2
У
Функциянең уңай кыйммәтләренә тиңдәш булган биш аргу¬
ментның кыйммәтен һәм функциянең тискәре кыйммәтләренә
тиңдәш булган биш аргументның кыйммәтен күрсәтегез.
4 К4/147
49

282	16 нчы рәсемдә ниндидер функциянең графигы сурәтләнгән.
Графиктан файдаланып, таблицаны тутырыгыз:
X
-4
-3
-2,5
0
1
3,5
У
283	CD кәкресе — ниндидер функциянең графигы (рәс. 17).
Графиктан файдаланып:
а)	х = -3;-2; 0; 2; 4 булганда, у ның кыйммәтен;
б)	у = -2; 0; 2; 3 кыйммәтләренә тиңдәшле х ның кыйммәт¬
ләрен табыгыз.
284	Функциянең графигы булып очларының координаталары
(-6;-2) һәм (3; 5) булган кисемтә хезмәт итә. Графикны
сызыгыз һәм график буенча:
а)	х = -5; -3; - 1; 1; 2 булганда, у ның кыйммәтен;
б)	у = -1; 1; 3; 4 кыйммәтләренә тиңдәшле х ның кыйммәтләрен
табыгыз.
285	ABC сынык сызыгы — ниндидер функциянең графигы, өстәвенә
А (-3; 1); В (1; -1) һәм С (3; 3). Графикны сызыгыз һәм аның
ярдәмендә:
а)	х = -2,5; 0; 2 булганда, функциянең кыйммәтләрен;
б)	аргументның у = -0,5; 1 гә тиңдәшле кыйммәтләрен табыгыз.
286	MNP сынык сызыгы — ниндидер функциянең графигы, өстә¬
венә Λ4(-2; -1), Л7(3; 6), Р(6; -3). Графикны сызыгыз һәм
аннан файдаланып:
а)	х = -1,5; 0; 4; 5,5 булганда, у функциясенең кыйммәтләрен;
б)	аргументның у = -2,5; 0; 4,5 кә тиңдәшле кыйммәтләрен
табыгыз.
287	А (4; 2), В (1; -4) һәм С (1; 4) нокталары у = 2х - 6 формуласы
белән бирелгән функция графигыныкы буламы? Берсе бу
функция графигыныкы, ә икенчесе шул функция графигыныкы
булмаган нинди дә булса ике ноктаның координаталарын
әйтегез.
50

288	А (-5;-4); В (-0,3; 0,7); С (-1,2; 0,2) нокталары у = х + 1
формуласы белән бирелгән функция графигыныкы буламы?
289	Функция у = у (биредә 1 ≤ х < 12) формуласы белән бирелгән.
х ның бөтен сан кыйммәтләре өчен таблица тутырыгыз. Функ¬
циянең графигын төзегез. Графикта абсциссасы 2,5 кә тигез
булган нокта билгеләгез. Аның ординатасын табыгыз һәм
нәтиҗәнең дөреслеген формула буенча тикшерегез.
290	18 нче рәсемдә сыеклык салынган бидон массасының сыеклык
күләменә бәйлелеге графигы сурәтләнгән. График буенча та¬
быгыз:
а)	буш бидон массасын;
б)	бер литр сыеклык салынган бидон массасын;
в)	бер литр сыеклык массасын;
г)	бидонның сыеклык белән бергә гомуми массасы 3 кг га тигез
булганда, бидондагы сыеклык күләмен.
291	һәр минут саен бактагы суның температурасын үлчәп, таблица
төзегәннәр:
X, мин
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
У, °C
14
28
41
54
66
76
85
93
98
100
100
100
100
у ның х ка бәйлелеге графигын төзегез (масштаб: х лар күчә¬
рендә 1 см га 1 мин, у лар күчәрендә 1 см га 10 °C туры килә).
Графиктан файдаланып, сорауларга җавап бирегез:
а)	җылыта башлаудан соң 4 мин; 5,5 мин; 9 мин; 10,7 мин
үткәч, суның температурасы нинди булган;
б)	җылыта башлаудан соң ничә минут үткәч, температура
41 °C; 60 °C; 95 °C булган?
292	19 нчы рәсемдә автомобильнең тормозлау юлының_коры ас¬
фальтта (ОА кәкресе), юещ асфальтта (ОВ кәкресе), бозлавыйта
(ОС кәкресе) хәрәкәт тизлегенә бәйлелеге графигы сурәтләнгән,
һәр очрак өчен сорауларга җавап бирегез:
4*
51

а)	автомобильнең тизлеге 50 км/сәг булганда, аның тормозлау
юлы күпмегә тигез;
б)	тормозлау юлы 60 м дан артмасын өчен, автомобиль нинди
тизлек белән барырга тиеш?
Кабатлау өчен күнегүләр
293	Тигезләмәне чишегез:
а)	3,7x - 2 = -2х + 3,13;	в) -27х = 5 - 54х;
б)	4,2х + 8 = 8-7%;	г) х - 1 = 0,4х - 2,5.
294	Автопаркта йөк машиналары җиңел машиналарга караганда
1,5 тапкыр күбрәк булган. Тагын 45 җиңел машина алып,
12 йөк машинасын фермерларга биргәннән соң, автопаркта
җиңел машиналар йөк машиналарыннан 17 гә күбрәк булды.
Автопаркта барлыгы ничә машина булган?
295	Дөресме:
a)	б| -| 1⅜ + |-6 >0; б) 7 + 2424 :(11,8 + 0,2) + 2,3 <200?
Ә Ο Ί Ί
Контроль сораулар
fl	Бер үзгәрешленең икенчесенә функциональ бәйлелегенә мисал
китерегез. Бәйсез һәм бәйле үзгәрешлене күрсәтегез.
2 у = 6х + 12 формуласы белән бирелгән функция мисалында
аңлатып бирегез: а) аргумент кыйммәте буенча функциянең
тиңдәшле кыйммәтен ничек табарга; б) функциянең күрсәтел¬
гән кыйммәтенә тиңдәш булган аргумент кыйммәтен ничек
табарга?
3	Функция графигына билгеләмә бирегез.
4	Функция графигы ярдәмендә: а) аргументның бирелгән кыйммә¬
тенә тиңдәшле функция кыйммәтен; б) функциянең бирелгән
кыйммәтенә туры килгән аргумент кыйммәтен ничек табарга
икәнен күрсәтегез. Моның өчен 14 нче рәсемдә сурәтләнгән
функция графигыннан файдаланыгыз.
§ 5. Сызыкча функция
13.	Сызыкча функция һәм аның графигы
Функциягә мисаллар карыйк.
В нче мисал А һәм В пунктлары шоссе буйлап бер-берсеннән
20 км ераклыкта урнашкан (рәс. 20). В пунктыннан
А га капма-каршы юнәлештә 50 км/сәг тизлек белән
мотоциклчы чыгып китә. Мотоциклчы t сәг тә 50/ км
Рәс. 20	А	В
52

юл үтәр һәм А дан 501 + 20 км ераклыкта булыр.
Мотоциклчының А пунктына кадәр ераклыгын (кило¬
метрларда) s хәрефе белән тамгаласак, бу ераклыкның
хәрәкәт вакытына бәйлелеген
s = 50i + 20, биредә t ≥ 0,
формуласы белән күрсәтергә мөмкин.
2 нче мисал Укучы һәркайсын 3 сумнан дәфтәрләр һәм 5 сумга
ручка сатып алган. Сатып алынган әйберләрнең бәясе
дәфтәрләр санына бәйле. Сатып алынган дәфтәрләр
санын х хәрефе белән, әйберләрнең бәясен у хәрефе
белән (сумнарда) тамгалыйк. Табабыз:
у = Зх + 5, биредә х — натураль сан.
Ике мисалда да без у = kx + b рәвешендәге фор¬
мула белән бирелгән функцияне очраттык, бу фор¬
мулада х — бәйсез үзгәрешле, k, b — саннар. Андый
функцияләрне сызыкча функцияләр дип атыйлар.
≡ Билгеләмә. у = kx + b (биредә х — бәйсез үзгәрешле,
k һәм b — саннар) рәвешендәге формула белән бирергә
мөмкин булган функция сызыкча функция дип атала.
Сызыкча функциянең графигы турындагы мәсьәлә¬
не карыйк. Биредә без функциянең билгеләнү өлкәсе
барлык саннардан тора дип уйларбыз.
ι∕ = 0,5χ-2 сызыкча функциясенең графигын төзик,
х һәм у ның тиңдәшле кыйммәтләре таблицасын төзибез:
X
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
У
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Координаталар яссылыгында координаталары табли¬
цада күрсәтелгән нокталарны билгелик (рәс. 21). Бу нок-
53

ЗИД? Сызыкча функциянең графигы туры була.
≡ Сызыкча функциянең графигын төзү өчен, графикның ике
ноктасының координаталарын табарга, шул нокталарны
координаталар яссылыгында билгеләргә һәм алар аша туры
үткәрергә кирәк.
≡≡≡*"caj,
4 нче мисал
5 иче мисал
у = 2х + 3 функциясенең графигын төзик.
у = 2х + 3 — сызыкча функция, шуңа күрә аның гра¬
фигы туры була, у = 2х + 3 формуласын кулланып,
графикның ике ноктасының координаталарын табыйк:
әгәр х = -2 булса, у = 2 · (-2) + 3 = -1;
әгәр х = 1 булса, у = 2 · 1 + 3 = 5.
А (-2;-1) һәм В (1; 5) нокталарын билгелик. Бу
нокталар аша туры үткәрик (рәс. 23). АВ турысы
у = 2х + 3 функциясенең графигы була. <
Сызыкча функциянең графигын төзегәндә еш кына
нокталарның берсе сыйфатында абсциссасы 0 булган
ноктаны алу җайлы була.
у = -0,8x + 1 сызыкча функциясенең графигын төзик.
Графикның ике ноктасының координаталарын табабыз:
әгәр х = 0 булса, у = -0,8 0+1 = 1;
әгәр х = 5 булса, у = -0,8 · 5 + 1 = -3.
Μ (0; 1) һәм А(5; - 3) нокталарын билгеләп, алар
аша туры үткәрик (рәс. 24). МК турысы у = -0,8x + 1
сызыкча функциясенең графигы була. <3
k = 0 булганда, сызыкча функция бирелә торган
у = kx + Ь формуласы у = Ох + Ь, ягъни у = Ь фор¬
муласы белән бирелә торган сызыкча функция х ның
теләсә нинди кыйммәте өчен бер үк кыйммәт ала.
у = -2 функциясенең графигын төзик.
х ның теләсә нинди кыйммәтенә у ның -2 гә тигез
булган бер үк кыйммәте тиңдәш була. Ординатасы
-2 гә тигез булган нинди дә булса ике нокта, мәсәлән,
54

Р (0; -2) һәм N (4; -2) нокталарын билгеләп, алар аша
туры үткәрик (рәс. 25). PN турысы у = -2 сызыкча
функциясенең графигы була. <|
Шуны искәртәбез: әгәр сызыкча функциянең бил¬
геләнү өлкәсе барлык саннардан да тормаса, график
турының тиңдәшле кисәген күрсәтер. Мәсәлән, аның
ярымтуры яки кисемтә булуы мөмкин.
Күнегүләр
296	Бассейнга һәр секундта 0,5 м3 су агып керә. Хәзер бассейнда
120 м3 су булса, х с тан соң бассейнда ничә кубометр су
булыр? Бассейндагы су күләменең тутыру вакытына бәйлелеген
формула рәвешендә күрсәтегез. Бу бәйлелек сызыкча функция
буламы?
297	Турыпочмаклыкның буе х см, иңе 3 см га кыскарак. Туры¬
почмаклык периметрының аның буена һәм турыпочмаклык
мәйданының аның буена бәйлелеген формула аша күрсәтегез.
Бу бәйлелекләрнең кайсысы сызыкча функция була?
298	Укучының 125 сум акчасы булган. Шул акчасына ул 10 сумнан
х марка сатып алган. Шуннан соң аның у сум акчасы калган.
у ның х ка бәйлелеген формула аша күрсәтегез. Бу бәйлелек
сызыкча функция буламы?
299	Түбәндәге формула белән бирелгән функция сызыкчамы:
а)	у = 2х - 3;	в) у =	+ 1;	д) у = х2 - 3;
б)	у = 7 - 9 х;	г) у = + 1;	е) у = 10x5 7 ?
300	Сызыкча функция у = 0,5х + 6 формуласы белән бирелгән.
у ның х = -12; 0; 34 кә тиңдәшле кыйммәтләрен табыгыз,
х ның нинди кыйммәте өчен у ның кыйммәте -16; 0; 8 гә тигез?
301	Сызыкча функция у = -Зх + 1,5 формуласы белән бирелгән.
а)	х = -1,5; 2,5; 4 булса, у ның кыйммәтен;
б)	х ның у = -4,5; 0; 1,5 булгандагы кыйммәтен табыгыз.
302	Формула белән бирелгән функциянең графигын төзегез:
а)	у = -2х +1;	в) у = -х + 4,5;	д) у = т>х - 3;
б)	у = 0,2х + 5;	г) у = х + 1,5;	е) у = -х - 3,5.
303	Формула белән бирелгән функциянең графигын төзегез:
а)	у = -Зх + 4;	в) у = х - 2;
б)	у = -х + 3;	г) у = 0,3x - 5;
304	у = -1,5х + 3 сызыкча функциясенең графигын төзегез. График
ярдәмендә ачыклагыз: а) х = -2,5; 3,5 кә у ның нинди кыйм¬
мәте туры килә; б) х ның нин^и кыйммәтенә у = -4,5; 0,5
кыйммәте тиңдәш була?
305	у = 1,5х + 4 сызыкча функциясенең графигын сызыгыз,
а) х = -3,5; 1,5 кә тиңдәшле у кыйммәтен; б) х ның у = -0,5;
4,5 кә туры килә торган кыйммәтен график ярдәмендә табыгыз.
55

306	х лар күчәрендә 1 см да — бер берәмлек, у лар күчәрендә
1 см да ун берәмлек булган масштаб сайлап алып, у = -10x + 40
функциясенең графигын төзегез, a) х = -2,5; 0,8; 3,5 кә тиң¬
дәшле у кыйммәтен; б) х ның у = 70; -10; -30 га туры килгән
кыйммәтен график буенча табыгыз.
307	Бакка температурасы 10 °C булган су салып, 100 °C ка кадәр
җылытканнар. Суның температурасы һәр минут саен 1,5 °C ка
күтәрелә барган. Суның температурасы у ның (Цельсий гра¬
дусларында) җылыту вакыты х ка (минутларда) бәйлелеген
формула рәвешендә күрсәтегез. Бу бәйлелекнең графигын
төзегез, а) Җылыта башлаганнан соң 5 мин, 10 мин үткәч,
суның температурасы күпме булган; б) күпме вакыттан соң су
85 °C ка кадәр җылынганын график буенча белегез.
308	Төзүләрне эшләми генә, функция графигының координата кү¬
чәрләре белән кисешү нокталарының координаталарын табыгыз:
а)	у = -2,4х + 9,6;	в) у = 1,2х + 6;
б)	у = -0,7х - 28;	г) у = ~5х + 2.
309	а) у = 0,4х - 12;	б)	у	= -^х + 8 формуласы	белән	бирелгән
функциянең графигын	х	күчәре нинди ноктада	кисеп	үтә?
310	у = 1,2х - 7 функциясенең графигын төземичә генә ачыклагыз,
бу график:
а)	Л (100; 113);	в) С(-10; 5);
б)	В (-15;-25);	г) 0(300; 353)
ноктасы аша үтәме?
311	у = 6; у = 3,2; у = ~1; у = -5; г/ = 0 функцияләренең график¬
ларын бер үк координаталар яссылыгында төзегез.
312	Функцияләрнең графикларын төзегез: у = -2; у =-1,9; у = 1,6;
У = 7.
Кабатлау өчен күнегүләр
313	Тигезләмәне чишегез:
а) 3 (0,9x - 1) - (х + 0,6) = -02; б) 7-(3,1- 0,lz∕) = 3 - 0,2у.
314	п ның нинди натураль кыйммәтләре өчен:
\ п + 8
а)	——	ялгыз вакланма;
б)	7 — аралаш вакланма?
315	Өч бригада 65 деталь эшләп чыгарган. Беренче бригада икен¬
чесеннән 10 га кимрәк, ә өченче бригада беренче һәм икенче
бригада бергә эшләп чыгарганның 30% ы кадәр деталь эшләп
чыгарган, һәр бригада күпме деталь эшләп чыгарган?
316	Кечерәге:
а) п; б) п - 1; в) п + 4 кә тигез булган эзлекле килүче өч
натураль санның суммасын аңлатма рәвешендә языгыз. Язылган
аңлатманы гадиләштерегез.
56

14.	Туры пропорциональлек
Мисал карыйк. V—тимер борысның күләме (куб сан¬
тиметрларда), т аның массасы (граммнарда) булсын.
Тимернең тыгызлыгы 7,8 г/см3 га тигез булганга,
∕n = 7,8K Тимер борыс массасының аның күләменә
бәйлелеге у = kx (биредә х — бәйсез үзгәрешле, k — нуль-
гә тигез булмаган сан) рәвешендәге формула белән
бирелә торган функциягә мисал булып тора. Мондый
функцияне туры пропорциональлек дип атыйлар.
Билгеләмә, у = kx рәвешендәге формула белән бирергә
мөмкин булган функция туры пропорциональлек дип атала,
биредә х — бәйсез үзгәрешле, k — нульгә тигез булмаган сан.
Туры пропорциональлек — сызыкча функциянең
аерым очрагы, чөнки у = kx формуласы у = kx + b
формуласыннан b = 0 булганда табыла. Моннан туры
пропорциональлекнең графигы булып туры хезмәт итүе
чыга. Әлеге туры координаталар башлангычы аша үтә,
чөнки х = 0 булганда, у ның кыйммәте 0 гә тигез.
f 1
0⅜
Туры пропорциональлекнең графигы координаталар башлангычы
аша үтүче туры була.
Туры пропорциональлекнең графигын төзү өчен, графикның
координаталар башлангычы булмаган нинди дә булса нокта¬
сын билгеләп, шул нокта һәм координаталар башлангычы аша
туры үткәрү җитә.
Мисал
ι∕ = 0,5x функциясенең графигын төзик.
► Графикның координаталар башлангычы булмаган нин¬
ди дә булса координатасын табабыз:
әгәр х = 4 булса, у = 0,5 ■ 4 = 2.
А4(4; 2) ноктасын билгеләп, бу нокта һәм коор¬
динаталар башлангычы аша туры үткәрәбез (рәс. 26).
Әлеге туры у - 0,5х функциясенең графигы була. <3
Координаталар яссылыгында у = kx функциясенең
графигы ничек урнашуы k коэффициентына бәйле.
у = kx формуласыннан х = 1 булса, у = k икәнен та¬
бабыз. Димәк, у = kx функциясенең графигы (1; k)
ноктасы аша үтә. k > 0 булганда, бу нокта — коорди-
наталарның беренче чирегендә, ә k < 0 булганда, дүр¬
тенче чирегендә урнашкан. Моннан туры пропорцио¬
нальлекнең графигы k > 0 булганда — координаталар
яссылыгының беренче һәм өченче чирекләрендә, ә k < 0
булганда, икенче һәм дүртенче чирекләрендә урнаш¬
канлыгы килеп чыга.
27 нче рәсемдә туры пропорциональлекнең графигы
k ның төрле кыйммәтләре өчен төзелгән.
57

Күнегүләр
317	Велосипедчы 12 км/сәг тизлек белән тигез хәрәкәт итә. Үтел¬
гән юл s ның (километрларда) хәрәкәт вакыты t га (сәгать¬
ләрдә) бәйлелеген белдергән формула языгыз. Бу бәйлелек туры
пропорциональлек буламы?
318	Әйләнә озынлыгының аның радиусыннан бәйлелеген күрсәт¬
кән формуланы языгыз. Бу бәйлелек туры пропорциональлек
буламы?
319	Түбәндәге формула белән бирелгән функция туры пропор¬
циональлек буламы:
а) у = -5х; б) у = 5х2; в) у = у; г) у = х + 5?
320	Туры пропорциональлек y = -⅛x формуласы белән бирелгән.
а)	х ның -9; 0; 1; 4 кә тигез кыйммәтенә тиңдәшле у ның
кыйммәтен;
б)	у ның 0; - ; 10; 1 гә тигез кыйммәтенә тиңдәшле х ның
кыйммәтен табыгыз.
321	а) у = Зх; б) у = -1,5х; в) у = х; г) у = -х формуласы белән
бирелгән туры пропорциональлекнең графигын төзегез.
322	а) у = 2,5х; б) у = -4,5х формуласы белән бирелгән туры про¬
порциональлекнең графигын төзегез.
323	у = -0,5х формуласы белән бирелгән функциянең графигын
төзегез. График ярдәмендә:
а)	х ның -2; 4; 1 гә тигез кыйммәтләренә тиңдәшле у кыйм¬
мәтләрен;
б)	х ның нинди кыйммәтләрендә у ның кыйммәте -1; 0; 2,5 кә
тигез икәнен табыгыз.
х ның у = -150 булырлык кыйммәте бармы? Әгәр булса, шул
кыйммәтне исәпләп чыгарыгыз.
58

324	y = 2x туры пропорциональлегенең графигын төзегез.
а)	х = 2; 2,5; 3; 4 булганда, функциянең нинди кыйммәтләр
алганын;
б)	нинди х өчен функциянең кыйммәте 7 гә тигез икәнен
табыгыз.
325	Турист, шәһәрдән чыгып х сәг үткәч, аннан у км ераклыкта
булган.
у ның х ка бәйлелеге таблицада бирелгән:
X
0
0,5
1
2
2,5
3
3,5
4
У
0
2,1
4,0
7,9
10,1
12,1
14
16,1
Координаталар яссылыгында тиңдәшле нокталарны билгеләгез
һәм ул нокталарның бер турыда диярлек ятуын линейка ярдә¬
мендә күрсәтегез, у ның х ка бәйлелеген якынча аңлаткан
формула төзегез.
326	28 нче рәсемдә җәяүле (ОВ кисемтәсе) белән велосипедчының
(ОА кисемтәсе) хәрәкәт графигы төзелгән. Сорауларга гра¬
фиктан файдаланып җавап бирегез:
а)	Җәяүле һәм велосипедчының һәркайсы күпме вакыт юлда
булган?
б)	Җәяүле һәм велосипедчының һәркайсы күпме юл үткән?
в)	Җәяүле һәм велосипедчы нинди тизлек белән барганнар?
г)	Велосипедчының 2 сәг тә үткән юлы җәяүленең шул ук
вакыт эчендә үткән юлыннан ничә тапкыр күбрәк?
327	29 нчы рәсемдә корыч чыбыкның сузылу озынлыгы у ның
чыбыкны сузу өчен куелган F көченә бәйлелеге графигы сурәт¬
ләнгән. F көче нинди чикләрдә үзгәргәндә, F көченнән чыбык¬
ның озынаюы бәйлелеге туры пропорциональлек икәнен күр¬
сәтегез.
59

329	А (6; -2); В (-2; -10); С(1; -1);
D("3 ; I3 0) нокталарының
кайсылары а) у = - ∙∣ х; б) у = 5х
формулалары белән бирелгән туры
пропорциональлек графигыныкы
була?
330	Түбәндәге формула белән бирелгән
функциянең графигы ничек ур¬
нашканын схема рәвешендә күрсә¬
тегез:
а)	у = 1,7х; г) у = -2,3х;
б)	у =-3,1х; д) y = kx, биредә k >0;
в)	у = 0,9х; е) y=kx, биредә k <0.
331	30 нчы рәсемдә туры пропорцио¬
нальлек графиклары төзелгән, һәр
график өчен ⅛ коэффициентының
тамгасын билгеләгез. Тиңдәшле
формулаларны языгыз.
Рәс. 30
Кабатлау өчен күнегүләр
332	Тигезләмәне чишегез:
a) 1 - l,7x - (0,8х + 2) = 3,4; б) 5 - 0,2ι∕ = О,3г/ - 39.
333	Аңлатманы гадиләштерегез:
а) -21 (4 - Юа) - 54а;	б) 28 - 10d + 4(d + 18).
334	а>0 икәне билгеле. Аңлатманың кыйммәтен нуль белән ча¬
гыштырыгыз:
a) 5а; б) -Юа; в) а+6; г) -a; д) f;	е)
Җавапны тигезсезлек рәвешендә языгыз.
15.	Сызыкча функция графикларының үзара торышы
Ике сызыкча функциянең графиклары я кисешә тор¬
ган, я параллель турылардан гыйбарәт.
Мәсәлән, у = 0,9x - 1 һәм у = 0,8x + 1 формулалары
белән бирелгән сызыкча функцияләрнең графикларын
тикшерик (рәс. 31). Графиклар кисешәләрме икәнен
ачыклыйк.
Функцияләрнең графиклары кисешүе — аларның
уртак ноктасы барлыгын белдерә. Бу очракта ике
функция өчен дә у ның бер үк кыйммәтенә тиңдәш¬
ле х кыйммәте табылыр, х ның шул кыйммәтен
табу өчен, 0,9x - 1 = 0,8x + 1 тигезләмәсен чишәргә
кирәк.
60

Табабыз:
0,9x - O,8x = 1 + 1,
О, lx = 2,
x = 2O.
x = 20 булганда, у = 0,9x - 1 һәм у = 0,8x + 1 функ¬
цияләренең икесе дә 17 гә тигез булган бер үк кыйм¬
мәт ала. (20; 17) ноктасы беренче графикныкы да,
шулай ук икенче графикныкы да. Андый нокта бер
генә. Димәк, у = 0,9x - 1 һәм у = 0,8x + 1 функция¬
ләренең графиклары булган турылар кисешәләр.
Хәзер х алдындагы коэффициентлары бердәй
булган у = 0,5х + 4 һәм у = 0,5х - 2 формулалары
белән бирелгән сызыкча функцияләрне - карыйк
(рәс. 32). Бу функцияләрнең графиклары кисешәме
икәнен белү өчен, 0,5x + 4 = 0,5х - 2 тигезләмәсен
чишәргә кирәк. Бу тигезләмәнең тамырлары юк, шулай
булгач у = 0,5х + 4 һәм у = 0,5х - 2 функцияләренең
графиклары булган турыларның уртак нокталары юк,
ягъни алар параллель.
y = kx + b рәвешендәге формула белән бирелгән ике сызыкча
функциянең графиклары k коэффициентлары төрле булса кисе¬
шәләр, k коэффициентлары бертөрле икән, параллель була.
Ф у = fe1x + bi һәм у = k2x + b2- төрле ике сызыкча функ¬
ция булсын. Аларның графикларының үзара торышын
ачыклау өчен,
⅛∣x + ⅛l = ⅛2x + ⅛2
тигезләмәсен тикшерик. Табабыз:
fe1x -k2x = b2~ bl,
(⅛ ∣ k2}x b2 b ∣.
Әгәр ki≠k2 булса, тигезләмәнең бердәнбер тамыры
бар. Бу очракта функцияләрнең графиклары кисе¬
шәләр. Әгәр kl = k2 һәм ∂1≠∂2hkθh, тигезләмәнең
61

Рәс. 33
тамырлары юк. Бу очракта функцияләрнең графиклары
параллель. О
33 нче рәсемдә y = kx + b рәвешендәге формула
белән бирелгән сызыкча функцияләрнең х алдындагы
коэффициентлары бердәй, ә Ь төрле кыйммәтләр алган¬
дагы графиклары булган турылар сурәтләнгән. Барлык
бу турылар параллель һәм х лар күчәренә бер үк почмак
ясап авышканнар. Бу почмак k коэффициентына бәйле.
k санын y = kx + b функциясе графигының — турының
почмакча коэффициенты дип атыйлар.
«Турының почмакча коэффициенты» терминын кул¬
ланып, югарыда исбатланган үзлекне болай әйтергә
була: әгәр ике сызыкча функциянең графиклары бул¬
ган турыларның почмакча коэффициентлары төрле
булса, бу турылар кисешәләр, әгәр почмакча коэф¬
фициентлары бердәй булса, бу турылар параллель.
у = kx + Ь формуласыннан х = 0 булганда, у ның
кыйммәте Ь га тигез икәнлеге килеп чыга. Димәк,
у = kx + Ь функциясенең графигы у лар күчәрен
(0; Ь) координаталы ноктада кисеп үтә. 34 нче рәсемдә
y = kx + b рәвешендәге формула белән бирелгән функ¬
цияләрнең Ь ның кыйммәте бер үк булып, k төрле
кыйммәтләр алгандагы графиклары булган турылар
сурәтләнгән. Барлык бу турылар у лар күчәрендә
яткан бер ноктада кисешәләр.
Күнегүләр
335	Түбәндәге функцияләрнең графиклары үзара ничек урнашкан:
а)	у = Ίχ - 4 һәм у = 7х + 8; г) у = ~4х һәм у = -4х - 5;
б)	у = 10х + 8 һәм у = -10х + 6; д) у = Зх + 1 һәм у = -4x + 1;
в)	у = Зх - 5 һәм у = -6х + 1; е) у = 12х һәм у = -8х?
336	Сызыкча функцияләр у = -20х + 13, у = 3,7х - 13, у = -8 - 20х,
у = -3,6х - 8, у = 3,6х + 8, у = -3,6х формулалары белән бирел¬
гән. Графиклары бер-берсенә параллель булган функцияләрне
62

аерып алыгыз. Бирелгән функцияләр арасыннан графиклары
кисешә торган ике функцияне атагыз.
337	Функцияләр у = -1,5 х + 6, у = 0,5x - 6, у = 0,5х + 4, у = 0,5х,
у = 3 + 1,5х формулалары белән бирелгән. Алар арасыннан гра¬
фиклары:
а)	у = 0,5х + 10 функциясенең графигына параллель булган¬
нарын;
б)	у = -1,5х функциясенең графигын кисүчеләрен аерып алыгыз.
338	z∕ = 2,5x + 4 сызыкча функциясе бирелгән. Графигы:
а)	бирелгән функциянең графигына параллель;
б)	бирелгән функциянең графигын кискән нинди дә булса
сызыкча функциянең формуласын языгыз.
339	Графиклары а) параллель; б) кисешә торган ике сызыкча функ¬
циянең формулаларын языгыз.
340	Бирелгән функцияләрнең графикларының кисешү нокталары
координаталарын табыгыз:
а)	у = 10х - 8 һәм у = -Зх + 5; г) у = 37х - 8 һәм у = 25х + 4;
б)	ι∕=14-2,5x һәм ζ/ = 1,5χ-18; д) у = 14х һәм г/ = х + 26;
в)	у = 20х - 70 һәм у = 70х + 30; е) у = -5х +16 һәм у = -6.
341	Функцияләрнең графиклары кисешәләрме:
а)	y = -6x + 9 һәм у = 2х-7; в) z∕ = 0,2χ-9 һәм ζ/=·^χ + 1;
б)	у = -0,5х + 2 һәм у = 2,5х -10; г) у = х һәм у = -Зх + 3,6?
Кисешүче графиклар өчен кисешү нокталарының координа¬
таларын табыгыз.
342	Бер үк координаталар системасында түбәндәге функцияләрнең
графикларын төзегез:
а)	у = -х + 6, y≈-x- 1,5, у = -х, у = -х - 3;
б)	у = х + 2,5, у = -х + 2,5, у = 2,5, у = 0,5х + 2,5.
343	Графигы у лар күчәрен:
а)	у = х + 11; б) у = -9х - 6
функциясенең графигы кискән ноктада ук кискән сызыкча
функциягә мисал китерегез.
344	а) у = Зх + Ь, биредә Ь = 1,2; -4; 0;
б)	у = kx - 2, биредә k = 1; -1; 0,4
рәвешендәге формулалар белән бирелгән функцияләрнең гра¬
фикларын бер үк координаталар системасында төзегез.
345	а) у = 0,8х - 1,6; б) у = -0,4x + 1 формулалары белән бирел¬
гән сызыкча функцияләрнең графикларына параллель булган
туры пропорциональлекнең графигы координаталарның кайсы
чирекләрендә урнашкан?
346	а) у = 17х һәм у = 17х - 20; б) у = -ЗОх һәм у = -ЗОх + 8 фор¬
мулалары белән бирелгән функцияләрнең графиклары коорди¬
наталар яссылыгында якынча кайда урнашуын күрсәтегез.
63

347	35 нче рәсемдә у = kx+ b рәвешендәге формула белән бирелгән
функцияләрнең графиклары төзелгән, һәр график өчен k һәм
b ның тамгаларын билгеләгез.
Кабатлау өчен күнегүләр
348	Элеваторга ике көндә 1440 т ашлык китергәннәр. Икенче көнне
китерелгән ашлык беренче көнне китерелгән ашлык микъ¬
дарының 80% ын тәшкил иткән. Элеваторга беренче көнне
күпме ашлык китерелгән?
349	Аңлатма рәвешендә языгыз:
а)	кечерәге 2п га тигез булган эзлекле килүче ике җөп санның
тапкырчыгышын;
б)	зуррагы 2n + 1 гә тигез булган эзлекле килүче ике так
санның суммасын.
350	a < 0 һәм Ь > 0 булсын.
a) ab; б) ~7ab∖ в) ; г) 1 - ab аңлатмасының кыйммәтен
нуль белән чагыштырыгыз. Җавапны тигезсезлек рәвешендә
языгыз.
Контроль сораулар
И^^^Ж®^Ф^ЙиҖйең билгеләмәсен әйтеп бирегез.
2	Сызыкча функциянең графигы нәрсә була? Сызыкча функ¬
циянең графигын ничек төзиләр?
3	k > 0 һәм k < 0 булганда, у = kx сызыкча функциясенең гра¬
фигы координаталар яссылыгында ничек урнашкан була?
■ 4 Ике сызыкча функциянең графиклары нинди очракта кисе¬
шәләр? Кисешү ноктасының координаталарын ничек табарга?
5	Ике сызыкча функциянең графиклары нинди очракта параллель
64

II	бүлеккә өстәмә күнегүләр
4	иче параграфка
351	Бер куб сантиметр терекөмешнең массасы 13,6 г га тигез,
V см3 терекөмешнең массасы т г. я) т ның V га; б) V ның
т га бәйлелеген формула рәвешендә күрсәтегез.
352	Натураль п санын 5 кә бүлгәндә өлештә k саны, калдыкта
3 чыккан, п ның k га бәйлелеген формула рәвешендә күрсәтегез.
353	у санын х санына бүлгәндә өлештә 5, калдыкта Ю килеп чыга.
у ның х тан функциясен формула рәвешендә күрсәтегез. Бу
функциянең билгеләнү өлкәсе нинди? х һәм у ның тиңдәш
кыйммәтләренең ике парын табыгыз.
354	Турист, Л турбазасыннан чыгып, В тимер юл станциясенә
юнәлә. 36 нчы рәсемдә турист үткән юлның хәрәкәт вакытына
бәйлелеге графигы бирелгән, а) Туристның А дан В га бару
өчен күпме вакыт сарыф итүен; б) туристның нинди уртача
тизлек белән баруын; в) аның беренче туктавында ничә минут,
икенчесендә күпме ял итүен; г) туристның юлга чыгуының
беренче сәгатендә һәм соңгы сәгатендә ничә километр юл
үтүен; д) туристның беренче 8 км ны күпме вакытта узуын,
соңгы 8 км ны ничә сәгатьтә үтүен ачыклагыз.
355	у ның х ка бәйлелеге таблица белән бирелгән:
X
-3,5
-3
-2,8
-2,1
1,3
2
3,5
5,2
5,8
У
-4
-3
-3
-3
1
2
3
5
5
Үзгәрешлеләрнең кайсысы бәйсез үзгәрешле, кайсысы бәйле
үзгәрешле була? Аргументның -3,5; -2,8; 2; 5,8 гә тигез кыйм¬
мәтенә функциянең нинди кыйммәте тиңдәш була? Аргумент¬
ның нинди кыйммәтләре өчен функциянең кыйммәте -3; 1;
5 кә тигез?
Функция у = 5,8х - 4(1,2х - 2,5) формуласы белән бирелгән.
Таблицаны тутырыгыз:
х
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
У
Функция z∕ = -O,5(8-χ) формуласы белән бирелгән, х һәм
у ның тиңдәшле кыйммәтләре таблицасын тутырыгыз:
х
-1,4
2,6
8,8
У
-3,4
-
-1,8
2,4
5 К4/147
65

358	a)iz=⅛!	6)i∕=-⅛4
формуласы белән бирелгән функ¬
циянең билгеләнү өлкәсе нинди?
359	Бригада план буенча бер сменада
150 деталь ясарга тиеш булган.
Ләкин ул планны х% ка арттырып
үтәгән, у ның (бригада ясарга
тиешле детальләр саны) х ка бәй-
лелеген күрсәтүче формула төзе¬
гез. Формула буенча табыгыз:
а)	х = 10; 30 булса, у ның кыйм¬
мәтен;
б)	у = 150; 180 булса, х ның кыйм¬
мәтен.
Рәс. 37
360	Ягы 10 см лы квадраттан яклары 8 см һәм х см булган туры¬
почмаклык кисеп алганнар (рәс. 37). Квадратның калган кисә¬
генең мәйданын (квадрат сантиметрларда) у хәрефе белән
тамгалап, у ның х ка бәйлелеген формула белән аңлатыгыз,
а)	х = 2,5; 4 булса, у ның кыйммәтен; б) у = 20; 36 булса,
х ның кыйммәтен табыгыз.
361	Түбәндәге формула белән бирелгән функциянең графигын
төзегез:
а)	, у = I (10 - х\ биредә -2 ≤ х < 12;
б)	у = (х - l)(x + 1), биредә -3 ≤ х ≤ 3;
• в) у = Зх + х2, биредә -3 ≤ х ≤ 2.
362	38 нче рәсемдә кара сызык белән — беренче функциянең
графигы, кызыл сызык белән икенче функциянең графигы
сурәтләнгән. Аргументның нинди кыйммәтләре өчен беренче
функциянең кыйммәте: а) икенчесенең кыйммәтенә тигез;
б) икенчесенең кыйммәтеннән зуррак; в) икенчесенең кыйммә¬
теннән кечерәк була?
Рәс. 39
66

363	Савыттагы сыеклык күләме V ның аның биеклеге һ ка бәй-
лелеген өйрәнү нәтиҗәсендә түбәндәге таблица килеп чыккан.
һ, см
3
6
9
12
15
18
V, л
1,2
3,1
5,6
9,7
14,7
21
V ның һ тан функциясе графигын төзегез. График буенча
белегез: а) савыттагы сыеклыкның биеклеге 5 см га; 10 см га
тигез булса, савытка ничә литр сыеклык салганнар; б) савытка
4 л, 10 л сыеклык салсалар, андагы сыеклыкның биеклеге
күпме булыр?
364	Балыкчы, өеннән чыгып, күлгә китә һәм анда балык тота.
Аннары өенә кайта. 39 нчы рәсемдә балыкчының хәрәкәт итү
графигы сурәтләнгән. Графиктан файдаланып: а) өйдән күлгә
кадәр ераклыкның күпмегә тигез икәнен; б) өйдән күлгә кадәр
балыкчының ничә сәгать баруын һәм кире кайтуга күпме вакыт
сарыф итүен; в) күл янында аның ничә сәгать булуын; г) өйдән
чыгып бер сәгать узгач, өйдән нинди ераклыкта булуын;
д) чыгып китүенә ничә сәгать үткәч, балыкчының өйдән 6 км
ераклыкта булуын; е) күлгә барганда һәм кире кайтканда аның
уртача тизлеге күпме булуын белегез.
5	нче параграфка
365	Түбәндәге формула белән бирелгән функцияләр сызыкча функ¬
цияме:
а)	у = 4*2 7 ;	г)	у = 2 (1 - Зх) + 7 (х - 3);
б)	у = 3 (х + 8);	д)	у = х (9 - х) + х2;
в)	у = х (6 - х);	е)	у = 5 (3 + 4х) - 4 (5х - 1)?
366	Функция у = 0,2x - 4 формуласы белән бирелгән. Аргументның
-25; -12; 45; 60 ка тигез кыйммәтенә тиңдәшле функция кыйм¬
мәтен табыгыз. Аргументның нинди кыйммәте өчен функциянең
кыйммәте 0 гә тигез, 1 гә тигез? х ның:
а)	функция кыйммәте аргумент кыйммәтенә тигез;
б)	функциянең аргумент кыйммәтенә капма-каршы булган
кыйммәте бармы?
367	у ның х ка бәйлелеге сызыкча функция икәнен белеп, таб¬
лицаны тутырыгыз:
х
сч
1
0
2
4
6
У
оо
1
12
х
-10
0
10
30
У
-15
5
6
15
б*	67

368	Таблицада аргументның кайбер кыйммәтләре һәм сызыкча
функциянең аңа тиңдәш кыйммәтләре күрсәтелгән.
X
1
2
3
4
5
6
7
У
11
21
31
41
51
61
71
Бу функцияне бирергә мөмкин булган формула сайлап алыгыз.
369	Бер кадакның массасы 5 г га, ә буш тартманыкы 400 г га
тигез, х кадак салынган тартманың массасы т (граммнарда)
күпмегә тигез булыр? т ның х ка бәйлелеген аңлаткан
формула төзегез. Бу формула белән бирелгән функция сызыкча
функцияме?
370	у = 0,5х + 3 формуласы белән бирелгән функциянең графигын
төзегез.
а)	х = -4; -1; 4 булганда, у ның кыйммәтен;
б)	х ның у = -2; -0,5; 6 булгандагы кыйммәтен;
в)	графикның координата күчәрләре белән кисешү нокталары¬
ның координаталарын;
г)	0,5х + 3 = 0 тигезләмәсенең тамырын график ярдәмендә та¬
быгыз.
371	Туры пропорциональлек у = -7,5х формуласы белән бирелгән,
х = -12; 20; 44 булганда, у ның кыйммәтен табыгыз, х ның
нинди кыйммәте өчен у = -1500; 1200 була?
372	Тиешле масштаб сайлап алып, а) у = ЮОх; б) y = 0,02x
функциясенең графигын төзегез.
373	у = l,25x - 5 формуласы белән бирелгән функциянең графигы:
а)	Л(12; 10);	в) Р(3; 5);
б)	/С(-20; -30); г) Q (20; -20)
ноктасы аша үтәме икәнен төзүләрне эшләмичә генә ачыклагыз.
374	а ның нинди кыйммәте өчен А (а ; -1,4) ноктасы у = 3,5х туры
пропорциональлегенең графигында ята?
375	Функция z∕=^x + 3 (биредә -4≤x≤8) формуласы белән
бирелгән. Функциянең графигын төзегез һәм бу функция
алырга мөмкин булган барлык бөтен кыйммәтләрне күрсәтегез.
376	Велосипедчы 15 км/сәг тизлек белән хәрәкәт итсә, х сәгатьтә
ул күпме юл у (километрларда) үтәр? у ның х ка бәйлелеге
графигын төзегез (масштаб х лар күчәре буйлап: 1 см га —
15 км; у лар күчәре буйлап: 1 см га —1 сәг). График ярдә¬
мендә сорауларга җавап бирегез: а) Велосипедчы 3 сәг тә;
3 сәг 40 мин та күпме юл үтәр? б) 50 км юлны үтү өчен вело¬
сипедчы күпме вакыт сарыф итәр?
68

377	һавада тавышның таралу тизлеге υ ның температура t га
бәйлелеге формуласы υ = 331 + 0,6/ икәнлеге табылган, биредә
υ — тизлек (секундка метрлар белән), t — температура (Цель¬
сий градусларында). Кыш көне температура -35 °C һәм җәй
көне температура +30 °C булганда, тавышның нинди тизлек
белән таралуын табыгыз.
378	Сызыкча функциянең графигы х лар күчәрен кисеп үтәме,
кисеп үтсә, нинди ноктада кисеп үтә:
а)	у = 100 - 25х;	в) у = 200х;	д) у = -15;
б)	у = 7х + 49;	г) у = -75х;	е) у = 15?
379	a) a > 0, Ь > 0 һәм a > b булса; б) a < 0, Ь < 0 һәм ∣ a ∣ < ∣ b |
булса, у = ах һәм у = Ьх функцияләренең графиклары ничек
урнашканын схема рәвешендә бер үк координаталар
яссылыгында күрсәтегез.
380	у = kx + 1 рәвешендәге ниндидер функциянең графигы
у = -0,4х функциясе графигына параллель, k коэффициенты¬
ның кыйммәтен табыгыз һәм Л4(5О; -19) ноктасы бу график¬
ныкымы икәнен ачыклагыз.
381	У = l,5x ~ 3 функциясенең графигына параллель һәм графигы
A (2; 3) ноктасы аша үтүче турыдан гыйбарәт булган функ¬
циянең формуласын языгыз. Графигын төзегез.
382	Сызыкча функциянең графигы — абсциссалар,күчәренә парал¬
лель һәм Л1(5; 8) ноктасы аша үтүче туры. Ьу функциянең
формуласын языгыз.
383	Төзүләрне эшләми генә, сызыкча функция графикларының
кисешү ноктасы координаталарын табыгыз.
а)	у = 4х + 9 һәм у = 6х - 5;	в) у = 10х - 7 һәм у = 5;
б)	у = 16х - 7 һәм у = 21х + 8;	г) у = 0,1х һәм у = 14.
384	У = Зх + 2; у = -2х + 3 һәм у = 0,5х - 2 сызыкча функциялә¬
ренең графиклары өчпочмакны чикләп торалар. Координаталар
башлангычы бу өчпочмак эчендә ятамы?

Ill бүлек
Натураль күрсәткечле
дәрәҗә
Дәрәҗә һәм аның үзлекләре
16.	Натураль күрсәткечле дәрәҗә билгеләмәсе
Бертөрле берничә тапкырлаучының тапкырчыгышын
дәрәҗә дип аталган аңлатма рәвешендә язарга мөмкин.
Мәсәлән,
5∙5∙5∙5∙5∙5∙5 = 57.
Кабатланучы тапкырлаучыны дәрәҗәнең нигезе дип,
ә кабатланучы тапкырлаучылар санын дәрәҗә күр¬
сәткече дип атыйлар.
Мәсәлән, 57 аңлатмасында 5 саны — дәрәҗәнең
нигезе, ә 7 саны — дәрәҗә күрсәткече.
Билгеләмә, һәркайсы а га тигез булган п тапкырлау¬
чының тапкырчыгышы а санының 1 дән зуррак натураль
п күрсәткечле дәрәҗәсе дип атала, а санының күрсәткече
1 гә тигез булган дәрәҗәсе дип а саны үзе атала.
Нигезе а, дәрәҗә күрсәткече п булган дәрәҗә
болай языла: ап. «а п нчы дәрәҗәдә», «а санының
п нчы дәрәҗәсе» дип укыла.
Дәрәҗәнең билгеләмәсе буенча:
α1 = a, a2 = аа, a3 = ааа, ai, = аааа.
Гомумән,
an = aa...a.
п тапкыр
Дәрәҗәнең кыйммәтен табуны дәрәҗәгә күтәрү
дип атыйлар.
Дәрәҗәгә күтәрүгә мисаллар китерик:
34 = 3∙3∙3∙3 = 81i 02 = 0 0 = 0;
(-6)3 = (-6) ■ (-6) · (-6) = -216; 9‘ = 9.
70

Уңай санны дәрәҗәгә күтәргәндә, уңай сан килеп чыга; нульне
дәрәҗәгә күтәргәндә, нуль килеп чыга.
Тискәре санны дәрәҗәгә күтәргәндә, уңай сан да,
шулай ук тискәре сан да килеп чыгуы мөмкин.
Мәсәлән,
(-2)1 = -2;
(-2)2 = (-2)(-2) = 4ι
(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8;
(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16.
Тискәре санның җөп дәрәҗәсе — уңай сан. Тискәре санның
так дәрәҗәсе — тискәре сан.
Дөрестән дә, җөп сандагы тискәре тапкырлаучы¬
ларның тапкырчыгышы уңай, ә так сандагы тискәре
тапкырлаучыларның тапкырчыгышы тискәре.
ягъни теләсә нинди а өчен α2>0.
Дәрәҗәне эченә алган берничә аңлатманың кыйм¬
мәтен исәпләп чыгарыйк.
1 нче мисал 4 - Ю3 аңлатмасының кыйммәтен табыйк.
► 1) Ю3 = 10 · 10 ■ 10 = 1000;	2) 4 1000 = 4000.
Димәк, 4 · Ю3 = 4000. <1
L1 нче мисал -26 +(-3)4 аңлатмасының кыйммәтен табыйк.
► 1) 26 = 64;
2) -26 = -64;
Димәк, -26 + (-3)4 = 17. <
3)	(-3)4 = 81;
4)	-64 + 81 = 17.
СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ ЛЕБЕДЕВ
(1902—1974) —
электротехника һәм исәпләү техникасы өлкәсендә
хезмәт иткән совет галиме, академик. СССРда аның
җитәкчелегендә беренче электрон исәпләү маши¬
насы Һәм БЭСМ серияле иң яхшы совет электрон
исәпләү машиналары төзелде.
71

'1 ич- мисал 2,75 дәрәҗәсенең кыйммәтен калькулятор ярдәмендә
табыйк.
2,75 дәрәҗәсе ул һәркайсы 2,7 гә тигез булган биш
тапкырлаучының тапкырчыгышы булганга күрә,
исәпләүләрне мондый схема буенча эшләргә мөмкин:
2,7 [х] 2,7 И 2,7 й 2,7 [х] 2,7g.
Ләкин калькулятор, дәрәҗәнең нигезен һәм
тапкырлау тамгасын кабат җыймыйча, дәрәҗәнең
кыйммәтен гадирәк исәпләргә мөмкинлек бирә. Безнең
мисалда 2,7 санын кертеп, [×] клавишын басу, ә аннары
[=] клавишын дүрт тапкыр басу җитә. Исәпләүнең
гадирәк схемасын табарбыз:
2,7 й 1=11=11=1 Ы.
Исәпләү нәтиҗәсендә 2,75 = 143,48907 икәнлеге
килеп чыга. <1
Күнегүләр
385	Тапкырчыгышны дәрәҗә рәвешендә языгыз:
а)	0,9 0,9 0,9;	е) yy...y∖
б)	(-6) -(-6) (-6) (-6);
в)	2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’	ж) '<~x>	‘(~χ}'
г)	5∙5 - 5;	з) (а - Ь)(а - Ь);
25 тапкыр
д)	ссссссс;	и) (xy)(xy)(xy)(xy)(xy).
386	Нигезен һәм дәрәҗә күрсәткечен әйтегез:
а) 3,54; б) (-0,1)3; в) (-100)4; г) (-а)6; д) (|х)5
Дәрәҗәнең билгеләмәсеннән файдаланып, дәрәҗәне тапкыр¬
чыгыш рәвешендә күрсәтегез.
387 Дәрәҗәгә
күтәрегез:
а) 24;
в) 53; д) (-7,8)2j ж) ;
->(>∣Λ
б) 42;
г)35; е) (-1,5)3; з) (-^)%
κ>(-2∣)3
388 Дәрәҗәнең кыйммәтен табыгыз:
а) 252;
в) 73;	д) (-0.9)3;
ж) (-∣Γ
б) 84;
г) 75;	е) (-2,4)2j
3>(4)6
72

389	Калькулятор ярдәмендә исәпләп чыгарыгыз:
а)	4,153;	в) 1,426;	д) 1,674 · 8,3.
б)	(-0.98)5;	г) 2,083:1,56;
390	Калькулятор ярдәмендә аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	8,494;	в) 2,735 · 27,4;
б)	(-1,062)3;	г) (1,39 + 7,083)3.
391	Таблицаны тутырыгыз:
п
1
2
3
4
5
6
7
8.
9
10
2n
Зл
392	Күрсәтегез:
а)	санның квадраты рәвешендә: 0,81; 0,16; 144;	1||; 0,0004;
б)	санның кубы рәвешендә: 64; -216; 0,008; -θξi 4^у;
в)	унның дәрәҗәсе рәвешендә: 10, 100, 1000, 1000000;
г)	бишнең дәрәҗәсе рәвешендә: 125, 625, 15625.
393	Санның квадраты яки кубы рәвешендә күрсәтегез:
а) 8; 6)81; в) 125; г) 64; д) 0,001; е)3^; ж) 1⅛.
О	ZO
394	Чагыштырыгыз:
а)	712 һәм 0;	в) (~5,9)3 һәм (~5,9)2;
б)	(-25)3 һәм 0;	г) (-2,3)l2 һәм (-8,6)l9.
395	Гамәлләрне эшләгез:
	а) 7 · 52;	в) (~0,4)3;	д) -3 · 25;
б) (7 5)2;	г) —0,43;	e)-62 (-12).
396	Дәреслекнең форзацында урнаштырылган саннарның квад¬
ратлары таблицасыннан файдаланып, аңлатманың кыйммәтен
исәпләп чыгарыгыз:
а)	342-175;	в) 422 9;	д) 752+252i
б)	605+782;	г) 182:27;	е) 592-362.
397	Исәпләп чыгарыгыз:
а)	9 ∙(∣j∖	в) (-10)6;	д) 4 53;	ж)-2415;
б)	(9 -|)2;	г) -Ю6;	е)-5-25;	з) 2700 ■ (-0,l)3.
398	Гамәлләрне эшләгез:
а)	72 + 33;	г)	Ю2-З2;	ж) 11-З4;	.
б)	62 + 82j	д)	(10-З)2;	з) (6 - 8)5;
в)	(6 + 8)2;	e)	24 - 32j	h) 43 - 22.
73

399	Исәпләп чыгарыгыз:
а)	-l3 + (-2)3j	г) 10-5 -24;	ж)	34 - (∣)2 · б|;
б)	-62-(-1)4;	д) 2 34 - 3 ∙24ι	з)	0,2 З3 - 0,4	24;
в)	-S3+(-3)3j	e)2∙53 + 5∙23ι	и)	8 0,53+ 25	0,22.
400	а) х = -2; -1; 0; 3 булганда, 8х3;
б) х = -25; 1; 10 булганда, 70 - α2 аңлатмасының кыйммәтен
табыгыз.
401	а) у = -2; 3; 10 булганда, Ο,ΟΙί/4;
б) с = -11; 0; 15 булганда, 2c2 + 3 аңлатмасының кыйммәтен
табыгыз.
402	а) х = 9; -6 булганда, x2, -х2, (-х)2;
б) х = 4; -3 булганда, x3, -x3, (-x)3 аңлатмаларының кыйм-
мәтләрен табыгыз.
403	х = -1; 0; 10 булганда, x5 + x4 + x3 + х2 + х аңлатмасының кыйм¬
мәтен табыгыз.
404	х = 5; -5 булганда, 2x4 - 5x3 + х2 + Зх аңлатмасының кыйммәтен
табыгыз.
405	Тапкырчыгышны нигезе а булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
&) а а, о) a а , в) a а , г) a а .
400 Ни өчен х үзгәрешлесенең теләсә нинди кыйммәте өчен 4х2
һәм (х - 8)2 аңлатмаларының кыйммәтләре тискәре булмаган
саннар була?
407	a2 +1 һәм 3 + (5-α)2 аңлатмаларының бары тик уңай
кыйммәтләр генә алганын исбатлагыз.
408	а) х һәм 1 саннары суммасының квадратын;
б)	а һәм b саннарының квадратлары суммасын;
в)	т һәм п саннарының квадратлары аермасын;
г)	т һәм п саннары аермасының квадратын;
д)	х һәм у саннары квадратларының икеләтелгән тапкырчы¬
гышын;
е)	а ның кубы белән Ь ның квадраты тапкырчыгышының
икеләтелгәнен аңлатма рәвешендә языгыз.
409	Аңлатманы укыгыз:
а)	(х + y)2∖	в) (х - уУ;	д) (х - у)3·,	ж) 2 (a - ⅛)2j
б)	х2 + у2;	г) х2 - у2·,	е) х3 + у3·,	з) 3 (α2 + b2).
Кабатлау өчен күнегүләр
410	Төзүләрне башкармый гына, у = 1,2х - 30 функциясе графи¬
гының х күчәре һәм у күчәре белән кисешү нокталарының
координаталарын табыгыз.
74

411	Функция графикларының кисешү ноктасының координаталарын
табыгыз:
а)	у = ~4х + 1,3 һәм у = х - 2,7;
б)	у = -х + 8,1 һәм у = -Зх + 7,9.
412	Түбәндәге функцияләрнең графиклары үзара ничек урнашкан:
a) t∕ = -∙^x + 3 һәм y = -⅛x-3∙, б) у = |х + 4 һәм i∕ = -∙∣x + 4P
17.	Дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлү
α2α3 аңлатмасы нигезләре бертөрле булган ике дәрәҗә¬
нең тапкырчыгышыннан гыйбарәт. Бу тапкырчыгышны
нигезе шул ук булган дәрәҗә рәвешендә язарга мөм¬
кин:
a2a3 = (aa)∙ (aaa) = ааааа = а5.
Димәк,
23 _ „2+3
ci d d
Мисалдан күренгәнчә, a2a3 тапкырчыгышы нигезе
шул ук, күрсәткече тапкырлана торган дәрәҗәләрнең
күрсәткечләре суммасына тигез булган дәрәҗәгә тигез.
Бердәй нигезле теләсә нинди ике дәрәҗәнең тапкыр¬
чыгышы шушы аналогик үзлеккә ия була.
Теләсә нинди а саны һәм натураль т, п саннары өчен
aman = am + n.
О Исбатлау өчен дәрәҗәнең билгеләмәсен һәм тапкыр¬
лауның үзлекләрен кулланып, aman аңлатмасын башта
һәркайсы а га тигез булган тапкырлаучыларның тап¬
кырчыгышы рәвешендә, аннары дәрәҗә рәвешендә
күрсәтәбез:
aman = (aa...a)∙ (aa...a) = aa...a ≈ am*n.
т тапкыр п тапкыр	m + n
тапкыр
Шулай итеп,
a a - a ∙ U
Исбатланган тигезлек дәрәҗәнең төп үзлеген
аңлата. Ул өч һәм аннан да күбрәк дәрәҗәләрнең
тапкырчыгышы өчен дә дөрес була. Мәсәлән,
amanak = am + nak = aim + п) + к = am + n + k.
Дәрәҗәнең төп үзлегеннән дәрәҗәләрне тапкырлау
кагыйдәсе килеп чыга:
нигезләре бертөрле булган дәрәҗәләрне тапкырлаганда, нигезен
|Ц элеккечә калдыралар, ә дәрәҗә күрсәткечләрен кушалар.
Мисаллар китерик:
√√ = √÷7 = χ∙5ι	=	+ 5 =
ftW=⅛2+4 + 3 = b9.
75

a1·, a3 аңлатмасы нигезләре бертөрле булган ике
дәрәҗәнең өлеше булып тора. Бу өлешне, a ≠ 0 бул¬
ганда, шул ук нигезнең дәрәҗәсе рәвешендә күрсә¬
тергә мөмкин. Дөрестән дә, α3 ∙ α4 = а1 булганлыктан,
өлешнең билгеләмәсе буенча
a7ιa3 = a4, ягъни a7: a3 = a7^3.
Без бу өлешнең нигезе шул ук, ә күрсәткече бүле¬
нүче белән бүлүченең күрсәткечләре аермасына тигез
булган дәрәҗәгә тигез икәнен күрәбез.
Нигезе нуль булмаганда һәм бүленүченең дәрәҗә
күрсәткече бүлүченең дәрәҗә күрсәткеченнән зуррак
булганда, бердәй нигезле дәрәҗәләрнең теләсә кайсы
өлеше аналогик үзлеккә ия була.
Теләсә нинди a ≠ 0 һәм т > п булырлык итеп ирекле рәвештә
алынган натураль т һәм п саннары өчен түбәндәге тигезлек
дөрес:
a : a -a
® am~n һәм an тапкырчыгышының ат нә тигез икәнен рас¬
ласак, am '.an =am~" тигезлеге исбатланган булып чыгар.
am - nan тапкырчыгышына карата дәрәҗәнең төп
үзлеген кулланып табабыз:
_ Ат - п) + п 		- п + п	 „т
a a — a —a — a .
Димәк, өлешнең билгеләмәсе буенча
am-an = an-n. О
Әле исбатлаган үзлектән дәрәҗәләрне бүлү кагый¬
дәсе килеп чыга:
нигезләре бертөрле булган дәрәҗәләрне бүлгәндә, нигезне
элеккечә калдыралар, ә бүленүченең дәрәҗә күрсәткеченнән
бүлүченең дәрәҗә күрсәткечен алалар.
Мисаллар китерик:
J0. „2 _ „10-2 _ „8 „7. „ — „7 . „1_„7-I _ „6
с . с — с — с , р : р - р : р —р — р .
Без т > п очрагы өчен ат ен ап нә бүлү кагыйдәсен
чыгардык. Әгәр бу кагыйдәне an : ап өлешенә карата
куллансак,
„л . „л — „л — п 	 „0
a :a — a —a
килеп чыгар.
Нуль күрсәткечле дәрәҗәгә билгеләмә бирелмәгән
иде. Теләсә нинди a≠0 һәм натураль п өчен
an : an = 1
булганга, a≠0 өчен θ
дип исәплиләр.
76

Билгеләмә. Нульгә тигез булмаган а санының нуленче
дәрәҗәсе бергә тигез.
Мәсәлән, 20 = 1, (~3,5)0 = 1. 0° аңлатмасының мәгънәсе юк.
Хәзер, нуль дәрәҗәсенә билгеләмә биргәннән соң, без aman = am + n
формуласын (a ≠ 0 булганда) т = 0 яки п = 0 өчен дә куллана алабыз,
am .an = am~n (a ≠ 0 булганда) формуласын tn ≥ п шартын канәгать¬
ләндергән теләсә нинди тискәре булмаган бөтен т һәм п саннары өчен
кулланырга мөмкин.
Күнегүләр
413	Тапкырчыгышны дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
^ a) x5x ,	в)	t/4z/9;	д)	х9х;	ж) 26 · 24;
б) α6α3;	г)	6⅛l5ι	е)	уу'2;	3)75∙7.
414	Тапкырчыгышны дәрәҗә рәвршендә языгыз:
а)	m3m8∙, Ж	в)	с7с12;	д)	аа3; Ң	ж)59 58;//
б)	х4х4;	г)	р3р"; ∕z' е)	Ь2Ь;	з) 33 - 33.^
415	а15 аңлатмасын берсе
а)	а6;	6) а ; в) а2; г) а14
булган бердәй нигезле ике дәрәҗәнең тапкырчыгышы рәвешен¬
дә күрсәтегез.
416	Дәрәҗәне нинди дә булса ысул белән шул ук нигезле ике
дәрәҗәнең тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:
а)	Xю; б) у15; в) 212; г) 517.
417	х6 аңлатмасын мөмкин булган барлык ысуллар белән х нигезле
ике дәрәҗәнең тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез.
418 Тапкырчыгышны
дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
’ а) xW;
в) mmWtn,
д) 102 Ю3 Ю5;
6) y3y2y,
г) р4р3рр;
е) 34∙32∙33∙3.
419 Аңлатманы дәрәҗә рәвешендә языгыз:
а)	m3m2m3∙,	в) хх4х4х;	д) 78 · 7 · 74;
б)	α4α3α2j	г) n5nn3n6∙,	е) 5 ∙ 52 ∙53 · 55.
420 Дәрәҗә рәвешендә
күрсәтегез:
а) 58 · 25;
в) 615 36;
д) 0,45 0,16;
б) З12 · 27;
г) 29· 32;
е) 0,001 0,l4
421 Аңлатманы дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез дә аның кыйммәтен
дәреслекнең форзацында урнаштырылган 2 санының дәрәҗә¬
ләре таблицасыннан табыгыз:
а) 24 · 2; б) 26 · 4;	в) 8 · 27; г) 16 · 32.
422 Аңлатманы нигезе 3 булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез һәм
дәреслекнең форзацында урнаштырылган 3 санының дәрәҗә¬
ләре таблицасыннан кыйммәтен табыгыз:
a) 32 З5;	б)81-36; в) 9 2187; г) 27 243.
77

423
424
425
426
427
42§
429
430
431
432
433
434
Аңлатманы нигезе с булган дәрәж,ә рәвешендә күрсәтегез:
а) (с4)2; б) (с2)4.
Өлешне дәрәж,ә рәвешендә
а)	х5: х3;
б)	yl°-.у7·,
Бүлегез:
а)	рю:р6;
б)	α8: а4;
Аңлатманың
а)	56 : 54;
б)	Ю15: Ю12;
в)	а21: а;
г)	619:&18;
күрсәтегез:
д)	с12:с3;
е)	p20'.pl°',
ж)	38:35;
з)	0.79 : 0,74.
в)	х15:х4;
г)	у9 .у,
кыйммәтен табыгыз:
в) 0,510 :О,57;
Вакланманың
а) 81·
, 84 ’
кыйммәтен табыгыз:
6)θ⅛ι в)
0,84
Ю16: Ю12;
д)
е)	2,316:2,37.
д) 2,7313:2,7312;
(-0,3)5 .
(-O,3)3 ’
г)
д)
з '
q!5
б) «5 об '
о · ә
гадиләштерегез:
в)	х хп;
г)	уп: у4;
в)
в)
1°; г)
516∙54
5lβ ,
г)
0,612
0,64 ∙0,65 ‘
_9 . _т.
д)	с :с ;
е)	kn ∙.k.
а = -3, b = -8 булганда, 10α2⅛°ι
a = I, с =—I булганда, 27α0c3
Исәпләп чыгарыгыз:
, 79∙75
a) ^∣2 ;
Аңлатманы
а)	х" ■ х3;
б)	a2 ■ am∖
а)	х = 2,6 булганда, Зх°;
б)	i∕ = -l∙∣ булганда, -2,5z∕
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
Гамәлләрне эшләгез:
a) Ь4Ь°; б) с5:с°; в) а4а°; г) х3:х°.
Кабатлау өчен күнегүләр
Санның квадраты яки кубы рәвешендә күрсәтегез:
а) 9; б) -27; в) 6,25; г) 0,064;	д)-з|;’е)5|.
О	J
у = х - 3 формуласы белән бирелгән функциянең графигын
төзегез. Г рафик буенча функциянең х = 4 һәм х = 6 булгандагы
кыйммәтләрен табыгыз.
Автомобиль, 70 км/сәг тизлек белән барып, t сәг тә $ км юл
үтә. S ның t га бәйлелеген формула белән бирегез. Шушы
формуладан файдаланып, автомобильнең 3 сәг 30 минуттан
алып 5 сәгатькә кадәр вакыт эчендә үткән юлын табыгыз.
78

435	а — теләсә нинди сан булсын. Аңлатманың кыйммәтен нуль
белән чагыштырыгыз:
а) 6а2; б) -а2; в) а2 + 4; г) (а + 4)2j д) -а2 - 5.
436	А(7; 196) ноктасы, В (-5; -200) ноктасы функциянең
у = х3 - Зх2 формуласы белән бирелгән графигында ятамы?
437	40 см3 күләмле гранит кисәгенең массасы 108 г. Күләме
35 см3 га зуррак булган гранит кисәгенең массасы күпмегә
тигез?
18.	Тапкырчыгышны һәм дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәрү
(αfe)4 аңлатмасы а һәм Ь тапкырлаучылары тапкыр¬
чыгышының дәрәҗәсе була. Бу аңлатманы а һәм Ь
дәрәҗәләренең тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтергә
мөмкин.
(aft)4 = ab ∙ ab ■ ab ■ ab = (аааа) ■ (bbbb) = a4bi.
Димәк,
(ab)i = a4b∖
Ике тапкырлаучы тапкырчыгышының теләсә нинди
натураль дәрәҗәсе аналогик үзлеккә ия.
Теләсә нинди a, Ь һәм ирекле рәвештә алынган натураль п
саны өчен
(ab)n = anbn.
0 Дәрәҗә билгеләмәсе буенча
(ab)n = (ab) ■ (ab) ■ ... ∙ (ai>).
п тапкыр
а һәм Ь тапкырлаучыларын аерым-аерым төркем¬
либез:
(a⅛) ∙ (a⅛) ·...∙ (a⅛) = (aa...a) ■ (bb...b)
п тапкыр	п тапкыр п тапкыр
Дәрәҗә билгеләмәсеннән файдаланып табабыз:
(aa..,a) ∙ (bb... b) = anbn.
п тапкыр п тапкыр
Шулай булгач,
(ab)n = anbn. О
Тапкырчыгыш дәрәҗәсенең әле исбатлаган үз¬
леге өч һәм аннан да күбрәк тапкырлаучыларның
тапкырчыгышы дәрәҗәсе өчен дә дөрес була.
Мәсәлән,
(abc)n = anbncn∙, (abcd)n = anbncndn.
79

Моннан шундый кагыйдә чыга:
∣⅝¾g тапкырчыгышны дәрәҗәгә күтәргәндә, һәр тапкырлаучыны шул
дәрәҗәгә күтәреп, нәтиҗәне тапкырлыйлар.
1	иче мисал 2yz тапкырчыгышын бишенче дәрәҗәгә күтәрик.
Табабыз:
(2z∕z)5 = 25i∕5z5 = 32z∕5z5. <
(ω5)3 аңлатмасы — нигезе үзе дәрәҗә булган дәрә¬
җә ул. Бу аңлатманы нигезе а булган дәрәҗә рәве¬
шендә күрсәтергә мөмкин:
\а ) — a a a — a —a
Теләсә
т һәм
нинди а саны һәм ирекле рәвештә алынган натураль
п саннары өчен түбәндәге тигезлек дөрес:
(am)n = amn.
Дәрәҗәнең билгеләмәсе буенча
_ „гпт „т
(a ) — a a ... a .
п тапкыр
Дәрәҗәнең төп үзлеге буенча
п тапкыр
	 „т + т + ... + т
a a ... a — a
п тапкыр
т + т + ... + т суммасын тп тапкырчыгышы белән
п тапкыр
алмаштырабыз.
Ул вакытта табабыз:
п тапкыр
Шулай булгач,
(a"T = amn. О
Дәрәҗәнең әле исбатлаган үзлегеннән түбәндәге ка¬
гыйдә килеп чыга:
t-⅛- дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәргәндә, нигезен үзгәрешсез калдырып,
дәрәҗә күрсәткечләрен тапкырлыйлар.
2 иче мисал
(ω4)3 аңлатмасын нигезе а булган дәрәҗә рәвешендә
күрсәтик.
Табабыз:
(ω4)3 = ω4 3 = ω12. <1
Дәрәҗәләрнең (ab)n = anbn һәм (an,)n = amn фор¬
мулалары белән аңлатылган үзлекләре нуль күрсәт¬
кечле дәрәҗә өчен дә дөрес кала (әгәр нигез нульгә
тигез булмаса).
80

Күнегүләр
438	Дәрәҗәгә күтәрегез:
а)	(ху)4;	в)	(2х)3;	д)	(~5х)3;	ж) (-0,2ху)4;
б)	(abc)5;	г)	(За)2;	е)	(-Юай)2;	з) (-O,5ftd)3.
439	/Дәрәҗәгә күтәрегез:
а)	(тп)5;	в)	(~3г/)4;	д)	(Юхг/)2;	ж) (-am)3;
б)	(χί/ζ)2;	г)	(-2ax)3;	е)	(-2aftx)4;	з) (-xn)4.
440	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	(2 · Ю)3; б) (2 · 5)4; в) (3 · ЮО)4; г) (5 · 7 ∙ 20)2.
441	а) Капма-каршы саннарның квадратлары тигез;
б)	капма-каршы саннарның кублары — капма-каршы саннар
икәнен исбатлагыз.
442	Квадратның ягын 2 тапкыр, 3 тапкыр, 10 тапкыр, п тапкыр
озынайтканда, аның мәйданы ничек үзгәрер?
443/ Кубның кабыргасын 2 тапкыр, 3 тапкыр, 10 тапкыр, п тапкыр
’ зурайтканда, аның күләме ничек үзгәрер?
444	Тапкырчыгышны дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
а)	ft3x3j	в)	x2z∕2z2j	д)	32а5;
б)	а7/;	г)	(-а)363;	е)	0,027 m3.
445	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	24 · 54;	в)	0,2515 ■ 415;	д)	(|)‘° · 1,49;
б)	43 ∙ 253;	г)	(|)7 · 1,57;	е)	ОД6 ■ 507.
446	Дәрәҗәгә күтәрегез:
а)	(х3)2;	в)	(а5)4;	д)	(z/2)5;	ж)	(ft3)3;
б)	(х2)3;	г)	(a6)3;	е)	(√)2i	з)	(ft5)2.
447	Аңлатманы нигезе х булган дәрәҗә рәвешендә языгыз:
а)	(х6)4;	в)	x2x,	д)	х2х3х4;
б)	х6х4;	г)	(х2)2;	е)	((х2)3)4.
448	Аңлатманы нигезе a булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
а)	(а5)2; б) a5a2; в) (а4)3; г) a3a4; д) a5a5; е) (a5)5.
449	Аңлатманы нигезе a булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
а) ana3-, б) aam∖ в) a2am; г) (a2)m; д) (ал)3; е) (а3)".
450	Санны нигезе 5 булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
а) 254; б) 1253; в) 6252.
451	220 ен нигезе а) 22; б) 24; в) 25; г) 210 булган дәрәҗә рәве¬
шендә күрсәтегез.
452	260 ен нигезе а) 4; б) 8; в) 16; г) 32 булган дәрәҗә рәвешендә
языгыз.
6 К4/147
81

453	α12 аңлатмасын берничә ысул белән дәрәҗә рәвешендә күрсә¬
тегез.
454	а2 = т икәне билгеле, α6 сен табыгыз.
455
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	х3(х2)5;	в) (α2)3 (α4)2j	д) (m2/n3)4;
б)	(a3)2 ∙ a5;	г) (x2)5 · (х5)2;	е) (x4x)2.
456
Аңлатманы нигезе а булган дәрәҗә рәвешендә языгыз:
а)	(а2)4;	в) (а5) (а2)2;	д) (а3а3)2;
б)	а3 ■ (а3)2;	г) (а3)3 · (а3)3;	е) (аа6)3.
457
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	х5 ■ (х2)3;	в) (х4)2 · (х5)3;
б)	(х3)4 х8;	г) (x2)3 (x3)5.
458
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
V 25∙(23)4	(58)2-57	. (25)2	V 37∙27
a 2„ :	« 5≈≈ :	■>) 2.„ : rt βψ .
Кабатлау өчен күнегүләр
459	a < 0 һәм b > 0 икәне билгеле. Аңлатманың кыйммәтен нуль
белән чагыштырыгыз:
a)	ab2; б) а3Ь; в) ~abi∖ τ)a2+b2∖ д) (α + ⅛)2.
460	Нинди цифрга тәмамлануы мөмкин: а) натураль санның квад¬
раты; б) натураль санның дүртенче дәрәҗәсе?
461	у = kx + 5,4 функциясенең графигы /1(3,7; -2) ноктасы аша
үтүе билгеле, k коэффициентын табыгыз.
462	40 нчы рәсемдә ниндидер бер функциянең графигы бирелгән.
а)	х = -2; -1; 2 булганда, у ның кыйммәтен;
б)	х ның у = -0,5; 2 булгандагы кыйммәтен графиктан файда¬
ланып табыгыз.
82

Контроль сораулар
к 1 ■ Санның натураль күрсәткечле дәрәҗәсе билгеләмәсен әйтеп
бирегез. Мисаллар китерегез һәм аларның һәркайсының нигезен
I һәм дәрәҗә күрсәткечен әйтегез.
2	Нинди сан була (уңаймы яки тискәреме): а) уңай санның
дәрәҗәсе; б) тискәре санның җөп күрсәткечле дәрәҗәсе; в) тис¬
кәре санның так күрсәткечле дәрәҗәсе? Мисаллар китерегез.
3	Теләсә нинди санның квадратын нуль белән чагыштырыгыз.
Җавапны тигезсезлек рәвешендә языгыз.
4	Дәрәҗәнең төп үзлеген әйтеп бирегез һәм исбатлагыз.
5	Бердәй нигезле дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлү кагыйдәләрен
әйтеп бирегез.
6	Санның нуль күрсәткечле дәрәҗәсенә билгеләмә бирегез.
Тапкырчыгышны дәрәҗәгә күтәрү һәм дәрәҗәне дәрәҗәгә
күтәрү,кагыйдәләрен әйтеп бирегез.
§ 7. Бербуыннар
19.	Бербуын һәм аның стандарт рәвеше
5a2x, 2b3(~3)bc2, -3α7, xy2 аңлатмалары саннарның, үзгәреш-
леләрнең һәм аларның дәрәҗәләренең тапкырчыгышыннан
гыйбарәт. Андый аңлатмаларны бербуыннар дип атыйлар.
Саннарны, үзгәрешлеләрне һәм аларның дәрәҗәләрен дә бер¬
буыннар дип исәплиләр. Мәсәлән, -7, 23, х, х4 аңлатмалары —
бербуыннар.
2fe3(-3)6c2 бербуынын тапкырлауның урын алыш¬
тыру һәм оештыру үзлекләрен кулланып гадиләштерик:
2b3(-3)bc2 = 2(-3)b3bc2 = -βb*c2.
Без 2b∖~3)bc2 бербуынын беренче урында торган
санлы тапкырлаучы белән үзгәрешлеләрнең төрле дә¬
рәҗәләренең тапкырчыгышы рәвешендә күрсәттек.
Мондый бербуынны бербуынның стандарт рәвеше
дип атыйлар. -5, α, -а, а3 кебек бербуыннарны да
стандарт рәвештәге бербуыннарга кертәләр. Теләсә
нинди бербуынны стандарт рәвешкә китерергә мөмкин.
Стандарт рәвештә язылган бербуынның санча тап¬
кырлаучысын бербуынның коэффициенты дип атый¬
лар. Мәсәлән, -fjbic2 бербуынының коэффициенты
-6 га тигез, а2 һәм -ab бербуыннарының коэффи¬
циентлары тиңдәшле рәвештә 1 гә һәм -1 гә тигез дип
исәпләнә, чөнки a2 = 1 · а2 һәм -ab = -1 ∙ ab.
6*
83

7ax1y3 бербуынында үзгәрешлеләрнең барлык дәрә¬
җә күрсәткечләренең суммасы 6 га тигез. Бу сумманы
7ах2у“ бербуынының дәрәҗәсе дип атыйлар, ~9⅛4c3
бербуынының дәрәҗәсе 7 гә, ^x5 бербуынының дәрә¬
җәсе 5 кә тигез.
Бербуынның дәрәҗәсе дип аңа кергән үзгәрешлеләрнең
барлык дәрәҗә күрсәткечләренең суммасын атыйлар. Әгәр
бербуын үзгәрешлеләрне эченә алмаса (ягъни сан булса),
аның дәрәҗәсен нульгә тигез дип исәплиләр.
Күнегүләр
463 Аңлатма бербуынмы:
а) 3,4χ2ί/;	г) х2 + х;
ж) а - Ь;
к) с10;
б) ~0,7ху2;	д) х2х;
з) 2(х + у)2·,
л) ~т;
в) а(-0,8);	е) - т3пт2;
и) -0,3xz/2;
м) 0,6?
464 Бербуын стандарт рәвештә язылганмы:
а) бху;	в) 0,5/п · 2п;
д) ~χ2y3∖
б) -2aba;	г) -Ьса;
е) bp3p2^>
•
465	Бербуынны стандарт рәвештә күрсәтегез һәм аның коэффициен-
~~~~ тын әйтегез:
а)	8х2х;	в) 3xi∕(-1,7)z∕j	д) ∙∣m2∏ ∙4,5n3i
б)	1,2аЬс5а;	г) 6с2(~0,8)с;	е) 2∙~α2x(~γ)α3x2.
466	Бербуынны стандарт рәвешкә китерегез:
а)	⅛yy2y,	в) -8α⅛(-2,5)(Λ	д) 2m3rz ∙ 0,4гип;
б)	O,15pg, · 4р<?2;	г) 10α262(-l,2α3)j	е) -2x3 ∙ O,5xz∕2.
467	а) х = 0,5 булганда, 5х3;
б)	у = -2 булганда, —О,125г/4;
в)	х = -0,3, У=б булганда, 12х2//;
г)	х = -1, у = | булганда, ~9x5ι∕2 бербуынының кыйммәтен
табыгыз.
468	а) т = 0,4 булганда, 3,7/п2;
б)	т = 0,6 булганда, -0,5/п3;
в)	a = -0,1, Ь = 4 булганда, -За3й;
г)	х = -|, У = 4± булганда, ^∣χ2y2 аңлатмасының кыйммәтен
исәпләп чыгарыгыз.
469	а) т = 3,2, п = 1,8; б) m = 0,61, π = 32 булганда, 2,lm2n бер¬
буынының кыйммәтен калькулятор ярдәмендә табыгыз.
84

470	а) х = 1,1, у = 1,9 булганда, 3x2ι∕ бербуынының кыйммәтен
калькулятор ярдәмендә табыгыз.
471	Турыпочмаклыкның иңе т см, ә буе иңеннән 5 тапкырга
озынрак. Турыпочмаклыкның мәйданын табыгыз.
472	Иңе а см, буе иңеннән 2 тапкыр озынрак, ә биеклеге буеннан
2 тапкыр зуррак булган турыпочмаклы параллелепипедның
күләме күпмегә тигез?
473	Бербуынның дәрәҗәсе нинди:
а)	-7χ5ί/6;	в) 0,8mn3k2∙,	д) -6m7;
б)	⅛ abc;	г) ab2c3;	e) 23?
О
Кабатлау өчен күнегүләр
474	А (-7; 15) ноктасы бирелгән, а) х күчәренә карата; б) у күчә¬
ренә карата; в) координаталар башлангычына карата А нокта¬
сына симметрияле В ноктасының координаталарын табыгыз.
2	2
475	Функция у= -дХ формуласы белән бирелгән, х =-3; 3; θ ;
9
-х; 2,4 булганда, функциянең кыйммәтен табыгыз, х ның
нинди кыйммәте өчен у = I; -6; -10,2?
476	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
43.3ιo	26∙6l8
a) ξlδ :	б) 225.99 ·
20.	Бербуыннарны тапкырлау. Бербуынны дәрәҗәгә күтәрү
∙λY Бербуыннарны тапкырлаганда һәм бербуыннарны дәрәҗәгә
I күтәргәндә нигезләре бердәй булган дәрәҗәләрне тапкырлау
I кагыйдәсе һәм дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәрү кагыйдәсе фай-
■ даланыла. Бу вакытта гадәттә стандарт рәвештә күрсәтелгән
1ИВ® бербуын килеп чыга.
1	нче мисал ~5a2bc һәм 4α⅛4 бербуыннарын тапкырлыйк.
Бу бербуыннарның тапкырчыгышын төзибез. Аларның
санча тапкырлаучыларын һәм нигезләре бердәй булган
дәрәҗәләрен тапкырлыйбыз. Табабыз:
-5a2bc ∙ Aa2b4 = (-5 · 4) (α2α2) (bb4)c = ~20a4b5c. <]
2	нче мисал -x2y, ⅛x3y2 һәм -5xz∕ бербуыннарының тапкырчыгы¬
шын табыйк.
-x2y ■ 4x3y2 ■ (-5xy) = -1 · 4 ∙ (-5)(x2x3x)(yy2y) =
= 20x6√. <]
85

3 иче мисал
4 иче мисал
-2a2b бербуынын өченче дәрәҗәгә күтәрик.
Тапкырчыгышны һәм дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәрү
кагыйдәләреннән файдаланабыз:
(-2α2⅛)3 = (-2)3(ω2)⅛3 = ~8α6⅛3. <
-χ3ι∕2 бербуынын дүртенче дәрәҗәгә күтәрик.
Табабыз:
(_хЗу2)4=(_1)4.(?)4.(//2)4 = х12//8
Күнегүләр
477 Тапкырлагыз:
а)	4х ■ 7у; в) ⅛ab3 ■ ^ab;
б)	-8x · 5х3; г) x2y5 ■ (~6xy2)∙,
478	Бербуыннарны тапкырлагыз:
а)	-llx2ι∕ һәм 0,3χ2ι/2;
б)	a3b һәм -ab3c;
479	Тапкырлагыз:
а)	3,5 · 2т;
б)	-6αx3 ■ 9Ьх2;
в)	-8α2⅛2 · (~8а365);
480	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	-0,8m2n ∙ (-0,5mW);
б)	O,3y2∙ (-|х4/);
в)	l⅛cd (-∣c9d7) =
д)	-0,6α⅛ · (-ΙΟαά2);
е)	-∣ m3n4 ■ 5m2n3.
в)	4ху, -х2 һәм -у3·,
г)	a2x5b, -O,d>axb2 һәм 0,6α2⅛3.
г)	ab ■ (-Tab2) ■ 4a2b∖
д)	10x2i∕ ■ (-xy2) ■ 0,6х3;
е)	-⅛ab2 ■ 3α3 ∙ (~4b).
г)	ab ∙ (-ab2) ■ ab3;
д)	x2y ■ (-ху) ■ (-xy2)∖
е)	тп ■ (-m3n3) ■ (min8).
481	6a2b3 бербуынын берничә ысул белән стандарт рәвештәге ике
бербуынның тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез.
482	-12x4i∕3 бербуынын ике ысул белән:
а)	стандарт рәвештәге ике бербуынның;
б)	стандарт рәвештәге өч бербуынның тапкырчыгышы рәве¬
шендә күрсәтегез.
483	Дәрәҗәгә күтәрегез:
а)	(Зх2)3;	в)	(~2aW	д)	(-ω2⅛c3)5!
б)	(4т)2;	г)	(-3x2i/)4;	е)	(-a3b2c)2.
484	Стандарт бербуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(2/п3)4;	в)	(-О,6/и3и2)3;	д)	(~ху4Ь2)4;
б)	(За)2;	г)	(-2xy3γ∖	е)	(-x2y3m)3.
86

485	Бербуынны дәрәҗәгә күтәрегез:
а)	5x2r∕3 ны квадратка;
б)	-4ax3 ны кубка;
в)	-2m3n2 ны дүртенче дәрәҗәгә;
г)	-α⅛c3Hbi бишенче дәрәҗәгә.
486	Аңлатманы бербуынның квадраты рәвешендә күрсәтегез:
а) 81х4;	б) 121й6;	в) 0,09z/12;	г) ∣66.
487	Аңлатманы бербуынның кубы рәвешендә күрсәтегез:
а)	64х9;	б) 0,001г/12;	в) -0.008&6;	г) -^α15∙
488	a) 9i>2c2; 100m2n6 бербуыннарының һәркайсын бербуынның
квадраты рәвешендә;
б)	-α3ft6j -27x669 бербуыннарының һәркайсын бербуынның
кубы рәвешендә күрсәтегез.
489	a) 16x6, 49m2n4 һәм т6 бербуыннарының һәркайсын бербуынның
квадраты рәвешендә;
б) й9; -8m3 һәм 1000x3z∕6 бербуыннарының һәркайсын бербуын¬
ның кубы рәвешендә языгыз.
490	а) х6//12; б) 1000 000m18 бербуыны килеп чыксын өчен, нинди
бербуынны квадратка (кубка) күтәрергә кирәк?
491	Аңлатманы стандарт бербуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	25α4 ■ (За3)2;	д)	(-10c2)4 ∙ 0,0001c11;
б)	(-3⅛6)4 · Ь;	е)	(365)2 ∙ ∣Ь3;
в)	8р15 · (-р)4;	ж)	(-2x3)2 · (—j x4);
г)	(-c2)3 0,15с4;	з)	(~⅛i∕4) ’ (~16ι∕2).
492	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(xz∕)3 ∙ (-3x4z∕2)j	д)	(-χ2z∕)3 ■ (-χ4z∕2)j
б)	0,5α263 ∙ (-2⅛)6j	е)	0,2a263 ∙ (-5a⅛)2j
в)	(0,2m2n)3 ∙ lOOOrnW; ж) Q∙∕n2n) ∙ (-32m2«);
г)	-7c8 ■ (-0,4с3)2;	з) (-jp√)2 (-27p5ρ).
493	Аңлатманы стандарт рәвештәге бербуынга үзгәртегез:
а)	(-O,2⅛6)3 ∙ 56;	д)	(2a6)4 · (-7й76);
б)	-0,01a4 · (—10a5)3;	е)	-0,6x7√ · (0,5xz/2)2;
в)	⅛P7 (~1∣P4)	!	ж)	10pV ■ (0,1р<?)3;
г)	(ЗI a2 )3 · 8 1й5;	з)	(-Зй762)4 ∙ ab.
87

Кабатлау өчен күнегүләр
494	Бер складта 185 т, ә икенчесендә 237 т күмер булган. Беренче
склад һәр көнне 15 т, икенчесе 18 т күмер җибәреп торган.
Ничә көннән соң икенче складта күмер беренчесендәгегә кара¬
ганда бер ярым тапкырга күбрәк калыр?
495	Бер яшелчә базасында 210 т, ә икенчесендә 180 т бәрәңге бар.
Беренче базага һәр көнне 90 т, икенчесенә 120 т бәрәңге
китерәләр. Ничә көннән соң беренче базада бәрәңге икен-
чесендәгедән 1,2 тапкыр азрак булыр?
496	у — kx + Ь формуласы белән бирелгән функциянең графигы
булган туры координаталар күчәрләрен Д(0; 6) һәм S(-4; 0)
нокталарында кисеп үтә. k һәм Ь ны табыгыз.
497	у = -0,3x + 5,4 һәм у = 0,7х - 8,4 функцияләре графикларының
кисешү ноктасының координаталарын табыгыз.
498	А(а; -3) ноктасы В (4; Ь) ноктасына: а) абсциссалар күчәренә
карата; б) ординаталар күчәренә карата; в) координаталар
башлангычына карата симметрияле, а һәм Ь ның кыйммәтләрен
табыгыз.
499	Унарлы вакланмаларны түгәрәкләгез:
а)	3,468; 27,601; 8,51; 10,5 не берәмлекләргә кадәр;
б)	605,718; 4,0389; 11,05 не унынчы өлешләргә кадәр;
в)	745,1; 699,95; 8,04 не дистәләргә кадәр;
г)	661,38; 1740,5; 7550,1 не йөзләргә кадәр.
21.	у = х2 һәм у = х3 функцияләре һәм аларның графиклары
Квадрат мәйданының аның ягына бәйлелеге, куб күлә¬
менең аның кабыргасына бәйлелеге у = х2 һәм у = х3
рәвешендәге формулалар белән бирелә торган функ¬
цияләргә мисал булып торалар.
у = х2 функциясенең графигын төзик, х һәм у ның
тиңдәшле кыйммәтләре таблицасын тутырабыз:
X
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
У
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
Координаталары таблицада күрсәтелгән нокталарны
төзик (рәс. 41). Графикны координаталар башлангычы
янында төгәлрәк төзү өчен, функциянең тагын бер¬
ничә кыйммәтен исәплик:
х
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,1
0,2
0,3
0,4
У
0,16
0,09
0,04
0,01
0,01
0,04
0,09
0,16
Таблицадан күренгәнчә, функциянең графигы коор¬
динаталар башлангычы янында х күчәре белән кушы¬
лып китә диярлек.
88

графикның у лар күчәреннән уң якта да, сул якта да
/ югарыга таба чиксез дәвам иткәнлеге ачык күренә.
у = х2 функциясенең графигын парабола дип
атыйлар.
y = x2 функциясенең кайбер үзлекләрен ачыклыйк.
1.	Әгәр х = 0 булса, ул вакытта у = 0. Шуңа күрә функция¬
нең графигы координаталар башлангычы аша үтә.
2.	Әгәр х ≠ 0 булса, ул вакытта у > 0. Дөрестән дә, нульгә
тигез булмаган теләсә нинди санның квадраты уңай сан
була. Димәк, функция графигының (0; 0) ноктасыннан кала
барлык нокталары х лар күчәреннән югарырак урнашкан.
3.	х ның капма-каршы кыйммәтләренә у ның бер үк кыйм¬
мәте туры килә. Бу теләсә нинди х өчен (-χ)2 = х2 булудан
килеп чыга. Димәк, абсциссалары капма-каршы саннар бул¬
ган графикның нокталары у лар күчәренә карата симметрияле.
89

х һәм у ның тиңдәшле кыйммәтләре таблицасын ту¬
тырабыз:
X
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
У
-8
-3,38
-1
-0,13
0
0,13
1
3,38
8
Координаталары таблицада күрсәтелгән нокталарны
төзибез (рәс. 43).
Билгеләнгән нокталар аша салмак сызык үткәрәбез
(рәс. 44). у = х3 функциясенең графигы килеп чыгар.
Бу графикның у лар күчәренең уң ягында — өскә
таба, ә у лар күчәренең сул ягында түбәнгә таба
чиксез дәвам иткәнлеге ачык күренә.
Шуны да искәртәбез: координаталар башлангычы
янында функциянең графигы х лар күчәре белән ку-
90

91

шылып китә диярлек (әгәр x = O,l булса, ул вакытта
у = 0,001; әгәр х = 02 булса, ул вакытта у = 0,008; әгәр
х = 0,3 булса, ул вакытта у = 0,027).
у = х3 функциясенең кайбер үзлекләрен ачыклап
китик.
1.	Әгәр х = 0 булса, ул вакытта у = 0. Шуңа күрә функциянең
графигы координаталар башлангычы аша үтә.
2.	Әгәр х > 0 булса, ул вакытта у > 0; әгәр х < 0 булса, ул
вакытта у < 0. Дөрестән дә, уңай санның кубы — уңай сан,
ә тискәре санның кубы — тискәре сан. Димәк, функциянең
графигы беренче һәм өченче координата чирекләрендә урнаша.
3.	х ның капма-каршы кыйммәтләренә у ның капма-каршы
кыйммәтләре тиңдәш була. Бу х ның теләсә нинди кыйм¬
мәте өчен (-x)3 = -х3 тигезлегенең дөрес булуыннан килеп
чыга. Димәк, графикның абсциссалары капма-каршы саннар
булган нокталары координаталар башлангычына карата сим¬
метрияле урнашалар.
Күнегүләр
500	у = х2 функциясенең 42 нче рәсемдә сурәтләнгән графигыннан
файдаланып:
а)	х = О,75; -1,25; 1,25; -2,2; 2,2 гә тиңдәшле у ның кыйм¬
мәтләрен;
б)	у = 3; 5 кә туры килә торган х ның кыйммәтләрен табыгыз.
501	у = х2 функциясенең графигыннан файдаланып (рәс. 42):
а)	аргументның кыйммәте 1,4; -2,6; 3,1 гә тигез булганда,
функциЯнрң тиңдәшле кыйммәтен;
б)	функциянең кыйммәте 4 кә тигез; 6 га тигез булгандагы
аргумент кыйммәтләрен;
в)	х ның функция кыйммәтләрен 4 тән кечерәк; 4 тән зуррак
итә торган берничә кыйммәтен табыгыз.
502	у = х2 функциясенең 42 нче рәсемдә сурәтләнгән графигыннан
файдаланып:
а)	х =-2,4; -0,7; 0,7; 2,4 кә тиңдәшле у ның кыйммәтен;
б)	у = 2; 0,9 га туры килә торган х ның кыйммәтләрен;
в)	х ның функция кыйммәтен 2 дән зуррак; 2 дән кечерәк итә
торган берничә кыйммәтен табыгыз.
503	Квадратның ягын 3 тапкыр зурайтканда; 10 тапкыр кечерәйт¬
кәндә, аның мәйданы ничек үзгәрер?
504	Квадратның мәйданын 4 тапкыр; 16 тапкыр зурайту өчен, аның
ягын ничек үзгәртергә кирәк?
505	у = х3 функциясенең 44 нче рәсемдә сурәтләнгән графигыннан
'	' файдаланып:
а)	у ның х = 1,4; -1,4; -1,8; 1,8 гә тиңдәшле кыйммәтен;
б)	х ның у = -4; 4 кә туры килә торган кыйммәтен табыгыз.
92

506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
у = x3 функциясенең графигыннан файдаланып (рәс. 44):
а)	аргументның -0,7; гә тигез кыйммәтенә тиңдәшле функ¬
ция кыйммәтен;
б)	функциянең 3; -3 кә тигез кыйммәтенә туры килә торган
аргумент кыйммәтен;
в)	аргументның функция кыйммәте -3 тән зуррак, ләкин 3 тән
кечерәк булырлык берничә кыйммәтен табыгыз.
Кубның кабыргасын 2 тапкыр зурайтканда; 3 тапкыр кече¬
рәйткәндә, аның күләме ничек үзгәрер?
Кубның күләме 64 тапкыр зурайсын өчен, аның кабыргасын
күпмегә үзгәртергә кирәк?
у = —х3 функциясенең графигын төзегез. График буенча:
а)	х = 0,7; -1,3 кә тиңдәшле у ның кыйммәтен;
б)	у = 4 кә туры килә торган х ның кыйммәтен табыгыз.
a) А (-02; -0,008);	6)β(ψ3∣)ι в) с(-|; ⅛)
ноктасы у = х3 графигыныкымы?
Бер үк координаталар системасында у = х2 һәм у = х3 (бире¬
дә x≥0) функцияләренең графикларын төзегез. Төзелгән гра¬
фиклардан файдаланып чагыштырыгыз:
a)	0,62 һәм 0,63; б) 1,52 һәм 1,53; в) 2,72 һәм 2,73.
Кабатлау ечен күнегүләр
Квадрат формасындагы плитканы буяр өчен 20 г буяу тоткан¬
нар. Ягы 3 тапкыр зуррак булган квадрат формасындагы плит¬
каны буяр өчен күпме буяу кирәк (ике плитканың да бер як
өслеге генә буяла)?
Куб формасындагы резервуар насос ярдәмендә 45 мин та туты¬
рыла. Кабыргасы ике тапкыр зуррак булган куб формасындагы
резервуарны шул ук насос белән күпме вакытта тутырып
булыр?
Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
а)	0,316 һәм (-0,3)16;	в) -5,64 һәм (-5,6)4;
б)	(-1,9)21 һәм 1,921;	г) -0,8" һәм (-0,8)"
у = 8,5х һәм у = 0,5х - 192 функцияләренең графиклары кисешү
ноктасының координаталарын табыгыз.
а)	a = 6,39, Ь = 5,46;	в) a = 43,52, Ь = 46,68;
б)	a = 0,1, Ь = 0,208;	г) a = Ь = 7,5
өчен ∣α-b∣ аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
Вакланмаларның һәркайсын йөзенче өлешләргә кадәр түгә¬
рәкләгез: 0,00813; 1,00399; 62,125; 39,0956.
93

518 Аңлатманы гадиләштерегез:
a) -0,6α⅛(-2α263)3!	б) 0,8x√(-6x√)2.
Контроль сораулар
1	Стандарт рәвештәге бербуынга мисал китерегез һәм аның
коэффициентын әйтегез.
2	Бербуынның дәрәҗәсе билгеләмәсен әйтеп бирегез.
3	у = х2 функциясенең үзлекләрен әйтеп бирегез, у = х2 функ¬
циясенең бу үзлекләре графикта ничек чагылалар?
4	у = х3 функциясенең үзлекләрен әйтеп бирегез, у = х3 функ¬
циясенең бу үзлекләре графикта ничек чагылалар?
§ 8. Абсолют һәм чагыштырма хата
⅛
22.	Абсолют хата
у = х2 функциясенең графигы буенча аның х = 1,5 һәм
x = 2,l булгандагы якынча кыйммәтләрен табыйк
(42 нче рәсемне карагыз):
әгәр х = 1,5 булса, у ≈ 2,3;
әгәр х = 2,1 булса, у ≈ 4,4.
у = х2 формуласы буенча бу функциянең төгәл
кыйммәтен табарга мөмкин:
әгәр х = 1,5 булса, у - 1,52 = 2,25;
әгәр х = 2,1 булса, у = 2,12 = 4,41.
Якынча кыйммәт төгәл кыйммәттән беренче очрак¬
та 0,05 кә, икенче очракта 0,01 гә аерыла, чөнки:
2,3-2,25 = 0,05;	4,41-4,4 = 0,01.
Якынча кыйммәтнең төгәл кыйммәттән күпмегә
аерылганын белү өчен, зуррак саннан кечерәген алалар.
Икенче төрле әйткәндә, төгәл кыйммәт белән якынча
кыйммәт аермасының модулен табарга кирәк. Бу аер¬
маның модулен абсолют хата дип атыйлар.
Билгеләмә. Төгәл һәм якынча кыйммәтләр аермасының
К модуле якынча кыйммәтнең абсолют хатасы дип атала.
Мәсәлән, югарыда китерелгән мисалда 2,3 кә тигез
булган якынча кыйммәтнең абсолют хатасы 0,05,
ә 4,4 кә тигез булган якынча кыйммәтнең абсолют
хатасы 0,01:
12,25-2,31 = ∣-0,051 =0,05;
14,41-4,41 =0,01.
94

∣llll∣llll∣lllψlll∣llll,llll∣llll∣llll∣llll∣llll∣
0	1	2	3	4	5
Абсолют хатаны һәрвакытта да
табып булмый. Мәсәлән, 45 нче
рәсемдә сурәтләнгән АВ кисем¬
тәсенең озынлыгын үлчәгәндә,
Рәс. 45
AB ≈ 4,3 см
нәтиҗәсе табылсын, ди. АВ кисемтәсе озынлыгының
төгәл кыйммәтен белмәгәнлектән, без якынча кыйм¬
мәтнең абсолют хатасын таба алмыйбыз. Мондый
очракларда абсолют хата зуррак була алмый торган
санны күрсәтү мөһим. Без караган мисалда андый
сан сыйфатында 0,1 санын алырга була. Дөрестән дә,
линейканың бүлем кыйммәте 0,1 см һәм шуңа күрә
4,3 кә тигез булган якынча кыйммәтнең абсолют хата¬
сы 0,1 дән зур түгел, ягъни
I АВ - 4,31 <0,1.
Мондый очракларда 4,3 санын АВ кисемтәсе озын¬
лыгының 0,1 гә кадәр төгәллектәге якынча кыйммәте
(сантиметрларда), диләр.
Әгәр х ≈ а һәм бу якынча кыйммәтнең абсолют хатасы нин¬
дидер һ саныннан зур булмаса, а санын х санының һ ка кадәр
төгәллектәге якынча кыйммәте дип атыйлар.
һ ка кадәр төгәллек белән х ≈ а
дип языла.
Якынча кыйммәтнең төгәллеге күп нәрсәгә бәйле.
Аерым алганда, әгәр якынча кыйммәт үлчәү юлы
белән табылса, ул вакытта аның төгәллеге үлчи
торган приборның төгәллегенә бәйле. Мәсәлән, меди¬
цина термометрында бүлемнәр 0,1° аша билгеләнгән.
Ул температураны 0,1° ка кадәр төгәллек белән үл¬
чәргә мөмкинлек бирә. Бүлмә термометрында бүлем¬
нәр 1° аша билгеләнгән. Аның белән бүлмә темпера¬
турасын 1° ка кадәр төгәллек белән үлчәп була.
Сәүдә үлчәвенең шкаласы бүлеменең кыйммәте 5 г,
анда әйберне 5 граммга кадәр төгәллек белән үлчәп
була.
Унарлы вакланмаларны унынчы, йөзенче, меңенче һ. б.
өлешләргә кадәр түгәрәкләгәндә, якынча кыйммәтләр 0,1;
0,01; 0,001 гә һ. б. кадәр төгәллек белән табыла.
Мәсәлән, 2,513 санын унынчы өлешкә кадәр түгә¬
рәкләсәк, 2,5 килеп чыга. 2,5 саны 2,513 санының
0,1 гә кадәр төгәллектәге якынча кыйммәте. Дөрес¬
тән дә,
12,513-2,51 =0,013 <0,1.
95

Күнегүләр
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
Рэе. 46
х = 0,2; 1,6; 1,9 булганда, график буенча у = х3 функциясе¬
нең (44 нче рәсемне карагыз) якынча кыйммәтен табыгыз һәм
һәр якынча кыйммәтнең абсолют хатасын исәпләп чыгарыгыз.
х = 0,6; 1,8; 2,6 булганда, график буенча (42 нче рәсемне кара¬
гыз) у = х2 функциясенең якынча кыйммәтен табыгыз, һәр
якынча кыйммәтнең абсолют хатасын исәпләп чыгарыгыз.
17,26; 12,034; 8,654 саннарын унынчы өлешләргә кадәр түгәрәк¬
ләгез һәм һәр якынча кыйммәтнең абсолют хатасын табыгыз.
Түгәрәкләү нәтиҗәсендә табылган якынча кыйммәтнең абсолют
хатасын табыгыз:
а)	9,87 саңын берәмлекләргә кадәр;
б)	124 сайыҢхД-истәләргә кадәр;
в)	0,453 can⅛ унынчы өлешләргә кадәр;
г)	0,198 санын Лтезенче өлешләргә кадәр.
санын унарлы вакланма рәвешендә языгыз һәм бу ваклан¬
маны унынчы, йөзенче, меңенче өлешләргә кадәр түгәрәкләгез,
һәр очракта якынча кыйммәтнең абсолют хатасын табыгыз.
Исәпләүләрдә γ вакланмасын 0,14 унарлы вакланмасы белән
алмаштырганнар. Бу якынлашуның абсолют хатасы нинди?
46 нчы рәсемдә сурәтләнгән һәр почмакны транспортир
ярдәмендә үлчәгез. Табылган нәтиҗәләрнең төгәллеге нинди?
Кысынкы почмак сызыгыз һәм аны транспортир ярдәмендә
үлчәгез. Табылган нәтиҗәнең төгәллеге нинди?
Таякның озынлыгын үлчәү өчен миллиметрларга бүлемләнгән
линейка, штангенциркуль (бер бүлеменең кыйммәте 0,1 мм) һәм
микрометр (бер бүлеменең кыйммәте 0,01 мм) кулланганнар.
Монда шундый нәтиҗәләр алынды: 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм.
Күрсәтелгән үлчәү нәтиҗәләренең кайсысы нинди инструмент
белән үлчәнгән һәм инструментларның һәркайсының төгәллеге
нинди?
Үлчәү һәм герләр ярдәмендә карбызның массасы 5 кг нан авыр¬
рак һәм 6 кг нан җиңелрәк икәнен белгәннәр. Массаның
якынча кыйммәте итеп 5 кг һәм 6 кг ның арифметик уртасын
алганнар. Бу якынлашу нинди төгәллек белән сайланган?
96

529	0,16 һәм 0,17 саннарының һәркайсы | санының 0,01 гә кадәр
төгәллектәге якынча кыйммәте икәнен күрсәтегез. Аларның
кайсысы санының 0,005 кә кадәр төгәллектәге якынча
кыйммәте була?
Кабатлау ечен күнегүләр
530	Турбазага барып җитү өчен туристлар 252 км юл үтәргә тиеш.
Юлның бер өлешен алар автобуста, калганын җәяү үткәннәр.
Автобуста алар җәяү барганга караганда 2 сәг озаграк
барганнар. Автобусның тизлеге 60 км/сәг, туристларның
6 км/сәг тизлек белән барулары билгеле булса, алар ничә
сәгать җәяү барганнар?
531	Исәпләп чыгарыгыз:
б) 113.2ιo .
532	а) 12,3 нең 7,5 кә;
б)	18 нең 45 кә;
в)	3,7791 нең 1,7 гә;
г)	7,314 нең 609,5 кә
чагыштырмасын табыгыз.
533	47 нче рәсемдә аралары
200 км булган А шәһә¬
реннән В шәһәренә бару¬
чы ике машинаның хәрәкәт графиклары төзелгән. Шушы гра¬
фиклар ярдәмендә сорауларга җавап бирегез: а) беренче һәм
икенче машина күпме вакыт юлда булганнар; б) кайсы машина
элегрәк чыгып киткән; в) һәр машина нинди тизлек белән
барган; г) кайсы машина В шәһәренә алданрак килеп җиткән;
д)	графикларның кисешү ноктасы нәрсәне белдерә?
23.	Чагыштырма хата
Пыяланың калынлыгы b ны, китап киштәсенең озын¬
лыгы I ны (сантиметрларда) үлчәгәндә, түбәндәге нәти¬
җәләр табылган:
0,1 гә кадәр төгәллек белән b ≈ 0,4;
0,1 гә кадәр төгәллек белән I ≈ 100,0.
Әлеге үлчәүләрнең һәркайсында абсолют хата
0,1 дән артмый. Шулай да 0,1 төгәллеге 0,4 нең шак-
тый зур өлешен, ә 100 санының бик кечкенә өлешен
тәшкил итә. Бу икенче үлчәүнең сыйфаты беренчесенә
> караганда күпкә төгәлрәк булуын күрсәтә. Шуңа күрә
7 К4/147
97

үлчәүнең сыйфатын бәяләү өчен якынча кыйммәтнең
чагыштырма хатасыннан файдаланалар.
■Билгеләмә. Абсолют хатаның якынча кыйммәт модуленә
чагыштырмасы якынча кыйммәтнең чагыштырма хатасы
дип атала.
Чагыштырма хатаны процентларда күрсәтү кабул
ителгән.
Мисал
14,7 вакланмасын бөтен санга кадәр түгәрәкләп, якын¬
ча кыйммәтнең чагыштырма хатасын табыйк.
14,7 ≈ 15 булганлыктан,
∣14,7-15∣ ,∣-0i3∣ _ Q13
∣15∣	“ 15 “15
Чагыштырма хатаны исәпләү өчен, якынча кыйм¬
мәттән тыш, абсолют хатаны да белергә кирәк. Гадәттә
абсолют хата билгеле булмый, шуңа күрә чагыштырма
хатаны да исәпләп булмый. Мондый очракларда ча¬
гыштырма хатаны бәяләү белән чикләнәләр.
Әлеге пункт башында карап киткән пыяланың ка¬
лынлыгы Ь, китап киштәсенең озынлыгы / ны үлчәү
турындагы мисалга кире кайтыйк.
Үлчәү нәтиҗәсендә 0,1 гә кадәр төгәллек белән
b ≈ 0,4, ягъни үлчәүнең абсолют хатасы 0,1 дән зур
түгел икәнлеген таптык. Димәк, абсолют хатаның
якынча кыйммәткә чагыштырмасы
y∣ = 0,25 = 25% тан
кечерәк яки аңа тигез, ягъни якынлашуның чагыш¬
тырма хатасы 25% тан артмый.
Китап киштәсенең озынлыгын үлчәгәндә килеп
чыккан якынлашуның чагыштырма хатасы
⅛⅛ =0,001 = 0,1% тан
lUv
артмаганлыгын аналогия буенча табабыз.
Беренче очракта үлчәү 25% ка кадәр чагыштырма
төгәллек белән, ә икенче очракта 0,1% ка кадәр чагыш¬
тырма төгәллек белән үтәлгән, диләр.
Күнегүләр
534	Санны берәмлеккә кадәр түгәрәкләгез, абсолют һәм чагыш¬
тырма хаталарны табыгыз: а) 5,3; б) 9,8; в) 1,96; г) 7,5.
535	3∣ һәм 12саннарының һәркайсын унарлы вакланма рәве¬
шендә күрсәтегез. Табылган вакланмаларны унынчы өлешләргә
98

кадәр түгәрәкләп, якынлашуның абсолют һәм чагыштырма
хатасын табыгыз.
536	2,525 санын унынчы өлешләргә кадәр түгәрәкләгез. Түгәрәк-
ләгәндә килеп чыккан якынлашуның чагыштырма хатасын
табыгыз.
537	х = 0,8; 1,6 булганда, у = х2 (42 нче рәсемне карагыз) функ¬
циясенең якынча кыйммәтен график буенча билгеләгез. Якынча
кыйммәтнең чагыштырма хатасын табыгыз.
538	Термометр температураны 0,5 °C төгәллек белән күрсәтә, һа¬
ваның температурасын үлчәп, аның 17 °C икәнен белгәннәр.
Үлчәү нинди чагыштырма төгәллек белән үтәлгән?
539	Укучының тимернең тыгызлыгын билгеләү буенча лаборатор
эш нәтиҗәсе 7,6 г/см3 килеп чыккан. Тәҗрибә нәтиҗәсенең
чагыштырма хатасын исәпләп чыгарыгыз (тимернең таблица
буенча тыгызлыгы 7,8 г/см3 га тигез).
540	Җирнең өслеге 5102 млн км2 га тигез (0,1 млн км2 га кадәр
төгәллек белән). Якынча кыйммәтнең чагыштырма хатасын
бәяләгез.
541	Кеше чәченең калынлыгы d ны һәм Җирдән Айга хадәр
ераклык I ны үлчәгәннәр. 0,01 гә кадәр төгәллек белән
d≈ 0,15 мм һәм 500 км га кадәр төгәллек белән l≈ 384 000 км
булган. Чагыштырма хаталарны бәяләп, үлчәү нәтиҗәләренең
сыйфатын чагыштырыгыз.
542	Үлчәүдә 1,5 кг бодайны 5 г га кадәр төгәллек белән, 2,5 кг
кукурузны 5 г га кадәр төгәллек белән үлчәгәннәр. Чагыш¬
тырма хаталарны процентларда исәпләп, үлчәү нәтиҗәләренең
сыйфатын чагыштырыгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
543	А һәм В нокталары координаталар яссылыгының I чирегендә
ята һәм у = х2 функциясенең графигыныкы булалар. В нок¬
тасының ординатасы А ноктасының ординатасыннан 16 тапкыр
зуррак. А ноктасының абсциссасы В ноктасының абсцисса¬
сыннан ничә тапкыр кечерәк?
544	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
, 244∙63	к 357∙24
a, 483∙34 ’	’ 56∙145 ■
545	у = 2,6х + 9,1 формуласы белән бирелгән функция графигының
координата күчәрләре белән кисешү нокталарының координа-
таларын табыгыз.
Контроль сораулар
ГПбсолют хата билгеләмәсен әйтеп бирегез.
2 Чагыштырма хата билгеләмәсен әйтеп бирегез.
7*
99

III	бүлеккә өстәмә күнегүләр
6	нчы параграфка
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
Тигезлек дөресме:
a)	З2 + 42 + 52 = 62;	6) (1 + 2 + 3 + 4)2 = I3 + 23 + З3 + 43?
267 + 155 - 319 нең 10 га кабатлы икәнен исбатлагыз.
Санны гади тапкырлаучыларга таркатып, аны гади саннарның
дәрәҗәләре тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:
а)	54; б) 144; в) 225; г) 500.
Санны нигезе 2 яки 3 булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
а)	64; б) 81; в) 512; г) 729; д) 1024.
Санны 2 санының дәрәҗәләре суммасы рәвешендә күрсәтегез:
а)	6;	б) 18;	в) 42.
Санны күрсәткече 1 дән башка сан булган дәрәҗә рәвешендә
күрсәтегез:
а)	121;	в) 0,125;	д) -0,216;
б)	-32;	г) 625;	е) 0,343.
а)	х = -2 булганда, Ο,ΟΟΙχ5;	в) х = 5, у = 2 булганда, x2u4,
б)	у = 0,1 булганда, ΙΟΟΟζ/3;	г) х = -2, у = -5 булганда, 3x3z∕
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
п үзгәрешлесе а) 6; б) 11; в) 23; г) 70 кә тигез булганда,
(-1)" аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
а)	5 һәм -3 саннарының кублары суммасын;
б)	9 һәм -11 саннары суммасының кубын;
в)	12 һәм 8 саннарының квадратлары аермасын;
г)	96 һәм -4 саннары аермасының квадратын;
д)	7 һәм -5 саннары квадратларының икеләтелгән тапкыр¬
чыгышын;
е)	15 саны белән 4 саны квадратының өчләтелгән тапкырчы¬
гышын исәпләп чыгарыгыз.
Исәпләүләрне башкармыйча гына, аңлатмаларның кыйммәт¬
ләрен чагыштырыгыз:
а)	(-0,03)8 һәм 0;	в) (-l,75)3 һәм (-0,29)2;
б)	0 һәм (-1,25)7;	г) 0,986 һәм l,026.
Кайсы зуррак һәм күпмегә:
а)	23 яки З2;	в) 2 ■ З2 яки 3 ∙ 23;
б)	52 яки 25;	г) (11+ 19)2 яки 112 + 192?
а ның а) -12; б) 0; в) 5 кә тигез кыйммәтләре өчен α2 һәм
а3 аңлатмаларының кыйммәтләрен чагыштырыгыз.
х = 1,5 һәм х = -2 булганда, аңлатмаларның кыйммәтләрен
табыгыз:
а) х2; -х2; (~х)2;	б) х3; -х3; (-χ)3.
100

559	Теләсә нинди натураль п өчен вакланманың кыйммәте нату¬
раль сан икәнен исбатлагыз:
560	-3, -2, -1, 1, 2, 3 саннарының кайсылары тигезләмәнең тамыр¬
лары була:
а)	х4 = 81;	b)x2-x = 2j	д) x3-Зх2-4х + 12 = 0;
б)	х6 = 64;	г) х4 + х3 = 6х2;	е) x3 + Зх2 - х - 3 = 0?
561	Тигезләмәнең тамырлары юклыгын исбатлагыз:
а) х2 + 1 = 0;	б) 2x6 + 3x4 + x2 + 1 = 0.
562	х ның нинди кыйммәте өчен (2x + З)2 аңлатмасының кыйммәте
нульгә тигез?
563	х4 + Зх3 + 2х2 + х + 6 = 0 тигезләмәсенең уңай тамырлары юклы¬
гын исбатлагыз.
564	х6 - х5 + х4 - х3 + х2 - х + 1 = 0 тигезләмәсенең тискәре тамыры
бармы?
565	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	αl0αl2(-α5)j	в) yky*y∖
б)	х(-х)(-х6);	г) bnbnb3.
566	Аңлатманы дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
а)	25■ 8; б) 16 64; в) 7"■ 343;	г)81 3*.
567	Аңлатманы берсе α5 нә тигез булган ике тапкырлаучының
тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:^
568	Килеп чыккан тигезлек бердәйлек булырлык итеп, х ны нигезе
с булган дәрәҗә белән алмаштырыгыз;
a) c2x = с , б) хс5 = с9;	в) c6x = с”;	г) c4x = с15.
569	Өлешне дәрәҗә белән алыштырыгыз:
а) й15: Ь\ б) 739:713;	в) а11: а;	г) 121∞: 1299.
570	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a) 131°0 : 1398;	в) 214:84;	д) 510 : 254;
λ, 38∙27	4 95∙59	, 38∙58
6 36·25’	r)3«.5'°:	е) 3,0∙57 '
571	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)6'1 + 3:6л; б) 10"+1:10" ^ l.
572	Исәпләп чыгарыгыз:
а)	(217 - 43,07 ∙ 4)0 + 5 ∙ ⅜;
□
573	Гадиләштерегез:
а) (-1Г (-1)Я;
б) 17,83° ∙ 6,4 + ∣ 2,8.
б) (-l)2n : (~1)3.
574	Түгәрәк мәйданы S = пг^формуласы буенча исәпләнә, биредә
г —түгәрәкнең радиусы. Түгәрәкнең радиусын 3 тапкыр;
7 тапкыр зурайтканда, аның мәйданы ничек үзгәрер?
101

575	Шарның күләме V= ^πr3 формуласы буенча исәпләнә, биредә
г — шарның радиусы. Шарның радиусын 2 тапкыр; 4 тапкыр
зурайтканда, аның күләме ничек үзгәрер?
576	Тигезлек х ның теләсә нинди кыйммәте өчен дөресме:
a) ∣x∣2 = х2 ;	б) |х |3 = х3?
577	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	45 ■ 2,55;	в) 0,29 · 57;	д) ОД6 ∙ 253;
б)	(∣)13 ∙313!	г) 0,410 ∙2,512!	е) (∣)θ -814.
578	Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
а)	Ю7 һәм 28 · 57;	в) 2525 һәм 250 · З50;
б)	612 һәм 213 · З11;	г) 6330 һәм 360 ∙530.
579	Аңлатманы 3" яки -3n рәвешендә күрсәтегез:
a) (-З3)2; б) (-З2)3; в) -(З4)2; г) -(-З2)3.
580	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(x3)2∙(-x3)4ι	в) (x7)5 (-x2)6!
б)	(-√)7 ∙(-√)5ι	г) (-c9)4 ∙(c5)2.
581	Килеп чыккан тигезлек бердәйлек булырлык итеп, р хәрефен
аңлатма белән алмаштырыгыз:
a)p5 = x20j 6)p7 = x, b)∕Λ8 = c20j г) √ ∙ (√)4 = р5
582	Дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
а) 45 -221;	б) 2513:5";	в) 85 ∙ 1613;	г)27ю:915.
583	Аңлатманы хп яки -х" рәвешендә күрсәтегез:
а) (-х3)7;	б) (-х2)5;	в) (-х)4х8;	г) (-x5)7 · (х2)3.
584	a) 215; б) 26 саннарын күрсәткече 1 гә тигез булмаган дәрәҗә
рәвешендә ничә ысул белән күрсәтергә мөмкин?
585	Нинди шарт үтәлгәндә:
а)	ике санның квадратлары суммасы нульгә тигез;
б)	ике сан суммасының квадраты нульгә тигез?
586	Натураль а саны берәмлеккә тәмамлана, а санының натураль
күрсәткечле дәрәҗәсе нинди цифрга тәмамланыр? Мондый ана¬
логик үзлек тагын нинди цифрлар өчен үтәлә?
587	Теләсә нинди натураль k өчен:
а)	З4* санының берәмлеккә тәмамланганын;
б)	10* - 1 санының 3 кә кабатлы икәнен исбатлагыз.
7	нче параграфка
588	a) а = 0; 1; -1; -0,1; 0,2 булганда, 7а3;
б) х = 2; -3; 20; -0,2; 0,5 булганда, -4x3 бербуынының кыйм¬
мәтен исәпләгез.
589	a) a = -6,	α = 4 ’	a = ~ 9 ’
⅛ = 3g!	b = ~3’	& = -15
булганда, ~4,5аЬ;
402

б) X = -4,
х - 6,
х = -1,
х = 18,
У = 8;
булганда, 0,001x3⅛ς
y-i··
У f 125;
у = 0
в) т = -14,
ό
т = -0,2,
т = 0,
” = 6·
n = 1v
п = -0,5;
п = -6;
» = з|
булганда, 225m2n2
аңлатмасының
кыйммәтен
табыгыз.
590	Бербуынның	дәрәҗәсе	нинди:
а)	Зх3/;	в)	α9ft9j	д)	~8х°;
б)	-10α⅛2c3j	г)	-хуг;	е)	2,4?
591	Аңлатманы стандарт	бербуын рәвешендә	языгыз һәм дәрәҗәсен
күрсәтегез:
а)	5ab ■ 0,7bc ■ АОас;	г) ~a3b ■ 3a2b∖
б)	-0,456d ∙ (-l∣αd) ∙9α⅛j	д) Qβχ3y (-0,5ху3);
в)	-l,9αft (-16αftc) W),5c);	е) -0,32m7n4 ■ (-3∣ m3n6).
592	һәр бербуынның дәрәҗәсе а) өчкә; б) дүрткә тигез булырлык
итеп, коэффициенты 5 кә тигез булган һәм х, у үзгәрешлеләрен
эченә алган стандарт рәвештәге барлык мөмкин булган бер¬
буыннарны төзегез.
593	Бербуыннарны тапкырлагыз:
а)	~8x2y3 һәм 0,2хд/3; г) l,25xι∕2, -0,4√z2 һәм ~0,3x⅛
б)	m2n2 һәм 0,5m3n; д) -2,5αZ>c, ~abc һәм 3,4<⅛
в)	-2,4x3α һәм -Q,5xy3∙, е) 0,8α⅛x , ~0,4ab2x3 һәм -O,5αfe4x3.
594	Аңлатманы берсе 20x4ι∕ ка тигез булган стандарт рәвештәге
ике бербуынның тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:
a) l∞x5z∕3i б) -30x4√∖ в) -4х|6у; г) x'0y2.
595	Бирелгән бербуынны нинди дә булса стандарт рәвештәге ике
бербуынның тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:
а) -8а5с3; б) -Ь6у9; в) 6Oxl0√ .
596	Аңлатманы аңа бердәй тигез булган стандарт рәвештәге бер¬
буынга үзгәртегез:
а)	(-ΙΟαά12)2;	в) (-3xz∕2α3)3I
б)	(-O,2x4z∕)4j	r) (-0,5α⅛2c3)4∙
597	Бербуыннарның тапкырчыгышын нинди дә булса бербуынның
дәрәҗәсе рәвешендә күрсәтегез:
а)	27a2b5 ■ 3α1063j	в) 0,0165c3 ' ("0,l⅛c6)j
б)	-64ω8x11 · (-0,25 а2х9); г) -⅛p9√4 ∙ ∣p3√.
403

598	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(—0,2i∕)3 ■ 5Oz/2;	г) (-3α4i>)2 ∙^α12b8j
б)	-60c6 · (-О,5с2)3;	д) -∣ bc2 ■ (j ⅛3c5 )3 ;
в)	(-O,6x3)2 (-5х4);	е) (-0,4x5z∕6)3 ∙ (-1000x5ι∕l0).
599	Стандарт бербуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(2αb)2 ■ (-Заб)3;
б)	(-0,2xy)3 ■ (-5xι∕)2;
в)	-(3xi∕)2 · (~Зх)3;
г)	-(-0,5αc2)2 ∙ (-2а2с)3;
д)	(-3mn2)4 ■ (-m2n)3j
е)	(fα2⅛2)2 (-3αft)4.
600	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(-χV)4 (-χi∕)2j
б)	-(∣χf∕3)2∙(-3χΛ
в)	(~2x3z∕)3 ∙ (-2√2)3!
г)	(∣o2i>j ∙(9α⅛2)2j
д)	(-5a⅛)2 ∙ (∣a63) ;
е)	(-2ai<f(-3∣Λ)2.
601	Аңлатманы 3 саны белән ниндидер аңлатма квадратының
тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:
a)	3m4n2; б) 12x6t∕4z2j в) ^msn4.
602	Р(-4; Ь) ноктасы у = х2 формуласы белән бирелгән функция
графигыныкы икәне билгеле. Ь ның кыйммәтен табыгыз.
Q (4; Ь) ноктасы бу функция графигыныкы буламы?
603	48 нче рәсемдә у = х, у = х2; у = х3 функцияләренең график¬
лары төзелгән. Графиклардан файдаланып чагыштырыгыз:
а)	0,23 һәм 0,232;	0,23 һәм 0,233;	0,232 һәм 0,233;
б)	1,47 һәм 1,472;	1,47 һәм 1,473;	1,472 һәм 1,473.
604	Д(д; ⅛) ноктасы а) у = х2; б) у = х3 функциясенең графигында
ята. В(—а; b), С(а; -b), D(~a; -Ь) нокталары бу графикныкы
булырмы?
605	Әгәр а) 0 < a < 1; б) a > 1; в) -1 < a < 0; г) a < -1 булса,
a, a2 һәм a3 саннарын үсә бару тәртибендә урнаштырыгыз.
404

8	нче параграфка
606	у санын унарлы вакланма рәвешендә күрсәтегез һәм бу
вакланманы унынчы, йөзенче, меңенче өлешләргә кадәр
түгәрәкләгез, һәр очрак өчен якынча кыйммәтнең абсолют
хатасын табыгыз:
.	1	.	4
a) У = д ·,	6)z∕=ιγ.
о
607	санының кайсы якынча кыйммәте төгәлрәк: 0,18 яки 0,19?
608	π = 3,14159... санының дүрт якынча кыйммәте: 3,141; 3,142;
3?: 3∏ арасыннан кайсысы төгәлрәк?
609	1,4 саны 1,361 санының 0,1 гә кадәр төгәллектәге якынча кыйм¬
мәте икәнен исбатлагыз.
610	санын унарлы вакланма рәвешендә языгыз һәм бу вак¬
ланманы а) унынчы; б) йөзенче; в) меңенче өлешләргә кадәр
түгәрәкләгез. Түгәрәкләгәндә килеп чыккан якынча кыйм¬
мәтләрнең төгәллеген күрсәтегез.
2	5
611	7 ÷ |4 суммасында һәр кушылучыны өтердән соң берурынлы
унарлы вакланма рәвешендә күрсәтеп, кушу гамәлен эшләделәр.
Кушылучыларның һәм сумманың якынча кыйммәтләренең абсо¬
лют хатасын табыгыз.
612	а һәм b саннарының арифметик уртасы бу саннарның теләсә
кайсының аларның ярымаермасына кадәр төгәллектәге якынча
кыйммәте була. Шуны исбатлагыз.
613	Санны дистәләргә кадәр түгәрәкләгез һәм түгәрәкләүнең чагыш¬
тырма хатасын процентларда бәяләгез: а) 38,9; б) 4219.
614	Тимер юл вагонының массасы М ≈ 63 т (0,5 т га кадәр төгәл¬
лек белән), дару дозасының массасы т ≈ 0,15 г (0,01 г га кадәр
төгәллек белән) булса, аларның үлчәү сыйфатларын чагыш¬
тырыгыз.
615Приборда үлчәгәндәге чагыштырма хата чиге 0,1% ка тигез
икәнлеге күрсәтелгән. Ниндидер зурлыкны үлчәү нәтиҗәсендә
492 килеп чыга. Үлчәү нинди төгәллек белән башкарылган?

IV бүлек
Күпбуыннар
Күпбуыннарның суммасы һәм аермасы
24.	Күпбуын һәм аның стандарт рәвеше
4x2y - 5xy + Зх - 1 аңлатмасы 4x2z∕, -5ху, Зх һәм -1
бербуыннарының суммасы булып тора. Мондый аңлат¬
маларны күпбуыннар дип атыйлар.
Билгеләмә. Күпбуын дип бербуыннар суммасын атыйлар.
Күпбуынны төзүче бербуыннарны күпбуынның
буыннары, диләр. Мисал өчен, 4x2y - 5xy + Зх - 1 күп¬
буыны 4x2i∕, ~5ху, Зх һәм -1 буыннарыннан тора.
■ Күпбуын ике буыннан торса, аны — икебуын, өч буыннан торса,
өчбуын дип атыйлар. Бербуынны бер буыннан торучы күпбуын
дип исәплиләр.
5α⅛ + 2 + 4a⅛2 - 3a2⅛ - 7 күпбуынында 5a2b һәм
-3a2b буыннары охшаш кушылучылар була, чөнки
аларның хәрефле өлешләре бер үк. Хәрефле өлешләре
булмаган 2 һәм -7 буыннары да охшаш кушылучылар
булыр. Күпбуындагы охшаш кушылучыларны күп¬
буынның охшаш буыннары дип атыйлар, ә андагы
охшаш кушылучыларны берләштерү күпбуынның
охшаш буыннарын берләштерү дип атала.
1 нче мисал 5a2b + 2 + 4ab2 - 3a2b - 7 күпбуынындагы охшаш буын¬
нарны берләштерик:
5ω2⅛ + 2 + 4ab2 - 3a2b - 7 =
= (5a2⅛ - 3a2ft) + 4ab2 + (2 - 7) = 2a2b + 4ab2 - 5.
2a2b + 4ab2 - 5 күпбуынының һәр буыны стандарт
рәвешле бербуын була, бу күпбуынның охшаш буын¬
нары юк. Мондый күпбуыннар стандарт рәвешле
күпбуын дип атала.
106

■ Теләсә нинди күпбуынны стандарт рәвешкә китерергә була.
Моның өчен аның һәр буынын стандарт рәвешкә китереп,
охшаш буыннарны берләштерергә кирәк.
Стандарт рәвешле 8xz∕ + 6x2z∕3 - 9 күпбуынының
буыннары булып икенче, бишенче һәм нуль дәрәҗә¬
дәге бербуыннар тора. Бу дәрәҗәләрнең иң зурысын
күпбуынның дәрәҗәсе дип атыйлар. Шулай итеп,
8xy + 6x2y3 - 9 күпбуыны бишенче дәрәҗәдәге күп¬
буын була.
Стандарт рәвешле күпбуынның дәрәҗәсе дип аңа кергән
бербуыннар дәрәҗәләренең иң зурысын атыйлар.
Ирекле күпбуын дәрәҗәсе дип аңа бердәй тигез булган
стандарт рәвешле күпбуын дәрәҗәсен атыйлар.
2 иче мисал
3α4 + 8ab - 2a4 - a4 + 5b күпбуынының дәрәҗәсе күп¬
мегә тигез булуын ачыклыйк.
Моның өчен аны стандарт рәвешкә китерәбез:
3α4 + 8ab - 2a4 - a4 + 5b = 8ab + 5Ь.
8ab + 5Ь күпбуынының дәрәҗәсе икегә тигез, шуңа
күрә 3α4 + 8ab - 2a4 - а4 + 56 күпбуынының да дәрә¬
җәсе ике була. <]
Күнегүләр
616	Күпбуынның һәр буынын әйтегез:
а)	~6x4 + y3~8y + 11;
б)	25α6 + ab2 - a2b + 8a~7b.
617	Күпбуында охшаш буыннарны берләштерегез:
а)	10х - 8ху - Зху;
б)	2ab - 7ab + 7а2;
в)	3x4 - 5x + 7х2 - 8х4 + 5х;
г)	2a3 + а2 - 17 - 3a2 + a3 - а - 80;
д)	Ylab2 -b3 - 6a62 + 3a26 - 5a62 + 263;
е)	2a2 - ax3 - a4 - a2x3 + ах3 + 2а4.
618	Күпбуынның охшаш буыннарын берләштерегез:
а)	-a4 + 2a3 - 4a4 + 2a2 - 3a2;
б)	1 + 2/ - 4y3 - 8y6 + 4y3 -у5 - 9;
в)	10x2z∕ - 5xy2 - 2x2y + x2y - Зху2;
г)	3a63 + 6a262 - ab3 - 2a2b2 - 4a262 + 7.
107

619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез:
а)	-8p4 + 12p3 + 4р4 - 8р2 + Зр2;
б)	2αα2 + a2 - 3a2 + a3 - а;
в)	3xx4 + 3xx3 - 5x2x3 - 5х2х;
г)	За ∙ 4b2 - 0,8b ■ 4b2 - 2ab 3b + b ■ 3b2 ~ 1.
Күпбуынны стандарт рәвештә языгыз:
а)	2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4;
б)	5x · 2ί/2 - 5x ∙ 3xy - x2y + 0xy2.
а)	х = -10 булганда, 5x6 - 3x2 + 7 - 2x6 - 3x6 + 4х2;
б)	a = -3, 6 = 2 булганда, 4ω26 - ab2 - 3a2b + ab2 - ab + 0 күп¬
буынының кыйммәтен табыгыз.
а)	a = -3 булганда, 6a3 - a10 + 4a3 + a10 - 8a3 + a;
б)	x = -2, у = -1 булганда, 4x6i∕3 - 3x6z∕3 + 2x2t∕2 - x6t∕3 - x2y2 + у
күпбуынының кыйммәтен табыгыз.
х = 0; -2; 3; -4 булганда, 2x2 + 1 күпбуынының кыйммәтен
табыгыз, х ның аны алганда күпбуынның кыйммәте нульгә
тигез; тискәре булырлык кыйммәте бармы?
х2 + y2 + 1 күпбуынының х һәм у ның теләсә нинди кыйм¬
мәтләре өчен уңай кыйммәтләр алганлыгын исбат итегез.
а)	а дистәдән һәм b берәмлектән;
б)	а йөздән, b дистәдән һәм с берәмлектән торган санны
күпбуын рәвешендә языгыз.
Күпбуынны үзгәрешленең дәрәҗәсе кими бару тәртибендә
языгыз:
а) 17a4 - 8a5 + 3⅛ - a3 - if б) 35 - c6 + 5с2 - с\
Үзгәрешленең дәрәҗәсе үсә бару тәртибендә языгыз:
а) х4 - 5 - х2 + 12х;	б) 2y + y3 - y2 + 1.
Күпбуынның дәрәҗәсе нинди:
а)	4a6 - 2a7 + a -	1;	г)	4xy + ху2 -_5х2 + у,
б)	5p3-p-2j	д)	8xiy + 5x⅞3 - 11;
в)	1 - Зх;	е)	ху + yz + xz - 1?
а)	Бер үзгәрешлене; б) ике үзгәрешлене эченә алган дүртенче
дәрәҗәдәге күпбуын төзегез.
Микрокалькуляторлар кулланып, күпбуынның кыйммәтен табы¬
гыз:
а)	х = 1,97 булганда, х2 + 4,23;
б)	a = 2,3, b = 138,9 булганда, a4 + 2Ь.
108

Кабатлау өчен күнегүләр
631	Тигезләмәне чишегез:
a) 0,3z∕ = 70; б)|х = -1; в)|а = -|.
632	Исәпләгез:
. 53∙252	. 25∙8	λ 45∙38
а) б) в) ^^∙
633	z∕ = 0,01x функциясе аргумент нинди кыйммәт алганда, түбән¬
дәге кыйммәтләргә ия була: а) 240; б) -100?
634	Языгыз:
а)	зуррагы 2и га тигез булган эзлекле килүче ике җөп санның
суммасын;
б)	кечерәге 2n - 1 гә тигез булган эзлекле килүче өч так
санның суммасын.
25.	Күпбуыннарны кушу һәм алу
5х2 + 7х - 9 һәм -Зх2 - 6х + 8 күпбуыннарын кушыйк.
Моның өчен аларның суммасын төзибез, аннары
җәяләрне ачабыз һәм табылган күпбуынның охшаш
буыннарын берләштерәбез:
(5x2 + 7x - 9) + (-3x2 - 6х + 8) =
= 5x2 + 7х - 9 - 3x2 - 6x + 8 = 2x2 + х - 1.
5х2 + 7х - 9 һәм -Зх2 - 6х + 8 күпбуыннарының
суммасын без 2x2 + х - 1 күпбуыны рәвешендә күр¬
сәттек. Гомумән, теләсә нинди күпбуыннар суммасын
күпбуын рәвешендә күрсәтеп була.
х3 + 5х2 - х + 8 күпбуыныннан x3 - 7x - 1 күпбуы¬
нын алыйк.
Моның өчен аларның аермасын төзибез, җәяләрне
ачабыз һәм табылган күпбуынның охшаш буыннарын
берләштерәбез:
(x3 + 5х2 - х + 8) - (x3-7x - 1) =
= х3 + 5х2 - х + 8 - х3 + 7x + 1 = 5x2 + 6х + 9.
х3 + 5х2 - х + 8 һәм х3 - 7x - 1 күпбуыннары аерма¬
сын без күпбуын рәвешендә күрсәттек. Гомумән, теләсә
нинди күпбуыннар аермасын күпбуын рәвешендә күр¬
сәтеп була.
■ Шулай итеп, күпбуыннарны кушканда һәм алганда, күпбуын
килеп чыга.
Кайвакытта мәсьәләнең киресен чишәргә — күп¬
буыннарны күпбуыннарның суммасы яки аермасы рәве¬
шендә күрсәтергә кирәк була. Ул вакытта мондый
кагыйдәне кулланалар:
109

җәяләр алдына «плюс» тамгасы куелса, җәяләр эченә алын¬
ган буыннарны үз тамгалары белан язалар;
әгәр да җәяләр алдына «минус» тамгасы куелса, җәяләр эченә
алынган буыннарны капма-каршы тамгалары белан язалар.
Мәсәлән,
Зх - 2y + b = Зх + (-2⅛∕ + Ь),
Зх - 2y + b = 3x - (2у - Ь).
Күнегүләр
635	a) 4x3 - 5х - 7 һәм х3 - 8х күпбуыннарының суммасын төзегез
һәм аны стандарт күпбуын рәвешенә китерегез.
б)	5z∕2 — 9 һәм 7y2-y + 5 күпбуыннарының аермасын төзегез
һәм аны стандарт күпбуын рәвешенә китерегез.
636	2a3 - 5α + 5 һәм а3 - 4а - 2 күпбуыннары бирелгән:
а)	бу күпбуыннарның суммасын;
б)	аларның беренчесе белән икенчесенең аермасын;
в)	икенчесе белән беренчесенең аермасын төзеп, аны гади¬
ләштерегез.
637	Стандарт күпбуын рәвешенә китерегез:
а)	(1 + 3α) + (а2 - 2а);
б)	(2х2 + Зх) + (-х + 4);
в)	(y2 - 5у) + (5у - 2z/2);
г)	(b2-b + 7)-(b2 + b + 8)-,
д)	(8h3-3π2)-(7 + 8π3-2π2)j
е)	(а2 + 5а + 4) - (а2 + 5а - 4).
638	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	5,2α - (4,5a + 4,8a2);
б)	-O,8⅛2 + 7Ab + (5,6⅛ - О,262);
в)	8x2 + (4,5-x2)-(5,4 х2 - 1);
г)	(7,3ι∕ - y2 + 4) + O,5√ - (8,7у - 2 Ау2).
639	Стандарт күпбуын рәвешенә китерегез:
а)	18х2 - (10х - 5 +	18х2);	в)	(b2 + Ь - 1) - (b2 -	b	+	1);
б)	-12c2 + 5c + (с +	lie2);	г)	(15 - 7y2) - (y3 - у2	-	15).
640	Аңлатмаларның суммасын һәм аермасын табыгыз:
а)	a + Ь һәм а - Ь;	в)	-a- Ь һәм а - Ь;
б)	a - Ь һәм а + Ь;	г)	a - Ь һәм Ь - а.
641	а) (х - у) + (у - z) + (z - х) аңлатмасының бердәй 0 гә;
б) (a2 - 5ai>) -(7- 3ab) + (2ab - а2) аңлатмасының бердәй
-7 гә тигез булганлыгын исбатлагыз.
642	М урынына күпбуынны куйгач, түбәндәге тигезлек бердәйлек
булырлык күпбуын табыгыз:
а)	М + (5x2 - 2xy) = 6x2 + 9ху - у2;
б)	М - (4ab - 3&2) = a2 - Tab + 862;
в)	(4? - 7с2 + 6) - М = 0.
110

643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
Нинди күпбуын белән 5х2 - Зх - 9 күпбуынының суммасы:
а) 0; б) 18; в) 2х - 3; г) х2 - 5х + 6 га бердәй тигез булыр?
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(α2 - 0,45α + 1,2) + (O,8ω2 - l,2α) - (1,6ω2 - 2а);
б)	(/ - l,75z∕ - 3,2) - (O,3i∕2 + 4) - (2у - 7,2);
в)	6x4/ - 2х2 - (3x4/ + 4х2 + 1) - (-Х4/ - 2x2 - 1);
г)	-(2ab2 - ab + b) + 3ab2 -4b~ (5ab - ab2).
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	8a2b + (-5α26 + 4⅛2) + (a2b - 5Ь2 + 2);
б)	(х4/ + х2 + 4/2) - (x2 + у2 - 2x4/) - ху.
a) а = 2 һәм b = 5; б) a = -2 һәм b = 3 булганда,
(5,7a⅛ - 3,la⅛ + 863) - (6,9ω⅛ - 2,3ω⅛ + 8i>3)
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
а) х =-0,25 һәм у = 4; б) х =-5 һәм 4/ = 0,1 булганда,
5х2 - (3x4/ - 7х2) + (5x4/ - 12х2)
аңлатмасының кыйммәтен исәпләп чыгарыгыз.
0,7x4 + 0,2x2 - 5 һәм -0,3x4 + | х2 - 8 күпбуыннарының аермасы
х ның теләсә нинди кыйммәтләрендә уңай кыйммәтләр ала.
Шуны исбатлагыз.
Укучыларга, «а = -0,25 булганда,
(7a3 - 6ω⅛ + 5a62) + (5ω3 + 7a2b + 3aft2) - (10ω3 + a2b + 8а&2)
аңлатмасының кыйммәтен табарга» дигән мәсьәлә чишәргә
тәкъдим ителгән. Укучыларның берсе мәсьәләдә биремнәр
җитмәгәнлеген әйтә. Ул хаклымы?
Нинди икебуынга x2 + y2 - 2xy + 1 күпбуынын кушкач, нәти¬
җәдә:
а)	х үзгәрешлесен эченә алмаган;
б)	у үзгәрешлесен эченә алмаган күпбуын килеп чыгар?
(∣x2- 0,4xy - 1,54/ + 1) - (4∕2 - ∙∣xi∕ + 0,6x2)
аңлатмасының кыйммәте х ка бәйле булмавын исбатлагыз.
Аңлатманың кыйммәте үзгәрешленең кыйммәтенә бәйле булма¬
вын исбатлагыз:
а)	1,7 - 10ά2 -(1- 3ά2) + (2,3 + 7ά2);
б)	1 - b2 - (3⅛ - 2b2) + (1 + 3ά - b2).
х = 5a2 + 6ab - b2, у = ~4a2 + 2ab + 3ά2, ζ = 9a2 + 4ab булсын.
Бу күпбуыннарны түбәндә бирелгән аңлатмаларда х, у һәм ζ
урынына куегыз һәм аларны гадиләштерегез:
а) х + у + ζ;	б) х - у - ζ.
Ill

654	Тигезләмәне чишегез:
а)	(23 + Зх) + (8х - 41) = 15;
б)	(19 + 2x)-(5χ- 11) = 25;
в)	(3,2z∕ - 1,8) - (52у + 3,4) = -5,8;
г)	1 - (0,5х - 15,8) = 12,8 - 0,7х;
д)	3,8 - l,5z∕ + (4,5t∕ - 0,8) = 2,4t∕ + 3;
е)	42у + 0,8 = Ь2у - (l,lι∕ + 0,8) + 12-
655	Тигезләмәне чишегез:
а)	8у - 3 - (5 - 2у) = 4,3;
б)	0,5i∕ - 1 - (2у + 4) = у;
в)	-8х + (4 + Зх) = 10 - х;
г)	l,3x - 2 - (3,3x + 5) = 2x + 1.
656	Аңлатманы нинди дә булса икебуыннар суммасы рәвешендә
күрсәтегез:
а) Зх3 - 2х2 - х + 4;	б) ~5z∕4 + 4y3 + Зу2 - 2у.
657	Аңлатманы нинди дә булса ысул белән бербуын һәм өчбуын
аермасы рәвешендә күрсәтегез:
а)	х3 + 2х2 - Зх - 5;	б) 3α4 + 2α3 + 5а2 - 4.
658	а) Эзлекле килүче өч натураль сан суммасының 3 кә кабатлы;
б)	эзлекле килүче дүрт натураль сан суммасының 4 кә кабатлы
икәнлеген исбатлагыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
659	х = 1,8 булганда, y = xi функциясенең кыйммәтен аның графигы
(42 нче рәсемне карагыз) буенча һәм исәпләү юлы белән
табыгыз. График буенча табылган якынча кыйммәтнең абсолют
һәм чагыштырма хаталарын исәпләп чыгарыгыз.
660	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	a = ∣,	b = I	булганда, 6 (2а - Ь);
б)	α = з ,	Ь = 02	булганда,	15(f + 3) ■
661	Аңлатманы бербуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(2x2)3	∙jx2!	в) -0,2α2⅛3 ∙	(-5α3⅛2)2!
б)	(-3z∕4)3	∙ I у5;	г) (-0,5c4d)3	∙ (-4c2d2)2.
662	х = 1,4, у = 0,157 булса, х3 - у аңлатмасының кыйммәтен микро¬
калькулятор ярдәмендә табыгыз.
112

Контроль сораулар
1	Күпбуын билгеләмәсен әйтегез.
2	5ω2x + ах2 - 4ах ■ т> х күпбуыны мисалында күпбуынны стан¬
дарт рәвешкә ничек китерергә икәнен аңлатыгыз.
3	Күпбуынның дәрәҗәсе дип нәрсәне атыйлар? Өченче дәрәҗә
(күпбуынга мисал китерегез.
4	5x2-x + 4 күпбуынында соңгы ике буынны, җәяләр алдына:
а) «плюс» тамгасы; б) «минус» тамгасы куеп, җәяләр эченә
i алыгыз.
■ · ,· ■
§ 10. Бербуын белән күпбуын тапкырчыгышы
26.	Бербуынны күпбуынга тапкырлау
9n3 бербуынын 7п2 - Зп + 4 күпбуынына тапкырлыйк.
Аларның тапкырчыгышын төзибез һәм, тапкырлауның
тарату законын кулланып, тапкырчыгышны үзгәртәбез:
9n3 (7h2-3h + 4) =
= 9n3 ∙ 7n2 - 9n3 ■ Зп + 9n3 · 4 = 63n5 - 27 n4 + 36n3.
Без, бербуынны күпбуынның һәр буынына тапкыр¬
лап һәм килеп чыккан нәтиҗәләрне кушып, 9π3 бер¬
буыны белән 7n2-3n + 4 күпбуыны тапкырчыгышын
63n5 - 27n4 + 36n3 күпбуыны рәвешендә күрсәттек.
■ Бербуын белән күпбуын тапкырчыгышын һәрвакытта да күп¬
буын рәвешендә күрсәтеп була.
Моның өчен түбәндәге кагыйдәне кулланалар:
Бербуынны күпбуынга тапкырлау өчен, бу бербуынны күп¬
буынның һәр буынына тапкырлап, килеп чыккан тапкырчыгыш¬
ларны кушарга кирәк.
1 нче мисал ~3a2 бербуынын 4α3 - a + 1 күпбуынына тапкырлыйк:
►	-3α2(4α3 - a + 1) = -За2 ■ 4a3 - За2 ∙ (-α) - За2 ∙ 1 =
= -12α5 + 3α3 - За2.
Арадагы нәтиҗәләрне язмасак, язманың кыскарак
булуын күрсәтеп китик:
-3α2(4α3 - a + 1) = -12α5 + За3 - За2. <1
2 нче мисал 3x2-2x (х + 8) аңлатмасын гадиләштерик:
►	3x2 - 2x (х + 8) = 3x2 - 2x2 - 16x = x2 - 16х. <1
8 К4/147
113

Бербуынны күпбуынга тапкырлау тигезләмәләрне
чишкәндә еш кулланыла.
8 - 5x(x - 7) = 1 - 5х2 тигезләмәсен чишик.
8 - 5x(x-7) = 1 - 5х2;
8 - 5x2 + 35x = 1 - 5х2;
-5x2 + 35x + 5х2 =1-8;
35х = -7;
х =-0,2. <1
4 нче мисал
►
2х-1 х + 5
—θ	θ— = 2 тигезләмәсен чишик.
Тигезләмәнең ике кисәген дә вакланмаларның уртак
ваклаучыларына, ягъни 18 санына тапкырлап табабыз:
∕2x-l х + 5\
18 = 2 18;
2х-1 х + 5 ,rι rιz,
—д— ■ 18	θ~ · 18= 36;
2(2x - 1) - 3(х + 5) = 36;
4х - 2 - Зх - 15 = 36;
х = 53. <1
Күнегүләр
663	Тапкырлагыз:
а)	2х (х2 - 7х - 3);
б)	4й2 (5⅛2 - ЗЬ - 2);
в)	(3α3-α2 + α)(-5α3)j
664	Тапкырчыгышны күпбуынга
а)	3a⅛(a2- 2a⅛ + Ь2);
б)	-χ2y (x2y2 - х2 - y2)∖
в)	2,5a⅛ (4a2 - 2ab + O^⅛2)ι
г)	(y2 - 2,4 у + 6) ■ 1,5«/;
д)	- O,5x2 (-2x2 - Зх + 4);
е)	(-3y2 + O,6ι∕) (-1,5«/3).
үзгәртегез:
г)	(-2ax2 + Зах - а2) (-а2х2);
д)	(6,3x3z∕ - 3y2 - 0,7х) ■ 10х2«/2;
е)	-l,4p2ρ6(5p3ρ - l,5p<y2 - 2<∕3).
665	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	yx(l,4x2 - 3,5«/);
б)	-⅛c2(l,2d2-6с);
О
666	Тапкырлагыз:
а) -3x2 (-x3 + х - 5);
б)	(1 + 2a - a2) ∙ 5a;
в)	I x2y (15x - 0,9t∕ + 6);
в)	⅛ab(ja2 -∣a⅛ + ∣fe2V
∖<j	*τ	О /
г)	-ja2y5^5ay2 -∣a2ι∕-∣a3
г)	-3a4x (a2 - 2ax + x3 - 1);
д)	(x2y ~xy + xy2 + j∕3) ∙ 3xy2.
е)	-ya4(2,lb2-0,7a+35).
114

667	Аңлатманы гадиләштерегез һәм аның кыйммәтен табыгыз:
а)	х = -1,5 булганда, 3 (2x - 1) + 5 (3 - х);
б)	а = 11 булганда, 25α - 4(3α - 1) + 7 (5 - 2a);
в)	у = -0,1 булганда, 4p - 2 (Юр - 1) + (8y - 2);
г)	р = 2 булганда, 12 (2 - 3p) + 35p - 9 (р + 1).
668	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	146 + 1 - 6(2 - lift); в) 14 (7x - 1) - 7 (14x + 1);
б)	25 (2 - Зе) + 16(5c - 1); г) 36 (2 - у) - 6 (5 - 2у).
669	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	14p + 2у (6 - у);
б)	Зр2 - 2у (5 + 2р);
в)	4x(x- 1)-2(2x2- 1);
г)	5a (а2 - За) - За (а2 - 5а);
д)	7Ь (4с - Ь) + 4с (с - 7Ь);
е)	-2y (x3 - 2y) - (x3y + 4р2);
ж)	3m2 (т + 5n) - 2п (8т2 - п);
з)	6m2n3 - n2 (8т2 п + п - 1).
670	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	6x (х - 3) - х (2 - х);	в) ах (2x - За) - х (αχ + 5а2);
б)	-а2 (За - 5) + 4а (а2 - а);	г) -4m2 (n2 - ∕n2) + 3n2 (т2 - а2).
671	а) х = 3; -3 булганда, -2x (х2 - х + 3) + х (2х2 + х - 5);
б) х = 4 һәм у = 2 булганда, x(x~ y)~ y(y2 - х) аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
672
673
674
675
676
677
а) х = -8; 10 булганда, 5x (2x -6)- 2,5x (4x - 2); б) a = -0,6 һәм
b = -0,5 булганда, 5a (a - 4⅛) - 4ό (b - 5α) аңлатмасының кыйм¬
мәтен исәпләп чыгарыгыз.
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(За2)2 - a3(l - 5а);
б)	(-lι>)3-i,(l-21,-16≈)i
в)	x(16x-2x3)-(2x2)2!
г)	(0,2c3)2- 0,01c4(4c2- 100).
49 нчы рәсем ярдәмендә a, Ь һәм
с ның уңай кыйммәтләре өчен
a(b + c) = ab + ас формуласының гео¬
метрик мәгънәсен аңлатып бирегез.
х (2х + 1) - x2(x + 2) + (х3 - х + 3)
аңлатмасының х теләсә нинди кыйм¬
мәт алганда да бер үк кыйммәткә ия
булганын исбатлагыз.
Рәс. 49
у (Зу2 - у + 5) - (2p3 + Зу - 16) - у (у2 - у + 2) аңлатмасының
кыйммәте у ка бәйле булмаганлыгын исбат итегез.
Аңлатманың нульгә бердәй тигез икәнлеген исбатлагыз:
а)	a (b - с) + Ь (с - а) + с (а - Ь);
б)	а (Ь + с - be) - b (с + a - ас) + с (Ь - а).
8*
115

678	2x(x -6)- 3(x2 - 4x + 1) аңлатмасының кыйммәте х теләсә
нинди кыйммәтләр алганда да тискәре булганлыгын исбат
итегез.
679	Тигезләмәне чишегез:
~~ а) 5х + 3 (х - 1) = 6х + 11;
б)	Зх - 5 (2 - х) = 54;
в)	8(y-7)-3(2y + 9)= 15;
г)	0,6 - 0,5 (у - 1) = у + 0,5;
д)	6 + (2-4x) + 5 = 3 (1 - Зх);
е)	0,5 (2y - 1) - (0,5 - 0,2у) +1 = 0;
ж)	0,15 (х - 4) = 9,9 - 0,3 (х - 1);
з)	3(3x- 1) + 2 = 5(1 -2x)- 1.
680	Тигезләмәнең тамырын табыгыз;
а)	Зх (2x - 1) - 6х (7 + х) = 90;
б)	1,5х (3 + 2х) = Зх (х + 1) - 30;
в)	5x (12x - 7) - 4х (15х - 11) = 30 + 29х;
г)	24x - 6х (13х - 9) = -13 - 13x (6x - 1).
681	Тигезләмәне чишегез:
а)	3 (-2x + 1) - 2 (х + 13) = 7х - 4 (1 - х);
б)	-4(5-2α) + 3(α-4) = 6(2-α)-5α;
в)	3y (4y - 1) - 2у (бу - 5) = 9у - 8 (3 + у);
г)	15x + 6х (2 - Зх) = 9х (5 - 2х) - 36.
682	Үзгәрешле нинди кыйммәт алганда:
а)	2(3-5c) аңлатмасының кыйммәте 4(l-c) аңлатмасының
кыйммәтеннән 1 гә кечерәк?
б)	-3 (2x + 1) аңлатмасының кыйммәте 8х + 5 аңлатмасы кыйм¬
мәтеннән 20 гә артыграк?
в)	5х + 7 аңлатмасының кыйммәте 61 - Юх аңлатмасы кыйм¬
мәтеннән 3 тапкыр кечерәк?
г)	8 - у аңлатмасының кыйммәте 7 + у аңлатмасы кыйммә¬
теннән 2 тапкыр зуррак?
683	Тигезләмәне чишегез:
'a)f+<=14ι r)2z + 3=⅜j	ж)^+1=>;
tτ Ο	Ο	<ζ
x∖ a a _ с.	„\ 2c 4c _ 7.	∖ 5m tn _ 1 .
б)	2_8~5’	з) Ε^ “ ^8 ~ 3 ’
в)	|=у-1;	e)⅝+f+4 = θ!	и) ⅛ + f = ∣.
684	Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
’ 3)5φ5=2φ1+2;	г) ⅛zll + l⅛⅛=2i
/	о	ID	ZU
,x 5-x , 3x-l .	ч 5-6y , у n
6∙-2- + -=4∙	^>-3-i+8 0;
,5x-7 х-5 ■_	, у 3-2y n
b>-≡	з~=5; е)Т	sji≈0∙
116

685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
Тигезләмәне чишегез:
ч Зх + 5 х +1	1	V
а)	5	-	з	-1;	в)
,x	2p-l	р + 1	_	ч
б)	p6	-р;	г)
Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
бу -1 _ у_ _ 2у_.
15	5	3’
12- х _ 2-х _ х_
4	3	6 ·
, 1	х-3	2-х , .	λ
а)	1"“2“ = —+4;	в)
,λ а + 13 2а _ 3-a a	∖
б)	10 "Т 15 +2’	г)
Тигезләмәне чишегез:
2/n + l „ _ т _ 6-т
4	0	6	12 ’
х + 1 _ х -1 _ п _ χ + 3
^^9^^	^^6	2 ~2~-
а) ⅛+l + s→iis5.	г)
д)
х Их-4	х-9	-	x
в) 7	- 2 -5;	е)
2с-1	с. _ с + 3 .
9	4	6 ’
Зр~1 _ 2р + 6 _ . „
24	36
c 1-2х Зх + 20 , χ
5" 4	"	6	+3∙
15 открытка, 10 конверт һәм блокнот өчен 36 сум түләгәннәр.
Конверт блокноттан 4 тапкыр арзанрак, ә открыткадан
50 тиенгә кыйммәтрәк. Открытка, конверт, блокнот күпме тора?
Өчпочмакның периметры 44 см. Аның бер ягы икенчесеннән
4 см га кыскарак, ә өченчесеннән 2 тапкыр озынрак. Өчпоч¬
макның якларын табыгыз.
Яшелчә кибетендә беренче көнне икенче көндәгегә караганда
3 т га кимрәк яшелчә сатылган, ә өченче көнне баштагы ике
көндә сатылганның е кадәр сатканнар. Әгәр өч көндә бар¬
лыгы 98 т яшелчә сатылган булса, кибет көн саен күпме
яшелчә саткан?
Бер сарайга икенчесенә караганда 3 тапкыр күбрәк печән
тутырганнар. Беренче сарайдан 20 т печән алып, икенчесенә
20 т печән өстәгәч, икенче сарайдагы печән беренче сарайда
ε
калганының γ енә тигез булган, һәр сарайда күпме печән
булган?
Яңа кыргыч кулланып, токарь 1 сәгатьтә нормада каралганнан
4 детальгә артыграк деталь ясый башлаган. Шуңа күрә ул
көнлек норманы 8 сәг урынына 6 сәг тә үти алган. Токарь
норма буенча 1 көндә ничә деталь ясарга тиеш булган?
Көн саен 50 га урынына 60 га печән чабып, бригада, план-
лаштырылганга караганда, болынны 1 көнгә элегрәк чабып
бетерүгә ирешкән. Болынның мәйданы күпме?
Уртача тизлеген 250 м/мин тан 300 м/мин ка кадәр арттырып,
спортчы кыз дистанцияне бер минутка тизрәк йөгереп үтә
алган. Дистанция нинди озынлыкта?
117

695	Туристлар турбазадан ял итү урынына кадәр 4,5 км/сәг тизлек
белән барганнар. Турбазага кире 4 км/сәг тизлек белән кайт¬
каннар, шуңа күрә юлны үтү өчен 15 мин вакыт күбрәк кирәк
булган. Туристлар турбазадан нинди ераклыкта туктап ял
иткәннәр?
696	А пунктыннан велосипедчы чыккан. Аның белән бер үк вакытта
А пунктыннан 20 км га ераграк булган В пунктыннан мото¬
циклчы кузгалып киткән. Велосипедчы 12 км/сәг, мотоциклчы
16 км/сәг тизлек белән барган. Мотоциклчы велосипедчыны
А пунктыннан нинди ераклыкта куып җитәр?
697	А пунктыннан 60 км/сәг тизлек белән йөк машинасы чыккан.
2 сәг узгач, аның артыннан 90 км/сәг тизлек белән җиңел
машина кузгалып киткән. А пунктыннан нинди ераклыкта
җиңел машина йөк машинасын куып җитәр?
Кабатлау өчен күнегүләр
698	Сызыкча функцияләр графикларының кисешү нокталарының
координаталарын табыгыз:
а)	у = 5х + 29 һәм у = -Зх - 11; б) у = l,2x һәм у = 1,8х + 9,3.
699	Функциянең графигы кайсы координата чирекләрендә ята:
а)	у = -28х;	в) у = 0,05х;
б)	у = ~28х + 4;	г) у = 0,05x - 2,5?
700	Координаталарның бер үк яссылыгында функцияләрнең график¬
ларын төзегез: а) у = х2 һәм у = 4; б) у = х2 һәм у = 2х. Аларның
кисешү нокталарының координаталарын табыгыз.
701	Аңлатманы гадиләштерегез:
a)	β-α5y3j -(-ау)3;	б) -O,lα4∂7 (-30α⅛)2.
27.	Уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару
Тигезләмәләр чишкәндә, исәпләгәндә һәм башка
мәсьәләләр чишкәндә, күпбуынны берничә күпбуынның
(алар арасында бербуыннар да булырга мөмкин) тап¬
кырчыгышы белән алыштыру файдалы була. Күпбуын¬
ны ике яки берничә күпбуын тапкырчыгышы рәвешен¬
дә күрсәтү күпбуынны тапкырлаучыларга таркату
дип атала.
6a26 + 1562 күпбуынын карап үтик. Аның һәр буы¬
нын тапкырлаучыларының берсе 36 га тигез булган
тапкырчыгыш белән алмаштырырга мөмкин:
6a26 + 1562 = 36 ∙ 2a2 + ЗЬ ■ 56.
Килеп чыккан аңлатманы тарату үзлеге буенча ике
тапкырлаучының тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтеп
118

була. Аларның берсе — уртак тапкырлаучы ЗЬ, икен¬
чесе 2α2 белән 5& ның суммасы:
ЗЬ ■ 2a2 + 3b ■ 5b = 3b (2а2 + 56).
Шулай итеп,
6a2b + 15b2 = 3b(2a2 + 5b).
Без, күпбуынны ЗЬ бербуынының 2α2 + 5Ь күпбуы¬
нына тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтеп, аны тапкыр¬
лаучыларга таркаттык. Күпбуынны тапкырлаучыларга
таркатуның без кулланган юлы уртак тапкырлау¬
чыны ж,әя тышына чыгару дип атала.
Уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару юлы
белән күпбуынны тапкырлаучыларга таркатуга мисал¬
лар карап китик.
I	нче мисал -15x2z∕3- 30x3z∕2 + 45x4z∕ күпбуынын тапкырлаучыларга
таркатыйк.
►	Бу күпбуын буыннарының төрле уртак тапкырлау¬
чылары бар: х, у, Зху, -5х2 һ. б. Бөтен коэффициентлы
күпбуында җәя тышына чыгару өчен тапкырлаучыны
гадәттә күпбуынның җәя эчендә калучы буыннарының
хәрефле уртак тапкырлаучысы һәм аларның коэффици¬
ентлары модульләренең уртак бүлүчеләре булмаслык
итеп сайлап алалар.
-15x2ι∕3 - 3Ox3z∕2 + 45x4t∕ күпбуынында коэффи¬
циентларның модульләре — 15, 30 һәм 45 саннары.
Аларның иң зур уртак бүлүчесе 15 кә тигез. Шуңа
күрә уртак тапкырлаучының коэффициенты итеп
15 яки -15 санын алырга була. Күпбуынның барлык
буыннарына да х һәм у үзгәрешлеләре керә, х үзгә-
решлесенең аларда икенче, өченче һәм дүртенче дәрә-
җәләрдәгесе бар, шуңа күрә х2 ны җәя тышына чыга¬
рып була, у үзгәрешлесенең күпбуын буыннарында
өченче, икенче һәм беренче дәрәҗәдәгесе бар, шуңа
күрә җәя тышына у ны чыгарырга була. Шулай итеп,
15x2t∕ яки -15x2z∕ бербуынын җәя тышына чыгару
максатка ярашлырак булыр. Мисал өчен, җәя тышы¬
на -15x2ι∕ ны чыгарыйк. Табабыз:
-15xV - 30x3z∕2 + 45x4r∕ = -15x2z∕ (y2 + 2xy - Зх2). <1
писал 3a2 (b ~2c) + 7 (b - 2c) аңлатмасын уртак тапкырлау¬
чыларга таркатыйк.
►	Бу суммадагы һәр кушылучының b - 2с га тигез уртак
тапкырлаучысы бар. Аны җәя тышына чыгарыйк:
3a2(b -2c) + 7(b- 2c) = (b - 2c)(За2 + 7). <
. ∙.
119

<≡4e мисал a (х - y) + Ь (у - х) суммасын тапкырчыгыш рәвешендә
күрсәтик.
►	х - у һәм у - х тапкырлаучылары бер-берсеннән бары
тик тамгалары белән генә аерылып торалар. Әгәр дә
у - х аңлатмасында -1 не җәя тышына чыгарсак, ул
вакытта икенче кушылучының беренчесенеке кебек үк
тапкырлаучысы булыр. Шуңа күрә бу тапкырлаучыны
җәя тышына чыгарып булыр:
α(x - у) + b (у - х) = a(x - у) + b ( - 1)(х - у) =
= a(x -y)~ b(x - y) = (χ- у) (a - Ь).
Моны кыскача язып була:
a (х - у) + Ь (у - х) =
= а (х — у) — Ь (х — у) = (x - у) (a - Ь). <1
Ь (у - х) = - b(x — у) рәвешүзгәртүен башкача да
аңлатып булганын кисәтеп китик: әгәр икенче тапкыр¬
лаучының һәм тапкырчыгышның тамгасын үзгәртсәк,
аңлатманың кыйммәте үзгәрмәс.
≡≡4C мисал 2х2 + Зх = 0 тигезләмәсен чишик.
►	2х2 + Зх аңлатмасында х тапкырлаучысын җәя тышына
чыгарып табабыз:
х (2х + 3) = 0.
х (2х + 3) тапкырчыгышы тапкырлаучыларның кай¬
сы да булса берсе нульгә тигез булса һәм бары тик
шул вакытта гына, ягъни х = 0 яки 2х + 3 = 0 булганда
гына, нульгә тигез була.
2х + 3 = 0 тигезләмәсен чишеп табабыз:
2х = -3,
х = -1,5.
Димәк, х (2х + 3) тапкырчыгышы х = 0 һәм х = -1,5
булганда нульгә тигез була, ягъни 2х2 + Зх = 0 тигез¬
ләмәсенең ике тамыры бар: 0 һәм -1,5.
Язманы кыскача башкарып була:
2х2 + Зх = 0,
х (2х + 3) =0,
х = 0 яки 2х + 3 = 0,
х = 0 яки х = -1,5.
Җавап. 0 һәм -1,5. <]
₽5 иче мисал 39 + 37 + З6 суммасының 31 гә бүленгәнлеген исбат итик.
► З9 + З7 + З6 аңлатмасында З6 ны җәя тышына чыга¬
рыйк:
39 + 37 + 36 = 36(33 + 3 + l) = 36(27 + 3 + 1) = 36∙31.
120

Без 39 + 37 + 36 суммасын берсе 31 гә тигез булган
бөтен ике санның тапкырчыгышы рәвешендә күрсәттек.
Димәк, бу сумма 31 гә бүленә. <1
Күнегүләр
702 Тапкырлаучыларга таркатыгыз һәм дөреслеген тикшерегез:
а)	тх + ту;
б)	kx - рх;
в)	-ab + ас;
г)	~та - па.
703 Уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгарыгыз:
a) 5x + 5г/;
г) -6/и - 9«;
ж) ab + а;
б) 4а - 4Ь;
д) ах + ау;
з) су - с;
в) 3c + 15d;
е) be - bd;
и) -та - а.
704 Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а) 7а + 7у;
в) 12x + 48z/;
д) 12а + 12;
б) -8Ь + 8с;
г) -9/п ~ 27 п;
е) - 10 - Юс.
705 Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) 7ax + 7Ьх;
д) 5у - 15//;
и) -бай + 962;
б) 3by - 8Ь ;
е) Зх + 6х2;
к) x2y - ху2;
в) -5тп + 5м;
ж) a2- ab;
л) ab - а2Ь;
г) 3α + 9а6;
з) 8тп - 4т2;
м) -p2q2-pq.
706 Уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгарыгыз:
a) a2 + а;
г) a3 - a7;
ж) 4с2- 12с4;
б) х3 - х2;
д) 3m2 + 9m3;
з) 5х5 - 15х3;
в) с5 + с7;
е) 9p3 - 8р;
и) -12//4- 16//.
707 Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а) 14х + 2Һ/;
д) 6a6 - За;
и) 7х - 14х3;
б) 15α + 106;
е) 4х - 12х2;
к) 16г/3 + 12г/2;
в) 8a⅛ - бас;
ж) tn tn ,
л) 18а63-964;
г) 9ха + 9x6;
з) c3 + с4;
м) 4x3∕∕2-6xV.
708 а) х = 2,28 булганда
, 3,28x - х2;
б) a = -1,5 һәм у =
-8,5 булганда, a2y + a3;
в) a = 8,8 һәм у = -
1,2 булганда, ay2 - у3;
г) т = 3,48 һәм Ь =
96,52 булганда, -mb -
т2 аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
709 Тигезләмәне чишегез:
а) х2 + 8х = 0;
г) 3x2 - l,2x = 0;
ж) х - Юх2 = 0;
б) 5х2 - х = 0;
д) 6x2 - 0,5х = 0;
з) 6х - 0,2х2 = 0;
в) 6i∕2- ЗОг/ = 0;
е) ^у2 + у=О;
и) ∕∕2+ j∕∕ = 0.
710 Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а) 5х2 + Зх = 0;
в) 6x2 - 3,6х = 0;
д) 5х2 - 0,8х = 0;
б) х2 - 11х = 0;
г) O,3x2 - Зх = 0;
е) 7x2-0,28x=0.
121

711
712
713
714
715
71β
717
718
719
720
а)	165 + 164 аңлатмасы кыйммәтенең 17 гә;
б)	389 - 388 аңлатмасы кыйммәтенең 37 гә;
в)	365 - 69 аңлатмасы кыйммәтенең 30 га;
г)	518-258 аңлатмасы кыйммәтенең 120 гә кабатлы икәнлеген
исбатлагыз.
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	x5 + х4 - х3;	в) α4 + а5 - а8;
б)	y7-y5-y2-,	г) -610→15→20.
а)	78- 77 + 76 нең 43 кә;
б)	213-210-29 нең 13 кә;
в)	274 - 95 + З9 нең 25 кә;
г)	164 - 213-45 нең 11 гә
бүленгәнлеген исбатлагыз.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х3 - Зх2 + х;	г) 6x2 - 4x3 + Юх4;
б)	m2 - 2m3 - т4;	д) 15α3 - 9a2 + 6а;
в)	4ω5 - 2a3 + a;	е) ~3m2 - 6m3 + 12zn5.
Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	c3 - с4 + 2с5;
б)	5ш4 - т3 + 2т2;
Уртак тапкырлаучыны җәя
а)	3a3 - 15a⅛ + 5а62;
б)	20x4 - 25x2i∕2 - Юх3;
в)	-Gam2 + 9m3 - 12/п4;
в)	4x4 + 8x3-2x2i
г)	5a - 5а2 - Юа4.
тышына чыгарыгыз:
г)	12a26 - 18a62 - ЗОаб3;
д)	4ax3 + 8a2x2 - 12а3х;
е)	-3x4ι∕2 - 6x2i∕2 + 9x2z∕4.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	4c4 - 6x2c2 + 8с;	в) 3ax - бах2 - 9а2х;
б)	10a2x - 15a3 - 20а4х;	г) 8a4b3 - I2a2b4 + 16a362.
Сумманың барлык кушылучылары өчен уртак тапкырлаучыны
күрсәтегез һәм аны җәя
а)	2a (х + у) + Ь (х + у);
б)	y(a- b)-(a- Ь);
в)	(с + 3) - х (с + 3);
тышына чыгарыгыз:
г)	9 (р - 1) + (р - I)2;
д)	(a + 3)2 - а (а + 3);
е)	- 36(6 - 2) + 7(6 - 2)2.
Аңлатманы ике күпбуын тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:
а)	a (b - с) + d (с - Ь);	г)	(х - уг ~ а (у - х);
б)	х (у - 5) - у (5 - у);	д)	3 (a - 2)2 - (2 - a);
в)	3a(2χ-7) + 56(7-2х);	е)	2(3 - Ь) + 5(6 - З)2.
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	8m {а - 3) + п (а - 3); ι
б)	(p2 - 5) - q (р2 - 5);
в)	х (у - 9) + у (9 - уУ,	(
г)	7 (с + 2) + (с + 2)2;
д)	(a-b)2 -З(Ь-а);
е)	-(x+ 2ι∕)-4(x+ 2z∕)2.
122

Кабатлау өчен күнегүләр
721	Велосипедчы АВ юлын 12 км/сәг тизлек белән үткән. В дан
А га ул 18 км/сәг тизлек белән кайткан һәм бу юлга, А дан
В га барганга караганда, 15 мин ка кимрәк вакыт сарыф иткән.
_ А белән В арасы ничә километр?
722	jТигезләмәне чишегез:
z^ 4 3x-5 .8x-12 rι ,,'21-4x 8x + 15 o
a)—+ —r-=9ι	б) ——--3-=2,
723	а һәм Ь ның ниндидер кыйммәтләре өчен a - Ь аңлатмасының
- кыйммәте 0,5 кә тигез икәнлеге билгеле, а һәм Ь шул ук
кыйммәтләрне алганда, түбәндәге аңлатмаларның кыйммәтләре
нинди булыр:
а)	Ь - а;	в) (a - b)2∖	д) (α - Ь)3;
б)	г) (ft-а)2;	е) (Ь-а)3?
724	Аңлатма рәвешендә языгыз:
а)	а белән Ь аермасының аларның суммасына тапкырчыгышын;
б)	а һәм Ь квадратларының суммасын;
в)	а һәм Ь суммасының квадратын;
г)	Ь һәм с квадратларының аермасын;
д)	Ь һәм с аермасының кубын;
е)	Ь һәм с кубларының суммасын.
Контроль сораулар
1	Бербуынны күпбуынга тапкырлау кагыйдәсен әйтегез.
2	Нинди рәвешүзгәртү күпбуынны тапкырлаучыларга таркату дип
атала?
3	2xy - 6x2 күпбуыны мисалы өстендә уртак тапкырлаучыны җәя
тышына чыгару ярдәмендә тапкырлаучыларга таркату ничек
башкарылуын аңлатыгыз.
§ 11. Күпбуыннарның тапкырчыгышы
28.	Күпбуынны күпбуынга тапкырлау
a + Ь күпбуынын с + d күпбуынына тапкырлыйк. Бу
күпбуыннарның тапкырчыгышын төзик:
(a + b)(c + d) .
a + Ь икебуынын х хәрефе аша тамгалыйк һәм
бербуынны күпбуынга тапкырлау кагыйдәсе буенча
килеп чыккан тапкырчыгышның рәвешен үзгәртик:
(a + b)(c + d) = x(c + d) = хс + xd.
123

хс + xd аңлатмасында х урынына а + Ь күпбуынын
куйыйк һәм бербуынны күпбуынга тапкырлау кагый¬
дәсен кабат кулланыйк:
хс + xd = (a + b) с + (a + b) d = ас + be + ad + bd.
Шулай итеп,
(a + b)(c + d) = ас + be + ad + bd.
а + b һәм с + d күпбуыннары тапкырчыгышын без
ас + be + ad + bd күпбуыны рәвешендә күрсәттек. Бу
күпбуын а + Ь күпбуынының һәр буынын с + d күп¬
буынының һәр буынына тапкырлаудан килеп чыккан
барлык бербуыннарның суммасы була.
Гомумән, теләсә нинди ике күпбуынның тапкырчыгышын күп¬
буын рәвешендә күрсәтеп була.
Күпбуынны күпбуынга тапкырлаганда, түбәндәге ка¬
гыйдәдән файдаланалар:
Күпбуынны күпбуынга тапкырлау өчен, күпбуыннарның бер¬
сенең һәр буынын икенче күпбуынның һәр буынына тапкырлап,
килеп чыккан тапкырчыгышларны кушарга кирәк.
т буыннан торган күпбуынны п буыннан торган
күпбуынга тапкырлаганда, тапкырчыгышта (охшаш
буыннарны берләштергәнгә кадәр) тп буын килеп
чыгарга тиеш икәнлеген кисәтеп китик. Контроль өчен
моннан файдаланып була.
1	иче мисал 4x1 2 + 2xy - у2 күпбуынын 2х - у күпбуынына тапкыр¬
лыйк:
►	(4x2 + 2xy - у2) (2х - у) =
= 8x3 + 4x2i∕ - 2xy2-4x2y - 2xy2 + y3 = 8x3~4xy2 + у3. <]
2	иче мисал (2α - 3) (5 - a) - За (4 - а) аңлатмасын гадиләштерик:
►	(2α - 3) (5 - а) - За (4 - a) =
= Юа - 15 - 2α2 + За - (12а - За2) =
= 13а - 15 - 2α2 - 12α + 3α2 = α2 + a - 15. <1
J иче мисал Теләсә нинди натураль п өчен п {п - 5) - (п - 14) (п + 2)
аңлатмасының кыйммәте 7 гә кабатлы икәнлеген
исбатлыйк.
О Рәвеш үзгәртү башкарыйк:
n(n-5)-(n- 14)(π + 2) =
= n2 - 5п - (п2 - 14л + 2п - 28) =
= n2 - 5п - п2 + 14п - 2п + 28 = 7п + 28 = 7 (п + 4).
п теләсә нинди натураль кыйммәт алгаңда, 7 (п + 4)
тапкырчыгышы 7 гә бүленә, димәк, п (п - 5) - (п - 14) (п+2)
аңлатмасының кыйммәте дә 7 гә бүленә. <|
124

725	Тапкырлагыз:
а)	(х + m)(y + п);
б)	(a -b)(x + у);
в)	(a - x)(b - у);
726	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(х + 6)(х + 5);
б)	(a - 4)(α + 1);
в)	(2 - у) (у - 8);
727	^Аңлатманы күпбуын рәвешендә
<ι) (т - n)(x + с);
б)	(k - p)(k- п);
в)	(а + 3) (а - 2);
г)	(х + 8) (у - 1);
д)	(ό-3)(α-2);
е)	(-a + y)(~l~ у).
г)	(a - 4) (2a + 1);
д)	(2ι∕- l)(3i∕ + 2);
е)	(5х - 3)(4 - Зх).
күрсәтегез:
г)	(5-х)(4-х);
д)	(1 -2α)(3α + 1);
е)	(6т - 3) (2 - 5m).
728 50 нче рәсем ярдәмендә а,
һәм d ның уңай кыйммәтләре өчен «
(а + b) (с + d) = ас + be + ad + bd фор¬
муласының геометрик мәгънәсен аңла- 4i
тып бирегез.
Аңлатманы күпбуын рәвешендә языгыз:
а)	(x2 + z∕)(x + √)ι
б)	(m2- n)(m2 + 2и2);
в)	(4α2 + b2) (За2 - ft2);
г)	(5x2 - 4x)(x + 1);
729
Ь, с
Рәс. 50
д)	(а - 2)(4α3 - За2);
е)	(7p2-2p) (8р - 5).
730
Тапкырлагыз:
а)	(2x2 — ∕∕)(x2 ÷ г/);
б)	(7x2 + α2) (x2 - За2);
в)	(lli∕2 - 9)(3i∕ - 2);
г)	(5α - За3) (4α - 1).
731
Дәрәҗәне тапкырчыгыш белән
гышны күпбуынга үзгәртегез:
а)	(х + Ю)2; б) (1 - у)2 ;
алыштырыгыз да тапкырчы-
в)	(За - I)2; г) (5 - 6ft)2.
732	Аңлатманы күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(х2 + ху - у2) (х + у);	д)	(a2 - 2a + 3) (a	-	4);
б)	(n2 - пр + p2) (п- рУ,	е)	(5x - 2) (x2 - х	-	1);
в)	(a + х) (a2 - ах - х2);	ж)	(2 - 2x + х2) (х	+	5);
г)	(b - с) (b2 - Ьс - с2);	з)	(3t∕ - 4) (у2 - у	+	1).
733	Күпбуын рәвешендә языгыз:
а)	(c2 -cd- d2)(c + d);
б)	(x-y)(x2-χy-y2y
734	Җәяләрне ачыгыз:
а)	(4п2 - бпр + 9р2) (2п + Зр);
б)	(25x2 + 10xp + 4р2) (5х - 2уУ
в)	(~2a2 + 3a + 1) (За - 2);
в)	(4a2 + a + 3) (a - 1);
г)	(3 - x) (3x2 + x - 4).
r) (7 - 2a) (4a2 + 4a + 3);
д)	(x2-χ + 2) (3x2 + x - 2);
е)	(5 - 2a + a2) (4a2 - За - 1).
125

735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	у2 (у + 5) (у - 3);	в) -3b3(b + 2)(1 - Ь);
б)	2α2 (a - 1) (3 - a);	г) -0,5c2 (2с - 3) (4 - с2).
Аңлатманы күпбуын рәвешендә языгыз:
a) (х + 1) (х + 2) (х + 3); б) (a - 1) (а - 4) (а + 5).
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(3⅛ -2)(5- 2ό) + 6й2;	г)	563 + (a2 + 5⅛) (ab - Ь2);
б)	(7у - 4) (2у + 3) - 13//;	д)	(a - b)(a + 2) - (а + Ь) (а	- 2);
в)	х3 - (x2 - 3x)(x + 3);	е)	(х + у)(х - у) - (х - 1)( х	-2).
Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(2х - у) (у + 4х) + 2х (у -	Зх);
б)	(3α - 2⅛) (2а - 36) - 6а (а	-	Ь);
в)	5α (2х - а) - (8а - х) (2х - а);
г)	2c (b + 15c) + (b - 6c) (5c + 2Ь).
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(8α - b){a + 7Ь) - 55а6;	в) (3/? - 1) (2р + 5) - 6р (р-2);
б)	(Зх + 2у) (4х - у) + 2у2;	г) (7т + 3) (2m - 1) - 2m (7m -1).
х теләсә нинди кыйммәт алганда,
а)	(х - 3)(x + 7) - (х + 5)(x - 1) аңлатмасының кыйммәте -16 га;
б)	х4 - (x2 - 7) (х2 + 7) аңлатмасының кыйммәте 49 га тигез
икәнлеген исбатлагыз.
Аңлатманың кыйммәте х үзгәрешлесенә бәйле булмаганлыгын
исбат итегез:
а)	(х - 5)(x + 8) - (х+ 4)(x - 1); б) x4 - (x2- 1)(x2 + 1).
(у - 6) (у + 8) - 2 (у - 25) аңлатмасының у теләсә нинди кыйм¬
мәт алганда да уңай кыйммәткә ия булуын исбатлагыз.
п теләсә нинди бөтен кыйммәт алганда да
а)	п (п - 1) - (п + 3) (п + 2) аңлатмасының кыйммәте 6 га;
б)	п (п + 2) - (п - 7) (п - 5) аңлатмасының кыйммәте 7 гә бү¬
ленгәнлеген исбат итегез.
Тигезләмәне чишегез:
а)	(Зх - l)(5x + 4) - 15х2 = 17;
б)	(1 - 2x)(l - Зх) = (6x - l)x - 1;
в)	12 - х (х - 3) = (6 - х) (х + 2);
г)	(х + 4) (х + 1) = х - (х - 2) (2 - х).
Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а)	5 + х2 = (х + 1) (х + 6);
б)	2х (х - 8) = (х + 1) (2х - 3);
в)	(Зх - 2) (х + 4) - 3 (х + 5) (х - 1) = 0;
г)	х2 + х (6 - 2x) = (х - 1) (2 - х) - 2.
а)	п теләсә нинди натураль кыйммәт алганда,
n(n + 5) - (п - 3)(n + 2) аңлатмасының кыйммәте 6 га кабатлы;
126

б)	η 2 дән зуррак натураль кыйммәт алганда,
(п - l)(n + 1) - (п -7)(n - 5) аңлатмасының кыйммәте 12 гә
кабатлы икәнлеген исбатлагыз.
747	Эзлекле килүче өч натураль санның кечерәгенең квадраты
калган икесенең тапкырчыгышыннан 65 кә кимрәк булса, шул
саннарны табыгыз.
748	Эзлекле килүче өч так санның ике зуррагының тапкырчы-
гышыннан ике кечерәгенең тапкырчыгышын алсаң, 76 килеп
чыгар. Бу саннарны табыгыз.
749	Турыпочмаклыкның периметры 70 см. Турыпочмаклыкның буен
5 см га киметеп, иңен 5 см га арттырсаң, аның мәйданы
50 см2 га артыр. Баштагы турыпочмаклыкның буен һәм иңен
табыгыз.
750	Квадратның ягы турыпочмаклык якларының берсеннән 3 см га
кыскарак, ә икенчесеннән 2 см га озынрак. Квадратның мәй¬
даны турыпочмаклык мәйданыннан 30 см2 га кечерәк булса,
квадратның ягын табыгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
751	Планны билгеләнгән вакытка үтәү өчен, эшчеләр бригадасы көн
саен 54 деталь ясарга тиеш булган. Көнлек планны 6 детальгә
арттырып үтәп, билгеләнгән вакыт җитәргә 1 көн кала бригада
планны үтәү генә түгел, ә 18 детальгә артыграк ясаган. Бригада
ничә көн эшләгән?
752	Трактор бригадасы план буенча көн саен 112 га җир сөрергә
тиеш булган. Көнлек планны 8 гектарга арттырып үтәп, бригада
сөрүне 1 көн элек төгәлләгән. Бригада ничә гектар чирәм җир
сөрергә тиеш булган?
753	Тигезләмәне чишегез:
. х -2	2	3x-2	,λ 2х-5	. х + 1
a)-= g--τ-=	6)^--l=-.
754	Аңлатманы укыгыз:
a)	а2 + Ь2; б) (а + ЬУ; в) а3 - Ь3; г) (α - Ь)3.
29.	Күпбуынны группалау юлы белән тапкырлаучыларга таркату
Без, уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгарып, күп¬
буынны тапкырлаучыларга таркату юлы белән таныш¬
тык. Кайвакытта күпбуынны, башка юл — аның буын¬
нарын группалау алымын кулланып, тапкырлаучыларга
таркатырга мөмкин була.
1 иче мисал ab - 2b + За - 6 күпбуынын тапкырлаучыларга тар¬
катыйк.
► Аның буыннарын, һәр группада кушылучыларның
уртак тапкырлаучылары булырлык итеп, группаларга
берләштерик:
ab - 2b + 3α - 6 = (ab - 2b) + (За - 6).
127

Km>e мисал
3 иче мисал
Беренче группада җәяләр тышына Ь тапкырлау¬
чысын, ә икенчесендә 3 тапкырлаучысын чыгарыйк:
(ab - 2b) + (3α - 6) = b(a - 2) + 3(а - 2).
Килеп чыккан аңлатманың һәр кушылучысында
a — 2 тапкырлаучысы бар. Бу тапкырлаучыны җәяләр
тышына чыгарыйк:
6(α - 2) + 3(α - 2) = (α - 2)(6 + 3).
Шулай итеп,
ab - 2b + 3a - 6 = (a - 2) (b + 3).
ab - 2b + За - 6 күпбуынын тапкырлаучыларга тар¬
катуны, аның буыннарын башкача группалап та баш¬
карырга була:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + За) + (-2b - 6) =
= a(6 + 3) -2(6 + 3) = (ά + 3)(a - 2). <]
ас + bd - be - ad күпбуынын тапкырлаучыларга тар¬
катыйк.
Күпбуынның беренче буынын өченчесе белән, ә икен¬
чесен дүртенчесе белән группаларга берләштерик.
Беренче группада җәяләр тышына с тапкырлаучысын,
ә икенчесендә d тапкырлаучысын җәяләр тышына
чыгарып табабыз:
ас + bd - be - ad = (ас - be) + (bd - ad) =
= c (a - b)- d (a - b)- (a-b)(c - d). <φ,
a2 - 7a + 12 өчбуынын тапкырлаучыларга таркатыйк.
—la ны -3a — 4α рәвешендә күрсәтик һәм группалыйк:
a2 - Ία + 12 = a2 - 3a - 4a + 12 = (a2 - За) +
+ (-4a + 12) = a(a -3)- 4(a - 3) = (а - 3) (а - 4). <|
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатуның бу ысу¬
лын группалау ысулы дип атыйлар.
Күнегүләр
755	Аңлатманы күпбуыннар тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:
а)	xι(b + с) + 36 + Зс;	в) р (с - d) + с - d;
б)	у (a - с) + 5a - 5с;	г) a(p - q) + q - р.
756	Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	тх + ту + 6х + бу;	г)	ах + ау - х - у;
б)	9x + ay + 9y + ах;	д)	1 - Ьх - х + Ь;
в)	Ία - Ιb + an - bn;	е)	ху + 2у - 2х - 4.
757	Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	ab - 8a - Ьх + 8х;	в)	ах - у + х - ау;
б)	ах - Ь + Ьх - а;	г)	ах - 2bx + ау - 2by.
128

758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
9 K4∕147
д)	a2 - ab - 8a + 8b;
е)	ab-3b + b2 - За;
ж)	llx - xy + lly - x2;
з)	kn~ mn- n2 + mk.
рәвешендә күрсәтегез:
в)	3m - mk + 3k - k2;
г)	xk - xy - x2 + yk.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	x3 + x2 + х + 1;
б)	z∕5 - z∕3 - ⅛f2 + 1;
в)	α4 + 2a3 - а - 2;
г)	б6 - 3b4 - 2Ь2 + 6;
Күпбуынны тапкырчыгыш
а)	тп - mk + xk - хп;
б)	х2 + 7х — ах — 7а;
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	x2 + αχ - a2y - аху;	в) 5a3c + 10a2 - 66c - 3abc2;
б)	a2n + x2 - апх - ах;	г) 21a + 8xy3- 24y2- Таху.
а)	р = 0,5, q = -0,5 булганда, p2q2 + pq - q3 - р3;
б)	х = ∙∣, у = булганда, 3x3 - 2y3 - 8x2y2 + ху аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
а)	a = 1^ һәм c = ~l∣ өчен 2a + ac2 - a2c - 2с;
б)	х = 4 һәм у = 0,25 өчен x2y - у + ху2 - х аңлатмасының кыйм¬
мәте нинди була?
Исәпләп чыгарыгыз:
а)	2,7 · 6,2 - 9,3 · 12 + 6,2 · 9,3 - 1,2 · 2,7;
б)	1,25 · 14,9 + 0,75 · 1,1 + 14,9 · 0,75 + 1,1 · 1,25.
Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	ac2 - ad + c3 - cd - bc2 + bd;
б)	ax2 + ay2 - bx2 - by2 + b - а;
в)	an2 + cn2 -ap + ap2 -ср + ср2;
г)	xy2 - by2 - ах + ab + y2 - а.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а) x2y + х + ху2 + у + 2ху + 2; б) х2 - ху + х - ху2 + у3 - у2.
Өчбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а) х2 + 6х + 5; б) х2 - х - 6.
Кабатлау өчен күнегүләр
Көтүдәге сыерлар саны 60 башка арткан. Азык базасы яхшыру
сәбәпле бер сыердан алынган көнлек савым уртача 12,8 л дан
15 л га кадәр арткан. Көн саен элеккегә караганда 1340 л га
күбрәк сөт савып алсалар, көтүдәге сыер саны ничәгә җиткән?
Алдынгы технология кулланып, бригада сәгатькә планга кара¬
ганда 6 детальгә күбрәк җитештерә башлаган. Моның нәти¬
җәсендә ул 6 сәгать эчендә көнлек (8 сәгатьлек) норманы
120% ка үтәгән. Бригада план буенча сәгатенә ничә деталь
эшләргә тиеш булган?
Тигезләмәне чишегез:
а) 4 - х (х + 8) = 11 - х2; б) 4x (Зх - 1) - 2х (6х + 8) = 5.
129

30.	Бердәйлекләрне исбатлау
Үзгәрешлеләрнең теләсә нинди кыйммәтләре өчен
дөрес булган тигезлекнең бердәйлек дип аталганын
искә төшереп китик. Ниндидер тигезлекнең бердәйлек
икәнлеген исбатлау яки, башкача әйткәндә, бердәй¬
лекне исбатлау өчен, аңлатмаларны бердәй рәвеш-
үзгәртүне кулланалар.
Мисаллар карап китик.
ШИШлисал ху - Зу - 5х + 16 = (х - 3) (у - 5) + 1 бердәйлеген исбат¬
лыйк.
►	Бу тигезлекнең сул кисәген үзгәртик:
ху - Зу - 5х + 16 = (ху - Зу) + (-5x + 15) + 1 =
= у (х - 3) - 5(х - 3) + 1 = (х - 3) (у - 5) + 1.
Тигезлекнең сул кисәген: ху - Зу - 5х + 16 күп¬
буынын бердәй үзгәртү нәтиҗәсендә аның уң кисәге
(х~3) (у~Ъ) + 1 килеп чыкты, шулай итеп, без бирелгән
тигезлекнең бердәйлек икәнлеген исбатладык.
Бу бердәйлекне башкача да, аның уң кисәген үз¬
гәртеп тә, исбатларга була:
(х - 3) (у - 5) + 1 = ху - Зу - 5х + 15 + 1 =
= ху - Зу - 5х + 16. О
2 нче мисал (a - 4) (a + 2) + 4 = (a + 1) (а - 3) - 1 бердәйлеген исбат
итик.
►	Бу очракта бирелгән тигезлекнең сул кисәген, аннан
соң уң кисәген үзгәртеп, табылган нәтиҗәләрне
чагыштырырга кирәк:
(a - 4) (a + 2) + 4 = a2 - 4α + 2а - 8 + 4 =
= а2 - 2а - 4,
(a + 1) (а - 3) - 1 = а2 + а - За - 3 - 1 =
= α2 - 2α - 4.
Бу тигезлекнең сул һәм уң кисәкләре бер үк
аңлатмага тигез булганлыктан, алар үзара бердәй
тигез. Димәк, баштагы тигезлек бердәйлек була. <1
Шулай итеп, бердәйлекне исбатлау өчен, аның сул кисәген уң
кисәге яки уң кисәген сул кисәге килеп чыгарлык итеп үзгәр¬
тәләр яисә баштагы тигезлекнең сул һәм уң кисәкләренең бер
аңлатмага бердәй тигез икәнлекләрен күрсәтәләр.
130

Күнегүләр
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	a (b - с) = - а (с - Ь);
б)	т (т - п - k) = - т (п + k - т);
в)	(х - y)(a- b) = (y- x)(b - а);
г)	(х - a)(y - b)(z - c)= -(a -x)(b- у)(с - г).
a)	2a-3b = -(3b - 2а\, б) (2α - 36)2 = (36 - 2α)2
икәнлеген исбатлагыз.
Тигезлекнең бердәйлек икәнлеген исбатлагыз:
а)	10α - (—(5а + 20)) = 5 (За + 4);
б)	-(-7x) - (-(6 - 5x)) = 2 (х + 3);
в)	12y - (25 - (6z∕ - 11)) = 18 (у - 2);
г)	47-(36-(9-56)) = 8(7-6).
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	- х (х - а) (х + 6) = х (а - х) (6 + х);
б)	(-α - 6) (а + 6) = -(а + 6)2;
в)	36-(-(9с-15)) = 3(Зс + 7);
г)	у (-2 - (у - 4)) = у (2 - у).
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	α (6 - х) + х (α + 6) = 6 (а + х);
б)	с (у - 2) + 2 (у + с) = у (с + 2);
в)	a (a - 6) + 2a6 = а (а + 6);
г)	х (1 - х) + х (x2 - 1) = х2 (х - 1).
Рәс. 51
51 нче рәсемдә күрсәтелгән фигураның мәйданын, башта аны
турыпочмаклыкка тутырып, аннан соң ике турыпочмаклыкка
бүлеп табыгыз. Килеп чыккан аңлатмаларның бердәй тигез
икәнлекләрен исбатлагыз.
a (6 - с) + 6 (с - a) = с (6 - а) бердәйлеген исбатлагыз.
Тигезлекнең бердәйлек икәнлеген исбатлагыз:
а)	(х - 3)(х + 7) - 13 = (х + 8)(х	- 4) - 2;
б)	16 - (a + 3) (a + 2) = 4 - (6 +	a) (a - 1).
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	a2 + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5);	в) (с - 8)(c	+ 3) = c2 -	5c -24;
б)	62 - 96 + 20 = (6 - 4)(6-5):	г) (m-4)(m + 7) = m2 + 3∕n-28.
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	(х + 5) (х - 7) = х2 - 2х - 35;
б)	(а - 11)(а + 10) + 10 = (а - 5)(а + 4) - 80.
Түбәндәге тигезлекләрнең һәркайсының да бердәйлек түгел
икәнлеген исбатлагыз:
а)	G/- 5) (у - 8) = z∕2 + 40;	в) y3 - 1 = (у - 1) (y2 + 1);
б)	(у - l)(y-2)(y ~3) = y3-Зу2 + 2у; г) y4 - y2 + 1 = (y2 - I)2.
9*
131

Кабатлау өчен күнегүләр
781	Тигезләмәне чишегез:
a)	(5х - 1) (2х + 1) - 10x2 = 0,6; б) 18x2 - (9x + 2) (2х - 1) = 1.
782	с нинди кыйммәт алганда,
2 q ~∣~ 2	5 с 1
а)	—τ— вакланмасының кыйммәте —т— вакланмасы кыйм-
4	3
мәтеннән 1 гә кечерәк;
5с _ 1	Зс - 4
б)	—2— һәм —— вакланмаларының суммасы 18 гә тигез
булырмы?
783	х ның теләсә нинди кыйммәте өчен a) х2 + 4 > 0; б) х2 - 4 < 0;
в)	(х - 4)2 > 0 булырмы?
784	Аңлатма рәвешендә языгыз:
а)	х һәм у аермасының квадратын;
б)	х һәм у квадратларының аермасын;
в)	3 саны белән а ның b га тапкырчыгышы суммасын;
г)	7 саны белән а ның b га икеләтелгән тапкырчыгышы аер¬
масын.
Контроль сораулар
1	Күпбуынны күпбуынга тапкырлау кагыйдәсен әйтегез.
2	ab - 2b + 5α - 10 күпбуыны мисалында күпбуынны группалау
ысулы белән тапкырлаучыларга таркатуның ничек башка¬
рылганлыгын аңлатыгыз.
IV	бүлеккә өстәмә күнегүләр
9	нчы параграфка
785	а) х = 3, z∕ = - 2; б) х = ∣, z∕ = | булса, х2 - Зху + у2
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
786	Күпбуынның охшаш буыннарын берләштерегез:
а)	6mn - 5m2n2 - 9mn2 - limn + 10mn2 + 5m2n2;
б)	2a3b - ab3 - 1 i ab3 - a3b - 4 i a2b - ⅛ a2b.
ό	Δ	Δ
Ί9>Ί Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез:
а)	10abc2 + 23a2bc - abc2 - 15a2bc + abc2 - 2a2bc;
б)	-3,6x2z∕z + l,2xy2z - 0,5xyz2 + 3x2yz - 4xy2z + xyz2.
788	a) a = 8, b = - 0,5; 6) a = -0,5, b = 4 булса,
⅛ a2b - ∙∣ ab2 - a2b + 2ab2 - ab2 аңлатмасының кыйммәтен
табыгыз.
132

789	a) 2x2 + 6x + 3 күпбуынының кыйммәте җөп сан; б) х2 + х + 2
күпбуынының кыйммәте так сан булырлык х ның бөтен кыйм¬
мәтләре табылырмы?
790	3αx2 - 6α3x + 8α2 - х3 күпбуынын:
а)	х үзгәрешлесенең дәрәҗәсе үсү тәртибендә,
б)	а үзгәрешлесенең дәрәҗәсе кимү тәртибендә языгыз.
791	Күпбуынның дәрәҗәсе нинди:
а)	7x3y2 - 2x5 + 3xι∕3 - 4х2г/2 + 6;
б)	-тп2 + 2тп - 8 + тъ - 3m3n3 + п5;
в)	0,4α36 + 3α62 - 10 + 0,6α36 - 2ab2 - а3Ь;
г)	-3,lαx4 + 2,5ax + 2αx4 + l,lαx4 - 0,5αx - 2ах?
792	Күпбуынны кушыгыз:
а)	2x3 - 4x2 + 7x + 1 һәм -χ3 + 2х2 + Зх - 5;
б)	-10α2 + 6a3 + За һәм -6a3 - 4a + 8а2;
в)	2a + b - с - d һәм 4a~3b~2c + 3d;
г)	х2 - у2 + х - 6 һәм -х2 + 2у2 - у - 4.
793	Күпбуыннарның аермасын табыгыз:
а)	6a3 + 2a2 - 8a - 9 һәм 8a3 - a2 - 6a + 1;
б)	-Зх + х3 - 2х2 һәм 4x3 - 2х2 - 4х;
в)	4a-3b + 2с һәм - 6a + 4Ь - 2с - 2;
г)	a2 + b2 - 2ab + 1 һәм 2a2 + b2 + 2b + 1.
794	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(-2x2 + х + 1) - (х2 - х + 7) - (4х2 + 2х + 8);
б)	(3a2 - а + 2)+ (-За2 + За - 1) - (а2 - 1);
в)	2a - 3b + с - (4a + 7Ь + с + 3);
г)	2xy - y2 + (у2 - ху) - (x2 + ху).
795	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(1 - х + 4x2 - 8x3) + (2x3 + x2 - 6х - 3) - (5x3 + 8х2);
б)	(0,5a - 0,6fe + 5,5) - (-0,5а + 0,46) + (1,36 - 4,5).
796	A = 2x - 1, В = Зх + 1 һәм С = 5х булса, А + В - С аңлатма¬
сының С - В - А аңлатмасына бердәй тигез икәнлеген исбат¬
лагыз.
797	Аерма:
а) 0; б) 5; в) г/2; г) 4y2-y + 7 гә бердәй тигез булсын өчен,
y2 - 3y + 1 күпбуыныннан нинди күпбуынны алырга кирәк?
798	х ның теләсә нинди кыйммәте өчен
ι∣√-p-ι∣√-φ+f
Һәм
0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x - |
күпбуыннары аермасының уңай кыйммәт алуын исбат итегез.
133

799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
а ның теләсә нинди кыйммәте өчен
l,6α5 - 1∣ a4 - 3,4α3 - a2 - 1 һәм -1∣a5 - ⅜ a4 + 3∣ a3 күпбуын¬
нары суммасының тискәре кыйммәт алуын исбат итегез.
abc язмасы а йөзлек, b дистә, с берәмлектән торган санны
аңлата. Бу санны күпбуын рәвешендә күрсәтеп була:
abc = 100fl + 106 + с.
Мәсәлән, 845 = 100 · 8 + 10 · 4 + 5.
Санны күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а) ху; б) ух ; в) aθb ; г) abed.
Күпбуын рәвешендә күрсәтегез һәм килеп чыккан сумма яки
аерманы гадиләштерегез:
а)	abc + cba;	в) abc - ba;
б)	abc + be;	г) abc - ac.
Исбатлагыз:
а)	ab һәм ba саннары суммасы а белән b суммасына кабатлы;
б)	ab һәм ba саннарының аермасы 9 га кабатлы.
Тигезләмәне чишегез:
а)	(4 - 2х) + (5х - 3) = (х - 2) - (х + 3);
б)	5 - Зу - (4 - 2у) = у - 8 - (у - 1);
в)	7-l∣a+ (∣a-5∣) = 2a + f - (| + ⅛a);
г)	-3,6 - (l,5x + 1) = -4х - 0,8 - (0,4х - 2).
2, 4, 5, 6 саннарына пропорциональ һәм соңгы икесенең сум¬
масы белән баштагы икесенең суммасы аермасы 4,8 гә тигез
булган 4 санны табыгыз.
Уйлаган санның уң ягына нуль язып, килеп чыккан санны
143 саныннан алсаң, башта уйланган санның өчләтелгәне килеп
чыга. Нинди сан уйланган булган?
Бирелгән санның уң ягына 9 цифрын язып, килеп чыккан санга
икеләтелгән баштагы санны кушсаң, сумма 633 кә тигез булыр.
Бирелгән санны табыгыз.
Бирелгән өчурынлы санның сул ягына 5 цифрын язып, килеп
чыккан дүртурынлы саннан 3032 не алганнар. Өчурынлы сан¬
нан 9 тапкыр зуррак булган аерма килеп чыккан. Бирелгән
өчурынлы санны табыгыз.
Өчурынлы сан 7 цифрына тәмамлана. Әгәр дә бу цифрны
беренче урынга күчерсәң, сан 324 кә зураер. Өчурынлы санны
табыгыз.
134

10	нчы параграфка
809	Тапкырчыгышны күпбуынга үзгәртегез:
а)	3a5b4a'0 - a1b3 - Ью );
б)	-2x8z∕5(3x2 - 5ху + у2)·,
в)	(x4 + 7x2y2 - 5yi) (~02ху2);
r)(ft7-l⅛≡c+∣fc3c3-fc5)(-30⅛c3).
810	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	5(4x2 - 2x + 1) - 2 (10x2 - 6x - 1);
б)	7 (2ι∕2 - 5//- 3) - 4 (3z∕2 - 9«/- 5);
в)	a (3⅛ - l)-i> (a - 3) - 2 (ab - a + b);
г)	x2(4 - у2) + ι∕2(x2-7) - 4x(x - 3).
811	Үзгәрешленең теләсә нинди кыйммәте өчен
а)	3(x2 - х + 1) - 0,5x(4x - 6) аңлатмасының кыйммәте уңай сан;
б)	у(2 + у - y3) - ⅜ (6 + 3y + l,5t∕2) аңлатмасының кыйммәте тис¬
кәре сан булганлыгын исбатлагыз.
812	Тигезләмәне чишегез:
а)	δ(ι∕ + ∣)-3 = 4(3ι∕-∣)j
б)	7 (2у - 2) - 2 (3z∕ - 3,5) = 9;
в)	21,5(4x - 1) + 8(12,5 - 9х) = 82;
г)	12,5 (Зх - 1) + 132,4 = (2,8 - 4х) 0,5;
, 3x + 6	7χ-14	х + 1 n
л) —	5	5- =0;
ч 1 - 6х 2х +19	23 - 2х
е) -2^"-i2~≡-3-’
813	Беренче киоскка икенчесенә караганда 1,2 тапкыр артыграк
квас китергәннәр. Сәгать саен беренче киоскта 90 л, ә икен¬
чесендә 80 л квас сатканнар. 2,5 сәгатьтән соң икенче киоскта
беренчесенә караганда 65 л га кимрәк квас калган. Киоскның
һәркайсына ничә литр квас китергәннәр?
814	Беренче бригадага икенчесенә караганда 50 кг га кимрәк
цемент измәсе китергәннәр. Беренче бригада сәгать саен
150 кг, икенче бригада 200 кг измә тота. 3 сәгать эшләгәннән
соң, беренче бригадада калган измә икенче бригададагыга
караганда 1,5 тапкыр артыграк, һәр бригадага күпме измә
китергәннәр?
815	М һәм N пристаньнары арасы 162 км. М пристаненнан
45 км/сәг тизлек белән теплоход кузгалып китә. 45 мин тан
соң М пристаненнан аңа каршы тизлеге 36 км/сәг булган
икенче теплоход юлга чыга. Беренче теплоход кузгалганнан соң
ничә сәгать үткәч алар очрашырлар?
135

816	А пристаненнан теплоход 40 км/сәг тизлек белән кузгалып
китә. 1{ сәг тән соң аның артыннан 60 км/сәг тизлек белән
икенче теплоход юлга чыга. Кузгалып киткәннән соң ничә
сәгать үткәч һәм А дан нинди ераклыкта икенче теплоход
беренчесен куып җитәр?
817	А шәһәреннән В шәһәренә бер үк вакытта ике автобус юлга
чыга. Аларның берсенең тизлеге икенчесенекеннән 10 км/сәг
кә артыграк. 3^ сәг тән соң автобусларның берсе В га килеп
җитә, ә икенчесе В дан А белән В арасының енә тигез
ераклыкта була. Автобусларның тизлекләрен һәм А белән В
арасын табыгыз.
818	А дан В га бер үк вакытта ике мотоциклчы юлга чыккан.
Аларның берсенең тизлеге икенчесенекеннән 1,5 тапкыр
артыграк. В га беренче килеп җиткән мотоциклчы шунда ук
кайтырга чыкты. Икенче мотоциклчыны ул А дан чыгуына
2 сәг 24 мин үткәч очратты. А белән В арасы 120 км. Мото¬
циклчыларның тизлекләрен һәм очрашу урынының В дан ерак¬
лыгын табыгыз.
819	Катер агым уңаена 4 сәг тә агымга каршы 2 сәг тә үткән ара¬
дан 2,4 тапкыр артыграк юл уза. Әгәр агым тизлеге 1,5 км/сәг
булса, катерның акмый торган судагы тизлеге нинди булыр?
820	Катер агым уңаена 6 сәг тә агымга каршы 10 сәг тә үткән
юлдан 20 км га кимрәк юл үтә. Әгәр катерның акмый торган
судагы тизлеге 15 км/сәг булса, агым тизлеге нинди булыр?
821	Кооператив ирләр күлмәге партиясен 8 көндә тегәргә ниятләгән.
Ләкин ул, көн саен уйлаганга караганда 10 күлмәк артыграк
тегеп, планны вакытыннан 1 көн элек үтәгән. Кооператив көн
саен ничә күлмәк тегәргә тиеш булган?
822	Элеваторга 1400 т ике сорт бодай китергәннәр. Бер сорт
бодайны эшкәрткәндә 2%, ә икенчесен эшкәрткәндә 3% чүп
чыккан. Чиста бодай 1364 т булса, элеваторга һәр сорттан
күпме бодай китергән булганнар?
823	Подряд белән эшләп, бригада, эшне билгеләнгән вакытта
төгәлләү өчен, көн саен 80 га дан бодай җыярга уйлаган.
Чынбарлыкта ул көн саен 10 га артыграк җыйган, шуңа күрә
билгеләнгән вакытка 1 көн кала аның 30 га җыясы калган.
Бригада ничә гектар бодай җыярга тиеш булган?
824	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	x40-χ20j	6) у24 + /;	B)α20-α10 + α5! г) ⅛6° + ⅛4° →20.
825	а) 716 + 714 нең 50 гә;	в) 259 + 517 нең 30 га;
б)	531 - 529 нең 100 гә;	г) 27ю - 914 нең 24 кә;
д)	1213 - 1212 + 12" нең 7 гә һәм 19 га;
е)	119- 118+ П7 нең 3 кә һәм 37 гә бүленүен исбат итегез.
136

826	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	(а - 3b) (a + 2b) + 5α (a + 2b);
б)	(x + 8y) (2x - 5b) - 8y (2x - 5b);
в)	7α2 (a-χ) + (6α2 - ax) (x - a);
г)	1162 (36 - y) - (6y - 3b2)(y ~ 36).
827	a) x = 0,17, c = 1,15 булганда, 5cx + c2;
6) a = 1,47, 6 = 5,78 булганда, 4α2 - ab аңлатмасының кыйм¬
мәтен табыгыз.
828	Тигезләмәне чишегез:
а)	1,2x2 + х = 0;	в) 0,5x2 - х = 0;	д) l,6x2 = Зх;
б)	1,6х + х2 = 0;	г) 5x2 = х;	е) х = х2.
829	Тапкырлаучыны җәя тышына чыгарыгыз:
а)	(3α + 6)2j	в)(7х + 7р)2;	д)(5^-ЗО)3;
б)	(126 - 4)2;	г) (-Зр + 6)3; е) (2α - 8)4.
830	a2 - а аңлатмасының кыйммәте теләсә нинди бөтен а өчен
2 гә кабатлы икәнлеген исбатлагыз.
831	Бөтен санга аның квадратын кушсаң, килеп чыккан сумманың
җөп сан икәнлеген исбатлагыз.
832	Икеурынлы санга шул ук цифрлар ярдәмендә кире тәртиптә
язылган санны кушсаң, килеп чыккан сумма 11 гә кабатлы
була. Моны исбатлагыз. Мондый үзлек өчурынлы саннар өчен
дә сакланамы?
833	а) 2 санының эзлекле килүче өч дәрәҗәсе суммасы 14 кә;
б) 5 санының эзлекле килүче ике дәрәҗәсе 30 га бүленгәнен
исбат итегез.
11	нче параграфка
834	Аңлатманы өчбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(х -2)(5 + х);	г)	(3α + 4)(8- а);
б)	(г/+ 7)(t∕ - 11);	д)	(5с + 2)(2с-1);
в)	(10-z)(z-4);	е)	(3n - 2)(1 - 4п).
835	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(х - 2) (х + 3) + (х + 2) (х - 3);
б)	(у - 1) (у + 2) + (у + 1) (и - 2);
в)	(a + 1) (a + 2) + (а + 3) (а + 4);
г)	(с - 1) (с - 2) + (с - 3) (с - 4).
836	Аңлатманы күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(х2 - х - 4) (х - 5);	д)	(x2 - х + 1) (2х2 -	х +	4);
б)	(2у - 1) (y2 + 5у- 2);	е)	(-5α2 + 2а + 3) (4a2 -	2a + 1);
в)	(2 - За) (-a2 + 4а - 8);	ж)	у (у - 3) (у + 2);
г)	(3 - 4с) (2с2 - с - 1);	з)	(с - 4) (с + 2) (с +	3).
137

837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
Аңлатманың ниндидер икебуынга бердәй тигез икәнлеген исбат
итегез:
а)	(х + у) (х2 - ху + у2);	в) (a + b) (a3 - a2b + ab2 - Ь3);
б)	(х - у) (х2 + ху + у2);	г) (α - b) (α3 + a2b + ab2 + b3).
Гадиләштерегез.
а)	(α2 - 7) (a + 2) - (2a - 1) (а - 14);
б)	(2-b)(l + 2b) + (l + b)(b3-3b)-,
в)	2х2- (х - 2y)(2x + у);
г)	(т - 3n) (т + 2n)- т(т- п).
(у + 8)(y - 7) - y{y + I) аңлатмасының у ның теләсә нинди
кыйммәте өчен тискәре кыйммәтләр алганлыгын исбат итегез.
а)	(35- 34)(33 + З2) аңлатмасының кыйммәте 24 кә;
б)	(2Ю + 28)(25 - 23) аңлатмасының кыйммәте 60 ка;
в)	(163- 83)(43 + 23) аңлатмасының кыйммәте 63 кә;
г)	(1252 + 252)(52- 1) аңлатмасының кыйммәте 39 га бүленгәнен
исбатлагыз.
Аңлатманы гадиләштерегез һәм:
а)	х = -3, у = -2 булганда, 126i∕3 + (х - 3y) (x2 + 25z∕2 + 5ху);
б)	т = -3, п = 4 булганда, m3 + n3 - (m2 - 2mn - n2)(m- п)
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
Аңлатманың кыйммәте үзгәрешле нинди кыйммәт алуга бәйле
булмаганын исбатлагыз:
а)	(a - 3) (a2 - 8a + 5) - (a - 8) (a2 - За + 5);
б)	(x2 - 3x + 2) (2x + 5)- (2x2 + 7x + 17) (х - 4).
а)	Эзлекле килүче 5 натураль сан суммасы 5 кә кабатлы;
б)	эзлекле килүче дүрт так сан суммасы 8 гә кабатлы икәнен
исбатлагыз.
Эзлекле килүче дүрт натураль санның беренче икесенең тап¬
кырчыгышы калган икесе тапкырчыгышыннан 38 гә кимрәк.
Бу саннарны табыгыз.
а)	Эзлекле килүче дүрт бөтен санның уртадагы икесенең
тапкырчыгышы кырыйдагы икесенең тапкырчыгышыннан 2 гә
артыграк;
б)	эзлекле килүче өч так санның уртадагысының квадраты
кырыйдагы икесенең тапкырчыгышыннан 4 кә зуррак икәнлеген
исбатлагыз.
Квадратның ягы турыпочмаклык якларының берсеннән 2 см га
озынрак, ә икенчесеннән 5 см га кыскарак. Квадратның мәй¬
даны турыпочмаклык мәйданыннан 50 см" га кечкенәрәк булса,
квадрат мәйданын табарга.
Турыпочмаклыкның озынлыгын 4 см га киметеп, киңлеген
5 см га арттырсаң, мәйданы турыпочмаклык мәйданыннан
40 см2 га зуррак булган квадрат килеп чыгар. Турыпочмаклык
мәйданын табыгыз.
138

848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
Турыпочмаклыкның периметры 36 м. Аның озынлыгын 1 м га,
ә киңлеген 2 м га арттырсаң, мәйданы 30 м2 га зураер. Бирел¬
гән турыпочмаклыкның мәйданын табыгыз.
Турыпочмаклыкның периметры 30 см. Әгәр аның озынлыгын
3 см га киметеп, киңлеген 5 см га арттырсаң, турыпочмак¬
лыкның мәйданы 8 см2 га кечерәер. Башта бирелгән туры¬
почмаклыкның мәйданын табыгыз.
а)	a = 6,6, Ь = 0,4 булганда, α2 + ab - Ία - 7Ь;
б)	х = 0,5, у = 2,5 булганда, х2 - ху - 4х - 4у;
в)	a = 4, х = -3 булганда, 5α2 - 5ах - Ία + 7х;
г)	х = 2, Ь = 12,5, с = 8,3 булганда, xb - хс + Зс - ЗЬ;
д)	a = -2, х = 9,1, у = -6,4 булганда, ау - ах - 2х + 2у;
е)	a = 3, Ь = -13, х = -1, у = -2 булганда, Зах - 4by - 4ay + ЗЬх
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) α3 - 2α2 + 2а - 4;
д) a2b - b2c + a2c - bc2∙,
б)	х3- 12 + 6х2-2х;
в)	c4 - 2с2 + с3 - 2с;
г)	-у6 - у5 + У* + у3;
е)	2x3 + xy2 - 2x2y - у3;
ж)	16αb2 - 10c3 + 32ас2 - 5Ь2с;
з)	6α3 - 21a2b + 2ab2 - 7b3.
Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	та - mb + па - nb + pa - pb;
б)	ах - bx - сх + ау - by - су,
в)	х2 + ах2 - у - ау + сх2 - су;
г)	ax2 -2y - bx2 + ay + 2x2 - by.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х2 - Юх + 24;	в) х2 + 8х + 7;	д) х2 + х - 12;
б)	x2-13x + 40;	г) х2 + 15х + 54;	е) x2- 2χ-35.
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	(х + а) (х + Ь) = х2 + (a + b) х + ab;
б)	(х - a)(x - Ь) = х2 - (a + ⅛)x + ab.
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	(х4 + х3) (x2 + х) = x4(x + I)2;
б)	(/ + у2) (у2 - у) = y∖y2 + 1) (у - 1);
в)	(a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) = a4 + a2b2 + Ь4;
г)	(c4 - c2 + 1) (ci + c2 + 1) = c8 + c4 + 1.
b + с = 10 булса, (10a + fe)(10a + с) = 100a(a + 1) + be икәнен
исбатлагыз. Бу формуладан файдаланып исәпләгез:
а)	23 27;	6) 42 48; в) 59 51;	r)84 ∙86.
ab + с2 = 0 булса, (a + с) (b + с) + (a - с) (b-c) = 0. Моны исбат¬
лагыз.
a + Ь = 9 булса, (a + 1) (Ь + 1) - (a - 1) (b - 1) = 18 икәнен исбат¬
лагыз.
139

V бүлек
(α + ь)г Кыскача тапкырлау
αΓ формулалары
b2
§ 12. Сумманың квадраты һәм аерманың квадраты
31^ Ике аңлатманың суммасын һәм аермасын квадратка күтәрү
Күпбуынны күпбуынга тапкырлаганда, бер күпбуын¬
ның һәр буынын икенче күпбуынның һәр буынына тап¬
кырлыйлар. Ләкин кайбер очракларда күпбуыннарны
тапкырлауны, кыскача тапкырлау формулаларын
кулланып, кыскарак башкарып була.
a + Ь суммасын квадратка күтәрик. Моның өчен
(a + Ь)2 аңлатмасын (α + b)(a + Ь) тапкырчыгышы рәве¬
шендә күрсәтеп, тапкырлауны башкарыйк:
(a + 6)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + ⅛2.
Димәк,
(a + 6)2 = a2 + 2ab + b2.	(1)
(1)	бердәйлеген сумма квадратының формуласы
дип атыйлар. Бу формула теләсә нинди ике аңлат¬
маның суммасын квадратка күтәрүне гадирәк башка¬
рырга мөмкинлек бирә:
ике аңлатманың суммасы квадраты беренче аңлатманың квад¬
ратына, плюс беренче һәм икенче аңлатмаларның икеләтелгән
тапкырчыгышына, плюс икенче аңлатманың квадратына тигез.
a - Ь аермасын квадратка күтәреп табабыз:
(α - Ьү = (α - b){a - b) = a2 - ab - ab + b2 = ai-2ab + b2.
Димәк,
(a - 6)2 = a2 - 2ab + b2.	(2)
(2)	бердәйлеген аерманың квадраты формуласы
дип атыйлар. Ул теләсә нинди ике аңлатманың аер¬
масын квадратка күтәрергә мөмкинлек бирә:
ике аңлатманың аермасы квадраты беренче аңлатманың квад¬
ратына, минус беренче һәм икенче аңлатмаларның икеләтелгән
тапкырчыгышына, плюс икенче аңлатманың квадратына тигез.
140

а - b аермасын a + (~b) суммасы рәвешендә күр¬
сәтеп, (2) бердәйлеген (1) бердәйлегеннән китереп
чыгарырга мөмкин икәнлеген искәртеп китик:
(a-b)2 = (a + (-b))2 =
= a2 + 2a (-6) + (-b)2 = a2 - 2ab + b2.
Сумма квадраты һәм аерма квадраты формулаларын куллануга
мисаллар китерик.
ВГнче мисал 8х + 3 суммасын квадратка күтәрик.
[> Сумма квадраты формуласы буенча табабыз:
(8x + 3)2 = (8х)2 + 2 · 8х · 3 + 32 = 64х2 + 48х + 9. <
2	иче мисал 10х - 7у аермасын квадратка күтәрик.
О (2) бердәйлеген кулланып табабыз:
(10x - 7 y)2 = (10x)2 - 2 · 10х · 7у + (7у)2 =
= 100x2 - 140xz∕ + 49z∕2. <
3	иче мисал (-5α - 4)2 аңлатмасын күпбуын рәвешендә күрсәтик.
О (-5a - 4)2 аңлатмасы (5a + 4)2 аңлатмасына бердәй
тигез. Дөрестән дә, теләсә нинди а өчен -5a - 4 һәм
5а + 4 аңлатмаларының кыйммәтләре капма-каршы
саннар була, ә капма-каршы саннарның квадратлары
тигез. Шулай булгач табабыз:
(-5a - 4)2 = (5a + 4)2 = 25a2 + 40a + 16. <]
4	иче мисал 2х (3 + 8x) - (4х - 0,5)2 аңлатмасын гадиләштерик:
[> 2х (3 + 8x) - (4x - 0,5)2 = 6x + 16x2 - (16x2 - 4х + 0,25) =
= 6x + 16x2 - 16x2 + 4х - 0,25 = Юх - 0,25. <J
ЕВКЛИД (безнең эрага кадәр III гасыр) —
борынгы грек галиме, элементар геометриягә,
саннар теориясенә багышланган данлыклы ’
«Башлангычлар» трактаты авторы. Математика
үсешенә зур йогынты ясаган.
141

Күнегүләр
859	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(х+уУ;	д) (у-9)2;	и) (А-0,5)2;
б)	(р - qУ2;	е) (9 - у)2;	к) (0,3 - m)2.
в)	(6 + З)2;	ж) (a + 12)2;
г)	(10 - с)2;	з) (15 - х)2;
860	Күпбуынга үзгәртегез:
а)	(т + п)2;	в) (х + 9)2;	д) (а - 25)2;	ж) (0,2 - х)2;
б)	(с - d)2;	г) (8 - а)2;	е) (40 + А)2;	з) (A + 0,5)2.
861	52 нче һәм 53 нче рәсемнәр ярдәмендә:
a) (a + A)2 = a2 + 2ab + b2 формуласының геометрик мәгънәсен
а һәм b ның уңай кыйммәтләре өчен ачыклагыз; б) (а - А)2 =
= a2 - 2ab + 1г формуласының геометрик мәгънәсен a > b шар¬
тын канәгатьләндерүче а һәм b ның уңай кыйммәтләре өчен
ачыклагыз.
862	Аңлатманы үзгәртегез:
а)	(2x + З)2;	д) (5α + 5 А)2;
б)	(7z∕ — 6)2;	е) (|m-2n)2;
в)	(10 + 8А)2;	ж) (0,3x - 0,5α)2;
г)	(5у-4х)2;	з) (10c + 0,ly)2.
863	Күпбуынга үзгәртегез:
а)	(7-8А)2;	в) (∣x-3ι∕) ;	д) (0,lm + 5n)2;
б)	(0,6+ 2х)2;	г) ^4α + ∣Aj ;	е) (12a-0,3c)2.
864	Күпбуынга үзгәртегез
а)	(-х + 5)2;	в) (~п + 4)2;
б)	(-z - 2)2;	г) (-m - Ю)2.
865	(ι∕-χ)2, (y + x)2, (-z∕ + x)2, (-x + y)2, (-χ-y)2 аңлатмаларын¬
нан а) (х + у)2; б) (x~y)2 аңлатмаларына бердәй тигезләрен
сайлап алыгыз.
142

866	Бердәйлекне исбатлагыз:
а) (а - b)2 = (b- а)2;	б) (-α - b)2 = (a + b)2.
867	Икебуынның квадратын күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(-9a + 46)2;	г)	(-l∣p + 6<7) ;
б)	(-llx - 7y)2∖	д)	(0,08a - 5ОЬ)2;
в)	(-O,8x-О,56)2;	е)	(-O,5x - 6Op)2.
868	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(-За + 1О6)2;	г)	(δa + ∣L б) ;
б)	(-6m - п)2;	д)	(~O,2ρ ~ 10q)2∙,
в)	(8x-0,3i∕)2j	е) (O,8x - O,lz∕)2.
869	Сумма квадраты формуласын яки аерма квадраты формуласын
кулланып исәпләгез:
а)	(100 + I)2;	в) 612;	д) 9992;	ж) 9,92;
б)	(100-I)2;	г) 1992;	е) 7022;	з) 10,22.
870	Берәмлеккә якын саннарның квадратын исәпләү өчен,
(1 + a)2 = 1 + 2a + a2 формуласы урынына (l + a)2≈l + 2a
якынча формуласы кулланыла. Бу формула буенча табылган
якынча кыйммәтләрнең абсолют хатасы нинди?
(1 + a)2 ≈ 1 + 2a формуласы ярдәмендә бирелгән аңлатманың
якынча кыйммәтен табыгыз һәм, калькулятор кулланып, аның
абсолют һәм чагыштырма хатасын табыгыз:
а)	(1 + 0.01)2;	в)	1,052;	д)	0,972;
б)	(1-0.02)2;	г)	1,ОО52;	е)	0,9992.
871	Квадратка күтәрегез:
а)	(х2 - 5)2;	в)	(2а + 64)2;	д)	(5z∕3 - 2х2)2;
б)	(7 - г/3)2;	г)	(-3p +	43)2;	е)	(∣ mi +	9п2)2.
872	Күпбуынга үзгәртегез:
а)	(а2-За)2; г) (4p3-0,5р2)2; ж) (ЗаЬ-^а2) ;
б)	(∣x3 +6х)2;	д)	(l∣a5 +8а2)2;	з)	(12с4 + {а6с)2;
в)	(с2 - 0,7с3)2:	е)	(0,6⅛ - 60i>2)2;	и)	(02xy + O,δx2p2)2.
873	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(а2 - 2b}2∙,	в)	(7a6 + 12а)2;	д)	(Зу + 8р5)2;
б)	(х3 + Зр4)2;	г)(15х-х3)2;	е)	(4a3-Па2)2.
143

874	* ны бербуын белән килеп чыккан тигезлек бердәйлек булыр¬
лык итеп алыштырыгыз:
а)	(* + 2⅛)2 = a2 + 4ab + 4&2;
б)	(3x + *)2 = 9x2 + бах + а2;
в)	(* - 2т)2 = 100 - 40/и + 4т2;
г)	(* - 9c)2 = 36α4 - 108a2c + 81с2;
д)	(15z∕ + *)2 = 225y2 + I2x3y + 0,16х6;
е)	(За + 2,5⅛)2 = 9a2 + 6,2562 + *.
875	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(12a - I)2- 1;	г) a2b2 - (ab - 7)2;
б)	(2a	+ 6⅛)2 - 24аЬ;	д)	b2 + 49 - (6 - 7)2;
в)	121	- (11 - 9х)2;	е)	a4 - 81 - (a2 + 9)2.
876	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	18a	+ (a - 9)2;	в)	4x2 - (2x - З)2;
б)	(5x	- I)2 - 25х2;	г)	(a + 2b)2 - 4b2.
877	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(х - З)2 + х (х + 9);	г)	(b - 4)2 + (b - 1) (2 - Ь);
б)	(2a + 5)2 - 5(4а + 5);	д)	(а + 3) (5 - a) - (a - I)2;
в)	9⅛ (b - 1) - (36 + 2)2;	е)	(5 + 2у) (у - 3) - (5 - 2z∕)2.
878	Аңлатманы гадиләштерегез һәм:
а)	х = 0,97 булганда, (х - Ю)2 - х (х + 80);
б)	х = -16,2 булганда, (2x + 9)2 - х (4х + 31);
в)	х = -3,5 булганда, (2х + 0,5)2 - (2x - 0.5)2;
г)	х = -10 булганда, (O,lx - 8)2 + (O,lx + 8)2 аңлатмасының кыйм¬
мәтен табыгыз.
879	Тигезләмәне чишегез:
а)	(х - 6)2 - х(х + 8) = 2;	в)	у (у - 1) - (у - 5)2 = 2;
б)	9х (х + 6) - (3x + I)2 = 1; г)	16z∕(2 - у) + (4у - 5)2 = 0.
880	Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а)	(х - 5)2 - х2 = 3;	в)	9x2 - 1 - (Зх - 2)2 = 0;
б)	(2y + I)2 - 4у2 = 5;	г)	х + (5х + 2)2 = 25(1 + х2).
881	Аңлатманы күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	7 (4a - I)2 ;	г) 3(a - I)2 + 8а;
б)	-3 (5г/ - х)2 ;	д) 9с2 - 4 + 6 (с - 2)2 ;
в)	-lθ(∣ Ь + 2)2;	е) Юаб - 4 (2a - b)2 + 6ft2.
882	Аңлатманы күпбуынга үзгәртегез:
а)	5 (За + 7)2;	в) - 3 (2 - х)2 - Юх;
б)	-6(4- Ь)2;	г) 12а2-4(1 -2a)2 + 8.
144

883	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	a (a + 96)2;	в) (α + 2) (a - I)2;
б)	6x (x2 + 5x)2;	г) (x - 4) (х + 2)2.
884	Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	(a + ft)2 + (a - ft)2 = 2 (α2 + ft2);	в) a2 + ft2 = (a + ft)2 - 2ab ;
б)	(α + ft)2 - (a - ft)2 = 4αft ;	r) (a + ft)2 - 2ft(α + ft) = a2-b2.
885	Сумманың кубы
(a + ft)3 = a3 + 3α2ft + 3αfe2 + 63
формуласын чыгарыгыз. Исбатланган бердәйлектән файдаланып,
аңлатманы күпбуынга үзгәртегез: a) (2х + у)3; б) (a + 3ft)3.
886	Аерманың кубы формуласын чыгарыгыз:
(a - ft)3 = a3 - 3α2ft + 3αft2 - ft3.
887	х нинди кыйммәт алганда
а)	х + 1 икебуынының квадраты х - 3 икебуыны квадратыннан
120 гә зуррак;
б)	2х + 10 икебуын квадраты х - 5 икебуыны квадратыннан
4 тапкыр зуррак?
I
Кабатлау өчен күнегүләр
888	Аңлатмаларны укыгыз:
а)	(3α)2 + (56)2;	в) (За - 56)2;
б)	(За + 5ft)2;	г) (За)2 - (56)2.
889	Аңлатма рәвешендә языгыз:
а)	2т һәм 7п квадратларының аермасын;
б)	х белән 8ы аермасының квадратын;
в)	6α ның bι ка өчләтелгән тапкырчыгышын;
г)	а һәм b суммасының аларның аермасына тапкырчыгышын.
890	a5 + 2a + а4 + 2 күпбуынын тапкырлаучыларга таркатыгыз.
891	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
a) (2α2 - aft) (а + 462);	б) (х + Зу) (х - Зу).
892	Аралары 1020 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк
вакытта берсенең тизлеге икенчесеннән 10 км/сәг кә зуррак
булган ике поезд кара-каршы юлга чыга. 5 сәг үткәч, поездлар
очрашканчыга кадәр бер-берсеннән 170 км ераклыкта булалар.
Поездларның тизлеген табыгыз.
32.	Сумманың квадраты һәм аерманың квадраты
формулалары ярдәмендә тапкырлаучыларга таркату
Сумманың квадраты һәм аерманың квадраты форму¬
лаларын сумма һәм аерманы квадратка күтәрүдән тыш,
a2 + 2aft + 62 һәм a2 - 2aft + 62 рәвешендәге аңлатма-
, ларны тапкырлаучыларга таркатканда да кулланыла.
10 К4/147
145

Дөрестән дә, бу формулаларда уң һәм сул кисәк¬
ләренең урыннарын алыштырып табабыз:
α2 + 2ab + b2 = (а + Ь)г;
а2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
⅛i нче <сал	9х2 + ЗОх + 25
өчбуынын тапкырлаучыларга таркатыйк. ■
Беренче кушылучы Зх аңлатмасының квадраты, өчен¬
чесе 5 санының квадраты. Икенче кушылучы Зх
һәм 5 нең икеләтелгән тапкырчыгышы булганлыктан,
бу өчбуынны Зх һәм 5 суммасының квадраты рәве¬
шендә күрсәтергә була:
9х2 + ЗОх + 25 =
= (Зх)2 + 2 · Зх ■ 5 + 52 = (Зх + 5)2. <
2 нче мнсал
a2 - 2Οαά2 + 100ά4
күпбуынын тапкырлаучыларга таркатыйк:
a2 - 2Oab2 + 100ά4 =
= a2 - 2 ∙ a ∙ 10ά2 + (10ά2)2 = (a - 10b2)2. <
Күнегүләр
893	Өчбуынны икебуын квадраты рәвешендә күрсәтегез:
а)	х2 + 2ху + у2;	в) a2 + 12a + 36;	д) 1 - 2z + z2;
б)	p2 - 2pq + q2;	г) 64 + 16ά + ά2;	е) n2 + 4« + 4.
894	Икебуын квадраты рәвешендә күрсәтегез:
а)	4х2 + 12х + 9;	г)	∙∣ т2 + 4п2 - 2тп;
б)	25ά2 + 10ά + 1;	д)	10xz∕ + 0,25x2 + ΙΟΟζ/2;
в)	9x2 - 24xi∕ + 16z/2;	e)	9a2 - ab + b2 .
895	Өчбуынны икебуынның квадратына үзгәртегез:
а)	8Ια2- 18αά + ά2;	г)	100x2 + y2 + 20xz/;
б)	1 + y2 - 2у,	д)	b2 + 4a2 - 4αά;
в)	8αά + ά2 + 16α2;	e)	28xi∕ + 49x2 + 4y2.
896	Өчбуынны икебуын квадраты рәвешендә күрсәтерлек итеп,
* тамгасы урынына бербуын куегыз:
а)	* + 56α + 49;	в) 25α2 + * + ∙ξ ά2;
б)	36 - 12x + *;	г) 0,01ά2 + * + 100c2.
146

897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
* тамгасы урынына, бердәйлек килеп чыгарлык итеп, бербуын¬
нар куегыз:
a) (* + 2α)2 = * + 12ab + *; б) (3x + *)2 = * + * + 49z∕2.
Килеп чыккан аңлатманы икебуын квадраты рәвешендә күр¬
сәтерлек итеп, йолдызчыкны бербуын белән алмаштырыгыз:
а)	b2 + 206 + *;	в) 16x2 + 24xz∕ + *;
б)	* + 146 + 49;	г) * - 42pq + 49<γ2.
Өчбуынны икебуын квадраты яки икебуын квадратына капма-
каршы аңлатма рәвешендә күрсәтегез:
а)	-1 + 4а - 4а2;	г)	-44αx + 121α2 + 4х2;
б)	-42a + 9α2 + 49;	д)	4cd - 25с2 - 0,16d2;
в)	24α6 - 16α2 - 962;	е)	-0,49x2 - l,4xι∕ - у2.
а)	у = 101; -11; 0,6 булганда, y2~2y + 1;
б)	х = 12,5; 0; -2 булганда, 4х2 - 20х + 25;
в)	a = 0,4', ~2; -1,6 булганда, 25α2 + 49 + 70α аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
х ның теләсә нинди кыйммәте өчен тигезсезлек дөресме
а) х2 + 10 > 0;	б) х2 + 20х + 100 > 0?
Аңлатманың кыйммәтен нуль белән чагыштырыгыз:
а) х2 - ЗОх + 225;	б) -x2 + 2xy - у2.
Килеп чыккан тигезсезлек х ның теләсә нинди кыйммәте өчен
дөрес булырлык итеп, ... урынына ≤ яки ≥ тамгаларының кайсы
да булса берсен куегыз:
а)	х2 - 16х + 64 ... 0;	в) -х2 - 4х - 4 ... 0;
б)	64 + 8х + х2... 0;	г) -х2 + 18х - 81... 0.
Мөмкин булса, аңлатманы икебуын квадраты рәвешендә күр¬
сәтегез:
а)	∙ξ х2 + Зх + 9;
б)	25ω2 - 30α6 + 962;
в)	р2 ~2р + 4;
r) 9χ2^b 15xV+
д)	10062 + 9с2 - 606с;
е)	49x2 + 12xι∕ + 64у2;
ж)	81z∕2 - 16z2 - 72yz∖
з)	a2 - ab + 462.
Аңлатманы икебуын квадратына үзгәртегез:
а)	х4 - 8x2z∕2 + 16у4;
б)	]g х4 + 2x2α + 16а2;
в)	^∙α2 +2α62 + 464;
Аңлатманы икебуын квадраты рәвешендә күрсәтегез:
а)	4α6 - 4α362 + 64;	в) 0,01x4 + у2 - 0,2х2//;
б)	68 - a264 + I а4;	г) 9x8 + 4y2 - 12x4z∕.
г)	a2x2 - 2abx + 62;
д)	0y2 + c2d2 + Ocdy,
\ 9 „6.2 „4.4 , 25 „2.6
е/ 25 ° 6 — a b + 3θo 6 .
10*
147

Кабатлау өчен күнегүләр
907	Аңлатманы укыгыз:
а) (а - 10ί>)2; б) α2 - (10£)2; в) (a + 10ft)(α - 10ft).
908	Аңлатма рәвешендә языгыз:
а)	За белән Ь ның суммасы квадраты;
б)	0,5m һәм 5,3n квадратларының суммасы;
в)	0,6x2 ның 9z∕2 ка тапкырчыгышы;
г)	8х һәм 4z∕ аңлатмалары суммасының шул ук аңлатмаларның
аермасына тапкырчыгышы.
909	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
a) (х2 + 4ху - у2) (2у - х); б) (3 - α) (α3 - 4а2 - 5а).
910	Аңлатманы бербуын квадраты рәвешендә күрсәтегез:
а)	4х4;	в) Збт6;	д) 9a4ft2;
б)	0,25а4;	г) α2ft4j	е) 0,16x6i∕4.
911	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) m3 + m2 - т - 1;	б) 7a3 + a2b - 28a - 4ft.
Контроль сораулар
1	Сумма квадраты формуласын языгыз. Аны исбатлагыз.
2	Аерма квадраты формуласын языгыз. Аны исбатлагыз.
3	а) Сумма квадраты; б) аерма квадраты рәвешендә күрсәтелә
алырлык өчбуынга мисал китерегез.
§ 13. Квадратлар аермасы.
Кублар суммасы һәм аермасы
33.	Ике аңлатманың аермасын аларның суммасына тапкырлау
Кыскача тапкырлауның тагын бер формуласын карап
китик, a - Ь аермасын a + Ь суммасына тапкырлыйк:
(a - b)(a + b) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - Ь2:
Димәк,
(a - b)(a + b) = a2- b2.	(1)
(1) бердәйлеге теләсә нинди ике аңлатманың аер¬
масын аларның суммасына кыскача тапкырларга мөм¬
кинлек бирә.
148

Ике аңлатма аермасының аларның суммасына тапкырчыгышы
бу аңлатмаларның квадратлары аермасына тигез.
(1) формуласын куллануга мисаллар китерик.
Γ∣ ⅜⅜>⅛HcaΛ Зх - Ту аермасын Зх + Ту суммасына тапкырлыйк.
j> (1) бердәйлегеннән файдаланып табабыз:
(Зх - Ту) (Зх + Ty} = (Зх)2 - (Ту)2 = 9x2 - 49√. <1
2	иче мисал (5α2 - b3} (5α2 + b3} тапкырчыгышын күпбуын рәвешеңдә
күрсәтик.
► (1) бердәйлеген кулланып табабыз:
(5α2 - b3} (5α2 + b3} = (5α2)2 - (ft3)2 = 25α4 * - b6. <
3	иче мисал (-2α - 9c) (2α - 9с) тапкырчыгышын күпбуын рәве¬
шендә күрсәтик.
[> -2а - 9с аңлатмасында -1 не җәяләр тышына чыга¬
рыйк, ул вакытта
(-2α - 9c) (2α - 9с) = (-1) (2α + 9c) (2а - 9с) =
= -((2α)2 - (9c)2) = - (4α2 - 81c2) = -4α2 + 81с2.
Үзгәртүне башкача да башкарып була:
(-9c - 2a} (-9c + 2a) = (-9c)2 - (2α)2 = 81c2 - 4α2 . <1
4	нче мисал 6,5x2 - (2х + 0,8) (2х - 0,8) аңлатмасын гадиләштерик:
[>	6,5x2 - (2x + 0,8) (2x - 0,8) = 6,5x2 - (4х2 - 0,64) =
= 6,5x2 - 4х2 + 0,64 = 2,5x2 + 0,64. <3
Күнегүләр
912 Күпбуыннарны тапкырлагыз:
а)	(х - y}(x + у};
б)	(p + q}(p-q}',
в)	(b - a)(b + а};
г)	(р-5)(р + 5);
д)	(х + 3) (х - 3);
е)	(1-с)(1 + с);
913	Тапкырлагыз:
а) (у - 4) (у + 4);
. б) (p-T)(T + p)-,
в)	(4 + 5y}(5y - 4);
ж)	(2х - 1) (2x + 1);
з)	(7 + 3//)(3^-7);
и)	(n - 3m}(3m + п);
к)	(2α - 3b)(3b + 2а);
л)	(8c + 9rf)(9d - 8с);
м)	(Юх - Ty}(Юх + Ту}.
г)	(7х - 2) (7х + 2);
д)	(8⅛ + 5α) (5α - 8⅛)j
е)	(Юх - 6c)(10x + 6с).
914	54 нче рәсем ярдәмендә a > b шартын канәгатьләндерүче а һәм
b ның уңай кыйммәтләре өчен (α - b}(a + b} = a2 - b2 форму¬
ласының геометрик мәгънәсен аңлатыгыз.
149

915	Тапкырчыгышны күпбуын рәвешендә
а)	(x2 - 5) (х2 + 5);
б)	(4 + z∕2)(z∕2-4);
в)	(9α→W + 9α)j
г)	(0,7x + ι∕2)(0,7x - у2);
д)	(10p2~0,3<72)(10p2 + О,3<?2);	°
е)	(α3-62)(α3 + ft2)j
ж)	(c4 + d2)(d2- с4);
з)	(5x2 + 2z∕3) (5х2 - 2у3);
и)	(l,4c - O,7z∕3)(O,7z∕3 + 1,4с);
к)	(l,3α5-O,l⅛4)(l,3α5 + O,l⅛4).
916	Бердәйлек килеп чыгарлык итеп, * тамгасы урынына нинди
дә булса бербуын языгыз:
а)	(2α + *) (2a - *) = 4α2 - Ь2;
б)	(* - 3x) (* + 3x) = I6y2 - 9х2;
в)	(5x + *) (5x - *) = 25x2 - 0,16z/4;
г)	100m4-4n6 = (10m2 -*)(*+ Ют2);
д)	(*→4)(⅛4 + *)= 121α10→8j
е)	m4 - 225c'0 = (m2 - *) (* + m'2).
күрсәтегез:
917	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(3x2-l) (3x2 + 1);	г)	(0,4z∕3 + 5α2 ) (5α2 - 0,4z/3);
б)	(5α - ⅛3)(fc3 + 5а);	д)	(l,2c2- 7α2)(l,2c2 + 7а2);
\	(3 тз , 1 „з\ (3 „з	1	„з)	\	/5 v , ,,5) Л,5	5 „)
в)	∖jm +4n )∖jm -4n	);	е)	[%x + y Д'/ -8x)∙
C⅛∣ 9* l∕Ι(^'∑}∏ ΓTΣJT''0Q'
а)	(100 - ί) (100 + 1); в) 201 ■ 199;	д) 1002 998;
б)	(80 + 3) (80 - 3);	г) 74 · 66;	е) 1,05 · 0,95.
919 Тапкырчыгышның кыйммәтен табыгыз:
	 а) 52 · 48;	в) 6,01 · 5,99;	д) 17,3 · 16,7;
б) 37 · 43;	г) 2,03 · 1,97;	е) 29,8 · 30,2.
920
Кыскача тапкырлауның тиешле формуласын кулланып, аңлат¬
маны күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(~у + х) (х + у);	г)	(х + у) (-х - и);
б)	(-α + b)(b- а);	д)	(х - у) (у- х);
в)	(-b - с) (6 - с);	е)	(-a - b)(~a - Ь).
921 Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(-Зхг/ + а) (Зху + а);
б)	(-l-2a2b)(l-2a2b)-,
922 Тапкырлагыз:
а)	(-m2 + 8)(m2 + 8);
б)	(5y - y2)(y2 + 5у);
в)	(12α3 - 7x)(~12α3 - 7х);
г)	(-10p4+ 9)(9- 10p4).
в)	(6n2 + l)(-6n2 + 1);
г)	(-7a⅛-0,2)(0,2-7a⅛).
150

923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
б) (х + y)2(y ~х).
д)	(х - 3)2 (х + З)2;
е)	(z∕ + 4)2G∕-4)2ι
ж)	(a - 5)2(5 + a)2;
з)	(с + 4)2(4 - c)2.
:2; г) (За - l)(3α + 1) - 17а2;
д)	100x2 - (5x -4)(4 + 5х);
е)	22c2 + (-3c-7)(3c-7).
Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	2(х - 3) (х + 3);	г) -3a(a + 5)(5- a);
б)	у (у + 4) (у - 4);	д) (0,5x -7)(7 + 0,5х) (-4х);
в)	5х (х + 2) (х - 2);	е) -5y(~3y - 4) (3z∕ - 4).
Аңлатманы күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а) (b + a)(b~ а)2;
Тапкырлагыз:
а)	(ft - 2) (⅛ + 2) (Ь2 + 4);
б)	(3 - у) (3 + у) (9 + у2У,
в)	(a2 + l)(a + l)(a - 1);
г)	(c4 + 1) (c2 + 1) (c2 - 1);
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(0βx + 15)(0,8x - 15) + 0,36x1
б)	5⅛2 + (3 - 2⅛) (3 + 26);
в)	2х2 - (х + 1)(х-1);
Гадиләштерегез:
а)	(х - у) (х + у) (х2 + у2);
б)	(2a + b) (4a2 + b2) (2а - Ь);
в)	(c3 + b) (c3 - b) (с6 + Ь2);
Теләсә нинди бөтен санның
килүче бөтен саннар тапкырчыгышыннан 1 гә зуррак булуын
исбатлагыз.
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(х - 2) (х + 2) - х (х + 5); в) (4x - a) (4х + а) + 2х (х - а);
б)	т {т - 4) + (3 - т) (3 + т); г) 2a (a + b) - (2a + b) (2а - Ь).
Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(5a - 3c) (5a + Зс) - (7c - а) (7с + а);
б)	(4b + Юс) (Юс - 4b) + (-5c + 2b) (5с + 2Ь);
в)	(Зх - 4у)2 - (Зх - 4у) (Зх + 4у);
г)	(2a + 66) (66 - 2a) - (2a + 66)2.
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	5а (а - 8) - 3 (а + 2) (а - 2);
б)	(1-46)(46 + 1) + 66 (6-2);
в)	(8p~q)(q + 8p) -(p + q)(p- q);
г)	(2x - 7y)(2x + 7у) + (2x - 7y)∖7y - 2х).
Тигезләмәне чишегез:
а)	8т (1 + 2т) - (4т + 3) (4т - 3) = 2т;
б)	х - Зх (1 - 12х) = 11 - (5 - 6х) (6х + 5).
Тигезләмәнең тамырын табыгыз:
а)	(6х - 1) (6х + 1) - 4x (9x + 2) = -1;
б)	(8 - 9a) а = -40 + (6 - За) (6 + За).
г)	(3/и - 2) (Зт + 2) + 4;
д)	25а2 - (7 + 5п) (7 - 5м);
е)	6x2 - (х - 0,5) (х + 0,5).
квадраты аннан алда һәм артта
151

934
935
936
937
938
Кабатлау өчен күнегүләр
Аңлатманы икебуын квадраты
а) 1 - 4ху + 4χ2ί/2;
Бердәйлекне исбатлагыз:
а) (a + b)2 - 4ab = (а - Ь)2;
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	2abc2 - 3ab2c + 4а2Ьс;
б)	12a2xy3 - баху5;
Тигезләмәне чишегез:
а)	2χ-^ = f -6;
б)	1+Ξ±ι
в)	i-γ- + y = | + 3;
Аралары 380 км булган М
вакытта кара-каршы ике поезд чыга. Λf станциясеннән чыккан
поездның тизлеге икенчесенең тизлегеннән 5 км/сәг кә
артыграк. Юлга чыгып 2 сәг үткәч, поездларның арасы 30 км
була. Поездларның тизлеген табыгыз.
рәвешендә күрсәтегез:
б) -ξ a2b2 + ab + 1.
б) (a - b)2 + 4ab = (a + b)2.
в)	-15α∕n3n4 - 20αm4n6j
г)	-28⅛4c5i∕ + 16⅛5c6∕.
г)	6 = Ц-!· · 2,4;
д)	0,69 =	· 13,8;
О
х n _ 4 + 2x .n
е)	0,5 · —iz— = х - 10.
1О
Һәм N станцияләреннән бер үк
34.	Квадратлар аермасын тапкырлаучыларга таркату
(a - b)(a + b) = a2 - b2 бердәйлегендә уң һәм сул кисәк¬
ләрнең урыннарын алыштырып табабыз:
a2 - b2 = (a - b) (a + Ь).
Бу бердәйлекне квадратлар аермасы формуласы
дип атыйлар.
Аны теләсә нинди ике аңлатманың квадратлары
аермасын тапкырлаучыларга таркату өчен кулланалар:
ике аңлатманың квадратлары аермасы бу аңлатмаларның аер¬
масы белән суммасы тапкырчыгышына тигез.
Квадратлар аермасы формуласын куллануга мисал¬
лар китерик.
1	иче мисал 36 - а2 аңлатмасын тапкырлаучыларга таркатыйк.
36 = 62, шуңа күрә
►	36 - a2 = 62 - а2 = (6 - а) (6 + а).
2	иче мисал 49x2 — 16/ икебуынын тапкырчыгыш рәвешендә
күрсәтик.
►	Бу икебуынны квадратлар аермасы рәвешендә күрсәтеп
табабыз:
49х2 - 16/ = (7x)2 - (4/)2 = (7x - 4/) (7х + 4/). <1
152

Күнегүләр
939
940
941
942
943
944
945
946
947
Күпбуынны сумма һәм аерманың тапкырчыгышы рәвешендә
күрсәтегез:
а)	х2 - у2;	г)	m2 - 1;	ж) р2 - 400;	к) b2 - |;
б)	c2 - z2∖	д)	16 - b2∖	з) у2 - 0,09;	л) ⅛ “ fl2;
в)	а2 - 25;	е)	100 - х2;	и) 1,44 - а2;	м) || - р2.
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	25х2 - у2·,
б)	-т2 + 16п2;
в)	36α2 - 49;
г)	64 - 25х2;
д)	9/п2 - 16п2;
е)	64р2 - 81(?2;
ж)	-49α2 + 16Ь2;
з)	0,0 ln2 - 4т2;
Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а) х2 - 64;
г) -81 + 25/;
б) 0,16 - с2;
д) 144fe2 - с·2;
в) 121 - т2·,
е) 16x2 - 49z/2;
Исәпләгез:
a) 472 - 372;
в) 1262 - 742;
б) 532 - 632;
г) 21,32 - 21,22ι
и)	9 - Ь2с2;
к)	4a2b2 - 1;
л)	p2 - a2b2 ;
м)	16c2d2 - 9α2 .
ж)	x2y2 - 0,25;
з)	c2d2 - a2∖
и)	a2x2~4y2.
д) 0,8492- 0.1512;
∙>H)2-K)2∙
Вакланманың кыйммәтен табыгыз:
а) -36	 ) 792-652 .	_) 532-272.
' 132-112 ’	420	'	' 792-512 ’
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
х 532-322
Г) 6i2-442
a)412-312j	в) 2562 - 1562;
, 262-122
Д' 542-162 ’
б) 762 - 242;	г) 0,7832-0^172;
, 632-272
е) 832-792 '
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х4 - 9;	г)	у2 - р4;	ж) b4 -	ую;
б)	25 - п6;	д)	c6 - d6;	з) т8 - п6;
в)	т8 - а2;	4)	х6 - а4;	и) α4 - 64;
Тигезләмәне чишегез:
к)	c8 - d8;
л)	а4 - 16;
м)	81- b4.
а)	x2 - 16 = 0;	г) а2 - 0,25 = 0;
б)	z∕2-81=0j	д)&2 + 36 = 0;
в)	- х2 = 0;	е) х2 - 1 = 0;
ж)	4х2-9 = 0;
з)	25х2- 16 = 0;
и)	81x2 + 4 = 0.
Тигезләмәне чишегез:
a)	т2 - 25 = 0; б) х2 - 36 = 0; в) 9х2 -4 = 0; г) 16x2 - 49 = 0.
153

948 Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
ж)	16m2√-9n4ι
з)	9x8z∕4 - ΙΟΟζ2;
и)	0,81p6∕n4 - 0,01х2
а)	с6 - 9х4;
б)	100z/2-a8;
в)	4x4 - 2562;
г)	a4b2 - 1;
д)	0,36 - х4/;
е)	4а2 - 66с2;
949
Тапкырлаучыларга
а)	64 - у4;
б)	х2 - с6;
в)	a4 - ft8;
таркатыгыз:
г)	25aι6 - п2;
д)	l~49pl0j
е)	4д/6 - 9а4;
ж)	64 - а464;
з)	1662c12 — 0,25;
и)	81x6i∕2 - 0,36a2.
950
Аңлатманы тапкырчыгыш рәвешендә
а)	(х + 3)2 - 1;	в) (4a - З)2 - 16;
б)	64-(6 + I)2;	г) 25 - (а + 7)2;
күрсәтегез:
д)	(5z∕ - 6)2 - 81;
е)	1-(2x-1)2.
951 Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	9ί/2 - (1 + 2z/)2;	г) (5a - 3b)2 - 25α2;
б)	(3c - 5)2 - 16с2;	д) (-2α2 + 36)2 - 4а4;
в)	49x2 - {y + 8х)2;	е) b6 - (х - 463)2.
952 Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а) (26 - 5)2 - 36;
г) p2-(2p + l)2j
б) 9 - (7 + За)2;
д) (5c - 3cf)2 - 9d2;
в) (4 - llm)2 - 1;
е) а4 - (96 + а2)2.
953	Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	(2x + у)2 - (х - 2у)2;	в) {m + и)2 - (т - п)2;
б)	(a + b)2 -(b + с)2;	г) (4c - x)2 - (2c + Зх)2.
954	п теләсә нинди натураль кыйммәт алганда, (4π + 5)2 - 9 аңлат¬
масының кыйммәте 4 кә бүленүен исбатлагыз.
955	п теләсә нинди натураль кыйммәт алганда,
(п + 7)2 - п2 аңлатмасының кыйммәте 7 гә
бүленүен исбатлагыз.
956	Турыпочмаклыкның якларында квадратлар
төзелгән (рәс. 55). Бер квадратның мәйданы
икенчесенең мәйданыннан 95 см2 га зуррак.
Турыпочмаклыкның буе иңеннән 5 см га
зуррак булса, турыпочмаклыкның перимет¬
рын табыгыз.
Рәс. 55
Кабатлау өчен күнегүләр
957
Аңлатманы бербуын кубы рәвешендә күрсәтегез:
а)	27а3;	в) 866;	д) -27а3хб;
б)	-8т3;	г) ~64р6;	е) 64a6x9.
154

958	Күпбуынны икебуын квадраты яки икебуын квадратына капма-
каршы аңлатма рәвешендә күрсәтегез:
а)	0,25x2 - 0,6xz∕ + 0,36⅛<2!	в) α4 + α3 + ∙∣ а2;
б)	-a2 + O,6α - 0,09;	г) -16m2 - 24znn - 9п2.
959	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) a2 - ас - ab + Ьс;	б) x3 - y3 + ху - x2y2.
960	Турист, әгәр дә тимер юл станциясенә 4 км/сәг тизлек белән
барса, поездга ярты сәгатькә соңга калачагын, ә 5 км/сәг
тизлек белән барса, станциягә поезд китәргә 6 мин кала килеп
җитәчәген исәпләгән. Турист күпме юл үтәргә тиеш булган?
35.	Кублар суммасын һәм аермасын тапкырлаучыларга таркату
Кублар суммасын тапкырлаучыларга таркату өчен,
a3 + b3 = (a + 6) (α2 - ab + b2)	(1)
бердәйлегеннән файдаланалар. Бу бердәйлекне кублар
суммасы формуласы дип атыйлар.
(1) бердәйлеген исбатлау өчен, а + 6 икебуынын
a2 - ab + bi өчбуынына тапкырлыйк:
(α + b) (a2 - ab + b2) =
= a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3.
(1) формуласының уң ягындагы a2 - ab + ⅛2 тапкыр¬
лаучысы а һәм b аермасының квадратына тигез булган
a2 - 2ab + b2 өчбуынын хәтерләтә. Ләкин а һәм b ның
икеләтелгән тапкырчыгышы урынына анда аларның
тапкырчыгышы тора, a2 - ab + b2 өчбуынын а һәм b
аермасының тулы булмаган квадраты дип атый¬
лар. Шулай итеп,
■ ике аңлатманың кублары суммасы бу аңлатмалар суммасы
белән алар аермасының тулы булмаган квадраты тапкырчыгы¬
шына тигез.
⅞¾*⅛⅛ M⅛fc⅜Λ 27x3 + у3 күпбуынын тапкырлаучыларга таркатыйк.
► Бирелгән күпбуынны ике аңлатманың кублары сум¬
масы рәвешендә күрсәтеп була:
27x3 + y3 = (Зх)3 + у3.
(1) формуласын кулланып табабыз:
(Зх)3 + у3 = (Зх + у) (9х2 - Зху + у2).
Шулай итеп,
27x3 + y3 = (Зх + у) (9х2 - Зху + у2). <|
155

Кублар аермасын тапкырлаучыларга таркату өчен
α3 - b3 = (a - 6) (a2 + ab + b2)	(2)
бердәйлеге кулланыла, аны кублар аермасы фор¬
муласы дип атыйлар.
(2) бердәйлеген исбатлау өчен, a - Ь икебуыны
белән a2 + ab + b2 өчбуыны (аны а һәм Ь суммасының
тулы булмаган квадраты дип атыйлар) тапкыр¬
чыгышының рәвешен үзгәртик:
(a - b) (a2 + ab + Ь2) =
= a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3~ Ь3.
Ике аңлатманың кублары аермасы бу аңлатмаларның аермасы
белән алар суммасының тулы булмаган квадраты тапкыр¬
чыгышына тигез була.
2 иче мисал m6 - п3 күпбуынын тапкырлаучыларга таркатыйк.
► Бирелгән күпбуынны ике аңлатманың кублары аер¬
масы рәвешендә күрсәтеп, (2) формуласын кулланыйк.
Табабыз:
т6 - n3 = (m2)3 - n3 = (m2 - п) (m4 + m2n + п2). <
Күнегүләр
961	Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х3 + у3;	в) 8 + а3;	д) t3 + 1;
б)	т3 - п3;	г) 27 - у3;	е) 1 - с3.
962 Кублар суммасы формуласын яки кублар аермасы формуласын
кулланыгыз:
а)	c3 - d3;	в) х3 - 64;
б)	p3 + q3;	г) 125 + a3;
д)	4z3-1;
е)	l + fri.
4 963 Аңлатманы, кубларның суммасы яки аермасы рәвешендә күр-
сәтеп, тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	8x3 - 1;	в)8-|а3;
б)	1 + 27 у3;	г) ⅛ т3 + 1000;
д)	125a3-64⅛3i
е)	— х3 + —и3
27 x 125 y ■
964 Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	8 - т3;	в) 64x3 + 1;
б)	с3 + 27;	Jr)l-∣p3!
О 1
д)	∕n3-27n3j
е)	∣a3 + ⅛3.
О
965	Аңлатманы тапкырчыгыш рәвешендә языгыз:
а)	х3 - у6;	в) т9 - п3;	д) a6 + Ь9;
б)	a6 + b3;	г) ρ3 + k9;	е) x9 - у9.
966	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а) с3 + Ь6; б) а9 - Ь6; в) х6 - 8; г) 27 + у9.
156

967	Тапкырчыгыш рәвешендә языгыз:
а)	-х3 + у3;	в)	-α6 + |;	д)	c6 + 1;
б)	-8 - р3;	r)	^⅛ - ft6;	e)	χ6 + У6'
968	Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	a3b3- 1;	в)	8 - a3c3∖	д)	x6y3 - с3;
б)	1 + x3y3∖	г)	m3n3 + 27;	е)	a3 - m3n9.
969	a) 3273 + 1733 аңлатмасы кыйммәтенең 500 гә;
б) 7313 - 6313 аңлатмасы кыйммәтенең 100 гә бүленгәнен исбат¬
лагыз.
970	a) 383 + З73 аңлатмасының кыйммәте 75 кә;
б) 993 - 743 аңлатмасының кыйммәте 25 кә бүленерме?
Кабатлау өчен күнегүләр
971	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(lk2 + α3)(-α3+Ik2);	в) (0,3c - 0,2d) (0,2d - 0,Зс);
б)	(0,8x + z∕4) (-0,8x - у4);	г) (6x3 - 4x) (-6x3 - 4х).
972	Тигезлекнең бердәйлек булмавын исбатлагыз:
а) х4 + 4 = (х + 2)2;	б) (х - 2) (2 + х) = 4 - х2.
973	Тигезләмәне чишегез:
а)	(2x-3)2-2x(4 + 2x)= 11;
б)	(4х - 3) (3 + 4x) - 2x (8x - 1) = 0.
Контроль сораулар
1	Ике аңлатманың аермасы белән аларның суммасы тапкыр¬
чыгышы нәрсәгә тигез? Тиешле формуланы языгыз һәм аны
исбатлагыз.
2	Кублар суммасы формуласын языгыз һәм аны исбатлагыз.
3	Кублар аермасы формуласын языгыз һәм аны исбатлагыз.
§ 14. Бөтен аңлатмаларны үзгәртү
36.	Бөтен аңлатманы күпбуынга үзгәртү
■ Саннардан һәм үзгәрешлеләрдән кушу, алу һәм тапкырлау
гамәлләре ярдәмендә төзелгән аңлатмаларны бөтен аңлат¬
малар дип атыйлар (бөтен аңлатмаларда бертөрле тапкырлау¬
чыларның тапкырчыгышы дәрәҗә рәвешендә языла ала). Ку¬
шу, алу һәм тапкырлаудан тыш, нульгә тигез булмаган санга
бүлү кулланылган аңлатмаларны да бөтен аңлатмаларга кер¬
тәләр.
157

Күпбуыннар һәм, аерым алганда, бербуыннар да
бөтен аңлатмалар була. Мәсәлән,
3,5x2z∕ - 4xt∕2 + 10х - 0,5z∕ һәм ∣ a3bc2 —
бөтен аңлатмалар. Бөтен аңлатмаларга мондый аңлат¬
малар да мисал була:
10√ + (Зх + у) (x2 - 10√2),
26(62 - 10c2) - (63 + 2с2),
2 α(α + 2c)
За	g	+ 2,5αc.
7
х + γτ7 - 5 (х - 1) аңлатмасы бөтен була алмый,
чөнки ул үзгәрешлеле аңлатмага бүлүне эченә ала.
10t∕3 + (Зх + у) (x2 - 10z∕2) аңлатмасы Юу3 бербу¬
ыны белән Зх + у һәм х2 - 10z∕2 күпбуыннары тапкыр¬
чыгышының суммасы була. 26 (62 - 10c2) - (63 + 2с2)
аңлатмасы 26 буынының 62 - 10c2 күпбуынына
тапкырчыгышы белән 63 + 2с2 күпбуынының аермасы
була.
Без күпбуыннарның суммасын, аермасын һәм тап¬
кырчыгышын күпбуынга үзгәртеп булганлыгын беләбез,
шуңа күрә бу бөтен аңлатмаларның һәркайсын күп-
,	,	. 2 a(a + 2c)
буын рәвешендә күрсәтеп була. За		+ 2,5ac
аңлатмасы без карап киткәннәреннән нульгә тигез
булмаган санга бүлүне эченә алуы белән аерылып
тора. Әгәр бүлүне бүлүчегә кире булган санга тап¬
кырлау белән алмаштырсак, 3a2 - a(a + 2c) + 2,5ac
аңлатмасы килеп чыгар, ул, алдагы аңлатмалар кебек
үк, күпбуыннардан кушу, алу, тапкырлау гамәлләре
ярдәмендә төзелгән. Шуңа күрә бу бөтен аңлатманы
шулай ук күпбуын рәвешендә күрсәтеп була.
Теләсә нинди бөтен аңлатманы күпбуын рәвешендә күрсәтергә
мөмкин.
(x2 + 2)2 - (х - 2) (х + 2) (x2 + 4) - 6x (0,5x - х2) бөтен
аңлатмасын күпбуын рәвешендә күрсәтик:
> (x2 + 2) 2- (х - 2) (х + 2) (x2 + 4) - 6x (0,5x - х2) =
= х4 + 4x2 + 4 - (x2 - 4) (x2 + 4) - 3x2 + 6x3 =
= x4 + 6x3 + х2 + 4 - (х4 - 16) =
= x4 + 6x3 + x2 + 4-x4 + 16 = 6x3 + x2 + 20. <
158

Күнегүләр
974	2x2ι∕, 4α2 - b (a- 3b),	, x-~-1 , 9x - ∣ аңлатмаларының
кайсылары бөтен аңлатма булыр?
975	а) х3 + 7х2 + 8 күпбуыны белән х2 - 6х + 4 һәм х - 1 күп¬
буыннарының тапкырчыгышы суммасын;
б) а2 + 7а - 4 һәм a - 3 күпбуыннарының тапкырчыгышы бе¬
лән α3 + 4α2 - 29α + 11 күпбуыны аермасын күпбуын рәвешендә
күрсәтегез.
976	Күпбуынга үзгәртегез:
а)	(5х - 2у) (х + у) - 5х2;
б)	3α2 + (3α + b)(b - а);
в)	2b(7 - b) - (a + 2b)(3 - Ь);
г)	(х + 6ι∕)(l - 4x) - 4x(i∕ - х);
д)	(а + 2b) (4a - 56) - (За - b)(b~ а);
е)	(4x - 5y) (3z∕ + х) + (2х - у) (х - 2у).
977	Күпбуынга үзгәртегез:
а)	3(x - 4) (х + 2) + (Зх - 1) (5 - х);
б)	(6-5)(7-5b)-2(b + 2)(b-6)-,
в)	(с -7)(4 + 2c) - 6c(l - Зс) - (9с - 2)(3 - с);
г)	5(α + 3) (5 - a) - (a - 8) (1 - a) - 2a (За - 6);
д)	4(2a + 1) (5a -3)- 3(a + 2) (a + 3);
е)	-2(6 - 3m) (т + 1) + 5(m - 4) (т - 5).
978	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	4(m - n)2 + 4т(т- п);	в) (у + 7)2 - 2(у + 10) (у + 4);
б)	5х(х - у) - 2(у - х)2;	г) (х - 5) (6 + 4x) - 3( 1 - х)2.
979	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(3∕n - a)(a + 3aι) - (2a + ∕n)(3a - т);
б)	(х - 4y) (х + 3z∕) + (х - 3z∕) (Зг/ + х);
в)	§ a (6а + 1) (6а - 1) - 0,5a (12a2 + |);
г)	0,26 (10c -56)-4 (0,56 + 2с) (2с - 0,56).
980	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	а(1 - 2a)2 - (a2 - 2) (2 - a) + 4a3 (За - 1);
б)	(х2 - Зх)2 - х (5 - х) (х + 5) - 5x (2x3 - 5).
981	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	6х (5х - 24) - 4 (3 - 2х)2;
б)	2y (1 \у - 9) + 0,5 (4i∕ - 3) (4у + 3);
в)	(a - 36) (a + 36) + (2a - 36)2 - 4a (6 - a);
г)	(х + 6z∕)2 - (6z∕ + 5x) (6z∕ - 5x) + х (12г/ - 6x).
159

982	а) х = -1,5 булганда, -3^x2 -	(x2 +	+ 3x2(x2 - 1) -
б) х = -2 булганда, 0,9x(∣x2 - x)(∣x2 + x)- O,6x3(2x2 - 1)
аңлатмасының кыйммәтен исәпләгез.
983	Аңлатманың кыйммәте үзгәрешленең кыйммәтенә бәйле бул¬
мавын исбатлагыз:
а)	(a - 1) (a2 + 1) (α + 1) - (α2 - I)2 - 2 (а2 - 3);
б)	(a2 - З)2 - (а - 2) (а2 + 4) (а + 2) - 6 (5 - а2).
984	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(z∕ - 3) (i∕2 + 9) (ι∕ ÷ 3) - (2√ - ι∕)2 - 19;
б)	(1 - α)(l - a2) + (1 + α)(l + a2) - 2a(l + a)(a- 1).
985	Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	(a - 3c) (4c + 2a) + 3c (a + 3c) = (2a - с) (3c + 5a) - 8а2;
б)	(1 - 26)(1 - 56 + 62) + (26 - 1) (1 - 66 + 62) = 6 (1 - 26).
Кабатлау өчен күнегүләр
986	Мөмкин булса, бирелгән өчбуынны икебуын квадраты яки
икебуын квадратына капма-каршы булган аңлатма рәвешендә
күрсәтегез:
а)	25y2 - 15az∕ + 9а2;	в) 15a6 - 9ω2 - 6^ 62;
б)	162 + O,46c + О,О9с2;	г) 0,04x4 - l,2x3 + 0,09x2.
987	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а) -20x4z∕2 - З5х3г/3;	б) 3a362c + 9a62c3.
988	Велосипедчы авылдан станциягә 15 км/сәг тизлек белән бара,
ә кайтканда 10 км/сәг тизлек белән кайта. Велосипедчыга
кайту өчен авылдан станциягә барганга караганда 1 сәг вакыт
күбрәк кирәк булса, авыл белән станция арасын табыгыз.
989	Элемтәче хәбәрне А пунктыннан В пунктына 30 мин та ките¬
реп җиткергән. Кире кайтканда ул тизлеген 1 км/сәг кә кимет¬
кән һәм юлда 36 мин булган. Элемтәче А дан В га нинди
тизлек белән барган?
37.	Тапкырлаучыларга таркатуның төрле ысулларын куллану
Күпбуыннарны тапкырлаучыларга таркату өчен, без
уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару, группалау
һәм кыскача тапкырлау формулаларын кулландык.
Кайвакытта күпбуынны, берничә ысулны эзлекле кул¬
ланып, тапкырлаучыларга таркатып була. Үзгәртүләрне,
160

мөмкин булганда, уртак тапкырлаучыны җәяләр тышы¬
на чыгарудан башларга кирәк.
й*.1ие мисал Юа3 - 40а күпбуынын тапкырлаучыларга таркатыйк.
Бу күпбуын буыннарының Юа га тигез уртак тапкыр¬
лаучылары бар. Аны җәя тышына чыгарабыз:
10α3-40α = 10α (a2-4).
Тапкырлаучыларга таркатуны a2 - 4 аңлатмасына
квадратлар аермасы формуласын кулланып дәвам итәр¬
гә мөмкин. Нәтиҗәдә тапкырлаучылар сыйфатында
түбәнрәк дәрәҗәле күпбуыннар килеп чыгар.
Шулай итеп,
10a (а2 - 4) = Юа (а + 2)(а - 2).
Димәк,
Юа3 - 40а = Юа (а + 2) (а - 2). <
£3 иче мисал 18x3 + 12х2 + 2х күпбуынын тапкырлаучыларга тар¬
катыйк.
► Күпбуынның барлык буыннары өчен уртак 2х тап¬
кырлаучысы бар. Бу тапкырлаучыны җәя тышына
чыгарыйк:
18x3 + 12x2 + 2x = 2x (9x2 + 6x + 1).
9x2 + 6x + 1 өчбуынын икебуын квадраты рәвешеңдә
күрсәтеп була:
9x2 + 6x + 1 = (3x + I)2.
Шулай итеп,
18x3 + 12x2 + 2x = 2x(3x + I)2. <
3	нче мисал ab3 - 3b3 + ab2y - 3b2y күпбуынын тапкырлаучыларга
таркатыйк.
Башта уртак тапкырлаучы b2 ны җәя тышына чыга¬
рыйк:
ab3 - 3b3 + ab2y - 3b2y = b2(ab ~3b + ау - Зу).
Хәзер ab - ЗЬ + ау - Зу күпбуынын тапкырлаучы¬
ларга таркатырга тырышып карыйк.
Беренче буынны икенчесе белән, өченче буынны
дүртенчесе белән группалап табабыз:
ab - ЗЬ + ау - Зу = b(a-3) + y(a~3) =
= (a~3)(b + у).
Нәтиҗәдә табабыз:
ab3 - 3b3 + ab2y - 3b2y = ⅛2(a - 3) (Ь + у). <]
11 К4/147
161

4	иче мисал α2 - 4αx - 9 + 4х2 күпбуынын тапкырлаучыларга тар¬
катыйк.
I Күпбуынның беренче, икенче һәм дүртенче буыннарын
группалыйбыз. Аерма квадраты рәвешендә күрсәтергә
мөмкин булган a2 - 4ах + 4х2 өчбуыны килеп чыгар.
Шуңа күрә
a2 - 4ax - 9 + 4x2 = (a2 - 4ax + 4х2) - 9 =
= (а - 2х)2 - 9.
Килеп чыккан аңлатманы квадратлар аермасы фор¬
муласы буенча тапкырлаучыларга таркатып була:
(a - 2х)2 - 9 = (а - 2х)2 - З2 =
= (a - 2х - 3) (а - 2х + 3).
Димәк,
a2 - 4ax - 9 + 4х2 = (а - 2х - 3) (а - 2х + 3). <]
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатканда, аны
кимендә ике тапкырлаучысының дәрәҗәләре нуль бул¬
маган (сан булмаган) күпбуыннардан торган берничә
күпбуынның тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтү күздә
тотылганын искәртеп китик.
һәр күпбуынны да тапкырлаучыларга таркатып
булмый. Мәсәлән, х2 + 1, 4x2 - 2x + 1 һ. б. күпбуын¬
нарны тапкырлаучыларга таркатып булмый.
Күнегүләр
990 Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	5x2 - 5z/2;	г) 9р2 - 9;
б)	am2 - an2;	д) 16x2 - 4;
в)	2ах2 - 2ау2;	е) 75 - 27 с2;
ж)	3xy2-27χ∙,
з)	100ac2 - 4а;
и)	50my2 - 2тх2.
991 Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	a3 - а;	в) у3 - у5;
б)	х2-х4;	г)2х-2х3;
д)	81х2 - х4;
е)	4y3 - ∖00y5.
992 Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	тх2 - ту2;	в) 6a2 - 24;
б)	ab2 - 4ас2;	г) 762-63;
д)	4й3-Ь;
е)	a3-ac2.
993 Бердәйлекне исбатлагыз:
as - bli = (a - 6) (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4).
994 Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)р4-16;	б)х4-81;	b)z∕8-1j
г) a4 - Ья.
162

995	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	3x2 + 6xy + 3t/2;	г) 6p2 + 24<?2 + 24ρρ;
б)	~m2 + 2m - 1;	д) 45x + 30αx + 5а2х;
в)	-4х - 4 - X2;	е) 18cx2 - 24сх + 8с.
996	Күпбуынны тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а) 4x3 - 4у3;
г) 16х3-2;
ж) y3 + y*∖
б) 7a3 + 7&3;
д) 1000т + т4;
з) 27m2-m3∙,
\ z,m3 „„3.
в) ат — an ,
е) х5-х2;
и) 8a4 - 64а.
997	x6 - z∕6 аңлатмасын а) квадратлар аермасы; б) кублар аермасы
рәвешендә күрсәтеп, тапкырлаучыларга таркатыгыз.
998	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	2т2 - 4т + 2;	в) 8α3 - 8ά3;
б)	36 + 24x + 4х2;	г) 9ax3 + 9ay3.
999	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	4ху + 12у - 4х - 12;	в) ~abc - 5ac - 4ab - 20а;
б)	60 + 6ab - 30ά - 12α;	г) a3 + a2b + a2 + ab.
1000	Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	45b + 6a - ЗаЬ - 90;	в)	ac4 - с4 + ас3 - с3;
б)	-5ху - 40у - 15х -	120; г)	x3 - x2y + х2 - ху.
1001	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х2 - 2xc + c2 - d2;	в)	р2 - х2 + 6х - 9;
б)	c2 + 2c + 1 - а2;	г)	x2 - a2 - Юа - 25.
1002	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х2 + 2xy + у2 - т2;	в) b2 - с2 - 8ά + 16;
б)	p2-a2 - 2ab - Ь2;	г) 9 - c2 + a2 - 6a.
1003	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х2 - у2 - х - у,
б)	a2 - b2 - а + Ь;
1004	Тапкырчыгыш рәвешендә
а) a - ά + a2 - ά2;
1005	Тапкырчыгыш рәвешендә
а)	ab2 - a- b3 + Ь;
б)	bx2 + 2b2 -Ь3- 2х2;
1006	Тигезләмәне чишегез:
а)	х3 - х = 0;
б)	9х - х3 = 0;
1007	Тигезләмәне чишегез:
а) х3 + х = 0;
' т + п + т2 - п2;
г) k2 - k - p2 - р.
күрсәтегез:
б)	c2 + d - d2 + с.
күрсәтегез:
в)	х3 + x2i∕ - 4у - 4х;
г)	х3 - 3z∕2 + 3x2 - ху2.
в)	х3 + х2 = 0;
г)	5x4-20x2 = 0.
6)x3-2x2 = 0.
11*
163

1008	х бөтен кыйммәтләр алганда, х3 - х күпбуынының кыйммәтләре
6 санына кабатлы булуын исбатлагыз.
1009	Эзлекле килүче ике так санның квадратлары аермасының 8 гә
бүленүен исбатлагыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
1010	Аңлатманы гадиләштерегез һәм:
а)	х = 02 булганда, (6x - l)(6x + 1) - (12x - 5)(3x + 1);
б)	х = -0,5 булганда, (5 + 2x)2 - 2,5x (8х + 7) аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
1011	A (15; 4,5), В (-2,05; -0,12), С (50; 50) нокталары y = 0,02x2
формуласы белән бирелгән функциянең графигында ятармы?
1012	Төзүне башкармыйча гына, у = 0,24x + 6 функциясе графигының
координаталар күчәрләре белән кисешү нокталарының коорди-
наталарын табыгыз.
1013	Функция графигының координаталар яссылыгында ничек урна¬
шуын күрсәтегез:
а)	у = -0,9х + 4;	в) у =	;
б)	у = 2,3х;	г) у = -9.
38. Бөтен аңлатмаларның рәвешен үзгәртүне куллану
Тикшерелгән мәсьәләләргә бәйле буларак, бөтен аңлат¬
маларны төрлечә үзгәртергә туры килә. Без исәпләү¬
ләрне гадиләштергәндә һәм тигезләмәләр чишкәндә
үзгәртүләрне кулланган идек инде. Аларны чишкәндә
бөтен аңлатмаларны үзгәртү кулланылган башка мәсьә¬
ләләрне карап китик.
H∣ иче мисал х ның теләсә нинди кыйммәте өчен х2 + 6х + 10 күп¬
буынының уңай кыйммәтләр алуын исбат итик.
► 10 санын ике кушылучыга 9 һәм 1 гә таркатыйк, ул
вакытта бирелгән күпбуында сумма квадратын аерып
чыгарырга мөмкин булыр:
х2 + 6х + 10 = (x2 + 6x + 9) + 1 = (х + 3)2 + 1.
Без х2 + 6х + 10 күпбуынын (х + З)2 һәм 1 кушы-
лучыларының суммасы рәвешендә күрсәттек, (х + З)2
кушылучысының кыйммәте х ның теләсә нинди кыйм¬
мәтендә тискәре булмас, шуңа күрә (х + 3)2 + 1 сум¬
масының кыйммәте х ның теләсә нинди кыйммәте
өчен нульдән зуррак. Шулай булгач, х2 + 6х + 10 күп¬
буыны теләсә нинди х өчен уңай кыйммәтләр ала <1
164

у* нче мисал (η + 1) (η - 1) - (η - 6) (η + 2) аңлатмасының кыйммәте
теләсә нинди бөтен п өчен 4 кә бүленмәгәнлеген исбат
итик.
Бирелгән аңлатманы гадиләштерик:
(n + 1) (п - 1) - (п - 6) (п + 2) =
= (n2 - 1) - (п2 - 6п + 2п - 12) =
= n2 - 1 - п2 + 6п - 2п + 12 = 4п + 11.
Без бирелгән аңлатманы 4п + 11 суммасы рәве¬
шендә күрсәттек. Теләсә нинди бөтен п өчен беренче
кушылучының кыйммәте 4 кә бүленә, икенче кушы¬
лучы 11 саны 4 кә бүленми. Шуңа күрә теләсә нинди
бөтен п өчен 4п + 11 суммасының кыйммәте, димәк,
баштагы (п + l)(n - 1) - (п - 6)(п + 2) аңлатмасының
да кыйммәте дә 4 кә бүленми. <]
λ' 3 нче мисал Микрокалькулятор ярдәмендә 5x3 + 2х2 -7х + 4 аңлат¬
масының х = 1,2 өчен кыйммәтен табыйк.
Гамәлләрне кабул ителгән тәртиптә башкарсак, башта
12 санын кубка күтәрергә, нәтиҗәне 5 кә тапкырларга
һәм килеп чыккан санны хәтергә кертергә кирәк.
Аннары 12 санын квадратка күтәрергә, нәтиҗәне 2 гә
тапкырларга һәм килеп чыккан санга 5x3 аңлатма¬
сының хәтердән алынган кыйммәтен кушарга кирәк
һ. б. Ләкин бирелгән аңлатманы түбәндәгечә үзгәрт¬
сәк, эзләнелгән нәтиҗәне гадирәк юл белән табып
булыр:
5x3 + 2x2 - 7x + 4 = (5х2 + 2х - 7)х + 4 =
= ((5x + 2)х - 7)х + 4.
Исәпләүне х = 1,2 өчен башкарып, күпбуынның
кыйммәте 7,12 гә тигез икәнлеген табарбыз. <]
Күнегүләр
1014	Аңлатманың бары тик уңай кыйммәтләр генә алганлыгын
исбатлагыз:
а)	х2 + 2х + 2;	в) a2 + b2 - 2ab + 1;
б)	4х2 - 4х + 6;	г) х2 + y2 + z2 + 2ху + 5.
1015	2b - b2 - 2 аңлатмасының бары тик тискәре кыйммәтләр генә
алганлыгын исбатлагыз.
'1016 Аңлатманың кыйммәте бары тик уңай сан гына була
алганлыгын исбатлагыз:
a) y2 - 10z∕ + 30;	б) c2 + 4cd + 4d2 + 4.
1017 Так санның квадраты так сан булуын исбатлагыз.
165

1018	(2л + 1) (η + 5) - 2(л + 3) (л - 3) - (5л + 13) аңлатмасының
кыйммәте теләсә нинди бөтен л өчен 6 га бүленмәгәнлеген
исбатлагыз.
1019	(л + 8) (л - 4) - (л + 3) (л - 2) + 27 аңлатмасының кыйммәте
теләсә нинди бөтен л өчен 3 кә бүленмәгәнлеген исбат итегез.
1020	a) α = - β , 6=2 булганда, 3α2⅛ + 2aft2 аңлатмасының;
б) m≈-⅛, η = 3 булганда, 2mn2 - 3m2n + 1 аңлатмасының
кыйммәтен иң җайлы юл белән табыгыз.
1021	(a2 + b2) (a + b)(a- b) һәм a4 - bi аңлатмаларының бердәй тигез
икәнлекләрен исбатлагыз.
а)	a = 2, b = 0,1;
б)	a = J, b = Ί булганда, әлеге аңлатмаларның кайсысы исәп¬
ләүләр өчен җайлырак?
1022	ах + Ьх - сх һәм (a + b - с)х аңлатмалары бердәй тигез. Каль¬
кулятор белән исәпләү өчен аларның кайсысы җайлырак?
a = 3,17, b = 1,12, c = 0,97, x = 4,ll булса, исәпләүләрне баш¬
карыгыз.
1023	Калькулятор кулланып, х = 3,7 булганда, 3,5x3 - 2,lx2 + 1,9х - 16,7
күпбуынының кыйммәтен табыгыз.
1024	Калькулятор кулланып, х = 21 булганда,
х4 - 20x3 - 19x2 - 32х + 40 күпбуынының кыйммәтен исәпләгез.
Кабатлау өчен күнегүләр
1025	у = 4 (3 - 2х) - 5 һәм у = х - 8 (х - 8) формулалары белән бирел¬
гән функцияләрнең сызыкча функцияләр икәнлеген, ә аларның
графикларының үзара кисешүче турылар булганлыгын исбат
итегез. Бу турыларның кисешү ноктасы координаталары нинди?
1026	Координаталарның бер үк яссылыгында у = х2 һәм у = -х + 6
функцияләре графикларын төзегез һәм графиклар ярдәмендә
бу графиклар кисешкән нокталарның координаталарын табыгыз.
1027	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	a2 + b2 - c2 + 2ab∖	в) a3 + a2 - ab2 - Ь2;
б)	т2 - х2 - y2 + 2ху,	г) 9« + m3 - m2n - 9т.
Контроль сораулар
1	Бөтен аңлатмага һәм бөтен булмаган аңлатмага мисаллар
китерегез.
2	Бөтен 4x(3 - x)2 + (x2 - 4)(х + 4) аңлатмасын күпбуын рәве¬
шендә күрсәтү өчен, нинди гамәлләрне нинди тәртиптә баш¬
карырга кирәк?
3. Күпбуыннарны тапкырлаучыларга таркатуның нинди ысуллары
сезгә билгеле?
166

V бүлеккә остәмә күнегүләр
12 нче параграфка
1028 Күпбуын рәвешендә
а) (1 х + 9j ;
күрсәтегез:
д) (5ху - 0,8«/2)2;
U) (a363-l)2ι
б)
■и-·—-»
сп|сл
1
оо
кэ
е) (0,4α + Юаб)2;
1к) (2 + хУ)2;
в)
(-2a÷∣i)2i
ж) (За2 - 5а6)2;
л) (χ6-3χι/2)2;
г)
(-3x-∣j)2!
з) (8xz∕ + St/2)2;
м) (y8-2xiy)2.
1029	Аңлатманы күпбуынга үзгәртегез:
a)	(O,7x3y - 2ху3)2;	в) (0⅛>⅛ + 0,3pq3)2-,
.	.9	.	.9
\' б) (∣α36- jα63) :	г) (∣6c4 + ∣62c3j .
1030	Аңлатманы күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(2m3n + О,3тл4)2;	в) (0,lα66 + 0,2а66)2;
б)	⅛α462 -Ы’; г) (±√y-⅛)2.
1031	Бердәйлекне исбатлагыз:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
1032	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
a)((α + 6)2)2j	6)(α-6)4.
1033	Аңлатманың кыйммәте х ка бәйле түгеллеген исбатлагыз:
∣a) (х + 7)2 — (х — 5) (х + 19); б) (х - 9)2 + (8 - х) (х + 26).
1034	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	62 + 106 + 25;	∖zb) 16x2 - 8x + 1;	д) x4 + 2x2y + у2·,
б)	с2 -&с + 16; г) 4с2 + 12с + 9;	е) α6 - 6a362 + 964.
1035	Икебуын квадраты яки икебуын квадратына капма-каршы
аңлатма рәвешендә күрсәтегез:
а)	a4 - 8а2 + 16;	г)	c4d2 + 1 - 2c2d∙,	ж) у - у2 - 0,25;
б)	-4 - 46 - 62;	д)	a662 + 12a36 + 36;	з) 9 - т + т2;
в)	10х - х2 - 25;	е)	х + 1 + ·|χ2;	и) -25 - 2n - 0,04n2.
167

13	нче параграфка
(1036 Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(x2-ll)(H + x2)ι	г) (Ь7 + 3) (~b7 + 3);
б)	(y2 +10)(-10 + y2∖	д) (-c6 - 8) (с6 - 8);
в)	(α5 - 1) (α5 +1);	е) (d9 - 5) (-5 - J9).
1037	Исәпләгез:
а)	1005 · 995;	в) 0,94 · 1,06;	д) 10∣ ∙ 9∣;
б)	108 · 92;	г) 1,09 0,91;	е) 99∣ 100 j.
1038	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	Ьу (у2 - 3) (у2 + 3);	в) (а4 - 3) (а4 + 3) (α8 + 9);
б)	-8х(4х-х3)(4х + х3);	г) (l→3)(l + ⅛3)(l + ft6).
1039	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(a + 2) (a - 2) - а (а - 5);
б)	(а - 3) (3 + a) + а (7 - а);
М (Ь - 4)(∂ + 4) - (Ь - 3)(Ь + 5);
г)	(i> + 8)(6-6)-(⅛-7)(⅛ + 7)j
д)	(с - 1) (с + 1) + (с - 9) (с + 9);
∖ ¢) (5 + с) (с - 5) - (с - 10) (с + 10).
1040	Аңлатманың кыйммәте үзгәрешле кыйммәтенә бәйле булмаган-
лыгын исбатлагыз:
а)	(х - 8)(х + 8) - (х - 12)(х + 12);
б)	O'-iiW) + (3-^(3 + *')∙
1041	Күпбуынга үзгәртегез:
а)	(х -5)2 + 2х (х - 3);	д)	(2a - 5)2 - (5α - 2)2;
б)	(у + 8)2 -4у(у - 2);	е)	(3b - 1)2 + (1 - 3ft)2;
в)	(a - 4) (a + 4) + (2a	- I)2;	ж)	(2x + I)2 - (х + 7) (х - 3);
г)	(b - 3)(ft + 3) - (Ь +	2)2;	з)	(Зу - 2)2 - (у - 9)(9 - у).
1042	х ның нинди кыйммәтендә х + 2 һәм х - 2 икебуыннарының
икеләтелгән тапкырчыгышы аларның квадратлары суммасыннан
16 га кечерәк?
1043	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(х + у + 1) (х + у - 1);	г)	(с - d + 8) (с - d - 8);
б)	(т + п - 3) (т + п + 3);	д)	(р + 2q - 3) (р -2q - 3);
в)	(a - b - 5) (a - Ь + 5);	е)	(а - Зх + 6) (а + Зх + 6).
1044	Тигезләмәне чишегез:
(й) (х - 7) 2 + 3 = (х - 2)(х + 2);
б)	(х + б)2 - (х - 5) (х + 5) = 79;
|в) (2x - 3)2-(7 - 2x)2 = 2;
г)	(5x - I)2 - (1 - Зх)2 = 16х (х - 3).
168

1045 Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	1 - a2b2∙,
б)	4x2ι∕4 - 9;
в)	-0,64 + х4;
г)	0,09x6 - 0,49z/2;	ж) 1 д x2 ~ y2<
д)	lr21a2 - 0,36?;	з) O,Ola2b4 - 1;
е)	2∣ b2 - 1 с2;	и) -9∕n2 + l,44n6.
1046 Вакланманың кыйммәтен табыгыз:
x 382-172
Э) 722-162 ’
, 39,52-3,52 .	V 17,52-9,52
, 57,52-14,52 ’	° 131,52-3,52 ’
1047 Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	х10 - 1;
б)	у'2 - 16;
в)	a2x8- 81;
г)	Зб-feV;	ж) 0,01x16 - 0,16;
д)	25p4√ - 1;	з) 1,69√4 - 1,21;
е)	-9 + 121/п8л8;	и)|/п6-Ц.
u	иО
1048 Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	(х - 5)2 - 16;
б)	(6 + 7)2-9;
в)	25-(3- х)2;
г)	81-(а + 7)2;
д)	(5х - 12)2-х2;
е)	36p2 - (5р - З)2;
ж)	(7x - 4)2 - (2x + I)2;
з)	(n-2)2-(3n + l)2j
и)	9 (a + 1)2 - 1;
к)	4 - 25 (х - З)2;
л)	9(x + 5)2 - (х - 7)2;
м)	49(i∕-4)2-9(i∕ + 2)2.
1049	Теләсә нинди натураль п өчен
а)	(n + I)2 - (п - I)2 аңлатмасының кыйммәте 4 кә;
б)	(2n + 3)2 - (2π - I)2 аңлатмасының кыйммәте 8 гә;
в)	(3n + I)2 - (Зп - I)2 аңлатмасының кыйммәте 12 гә;
V. г) (5n + I)2 - (2п - I)2 аңлатмасының кыйммәте 7 гә бүленгән¬
леген исбатлагыз.
1050	а) а = 1,35 һәм b = -0,65 булганда, (3α - 2b)2 - (2α - b)2 аңлат¬
масының;
б)	с = 1,2 һәм у = -1,4 булганда, (2z∕ - с)2 + (у + 2с)2 аңлатма¬
сының кыйммәтен табыгыз.
1051	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	0,027х3+1;	в) d3 + 0,008?;
б)	/-Ο,ΟΟΙχ3;	г) 125 - 0,064p3.
1052	Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
a'θ4 У '	в) 3 g α + о ,
„15 .1 .	1 61 18 . „3
б) -X + 27 ;	г) lθ4 х + у .
1053	a) 413 + 193 аңлатмасының кыйммәте 60 ка;
б) 793 - 293 аңлатмасының кыйммәте 50 гә;
169

в)	663 + 343 аңлатмасының кыйммәте 400 гә;
г)	543 - 243 аңлатмасының кыйммәте 1080 гә бүленгәнен исбат¬
лагыз.
1064 Кублар суммасы формуласыннан кублар аермасы формуласын
чыгарыгыз.
1055	Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	(х + 1)3 + х3;	в) (a - b)3 + 63;	д) 27α3 - (a - b)3;
б)	(у - 2)3 - 27;	г) 8x3 + (х - у)3·,	е) 1000 + (6- 8)3.
14	иче параграфка
1056	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(a2 - 7)(a + 2) - (2a - l)(a - 14);
б)	(2 - 6)(1 + 26) + (1 + b)(b3-3b).
1057	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(х + 4) (х2 - 4х + 16); б) (3a + 5) (9а2 - 15а + 25).
\ 1058 Тигезләмәне чишегез:
v ×a) (х + 1) (х + 2) - (х - 3) (х + 4) = 6;
б)	(Зх - l)(2x + 7) - (х + l)(6x - 5) = 7;
в)	24-(3w + 1)(4<∕ -5) = (11 -6y)(2y- 7);
г)	(by + 2)(5 -у) = 47- (2y - 3)(3i∕ - 1).
1059	у = (2x - 5)(3 + 8x) - (1 - 4х)2 формуласы аша бирелгән функ¬
циянең сызыкча функция икәнлеген исбатлагыз.
А(-1; 10) ноктасы, 5(0; 16) ноктасы бу функция графигында
ятамы?
1060	а) п = -35 булгаңда, (Зл - l)(n +1) + (2л - l)(n - 1) - (Зл + 5)(л - 2)
аңлатмасының;
б) у = 4 булганда, (5y - 1)(2 - у) - (Зу + 4) (1 - у) + (2y + 6)(z∕ - 3)
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
1061	Аңлатманың кыйммәте үзгәрешле кыйммәтенә бәйле булмавын
исбатлагыз:
а)	(a - 3) (a2 - 8a + 5) - (a - 8) (a2 - За + 5);
б)	(x2 - Зх + 2) (2х + 5) - (2х2 + 7х + 17) (х - 4).
1062	Бердәйлекне исбатлагыз:
(a2 - b2) (ab + cd)- ab (a2 + b2 - c2 - d2) = (ac + bd)(ad + be).
1062 (⅛ + c - 2a) (c - b) + (c + a - 2b) (a - c) - (a + b - 2c) (a - b)
аңлатмасының кыйммәте a, b һәм c ның теләсә нинди кыйм¬
мәтендә 0 гә тигез икәнлеген исбатлагыз.
1064 Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(a + 8)2 - 2(а + 8) (а - 2) + (а - 2)2;
б)	(y-7)2-2(y-7)(y-9) + (y-9)2.
170

10β5
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	(αχ - 2 (а + 2)) (а (х - 1) + 2)	+ 2 (4 - α2) + 3α2x = ах (ах	-	2);
б)	(3 - b(c - l))(ftc + 4(ft + 1)) +	bc(bc + 3b + 1) = 4b(b + 4)	+	12.
Гадиләштерегез:
а)	2 (a2 - I)2 - (а2 + 3) (а2 - 3) -	⅛(a2 + a~ 4)(2a2 + 3);
б)	4(∕n3 - 3)2 - (m2 - 6)(m2 + 6)	- 9(8 - т + m2)(l - т).
Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
(a (a + 2b) + b2) (a(a - 2ft) + b2)((a2 -b2)2 + 4a2b2).
Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	(a + b)2 (a- b)~ 2ab (b-a)~ f>ab (a- b) = (а- Ь)3·,
б)	(a + b) (a- b)2 + 2ab (a + b)- 2ab (- a- b) = (a + b)3.
Бердәйлекне исбатлагыз:
(a2 + b2) (a4 - a2b2 + ft4) - (a3 - b3) (a3 + ft3) = 2ft6.
а)	у = -2 булганда, (у + 5) (у2 - 5y + 25)- у (у2 + 3);
б)	a = 3 булганда, a2 (a + 4)- (а + 2) (а2 - 2а + 4);
в)	х = -4 булганда, х (х + 3)2 - (х - 1) (x2 + х + 1);
г)	р = 1,5 булганда, (2р - 1) (4p2 + 2p + 1) - р (р - 1) (р + 1) аңлат¬
масының кыйммәтен табыгыз.
Диофант (III гасыр) бердәйлеген исбатлагыз:
(a2 + ft2) (c2 + d2) = (ас + bd)2 + (ad - ftc)2.
Леонард Эйлерның (XVIII гасыр) китабында:
(p2 + cq2) (r2 + cs2) = (pr + cqs)2 + c(ps - qr)2
бердәйлеге кулланыла. Аны исбатлагыз.
(х2 + х - 1)(х - а) тапкырчыгышына бердәй тигез булган
стандарт рәвешле күпбуын а нинди кыйммәт алганда
а) х2; б) х ны эченә алмас?
(x2 - Юх + 6) (2х + Ь) тапкырчыгышына бердәй тигез булган
стандарт рәвешле күпбуын Ь нинди кыйммәт алганда
а)	х2 ны эченә алмас;
б)	х3 һәм х янында коэффициентлар тигез булыр?
Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а) 2,la2-2,lfe2j
г) 7a3 + 7ft3;
ж) 2,5a6 - 2,5ft6;
б) l,7a2 + 1,7ft2;
д) 2a4 - 2ft4;
з) l,2a6 + 1,2ft6;
в) l,la3- 1,1ft3;
е) 5a4 + 564;
и) 3a8 - 3ft8.
171

1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
в)	Зр - 2c3 - 3c3p + 2;
г)	a4-24 + 8a~ За3.
в)	y3-8y1 = 8-y∖
г)	2a3 + За2 = 2а + 3.
Аңлатманы тапкырчыгышка үзгәртегез:
а)	9c15 - с13;	в) a5 - 0,64а2;
б)	x≈-⅛√∖	r)√-ι∣∕.
Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	2x8 - 12x4 + 18;	в) a4b + 6a⅛3 + 965;
б)	-2a6 - 8a3b - 8Ь2;	г) 4x + 4xz∕6 + ху'2.
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	70a - 846 + 20ab - 24b2; ι
б)	216c2-6c-3c3 + 426ι i
Тапкырчыгышка үзгәртегез:
а)	За3 - 3ab2 + a2b - b3;	ι
б)	2х - а2у - 2а2х + у;	ι
Тигезләмәне чишегез:
а)	x3 + 3x2-4x- 12 = 0;	ι
б)	2m3 - m2- 18m + 9 = 0;	ι
Тигезләмәне чишегез:
а)	x3 - 2x2 - х + 2 = 0; ι
б)	у3- y2 = 16z∕ - 16;	ι
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	x2-y2 - 1,5 (х-у);
б)	x2 - a2 + 0,5(x + a);
в)	4a2 - b2 - 2a + b;
Тапкырчыгыш рәвешендә
а)	x2(x + 2y)- х- 2у;
б)	y2 (2y - 5) - 8y + 20;
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	a2 - b2 + 2 (a	+ б)2;	в)	2 (х - у)2	+ Зх2	- Зу2;
б)	b2- с2 - 10 (b	- с)2;	г)	5a2 - 5	-	4 (a +	1)2.
Аңлатманы тапкырчыгышка үзгәртегез:
а)	х2 + y2 + 2xy	- 1;	t
б)	a2 + b2 - 2ab	- 25;	<
в)	36 - b2- c2 + 2Ьс;	:
г)	49 - 2ах - а2- х2;
Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х3 + у3 + 2ху (х + у);
б)	x3 — y3 — 5x(x2 + ху + у2);
в)	a3 - b3 + 5a26 - 5а62;
в)	12t∕ - 9x2 + 36 - 3x2t/;
г)	30α3 - 18a26 - 72b + 120а.
в)	2y3-y2-32y + 16 = 0;
г)	4x3-3x2 = 4x-3.
г)	p2 - 16с2 - р - 4с;
д)	а2 + 6а + 66 - Ь2;
е)	x2-7x + 7y- у2.
күрсәтегез:
в)	а3 - 5а2 - 4а + 20;
г)	х3 - 4х2 - 9х + 36.
д)	1 - 25x2 + ΙΟχρ - у2·,
е)	b2 - а2 - 12а - 36;
ж)	81а2 + 6&с - 9й2 - с2;
з)	b2c2 - 4bc - b2 - c2 + 1
г)	p3-2p2 + 2p- 1;
д)	8b3 + 6ft2 + 3b + 1;
е)	a3 - 4a2 + 20а - 125.
172

1087	Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	x3 + y3 + 2х2 - 2ху + 2у2;	в) α4 + ab3 - a3b - Ь4;
б)	a3 - b3 + 3α2 + 3ab + 362;	г) x4 + x3y - ху3 - у4.
1088	Күпбуынның бары тик тискәре булмаган кыйммәтләр алганын
исбатлагыз:
а)	х2 - 2xy	+ y2 + a2;	г)	α2 + 2ab + 2b2 + 2b	+ 1;
б)	4x2 + a2	- 4x + 1;	д)	x2 - 4xy + y2 + x2y2 + 1;
в)	9⅛2 - 6&	+ 4c2 + 1;	е)	x2 + у2 + 2х + бу +	10.
1089	a) a2 + 16а	+ 64 аңлатмасы тискәре кыйммәтләр;
б)	-b2 - 25 + 10⅛ аңлатмасы уңай кыйммәтләр;
в)	-х2 + 6х - 9 аңлатмасы тискәре булмаган кыйммәтләр;
г)	(у + Ю)2 - 0,1 аңлатмасы тискәре кыйммәтләр;
д)	0,001 - (a + 100)2 аңлатмасы уңай кыйммәтләр ала аламы?
1090	a) (2n + 3)(3n-7)-(n +1)(п-1);
б) (7n + 8) (п - 1) + (Зп - 2) (п + 2)
аңлатмалары, п теләсә нинди бөтен кыйммәт алганда, 5 кә
бүленерме?
1091	Бердәйлекне исбатлагыз:
(10n + 5)2= 100n(n + 1) + 25.
Бу бердәйлектән файдаланып, 5 цифрына тәмамланучы нату¬
раль санны квадратка күтәрү кагыйдәсен әйтегез. Бу кагыйдә
буенча 252, 452, 752, 1152 ны табыгыз.

VI бүлек
Сызыкча тигезләмәләр
системалары
Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр
һәм аларның системалары
39.	Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр
Бер санның икенчесеннән 5 кә зуррак булуы билгеле
булсын. Беренче санны х хәрефе белән, икенчесен
у хәрефе белән тамгаласаң, алар арасындагы бәй¬
ләнешне ике үзгәрешлене эченә алган х - у = 5 тигез¬
леге рәвешендә язып була. Мондый тигезлекләрне ике
үзгәрешлеле тигезләмәләр яки ике билгесезле тигез¬
ләмәләр дип атыйлар.
Ике үзгәрешлеле тигезләмәләргә башка мисаллар
китерик: 5х + 2у = Ю, ~7х + у = 5, x2 + у2 = 20, ху = 12.
Бу тигезләмәләрнең баштагы икесе ах + by = с рәве¬
шендә, биредә α, b һәм с — саннар. Мондый тигез¬
ләмәләрне ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр
дип атыйлар.
Билгеләмә, ах + by = с рәвешендәге тигезләмә ике үзгә¬
решлеле сызыкча тигезләмә дип атала, биредә х һәм у —
үзгәрешлеләр, a, Ь һәм с — саннар.
х = 8, у = 3 булганда, х - у = 5 тигезләмәсе
8-3 = 5 дөрес тигезлегенә әйләнә. Үзгәрешлеләрнең
х = 8, у = 3 кыйммәтләре пары бу тигезләмәнең чише¬
леше була, диләр.
Билгеләмә. Үзгәрешлеләрнең тигезләмәне дөрес тигезлеккә
әйләндерүче кыйммәтләре пары ике үзгәрешлеле тигезлә¬
мәнең чишелеше дип атала.
х = 105, у = 100; х = 4, у = -1; х = 3,5, у = -1,5
парларының да х - у = 5 тигезләмәсенең чишелеш¬
ләре булуын тикшерү кыен түгел. Үзгәрешлеләрнең
кыйммәтләре парын кайвакытта кыскарак та язып
була. Мәсәлән, санап кителгән парларны болай язарга
174

мөмкин: (105; 100), (4; -1), (3,5; -1,5). Мондый язы¬
лышта үзгәрешлеләрнең кайсысының кыйммәте берен¬
че урында, ә кайсысының икенче урында торганлыгын
белергә кирәк, х һәм у үзгәрешлеләре кергән тигез¬
ләмәләрнең чишелешендә беренче урында х кыйм¬
мәтләре, ә икенче урында у кыйммәтләрен язу турында
килешик.
Чишелешләре бер үк булган ике үзгәрешлеле ти¬
гезләмәләр тамырдаш, (тигез көчле) тигезләмәләр
дип атала. Чишелешләре булмаган ике үзгәрешлеле
тигезләмәләрне дә тамырдаш дип саныйлар.
Ике үзгәрешлеле тигезләмәләрнең үзлекләре бер
үзгәрешлеле тигезләмәләрнеке кебек үк:
әгәр дә тигезләмәдә кушылучыларны, аларның тамгаларын
үзгәртеп, бер кисәктән икенче кисәккә күчерсәк, бирелгән
тигезләмәгә тамырдаш тигезләмә килеп чыгар;
әгәр дә тигезләмәнең ике кисәген дә нульгә тигез булмаган
бер үк санга тапкырласак яки бүлсәк, бирелгән тигезләмәгә
тамырдаш булган тигезләмә килеп чыгар.
5x + 2i∕ = 12	(1)
тигезләмәсен карап китик.
Тигезләмәләрнең үзлекләреннән файдаланып, бу
тигезләмәдәге үзгәрешлеләрнең берсен икенчесе, мәсә¬
лән, у ны х аша күрсәтик. Моның өчен 5х кушы¬
лучысын, тамгасын үзгәртеп, тигезләмәнең уң кисәгенә
күчерик:
2y = -5х + 12.
Бу тигезләмәнең ике кисәген дә 2 гә бүлик:
z∕ = -2,5x + 6.	(2)
(2) тигезләмәсе (1) тигезләмәсе белән тамырдаш,
у = -2,5х + 6 формуласын кулланып, (1) тигезләмәсенең
теләсә никадәр чишелешен табып була. Моның өчен
ирекле х ны алып, у ның аңа тиңдәш булган кыйм¬
мәтен исәпләү җитә. Мәсәлән,
х = 2 булса, у = -2,5 -2 + 6 = 1;
х = 0,4 булса, у = -2,5 · 0,4 + 6 = 5.
(2; 1), (0,4; 5) саннары парлары — (1) тигезләмәсе¬
нең чишелешләре. (1) тигезләмәсенең чишелешләре
чиксез күп.
Күнегүләр
1092	Ике үзгәрешлеле тигезләмә сызыкча тигезләмә булырмы:
а)	3χ-ζ/ = 17;	в) 13χ + 6ί/ = 0;
б)	х2 - 2у = 5;	г) ху + 2х = 9?
175

1093	Тигезләмә сызыкча тигезләмә булырмы:
а)	Зх + бу = 4;	в) х - 2у = 5;
б)	ху = 11;	г) х + у = 0?
5	2
1094	х = 1у һәм у = 4у саннары пары x + y = 6 тигезләмәсенең
чишелеше буламы? Бу тигезләмәнең тагын ике чишелешен
табыгыз.
1095	х һәм у кыйммәтләре парлары таблицада бирелгән:
X
-5
-4
-з
-1
0
4
5
У
0
3
4
-3
-5
-3
0
Аларның кайсылары:
а) 2х + у = -5; б) х + Зу = -5 тигезләмәсенең чишелеше була?
1096	(3; 1), (0; 10), (2; 4) һәм (3; 2,5) парларының кайсылары
3x+ιy=10 тигезләмәсенең чишелеше була?
1097	(3; -20), (-2; 12); (0,1; 11), (1; 2), (2; 1) саннары парлары
Юх + у = 12 тигезләмәсенең чишелеше булырмы?
1098	а) х = 2; у = 4,5; б) х = -1; у = 2 саннары пары чишелеше
булырлык итеп, нинди дә булса ике үзгәрешлеле тигезләмә
төзегез.
1099	4х - Зу = 12 сызыкча тигезләмәсендә:
а)	у ны х аша;	б) х ны у аша күрсәтегез.
1100	2u + V = 4 тигезләмәсеннән a) v үзгәрешлесен и аша;
б)	и үзгәрешлесен υ аша күрсәтегез.
1101	а) бх - у = 12 тигезләмәсендә у ны х аша; б) 10x + 7y = 0
тигезләмәсендә х ны у аша күрсәтегез.
1102	Тигезләмәдән у үзгәрешлесен х аша күрсәтегез. Табылган
формуланы кулланып, тигезләмәнең нинди дә булса өч
чишелешен табыгыз:
а)	х + у = 27;	в) Зх + 2у = 12;
б)	2х - у = 4,5;	г) 5y - 2x = 1.
1103	х - бу = 4 тигезләмәсеннән у үзгәрешлесен х аша күрсәтеп,
тигезләмәнең нинди дә булса өч чишелешен табыгыз.
1104	у үзгәрешлесен х аша күрсәтеп, тигезләмәнең нинди дә булса
өч чишелешен табыгыз:
а) Зх - у = 10;	б) бх + 2у = 7.
1105	x + 2y= 18 тигезләмәсе чишелешләре арасыннан бертөрле ике
сан парыннан торганын табыгыз.
1106	ах + 2у = 8 тигезләмәсендә х = 2, у = 1 пары аның чишелеше
икәнлеге билгеле булса, а коэффициентының кыйммәтен табы¬
гыз.
176

Кабатлау өчен күнегүләр
1107	a) c = 0,2 булганда, 2c(c - 4)2 - c2 (2с - 10) аңлатмасының;
б) a = 1,2, Ь = -0,6 булганда, (а - 46) (45 * а) аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
1108	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) 1 + a - α2 - а3;	б) 8 - b3 + 46 - 262.
40.	Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәнең, графигы
х һәм у үзгәрешлеле тигезләмәнең чишелеше булган
саннарның һәр пары координаталар яссылыгында коор-
динаталары булып саннарның бу пары хезмәт иткән
нокта (абсцисса булып х ның кыйммәте, ордината
булып у кыңммәте) белән сурәтләнә. Мондый барлык
нокталар тигезләмәнең графигын төзиләр.
ККоординаталары бирелһаң тигезләмәнең чишелешләре бул¬
ган координаталар яссылЕпының—барльңг нокталары
күплеге ике үзгәрешлеле тигезләмәнең графигы"Дңп атала.
Зх + 2у = 6 тигезләмәсенең графигы нидән гыйбарәт
икәнлеген ачыклыйк.
у үзгәрешлесен х аша күрсәтик:
у = -1,5х + 3.
z∕=-l,5x + 3 формуласы аша графигы туры булган
сызыкча функция бирелә (рәс. 56). Зх + 2у = 6 һәм
z∕ = -l,5x + 3 тигезләмәләре тамырдаш, шуңа күрә бу
туры Зх + 2у = 6 функциясенең дә графигы була.
ПЬЕР ФЕРМА (1601 — 1665) —
француз математигы, аналитик геометрия һәм
саннар теориясенә нигез салучыларның берсе.
Аныксыз тигезләмәләр чишү теориясе белән
шөгыльләнгән.	1
12 К4/147
177

Рәс. 56
Рас. 57
Шулай фикер йөртеп, у янындагы коэффициенты
нульгә тигез булмаган, х һәм у үзгәрешлеле теләсә
нинди сызыкча функциянең графигы булып туры хез¬
мәт иткәнлеген күрсәтеп була.
Әгәр дә сызыкча тигезләмәдә у янындагы коэф¬
фициент нульгә тигез, ә х янындагы коэффициент
нульгә тигез булмаса, мондый тигезләмәнең графигы
булып шулай ук туры сызык хезмәт итә. Мисал өчен,
2x + Оу = 12 тигезләмәсен карап китик. Аның чише¬
лешләре булып барлык (х; у) парлары тора, биредә
х = 6, у — теләсә нинди сан, мәсәлән, (6; 2), (6; 0),
(6; -4,5). Тигезләмә графигы абсциссалары 6, ә орди¬
наталары ирекле сан булган барлык нокталардан тора.
Мондый нокталар (6; 0) ноктасы аша үтүче у лар
күчәренә параллель турыны төзиләр (рәс. 57).
Үзгәрешлеләре янындагы коэффициентларының кимендә берсе
нульгә тигез булмаган ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәнең
графигы туры сызык була.
РЕНЕ ДЕКАРТ (1596-1650)-
француз философы, математигы һәм физигы.
Аналитик геометриягә нигез салган, үзгәрешле
зурлык төшенчәсен һәм координаталар методын
гамәлгә керткән. Алгебра белән геометрия бәй¬
ләнешен булдырган.
178

Хәзер сызыкча тигезләмәдә үзгәрешлеләр янындагы
коэффициентларның икесе дә нульгә тигез булган
очракны карап китик.
Үзгәрешлеләре янындагы коэффициентларның ике¬
се дә нульгә тигез булган ах + by = с тигезләмәсе
Ох + Оу = с рәвешен ала. с = 0 булганда, саннарның
теләсә нинди пары — бу тигезләмәнең чишелеше,
ә координаталар яссылыгы аның графигы була, c≠0
өчен тигезләмәнең чишелеше юк, һәм аның графигы
бер ноктаны да эченә алмый.
Сызыкча тигезләмәләрнең графикларын төзүгә ми¬
саллар китерик.
1	нче мисал Зх - 4у = 12 тигезләмәсенең графигын төзик.
►	Зх - 4у = 12 сызыкча тигезләмәсендә үзгәрешлеләр
янындагы коэффициентлар нульгә тигез түгел. Шуңа
күрә аның графигы туры сызык була. Туры ике нокта
белән билгеләнә. Турының нинди дә булса ике нокта¬
сының координаталарын табыйк:
х = 0 булса, у = -3; х = 2 булса, z∕ = -l,5.
(0; -3) һәм (2; -1,5) нокталарын билгеләп, алар аша
туры үткәрик (рәс. 58). Бу туры Зх - Ау = 12 тигезләмә¬
сенең графигы булыр. <1
2	нче мисал 0,5x = -l,5 тигезләмәсенең графигын төзик.
►	Бу тигезләмәне 0,5х + Оу = -1,5 рәвешендә язарга була.
Аның чишелешләре булып саннарның х = -3,
у — ирекле сан булган парлары тора. Тигезләмәнең
графигы булып у күчәренә параллель һәм (-3; 0)
, ноктасы аша үтүче туры хезмәт итә (рәс. 59). <1
• Күнегүләр
1109	a) A (4; 1); б) 5(1; 3); в) С (—6; -7,5); г) 5(0; 3)
нокталары Зх + Ау = 12 тигезләмәсе графигында яталармы?
12*
179

1110	Д(6; 1); В (-6; -5), С (0; -2), £>(-1; 3) нокталарының кайсы-
лары х - 2у = 4 тигезләмәсе графигыныкы?
1111	3χ-y = ~5, -χ + 10u = 21, llx + 21t∕ = 31 тигезләмәләре гра¬
фикларының P(-l; 2) ноктасы аша үтүләрен исбатлагыз.
1112	Тигезләмәнең графигын төзегез:
а)	2х - у = 6;	в) х + бу = 0;	д) l,2x = -4,8;
б)	1,5х + 2у = 3;	г) 0,5z∕ - х = 1;	е) 1,5у = 6.
1113	Тигезләмәнең графигын төзегез:
а)	х + у = 5;	в)	1,6х = 4,8;
б)	у - 4х = 0;	г)	0,5у = 1,5.
1114	Тигезләмәнең графигын төзегез:
а)	х - у - 1 = 0;	в)	2 (х - у) +	Зу =	4;
б)	Зх = у + 4;	г)	(х + у) - (х	- у)	= 4.
1115	21х - 5у = 100 тигезләмәсенең графигы булган турыда абсцис¬
сасы 3 кә тигез булган нокта алганнар. Бу ноктаның орди¬
натасын табыгыз.
1116	12х - 15у = 132 тигезләмәсенең графигы булган турының нин¬
дидер ноктасының ординатасы нульгә тигез икәнлеге билгеле.
Бу ноктаның абсциссасын табыгыз.
1117	Төзүне башкармыйча, тигезләмә графигының кайсы координата
чирекләрендә урнашуын билгеләгез:
а) 12х - 8у = 25; б) 1,5у = 150; в) 0,2x = 43.
Кабатлау өчен күнегүләр
1118	Тигезләмәне чишегез:
, 16-х 18-х n	,, х-15	2х + 1 , . _
а)	— "-ΙΓ^=0=	б) —+1=0∙
1119	a) α = -l∙ξ булганда, a (a - 4) - (a + 4)2 аңлатмасының;
б)	a = ⅛ булганда, (2a - 5)2 - 4 (a - 1) (3 + a) аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
41.	Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр системалары
Мәсьәлә Ике санның суммасы 12 гә, ә аларның аермасы 2 гә
тигез. Бу саннарны табыгыз.
Беренче санны х хәрефе аша, ә икенчесен у хәрефе
аша тамгалыйк. Мәсьәләнең шарты буенча саннарның
суммасы 12 гә тигез, ягъни
х + у = 12.
Саннарның аермасы 2 гә тигез, шуңа күрә
x~y = 2.
Без ике үзгәрешлеле ике тигезләмә төзедек. Мәсьә¬
ләнең соравына җавап бирү өчен, безгә үзгәрешле-
ләрнең х + у = 12 һәм х — у = 2 тигезләмәләренең
180

һәркайсын дөрес тигезлеккә әйләндерә торган кыйм¬
мәтләрен, ягъни бу тигезләмәләрнең гомуми чише¬
лешләрен табарга кирәк. Мондый очракларда тигез¬
ләмәләр системасын чишәргә кирәк, диләр.
Тигезләмәләр системасын фигуралы җәяләр ярдә¬
мендә язу кабул ителгән. Без төзегән тигезләмәләр
системасын болай язарга мөмкин:
ix + y = 12,
∣x-z∕ = 2.
Үзгәрешлеләрнең х = 7, у = 5 пар кыйммәте сис¬
темадагы һәр тигезләмәнең чишелеше була, чөнки
7 + 5 = 12 һәм 7-5 = 2 тигезлекләренең һәркайсы
дөрес тигезлек. Мондый парны системаның чише¬
леше дип атыйлар. <]
Билгеләмә. Үзгәрешлеләрнең системага кергән һәм тигез¬
ләмәне дөрес тигезлеккә әйләндерүче кыйммәтләре пары ике
үзгәрешлеле тигезләмәләр системасының чишелеше дип атала.
Системаны чишү — аның чишелешләренең бары¬
сын да табу яки аларның булмаганлыгын исбатлау
дигән сүз.
Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр системасын
чишү өчен, тигезләмәләрнең графикларыннан файда¬
ланып була.
2х + Зу = 5,
Зх-у- -9
тигезләмәләр системасын чишәргә кирәк булсын.
Моның өчен координаталар яссылыгында система ти¬
гезләмәләренең графикларын төзибез. Беренче тигез¬
ләмәнең
Рәс. 60
графигы — АВ турысы, икенчесенең графигы
CD турысы булыр (рәс. 60).
АВ турысының теләсә кайсы ноктасы
координаталары 2х + Зу = 5 тигезләмәсенең
чишелеше, ә CD турысының теләсә нинди
ноктасы координаталары Зх - у = -9 тигез¬
ләмәсенең чишелеше булып тора. Турылар
кисешкән нокта координаталары тигезләмә¬
ләрнең беренчесен дә, икенчесен дә канә¬
гатьләндерә, ягъни системаның чишелеше
булып торалар. Графиклар К (-2; 3) нок¬
тасында кисешәләр. Димәк, системаның
бердәнбер чишелеше бар: х = -2, у = 3.
Системаны чишүнең без кулланган ысу¬
лы график ысул дип атала. График ысул
чишелешләрне гадәттә якынча гына табарга
мөмкинлек биргәнлеген искәртеп үтик.
181

Тигезләмәләрнең һәркайсында үзгәрешлеләре янын¬
дагы коэффициентларның кимендә берсе нульгә тигез
булмаган ике үзгәрешлеле сызыкча ике тигезләмә
системасын карап китик. Мондый системаның һәрва¬
кытта да чишелеше буламы, булса, ничә чишелеше
булганын ачыклыйк. Системадагы тигезләмәләрнең
графиклары турылар була. Әгәр дә алар кисешсәләр,
системаның чишелеше бердәнбер булыр; турылар па¬
раллель булса, системаның чишелеше булмас; турылар
тәңгәл килсәләр, чишелешләре чиксез күп булыр.
1 иче мисал	ί 11х +101∕ = 120,
[6х + у = 18
тигезләмәләр системасының ничә чишелеше булуын
ачыклыйк.
Бирелгән система тигезләмәләренең графиклары үзара
ничек урнашуларын тикшерик. Моның өчен һәр тигез¬
ләмәдә у ны х аша күрсәтеп табабыз:
∫ι∕ = -l,lx + 12,
[i∕ = -6x + 18.
ι∕ = -l,lx + 12 һәм у = -6х + 18 тигезләмәләре аша
сызыкча функцияләр бирелә. Бу функцияләрнең гра¬
фиклары булган турыларның почмакча коэффициент¬
лары төрле. Димәк, бу турылар кисешәләр һәм систе¬
маның бердәнбер чишелеше була. <1
I 2 иче мисал	ί8х + 20у = 3,
(2х + 5у = 16
тигезләмәләр системасының чишелешләре ничә икән¬
леген тикшерик.
► Системадагы һәр тигезләмәдән у ны х аша күрсәтик:
iι∕ = -0,4x + 0,15,
[z∕ = — 0,4х + 3,2.
У - -0,4x + 0,15 һәм у = -0,4х + 3,2 сызыкча функция¬
ләренең графиклары булган турылар параллель, чөнки
аларның почмакча коэффициентлары бер үк, ә у лар
күчәре белән кисешү нокталары төрлечә. Моннан
тигезләмәләрнең бирелгән системасының чишелеше юк
икәнлеге килеп чыга. <1
3 иче мисал	∫5x + 2i∕ = -18,
[15x + 0у = -54
тигезләмәләре системасының ничә чишелеше булуын
ачыклыйк.
182

Системадагы һәр
табабыз:
тигезләмәдән у ны х аша күрсәтеп
у = -2,5х - 9,
у - -2,5х - 9.
Тигезләмәләр графиклары тәңгәл килүе үзеннән-үзе
аңлашыла. Бу саннарның теләсә нинди (х; у) парының
системаның чишелеше булганлыгын аңлата, биредә
х — ирекле сан, ә у = 2,5х - 9. Системаның чишелеш¬
ләре чиксез күп. <1
Күнегүләр
1120	а) х = 3, у = 1; б) х = 2, у = 2 саннары пары
(x + y = 4,
[2x-y = 2 тигезләмәләре системасының чишелеше буламы?
1121	u = 3, и = ~1 саннары пары системаның чишелеше булырмы:
a)∫3u + u = 8,	6)iw + 2u = 5,
_	(7u-2v = 23-,	[и + 2и = 1?
1122	(-3; 4), (-2; -6), (-4; 3) парларының кайсылары системаның
чишелешләре булыр:
а) (х = у - 7,	б) |3х - у = 0,
|3x + 4y = 0;	[5х-у = -4?
1123	Үзгәрешлеләрнең а) х = 4, у = 1; б) х = 0, у = 3 кыйммәтләре
пары системаның чишелеше булырлык итеп, х, у үзгәрешләре
белән сызыкча тигезләмәләр системасы төзегез.
1124	Сызыкча тигезләмәләр системасын график ысул белән чишегез:
а)	ix-y = l,	в) (x + y = 0,
|х + Зу = 9;	(-3x + 4у = 14;
б)	(x + 2y = 4,	r)∫3x-2y = 6,
∖-2x + 5у = Ю;	\ [Зх + Юу = - 12.
1125	Системаны график ысул белән чишегез:
а) (х -2у = 6,	б) ix - у = 0,
[Зх + 2у = -6;	[2x + 3y = -5.
1120 Системаның чишелеше бармы, булса, ничә чишелеше бар:
а)	(4y-х = 12,	в) il,5x = l,	д) (2x = ll-3y,
[Зу + х = -3;	[-Зх + 2у = -2;	(бу = 22- 4х;
б)	iy-3x = 0,	r)ix + 2y = 3,	e)i-x + 2y = 8,
|3у-х = 6;	[у = -0,5х;	(х + 4у = Ю?
1127	Системаның чишелеше бармы, булса, ничә чишелеше бар:
a)ix = 6y-l,	6)i5x + y=4,	β)∫12x-3y = 5,
[2х - Юу = 3; (х + у - 6 = 0;	. [бу - 24х = -10?
183

1128	Системаның нинди дә булса өч чишелешен күрсәтегез:
a) ix-3z∕ = 5,	б) il, 5z∕ + x = -0,5,
|3x-9i/-15;	∣2x + 3z∕ = -l.
Кабатлау өчен күнегүләр
1129	Тигезләмәне чишегез:
ч 2x-3 o х + 1	- „ Зх-1 х
а) __-Зх=— ;	б)6=— -5.
1130	Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
a) (5с2 - с + 8) (2с - 3) - 16; б) 18m3 - (Зт - 4) (6m2 + т - 2).
1131	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) ai + a2 - x2a - х2;	б) 63 + b2c -9b~ 9с.
Контроль сораулар
ИВ^Й^"ү§^решлеле сызыкча тигезләмәнең билгеләмәсен әйтегез.
Мисаллар китерегез.
2	Ике үзгәрешлеле тигезләмәнең чишелеше дип нәрсәгә әйтәләр?
Үзгәрешлеләрнең х = 7, у = 3 кыйммәтләре пары 2х + у = 17
тигезләмәсенең чишелеше булырмы?
3	х һәм у үзгәрешлеле ах + by = с тигезләмәсенең графигы нәрсә
була (биредә a ≠ 0 яки b ≠ 0)?
4	Ике үзгәрешлеле тигезләмәләр системасының чишелеше дип
нәрсәне атыйлар? Тигезләмәләр системасын чишү нәрсә ул?
5	Ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә системасының чише¬
леше ничә була?
§ 16. Сызыкча тигезләмәләр системаларын чишү
42.	Алыштырып кую ысулы
Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр системасын
чишүнең алыштырып кую ысулы дип аталган ысу¬
лын карап китик. Мисалдан башлыйк.
ВДмче мисал	(3x + y = 7,
[-5x + 2i∕ = 3	(1)
тигезләмәләр системасын чишик.
> Беренче тигезләмәдә у ны х аша күрсәтик:
у = 7 - Зх.
Икенче тигезләмәдә у урынына 7 - Зх аңлатмасын
куйсак,
∫3x + z∕ = 7,
[-5x + 2(7-3x) = 3	(2)
системасы килеп чыгар.
184

(1) һәм (2) системаларының чишелешләре
бер үк икәнлеген күрсәтү авыр түгел.
(2) системасында икенче тигезләмә бары
тик бер генә үзгәрешлене эченә ала. Бу
тигезләмәне чишик:
-5х + 14 - 6х = 3,
-llx = -ll,
х = 1.
у = 7 - Зх тигезлегендә х урынына 1 санын
куеп, у ның тиңдәшле кыйммәтен табабыз:
i∕ = 7-31,
У = 4.
(1; 4) пары— (2) системасының чишелеше,
бирелгән (1) системасының да чишелеше
(1) системасын чишүне без (2) системасын чишүгә
кайтарып калдырдык. Биредә без (1) һәм (2) систе¬
маларының чишелешләре бер үк булудан файдаландык.
Чишелешләре бер үк булган ике үзгәрешлеле ти¬
гезләмәләр системалары тигезкөчле системалар дип
атала. Чишелешләре булмаган системаларны да тигез¬
көчле дип саныйлар.
(1) һәм (2) системаларының тигезкөчле булулары
геометрик яктан (1) системасы тигезләмәләре график¬
ларының (2) системасы тигезләмәләренең графиклары
кисешкән ноктада кисешүләрен аңлата, ягъни туры¬
ларның өчесе дә бер ноктада кисешәләр (рәс. 61).
Без (1) системасын алыштырып кую ысулы кулла¬
нып чиштек. Ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезлә¬
мәләр системасын алыштырып кую юлы белән чиш¬
кәндә болай эшлиләр:
1)	системаның нинди дә булса бер тигезләмәсеннән үзгәреш-
ленең берсен икенчесе аша күрсәтәләр;
2)	системаның икенче тигезләмәсенә бу үзгәрешле урынына
табылган аңлатманы куялар;
3)	килеп чыккан бер үзгәрешлеле тигезләмәне чишәләр;
4)	икенче үзгәрешленең тиңдәшле кыйммәтен табалар.
2 иче мисал	(7x + 6y = 6,
(3x + 4z∕ = 9
системасын чишик.
Икенче тигезләмәдә х ны у аша күрсәтик:
Зх = 9 - 4г/, х = 9 4- .
z,	3
„	9-4i∕
Беренче тигезләмәдә х урынына —≈-≡- аңлатма-
О
сын куйыйк.
185

7 9-4y β _c
7'~3~ +6iz"6∙
ли	Табылган бер үзгәрешлеле тигезләмәне чишик:
7(9 - 4у) + 3 · бу = 3 ■ 6,
63 - 28p + 18i∕ = 18,
-10p = -45,
_ 9-4р	*/ = 4’5·
х = —j-2- тигезләмәсендә у урынына 4,5 санын
куйыйк:	o
Җавап, x = -3, «/ = 4,5. <]
Күнегүләр
1132	Тигезләмәләр системасын чишегез:
а) ίу = х -1,	б) (х = 2 - у,
∣5x + 2p = 16j	[3x-2p-ll=O.
1133	Тигезләмәләр системасын чишегез:
а)	∫у - 2x = 1,	в) ∫х + у = 6,	д) (у - х = 20,
|6х-р = 7;	|3х-5р = 2;	[2х-15р = -1;
б)	(7x-3p = 13,	r)i4x-p = ll,	e)∣25-x = -4p,
[х - 2у = 5;	|6х - 2у = 13;	|3х - 2у = 30.
1134	Тигезләмәләр системасының чишелешен табыгыз:
а)	(2x + p = 12,	в)|8р-х=4,
(7х-2р = 31;	[2х-21р = 2;
б)	(p-2x = 4,	r)∫2x = p + 0,5,
[7х-р = 1;	[3x-5p = 13.
1135	Тигезләмәләр системасын чишегез:
а)	(2u + 5o = 0,	в) i4u + 3υ= 14,
∣-8u + 15υ = 7j	[5и-3и = 25;
б)	(5p-3p = 0,	г) ∫10p + 7p = -2,
∣3p + 4q = 29;	[2р -22 = 5q.
1136	Системаны чишегез:
а)	∫3x + 4p = 0,	в) ∫5x+6р =-20,
(2х + Зр = 1;	[9р + 2х = 25;
б)	(7х + 2у = 0,	г) ∫3x +1 = 8р,
]4р + 9х = 10;	[llp-3x = -ll.
1137	Төзүләр эшләмичә генә, тигезләмәләрнең графиклары кисешкән
ноктаның координаталарын табыгыз:
а)	7х + 4р = 23 һәм 8х - Юр = 19;
б)	11х - 6р = 2 һәм -8х + 5р = 3.
186

1138
1139
1140
1141
Төзүләр башкармыйча, тигезләмәләрнең графиклары кисешкән
ноктаның координаталарын табыгыз:
а)	5х - 4у = 16 һәм х - 2у = 6;
б)	20x - 15у = 100 һәм Зх - у = 6.
Системаның чишелешен табыгыз:
a) ∫3(x - 5)-1 = 6 -2х, б) (6(x + y)-y = -1,
[3(x-y)-7y = -4;	[7(y + 4)-(y + 2) =0.
Тигезләмәләр системасын
а)	∣2(3x-2y) + l = 7x,
[12(х + у) -15 = 7x + 12у;
б)	i3(х + у) - 7 = 12х + у,
[6(y-2x)-l = -45х;
Системаны чишегез:
a) (5y + 8(x - Зу) = 7х -12,
[9x + 3(x - 9y) = Пу + 46;
чишегез:
в)	i5(x + 2у) - 3 = Зх + 5,
[4(х - Зу) - 50 = -ЗЗу;
г)	f4x +1 = 5(х - Зу) - 6,
[3(х + бу) + 4 = 9у +19.
б) ∫-2(α-6) + 16 = 3(6 + 7),
[6a-(a-5) = -8-(6 + 1).
1142 Системаның чишелешен табыгыз:
а)
<
∙÷	cf
I	1
II	II
⅛∣O ⅛∣-4∙
1	+
в)
2m + д = 1
5	3 1,
т_ 7п _4.
[10	6 4,
б)
f-26 = 6,
0
-За + | =-37;
г)
r7x-⅜=-4,
x+⅛=-3.
б) ⅛
Тигезләмәләр системасын чишегез:
а) ⅛~5 =6'°'
l⅛÷⅛=0>
1143
-y+⅛ =2.3./4
⅛^⅜=1'2' )
Кабатлау өчен күнегүләр
1144	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(2x - 3y)2 + (2х + Зу)2;
б)	(2x + 3t∕)2 - (2х - Зу)2;
B)2(f+4) +(2x~^2'<
г)	з(|+ |) - (Зх - у)2;
д)	(x + 2)3 + (x-2)3j .
е)	(x + 2)3-(χ-2)3.
1145	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х5 + 4a2x3 - 4ах4;	г) θ 65 + 463c + 96с2;
б)	4a6 - 12a56 + 9а462;	д) x2 - у2 + х + у) ;
в)	∣∕+∣∕c2-|у3с; е) ∣x2-y2-(∣χ-y)2.
187

1146	z∕ = x2-4x + 5 формуласы аша бирелгән функция графигының
барлык нокталарының өстәге ярымъяссылыкта урнашуларын
исбатлагыз.
43.	Кушу ысулы
Тигезләмәләр чишүнең тагын бер ысулын — кушу
ысулын карап китик. Системаларны бу ысул белән
чишкәндә, алыштырып кую ысулы белән эш иткәндәге
кебек үк, без бирелгән системадан аңа тигезкөчле һәм
тигезләмәләрнең берсе бер генә үзгәрешлене эченә
алган башка системага күчәбез.
ИКВясал	∫2x+ 3//=-5,
[х-3// = 38	(1)
системасын чишик.
|> Система тигезләмәләрендә у янындагы коэффициент¬
лар — капма-каршы саннар. Тигезләмәнең сул һәм уң
кисәкләрен буынлап кушсак, бер үзгәрешлеле тигез¬
ләмә килеп чыгар: Зх = 33.
(1) системасындагы кайсы да булса тигезләмәне, мә¬
сәлән беренчесен, Зх = 33 тигезләмәсе белән алыш¬
тырсак, түбәндәге системаны табабыз:
Зх = 33,
х-3// = 38.	(2)
(2) системасы (1) системасына тигезкөчле.
(2) системасын чишик. Зх = 33 тигезләмәсен¬
нән х = 11 икәнлеген табабыз, х ның бу кыйммәтен
х - 3// = 38 тигезләмәсенә куйсак,
Рэс. 62
у үзгәрешлеле тигезләмә килеп
чыгар:
11-3// = 38.
Бу тигезләмәне чишик:
-3// = 27,
ι∕ = -9.
(11; -9) пары — (2) системасының
чишелеше. Ул (1) системасының да
чишелеше булыр. <|
(1) системасындагы тигезләмә¬
ләрнең у янындагы коэффициент¬
лары капма-каршы саннар булу¬
дан файдаланып, без аны чишүне
тигезкөчле, бер тигезләмәсе бер
генә үзгәрешлене эченә алган,
(2) системасын чишүгә кайтарып
калдырдык.
188

(1) һәм (2) системаларының тигезкөчлелеге, гео¬
метрик яктан, 2х + Зу = -5 һәм х - Зу = 38 тигезлә¬
мәләре графикларының Зх = 33 һәм х - Зу = 38 тигез¬
ләмәләре графиклары кисешкән ноктада кисешүләрен
аңлата, ягъни турыларның өчесе дә бер ноктада кисе-
				шәләр (рәс. 62)
2 ЯЯ8 мисал	∫5x +1 \у = 8,
[10x-7z∕ = 74
системасын чишик.
►	Системадагы тигезләмәләрне буынлап кушу үзгәреш-
леләрнең берсен төшереп калдырырга мөмкинлек бир¬
ми. Ләкин беренче тигезләмәнең барлык буыннарын
-2 гә тапкырлап, икенче тигезләмәне үзгәрешсез кал¬
дырсак, килеп чыккан тигезләмәләрдә х янындагы
коэффициентлар капма-каршы саннар булыр:
∫-10x-22z∕ = -16,
∣10x-7z∕ = 74.
Хәзер буынлап кушу нәтиҗәсендә бер үзгәрешлеле
-29// = 58 тигезләмәсе килеп чыга. Бу тигезләмәдән
у = -2 икәнлеген табабыз. Икенче тигезләмәдә у уры¬
нына -2 санын куйсак, х ның кыйммәте табылыр:
10х - 7 · (-2) = 74,
10х = 60,
х = 6.
Җавап, х = 6, у = -2. <1
■МВЬсал	Γ3x-5r∕=93,
[5х - 4у = 103
тигезләмәләр системасын чишик.
►	Тигезләмәләргә у янындагы коэффициентлар капма-
каршы саннар булырлык итеп, тапкырлаучылар сай¬
лыйк. Системаның беренче тигезләмәсен —4 кә, ә икен¬
чесен 5 кә тапкырлап табабыз:
∫-12x + 20// = -372,
[25x-20r∕ = 515.
Моннан табабыз:
13х = 143,
х = 11.
х ның кыйммәтен 5х - 4у = 103 тигезләмәсенә куеп
табабыз: у = -12.
Җавап, х = 11, у = -12. <1
Без системаларны кушу ысулы белән чишүгә ми¬
саллар карап киттек. Ике үзгәрешлеле ике сызыкча
тигезләмәләр системасын кушу ысулы белән чишү
өчен болай эшлиләр:
189

1)	үзгәрешлеләрнең берсе янындагы коэффициентлары капма-
каршы саннар булырлык тапкырлаучылар сайлап, системаның
тигезләмәләрен буынлап тапкырлыйлар;
2)	система тигезләмәләренең уң һәм сул кисәкләрен буынлап
кушалар;
3)	килеп чыккан бер үзгәрешлеле тигезләмәне чишәләр;
4)	икенче үзгәрешленең тиңдәшле кыйммәтен табалар.
Әгәр дә үзгәрешлеләрнең берсе янындагы коэффи¬
циентлары капма-каршы саннар булса, чишүне тигез¬
ләмәләрне буынлап кушудан башлауларын искәртеп
китик.
Күнегүләр
1147
1148
1149
1150
1151
Системаны чишегез:
а)	(2х + 1Һ/= 15,	в) ∫4x-7z∕ = 30,
[Юх - lit/ = 9;	∣4x-5t∕ = 90j
б)	∫8x - ∖7y = 4,	г) i 13x - 8t∕ = 28,
[-8x + 15t∕ = 4;	[llx-8z∕ = 24.
Системаның чишелешен табыгыз:
а)	(x-6y = 17,	в) ГЗх + 2у - 5,
[5х + 6t∕ = 13;	[-5x + 2у = 45;
б)	∫4x-7t∕ = -12,	г) ∫9x-4t∕ = -13,
[-4х + Зу = 12;	[9x-2t∕ = -20.
Системаны чишегез:
а)	∫40x + Зу = 10,	в)	∫33α + 42й = 10,	д)	fЮх - 9t∕ = 8,
[20x-7t/ = 5;	[9a + 14⅛ = 4j	∖2∖y + 15х = 0,5;
б)	∫5x-2t∕ = l,	г)	∫13x-12t∕ = 14,	е)	∫9ι∕ + 8г =-2,
[15x-3t∕ = -3j	|llx-4=18t/;	[5z=-4t∕-ll.
Системаны чишегез:
а)	∫12x-7z∕ = 2,	в) ∫6x = 25t∕ + l,
[4х - 5у = 6;	[5х - 16t∕ = -4;
б)	(7u + 2v = l,	r)∫46 + 7a = 90,
(17a + 6o=-9;	[5a-66 = 20.
Системаның чишелешен табыгыз:
а)	[0,75x + 20у = 95,
∣0,32x - 25у = 7;
б)	∫0,5u-0,6u = 0,
10,4u + l,7υ = 10,9;
в)	ίЮх = 4,6 + Зу,
[4ζ/ + 3,2 = 6χ;
г)	i-36 +Юа-0,1 = 0,
115а + 46 - 2,7 = 0.
1152
Графигы түбәндәге нокталар аша үтәрлек итеп, у = kx + Ь рәве¬
шендәге тигезләмәләр төзегез:
а)	Λί (5; 5) һәм N(-10; -19);	в) Л (8; -1) һәм В(-4; 17);
б)	Р(4; 1) һәм Q(3; -5);	г) С(-19; 31) һәм 0(1; -9).
190

1153	Сызыкча функциянең графигы ко-
ординаталар күчәрен (-5; 0) һәм
(0; 11) нокталарында кисеп үтә. Бу
функцияне формула аша бирегез.
1154	у = kx + b турысы A (-1; 3) һәм
В (2; -1) нокталары аша үтә. Бу
турының тигезләмәсен языгыз.
1155	Сызыкча функциянең графигы
х күчәрен абсциссасы 4 кә тигез
булган ноктада, у күчәрен орди¬
натасы 11 гә тигез булган ноктада
кисеп үтә. Бу функцияне формула
аша бирегез.
1156	Графигы 63 нче рәсемдә сурәтлән¬
гән сызыкча функцияне формула
аша күрсәтегез.
1157	Системаны чишегез:
a)	i5(x + 2i∕)-3 = x + 5, б) i2,5(x-Зу)-3≡ -Зх + 0,5,
[i/ + 4(x-3i/) = 50;	[3(х + бу) + 4 = Зу +19.
1158
Системаның чишелешен
a) [⅛x+⅛∕∕-2 = 0,
3	4 σ
табыгыз:
в)
115»
1160
1161
0,5x + 0,2у = 7,
— х —— и = 0’
.3	10y '
±u-⅛υ= -3,
0,2u + 0,lυ= 3,9.
∣5x- у = 11;
б) i-l∙wι-⅛n = 0,
Ә Ό
5т - 4л = 2;
Системаны чишегез:
а)	∫<+4-5 = O,
2х - у = 10;
б)	∫2x- 7z∕ = 4,
' х _ У. = ο¬
ι 6 6 υ,
Системаның чишелешен
а)	∫3x^⅛^=4'
6х + 5(/ = 150;
б)	ilu-lu = 3,
4 О О
7u + 9u= -2;
Системаның чишелеше бармы, булса, ничә чишелеше бар:
a) ∫2x-ι∕ = l,
[-6x + 3z/ = 2;
г)
в)	= о
■ 3	2 v,
3(x-l)-9 = ⅛
r)f⅞→≈-t∙
lγ÷3i'=-i-
табыгыз:
в)	⅛ + I =1∙
- 4 о
2x+ 3y = -12;
г)	4α - 5⅛ -10 = 0,
∆-i + l = 0
[5 3 3 υ
б) ∫-5x + 2ι∕ = 7,
[15x-6y = -21?
191

Кабатлау өчен күнегүләр
1162	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	15α2 - 1562;	в) 10a3 + 10ά3;	д) 47ω6 - 4766;
б)	29ω2 + 29b2 + 58αά;	г) 18a3 - 18ά3;	е) 51a6 + 5166.
1163	Аңлатманы гадиләштерегез:
a)	2x (8х - 1) - (4x + I)2; б) 4 (3⅛∕ - I)2 - 18i∕ (2y - 1).
1164	Берәмлеккә якын саннарның кубларын исәпләү өчен,
(1 + a)3 ≈ 1 + За якынча формуласын кулланалар. Бу формула
буенча аңлатмаларның якынча кыйммәтләрен исәпләп табыгыз:
а) 1,13; б) 0,93. Якынча кыйммәтнең абсолют хатасы нинди?
44.	Тигезләмәләр системалары ярдәмендә мәсьәләләр чишү
Тигезләмәләр системалары ярдәмендә мәсьәләләр чиш¬
кәндә, болай эшлиләр:
'SW⅛rv 1) кайбер билгесез саннарны хәрефләр белән тамгалыйлар һәм,
И НI мәсьәләнең шартыннан файдаланып, тигезләмәләр системасын
¾⅜⅜jra⅝ төзиләр;
i⅛∣<Ui' 2) бу системаны чишәләр;
■ 3) мәсьәләнең шартыннан чыгып нәтиҗә ясыйлар.
1 аче мәсьәлә 15 кирпеч һәм 5 шлакоблокның массасы 64 кг га тигез.
5 кирпеч 2 шлакоблоктан 3 кг га авыррак булса, бер
кирпеч һәм бер шлакоблокның массасы нинди булыр?
► Кирпеч массасы х кг, шлакоблокныкы у кг булсын.
Ул вакытта 15 кирпеч һәм 5 шлакоблокның массасы
15х + Ьу кг булыр. Мәсьәләнең шарты буенча ул
64 кг, шуңа күрә 15x + 5z∕ = 64.
5 кирпечнең 2 шлакоблоктан 3 кг га авыррак икән¬
леге билгеле. Димәк,
5х - 2у = 3.
Мәсьәләнең соравына җавап бирү өчен, х һәм
у ның тигезләмәләрнең беренчесен дә, икенчесен дә,
ягъни
il5x + 5<∕ = 64,
[5х - 2у = 3
системасын канәгатьләндерүче кыйммәтләрен табарга
кирәк.
Бу системаны чишеп табабыз: х = 2,6; у = 5.
Җавап. Кирпечнең массасы 2,6 кг, шлакоблок¬
ныкы 5 кг. <1
⅛⅛⅛e мәсьәлә 100 сумлык акчаны 5 сумлык һәм бер сумлык акчалар
белән, аларның саны 30 булырлык итеп алыштырып
буламы?
192

5 сумлык х һәм бер сумлык у акча алырга кирәк дип
уйлыйк. Шарт буенча х + у = 30. Бу акчалар белән
100 сумны вакларга мөмкин булса, 5х + у = 100 тигез¬
леге үтәлергә тиеш. Мондый система табыла:
х + у = 30,
5х + у = 100.
Аны чишеп табабыз: х = 77^, у = 12^.
Мәсьәләнең мәгънәсе буенча х һәм у натураль
саннар булырга тиеш, без вакланма саннар таптык.
Җавап. 100 сумлык акчаны болай ваклап булмый
икән. <]
Күнегүләр
1165	Ике санның суммасы 63 кә, аермасы 12 гә тигез. Бу саннарны
табыгыз.
1166	Яңа техника белән җиһазлау цехка февральдә гыйнвардагыга
караганда 165 әйбергә артыграк җитештерергә мөмкинлек
биргән. Бу ике айда цехның 1315 әйбер җитештергәнлеге
билгеле булса, гыйнварда күпме һәм февральдә күпме әйбер
җитештерелгән?
1167	Объектны төзүдә 31 бригада эшли. Алар арасында бригада
подряды шартларында эшләүче бригадалар башкаларыннан
5 кә күбрәк. Бригада подряды белән ничә бригада эшли?
1168	Мастерскойда 22 җиңел һәм йөк автомобильләрен ремонт¬
лаганнар. Җиңел автомобильләр йөк автомобильләреннән 8 гә
кимрәк. Мастерскойда ничә йөк автомобиленә ремонт яса¬
ганнар?
1169	Җир эшкәртүче ширкәт 28 трактор һәм автомашина сатып
алган. Тракторлар автомашиналарга караганда 1,8 тапкырга
артыграк. Ничә трактор һәм ничә автомашина сатып алганнар?
1170	Тигезьянлы өчпочмакның нигезе ян-ягыннан 7 см га озынрак.
Әгәр аның периметры 43 см булса, өчпочмакның ян-ягын
табыгыз.
1171	600 см2 алюминий һәм 1,5 дм3 тимер массасы 13 кг 320 г.
Алюминийның тыгызлыгы тимер тыгызлыгыннан 5,1 кг/дм3 га
кимрәк булса, алюминийның тыгызлыгын табарга.
1172	Алдынгы технология куллану һәр гектардан 4 тоннага артыграк
бәрәңге җыеп алырга мөмкинлек биргән. Нәтиҗәдә 320 га
мәйданнан элек 400 га мәйданнан җыелганга караганда
640 т бәрәңге артыграк җыеп алганнар, һәр гектардан элек
һәм хәзер күпме бәрәңге алганнар? '
1173	Туристлар, 4 сәг автомашинада, 7 сәг поездда барып, 640 км
юл үткәннәр. Поездның тизлеге автомашина тизлегеннән
5 км/сәг кә артыграк. Поездның тизлеген табыгыз.
13 К4/147
193

1174	Әгәр дә беренче санны 3 тапкыр, икенчесен 4 тапкыр арт¬
тырсак, аларның суммасы 47 гә тигез булыр. Икеләтелгән
икенче сан беренчесеннән 1 гә зуррак булса, бу саннарны
табарга.
1175	Теплоход, агым уңаена 3 сәг һәм агымга каршы 2 сәг барып,
240 км юл үтә. Шул ук теплоход агымга каршы 3 сәгатьтә,
агым уңаена 2 сәгатьтә үткән юлдан 35 км га артыграк юл
үтә. Теплоходның агымга каршы һәм агым уңаена тизлекләрен
табыгыз.
1176	Аралары 280 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк ва¬
кытта ике автомобиль чыга. Әгәр дә автомобильләр кара-каршы
хәрәкәт итсәләр, 2 сәгатьтән соң очрашырлар. Ә инде бер үк
юнәлештә хәрәкәт итсәләр, А дан чыккан автомобиль В дан
чыкканын 14 сәгатьтән соң куып җитәр. Автомобильләрнең
һәркайсының тизлеге нинди?
1177	Ике турист, аралары 38 км булган ике шәһәрдән бер үк ва¬
кытта юлга чыгып, 4 сәгатьтән соң очрашканнар. Очрашу
моментына беренче туристның 2 км га артыграк үткәнлеге
билгеле булса, һәр турист нинди тизлек белән барган?
1178	Моторлы көймә бер пристаньнан икенчесенә агым уңаена
4 сәгать бара, ә кире кайтканда 5 сәгатьтә кайта. Көймә агым
уңаена 70 км юлны 3,5 сәгатьтә узса, аның акмый торган
судагы тизлеге нинди?
1179	Теплоход 380 км юлны агым уңаена 3 сәгатьтә, агымга каршы
4 сәгатьтә үтә. Агым уңаена 1 сәг, агымга каршы 30 мин
барып, ул 85 км юл үтә. Теплоходның үз тизлеген һәм агым
тизлеген табыгыз.
1180	Ике шүрлектә 55 китап бар. Икенче шүрлектәге китапның
яртысын беренче шүрлеккә күчерсәң, беренче шүрлектәге
китаплар саны икенчесендә калганына караганда 4 тапкыр
артыграк булыр, һәр шүрлектә ничә китап?
9
1181	Бер санның яртысы белән икенчесенең сенең аермасы 2 гә
5	1
тигез. Әгәр беренче санны аның енә киметеп, икенчесен θ
өлешкә арттырсак, аларның суммасы 59 га тигез булыр. Бу
саннарны табыгыз.
1182	4,5 см3 тимер һәм 8 см3 бакырның массасы 101,5 г. 3 см3
тимернең массасы 2 см3 бакыр массасыннан 6,8 г га артыграк.
Тимернең тыгызлыгын һәм бакырның тыгызлыгын табыгыз.
1183	Икеурынлы санның цифрлары суммасы 9 га тигез. Цифрларның
урыннарын алыштырсак, баштагы санның θ өлешенә тигез
булган сан килеп чыгар. Бу икеурынлы санны табыгыз.
1184	Икеурынлы санның цифрлары суммасы 10 га тигез. Бу санның
цифрларының урыннарын алыштырып, килеп чыккан санның
194

берәмлекләр цифрын 1 гә арттырсак, баштагы саннан 2 тап¬
кыр зуррак булган сан килеп чыгар. Бу икеурынлы санны
табыгыз.
1185	Уҗым культуралары сабан культураларына караганда 480 гек¬
тарга зуррак мәйдан били. Уҗым культураларының 80% ын,
сабан культураларының 25% ын урып алгач, уҗым куль¬
туралары биләгән мәйдан сабан культуралары мәйданыннан
300 гектарга кечерәк булып калган. Уҗым һәм сабан культу¬
ралары күпмешәр мәйдан алып тора?
1186	Эшчеләрнең ике бригадасы план буенча бер айда 680 деталь
эшләп чыгарырга тиеш булган. Беренче бригада аена планны
20% ка, икенчесе 15% ка арттырып үтәгән, шуңа күрә ике
бригада бергә планнан тыш 118 деталь эшләгән. План буенча
бер айга һәр бригада ничә деталь эшләргә тиеш булган?
Кабатлау өчен күнегүләр
1187	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(a - 2) (α2 + a - 1) - α2 (α - 1);
б)	(3-p)(9 + 3p + p2)-(l-p3).
1188	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) 0,064∕n3 + 1; б) 0,027x3- у3; в) р6 + 8; г) 27 - т6.
1189	Бердәйлекне исбатлагыз:
(x3 - t∕3)2 + 2x3z∕3 = (x2 + y2) (x4 + yi - x2y2).
1190	Тигезләмәнең графигы координаталар чирекләренең кайсысында
урнашыр:
а) 2х + 5у = 12;	б) Зх - 4у = 10?
1191	z∕ = -χ2-χ-ll формуласы белән бирелгән функция графи¬
гының барлык нокталарының астагы ярымъяссылыкта урнашу¬
ларын исбат итегез.
Контроль сораулар
1	Ике үзгәрешлеле сызыкча ике тигезләмә системасын алыш¬
тырып кую ысулы белән ничек чишәләр? Аңлатып бирегез.
2	Ике үзгәрешлеле сызыкча ике тигезләмә системасын кушу
ысулы белән ничек чишәләр? Аңлатып бирегез.
VI бүлеккә өстәмә күнегүләр
15	нче параграфка	(
1192	х һәм у үзгәрешлеләренең түбәндәге кыйммәтләре пары
х2 - 2у = 7 тигезләмәсенең чишелеше буламы:
а) (5; 8); б) (-4; -11,5); в) (-1; -3); г) (12; -2,78)?
13*
195

1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
(u; v) рәвешендәге түбәндәге саннар парлары чишелеше булыр¬
лык итеп, и һәм и үзгәрешлеләре кергән тигезләмә төзегез:
а)	(10; 3);	в) (0,6;-0,8);
б)	(0; -7);	г) (-1,4; -3,6).
ах + by = 81 тигезләмәсендә а һәм b коэффициентлары бөтен
саннар булса, (15; 40) пары бу тигезләмәнең чишелеше була
алмаганлыгын исбатлагыз.
а) Үзгәрешлеләрнең х = 5, у = 7 кыйммәтләре пары ах - 2y = 1
тигезләмәсенең чишелеше икәнлеге билгеле, а коэффициентын
табыгыз; б) үзгәрешлеләрнең х = -3, у = 8 кыйммәтләре пары
5x + by = 17 тигезләмәсенең чишелеше икәне билгеле, b коэф¬
фициентын табыгыз.
Түбәндәге тигезләмәләрнең чишелешләре булган барлык нату¬
раль саннарның парларын табыгыз:
а) х + у = 11;	б) ху = 18.
a + b = 42 тигезләмәсенең чишелешләре булган барлык гади
саннарның парларын табыгыз.
2	сумлык һәм 5 сумлык акчаларның суммасы 23 сум. Акча¬
ларның ничәсе 2 сумлык?
Икеурынлы санның сул ягына да, уң ягына да 1 не язганнар.
Нәтиҗәдә баштагы саннан 21 тапкыр зуррак булган дүртурын-
лы сан килеп чыккан. Икеурынлы санны табыгыз.
у - х2 = 9 тигезләмәсенең графигы: а) х күчәрен, б) у күчәрен
кисеп үтәме? Җавап уңай булса, кисешү нокталарының коор-
динаталарын күрсәтегез.
Түбәндә бирелгән нокталар x3-p-2 = 0 тигезләмәсе графи¬
гында ятамы:
а) Λf (—1; —3);	б) А(-1; 1);	в) В(1; -1)?
Ординатасы -1,3 булган нокта х - ху = 46 тигезләмәсе гра¬
фигында ята. Бу ноктаның абсциссасын табыгыз.
8x - 5z∕ = 14 тигезләмәсенең графигы абсциссасы 1,2 булган
нокта аша үтә. Бу ноктаның ординатасын табыгыз.
Координаталарының икесе дә уңай булган нокталарның берсе
дә Зх + 2у = -4 тигезләмәсе графигында ятмавын исбат итегез.
Координаталары бөтен сан булган нокталарның берсе дә
6x - 12z∕ = 5 тигезләмәсе графигында ятмавын исбат итегез.
Тигезләмәнең графигын төзегез:
а)	3 (x~2y) - 2 (х - 4у) = 4;
б)	2 (0,5x - 1,2(/) - (0,6i∕ + х) = 6;
в)	3 (0,4р - 0,2x) - 4 (0,3p - 0,6х) = 0,6.
ах ~ у = 4 сызыкча тигезләмәсендә а коэффициентын бу тигез¬
ләмәнең графигы М (3; 5) ноктасы аша үтәрлек итеп сайлагыз.
Бу тигезләмәнең графигын төзегез.
196

1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
у - 2,5x = с тигезләмәсенең графигы К (2; -3) ноктасы аша
үткәнлеге билгеле булса, бу тигезләмәнең графигы булган
турыны төзегез.
Тигезләмәнең графигын төзегез:
а)	(х - 2) (у - 3) = 0;	в) (х + 4) (у + 5) = 0;
б)	(х + 8) (у - 1) = 0;	г) х (у - 2) = 0.
Төзүләр башкармыйча гына, (х + 2) (у + 3) = 0 тигезләмәсе
графигының х лар, у лар күчәрләре белән кисешү ноктасының
координаталарын табыгыз.
Тигезләмәнең графигын төзегез: а) у = |х|; б) t∕ = ~∣x∣.
a) a = 0, b = 4; б) a = 0, b = -4; в) a = -4, b = 0 саннар парлары
α2 + Z>2 = 16,
α2 + 8α+62-86 + 16 = 0
тигезләмәләр системасының чишелеше буламы?
х + у = 5, 2х - у = 16 һәм х + 2у = 3 турыларының бер ноктада
кисешкәнлеген күрсәтегез. Бу ноктаның координаталары нинди?
a нинди кыйммәт алганда, 5х - 2у = 3 һәм х + у = a турылары
у күчәрендә ятучы ноктада кисешерләр?
b нинди кыйммәткә ия булганда, Ьх + 3z∕ = 10 һәм х - 2у = 4
турылары х күчәрендә ятучы ноктада кисешерләр?
k нинди кыйммәт алганда, у = kx - 4 турысы у = 2х - 5 һәм
у = -х + 1 турылары кисешкән нокта аша үтәр?
Тигезләмәләр системасын график ысул белән чишегез:
а) (у + Зх = 0,
■ x-ι∕ = 4,
х + У = -2;
б)
х + у = 1,
■ У - х = 3,
2х + у- 0.
Системаның чишелеше бармы, булса, ничә чишелеше бар:
в) iθ,2x - 5у = 11,
[-x + 25// = -55;
а)	∫2x + 5у -17,
[4x - 10t∕ = 45;
б)	[x-^ = l
• 5 15 ’
6х - 2у = 35;
Зх +1 у = 10,
3 u
9x - 2y = 1 ?
10х + by = 1 тигезләмәсе белән берлектә: а) чишелеше бер;
б) чишелеше чиксез күп; в) чишелеше булмаган система төзер¬
лек итеп, ике үзгәрешлеле нинди дә булса сызыкча тигезләмә
сайлагыз.
2х + у - 7,
у - kx = 3 '
системасының бер генә чишелеше булырлык итеп, k ның нинди
дә булса кыйммәтен табыгыз.
197

1221	с ның нинди кыйммәте өчен
Зх - у = 10,
9x-3ι∕ = c
системасының чишелешләре чиксез күп булыр?
1222	с нинди кыйммәт алганда,
lχ + ly = 2,
5х + 2у = с
системасының чишелеше булмый?
16	нчы параграфка
1223	Системаны чишегез:
va) i25x-18ι∕ = 75,
[5х - 41/ = 5;
б)	i 35х - Зу + 5,
[49х = 41/ + 9;
в)	∣8z∕-5z = 23,
[3ι/-2ζ = 6;
υr) ∫13x-15ι∕ = -48,
[2x + у = 29;
д)	f7x + 4у = 74,
[Зх + 2у = 32;
е)	illu + 15u = l,9,
[ -3u + 5υ = 1,3.
1224	Системаның чишелешләрен табыгыз:
а)	i6(x + у) = 8 + 2х - Зу,
[5(у - х) = 5 + Зх + 2у;
б)	i-2(2x +1) + 1,5 = 3(1/- 2)-6х,
[11,5 - 4(3-x) = 2ι∕-(5 -х);
в)	i4(2x - у + 3) - 3(х - 2у + 3) = 48,
[3(3х - 4у + 3) + 4(4х - 2у - 9) = 48;
г)	[84 + 3(x - Зу) = 36x - 4(1/ +17),
[10(х - у) = Зу + 4(1 - х).
ή
1225 Системаны чишегез:
a) Λ = i-JL
<5 1 15 ’
2x - 5ι∕ = 0;
в)
4x-3ι∕ = l,
2x + l _ 9 — 5z∕
6 - 8 ’
1226
б) [3m + 5n = l,
l⅜ + ⅜ = lι
14	5
г)
*
Системаның чишелешен
3q = 4p-7,
l-3<∕ 4-2p
4 ~ 3
табыгыз:
а)
(х -1)2 - (х + 2)2 = 9у,
(г/ - 3)2 - (ι∕ + 2)2 = 5х;
б) l(7 + u)2-(5 + u)2
(2-u)2-(6-u)2
= 6и,
4и.
198

1227
Системаны чишегез:
a) (8x + 5z∕ = 2O,
11,6x + 2y = 0;
в)	∫-l, 8x + 2,4z∕ = l,
13x - 4z∕ = 5;
1228
б)
-L v —L у — I
7	13y ’
13x - 7 у = 5;
г)	— χ	— w = —
r7 J 3	8 y 2’
~16x + 3y = l2.
Тигезләмәләр системасының чишелеше бармы:
a)
5x - 4y = l,
• 3x + l = 13,
б)
7x-5y = 1;
Их + 3i∕ = l,
■ 2x + у = 3,
5x + 2z/ = 4?
1229	2x + 3y = 20, Зх - 5у = 11 һәм х + у = 9 турылары бер үк нокта
аша үтәләрме?
1230	7х + 8у = 135 турысында: а) абсциссасы ординатасына тигез;
б) абсциссасы ординатасына капма-каршы; в) ординатасы
икеләтелгән абсциссасына тигез булган нокта бармы?
1231	Графигы а) Л(1; 2) һәм В (-2; 3); б) М(~5; 0) һәм К(2; -1)
нокталары аша үтүче сызыкча функцияне формула белән би¬
регез.
1232	Графигы а) Λ4(-1; 1) һәм Р(4; 4); б) А (-3; 3) һәм В(3; -3)
нокталары аша үтә торган у = kx + Ь рәвешендәге тигезләмә
языгыз.
1233	Автомобиль юлны 8 сәг тә үткән. Башта ул 40 км/сәг, аннан
соң 60 км/сәг тизлек белән барган. Әгәр дә ул 45 км/сәг
тизлек белән барса, юлны шул ук вакытта үтәр иде. Авто¬
мобиль 40 км/сәг тизлек белән ничә сәгать, 60 км/сәг тизлек
белән ничә сәгать барган?
1234	Велосипедчы А һәм В пунктлары арасын 10 км/сәг тизлек
белән, ә В һәм С арасын 15 км/сәг тизлек белән үткән. Бар¬
лык юлны үтү өчен аңа 5 сәг кирәк булган. Әгәр дә ул
12 км/сәг тизлек белән барса, юлны шул ук вакытта үтәр иде.
Велосипедчы А һәм В арасын ничә сәгатьтә, В һәм С арасын
ничә сәгатьтә үткән?
1235	Беренче көнне беренче басуның енә һәм икенче басуның
2 енә, барысы 340 га җиргә чәчкәннәр. Икенче көнне беренче
басуның калган өлешенең енә чәчкәннәр. Бу — икенче басу¬
ның калган яртысыннан 60 гектарга кимрәк, һәр басуның мәй¬
данын табыгыз.
199

1236	Станциягә ашлама һәм цемент китергәннәр. Беренче көнне
цементның яртысын һәм ашламаның ен алып китәләр, бу
Q
8 тонна тәшкил итә. Икенче көнне калган цементның j ен һәм
калган ашламаның яртысын — барлыгы 7 т алып китәләр.
Станциягә күпме ашлама һәм күпме цемент китерелгән булган?
1237	Ике автомат детальләр эшли. Беренче автомат 3 сәг тә һәм
икенче автомат 2 сәг тә 720 деталь эшли. Ике автомат
2	сәг тә эшләгән детальләрнең е 150 данә була. Автоматның
һәркайсы 1 сәг тә күпме деталь эшләгән?
1238	Ике сан язылган. Әгәр дә беренче санны 30% ка арттырып,
икенчесен 10% ка киметсәк, аларның суммасы 6 га артыр. Әгәр
дә беренче санны 10% ка, икенчесен 20% ка киметсәк, алар¬
ның суммасы 16 га кимер. Нинди саннар язылган булган?
1239	(Л. Н. Толстой мәсьәләсе). Печән чабучылар артеле эшкә
чыга. Аларга берсе икенчесеннән 2 тапкыр зуррак булган ике
болынны чабарга кирәк. Ярты көн артель зур болында печән
чаба, көннең икенче яртысында артель икегә бүленә, һәм печән
чабучыларның яртысы зур болында эшкә кала, ә икенче яртысы
кечкенә болында печән чабарга керешә. Кичкә таба зур болын
чабылып бетә, ә кечкенә болыннан калган участокны икенче
көнне көн буена 1 печән чабучы чабып бетерә. Артельдә ничә
печән чабучы булган?
1240	Кибеттә массасы бер үк булган 2 капчык дөге һәм бер капчык
тары ярмасы булган. Өч капчыкның массасы 160 кг. һәр кап¬
чыктагы дөгенең 20% ын, тары ярмасының 25% ын саткач,
капчыклардагы ярманың массасы 125 кг була. Башта һәр кап¬
чыкта ничә килограмм дөге һәм тары ярмасы булган?
1241	Беренче станокта 8 көн һәм икенче станокта 5 көн эшләп,
235 деталь эшләгәннәр. Камилләштерү нәтиҗәсендә беренче
станокның җитештерүчәнлеге 15% ка, ә икенчесенеке 20% ка
арткан. Хәзер беренче станокта 2 көндә һәм икенче станокта
3	көндә 100 деталь эшләргә мөмкинлек туа. Элегрәк станокның
һәркайсында көнгә күпме деталь эшли алганнар?

Авыррак мәсьәләләр
1242	(a - l)x = 12 тигезләмәсенең тамыры натураль сан булырлык
а ның барлык натураль кыйммәтләрен табыгыз.
1243	Тигезләмәне чишегез:
а)	|х-3|=7;	в) |4-х| = 1,5;
б)	∣x + 2∣ =9;	г) ∣6-x∣ =7,3.
1244	Алтыурынлы санда беренче цифр дүртенчесе белән, икенчесе
бишенчесе белән, өченчесе алтынчысы белән тәңгәл санның
7, 11, 13 кә кабатлы булуын исбатлагыз.
1245	Ике мичкәдә су бертигез була. Беренче мичкәдәге су башта
10% ка кими, аннары 10% ка арта. Икенче мичкәдәге су башта
10% ка арта, аннары 10% ка кими. Мичкәләрнең кайсысында
су күбрәк булыр?
1246	Турыпочмаклыкның буен 20% ка, ә иңен 10% ка арттырсаң,
аның мәйданы ничә процентка зураер?
1247	Өч ящикка чикләвек тутырганнар. Икенче ящиктагы чикләвек
беренчесенә караганда 10% ка, ә өченчесенә караганда 30%
ка артыграк. Беренче ящикта чикләвекләр өченчесендәгедән
80 гә артыграк булса, һәр ящикка күпме чикләвек салынган?
1248	а саны Ь санының 80% ын, ә с саны Ь санының 140% ын
тәшкил итә. с саны а дан 72 гә зуррак булса, a, Ь һәм с
саннарын табыгыз.
1249	а. саны Ь санының 75% ын һәм с санының 40% ын тәшкил
итә. с саны Ь дан 42 гә зуррак, а һәм Ь саннарын табыгыз.
1250	Натураль а санын натураль Ь санына бүлгәч, өлештә с, кал¬
дыкта d килеп чыга, а, Ь, с һәм d саннарының барысы да так
сан була алырмы? Шуны ачыклагыз.
1251	Цифрлары суммасыннан 4 тапкыр зуррак булган икеурынлы
сан табыгыз.
1252	111 ... 1 саны 81 гә бүленәме?
1253	Гади санны 30 га бүлүдән чыккан калдыкның гади сан яки
берәмлек булганын исбат итегез.
201

1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
Ниндидер икеурынлы санның сул ягына да, уң ягына да берәр
бер цифрын өстәп язганнар. Нәтиҗәдә баштагы саннан
23 тапкыр зуррак булган сан килеп чыккан. Шул икеурынлы
санны табыгыз.
Икеурынлы сандагы цифрларның берсен сызгач, баштагы сан¬
нан 31 тапкыр кечерәк сан килеп чыккан. Нинди санда нинди
цифрны сызган булганнар?
Өчурынлы санның беренче цифры 8. Әгәр дә бу цифрны соңгы
урынга күчереп язсак, сан 18 гә артыр. Баштагы санны табыгыз.
Тигезләмәнең графигын төзегез:
а) (х - 2) (у + 3) = 0;	б) х2 + ху = 0.
Тигезләмәнең графигын төзегез:
a) y + ∣z∕∣ =х; б) y = x∖y∖.
Функциянең графигын төзегез:
a) r∕ = | х | -3; б) у = 4 - | х |.
2 гә тапкырлагач, натураль санның квадратына, ә 3 кә тапкыр¬
лагач, натураль санның кубына әйләнүче иң кечкенә натураль
санны табыгыз.
967 - 225 - 486 аңлатмасының кыйммәте 10 га кабатлы икән¬
леген исбатлагыз.
Координаталар яссылыгында (рәс. 64) М (х; у) ноктасы билге¬
ләнгән. Бу координаталар яссылыгында түбәндәге нокталарны
билгеләгез:
А(2х; 2y), B(-3x; jy),
С(|х; -2y∖ D(-⅛χ-, -∣i∕).
Кайсы зуррак:
Ю10 +1	10" +1 √
—ΪΓ— ЯКИ	?
2х2 + 2у2 аңлатмасын ике күпбуын¬
ның квадратлары суммасы рәвешен¬
дә күрсәтегез.
a ≠ 0 яки b ≠ 0 булса, 5α2 - f>ab + 5Ь2 аңлатмасының кыйммәте
уңай була. Моны исбатлагыз.
х ның теләсә нинди кыйммәте өчен (х - 3) (х - 5) + 2 аңлат¬
масының кыйммәте уңай сан булганлыгын исбатлагыз.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х8 + х4 - 2;	в) и4 + 4;
б)	a5 - a2 - a - 1;	г) n4 + n2 + 1.
p2 - 1 нең 24 кә кабатлы икәнлеген исбатлагыз, биредә
р — гади сан, 3 тән зуррак.
202

1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
Эзлекле килүче 5 натураль санның квадратлары суммасы нату¬
раль санның квадраты булмавын исбатлагыз.
3 кә кабатлы булмаган натураль санның квадраты белән 1 нең
аермасы 3 кә кабатлы икәнлеген исбатлагыз.
Аңлатманы гадиләштерегез:
(2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) (232 + 1).
х2 - у2 = 30 тигезләмәсенең бөтен санлы чишелеше (ягъни
х һәм у икесе дә бөтен саннар) булмаганын исбатлагыз.
ax3 + bx2 + ex + d күпбуынының кыйммәте х = 19 булганда,
1 гә, х = 62 булганда, 2 гә тигез булырдай бөтен а, Ь, с һәм
d коэффициентлары була алмавын исбатлагыз.
х һәм z ның арифметик уртасы у булса,
х4 + 2x3z - 2xz3 - z4 - 4x2z∕2 + 4t∕2z2 = 0 икәнен исбатлагыз.
p2 -2q2 = 1 булырлык итеп, барлык гади р һәм q саннарын
табыгыз.
а, Ь, с, d нинди кыйммәтләр алганда 5x3- 32x2 + 75х-71 =
= a (х - 2)3 + b (х - 2)2 + с (х - 2) + d тигезлеге бердәйлек булыр?
3x3 + 7х2 + 9х + 6 күпбуынын ay3 + by2 + су + d күпбуыны рәве¬
шендә күрсәтегез, биредә у = х + 1.
х һәм у ның нинди натураль кыйммәтләре өчен Зх + 7у - 23
тигезлеге дөрес булыр?
Системаны чишегез:
а) [х - у = -1,
∖y-z = -1,
I z + х = 8;
б) (Х + У= -3-
■ У + z = 6,
z + x = l.
Икеурынлы санның квадраты белән берурынлы санның кубына
тигез булган өчурынлы санны табыгыз.
Суммасы 168 гә, иң зур уртак бүлүчеләре 24 кә тигез булган
ике натураль сан табыгыз.
х + у = 26 тигезләмәсенең чишелешләре булган барлык гади
саннарның парларын табыгыз.
А дан В га бару өчен 3 км тауга менәргә, 6 км таудан төшәргә
һәм 12 км тигез җирдән барырга кирәк. Бу юлны мотоциклчы
1 сәг 7 мин та үтеп, 1 сәг 16 мин та кире кайтты. Әгәр мото¬
циклчының тигез юлда тизлеге 18 км/сәг булса, аның тауга
менгәндәге һәм таудан төшкәндәге тизлеген табыгыз.
Әгәр 2 ел элек абыйсы сеңлесеннән 2 тапкыр, ә 8 ел элек
5 тапкыр олырак булган булса, туганнарның һәркайсына хәзер
ничә яшь?
203

1285	Аралары 180 км булган А һәм В шәһәрләреннән 6 сәг 20 мин та
бер-берсенә каршы автобус һәм җиңел автомобиль чыга.
7 сәг 50 мин та алар очрашалар. Әгәр дә автобус юлга
1	сәг 15 мин ка иртәрәк, ә җиңел автомобиль 15 мин ка соң¬
рак чыккан булса, алар 7 сәг 35 мин та очрашырлар иде.
Автобусның һәм җиңел автомобильнең тизлеге нинди?
1286	А шәһәреннән В шәһәренә 8 сәг 50 мин та ике автобус чыга.
Шул ук вакытта В шәһәреннән А шәһәренә велосипедчы кузга¬
лып китә. Автобусларның берсен ул 10 сәг 10 мин та,
ә икенчесен 10 сәг 50 мин та очрата. Шәһәрләр арасы 100 км.
Әгәр автобусларның берсенең тизлеге икенчесенең тизлегеннән
1у тапкыр зуррак булса, велосипедчының тизлеген табыгыз.
1287	Атлы һәм җәяүле бер үк вакытта А пунктыннан В пунктына
барырга чыгалар. Атлы, В га җәяүлегә караганда 50 мин ка
алданрак килеп җитеп, А га кире кайтканда җәяүлене В дан
2	км ераклыкта очрата. Атлы барлык юлны 1 сәг 40 мин та
үтә. А белән В арасын һәм җәяүле белән атлының тизлеген
табыгыз.
1288	Чыгарылгач та ташкүмердә — 2%, ә ачык һавада 2 атна яткач,
12% су була. 2 атна буена ачык һавада яткан 1 т ташкүмернең
массасы күпмегә артыр?
1289	Бертуган ике малай бергә мәктәптән өйгә бер үк тизлек белән
кайталар. Бервакыт малайларның берсе, мәктәптән чыгып
15 мин үткәч, кире мәктәпкә чаба да, барып җитүгә кире
борылып, икенчесен куа китә. Бу вакытта малайларның икен¬
чесе, тизлеген ике тапкыр киметеп, өйгә кайтуын дәвам
итә. Малайларның беренчесе икенчесен куып җиткәч, алар,
баштагы тизлек белән хәрәкәт итеп, өйгә гадәттәгедән 6 мин
ка соңга калып кайтканнар. Беренче малайның йөгерү тиз¬
леге аларның гадәттәге йөрү тизлегеннән ничә тапкыр зуррак
булган?

Тарихи
мәгълүматлар
Алгебра кайчан барлыкка килгән
Алгебра, тигезләмәләр чишү осталыгы буларак, практик ихтыяҗлар,
бер типтагы мәсьәләләрне чишүнең гомуми ысулларын эзләү нәти¬
җәсендә бик күптән барлыкка килгән. Безгә килеп җиткән бик борынгы
кулъязмалар Борынгы Вавилон һәм Борынгы Египетта сызыкча тигез¬
ләмәләрне чишү алымнарының билгеле булуы турында сөйлиләр.
«Алгебра» сүзе Харәзем математигы һәм астрономы Мөхәммәт ибн
Муса әл-Харәзминең (787 — якынча 850) «Китап әл-җәбер вәл-мока-
бәлә» исемле трактатыннан соң барлыкка килгән. Бу китап исеменнән
алынган «әл-җәбер» термины «алгебра» рәвешендә кулланыла башлаган.
XVI гасырга кадәр алгебра нигездә сүзләр ярдәмендә аңлатыл¬
ган. Хәрефле тамгалаулар һәм математик тамгалар әкренләп барлыкка
килгәннәр. « + » һәм «-» тамгалары беренче тапкыр XVI гасыр немец
алгебраистларында очрый. Бераз соңрак тапкырлау тамгасы «х» кертелә.
Бүлү тамгасы (:) бары тик XVII гасырда гына кертелгән. Алгебраик
символиканы киң куллануга кискен адым XVI гасырда ясалган, шул
вакытта француз математигы Франсуа Виет (1540—1603) һәм аның
замандашлары хәрефләрне билгесез зурлыкларны тамгалау өчен генә
түгел (бу элек тә эшләнгән), ә бәлки теләсә нинди саннарны билгеләү
өчен дә файдаланганнар. Ләкин әле бу символика хәзергедән аерылып
торган. Мәсәлән, Виет билгесез хәрефне тамгалау өчен N хәрефен
(Numerus — сан), билгесезнең квадраты һәм кубы өчен Q (Quadratus —
квадрат) һәм С (Cubus — куб) хәрефләрен кулланган. Мәсәлән,
х3 - 8х2 + 16х = 40 тигезләмәсенең язылышы Виет буенча мондый рәвеш¬
тә булыр иде:
1С - 8Q + 16V aequ. 40 (aequali — тигез).
Алгебра үзенең үсеше процессында тигезләмәләр турындагы фәннән
саннар өстендәге гамәлләргә күпмедер охшаган операцияләр турындагы
фәнгә әверелгән. Алгебра — математиканың төп бүлекләреннән берсе.
Алгебраның мәктәп курсы, кайбер алгебраик мәгълүматлардан тыш,
математиканың башка бүлекләре сорауларын (функцияләр, коорди-
наталар методы, якынча исәпләүләрне һ. б.) да эченә ала.
205

Функцияләр турында
XVII гасырның беренче яртысында, механиканың үсешенә бәйле
буларак, математикага үзгәреш һәм хәрәкәт идеяләре керә. Шушы ук
вакытта бер үзгәрешленең икенчесе белән бәйлелеге буларак функция
турында күзаллаулар формалаша башлый. Мәсәлән, француз матема¬
тиклары Пьер Ферма (1601—1665) һәм Рене Декарт (1596—1650)
функцияне кәкре ноктасы ординатасының аның абсциссасына бәйлелеге
итеп күз алдына китергәннәр. Инглиз галиме Исаак Ньютон (1643—
1727) функцияне хәрәкәт итүче ноктаның вакытка бәйле рәвештә коорди-
натасы үзгәрүе дип аңлаган.
Функция терминын (латинча functio — башкарылу) беренче тапкыр
немец математигы Готфрид Лейбниц (1646—1716) керткән. Функ¬
цияне ул геометрик образ (функциянең графигы) белән бәйли торган
булган. Иоганн Бернулли (1667—1748) һәм Петербург Фәннәр ака¬
демиясе әгъзасы, XVIII гасырның атаклы математигы Леонард Эйлер
(1707—1783) функцияне аналитик аңлатма дип караганнар. Функцияне,
бер үзгәрешленең икенчесенә бәйлелеге буларак, чех математигы Бер¬
нард Больцано (1781—1848) керткән.
Кыскача тапкырлау формулалары
Кыскача тапкырлауның кайбер кагыйдәләре моннан якынча 4 мең
ел элек билгеле булган. Алар турында вавилонлылар һәм башка борынгы
халыклар белгәннәр. Ләкин ул вакытта аларны сүз белән яки геометрик
юл белән күрсәткәннәр.
Борынгы греклар зурлыкларны сан яки хәреф белән түгел, бәлки
туры кисемтәләре аша билгеләгәннәр. Алар «а2» түгел, ә «а кисемтә¬
сендәге квадрат», «аЬ» түгел, ә «а һәм b кисемтәләре арасында урнаш¬
кан турыпочмаклык» дип сөйләгәннәр. Мәсәлән, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
бердәйлеге турында Евклид (безнең эрага кадәр III гасыр) «Башлангыч-
лар»ының икенче китабында болай әйтелгән: «Әгәр дә туры сызык
(биредә кисемтә күздә тотыла) ничек тә булса киселгән булса, ул вакытта
барлык турыдагы квадрат кисемтәләрдәге квадратлар белән бергә кисем¬
тәләр арасында урнашкан турыпочмаклыкны 2 тапкыр алганга тигез».
Исбатлау геометрик фикерләүләргә нигезләнгән (52 нче рәсемне кара).
Алгебраны геометрик юл белән аңлатудан калган терминнар хәзер
дә очрый. Мәсәлән, без санның икенче дәрәҗәсен квадрат, өченче
дәрәҗәсен куб дип атыйбыз.
Координаталар методы турында
Координаталар идеясе борынгы заманда башта астрономия, геогра¬
фия, сәнгать ихтыяҗлары белән бәйле буларак барлыкка килгән. Мәсә¬
лән, Борынгы Египет күмү камераларының берсенең стенасында квадрат
челтәр (палетка) табылган, аннан сурәтләрне зурайту өчен файдалан¬
ганнар. Борынгы грек астрономы Клавдий Птоломей (II гасыр) геогра¬
фик координаталарны (озынлык һәм киңлекне) диңгездә йөзүченең
урынын билгеләү өчен кулланган. Урта гасырларда координаталар идея¬
206

сеннән күктә яктырткычларның торышын, Җир өслегендә урынны бил¬
геләү өчен файдаланганнар. Турыпочмаклы челтәрне Яңарыш эпохасы
рәссамнары киң кулланган.
Координаталарны математикада беренче буларак П. Ферма һәм Р. Де¬
карт куллана башлаган. 1637 елны Р. Декартның «Метод турында фикер
йөртү» исемле китабы басылып чыккан, бу китапта материя турындагы
гомуми философик фикерләүләр белән беррәттән, универсаль матема¬
тикага күп урын бирелә. Бу китапның «Геометрия» дип исемләнгән бүле¬
гендә Р. Декарт яңа метод — координаталар методы тәкъдим иткән,
ә бу (координаталар яссылыгындагы) ноктадан саннар парына, сызыктан
тигезләмәгә, геометриядән алгебрага күчәргә мөмкинлек биргән. Шулай
итеп, яңа геометрия туган, аны хәзер аналитик геометрия дип атыйлар.
Р. Декартның хезмәте — үзгәрешле координаталар кертү. Мәсәлән,
ах + by = с тигезләмәсендә х һәм у хәрефләрен билгесезләр дип түгел,
ә үзгәрешлеләр итеп карый башлаганнар. Шуның аркасында коорди¬
наталар яссылыгында һәр турыга ах + by = с (а һәм b — нульгә тигез
булмаган саннар) сызыкча тигезләмәсе тиңдәш була һәм киресенчә.
Координаталар методы тигезләмәләрнең графикларын төзергә, тигез¬
ләмәләр һәм формулалар ярдәмендә аналитик юл белән бирелгән төрле
бәйлелекләрне геометрик рәвештә сурәтләргә, алгебра ярдәмендә төрле
геометрик мәсьәләләрне чишәргә мөмкинлек бирә.
«Абсцисса» һәм «ордината» терминнарын һәм «координаталар» атама¬
сын XVII гасырның 70—80 нче елларында кулланышка Г. Лейбниц
керткән.
Исәпләү чаралары
Элекке вакыттан ук кешеләр исәпләүләрне җиңеләйтергә омтыл¬
ганнар. Иң борынгы исәпләү машинасы булып кул һәм аяк бармаклары,
вак ташлар, кабырчыклар һ. б. вак предметлар торган, һөнәрчеләр һәм
сәүдә итүчеләр исәпләү өчен баганаларга бүленгән тактадан файдалан¬
ганнар, анда вак ташлар ярдәмендә төрле разряд берәмлекләре күрсәтелә
торган булган. Мондый тактаны абак дип атаганнар. Римлылардан безгә
«калькуляция» сүзе кереп калган, ә ул «вак ташлар белән исәпләүне»
аңлата. Хәзер без «калькуляция» терминын исәпләү мәгънәсендә кулла¬
набыз. Абакны камилләштерү нәтиҗәсендә счетлар (Борынгы Кытайда —
«суан-чан», Япониядә — «сорабан») барлыкка килгән. Рус счетлары
XVI гасырда гамәлгә кергәннәр.
Арифметик гамәлләрне механик башкару машинасын арифмометр дип
атыйлар. Мондый беренче машиналарны 1641 елда француз галиме Блез
Паскаль (1623—1662) һәм 1671 елда Г.Лейбниц төзегән. 1874 елда
Петербург механигы В. Однер ясаган арифмометр киң кулланылыш тапты.
XX гасыр уртасында барлыкка килгән электрон-исәпләү машиналары
(ЭВМ) исәпләү техникасында революция ясадылар. Беренче ЭВМ АКШта
1944 елда төзелде. Беренче Совет ЭВМы академик С.А. Лебеде в
(1902—1974) җитәкчелегендә 1950 елда эшләнде. Хәзерге ЭВМнар
секундка берничә миллион операция башкаралар, фәнни һәм халык
хуҗалыгының төрле өлкәләрендә киң кулланылыш таптылар. Прак¬
тикада киң кулланыла торган иң гади ЭВМ — микроколькулятор.
207

12345
V—VI сыйныфлар
математика курсы буенча
мәгълүматлар
Саннарның бүленүчәнлеге
1	а һәм Ь — натураль саннар һәм а ны Ь га бүлгәндә, өлештә q,
калдыкта г чыксын, ди. Ул вакытта a = bq + г, биредә q һәм
г — натураль саннар яки нуль, шуның белән бергә г < Ь. Мәсәлән:
J27I35
105∏3^ 127 = 35 3 + 22.
22
2	Әгәр дә натураль а саны натураль Ь санына бүленсә, а ны Ь га
кабатлы, ә Ь ны а ның бүлүчесе, диләр. Бу a = bq икәнлеген аңлата,
биредә q — натураль сан. Мәсәлән, 62 саны 31 гә кабатлы, 31 саны
62 нең бүлүчесе, чөнки 62 = 31 · 2.
3	Бары тик ике генә бүлүчесе булган (берәмлек һәм бу сан үзе)
натураль санны гади сан дип атыйлар.
Икедән артыграк бүлүчесе булган натураль сан төзелмә сан дип атала.
Мәсәлән, 2, 3, 5, 7, 43, 109 — гади саннар, ә 4, 12, 35 — төзелмә саннар.
Теләсә нинди төзелмә санны бер һәм бары тик бертөрле юл белән гади
тапкырлаучыларга таркатырга була. Мәсәлән, 630 = 2 · З2 · 5 7.
4	Берничә санның иң кечкенә уртак кабатлысын табу өчен, бу
саннарны гади тапкырлаучыларга таркатырга һәм, килеп чыккан гади
тапкырлаучыларның һәркайсын иң зур дәрәҗә күрсәткече белән алып,
тапкырчыгыш төзергә кирәк. Мәсәлән, 72 = 23 · З2; 180 = 22 · З2 · 5 һәм
600 = 23 · 3 ■ 52 була. 72, 180 һәм 600 саннарының иң кечкенә уртак
кабатлысы 23 · З2 · 52 = 1800.
Берничә санның иң зур уртак бүлүчесен табу өчен, бу саннарны гади
тапкырлаучыларга таркатырга һәм, гади тапкырлаучыларның уртак
булганнарын иң кечкенә дәрәҗә күрсәткечләре белән алып, тапкыр¬
чыгыш төзергә кирәк. Мәсәлән, 72, 180 һәм 600 саннарының иң зур
бүлүчесе 22 · 3 кә, ягъни 12 санына тигез.
5	Сан 0 яки 5 цифрына тәмамланса, ул 5 кә бүленә. Әгәр дә сан
теләсә нинди башка цифрга тәмамланса, ул 5 кә бүленми.
208

Сан җөп цифрга тәмамланса, ул 2 гә бүленә. Әгәр дә сан так цифрга
тәмамланса, ул 2 гә бүленми.
Санның цифрлары суммасы 3 кә бүленсә, ул сан 3 кә бүленә. Әгәр
дә санның цифрлары суммасы 3 кә бүленмәсә, ул 3 кә бүленми.
Санның цифрлары суммасы 9 га бүленсә, бу сан 9 га бүленә. Әгәр
дә санның цифрлары суммасы 9 га бүленмәсә, бу сан 9 га бүленми.
Гади вакланмалар
6	Санаучысы ваклаучысыннан кечерәк булган вакланма ялгыз
вакланма дип атала.
Санаучысы ваклаучысыннан зуррак яки аңа тигез булган вакланма
аралаш вакланма дип атала.
7	Вакланманың төп үзлеге: вакланманың санаучысын да, ваклау¬
чысын да бер үк натураль санга тапкырласак яки бүлсәк, аңа тигез
булган вакланма килеп чыга.
8	Вакланмаларны иң кечкенә уртак ваклаучыга китерү өчен, вак¬
ланмаларның ваклаучыларының иң кечкенә уртак кабатлысын табарга
кирәк, иң кечкенә уртак ваклаучыны ваклаучыларның һәркайсына бүлеп,
өстәмә тапкырлаучыларны исәпләргә; һәр вакланманың санаучысын да,
ваклаучысын да тиңдәшле өстәмә тапкырлаучыга тапкырларга кирәк.
1	7 5
Мәсәлән, g > Ϊ2 , Ιδ вакланмалаРын иң кечкенә уртак ваклаучыга ките¬
рик. Иң кечкенә уртак ваклаучы 36 га тигез:
1 =	16	_ 6	7 _ 7 3 _ 21	5	_ 5-2	_ ю
6	6-6	36’	12	12-3	36’	18	18 2	36'
9	Ваклаучылары бертөрле булган вакланмаларны кушу өчен, бе¬
ренче вакланманың санаучысына икенче вакланманың санаучысын
кушып, шул ук ваклаучыны калдыралар. Ваклаучылары бертөрле
булган вакланмаларны алу өчен, беренче вакланманың санаучысыннан
икенче вакланманың санаучысын алып, шул ук ваклаучыны калды¬
ралар. Мәсәлән:
3	, 2 _ 5 .	4 _ 1 _ 3
7	7	7 ’	5	5	5 '
Ваклаучылары төрле булган вакланмаларны кушу яки алу өчен, башта
аларны уртак ваклаучыга китерәләр.
10	Ике вакланманы тапкырлау өчен, аларның санаучыларын һәм
ваклаучыларын аерым-аерым тапкырларга һәм беренче тапкырчыгышны
санаучы, икенчесен ваклаучы итеп язарга кирәк.
Бер вакланманы икенчесенә бүлү өчен, бүленүчене бүлүчегә кире
булган вакланмага тапкырларга кирәк.
Мәсәлән:
2	4 = _8
3	5	15 ’
3 . 4 _ 3	5 _ 15
7’5	7	4	28 '
14 К4/147
209

Унарлы вакланмалар
11	Унарлы вакланманы нинди дә булса разрядка кадәр түгәрәк¬
ләгәндә, бу разрядтан соң килүче цифрларны нульләр белән алмаш¬
тыралар, ә әгәр дә өтердән соң килсәләр, аларны ташлап калдыралар.
Бу разрядтан соң килүче беренче цифр 5, 6, 7, 8 яки 9 булса, калган
соңгы цифрны бергә арттыралар. Әгәр дә бу разрядтан соң килүче
беренче цифр 0, 1, 2, 3 яки 4 булса, калган соңгы цифрны үзгәртмиләр.
Мәсәлән, 4,376 ≈ 4,4; 2,8195 ≈ 2,820; 10,1425 ≈ 10,14.
12	Унарлы вакланмаларны кушу һәм алу разрядлап башкарыла.
Вакланмаларны өтерләр берсе астына икенчесе туры килерлек итеп
язалар.
Мәсәлән, , 3,4691	_68,3
48,63	5,275
52,0991	63,025
13	Бер унарлы вакланманы икенчесенә тапкырлау өчен, аларны,
өтергә игътибар итмичә тапкырлап, тапкырлаучыларның икесендә бергә
өтердән соң ничә цифр булса, килеп чыккан тапкырчыгышта уңнан
өтер белән шулкадәр цифр аералар.
Унарлы вакланманы унарлы вакланмага бүлү өчен, бүлүчедә өтердән
соң цифр булса, бүленүчедә дә, бүлүчедә дә өтерне уңга шулкадәр
күчерергә, ә аннары натураль санга бүлүне башкарырга кирәк.
Мәсәлән, 3,06	12,096 : 2,24 = 1209,6 : 224,
Х 2,4	1209,61224
1224	1120 ∣^5√Γ
612	_896
7,344	896_
0
14	Унарлы вакланманы 10” нә тапкырлау өчен, бу вакланмада
өтерне уңга п цифрга күчерергә кирәк. Унарлы вакланманы 10" нә бүлү
өчен, бу вакланмада өтерне сулга п цифрга күчерергә кирәк.
Мәсәлән, 8,372 · 100 = 837,2; 3,4 : 1000 = 0,0034.
Уңай һәм тискәре саннар
15	Уңай сан яки нульнең модуле дип бу сан үзе атала. Тис¬
кәре санның модуле дип аңа капма-каршы булган уңай сан атала.
а санының модулен ∣ a | дип тамгалыйлар. Мәсәлән, 13,61 = 3,6, IОI = 0,
I-2,81 =2,8.
16	Ике тискәре санны кушу өчен, аларның модульләрен кушып,
килеп чыккан нәтиҗә алдына «минус» тамгасы куярга кирәк.
Тамгалары төрле булган ике санны кушу өчен, модульләрнең зурра¬
гыннан кечерәген алып, килеп чыккан нәтиҗә алдына модуле зуррак
булган кушылучы тамгасын куярга кирәк.
Капма-каршы булган ике санның суммасы нульгә тигез була.
Мәсәлән,	-3,4 + (-1,8) =-5,2;
2,5 + (-4,1) =-1,6;	-3,6 + 3,6 = 0.
210

17	Санның берсеннән икенчесен алу өчен, кимүчегә киметүчегә
капма-каршы булган санны кушарга кирәк.
Мәсәлән, -5 - 1,9 = -5 + (-1,9) = -6,9.
18	Тискәре ике санны тапкырлау өчен, аларның модульләрен тап¬
кырларга кирәк.
Тамгалары төрле булган ике санны тапкырлау өчен, аларның модуль¬
ләрен тапкырлап, килеп чыккан нәтиҗә алдына «минус» тамгасы куярга
кирәк. Мәсәлән, -1,2 · (-8) = 9,6; -3 · 1,2 =-3,6.
19	Тискәре санны тискәре санга бүлү өчен, бүленүче модулен
бүлүче модуленә бүләргә кирәк.
Тамгалары төрле булган ике санны бүлү өчен, бүленүче модулен
бүлүче модуленә бүлеп, килеп чыккан нәтиҗә алдына «минус» тамгасы
куярга кирәк.
Мәсәлән, -4,8 : (-2,4) = 2; 5,5 : (-5) = -1,1.
20	Берничә санның суммасын кушылучылар санына бүлүдән чык¬
кан өлешне шул саннарның арифметик уртасы дип атыйлар.
Пропорцияләр
21	Ике чагыштырманың тигезлеге пропорция дип атала. Мәсәлән,
2,5 :5 = 3,5 : 7 тигезлеге пропорция була. 2,5 һәм 7 саннары — пропор¬
циянең кырый буыннары. 5 һәм 3,5 саннары — пропорциянең урта
буыннары. Пропорция дөрес булса, аның кырый буыннарының тапкыр¬
чыгышы урта буыннар тапкырчыгышына тигез була. Пропорциядә
кырый яки урта буыннарның урыннарын алыштырып язарга мөмкин.
22	Ике зурлыкның берсе берничә тапкыр зурайганда (кечерәйгән¬
дә), икенчесе шул ук тапкыр зурайса (кечерәйсә), аларны туры пропор¬
циональ зурлыклар дип атыйлар.
Әгәр зурлыклар туры пропорциональ булсалар, аларның тиңдәшле
кыйммәтләренең чагыштырмалары тигез була.
23	Ике зурлыкның берсе берничә тапкыр зурайганда (кечерәйгән¬
дә), икенчесе шул ук тапкыр кечерәйсә (зурайса), аларны кире пропор¬
циональ зурлыклар дип атыйлар.
Әгәр зурлыклар кире пропорциональ булсалар, аларның берсенең кыйм¬
мәтләренең чагыштырмасы икенчесенең тиңдәшле кыйммәтләренең кире
чагыштырмасына тигез була.
Саннар өстендә гамәл үзлекләре
24	Кушуның урын алыштыру үзлеге. Кушылучыларның урын¬
нарын алыштырудан сумманың кыйммәте үзгәрми.
Кушуның оештыру үзлеге. Ике сан суммасына өченче санны кушу
өчен, беренче санга икенче һәм өченче саннарның суммасын кушарга
була.
14*
211

Тапкырлауның урын алыштыру үзлеге. Тапкырлаучыларның урын¬
нарын алыштырудан тапкырчыгышның кыйммәте үзгәрми.
Тапкырлауның оештыру үзлеге. Ике санның тапкырчыгышын өченче
санга тапкырлау өчен, беренче санны икенче һәм өченче саннарның
тапкырчыгышына тапкырларга була.
Тапкырлауның тарату үзлеге. Санны суммага тапкырлау өчен, бу
санны һәр кушылучыга тапкырлап, килеп чыккан нәтиҗәләрне кушарга
мөмкин.
Аңлатмаларны үзгәртү
25	Охшаш кушылучыларны берләштерү өчен, аларның коэффи¬
циентларын кушарга һәм нәтиҗәне уртак хәрефле кисәккә тапкырларга
кирәк. Мәсәлән, 5α - 7α + 4α = 2а.
26	Әгәр җәяләр алдында «плюс» тамгасы торса, җәяләр эченә
алынган һәр кушылучының тамгасын саклап, җәяләрне төшереп калды¬
рырга мөмкин. Мәсәлән, 3x + (2α - у) = Зх + 2а - у.
27	Әгәр җәяләр алдында «минус» тамгасы торса, җәяләр эченә
алынган һәр кушылучының тамгасын үзгәртеп, җәяләрне төшереп
калдырырга мөмкин. Мәсәлән, 5α - (2x - 3z∕) = 5а - 2х + Зу.

Абсолют хата 94
Аерманың квадраты формуласы 148, 152
Алыштырып кую ысулы 189
Аргумент 41
Бер үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә 26
	тигезләмә 23
Бербуын 83
Бербуынның дәрәҗәсе 84
—	коэффициенты 83
Бердәй рәвешүзгәртүләр 20
—	тигез аңлатмалар 18
Бердәйлек 18
Бәйле үзгәрешле 39
Бәйсез үзгәрешле 39
Дәрәҗәгә күтәрү 70
Дәрәҗәләрне бүлү 76
Дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәрү 80
Дәрәҗәнең төп үзлеге 75
Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә 174
	тигезләмәнең графигы 178
Ике үзгәрешлеле тигезләмә 174
	тигезләмәне чишү 174
	тигезләмәнең графигы 177
Квадратлар аермасы формуласы 140
Кублар аермасы формуласы 156
—	суммасы формуласы 155
Кушу ысулы 188
Кушуның оештыру үзлеге 14
—	урын алыштыру үзлеге 14
Күпбуын 106
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркату 118,127
Күпбуынның буыны 106
—	дәрәҗәсе 107
—	охшаш буыннары 106
Натураль күрсәткечле дәрәҗә 70
Нуль күрсәткечле дәрәҗә 77
Охшаш буыннарны берләштерү 106
Парабола 89
Санлы аңлатма 3
Стандарт рәвештәге бербуын 83
—	— күпбуын 107
Сумманың квадраты формуласы 140
Сызыкча функция 53
—	функциянең графигы 54
Тамырдаш (тигезкөчле) тигезләмәләр 24, 175
Тапкырлауның оештыру үзлеге 14
—	тарату үзлеге 14
—	урын алыштыру үзлеге 14
Тапкырчыгышны дәрәҗәгә күтәрү 79
Тигезкөчле тигезләмәләр системалары 185
Тигезләмәләр системасын чишү 181
		чишүнең график ысулы 181
Тигезләмәләрнең үзлекләре 24, 175
Тигезләмәнең тамыры 23
Туры пропорциональлек 57
—	пропорциональлекнең графигы 57
Турының почмакча коэффициенты 62
Функция 41
Функциянең билгеләнү өлкәсе 41
—	графигы 47
Чагыштырма хата 98
Якынча кыйммәтнең төгәллеге 95
Үзгәрешле 6
Үзгәрешлеле аңлатмалар 6
213

Җаваплар
I	бүлек
2. a) 20; б) 629,2; в) 28,89; г) 48,09. 3. а) 41,65; б) 13,6; в) 58; г) 10. 6. а) 11;
б)	141 ; в) { ; г) 14. 7. а) 4^ ; б) 0; в) 3; г) 16⅛. 8. a) 5⅛ ; б) 1; в) 3∣;
г)	j^·· 1®· 48 сумга. 19. Беренчесе 3,2 гектарга артыграк. 20. 55 ц.
21.	б)	1,3; 2,8; 5,8. 26. а) -4;	б)	5,2. 27.	а) 0,4;	б)	-6,8; в) 4,5; г) 0,8.
30.	а)	3; б) 15; в) -49; г) 0,8.	44. а) 60;	б) 20;	в)	3; г) 150. 45. 20 л.
46.	200 станок. 66. а) 4%; б)	15%; в)	5,5%;	г)	120%. 67. 25% ка.
68.	а)	26,81; б) 77,01; в) 7,22;	г)	78. 71.	а) 24;	б)	24,9; в) 13,4; г)-9,5.
72. а) 35,7; б) 16,64; в) 10; г) 2,8.	74. а) 0; б)	1|. 77. а) 35; б) 124.
78. а) 94,2; б) 40,3. 95. a)	1; б) 3.	96. а)-4; б)	112. а) 6,75; б) 22;
в)	-6; r)-0,3. 113. а) 11 - 6,5х; б) Зр - 5,1; в) 0,4а-7; г) 66-5; д) у - 8;
е) 8х - 8. 115. а) 8 + 2х; б)	46 - 5у;	в) 20z - 33; г)	5;	д) 4 - 106; е) 36,8c - 8.
116. a) 1; б) -7; в)-3,1; г)	276. 117. а) Ют-4;	б)	-6п + 3; в) 11- 11р;
г)	0,1; д) 1,36+0,1; е) l,6c~5. 119. 12,5% ка. 121. 15,3. 132. a) 4,5х-2,4;
б)	36 - 3,6α; в) 12,3- 8,5у; г) 2-146. 133. 16,5; -2; -196. 138. а) 30;
б)	16; в) -6; г) 3; д)-43; е) 180; ж) -5; з) 300; и) -90. 139. а) 1|;
б)	0,5; в) -2; г) 0; д) -0,15; е) -5; жУ-12; з) -3; и) 0; к) 0; л) 0; м) 0.
140. а) 7; б) 1^; в) г) 5; д) 1|; е) -1,2; ж) 1|. 141. а)|; б) 2,5;
в)	-89; г) 0,5. 142. а) 2,4; б) -12; в) -5; г) -1,5. 143. а) 7; б) -32;
в)	-3; г) -1,8. 144. а) 4; б) 2; в) 3,6; г) 3∣. 145. а) 16; б) |; в) -4;
г)	3yj ; д) 3. 146. а) 5,5; б) 2,4; в) 10. 147. а), в), г) тамырлары юк; б) теләсә
нинди сан тигезләмәнең тамыры була. 148. а) 0; б), г) тамырлары юк, в) теләсә
нинди сан тигезләмәнең тамыры була. 149. а) 0,05; б) -15,8; в) 1,6; г) 0,4.
150. а) -3,5; б) 2; в) 74,6; г) 0,25. 151. а) 2; б) 1,15; в) j; г) 12; д) θ ;
е) -13. 157. 439, 353 билет. 158. 6,3; 6,3 һәм 3,4 см. 159. 39; 47 деталь.
160. 350; 420 һәм 504 кеше. 161. 400 г, 80 г, 75 г. 164. 55 һәм 11 төп.
165. 20 км/сәг. 166. 50 км/сәг. 167. 20; 10 эшче. 168. 10 кеше. 169. 5.
214

170. 1,5 кг. 171. 2, 4 һәм 10 кг. 172. 24 трактор. 173. 20 һәм 40 кг.
176. а) 45,82; 6) -2,5. 177. -39. 179. а)-| ; 6) -12∣ι в)-^; г) -2,8;
д)	-0,1; е) 36. 180. а) 426,5; б) 7,6; в) 124; г) 2,72. 181. а) 23; б) -12,4.
182. а) -2; б) 4; в) 1⅛; г) 6⅛. 183. а) |; б)	16.	184. а) |;	б) 2,5; в)	240;
г)	|. 185. а) 1,44; б) 1⅛ ; в) 92; г) 6. 186. 207. 187. 0. 188.	а) |; Ь)	-16.
189. а) -19; б) |; в) 2; г) 0. 191. а) -12,15; б) 2,025; в) -16,2; г) 20,25.
212. а) 87; б) 136; в) 58; г) 52. 213. а) 0; б) 3,947. 224. а) 5,7 + 0,9т;
б)	-1,6х-6; в) 0,2 г/ +0,2; г) 5,3<? + 1,6. 225.	а)	-0,5; б) 1.	238. а)	1,49;
б)	0; в) -32,5; г) 0,3. 239. а) 1; 7; б) -2; 9; в)	-1;	1; 5; г) -3;	0. 241. а) 24;
б)	-35; в, г) тамырлары юк. 242. а) -5; б) 1. 245. 575 йорт куяны, 425 тавык.
246. 46 һәм 40 деталь. 247. 42 төп. 248. 48 һәм 12 марка. 249. 10 көн.
250. 9 көн. 251. 13.
II	бүлек
270.· а) 43,2 г; б) 360 см3. 271. а) 390 км; б) 60,5 км/сәг. 272. а) 18 км;
б)	2,5 сәг. 274. 165 китап. 293. а) 0,9; б) 0; в)·^·; г) -2,5. 294. 200 машина.
308. а) (4; 0) һәм (0; 9,6); б) (-40; 0) һәм (0; -28); в) (-5; 0) һәм (0; 6);
г) (0,4; 0) һәм (0; 2). 309. а) (30; 0); б) (24; 0). 310. А, В һәм D нокталары
аша үтә. 328. В, С һәм D нокталары графикныкы. 329. а) А һәм Е нокталары;
б)	В һәм Е нокталары. 332. а) -1,76; б) 88. 340. а) (1; 2); б) (8; -6);
в)	(-2; -110); г) (1; 29); д) (2; 28); е) (4,4; -6). 341. а) (2; -3); б) (4; 0);
в)	кисешмиләр; г) (0,9; 0,9). 348. 800 т. 359. у = 150 + 1,5х; а) 165; 195;
б)	0; 20. 373. а), б) әйе; в), г) юк. 374. а = -0,4 булганда. 375. 2, 3, 4 һәм
5. 378. а) (4; 0); б) (-7; 0); в), г) (0; 0); д), е) кисми. 380. k = -0,4, графикныкы.
381. у — 1,5х. 382. z∕ = 8. 383. а) (7; 37); б) (-3; -55); в) (12; 5); г) (140; 14).
384. Ята.
III	бүлек
388. б) 4096; г) 16 807. 393. г) 82; 43; е) 1,53; ж) 1,22. 395. д) -96;
е)	432. 399. а)-9; б)-37; в) -539. 401. а) 0,16; 0,81; 100; б) 245; 3; 453.
404. 665; 1885. 415. α6α9; в) a2aa∖ г) α,4α;. 418. в) /и"; г) р9; д) Ю10;
е) Зю. 419.	в) Xю; г) п15;	д)	713; е)	5". 420.	в) 617;	г) 214;	д) 0,47.
424. в)	а20; з) 0,75. 426. б)	1000; г) 1|; е)-^ .	427.	г)	2∣; д)	-12^·.
428. а)	49;	б) 81; в) 25;	г)	0,216.	429. а)	хл+3;	в) хл + |;	г) yn~∖
430. а)	3; б)	-2,5; в) 90; г)	-1.	432. д)	(-l∣) ;	е) . 434.	105 км.
215

437. 202,5 г. 444. г) (~ab)3; д) (2а)5; е)	(0,3m)3. 445.	в)	1; г) 1;	д)	|;
е) 50 000 000. 447. д) х9; е) х24. 449.	в) am + 2-	г)	α2m. 452.	б)	820;
г)	3212. 454. т3. 455. в) а14; г) х20; д)	т20. 456.	в)	а14;	г) а18;	д)	а12;
е) а21. 457. в) х23; г) х21. 458. а) 16; б) 5; в) 4;	г)	|	. 461.	k = -2.
466. б) 0,6ρ2ρ3; в) 20aft3; г) -12а562; д) O,8m4n2. е) -χ4p2. 467. б) -2; в) 0,18;
г)	1. 468. а) 0,592; б) -0,108; в) 0,012; г) -⅛. 471. 5m2 см2. 472. 8a3 см3.
473. а) Унберенче; б) өченче; е) нуленче. 476. а) ⅛; б) 0,5. 478. а) -3,3x4p3j
б)	-a6b4c, в) 4х3р4; г) -0,36a5ft6x6. 479. в) 64a5ft7; г) -28a4ft4. д) -6х6р3;
е) 108a463. 480ή а) 0,4m7π8, б) -0,1х4р8; в) -c'0ds∙, г) -а3Ь6; д) х4р4; е) m9n12.
483. в) -8α12*6; г) 8lx8√i д) -ambic'5∙, е) a6ft4c2. 484. в) -0,216mV. г) 4х2/;
д)	х4//'6*8; е) -xmyam3. 486. а) (Эх2)2. 487. в) (-0,2ft2)3. 490. б) 1000m9; 100m6.
491.	а) 225а10; б) 81ft25; в) 8р,э; г) -0,15с10; д) с'9; е) 2ft13; ж)-х10; з) 2у'\
492.	а) -Зх7у5; б) 32a2ft9; в) 8ml0nl0j г) -1,12с14; д) хюу5; е) 5a8ft5; А) -0,5m8n4;
з) -12p7ρ9. 493. а) -0,04ft19; б) 10а19; в) р15; г) 3000а"; д) -112anft5;
е)	-0,15 х9р"; ж) 0,01р7<?7; з) 3a2969. 494. 9 көннән соң. 495. 6 көннән соң.
496. k = 1,5; b = 6; 497. х = 13,8, у = 1,26. 503. 9 тапкыр зураер; 100 тапкыр
кечерәер. 507. 8 тапкыр зураер; 27 тапкыр кечерәер. 510. а), б) графикныкы;
в)	графикныкы түгел. 512. 180 г. 513. 6 сәгатьтә. 515. х = -2,4, у = 20,4.
518. а) 4,8a9ftl0. 522. а) 0,13; б) 4; в) 0,047; г) 0,002. 528. 0,5 кг. 530. 2 сәг.
531. а) 7; б) 121. 532. а) 1,64; б) 0,4; в) 2,223; г) 0,012. 536. 1%. 544. а) 8;
б)	122,5. 545. (3,5; 0), (0; 9,1). 548. г) 22 ∙ 53. 549. г) З6; д) 2Ю. 550. в) 25 + 23 + 2.
554. а) 98; б) -8. 562. -1|. 566. в) 7" + 3; г) 3* + 4. 567. в) a5 ∙ (-a35).
569. б) 726. 570. б) 36; г) 0,6; е) |. 572. а) 2 j; б) 6,8. 577. в) 0,04; г) 6,25;
д)	1; е) 81. 578. в) Күрсәтмә: 2525 = 550; 250∙350 = 650j г) 6330> З60∙530.
579. г) З6. 593. г) 0,15x3p3z3ι д) 8,5a4ft3c2ι е) 0,16a7ft7x6. 598. г) 7a206l0.
д)	—^ftl0c'7j е) 64x20p28. 599. е) 36a8ft8. 600. г) 3a8ft7j д) 0,2aV. 607. 0,18.
IV	бүлек
621. а) 107; б) 30. 622. а) -57; б) 3. 631. а) 233∣! б) -1,6; в) -Зу.
632. а) |; б) 1; в) |. 633. а) 24 000; б) -10 000. 637. г) ~2b - 1; д) -и2-7;
е)	8. 638. а) 0,7a - 4,8a2; б)-ft2 + 136; в) 1,6x2 + 5,5j г) l,9p2 - l,4p + 4.
216

639. а) 5~10х; 6) 6с-с2; в) 2⅛-2j г) 30-6/-/. 642. a) x2 + llxy - у2;
б)	α2-3α6 + 562j в) 4?-7c2+ 6. 644. a) O,2α2 + 0,35а + 12; б) 0,7/-3,75«/;
в)	4х2 + 4х«/; г) 2ab2 - 4ab ~ 5Ь. 645. a) 4α⅛ - b2 + 2; б) 2ху. 646. а) 60; б) 156.
647. а) -2; б) -1. 650. a) 2xy - x2∖ б) 2xy-y2. 653. a) 10a2 + ∖2ab+2b2∖
б)	-4⅛2. 654. а) 3; б) 1|; в) 0,3; г) -20; д) 0; е) |. 655. а) 1,23; б) -2;
в)	-1,5; г) -2. 660. а) 3; б) 2. 661. в) -5а8/; г) -2c'6d7. 667. а) 10,5;
б)	28; в) 0,8; г) -5. 668. а/806- 11; б) 5с + 34; в) -21; г) 42-24«/.
669. а) 26«/- 2у2; б) -у2 - 10«/; в) 2 - 4х; г) 2а3; д) 4с2-7/; е) Зх3у;
ж)	3m3 - m2n + 2п2; з) n2~n3. 670. а) 7x2-20x. б) а3 + а2; в) ax2-8a2xj
г)	4m4-m2π2-3√. 671. а) -6; 60; б) 8. 672. а) 200; -250; б) 0,8.
673. 14а4 -а3 ; б) 2b2~b, в) 16х2-6х4; г) с4. 679. а) 7; б) 8; в) 49; г) 0,4;
д)	-2; е) 0; ж) 24; з) ⅛ . 680. а) -2; б) -20; в) -1,5; г) -0,2. 681. а) -1;
б)	2; в) -4; г) 2. 682. а) 0,5; б) -2; в) 1,6; г) -2. 683. а) 24; б) 13∣j
в)	14; г) -14; д) -52,5; е) -4,5; ж) -36; з) 14; и) 0,4. 684. а) 12,5;
О	О	'
б)	17; в) 17; г) -25; д) |; е) ||. 685. а) 1{; б) -0,5; в) г) 28.
686. а) -13; б) 1,5; в) -15; г) 0,5. 687. а) -3,5; б) -1; в) 1; г) 2; д) 17,4;
е)	4∙ξ. 688. 1, 1,5 һәм 6 сум. 689. 16; 20 һәм 8 см. 690. 30; 33 һәм 35 т.
691. 90 һәм 30 т. 692. 96 деталь. 693. 300 га. 694. 1500 м. 695. 9 км.
696. 60 км. 697. 360 км. 701. а) -|а13/; б)-90а8/. 708. а) 2,28;
б)	-22,5; в) 14,4; г) -348. 709. а) 0; -8; б) 0; 02; в) 0; 5; г) 0; 0,4; д) 0; ⅛;
е)	0; -4; ж) 0; 0,1; з) 0; 30; и) 0; - j . 710. а) 0; -0,6; б) 0; И; в) 0; 0,6;
г)	0; 10; д) 0; 0,16; е) 0; 0,04. 719. а) (b-c)(a~dY, б) (у - 5)(х +«/);
в)	(2х - 7)(За - 56); г) (х - у)(х - у + а); д) (а -2)(За -5); е) (b - 3)(56- 17).
720. г) (с + 2) (с + 9); д) (а - b) (а - b + 3); е) - (х + 2у) (4х + 8«/ + 1). 721. 9 км.
722. а) 5;у6) -1,5. 732. а) x3 + 2x2y - у3; б) n3 - 2n2p + 2пр2 - р3; в) a3-2ax2-χ3∙,
г)	b3 - 2b2fc + с3; д) a3- 6a2 + Па - 12; е) 5x3~7x2~3x +2; ж) x3 + Зх2 - 8х + 10;
з)	3/ - ↑ly2 + 7y-4. 733. а) c3 - 2cd2 - d3∖ б) x3 - 2x2y + у3; в) 4a3 - За2 + 2а - 3;
г)	-Зх3 + 8х2 + 7х - 12. 734. a) 8n3 + 27р3; б) 125x3- 8/; в) -6a3 + 13а2 - За - 2;
г)	-8a3 + 20а2 + 22а + 21; д) 3x4 - 2x3 + Зх2 + 4х - 4; е) 4а4 - Па3 + 25а2 - 13а - 5.
735.	а) / + 2/ + 15/; б) - 2a4 + 8а3-6а2; в) 365 + 364 - 663; г) c5 - 1,5с4 - 4c3 + 6c2.
736.	а) х3 + 6χ2 + Их + 6; б) а3- 21а + 20. 737. а) 196 - 10; б) 14/- 12; в) 9х;
г) a3b + 5ab2 - а2/; д) 4a - 2ab; е) 3χ-∕-2. 738. а) 2х\-у2; б) 6b2- 7аЬ;
217

в)	3α2-Tax + 2х2; г) 2b2~5bc. 739. a) 8α2~7b2∖ б) I2x2 + 5xy, в) 25р-5;
г)	т-3. 744. а) 3; б) 0,5; в) 0; г) 0. 745. а) -у; б) 0,2; в) 3,5; г) -1|.
747. 21; 22; 23. 748. 17; 19; 21. 749. 25 һәм 10 см. 750. 36 см. 751. 12 кен.
752. 1680 га. 753. а) 2; б) 15,5. 758. е) (a+b)(b-3); ж) (х + у) (11 - х);
з) (m + n)(k-n). 759. в) (m + k)(3~k); г) (x+y)(k~x). 760. в) (αc + 2)×
× (5α2-36с); г) (7α - 8p2)(3 - ху). 761. a) -⅛∙, б) . 762. а) 121; б) 0.
763. а) 60; б) 32. 766. а) (х + 5)(х+1); б) (x-3)(x + 2). 767. 260 сыер.
768. 10 әйбер. 769. а) б) -|. 781. а) ; б) -0,2. 782. а) с = 2 бул¬
ганда; б) с = 6 булганда. 788. а) 18; б) -8,5. 794. а) -7х2- 14; б) -а2 + 2а + 2;
в)	-2а - 106 - 3; г) -χ2. 803. а) -2; б) 8; в) 0,5; г) 2. 804. 1,92; 3,84; 4,8;
5,76. 805. 11. 806. 52. 807. 246. 808. 417. 812. a) ⅛; б) 2; в) 0,25; г) -3;
О
д)	8; е) -3,5. 813. 540 л һәм 450 л. 814. 750 кг һәм 800 кг. 815. 2^ сэг.
816. 2,5 сэг; 150 км. 817. 50	, 60	; 210 км. 818. 40 jtl, 60 —,
СЭГ сэг	сэг сэг
24 км. 819. 16,5 —. 820. 2,5 —. 821. 70 күлмәк. 822. 600 т һәм 800 т.
СЭГ	сэг	1
823. 480 га. 827. а) 2,3; б) 0,147. 828. а) 0; - j; б) 0; -1,6; в) 0; 2; г) 0; 02;
д)	0; 1|: е) 0; 1. 829. а) 9(а+2)2; г) -27(p-2)3. 841. а) -35; б) 156.
844. 8; 9; 10; 11. 846. 400 см2. 847. 360 см2. 848. 80 м2. 849. 55,25 см2.
850. а) -2,8; б) 7; в) 91; г) -4,2; д) 0; е) -50. 853. а) (х - 4) (х - 6);
б)	(х - 8) (х - 5); д) (х + 4) (х - 3); е) (х + 5) (х - 7).
V	бүлек
875. в) 198х-81х2; г) 14α6 - 49; д) 146; е) -18а2-162. 876. а) а2 + 81;
б)	-10х+1; в) 12х - 9; г) a2 + 4a6. 877. б) 4а2; в) -216-4; г) 14-56;
д)	-2a2 + 4а+ 14; е) -2у2 + 19у - 40. 878. а) 3; б) 0; в) -14; г) 130.
879. а) 1,7; б) ⅛; в) 3; г) 3,125. 880. а) 2,2; б) 1; в) ; г) 1.
881. д) 15с2-24с+ 20; е) -16a2 + 26a6 + 262. 882. б) -96 + 486 - 662;
в)	-Зх2 + 2х - 12. 883. б) 6x5 + 60x4 + 150х3; в) а3 - За + 2; г) x3 -12х - 16.
887. а) х = 16 булганда; б) х=0 булганда. 892. 80 һәм 90 км/сәг.
900. а) 10 000; 144; 0,16; б) 400; 25; 81; в) 81; 9; 1. 905. д) (3y + cd)2;
е)	(∣a,6-∣fl⅛3)2. 906. б) (б4 -∣a2)∖ в) (0,1х2-у)2; г) (Зх4-2у)2;
926. б) 62 + 9; в) x2 + 1; д) 75х2 + 16; е) 13с2 + 49. 927. д) 50п2-49;
218

e)	5x2 + 0,25. 929. а) -4~5х; б) -4m+9; в) 18x2 - 2αx - а2; г) 2ab + b2~2a2.
930. в) 32/-24х{/; г) -8α2-24α6. 931. a) 2α2-40а + 12; б) 1 - 126 - 1062;
в)	63р2; г) 28хр - 98z∕2. 932. а) -1,5; б) 7. 933. а) 0; б) -0,5. 937. а) -6;
б)	5; г) 2; д) 2,3. 938. 85 һәм 90 км/сэг. 943. а) |; б) 4∣ι в) у;
г)	1. 944. д) 5 ; е) 5· 946. а) 4 һәм -4; б) 9 һәм -9; в) у һәм -у;
г)	0,5 һәм -0,5; д) тамырлары юк; е) 1 һәм -1; ж) 1,5 һәм -1,5;
з) һәм и) тамырлары юк. 947. а) 5 һәм -5; б) 6 һәм -6;
в)	∙∣ һәм-у; г) hθM-∙ξ. 951. а) (у - l)(5i∕ + 1); б) (с+ 5) (5-7с);
в)	- (х + у) (15х + у); г) -36 (10а-36); д) 36 (36-4а2); е) (5b3 - х) (х - 3b3).
952. a) (26- 11) (26 + 1); б)-(4 +За) (10 +За); в) (3 - llm)(5 - Пт);
г)	~(p + l)(3p + 1); д) 5c(5c~6d)j е) -96 (2а2+ 96). 956. 38 см. 960. 12 км.
970. а), б) әйе. 971. б) -0,64x2 - 1,6х/ - у&; в) -0,09с2 + 0,12cd - 0,04rf2;
г)	16x2-36x6. 973. а) -0,1; б) 4,5. 976. а) Зху - 2у2; б) 2ab + 62;
в)	86+ ab~ За; г) х + бу - 28ху; д) 7d2-ab~4b2∖ е) 6x2 + 2xy - 13<∕2.
977. а) Юх-29; б) -7b2 + 406 - И; в) 29с2-45с-22; г) -10a2 + 13а + 83;
д)	37а2-19а-30; е) llm2-51m+88. 978. в) -у2 - 14z∕ - 31; г) x2-8χ-33.
979. в) 18а3 - а; г) 2bc - 16с2. 980. а) 12а4 + a3 - 6a2 - а + 4; б) -9x4 - 5x3 + 9х2.
981.	а) 14х2-96х-36; б) 30z∕2-18у-4,5; в) 9a2-16ab; г) 20x2 + 24xz∕.
982.	а) -6,75; б) 28. 984. а) - 3z∕4 + 4z∕3 - у2 - 100; б) 2a+2. 988. 30 км.
989. 6 км/сэг. 999. а) 4 (у - 1) (х + 3); б) 6(2 - Ь) (5 -а); в) -а (с + 4) (6 + 5);
г)	а(а + 1)(а + 6). 1000. a) 3(6 - 2)(15 - а); б) -5(р + 3) (х + 8); в) c3(a - 1) (с + 1);
г)	х (х - у) (х + 1). 1003. а) (х + z∕)(x - у - 1); б) (а - b)(a + b - 1);
в)	(т + n)(l + т - п); г) (⅛ + p)(k - р - 1). 1004. а) (a - b)(l + а + 6);
б)	(c + d)(c-d+1). 1005. а) (a - b)(b - l)(b + 1); б) (b - 2)(x - b)(x + 6);
в)	(х + у) (х - 2) (х + 2); г) (х + 3) (х - у) (х + у). 1006. а) 0; 1; -1; б) 0; 3; -3;
в)	0; -1; г) 0; 2; -2. 1007. а) 0; б) 0; 2. 1010. а) 4,6; б) 19,75.
1022. 13,6452. 1023. 138,8665. 1032. а) a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 64;
б)	a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b∖ 1039. а) 5a-4; б) 7а - 9; в) -26-1;
г)	26 + 1; д) 2с2-82; е) 75. 1041. в) 5а2-4а-15; г) -46-13; д) -21а2+ 21;
е)	1862- 126 + 2; ж) Зх2 + 22; з) Юр2 - ЗОу + 85. 1042. Барлык х өчен.
1044. а) 4; б) 1,5; в) 2,625; г) 0. 1046. а) ; б) | ; в) .
1048. ж) 15 (х - 1) (Зх - 1); з) (2и + 3) (1 - 4п); и) (За + 2) (За + 4);
к) (-5x + 17)(5x - 13); л) 8(x + 2) (х + 11); м) 4 (5у - 11) (2у - 17).
1050. а) 17,4; б) 17. 1055. а) (2x + 1) (x2 + х + 1); б) (у - 5) (у2- у + 7);
в)	а (а2 - 3ab + 362); г) (Зх - у) (Зх2 + у2); д) (2a + 6)(13a2-5a6 + 62);
е)	(6 + 2) (62 - 266 + 244). 1058. а) -4; б) 0,5; в) 2; г) 2. 1060. а) 34,5;
6) 24. 1066. а) -a3 - l,5a2 - 1,5а + 17; б) 4m6-m4 - 15mi-18т2 + 81т.
) 219

1067. α8-2α464 + 68. 1070. a) 131; б) 28; в) 61; г) 24,125. 1073. а) а = 1
булганда; б) а = -1 булганда. 1074. а) b = 20 булганда; б) b = 1 булганда.
1078. a) 2 (7+ 26) (5α-66); б) 3(76 - с) (с2 + 2); в) 3(</+ 3) (2 - х)(2 + х);
г)	6 (5α - 36)(а2 + 4). 1079. а) (а - 6) (а + 6) (За + 6); б) (1 - α)(l + α)(2x + у);
в)	(1 - с)(1 + с + c2)(3p + 2); г) (a + 2)(a - 3)(a2 - 2а + 4). 1082. а) (х - у)(х + у - 15);
б)	(х + a)(x -а +05); в) (2a - 6)(2a + 6 - 1); г) (р + 4c)(p ~4c - 1); д) (а + 6) (а - 6+ 6);
е) (х - z∕)(x + у - 7). 1083. а) (х + 2р) (х - 1) (х + 1); б) (2у - 5)(у - 2) (у + 2);
в)	(а-2) (а + 2) (а - 5); г) (х - 4)(х - 3)(х + 3). 1084. а) (а + 6)(3а + 6);
б) (6 - cXllc - 96); в) (χ-y)(5x + у); г) (а + 1)(а - 9). 1085. а) (х + у - 1)(х + у + 1);
б)	(а - 6 - 5)(а - 6 + 5); в) (6-6 + с) (6+ 6-с); д) (1 - 5x+y)(l + 5х - у);
е) (6 - а - 6X6 + а + 6); ж) (9а - 36 + сХ9а + 36 - с); з) (6с - 6 - с - 1) (6c + 6 + с - 1).
1086.	а) (х + y)(x2 + ху + у2); б) -(4x + у) (х2 + ху + у2); в) (а - 6) (а2 + баб + 62);
г)	(р - 1) (р2 - р + 1); д) (26 + 1) (462 + 6 + 1); е) (а - 5) (а2 + а + 25).
1087.	а) (х2 - ху + у2) (х + у + 2); б) (а2 + а 6 + 62) (а - 6 + 3);
в)	(а - 6) (а + 6) (а2 - ab + 62); г) (х + у) (х - у) (х2 + ху + у2).
VI	бүлек
1105. (6; 6). 1106. а = 3. 1107. а) 6,16; 6)-4,32. 1108. а) (1 +a)2(l -а);
б) (2-6)(2 + 6)2. 1115. -7,4. 1116. 11. 1118. а) 12; б) 26,5. 1119. а) -1;
б) 34∣. 1129. а) б) 7^. ИЗО. а) Юс3- 17с2 + 19с-40; б) 21m2+10m-8.
1131. а) (a + l)(a+x)(a-х); б) (6 + c)(6 + 3)(6 - 3). 1132. а) (2; 3); б) (3; -1).
1133.	а) (2; 5); б) (1; -2); в) (4; 2); г) (4,5; 7); д) (-23; -3); е) (7; -4,5).
1134.	а) (5; 2); б) (1; 6); в) (-20; -2); г) (-1,5; -35). 1135. а) и = -0,5; v = 02;
б) р = 3; <7 = 5; в) u = 4^;a = -l^; г) р = 2,25; q = -3,5. 1136. а) (-4; 3);
б) (-2; 7); в) (-10; 5); г) (-11; -4). 1137. а) (3; 0,5). 1138. а) (lp-2∣)ι
б) (-0,4; -7,2). 1139. а) (4,4; 1,72); б) (з |; -41). Ц40. а) (3i-∣)i
б) (-1J2) ; в) (-166; 34); г) (51 i ~ |) · И41. а) х = 7; у = 1; б) а = - 3; 6 = 1.
1142. а) х =-6; у = 4; б) a = 12; 6 =-2; в) т = 5; п = -3; г) х = -1;
у = -5. 1143. а) (-15; 12); б) (2; -1,5). 1144. а) 8x2+18y2j б) 24ху.
1145. а) x3(x - 2а)2; б) a4(2a - 36)2. 1147. а) (2; 1); б) (-8; -4); в) (60; 30);
г)	(2;	. 1148. а) (5; -2); б) (-3; 0); в) (-5; 10); г) (-3; -35). И49. а) ({; 0) ;
б) (-0,6; -2); в) а = -^; 6 = ; г) (2; 1); д) (^’"з)’ ^ = θ; 2 = - 7∙
1150.	а) х = -1; у = - 2; б) и = 3; υ = -10; в) х = -4; у = -1; г) a = 10; 6 = 5.
1151.	а) х = 100; у=\; б) a =6; и = 5; в) х = 0,4; у = ~02; г) a =0,1; 6 = 0,3.
220

1152.	a) p = l,6χ-3j б) у = 6х-23; в) р = -1,5х + 11; г) у = -2х - 7.
1153.	у = 22х + И. 1154. у = -1|х + 1|. 1155. у = -2∣x + 11. 1157. а) (7; -2);
б) (2; 1). 1158. а) х = 3; у = 4; б) т = 10; п = 12; в) х = 6; у = 20; г) и = 12; υ = 15.
1159. а) (9; 8); б) (-0,8; -0,8); в) (3; 4); г) (-1; 0). 1160. а) х = 15; у = 12;
б) и = -8; и = 6; в) х = 12; «/ = -12; г) а = 15; 6=10. 1162. д) 47(α-6)×
× (a + b) (a2 + ab + b2) (a2 ~ab + Ь2); е) 51 (α2 + b2) (а4 - a2b2 + b4). 1163. a) -10x - 1;
6)-6z∕+4. 1165. 37,5 һәм 25,5. 1166. 575 һәм 740 әйбер. 1167. 18 бригада.
1168. 15 йөк автомобиле. 1169. 18 трактор, 10 автомашина. 1170. 12 см.
1172. 8 һәм 12 т. 1173. 60 км/сэг. 1174. 9 һәм 5. 1175. 45 һәм 50 км/сәг.
1176. 80 һәм 60 км/сәг. 1177. 5 һәм 4,5 км/сәг. 1178. 18 км/сәг.
1179. 55 һәм 5 км/сәг. 1180. 33 һәм 22 китап. 1181. 60 һәм 42.
1182. 7,8 һәм 8,3 г/см3. 1183. 81. 1184. 37. 1185. 720 һәм 1200 га.
1186. 320 һәм 360 деталь. 1187. а) - За + 2; б) 26. 1188. в) (p2 + 2)(p4 - 2р2 + 4);
г)	(3~m2)(9+3m2 + m4). 1195. а) 3; б) 4. 1196. б) (1; 18); (2; 9); (3; 6); (6; 3);
(9; 2); (18; 1). 1197. (5; 37); (11; 31); (13; 29); (19; 23); (23; 19); (29; 13);
(31; 11); (37; 5). 1198. 9 яки 4. 1199. 91. 1200. а) Юк; б) әйе; (0; 9) ноктасында.
1202. 20. 1203.-0,88. 1213. (7; -2). 1214. а = -1,5. 1215. 6 = 2,5.
1216. k	= 1,5. 1223. а) х = 21; у = 25;	б) х	= 1; у = 10; в) у = 16; z = 21;
г)	х = 9;	у = 11;	д)	х = 10; у = 1; е) и =	-0,1;	α=0,2. 1224. а) (-0,25; 1);
б)	(-0,5;	1,5); в)	(7;	5); г) (4; 4). 1225. а)	х =	; у = 1]у ; б) т = -8; п = 5;
в)	х = 1;	у = 1;	г)	р = 2; <7=3· 1226.	а) х =-5; у = 3; б) u=0; υ=4.
1227. а) (5; -4); б), й), г) чишелешләре юк. 1233. 6 һәм 2 сәг.
1234. 3 һәм 2 сәг. 1235. 560, 600 га. 1236. 12 т ашлама, 8 т цемент.
1237. 120, 180 деталь. 1238. 40 һәм 60. 1239. 8 чабучы. 1240. 50 һәм 60 кг.
1241.	20, 15 деталь.
Авыррак мәсьәләләр
1242.	2, 3, 4, 5, 7 һәм 13. 1243. а) -4; 10; б) -11; 7; в) 2,5; 5,5; г) - 1,3; 13,3.
1246. 32% ка. 1247. 520, 572 һәм 440. 1248. 96, 120 һәм 168.
1249. 36 һәм 48. 1251. 12, 24, 36, 48. 1252. Бүленә. 1254. 77. 1256. 890.
12βO. 72. 1263. Беренче вакланма икенчесеннән зуррак. 1271. 264 - 1.
1276. а = 5; b = -2, с = 7, d = -9. 1278. х = 3, у = 2. 1279. а) х = 3, у = 4, г = 5;
б) х = -4, у = 1, 2 = 5. 1280. 729. 1281. 24 һәм 144, яки 48 һәм 120,
яки 72 һәм 96. 1283. 12 һәм 30 км/сәг. 1284. 18 һәм 10 яшь. 1285. 40 һәм
80 км/сәг. 1286. 15 км/сәг. 1287. 6 км, 7,2 км/сәг, 3,6 км/сәг.
1288. 114 кг га. 1289. 3 тапкыр.

Эчтәлек
I	БҮЛЕК АҢЛАТМАЛАР, БЕРДӘЙЛЕКЛӘР, ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР
§ 1. Аңлатмалар	 3
1.	Санлы аңлатмалар	 —
2.	Үзгәрешлеле аңлатмалар	 6
3.	Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштыру		10
§ 2. Аңлатмаларның рәвешен үзгәртү	 14
4.	Саннар өстендә гамәл үзлекләре 	 —
5.	Бердәйлекләр	 17
6.	Аңлатмаларның рәвешен бердәй үзгәртү	 19
§ 3. Бер үзгәрешлеле тигезләмәләр	 23
7.	Тигезләмә һәм аның тамырлары	 —
8.	Бер үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә	 26
9.	Тигезләмәләр ярдәмендә мәсьәләләр чишү		29
I	бүлеккә өстәмә күнегүләр 	 33
EZ∏ БҮЛЕК ФУНКЦИЯЛӘР
§ 4. Функцияләр һәм аларның графиклары		39
Ю. Функция нәрсә ул	 —
11.	Функциянең кыйммәтен формула буенча исәпләү 43
12.	Функциянең графигы	 46
§ 5. Сызыкча функция	 52
13.	Сызыкча функция һәм аның графигы	 —
14.	Туры пропорциональлек	 57
15.	Сызыкча функция графикларының үзара торышы 60
II	бүлеккә өстәмә күнегүләр	 65
III	БҮЛЕК НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ
§ 6. Дәрәҗә һәм аның үзлекләре	 70
16.	Натураль күрсәткечле дәрәҗә билгеләмәсе		—
17.	Дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлү	 75
18.	Тапкырчыгышны һәм дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәрү 79
§ 7. Бербуыннар	 83
19.	Бербуын һәм аның стандарт	рәвеше	 —
20.	Бербуыннарны тапкырлау. Бербуынны дәрәҗәгә
күтәрү			 85
21.	y = x2 һәм z∕ = x3 функцияләре һәм аларның
графиклары	 88
§ 8. Абсолют һәм чагыштырма хата	 94
22.	Абсолют хата	 —
23.	Чагыштырма хата	 97
III	бүлеккә өстәмә күнегүләр	 100
IV	БҮЛЕК КҮПБУЫННАР
§ 9. Күпбуыннарның суммасы һәм аермасы	106
24.	Күпбуын һәм аның стандарт рәвеше	 —
25.	Күпбуыннарны кушу һәм алу	 109
222

§ 10. Бербуын белән күпбуын тапкырчыгышы ...	113
26.	Бербуынны күпбуынга тапкырлау	 —
27.	Уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару ....	118
§ 11. Күпбуыннарның тапкырчыгышы	 123
28.	Күпбуынны күпбуынга тапкырлау	 —
29.	Күпбуынны группалау юлы белән
тапкырлаучыларга таркату	 127
30.	Бердәйлекләрне исбатлау 	 130
IV	бүлеккә өстәмә күнегүләр	 132
V	БҮЛЕК КЫСКАЧА ТАПКЫРЛАУ ФОРМУЛАЛАРЫ
§ 12. Сумманың квадраты һәм аерманың квадраты 140
31.	Ике аңлатманың суммасын һәм аермасын квадратка
күтәрү 	 —
32.	Сумманың квадраты һәм аерманың квадраты
формулалары ярдәмендә тапкырлаучыларга таркату 145
§ 13. Квадратлар аермасы. Кублар суммасы һәм
аермасы	 148
33.	Ике аңлатманың аермасын аларның суммасына
тапкырлау	 —
34.	Квадратлар аермасын тапкырлаучыларга	таркату	152
35.	Кублар суммасын һәм аермасын тапкырлаучыларга
таркату	 155
§ 14. Бөтен аңлатмаларны үзгәртү	 157
36.	Бөтен аңлатманы күпбуынга үзгәртү	 —
37.	Тапкырлаучыларга таркатуның төрле ысулларын
куллану	 160
38.	Бөтен аңлатмаларның рәвешен үзгәртүне	куллану	164
V	бүлеккә өстәмә күнегүләр 	 167
VI	БҮЛЕК СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР СИСТЕМАЛАРЫ
§ 15. Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр һәм
аларның системалары	 174
39.	Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр	 —
40.	Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәнең графигы 177
41.	Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр
системалары	 180
§ 16. Сызыкча тигезләмәләр системаларын чишү 184
42.	Алыштырып кую	ысулы	 —
43.	Кушу ысулы	 188
44.	Тигезләмәләр системалары ярдәмендә мәсьәләләр
чишү	 192
VI	бүлеккә өстәмә	күнегүләр	 195
Авыррак мәсьәләләр	  201
Тарихи мәгълүматлар	 205
V—VI сыйныфлар математика курсы буенча мәгълү¬
матлар 	 208
Атамалар күрсәткече	 213
Җаваплар	 214
223

Учебное издание
Макарычев Юрий Николаевич
Миндюк Нора Григорьевна
Нешков Константин Иванович
Суворова Светлана Борисовна
АЛГЕБРА
Учебник для 7 класса
татарской средней общеобразовательной школы
Казань. Издательство «Магариф». 2004
Перевод с русского на татарский язык
4-е издание
Уку-укыту басмасы
Макарычев Юрий Николаевич
Миндюк Нора Григорьевна
Нешков Константин Иванович
Суворова Светлана Борисовна
АЛГЕБРА
Татар урта гомуми белем бирү мәктәбенең
7 нче сыйныфы өчен дәреслек
Редакторы Л. X. Мөхаммәтҗанова
Бизәлеш редакторы Р. А. Сайфуллина
Техник редакторы Ә. С. Трофимова
Корректорлары Т. Н. Сәгъдуллина, Р. Ә. Файзуллина
Компьютерда биткә салучысы Р. Ф. Мөбәрәкж,анова
Оригинал-макеттан басарга кул куелды 06.08.2004.
Форматы 60×90l∕∣6∙ Офсет кәгазе. «Антиква» гарнитурасы.
Офсет басма. Басма табагы 14,0 + форз. 0,31.
Тиражы 15 000 д. Заказ К 4/147.
«Мәгариф» нәшрияты. 420111. Казан, Бауман урамы, 19.
Издательство «Магариф». 420111. Казань, ул. Баумана, 19.
Тел./факс (8432) 92-57-48.
http: / / magarif.kazan.ru.
E-mail: magarif@mail.ru
ДУП «Полиграфия-нәшрият комбинаты».
420111. Казан, Бауман урамы, 19.

∖