Елементарний підручник фізики. Том 1. Механіка. Теплота, Молекурна фізика - Ландсберг Г.С.

ЧАСТИНА 1. МЕХАНІКА
Розділ І. Кінематика

ЧАСТИНА 2. ТЕПЛОТА. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА
Розділ X. Теплове розширення твердих і рідких тіл.

Author: Ландсберг Г.С.

Tags: механіка підручник фізика молекулярна фізика

Year: 1968

Similar

Цікава хімія

Фiзична хiмiя

Проектування котелень. Промислових підприємств

Українська радянська енциклопедія Т.1

Text

ЕЛЕМЕНТАРНИЙ
ПІДРУЧНИК ФІЗИКИ
За редакцією
акад, Г. С. ЛАН ДС Б ЕРГ А
ТОМ І
МЕХАНІКА. ТЕПЛОТА.
МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА
ПЕРЕКЛАВ З П’ЯТОГО
ВИПРАВЛЕНОГО І ДОПОВНЕНОГО
РОСІЙСЬКОГО ВИДАННЯ
ВИДАВНИЦТВА «НАУКА»
КРИВОШЕЯ А. С.
ВИДАВНИЦТВО
«РАДЯНСЬКА ШКОЛА»
київ - 1968
53
Е45
Цей підручник допоможе читачам глибше зрозуміти основні поло-
ження фізики як науки, скласти правильне уявлення про фізичні
явища і теоретичні положення, ознайомитися з науковим методом
досліджень.
Книга складається з двох частин: «Механіка>, «Теплота. Молеку-
лярна фізика». У ній розглянуто основні поняття кінематики, дина-
міки і статики. Велику увагу приділено з'ясуванню питань роботи
і енергії в механічних явищах. Описано явища теплового розширення
твердих і рідких тіл, викладено принцип збереження енергії в механіч-
них і теплових процесах. Властивості газів, рідин і твердих тіл пояс-
нено на основі молекулярної теорії будови речовини. Розглянуто влас-
тивості пари і описано явища, зумовлені наявністю в атмосфері водя-
ної пари.
До окремих параграфів подано запитання і задачі, на які в кінці
книги є відповіді.
от
_________6—5________
№ 14—БЗ № 11—1968
ХАРКІВСЬКА ДРУКООФСЕТНА ФАБРИКА
ЗМІСТ
Від редакції.......................................................... 12
З передмови до першого російського видання 13
Передмова до другого російського видання ................................17
Вступ................................................................... 19
ЧАСТИНА ПЕРША
МЕХАНІКА
Розділ І. Кінематика.............................................. 23
§ 1. Рух тіл............................................... 23
§ 2. Кінематика. Відносність руху і спокою................. 25
§ 3. Траєкторія руху............... .....................
§ 4. Поступальний і обертальний рух тіла .................
§ 5. Рух точки.......... .................................
§ 6. Описання руху точки .................................
§ 7. Вимірювання довжини..................................
§ 8. Вимірювання проміжків часу...........................
§ 9. Рівномірний рух і його швидкість.....................
§ 10. Знак швидкості ...............
§ 11. Одиниці швидкості...................................
§ 12. Графіки залежності шляху від часу...................
§ 13. Графіки залежності швидкості від часу...............
§ 14. Нерівномірний рух...................................
§ 15. Миттєва швидкість . .............................
§ 16. Прискорення ........................................
§ 17. Швидкість рівномірно-прискореного руху .............
§ 18. Від’ємне прискорення ...............................
§ 19. Графіки швидкості при рівномірно-прискореному русі . .
§ 20. Графіки швидкості при будь-якому нерівномірному русі. .
§ 21. Знаходження шляху, пройденого при нерівномірному русі,
за допомогою графіка швидкості..............................
§ 22. Шлях, пройдений при рівномірно-прискореному русі . .
§ 23. Вектори .... ......................
§ 24. Розкладання вектора на складові.....................
§ 25. Криволінійний рух...................................
§ 26. Вектор швидкості криволінійного руху ...............
§ 27. Прискорення при криволінійному русі.................
§ 28. Рух відносно різних систем відліку..................
§ 29. Кінематика космічних рухів..........................
С© с*. Сі Сі 00 Ш Г? Сі О СЧ <© І4* Сі СЧ ОО Г- г*. Сі ОО ІЛ ІЛ С© Сі о
СЧ СЧ СЧ СЧ СО СО 00 СО ТГ ’ф тг тг ТГ і© Щ і© і© і© і© і© і© Ю Ю ю Ю го Г*»
4
ЗМІСТ
Розділ II. Динаміка
74
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
ЗО. Завдання динаміки..................................
31. Закон інерції .............................
32. Інерціальні системи відліку .......................
33. Принцип відносності Галілея........................
34. Сили ........................
35. Зрівноважувальні сили. Про спокій тіла і про рух з інерції
36. Сила — вектор. Еталон сили ....
37. Динамометри ..........................
38. Точка прикладання сили...................Г.........
39. Рівнодійна сила ...........................
40. Додавання сил, напрямлених по одній прямій ....
41. Додавання сил, напрямлених під кутом одна до одної .
42. Зв’язок між силою і прискоренням...................
43. Маса тіла . . ... . ..............
44. Другий закон Ньютона.................................
45. Одиниці сили і маси................................
46. Про системи одиниць..................................
47. Третій закон Ньютона.................................
48. Приклади застосування третього закону Ньютона ....
49. Імпульс тіла ...
50. Система тіл. Загальний закон збереження імпульсу
51. Застосування закону збереження імпульсу .............
52. Вага тіла . . ..................
53. Вільне падіння тіл ................................
54. Прискорення вільного падіння.........................
55. Падіння тіла без початкової швидкості і рух тіла, кину-
того вертикально вгору ... ...
56. Маса і вага .......................................
57. Густина і питома вага.......... .....................
58. Походження деформацій .............................;
59. Деформації в тілах, що перебувають у спокої, спричинені
дією тільки сил, що виникають при зіткненні ...
60. Деформації в тілах, що перебувають у спокої, спричинені
силою тяжіння
61. Деформації тіла, яке зазнає прискорення . ...
62. Зникнення деформацій при падінні тіл ................
63. Руйнування рухомих тіл........... ...................
64. Сили тертя ...............................
65. Тертя кочення . .............................
66. Роль сил тертя ....................................
67. Опір середовища....................................
68. Падіння тіл у повітрі................................
74
74
77
77
78
80
81
83
86
87
87
89
90
92
94
97
99
102
105
107
108
109
111
113
114
118
119
120
121
123
125
127
128
133
133
Р о 8 д і л III. Статика
136
§ 69. Завдання статики . 136
§ 70. Абсолютно тверде тіло.......................137
§ 71. Перенесення точки прикладання сили, яка діє на тверде
тіло 139
§ 72. Рівновага тіла під дією трьох сил 140
§ 73. Розкладання сил на складові ....................142
§ 74. Проекції сил. Загальна умова рівноваги ........ 143
§ 75. Зв’язки. Реакції зв’язку. Тіло, закріплене на осі . . . . 145
§ 76. Рівновага тіла, закріпленого на осі .......... . 147
ЗМІСТ
5
§ 77. Момент сили..........................................
§ 78. Вимірювання момента сили................,...........
§ 79. Пара сил .............................
§ 80. Додавання паралельних сил. Центр ваги ..............
§ 81. Визначення центра ваги тіл ...........
§ 82. Різні випадки рівноваги тіла під дією сили тяжіння .
§ 83. Умови стійкої рівноваги під дією сили тяжіння
§ 84. Прості машини..............• . ...........
§ 85. Клин і гвинт .......................................
148
151
152
153
155
158
161
163
169
Розділ IV. Робота і енергія...................................................173
§ 86. «Золоте правило» механіки........................................173
§ 87. Застосування «золотого правила» ................................ 174
§ 88. Робота сили.................................................... 175
§ 89. Робота при переміщенні, перпендикулярному до напряму
сили.................................................................... 176
§ 90. Робота сили, напрямленої під будь-яким кутом до перемі-
щення .................................................................. 177
§ 91. Додатна і від’ємна робота .................................178
§ 92. Одиниці роботи .......................................178
§ 93. Про рух по горизонтальній площині......................... 179
§ 94. Робота сили тяжіння при русі по похилій площині . . . 180
§ 95. Принцип збереження роботи....................... .... 181
§ 9Ь. Енергія ... . ..............................182
§ 97. Потенціальна енергія.............................................184
§ 98. Потенціальна енергія пружної деформації..........................186
§ 99. Кінетична енергія................................................187
§ 100. Подання кінетичної енергії через масу і швидкість рухо-
мого тіла.............................................. 188
§ 101. Повна енергія тіла...............................................189
§ 102. Закон збереження енергії....................................... 190
§ 103. Сили тертя і закон збереження механічної енергії .... 193
§ 104. Перетворення механічної енергії у внутрішню енергію . 194
§ 105. Загальний характер закону збереження енергії..............196
§ 106. Потужність .................................................... 197
§ 107. Розрахунок потужності механізмів.................................199
§ 108. Потужність, швидкохідність і розміри механізму ... 199
§ 109. Коефіцієнт корисної дії механізмів . . •....... 201
Розділ V. Криволінійний рух...............................................203
§ ПО. Виникнення криволінійного руху...................................203
§ 111. Другий закон Ньютона при криволінійному русі .... 204
§ 112. Рух тіла, кинутого горизонтально . , .... 205
§ 113. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту .208
§ 114. Політ куль і снарядів . .211
§ 115. Кутова швидкість.................................................214
§ 116. Сили при рівномірному русі по колу....215
§ 117. Виникнення сили, яка діє на тіло, що рухається по колу 217
§ 118. Розрив маховиків.................................................219
§ 119. Деформація тіла, яке рухається по колу. Доцентрова
і відцентрова сили...........................................221
§ 120. «Американські гори»..............................................223
§ 121. Рух на закругленнях шляху ........225
6
ЗМІСТ
§ 122. Рух підвішеного тіла по колу............................ 227
§ 123. Рух планет................ ........................... 228
§ 124. Закон всесвітнього тяжіння ..............................232
§ 125. Штучні супутники Землі .............................235
Розділ VI. Рух у неінерціальних системах відліку і сили інерції . 241
§ 126. Роль системи відліку ................................. 241
§ 127. Рух відносно різних інерціальних систем відліку . . . . 241
§ 128. Рух відносно інерціальної і неінерціальної систем відліку 242
§ 129. Чи е Земля інерціальною системою відліку?........... 245
§ 130. Неінерціальні системи, які рухаються поступально . . . 245
§ 131. Сили інерції ... ............247
§ 132. Еквівалентність сил інерції і сил тяжіння .............248
§ 133. Невагомість і перевантаження , ......... 251
§ 134. Обертові системи відліку...............................253
§ 135. Сили інерції при русі тіла відносно обертової системи
відліку .... . . 256
§ 136. Доведення обертання Землі . 257
§ 137. Припливи ............................................. 259
Розділ VII. Гідростатика
§ 138. Рухливість рідини....................................
§ 139. Сили тиску ..........................................
§ 140. Вимірювання стисливості рідини....................
§ 141. «Нестислива» рідина .............
§ 142. Сили тиску в рідині передаються в усі сторони . . .
§ 143. Напрям сил тиску ....................................
§ 144. Тиск .................................
§ 145. Мембранний манометр..................................
§ 146. Незалежність тиску від напряму площадки..............
§ 147. Одиниці тиску ................
§ 148. Визначення сил тиску за тиском....................
§ 149. Розподіл тиску всередині рідини .... . • . .
§ 150. Закон Паскаля ........ ............
§ 151. Гідравлічний прес ...................................
§ 152. Рідина під дією сили тяжіння.........................
§ 153. Сполучені посудини .....................
§ 154. Рідинний манометр ................ ...............
§ 155. Будова водопроводу. Нагнітальний насос............
§ 156. Сифон ................... ........................
§ 157. Сила тиску на дно посудини ..........................
§ 158. Тиск води в морських глибинах........................
§ 159. Міцність підводного човна ...........................
§ 160. Закон Архімеда .........................
§ 161. Вимірювання питомої ваги тіл на підставі закону Архі-
меда .............. .....................
§ 162. Плавання тіл......................................
§ 163. Плавання несуцільних тіл.............................
§ 164. Стійкість плавання кораблів.......................
§ 165. Спливання бульбашок...............................
§ 166. Тіла, які лежать на дні посудини .................
261
261
262
264
264
265
265
266
267
267
268
269
270
270
272
273
277
280
281
282
284
286
290
291
295
296
298
300
302
302
ЗМІСТ
7
Розділ VIII. Аеростатика 304
§ 167. Механічні властивості газів ...........................304
§ 168. Атмосфера . 305
§ 169. Тиск атмосфери...................306
§ 170. Інші досліди, які показують існування атмосферного
тиску ... ........... . ... 308
§ 171. Розріджувальні насоси..................................311
§ 172. Вплив атмосферного тиску на рівень рідини в трубці . 311
§ 173. Максимальна висота стовпа рідини ... .... 313
§ 174. Дослід Торрічеллі, ртутний барометр і барометр-ане-
роїд....................................................... 315
§ 175. Розподіл атмосферного тиску за висотою.................318
§ 176. Фізіологічна дія зниженого тиску повітря ..............320
§ 177. Закон Архімеда для газів ............... 321
§ 178. Повітряні кулі і дирижаблі............................ 321
§ 179. Застосування стисненого повітря у техніці............. 324
Розділ IX. Гідродинаміка і аеродинаміка.............................325
§ 180. Тиск у рухомій рідині................................ 325
§ 181. Течія рідини по трубах. Тертя рідини.................329
§ 182. Закон Бернуллі ..................... 332
§ 183. Рідина в неінерціальних системах відліку...............324
§ 184. Реакція рухомої рідини і її використання............. 336
§ 185. Переміщення по воді............. .................... 339
§ 186. Ракети 341
§ 187. Реактивні двигуни............... 342
§ 188. Балістичні ракети......... . .............343
§ 189. Злітання ракети з Землі. .....345
§ 190. Опір повітря. Опір води............................... 345
§ 191. Ефект Магнуса і циркуляція............................ 349
§ 192. Підіймальна сила крила і політ літака................ 351
§ 193. Турбулентність у потоці рідини або газу............... 354
§ 194. Ламінарна течія .............................. 356
ЧАСТИНА ДРУГА
ТЕПЛОТА. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА
Розділ X. Теплове розширення твердих і рідких тіл..........357
§ 195. Теплове розширення твердих і рідких тіл ..........357
§ 196. Термометри . ....... ................. 361
§ 197. Формула лінійного розширення.....................363
§ 198. Формула об’ємного розширення ....................366
§ 199. Зв’язок між коефіцієнтами лінійного і об’ємного розширень 367
§ 200. Вимірювання коефіцієнта об’ємного розширення рідини . 367
§ 201. Особливості розширення води . .................. 368
Розділ XI. Робота. Теплота. Принцип збереження енергії.......370
§ 202. Зміна стану тіл...................................370
§ 203. Вимірювання нагрівання тіл при виконанні роботи ... 371
§ 204. Другий спосіб зміни внутрішньої енергії тіл — теплопе-
редавання . .................... . . 373
§ 205. Калорія ...........•..............................374
8
ЗМІСТ
§ 206. Залежність внутрішньої енергії тіла від його маси і речо-
вини ............ . . . 375
§ 207. Теплоємність тіла.................................. 376
§ 208. Питома теплоємність .................................. 377
§ 209. Калориметр. Вимірювання теплоємностей .................378
§ 210. Принцип збереження енергії ...........380
§ 211. Неможливість «вічного двигуна» ........................382
§ 212. Різні види процесів, при яких передається теплота . 383
Розділ XII. Молекулярна теорія 387
§ 213. Молекули і атоми......................................387
§ 214. Розміри атомів і молекул............................. 388
§215. Мікросвіт ........................................... 389
§ 216. Внутрішня енергія з точки зору молекулярної теорії 390
§ 217. Молекулярний рух . 391
§ 218. Молекулярний рух у газах, рідинах і твердих тілах . 392
§ 219. Броунівський рух............... ...................393
§ 220. Молекулярні сили . ,.................................394
Розділ XIII. Властивості газів......................................397
§ 221. Тиск газу..............................................397
§ 222. Залежність тиску газу від температури ................ 399
§ 223. Формула, яка виражає закон Шарля ...... 400
§ 224. Закон Шарля з точки зору молекулярної теорії . . . 400
§ 225. Зміна температури газу при зміні його об’єму. Адіабатич-
ні та ізотермічні процеси . . ...........401
§ 226. Закон Бойля — Маріотта ................................403
§ 227. Формула, яка виражає закон Бойля — Маріотта .... 405
§ 228. Графік, який виражає закон Бойля — Маріотта.......406
§ 229. Залежність між густиною газу і його тиском ............407
§ 230. Молекулярне тлумачення закону Бойля—Маріотта . . . 408
§ 231. Зміна об’єму газу при зміні температури . 409
§ 232. Закон Гей-Люссака ..... 409
§ 233. Графіки, які виражають закони Шарля і Гей-Люс-
сака ....................................................... 411
§ 234. Абсолютна температура................................. 411
§ 235. Газовий термометр .................................. 413
§ 236. Об’єм газу і абсолютна температура 414
§ 237. Залежність густини газу від температури ...............414
§ 238. Об’єднаний закон газового стану....................... 415
§ 239. Закон Дальтона ....................................... 416
§ 240. Густини газів.................•....................... 417
§ 241. Закон Авогадро.........................................418
§ 242. Грам-молекула. Число Авогадро ........................ 419
§ 243. Швидкості молекул газу 420
§ 244. Про один спосіб вимірювання швидкостей руху молекул
газу (Дослід Штерна) . ........... 424
§ 245. Теплоємність газів ........................425
§ 246. Молярні теплоємності ..........................427
§ 247. Правило Дюлонга і Пті .................................427
ЗМІСТ
Розділ XIV. Властивості рідин .................429
§ 248. Будова рідин ..............................429
§ 249. Поверхнева енергія .................................. 430
§ 250. Поверхневий натяг . . •...............................434
§ 251. Рідинні плівки ..................................... 437
§ 252. Залежність поверхневого натягу від температури . . . 439
§ 253. Змочування і незмочування . . 439
§ 254. Розміщення молекул біля поверхні тіл . .......442
§ 255. Значення кривизни вільної поверхні рідини .... 445
§ 256. Капілярні явища . . 447
§ 257. Висота піднімання рідини в капілярних трубках . . . 449
§ 258. Адсорбція ...................................... .... 459
§ 259. Флотація .............................................452
§ 260. Розчинення газів.....................................453
§ 261. Взаємне розчинення рідин.............................456
§ 262. Розчинення твердих тіл у рідинах ................... 459
Розділ XV. Властивості твердих тіл. Перехід тіл з твердого стану
в рідкий і навпаки...............................................458
§ 263. Вступ .............................................. 453
§ 264. Кристалічні тіла................................... 459
§ 265. Аморфні тіла.........................................462
§ 266. Кристалічна решітка ... . 463
§ 267. Кристалізація .... ................466
§ 268. Плавлення і тверднення . . ............467
§ 269. Теплота плавлення . .... .........468
§ 270. Переохолодження ................................... 470
§271. Зміна густини речовини при плавленні ............... 471
§ 272. Полімери ..... ............472
§ 273. Сплави............................................. 475
§ 274. Тверднення розчинів ... ............476
§ 275. Охолодні суміші..................................... 477
§ 276. Зміни твердого тіла................................. 478
Розділ XVI. Пружність і міцність ....................480
§ 277. Вступ ... .... ................. 480
§ 278. Пружні і пластичні деформації..........................480
§ 279. Закон Гука.................. .........................481
§ 280. Розтяг і стиск .....................................482
§ 281. Зсув 484
§ 282. Кручення ...............................................485
§ 283. Згин ................................................. 487
§ 284. Міцність..................... ...................... 489
§ 285. Твердість.............................................. 490
§ 286. Що відбувається при деформації тіл? ...................491
§ 287. Зміна енергії при деформації тіл ......................492
Розділ XVII. Властивості пари..........................................493
§ 288. Вступ................................................ 493
§ 289. Пара насичуюча і ненаспчуюча........................493
§ 290. Що відбувається при зміні об’єму суміші рідини і наси-
чуючої пари?................................................ 495
10
зміст
§ 291. Закон Дальтона для пари ............................. 496
§ 292. Молекулярна картина випаровування ................... 497
§ 293. Залежність тиску насичуючої пари від температури . 498
§ 294. Кипіння .... 500
§ 295. Теплота випаровування ........................ ... 504
§ 296. Охолодження при випаровуванні........................ 506
§ 297. Зміна внутрішньої енергії при переході речовини з рідко-
го стану в пароподібний . 507
§ 298. Випаровування при кривих поверхнях рідини . . . 508
§ 299. Перегрівання рідини . . . ... 509
§ 300. Пересичення пари .................................... 510
§ ЗОЇ. Насичення пари при сублімації........................ 511
§ 302. Перетворення газів у рідини.......................... 512
§ 303. Критична температура ................................ 513
§ 304. Зрідження газів у техніці............................ 516
§ 305. Вакуумна техніка .................................... 519
§ 306. Водяна пара в атмосфері......................... . . 520
Розділ XVIII. Фізика атмосфери 523
§ 307. Атмосфера............................................ 523
§ 308. Тепловий баланс Землі................................ 523
§ 309. Адіабатичні процеси в атмосфері ... . . 525
§ 310. Хмари.............................................. 526
§ 311. Штучні опади.........................• .... 529
§ 312. Вітер............................................ 529
§ 313. Завбачення погоди.....................................530
Розділ XIX. Теплові машини.........................................532
§ 314. Умови, які потрібні для роботи теплових двигунів . . . 532
§ 315. Паросилова станція .... . 533
§ 316. Паровий котел . 534
§ 317. Парова турбіна .......................................535
§ 318. Поршнева парова машина................................537
§ 319. Конденсатор . . 539
§ 320. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна........ 539
§ 321. Коефіцієнт корисної дії паросилової станції...........540
§ 322. Бензиновий двигун внутрішнього згоряння ............. 542
§ 323. Коефіцієнт корисної дії двигуна внутрішнього згоряння 546
§ 324. Двигун Дізеля......................... ... 547
§ 325. Реактивні двигуни......................... . . 548
§ 326. Вогнепальна зброя.................................... 549
§ 327. Передавання теплоти від холодного тіла до гарячого 550
Відповіді до вправ.................................................553
Список таблиць
1. Густина деяких речовин.................................... 119
2. Відомості про планети................................. . 229
3. Коефіцієнти лінійного розширення деяких матеріалів . . 364
4. Коефіцієнти об’ємного розширення деяких рідин при 20°С 368
5. Питомі теплоємності деяких речовин . .................380
6. Коефіцієнти теплопровідності деяких речовин................384
ЗМІСТ
11
7. Густини деяких газів....................................418
8 Середні швидкості молекул деяких газів...................422
9. Питомі теплоємності деяких газів при сталому тиску і ста-
лому об’ємі .............................................. 426
10. Питомі теплоємності деяких твердих речовин..............428
11. Поверхневий натяг деяких рідин ................436
12. Залежність поверхневого натягу води від температури . . 439
13а . Розчинність у воді деяких газів при різних температурах . 455
136. Розчинність у воді деяких речовин при різних темпе-
ратурах ..... 457
14. Точки плавлення деяких речовин ......................... 468
15. Теплота плавлення деяких речовин.........................469
16. Руйнівне навантаження деяких матеріалів..................490
17. Тиск насичуючої пари води і ртуті при різних температурах 499
18. Точки кипіння деяких рідин ............................ 502
19. Теплота випаровування різних рідин.......................506
20. Тиск насичуючої пари над переохолодженою водою і над
льодом ......................................... . ... 512
21. Властивості води і її насичуючої пари при різних темпера-
турах .................................................... 514
22. Критичні температури і критичні тиски деяких речовин . . 514
23. Тиск насичуючої пари води і абсолютна вологість повітря
залежно від температури............................. . 520
24. Калорійність різних сортів палива.......................539
ВІД РЕДАКЦІЇ
5-те видання першого тома «Елементарного під-
ручника фізики» за редакцією акад. Г. С. Ландсбер-
га виходить у частково переробленому вигляді. Вве-
дено новий розділ: «Рух у неінерціальних системах
відліку і сили інерції» (розд. VI), розширено виклад
закону всесвітнього тяжіння, законів руху планет
і штучних супутників. Деякі доповнення і редакційні
зміни зроблено і в інших розділах першої частини
(«Механіка») цього тома. Розділи І—VI переробив
проф. С. Е. Хайкін, розділи VII—IX — проф.
М. А. Ісакович. Друга частина («Теплота. Молеку-
лярна фізика») залишилася без змін. Відредагував
це видання першого тома М. А. Ісакович.
З ПЕРЕДМОВИ ДО ПЕРШОГО РОСІЙСЬКОГО ВИДАННЯ
Назва «Елементарний підручник фізики», яку ми вирішили
дати цій книзі, відбиває прагнення дати підручник, придатний
для ознайомлення з елементами фізики як науки. Це — завдання,
до виконання якого треба прагнути при викладанні в старших
класах загальноосвітньої середньої школи, так само як і в техні-
кумах або в спеціальних середніх школах. Тому ми сподіваємось,
шо ця книга може бути використана як основний підручник фізи-
ки в усіх таких школах, бо принципові установки, покладені в її
основу, справедливі для середньої школи* будь-якого типу.
Ці установки надають нашій книзі деяких особливостей, які
відрізняють її від наявних підручників середньої школи. Ці особ-
ливості потребують пояснень, що може цікавити головним чином
викладачів. Саме для них і призначена ця передмова.
У викладачів вищої школи склалося сумне переконання, що
знання з фізики, з якими приходять учні з середньої школи, сто-
ять на зовсім незадовільному рівні. Нас турбує не стільки недо-
статність фактів і теоретичних уявлень, які мають учні, скільки
відсутність зрозумілого і правильного судження про їх співвід-
ношення. Учні часто погано орієнтуються в тому, що покладено
в основу як означення, що є результатом досліду, на що слід
дивитись як на теоретичне узагальнення цих дослідних знань.
Нерідко нові факти розцінюються як самоочевидні наслідки,
і тому все глибоке значення цих фактів залишається неусвідом-
леним, або, навпаки, різні формулювання тих самих понять
сприймаються як різні закономірності.
Звичайно, за обсягом викладуваного матеріалу, за глибиною
викладу, за систематичним використанням більш або менш
складного математичного апарату викладання у вищій школі
істотно відрізняється від викладання на більш ранніх ступенях.
Проте й на цих ступенях викладати фізику треба саме як науку
(або вступ до неї), а не як сукупність окремих фактів. Інакше
кажучи, на базі фактичного матеріалу в свідомість учнів повинно
проникати чітке уявлення про науковий метод, характерний для
фізики. Само собою зрозуміло, не виникає ніяких суперечок про
14
З ПЕРЕДМОВИ ДО ПЕРШОГО РОСІЙСЬКОГО ВИДАННЯ
те, що цей метод е методом експериментальним. Нікому не спаде
на думку заперечувати, що фізика е дослідною наукою і що її
закони розкривають за допомогою досліду. Проте часто в під-
ручниках ці твердження мають характер декларацій, яким від-
ведено місце на перших сторінках. А в дальшому дослід викорис-
товують переважно для ілюстративних цілей, і та обставина, що
фізичні поняття якнайтісніше зв’язані з дослідом, випадає з ува-
ги учнів. А тим часом конче потрібно, щоб учні усвідомили, що
означення, які формулюються логічно, наповнюються змістом
тільки за допомогою досліду, за допомогою вимірювань. Усяке
поняття, яке вводять у фізику, набуває конкретного змісту тільки
при умові, що з ним пов’язаний певний прийом спостереження
і вимірювання, без якого це поняття не може знайти ніякого
застосування в дослідженні реальних фізичних явищ.
Розглянемо, наприклад, найпростіше поняття рівномірного
руху. Питання про рівномірність певного руху розв’язується
залежно від методу спостереження. Деякий рух, наприклад рух
поїзда, ми маємо право розглядати як рівномірний, якщо засто-
совуємо грубі методи спостереження відрізків шляху і проміжків
часу; той самий рух може бути нерівномірним при тонших мето-
дах. Якщо при вибраному методі спостереження рух задовольняє
встановлене означення рівномірності, то, отже, до нього застосов-
ні всі закони рівномірного руху і справедливі всі висновки та
розрахунки з точністю, яка відповідає методу вимірювання.
Чітке розуміння цього експериментального характеру фізич-
них законів має дуже велике значення: воно робить фізику нау-
кою про природу, а не системою умоглядних побудов; з другого
боку, воно прищеплює думку про межі застосовності встановле-
них фізичних законів, теорій, які на них грунтуються, і відкриває
перспективи дальшого розвитку науки.
Не менш важливу роль на перших кроках навчання відіграє
правильне уявлення про схематизацію виучуваних явищ, її зміст
і цінність. І що до цього, то, звичайно, будь-який викладач або
укладач підручника визнає потребу схематизації і широко корис-
тується нею. Проте часто така схематизація заходить дуже
далеко.
Правильний зміст схематизації полягає в тому, щоб знехту-
вати рисами явища, неістотними для розглядуваного комплексу
питань, але зберегти те, що потрібно. У цьому розумінні те саме
явище можна схематизувати по-різному, залежно від того, який
бік справи вивчаємо. Більше того, при правильній схематизації
ми нерідко можемо опустити одні риси явища, зберігши інші, які,
здавалося б, з ними нерозривно зв’язані. Однією з дуже поши-
рених і корисних схематизацій у механіці є, наприклад, уявлення
про абсолютно тверде тіло або про нестисливу рідину. Ці схема-
З ПЕРЕДМОВИ ДО ПЕРШОГО РОСІЙСЬКОГО ВИДАННЯ
15*
тизації потрібні при вивченні широкого комплексу механічних
питань, в яких величина деформації не відіграє істотної ролі і де-
можна абстрагуватися від змін розмірів та форми тіл. Але дефор-
маціями зумовлені напруги, які виникають у деформованому тілі
і відіграють істотну роль у динаміці явищ. Тому схематизоване-
уявлення про абсолютно тверде тіло як таке, в якому немає
деформацій, якщо цим уявленням користуватись без усяких
застережень, позбавляє фізичного змісту найелементарніші
питання механіки. Треба чітко встановити, що ми нехтуємо
деформаціями твердого тіла або рідини, але враховуємо ті напру-
ги, які виникають у такому схематизованому тілі при деформа-
ціях і які пояснюють увесь комплекс спостережуваних явищ. Без
чіткого уявлення про це ми не можемо зрозуміти найелементар-
ніших явищ, не можемо, наприклад, дати відповіді на питання,
чому тягар нерухомо лежить на столі, хоч на нього діє сила
тяжіння, бо не видно, що поряд з цією силою на тягар діє і друга
сила пружної напруги стола, яка зрівноважує її.
Введення в науку і викладання таких схематизованих понять
треба здійснювати дуже обережно. При правильному викорис-
танні цих понять вони дуже корисні і можуть значною мірою*
полегшити і формулювання закономірностей, і проведення роз-
рахунків. Але недомовленість або неточність у користуванні
такими поняттями може призвести до найголовнішої небезпеки,
з якою пов’язане викладання: до утворення уявлень, які гальму-
ватимуть дальше глибше розуміння. Прикладом може бути кори-
стування уявленнями про магнітний полюс або геометричний
промінь. Використання цих понять, безперечно, цінне, і було б
нераціонально відмовлятися від їх використання. Але потрібні
особлива обережність і старанне з’ясування суті справи для того,
щоб уникнути шкоди, якої вони можуть завдати. Багато хто
з нас, кому доводиться відповідати на запити або давати оцінки
винаходам, знають, до яких непорозумінь може призводити,
наприклад, упевненість у безпомилковості геометричної оптики,
яка грунтується на неправильному розумінні корисного поняття
геометричного променя.
* *
♦
Викладання в середній школі, як, до речі, і всяке інше викла-
дання, не може бути, звичайно, вичерпним. Однак його треба
будувати так, щоб у дальшому учень міг і повинен був би доучу-
ватись , але ніколи не був би змушений переучуватись. Уникнути
цієї найголовнішої небезпеки—ось мета, яку повинні ставити
перед собою укладачі підручника. Щоб досягти її, треба старан-
но уникати методологічних і методичних похибок, подібних до
перелічених вище.
16
З ПЕРЕДМОВИ ДО ПЕРШОГО РОСІЙСЬКОГО ВИДАННЯ
Прагнення створити таку книгу і керувало колективом фізи-
ків, які взялися за складання цього «Елементарного підручника
фізики». Саме ці міркування, а не прагнення істотно змінити
фактичний матеріал відігравали визначальну роль. Тому в цій
книзі часто відводиться досить багато місця тим «простим» питан-
ням, які звичайно можна викласти в кількох рядках. Переважно
завдяки цьому підходу, а зовсім не за рахунок збільшення фак-
тичного матеріалу, ця книга набула розмірів, які дещо переви-
щують загальновживані.
Г. С. Ландсберг
Москва, 29 червня 1948 р.
ПЕРЕДМОВА ДО ДРУГОГО РОСІЙСЬКОГО ВИДАННЯ
Ми почали підготовляти 2-ге видання «Елементарного підруч-
ника фізики» після того, як цією книгою близько п’яти років
користувалися вчителі і учні середньої школи. За цей час з’ясу-
валося, що «Підручник» певним чином вплинув на викладання
фізики і дав певну користь, особливо тим учням, для яких фізика
була найважчим предметом. Це підтвердило нашу думку, що
загальний характер книги, незважаючи на її значний обсяг і від-
носну трудність, повинен бути збережений. Тому ми не ставили
своїм завданням значно переробити книгу і обмежились порівня-
но невеликими змінами, пов’язаними частково з потребою вра-
хувати нове в науці і техніці, частково виходячи з методичних
міркувань. При цій переробці нам були корисні деякі відзиви на
нашу книгу, особливо грунтовна рецензія М. І. Блудова, якому
ми виносимо нашу подяку.
У першій частині цього тома, крім численних редакційних
змін, ми докладніше спинилися на понятті маси і ввели ряд
питань, пов’язаних з новинками в літакобудуванні. Значно біль-
ших змін зазнала друга частина — «Теплота. Молекулярна
фізика». Зберігаючи основний зміст цієї частини — вчення про
внутрішню енергію систем, ми трохи змінили розташування роз-
ділів, розмістивши розділ про основи молекулярної теорії
перед розділом, присвяченим властивостям газів, і відповідно
переробивши їх обидва. Така послідовність, очевидно, сприятиме
підвищенню ролі теоретичних уявлень при вивченні законів явищ,
не відриваючи водночас теорію від експерименту. Багато пара-
графів зазнали більш або менш значної переробки, написано ряд
нових параграфів (про передавання теплоти, про аморфні тіла,
полімери, реактивні двигуни, холодильні машини, включаючи
пояснення дії поширеного побутового холодильника, який працює
за принципом конденсації). А. X. Хргіан і М. А. Колосов наново
написали розділ «Фізика атмосфери», який замінив розділ
«Метеорологія» першого видання. Багато рисунків книги зроб-
лені наново або значно змінені. Змінено і склад вправ, причому
скорочено кількість суто обчислювальних вправ і збільшено
2 7-103
18
ПЕРЕДМОВА ДО ДРУГОГО РОСІЙСЬКОГО ВИДАННЯ
кількість вправ, які сприяють з’ясуванню предмета. У відповідях
іноді подано досить докладні пояснення.
Авторський колектив залишився попереднім: частину першу
«Механіка» написали С. Е. Хайкін (за участю А. Г. Калашнико-
ва) і М. А. Ісакович; частину другу «Теплота. Молекулярна фізи-
ка» склали М. О. Леонтович і Д. І. Сахаров.
Основну роботу по редагуванню виконали М. А. Ісакович
(перша частина) і Д. І. Сахаров (друга частина). Велику допо-
могу в редакційній роботі подала Є. Л. Старокадомська. Загаль-
не редагування, як і раніше, виконав я.
Гр. Ландсберг
Москва, 3 червня 1956 р.
ВСТУП
Знання, здобуті в школі, з книг, спостереження над навко-
лишнім життям, зокрема відомості про потужність сучасної про-
мисловості, яка вражає наше уявлення, — усе це ставить перед
розумом школяра питання: як людина, з її невеликими фізични-
ми силами, з її недосконалими органами чуття, які дають змогу
безпосередньо спостерігати тільки дуже обмежене коло явищ,
зуміла створити сучасну техніку з її величезними можли-
востями, які далеко перевищили вимисли Жюля Берна?
Майже кожний з нас, не задумуючись, дасть відповідь на
це питання: це чудо зробила наука про природу. Зокрема,
фізична наука відіграє в цих досягненнях людини надзвичайно
важливу роль.
Які ж засоби має фізична наука для завоювання влади над
світом?
Насамперед зрозуміло, що фізика має справу з явищами
реального світу і, отже, перший крок для набуття знань про ці
явища повинен полягати в спостереженнях.
Проте наукове спостереження — це далеко не просте завдан-
ня. Простежимо, наприклад, за тим, як падають тіла. Легко вия-
вити, що тіло, кинуте з невеликої висоти, слабко ударяється об
землю, а при падінні з великої висоти поштовх може бути значно
більшим і може навіть призвести до руйнування падаючого тіла.
Однак спостереження над краплинами дощу не виявляють щодо
удару помітної різниці між падінням краплин з низьких і високих
хмар. Усі знають, що льотчик, який випав з літака, розбивається
насмерть, а льотчик, який стрибнув з парашутом навіть з великої
висоти, плавно приземлюється. З другого боку, авіабомби, особ-
ливо важкі, ударяються з величезною силою, часто пробиваючи
багатоповерхові будинки. Таким чином, порівняно просте явище
падіння може відбуватися по-різному. І якщо ми хочемо керу-
вати цим явищем, ми повинні розшукати зв’язок між окремими
його сторонами: установити якісь характеристики руху тіла*,
визначити, як впливають на ці характеристики розміри, форма
і вага тіла, висота, з якої воно падає, і т. д., і — найголовніше —
2*
20
ВСТУП
зробити з цих даних загальні висновки, які пояснюють, чому
падіння відбувається саме так, а не інакше.
Ці самі завдання виникають і при вивченні будь-якого іншого
явища. Ми повинні встановити, від чого залежить той або інший
хід явища, як саме можна ослабити або підсилити окремі його
сторони. А для цього треба вміти розчленовувати явище, виділяти
окремі його елементи і по можливості змінювати умови, в яких
воно відбувається, тобто перейти від простого спостереження до
експерименту. При цьому дуже важливо не обмежуватися тільки
загальними якісними враженнями про явище, а знайти кількісні
характеристики окремих його елементів у вигляді величин, які
можна виміряти. Інакше кажучи, треба визначити, які поняття
можна використати для раціональної кількісної характеристики
явища, і встановити ті способи, за допомогою яких ми вимірюва-
тимемо відповідні величини; знаходження цих величин дає змогу
відшукувати числові співвідношення між ними, тобто формулю-
вати закони явища в кількісній (математичній) формі. Так,
у розглянутому вище прикладі падіння ми вводимо поняття
швидкості падаючого тіла, його прискорення (тобто зміни швид-
кості), висоти падіння, опору повітря, маси і ваги тіла і т. д. Зна-
йти закони падіння — це й означає встановити залежність між
цими величинами.
Установлення кількісних законів, які показують, як зміню-
ються одні з величин при зміні інших, — найважливіше завдання
експериментального дослідження явищ. Такі закони вказують
нам, як треба змінювати умови, в яких відбуваються явища, щоб
добитися тих або інших бажаних результатів. З другого боку, ці
закони допомагають нам з’ясувати зміст явищ і, таким чином,
відкривають шлях для створення теорії явища, тобто тих загаль-
них уявлень, які дають змогу зрозуміти, чому спостережуване
явище підлягає знайденим законам і який зв’язок його з іншими
явищами, які іноді на перший погляд дуже далекі від нього.
Так, у прикладі падіння тіл ми встановлюємо закони падіння,
з’ясовуючи роль опору повітря, залежність цього опору від фор-
ми тіла і швидкості його руху. Таким способом ми поступово
приходимо до повної теорії явища, яка показує, зокрема, що
у явищі падіння можуть дуже велику роль відігравати вихори,
які утворюються в повітрі при швидкому русі тіла; з’ясовуємо
значення так званої «обтічної» форми тіла, тобто форми, при якій
дуже ослаблюється вихроутворення і пов’язане з ним гальмуван-
ня руху. З’ясування цих питань дає змогу розв’язати ряд важли-
вих проблем літакобудування, створення автомашин раціональ-
ної форми, побудови швидкохідних поїздів і т. д.
З викладеного зрозуміло, яке величезне значення має експе-
римент для фізичної науки. За допомогою експерименту ми зна-»
ВСТУП
21
ходимо закони явищ, користуючись експериментом, ми приходи-
мо до побудови теорії явищ. Теорія в свою чергу дає змогу нам
передбачити нові, ще невідомі особливості явища і розкриває
умови, в яких ці особливості можуть проявлятися. Такі висновки
з теорії знову підлягають експериментальній перевірці, яку
нерідко використовують для виправлення або вдосконалення тео-
рії. Так, поступово складне і незрозуміле явище стає цілком
зрозумілим, і ми навчаємося за своїм бажанням керувати ним.
З цього вміння керувати явищами природи і виникла вся могут-
ність сучасної техніки.
Після наведених роз’яснень про роль експерименту зрозумі-
ло, чому ми називаємо фізику експериментальною наукою. Але не
слід, звичайно, вважати, що для встановлення законів і створен-
ня теорій досить звичайного зіставлення результатів добре вико-
наного експерименту. Потрібне напруження всіх мислительних
і творчих здібностей людини, щоб з матеріалів, добутих на під-
ставі експерименту, побудувати величну будівлю науки.
У розглянутому вище прикладі падіння виучуване явище було
порівняно простим; однак і в цьому явищі не так просто встано-
вити, які з його сторін відіграють важливішу, а які — другоряд-
ну роль і як можна спростити або, як кажуть, схематизувати
явище, щоб, відкинувши другорядне, не залишити без уваги істот-
ного. У багатьох випадках завдання ускладнюється тим, що
в реальних явищах переплітаються дуже різноманітні процеси.
Наприклад, у явищі можуть відігравати істотну роль електричні
або теплові процеси, внаслідок яких виникають сили, що надають
тілам прискорення, можуть виявлятися або навіть мати вирі-
шальне значення які-небудь оптичні зміни і т. д.
Уявіть собі, наприклад, явище грози. Тут тісно перепліта-
ються теплові явища і явища молекулярної фізики (випарову-
вання і конденсація водяної пари); явища електричні (роль
заряджених центрів при утворенні краплин, виникнення елект-
ричної напруги між грозовими хмарами і електричні розряди,
які відбуваються при цьому); оптичні і акустичні явища (блис-
кавка, грім); численні механічні явища (падіння краплин, вітер,
рух хмар, утворення вихорів) і т. д.
Зрозуміло, що в таких випадках ще більше значення має роз-
членування складного явища на простіші, що полегшує вивчення
явища частинами. Спостереження над складними явищами пока-
зують, що при такому розчленуванні можна виділити групу схо-
жих явищ, наприклад оптичні, теплові, електричні і т. д., як це
й було зроблено нами у прикладі грози. Тому доцільно і при
вивченні фізики об’єднати досліджуваний матеріал у такі групи,
Хоч між ними не можна провести різкої межі. Відповідно до цьо-
го розподіл навчального матеріалу по групах (і навіть їх послі-
22 вступ
довність) не є чимось абсолютно обов’язковим, — це можна зро-
бити й інакше.
У нашому підручнику ми починаємо вивчення явищ з механі-
ки (включаючи механіку рідин і газів), бо явища, які належать
сюди, прості, а також і тому, що знання законів механіки подає
нам істотну допомогу при вивченні інших відділів. Після цього
викладено вчення про теплові явища, які тісно переплітаються
з явищами молекулярної фізики. Потім виділено велике коло
електричних і електромагнітних явищ. Явища коливань і хвиль
об’єднані в окремий відділ, який включає механічні, акустичні
і електромагнітні коливання. За ними йдуть оптичні явища,
виклад яких значною мірою грунтується на вченні про коливан-
ня і хвилі. У кінці подано невеликий нарис учення про атом.
ЧАСТИНА ПЕРША
МЕХАНІКА
РОЗДІЛ 1
КІНЕМАТИКА
§ 1. Рух тіл. Механічним рухом тіла називається зміна з пере-
бігом часу його положення відносно інших ііл.
Рис. 1. Метеор на нічному небі.
Ми постійно зустрічаємося з рухом тіл у повсякденному жит-
ті, у техніці і науці. Ми спостерігаємо рухи людей, тварин, рухи
води ь ріках і морях, рухи повітря (вітер). Рухи здійснюють різ-
ні засоби транспорту, різні механізми, верстати, прилади, снаря-
ди і т. д. У світовому просторі рухаються Земля та інші планети,
комети, метеорні тіла (рис. 1), Місяць, штучні супутники Землі
24
КІНЕМАТИКА
(РОЗД І
і космічні кораблі, послані до інших планет сонячної системи;
рухається Сонце відносно інших зір і зорі одна відносно одної.
Рис. 2. Альфа-частинки, як: швидко ру-
хаються, пролітаючи в камерії Вільсона,
залишають за собою слід з водяних
краплин.
Рухаються молекули, атоми,
електрони, протони, альфа-
частинки (рис. 2) та інші
«елементарні частинки?)
(найдрібніші частинки речо-
вини). Практично всі фізичні
явища супроводяться руха-
ми тіл. Тому вивчення фізи-
ки ми почнемо з вивчення
руху тіл. Цей розділ фізики
називають механікою.
Слово «механіка» похо-
дить від грецького слова
«механе» — машина, прист-
рій. Вже стародавні єгиптя-
ни, а потім греки, римляни
та інші народи будували
різні машини, які застосову-
вали для транспорту, у бу-
дівництві, у військовій спра-
ві (рис. 3). Під час дії цих
машин відбувався рух їх
частин: важелів, коліс, кана-
тів і т. д., а також вантажів,
які піднімались і переміщались. Вивчення дії цих машин і при-
вело до зародження науки про рух тіл — механіки.
До механіки відносять і
залишаються в спокої, —
умов рівноваги. Такі питан-
ня відіграють вирішальну
роль у будівельній справі.
Коли розвалюється хатина,
побудована з кубиків, або
руйнується будинок чи міст,
то це означає, що умови рів
новаги для цих тіл були по-
рушені.
Рухатись можуть не тіль-
ки матеріальні тіла. Подіб-
но до того, як ми говоримо
про рух кулі, що летить, або
кинутого каменя, можна го-
ворити про рух сонячного
знаходження умов, при яких тіла
Рис. 3. Кидальне знаряддя стародавніх
греків
§ 2]
ВІДНОСНІСТЬ РУХУ І спокою
25
зайчика, який переміщається по стіні при повертанні дзеркальця,
або про рух тіні, яку відкидає освітлений предмет, і т. д. Важли-
вий приклад руху, не зв’язаного з переміщенням матеріальних
тіл,— це передавання з одного місця в інше сигналу, наприклад,
звукового, світлового або радіосигналу. Так, перебуваючи на
стрільбищі в окопі поблизу мішені, ми ще до влучання кулі
в ціль побачимо спалах пострілу — світловий сигнал, а після влу-
чання кулі почуємо звук пострілу — звуковий сигнал. Під час по-
льоту штучного супутника Землі радіостанції на всій земній кулі
приймають радіосигнали, які посилає супутник. Локація Місяця,
Венери, Марса, Юпітера, Сонця — це посилання радіосигналу в
бік небесного тіла, і приймання відбиття, що повернулося, через
час, який потрібний для проходження сигналу «туди і назад».
Світлові сигнали і радіосигнали витрачають дуже малий час
на проходження навіть значних відстаней (наприклад, вони про-
ходять шлях від Землі до Місяця і назад всього за 2,5 сек). Тому
в звичайних умовах на Землі, при невеликих відстанях, може
здатися, що світло або радіосигнал пробігає відстань мі^ двома
пунктами вмить. Однак це неправильно: світло, як і матеріальні
тіла, повинно затратити на такий пробіг якийсь певний, хоч
і малий час. Але виявити і виміряти час, який затрачає світло на
проходження тих або інших відстаней, дуже важко. Це вдалося
вперше зробити тільки в XVII ст., а вивчення руху матеріальних
тіл і звукових сигналів почалося ще в стародавні часи.
Питання переміщення сигналів складніші, ніж питання пере-
міщення матеріальних тіл. Вони вивчатимуться в т. III «Елемен-
тарного підручника фізики».
§ 2. Кінематика. Відносність руху і спокою. Для вивчення
руху тіл треба насамперед навчитися описувати рухи. При цьому
ми спочатку не з’ясовуватимемо, як виникають ці рухи. Відділ
механіки, в якому рухи вивчаються без дослідження причин, які
їх спричинюють, називають кінематикою.
Рух кожного тіла можна розглядати відносно різних інших
тіл. Певне тіло виконуватиме різні рухи відносно інших тіл:
чемодан, який лежить на полиці у вагоні поїзда, що рухається,
перебуває в спокої відносно вагона, але відносно Землі рухається.
Повітряна куля, яку несе вітер, відносно Землі рухається, але
відносно повітря перебуває в спокої. Літак, який летить у строю
ескадрильї, відносно інших літаків строю перебуває в спокої,
але відносно Землі рухається з великою швидкістю, наприклад,
800 км за годину; відносно такого самого зустрічного літака він
рухається з швидкістю 1600 км за годину.
У кінофільмах часто показують той самий рух відносно різних
тіл: наприклад, показують поїзд, який рухається на фоні пейза-
26
КІНЕМАТИКА
[РОЗД І
жу (рух відносно Землі), а потім — купе вагона, у вікно якого
видно, як швидко пролітають мимо дерева (рух відносно вагона).
Те, що характер даного руху тіла є різним відносно різних
тіл, називається відносністю руху.
Усякий рух, а також спокій тіла (як окремий випадок руху)
відносні. Відповідаючи на запитання, чи перебуває тіло в спокої,
чи рухається і як саме рухається, треба сказати, відносно яких
тіл треба розглядати рух цього тіла. Інакше ніяке висловлювання
про його рух не може мати смислу.
Тіла, відносно яких розглядається даний рух, називають
системою відліку. Систему відліку при вивченні даного руху виби-
рають залежно від умов задачі. Так, щоб влучити у ворожий
літак із земної поверхні, треба встановити приціл, виходячи
з швидкості літака в системі відліку «Земля» (в нашому прикла-
ді — 800 км за годину), а щоб влучити в цей самий літак із зуст-
річного літака, треба виходити з швидкості цілі в системі відліку
«зустрічний літак» (1600 км за годину). При вивченні рухів на
поверхні Землі звичайно беруть за систему відліку Землю (хоч,
як було вже сказано, можна вибрати за систему відліку і поїзд,
і літак, і будь-яке інше тіло). Вивчаючи рух Землі в цілому або
рух планет, за систему відліку беруть Сонце і зорі. Як побачимо
в розд. II, ця система особливо зручна при вивченні законів
динаміки.
Вправа. 2. 1. Чи розвіватиметься прапорець, закріплений на корзині
повітряної кулі, яку несе вітер?
Рис. 4. Траєкторія центра тіні Місяця
під час затемнення, яке відбудеться
16 жовтня 2126 р.
§ 3. Траєкторія руху. Щоб описати рух тіла, треба показати,
як змінюються положення його точок з часом. Під час руху тіла
кожна його точка описує деяку лінію — траєкторію руху. Прово-
дячи крейдою по дошці, ми
залишаємо на ній слід —
траєкторію руху кінчика
крейди. Рукопис — це траєк-
торія кінчика пера. Світний
слід метеорного тіла на ніч-
ному небі (рис. 1), туманні
сліди альфа-частинок (рис.
2) — це траєкторії метеор-
ного тіла і альфа-частинок.
Чекаючи настання соняч-
ного затемнення, астрономи
заздалегідь обчислюють
траєкторію руху тіні Місяця
по поверхні Землі. На рис. 4
показано таку траєкторію
§4]
ПОСТУПАЛЬНИЙ І ОБЕРТАЛЬНИЙ РУХ ТІЛА
27
для найближчого в часі повного затемнення, яке буде видно
в Москві.
Оскільки рух відносний, то траєкторія може залежати від
вибору системи відліку. Наприклад, у безвітряну погоду струмини
дощу здаються вертикальними, якщо за ними стежити з вікна
нерухомого вагона: краплини залишають на шибках вертикальні
р
Рис. 5. Точка на ободі (цвяшок Р) колеса, яке котиться, описує відносно
земної поверхні зображену на рисунку лінію (циклоїду).
сліди. Та коли поїзд рушив з місця, то відносно рухомого вагона
струмини дощу здаються косими: дощові краплини залишати-
муть на шибках похилі сліди, причому похил буде тим більший,
чим більша швидкість поїзда.
На рис. 5 зображено траєкторію, яку описує відносно земної’
поверхні точка Р на ободі колеса, яке котиться по прямій дорозі.
Відносно візка траєкторією точки Р буде, звичайно, саме коло
обода.
§ 4. Поступальний і обертальний рух тіла. Траєкторії різних
точок тіла можуть бути різні. Це можна наочно показати, напри-
клад, швидко рухаючи в темній кімнаті скіпочку, яка тліє з обох
кінців. Око має властивість зберігати зорове враження протягом
приблизно 0,1 сек\ тому ми сприймемо траєкторії тліючих кін-
ців як світні лінії і зможемо порівняти обидві траєкторії (рис. 6).
Найпростіший рух тіла — такий, при якому всі точки тіла
рухаються однаково, описуючи однакові траєкторії. Такий рух
називається поступальним. Ми матимемо цей тип руху, рухаючи
скіпочку так, щоб вона весь час залишалася паралельною самій
собі. При поступальному русі траєкторії можуть бути як прями-
ми (рис. 7, а), так і кривими (рис. 7,6) лініями. Можна довести,
що при поступальному русі будь-яка пряма, проведена в тілі,
буде паралельною самій собі. Цією характерною ознакою зручно
користуватися, щоб відповісти на питання, чи є поступальним
Рух розглядуваного тіла. Наприклад, при скочуванні циліндра по
площині прямі, які перетинають вісь, не залишаються паралель-
ними самим собі: кочення — це не поступальний рух. Під час
Руху рейсшини і косинця по креслярській дошці будь-яка пряма,
проведена в них, буде паралельною самій собі, отже, вони руха-
28
КІНЕМАТИКА
(РОЗД І
ються поступально (рис. 8). Поступально рухається голка швей-
ної машини, поршень у циліндрі парової машини або двигуна
внутрішнього згоряння, кузов автомашини (але не колеса!), яка
їде по прямій дорозі, і т. д.
Рис. 6. Траєкторії АА' і
ВВ' тліючих кінців скі-
почки різні.
Інший простий тип руху — це обертальний рух тіла, або обер-
тання. При обертальному русі всі точки тіла рухаються по колах,
центри яких лежать на прямій. Цю пряму називають віссю обер-
тання (пряма 00' на рис. 9). Кола лежать у паралельних площи-
нах, перпендикулярних до осі обертання. Точки тіла, які лежать
Рис. 8. Рейсшина і косинець рухаються по креслярській дошці
поступально.
на осі обертання, нерухомі. Обертання не є поступальним рухом:
при обертанні залишаються паралельними самим собі тільки пря-
мі, паралельні осі обертання (наприклад, пряма ВС на рис. 9).
§ 61
ОПИСАННЯ РУХУ ТОЧКИ
29
0
Рис 9. Обертання бруска нав-
коло осі 00' Показано траєк-
торії точок А і В.
Добовий рух Землі—обертальний рух. Коливання маятника
стінного годинника — це також обертальний рух. Обертання
дуже часто зустрічається в техніці:
обертаються колеса, блоки, вали
і осі різних механізмів, кривошипні
вали, пропелери літаків, стрілки
приладів і т. д.
Вправа. 4.1. Чи є поступальним рух
педалей при їзді на велосипеді (без вільного
ходу)?
§ 5. Рух точки. Для описання
руху тіла треба, взагалі кажучи,
знати, як рухаються різні його точки.
Але якщо тіло рухається поступаль-
но, то всі його точки рухаються
однаково. Тому, щоб описати посту-
пальний рух тіла, досить описати
рух якої-небудь однієї його точки.
Якщо різні точки тіла рухаються
по-різному, то іноді все ж можна обмежитись описанням руху
тільки однієї точки; це стосується випадків, коли нас цікавить
тільки зміна положення тіла як цілого (наприклад, при вивченні
польоту кулі, літака, руху корабля в морі, руху планети навколо
Сонця і т. д.). Так, вивчаючи рух планети навколо Сонця, досить
описати рух її центра.
Таким чином, у ряді випадків опис руху тіла зводиться до
опису руху точки.
Різні рухи точки розрізняються між собою насамперед вигля-
дом траєкторії. Якщо траєкторія — пряма лінія, то рух точки
називають прямолінійним; якщо траєкторія — крива лінія, то рух
називають криволінійним. Відносно руху тіла раціонально в ціло-
му говорити про прямолінійний і криволінійний рух тільки тоді,
коли можна обмежитись описом руху лише однієї точки тіла. Вза-
галі кажучи, деякі точки тіла можуть рухатись прямолінійно, тоді
як інші його точки рухаються криволінійно.
Прямолінійний рух точки — найпростіший. До § 25 ми вивча-
тимемо тільки прямолінійний рух.
Вправа. 5.1. Які точки циліндра, що котиться по площині, рухаються
прямолінійно?
§ 6. Описання руху точки. Траєкторія руху визначає всі поло-
ження, які займала точка; але, знаючи траєкторію, ще не можна
сказати, швидко чи повільно проходила точка окремі дільниці
траєкторії, з зупинками чи без зупинок і т. д. Щоб мати таке повне
зо
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. 1
описання руху, треба ще знати, в який момент точка займала те
або інше положення на траєкторії. Для цього досить яким-небудь
способом розмітити всі точки траєкторії і «прив’язати» кожну
з них до моменту проходження через неї рухомої точки.
Для розмітки виберемо на траєкторії яку-небудь певну точку,
назвемо її початковою точкою і відміряємо від неї вздовж траєк-
торії відстані 5 до кожної з інших точок траєкторії. Щоб розріз-
няти точки, які лежать з одного і з другого боків від початкової,
5;-3 5=3,5
“7---1-І----1---1---1--1---1--1—1—----1--1—
‘5-4 -3 -2 -1012 3 4 5 6
Рис. 10. Розмічання прямолінійної траєкторії.
беруть один з напрямів уздовж траєкторії за додатний і від-
стані 5, відлічувані в цей бік, вважають додатними, а в проти-
лежний бік — від’ємними (рис. 10).
На залізницях і шосейних дорогах таку розмітку здійснюють, розстав-
ляючи вздовж дороги кілометрові стовпи, за якими легко визначити, на
якій відстані від початкової точки перебуває поїзд або автомашина. Число,
написане на стовпі, мимо якого проходить поїзд, безпосередньо дає від-
стань 5 від початкової точки, за яку звичайно вибирають велике місто, що
лежить на цій дорозі. Розмічаючи дороги, усі відстані вважають додатними.
Нехай точка, яка рухається, у своєму русі перейшла з точки А
на траєкторії в точку В (рис. 11). Відрізок ЛВ, що йде від старої
Переміщення АС
Переміщення АВ і Переміщення ВС !
а І І І І Н І М І І І І І II І І І І І І І І Н М МИ І
А В С
Переміщення АВ ________
І Переміщення АС ~ Переміщення ВС^>
б І і І І І І І І І І І її І І І І І І І І І І і Ц11 І І І І І
А В С
Рис. 11. Алгебраїчне додавання переміщень,
які лежать на одній прямій:
а — переміщення одного знака; б — переміщення різ-
них знаків.
точки до нової, назива-
ють переміщенням точ-
ки. Довжину відрізка
називають довжиною
шляху, пройденого точ-
кою. Довжину шляху
вважають додатною (і
переміщення назива-
ють додатним), якщо
точка перемістилася в
додатному напрямі, і
від’ємною — в проти-
лежному випадку. Як-
що відстані старої і но-
вої точок від початко-
вої точки дорівнюють відповідно 5і і 52, то довжина шляху, про-
йденого точкою, дорівнює 52 — 5Ь Довжину шляху також позна-
чають буквою 5.
Якщо точка, яка рухається по прямолінійній траєкторії, здійс-
нила послідовно два переміщення АВ і ВС, то її результуючим
переміщенням буде АС. Згідно з умовою про знак переміщення.
§в!
ОПИСАННЯ РУХУ ТОЧКИ
31
довжина шляху для результуючого переміщення АС дорівнює
алгебраїчній сумі довжин шляху складових переміщень АВ і ВС.
Переміщення вздовж прямолінійної траєкторії додаються алге-
браїчно (рис. 11).
Зауважимо, що довжиною пройденого шляху в механіці позначають не
те, що в повсякденному житті. У повсякденному житті додають довжину
всіх послідовних переміщень рухомої точки за абсолютною величиною. Напри-
клад. якщо автомашина проїхала по дорозі 10 км, а потім повернула назад,
то спідометр відлічує 20 км\ однак сумарне переміщення автомашини, а отже,
і довжина шляху 5, дорівнює нулю.
Щоб «прив'язати» розмічені точки траєкторії до моментів про-
ходження через них точки, яка рухається, вибирають який-небудь
момент часу за початковий, а для кож-
ного положення рухомої точки на траєк- да
торії позначають проміжок часу, що ми-
нув від вибраного початкового моменту.
Проміжки часу позначатимемо буквою Л
На залізниці таке «прив’язання» може
здійснити пасажир поїзда, позначаючи «
по своєму годиннику моменти проходжен-
ня поїзда мимо кілометрових СТОВПІВ. Рис. 12. Крапельниця.
Те саме можуть зробити з дороги спосте-
рігачі, які позначають по станційному годиннику момент про-
ходження поїзда повз кожну станцію. Спортивні комісари, які
«засікають» по точному годиннику момент проходження лижни-
ком фінішної риски на гонках або момент пролітання літака над
контрольним пунктом, також «прив’язують» положення рухо-
мого тіла на траєкторії до відповідного моменту часу; при цьому
за початковий момент беруть момент старту.
У класних дослідах для такого прив’язання можна користу-
ватися крапельницею (рис. 12), яку встановлюють на рухомому
тілі, наприклад, на візку або заводному автомобілі. Чорнильні
краплини, які падають через однакові проміжки часу, позначають
положення тіла на його траєкторії в моменти падіння краплин.
Момент падіння якої-небудь певної краплини беруть за початко-
вий момент часу.
При вивченні рухів іноді застосовують стробоскопічний метод
спостережень. Стробоскопом називають усякий прилад, який
дає переривчасте освітлення з коротким часом освітленості і одна-
ковими проміжками часу між ними. Можна застосувати прилад,
в якому через однакові проміжки часу створюються короткі
імпульси струму, що спричинюють яскраві спалахи світла в спеці-
альній лампі. Непрозорий диск з прорізом, що обертається перед
лампою, яка безперервно горить, також створить стробоскопічне
освітлення.
32
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
Нехай, наприклад, вивчаємо рух кульки, яка скочується по
жолобу. Якщо дослід робити в темряві і освітлювати кульку стро-
боскопом, то її буде видно тільки в тих положеннях, в яких
кульку освітлює спалах. Якщо вздовж жолоба розміщена лінійка з
поділками, то вона також буде освітлена, і ми зможемо зареєст-
рувати ті положення кульки відносно лінійки, які вона займала
в моменти спалахів (рис. 13). Щоб зареєструвати всі положення
кульки, утворювану картину можна сфотографувати, відкривши
заївор фотоапарата на весь час руху кульки.
Рис. 13. Кулька, яка скочується по жолобу і яку видно при стробоскопіч-
ному освітленні (з фотографії).
За допомогою стробоскопа можна побачити одночасно ряд
окремих положень предмета і без допомоги фотографії. Якщо за
0,1 сек стробоскоп дає кілька послідовних спалахів, то, завдяки
властивості ока зберігати зорове враження, ми бачитимемо кіль-
ка послідовних положень кульки. Таку картину ми побачимо, роз-
махуючи блискучою паличкою, освітленою лампою денного світ-
ла або іншою газосвітною лампою: лампи, які живляться змінним
струмом, дають сто спалахів за секунду. Це дає змогу бачити
одночасно цілий ряд послідовних положень палички. Легко також
побачити кілька положень руки, розмахуючи нею в темному кіно-
залі під час демонстрування фільму (24 спалахи за секунду).
«Прив’язавши» яким-небудь способом окремі положення рухо-
мої точки до відповідних моментів часу, ми дістанемо повне опи-
сання руху точки. Це означає, що ми знатимемо всі положення
точки і для кожного з цих положень зможемо знайти відстань по
траєкторії від початкової точки і проміжок часу, який минув
від початкового моменту.
Отже, в основі всякого описання руху точки лежать вимірю-
вання довжин і проміжків часу.
Зауважимо, що початкову точку на траєкторії і початковий
§ л
ВИМІРЮВАННЯ довжини
33
момент часу можна вибрати як завгодно, залежно від зручності
розгляду даного руху. Рухома точка необов’язково повинна бути
в положенні 5 = 0 в момент часу і = 0.
§ 7. Вимірювання довжини. Основною одиницею вимірювання
довжини шляху, і взагалі довжини, є метр.
Спочатку за зразок (еталон) метра було взято відстань між
двома штрихами на спеціально виготовленому платиново-іридіє-
вому стержні завдовжки 102 см, який зберігається в Міжнарод-
ному бюро мір і ваги в Парижі (рис. 14). Матеріал і форма пере-
різу стержня та умови його зберігання було вибрано так, щоб
Рис. 14. Первісний еталон метра (загальний вигляд і переріз).
якнайкраще забезпечити незмінність зразка. Зокрема, було вжи-
то заходів для підтримання сталої температури стержня. Старан-
но виготовлені вторинні еталони — копії цього зразка — збері-
гаються в інститутах мір і ваги різних країн.
Спочатку передбачали виготовити зразок метра таким, що
дорівнює одній сорокамільйонній частині довжини земного мери-
діана. Коли з’ясувалося, що на земній поверхні вимірювання не
досить точні, то вирішили не замінювати виготовлений зразок,
а зберегти сам зразок як одиницю довжини. Цей зразок приблиз-
но на 0,2 мм менший за 1/40 000 000 частину меридіана.
Крім цієї основної одиниці, у науці і техніці застосовують
інші одиниці — кратні метра і частки метра:
кілометр (1 км = 1000 лс);
сантиметр (1 см = 1/100 лс);
З 7-103
34
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. 1
міліметр (1 мм = 1/1000 м);
мікрон (1 1/1000 мм = 1/1 000 000 ж, позначається також грецькою
буквою р-—«мі»)д
ангстрем (1 А = 0,0000000001 ж=10”10 м\ А — буква шведського алфа-
віту). ’
В Англії, США і деяких інших країнах дуже поширені так
звані англійські міри довжини:
дюйм = 25,4 мм,
фут = 12 дюймів = 304,8 мм\
миля сухопутна («статутна») = 1609 м;
миля морська («адміралтійська») — 1852 м (довжина однієї мінути дугн
земного меридіана).
Старі російські міри довжини дорівнювали:
вершок = 4,445 см\
аршин = 28 дюймів = 16 вершків = 0,7112 м\
сажень — 3 аршини = 2,1336 м\
верста = 500 сажнів — 1,0668 км;
російська миля = 7 верст = 7,4676 км.
Така велика кількість різних одиниць довжини (а також оди-
ниць для інших фізичних величин) дуже незручна на практиці.
Тому останнім часом були розроблені міжнародні стандартні
означення одиниць усіх фізичних величин. Збірник цих означень
називають системою одиниць СІ (від слів Зузіете Іпіегпаііопа-
1е — Міжнародна система). В 1963 р. в СРСР і ряді інших країн
система СІ рекомендована для застосування в усіх галузях науки
і техніки.
За цією системою метр означений як довжина, яка дорівнює
1 650 763,73 довжини хвиль оранжевого світла, що випромінює
спеціальна лампа, в якій під дією електричного розряду світиться
газ криптон. Число довжин хвиль вибрано так, щоб ця одиниця
довжини збігалася якомога точніше з паризьким метром. Тому за
одиницю і не було вибрано довжину, на якій укладалося б яке-
небудь кругле число (наприклад, один мільйон) довжин хвиль.
Цю нову одиницю довжини можна відтворювати (оптичним спо-
собом) з більшою точністю, ніж архівний зразок. Дуже зручно,
що для відтворення одиниці довжини не треба користуватись
якимось єдиним зразком, який зберігається, а досить виготовити
спеціальну криптонову лампу і спостерігати світло, яке вона
випускає.
На практиці для вимірювання довжини, у тому числі і для
вимірювання відстаней між двома положеннями точки на траєкто-
рії, застосовують копії вторинних еталонів: стержні, лінійки або
стрічки з поділками, які дорівнюють довжині еталона чи його
частини (сантиметри, міліметри). При вимірюванні початок вимі-
рювальної лінійки суміщають з одним кінцем вимірюваного
відрізка і позначають ту її поділку, проти якої буде другий кінець
§8]
ВИМІРЮВАННЯ ПРОМІЖКІВ ЧАСУ
35
відрізка. Якщо другий кінець не збігається з жодною поділкою*
лінійки, то «на око» оцінюють, на яку частину відстані між поділ-
ками він*припав.
Для зменшення неминучої помилки відліку застосовують різні допо-
міжні пристрої. На рис. 15 зображено один з них — ноніус, установлений
на штангенциркулі. Ноніус являє собою додаткову шкалу, яку пересувають
уздовж основної шкали. Поділки ноніуса менші від поділок шкали на 0,1 їх
величини; наприклад, якщо поділка основної шкали дорівнює 1 мм, то поділка
ноніуса дорівнює 0,9 мм. На рисунку видно, що діаметр вимірюваної кульки
більший за 11 мм, але менший від 12 мм. Щоб знайти, скільки десятих часток
Рис. 15. Штангенциркуль з ноніусом.
міліметра становить дробова частина поділки, яка залишилася, дивляться,
який із штрихів ноніуса збігається з яким-небудь із штрихів основної шкали.
На нашому рисунку — це п’ятий штрих ноніуса. Отже, четвертий, третій
і т. д. штрихи ноніуса будуть спереду *від найближчих до них попередніх
штрихів основної шкали на 0,1 мм, 0,2 мм і т. д., а початковий штрих ноніуса
буде на 0,5 мм спереду найближчого до нього попереднього штриха основної
шкали. Звідси випливає, що діаметр кулі дорівнює стільком цілим міліметрам,
скільки їх укладається від початку основної шкали до початку шкали ноніуса
(11 мм), і стільком десятим часткам міліметра, скільки поділок ноніуса укла-
дається від початку шкали ноніуса до штрихів (0,5 мм), які збігаються. Отже,
вимірюваний діаметр кульки дорівнює 11,5 мм.
Таким чином, ноніус дає змогу вимірювати відстані з точністю до 7ю
поділки шкали. *
§ 8. Вимірювання проміжків часу. Вибираючи одиницю про-
міжку часу, можна виходити з тривалості якого-небудь повторю-
ваного процесу. З давніх-давен за одиницю проміжку часу засто-
совували добу — тривалість одного повного оберту Землі навко-
ло своєї осі відносно Сонця. Оскільки протягом року тривалість
такого оберту трохи змінюється (майже на 1 хвилину), то за
одиницю беруть середнє значення цієї величини за рік. Доба
ділиться на години, хвилини і секунди. Секунда є 786 400 частина
доби.
Проте старанні вимірювання показали, що в обертанні Зем-
лі є нерегулярні зміни. Тому в системі СІ за одиницю часу взято
рік — час одного оберту Землі по своїй орбіті навколо Сонця.
З*
36
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. 1
Через те що тривалість року також трохи змінюється (на пів-
секунди за сто років), то виходять з певного року, а саме 1900 ро-
ку. Згідно з системою СІ за секунду взято 1/Зі 556 925, 974/ частину
цього року.
Для побудови годинників — приладів для вимірювання про-
міжків часу— можна користуватися найрізноманітнішими проце-
сами, які повторюються.
У стародавні часи користува-
лись водяним годинником, в яко-
му час визначали за кількістю
води, що перетікала з однієї по-
судини в іншу (рис. 16). Щоб від-
творити той самий проміжок ча-
су, користувались пісковим го-
динником, в якому певна кіль-
кість піску висипалася через вузь-
ку трубочку (рис. 17). Точність
такого годинника невелика.
Значно точніше повторюються
різні коливальні процеси, напри-
клад коливання маятника — тя-
гарця, підвішеного на нитці або
на стержні (маятник стінного го-
динника). Якщо розмахи маятни-
ка не дуже великі, то період його
коливань (час коливання «туди
і назад») практично не залежить
від розмаху, а визначається тіль-
ки його довжиною. Незалежність
періоду коливань маятника від їх
розмаху встановив італійський
фізик і астроном Галілео Галілей
(1564—1642), а потім використав
голландський фізик і математик
Христіан Гюйгенс (1629—1695),
який створив у 1657 р. перший маятниковий годинник. У маятни-
ковому годиннику коливання відлічуються за допомогою систе-
ми коліс: після кожного коливання стрілки годинника поверта-
ються на певний кут, так що положення стрілок дає змогу відлі-
чувати проміжок часу.
Згодом був винайдений кишеньковий годинник. У кишенько-
вому годиннику коливний маятник замінено колесиком, яке вдер-
жується спеціальною пружинкою (так званий балансир) і коли-
вається навколо осі біля положення рівноваги з сталим періодом,
що визначається властивостями балансира і спіральної пружини.
§9]
РІВНОМІРНИЙ РУХ І ЙОГО ШВИДКІСТЬ
37
Особливо зручні секундоміри — годинники, які пускають у хід і
зупиняють, натискаючи кнопку. Секундоміри мають довгу стріл-
ку, яка робить один оберт за хвилину, що дає
змогу відлічувати по циферблату десяті частки
секунди.
Після винайдення годинника з маятником,
а потім з балансиром усі інші типи механічних
годинників вийшли з ужитку, як менш точні.
Проте піскові годинники застосовують ще й
тепер, наприклад у медичній практиці для та-
ких лікарських процедур ('ванни і т. д.), де
завжди треба відлічувати тільки один певний
проміжок часу. Певного виду годинниками є й
описані в § 6 крапельниця і стробоскоп.
Сучасна техніка добивається виняткової
точності вимірювань проміжків часу, викорис-
товуючи коливання кварцових кристалів
(«кварцовий годинник») або коливання моле-
кул («молекулярний годинник»)- Кварцовий
і молекулярний годинники дають змогу вимі-
рювати проміжки часу з точністю до мільйон-
них, мільярдних і трильйонних часток секунди.
Рис. 17. Пісковий
годинник.
§ 9. Рівномірний рух і його швидкість. Серед різноманітних
рухів часто зустрічаються такі, при яких тіло проходить однакові
відрізки шляху за будь-які однакові проміжки, часу. Такі рухи
називають рівномірними. Наприклад, на довгому рівному пере-
гоні поїзд рухається рівномірно; удари коліс об стики рейок чути
через однакові проміжки часу; кілометрові стовпи (або телеграф-
ні стовпи, встановлені приблизно на однакових відстанях один
від одного) проходять повз вікна також через однакові проміжки
часу. Рівномірно рухається автомобіль на прямій дільниці шляху
при незмінній роботі двигуна, ковзаняр або бігун на середині
дистанції.
Іншими прикладами рівномірного руху можуть бути падіння
краплин дощу, випливання дрібних бульбашок газу в склянці
газованої води, падіння парашутиста з розкритим парашутом
і т. д.
У різних рівномірних рухах переміщення тіл за однакові про-
міжки часу можуть бути різними, а отже, однакові переміщення
здійснюватимуться ними за різний час. Так, на проходження від-
стані між двома телеграфними стовпами автомобіль затратить
менше часу, ніж велосипедист; пішохід пройде за одну хвилину
близько 100 м, штучний супутник Землі пролетить за цей самий
проміжок часу 500 км, а радіосигнал або світловий сигнал пройде
38
КІНЕМАТИКА
(РОЗД. 1
за той самий час 18 млн. км. Ми кажемо: автомобіль рухається
швидше, ніж велосипедист, супутник рухається швидше, ніж
пішохід, а радіосигнал — швидше, ніж супутник. Щоб кількісно
схарактеризувати цю відмінність між рівномірними рухами, вво-
дять нову фізичну величину — ШВИДКІСТЬ руху.
Швидкістю рівномірного руху називають відношення довжини
шляху, пройденого тілом, до 'проміжку часу, за який цей шлях
пройдено:
Швидкість =
Довжина пройденого шляху
Проміжок часу
Щоб виміряти швидкість тіла, ми повинні виміряти шлях, про-
йдений тілом, виміряти проміжок часу, протягом якого цей шлях
пройдено, і поділити результат першого вимірювання на резуль-
тат другого.
Оскільки, згідно з означенням рівномірного руху, за подвій-
ний, потрійний і т. д. час будуть пройдені подвійні, потрійні і т. д.
шляхи, за половинний час — половинний шлях і т. д., то значення
швидкості буде те саме, за який би проміжок часу і на якій би
дільниці шляху її не визначали. Отже, при рівномірному русі
швидкість — стала величина, яка характеризує даний рух на
будь-якій дільниці шляху і за будь-який проміжок часу. Швид-
кість позначатимемо буквою V. Нехай у момент часу починаю-
чи від початкового моменту, тіло було на відстані від початко-
вої точки на траєкторії, а в деомент часу і2— на відстані 52. Про-
міжок часу між цими моментами дорівнює і2— а довжина
пройденого шляху дорівнює 82 — 51. Швидкість виразиться фор-
мулою
о = (9.1)
*2 — *1
Якщо позначити проміжок часу, який минув, через і = і2 — 6,
а довжину пройденого шляху через 5 = 52 — 51, то цю формулу
можна записати у вигляді
и = -|-. (9.2)
Знаючи швидкість V рівномірного руху, можна знайти шлях,
пройдений за будь-який проміжок часу ?, за формулою
5 = оі. (9. 3)
Ця формула показує, що при рівномірному русі пройдений шлях
зростає пропорціонально часу. З цієї самої формули бачимо, що
при рівномірному русі швидкість чисельно дорівнює довжині
шляху, пройденого за одиницю часу (і = 1).
Знаючи шлях 5, пройдений тілом при рівномірному русі,
ЗНАК ШВИДКОСТІ
39
«10)
і швидкість V цього руху, можна знайти проміжок часу і, затра-
чений на проходження цього шляху, за формулою
(9.4)
Подані формули дають змогу відповісти на всі питання, що
стосуються рівномірного руху.
Усякі вимірювання, зокрема вимірювання довжини шляху
і проміжків часу, потрібні для знаходження швидкості даного
руху, завжди здійснюються не абсолютно точно, а тільки з де-
яким певним ступенем точності. Тому, навіть тоді, коли наші вимі-
рювання дають ту саму швидкість руху на різних дільницях руху,
ми можемо твердити, що рух рівномірний лише з тим ступенем
точності, з яким робились вимірювання. Наприклад, якщо визна-
чати час проходження поїзда між двома кілометровими стовпа-
ми за хвилинною стрілкою годинника, то часто виявиться, що на
багатокілометровій дільниці шляху цей час однаковий: при цьому
ступені точності рух поїзда рівномірний. Але якщо користуватися
секундоміром і відлічувати проміжки часу з точністю до часток
секунди, то ми могли б установити, що ці проміжки часу не.точно
однакові і, значить, рух поїзда не є рівномірним з цим, вищцм,
ступенем ТОЧНОСТІ.'
Вправи. 9.1. У підривній техніці для підривання шпурів (свердловин
із закладеною в них вибухівкою) застосовують особливий «бікфордів» шнур,
який згоряє з невеликою швидкістю. Якої довжини шнур треба взяти, щоб
встигнути після того, як він запалений, відбігти на відстань 150 ж? Швид-
кість бігу дорівнює 5 м/сек, а полум’я по бікфордовому шнуру проходить
1 м за 2 хв.
9.2. Хлопчик 1,5 м на зріст біжить із швидкістю 3 м за секунду по
прямій, що проходить під ліхтарем, який висить на висоті 3 м. Показати,
що тінь його голови рухається рівномірно, і знайти швидкість цього руху.
§ 10. Знак швидкості. Рухи точки по заданій траєкторії
можуть відрізнятися не тільки величиною швидкості, а й тим,
в який бік рухається точка по траєкторії.
Траєкторію розмічають так, що в одну сторону довжини шля-
хів 5 зростають, а в другу — зменшуються. Формула (9.1) дасть
тому різні знаки для швидкості залежно від того, в який бік руха-
ється точка. Справді, знаменник і2— іі у формулі завжди додат-
ний, бо і2 (пізніший момент) завжди виражається більшим чис-
лом, ніж /і (більш ранній момент). А чисельник $2 — додатний,
якщо точка рухається в додатному напрямі (довжина шляху
зростає), і від’ємний у противному разі. Отже, якщо формула
(9.1) дає для швидкості додатне число, то це означає, що точка
рухається в додатному напрямі, а якщо формула дає від’ємну
величину — то точка рухається у від’ємному напрямі. Таким
чином, при такому виборі додатного напряму означення швидко-
40
КІНЕМАТИКА
[РОЗД 1
сті, яке ми дали в § 9, показує, крім величини швидкості, також
бік, ц який рухається точка, відносно вибраного напряму.
Якщо доводиться мати справу тільки з одним певним напря-
мом руху по заданій траєкторії, то звичайно вважають напрям
руху точки за додатний напрям її траєкторії; тоді і величина
швидкості буде додатною.
§ 11. Одиниці швидкості. З формули (9.2) для швидкості вид-
но, що при 5 = 1 і і = 1 величина V швидкості також дорівню-
ватиме одиниці. Тому за одиницю швидкості беруть швидкість
такого руху, при якому за одиницю часу тіло проходить шлях, що
дорівнює одиниці. Так, у системі СІ за'одиницю швидкості взято
швидкість такого руху, при якому за одну секунду проходиться
один метр шляху. Найменування цієї швидкості записують у
вигляді м/сек. Для будь-якого руху, поділивши довжину, подану
в метрах, на проміжок часу в секундах, знайдемо швидкість,
виражену в одиницях м/сек.
При іншому виборі одиниці часу або одиниці шляху іншою
буде й одиниця швидкості. Для одиниць шляху і часу см і сек
одиницею швидкості буде см/сек — швидкість такого руху, при
якому за 1 сек проходиться шлях довжиною в 1 см. Для одиниць
км і год дістанемо одиницю швидкості км/год — швидкість руху,
при якому за 1 год проходиться відстань в 1 км. Аналогічно
складають і записують одиниці і при всякому виборі одиниць
шляху та довжини.
Зрозуміло, що при різному виборі одиниць швидкості швид-
кість того самого руху матиме різні числові значення. Нехай відо-
ме числове значення швидкості якого-небудь руху в яких-небудь
певних одиницях, наприклад у м/сек, тобто V м/сек. Його знайде-
но за допомогою ділення числа, що виражає довжину пройденого
шляху в метрах, на відповідний проміжок часу в секундах. При-
пустимо, що ми хочемо подати швидкість того самого руху в ін-
ших одиницях,, наприклад у км/год. Чи треба для цього заново
виміряти пройдений шлях (тепер вже в кілометрах) і проміжок
часу (тепер вже в годинах)? Ні, повторювати вимірювання не
треба. Нове числове значення швидкості даного руху V км/год
можна знайти з старого значення V м/сек за допомогою роз-
рахунку.
Справді, позначимо виміряний шлях через 5 лі, а проміжок
часу через і сек. Числове значення швидкості є
5 М
------ = V М СЄК.
і сек-'
Якщо ту саму довжину шляху ми виміряли б у кілометрах,
а час у годинах, то величини, які входять у формулу для
ОДИНИЦІ ШВИДКОСТІ
41
$ И]
швидкості, змінилися б: довжина шляху мала б величину 5 км =
= 5 X ^іооо кл*, а час — величину Т год = і • 7збоо год.
У нових одиницях швидкість дорівнюватиме
V км/год = = ГТЇІюй = - • 3,6 = (3,6 V) км/год.
Ця формула й дає перехід від величини швидкості V, поданої
в м/сек, до величини швидкості V, поданої в км/год. З цієї фор-
мули легко знайти і зворотний перехід від одиниці км/год до
одиниці м/сек-.
V М/сек = У^ м/сек.
Наприклад, швидкість 100 м/сек дорівнює швидкості 3,6 X
X 100 = 360 км/год, а швидкість 72 км/год = • 72 = 20 м/сек.
Легко також знайти і співвідношення між самими одиницями
швидкості. Для цього в знайдених формулах слід узяти вихідну
величину швидкості, яка дорівнює одиниці. Тоді дістанемо:
1 км/год = м/сек-, 1 м/сек = 3,6 км/год.
Користуючись для розрахунків формулами (9.1) — (9.3), а та-
кож іншими формулами, куди входитимуть довжина, час і швид-
кість, треба подавати всі величини в одиницях, які відповідають
одна одній. Якщо, наприклад, швидкість визначено в м/сек, то
довжину шляху і проміжки часу треба подавати в метрах і секун-
дах. Якщо шлях виміряно в кілометрах, а час у годинах, то-
швидкість треба подавати в км/год. Якщо задані величини вира-
жені в одиницях, які не відповідають одна одній, то треба зроби-
ти переведення одиниць. Наприклад, якщо довжину задано
в кілометрах, час — у годинах, а швидкість у м/сек, то треба
знайти значення швидкості в км/год і саме це значення підстав-
ляти у формули.
У природі існує «природний зразок» швидкості. Це швидкість
світла в пустоті (наприклад, у космічному просторі). Швидкість
світла1 дорівнює 300 000 км/сек. З такою самою швидкістю
поширюється в пустоті і всякий радіосигнал. Швидкість світла
відіграє дуже важливу роль у всіх галузях фізики. Установлено,
що рух тіла із швидкістю, більшою за швидкість світла в пустоті,
неможливий: швидкість світла в пустоті є гранична і недосяжна
швидкість тіл. Для всіх земних і небесних тіл швидкості завжди
дуже малі порівняно з швидкістю світла; наприклад, швидкість
Землі в її русі навколо Сонця становить ЗО км/сек, тобто лише
1 У прозорих тілах швидкість світла менша, ніж у пустоті. Наприклад,
Швидкість світла у воді дорівнює 225 000 км/сек.
42
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
0,0001 швидкості світла. Із швидкостями тіл, які наближаються
до швидкості світла, ми зустрічаємось тільки в світі найдрібнЬ
ших частинок речовини — електронів, протонів та інших елемен-
тарних частинок. При таких швидкостях у поведінці тіл спосте-
рігаються важливі особливості. Ці питання вивчатимуться в томі
III цього підручника.
У морехідній практиці поширена спеціальна одиниця швидкості, яка нази-
вається вузлом. Вузол — це швидкість такого руху, при якому тіло прохо-
дить за одну годину одну морську милю. Один вузол дорівнює 0,514 м/сек.
Сучасні морські судна, які розвивають швидкість близько 40 вузлів, тобто
понад 20 м/сек, рухаються з швидкістю урагану.
Цікаво зазначити, що іноді застосовують одиницю довжини, в основі
якої лежить швидкість світла. Це — світловий рік, тобто шлях, який світло
проходить за 1 рік. Світловий рік дорівнює приблизно 9 460 000 000 000 км.
Цією одиницею довжини користуються в астрономії, де доводиться зустріча-
тися з відстанями в тисячі, мільйони і мільярди світлових років. Найближча
до Землі зоря віддалена від нас на 3,2 світлового року, найдальші з спосте-
режуваних галактик (зоряних систем) — на відстань близько трьох мільярдів
світлових років.
§ 12. Графіки залежності шляху від часу. Якщо траєкторія
руху точки відома, то залежність довжини шляху 5, пройденого
точкою, від проміжку часу /, що минув, дає повне описання цього
руху. Ми бачили, що для рівномірного руху таку залежність
можна дати у вигляді формули (9.3). Зв’язок між 5 і і для окре-
мих моментів часу можна задавати також у вигляді таблиці,
що містить відповідні значення проміжку часу і довжини пройде-
ного шляху. Нехай нам дано, що швидкість деякого рівномірного
руху дорівнює 2 місек. Формула (9.3) має в цьому разі вигляд
5 = 2і. Складемо таблицю шляху і часу такого руху:
і, сек 1 2 3 4 5 6. .
5, М 2 4 6 8 10 12 .
Залежність однієї величини від іншої часто-буває зручно
зображувати не формулами або таблицями, а графіками, які
наочніше показують картину зміни змінних величин і можуть
полегшити розрахунки. Побудуємо графік залежності пройденого
шляху від часу для розглядуваного руху. Для цього візьмемо
дві взаємно перпендикулярні прямі — осі координат; одну з них
(вісь абсцис) назвемо віссю часу, а другу (вісь ординат) — віссю
шляху. Виберемо масштаби для зображення проміжків часу і
довжин шляху і візьмемо точку перетину осей за початковий
момент і за початкову точку на траєкторії; Нанесемо на осях
$ 12]
ГРАФІКИ ЗАЛЕЖНОСТІ ШЛЯХУ ВІД ЧАСУ
43
Рис. 18. Графік шляху рівно-
мірного руху з швидкістю
2 м[сек.
значення часу і пройденого шляху для розглядуваного руху
(рис. 18). Для «прив’язки» довжин пройденого шляху до момен-
тів часу проведемо з відповідних
точок на осях (наприклад, точок
З сек і 6 м) перпендикуляри до осей.
Точка перетину перпендикулярів
відповідає одночасно обом величи-
нам: довжині шляху 5 і моменту
часу /,— цим способом і досягається
«прив’язка». Таку саму побудову
можна виконати і для будь-яких
інших моментів часу та відповідних
довжин шляху, знаходячи для кож-
ної такої пари значень «час-шлях»
одну точку на графіку. На рис. 18
виконано таку побудову, що замі-
нює обидва рядки таблиці одним
рядком точок. Якби таку побудову
було виконано для всіх моментів ча-
су, то замість окремих точок утво-
рилася б суцільна лінія (також по-
казана на рисунку). Ця лінія і нази-
вається графіком залежності шляху
від часу, або, коротше, графіком
шляху.
У нашому випадку графік шляху
є прямою лінією. Можна показати, що графік шляху рівномір-
ного руху завжди є прямою лінією, і навпаки: якщо графік
залежності шляху від часу є пряма лінія, то рух рівномірний.
Вправа. 12.1. Довести це положення,
користуючись рис. 19.
Повторюючи побудову для іншої
швидкості руху, знайдемо, що точки
графіка для більшої швидкості лежать
вище, ніж відповідні точки графіка
для меншої швидкості (рис. 20). Отже,
чим більша швидкість рівномірного
руху, тим крутіший прямолінійний гра-
фік шляху, тобто тим більший кут він
утворює з віссю часу.
Нахил графіка залежить, звичайно,
не тільки зід величини швидкості,
Рис. 19. До вправи 12. 1.
а й від вибору масштабів часу і довжини. Наприклад, графік,
зображений на рис. 21, дає залежність шляху від часу для того
самого руху, що й графік рис. 18, хоч він і має інший нахил,
44
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. 1
Звідси зрозуміло, що порівнювати рухи за нахилом графіків
можна тільки тоді, коли вони побудовані в тому самому мас-
штабі.
За допомогою графіків шляху можна легко розв’язувати різні
задачі про рух. Для прикладу на
рис. 18 показано пунктиром побудо-
ви, які треба виконати, щоб розв’я-
зати такі задачі для заданого руху:
1) Який шлях пройдено за 3,5 сек?
2) За який час пройдено шлях 9 м?
На рисунку графічним способом
(пунктир) знайдено відповіді; 1) 7 лі;
2) 4,5 сек.
Рис. 21. Графік того самого
руху, що й на рис. 18, побудо-
ваний в іншому масштабі.
Рис. 20. Графіки шляху рівно-
мірних рухів з швидкостями
2 м/сек і 3 м/сек.
Вправа. 12.2. За графіком рис. 18 знайти, на якій відстані від почат-
кової точки буде рухома точка через 2 сек після того, як войа пройде шлях,
що дорівнює 6 м.
У нашому прикладі графік проходить через точку перетину осей. Це
означає, що в початковий момент (і = 0) рухома точка лежить у початковій
точці траєкторії 5 = 0. Якщо в початковий момент рухома точка була не
в початковій, а в якійсь іншій точці, то при побудові графіка доведеться
відкладати пройдені шляхи за той або інший проміжок часу після і — 0 від
цієї іншої точки. Наприклад, на рис. 22 пряма І є графіком руху, що відбу-
вається з швидкістю 4 м/сек, причому рухома точка в початковий момент
була в точці $о = 3 м. Для порівняння на цьому самому рисунку дано гра-
фік руху, який відбувається з тією самою швидкістю, але при якому в почат-
ковий момент рухома точка лежить у початковій точці траєкторії (пряма //).
На попередніх графіках були зображені рухи, які відбуваються тільки
в додатній стороні від початкової точки. Згідно, з § 6, вважатимемо довжини
шляхів по другий бік від початкової точки від’ємними. На графіку їх можна
зображати на осі шляху вниз від осі часу.
Наприклад, на рис. 22 пряма /// є графіком руху, що відбувається з тією
самою швидкістю 4 м/сек, причому в початковий момент рухома точка лежить
на відстані 1 м від початкової у від’ємний бік по траєкторії ($0 = —7).
Ми бачимо, що нахили всіх трьох графіків однакові: нахил залежить
тільки від швидкості рухомої точки, а не від її початкового положення.
$ 121
ГРАФІКИ ЗАЛЕЖНОСТІ ШЛЯХУ ВІД ЧАСУ
45
При зміні початкового положення весь графік просто переноситься пара-
лельно самому собі вздовж осі шляху вгору або вниз на відповідну
відстань.
Згадаємо, що вибір початкового мо-
менту при описанні даного руху також
довільний. Можна почати розглядати рух
і після, і до моменту часу, взятого за
початковий. Моментам, які передували
початковому моменту часу /=0, припи-
сують від’ємні значення. Так, моменти
—1 сек, —2 сек і т. д. позначають мо-
менти за 1 сек, за 2 сек і т. д. від почат-
кового. Від’ємні моменти часу відкла-
дають на осі часу ліворуч від початку
координат.
Отже, можна будувати графіки
шляху для будь-яких моментів часу як
до, так і після початкового моменту
і для будь-яких положень точки як з од-
ного, так і з другого боку від початко-
вої точки. Пряма IV на рис. 22 є графі-
ком такого руху, який відбувається
з швидкістю 4 м/сек і при якому точка
була в початковому положенні за 2 сек
Рис. 22. Графіки рухів з тією
самою швидкістю, але при різ-
них початкових положеннях
рухомого тіла.
до початкового моменту.
Нарешті, на графіка# можна зобра-
жати рухи, які відбуваються з від’єм-
ними швидкостями: це будуть прямі, на-
хилені вниз (рис. 23). Для таких рухів
довжина шляху зменшується з часом.
Вправи. 12.3. Графік шляху для точки, яка рухається з швидкістю о,
відтинає на осі ординат відрізок 50. Як залежить від часу відстань 5 від
Рис. 23і Графіки кількох рухів
з від’ємними швидкостями.
початкової точки? Написати формулу цієї
залежності.
* 12.4. Точка, яка рухається з швидкістю
V, у момент /о лежить на відстані $о від
початкової. Як залежить від часу від-
стань 5?
12.5. Точка, рухаючись рівномірно, зай-
мала положення 51 = —3,5 м і 52 = 2,5 м
у моменти часу 6 = —2 сек і і2 = 6 сек
відповідно. Знайти графічно, в який момент
точка проходила через початкову точку і на
якій відстані від неї вона була в початко-
вий момент. Знайти швидкість точки.
12.6. Знайти за допомогою графіка
шляху, коли і на якій відстані від точки А
автомашину, що вийшла з точки А, наздо-
жене друга автомашина, що вийшла з тієї
самої точки через 20 хв після першої, якщо
перша машина рухається з швидкістю
40 км/год, а друга — 60 км/год.
12.7. Знайти за допомогою графіка шляху, де і коли зустрінуться авто-
машини, які вийшли одночасно назустріч одна одній з швидкостями
40 км/год і 60 км/год з пунктів А і В, що лежать на відстані 100 км один від
одного.
46
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. 1
Графіки шляху можна будувати і для випадків, у яких тіло
рухається рівномірно протягом певного проміжку часу, потім
рухається рівномірно, але з іншою швидкістю протягом іншого
проміжку часу, потім знову змінює швидкість і т. д. Наприклад,
на рис. 26 (стор. 50) подано графік руху, в якому тіло руха-
лося протягом першої години з швидкістю 20 км/год, протягом
другої години — з швидкістю 40 кмігод і протягом третьої годи-
ни — з швидкістю 15 кмігод.
Вправа. 12.8. Побудувати графік шляху для руху, в якому за послі-
довні годинні проміжки тіло мало швидкості 10 км/год, —5 км/год, 0 км/год,
2 кг/год, —7 км/год. Чому дорівнює сумарне переміщення тіла?
§ 13. Графіки залежності швидкості від часу. Подібно до
побудови графіка шляху можна побудувати і графік залежності
Рис. 24. Рух тіла з різною швидкістю в різні проміжки часу.
Площа заштрихованого прямокутника дорівнює 4 м/сек*Ь,$ сек =
= 18 м (довжина пройденого шляху).
швидкості даного руху від часу. Для цього по осі ординат від-
кладатимемо значення швидкості в якому-небудь вибраному
масштабі; ця вісь буде тепер віссю швидкості. Вісь абсцис, як і
раніше, буде віссю часу. Через те що швидкість рівномірного руху
є сталою величиною, то графік матиме вигляд прямої лінії, пара-
лельної осі часу. Чим більша швидкість руху, тим вище лежатиме
пряма (рис. 24). Від’ємна швидкість зобразиться лінією, яка
лежить нижче осі абсцис. Нульова швидкість (спокій точки)
зобразиться дільницею осі часу.
Розглянемо рух, швидкість якого зображається лінією АВ.
Площа прямокутника, заштрихованого на графіку, дорівнює
добутку відрізка, який зображає швидкість V, на відрізок, який
§ М]
нерівномірний рух
47
зображає проміжок часу /, тобто дорівнює VI. Але при рівномір-
ному русі довжина пройденого шляху також дорівнює сі (форму-
ла (9.2)). Отже, довжина шляху виражається площею, заштри-
хованою на рис. 24. Отже, при рівномірному русі шлях, пройде-
ний за який-небудь проміжок часу, чисельно виражається пло-
щею, обмеженою віссю часу, графіком швидкості і двома
вертикальними відрізками, проведеними з точок, які відповіда-
ють початку і кінцю розглядуваного проміжку часу.
§ 14. Нерівномірний рух. У § 9 ми говорили, що твердження
про рівномірність даного руху справедливе тільки з тим ступенем
точності, з яким зроблено вимірювання. Наприклад, застосував-
ши секундомір, можна встановити, що рух поїзда, який здається
при грубому вимірюванні рівномірним, нерівномірний при тон-
шому вимірюванні.
Рис. 25. Сліди краплин, які рівномірно падають з крапельниці,
поставленої на рухомий заводний автомобіль, перед закінченням
заводу.
Але коли поїзд підходить до станції, ми виявимо нерівно-
мірність його руху навіть без секундоміра. Навіть грубі вимірю-
вання покажуть нам, що проміжки часу, за які поїзд проходить
відстані від одного телеграфного стовпа до іншого, стають дедалі
більшими. З тим малим ступенем точності, який дає вимірювання
часу за годинником, рух поїзда на перегоні рівномірний, а при
підході до станції — нерівномірний. Поставимо на іграшковий
заводний автомобіль крапельницю, заведемо його і пустимо коти-
тися по столу. В середині руху відстані між краплинами будуть
однаковими (рух рівномірний), але потім, коли завод наближа-
ється до кінця, буде помітно, що краплини розміщаються дедалі
ближче одна до одної — рух нерівномірний (рис. 25).
При нерівномірному русі не можна говорити про якусь певну
швидкість, бо відношення пройденого шляху до відповідного про-
міжку часу неоднакове для різних дільниць, як це спостерігалося
для рівномірного руху. Прете, якщо нас цікавить рух тільки на
якійсь певній дільниці шляху, то цей рух у цілому можна схарак-
теризувати, ввівши поняття середньої швидкості руху: середньою
48
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
швидкістю рср руху на даній дільниці шляху називають
відношення довжини 8 цієї дільниці до проміжку часу і, за який
цю дільницю пройдено, тобто
0ср = Г- О4-1)
Звідси видно, що середня швидкість дорівнює швидкості такого
рівномірного руху, при якому тіло пройшло б дану дільницю
шляху за той самий проміжок часу, що й при дійсному русі.
Як і у випадку рівномірного руху, можна користуватися фор-
мулою 5 = для визначення шляху, пройденого за даний про-
міжок часу при певній середній швидкості, і формулою і = -~
уср
для визначення часу, за який пройдено даний шлях з даною
середньою швидкістю. Але користуватися цими формулами мож-
на тільки для тієї певної дільниці шляху і для того проміжку часу,
для яких цю середню швидкість було розраховано. Наприклад,
знаючи середню швидкість на дільниці шляху АВ і знаючи дов-
жину АВ, можна визначити час, за який було пройдено цю діль-
ницю, але не можна знайти час, за який було пройдено половину
дільниці АВ, бо середня швидкість на половині дільниці при
нерівномірному русі, взагалі кажучи, не дорівнюватиме середній
швидкості на всій дільниці.
Якщо для будь-яких дільниць шляху середня швидкість вия-
вилась однаковою, то це означає, що рух рівномірний і середня
швидкість дорівнює швидкості цього рівномірного руху.
Якщо середня швидкість за окремі послідовні проміжки часу
відома, то можна знайти середню швидкість і за сумарний час
руху. Нехай, наприклад, відомо, що поїзд рухався протягом двох
годин, причому його середня швидкість за перші 10 хв дорівню-
вала 18 км/год, за наступні півтори години — 50 км/год і за. реш-
ту часу — ЗО км/год. Знайдемо довжини шляху, пройдені поїздом
за окремі проміжки часу. Вони дорівнюватимуть: 5 = 18’^-=3кл<;
52 = 50 • 1,5 = 75 км-, 53 = ЗО ~ =10 км. Отже, загальна довжи-
на шляху, пройденого поїздом, є , з = 3 + 75 + 10 = 88 км.
Оскільки весь цей шлях був йройдений за дві години, то шукана
середня швидкість є оср = у =44 км/год.
З цього прикладу видно, як обчислювати середню швидкість
і в загальному випадку, коли відомо середні швидкості руху
г>2, ^з, з якими тіло рухалось протягом послідовних проміжків
часу і\, і2і із, — Середня швидкість усього руху зобразиться фор-
мулою
Л + ^2 4“ + • • •
Сср” + •
МИТТЄВА ШВИДКІСТЬ
49
§ 15]
Важливо зазначити, що в загальному випадку середня швид-
кість не дорівнює середньому значенню від середніх швидкостей
на окремих дільницях шляху.
Вправи. 14. 1. Показати, що середня швидкість на всьому шляху буде
більша за найменшу з середніх швидкостей на окремих дільницях і менша
за найбільшу з них.
14.2. Поїзд проходить перші 10 км із середньою швидкістю ЗО кмігод,
другі 10 км—з середньою швидкістю 40 км/год, треті 10 км — з середньою
швидкістю 60 км/год. Яка була ‘середня швидкість поїзда на всьому 30-кіло-
метровому відрізку шляху?
§ 15. Миттєва швидкість. Щоб описати даний нерівномірний
рух, можна визначити середню швидкість руху на кількох діль-
ницях шляху. Однак це дасть лише грубе, наближене поняття
про характер руху.
Справа в тому, що, визначаючи середні швидкості, ми ніби
замінюємо рух протягом кожного проміжку часу рівномірним
рухом і вважаємо, що швидкість змінюється стрибком від одно-
го проміжку часу до іншого. Графік шляху такого руху, при
якому протягом окремих проміжків часу точка рухається з ста-
лими, але різними швидкостями, матиме вигляд ламаної лінії
з ланками різного нахилу. Наприклад, на рис. 26 зображено
графік руху автомобіля, який протягом першої години їхав
з середньою швидкістю 20 км/год, протягом другої години —
з середньою швидкістю 40 км/год і протягом третьої — з серед-
ньою швидкістю 15 км/год. Щоб точніше описати рух, треба
вимірювати середні швидкості за менші проміжки часу. На гра-
фіку шляху ми діставатимемо ламані лінії з дедалі більшим
числом ланок, які дедалі точніше описують даний рух (рис.
27, 28).
Із зменшенням проміжків часу фактичний рух у межах кож-
ного окремого проміжку дедалі менше відрізнятиметься від рів-
номірного і, нарешті, відмінність перестануть уловлювати при-
лади, за допомогою яких ми вимірюємо середню швидкість. Цим
ставиться природна межа уточненню описанню руху при дано-
му ступені точності вимірювань довжини і часу. У межах про-
міжків часу таких малих, що рух є рівномірним, можна відно-
сити результат вимірювання до початку, кінця або взагалі до
будь-якого моменту часу в межах розглядуваного проміжку.
Називатимемо середню швидкість, виміряну за такий малий
проміжок часу, що протягом цього проміжку рух є для наших
приладів рівномірним, миттєвою швидкістю або просто швид-
кістю.
Якщо рух рівномірний, то його миттєва швидкість у будь-
який момент часу дорівнює швидкості цього рівномірного руху:
миттєва швидкість рівномірного руху є стала, а миттєва швид-
4 7-103
50
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. 1
біля, ніж на рис. 26.
автомобіля.
Рис. 28. Ще точніший опис руху авто- Рис. 29. Графік шляху автомобіля
мобіля. зображається плавною лінією.
ПРИСКОРЕННЯ
51
§ 16)
кість нерівномірного руху — змінна величина, яка набирає різ-
них значень у різні моменти часу. Із сказаного зрозуміло, що
миттєву швидкість можна вважати такою, яка змінюється під
час всього руху безперервно, так що графік шляху можна зобра-
зити плавною лінією (рис. 29); миттєва швидкість у кожний
момент визначатиметься нахилом дотичної до кривої у відпо-
відній точці.
Вправа. 15. 1. Показати, пто середня швидкість нерівномірного руху
на будь-якій дільниці шляху більша за найменше і менша за найбільше зна-
чення миттєвої швидкості на цій дільниці.
§ 16. Прискорення. Якщо миттєва швидкість рухомого тіла
зростає, то рух називають прискореним; якщо миттєва швид-
кість зменшується, то рух називають сповільненим.
Швидкість у різних нерівномірних рухах змінюється по-різ-
ному. Наприклад, товарний поїзд, відходячи від станції, рухає-
ться прискорено; на перегоні — то прискорено, то рівномірно,
то сповільнено; підходячи до станції, він рухається сповільнено.
Пасажирський поїзд також рухається нерівномірно, але його
швидкість змінюється швидше, ніж товарного поїзда. Швид-
кість кулі в каналі ствола гвинтівки зростає від нуля до сотень
метрів за секунду за кілька тисячних часток секунди; при влу-
чанні в перепону швидкість кулі зменшується до нуля також
дуже швидко. При злітанні ракети її швидкість зростає спочат-
ку повільно, а потім дедалі швидше.
Серед різноманітних прискорених рухів часто зустрічаються
рухи, у яких миттєва швидкість за будь-які однакові проміжки
часу збільшується на ту саму величину. Такі рухи називають
рівномірно-прискореними. Кулька, яка починає скочуватися по
похилій площині або починає вільно падати на Землю, рухає-
ться рівномірно-прискорено. Зауважимо, що рівномірно-приско-
рений характер цього руху порушується тертям і опором повіт-
ря, які поки що не враховуватимемо.
Чим більший кут нахилу площини, тим швидше зростає
швидкість кульки, яка по ній скочується. Ще швидше зростає
швидкість кульки, яка вільно падає (приблизно на 10 місек за
кожну секунду). Для рівномірно-прискореного руху можна кіль-
кісно схарактеризувати зміну швидкості з перебігом часу, вводя-
чи нову фізичну величину — прискорення.
Прискоренням називають відношення зміни швидкості до
проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Таким чином,
Зміна швидкості
Проміжок часу
Прискорення позначатимемо буквою а. Порівнюючи з від-
52
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
повідним виразом з § 9, можна сказати, що прискорення є
швидкість зміни швидкості.
Нехай у момент часу і\ швидкість була а в момент /2 вона
дорівнює і>2, так що за час і = /2 — Л зміна швидкості становить
Отже, прискорення
у2 — Єї у2 — Єї
а~ І—• (16.1)
З означення рівномірно-прискореного руху випливає, що ця
формула дасть однакове значення прискорення, який би про-
міжок часу і не вибрати. Звідси видно також, що при рівномір-
но-прискореному русі прискорення чисельно дорівнює зміні
швидкості за одиницю часу (і = 1).
У системі СІ одиниця прискорення є 1 м в секунду за секун-
ду, або я тобто 1 м/сек2.
Якщо шлях і час виміряні в інших одиницях, то й для при-
скорення треба брати відповідні одиниці вимірювання. Напри-
клад, прискорення можна подавати в см/сек2, м/хв2, м/год2,
км/хв2 і т. д. У яких би одиницях не подавати довжину шляху
і час, у позначенні одиниці прискорення 5 чисельнику стоїть
одиниця довжини, а в знаменнику — квадрат одиниці часу. Пра-
вило переходу до інших одиниць довжини і часу для прискорен-
ня аналогічне до правила для швидкостей (див. § 11). Напри-
клад,
1 /9 0,01 М лл і 9
1 СМ СЄК2 = -7-7^-То — 36 М Хв2.
(1/60 хв)2
Якщо рух не є рівномірно-прискореним, то можна ввести
користуючись тією самою формулою (16. 1), поняття середнього
прискорення. Воно характеризує зміну швидкості за певний про-
міжок часу на пройденій за цей проміжок часу дільниці шляху.
А на окремих відрізках цієї дільниці середнє прискорення може
мати різні значення (пор. із сказаним у § 14).
Якщо вибирати такі малі проміжки часу, що в межах кож-
ного з них середнє прискорення залишається практично незмін-
ним, то воно характеризуватиме зміну швидкості на будь-якій
частині цього проміжку. Знайдене так прискорення називають
миттєвим прискоренням (звичайно слово «миттєве» випускають,
пор. з § 15). При рівномірно-прискореному русі миттєве приско-
рення стале і дорівнює середньому прискоренню за будь-який
проміжок часу.
§ 17. Швидкість рівномірно-прискореного руху. Через те що
при рівномірно-прискореному русі прискорення стале, то воно
дорівнює відношенню приросту швидкості за будь-який промі-
жок часу до тривалості цього проміжку. Нехай, наприклад, при
ВІД’ЄМНЕ ПРИСКОРЕННЯ
53
§ 18]
рівномірно-прискореному русі швидкість у початковий момент
(«початкова швидкість») дорівнює у0, а через проміжок часу і
швидкість дорівнює V. Тоді прискорення а можна знайти за
формулою
Звідси знаходимо формулу для швидкості:
у = у0 + а/. (17.2)
Якщо початкова швидкість дорівнює нулю, то
о = аі. (17.3)
Отже, якщо при рівномірно-прискореному русі початкова
швидкість дорівнює нулю, то швидкість прямо пропорціональна
проміжку часу, що минув від початкового моменту. За таким
законом змінюється швидкість кульки, яка починає скочува-
тись по похилій дошці. За таким самим законом (але, звичай-
но, при іншій величині прискорення) змінюється швидкість віль-
но падаючого тіла, якщо в початковий момент його швидкість
дорівнювала нулю (див. нижче § 55).
За знайденими формулами можна розрахувати швидкість
тіла, яке здійснює рівномірно-прискорений рух, у будь-який
момент часу, коли відомі початкова швидкість і прискорення.
Можна також знайти прискорення, коли відомі початкова швид-
кість, проміжок часу і і швидкість у момент /, а також розв’я-
зувати й інші аналогічні задачі.
§ 18. Від’ємне прискорення. Рівномірно-сповільненим нази-
вають рух, при якому за будь-які однакові проміжки часу швид-
кість зменшується на ту саму величину. Тіло, підкинуте верти-
кально вгору, або кулька, яка викочується від поштовху вгору
по похилій дошці, рухаються рівномірно-сповільнено. Приско-
рення такого руху визначають так само, як і для рівномірно-
прискореного руху, як відношення зміни швидкості до проміжку
часу, за який ця зміна відбулася. Отже, прискорення такого
руху також визначається формулою (16. 1). Але при рівномірно-
сповільненому русі швидкість у пізніший момент менша, ніж
у ,раніший, і тому прискорення рівномірно-сповільненого руху
від'ємне. Швидкість рівномірно-сповільненого руху можна знай-
ти за тією самою формулою, що й для рівномірно-прискореного
РУХУ,
V = у0 + аі, (18. 1)
але в цьому випадку прискорення а — від’ємна величина.
Якщо початкова швидкість рівномірно-сповільненого руху
додатна, то з перебігом часу вона зменшуватиметься, перетво-
риться в нуль, а потім стане від’ємною. Це означає, що рухома
54
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. 1
точка зупиниться, а потім почне рухатись у зворотному напрямі
по траєкторії.
Наприклад, тіло, підкинуте вертикально вгору, у деякий
момент зупиниться (верхня точка підйому тіла), а потім почне
падати вниз. Момент зупинки можна знайти, коли відомі почат-
кова швидкість і прискорення, припускаючи у формулі (18.1)'
V таким, що дорівнює нулю. Нехай, наприклад, тіло кинуто вер-
тикально вгору з швидкістю 5 м/сек. Вважатимемо напрям уго-
ру додатним. Прискорення кинутого тіла є, як побачимо в § 55,
а « —10 м/сек2. Отже, момент зупинки тіла у верхній точці його
траєкторії можна знайти з формули 5—10/ = 0, звідки знаходи-
мо і = 0,5.
Рівномірно-прискорений і рівномірно-сповільнений рухи час-
то називають рівномірно-змінними рухами. Іноді обидва ці види
руху називають рівномірно-прискореними, маючи на увазі, що
прискорення може бути як додатним, так і від’ємним.
§ 19. Графіки швидкості при рівномірно-прискореному русі.
Побудуємо, користуючись формулами § 17, графік залежності
швидкості рівномірно-прискореного руху від часу. Нехай, напри-
клад, прискорення дорівнює
2 м/сек2 і в початковий момент
швидкість дорівнює нулю* Ви-
конуючи побудову, побачимо,
що графік швидкості являтиме
собою пряму лінію (рис. ЗО,
лінія /), яка проходить через
точку перетину осі часу ! осі
Рис. ЗО. Графіки швидкості
різних рівномірно-прискорених
рухів.
швидкості. Можна довести, що
графік швидкості рівномірно-
прискореного руху — завжди
пряма лінія; і навпаки, якщо
графік швидкості якого-небудь
руху є пряма, то рух рівномір-
но-прискорений (пор. § 12).
При більшому прискоренні
графік швидкості зображаєть-
ся прямою, нахиленою до осі
часу під більшим кутом (лі-
нія II на рис. ЗО).
Якщо в початковий момент
швидкість не дорівнює нулю, а має значення то графік швид-
кості, як і раніше, являє собою пряму лінію, але не проходить
через точку перетину осей, а перетинає вісь швидкостей у точ-
ці у0- Наприклад, на рис. ЗО подано графік рівномірно-приско-
§ 20]
ГРАФІКИ ШВИДКОСТІ
55
реного руху з тим самим прискоренням 2 м/сек2, але з початко-
вою швидкістю 5 місек (пряма III). Нахил графіка такий самий,
як і для прямої /, бо прискорення однакове для обох рухів.
Нахил графіка швидкості залежить від вибору масштабів часу
і швидкості. Тому, щоб можна було порівнювати різні рухи за
видом графіків швидкості, треба будувати всі графіки в одна-
ковому масштабі (пор. § 12).
При від’ємному прискоренні (рівномірно-сповільнений рух)
графік швидкості також зображується прямою лінією, проте
пряма нахилена в цьому випадку вниз.
Рис. 31. Графіки швидкості рівномірио-при-
скорених (7, НІ) і рівномірно-сповільнених
(77, /V) рухів.
На графіках швидкості можна проілюструвати всі зміни швидкості з пере-
бігом часу при довільних знаках початкової швидкості і прискорення. Так,
на рис. 31 пряма / відповідає
додатній початковій швидкості
і додатному прискоренню, II —
додатній початковій швидко-
сті і від’ємному прискорен-
ню, /77 — від’ємній початковій
швидкості і додатному приско-
ренню і IV — від’ємній почат-
ковій швидкості і від’ємному
прискоренню. Точки перетину
цих графіків з віссю часу — це
точки зміни знака швидкості,
тобто зміни напряму руху. Як-
що нас цікавить тільки абсо-
лютна величина швидкості, а
не її напрям, то можна сказа-
ти, що в ці моменти сповільне-
ний рух переходить у приско-
рений. Наприклад, абсолютна
величина швидкості каменя,
підкинутого вгору, спочатку зменшується, а після досягнення верхньої точки
починає зростати.
Вправа. 19. 1. Написати формули для швидкості рухів, зображених
на рис. 31.
§ 20. Графіки швидкості при будь-якому нерівномірному
русі. У § 15 ми бачили, як можна побудувати наближені графіки
шляху нерівномірного руху, подаючи його як ряд рівномірних
рухів, що йдуть один за одним з різними швидкостями. Тепер
побудуємо так само наближені графіки швидкості. Вони зобра-
жатимуть середні швидкості для проміжків часу, на які поділе-
но даний рух. Наприклад, за графіком шляху рис. 26 бачимо,
Що середні швидкості точки за першу, другу і третю години
дорівнюють відповідно 20, 40 і 15 км/год. Вважаючи рух у
межах кожної години рівномірним (як це й було зроблено при
складанні графіка), дістанемо графік швидкості (рис. 32). Гра-
фік швидкості в межах кожної години зображається відрізком,
паралельним осі часу (§ 13). Вибираючи менші проміжки часу,
56
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
Рис. 32. Графік швидкості для руху, Рис. 33. Графік швидкості для руху,
який описується графіком шляху який описується графіком шляху
рис. 26. рис. 27.
Рис. 35. Графік швидкості для руху,
який описується графіком шляху
рис. 29.
Рис. 34. Графік швидкості для руху,
який описується графіком шляху
рис. 28.
§ 22] ШЛЯХ ПРИ РІВНОМІРНО-ПРИСКОРЕНОМУ РУСІ 57
дістанемо новий, точніший графік швидкості (рис. 33), що від-
повідає графіку шляху (рис. 27). Тут ми вважаємо, що рух
рівномірний протягом кожної півгодини. Ще точнішому графіку
шляху (рис. 28) відповідає ще точніший графік швидкості
(рис. 34) і т. д.
Ми бачимо, що із зменшенням проміжків часу, які ми виби-
раємо, стрибки середньої швидкості при переході від одного
проміжку до іншого стають дедалі меншими: сусідні східці все
менше і менше відрізняються один від одного по висоті. Кінець
кінцем при досить малих проміжках часу наші вимірювальні
прилади перестануть виявляти ці стрибки. Тоді графік швидко-
сті можна буде подати вже не східчастою, а безперервною ліні-
єю (рис. 35, який відповідає рис. 29). Ця лінія даватиме значен-
ня миттєвої швидкості в кожний момент часу.
§ 21. Знаходження шляху, пройденого при нерівномірному
русі, за допомогою графіка швидкості. У § 13 ми бачили, як за
допомогою графіка швидкості можна знайти шлях, пройдений
при рівномірному русі. Як саме знайти пройдений шлях у випад-
ку нерівномірного руху?
Уявимо собі спочатку, що рух зображено наближено, напри-
клад так, як на рис. 32. Тоді площі прямокутників, заштрихова-
них на рисунку, зображатимуть відповідно шлях, пройдений за
першу, другу і третю години руху. Загальна площа, яку займа-
ють ці прямокутники, дорівнюватиме тому повній довжині шля-
ху. Точно так само, тобто як площу графіка швидкості, можна
знайти повну довжину шляху і при точнішому зображенні руху
(заштрихована площа на рис. 33, 34). Звідси робимо висновок»
що площа графіка дасть повну довжину пройденого шляху і в
тому разі, коли даний нерівномірний рух зображено на графіку
точно — безперервною лінією (рис. 35).
Шлях, пройдений за який-небудь проміжок часу, чисельно
виражається площею, обмеженою віссю часу, графіком швидко-
сті і двома вертикальними відрізками, проведеними з точок, які
відповідають початку і кінцю даного проміжку часу. Отже,
висновок, до якого ми прийшли в кінці § 13 для окремого випад-
ку рівномірного руху, справедливий і для загального випадку
довільного нерівномірного руху.
§ 22. Шлях, пройдений при рівномірно-прискореному русі.
Скористаємось тепер графічним способом знаходження пройде-
ного шляху для випадку рівномірно-прискореного руху.
Нехай графік швидкості рівномірно-прискореного руху зо-
бражено прямою ВС (рис. 36). Шлях, пройдений за час і = ОД,
чисельно дорівнює площі трапеції ОВСА:
58
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. ї
Рис. 36. Графічне знаходження
формули шляху, пройденого при
рівномірно-прискореному русі.
5 = Площа ОВСА = 0В+-— О А.
Але ОВ = у0 (початкова швид-
кість), АС = + аі (швидкість
у момент і при прискоренні а).
Отже,
5 =
ц, + (Р. + а*)-, = +
(22. 1)
справедлива
Ця
як для
так і
руху; У
за знаком однакові, а в друго-
му — протилежні.
Для руху з початковою швидкістю, яка дорівнює нулю, на
графіку замість трапеції утвориться прямокутний трикутник
ОВА з катетами ОА = і і АО = V = аі,
так що площа, яка виражає пройдений
шлях, дорівнює
аі • і 1 ,2
—= та/2.
Цю формулу можна було
і безпосередньо з попередньої
припускаючи, що = 0.
На рис. 37 подано графік шляху рів- 4
номірно-прискореного руху з початковою
швидкістю, яка дорівнює нулю. Графік
побудовано за формулою (22.2) (для зна-
чення а =2 м/сек2). Він зображається
кривою лінією, яка піднімається вгору
дедалі крутіше.1 Відстані точок графіка
від осі часу пропорціональні квадратам
відстаней від осі шляху. Така крива на-
зивається параболою,
З формули (22. 2) видно, що при по-
чатковій швидкості, яка дорівнює нулю,
шлях, пройдений при рівномірно-прискореному русі за першу
секунду руху (/ = 1), чисельно дорівнює половині прискорення.
Якщо відомо шлях, пройдений без початкової швидкості за і
секунд, го прискорення можна знайти за формулою
2
-+-4
формула
рівномірно-прискореного,
рівномірно-сповільненого
першому випадку о0 і а
(22. 2)
б знайти
формули,
реному русі.
а =
2з
р
(22.3)
§ 23]
ВЕКТОРИ
59
Якщо початкова швидкість дорівнює нулю, то шлях 5,
пройдений до моменту /, можна подати через ШВИДКІСТЬ V у цей
момент або швидкість—через пройдений шлях. Справді, у цьо-
му випадку V = аі і 5 = -у. Виключаючи з цих виразів і,
знайдемо:
гі2
(22.4)
V = /2а$. (22. 5)
Нарешті, знаючи пройдений шлях і прискорення, можна, ско-
риставшись формулою (22. 2), знайти час руху:
* = (22.6)
Уперше закони рівномірно-прискореного руху тіл винайшов Галілей при
вивченні руху кульки по похилому жолобу (описано в 1638 р.). У той час ще
не було точних годинників Галілей вимірював час руху за допомогою своє-
рідного водяного годинника, зважуючи воду, яка витекла з посудини крізь
вузький отвір. Галілей пускав кульку по похилому жолобу без початкової
швидкості і вимірював відстані, які проходила кулька за час, що відповідає
певній кількості води, яка витекла з посудини. Незважаючи на недоскона-
лість методу вимірювань» Галілеєві вдалося виявити, що шлях, який прохо-
дить кулька, пропорцюнальний квадрату проміжку часу, за який цей шлях
пройдено.
Вправи. 22.1. Написати формули, аналогічні до (22.4) і (22.5), для
випадку початкової швидкості V^, яка не дорівнює нулю.
22.2. Показати, 'користуючись формулою (22.1), що для рівномірно-
прискореного руху шляхи, які проходить точка за будь-які однакові про-
міжки часу, що йдуть один за одним, збільшуються на ту саму величину.
22.3. Показати, користуючись формулою (22.2). що для рівномірно-
прискореного руху без початкової швидкості прирости шляху за будь-які
однакові проміжки часу що йдуть один за одним, дорівнюють подвійному
шляху, який точка проходить за перший такий проміжок часу.
22.4. Паровоз підходить по горизонтальному шляху до уклону, маючи
швидкість 8 місек, потім рухається по уклону вниз з прискоренням 0,2 місек2.
Визначте довжину уклону, якщо паровоз проходить його за ЗО сек.
22.5. Паровоз починає рухатись рівноприскорено в той момент, коли
повз нього пробігає хлопчик, рухаючись рівномірно з швидкістю 2 місек.
Визначити швидкість паровоза в той момент, коли паровоз наздожене хлоп-
чика.
22.6. Автомобіль, пройшовши з сталим прискоренням деяку відстань від
зупинки, досяг швидкості 20 місек. Яка була його швидкість на половині
цієї відстані?
22.7. Який шлях пройшло тіло за час, протягом якого швидкість його
збільшилась від 4 до 12 м/сек, якщо прискорення дорівнює 2 місек2?
§ 23. Вектори. Досі ми розглядали тільки рух точки по зада-
ній прямій. У цьому разі для того, щоб знати переміщення точ-
ки, було досить знати початкове положення точки, а також чис-
лову величину і знак пройденого шляху. Так само, знаючи почат-
кове положення точки, числове значення швидкості і її знак, ми
60
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
могли відповісти на питання, де буде точка через одну секунду,
через дві секунди і т. д.
Але якщо точка може рухатися як завгодно, то цих даних
вже не досить. Простежимо по карті за рухом літака (що летить
горизонтально). Нехай, наприклад, літак перемістився з поло-
ження А в положення В (рис. 38). Відрізок АВ— переміщення
Рис. 38. Переміщення, які не лежать на одній прямій. Дода-
вання переміщень.
літака. Знаючи старе положення тіла і переміщення, можна
знайти нове положення тіла. Проте, на відміну від випадку руху
по заданій прямій, для цього тепер треба знати не тільки число-
ве значення довжини відрізка АВ, а й напрям у просторі, в яко-
му це переміщення відбулося. При іншому напрямі переміщен-
ня, навіть при тій самій його довжині, літак був би в іншій точці
(наприклад, у точці Аї), яка лежить від А на такій самій відста-
ні, що й точка В). Отже, переміщення характеризується не тіль-
ки своєю довжиною, а й напрямом у просторі.
Так само й швидкості та прискорення тіл, які переміщаються
по різних прямих траєкторіях, треба характеризувати не тільки
числовими значеннями, а й напрямами в просторі. Швидкості
точки приписуватимемо той самий напрям, що й переміщенню;
прискоренню приписуватимемо або той самий напрям, або зво-
ротний залежно від того чи зростає швидкість, чи спадає.
§ 23]
ВЕКТОРИ
61
У фізиці часто доводиться зустрічатися з величинами, які,
як і переміщення, швидкість або прискорення, характеризують-
ся не тільки своїм числовим значенням, а й своїм напрямом
у просторі. Ми побачимо, що такими є сили взаємодії між тіла-
ми, напруженості електричних і магнітних полів і т. д. Величи-
ни, які характеризуються своїм числовим значенням і своїм на-
прямом у просторі, називають векторними величинами, або век-
торами. Отже, переміщення, швидкість, прискорення — вектори.
Векторну величину зо-
бражатимемо відповідно
напрямленим
із стрілкою;
відрізка зображатиме у
вибраному масштабі чис-
лове значення векторної
відрізком
довжина
а
величини. Вектори позна- Рис. 39. Додавання двох векторів за пра-
чатимемо або ОДНІЄЮ бук- вилом трикутника (а) і за правилом пара-
вою, надрукованою жир- лелограма (б).
ним шрифтом (а, Л),
або стрілкою, розміщеною над буквою (а, Л), або двома бук-
вами, що позначають початок і кінець відрізка, який зображає
вектор (ЛВ, ЛС).
На відміну від векторів, величини, які характеризуються чис-
ловим значенням, але яким не можна приписати ніякого напря-
му в просторі, називають скалярними величинами, або скаляра-
ми. Скалярами є час, густина речовини, об’єм тіла, температура,
відстань (але не переміщення!) і т. д. Скалярні величини дорів-
нюють одна одній, якщо збігаються за числовим значенням.
Векторні величини дорівнюють одна одній, якщо вони збігаються
за числовим значенням і напрямом.
Уявимо собі, що тіло здійснило одне за одним два перемі-
щення; наприклад, літак пролетів спочатку по шляху, зображе-
ному вектором ЛВ, а потім по шляху, зображеному вектором ВС
(рис. 38). Підсумкове переміщення зобразиться вектором АС.
Його називають сумою даних переміщень. Ми бачимо, що век-
тор суми двох даних переміщень утворюється як сторона три-
кутника, в якому дві інші сторони утворені двома векторами
переміщень, що додаються. Це правило додавання називають
векторним додаванням, або додаванням за правилом трикутни-
ка (рис. 39, а). Звідси випливає, що числове значення суми двох
векторів у загальному випадку не дорівнює сумі числових зна-
чень додаваних векторів: числове значення суми лежить між
сумою і різницею числових значень додаваних векторів. Тільки
тоді, коли додавані вектори розміщені на одній прямій, довжи-
на вектора суми дорівнює сумі довжин складових векторів (як-
62
КІНЕМАТИКА
[РОЗД Т
що вони напрямлені в одну сторону) або їх різниці (якщо вони
напрямлені назустріч один одному). У цьому випадку векторне
додавання переходить в алгебраїчне.
Векторне додавання можна робити також за правилом пара-
лелограма, рівносильного правилу трикутника: при побудові
паралелограма обидва додавані вектори відкладають від однієї
точки і вони є сторонами паралелограма. Тоді діагональ пара-
лелограма, проведена з тієї самої точки, є векторною сумою
(рис. 39, б).
Рис. 40.
Рис. 41. Векторне Рис. 42. Множення
віднімання: вектора на число.
4 = а — Ь.
Векторам протилежного напряму приписують протилежні
знаки. На рис. 40 вектори однакової величини і протилежного
напряму розрізняються тільки знаком: А = —В.
Аналогічно до додавання векторів можна ввести і їх відні-
мання: відняти вектор — це означає додати вектор протилеж-
ного напряму. У паралелограмі одна з діагоналей є сумою век-
торів, які зображаються його сторонами, друга діагональ — їх
різницею (рис. 41).
Якщо додають більш ніж два вектори (наприклад, коли тіло
виконує більш як два послідовних переміщення), то суму век-
торів (сумарне переміщення) можна дістати за допомогою
послідовного прибавляння до першого вектора другого, до їх
суми — третього і т. д. Якщо дане переміщення повторюється 2.
З і т. д. разів, то знайдене переміщення має той самий напрям,
що й вектор одноразового переміщення, а за величиною в два,
три і т. д. разів більше за одноразове переміщення. Таким спо-
собом можна ввести множення вектора на число: вектор, помно-
жений на число, є вектор того самого напряму, числове значен-
ня якого дорівнює числовому значенню вихідного вектора,
помноженого на це число. На рис. 42 яодано вектори а, За
і — 1,5а.
Вправа. 23.1. Довести, що відносно переміщень справедливі закони:
переставний = сполучний а 4 (Ь 4- с) = а 4 Ь 4- с і розпо-
дільний для множення на число т(а Ь ) — та + тЬЛ
§ 24)
РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА НА СКЛАДОВІ
63
§ 24. Розкладання вектора на складові. Будь-який вектор
можна подати як суму кількох векторів. Наприклад, переміщен-
ня тіла можна подати як результат кількох послідовних перемі-
щень, які переводять тіло з того самого початкового в те саме
Рис. 43. Розклад вектора швидкості літака, який
набирає висоту, на вертикальну і горизонтальну
складові.
кінцеве положення. Заміну одного вектора векторною сумою»
кількох інших називають розкладанням вектора на складові.
Складові вектора, звичайно, також вектори. Вектор на складові
можна розкласти нескінченним числом способів, так само як
будь-яку скалярну величину можна розкласти нескінченним чис-
лом способів на доданки.
&7 В6 В5 Вд В3 В2
с
А А, А2 Аз Ад Аз А$ А?
Рис. 44. Розклад вектора АВ, в якому
задано лише напрям АС однією складо-
вою. Вектор А В може бути поданий як
суми векторів ААі і /4ВЬ АА2 і АВ2, АА3
і /4В3 і т. д.
Можна, наприклад, розкласти вектор по двох заданих напря-
мах. Тоді розкладуваний
вектор буде діагоналлю
паралелограма, а з зада-
ними напрямами складо-
вих збіжаться сторони
паралелограма (див., на-
приклад, рис. 43).
Якщо задати напрям
тільки однієї складової,
то задача про розкладан-
ня вектора не матиме ні-
якої певної відповіді; на рис. 44 ми бачимо, що можна побуду-
вати скільки завгодно паралелограмів з заданою діагоналлю
(розкладуваний вектор) і заданим напрямом однієї сторони
(напрям однієї з складових).
Вправа. 24.1. Літак повинен приземлитися в пункті А, що лежить на
відстані 300 км на південний захід від аеродрому вильоту, але спочатку він
повинен скинути вимпел над аеродромом В, що лежить на відстані 400 км
64
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
на південний схід від аеродрому вильоту. Чому дорівнює довжина перемі-
щення ЛВ?
Найчастіше вектори розкладають в напрямах осей якої-
небудь певної прямокутної системи координат (рис. 45). Вибрав-
ши певну систему координат, можна схарактеризувати вектор
величиною і знаком його складових, вже не називаючи їх напряму.
Знак вибирають додатним, якщо напрям складової збігається
ау і проекції ах, ау
вектора а на осі ко-
ординатної системи
Оху.
Рис. 46. Проектування руху точки М на
осі координат.
з додатним напрямом відповідної осі
координат, і від’ємним, якщо ці напрями
протилежні. Величину складової, узятої
з своїм знаком, називають проекцією вектора на напрям відпо-
відної осі. Проекція вектора — скаляр.
Нехай яка-небудь точка рухається по прямій. Виберемо яку-небудь пев-
ну систему координат Оху і спроектуємо рухому точку на осі координат
(рис. 46). На рисунку показані проекції Мх і Му точки, яка займає в даний
момент положення Л4. Під час руху точки рухатимуться і її проекції. Якщо
точка М здійснила переміщення АВ, то за той самий час її проекції здій-
снили переміщення АхВХу АуВу по відповідних осях. З побудови видно, що
/Проекції переміщення рухомої точки М дорівнюють переміщенням її проек-
цій Мх і Му по осях координат. Якщо точка рухалась рівномірно, то проек-
ції також рухались рівномірно. Поділивши переміщення точки і її проекцій
на час і руху точки, знайдемо швидкості V, Vх і точки М і її проекцій.
Можна показати, що проекція швидкості точки дорівнює швидкості руху її
проекції. Так само можна показати, що при нерівномірному русі точки по
прямій проекції її миттєвої швидкості і проекції її прискорення дорівнюють
миттєвим швидкостям і прискоренням її проекцій. Навпаки, коли відомі пере-
міщення, швидкості або прискорення проекцій рухомої точки на осі коорди-
нат, то можна знайти вектор переміщення, швидкості або прискорення, при-
писуючи проекціям напряму відповідних осей координат і додаючи знайдені
складові шуканого вектора за правилом паралелограма.
Отже, замість того, щоб розглядати рух точки в довільному напрямі,
ми завжди можемо розглядати рух тільки вздовж певних прямих — осей
координат. У ряді випадків вибір осей підказують самі умови задачі. Напри-
клад, вивчаючи рух кинутого тіла, зручно вибрати осі координат по вертика-
лі і по горизонталі.
§ 25]
КРИВОЛІНІИНИИ РУХ
65
§ 25. Криволінійний рух. Якщо траєкторія руху точки — кри-
ва лінія, то переміщенням точки, як і раніше, називатимемо
відрізок, який з’єднує її початкове і кінцеве положення. Перемі-
щення не лежатиме на траєкторії, як це було при прямоліній-
ному русі (рис. 47). Проте і при криволінійному русі можна зро-
бити розмітку траєкторії і «прив $
мої точки до відповідних моменті]
ти довжину шляху не по прямій,
а вздовж криволінійної траєкто-
рії, як показано на рисунку.
Величину швидкості криволі-
нійного руху визначають так са-
мо, як і величину швидкості для
прямолінійного руху: як відно-
шення довжини шляху, пройде-
ного точкою вздовж траєкторії
за досить малий проміжок часу,
окремі положення рухо-
часу. Треба тільки відлічува-
Рис. 47. Розмічання криволіній-
ної траєкторії. Переміщення
АВ точки між її положеннями
А і В не лежить на траєкторії.
до величини цього проміжку ча-
су. Поки мова йде тільки про величину швидкості і про довжи-
ну пройденого шляху, при криволінійному русі можна ввести ті
самі поняття рівномірного і нерівномірного (зокрема, рівномір-
но-прискореного) руху, що й для прямолінійного руху. Так само
можна користуватися для розрахунку довжини шляху і величи-
ни швидкості тими самими формулами, що й для прямоліній-
ного руху. Різниця буде тільки тоді, коли ми враховуємо і на-
прям руху.
§ 26. Вектор швидкості криволінійного руху. Який саме на-
прям приписати швидкості криволінійного руху? Адже при кри-
волінійному русі немає якого-небудь певного напряму руху. Від-
повідь на це запитання дамо, вводячи поняття миттєвого напря-
му швидкості, подібно до того, як у § 25 ми ввели поняття
миттєвої величини швидкості.
Для цього розглядатимемо криволінійний рух за малі про-
міжки часу. Чим менші проміжки часу ми братимемо, тим мен-
ше відрізнятиметься відповідна мала дільниця траєкторії від
прямолінійного відрізка, наприклад від своєї хорди. За досить
малий проміжок часу цей рух не відрізнятиметься від прямолі-
нійного. Крім того, для малої дільниці шляху хорда прак-
тично не відрізняється від дотичної, проведеної в будь-якій
точці цієї дільниці траєкторії. Тому миттєвим напрямом
швидкості вважають напрям дотичної в тій точці траєкторії,
де в розглядуваний момент розміщене рухоме тіло. Звичайно,
слово «миттєвий» випускають і кажуть просто про напрям
швидкості.
5 7-103
66
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
Частинки обертового точильного каменя рухаються по ко-
лах. Торкнемося обертового каменя кінцем стального прутка
Рис. 48. Іскри з-під предмета, який
виточують на точильному крузі, ле-
тять по дотичній до круга.
(рис. 48). Ми побачимо іск-
ри— дрібні розжарені частин-
ки, які відриваються від каме-
ня і летять з тією швидкістю,
яку вони мали в останній мо-
мент руху разом з каменем.
Переставляючи пруток по обо-
ду каменя, побачимо, що на-
прям вильоту іскор різний у
різних точках і завжди збігає-
ться з дотичною до кола в тій
точці, де пруток доторкається
до каменя.
Вправа. 26. 1. Для того щоб
бризки від велосипедних коліс не
потрапляли на сідока, над колесами
встановлюють щитки у вигляді дуги
кола з центром на осі колеса. На-
кресліть схематично велосипед з сі-
доком і позначте на рисунку най-
менші розміри щитків, при яких сі-
док буде захищений від бризок.
§ 27. Прискорення при криволінійному русі. Розглядаючи
криволінійний рух тіла, ми бачимо, що його швидкість у різні
моменти різна. Навіть тоді, коли величина швидкості не змінює-
ться, все ж напрям швидкості змінюється. У загальному випад-
ку змінюються і величина, і напрям швидкості.

Отже, у криволінійному русі завжди відбувається зміна
швидкості, тобто цей рух відбувається з прискоренням. Щоб
визначити це прискорення (за величиною і напрямом), треба
знайти зміну швидкості як вектора, тобто зміну величини і
напряму швидкості.
§ 27]
ПРИСКОРЕННЯ ПРИ КРИВОЛІНІЙНОМУ русі
67
Нехай, наприклад, точка, рухаючись криволінійно (рис. 49),
мала в деякий момент швидкість Гі, а через малий проміжок
часу — швидкість Зміна швидкості є різниця між векторами
і Оскільки ці вектори мають різний напрям, то треба
взяти їх векторну різницю. Зміна швидкості зобразиться векто-
ром який зображається стороною паралелограма з діагонал-
лю &2 і другою стороною &і. Прискоренням ми називаємо від-
ношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна
сталася. Отже, прискорення а дорівнює
і за напрямом збігається з вектором тю.
Вибираючи т досить малим, прийдемо до поняття векторного
миттєвого прискорення ( пор. § 16); при довільному т вектор а
буде середнім прискоренням за проміжок часу т.
Напрям прискорен-
ня криволінійного ру-
ху не збігається з на-
прямом швидкості, то-
ді як для прямоліній-
ного руху ці напрями
збігаються. Щоб знай-
ти напрям вектора при-
скорення при криволі-
нійному русі, досить
зіставити напрями
швидкостей у двох
близьких точках траєк-
торії. Через те що
швидкості напрямлені
по дотичних до траєк- Рис 50 прискорення при криволінійному русі
тори, то за виглядом завжди напрямлене в бік угнутості траєкторії,
самої траєкторії можна
зробити висновок, в який бік від траєкторії напрямлене приско-
рення. Справді, оскільки різниця швидкостей у двох близьких
точках траєкторії завжди напрямлена в той бік, куди викрив-
ляються траєкторія, то, отже, і прискорення при криволінійному
русі завжди напрямлене в(бік угнутості траєкторії. Наприклад,
коли кулька котиться по зігнутому жолобу (рис. 50), її приско-
рення на дільницях АВ і ВС завжди напрямлене так, як пока-
зують стрілки, причому це не залежить від того, котиться кулька
від А до С чи в зворотному напрямі.
Розглянемо рівномірний рух точки по криволінійній траєкто-
рії. Ми вже знаємо, що це — прискорений рух. Знайдемо при-
5*
68
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. 1
скорення. Для цього досить розглянути прискорення для окре-
мого випадку рівномірного руху по колу. Візьмемо два близькі
положення А і В рухомої точки, які відповідають малому про-
міжку часу і (рис. 51, а). Швидкості рухомої точки в А і В одна-
кові за величиною, але різні за напрямом. Знайдемо різницю
цих швидкостей, користуючись правилом трикутника (рис. 51,6).
Трикутники ОАВ і О'А'В' подібні як рівнобедрені трикутники
з рівними кутами при вершині. Довжину сторони А'В', яка зобра-
жає приріст швидкості за проміжок часу /, можна припустити
такою, що дорівнює аіу не а — величина шуканого прискорення.
Схожа з нею сторона АВ є хордою дуги АВ\ внаслідок мализ-
ни дуги довжину її хорди можна наближено взяти такою, що
дорівнює довжині дуги,
тобто VI. Далі, 0'4' =
у = О'В' = у; О А = ОВ =
# = /?, де /? — радіус тра-
\ єкторії. З подібності три-
\ X#' кутників випливає, що
/X. \ відношення схожих сто-
/ ^ч. \ о’"' рін у них рівні:
І ^ч^Х аі _ V
І 9
а б звідки знаходимо шука-
не прискорення:
Рис. 51. До виведення формули для від- у2
центрового прискорення. д — _ (27. 1)
Напрям прискорення перпендикулярний до хорди АВ. Для
досить малих проміжків часу можна вважати, що дотична до
дуги практично збігається з її хордою. Отже, знайдене приско-
рення можна вважати напрямленим перпендикулярно («нор-
мально») до дотичної до траєкторії, тобто по радіусу, до центра
кола. Тому таке прискорення називають нормальним, або до-
центровим, прискоренням.
Якщо траєкторія — не коло, а довільна крива лінія, то у
формулі (27. 1) слід узяти радіус кола, який найближче підхо-
дить до кривої у даній точці. Напрям нормального прискорення
і в цьому разі буде нормальний до дотичної до траєкторії в даній
точці. Якщо при криволінійному русі прискорення стале за вели-
чиною і напрямом, то його можна знайти як відношення приро-
сту вектора швидкості до проміжку часу, за який цей приріст
стався, який би цей проміжок часу не був. Отже, у цьому разі
вектор прискорення можна знайти за векторною формулою
а = , (27.2)
§ 28] РУХ ВІДНОСНО РІЗНИХ СИСТЕМ ВІДЛІКУ
яка аналогічна до формули (18. 1) для прямолінійного руху
з сталим прискоренням. Тут — вектор швидкості тіла в почат-
ковий момент проміжку часу і, а V—вектор швидкості в кінце-
вий момент цього проміжку.
§ 28. Рух відносно різних систем відліку. У § 2 ми поясни-
ли, що той самий рух тіла має різний характер залежно від того,
до якої системи відліку він віднесений. Розглянемо випадок,
коли одна з систем відліку рухається відносно другої поступаль-
но. Зрозуміло, що в цьому випадку друга система рухається від-
носно першої також поступально.
Рис. 52. Додавання переміщень при рухах відносно різних систем відліку.
Для прикладу візьмемо за такі системи відліку Землю і
залізничну платформу, яка рухається по прямій дільниці шляху.
Нехай по платформі йде людина. Як, знаючи рух людини від-
носно платформи і рух платформи відносно Землі, знайти рух
людини відносно Землі?
Якщо переміщення людини відносно платформи зображаєть-
ся вектором 5і, а переміщення платформи відносно Землі — век-
тором 5 2, то, як видно з рис. 52, переміщення людини відносно
Землі зобразиться вектором 5, який являє собою діагональ
паралелограма, побудованого на векторах 5і і 52 як на сторо-
нах; це означає, що виконується векторна рівність
5 = 51 + 52. (28. 1)
Так само можна знайти переміщення тіла і в інших випад-
ках: можна показати, що при переході від однієї системи відлі-
ку до іншої переміщення тіла і переміщення системи додаються
векторно.
Якщо рух людини відносно платформи і рух платформи від-
носно Землі — прямолінійні і рівномірні, то рух людини віднос-
но Землі також буде прямолінійним і рівномірним. У цьому разі,
поділивши обидві частини рівності (28. 1) на проміжок часу /,
протягом якого сталися переміщення, знайдемо:
^ = ^1 + ^2, (28.2)
Де — швидкість людини відносно платформи, гг2— швидкість
платформи відносно Землі і V — швидкість людини відносно
Землі. Отже, у цьому разі швидкість тіла і швидкість сисіеми
відліку також додаються векторно.
70
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. !
Якщо людина йде вздовж платформи, так що всі переміщен-
ня відбуваються вздовж однієї прямої, то векторне додавання
переміщень і швидкостей переходить в алгебраїчне, і рівності
(28. 1) і (28. 2) набирають вигляду
5 = 5і + 52, V = V! + ^2-
У цих формулах знаки переміщень і швидкостей, напрямлених
в одну сторону, вважаються однаковими, а напрямлених у про-
тилежні сторони — різними.
Можна довести, що формула (28.2) справедлива і для нерів-
номірних рухів, якщо під величинами гг2, V розуміти миттє-
ві швидкості тіла і системи відліку.
Вправа. 28.1. Показати, що коли людина рухається відносно платфор-
ми прямолінійно, але нерівномірно, а платформа рухається відносно Землі
прямолінійно і рівномірно, то людина може рухатись відносно Землі кри-
волінійно.
Якщо платформа рухаються рівномірно і прямолінійно, то, як
не рухалася б людина по платформі, її швидкість відносно Зем-
лі відрізнятиметься від швидкості відносно платформи тільки
сталою добавкою (^г). Отже, усі зміни швидкості людини бу-
дуть однакові в обох системах, а отже, однакові будуть і при-
скорення людини відносно обох систем.
Таким чином, якщо дві системи відліку рухаються поступаль-
но, рівномірно і прямолінійно одна відносно одної, то приско-
рення тіл відносно обох систем відліку будуть однакові. Швид-
кості руху тіл відносно обох систем, звичайно, будуть різні.
Вправи. 28. 2. За 3 год плавець пропливає в стоячій воді 3 км, а коло-
да вниз за течією — 1 км. Скільки кілометрів пропливає плавець проти
течії за цей самий час?
28.3. Пароплав іде вниз за течією від пункту А до пункту В 2 год,
а вгору проти течії — 3 год. За який час пропливе колода від пункту А до
пункту В?
28.4. Щоб проплисти деяку відстань униз за течією на човні, треба часу
втричі менше, ніж угору проти течії. У скільки разів швидкість човна більша
за швидкість течії?
28.5. Поїзд проходить за 15 сек мимо телеграфного стовпа і за 45 сек
тунель завдовжки 450 м При зустрічі з поїздом завдовжки 300 м обидва
поїзди йдуть один повз одного протягом 21 сек. Знайти швидкість другого
поїзда.
28.6. Гусеничний трактор рухається з швидкістю 5 місек. З якою швид-
кістю рухається відносно Землі: а) верхня частина гусениці, б) нижня части-
на гусениці? Які швидкості цих частин гусениці відносно трактора?
28. 7. Моторний човен у стоячій воді розвиває швидкість 10 км/год. Течія
ріки має швидкість 5 км/год. Скільки часу затратить човен, щоб пройти вгору
проти течії 10 км і спуститись назад на те саме місце?
§ 29. Кінематика космічних рухів. Ми бачили, що для опи-
сання руху точки треба вимірювати довжину шляху, пройдено-
го точкою по її траєкторії, і «прив’язувати» кожне положення
точки на траєкторії до відповідного моменту часу. При вивчен-
§ 29]
КІНЕМАТИКА КОСМІЧНИХ РУХІВ
71
ні руху космічного корабля і взагалі космічних тіл — планет,
Місяця, зір — не може бути, звичайно, мови про безпосередню
розмітку траєкторії. Єдиний спосіб вимірювання відстані до
космічного корабля (і взагалі визначення його положення) —
це передавання сигналів, які можуть поширюватися в космічно-
му просторі, тобто світлових сигналів і радіосигналів. Напри-
клад, можна спостерігати космічний корабель або планету в
телескоп або робити радіолокаційні спостереження планет, або
приймати сигнали, які передає космічний корабель.
Власне кажучи, у цьому немає нічого принципово нового
порівняно з спостереженням рухів предметів на Землі. На Зем-
лі ми також користуємось світловими сигналами (спостережен-
ня рухомого тіла простим оком, фотографування) і радіосигна-
лами (радіолокація). Але між спостереженнями в межах зем-
них відстаней і спостереженнями на величезних дистанціях у
космосі є важлива кількісна різниця. Справді, оскільки кожний
сигнал потребує певного часу для свого поширення від рухомо-
го тіла до спостерігача, то в момент, коли ми спостерігаємо
рухоме тіло, воно вже буде в іншому місці: спостереження події
запізнюється відносно того моменту, коли вона відбулася, на
час пробігу сигналу від рухомого тіла до спостерігача.
Правда, швидкість світла і радіосигналів така велика, що
це зміщення тіла за час запізнювання приходу сигналу буде
невелике порівняно з відстанню до тіла. Наприклад, якби мож-
на було бачити кулю, що летить із швидкістю 800 м/сек на від-
стані 1 км, то, не враховуючи того, що світло, яке приходить
від кулі, запізнюється, ми помилимось у положенні кулі при-
близно на 3 мм. Але в космічному просторі тіла можуть відда-
лятись на дуже великі відстані, і тому ця помилка може значно
зрости. Наприклад, для космічного корабля, який віддаляється
від Землі з тією самою швидкістю 800 м/сек і досяг орбіти Юпі-
тера (при найбільшому зближенні Землі і Юпітера), помилка,
спричинена неврахуванням часу пробігу світлового сигналу або
радіосигналу, досягне вже 1700 км\ Отже, при великих відста-
нях нехтувати часом пробігу сигналу вже не можна; наприклад,
якщо треба передати на космічний корабель яку-небудь коман-
ду (наприклад, увімкнути двигуни) у той момент, коли кора-
бель займає певне положення відносно небесних тіл, то коман-
ду треба послати з випередженням, яке дорівнює часу запізню-
вання сигналу. Крім того, звичайно, повинен бути врахований
такий самий час запізнювання і при визначенні самого положен-
ня космічного корабля. Для поданого прикладу з кораблем,
який досяг орбіти Юпітера, запізнювання сигналу і потрібне
випередження повинні були б дорівнювати 2100 сек. Зрозуміло,
Що запізнювання буде тим більше, чим далі від Землі буде кос-
72
КІНЕМАТИКА
[РОЗД. І
мічний корабель; наприклад, при досягненні орбіти Плутона
потрібне випередження становило б вже 20 000 секу а помилка
в положенні при неврахуванні запізнювання сигналу досягла
б 16 000 км.
На Землі вимірювання часу запізнювання радіосигналу при
проходженні великої відстані використовують при радіолокації.
Радіолокатор посилає потужний радіосигнал у напрямі, де
повинна з’явитися ціль. Ціллю може бути літак, ракета, дощова
хмара, слід метеора в атмосфері — взагалі всяке тіло, здатне
відбивати радіосигнал. Відбитий від тіла сигнал уловлюється
приймачем радіолокатора; спеціальний пристрій вимірює час,
що минув між посиланням сигналу і його прийманням. Оскіль-
ки сигналу довелося пройти відстань від локатора до цілі двічі,
то, очевидно, відстань до цілі дорівнює половині виміряного
проміжку часу між посиланням сигналу і його прийманням,
помноженій на швидкість радіосигналу. Момент локації, тобто
момент відбивання сигналу від цілі,— це півсума моментів поси-
лання і приймання сигналів.
До моменту приймання сигналу локатором ціль встигає зсу-
нутись (від моменту потрапляння сигналу на ціль) на відстань,
яка дорівнює дистанції до цілі, помноженій на відношення швид-
кості цілі до швидкості радіосигналу. Наприклад, при локації
з відстані 1000 км літака, що летить із швидкістю 2000 кмігод^
літак зсунеться приблизно на 2 м.
Уперше швидкість світла було виміряно в космосі; при цьо-
му було використано описане вище явище запізнювання світло-
вого сигналу, що приходить з великої відстані, відносно момен-
ту виходу сигналу. Наприкінці XVII ст. датський учений Олаф
Ремер, спостерігаючи затемнення супутника планети Юпітер,
що потрапляв при кожному оберті навколо планети в її тінь,
помітив, що в той час, коли Земля в своєму річному русі навко-
ло Сонця наближається до Юпітера, проміжки часу між затем-
неннями зменшуються порівняно з часом, коли Земля віддаляє-
ться від Юпітера. Він пояснив цю різницю тим, що при набли-
женні Землі до Юпітера запізнювання, з яким ми спостерігаємо
події, які відбуваються поблизу Юпітера (затемнення супутни-
ка), зменшується, а при віддалянні — збільшується. Сумарна
різниця в запізнюванні повинна дорівнювати часу, який світло
витрачає на проходження діаметра земної орбіти. Отже, швид-
кість світла дорівнює діаметру земної орбіти, поділеному на
найбільшу різницю в запізнюванні спостереження затемнень.
(Докладніше метод Ремера описаний у т. III цього підручника).
Із сказаного випливає, що при «прив’язуванні» спостережува-
них положень космічного корабля (або іншого небесного тіла)
до відповідних моментів часу слід відносити до спостережува-
§ 297 КІНЕМАТИКА КОСМІЧНИХ РУХІВ 73
ного (наприклад, у телескоп) положення не момент спостере-
ження, а раніший — на величину запізнювання сигналу. Звідси
зрозуміло, яку важливу роль відіграє швидкість поширення світ-
ла або радіохвиль при вивченні рухів космічних об’єктів: кос-
мічних кораблів, планет, комет, зір і т. д. Чим далі об’єкт, тим
важливіше врахувати час поширення світла. Ми бачимо далекі
зорі не в тому положенні, в якому вони є сьогодні, а в тому,
в якому вони були роки, тисячі й мільйони років тому. З друго-
го боку, для «земних» рухів запізнювання мале: навіть на про-
біг навколо земного екватора світло затратило б тільки 0,13 сек.
Однак є й на Землі такі рухи, для яких урахування часу
пробігу світла важливе при «прив’язуванні» положень тіла до
моментів часу: це — рухи, за швидкістю порівнянні з світловим
сигналом. «Елементарні частинки» можуть мати швидкості,
дуже близькі до швидкості світла. Щоб визначити положення
таких частинок, урахування часу пробігу світлового сигналу,
звичайно, потрібне, бо вони навіть за малий час встигають наба-
гато зміститися. «Звичайні» тіла — літаки, ракети, снаряди, коли
говорити про найшвидші великі тіла,— рухаються так повільно
порівняно з світловим сигналом, що для них поправка залишає-
ться малою, поки відстані малі.
РОЗДІЛ II
ДИНАМІКА
§ ЗО. Завдання динаміки. У попередньому розділі ми не тор-
калися питання про причини рухів тіл. Тепер розглянемо ці при-
чини. Розділ механіки, в якому вивчають ці питання, називають
динамікою.
Усякий рух відносний (пор. § 2 і 28), і той самий рух, а зна-
чить, і його причини, виглядатимуть зовсім по-різному, якщо
розглядати рух відносно різних систем відліку. Відносно деяких
систем відліку рухи можуть виникати без усяких видимих при-
чин. Наприклад, у поїзді, який різко загальмував свій рух, чемо-
дани злітають з полиць, люди, які спокійно стояли, падають;
у поїзді, який рухається рівномірно і прямолінійно, або на зем-
лі такі явища не спостерігаються. Отже, при розгляді причин
руху різні системи відліку нерівноправні: у деяких системах від-
ліку спостерігається виникнення рухів без видимих причин,
а в інших — не спостерігається. Почнемо вивчення динаміки,
вибравши таку систему відліку, в якій безпричинних рухів
немає, наприклад систему відліку «Земля».
§ 31. Закон інерції. Спостереження і досвід показують, що
тіла дістають прискорення відносно Землі, тобто змінюють свою
швидкість відносно Землі за величиною або за напрямом, тіль-
ки тоді, коли на них діють інші тіла. Щоразу, коли яке-небудь
тіло дістає прискорення відносно Землі, можна назвати інше
тіло, яке це прискорення спричинило. Наприклад, кинутий м’яч
приходить у рух, тобто дістає прискорення, під дією м’язів руки.
Ловлячи м’яч, ми сповільнюємо і зупиняємо його, також діючи
на нього рукою. Пробка повітряного «пістолета» (рис. 53) при-
ходить у рух під дією повітря, яке стискається поршнем. Куля,
яка вилетіла з великою швидкістю під дією порохових газів,
поступово зменшує свою швидкість під дією зустрічного повіт-
ря. Швидкість каменя, кинутого вгору, зменшується під дією
сили притягання Землі; потім камінь зупиняється і починає
ЗАКОН ІНЕРЦІЇ
75
§ Зі]
рухатись униз із швидкістю, яка все збільшується (також вна-
слідок притягання Землі).
У всіх цих та інших таких випадках зміна швидкості, тобто
виникнення прискорення, є результат дії на дане тіло інших тіл,
причому в одних випадках ця дія проявляється при безпосеред-
ньому стиканні (рука, стиснене повітря), а в інших — на відста-
ні (вплив Землі на камінь).
Що ж відбудеться, якщо на дане тіло ніякі інші тіла не
діють? У цьому разі тіло або буде в спокої відносно Землі, або
рухатиметься відносно неї рівномірно і прямолінійно, тобто без
Рис. 53. Повітряний «пістолет».
прискорення. Перевірити простими дослідами, що при відсутно-
сті дії інших тіл дане тіло рухається відносно Землі без приско-
рень, практично не можна, бо не можна повністю усунути дії
всіх навколишніх тіл. Але чим старанніше усунуті ці дії, тим
ближчий рух даного тіла до рівномірного і прямолінійного.
Найважче усунути дію тертя, яке виникає між рухомим тілом
і підставкою, по якій воно котиться або ковзає, або середови-
щем (повітря, вода), в якому воно рухається. Так, стальна куль-
ка, яка котиться по горизонтальній поверхні, посиланій піском,
зупиняється дуже швидко. Але якщо кулька добре відполірова-
на, то, рухаючись по гладенькій, наприклад скляній, поверхні,
вона досить довго зберігає свою швидкість майже незмінною.
У деяких фізичних приладах удається здійснити рух елемен-
тарних частинок, при якому кожна частинка практично не
зазнає дії ніяких інших частинок речовин (для цього з приладу
треба старанно видалити повітря). У цих умовах рух частинок
дуже близький до прямолінійного і рівномірного (завдяки вели-
кій швидкості частинок притягання Землі в таких дослідах
практично не відіграє ролі).
Старанні досліди з вивчення руху тіл уперше виконав Галі-
лей наприкінці XVI і на початку XVII ст. Вони дали змогу вста-
новити такий основний закон:
Якщо на тіло не діють ніякі інші тіла, то тіло зберігає стан
спокою або рівномірного прямолінійного руху відносно Землі.
Як при спокої, так і при рівномірному прямолінійному русі
прискорення немає. Отже, закон, установлений Галілеєм, озна-
76
ДИНАМІКА
[РОЗД II
чає: щоб тіло рухалося з прискоренням відносно Землі, на ньо-
го повинні діяти інші тіла. Причини прискорень — це дії ін-
ших тіл.
Властивість тіл зберігати свою швидкість при відсутності дії
на нього інших тіл і змінювати її тільки внаслідок дії інших
тіл називають інерцією тіл (від латинського слова «іпегііа» —
бездіяльність, косність). Тому й зазначений закон називають
звичайно законом інерції, а рух при відсутності дії на тіло інших
тіл називають рухом з інерції.
Закон інерції був першим кроком в установленні основних
законів механіки, на той час ще зовсім незрозумілих. Згодом
(наприкінці XVII ст.) великий англійський математик і фізик
Ісаак Ньютон (1643—1727), формулюючи загальні закони руху
тіл, включив до їх числа закон інерції як перший закон руху.
Закон інерції часто називають тому першим законом Ньютона.
Отже, тіла дістають прискорення під дією інших тіл. Якщо
дії на різні частини тіла різні, то ці частини дістають різних
прискорень і через деякий час набирають різних швидкостей.
Внаслідок цього може змінитися самий характер руху тіла
в цілому. Наприклад, при різкій зміні швидкості вагона тертя
об підлогу захоплюватиме за собою ноги пасажира, але ні на
тулуб, ні на голову ніякої дії з боку підлоги не буде, і ці части-
ни тіла продовжуватимуть рухатись з інерції. Тому, наприклад,
при гальмуванні вагона швидкість ніг зменшиться, а тулуб і
голова, швидкість яких залишиться без змін, випередять ноги;
внаслідок цього тіло пасажира нахилиться вперед за рухом.
Навпаки, при різкому збільшенні швидкості вагона тулуб і голо-
ва, зберігаючи з інерції попередню швидкість, відстануть від
ніг, які захоплюються вагоном, і тіло пасажира нахилиться
назад.
Такі прояви інерції тіл широко застосовують у побуті і в тех-
ніці. Витрушування запиленої ганчірки, струшування зайвої
краплини чорнила з пера, «скидання» стовпчика ртуті в медич-
ному термометрі — в усіх цих діях використовується інерція
руху тіл (частинок пилу, краплин чорнила, ртуті в капілярі тер-
мометра).
Явище інерції використовується і при побудові детонаторів
артилерійських снарядів. Коли снаряд, ударяючись об перешко-
ду, раптово зупиняється, вибуховий капсуль, розміщений всере-
дині снаряда, але не зв’язаний жорстко з його корпусом, про-
довжує рухатись і наскакує на вістря детонатора, зв’язаного
з корпусом. Так само значне прискорення, яке дістає снаряд
у момент пострілу, використовується для того, щоб відвести
запобіжник, який усуває небезпеку вибуху снаряда при його
зберіганні, при перевезенні або при заряджанні гармати.
$ 33] ПРИНЦИП ВІДНОСНОСТІ ГАЛІЛЕЯ 77
§ 32. Інерціальні системи відліку. Системи відліку, для
яких виконується закон інерції, називають інерціальними систе-
мами. Досліди Галілея показали, що Земля — інерціальна систе-
ма відліку. Але Земля — не єдина така система. Інерціальних
систем відліку — нескінченна множина. Наприклад, поїзд, який
рухається з сталою швидкістю по прямій дільниці шляху,—
також інерціальна система відліку. Тіло дістає прискорення від-
носно поїзда також тільки під дією інших тіл. Наприклад, чемо-
дан, що лежить на полиці вагона, залишиться нерухомим віднос-
но полиці, поки його хто-небудь не зсуне, як і чемодан, що стоїть
на земній поверхні, залишиться нерухомим відносно Землі.
Взагалі всяка система відліку, яка рухається відносно якої-
небудь інерціальної системи (наприклад, Землі) поступально,
рівномірно і прямолінійно,— також інерціальна система. Справ-
ді, у § 28 ми бачили, що в таких системах прискорення тіл
однакові; отже, тіло, на яке не діють інші тіла, рухатиметься
відносно таких систем відліку без прискорення, так само як і
відносно Землі.
Якщо яка-небудь система відліку рухається відносно інер-
ціальної системи поступально, але не рівномірно і прямолінійно,
а з прискоренням або ж обертаючись, то така система не може
бути інерціальною. Справді, відносно такої системи тіло може
мати прискорення навіть при відсутності дії на нього інших тіл.
Наприклад, тіло, яке перебуває в спокої відносно Землі, матиме
прискорення відносно поїзда, який гальмує свій рух, або поїзда,
що проходить закруглення шляху, хоч ніякі тіла цього приско-
рення не спричинюють.
Слід зазначити, що досліди Галілея, як і всякі досліди, були
зроблені з певним ступенем точності. Згодом за допомогою пиль-
ніших досліджень установили, що Землю можна вважати інер-
ціальною системою тільки наближено: у руках відносно неї
є порушення закону інерції. Точно інерціальною системою від-
ліку є система, зв’язана з Сонцем та іншими зорями, а Земля
рухається відносно Сонця і зір з прискоренням і обертається
навколо своєї осі. Однак порушення закону інерції для Землі як
системи відліку дуже малі. Ми розглянемо їх у розд. VI, а поки
Що вважатимемо Землю інерціальною системою.
Крім розд. VI, ми скрізь користуватимемось інерціальними
системами відліку. У більшості питань про рухи на поверхні
Землі братимемо за систему відліку Землю. Вивчаючи рух пла-
нет, вибиратимемо за систему відліку Сонце і зорі.
§ 33. Принцип відносності Галілея. Ставитимемо різні меха
нічні досліди у вагоні поїзда, що йде рівномірно по прямоліній-
ній дільниці шляху, а потім повторимо ті самі досліди на зупинці
78
ДИНАМІКА
[РОЗД. її
або просто на земній поверхні. Вважатимемо, що поїзд рухається
зовсім без поштовхів і що вікна в поїзді завішені, так що
не видно, рухається він чи стоїть. Нехай, наприклад, пасажир
ударить по м’ячу, що лежить на підлозі вагона, і виміряє швид-
кість, якої м’яч набуде відносно вагона, а людина, що стоїть
на землі, ударить так само по м’ячу, що лежить на землі, і вимі-
ряє швидкість, якої набув м’яч відносно землі. Виявляється, що
м’ячі набудуть однакової швидкості, кожний відносно «своєї»
системи відліку. Так само яблуко впаде з полиці вагона за тим
самим законом відносно вагона, за яким воно падає з гілки
дерева на землю. Виконуючи різні механічні досліди у вагоні, ми
не могли б з’ясувати, чи рухається вагон відносно землі чи стоїть.
Усі такі досліди і спостереження показують, що відносно
всіх інерціальних систем відліку тіла набувають однакових при-
скорень при однакових діях на них інших тіл: усі інерціальні
системи зовсім рівноправні відносно причин прискорень. Це
положення вперше встановив Галілей; воно називається за його
ім’ям принципом відносності Галілея.
Отже, коли ми говоримо про швидкість якого-небудь тіла,
ми обов’язково повинні зазначити, відносно якої інерціальної
системи відліку її виміряно, бо в різних інерціальних системах
ця швидкість буде різна, хоча б на тіло і не діяли ніякі інші
тіла. Прискорення тіла буде однаковим відносно всіх інерціаль-
них систем відліку. Наприклад, відносно вагона дане тіло може
мати швидкість нуль, маючи відносно землі швидкість 100 км/год
і водночас маючи відносно системи відліку «Сонце і зорі» швид-
кість ЗО км/сек (швидкість Землі в її русі навколо Сонця). Але
якщо пасажир ударив по м’ячу, то прискорення м’яча буде тим
самим (наприклад, 25 м/сек2) і відносно поїзда, і відносно Зем-
лі, і відносно Сонця і зір. Тому кажуть, що відносно різних
інерціальних систем відліку прискорення абсолютне, а швид-
кість відносна.
§ 34. Сили. Дії тіл одного на одне, які створюють приско-
рення, називають силами. Усі сили можна поділити на два
основні типи: сили, які діють при безпосередньому стиканні,
і сили, які діють незалежно від того, чи стикаються тіла чи ні,
тобто сили, які можуть діяти на відстані.
Для того щоб одне тіло могло діяти на інше при безпосе-
редньому стиканні, перше повинно бути в особливому стані:
щоб рука діяла на м’яч, м’язи руки повинні бути скорочені; щоб
діяти на пробку іграшкового пістолета, повітря або пружина
повинні бути стиснуті і т. д. Стиски, розтяги, згини і т. д.— це
зміни форми або об’єму тіл порівняно з їх вихідним станом.
Такі зміни називають деформаціями і при наявності їх кажуть,
§ 34]
сили
79
що тіло деформоване. М’язи, пружини, газ і т. д. повинні бути
в деформованому стані, щоб діяти на тіла, які стикаються з
ними, з деякою силою. Ці сили в більшості випадків діють тіль-
ки доти, доки тіла деформовані, і зникають разом із зникнен-
ням деформацій. Такі сили називають пружними. Крім пружних
сил, при безпосередньому стиканні можуть виникати ще й сили
тертя. Приклади: сила тертя між бандажем колеса залізнично-
го вагона і притиснутою до нього гальмівною колодкою; сила
тертя, яка діє на тіло, що рухається
у в’язкій рідині («опір середовища»).
Для сил, які діють на відстані, не-
має такої простої
картини взаємодії
сил, як для пружних
тіл. Важливий при-
клад сил, які діють
на відстані, — сили
всесвітнього тяжіння
і, як окремий випа-
док, сила земного
тяжіння. Падіння ті-
ла, тобто наявнІСТг» рис 54 Магніт діє на інший магніт, що міститься
Прискорення, напря- від нього на деякій відстані.
мленого вниз, у тіла
піднятого над Землею і залишеного самого на себе, показує,
що з боку Землі на нього діє сила, хоч під час падіння тіло і не
стикається з Землею.
Сили всесвітнього тяжіння, які діють між предметами нашо-
го щоденного життя, дуже малі порівняно з іншими силами, які
діють між ними. Наприклад, гумова нитка довжиною в 1 м
і поперечником в 1 мм, розтягнута всього на 1 мм, діє з силою
пружності, яка в мільйони разів перевищує силу взаємного-
тяжіння між двома кілограмовими гирями, що стоять на від-
стані 1 м одна від одної. Але якщо одне (або обидва) з тіл, які
притягуються,— де величезне небесне тіло, то сили всесвітнього
тяжіння також будуть величезними. Так, Земля притягує кіло-
грамову гирю в 1011 раз більше, ніж притягуються гирі в наве-
деному прикладі, а Сонце притягує Землю, в 4* 1021 раз більше,
ніж Земля притягує гирю.
Крім сил тяжіння, на відстані діють також магнітні і елек-
тричні сили. Якщо до магніту, який плаває у воді на поплавку,
наблизити другий магніт так, щоб вони не доторкалися один до
одного, то магніт на поплавку набуде прискорення і або почне
наближатися до другого магніту, або відштовхнеться від нього,
залежно від взаємного розміщення їх полюсів (рис. 54). Елек-
ЗО ДИНАМІКА [РОЗД. II
трично заряджені тіла, перебуваючи на відстані одне від одного,
притягуються або відштовхуються залежно від того, різнойменні
чи однойменні їх заряди.
§ 35. Зрівноважувальні сили. Про спокій тіла і про рух з
інерції. Якщо на тіло діє тільки одна сила, то воно обов’язково
дістає прискорення. Але якщо на тіло діє не одна, а дві або
більша кількість сил, то іноді може трапитись, що тіло приско-
рення не матиме, тобто або залишиться в спокої, або рухати-
меться рівномірно і прямолінійно. У таких випадках говорять,
що всі сили взаємно зрівноважуються і що кожна з них зрівно-
важує всі інші.
Найпростішим є випадок, коли на тіло діють дві сили, які
зрівноважують одна одну: при їх сумісній дії тіло не набуває
прискорення. Як показує дослід, такі сили, діючи на тіло кожна
окремо, надали б йому однакових прискорень, напрямлених про-
тилежно. Діючи разом на яке-небудь інше тіло, ці сили знову
взаємно зрівноважилися б, а діючи окремо, надали б йому при-
скорень іншої величини, але також таких, іцо дорівнюють одне
одному і напрямлені протилежно. Тому зрівноважувальні сили
вважають однаковими за величиною і протилежними за напря-
мом. Наприклад, на гирю, підвішену на пружині, діє сила при-
тягання Землі (вниз) і однакова з нею сила пружності пружи-
ни (вгору), які зрівноважують одна одну.
Отже, якщо прискорення тіла дорівнює нулю, то це озна-
чає, що на нього не діють сили або рівнодійна всіх сил, які
діють на тіло, дорівнює нулю: всі сили взаємно зрівноважу-
ються.
Тут треба мати на увазі таке. Серед сил, які діють на тіла, що рухаються
рівномірно і прямолінійно, звичайно є сили, що діють у напрямі руху, які
ми створюємо навмисно, наприклад сила тяги гвинта літака, що обертається
від двигуна, або сила м’язів людини, що везе санчата. Часто кажуть навіть:
«літак летить, бо на нього діє сила тяги гвинта»; «санчата ковзають, бо на
них діє зусилля людини», і т. д.
Однак при цьому часто випускають з уваги сили, напрямлені протилеж-
но руху: опір повітря для літака, що летить, тертя полозків об лід для
санчат і т. д. Для рівномірності і прямолінійності руху необхідно, щоб
навмисно створені сили саме зрівноважували сили опору. Іноді кажуть, що
тіло рухається рівномірно і прямолінійно, якщо на нього не діють ніякі сили.
Ми бачимо, що правильніше говорити: «тіло рухається рівномірно і прямо-
лінійно, якщо результуюча всіх сил, які на нього діють, дорівнює нулю».
У попередніх параграфах, говорячи про рух з інерції або про спокій тіл,
ми розглядали саме такі випадки; наприклад, під час кочення кульки по склу
сила тяжіння зрівноважувалась пружністю скла, сила тяжіння підвішеного
тіла зрівноважувалась пружністю нитки і т. д.
Причина того, що сили опору часто випадають з уваги учня на протилеж-
ність «рушійним» силам, які впадають в очі, така. Щоб створити силу тяги
гвинта, на літак треба поставити двигун, витрачати на нього бензин, мастило;
щоб рухати санчата, треба тягти за вірьовку, стомлювати свої м’язи. Водночас
§ 36] СИЛА - ВЕКТОР. ЕТАЛОН СИЛИ 81
сили опору виникають, так би мовити, «безкоштовно», завдяки тільки наяв-
ності руху. Для їх виникнення під час руху тіла не треба ні двигунів, ні
м’язових зусиль їх джерело або в невидимому повітрі, або в частинках льо-
ду, які стикаються з полозками. Щоб звернути на ці сили увагу, їх треба
ще виявити, тоді як «рушійні» сили — предмет нашої спеціальної турботи
і затрат зусиль та матеріалів.
До досліджень Галілея вважали, що коли на тіло діятиме одна сила,
то воно рухатиметься рівномірно в напрямі цієї сили; тут, звичайно, випус-
кали з уваги силу тертя. Дія сили, напрямленої вперед, справді необхідна
для рівномірності руху, але саме для того, щоб зрівноважувати силу тертя.
Тіло рухається без прискорення як у випадку, коли на нього не діють
ніякі сили, так і у випадку, коли діюч'і сили зрівноважують одна одну. Проте
говорять, що тіло рухається «з інерції» тільки тоді, коли в напрямі руху
сили відсутні: сили, напрямленої вперед, немає, а силою тертя або опору
середовища можна знехтувати.
Щоб краще зрозуміти сказане, розглянемо ще, як виникає рівномірний
прямолінійний рух із стану спокою. Візьмемо для прикладу електровоз, який
везе поїзд. У перший момент, коли двигун увімкнутий, але поїзд не зрушив
з місця, сила тяги електровоза, що діє через зчеплення на состав, вже велика
і перевищує силу тертя коліс вагонів об рейки. Тому поїзд починає рухатися
вперед з прискоренням. Із збільшенням швидкості сили опору (тертя коліс
і опір повітря) зростають, але, поки вони залишаються менші за силу тяги,
швидкість поїзда зростатиме. При дальшому збільшенні швидкості надлишок
тяги порівняно з силами опору буде дедалі меншим і, нарешті, «ці сили
зрівняються одна з одною. Тоді зникне й прискорення: дальший рух буде
рівномірним. Якщо збільшити тягу (збільшивши струм, що проходить через
>двигун), то рівновага сил порушиться, і поїзд знову набуде прискорення впе-
ред. Швидкість знову почне зростати, поки опір, що зростає із збільшенням
швидкості, не зрівноважить нову, збільшену силу тяги. Навпаки, якщо змен-
шити силу тяги, ослаблюючи струм, що проходить через двигун, то рівновага
сил знову порушиться, поїзд набуде від’ємного прискорення (бо тепер сила
опору буде більша за тягу електровоза) і сповільнюватиме свій рух. Але при
цьому зменшуватиметься і сила опору; коли вона зрівняється із зменшеною
силою тяги, рух знову буде рівномірним, але вже при меншій швидкості.
Нарешті, при вимиканні струму тяга зникне, і швидкість поїзда безперервно
спадатиме внаслідок дії сил опору, поки поїзд не зупиниться. •
§ 36. Сила — вектор. Еталон сили. Спостерігаючи приско-
рення, яке дістає яке-небудь тіло під дією різних сил, ми помі-
тимо, що прискорення можуть бути різними. Отже, можна роз-
різняти сили, які діють на тіло, за величиною, тобто можна вимі-
рювати сили. Дослід показує, крім того, що для різних сил
будуть різні і напрями прискорень, яких набуває тіло. Отже,
сила характеризується і своєю величиною, і своїм напрямом:
сила є вектор.
За напрям даної сили беруть напрям прискорення, надава-
ного нею якому-небудь тілу, при умові, що на тіло не діють
ніякі інші сили. Такий вибір напряму сили зроблено тому, що
напрям прискорення під дією даної сили однаковий для будь-
якого тіла. Проте використовувати цей самий дослід для визна-
чення величини сили не можна, бо величина прискорення для
різних тіл різна.
Щоб виміряти величину сили, необхідно, по-перше, вибрати
6 7-103
82
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
еталон сили 5, по-друге, встановити спосіб порівняння інших сил
з еталоном, тобто самий спосіб вимірювання сил. За еталон
Рис. 55.
Найпрості-
ший еталон
сили — дія
пружини,
розтягнутої
до позначки
А.
можна вибрати, наприклад, яку-небудь пружну
силу. Оскільки пружні сили залежать від величини
деформації, за еталон можна взяти силу, з якою
яка-небудь певна пружина, відповідно розтягнута,
діє на тіло, прикріплене до одного з її кінців.
Такий еталон у принципі можна здійснити, на-
приклад, у вигляді циліндричної пружини, що має
покажчик, який дає змогу щоразу встановлювати
той самий розтяг пружини (рис. 55). Сила, з якою
діє така розтягнута пружина, має напрям, який збі-
гається з віссю пружини, бо (при відсутності інших
сил) тіло, прикріплене до кінця пружини, дістає
прискорення саме в напрямі осі. Отже, наш еталон
являтиме собою силу певної величини і відомого
напряму.
Проте на практиці такий еталон сили незручний:
пружні властивості пружини залежать від темпера-
тури, можуть змінюватись з перебігом часу і т. д.
Тому прагнуть вибрати еталон так, щоб мінливість
властивостей пружини не могла проявлятись. Це
можна зробити так. Виберемо яку-небудь пружину
і підвісимо до неї яку-небудь певну гирю. Гиря
почне опускатися, розтягуючи пружину, поки та не
розтягнеться до певної довжини, після чого розтяг
пружини припиниться і гиря зупиниться: сила тя-
жіння гирі буде зрівнова-
Рис. 56. При підвішуванні тієї самої гирі
до різних пружин пружини діють на гирю
з однаковою силою.
жена силою пружності
пружини.
Якби ми підвісили ту
саму гирю до іншої пру-
жини, то розтяг був би
іншим. Але сила, яка діє
з боку нової пружини на
гирю, дорівнюватиме си-
лі, з якою діяла перша
пружина, бо в обох ви-
падках сили пружності
пружини зрівноважують
силу тяжіння тієї самої
гирі (рис. 56). Отже, ко-
ристуючись якою-небудь
певною вибраною гирею,
§ 371
ДИНАМОМЕТРИ
83
ми можемо встановити, як треба розтягувати будь-яку пружину
для того, щоб вона діяла з певною силою, тобто могла бути
еталоном сили. Щоб мати силу, яка дорівнює еталону, але
напрямлена не по вертикалі вгору, а в будь-якому напрямі, мож-
на використати нитку, перекинуту через блок, як показано на
рис. 57 (сила з боку нитки завжди діє вздовж нитки).
Отже, важке завдання — виготовити і зберігати еталонну
пружину при певному розтязі — ми замінюємо простішим —
виготовленням і зберіган-
ням еталонної гирі. За
зразок такої гирі-еталона
взято платинову гирю, яка
зберігається в Міжнарод-
ному бюро мір і ваги в
Парижі і називається
кілограмом. Будь-яка
пружина, розтягнута під-
вішеною до неї гирею-
еталоном, діятиме з пев-
ною силою, яку назива-
ють кілограм-сила і по-
значають кГ.
Поряд з одиницею си-
ли 1 кГ, часто застосову-
ють одиницю сили в тися-
чу раз меншу (грам-сила,
яку позначають Г) і оди-
ницю сили в тисячу раз
більшу (тонна-сила, яку
позначають Т):
1 Т = 1000 кГ;
1 кГ = 1000 Г.
Рис. 57. Одержання еталонної сили, напрям
леної під будь-яким кутом до вертикалі.
Означення, яке ми дали силі в один кілограм, треба уточни-
ти. Справа в тому, що та сама гиря спричинить різний розтяг
тієї самої пружини залежно від того, де саме на поверхні Землі
виконати дослід. Однак ця відмінність для різних точок земної
поверхні невелика, тому ми поки що не братимемо її до уваги.
До останнього часу силу, яка дорівнює 1 кГ, широко засто-
совували в техніці як одиницю сили. Тепер рекомендованою оди-
ницею сили як у фізиці, так і в техніці є прийнята в системі Сї
одиниця сили, яка приблизно в 10 раз менша за силу в 1 кГ
(див. нижче, § 45).
§ 37. Динамометри. Щоб створити пружну силу, яка дорів-
нює подвійному, потрійному і т. д. значенню еталонної сили,
6*
84
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
треба розтягувати пружину відразу двома, трьома і т. д. еталон-
ними гирями. Можна, вибравши певну пружину, позначити, при
яких розтягах вона діє 3 силою, що дорівнює подвійній, потрій-
ній і т. д. еталонній силі. Проградуйовану так пружину назива-
ють динамометром (рис. 58).
Можна також створити певну частину еталонної сили, розтя-
гуючи пружину гирею, яка становить відповідну частину ета-
лонної гирі. Виготовимо, наприклад, сто таких однакових гирок,
щоб усі вони разом розтягли пру-
Й----------------А—-д жину саме настільки, як еталонна
І Я гиря; кожна з гирок окремо роз-
тягне пружину наскільки, як і
будь-яка інша з них. Тому ми
вважаємо, що пружина, розтяг-
нута однією маленькою гиркою,
діє з силою, яка дорівнює 7юо ета-
лонної сили; пружина, розтягнута
двома гирками, діє з силою, яка
дорівнює 2/юо еталонної сили,
і т. д. Вимірюючи розтяги пружи-
ни динамометра при дії таких
гирок, можна нанести на його
• шкалу і дробові частини еталон-
-Ц ної сили.
0-| При розмічанні шкали дина-
Ц_______________2 мометра легко помітити, що
/ Ц ш подвійній силі відповідає подвій-
/ ---г Ш ний розтяг пружини, потрійній
/ / силі — потрійний і т. д., тобто
розтяг пружини і пружна сила,
Рис. 58. Градуювання динамо- З ЯКОЮ ДІЄ динамометр, пропор-
метра. ціональні одне одному. Це дає
змогу дуже просто розмічати
шкали динамометрів. Позначивши нуль шкали (відсутність
тягарця) і, наприклад, розтяг, який відповідає 10 еталонним
гирям, ми можемо поділити знайдену відстань на шкалі на
10 однакових частин: пересування кінця пружини на одну таку
позначку означатиме зміну сили, з якою діє динамометр, на
одну еталонну силу.
Слід мати на увазі, що ця пропорціональність зберігається
тільки для досить малих деформацій; крім того, вона завжди
порушується при непружній деформації, тобто коли деформа-
ція не зникає після зникнення сили.
На рис. 59 зображено один з поширених типів динамометрів
з циліндричною пружиною. Таким динамометром можна вимі-
§ 37]
ДИНАМОМЕТРИ
85
рювати силу, з якою ми тягнемо тіло. На рис. 60 зображено
динамометр іншої конструкції, що має пружинні скоби, кінці
яких жорстко з’єднані між собою. За допомогою такого дина-
мометра можна вимірювати як тягнучу, так і штовхаючу силу.
Маючи динамометри, ми можемо вимірювати сили, які діють
з боку одних тіл на інші як при безпосередньому стиканні, так
Рис. 59. Динамометр.
Зліва — зовнішній ви-
гляд, справа — внут-
рішня будова.
і «на відстані». Як вимірювати силу
притягання тіла Землею, ми вже
бачили: для цього досить підвісити
тіло до динамометра. Силу, з якою
магніт / діє на магніт //, якщо на-
близити на деяку відстань півден-
ний полюс (5) першого до північ-
ного полюса (IV) другого магніту
(рис. 61), можна визначити так.
Прикріпивши до візка // динамо-
метр, закріплений нерухомо другим
кінцем, наблизимо до нього візок /;
Рис. 60. Динамометр,
який діє і на стискання,
, і на розтяг.
ми побачимо, що візок II в свою чергу трохи наблизиться до
візка /, розтягуючи пружину динамометра, після чого візок II
зупиниться, а це означатиме, що шукана сила, з якою магніт І
діє на магніт //, дорівнює силі, з якою динамометр діє на візок.
Але цю останню силу ми можемо безпосередньо визначити за
показами динамометра.
Для. вимірювання сили, що діє з боку одного тіла на інше
при безпосередньому стиканні, динамометр можна використати
трохи інакше. Наприклад, для вимірювання сили, з якою люди-
на тягне санчата, досить поставити між рукою і вірьовкою дина-
мометр (рис. 62). Його покази і дадуть нам силу, з якою рука
86
ДИНАМІКА
ІРОЗД. ІТ
тягне за вірьовку. Напрям сили збіжиться з напрямом осі пру-
жини динамометра.
Ми вже говорили, що різні сили спричинюють різні приско-
рення в розглядуваного тіла. Користуючись динамометрами, ми
Рис. 61. Вимірювання сили взаємодії магнітів за допомогою дина-
мометра.
можемо встановити найважливішу властивість сил: чим більша
сила (наприклад, чим більше розтягнутий динамометр, прикрі-
плений до тіла, на яке він діє), тим більше прискорення тіла.
Кількісні співвідношення між силами і прискореннями ми
з’ясуємо в § 42.
Рис. 62. Динамометр показує силу, з якою рука тягне за вірьовку.
§ 38. Точка прикладання сили. Сили, які діють при безпосе-
редньому стиканні, діють по всій стичній поверхні тіл. Напри-
клад, молоток, який ударяє по головці цвяха, діє на всю голов-
ку. Але якщо площа стикання тіл мала, то можна вважати, що
сила діє тільки на одну точку тіла. Наприклад, можна вважати,
§ 40]
ДОДАВАННЯ СИЛ, НАПРЯМЛЕНИХ ПО ОДНІЙ ПРЯМІЙ
87
що нитка, за яку тягнуть візок, діє на візок тільки в точці, де
вона прив’язана до візка. Ця точка називається точкою прикла-
дання сили.
Спочатку ми розглядатимемо тільки такі випадки, коли мож-
на назвати точку прикладання сили. Такі сили ми зображатиме-
мо напрямленими відрізками, початок яких лежить у точці при-
кладання сили, напрям збігається з напрямом сили, а величина
зображає в деякому масштабі величину сили. Наприклад, на
рис. 62 стрілка показує силу, яка діє з боку вірьовки на сан-
чата.
§ 39. Рівнодійна сила. Якщо на дане тіло діє одночасно кіль-
ка сил, то їх дію на рух тіла можна замінити дією однієї сили Ч
Таку заміну називають додаванням сил. Дані сили називають
доданками, або складовими, а силу, яка їх замінює,— їх сумою,
або рівнодійною. Правила додавання сил установлюють дослі-
дом. Рівнодійна зрівноважувальних сил, наприклад двох сил,
однакових за величиною і протилежних за напрямом, дорівнює
нулю (див. § 35).
Зауважимо, що рівнодійна замінює дію кількох сил тільки
відносно руху тіла в цілому: рівнодійна сила надає тілу того
самого прискорення, що й усі складові, які діють на тіло одно-
часно, а сила, яка зрівноважує рівнодійну, зрівноважить одно-
часну дію всіх складових. Але, звичайно, рівнодійна не замінить
дії складових в інших відношеннях. Досить навести такий при-
клад: розтягнемо пружину обома руками. Сили, які діють на
пружину, однакові і прямо протилежні, і, отже, їх рівнодійна
дорівнює нулю: справді, пружина в цілому залишається в спо-
кої. Проте, якби на пружину взагалі не діяли ніякі сили, то
рівнодійна, як і раніше, дорівнювала б нулю, але пружина не
була б розтягнута.
Замість того, щоб шукати рівнодійну, можна шукати силу,
яка зрівноважує дані сили при їх одночасній дії на тіло; рівно-
дійна дорівнює зрівноважувальній силі і протилежна їй за
напрямом.
§ 40. Додавання сил, напрямлених по одній прямій. Розгля-
немо випадок, коли всі сили діють на дане тіло вздовж однієї
прямої, наприклад горизонтальної. Спочатку зрівноважимо силу
тяжіння, яка діє на дане тіло вертикально вниз. Для цього
досить підвісити тіло на нитці: трохи розтягнувшись, нитка ство-
рить силу пружності, яка й зрівноважить силу тяжіння. При
відсутності інших сил нитка розміститься вертикально.
1 Крім одного важливого випадку «пари сил», який буде розглянуто
окремо в § 79.
88
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
Тепер до тіла збоку прикріпимо нитки з динамометрами; ці
динамометри дадуть можливість визначити сили, з якими нитки
діють на тіло. Нехай справа на тіло діють у горизонтальному
напрямі дві нитки з силами її і /2, а зліва — одна (рис. 63).
З якою силою Із повинна діяти ліва нитка, щоб нитка, на якій
підвішено тіло, була вертикальною, тобто щоб сили /2 і Із вза-
ємно зрівноважились? Дослід показує, що для цього повинна
виконуватись рівність
І3= 11+ І2’
Рис. 63. Динамометр й вимірює ршнодійну сил її і /2» напрями яких збігають-
ся: /з = }і + І2- Динамометр й' вимірює рівнодійну сил /і і /з, напрямлених
протилежно: (2 = Із — /ь
При цьому сили її і /2, з одного боку, і сила /з, яка зрівноважує
їх, з другого, напрямлені протилежно. Такі самі співвідношення
будуть і в усіх інших випадках додавання сил, напрямлених по
одній прямій. Рівнодійна двох сил, що діють одночасно по одній
прямій, дорівнює сумі цих сил і напрямлена вздовж тієї самої
прямої в той самий бік.
Кожну з сил /і, /2, Із можна вважати* силою, яка зрівноважує
сумісну дію двох інших. Так, сила /2 є зрівноважувальною для
сил /і і Із. Але І2 = Із—її- Отже, рівнодійна сил її і Із дорівнює
силі І2 і напрямлена протилежно їй: рівнодійна двох сил, які
діють по одній прямій у різні сторони, за величиною дорівнює
різниці сил і напрямлена в бік більшої з сил.
Отже, сили, напрямлені вздовж однієї прямої, додаються
алгебраїчно.
Такі самі співвідношення можна виявити і у випадку, коли
на тіло вздовж однієї прямої діє будь-яка кількість сил.
§ 41]
ДОДАВАННЯ СИЛ, НАПРЯМЛЕНИХ ПІД КУТОМ
89
§ 41. Додавання сил, напрямлених під кутом одна до одної.
Розв’язання задачі про додавання кількох сил, напрямлених під
кутом одна до одної, почнемо з випадку, коли на тіло діють
тільки дві сили, які не лежать на одній прямій. У цьому випад-
ку, як показує дослід, рівновага тіла неможлива; отже, рівно-
дійна таких сил не може дорівнювати нулю. Наприклад, на тіло,
підвішене на нитці, діє вертикально сила тяжіння, і якщо нитка
(а отже, і сила натягу нитки) розміщена похило до вертикалі,,
то тіло не залишається ----------
у спокої. На цьому
грунтується будова
виска.
Ще один приклад:
до тіла, підвішеного на
нитці, прикріпимо два
динамометри, розміще-
ні горизонтально під
кутом один до одного
(рис. 64). Легко пере-
вірити на досліді, що
і в цьому випадку тіло
не буде в спокої і нит-
ка не залишиться вер-
тикальною ні при яко-
му розтязі динамомет-
рів.
Тепер шукатимемо
рівнодійну двох сил,
напрямлених під кутом
Рис. 64. Якщо динамометри розтягнуті, то
рівновага вантажу при вертикальному
положенні нит^и неможлива.
одна до одної. Оскільки рівнодійна дорівнює за величиною
і протилежна за напрямом зрівноважувальній силі (див. § 39),
то для розв’язання задачі досить знайти умови рівноваги
тіла під дією трьох сил (двох даних і третьої зрівноважу-
вальної). Щоб знайти ці умови, поставимо дослід, в яко-
му величини і напрями рсіх сил легко визначити. Зв’яжемо
три нитки, прив’яжемо до них різні тягарці і перекинемо дві з
ниток через блоки (рис. 65). Вузол зупиниться в деякому поло-
женні і залишиться в спокої; отже, це положення буде положен-
ням рівноваги. При цьому всі нитки розмістяться в одній, вер-
тикальній площині. На вузол діють сили Рі, Г<ь \ які дорів-
нюють силі тяжіння тягарців і напрямлені вздовж ниток. Кожна
з цих сил зрівноважує дві інші. Зобразимо сили, які діють на
вузол, відрізками, відкладеними від вузла, що йдуть уздовж
ниток і дорівнюють, у вибраному масштабі, величинам сил.
Виявляється, що при рівновазі відрізок, який зображає будь-яку
90
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
Рис. 65. Умови рівноваги трьох сил,
які діють під кутом одна до одної.
з цих сил, дорівнює за величиною діагоналі паралелограма,
побудованого на відрізках, які зображують дві інши сили, і
напрямлений протилежно діагоналі. Ці паралелограми показано
на рисунку пунктиром. Отже, діагональ паралелограма зображає
рівнодійну двох сил, зображених його сторонами. Таким чином,
сили додаються (як і переміщення) за правилом паралелограма,
тобто за правилом векторного додавання.
З правила паралелограма сил випливає, що величина рівно-
дійної сили залежить не тільки від величин додаваних сил, а
також і від кута між їх напря-
мами. При зміні кута величина
рівнодійної змінюється в ме-
жах від арифметичної суми
сил (якщо кут дорівнює нулю)
до арифметичної різниці їх
(якщо кут дорівнює 180°).
В окремому випадку додаван-
ня двох однакових сил можна,
залежно від кута між силами,
дістати будь-яке значення рів-
нодійної в межах від подвоєної
сили до нуля.
Замість правила паралело-
грама, можна застосовувати
правило трикутника, як ми це
робили для векторів перемі-
щень. При додаванні більше
двох сил можна або додавати
їх векторно одну до одної, або
будувати з векторів ламану;
тоді рівнодійна зобразиться
ланкою, яка замикає ламану. При рівновазі ламана замкнеться:
рівнодійна дорівнюватиме нулю. Наприклад, ламана з трьох
зрівноважувальних сил утворює трикутник.
§ 42. Зв'язок між силою і прискоренням. У § 31 ми виклали
закон інерції, з якого випливає, що тіло набуває прискорення,
тільки тоді, коли на нього діє сила. Якщо прискорення всіх
точок однакові, то можна приписати це прискорення тілу в ціло-
му. У цьому разі можна поставити задачу: з’ясувати зв’язок між
величиною сили, яка діє на тіло, і величиною прискорення, яко-
го надає тілу ця сила. Вважатимемо, що на тіло діє тільки одна
сила; якщо сил багато, то розглядатимемо їх рівнодійну.
Повсякденні спостереження показують, що величина приско-
рення, яке надається даному тілу, тим більша, чим більша сила,
§ 421
ЗВ’ЯЗОК між СИЛОЮ І ПРИСКОРЕННЯМ
91
яка діє на нього: м’яч набуде тим більшого прискорення (і вна-
слідок цього набуде тим,більшої швидкості), чим сильніше ЙОГО
вдарили; потужний локомотив, який розвиває велику силу тяги,
надає поїзду більшого прискорення, ніж маневровий паровичок,
і т. д. Грубо кількісний зв’язок між силою, яка діє на дане
тіло, і прискоренням, якого воно набуває, можна встановити
на такому досліді. Нехай рухомий візок прикріплений за допо-
могою пружинного ди-
намометра до переки-
нутої через блок нитки
з тягарцем на кінці
(рис. 66). Тягарець
розтягує пружину, яка
надає своєю силою
пружності прискорення
візку. Чим більший під-
вішений тягарець, тим
більше розтягнута пру-
жина і тим більше при-
скорення візка. Заува-
жимо, що показ дина-
мометра буде мегіший,
ніж при підвішуванні
Рис. 66. Вивчення залежності між силою і
прискоренням тіла Шляхи, які проходить
візок, позначаються крапельницею.
тягарця до нерухомого
динамометра, тобто
менший, ніж сила тяжіння тягарця. Причину цього пояснимо в §52.
Спостерігаючи розтяг динамометра під час руху візка, вияви-
мо, що він не змінюється. Отже, сила, яка діє на візок, стала.
її величину безпосередньо дає показ / динамометра. Шлях 5,
який проходить візок за різні проміжки часу і від початку руху,
можна визначати, користуючись, наприклад, крапельницею.
Вимірювання покажуть, що шлях, пройдений візком, пропор-
ціональний квадрату проміжку часу, що минув від початку руху.
Це означає, що візок рухається рівномірно-прискорено (§ 22).
Прискорення а знайдемо з формули
25
а 12 '
Тепер підвішуватимемо до кінця нитки різні тягарці; тоді
на візок діятиме щоразу інша сила. Визначивши динамометром
величини сил, які діють на візок у кожному випадку (/ь /2, /з, ...),
і знайшовши прискорення аь а2, Дз, •••» які надаються візку, ми
впевнимось, що прискорення візка прямо пропорціональні силам,
які діють на нього:
Л_ _ /2 __ /я_
а2
92
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
Дослід показує, що не тільки в цьому прикладі, айв усіх
інших випадках прискорення даного тіла пропорціональне силі,
яка діє на нього. Звідси випливає, що для знаходження приско-
рень, які надаються даному тілу' різними силами, досить тільки
один раз виміряти і силу, яка діє на тіло, і прискорення, яке
вона спричиняє: якщо потім на те саме тіло, подіяти іншою
силою, то прискорення, яке виникає, зміниться в стільки ж разів,
у скільки разів змінилася сила.
Звичайно, такі досліди з візком дуже грубі для точного вста-
новлення закону пропорціональності між силами і прискорення-
ми. Однак за допомогою все точніших методів вимірювань,
зокрема за даними точних астрономічних спостережень, було
встановлено, що пряма пропорціональність між силою, яка діє
на дане тіло, і прискоренням, яке вона надає йому, дуже точно
-справджується на досліді.
§ 43. Маса тіла. Отже, для даного тіла прискорення, якого
надає йому яка-небудь сила, пропорціональне цій силі. Порів-
няємо тепер прискорення, які надають сили різним тілам. Ми
побачимо, що прискорення, яке виникає, визначається не тільки
силою, а й тим, на яке тіло ця сила діє. Наприклад, тягтимемо
різні тіла за допомогою динамометра, стежачи за тим, щоб у всіх
випадках показ динамометра був однаковим, тобто щоб на тіла
діяла та сама сила. Для цього можна, наприклад, видозмінити
описаний у попередньому параграфі дослід, вибираючи різні
візки або встановлюючи на візки різні тіла і підбираючи щора-
зу такий тягарець на кінці нитки, перекинутої через блок, щоб
показ динамометра був однаковий у всіх дослідах. Вимірюючи
прискорення, які виникають у таких дослідах, ми впевнимося
в тому, що, взагалі кажучи, різні тіла набувають при дії тієї
самої сили різних прискорень: різні тіла мають різну властивість
інерції. Можна ввести поняття про міру інерції тіл, вважаючи
міру інерції двох тіл однаковою, якщо під дією однакових сил
вони набувають однакових прискорень, і вважаючи міру інерції
тим більшою, чим меншого прискорення набуває тіло під дією
даної сили.
Що ж визначає міру інерції різних тіл? Від яких їх власти-
востей залежить величина прискорення, надаваного даною
силою? Або, навпаки, якими властивостями тіла визначається
величина сили/ потрібної для надання даного прискорення?
Дослід показує, що для тіл, виготовлених з тієї самої речовини,
наприклад з алюмінію, прискорення, спричинюване даною
силою, тим менше, чим більший об’єм тіла, причому прискорен-
ня обернено пррпорціональне об’єму тіла. Але якщо виконувати
досліди з тілами, виготовленими з різних матеріалів (напри-
МАСА ТІЛА
93
§ 43]
клад, із заліза, алюмінію, дерева), то ніякого зв’язку з об’ємом
тіл не виявиться: тіла різних об’ємів набуватимуть під дією тієї
самої сили різних прискорень, а для одержання однакових при-
скорень доведеться підібрати об’єм залізного тіла менший, ніж
алюмінієвого, а алюмінієвого — менший, ніж дерев’яного. «Яке
повинне бути співвідношення об’ємів тіл, виготовлених з різних
матеріалів, щоб під дією однакових сил вони набували однако-
вих прискорень, заздалегідь дізнатися не можна. Треба визна-
чити безпосередньо, який об’єм повинно мати алюмінієве або
дерев’яне тіло для того, щоб воно набувало під дією заданої
сили того самого прискорення, що й дане залізне тіло. Такі
тіла, які набувають під дією тієї самої сили однакових приско-
рень, ми можемо вважати механічно еквівалентними. Отже, ми
повинні вважати однаковою і міру інерції цих тіл.
Таким чином, міру інерції тіла треба визначити безпосеред-
ньо механічним способом — вимірюванням прискорення, ство-
рюваного даною сидюю. Міру інерції тіла називають масою
і позначають звичайно буквами М або т.
Отже, маса тіла є його характерна фізична властивість, яка
визначає співвідношення між силою, що діє на це тіло, і приско-
ренням, якого вона надає тілу. Оскільки сила і прискорення,
якого надає вона даному тілу, пропорціональні одне одному, то
маса тіла визначається як відношення сили /, що діє на тіло,
до прискорення а, якого надає ця сила, тобто
т = |. (43.1)
Подіявши на дане тіло якою-небудь силою / і вимірявши
прискорення ау якого надає ця сила, ми можемо визначити за
цією формулою масу тіла т. Для даного тіла завжди дістава-
тимемо те саме значення т, з якою б силою ми не подіяли на
тіло.
Користуючись цим способом вимірювання маси, ми можемо
на досліді з’ясувати, чому, наприклад, дорівнює маса тіла,
складеного з кількох інших тіл, або яка маса певної частини тіла
відомої маси. Якщо виміряти маси /пь т2у т3у ... кількох тіл,
а потім з’єднати всі ці тіла в одне (наприклад, скріпивши їх
разом) так, щоб під дією сил вони всі набували того само-
го прискорення, і виміряти масу т утвореного тіла, то виявить-
ся, що
т = гпг + т2 + т3 + ...
Навпаки, якщо дане тіло поділити на частини, то сума мас
окремих частин дорівнюватиме масі вихідного тіла. Зокрема,
якщо однорідне тіло маси т поділити на п однакових за об’є-
мом частин, то маса кожної частини дорівнюватиме т[п.
94
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
Дуже важливе таке доповнення до сказаного: виберемо різ-
ні тіла, що мають однакову масу. Якщо ці тіла по черзі підві-
шувати до динамометра, то динамометр покаже щоразу той
самий розтяг пружини, а якщо на підставі динамічних дослідів
виявилося, що маса одного тіла в п раз більша за масу друго-
го, то перше тіло в п раз більше розтягне пружину динамомет-
ра, ніж друге. Це означає, що сила притягання тіл Землею про-
порціональна їх масам. Цей цікавий факт дає змогу порівню-
вати маси, не надаючи тілам прискорення. Ми ще повернемось
до цього питання в § 56.
§ 44. Другий закон Ньютона. Виконуючи досліди з дією сил
на тіла, ми встановили пропорціональність між величиною
сили /, яка діє на дане тіло, і величиною прискорення а, якого
ця сила надає даному тілу, а також ввели нову величину — масу
тіла т.
Згадаємо тепер, що за напрям сили ми взяли напрям при-
скорення, якого вона надає тілу (§ 36), тобто за означенням
вектори / і а збігаються за напрямом. Отже, формулу (43. 1)
можна переписати у вигляді векторної рівності:
/ = та. (44.1)
Нагадаємо, що тут /—рівнодійна всіх сил, які діють на дане
тіло, т — його маса і а — прискорення, якого набуває це тіло
під дією сили/.
Ця формула виражає основний закон руху, відомий під
назвою другого закону Ньютона (перший закон — закон інер-
ції; § 31). Другий закон Ньютона можна сформулювати так:
Сила, яка діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на при-
скорення, створюване цією силою, причому напрями сили і при-
скорення збігаються.
Формулу (44. 1) можна записати ще в такому вигляді:
« =4 , (44. 2)
і закон Ньютона подати в трохи іншій формі: прискорення,
надаване тілу, прямо пропорціональне силі, яка діє на тіло,
обернено пропорціональне масі тіла, а напрямлене так само, як
і сила. Зокрема, звідси випливає, що при дії однаковими сила-
ми на різні тіла вони набувають прискорень, обернено пропор-
ціональних своїм масам; і навпаки, якщо різні тіла дістають
прискорення, обернено пропорціональні своїм масам, то це озна-
чає, що сили, які діють на ці тіла, однакові за величиною.
Якщо сила сталого напряму почала діяти на тіло, що пере-
буває в спокої, або якщо сила, яка діє на рухоме тіло, напрям-
лена паралельно швидкості тіла (тіло, яке падає без початкової
ДРУГИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
95
§ 44]
швидкості; тіло, підкинуте вертикально вгору), то тіло рухати-
меться прямолінійно. Для цього випадку закон Ньютона можна
записати в скалярній формі:
г = та або а = —.
т
При цьому під дією сталої сили тіло незмінної маси рухатиметь-
ся з сталим прискоренням, тобто рівномірно-прискорено. Якщо
сила змінюється з часом, то змінюється і прискорення. У цьому
разі формула (44. 2) дає значення миттєвого прискорення (див.
§ 27), спричиненого силою, що діє в даний момент. Якщо сила
залишається сталою, а змінюється маса тіла, до якого прикла-
дена сила, то прискорення також буде змінним. Прикладом
тіла змінної маси може бути ракета, яка викидає під час польо-
ту продукти згоряння, внаслідок чого її маса зменшується.
Якщо при цьому сила, яка діє на ракету, не змінюється, то при-
скорення її зростає (див. нижче, § 188).
Якщо сила .напрямлена під кутом до швидкості тіла, то воно
рухається криволінійно (наприклад, тіло, кинуте горизонталь-
но). Криволінійний рух вивчатимемо в розд. V.
У другому законі Ньютона маємо, як окремий випадок, пер-
ший закон, або закон інерції. Справді, з формули (44. 2) видно,
що коли І = 0, то й а = 0, тобто якщо на тіло не діють сили (або
сили діють, але їх рівнодійна дорівнює нулю), то й прискорен-
ня дорівнює нулю і, отже, тіло зберігає стан спокою або рівно-
мірного прямолінійного руху.
Приклади прояву другого закону Ньютона зустрічаються на
кожному кроці. Електровоз розганяє поїзд з тим меншим при-
скоренням, чим більша повна маса поїзда. Відштовхуючи з
однаковою силою від берега порожній і важко навантажений
човен, змусимо перший з них рухатися з більшим прискорен-
ням, ніж другий. Якщо тіло лежить на твердій опорі, то, при-
кладаючи до нього малу силу, ми не зсунемо його з місця, бо
при цьому виникне сила тертя об опору (див. § 64), яка зрівно-
важить прикладену силу: результуюча дорівнюватиме нулю.
Але якщо тіло плаває на воді, то сила тертя об воду, яка вини-
кає, на початку руху дуже мала; тому вона не зрівноважить
прикладеної сили і рівнодійна не дорівнюватиме нулю: тіло
почне рухатись.
Яка б не була мала результуюча сила, що діє на тіло, при-
скорення виникне; але воно може бути таким малим, що треба
буде багато часу, щоб помітно змінити швидкість. Так, натис-
каючи на масивний дерев’яний брусок, що плаває у воді, гнуч-
кою скляною ниткою (рис. 67), побачимо, що брусок набирає
помітної швидкості тільки через 1—2 хвилини. Водночас брус-
ку значно меншої маси можна надати за допомогою тієї самої
96
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
нитки значно більшого прискорення. На пристанях можна спо-
стерігати, як робітник, з усієї сили впираючись багром у борт
великої баржі, витрачає кілька хвилин на те, щоб надати їй
ледве помітної швидкості.
У формулі другого закону Ньютона а — це прискорення тіла
в його русі відносно Землі. Але, як ми знаємо (§ 33), присксх-
рення буде таким самим, якщо розглядати рух тіла відносно
будь-якої іншої інерціальної системи. А сили, які діють на тіло.
а б і
Рис. 67. При однаковій силі, яка діє на плаваючий брусок, швидкість збіль-
шується: а) повільно у великого бруска; б) швидше в малого бруска.
являють собою дії на це тіло інших тіл і не залежать від того,
відносно якої системи відліку ми визначаємо прискорення цьо-
го тіла. Не залежить від вибору системи відліку і маса тіла.
Тому закон Ньютона залишається справедливим і при розгляді
руху відносно будь-якої іншої інерціальної системи, наприклад
відносно корабля, який рівномірно рухається прямим курсом по
спокійному морю, або відносно поїзда, що йде з сталою швидкі-
стю по прямій дільниці, ї т. д. Докладніше про це питання буде
сказано в розд. VI.
В п р а в а. 44. 1. Використовуючи другий закон Ньютона, поясніть: а) Чо-
му падіння на мерзлу землю небезпечніше, ніж на пухкий сніг? б) Чому,
стрибнувши з висоти кількох поверхів на натягнутий брезент (рис. 68), мож-
на залишитись неушкодженим?
Закон Ньютона був відкритий при вивченні рухів, які відбуваються
в звичайних умовах на Землі і при вивченні рухів небесних тіл. В обох випад-
ках швидкості тіл малі порівняно з швидкістю світла (300 000 км/свк).
З швидкостями, які наближаються до швидкості світла, фізики зустрілись
тільки при вивченні руху елементарних частинок, наприклад електронів і про-
тонів у прискорювачах —установках, в яких на елементарні частинки діють
електромагнітні сили, що їх розганяють. Для таких швидкостей другий закон
Ньютона неправильний. За законом Ньютона, коли діє стала сила, напрямле-
на вздовж траєкторії частинки, то частинка повинна була б мати стале
§ 45]
ОДИНИЦІ СИЛИ І МАСИ
97
прискорення, тобто її швидкість по-
винна була б рівномірно зростати.
Однак виявилося, що хоч на початку
розгону другий закон Ньютона і ви-
конується, а частинка рухається рів-
номірно-прискорено, проте, в міру
того, як досягнута частинкою швид-
кість наближається до швидкості
світла, прискорення стає все мен.
шим і меншим, тобто закон Ньютона
порушується. При тривалій дії при-
скорювача швидкість частинки зро-
стає дедалі повільніше, наближа-
ючись до швидкості світла, але
ніколи її не досягаючи. Напри-
клад, при швидкості тіла, яка дорів-
нює 0,995 швидкості світла, при-
скорення, якого набуває тіло при силі,
що діє в напрямі руху тіла, ста-
новить всього 0,001 від прискорення,
розрахованого за формулою закону
Ньютона. Навіть при швидкості, яка
дорівнює лише одній десятій швид-
кості світла, зменшення прискооення
Рис. 68. Боєць пожежної команди
стрибає на натягнутий брезент.
порівняно з розрахованим за законом
Ньютона становитиме ще 1,5%. Але
для «малих» швидкостей, які зустрі-
чаються в щоденному житті, і навіть
для швидкостей космічних тіл по-
правка така мала, що нею можна знехтувати. Наприклад, для Землі,
яка обертається навколо Сонця з швидкістю ЗО км/век, зменшення прискорення
становитиме всього мільйонну частку процента.
Отже, другий закон Ньютона можна застосувати тільки до тіл, швид-
кість яких мала порівняно з швидкістю світла.
§ 45. Одиниці сили і маси. Для того щоб робити розрахунки
на підставі другого закону Ньютона, треба вибрати одиниці сили
і маси так, щоб виконувалось співвідношення
І ОДИНИЦЬ СИЛИ /ЛГ- їх
т одиниць маси = ----------------------. (45. 1)
а одиниць прискорення ' '
Одиниці можна вибирати по-різному. Можна, наприклад, вибра-
ти за одиницю силу, з якою спеціальна гиря-еталон (див. § 36)
притягується Землею, тобто кілограм-силу (кГ). Якщо ще взяти
за одиницю довжини метр і за одиницю часу секунду, то за оди-
ницю маси треба буде взяти масу такого тіла, яке під дією сили
в 1 кГ набуде прискорення 1 м/сек2. Цю одиницю, яку широко
застосовують у технічних розрахунках, часто називають техніч-
ною одиницею маси (скорочено т. о. м.). Згідно з формулою
<45. 1), цю одиницю можна записати так:
1 т. о. м. = . 1 *Г2- = 1 кГ • сек2/м.
1 м/сек2
1 7-103
98
ДИНАМІКА
[РОЗД. ТІ
Цим позначенням можна користуватися для переходу від одних оди-
ниць до інших (так само, як ми користувались аналогічними позначеннями
для переходу від одних одиниць до інших для швидкості і прискорення, див.
§ 11 і 16). Так, якби ми вибрали за вихідні одиницю довжини сантиметр,
одиницю часу секунду і одиницю сили грам-силу, то за одиницю маси треба
було б вибрати таку масу, яка під дією сили в 1 Г набуває прискорення
І см/сек2. Цю одиницю можна було б записати у вигляді
Одиниця маси = :—1 Г , = 1 Г • сек2/см.
1 см/свк^
Наприклад, маса в 5 т.о.м. у цих нових одиницях маси дорівнюватиме:
с г кГ • сек2 с 1000 Г -сек2 сл п 2/
5 т.о.м. = 5---------= 5 —-----------*= 50 Г-сек2 см.
м 100 см
Подібно до цього можна подати одну одиницю маси через іншу:
1 кГ • сек2/м = 10 Г • сек2/см.
1 Г • сек2/см = 0,1 кГ • сек2/м.
Ми бачимо, що для встановлення одиниці маси нам непо-
трібний був еталон маси. Справді, ми маємо еталон сили (кГ),
довжини (м) і часу (сек), за допомогою яких могли бути вибрані
одиниці для вимірювання сили і прискорення. Користуючись спів-
відношенням / = та, ми можемо за допомогою цих двох одиниць
визначити і одиницю для вимірювання третьої величини — маси.
Зрозуміло, що те саме співвідношення можна було б викорис-
тати й для іншого вибору одиниць, а саме, вибравши відповідні
еталони, а отже, і одиниці для маси та прискорення, визначити
за їх допомогою одиницю сили. Такий спосіб установлення оди-
ниць маси і сили дуже поширений при фізичних вимірюваннях.
За еталон маси взято масу платинової гирі, про яку ми вже зга-
дували. Масу еталона називають кілограмом маси і позначають
кг на відміну від кілограм-сили, який позначають кГ. Цю масу
й узято за одиницю маси в системі СІ.
Звернемо увагу на те, що означення цих двох величин, які
дістали майже однакові назви (кілограм-сила і кілограм-маса),
і позначення (кГ і кг) грунтуються на зовсім різних механічних
властивостях того самого тіла — паризької гирі-зразка: сила
визначена за притяганням зразка Землею, а маса — як міра
інертності гирі, тобто за її здатністю набувати тих або інших
прискорень під дією різних сил.
Отже, в системі СІ вживаються такі одиниці, які визначають-
ся відповідними еталонами: одиниця довжини — метр, одиниця
часу — секунда і одиниця маси — кілограм. При такому виборі
одиниць немає потреби в еталоні сили. Одиниця сили визна-
чається без еталона на підставі співвідношення / = та. А саме,
у системі СІ за одиницю сили беруть таку силу, яка, діючи на тіло
з масою 1 кг, надає йому прискорення 1 м/сек2. Цю одиницю
сили називають ньютоном (скорочене позначення: н).
§46]
ПРО СИСТЕМИ ОДИНИЦЬ
99
Згідно з тією самою формулою (45.1), можна записати цю
одиницю у вигляді
1 н = 1 кг • 1 м/сек2 = 1 кг • м/сек2.
На підставі тих самих еталонів можна цибрати й інші одиниці
для фізичних величин. Часто користуються як одиницею довжи-
ни сантиметром, як одиницею маси — грамом (0,001 еталона
маси; скорочене позначення: г) і як одиницею часу — секундою.
Тоді за одиницю сили беруть силу, яка надає тілу з масою 1 н
прискорення 1 см/сек2. Цю одиницю сили називають диною
(скорочене позначення: дин).
Легко знайти співвідношення між ньютоном і диною:
1 н = 100000 дин.
Між різними одиницями сили і різними одиницями маси існу-
ють певні співвідношення, походження яких буде зрозумілим
з дальшого (див. § 56):
1 кГ = 9,80665 н\ 1 т.о.м. = 9,80665 кг\
1 « = 0,1019716 кГ\ 1 кг = 0,1019716 т.о.м.
Для наближених розрахунків користуватимемось круглими
числами:
1 кГ = 9,8 н\ 1 т.о.м. = 9,8 кг*
1 « = 0,102 кГ\ 1 /сг = 0,102 т.о.м,
а для грубих розрахунків:
1 кГ = 10 «, 1 т.о.м. = 10 кг.
Дина — дуже мала одиниця сили, вона майже в мільйон раз
менша за кілограм-силу. Мурашка, яка тягне гілочку, діє на неї
з силою приблизно 100 дин.
Вправи. 45.1. Снаряд, маса якого 15 кг, при пострілі набуває швидко-
сті 600 м/сек. Знайти середню силу, з якою порохові гази діють на снаряд,
якщо довжина ствола гармати дорівнює 1,8 м (рух снаряда в стволі вважати
рівномірно-прискореним).
45.2. За який найменший час можна пересунути по горизонтальній під-
лозі на відстань 10 м тягар масою 50 кг, коли відомо, що вірьовка, за яку
тягнуть тягар, розривається при натягу, що перевищує 20 кГ, а для того,
щоб зсунути тягар з місця або рухати його рівномірно, перемагаючи силу
тертя, досить прикладати силу в 10 кГ?
§ 46. Про системи одиниць. Для того шоб при розрахунках
користуватися написаними нами формулами механіки, слід
додержуватись певної системи у виборі одиниць. Якщо, напри-
клад, при користуванні формулою
7*
100
ДИНАМІКА
(РОЗД. ТІ
ми подамо силу в кГ, а масу в т.о.м., то прискорення ми повинні
будемо подати в м/сек2. Вибравши довільно одиниці для деяких
механічних величин, ми вже не можемо вибирати одиниці для
інших величин також довільно. Наприклад, вибравши одиниці
сили і прискорення, ми не зможемо довільно вибрати одиницю
маси.
Внаслідок цього при виборі одиниць вимірювання роблять
так. Для деяких величин вибирають еталони і за одиницю фізич-
ної величини беруть величину самого еталона або якусь певну
його частину. Так було вибрано одиницю довжини — метр (або
одиницю довжини — сантиметр, яка визначається як сота части (
на еталона метра), одиницю вимірювання часу—секунду, оди-
ницю маси — кілограм (або одиницю маси грам, означену як
0,001 частину еталона кілограм-маси), одиницю сили — кілограм-
силу.
Фізичні величини, одиниці яких установлені на підставі спеці-
ально вибраних зразків-еталонів, називають основними величи-
нами.
Коли встановлені еталони для кількох основних величин, оди-
ниці ряду інших фізичних величин можна вводити, вже не виби-
раючи окремого еталона для кожної з них. Такі величини ми
назвемо похідними. Для деяких похідних величин зв’язок їх оди-
ниць з одиницями основних величин дається самим означенням
похідної величини. Наприклад, швидкість означена як відношен-
ня довжини шляху до проміжку часу. Отже, якщо за одиницю
довжини взято метр, а за одиницю часу — секунду, то за одини-
цю швидкості можна взяти 1 м/сек. Тільки тоді швидкість дорів-
нюватиме зазначеному співвідношенню. При іншому виборі оди-
ниць, наприклад при виборі за одиницю швидкості 1 см/сек, фор-
мула, яка виражає швидкість V через пройдений шлях 5 м і
проміжок часу і сек, мала б вигляд
V см/сек = 100 • .
► сек
Отже, у всі співвідношення між новою фізичною величиною —
швидкістю — і основними величинами (довжиною і проміжком
часу) довелося б вводити числовий коефіцієнт, який залежить від
того, як ми вибрали одиницю вимірювання нової величини
(у нашому прикладі цей коефіцієнт дорівнює 100).
В інших випадках зв’язок між основними одиницями і одини-
цею якої-небудь похідної фізичної величини встановлюється
фізичним законом. Так, наприклад, другий закон Ньютона, напи-
саний у вигляді рівності І = та, встановлює не тільки те, що сила
пропорціональна масі і прискоренню, а й те, що за одиницю сили
взято силу, яка надає тілу масою, що дорівнює одиниці, при-
скорення, яке дорівнює одиниці. І якщо при одиниці довжини 1 м
5 46]
ПРО СИСТЕМИ ОДИНИЦЬ
101
і одиниці часу 1 сек за одиницю маси взято 1 кг, то за одиницю
сили можна вибрати силу в 1 н. Якби ми вибрали іншу одиницю
сили, наприклад 1 дин, то у формулу закону Ньютона довелося б
ввести числовий коефіцієнт 100 000:
/ дин = 100 000 т кг • а м/сек2.
Сукупність усіх основних одиниць і похідних одиниць, які спи-
раються на них, вибраних так, що всі зазначені вище числові
коефіцієнти перетворюються в одиницю, називають абсолютною
системою одиниць. Виявилося, що в механіці можна обмежитись
тільки трьома еталонами фізичних величин і відповідно трьома
основними одиницями вимірювань цих фізичних величин. При
цьому в усіх випадках як два еталони застосовують еталони дов-
жини і часу. Третій еталон, спеціально вибрана гиря, як ми вже
бачили, може бути використаний і як еталон маси, і як еталон
сили.
Залежно від цього останнього вибору можна побудувати дві
групи систем одиниць: першу, в якій основними є одиниці дов-
жини, часу і маси (а сила є похідною одиницею), і другу, в якій
основними є одиниці довжини, часу і рили (а маса є похідною
одиницею).
До останнього часу обидві ці групи систем одиниць широко
застосовували — першу переважно у фізиці, другу в техніці.
Однак на XI Міжнародній генеральній конференції з мір і ваги
в жовтні 1960 р. було прийнято єдину міжнародну систему оди-
ниць СІ, яка належить до першої групи. Цій єдиній системі за
рішенням конференції слід віддавати перевагу в усіх галузях
йауки, техніки і народного господарства. Як ми вже говорили,
у системі СІ як три основні одиниці, що застосовуються в меха-
ніці, вибрано одиницю довжини метр (1 м), одиницю часу
секунду (1 сек) і одиницю маси кілограм (1 кг), означені так,
як показано вище.
Поряд з системою СІ, до тієї самої першої групи систем оди-
ниць належить система, в якій за одиницю довжини взято санти-
метр (1 см), за одиницю маси — грам (1 г), а одиницею часу, як
і в системі СІ, є секунда. Ця система одиниць називається СГС
(від початкових букв назв основних одиниць — сантиметр, грам,
секунда), або фізичною системою одиниць. Система СГС, яку
давно і широко застосовують у фізиці, очевидно, застосовувати-
меться і в майбутньому.
До другої групи систем одиниць належать ті, в яких основни-
ми взято одиниці довжини, часу і сили. Найбільш поширена
серед них система, в якій одиницею довжини є метр (1 м), оди-
ницею сили — кілограм-сила (1 кГ) і одиницею часу — секунда
(і сек). Цю систему, яку називають МКСС (також від початкових
102
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
букв основних одиниць), часто називають технічною, бо її широ-
ко використовують у техніці. Як і систему СГС, її також, оче-
видно, застосовуватимуть ще довгий час. Тому в дальшому ми
(крім рекомендованої як єдиної системи СІ) користуватимемось
також системами СГС і МКСС.
Слід мати на увазі, що, крім одиниць, які входять у певну
систему, часто використовують ще одиниці, які не входять
у жодну систему (позасистемні, «дикі» одиниці). Прикладами
таких одиниць можуть бути година, хвилина, одиниця сили тонна
(Т), одиниця швидкості км/год, одиниця довжини світловий рік
і т. д.
Підведемо підсумки сказаному у вигляді таблиці.
Фізика, СГС Техніка, МКСС Фізика і тех- ніка, СІ
Є еталони Довжини, часу і маси Довжини, часу і сили Довжини, часу і маси
На підставі вибору етало- нів установлено одиниці Прискорення 1 см/сек2 Маси 1 г Прискорення 1 м/сек2 Сили 1 кГ Прискорення 1 м/сек2 Маси 1 кг
На підставі другого закону Ньютона встановлено оди- ниці Сили 1 дин Маси 1 т.о.м. Сили 1 н
Само собою зрозуміло, що кожна з цих трьох систем одиниць
придатна як для наукових, так і для технічних розрахунків.
Користування тією чи іншою системою може становити деякі
практичні зручності, але ніяких принципових переваг одна систе-
ма перед іншою не має.
§ 47. Третій закон Ньютона. При співударі двох більярдних
куль змінюють свою швидкість, тобто набувають прискорення,
обидві кулі. Коли при формуванні залізничного состава вагони
наштовхуються один на одного, буферні пружини стискаються
в обох вагонів. Земля притягує Місяць (сила всесвітнього тяжін-
ня) і примушує його рухатись по криволінійній траєкторії; у свою
чергу Місяць також притягує Землю (також сила всесвітнього
тяжіння). Хоч, природно, у системі відліку, зв’язаній з Землею,
прискорення Землі, яке спричинює ця сила, не можна виявити
безпосередньо (безпосередньо не можна виявити навіть значно
більшого прискорення, спричинюваного притяганням Землі Сон-
цем), воно проявляється у вигляді припливів.
§ 47] ТРЕТІЙ ЗАКОН НЬЮТОНА ЮЗ
Ми навели кілька прикладів сил, які діють між тілами; ці
приклади показують, що сили завжди виникають не «поодинці»,
а по дві відразу: якщо одне тіло діє з деякою силою на друге
(«дія»), то й друге тіло діє з деякою силою на перше («проти-
дія»). Досвід показує, що це правило має загальний характер.
Усі сили мають взаємний характер, так що силові дії тіл одного
на одне завжди являють собою взаємодію.
Рис. 69. Сила, з якою перший динамометр діє на другий, дорівнює
силі, з якою другий динамометр діє на перший.
Що ж можна сказати про силу, яка діє з боку другого тіла на
перше, коли ми знаємо силу, що діє з боку першого тіла на друге?
Сили взаємодії можна грубо виміряти на таких дослідах. Візь-
мемо два динамометри, зачепимо їх один за одного гачками
і, узявшись за кільця, розтягуватимемо їх, стежачи за показами
обох динамометрів (рис. 69). Ми побачимо, що при будь-яких
Рис. 70. Дослідження, взаємодії двох тіл А і В. Унизу показано сили, які
діють на них.
розтягах покази обох динамометрів збігатимуться; отже, сила,
з якою перший динамометр діє на другий, дорівнює силі, з якою
Другий динамометр діє на перший.
Ще один дослід на порівняння пружних сил взаємодії показа-
но на рис. 70, де тіла, закріплені на візках, можуть бути будь-
якими. По-різному натискаючи рукою на динамометр матиме-
104
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
мо різні покази обох динамометрів. Коли здавлювані тіла зали-
шаються нерухомими, обидва динамометри показують однакові
за величиною сили /і і /2. При цьому напрями сил, з якими діють
динамометри, будуть протилежні. Крім сил з боку динамометрів,
при цьому на тіла діють сили їх пружної взаємодії: на тіло А —
сила /з з боку тіла В і на тіло В — сила /4 з боку тіла А. Обидва
тіла нерухомі; отже, сили, які діють на кожне з них, повинні
зрівноважуватись. Таким чином, сила /2 повинна зрівноважувати
силу /і, а сила /з — силу /2. Оскільки /і = /2, то сили і ї4 також
однакові між собою за величиною і протилежні за напрямом.
Рис. 71. Порівняння сил взаємодії між магнітом і куском заліза.
Аналогічно можна порівняти і сили взаємодії, які діють на
відстані. Закріпимо на візку магніт, на другому візку — кусок
заліза і прикріпимо до візків динамометри (рис. 71). Залежна
від умов досліду візки можуть зупинитися на різній відстані один
від одного, так що сили взаємодії між магнітом і куском заліза
будуть більші або менші, залежно від цієї відстані. Але в усіх
випадках виявиться, що динамометри дадуть однакові покази;
міркуючи так само, як і в попередньому випадку, ми зробимо
висновок, що сила, з якою магніт притягує залізо, дорівнює і пря-
мо протилежна силі, з якою залізо притягує магніт.
У розглянутих прикладах тіла, що взаємодіяли, перебували
в спокої. Але дослід показує, що сили взаємодії між двома тіла-
ми однакові за величиною і протилежні за напрямом і тоді, коли
тіла рухаються. Це ілюструється таким дослідом. На двох візках,
які можуть котитися по рейках, стоять дві людини А і В (рис. 72).
Вони тримають у руках кінці вірьовки. Легко встановити, що
незалежно від того, хто натягує («вибирає») вірьовку, А чи В
або обидва разом, візки завжди приходять у рух одночасно, і при-
тому в протилежних напрямах. Вимірюючи прискорення візків,
можна впевнитись, що прискорення обернено пропорціональні
масам кожного з візків (разом з людиною). Як ми бачили
в § 44, звідси випливає, що сили, які діють на обидва візки, одна-
кові за величиною.
Досліди показують, що і в усіх інших випадках, якщо одне
тіло діє на друге з деякою силою, то друге тіло діє на перше
§ 48]
ЗАСТОСУВАННЯ ТРЕТЬОГО ЗАКОНУ НЬЮТОНА
105-
з силою, яка дорівнює їй за величиною і протилежна за напря-
мом. При цьому обидві сили лежать на одній прямій. Це — закон
рівності дії і протидії, відкритий Ньютоном і названий ним тре-
тім законом руху.
Описані нами досліди і спостереження можуть тільки дуже
грубо підтвердити справедливість закону рівності дії і протидії.
Наша впевненість у справедливості цього закону грунтується на
Рис. 72. Хто б із тих, що стоять на рухомих платформах, не «вибирав»
вірьовку, прискорення набувають обидві платформи.
тому, що всі висновки, які можна зробити з цього закону для
будь-яких рухів тіл, справджуються з величезною точністю.
Вправи. 47.1. Знайти силу, з якою кілограмова гиря, що лежить на
Землі, притягує Землю.
47.2. У досліді з людьми на візках знайти відношення шляхів, пройде-
них візками за який-небудь проміжок часу. (наприклад, до зіткнення), коли»
,відоме відношення мас візків з людьми.
§ 48. Приклади застосування третього закону Ньютона..
У відомій грі «перетягування каната» обидві групи діють одна на
одну (через канат) з однаковою силою, як це випливає з закону
дії і протидії. Отже, виграє (перетягує канат) не та група, яка
дужче тягне — тягнуть обидві групи з однаковою силою, —
а та, яка краще упирається в землю.
Як пояснити, що кінь везе сани, якщо, як це випливає з зако-
ну дії і протидії, сани тягнуть коня назад з такою самою силою
Ри з якою кінь тягне сани вперед (сила Чому ці однакові
і протилежні сили не зрівноважуються? Справа в тому, щог
по-перше, хоч ці сили й однакові і прямо протилежні, проте вони
прикладені до різних тіл, а по-друге, і на сани, і на коня діють,
ще й сили з боку грунту (рис. 73). Сила з боку коня прикладена
До саней, які зазнають, крім цієї сили, лише невеликого тертя Р4
полозків об сніг; тому сани починають рухатись уперед, а до-
коня, крім сили з боку саней Р\, напрямленої назад, прикладені
з боку дороги, в яку він упирається ногами, сили Рз, напрямлені
вперед і більші, ніж сила з боку саней. Тому кінь також починає
106
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
рухатися вперед. Якщо поставити коня на лід, то сила з боку
слизького льоду буде недостатня, і кінь не зсуне саней. Те саме
буде і з дуже навантаженим возом, коли кінь, навіть упираючись
5ис. 73. Кінь зсуне і повезе навантажені сани, бо з боку грунту
на його копита діють більші сили тертя, ніж на слизькі полоз-
ки саней.
ногами, не зможе створити достатньої сили, щоб зрушити віз
з місця. Але коли кінь зсунув сани і встановився рівномірний рух
саней, то сила Р4 дорівнюватиме сумі сил Р3 (перший закон
Ньютона).
Таке саме питання виникає і при розгляді руху поїзда під
дією локомотива. І тут, як і в попередньому випадку, рух можли-
вий лише внаслідок того, що, крім сил взаємодії між тягнучим
тілом (кінь, локомо-
Рис. 74. При нагріванні пробірки з водою
пробка вилітає в один бік, а «гармата» котить-
ся в протилежний бік.
тив) і «причепом» (са-
ни, поїзд), на тягнуче
тіло діють з боку грун-
ту або рейок сили, на-
прямлені . вперед. На
ідеальній слизькій по-
верхні, від якої не мож-
на «відштовхнутися»,
ні сани з конем, ні по-
їзд, ні автомобіль не
могли б зсунутися з
місця.
Третій закон Нью-
тона дає змогу розрахувати явище відбою при пострілі. Устано-
вимо на візку модель гармати, яка діє за допомогою пари
(рис. 74) або пружини. Нехай спочатку візок перебуває в спокої.
При пострілі «снаряд» (корок) вилітає в один бік, а «гармата»
відкочується в другий. Відкочування гармати і є результатом
відббю. Відбій є не що інше, як протидія з боку снаряда, що діє
згідно з третім законом Ньютона на гармату, яка викидає
снаряд. За цим законом сила, що діє з боку гармати на снаряд,
весь час дорівнює силі, яка діє з боку снаряда на гармату і на-
ІМПУЛЬС ТІЛА
107
$ 49]
прямлена протилежно їй. Отже, прискорення, яких набувають
гармата і снаряд, напрямлені протилежно, а за величиною обер-
нено пропорціональні масам цих тіл. Внаслідок цього снаряд
і гармата набудуть протилежно напрямлених швидкостей, що
перебувають у тому самому відношенні. Позначимо швидкість,
набуту снарядом, через V, швидкість, набуту гарматою, через V,
а маси цих тіл позначимо відповідно через т і М. Тоді
V __ М
У~ ~ пг'
Тут швидкості взято за абсолютною величиною. Якщо врахо-
вувати і напрями швидкостей, то одній з них слід було б при-
писати знак плюс, а другій — знак мінус.
Постріл з усякої зброї супроводиться відбоєм. Старовинні гармати після
пострілу відкочувались назад. У сучасних гарматах ствол закріплений на
лафеті не жорстко, а за допомогою пристроїв, які дають змогу стволу відхо-
дити назад; потім пружини знову повертають його на місце. В автоматичній
вогнепальній зброї явище відбою використовується для того, щоб перезаря-
дити гармату. При пострілі відходить тільки затвор. Він викидає викори-
стану гільзу, а потім пружини, повертаючи його на місце, вводять у ствол
новий патрон. Цей принцип використовується не тільки у кулеметах і авто-
матичних пістолетах, а й у швидкострільних гарматах.
§ 49. Імпульс тіла. Основні закони механіки — другий і третій
закони Ньютона — дають можливість розв’язати будь-яку меха-
нічну задачу. У наступних параграфах ми побачимо, що засто-
сування законів Ньютона до розв’язування задач часто можна
полегшити, застосовуючи такий висновок з другого закону.
Подіємо на тіло маси т сталою силою/. Тоді прискорення
тіла також буде стале:
“ - (®. 1)
Нехай у початковий момент проміжку часу і, протягом якого
діяла сила, швидкість тіла була ©о, а в кінцевий момент цього
проміжку швидкість тіла почала дорівнювати V. Нагадаємо фор-
мулу (27.2), застосовну для випадку сталого прискорення:
З цієї формули і з формули (49. 1) випливає:
тч> — тчзо = /і- (49.2)
Добуток маси тіла на його швидкість називається імпульсом
(або кількістю руху) тіла. Імпульс тіла — векторна величина, бо
швидкість — вектор. Формула (49.2) виражає закон зміни
імпульсу тіла: зміна вектора імпульсу тіла під дією сталої сили
дорівнює добутку сили на час її дії.
108
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
Якщо сила не залишається сталою, то формула (49. 2) засто-
совна лише для таких малих проміжків часу, за які сила не
встигає-ще помітно змінитися ні за величиною, ні за напрямом.
При великій зміні сили формулою (49. 2) також можна користу-
ватися, але за / слід тоді брати середнє значення сили за роз-
глядуваний проміжок часу.
У випадку прямолінійного руху тіла формулу (49*. 2) можна
записати в скалярному вигляді:
тс — тщ = //. (49.3)
У цій формулі, як звичайно, різні знаки величин V, щ і } познача-
тимуть протилежні напрями швидкостей і сил.
§ 50. Система тіл. Загальний закон збереження імпульсу.
Досі ми розглядали тільки дії сил на одне тіло. У механіці часто
зустрічаються задачі, коли треба одночасно розглядати кілька
тіл, які рухаються по-різному. Такі, наприклад, задачі про рух
небесних тіл, про співудар тіл, про відбій вогнепальної зброї,
де і снаряд і гармата починають рухатись після пострілу, і т. д.
У цих випадках говорять про рух системи тіл: сонячної системи,
системи двох тіл, які співударяються, системи «гармата-снаряд»
і т. д. Між тілами системи діють деякі сили. У сонячній системі
це сили всесвітнього тяжіння, у системі тіл, які співударяються,—
сили пружності, у системі «гармата—снаряд»—сили, які створю-
ються пороховими газами. Крім сил, які діють з боку одних тіл
системи на інші («внутрішні сили»), на тіла можуть діяти ще
сили з боку тіл, які не належать системі («зовнішні» сили);
наприклад, на більярдні кулі, які співударяються, діє ще сила
тяжіння і пружність стола, на гармату і снаряд також діє сила
тяжіння і т. д. Однак у ряді випадків усіма зовнішніми силами
можна нехтувати. Так, при вивченні співударів куль, які котяться,
сили тяжіння зрівноважені для кожної кулі окремо і тому не
впливають на їх рух; при пострілі з гармати сила тяжіння чини-
тиме свою дію на політ снаряда тільки після вильоту його з ство-
ла, що не позначиться на величині відбою. Тому часто можна
розглядати рухи системи тіл, припускаючи, що зовнішніх сил
немає.
Почнемо з найпростішої системи, яка складається лише з двох
тіл. Нехай їх маси дорівнюють т і ЛІ, а швидкості і V. Вважа-
тимемо, що зовнішні сили на ці тіла не діють. Між собою ці тіла
можуть взаємодіяти. Внаслідок взаємодії (наприклад, у випадку
більярдних куль — після співудару) швидкості тіл зміняться
і дорівнюватимуть відповідно'V і Й. Для тіла т зміна імпульсу
дорівнюватиме тя — тю^=/т, де /—сила, з якою на нього
діяло тіло М, а т — час взаємодії. Для тіла М зміна імпульсу
$ 5ф
ЗАГАЛЬНИЙ ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ
10»
дорівнюватиме Лї У—МУ$ = —/т, бо, згідно з третім законом
Ньютона, сила, з якою тіло т діє на тіло М, дорівнює і прямо
протилежна силі, з якою тіло М діє на тіло т. Додаючи обидва
вирази для зміни імпульсу, знайдемо:
тю — тю0 + МУ — МУ0 = 0;
звідси знаходимо:
тю + М V = тюц + М Уо, (50. 1)
тобто при відсутності зовнішніх сил сумарний імпульс системи
(векторна сума імпульсів тіл, які утворюють систему) внаслідок
взаємодії тіл системи не змінюється.
Цей закон можна сформулювати ще інакше: внутрішні сили
не змінюють сумарного імпульсу системи.
Цей результат зовсім не залежить від того, як взаємодіяли
тіла системи: довго чи короткочасно, при зіткненні чи на відстані
і т. д. Зокрема, з цієї рівності випливає, що коли спочатку обид-
ва тіла були в спокої, т'о сумарний імпульс системи дорівнювати-
ме нулю і в дальшому, якщо тільки на систему не подіють сили
ззовні.
Можна довести, що й для системи, яка складається з будь-
якої кількості тіл, сумарний імпульс системи буде сталим, якщо
тільки немає зовнішніх сил. Це важливе положення називають
загальним законом збереження імпульсу. Його загальність поля-
гає в тому, що він застосований не тільки в механіці, а й для
інших будь-яких систем тіл і будь-яких процесів, що відбувають-
ся з тілами системи, при єдиній умові, щоб на них не діяли зов-
нішні сили. Тоді імпульс системи зберігається незмінним, навіть
якщо тіла системи руйнуються (наприклад, внаслідок співуда-
рів), якщо внаслідок хімічних реакцій з одних речовин утворю-
ються інші, якщо внаслідок ядерних реакцій з одних елементів
утворюються інші або одні елементарні частинки перетворю-
ються в інші елементарні частинки. При цьому, зрозуміло, улам-
ки тіл, які зруйнувалися, продукти хімічних реакцій і нові еле-
менти або елементарні частинки, які утворилися, треба зараху-
вати до тіл системи.
Якщо система складається з одного тіла, то для нього закон
збереження імпульсу означає, що при відсутності сил, які на ньо-
го діють, імпульс тіла не змінюється. Це рівносильно закону інер-
ції (швидкість тіла не змінюється).
§ 51. Застосування закону збереження імпульсу. Застосуємо
закон збереження імпульсу до задачі про відбій гармати. Спо-
чатку, до пострілу, як гармата (маси М), так і снаряд (маси т)
перебувають у спокої. Отже, сумарний імпульс системи гармата—
снаряд дорівнює нулю (у формулі (50. 1) можна припустити, що
110
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
швидкості Уо і дорівнюють нулю). Після пострілу гармата
і снаряд набувають швидкостей відповідно V і V. Сумарний
імпульс після пострілу також повинен дорівнювати нулю відпо-
відно до закону збереження імпульсу. Отже, безпосередньо після
пострілу буде виконана рівність
МУ+тю = 0, У = —
звідки випливає, що гармата набуде швидкості, у стільки разів
меншої від швидкості снаряду, у скільки разів маса гармати
більша за масу снаряда; різниця знаків показує на протилеж-
ність напрямів швидкостей гармати і снаряду. Цей результат
ми вже знайшли іншим
способом у § 48.
Ми бачимо, що за-
дачу вдалося розв’яза-
ти, навіть не з’ясовую-
чи, які сили і протягом
якого часу діяли на ті-
ла системи; ці відомо-
сті були б потрібні, як-
би ми обчислювали
швидкість гармати за
Рис. 75. Додавання імпульсів при непружному
співударі двох тіл.
допомогою другого закону Ньютона. У закон збереження імпуль-
су сили взагалі не входять. Ця обставина дає змогу розв’язувати
простим способом багато задач, в основному таких, де ми ціка-
вимось не всім процесом взаємодії тіл системи, а тільки оста-
точним результатом цієї взаємодії, як у прикладі з пострілом
з гармати. Звичайно, якщо сили невідомі, то повинні бути задані
якісь інші величини, що стосуються руху. У цьому прикладі, для
того щоб можна було визначити швидкість гармати, треба було
знати швидкість снаряда після пострілу:
Якщо час взаємодії гармати з снарядом виміряно, то можна
знайти середню силу, яка діяла на снаряд. Якщо цей час дорів-
г . г ПІ V
нював т, то середня сила і дорівнювала і = —. Така сама
середня сила (але протилежно напрямлена) діяла і на гармату.
Розглянемо ще одну дуже важливу задачу, яку також можна
розв’язати, користуючись законом збереження імпульсу. Це —
задача про непружний співудар двох тіл, тобто про випадок, коли
тіла після зіткнення починають рухатися з тією самою швидкі-
стю, як це буває, наприклад, при співударі двох грудок м’якої
глини, які, зіткнувшись, злипаються і продовжують рухатись
разом.
Нехай тіло маси т\ мало до співудару швидкість Гі , а тіло
маси пг2 мало до співудару швидкість г2. Нехай зовнішніх сил
§52] БАГАТІЛА Ц)
немає. Після співудару обидва тіла рухатимуться разом з деякою
швидкістю V, яку й треба знайти. Вектор сумарного імпульсу
легко знайти за допомогою векторного додавання, як це показа-
но на рис. 75. Додавані вектори — вектори імпульсу кожного
з тіл до співудару. Шукану швидкість дістанемо, поділивши век-
тор сумарного імпульсу системи з обох тіл на сумарну масу обох
тіл:
о = + (51
т1 + т2
Якщо до співудару тіла рухались по одній прямій, то після
співудару вони рухатимуться по тій самій прямій, а швидкість
визначиться за скалярною формулою
р (51.2>
де підсумування імпульсів — алгебраїчне (з урахуванням напря-
му швидкостей).
Вправа. 51.1. Людина масою 60 кг, що біжить уздовж рейок з швид-
кістю 6 м/сек, стрибає на візок масою ЗО кг, який стоїть нерухомо на рейках,
і зупиняється на візку. Знайти, з якою швидкістю візок почне котитися по-
рейках.
§ 52. Вага тіла. Сила, з якою тіло, що перебуває під дією
сили тяжіння, діє на підставку або підвіс, називається вагою
тіла. .Зокрема, якщо тіло підвішене до динамометра, то воно
діє на динамометр із силою своєї ваги. За третім законом Ньюто-
на динамометр діє на тіло з такою самою силою. Якщо при цьому
динамометр і підвішене до нього тіло перебувають у спокої від-
носно Землі, то, отже, сума сил, які*діють на тіло, дорівнює нулю,
так що вага тіла дорівнює силі притягання тіла Землею. Таким
чином, підвішуючи тіло до динамометра, ми можемо визначити
вагу тіла і силу притягання тіла Землею, яка дорівнює їй. Тому
динамометри часто називають пружинними терезами.
Сила ваги виникає внаслідок притягання Землі, але за вели-
чиною може відрізнятися від сили притягання Землі. Насам-
перед, це може бути тоді, коли, крім Землі і підвісу, на дане
тіло діють які-небудь інші тіла. Так, якщо тіло, підвішене до
терезів, занурено у воду, то воно діятиме на підвіс із значно
меншою силою, ніж сила притягання Землі. Ці випадки будуть
розглянуті пізніше (див. далі розд. VII), а тепер розглянемо,
чому потрібно, як тільки що було застережено, щоб терези
і зважуване тіло були в спокої відносно Землі.
Підвісимо гирю до динамометра і зафіксуємо його показ,
поки динамометр і гиря перебувають у спокої; потім опустимо
швидко руку з динамометром і гирею і знову зупинимо руку.
•112
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
о б е
Рис. 76. Вага гирі на початку опус-
кання руки (б) менша, а в момент
зупинки (в) більша, ніж вага при не-
рухомому динамометрі (а). Стрілки
показують напрями прискорення.
Ми побачимо, що на початку руху, коли прискорення динамо-
метра і гирі напрямлено вниз, показ динамометра менший,
а в кінці руху, коли прискорення динамометра і гирі напрям-
лено вгору, більший, ніж при нерухомому динамометрі (рис. 76).
Пояснення цьому дає другий закон Ньютона. Якщо гиря, під-
вішена до динамометра, залишається в спокої, то сила пруж-
ності пружини динамометра, напрямлена вгору, зрівноважує
•силу тяжіння, напрямлену вниз, так що сила ваги за величи-
ною дорівнює силі тяжіння.
Але якщо гиря рухається з
прискоренням, напрямленим
униз, то це означає, що пру-
жина динамометра діє з мен-
шою силою, ніж потрібно
для рівноваги, тобто мен-
шою, ніж сила тяжіння; то-
му вага гирі буде меншою,
ніж при динамометрі і гирі,
які перебувають у спокої.
Навпаки, якщо тіло рухаєть-
ся з прискоренням, напрям-
леним угору, то це означає,
що пружина динамометра
діє на гирю з силою біль-
шою, ніж сила тяжіння; то-
му вага гирі буде більша,
ніж при динамометрі і гирі,
які перебувають у спокої.
Отже, хоч сила тяжіння
не залежить від того, чи мають терези і зважуване тіло приско-
рення відносно Землі, але вага тіла залежатиме від прискорення
тіла і терезів. Тому при зважуванні на терезах треба завжди
враховувати, чи перебувають у спокої терези та зважуване тіло
і чи мають вони прискорення.
Хоч для тіла, яке перебуває в спокої, сила ваги дорівнює
силі тяжіння, ці дві сили треба чітко розрізняти: сила тяжіння
прикладена до самого тіла, яке притягується Землею, а сила
Ваги тіла — до підвісу (або підставки). Правда, тоді, коли ці
сили однакові і нас цікавить тільки величина сили, а не те, до
якого тіла вона прикладена, плутання понять «сила тяжіння»
і «сила ваги» не призводить до помилок. Тому в зазначених
випадках (і тільки в них) можна замість термінів «сила тяжін-
ня» або «сила притягання тіла Землею» застосовувати термін
«вага тіла».
Крім зважування тіла на пружинних терезах, можна засто-
§ 53]
ВІЛЬНЕ ПАДІННЯ ТІЛ
113
сувати інший спосіб зважування. Він полягає в безпосередньо-
му порівнянні ваги гир, які ми беремо за еталони, і ваги тіла на
рівноплечому важелі (важільні терези, рис. 77). Рівноплечий
важіль буде в рівновазі, коли на обидва кінці його діють одна-
кові сили. Тому, якщо до кінців рівноплечого важеля підвісити
з одного боку вимірюване тіло, а з другого— гирі-еталони, піді-
брані так, щоб важіль був
тіла дорівнюватиме сумар-
ній вазі всіх гир.
Важільні терези дають
змогу зважувати тіла із
значно більшою точністю,
ніж звичайні пружинні те-
рези. Найточніші важільні
терези дають змогу зважу-
вати тіла з точністю до
1 • 10-8 вимірюваної вели-
чини.
Дуже поширені також
терези з нерівноплечим ва-
желем (наприклад, десят-
кові терези). Вага тіла до-
рівнює вазі гир, які зрівно-
у рівновазі, то вага вимірюваного
Рис. 77. Порівняння ваги тіла і ваги гир
еталонів на важільних терезах.
важують його на цих терезах,
помноженій на відношення плечей важеля (в десяткових тере-
зах — на 10). На таких терезах можна зважувати великі вантажі
за допомогою порівняно малих гир.
Вправи. 52.1. Станьте на площадку десяткових терезів і зрівноважте
свою вагу гирями. Потім швидко присядьте навпочіпки. Поясніть зміни пока-
зів терезів, які при цьому сталися.
52. 2. Чи змінюватиметься показ динамометра з підвішеною гирею, якщо
рухати руку з динамометром рівномірно вниз?
§ 53. Вільне падіння тіл Якщо камінь і аркуш паперу поча-
ли падати з однакової висоти одночасно, то камінь досягне
землі раніше, ніж папір. З таких повсякденних спостережень,
здавалося б, випливає, що під дією сили тяжіння важкі тіла
падають швидше, ніж легкі. Такий неправильний висновок
і зробив ще в стародавні часи великий грецький філософ Арі-
стотель (384—322 рр. до н. е.), і цей погляд тримався в науці
протягом майже двох тисяч років! Тільки в 1583 р. Галілей на
підставі глибшого експериментального вивчення законів падін-
ня спростував думку Арістотеля. Галілей з’ясував, що в зви-
чайних умовах тіла падають під дією не тільки сили тяжіння,
а й сил опору повітря (див. далі, § 68) і що справжній закон
8 7-ЮЗ
114
ДИНАМІКА
[РОЗД II
падіння під дією самої тільки сили тяжіння спотворюється опо-
ром повітря. Галілей установив, що при відсутності цього опору
всі тіла падають рівномірно, і, що дуже важливо, в певній точці

Рис. 78.
У трубці,
з якої вика-
чане повітря,
пір’їнка па-
дає так само
швидко, як і
дробинка.
Землі прискорення всіх тіл при падінні однакове.
Опір повітря спотворює закони падіння тому,
що він залежить переважно від розмірів тіла. На-
приклад, для пір’їни він більший, ніж для дробинки,
тоді як сила земного притягання для пір’їни менша,
ніж для дробинки. Тому опір повітря значно біль-
ше зменшує швидкість падіння пір’їни, ніж дробин-
ки. А в пустоті всі тіла падають з однаковим при-
скоренням, незалежно від їх розмірів, матеріалу
і т. д. Дослід з падінням тіл у трубці, з якої вика-
чано повітря, підтверджує цей висновок (рис. 78).
У трубку поміщають, наприклад, пір’їну і дробинку.
Якщо в трубці є атмосферне повітря, то хоч пір’їна
і дробинка починають падіння з однакової висоти
і одночасно (для цього треба трубку з обома тіла-
ми, що лежать в кінці трубки, перевернути цим кін-
цем угору), проте пір’їна значно відстане від дро-
бинки. А якщо повторити дослід, коли з трубки
викачано повітря, то пір’їна і дробинка досягають
дна трубки одночасно і, отже, падають з однаковим
прискоренням.
Якщо опір повітря малий, так що ним можна
знехтувати, то тіло, звільнене від підставки або
підвісу, практично падатиме, перебуваючи весь час
під дією тільки сили притягання Землі (вільне па-
діння). Сила земного притягання не залишається
точно сталою при падінні тіла. Вона залежить від
висоти тіла над Землею (§ 56). Але якщо падіння
відбувається не з дуже великої висоти (так що
зміна висоти тіла при падінні дуже мала порівняно
з радіусом Землі, що дорівнює приблизно 6400 км),
то силу земного притягання практично слід вважати
сталою. Тому можна вважати, що в звичайних умо-
вах прискорення тіла, яке вільно падає, залишається сталим
і вільне падіння є рівномірно-прискореним рухом.
§ 54. Прискорення вільного падіння. Дослід підтверджує
з усією доступною точністю, що в певному місці на земній кулі
всі тіла в пустоті падають з однаковим сталим прискоренням. На
відміну від прискорення, в усіх інших випадках змінного руху цю
величину позначають буквою У різних точках земної кулі (на
різних широтах) величина § є неоднаковою, змінюючись від при-
§ 55] РУХ ТІЛА, КИНУТОГО ВЕРТИКАЛЬНО ВГОРУ 115
близно 9,83 м/сек2 (на полюсі) до приблизно 9,78 м/сек2 (на еква-
торі). У Москві § = 9,81523 м/сек2. Значення £, що дорівнює
9,80665 м/сек2, яке приблизно відповідає 45° широти, умовно
беруть за «нормальне». Усі ці числа стосуються тіла, яке падає
на рівні моря (див. далі, § 56).
Різне прискорення вільного падіння в різних точках земної
кулі зумовлене, з одного боку, тим, що Земля має форму, яка тро-
хи відмінна від кулястої, і, з другого, добовим обертанням
Землі (роль другої причини буде розглянуто окремо в § 134).
У дальшому вважатимемо наближено § = 9,8 м/сек2, а для
зовсім грубих розрахунків £ = 10 м/сек2,
§ 55. Падіння тіла без початкової швидкості і рух тіла, кину-
того вертикально вгору. Нехай тіло починає вільно падати
з стану спокою. У цьому разі до його руху застосовні формули
рівномірно-прискореного руху без початкової швидкості з при-
скоренням Позначимо початкову висоту тіла над Землею через
И, час його вільного падіння з цієї висоти до землі — через і
і швидкість, якої досягло тіло в момент падіння на землю, —
через V. Згідно з формулами § 22, ці величини будуть зв’язані
такими співвідношеннями:
1 Г)2
н = ’ <55- о
/ = -=]/-, (55.2)
Є г е ' '
с=§і=У2§Н. (55.3)
Залежно від задачі зручно користуватися тим або іншим
з цих співвідношень.
Розглянемо тепер рух тіла, якому надано деякої початкової
швидкості Уо, напрямленої вертикально вгору. У цій задачі зруч-
но вважати додатним напрям угору. Оскільки прискорення
напрямлене вниз, то рух буде рівномірно-сповільненим з від’єм-
ним прискоренням — £ і з додатною початковою швидкістю.
Швидкість цього руху в момент часу і визначиться формулою
^ = Ц) —(55.4)
а висота підйому в цей момент над вихідною точкою — форму-
лою
Л = — у£/2. (55. 5)
Коли швидкість тіла зменшиться до нуля, тіло досягне найвищої
точки піднімання; це станеться в момент Л, для якого
Ро—Я^1 = О. (55.6)
8*
11В -
ДИНАМІКА
[РОЗД. ТТ
Після цього моменту швидкість стане від’ємною і тіло почне
падати вниз. Отже, час піднімання тіла дорівнює
І1 = (55. 7)
Підставляючи у формулу (55.5) час піднімання іь знайдемо
висоту найвищої точки піднімання тіла:
2 2 2
Л = І0_|^ = ^. (55.8)
Дальший рух тіла можна розглядати як падіння без почат-
кової швидкості (випадок, розглянутий на початку цього пара-
графа) з висоти Н = Підставляючи цю висоту у формулу
(55. 3), знайдемо, що швидкість у, якої тіло досягне в момент
падіння на землю, тобто повернувшись у точку, звідки його було
кинуто вгору, дорівнюватиме початковій швидкості тіла у0 (але,
звичайно, буде напрямлена протилежно — вниз). Нарешті, з фор-
мули (55. 2) зробимо висновок, що час падіння тіла з вищої точ-
ки дорівнює часу піднімання тіла в цю точку.
Вправи. (У всіх задачах опором повітря нехтувати).
55. 1. Тіло вільно падає без початкової швидкості з висоти 20 м. На
якій висоті воно досягне швидкості, що дорівнює половині швидкості в мо-
мент падіння на землю?
55.2. Показати, що тіло, кинуте вертикально вгору, проходить кожну
точку своєї траєкторії з однаковою швидкістю на шляху вгору і на шляху
вниз.
55. 3. Знайти швидкість при ударі об землю каменя, кинутого з башти
«висотою А: а) без початкової швидкості; б) з початковою швидкістю Оо>
напрямленою вертикально вгору; в) з початковою швидкістю о0, напрямленою
вертикально вниз.
55.4. Камінь, кинутий вертикально вгору, пролетів мимо вікна через
1 сек після кидання, рухаючись угору, і через 3 сек після кидання, рухаю-
чись униз. Знайти висоту вікна над землею і початкову швидкість каменя.
55.5. При вертикальній стрільбі по повітряних цілях снаряд, випущений
з зенітної гармати, досяг тільки половини відстані до цілі. Снаряд, випуще-
ний з другої гармати, досяг цілі. У скільки разів початкова швидкість снаря-
да другої гармати швидша, ніж першої?
55.6. Яка максимальна висота піднімання каменя, кинутого вертикально
вгору, якщо через 1,5 сек його швидкість зменшилась у два рази?
§ 56. Маса і вага. Ми бачили (§ 54), що при вільному
падінні всі тіла, незалежно від їх маси, падають у певній точці
Землі з однаковим прискоренням Тлумачення цього результату
на підставі другого закону Ньютона веде до дуже важливого
висновку: якщо тіло маси т рухається під дією притягання Землі
з прискоренням £, то сила тяжіння для цього тіла дорівнює
Р = т§. (56. 1)
§ 56]
МАСА І ВАГА
117
Сила тяжіння пропорціональна масі тіла, на яке вона діє.
Якщо тіло перебуває в спокої, то вага тіла дорівнює силі
тяжіння, яка на нього діє, і у формулі (56. 1) можна вважати Р
вагою тіла. Отже, для тіл, які перебувають у спокої, їх вага про-
порціональна масам, так що для двох тіл з масами і т2
і вагою Рі і Р2 справедлива рівність
— = ~. (56.2)
/И2 Р2 ' '
Як ми бачили (§ 43, 52), цим співвідношенням користуються
для порівняння мас тіл за допомогою важільних або пружин-
них терезів.
Однак прискорення в різних точках Землі різне. Тому і вага
того самого тіла буде різною в різних точках земної поверхні.
Вага тіла зменшується також і при підніманні над поверхнею
Землі (на 0,0003 своєї величини біля поверхні при підніманні на
1 км). Тому порівнювати маси тіл зважуванням можна тільки
при умові, що обидва порівнювані тіла перебувають в одному міс-
ці. У важільних терезах ця умова виконується сама собою, але
в пружинних терезах ця умова може бути порушена: ми можемо
проградуювати терези, підвішуючи до них гирі-еталони в одній
точці земної кулі, а потім перевезти терези в інше місце і там
підвісити вимірювану масу. Якщо прискорення вільного падіння
в цих точках будуть різні, то покази терезів вже не будуть точно
пропорціональні масам тіл.
Тепер ми можемо уточнити означення еталона сили. У § 36
ми показали, що еталоном сили в 1 кГ є сила, з якою діє на під-
віс або підставку платинова гиря-еталон, яка, зберігається в
Парижі- Але ця сила в різних місцях поверхні Землі різна; тому
треба показати, для якої саме точки на поверхні Землі вагу гирі-
еталона взято за 1 кГ. Умовились раз назавжди вважати вагу
цієї гирі такою, що дорівнює 1 кГ у тому місці земної поверхні»
де прискорення вільного падіння дорівнює 9,80665 м/сек2 («нор-
мальне прискорення сили тяжіння»). Це відповідає значенню £
на рівні моря на широті 45°.
Оскільки сила земного притягання, діючи на гирю-еталон,
надає їй прискорення 9,80665 м/сек2 і оскільки, з другого боку,
маса цієї гирі дорівнює 1 ка, то, за другим законом Ньютона,
1 кГ — 1 кг • 9,80665 м/сек2 = 9,80665 н.
Отже, ми з’ясували походження введеного нами в § 45 спів-
відношення між силою 1 кГ і одиницею сили в системі СІ.
Із сказаного видно, що тіло, яке на терезах перебуває в спокої
і має масу 1 кг, важить точно 1 кГ тільки в тому місці, де при-
скорення падаючих тіл дорівнює нормальному. У всіх інших міс-
цях земної поверхні тіло, яке має масу І кг, важить або трохи
118
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
більше, або трохи менше за 1 кГ. Але оскільки різниця дуже неве-
лика (для середніх широт не більше 0,1%), то цією різницею зви-
чайно нехтують.
§ 57. Густина і питома вага. Ми вже зазначали (§43), що
тіла, які мають однаковий об’єм, але виготовлені з різних речо-
вин, наприклад із заліза і алюмінію, мають різну масу. Маси тіл,
виготовлені з тієї самої речовини і не мають порожнин, прямо
пропорціональні об’ємам цих тіл. Інакше кажучи, відношення
маси тіла до його об’єму є величиною сталою, характерною для
даної речовини. Цю величину називають густиною речовини.
Позначатимемо її буквою (і. Згідно з означенням
а = у, (57.1)
де т і V відповідно маса і об’єм тіла.
Можна також сказати, що густина дорівнює масі одиниці
об’єму даної речовини.
Знаючи густину речовини й і об’єм тіла V, можна знайти
його масу т за формулою т = Усі.
За одиницю густини беруть густину такої речовини, одиниця
об’єму якої має масу, що дорівнює одиниці. Одиницею густини
в системі СІ є 1 кг/м\ у системі СГС — 1 г/см3 і в системі
МКСС — 1 т.о.м.Ім3. Ці одиниці зв’язані між собою співвідношен-
нями
1 кг/м3 = 0,001 г/см3 = 0,102 т.о.м.Ім3.
Поряд з поняттям густини, часто користуються поняттям пито-
мої ваги речовини. Питомою вагою даної речовини називають
відношення сили тяжіння Р однорідного тіла з цієї речовини до
об’єму тіла. Позначимо питому вагу буквою у. Тоді
ї = £- * (57.2)
Можна також сказати, що питома вага є сила тяжіння одиниці
об’єму даної речовини.
Питома вага і густина відносяться одна до одної так само,
як вага і маса тіла:
7 Р
(і ~~ т
За одиницю питомої ваги взято: у системі СІ — 1 н]м\ у систе-
мі СГС — 1 динісм3, у системі МКСС — 1 кГІм3. Ці одиниці зв’я-
зані між собою співвідношеннями
1 н/м3 = 0,0001 динісм3 = 0,102 кГ/м3.
Часто користуються позасистемною одиницею 1 ГІсм3.
§ 58]
ПОХОДЖЕННЯ ДЕФОРМАЦІЙ
119
Оскільки маса речовини, подана в г, дорівнює її вазі, в Г,
то питома вага речовини, подана в цих одиницях, чисельно дорів-
нює густині цієї речовини в одиницях системи СГС. Така сама
числова рівність існує і між густиною в системі СІ та питомою
вагою в системі МКСС.
Подамо значення густини деяких твердих і рідких речовин
у системах СІ, СГС і МКСС (табл. 1). У випадках, коли речови-
на не має точно певної густини (деревина, бетон, бензин), дані
округлювались, а при переході від однієї системи до іншої замість
,. . 1 . ... 1
перевідного коефіцієнта брали коефіцієнт уд.
Густина деяких речовин
Таблиця 1
Речовина Густина Речовина Г устина
СІ, кг/м3 СГС, г/см3 мксс, т.о.м./м3 СІ, кг/м3 СГС, г/см3 МКСС, т.о.м. /м3
Піноскло 200—500 0,2—0,5 20—50 Бетон 2200 2,2 220
Корок . 240 0,24 24 Скло . . 2500 2,5 250
Сосна 480 0,48 48 Алюміній 2700 2,7 275
Бензин 700 0,7 70 Мармур 2700 2,7 275
Дуб . . . 800 0,8 80 Чавун 7000 7,0 700
Спирт ети- Залізо 7800 7,8 796
ловий 800 0,8 82 Латунь 8500 8,5 867
Лід 900 0,9 92 Мідь 8900 8,9 908
Парафін 900 0,9 92 Свинець 11400 11,4 1163
Натрій 970 0,97 99 Ртуть 13600 13,6 1387
Вода 1000 1,0 102 Уран 18700 18,7 1907
Графіт 2100 2,1 214 Золото 19300 19,3 1969
§ 58. Походження деформацій. Як ми вже знаємо, сили пруж-
ності виникають між тілами тільки тоді, коли тіла деформовані.
Нитка діє на візок з деякою силою тому, що вона розтягнута,
паровоз штовхає вагон тому, що його буферні пружини стиснуті,
і т. д. Сили пружності визначаються величиною деформації, при-
чому із збільшенням деформацій зростають і сили пружності
(див. § 37). Проте ми не могли раніше відповісти на питання
про походження деформацій, бо пояснити походження деформа-
цій можна, тільки знаючи закони руху. Справді, деформації вини-
кають тому, що різні частини тіла рухаються по-різному. Якби
всі частини тіла рухалися однаково, то тіло завжди зберігало б
свою початкову форму, тобто залишалося недеформованим.
Візьмемо м’яку гумку для олівця і натиснемо на неї пальцем
(рис. 79). Палець, який натискає на гумку, переміщує верхні
120
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
Рис. 79. При натис-
канні пальцем верхні
шари гумки перемі-
щаються вниз, а ниж-
ні залишаються неру-
хомими.
шари гумки; нижній шар, що лежить на столі, залишається неру-
хомим, бо він стикається із значно жорсткішою, ніж гумка,
поверхнею стола. Різні частини гумки рухаються по-різному,
і гумка змінює свою форму: виникає деформація. Деформована
гумка діє на тіла, які стикаються з нею, з деякою силою. Палець
добре відчуває тиск гумки. Якщо палець прийняти, то гумка
набере попередньої форми.
Усі тіла, з якими ми мали справу в наших дослідах, та й вза-
галі майже всі тверді тіла, поводять себе так само: при виник-
ненні в них деформації вони діють на тіла, що стикаються з ними,
з силою, яка залежить від величини дефор-
мації; коли тіло повертається в недеформо-
ваний стан, дія сили припиняється. Як було
вже зазначено, такі сили називають пруж-
ними. Пружними називають і самі тіла,
в яких такі сили виникають.
Є тіла, з боку яких сили діють доти, поки
змінюється форма тіла; а коли форма тіла
перестає змінюватись, сила зникає, хоч тіло
залишається в деформованому стані. Такі,
наприклад, м’яка глина, нагрітий віск і т. д.
Такі тіла називають пластичними.
Тепер розглянемо докладніше, як саме
деформуються тіла і які виникають у них
сили пружності в різних випадках: при дії
сил, які виникають при безпосередньому стиканні, і при дії сили
ваги. При цьому окремо розглянемо випадок, коли всі сили, що
діють на тіло, взаємно зрівноважуються і тіло залишається
в спокої (або рухається з інерції; для простоти говоритимемо
про спокій тіла), і окремо — випадок прискореного руху.
§ 59. Деформації в тілах, які перебувають у спокої, спричи-
нені дією тільки сил, що виникають при зіткненні. Вивчатимемо
виникнення деформації у тілі простої форми, наприклад у брус-
ку, до якого прикладено сили, що діють уздовж нього; тоді кар-
тина деформацій, які виникають, проста. Нехай до кінців бруска
прикладені дві однакові сили У7, напрямлені протилежно, як пока-
зано на рис. 80. Тоді сили взаємно зрівноважаться, і брусок
у цілому буде в спокої. Але кінці бруска почнуть рухатись під
дією прикладених сил, і брусок почне деформуватись — розтягу-
ватись.
Розріжемо в думці брусок на дві частини, як показано пунк-
тиром на рисунку (для наочності «розрізані» частини зміщені
одна відносно одної); оскільки ці частини деформовані, то вони
діють одна на одну з деякими силами пружності, які дорівнюють
§ 60]
ДЕФОРМАЦІЇ, СПРИЧИНЕНІ СИЛОЮ ТЯЖІННЯ
121
і
і
Рис. 80. Сили пружності в розтягнутому
бруску.
а
б
Рис. 81. Сили пружності в стисну-
тому бруску.
одна одній і протилежно напрямлені. Отже, сили пружності вини-
кають не тільки між різними тілами, а й між частинами того
самого тіла. Очевидно, коли ці сили пружності дорівнюватимуть
за абсолютною величиною силі У7, то розтяг бруска припиниться
і кожна його частина перебуватиме в рівновазі під дією зовніш-
ньої сили і сили пружно-
сті з боку другої частини
бруска. Де б не прове-
сти в думці розріз, сила
пружності, яка діє з бо-
ку однієї частини на дру-
гу, буде завжди та са-
ма — дорівнюватиме за
абсолютною величиною
силі Г. Отже, брусок бу-
де розтягнутий рівномір-
но: у всіх його частинах деформація буде та сама, і сили пруж-
ності між частинами — також однаковими по всій довжині
бруска.
Тому саму картину матимемо, якщо стискати брусок двома
однаковими силами, з тією тільки відмінністю, що тепер дефор-
мація бруска буде стиском, а не розтягом, а сили пружності не
тягтимуть одну до одної обидві частини бруска, а «відштовхува-
тимуть» їх одну від одної (рис. 81).
Звичайно, на практиці, роз-
тягуючи жорсткий (наприклад,
металевий) брусок, ми не зможе-
мо помітити його розтягу на око,
бо він буде дуже малий. Але
якщо взяти замість жорсткого
бруска м’яку «модель бруска»,—
слабку циліндричну пружину
(таку пружину легко виготовити,
наприклад, намотуючи дротину
на олівець), то деформації такої моделі будуть великі і вся
картина рівномірного розтягу буде наочною. Для наочності ми
і в наступних параграфах розглядатимемо замість деформації
бруска деформацію пружини. При дії тих самих сил відмінність
буде тільки в тому, що для пружини деформації будуть значно
більші, ніж для бруска, і їх легко буде спостерігати.
§ 60. Деформації в тілах, що перебувають у спокої, спричи-
нені силою тяжіння. Розглянемо тепер, як виникають деформа-
ції, якщо крім сил, що виникають при зіткненні, на тіло, яке
перебуває в спокої, діє й сила тяжіння.
122
ДИНАМІКА
ІРОЗД. II
Візьмемо важку, але м яку циліндричну пружину і повільно
опустимо її нижнім кінцем на
Рис. 82. Нерівномірне стискання важ-
кої пружини, обпертої на підставку.
результаті стиску, в будь-якому місці пружини діятиме на
ки, що лежать вище, з силою, яка дорівнює їх вазі. Але
бути стиснуті тим більше,
цього витки пружини повинні
нижче вони розміщені, бо си-
ла пружності, яка діє з їх бо-
ку, повинна зрівноважувати
вагу великої кількості витків.
Отже, при дії сили тяжін-
ня на тіло, яке перебуває в
спокої, воно буде деформова-
не нерівномірно, а отже, і сили
пружності, які виникають, роз-
поділені вздовж тіла також
нерівномірно: деформації і си-
ли пружності мають найбіль-
шу величину внизу, біля під-
ставки, і поступово зменшую-
ться до нуля до верхнього,
вільного кінця пружини.
Так само пружина, при-
кріплена верхнім кінцем до
підвісу, буде розтягнута (рис.
83), причому розтяг буде тим
більший, чим ближче до під-
вісу.
Подібно до пружини, усяке
інше тіло, яке спирається на
підставку або закріплене на
підвісі, буде відповідно стис-
нуте або розтягнуте. Саме то-
му, що тіло буде деформова-
стіл. Пружина буде стиснутою
(рис. 82). Відбувається ця де-
формація так: коли нижній ви-
ток пружини доторкнувся до
поверхні стола, цей виток пе-
рестає рухатись; верхні витки
пружини продовжують опуска-
тись і наближаються до ниж-
ніх витків; пружина стискає-
ться, і виникають сили пруж-
ності; рух верхніх витків при-
пиняється тільки тоді, коли си-
ла пружності, що виникла в
вит-
для
чим
Рис. 83. Нерівномірний розтяг важкої
пружини, підвішеної до штатива.
5 61]
ДЕФОРМАЦІЇ ТІЛА, ЯКЕ ЗАЗНАЄ ПРИСКОРЕННЯ
123
ним, воно діє з певною силою на підставку або підвіс. На під-
ставку або підвіс діє не сила тяжіння (ця сила діє на саме тіло),
а сила, зумовлена деформацією тіла; цю силу і називають силою
ваги (пор. § 52). Сила тяжіння є лише причиною виникнення
деформацій.
Разом з самим тілом буде деформована і підставка, на якій
лежить тіло (рис. 84), або підвіс, на якому воно висить. Розтяг
пружини динамометра, до гачка якого підвішено гирю,— це при-
клад деформації підвісу.
Сила, яка діє на тіло
з боку підставки або під-
вісу,— це сила пружно-
сті з боку деформованих
підставки або підвісу. Ті-
ло буде в рівновазі під
дією цієї сили пружності і
Рис. 84. Прогин опори.
сили тяжіння, яка на нього діє. Кожна частина тіла також буде в
рівновазі під дією сили тяжіння і пружних сил, що діють на роз-
глядувану частину тіла з боку частин тіла, які прилягають до неї.
§ 61. Деформації тіла, яке зазнає прискорення. Вивчимо
тепер картину деформацій у тілі, на яке діє сила, надаючи тілу
прискорення. Картина деформацій у прискорюваному тілі істот-
но залежить від того, чи надає тілу прискорення сила, яка вини-
кає внаслідок безпосереднього стикання, тобто сила пружності
з боку іншого тіла, чи сила тяжіння. Розглянемо спочатку пер-
ший випадок.
Сили пружності можуть діяти лише на окремі точки поверх-
ні тіла або іноді на всю поверхню, але ніяк не на внутрішні
частини тіла, яким вони тому не можуть безпосередньо надати
прискорення. Отже, все тіло може почати рухатись з однаковим
прискоренням тільки після того, як всередині тіла виникнуть
деформації, а разом з ними і сили пружності, які нададуть внут-
рішнім частинам тіла потрібного прискорення. Отже, тіло, яке
рухається з прискоренням під дією сил, що виникають при без-
посередньому стиканні, в усіх випадках буде деформованим. Ці
деформації, що виникають у прискорюваному тілі під дією іншо-
го (прискорюючого) тіла внаслідок їх безпосереднього стикан-
ня, є причиною виникнення сили, що діє з боку прискорюваного
тіла на прискорююче тіло, яке стикається з ним. На підставі
третього закону Ньютона ми могли твердити, що ця «сила про-
тидії» повинна дорівнювати за величиною і бути протилежною
за напрямом «силі дії», тобто силі, яка прискорює тіло. Але
тепер ми можемо пояснити і фізичну природу цієї «сили проти-
дії»: вона виникає тому, що тіло, прискорюване силою безпосе-
124
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
реднього стикання, завжди буде деформованим. Отже, сили
«дії» і «протидії», що виникають внаслідок безпосереднього сти-
кання тіл, мають ту саму природу — це сили пружності.
Щоб з’ясувати, як розподіляються деформації в прискорюва-
ному тілі, знову повернемось до прикладу бруска (або пружи-
ни). Нехай силу прикла-
дено до одного з кінців
тіла, як показано на рис.
85. Знов уявимо собі, що
брусок у думці розріза-
но на дві частини. Сила
пружності, яка діє з боку
частини тіла, до якої при-
а [
б
кладено прискорюючу си
лу, повинна надати спо-
стережуваного приско-
рення іншій частині тіла
Але прискорення всіх ча-
стин тіла — однакове; от-
Рис. 85. а) Розподіл сил пружності
вздовж стержня, який прискорюється
силою, прикладеною до його кінця.
б) Якщо замість жорсткого стержня
взяти м’яку пружину, то нерівномір-
ність деформацій уздовж тіла буде
наочною.
же, чим ближче проведе-
но розріз до місця при-
кладання сили, тим більшій частині бруска — а отже, і тим
більшій масі — повинні надати прискорення сили пружності.
Тому найбільша деформація і найбільша сила пружності виник-
нуть у точці прикладання сили, а вздовж бруска, у напрямі
до його вільного кінця, деформація і сила пружності спада-
тимуть. Такий розподіл деформацій і сил пружності схожий
з їх розподілом у бруску, який підвішений за один кінець і пере-
буває під дією сили тяжіння. Якби прискорення, надаване
силою, дорівнювало точно £, то деформації і сили пружності
в обох випадках точно збігалися б. Якби прискорення було в два
рази більше за £, то сили пружності в усіх перерізах стержня
також подвоїлися б; якби прискорення було в два рази менше,
у два рази менші були б і сили пружності. Але величина цих
сил змінювалася б у кожному перерізі в однакове число разів
і, отже, їх розподіл у тілі був би такий самий — такий, як у під-
вішеному тілі під дією сили тяжіння.
Такі самі міркування застосовані і до випадку, коли сила
не «тягне», а штовхає. Але в цьому разі треба буде порівнювати
деформації прискорюваного бруска з деформаціями бруска,
який розміщений вертикально і перебуває в спокої на підставці.
Висновки, зроблені для першого випадку, будуть справедливи-
ми і для другого.
Ми обмежились лише розглянутим найпростішим випад-
ком — брусок, до одного з торців якого прикладено сталу силу.
§ 62]
ЗНИКНЕННЯ ДЕФОРМАЦІЙ ПРИ ПАДІННІ
125
У складніших випадках спостерігатиметься аналогічна кар-
тина- IV III //__ / {
Вправа. 61. 1. «Поїзд» 2«г ►
з тягарців, з’єднаних пружин-
ками, приводиться в приско- Рис. 86. До вправи 61.1.
рений рух сталою силою [
(рис. 86). Натяг пружинки
між тягарцями // і ПІ дорівнює 10 н. Вважаючи, що сила тяжіння не діє,
і нехтуючи масами пружинок, знайти силу / і прискорення «поїзда».
наприклад, якщо перепалити нитку,
Рис. 87. При перепалюванні нитки кулька А
рухається з прискоренням, більшим за д,
а кулька В — з прискоренням, меншим зад,
і кульки зближаються; деформація пружини
зникає.
§ 62. Зникнення деформацій при падінні тіл. Зовсім інша
картина буде тоді, коли єдиною силою, яка надає тілу приско-
рення, є сила тяжіння, тобто коли тіло вільно падає. Ми бачили,
що коли тіло, на яке діє сила тяжіння, перебуває в спокої (для
цього воно повинне бути підвішеним або підпертим), воно буде
деформованим (§ 60). Але якщо тіло починає вільно падати,
на якій висить пружи-
на, то можна помітити,
що деформація пружини
швидко зникає і пружина
залишається в недефор-
мованому стані до кінця
вільного падіння.
Легко пояснити, чому
під час вільного падіння
зникає деформація, роз-
глянувши замість пружи-
ни тіло, що складається з
двох мас, з’єднаних лег-
кою пружиною (рис. 87).
Поки тіло висить на нит-
ці, прикріпленій до верх-
ньої маси, нитка і пружи-
на розтягнуті; нитка діє
на верхню масу з силою,
напрямленою вгору, пру-
жина діє на верхню масу
з силою, напрямленою
вниз, а на нижню — з силою, напрямленою вгору. Величини цих
сил такі, що вони зрівноважують сили тяжіння, які діють на кож-
ну з мас (масою пружини нехтуємо), і обидві маси залишаються
в спокої (пружина діє з силою, яка дорівнює силі тяжіння ниж-
ньої маси, а нитка — з силою, яка дорівнює сумі сил тяжіння
обох мас). Перепалимо нитку, яка підтримує тіло. Спочатку на
обидві маси, крім сили тяжіння, діятимуть ще сили з боку
126
ДИНАМІКА
[РОЗД. І!
розтягнутої пружини. Оскільки сила, яка діє на верхню масу,
напрямлена вниз, то верхня маса починає падати з прискорен-
ням більшим, ніж прискорення вільного падіння £. Навпаки, на
нижню масу з боку пружини діє сила, напрямлена вгору, вна-
слідок чого нижня маса падатиме з прискоренням меншим,
ніж £. Тому верхня маса наздоганятиме нижню, пружина сти-
скатиметься, і сила, з якою вона діє на маси, зменшуватиметь-
ся. Коли пружина скоротиться до нормальної довжини, вона
перестане діяти на маси, і на них діятиме тільки сила тяжіння.
Тому обидві маси далі падатимуть з однаковим прискоренням,
а пружина залишатиметься в недеформованому стані
Усе сказане про пружини стосується і всіх пружних тіл. Поки
пружне тіло, на яке діє сила тяжіння, прикріплене до підвісу,
воно обов’язково буде деформованим. А коли сила з боку підві-
су перестає діяти, деформації зникають, і при вільному падінні
тіло буде в недеформованому стані.
Тут проявляється принципова відмінність між силою тяжін-
ня, яка надає всім елементам тіла однакового прискорення,
і силами, які виникають при безпосередньому стиканні, що діють
тільки на ті або інші ділянки поверхні тіла і тому, як було пока-
зано вище, спричинюють деформації прискорюваного тіла.
Така сама картина зникнення деформації буде і в тілі, що
починає вільно падати разом з підставкою, на якій воно перебу-
вало в спокої, з тією відмінністю, що початкова деформація
буде стиском, а не розтягом, як у випадку підвішування тіла.
Слід підкреслити, що деформації падаючого тіла повністю зни-
кають тільки у випадку вільного падіння тіла, коли ніякі інші
сили, крім сили тяжіння, на падаюче тіло не діють. Якщо на
тіло діють які-небудь інші сили, наприклад опір повітря, то
деформації повністю не зникають.
З повним або частковим зникненням деформацій при падін-
ні зв’язано те відчуття, якого зазнає людина при падінні —
парашутист на початку стрибка (до розкриття парашута), пла-
вець, який стрибає у воду, людина в ліфті, коли ліфт починає
швидко опускатись, і т. д. У нормальних умовах органи людини
перебувають у деформованому стані. При падінні ці деформа-
ції зникають або (при невільному падінні, як у ліфті, що почи-
нає опускатися) зменшуються. Відсутність звичних деформацій
і спричинює характерне відчуття, якого зазнає людина під час
стрибка. Це відчуття є короткочасним відчуттям невагомості,—
те саме, яке зазнають космонавти під час польоту в штучному
супутнику.
1 Насправді справа трохи складніша, бо при падінні деформованої пру-
жини виникають коливання.
631
РУЙНУВАННЯ РУХОМИХ ТІЛ
127
§ 63. Руйнування рухомих тіл. Усі реальні тіла здатні дефор-
муватись тільки до певної границі. Коли ця границя досягнута,
тіло руйнується. Наприклад, нитка рветься, коли її видовження
Рис. 88. Якщо по-
вільно натягувати
нижню нитку, то
верхня нитка по-
рветься.
Рис. 89. Різко
смикнувши за ниж-
ню нитку, можна-
розірвати її, зали
шивши верхню нит-
ку цілою.
перевищує певну величину; пружина ламається, коли вона над-
то розтягнута, і т. д.
Щоб пояснити, чому зруйнувалося тіло, треба розглянути
рух, який передував руйнуванню. Розглянемо, наприклад, при-
чини розриву нитки в такому досліді (рис. 88 і 89). Важкий
тягар підвішений на нитці;
знизу до нього прикріплено
нитку такої самої міцності.
Якщо повільно тягти нижню
нитку, то порветься верхня
нитка, на якій висить тягар,
а коли різко смикнути за
нижню нитку, то порветься
саме нижня, а не верхня
нитка. Пояснення цього до-
сліду таке. Коли тягар ви-
сить, то верхня нитка вже
розтягнута до певної дов-
жини і її натяг зрівноважує
силу притягання тягаря до
Землі. Повільно натягуючи
нижню нитку, ми спричи-
нюємо переміщення тягаря
вниз. Обидві нитки при цьо-
му розтягуються, але верхня
нитка буде розтягнута більше, бо вона вже була розтягнута.
Тому вона рветься раніше. А якщо різко смикнути нижню нитку,
то внаслідок великої маси тягаря він навіть при значній силі,
що діє з боку нитки, дістане лише незначне прискорення, а тому
за короткий час ривка тягар не встигне набути помітної швид-
кості і скільки-небудь помітно переміститися. Практично тягар
залишиться на місці. Тому верхня нитка більше не видовжиться
і буде цілою; нижня нитка видовжиться понад допустиму грани-
цю і порветься.
Так само розриваються і руйнуються рухомі тіла і в інших;
випадках. Щоб уникнути розривів і руйнування при різкій зміні
швидкості, треба застосовувати зчеплення, які могли б значна
розтягуватись, не руйнуючись. Багато видів зчеплень, наприклад
стальні троси, самі собою таких властивостей не мають. Тому
в підіймальних кранах між тросом і гаком ставлять спеціальну
пружину («амортизатор»), яка може значно видовжуватись, не
руйнуючись, і таким чином захищає трос від розриву. Прядив’я-
128
ДИНАМІКА
(РОЗД. II
ний канат, який може витримати значне видовження, не потре-
бує амортизатора.
Так само руйнуються крихкі тіла, наприклад скляні предме-
ти, при падінні на тверду підлогу. При цьому відбувається різке
зменшення швидкості тієї частини тіла, яка торкнулася підлоги,
і в тілі виникає деформація. Якщо спричинена цією деформа-
цією сила пружності недостатня для того, щоб відразу зменши-
ти швидкість іншої частини тіла до нуля, то деформація про-
довжує збільшуватись. А оскільки крихкі тіла витримують без
руйнування лише невеликі деформації, то предмет розбивається.
Вправи. 63.1. Чому, коли паровоз різко рушає з місця, поїзд іноді
розривається? В якій частині поїзда найшвидше може статися розрив?
63. 2. Чому крихкі речі при перевезенні укладають у стружки?
§ 64. Сили тертя. Ми вже говорили (§ 34), що при безпосе-
редньому стиканні тіл, крім сил пружності, можуть виникати
сили й іншого типу, так звані сили тертя. Найхарактерніша
риса сил тертя та, що вони перешкоджають руху кожного з стич-
них тіл відносно іншого або перешкоджають самому виникнен-
ню цього руху.
Рис. 90. Сила тертя при різних напрямах сили Г, прикладеної з боку
динамометра.
Особливості сил тертя покажемо на таких дослідах. Візьме-
мо дерев’яний брусок з приробленими до нього збоку гачками
(рис. 90) і покладемо його на горизонтальний стіл. Брусок тис-
нутиме на стіл з силою Р, яка дорівнює вазі бруска. Зачепивши
за гачок кільце динамометра, розмістимо динамометр горизон-
тально і потягнемо його, як показано на рисунку. Поки сила,
яка діє з боку динамометра, досить мала, брусок залишається
в спокої. Отже, крім сили Р, яка діє з боку динамометра, на
брусок діє ще якась сила /, яка зрівноважує першу. Це й є сила
СИЛИ ТЕРТЯ
129
$ 641
тертя; вона діє з боку стола на брусок і прикладена до поверхні
їх стикання.
Оскільки ця сила виникає тоді, коли брусок ще не ковзає по
столу, то вона називається силою тертя спокою. Ми можемо
трохи збільшити силу Р—проте тіло залишиться в спокої. Це
означає, що разом із силою Р збільшується і сила тертя спо-
кою І, яка весь час дорівнює прикладеній силі. Сила тертя спо-
кою / ніколи не може бути більшою за прикладену силу: справ-
ді, під дією сили ( рух бруска в напрямі, протилежному напря-
му сили Р, ніколи не виникає. Але якщо ми ще збільшимо
силу Р, то кінець кінцем брусок набуде прискорення і почне ков-
зати по столу в напрямі цієї сили. Отже, сила тертя спокою
виявилася меншою за прикладену силу—сила тертя спокою
може збільшуватись тільки до деякої певної границі. Цю гра-
ницю — найбільшу величину сили тертя спокою — ми визначи-
мо за показами динамометра безпосередньо перед моментом,
коли саме тільки почнеться ковзання.
Зачепивши динамометр за другий гачок, ми можемо змінити
напрям сили Р (рис. 90); але й тоді, поки її велич-ина не пере-
вищує зазначеної вище границі, брусок не рухатиметься. Отже,
одночасно із зміною напряму сили Р змінюється і напрям сили
тертя спокою /. Таким чином, і величина, і напрям сили тертя
спокою визначаються величиною і напрямом тієї зовнішньої
сили, яку вона зрівноважує: сила тертя спокою дорівнює за
величиною і протилежна за напрямом тій зовнішній силі, яка
прагне спричинити ковзання одного тіла по іншому. Інакше
кажучи, сила тертя спокою діє на тіло назустріч тому напряму,
в якому виникло б ковзання, якби сили тертя спокою не було.
Звичайно, коли кажуть про силу тертя спокою, мають на
увазі найбільшу величину цієї сили. Подивимось, як залежить
ця найбільша величина від сили, з якою стичні тіла тиснуть
одне на одне. Навантажуватимемо брусок гирями різної ваги
і повторюватимемо визначення найбільшої сили тертя спокою.
Ми побачимо, що при зміні сили Р, з якою брусок тисне на стіл
(тепер це буде сума ваги бруска і гир), сила тертя спокою змі-
нюється приблизно пропорціонально силі Р, так що наближено
І = АР, (64. 1)
де А — стала величина. Цю величину
к = (64.2)
яка дорівнює відношенню сили тертя між розглядуваними по-
верхнями до сили, з якою тіла тиснуть одне на одне, називають
9 7-103
130
ДИНАМІКА
(РОЗД. її
коефіцієнтом тертя. Для різних матеріалів коефіцієнти тертя
різні. З означення видно, що коефіцієнт тертя не залежить від
вибору системи одиниць.
На практиці коефіцієнт тертя для взятих матеріалів визна-
чають за формулою (64.2), вимірюючи окремо силу тертя і
силу тиску тіл одного на одне. Оскільки коефіцієнти тертя*спо-
кою залежать від речовини обох тіл, то їх доводиться визнача-
ти для кожної з різних пар матеріалів (тертя заліза по дереву,
заліза по залізу і т. д.). Коефіцієнт тертя не є точно сталою
величиною для взятої пари металів і залежить від властивостей
поверхонь. Гладенька обробка поверхонь значною мірою змен-
шує коефіцієнт тертя.
Збільшимо тепер силу Р саме настільки, щоб тіло почало
ковзати, і після того, як воно почало рухатись, підберемо вели-
чину зовнішньої сили так, щоб тіло ковзало по поверхні стола
рівномірно. Це означатиме, що сила тертя (сила тертя ковзан-
ня), яка виникає при ковзанні, дорівнює прикладеній силі. Вимі-
рюючи прикладену силу, яка підтримує рівномірне ковзання
тіла по поверхні, ми побачимо, що вона звичайно буває меншою
за силу, потрібну для того, щоб зсунути тіло з місця: сила тертя
ковзання може бути меншою, ніж сила тертя спокою.
Часто вводять коефіцієнт тертя ковзання відповідно до тієї
самої формули (64.2), але в неї замість сили тертя спокою під-
ставляють силу тертя ковзання.
Легко впевнитись на досліді, що сила тертя ковзання також
залежить від роду тертьових поверхонь і, як і сила тертя спо-
кою, збільшується при збільшенні силй тиску між тертьовими
тілами. При збільшенні швидкості, але незмінній силі тиску
сила тертя ковзання звичайно не залишається сталою. Це озна-
чає, що коефіцієнт тертя ковзання залежить і від швидкості
ковзання одного тертьового тіла відносно другого. Проте для
багатьох задач можна користуватися деяким середнім значен-
ням коефіцієнта тертя ковзання. При дуже малих швидкостях
його можна вважати таким, що дорівнює коефіцієнту тертя
спокою.
Навіть при великій силі, яка притискає тертьові тіла одне
до одного, вони завжди стикаються не по всій поверхні, а тіль-
ки на окремих ділянках. Це пояснюється мікроскопічними нерів-
ностями поверхні всякого тіла, які залишаються навіть при ста-'
ранній обробці поверхні. Тому сили тертя діють тільки між
цими окремими ділянками. Між стичними ділянками виника-
ють сили зчеплення, які при ковзанні тіл напрямлені в бік, про-
тилежний ковзанню.
Для зменшення сил тертя ковзання застосовують мащення.
Мащення полягає в тому, що між двома стичними твердими
§65]
ТЕРТЯ КОЧЕННЯ
131
поверхнями вводять шар рідкого мастила, яке змінює умови
стикання і зменшує тертя.
§ 65. Тертя кочення. Візьмемо дерев’яний циліндр і покла-
демо його на стіл так, щоб він доторкався до стола по твірній.
У центри основ циліндра вставимо кінці дротяної вилки і при-
кріпимо до неї дуже
чутливий динамометр
(рис. 91), що має пру-
жину, яка дуже легко
розтягується. Якщо
тягти за динамометр,
то циліндр покотиться
по столу. За показами
динамометра побачи-
Рис. 91. Вимірювання тертя кочення.
мо, що потрібна дуже
невелика сила тяги,
щоб зсунути з місця
циліндр і котити його рівномірно далі,— значно менша, ніж при
ковзанні того самого циліндра, коли б він не міг обертатись
і ковзав би по столу. Сила, яка діє з боку стола на циліндр, що
котиться по ньому, називається силою тертя кочення. При тій
самій силі тиску на стіл сила тертя кочення набагато менша за
силу тертя ковзання. Наприклад,-при коченні стальних коліс по
стальних рейках тертя кочення приблизно в 100 раз менше, ніж
Рис. 92. Шариковий
підшипник.
Рис. 93. Деформації при коченні.
тертя ковзання. Тому в машинах прагнуть замінити тертя ков-
зання тертям кочення, застосовуючи так звані шарикові або
роликові підшипники. На рис. 92 зображено один з таких під-
шипників.
Походження тертя кочення можна наочно уявити собі так.
Коли куля (або циліндр) котиться по поверхні іншого тіла,
вона трохи вдавлюється в поверхню цього тіла, а сама трохи
стискається. Отже, тіло, яке котиться, весь час ніби скочується
на гірку (рис. 93). Разом з тим ділянки однієї поверхні відри-
9*
132
ДИНАМІКА
(РОЗД. II
ваються від іншої, а сили зчеплення, які діють між цими поверх-
нями, перешкоджають цьому. Обидва ці явища і спричинюють
сили тертя кочення. Чим твердіші поверхні, тим менше вдавлю-
вання і тим менше тертя кочення.
§ 66. Роль сил тертя. Усі рухи стичних тіл одного відносно
одного завжди відбуваються з тертям: вісь колеса зазнає тертя
в підшипнику, а його обід — тертя об рейку; двері відчиняють-
ся із скрипом, що свідчить про тертя в завісах; кулька, яка
котиться по горизонтальному столу, зупиняється під дією сил
терТя кочення. Коли ми вивчаємо рух якого-небудь тіла і виклю-
чаємо з розгляду тертя, то ми, спрощуючи задачу, одночасно
тією або іншою мірою спотворюємо справжній стан речей. У всіх
дослідах, які ми наводили для ілюстрування законів руху, ми
припускали, що тертя немає. Насправді сили тертя завжди впли-
вають більшою або меншою мірою на характер руху.
Роль тертя не завжди обмежується гальмуванням рухів тіл.
У багатьох випадках рух, наприклад, ходьба, стає можливим
тільки завдяки дії сил тертя, зокрема тертя спокою. При ходьбі
ми ставимо ноги на землю так, що вони повинні були б ковзати
назад, якби сили тертя спокою не було (справді, коли ми робимо
спробу йти по гладенькому льоду, то ноги ковзають назад).
Через те що сила тертя спокою діє в напрямі, протилежному до
того, в якому повинно.було б виникнути ковзання, то виникає
сила тертя спокою, напрямлена вперед. Вона й надає тілу люди-
ни прискорення вперед. Приблизно така сама справа і в усіх
саморухомих екіпажах (велосипед, автомобіль, паровоз). Дви-
гун екіпажа спричинює обертання ведучих коліс. Якби сили
тертя спокою не було, то екіпаж залишався б на місці і колеса
почали б буксувати, так що точки колеса, які доторкаються
в даний момент до землі або рейок, проковзували б у напрямі
назад. Сила тертя спокою, яка виникає і діє на колеса з боку
землі, напрямлена вперед і надає екіпажу прискорення вперед
або, зрівноважуючи інші сили, які діють на екіпаж, підтримує
його рівномірний рух. Якщо ця сила тертя недостатня (напри-
клад, на льоду), то екіпаж не рухається, а колеса буксують.
Навпаки, якщо в рухомого екіпажа, колеса якого обертаються,
сповільнити обертання коліс, не сповільнюючи швидкості самого
екіпажа, то при відсутності сил тертя колеса почали б ковзати
по землі вперед; отже, насправді виникає сила тертя, напрямле-
на назад. На цьому грунтується дія гальм.
Не менш важливу роль відіграють сили тертя спокою і в неса-
морухомих екіпажах. Розглянемо докладніше рух коня, який
тягне сани (рис. 73, стор. 106). Кінь ставить ноги і напружує
м’язи так, що якби сил тертя спокою не було, ноги ковзали б
ОПІР СЕРЕДОВИЩА
133
§ 67]
назад. При цьому виникають сили тертя спокою Р$, напрямлені
вперед. А на сани, які кінь тягне вперед через посторонки з
силою Р2, з боку землі діє сила тертя Р4, напрямлена назад.
Щоб кінь і сани набули прискорення, треба, щоб сила тертя
копит коня об поверхню дороги була більша за силу тертя, яка
діє на сани. Проте хоч який великий коефіцієнт тертя підків об
землю не був, сила тертя спокою не може бути більшою за ту
силу, яка повинна була спричинити ковзання копит (§ 64), тоб-
то сила м’язів коня. Тому навіть тоді, коли ноги коня не ковза-
ють, він все ж іноді не може зсунути з місця важких саней. Під
час руху (коли почалося ковзання) сила тертя трохи зменшує-
ться; тому часто досить тільки допомогти коневі зсунути сани
з місця, щоб потім він міг їх везти.
Вправа. 66.1. Поясніть роль сил тертя при передаванні руху від одно-
го шківа до другого за допомогою приводного паса.
§ 67. Опір середовища. Якщо тверде тіло перебуває всереди-
ні рідини або газу, то вся його поверхня весь час стикається
з частинками рідини або газу. Під час руху тіла на нього з боку
рідини або газу діють сили, напрямлені назустріч руху. Ці сили
називають опором середовища. Як і сили тертя, опір середовища
завжди напрямлений проти руху. Опір середовища можна роз-
глядати як один з видів сил тертя.
Особливістю сил тертя в рідині або газі є відсутність тертя
спокою. Тверде тіло, що лежить на іншому твердому тілі, може
бути зсунуте з місця, якщо тільки до нього прикладено досить
велику силу, яка перевищує найбільшу силу тертя спокою. При
меншій силі тверде тіло з місця не зсунеться, скільки б часу ця
сила не діяла. Картина буде іншою, якщо тіло перебуває в ріди-
ні. У цьому разі, щоб зсунути з місця тіло, досить яких завгодно
малих сил: хоч і дуже повільно, але тіло почне рухатись (див.
рис. 67, стор. 96). Людина взагалі ніколи не зсуне з місця голи-
ми руками камінь вагою в сто тонн. Водночас баржу вагою сто
тонн, яка плаває на воді, одна людина, хоч і дуже повільно, але
все-таки зможе рухати (пор. § 44). Проте в міру збільшення
швидкості опір середовища значно збільшується, так що, скіль-
ки б часу дана сила не діяла, вона не зможе розігнати тіло до
значної швидкості.
Розглянемо тепер, як опір середовища змінює закони падін-
ня тіл у повітрі.
§ 68. Падіння тіл у повітрі. При падінні в повітрі тіло рухає-
ться під дією двох сил: сталої сили земного притягання
напрямленої вертикально вгору, і сили опору повітря /, яка
збільшується в міру падіння і напрямлена вертикально вгору.
134
ДИНАМІКА
[РОЗД. II
Рівнодійна сили тяжіння і сили опору повітря дорівнює їх різ-
ниці і на початку падіння напрямлена вниз.
Поки швидкість падаючого тіла ще мала, невелика і сила
опору повітря; але в міру того, як зростає швидкість падіння,
ця сила швидко зростає. При деякій швидкості / стає таким, що
дорівнює Р, і потім тіло падає рівномірно. Швидкість такого
падіння називають граничною швидкістю падіння. Гранична
швидкість тим більша, чим більше розріджене повітря. Тому
тіло, яке падає з дуже великої висоти, може в розріджених
шарах атмосфери набути швидкості, більшої за граничну швид-
кість для нижніх (густих) шарів. Війшовши в нижні шари
атмосфери, тіло зменшить свою швидкість до значення гранич-
ної швидкості для нижніх шарів.
Вправа. 68.1. Чи деформоване тіло, яке падає з граничною швид-
кістю?
Гранична швидкість падіння залежить, крім густини атмо-
сфери, від форми і розмірів тіла і від сили притягання тіла Зем-
лею. Тіла малого розміру, наприклад дрібні краплини води
(туман), пилинки, сніжинки, швидко досягають своєї граничної
швидкості (порядку міліметра за секунду і менше) і потім з
цією малою швидкістю опускаються вниз. Свинцева кулька
масою 10 г досягає при падінні з достатньої висоти граничної
швидкості 40 м/сек. Краплини дощу падають із швидкістю, яка
звичайно не перевищує 7—8 м/сек\ чим менша краплина, тим
менша і швидкість її падіння; якби краплини дощу падали в
безповітряному просторі, то при падінні на землю з висоти 2 км
вони досягали б, незалежно від їх розмірів, швидкості 200 м/сек\
такої самої швидкості при падінні з тієї самої висоти в безпо-
вітряному просторі досягло б і всяке інше тіло. При такій швид-
кості удари краплин дощу були б дуже неприємні!
Відмінність у граничній швидкості різних тіл однакової фор-
ми, але різних розмірів пояснюється залежністю опору середо-
вища від розмірів тіла. Виявляється, що опір приблизно пропор-
ціональний поперечним розмірам тіла. При тій самій формі тіла
з певного матеріалу площа його поперечного перерізу, а отже,
і сила опору повітря, зростає із збільшенням розмірів повіль-
ніше, ніж сила тяжіння: площа поперечного перерізу зростає як
квадрат розміру, а сила тяжіння — як куб розміру тіла. Напри-
клад, чим більша авіаційна бомба, тим більша її гранична швид-
кість і з тим більшою швидкістю вона досягає землі.
Нарешті, опір повітря значною мірою залежить і від форми
тіл (рис. 94) (див. § 190). Авіаційним бомбам надають спеціаль-
ної обтічної форми, при якій опір повітря малий; роблять це
для того, щоб бомба досягала землі з якомога більшою швидкі-
стю і краще пробивала перешкоду (бліндаж, палубу корабля
«68]
ПАДІННЯ ТІЛ У ПОВІТРІ
135
повітря досягає швидкості
ЗО/
Рис. 94. Опір повітря при русі
сигароподібного тіла в ЗО раз
менший за опір при русі круг-
лої пластинки і в 5 раз мен-
ший за опір при русі кульки
такого самого поперечного пе-
рерізу.
і т. д.). Навпаки, парашутист повинен досягати землі з невели-
кою швидкістю. Тому парашуту надають такої форми, при якій
опір повітря його руху був би якнайбільший. Гранична швид-
кість падіння людини з розкритим парашутом становить 5—
7 м/сек. Граничної швидкості парашутист досягає інакше, ніж
при простому падінні тіла. Спочатку він падає з закритим пара-'
шутом, і внаслідок малого опору
в десятки метрів за секунду. При
розкритті парашута опір повітря
різко зростає і, перевищуючи в ба-
гато разів силу тяжіння, сповільнює
падіння до певної швидкості.
Опір повітря змінює також ха-
рактер руху тіл, кинутих угору. Під
час руху тіла вгору і сила земного
притягання, і сила опору повітря
напрямлені вниз. Тому швидкість
тіла зменшується швидше, ніж це
відбувалося б при відсутності повіт-
ря. Внаслідок цього тіло, кинуте вго-
ру з початковою швидкістю і»о, не
V а
досягає висоти її = (як це бу-
ло б при відсутності опору) і вже
на меншій висоті починає падати
назад. При падінні вниз опір повіт-
ря зменшує наростання швидкості.
Внаслідок цього тіло, кинуте вгору,
завжди повертається назад з мен-
шою швидкістю, ніж воно було ки-
нуто. Отже, при падінні назад на
землю середня швидкість руху менша, ніж при підніманні, і
тому час зворотного падіння на землю більший за час підні-
мання.
Вплив опору повітря особливо великий при великих швидко-
стях (бо сила опору швидко зростає із збільшенням швидкості).
Так, наприклад, при пострілі з гвинтівки вертикально вгору
куля, яка вилітає з початковою швидкістю 600 м/сек, повинна
була б, якби повітря не було, досягти висоти, яка дорівнює
600а мь/сек*
2 • 10 м/сен?
= 18 000 м.
Насправді куля досягає висоти лише 2—3 км. При падінні назад
швидкість кулі зростає лише до 50—60 м/сек. З цією граничною
швидкістю куля і досягає землі.
РОЗДІЛ III
СТАТИКА
Рис. 95. Щоб тягарець підні-
мався, сила Р повинна бути
більша за силу тяжіння тягар-
ця Р.
§ 69. Завдання статики. Ми вже знаємо, що всяке тіло під
впливом сил, які діють з боку інших тіл, взагалі кажучи, зазнає
прискорення; зокрема, тіло, яке пе-
ребуває в спокої, приходить у рух.
Проте в деяких випадках тіло, яке
перебуває під дією кількох сил, все
ж може залишатися в спокої. Так,
ми бачили (§ 35), що коли на тіло,
яке перебуває в спокої, діють одно-
часно дві сили, однакові за величи-
ною і напрямлені по одній прямій
у протилежні сторони, то тіло не
зазнає прискорень і може залиша-
тися в спокої. В інших випадках
умови спокою тіла при дії на нього
сил бувають складнішими. Вивчен-
ня цих умов, тобто умов рівноваги
тіл (або, іншими словами, умов рів-
новаги сил), і становлять завдання
статики.
Отже, статика насамперед дає
змогу визначити умови рівноваги
всіх різноманітних споруд, які ми
створюємо: будинків, мостів, арок,
підіймальних кранів і т. д. Але цим
не вичерпується практичне значення статики. Статика дає змогу
відповісти і на деякі питання, що стосуються руху тіл. Нехай,
наприклад, на кінці вірьовки, перекинутої через блок, висить
тягарець, на який діє сила тяжіння Р (рис. 95). Користуючись
методами статики, ми можемо визначити силу Р, з якою треба
діяти на другий кінець вірьовки, щоб тягарець був у спокої,—
ця сила повинна дорівнювати силі тяжіння Р. Але ця відповідь
АБСОЛЮТНО ТВЕРДЕ ТІЛО
137
§ 70]
містить у собі дещо більше, ніж умови рівноваги тягарця. Вона
дає вказівку про те, що треба зробити, щоб тягарець піднімав-
ся вгору: для цього досить прикласти до другого кінця вірьовки
силу, трохи більшу за Р. Отже, статика дає вказівки не тільки
про умови рівноваги тіл, а й про те, в якому напрямі виникне
рух, якщо рівновага сил відповідно порушена.
Статика з самого початку розвивалась як розділ механіки,
який давав відповіді на найпростіші питання, що стосуються
не тільки рівноваги, а й руху тіл. Вже в стародавні часи вини-
кали питання, пов’язані з застосуванням різних механічних
пристроїв (важеля, блока і т. д.) для піднімання і пересування
вантажів. Тому будівельників у ті часи цікавили не тільки умо-
ви рівноваги вантажу, а й умови, при яких вантаж рухався б
у певному напрямі, наприклад піднімався. І статика мала прак-
тичне значення для інженера стародавніх часів переважно тому,
що вона була спроможна відповісти на це питання. Правда,
статика нічого не може сказати про те, як швидко піднімати-
меться вантаж. Але питання про швидкість руху для інженера
стародавніх часів не відігравало істотної ролі. Тільки значно
пізніше, коли почали цікавитись питаннями продуктивності
машин (див. далі, § 108), задача про швидкість руху різних
механізмів набула практичного інтересу і статика стала недо-
статньою для задоволення запитів практики.
§ 70. Абсолютно тверде тіло. Чому вантаж, що лежить на
столі, залишається в спокої, хоч на нього й діє сила тяжіння?
Очевидно, крім сили тяжіння, на вантаж діють інші сили, які
зрівноважують силу тяжіння. Що це за сили?
Відповідь на це питання ми вже знаємо: знизу вгору на ван-
таж діє з силою пружності стіл; ця сила виникає тому, що стіл
деформований. Деформацію чітко видно, якщо за опору для
вантажу взято тонку гнучку дощечку (рис. 84); для неї сила,
що дорівнює силі тяжіння вантажу, виникає тільки при порів-
няно великому прогині. У значно більш жорсткого стола про-
гин, потрібний для зрівноважування сили тяжіння, значно мен-
ший і непомітний при звичайному спостереженні. Проте при
досить тонких способах спостереження і такий малий прогин
можна зробити помітним. Наприклад, якщо на столі стоять
дзеркала, які відбивають вузький пучок світла на стіну (рис. 96),
то внаслідок згину кришки стола під дією вантажу дзеркала
злегка нахиляться, і зайчик переміститься на стіні. При ще
жорсткішому столі або, наприклад, масивній стальній плиті без-
посереднє спостереження деформації, спричиненої невеликим'
вантажем, буде ще важче. Проте ми можемо бути певними, що
138
СТАТИКА
[Р03Д. III
деяка деформація виникла, бо тільки завдяки їй виникає з
боку плити пружна сила, яка зрівноважує силу тяжіння ван-
тажу.
Хоч деформація в цих випадках і невелика, проте пружна
сила, яка виникає, та сама: це видно з того, що в обох випад-
ках вантаж перебуває в спокої.
На практиці завжди зустрічаються тіла, в яких при звичай-
них умовах виникають лише дуже невеликі деформації. Тільки
такі тіла придатні для виготовлення частин машин, для будів-
ництва і т. д. У більшості випадків нас не цікавить деформація
•сама собою, а тільки величина сили, зумовленої цією деформа-
цією. А величина сили, як було зазначено, для тіл різної жор-
сткості і по-різному деформованих (наприклад, дощечки стола),
буває однаковою. Ми можемо уявити тіло таке жорстке, що
в ньому потрібні сили виникають при як завгодно малих дефор-
маціях. Тому ми можемо реальне тіло замінити уявлюва^іим
абсолютно твердим тілом, яке зовсім не деформується.
Зрозуміло, що абсолютно твердих тіл у природі не буває.
Проте уявлення про таке уявлюване тіло дуже корисне. Вва-
жаючи, що в ньому виникає потрібна сила, ми можемо не вра-
ховувати його деформації. Зокрема, у дальшому ми вважатиме-
мо абсолютно жорсткими частини простих машин: важелі, бло-
ки, клини, гвинти і т. д. Так само вважатимемо абсолютно нероз-
тяжними нитки, троси і т. д.
§71]
ПЕРЕНЕСЕННЯ ТОЧКИ ПРИКЛАДАННЯ СИЛИ
139
§ 71. Перенесення точки прикладання сили, яка діє на твер-
де тіло. У § 35 ми бачили, що дві однакові сили, які діють
уздовж однієї прямої в протилежні сторони, зрівноважують
одна одну. При цьому не істотно, до якої саме точки тіла на цій
прямій прикладені сили. Так, на рис. 97 показано два випадки
прикладання до тіла однакових і протилежних сил /і і які
діють уздовж однієї прямої. Обидва випадки відрізняються
а
б
Рис. 97. а) У точках А і В на тіло діють однакові сили /і
і /г протилежного напряму. У тілі виникають деформація
і пружні сили /з і /4. б) При перенесенні сили (\ з точки А
в точку А' рівновага не порушується.
тільки точкою прикладання сили /і (Л або Д')’» в обох випадках
тіло залишається в рівновазі. Отже, у випадку рівноваги двох
сил точку прикладання сили можна переносити вздовж її напря-
му, не порушуючи рівноваги тіла. Досліди показують, що таке
перенесення не змінює дії сили і в інших випадках дії сил на
тверде тіло. Наприклад, одна сила, прикладена до тіла, спри-
чинить те саме прискорення, де б її не прикласти.
Точку прикладання сили можна переносити вздовж її напря-
му, не змінюючи дії сили на тіло в цілому.
Ми можемо не тільки насправді переносити точки прикла-
дання сили, але можемо робити цю операцію і мислено для
того, щоб спростити міркування при розв’язуванні тих або
інших задач. Цим способом часто користуються як при визна-
ченні умов рівноваги, так і при вивченні рухів твердого тіла.
Хоч перенесення точок прикладання сил і не змінює їх дії на
тіло в цілому, проте таке перенесення змінює розподіл дефор-
мацій і сил пружності в реальному тілі. Справді, у розглядува-
ному прикладі, коли сили прикладені до точок А і В, вони спри-
чинюють деформацію тіла: в області між точками А і В виникає
140
СТАТИКА
(РОЗД. III
розтяг і виникають сили пружності Із І Л» які діють між части-
нами тіла, зрівноважуючи прикладені зовні сили Л і /2, і припи-
нюють дальші деформації. Якщо сила її прикладена в точці А\
то розтяг захоплює вже область від точки А' до точки В. Проте
в обох випадках пружні сили /3 і /4 виникають вже при дуже
малих деформаціях, а оскільки ми не звертаємо уваги на дефор-
мацію (розглядаємо тіло як абсолютно тверде), то різниця в
деформаціях ролі не відіграє.
§ 72. Рівновага тіла під дією трьох сил. У § 41 ми знайшли
умову рівноваги тіла, яке перебуває під дією трьох сил, розмі-
щених під кутом одна до одної і прикладених до однієї точки.
Виявилося, що для цього всі три
сили повинні лежати в одній пло-
щині і кожна з них повинна до-
рівнювати за величиною і бути
оберненою за напрямом діагона-
лі паралелограма, побудованого
на двох інших силах.
Але на практиці часто сили
бувають прикладені не в одній
точці. З’ясуємо, які будуть умови
рівноваги в цьому випадку. Для
цього скористаємось таким са-
мим пристроєм з трьома гирями»
який ми застосовували в § 41, з
тією відмінністю, що нитки, на
яких підвішені гирі, прикріплю-
ватимемо до різних точок куска
легкого картону, як показано на
рис. 98. Якщо вага картону мала
Рис. 98. Дослідження умов рівноваги порівняно 3 вагою гир, то нею
твердого тіла під дією трьох сил, при- Л Л г
кладених до різних точок тіла. можна знехтувати і вважати, що
до картону прикладені тільки си-
ли натягу нитки. Дослід покаже, що при рівновазі всі нитки
(а отже, і сили, які діють на картон) розмістяться в одній пло-
щині. Позначаючи на картоні напрями ниток і продовжуючи їх
до перетину, впевнимося, що всі три напрями перетинаються
в одній точці. Переносячи в цю точку точки прикладання всіх
трьох сил натягу ниток, впевнимось, що і в цьому випадку умо-
ва рівноваги трьох сил, сформульована вище, виконуватиметься.
Зауважимо, що точка перетину напрямів сил не повинна при
цьому обов’язково лежати в самому тілі (рис. 99).
Якщо на тіло діють більш як три сили, то рівновага може
настати й тоді, коли сили на лежать в одній площині. Такий
-§ 72) РІВНОВАГА ТІЛА ПІД ДІЄЮ ТРЬОХ СИЛ
141
випадок (вантаж, підвішений на трьох тросах) показано на
рис. 100.
Р
Рис. 99. Точка пе- Рис. 100. Ліхтар перебуває Рис. 101. До вправи 72.2.
ретину зрівноваже- в рівновазі під дією чоти-
них сил може ле- рьох сил, які не лежать в
жати поза тілом. одній площині.
В п р а в и. 72. 1. Довести, що при рівновазі трьох сил ламана, складена
з них, утворює трикутник.
72. 2. Тягарець вагою 50 н підвішений на двох нитках: одна розміщена
горизонтально, а друга — під кутом 5° до горизонту (рис. 101). Знайти натяги
Рис. 102. До вправи 72.3.
72. 3. Судно пришвартовано до берега двома тросами, які утворюють
з лінією берега кут 60° (рис. 102). Під дією вітру, який дме з берега, обидва
142
СТАТИКА
[РОЗД. ІІВ
Р/
Рис. 103. До вправи• 72.4.
троси натяглися так, що сила натягу кожного троса становить 10 000
Визначте силу, з якою вітер тисне на судно.
72. 4. На дротині підвішено тягарець Р в 100 н; до середини дротини
прикріплено горизонтально розміщену від-
тяжку, перекинуту через блок (рис. 103).
На кінець відтяжки підвішено тягарець Рі
в 25 н. Знайдіть кут а, який утворює верх-
ня частина дротини з вертикаллю, і натяг
верхньої частини дротини.
§ 73. Розкладання сил на скла-
дові. Ми вже знаємо, як відшукати
рівнодійну двох або кількох зада-
них сил, напрями яких перетинаю-
ться.
Для практики не.менш важли-
ва задача про розкладання сили на
складові, тобто задача про відшу-
кання кількох сил, рівнодійною
яких була б дана сила. Ця задача може приводити до різних
розв’язків, подібно до того, як це буває при розкладанні векто-
ра переміщення.
Щоб задача про розкладання сили була означеною (тобто
мала тільки один розв’язок), потрібні додаткові умови. Напри-
клад, якщо задано величину і на-
прям однієї з складових або два
напрями, по яких повинні діяти
складові, і т. п., то операція роз-
кладання сили на дві складові стає
цілком означеною і зводиться до
простої геометричної побудови.
Нехай, наприклад, ми хочемо
розкласти силу Р на дві складові,
що лежать в одній площині з Р 1 і
напрямлені вздовж прямих АВ і
АС (рис. 104). Для цього досить
з кінця вектора, який зображає Р,
провести дві прямі, паралельні АВ і АС. Відрізки/7! і Р2 і будуть
шуканими силами.
Звичайно в механічних задачах, що стоять перед нами, є вка-
зівки на те, як доцільно розкласти силу на складові. Часто
в умові задачі зазначено й напрями, за якими треба знайти
складові даної сили. Наприклад, щоб відшукати сили натягу
1 Інакше розкладання неможливе.
§ 74]
ЗАГАЛЬНА УМОВА РІВНОВАГИ
143
тросів, на яких висить
розкласти на складові
вантаж, треба силу тяжіння Р вантажу
Рі і Р2 У напрямах цих тросів (рис. 105).
НатЯги тросів повинні зрівнова-
жити ці складові. Як легко поба-
Рис. 105. Чим більший кут ВАС між тросами, тим більші сили натягу
тросів.
Рис. 106. До вправи 73.1.
ЧИТИ, ЧИМ більший кут МІЖ Тросами, ТИМ більші будуть СИЛИ’
натягу тросів. Тому якщо відстань між опорами тросів велика,
то навіть невеликий вантаж, якщо він висить трохи нижче від
опор, спричинює дуже великий натяг тросів. Цим пояснюється,
чому ожеледь або іній іноді обриває
туго натягнуті проводи.
При розкладанні сили на три або біль-
ше складових збільшується і число умов,
необхідних для того, щоб -розкладання
було виконане однозначно.
Вправа. 73.1. На рис. 106 показано части-
ну горизонтально розтягнутої сітки. Дільниця
АВ натягнута з силою 10 н. Які натяги дільниць
ВС, СО, СО, ОЕ?
§ 74. Проекції сил. Загальна умова
рівноваги. У § 41 ми бачили, що для
рівноваги геометрична сума всіх сил
повинна дорівнювати нулю. Отже, від-
шукання умов рівноваги зводиться до
визначення величини і напряму тих або
з відомими іншими силами давали б нуль. При розв’язуванні
цієї задачі часто буває зручно спочатку розкласти шукану і відо-
мі сили на складові і потім визначати умови, при яких складові
сили в окремих напрямах у сумі дають нуль.
Особливо зручно розкладати сили на складові у взаємно
перпендикулярних напрямах. У цьому разі складові сили є сто-
ронами прямокутника, діагоналлю якого є розкладувана сила
(рис. 107). Сторони прямокутника являють собою, як відомо,
проекції діагоналі на напрями сторін. Тому при розкладанні сил*
інших сил, які в сумі
144
СТАТИКА
(РОЗД. ІІЇ
у взаємно перпендикулярних напрямах величини складових
(узятих із знаком плюс або мінус, залежно від сторони, в яку
повернуті складові) називають проекціями сили.
Як приклад розглянемо умови рівноваги тіла на площині,
яка утворює з горизонтом кут а (рис. 108) (похила площина).
Припустимо, що тертя немає; тоді тіло, залишене само на
себе, ковзало б по дошці вниз. ІЦоб удержати тіло, треба при-
класти до нього ще якусь силу, наприклад прив’язати до нього
Рис. 107. Розклад сили Рис. 108. Визначення умов рівноваги тіла на
за двома взаємно пер- похилій площині.
пендикулярними напря-
мами.
нитку, перекинуту через блок так, щоб нитка йшла паралельно
площині дошки, і підвісити до кінця нитки деякий тягарець.
Тоді тіло перебуватиме під дією трьох сил: сили тяжіння Р тіла,
натягу нитки з тягарцем () і сили пружності Р з боку площини,
яка трохи прогинається під вагою тіла і тисне на нього в напря-
мі, перпендикулярному до площини.
Щоб знайти умови рівноваги, розкладемо силу Р на дві
складові; Рі, напрямлену паралельно похилій площині, і Р2,
напрямлену перпендикулярно до площини. Для рівноваги необ-
хідно, щоб сила натягу нитки С} дорівнювала і була протилеж-
ною Рі, а Р—дорівнювала і була протилежною Р2- Ця остання
умова додержується сама собою: площина прогинається доти,
поки сили Р і Р2 не будуть однакові за величиною. Рівність сил
($ і Р\ можлива тільки при певному співвідношенні між силою
тяжіння тіла Р, силою тяжіння допоміжного тягарця ($ і кутом
нахилу площини до горизонту а. Складова сили Р вздовж похи-
лої площини Рі = Р 5Іп а. Отже, умовою рівноваги буде:
ф = Р зіп а.
Якщо це співвідношення виконується, то сума сил у кожно-
му напрямі дорівнює нулю. При цьому тіло буде в рівновазі.
Інакше кажучи, тіло перебуває в рівновазі, коли сума проекцій
всіх сил, які діють на кожний з вибраних напрямів, дорівнює
нулю.
§75|
ЗВ’ЯЗКИ. РЕАКЦІЇ ЗВ’ЯЗКУ
145
Так само можна подати умову рівноваги тіла під дією якого
завгодно числа сил. Справді, якщо сума проекцій усіх сил, які
діють на будь-який напрям, дорівнює нулю, то це означає, що
складові сили на будь-якому напрямі зрівноважують одна одну
і, отже, тіло залишається —:----' -----
рівновазі. Зрозуміло, що при цьому
треба враховувати також сили, які
діють з боку опор, підвісів і т. д.
В
Рис. 109. До вправи 74. 1.
Рис. 110. До вправи 74. 2.
Вправи. 74.1. Похила площина нахилена під кутом 30° до горизонту
(рис. 109). На ній лежить тіло Р, маса якого дорівнює 2 кг. Тертям можна
знехтувати. Нитка, перекинута через блок, утворює кут 45° з похилою пло-
щиною. При якій вазі тягарця С} тіло Р буде в рівновазі? З якою силою
тягарець тисне на площину?
74.2 До щогли прикріплено гори-
зонтальну антену, натяг якої дорівнює
40 кГ (рис. 110). Під яким кутом а до
горизонту повинна бути розміщена від-
тяжка з другого боку щогли, щоб вона
не гнулася і щоб тиск на основу щогли
становив 60 кГ?
74. 3. Під час вітру прив’язний аеро-
стат висить не над тією точкою Землі,
до якої прикріплено трос (рис. 111).
Натяг троса дорівнює 200 кГ, кут з вер-
тикаллю а = 30°. Яка сила тиску вітру?
Яка підіймальна сила, що діє на аеро-
стат у вертикальному напрямі? (Пі-
діймальною силою називається різниця
між підтримуючою силою повітря і ва-
гою аеростата). Вагою троса і тиском
на нього вітру знехтувати.
Рис. 111. До вправи 74.3.
§ 75. Зв’язки. Реакції зв'язку. Тіло, закріплене на осі. На
практиці часто трапляються випадки, коли тіло не може рухати-
ся вільно в будь-якому напрямі, а рухи його обмежені якимись
іншими твердими тілами. Ці тіла називають у механіці жорст-
кими зв'язками. Сили, які діють з боку зв’язків, називають реак-
ціями зв'язків. Наприклад, коли поршень рухається в циліндрі
10 7-ЮЗ
146
СТАТИКА
[РОЗД. ПТ
Рис. 112. Якщо динамометр пере-
буває в положенні / або //, тіло
обертається; якщо динамометр
перебуває в положенні ///, то тіло
не обертається.
двигуна, то жорсткі зв’язки — це стінки циліндра, які допуска-
ють рух поршня тільки в одному напрямі. Коли поршень почи-
нає рухатися трохи вбік, го він деформує стінку циліндра. Якщо
стінки ці дуже жорсткі, То вже при дуже малих деформаціях
виникають дуже великі реакції зв’язків, які припиняють даль-
ший рух поршня вбік. Ці сили й забезпечують рух поршня тіль-
ки вздовж циліндра.
Аналогічний приклад ми розглянули в попередньому пара-
площина, а реакцією зв’язку —
сила Е. При наявності жорст-
ких зв’язків умови рівноваги
спрощуються: досить розгляда-
ти лише рівновагу сил у тих на-
прямах, у яких зв’язки не пере-
шкоджають руху, наприклад
для поршня — вздовж цилінд-
ра, для тіла на похилій площи-
ні — вздовж площини і т. д.
Рівновага сил в інших напря-
мах забезпечиться сама собою,
бо вже при малій деформації
зв’язку виникнуть реакції, які
зрівноважують прикладену
силу.
Важливим прикладом руху,
обмеженого жорстким зв’яз-
ком, є обертання тіла навколо
жорсткої осі, або, як кажуть,
обертання тіла, закріпленого на осі. Наприклад, колеса різних
машин і механізмів можуть тільки обертатися навколо нерухо-
мої осі. Пропелер літака, колодязний журавель, двері на пет-
лях, відкидна кришка шкільної парти являють собою приклади
того самого випадку. У всіх цих прикладах обертання навколо
осі не прагне ні зсунути, ні зігнути цю вісь, тобто не спричинює
деформації осі; тому обертання навколо осі відбувається безпе-
решкодно. Але всякий інший рух деформує вісь, внаслідок чого
виникають реакції зв’язку, що діють з боку осі на тіло і пере-
шкоджають тому руху, який призводить до деформації.
Якщо спочатку тіло перебуває в спокої, то, щоб воно почало
обертатись, треба діяти на тіло з деякою силою. Проте не всяка
прикладена сила спричинить обертання тіла. Сили, однакові за
величиною, але різні за напрямом або прикладені в різних точ-
ках, можуть спричинити дуже різні ефекти. Справді, якщо
в якій-небудь точці тіла, яке може вільно обертатись навколо
осі О (рис. 112), прикріпити динамометр, то при однаковому
$ 761
РІВНОВАГА ТІЛА, ЗАКРІПЛЕНОГО НА ОСІ
147
натязі динамометра, але при різних його напрямах, рух тіла
може бути зовсім різним. Якщо прикріпити динамометр у поло-
женні /, то тіло почне повертатися за стрілкою годинника, у
положенні // — проти стрілки годинника; якщо прикріпити дина-
мометр у положенні ///, то тіло взагалі не почне обертатися.
Сила, яка діє на тіло, закріплене на осі, тільки тоді може спри-
чинити його обертання, коли напрям сили не проходить через
вісь.
Уявимо собі рульове колесо корабля або «баранку» автомо-
більного руля. Прикладаючи зусилля вздовж радіуса, ми лише
робитимемо спробу зігнути вісь,
але не зможемо повернути колесо.
Для повертання треба прикласти
зусилля вздовж його обода, тоб-
то перпендикулярно до радіуса.
Ця сила не зможе зрівноважитись
реакцією, яка діє з боку осі (дві
сили, що не лежать на одній пря-
мій, не можуть зрівноважува-
тись), і тіло почне обертатися.
Сила, напрямлена паралель-
но осі обертання, також не спри-
чинює обертання тіла, а тільки
Рис. 113. Сили, як» діють на
тіло, закріплене на осі. Реакція
з боку осі/і дорівнює складовій
Я діючої сили в напрямі ра-
діуса.
прагне зігнути вісь. Тому в найближчих параграфах вважати-
мемо, що сили, які діють на тіло, закріплене на осі, не мають
складової вздовж осі обертання і, отже, лежать у площинах,
перпендикулярних до осі. При цьому, як показує дослід, дія
сили на тіло не залежить від того, в якій саме з таких площин
лежить сила. Тому зображатимемо на рисунках усі сили таки-
ми, що лежать в одній площині, перпендикулярній до осі обер-
тання. При цьому вісь зображатимемо у вигляді точки.
Щоб зовсім чітко уявити собі, як діятиме сила А7, що не про-
ходить через вісь, розкладемо її на дві взаємно перпендикуляр-
ні складові, одна з яких проходить через вісь (рис. 113).
Складова/7!, яка проходить через вісь, не спричинюватиме обер-
тання. Вона зрівноважуватиметься реакцією/?осі. Тіло обертати-
меться так, ніби на нього діяла тільки складова сила У7 2 в напря-
мі, перпендикулярному до радіуса ОА, проведеного до точки
прикладання сили, що дорівнює проекції сили на цей напрям.
§ 76. Рівновага тіла, закріпленого на осі. Із сказаного в
попередньому параграфі випливає, що при з’ясуванні умов рів-
новаги тіла, закріпленого на осі, можна не розглядати силу
з боку осі, бо вона не може спричинити обертання тіла. Розгля-
немо умови рівноваги тіла, закріпленого на осі, коли на нього
10*
148
СТАТИКА
(РОЗД. ІП
діють лише дві сили, причому умовимось, що ці сили напрямле-
ні перпендикулярно до радіусів точок їх прикладання.
Для рівноваги необхідно, по-перше, щоб ці сили, які діють
окремо, повертали тіло в протилежних напрямах. Це можна
проілюструвати на такому досліді. Розмістимо вісь обертання
якого-небудь тіла вертикально, щоб усунути дію тяжіння. При-
кріпимо до тіла динамометри пер-
пендикулярно до радіусів точок їх
прикріплення. При розміщенні ди-
намометрів, показаному на рис. 114,
Рис. 115. При такому роз-
міщенні динамометрів рівно-
вага неможлива.
Рис. 114. При такому розмі-
щенні динамометрів рівновага
можлива.
можна так підібрати розтяги динамометрів, щоб тіло залиша-
лося в спокої. Але у випадку, показаному на рис. 115, коли
обидва динамометри повертали б тіло навколо осі в тому самому
напрямі, спокою тіла не можна добитися ні при якому розтягу
динамометрів.
По-друге, виявляється, що для рівноваги тіла, закріпленого
на осі, істотні не лише величини сил, а й відстані точок їх при-
кладання від осі обертання. Саме, як і для звичайного важеля,
для рівноваги необхідно, щоб добуток величини сили на відстань
від точки прикладання сили до осі був для обох діючих сил
однаковий. Якщо позначити величини сил через Р\ і Р2, а довжи-
ни радіусів, проведених у точки їх прикладання, через 1\ і /2, то
умова рівноваги буде подана рівністю
РіІі = Р2^ (76. 1)
Якщо сили не перпендикулярні до радіусів точок їх прикла-
дання, то, як показує дослід, таке саме співвідношення повин-
но виконуватись для проекцій цих сил на напрями, перпендику-
лярні до радіусів.
§ 77. Момент сили. Отже, для рівноваги тіла, закріпленого
на осі, істотна не сама величина сили, а добуток проекції сили
на напрям, перпендикулярний до радіуса, проведеного до точки
§ 771
МОМЕНТ СИЛИ
149
прикладання сили, на відстань цієї точки від осі. Цей добуток
називатимемо моментом сили відносно даної осі або просто
моментом сили (рис. 116). Моменти різних сил, прикладених до
однієї точки, однакові, якщо однакові проекції цих сил на
напрям, перпендикулярний до
радіуса даної точки (рис. 117).
Рис. 117. Сили г, Л*і, Рі і Р3
мають однакові моменти від-
носно осі О,
Рис. 116. Момент сили Р
дорівнює добутку її проек-
ції Р' на відстань г.
Умовимось вважати момент сили додатним, якщо ця сила,
діючи окремо, обертала б тіло за стрілкою годинника, і від’єм-
ною в протилежному випадку (при цьому треба заздалегідь
умовитись, з якого боку ми дивитимемось на тіло). Наприклад,
згідно з рис. 118, силам/7! і Р* слід приписати додатний момент,
а силі Р$ — від’ємний.
Рис. 118. Моменти сил Р\,
Р2 додатні, момент сили Р3
від’ємний.
Рис. 119. Момент сили
можна подати через силу
і плече сили, М = РсІ.
Моменту сили можна дати й інше означення. Момент сили Р
на рис. 119 є М = гР'. Опустимо перпендикуляр сі з точки О на
напрям сили. Прямокутні трикутники на рисунку подібні, бо їх
відповідні кути рівні. Таким чином, ~ , або Р'г = Ра.
Отже, М = Рсі, тобто момент сили дорівнює добутку сили Р на
довжину перпендикуляра й, опущеного з осі на напрям сили.
150
СТАТИКА
[РОЗД. И*
Рис. 120. Однакові си-
ли Ль Л2, Л3 з одна-
ковим плечем сі мають
однакові моменти від-
носно осі О.
Довжину перпендикуляра, опущеного з осі на напрям сили,
називають плечем сили. Отже, момент сили дорівнює добутку
величини сили на плече сили. Зрозуміло, що перенесення точки
прикладання сили вздовж її напряму не змінює її момента
(рис. 120). Якщо напрям сили проходить через вісь обертання,
то плече сили дорівнює нулю; отже, дорівнює нулю і момент
сили. Ми бачили, що в цьому разі сила не спричинює обертан-
ня тіла: сила, момент якої відносно даної осі дорівнює нулю,
не спричинює обертання навколо цієї осі.
Користуючись поняттям момента сили
ми можемо по-новому сформулювати умо-
ви рівноваги тіла, яке закріплене на осі і
перебуває під дією двох сил. Як ми бачили,
для рівноваги необхідно, щоб сили прагну-
ли обертати тіло в протилежних напрямах
і щоб добутки сил на їх відстані до осі були
однакові. Таким чином, при рівновазі момен-
ти обох сил повинні бути однакові за вели-
чиною і протилежні за знаком. Отже, для
рівноваги тіла, закріпленого на осі, алгеб-
раїчна сума моментів сил, які діють на ньо-
го, повинна дорівнювати нулю.
Оскільки момент сили визначається до-
бутком величини сили на плече, то одиницю момента ми знайде-
мо, взявши силу, що дорівнює одиниці, плече якої також дорів-
нює одиниці. Отже, у системі СІ одиницею момента сили є мо-
мент сили в 1 н, що діє на плече в 1 м, тобто 1 н *м, у системі
СГС—1 дин*см, у системі МКГСС—1 кГ • м. Користуючись
даними § 45, знайдемо співвідношення між цими одиницями:
1 дин • см = 10-7 н • м\ 1 кГ • м = 9,8 н • м.
Якщо на тіло, закріплене на осі, діє багато сил, то як пока-
зує дослід, умова рівноваги буде тією самою, що й для випадку
двох сил: для рівноваги тіла, закріпленого на осі, алгебраїчна
сума моментів усіх сил, що діють на тіло, повинна дорівнюва-
ти нулю.
Можна ввести поняття про зрівноважувальний момент, про
рівнодіючий момент і про додавання моментів сил, які діють на
тіло, закріплене на осі, подібно до того, як були введені понят-
тя про зрівноважувальну силу, про рівнодійну силу і про дода-
вання сил. Так, результуючим моментом кількох моментів, які
діють на тіло (складових моментів), називатимемо алгебраїчну
суму складових моментів. Під дією результуючого момента
тіло рухатиметься (обертатиметься навколо осі) так само, як
воно оберталося б при одночасній дії всіх складових моментів.
§ 78)
ВИМІРЮВАННЯ МОМЕНТА СИЛИ
151
Зокрема, якщо результуючий момент дорівнює нулю, то тіло,
закріплене на осі, або перебуває в спокої, або обертається рів-
номірно.
§ 78. Вимірювання момента сили. У техніці ми часто зустрі-
чаємося з обертанням тіл: обертаються колеса екіпажів, вали
машин, гвинти пароплавів і т. д. У всіх цих випадках на тіла

Рис. 121. Вимірювання момента сили, створю-
ваного електродвигуном.
діють моменти сил. При цьому часто не можна визначити яку-
небудь одну певну силу, яка створює обертаючий момент, і її
плече, бо обертаючий момент створюється не однією силою,
а багатьма силами, що мають різні плечі. Наприклад, в елек-
тродвигуні до витків обмотки якоря прикладені на різних від-
станях від осі обертання електромагнітні сили; їх сумісна дія
створює деякий обертаючий момент, який і спричинює обер-
тання якоря та з’єднаного з ним вала двигуна. У таких випад-
ках немає рації говорити про силу і плече сили. Значення має
тільки результуючий момент сили. Тому виникає потреба безпо-
середньо вимірювати момент сили.
Щоб виміряти який-иебудь момент сили, досить прикласти до
тіла інший відомий момент сили, який зрівноважував би вимі-
рюваний момент. Якщо досягнуто рівноваги, то, отже, обидва
моменти сил однакові за величиною і протилежні за знаком.
Наприклад, щоб виміряти обертаючий момент, який розвиває
електричний двигун, на шків двигуна А надівають стиснуті бол-
тами колодки ВВ так, щоб шків міг з досить значним тертям
обертатися під колодками, колодки скріплені довгим стержнем,
до кінця якого прикріплюють динамометр (рис. 121). Вісь
152
СТАТИКА
[РОЗД. III
обертання колодок збігається з віссю двигуна. При обертанні дви-
гуна момент сил тертя, який діє з боку шківа на колодки, повер-
тає колодки з стержнем на деякий кут у напрямі обертання дви-
гуна. При цьому динамометр трохи розтягується і на колодки
починає діяти з боку динамометра протилежний момент, який
дорівнює добутку сили натягу динамометра на плече гі. Сила
натягу динамометра дорівнює за величиною і протилежна за
напрямом силі /, яка діє з боку стержня на динамометр і пока-
зана на рис. 121. Оскільки колодки перебувають у спокої, то
обертаючий момент, який розвиває двигун, повинен дорівнюва-
ти за величиною і бути протилежним за напрямом моменту натя-
гу динамометра. Отже, при певній швидкості двигун розвиває
момент, що дорівнює Есі.
При вимірюваннях дуже малих обертаючих моментів (наприклад, у чутли-
вих гальванометрах та інших фізичних Вимірювальних приладах) вимірю-
ваний обертаючий момент порівнюють з обертаючим моментом, який діє
з боку закрученої нитки. Вимірювальну систему, яка перебуває під дією
обертаючого момента, підвішують на довгій тонкій нитці, металевій або
з плавленого кварцу. Повертаючись, вимірювальна система закручує нитку.
Така деформація спричинює появу сил, які прагнуть розкрутити нитку і мають,
отже, обертаючий момент. Коли вимірюваний момент дорівнюватиме за вели-
чиною моменту закрученої нитки, встановлюється рівновага. За кутом закру-
чування при рівновазі можна судити про величину обертаючого момента
нитки і, отже, про величину вимірюваного момента. Зв’язок між величиною
обертаючого момента нитки і кутом закручування визначається за допомогою
калібрування приладу.
§ 79. Пара сил. Якщо на тіло діє кілька сил, рівнодійна яких
дорівнює нулю, а результуючий момент відносно якої-небудь осі
не дорівнює нулю, то тіло не бу-
де в рівновазі. Так буде, наприк-
лад, коли на тіло діють дві од-
накові і протилежні сили, що не
лежать на одній прямій. Такі дві
сили, які діють на тіло разом,
називають парою сил. Якщо тіло
закріплене на осі, то при дії на
нього пари сил воно почне обер-
татись навколо цієї осі. При цьо-
му, взагалі кажучи, з боку осі на
тіло діятиме сила. Проте можна показати, що коли вісь прохо-
дить через певну точку тіла, то сила з боку осі не діє. Тому, якщо
пара сил діятиме на вільне тіло, то воно почне обертатись навко-
ло осі, що проходить через цю точку. Можна довести, що ця
точка — центр ваги тіла (див. наступний параграф).
Момент пари сил однаковий відносно будь-якої осі, перпен-
дикулярної до площини пари. Справді, нехай О — довільна вісь,
Рис. 122. Момент пари сил
М=ЕІ.
§ 80]
ДОДАВАННЯ ПАРАЛЕЛЬНИХ СИЛ. ЦЕНТР ВАГИ
153
перпендикулярна до площини, в якій лежить пара (рис. 122).
Сумарний момент М дорівнює
М = Р • О А + Р • ОВ = Р (О А + ОВ) = Р • /,
де І — відстань між силами, які утворюють пару. Цей самий
результат дістанемо і при будь-якому іншому положенні осі.
Можна показати також, що момент кількох сил, рівнодійна яких
дорівнює нулю, буде однаковий відносно всіх осей, паралель-
них одна одній, і тому дію всіх цих сил на тіло можна замінити
дією однієї пари сил з тим самим моментом.
§ 80. Додавання паралельних сил. Центр ваги. Вивчаючи
рівновагу сил або визначаючи рівнодійну сил, ми не розглядали
поки що випадків, коли сили, що діють на тіло, паралельні.
Тепер, знайшовши умови рів-
новаги тіла, закріпленого на ШШЛ
осі, ми можемо розглянути і %
цей випадок.
Розглянемо сили, які ді-
ють на важіль, навантаже-
ний гирями, що зрівноважу-
ють одна одну, і підвішений
до нерухомого стояка за до-
помогою динамометра (рис.
123). Можна вважати, що
вісь обертання важеля про-
ходить через точку його під-
вісу О. На важіль діють сили
ваги Р\ І р2 підвішених до
нього вантажів і сила натягу
пружини динамометра Г3.
Припускатимемо, що вага
самого важеля така мала по-
рівняно з вагою вантажів,
що нею можна знехтувати.
Тоді можна вважати, що ва-
жіль перебуває в рівновазі
під дією сил Р2 і ^з, тобто
сила Р3 є зрівноважуваль-
ною силою для паралельних
сил Р} і Р2. Оскільки при рів-
новазі пружина динамомет-
ра розміщується вертикаль-
Рис. 123. Дослідження рівноваги тіла
при дії трьох паралельних сил.
но, то сила Рз паралельна
Гу і Р2. Далі, сила Р3 дорів-
154
СТАТИКА
[РОЗД. Ш
нює вазі підвішеного до верхнього динамометра тіла. Оскільки
ми знехтували вагою важеля, то Г3 = Р} + Р2. Відстані від точ-
ки підвісу важеля (його осі обертання О) до точок прикладання
сил Р\ і знайдемо з умови рівноваги важеля: • ОА = Р2 • ОВ,
або
ОВ _ Л
ОА “ р2'
(80. 1)
тобто точка прикладання зрівноважувальної сили поділяє від-
стань АВ між силами у відношенні, оберненому відношенню
сил. Отже, незакріплене тіло перебуває в рівновазі під дією
трьох паралельних сил в тому випадку, коли третя сила, напрям-
лена в бік, протилежний першим двом, за величиною дорівнює
їх сумі і прикладена до точки, яка поділяє відстань між точка-
ми їх прикладання у відношенні, оберненому відношенню пер-
ших двох сил.
Таким чином, рівнодійна двох паралельних сил, напрямлених
у той самий бік, дорівнює сумі цих двох сил, паралельна їм,
напрямлена в той самий бік і прикладена в точці О, що поділяє
відстань між точками прикладання сил у відношенні, обернено-
му відношенню сил.
Тепер легко знайти закон додавання і для двох паралель-
них сил, напрямлених у протилежні сторони. Будь-яку з трьох
сил Р\, Р2, Рз, які перебувають у рівновазі, можна розглядати
як силу, що зрівноважує дві інші сили; отже, сила Р2 є зрівно-
важувальною для протилежно напрямлених паралельних сил Р[
і Р3. Звідси, як і раніше, робимо висновок, що сила, яка дорів-
нює і протилежна силі Р2, є рівнодійною сил Р\ і Рз. Але Р2 =
= Рз — Ри крім того, з пропорції (80. 1) випливає похідна про-
порція:
р2 ов * р2 ов
Р± +Р2 ОА+ОВ' * Р3 ~ АВ •
Таким чином, рівнодійна двох паралельних протилежно напрям-
лених сил дорівнює різниці цих сил, напрямлена в бік більшої
сили, а точка її прикладання лежить від точок прикладання
даних сил на відстанях, відношення яких дорівнює оберненому
відношенню прикладених сил.
Якщо на тіло діє кілька паралельних сил, то, щоб знайти
загальну рівнодійну, треба спочатку знайти рівнодійну яких-
небудь двох із цих сил, потім знайдену рівнодійну додати до
третьої сили і т. д.
Зокрема, сили тяжіння діють на кожну частину тіла і всі ці
сили паралельні. Тому, щоб знайти рівнодійну цих сил, тобто
силу тяжіння, яка діє на все тіло, треба послідовно додати
цілий ряд паралельних сил. Рівнодійна цих сил дорівнює за
$ 81]
ВИЗНАЧЕННЯ ЦЕНТРА ВАГИ Т(Л
155
величиною їх сумі, тобто є повною силою притягання, , якої
зазнає все тіло з боку Землі, і прикладена до певної точки тіла.
Точку прикладання цієї рівнодійної сил тяжіння називають
центром ваги тіла (рис. 124).
Отже, дія притягання Землі на тверде тіло така, як коли
б точка прикладання сили тяжіння лежала в центрі ваги тіла.
Ми користуватимемось цим у дальшому, замінюючи дію сил
тяжіння, прикладених до окремих частин твердого тіла, дією
однієї сили, яка прикладена в його центрі ваги і дорівнює силі
тяжіння.
Рис. 124. Точка прикладання
рівнодійної сил тяжіння
є центром ваги тіла.
Рис. 125. Розкладання сили на
дві паралельні складові.
Часто доводиться розв’язувати задачу, обернену додаванню
паралельних сил: розкласти задану силу на паралельні їй скла-
дові сили. Така, наприклад, задача про розподіл сил на опори
балки з вантажем або на плечі людей, що несуть на жердині
вантаж (рис. 125). Шукані сили Р{ і Р2 визначаються з умови,
що їх рівнодійна за величиною повинна дорівнювати вазі ван-
тажу Р і повинна бути прикладена там, де висить вантаж. Тому
Рі _ов
Р2~ ОА'
Р1 + Р2 = Р.
§ 81. Визначення центра ваги тіл. Визначення центра ваги
довільного тіла за допомогою послідовного додавання сил, які
діють на окремі його частини,— важка задача; вона полегшує-
ться лише для тіл порівняно простої форми.
Нехай тіло складається лише з двох вантажів з масами т\
і щ2, з’єднаних стержнем (рис. 126). Якщо маса стержня мала
порівняно з масами т\ і т2у то нею можна знехтувати. На кож-
ну з мас діє сила тяжіння: Р\ = Р2 = т2§\ обидві вони
напрямлені вертикально вниз, тобто паралельно одна одній. Як
156
СТАТИКА
[РОЗД. III
ми вже знаємо, рівнодійна двох паралельних сил прикладена
в точці О, яка визначається з умови
А ОВ ,, пи ОВ
7\ ~ ОА ’ аб° ~ ОА •
Отже, центр ваги поділяє відстань
між двома масами у відно-
шенні, оберненому відно-
шенню мас. Якщо це тіло
підвісити в точці О, то воно
буде в рівновазі.
Рис. 126. Визначення центра ваги Рис. 127. Центр ваги однорідного
двох мас. , стержня лежить в його середині.
Оскільки дві однакові маси мають спільний центр ваги в
точці, яка поділяє пополам відстань між цими масами, то від-
разу зрозуміло, що, наприклад, центр ваги однорідного стержня
лежить у середині стержня (рис. 127).
Оскільки будь-який діаметр однорідного круглого диска поді-
ляє його на дві цілком однакові симетричні частини (рис. 128),
рідного диска лежить в його
геометричному центрі.
Рис. 129. Точка С перетину вертикальних
ліній, проведених через точки підвісу
4, В, О, є центр ваги тіла.
то центр ваги повинен лежати на кожному діаметрі диска, тобто
в точці перетину діаметрів — у геометричному центрі диска С.
Міркуючи так само, можна знайти, що центр ваги однорідної
кулі лежить у її геометричному центрі, центр ваги однорідного
прямокутного паралелепіпеда лежить на перетині його діагона-
§ 81]
ВИЗНАЧЕННЯ ЦЕНТРА ВАГИ ТІЛ
157
лей і т. д. Центр ваги обруча або кільця лежить у його центрі.
Останній приклад показує, що центр ваги тіла може лежати
поза тілом.
Якщо тіло має неправильну форму або якщо воно не одно-
рідне (наприклад, у ньому є порожнини), то розрахунок поло-
ження центра ваги часто утруднений і це положення зручніше
знайти за допомогою досліду. Нехай, наприклад, треба знайти
центр ваги куска фанери. Підвісимо його на нитці (рис. 129).
Рис. 130. а) Центр ваги двох з’єднаних шарніром брусків, розміще-
них на одній прямій, лежить на осі брусків, б) Центр ваги зігнутої
системи брусків лежить поза брусками.
Очевидно, у положенні рівноваги центр ваги тіла С повинен
лежати на продовженні нитки, інакше сила тяжіння матиме
момент відносно точки підвісу, який би почав обертати тіло.
Тому, проводячи на нашому куску фанери пряму, яка являє
собою продовження нитки, можемо твердити, що центр ваги
лежить на цій прямій. Справді, підвішуючи тіло в різних точках
і проводячи вертикальні прямі, ми впевнимось, що всі вони пере-
тнуться в одній точці. Ця точка і є центром ваги тіла (оскільки
він повинен лежати на всіх таких прямих). Так само можна
визначити положення центра ваги не тільки плоскої фігури, а й
складнішого тіла. Положення центра ваги літака визначають,
вкочуючи його колесами на платформи терезів. Рівнодійна сил
ваги, які припадають на кожне колесо, буде напрямлена по
вертикалі, і знайти лінію, по якій вона діє, можна за законом
додавання паралельних сил.
При зміні ваги окремих частин тіла або при зміні форми тіла
положення центра ваги змінюється. Так, центр ваги літака пере-
міщається при витрачанні пального з баків, при скиданні бомб,
значній витраті снарядів. Для наочного досліду, який ілюструє
переміщення центра ваги при зміні форми тіла, зручно , взяти
два однакові бруски, з’єднані шарніром (рис. 130). Тоді, коли
158
статика
[РОЗД. ЇП
бруски утворюють продовження один одного, центр ваги лежить
на осі брусків. Якщо бруски зігнути в шарнірі, то центр ваги
буде поза брусками, на бісектрисі кута, який вони утворюють.
Якщо на один з брусків надіти додатковий тягар, то центр ваги
переміститься в бік
цього тягаря.
Вправи. 81.1. Де
лежить центр ваги двох
однакових тонких стер-
жнів завдовжки 12 см,
Рис. 131. До вправи 81.3.
81.2. Доведіть, що
центр ваги однорідної трикутної пластини лежить на перетині медіан.
81.3. Однорідна дошка вагою 60 кГ лежить на двох опорах, як показа-
но на рис. 131. Визначте сили, які діють на опори.
скріплених у вигляді
букви Т?
§ 82. Різні випадки рівноваги тіла під дією сили тяжіння.
У механіці нас часто цікавить питання, в яких положеннях тіло,
на яке діє сила тяжіння, може як завгодно довго залишатися
в спокої, якщо воно було в спокої в початковий момент. Очевид-
но, для цього сили, які діють на тіло, повинні взаємно зрівнова-
жуватись. Положення, в яких сили, що діють на тіло, взаємно
зрівноважуються, називаються положеннями рівноваги.
Але практично не в усякому положенні рівноваги тіло, яке
було в початковий момент у спокої, справді залишатиметься
в спокої і в наступний час. Справа в тому, що в реальних умо-
вах, крім сил, які ми враховуємо (сила тяжіння, сила з боку
підвісу, опори, осі і т. д.), на тіло діють і випадкові неусувні
сили, які ми не враховуємо: невеликі струси, коливання повітря
і т. д. Під дією таких сил тіло, хоч і небагато, відхилятиметься
від положення рівноваги, а в цьому разі дальша поведінка тіла
може бути різною.
При відхиленні тіла від положення рівноваги сили, які діють
на нього, як правило, зміняться і рівновага сил порушиться.
Змінені сили спричинюватимуть рух тіла. Якщо змінені сили
такі, що під їх дією тіло повертається до положення рівноваги,
то тіло, незважаючи на випадкові поштовхи, все ж залишати-
меться поблизу положення рівноваги. У цьому разі ми говори-
мо про стійку рівновагу тіла. В інших випадках змінені сили
такі, що вони спричинюють дальше відхилення тіла від положен-
ня рівноваги. Тоді буде досить найменшого поштовху, щоб сили,
які змінилися, почали дедалі більше відхиляти тіло від поло-
ження рівноваги; тіло вже не залишатиметься поблизу положен-
ня рівноваги, а відхилиться далеко від нього. Таке положення
рівноваги називають нестійким.
§ 82]
РІЗНІ ВИПАДКИ РІВНОВАГИ ТІЛА
159
Отже, для стійкості необхідно, щоб при відхиленні тіла від
положення рівноваги виникали сили, які повертають тіло до
початкового положення.
Таке, наприклад, положення кульки на вгнутій підставці
(рис. 132, а): при відхиленні кульки від положення рівноваги
(найнижче положення) рівнодійна пружної сили Р, що діє
з боку опори на кульку, і сили тяжіння Р повертає кульку до
положення рівноваги: рівновага стійка.
У випадку опуклої підставки (рис. 132,6) рівнодійна відда-
....... рівноваги (найверхнє положення):
(найверхнє положення):

а б в
Рис. 132. Стійка (а), нестійка (б) і індиферент-
на (в) рівновага кульки на поверхні.
ляе кульку від положення
рівновага нестійка.
Іншим прикладом
може бути рівновага
тіла, підвішеного в од-
ній точці. Визначаючи
положення центра ва-
ги способом підвішу-
вання, описаним у по-
передньому параграфі,
ми завжди виявимо, що
центр ваги лежить ниж-
че точки підвісу, але
обов’язково на одній вертикалі з нею, інакше сила натягу нитки
Р не могла б зрівноважити силу притягання Землі Р (рис.
133, а). Тим часом сила притягання Землі і сила натягу нитки
могли б зрівноважити одна одну також тоді, коли центр ваги С
лежить на вертикалі над точкою підвісу А (рис. 133,6). Справ-
ді, і в цьому випадку сила притягання Землі Р і сила натягу
нитки Г, яка дорівнює їй, зрівноважували б одна одну. Проте,
як легко впевнитись на досліді, при підвішуванні тіла воно не
залишатиметься в цьому другому положенні рівноваги. Хоч
обидва випадки відповідають положенням рівноваги, проте
практично можна здійснити лише один з них — перший.
Причина цього в тому, що коли тіло трохи відхилити від
першого положення (рис. 133, в), то сила тяжіння Р створить
обертаючий момент відносно точки підвісу, який повертатиме
тіло назад. Це — положення стійкої рівноваги. Навпаки, при
відхиленні тіла від другого положення рівноваги (рис. 133, г)
сила Р віддалятиме його від нього положення. Це — положення
нестійкої рівноваги.
Бувають і проміжні випадки рівноваги: якщо кулька лежить
на горизонтальній опорі, то зміщення кульки взагалі не пору-
шує рівноваги, бо сила тяжіння і сила, яка діє з боку площини,
зрівноважують одна одну при будь-якому положенні кульки.
Таку рівновагу ми називаємо індиферентною (рис. 132, в).
160
СТАТИКА
[РОЗД. III
Ще один приклад індиферентної рівноваги: тіло, закріплене
на горизонтальній або похилій осі, що проходить через центр
ваги цього тіла. При повертанні такого тіла навколо осі момент
сили тяжіння відносно осі весь час залишається таким, що
дорівнює нулю (сила тяжіння проходить через вісь обертання),
Рис. 133. а) Положення рівноваги при центрі ваги С,
розміщеному нижче точки підвісу А. б) Положення рів-
новаги при центрі ваги С, розміщеному вище від точки
підвісу А. в) При відхиленні тіла від положення (а)
сила тяжіння створює момент, який повертає тіло в по-
ложення рівноваги, г) При відхиленні тіла від поло-
ження (б) сила тяжіння створює момент, який відда-
ляє тіло від положення рівноваги.
і тіло залишається в рівновазі в будь-якому положенні. Цим
користуються для перевірки правильності виготовлення коліс,
якорів динамомашин і т. д. У точно виготовленому колесі центр
ваги повинен лежати на осі. Тому точно зроблене колесо, вісь
якого може обертатися в підшипниках, повинно залишатися
в рівновазі при будь-якому повертанні осі. Якщо воно само
повертається весь час в якесь одне положення, то це показує,
що колесо не збалансоване, тобто центр ваги його не лежить
точно на осі.
Тіло, закріплене на вертикальній осі, завжди перебуває в
індиферентній рівновазі під дією сили тяжіння, незалежно від
того, чи проходить вісь через центр ваги чи ні.
Вправа. 82. 1. Випробуйте, в якому положенні рівноваги встановлює-
ться переднє велосипедне колесо, якщо велосипед підняти. Що треба зро-
бити для того, щоб колесо було в стані індиферентної рівноваги?
§ 83]
УМОВИ стійкої рівноваги
16)
§ 83. Умови стійкої рівноваги під дією сили тяжіння. Зістав-
ляючи розглянуті випадки рівноваги, можна помітити спільну
для всіх випадків умову стійкості: якщо центр ваги тіла займає
найнижче положення порівняно з усіма можливими сусідніми
положеннями, то рівновага стійка. Справді, тоді при відхиленні
в будь-який бік від цього положення центр ваги підніматиметь-
ся і сила тяжіння повертатиме тіло назад. За цією ознакою ми,
не виконуючи досліду, можемо простим способом установити,
чи буде тіло в стійкій рівновазі чи ні.
Рис. 134. Оскільки в положенні (а) центр ваги розмі-
щений нижче, ніж у положенні (б), то рівновага стійка.
Розглянемо, наприклад, однорідну півкулю, поміщену на
горизонтальну площину (рис. 134); центр ваги цієї півкулі С
лежить на радіусі ОА нижче точки О. Припустимо, що півкуля
трохи нахилилася і спирається на площину точкою В (рис.
134,6). Легко бачити, що відстань ВС більша, ніж відстань АС;
отже, при відхиленні від положення рівноваги центр ваги під-
німається і положення рівноваги півкулі повинно бути стійким.
Дослід підтверджує цей висновок.
Розглянемо тепер умови рівноваги тіла, що спирається не
на одну точку, як при підвішуванні тіла або при розміщенні
кулі на площину, а на кілька точок (наприклад, стіл) або на
цілу площадку (наприклад, ящик, поставлений на горизонтальну
площину). У цих випадках умова така: для рівноваги необхід-
но, щоб вертикаль, проведена через центр ваги, проходила все-
редині площі опори тіла, тобто всередині контура, утвореного
лініями, які сполучають точки опори, або всередині площадки,
на яку спирається тіло. При цьому рівновага є стійкою.
Наприклад, стіл, що стоїть на горизонтальній підлозі, пере-
буває в стійкій рівновазі (рис. 135, а). Справді, якщо нахиляти
стіл, то його центр ваги підвищуватиметься (рис. 135,6). Проте,
якщо стіл нахилити так, щоб вертикаль, яка проходить через
центр ваги, вийшла за межі площі опори, то момент сили тяжін-
ня обертатиме стіл, віддаляючи його від положення рівноваги,
центр ваги почне опускатись, і стіл перекинеться: є граничний
И 7-юз
162
СТАТИКА
[РОЗД ПІ
кут нахилу, після якого рівновага вже не відновлюється, і тіло
перекидається. При нахилі точно на граничний кут тіло перебу-
ває в рівновазі, бо напрям сили тяжіння проходить через
точку опори (рис. 135, в), але це положення рівноваги нестійке:
тіло або повернеться в стійке положення рівноваги, або переки-
неться.
Очевидно, граничний кут тим менший, чим вище лежить
центр ваги при даній площі опори. Віз, вантажна автомашина
або залізнична платформа, високо навантажені, легше можуть
Рис. 135. При відхиленні стола (б) від його положення рівноваги
(а) центр ваги піднімається — рівновага стійка. У положенні (в)
стіл нахилений на граничний кут; при дальшому відхиленні центр
ваги опускатиметься—рівновага нестійка.
перекинутись, ніж у випадку, коли центр ваги вантажу лежить
низько. Стійкість можна поліпшити, збільшуючи площу опори.
З умови рівноваги тіла, що спирається на кілька точок, зро-
зуміло, чому підіймальні крани завжди мають важку противагу.
Завдяки противазі спільний центр ваги крана, вантажу і проти-
ваги не виступає за прямокутник, обмежений точками опори
коліс, навіть тоді, коли кран піднімає важкий вантаж. Якщо
центр ваги тіла з самого початку виходить за межі площі опори,
як, наприклад, для лави, на виступаючий край якої сіла люди-
на, то рівноваги немає і лава перекидається.
Практично в більшості випадків доводиться мати справу
тільки з положеннями стійкої рівноваги, бо лише в таких поло-
женнях тіло, залишене само на себе, може залишатися скільки
завгодно часу, незважаючи на випадкові поштовхи. На проти-
лежність цьому тіло, поміщене в нестійке положення рівноваги,
віддаляється від цього положення.
Проте можна так керувати умовами, в яких перебуває тіло, що воно
тривалий час залишатиметься поблизу положення нестійкої рівноваги, коли-
ваючись поблизу нього то в один, то в другий бік. Наприклад, довга палиця,
поставлена вертикально на підлогу, перебуває в нестійкому положенні рівно-
ваги і падає, як тільки приймемо від неї руку. Але палицею можна «балан-
сувати», вдержуючи її поблизу нестійкого вертикального положення на кінці
пальця: для цього досить лише злегка рухати рукою в той самий бік, куди
в цей момент нахиляється палиця. Цим ми зміщуємо точку опори і відповідно
змінюємо момент сили тяжіння, який починає відхиляти палицю в протилеж-
ному напрямі. Звичайно, такі рухи треба робити безперервно, даючи палиці
§ 84]
ПРОСТІ МАШИНИ
163
лише злегка відхилятися то в один, то в другий бік під дією змінюваного
момента сили тяжіння. Натренувавшись, можна домогтися такого точного
керування моментами, що вдається вдержувати поблизу нестійкої рівноваги
цілі конструкції (жонглери в цирку).
Рис. 136. Ванька-встанька.
Рис. 137. До вправи 83.2.
Можна помітити, що, стоячи на одній нозі, ми практично перебуваємо в ста-
ні нестійкої рівноваги: для того щоб не впасти, доводиться весь час перено-
сити вагу тіла то на п’яту, то на носок.
Вправи. 83. 1. Якщо іграшку «ванька-встанька» (рис. 136) покласти
на бік, то вона підніметься. Де приблизно лежить її центр ваги?
83. 2. Чи буде в положенні стійкої рівноваги
тонка лінійка, яка спирається на циліндричну по-
верхню (рис. 137)?
83. 3. Чому людина, яка несе вантаж на спи-
ні, нахиляється вперед?
83. 4. Суцільний циліндр стоїть на дошці
завдовжки 50 см. На яку найбільшу висоту мож-
на підняти один з кінців дошки, щоб циліндр не
впав, якщо його висота в чотири рази більша за
діаметр основи?
83. 5. Олівець із застромленим у нього ножи-
ком перебуває в стійкій рівновазі (рис. 138).
Поясніть це явище. Рис. 138. До вправи 83.5.
§ 84. Прості машини. Вже в стародавні часи були винайде-
ні перші пристрої, за допомогою яких піднімали і пересували
великі вантажі, приводили в дію осадні гармати (тарани) і т. д.
Усі ці пристрої були призначені для того, щоб спричинювати
такі рухи, при яких треба перемагати великі сили (наприклад,
при підніманні важкого вантажу — його вагу). Для цього сили,
які розвивають пристрої, повинні, хоча б на початку руху, пере-
вищувати сили, які протидіють руху. Але якщо рухи, спричиню-
вані пристроями, відбуваються повільно і якщо сили тертя
досить малі, то можна вважати, що роль цих пристроїв зводить-
ся до того, щоб зрівноважити великі сили, які протидіють руху.
Інакше кажучи, можна вважати, що сили, які розвиваються
пристроями, повинні дорівнювати за величиною і бути проти-
лежними за напрямом силам, які протидіють руху. Усі такі при-
строї називають простими машинами. Отже, питання про дію
простих машин зводиться до визначення умов, при яких проста
машина перебуває в рівновазі.
11*
164
СТАТИКА
[РОЗД. ПІ
Однією з найбільш поширених простих машин є вже розгля-
нутий нами важіль; важелі часто застосовуються в різних маши-
нах і механізмах. Рівновага важеля настає при умові, коли від-
ношення прикладених до його кінців паралельних сил обернене
відношенню плечей і моменти цих сил протилежні за знаком.
Рис. 141. Простий
блок.
він обертається
кладена людиною, менша за силу, яка діє
з боку вантажу на важіль. Рис. 140. Тачка як важіль.
Тому, прикладаючи невелику силу до довгого кінця важеля,
можна зрівноважити значно більшу силу, прикладену до корот-
кого кінця важеля. Підклавши під важке тіло важіль з дуже
довгим другим плечем (рис. 139), можна підняти тіло, приклав-
ши силу, яка в багато разів менша, ніж вага тіла. Можна ска-
зати, що важіль — це «перетворювач» сили: мала сила Д при-
кладена до кінця довгого плеча, породжує ве-
лику силу Р на кінці короткого плеча. Ми ді-
стаємо «виграш на силі».
Тачка — це також важіль (рис. 140). Сила
тяжіння вантажу Р прикладена значно ближ-
че до осі колеса тачки (яка в цьому разі відіг-
рає роль осі важеля), ніж сила, яка діє з боку
рук людини. Тому людина може підняти на
тачці такий вантаж, якого вона безпосередньо
руками підняти неспроможна. Сила, яка діє
з боку рук людини, повинна бути напрямлена
вгору, щоб створюваний нею момент відносно
осі важеля був протилежний моменту сили Р.
Іншим поширеним типом простих машин
є різні комбінації блоків. Розглянемо спочат-
ку простий блок (рис. 141). Вважатимемо, що
в підшипниках без тертя. Якщо вірьовка натяг-
нута і не ковзає по блоку, то блок перебуває під дією двох сил
натягу вірьовки Р\ і Р2; точками прикладання цих сил можна
вважати точки А і В на ободі блока. Умови рівноваги блока, як
і умови для важеля, визначаються з умов рівноваги моментів
§84]
ПРОСТІ МАШИНИ
165
прикладених сил. Оскільки плечі сил Рі і Р? (радіуси блока ОА
і ОВ) однакові, то блок перебуватиме в рівновазі, якщо обидві
прикладені сили однакові за величиною. Блок — це рівноплечий
важіль. Простий блок, застосований так, як показано на рис. 141,
не дає ніякого виграшу на силі, його роль полягає тільки
в зміні напряму, в якому треба прикладати силу. Тягти за
Рис. 142. Застосування простого бло-
ка для піднімання вантажу.
Рис. 143. До
вправи 84.1.
вірьовку, яка спускається зверху, часто зручніше, ніж за вірьов-
ку, яка йде знизу (рис. 142).
Замість обертового блока можна застосувати яку-небудь
гладеньку нерухому опору, перекинувши через неї вірьовку, яка
зможе ковзати по опорі; різниця буде тільки у величині тертя
(у цьому разі воно, як правило, буде більше, ніж для блока,
вісь якого обертається в підшипниках).
Вправа. 84. 1. Пожежники, альпіністи, муляри іноді застосовують
нерухомий блок так, як показано на рис. 143, піднімаючи самого себе по
вірьовці. Чи буде при цьому виграш на силі відносно ваги вантажу, який
піднімається?
Щоб мати виграш на силі, застосовують різні комбінації бло-
ків, наприклад подвійний блок. Він складається з двох блоків
однакового радіуса, жорстко скріплених між собою і насадже-
166
СТАТИКА
[РОЗД. III
них на спільну вісь (рис. 144). До кожного блока прикріплено
вірьовку так, що вона може намотуватись на блок або змоту-
Рис. 145. Вертикальний коловорот (ка-
бестан).
Рис. 144. а) Подвійний блок, б) Схема подвійного блока,
ватися з нього, але не може ковзати по блоку. Плечі сили (радіу-
си блоків Гі і г2) У цьому випадку різні, тобто подвійний блок
діє так, як нерівноплечий
важіль. Умови рівноваги
подвійного блока такі самі,
як і нерівноплечого важеля:
ЛіГі = Р2г2, або у-=
Подвійний блок також
можна розглядати як пере-
творювач сили. І тут, при-,
кладаючи малу силу до ві-
рьовки, накрученої на блок
великого радіуса, ми можемо
дістати велику силу, яка діє
з боку вірьовки, накрученої
на блок малого радіуса.
Деякою видозміною под-
війного блока є коловорот,
який застосовують, наприк-
лад, для витягання води з колодязів, а також кабестан (верти-
кальний коловорот), який застосовували раніше для піднімання
якорів на суднах, коли це здійснювали вручну (рис. 145). Спиці
кабестана відіграють таку саму роль, яку відіграє блок більшого
$ 84]
ПРОСТІ МАШИНИ
167
Рис. 146. Поліспаст.
діаметра в подвійному блоці. Отже, умови рівноваги для коло-
ворота такі самі, як і для подвійного блока, але замість радіу-
сів меншого і більшого блоків треба взяти відповідно радіус
барабана і довжину спиці, вважаючи від осі до місця прикла-
дання сили. Оскільки довжи-
ну спиць можна зробити в ба-
гато разів більшою, ніж радіус
барабана, то коловорот дає
змогу зрівноважувати сили,
які в багато разів більші, ніж
ті, які прикладені до спиць.
У техніці широко викори-
стовують також різні типи
складних блоків — поліспасти.
Принцип дії складних блоків
такий (рис. 146). Дві групи
блоків насаджені кожна на
спільну вісь так, що кожний
з блоків може обертатись нав-
коло цієї осі незалежно від ін-
ших блоків групи. Одна група
утворює нерухому, а друга —
рухому частину складного бло-
ка. Вірьовку пропускають по
черзі через блоки однієї і дру-
гої групи і закріплюють одним
кінцем на обоймі нерухомої
групи. Якщо до вільного кінця
вірьовки прикласти силу Г, то
натяг усіх частин вірьовки до-
рівнюватиме цій силі (тертям у всіх блоках ми, як і раніше,
нехтуємо). Кожний кусок вірьовки між блоками діятиме на ру-
хомий вантаж із силою Р, а всі куски вірьовки діятимуть із си-
лою пР, де и — число окремих дільниць вірьовки, які з’єднують
обидві частини блока, або, що те саме, загальне число блоків
у рухомій і нерухомій частинах. Тому сила Р, прикладена до
кінця вірьовки, зрівноважить прикладену до рухомої частини
блока силу пР, де п — загальне число блоків.
Диференціальний блок складається з подвійного блока і
одного простого блока і використовує нескінченний ланцюг
(рис. 147, а). Щоб ланцюг не ковзав по блоках, в останніх роб-
лять заглибини для ланок ланцюга. На рис. 147,6 подано схе-
му сил для диференціального блока. Умовою рівноваги є
168
СТАТИКА
[РОЗД. ПІ
Ми бачимо, що в умову рівноваги входить різниця радіусів
двох блоків. Тому систему і названо диференціальним (різни-
цевим) блоком.
У всіх розглянутих випадках застосу-
вання простих машин
висувалося питання,
невеликих
О
б
Рис. 147. а) Диференціальний блок.
б) Схема диференціального блока.
на перший план
як за допомогою
хоча б повільного
на
сил надати
руху тілу, незважаючи
протидію значних сил (на-
приклад, піднімання вручну
важкого якоря). Ми досяга-
ли цього «виграшу на силі»,
діючи з деякою силою на
довгий кінець важеля, на
вільний кінець вірьовки по-
ліспаста і т. д. Легко поба-
чити, що при цьому другий
кінець важеля або рухома
група блоків у поліспастів
просувалися на відповідно
менший шлях.
Якщо, наприклад, засто-
совувати при підніманні ван-
тажу поліспаст з п блоками,
то можна обмежитись си-
лою, в п раз меншою, ніж
вірьовки за час піднімання
більший, ніж шлях вантажу
вага вантажу, але вільний кінець
треба перемістити на шлях, у п раз
(оскільки кожна з дільниць вірьовки між блоками зменшується
Рис. 148. Кривошипний механізм паровоза. Швид-
кості точок обода більші за швидкість, якої надає
підшипнику А шатун, з’єднаний з поршнем.
на довжину цього шляху), тобто вантаж рухається з швидкістю,
в п раз меншою, ніж швидкість рук людини.
§85]
КЛИН І ГВИНТ
169
Проте в сучасній техніці часто виникає питання про забез-
печення значної швидкості переміщення. У цих випадках треба
застосовувати прості машини так, щоб переміщувана частина
була зв’язана з довгим кінцем важеля, вільним кінцем вірьовки
поліспаста і т. д. Звичайно, при цьому треба застосовувати силу,
у відповідне число разів більшу, ніж сила, яка протидіє руху.
Наприклад, шатун парової машини паровоза тисне з великою
силою на коротке плече кривошипа, надаючи точкам обода
колеса великої швидкості (рис. 148).
§ 85. Клин і гвинт. До простих машин належить також
клин, який має різні застосування. Розглянемо дію клина (леза
колуна) при розколюванні дров (рис. 149, 150). На тильну
Рис. 149. Розколювання
поліна колуном.
Рис. 150. Сили, які діють на
клин (лезо колуна).
поверхню клина, наприклад при ударах кувалдою, діє сила Р>
яка заганяє клин у тріщину (рис. 150); на бічні поверхні клина
діють сили тиску Р з боку розколюваного поліна. При рівнова-
зі клина сума проекцій усіх прикладених до нього сил на будь-
який напрям, наприклад на вісь клина, повинна дорівнювати
нулю, тобто сила Р повинна зрівноважувати суму складових
сил Р , напрямлених уздовж осі клина. Проекція сили /^на АВ
дорівнює Р зіп а. На рис. 150 зображено клин, симетричний від-
носно площини АВ\ сторони клина утворюють з АВ однакові
кути <х, і обидві проекції сил однакові. У такому разі умовою
рівноваги клина є Р = 2 Р зіп а. При малому а сила Р може бути
значно менша за 2Р. Наприклад, для сокири-колуна, яка являє
собою стальний клин на рукоятці, кут леза дорівнює близько
170
СТАТИКА
(РОЗД. ПІ
Рис. 152. Гвинт з гайкою.
1г — крок гвинта.
25° (2а = 25°); згідно з цим Р приблизно в 5 раз менше за 2Л
На рис. 151 зображено застосування клина для піднімання
вантажу. Чим гостріший клин, тим меншу силу Р треба прикла-
сти щоб підняти даний
вантаж.
Але клин, як і всяку
просту машину, треба не
зрівноважувати, а приму-
сити рухатись в потрібно-
му напрямі. Тільки тоді
він виконає свою роль
(наприклад, розколе по-
ліно). На відміну від ва-
желів і блоків при роботі
клина велике значення має сила тертя. У блоці і важелі сили
тертя порівняно малі. А для клина сили тертя між бічними гра-
нями і тілом, в яке вганяється клин (сили Ф на рис. 150), зви-
чайно дуже великі, бо великі і сили тиску Р. і коефіцієнт тертя
між сталлю та деревом, і скидати їх з розрахунку не можна.
Типом простої машини, схожим на клин за принципом дії,
є гвинт (рис. 152). Гвинт і накручена на нього гайка мають
гвинтову різьбу, при обертанні гвин-
та гайка переміщається вздовж
нього. Щоб наочно уявити собі один
виток різьби гвинта, треба уявити
собі прямокутний трикутник, накру-
чений на циліндр (рис. 153). Катет
АВ дорівнює кроку гвинта, тобто
відстані, на яку переміститься гайка
при повному оберті гвинта, а катет
ВС являє собою довжину кола осно-
ви того циліндра, на який нанесено
різьбу гвинта. Гіпотенуза АС являє
собою край одного оберту різьби
гвинта; до неї прилягає край одного
«оберту різьби гайки А'С'- Довжина
кола ВС = 2'тгг, де г— радіус ци-
ліндра. При обертанні гвинта його
гайки і змушує її рухатись уздовж осі гвинта. Силами тертя між
гвинтом і гайкою часто можна знехтувати (бо їх поверхні ста-
ранно шліфують і густо змащують). Тому сили тиску між гвин-
том і гайкою напрямлені практично перпендикулярно до площини
їх стикання. З боку гвинта на гайку дієлшла Р\, а з боку гайки
на гвинт — однакова з нею за величиною сила Г2. Обертаючи
натискає на різьбу
§ 85]
КЛИН І гвинт
171
Рис. 154. Домкрат.
Рис. 153. Гвинт можна подати як прямокутний трикутник,
накручений на циліндр.
гвинт, треба перемогти складову сили Р2, напрямлену проти руху
гвинта, тобто силу /2. При цьому в напрямі осі гвинта на гайку
діє складова сили Ри тобто сила при заданому значенні /і
складова /2 тим менша, чим меншин
кут а. Співвідношення між силами
буде таким самим, як для клина
з кутом при основі, що дорівнює а.
Отже, кут клина, еквівалентного
гвинту, визначається кроком гвинта
і його діаметром. Гвинти, еквіва-
лентні гострому клину, роблять тов-
стими (велике г) і з малим кроком
(мале /і). Такі, наприклад, гвинти
в домкраті — простому пристрої для
піднімання вантажів, дія якого зро-
зуміла з рис. 154. Гвинти застосо-
вують у різних пристроях для здав-
лювання (прес, рис. 155) або кріп-
лення (болти, шурупи для дерева
і т. д.). У всіх цих випадках порів-
няно невеликою зовнішньою силою
можна створити велику силу тиску.
Розглядаючи дію гвинтів для кріплення, треба враховувати
силу тертя: щоб зсунути одне тверде тіло вздовж другого, треба
прикласти деяку мінімальну силу, яка визначається тертям спо-
кою (§ 64). Сила тертя спокою, яка діє між головкою гвинта
172
СТАТИКА
[РОЗД. III
і поверхнею, в яку гвинт закручений, у випадку туго затягнутого
гвинта може бути досить значна, бо вона пропорціональна силам
Рис. 155. Гвинтовий прес.
тиску. Крім того, вона на-
прямлена вздовж різьби
гвинта. Оскільки біль-
шість поштовхів і зусиль
напрямлена по осі гвинта,
то складова їх уздовж
різьби гвинта незначна і
тим менша, чим менший
крок гвинта. Тому скріп-
лююча дія гвинтів і шуру-
пів звичайно буває дуже
велика, тобто потрібні великі і повторні поштовхи вздовж осі,
щоб повернути гвинт і послабити гвинтове кріплення.
У більшості випадків гвинт повертають за допомогою більш
або менш довгої ручки, приробленої до нього (прес), або ручки
ключа, який надівають на головку гвинта. У такому разі ми
маємо з’єднання двох простих машин — коловорота і гвинта
(клина).
Вправа. 85.1. Розгляньте прості машини, принципи яких використані
у велосипеді (руль, педаль, передача). В яких з них добиваються виграшу
на силі, а в яких — виграшу на швидкості?
РОЗДІЛ IV
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ

Рис. 156. Сила, яка діє на ліве плече
важеля, в п раз більша за силу, яка діє
на праве плече. Переміщення $і лівого
плеча в п раз менше за переміщення з2
правого плеча.
§ 86. «Золоте правило» механіки. Ще в стародавні часи при
застосуванні простих машин (важіль, блок, коловорот і т. д.)
було виявлено цікаву особливість усіх цих машин: виявилося,
що в простих машинах пере-
міщення цілком певним спо-
собом зв’язані з силами, які
розвиває машина. А саме,
відношення переміщень двох
кінців простої машини, до
яких прикладені сили, зав-
жди обернене відношенню
сил, прикладених до цих
кінців.
Наприклад, якщо для
рівноваги важеля сила Р{
повинна бути в п раз біль-
ша, ніж сила Р2 (рис. 156),
то при обертанні важеля
переміщення 51 його першо-
го кінця буде в п раз менше, ніж переміщення 52 другого кінця.
Для подвійного блока таке саме співвідношення буде між сила-
ми, прикладеними до вірьовок, які намотані на обидва блоки і
вдержують його в рівновазі, і переміщеннями кінців вірьовок
при обертанні блока. Цю обставину було сформульовано ще в
стародавні часи так: «те, що ми виграємо на силі, ми програємо
на шляху». Це положення має таке загальне і разом з тим таке
велике значення, що воно дістало назву «золотого правила»
механіки.
Користуючись запровадженими позначеннями, «золоте пра-
вило» можна подати такою формулою
р = І , або /^5! =
174
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
У дальшому тип рухів і характер машин, з якими доводило-
ся мати справу в механіці, дедалі більше ускладнювались, і
виявилося, що в такому простому вигляді «золоте правило»
механіки не завжди справедливе. Але попутно з ускладненням
видів рухів і типів машин поступово доповнювалось і ускладню-
валось «золоте правило» механіки так, щоб воно охоплювало
і складніші випадки. При цьому з «золотого правила» виникли
найважливіші фізичні уявлення про роботу і енергію. Разом
з тим «золоте правило» механіки було першим найпростішим
формулюванням одного з основних законів природи—закону
збереження енергії, який був справедливий для всіх без винят-
ку явищ у природі.
Для з’ясування поняття роботи і енергії розглянемо «золоте
правило» механіки докладніше. Щоб спростити розгляд, ми спо-
чатку припускатимемо, що сил тертя немає. Потім з’ясуємо, як
зміниться вся картина при врахуванні сил тертя.
§ 87. Застосування «золотого правила». «Золоте правило»
механіки практично справджується тільки в тих випадках, коли
Рис. 157. Збільшивши си-
лу Р\ на малу величину
примусимо блок оберта-
тися з прискоренням.
рух простих машин відбувається рівно-
мірно або з малими прискореннями
Наприклад, при обертанні подвійного
блока кінці вірьовок, накручених на
скріплені між собою блоки радіусів Гі
і г2, перемістяться на відстані і про-
порціональні цим радіусам:
5і _ г,
52 г2 ’
Отже, для того щоб «золоте правило»
було справедливе для подвійного блока,
повинна виконуватись умова
Р1 _ г2
^2 Г1
Тоді сили і Р2 зрівноважаться і, отже,
машина повинна або бути в спокої, або
рухатись рівномірно. Але для того щоб
привести в рух подвійний блок, треба
порушити рівновагу, додавши до однієї
з сил, наприклад до Р\, деяку силу [
(рис. 157). Рух, який виникає, буде при-
1 <3ологе правило» помітили стародавні механіки тому, що їм доводилось
мати справу саме з такими випадками.
РАБОТА СИЛИ
175
§ 88]
скореним (нагадаємо, що, за нашим припущенням, тертя немає).
При цьому (У7! + () 5і > Р282— під час руху подвійного блок»
з прискоренням «золоте правило» не виконується. Але чим мен-
ша сила / порівняно З Р\, тим ближчі один до одного добутки
сили на шлях для обох кінців блока і тим менше відхилення від
«золотого правила». При дуже малих І рух відбуватиметься
з дуже малим прискоренням, тобто буде близький до рівно-
мірного.
Отже, «золоте правило» механіки виконується зовсім точно
при рівномірному русі (без тертя) і наближено при русі з малим
прискоренням. Жодна машина не рухається завжди рівномірно:
спочатку вона повинна прийти в рух, а в кінці повинна зупини-
тись. Але якщо пуск у хід і зупинка подвійного блока відбува-
ються з малим прискоренням, то «золоте правило» механіки
практично справедливе під час дії цієї машини.
Так само, як і для подвійного блока, ми могли б упевнитись^
що «золоте правило» механіки справедливе і для всіх простих
машин при умові, що напрями прикладених до машини сил
і напрями переміщень точок прикладання сил збігаються. Для
всіх таких машин «золоте правило» механіки справедливе в тому
вигляді, як ми вивели його для подвійного блока: при рівномір-
ному русі машини (а практично також при русі з дуже малими*
прискореннями) добутки сили на переміщення точки прикладан-
ня для обох сил однакові.
Вправа. 87. 1. Покажіть, що «золоте правило» механіки справедливе-
для поліспаста, для коловорота.
§ 88. Робота сили. У попередньому параграфі ми встанови-
ли, що в простій машині при рівномірному русі завжди існує
цілком певний зв’язок між силами і переміщеннями: якщо>
напрями сили і переміщення збігаються, то добутки сили на.
переміщення для обох точок прикладання сил будуть однакові.
Отже, добуток сили на переміщення відіграє особливу роль: за'
його допомогою можна схарактеризувати дію простих машин.
У дальшому буде з’ясовано, що він дуже важливий і для харак-
теристики багатьох інших явищ.
Через його важливість цей добуток розглядають як самостій-
ну фізичну величину. Ця нова фізична величина має особливу,
назву: робота сили.
Отже, робота є добуток сили на переміщення при умові, що
напрями сили і переміщення збігаються.
Таким чином, коли точка прикладання сили переміщується,
то сила виконує роботу. Якщо переміщення відбувається в на-
прямі дії сили, то сила виконує роботу, яка дорівнює добутку
сили на переміщення. А якщо, незважаючи на дію сили,
176
РОБОТА Т ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
переміщення точки прикладання сили не буде, то сила ніякої
роботи не виконує. Наприклад, якщо який-небудь тягар
нерухомо висить на підвісі, то сила тяжіння, яка діє на
нього, роботи не виконує але при опусканні або падінні тягаря
ця сила виконує роботу. Якщо сила тяжіння тягаря дорівнює Р
і він опустився на відстань Л, то робота сили тяжіння дорів-
нює Рк.
Так само і в простих машинах (у важелі, блоці і т. д.) при-
кладені сили не виконують роботи, поки машина не рухається.
Але якщо блок починає обертатись і кінець вірьовки, до якого
прикладено силу, починає переміщатися в напрямі дії сили, то
ця сила виконує роботу, яка дорівнює добутку сили на пере-
міщення.
У всіх рухомих механізмах (паровій машині, двигуні внут-
рішнього згоряння, електричному двигуні і т. д.) діють сили, які
виконують роботу під час руху механізму. Так, у паровій маши-
ні сила тиску пари на поршень виконує роботу під час руху
поршня; сили тиску газів заряду пороху, який згорів, виконують
роботу під час руху снаряда. Сили взаємодії електричних стру-
мів, які проходять в обмотках електродвигуна, виконують робо-
ту при обертанні двигуна.
Поняття роботи як фізичної величини, введене в механіку, тільки певною
мірою узгоджується з уявленням про роботу в життєвому розумінні. Справді,
наприклад, робота вантажника по підніманню вантажів розцінюється тим
більше, чим більший вантаж і чим на більшу висоту вантажник його підні-
має. Проте з цієї самої життєвої точки зору ми схильні називати
«фізичною роботою» всяку діяльність людини, при якій вона виконує певні
фізичні зусилля. Але, згідно з означенням, яке дано в механіці, ця діяльність
ічоже і не супроводитись роботою. У відомому міфі про Атласа, що тримає
на своїх плечах небозвід, люди мали на увазі зусилля, які потрібні для під-
тримання величезної ваги, і розцінювали ці
зусилля як величезну роботу. Для механіки
тут немає роботи, і м’язи Атласа могли б
бути просто замінені міцною колоною.
Рис. 158. При коченні кулі по
горизонтальному столі сила тя-
жіння перпендикулярна до пе-
реміщення і її робота дорівнює
нулю.
§ 89. Робота при переміщенні,
перпендикулярному до напряму
сили. Коли переміщення відбуваєть-
ся в напрямі, перпендикулярному до
напряму сили, то сила не впливає
на переміщення в цьому напрямі;
тому ми вважаємо, що в цьому ра-
зі сила не виконує ніякої роботи:
якщо сила і переміщення перпендикулярні одне до одного, то
робота сили дорівнює нулю. Так, наприклад, при переміщенні
по горизонтальній площині робота сили тяжіння дорівнює нулю
(рис. 158).
РОБОТА СИЛИ
177
г,
Рис. 159. Розклад сили Г на
складові вздовж переміщен-
ня 5 (сила Рд і перпен-
дикулярно до нього (си-
ла £2).
(90 1)
сили на напрям перемі-
жній на величину перемі-
§ 90]
§ 90. Робота сили, напрямленої під будь-яким кутом до
переміщення. Ми визначили роботу сили в двох спеціальних
випадках: коли переміщення точки прикладання сили збігається
за напрямом з силою і коли воно перпендикулярне до сили.
У першому випадку робота дорівнює добутку сили на перемі-
щення, у другому — дорівнює нулю.
Тепер знайдемо вираз для роботи сили в загальному випад-
ку, коли переміщення 5 утворює довільний кут а з напрямом
сили Л (рис. 159). Для цього розкладемо силу Р на дві скла-
дові: Лі, яка напрямлена вздовж пере-
міщення (і дорівнює проекції сили Р
на напрям переміщення 5), і Р2, на-
прямлену перпендикулярно ДО Робо-
та сили Літ яка збігається за напрямом
з переміщенням дорівнює Р\ 5; робо-
та сили Л2, перпендикулярної до напря-
му <9, дорівнює нулю. Вважаючи, що
робота рівнодійної дорівнює сумі робіт
складових, знаходимо, що робота А
сили Р на переміщення 5 є
А -
тобто робота сили дорівнює проекції
щення точки її прикладання, помножі
щення.
Оскільки проекція будь-якого відрізка на який-небудь напрям
дорівнює довжині відрізка, помноженій на косинус кута між
відрізком і цим напрямом, то Р\ = Рсоза. Отже, робота А
сили Л при переміщенні 5 дорівнює
А — Рзсоза. (90.2)
Але величина = $соза дорівнює проекції переміщення па
напрям сили; отже, з формули (90.2) випливає ще одне спів-
відношення для величини виконаної роботи:
А = (90.3)
тобто робота сили дорівнює проекції переміщення точки її при-
кладання на напрям сили, помноженої на величину сили.
Формула (90.2) включає розглянуті вище окремі випадки.
Коли напрями сили і переміщення збігаються, то а = 0 і соз а =
= 1, так що робота дорівнює А = Рз. Коли сила і переміщення
перпендикулярні одне до одного, то а = 90° і соз а = 0, так що
і робота дорівнює нулю.
12 7-103
178
РОБОТА Т ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
§ 91. Додатна і від’ємна робота. Сила виконує роботу, якщо
точка прикладання сили переміщається в напрямі дії сили. А як-
що це переміщення відбувається в напрямі, протилежному
напряму дії сили, то ми кажемо, що виконується робота проти
цієї сили. Наприклад, якщо на нерозтягнуту пружину ми підві-
симо тягарець (рис. 160) і дамо йому можливість опускатися, то
сила тяжіння, яка діє на тягагарець, виконає роботу, бо тягарець.
Рис. 160. При опу-
сканні тягарця ви-
конується робота
проти сили натягу
пружини Г.
рухається в напрямі цієї сили. Водночас пру-
жина розтягується і виконується робота проти
сили пружності пружини.
Для того щоб розрізняти роботу, яку вико-
нує сила, і роботу проти сили, роботі можна
приписати знак; вважатимемо роботу, яку вико-
нує сила, додатною, а роботу, яка виконується
проти дії сили,— від'ємною. При опусканні
тягарця робота сили тяжіння додатна, а робо-
та сил пружності пружини — від’ємна.
Умова про знак роботи буде виконана сама
собою, якщо приписувати однаково напрям-
леним переміщенням і силам однакові знаки,
а протилежно напрямленим переміщенням і
силам — різні знаки.
Подібно до цього при силі, яка утворює
довільний кут з переміщенням, вважатимемо
знаки переміщення і компоненти сили вздовж
переміщення однаковими або різними залежно
від того, чи напрямлена компонента сили по переміщенню, чи
протилежно йому.
Формула (90. 2) придатна і для того випадку, коли виконує-
ться робота проти сили. Справді, коли кут а між силою і пере-
міщенням більший за 90°, сов а буде від’ємним і робота буде
від’ємною.
Якщо на рухоме тіло діє лише одна сила, то, коли ця сила
виконує додатну роботу, швидкість тіла зростає. Справді, у цьо-
му разі сила, а отже, і прискорення напрямлені по швидкості,
збільшуючи її. Якщо сила виконує від’ємну роботу, то приско-
рення напрямлене проти швидкості і швидкість тіла змен-
шується.
§ 92. Одиниці роботи. Оскільки робота визначається добут-
ком сили на переміщення, то за одиницю роботи слід брати
роботу, яку виконує сила, що дорівнює одиниці, при переміщен-
ні точки її прикладання в напрямі дії сили на відстань, що дорів-
нює одиниці.
У системі СІ одиницею роботи є робота сили в 1 н при пере-
§ 931 ПРО РУХ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНІЙ ПЛОЩИНІ 179
міщенні на 1 м. Ця одиниця називається «джоуль»; її познача-
ють дж І
У системі СГС одиницею роботи є робота, яку виконує сила
в 1 дин при переміщенні на 1 см. Цю одиницю роботи називають
«ерг». Через те що 1 н = 105 дин, а 1 м = 101 2 см,
1 дж = 1 • 107 ерг.
У системі МКГСС за одиницю роботи слід узяти роботу, яку
сила в 1 кГ виконує при переміщенні на 1 м. Ця одиниця роботи
називається «кілограмометром» (кГм). Із співвідношення 1 кГ =
= 9,8 н робимо висновок:
1 кГм = 9,8 дж.
При грубих розрахунках можна припускати, що
1 кГм = 10 дж.
Вправи. 92. 1. Знайти роботу, яка виконується протягом 3 хе у насосі,
що подає за 1 сек 50 л води на висоту 20 м.
92.2. Хлопчик тягне санчата по горизонтальному шляху, натягуючи
прив’язану до них вірьовку під кутом 37° до горизонту з силою 2 кГ. Яку
виконає він роботу, протягнувши санчата на 600 м?
§ 93. Про рух по горизонтальній площині. У § 89 вже було
зазначено, що при переміщенні точки прикладання сили в гори-
зонтальній площині сила тяжіння роботи не виконує. Отже, для
того щоб переміщати тіло по горизонталі, не треба виконувати
роботи проти сили тяжіння. Уся робота, яку все-таки доводить-
ся виконувати при такому переміщенні,— це робота на перема-
гання сил тертя і опору середовища. Коли велосипедист їде по
горизонтальному шляху, він не виконує ніякої роботи проти сили
тяжіння; тільки піднімаючись на гору, він виконує роботу проти
цієї сили. Трохи інакша справа з пішоходом. При ходьбі по
горизонтальному шляху центр ваги тіла людини не лежить на
тій самій висоті, а при кожному кроці піднімається і потім зно-
ву опускається. Коли центр ваги піднімається вгору, людина
затрачає роботу. Тому при ходьбі навіть по горизонтальному
шляху виконується робота не лише проти сили опору середови-
ща, а й проти сили тяжіння. Вважаючи, що при кожному кроці
центр ваги піднімається на 5 см, а маса людини дорівнює 70 кг,
знайдемо, що при кожному кроці виконується досить значна
робота в 35 дж на піднімання центра ваги. А від’ємна робота
при опусканні центра ваги не використовується. Правильна
походка зменшує затрату роботи при ходінні і тому менше
стомлює.
1 Цю назву введено на честь англійського фізика Джемса Джоуля
(1818—1889).
12*
180
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
§ 94. Робота сили тяжіння при русі по похилій площині.
Застосуємо результат, знайдений у § 90, для визначення робо-
ти, яку виконує сила тяжіння Р під час руху тіла вниз по похи-
лій площині (рис. 161).
Проекція N0 переміщення 5 = МИ на напрям сили тяжіння,
тобто на вертикаль, дорівнює висоті Л похилої площини. Отже,
згідно з формулою (90.3), робота сили тяжіння при переміщен-
ні тіла вздовж похилої площини з точки И у точку М дорівню-
ватиме силі тяжіння, помноженій на висоту похилої площини:
Рис. 161. При ковзанні по похилих
площинах робота сили тяжіння ви-
значається висотою А, на яку опус-
кається тягарець, і не залежить від
кута нахилу площини.
Рис. 162. Будь-який шлях мож-
на подати як сукупність безлічі
малих дільниць похилих пло-
щин.
Такий самий результат дістанемо і для похилої площини ИМ\.
Отже, робота сили тяжіння не залежить від кута нахилу, а лише
від висоти похилої площини; сила тяжіння виконала б таку саму
роботу й тоді, коли б вантаж опустився на таку саму відстань
прямо по вертикалі.
Звідси ми можемо зробити і більш загальний висновок: яким
би шляхом не опускався вантаж, сила тяжіння Р виконає робо-
ту А = РН, де й — висота, на яку опустився вантаж. Справді,
будь-який шлях ми можемо уявити собї таким, що складається
з великої кількості дільниць різних похилих площин (рис. 162).
Робота по кожній з дільниць визначаєтся висотою, на яку опу-
стився вантаж при переміщенні по цій дільниці, а робота на
всьому шляху дорівнює силі тяжіння, яка діє на вантаж, помно-
женій на повну висоту, на яку опустився вантаж.
Цілком аналогічний висновок можна зробити і для підніман-
ня певного тіла по похилій площині або по якому-небудь іншому
шляху. У цьому разі робота проти сили тяжіння також не зале-
жатиме від форми шляху, а лише від висоти піднімання.
5 951
ПРИНЦИП ЗБЕРЕЖЕННЯ РОБОТИ
181
§ 95. Принцип збереження роботи. Поняття роботи дає змо-
гу по-новому підійти до «золотого правила» механіки. Поверне-
мося знову до подвійного блока і припустимо, що за допомогою
сили, яку прикладають до кінця однієї з вірьовок, піднімають
деякий вантаж, підвішений до кінця другої вірьовки. Як ми бачи-
ли, для кінців обох вірьовок добутки сили на переміщення одна-
кові. З другого боку, сила, яка діє на першу вірьовку, і перемі-
щення кінця цієї вірьовки збігаються за напрямом. Так само
збігаються напрями переміщення гирі і сили, яка діє на неї
з боку другої вірьовки. Таким чином, робота, яку виконує сила»
прикладена до першої вірьовки, дорівнює роботі, яка виконуєть-
ся над гирею з боку другої вірьовки. Отже, робота, яку виконує
сила, прикладена до першої вірьовки, дорівнює роботі, яка вико-
нується над гирею з боку простої машини. Таким чином, подвій-
ний блок не створює роботи і не веде до зникнення роботи, а
лише передає її. Водночас сумарна робота, яка виконується над
простою машиною, дорівнюватиме нулю: справді, для сил, при-
кладених до вірьовок, напрями сили і переміщення збігаються
для однієї вірьовки і протилежні для другої, тобто однакові за
величиною роботи мають протилежні знаки і при додаванні
знищують одна одну.
Це положення буде справедливим для всіх простих машин»
як для випадків, коли напрями сил і переміщень збігаються»
тобто для випадків, коли застосовне «золоте правило», так і для
випадків, коли вони не збігаються і «золоте правило» незасто-
совне.
Отже, ми приходимо до принципу більш загального, ніж
«золоте правило»: у всякій простій машині, яка рухається рів-
номірно, робота передається без зміни, тобто робота, яку вико-
нує машина, дорівнює роботі сили, яка приводить машину в рух.
Це положення називається принципом збереження роботи.
Слід мати на увазі, що принцип збереження роботи не вико-
нуватиметься, якщо проста машина деформується при переда-
ванні роботи, наприклад, якщо важіль згинається або вірьовки
поліспаста розтягуються. Справді, якщо спробувати підняти
великий вантаж, застосувавши як важіль гнучкий пруток, то»
виконавши на довгому кінці важеля певну роботу, ми навіть не
зрушимо з місця вантаж, що лежить на короткому плечі, на
якому, отже, виконана робота дорівнюватиме нулю: єдиним
результатом буде те, що важіль зігнеться. Подібно до цього»
замінивши в блоці вірьовку гумкою, яка легко розтягується»
і зробивши спробу підняти з землі великий вантаж, ми виконає-
мо роботу, розтягуючи гуму з одного кінця, але другий кінець
гуми, прив’язаний до вантажу, який так і залишиться лежати
к на місці, ніякої роботи не виконає. І тут єдиним результатом
182
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
(РОЗД. IV
Рис. 163 До вправи
95.1. Стінки циліндра
А забезпечують пере-
міщення поршня вер-
тикально вгору.
буде деформація механізму. Якщо взяти жорсткіший важіль або
ювщу гуму, то підняти вантаж на деяку величину можливо
і вдасться. Проте робота, виконана на другому кінці нашої
машини, буде в цьому разі менша, ніж робота, виконана при-
кладеною силою,— «золоте правило» і принцип збереження
роботи будуть порушені. Тому в дальшому вважатимемо, іцо всі
прості машини виготовлені з важелів, які не гнуться, мають
нерозтяжні вірьовки і т. д. Тоді принцип
збереження роботи виконуватиметься.
Принцип збереження роботи дає змогу
зручно визначати сили в простих машинах.
Наприклад, у поліспасті з п витками вірьов-
ки (рис. 146) кінець вірьовки, за який тяг-
нуть рукою, переміщається більше, ніж гак,
що тягне вантаж. Справді, при переміщенні
руки на довжину 5 рухома частина блока
піднімається на висоту в п раз меншу, бо
зміна довжини-вірьовки розподіляється на
п її дільниць між блоками. Отже, на під-
ставі принципу збереження роботи ми може-
мо твердити, що сила, прикладена до кінця
вірьовки, повинна бути в п раз менша за
силу, прикладену до гака (вагою рухомої групи блоків ми нех-
туємо). Цей результат ми дістали вище (§ 84) безпосередньо
з розгляду сил.
Вправи. 95. 1. Поршень вагою 200 кГ піднімають за допомогою пря-
мокутного клина, який всувають під нього, з катетами, що дорівнюють 10 см
і 1 м. Визначте силу, яку треба прикласти до тильного боку клина (рис. 163).
(Тертям можна знехтувати).
95.2. У гвинтовому пресі (рис. 155) гвинт має різьбу з кроком 5 мм.
У головку гвинта вмонтовано рукоятку завдовжки 40 см. Яку силу треба
прикласти до рукоятки, щоб прес тиснув з силою 1 Т? (Тертям знехтувати).
§ 96. Енергія. Прості машини мають здатність виконувати
роботу, але не можуть «запасати» цієї здатності, бо одночасно
з тим, як вони дістають її на одному кінці, вони віддають її на
другому. Проте в багатьох випадках тіла можуть нагромаджу-
вати «про запас» здатність виконувати роботу, і часто будують
спеціальні механізми, здатні запасати роботу, а потім віддава-
ти її. Типовим прикладом є гирьовий завод настінного годинни-
ка (рис. 164). Підтягуючи гирю вгору, ми виконуємо деяку
роботу. Внаслідок цього механізм годинника дістає здатність
виконувати протягом тривалого часу роботу, потрібну для ходу
годинника, тобто для підтримання руху всіх коліс, стрілок
і маятника, які зазнають опору руху, спричиненого тертям. У міру
ходу годинника гиря поступово опускається і запас роботоздат-
§95]
ЕНЕРГІЯ
183
Рис. 164. Під-
нята гиря має
запас роботи,
який поступово
витрачається на
підтримання ру-
ху годинника.
Роботи, ЯКИЙ
ності механізму зменшується. Через деякий час треба буде знову
«завести» годинник, тобто знову зробити його здатним до вико-
нання роботи, яка потрібна для його ходу.
При заведенні годинника гирьовий механізм нагромаджує
здатність виконувати роботу; під час ходу годинника здатність
виконувати роботу витрачається. Піднімаючи тягарець, ми запа-
саємо роботу; опускаючись, тягарець здатний
виконувати роботу.
У тілі можна «запасати роботу» не тільки за
допомогою піднімання тіла на деяку висоту.
Деформуючи тіло, наприклад стискаючи або роз-
тягуючи пружину, ми виконуємо роботу; внаслі-
док цього деформоване тіло набуває здатності
виконувати роботу. Роботу виконує «заведена»,
тобто деформована, пружина наручних або
кишенькових годинників, «пружинний двигун»
заводних іграшок і т. д.
Надаючи швидкості якому-небудь тілу, також
доводиться затрачати роботу; внаслідок тіло
набуває здатності виконувати роботу, зменшуючи
свою швидкість. Наприклад, залізничний вагон,
підштовхнутий паровозом до состава, зупиняю-
чись, стискає пружини буферів; куля, потрапляю-
чи в перешкоду, виконує роботу руйнування мате-
ріалу, і т. д.
У всіх розглянутих випадках робота вико-
нується при зміні стану тіла: при опусканні ван-
тажу, при розкручуванні пружини, при зупинці
рухомого тіла. Поки ці зміни ще не настали, робо-
та не виконана; у тілі є деякий запас ще не вико-
наної роботи. При виконанні роботи цей запас
витрачається. Виконуючи роботу над тілом —
піднімаючи його вгору, деформуючи його,.надаю-
чи йому швидкості,— ми надаємо йому запасу
у дальшому можна використати, повертаючи тіло у вихідний
стан.
Запас роботи, яку може виконати тіло, змінюючи свій стан,
називають енергією.
До механічних видів енергії належать: енергія, зв’язана з
підніманням тіла над землею (і взагалі енергія, зв’язана з сила-
ми всесвітнього тяжіння); енергія, зв’язана з деформаціями
тіла; енергія, зв’язана з рухом тіла.
Зміна енергії визначається тією роботою, яку треба викона-
ти, щоб спричинити цю зміну. Отже, вимірювати енергію треба
в тих самих одиницях, у яких вимірюють роботу, тобто в джоу-
184
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
лях у системі СІ, в ергах у системі СГС і в кілограмометрах
у системі МКГСС.
§ 97. Потенціальна енергія. Знайдемо, чому дорівнює робо-
та 4, яка виконується при підніманні тіла вагою Р на висоту й.
Вважатимемо, що тіло піднімається повільно і що силами тертя
при підніманні можна знехтувати. Ми вже знаємо (§ 94), що
виконана робота проти сили тяжіння не залежатиме від того,
як ми піднімаємо тіло: по вертикалі (як гирю в годиннику),
по похилій площині (як при витягуванні санчат на гору) або ще
яким-небудь способом. У всіх випадках ця робота дорівнювати-
ме А = РН. При опусканні тіла на початковий рівень сила тяжін-
ня виконає таку саму роботу, яка була затрачена на піднімання
тіла. Отже, піднімаючи тіло, ми запасли роботу, яка дорівнює
РН, тобто підняте тіло має енергію, що дорівнює добутку ваги
тіла на висоту піднімання.
Ця енергія не залежить від того, по якому шляху відбува-
лося піднімання, а визначається лише положенням тіла (висо-
тою, на яку воно підняте). Тому цю енергію називають енергією
положення. Частіше її називають потенціальною енергією.
Отже, потенціальна енергія ЕП тіла, піднятого на деяку висо-
ту, виражається формулою
£п = РЬ. (97. 1)
Оскільки вагу тіла можна подати через його масу /и і при-
скорення вільного падіння § формулою Р = то ми можемо
потенціальну енергію, запасену тілом маси /п, піднятим на висо-
ту й, подати ще й так:
Еп = т§/г. (97. 2)
При заданому вихідному положенні тіла величина роботи,
яку може виконати тіло, тобто потенціальна енергія, залежить
від того, наскільки тіло може опуститись. У гирьовому механіз-
мі це визначаєтся довжиною ланцюжка, на якому висить гиря,
у прикладі з похилою площиною—висотою найвищої точки
похилої площини над її найнижчою точкою. В інших випадках
найнижчий рівень не можна так природно визначити. Напри-
клад, якщо тіло лежить на столі, то можна визначати його потен-
ціальну енергію тією роботою, яку воно виконало б, опускаю-
чись до підлоги, до рівня землі або до дна льоху і т. д. Тому
треба умовитись заздалегідь, від якого рівня відлічувати висо-
ту, а разом з тим і потенціальну енергію тіла. Вибрати цей
рівень можна цілком довільно, бо в усіх фізичних явищах зав-
жди буває важлива не сама потенціальна енергія, а її зміни,
якими визначається виконувана робота. Зміни потенціальної
§ 97]
ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ
185
енергії будуть, очевидно, однаковими, який би ми не вибрали,
вихідний рівень.
Звичайно умовляються вважати потенціальну енергію тіла,,
що лежить на поверхні землі, такою, що дорівнює нулю. Тоді
у формулах (97. 1) і (97.2) як Н слід брати висоту піднімання
тіла над поверхнею землі.
Якщо тіло має значні розміри, то висоту положення тіла над
поверхнею землі (або взагалі над нульовим рівнем) треба брати
до центра ваги тіла. Визначимо, наприклад, наскільки потенці-
альна енергія вертикального стовпа (рис.
165, положення АВ) більша за потенціаль- ------
ну енергію того самого стовпа, що лежить і>
Рис. 165. При переході стовпа з положення АВ
в положення /4іВі сила тяжіння не виконує робо-
ти, бо цейтр ваги тіла залишається на місці. При
переході з положення А\В\ в положення А2В2
виконується робота РН.
Рис. 166. До розрахунку,
потенціальної енергії рі-
дини в посудині.
на землі (положення Л2В2). Уявимо собі, що стовп переходить з
положення АВ в положення А2В2 за два прийоми. Спочатку він
повертається навколо центра ваги (в цьому випадку навколо
середньої точки) в положення ЛіВь При цьому верхня частина
стовпа опускається, а нижня піднімається, і сила земного при-
тягання виконує над верхньою частиною стовпа додатну, а над
нижньою — таку саму від’ємну роботу, і’ повна робота сили
ТЯЖІННЯ дорівнює нулю. ТІЛЬКИ при переході 3 положення А [Ві
у положення А2В2 сила тяжіння виконує додатну роботу. Отже,
потенціальна енергія стовпа, який стоїть на землі, більша за.
потенціальну енергію стовпа, що лежить на землі, на Рй, де Р —
вага стовпа і Н— висота центра ваги в положенні АВ над поло-
женням А2В2.
На підставі подібних міркувань при визначенні потенціальної
енергії рідини в циліндричній посудині (рис. 166) слід узяти
висоту Н центра ваги рідини С над нульовим рівнем, тобто
=186
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД IV
висоту й0 дна посудини над нульовим рівнем плюс половину
висоти рівня рідини в посудині йі/2, так що потенціальна енергія
дорівнюватиме
Еп = Р (Ло + •
0 б
Рис. 167. До вправи 97. 1.
Вправи. 97. 1. Ящик масою
40 кг, розміри якого подано на
рис. 167, переведено з положення
а в положення б. Визначте зміну
потенціальної енергії ящика, вва-
жаючи, що його центр ваги ле-
жить на перетині діагоналей.
97.2. Водоймище при гідро-
станції має циліндричну форму:
його площа 2 км2, глибина 6 м.
Дно водоймища лежить на висоті
12 м над рівнем води у підводно-
му каналі за гідростанцією. Яка
потенціальна енергія води у водой-
мищі?
пружної деформації. Енергію
§ 98. Потенціальна енергія
деформованого пружного тіла також називають енергією поло-
ження або потенціальною енергією (її називають найчастіше
пружною енергією), бо вона залежить від взаємного положення
частин тіла, наприклад витків пружини. Робота, яку може вико-
нати розтягнута пружина при переміщенні її кінця, залежить
лише від початкового і кінцевого розтягів. пружини. Знайдемо
роботу, яку може виконати розтягнута пружина, повертаючись
до нерозтягнутого стану, тобто знайдемо пружну енергію роз-
тягнутої пружини.
Нехай, наприклад, розтягнута пружина закріплена одним
кінцем, а другий кінець, переміщаючись, виконує роботу. При
визначенні роботи ми повинні враховувати, що сила, з якою діє
пружина, не залишається сталою при зміні розтягу. Ми бачили
(§ 37), що сила пружності пружини пропорціональна її розтягу.
Якщо початковий розтяг пружини, рахуючи від її нерозтягнуто-
го стану, дорівнював /, то початкове значення сили пружності
становило Р = й/, де к — коефіцієнт пропорціональності, який
називають коефіцієнтом пружності пружини. У міру скорочення
пружини ця сила рівномірно зменшується від значення кі до
нуля. Отже, середнє значення сили дорівнює £Ср = 2 кі. Можна
показати, що для обчислення роботи А змінюваної сили пружно-
сті треба це середнє значення сили помножити на переміщення
точки прикладання сили:
А = ^кі І = уА/г.
•§ 99]
КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ
187
Отже, потенціальна енергія пружності £п, дорівнює
Еп=4^. (98.1)
Тут потенціальну енергію подано через коефіцієнт пружності
пружини і через найбільший розтяг її.
Знайдений вираз для потенціальної енергії можна записати
й інакше, через величину сили пружності при найбільшому роз-
тягу і коефіцієнт пружності:
£п=|у. (98.. 2)
З цієї формули видно, що, розтягуючи з тією самою силою різні
пружини, ми надамо їм різного запасу потенціальної енергії:
чим жорсткіша пружина, тобто чим більший коефіцієнт пружно-
сті, тим менша потенціальна енергія; і навпаки: чим м’якша
пружина, тим більша енергія, яку вона запасе при силі, що роз-
тягнула її. Це можна з’ясувати наочно, коли врахувати, що
при однакових діючих силах розтяг м’якої пружини більший,
ніж жорсткої, а тому більший і добуток сил на шлях точки
прикладання сили, тобто робота.
Це має велике значення, наприклад, при побудові різних
ресор і амортизаторів: при посадці на землю літака амортизатор
шасі, стискаючись, повинен виконати велику роботу, гасячи вер-
тикальну швидкість літака. В амортизаторі з малою жорсткістю
стиск буде більший, зате сили, які виникають, будуть менші
і конструкція літака буде краще захищена від пошкоджень.
З цієї самої причини при тугому накачуванні шин велосипеда
поштовхи від нерівностей дороги відчуваються різкіше, ніж при
слабкому накачуванні.
§ 99. Кінетична енергія. Тіла можуть мати деякий запас
роботи, тобто мати енергію, не тільки тому, що вони займають
певне положення або деформовані, а й тому, що вони мають
швидкість. Так, вагон може виїхати на гору, якщо він спочатку
має деяку швидкість; куля або снаряд можуть піднятися на знач-
ну висоту, якщо вони вилітають із ствола з великою швидкістю.
У цих випадках рухоме тіло, піднімаючись угору, виконує роботу
проти сили тяжіння. Рухоме тіло може також виконувати робо-
ту проти сил пружності. Паперова кулька, прив’язана до тонкої
гумової нитки (загальновідома іграшка), може значно розтягти
цю нитку, якщо кульці надати поштовхом великої швидкості
(рис. 168). Коли вагон котиться і вдаряється своїми буферами
об буфери іншого вагона, то пружини буферів значно стискаю-
ться, тобто виконується робота по стисканню пружини (робота
проти її пружних сил).
188
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
У всіх перелічених прикладах тіло виконує роботу не тому,
що воно займає певне положення, а тому, що воно має певну
швидкість. Вагон, який перебуває в спокої, не може «сам» виї-
хати на гору, не може стиснути буферних пружин. Тим часом
рухомий вагон здатний це зробити.
Щоразу, коли тіло виконує роботу завдяки тому, 'що воно
рухається, швидкість його руху зменшується. Якщо швидкість
тіла зменшиться до нуля, то запас здатності виконати роботу
за рахунок руху тіла буде вичерпаний. Отже, всяке рухоме тіло
має деякий певний за-
пас здатності виконува-
ти роботу, тобто певну
енергію, зумовлену тим,
що воно рухається.
Енергію, яку тіло має
тому, що воно рухаєть-
V ся, називають енергією
Рис. 168. Паперова кулька, яка швидко летить, руху або кінетичною
розтягує гумову нитку. енергією.
Отже, усяке тіло
може мати механічну енергію у вигляді потенціальної, або енер-
гії положення, і у вигляді кінетичної, або енергії руху.
§ 100. Подання кінетичної енергії через масу і швидкість
рухомого тіла. У § 97 і 98 ми бачили, що можна створити запас
потенціальної енергії, примушуючи яку-небудь силу виконувати
роботу, піднімаючи вантаж або стискаючи пружину. Так само
можна створити й запас кінетичної енергії внаслідок роботи
якої-небудь сили. Справді, якщо тіло під дією зовнішньої сили
дістає прискорення і переміщається, то ця сила виконує робо-
ту, а тіло набуває швидкості, тобто набуває кінетичної енергії.
Наприклад, сила тиску порохових газів у стволі гвинтівки,
виштовхуючи кулю, виконує роботу, за рахунок якої і створює-
ться запас кінетичної енергії кулі. Навпаки, якщо внаслідок
руху кулі виконується робота, наприклад, куля піднімається вго-
ру або, потрапляючи в перешкоду, здійснює руйнування, то кіне-
тична енергія кулі зменшується.
Перехід роботи в кінетичну енергію простежимо на прикладі,
коли на тіло діє лише одна сила (у випадку багатьох сил це —
рівнодійна всіх сил, які діють на тіло). Припустимо, що на тіло
маси ги, яке було в спокої, почала діяти стала сила Е\ під дією
сили Р тіло рухатиметься рівномірно-прискорено з прискорен-
ую
ням а = —. Пройшовши відстань 5 у напрямі дії сили, тіло
набуде швидкості у, зв’язаної з пройденою відстанню формулою
§ іон
ПОВНА ЕНЕРГІЯ ТІЛА
189
1 о2
5=2"— (див. § 22). Звідси знаходимо роботу А сили:
А = Гз= Е-~ = ±гш)2.
Так само, якщо на тіло, яке рухається з швидкістю V, почне
діяти сила проти його руху, то воно сповільнюватиме свій рух
і зупиниться, виконавши до зупинки роботу проти діючої сили,
яка також дорівнює гну2. Отже, кінетична енергія Ек рухомого
тіла дорівнює половині добутку його маси на квадрат швид-
кості:
£к = у;пс:2- (100.1)
Оскільки зміна кінетичної енергії, як і зміна потенціальної
енергії, дорівнює роботі (додатній або від’ємній), виконаній при
цій зміні, то кінетична енергія також вимірюється в одиницях
роботи, тобто в джоулях у системі СІ, в ергах у системі СГС
і в кілограмометрах у системі іЧКГСС.
Вправи. 100.1. Тіло масою т рухається з швидкістю Уо з інерції. На
тіло починає діяти сила вздовж напряму руху тіла, внаслідок чого через
деякий час швидкість тіла дорівнює V. Показати, що зміна кінетичної енергії
тіла дорівнює роботі, виконаній силою, для випадків, коли: швидкість зро-
стає; швидкість зменшується; швидкість змінює знак.
100.2. На що затрачається більша робота: на надання поїзду, що пере-
буває в спокої, швидкості 5 м/сек, чи на розгін його від швидкості 5 м/сек
до 10 м/сек? (Силами опору руху знехтувати).
§ 101. Повна енергія тіла. Розглянемо докладніше, як змі-
нюється кінетична і потенціальна енергія тіла, кинутого вгору.
При підніманні тіла його швидкість зменшується за зако-
ном V = Уо — де Уо — початкова швидкість, і — час підніман-
ня від початкового моменту (§ 55). Зменшується і кінетична
енергія:
Ек = ± т (р0 —#02 = у то° ~ + у тЕгЄ.
Оскільки початкова кінетична енергія тіла є » то д0
моменту і зменшення кінетичної енергії дорівнюватиме
Е'к = пи)<£і — у т§,гі2. (101. 1)
З другого боку, висота тіла в момент і є
Л = УйІ — у £/2.
190
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
Приріст потенціальної енергії, який відповідає підніманню
на висоту й, дорівнює т^іг, тобто
Еп = пи)<£і — у т§2і\
Порівнюючи цей вираз з (101. 1), побачимо, що зменшення кіне-
тичної енергії за будь-який проміжок часу і саме дорівнює потен-
ціальній енергії, набутої тілом за той самий проміжок часу.
Отже, під час руху тіла вгору його кінетична енергія поступово-
перетворюється в потенціальну.
Коли рух угору припинився (найвища точка піднімання), уся
кінетична енергія повністю перетворилась у потенціальну. Під
час руху тіла вниз відбувається зворотний процес: потенціальна
енергія тіла перетворюється в кінетичну.
При цих перетвореннях повна механічна енергія (тобто сума
кінетичної і потенціальної енергії) залишається незмінною, бо
при підніманні зменшення кінетичної енергії повністю покри-
вається приростом потенціальної (а при падінні — навпаки).
Якщо потенціальну енергію тіла біля поверхні землі вважати
такою, що дорівнює нулю (§ 97), то сума кінетичної і потен-
ціальної енергій тіла на будь-якій висоті під час піднімання або
падіння дорівнюватиме
Е = Ек + Еп = у , (1012)
тобто дорівнює початковій кінетичній енергії тіла.
Цей висновок є окремим випадком одного з найважливіших
законів природи — закону збереження енергії.
Вправи. 101. 1. З башти висотою 20 м кинуто камінь з швидкістю
15 м/сек. Вважаючи, шо опору повітря немає, знайти швидкість каменя при
падінні його на землю. Порівняти з швидкістю падіння з тієї самої висоти,
але без початкової швидкості.
101.2. Вивести закони руху тіла, кинутого по вертикалі, з формули
(101. 2). вважаючи, що залежність ЕП від И відома.
§ 102. Закон збереження енергії. У прикладі, розглянутому
в попередньому параграфі, було з’ясовано, що кінетична енергія
кинутого вгору тіла змінюється лише за рахунок зміни його
потенціальної енергії і навпаки, так що сумарна механічна енер-
гія тіла не змінюється. Аналогічно, якщо на тіло діє стиснута
пружина, то вона може надати тілу деякої швидкості, тобто
кінетичної енергії, але при цьому пружина розпрямлятиметь-
ся і її потенціальна енергія відповідно зменшуватиметься; сума
пружної енергії і кінетичної енергії буде сталою. Якщо на тіло,
крім пружини, діє ще й сила тяжіння, то хоч при русі тіла кіль-
кість енергії кожного виду змінюватиметься, але сума потен-
ціальної енергії тяжіння тіла, потенціальної енергії пружності
§ 102]
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ
19Р
І і
І і
І
1
пружини і кінетичної енергії тіла знову-таки буде сталою. Енер-
гія може переходити з одного виду в інший, може переходити
від одного тіла до іншого, але загальний запас механічної енер-
гії не змінюється. Досліди і теоретичні розрахунки показують^
що при відсутності сил тертя і при дії лише сил пружності і
тяжіння сумарна потенціальна і кінетична енергія тіла або
системи тіл залишається в усіх випадках сталою, У цьому і поля-
гає закон збереження механічної
енергії.
Проілюструємо закон збереження
енергії на такому досліді. Стальна
кулька, яка падає з деякої висоти на
стальну або скляну плиту і вдарилась
об неї, підскакує майже на ту саму
висоту, з якої впала (рис. 169) 1. Під
час руху кульки відбувається цілий
ряд перетворень енергії. При падінні
потенціальна енергія тяжіння перехо-
дить у кінетичну енергію кульки. Коли
кулька торкнеться плити, і вона і пли-
та починають деформуватись. Кінетич-
на енергія перетворюється в потен-
ціальну енергію пружної деформації
кульки і плити, причому цей процес
триває доти, поки кулька не зупинить-
ся, тобто поки вся її кінетична енергія не перейде в потенціальну
енергію пружної деформації. Потім під дією сил пружност»
деформованої плити кулька набуває швидкості, напрямленої
вгору: енергія пружної деформації плити і кульки перетворю-
ється в кінетичну енергію кульки. При дальшому русі вгору
швидкість кульки під дією сили тяжіння зменшується і кінетична*
енергія перетворюється в потенціальну енергію тяжіння. У най-
вищій точці кулька має знову лише потенціальну енергію
тяжіння.
Оскільки можна вважати, що кулька піднялась на ту саму
висоту, з якої вона почала падати, потенціальна енергія кульки-
на початку і в кінці описаного процесу однакова. Більше того,
у будь-який момент часу, при всіх перетвореннях енергії, сума
потенціальної енергії тяжіння, потенціальної енергії пружності
і кінетичної енергії весь час залишається однаковою. Для про-
цесу перетворення потенціальної енергії, зумовленої силою
тяжіння, у кінетичну і навпаки при падінні і підніманні кульки
Рис. 169. Відбившись від
стальної плити, стальна
кулька підскакує знову май-
же на ту саму висоту, з якої
її було кинуто.
1 У § 103 буде пояснено, чому кулька не підніметься точно на ту саму
висоту, з якої почала падати.
192
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
це було показано простим розрахунком у § 101. Можна було б
упевнитись, що й при перетворенні кінетичної енергії в пружну ч
потенціальну енергію плити і кульки і потім при зворотному про-
цесі перетворення пружної енергії в кінетичну енергію кульки,
яка підскакує, сума потенціальної енергії тяжіння та пружності
і кінетичної енергії також залишається незмінною, тобто закон
збереження механічної енергії виконаний.
Тепер ми можемо пояснити, чому порушувався закон збере-
ження роботи в простій машині, яка деформувалась при переда-
ванні роботи (§ 95): справа в тому, що робота, затрачена на
одному кінці машини, частково або повністю витрачалась на
деформацію самої простої машини (важеля, вірьовки і т. д.),
створюючи в ній деяку потенціальну енергію деформації, і лише
залишок роботи передавався на другий кінець машини. А в сумі
передана робота разом з енергією деформації дорівнюватиме
затраченій роботі. У випадку абсолютної жорсткості важеля,
нерозтяжності вірьовки і т. д. проста машина не може нагрома-
дити в собі енергію, і вся робота, виконана на одному її кінці,
передається на другий кінець без зміни.
Користуючись двома «законами збереження»: законом збереження імпуль-
су і законом збереження енергії, можна розв’язати задачу про співудар іде-
ально пружних куль, тобто куль, які після співудару відскакують одна від
одної, зберігаючи сумарну кінетичну енергію.
Нехай дві кулі рухаються по однгй прямій (лінії центрів). Припустимо,
<що, крім сил взаємодії при їх зіткненні, на кулі не діють ніякі сили з боку
яких-небудь інших тіл. Після зіткнення (зіткнення станеться тоді, коли кулі
рухаються назустріч одна одній або коли одна з них наздоганяє другу) вони
рухатимуться по тій самій прямій, але із зміненими швидкостями. Вважати-
мемо, що нам відомі маси куль т\ і т2 та їх швидкості Ці і Уг до співудару.
Треба знайти їх швидкості и\ і и2 після співудару.
Із закону збереження імпульсу випливає, що, внаслідок того, що на
‘кулі не діють ніякі сили, крім сил їх взаємодії; сумарний імпульс повинен
зберігатися, тобто імпульс до співудару повинен дорівнювати імпульсу після
співудару:
ті+ ^2^2 = 4- т2и2. (102. 1)
Далі, з умови ідеальної пружності куль випливає, що зберігається також
кінетична енергія куль, тобто повинна виконуватись рівність
тхо\ -4- т2а^ = тхи\ + т2и2. (102.2)
З рівнянь (102.1) і (102.2) можна знайти дві невідомі швидкості «і
і и2. Справді, перепишемо ці рівняння-у вигляді
ті (аі — иі) = — т2 (а2 — и2),
т\{^-и2\) = -т2 (°2-“2)-
Поділивши почленно друге рівняння на перше, знайдемо:
У1 + «і = ^2 + «2- (102. 3)
Помноживши (102.3) на т2 і віднявши від (102.1), дістанемо:
ті (аі ~ «і) — т2 (VI 4- иі) = ~ 2/и2ц2,
$ 103]
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МЕХАНІЧНОЇ ЕНЕРГІЇ
193
звідки знайдемо:
(ті — т2) у22т2
ті 4~ т2
Так само, помноживши (102. 3) на ті і додавши до (102.3), знайдемо:
(102. 4)
(102. 5)
У2 (^2 — ^1) + 012/Лі
тг 4- т2
Особливо спрощується співвідношення швидкостей при співударі куль
однакової маси ті = т2. Тоді знаходимо: иі — у2, и2 = Уі, тобто кулі обмі-
нюються швидкостями. Зокрема, якщо куля співударяється з нерухомою
кулею однакової маси, то вона надає їй своєї швидкості, а сама зупи-
няється.
Якщо маса однієї кулі значно більша за масу другої кулі, наприклад,
якщо ті набагато більше за /п2, то, як видно з формули (102.5), і в знамен-
нику і в чисельнику можна знехтувати членами, які містять т2. Якщо, крім
того, масивна куля перебуває в спокої, то дістаємо и2 = — у2, тобто куля
відскакує, як від нерухомої стінки. Справді, як видно з (102.4), велика куля
^2
набуде при цьому швидкості, яка дорівнює приблизно иі = 2 у2 — .
§ 103. Сили тертя і закон збереження механічної енергії.
Придивляючись до руху кульки, яка підстрибує на плиті (§ 102),
можна встановити, що після кожного
ся на трохи меншу висоту, ніж рані-
ше (рис. 170), тобто повна енергія
не залишається точно сталою, а по-
троху спадає; це означає, що закон
збереження енергії в такому вигля-
ді, як ми його сформулювали, вико-
нується в цьому разі лише наближе-
но. Причина полягає в тому, що в
цьому досліді виникають сили тертя:
опір повітря, в якому рухається
кулька, і внутрішнє тертя в самому
матеріалі кульки і плити. Взагалі
при наявності тертя закон збере-
ження механічної енергії завжди
удару кулька піднімаєть-
Рис. 170. Зменшення висоти
відскакування кульки після
багатьох відбивань від плити.
порушується і сума потенціальної і кінетичної енергій тіл змен-
шується. За рахунок цього зменшення енергії і виконується
робота проти сили тертя Ч
Наприклад, під час падіння тіла з великої висоти швидкість
тіла внаслідок дії зростаючих сил опору середовища незабаром
стає сталою (§ 68); кінетична енергія тіла перестає змінюватись,
але його потенціальна енергія піднімання над землею зменшує-
ться. Роботу проти сили опору повітря виконує сила тяжіння за
1 Виняток становить сила тертя спокою: оскільки точка її прикладання
нерухома, то її робота дорівнює нулю.
13 7-ЮЗ
194
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
рахунок потенціальної енергії тіла. Хоч при цьому і надається
деяка кінетична енергія навколишньому повітрю, але вона мен-
ша, ніж зменшення потенціальної енергії тіла, і, отже, сумарна
механічна енергія зменшується.
Робота проти сил тертя може виконуватись і за рахунок
кінетичної енергії. Наприклад, під час руху човна, який від-
штовхнули від берега ставка, потенціальна енергія човна зали-
шається сталою, але внаслідок опору води зменшується швид-
кість руху човна, тобто його кінетична енергія, і збільшення
кінетичної енергії води, яке спостерігається при цьому, менше,
ніж зменшення кінетичної енергії човна.
Подібно до цього діють і сили тертя між твердими тілами.
Наприклад, швидкість, якої набуває вантаж, що ковзає з похи-
лої площини, а отже, і його кінетична енергія, менша, ніж та,
якої б він набув при відсутності тертя. Можна так підібрати
кут нахилу площини, що вантаж ковзатиме рівномірно. При цьо-
му його потенціальна енергія зменшуватиметься, а кінетична —
залишатиметься сталою, і робота проти сил тертя виконувати-
меться за рахунок потенціальної енергії.
У природі всі рухи (за винятком рухів у повній пустоті,
наприклад рухів небесних тіл) супроводяться тертям. Тому при
таких рухах закон збереження механічної енергії порушується,
і це порушення відбувається завжди в один бік — у бік змен-
шення сумарної енергії.
Вправи. 103. 1. Автомобіль масою 100 т. о. м. іде з швидкістю 18 км/год.
Після вимкнення двигуна автомобіль проїжджає 20 м і зупиняється. Яка
сила тертя, що діє на автомобіль? (Силу тертя вважати сталою).
103.2. Паровоз тягне поїзд по горизонтальному шляху і розвиває сталу
силу тяги 5000 кГ\ на дільниці шляху в 1 км швидкість поїзда зросла при
цьому від ЗО до 40 км/год. Маса поїзда 800 т. Визначити опір, якого зазнає
поїзд під час руху (вважаючи, що він не залежить від швидкості).
103. 3. Куля, яка вилетіла з гвинтівки з швидкістю 800 м/сек упала назад
на землю з швидкістю 40 м/сек. Маса кулі 10 г. Яка робота проти сили опору
повітря виконана під час руху кулі?
103. 4. Вагон масою 50 гп котиться під уклін у 0,002 (тобто тангенс кута
нахилу шляху дорівнює 0,002); пройшовши при цьому шлях, що дорівнює
5 км, вагон переходить на горизонтальну дільницю шляху і проходить «з інер-
ції» ще якусь дільницю шляху, після чого зупиняється Яку роботу повинен
виконати паровоз для того, щоб провести поїзд по цій горизонтальній діль-
ниці шляху назад? (Сили тертя можна вважати такими, що не залежать від
швидкості).
§ 104. Перетворення механічної енергії у внутрішню енер-
гію. Як ми бачили, особливість сил тертя полягає в тому, що
робота, виконана проти сил тертя, не переходить цілком у кіне-
тичну або потенціальну енергію тіл; внаслідок цього сумарна
механічна енергія тіл зменшується. Проте робота проти сил тер-
тя не зникає безслідно. Насамперед рух тіл при наявності тертя
§ 104]
ПЕРЕТВОРЕННЯ МЕХАНІЧНОЇ ЕНЕРГІЇ У ВНУТРІШНЮ
195
веде до їх нагрівання. Ми можемо легко виявити це, міцно поти-
раючи руки або протягуючи металеву штабку між двома куска-
ми дерева, які стискають її: штабка навіть на дотик помітно
нагрівається. Як відомо, первісні люди добували вогонь швид-
ким тертям сухих кусків дерева один об один (рис. 171). Нагрі-
вання відбувається також при виконанні роботи проти сил
«внутрішнього тертя», на-
приклад при багаторазо-
вому згинанні металевої
дротини.
Нагрівання під час ру-
ху, зв’язаного з перема-
ганням сил тертя, часто
буває дуже значним. На-
приклад, при гальмуванні
поїзда гальмівні колодки
дуже нагріваються. При
спусканні корабля з ста-
пелів на воду для змен-
шення тертя стапелі добре
змащують салом, і все-та-
ки нагрівання таке вели-
ке, що сало димить, а іно-
ді навіть спалахує.
Під час руху тіл у по-
вітрі з невеликими швид-
костями, наприклад під
Рис. 171. Добування вогню за допомогою
тертя сухого куска дерева об другий такий
кусок.
час руху кинутого каменя, опір повітря невеликий, на перема-
гання сил тертя затрачається невелика робота, і камінь прак-
тично не нагрівається. Але куля, яка швидко летить, розігрі-
вається значно більше. При великих швидкостях сучасних реак-
тивних літаків доводиться вже вживати спеціальних заходів,
щоб зменшити нагрівання обшивки літака. Дрібні метеорити, які
влітають з величезними швидкостями (десятки кмісек) в атмо-
сферу Землі, зазнають такої великої сили опору середовища,
що зовсім згоряють в атмосфері (рис. 1) Нагрівання штучного
супутника Землі, який повертається перед посадкою на Землю
в атмосферу, таке велике, що на ньому доводиться встановлю-
вати спеціальний тепловий захист.
Крім нагрівання, тертьові тіла можуть зазнавати й інших
змін. Наприклад, вони можуть подрібнюватись, розтиратися
в пил, можуть плавитись, тобто переходити з твердого в рідкий
стан: кусок льоду може розплавитись внаслідок тертя об другий
кусок льоду або об яке-небудь інше тіло.
1 Великі метеорити обгоряють лише з поверхні і досягають Землі.
13і
196
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
Отже, якщо рух тіл зв’язаний з перемаганням сил тертя, то
він супроводиться двома явищами: 1) сума кінетичної і потен-
ціальної енергії всіх тіл, які беруть участь у русі, зменшується;
2) змінюється стан тіл, зокрема, вони можуть нагріватися. Цей
стан тіл змінюється завжди так, що в новому стані тіла можуть
виконувати більшу роботу, ніж у вихідному. Так, наприклад,
якщо налити в закриту з одного кінця металеву трубку трохи
ефіру і, заткнувши трубку пробкою, затиснути її між двома
пластинками і привести в швидке обертання, то ефір випарить-
ся і виштовхне пробку. Отже, внаслідок роботи по перемаган-
ню сил тертя трубки об пластинку трубка з ефіром прийшла
в новий стан, у якому вона змогла виконати роботу, потрібну
для виштовхування пробки, тобто роботу проти сил тертя, які
вдержують пробку в трубці, і роботу, яка йде на надання проб-
ці кінетичної енергії. У вихідному стані трубка з ефіром не мог-
ла виконати цієї роботи.
Отже, нагрівання тіл, як і інші зміни в їх стані, супроводить-
ся зміною «запасу» здатності цих тіл виконувати роботу. Ми
бачимо, що «запас роботоздатності» залежить, крім положення
тіл відносно Землі, крім їх деформації і їх швидкості, ще й від
стану тіл. Отже, крім потенціальної енергії тяжіння, пружності
і кінетичної енергії, тіло має енергію, яка залежить від його
стану. Називатимемо її внутрішньою енергією. Внутрішня енер-
гія тіла залежить від його температури, від того, чи є тіло твер-
дим, рідким або газоподібним, як велика його поверхня, чи
є воно суцільним, чи дрібно подрібненим і т. д. Зокрема, чим
вища температура тіла, тим більша його внутрішня енергія.
Таким чином, хоч при рухах, зв’язаних з перемаганням сил
тертя, механічна енергія системи рухомих тіл і зменшується,
проте зростає їх внутрішня енергія. Наприклад, при гальмуван-
ні поїзда зникнення його кінетичної енергії супроводиться збіль-
шенням внутрішньої енергії гальмівних колодок, бандажів коліс,
рейок, навколишнього повітря і т. д., яка збільшується внаслідок
нагрівання цих тіл.
Усе сказане стосується також тих випадків, коли сили тертя
виникають усередині тіла, наприклад при розминанні грудки
воску, при непружному ударі свинцевих куль, при перегинанні
куска дротини і т. д.
Вправа. 104. 1. Користуючись формулою (51.2), знайти втрату меха-
нічної енергії при непружному співударі тіл, які рухаються по одній прямій.
§ 105. Загальний характер закону збереження енергії. Сили
тертя займають особливе положення в питанні про закон збере-
ження механічної енергії. Якщо сил тертя немає, то закон збере-
§ 106]
потужність
197
ження механічної енергії виконується: сума потенціальної і кіне-
тичної енергій системи залишається сталою. А якщо діють сили
тертя, то сума потенціальної і кінетичної енергій вже не буде ста-
лою, а зменшується під час руху. Але при цьому завжди зростає
внутрішня енергія. З розвитком фізики виявлялися все нові види
внутрішньої енергії тіл (ми вивчатимемо їх у наступних розді-
лах підручника): було виявлено світлову енергію, енергію елек-
тромагнітних хвиль, хімічну енергію, яка проявляється під час
хімічних реакцій (як приклад досить назвати хоча б хімічну
енергію, нагромаджену у вибухових речовинах, яка під час вибу-
ху перетворюється в механічну і теплову енергію); нарешті, було
відкрито ядерну енергію. Виявилося, що коли над тілом вико-
нано деяку роботу, то його сумарна енергія зростає на величи-
ну цієї роботи, а коли тіло виконує роботу над іншими тілами,
то його сумарна енергія настільки зменшується. Для всіх видів
енергії виявилося, що можливий перехід енергії з одного виду
в інший, перехід енергії від одного тіла до іншого, але що при
всіх таких переходах загальна кількість енергії всіх видів, вклю-
чаючи механічну і всі види внутрішньої енергії, залишається
весь час точно сталою. У цьому полягає загальність закону збе-
реження енергії.
Хоч загальна кількість енергії і залишається сталою, проте
кількість корисної для нас енергії може зменшуватись і насправ-
ді постійно зменшується. Перехід енергії в іншу форму може
означати перехід її в некорисну для нас форму. У механіці най-
частіше— це нагрівання навколишнього середовища, тертьових
поверхонь і т. д. Такі втрати не тільки невигідні, але навіть
шкідливо позначаються на самих механізмах; так, щоб уникну-
ти нагрівання, доводиться спеціально охолоджувати тертьові
частини механізмів.
§ 106. Потужність. Для характеристики дії різних машин
важлива не тільки величина роботи, яку може виконати певна
машина, а й час, протягом якого ця робота може бути викона-
на. Цим визначається в кінцевому підсумку продуктивність уся-
кої машини.
Відношення виконаної роботи А до часу /, протягом якого
ця робота виконана, називають потужністю N1
Потужність можна назвати швидкістю виконання роботи.
За одиницю потужності беруть таку потужність, при якій за
одиницю часу виконується робота, що дорівнює одиниці. Тому
198
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
в системі СІ одиницею потужності є 1 джоуль за 1 секунду. Ця
одиниця має спеціальну назву «ват» 1 * (вт).
У системі СГС одиницею потужності є 1 ерг за 1 секунду
(1 ерг/сек). У системі МКГСС одиницею потужності є 1 кілогра-
мометр за 1 секунду (1 кГм/сек). Обидві останні одиниці спе-
ціальної назви не мають.
Крім вата, користуються одиницями потужності, у сто раз
більшими — «гектоват» (1 гвт = 100 вт), у тисячу раз більши-
ми— «кіловат» (1 кет = 1000 вт) і, нарешті, у мільйон раз
більшими — «мегават» (1 Мвт = 1-Ю6 вт). Нарешті й досі ще
користуються старовинною одиницею потужності — «кінською
силою» (к. с.): 1 к. с. = 75 кГм/сек.
Для переходу від одних одиниць потужності до інших можна
користуватися такими співвідношеннями:
1 вт = 107 ерг/сек = 0,102 кГм/сек\ 1 кГм/сек = 9,8 вт\
1 к. с. = 735 вт\ 1 кет = 1,36 к. с.
Людина створює двигуни як дуже малої, так і дуже вели-
кої потужності. Пружинний двигун годинника має потужність,
яка вимірюється кількома ерг/сек. А двигуни, установлені на
океанському пароплаві або на великій електростанції, мають
іноді потужності в сотні тисяч кіловат, тобто в квадрильйон
(1015) раз більші. Середня потужність коня — близько 0,5 к. с.
Середня потужність людини при тривалій фізичній роботі ста-
новить приблизно 0,05—0,1 к. с. Протягом дуже короткого часу
спортсмен може розвивати потужність у кілька кінських сил.
Здатність розвивати велику потужність хоча б на короткий про-
міжок часу — це одна з основних якостей, які повинен мати
організм спортсмена. Це особливо важливо під час бігу на
коротку дистанцію, під час стрибків і т. д., коли за дуже корот-
кий час людина повинна надати своєму тілу великої швидкості,
тобто великої кінетичної енергії, а також при підніманні ванта-
жів, коли треба за короткий час надати штанзі великої потен-
ціальної енергії. Навпаки, при повільному підніманні на велику
висоту (по драбині) можна, розвиваючи незначну потужність,
виконати значну роботу; проте це потребує більшого проміжку
часу.
Вправи. 106.1. Гиря годинникового механізму важить 50 я і протя-
гом доби опускається на 120 см. Яка потужність механізму?
106 .2. Яку силу тяги розвиває тепловоз, якщо його потужність «на гаку>
(тобто потужність, яка витрачається на рух состава) дорівнює 1600 к. с.
і він пройшов з сталою швидкістю 200 м за 10 сек?
106 .3. Яку потужність повинен розвинути на початку бігу спортсмен,
якщо за 2 сек він повинен надати своєму тілу (маса 70 кг) швидкості 9 місек?
1 Цю назву запроваджено на честь Джемса Уатта (1736—1819) — англій-
ського фізика і інженера.
§ 108] -
ПОТУЖНІСТЬ МЕХАНІЗМУ
199
§ 107. Розрахунок потужності механізмів. Якщо який-небудь
механізм діє з силою Р і точка прикладання цієї сили за час і
переміщається в напрямі дії сили на відстань 5, то механізм
виконує за цей час роботу
А = Р$.
Потужність, яку розвиває при цьому механізм, є N = —.
„ . 8
Оскільки = V є швидкість переміщення точки прикладання
сили, то потужність, яку розвиває механізм, дорівнює
N = Ра, (107. 1)
тобто потужність, яку розвиває механізм, дорівнює силі, з якою
цей механізм діє, помноженій на швидкість переміщення точки
прикладання сили (при умові, що напрям швидкості збігається
з напрямом сили). Якщо швидкість напрямлена протилежно дію-
чій силі, то виконана робота і потужність від’ємні: механізм
«споживає потужність».
Якщо, наприклад, підйомник піднімає вантаж вагою 400 кГ
з сталою швидкістю 0,7 м/сек, то машина підйомника розвиває
додатну потужність N = 400- 0,7 кГм/сек = 280 кГм/сек «
« 2,74 кеш.
Аналогічно можна подати потужність і тоді, коли механізм
виконує обертальний рух. Нехай, наприклад, двигун за допомо-
гою приводного паса обертає верстат; натяг ведучої частини
паса Р, двигун робить п обертів за секунду, радіус шківа двигу-
на /?. Яку потужність віддає двигун?
Пас діє на шків верстата з силою Р. При цьому пас рухає-
ться з швидкістю N = 2л/?п (припускаємо, що пас по шківу не
ковзає і, отже, рухається з тією самою швидкістю, що й точки
на ободі шківа). Отже, двигун розвиває потужність N = Р -2лРп.
Але РР = М (М — обертаючий момент сили, /?— плече сили).
Таким чином, потужність двигуна
N = 2кпМ. (107.2)
Вправи. 107.1. У скільки разів більшу потужність повинні розвивати
машини пароплава, щоб збільшити його швидкість у два рази, якщо опір
води руху пароплава зростає пропорціонально квадрату швидкості?
107.2. Буксирний пароплав тягне за собою на буксирі баржу з швид-
кістю 12 кмігод. При цьому натяг буксирного каната дорівнює 90 000 н. Яку
потужність повинна розвивати машина буксира, коли відомо, що без баржі
для руху з тією самою швидкістю машина буксира повинна розвивати потуж-
ність у 100 к. с.?
§ 108. Потужність, швидкохідність і розміри механізму. Із
знайденої нами формули (107. 1) видно, що для збільшення
потужності механізму треба збільшувати або силу, яку розви-
200
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
ває механізм, або швидкість його руху. При певному матеріалі
і при заданих допустимих деформаціях рухомих частин меха-
нізму сили, з якими ці частини діють одна на одну, можуть
бути тим більші, чим більші розміри рухомих частин. Тому сила,
яку здатний розвивати який-небудь механізм, у кінцевому під-
Рис 172. При однаковій потужності сучасна швидкохідна парова
машина (зліва) значно менша від старовинної тихохідної парової
машини (справа).
сумку завжди зв’язана з розмірами рухомих частин механізму:
чим більші розміри механізму, тим більшу силу здатний розви-
вати механізм.
Наприклад, зубчаста передача може розвивати тим більшу
силу, чим більші розміри зубців; приводний пас може розвива-
ти тим більшу силу, чим він товщий і ширший, і т. д. Але із
збільшенням розмірів паса повинні збільшуватись і розміри шкі-
вів, оскільки товстий пас на шківі малого діаметра не лежатиме
щільно і ковзатиме. Отже, і зубчаста передача, і пасовий при-
водний механізм за своїми розмірами будуть тим більші, чим
більшу силу вони повинні передавати.
Це стосується не тільки найпростіших приводних механізмів,
але й різних двигунів. Наприклад, поршень парової машини може
§ 109]
КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ МЕХАНІЗМІВ
201
розвивати тим більшу силу, чим більший його діаметр (при зада-
ному тиску пари). Отже, загалом, для всіх механізмів справед-
ливе таке положення: чим більша сила, яку повинен розвивати
механізм, тим більші повинні бути його розміри.
Але оскільки потужність механізму залежить не тільки від
сили, яка розвивається, а й від швидкості рухомих частин, то
з двох механізмів, здатних розвивати однакову швидкість, швид-
кохідний механізм можна зробити менших розмірів. А при одна-
ковому типі і розмірі швидкохідний механізм буде завжди
потужнішим від тихохідного.
Наприклад, швидкохідний редуктор (зубчаста передача),
призначений для зміни числа обертів авіаційного гвинта, має
порівняно невеликі розміри, хоч він призначений для передаван-
ня від двигуна до гвинта (коли останній робить велике число
обертів) дуже великої потужності (тисячі кет). Розрахована на
ту саму потужність зубчаста передача тихохідної водяної турбі-
ни має розміри приблизно в 10 раз більші, а важить у 1000 раз
більше.
Сучасна швидкохідна парова машина значно менша за старі
тихохідні парові машини такої самої потужності (рис. 172).
§ 109. Коефіцієнт корисної дії механізмів. Усякий механізм,
який виконує роботу, повинен звідкись діставати енергію, за
рахунок якої ця робота виконується. У найпростіших випадках
механізм лише передає механічну роботу від джерела енергії
до споживача. Так діють прості машини і всі передавальні або
приводні механізми, які являють собою різні комбінації простих
машин; наприклад, пасовий привод передає роботу від двигуна,
який обертає ведучий шків, через ведений шків споживачеві
(верстату).
Такий приводний механізм лише передає певну потужність
від джерела до споживача. Проте при цьому не вся робота,
а отже, і не вся потужність, яку механізм дістає від джерела,
передається споживачеві.
Справа в тому, що в усякому механізмі діють сили тертя,
на подолання яких затрачається частина роботи, яку споживає
механізм. Ця робота перетворюється в тепло і звичайно є неко-
рисною. Відношення потужності, яку механізм передає спожи-
вачеві, до всієї потужності, яка підводиться до механізму, нази-
вається коефіцієнтом корисної дії даного механізму (скорочено:
к. к. д.). Якщо потужність, яка підводиться до механізму, позна-
чити через Л/ь а потужність, яку механізм віддає споживачеві,—
через А2, то коефіцієнт корисної дії т) механізму дорівнюватиме
202
РОБОТА І ЕНЕРГІЯ
[РОЗД. IV
При цьому частина потужності, що дорівнює втра-
чається в самому механізмі. Відношення величини цих втрат
потужності в механізмі до всієї потужності, яка підводиться до
механізму, зв’язана з к. к. д. простим виразом:
Оскільки втрати потужності неминучі в усякому механізмі,
то завжди N2 < Л^ь і к. к. д. усякого механізму завжди менший
за одиницю; його звичайно подають у процентах.
Усякий механізм прагнуть зробити таким, щоб некорисні
.втрати енергії в ньому були якомога менші, тобто щоб к. к. д.
^ув якомога ближчий до одиниці. Для цього зменшують як тіль-
ки можна сили тертя і всякі шкідливі опори в механізмі. У на-
йдосконаліших механізмах ці втрати вдається зменшити настіль-
ки, що к. к. д. буває лише на кілька процентів меншим від
одиниці.
Багато машин дістають або віддають енергію не у вигляді
.механічної енергії, а в якому-небудь іншому вигляді. Напри-
клад, парова машина використовує енергію, яку має нагріта
і стиснута пара; двигун внутрішнього згоряння — енергію, яку
мають гарячі і стиснуті гази, що утворилися при згорянні паль-
ної суміші. Електричний двигун використовує роботу, яку вико-
нують електромагнітні сили. Навпаки, динамомашина дістає
^енергію у вигляді механічної, а віддає у вигляді електромагніт-
ної енергії. У всіх цих випадках, крім втрат на тертя, можуть
виникати й інші втрати, наприклад, нагрівання провідників
електричним струмом^ що проходить по них. Поняття к. к. д.
і в цих випадках зберігає попередній зміст: к. к. д. машини нази-
вають відношення потужності, яку віддає машина, до потужно-
сті, яку споживає машина, незалежно від того, у вигляді якої
енергії ця потужність споживається і віддається.
Вправи. 109. 1. У подвійному блоці з радіусами Гі == 40 см і г2 = 5 см
до вірьовки, накрученої на менший блок, прикладена сила 1000 н. Для того
щоб подолати сили тертя в блоці і підтримувати сталою швидкість його
руху, до другого кінця блока прикладено силу 130 н. Який к. к. д. блока?
109. 2. Яку роботу треба виконати, щоб, користуючись поліспастом, к. к. д.
.якого дорівнює 65%, підняти вантаж вагою 2500 н на висоту 120 см?
109.3. Знайти к. к. д. установки, яка складається з електричного двигу-
.на, що приводить у рух водяний насос, і подає на висоту 4,7 м 75 л води
.за секунду, якщо електродвигун споживає потужність 5 кет.
109.4. Електродвигун, що має к. к. д. 90%, приводить у дію насос,
;к. к. д. якого 60%. Який к. к. д. всієї установки?
109.5. Електропоїзд рухається рівномірно з швидкістю 60 км/год . Дви-
гуни електропоїзда споживають при цьому потужність 900 кет. Визначте
.загальну силу опору, якого зазнає весь поїзд під час руху, коли відомо, що
загальний к. к. д. двигунів і передавальних механізмів становить 0,8.
109.6. Чи можна піднімати вантаж вагою 500 н із швидкістю 3 м/сек за
допомогою електродвигуна, який споживає електричну потужність 1,4 кет?
РОЗДІЛ V
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
§ 110. Виникнення криволінійного руху. Ми бачили, що при
відсутності сил тіло рухається прямолінійно (і рівномірно); воно
рухається прямолінійно (але не рівномірно) і тоді, коли сила
Рис. 173. Магніт викривлює траєкторію рухомої стальної
кульки.
напрямлена паралельно швидкості тіла. Але якщо сила напрям-
лена під кутом до швидкості тіла, то траєкторія руху тіла
викривлюється. Криволінійно рухається камінь, кинутий під
кутом до горизонту (сила тяжіння, напрямлена вертикально, не
паралельна швидкості тіла), вантаж, який обертається по колу
на вірьовці (сила натягу вірьовки не паралельна швидкості ван-
тажу), планета, що обертається навколо Сонця, Місяць або
штучний супутник, який обертається навколо Землі (сила тяжін-
ня, напрямлена до тіла, яке притягує, не паралельна швидкості
обертового тіла).
Штовхнемо стальну кульку, що лежить на горизонтальному
склі. Оскільки в цьому разі тертя дуже мале, то після поштовху
кулька покотиться по склу практично з незмінною швидкістю,
рівномірно і прямолінійно. Розмістимо магніт так, щоб один
з його полюсів був поблизу продовження траєкторії кульки, але
не на самій траєкторії (рис. 173). Ми побачимо, що, проходячи
мимо магніту, кулька рухатиметься криволінійно. Проминувши
магніт, кулька знову рухатиметься практично прямолінійно, але
204
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
вже в іншому напрямі, ніж спочатку. Сила, яка викривлює шлях
кульки,— це сила притягання магніту, напрямлена від кульки
до магніту. Сила магнітного притягання швидко зменшується
з відстанню, тому вона чинить помітну дію лише поблизу маг-
ніту.
У розглянутих прикладах на тіло діє сила, напрямлена під
кутом до напряму руху, і внаслідок дії цієї сили траєкторія тіла
викривлюється. Якби сила була напрямлена вздовж траєкторії,
то траєкторія не викривлювалася б: так, при вертикальному
киданні тіла воно опише прямолінійну вертикальну траєкторію;
якщо полюс магніту розміщений на продовженні траєкторії
кульки, то її траєкторія не викривиться, і т. д.
§ 111. Другий закон Ньютона при криволінійному русі. Дру«
гий закон Ньютона для криволінійного руху справедливий у век-
торній формі (див. § 44):
.=і. (111.1)
Нагадаємо, що / є рівнодійною всіх сил, які діють на тіло.
Іноді треба окремо врахувати зміну величини швидкості
і окремо — зміну її напряму. Тоді другий закон Ньютона зруч-
но написати по-іншому. А саме, спроектуємо вектори, що стоять
справа і зліва в рівності (111. 1), на дотичну і на нормаль до
траєкторії. Позначимо дотичну і нормальну складові прискорен-
ня через а\ і а2, а дотичну і нормальну складові сили — через
/і і /2 (рис. 174). Закон Ньютона можна написати окремо для
дотичних і нормальних складових:
Лі = — , а2 = — .
х т А т
Ми бачимо, що дотична складова сили спричинює дотичне
прискорення тіла, яке змінює величину швидкості, а нормальна
складова сили спричинює нормальне прискорення, яке змінює
напрям швидкості. Якщо сила весь час нормальна до траєкто-
рії, то тіло рухається рівномірно, тобто з сталою за величиною
швидкістю, і, навпаки, коли відомо, що тіло рухається рівно-
мірно, то звідси випливає, що дотична складова сили дорівнює
нулю і тіло має лише нормальну складову прискорення.
У тих випадках, коли нас цікавить рух проекцій тіла на пев-
ні осі, наприклад на вертикальний і горизонтальний напрями,
можна спроектувати вектори а і / в рівнянні (111. 1) на ці осі.
Позначаючи, як і раніше, проекцію якого-небудь вектора на вісь
відповідним знаком (рис. 175), знайдемо:
Ь
а* — * аи — т" *
т " т
$ 112]
РУХ ТІЛА. КИНУТОГО ГОРИЗОНТАЛЬНО
205
Ці рівняння визначають прискорення, з якими рухатимуться
проекції даної рухомої точки на вибрані осі. Такими рівняння-
ми зручно користуватися, наприклад, коли сила має сталий
напрям, який можна вибрати за
напрям однієї з осей (див. далі,
Рис. 174. Дотичні і нормальні
складові сили і прискорення для
тіла, яке рухається по криволіній-
ній траєкторії.
Рис. 175. Компоненти прискорення
і сили, які діють на тіло в напрямі
осей х і у.
Користуючись другим законом Ньютона для криволінійного
руху, можна, знаючи масу тіла і вимірюючи його прискорення,
розрахувати результуючу всіх сил, що діють на тіло. Можна
також, знаючи масу тіла і величину та напрям результуючої всіх
сил, які діють на нього, знайти величину і напрям прискорен-
ня тіла.
Вправа. 1Н. 1. Окремі частини приводного паса рухаються на дільни-
ці між шківами прямолінійно. Зійшовши на шків, ці частини починають руха-
тись криволінійно (по ободу шківа). Назвіть сили, які змушують частини
паса на шківі рухатись криволінійно.
Рис. 176. Рух кульки, скинутої з стола,
при горизонтальній початковій швидкості.
§ 112. Рух тіла, кинутого горизонтально. Розглянемо рух
тіла, яке кинуто горизонтально і рухається під дією самої
тільки сили тяжіння (опо-
ром повітря нехтуємо).
Наприклад, уявимо собі,
що кулі, яка лежить на сто-
лі, надають поштовху і вона
докочується до краю стола і
починає вільно падати, маю-
чи початкову швидкість п0,
напрямлену горизонтально
(рис. 176). Спроектуємо рух
кулі на вертикальну вісь і
на горизонтальну вісь, на-
прямлену вздовж початкової
швидкості тіла, як це було
206
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
ІРОЗЛ. V

Рис. 177. Тіло, кинуте горизон-
тально з швидкістю оо, має в мо-
мент І ШВИДКІСТЬ V.
пояснено в § 111. Рух проекції тіла на горизонтальну вісь — це
рух без прискорення з швидкістю Уо; рух проекції на вертикальну
вісь — це вільне падіння з прискоренням § без початкової швид-
кості під дією сили тяжіння. Закони обох рухів нам відомі. Гори-
зонтальна складова швидкості уг залишається сталою і дорів-
нює Уо- Вертикальна складова ув зростає пропорціонально часу:
= 8і. Результуюча швидкість буде нахилена вниз, і її нахил
зростатиме з часом. Вектор ре-
зультуючої швидкості легко знай-
ти за правилом паралелограма,як
показано на рис. 177.
Знайдемо тепер траєкторію
руху тіла, кинутого горизонталь-
но. Горизонтальна проекція тіла,
рухаючись із сталою швидкістю
Уо, пройде до моменту і шлях, що
дорівнює
5= (112 1>
Шлях, пройдений вертикальною
проекцією, дорівнюватиме
й = 4^а. (112.2)
Знаючи 5 і й, можна побудувати
точку, в якій перебуватиме тіло в момент і (рис. 178). Величини
5 і й можна вважати абсцисою і ординатою тіла в системі коор-
динат з початком у точці, звідки кулька почала падати, з віссю
абсцис, розміщеній горизонтально, і з віссю ординат, напрямле-
ною вертикально вниз. Щоб знайти рівняння траєкторії тіла,
визначимо з (112.1) проміжок часу через 5 і підставимо в
(112.2). Дістанемо:
А=44Я=4 <112-3>
2 \ °0/ *
Ординати точок траєкторії будуть пропорціональні квадра-
там абсцис. Ми вже знаємо, що такі криві називаються парабо-
лами. Параболою зображається графік шляху рівномірно-при-
скореного руху (§ 22). Отже, вільно падаюче тіло, початкова
швидкість якого горизонтальна, рухається по параболі.
Збігання форми траєкторії падаючого тіла з формою графіка
шляху рівномірно-прискореного руху не випадкове: справді, цю
траєкторію можна розглядати як графік шляху рівномірно-при-
скореного руху по вертикалі, в якому по осі абсцис відкладено
час у масштабі: 1 одиниця часу = у0 одиниць довжини, а по осі
ординат відкладено пройдений шлях у натуральну величину.
§ 112]
РУХ ТІЛА, КИНУТОГО ГОРИЗОНТАЛЬНО
207
Шлях, який тіло проходить у вертикальному напрямі, не
залежить від початкової швидкості. Але шлях, який воно прохо-
дить у горизонтальному
напрямі за певний промі-
жок часу, пропорціональ-
ний початковій швидкості.
Тому при великій гори-
зонтальній початковій
швидкості парабола, по
якій падає тіло, більш ви-
тягнута в горизонтально-
му напрямі. Якщо з роз-
міщеної горизонтально
трубки випускати струми-
ну води (рис. 179), то
окремі частинки води, як
і кулька, падатимуть по
параболі. Чим більше від-
критий кран, через який
надходить вода в трубку,
тим більша початкова
швидкість води і тим далі
від крана падає струмина
на дно кювети. Поставив-
ши позаду струмини
екран із заздалегідь на-
кресленими на ньому па-
раболами, можна впевни-
зонтально.
тись, що струмина
води справді має
форму параболи.
Знаючи початко-
ву швидкість Vо І ВИ-
СОТУ падіння й, мож-
на знайти відстань
по горизонталі до
місця падіння. Спра-
вді, з формули
(112.3) дістаємо:
5 = ”о V у •
Знайдені форму-
ли можна було б за-
стосувати до падіння
Рис. 179. Струмина має форму параболи, тим,
більше витягнутої, чим більша початкова швид-
кість струмини.
208
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
авіаційної бомби, скинутої з літака, який летить горизонтально,
якби можна було знехтувати опором повітря. У момент ски-
дання бомба має таку саму-швидкість, що й літак; тому вона
починає падати з горизонтальною початковою швидкістю, яка
Рис. 180. Траєкторія бомби, скинутої з літа-
ка, який летить горизонтально. Пунктир —
траєкторія, яку б мала бомба при відсут-
ності опору повітря.
дорівнює швидкості літа-
ка. Якби опору повітря не
було, бомба падала б по
параболі і протягом всьо-
го часу падіння була б
точно під літаком (якби
останній зберігав свій
курс і швидкість). Зокре-
ма, бомба на землю пада-
ла б саме під тією точ-
кою, де в момент падіння
перебуває літак. Проте
нехтування опором повіт-
ря, допустиме для тіла,
яке летить повільно, при-
зведе для бомби, що
швидко рухається, до ве-
ликих похибок: внаслідок
опору повітря горизон-
тальна складова швидко-
сті бомби значно зменшу-
ється, а вертикальна скла-
дова зростає значно по-
вільніше, ніж при падінні
в пустоті. Внаслідок опо-
ру повітря скинута з лі-
така бомба відразу починає відставати від літака і падає далеко
позаду від нього (рис. 180). Це зменшує точність бомбометання.
Вправи. (Опору повітря не враховувати).
112.1. Чому дорівнює величина швидкості тіла, кинутого горизонтально
з швидкістю 15 м/сек, через 2 сек? У який момент швидкість буде напрямлена
під кутом 45° до горизонту?
112.2. Кулька, скинута з стола висотою 1 м, упала на відстані 2 м від
краю стола. Яка була горизонтальна швидкість кульки?
§ 113. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту. Якщо
початкова швидкість кинутого тіла напрямлена вгору під деяким
кутом до горизонту, то в початковий момент тіло має складові
початкової швидкості як у горизонтальному (уог), так і у вер-
тикальному (уОв) напрямах (рис. 181). Задача відрізняється від
розглянутої в попередньому параграфі тим, що початкова швид-
кість не дорівнює нулю і для руху по вертикалі. Для горизон-
§ 113]
РУХ ТІЛА, КИНУТОГО ПІД КУТОМ
209
тальної складової все, сказане в попередньому параграфі, справ-
джується.
Умовимось напрям по вертикалі вгору вважати додатним,
а вниз — від’ємним. У початковий момент вертикальна складо-
ва швидкості уов напрямлена вгору і, отже, додатна. Під дією
сили тяжіння вертикальна складова швидкості зменшуватиметь-
ся, в якийсь момент і\ перетвориться в нуль і потім змінить
знак — тіло почне опускатись. Точка Д, в якій тіло перебуває
Рис. 181. Траєкторія тіла, кинутого під кутом а до горизонту (при відсут
ності опору повітря).
в момент Л,— найвища точка траєкторії тіла. У цій точці верти-
кальна складова швидкості дорівнює нулю і, отже, повна швид-
кість тіла напрямлена горизонтально і дорівнює уог—горизон-
тальній складовій початкової швидкості. Після цієї точки верти-
кальна складова швидкості, напрямлена вниз, зростатиме за
тим самим законом, за яким вона спадала до точки А. Отже, на
тій самій висоті до і після точки Д, наприклад у точках В і С,
вертикальна складова матиме ту саму величину, але протилежні
напрями (вгору в точці В і вниз у точці С). Звідси видно, що
траєкторія тіла являє собою криву, симетричну відносно точ-
ки Д. Але характер траєкторії тіла після точки А ми вже з’ясу-
вали в § 112. Це — парабола, яку описує тіло, що падає з
горизонтальною початковою швидкістю. Отже, все те, що ми гово-
рили відносно траєкторії тіла в попередньому параграфі, одна-
ковою мірою стосується і розглядуваного випадку, тільки замість
«половини параболи» АСО тіло описує «повну параболу»
ОВАСО, симетричну відносно точки .4.
Перевірити знайдений результат можна також за допомогою
струмини води, яка витікає з похило поставленої трубки
(рис. 182). Якщо позаду струмини помістити екран з заздалегідь
накресленими пораболами, то видно, що струмини води також
являють собою параболи.
Висота піднімання і відстань, яку пройде кинуте тіло в гори-
зонтальному напрямі до повернення на ту висоту, з якої тіло
почало свій рух, тобто відстань ОО на рис. 181, залежать від
14 7-103
210
криволінійний рух
[РОЗД. V
величини і напряму початкової швидкості Насамперед, при
заданому напрямі початкової швидкості і висота, і горизонталь-
на відстань тим більші, чим більша величина початкової швид-
кості (рис. 182).
Рис. 182. Струмина має форму параболи, тим більше витягнутої, чим
більша початкова швидкість струмини.
Для заданої величини початкової швидкості відстань, яку
проходить тіло в горизонтальному напрямі до повернення на
початкову висоту, залежить від напряму початкової швидкості
(рис. 183). При збільшенні кута між швидкістю і горизонтом
ця відстань спочатку
збільшується, при куті в
45° досягає найбільшого
значення, а потім знову
починає зменшуватись.
Справді, проведемо
розрахунок руху тіла, ки-
нутого вгору під кутом
-до горизонту. Якщо вели-
~ чина початкової швидко-
сті тіла дорівнює ц0, а кут
її з горизонтом дорівнює
Рис. 183. При збільшенні нахилу струмини, то горизонтальна скла-
яка витікає з певною швидкістю, відстань, початкової ШВИДКО-
на яку вона б є, спочатку збільшується, до- . _
сягає найбільшої величини при нахилі в 45°, СТ1 уог — СО8 а, а вер-
а потім зменшується. тикальна складова Уов =
= 0о зіп а і напрямлена
вгору. Горизонтальна складова швидкості залишається сталою,
тобто уг = соз а під час усього часу руху.
Вертикальна складова під час руху змінюється за законом4
V* = зіп а — %і.
§ П4]
ПОЛІТ КУЛЬ І СНАРЯДІВ
211
Час /і, протягом якого тіло піднімається до максимальної висо-
ти, визначиться умовою Vв = 0, звідки
. 8ІП Я
1 — ~
Такий самий час потрібний буде для того, щоб тіло з цієї висо-
ти знову впало на землю. Отже, увесь рух триватиме протягом
часу
о, 2п08ІПя
1 “ в
Висоту /її точки А ми можемо визначити як висоту, на яку під-
німеться тіло, кинуте вертикально вгору з початковою швидкі-
стю Ров = Уо 5Іп а:
, __ (Ув 8ІП а)2
Далі, оскільки протягом усього часу 2/і в горизонтальному
напрямі відбуватиметься рух 3 сталою ШВИДКІСТЮ Vг = V;) соз а,
то відстань по горизонталі, пройдена тілом за весь час руху,
дорівнюватиме
2у« зіп а СО8 я уі
8 = ог-2^ =--------------= — 8Іп 2а.
£ 8
При заданій величині початкової швидкості значення висо-
ти і горизонтальної дальності залежать від кута нахилу почат-
кової швидкості до горизонту. Висота зростає із збільшен-
ням а і досягає найбільшого значення, що дорівнює Оо /%£ при
а = 90°, тобто при киданні тіла вертикально вгору. Відстань
по горизонталі досягає найбільшого значення, що дорівнює
уо № ПРИ = тобто ПРИ а = 45°.
Вправи. (Опору повітря не враховувати).
113.1. Камінь, кинутий із землі вгору під кутом до горизонту, падає
назад на землю на відстані 14 м. Знайдіть горизонтальну і вертикальну скла-
дові початкової швидкості каменя, якщо весь політ триває 2 сек. Знайдіть
найбільшу висоту підняття каменя над землею.
113.2. Пожежник напрямляє струмину води на дах будинку висотою
в 15 м. Над дахом будинку струмина піднімається на 5 м. На якій відстані
від пожежника (по горизонталі) вона впаде на дах, якщо струмина вири-
вається з шланга з швидкістю 25 м/сек?
§ 114. Політ куль і снарядів. Політ куль і снарядів — важ-
ливий приклад руху тіл, кинутих під кутом до горизонту. Вна-
слідок великої швидкості руху цих тіл опір повітря значною
мірою змінює їх рух порівняно з даними розрахунків, проведених
у попередньому параграфі. Якби опору повітря не було, то
найбільшій дальності польоту кулі відповідав би, як було пока-
зано вище, кут нахилу ствола гвинтівки або гармати, що дорів-
14»
212
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
(РОЗД. V
нює 45°. Як можна показати, опір повітря веде до такої зміни
траєкторії кулі, що кут нахилу, який відповідає максимальній
дальності, буде менший за 45° (для різних початкових швидко-
стей кулі він різний). Разом з тим і дальність польоту (а також
і найбільша висота піднімання) буде значно меншою. Напри-
клад, при початковій швидкості 870 місек і куті 45° при відсут-
ності опору середовища дальність польоту кулі, як легко визна-
чити, становила б близько 77 км. Тим часом у повітрі при цій
Рис.«184. Траєкторії кулі гвинтівки в повітрі (суцільна крива зліва на рисун-
ку) і при відсутності повітря (пунктирна крива). Опір повітря зменшує най-
більшу дальність польоту кулі більш як у 20 раз!
початковій швидкості найбільша дальність польоту не переви-
щує 3,5 км, тобто зменшується більш як у 20 раз; у багато разів
зменшується також і найбільша висота піднімання кулі. На
рис. 184 подано траєкторії кулі при тій самій величині початко-
вої швидкості: траєкторія, яка була б при відсутності опору
повітря, і справжня траєкторія в повітрі. З цього рисунка видно,
як опір повітря набагато зменшує далекобійність вогнепальної
зброї.
Вплив опору повітря на політ снарядів зменшується із збіль-
шенням розмірів снарядів з тієї самої причини, що й у випадку
вільного падіння тіла (§ 68): маса снаряда зростає як куб роз-
міру (при незмінній формі), а сила опору повітря зростає як
площа поперечного перерізу снаряда, тобто як квадрат розміру
снаряда. Отже, відношення сили опору повітря до маси снаряда,
тобто від’ємне прискорення, зумовлене опором середовища, змен-
шується із збільшенням розміру снарядів. Тому при тих самих
початкових швидкостях вильоту снаряда далекобійність артиле-
рії зростає із збільшенням калібру снаряда. Водночас і найви-
гідніший кут з горизонтом наближається до 45°. Далекобійні
важкі гармати стріляють під кутом, близьким до 45°. Оскільки
при цьому снаряди піднімаються на велику висоту, де густина 4
атмосфери мала, то вплив опору повітря стає ще менш поміт-
ним. Міномети, які викидають важку міну з невеликою початко-
§ 114]
ПОЛІТ КУЛЬ І СНАРЯДІВ
213
вою швидкістю (що також зменшує роль опору повітря), стрі-
ляють на найбільшу відстань також під кутом, близьким до 45°.
Рис. 185. Навісна (а) і настильна (Ь)
стрільба.
Якщо ціль С розміщена на відстані, меншій, ніж найбільша
дальність пострілу АВ (рис. 185), то, очевидно, снаряд може
влучити в ціль двома шляхами:
при куті нахилу або меншому
за 45° (настильна стрільба),
або більшому за 45° (навісна
стрільба).
Падіння бомби, скинутої з
пікіруючого літака, являє со-
бою випадок руху тіла з почат-
ковою швидкістю, напрямле-
ною під кутом до горизонту
вниз (рис. 186). У випадку кру-
того пікірування скинута з лі-
така бомба має початкову
швидкість, напрямлену майже
вертикально. Горизонтальна
складова швидкості бомби з
самого початку мала, внаслі-
док чого і опір повітря руху
бомби в горизонтальному на-
прямі відіграє малу роль. Крім
того, і врахування цієї ролі
можна зробити з значно менши-
ми похибками. Тому при ски-
данні бомб з пікіруючого літака
шої точності бомбометання, ніж
тально.
Рис. 186. Скидання бомби з пікірую-
чого бомбардувальника.
вдається досягти значно біль-
з літака, що летить горизон-
214
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
§ 115. Кутова швидкість. Під час руху точки по колу часто
зручно характеризувати її рух кутом повороту радіуса, який спо-
лучає рухому точку з центром кола. Зміну цього кута з часом
характеризують кутовою швидкістю.
Кутовою швидкістю точки називають відношення кута пово-
роту радіуса-вектора точки до проміжку часу, за який відбувся
цей поворот.
Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіуса-
вектора точки за одну секунду.
Кут повороту звичайно вимірюють у радіанах (скорочене
позначення: рад). Одиницею кутової швидкості є кутова швид-
кість, при якій точка описує дугу в один радіан за одну секунду
(скорочене позначення: радісек). Оскільки одиниця кута не
залежить від вибору основних одиниць вимірювання, а одиниця
часу в системах одиниць СІ, СГС і МКГСС — секунда — спільна,
то одиниця кутової швидкості 1 радісек для всіх трьох систем
однакова.
Повний оберт по колу становить 2л радіанів. Отже, якщо
точка робить п обертів за секунду, то її кутова швидкість іо є
а) = 2/гк рад/сек.
Якщо рух точки по колу нерівномірний, то можна ввести
поняття середньої кутової швидкості і миттєвої кутової швидко-
сті , як це було зроблено для звичайної швидкості у випадку
нерівномірного руху. Проте в дальшому розглядатимемо лише
рівномірний рух по колу.
«Звичайну» швидкість, на відміну від кутової швидкості,
називатимемо лінійною швидкістю. Легко знайти зв’язок між
лінійною швидкістю точки V, її кутовою швидкістю (0 і радіу-
сом /? кола, по якому вона рухається. Оскільки, описавши кут,
що дорівнює одному радіану, точка пройде по колу відстань,
яка дорівнює радіусу, то
V = 0)/?, (115. 1)
тобто лінійна швидкість під час руху по колу дорівнює кутовій
швидкості, помноженій на радіус кола.
Користуючись (115. 1), доцентрове прискорення точки підчас
руху по колу можна подати через кутову швидкість. Підстав-
ляючи вираз для швидкості (115.1) у (27.1), знайдемо фор-
мулу, яка виражає доцентрове прискорення через кутову швид-
кість:
а = а)2/?. (115.2)
При обертанні твердого тіла навколо осі також зручно кори-
стуватись поняттям кутової швидкості: у цьому разі кутова
швидкість у всіх точок тіла однакова, бо всі вони за той самий
§ 116]
СИЛИ ПРИ РІВНОМІРНОМУ РУСІ ПО КОЛУ
215
час повертаються на той самий кут. Отже, обертання твердого
тіла навколо осі можна схарактеризувати кутовою швидкістю,
з якою рухаються всі його точки. Тому називатимемо її куто-
вою швидкістю тіла.
З формул (115.1) і (115.2) видно, що при обертанні твер-
дого тіла лінійні швидкості його точок і їх доцентрові приско-
рення пропорціональні відстані цих точок від осі обертання.
Вправи. 115.1. Дві точки рухаються з однаковими кутовими швидко-
стями по колах, радіуси яких відносяться як 1:2. Знайти відношення при-
скорень цих точок.
115.2. Що більше: кутова швидкість обертання годинної стрілки годин-
ника чи кутова швидкість обертання Землі?
§ 116. Сили при рівномірному русі по колу. У § 27 ми пока-
зали, що рівномірний рух по колу є рух із сталим за величиною
прискоренням, напрямле-
ним до центра кола. Але
прискорення тіла завжди
зумовлене наявністю си-
ли, яка діє в напрямі при-
скорення. Отже, для того
щоб тіло рівномірно руха-
лось по колу, на нього
повинна діяти сила, яка
однакова за величиною
на всьому колі і змінює
свій напрям так, що весь
час залишається напрям- Рис. 187. Динамометр показує силу, з якою
ЛЄНОЮ ДО центра кола. нитка діє на кульку, що обертається по
Справді, у всіх випад- К0ЛУ-
ках рівномірного руху ті-
ла по колу ми завжди можемо виявити таку силу, яка діє з боку
якого-небудь іншого тіла. При обертанні кульки на нитці — це
сила пружності, яка діє з боку розтягнутої нитки на кульку; її
легко виявити, прив’язавши нитку другим кінцем до динамо-
метра (рис. 187); під час руху кульки по круговому жолобу або
під час руху поїзда по закругленню шляху — це сила тиску
деформованого жолоба на кульку або деформованої рейки на
колеса поїзда, напрямлена до центра дуги кола, по якому руха-
ється кулька або поїзд; у випадку руху планет навколо Сонця —
це сила притягання до Сонця. Якщо дія сили припиняється (на-
приклад, рветься нитка, до якої прив’язано кульку), то зникає
і доцентрове прискорення: далі кулька полетить по дотичній до
кола (тобто в напрямі швидкості, яку має кулька в момент зник-
нення сили).
216
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
Величину сили, потрібної для того, щоб тіло маси т рівно-
мірно рухалось із швидкістю V по колу радіуса /?, можна знай-
ти на підставі другого закону Ньютона. Оскільки прискорення
тіла дорівнює а = —, то потрібна сила Р дорівнює
Е = (116.1)
А
Отже, для рівномірного руху тіла по колу на нього повинна
діяти сила, що дорівнює добутку маси тіла на квадрат швидко-
Рис. 188. Будова тахометра. При збільшенні
швидкості обертання вала стержень, який
з’єднує тягарці, повертається на великий
кут.
сті, поділеному на радіус
кола. Звідси видно, що
чим менший радіус, тим
більша сила потрібна при
заданій лінійній швидко-
сті руху тіла. Наприклад,
для заданої швидкості
автомобіля при повертан-
ні на закругленні дороги
на колеса автомобіля з
боку грунту повинна дія-
ти тим більша сила, чим
менший радіус закруг-
лення, тобто чим круті-
ший поворот. Звернемо
увагу ще на те, що швид-
кість входить у формулу
сили в другому степені;
отже, при збільшенні
швидкості руху по колу
даного радіуса сила, по-
трібна для підтримання
такого руху, зростає дуже
швидко. У цьому можна
впевнитись, розганяючи
по колу тягарець, прив’я-
заний ниткою до динамо-
метра: покази динамомет-
ра швидко зростатимуть
із збільшенням швидкості
тягарця.
Сили при обертальному русі часто зручно подавати через
кутову швидкість. За допомогою формули (115.2) знайдемо, що
для підтримання рівномірного руху по колу на тіло маси гп
повинна діяти сила
Р =_- та =
(116. 2)
§ 117] ВИНИКНЕННЯ СИЛИ, ЯКА ДІЄ НА ТІЛО 21 /
Отже, із зростанням кутової швидкості сила, потрібна для*
підтримання обертання, швидко зростає. Цю обставину викори-
стовують для побудови деяких типів тахометрів — приладів для
визначення числа обертів машини. Принцип будови тахометра,
видно з рис. 188. На валі закріплені на легкому стержні дві
маси т. Стержень може вільно обертатись навколо точки О.
Пружинки Д вдержують стержень з масами поблизу вала. Щоб*
при обертанні вала кульки рухались по колах, потрібна сила
тим більша, чим швидше обертається вал. Оскільки цю силу
створюють розтягнуті пружинки Т, які притягують кульки до-
осі обертання, то чим більше число обертів вала, тим більше
повинні бути розтягнуті пружинки. Отже, із збільшенням чис-
ла обертів вала зростає кут, на який стержень відхиляється від
вала. Із стержнем скріплена стрілка, яка рухається вздовж шка-
ли, на якій наносять поділки, що відповідають різним числам
обертів вала за одиницю часу.
Вправи. 116.1. Велосипедист, маса якого разом з велосипедом дорів-
нює 80 кг, рухається з швидкістю 9 кмігод по колу радіусом 15 м. Визначте
силу, яка діе-на велосипедиста.
116.2. На пружинці завдовжки 50 см підвішено тягарець, який розтягує
пружинку на 1 см. Візьмемо другий кінець пружинки в руку і розкрутимо
тягарець у горизонтальній площині так, щоб пружинка розтяглася на 10 сл*.
Яка при цьому буде швидкість тягарця? (Сила, з якою діє розтягнута пру-
жинка, пропорціональна величині розтягу; дією сили тяжіння при обертанні
тягарця знехтувати).
§ 117. Виникнення сили, яка діє на тіло, що рухається по*
колу. З того, що при криволінійному русі тіло зазнає приско-
рення, випливає, що на нього повинні діяти сили. Наприклад,,
тягарець, прив’язаний до нитки, може рухатись по колу тільки
тоді, коли нитка тягне його з деякою силою. Але нитка може
тягти тягарець тільки тоді, коли вона деформована (розтягну-
та). Отже, для того щоб пояснити походження сил, які зумов-
люють рух тягарця по колу, ми повинні пояснити, чому при роз-
глядуваному русі нитка виявилася розтягнутою.
Як було вже зазначено (§ 58), деформація тіла є результа-
том того, що його різні частини протягом деякого часу рухалися
по-різному. У нашому прикладі картину виникнення деформацій
зробимо наочною,' припускаючи, що застосовано легкорозтяжну
нитку, наприклад тонку гумову. Закріпимо один її кінець неру-
хомо в точці О, а до другого кінця прикріпимо тягарець
(рис. 189). Спричинити обертання тягарця навколо точки О ми
можемо, надавши йому деякої швидкості у0 в напрямі, перпен-
дикулярному до гумової нитки. У перший момент після початку
руху сили на тягарець не діють — нитка розтягнута. Тому
він починає рухатись прямолінійно і відстань між ним і точ-
218
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
кою О збільшуватиметься (відстань ОАХ більша за відстань О А),
тобто гумова нитка почне розтягуватись; внаслідок цього виник-
ле сила, яка діє на тягарець з боку нитки, він набуде приско-
‘Рис. 189. У перший момент після поштовху
тягарець рухається по прямій ААі і його
відстань від точки О збільшується.
рення, напрямленого до
точки О, і його траєкторія
почне викривлятися.
Проте, поки резинка
мало розтягнута, це ви-
кривлення траєкторії буде
недостатнім для того, щоб
тягарець рухався по колу,
і він продовжуватиме від-
далятись від точки О,
збільшуючи розтяг нитки,
а отже, і силу, яка діє на
тягарець (рис. 190). Вна-
слідок цього кривизна траєкторії продовжуватиме збільшува-
тись, поки траєкторія не перетвориться в коло. Тоді відстань між
тягарцем і точкою О перестане збільшуватись і нитка перестане
розтягуватись. Отже, встановиться саме такий розтяг нитки, при
якому вона діятиме на тягарець з силою пружності, яка надає
йому прискорення, потрібного для рівномірного руху по колу,
радіус якого дорівнює довжині роз-
тягнутої нитки. Ця сила, як ми вже
знаємо (формула (116. 1)), повинна
дорівнювати /иу2//?, де т — маса тя-
гарця, V — усталена швидкість тя-
гарця і /? — усталений радіус обер-
тання. Якщо нитка жорстка або за-
мість неї взято стержень, то прак-
тично розтяг, що створює потрібну
силу, буде дуже малий і як /? можна
взяти довжину нерозтягнутої нитки
або вихідну довжину стержня, а за
усталену швидкість — початкову
швидкість у0-
Приблизно так само виникає
Рис. 190. Рух тягарця після
початкового поштовху.
і деформація викривленого жолоба, по якому котиться кулька;
жолоб викривлює траєкторію кульки. Якби жолоба не було, то
кулька рухалася б прямолінійно. У викривленому жолобі кулька
також рухатиметься прямолінійно доти, поки на неї не подіють
сили з боку жолоба. Якби жолоб був дуже м’яким, то, рухаючись
у ньому, кулька примусила б жолоб випрямитись. Жорсткий
викривлений жолоб лід час руху кульки також трохи випрямляє-
ться. Але в жорсткому жолобі пружні сили, які надають кульці
$ 118]
РОЗРИВ МАХОВИКІВ
219
прискорення, потрібне для того, щоб вона рухалась криволінійно
за кривизною жолоба, виникають вже при дуже малій дефор-
мації.
Якщо нитка і жолоб мало деформуються під дією тягарця
або кульки, яка котиться, ми можемо вважати нитку і жолоб
зв'язками (див. § 75). При достатній жорсткості зв’язків ми
можемо наперед визначити траєкторію тіла: вона визначиться
формулою зв’язку. Так, для малорозтяжної нитки ми можемо
заздалегідь сказати, що траєкторія прив’язаного до неї тягарця
буде близька до кола з радіусом, який дорівнює нерозтягнутій
нитці; для жорсткого жолоба ми можемо заздалегідь сказа-
ти, що траєкторія кульки буде близька до вихідної форми
жолоба.
§ 118. Розрив маховиків. При обертанні коліс, дисків і т. д.
виникають деформації того самого типу, що й деформації зв’яз-
ків, які примушують тіло рухатись по колу. Саме сили, зумов-
лені такими деформаціями, і надають частинам обертового тіла
доцентрових прискорень, потрібних для того, щоб ці частики
рухалися по колах. Якщо тіла дуже жорсткі, то деформації дуже
малі і їх безпосередньо спостерігати важко. Проте ці деформа-
ції можуть призвести до руйнування обертового тіла: у ряді
випадків маховики та інші обертові частини машин розрива-
лись під час руху. Руйнування було зв’язане звичайно з переви-
щенням допустимої швидкості обертання.
З’ясуємо картину руйнування обертового тіла.
Почнемо з руху тягарця на нитці по колу. Якщо швидкість
тягарця, який рухається по колу, збільшити, то розтяг нитки, який
встановиться, буде недостатнім для підтримання руху тягар-
ця із збільшеною швидкістю по тому самому колу. Тягарець зно-
ву почне віддалятись від центра, і розтяг нитки зростатиме доти,
поки знову не встановиться розтяг, що відповідає новій швидко-
сті і новому, трохи збільшеному, радіусу кола. Якщо ми дедалі
більше збільшуватимемо швидкість тягарця, то розтяг гумової
нитки збільшуватиметься. Але гумова нитка, як і всяке пружне
тіло, не може видовжуватись безмежно. При деякому досить
великому видовженні повинен статися розрив. Тому, якщо ми
продовжуватимемо збільшувати швидкість тягарця, то кінець
кінцем нитка порветься. Як ми вже знаємо, після обриву нитки
тягарець полетить по дотичній до траєкторії в точці, в якій
розірвалася нитка.
Подібно до цього руйнується махове колесо при дуже швид-
кому обертанні. Якщо швидкість обертання така велика, що
навіть при найбільшому розтязі, який можуть витримати спиці,
вони не можуть надати частинам обода потрібного доцентрового
229
криволінійний рух
[РОЗД. V
прискорення, то видовження спиць продовжується, і коли воно
перевищує допустиму границю,— настає розрив. Частини колеса
розлітаються по дотичних до кола колеса.
Оскільки потрібне доцентрове прискорення швидко зростає
із збільшенням радіуса обертання і особливо кутової швидкості
обертового тіла (див. формулу (116.2)), то великі і такі, що
швидко обертаються, частини машин, наприклад ротори швид-
кохідних турбін, доводиться робити дуже міцними. Неможли-
вість забезпечити потрібну міцність обертових машин часто ста-
вить границю збільшенню швидкохідності машини.
Рис. 191. Сушильна машина.
Явища, які по суті схожі на ті, що відбуваються при розри-
ві маховика, відбуваються в сушильній машині (рис. 191). Воло-
гу тканину закладають у решітчастий барабан, який приводять
у швидке обертання. При великій швидкості обертання сили
зчеплення між краплинами вологи і тканиною будуть недостат-
ні для того, щоб надати краплинам доцентрового прискорення,
потрібного для руху по колу. Краплини вологи відриваються від
тканини і крізь решітку відлітають по дотичних.
Отже, у розглянутих випадках — руйнування тіл, які швидко
обертаються, відривання краплин від висушуваної тканини і
т. д.— причиною є недостатня величина тих сил, які можуть
виникнути без руйнування тіла, порівняно з тими силами, які
необхідні для надання частинам обертового тіла або краплинам
води доцентрового прискорення, потрібного при заданій швидко-
сті колового руху. Тут знову яскраво проявляється різниця між
рівномірним прямолінійним і рівномірним криволінійним рухом:
при рівномірному прямолінійному русі прискорення немає, для
підтримання руху ніяких сил не потрібно, а тому, яка б велика
не була стала швидкість цього руху, ніяких руйнувань вона спри-
чинити не може.
§ 119]
ДЕФОРМАЦІЯ ТІЛА, ЯКЕ РУХАЄТЬСЯ ПО КОЛУ
221
Вправа. 118. 1. На кінці стержня завдовжки ЗО см, що обертається
навколо точки О (рис. 192), насаджено масу в 50 кг. При якому числі обер-
тів за секунду станеться розрив стержня, якщо
для того, щоб розірвати його нерухомим на-
вантаженням, до кінця стержня треба підві-
сити масу в 1 т?
§ 119. Деформація тіла, яке руха-
ється по колу. Доцентрова і відцентро-
ва сили. Досі ми розглядали лише ті
сили, які діють на тіло, що рухається
по колу, з боку зв’язків, тобто тіл, які
викривлюють траєкторію даного тіла.
Така, наприклад, сила, яка діє на тяга-
рець з боку нитки, до якої він прив’я-
заний. Але відразу видно, що тягарець
у свою чергу повинен діяти на нитку
з такою самою за величиною силою.
Це випливає з третього закону Ньюто-
на, який твердить, що сили, з якими
діють одне на одне два тіла (у нашому Рис 192. д0 вправи Ц8. 1.
прикладі тягарець і нитка), завжди
однакові за величиною і напрямлені в протилежні боки. Отже,
кулька діє на нитку з силою, яка також дорівнює /иу2//?, але
напрямлена від центра. Ця сила прикладена до нитки (а не до
кульки), і тому ми, звичайно, не брали її до уваги, коли розгля-
дали рух кульки. Але при вивченні поведінки нитки нам треба
знати сили, які діють саме на нитку.
Таку картину спостерігаємо при всякому русі по колу, якщо
цей рух відбувається під дією сил, зумовлених безпосереднім
стиканням тіл. Під час руху по колу повинен існувати зв’язок —
якесь інше тіло, що вдержує рухоме тіло на колі. З боку цього
зв’язку на обертове тіло діє сила, напрямлена до центра обер-
тання. У свою чергу рухоме тіло повинно діяти на цей зв’язок
з такою самою за величиною силою, але напрямленою від центра.
Ми вже бачили (§ 117), що сила, яка діє з боку нитки на
тягарець, що рухається по колу, зумовлена деформацією цієї
нитки. Так само і сила, з якою тягарець діє на нитку, спричине-
на відповідною деформацією тягарця. Легко пояснити, чому
тягарець також буде в деформованому стані.
Для наочності візьмемо як тягарець тіло видовженої форми
(рис. 193). Уявимо собі, що ми надали всім точкам тіла одно-
часно однакової швидкості у0, перпендикулярної до нитки. Як
ми знаємо, у нитці при цьому виникне натяг і вона надасть при-
скорення тим точкам тіла, до яких вона прикріплена (на
рис. 193 — лівому кінцю тіла). Шлях лівого кінця тіла почне
222
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
викривлюватись, тоді як правий кінець тіла ще продовжувати-
ме рухатись прямолінійно, бо спочатку ніякі сили на правий
кінець тіла не діють. Тому збільшиться відстань між лівим і пра-
вим кінцями тіла — тіло почне деформуватися. Деформація при-
пиниться лише тоді, коли сили,
г’о
Рис. 193. Виникнення деформації
в тілі, яке рухається по колу.
які виникли при деформації,
забезпечать усім частинам тіла
прискорення, які потрібні для
обертання по колах.
Отже, тіло, яке рухається
по колу під дією сил, зумовле-
них безпосереднім стиканням
з іншими тілами, завжди буде
деформованим.
Якщо тіло жорстке, то де-
формації будуть малі, але на-
віть не спостерігаючи їх безпо-
середньо, ми виявимо їх наяв-
ність за силою, з якою тіло діятиме на нитку. Але якщо взяти
легко деформоване тіло, наприклад слабку циліндричну пру-
жину, то деформацію можна зробити помітною і на око (рис. 194).
Деформації пружини розподіляються так, що на кожний виток
з боку сусідніх витків діятиме результуюча сила, напрямлена до
центра, що зумовлює потрібне прискорення цього витка; розтяг
буде найменшим для крайнього витка і зростатиме до центра.
Деформована нитка діє також і на вісь обертання, до якої
вона прикріплена другим кін-
цем. У свою чергу вісь згина-
ється і внаслідок цієї деформа-
ції діє з однаковою і протилеж-
ною силою на прикріплену до
неї нитку. Сила, яка діє на тіло
з боку зв’язку (осі і нитки),

я
напрямлена до центра (вона
надає тілу потрібного доцент-
рового прискорення). Тому її
Рис. 194. Наочне зображення дефор-
мації обертового тіла на прикладі
пружини. Для порівняння внизу по-
дано нерозтягнуту пружину.
звичайно називають доцентро-
вою силою. Навпаки, сила, з
якою обертове деформоване
тіло діє на нитку і на вісь, тоб-
то на зв’язок, напрямлена від центра, внаслідок чого її назива-
ють відцентровою силою.
Терміни «доцентрова» і «відцентрова» стосуються дії сил
в розглядуваному явищі, а не їх фізичної природи: за своєю при-
родою це ті самі відомі нам пружні сили, зумовлені деформа-
цією тіл. Для випадку тягарця на нитці доцентрова сила, яка
§ 120)
«АМЕРИКАНСЬКІ ГОРИ>
223
Рис. 195. До вправи 119. 1.
швидкістю
и яких
діє на тягарець, і відцентрова сила, яка діє на вісь,— це сили
пружності розтягнутої нитки, яка діє одним своїм кінцем на
тягарець, а другим на вісь. Безпосередньою причиною того, що-
тіло, яке обертається навколо осі, діє через нитку на вісь з «від-
центровою силою», є не те, що воно обертається, а те, що воно*
деформоване. Якби тіло не ру- --------
халось, але було так само де- ____
формоване, як і під час руху, ' г< 0| У7?'
то воно діяло б на вісь з точно
такою самою «відцентровою
силою».
Вправи. 119.1. Два тіла з ма-
сами т\ і т2 прив’язані на нитках
довжиною гі і г2 і обертаються нав-
коло точки О з однаковою кутовою
сили, що діють на точку О з боку ниток, зрівноважать одна одну?
ни діаметром 80 см обертається з швид-
кістю 25 обісек. З якою силою тисне на
стінку барабана кусок тканини з масок»
1,5 г?
119.3. До тіла А маси т прикріп-
лено нитку, пропущену крізь отвір О
(рис. 196). До другого кінця нитки при-
кріплено тіло В такої самої маси т.
Тіло А обертається в горизонтальній
площині навколо точки О, причому ра-
діус обертання дорівнює 20 см. З якою
кутовою ШВИДКІСТЮ О) повинно оберта-
тись тіло Л, щоб тіло В було в рівно-
вазі?
119.4. Що станеться у випадку, опи-
саному в попередній задачі, коли ми
трохи підштовхнемо тіло В вгору або
вниз? Якщо покладемо на тіло В неве-
ликий додатковий тягарець?
§ 120. «Американські гори».
При криволінійному русі вагонет-
ки по так званих «американських
горах» (рис. 197) прискорення
утворюється в результаті дії як
сили притягання Землі, так і сили,
зумовленої безпосереднім стикан-
ням. Перша — це сила тяжіння
тіла Р, друга — пружна сила
яка діє з боку рейок. У цьому
прикладі зв’язок — це рейкова дорога, по якій рухається ваго-
нетка.
Подивимось, з якою силою рейки діють на вагонетку у найви-
щій А і найнижчій В точках шляху. Оскільки при криволінійному
‘224
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
русі прискорення завжди напрямлене в бік угнутості траєкторії,
то в А воно напрямлене вниз, а в В — вгору. Отже, рівнодійна
►сили тяжіння Р і сили Г, яка діє з боку рейок, у верхній точці
шляху напрямлена вниз, а в нижній точці — вгору. Звідси випли-
ває, що сила Р в точці А менша, а в точці В більша, ніж сила
тяжіння Р. В А, де Р менша за Р, надлишок сили тяжіння над
силою тиску надає вагонетці доцентрового прискорення, напрям-
леного вниз. У В, де Р більша за Р, навпаки, сила тиску не тіль-
ки зрівноважує силу тяжіння, а й надає вагонетці доцентрового
Рис. 197. Атракціон «американські гори». Справа — сили, які діють у нижній
і верхній точках «американських гір».
прискорення, напрямленого вгору. Величина доцентрового при-
скорення є а = о2//?. Отже, різниця між силою Р і силою тяжін-
ня Р дорівнює тл)2!Р.
Різниця в силах Р у різних точках шляху зумовлена кінець
кінцем тим, що рейки в нижній і верхній точках шляху будуть
по-різному деформовані. У цьому можна було б упевнитись за
допомогою міркувань, подібних до тих, якими ми користували-
ся, розглядаючи деформації жолоба в § 117. За третім законом
Ньютона вагонетка в свою чергу тисне на рейки з силою, яка
також дорівнює Р, але напрямлена від вагонетки до рейок.
Отже, у верхній точці шляху вагонетка тисне на рейки з меншою
силою, ніж у нижній.
Таким чином, сила, з якою тіло діє на підставку (вагонетка
на рейки) під час руху по криволінійному шляху, що лежить
у вертикальній площині, не є сталою, а залежить від швидкості
руху і від форми шляху. Ми могли б зробити наочними ці змі-
ни, помістивши важкий вантаж на пружинних терезах на візок,
що рухається по «американських горах» (рис. 198). Якщо візок
нерухомий, то сила тяжіння Р зрівноважується пружною силою
стиснутої пружини терезів Р, тобто Р = Р. Але коли візок рухає-
ться криволінійно, то, як ми бачили, Р буде або менше, або біль-
§ 121]
РУХ НА ЗАКРУГЛЕННЯХ ШЛЯХУ
225
ше за Р, тобто вага вантажу відповідно буде або менша або
більша, ніж у випадку нерухомого візка.
Цей дослід ще раз ілюструє ту обставину, яку ми підкрес-
лювали вище (§ 52). При вимірюванні на* пружинних терезах
вага тіла дорівнювала силі тяжіння тільки тоді, коли терези
і зважуване тіло перебували в спокої (або рухались без приско-
рення). Якщо терези і тіло мають прискорення, напрямлене вниз,
Рис. 198. Під час руху через вершину «американської гори»
показ пружинних терезів менший за вагу тіла.
то вага тіла буде менша за силу тяжіння. Навпаки, якщо при-
скорення терезів і тіла напрямлене вгору, то вага тіла буде
більша за силу тяжіння.
Вправа. 120. 1. Невеликі легкі мости на шосе завжди роблять не пло-
скими, а опуклими, бо це зменшує навантаження на міст. Знайдіть те співвід-
ношення між радіусом кривизни моста і швидкістю руху екіпажа, при якому
Навантаження на опуклий міст буде в 2 рази менше, ніж на плоский. Знайти
Швидкість, при якій екіпаж відірветься від моста з даним радіусом кривиз-
ни К у його найвищій точці.
§ 121. Рух на закругленнях шляху. Рух ковзаняра, велоси-
педиста, поїзда і т. д. на закругленнях шляху звичайно є рухом
по дузі кола, але, на відміну від «американських гір», у цих
випадках криволінійна траєкторія лежить у горизонтальній пло-
щині. Рухоме тіло перебуває під дією двох сил: сили тяжіння Р
і сили Г з боку опори (лід, земля, рейки). Якщо тіло нерухоме
або таке, що рухається прямолінійно, обидві ці сили напрямлені
вертикально і зрівноважують одна одну. На поворотах необхід-.
но, щоб рівнодійна була напрямлена в бік угнутості траєкторії.
Для цього рухомому тілу надають нахилу в той самий бік*,При
15 7-103
226
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
ГРОЗД. V
цьому виникає сила з боку опори, яка напрямлена в бік нахилу,
до центра описуваного кола, і створює потрібне доцентрове при-
скорення.
Як саме здійснюється необхідний нахил? Ковзаняр і велоси-
педист спричинюють його свідомо (або інстинктивно), перемі-
щаючи центр ваги свого тіла рухом корпусу або рук. Доцент-
рова сила в цьому разі — це сила тертя між ковзаном і льодом
Рис. 199. При повороті
велосипедист нахиляєть-
ся в бік повороту. Сила
тяжіння Р і сила Г, з
Рис. 200. Нахил залізничної колії на закруг-
леннях. Сила тяжіння вагона Р і сила тиску Г
з боку рейок дають результуючу силу Т, яка
зумовлює доцентрове прискорення вагона.
якою земля тисне на ко-
леса, дають рівнодійну Т, або шиною велосипеда і землею, яка
що надає доцентрового виникає, коли ковзаняр або велосипе-
прискорення, яке спосте- дист нахиляється (рис. 199). Коли вело-
пігається для руху по » . •
колу сипед нахилення, то під ДІЄЮ СИЛИ ТЯЖІН-
НЯ центр ваги велосипеда і велосипедиста
повинен був би опускатися вертикально вниз, і при відсутності
тертя шини повинні були б ковзати по землі в бік, протилежний
тому, куди нахилений велосипед. Але ми знаємо, що коли під
час руху без тертя виникало б ковзання, то при наявності тертя
сила тертя буде напрямлена протилежно напряму цього ковзан-
ня. Отже, виникає сила тертя, напрямлена в той бік, куди нахи-
лений велосипед. Внаслідок цього сила Г, яка діє з боку землі,
відхилиться в той самий бік. Якщо сила тертя не дуже велика
(наприклад, ковзан тупий або дорога слизька), то ковзан або
$ 122]
РУХ ПІДВІШЕНОГО ТІЛА ПО КОЛУ
227
колесо ковзнуть по льоду або землі і поворот не вдасться
(падіння).
Для поїзда нахил створюється будовою колії. На закруглен-
нях зовнішню рейку кладуть трохи вище від внутрішньої
(рис. 200). Нахил залізничної колії розрахований на деяку
середню швидкість. Значне перевищення цієї швидкості може
призвести до аварії поїзда.
Вправа. 121.1. Якщо
поїзд іде по закругленню
шляху саме з тією швидкі-
стю, на яку розрахований
нахил шляху, то пасажирам
здається, що вагон не нахи-
ляється. При більшій швид-
кості пасажирам здається,
шо вагон нахилився назов-
ні, а при меншій — всереди-
ну закруглення. Поясніть ці
явища.
§ 122. Рух підвішеного
тіла по колу. Розглянемо ще
деякі приклади рівномірного
руху по колу. Закріпимо
кілька висків на різних від-
сіанях від центра грамофон-
ного диска (рис. 201). При
нерухомому столику всі вис-
Рнс. 201. На диск грамофонного двигуна по-
кладено дощечку з прикріпленими на ній вис-
ками. При обертанні диска виски відхиляються
назовні тим більше, чим більша швидкість
обертання і чим далі від осі розміщений висок.
ки висять вертикально, при обертовому— відхиляються, причому це відхилення
тим більше, чим далі від центра розміщений висок. Із збільшенням швидко-
сті обертання відхилення висків зростають.
Не розглядаючи, як виникає відхилення нитки виска, знайдемо положен
Рис. 202. Сили, які діють на
тіло, підвішене до каруселі.
ня, яке займе нитка при даній кутовій швидко-
сті обертання (рис. 202). Зрозуміло, що при
відхиленні нитки сила тяжіння її Р і сила
тяжіння тягарця Р не можуть зрівноважитись,
бо вони напрямлені під кутом одна до одної.
Рівнодійна цих сил, величина і напрям якої
залежать від кута відхилення нитки, надає
тягарцю доцентрового прискорення, потрібно-
го для руху по колу. При цьому натяг нитки Р
більший, ніж у випадку диска, що перебуває
в спокої, тобто більший за силу тяжіння тягар-
ця, бо силу Р повинна зрівноважувати проек-
ція сили Р на вертикаль.
З прямокутного трикутника АМВ, в яко-
му сторона МА виражає доцентрову силу Т =
= тиЯР, необхідну для того, щоб тіло маси т
рухалось по колу радіуса Р з кутовою швид-
кістю а сторона МВ— силу тяжіння Р =
••= т§, знайдемо тангенс кута відхилення а:
Іе а =
Т <>»/?
Р ~ 8
(122. 1)
15»
228
КРИВОЛІНІИНИИ РУХ
(РОЗД. V
Звідси видно, що відхилення нитки тим більше, чим більша кутова швидкість
і відстань від осі; воно не залежить від маси тіла.
Аналогічну картину — відхилення штанги, на якій висить кінь з вершни-
ком,— можна спостерігати і на каруселі. У цьому випадку формула (122.1)
дає кут відхилення штанги.
Розглянута картина пояснює також принцип дії так званих відцентрових
регуляторів, які застосовують для регулювання числа обертів різних машин.
Рис. 203. Модель регулятора Уатта.
Перший такий регулятор збудував Уатт для регулювання числа обертів паро-
вої машини. При обертанні вала регулятора (рис. 203) тягарці пг, закріплені
на шарнірах, відхиляються і пересувають муфту К, з якою вони з’єднані
тягами. Муфта з’єднана з заслінкою М, що регулює подавання пари в цилінд-
ри парової машини. Коли число обертів машини зростає понад нормальне,
муфта опускається і зменшує доступ пари в циліндри. Навпаки, при змен-
шенні числа обертів нижче від норми муфга піднімається і збільшує доступ
пари.
§ 123. Рух планет. Вивчення видимого руху планет на не-
змінному фоні зоряного неба дало змогу дати кінематичний пов-
ний опис руху планет відносно інерціальної системи відліку
(«Сонце — зорі»). Траєкторії планет (орбіти) виявились замк^
нутими кривими, близькими до кіл із центром у Сонці \ а рух
планет по їх орбітах виявився близьким до рівномірного. Виня-
ток становлять лише комети і деякі астероїди, в яких відстань
1 Відстані між небесними тілами величезні навіть порівняно з величезни-
ми розмірами самих небесних тіл, тому при вивченні руху планет можна
вважати їх точками.
§ 123]
РУХ ПЛАНЕТ
229
від Сонця і швидкість руху змінюються в широких межах, а
орбіти значно витягнуті. Для різних планет відстані від Сонця
(радіуси орбіт) і час обертання дуже різні, як це видно з табл. 2.
Позначення перших шести планет, подані в таблиці, збереглися
ще з часів астрологів.
Таблиця 2
Відомості про планети
Назва і позначення планети Відстань від Сонця Час обертан- ня в земних роках
в радіусах земної ор- біти у млн. км
Меркурій $ . . 0,387 58 0,241
Венераф 0,723 108 0,615
Зсм'ля б або ф. 1,000 149 1,000
Марс <5 • • . 1,524 228 1,881
Юпітер Ц . 5,203 778 11,862
Сатурн^. , . . . . . 9,938 1426 29,457
Уран ф ... . . . 19,191 2864 84,013
Нептун § . . . . 30,071 4494 164,783
Плутбн Р 39,6 6000 248
Насправді орбіти планет не зовсім колові, а їх швидкості не
зовсім сталі. Точний опис рухів усіх планет дав німецький аст-
Рис. 204. Якщо з точки а\ у точку
а2 планета переміщається за той
самий час, як і з точки а3 в точ-
ку а4, то площі, заштриховані на
рисунку, рівні.
Рис. 205. До визначення відно-
шення швидкостей планети в пе-
ригелії і афелії.
роном Йоганн Кеплер (1571 —1630) (в його час були відомі лише
перші шість планет) у вигляді трьох законів (рис. 204):
1. Кожна планета рухається по еліпсу, в одному з фокусів
якого лежить Сонце.
2. Радіус-вектор планети (вектор, проведений від Сонця до
планети) за рівні часи описує однакові площі.
230
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
3. Квадрати часів обертання будь-яких двох планет віднося-
ться як куби великих півосей їх орбіт.
Із цих законів можна зробити ряд висновків про сили, під
дією яких рухаються планети. Розглянемо спочатку рух якої-
небудь однієї планети. Найближчий до Сонця (5) кінець Р вели-
кої осі орбіти називають перигелієм; другий кінець А назива-
ють афелієм (рис. 205). Оскільки еліпс симетричний відносно
обох своїх осей, то радіуси кривизни в перигелії і афелії одна-
кові. Отже, згідно з сказаним у § 27, нормальні прискорення ар
і аА У цих точках відносяться як квадрати швидкостей планети
иР і аА;
=
аА #А ’
(123. 1)
Тепер скористаємось другим законом Кеплера. Розглянемо
малі переміщення Р\Р2 і А|Л2, які симетричні відносно перигелія
і афелія відповідно і відбуваються за однакові малі проміжки
часу і. Площі секторів 5ЛіЛ2 і 8Р}Р2 повинні бути однакові. Ду-
ги еліпса А^А2 і Р\Р2 дорівнюють юАі і уРі. Відмінністю дуги еліп-
са від хорди можна знехтувати і розглядати описані радіусом-
вектором сектори як рівнобедрені трикутники 8А\А2 і 8Р\Р2. їх
1 , . 1 ,
ПЛОЩІ дорівнюють ВІДПОВІДНО Уліг А 1 УрІГр, де ГА 1 Гр —
відстані афелія і перигелія від Сонця. Отже, иАгА = аРгРі звідси
г Р
знаходимо: — = Нарешті, підставляючи це співвідношен-
Ор Г А
ня в (123. 1), знайдемо:
2
£ = 7* (123.2)
А • р
Оскільки в перигелії і афелії дотичні прискорення дорівнюють
нулю, то аР і аА являють собою повні прискорення планети в цих
точках. Вони напрямлені до Сонця (вздовж великої осі орбіти).
Розрахунок показує, що і в усіх інших точках траєкторії
повне прискорення також напрямлене до Сонця і за величиною
змінюється за тим самим законом, тобто обернено пропорціо-
нально квадрату відстані планети від Сонця; тому для будь-
якої точки орбіти
а
(123 3)
де а — повне прискорення планети, г — її відстань від Сонця.
Отже, повне прискорення планети обернено пропорціональ-
не квадрату відстані між Сонцем і планетою.
$ 123]
РУХ ПЛАНЕТ
231
руху, а в афелії —
даної планети від
Рис. 206. Під час руху планети від
перигелію до афелію сила притя-
гання зменшує швидкість планети,
а при русі від афелію до периге-
лію— збільшує швидкість планети.
Розглядаючи кут, який утворюється радіусом-вектором пла-
нети з дотичною до траєкторії, побачимо (рис. 206), що при русі
планети від афелія до перигелія дотична складова прискорення
аі додатна і швидкість планети зростає; навпаки, при русі від
перигелія до афелія швидкість планети зменшується. У периге-
лії планета досягає найбільшої швидкості
найменшої.
Щоб з’ясувати залежності прискорення
відстані її від Сонця, ми скорис-
талися першими двома законами
Кеплера. Цю залежність вдалося
знайти тому, що планети руха-
ються по еліпсах, змінюючи свою
відстань від Сонця. Якби планети
рухались по колах, відстань від
Сонця і прискорення планети не
змінювалися б, і ми не змогли б
знайти цієї залежності.
Порівнюючи між собою при-
скорення різних планет, можна
задовольнитися наближеним опи-
сом їх руху, вважаючи, що вони
рухаються рівномірно по колах
з радіусами, що дорівнюють вели-
ким півосям своїх дійсних орбіт. Позначимо радіуси орбіт двох
яких-небудь планет через Г\ і г2, а час їх обертання — через
і Г2. Тоді їх швидкості визначаться формулами
2тсгі 2кг а
а доцентрові прискорення (згідно з (27.1))—формулами
4д2г1- _ °2 4д2г2
01 ~ П “ ~ 'і ~ '
Оскільки рух по колу ми вважаємо рівномірним, то а\ і а2 можна
вважати повними прискореннями, напрямленими до центра орбі-
ти — до Сонця. Відношення прискорень планет дорівнює
Ні _ Г1 Т2
р2-
Але, згідно з третім законом Кеплера,
Т2 г3
1 2- '2
Т2 ~~ г3*
11 Г1
232
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
Підставляючи відношення квадратів часів обертання у поперед-
ню формулу, знайдемо:
Цей висновок можна переписати в такому вигляді: для будь-
якої планети, що лежить на відстані г від Сонця, її прискорення
а дорівнює:
а = ^, (123.4)
де С — та сама стала для всіх планет сонячної системи. Отже,
прискорення планет обернено пропорціональні квадратам їх від-
станей від Сонця і напрямлені до Сонця.
§ 124. Закон всесвітнього тяжіння. Отже, Ньютон знав, що
для всіх планет сонячної системи прискорення обернено пропор-
ціональне квадрату відстані планети від Сонця і що коефіцієнт
пропорціональності — однаковий для всіх планет.
Звідси випливає насамперед, що сила притягання, яка діє
з боку Сонця на кожну планету, повинна бути пропорціональна
масі цієї планети. Справді, якщо прискорення планети визнача-
ється формулою (123. 1), го сила, яка спричинює прискорення,
повинна дорівнювати Р = та = тСІг2, де т — маса цієї плане-
ти. З другого боку, Ньютонові була відома величина прискорен-
ня, якого Земля надає Місяцю; воно було визначене з спостере-
жень за рухом Місяця, який обертається навколо Землі. Ці при-
скорення приблизно в 3600 раз менше, ніж прискорення якого
надає Земля тілам, що перебувають на земній поверхні. А від-
стань від Землі до Місяця дорівнює приблизно 60 земним радіу-
сам. Інакше кажучи, Місяць лежить від центра Землі в 60 раз
далі, ніж тіла, що перебувають на поверхні Землі, а прискорен-
ня його в 3600 = 602 раз менше. Якщо вважати, що Місяць ру-
хається під дією притягання Землі, то звідси випливає, що сила
земного притягання, як і сила притягання Сонця, зменшується
обернено пропорціонально квадрату відстані від центра Землі.
Нарешті, сила притягання Землі прямо пропорціональна масі
притягуваного тіла. Цей факт Ньютон установив на дослідах з
маятниками. Він виявив, що період коливань маятника не зале-
жить від його маси. Отже, маятникам різної маси Земля надає
однакового прискорення і, таким чином, сила притягання Землі
пропорціональна масі тіла, на яке вона діє. Те саме, звичайно,
випливає з однаковості прискорення вільного падіння § для тіл
різної маси, але досліди з маятниками дають змогу перевірити
цей факт з більшою точністю.
§ 124)
ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ
233
Ці однакові риси сил притягання Сонця та Землі і привели
Ньютона до висновку про однакову природу цих сил і про існу-
вання сил всесвітнього тяжіння, що діють між усіма тілами і
зменшуються обернено пропорціональне квадрату відстані між
ними. При цьому сила тяжіння, яка діє на дане тіло маси т, по-
винна бути прямо пропорціональна масі т. Але закон рівності
сил дії і протидії (третій закон Ньютона) повинен виконуватись
для всіх сил, у тому числі і для сил тяжіння. І якщо тіло маси
М діє на тіло маси т з силою тяжіння, пропорціональною масі
/и, то тіло маси т повинно діяти на тіло маси М з силою, пропор-
ціональною масі М.
Виходячи з усіх цих фактів і міркувань, Ньютон сформулю-
вав закон всесвітнього тяжіння так: будь-які два тіла притягу-
ються одне до одного з силою, яка напрямлена по лінії, що їх
з'єднує, прямо пропорціональна масам обох тіл і обернено про-
порціональна квадрату відстані між ними, тобто сила взаємно-
го тяжіння є
де М і т — маси тяжіючих тіл, г — відстань між ними, а 7 —
коефіцієнт пропорціональності, так звана гравітаційна стала
або стала тяжіння (спосіб її вимірювання буде описано нижче).
Ми бачимо, що С в (123. 4) дорівнює 7 Мпг.
У такому формулюванні закон всесвітнього тяжіння засто-
совний для тіл, відстань між якими дуже велика порівняно з їх
розмірами, інакше слід було б враховувати, що різні точки тіла
лежать одна від одної на різних відстанях. Для кулястих тіл
розрахунок показує, що формула справедлива при будь-якій від-
стані між тілами, якщо за г узято відстань між їх центрами.
Зокрема, у випадку притягання тіла Землею відстань слід від-
лічувати від центра Землі. Це пояснює, чому сила тяжіння май-
же не зменшується із збільшенням висоти над Землею (§ 54):
оскільки радіус Землі дорівнює приблизно 6400 км, то при зміні
положення тіла над поверхнею Землі в межах навіть десятків
кілометрів сила притягання Землі практично не змінюється.
Величину гравітаційної сталої можна визначити безпосеред-
ньо, вимірявши одночасно всі інші величини, що входять у закон
всесвітнього тяжіння, для якого-небудь одного конкретного
випадку.
Безпосереднє і досить точне визначення значення гравітацій-
ної сталої вперше вдалося здійснити за допомогою крутильних
терезів, будову яких схематично зображено на рис. 207. Легке
коромисло з двома однаковими кулями масою пг на кінцях під-
вішено на довгій і тонкій нитці. Коромисло має дзеркальце, яке
дає змогу оптично вимірювати малі повороти коромисла навколо
234
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
вертикальної осі. До коромисла з різних боків можна набли-
зити дві кулі значно більшої маси М. Сили притягання малих
куль з боку великих створюють пару, яка обертає коромисло за
стрілкою годинника (якщо дивитися зверху). Вимірявши кут, на
який повертається коромисло при наближенні до нього мас М,
і знаючи пружні властивості нитки, на якій підвішено коромисло,
можна визначити, чому дорівнює момент пари сил, з якими при-
тягуються дві маси т до двох мас М. Оскільки маси куль т і М
/////////////^///////^ і відстань між їх центрами (при
О певному положенні коромисла)
відомі, то із закону всесвітнього
тяжіння можна знайти значення 7.
Воно дорівнює
у = 6,7 • 10~и н-м21кг2.
Після визначення величини 7
А виявилось можливим з закону все-
/ \ світнього тяжіння визначити масу
Землі. Справді, згідно з законом
всесвітнього тяжіння, тіло маси ш,
що лежить біля поверхні Землі, при-
Рис. 207. Схема крутильних тягується Землею з силою
терезів для вимірювання сталої р _ „ тм0
ТЯЖІННЯ. * р2 ’
де Мо—маса Землі, а /?0 — її радіус (близько 6400 км). З дру-
гого боку, як ми знаємо, Р = т§. Прирівнюючи ці величини,
знайдемо:
Значення всіх взличин, шо стоять у правій частині рівності, відо-
мі. їх підстановка дає, у круглих числах,
Мо — 6 • Ю24 кг.
Із закону всесвітнього тяжіння для двох тіл з масами т\
і ди2, що лежать на відстані г одне від одного, випливає, що при-
скорення цих мас відповідно дорівнюють
т« ті
= ^2 = Тут
Ці формули відбивають вже описану нами вище рису сил
тяжіння: прискорення даного тіла, спричинене тяжінням іншого
тіла, не залежить від маси даного тіла. Далі, згідно з третім
законом Ньютона,
с?1 __ ^І2
ті
$ 125]
ШТУЧНІ СУПУТНИКИ ЗЕМЛІ
235
Отже, хоч сили всесвітнього тяжіння, які діють між тілами дуже
різної маси, і однакові, проте значного прискорення дістає тіло
малої маси, а тіло великої маси зазнає малого прискорення.
Оскільки сумарна маса всіх планет сонячної системи становить
трохи більше і/юоо маси Сонця, то прискорення, якого зазнає
Сонце внаслідок дії на нього сил тяжіння з боку планет, дуже
мале порівняно з тими прискореннями, які сила тяжіння Сонця
надає планетам. Порівняно малі і сили тяжіння, які діють між
планетами. Тому при розгляді законів руху планет (закони Кеп-
лера) можна було не враховувати руху самого Сонця і набли-
жено вважати, що траєкторії планет — еліптичні орбіти, в одно-
му з фокусів яких лежить Сонце. Однак у точних розрахунках
доводиться брати до уваги ті «збурення», які вносять у рух само-
го Сонця або якої-небудь планети сили тяжіння з боку інших
планет.
Вправи. 124. 1. Наскільки зменшиться сила земного притягання, яка
діє на ракетний снаряд, коли він підніметься на 600 км над поверхнею Зем-
лі? (Радіус Землі дорівнює 6400 км).
124.2. Маса Місяця у 81 раз менша за масу Землі, а радіус Місяця
приблизно в 3,7 раза менший за радіус Землі. Скільки важитиме на Місяці
людина, яка на Землі важить 60 кГ?
124.3. Маса Місяця у 81 раз менша за масу Землі. Знайдіть на лінії,
що з’єднує центри Землі і Місяця, точку, в якій сили притягання Землі
і Місяця, що діють на вміщене в цій точці тіло, дорівнюють одна одній.
§ 125. Штучні супутники Землі. На кожне тіло, викинуте за
межі земної атмосфери, діють, як і на всяке небесне тіло, лише
сили тяжіння з боку Землі, Сонця та інших небесних тіл. Залеж-
но від початкової швидкості, наданої тілу при його вилітанні з
атмосфери, дальша доля тіла може бути різною: при малій по-
чатковій швидкості тіло може впасти назад на Землю; при біль-
шій швидкості тіло може перетворитися в штучний супутник і
почати обертатись навколо Землі, подібно до її штучного супут-
ника— Місяця; при ще більшій швидкості тіло може віддалити-
ся від Землі так далеко, що сила земного притягання практично
не впливатиме на його рух і воно перетвориться в штучну пла-
нету, тобто почне обертатись навколо Сонця; нарешті, при ще
більшій швидкості тіло може назавжди вийти з сонячної системи
в світовий простір.
Ми розглянемо тільки випадок, коли тіло перетворюється в
штучний супутник Землі. Вивчаючи його рух відносно Землі,
враховуватимемо лише силу його притягання Землею. Ми поба-
чимо, що тіло може стати супутником Землі тільки тоді, коли
його швидкість лежить у порівняно вузьких межах: від
7,91 кмісек до 11,19 кмісек. При швидкості, меншій за
236
КРИВОЛІНІИНИИ РУХ
[РОЗД. V
7,91 км/сек, тіло впаде назад на Землю; при швидкості, більшій
за 11,19 км/сек, тіло віддалиться від Землі безповоротно.
Для запуску штучних супутників і штучних планет застосо-
вують спеціальні ракети, які піднімають супутник на задану
висоту і розганяють його до потрібної швидкості; після цього
супутник відокремлюється від ракети-носія і продовжує свій рух
під дією лише сил тяжіння. Двигуни ракет повинні здійснювати
роботу проти сил тяжіння і проти сил опору повітря, а також
надати супутнику великої швидкості. Для цього двигуни ракети
повинні розвивати величезну потужність (мільйони кет).
Якщо відстань супутника від поверхні Землі змінюється мало
порівняно з відстанню від центра Землі, то силу притягання
супутника Землею можна (для грубих розрахунків) вважати ста-
лою за величиною, як це ми робили при вивченні польоту тіла,
кинутого під кутом до горизонту, у § 113. Але напрям сили
тяжіння вже не можна буде вважати сталим, як для коротких тра-
єкторій куль і снарядів; тепер ми повинні враховувати, що сила
тяжіння напрямлена в будь-якій точці по радіусу до центра
Землі.
Розглядатимемо тільки рух штучних супутників по колових
орбітах (орбіти всіх супутників, у яких літали космонавти, ду-
же мало відрізнялися від кіл). Сила притягання Землі створю-
ватиме доцентрове прискорення супутника, яке дорівнює ^//?,
де /?— радіус орбіти, а Ут — невідома поки що швидкість супут-
ника. Припустимо, що орбіта проходить поблизу поверхні Землі,
= /?з Тоді, як і всяке тіло, яке перебуває поблизу поверхні
Землі і на яке не'діють ніякі сили, крім сили притягання, супут-
ник матиме прискорення, напрямлене вертикально, тобто також
до центра Землі. Отже:
В = із, <125. 0
де /? з — радіус Землі. Звідси знаходимо, що швидкість су-
путника, який описує колову орбіту поблизу поверхні Землі, по-
винна дорівнювати
(125. 2)
Підставляючи значення прискорення сили тяжіння = 9,8
м/сек2) і величину радіуса Землі (6378 км), знайдемо:
Уі~7910 м/сек.
Рухаючись із цією швидкістю, супутник обходив би Землю
навколо за 84 хв 12 сек.
Цю швидкість називають першою космічною швидкістю.
Супутник, який обертається навколо Землі поблизу аемної
поверхні, має прискорення, що дорівнює § і напрямлене до цен-
$ 125]
ШТУЧНІ СУПУТНИКИ ЗЕМЛІ
237
Рис. 208. Рисунок з праць Ньютона: траєк-
торії тіла, яке кидають з вершини високої
гори з різними горизонтальними швидкос-
тями. Ще Ньютон розумів, що для запуску
тіла на орбіту навколо Землі тіло повинно
мати досить велику швидкість. О, Е, Е,
О — пункти, в яких закінчуються траєкторії
при збільшенні швидкості.
тра Землі, тобто таке саме прискорення сили тяжіння, як і вся-
ке тіло, кинуте з тією або іншою початковою швидкістю (або
просто випущене без початкової швидкості) поблизу земної
поверхні. Отже, рух супутника є просто вільне падіння, подібно
до руху куль і снарядів або балістичних ракет. Відмінність поля-
гає тільки в тому, що го-
ризонтальна швидкість
супутника така велика,
що радіус кривизни його
траєкторії дорівнює раді-
усу Землі: падіння (тобто
рух з прискоренням £, на-
прямленим до центра Зем-
лі) зводиться до обгинан-
ня земної кулі.
З формули (125. 1)
зрозуміло, що коли швид-
кість тіла буде менша за
першу космічну швид-
кість, то сила тяжіння
примусить його рухатись
по траєкторії з меншим
радіусом кривизни, ніж
радіус Землі /?з. Отже,
при такій швидкості тіло
впаде на Землю. При
більшій швидкості радіус
кривизни траєкторії буде
більший за /?з і тіло опи-
ше еліптичну траєкторію
(рис. 208).
Насправді супутник не
можна запустити по орбі-
ті радіуса /?з через вели-
чезний опір повітря поблизу
повинна бути ШВИДКІСТЬ V руху по коловій орбіті будь-якого
радіуса /?, більшого від /?з. Для цього скористаємось формулою,
аналогічною до (125.2), враховуючи, що прискорення вільного
падіння зменшується при віддаленні від центра Землі у відно-
шенні, оберненому відношенню квадратів відстаней від центра.
Прискорення на відстані /? від центра Землі знайдемо за
формулою
поверхні Землі. Знайдемо, яка
Єн
238
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
Швидкість V руху супутника по коловій орбіті радіуса
знайдемо з рівності
^2
ЗВІДКИ
с У = (І25.3>
Отже, із збільшенням радіуса орбіти швидкість штучного
супутника зменшується ’.
Проте це не означає, що для запуску супутника на орбіту
більшого радіуса двигуни ракети повинні виконати меншу робо-
ту. Зменшується лише частка роботи, яка потрібна для надання
супутнику кінетичної енергії. Але при цьому супутник треба під-
няти на більшу висоту над Землею; отже, треба буде виконати
більшу роботу проти сили земного притягання, тобто надати
супутнику більшої потенціальної енергії. У підсумку виявляється,
що із збільшенням радіуса орбіти сумарна робота, яка потріб-
на для запуску супутника, зростає.
Справді, розрахуємо, як змінюється залежно від радіуса
орбіти робота, яка потрібна для піднімання супутника з земної
поверхні до орбіти і надання йому швидкості, потрібної для руху
по орбіті. Позначимо масу супутника через т і розглянемо його
політ по орбіті радіуса 7? і по близькій орбіті більшого радіуса
/?ь Орбіти називатимемо близькими, якщо різниця /?і — 7? їх
радіусів мала порівняно з самими радіусами.
З (125.3) випливає, що кінетична енергія супутника при
польоті по цих двох орбітах дорівнює відповідно
£ [\ Ь Ж'1
Різниця кінетичних енергій дорівнює
або, наближено,
Тк-Т*, =
З другого боку, робота проти сил тяжіння при переміщенні
з однієї орбіти на іншу дорівнює силі тяжіння, яка діє на супут-
ник, помноженій на різницю висот супутника над поверхнею
Землі, тобто на різницю /?і — /? радіусів орбіт. Оскільки орбіти
1 Найменша висота над рівнем Землі, на якій опір повітря такий малий,
що ним можна знехтувати, становить близько 300 км. Радіус відповідної
орбіти дорівнює (округлено) 6700 км. З формули (125. 3) знайдемо, що швид-
кість руху супутника по такій орбіті дорівнюватиме приблизно 7800 м/сек.
§ 125]
ШТУЧНІ СУПУТНИКИ ЗЕМЛІ
239
близькі, зміною сили тяжіння при переході з однієї орбіти на
іншу можна знехтувати. Сила тяжіння на відстані /? від центра
/?
Землі дорівнює т§ . Отже, робота сили тяжіння при пере-
/?2
ході з орбіти радіуса /? на орбіту радіуса /?і дорівнює
А = — Я).
Згідно з (125.2) цю величину можна написати у вигляді
А =т^з*^.
Знайдена так робота сили тяжіння і е збільшенням потенціаль-
ної енергії І/ супутника при переході його з орбіти радіуса /? на
орбіту радіуса /?і:
Порівнюючи знайдені вирази для зміни кінетичної енергії і для
зміни потенціальної енергії, побачимо, що, справді, зменшення
потрібної кінетичної енергії при переході на орбіту трохи біль-
шого радіуса дорівнює лише половині потрібного збільшення
потенціальної енергії при цьому самому переході; сумарна пот-
рібна енергія зросла. Такий самий розрахунок можна повтори-
ти і для переходу з орбіти радіуса /?і на орбіту ще більшого
радіуса і т. д. Внаслідок цього ми знайдемо, що приріст потен-
ціальної енергії піла при переході з однієї колової орбіти на
будь-яку іншу орбіту більшого радіуса в два рази більший, ніж
зменшення кінетичної енергії, яка потрібна для того, щоб супут-
ник міг описувати навколо Землі ці орбіти.
Тепер ми можемо знайти потенціальну енергію супутника
(або будь-якого тіла), що лежить на певній відстані від Землі.
При польоті супутника біля самої поверхні Землі, при радіусі
орбіти /?з, кінетична енергія супутника дорівнює Тр3 =
при польоті по орбіті радіуса /? кінетична енергія дорівнює Тп =
1 1
= 2" або, згідно з (125. 3),7\ = у ти\ Вважатиме-
мо, що потенціальна енергія тіла поблизу поверхні Землі дорів-
нює нулю. Тоді приріст потенціальної енергії при віддаленні на
відстань /? від центра Землі просто дорівнюватиме потенціаль-
ній енергії ип на цій відстані. Згідно з сказаним вище, ця енер-
гія дорівнюватиме
£/я = 2(ТЛз-Тл) = тц’(1-^).
Ми бачимо, що потенціальна енергія тіла зростає при збільшен-
ні /?, тобто в міру його віддалення від Землі, і прямує до
240
КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ
[РОЗД. V
величини при безмежному віддаленні від Землі. Зауважимо,
що сумарна робота, виконана силами тяжіння, прямує до скін-
ченної величини іт> 2, незважаючи на те, що шлях, на якому
виконує роботу сила притягання, нескінченний. Це пояснюється
тим, що сила тяжіння швидко зменшується при збільшенні від-
стані від Землі: обернено пропорціонально квадрату відстані
від центра Землі.
Знайдемо тепер, з якою швидкістю Уц треба кинути тіло від
Землі, щоб воно ніколи не повернулося на Землю. Очевидно, що
для цього, згідно з законом збереження енергії, кінетична енер-
гія тіла в момент кидання біля поверхні Землі повинна дорівню-
вати потенціальній енергії тіла на нескінченному віддаленні;
тоді при віддаленні тіла від Землі його кінетична енергія витра-
чатиметься на надання йому потенціальної енергії, тіло віддаля-
тиметься на нескінченну відстань і його швидкість при цьому
прямуватиме до нуля. Отже, початкова кінетична енергія тіла
повинна бути в два рази більшою за його кінетичну енергію при
першій космічній швидкості: повинно бути у ті>2п = тур
Звідси знаходимо:
= VI ]/2 » 1,414 ... гц.
називають другою космічною швидкістю. Підставляючи знай-
дене раніше значення першої космічної швидкості, дістанемо:
Ум = И 190 м/сек.
При киданні тіла з швидкістю, більшою за другу космічну
швидкість, воно також не повернеться на Землю, але в цьому
разі з віддаленням тіла від Землі його швидкість не прямувати-
ме до нуля.
Вправи. 125. 1. З якою швидкістю треба підкинути тіло вертикально
вгору, щоб воно досягло висоти над поверхнею Землі, що дорівнює радіусу
Землі? Під час розрахунку опором повітря знехтувати, але врахувати зміну
сили тяжіння.
125. 2. Знайти, на якій відстані від центра Землі період обертання штуч-
ного супутника дорівнюватиме 24 год, так що супутник зможе займати від-
носно обертової Землі незмінне положення («синхронні супутники»).
РОЗДІЛ VI
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ
І СИЛИ ІНЕРЦІЇ
§ 126. Роль системи відліку. Досі ми розглядали рух тіл тіль-
ки відносно інерціальних систем відліку. Як ми вже говорили,
рух відносно таких систем ніколи не виникає без причини: що-
разу, коли тіло набуває прискорення відносно такої системи, ми
можемо назвати сили, які діють на нього з боку інших тіл, які
й є причиною цього прискорення. Закономірності, що зв’язують
прискорення тіла відносно інерціальних систем, і сили, які на
нього діють,— це закон інерції і другий закон Ньютона.
У цьому розділі розглядатимемо рухи тіл відносно неінер-
ціальних систем відліку. Рухи відносно таких систем можуть
виникати без причини, тобто тіла можуть набувати прискорення
без дії на них сил з боку інших тіл. Так, без дії яких-небудь ін-
ших тіл чемодан злітає з полиці в поїзді, який різко загальму-
вав свій рух; чемодан набуває прискорення відносно поїзда, хоч
ніякі тіла це прискорення не спричинювали. Звичайно, якщо цей
самий рух розглядати відносно інерціальної системи відліку
(наприклад, Землі), то тіло, яке спричинило явище, ми зможемо
назвати: у різко загальмованому поїзді чемодан продовжує
рухатися з інерції з попередньою швидкістю, а полиця, прикріп-
лена до вагона, на який (але не на чемодан!) подіяла сила тер-
тя загальмованих коліс об рейки, зменшує свою швидкість і,
відстаючи від чемодана, вислизає з-під нього.
Отже, рух тіл відносно неінерціальних систем відліку підля-
гає іншим закономірностям, ніж рух відносно інерціальних сис-
тем. Щоб розібратися в цих закономірностях, треба докладніше
розглянути рухи відносно різних систем відліку.
§ 127. Рух відносно різних інерціальних систем відліку. На-
самперед порівняємо рухи відносно двох інерціальних систем.
Закони руху для таких систем — ті самі: це закони Ньютона. Але
характер руху для різних систем може бути різним. Візьмемо,
наприклад, за одну з инерціальних систем Землю, а за другу —
16 7-ЮЗ
242
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
(РОЗД.’VI
вагон поїзда, який рівномірно рухається по прямій дільниці шля-
ху. Нехай у вагоні на нитці підвішено яке-небудь тіло. При пря-
мовисному положенні нитки тіло перебуватиме в рівновазі: сума
сил, які діють на нього (притягання Землі і натяг нитки), дорів-
нюватиме нулю. Перепалимо нитку; тіло почне падати з приско-
ренням § і його траєкторія від-
носно вагона буде вертикальною
прямою, що можна встановити,
наприклад, фотографуючи падін-
ня кінокамерою, установленою в
самому вагоні. Якщо рух тіла
розглядати відносно Землі, на-
приклад, фотографуючи його з
полотна залізниці, то траєкторія
тіла буде параболою (рис. 209).
Навпаки, підвішуючи тіло на
Землі і фотографуючи його падін-
ня після перепалювання нитки,
дістанемо траєкторію у вигляді
вертикальної прямої на знімку,
зробленому з < земної поверхні,
і параболу — на знімку, зробле-
Рис. 209. Вертикальна пряма —
траєкторія руху тягарця відносно
вагона після перепалювання нитки.
Парабола — траєкторія відносно
Землі. Стрілка — напрям швидкос-
ті вагона, який рухається рівно-
мірно.
ному з вагона.
Усе це легко пояснити. Оскільки в усіх інерціальних системах
відліку справедливий другий закон Ньютона, а на рухоме тіло
діють ті самі сили, то різниця в рухах відносно різних систем
буде спричинена лише різними початковими швидкостями тіла
відносно обох інерціальних систем. У першому прикладі тіло
спочатку перебувало в спокої відносно поїзда, а відносно Землі
рухалося в горизонтальному напрямі з швидкістю поїзда. Отже,
після перепалювання нитки відносно вагона відбувалося вільне
падіння тіла без початкової швидкості, а відносно Землі — та-
кож вільне падіння, але з початковою швидкістю. У другому при-
кладі падіння без початкової швидкості відбувалося відносно
Землі, а з початковою швидкістю — відносно вагона.
Проте в обох системах прискорення тіла однакове. Спочатку
сума сил, які діють на тіло, дорівнює нулю і виконується закон
інерції: тіло в кожній системі або перебуває в спокої, або руха-
ється з сталою швидкістю прямолінійно, тобто не має приско-
рення. Після перепалювання нитки на тіло діє лише сила тяжін-
ня і виявляється, що для обох систем виконується другий закон
Ньютона: відносно кожної системи відліку тіло падає з приско-
ренням £, спричиненим тяжінням Землі.
Аналогічна картина спостерігатиметься і в усіх інших випад-
ках рухів тіл відносно різних інерціальних систем відліку.
§ 128]
РУХ У НЕІНЕРЩАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
243
Рис. 210. Відхилення виска у ва-
гоні, який рухається прискорено.
Стрілка показує напрям приско-
рення вагона.
§ 128. Рух відносно інерціальної і неінерціальноТ систем
відліку. Інша картина буде при порівнянні даного руху відносно
якої-небудь інерціальної і якої-небудь неінерціальної системи
відліку. Сили, які діють на тіла, однакові для будь-яких систем
відліку: це взаємодії тіл, і вони не залежать від того, відносно
якої системи відліку вивчається рух тіла. Але прискорення тіл
відносно інерціальної і неінерціальної * систем різні. Тому
відносно неінерціальних систем відліку -не тільки характер руху
буде іншим, але зміняться й самі
закони руху порівняно з закона-
ми Ньютона, справедливими ли-
ше для інерціальних систем від-
ліку.
Проілюструємо це знову на
прикладі підвішеного тягарця,
вважаючи тепер, що вагон, в яко-
му висить тягарець, рухається по
горизонтальній прямій дільниці
шляху прискорено. Прискорення
поїзда позначимо через а. У цьо-
му випадку нитка, на якій підві-
шено тіло, установиться при рів-
новазі не по виску, як у вагоні,
що рівномірно рухається, а під деяким кутом до вертикалі, від-
хиляючись у бік, протилежний прискоренню вагона (рис. 210)
Відхилення тим більше, чим більше прискорення. Таким чином,
тіло відносно вагона перебуває в рівновазі, тоді як сили, що
діють на тіло (сила тяжіння т§ і сила натягу нитки Т), напрям-
лені під кутом одна до одної і тому зрівноважувати одна одну
не можуть. Отже, відносно системи відліку «вагон, який рухаєть-
ся прискорено», закон інерції несправедливий: тіло перебуває
в спокої, тоді як результуюча сил, які діють на нього, не дорів-
нює нулю.
Цю результуючу легко знайти, розглянувши рух тіла відносно
Землі. Оскільки тіло відносно вагона нерухоме, то його приско-
рення відносно Землі дорівнює прискоренню вагона а. Отже,
результуюча дорівнює та і напрямлена горизонтально.
Якщо нитку, на якій висить тіло, перепалити, то воно почне
прискорено падати, причому, як показує дослід, його траєкторія
буде похилою прямою, що лежить на продовженні нитки до того,
як її було перепалено (пунктир на рис. 210). Але після перепа-
лювання нитки на тіло діє* лише одна сила — сила притягання
1 При цьому не має значення, як напрямлена швидкість вагона — в на-
прямі прискорення чи в протилежний бік. Не має значення і величина швид-
кості. Істотне тільки прискорення.
16*
244
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
[РОЗД. VI
Землі, напрямлена вертикально вниз. А прискорення відносно
вагона напрямлене під кутом до вертикалі. Отже, відносно ва-
гона виконується і другий закон Ньютона.
Що ж до руху тіла відносно Землі, то він відбувається, як
і раніше, за законами Ньютона: до перепалювання нитки рівно-
дійна сил, які діють на тіло, дорівнювала та, тому тіло і руха-
лось з тим самим прискоренням, що й поїзд; після перепалюван-
ня нитки тіло падає по параболі з початковою швидкістю, яка
дорівнює швидкості поїзда в момент перепалювання нитки;
справді, після того як нитку перепалено, рух поїзда вже ніяк не
впливає на рух не зв’язаного з ним тіла.
Отже, з точки зору спостерігача, що перебуває в неін^рціаль-
ній системі відліку, тобто спостерігача, що вивчає рух відносно
неінерціальної системи, причини прискорень і закони руху інші,
ніж з точки зору спостерігача, який перебуває в інерціальній
системі відліку. Ми часто перебуваємо в положенні спостеріга-
чів, що перебувають у неінерціальній системі відліку: ми буває-
мо в такому положенні всередині автомашин, літаків, супутни-
ків, які рухаються прискорено. Ми побачимо нижче, що, точно
кажучи, навіть Земля, до якої ми відносимо більшість рухів, які
повсякденно зустрічаються, є неінерціальною системою відліку
і її можна вважати інерціальною лише для порівняно грубих
дослідів, як вище наведений дослід з підвішеним тягарцем.
У всіх цих випадках значно простіше відносити всі спостережу-
вані рухи до самих автомашин, літаків, супутників і т. д., що
рухаються неінерціально, ніж щоразу з’ясовувати, як рухається
тіло відносно інерціальної системи. Але тоді треба знати, які
закони руху тіл відносно неінерціальних систем відліку і чим во-
ни відмінні від законів Ньютона. У наступних параграфах ми й
з’ясуємо ці відмінності.
Вираз «з їочки зору спостерігача, що перебуває в тій або
іншій системі відліку» підкреслює, що всі вимірювання положен-
ня, швидкості і прискорення тіла виконуються відносно саме
даної системи відліку, як вона б не рухалась відносно звичних
нам систем (Земля, Сонце і зорі) тобто так, як їх довелося б
виконувати жителеві Землі (відносно Землі), пасажирові авто-
машини (відносно автомашини), космонавтові (відносно косміч-
ного корабля) і т. д.
Вправи. 128.1. Знайти кут а відхилення від вертикалі виска у вагоні,
який рухається по горизонтальному шляху з прискоренням а. Чи залежить
цей кут від маси тягарця? Знайти натяг нитки виска, коли відомо, що маса
підвішеного тягарця дорівнює т.
128. 2. Яка сила повинна діяти на тіло маси т, щоб воно рухалось рівно-
мірно і прямолінійно відносно вагона, який рухається поступально з приско-
ренням а?
§ 130]
НЕІНЕРЦІАЛЬНІ СИСТЕМИ
245
§ 129. Чи є Земля інерціальною системою відліку? Досі ми
користувались як інерціальними системами не тільки Землею,
а й системою відліку «Сонце — зорі». Проте чи е одна з цих сис-
тем інерціальною? Ми ставимо так питання, бо обидві вони інер-
ціальними бути не можуть: якщо розглядати рух відносно Сонця
і зір, то Земля обертається навколо своєї осі і рухається навко-
ло Сонця по криволінійній орбіті, тобто з прискоренням відносно
Сонця і зір.
Доцентрове прискорення точок Землі відносно Сонця і зір,
спричинене її обертанням, буде найбільшим на екваторі. Для то-
чок на екваторі це прискорення можна знайти за формулою
а = ш2г,
підставляючи замість со кутову швидкість обертання Землі, що
дорівнює 2л радіанів за добу, або приблизно 7,5- 10~5 рад/сек,
а замість г—радіус Землі, що дорівнює 6,4- 106 м. Розрахунок
дає а ~ 0,034 м/сек2. Прискорення точок Землі при її річному
обертанні навколо Сонця визначимо з тієї самої формули, під-
ставляючи в неї замість (о величину 2л радіанів за рік, або при-
близно 2-10“7 рад/сек і замість — радіус земної орбіти,
що дорівнює 1,5 • 1013 м. Прискорення дорівнюватиме а~
» 0,0006 м/сек2. >
Як бачимо, прискорення Землі в її космічних рухах дуже
малі порівняно з тими, з якими доводиться практично зустріча-
тися в рухах біля поверхні Землі, наприклад з прискоренням
вільного падіння £~10 м/сек2. Тому в усіх порівняно грубих
дослідах які ми розглядали досі, ці прискорення не відігравали
ніякої ролі, так що коли одна з застосовуваних систем відліку
(Земля і «Сонце — зорі») інерціальна, то практично інерціальною
для грубих дослідів була й друга система відліку. Проте точні-
ші досліди повинні виявити відмінність між цими двома система-
ми відліку і встановити, чи є одна з цих систем інерціальною
і яка саме.
Насправді вдалось установити, що інерціальною системою
відліку є система «Сонце—зорі», а Земля є неінерціальною си-
стемою (§ 136, 137). Але, як ми бачили, відмінність Землі від
інерціальної системи невелика, і нею звичайно нехтуватимемо.
Випадки, коли неінерціальність Землі треба враховувати, роз-
глядатимемо спеціально.
§ 130. Неінерціальні системи, які рухаються поступально.
Відмінності в законах руху тіл відносно неінерціальних і інерці-
альних систем виражаються найпростіше для неінерціальних
систем, які рухаються поступально відносно інерціальних. Візь-
мемо, наприклад, за неінерціальну систему вагон, який рухається
246
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
[РОЗД. VI
прискорено по прямій дільниці шляху, а за інерціальну систе-
му— Землю. Відмінність між законами руху відносно вагона і
Землі полягатиме в тому, що потрібні будуть різні сили, щоб
рухи тіла відносно вагона і відносно Землі відбувалися з одна-
ковими прискореннями.
Справді, почнемо з випадку, коли тіло відносно вагона пере-
буває в спокої. Тоді, як ми бачили в попередньому параграфі,
сила, яка діє на тіло, є
Р = та,
де т— маса тіла, а — прискорення неінерціальної системи відлі-
ку. Але для того, щоб тіло не мало прискорення відносно Землі,
сила, яка діє на нього, повинна дорівнювати нулю. Отже, щоб
перетворилося в нуль прискорення тіла відносно Землі, до сил,
які вдержують тіло в рівновазі відносно вагона, треба було б
додати ще силу
Ц = —та.
Тепер припустимо, що тіло рухається вздовж вагона з при-
скоренням Ь, а сам вагон, як і раніше, рухається з прискорен-
ням а. Тоді результуюче прискорення тіла відносно Землі дорів-
нюватиме
с = а + Ь.
Звідси, згідно з другим законом Ньютона, випливає, що резуль-
туюча сила, яка діє на тіло, дорівнює
Р = тс = та + тЬ.
Але для того, щоб тіло рухалось відносно Землі з тим самим
прискоренням Ь, з яким воно рухалось відносно вагона, на нього
повинна була б діяти сила тЬ. Отже, і в цьому випадку, щоб
мати відносно Землі таке саме прискорення, як і відносно вагона,
сили повинні бути різними: для руху відносно Землі з прискорен-
ням Ь до сили Р, яка надавала тілу прискорення Ь відносно ва-
гона, треба було б додати ще силу
/, = —/па,
тобто силу, яка дорівнює масі тіла, помноженій на прискорення
неінерціальної системи, узяте з протилежним знаком.
Ми розглянули лише рух тіла вздовж вагона і лише прямолі-
нійний рух вагона. Проте можна показати, що таке саме спів-
відношення сил буде і при будь-якому поступальному русі ваго-
на (як прямолінійному, так і криволінійному) і при довільному
русі тіла (наприклад, поперек вагона або по криволінійній тра-
єкторії).
$ 131] СИЛИ ІНЕРЦП 247
§ 131. Сили інерції. Отже, щоб мати відносно Землі такий
самий рух тіла, який воно здійснює відносно вагона, що руха-
ється прискорено, треба до всіх сил, які діють на тіло з боку
інших тіл (сил тяжіння, сил пружності і т. д.), додати ще
силу /г, яка дорівнює масі тіла, помноженій на прискорення не-
інерціальної системи відліку, взяте з протилежним знаком. Такі
додаткові сили називають силами інерції. Тоді для рухів, які
розглядаються відносно неінерціальної системи відліку, будуть
справедливі ті самі закони руху, що й для інерціальної системи
відліку: закон інерції і другий закон Ньютона. Маса тіла, по-
множена на його прискорення відносно неінерціальної системи
відліку, дорівнюватиме за величиною і напрямом рівнодійній
усіх сил, прикладених до тіла, включаючи і сили інерції.
Сили інерції принципово відрізняються від усіх тих сил, з
якими ми мали справу раніше. Ці сили зумовлені не дією яких-
небудь певних тіл на дане тіло, а наявністю прискорення даної
неінерціальної системи відліку відносно будь-якої інерціальної,
зокрема відносно системи «Сонце — зорі».
Але не слід вважати, що сили інерції взагалі ніяк не зв’язані
з існуванням матеріальних тіл. Адже сили інерції ми вводимо
в системах відліку, що мають прискорення відносно Сонця і зір,
тобто в кінцевому підсумку відносно всіх зір, туманностей
і міжзоряної матерії. Саме прискорення системи відносно цієї
величезної маси тіл і є причиною, того, що рух у такій системі
відрізняється від руху в системі відліку, який не має тако-
го прискорення. Цю відмінність і враховують, вводячи сили
інерції.
Для сил, які діють з боку одного тіла на інше, ми завжди
можемо назвати тіло, з боку якого діє дана сила. Для сил інер-
ції ми можемо назвати тіло, на яке сила діє, але не можемо на-
звати ніякого певного тіла, з боку якого ця сила діє. Тому третім
законом Ньютона в неінерціальних системах не можна буде
користуватися навіть при врахуванні сили інерції. Справді, ця
сила виникла одна, а не «парою». Немає ніяких сил протидії,
прикладених до другого тіла з боку даного, та немає й самого
«другого» тіла. Звичайно, не можна користуватись і наслідками
з третього закону Ньютона. Так, закон збереження імпульсу
для рухів, які розглядаються відносно неінерціальних систем
відліку, не справедливий.
У чому ж суть введення сил інерції? Досі перший і другий
закони Ньютона давали змогу нам знаходити рухи лише віднос-
но інерціальних систем відліку, так що знайти рух відносно
неінерціальної системи ми могли лише за допомогою перерахун-
ку. Ввівши сили інерції, ми можемо користуватись тими сами-
ми законами руху як для інерціальних, так і для неінерціальних
248
РУХ У НЕІНЕРЩАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
(РОЗД. VI
Рис. 2(1. Рівновага сил для ван-
тажу, який перебуває в спокої
у вагоні, що рухається прискорено.
На вантаж діють сила тяжіння,
натяг нитки і сила інерції.
систем. Закони будуть однаковими, але в неінерціальних систе-
мах, крім «звичайних» сил, виникають сили інерції.
Як приклад, який ми розглянули в § 128 з точки зору «інерці-
ального спостерігача», можна розглянути заново задачу про
положення виска у вагоні, який рухається прискорено. Вводячи
сили інерції, ми приходимо до задачі про рівновагу підвішеного
на нитці тягарця під дією сили ваги, сили натягу нитки і сили
інерції. На рис. 211 показано всі ці сили. Легко перевірити, що
як і повинно бути, розрахунок дасть те саме значення для кута
відхилення виска і для натягу
нитки, що й у вправі 128. 1.
Так само, вводячи сили інер-
ції, ми можемо розглянути рухи,
описані в § 31, відносячи рух до
прискореної системи відліку і ко-
ристуючись законами Ньютона:
ми можемо описати рух «з точки
зору спостерігача в неінерціаль-
ній системі». При різкому гальму-
ванні вагона, тобто при наданні
вагону прискорення, напрямлено-
го назад, на тіло людини, яка
стоїть, подіє сила інерції, напрям-
лена вперед: під дією сили інерції
людина нахилиться вперед і може
впасти. При збільшенні швидкості вагона, навпаки, сила інерції
буде напрямлена назад і відхилить тіло людини в бік, протилеж-
ний руху. Скидання краплини з пера можна розглядати як рух
краплини відносно пера, яке рухається вниз. При різкій зупинці
пера ми надаємо йому прискорення, напрямленого вгору. Отже,
сила інерції, я^а діє на краплину, буде напрямлена вниз: вона
і відірве краплину від пера. При різкій зупинці артилерійського
снаряда, що летить, на вибуховий капсуль починає діяти сила
інерції, яка напрямлена вперед і наштовхує його на жало дето-
натора.
Отже, розглядаючи рух відносно інерціальних і відносно не-
інерціальних систем відліку, ми в обох випадках можемо розра-
ховувати сили і знаходити рух, користуючись законами Ньютона.
Але в першому випадку слід розглядати лише сили, які діють
з боку інших тіл, а в другому випадку, крім них, треба ще врахо-
вувати і силу інерції.
§ 132. Еквівалентність сил інерції і сил тяжіння. Сили інер-
ції і сили тяжіння схожі між собою: і ті й ті пропорціональні
масі тіла, на яке вони діють, і тому прискорення, надавані дано-
§ 132]
. ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ СИЛ ІНЕРЦІЇ І СИЛ ТЯЖІННЯ
249*
му тілу як силами тяжіння, так і силами інерції, не залежать від
маси цього тіла. Отже, спостерігаючи в даній системі відліку за.
рухом тіла під дією сил і не знаючи, чи є ця система інерціаль-
ною, не можна розрізнити, з чим маємо ми справу: з силою тя-
жіння чи з силою інерції.
Наприклад, спостерігатимемо підвішений або падаючий тяга-
рець у вагоні. Без спостережень за якими-небудь тілами, розмі-
щеними поза вагоном, ми не зможено визначити, чим спричинено*
Рис. 212. Еквівалентність сил тяжіння і сил інерції: відхилення виска могло-
бути спричинене як нахиленим положенням вагона, так і його прискореним
рухом.
відхилення виска або траєкторії падаючого тягарця від перпен-
дикуляра до підлоги вагона. Справді, уявимо собі, що вікна ва-
гона закриті шторами і ми не можемо визначити напрям у вер-
тикалі, наприклад, дивлячись на стіни будинків. Як у цьому
випадку ми можемо пояснити спостережуване відхилення виска
від перпендикуляра до підлоги вагона? Висок відхилиться, якщо
вагон нерухомий, але стоїть на похилому шляху (рис. 212, а).
Тьді відхилення нитки пояснюється дією сили тяжіння: висок,
перпендикулярний до поверхні Землі, а підлога вагона до неї
нахилена. Але таке саме відхилення може виникнути і на гори-
зонтальному шляху, коли вагон рухається з прискоренням у бік,,
протилежний відхиленню виска від перпендикуляра до підлоги’
(рис. 212,6). У цьому разі відхилення пояснюється тим, що ва-
гон рухається прискорено. Те саме стосується і спостереження
траєкторії падіння тягарця при перепалюванні нитки. Якщо вва-
жати, що напрям виска або напрям вільного падіння дає напрям,
сили тяжіння, то в першому випадку цей напрям буде визначе-
ний правильно, а в другому—неправильно. Проте в закритому
вагоні немає ніякого способу з’ясувати напрям саме сили тяжін-
ня. Досліди, які виконують всередині вагона, завжди дають.
250
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
[РОЗД. VI
результуючу сили тяжіння і сили інерції, а оскільки обидві сили
однаково залежать від маси прискорюваних тіл, то ми й не
можемо їх розмежувати.
Розглянемо ще приклад одночасної дії сили тяжіння і сили
інерції. Уявимо собі кабіну ліфта, який рухається по вертикалі
з прискоренням, яке може бути напрямлене як угору, так і вниз
(напрям униз вважатимемо додатним). Вважатимемо, що ми не
можемо виглянути назовні, щоб установити, як рухається кабіна
відносно Землі. Висок з тягарцем у такому ліфті завжди розмі-
ститься по перпендикуляру до підлоги кабіни, бо і сила тяжін-
ня, і сила інерції напрямлені по перпендикуляру до підлоги. Але
<ила натягу нитки (її можна виміряти, наприклад, динамомет-
ром, прикріпленим до нитки) залежатиме від прискорення ліф-
та. Справді, нехай прискорення ліфта напрямлене вгору і дорів-
нює— а. Тоді сила інерції напрямлена вниз і дорівнює та.
«Оскільки підвішений тягарець перебуває в спокої під дією -сили
тяжіння, сили інерції і натягу нитки, то сила натягу нитки дорів-
нюватиме Т = т§ + та = т(§ + а); це значення і покаже ди-
намометр. Але, залишаючись усередині ліфта, ми не можемо
з’ясувати, чим спричинений цей розтяг: прискореним рухом ліф-
та чи підвищеною силою тяжіння, яка дорівнює т\£ + а).
Адже на планеті з більшою силою тяжіння, ніж на Землі, дана
гиря у ліфті, який перебуває в спокої, також розтягувала б
динамометр із силою, що перевищує т§.
Якщо тепер уявимо собі, що ліфт рухається з прискоренням,
напрямленим униз, то сила інерції буде напрямлена вгору і на-
тяг нитки становитиме Т = т§ — та. Цей натяг також можна
^було б спостерігати в нерухомому ліфті, якби досліди здійсню-
вались на меншій планеті, — розрізняти ці два випадки за опи-
саним дослідом знову не можна. Якщо прискорення ліфта
напрямлене вниз і за величиною перевищує то результуюча
сили тяжіння і сили інерції буде напрямлена вгору і за абсо-
лютною величиною дорівнюватиме та — т§. Під дією цієї сили
тягарець, прикріплений ниткою до підлоги, підніметься до стелі:
«верх» і «низ» поміняються місцями. При перепалюванні нитки
тягарець упаде на стелю. Перебуваючи всередині ліфта і не маю-
чи уявлення про те, що відбувається зовні ліфта, ми зможемо
пояснити такі досліди або як появу сил інерції внаслідок приско-
реного руху ліфта, або як зміну величини (і напряму відносно "
кабіни) сили тяжіння, або як наявність обох причин разом.
З усього сказаного випливає, що при поступальному приско-
реному русі системи відліку відносно інерціальних систем сили
інерції, які виникають у прискореній системі, такі, як коли б
усі тіла притягувались у бік, протилежний прискоренню систе-
ми, з силами, пропорціональними масі тіл. «Прискорення вільно-
<§ 133]
НЕВАГОМІСТЬ І ПЕРЕВАНТАЖЕННЯ
251
го падіння», спричинене цією «силою тяжіння», дорівнює при-
скоренню системи відліку відносно інерціальних систем, узятому
з протилежним знаком. Прискорений поступальний рух системи
відліку еквівалентний за своєю дією на рух тіл виникненню від-
повідних сил тяжіння. Це твердження називають еквівалентні-
стю сил тяжіння і сил інерції. Оскільки сили тяжіння залежать
від відстані до притягуючого тіла, то сили інерції можуть бути
еквівалентні їм лише в обмежених областях, у межах яких ця
залежність ще не позначається. Ми повернемось до цього питан-
ня в § 137.
§ 133. Невагомість і перевантаження. Розглянемо системи
відліку, зв’язані з тілами, на які діють лише сили тяжіння.
Такою системою є, наприклад, корпус штучного супутника.
Однак спочатку розглянемо простіший приклад. Уявимо собі,
що трос, на якому висить кабіна ліфта, обірвався і кабіна поча-
ла падати з прискоренням £, напрямленим униз. Сила інерції,
яка діє на тіло маси т, розміщене в кабіні, дорівнюватиме — т§.
Знак мінус показує, що сила напрямлена вгору, протилежно силі
тяжіцня. Але сила тяжіння цього тіла дорівнює т§ і напрямлена
вниз. Отже, разом з силою інерції ці сили взаємно зрівноважать-
ся. Якщо тіло висіло на нитці, то натяг нитки зникне; якщо пере-
палити нитку, то тіло залишиться на місці. Якщо штовхнемо
незакріплене тіло, надавши йому деякої швидкості, то воно руха-
тиметься прямолінійно і рівномірно, поки не вдариться об стінку
кабіни. Висок не матиме ніякого певного положення рівноваги:
якщо штовхнути тягарець виска вбік, то, замість того, щоб
почати коливатись поблизу положення рівноваги, він рівномірно
обертатиметься навколо точки підвісу. Щоб тіло перебувало
в спокої відносно падаючого ліфта, не потрібно ні опори, ні підві-
су, і тіла, які перебувають у спокої, не будуть деформовані. Вод-
ночас зникає сила, з якою тіло, що перебуває в спокої під дією
сили тяжіння, тисне на підставку або розтягує підвіс; словом,
зникає сила ваги. Тому умови, які спостерігаються в падаючому
ліфті, називають станом невагомості.
Така сама картина невагомості спостерігатиметься і в штуч-
ному супутнику, який обертається по орбіті. Адже рух супутни-
ка, як ми бачили (§ 125), є також вільним падінням з прискорен-
ням, що дорівнює прискоренню сили тяжіння; тому для будь-
якого тіла в супутнику з точки зору спостерігача, який перебу-
ває в ньому, сума сил тяжіння і сил інерції дорівнюватиме нулю.
Всередині кабіни не можна визначити, де «верх» і де «низ»; тіла
не падають на підлогу, а «плавають» у повітрі; для того щоб
удержати в руці тіло навіть значної маси, непотрібно ніяких
зусиль і т. д. Але з точки зору спостерігача, що перебуває в інер-
252 *
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
[РОЗД. VI
ціальній системі відліку, космонавт не виявляє прискорень тіл,
що перебувають у кабіні, відносно стінок кабіни, у тому чйслі
і свого тіла, тому що як кабіна, так і всі тіла в ній, у тому числі
і він сам, «падають», тобто мають однакове прискорення £. Як
видно із сказаного, стан невагомості настає не тому, що сила
земного притягання «перестає діяти», а саме тому, що вона
«робить свою справу»надає всім тілам однакового приско-
рення.
Якщо космонавт зробить спробу масивному тілу, яке «пла-
ває» в повітрі, надати поштовхом великої швидкості, то він упев-
ниться, що для цього треба прикладати цілком певну силу. Цк>
силу можна визначити за другим законом Ньютона як добуток
маси тіла на його прискорення відносно кабіни. У стані неваго-
мості масивне тіло перестає тиснути на руку, яка вдержує його*
в певному положенні, але зовсім не перестає тиснути на руку„
яка надає йому прискорення. Якщо масивному тілу надано знач-
ної початкової швидкості, то воно продовжуватиме рухатися
з тією самою швидкістю прямолінійно, поки не вдариться об стін-
ку кабіни. Якщо стінка витримає цей удар, то тіло відіб’ється
від неї і почне рухатися в протилежному напрямі з тією самою
швидкістю. Таким чином, космонавт не виявить ніяких відхилень
від законів механіки, але виявить відсутність тих явищ, які
зумовлені дією сил земного тяжіння. Тому в стані невагомості
в космонавта відсутні звичні явища, спричинювані силою тяжіння
(наприклад, постійне напруження деяких м’язів, деформації
внутрішніх органів і т. д.), до яких організм пристосувався
в процесі еволюції.
Усе сказане про стан невагомості стосується того випадку»
коли на космічний корабель діють лише сили тяжіння. Але якщо
на нього діє ще й сила тяги реактивних двигунів, то стан нева-
гомості порушується. Наприклад, на «активній дільниці» траєк-
торії, коли двигуни працюють, розганяючи ракету до потрібної
швидкості і піднімаючи її вертикально вгору, сила інерції на-
прямлена вертикально вниз і для тіла маси т дорівнює та, де
а — прискорення ракети. Отже, космонавт, який розглядає рух
навколишніх тіл відносно стінок кабіни, виявить, що, крім сили
тяжіння т§, на тіло діє ще в тому самому напрямі сила інерції
та. Точніше кажучи, оскільки внаслідок еквівалентності сил
тяжіння і сил інерції він не зможе розрізнити ці сили, він вия-
вить, що на тіло діє сила т(§ + а) — результуюча сили тяжіння
і сили інерції. Картина буде така, як коли б сила тяжіння Зем-
лі збільшилась у раз. Прискорення при злітанні ракети
може значно перевищувати прискорення сили тяжіння, так що
результуючі сили, які діють ца тіла, що перебувають у спокої
$ 134|
ОБЕРТОВІ СИСТЕМИ ВІДЛІКУ
253
в кабіні, можуть у кілька разів перевищувати силу тяжіння для
цих тіл. Відповідно збільшаться і деформації, спричинені цією
збільшеною силою тяжіння, і сили, з якими діють одне на одне
деформовані тіла та їх частини. Це явище називають переван-
таженням. Говорять про дворазове, триразове і т. д. переванта-
ження, коли результуюча сил тяжіння і сил інерції перевищує
в два, три і т. д. рази вагу тіла, яке перебуває в спокої на Землі.
Стан перевантаження діє на організм космонавта значно біль-
ше, ніл$ стан невагомості, але при польотах у космосі він три-
ває значно менший час — час роботи двигунів.
Для того щоб космонавт легше витримував перевантаження,
вживають спеціальних заходів: космонавт розміщується лежачи
в спеціальному кріслі так, щоб його збільшена вага розподіля-
лась на якомога більшу площу і не змінювала умов кровообігу.
Перевантаження легко пояснити і з точки зору «інерціально-
го спостерігача». З цієї точки зору сили інерції відсутні, але, крім
сил тяжіння, до космічного корабля і до кожного з тіл, які в ньо-
му розміщені, прикладені сили, що діють при безпосередньому
стиканні і надають усім цим тілам певного прискорення. Ми
бачили (§ 119), що в цьому випадку прискорювані тіла будуть
деформовані і, отже, між їх частинами діють сили пружності,
такі самі, які діяли б між ними, коли б вони перебували в спо-
кої і на них діяла б збільшена сила тяжіння.
§ 134. Обертові системи відліку. Тепер розглянемо рух тіл від-
носно систем відліку, які обертаються відносно інерціальних
систем. Зробимо спробу і в цьому випадку ввести такі сили інер-
ції, щоб можна було користуватися законами Ньютона. Зрозу-
міло, що це буде складніше, бо в таких системах різні точки
мають різні прискорення відносно інерціальних систем відліку.
Почнемо з випадку, коли тіло перебуває в спокої відносно
обертової системи відліку. У цьому разі сила інерції повинна
зрівноважувати всі сили, які діють на тіло з боку інших тіл. Не-
хай система обертається з кутовою швидкістю со, а тіло розміще-
не на відстані г від осі обертання і перебуває в рівновазі в цій
точці. Щоб знайти результуючу сил, які діють на тіло з боку
інших тіл, можна, як і в § 128, розглянути рух тіла відносно інер-
ціальної системи. Цей рух є обертанням з кутовою швидкістю ю
по колу радіуса г. Згідно з § 119, результуюча напрямлена до
осі по радіусу і дорівнює /пю2г, де ш— маса тіла. Ця сила може
бути спричинена натягом нитки (обертання тягарця на нитці),
силою тяжіння (рух планет навколо Сонця), пружністю інших
тіл (пружність рейок під час руху вагона по закругленню)
і т. д. Звичайно, ця результуюча не залежить від того, в якій
системі відліку розглядається цей рух. Але відносно нашої
254
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
[РОЗД. VI
Рис. 213. Відцентрова сила на поверхні
Землі на різних широтах.
неінерціальної системи тіло перебуває в спокої. Щоб сума сил
дорівнювала нулю, тобто щоб відносно неінерціальної системи
був виконаний перший закон Ньютона, треба до сил, які діють
з боку інших тіл, додати ще силу інерції, яка дорівнює масі тіла,
помноженій на прискорення тієї точки системи, де перебуває
тіло, і напрямлену протилежно цьому прискоренню. Отже, сила
інерції також дорівнює тсо1 2г, але напрямлена по радіусу від осі
обертання. Цю силу інер-
ції часто називають від-
центровою силою інерції'.
Силу інерції можна
подати і через лінійну
швидкість точки оберто-
вої ситеми: якщо ця швид-
кість дорівнює у, то від-
центрова сила дорівнює
/ПУ2/Г.
Сили, які діють з боку
інших тіл на тіло, що пе-
ребуває в спокої відносно
обертової системи відліку,
зрівноважуються відцент-
ровою силою інерції.
На відміну від сил інерції в системах, які поступально руха-
ються, відцентрова сила інерції для тіла даної маси залежить
від точки, в якій розміщене тіло, і за величиною, і за напрямом:
відцентрова сила пропорціональна відстані тіла від осі обертан-
ня і напрямлена по радіусу, що проходить через тіло.
Внаслідок обертання Землі на ній також повинна спостеріга-
тися відцентрова сила інерції, якою ми досі нехтували. Як ми
бачили в § 129, доцентрове прискорення тіл на екваторі дорів-
нює 0,034 місек2. Це становить приблизно 7зоо прискорення сили
тяжіння Отже, на тіло маси пг кг, розміщене на екваторі, діє
відцентрова сила, яка дорівнює пг • 0,034 н і напрямлена від цент-
ра, тобто по вертикалі вгору. Ця сила зменшує вагу тіла порів-
няно з силою притягання Землі на 7зоо частину. Оскільки на
полюсі відцентрова сила дорівнює нулю, так що вага тіла дорів-
нює притяганню Землі, то при перенесенні тіла з полюса на еква-
тор воно «втрачає» у вазі внаслідок обертання Землі УЗОо частину
своєї ваги. На інших широтах відцентрова сила буде менша, змі-
нюючись пропорціонально радіусу паралелі, на якій розміщено
тіло (рис. 213). З рисунка видно також, що скрізь, крім екватора,
1 Не плутати з відцентровою силою, введеною в § 119 для позначення
сили, яка діє з боку тіла, що рухається по колу, на зв’язок.
§ 134]
ОБЕРТОВІ СИСТЕМИ ВІДЛІКУ
25&
відцентрова сила напрямлена під кутом до вертикалі, відхиля-
ючись від неї (напрями на центр Землі) в бік екватора. Внаслідок
цього сила ваги* яка дорівнює результуючій силі притягання
і силі інерції, буде відхилена від вертикалі в бік екватора, за
винятком точок на самому екваторі і полюсів.
Насправді, як показав дослід, втрата ваги тіла при перене-
сенні його від полюса до екватора становить не 7зоо частину його
ваги, а більше: близько 7190 частини його ваги. Це пояснюється
тим, що Земля не куля, а трохи сплюснуте тіло, і тому сила
тяжіння для полюса буде трохи більша, ніж для екватора. Вплив
сили інерції додається до нерівномірності сили тяжіння, і ми на
Землі, вимірюючи вагу тіла, спостерігаємо їх сумісну дію. Ця
сумісна дія і створює відмінність у прискоренні вільного падін-
ня в різних точках земної кулі, про яку йшла мова в § 54.
Ми бачимо, що є еквівалентність між відцентровою силою,
спричиненою обертанням Землі, і силами тяжіння. Якби Земля
не оберталася, та сама втрата у вазі могла бути спричинена
трохи більшою сплющеністю Землі, а коли б Земля не була
сплюснута, та сама втрата у вазі могла бути спричинена трохи
більшою швидкістю обертання Землі. Відхилення виска також
могло б бути спричинене не обертанням Землі, а нерівномірним
розподілом мас усередині Землі.
Отже, відмінність у вазі тіл і відхилення виска в різних точ-
ках земної кулі ще не можна вважати доказом обертання Зем-
лі відносно інерціальної системи відліку. З дослідами, які під-
тверджують обертання Землі відносно системи відліку «Сонце —
зорі», ми ознайомимось у § 136.
Сама сплющеність Землі пояснюється її обертанням: з точки
зору земного спостерігача вона спричинена відцентровими сила-
ми, які напрямлені від осі і мають найбільше значення на еква-
торі. З точки зору «інерціального спостерігача» деформація
Землі виникає так само, як деформація всякого обертового тіла
(див. § 119). Так само сплющені й інші обертові небесні тіла.
Юпітер, наприклад, дуже сплющений внаслідок великої швид-
кості його обертання (один оберт за 10 годин). Навпаки, Місяць,
який здійснює оберт навколо своєї осі за один місяць, практич-
но не сплющений і має форму кулі.
Вправи. 134.1. Розглянути задачі §§ 119 і 122 з точки зору спостеріга-
ча, який перебуває в обертовій системі відліку.
134.2. При якій тривалості повного оберту Землі навколо своєї осі від-
центрова сила на екваторі повністю зрівноважувала б силу притягання Землі,
так що вага тіла на екваторі дорівнювала б нулю?
134.3. Показати, що зменшення ваги тіла, зумовлене обертанням Землі,
змінюється як квадрат косинуса широтного кута, а складова відцентрової
сили, напрямлена до екватора, змінюється як синус подвійного широтного
кута.
256
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
(РОЗД. VI
§ 135. Сили інерції при русі тіла відносно обертової системи
відліку. Якщо тіло рухається відносно обертової системи відліку,
то, навіть додаючи до сил, які діють з боку інших тіл, відцентро-
ву силу інерції, ми не досягнемо того, щоб закони Ньютона
виконувались. Треба ввести ще деяку додаткову силу інерції, яка
залежить від швидкості тіла.
Щоб показати це, розглянемо такий приклад. Рухатимемо
грудочку крейди вздовж нерухомої лінійки. Якщо під лінійкою
розміщена нерухома дошка, то крейда
накреслить на ній пряму лінію. Але якщо
дошка під лінійкою обертається, то крей-
да накреслить на ній деяку криву (рис.
214). Отже, траєкторія крейди відносно
обертової системи відліку буде криволі-
нійною, а тому крейда матиме прискорен-
ня, нормальне до траєкторії. Але віднос-
но інерціальної системи (нерухомої ліній-
ки) крейда рухалася прямолінійно. Отже,
ніяких сил, перпендикулярних до траєк-
торії, немає. Щоб в обертовій системі ви-
конувалися закони Ньютона, треба дода-
ти ще силу інерції, яка діє перпендику-
лярно до траєкторії, описуваної тілом
в обертовій системі відліку. Цю додатко-
ву силу інерції називають коріолісовою
силою за ім'ям французького механіка
Густава Гаспара Коріоліса (1792—1843),
який розрахував цю силу.
Рис. 214. Грудка крейди,
яка рівномірно рухається
вздовж нерухомої ліній-
ки АВ, описує на дошці,
що обертається в напря-
мі стрілки, криволінійну
траєкторію АС. V—швид-
кість тіла відносно обер-
тової дошки.
Розрахунок (через складність не наводимо його) показує, що
коріолісова сила інерції Л дорівнює подвоєному добутку кутової
швидкості со обертової системи відліку на ШВИДКІСТЬ V тіла від-
носно цієї системи і на масу тіла: Л = 2тсоу. Напрям сили пер-
пендикулярний до швидкості і обернений у такий бік, що для
суміщення з напрямом швидкості тіла її треба було б поверну-
ти на прямий кут у бік обертання системи відліку. Отже, при
зміні напряму руху тіла на протилежний або при зміні напряму
обертання системи на протилежний (наприклад, за стрілкою
годинника і проти руху стрілки годинника), напрям коріолісової
сили інерції змінюється на протилежний.
Сила Коріоліса відрізняється від усіх сил інерції, які ми
зустрічали досі, тим, що вона залежить від швидкості тіла
відносно неінерціальної системи відліку.
Крім коріолісової сили, в обертовій системі відліку на рухоме
тіло діє і відцентрова сила інерції, так само, як вона діяла б на
тіло, якби воно і не рухалось відносно обертової системи відліку.
§ 136]
ДОВЕДЕННЯ ОБЕРТАННЯ ЗЕМЛІ
257
§ 136. Доведення обертання Землі. Повернемось тепер до пи-
тання про те, чи є Земля інерціальною системою відліку, чи ні.
Для того щоб з’ясувати, чи є та або інша система відліку інер-
ціальною, досить порівняти прискорення тіл відносно цієї систе-
ми відліку з силами, які діють на ці тіла з боку інших тіл. Якщо
ці сили пояснюють спостережувані рухи тіл, тобто сили і при-
скорення в усіх випадках задовольняють другий закон Ньютона,
то система інерціальна. А якщо буде встановлено, що є приско-
рення, які не можна пояснити дією інших тіл, то це означає, що
система неінерціальна, а прискорення спричинені відповідними
силами інерції.
Механічний дослід, який підтверджує таким способом неінер-
ціальність Землі (а саме—її обертання відносно інерціальних
систем відліку), виконав у 1851 р. у Парижі французький фізик
Жан-Бернар-Леон Фуко (1819—1868). У досліді Фуко здійсню-
вались спостереження за коливаннями маятника, запущеного
в певній площині («маятник Фуко»). Для того щоб можна було
протягом досить тривалого часу спостерігати коливання, Фуко
застосував як маятник тягарець, підвішений на дуже довгій
(67 м) тонкій дротині. Період маятника дорівнював 16 сек. Щоб
дротина не могла закручуватись, її верхній кінець був закріп-
лений у підшипнику, який міг вільно обертатись навколо верти-
кальної осі. На тягарець маятника діяли лише дві сили: сила
тяжіння, напрямлена вертикально вниз, і сила натягу дротини,
напрямлена вздовж дротини. Отже, результуюча сил, які діють
на маятник, лежала у вертикальній площині, що проходить через
дротину, тобто в площині коливань маятника. Під час запуску
маятника було вжито заходів для усунення поштовхів у напрямі,
перпендикулярному до початкової площини коливань: для запус-
ку тягарець відводили в бік від положення рівноваги ниткою,
яку потім перепалювали. Внаслідок цього маятник починав
рухатись у тій вертикальній площині, в якій лежала дротина до
перепалювання нитки.
Якби Земля була інерціальною системою відліку, то при тако
му способі запуску маятник і при наступних коливаннях коли-
вався б у тій самій вертикальній площині. Проте виявилося, що
площина коливань маятника не була нерухомою відносно Землі,
а поверталася за стрілкою годинника (коли дивитися на маят-
ник зверху). Траєкторію руху тягарця маятника відносно Землі
подано на рис. 215. На рисунку для наочності значно збільшено
кут повороту площини коливань при кожному коливанні маят-
ника.
Дослід Фуко виконували і в інших точках земної кулі (у то-
му числі і в південній півкулі, де площина коливань повертала-
ся проти стрілки годинника). З’ясувалося, що при наближенні
17 7-ЮЗ
258
РУХ У НЕІНЕРЩАЛЬНИХ СИСТЕМ
[РОЗД. VI
до полюса, наприклад до Північного, кутова швидкість поворо-
ту площини коливань збільшується і на самому полюсі досягає 2 тс
радіанів за добу. Таким чином, площина коливань маятника на
полюсі повертається відносно Землі з тією самою швидкістю, що
й Земля відносно системи відліку «Сонце—зорі», але в протилеж-
ному напрямі. Отже, площина коливань маятника не змінна в си-
стемі відліку «Сонце — зорі». Таким чином, у системі відліку
«Сонце — зорі» ми спостерігаємо лише такі прискорення тягарця
маятника, яких надають йому інші
Рис. 215. Траєкторія со-
чевиці маятника Фуко
(північна півкуля).
тіла. Це є доказом того, що система
відліку «Сонце-зорі» є інерціальною.
Водночас це доводить, що Земля — не
інерціальна система відліку, а система,
яка обертається відносно інерціальної
з кутовою швидкістю 2л радіанів за
добу.
Тепер, виходячи з того, що Земля —
обертова система відліку, ми можемо
пояснити рух маятника Фуко і з точки
зору земного спостерігача. Оскільки
траєкторія тягарця маятника криволі-
нійна, то на нього повинні діяти сили,
перпендикулярні до траєкторії. Кри-
визна траєкторії напрямлена то в один,
то в другий бік, залежно від того, куди рухається маятник, упе-
ред чи назад. Отже, сила повинна змінювати напрям на проти-
лежний при зміні напряму руху сочевиці. Ця сила —-сила інерції
Коріоліса. Справді, як ми бачили в попередньому параграфі,
вона напрямлена перпендикулярно до швидкості рухомого тіла
і при зміні напряму руху (коливання «вперед» і «назад») напрям
її змінюється на протилежний. Під дією сили Коріоліса траєкто-
рія тягарця і є «зірочкою», позначеною на рисунку.
Крім досліду з маятником Фуко, на Землі спостерігаються
ще й інші явища, також зв’язані з силою Коріоліса. На тіла, які
рухаються в північній півкулі з півдня на північ, діє сила Корі-
оліса, напрямлена на схід, тобто вправо від напряму руху, а на
тіла, які рухаються з півночі на південь,—сила Коріоліса, на-
прямлена на захід, тобто знову вправо від напряму руху. Така
сила діє, наприклад, на воду в річках, які течуть у північній пів-
кулі. Під дією цієї сили вода в річках підмиває правий берег,
який тому буває більш крутим і обривистим, ніж лівий берег.
Цю закономірність називають законом Бера за ім’ям російсько-
го академіка Карла Максимовича Бера (1792—1876), який звер-
нув на неї увагу. З тієї самої причини праві рейки двоколійної
залізниці на кожній колії спрацьовуються трохи швидше, ніж
§ 137]
ПРИПЛИВИ
259
ліві. У південній півкулі, навпаки, крутіші ліві береги і швидше
спрацьовуються ліві рейки.
Силою Коріоліса пояснюється також те, що вітри на Землі
утворюють величезні вихори — циклони і антициклони. Доклад-
ніше про це сказано в § 312.
§ 137. Припливи. Якби Земля була віддалена від усіх інших небесних тіл
на відстані в багато разів більші, ніж тепер, так, щоб притягання інших небес-
них тіл зовсім не позначалось, то відмінність Землі від інерціальної системи
відліку полягала б тільки в тому, що вона обертається навколо своєї осі. Але
фактично небесні тіла сонячної системи діють на Землю, надаючи їй деякого
Рис. 216. Виникнення припливів. —сила інерції; }л і /в — сили притяган-
ня частинок води Місяцем; — прискорення Землі, спричинене притяган-
ням Місяця.
прискорення відносно Сонця і зір; тому, крім сил інерції, зумовлених обер-
танням Землі навколо своєї осі, треба враховувати сили інерції, які відпові-
дають прискореному руху Землі в цілому. Найважливіший прояв цих сил
у системі відліку «Земля» — це морські припливи. Основну роль у морських
припливах відіграють Місяць (як найближче небесне тіло) і Сонце (як найпа-
сивніше небесне тіло сонячної системи).
Розглянемо спочатку припливи, які спричинює Місяць. Сила тяжіння, яка
діє з боку Місяця на Землю, спричинює прискорення їй в напрямі прямої,
яка сполучає центри Землі і Місяця (рис. 216). Отже, на всі тіла на Землі діє
сила інерції, яка дорівнює добутку маси тіла на це прискорення, узяте з про-
тилежним знаком. Для Землі в цілому ця сила інерції точно дорівнює силі
притягання Землі Місяцем і напрямлена протилежно. Нагадаємо, що внаслідок
кулястості цих небесних тіл Місяць притягує Землю так, як коли б уся маса
Землі була зосереджена в її центрі. Але сила тяжіння зменшується з відстан-
ню. Отже, тіла, які перебувають на поверхні Землі з боку Місяця, тобто ближ-
че до Місяця, ніж центр Землі, притягуватимуться Місяцем із силою, яка
перевищує силу інерції, і різниця цих сил напрямлена від центра Землі. Том)
в точках «під Місяцем» тіла «втрачають у вазі».
У діаметрально протилежних точках сила тяжіння Місяця знову не зрівно-
важує сили інерції, бо тіло розміщене від Місяця далі, ніж центр Землі. Різ-
ниця сили інерції і сили притягання Місяцем напрямлена знову від центра
Землі. Отже, у цих місцях земної поверхні тіла також «втрачають у вазі».
Сила інерції дорівнює силі притягання Місяцем і зрівноважується нею лише
для точок, що лежать посередині між точками прямо «під Місяцем» і діамет-
рально протилежними точками. Отже, і «під Місяцем», і з протилежного боку
тіла трохи «втрачають у вазі» завдяки тому, що сила тяжіння зменшується
17*
260
РУХ У НЕІН'ЕРІПЛЛ'ЬНИХ СИСТЕМ
[РОЗД. VI
з відстанню. Внаслідок цієї дії Місяця з двох боків Землі виникає плавне
піднімання рівня океану на кілька десятків сантиметрів. Між місцями підні-
мання рівень океану відповідно опускається. Внаслідок обертання Землі ці
місця піднімання і опускання переміщаються по поверхні Землі. Посередині
моря цього невеликого піднімання практично не видно, але поблизу берегів
воно проявляється в тому, що вода заливає берег (приплив), а приблизно
через 6 годин —відходить від берега (відплив).
Подібно до Місяця, Сонце також спричинює на Землі припливи і відпли-
ви. Внаслідок величезної маси Сонця і сила притягання Сонця, і відповідні
сили інерції значно більші, ніж ці самі величини для Місяця. Але ми бачили,
що припливи спричинює не одна сила притягання або сила інерції, а різниця
між силою інерції і силою тяжіння для одного і для другого боку Землі. Сила
інерції для всієї Землі та сама: вона дорівнює силі притягання Землі Сонцем.
Але сила притягання, як і у випадку притягання Місяцем, зменшується при
переході від сторони, освітленої Сонцем, до тіньової. Але чим далі лежить
притягуване тіло (Земля) від притягуючого (Місяць і Сонце), тим повільніше
змінюється сила тяжіння при віддаленні. Оскільки Сонце в багато разів далі
від Землі, ніж Місяць, то виявляється, що припливна дія, тобто різниця між
силою інерції і силою тяжіння, для Сонця менша, ніж для Місяця (майже
в 3 рази). Проте дія припливів, спричинених Сонцем, помітна, бо коли Місяць,
Земля і Сонце лежать на одній прямій (новомісяччя і повня), припливи під-
силюються, а коли напрями на Сонце і на Місяць утворюють прямий кут
(перша чверть або третя чверть Місяця), то припливи зменшуються.
Як випливає з розгляду походження припливів, вони спричинюються пору-
шенням еквівалентності сил інерції і сил тяжіння, про яку йшла мова в § 132.
Зрозуміла і причина порушення еквівалентності: тоді як сила інерції, що вини-
кає в системі відліку «Земля» внаслідок прискорення, яке надає Землі Місяць,
не залежить від положення тіла за Землі, сила притягання тіла Місяцем
від цього положення залежить.
РОЗД І л VII
ГІДРОСТАТИКА
§ 138. Рухливість рідини. Основною відмінністю рідин від
твердих (пружних) тіл є рухливість («текучість») рідин. Вна-
слідок своєї рухливості рідини, на відміну від пружних тіл, не
виявляють ніякого опору зміні форми. Частини даної маси ріди-
ни можуть вільно зсуватися, ковзаючи одна відносно одної. То-
му, якщо до поверхні рідини прикладають сили, не перпендику-
лярні до поверхні, то рівновага рідини завжди порушується г
вона приходить у рух, хоч які б малі не були ці сили. Досить,,
наприклад, дмухнути на поверхню води в тазу, щоб спричинити
її рух. Море хвилюється при найменшому вітерці. Ми бачили,
що дуже мала сила з боку скляної нитки приводить у рух кусок
дерева, який плаває на воді (§ 44).
Рухливістю рідини пояснюється те, що вільна поверхня ріди-
ни, яка перебуває в рівновазі під дією сили тяжіння, завжди
горизонтальна. Справді, якби, наприклад, поверхня спокійної рі-
дини була розміщена під кутом до горизонту, то частинки рідини
поблизу поверхні ковзали б уздовж неї вниз під дією сили тя-
жіння, як по похилій площині. Такий рух тривав би доти, поки
поверхня рідини не стала б горизонтальною.
Однак зауважимо, що вільна поверхня рідини, налитої в посудину, трохи
викривлена поблизу стінок. Це легко встановити, розглядаючи відбиття пред-
метів від поверхні води, налитої в чашку. Це викривлення спричинюється
силами, які діють між рідиною і стінками, і проявляється лише в їх безпосе-
редній близькості. Вплив стінок докладно розглянемо в § 253.
Для рідини, яка займає великий простір (моря, океани), тре-
ба враховувати, шо напрям сили тяжіння в різних точках земно?
поверхні різний. Оскільки сила тяжіння напрямлена скрізь до
центра Землі по радіусу, то й поверхня моря набирає в цілому
форми приблизно кульової поверхні, яка порушується лише сто-
ронніми місцевими причинами (наприклад* від дією щтру вини-,
кають хвилі).
‘262
ГІДРОСТАТИКА
(РОЗД. VII
§ 139. Сили тиску. Повсякденний досвід учить нас, що ріди-
ни діють з певними силами на поверхню твердих тіл, які стика-
ються з ними. Ці сили ми називаємо силами тиску рідини.
Рис. 217. Стінки і дно гумового стаканчика, вкладеного в дротя-
ний каркас, вигнуті силами тиску налитої ртуті. Зліва — порож-
ній стаканчик.
Закриваючи пальцем отвір відкритого водопровідного крана,
ми відчуваємо силу тиску рідини на палець. Біль у вухах, якого
зазнає плавець, що пірнув на велику глибину, спричинений си-
лами тиску води на барабанну перетинку вуха.
Термометри для вимірювання температури на
глибині моря повинні бути дуже міцними, щоб
тиск води не міг їх роздавити. Внаслідок вели-
чезних сил тиску на значній глибині корпус
підводного човна повинен мати значно більшу
міцність, ніж корпус надводного корабля. Си-
ли тиску води на дно судна підтримують судно
Рис. 218; Частину
рідини (заштрихо-
ваний об’єм) вида-
лено. Щоб утрима-
ти решту рідини в
рівновазі,
прикласти
розподілені по ут-
вореній поверхні.
треба
сили,
на поверхні, зрівноважуючи силу тяжіння, яка
на нього діє. Сили тиску діють і на дно, і на
стінки посудин, наповнених рідиною: наливши
в гумовий стаканчик ртуть, ми побачимо, що
його дно і стінки вигинаються назовні (рис.
217). Нарешті, сили тиску діють з боку одних
частин рідини на інші. Це означає, що коли б
ми видалили яку-небудь частину рідини, то
для збереження рівноваги решти рідини треба
було б прикласти до утвореної поверхні деякі певні сили (рис.
218). Потрібні для підтримання рівноваги сили дорівнюють си-
§ 139]
СИЛИ ТИСКУ
263
Рис. 219. Чим більший вантаж лежить на
поршні, тим більше стиснуто рідину.
лам тиску, з якими видалена частина рідини діяла на ту, яка
залишилась.
У § 34 ми бачили, що сили, які діють при безпосередньому
стиканні тіл,— пружні сили — виникають внаслідок деформації
тіл. У твердих тілах сили пружності виникають як при зміні фор-
ми, так і при зміні об’єму тіла. У рідинах при зміні лише форми
сили пружності не виникають. Рухливість рідини зумовлена саме
відсутністю пружності відносно зміни форми. Але при зміні
об’єму — при стисканні
рідини — сили пружно-
сті виникають: віднос-
но зміни об’єму рідини
мають пружність. Сили
пружності в рідині —
це й є сили тиску. От-
же, якщо рідина діє з
силами тиску на тіла,
які стикаються з нею,
то це означає, що вона
стиснена. Чим більше
стиснена рідина, тим
більші і сили тиску, які виникають внаслідок цього стискання.
Оскільки при стисканні густина речовини зростає, то можна
сказати, що рідини мають пружність відносно зміни їх густини.
Якісно залежність тиску від стискання рідини можна уяви-
ти собі на такому прикладі. Нехай міцний циліндр, заповнений
рідиною, закритий щільно притертим (щоб уникнути просочу-
вання рідини) поршнем, на який покладено тягарець (рис. 219).
При накладанні тягарця поршень почне опускатися, стискаючи
рідину. При стисканні рідини в ній виникнуть сили тиску і вони,
діючи на поршень, зрівноважать вагу поршня з тягарцем. При
збільшенні навантаження рідина стиснеться більшою мірою:
настільки, щоб збільшені сили тиску зрівноважили збільшене
навантаження.
Ця картина цілком аналогічна до розглянутої в § 60 картини
рівноваги тягарця, що лежить на підставці. Підставка
прогинається і рівновага настає тоді, коли сили пружності,
які виникли при прогині, зрівноважують гирю, що стоїть на під-
ставці.
Для наочності на рисунку стискання рідини під поршнем
значно збільшено. Насправді в такому досліді переміщення пор-
шня і стискання рідини такі малі, що на око їх виявити не мож-
на. Проте більшою або меншою мірою всі рідини можуть стиска-
тись, і ступінь їх стиску, який відповідає тим або іншим силам
тиску, можна виміряти.
264
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД VI!
§ 140. Вимірювання стисливості рідини. Хоч зміна об’єму рідини під дією
зовнішніх сил і невелика, проте її можна легко виявити і виміряти. Однак при
вимірюванні стисливості рідини треба врахувати, що рідина, дуже стискува-
на в посудині, діє зсередини на її стінки з великими силами тиску і розши-
рює посудину. Внаслідок цього утворюється перебільшене значення для стисли-
вості рідини. Тому треба усунути можливість розширення посудини; цього
досягають тим, що до посудини зовні прикладають такий самий тиск, який
на неї чинить рідина зсередини.
Схему приладу для вимірювання стисливості рідини («п’єзометр) подано
на рис. 220. Скляна посудина А, наповнена випробовуваною рідиною, занурена
в скляну посудину В, в яку по труб-
Рис. 220. Схема п’єзометра.
ці С накачують повітря. Повітря
чинить тиск на зовнішні стінки посу-
дини і внаслідок своєї рухливості
передає той самий тиск через відрос-
ток К на рідину в посудині А. По-
судина А, зазнаючи однакового тис-
ку як іззовні, так і зсередини, прак-
тично не змінює свого об’єму. Проте
рідина стискається, і рівень її у від-
ростку К зменшується; відросток
роблять дуже вузьким, внаслідок
чого вже мала зміна об’єму рідини
добре помітна. Вимірюючи зменшен-
ня рівня рідини у відростку, знайде-
мо зменшення її об’єму; покази ма-
нометра М дають силу тиску, яка
припадає на одиницю площі. Таким
способом можна визначити зменшення об’єму, яке відповідає, наприклад,
збільшенню сил тиску на 1 кГ на кожний квадратний сантиметр. Для води
таке збільшення сил тиску веде до зменшення об’єму приблизно на 1/20000
частку, для ртуті — лише на !/25оооо. Для порівняння зазначимо, що при тако-
му самому збільшенні сил тиску кусок сталі стиснувся б лише на ‘/пооооо част-
ку початкового об’єму.
Вправа. 140.1. Парові котли випробовують на міцність, нагнітаючи в них
під великим тиском воду. Яка кількість води витече з котла місткістю 1,5 м\
заповненого водою, при силах тиску 12 кГІсм2, якщо котел дасть тріщину
у верхній своїй частині?
§ 141. «Нестислива» рідина. Ми з’ясували, що сили тиску ви-
никають внаслідок стискання рідини. Однак стискання рідини
дуже незначне навіть при дуже великих силах тиску. Оскільки
нас звичайно цікавить не саме стискання рідини, а лише ті сили
тиску, які виникають внаслідок цього стискання, то можна ввести
уявлення про «нестисливу» рідину, подібно до того, як було
введено уявлення про абсолютно тверде тіло (§ 70). Відмінність
полягатиме в тому, що абсолютно тверде тіло зберігає незмін-
ними і форму, і об’єм, а «нестислива» рідина — лише об’єм, а
форма її може змінюватися як завгодно (текучість рідини). От-
же, можна вважати, що густина рідини також не залежить від
тиску.
Проте ми побачимо, що іноді все-таки доводиться враховува-
ти зміну густини рідини (випадок великого тиску, § 158).
§ 143]
НАПРЯМ СИЛ ТИСКУ
265'
§ 142. Сили тиску в рідині передаються в усі сторони. На.
рис. 219 у дуже збільшеному для наочності вигляді було пока-
зано стискання рідини при різних навантаженнях на поршень..
Аналогічну картину ми мали б, поміщаючи під поршень сильну,
пружину: як пружина, так і рідина діють з певними силами,
«чинять тиск», тільки тоді, коли вони стиснуті (рис. 221).
Рис. 221. Стиснута
пружина зрівнова-
жує поршень так
само, як і стиснута
рідина на рис. 219.
Рис. 222. Сили тиску
рідини діють не тіль-
ки на дно і поршень,
а й на стінки посу-
дини.
Рис. 223. Гумова плів-
ка а, яка затягує от-
вір у стінці посудини,
помітно вигнута сила-
ми тиску води.
Проте якщо стиснена пружина діє лише на поршень і на дно-
циліндра, то сили тиску рідини діють і на дно, і на поршень, і на
стінки (рис. 222).
У свою чергу на рідину діє не тільки поршень, а й пружність-
стінок циліндра, які вигинаються тим більше, чим більше стис-
нута рідина. Зрозуміло, якщо циліндр зроблено з металу або*
скла, то цей прогин такий малий, що його можна виявити лише
за допомогою точних вимірювань, проте сили, які діють з боку
деформованих стінок, цілком відчутні. Якщо зробити в стінці,
отвір і затягти його гумовою плівкою, то прогин плівки буде по-
мітний (рис. 223).
§ 143. Напрям сил тиску. Як напрямлені сили тиску, що
діють з боку рідини, яка перебуває в спокої, на дану ділянку
поверхні твердого тіла? Вони напрямлені завжди перпендику-
лярно до поверхні.
Справді, в противному разі протидіючі сили, тобто сили, з
якими розглядувана ділянка поверхні твердого тіла діє на ріди-
ну, за законом дії і протидії також були б перпендикулярні до
поверхні. Але тоді, як ми бачили (§ 138), рідина не могла б бу-
ти в рівновазі. Отже, сили тиску, які діють на поршень, що сти-
скає рідину, напрямлені перпендикулярно до його поверхні, а
сили тиску, які діють на дно і на стінки посудини, — перпенди-
кулярно до дна і стінок і т. д. (див. рис. 222).
266
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
Якщо взяти поршень із скошеною нижньою поверхнею (рис.
224), то сили тиску притискатимуть його до стінки циліндра (на
Рис. 224. Сили тис-
ку завжди перпен-
дикулярні до по-
верхні, на яку вони
діють.
нашому рисунку — вліво).
§ 144. Тиск. Сили тиску на стінки посуди-
ни, яка містить рідину, або на поверхню твер-
дого тіла, зануреного в рідину, не прикладені
в якій-небудь певній точці поверхні. Вони роз-
поділені по всій поверхні стикання твердого
тіла з рідиною. Тому сили тиску на дану по-
верхню залежать не тільки від ступеня стис-
кання рідини, яка стикається з нею, а й від
розмірів цієї поверхні.
Щоб схарактеризувати розподіл сил тиску
незалежно від розмірів поверхні, на яку вони
діють, вводять поняття тиску.
Тиском на даній ділянці поверхні назива-
ють відношення сили тиску, яка діє на цю ді-
лянку, до площі ділянки. Очевидно, тиск за
величиною дорівнює силі тиску, що припадає на ділянку поверхні
площею в одну одиницю.
Позначатимемо тиск буквою р. Якщо сила тиску на дану ді-
лянку дорівнює Р, а площа ділянки 5, то тиск визначиться фор-
мулою
Якщо сили тиску
розподілені рівномірно
по деякій поверхні, то
тиск однаковий у кож-
ній її точці. Такий, на-
приклад, тиск на по-
верхні поршня, який
стискає рідину. Це ілю-
струється дослідом, зо-
браженим на рис. 225,
в якому замість суціль-
ного поршня взято пор-
шень з отворами, що
Рис. 225. Вага гир, які вдер-
жують втулки в рівновазі,
пропорціональна площі вту-
лок.
Рис. 226. Чим
нижче розміще-
на плівка, тим
більше вона ви-
гнута.
закриваються втулками, які можуть рухатись в отворах без тер-
тя. Сили, які треба прикласти до втулок, щоб удержати їх у рів-
новазі, прямо пропорціональні площам втулок; на втулки з одна-
ковою площею діють однакові сили.
Проте часто трапляються випадки, коли сили тиску розпо-
ділені по поверхні нерівномірно. Це означає, що на однакові пло-
§ 145]
НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ТИСКУ ВІД НАПРЯМУ ПЛОЩАДКИ
267
щі в різних місцях поверхні діють різні сили. Наллємо воду в
посудину, у бічній стінці якої є однакові отвори, затягнуті гумо-
вими плівками; ми побачимо, що плівки в отворах, разміщених
нижче, більше вигнуті назовні (рис. 226). Це означає, що в ниж-
ній частині посудини тиск більший, ніж у верхній.
§ 145. Мембранний манометр. Як виміряти тиск рідини на
поверхню твердого тіла? Як виміряти, наприклад, тиск води на
дно склянки? Звичайно, дно склянки де-
формується під дією сил тиску; знаючи
величину деформації, ми могли б визна-
чити величину сили, яку вона спричинила,
і розрахувати тиск; але ця деформація
така мала, що виміряти її безпосередньо
практично не можна. Оскільки за дефор-
мацією певного тіла про тиск, який чи-
нить на нього рідина, зручно судити лише
тоді, коли деформації досить великі, то
для практичного визначення тиску рідини
користуються спеціальними приладами —
манометрами, в яких деформації мають Рис. 227. Схема будови
порівняно велику величину, яку легко мембранного манометра,
виміряти.
Найпростіший мембранний манометр побудований так (рис.
227). Тонка пружна пластинка М— мембрана — герметично
закриває порожню коробку К- До мембрани прикріплений покаж-
чик Р, який обертається навколо осі О. При зануренні приладу
в рідину мембрана прогинається під дією сил тиску, і її прогин
передається в збільшеному вигляді покажчику, який пересува-
ється по шкалі. Кожному положенню покажчика відповідає пев-
ний прогин мембрани, а отже, і певна сила тиску на мембрану.
Знаючи площу мембрани, можна від сил тиску перейти до самих
тисків. Можна безпосередньо вимірювати тиск, якщо заздалегідь
проградуювати манометр, тобто визначити, якому тиску відпо-
відає те або інше положення покажчика на шкалі. Для цього
треба подіяти на манометр тисками, величина яких відома, і, по-
значаючи положення стрілки покажчика, проставити відповідні
цифри на шкалі приладу.
У дальшому ми ознайомимось і з іншими типами манометрів.
§ 146. Незалежність тиску від напряму площадки. Манометр,
занурений у рідину, показує тиск у цій області рідини, де розмі-
щена його мембрана. Щоб за показами манометра можна було
робити висновок про тиск у вибраному місці, розміри мембрани
повинні бути досить малими. Інакше кажучи, якщо тиск у різних
268
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
точках* мембрани різний, то покази манометра дадуть лише дея-
ке середнє значення тиску.
Помістивши манометр з досить малою мембраною всередину
рідини, ми побачимо, що при повертанні манометра його покази
не змінюються. Отже, ми встановлюємо, що тиск у певному міс-
ці рідини не залежить від орієнтування площадки, на якій його
вимірюють. Згадаємо, що за своїм означенням тиск не залежить
і від величини площадки, на яку він діє, оскільки він завжди
стосується одиниці площі поверхні. Отже, введене нами ПОНЯТ-*
тя тиску являє собою таку характеристику стану рідини в цьому
місці, яка не залежить ні від площі, ні від напряму площадки,
по якій тиск вимірюють. Тиск залежить лише від ступеня сти-
скання рідини в розглядуваному місці.
Підкреслимо, що гнучка мембрана манометра призначена ли-
ше для зручного виявлення і вимірювання сил тиску рідини, а
ці сили зумовлені пружними властивостями самої рідини. Ті самі
сили тиску діяли б з боку рідини на поверхню будь-якого іншо-
го тіла, наприклад суцільного куска металу, поміщеного на міс-
це мембрани.
Ми можемо також мислено виділити всередині рідини ЯКИЙт
небудь об’єм. У всіх точках поверхні, яка обмежує цей об’єм,
існуватимуть деякі тиски, абсолютно такі самі, які існували б на
поверхні твердого тіла, яке збігається з виділеним об’ємом. Цей
самий тиск діє і на мембрану вимірювального манометра, зану-
реного в рідину.
§ 147. Одиниці тиску. Одиницею тиску називають такий тирк,
при якому сила тиску, що діє на одиницю площі, дорівнює оди-
ниці сили.
У системі СІ одиницею тиску є тиск, при якому на 1 м2 при-
падає сила в 1 н (1 н/м2).
У метеорології часто користуються як одиницею тиску вели-
чиною 105 н/м2, яка дістала назву барх. Тисячна частка бара
називається мілібаром.
У системі одиниць СГС одиницею тиску є 1 дин/см2 = 0,1 н/м2
(акустичний бар).
У системі одиниць МКГСС одиницею тиску є 1 кГІм2 — тиск,,
при якому на 1 м2 припадає сила в 1 кГ.
У техніці часто використовують одиницю тиску 1 кГ/см2, яка
називається технічною атмосферою. Легко побачити, що
1 кГ/см2 = 0,98 • 105 н/м2 = 980 000 дин/см? ~ 0,98 бар.
Отже, технічна атмосфера майже дорівнює бару.
1 В акустиці назва «бар» означає тцск в 1 дцц/см2 == 0,1 н/м2. Щоб уник-
нути непорозумінь, цю неузгодженість найменувань, яка, на жаль, укоренила-
ся, слід мати на увазі.
§ 148]
ВИЗНАЧЕННЯ СИЛ ТИСКУ ЗА ТИСКОМ
269
У дальшому ми ознайомимося ще й з іншими одиницями
тиску.
§ 148. Визначення сил тиску за тиском. Знаючи тиск у кож-
ному місці даної поверхні, легко визначити рівнодійну сил тиску
на всю цю поверхню.
Розглянемо спочатку плоску по-
верхню. Якщо тиск р однаковий по
всій поверхні, то рівнодійна сила Р до-
рівнює
^ = р5,
де 5 — площа поверхні. Ця рівнодійна
має, як випливає з § 143, напрям, пер-
пендикулярний до поверхні.
Якщо тиск у різних точках плоскої
поверхні різний, то, щоб обчислити рів-
нодійну, роблять так. Поверхню розби-
Рис. 228. Р — рівнодійна сил
тиску /, які діють на кри-
волінійну занурену поверх-
ню судна.
вають на такі малі ділянки, щоб на кожній з них можна було
вважати тиск практично однаковим по всій ділянці (хоч і різним
для різних ділянок). Силу тиску на окрему ділянку обчислюють
як добуток тиску на цій ділянці на її площу; рівнодійна сил тиску
на всю поверхню дорівнює сумі знайдених так сил, які припа-
дають на окремі ділянки і паралельні між собою. Напрям рівно-
дійної сили перпендикулярний до плоскої поверхні.
Щоб визначити рівнодійну сил тиску, які діють на неплОску
поверхню, усю поверхню розбивають на такі малі ділянки, щоб
кожну з них практично мож-
на було вважати плоскою,
нехтуючи її кривизною. Тоді
силу, яка діє на кожну окре-
му ділянку, можна знайти
так само, як і для плоскої
ділянки. Кожна з цих сил'
Рис. 229. До вправи 148. 1.
має напрям, перпендикулярний до ділянки, на яку вона діє.
Ці сили не паралельні між собою, а мають різні напрями. Щоб
визначити рівнодійну сил тиску на всю поверхню, треба додати
сили, які припадають на окремі ділянки, за правилом додавання
векторів. Так, наприклад, сили тиску / води на занурену поверх-
ню плаваючого судна мають різні напрями в різних точках його
корпусу, як показано на рис. 228, а. Рівнодійна Р цих сил буде
напрямлена вертикально вгору, зрівноважуючи вагу судна.
Вправа. 148. 1. У трубі є поршень, форму якого в перерізі подано на
рис. 229. Тиск рідини з обох боків поршня однаковий. Чи перебуває поршень
у рівновазі? Для спрощення міркувань вважати, що переріз труби має форму
прямокутника.
270
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД VII
§ 149. Розподіл тиску всередині рідини. У попередніх пара-
графах ми з’ясували, що тиск усередині рідини залежить від
ступеня її стискання. Рідина може бути стиснена силою тяжіння
(власною вагою) або якими-небудь зовнішніми силами, які діють
на поверхню, що обмежує певний об’єм рідини (поверхневі сили).
Наприклад, тиск на глибині моря спричинений вагою самої води
і силою тиску з боку повітряної атмосфери, яка діє на вільну
поверхню моря. При цьому тиск усередині рідини розподілений
нерівномірно, бо верхні шари води стиснені в основному тиском
атмосфери, а глибоководні шари стиснені значно більше вагою
частини води, розміщеної вище. Навпаки, майже рівномірний
розподіл тиску спостерігається в паровому котлі, де тиск створе-
ний в основному тиском пари на поверхню води, а тиск, спричи-
нюваний вагою води, порівняно малий, бо глибина води в котлі
невелика. У наступних параграфах ми з’ясуємо докладно картину
розподілу тиску всередині рідини для різних випадків дії сил на
рідину.
§ 150. Закон Паскаля. Спочатку знайдемо розподіл тиску
всередині рідини для випадку, коли рідина стиснута лише по-
верхневими силами. Ваги рідини можна не враховувати, якщо
зумовлений нею тиск малий
/.
Рис. 230. До виведення закону Пас-
каля.

порівняно з тиском, спричине-
ним поверхневими силами. На
штучних супутниках, в умовах
невагомості, рідина буде стис-
нута лише поверхневими сила-
ми. Ми покажемо, що при дії
лише поверхневих сил тиск
у всіх точках рідини одна-
ковий.
Помістимо рідину в яку-не-
будь замкнуту посудину з при-
єднаним до неї циліндром з поршнем Р (рис. 230). Всуваючи
поршень у циліндр, створимо всередині рідини тиск, зумовлений
поверхневими силами. Дослід показує, що коли в різних місцях
у посудині помістити манометри, то їх покази будуть практично
однаковими.
Можна й теоретично показати, що в розглядуваному випадку
тиски в будь-яких двох точках, наприклад в А і В, повинні бути
однаковими. Для цього мислено виділимо всередині рідини
тонкий циліндр, віссю якого є АВ і основи якого, що мають пло-
щу 5, перпендикулярні до лінії АВ. Виділений об’єм становить
частину рідини, яка перебуває в спокої, і, отже, сам перебуває
в спокої, хоч на йего поверхню і діють сили тиску. Інші сили на
§ 1501
ЗАКОН ПАСКАЛЯ
27)
наш циліндр не діють (силою тяжіння ми знехтували). Для рів-
новаги необхідно, щоб сума проекцій усіх сил тиску на будь-
який напрям дорівнювала нулю (§ 74). Розглянемо суму проек-
цій сил тиску на вісь АВ.
Сили тиску, які діють на бічну поверхню циліндра, перпенди-
кулярні до осі АВ і, отже, їх проекція на вісь дорівнює нулю.
Залишаються лише сили, які діють на основи циліндра. Вони до-
рівнюють відповідно рАВ і рв$, де рА і рв —тиски в точках А і В.
Оскільки ці сили перпендикулярні до основ, то вони напрямлені
вздовж АВ і притому в протилежні сторони. Через те що циліндр-
перебуває в рівновазі, ці сили повинні зрівноважувати одна однуг
тобто ПОВИННО бутирд5 = РвВ. Звідси
Ра = Рв.
тобто тиски в точках А і В однакові.
Це міркування можна повторити для будь-яких двох точок
усередині рідини. Якщо які-небудь дві точки не можна сполучи-
ти прямою, не задіваючи стінок посудини, як, наприклад, точки
А і О, то доведення слід вести послідовно для ряду проміжних
точок (наприклад, В і С): доводимо, що рА = Рв, потім, що рв =
= рс, а потім, що рс = Ро- Звідси вже випливає доводжувана
рівність рА = Рб-
Отже, під час дії лише поверхневих сил тиск у всіх точках
всередині рідини однаковий. Цей закон установив французький
фізик і математик Блез Паскаль (1623—1662); він називається
його ім’ям.
Розглядаючи циліндри, одна з основ яких лежить на стінц?
посудини (наприклад, циліндр ДА4), упевнимося, що тиск на
стінки має ту саму величину, що й тиск усередині рідини. Цей
самий тиск буде і на поверхні поршня. Отже, якщо тиск поршня
на поверхню рідини дорівнює р, то цей самий тиск р існуватиме
в кожній точці всередині рідини і на стінках посудини. Тому
іноді закон Паскаля формулюють так:
Тиск, створюваний поверхневими силами, передається без'
зміни в кожну точку рідини.
У цьому формулюванні закон Паскаля є справедливим і для
загального випадку, тобто для випадку, коли ми враховуємо
і силу тяжіння. Якщо сила тяжіння створює всередині рідини,
яка перебуває в спокої, певний тиск (взагалі різний у різних
точках), то прикладені поверхневі сили збільшують тиск у кож-
ній точці рідини на однакову величину.
272
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
§ 151. Гідравлічний прес. Закон Паскаля дає змогу поясни-
ти дію поширеного в техніці пристрою — гідравлічного преса.
Гідравлічний прес складається з двох циліндрів різного діамет-
Рис. 231. Схема гідравлічного
преса.
ра, що мають поршні і з’єднані
трубкою (рис. 231). Простір під
поршнями і трубка заповнені рі-
диною. Позначимо площу малого
поршня через 5Ь а великого —
через 52. Нехай до малого поршня
прикладено силу Л; знайдемо,
яку силу Р2 треба прикласти до
другого поршня, щоб зберегти
рівновагу, тобто для того, щоб
рідина не була витіснена з пер-
шого циліндра в другий (або нав-
паки) через трубку, яка їх з’єднує.
Вагою рідини нехтуватимемо; тоді тиск у всіх точках рідини
повинен бути однаковий. Але тиск під першим поршнем дорів-
’нює а під другим ; отже, — = ?-, звідки знаходимо:
О1 о2 «^1 ^2
З?
тобто сила Р2 У стільки разів
‘більша за силу Рі, у скільки разів
площа другого поршня більша за
площу першого. Таким чином, за
допомогою гідравлічного преса
можна малою силою зрівнова-
жити велику силу.
Припустимо тепер, що перший
поршень перемістився (наприк-
лад, опустився) на відстань
(рис. 232); тоді частина рідини
витісниться з першого циліндра
і перейде в другий, піднімаючи
другий поршень на відстань К2.
Якщо ступінь стискання рідини не
Рис. 232. Переміщення поршнів
обернено пропорціональні їх пло-
щам, а отже, і силам, які на них
діють.
змінився, то об’єм рідини, витісненої з першого циліндра, дорів-
нює об’єму, який надійшов у другий, тобто Нї81 = Н282. Звідси
знаходимо:
Аг = Аї^і.
Порівнюючи цю формулу з формулою, знайденою нами для
«сили Р2і побачимо, що шлях, який проходить більший поршень,
§ 152]
РІДИНА ПІД ДІЄЮ СИЛИ ТЯЖІННЯ
273
у стільки разів менший від шляху, який проходить менший пор-
шень, у скільки разів сила, яка діє на великий поршень, більша
за силу, яка діє на менший. Отже, при переміщенні поршнів
гідравлічного преса є повна аналогія з співвідношенням між шля-
хами, які проходять кінці важеля, і силами, прикладеними до
них. І тут виконується «золоте правило» механіки (§ 86), тобто
«скільки виграється на силі, стільки втрачається на шляху».
Вимога, щоб рідина не змінювала свого об’єму, відповідає
умові, щоб важіль не згинався.
Гідравлічний прес є перетворювачем сили, подібно до розгля-
нутих раніше простих машин; його можна назвати гідравлічною
простою машиною.
Для створення великих сил гідравлічний прес конструктивно зручніший,
ніж важільний або гвинтовий. Тому потужні преси (наприклад, для штампу-
вання металу, для видавлювання олії з насіння рослин і т. д.). часто роблять
гідравлічними. Як рідину використовують воду або олію.
Гідравлічний прес з горизонтально розміщеним великим поршнем застосо-
вують для зсування з місця (надання початкового поштовху) судна, яке спус-
кають із стапелів на воду.
§ 152. Рідина під дією сили тяжіння. Розглянемо тепер рів-
новагу рідини під дією сили тяжіння. Повторюючи міркування
§ 150, упевнимось, що тиск у всіх точ-
ках горизонтальної площини однако-
вий, але зростає при переході від одні-
єї горизонтальної площини до іншої,
яка лежить нижче.
Справді, якщо точки А і В (рис.
233) лежать в одній горизонтальній
площині, то вісь АВ нашого мислено
виділеного тонкого циліндра горизон-
тальна. Умова рівноваги циліндра
вздовж осі буде, як і раніше, рА8 =
= Рв5, оскільки проекція сили тяжін-
ня на горизонтальний напрям дорів-
нює нулю, так що вздовж горизонталь-
ної осі діють лише сили тиску на осно-
ви циліндра. Отже рА = Рв, тобто для
всіх точок тієї самої горизонтальної
площини тиски однакові; горизонтальні
однакового тиску, їх іноді називають поверхнями рівня. Вільна
поверхня рідини є одна з поверхонь рівня. Тиск у всіх її точках
однаковий. У відкритій посудині він дорівнює атмосферному
тиску.
Сказане вище легко перевірити за допомогою манометра:
пересуваючи всередині рідини манометр так, щоб його мембрана
18 7-103
Рис. 233. Оскільки горизон-
тальний циліндр АВ перебу-
ває в рівновазі, то тиски в
точках А і В однакові.
площини — це
274
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД VII
весь час залишалась на одній горизонтальній площині, тобто
на тій самій поверхні рівня, ми побачимо, що його показ не змі-
нюється. Але при зміні глибини занурення манометра (при пере-
ході на інші поверхні рівня) виявляємо зміну тиску: при зану-
ренні на більшу глибину тиск збільшується. Наприклад, у морі
тиск зростає від поверхні до дна. Це пояснюється тим, що на
більшій глибині вода стиснена вагою товщого шару рідини, яка
розміщена вище.
Щоб кількісно розрахувати зміну тиску з глибиною, знайдемо
Рис. 234. Різниця сил
тиску в В і А зрівно-
важує вагу циліндра
АВ.
різницю тисків у двох точках А і В, що
лежать на одній вертикалі (рис. 234). Виді-
ливши мислено тонкий вертикальний ци-
ліндр з перерізом 5, розглянемо умови рів-
новаги його вздовж вертикалі. Сили тиску,
які діють на бічну поверхню, дають уздовж
вертикалі проекцію, яка дорівнює нулю.
Уздовж вертикалі діють три сили: сила тис-
ку на верхню основу, що дорівнює рА8 і
напрямлена вниз, сила тиску на нижню
основу, що дорівнює рв5 і напрямлена вго-
ру, і вага рідини в об’ємі циліндра, напрям-
лена вниз. Якщо відстань між А і В дорів-
нює й, то об’єм циліндра дорівнює $Н і його
вага дорівнює у5й, де 7 — питома вага ріди-
ни. Умова рівноваги циліндра визначатиметься рівністю рА8 +•
+ 7$й = рв5, звідки знаходимо:
рв — рл= ЧИ-
Величина *[Іі чисельно дорівнює вазі стовпа рідини висотою й
з поперечним перерізом в одну одиницю. Отже, із знайденої
формули бачимо, що різниця тисків у двох точках усередині дано-
го об'єму рідини дорівнює вазі стовпа рідини з площею попе-
речного перерізу, що дорівнює одиниці, і з висотою, яка дорів-
нює різниці глибин занурення точок.
Якщо тиск на вільній поверхні рідини дорівнює нулю, то, роз-
глядаючи в рідині циліндр Г)С з вертикальною віссю, одна з
основ якого лежить на поверхні, знайдемо таким самим спосо-
бом, як і вище, що тиск р в точці, яка лежить на глибині й під
поверхнею рідини, визначиться формулою
Р = ЇЙ-
Якщо тиск на вільній поверхні не дорівнює нулю, то ця вели-
чина у й дасть різницю тисків на глибині й і на вільній поверхні.
Тиск, спричинений вагою рідини, часто називають гідроста-
тичним тиском. Отже, гідростатичний тиск дорівнює добутку
питомої ваги рідини на глибину занурення.
§ 1521
РІДИНА ПІД ДІЄЮ сили тяжіння
275
Користуючись співвідношенням між питомою вагою і густи-
ною (§ 57) 7 = гідростатичний тиск рідини можна подати
формулою
Р =
Виводячи співвідношення між тисками в різних точках, ми кори-
стувалися тим, що розглядувані точки можна з’єднати одну
з одною циліндром з горизонтальною віссю або циліндром з вер-
тикальною віссю, який повністю лежить у рідині. Якщо ЦЬОГО
зробити не можна, як, наприклад, у похилій (рис. 235) або 15-по-
дібній посудині (рис. 236), то для порівняння тисків у яких-небудь
Рис. 235. Тиск у точці М визна-
чається глибиною А, відліченою
по вертикалі.
Рис. 236. Тиски в точ-
ках А і В однакові.
двох точках досить сполучити ці точки ламаною, яка вся лежить
у рідині і ланки якої по черзі вертикальні і горизонтальні. Напри-
клад, для посудини з похилими стінками (рис. 235) можна взяти
ламану АВСОМ, для 17-подібної посудини — ламану АСОВ. Для
кожної горизонтальної ланки тиски на її кінцях будуть однако-
ві; для кожної вертикальної ланки можна застосовувати виведе-
ну вище формулу. Отже, переходячи від вершини до вершини
ламаної, знайдемо, наприклад, для посудини з похилими стін-
ками:
Рв = 7Л1, Рс = Рв, Рй = Рс + А, Рм = Ро,
звідки знаходимо:
РМ = Т<Л1 + Л2) = ЇЛ-
де Н = /її + Аг — глибина занурення розглядуваної точки під
вільною поверхнею. Як видно, формула справджується навіть
у випадках, коли перпендикуляр, проведений з даної точки до
вільної поверхні, не весь лежить у рідині.
Далі, розглядаючи 15-подібну посудину, знайдемо для точок
А і В, що лежать в одній горизонтальній площині:
Рс = Ра + Ро = Рс> Ро--=Рв +
звідки рА= рв.
18*
276
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
Ми бачимо, що поверхня рівня завжди є горизонтальною пло-
щиною, навіть тоді, коли окремі ділянки цієї площини відокрем-
лені стінками посудини. Отже, розподіл тиску за глибиною зовсім
не залежить від форми посудини.
Рис. 237. Графіки тиску залежно від глибини занурення.
а) Поверхневий тиск дорівнює нулю, б) Поверхневий тиск
дорівнює р0.
Побудуємо графік розподілу тиску рідини в посудині за гли-
биною. Тиски відкладатимемо в горизонтальному напрямі від
точок вертикальної прямої, які відповідають різній глибині.
Рис. 238. Графік тиску однаковий для посудин різної
форми.
Оскільки гідростатичний тиск прямо пропорціональний глибині,
то графік матиме вигляд прямої лінії (рис. 237, а). Якщо вільна
поверхня рідини зазнає тиску, що дорівнює р0, то тиск на кож-
ній глибині збільшується на цю величину (рис. 237,6). У від-
критій посудині цей тиск ро є атмосферним тиском.
Оскільки тиск рідини не залежить від форми посудини, то
графік залежності тиску від глибини також від цієї форми не
залежить і завжди зображається прямою лінією (рис. 238).
§ 153]
СПОЛУЧЕНІ ПОСУДИНИ
277
Вправи. 152. 1. Тиск атмосфери на вільну поверхню води становить
105н/л<2. На якій глибині тиск подвоюється? На якій глибині тиск води дорів-
нює 5-Ю5 н/лї2?
152.2. Побудуйте графік розподілу тиску в
мензурці, заповненій різними рідинами, як пока-
зано на рис. 239. Знайдіть тиск на дно мензурки.
§ 153. Сполучені посудини. Візьмемо
ряд посудин різної форми, сполучених
у нижній частині трубками (сполучені
посудини). Наливатимемо рідину в одну
з них: ми відразу ж установимо, що ріди-
на перетече по трубках в інші посудини
і встановиться в усіх посудинах на одна-
ковому рівні (рис. 240). Цей дослід мож-
на пояснити так. Тиск на вільних поверх-
нях рідини в посудинах однаковий; він
б/, = 0,83
</2=1,00
д3=13,60
Рис. 239. До впра-
ви 152. 2.
дорівнює атмосферному тиску. Отже, усі вільні поверхні нале-
жать тій самій поверхні рівня і, отже, повинні лежати в одній
горизонтальній площині (§ 152).
Чайник і його носик являють собою сполучені посудини: вода
стоїть у них на однаковому рівні. Отже, носик чайника повинен
Рис. 24Л У всіх сполучених посудинах вода стоїть
~ на однаковому рівні.
доходити до тієї самої висоти, що й верхній край самої посуди-
ни: інакше чайник не можна буде налити доверху. Коли ми нахи-
ляємо чайник, рівень води залишається попереднім, а носик
опускається; коли він опуститься до рівня води, вода почне вили-
ватися (рис. 241).
На принципі сполучених посудин побудовані водомірні труб-
ки для баків з водою (рис. 242). Такі трубки є, наприклад, на
баках для миття в залізничних вагонах. У відкритій скляній
трубці, приєднаній до бака, вода стоїть завжди на тому самому
рівні, що й у самому баці. Якщо водомірну трубку («водомірне
скло») встановлюють на паровому котлі (рис. 243), то верхній
278
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
кінець трубки з’єднують з верхньою частиною котла, наповненою
парою. Це роблять для того, щоб тиски на вільній поверхні води
Рис. 241. Чайник і його носик — сполучені посу-
дини.
в котлі і у водомірній трубці були однаковими. Тоді рівень води
в трубці лежить на тій самій висоті, що й рівень води в котлі.
Шлюзи рік і каналів також працюють за принципом сполу-
чених посудин. У суміжних шлюзових камерах, відокремлених .
одна від одної шлюзовими воротами,
вода стоїть на різному рівні. Під воро-
тами проходить підводний канал, який
сполучає обидві камери; його можна
відкривати і закривати. При відкриван-
ні підводного каналу обидві камери
перетворюються в сполучені посудини
Рівень
води
Рис. 242. Водомірна трубка
бака. Вода в трубці стоїть
на тому самому рівні, що й
у баці.
Рис. 243. Водомірна трубка
парового котла. Крани при-
значені для від’єднання
трубки від котла.
і вода, перетікаючи з камери з вищим рівнем у камеру з ниж-
чим, установлюється на однаковому рівні в обох камерах. Тоді
§ 153]
СПОЛУЧЕНІ ПОСУДИНИ
279
можна відкрити шлюзові ворота і перевести судно з однієї каме-
ри в другу. Таким чином, за допомогою шлюзів переміщають
судно з однієї водойми в другу, що лежить на нижчому рівні.
При великій різниці в рівнях водойм будують цілий ряд шлюзо-
вих камер, які працюють одна за одною послідовно.
Наллємо в сполучені посудини у вигляді ІІ-подібної трубки (рис. 244) яку-
небудь рідину, наприклад воду. Рівень вільної поверхні в обох колінах трубки
Рис. 244. Рідини різної пито-
мої ваги стоять у сполучених
посудинах на різній висоті.
Рис. 245. До впра-
ви 153. 1.
буде однаковий. Тепер доливатимемо в одне з колін трубкй рідину іншої пито-
мої ваги, яка не змішується з першою, наприклад гас. Рівень у кожній посу-
дині при цьому підвищуватиметься, але вже не однаково, як це було б, якби
ми наливали ту саму рідину. Поверхня поділу між рідинами в міру доливання
другої рідини опускатиметься. Визначимо співвідношення між висотами стов-
пів рідини в кожній посудині над рівнем АВ поверхні поділу рідин. Висоти
стовпів позначимо через Аі і Аг, а питому вагу рідин — відповідно через
і 7г- Нижче площини АВ в посудинах перебуває лише одна рідина; тому тиски
Рд 1 Рвв точках. А і В, що лежать на однаковій висоті, повинні бути однако-
ві. Але ці тиски дорівнюють
РА = 7іЛь Рв = ї2Л2.
Прирівнюючи рА і Рв, знайдемо Аі » 7^2, звідки дістанемо:
її — 2?
Л2 Ті’
тобто в сполучених посудинах висоти стовпів рідин над рівнем поділу оберне-
но пропорціональні питомій вазі рідин.
Оскільки питома вага тіл пропорціональна їх густинам, то можна сказати
ще так: висоти стовпів рідин и сполучених посудинах обернено пропорціональ-
ні густинам рідин.
Вправа. 153.1. Ії-подібна трубка заповнена ртуттю, водою і гасом, як
показано на рис. 245. Верхні рівні води і гасу лежать на одній горизонталі.
Знаючи, що різниця рівнів ртуті дорівнює 25 мм, знайдіть висоту стовпа води.
Густина ртуті 13,6 г!см\ густина гасу 0,81 гісм3.
280
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
Рис. 246. Тиск по-
вітря в лівому ко-
ліні зрівноважує
атмосферний тиск
4- тиск стовпа во-
ди ВС у правому
коліні.
§ 154. Рідинний манометр. Наллємо в Ц-подібну трубку води
і, узявши в рот один кінець трубки, подуємо в нього (рис. 246).
Ми побачимо, що рівні води в колінах трубки змістяться, так
що у відкритій частині вода стоятиме на вищо-
му рівні. Це пояснюється тим, що повітря, яке
стискається нашими легенями над поверхнею
рідини, чинить на неї тиск, більший від атмо-
сферного тиску у відкритому кінці трубки.
Оскільки тиски в точках А і В, що лежать
в одній горизонтальній площині, однакові, то
тиск вдихуваного повітря перевищує , атмо-
сферний на величину тиску стовпа води, висо-
та якого дорівнює створеній різниці рівнів
у колінах трубки. Звичайно, воду можна замі-
нити якою-небудь іншою рідиною, наприклад
ртуттю; вимірюючи різницю рівнів рідини
в колінах трубки, можна визначити тиск на
рідину в одному з колін, або, точніше кажучи,
різницю тисків над поверхнею рідини в обох
колінах. Цей принцип і використаний у рідинному манометрі.
Рідинний манометр виготовляють у вигляді Ц-подібної труб-
ки з рідиною; одне коліно її приєднують до посудини, в якій
треба виміряти тиск (рис. 247). Якщо різниця рівнів рідини, яка
утворилася, дорівнює А, то тиск з
боку коліна, де рідина стоїть на
меншому рівні, перевищує тиск у
другому коліні на 7/1, де у — пито-
ма вага рідини в манометричній
трубці.
Звичайно користуються мано-
метром, наповненим водою або
ртуттю, і вимірюють тиск за спосте-
режуваною різницею рівнів, подаю-
чи його безпосередньо в одиницях
довжини. Як одиниці тиску застосо-
вують тиски, які створює стовп води
або ртуті висотою 1 мм. Ці одиниці
називають «один міліметр водяного
стовпа» і «один міліметр ртутного
стовпа» і відповідно позначають «1 мм вод. ст.» і «1 мм рт. ст».
Тиск в 1 мм вод. ст.— це тиск, що дорівнює тиску стовпа води
висотою 1 мм. Об’єм стовпа води з основою 1 см2 і висотою 1 мм
становить 0,1 см3, а вага його дорівнює 0,1 Г, або 10000 кГ. Отже,
тиск в 1 мм вод. ст. дорівнює 10цц0 кГІсм2 = 1 кГІм2.
Рис. 247. Рідинний манометр.
Манометр показує, що тиск у
посудині А менший від атмо-
сферного.
§ 155]
БУДОВА ВОДОПРОВОДУ, НАГНІТАЛЬНИЙ НАСОС
281
Тиск в 1 мм рт. ст. у 13,6 раза більший, ніж в 1 мм вод. ст.
(оскільки питома вага ртуті в 13,6 раза більша за питому вагу
води), І дорівнює КГІСМ2 = кГ/см2. Звідси випливає,
що технічна атмосфера (1 кГ/см2) відповідає 10 000 мм вод. ст.
(10 м водяного стовпа) або 735 мм рт. ст.
В п р а в и. 154. 1. Подайте тиски 1 мм вод. ст. і 1 мм рт. ст. у н[м2.
154. 2. Тиск у посудині змінився на 2 мм рт. ст. На скільки перемістився
рівень у відкритому коліні приєднаного до посудини водяного манометра?
§ 155. Будова водопроводу. Нагнітальний насос. Схему будо-
ви водопроводу подано на рис. 248. На башті встановлюють
Рис. 248. Схема будови водопроводу. Воду у водо-
напірну башту А накачують насосом В.
великий бак з водою («водонапірна башта»). Від бака йдуть
труби з цілим рядом відгалужень, які вводять у будинки. Кінці
відростків труб закривають кранами. Біля крана тиск води, яка
заповнює трубу, дорівнює тиску стовпа води, що має висоту, яка
дорівнює різниці висот між краном і вільною поверхнею води
в баці. Цей тиск досягає звичайно кількох атмосфер, бо бак уста-
новлюють на висоті кількох десятків метрів. Завдяки цьому при
відкриванні крана вода виливається швидкою струминою. Оче-
видно, тиск на верхніх поверхах будинків менший, ніж на ниж-
ніх. Зрозуміло також, що водопровід не може подавати вод>
на висоту, більшу за висоту вільного рівня води в баці.
Воду в бак водонапірної башти подають насосами. Нагніталь-
ний поршневий насос складається з циліндра з поршнем, що має
клапан а (рис. 249). До нижньої частини циліндра приєднано
трубку 6, яка веде до верхнього резервуара і має другий кла-
пан с. Обидва клапани можуть відкриватися лише в один бік.
Припустимо, що циліндр і трубка заповнені водою, і розгляне-
мо, що станеться під час руху поршня зверху вниз і знизу вгору.
282
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
Почнемо опускати поршень. Він почне стискати воду, і сили
тиску, які виникають, закриють клапан а і відкриють клапан с.
Клапан с відкриється тоді, коли тиск стискуваної в циліндрі води
перевищить тиск, створюваний стовпом води висотою від с до
Рис. 49. Водяний нагніталь-
ний насос.
рівня води у верхньому резер-
вуарі. При дальшому опускан-
ні поршня вода витіснятиметь-
ся з циліндра через трубку Ь і
втікатиме у верхній резервуар.
Водночас простір над поршнем
заповнюватиметься водою з
нижнього резервуара через
трубку є.
Тепер почнемо піднімати
поршень. Тиск під поршнем
відразу зменшиться, і тиск во-
ди в трубці Ь закриє клапан с.
З другого боку, тиск води над
поршнем відкриє клапан о, бо
на нього не діють тепер сили
тиску знизу. При підніманні
поршня вода перетікатиме че-
рез відкритий клапан а з верх-
ньої в нижню частину цилін-
дра. При наступних опускан-
нях і підніманнях поршня про-
цес повторюється, і вода перекачується з нижнього резервуара
у верхній.
Вправи. 155.1. Який мінімальний тиск повинен розвивати насос, що
подає воду на висоту 55 м?
155. 2. Тиск води в кранах водопроводу на другому поверсі шестиповерхо-
вого будинку дорівнює 2,5 кГ/см2. Знайдіть висоту рівня води в бані водона-
пірної башти над рівнем землі, а також тиск води біля крана шостого поверху.
Висоту одного поверху візьміть 4 м.
§ 156. Сифон. Опустимо в посудину з рідиною кінець зігну-
тої трубки, заповненої тією самою рідиною, так, щоб її кінець
С, закритий пробкою, був нижче рівня води в посудині (рис. 250).
Якщо отвір С відкрити, то вода з посудини виливатиметься
через трубку. Такий пристрій називають сифоном. Сифон широ-
ко застосовують на практиці для виливання рідини з посудин, які
не можна перевернути, наприклад бензину з автомобільного
бака.
Дію сифона можна пояснити так. Нехай зовнішній тиск (атмо-
сферний) дорівнює р. Цей тиск діє як на вільній поверхні рідини
на рівні ММ, так і поблизу закритого пробкою кінця трубки С.
§ 156]
СИФОН
283
Такий самий тиск р буде і всередині трубки сифона, у точках А
і В, що лежать на рівні ММ. У точці С всередині трубки, біля
її нижнього кінця, тиск буде
більший, ніж у точці В, на
величину де Н—від-
стань, на яку кінець трубки
нижчий від рівня вільної по-
верхні води в посудині. От-
же, ТИСК Рс рідини в точці С
дорівнює
Рс = р +
тобто тиск у нижньому кін-
ці сифона більший від тиску
поза сифоном. Якщо ми ви-
ймемо пробку, то цей тиск
примусить рідину вилива-
тися.
Якби отвір С був розмі-
щений вище рівня рідини в
посудині, то тиск у трубці
був би менший від зовнішнього тиску і при відкриванні пробки
зовнішній тиск витісняв би рідину з трубки в посудину.
Рис. 251. Вигинання гумової плівки при Рис. 252. До вправи 156. 1.
різних положеннях трубки.
Ці міркування легко перевірити на досліді за допомогою
гумової трубки, кінець якої можна встановлювати на різній висо-
ті. Чим більша різниця по висоті між кінцем трубки і вільною
поверхнею рідини, тим чіткіше виявлятиметься явище і тим
швидше витікатиме рідина.
Якщо отвір трубки, заповненої рідиною, затягти плівкою
284
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
(рис. 251), то при опусканні кінця трубки видно, як змінюється
форма плівки, переходячи від вдавленої (кінець трубки вище
рівня рідини в посудині) до плоскої (кінець трубки на рівні
рідини) і до дедалі більш опуклої (при дальшому опусканні
трубки).
Вправа 156. 1. Посудина і трубка (рис. 252) заповнені однією рідиною.
Як зміниться рівень рідини в посудині при відкриванні крана А? крана В?
крана С? крана Р?
§ 157. Сила
тиску на дно посудини. Візьмемо циліндричну
посудину з горизонтальним дном і верти-
кальними стінками, в яку налито рідину до
висоти й (рис. 253). Гідростатичний тиск у
кожній точці дна посудини буде однаковий:
Рис. 253. У посудиЬі з
вертикальними стінка-
ми сила тиску на дно
дорівнює вазі всієї
налитої рідини.
посудинах має ту
на дно дорівнює
Р =
Якщо дно посудини має площу 5, то сила
тиску рідини на дно посудини дорівнює 7^5
і, отже, дорівнює вазі всієї рідини, налитої
в посудину.
Розглянемо тепер посудини, що мають
різну форму, але однакову площу дна (рис.
254). Якщо рідина в кожній з них налита до
однакової висоти Л, то тиск на дно в усіх
саму величину: р = 7/1. Отже, сила тиску
/7 = їЛ5,
$ 8 8 8
Рис. 254. У всіх зображених по-
судинах сила тиску на дно одна-
кова. У перших двох посудинах
вона більша за вагу налитої рі-
дини, у двох інших — менша.
тобто однакова в усіх таких посудинах. Вона дорівнює вазі стов-
па рідини з основою, що дорівнює
площі дна посудини, і з висотою,
що дорівнює висоті налитої ріди-
ни. На рис. 254 цей стовп пока-
зано біля кожної посудини пунк-
тирними лініями. Звернемо ува-
гу на те, що сила тиску на дно не
залежить від форми посудини і
може бути як більша, так і мен-
ша за вагу налитої рідини.
Цей висновок можна переві-
рити на досліді за допомогою
такого приладу, запропонованого
Паскалем (рис. 255). На підстав-
ці можна закріплювати посудини різної форми, без дна. Замість
дна знизу до посудини щільно притискають підвішену до коро-
мисла терезів пластинку. При наявності рідини в посудині на
§ 157)
СИЛА ТИСКУ НА ДНО ПОСУДИНИ
285
пластинку діє сила тиску, яка відриває пластинку, коли сила тис-
ку почне перевищувати вагу гирі на другій шальці терезів.
Рис. 255. Прилад Паскаля з набором посудин.
Перерізи а — а однакові в усіх посудинах.
У посудини з вертикальними стінками (циліндрична посуди-
на) дно відкривається, коли вага налитої рідини досягає ваги
гирі. У посудин іншої форми дно відкри-
вається при тій самій висоті стовпа ріди-
ни, хоч вага води, яку наливають, може
бути більша (розширювана посудина) і
менша (звужувана посудина) за вагу
гирі.
Цей дослід веде до думки, що при
належній формі посудини можна за до-
помогою невеликої кількості води добу-
ти величезні сили тиску на дно. Паскаль
приєднав до щільно законопаченої бочки,
в яку налито воду, довгу тонку верти-
кальну трубку (рис. 256). Коли трубку щ
заповнюють зверху водою, сила гідро- |
статичного тиску на дно стає такою, що І
дорівнює вазі стовпа води, яка має в І
основі дно бочки і висоту, що дорівнює І
висоті трубки. Відповідно збільшуються
і сили тиску на стінки та верхнє дно боч-
ки. Коли Паскаль заповнив трубку до
висоти в кілька метрів, для чого потрібно
було лише кілька кружок води, сили
тиску, які виникли, розірвали бочку. ' ЧІ 1 "
Як пояснити, що сила тиску на дно п ог-с п
, Рис. 256. Дослід з боч-
посудини може бути, залежно від форми кою Паскаля (за старо-
посудини, більшою або меншою за вагу винною гравюрою).
286
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
рідини в посудині? Адже сила протидії з боку посудини на ріди-
ну повинна зрівноважувати вагу рідини.
Справа в тому, що на рідину в посудині діє не тільки дно,
а й стінки посудини. У посудині, яка розширюється доверху,
Рис. 257. Сили, які діють на рідину з боку стінок у посу-
динах різної форми.
сили, з якими стінки діють на рідину, мають проекції, напрям-
лені вгору, отже, частина ваги рідини зрівноважується силами
тиску стінок і лише частина повинна бути
зрівноважена силами тиску з боку дна. На-
впаки, у посудині, яка звужується доверху,
дно діє на рідину вгору, а стінки — вниз-
тому сила тиску на дно буде більша за вагу
рідини. Сума сил, які діють на рідину з боку
дна посудини і її стінок, завжди дорівнює
вазі рідини. Рис. 257 наочно показує розпо-
діл сил, які діють з боку стінок на рідину
в посудинах різної форми.
У посудині, яка звужується доверху, з
боку рідини на стінки діє сила, напрямле-
на вгору. Якщо стінки такої посудини зро-
Рис. 258. При нали- бити рухомими, то рідина підніме їх. Подіб-
ванні води в лійку ци- ний дослід можна продемонструвати на
ліндр піднімається такоМу приладі: поршень нерухомо закріп-
вг°ру. лений і на нього надіто циліндр, що пере-
ходить у вертикальну трубку (рис. 258).
Коли простір над поршнем заповнюється
водою, сили тиску на ділянках АВ і СТ) стінок циліндра підні-
мають циліндр угору.
§ 158. Тиск води в морських глибинах. Ми бачили (§ 154),
що тиск водяного стовпа висотою 10 м дорівнює 1 кГ/см2, або
1 технічній атмосфері. Якщо для спрощення розрахунків вва-
§ 158]
тиск ВОДИ В МОРСЬКИХ ГЛИБИНАХ
287
жати, що питома вага морської води дорівнює 1 Г/см3 то зану-
рення в море на кожні 10 м дасть збільшення гідростатичного
тиску на 1 кГІсм1 2.
Наприклад, підводний човен, занурений на 100 м під воду,
зазнає тиску в 10 кГ/см2 (понад атмосферний), що приблизно
відповідає тиску всередині парового котла паровоза.
Отже, кожній глибині під поверхнею води відповідає певний
гідростатичний тиск. Підводні човни мають манометри, які вимі-
рюють тиск забортної води; це дає змогу визначати глибину
занурення.
На дуже великих глибинах вже починає бути помітною сти-
сливість води: внаслідок стискання густина води в глибоких
шарах більша, ніж на поверхні, і тому тиск зростає з глибиною
трохи швидше, ніж за лінійним законом, і графік тиску трохи
відхиляється від прямої лінії. Добавка тиску, зумовлена сти-
сканням води, зростає пропорціонально квадрату глибини. На
найбільшій глибині океану вона досягає майже 3% від повного
тиску на цій глибині.
Для дослідження дуже великих глибин застосовують бати-
сфери і батискафи. Батисфера — це стальна порожниста куля,
здатна витримувати величезний тиск води в морських глибинах.
У стінці батисфери роблять ілюмінатори — отвори, герметично*
закриті міцними стеклами. Прожектор освітлює шари води, куди
вже не можуть проникнути сонячні промені. Батисферу, в якій
розміщений дослідник, опускають з корабля на стальному тросі.
Таким способом удавалося досягти глибини близько 1 км. На
ще більші глибини опускають батискафи, які складаються з
батисфери, закріпленої внизу великої стальної цистерни і запов-
неної бензином (рис. 259) 2. Оскільки бензин легший від води, то
такий батискаф може плавати на глибині моря подібно до дири-
жабля в повітрі. Роль легкого газу відіграє тут бензин. Бати-
скаф має запас баласту і двигуни, за допомогою яких він, на
відміну від батисфери, може самостійно пересуватися, не буду-
чи зв’язаний з кораблем на поверхні води.
Спочатку батискаф плаває на поверхні води, подібно до під-
водного човна, який виплив. Для занурення в порожні баластні
відсіки впускають забортну воду, і батискаф опускається під
воду дедалі глибше, до самого дна. Щоб випливти, скидають
баласт, і полегшений батискаф випливає знову на поверхню. Най-
глибшого занурення досягли 23 січня 1960 р., коли батискаф
1 Насправді питома вага морської солоної води на 1—2% більша, ніж
1 Г /см3.
2 Прикріпити батисферу до порожньої (наповненої повітрям) цистерни
не можна, бо зовнішній тиск роздавив би цистерну.
288
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
пролежав 20 хвилин на дні Маріанської западини в Тихому океані,
на глибині 10 919 м під поверхнею води, де тиск води (визна-
чений з урахуванням підвищення густини води внаслідок соло-
Рис. 259. Батискаф.
ності і стискання) становив понад 1150 кГ/см2. Дослідники, які
опускалися в батискафі, виявили живі істоти навіть на цій най-
Рис. 260. Водолаз у гумово-
му костюмі з металевим шо-
ломом. Повітря водолазові
подають по трубці.
більшій глибині світового океану.
Плавець або аквалангіст, який
занурився під воду, зазнає на всій
поверхні свого тіла більшого гідроста-
тичного тиску навколишньої води, ніж
атмосферний тиск, який діє постійно.
Хоч тіло водолаза (рис. 260), що пра-
цює в гумовому костюмі (скафандрі),
і не стикається з водою безпосеред-
ньо, проте воно зазнає такого самого
тиску, як і тіло плавця, бо повітря в
скафандрі повинно бути стиснуте до
тиску навколишньої води. З цієї при-
чини і повітря, яке подають по шлан-
гу водолазові для дихання, треба нака-
чувати під тиском, який дорівнює тис-
ку води на глибині занурення водола-
за. Такий самий тиск повинен бути
в повітрі, яке надходить з балонів з
стисненим повітрям у маску аквалан-
гіста. Під водою доводиться дихати
повітрям підвищеного тиску.
§ 158]
ТИСК ВОДИ В МОРСЬКИХ ГЛИБИНАХ
289
Не врятує підводника від підвищеного тиску і водолазний
ковпак (рис. 261) або кесон, бо і в них повітря повинно бути
стиснене так, щоб не допустити води під ковпак, тобто до тиску
навколишньої води. Тому при поступовому зануренні ковпака
в нього весь час підкачують
повітря з тим, щоб тиск повіт-
ря весь час дорівнював тиску
води на даній глибині. Підви-
щений тиск шкідливо позна-
чається на здоров’ї гіюдини, і
це ставить межу глибині, на
якій можлива безпечна робо-
та водолаза. Звичайна глиби-
на занурення водолаза в гумо-
вому скафандрі не перевищує.
40 м: на цій глибині тиск
збільшений на 4 атмосфери.
Робота водолаза на великій
глибині можлива лише в жор-
сткому («панцирному») ска-
фандрі, що приймає на себе
тиск води. У такому скафандрі
можна безпечно перебувати
на глибині до 200 м. Повітря в
такий скафандр подається під
атмосферним тиском.
При тривалому перебуван-
ні під водою при тиску, знач-
но підвищеному порівняно з
атмосферним, велика кількість
повітря розчинена в крові й
інших рідинах організму водо-
лаза. Якщо водолаз швидко
піднімається на поверхню, то
повітря, розчинене під вели-
ким тиском, почне виділятися ^ис- 261- Водолазний ковпак,
з крові у вигляді бульбашок
(так само, як виділяється у вигляді бульбашок повітря, розчи-
нене в лимонаді у закупореній пляшці під підвищеним тиском,
при вийманні пробки). Бульбашки, які виділяються, спричиню-
ють різку біль у всьому тілі і можуть навіть призвести до інва-
лідності («кесонна хвороба»). Тому водолаза, який довго про-
був на великій глибині, треба піднімати на поверхню повільно
(годинами!), щоб розчинені гази встигали виділятися поступово,
не утворюючи бульбашок.
19 7-ЮЗ
290
ГІДРОСТАТИКА
(РОЗД VIБ
§ 159. Міцність підводного човна. У всіх військово-морських
флотах важливу роль відіграють підводні човни — військові
кораблі, здатні занурюватись у воду на значну глибину (понад
100 м) і рухатися там потай від противника. Принцип будови
підводних човнів буде розглянуто нижче (§ 163), а тепер ми
спинимось лише на питанні про міцність підводного човна.
Занурюючись на глибину моря, підводний човен зазнає все-
бічного тиску, який стискає його.
Рис. 262 7) При внутрішньому тиску вм’ятина випрямляється.
б) При зовнішньому тиску вм’ятина збільшується.
У техніці часто зустрічаються конструкції, які зазнають все-
бічного тиску; звичайно тиск цей напрямлений зсередини назов-
ні. У таких умовах, наприклад, перебувають парові котли з вели-
ким внутрішнім тиском, балони для стисненого повітря і т. д.
Цікавим прикладом є герметично закрита кабіна штучного супут-
ника Землі: тиск усередині неї може бути близьким до атмосфер-
ного, тоді як зовнішній тиск дорівнює нулю.
Інженери давно вже знайшли, якої міцності треба надати
стінкам посудини сферичної або іншої форми, що зазнає певно-
го тиску зсередини.
На перший погляд здається, що випадок зовнішнього всебічно-
го тиску абсолютно подібний до випадку внутрішнього тиску.
Проте сфера з певною товщиною стінок може витримати значно
більший внутрішній тиск, ніж зовнішній. Це пояснюється тим,
що, як би точно не було виконано сферу, вона завжди матиме
хоча б дуже малі неправильності поверхні; крім того, якість
матеріалу в різних місцях також не може бути ідеально однако-
вою. Що ж станеться з якою-небудь нерівністю поверхні при
збільшенні тиску? При тиску зсередини сили тиску напрямлені
так, що вони прагнуть вирівняти нерівність (рис. 262, а). Навпа-
ки, зовнішній тиск може лише збільшувати кожну вм’ятину (рис.
262,6). При досить великому зовнішньому тиску всяка вм’яти-
на, яка випадково утворилася, почне збільшуватися і зможе
досягти недопустимих меж.
Отже, поверхня сфери стійка проти внутрішнього тиску і
нестійка проти зовнішнього, подібно до того, як тонкий стержень
стійкий при розтягу і нестійкий при стисканні. Аналогічна кар-
§ 160]
ЗАКОН АРХІМЕДА
291
тина спостерігається і для сигароподібного підводного човна.
Міцність стальних листів його обшивки дуже велика; але вся
обшивка в цілому може бути нестійкою відносно великого зов-
нішнього тиску.
Відомі випадки, коли підводний човен опускався на глибину,
більшу за безпечну межу; його обшивка згиналася зовнішнім
тиском, хоч корпус човна міг би витримати цей тиск, якби він
був прикладений зсередини.
§ 160. Закон Архімеда. На поверхню твердого тіла, зануре-
ного в рідину, діють, як ми знаємо, сили тиску. Оскільки тиск
збільшується з глибиною занурення, то сили тиску, що діють
на нижню частину тіла і напрямлені вгору, більші, ніж сили,
Рис. 263. Коли тягарець
занурений у воду, показ
динамометра зменшує-
ться.
Рис. 264. Корок, зануре-
ний у воду, натягує нит-
ку вгору.

що діють на верхню його частину і напрямлені вниз, і ми може-
мо сподіватися, що рівнодійна сил тиску буде напрямлена вго-
ру. Дослід підтверджує це припущення. Якщо, наприклад, гирю,
підвішену до гака динамометра, опустити у воду, то показ дина-
мометра зменшиться (рис. 263).
Рівнодійна сил тиску на тіло, занурене в рідину, називається
підтримуючою силою рідини. Підтримуюча сила може бути і біль-
шою за силу тяжіння, що діє на тіло; наприклад, корок, при-
в’язаний до дна посудини, наповненої водою, натягує нитку вго-
ру (рис. 264).
Підтримуюча сила виникає, звичайно, і у випадку часткового
занурення тіла. Кусок дерева, який плаває на поверхні води, не
тоне саме завдяки наявності підтримуючої сили, напрямленої
вгору.
19*
292
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
Якщо тіло, занурене в рідину, залишити самого на себе, то
воно потоне, буде в рівновазі або випливе на поверхню рідини
залежно від того, чи підтримуюча сила менша, ніж сила тяжін-
ня, що діє на тіло, чи дорівнює їй або більша за неї. Величина
підтримуючої сили залежить від роду рідини, в яку занурено
тіло. Наприклад, кусок заліза тоне у воді, але плаває в ртуті;
отже, у воді підтримуюча сила для цього куска менша, а в рту-
ті — більша, ніж сила тяжіння.
Знайдемо величину, підтримуючої сили, що діє на тверде тіло,
занурене в рідину.
Рис. 265. а) Тіло К перебуває в рідині, б) Тіло К замінено
однаковим з ним об’ємом рідини.
Підтримуюча сила, яка діє на тіло Л (рис. 265, а), є рівнодій-
на сил тиску рідини на його поверхню. Уявимо собі, що тіло
забрали і його місце зайняла рідина такого самого об’єму
(рис. 265,6). Тиски на поверхні такого мисЛено виділеного об’є-
му будуть такими самими, якими вони були на поверхні самого
тіла. Отже, і рівнодійна сил тиску на тіло (підтримуюча сила)
дорівнює рівнодійній сил тиску на виділений об’єм рідини. Але
виділений об’єм рідини перебуває в рівновазі. Сили, які діють
на нього,— це сила тяжіння Р і підтримуюча сила Е (рис. 266, а).
Отже, підтримуюча сила дорівнює за величиною вазі виділено-
го об'єму рідини і напрямлена вгору. Точкою прикладання цієї
сили повинен бути центр ваги виділеного об'єму. У противному
разі рівновага порушилася б, бо сила тяжіння і підтримуюча
сила утворили б пару сил (рис. 266,6). Але, як було вже сказа-
но, підтримуюча сила для виділеного об’єму збігається з під-
тримуючою силою для тіла. Отже, ми приходимо до закону Архі-
меда:
Підтримуюча сила, яка діє на тіло, занурене в рідину, дорів-
нює вазі рідини в об'ємі, який займає тіло («витіснений об’єм»),
напрямлена вертикально вгору і прикладена в центрі ваги цього
об'єму.
§ 160]
ЗАКОН АРХІМЕДА
293
Центр ваги витісненого об’єму часто називають центром
тиску.
Рис. 266. а) Рівнодійна сил тиску на поверхню зануреного
тіла дорівнює вазі рідини в об’ємі тіла, б) Якби точка
прикладання рівнодійної не збігалася з центром ваги ви-
тісненого об’єму, то утворилася б пара сил і рівновага цьо-
го об’єму була б неможливою.
Рис. 267. До виведення закону
Архімеда.
Для тіла, що має просту форму, можна було б і безпосеред-
ньо обчислити підтримуючу силу, розглянувши сили тиску на
його поверхню.
Нехай, наприклад, тіло Л, занурене в рідину, має форму вер-
тикально розміщеного прямого паралелепіпеда (рис. 267). Пло-
щу його основи позначимо через 5,
висоту — через /7, а відстань від
поверхні до верхньої основи — че-
рез н.
Рівнодійна сил тиску рідини
складається з сил тиску на бічну
поверхню паралелепіпеда і на його
основи. Сили, які діють на бічні
грані, взаємно знищуються, бо для
протилежних граней сили тиску
однакові за величиною і прямо про-
тилежні за напрямом. Тиск на верх-
ній основі 7/1, на нижній основі
ї(Л + Н). Отже, сили тиску на верхню і нижню основи відпо-
відно дорівнюють
Рі = 7/1З, Р2 = 7 (Л + Н) З,
причому сила Р{ напрямлена вниз, а сила Р2 — вгору. Таким
чином, рівнодійна Е усіх сил тиску на поверхню паралелепіпеда
(підтримуюча сила) дорівнює різниці між силами Р2 і Рі:
А = Р2 — = 7 (й + //) 5 — 7Л5 = 7/75
294
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
Рис. 268. Дослідна перевірка
закону Архімеда за допомогою
«відерця Архімеда».
і напрямлена вертикально вгору. Але Н8 — це об’єм паралелепі-
педа, а у— вага одиниці об’єму рідини; отже, підтримуюча сила
справді дорівнює вазі витісненого об’єму рідини.
Якщо тіло, занурене в рідину, підвішене до шальки терезів,
то терези показують різницю між вагою тіла в повітрі і підтри-
муючою силою, тобто вагою витісненої рідини. Тому закону Архі-
меда дають іноді таке формулю-
вання:
Тіло, занурене в рідину, втрачає
у своїй вазі стільки, скільки важить
витіснена ним рідина.
Щоб проілюструвати справедли-
вість цього висновку, виконаємо та-
кий дослід (рис. 268): порожнє
відерце А («відерце Архімеда») і
суцільний циліндр В, що має об’єм,
який точно дорівнює місткості
відерця, підвісимо до динамометра.
Потім, підставляючи посудину з
водою, примусимо циліндр занури-
тись у воду; рівновага порушиться,
і розтяг динамометра зменшиться.
Якщо тепер наповнити відерце
водою, то динамометр знову роз-
тягнеться до попередньої довжини:
втрата у вазі циліндра дорівнює
саме вазі води в об’ємі циліндра.
За законом рівності дії і проти-
дії підтримуючій силі, з якою ріди-
на діє на занурене тіло, відповідає
сила, з якою тіло діє на рідину. Ця
сила напрямлена вертикально вниз
і за величиною дорівнює вазі рідини, витісненої тілом. Наступ-
ний дослід демонструє сказане (рис. 269). Неповну склянку
з водою зрівноважують на терезах. Потім у склянку занурюють
тіло, підвішене на штативі; при цьому шалька з склянкою опус-
кається, і для відновлення рівноваги доводиться добавити на
другу шальку тягарець, який дорівнює вазі води, витісненої
тілом.
Вправи. 160.1. Визначте підтримуючу силу, яка діє на занурений у воду
камінь вагою 3 кГ, якщо питома вага його 2,4 ГІсм\
160.2. Брусок у вигляді куба з ребром 100 мм занурено в посудину,
наповнену водою, над якою налито газ (7 = 0,81 Г[см?) так, що лінія поділу
обох рідин проходить посередині висоти бруска. Визначте підтримуючу силу,
яка діє на брусок.
§ 16П
ВИМІРЮВАННЯ ПИТОМОЇ ВАГИ ТІЛ
295
160.3. Корок вагою 9,5 Г, обмотаний срібною дротиною з поперечним
перерізом 1 мм2, залишається в рівновазі у воді, не занурюючись і не спли-
ваючи. Знайдіть довжину дротини. Питома вага срібла 10,5 Г/см3.
160.4. Що станеться з терезами, які перебувають у рівновазі, якщо зану-
рити палець у склянку з водою, яка стоїть на шальці терезів, не доторкаю-
чись пальцем ні до дна, ні до стінок склянки?
Рис. 269. Вага гирі, яку треба покласти на ліву шальку
терезів, дорівнює силі, яка діє на рідину з боку зануреного
тіла.
160.5. До шальок терезів підвішені на нитках кусок міді і кусок цинку
вагою по 500 Г кожний. Чи порушиться рівновага, якщо мідь (у = 8,9 ГІсм?)
занурити у воду, а цинк (7 =7,1 ГІсм3)—у гас (7 =0,81 Г/см3)? Скільки
гир і на яку шальку терезів треба добавити, щоб відновити рівновагу?
§ 161. Вимірювання питомої ваги тіл на підставі закону Архі-
меда. Питому вагу у однорідного тіла неправильної форми, об’єм
якого важко знайти за допомогою вимірювання розмірів тіла,
можна визначити так.
Тіло двічі підвішують на терезах: один раз звичайним спо-
собом, другий раз — занурюючи тіло в рідину, питома вага 7
якої відома. Перше зважування дає вагу тіла Р. Друге зважу-
вання дає величину Р\, яка дорівнює різниці між вагою тіла
і підтримуючою силою. Різниця Р — Р\ дорівнює, згідно з зако-
ном Архімеда, вазі рідини в об’ємі, що дорівнює об’єму V тіла.
Оскільки вага одиниці об’єму рідини дорівнює 70, то цей об’єм є
7о
З другого боку, об’єм тіла дорівнює
7
296
ГІДРОСТАТИКА
(РОЗД VII
де 7— шукана питома вага самого тіла. Прирівнюючи обидві
рівності для об’єму даного тіла, знайдемо:
Вправи. 161. 1. Визначити питому вагу каменя, якщо його вага в повіт-
рі дорівнює 320 Г, а вага у воді — 180 Ґ.
161. 2. Як визначити питому вагу рідини, знаючи вагу якого-небудь тіла
в повітрі, у воді і в досліджуваній рідині?
161.3. Кусок міді (1=8,9 Псм2) важить у повітрі 400 Г, а при занурен-
ні в деяку рідину — 359 Г. Знайдіть питому вагу рідини.
161.4. Корок важить у повітрі 15 Г, кусок свинцю—113 Г. Якщо, зв'я-
завши їх разом, підвісити обидва куски до шальки терезів і опустити в гас,
то показ терезів буде 60 Г. Знайдіть питому вагу корка, припустивши, що
питома вага гасу дорівнює 0,8 ГІсм\ а свинцю 11,3 Псм\
§ 162. Плавання тіл. Закон Архімеда дає змогу пояснити всі
питання, пов’язані з плаванням тіл.
Нехай тіло занурене в рідину і залишене само на себе. Якщо
вага тіла більша за вагу витісненої тілом рідини, то воно тону-
тиме— занурюватиметься, поки не впаде на дно посудини; якщо
вага тіла менша за вагу витісненої рідини, то воно спливатиме»
піднімаючись до поверхні рідини; тільки тоді, коли вага тіла
точно дорівнює вазі витісненої рідини, воно перебуватиме в рів-
новазі всередині рідини. Наприклад, куряче яйце тоне в прісній
воді, але плаває в солоній. Можна зробити розчин солі, концент-
рація якого поступово зменшується доверху, так що підтримую-
ча сила внизу посудини більша, а вгорі менша за вагу яйця.
У такому розчині яйце тримається на такій глибині» де його
вага точно дорівнює підтримуючій силі.
Якщо тверде тіло однорідне, тобто в усіх точках має однако-
ву питому вагу, то тіло тонутиме, спливатиме або буде в рівно-
вазі всередині рідини залежно від того, чи більша питома вага
тіла, ніж питома вага рідини, чи менша за неї або дорівнює їй.
У випадку неоднорідних тіл, очевидно» можна порівнювати з
питомою вагою рідини середню питому вагу тіла.
Якщо вага тіла, зануреного в рідину, менша за вагу рідини
в об’ємі тіла, то воно спливає. Піднявшись на поверхню, воно
плаває так, що частина його виступає з рідини. Плаваючі тіла
різної питомої ваги занурюються в рідину на різну частку сво-
го об’єму (рис. 270). Це пояснюється тим, що при рівновазі тіла»
яке плаває на поверхні рідини, вага витісненого об’єму рідини
(у цьому разі — об’єму частини тіла, що перебуває під вільним
рівнем рідини) повинна дорівнювати вазі тіла. Тому тіло, пито-
ма вага якого лише на незначну величину менша за питому вагу
рідини (наприклад, крижина у воді), занурюється при плаванні
глибоко. У такого тіла лише при глибокому зануренні підтримую-
§ 162]
ПЛАВАННЯ ТІЛ
29Я
ча сила буде такою, що дорівнює вазі тіла. Але якщо питома
вага тіла значно менша за питому вагу рідини, то тіло занурює-
ться мало.
Дослідну перевірку сказаного вище можна здійснити за допо-
могою терезів. Замість однієї з шальок підвісимо відерце, до
Рис. 270. Крижина плаває, занурившись глибоко під воду. Соснова,
колода занурюється при плаванні лише на половину.
країв наповнене водою, і зрівноважимо його гирями. Опустимо
у відерце кусок дерева так, щоб він вільно плавав, не торкаю-
чись дна відерця. З відерця витече частина води, витіснена дере-
вом, але рівновага не порушиться. Отже, вага води, яка витекла
(витіснена), дорівнює вазі плаваючого куска дерева.
У суднобудуванні вагу води, яку витісняє судно, називають
його водотоннажністю. Очевидно, водотоннажність дорівнює вазі
судна. При завантаженні судна воно занурюється глибше у воду,
і водотоннажність його зростає на величину, яка дорівнює вазі
покладеного вантажу.
Закон плавання тіл покладений в основу будови ареометра.
Ареометр являє собою скляну посудину з тягарцем, що має дов-
гий відросток, на якому нанесено шкалу (рис. 271). Плаваючи
на поверхні рідини, ареометр занурюється на більшу або меншу
глибину залежно від питомої ваги рідини. Чим більша питома
вага рідини, тим менше занурюється ареометр. На шкалі позна-
чають безпосередньо значення питомої ваги рідини, яка
298
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
відповідає зануренню ареометра до певної поділки. Отже,
позначки на шкалі зростають згори вниз.
Ареометр застосовують звичайно для точних вимірювань
у рідинах з близькою питомою вагою (напри-
клад, розчини різної концентрації). Точності
т вимірювання досягають внаслідок того, що від-
___ 1,120 росток із шкалою роблять тонким; тоді навіть
І малим змінам питомої ваги відповідає помітна
Ев_ 1,140 зміна глибини занурення.
1,160
1,180
1,200
1.220
1,240
Вправи. 162.1. Де більша осадка судна при одна-
ковому навантаженні — у морі чи в річці?
162.2. У склянці з водою плаває кусок льоду. Як змі-
ниться рівень води, коли лід розтане?
162.3. Відро, налите водою доверху, висить на безмі-
ні. Якщо опустити у відро кусок заліза, підвішений на нит-
ці, то частина води виллється. Чи зміниться показ без-
міна?
162.4. Яка частина об’єму дубової колоди лежить під
поверхнею води, якщо питома вага дуба 0,8 Г/см'?
162.5. Стальна кулька плаває в ртуті. Яка частина її
лежить над ртуттю? Чи зміниться положення кульки, якщо
зверху налити води? Питома вага сталі 7,8 Г/см\ ртуті —
13,6 Г/см3.
162.6. Призматична крижина (у =0,92 Псм3) плаває
у воді, висовуючись назовні на 2 см. Яка вага крижини,
якщо площа її основи 200 см2?
162. 7. Однорідне тіло плаває на поверхні спирту (7 =
= 0,80 Г/см3) так, що об’єм зануреної частини становить
0,92 всього об’єму тіла. Визначте об’єм зануреної частини
тіла, яке плаває на поверхні: а) води, б) ртуті.
Рис. 271.
Ареометр.
Дріб
§ 163. Плавання несуцільних тіл. Тіло, яке
має порожнини, куди рідина не проникає при
плаванні тіла, витісняє такий самий об’єм, як
і суцільне тіло. Тому й підтримуюча сила для
такого тіла така сама, як і для суцільного.
Але вага тіла з порожнинами менша за вагу
суцільного тіла; тому при достатній величині
порожнин таке тіло може плавати навіть тоді,
коли питома вага речовини тіла більша за пито-
му вагу рідини. Витіснений об’єм буде більший
за об’єм, який займає речовина тіла. Залізний
корабель витісняє об’єм води в багато разів
більший, ніж об’єм заліза, з якого зроблено кор-
пус судна; тому він може плавати (має «плавучість»), хоч пи-
тома вага заліза в 7,8 раза більша за питому вагу води. Якщо
простір усередині судна заповниться водою, наприклад у випад-
§ 163]
ПЛАВАННЯ НЕСУЦІЛЬНИХ ТІЛ
299
ку течі, то витіснений об’єм зменшиться, судно втратить плаву-
чість і почне тонути.
Щоб забезпечити безпеку мореплавання, треба передбачати
можливість пробоїни в корпусі судна. Увесь внутрішній простір
поділяють рядом стальних перегородок на водонепроникні від-
діли — «відсіки». У випадку пробоїни або течі водою заповнюють
один з відсіків, і судно продовжує плавати, хоч і занурюється
трохи глибше у воду (рис. 272).
Рис. 272. При заповненні водою одного з відсіків
судно не тоне, а лише занурюється глибше під воду.
Особливий вид кораблів являють собою підводні човни. Вони
повинні мати змогу випливати і занурюватись у воду, а також
пливти під поверхнею води. Через те що об’єм човна в усіх випад-
ках не змінюється, то для виконання цих маневрів на човні
повинен бути пристрій для зміни його ваги. Цей пристрій скла-
дається з ряду баластних відсіків у корпусі човна (рис. 273), які
за допомогою спеціальних пристроїв можна заповнювати заборт-
ною водою (при цьому вага човна збільшується, і він занурює-
ться) або звільняти від води (при цьому вага човна зменшуєть-
ся, і він спливає).
Зауважимо, що досить невеликого надлишку або недостачі
води в баластних відсіках, щоб човен занурився до самого дна
моря або сплив на поверхню води. Часто буває, що в деякому
шарі під вод®ю густина води швидко змінюється за глибиною,
зростаючи зверху вниз. Поблизу рівня такого шару рівновага
човна стійка. Справді, якщо човен, перебуваючи на такому рів-
ні, з якоїсь причини зануриться трохи глибше, то він потрапить
300
ГІДРОСТАТИКА
[РОЗД. VII
в область більшої густини води. Підтримуюча сила збільшиться,
і човен почне спливати, повертаючись до початкової глибини.
Але коли човен з якоїсь причини підніметься вгору, то він потра-
пить в область меншої густини води, підтримуюча сила зменшить-
ся, і човен знову повернеться по початкового рівня. Тому підвод-
ники називають такі шари «рідким грунтом»: човен може «лежа-
ти» на ньому, зберігаючи рівновагу як завгодно довго, тоді як
Рис. 273. Підводний човен.
в однорідному середовищі це не вдається і для збереження зада-
ної глибини човен або повинен весь час змінювати кількість
баласту, приймаючи чи витісняючи воду з баластних відсіків,
або повинен весь час рухатись, маневруючи рулями глибини.
§ 164. Стійкість плавання кораблів. Для кораблів і підводних човнів
дуже важливе питання про стійкість їх рівноваги при плаванні («остійність»
суден). Відомо, що при неправильному розподілі вантажу на судні воно
може перевернутися. Питання про остійність є питанням безпеки плавання.
Розглянемо стійкість рівноваги тіла, яке перебуває під водою, наприклад
підводного човна. Нехай центр тиску розміщений вище від центра ваги
човна. У нормальному положенні центр ваги і центр тиску лежать на одній
вертикальній прямій, і човен перебуває в рівновазі (рис. 274, а). При нахилен-
ні човна (рис 274, б) сила тяжіння і підтримуюча сила утворюють пару сил,
яка повертатиме човен у вихідне положення. Отже, рівновага стійка.
Якби центр тиску лежав нижче від центра ваги, то рівновага човна
була б нестійкою. Справді, у цьому випадку при відхиленні від точно верти-
кального положення сила тяжіння і підтримуюча сила утворили б пару сил,
яка повертає човен далі від положення рівноваги (рис. 274, в).
Нарешті, коли центр ваги збігається з центром тиску, рівновага індефе-
§ 164]
СТІЙКІСТЬ ПЛАВАННЯ КОРАБЛІВ
301
рентна. Ці випадки цілком аналогічні до різних випадків рівноваги твердого
тіла, підвішеного в одній точці. Центр тиску відіграє роль точки підвісу.
Умови стійкості рівноваги тіла, яке плаває на поверхні рідини (рис. 275),
будуть зовсім інші, бо при нахиленні тіла (наприклад, корабля) змінюється
фпрма витискуваного об’єма, а отже, і положення центра тиску відносно
Рис. 274. Стійкість плавання підводного човна в
зануреному положенні; ц. в. — центр ваги, ц. т. —
центр тиску.
корабля. Наприклад, при нахилянні вправо більша частина витісненої води
буде розміщена справа від середньої лінії корабля, а отже, і центр тиску
зміститься в той самий бік. Як видно з рисунка, тут питання про стійкість
рівноваги залежить від відносного положення центра тиску і центра ваги
після нахилення судна. Якщо точка М перетину вертикалі, проведеної через
Рис. 275. Стійкість плавання корабля; ц. в — центр ваги,
ц. т. — центр тиску, М — метацентр.
центр тиску, з середньою лінією судна (так званий метацентр) лежить вище
від центра ваги (рис. 275,6), то пара сил, утворена силою тяжіння і підтри-
муючою силою, порветає судно назад; отже, рівновага стійка. Але якщо мета-
центр лежить нижче від центра ваги (рис. 275, в), то рївновага нестійка.
302 ГІДРОСТАТИКА [РОЗД. VII
Тут роль точки підвісу відіграє метацентр, і рівновага може бути стійкою,
хоч центр тиску і лежить нижче від центра ваги. Зауважимо, то положення
метацентра змінюється, коли змінюється кут нахилу плаваючого тіла.
Відстань між центром ваги і метацентром називають метацентричною
висотою. Чим більша метацентрична висота, тим більша остійність судна, тим
швидше повертається воно в пряме положення, будучи виведене з нього
зовнішніми силами (поривом вітру, ударом хвилі). Для парусних суден
особливо важливо мати, достатню метацентричну висоту, бо сили, які діють
на парус, створюють великий перекидний момент. Тому на деяких типах
парусних суден з високими щоглами і великою поверхнею парусів (яхти)
вагу дна судна збільшують баластом, знижуючи таким способом центр ваги
і збільшуючи метацентричну висоту. У вантажні судна, які йдуть порожняком,
часто кладуть на дно баласт, щоб знизити центр ваги. Відомо, що на верхню
палубу торговельних суден уникають класти важкі вантажі: вантаж на
верхній палубі підвищує положення центра ваги, тобто зменшує метацент-
ричну висоту, а разом з тим і остійність судна.
§ 165. Спливання бульбашок. Бульбашка газу, яка опини-
лася на глибині моря (наприклад, бульбашка повітря, випущена
водолазом з-під шолома скафандра), починає спливати тому, що
підтримуюча сила, яка дорівнює вазі воді в об’ємі, що дорівнює
об’єму бульбашки, значно більша за вагу газу, стисненого в буль-
башці. Піднімаючись угору, бульбашка переходить у шари води
з меншим тиском; вона розширюється, підтримуюча сила збіль-
шується, і швидкість її спливання зростає.
Якщо з якоїсь причини вага водолаза в скафандрі буде мен-
ша за вагу витісненої води (наприклад, якщо водолаз не випус-
кав своєчасно через клапан шолома повітря, яке нагнітають
у скафандр, і об’єм скафандра збільшився), то водолаз починає
спливати і його гумовий скафандр, заповнений стисненим повіт-
рям, роздувається, подібно до спливаючої бульбашки, і виносить
водолаза на поверхню.
§ 166. Тіла, які лежать на дні посудини. Розглянемо дослід
(рис. 276), який ніби суперечить закону Архімеда. Дно скляної
Рис. 276. Кусок пара-
фіну. який лежить на
дні наповненої водою
посудини, не випли-
ває.
посудини покрите тонким шаром парафіну.
Покладемо на нього кусок парафіну з гла-
денькою основою і обережно наллємо в
посудину води. Кусок парафіну не спливає
на поверхню води, хоч густина його й мен-
ша за густину води. Злегка нахиляючи
посудину, можна примусити кусок парафіну
пересуватися по дну, але він не спливає.
Пояснення цього парадоксу полягає в
тому, що вода не проникає між куском
парафіну і дном посудини і, отже, на ниж-
ню поверхню куска парафіну не діють сили
тиску води. Але сили тиску на його поверхню
§ 166]
ТІЛА, ЯКІ ЛЕЖАТЬ НА ДНІ ПОСУДИНИ
303
притискають його до дна. Якщо нахилити кусок парафіну так,
щоб вода проникла під його нижню поверхню, то виникне під-
тримуюча сила, і парафін спливе.
Відомо, що підводний човен, який ліг на м’який грунт моря,
іноді не може відірватися від нього, навіть звільнивши свої
цистерни від води. Це також пояснюється тим, що вода не може
швидко проникнути під корпус човна, який щільно приліг до
грунту.
РОЗДІЛ VIII
АЕРОСТАТИКА
§ 167. Механічні властивості газів. Механічні властивості
газів багато в чому подібні до властивостей рідини. Як і рідини,
гази дуже рухливі і зовсім не мають пружності щодо зміни фор-
ми; але щодо зміни об’єму гази пружні: сили тиску газу — це
-сили його пружності. Чим більше стиснуто газ, тим з більшими
силами тиску він діє на тіла, які з ним стикаються. Сили тиску
газу, який перебуває в спокої, як і рідини, завжди перпендику-
лярні до поверхні тіл, які з ним стикаються.
Тиском газу ми називаємо, як і для рідин (§ 144), відношен-
ня сили тиску, що діє з боку газу на яку-небудь ділянку поверх-
ні тіла, яке з ним стикається, до площі цієї ділянки. Як і в ріди-
нах, тиск газу в певній точці не залежить ^ід напряму ділянки
поверхні, на якій його вимірюють. Для газів справедливий також
закон Паскаля: тиск, створюваний поверхневими силами, пере-
дається без зміни в кожну точку газу.
Проте в механічних властивостях газів і рідин є й істотні від-
мінності. Питома вага газів у звичайних умовах у сотні разів
менша за питому вагу рідин. Наприклад, вага кубічного метра
повітря дорівнює лише 1,3 кГ, а вага кубічного метра води дорів-
нює одній тонні.
На перший погляд звичайно недооцінюють ваги тих або інших об’ємів
газу. Зауважимо, що вага повітря, яке проходить під час дихання через леге-
ні людини, становить приблизно 20—ЗО кГ за добу. Повітря в невеликій
кімнаті важить ЗО—40 кГ. Паровоз везе у вагонах пасажирського поїзда при-
близно 2 тонни повітря.
Дуже важливою відмінністю газів від рідин є відсутність
у газі певного власного об’єму. Водою можна заповнити посу-
дину до половини, але газ завжди повністю заповнює всю посу-
дину, в якій він міститься. Немає ніякої межі для збільшення
об’єму даної маси газу, якщо на нього не діє сила тяжіння або
якщо його розширенню не ставлять межі стінки посудини. Тому
гази ніколи не утворюють вільної поверхні.
§ 168]
АТМОСФЕРА
305
Далі, гази стискаються в тисячі разів більше, ніж рідини.
Густина рідини змінюється дуже мало навіть при дуже велико-
му тиску. Навпаки, дуже стиснути газ і тим самим значно збіль-
шити його густину можна вже порівняно малим тиском. Ми
бачимо (див. § -229), що при стисканні або розширенні газу
його тиск зростає або спадає в тому самому відношенні, що
й густина (при умові, що температура газу не змінилася).
Рис. 277. Балон з стисненим киснем і об’єм, який займає
кисень з балона, коли його випустити в атмосферу.
Ручним насосом легко накачати в автомобільну шину кіль-
кість повітря, яке займало в атмосфері в 4 рази більший об’єм,
тобто збільшити густину і тиск повітря в шині в 4 рази порівня-
но з атмосферним повітрям. У кисневих балонах, які застосову-
ють при автогенному різанні і зварюванні металів, кисень стис-
нуто до тиску в 150 атмосфер. Густина газу при цьому також
збільшується в 150 раз — приблизно до густини корка. Якщо
з такого балона випустити весь кисень в атмосферу, то він зай-
няв би об’єм, у 150 раз більший за об’єм балона (рис. 277).
Водночас вода, стиснута до тиску 150 атмосфер, збільшила б
свою густину лише на 0,75% (і на таку саму частку збільши-
ла б свій об’єм при випусканні з балона).
Отже, на відміну від рідин, густину газів не можна вважати
незалежною від тиску.
§ 168. Атмосфера. Найважливіший для нас газ — це повіт-
ря. Земля оточена атмосферою — шаром повітря, яке являє собою
суміш цілого ряду газів (азоту, кисню, аргону, вуглекислого
газу, пари води та інших газів). Проте в дальшому ми не врахо-
вуватимемо, що повітря має складну будову: у механічних яви-
щах, які нас цікавлять, це не відіграє ніякої ролі.
20 7-юз
306
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
Атмосфера вдержується поблизу земної поверхні силами при-
тягання Землі — власною вагою повітря. Якби Земля не притя-
гувала повітря, то вся атмосфера, розширюючись, розсіялася б
у просторі, який оточує Землю.
Маса всієї атмосфери перевищує 5 000 000 000 000 000 т. Це —
менше за одну мільйонну маси Землі.
Питому вагу повітря можна визначити так. Викачаємо з кол-
би повітря і зрівноважимо її на
чутливих терезах. Потім, впу-
стивши в колбу повітря, ми поба-
чимо, що шалька терезів, на якій
стоїть колба, опуститься (рис.
278); щоб відновити рівновагу, на
другу шальку треба добавити
гирі; їх вага й дорівнюватиме
вазі повітря, яке ввійшло в кол-
бу. Знаючи об’єм колби, легко
обчислити питому вагу повітря:
для цього треба поділити вагу
добавлених гир на об’єм колби.
При температурі 0° С і тиску
760 мм рт. ст. питома вага сухо-
го повітря дорівнює 1,293 /7л1.
Рис. 278. Зважування повітря.
§ 169. Тиск атмосфери. Тиск повітря поблизу поверхні Зем-
лі зумовлений його власною вагою; воно стиснуте цією вагою
подібно до того, як стиснена своєю вагою вода на дні океану.
Вага атмосфери, що дорівнює 5-Ю18 кГ, розподілена на всю
поверхню Землі, що становить приблизно 5 • 1018 см2. Отже, на
кожний квадратний сантиметр поверхні Землі припадає близько
1 кГ ваги повітря. Таким чином, тиск повітря поблизу поверхні
Землі (точніше, на рівні моря) дорівнює приблизно 1 кГІсм2.
Якби густина повітря була незмінною по всій товщині атмо-
сфери. то ця товщина становила б близько 8 км. Насправді,
густина повітря швидко зменшується з підніманням від поверх-
ні Землі (див. § 175), так що атмосфера простягається на сот-
ні кілометрів від поверхні Землі (за орбіти найближчих штуч-
них супутників); на такій висоті густина повітря становить дуже
малу частку його густини біля Землі.
Природно виникає питання: чому ми не відчуваємо атмо«
сферного тиску?
1 Оскільки питома вага газів у звичайних умовах мала порівняно з пи-
томою вагою твердих і рідких тіл, то її зручно подавати не в одиницях
Г/см9, а в одиницях Г/л.
$ 1691
ТИСК АТМОСФЕРИ
307
Щоб пояснити це питання, розглянемо такі прості досліди.
Візьмемо скляну банку і затягнемо її тонкою гумовою плівкою.
Хоч на кожний квадратний сантиметр поверхні плівки діє зовні
Рис. 279. а) Якщо з банки викачують повітря, плівка прогинається всередину
б) Якщо в банку нагнітають повітря, плівка вигинається назовні.
Рис. 280. При викачуван-
ні повітря з-під ковпака
плівка, яка затягує бан-
ку з повітрям, перехо-
дить з положення / у по-
ложення //.
сила в 1 кГ, тобто на всю плівку тисне сила в десятки кілогра-
мів, плівка зовсім не прогинається. Справа в тому, що повітря
всередині банки стиснуте до такого самого ступеня, що й зовніш-
нє повітря: на внутрішню поверхню плівки діє така сама сила,
як і на зовнішню, так що обидві сили
взаємно зрівноважуються, і плівка зали-
шається незігнутою, як коли б на неї не
діяли ніякі сили. Але якщо через бічну
трубку викачати частину повітря з бан-
ки, зменшуючи цим його тиск, то плівка
прогнеться всередину банки надлишком
зовнішнього тиску (рис. 279, а). Вона
прогнеться так, що пружні сили, які
виникли в плівці, разом із силою тиску
повітря, що залишилося всередині банки,
саме й зрівноважать сили тиску зовніш-
нього повітря. Навпаки, нагнітаючи по-
вітря в банку, ми примусимо плівку
вигнутись назовні (рис. 279, б).
Показовою є зміна описаного досліду:
банку, з якої викачано частину повітря,
ставлять під ковпак повітряного насоса.
Спочатку плівка, яка затягує отвір банки,
прогнута всередину. Якщо тепер почати викачувати повітря
з-під ковпака, то плівка спочатку випрямиться, а при дальшому
викачуванні вигнеться назовні (рис. 280). Отже, деформація
(прогин плівки) настає тільки тоді, коли з різних боків повітря
20*
308
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
має різний тиск; якщо тиски однакові, то плівка залишається
плоскою.
Тепер зрозуміло, чому атмосферного тиску не відчуває люди-
на і тварини. Тканини, кровоносні судини і стінки інших порож-
нин тіла зазнають зовнішнього тиску атмосфери, але кров та
інші рідини й гази, які заповнюють ці порожнини, стиснуті до
такого самого тиску. Тому пружна стінка якої-небудь артерії
зазнає однакового тиску зсередини і ззовні і не деформується.
Таке саме взаємне зрівноваження тисків спостерігається і
в рідині, що легко спостерігати на глибоководних рибах. Відомі
риби, які живуть на глибині до кількох кілометрів під поверхнею
океану, де тиск навколишньої води досягає сотень атмосфер.
Але кожна клітинка їх тканин містить гази і рідини, стиснуті до
такого самого тиску, і тому кожна частина їх тіла не зазнає
односторонніх сил, які могли б здійснити руйнування. Іноді вдає-
ться виловлювати цих риб з глибини океану спеціальними сітя-
ми, підвішеними на довгому тросі. Внутрішні порожнини цих
риб, вийнятих на поверхню, завжди виявляються розірваними
з середини: у шарах води, близьких до поверхні моря, де зовніш-
ній тиск менший, гази, розчинені в крові та рідині клітинок риби,
виділяються і розривають своїм великим тиском тканини риби
(пор. § 158).
Вправа. 169. 1. Чому ми приписуємо руйнування тканин газам, які
виділяються з рідини, а не тиску самої рідини?
§ 170. Інші досліди, які показують існування атмосферного
тиску. Закриємо скляну банку з відшліфованим краєм тонкою
Рис. 281. Надлишок зовнішнього тис-
ку над внутрішнім продавлює скляну
пластинку.
скляною пластинкою і почнемо
викачувати з неї повітря 1 (рис.
281). Зовнішній тиск щільно
притисне скляну пластинку до
банки. Якщо продовжувати
викачування, то банка буде
роздавлена різницею тисків
зовні і зсередини.
Одним з перших експери-
ментів, виконаних для дове-
дення існування тиску повітря,
був відомий дослід з «магде-
бурзькими півкулями», вико-
наний німецьким фізиком От-
то фон Геріке в 1654 р. (в
1 Краї банки слід змастити жиром, щоб зовнішнє повітря не могло про-
сочуватися всередину.
§ 170]
ІСНУВАННЯ АТМОСФЕРНОГО ТИСКУ
309
м. Магдебурзі). Він викачав повітря з двох складених разом
мідних півкуль, і тиск зовнішнього повітря притиснув півкулі
одну до одної так, що їх не могли відірвати два запряги коней
(рис. 282). Звичайно, роль другого запрягу міг би відіграти міц-
ний стовп, до якого була б прикріплена одна з півкуль. На
рис. 283 подано видозміну досліду Геріке з підвішеним ван-
тажем.
Рис. 282. Гравюра з книги Геріке «Нові магдебурзькі досліди». Розривання
півкуль за допомогою запрягів коней.
У медицині іноді використовують пневматичні банки, які
складаються з скляночки і гумового балона на ній (рис. 284).
Стиснемо рукою балон, витіснивши з нього повітря, і прикладе-
мо скляночку до шкіри. Якщо тепер відпустити гумовий балон,
то внаслідок своєї пружності він знову набуде кулястої форми,
внутрішній об’єм банки збільшиться і тиск повітря, яке зали-
шилося в банці, зменшиться. Банка щільно притиснеться до
шкіри тиском зовнішнього повітря. Шкіра під банкою почерво-
ніє; на ній залишиться синець. Кров, яка має в тілі атмосферний
тиск, притікає до місця з меншим тиском. У цьому місцевому
припливі крові і полягає призначення банки. При цьому повіт-
ря, розчинене в крові, розширюючись при зменшенні тиску, роз-
риває дрібні кровоносні судини, утворюючи синець.
Якщо натиснути шкіру біля краю банки і дати доступ зовніш-
ньому повітрю, то тиск зсередини і ззовні зрівняється, і банка
сама відпаде.
310
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
Рис. 283. Гравюра з книги Геріке «Нові магдебурзькі досліди»,
Розривання півкуль підвішеним тягарем.
Рис. 284. Медична
пневматична банка.
І 1711
РОЗРІДЖУВАЛЬНІ НАСОСИ
311
§ 171.^ Розріджувальні насоси. У фізиці і техніці дуже велике значення
має якнайповніше видалення газу з замкнутих посудин («вакуумна техні-
ка»). Інакше кажучи, фізиків і техніків цікавить добування дуже розрідже-
ного газу, що має мізерний тиск порівняно з атмосферним.
Для розрідження газу можна скористатися поршневим насосом з клапа-
нами (рис. 285). Проте технічно значно зручніші насоси, в яких тиск у від-
смоктувальній камері знижують не поступальним рухом поршня, а при обер-
танні. Таку будову мають так звані обертальні (ротаційні) насоси (рис. 286).
Рис. 285. Поршневий повітряний
насос.
Рис. 286. Обертальний
повітряний насос.
У металевій круглій коробці К обертається навколо осі, яка не збігається
з віссю коробки, циліндр А. До циліндра А щільно прилягає рухома пласти-
на ЛІ, що проходить крізь проріз у коробці К і з’єднана з шатуном N. Пла-
стинка М розділяє відсіки V і Оі, які є між пластинкою, внутрішньою стін-
кою коробки К і зовнішньою поверхнею циліндра А.
При обертанні циліндра в напрямі стрілки, як показано на рис. 286,
об’єм відсіку оі, який спочатку дорівнює нулю (коли циліндр закриває отвір
каналу С), збільшується, тиск повітря в ньому зменшується, і через канал С,
сполучений з відкачуваним об’ємом, у відсік засмоктується деяка порція
повітря. Водночас об’єм відсіку о, сполученого з вихідним каналом £>, змен-
шується, тиск повітря в ньому збільшується, і повітря виходить назовні.
Таким чином, при обертанні циліндра А все нові й нові порції повітря засмок-
туються через С і виштовхуються через О. Оскільки циліндр робить кілька
сотень обертів за хвилину (його звичайно обертають електродвигуном), то
насос викачує дуже швидко. При доброму припасуванні частин він може
зменшити тиск у викачуваній посудині до 0,001 мм рт. ст. Місця стикання
внутрішньої поверхні коробки /< з пластиною М і циліндром А треба добре
змащувати. Якість мастила і система подавання його в насос значною мірою
визначають роботу насоса. Тому насоси цього типу часто називають оберталь-
ними масляними насосами. Для добування значно більших розріджень (близь-
ко мільйонної частки міліметра рт. ст.) тепер застосовують насоси, які діють
за зовсім іншим принципом (так звані дифузійні насоси, див. § 305).
§ 172. Вплив атмосферного тиску на рівень рідини в трубці.
Візьмемо в рот соломинку або скляну трубочку і, зануривши
кінець її у воду, почнемо втягувати в себе повітря. Вода почне
312
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
підніматись по трубочці; легко можна напитися через соло-
минку.
Замість того,
Рис. 287. Вода під-
німається за порш-
нем.
(1
атмо-
Рис. 289. Поки кран за-
критий, вода з трубки
не виливається. При від-
криванні крана рівень
води в трубці зменшує-
ться до рівня води в по-
судині.
Рис. 288. Вода не
виливається з від-
критої пляшки, пе-
рекинутої шийкою
у воду.
щоб втягувати повітря легенями, підніматиме-
мо в трубці щільно притертий поршень. Ми
побачимо, що вода підніматиметься за порш-
нем, заповнюючи трубку (рис. 287).
Наповнимо пляшку водою, заткнемо її
пробкою і, перекинувши у воду шийкою вниз,
виймемо пробку (рис. 288). Вода не вилива-
тиметься з пляшки. Замість пляшки можна
взяти трубку з краном у верхній частині: поки
кран закритий, вода з неї також не виливати-
меться (рис. 289). Проте досить відкрити кран
трубки, щоб стовп води зменшився до загаль-
ного рівня води в посудині; місце стовпа води
займе повітря, яке ввійшло через кран.
Усі ці досліди пояснюються існуванням
атмосферного тиску.
Справді, що відбувається, коли ми починає-
мо всмоктувати повітря з трубки, зануреної
в чашку з водою? Над трубкою залишається розріджене повітря;
отже, тиск, який чинить повітря на поверхню води в трубці, стає
менший від атмосферного. Але на поверхню
води в чашці продовжує діяти повний
сферний тиск; різниця
тисків і вганяє воду в
трубку. До якої висоти
підніматиметься вода в
трубці? Вага піднятого
стовпа води створює
додатковий тиск; коли
цей тиск, доданий до
тиску повітря, яке зали-
шилося в трубці, дорів-
нюватиме атмосферно-
му, вода перестане під-
німатись. При цьому
тиск усередині трубки
внизу, на рівні вільної
поверхні води в чашці,
саме й дорівнюватиме
атмосферному тиску,
тобто буде виконана
відома нам умова рівноваги рідини: у всіх точках, що лежать
в одній горизонтальній площині, тиск однаковий (§ 152).
§ 173]
МАКСИМАЛЬНА ВИСОТА СТОВПА РІДИНИ
313'
вправи
Рис. 290. До
172. 1.
Оскільки своїми легенями ми не можемо створити великого
розрідження повітря, то цим способом нам удається підняти»
воду в трубці лише на невелику висоту —
приблизно на ЗО—50 см.
Так само зрозуміло, чому не виливається
вода з перекинутої пляшки або трубки
в описаних дослідах: тиском повітря на по-
верхню води в посудині вода притиснута до
дна пляшки або до крана трубки, бо зверху
на воду в пляшці або в трубці тиск повітря
не діє. Коли ми відкриваємо кран трубки,
атмосферний тиск починає діяти і на верхній
кінець стовпа води в трубці—стовп
не підтримується різницею тисків і
до рівня води в посудині.
Вправи. 172. 1. Розгалужену трубку
но до всмоктувального насоса і її відростками зану-
рено в чашки з різними рідинами (рис. 290). У від-
ростку, зануреному в гас, висота стовпа рідини дорів-
нює 90 см. Визначте висоту стовпа в інших трубках
(питома вага гасу 0,81 Г/см3, ртуті 13,6 ГІсм3).
172.2. У хімічних лабораторіях для підтримання
більше
спадає
приєдна-
. рівня рідини у фільт-
рувальній лійці на одній висоті використо-
вують пристрій, зображений на рис. 291.
Рівень рідини у фільтрі весь час тримається
на висоті біля шийки пляшки, і фільтр може
працювати без догляду. Поясніть дію при-
ладу.
Рис. 291. До вправи 172.2.
§ 173. Максимальна висота стов-
па рідини. Розглянемо докладніше
дослід з поршнем, який всмоктує во-
ду в трубці. На початку досліду
(рис. 292) вода в трубці і в чашці
лежить на одному рівні ММ і пор-
шень торкається води своєю ниж-
ньою поверхнею. Вода притискається,
до поршня знизу зовнішнім атмо-
сферним тиском, який діє на поверх-
ню води в чашці. Зверху на поршень
(вважатимемо його
також діє зовнішній атмосферний
тиск. З свого боку поршень, за
законом рівності дії і протидії, діє
на воду в трубці, спричинюючій
на неї тиск, що дорівнює зовнішньому атмосферному тиску, який.
Діє на поверхню води в чашці.
невагомим)
314
АЕРОСТАТИКА
(РОЗД. VIII
Піднімемо тепер поршень на деяку висоту; для цього до ньо-
го доведеться прикласти силу, напрямлену вгору (рис. 293,а).
Зовнішній атмосферний тиск вгонить воду в трубку слідом за
поршнем; тепер стовп води торкатиметься поршня, притискаю-
чись до нього з меншою силою, тобто чинитиме на нього мен-
-ший тиск, ніж раніше. Відповідно і протидіючий тиск поршня
Рис, 292. Засмоктування
води в трубку. Поча-
ток досліду: поршень
перебуває на рівні води
в чашці.
Рис. 293. а) Те саме, що й на
рис. 292, але при піднятому поршні.
б) Графік тиску.
на воду в трубці буде менший. Зовнішній атмосферний тиск,
який діє на поверхню води в чашці, при цьому зрівноважувати-
меться тиском поршня, доданим до тиску, який створюється
вагою водяного стовпа, піднятого в трубці.
На рис. 293, б подано графік тиску в піднятому стовпі води
в трубці. Піднімемо поршень на значну висоту—вода також
підніметься, ідучи за поршнем, і водяний стовп видовжиться.
Тиск, спричинений вагою стовпа, збільшиться; отже, тиск порш-
ня на верхній кінець стовпа зменшиться, бо обидва ці тиски
в сумі, як і раніше, повинні давати атмосферний тиск. Тепер
вода буде ще з меншою силою притиснена до поршня. Щоб
удержати поршень на місці, доведеться тепер прикласти більшу
силу: при підніманні поршня тиск води на нижню поверхню
поршня дедалі менше зрівноважуватиме атмосферний тиск на
його верхню поверхню.
•§ 1731
МАКСИМАЛЬНА ВИСОТА СТОВПА РІДИНИ
315
Що станеться, коли, взявши трубку достатньої довжини, під-
німати поршень все вище і вище? Тиск води на поршень става-
тиме дедалі меншим; нарешті, тиск води на поршень і тиск порш-
ня на воду перетворяться в
нуль. При цій довжині стовпа
тиск, спричинений вагою води
в трубці, дорівнюватиме атмос-
ферному. Розрахунок, який ми
зробимо в наступному пара-
графі, показує, що висота стов-
па води повинна при цьому до-
рівнювати 10,33 м (при нор-
мальному атмосферному тис-
ку). При дальшому підніманні
поршня рівень водяного стовпа
вже не підвищуватиметься, бо
зовнішній тиск не спроможний
зрівноважити вищий стовп: між
водою і нижньою, поверхнею
поршня буде порожній простір
(рис. 294, а). На рис. 294,6
подано відповідний графік
тиску.
Насправді цей простір буде
незовсім порожнім: він буде за-
повнений повітрям, що виділи-
лося з води, в якій завжди є
трохи розчиненого повітря;
крім того, у цьому просторі
буде і водяна пара. Тому тиск
у просторі між поршнем і водя-
ним стовпом точно не дорівню-
ватиме нулю, і цей тиск дещо
знижуватиме висоту стовпа
ш
Фактичний
рівень води
Рис. 294. а) Те саме, що й на рис. 293,
але при підніманні поршня вище гра-
ничної висоти (10,33 м). б) Графік
тиску для такого положення поршня.
в) Насправді стовп води не досягає
повної висоти, бо пара води має при
кімнатній температурі тиск близько
200 мм рт. ст. і відповідно знижує
верхній рівень стовпа. Тому справж-
ній графік має зрізану верхівку. Для
наочності величину тиску пари води
перебільшено.
(рис. 294, в).
Описаний дослід дуже громіздкий через велику висоту стов-
па води. Якби цей дослід повторити, замінивши воду ртуттю,
то висота стовпа була б значно меншою. Проте замість трубки
з поршнем значно зручніше користуватися пристроєм, описаним
у наступному параграфі.
Вправа. 173. 1. На яку максимальну висоту всмоктувальний насос може
підняти ртуть у трубці, якщо атмосферний тиск дорівнює 950 Г)см27
§ 174. Дослід Торрічеллі, ртутний барометр і барометр-ане-
роїд. У 1643 р. за пропозицією італійського фізика Євангелісти
316
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
Торрічеллі (1608—1647) було виконано такий дослід. Скляну
трубку завдовжки близько 1 м, запаяну з одного кінця, наповню-
ють ртуттю. Отвір трубки закривають пальцем, щоб ртуть не
Рис. 295. Трубка
Торрічеллі.
вилилась, і трубку опускають у вертикальному
положенні отвором униз у посудину з ртуттю.
Якщо тепер прийняти палець від отвору труб-
ки, то стовп ртуті зменшиться до висоти близь-
ко 760 мм над рівнем ртуті в посудині
(рис. 295).
Цей дослід легко пояснити, користуючись
міркуваннями попереднього параграфа. На
вільну поверхню ртуті в посудині діє атмосфер-
ний тиск. Оскільки після опускання ртуті в
трубці над ртуттю залишилась пустота, то тиск
стовпа ртуті, створюваний всередині трубки па
рівні поверхні ртуті в посудині, повинен дорівнювати атмосфер-
ному тиску. Тому взята в міліметрах висота стовпа
над вільною поверхнею ртуті безпосередньо вимі-
рює гиск атмосфери в міліметрах рт. ст. Отже,.труб-
ку Торрічеллі можна використовувати для вимірю-
вання тиску атмосфери. Вона відіграє роль «баро-
метра». Практично конструкція ртутного барометра
складніша (рис. 296).
Таким чином, наш дослід показує, що атмосфер-
ний тиск становить близько 760 мм рт. ст. Оскільки
1 мм рт. ст. = 13,6 мм вод. ст. (§ 144), то атмосфер-
ний тиск дорівнює 760- 13,6 мм вод. ст. = 10 330 мм
вод. ст. = 1033 Г/см2 = 1,033 кГІсм2.
Отже, атмосферний тиск дорівнює тиску стовпа
води висотою понад 10 м.
Простір над стовпом ртуті в трубці в досліді
Торрічеллі називають «торрічеллієвою пустотою».
Звичайно, це не абсолютна пустота: у цьому просто-
рі є пара ртуті; своїм тиском вона трохи знижує
стовп ртуті в трубці. Проте практично цим можна
знехтувати, бо тиск пари ртуті при кімнатній темпе-
ратурі дуже малий.
Надаватимемо трубці в досліді Торрічеллі
різних нахилів (рис. 297). Ми побачимо, що кінець
стовпа ртуті при зміні нахилу буде на тій самій висо-
ті над вільною поверхнею ртуті, хоч довжина стовпа
стає при нахилі більшою. Це пояснюється тим, що,
Рис. 296.
Ртутний ба-
рометр.
як ми вже знаємо, тиск залежить лише від висоти стовпа рідини,
відліченої по вертикалі. При достатньому нахилі трубки ртугь
заповнює її всю; це свідчить про відсутність повітря в трубці.
•§ 174]
ДОСЛІД ТОРРІЧЕЛЛІ. РТУТНИИ БАРОМЕТР
317
Рис. 297. При відхиленні
трубки Торрічеллі рівень
ртуті залишається на одна-
ковій висоті.
При зміні атмосферного тиску змінюється і висота стовпа
ртуті в трубці. При збільшенні тиску стовпчик видовжується —
«барометр піднімається». При змен-
шенні тиску «барометр падає» — стовп
ртуті зменшує свою висоту.
Тиск атмосфери можна вимірювати
таким самим мембранним манометром,
яким ми користувалися для рідин
(рис. 298). Щоб підвищити точність
вимірювання, з коробки /< манометра
викачують частину повітря; мембра-
на М відтягується назовні пружиною Ь.
Мембрану звичайно виготовляють
хвилястою, щоб підвищити її гнуч-
кість.
Мембранні манометри для вимірю-
вання атмосферного тиску називають
барометрами-анероїдами (рис. 299). Анероїди градуюють і виві-
ряють за ртутним барометром. Вони менш надійні, ніж ртутний
барометр, бо мають пружини і мембрани, які з часом можуть
Рис. 298. Схема будови мем-
бранного манометра для га-
зів.
Рис. 299. Барометр-анероїд.
витягуватись або змінювати свою пружність. Зате анероїд — при-
лад значно зручніший у користуванні, ніж ртутний барометр,
який містить рідину. Тому анероїди дуже широко застосовують
у тих випадках, коли дуже велика точність не потрібна. При
досить частому звірянні з ртутним барометром вони дають надій-
ні покази.
318
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
Вправи. 174. 1. Як треба змінити шкалу барометричної трубки, нахи-
леної під кутом 60° до вертикалі, щоб можна було робити відліки в мілімет-
рах рт. сі.? Якої довжини треба буде взяти трубку?
174.2. Циліндрична посудина, площа основи якої дорівнює 80 см2, важить
10 кГ. Посудину накривають кришкою. При викачуванні повітря з посудини
кришка притискається до посудини атмосферним тиском. Якщо повітря вика-
чано до тиску в 50 мм рт. ст., то який вантаж треба підвісити до посудини,
щоб відірвати її від кришки?
§ 175. Розподіл атмосферного тиску за висотою. Тиск повіт-
ря в тій самій точці земної поверхні не є сталим, він змінюється
залежно від різних процесів, які відбуваються в атмосфері. За
«нормальну» величину атмосферного тиску умовно взято тиск
760 мм рт. ст. Цей тиск називають фізичною атмосферою, на
відміну від технічної атмосфери (1 кГІсм2), яка відповідає
735 мм рт. ст. Як ми бачили, фізична атмосфера дорівнює
1,033 кГ/см2.
Тиск повітря на рівні моря в усіх пунктах земної кулі близь-
кий у середньому до однієї фізичної атмосфери. Піднімаючись
угору від рівня моря, ми помітимо, що тиск повітря зменшуєть-
ся; відповідно зменшуються його густина і питома вага: повітря
стає дедалі більше розрідженим. Якщо відкрити на вершині гори
посудину, яка була щільно закупорена в долині, то частина
повітря з неї вийде. Навпаки, в посудину, закупорену на верши-
ні, увійде деяка кількість повітря, якщо її відкрити біля підніж-
жя гори.
На висоті близько 5,5—6 км тиск і густина повітря зменшу-
ються приблизно в два рази.
Кожній висоті підняття відповідає певний тиск повітря; тому,
вимірюючи (наприклад, за допомогою анероїда) тиск у певній
точці на вершині гори або в корзині аеростата і знаючи, як змі-
нюється атмосферний тиск з висотою, можна визначити висоту
гори або висоту піднімання повітряної кулі.
Чутливість звичайного анероїда така велика, що стрілка
покажчика помітно пересувається, якщо підняти анероїд на 2—
З м. Піднімаючись або опускаючись по драбині з анероїдом
у руках, легко помітити поступову зміну тиску. Такий дослід
зручно виконати на ескалаторі станції метро.
Анероїд часто градуюють безпосередньо на висоту підні-
мання. Тоді положення стрілки безпосередньо показує висоту,
на якій міститься прилад. Такі анероїди називають альти-
метрами (рис. 300). їх установлюють на літаках; вони дають
змогу льотчикові безперервно стежити за висотою свого по-
льоту.
Зменшення тиску повітря при підніманні пояснюється так
само, як і зменшення тиску в морських глибинах при піднімай-
§ 175]
РОЗПОДІЛ АТМОСФЕРНОГО ТИСКУ ЗА ВИСОТОЮ
319'
ні від дна до поверхні. Повітря на рівні моря стиснуте вагою
всієї атмосфери Землі, а вищі шари атмосфери стиснуті вагою
лише того повітря, яке лежить вище за ці
тиску від точки до точки в атмосфері
або в будь-якому іншому газі, що пере-
буває під дією сили тяжіння, підлягає
тим самим законам, що й тиск у ріди-
ні: тиск однаковий у всіх точках гори-
зонтальної площини; при переході зни-
зу вгору тиск зменшується на величину,
яка дорівнює вазі стовпа повітря з ви-
сотою, що дорівнює висоті переходу, і з
поперечним перерізом площею в одну
одиницю.
Проте внаслідок великої стисливо-
сті газів загальна картина розподілу
тиску за висотою в атмосфері виявля-
ється зовсім іншою, ніж для рідин.
Справді, побудуємо графік зменшен-
ня тиску повітря з висотою. По осі
ординат відкладатимемо висоти й, 2й,
Зй і т. д. над яким-небудь рівнем (на-
приклад, над рівнем моря), а по
шари. Взагалі зміна
Рис. 300. Альтиметр літака.
Довга стрілка відлічує сотні'
метрів, коротка — кілометри.
Головка К дає змогу підво-
дити нуль циферблата під
стрілку на поверхні Землі
перед початком польоту.
осі абсцис — відповідний
тиск р (рис. ЗОЇ).
При переході від рівня моря до
Рис. ЗОЇ. Побудова графіка зменшення
тиску з висотою. У правій частині зобра-
жено стовпчики повітря однакової тов-
щини, узяті на різній висоті. Густіше
заштриховані стовпчики більш стисне-
ного повітря, що мають велику вагу.
помірно: на малій висоті, де густина
висоти й, від висоти й до
висоти 2й і т. д. треба від.
величини тиску на певно-
му рівні відняти тиск, зу-
мовлений вагою стовпа
повітря висотою й. Але на
малій висоті повітря гус-
тіше, ніж на великій.
Тому вага стовпа повітря
висотою й поблизу землі
більша, ніж на висоті,
а отже, і зменшення тис-
ку при підніманні на ту
саму величину й більше
біля землі, ніж у верхніх
шарах повітря. Отже, при
підніманні вгору тиск
зменшуватиметься нерів-
повітря більша, тиск змен-
шується швидко; чим вище, тим менша густина повітря і гим*
повільніше зменшується тиск.
’320
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
висо-
Рис. 302. Графік зміни тиску р з
тою Н для різних Газів.
вгору. Для кож-
У нашому міркуванні ми вважали, що тиск у всьому шарі
товщини /і однаковий; тому ми дістали на графіку східчасту
лінію, зображену пунктиром. Але, звичайно, густина при підні-
манні на яку-небудь певну висоту зменшується не стриб-
ками, а безперервно; тому
насправді графік має вигляд
плавної лінії (суцільна лінія
на графіку).
Отже, на відміну від пря-
молінійного графіка тиску
для рідин, закон зменшення
тиску в атмосфері зобража-
ється кривою лінією.
Для невеликих за висо-
тою об’ємів повітря (кімна-
та, повітряна куля) досить
користуватися маленькою
дільницею графіка; у цьому разі криволінійну дільницю можна
'без великої похибки замінити прямим відрізком, як і для рідини.
Справді, при малій зміні висоти густина повітря змінюється
дуже мало.
Якщо є деякий об’єм якого-небудь газу, відмінного від повіт-
ря, то в ньому тиск також зменшується знизу “
ного газу можна побудувати відповідний гра-
фік. Зрозуміло, що при однаковому тиску внизу
тиск зменшуватиметься з висотою швидше для
важких газів і повільніше для легких, бо
стовпчик важкого газу важить більше, ніж
стовпчик легкого газу такої самої висоти. На
рис. 302 побудовано такі графіки для кількох
газів. Графіки продовжено до невеликої висо-
ти, тому їх зображено прямими відрізками.
Вправа. 175.1. Г-подібну трубку, довге коліно
якої відкрите, наповнено воднем (рис. 303). Куди буде
угнута гумова плівка, яка закриває коротке коліно
трубки?
Рис. 303. До вправи
175. 1.
§ 175. Фізіологічна дія зниженого тиску повітря.
Піднімаючись на гори, людина потрапляє в область зни-
женого тиску повітря; на значній висоті зниження тиску
призводить до цілого ряду хворобливих явищ, які
називають гірською хворобою.
Найважливішою обставиною є недостача кисню; при
________________ _________ _ , кожному вдиханні
в легені людини потрапляє певний об’єм повітря; чим більш розріджене повіт-
ря, тим менша маса його і, отже, тим менша маса його складової частини —
кисню—потрапляє в легені при кожному вдиханні. При помірній висоті під-
німання це почасти компенсується прискоренням дихання; при дальшому під-
§ 177]
ЗАКОН АРХІМЕДА ДЛЯ ГАЗІВ
321
німанні треба застосовувати кисневі прилади, які дають змогу дихати запа-
сеним чистим киснем.
Особливо велике значення має застосування кисневих приладів у висот-
ній авіації.
На великих висотах, яких досягають тепер стратостати і літаки, штучне
живлення організму чистим киснем вже не досягає мети. На таких висотах
людина може існувати лише в герметично закритій кабіні, в яку нагнітають
до достатнього тиску зовнішнє розріджене повітря.
На висотах, яких досягають штучними супутниками Землі, атмосфери
практично немає. Тому постачати повітря в закриті кабіни супутників можна
лише з узятого з собою запасу стисненого повітря або кисню.
Рис. 304. При викачуван-
ні повітря з-під ковпака
куля перетягує гирку.
§ 177. Закон Архімеда для газів. На поверхню твердого тіла,
зануреного в газ, діють сили тиску газу, рівнодійна яких напрям-
лена вгору. Це підтримуюча сила газу.
Так само, як ми це робили в розділі про
рідини (§ 160), можна довести, що під-
тримуюча сила газу дорівнює вазі газу
в об'ємі зануреного в газ тіла.
Виникнення цієї сили пояснюється, як
і для рідин, тим, що нижні шари газу
стиснуті більше, ніж верхні, і тому тиск
на нижню частину тіла більший, ніж на
його верхню частину.
Існування підтримуючої сили в газі
можна виявити так. Помістимо під ков-
пак повітряного насоса підвішений ва-
жіль, на одному кінці якого закріплено
велику порожнисту скляну кулю, а на
другому—маленьку гирку, яка зрівнова-
жує її (рис. 304). Викачуючи повітря
з-під ковпака, побачимо, що рівновага важеля порушиться
і куля почне опускатися. Це пояснюється тим, що при викачу-
ванні повітря усувається підтримуюча сила: вага тіла в пустоті
більша за вагу тіла в повітрі. Оскільки для великої кулі вона
більша, ніж для гирки, то після видалення повітря куля перева-
жує гирку. Підтримуючи силу повітря доводиться враховувати
при точному визначенні маси тіла за допомогою зважування,
вводячи відповідну поправку як для зважуваного тіла, так і для
гирок.
Вправи. 177.1. Можна вважати, що питома вага тіла людини дорів-
нює 1 ГІсм3. Наскільки підтримуюча сила повітря зменшує вагу людини, якщо
в повітрі вона важить 77,1 кГ?
177.2. Чи треба вносити поправку на підтримуючу силу повітря при точ-
ному зважуванні куска латуні, якщо гирки зроблено також з латуні?
§ 178. Повітряні кулі і дирижаблі. Політ повітряної кулі або
Дирижабля в повітрі нагадує плавання підводного човна під
21 7-103
322
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
літального апарата без
Рис. 305. Стрілки, спрямова-
ні всередину кулі, зобража-
ють сили тиску зовнішнього
повітря на оболонку; стріл-
ки, спрямовані назовні, —
сили тиску газу, який на-
повнює оболонку.
на оболонку зсередини
водою. Якщо вага всього літального апарата, додана до ваги
газу, який заповнює оболонку, менша за вагу повітря в об’ємі,
який витискує апарат, то куля піднімається вгору; якщо ця вага
дорівнює одна одній, то куля нерухомо висить у повітрі; якщо
вага апарата з газом більша за вагу витискуваного повітря, то
куля опускається. Отже, щоб можливий був політ, вага самого
газу повинна бути менша за різницю
ваги легкого газу, який заповнює обо-
лонку, і повітря в тому самому об’ємі
або, принаймні, повинна дорівнювати їй.
Хоч, як ми бачимо, закон Архімеда
для газів пояснює політ повітряної ку-
лі, проте підтримуюча сила виникає
тут не так, як у випадку твердого тіла.
Справді, розглянемо докладніше, які
сили діють на оболонку повітряної ку-
лі, наповненої легким газом, наприклад
воднем. Нижню частину оболонки
повітряної кулі залишають відкритою
(рис. 305); тиск водню біля нижнього
отвору дорівнює тиску повітря. Тиск
повітря і тиск водню зменшуються при
підніманні вгору; отже, як тиск повіт-
ря, так і тиск водню на різних ділян-
ках оболонки будуть менші, ніж тиск
біля нижнього отвору; але, як ми
бачили (§ 175), тиск легшого водню
зменшується при підніманні вгору
повільніше, ніж тиск повітря. Тому
діятиме більший тиск, причому най-
більша різниця тисків водню і повітря буде у верхній частині
оболонки. Отже, сила, яка діє на купол оболонки зсередини і
напрямлена знизу вгору, буде більша за силу, яка діє ззовні
і напрямлена зверху вниз; різниця між цими силами і зрівнова-
жить вагу кулі, тобто оболонки, корзини і вантажу. Отже, під-
тримуюча сила створюється тут не внаслідок різниці тисків на
нижню і верхню частини тіла (як у випадку твердого тіла), а
внаслідок різниці тисків зсередини і ззовні на верхню частину
оболонки.
На початку польоту куля наповнена воднем так, що підтри-
муюча сила перевищує силу тяжіння: вага витискуваного повітря
більша за вагу кулі разом з вагою газу, який її заповнює, і куля
летить угору. Коли куля досягає шарів повітря з меншим тис-
ком, водень розширюється і частина його може вийти крізь ниж-
ній отвір назовні. Таким чином, на висоті зменшується і зовніш-
§ 178]
ПОВІТРЯНІ КУЛІ І ДИРИЖАБЛІ
323
ній тиск повітря, і тиск водню всередині кулі; зменшується і рів-
нодійна сил цих тисків, тобто підтримуюча сила.
Нарешті, на деякій висоті куля зупиняється в рівновазі —
«вивішується». Вага витискуваного повітря на цій висоті саме
дорівнює вазі кулі з газом, який міститься в ній. Щоб опусти-
тися на землю, треба випустити з оболонки частину газу, змен-
шивши таким способом витискуваний об’єм повітря. Для цього
у верхній частині балона є клапан, який можна відкрити за
допомогою вірьовки з корзини кулі. При відкриванні клапана
газ, що має, як ми бачили, більший тиск, ніж навколишнє повіт-
ря, виходить назовні. Клапан у нижній частині оболонки не дося-
гав би мети, бо тиски водню і повітря тут однакові.
Перші повітряні кулі, «монгольф’єри», винайдені в 1783 р. у Франції бра-
тами Монгольф’є, наповнювали гарячим повітрям. Гази при нагріванні роз-
ширюються; тому вага нагрітого повітря в кулі менша за вагу витісненого
Рис. 306. Дирижабль.
холодного повітря. Але зменшення питомої ваги невелике: при нагріванні від
0 до 100° С — лише на 27% Отже, на вагу оболонки, корзини, екіпажу і корис-
ного вантажу припадає в монгольф’єрі лише 27% ваги повітря, яке витискує-
ться оболонкою. Тому навіть дуже великі кулі — монгольф’єри мали малу
підтримуючу силу.
Незабаром після винайдення монгольф’єрів французький фізик Жак
Шарль (1746—1823) запропонував наповнювати повітряні кулі воднем, пито-
ма вага якого в 14 раз менша за питому вагу повітря. Воднева повітряна
куля має значно більшу підтримуючу силу, ніж монгольф’єр такого самого
розміру.
Важливий недолік водневих аеростатів — горючість водню, який утворює
з повітрям вибухову суміш. Тому, коли були відкриті великі природні джере-
ла негорючого легкого газу гелію, то повітряні кулі і дирижаблі почали іноді
21*
324
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД. VIII
заповнювати гелієм. Наповнивши кулю гелієм замість водню, ми збільшує-
мо вагу кулі на !/і4 її повної ваги. На цю величину зменшиться вага корис-
ного вантажу. На вагу оболонки, корзини, екіпажу і корисного вантажу
припадає у водневій кулі 13/і4, а в гелієвій —6/? ваги витискуваного повітря.
Додаткова вага помітно зменшує висоту, на якій куля заданого розміру
«вивіситься», тобто знижує «стелю» кулі. Тому величезні повітряні кулі, при-
значені для польотів на значні висоти (стратостати), наповнюють воднем.
На початку XX ст. були виконані перші практичні досліди з керованими
повітряними кулями — дирижаблями, що мають двигуни і повітряні гвинти.
Під час світової війни 1914—1918 рр. дирижаблі відігравали вже значну роль.
Проте дирижаблі за надійністю, простотою керування і швидкістю не можуть
конкурувати з літаками.
Дирижаблю надають видовженої «обтічної» форми, щоб опір повітря при
поступальному русі був якомога меншим (рис. 306). Деякі типи дирижаблів
мають металевий каркас («цепеліни»). Інші типи дирижаблів зберігають свою
форму завдяки тому, що тиск газу всередині оболонки підтримується весь час
трохи більшим, ніж зовнішній атмосферний тиск. Основна перевага дирижаб-
лів порівняно з літаками — здатність нерухомо висіти в повітрі, підніматись
і опускатись по вертикалі, не працюючи при цьому двигунами.
Вправа. 178.1. Вага оболонки, корзини і спорядження повітряної
кулі об’ємом 1500 м3 дорівнює 800 кГ. Який вантаж може підняти куля при
заповненні її воднем (увод = 0,09 Гід), гелієм (7гел=0,18 Г/л)^ Питома
вага повітря упов = 1,29 Г/л.
§ 179. Застосування стисненого повітря у техніці. У буді-
вельній, суднобудівній і гірничій промисловості та в інших галу-
Рис 307. Схема будови компресора.
зях техніки широко застосовують пневматичні інструменти, тоб-
то інструменти, які приводяться в рух стисненим повітрям. На
всякому великому заводі застосовують пневматичні молотки
і свердла; у шахтах користуються пневматичними відбійними
молотками.
Кожний такий інструмент приєднують гумовим шлангом до
магістралі — труби, в яку безперервно накачується повітря
з центральної компресорної станції. Найпростішу схему нагні-
тального насоса-компресора подано на рис. 307. При обертанні
маховика поршень Р рухається в циліндрі вправо і вліво. Під
час руху поршня вправо стиснене повітря відкриває клапан $і
§ 179]
ЗАСТОСУВАННЯ СТИСНЕНОГО ПОВІТРЯ
32
і нагнітається в магістраль; під час руху поршня вліво нова
порція повітря засмоктується в циліндр з атмосфери, причому
клапан закривається, а клапан
$2 відкривається.
Для вимірювання тиску стисне-
ного повітря або інших газів засто-
совують манометри такої будови
(рис. 308). Порожнисту металеву
трубку Ь овального перерізу, зігну-
ту у вигляді кільця, прикріплюють
відкритим кінцем / до дошки при-
ладу. Закритий кінець // трубки
з’єднаний із стрілкою приладу. Від-
критий кінець сполучають з посуди-
ною, тиск газу в якій треба виміря-
ти. Чим більший тиск газу, який
входить у трубку, тим більше роз-
прямляється трубка Ь і тим більше
відхиляється стрілка. Звичайно по-
ложення стрілки, яке відповідає
атмосферному тиску, на шкалі по-
значають нулем. Тоді манометр по-
казує, наскільки вимірюваний тиск
Рис. 308. Будова манометра
для великих тисків.
І
перевищує атмосферний: покази приладу дають так званий «над-
лишковий тиск». Такі манометри використовують, наприклад
для вимірювання тиску пари в парових котлах.
Рис. 309. Схема будови повітряного гальма на поїздах
залізниці.
Вкажемо ще кілька застосувань стисненого повітря.
1) Повітряні (пневматичні) гальма широко застосовують на
залізницях, у трамваї, тролейбусах, метро, автомашинах. У пнев-
матичних гальмах на поїздах гальмівні колодки Р притискають-
ся до бандажів коліс стисненим повітрям, яке міститься в резер-
вуарі /?, розміщеному під вагоном (рис. 309). Гальмами керу-
ють за допомогою зміни тиску повітря в магістральній трубі,
326
АЕРОСТАТИКА
[РОЗД VIII
що з’єднує вагони з головним резервуаром стисненого повітря,
який розміщений на паровозі і наповнюється компресором. Керу-
вання влаштовано так, що при зменшенні тиску в магістралі
розподільний кран К з’єднує резервуар /? з гальмівним цилінд-
ром М і тим самим здійснює гальмування. Тиск у магістралі
може зменшувати машиніст,
Рис. 310. Пристрій для переливан-
ня дистильованої води.
який роз’єднує магістраль від ком-
пресора і сполучає її з атмосфе-
рою. Такий самий результат буде
й тоді, коли відкрити кран екст-
реного гальмування в будь-яко-
му вагоні або коли магістраль
обірветься.
2) Стисненим повітрям часто
користуються в нафтовій промис-
ловості при добуванні нафти.
У районі покладів нафти під
землю накачують стиснене повіт-
ря, яке витискує на поверхню
нафту. Іноді в підземних шарах
нагромаджується стиснений газ
внаслідок яких-небудь процесів,
що відбуваються в нафтоносному
шарі. Якщо пробурити в землі св-ердловину, яка доходить до рів-
ня нафти, то газ витискуватиме нафту на поверхню землі. Різ-
ниця тисків підземного газу й атмосфери буває така велика, що
примушує нафту, яка піднялася по свердловині, бити високим
фонтаном.
На тому самому принципі грунтується прилад, яким часто
користуються в лабораторіях для переливання дистильованої
води з посудини. Якщо подути в трубочку а приладу (рис. 310),
то з трубки Ь виливатиметься вода. Оскільки посудина весь
час закрита пробкою, то рідина може довгий час зберігатися не
забруднюючись.
3) Для звільнення від води («продування») баластних відсі-
ків підводного човна воду витискують стисненим повітрям, яке
зберігається на борту човна в спеціальних балонах.
РОЗДІЛ IX
ГІДРОДИНАМІКА 1 АЕРОДИНАМІКА
§ 180. Тиск у рухомій рідині. Ми вже знаємо, що тиск ріди-
ни визначається ступенем її стискання. Ми вимірюємо тиск
у рідині, що перебуває в спокої, занурюючи в неї манометр
(§ 145). Занурення манометра в рідину, яка перебуває в спокої,
не змінює ступеня її стискання; це дає змогу правильно виміря-
ти тиск рідини.
Вимірювання тиску в рухомій рідині, наприклад тиску води,
що тече в трубі, або тиску повітря, коли дме вітер, пов’язане
з великими труднощами. Звичайно, і в цьому випадку тиск визна-
чається ступенем стискання рідини. Але манометр, занурений
у потік, є перешкодою, яка може помітно змінити течію. При
цьому зміниться і ступінь стискання, а отже, і тиск у різних
точках рідини. Отже, манометр, внесений у потік, може виміря-
ти не той тиск, який був у потоці до його занурення, і, таким
чином, покази його можуть не дати правильної картини розпо-
ділу тиску в рідині до внесення перешкоди.
.Зміна тиску, яку вносить перешкода, зрозуміла на прикладі
дії паруса. При рівномірному вітрі ступінь стискання повітря
в сусідніх ділянках однаковий, а тому можна було б вважати,
що сили тиску, які діють з обох боків паруса, будуть однакові
і, отже, вітер не рухатиме парусне судно. Але насправді парус
істотно змінює рух повітря. Повітря, ударяючись об перешкоду
(парус), стискається, подібно до того, як стискається м’яч, що
вдарився об стінку; з боку вітру шари повітря, які прилягають
до паруса, стиснені більше, ніж решта повітря: тут тиск підви-
щується. Навпаки, з другого боку паруса повітря, обтікаючи
його, буде стиснене менше, і тиск тут зменшений. Отже, з одного
боку паруса тиск підвищений, а з другого — знижений. Виникає
сила, прикладена до паруса, яка й рухає судно.
Як і парус у потоці повітря, манометр, занурений у рухому
рідину, також змінює швидкість потоку. Якщо манометр повер-
нути мембраною до потоку, його показ буде більший; повернувши
с28
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
[РОЗД IX
манометр мембраною вздовж потоку, дістанемо менший показ;
нарешті, повернувши мембрану на 180° від напряму потоку,
дістанемо ще менший показ. Коли манометр, який являє собою
плоску коробку, розміщений мембраною вздовж потоку, то він
мало змінює швидкість руху рідини і ступінь її стискання; тому
при такому положенні мембрани показ манометра буде близький
до тиску в потоці до занурення манометра.
Як же зробити, щоб перешкода, занурена в потік, зовсім не
змінювала швидкості рідини? Для цього треба, щоб перешкода
сама рухалася з тією самою швидкістю, що й рідина в потоці.
Наприклад, повітряну кулю несе повітря з сталою швидкістю,
яка дорівнює швидкості вітру. Тому вона не порушує руху навко-
лишнього повітря, не створює в ньому ні згущень, ні розріджень;
для такої кулі рух повітря не відчутний, бо повітря відносно неї
не рухається.
Так само й манометр, який переміщається разом з рідиною,
не змінюватиме руху навколишніх шарів рідини і покаже тиск,
який був у потоці до його занурення. У цьому разі рідина неру-
хома відносно манометра і тиск вимірюється так само, як і в гід-
ростатиці. На манометр, який рухається разом з рідиною, діє
з боку рідини тиск, який відповідає ступеню стискання рідини
в непорушеному потоці.
Тиск, який можна було б виміряти манометром, що рухаєть-
ся разом з рідиною, називають статичним тиском. А показ неру-
хомого манометра, мембрану якого поставлено перпендикулярно
до потоку, називають повним тиском.
Отже, для вимірювання статичного тиску треба застосовува-
ти рухомий манометр, а для вимірювання повного тиску — неру-
хомий. Проте на практиці було б дуже важко застосовувати
рухомий манометр. Щоб обійти це утруднення, приладу надають
такої форми, при якій швидкість течії поблизу місця, де вимі-
рюють тиск, не змінюється. Такий прилад можна виготовити
у вигляді вузької трубки з закругленим закритим кінцем і з отво-
рами збоку (рис. 311, а). Струмини потоку, проходячи повз отво-
ри, практично зберігають свою швидкість незмінною, і в коліні
манометра, з’єднаного з такою трубкою, створюється статичний
тиск. Така трубка називається зондом. Якщо взяти відкриту
з кінця трубку, отвір якої повернутий до потоку (рис. 311,6),
то біля отвору струмина зупинятиметься, як і перед мембраною,
так що в коліні манометра, приєднаного до такої трубки, ство-
риться повний тиск. Така трубка називається трубкою Піто.
Манометр, з’єднаний з трубкою Піто, показує вищий тиск, ніж
манометр, з’єднаний із зондом.
Приєднаємо тепер обидві трубки до двох колін того самого
манометра (рис. 311, в). Тоді манометр показуватиме різницю
§ 181]
ТЕЧІЯ РІДИНИ ПО ТРУБАХ. ТЕРТЯ РІДИНИ
329
між повним і статичним тисками. Чим більша швидкість набі-
гаючого потоку, тим більша ця різниця. Тому за показами мано-
метра, з’єднаного з такими трубками, можна судити про швид-
кість потоку. Ми матимемо вимірник швидкості потоку, який
можна застосовувати для вимірювання швидкості як повітря, так
і течії рідини.
Рис. 311. а) Зонд; при обдуванні зонда показ манометра не
змінюється, б) Трубка Літо; при обдуванні трубки Літо мано-
метр показує підвищений тиск, в) Схема вимірника швидкості
потоку.
Такі вимірники швидкості встановлюють на літаках. Вони
вимірюють швидкість повітря відносно літака, або, що те саме,
швидкість літака відносно повітря. Вимірник швидкості — один
з найважливіших приладів, які використовують при пілотуванні
літака.
§ 181. Течія рідини по трубах. Тертя рідини. Для вимірюван-
ня статичного тиску рідини, яка тече в трубі, можна застосува-
ти такий пристрій: до маленьких отворів, просвердлених у трубі,
приєднують вертикальні відкриті зверху трубочки («маномет-
ричні трубки» — рис. 312). Якщо рідина в трубі перебуває під
тиском, то у вертикальній трубочці рідина підніметься на висо-
ту, яка відповідає статичному тиску в цьому місці труби ’. Справ-
ді, невеликий отвір майже не внесе змін у потік рідини, що тече
в трубі.
Установлюючи манометричні трубки в різних місцях труби,
ми зможемо виміряти статичний тиск у відповідних точках.
1 Точніше — різниці між цим статичним тиском і зовнішним атмосферним
тиском.
330
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
(РОЗД. ЇХ
Дослідимо за допомогою манометричних трубок статичний
тиск рідини, що тече вздовж труби сталого перерізу. Для цього
скористаємось приладом, який зображено на рис. 313. За висо-
тою води в манометричних трубках, розміщених уздовж труби,
ми можемо визначити статичний тиск у різних місцях труби.
Дослід показує, що вздовж труби
Г Г за течією тиск зменшується: чим
? | далі від початку труби, тим менший
7 £ статичний тиск рухомої рідини. При
Е | цьому у вузьких трубах тиск спа-
дає швидше, ніж у широких. У до-
сить широких і коротких трубах
=—н при не дуже великій швидкості течії
Рис. 312. Манометричні зменшення тиску практично непо-
трубки показують статич- М1ТНЄ-
ний тиск у трубці, по якій Зменшення тиску рідини В труб-
тече рідина. ці пояснюється тертям. На рідину,
яка тече по трубі, діють з боку сті-
нок труби сили тертя; вони напрямлені протилежно руху ріди-
ни. Виділимо мислено в трубі об’єм рідини АВСО (рис. 314).
З боку стінок труби на виділений об’єм діють сили тертя (. Якщо
рідина тече по трубі рівномірно (з сталою швидкістю), то сили
тиску, які діють на виділений об’єм, повинні зрівноважувати сили
тертя. Звідси робимо висновок, що сила тиску Рі, яка діє в на-
прямі руху, повинна бути більша за силу тиску Р2, яка діє
Рис. 313. Манометричні трубки показують спад тиску
вздовж труби, по якій тече вода.
в протилежному напрямі. Тому тиск на задній поверхні АВ
виділеного об’єму повинен бути більший за тиск на передній
поверхні С7), тобто тиск повинен зменшуватись уздовж труби
за течією.
Якщо збільшити швидкість рідини, яка тече по трубі, то сила
тертя зростає. Тому при швидкій течії рідини спад тиску в цій
§ 181]
ТЕЧІЯ РІДИНИ ПО ТРУБАХ ТЕРТЯ РІДИНИ
331
трубі більший, ніж при повільній течії. При певній швидкості
течії тертя позначається більше у вузьких трубах, ніж у широ-
ких; тому вздовж вузьких труб тиск зменшується швидше.
Будуючи водопроводи, треба враховувати спад тиску у водо-
провідних трубах. Якщо всі крани водопроводу закриті і вода по
трубах не тече, то тиск води відповідає висоті водонапірної баш-
ти (§ 155). У рідині, яка перебуває в спокої, ніякі сили тертя
не виникають. Але як-
що крани відкриті і во-
да тече, то тертя в тру-
бах спричинює змен-
шення тиску: «напір»
води зменшується. Чим
більше відкрито кранів
чим швидше тече ВО- рис 214 Різниця сил тиску Рі і Р2 зрівно-
да, ТИМ більше спадає важує сили тертя з боку стінок труби,
напір.
При недостатній висоті водонапірної башти може трапитись,
що спад тиску води в трубах більший, ніж тиск, що відповідає
висоті башти над верхніми поверхами будинків. Тоді вода пере-
стає текти з кранів верхніх поверхів. Але в години, коли спожи-
вання води невелике, втрати тиску зменшуються і вода на верх-
ніх поверхах з’являється знову; взагалі тиск води у водопровід-
ній мережі найбільший уночі, коли витрата води мала, швид-
кість руху води по трубах мала і тому тертя порівняно неве-
лике.
Рис. 315. Прилад для демонстрування спаду тиску у водопроводі.
Спад тиску у водопроводі можна продемонструвати на такій
моделі (рис. 315). Вузьку (для збільшення тертя) трубу А і її
відгалуження В, що мають манометричні трубки, можна закри-
вати кранами а і Ь. Якщо налити воду в посудину С і закрити
332
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
(РОЗД IX
крани, то тиск у трубах А і В відповідатиме висоті налитої води
і вода в усіх манометричних трубках стоятиме на тому самому
рівні, що й у посудині С. Якщо трохи відкрити кран а, то в тру-
бі А ми побачимо відому вже нам картину спаду тиску вздовж
труби; у трубі В тиск спадає, але буде однаковий у всіх точках
і дорівнюватиме тиску в точці О Якщо кран а відкрити більше,
то й спад тиску вздовж труби А буде більший. Якщо відкрити
ще кран Ь, то виникне спад тиску води вздовж труби В і водно-
час зменшиться тиск у всіх точках труби А.
§ 182. Закон Бернуллі. Як ми вже згадували, у трубах не
дуже довгих і досить широких тертя таке невелике, що ним МОЖ-'
на знехтувати. При цих
=1 П умовах спад тиску такий
малий, що в трубці стало-
го перерізу рідина в мано-
метричних трубках пере-
буває практично на одній
висоті. Проте якщо тру-
ба має в різних місцях
неоднаковий переріз, го
навіть у тих випадках, ко-
ли тертям можна знехту-
вати, дослід свідчить про
Рис. 316. У вузьких частинах труби статич- те, ЩО статичний ТИСК у
ний тиск текучої рідини менший, ніж у ши- різних місцях різний.
роких‘ Візьмемо трубу неод-
накового перерізу (рис.
316) і пропускатимемо крізь неї сталий потік води. За рівнями
в манометричних трубках ми побачимо, що в звужених місцях
труби статичний тиск менший, ніж у широких. Отже, при пере-
ході з широкої частини труби у вужчу ступінь стискання рідини
зменшується (тиск зменшується), а при переході з вужчої час-
тини в широку — збільшується (тиск збільшується).
Це пояснюється тим, що в широких частинах труби рідина
повинна текти повільніше, ніж у вузьких, бо кількість рідини,
яка протікає за однакові проміжки часу, однакова для всіх пере-
різів труби. Отже, при переході з вузької частини труби в широ-
ку швидкість рідини зменшується: рідина гальмується, ніби наті-
каючи на перешкоду, і тому ступінь стискання її (і її тиск) зро-
стає. Навпаки, при переході з широкої частини труби у вузьку
швидкість рідини збільшується і при цьому стискання її змен-
шується: рідина, прискорюючись, поводить себе подібно до пру-
жини, яка розпрямляється.
Отже, ми бачимо, що тиск рідини, яка тече по трубі, більший
$ 182]
ЗАКОН БЕРНУЛЛІ
333
Рис. 317. Повітря засмоктується у вузьку
частину труби, де тиск менший від атмо-
сферного.
там, де швидкість руху рідини менша, і навпаки: тиск менший
там, де швидкість рідини більша.
Цю залежність між швидкістю рідини і її тиском називають
законом Бернуллі за ім’ям швейцарського фізика і математика,
члена Російської Академії наук Даніїла Бернуллі (1700—1782).
Закон Бернуллі справджується і для рідин, і для газів. Він
справджується і для руху рідини, не обмеженого стінками тру-
би,— у вільному потоці рідини. У цьому випадку закон Бернуллі
треба застосовувати
так.
Припустимо, що
рух рідини або газу
не змінюється з пере-
бігом часу («устале-
на течія»). Тоді ми
можемо уявити собі
всередині потоку не-
рухомі лінії, уздовж
яких рухається ріди-
на. Ці лінії назива-
ються лініями течії;
вони розбивають рідину на окремі струмини, які течуть поряд, не
змішуючись. Лінії течії можна зробити видимими, пускаючи
в потік води розчинену фарбу крізь тонкі трубочки. Струминки
фарби розміщаються вздовж ліній течії. Щоб зробити лінії течії
видимими в повітрі, можна скористатися струминками диму.
Можна показати, що закон Бернуллі застосовний для кожної
струмини окремо: тиск більший у тих місцях струмини, де швид-
кість у ній менша і, отже, де переріз струмини більший, і навпа-
ки. З рис. 316 видно, що переріз струмини великий у тих місцях,
де лінії течії розходяться; але там, де переріз струмини менший,
лінії течії зближуються. Тому закон Бернуллі можна сформулю-
вати ще так: у тих місцях потоку, де лінії течії зближені, тиск
знижений, а в тих місцях, де вони розходяться, тиск підвищений.
Візьмемо трубу із звуженням і пропускатимемо по ній з вели-
кою швидкістю воду. За законом Бернуллі, у звуженій частині
тиск буде знижений. Можна так підібрати форму труби і швид-
кість потоку, що в звуженій частині тиск води буде менший від
атмосферного. Якщо тепер приєднати до вузької частини труби
відвідну трубку (рис. 317), то зовнішнє повітря засмоктувати-
меться в місце з меншим тиском і, потрапляючи в струмину
повітря, виноситиметься водою. Використовуючи це явище, мож-
на побудувати розріджувальний насос — так званий водостру-
минний насос. У зображеній на рис. 318 моделі водоструминно-
го насоса повітря засмоктується крізь кільцеву щілину М, побли*
334
ГІДРОДИНАМІКА Т АЕРОДИНАМІКА
(РОЗД. IX
зу якої вода рухається з великою швидкістю. Відросток В при-
єднують до відкачуваної посудини.
а б
Рис. 318. Схема водоструминного насоса.
Водоструминні насоси не мають рухомих твердих частин (як,
наприклад, поршень у звичайних насосах), що є однією з їх
Рис. 319. Пульверизатор.
переваг.
Продуватимемо повітря по трубі із
звуженням (рис. 319). При достатній
швидкості течії повітря тиск у звуже-
ній частині труби буде менший від
атмосферного. Рідина з посудини вга-
нятиметься надлишком атмосферного
тиску в бічну трубку. Виходячи з труб-
ки, рідина розпилюватиметься струми-
ною повітря. Цей прилад називається
пульверизатором — розпилювачем.
§ 183. Рідина в неінерціальних системах відліку. Нехай
посудина з рідиною рухається прискорено. Розглядатимемо рух
рідини відносно посудини як неінерціальної системи відліку
і введемо сили інерції. Рідина перебуватиме в рівновазі під дією
всіх сил, прикладених до неї, включаючи і сили інерції.
Розглянемо спочатку випадок системи відліку, яка рухається
поступально і прискорено. Нехай, наприклад, залізнична цистер-
§ 183]
РІДИНА В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
335
на з рідиною рухається з прискоренням по горизонтальній пря-
молінійній дільниці шляху. На кожну частинку рідини діятиме
сила тяжіння (іп — маса частинки), напрямлена вертикаль-
но вниз, і еквівалентна силі тяжіння сила інерції — та, напрям-
лена горизонтально в бік, протилежний прискоренню цистерни.
Суму цих сил можна розглядати як результуючу силу тяжін-
ня Р. Вона буде відхилена від вертикалі в бік, протилежний
_ а
Рис. 320. Рис. 321. Вільна поверхня рідини в цистерні, яка
рухається прискорено, відхилена в бік, обернений
прискоренню.
прискоренню (рис. 320). Але ми знаємо (§ 138), що вільна
поверхня рідини завжди розміщується перпендикулярно до сили
тяжіння. Отже, поверхня рідини нахилиться відносно горизонту
(рис. 321): у стані рівноваги відносно системи відліку, яка рухає-
ться поступально і прискорено, вільна поверхня рідини буде
нахилена до горизонту. Це легко перевірити, наприклад, швид-
ко приводячи в рух склянку з водою або швидко зупиняючи її.
Якщо прискорення досить велике, вода випліскуватиметься:
нести повну до верху склянку «обережно» — означає нести її
з малими прискореннями.
Якщо прискорення напрямлене не по горизонталі, а по вер-
тикалі, то дія сил інерції зводиться до того, що вага рідини збіль-
шується (якщо прискорення напрямлене вгору, як при злітанні
ракети), або зменшується (якщо прискорення напрямлене вниз).
Відповідно збільшується або зменшується і тиск рідини на дно
посудини. Наприклад, при злітанні ракети або при виведенні
літака з пікірування тиск пального на дно баків зростає (пере-
вантаження). Зростає і вага крові в судинах льотчика або кос-
монавта: якщо тіло льотчика розміщене вертикально, то це спри-
чинить відлив крові від голови і може призвести до втрати сві-
домості. Тому сидіння льотчиків влаштовують так, щоб приско-
рення було напрямлене від спини до грудей, а не від ніг до
336
ГІДРОДИНАМІКА т аеродинаміка
[РОЗД. IX
підтримуюча
голови. Навпаки, в умовах невагомості (див. § 133) вага рідини
зникає; рідина не витікає з похилої або перекинутої посудини,
сила зникає: важкий предмет у воді не тоне, а лег-
кий не спливає. Про інші особливості в по-
водженні газів і рідин в умовах невагомості
див. § 212, 249.
Аналогічно розглянемо і випадок рідини,
яка перебуває в спокої відносно обертової сис-
теми відліку. Підвісимо відерце на довгій нит-
ці і, закрутивши нитку, дамо йому можливість
розкручуватись. Стінки обертового відерця
швидко захоплять за собою рідину, і вона
обертатиметься разом з відерцем, тобто буде
в спокої відносно відерця. Ми бачили, що в
: цьому разі сила інерції (відцентрова сила,
К див. § 119) зростає при віддаленні від осі обер-
тання. Отже, результуюча сила тяжіння для
частинок рідини дедалі більше відхилятиметь-
ся від вертикалі при віддаленні від осі обер-
тання. Внаслідок цього вільна поверхня рідини
не тільки відхилиться від горизонталі, а й ви-
кривиться: нахил до горизонталі збільшувати-
меться від осі до стінок відерця (рис. 322).
Вільна поверхня рідини в перерізі вертикаль-
ною площиною буде параболою.
Вправи. 183.1. Показати, що тангенс кута нахилу
рідини до горизонту в цистерні, яка рухається приско-
рено по горизонтальній прямолінійній дільниці шляху,
прискорення цистерни до прискорення сили тя-
Рис. 322. Вільна
поверхня води, яка
перебуває в спокої
відносно обертово-
го відерця, і схема
сил, які діють на
частинки рідини на
різних відстанях
від осі обертання.
дорівнює відношенню
жінпя.
183.2. Як розміститься вільна поверхня води в цистерні, яка вільно ско-
чується по похилому шляху? При рівномірному русі цистерни по похилому
шляху?
183.3. Поїзд рухається по закругленню радіуса 1 км із швидкістю
72 кмігод. Під яким кутом до горизонту розміщена вільна поверхня води
в посудині, яка стоїть у вагоні?
§ 184. Реакція рухомої рідини і її використання. Покладемо
на стіл зігнуту під прямим кутом скляну трубку, з’єднану гумо-
вою трубкою з водопроводом (рис. 323). При витіканні води
трубку відкидатиме в напрямі стрілки. Щоб пояснити цей дослід,
розглянемо сили, які діють з боку рідини на зігнуту трубку.
Нехай рідина входить у трубку з швидкістю щ (рис. 324) і вихо-
дить із трубки з швидкістю V2. Для простоти розрахунку припу-
стимо, що трубка має скрізь однаковий переріз. У цьому разі
швидкості Гі і V} за величиною однакові, але напрями їх різні.
Отже, під час витікання води по зігнутій трубці вектор швидко-
§ 184]
РЕАКЦІЯ РУХОМОЇ РІДИНИ
337
СТІ ЗМІНЮЄТЬСЯ. До ШВИДКОСТІ V] додається ШВИДКІСТЬ Яз, так що
результуюча швидкість дорівнюєЯг. Зміна швидкості течії, пода-
на вектором Яз, показує, що при течії по зігнутій трубці рідина
Рис. 323. При відкриванні крана зі-
гнута трубка починає рухатись у на-
прямі стрілки.
Ряс. 324. При зміні напряму
течії води на трубку діє реакція
струмини води Р.
Рис. 325. Відерце обер-
тається в бік, обернений
витіканню струмини.
набуває прискорення, напрямленого вздовж цього вектора, і,
отже, за третім законом Ньютона на трубку з боку рідини діє
сила протидії/7, напрямлена протилежно. Цю силу називатиме-
мо реакцією струмини рідини. В описаному досліді трубка від-
хиляється вбік реакцією струмини.
Ще один приклад дії реакції стру-
мини дає дослід, зображений на рис.
325. При витіканні води через зігнуті
трубки відерце обертається в напрямі,
позначеному стрілкою. Щоб пояснити
цей дослід, треба лише простежити за
напрямом сил реакції витікаючої води.
У досліді, зображеному на рисунку, ці
сили повертають відерце за стрілкою
годинника (якщо дивитися зверху). Та-
кий прилад називається сегнеровим
колесом. Для поливання паркових
лужків іноді застосовують насадку
у вигляді сегнерового колеса. Обер-
таючись на водопровідній колонці, та-
ка насадка розбризкує воду на велико-
му крузі, зрошуючи лужки.
Реакція струмини проявляється не
тільки при протіканні рідини по зігнутій трубці, айв усіх випад-
ках, коли струмина рідини або газу змінює свій напрям, зустрі-
22 7-юз
338
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
(РОЗД IX
чаючи на шляху тверді тіла. На цьому принципі грунтується дія
турбін, де реакція струмини використовується для утворення
обертання.
Рис. 326. Парова турбіна. Рис. 327. Сопло
і лопаті тур-
біни.
Рис. 328. Колесо водяної
турбіни.
Рис. 329. Вітродвигун.
У різних типах турбін напрям струмини води або пари змі-
нюється за допомогою різних пристроїв. Прикладом такого при-
строю може бути парова турбіна, основною частиною якої є коле-
со з лопатями (ротор), косо насадженими на обід (рис. 326).
Потужна струмина пари вдаряє об лопаті і, відбиваючись від них,
змінює свій напрям (рис. 327).
При цьому виникає сила реакції,
яка діє з боку струмини на лопа-
ті; реакція напрямлена протилеж-
но зміні напряму струмини і обер-
тає колесо турбіни. Дещо по-ін-
шому збудовані водяні турбіни
гідростанцій (рис. 328), але й тут
турбіну обертає реакція струмин
води, які відхиляються лопатями.
На цьому самому явищі реак-
ції струмини грунтується і дія віт-
ряків та вітродвигунів. Набігаю-
чий потік повітря відхиляється ло-
патями вітродвигуна, косо наса-
дженими на вісь. При цьому на
кожну лопать діє реакція потоку
повітря, яка обертає колесо вітро-
двигуна (рис. 329).
§ 185]
ПЕРЕМІЩЕННЯ ПО ВОДІ
339
§ 185. Переміщення по воді. У розд. VII ми з’ясували питан-
ня про плавання суден на поверхні води. Тепер нам треба пояс-
нити, як пересуваються судна. Тут питання стоїть інакше, ніж
для пересування механічних екіпажів по поверхні землі.
Рис. 330. «Клермонт» — перший пароплав.
Наприклад, автомобіль рухає сила тертя між колесами і грун-
том (§ 66); можна сказати, ідо колеса відштовхуються від неру-
хомого твердого грунту. Інакша справа на воді, бо у воді, як
і в будь-якій рідині, сил тертя спокою немає (§ 67).
У суднобудуванні застосовують кілька видів механізмів, які
приводять у рух судна, так званих рушіїв: гребний гвинт, греб-
не колесо і деякі інші; але принцип дії в усіх цих пристроїв одна-
ковий. Рушій, занурений у воду, приводиться в обертання суд-
новою машиною. З боку рушія на воду діє сила, яка гонить
воду в одному напрямі, надаючи прискорення все новим і новим
масам води. За третім законом Ньютона на рушій з боку від-
штовхуваної води діє однакова сила, напрямлена в протилежний
бік (реакція відкидуваної струмини). Оскільки рушій скріпле-
ний із судном, то все судно приходить у рух. Чим більша маса
відкидуваної води і чим більше прискорення, яке їй надається,
тим більша сила реакції, прикладена до рушія, і тим швидше
рухається судно.
Перші судна з механічним двигуном — пароплави — приво-
дилися в рух гребним колесом (рис. 330). Гребне колесо закріп-
22*
340
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
[РОЗД. IX
люється на обертовому валі машини. У воду занурено лише
нижню частину колеса. На ободі колеса розміщені лопаті, або,
як їх називають суднобудівники, пліци (рис. 331). При обертан-
ні колеса лопаті відкидають воду назад; при цьому вони трохи
повертаються, так що входять у воду і виходять з води ребром,
щоб не спричинювати сплесків, на які витрачалася б непродук-
тивно робота машини.
Рис. 332. Гребний гвинт морського
судна.
Рис. 331. Гребне колесо річкового
судна.
Якщо змінити напрям обертання колеса, давши машині зад-
ній хід, то вода відкидатиметься вперед, а судно почне рухатись
назад.
Гребний гвинт (рис. 332) вперше був застосований на судні
в 1836 р. Тепер усі морські судна і багато річкових устаткову-
ють гвинтами, а не колесами. Гвинт значно простіший за кон-
струкцією, ніж колесо, і захищений від ударів хвиль, бо весь
перебуває під водою. Гребні колеса застосовують тепер лише
на мілководних ріках, де глибина недостатня для доброї роботи
гвинта.
Лопаті гвинта, зображеного на рисунку, викривлені так, що
при обертанні за стрілкою годинника кожна лопать відкидатиме
воду за рисунок. Отже, реакція води буде напрямлена від рисун-
ка до глядача.
Так само працюють і повітряні гвинти (пропелери), які при-
водять у рух літаки, дирижаблі, аеросани, деякі види швидкіс-
них глісерів. Повітряний гвинт складається з кількох (двох,
трьох або чотирьох) викривлених лопатей, косо насаджених на
втулку (рис. 333). Як і водяні гвинти, повітряні гвинти при обер-
танні відкидають уздовж своєї осі струмину навколишнього сере-
$ 186]
РАКЕТИ
34]
довища. Реакція струмини — це й є тяга гвинта. Відмінність
у формі лопатей повітряних і водяних гвинтів зумовлена тим, що
їм доводиться працю-
вати в середовищі різ-
ної густини.
Повітряний гвинт
може добре працювати
лише при швидкості ло-
патей, меншій за швид-
кість звуку в повітрі. ТЖ5
Тому гвинти на швид- 1
кісних літаках працю- 1
ють неефективно і ви- 1
гідніше застосовувати І
реактивні двигуни (див. І
§ 187). 1
Звичайний кімнат- І
ний вентилятор — це \І
також повітряний
гвинт. «Вітер», який Рис. 333. Гвинт (пропелер) літака,
він створює,— це й є
відкидувана струмина повітря. Реакція струмини звичайного
вентилятора невелика, але її можна виявити, установлюючи вен-
тилятор на легкий візок (рис.
334). При вмиканні вентилято-
ра візок почне відкочуватись.
Зауважимо, що й найпро-
стіші способи пересування по
воді — плавання людини, тва-
рин і риб, гребля на чов-
ні — усі грунтуються на тако-
му самому відкиданні води в
бік, протилежний створювано-
му руху. Наприклад, у човні
кожний удар веслом відганяє
воду в бік, протилежний руху
човна.
§ 186. Ракети. Обертовий
водяний або повітряний гвинт
відкидає навколишнє середовище в один бік, і прикладена до
гвинта реакція струмини, яка відкидається, напрямлена в проти-
лежний бік, рухає судно або літак. Рух ракети також спричиню-
ється реакцією струмини, але весь запас відкидуваної речовини
ракета несе з собою. Наприклад, відома ще в стародавні часи
Рис. 334. При роботі вентилятора ві-
зок котиться в бік, протилежний від-
кидуваній струмині повітря.
342
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
[РОЗД IX
(в китайців) порохова ракета побудована так. Порожниста обо-
лонка заповнена порохом, який повільно згоряє (рис. 335). Поро-
ховий заряд підпалюють з нижнього кінця. Розжарений газ,
який утворюється при згорянні пороху, витікає з великою швид-
кістю з отвору в корпусі, розміщеного в нижній частині ракети.
Реакція витікаючої струмини напрямлена в бік,
протилежний витіканню, і виносить ракету вгору.
Рис. 335. Будова по-
рохової ракети.
Рис. 336. Пружинна модель ракети.
На рис. 336 подано просту механічну модель, яка ілюструє
принцип дії ракети. Пружина, стягнута ниткою, вкладена в рам-
ку. Пружина відіграє роль порохового заряду. Перепалимо нит-
ку; це відповідає згорянню пороху. Пружина, випрямляючись,
тисне на рамку («реакція порохових газів») і вилітає з рамки
подібно до того, як вилітають порохові гази з отвору ракети.
Рамка, яка відіграє роль корпусу ракети, набуде швидкості в про-
тилежному напрямі.
§ 187. Реактивні двигуни. Реактивним двигуном називають
ракету, установлену як двигун на який-небудь засіб транспорту.
Реактивні двигуни мають велике застосування в авіації, у вій-
ськовій і космічній техніці. У реактивних двигунах часто вико-
ристовують не порох, а рідке пальне (нафту, газ). Внаслідок
цього робота двигуна стає більш економічною. Реактивна стру-
мина і в цьому разі утворена розжареними газами, які утворю-
ються при згорянні пального. Проте порох може згоряти і в пус-
тоті, а для згоряння нафти потрібна велика кількість повітря.
У реактивних двигунах літаків повітря береться з навколишньої
$ 188]
БАЛІСТИЧНІ РАКЕТИ
343
атмосфери («повітряно-реактивні» двигуни). Отже, на відміну
від порохових ракет, літак з реактивним двигуном не повинен
нести з собою всю масу відкидуваного газу. Сучасні реактивні
літаки здатні розвивати величезні швидкості, які у два рази
і більше перевищують швидкість звуку (швидкість звуку в повіт-
рі — приблизно 1200 км/год).
§ 188. Балістичні ракети. Останніми роками значно підви
щився розвиток балістичних ракет (рис. 337). Так називають
ракети з запасом пального, яке становить основну частину маси
ракети, і з двигунами величезної потужності, які працюють лише
на початку шляху ракети. За порівняно невеликий час робо-
ти (кілька хвилин) двигуни встигають
витратити весь запас пального і нада-
ти ракеті величезної швидкості (до
10 км/сек і вище). Після цього ракета
рухається вже під дією лише сил тяжін-
ня Землі (та інших небесних тіл). Ра-
кети такого самого типу застосовують
для запуску штучних супутників Землі.
Балістичні ракети несуть з собою не
тільки пальне, а й запас окислювача
(в рідкому вигляді), який потрібний
для спалювання всього пального. Зви-
чайні літаки і навіть літаки з повітря-
но-реактивними двигунами можуть лі-
тати лише в межах земної атмосфери,
а реактивний двигун балістичної раке-
ти (як і порохова ракета) може працю-
вати і в безповітряному просторі.
Балістична ракета повинна надати
якомога більшої швидкості корисному
навантаженню, яке встановлюють на
ракеті. Для ракет, призначених для за-
пуску штучних супутників Землі, ко-
рисне навантаження — це космічний
корабель; для військових ракет — це
боєголовка. Розглянемо докладніше
роботу реактивного двигуна ракети,
щоб з'ясувати, від чого залежить «кін-
цева швидкість» ракети — швидкість,
яка досягається після витрачання всьо-
го запасу пального.
Знайдемо спочатку силу реакції
відкидуваної реактивної струмини —
Рис. 337. Злітання ра-
кети.
344
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
[РОЗД IX
силу тяги реактивного двигуна. Швидкість реактивної струмини,
тобто швидкість виходу газів відносно корпусу ракети, позначимо
через V, Масу газу, яка виходить з корпусу ракети за 1 сек,
позначимо через ц. За третім законом Ньютона сила, яка діє
з боку ракети на викидуваний газ, дорівнює протидіючій силі,
прикладеній з боку викидуваного газу до ракети, тобто дорівнює
шуканій силі тяги.
Скористаємось законом імпульсів (§ 49): зміна кількості руху
тіла дорівнює імпульсу діючої сили. Застосуємо цей закон до
маси газу, викинутої з ракети за проміжок часу т. Оскільки при-
ріст швидкості викидуваного газу дорівнює швидкості реактив-
ної струмини, то приріст кількості руху викинутої маси дорівнює
тру. Отже, імпульс сили, яка подіяла протягом проміжку часу т
на цю масу, також дорівнює тру. Звідси робимо висновок, згід-
но з формулою на стор. 107, що сила, яка діє з боку ракети на
струмину, дорівнювала Отже, цій самій величині дорівнює
і сила реакції струмини —тяга реактивного двигуна.
Тепер можна з’ясувати, як впливають ті або інші характери-
стики ракети на її кінцеву швидкість. Припустимо спочатку, що
сили тяжіння немає (силу тяжіння врахуємо в наступному пара-
графі). Припустимо також, що режим роботи реактивного дви-
гуна не змінюється: пальне витрачається рівномірно і сила тяги
буде сталою під час всієї роботи двигуна. Оскільки маса ракети
весь час зменшуватиметься внаслідок витрачання пального і кис-
ню, то прискорення ракети, згідно з другим законом Ньютона,
весь час збільшуватиметься (обернено пропорціонально зміні
маси). У балістичних ракетах кінцева маса (маса після виго-
ряння всього пального) в сотні разів менша за початкову («стар-
тову») масу ракети. Отже, прискорення зростає в міру витра-
чання пального також у сотні разів. Звідси випливає, що при-
ріст швидкості, якого набуває ракета при витрачанні тієї самої
кількості пального, значною мірою залежить від того, в який
момент це пальне витрачається: поки запас пального на борту
ракети великий і маса ракети велика, приріст швидкості малий;
коли пального залишилося мало і маса ракети значно зменши-
лась, приріст швидкості великий.
З цієї самої причини навіть значне збільшення запасу паль-
ного не може значно збільшити кінцеву швидкість ракети: адже
додаткова кількість пального витрачатиметься тоді, коли маса
ракети велика, а прискорення мале, а отже, буде малий і додат-
ковий приріст кінцевої швидкості.
Зате збільшення швидкості реактивної струмини дає змогу,
при незмінному запасі пального значно збільшити кінцеву швид-
кість ракети. Так, якщо, не змінюючи секундної витрати пально-
го, збільшити швидкість реактивної струмини, то в тому самому
§ 189]
ЗЛІТАННЯ РАКЕТИ З ЗЕМЛІ
345>
відношенні збільшиться і прискорення ракети. Внаслідок цього
кінцева швидкість ракети також зросте в тому самому відно-
шенні.
Для збільшення швидкості реактивної струмини соплу реак-
тивного двигуна надають спеціальної форми (рис. 338). Крім
того, вибирають пальне, яке дає якнайбільшу температуру зго-
ряння, бо швидкість реактивної струмини зростає при збільшен-
ні температури газу, який утворює струмину. Межею підвищен-
ня температури струмини є лише жаростійкість існуючих мате-
ріалів.
Подавання
пального
і кисню
Рис. 338. Сопло реактивного двигуна.
§ 189. Злітання ракети з Землі. При злітанні ракети з Зем-
лі на неї, крім знайденої в попередньому параграфі сили тяги,
діятиме ще й сила притягання Землі, напрямлена вертикально-
вниз. Отже, при вертикальному злітанні ракети результуюча сил,
які діють на неї, дорівнюватиме цу — Р, де Р—вага ракети.
Таким чином, притягання Землі зменшить прискорення ракети,
а отже, і її кінцеву швидкість. Оскільки в міру витрачання паль-
ного вага ракети зменшується, а сила тяги залишається сталою,
то дія земного притягання позначатиметься дедалі менше.
Очевидно, для можливості злітання стартова вага ракети
повинна бути менша за силу тяги її реактивного двигуна. У про-
тивному разі при запусканні двигуна ракета не підніметься вго-
ру, а стоятиме з працюючим двигуном на стенді доти, поки вага
її не зменшиться внаслідок згоряння пального до величини, мен-
шої за силу тяги; тільки тоді ракета почне підніматися.
§ 190. Опір повітря. Опір води. Ми вже знаємо (§ 68), що
під час руху твердого тіла в повітрі на тіло діє сила опору
повітря, напрямлена протилежно руху тіла. Така сама сила вини-
кає, якщо на нерухоме тіло набігає потік повітря; звичайно, вона
напрямлена за рухом потоку.
Сила опору виникає внаслідок, по-перше, тертя повітря об
поверхню тіла і, по-друге, зміни руху потоку, спричиненої тілом.
У повітряному потоці, зміненому наявністю тіла, тиск на перед-
ній стороні тіла зростає, а на задній — зменшується порівняно
-346
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
[РОЗД. IX
з тиском у незбуреному потоці. Отже, створюється різниця тис-
ків, яка гальмує рухоме тіло або захоплює тіло, занурене в потік.
Рух повітря позаду тіла матиме безладний вихровий характер.
Рис. 339. Тіла, зображені на рисунку, чинять однаковий опір руху
повітря.
Рис. 340. а) Позаду пластинки, розміщеної
в потоці, утворюються вихори; тиск Р2
значно менший від тиску б) «Обтічне
тіло» плавно обтіпається потоком; тиск Р2
лише на небагато менший від Р\.
Сила опору залежить від швидкості потоку, від розмірів і фор-
ми тіла. Рис. 339 ілюструє вплив форми тіла. Для всіх тіл, зобра-
жених на цьому рисунку, опір руху однаковий, хоч розміри тіл
і дуже різні. Пояснення
цьому дає рис. 340, який
показує обтікання плас-
тинки і тіла, яке «обтіпа-
ється» потоком повітря.
На рисунку зображено лі-
нії течії, які обмежують
струмини повітря. Ми ба-
чимо, що тіло, яке «обті-
пається», майже не пору-
шує правильності потоку;
тому тиск на задню части-
ну тіла лише трохи зниже-
ний порівняно з перед-
ньою частиною, і опір не-
великий. Навпаки, за
пластинкою утворюється
ціла область безладного
вихрового руху повітря,
де тиск значно спадає,
на виступаючих частинах
літака, саме й мають своїм призначенням усувати завихрення
потоку виступаючими частинами конструкції. Взагалі конструк-
тори прагнуть залишати на поверхні якомога меншу кількість
Різні обтікачі, які встановлюють
$ 590]
ОПІР ПОВІТРЯ. ОПІР води
347
виступаючих частин і нерівностей, які можуть створювати зави-
хрення (шасі, що прибираються, «зализані» форми).
Виявляється, що основну роль відіграє при цьому задня час-
тина рухомого тіла, бо зниження тиску поблизу неї більше, ніж
підвищення тиску в передній частині (якщо тільки швидкість
тіла не дуже велика). Тому особливо важливо надавати обтічної
форми саме задній частині тіла. Вплив опору повітря значною
Рис. 341. Навколо снаряда, який рухається з над-
звуковою швидкістю, виникають потужні звукові
хвилі.
мірою позначається і для наземних засобів пересування: із
збільшенням швидкості автомобілів на подолання опору повіт-
ря витрачається дедалі більша частина потужності двигуна.
Тому сучасним автомобілям також надають по можливості обтіч-
ної форми.
Під час руху з швидкістю, більшою за швидкість звуку, тобто
з «надзвуковою швидкістю» (кулі, снаряди, ракети, реактивні
літаки), опір повітря різко зростає, оскільки тіло, яке летить,
створює при цьому потужні звукові хвилі, що виносять енергію
рухомого тіла (рис. 341).
Для зменшення опору при надзвуковій швидкості треба заго-
стрювати попередню частину рухомого тіла, тоді як при менших
швидкостях найбільше значення має, як сказано вище, заго-
стрення його задньої частини («обтічність»).
Під час руху тіл у воді також виникають сили опору, напрям-
лені протилежно руху тіла. Якщо тіло рухається під водою
(наприклад, риба, підводні човни), то опір спричинюється тими
самими обставинами, що й опір повітря під час руху в повітрі:
тертям води об поверхню тіла і зміною потоку, який створює
додатковий опір. Риби (акула, меч-риба), які плавають дуже
348
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
[РОЗД IX
швидко, і китоподібні (дельфіни, касатки) мають «обтічну» фор-
му тіла, яка зменшує опір води під час їх руху. Обтічної форми
надають і підводним човнам.
Рис. 342. Від рухомого судна розходяться хвилі, які
виносять енергію.
Внаслідок великої густини води порівняно з густиною повіт-
ря опір руху певного
тіла
Рис. 343. «Бульбоподібний» ніс
швидкохідного судна.
у воді набагато більший за опір
у повітрі.
Для звичайних суден, які йдуть
на поверхні води, є ще додатковий
хвильовий опір: від рухомого судна
на поверхні води розбігаються хвилі
(рис. 342), на створення яких непро-
дуктивно витрачається частина ро-
боти суднової машини.
Є схожість між хвильовим опо-
ром, який зустрічає судно, і опором,
який виникає при швидкому польо-
ті снаряда внаслідок виникнення
звукових хвиль: в обох випадках
енергія рухомого тіла витрачається
на створення хвиль у середовищі.
Проте корабель створює хвилі при
будь-якій швидкості ходу, а звукові
хвилі виникають лише при надзву-
ковій швидкості снаряда. Ця від-
мінність пов’язана з тим, що кора-
бель створює хвилі на поверхні во-
лоділу між рідиною і повітрям; але
ди, приводячи в рух межу
у випадку польоту снаряда такої межі немає. Щоб зменшити
§ 191)
ЕФЕКТ МАГНУСА І ЦИРКУЛЯЦІЯ
349
хвильовий опір, який для швидкохідних суден може становити
понад 3/4 повного опору, корпусу судна надають спеціальної фор-
ми. Ніс судна в підводній частині іноді роблять «бульбоподібної»
форми (рис. 343); при цьому утворення хвиль на поверхні води
зменшується, а отже, зменшується
й опір.
Рис. 344. До вправи 190.1.
Вправи. 190.1. Якщо подути на сірникову коробку, тримаючи за нею
запалену цигарку, то струмина диму відхиляється до коробки (рис. 344).
Поясніть явище.
190.2. На спицю надіто легкий кружок, який вільно ковзає вздовж неї.
Якщо подути на кружок зліва, він ковзатиме по спиці вправо (рис. 345, а).
Але коли подути на кружок зліва, надівши спочатку на спицю екран перед
кружком, то кружок ковзатиме вліво і притиснеться до екрана (рис. 345, б)
Поясніть явище.
§ 191. Ефект Магнуса і циркуляція. У попередньому пара-
графі ми розглянули силу, яка виникає при обтіканні тіла пото-
ком,— силу опору повітря,— напрямлену за швидкістю потоку.
Але так буває лише тоді, коли тіло, яке обтікається, цілком
симетричне відносно потоку. А якщо тіло не симетричне за фор-
мою або не симетрично розміщене відносно потоку, то сила, яка
діє на тіло, напрямлена під кутом до потоку.
Така, наприклад, сила, яка діє на крило літака, що летить
у горизонтальному напрямі, з боку зустрічного потоку повітря.
На рис. 346 подано розріз («профіль») крила і силу яка діє
на нього. Сила / напрямлена під значним кутом до горизонту.
Цю силу можна розкласти на дві складові: вертикальну Ц і гори-
зонтальну /г- Вертикальну складову (перпендикулярну до пото-
350
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
[РОЗД. IX
ку), називають підіймальною силою. Саме завдяки виникненню
підіймальної сили при обтіканні тіл виявилося можливим ство-
рювати літальні апарати, важчі за повітря: підіймальна сила
г підтримує літак у повітрі. Горизонталь-
'Г"1 ну складову напрямлену за потоком,
Л називають лобовим опором. Виникнен-
11 ня лобового опору ми вже розглянули.
І । Тепер ми повинні пояснити, як саме
І * 1 виникає підіймальна сила, напрямлена
І । перпендикулярно до потоку.
Для Цього ми спочатку розглянемо
г обтікання обертового циліндра рівно-
мірним потоком повітря (рис. 347).
Рис. 346. Розкладання си- У ЦЬ0МУ ВИП.аДКУ РУХ П0ВІТРЯ П0РІВНЯ*
ли /, яка діє на крило літа- но простий 1 напрям СИЛ легко визна-
на, на підіймальну силу [і ЧИТИ.
і лобовий опір (2- Під час свого обертання циліндр
захоплює прилеглі шари повітря; вна-
слідок цього навколишнє повітря, крім поступального руху,
дістає ще й обертання навколо циліндра. У тих місцях, де швид-
кості поступального і обертального рухів додаються, результую-
ча швидкість повітря перевищує швидкість потоку, «який набігає
на циліндр; з протилежного боку циліндра швидкості відні-
маються і результуюча швидкість менша, ніж швидкість потоку
на відстані від циліндра. Рис. 348 зображає утворений розпо-
діл ліній течії. Там, де швидкість більша, лінії течії розміщені
густіше.
Рис. 347. При обертанні циліндра
швидкість захоплюваного повітря
з одного боку додається до швид-
кості потоку (верхня частина ри-
сунка), а з другого — віднімаєть-
ся (нижня частина рисунка).
Рис. 348. Лінії течії проведені гу-
стіше з того боку обертового ци-
ліндра, де швидкість потоку біль-
ша; тиск з цієї сторони менший.
Але з закону Бернуллі ми знаємо, що в тих місцях, де швид-
кість більша, тиск знижений, і навпаки. Отже, з двох боків на
циліндр діють неоднакові сили; їх результуюча, напрямлена
перпендикулярно до потоку, і є підіймальною силою.
$ 192]
ПІДІЙМАЛЬНА СИЛА КРИЛА І ПОЛІТ ЛІТАКА
35С
Підіймальна сила, перпендикулярна до потоку, виникає при
обертанні не тільки циліндра, а й будь-якого іншого тіла. Виник-
нення сили, перпендикулярної до потоку, при обтіканні оберто-
вого тіла називається ефектом Магнуса. Ефект Магнуса вперше
був виявлений при вивченні польоту обертових артилерійських
снарядів: підіймальна сила, яка діє з боку зустрічного потоку
повітря, відхиляє снаряд від лінії прицілу; це відхилення треба
враховувати при точній стрільбі. У меншому масштабі ефект
Магнуса можна спостерігати на рухомому футбольному або»
тенісному м’ячі, який відхиляється
вбік, якщо при ударі він набув обер-
тання.
Ефект Магнуса можна легко вияви-
ти за допомогою досліду, зображеного
на рис. 349. Легкий паперовий циліндр,
скочуючись з похилої дошки, відхи-
ляється при падінні від звичайної тра-
єкторії (пунктир) і рухається по круті-
шій лінії (суцільна лінія). Зустрічний
потік повітря напрямлений відносно
циліндра вгору, а циліндр обертається
за стрілкою годинника; тому підій-
мальна сила Е, що виникає, напрямле-
на справа наліво.
Рис. 349. Ефект Магнуса
на падаючому обертово-
му циліндрі.
Ми бачимо, що виникнення підіймальної сили пов’язане-
з наявністю колового руху потоку повітря навколо тіла, яке обті-
пається; цей коловий рух, накладаючись на загальний потікг
створює різницю в швидкостях потоку з двох боків тіла, внаслі-
док чого і створюється різниця тисків, яка зумовлює підіймаль-
ну силу. Коловий рух потоку навколо тіла називається циркуля-
цією. В ефекті Магнуса циркуляція, а отже, і підіймальна сила
виникають внаслідок обертання циліндра. В інших випадках
циркуляція може бути спричинена не обертанням тіла, а інши-
ми причинами. Для виникнення підіймальної сили важливо лише,,
щоб потік, який обтікає тіло, мав циркуляцію. Тоді розподіл
швидкостей завжди буде такий, що утворювана різниця тисків-
створить силу, напрямлену перпендикулярно до потоку.
§ 192. Підіймальна сила крила і політ літака. Розглянемо
тепер обтікання крила літака потоком повітря. Дослід показує,
що. коли крило поміщено в потік повітря, поблизу гострого зад-
нього кінця крила виникають вихори, які обертаються у випад-
ку, зображеному на рис. 350, проти руху стрілки годинника. Ці
вихори зростають, відриваються від крила і виносяться потоком..
Решта маси повітря поблизу крила набуває при цьому проти*
352
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
(РОЗД. IX
лежного обертання (за стрілкою годинника), утворюючи цирку-
ляцію навколо крила (рис. 351). Накладаючись на загальний
лотік, циркуляція зумовлює розподіл ліній течії, зображений на
рис. 352.
Рис. 351. При утворенні ви-
хору виникає циркуляція
повітря навколо крила.
Рис. 350. Біля гострого краю профі-
лю утворюється вихор.
Ми дістали для профілю таку саму картину обтікання, як
і для обертового циліндра. І тут на загальний потік повітря
накладено обертання навколо крила — циркуляція. Тільки, на
відміну від обертового циліндра, тут циркуляція виникає не
внаслідок обертання тіла, а завдяки виникненню вихорів поблизу
гострого краю профіля крила. Циркуляція прискорює рух повіт-
ря над крилом і сповільнює його під крилом. Внаслідок цього
вад крилом тиск зменшується, а під крилом збільшується. Рів-
нодійна* / всіх сил, які діють
_ ________ 3 боку потоку на крило
_(включаючи сили тертя), на-
; прямлена вгору і трохи від-
- хилена назад (див. рис. 346).
Г ~~ І її складові перпендикулярні
до потоку і в напрямі потоку
Рис. 352. Вихор винесений потоком, а ЯВЛЯЮТЬ собою^ підіймальну
лінії течії плавно обтікають профіль: во- силу /і І лобовий опір /г- Чим
НИ згущені над крилом і розріджені під більша швидкість набігаю-
крилом* чого потоку, тим більші
підіймальна сила і лобовий
•опір. Ці сили залежать, крім того, і від форми профілю крила,
і від кута, під яким потік набігає на крило (кут атаки), а також
від густини набігаючого потоку: чим більша густина, тим більші
і ці сили. Профіль крила вибирають так, щоб воно давало якомо-
га більшу підіймальну силу при якомога меншому лобовому опо-
рі. Теорію виникнення підіймальної сили крила при обтіканні
потоком повітря розробив основоположник теорії авіації, заснов-
ник російської школи аеро- і гідродинаміки Микола Єгорович
Жуковський (1847—1921).
Тепер ми можемо пояснити, як літає літак. Повітряний гвинт
літака, який обертається двигуном, або реакція струмини реак-
тивного двигуна надає літаку такої швидкості, що підіймальна
§ 192]
ПІДІЙМАЛЬНА СИЛА КРИЛА ЛІТАКА
353
сила крила досягає ваги літака і навіть перевищує п. Тоді літак
злітає. При рівномірному прямолінійному польоті сума всіх сил,
які діють на літак, дорівнює
з першим законом Ньютона. Так,
наприклад, на рис. 353 зображе-
но сили, які діють на літак при
горизонтальному польоті з сталою
швидкістю. При цьому сила тяги
пропелера / дорівнює і протилеж-
на силі лобового опору повітря Р2
для всього літака, а сила ваги Р
дорівнює і протилежна підіймаль-
ній силі Гі.
Літаки, розраховані на політ
з різною швидкістю, мають різні
розміри крил. Транспортні літа-
ки, які літають повільно, повинні
мати велику площу крил, бо при
малій швидкості підіймальна си-
, як і повинно бути згідно
Рис. 353. Сили, які діють на літак
при горизонтальному рівномірно-
му польоті.
ла, яка припадає на одиницю
площі крила, невелика. Швидкісні літаки набувають достатньої
підіймальної сили і від крил малої площі.
Через те що підіймальна сила крила зменшується при змен-
шенні густини повітря, то для польоту на значній висоті літак
повинен рухатися з більшою швидкістю, ніж поблизу землі.
Рис. 354. Судно на підводних крилах.
Підіймальна сила виникає й тоді, коли крило рухається
У воді. Це дає змогу побудувати судна, які рухаються на «під-
водних крилах». Корпус таких суден під час руху виходить
з води (рис. 354). Це зменшує опір води руху судна і дає змогу
досягти більшої швидкості ходу. Оскільки густина води в багато
23 7.юз
354
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
(РОЗД. IX
разів більша за густину повітря, то можна створити достатню
підіймальну силу «підводного крила» при порівняно малій його
площі і помірній швидкості.
Призначення гвинта літака — надавати літаку великої швид-
кості, при якій крило створює підіймальну силу, що зрівнова-
жує вагу літака. Для цього гвинт літака закріплюють на гори-
зонтальній осі. Є інший тип літальних апаратів важчих за повіт-
ря, для якого крила не потрібні. Це — вертольоти (рис. 355).
У вертольотах вісь повітряного гвинта розміщена вертикально
X

Рис. 355. Схема вертольота.
і гвинт створює тягу, на-
прямлену вгору, яка й
зрівноважує вагу верто-
льота, замінюючи підій-
мальну силу крила. Гвинт
вертольота створює верти-
кальну тягу незалежно
від того, чи рухається
вертольот, чи ні. Тому під
час роботи^ повітряних
гвинтів вертоліт може не-
рухомо висіти в повітрі
або підніматися по вертикалі. Для горизонтального переміщення
вертольота треба створити тягу, напрямлену горизонтально. Для
цього не треба встановлювати спеціальний гвинт з горизонталь-
ною віссю, а досить лише трохи змінити нахил лопатей верти-
кального гвинта, що здійснюють за допомогою спеціального
механізму у втулці гвинта Ч
Відома іграшка у вигляді маленького повітряного гвинта,
насадженого на котушку, яку приводять у швидке обертання
навколо осі за допомогою обмотаної навколо неї нитки, може
бути моделлю вертольота. Під час обертання котушки гвинт
зазнає тяги, напрямленої вгору, і, зриваючись з котушки, злітає
високо в повітря.
§ 193. Турбулентність у потоці рідини або газу. Дивлячись
з великої відстані на дим, що виходить з фабричного димаря
і виноситься вітром, ми бачимо суцільну струмину, яка рівномір-
но виходить з отвору димаря і витягується в напрямі вітру. Дим
робить видимим рух повітря, і здалеку, коли дрібномасштабних
рухів не видно, створюється враження, що він відбувається плав-
1 Невеликий гвинт з. горизонтальною віссю, що працює під час польоту
вертольота, призначений лише для того, щоб корпус вертольота не почав
обертатися в бік, протилежний обертанню гвинта з вертикальною віссю.
§ 193]
ТУРБУЛЕНТНІСТЬ У ПОТОЦІ РІДИНИ АБО ГАЗУ
355
но, у вигляді окремих струмин. Однією з таких струмин і є димо-
ва смуга.
Тепер наблизимось до труби і придивимось уважніше до
деталей руху повітря в димовій струмині. Ми побачимо безлад-
ні клуби диму, які перемішуються між собою; ця маса, що клу-
бочиться і виноситься у вигляді струмини загальним потоком
вітру. Здалеку було видно лише цей загальний рух; поблизу
виявляється, що окремі дільниці струмини виконують, крім ньо-
го, ще й безладні рухи то в один, то в інший бік, то пе'реганяю-
Рис. 356. Турбулентний рух води.
чи струмину, то відстаючи від неї. Це явище — наявність у пото-
ці безладних рухів частинок середовища — називають турбулент-
ністю потоку.
Внаслідок турбулентності потік перемішується. Наприклад,
у димовій струмині безладні рухи повітря переносять частинки
диму в усі боки; струмина розширюється і на великій відстані
від труби розмивається в усі боки. Цей результат турбулентно-
сті видно і на значній відстані.
Турбулентність — дуже поширене явище. Під час вітру рух
повітря завжди турбулентний. При русі тіла в повітрі позад
нього утворюється турбулентний слід; це явище особливо ви-
разне для тіл, які погано обтікаються зустрічним потоком;
з цим пов’язане і велике значення сили опору для таких тіл
(§ 190). Турбулентні і течія води в річці, і рух води у водопровід-
них трубах і т. д. Турбулентності в потоці рідини або газу
може не бути тільки при певних умовах (див. наступний пара-
граф).
Щоб безпосередньо спостерігати турбулентність, треба зро-
бити видимим рух потоку води або повітря. У повітрі це легко
зробити за допомогою диму. У воді зручно застосувати забарв-
лення струминок якою-небудь рідкою фарбою або чорнилом.
Якщо, наприклад, пропускати швидкий потік води по скляній
трубці і ввести в трубку тонку трубочку, через яку подавати
струминку чорнила, то розпливання струминки свідчитиме про
турбулентність (рис. 356).
23*
356
ГІДРОДИНАМІКА І АЕРОДИНАМІКА
(РОЗД. IX
§ 194. Ламінарна течія. Зменшуватимемо швидкість потоку
води в досліді, описаному наприкінці попереднього параграфа.
Ми побачимо, що, починаючи з деякої швидкості, чорнильна
струминка перестане розпливатись і витягнеться вздовж скля-
ної трубки (рис. 357). Отже, при малій швидкості течії турбу-
лентність потоку зникає, і рух буде струминним, або, як кажуть,

Рис. 357. Ламінарний рух води.
ламінарним. Якщо знову збільшити швидкість потоку, то течія
знову стане турбулентною. Досліди показують, що у вузьких
трубках турбулентність припиняється при більшій швидкості,
ніж у широких. У капілярах рух рідини або газу завжди ламі-
нарний. Дослід показав, далі, що у в’язких рідинах (мастило,
гліцерин) течія в трубці може бути ламінарною при значно біль-
ших швидкостях, ніж у текучих рідинах (вода, спирт). Цікаво
зазначити, що при нормальному кровообігу кров протікає в арте-
ріях без турбулентності.
ЧАСТИНА ДРУГА
ТЕПЛОТА. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА
РОЗДІЛ X
ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТВЕРДИХ І РІДКИХ ТІЛ
§ 195. Теплове розширення твердих і рідких тіл. З простих
дослідів і спостережень ми впевнюємося, що при підвищенні
температури розміри тіл трохи збільшуються, а при охолоджен-
Рйс. 358. При нагріванні електричним струмом
дротина АВ видовжується і провисає. Після вимк-
нення (\труму вона знову набирає попереднього
положення.
ні—зменшуються до попередньої величини. Так, наприклад,
дуже розігрітий болт, не входить у різьбу, в яку він вільно вхо-
дить холодним. Коли болт охолодиться, він знову входить у
різьбу. Телеграфні проводи в спеку провисають помітно більше,
ніж під час зимових морозів. Збільшення провисання, а отже,
і довжини натягнутих дротин при нагріванні легко відтворити
на досліді, зображеному на рис. 358. Розжарюючи горизонтально
358
ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТІЛ
[РОЗД. X
натягнуту дротину електричним струмом, а потім припиняю-
чи розжарення, ми побачимо, як дротина помітно провисає,
а потім знову піднімається.
При нагріванні збільшуються не тільки довжина тіла, а й інші
лінійні розміри. Зміна лінійних розмірів тіла називається тепло-
вим лінійним розширенням.
Рис. 359. Скляна трубка СС при нагріванні її знизу по-
мітно вигинається вгору.
Якщо однорідне тіло (наприклад, скляна трубка) нагріває-
ться однаково в усіх своїх частинах, то воно, розширюючись,
зберігає свою форму. Інакша справа при нерівномірному нагрі-
ванні. Розглянемо такий дослід. Скляна трубка розміщена гори-
зонтально і один її кінець закріплений. Якщо трубку нагрівати
знизу, як показано на рис. 359, то верхня її частина буде вна-
слідок поганої теплопровідності скла холоднішою; при цьому
трубка згинається вгору. Легко зрозуміти, що нижня половина
зігнутої трубки стиснута, бо вона не може розширюватись тією
мірою, якою розширювалася б, якби не була скріплена з верх-
ньою половиною. Навпаки, верхня половина розтягнута. Отже,
при нерівномірному нагріванні тіл у них виникають напруги.
які можуть призвести до їх руйнування, якщо напруги будуть
дуже великі. Так, скляна посудина в перший момент, коли в неї
налито гарячу воду, перебуває в напруженому стані і іноді
лопає. Це зумовлюється тим, що спочатку прогріваються і роз-
ширюються внутрішні частини і розтягують при цьому зовнішню
поверхню посудини. Такої напруги при нагріванні можна уник-
нути, якщо взяти посудину з такими тонкими стінками, які швид-
ко прогріваються по всій товщині (хімічний посуд).
З такої самої причини лопає звичайний скляний посуд, якщо
гріти в ньому рідину на вогні або на електричній плитці. Проте
є спеціальні сорти скла (так зване кварцове скло, що містить
до 96% кварцу, 8іОг), які розширюються при нагріванні так
мало, що напруги при нерівномірному нагріванні посудини,
§ 195]
ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТВЕРДИХ І РІДКИХ ТІЛ
359
виготовленої з такого скла, не є небезпечними. У каструлі з квар
цового скла можна кип’ятити воду.
Лінійне розширення різних матеріалів при тому самому під
вищенні температури різне. Це видно, наприклад, з такого дослі
ду: дві різнорідні пластинки (на-
приклад, залізну і мідну) скле-
пують між собою в кількох місцях
(рис. 360). Якщо при кімнатній
температурі пластинки прямі, то
при нагріванні вони викривляють-
ся, як зображено на рис. 360 вни-
зу. Це показує, що мідь розшири-
лась більше, ніж залізо. З цього
Мідь
Залізо
Мідь
досліду випливає також, що при
змінах температури тіла, яке Рис- ^60. Вгорі: пластинка, скле-
скляпяртьгя я кілкклу піянпу ппя- пана 3 МІДНОЇ і залізної штабок
складається з кількох різних роз- ХОЛОДНОму стані. Внизу: та са-
ширюваних частин,у ньому також „а пласТинка в нагрітому стані
виникають внутрішні напруги, (для наочності згин показано
У досліді, зображеному на рис. збільшеним).
360, мідна пластинка є стисну-
тою, а залізна — розтягнутою. Через неоднакове розширення
заліза і емалі виникають напруги в емальованій залізній посу-
дині; при значному нагріванні емаль іноді відскакує.
Напруги, які виникають у твердих тілах внаслідок теплового
розширення, можуть бути значними. Це треба брати до уваги
в багатьох галузях техніки. Бували випадки, коли склепані вдень
частини залізних мостів, охолоджуючись
вночі, руйнувалися, зриваючи численні за-
\к клепки. Щоб уцикнути таких явищ, вжива-
II 8 ють зах°ДІв Д° того, щоб частини споруд
і при зміні температури розширювались або
“ * стискались вільно. Наприклад, залізні паро-
п ос. „ проводи завжди мають пружинячі згини у
на паропроводі дає вигляді петель (компенсатори, рис. 361).
змогу трубам А і В Збільшення лінійних розмірів супрово-
розширюватись. диться збільшенням об’єму тіл (об'ємне роз-
ширення тіл).
Про лінійне розширення рідин говорити не можна, бо рідина
не має певної форми. Але об’ємне розширення рідин неважко
спосперігати. Наповнимо колбу підфарбованою водою або іншою
рідиною і заткуемо її корком із скляною трубкою так, щоб ріди-
на ввійшла в трубку (рис. 362,а). Якщо до колби піднести зни-
зу посудину з гарячою водою, то в перший момент рідина в труб-
ці опуститься, а потім почне підніматися (рис. 362, б і в).
Зменшення рівня рідини в перший момент свідчить про те,
360
ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТІЛ
[РОЗД. X
що спочатку розширюється посудина, а рідина ще не встигла
прогрітися. Потім прогрівається й рідина. Підвищення її рівня
показує, що рідина розширюється більше, ніж скло.
Різні рідини розширюються при нагріванні по-різному: на-
а
Рис. 363. Схема будови водяного
опалення в будинку. На горищі
розміщений розширювальний бак
о, з якого вода стікає по трубці
Тр.
Рис. 362. а) До колби А знизу підно-
сять посудину В з гарячою водою;
б) у перший момент занурення колби
рідина в трубці С опускається; в) рі-
вень у Трубці через деякий час уста-
новлюється вище, ніж до нагрівання
колби.
Якщо рідину нагрівають у закритій посудині, яка перешкод-
жає її розширенню, то в ній, як і в твердих тілах, виникають
величезні напруги (сили тиску), які діють на стінки посудини
і можуть їх зруйнувати. Тому системи труб водяного опалення
завжди мають розширювальний бак, який приєднаний до верх-
ньої частини системи і сполучається з атмосферою (рис. 363).
При нагріванні води в системі труб невелика частина води пере-
ходить у розширювальний бак, і цим виключається напружений
стан води і труб.
Вправи. 195. 1. Як змінюється діаметр отвору в чавунній плиті кухон-
ної печі, коли піч нагрівається?
195. 2. Коли балалайку виносять з теплого приміщення на мороз, її сталь-
ні струни натягуються. Який висновок можна вивести звідси про різницю
в розширенні сталі і дерева?
§ 196]
ТЕРМОМЕТРИ
361?
К

195.3. У роялях стальні струни натягнуті на залізну раму. Чи змінюєть-
ся натяг струн при такій повільній зміні температури, що рама встигає набу-
ти тієї самої температури, що й струни (залізо розширюється майже такою-
самою мірою, як і сталь)?
195.4. Для впаювання електродів в електричну лампу застосовують
сплав «платинід», який розширюється при нагріванні так само, як і скло».
Що може статися, коли в скло
впаяти мідну дротинку (мідь Нртлення
розширюється помітно більше,
ніж скло)?
195. 5. Як змінився б до-
слід, зображений на рис. 362,
якби колба була зроблена з
кварцового скла?
195.6. У техніці часто ко-
ристуються тонкими пластинка-
ми, які складаються з двох
тонких пластинок різних мета-
лів, приварених одна до одної
по всій поверхні стикання. На
рис. 364 зображено спрощену
схему термореле — приладу,
який автоматично вимикає на
невеликий час електричний струм, якщо він з якихось причин перевищить-
допустиму величину. АВ — біметалева пластинка — невеликий нагрівальний*
елемент, який при допустимій силі струму нагрівається дуже слабко для робо-
ти реле, К — контакт. Розгляньте дію термореле. З якого боку пластинки АВ'
повинен бути метал, що розширюється більшою мірою?
До приладів
Рис. 364. Спрощена схема термореле.
§ 196. Термометри. Розширення тіл при нагріванні використо-
вують для побудови приладів, призначених для визначення тем-
ператури тіл,— термометрів.
Грубим термометром може бути, наприклад, подвійна плас-
тинка, зображена на рис. 360, або колба з трубкою,
Звичайний рідинний термометр складається з невеликого
скляного резервуара, до якого приєднано скляну трубку з вузь-
ким внутрішнім каналом (рис. 365). Резервуар і частина трубки
наповнені якою-небудь рідиною (ртуттю, спиртом, толуолом
і т. д.). Про температуру середовища, в яке занурено термометр,
судять з положення верхнього рівня рідини в трубці. Поділки
на шкалу умовились наносити так. У тому місці шкали, де вста-
новлюється рівень стовпчика рідини, коли резервуар термометра
опущено в танучий сніг, ставлять цифру 0. У тому місці шкали,
де встановлюється стовпчик рідини, коли резервуар термометра
занурено в пару води, що кипить при нормальному тиску
((760 мм рт. ст.), ставлять число 100. Проміжок між цими познач-
ками поділяють на сто однакових частин, які називають гра-
дусами. Градуси позначають °С (наприклад, 18° С). Нижче точ-
ки нуля і вище точки 100° С наносять поділки такої самої вели-
чини. Буква С є першою буквою прізвища вченого Цельсія, який
362
ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТІЛ
(РОЗД. X
Рис. 365.
Рідинний
термометр
лабора-
торного
типу.
ВИЙНЯВШИ
на -- показ його зміниться.
запропонував такий спосіб поділу шкали (термометр Цельсія,
або стоградусний). Крім шкали Цельсія, в Англії і Америці досі
користуються шкалою Фаренгейта (°Р), в якій темпе-
ратурі танення льоду відповідає 32° Р, а температурі
кипіння води 212° Р.
Звичайно, описаним термометром можна користу-
ватися лише при таких температурах, при яких речо-
вина, якою його наповнено,— рідка. Наприклад, ртут-
ним термометром не можна вимірювати температури
нижче —39° С, бо при нижчій температурі ртуть
твердне.
Подане вище означення градуса є певною мірою
довільним. Піднімання рівня рідини в трубці термо-
метра залежить від властивостей рідини і від сорту
скла, з якого виготовлено термометр. Очевидно, ми
не можемо сподіватися, щоб точно збігалися між со-
бою покази двох, навіть старанно виготовлених, тер-
мометрів з поділками, поставленими поданим вище
способом, якщо ці термометри зроблено з різних мате-
ріалів. '
Справді, якщо ми, наприклад, для ртутного тер-
мометра поділили відстань між позначками 0° С
і 100° С на сто рівних частин, то звідси ще зовсім не
випливає, що й для будь-якої іншої речовини поділки
повинні бути однаковими за довжиною. Тому треба
вибрати термометр якої-небудь певної будови і з ним
порівнювати всі інші. За такий термометр вибрали
газовий термометр, тобто термометр, у якому відлічу-
ється зміна тиску газу З підвищенням температури.
Будову газового термометра ми розглянемо в § 235.
Покази старанно виготовленого ртутного термометра
відрізняються від показів газового термометра дуже
мало.
Рідинні термометри будуть різних розмірів і форм,
виходячи з призначення. Ціна поділки на їх шкалі та-
кож буває різною: 1°, 0,1°, іноді навіть 0,01°.
Зрозуміло, що термометр показує температуру
лише тієї частини рідини, з якою він стикається. Тому,
якщо ми хочемо знати температуру рідини, яка займає
значний об’єм, то цю рідину треба старанно перемі-
шати, щоб забезпечити однаковість температури по
всьому її об’єму.
Відлічувати показ термометра звичайного типу,
його з рідини, температуру якої вимірюють, не мож-
$ 197]
ФОРМУЛА ЛІНІЙНОГО РОЗШИРЕННЯ
363
входить у трубку термометра
Рис. 367. Ре-
зервуар медич-
ного термомет-
ра, наповнений
ртуттю, при
кімнатній тем-
пературі; скля-
ний волосок
удержує в
трубці стовп-
чик ртугі, не
пропускаючи її
в резервуар.
Рис. 366. Схема
будови резер-
вуара медично-
го термометра
(без ртуті);
видно скляний
волосок, кінчик
якого входить
у трубку тер-
мометра.
Іноді виготовляють термометри, що показують максимальну або мінімаль-
ну температуру, якої набував термометр. До таких максимальних термомет-
рів належить дуже поширений медичний термометр. У резервуар термометра
впаяно тонку скляну волосину, яка трохи
і звужує її канал (рис. 366). Проходження
ртуті з трубки назад у резервуар через
вузький канал потребує значного тиску, як
ми дізнаємось далі, вивчаючи властивості
рідин. Тому при охолодженні термометра
ртутний стоврчик, розриваючись у місці
звуження, залишається в трубочці (рис.
367) і показує, отже, найвищу температуру,
яку термометр мав під рукою хворого. Щоб
повернути ртуть у резервуар, термометр тре-
ба струсити.
Вправи. 196. 1. Розгляньте за допомо-
гою потужної лупи будову медичного тер-
мометра. Якщо термометр використовували
для вимірювання температури людини і не
струснули його, то в лупу видно тонку
скляну волосину, яка входить у трубку.
196. 2. Нормальна температура тіла лю-
дини — близько 37° С. Яка температура лю-
дини за шкалою Фаренгейта?
196.3. Чому руйнується медичний тер-
мометр, якщо його резервуар нагріти до
температури понад 43° С? Як треба побу-
дувати термометр, щоб він не руйнувався,
якщо його нагріти значно більше?
§ 197. Формула лінійного розширення. Вимірювання показу-
ють, що те саме тіло розширюється при різних температурах
по-різному: при високих температурах теплове розширення зви-
чайно більше, ніж при низьких. Проте різниця в розширенні
невелика, і при відносно невеликих змінах температури ми може-
мо нею знехтувати і вважати, що зміна розмірів тіла пропорціо-
нальна зміні температури.
Позначимо довжину тіла при початковій (наприклад,, кімнат-
ній) температурі і буквою /, а довжину того самого тіла при
температурі і' — буквою І'. Видовження тіла при нагріванні на
(ґ — і)° дорівнює І' — І. Видовження того самого тіла при нагрі-
ванні на Г С буде при наших припущеннях у і' — і раз менше,
тобто дорівнюватиме 77777. Це — загальне видовження всього
тіла; воно тим більше, чим довше тіло.
Щоб мати характеристику теплового розширення матеріалу,
з якого зроблено тіло, треба взяти відносне видовження, тобто
відношення спостереженого видовження до довжини нашого
тіла при певних «нормальних» умовах. «Нормальною» довжиною
вважають довжину тіла при 0°С, яку позначають буквою /о.
Отже, величина, яка характеризує теплове розширення матеріалу,
364
ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТІЛ
[РОЗД. X
є « —7? • Вона називається коефіцієнтом лінійного розиги-
‘ог Ч
рення і показує, на яку частку своєї нормальної довжини збільшу-
ється довжина тіла при нагріванні на 1°С. Оскільки теплове
розширення більшості тіл дуже незначне, то довжина /о при
0° С дуже мало відрізняється від довжини І при іншій темпе-
ратурі, наприклад кімнатній. Тому у виразі коефіцієнта лінійного
розширення /о можна замінити на /, гак що
(197.1)
Щоб визначити коефіцієнт а, треба виміряти довжину І
стержня з випробовуваного матеріалу, підтримуючи по всьому
його об’ємі однакову температуру і. Потім треба з тією самою
відносною точністю виміряти видовження ? — //спричинене змі-
ною температури від і до і'. Щоб збільшити точність вимірюван-
ня видовження І' — І, яке звичайно буває дуже малим, доводить-
ся вдаватися до різних способів (наприклад, до вимірювання
за допомогою мікроскопа переміщення кінця стержня, другий
кінець якого закріплений)
У табл. З подано значення коефіцієнтів лінійного розширення
деяких матеріалів.
Таблиця З
Коефіцієнти лінійного розширення деяких матеріалів
Матеріали
а
град""1
Алюміній..................................................
Вольфрам....................... ............................
Дерево вздовж волокон................................і .
» поперек > .....................................
Залізо . . ......... .....................
Інвар (сплав заліза і нікелю).........
Латунь........................\...........
Мідь ..............................
Свинець ..............................
Скло звичайне (приблизно)............. .....................
> кварцове ...................................
Суперінвар (сплав заліза і нікелю з добавкою хрому)
Цинк . . .......................................
Фарфор (приблизно) .........................................
24-10“в
4-Ю-6
6-ю-6
30-10-6
12-10“6
0,9-10“ 6
18-10“6
17-10-6
29-10“6
10-10“6
0,7 Ю“6
0,03-10“б
30- 0“б
З-10“6
Звернемо увагу на дуже малу величину коефіцієнтів розши-
рення інвару, суперінвару і кварцового скла. Інвар застосовують
у точних приладах (наприклад, для маятників точних годинни-
$ 197]
ФОРМУЛА ЛІНІЙНОГО РОЗШИРЕННЯ
365
ків), покази яких не повинні залежати від температури. З інва-
ру виготовляють еталони довжини, які застосовують при особ-
ливо точних вимірюваннях, наприклад геодезичних. Кварцовий
посуд не лопає при дуже різких змінах температури (напри-
клад, залишається цілим, якщо розжарену до червоного посуди-
ну опустити у воду). Причина цього в малому коефіцієнті роз-
ширення кварцу, внаслідок чого виникають дуже малі напруги,
навіть тоді, коли сусідні частини значно відрізняються за темпе-
ратурою.
Знаючи коефіцієнт лінійного розширення, ми можемо визна-
чити довжину тіла при будь-якій температурі в межах не дуже
великого температурного інтервалу.
Перетворимо формулу (197. 1):
V — 1 = Іа(Є — і) або Г = І [1 + а (/' — /)].
Позначивши для скорочення приріст температури і' — і однією
буквою т, напишемо:
/' = /(1 + ат). (197.2)
Ми вивели формулу лінійного розширення. Вираз, який сто-
їть у дужках, називається біномом (або двочленом) розширен-
ня, Біном розширення показує, у скільки разів збільшилась дов-
жина тіла при нагріванні його на т градусів.
Формулою (197.2) можна користуватись і Для випадку,
коли треба знайти довжину тіла після його охолодження. При
цьому приріст температури т треба вважати від’ємним (нова
температура і' менша за вихідну температуру і). Зрозуміло, що
в цьому разі біном буде менший від одиниці; це відповідає змен-
шенню довжини тіла при охолодженні.
Ми обмежились розглядом невеликих змін температури, при
яких коефіцієнт розширення можна вважати сталим. При знач-
ених змінах температури цього вже не буде. Наприклад, коефі-
цієнт розширення заліза при температурах, близьких до — 200° С,
дорівнює 0,000003 град~х\ при температурах, близьких до 0° С,
він дорівнює 0,000012 град~х\ при температурах, близьких до
600° С, він дорівнює 0,000016 град~х, Тому формулою (197.2)
слід користуватися лише для невеликих змін температур, надаю-
чи а різних значень залежно від температурного інтервалу.
Вправи. 197.1. При 0°С довжини залізного і цинкового стержнів
повинні бути однакові, а при 100° С повинні відрізнитися на 1 мм. Які
довжини стержнів при 0° С задовольняють цю умову?
197.2. Внутрішній діаметр порожнистого мідного циліндра при 20°С
дорівнює 100 мм. У якому інтервалі температура відхилення від цієї вели-
чини не перевищує 50 мк?
197.3. За допомогою вимірювального інструмента, виготовленого з залі-
за (штангенциркуль) і призначеного для роботи при 20° С, виміряли довжину
деякого предмета при —20” С. Відлік дав 19,97 см. Яка довжина вимірюва-
ного тіла?
366
ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТІЛ
[РОЗД. X
§ 198. Формула об’ємного розширення. Аналогічно до коефі-
цієнта лінійного розширення можна ввести коефіцієнт об'ємного
розширення матеріалу, який характеризує зміну об’єму при зміні
температури. Дослід показує, що, як і у випадку лінійного роз-
ширення, можна без помітної похибки вважати, що приріст об'є-
му тіла пропорціональний приросту температури в межах не
дуже великого температурного інтервалу.
Позначивши об’єм тіла при початковій температурі і через К
об’єм при кінцевій температурі V через Vх, об’єм при 0° С («нор-
мальний» об’єм) через Уо і коефіцієнт об’ємного розширення
через Р («бета» — грецька буква), знайдемо:
_ V9 — V
Оскільки для твердих і рідких тіл теплове розширення незнач-
не, то об’єм Уо при 0° С дуже мало відрізняється від об’єму при
іншій температурі, наприклад кімнатній. Тому у виразі коефі-
цієнта об’ємного розширення можна замінити Уо на V, що прак-
тично зручніше. Отже,
і/'_______________________________і/
Р = о» »
Зазначимо, що теплове розширення газів таке значне, що
заміна Уо на V тягне за собою вже помітну зміну, і тому у випад-
ку газів таке спрощення можна робити лиїпе для малих інтер-
валів температур (див. далі, § 232).
З формули (198. 1) знаходимо:
г = У[1 + Р(Г-/)].
Позначивши, як і в § 197, приріст температури ?— і буквою т,
напишемо:
V' = 1/(1 +0Т). (198.2)
Ця формула дає змогу розрахувати об’єм тіла, коли відомо
початковий об’єм і приріст температури. Вираз 1 + рт назива-
ється біномом об'ємного розширення.
При збільшенні об’єму тіл густина їх зменшується в стільки
разів, у скільки збільшився об’єм. Позначаючи густину при тем-
пературі і буквою сі, а при ґ —‘ буквою сі', маємо:
а ~ 1-М*’
Оскільки Рт звичайно значно менше за одиницю, то для
наближених розрахунків цю формулу можна спростити так:
<і(1 —рт) </(! —рт)
1 (1 +рт)(1 -Рт) 1-р»т» •
Нехтуючи р2т2 порівняно з одиницею, дістанемо:
= —^). (198.3)
§ 199]
ЗВ’ЯЗОК МІЖ КОЕФІЦІЄНТАМИ РОЗШИРЕНЬ
367
Як і у випадку лінійного розширення, формулами (198.2)
і (198.3) можна користуватись і для випадку охолодження тіл,
беручи приріст температури т від’ємним.
Вправа. 198.1. У тілі з коефіцієнтом об’ємного розширення Р е
порожнина об’єму V. Чому дорівнюватиме об’єм порожнини, якщо темпера-
тура тіла підвищиться на /°?
§ 199. Зв’язок між коефіцієнтами лінійного і об’ємного роз-
ширень. ’ Нехай кубик із стороною 1 розширюється від нагрі-
вання. Його податковий об’єм дорівнює V =* І3. При нагріванні
на т градусів кожна його сторона дорівнюватиме /(1 + ат>
і об’єм V' = /3(1 + ат)3. Отже,
й _ V' — V _ /3(1 —/з = (1 -і-ат)3 — 1 =
‘ Ит І3* т
1+Зах + За^ + аМ-І = 3
т 1 1
Ми бачили, що а — величина дуже мала. Оскільки,
крім того, ми розглядаємо-лише невеликі зміни тем-
ператури, то члени За2? і а3?2 малі порівняно з За
(наприклад, при а = 20 • 10~6 град~1 і т = 100° член
За2т у 500 раз менший за За, а член а3?2 у 750 000 раз
менший за За). Тому ми можемо знехтувати члена-
ми За2т і а3?2 порівняно з За і вважати, що
Р = За.
Отже, коефіцієнт об'ємного розширення дорівнює
потроєному коефіцієнту лінійного розширення. На-
приклад, длд заліза він дорівнює 0,000036 град~1.
Вправа. 199.1. При визначенні густини рідин вико-
ристовують пікнометри — скляні посудини з вузькою шийкою,
на якій є позначки, що відповідають певній місткості: 10 см3,
50 см3 і т. д. (рис. 368). Нехай при 20° С місткість пікнометра
дорівнює 50 см3. Яка вона буде при 100° С?
Рис. 368.
Пікнометр.
§ 200. Вимірювання коефіцієнта об’ємного розширення рідини.
Коефіцієнт об’ємного розширення рідини можна виміряти так.
Скляну колбу, що має. вузьку циліндричну шийку (рис. 369) г
наповнюють випробовуваною рідиною до певної позначки на
шийці. Потім колбу нагрівають і позначають, наскільки піднявся
рівень рідини в шийці.
Якщо відомі початковий об’єм посудини, площа перерізу
каналу в шийці колби і зміна температури, то можна визначити,
яка частка початкового об’єму рідини в колбі перейшла при
нагріванні на Г у шийку колби. Але коефіцієнт розширення
361
ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТІЛ
[РОЗД. X
рідини більший за цю величину, бо одночасно нагрілась і розши-
рилась сама колба. Щоб знайти коефіцієнт розширення рідини,
треба до цієї величини додати коефіцієнт об’ємного розширення
скла. Проте коефіцієнт об’ємного розширення
скла звичайно значно менший від коефіцієнта
об’ємного розширення рідини, і при грубих ви^
мірюваннях ним можна знехтувати. Коефіцієнти
об’ємного розширення деяких рідин подано в
’ табл. 4.
вимі-
кое-
об’-
Рис. 369. При-
лад для
рювання
фіцієнта
ємного розши-
рення рідини.
Таблиця 4
Коефіцієнти об’ємного розширення деяких рідин при 20°С
Рідина Коефіцієнт об’ємного
розширення, град~{
Ртуть 0,18-10~3
Гас 1,0-10~3
Спирт 1,1 10~3
Ефір . . 1,7-10—3
200.1. Пікнометр наповнено спиртом при
Потім його занурено в посудину з теплою
Вправа.
0° С і зважено,
водою. За допомогою промокального паперу" відібрано
стільки спирту, щоб його рівень був на попередній позначці, після чого пікно-
метр знову зважено. Який коефіцієнт об’ємного розширення спирту при таких
даних: порожній пікнометр важить 32,7 Г, із спиртом при 0° С— 74,5 Г, із
спиртом при 29° С — 73,2 Г (розширенням скла знехтувати)?
§ 201. Особливості розширення води. Найпоширеніша на
поверхні Землі речовина — вода — має особливість, яка відрізняє
її від більшості інших рідин. Вона розширюється при нагріванні
лише понад 4°С. Від 0° С до 4° С об’єм води, навпаки, при нагрі-
ванні зменшується. Отже, найбільшу густину вода має при 4° С.
Ці дані стосуються прісної (хімічно чистої) води. У морської,
води найбільша густина спостерігається приблизно при 3° С.
Збільшення тиску також знижує температуру найбільшої густи-
ни води.
Особливості розширення води мають величезне значення для
клімату Землі. Більша частина (79%) поверхні Землі покрита
водою. Сонячні промені, падаючи на поверхню води, частково
відбиваються від неї, частково проникають усередину води
і нагрівають її. Якщо температура води низька, то нагріті шари
(наприклад, при 2е С) густіші, ніж холодні (наприклад, при Г С),
і тому опускаються вниз. їх місце займають холодні шари, які
в свою чергу нагріваються. Таким чином відбувається безперерв-
на заміна шарів води, що відповідає рівномірному прогріванню
$ 201] ОСОБЛИВОСТІ РОЗШИРЕННЯ ВОДИ 369
всієї товщі води, поки не буде досягнута температура, яка відпо-
відає максимальній густині. При дальшому нагріванні верхні
шари стають дедалі менш густими, а тому й залишаються вгорі.
Внаслідок цього великі товщі води порівняно легко прогрі-
ваються сонячними променями лише до температури найбільшої
густини води; дальше прогрівання нижніх шарів іде дуже повіль-
но. Навпаки, до температури найбільшої густини вода охоло-
джується порівняно швидко, а потім процес охолодження спо-
вільнюється.
Усе це веде до того, що глибокі водойми на поверхні Землі
мають, починаючи з деякої глибини, температуру, близьку до
температури найбільшої густини води (2—3°С). Верхні шари
морів у теплих країнах можуть мати значно вищу температуру
(30°С і більше).
24 7-юз
РОЗДІЛ XI
РОБОТА. ТЕПЛОТА. ПРИНЦИП ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ
§ 202. Зміна стану тіл. Розглядаючи рух тіла, яке кинуте
вгору і потім падає (§ 101), ми встановили, що при відсутності
опору повітря сума кінетичної і потенціальної енергій рухомого
тіла є сталою. Цей закон стосується також будь-якої системи тіл,
на які не діють ніякі зовнішні сили і які рухаються без тертя.
Але ми показали тоді ж, що при наявності сил тертя або непруж-
них ударів цей закон не виконується: сума кінетичної і потенці-
альної енергій не є сталою. Так, наприклад, при падінні каменя
в сніг або пісок кінетична і потенціальна його енергії зменшують-
ся, бо він і опускається, і зменшує свою швидкість.х
Навпаки, іноді спостерігаються випадки збільшення суми
кінетичної і потенціальної енергій тіл. Наприклад, якщо з пляш-
ки з газованою водою, яка перебуває в спокої на столі, під тис-
ком вуглекислого газу пробка і частина рідини вилетять і під-
німуться на деяку висоту, то сума кінетичної і потенціальної
енергій системи тіл збільшаться.
Ці зміни механічної енергії ніколи не відбуваються безслід-
но: одночасно спостерігаються які-небудь зміни станів тіл, що
можуть бути дуже різноманітними. Наприклад, коли механічна
енергія тіл зменшується, часто спостерігається нагрівання тіл.
Так, тіла, що труться і вдаряються, нагріваються: нагріваються
осі коліс екіпажа, нагрівається пилка і розрізуване поліно. Уда-
ривши кілька разів по куску свинцю молотком і розплющивши
його, ми можемо виявити його нагрівання; згинаючи і розгинаю-
чи дротину, помітимо, що місце згину, де внутрішні частини дро-
тини труться, нагрілося.
Навпаки, у випадках, коли механічна енергія зростає, часто
спостерігається охолодження тіл. Наприклад, у випадку з вилі-
том пробки з пляшки з газованою водою охолоджується газ, над-
лишковий тиск якого викинув пробку. г
Крім нагрівання, при терті можуть відбуватися й інші зміни
стану тіл. Одним з найважливіших випадків зміни стану тіл є
перетворення їх із суцільних у тонкоподрібнені, тобто подрібнен-
§ 203]
НАГРІВАННЯ ТІЛ ПРИ ВИКОНАННІ РОБОТИ
371
ня тіл. Найпростішими прикладами є розбризкування води, сти-
рання грудочки крейди під час писання на дошці, стирання олів-
ця при писанні на папері. Таким подрібненням є і розмелювання
зерна на борошно між жорнами. Затуплення, а також заточуван-
ня різальних інструментів — ножів, бритв, токарних різців
і т. д.— також являє собою подрібнення їх ріжучого краю. Іноді
тертя або удар можуть перетворювати тіло з твердого стану
в рідкий.
На підставі таких фактів ми ввели поняття внутрішньої енер-
гії тіл (§ 104). Ми показали тоді, що внутрішня енергія тіла
залежить від його температури, від того, чи є тіло твердим, рід-
ким або газоподібним, чи перебуває, воно в подрібненому стані
чи суцільне і т. д.
Якщо під дією зовнішньої сили виконується робота проти
сил тертя, внаслідок чого температура тіла підвищується або
воно подрібнюється, плавиться чи випаровується, то внутрішня
енергія тіла збільшується. Якщо, навпаки, температура тіла зни-
жується або воно перетворюється з газоподібного стану в рідкий
і т. д., то внутрішня енергія тіла зменшується.
Нам треба тепер докладніше розглянути явища, зв’язані
з зміною внутрішньої енергії тіл.
§ 203. Вимірювання нагрівання тіл при виконанні роботи.
У попередньому параграфі ми встановили, що при роботі проти
сил тертя тертьові *тіла нагріваються. Було виконано багато
різних дослідів, щоб точно виміряти нагрівання при виконанні
певної роботи.
Одним з перших виконав такі досліди Джоуль у середині
минулого століття. Джоуль виконував ці вимірювання за допо-
могою приладу, зображеного на рис. 370. Розріз приладу в спро-
24*
372
РОБОТА. ТЕПЛОТА.
(РОЗД XI
Рис. 371. Розріз приладу Джоу-
ля. АА — лопаті, СС — перего-
родки.
щеному вигляді подано на рис. 371. У посудині з водою оберта-
ються лопаті А, які приводяться в рух за допомогою тягарця Р,
що підвішений на шнурі, перекинутому через блок В. При опус-
канні тягарця лопаті обертаються, проходячи при цьому крізь
отвори в перегородках С, і, захоплюючи воду, спричинюють тер-
тя одних шарів води об інші. При терті води вона і посудина
нагріваються; ніяких інших змін ні вода, ні інші частини прила-
ду не зазнають. Сила тяжіння ви-
конує роботу, яка дорівнює вазі
тягарця Р, помноженій на висо-
ту й, з якої він опускається. На
початку і в кінці досліду всі час-
тини приладу — тягарець, лопаті,
вода — перебувають у спокої, так
що внаслідок досліду кінетична
енергія всіх цих тіл не змінюєть-
ся. Отже, вся виконана робота
спричинює лише нагрівання води,
лопатей та інших частин приладу.
Це дає змогу визначити, яку ро-
боту треба затратити, щоб підви-
щити температуру одного грама
води на 1°С. При цьому Джоуль
урахував, що, крім води, нагріва-
ються також лопаті і посудина.
Як було враховано це нагрівання,
ми розглянемо далі.
Досліди Джоуля повторювали
багато разів, причому їх умови
зазнавали різних змін. Змінювали
кількість налитої води, вагу тя-
гарців і висоту їх піднімання, мо-
менти діючих сил і т. д. При всіх
цих вимірюваннях завжди знаходили той самий результат: для
нагрівання 1 грама води на 1°С треба виконати роботу в
4,2 джоуля.
Крім описаного досліду, сам Джоуль і інші дослідники вико-
нали багато інших дослідів, щоб установити зв’язок між нагрі-
ванням і виконаною роботою. Спостерігали нагрівання газу, що
виникає за рахунок роботи, виконаної при стисканні; визначали
розігрівання металевих дисків, які терлися один об один, одно-
часно визначаючи роботу, виконану при подоланні тертя, і т. д.
Порівняти результати цих дослідів важко, бо в різних дослідах
нагрівали різні тіла. Ми побачимо далі (§ 209), як саме можна
щоразу звести утворене нагрівання до нагрівання тієї самої
§ 204]
ТЕПЛОПЕРЕДАВАННЯ
373
речовини, наприклад води. Якщо зробити таке порівняння, то
з усіх описаних і багатьох аналогічних дослідів можна вивести
дуже важливий висновок: якщо при зникненні механічної енер-
гії не відбувається ніяких змін у стані тіл (наприклад, плавлення,
випаровування і т. д.), крім зміни температури, то за рахунок
енергії 4,2 джоуля температура 1 грама води підвищується завж-
ди на Г С.
Отже, досліди Джоуля підтверджують закон збереження
енергії в розширеному розумінні. При всіх рухах, що відбувають-
ся як без тертя, так і таких, що супроводяться тертям, сума
кінетичної, потенціальної і внутрішньої енергій усіх тіл, що
беруть участь у рухах, не змінюється. Цю суму ми називатиме-
мо поєною енергією тіл, або просто їх енергією.
Розглянемо приклад. Нехай над свинцевою пластинкою *
висить на деякій висоті свинцева кулька. Енергія цієї системи
складається з таких частин: 1) потенціальної енергії кульки;
2) внутрішньої енергії кульки і пластинки. Нехай тепер кулька
впаде на пластинку і своїм ударом спричинить нагрівання.
Потенціальна енергія кульки зменшиться, зате збільшаться
внутрішня енергія пластинки і кульки. Повна енергія не змі-
ниться.
Вправа. 203.1. У приладі Джоуля, як це видно з рис. 370 і 371,
швидкість тягарців, які опускаються, у багато разів менша за швидкості
лопатей. Яку мету ставили, виготовляючи такий прилад?
§ 204. Другий спосіб зміни внутрішньої енергії тіл — тепло-
передавання. Ми бачили, що механічна енергія системи тіл
зменшується при відповідному збільшенні їх внутрішньої енер-
гії, а зменшення внутрішньої енергії пов'язане із збільшенням
механічної енергії. Ці зміни внутрішньої енергії тіл відбувають-
ся при виконанні тієї або іншої роботи (роботи при русі з тер-
тям, роботи при розширенні газу і т. д.). При цьому і зміна
механічної енергії, і відповідна їй зміна внутрішньої енергії
дорівнюють добутку діючої сили на пройдений шлях, тобто вели-
чині, яка характеризує виконану роботу.
Проте було б неправильно вважати, що внутрішня енергія
тіла може змінюватись лише при виконанні роботи. Наприклад,
при охолодженні печі ніяка робота не виконується, а внутрішня
енергія печі зменшується. Однак при цьому навколишні тіла —
повітря, стіни, предмети в кімнаті — нагріваються, тобто збіль-
шують свою внутрішню енергію. У таких випадках кажуть, що
відбувається передавання теплоти: піч віддає деяку кількість
теплоти, а навколишні тіла одержують таку саму кількість
теплоти. Отже, передаванням теплоти ми називаємо такий процес,
при якому внутрішня енергія одних тіл зменшується, а інших —
374
РОБОТА. ТЕПЛОТА
[РОЗД XI
відповідно збільшується, причому механічна енергія тіл не змі-
нюється і ніяка робота не виконується.
Зазначимо, що при процесі теплопередавання далеко не
завжди змінюється тепловий стан тіл, тобто їх температура:
наприклад, коли лід тане, то передавання тепла змінює стан
тіла (лід з твердого стану переходить у рідкий), але темпера-
тура його не змінюється.
Для характеристики процесу передавання тепла вводиться
поняття кількості теплоти; кількістю теплоти ми називаємо ту
зміну внутрішньої енергії тіла, яка відбувається при теплопере-
даванні.
Отже, внутрішня енергія тіла може змінюватись при двох
видах процесів: 1) при виконанні роботи, 2) при передаванні
тепла. Звичайно, можливі й такі випадки, коли спостерігається
одночасно і виконання роботи, і передавання тепла.
При всіх описаних явищах ми можемо робити висновки про зміну внут-
рішньої енергії при переході з одного стану в інший. Але при цьому ми
зовсім не торкаємось питання, який повний запас внутрішньої енергії тіла.
Це питання не має значення: інтерес становить лише зміна внутрішньої енер-
гії, подібно до того, як це було для потенціальної енергії (§ 97).
§ 205. Калорія. В яких одиницях можна вимірювати внутріш-
ню енергію? Звичайно, в тих самих, в яких вимірюють і меха-
нічну енергію: в ергах, джоулях або кілограмометрах. Проте
часто на практиці для вимірювання внутрішньої енергії вводять
нову одиницю. Для вибору цієї одиниці використано ту обстави-
ну, що при нагріванні 1 г води на Г С потрібна завжди цілком
певна кількість енергії, а саме 4,2 джоуля.
Цю кількість енергії і взято за нову одиницю енергії. Вона
називається калорією (скорочене позначення: кал); її можна
використовувати для вимірювання як внутрішньої, так і всякої
іншої (наприклад, механічної) енергії. Отже, калорія дорівнює
зміні внутрішньої енергії 1 г води при підвищенні її температури
на Г С; вона дорівнює 4,2 джоуля. Використовують також оди-
ницю, у 1000 раз більшу,— кілокалорію (ккал). Отже,
1 кал = 4,2 дж = кГм = 0,427 кГм;
У,о
1 ккал = 4200 дж = 427 кГм.
Числа, які показують відношення між калорією та іншими
одиницями енергії, що використовуються в механіці, тобто числа,
які можна використати для переведення калорій в інші одиниці
енергії, називають механічним еквівалентом теплоти. Отже,
механічним еквівалентом теплоти є число 4,2 джікал, або
0,427 кГмІкал, або 427 кГмІккал. Таким чином, можна сказати,
що досліди Джоуля та інших дослідників, які визначили, скільки
$ 206]
ВНУТРІШНЯ ЕНЕРГІЯ ТІЛА
375
енергії потрібно для нагрівання 1 г води на 1° С, допомогли вста-
новити мехйнічний еквівалент теплоти.
Пильніші вимірювання показують, що для нагрівання 1 г води на 1° С
потрібно трохи більше або менше енергії (залежно від вихідної температури
води). Так, наприклад, для нагрівання 1 г води від 1 до 2°С потрібно енергії
приблизно на 1% більше, ніж для нагрівання від 31 до 32° С. Тому для озна-
чення калорії треба точно встановити, при якій температурі здійснювали
нагрівання. Залежно від цього і значення механічного еквівалента теплоти
буде трохи більше або менше. При точних вимірюваннях за 1 кал беруть
кількість енергії, потрібної для нагрівання 1 г чистої води від 19,5 до 20,5° С.
Цьому відповідає значення механічного еквівалента теплоти, яке дорівнює
4,182 дж/кал. Для більшості розрахунків можна користуватися поданими
раніше означеннями і числами, бо помилка при цьому невелика.
§ 206. Залежність внутрішньої енергії тіла від його маси
і речовини. У цьому параграфі ми говоритимемо про зміни внут-
рішньої енергії тіл, зв’язаних із змінами їх температури.
Досліди Джоуля (§ 203) показують, що при нагріванні 1 г
води на ГС внутрішня енергія цієї води збільшується на 4,2 дж
або на 1 кал. Для нагрівання 10 г води доведеться затратити
в 10 раз більше енергії і т. д. Отже, збільшення внутрішньої
енергії при нагріванні води прямо пропорціональне її масі.
Те саме стосується і будь-якого іншого однорідного тіла.
Так, щоб нагріти великий утюг до певної температури, тре-
ба довше тримати його на плиті, ніж маленький. Зате великий
утюг довше охолоджуватиметься і при охолодженні віддасть
навколишнім тілам більше теплоти. Наприклад, великим утю-
гом, нагрітим до певної температури, можна випрасувати біль-
ше білизни, ніж маленьким утюгом, нагрітим до тієї самої
температури. Таким чином, при однаковій зміні температури
внутрішня енергія великого утюга змінюється' на більшу
величину.
Отже, при певній зміні температури зміни внутрішньої енер-
гії тіла пропорціональні його масі. Звідси видно, що поняття
маси тіла, яке ми ввели при розгляді механічних явищ, корисне
і при розгляді теплових явищ.
Спостереження показують також, що чим вища температура,
до якої було нагріте певне тіло, тим більше часу займе процес
охолодження; отже, тіло більше віддасть теплоти і його внут-
рішня енергія зміниться на більшу величину.
Таким чином, зміна внутрішньої енергії тіла тим більша, чим
більша зміна його температури.
Внутрішня енергія тіла залежить не тільки від маси і темпе-
ратури його, а й від речовини цього тіла. Візьмемо два тіла
однакової маси, наприклад дві кулі — одну свинцеву, другу алю-
мінієву, і нагріємо їх до тієї самої температури, наприклад до
100°С. Якщо тепер занурити кулі в однакові посудини з водою»
[РОЗД XI
376
РОБОТА. ТЕПЛОТА.
я»
то побачимо, що алюмінієва куля нагріє воду до більшої
температури, ніж свинцева. Отже, при охолодженні дана маса
алюмінію віддасть більше теплоти, ніж така сама маса
свинцю. Навпаки, для нагрівання на те саме число градусів
алюмінію треба надати більше теплоти, ніж такій самій масі
свинцю.
Отже, зміна внутрішньої енергії даної маси алюмінію біль-
ша, ніж зміна внутрішньої енергії такої самої маси свинцю при
тій самій зміні температури.
Оскільки внутрішня енергія значною мірою залежить від температури, то
іноді цю енергію називають тепловою. Проте внутрішня енергія тіл залежить
не тільки від температури. Вона змінюється при стисканні рідин, при дефор-
мації твердих тіл (§ 287), при плавленні речовини (§ 219) і її випаровуванні
(§ 297). Тільки для речовин, які перебувають в газоподібному стані, внутріш-
ня енергія практично змінюється лише при зміні температури. Тому не
доцільно змінювати загальновживаний у науці термін «внутрішня енергія»
терміном «теплова енергія». Крім того, застосування останнього терміна може
призвести до плутанини з поняттям кількості теплоти, якої набуло тіло
(§ 204).
§ 207. Теплоємність тіла. Кількість теплоти, яку треба переда-.
ти якому-не&удь тілу, щоб підвищити його температуру на Г С,
називається теплоємністю нього тіла. При охолодженні на 1°
тіло віддає таку саму кількість теплоти. Для нагрівання тіла не
на 1°, а, наприклад, на 10° треба надати тілу в 10 раз більшу
кількість теплоти; при охолодженні його на 10° тіло віддає цю
саму кількість теплоти. На підставі сказаного в попередньому
параграфі теплоємність тіла пропорціональне масі тіла і зале-
жить від речовини, з якої воно складається.
Нагріваючи тіло за допомогою теплопередавання, ми збіль-
шуємо його внутрішню енергію. Крім того, внаслідок розши-
рення при нагріванні виконується робота проти сил, які пере-
шкоджають розширенню. Ці сили — сили зовнішнього тиску
і сили молекулярного притягання, дуже значні для твердих тіл
і рідин і дуже малі для газів. На виконання роботи при роз-
ширенні потрібна додаткова енергія, тобто додаткове переда-
вання теплоти.
У випадку твердих тіл розширення завжди дуже мале
(табл. 3), отже, дуже мала і ця додаткова енергія, так що нею
можна знехтувати. Гази, що містяться в твердій оболонці, не
розширюються і додаткова енергія дорівнює нулю. У цих випад-
ках можна сказати, що теплоємність тіла дорівнює збільшенню
його внутрішньої енергії при підвищенні температури на 1°.
У випадку рідин або газів, які нагріваються в таких умовах,
що можуть вільно розширюватись (наприклад, у посудині
з рухомим поршнем), роботою, яка виконується при розширен-
ні, знехтувати не можна.
§ 208]
ПИТОМА ТЕПЛОЄМНІСТЬ
377
При цьому у випадку газів силами, які перешкоджають розширенню,
є переважно сили Зовнішнього тиску: хоч вони й невеликі, проте внаслідок
значного розширення газів виконувана робота помітна; у випадку рідин роз-
ширення невелике (хоч звичайно все ж в-еотні разів більше за розширення
твердих тіл), але сили молекулярного притягання, які перешкоджають роз-
ширенню, дуже малі для газів, дуже великі для рідин; тому робота при роз-
ширенні значна. Питання про теплоємність газів, які нагріваються в умовах,,
коли їх об’єм збільшується, докладніше буде розглянуто нижче (§ 245).
Згідно з означенням, теплоємність треба подавати в одини-
цях енергії, поділених на градуси. Якщо за одиницю енергії
беруть калорію або джоуль, то одиницею теплоємності
є каліград або дж/град. Можна, звичайно, вимірювати тепло-
ємність і в ккаліград і ерг/град і т. д.
§ 208. Питома теплоємність. Прості спостереження, зазначені
в § 206, і точні вимірювання, які здійснювали з спеціальними
приладами, описаними далі, в § 209, привели до висновку, що
теплоємність тіла, яке складається з однорідного матеріалу,,
пропорціональна його масі. Тому порівнювати, між собою треба
теплоємності тіл, виготовлених з різних речовин, але таких, що
мають однакову масу. Для характеристики теплових власти-
востей речовин беруть теплоємність одиниці маси (наприклад,,
одного грама) цієї речовини. Ця характеристика називається
питомою теплоємністю. Отже, вона дорівнює відношенню тепло-
ємності певного тіла до маси цього тіла і повинна виражатися
в одиницях енергії, поділених на градус і на одиницю маси.
Звичайно питомі теплоємності подають у дж/кг • град або в.
кал/г • град, або, що те саме, у ккалікг • град.
Згідно з означенням, питома теплоємність води дорівнює
1 кал/г* град при нагріванні від 19,5 до 20,5° С. При інших тем-
пературах питома теплоємність води мало відрізняється від
1 кал/г* град. У дальшому, ми цим нехтуватимемо і братимемо
питому теплоємність води такою, що дорівнює 1 кал/г • град при
будь-якій температурі.
Питомі теплоємності інших речовин також трохи залежать,
від температури. Проте, якщо температура змінюється мало,,
то цю залежність можна не враховувати. Тому для більшості
розрахунків вважатимемо, що питома теплоємність якої-небудь
речовини є сталою величиною. Тоді ми можемо обчислити, яку
кількість теплоти С} треба передати однорідному тілу, щоб
підвищити його температуру від її до /2- Питому теплоємність
речовини позначимо буквою с. Якщо маса тіла дорівнює т„
то теплоємність тіла дорівнює ст. Щоб підвищити температуру
від до /2, треба передати тілу теплоти в /2 — раз більше.
Отже,
Я = —
378
РОБОТА. ТЕПЛОТА
[РОЗД. XI
§ 209. Калориметр. Вимірювання теплоємностей. Для порів-
няння теплоємностей різних тіл користуються особливим при-
ладом, який називається калориметром. Калориметр являє
собою металеву посудину, що має форму стакана (рис. 372).
Ця посудина має кришку. Посудину ставлять на корки, вста-
новлені в другій великій посудині, так що між обома посудинами
Рис. 372. Будова ка-
лориметра. А і В —
зовнішній і внутріш-
ній стакани, Т — тер-
мометр, ЛІ — мішал-
ка.
є шар повітря. Усі ці заходи зменшують
віддавання тепла навколишнім тілам.
Посудину наповнюють певною кількі-
стю води, температуру якої до досліду
вимірюють (нехай вона дорівнює /0). По-
тім беруть тіло, теплоємність якого треба
виміряти, і нагрівають його до певної
температури і\\ наприклад, поміщають у
пару киплячої води, так що температура
і\ = 100° С. Нагріте тіло опускають у
воду калориметра, закривають кришку і,
помішуючи мішалкою, чекають, поки тем-
пература в калориметрі встановиться (це
буде тоді, коли вода і тіло матимуть одна-
кову температуру). Тоді позначають цю
температуру і.
З результатів дослідів можна знайти
теплоємність тіла с, користуючись тим,
що зменшення енергії тіла, яке охолод-
жується, дорівнює збільшенню енергії
води, яка при цьому нагрівається, і кало-
риметра, тобто застосовуючи закон збереження енергії.
При не дуже точних вимірюваннях можна вважати, що вода
калориметра, сам калориметр, мішалка і тіло, теплоємність
якого вимірюють, за час досліду не встигнуть віддати помітної
кількості теплоти навколишнім тілам. (При точніших вимірю-
ваннях треба внести відповідні поправки). Тому суми енергій
тіла, води, калориметра і мішалки до і після досліду можна
вважати однаковими. Інакше кажучи, енергія тіла зменшується
під час досліду саме на стільки, на скільки збільшуються енер-
гії води, калориметра і мішалки. Температура тіла зменшується
на і\ — і градусів. Оскільки ніякої роботи всередині калоримет-
ра не виконується, то зменшення енергії тіла дорівнює
С\ґП\ (/і — і) калорій, де Сі — питома теплоємність речовини
тіла, Ші — маса тіла. Вода нагрівається на і — іо градусів,
І збільшення її енергії при цьому дорівнює С2ГП2(І— ?о) калорій,
де с2 — питома теплоємність води, ш2 — маса води в калоримет-
рі. Ми припускаємо, що калориметр і мішалка виготовлені з одно-
го матеріалу і загальна маса їх /п3, а питома теплоємність
з ад
КАЛОРИМЕТР. ВИМІРЮВАННЯ ТЕПЛОЄМНОСТЕЙ
379
матеріалу їх с3. Енергія калориметра і мішалки під час досліду
збільшиться на с3пг3(і— ґ0) калорій. Енергією, потрібною для
нагрівання термометра, можна знехтувати, бо вона звичайно
невелика. Прирівнюючи зменшення енергії тіла і збільшення
енергії води, калориметра і мішалки, дістанемо:
* Сі/Пі (/і — /) = с2т2 (і — іо) + с3т3 (і — /0).
Цю рівність часто називають рівнянням теплового балансу. Роз-
в'язуючи його відносно Сі, знаходимо:
__ (* — *0) (с2т2 с3т3)
С1-
Таким чином, вимірявши /, /о, Л, /Пі, т2 і пг3, знайдемо питому
теплоємність досліджуваного тіла сь коли відомі питомі тепло-
ємності води с2 і матеріалу калориметра с3. Питому теплоєм-
ність води с2 можна взяти такою, що дорівнює 1 кал/г • град
(§ 208); питому теплоємність матеріалу калориметра с3 треба
визначити окремо, наприклад, за допомогою спостереження
теплового балансу при опусканні в калориметр тіла, виготовле-
ного з того самого матеріалу, що й стінки калориметра (тобто,
зробивши Сі = с3). Визначивши раз назавжди питому тепло-
ємність матеріалу калориметра с3, ми зможемо робити всі
наступні визначення, використовуючи знайдене співвідношення.
Питомі теплоємності ряду речовин подано в табл. 5. У тих
випадках, коли температури не зазначено, значення питомої
теплоємності тіл у таблиці подано для кімнатної температури.
У таблиці показано на прикладі води, міді і свинцю, що питома
теплоємність тіл залежить від температури. У твердих тілах при
підвищенні температури вона збільшується. При дуже низьких
температурах питома теплоємність усіх тіл швидко зменшується.
Слід звернути увагу на дуже велику порівняно з іншими
речовинами питому теплоємність води.
Заслуговує на увагу також те, що питома теплоємність льо-
ду в два рази менша за теплоємність води. В інших речовин
теплоємності в твердому і рідкому станах також різко відріз-
няються одна від одної.
Знаючи питому теплоємність речовини, ми' завжди можемо
визначити, яка кількість води має таку саму теплоємність, як
і розглядуване тіло (так званий водяний еквівалент). Нехай,
наприклад, стакан калориметра виготовлений з латуні і ма£
масу 100 г. Його теплоємність дорівнює 100 • 0,092 = 9,2 кал/град.
Отже, водяний еквівалент цього стакана дорівнює 9,2 г. Нагрі-
ваючи в такому стакані 300 г води, можна вважати, що ми
нагріваємо лише воду, але в кількості не 300 г, а 309,2 г.
Тепер можна дати відповідь на запитання, як у досліді, опи-
саному в § 203, Джоуль міг урахувати нагрівання, крім води,
380
РОБОТА. ТЕПЛОТА
(РОЗД. XI
також і посудини. Він міг зробити це, користуючись поняттям
водяного еквівалента.
Таблиця 5
Питомі теплоємності ^деяких речовин
Речовина Питома теплоємність
кал/г-град СІ, дж/кг • град
Азбест . 0,05 210
Алюміній .... 0,21 880
Вода при 20° С . 1,000 4200
» » 90° С . . 1,005 4220
Залізо . . 0,11 460
Латунь ... 0,092 390
Лід при 0°С . 0,5 2100
Мідь при—163° С 0,067 280
» » 20° С 0,091 380
Пісок . 0,2 840
Повітря, яке вільно розширюється 0,24 1010
Ртуть . 0,03 126
Свинець при — 259° С 0,0075 32
> » 20°С . . . 0,031 130
» » 300° С 0,034 143
Сірка 0,17 710
Скло 0,2 840
Соснове дерево .... 0,6 2520
Цегла 0,2 840
Вправи. 209.1. Два куски однакового матеріалу (наприклад, обидва
залізні), але різної маси нагріті до різних температур Збільшиться чи змен-
шиться їх загальний об’єм, якщо гарячий кусок передасть деяку кількість
теплоти холодному?
209. 2. У латунний стакан масою 163 г, що має кімнатну температуру
(17° С), вливають 100 г води при 50° С і 200 г при 10° С. а) Нехтуючи обміном
теплоти з навколишніми тілами, визначте остаточну температуру води, б) При-
пустимо, що температури порцій води, які вливають, точно дорівнюють зазна-
ченим вище, але є обмін теплоти крізь стінки посудини з навколишніми пред-
метами. Як вплине ця обставина на остаточну температуру води у випадку,
коли спочатку наливають гарячу, а потім холодну воду, і у випадку, коли
порядок наливання води зворотний?
§ 210. Принцип збереження енергії. Закон збереження енер-
гії, застосування якого ми розглянули для випадків, коли від-
бувається передавання теплоти (§ 204) або коли поряд з тепло-
вими явищами відбуваються і механічні (§ 202), має всеосяжне
значення. Він застосовний до всіх без винятку явищ природи.
Кілька прикладів дадуть змогу глибше з’ясувати зміст цього
закону.
Нехай відбувається яка-небудь хімічна реакція, наприклад
горіння вугілля в повітрі. При цьому передається теплота навко-
$ 210]
ПРИНЦИП ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ
381
лишнім тілам; вони нагріваються, тобто збільшується їх енер-
гія. Крім того, згоряння вугілля може супроводитись ще й вико-
нанням деякої механічної роботи, якшо, наприклад, вугілля
згоряє в топці котла парової машини. Чи змінилося ще що-
небудь у нашій системі тіл (вугілля, повітря, машина) під час
процесу роботи машини? До горіння ми мали вугілля і кисень
повітря, після згоряння — вуглекислий газ. Отже, змінився
і хімічний склад тіл. Таким чином, зміна хімічного складу тіл
супроводиться виконанням роботи і нагріванням, тобто переда-
ванням теплоти. Звідси ми робимо висновок, що внутрішня енер-
гія тіл залежить також від їх хімічного складу. У нашому при-
кладі енергія вугілля і кисню повітря більша, ніж енергія вугле-
кислого газу, який утворився з них. Надлишок енергії вугілля
і кисню над енергією вуглекислого газу і був витрачений на на-
грівання навколишніх тіл та на виконання роботи.
Розглянемо ще приклад: тіла, заряджені електрикою, напри-
клад грозові хмари. При утворенні блискавки відбувається ряд
змін: нагрівається повітря і розряджаються хмари. Енергія тіл
залежить не тільки від їх температури, а й від розподілу елек-
тричних зарядів на цих тілах. При розряджанні змінюється і те
і друге, але повна енергія хмар і повітря не змінюється. Ця
незмінність повної енергії при всіх процесах, які відбуваються,
і являє собою закой збереження енергії. У найзагальнішому
вигляді його можна сформулювати так:
Енергія тіл залежить від їх швидкостей, положення, темпе-
ратури, форми, хімічного складу і т. д. Енергія тіл змінюється
або за рахунок роботи, яку виконують ці тіла, або за рахунок
передавання енергії іншим тілам.
Якщо ми розглядаємо всі тіла, що беруть участь у процесі,
то повна енергіягїх не змінюється.
Найістотнішим у цьому законі є потреба враховувати всі
тіла, які беруть участь у розглядуваних процесах. Це не завжди
легко зробити. Так, у другому з розглянутих нами прикладів,
крім зазначених змін, відбувається ряд інших, менш значних,
а саме: від блискавки в усі боки поширюється світло, чути грім,
тобто лунає звук; відбувається сполучення азоту і кисню повіт-
ря, що утворюють деяку кількість окислів азоту, і т. д. Звук
і світло затримуються (поглинаються) навколишніми тілами, що
кінець кінцем також спричинює їх нагрівання. Але тіла, які
нагріваються при поглинанні звуку і світла, можуть бути дуже
далеко від місця утворення блискавки. Зокрема, світло від блис-
кавки може навіть вийти за межі земної кулі і поглинутись
де-небудь на віддалених світових тілах. Отже, точно кажучи,
при врахуванні всіх тіл, які беруть участь у розглядуваному
процесі, ми практично можемо зустрітися з непереборними труд-
382
РОБОТА. ТЕПЛОТА
[РОЗД. ХГ
ношами. Проте в тих випадках, де таке врахування можна зро-
бити досить точно, ми завжди впевнюємось у справедливості
закону збереження енергії. Це веде нас до впевнення, що
позірні відхилення від цього закону пояснюються не досить
повним урахуванням усіх змін, які сталися; і справді, завжди
в цих випадках вдається назвати які-небудь пропуски в повноті
врахування. Тому ми впевнені у всеосяжному значенні закону
збереження енергії.
Тепер вже немає потреби перевірятц цей закон на кожному
конкретному випадку; навпаки, упевнення в його застосовності
дає змогу при розгляді конкретних випадків передбачати резуль-
тати або виправляти помилки в міркуваннях. Такі закони при-
роди, що мають незаперечне і всеосяжне значення, іноді нази-
вають принципами. Принцип збереження енергії належить до
найплодотворніших, і ним широко користуються в найрізнома-
нітніших випадках.
§ 211. Неможливість «вічного двигуна». Установлення прин-
ципу збереження енергії було результатом численних дослідів,
які свідчили про його справедливість. чЧисло цих дослідів було
дуже велике завдяки тому, що питання про використання енер-
гії — одне з найважливіших питань діяльності людини.
Вже в середні віки почали з’являтися проекти машин, які
повинні були виконувати роботу без будь-яких затрат енергії.
Точніше кажучи, проектувалися машини, побудовані так, що,
після того, як вони виконали б деяку роботу і машина повер-
нулась у вихідне положення, у жодному з навколишніх тіл не
повинно було відбуватися ніяких змін. Таку уявлювану машину
називають вічним двигуном, або «перпетуум мобіле»
Жодна з цих машин не працювала так, як хотіли її винахід-
ники, тобто не забезпечувала вічного руху. Розглядаючи проекти
кожної з цих машин, можна знайти ту або іншу помилку. З прин-
ципу збереження енергії відразу випливає, що така машина вза-
галі неможлива і що, отже, марно шукати якого б то не було
дотепного поєднання приладів і пристроїв, яке дало б змогу
обійти це утруднення.
Ще тоді такі геніальні люди, як Леонардо да Вінчі, розуміли
неможливість вічного двигуна. Проте дуже довго, навіть після
установлення принципу збереження енергії, продовжувалися
спроби винайти вічний двигун з боку людей, які не мали достат-
ніх знань. Число таких проектів, які надсилалися на розгляд,-було
таким великим, що в 1775 р. Французька Академія наук змуше-
1 РегреЬніш гпоЬіІе — лат. мовою «вічно рухомий».
§ 2121
ПЕРЕДАВАННЯ ТЕПЛОТИ
383
на була опублікувати постанову, що подібні проекти не будуть,
розглядатися через їх нездійсненність.
§ 212. Різні види процесів, при яких передається теплота.
У попередніх параграфах ми часто говорили про передавання
теплоти як про процес, при якому змінюється внутрішня енергія,
тіла. Розглянемо теплопередавання докладніше.
Насамперед слід зазначити, що при відсутності роботи тепло-
та передається завжди в певному напрямі: внутрішня енергія
гарячого тіла зменшується, а внутрішня енергія холодного тіла
збільшується. Тільки при особливих обставинах, при обов’язко-
вій умові виконання роботи зовнішньою силою, можуть відбува-
тися процеси, при яких температура гарячого тіла підвищуєть-
ся, а температура холодного тіла стає ще нижчою. Ми поверне-
мось до цього питання при розгляді дії так званих холодильних
машин (§ 327).
Чим більша різниця температур тіл, тим інтенсивніше при
інших однакових умовах відбувається процес теплопередаванню
від гарячого тіла до холодного. Але коли температури тіл зрів-
няються, теплопередавання припиняється і настає так звана теп-
лова рівновага. Які саме процеси ведуть до вирівнювання темпе-
ратур тіл? їх відомо кілька.
1) Теплопровідність. Коли нагрівається холодна вода
в каструлі, поставленій на гарячу плиту, теплота передається
крізь металеві стінки каструлі. Здатність тіл передавати тепло-
ту називається їх теплопровідністю. Від чого залежить кількість
передаваної 'теплоти крізь яку-небудь стінку? Насамперед, від.
різниці температур з обох боків стінки. Чим більша ця різниця,
тим більша кількість теплоти передається крізь стінку за певний
проміжок часу. Потім, ця кількість залежить від площі стінки.
Вода в каструлі з більшим дном нагрівається, як відомо, швид-
ше, ніж у каструлі з меншим дном. Далі, легко впевнитись на*
досліді, що кількість теплоти, передаваної за одиницю часу крізь,
стінку при певній різниці температур, тим більша, чим тонш*
стінка. Нарешті, теплопередавання багато залежить від матеріа-
лу стінки. Для характеристики різних матеріалів щодо тепло-
передавання користуються х поняттям коефіцієнта теплопровід-
ності. Коефіцієнтом теплопровідності називають величину, яка
показує, яка кількість теплоти передається за 1 сек крізь
одиничну площу стінки завтовшки в одиницю, при різниці тем-
ператур між поверхнями стінки ГС. Якщо, наприклад, коефіці-
єнт теплопровідності алюмінію дорівнює 0,5 кал/см • сек • град„
то це означає, що через кожний квадратний сантиметр алюмініє-
вої стінки при різниці температур ГС і при товщині стінки 1 см
передається 0,5 кал за 1 сек. Не спиняючись на способах визна-
.384
РОБОТА. ТЕПЛОТА..
(РОЗД. Хї
чення коефіцієнтів теплопровідності, які досить складні, наведе-
мо значення коефіцієнтів теплопровідності деяких речовин
(табл. 6).
Таблиця 6
Коефіцієнти теплопровідності деяких речовин
Речовина Коефіцієнт теплопровідності
кал/см- сек- град СІ, дж/м • сек -град
Алюміній . 0,50 210
Залізо 0,14 60
Латунь 0,26 110
Мідь 0,92 385
Свинець 0,08 34
Дерево!до волокон : 0,0004 0,17
Дерево Ц волокнам 0,0007 0,29
Цегла . % 0,003 1,25
Скло ... 0,002 0,85
Вода 0,0015 0,63
Повітря 0,00006 0,025
Водень (газ) 0,00042 0,18
У таблиці звертає на себе увагу велика порівняно з іншими
речовинами теплопровідність металів. Нагадаємо, що електро-
провідність металів також значно перевищує електропровідність
інших речовин. Дуже малі коефіцієнти теплопровідності газів.
2) Конвекція. У рідинах і в газах, крім теплопровідності,
теплопередавання часто здійснюється конвекцією, тобто механіч-
ним переміщенням нагрітих частин. Майже завжди при стиканні
рідин або газу з твердими стінками, що мають вищу або нижчу
температуру, у рідині виникають течії: нагріта рідина (або газ)
піднімаються вгору, а та, що охолодилася, опускається вниз
(рис. 373). Цей процес відбувається внаслідок зменшення густи-
ни рідини або газу при підвищенні їх температури: для нагрітого
об'єму газу підтримуюча сила більша за вагу. Легко зрозуміти, що
конвекційні течії в рідинах і газах виникають тим легше, чим
більші їх коефіцієнти теплового розширення. Має також значен-
ня в’язкість рідин і газів: більша в’язкість, природно, утруднює
виникнення конвекційних течій. У дуже вузьких шарах, напри-
клад у шарі повітря між двома близько розміщеними шибками
вікна, конвекційні течії слабкі. Коли конвекційні течії виникли,
вони дуже сприяють швидкому прогріванню рідин і газів; коли
конвекції немає (наприклад, у випадку, коли зверху розміщена
нагріта рідина, а внизу — охолоджена) прогрівання і рідин
і газів дуже сповільнюється внаслідок їх дуже малої теплопро-
відності.
§ 212]
ПЕРЕДАВАННЯ ТЕПЛОТИ
385
Конвекційні течії в атмосфері не тільки відіграють велику
роль для теплопередавання, а й зумовлюють вітри. Вітри
спричинюють перемішування повітря, внаслідок чого повітря
в різних місцях поверхні Землі має практично той самий склад.
Конвекційні течії в атмосфері підтримують процес горіння, забез-
печуючи приплив кисню до полум’я і видаляючи продукти
згоряння.
Конвекційні течії рідин і газів широко використовуються
в техніці (нагадаємо водяне опалення приміщень). Однак у тех-
ніці природні конвекційні течії часто є недо-
статніми. У таких випадках вдаються до
примусової конвекції за допомогою насосів
(наприклад, охолодження генераторів елек-
тричного струму за допомогою продування
повітря або водню).
Крім конвекційних течій, виникнення
яких пов’язане з тепловим розширенням
рідини або газу, можливі інші причини
перемішування, а отже, і швидкого прогрі-
вання їх. Наприклад, у рідині, яка тече по
трубі, легко виникає турбулентний рух, при
якому шари текучої рідини інтенсивно пере-
мішуються між собою (§ 193).
В умовах невагомості конвекційні течії
зникають, бо зникає підтримуюча сила.
Тому, наприклад, в умовах невагомості
неможливе горіння (якщо не забезпечено
штучної тяги): продукти горіння не видаляються від полум’я,
і воно гасне внаслідок недостачі кисню. Але переміщування зав-
дяки турбулентності течії відбувається в умовах невагомості
так само, як і в звичайних умовах.
3) Променепоглинання і випромінювання.
Крім теплопередавання через теплопровідність і конвекційні
течії, величезне значення в природі і техніці має теплопереда-
вання за допомогою випромінювання і поглинання променів.
Підносячи руку до нагрітого утюга, ми навіть знизу (тобто там,
де надходить холодне повітря) відчуваємо «жар». Утюг випро-
мінює промені і тому охолоджується, а рука поглинає промені
і тому нагрівається. Ці промені — не що інше, як електромаг-
нітні хвилі, про які мова буде далі. Тут ми докладніше не гово-
ритимемо про випромінювання і поглинання променів. Нагадає-
мо лише, що через простір, у якому немає речовини, наприклад
від Сонця до Землі, теплота передається тільки за допомогою
випромінювання і поглинання променів.
4) Крім теплопровідності, конвекції і випромінювання,
25 7- юз
Рис. 373. Конвекційні
струмини рідини.
386
РОБОТА. ТЕПЛОТА.
[РОЗД. XI
є багато інших процесів, при яких гарячі тіла охолоджуються,
а холодні нагріваються: випаровування і конденсація, термоелек-
тричні явища і т. д. Про ці явища ми говоритимемо далі.
Вправи. 212. 1. Де температура розжареної нитки електролампи вища:
біля поверхні нитки чи в середині її?
212.2. Покладіть на аркуш білого паперу безпечну шпильку або контор-
ську скріпку. Потримайте аркуш над запаленою свічкою доти, поки папір не
Рис. 374. До вправи 212.2.
почне жовкнути і обвуглюва-
тись. Потім скиньте шпильку.
На пожовклому папері видно
буде білий слід шпильки (рис.
374). Поясніть явище.
212. 3. У табл. 6 зазначено,
що теплопровідність дерева
вздовж волокон більша, ніж
впоперек їх. Чому це так?
212.4. Коефіцієнти тепло-
провідності латуні і цинку май-
же однакові. Питомі теплоєм-
ності їх також майже однакові. Густина латуні помітно більша за густину
цинку. Яка з двох кварт із стінками однакової товщини швидше прогріється
при наливанні кип’ятку: латунна чи цинкова?
212.5. Якщо капнути води на горизонтальну розжарену плиту, то крап-
линка довго тримається, майже не випаровуючись. Якщо зробити це при
слабко розжареній плиті, то краплинка майже вмить з шипінням випариться.
Поясніть явище.
212 . 6. Припустимо, що знайдено рідину, коефіцієнт теплового розширення
якої при будь-якій температурі дорівнює нулю. Як поводила б себе ця рідина,
якби налити її в металеву каструлю і поставити на розжарену плиту?
212 .7. Приклейте маленький недогарок свічки на дно скляної банки. За-
паліть недогарок, накрийте його кришкою і простежте за полум’ям у двох
випадках: 1) банка перебуває в спокої, 2) банка вільно падає з висоти 2—
З м на м’яку купу піску (щоб вона не розбилася при падінні). Поясніть різни-
цю у формі і яскравості полум’я в цих двох випадках.
212 .8. Чому продування через електричні машини водню більше охолод-
жує їх, ніж продування такої самої маси повітря?
РОЗДІЛ XII
МОЛЕКУЛЯРНА ТЕОРІЯ
§ 213. Молекули і атоми. У цьому розділі фізики ми вивчаємо
зміни теплового стану тіл, який характеризується їх температу-
рою, перехід тіл з твердого стану в рідкий, з рідкого — в газо-
подібний і навпаки і т. д. Природно виникає питання, що від-
бувається всередині тіл, коли змінюється їх температура, коли
вони плавляться або випаровуються, і т. д. Відповіді на ці питан-
ня, як і на ряд інших, що стосуються властивостей речовини,
дає молекулярна теорія.
Вже в глибокій давнині, за дві з половиною тисяч років до
нашого часу, зародилось уявлення, що всі тіла, які нас оточу-
ють, складаються з найдрібніших частинок, які не можна
безпосередньо спостерігати. Проте лише за останні 100—
125 років розвинулось і було експериментально обгрунтоване
сучасне вчення про молекули і атоми.
Молекулами називають найдрібніші частинки, з яких скла-
даються різні речовини. При цьому в одних випадках, наприклад
у парі металів, в інертних газів (гелій, аргон і ін.) найдрібніші
частинки речовини являють собою окремі атоми; в інших випад-
ках такі частинки складаються з кількох атомів, наприклад
у водню, у кисню і азоту — з двох, у вуглекислоти — з трьох
і т. д. Молекули складних речовин —не елементів — складають-
ся з різних атомів елементів, що входять до їх складу. Таке уяв-
лення про будову тіл дало змогу пояснити основні закони хімії:
закон сталих відношень і закон кратних відношень.
Як відомо з хімії, закон сталих відношень полягає в тому,
що при утворенні будь-якої кількості якої-небудь хімічної сполу-
ки маси сполучуваних речовин завжди перебувають у цілком
певному відношенні. Наприклад, при утворенні води з водню
і кисню маси водню і кисню, що входять у сполуку, завжди від-
носяться як 1 : 8. З точки зору уявлень про атоми і молекули
цей дослідний факт відразу стає зрозумілим.
Справді, наприклад, для утворення води два атоми водню
сполучаються з одним атомом кисню, тобто молекула води має
25*
388
МОЛЕКУЛЯРНА ТЕОРІЯ
(РОЗД. XII
склад НгО. Тому й відношення мас водню та кисню повинно
дорівнювати відношенню подвійної маси атома водню до маси
атома кисню, через що воно завжди буде однаковим, яка б не
була кількість утвореної води. Це зв’язано з тим, що всі атоми
водню однакові і їх маса завжди однакова і що всі атоми кисню
також не відрізняються за масою один від одного.
Закон кратних відношень полягає в тому, що коли два еле-
менти утворюють кілька сполук, маси одного з елементів у різ-
них сполуках відносяться як цілі числа. Наприклад, азот
і кисень дають п’ять сполук. Кількості кисню в них, що припа-
дають на ту сам/кількість азоту, відносяться як цілі числа, як
1 :2 :3 :4 :5. Цей факт пояснюється тим, що те саме число ато-
мів одного елементу (2 атоми азоту в нашому прикладі) в моле-
кулах різних сполук зв’язані з різним числом атомів іншого еле-
менту (в нашому прикладі з 1, 2, 3, 4 і 5 атомами кисню).-Ці
сполуки мають склад: К2О, \2О2, М20з, М2О4, М2Об.
§ 214. Розміри атомів і молекул. Уявлення про молекулярну
будову тіл на перший погляд не узгоджується з нашим звичай-
ним досвідом: ми не спостерігаємо цих окремих частинок, тіла ми
уявляємо суцільними. Проте цю суперечність не можна вважати
переконливою. М. В. Ломоносов в одній з своїх праць писав:
«Не можна також заперечувати рух там, де око не бачить; хто
заперечуватиме, що рухаються листки і гілки дерев при сильно-
му вітрі, хоч здалеку він не помітить ніякого руху. Як тут через
віддаленість, так і в гарячих тілах внаслідок мализни часточок
речовини рух ховається від поглядів». Отже, причина позірної
суперечності в тому, що атоми і молекули надзвичайно малі.
У найкращий мікроскоп, що дає можливість розрізняти пред-
мети, розміри яких не менші від 0,0002—0,0003 мм, розглянути
окремі молекули, навіть найбільші, не можна. Проте цілий ряд
посередніх методів дав змогу не тільки надійно довести існу-
вання молекул і атомів, а навіть установити їх розміри. Так, роз-
мір атома водню можна вважати таким, що дорівнює 1,2 X
X Ю~8 см\ довжина молекули водню, тобто відстань між цент-
рами двох атомів, які утворюють її,— 2,3 • 10-8 см, і т. д. Існують
крупніші молекули, наприклад молекули білка (альбумін)
мають розміри 43 • 10~8 см.
Останніми роками завдяки побудові спеціального приладу,
який дає змогу дослідити об’єкти надзвичайно малих розмірів,—
електронного мікроскопа — стало можливим фотографувати
деякі крупні молекули.
Про те, що розміри молекул надзвичайно малі, можна суди-
ти і без вимірювань, виходячи з можливості утворювати дуже
малі кількості різних речовин. Розбавивши 1 см3 чорнила
§ 214]
РОЗМІРИ АТОМІВ І МОЛЕКУЛ
389
(наприклад, зеленого) в літрі чистої води, 1 см3 цього розчину
ще раз у літрі води, ми матимемо розбавлення в 1 000 000 раз.
І все ж ми побачимо, що останній розчин має помітне зелене
забарвлення і водночас цілком однорідний. Отже, у найменшому
об’ємі, який ще може розрізнити око, навіть при такому роз-
бавленні міститься дуже багато молекул барвника. Це показує,
Рис. 375.
води (а)
Схеми будови молекули
і молекули вуглекислого
газу (б).
які малі ці молекули.
Золото можна розплющувати в листочки завтовшки 0,0001 мм,
а обробляючи такі листочки водним розчином ціаністого калію,
можна зробити листки золота
завтовшки 0,00001 мм. Отже,
розмір молекули золота, оче-
видно, значно менший за одну
стотисячну міліметра.
На рисунках ми часто зо-
бражатимемо молекули у ви-
гляді кульок. Проте насправді
молекули (а також, як ми по-
бачимо далі, і атоми) мають
у різних речовин різну будову,
часто досить складну. Тепер
відомо, наприклад, форму і бу-
дову не тільки таких простих
молекул, як Н2О і СО2 (рис. 375), а й незрівнянно складніших,
що містять багато тисяч атомів.
§ 215. Мікросвіт. Успіхи у вивченні будови речовини, про які
була мова в попередніх параграфах, розкрили перед дослідни-
ками природи новий світ — світ найдрібніших частинок. Його
часто називають мікросвітом*, на відміну від світу великих тіл,
або макросвіту \ мікросвіт недоступний безпосередньому спосте-
реженню і для його вивчення потрібні особливі, тонкі методи.
Виявилося, що мікросвіт дуже складний. Як було вже зазначе-
но, будь-яке тіло, яке в механіці ми розглядали як ціле, при
використанні нових методів досліджень виявилося складною
системою величезного числа молекул, які безперервно рухають-
ся. Молекули виявилися такими, що складаються ще з дрібні-
ших часток — атомів, причому в деяких типах молекул число
атомів дуже велике. У свою чергу атоми є складними системами,
що складаються з електронів і ядер, а самі ядра складаються
з різних частинок, про які йтиме мова в останньому томі цього
підручника.
Звичайно, все, що відбувається і спостерігається в макро-
1 Грецькі слова: «мікрос»— малий, «макрос» — великий.
390
МОЛЕКУЛЯРНА ТЕОРІЯ
[РОЗД. ХІТ
світі, взаємозв’язане з станом частинок мікросвіту і з їх
змінами. Зміни теплового стану тіл — температурні зміни і пере-
хід тіл з одного стану в інший, наприклад, з твердого в рід-
кий,— виявились пов’язаними в основному із змінами руху
молекул і їх взаємного розміщення. Хімічні перетворення, які
спостерігаються в макросвіті, пов’язані із змінами атомного скла-
ду молекул.
Будова молекул або атомів, а також рухи атомів, які утворю-
ють молекули, і рухи частинок, що утворюють атоми, проявля-
ються в макросвіті в електричних, магнітних, оптичних та інших
явищах. Ця незвичайна складність мікросвіту становила б
непереборні труднощі для його пізнання, якби ми не зуміли
розумно розчленувати задачу. Виявляється, що можна виділити
простіші явища, зумовлені, наприклад, молекулярними рухами,
при вивченні яких можна знехтувати тоншими процесами мікро-
світу; потім слід перейти до вивчення тонших процесів і рухів,
пов’язаних з структурою атомів і молекул, залишаючи в стороні
внутріядерні процеси, і т. д.
Отже, переходячи від вивчення простіших типів процесів
і рухів до складніших, ми поступово утворюємо собі все більш
докладну і глибоку картину мікросвіту.
Почнемо з таких явищ, при яких можна не звертати уваги
на внутрішню структуру молекул, на рух атомів, що утворюють
молекули, і на ще тонші внутріатомні і внутріядерні процеси та
рухи. Сюди належить велика група теплових явищ, при яких
молекули можна розглядати як незмінні малі тільця.
Таким чином, переходячи до вивчення мікросвіту, обмежи-
мось спочатку вивченням руху і розміщення молекул, не роз-
глядаючи змін їх внутрішньої будови.
§ 216. Внутрішня енергія з точки зору молекулярної теорії.
У попередньому розділі ми дійшли висновку, що, крім механіч-
ної енергії деякої системи тіл, яка залежить від їх швидкостей
(кінетична енергія) і від їх взаємного розміщення (потенціаль-
на енергія), кожному з тіл, що утворюють систему, властива ще
внутрішня енергія, яка залежить від стану цього тіла. Тепер
можна уточнити поняття внутрішньої енергії. Внутрішня енергія
є кінетична і потенціальна енергія частинок, які утворюють
мікросвіт: молекул, з яких складаються макротіла, атомів,
з яких складаються молекули, електронів та інших частинок, які
утворюють атоми. У попередньому параграфі ми зазначили, що
в основному теплові явища можна пов’язати лише з рухом і роз-
міщенням молекул як незмінних простих частинок. Тому, вивчаю-
чи теплові явища, ми цікавитимемось лише частиною внутріш-
ньої енергії тіл, а саме, лише кінетичною енергією молекул, яка
§ 217]
МОЛЕКУЛЯРНИЙ РУХ
391
залежить від швидкостей їх безладного руху, і потенціальною
енергією молекул, яка залежить від їх взаємного розміщення.
У випадку газів зміна внутрішньої енергії є в основному
зміною кінетичної енергії безладного руху їх молекул; справа
в тому, що в газах взаємодія між молекулами мала і змінами
потенціальної енергії під час руху молекул можна знехтувати.
У рідинах і твердих тілах взаємодія молекул дуже велика,
і зміна відстані між молекулами різко змінює потенціальну
енергію їх взаємодії. Тому у випадку рідких і твердих тіл зміна
внутрішньої енергії полягає і в зміні кінетичної енергії безлад-
ного руху молекул, і в зміні потенціальної енергії їх взаємодії.
У світлі молекулярних уявлень стає зрозуміло, що відбува-
ється, коли внаслідок теплопровідності внутрішня енергія гаря-
чого тіла (або гарячої частини тіла) зменшується, а холодного
тіла (або холодної частини тіла) збільшується. Під час взаємо-
дії молекул відбувається обмін їх швидкостями, подібно до того,
як відбувається обмін швидкостями при ударі пружних куль
(§ 102); а обмін швидкостями пов’язаний з обміном кінетичними
енергіями. Внаслідок цього внутрішня енергія гарячого тіла
зменшується, а холодного — збільшується, тобто внутрішня
енергія вирівнюється, точніше вирівнюється та її частина, яка
є кінетичною енергією молекул. Звідси випливає висновок, що
температура тіла зв’язана з кінетичною енергією молекул,
з яких воно складається. Докладніше про це говоритимемо
далі (§ 243).
§ 217. Молекулярний рух. Зіставимо насамперед кілька прос-
тих фактів, які дають змогу зробити висновок про рух молекул.
Покладемо в склянку холодного чаю грудочку цукру. Цукор роз-
тане і утворить густий сироп поблизу дна склянки. Цей сироп
добре видно, коли подивитися крізь склянку на світло. Залиши-
мо склянку в спокої на кілька годин. Чи залишиться сироп на
дні склянки? Ні, він поступово розійдеться по всій склянці.
Це поширення цукру по об’єму склянки відбувається самодовіль-
но, бо ніхто чаю не перемішував. Так само розходиться по
кімнаті запах (наприклад, коли відкрити флакон з духами); це
відбуватиметься навіть і тоді, коли повітря в кімнаті цілком
спокійне.
Виконаємо ще такий дослід: зрівноважимо на терезах велику
відкриту зверху посудину. Якщо в цю посудину налити вугле-
кислого газу, то рівновага порушиться, бо вуглекислий газ
важчий за повітря. Проте через деякий час рівновага відновить-
ся. Справа в тому, що вуглекислий газ розійдеться по всьому
приміщенню, а посудина буде заповнена повітрям з дуже малою
домішкою вуглекислого газу. У всіх цих випадках одна речовина
392
МОЛЕКУЛЯРНА ТЕОРІЯ
[РОЗД. XII
(цукор, пара ароматичних речовин, вуглекислий газ) поши-
рюється в іншій (у воді, у повітрі). Це явище, при якому дві
речовини самодовільно змішуються одна з одною, називається
дифузією. Під час дифузії речовина поширюється в усі боки,
також і вгору, тобто проти сили тяжіння. Явище дифузії показує,
що молекули речовини весь час рухаються. Наприклад, під час
дифузії цукру у воді різні молекули резчиненого цукру рухають-
ся в різні боки між молекулами води, які також рухаються, і,
отже, цукор поступово поширюється по всій посудині, заповне-
ній водою.
Таким чином, явище дифузії яскраво показує нам, що моле-
кули весь час рухаються і притому в різних напрямах. Такий
рух молекул можна виявити не тільки в газах і рідинах, а й у
твердих тілах. Він називається молекулярним тепловим рухом.
Тут може виникнути питання: чому ж ми при звичайному
спостереженні не помічаємо цього руху в тілах? Тобто чому
тіло не рухається як ціле, хоч усі його молекули перебувають
у русі? Пояснення полягає в тому, що при молекулярному русі
різні молекули рухаються в найрізноманітніших напрямах, так
що тіло в цілому перебуває в спокої. При повній безладності
руху молекул і численності молекул для будь-якої молекули
знайдеться інша молекула, яка летить приблизно в протилежний
бік з тією самою швидкістю. Оскільки газ міститься в оболонці,
яка не дає змоги молекулам розлетітися, то в газі рух молекул
зводиться до безладного літання туди й назад, у всіх напрямах.
Тому немає руху в який-небудь певний бік.
§ 218. Молекулярний рух у газах, рідинах і твердих тілах»
Загальний характер молекулярного руху однаковий для газів,
рідин і твердих тіл. У всіх випадках рух має безладний харак-
тер, тобто швидкості молекул не мають якого-небудь пере-
важного напряму, а розподілені хаотично по всіх напрямах.
Внаслідок зіткнень молекул між собою їх швидкості весь час
змінюються як за напрямом, так і за величиною. Тому швидкості
молекул можуть значно відрізнятися між собою. У будь-який
момент у тілі є й молекули, які рухаються дуже швидко, і моле-
кули, які рухаються порівняно повільно. Проте число молекул, які
рухаються значно повільніше або значно швидше, ніж інші,
мале. Більшість молекул рухається з швидкостями, які мало від-
різняються від деякої середньої швидкості, що залежить від
роду молекул і температури тіла. У дальшому, говорячи про
швидкості молекул, ми матимемо на увазі їх середню швидкість.
До питання про вимірювання і розрахунок середньої швид-
кості молекул ми повернемось трохи пізніше.
У багатьох міркуваннях щодо руху молекул відіграє велику
§ 219]
БРОУНІВСЬКИЙ РУХ
393
роль поняття середньої довжини вільного пробігу. Середньою
довжиною вільного пробігу називається середня відстань, яку
пробігають молекули між двома послідовними зіткненнями.
Вона залежить від густини речовини. Тому в газах середня дов-
жина вільного пробігу значно більша, ніж у рідинах; із змен-
шенням густини газу середня довжина вільного пробігу збільшу-
ється. При атмосферному тис-
ку і 0° С середня довжина віль-
ного пробігу молекул повітря
дорівнює приблизно 10“6 —
— 10“5 см (рис. 376).
У дуже розріджених газах
(наприклад, всередині пустот-
них електричних лампочок)
середня довжина вільного про-
бігу досягає кількох сантимет-
рів і навіть десятків сантимет-
рів. . Тут молекули рухаються
від стінки до стінки майже без
зіткнень.
У рідинах, які значно густі-
ші, ніж гази, середня довжина
вільного пробігу молекул дуже
мала — менша за розміри са-
мих молекул, тобто близько
10-8 см. Тому і дифузія в ріди-
нах відбувається значно по-
вільніше, ніж у газах.
Рис. 376. Таким приблизно є рух мо-
лекули повітря при нормальному тис-
ку. Збільшено в мільйон раз.
У твердих тілах молекули при тепловому русі майже не пере-
суваються з місця на місце; вони дрижать, коливаються навколо
деякого свого середнього положення.
Уявлення про теплоту, як про рух часточок тіла, задовго до
створення молекулярної теорії розвинув М. В. Ломоносов.
§ 219. Броунівський рух. Як ми бачили, тиск газу на стінку
спричинюється ударами молекул об неї. Але число цих ударів за
одиницю часу випадково може бути то більшим, то меншим.
Тому можна припускати, що сила тиску газу на стінку не завжди
повинна мати те саме значення: іноді вона набагато більша,
іноді менша. Чи так це? Чи можна виявити ці відхилення тиску
від сталого значення? Безпосередньо виміряти ці коливання
тиску газу на стінку не вдається — вони дуже малі; але є явища,
які можна спостерігати і які пояснюються саме наявністю коли-
вань у числі і силі ударів молекул. Це насамперед явище так
званого броунівського руху.
394
МОЛЕКУЛЯРНА ТЕОРІЯ
[РОЗД. XII
Якщо спостерігати в потужний мікроскоп будь-які маленькі
частинки, що перебувають навіть у зовсім спокійній рідині або
газі (наприклад, краплинки жиру у воді, частинки, з яких скла-
дається дим, або краплинки туману в повітрі), то виявляється,
що ці частинки перебувають у русі. Вони безперервно колива-
ються, топчуться то назад, то наперед. Рух менших частинок
значніший, ніж більших. Це явище, відкрите англійським бота-
ніком, Броуном в 1827 р., називається броунівським рухом. При-
чина явища дуже довго була незрозумілою, поки не було доведе-
но, що цей рух частинок спричинений поштовхами навколишніх
молекул рідини або газу. Хоч молекули рідини (або газу) вда-
ряються об частинки з усіх боків, проте їх удари не зрівнова-
жують цілком одна одну. Іноді випадково дія ударів на частинку
з якого-небудь боку буде трохи більшою, ніж з інших боків, вна-
слідок чого частинка почне рухатися в деякому напрямі. Потім
переважають удари з якого-небудь іншого боку, і частинка почне
рухатися в новому напрямі. Результатом є безладний рух час-
тинки.
Докладне вивчення цього явища не тільки підтвердило пра-
вильність такого пояснення, а й його результати дали змогу
визначити число молекул в 1 см3 рідини і газу. Таким чином,
броунівський рух був одним з найбільш безпосередніх і яскра-
вих обгрунтувань молекулярних уявлень.
§ 220. Молекулярні сили. Якщо відкрити кран у трубці, що
сполучає вгорі два балони, один з яких наповнений газом, а дру-
гий — порожній, то частина газу з пер-
шого балона негайно перейде в другий.
Речовина, яка перебуває в газоподіб-
ному стані, завжди націло заповнює
наданий їй об’єм. Але якщо перший ба-
лон буде наповнений рідиною або твер-
дим тілом, речовина в другий (порож-
ній) балон не перейде. Якщо знехту-
вати незначним випаровуванням, то й
рідина і тверде тіло залишаться на
своїх місцях.
Чим пояснюється ця різниця в поводженні газів і рідин? Коли
речовина пербуває в рідкому стані, між її молекулами діють
деякі сили, які перешкоджають молекулам речовини розлетітися
в усі боки. Називатимемо ці сили молекулярними силами, або
силами зчеплення. Прояв сил зчеплення дуже наочно видно, коли
краплинки дощу зависають на проводах або листках і деякий
час не падають униз (рис. 377). У цьому разі сили зчеплення
не тільки перешкоджають молекулам розлетітися в усі боки, а й
зрівноважують силу тяжіння краплини.
Рис. 377. Повисла крапли-
на води вдержується від
падіння силами зчеплення.
Дуже важка краплина па-
дає.
§ 220]
МОЛЕКУЛЯРНІ СИЛИ
395
Очевидно, у твердих тілах також діють сили молекулярного
зчеплення, що вдержують молекули одну біля одної.
Чому ж сили зчеплення не проявляються в газах і парі? Ми
знаємо, що в газах і парі молекули віддалені одна від одної,
взагалі кажучи, на значно більшу відстань, ніж молекули в ріди-
нах і твердих тілах. Природно припустити, що молекулярні сили
швидко зменшуються з відстанню і тому помітно діють лише на
невеликих відстанях між молекулами; цим і поя-
снюється, що вони майже не проявляють себе
в газах.
Це припущення можна підкріпити такими спо-
стереженнями. Частини склянки міцно зчеплені
між собою і, щоб їх роз’єднати, тобто зруйнувати
склянку, потрібна значна сила. Проте як тільки
склянку розбито, розбиті частини вже не взаємо-
діють між собою, якщо їх прикладати одну до
одної. Справа в тому, що, прикладаючи частини
розбитої склянки одну до одної, ми зближаємо
між собою лише дуже мале число молекул. Інші
молекули залишаються на відстані, хоч і невели-
кій, проте достатній для того, щоб взаємодія мо-
лекул стала дуже малою. Але нагріті і внаслідок
цього розм’якшені куски скла при стиканні зли-
паються. У цьому разі зближається до досить
малої відстані велике число молекул і сили
взаємодії стають великими.
Рис. 378. Скла-
дені свіжими
зрізами свинце-
ві бруски зли-
паються так,
що вдержують
важку гирю.
У випадку м’яких матеріалів, застосовуючи
достатні сили, можна привести в зіткнення велике число молекул
і при не зовсім рівній поверхні. Це, наприклад, можна зробити
з свинцем. Якщо два свіжозрізані свинцеві бруски притиснути
один до одного, то вони злипаються так, що можуть витримати
вагу великої гирі (рис. 378).
Ми прийшли до висновку, що молекули рідин і твердих тіл
взаємно притягуються. Проте це не пояснює нам усіх властиво-
стей рідин і газів. Справді, ми знаємо, що рідини і тверді тіла
відрізняються від газів ще тим, що вони значно важче стиска-
ються, ніж гази. Щоб, стискаючи газ і рідину, зменшити їх
об’єм на однакову частку (наприклад, на 1%), до рідини (і твер-
дих тіл) треба прикласти незрівнянно більший тиск, ніж до
газів.
Чим саме пояснити, що при стисканні рідин (і твердих тіл)
виникає величезний тиск, який перешкоджає цьому стисканню?
Щоб пояснити цей факт, ми повинні припустити, що, крім сил
притягання, між молекулами діють і сили відштовхування. При
деякому об’ємі тіла сили притягання і сили відштовхування
396
МОЛЕКУЛЯРНА ТЕОРІЯ
[РОЗД. XII
в середньому однакові між собою і тіло перебуває в рівноважному
(ненапруженому) стані. При зміні об’єму рівновага між силами
притягання і силами відштовхування порушується. При цьому
сили відштовхуваня змінюються із зміною відстані більше, ніж
сили притягання. Тому при стисканні тіла, коли відстань між
молекулами зменшується, сили відштовхування стають більші за
сили притягання, перешкоджаючи стисканню тіла. Навпаки,
коли тіло розтягується, сили відштовхування зменшуються біль-
ше, ніж сили притягання, так що останні переважають і пере-
шкоджають розтягу тіла.
Звичайно, внаслідок теплового руху відстані між молекулами
весь час змінюються. Одні молекули притягуються одна до одної,
а інші, дуже зблизившись, відштовхуються.
Щоб стиснути рідину (наприклад, здавити воду в циліндрі
поршнем), треба зменшити середні відстані між молекулами.
При цьому сили відштовхування між молекулами збільшуються,
внаслідок чого збільшується і тиск рідини на стінки посудини.
Ми бачили, що в рідин дуже мале зменшення об’єму пов’язане
з дуже великим збільшенням тиску.
Ці міркування можна застосувати також і до твердих тіл.
При переході речовини в газоподібний стан відстані між моле-
кулами стають такими великими, що ні сили відштовхування,
ні сили притягання практично не мають значення: молекули
газу не зв’язані між собою і розлітаються в усі боки внаслідок
молекулярного руху. Проте ці міркування незастосовні до дуже
стиснених газів: у стиснених газах взаємодія молекул познача-
ється помітно.
РОЗД І Я XIII
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
м
Рис. 379. Сталь-
ний балон для
збереження ду-
же стиснених
газів, М — вен-
тиль для випус-
кання газу.
§ 221. Тиск газу. Ми вже говорили (§ 220), що гази завжди
зовсім заповнюють об’єм, обмежений непроникними для газу
стінками. Так, наприклад, стальний балон, який
використовують у техніці для зберігання стисне-
них газів (рис. 379), або камера автомобільної
шини цілком і практично рівномірно заповнені
газом.
Прагнучи розширитись, газ чинить тиск на
стінки балона, камери шини або будь-якого іншо-
го тіла, твердого або рідкого, з яким він стикає-
ться. Якщо не брати до уваги дії поля тяжіння
Землі, яке при звичайних розмірах посудин дуже
мало змінює тиск, то при рівновазі тиск газу
в посудині здається нам цілком рівномірним. Це
зауваження стосується макросвіту. Але якщо
уявити собі, що відбувається в мікросвіті моле-
кул, які утворюють газ у посудині, то ні про який
рівномірний розподіл тиску не може бути й мови.
В одним місцях поверхні стінки молекули газу
вдаряють об стінки, тоді як в інших місцях уда-
рів немає; ця картина весь час безладно змінює-
ться. Молекули газу вдаряють об стінки посуди-
ни, а потім відлітають від них із швидкістю, яку
можна вважати такою, що дорівнює швидкості
молекули перед ударом. Налітаючи на стінку,
молекула передає їй кількість руху, що дорівнює
тс, де т — маса молекули і V — її швидкість.
Відбиваючись від стінки (з тією самою швидкістю ц), молекула
ніби відштовхується від неї і, таким чином, надає їй ще такої
самої кількості руху тс. Отже, при кожному ударі (перпендику-
лярно до стінки) молекула передає їй кількість руху, шо дорів-
нює 2тц. Якщо за 1 сек на 1 см2 стінки припадає N ударів, то
398
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД XIII
повна кількість руху, передана цій ділянці стінки, дорівнює
2Л7/пу. За другим законом Ньютона (§ 49) ця кількість руху
дорівнює добутку сили /, яка діє на цю ділянку стінки, на час т,
протягом якого вона діє. У нашому випадку т = 1 сек. Отже, } =
= є сила, що діє на 1 см1 2 стінки, тобто тиск. Позначивши
його через р (причому р чисельно дорівнює /), знайдемо:
р = 2їїпти.
Неважко зміркувати, що число ударів за 1 сек залежить від
швидкості молекул, бо чим швидше вони летять, тим частіше
вдаряються об стінку, і від числа молекул п в одиниці об’єму, бо
чим більше молекул, тим більше і число ударів, яких вони зав-
дають. При не дуже стисненому газі можна вважати, що N про-
порціональне п і V, тобто р пропорціональне пто2.
Отже, щоб розрахувати за допомогою молекулярної теорії
тиск газу, ми повинні знати такі характеристики мікросвіту моле-
кул: масу т, швидкість V і число молекул п в одиниці об’єму.
Щоб знайти ці мікрохарактеристики молекул, ми повинні вста-
новити, від яких характеристик макросвіту залежить тиск газу,
тобто встановити на досліді закони газового тиску. Порівнявши
ці дослідні закони з законами, розрахованими за допомогою
молекулярної теорії, ми матимемо змогу визначити характеристи-
ки мікросвіту, наприклад швидкості газових молекул
Отже, встановимо, від чого залежить тиск газу.
По-перше, від ступеня стискання газу, тобто від того, скіль-
ки молекул газу міститься в певному об’ємі. Наприклад, нагні-
таючи в автомобільну шину дедалі більше повітря або стискаючи
(зменшуючи об’єм) закриту камеру, ми змушуємо газ дедалі
більше тиснути на стінки камери.
По-друге, від того, яка температура газу. Відомо, наприклад,
що м’яч стає більш пружним, коли його потримати поблизу
нагрітої печі.
Звичайно зміна тиску зумовлюється обома причинами відра-
зу: і зміною об’єму, і зміною температури. Але можна здійснити
явище так, що при зміні об’єму температура змінюватиметься
дуже мало або при зміні температури об’єм практично буде
незмінним. Цими випадками ми спочатку й займемось, зробивши
ще таке зауваження. Ми розглядатимемо газ у стані рівноваги.
Це означає, що в газі встановилась як механічна, так і теплова
рівновага.
Механічна рівновага означає, що окремі частини газу не
рухаються. Для цього необхідно, щоб тиск газу був у всіх його
частинах однаковий, якщо знехтувати незначною різницею тиску
1 Існують методи, які дають змогу і безпосередньо вимірювати швид-
кості газових молекул (§ 244).
§ 222]
ЗАЛЕЖНІСТЬ РИСКУ ГАЗУ ВІД ТЕМПЕРАТУРИ
399
у верхніх і нижніх шарах газу, яка виникає під дією сили
тяжіння.
Теплова рівновага означає, що теплота від однієї ділянки
газу до іншої не передається. Для цього необхідно, щоб темпе-
ратура в усьому об’ємі газу була однаковою.
§ 222. Залежність тиску газу від
з пояснення залежності тиску газу від
незмінного об’єму певної маси газу. Ці
дослідження вперше виконав у 1787 р.
Шарль. Ці досліди можна відтворити
в спрощеному вигляді, нагріваючи газ
у великій колбі, з’єднаній з ртутним
манометром у вигляді вузької зігнутої
трубки (рис. 380).
Дуже малим збільшенням об’єму
колби при нагріванні і незначною змі-
ною об’єму при зміщенні ртуті у вузь-
кій манометричній трубці знехтуємо.
Отже, можна вважати об’єм газу не-
змінним. Підігріваючи воду в посудині,
яка оточує колбу, позначатимемо тем-
пературу газу за термометром Т, а від-
повідний тиск — за манометром М. На-
повнивши посудину танучим льодом,
температури. Почнемо
температури при умові
виміряємо ТИСК р0, ЯКИЙ відповідає Рис. 380. При опусканні ксл-
температурі 0° С. би в гарячу воду приєдна-
Такі досліди показали: ний до колби ртутний мано-
1. Приріст тиску деякої маси газу "7Д
при нагріванні на 1 становить певну
частину а того тиску, який мала ця маса газу при температурі
0° С. Якщо тиск при 0° С позначити через ро, то приріст тиску
газу при нагріванні на Г С дорівнює аро.
При нагріванні на т градусів приріст тиску буде в т раз біль-
ший, тобто приріст тиску пропорціональний приросту темпера-
тури.
2. Величина а, яка показує, на яку частину тиску при 0° С
збільшується тиск газу при нагріванні на 1°, має те саме зна-
чення (точніше, майже те саме) для всіх газів, а саме 7273 гряд
Величину а називають термічним коефіцієнтом тиску. Отже, тер-
мічний коефіцієнт тиску для всіх газів має однакове значення,
яке дорівнює ’/27з град~х.
Тиск деякої маси газу при нагріванні на 1° у незмінному
об'ємі збільшується на 7г7з частину тиску при 0° С (закон;
Шарля).
400
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
(РОЗД. XIII
Проте слід мати на увазі, що температурний коефіцієнт тис-
ку газу, знайдений при вимірюванні температури за ртутним тер-
мометром, не точно однаковий для різних температур: закон
Шарля виконується тільки наближено, хоч і з дуже великим
ступенем точності.
§ 223. Формула, яка виражає закон Шарля. Закон Шарля
дає змогу розрахувати тиск газу при будь-якій температурі,
коли відомий його тиск при 0° С. Нехай тиск при 0°С даної маси
газу в даному об’ємі є р0, а тиск того самого газу при темпера-
турі і є р. Приріст температури є /, отже, приріст тиску дорів-
нює ароі і шуканий тиск дорівнює
Р — Ро + <*Ро* = Ро (1 + = Ро + 273^ • (223. 1)
Цією формулою можна користуватися також тоді, коли газ
охолоджений до температури нижче 0°С; при цьому і матиме
від’ємні значення. При дуже низьких температурах, коли газ
наближаються до стану зрідження, а також у випадку значно
стиснених газів закон Шарля не застосовний, і тоді формула
(223. 1) не придатна.
Вправи. 223.1. Дві однакові посудини сполучені з манометром, виго-
товленим з вузької скляної трубки (рис. 381). Рівні ртуті в колінах манометра
однакові. Посудини опускають у банку з теп-
лою водою, а) Що станеться з положенням
ртуті в манометрі? б) Як зміниться відповідь,
якщо посудини будуть різної величини? в) Як
зміниться відповідь, якщо одну з посудин на-
повнимо азотом, а другу воднем? г) Як змі-
ниться відповідь, якщо рівень ртуті в правому
коліні до опускання посудини у воду буде
вищий, ніж у лівому?
223.2. Деякі типи електричних ламп роз-
жарювання наповнюють сумінішю азоту і арго-
ну. Під час роботи лампи газ у ній нагрівається
приблизно до 100° С. Який повинен бути тиск
суміші газів при 20° С, коли бажано, щоб при
роботі лампи тиск газу в ній не перевищував
атмосферного?
Рис. 381. До вправи 223. 1.
223.3. На манометрах ставлять червону риску, яка показує межу, понад
яку збільшення тиску газу небезпечне. При температурі 0° С манометр показує,
що надлишок тиску газу над тиском зовнішнього повітря дорівнює 120 кПсм2.
Чи буде досягнута червона риска при підвищенні температури до 50° С, якщо
червона риска стоїть на 135 кГІсмг> Тиск зовнішнього повітря вважати
1 кГІсм2.
223.4. Припустимо, що в деякій країні умовились вважати за початковий
тиск газу тиск не при 0° С, а при 100° С. Чому в такому разі дорівнював би
термічний коефіцієнт тиску газів?
§ 224. Закон Шарля з точки зору молекулярної теорії. Що
відбувається в мікросвіті молекул, коли температура газу зміню-
ється, наприклад підвищується, і тиск газу збільшується? З точ-
§ 225]
АДІАБАТИЧНІ ТА ІЗОТЕРМІЧНІ ПРОЦЕСИ
401
ки зору молекулярної теорії можливі дві причини збільшення
тиску даного газу: по-перше, могло збільшитись число ударів-
молекул на 1 см2 протягом 1 сек\ по-друге, могла збільшитись
кількість руху, що передається при ударі об стінку однією моле-
кулою. І те і те потребує збільшення швидкості молекул (нага-
даємо, що об’єм даної маси газу не змінюється). Звідси стає
зрозуміло, що підвищення температури газу (в макросвіті)
є збільшення середньої швидкості безладного руху молекул,
(у мікросвіті). Досліди на визначення швидкостей газових моле-
кул, про які мова буде трохи далі (§ 244), підтверджують цей
висновок.
Коли ми маємо справу не з газом, а з твердим або рідким
тілом, у нашому розпорядженні немає таких безпосередніх мето-
дів визначення швидкості молекул тіла. Проте і в цих випадках,
безперечно, що з підвищенням температури швидкість руху
молекул зростає, як про це ми говорили вже в § 216.
Вправа. 224. 1. Швидкість дифузії збільшується при підвищенні темпе-
ратури. Поясніть це.
§ 225. Зміна температури газу при зміні його об’єму. Адіаба-
тичні та ізотермічні процеси. Ми встановили, як залежить тиск
газу від температури, коли об’єм не змінюється. Тепер подиви-
мось, як змінюється тиск деякої маси газу залежно від об’єму,,
який вона займає, коли температура залишається незмінною.
Однак, перш ніж перейти до цього питання, треба з’ясувати, як
підтримувати температуру газу незмінною. Для цього треба-
вивчити, що станеться з температурою газу, коли об’єм- його змі-
нюється так швидко, що теплообміну газу з навколишніми тіла-
ми практично немає.
Виконаємо такий дослід. У закриту з одного кінця товстостін-
ну трубку з прозорого матеріалу (плексигласу або скла) поміс-
тимо ватку, злегка змочену ефіром, і цим створимо всередині
трубки суміш пари ефіру з повітрям, яка вибухає при нагріван-
ні. Потім швидко вставимо в трубку поршень, який щільно приля-
гає до стінок трубки (рис. 382). Ми побачимо, що всередині трубки
станеться маленький вибух. Це означає, що при стисканні суміші
пари ефіру з повітрям температура суміші різко підвищилась. Це
явище цілком зрозуміле. Стискаючи газ зовнішньою силою, ми
виконуємо роботу, внаслідок якої внутрішня енергія газу повинна
була збільшитись; це й сталося — газ нагрівся.
Тепер надамо можливість газу розширюватись і виконувати
при цьому роботу проти сил зовнішнього тиску. Це можна здійс-
нити, наприклад, так (рис. 383). Нехай у великій пляшці стисне-
но повітря, що має кімнатну температуру. Сполучивши пляшку
з зовнішнім повітрям, надамо повітрю в пляшці можливість роз-
26 7-103
402
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
(РОЗД. XIII
ширюватись, виходячи з невеликого отвору назовні, і помістимо
в струмині розширюваного повітря термометр або колбу з труб-
кою, зображену на рис. 388 (стор. 409). Термометр покаже
температуру, помітно нижчу, ніж кімнатна, а краплина в трубці,
приєднаній до колби, просунеться в бік колби, що також свідчи-
тиме про зниження температури повітря в струмині. Отже, коли
Рис. 383 Термометр 2, поміщений
у струмину розширюваного повіт-
ря, показує нижчу температуру,
ніж термометр /.
Рис. 382. Швидко всуваючи
поршень у товстостінну скляну
трубку, ми примушуємо спа-
лахнути всередині трубки лег-
козаймисту ватку.
газ розширюється і при цьому виконує роботу, він охолоджу-
ється і внутрішня енергія його зменшується !. Зрозуміло, що
нагрівання газу при стисканні і охолодження при розширенні
є вираженням закону збереження енергії.
Якщо ми звернемось до мікросвіту, то явища нагрівання
газу при стисканні і охолодження при розширенні будуть ціл-
ком зрозумілі. Коли молекула вдаряється об нерухому стінку
і відскакує від неї, швидкість, а отже, і кінетична енергія моле-
кули, в середньому така сама, як і до удару об стінку. Але
якщо молекула вдаряється і відскакує від поршня, який насу-
вається на неї, то її швидкість і кінетична енергія більші, ніж
до удару об поршень (подібно до того, як швидкість тенісного
м’яча збільшується, коли його вдарити в зустрічному напрямі
ракеткою). Поршень, який насувається, передає відбитій від
нього молекулі додаткову енергію. Тому внутрішня енергія газу
при стисканні зростає. При відскакуванні від поршня, який
1 Нагадуємо, що в § 202, розглядаючи перетворення енергії при вилітанні
•пробки з пляшки з газованою водою, ми зазначали, що газ у пляшці охо-
лоджується.
§ 226]
ЗАКОН БОЙЛЯ - МАРІОТТА
403
віддаляється, швидкість молекули зменшується, бо молекула
виконує роботу, штовхаючи поршень, що відходить. Тому роз-
ширення газу, зв’язане з відсуванням поршня або шарів навко-
лишнього газу, супроводиться виконанням роботи і призводить
до зменшення внутрішньої енергії газу.
Отже, стискання газу зовнішньою силою спричинює його
нагрівання, а розширення газу супроводиться його охолоджен-
ням. Це явище деякою мірою спостерігається завжди, але особ-
ливо різко помітне тоді, коли обмін теплотою з навколишніми
тілами зведений до мінімуму або такий обмін може більшою або
меншою мірою компенсувати зміну температури.
Процеси, при яких передавання теплоти таке мале, що ним
можна знехтувати, називають адіабатичними.
Повернемось до питання, поставленого на початку парагра-
фа. Як забезпечити сталість температури газу, незважаючи на
зміни його об’єму? Очевидно, для цього треба безперервно
передавати газу теплоту ззовні, якщо він розширюється, і без-
перервно відбирати від нього теплоту, передаючи її навколиш-
нім тілам, якщо газ стискається. Зокрема, температура газу
залишається досить сталою, якщо газ розширюється або стис-
кається дуже повільно, а теплота ззовні або зсередини може
передаватися з достатньою швидкістю. При повільному розши-
ренні теплота від навколишніх тіл передається газу і його тем-
пература зменшується так мало, що цим зменшенням можна
знехтувати. При повільному стисканні теплота, навпаки, пере-
дається від газу до навколишніх тіл, внаслідок чого темпе-
ратура його підвищується дуже мало.
Процеси, при яких температура підтримується незмінною,
називають ізотермічними.
Вправа. 225.1. Чому при накачуванні повітря у велосипедну шину
насос помітно нагрівається?
§ 226. Закон Бойля — Маріотта. Перейдемо тепер до доклад-
нішого вивчення питання, як змінюється тиск деякої маси газу,
якщо температура його не змінюється, а змінюється лише об’єм
газу. Ми вже пояснювали (§ 225), що такий ізотермічний процес
здійснюється при умові сталості температури тіл, які оточують
газ, і такої повільної зміни об’єму газу, що температура газу
в будь-який момент процесу не відрізняється від температури
навколишніх тіл.
Таким чином, ми ставимо питання: як зв’язані між собою
об’єм і тиск при ізотермічній зміні стану газу? Щоденний досвід
учить нас, що при зменшенні об’єму деякої маси газу тиск його
збільшується. Як приклад можна назвати підвищення пружно-
сті при накачуванні футбольного м’яча або велосипедної чи
26*
404
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД. XIII
автомобільної шини. Виникає питання: як саме збільшується
тиск газу при зменшенні об’єму, якщо температура газу зали-
шається незмінною?
Відповідь на це питання дали дослідження, виконані
в XVII ст. англійським фізиком і хіміком Робертом Бойлем
(1627—1691) і французьким фізиком Едмом Маріоттом (1620—
1684).
Рис. 384. Прилад для дослідження залежності тиску
газу від його об’єму, а) Газ у трубці А має тиск,
що дорівнює тиску зовнішнього повітря (близько
750 мм рт. ст.), і об’єм' 10 см3. б) Газ у трубці А має
тиск 750 мм рт. ст. + 750 мм рт. ст., тобто в два рази
більший, ніж у випадку а, і об’єм 5 см3, тобто в два
рази менший, ніж у випадку а. в) Газ у трубці А
має тиск 750 мм рт. ст.— 250 мм рт. ст., тобто в пів-
тора раза менший, ніж у випадку а, і об’єм 15 см3,
тобто в півтора раза більший, ніж у випадку а.
Досліди, які встановлюють залежність між об’ємом і тиском
газу, можна відтворити за допомогою приладу, зображеного на
рис. 384. На вертикальному стояку М, що має поділки, розміще-
ні скляні трубки А і В, сполучені гумовою трубкою С. У трубки
налито ртуть. Трубка В зверху відкрита, на трубці А є кран.
Закриємо цей кран, замкнувши так деяку масу повітря в труб-
ці А. Поки ми не зсуваємо трубок, рівень ртуті в обох трубках
однаковий (рис. 384,а). Це означає, що тиск повітря, замкну-
того в трубці А, такий самий, як і тиск навколишнього повітря.
$ 227]
ФОРМУЛА ЗАКОНУ БОЙЛЯ—МАРІОТТА
405
Тепер повільно підніматимемо трубку В (рис. 384,6). Ми
побачимо, що ртуть в обох трубках підніматиметься, але не
однаково: у трубці В рівень ртуті буде весь час вищий, ніж
в А. Але коли трубку В опустити (рис. 384, в), то рівень ртуті
в обох колінах знижується, але в тр.убці В зниження більше,
ніж в А.
Об’єм повітря, замкнутого в трубці А, можна відлічити за
поділками трубки А. Тиск цього повітря відрізнятиметься від
атмосферного на величину тиску стовпа ртуті, висота якого
дорівнює різниці рівнів ртуті в трубках А і В. При підніманні
трубки В тиск стовпа ртуті додається до атмосферного тиску.
Об’єм повітря в А при цьому зменшується. При опусканні труб-
ки В рівень ртуті в ній буде нижчий, ніж у А, і тиск стовпа рту-
ті віднімається від атмосферного тиску; об’єм повітря в А від-
повідно збільшується.
Зіставивши знайдені так значення тиску і об’єму повітря,
замкнутого в трубці А, упевнимось, що при збільшенні об’єму
деякої маси повітря в певне число разів тиск його в стільки ж
разів зменшується, і навпаки. Температуру повітря в трубці
при наших дослідах можна вважати незмінною.
Такі самі досліди можна виконати і з іншими газами. Резуль-
тати будуть такі самі.
Отже, тиск деякої маси газу при незмінній температурі обер-
нено пропорціональний об'єму газу (закон Бойля — Маріотта).
Для розріджених газів закон Бойля — Маріотта виконується
з високим ступенем точності. А для газів дуже стиснених або
охолоджених проявляються помітні відхилення від цього закону.
§ 227. Формула, яка виражає закон Бойля—Маріотта. Позна-
чимо початковий і кінцевий об’єми буквами ІЛ і Уг і початковий
та кінцевий тиски буквами р\ і р%. На підставі результатів дослі-
дів, викладених у попередньому параграфі, можна записати
а = Ь (227.1)
З формули (227. 1) випливає:
РіІ/1 = Р2У2- (227. 2)
Формула (227. 2) являє собою нове вираження закону Бой-
ля—Маріотта. Вона означає, що для даної маси газу добуток
об'єму газу на його тиск при ізотермічному процесі залишається
незмінним.
Формули (227. 1) і (227. 2) можна застосовувати також тоді,
коли процес зміни об’єму газу не був ізотермічним, але зміни
температури були такі, що й на початку і в кінці процесу темпе-
ратура взятої маси газу була однакова.
406
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД. XIII
Для розріджених газів закон Бойля—Маріотта виконується
з високим ступенем точності, і при умові незмінності темпера-
тури добуток рУ для даної маси газу можна вважати цілком
сталим. Але у випадку переходу до дуже великих тисків вияв-
ляються помітні відхилення від закону Бойля—Маріотта. При
поступовому збільшенні тиску деякої маси газу добуток рУ
спочатку трохи зменшується, а потім починає збільшуватись,
досягаючи значень, які в кілька разів перевищують значення,
що відповідають розрідженому газу.
Вправи. (У всіх прикладах вважати температуру розглядуваної маси
газу однаковою і для початкового і для кінцевого станів).
227. 1. Посередині циліндра, закритого з обох кінців, розміщений поршень
(рис. 385). Тиск газу в обох половинах дорівнює 750 мм рт. ст. Поршень зсу-
Рис 385. До вправи 227.1.
Ущільнення штока поршня
в кришці не пропускає по-
вітря.
вається так, що об’єм газу справа змен-
шується в два рази. Яка різниця тисків?
227.2. Дві посудини місткістю 4,5 л
і 12,5 л сполучені трубкою з краном. У пер-
шій розміщений газ при тиску 20 кГІсм2.
У другому є незначна кількість газу, якою
можна знехтувати. Який тиск установиться
в обох посудинах, якщо відкрити кран?
227. 3. У воді спливає бульбашка повіт-
ря. Коли вона буде на глибині 3 м, її об’єм
дорівнює 5 мм3. Який буде об’єм бульбашки,
коли вона буде дуже близько до вільної по-
верхні води? Тиск атмосфери нормальний.
227. 4. У порожню шину велосипеда нагнітають повітря ручним насосом.
Після ЗО качань площа стикання шини з поверхнею підлоги дорівнюва-
ла 60 см2. Яка буде площа стикання шини з підлогою після 20 качань?
Під час розрахунку вважати, що: 1) велосипед підтримується лише силою тис-
ку повітря в шині, тобто пружністю гуми знехтувати, 2) насос при одному
качанні захоплює щоразу однаковий об’єм атмосферного повітря, 3) об’єм
шини при накачуванні практично не змінюється.
§ 228. Графік, який виражає закон Бойля—Маріотта. У фізиці
і в техніці часто користуються графіками, які показують залеж-
ність тиску газу від його об’єму. Побудуємо такий графік для
ізотермічного процесу. По осі абсцис відкладатимемо об’єм
газу, а по осі ординат — його тиск.
Візьмемо приклад. Нехай тиск даної маси газу при об’ємі
1 м3 дорівнює 3,6 кГІсм2. На підставі закону Бойля—Маріотта
розрахуємо, що при об’ємі, який дорівнює 2 м3. тиск дорівнює
3,6* 0,5 кГІсм2 = 1,8 кГІсм2. Продовжуючи такі розрахунки,
складемо табличку:
V (в м3) 1 2 3 4 5 6
р (в кГ/см2) . . . 3,6 1,8 1,2 0,9 0,72 0,6
§ 230]
ЗАЛЕЖНІСТЬ МІЖ ГУСТИНОЮ ГАЗУ І ЙОГО ТИСКОМ
407
Наносячи ці дані на рисунок у вигляді точок, абсцисами яких е
значення V, а ординатами — відповідні значення р, дістанемо»
криву лінію1—графік ізотермічного процесу в газі (рис. 386).
Вправи. 228. 1. Побудуйте графік, який виражає закон Бойля—Мар ют-
та для маси газу, що має об’єм 2 л при тиску 750 мм рт. ст.
Бойля — Маріотта.
228.2. Яка з площ: ОА\В\С\ чи ОЛ2В2С2 на рис. 387 більша, якщо крива
МВіВ2ІЧ — графік ізотермічного процесу в газі?
§ 229. Залежність між густиною газу і його тиском. Нагадає-
мо, що густиною речовини називається маса, яка міститься^
в одиниці об’єму. Якщо ми як-небудь змінимо об’єм даної маси,
газу, то зміниться і густина газу. Якщо, наприклад, ми зменши-
мо об’єм газу в п’ять раз, то густина газу збільшиться в п’ять
раз. При цьому збільшиться і тиск газу; якщо температура не'
змінилася, то, як показує закон Бойля—Маріотта, тиск збіль-
шиться також у п’ять раз. З цього прикладу видно, що при ізо-
термічному процесі тиск газу змінюється прямо пропорціональна
його густині.
Позначивши густини газу при тисках р\ і р2 буквами (її і (1*.
можна записати:
% = <229 1>
Цей важливий результат можна вважати іншим і ще істот-
нішим вираженням закону Бойля — Маріотта. Справа в тому, що
замість об’єму газу, який залежить від випадкової обставини —
1 Крива, ординати якої обернено пропорціональні відповідним абсцисам»,
називається в математиці гіперболою.
408
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
(РОЗД. XIII
бід того, яку вибрано масу газу,— у формулу (229. 1) входить
густина газу, яка, як і тиск, характеризує стан газу і зовсім не
залежить від випадкового вибору його маси.
Вправи. 229.1. Густина водню при тиску 1,033 кГІсм2 і температурі
16° С дорівнює 0,000085 г/см3. Визначте масу водню в балоні місткістю 20 д,
коли тиск дорівнює 80 кГІсм2 і температура становить 16° С?
§ 230. Молекулярне тлумачення закону Бойля—Маріотта.
У попередньому параграфі на підставі закону Бойля—Маріотта
ми з’ясували, що при незмінній температурі тиск газу пропор-
ціональний його густині. Цей результат добре узгоджується
з молекулярною картиною тиску газу, описаною в § 221. Якщо
густина газу змінюється, то в стільки ж разів змінюється і число
молекул в 1 см3. Якщо газ не дуже стиснений і рух газових
молекул можна вважати цілком незалежним однієї від одної, то
число ударів за 1 сек на 1 см2 стінки посудини пропорціо-
нальне числу молекул в 1 см3. Отже, якщо середня швидкість
молекул не змінюється з часом (ми вже говорили, що в макро-
світі це означає сталість температури), то тиск газу повинен*
бути пропорціональний числу молекул в 1 см3, тобто густині
газу. Отже, закон Бойля — Маріотта є добрим підтвердженням
наших уявлень про будову газу.
Проте, як було сказано в § 227, закон Бойля—Маріотта не
справджується, коли перейти до великих тисків. 1 цю обставину
можна пояснити, як зазначав ще М. В. Ломоносов, на підставі
молекулярних уявлень.
З одного боку, у дуже стиснених газах розміри самих моле-
кул порівнянні з відстанями між молекулами. Отже, вільний
простір, в якому рухаються молекули, менший, ніж повний об’єм
газу. Ця обставина збільшує число ударів молекул об стінку,
оскільки внаслідок цього зменшується відстань, яку повинна
пролетіти молекула, щоб досягти стінки.
З другого боку, у значно стисненому і, отже, густішому газі
молекули помітно притягуються до інших молекул значно біль-
шу частину часу, ніж молекули в розрідженому газі. Це, навпа-
ки, зменшує число ударів молекул об стінку, бо при наявності
притягання до інших молекул молекули газу рухаються в напря-
мі до стінки з меншою швидкістю, ніж при відсутності притя-
гання. При не дуже великих тисках істотнішою є друга обстави-
на, і добуток рУ трохи зменшується. При дуже високих тисках
велике значення має перша обставина, і добуток рУ збіль-
шується.
Отже, і самий закон Бойля—Маріотга і відхилення від нього
підтверджують молекулярну теорію.
$ 232]
ЗАКОН ГЕЙ-ЛЮССАКА
409
Рис. 388. Наближення руки нагріває
повітря в посудині А, об’єм повітря
збільшується, і ртутна краплина К
зміщується вправо. Тиск не змінює-
ться і дорівнює тиску атмосфери.
§ 231. Зміна об’єму газу при зміні температури. Ми вивчали,
як залежить тиск деякої маси газу від температури, коли об’єм
не змінюється, і від об’єму, який займає газ, якщо температура
залишається незмінною. Тепер установимо, як поводить себе
газ, коли змінюються його температура і об’єм, а тиск зали-
шається сталим.
Розглянемо такий дослід. Торкнемося долонею посудини,
зображеної на рис. 388, в якій горизонтальний стовпчик ртут»
замикає деяку масу повітря.
Газ у посудині нагріється,
його тиск підвищиться, і
ртутний стовпчик почне пе-
реміщатися вправо. Рух
стовпчика припиниться, коли
внаслідок збільшення об'єму
повітря в посудині його тиск
дорівнюватиме зовнішньому.
Отже, в кінцевому резуль-
таті цього досліду об’єм по-
вітря при нагріванні збіль-
шився, а тиск залишився
незмінним.
Якби ми знали, як змінилася в нашому досліді температура
повітря в посудині, і точно виміряли, як змінюється об’єм газу,
ми могли б вивчити це явище кількісно. Очевидно, що для цього
треба помістити посудину в оболонку, піклуючись про те, щоб
усі частини приладу мали однакову температуру, точно виміря-
ти об’єм замкнутої маси газу, потім змінити цю температуру
і виміряти приріст об’єму газу.
§ 232. Закон Гей-Люссака. Кількісне дослідження залежності
об’єму газу від температури при незмінному тиску виконав
французький фізик і хімік Гей-Люссак (1778—1850) у 1802 р.
Досліди показали, що збільшення об’єму газу пропорціональ-
не приросту температури. Тому теплове розширення газу мож-
на, як і для інших тіл, схарактеризували за допомогою коефіці-
єнта об’ємного розширення р (§ 198). Виявилось, що для газів
цей закон виконується значно краще, ніж для твердих і рідких
тіл, так що коефіцієнт об’ємного розширення газів є величина,
практично стала навіть при дуже значних підвищеннях темпера-
тури, тоді як для рідких і твердих тіл ця сталість забезпечена
лише приблизно.
Вводячи ті самі позначення, що й у § 198, знайдемо:
? = -Г^Ї- ^0
410
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
(РОЗД XIII
Досліди Гей-Люссака і інших установили цікавий результат.
Виявилось, що коефіцієнт об’ємного розширення в усіх газів
однаковий (точніше майже однаковий) і дорівнює ’/гтз град-1 =
= 0,00366 град~1. Отже, під час нагрівання при сталому тиску
на Г об'єм деякої маси газу збільшується на 1/27з того об'єму,
який ця маса газу займала при 0° С (закон Гей-Люссака).
Як видно, коефіцієнт розширення газів збігається з їх терміч-
ним коефіцієнтом тиску.
Слід зазначити, що теплове розширення газів дуже значне,
так що об’єм газу Уо при 0°С помітно відрізняється від об’єму
при іншій, наприклад при кімнатній, температурі. Тому, як ми
вже згадували в § 198, у випадку газів не можна без помітної
помилки замінити у формулі (232. 1) об’єм Го об’ємом V. Згідно
з цим формулі розширення для газів зручно надати такого вигля-
ду. За початковий об’єм візьмемо об’єм Уо при температурі 0° С.
У цьому разі приріст температури газу т дорівнює температурі,
відліченій за шкалою Цельсія І. Отже, коефіцієнт об’ємного роз-
ширення
р = , звідки V = Ио (1 + РО. (232. 2)
Оскільки
? = 2Їз град-',
ТО
^ = ^(1+27з)- (232.3)
Формулу (232.3) можна використовувати для обчислення
об’єму як при температурі вище 0°С, так і при температурі ниж-
че 0°С. У цьому останньому випадку і від’ємне. Проте слід
мати на увазі, що закон Гей-Люссака не справджується, коли
газ значно стиснений або так охолоджений, що наближається
до стану зрідження. У цьому випадку користуватися формулою
(232. 3) не можна.
Збіг коефіцієнтів а і [3, які входять у закон Гей-Люссака і закон Шарля,
не випадковий. Легко побачити, що коли гази підлягають закону Бойля—
Маріотта, то а і р повинні бути однакові. Справді, нехай деяка маса газу має
при температурі 0° С об’єм Уо і тиск ро. Нагріємо її до і° при незмінному
об’ємі. Тоді тиск її, згідно з законом Шарля, дорівнюватиме р = р0(1 4-а/).
З другого боку, нагріємо ту саму масу газу на при незмінному тиску. Тоді,
згідно з законом Гей-Люссака, об’єм її дорівнюватиме V = Уо(1 4-^/). Отже,
наша маса газу може мати при температурі і об’єм У о і тиск р = р0(1 4-а/)
або об’єм У = Уо( 1 4- ЗО і тиск ро.
Згідно з законом Бойля — Маріотта.
їоР = УР»
тобто
Н,р0(і*я0 = а>и.(і'И0.
ЗВІДКИ
а = р.
$ 2341
АБСОЛЮТНА ТЕМПЕРАТУРА
411
Вправа. 232.1. Об’єм повітряної кулі при 0°С дорівнює 820 м3. Який
буде об’єм цієї кулі, якщо під дією променів Сонця газ усередині неї нагрієть-
ся до 15° С і коли зміною маси газу внаслідок витікання його з оболонки
і зміною його тиску можна знехтувати?
§ 233. Графіки, які виражають закони Шарля і Гей-Люссака.
По осі абсцис відкладатимемо температуру газу, що перебуває
в сталому об’ємі, а по осі ординат — його тиск. Нехай при 0°С
тиск газу дорівнює 1 кГІсм2. Користуючись законом Шарля, ми
можемо обчислити його тиск при 100° С, при 200° С, при
300° С і т. д.
Температура, °С 0° 100° 200° 300° 400° 500°
Тиск (у кГ/см2) 1 1,37 1,73 2,10 2,47 2,83
Нанесемо ці дані на трафік.
Ми дістанемо похилу пряму лі-
нію (рис. 389). Ми можемо
продовжити цей графік і в бік
від’ємних температур. Проте,
як було вже зазначено, закон
Шарля застосовний лише до
не дуже низьких температур.
Тому продовження графіка до
перетину з віссю абсцис, тобто
до точки, де тиск дорівнює ну-
лю, не відповідатиме повод-
женню реального газу.
Схожий вигляд має графік
закону Гей-Люссака.
Рис. 389. Графік, який зобра-
жає закон Шарля.
Вправа. 233.1. Побудуйте графік, який виражає закон Гей-Люссака.
§ 234. Абсолютна температура. Легко побачити, що тиск газу,
замкнутого в сталий об’єм, не є прямо пропорціональний темпе-
ратурі, відліченій за шкалою Цельсія. Це зрозуміло, наприклад,
з таблиці, поданої в попередньому параграфі. Якщо при 100° С
тиск газу дорівнює 1,37 кГІсм2, то при 200° С він дорівнює
1,73 кГІсм2. Температура, відлічена за термометром Цельсія,
збільшилася вдвічі, а тиск газу збільшився лише в 1,26 раза.
Нічого дивного, звичайно, в цьому немає, бо шкалу термометра
Цельсія встановлено умовно, без усякого зв’язку з законами
розширення газу. Проте можна, користуючись газовими закона-
ми, встановити таку шкалу температур, що тиск газу буце прямо
412
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
(РОЗД. XIII
пропорціональний температурі, виміряній за цією новою
шкалою.
Справді, нехай при деякій температурі і\ тиск газу дорівнює
Р\. За законом Шарля,
/і і \ 273 4" /і
Рі = Ро + 273у = Р° “273 ’
При деякій іншій температурі /2 тиск дорівнюватиме
/ і і ^2 \ 273 і2
рі = Ро р + 273^ — Ро 273 •
Поділивши ці рівності почленно, дістанемо:
Рі 273
р2 273 -ф- ^2
Число 273 + / можна розглядати як температуру, відлічену
за новою температурною шкалою, де ціна градуса така сама, як
і в шкалі Цельсія, а за нуль узято точку, що лежить на 273 по-
ділки нижче від точки танення льоду, тобто точки, яка є нулем
у шкалі Цельсія. Нуль у цій новій шкалі називають абсолютним
нулем. Цю назву запроваджено тому, що, як довів англійський
фізик Кельвін (Вільям Томсон} (1824—1907), “жодне тіло не
можна охолодити нижче цієї температури. Згідно з цим і цю
нову шкалу називають шкалою абсолютних температур. Таким
чином, абсолютний нуль вказує температуру, що дорівнює —273°
за шкалою Цельсія, і являє собою температуру, нижче якої не
може бути ні при яких умовах охолоджено жодне тіло. Темпера-
тура, виражена цифрою 273° 4- Л, є абсолютною температурою
тіла, що має за шкалою Цельсія температуру, яка дорівнює і\.
Звичайно абсолютні температури позначають буквою Т. Отже,
273°-І- і\ = Ті. Шкалу абсолютних температур часто називають
шкалою Кельвіна і записують Т°К. На підставі сказаного
4- 273° = 7\,
12 + 273° = Т2
і
% = <234. і>
Рг 12
Знайдений результат можна подати словами: тиск даної маси
газу, яка міститься в сталому об'ємі, прямо пропорціональний
абсолютній температурі. Це — нове вираження закону Шарля.
Формулою (234. 1) зручно користуватись і тоді, коли тиск при
0~ С (р0) не відомий.
Розглянемо приклад. Нехай при і\ = 25° С тиск газу в бало-
ні дбрівнює р = 40 кГІсм2. Який тиск при температурі ґ2 =
$ 235]
ГАЗОВИЙ ТЕРМОМЕТР
413
= 35° С? У цьому разі абсолютні температури газу відповідно
дорівнюють
Ті — 273°4-25° = 298° К; Т2 = 273° 4- 35°=308° К.
Користуючись законом Шарля, можна написати:
40 _ 298
р2 308 *
Звідси
р2 = 41,3 кГ/см2.
Вправа. 234.1. Манометр на балоні з киснем у приміщенні з темпера-
турою 17° С показував тиск 95 кПсм2. Цей балон винесли в сарай, де на
другий день при температурі —13° С його показ був 85 кГІсм2. Виникла підо-
зра, що частину кисню з балона було витрачено. Перевірте, чи правильна ця
підозра.
Рис. 390. Газовий термо-
метр.
§ 235. Газовий термометр. При розгляді будови термометрів
(§ 196) було зазначено, що найдосконалішим типом термометрів
€ газовий термометр. Як ми знаємо,
температурний коефіцієнт газу, вимі-
ряний за ртутним термометром, май-
же сталий (закон Шарля). З цієї влас-
тивості газів і виходять при побудові
нової шкали температур: вважають,
що абсолютна температура точно про-
порціональна тиску даного об’єму газу.
На рис. 390 подано будову найпрос-
тішого газового термометра. При ви-
мірюванні балон С занурюють у ріди-
ну, температуру якої вимірюють. Об’єм
газу в балоні підтримують сталим за
допомогою піднімання або опускання
трубки з ртуттю. Т\иск газу в балоні
дорівнює сумі атмосферного тиску
і тиску стовпа висотою АВ. Якщо при
температурі То тиск газу дорівнює р0,
а при вимірюванні було виявлено, що
тиск газу став дорівнювати р, то температура рідини дорівню-
ватиме
Г = То£-.
У проміжку температур, де можна користуватися звичайним
ртутним термометром, шкала газового термометра майже збіга-
ється з шкалою ртутного, бо температурний коефіцієнт тиску
газу (виміряний за ртутним термометром), як ми знаємо, майже
сталий.
414
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД. XII»
Газові термометри, призначені для вимірювання низьких або
не дуже високих температур, виготовляють із скла або кварцу
і наповнюють воднем або гелієм (для вимірювання температур
нижче температури зрідження водню,— 253° С, можна викорис-
товувати тільки гелій — газ, який найважче зріджується).
Для дуже високих температур (приблизно до 1500°) газові
термометри виготовляють із сплаву платини з родієм, що витри-
мує високу температуру, і наповнюють азотом (водень, не при-
датний, бо він проходить крізь нагріту платину).
Газовими термометрами звичайно користуються лише для
перевірки термометрів іншої будови, більш зручних у повсяк-
денному застосуванні, ніж газові.
Зрозуміло, що при вимірюванні температур газовим термо-
метром закон Шарля повинен виконуватись абсолютно точно:
адже за означенням абсолютна температура пропорціональна
тиску газу.
§ 236. Об’єм газу і абсолютна температура. З формули
(232.3), зробивши такі самі перетворення, що й у § 234, можна
вивести таку формулу:
Г1 = 7\
т2
— об'єм деякої маси газу при сталому тиску прямо пропорціо-
нальний абсолютній температурі. Це — нове формулювання
закону Гей-Люссака.
Вправи. 236.1. У вентиляційну трубу житлового будинку надходить
зовнішнє повітря при температурі —25° С. Який об’єм матиме 1 м3 зовнішнього
повітря, коли воно надійде в кімнату і підігріється до 17° С?
236. 2. По циліндричному димарю піднімаються топкові гази. Унизу дима-
ря вони мають температуру 700° С і рухаються з швидкістю 5 м/сек. З якою
швидкістю вони рухаються вгорі димаря, де їх температура дорівнює 200° С?
§ 237. Залежність густини газу від температури. Що станеть-
ся з густиною деякої маси газу, коли температура підвищується,
а тиск залишається незмінним?
Пригадаємо, що густина дорівнює масі тіла, поділеній на
об’єм. Оскільки маса газу стала, то при нагріванні густина
газу зменшується в стільки разів, у скільки разів збільшився
об’єм.
Як ми знаємо, об’єм газу прямо пропорціональний абсолют-
ній температурі, якщо тиск залишається сталим. Отже, густина
газу при незмінному тиску обернено пропорціональна абсолют-
ній температурі. Якщо сі\ і сі2 — густини газу при температурах
Ті і Г2, то справджується співвідношення
5і = Р (237.1)
$ 238]
ОБ’ЄДНАНИЙ ЗАКОН ГАЗОВОГО СТАНУ
415
Вправа. 237. 1. Склеєна з паперу куля (модель Монгольф’єра) важить
140 Г і має об’єм 1,75 м3. Чи підніметься ця куля вгору, якщо нагріти повіт-
ря в ній до 50° С, тоді як зовнішнє повітря має температуру 15° С? (Густина
повітря при 0°С дорівнює 0,0013 г/см3).
§ 238. Об’єднаний закон газового стану. Ми розглядали
випадки, коли одна з трьох величин, які характеризують стан
газу (тиск, температура і об’єм), не змінюється. Ми бачили, що
коли температура стала, то тиск і об’єм зв’язані один з одним
законом Бойля—Маріотта; якщо об’єм сталий, то тиск і темпера-
тура зв’язані законом Шарля; якщо сталий тиск, то об’єм і тем-
пература зв’язані законом Гей-Люссака. Установимо зв’язок
між тиском, об’ємом і температурою деякої маси газу, якщо
змінюються всі ці три величини.
Нехай початкові об’єм, тиск і абсолютна температура
деякої маси газу дорівнюють р\ і Ть кінцеві—У2, р2 і Т2.
Можна уявити собі, що від початкового до кінцевого стану
перейшли в два етапи. Нехай, наприклад, спочатку змінився
об’єм газу від Уі до У2, причому температура не змінилася.
Тиск газу, який утворився при цьому, позначимо рСр- Потім змі-
нилася температура від Ті до Т2 при сталому об’ємі, причому
тиск змінився від рСр До р2. Складемо таблицю
( Рі Ті
Закон Бойля — Маріотта | ..
і Рср 2 і) закон щарЛя.
Рі ^2 Т2 )
Застосовуючи до першого переходу закон Бойля — Маріотта,
запишемо
-* = £, або £1^=1.
Рср РсрЬ
Застосовуючи до другого переходу закон Шарля, можна напи-
сати
Рср _ Ті
Рї Т2
Перемноживши ці рівності почленно і скорочуючи на Рср, діста-
немо:
РіЛ = Л
Т2
(238. 1)
Отже, добуток об'єму деякої маси газу на його тиск пропор-
ціональний абсолютній температурі газу. Це і є об’єднаний
закон газового стану або рівняння стану газу.
Вправи. 238.1. Покажіть, що формула об’єднаного закону (238. 1) вира-
жає закон Бойля — Маріотта, якщо Т\ = Т2, закон Шарля, якщо Уі = У2,
і закон Гей-Люссака, якщо рі = р2.
416
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД. XIII
б
Рис. 391. Стратостат: а) на по-
чатку піднімання; б) на висоті
кількох кілометрів.
238.2. Об’єм газу, утвореного при хімічній реакції, при тиску
742 мм рт. ст. і при температурі 18° С дорівнює 72 см3. Який об’єм цієї самої
маси газу при нормальних умовах?
238.3. В одному з типів двигунів внутрішнього згоряння (двигун Дізеля)
в циліндр засмоктується атмосферне повітря, яке потім стискається і водночас
нагрівається. Дослід показує, шо при зменшенні об’єму повітря в 12 раз тиск
дорівнює 34 кГІсм2. Припускаючи, що тиск і температура атмосферного повіт-
ря відповідно дорівнюють 1 кПсм2 і 10° С,
визначте температуру стисненого повітря.
238. 4. Щоб примусити випливти під-
водний човен, заповнені водою цистерни
його продувають стисненим повітрям,
виганяючи воду назовні. Припустимо, що
човен продувають на глибині 15 м, при-
чому повітря в цистерні набуває темпе-
ратури навколишньої води, яка дорів-
нює 3°С. Яку кількість води можна про-
дути, випустивши повітря з балона міст-
кістю 20 л, якщо тиск повітря в балоні
при 17° С дорівнює 120 кГІсм2?
При розрахунку взяти до уваги, що
повітря, яке розширюється, частково за-
лишається в балоні.
235. 5. Густина повітря при нормаль-
них умовах дорівнює 0,0013 гісм3. Яка
густина повітря при тиску ЗО мм рт. ст.
і при температурі —35° С?
238. 6. На рис. 391 подано страто-
стат (аеростат для піднімання в страто-
сферу) біля поверхні Землі і на висоті
кількох кілометрів. Чому змінюється
об’єм стратостата при підніманні? Який
буде об’єм стратостата на висоті 10 км,
де тиск дорівнює 198 мм рт. ст. і темпе-
ратура— 50° С, якщо біля поверхні Землі, де тиск і температура відповідно
дорівнюють 750 мм рт. ст. і 10° С, його об’єм дорівнює 4000 м3?
238. 7. Покажіть, шо підтримуюча сила стратостата в міру піднімання
вгору не змінюється, якщо тиск у ньому мало відрізняється від зовнішнього
і якщо газ не витікає.
§ 239. Закон Дальтона. Досі ми говорили про тиск якого-
небудь одного газу — кисню, водню і т. д. Але в природі і в тех-
ніці ми дуже часто маємо справу з сумішшю кількох газів.
Найважливіший приклад цього — повітря, яке є сумішшю азо-
ту, кисню, аргону, вуглекислого газу та інших газів.
Від чого залежить тиск суміші, газів?
Помістимо в колбу кусок речовини, яка хімічно зв’язує
кисень з повітря (наприклад, фосфор), і швидко заткнемо колбу
пробкою з трубкою, приєднаною до ртутного манометра
(рис. 392). Через деякий час весь кисень повітря сполучається
з фосфором. Ми побачимо, що манометр покаже менший тиск,
ніж до видалення кисню. Отже, присутність кисню в повітрі
збільшує його тиск.
§ 240]
ГУСТИНИ ГАЗІВ
417
Рис. 392. При погли-
нанні фосфором кис-
ню з повітря мано-
метр показує змен-
шення тиску повітря.
Тиск суміші газів уперше точно дослідив англійський хімік
Джон Дальтон (1766—1844) у 1809 р. Тиск, який мав би кожний
з газів, що утворюють суміш, коли видалити інші гази з об’єму,
який займає суміш, називається парціаль-
ним 1 тиском цього газу. Дальтон знай-
шов, що тиск суміші газів дорівнює сумі
парціальних їх тисків (закон Дальтона).
Якщо, наприклад, тиск кисню в колбі до-
рівнює 400 мм рт. ст., а тиск водню в та-
кій самій колбі при тій самій температурі
дорівнює 300 мм рт. ст., то, змішавши ті
самі кількості кисню і водню в такій са-
мій колбі (і при тій самій температурі),
дістанемо суміш при тиску 400 мм рт. ст. +
(+ 300 мм рт. ст. = 700 мм рт. ст.
Зауважимо, що до дуже стиснених га-
зів закон Дальтона не застосовний, як і
закон Бойля —Маріотта.
Як витлумачити закон Дальтона з
точки зору молекулярної теорії, скажемо
трохи далі.
§ 240. Густини газів. Густина газів є однією з найважливіших
характеристик його властивостей. Говорячи про густину газу,
звичайно мають на увазі його густину при нормальних умовах
(тобто при температурі 0°С і тиску 760 мм рт. ст.). Крім того,
часто користуються відносною густиною газу, під якою розу-
міють відношення густини даного газу до густини повітря при
тих самих умовах. Легко побачити, що відносна густина газу
не залежить від умов, у яких він перебуває, бо, згідно з закона-
ми газового стану, об’єми всіх газів змінюються при змінах тис-
ку і температури однаково.
Густину газу можна визначити так: зважимо колбу з кра-
ном двічі: один раз викачавши з неї, по можливості, повітря
зовсім, другий раз — наповнивши колбу досліджуваним газом
до тиску, який повинен бути відомий. Поділивши різницю ваги
на об’єм колби, який треба визначити спочатку, знайдемо густи-
ну газу при заданих умовах. Потім, користуючись рівнянням
стану газів, легко знайдемо густину газу при нормальних умо-
вах йн. Справді, припустимо, що у формулі (238. 1) р2 = рн>
1 Латинське слово рагз означає частина; парціальний —> частковий.
27 7-10З
418
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД. ХІІГ
У2 = Гн, Г2 = Тн і, помноживши чисельник і знаменник форму-
ли на масу газу т, дістанемо:
Рі = 11
Рн т Л.
Звідси, беручи до уваги, що ^г = (і і = с?н, знаходимо:
а” ~ й1 Р1ТИ
Результати вимірювань густини деяких газів подано в табл. 7.
Густини деяких газів
Таблиця 7
Газ Густина при нормальних умовах у г/л або кг/м3 Відношення до густини повітря Відношення до густини водню Молекуляр- на або атомна вага
Повітря 1,293 1 14,5 29 (середня>
Водень (Н2) 0,0899 0,0695 1 2
Азот (N2) 1,25 0,967 14 28
Кисень (О2) 1,43 1,Н 16 32
Вуглекислий газ (СО2) . 1,977 1,53 22 44
Гелій (Не) 0,179 0,139 2 4
Останні два стовпчики свідчать про пропорціональність між
густиною газу і його молекулярною вагою (у випадку гелію —
атомною вагою).
§ 241. Закон Авогадро. Порівнюючи числа передостаннього
стовпця табл. 7 з молекулярною вагою розглядуваних газірг
' легко помітити, що густини газів при однакових умовах пропор-
ціональні їх молекулярній вазі. З цього факту випливає дуже
істотний висновок. Оскільки молекулярна вага відноситься як
маса молекул, то^-=^, де а і і а2— густина газів, а т{ і т2 —
маси їх молекул. З другого боку, маси газів ТИі і М2, що містять-
ся в однакових об’ємах V, відносяться як їх густини:
Позначивши числа молекул першого і другого газів в об’ємі
V буквами А^і і можемо написати, що загальна маса газу
§ 242]
ГРАМ-МОЛЕКУЛА. ЧИСЛО АВОГАДРО
419
дорівнює масі однієї його молекули, помноженої на число
молекул: Мі = ті^і і М2 = ^п2^2\ тому
^2
Порівнюючи цей результат з формулою знайдемо, що
Мі = М2. Отже, при однакових тиску і температурі однакові
об'єми різних газів містять однакові числа молекул.
Цей закон відкрив італійський хімік Амедео Авогадро
(1776—1856) на підставі хімічних досліджень. Він стосується
газів, стиснених не дуже сильно (наприклад, газів під атмосфер-
ним тиском). У випадку значно стиснених газів вважати його
справедливим не можна.
Закон Авогадро означає, що тиск газу при певній темпера-
турі залежить лише від числа молекул в одиниці об’єму газу,
але не залежить від того, які ці молекули — важкі чи легкі.
З’ясувавши це, легко зрозуміти суть закону Дальтона. Згідно
з законом Бойля —Маріотта, якщо ми збільшуємо густину газу,
тобто добавляємо до певного об’єму деяке число молекул цього
газу, ми збільшуємо тиск газу. Але, згідно з законом Авогадро,.
таке саме підвищення тиску повинно бути, якщо ми замість
добавляння молекул першого газу добавимо таке саме число
молекул другого газу. Саме в цьому і полягає закон Дальтона,
який твердить, що можна збільшити тиск газу, добавляючи
• в той самий об’єм молекули іншого газу, і якщо число добавле-
них молекул таке саме, як і в першому випадку, то дістанемо
таке саме збільшення тиску. Зрозуміло, що закон Дальтона
є прямим наслідком закону Авогадро.
§ 242. Грам-молекула. Число Авогадро. Число, яке дає від-
ношення мас двох молекул, показує водночас і відношення мас
двох порцій речовини, які містять однакові числа молекули. Тому
2 г водню (молекулярна вага Н2 дорівнює 2), 32 г кисню (моле-
кулярна вага О2 дорівнює 32) і 55,8 г заліза (його молекулярна
вага збігається з атомною, що дорівнює 55,8) і т. д. містять
однакове число молекул.
Кількість речовини, яка містить число грамів, що дорівнює
її молекулярній вазі, називається грам-молекулою, або молем.
Із сказаного випливає, що молі різних речовин містять одна-
кове число молекул. Тому часто буває зручно користуватися
молем як особливою одиницею, що містить різне число грамів
для різних речовин, але однакове число молекул.
Число молекул в одному молі речовини, яке називається
числом Авогадро, є важливою фізичною величиною. Для визна-
чення числа Авогадро були виконані численні і різноманітні
420
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД. XIII
дослідження. Вони стосуються броунівського руху (§ 219), ЯВИЩ
електролізу і ряду інших. Ці дослідження привели до досить
узгоджених результатів. Тепер вважають, що число Авогадро
дорівнює
М = 6,02 . 1023 моль~'.
Отже, 2 г водню, 32 г кисню і т. д. містять до 6,02 • 1023 моле-
кул. Щоб уявити собі величезність цього числа, уявимо пустиню
площею в 1 мільйон квадратних кілометрів, покриту шаром
піску завтовшки 600 м. Тоді, якщо на кожну піщцнку припадає
об’єм 1 мм3, то загальне число піщинок у пустині дорівнює
числу Авогадро.
Із закону Авогадро випливає, що молі різних газів мають
при однакових умовах однакові об'єми. Об’єм одного моля при
нормальних умовах можна обчислити, поділивши молекулярну
вагу якого-небудь газу на його густину при нормальних умовах.
Зробимо, наприклад, розрахунок для кисню. Оскільки
ЛІ = 32 г/моль і (і = 0,00143 г/см3,
то
V = 0доцз см'/моль = 22 400 см3/моль.
Отже, об'єм моля будь-якого газу при нормальних умовах дорів-
нює 22 400 см3.
Вправи. 242.1. Розрахуйте об’єми моля азоту і моля водню при нор-
мальних умовах, користуючись табл. 7. ’
242. 2. Обчисліть число молекул в 1 см3 газу при нормальних умовах.
242. 3. Обчисліть маси однієї молекули водню і кисню.
§ 243. Швидкості молекул газу. Які швидкості, з якими руха-
ються молекули, зокрема молекули газів? Це питання природно
виникло відразу ж, як були розвинуті уявлення про молекули.
Довгий час швидкості молекул удавалось оцінити лише за допо-
могою непрямих розрахунків, і лише порівняно недавно було
розроблено способи безпосереднього визначення швидкостей
газових молекул.
Насамперед уточнимо, що треба розуміти під швидкістю
молекул. Нагадаємо, що внаслідок безупинних зіткнень швид-
кість кожної окремої молекули весь час змінюється: молекула
рухається то швидко, то повільно, і протягом деякого часу
(наприклад, 1 сек) швидкість молекули набирає безліч найріз-
номанітніших значень. З другого боку, в який-небудь певний
момент у безлічі молекул, які утворюють розглядуваний об’єм
газу, є молекули з найрізноманітнішими швидкостями. Очевид-
но, для характеристики стану газу слід говорити про деяку
середню швидкість. Можна вважати, що це є середня величина
§ 243]
ШВИДКОСТІ МОЛЕКУЛ ГАЗУ
421
швидкості однієї з молекул за досить тривалий проміжок часу,
або що це є середня величина швидкостей усіх молекул газу
в даному об’ємі в який-небудь момент часу.
Спинимось на міркуваннях, які дають можливість визначити
середню швидкість газових молекул.
У § 221 ми показали, що тиск газу пропорціональний п/пи2,
де т — маса молекули, V — середня швидкість, а п — число
молекул в одиниці об’єму. Точніший розрахунок веде до
формули
р = ±-пгт>2. (243.1)
О
Нехай молекули мають середню швидкість V і вздовж кожного ребра куба
пролітає однакове число (молекул, тобто одна третина загального числа: пі3.
Відбившись від стінки, молекула. летить до протилежної, тобто пролітає
шлях /; відбившись там, вона, пройшовши ще раз шлях /, знову удариться об
першу стінку. Таким чином, кожна молекула повторює свої удари через час /,
який потрібний, щоб пролетіти шлях 2/, тобто і = — • За 1 сек, молекула
к 1 _ V 1
вдариться об стінку - — — раз. Оскільки в цьому напрямі пролітають пі3
молекул, то загальне число ударів, яких зазнала стінка за 1 сек з боку всіх
молекул, дорівнює^ пі3 = 1/и'/2. Площа стінки дорівнює /2, отже, на 1 см2
З 21 о
за 1 сек припаде число ударів, що дорівнює 1/гц. Таким чином, ми знайшли
о
N Знаючи знайдемо й Л'иск газу, що дорівнює, як було показано
6
в § 221, 2Мти. Отже, тиск газу
р = ~г пту2.
о
З формули (243.1) можна вивести ряд важливих наслідків.
Перепишемо формулу (243.’1) в такому вигляді:
2 ти* 2
Р-~б — =3Є’
де 8 («епсилон» — грецька буква)—середня кінетична енергія
однієї молекули. Позначимо тиск газу при температурах Ті і Тг
буквами,рі і р2, а середні кінетичні енергії молекул при цих
температурах єі і 82. У такому випадку
2 2 . рі Єї
Рі = т-еі, Рг = -тєа 1 Г = є ’
о о Ра є2
Порівнюючи це співвідношення з законом Шарля “=уЧ знай-
демо:
?! _
Т2 £а
422
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
(РОЗД. XIII
Отже, абсолютна температура газу пропорціональна середній
кінетичній енергії молекул газу. Нагадаємо, що про зв’язок тем-
ператури газу і середньої кінетичної енергії його молекул ми
вже говорили в § 216. Оскільки середня кінетична енергія моле-
кул пропорціональна квадрату середньої швидкості молекул, то
наше порівняння веде до висновку, що абсолютна температура
газу пропорціональна квадрату середньої швидкості молекул
газу і що швидкість молекул зростає пропорціонально кореню
квадратному з абсолютної температури.
Тепер візьмемо два різні гази при однакових температурах і тисках. За
законом Авогадро (§ 241) число молекул в одиниці об’єму однакове. Тоді ми
можемо написати:
1 2 1 2
р = у = -у
де індекси 1 і 2 стосуються першого і другого газів. Звідси
(243. 2)
тобто при даній температурі середні швидкості молекул обернено пропор-
ціональні кореням квадратним з мас молекул. Наприклад, у суміші кисню
і водню середня швидкість молекул кисню в чотири рази менша за середню
швидкість молекул водню.
Нарешті, звернемо увагу на те, що добуток пт є маса всіх молекул газу,
яка міститься в 1 см3, тобто добуток пт є густина газу сі. Звідси
Ця формула дає змогу обчислити швидкості газових молекул, коли відомі
тиск і густина газу.
Результати обчислень середніх швидкостей молекул різних газів при 0° С
подано в табл. 8.
Таблиця 8
Середні швидкості молекул деяких газів
Газ Маса молекули, г Середня швид- кість, м/сек
Водень 0,33- і о-23 1760
Кисень 5,3-10~23 42^
Азот 4,6-ІО-23 450
Вуглекислий газ 7,3-10-23 360
Пара води 3,0-10-23 570
Як видно, середні швидкості молекул дуже великі. При кім-
натній температурі вони звичайно досягають сотень метрів за
секунду. У газі середня швидкість руху молекул приблизно
в півтора раза більша, ніж швидкість звуку в цьом> самому
газі.
§ 243]
ШВИДКОСТІ МОЛЕКУЛ ГАЗУ
423
На перший погляд цей результат здається дуже дивним. Зда-
ється, що молекули не можуть рухатися з такими великими
швидкостями: адже дифузія навіть у газах, а тим більше в ріди-
нах, іде порівняно дуже повільно, в усякому разі значно повіль-
ніше, ніж поширюється звук. Проте справа в тому, що, рухаю-
чись, молекули дуже часто стикаються одна з одною і при цьому
змінюють напрям свого руху. Внаслідок цього вони рухаються
то в один, то в інший бік, в основно-
му тупцюють на одному місці (див.
рис. 376). Незважаючи на велику швид-
кість руху в проміжках між зіткнення-,
ми і на т^, що молекули ніде не затри-
муються, вони просуваються в яко-
му-небудь певному напрямі досить
повільно.
Табл. 8 показує також, що різниця
в швидкостях різних молекул пов’яза-
на з різницею їх мас. Це підтверджу-
ється рядом спостережень. Наприклад,
водень проникає крізь вузькі отвори
(пори) з більшою швидкістю, ніж ки-
сень або азот. Це можна виявити на
такому досліді (рис. 393).
Скляну лійку закрито пористою
посудиною або заклеєно папером і опу-
Рис. 393. Коли простір
під склянкою А наповне-
ний воднем, то з кінця
лійки, закритої пористою
посудиною В, виходять
бульбашки.
щено кінцем у воду. Якщо лійку накри-
ти склянкою і під неї пустити водень (або світильний газ), то
побачимо, що рівень води в кінці лійки зменшиться і з неї
почнуть виходити бульбашки. Як це пояснити?
Крізь вузькі пори в посудині або папері можуть проходити
і молекули повітря (зсередини лійки під склянку), і молекули
водню (з-під склянки в лійку). Але швидкість цих процесів
різна. Відмінність у розмірах молекул не відіграє при цьому
істотної ролі, бо вона невелика, особливо порівняно з розміра-
ми пор: молекула водню має «довжину» (§ 214) близько 2,3 X
X Ю“8 см. а молекула кисню або азоту—близько 3-Ю"8 см\
поперечник отворів, які являють собою пори, у тисячі разів біль-
ший. Більша швидкість проникнення водню крізь пористу стінку
пояснюється більшою швидкістю руху його молекул. Тому моле-
кули водню швидше проникають із склянки в лійку. Внаслідок
цього в лійці молекули нагромаджуються, тиск збільшується
і суміш газів у вигляді бульбашок виходить назовні.
Такими приладами користуються для виявлення домішки
рудникових газів до повітря, що можуть спричинити вибух
у рудниках.
424
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД ХП1
Вправи. 243. Т. Якщо в описаному вище досліді зняти склянку з лійки,
наповненої воднем, то вода починає втягуватись усередину лійки. Поясніть
явище.
243. 2. Обчисліть, користуючись табл. 7, середню швидкість молекул гелію
і вуглекислого газу при температурі 0° С.
243.3. Користуючись табл. 8, обчисліть середні швидкості: а) молекул
водню при 1000° С; б) молекул азоту при —100° С.
§ 244. Про один спосіб вимірювання швидкостей руху молекул газу
(дослід Штерна}. Існують різноманітні способи визначення і обчислення
Рис. 394. Якщо стріляти з кулемета по рухомій мішені так, що ствол кулеме-
та напрямлений на мішень, то кулі лягатимуть позаду мішені.
швидкостей руху молекул. Одним з найбільш безпосередніх і цікавих є спо-
сіб, здійснений у досліді Штерна (в 1920 р.). Щоб зрозуміти його, розглянемо
таку аналогію. Коли стріляють по рухомій мішені, то, щоб влучити в неї,
доводиться прицілюватись у точку, розміщену спереду мішені. А якщо взяти
приціл на саму мішень, то кулі пролітають позаду мішені (рахуючи в напря-
мі її руху, рис. 394). Це відхилення місця влучання від цілі буде, як неважко
зміркувати, тим більше, чим швидше рухається мішень і чим менша швид-
кість кулі.
Розглянемо ще такий дослід. На столику, який може обертатися, постав-
лено високу посудину з водою (рис. 395). З отвору в посудині б’є струмина
води. Якщо столик не обертається, то струмина потрапляє в склянку, закріп-
лену на тому самому столику. Проте, як тільки почати обертати столик, стру-
мина води вже потраплятиме не в склянку, а падатиме позад неї. Відставан-
ня струмини буде тим більше, чим швидше обертається столик і чим менша
швидкість частинок у струмині. Знаючи швидкість обертання і вимірявши*
наскільки відхиляється струмина, можна, очевидно, судити про її швидкість.
Дещо аналогічне являє собою і дослід Штерна. Струмині води в ньому від-
повідає потік молекул.
§ 245]
ТЕПЛОЄМНІСТЬ ГАЗІВ
425.
Будову приладу Штерна схематично подано на рис- 396* Прилад склада-
ється з трубочки А (електрична піч), у якій електричним струмом нагрівається^
метал (наприклад, срібло), щілини В і цилінд-
ра С. Циліндр С разом з піччю А і щілиною В
можна швидко обертати навколо осі, що проходить
через А і перпендикулярна до площини рисунка.
Повітря з приладу викачане, і в ньому підтриму-
ється дуже низький тиск насосом, який працює
безперервно. Під час нагрівання'срібла в печі А
воно починає випаровуватись і з неї вилітають
молекули (атоми) срібла, що рухаються з швидкі-
стю їх молекулярного руху. Щілина В виділяє на-
прямлений пучок молекул (піч А і щілина В замі-
нюють тут рушницю в наведеному раніше при-
кладі). Стінку циліндра спеціально охолоджують,
щоб молекули, які потрапляють на неї, «прилипа-
ли» до неї, утворюючи наліт срібла. Спочатку при-
лад перебуває в спокої і наліт срібла утворюєть-
ся в точці Лї.
Тепер припустимо, що весь прилад привели в
обертання. Тоді, хоч приціл «молекулярної рушни-
ці» АВ і спрямовано в ту саму точку ЛІ, але ціль
рухається і кулі (молекули) потраплятимуть вже
не в точку ЛІ, а в точку її, що лежить позаду неї;
отже, якщо прилад обертається, наліт срібла утво-
рюватиметься в точці N.
Обчислимо довжину 5 дуги М\г. Вона дорів-
нює шляху, який проходять точки циліндра за
час і польоту молекули від В до циліндра, тобто
5 = ц/, де и — швидкість руху точок циліндра. З
Рис. 395. При нерухомо-
му столику струмина во-
ди з посудини В потра-
пляє в склянку С. При'
обертанні столика стру-
мина води падає позаду
склянки С.
другого боку, якщо позна-
чити швидкість молекул через V, а відстань ВМ
Рис. 396. Схема приладу Штерна
для визначення швидкості моле-
кул пари металу. Якщо прилад
обертається за стрілкою годинни-
ка, то наліт срібла утворюється
в точці N.
через /, то і = —, так що 5 =
V
иі иі п
= — або у = Величину 5 вимірюють-
за відстанню між нальотами металу на*
циліндрі при спокійному стані циліндра-
і при його обертанні, швидкість точок на.
поверхні циліндра и (при обертанні)
і відстань / також можна виміряти. Тоді,,
користуючись останньою формулою, мож-
на знайти швидкість молекул. Таким спо-
собом було виміряно швидкості молекул*
пари деяких металів.
Вправа. 244.1. При дослідах
Штерна наліт срібла, коли прилад пере-
буває в спокої, утворюється у вигляді
вузької смужки, а коли прилад оберта-
ється, то трохи розмитим. Про що це.
свідчить?
§ 245. Теплоємність газівг
Припустимо, що ми маємо 1 г
газу. Скільки треба надати йому
теплоти, щоб температура його збільшилась на 1° С, інакше
кажучи, яка питома теплоємність газу? На це питання, як пока-
426
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД. ХШ
зують дослід і міркування, подані в § 207, не можна дати одно-
значної відповіді. Відповідь залежить від того, у яких умовах
нагрівається газ. Якщо об’єм його не змінюється, то для нагрі-
вання газу потрібна певна кількість теплоти; при цьому збіль-
шується також тиск газу. А якщо нагрівання здійснюють так, що
Рис. 397. Нагрі-
вання газу при
сталому об’ємі.
Рис. 398.
Нагрівання
газу при
сталому
тиску.
тиск його не змінюється, то потрібна
інша, більша кількість теплоти, ніж
у першому випадку; при цьому об’єм
газу збільшиться. Нарешті, можливі
й інші випадки, коли при нагріванні
змінюються і об’єм, і тиск; при цьому
потрібна буде кількість теплоти, яка
залежить від того, як відбуваються ці
зміни. Згідно з цим газ може мати най-
різноманітніші питомі теплоємності,
що залежать від умов нагрівання.
Виділяють звичайно дві з усіх цих
питомих теплоємностей: питому тепло-
ємність при сталому об'ємі (сг) і пито-
му теплоємність при сталому тиску (ср).
Щоб визначити с„, треба нагрівати
газ, поміщений у замкнуту посудину
(рис. 397). Розширенням самої посудини при нагріванні можна
знехтувати. При визначенні ср треба нагрівати газ, поміщений
у циліндр і закритий поршнем, навантаження на який залиша-
ється незмінним (рис. 398) Ч
Таблиця 9
Питомі теплоємності деяких газів при сталому тиску і сталому об’ємі
Газ Питома теплоєм- ність, кал/г-град м Газ Питома теплоєм- ність, кал)г- град М
СР | Су Ср | Су
Гелій . 1,25 0,75 4 Водень 3,42 2,44 2
Неон 0,25 0,15 20,2 Азот 0,244 0,177 28
Аргон 0,125 0,075 39,9 Кисень 0,218 0,157 32
Теплоємність при сталому тиску ср більша, ніж теплоєм-
ність при сталому об’ємі с„. Справді, при нагріванні 1 г газу
на 1° при сталому об’ємі теплота, яка підводиться, витрачається
лише на збільшення внутрішньої енергії газу. А для нагрівання
1 Насправді су і ср газів доводиться визначати іншими складнішими
способами.
§ 247]
ПРАВИЛО ДЮЛОНГА І ПТІ
427
на 1° тієї самої маси газу при сталому тиску треба надати йому
тепла, за рахунок якого не тільки збільшиться внутрішня енер-
гія газу, а й буде виконана робота, зв’язана з розширенням газу.
Щоб знайти ср, до величини ср треба додати ще кількість тепло-
ти, еквівалентну роботі, яка виконується при розширенні газу.
Табл. 9 показує значення ср і для деяких газів: М — моле-
кулярна вага.
§ 246. Молярні теплоємності. У попередньому параграфі ми навели зна-
чення питомих теплоємностей деяких газів, зібрані у таблицю. Ліва частина
цієї таблиці включає кілька одноатомних газів, права — двохатомні гази.
В останньому стовпчику кожної з цих частин таблиці стоїть молекулярна вага
газу (для одноатомних вона збігається з атомною вагою). Якщо помножити
питому теплоємність на молекулярну вагу, то дістанемо величину, яку нази-
вають молярною теплоємністю. Склавши добутки Мсг і Мср для всіх газів,
поданих у табл. 9, ми побачимо, що для всіх одноатомних газів дістанемо
для Мсу число, близьке до 3 кал/град • моль, а для Мср—5 каліград • моль;
для двохатомних- газів дістанемо відповідно для Мс» — близько
5 каліград • моль, для Аїср—7 каліград • моль. Таким чином, молярна тепло-
ємність для кожного типу газів (одноатомних, двохатомних) має сталі значен-
ня. Це — загальне правило, пов’язане з тією обставиною, що гази, узяті
в кількості одного моля, мають однакове число молекул.
Зазначене правило справедливе для двохатомних газів лише в деякому
інтервалі температур. При дуже високих температурах молярні теплоємності
двохатомних газів зростають так, що Мс-о прямує до 7 кал/град • моль,
а АЇСр — до 9 кал/град • моль. При дуже низьких температурах (наприклад,
для водню, який залишається газоподібним до —239° С) Мер прямує до
З кал/град • моль, а Мср—до 5 каліград • моль. Не входячи в подробиці,
зазначимо, що для пояснення цих складніших явищ треба брати до уваги не
тільки рух молекул, як цілого, а й коливання атомів, що їх утворюють.
Спробуємо на прикладі одноатомних газів з’ясувати, чому молярні тепло-
ємності різних газів можуть бути однаковими. Згадаємо 'насамперед, що зміни
внутрішньої енергії в газах є в основному змінами кінетичної енергії моле-
кул газу, оскільки потенціальна їх енергія майже не змінюється (§ 216).
На підставі формули (243. 2) ми можемо написати:
2 2
т1о1 т^2
~2~ = ~2~ ’
тобто при однаковій температурі середні енергії молекул різних газів однакові
між собою. Звідси випливає, що при підвищенні температури на 1° С серед-
ня енергія газової молекули змінюється однаково, незалежно від її маси. Але
число молекул у молі будь-якої речовини те саме (число Авогадро, § 242).
Отже, зміна внутрішньої енергії моля будь-якого одноатомного газу при
нагріванні на 1° С (тобто його молекулярна теплоємність Мс„) також
однакова.
Вправи. 246.1. Обчисліть питомі теплоємності с® і ср для окису вуг-
лецю СО (молекулярна вага СО дорівнює 28 г/моль). Який інший газ має
такі самі теплоємності?
246.2. Користуючись табл. 7 і 9, обчисліть теплоємності при сталому
об’ємі таких мас кисню і азоту, об’єми яких при нормальних умовах дорів-
нюють 1 см3. Поясніть знайдений результат.
*
§ 247. Правило Дюлонга і Пті. Рівність мрлекулярних теплоємностей
спостерігається і у випадку одноатомних твердих тіл, до яких належать
428
ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ
[РОЗД. XIII
метали. У твердих тіл ми не розрізняємо ср і с9і а говоримо просто про питому
теплоємність с. Як уперше помітили Дюлонг і Пті, добуток Ас (де А —
атомна вага) для твердих одноатомних тіл досить сталий і дорівнює приблиз-
но 6 кал/град. Це можна побачити з табл. 10.
Таблиця 10
Питомі теплоємності деяких твердих речовин
Речовина Питома теплоємність с, кал/г- град Атомна вага Я Ас
Алюміній 0,21 27 5,7
Залізо 0,11 56 6,2
Мідь 0,091 64 5,8
Свинець 0,031 207 6,4
Магній 0,24 24 5,8
Берилій 0,42 9 3,8
Правило Дюлонга і Пті виконується для твердих одноатомних тіл’ при
досить високих температурах. Для більшості тіл такою досить високою тем-
пературою є вже кімнатна температура. Проте для деяких тіл з малою атом-
ною вагою, наприклад для берилію, бору, вуглецю (алмазу), кімнатна тем-
пература не досить висока, і вони підлягають правилу Дюлонга і Пті лише
при вищій температурі. Навпаки, при охолодженні всі тіла виявляють відхи-
лення від правила Дюлонга і Пті. При охолодженні питома теплоємність
усіх тіл зменшується.
Вправа. 247.1. Як, не маючи під руками таблиць питомих теплоємно-
стей, приблизно оцінити питому теплоємність металу? Зробіть це для срібла
(Я = 108) і вольфраму (Я « 184).
РОЗДІЛ XIV
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
§ 248. Будова рідин. Ми маємо досить яскраве уявлення про
будову газів і твердих кристалічних тіл. Газ є зібранням моле-
кул, які рухаються безладно в усіх напрямах
від однієї. У твердому тілі всі (точніше, май-
же всі) молекули тривалий час (іноді тисячо-
літтями) зберігають в.заємне розміщення, ви-
конуючи лише невеликі коливання навколо
певних положень рівноваги.
Значно складнішою є будова рідин. Щоб
підійти до цього питання, розглянемо випадок,
коли в замкнутій посудині є рідина і її пара,
причому рідина займе лише частину посудини
(нижню); решта простору заповнена парою
(рис. 399), яка, як і всякий газ, заповнює
весь вільний простір. Звичайно, молекули і в
парі, і в рідині перебувають у безперервному
русі і можуть вилітати з рідини і переходити
в пару і, навпаки, з пари залітати в рідину.
Проте між парою і рідиною зберігається (при
незмінній температурі) різка межа, і обмін
незалежно одна
Рис. 399. Об’єм
посудини поділе-
ний на дві части-
ни: в одній з них
рідина 4, у дру-
гій — пара В.
молекулами не порушує рівновати між цими двома станами;
тільки ця рівновага має рухливий (динамічний) характер.
Різка межа між парою і рідиною розділяє два стани, або,
як кажуть, дві фази речовини, з яких пароподібна характеризу-
ється значно меншою (у тисячі разів) густиною, ніж рідка.
У рідкій фазі середня відстань між молекулами значно менша
(в десятки разів), ніж у парі, і згідно з цим міжмолекулярні
сили зчеплення в рідині значно більші, ніж у парі. Цим і поясню-
ється цідмінність у характері руху молекул у парі і в рідині.
У парі, подібно до газу, можна майже не враховувати сил
зчеплення і розглядати рух як вільний політ молекул і спів-
ударяння їх однієї об одну та з навколишніми тілами (стінками
430
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
(РОЗД. XIV
і рідиною, яка покриває дно посудини). У рідині молекули, як і в
твердому тілі, значною мірою взаємодіють, удержуючи одна
одну. Проте, коли в твердому тілі кожна молекула зберігає
необмежено довго певне положення рівноваги всередині тіла
і рух її зводиться до коливання навколо цього рівноважного
положення, характер руху в рідині інший. Молекули рідини
рухаються значно вільніше, ніж молекули твердого тіла, хоч і не
так вільно, як молекули газу. Кожна молекула в рідині протягом
деякого часу рухається то туди, то сюди, не віддаляючись, проте,
від своїх сусідів. Цей рух нагадує коливання молекули твердого
тіла навколо положення рівноваги. Але час від часу молекула
рідини виривається з свого оточення і переходить в інше місце,
потрапляючи в нове оточення, де знову протягом деякого часу
здійснює рух, подібний до коливання.
Отже, рух молекул рідини являє собою щось подібне до
суміші рухів у твердому тілі і в газі: «коливальний» рух на одно-
му місці змінюється «вільним» переходом з одного місця в інше.
Відповідно до цього будова рідини являє собою щось середнє
між будовою твердого тіла і будовою газу. Чим вища темпе-
ратура, тобто чим більша кінетична енергія молекул рідини, тим
більшу роль відіграє «вільний» рух: тим коротші проміжки
«коливального» стану молекули і частіші «вільні» переходи,
тобто тим більше рідина уподібнюється газу. При досить високій
температурі, характерній для кожної рідини (так звана критич-
на температура, § 303), властивості рідини не відрізняються від
властивостей дуже стисненого газу.
Слід зазначити, що ми маємо значно менш чіткі уявлення
про будову рідин, ніж про будову газів і будову кристалічних
тіл, що пояснюється значно більшою складністю явищ, які
характеризують рідину.
§ 249. Поверхнева енергія. Ми вже говорили про те, що най-
характернішою властивістю рідкого стану є наявність різкої
межі, яка розділяє рідину і її пару (яка може бути змішана і з
іншими газами).
Поверхневий шар рідини, що являє собою перехід від рідини
до пари, відзначається особливими властивостями, що полег-
шують вивчення сил молекулярного зчеплення в рідині. Тому
ми й почнемо ознайомлення з властивостями рідини з цих
поверхневих явищ.
Діти добре знають, що «пасочки» можна зліпити тільки
з мокрого піску. Сухі піщинки не приста*ють одна до одної. Але
так само не пристають одна до одної піщинки, цілком занурені
у воду. Коли під чає- купання людина пірне у воду з головою,
волосся розходиться у воді в усі боки (рис. 400), але як тільки
§ 249]
ПОВЕРХНЕВА ЕНЕРГІЯ
43 Г
Рис. 400. Під водою в плавця волос-
ся стирчить у всі боки, над водою
волосся злипається.
усіх боків. Молекулу, розміщену
вона висуне голову з води, волосся відразу ж розміститься на
голові злиплими шарами.
Чим це пояснити? Злипання піщинок і волосся ми повинні;
пояснити дією сил зчеплен-
ня молекул води, які обволі-
кають піщинки або волосся.
Розглянемо, чому сили
зчеплення не проявляють сво-
єї дії, коли піщинки або во-
лосся розміщені під водою.
Порівняємо молекулу рі-
дини, яка міститься поблизу
межі рідини і газу, з моле-
кулою, розміщеною на від-
стані від цієї межі, усереди-
ні рідини (рис. 401). Молеку-
ла всередині рідини (Л) ото-
чена іншими молекулами з
біля межі 3 газом (В), молекули рідини оточують лише З ОДНОГО'
боку, а з боку газу молекул майже немає. Притягання, якого
зазнає розглядувана нами молекула з боку сусідніх, у випадку
«внутрішніх» молекул взаємно зрівноважується; для молекул,,
розміщених біля поверхні, додавання всіх сил дає рівнодійну,
напрямлену всередину рідини. Тому, щоб перевести молекулу
з внутрішніх шарів до по-
верхні, треба виконати робо-
ту проти зазначеної рівно-
дійної сили. Отже, кожна>
молекула, яка перебуває
поблизу поверхні рідини,
має деякий надлишок потен-
ціальної енергії порівняно з
молекулами, які перебува-
ють усередині рідини. Чим
більша поверхня рідини,
тим більше число молекул
має цю надлишкову потен-
ціальну енергію. Отже, при збільшенні поверхні даної маси ріди-
ни (наприклад, при подрібненні води на дрібний водяний пил)
енергія рідини збільшується. Це — один з випадків зміни внут-
рішньої енергії тіл, про який ми згадували в § 202. У цьому
випадку внутрішня енергія тіла пропорціональна розмірам
поверхні, і тему її часто називають поверхневою енергією-
Ходин з прикладів дуже невдалих назв, які вбереглися в силу
традиції).
в

'“о
Рис. 401. Молекула А оточена з усіх
боків іншими молекулами і притягуєть-
ся ними в різних напрямах. Молекула В
притягується іншими молекулами всере-
дину рідини.
432
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
(РОЗД. XIV
Внаслідок прагнення молекул увійти всередину рідини з її
-поверхні рідина набирає такої форми, при якій її вільна поверх-
‘Р'ис. 402. Струминка ме-
ду, яка стікає з ложки,
обирається в кульку, що
піднімається догори.
ня має найменшу можливу величину.
Прагнення деякої маси рідини змен-
шити свою вільну поверхню добре прояв-
ляється в різних явищах і дослідах.
1) Насамперед про це свідчить куляс-
та форма, якої набирають маленькі крап-
лини рідини; краплинки ртуті на гори-
зонтальній скляній пластинці; краплини
води, які.розбігаються по розжареній пли-
ті, якщо на неї потраплять бризки води;
краплини води на запиленому шляху
і т. д. У всіх цих випадках взаємодія
з твердим тілом, на якому вони розміще-
ні, мала порівняно з силами, які діють
між частинами рідини, і прагнення ріди-
ни зменшити свою поверхню добре прояв-
ляється: куляста форма краплинок відпо-
відає найменшій їх поверхні. При малих
розмірах краплинок вплив сили тяжіння,
який спотворює їх форму, невеликий.
2) Дуже наочно прагнення рідини
зменшити свою поверхню проявляється у випадку тонкої стру-
минки в’язкої рідини, яка стікає вниз. Легко можна спостерігати,
наприклад, як струминка стікаючого меду, якщо вона чомусь
починає тоншати, раптово переривається і піднімається вгору,
утворюючи на кінці круглу краплину (рис. 402), і тим зменшує
свою вільну поверхню.
Рис. 403. а) На скляній трубці при розламу-
ванні утворився гострий зубець, б) Той самий
зубець після оплавлення трубки в полум’ї.
Рис. 404. а) Вигляд нит-
ки, яка лежить на миль-
ній плівці, б) Нитка ви-
тягується плівкою вбік.
3) Якщо на скляній трубці при розламуванні утворився гост-
рий зубець, то його легко обплавити, тобто зробити круглим,
розм’якшивши скло на полум’ї (рис. 403).
4) Наочно видно прагнення зменшити вільну поверхню плів-
ки, наприклад мильної.
§ 249]
ПОВЕРХНЕВА ЕНЕРГІЯ
433
Утворимо мильну плівку на кільці з ниткою, протягнутою так,
як показано на рис. 404, а. Поки плівка ціла з обох боків нитки,
нитка має ту форму, якої вона
випадково набула при утворенні
плівки. Якщо знищити плівку з
одного боку від нитки, то мильна
плівка з другого боку відразу
зменшить свою поверхню і натяг-
не нитку (рис. 404, б).
Прагненням плівки скороти-
тись до найменших можливих роз-
мірів пояснюється куляста форма
мильних бульбашок. Тим самим
зменшенням поверхні рідини при
встановленні рівноваги поясню-
ється і злипання мокрих піщинок
та мокрого волосся, про що ми
говорили спочатку: легко побачи-
ти, що при злиплому волоссі вода,
яка‘ його обволікає, має меншу
поверхню, ніж при окремому роз-
міщенні волосин. Це показано на
рис. 405.
б
Рис. 405. Заштриховані, кружки
зображають . перерізи волосся.
Пунктирна лінія зображає водяну
плівку, яка обволікає волосся.
При роздільному положенні во-
лосся поверхня плівки велика (а).
При злиплому врлоссі поверхня
плівки мала (б).
У всіх цих випадках ми спостерігаємо прагнення рідини змен-
шити поверхню, по якій вона межує з повітрям (точніше — з
парою, яка утворюється з рідини). Такі самі явища ми спостері-
гаємо на межі двох незмі-
шуваних рідин.
Рис. 406. Кра-
плина аніліну
всередині роз-
чину солі наби-'
рає форми кулі.
Рис. 407. а) На годинниковому склі розмі-
щено в слабкому розчині кислоти безліч
стичних дрібних краплинок ртуті, б) Через
кілька хвилин усі краплинки злилися в одну
велику краплину.
1) Помістимо велику краплину аніліну в розчин кухонної
солі, густину якого підігнано до густини аніліну так, що крапли-
на тримається всередині його, не падаючи на дно і не випливаю-
чи. Це означає, що сила тяжіння і підтримувальна сила, які діють
26 7-103
434
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
на краплину, взаємно зрівноважуються (закон Архімеда,
§ 160). У цьому разі краплина також набирає форми кулі
(рис. 406).
2) Наллємо на годинникове скельце слабкого розчину кис-
лоти (наприклад, азотної) і випустимо туди з піпетки безліч
дрібних краплинок ртуті (рис. 407). Ми побачимо, як ці краплин-
ки злипатимуться одна з одною і, нарешті, утворюють одну вели-
ку краплину, поверхня якої, звичайно, менша, за суму повер-
хонь множини дрібних краплин.
е
Вправи. 249. 1. Щоб виготовити свинцевий дріб, розплавлений сви-
нець ллють крізь вузькі отвори з деякої висоти у воду, причому під час
падіння свинець охолоджується, набираючи форми кульок. Поясніть це.
249. 2. Що стається з мильною плівкою, коли вона лопає? Куди вона
дівається?
§ 250. Поверхневий натяг. У попередньому параграфі ми
показали, що збільшення вільної поверхні рідини зв’язане з робо-
тою по витягуванню молекул зсередини рідини на поверхню.
Вільну поверхню можна збільшити найрізноманітнішими спосо-
бами: можна збільшити вільну поверхню рідини, утворюючи хви-
лі на ній, можна перетворювати сферичні краплини у витягнуті,
можна розбризкувати рідину, можна роздувати всередині ріди-
ни бульбашку з повітря і т. д. У будь-якому випадку виконується
робота по збільшенню поверхні рідини і, отже, завжди повинна
бути деяка сила, під дією якої вільна поверхня рідини збільшує-
ться. Щоб обчислити цю роботу і цю силу, найпростіше розгля-
нути випадок, коли ми збільшуємо поверхню рідини, розтягую-
чи утворену з рідини тонку плівку. У цьому разі сила, яка вико-
нує роботу по збільшенню обох поверхонь плівки, напрямлена
вздовж плівки.
Роботу, яку треба виконати, щоб збільшити вільну поверхню
деякої рідини на 1 см2, не змінюючи температури рідини,, нази-
вають поверхневим натягом цієї рідини і позначають звичайно
буквою о. З нашого означення випливає, що для збільшення
вільної поверхні рідини на 5 см2 треба виконати роботу а5.
У системі СГС поверхневий натяг подають в ерг/см2 або динісм,
бо ерг = дин-см. У системі СІ поверхневий натяг вимірюють
у дж/м2 або нім. Зауважимо, що 1 дин/см = 1000 н/м.
Як визначити поверхневий натяг рідини? Нехай нам удало-
ся виміряти силу Е, яку треба прикласти до прямолінійної діль-
ниці межі тонкої плівки рідини, щоб рівномірно розтягувати цю
плівку (рис. 408). Нехай довжина цієї дільниці дорівнює /. При
переміщенні цієї дільниці на відстань Ь буде виконана робота
Е-Ь. З другого боку, буде виконана робота по збільшенню обох
поверхонь плівки. Кожна з них збільшиться на величину
§ 250]
ПОВЕРХНЕВИЙ НАТЯГ
435
5 = І'Ь, отж.е, буде виконана робота 2о5 = 2аІЬ. Прирівнюючи
два знайдені вирази тієї самої роботи, знайдемо:
Р
0 “ Тг
З цього міркування видно, що поверхневий
натяг дорівнює силі, яку треба прикласти до
1 см прямолінійної дільниці межі поверхні рі-
дини в напрямі дотичної до поверхні, щоб уста-
новилася рівновага рідини. Вимірювання сили,
яка діє на межу плівки рідини, дають змогу
визначити поверхневий натяг рідини. Дуже
простий прилад для грубих таких вимірювань
зображено на рис. 409. Опустимо у воду мідну
дротинку, зігнуту, як показано на рисунку, за-
чепимо дротинку чутливим пружинним дина-
мометром і дуже повільно без поштовхів під-
німатимемо її вгору. Показ динамометра по-
ступово збільшуватиметься і досягне макси-
Рис. 408. Межа
тонкої плівки А
переміщається
вправо. На
дільницю / діє
сила Р.
мального значення, коли з води буде видно водяну плівку, яка
нависла на дротині. Відлічивши показ динамометра і взявши до
уваги вагу дротинки, ми
Рис. 409. Простий прилад
для визначення поверхнево-
го натягу рідин.
знайдемо силу, яка розтягує плівку.
При довжині дротинки 5 см ця си-
ла становить близько 700 дин. Звідси
700 дин .
°води — 2 . 5 сл — СМ —
= 70 ерг/см2.
Крім цього грубого способу, є й ін-
ші, точніші способи вимірювання
поверхневого натягу різних рідин
(див. далі, § 257).
Результати вимірювань поверхне-
вих натягів подано в табл. 11.
Звернемо увагу, що в летких рі-
дин (ефір, спирт) поверхневий на-
гелію. У рідких металів
великий.
тяг, а отже, і молекулярні сили мен-
ші, ніж у рідин нелетких (у ртуті).
Дуже малий поверхневий натяг у
рідкого водню і особливо в рідкого
поверхневий натяг, навпаки, дуже
Відмінність у поверхневому натягу рідин пояснюється від-
мінністю в силах зчеплення в різних молекул.
Вимірювання поверхневого натягу показують, що поверхне-
вий натяг рідин залежить лише від природи рідини і від її
£8*
436
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
температури. Він зовсім не залежить від того, велика поверхня
рідини чи мала, чи зазнавала іїя поверхня попередньо розтягу
чи ні. Інакше кажучи, робота по витягуванню кожної нової моле-
кули на поверхню ніяк не залежить від того, яка величина цієї
поверхні. Це показує, що поверхневий шар рідини не можна
Рис. 410. а) На поверхню води рівномірно насипано порошок, б) До поверхні
води торкаються паличкою, змоченою в милі,— порошок розбігається в усі
сторони, в) Стрілки зображають сили, які діють на межу з боку мильного
розчину і з боку чистої води.
уподібнювати тонкій пружній плівці, наприклад гумовій. При
розтягуванні гумової плівки із збільшенням її поверхні розтя-
гувальна сила стає дедалі більшою і, отже, робота по збільшен-
ню цієї поверхні на 1 см2 також збільшується. При збільшенні
поверхні рідини такого не спостерігається.
Таблиця 11
Поверхневий натяг деяких рідин
Рідина Темпера- тура в °С Поверхневий натяг
ерг/см2 дж/м2
Вода (чиста) " 20 72,5 0,0725
Розчин мила 20 40 0,040
Спирт 20 22 0,022
Ефір . 25 17 0,017
Ртуть 20 470 0,470
Золото (розплавлене) 1130 1102 1,102
Рідкий водень -253 2,1 0,0021
» гелій —269 0,12 0,00012
При вимірюванні поверхневого натягу слід дуже уважно спо-
стерігати за тим, щоб рідина була хімічно чистою, бо домішки
розчинених у рідині речовин можуть помітно зменшити поверх-
невий натяг.
Зменшення поверхневого натягу рідини при розчиненні в ній
домішок можна виявити за допомогою такого досліду (рис. 410).
Насиплемо на поверхню води в посудині якого-небудь порошку
(наприклад*, лікоподію або тальку), що плаває на її поверхні.
$25!]
РІДИННІ ПЛІВКИ
437
Цим ми зробимо помітними переміщення поверхневого шару
води. Тепер пустимо на поверхню води маленьку краплину миль-
ного розчину (або ефіру). Ми побачимо, що порошок швидко
побіжить від краплинки в усі боки. Це показує, що поверхневий
натяг мильного розчину (поблизу краплини) менший, ніж поверх-
невий натяг чистої води (біла країв посудини).
Та обставина, що на поверхні води утворюється плівка роз-
чину ефіру (або мила), а отже, молекули води йдуть углиб озна-
чає, що сили, які втягують молекули води всередину, більші,
ніж сили, які втягують молекули ефіру; звідси випливає, що
робота по витягуванню молекул води на поверхню більша, тобто
поверхневий натяг чистої води більший за поверхневий натяг
розчину ефіру (або мила).
Вправи. 250.1. Яку роботу треба виконати при такому деформуванні
сферичної краплини ртуті діаметром 2 мм (при 20е С), коли її поверхня
збільшується в 3 рази? Вказівка: з геометрії відомо, що поверхня сфери
радіусом /? дорівнює 4л/?2.»
250. 2. Яку роботу треба виконати, щоб при 20° С видути мильну буль-
башку діаметром 10 см?
250. 3. Яку роботу треба виконати, щоб 1 кг чистої води при 20° С роз-
дробити на краплинки діаметром 1 мікрон такої самої температури? Почат-
кова поверхня води мала порівняно з загальною поверхнею всіх краплинок
і нею можна знехтувати. Яка кількість теплоти виділиться, якщо всі ці крап-
линки знову зіллються між собою, а температура буде попередньою? Вка-
зівка: з геометрії відомо, що об’єм сфери ’радіусЬм /? дорівнює 4/з* №
§ 251. Рідинні плівки. Усі знають, як легко утворити піну з мильної води
або з білка яйця. З чистої воді^піна утворюється дуже нестійка.
Піна — це множина бульбашок повітря, обмежених найтоншою плівкою
з рідини. З рідини, яка утворює піну, можна
легко виділити і окрему плівку. І
Ці плівки дуже цікаві. Вони можуть бути
надзвичайно тонкими: у найтонших частинах їх
товщина не перевищує стотисячної частки мілі-
метра. Незважаючи на свою тонкість, вони іно- Г Т
ді дуже стійкі Мильну плівку можна розтя- І |
гувати і деформувати. Крізь мильну плівку 1
може протікати струмина води, не руйнуючи її
(рис. 411). Змочена мильною водою стальна
кулька пролітає крізь мильну плівку, не руй-
нуючи її. У момент пролітання вона, очевидно^ £
покривається плівкою з обох боків і потім від-
ривається, причому ушкоджене місце поверхні
відразу ж відновлюється.
Чим саме пояснити стійкість плівок? На-
самперед зауважимо, що стійкі плівки і піна Рис. 411. Струмина води
не можуть утворюватися в хімічно чистих ріди- протікає крізь мильну плів-
ках. Обов’язковою умовою утворення піни Є . ку, не руйнуючи її.
добавляння до чистої рідини (вода, спирт
і т. д.) речовин, які в, ній розчиняються, і притому таких, які значною мірою
знижують поверхневий натяг. Як показує дослід, молекули такої розчиненої
речовини збираються в поверхневому шарі рідини (адсорбуються, див. да-
лі, § 258).
438
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
А
С
В
Рис. 412. Схематичне
зображення будови
мильної плівки. А і
В — поверхневі шари,
багаті на молекули
мила; С — шар май-
же чистої води.
Рис. 413. До
251. 1. Мильна
між вказівними
кими пальцями рук.
Яке це має значення для міцності плівки, наприклад мильної? Мильна
плівка являє собою потрійний шар (рис. 412). У двох зовнішніх шарах ми
маємо воду, насичену молекулами речовин, що входять до складу мила,
у середньому шарі — майже чисту воду.
Гелер уявимо собі, що плівка з якоїсь причини в одному місці потонша-
ла. Це призведе до того, що тут оголюється внутрішній шар майже чистої
води. Поверхневий натяг цього шару, як ми бачили,
великий. Внаслідок великого поверхневого натягу
місце плівки, яке потоншало, потягне до себе рідину
з інших, товщих частин. Цим буде знову досягнуто
однакової товщини плівки на всьому протязі, і небез-
пека розриву плівки зникне.
Навпаки, у чистих рідинах найменша зміна тов-
щини в якому-небудь місці або дуже мала нерівно-
мірність у силах, які діють на плівку, не може бути
скомпенсована зміною поверхневого натягу і веде
до руйнування плівки.
Проте через деякий час лопає і мильна плівка.
Причини цього різноманітні. По-перше, плівка ніко-
ли не буває цілком горизонтальною (хоча б через те,
що горизонтальна плівка завжди трохи зігнута своєю
вагою). Внаслідок цього рідина з верхньої частини
плівки поступово перетікає вниз. По-друге, плівка весь час трохи випаровуєть-
ся, а тому і тоншає до такого стану, при якому внутрішній шар плівки, який
зумовлює, як ми бачили, її стійкість, тоншає. По-третє, на поверхні плівки
можуть відбуватися реакції окислення, які ведуть до утворення нових речо-
вин. Щоб зберегти мильну плівку довше, її поміщають під ковпак, який за-
тримує випаровування рідини, і добавляють до мильного розчину речовини, які
збільшують його в’язкість (цукор гліцерин).
У природі і техніці ми звичайно зустрічаємось не з окремими плівками,
а з зібранням плівок — з піною. Часто можна бачити в струмках, там, де
невеликі струминки води падають у спокійну вАу,
значне утворення піни. У цьому випадку здатність
води пінитись пов’язана з наявністю у воді слаб-
кої органічної речовини, яка виділяється з коренів
рослин (сапоніну). У будівельній техніці іноді ви.
користовують матеріали, які мають пористу струк-
туру, подібні до піни (наприклад, пінобетон). Такі
матеріали дешеві, легкі, погано проводять теплоту
та звуки і досить міцні. Для їх виготовлення в роз-
чини, з яких утворюються будівельні матеріали,
добавляють речовини, що сприяють піноутворенню.
Важливим прикладом використання піноутворю-
ючих речовин є вогнегасники, при дії яких поже-
жу гасять стійкою піною, що викидається з вогне-
вправи
плівка
і вели-
гасника.
Вправа. 251.1. Коли ми миємо руки, між пальцями утворюється
мильна плівка, як показано на рис. 413. Спостерігайте інтенсивні рухи рідини,
спричинені відмінністю в поверхневому натягу різних частин плівки. Плівка
спочатку не має кольору, потім забарвлюється в кольори, про походження
яких мова буде у відділі «Оптика». Через деякий час плівка покривається
чорними плямами. Ці плями швидко ростуть, покриваючи собою значну час-
тину плівки. Було з’ясовано, що ці плями — Місця, де плівка має товщину,
яка відповідає розмірам двох молекул. Ці шари складаються з молекул мила;
третій, проміжний, шар зник. Виникнення і збільшення чорних плям є ознакою
того,’ що плівка швидко лопне.
$ 252]
ЗАЛЕЖНІСТЬ ПОВЕРХНЕВОГО НАТЯГУ ВІД ТЕМПЕРАТУРИ
439
§ 252. Залежність поверхневого натягу від температури.
У табл. 11 подано температуру, при якій вимірювали поверхне-
вий натяг. Це зроблено тому, що поверхневий натяг залежить
від температури. У цьому можна впевнитись на досліді, подіб-
ному до описаного в § 250.
Насипавши, як і раніше, на поверхню води в посудину ліко-
подію, піднесемо до нього розжарене металеве тіло. Від цього
прогріється і поверхня води, причому найбільше в безпосеред-
ній близькості від нагрітого тіла. Ми побачимо, що лікоподій
розбіжиться від нагрітого предмета. Це показує, що з підвищен-
ням температури поверхневий натяг води зменшується.
Результати вимірювання поверхневого натягу води при різ-
них температурах подано в табл. 12.
Таблиця 12
Залежність поверхневого натягу води від температури
Температура, °С Поверхневий натяг, дин/см
0 75,6
20 72,5
50 67,9
100 58,8
В інших рідин поверхневий натяг при підвищенні температу-
ри також зменшується. Отже, сили зчеплення в рідині при під-
вищенні температури зменшуються.
До цього явища ми повернемось, коли говоритимемо про
випаровування рідин.
§ 253. Змочування і незмочування. Ми бачили (§ 249), що
невеликі краплинки ртуті, поміщені на скляну пластинку, наби-
рають кулястої форми. Це є результатом дії молекулярних сил,
які прагнуть зменшити цоверхню рідини.
Ртуть, поміщена на поверхні твердого тіла, не завжди утво-
рює круглі краплини. Очистимо цинкову пластинку від окислів,
протерши її ганчіркою, змоченою в слабкій сірчаній кислоті,
і помістимо на неї краплинку ртуті (рис. 414). Ми побачимо, що
краплинка ртуті розтечеться по цинковій пластинці, причому
загальна поверхня краплинки, безперечно, збільшиться.
Краплина аніліну в досліді, зображеному на рис. 406, має
кулясту форму також тільки тоді, коли вона не торкається стін-
ки скляної посудини. Але тільки вона доторкнеться до стінки,
як відразу ж прилипає до скла, розтягуючись по ньому і збіль-
шуючи загальну поверхню.
440
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
(РОЗД. XIV
Чим саме пояснюється ця різниця? Згадаємо, що прагнен-
ня молекул рідини увійти всередину рідини і зменшити поверх-
ню, яка відокремлює рідину від газу, пояснюється тим, що моле-
кули рідини майже не притягуються молекулами газу (молекул
газу дуже мало).
У випадку стикання з твердим тілом сили зчеплення молекул
рідини з молекулами твердого
тіла починають відігравати
істотну роль. Поведінка рідини
залежатиме від того, що біль-
ше: зчеплення між молекулами
рідини чи зчеплення молекули
рідини з молекулою твердого
тіла. У випадку ртуті і скла си-
Ртуть
Цинк
Рис. 414. Розтікання ртуті по
очищеному цинку. •
ли зчеплення між молекулами ртуті і скла малі порівняно з си-
лами зчеплення між молекулами ртуті, і ртуть збирається в
краплину. Але у випадку води і скла (або ртуті і цинку), очевид-
но, сили зчеплення між молекулами рідини і твердого тіла пере-
вищують сили зчеплення, які діють між молекулами рідини, і рі-
дина розтікається по твердому тілу.
Щоб перевірити правильність цих міркувань, виконаємо такий
дослід. Візьмемо скляну пластинку з приклеєним до неї зверху
гачком. Покладемо її на поверхню ртуті і тягтимемо за гачок,
Рис. 415. а) Чиста скляна пластинка, відриваючись
від поверхні ртуті, не виносить з собою ртуті, б) Та
сама пластинка, відриваючись від поверхні води,
покривається плівкою води.
поки пластинка не відірветься від ртуті. При цьому пластинка
відірветься від ртуті зовсім чистою, не виносячи з собою ртуті
(рис. 415, а). Це показує, що зчеплення між молекулами скла
і ртуті менше, ніж між молекулами ртуті. Тут справа така сама,
як і з розтягуваним ланцюгом, який рветься там, де він має
слабку ланку.
§ 253)
ЗМОЧУВАННЯ І НЕЗМОЧУВАННЯ
44 Ь
Проте якщо замість ртуті взяти воду і повторити той самий
дослід, то помітимо, що відірвана скляна пластинка покрита
водою (рис. 415,6). У цьому разі розрив відбувається між моле-
кулами води, а не між водою і склом. Отже, сили зчеплення між.
Скло
кулами води, а не між водою
водою і склом більші, ніж
сили зчеплення частинок во-
ди між собою. У першому
випадку ми називаємо ріди-
ну такою, що не змочує твер-
де тіло (приклади: ртуть —
скло, вода — парафін); у
другому — такою, що змочує
(ртуть — цинк, вода — скло).
Звідси випливає, що, го-
ворячи про поверхню рідини,
треба мати на увазі не тіль-
ки поверхню, де рідина межує з повітрям, а й поверхню, що ме-
Скло
Ртуть
Рис. 416. Так роз-
міщується біля
скляної стінки
ртуть (збільшено).
7<
Вода
Рис. 417. Так роз-
міщується біля
скляної стінки во-
да (збільшено).
жує з іншими рідинами або з твердим тілом. Зокрема, коли ріди-
ну налито в посудину, то більша частина її поверхні межує
з стінками посудини.
Залежно від того, чи змочує рідина стінки посудини чи не
. змочує, форма поверхні рідини біля місця сти-
|І кання з твердою стінкою і газом має той або ін-
_ ший вигляд. У випадку ртуті в скляній посудині
або води в посудині, стінки якої покриті шаром.
и парафіну, форма поверхні біля краю кругла,.
її опукла (рис. 416). Це пояснюється тим, що в цьо-
Я му випадку сили зчеплення між молекулами рту-
ІМ ті перевищують зчеплення ртуті з стінками, і
/п\ ртуть, прагнучи стягтися, частково відходить від
/ и \ скла. В інших випадках рідина (вода в чистій
й | скляній або металевій посудині) біля краю на-
у | бирає форми, зображеної на рис. 417. При цьому
І притягання рідини стінками перевищує притяган-
ня між молекулами рідини, і рідина підтягуєть-
ся до скла, прагнучи розтектися по ньому.
Рис. 418. Засто-
сування
ної
для
води
ну з
скля-
палички
наливання
в посуди-
вузькою
шийкою.
Вправи. 253. 1. Чому з скляної пляшечки воду мож-
на виливати краплинами, а ртуть не можна?
253. 2. Поясніть спосіб наливання води у вузьку шийку
посудини по скляній паличці або по сірнику (рис. 418).
253.3. Покладіть на поверхню води сухе лезо від без-
печної бритви. Якщо його брали пальцями, то воно завжди*
покрите тонким шаром жиру. Воно плаватиме. Те саме лезо,,
старанно вимите милом (не торкатися після цього руками),
на поверхні води. Поясніть явища.
не може плавати на поверхні води. Поясніть явища.
253.4. Ознайомтесь з процесом паяння. Щоб розплавлений припій
(наприклад, сплав олова з свинцем) розтікався на поверхнях спаюваних
442
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
металевих предметів, треба старанно очищати ці поверхні паяльною рідиною
(наприклад, хлористим цинком). Хлористий цинк звільняє металеву поверх-
ню від окислів. Урахуйте величезні сили зчеплення в металах і поясніть,
чому потрібно, щоб припій торкався до зовсім чистої металевої поверхні.
§ 254. Розміщення молекул біля поверхні тіл. Виконаємо такий дослід.
На поверхню чистої гарячої води помістимо невеликий кусок парафіну (або
воску чи нафталіну). Парафін розплавиться і розтечеться тонкою плівкою
по поверхні води. Дамо воді охолодитись. Парафін затвердне у вигляді тон-
0000000000
0000000000°
0000000000°
0000000000°
Рис. 419. Розміщення
молекул мастила побли-
зу твердого тіла А. Ак-
тивні кінці молекул по-
значено чорним, інерт-
ні— білим. Ковзання
відбувається в місцях В
і й. У місці С ковзання
немає.
кої пластинки. Обережно виймемо цю пластин-
ку, намагаючись не торкатися її поверхні, і, по-
діливши на дві частини, помістимо горизонталь-
но, спочатку перевернувши одну з частин. Тепер
за допомогою піпетки нанесемо на поверхні наших
пластинок краплини чистої води. Ми побачимо,
що краплини поводять себе зовсім по-різному. На
тій поверхні парафіну, яка стикалася з повітрям,
краплина води не розтечеться і матиме таку саму
форму, як ртуть на склі; у цьому випадку вода
не змочує парафіну. На поверхні, яка стикалася
з водою, краплина води негайно розтечеться, утво-
рюючи тонку плівку; у цьому випадку вода змо-
чує парафін.
Чому ж та сама тверда речовина в одних ви-
падках змочується рідиною, а в інших не змо-
чується?
Це явище можна пояснити так. Молекули
багатьох речовин досить складні; внаслідок цього
різні частини такої молекули можуть виявляти різ-
ні сили зчеплення при взаємодії з іншими молеку-
лами. Якщо яким-небудь способом розмістити такі
молекули так, що в один бік будуть повернуті
кінці, які добре взаємодіють з водою, а в дру-
гий — кінці, які слабко взаємодіють, то утво-
риться 'пластинка, одна поверхня якої змочу-
ватиметься водою, а друга ні. Парафін на гарячій воді плавиться, і молекули
рідкого парафіну повертаються, притягуючись своїми кінцями, які добре взає-
модіють з водою, до поверхні води. У такому положенні вони й охолоджують-
ся, коли охолоджується вода, внаслідок чого утворюється та двостороння
пластинка, властивості якої ми виявили в описаному досліді.
Найбільший вплив певного розміщення молекул у поверхневому шарі
в маслянистих речовин, що мають мастильну дію. На підставі хімічних
досліджень цим молекулам приписують видовжену форму, причому на одно-
му її кінці розміщена група атомів СООН (так звана карбоксильна група)*
Ця група і зумовлює зчеплення молекул маслянистих речовин з поверхнями
твердих тіл (активні кінці). Інші кінці тих самих молекул дають дуже малі
сили зчеплення (інертні кінці).
Таке уявлення дає можливість пояснити мастильну дію дуже тонких
шарів мастил. Шар мастила між двома твердими (наприклад, металевими)
поверхнями поділяється на шари, повернуті один до одного позмінно актив-
ними й інертними кінцями, як показано на рис. 419. До твердих тіл прилягає
шар молекул, які прикріпилися до нього своїми активними кінцями. Ці моле-
кули розміщаються подібно до волосся на щітці. Під час руху відбувається
ковзання між інертними кінцями молекул змочуючої речовини. При цьому
ковзанні не утворюються сили, які йому перешкоджають, бо сили зчеп-
лення біля цих кінців молекул малі. Тому й тертя буде дуже мале.
-§ 255]
ЗНАЧЕННЯ КРИВИЗНИ ВІЛЬНОЇ ПОВЕРХНІ РІДИНИ
443
А
м
м
б
а
Рис. 420. Сили поверхневого натягу
які діють на викривлену поверх-
ню рідини, дають результуючу Г, на-
прямлену в той бік, куди поверхня
М повернута своєю вгнутістю, а) По-
верхня рідини опукла, б) Поверхня
Зазначимо, що в рідин, які не мають мастильної дії в тонких шарах,
молекулярна картина течії рідини поблизу твердого тіла має інший характер.
§ 255. Значення кривизни вільної поверхні рідини. Ми постій-
но зустрічаємося з кривими поверхнями рідин: кривою є поверх-
ня повислої краплини (рис.
377), поверхня води, яка обля-
гає намокле волосся (рис. 405),
поверхня будь-якої краплини
рідини, будь-якої бульбашки
в ній і т. д.
Яке ж значення має кривиз-
на поверхні? Легко побачити,
що сили, зв’язані з наявністю
поверхневого натягу і напрям-
лені по дотичній до поверхні
рідини, у випадку опуклої по-
верхні дають результуючу, на-
прямлену всередину рідини
(рис. 420, а). У випадку вгну-
тої поверхні результуюча сила,
навпаки, напрямлена в бік газу,
що межує з рідиною (рис.
420,6). На підставі цих спро-
щених міркувань можна споді-
ватися, що тиск рідини, обме-
женої опуклою поверхнею,
більший за тиск навколишньо-
го газу (або іншої рідини, що
межує з першою), а тиск ріди-
рідини вгнута.
ни, обмеженої вгнутою поверхнею, навпаки, менший за тиск нав-
колишнього газу. Щоб перевірити це припущення, звернемось до
дослідів.
1) На рис. 421 зображено вузьку скляну трубку В, сполучену
гумовою трубкою з широкою трубкою А. У трубках є вода. Спо-
чатку встановимо кінець трубки В на рівні рідини в трубці А.
При цьому поверхня води в трубці В є горизонтальною і цілком
плоскою (рис. 421, а). Тепер обережно опускатимемо трубку В.
Кінець трубки В, до якого доходить вода, буде нижче рівня води
в Л, і водночас поверхня в ньому набере опуклої сферичної фор-
ми (рис. 421,6). Подумаємо, що це означає. Над опуклою сфе-
ричною поверхнею води в В і над плоскою поверхнею води в А
атмосферний тиск однаковий. На рівні кінця трубки В в трубці А
(рис. 421, а) тиск більший від атмосферного. Оскільки рідина
перебуває в рівновазі, то, отже, і біля кінця трубки В, безпосе-
редньо під опуклою поверхнею тиск більший від атмосферного.
Додатковий тиск під опуклою поверхнею рідини спричинюється
444
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
молекулярними силами. Прагнення рідини зменшити свою віль-
ну поверхню веде до того, що рідина, яка міститься за сферич-
ною поверхнею, буде трохи стиснутою, а тому і має додатковий тиск.
Продовжуватимемо дослід, опускаючи трубку В ще нижче.
При цьому радіус сферичної поверхні
Рис. 421. а) Поверхні води
в трубках А і В перебува-
ють на однаковому рівні,
обидві поверхні плоскі.
б) Поверхня води в А ви-
ща, ніж у В; поверхня в
А — плоска, в В — опукла.
води ще зменшиться, а різниця рівнів
у трубках ще збільшиться. Звідси
висновок: додатковий тиск під опуклою
поверхнею рідини тим більший, чим
менший радіус цієї поверхні.
2) На рис. 422 подано прилад для
видування бульбашок з вузького кінця
С трубки, опущеної в рідину на неве-
лику глибину. Натискаючи на гумову
грушу Л, ми створюємо всередині труб-
ки підвищений тиск, який реєструється
рідинним манометром В. Із збільшен-
ням тиску в трубці радіус бульбашки,
яка видувається, дедалі більше змен-
шується (рис. 422, б, в, г). Якщо, про-
довжуючи натискати на грушу Л, дій-
демо до такого положення, що радіус
бульбашки почне збільшуватись (рис.
422,6), манометр покаже зменшення
тиску.
Очевидно, цей дослід показує те саме, що й попередній, тобто
те, що зігнутість поверхні рідини зв’язана з додатковим тиском
з того боку поверхні, куди вона повернута своєю вгнутістю,
і що додатковий тиск тим більший, чим менший радіус кривиз-
ни поверхні.
Якщо кінець трубки С занурити не у воду, а в іншу рідину,
наприклад у спирт, то манометр покаже інший максимальний
тиск. У випадку спирту максимальний тиск буде приблизно
в 3,5 раза менший, ніж у випадку води. Пригадаємо, що поверх-
невий натяг спирту менший від поверхневого натягу води також
у 3,5 раза. Цей результат показує, що різниця тисків тим біль-
ша, чим більший поверхневий натяг.
Розрахунок веде до такого висновку: при наявності сферич-
ної поверхні рідини радіуса /? є різниця тисків
(255 1)
де р2—тиск у середовищі, розміщеному ближче до центра сфе-
ри, а р\—далі від центра (рис. 423). Зрозуміло, що ця форму-
ла узгоджується з результатами дослідів, зображених на рис. 421
і 422.
<«551
ЗНАЧЕННЯ КРИВИЗНИ ВІЛЬНОЇ ПОВЕРХНІ РІДИНИ
445
Рис. 422. а) Прилад для вимірювань при видуванні бульба-
шок у рідині, б), в) і г) Показано, що на початку утворення
бульбашки радіус кривої поверхні рідини поступово зменшує-
ться. д) Наприкінці видування радіус поверхні знову збіль-
шується.
Рис. 423. Два середовища
межують по сферичній поверх-
ні радіуса /?. повернутій угнуті-
стю вліво. При рівновазі тиск
середовища зліва від межі біль-
ший, ніж тиск середовища
справа від межі на величину
2а //?.
446
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
Наведемо виведення формули (255. 1). Розглянемо бульбашку повітря
радіусом 7? в рідині з поверхневим натягом а (або краплину рідини того
самого радіуса Я, рис- 423); р2—тиск повітря в бульбашці, р\ — тиск рідини
навколо бульбашки. Нехай з якої-небудь причини радіус бульбашки збіль-
шився на малу порівняно з радіусом Н величину х. При цьому буде виконана
робота Ді, що дорівнює добутку різниці сил тиску (р2 —Рі) • 4лТ?2 на пере-
міщення х:
Лі = (Р2 — Рі)4к7?2х.
З другого боку, поверхня збільшиться на малу величину:
4п (7? 4~ х)2 — 4к7?2 = 4пх (27? + х).
Оскільки ми припустили, що х дуже мале порівняно з 7?, то можна вважати,
що збільшення поверхні дорівнює 8я7?х. При цьому буде виконана робота
Д2 = 8тс7?х<з.
Прирівнюючи Ді і А2, дістанемо:
8тг/?ха = (р2 — рг) 4л:/?2,
звідки
2а
Рг Рі — •
Як видно, додатковий тиск залежить від радіуса сферичної
поверхні. При малих радіусах він може досягати значних роз-
мірів: наприклад, додатковий тиск усередині бульбашки радіу-
сом 1 мікрон у воді дорівнює 1,4 кГІсм2. У випадку сферичних
поверхонь з великими радіусами (наприклад, 10 см) додатковий
тиск дуже малий (0,1 мм вод. ст.). Додатковий тиск дорівнює
нулю у випадку плоскої поверхні, яку можна розглядати як
границю сферичної поверхні при нескінченному збільшенні її
радіуса.
Вправи. 255. 1. Якщо на двох сполучених трубках з розтрубами на
кінцях видути мильні бульбашки (рис. 424) і закрити трубку С, то повітря
Рис. 424. До вправи 255. 1.
з бульбашки меншого діаметра переходить у
бульбашку більшого діаметра: менша бульбаш-
ка зменшується, а більша збільшується. Пояс-
ніть явище.
255. 2. Коли повітря швидше витікає з лій-
ки, на якій видуто мильну бульбашку: при ве-
ликому діаметрі бульбашки чи при малому?
255. 3. Якщо помістити краплину води між
двома скляними пластинками (рис. 425), то,
щоб відокремити пластинки одну від одної,
потрібна деяка сила. Ця сила тим більша, чим
більша площа, яку займає краплина, і чим мен-
ша відстань між пластинками. Поясніть це.
255.4. Якщо у вузькій скляній трубці із
змінним перерізом розмістилися краплинки во-
ди і бульбашки повітря, як показано на рис.
426, то продути таку трубку дуже важко.
Поясніть явище. Таке закупорювання тонких
трубок із змінним перерізом у техніці є шкід-
ливим явищем, з яким доводиться боротися. З цієї самої причини дуже шкід-
ливе виділення газових бульбашок у кровоносних судинах людин і тварин,
бо це зовсім припиняє кровообіг крізь ці судини.
§ 256]
КАПІЛЯРНІ ЯВИЩА
447
255.5. Накапайте з пляшечки в пробірку 50 краплин чистої води. У дру-
гу пробірку такого самого розміру накапайте з тієї самої пляшечки стільки ж
краплин води з невеликою домішкою мила або ефіру (можна з домішкою^
ефірно-валеріанових крапель). Порівняйте об’єм рідин у пробірках. Чим
пояснити різницю в розмірах краплин? *
Рис. 425. До вправи 255.3.
Рис. 426. До вправи 255.4.
§ 256. Капілярні явища. У* житті ми часто* маємо справу
з тілами, пронизаними безліччю дрібних каналів (папір, пряди-
во, шкіра, різні будівельні матеріали, грунт, дерево). Стикаю-
чись з водою або іншими рідинами, такі тіла дуже часта
вбирають їх у себе. На цьому грунтується дія рушника під час
витирання рук, дія гнота в гасовій лампі і т. д.
Дуже часто рідина, вбираючись у пористе тіло, піднімається
вгору; наприклад, піднімається вгору чорнило, що вбирається
промокальним папером (рис. 427). Такі явища можна також:
спостерігати в дуже вузьких скляних
трубках (рис. 428). Вузькі трубочки
називаються капілярними (від латин- Л Ен-
ського слова «капілля» — волосина),
або волосними. X 1 *
Опустимо таку трубочку в рідину. Рис 427 вби.
Якщо рідина змочує стінки трубки,- раючись промокальним
то вона піднімається по стінках трубки папером, піднімається
над рівнем рідини в посудині і притому вгору.
тим вище, чим вужча трубка. Якщо
рідина не змочує стінки, то, навпаки, рівень рідини в трубці вста-
новлюється нижче, ніж у широкій посудині (рис. 429).
Як пояснюються описані явища? У § 253 ми бачили, ща
поверхня рідини біля стінки вигинається вгору або вниз залеж-
но від того, чи змочує вона стінку чи ні. У вузькій трубці загну-
ті краї рідини утворюють усю поверхню рідини; плоскої части-
ни рівня немає, так що поверхня має вигляд, який нагадує пів-
сферу (так званий меніск), повернуту у випадку змочуючих рідин
угору вгнутістю, а у випадку незмочуючих — опуклістю (рис.
430, а і б). Але наявність кривої поверхні рідини пов’язана
з наявністю різниці тисків (§ 255): під угнутим меніском тиск
рідини менший, ніж під плоским, і це веде до того, що у випадку
вгнутого меніска рідина піднімається доти, поки гідростатичний
тиск не компенсує різниці тисків; під опуклим меніском тиск
448
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
(РОЗД. XIV
більший, ніж під плоским, що веде до опускання рідини у вузь-
ких трубках.
Отже, у вузькій трубці змочуюча рідина встановлюється
вище від рівня в широкій трубці, а незмочуюча — нижче від рів-
ня в широкій трубці.
Рис. 429. Рі-
вень ртуті у
вузькій тру-
бці нижчий,
ніж у широ-
кій.
Рис. 430. Форма
меніска: а) змо-
чуючої рідини,
б) незмочуючої рі-
дини.
Рис. 428. У вузьких скля-
них трубочках вода сто-
їть вище, ніж у широкій
посудині.
Висота піднімання рідини в капілярній трубці тим більша,
чим більший поверхневий натяг рідини і чим менші радіус труб-
ки та густина рідини.
Це твердження можна віднести і до твердих матеріалів, про-
низаних тонкими каналами неправильної форми. Якщо матеріал
змочується водою, то вона втягується в нього на тим більшу
висоту, чим вужчі канали.
Вправи. 256. 1. Покладіть у воду грудку крейди. З неї в усіх напрямах
.почнуть виходити бульбашки. Поясніть це явище.
Рис. 431. До вправи 256.2.
256. 2. Якщо скласти дві скляні плас-
тинки так, щоб з одного боку їх краї схо-
дились впритул, а з другого — були від-
окремлені тонкою паличкою, і опускати їх
у воді, то вода між пластинками підні-
меться, як показано на рис. 431. Чим це
пояснити?
256.3. На рис. 432 зображено пристрій
для стікання вологи, яка утворюється взим-
ку на підвіконниках. Чому вода стікає по
вузькій смужці ганчірки прямо в пляшку?
256. 4. Якщо капілярну трубку опусти-
ти один раз в холодну, а другий раз у
гарячу воду, то в другому випадку висота
капілярного піднімання менша. Як це пояс-
нити?
256.5. Скляні грубки, форму яких зображено на рис. 433, цілком зану-
рюють у воду, а потім повільно піднімають. Ліва трубка складається з тон-
кого капіляра А, до якого припаяно широку трубку В; права трубка являє
собою зігнутий капіляр С. Що спостерігатиметься при вийманні трубок з води?
$ 257]
ПІДНІМАННЯ РІДИНИ В КАПІЛЯРНИХ ТРУБКАХ
449
256. 6. У воду занурено дві скляні капілярні трубки однакового діаметра,
що мають форму, зображену на рис. 434. Висота піднімання в прямій трубці
вища за вершину зігнутої трубки. Чи не буде із зігнутої трубки безперервно
текти вода, чи не буде така трубка вічним двигуном? У чому помилка такого
припущення?
256.7. Розламайте грудочку крейди і доторкніться до свіжого злому язи-
ком. Чому язик «прилипао до крейди?
§ 257. Висота піднімання рідини в капілярних трубках.
Отже, висота й піднімання рідини в капілярних трубках зале-
жить від радіуса 7? каналу в трубці,
поверхневого натягу і густини (і ріди-
ни. Виведемо формулу, яка зв’язує ці
величини.
Дуже цікаві випадки, коли рідина
добре змочує стінки трубки, тобто праг-
не розтектися по поверхні стінок. Наш
розрахунок стосуватиметься саме цих
випадків.
Вважатимемо, що поверхня рідини
всередині капілярної трубки має точно
сферичну форму, радіус якої дорівнює
радіусу капіляра (рис. 435). Згідно з
висновком § 255, безпосередньо під
угнутим меніском тиск рідини менший
від атмосферного тиску рат на величи-
2а . 2а тт
ну , тобто дорівнює рат — На гли-
бині й, що відповідає рівню рідини
Рис. 435. До виведення
формули висоти піднімання
рідини в капілярі.
в широкій посудині, до цього тиску
додається гідростатичний тиск сі§И. У широкій посудині на тому
самому рівні, тобто безпосередньо під плоскою вільною поверх-
29 7-103
450
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
нею рідини, тиск дорівнює атмосферному тиску рат. Оскільки
спостерігається рівновага рідини, то тиски на одному рівні одна-
кові. Отже, '
2а , .
Рат — = Рат-
Звідси
тобто висота піднімання рідини в капілярі пропорціональна
поверхневому натягу її і обернено пропорціональна радіусу
каналу капіляра та густині рідини (закон Жюрена).
Цією формулою можна користуватися для визначення поверх-
невого натягу а. Для цього треба тільки точно проміряти висоту
піднімання й і радіус трубки /?. Знаючи густину рідини (і і
знайдемо з формули Жюрена значення а. Це один з використо-
вуваних способів визначення а. Звичайно, поверхня трубки і
рідина повинні бути дуже чисті.
Вправи. 257.1. Обчисліть висоту піднімання: а) води в капілярі радіу-
сом 0,25 мм; б) спирту в капілярі діаметром 0,5 мм (див. табл. 11). Густина
спирту 0,8 г/см3.
257.2. Визначте поверхневий натяг йензину, якщо в трубці радіусом
0,2 мм висота піднімання його дорівнює 3 см. Густина бензину 0,7 г/см3.
257.3. Підвісьте смужку (2X15 см2) промокального паперу так, щоб
він нижнім своїм кінцем був опущений у воду, налиту в блюдце. Почекайте,
поки піднімання води в промокальному папері припиниться (4—5 годин).
Виміряйте висоту піднімання і приблизно оцініть розміри каналів у волокнах
паперу.
§ 258. Адсорбція. Явища змочування твердих тіл рідинами
впевнюють нас у тому, що молекули рідини в деяких випадках
ніби прилипають до твердого тіла і більш або менш довго вдер-
жуються на ньому. Те саме може відбуватися і з молекулами
газу. Тверде тіло, розміщене в газі, завжди покрите шаром моле-
кул газу, які деякий час удержуються на ньому молекулярними
силами. Це явище називається адсорбцією. Кількість адсорбо-
ваного газу в різних випадках різна. Насамперед вона залежить
від величини поверхні, на якій можуть адсорбуватись молекули:
чим більша ця поверхня, тим більше адсорбується газу. Адсор-
буюча поверхня особливо велика в пористих речовин, тобто речо-
вин, пронизаних безліччю дрібних каналів, яких іноді не видно
навіть у мікроскоп з великим збільшенням. Кількість адсорбо-
ваного газу залежить також від природи газу і від властивостей
твердого тіла. Однією з речовин, здатних адсорбувати величез-
ні кількості газу, є активоване вугілля, тобто вугілля, звільнене
від смолистих домішок прожарюванням.
§ 2581
АДСОРБЦІЯ
451
а
Рис. 438. а) Протигаз, б) Розріз
респіраторної коробки протигаза:
А — фільтр для диму, В — шар
активованого вугілля, С — хімічні
поглиначі.
Властивості активованого вугілля легко спостерігати. Помі-
стимо трохи вугільного порошку 1 в порожню пробірку і нагрі-
ватимемо її на полум’ї
(рис. 436). Вугілля інтен-
сивно виділятиме погли-
нуті гази. Виділення газів
проявлятиметься бурхли-
вим, схожим на кипіння
рідини, рухом вугільного
порошку.
Капнемо в колбу кіль-
ка крапель ефіру і дамо
йому випаритись. Потім
насиплемо в колбу трохи
активованого вугілля і
швидко заткнемо її проб-
кою з трубкою, приєдна-
ною до манометра (рис.
437). Пара ефіру поглина-
тиметься вугіллям, і манометр покаже різке зменшення тиску.
Адсорбцію на активованому вугіллі і на інших твердих тілах
широко застосовують у техніці. її застосовують, наприклад, для
вловлювання цінних газоподіб-
них речовин, які утворюються
при хімічних виробництвах; у
медицині — для добування
шкідливих газів, що утворю-
ються всередині організму при
різноманітних отруєннях, і т. д.
Величезне значення має
адсбрбція газів на, поверхні
твердих тіл для прискорення
деяких хімічних реакцій між
газами (каталіз).
Одне з найважливіших за-
стосувань адсорбції —улов-
лювання отруйних газів за до-
помогою протигазів. Уловлю-
вання здійснюється шаром
активованого вугілля, розміще-
ного всередині респіраторної
коробки протигаза (рис. 438).
1 Можна взяти медичний препарат «карболен» і розтерти його на дрібний
порошок.
29*
452
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
а б
Рис. 439. Флотація, а) Бульбашка по-
вітря наближається до крупинки поро-
ди, покритої плівкою олії, б) Тонка
плівка води між повітрям і крупинкою
стягується, оголюючи поверхню кру-
пинки.
Крім вугілля, в коробці є ще хімічні вбирачі і фільтр для затри-
мання частинок отруйних димів, що не затримуються вугіллям.
Застосування активованого вугілля для протигазової оборони
запропонував відомий хімік, академік Микола Дмитрович Зелін-
ський (1861 —1953) під час ґіершої світової війни.
Зазначимо, що тверді тіла можуть адсорбувати не тільки
гази, а й різні розчинені речовини з рідин. Цим також широко
користуються в техніці.
259. Флотація. Чиста руда майже ніколи не зустрічається в природі.
Корисна копалина майже завжди перемішана з «порожньою», тобто непотріб-
ною нам, гірською породою. Руда, в якій мало корисної копалини, називається
бідною. Процес відокремлення порожньої породи від корисної копалини нази-
вається збагачуванням руди.
Серед різноманітних способів
збагачування (головним чином
механічних) велике значення на-
був спосіб, що грунтується на яви-
щах змочування,— флотація *. Те-
пер збагачування руд за допомо-
гою флотації швидко поширюєть-
ся, витісняючи інші способи. Най-
більше значення вона має для руд
кольорових металів.
Суть флотації така. Подріб-
нену на дрібний порошок руду
збовтують у воді. Туди ж добав-
ляють невелику кількість речови-
ни, що має здатність змочувати
одну з частин, яку треба відокре-
мити (наприклад, крупинки кори*
сної копалини), і не змочує дру-
гої частини (крупинки порожньої породи). Крім того, речовина, яку
добавляють, не повинна розчинюватись у воді, так що вода не змочуватиме
поверхні крупинки, покритої тонкою плівкою добавки. Звичайно засто-
совують яку-небудь дешеву олію. Внаслідок перемішування крупинки
корисної руди вкриваються тонкою плівкою олії, а крупинки поро-
жньої породи залишаються вільними. Водночас у кашоподібну суміш,.яка
утворюється, вдувають дуже дрібними бульбашками повітря. Бульбашки по-
вітря, що прийшли в стикання з крупинкою корисної породи, яка вкрита шаром
олії і через те не змочується водою, прилипають до неї. Це відбувається тому,
що тонка плівка води між бульбашками повітря і не змочуваною нею поверх-
нею крупинки (рис. 439), прагнучи зменшити свою поверхню, оголює поверх-
ню крупинки (подібно до того, як вода на сальній поверхні збирається в
краплини, оголюючи цим сальну поверхню). У крупинок корисної руди разом
з прилиплими до них бульбашками повітря середня питома вага менша за
питому вагу води, і вони поступово піднімаються вгору, а крупинки порож-
ньої породи опускаються вниз. Так відбувається більш або менш повне відок-
ремлення порожньої породи і утворюється так званий концентрат, настільки
багатий корисною рудою, що дальша обробка його можлива і вигідна.
Збагачування руди за допомогою флотації можна пояснити таким дослі-
дом. У дві пробірки насипають небагато (приблизно 0,1 об’єму пробірки)
суміші свіжоподрібненого на порошок кам’яного вугілля і чистого сухого
1 Слово «флотація» означає спливання.
§ 260)
РОЗЧИНЕННЯ ГАЗІВ
453
VI
піску (крупинки вугілля і піску повинні бути приблизно однакового розміру,
0,1—0,2 мм). В одну з пробірок добавляють краплину гасу, після чого про-
бірку наповнюють на 2/з чистою водою. Обидві пробірки закривають чистими
пробками і протягом кіль-
кох секунд енергійно стру-
шують, щоб утворити всере-
дині них безліч бульбашок
повітря. Після цього пробір-
ки залишають нерухомими.
У пробірці з сумішшю вугіл-
ля і піску, не змоченої га-
сом, бульбашки повітря
піднімаються вгору, тоді як
і крупинки вугілля, і кру-
пинки піску осідають униз.
У пробірці, в якій суміш
змочена гасом, бульбашки
повітря, піднімаючись угору,
захоплюють за собою кру-
пинки вугілля, а крупинки
піску, як і в першій пробір-
ці, осідають униз. У верхній
частині пробірки збирається
чорна піна, а внизу залиша-
ється пісок (потім, коли
бульбашки піни лопнуть, ву-
гілля також осяде вниз).
На рис. 440 зображено
схему флотаційної уста-
новки.
/)
Рис. 440. Схема флотаційної установки.
Л — труба, по якій надходить завись
подрібненої руди у воді; В — посудина,
з якої капає флотаційний реагент (олія);
С — надходження повітря, яке засмокту-
ється гвинтом; Р —місце, де корисна
порода, що спливає, відокремлюється
від порожньої породи, яка осіла; Е —
стікання піни з корисною породою (кон-
центрат).
§ 260. Розчинення газів. Крім адсорбції на поверхні (§ 258),
при стиканні тіл (наприклад, двох рідин або газу і рідини) моле-
кули кожного з них можуть проникати в об’єм, який займає
інше тіло.
Це проникнення називається розчиненням. Внаслідок розчи-
нення розчинене тіло рівномірно розподіляється по об’єму роз-
чинника і лише в поверхневому шарі внаслідок адсорбції кон-
центрація прониклої речовини може* бути підвищеною. Явище
розчинення є результатом дифузії (§ 217) по всьому об’єму
речовини, адсорбованої в поверхневому шарі.
Розглянемо спочатку розчинення газів у рідинах. Наллємо
в склянку води з водопроводу. Ми побачимо, що з води виділить-
ся безліч найдрібніших бульбашок, які піднімуться вгору або
вдержуватимуться біля стінок склянки. Звідки взялися ці буль-
башки і що в них міститься? Це — гази, які при підвищеному
тиску, що завжди існує у водопровідних трубах, були розчинені
у воді в значній кількості. При витіканні води з крана тиск у ній
різко зменшується. Крім того, вода з водопроводу в кімнаті зви-
чайно починає нагріватись, бо повітря в кімнаті тепліше за неї.
Ці зміни ведуть до того, що рівновага між газами, розчиненими
454
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
у воді, і газами поза нею порушується і гази починають виділя-
тися з води у вигляді бульбашок. Звичайно це ті самі гази,
з яких складається повітря: кисень, азот, вуглекислий
газ і т. д.
При нагріванні води і особливо при кип’ятінні її розчинені
в ній гази виходять майже повністю. Наявність газів у сирій
воді і відсутність їх у кип’яченій є причиною того, що кип’ячена
і сира вода різні на смак.
Розчинення повітря у воді можна спостерігати за допомогою
досліду, схожого на дослід з адсорбцією газів вугіллям. Проки-
п’ятимо деякий час воду в колбі і дамо їй можливість охолону-
ти. Обережно, не струшуючи колби, приєднаємо до неї рідинний
манометр. Тепер струсимо колбу так, щоб більша поверхня води
відразу прийшла в зіткнення з повітрям у колбі. Ми побачимо,
що манометр покаже помітне зменшення тиску повітря в колбі.
Отже, частина повітря поглинулась водою. Проте після того, як
ми добре перемішаємо воду, дальше розчинення припиниться.
Утвориться, як кажуть, насичений розчин.
Як розчиняється газ у воді? Над водою є повітря. Тепловий
рух молекул води і повітря веде до того, що крізь межу вода —
повітря прориваються і молекули води, і молекули повітря.
Проникнення молекул води в повітря є не що інше, як випарову-
вання; розгляд цього явища відкладемо до розд. XVII. Про-
никнення молекул газів, які утворюють повітря, у воду і даль-
ша дифузія їх по всьому об’єму води — це розчинення повітря
у воді. Звичайно, частина молекул газу, які вже проникли
у воду, виходить з неї внаслідок того самого теплового
руху. Але поки число молекул газу (наприклад, кисню) у воді
незначна, за 1 сек виходить з води менше молекул газу, ніж
входить у неї з навколишньої атмосфери. Отже, число молекул
газу у воді продовжує збільшуватись, тобто продовжується роз-
чинення газу в рідині. Коли, нарешті, кількість молекул газу
в рідині буде такою великою, що за одиницю часу стільки ж моле-
кул газу встигає вийти з води, скільки в неї проникає, дальше
збільшення числа молекул газу у воді (дальше розчинення) при-
пиниться. Утворений розчин називається насиченим. У такому
разі кажуть, що рідина перебуває в рівновазі з газом.
Тут слово «рівновага» вживається в більш загальному розумінні, ніж
у механіці. Ми говоримо, що система «вода, повітря, розчинене в ній,, і повіт-
ря над поверхнею води» перебуває в рівновазі, якщо кількість розчиненого
повітря з часом не змінюється, хоч окремі молекули то входять, то виходять
з розчину. Таку рівновагу називають рухомою, або динамічною (§ 248). Іноді
замість слова «рівновага» застосовують вираз «стаціонарний стан».
Кількість газу, яка може розчинитись в одиниці об’єму рідин
при заданій температурі, залежить від тиску газу над рідиною,
$ 260]
РОЗЧИНЕННЯ ГАЗІВ
455
а якщо над рідиною є суміш газів, то від парціального (§ 239)
тиску виучуваного газу.
Дослід показує, що при насиченні маса розчиненого в рідині
газу прямо пропорціональна парціальному тиску цього газу над
рідиною (закон Генрі), Цим користуються, наприклад, при газу-
ванні води. При газуванні воду приводять у тривале зіткнення
з вуглекислим газом, що має великий тиск; тому у воді розчи-
няється велика кількість вуглекислого газу. Коли газовану воду
наливають у склянку, газ виділяється великими бульбашками.
Явище розчинення газів у рідині має велике значення у водо-
лазній справі. Водолазів, які пробули тривалий час на великій
глибині, не можна швидко піднімати на поверхню води. Кров
водолаза, який дихає повітрям під великим тиском, насичена азо-
том (кисень не слід брати до уваги, бо він швидко зв’язується
з кров’ю хімічно). При швидкому підніманні азот може виділи-
тися з крові всередині кровоносних судин у вигляді бульбашок
і закупорити їх. Це явище дуже небезпечне для здоров’я.
Кількість газу, розчиненого в рідині, залежить також від тем-
ператури. Ми вже говорили, що нагріваючи воду, змушуємо
розчинене в ній повітря виділитись. Розчинність газу в рідині
при підвищенні температури майже завжди зменшується.
У табл. 13а подано розчинності у во?и різних газів при різ-
них температурах.
Таблиця 13а
Розчинність у воді деяких газів при різних температурах (число грамів
розчиненого газу на літр води)
Газ Температура, °С
0 20 40
Азот 0,0293 0,0164 0,0118
Аргон 0,058 0,037 0,027
Кисень ... 0,049 0,031 0,023
Вуглекислий газ 1,713 0,878 0,53
Хлористий водень 506 442 386
Нарешті, розчинність газу залежить від природи рідини і газу.
Наприклад, кисень розчиняється у воді в кількості, яка приблиз-
но в два рази більша, ніж азот. Ця обставина має велике зна-
чення для життя тваринних організмів у воді.
Зазначимо, що гази можуть розчинятися «також у твердих
тілах. Наприклад, деякі метали здатні розчиняти певну кількість
газів (особливо водню), причому швидкість дифузії, з отже,
і розчинення збільшується при підвищенні температури.*Внаслі-
док цього такі метали не можна вважати непроникними для
456
ВЛАСТИВОСТІ РІДИН
[РОЗД. XIV
Рис.. 441.
Верхній
шар — роз-
чин води в
ефірі, ниж-
ній — роз-
чин ефіру у
воді.
газів. Так, наприклад, дуже нагрітий метал паладій досить лег-
ко пропускає крізь себе водень.
§ 261. Взаємне розчинення рідин. Якщо до чистої води доли-
ти чистого спирту, то, перемішавши суміш, дістанемо зовсім одно-
рідну рідину. Це явище спостерігається при будь-якому співвід-
ношенні кількостей води і спирту. Це означає, що
вода і спирт розчиняються одне в одному в будь-
якій пропорції.
Не те буде, коли ми до води доллємо ефіру або
гасу. У цих випадках через деякий час побачимо,
що рідини розмістяться шарами (рис. 441). Кожний
з цих шарів є розчином. У випадку води і ефіру
вгорі розміститься розчин води в ефірі, що має ба-
гато ефіру і мало води; внизу — розчин малої кіль-
кості ефіру у воді.
Зауважимо, що при підвищенні температури
взаємна розчинність рідин збільшується. Для де-
яких комбінацій рідин можна досягти такої темпе-
ратури, при якій вони розчиняються одна в одній
у будь-якій пропорції, так що межа між шарами
зникає і всй рідина стає однорідною.
§ 262. Розчинення твердих тіл у рідинах. Добре відомо, що
коли у воду опустити грудку цукру, то через деякий час твер-
дий цукор зникне і ми матимемо однорідну речовину (розчин).
Солодкий смак цього розчину показує, що молекули цукру роз-
поділилися по всьому об’єму нашого розчину. Цей розподіл від-
бувається внаслідок молекулярного руху (дифузії); його можна
значно прискорити, якщо розчин перемішувати.
Розчинення твердої речовини в рідині по суті мало чим від-
різняється від розчинення рідини в рідині. І в цьому разі моле-
кули розчиненої речовини поступово розподіляються серед моле-
кул розчинника. Маса розчиненої речовини, що припадає на
одиницю об’єму розчинника, називається концентрацією роз-
чину.
Речовина розчиняється в рідині до деякої певної концентра-
ції, величина якої залежить від природи розчинника та розчи-
нюваного тіла і від температури.
Розчини, концентрація яких має граничне значення, називаю-
ться насиченими. Чим вища концентрація насиченого розчину,
тим більша розчинність речовини в цьому розчиннику. Особливо
добрим розчинником є вода, в якій дуже багато речовин розчи-
няються до значної концентрації.
У спирті розчинність, взагалі кажучи, гірша, у бензолі — ще
§ 262]
РОЗЧИНЕННЯ ТВЕРДИХ ТІЛ У РІДИНАХ
457
гірша, хоч зустрічаються речовини, які краще розчиняються
в бензолі або спирті, ніж у воді. Розчинність різних тіл у тому
самому розчиннику може бути дуже різною. Крім того, розчин-
ність може значною мірою залежати від температури. У табл. 136
подано розчинності у воді різних речовин при різних темпера-
турах.
Таблиця 136
Розчинність у воді деяких речовин при різних температурах (число грамів
розчиненої речовини в 100 см3 води)
Речовина Температура, °С
0 18 100
Хлористе срібло 0,00006 0,00013
Вуглекислий літій ... 1,5 1,3 0,8
Азотнокислий калій 13 29 250
Хлористий натрій .... 35,5 36,0 39,6
» літій 64 79 130
» кальцій .... .... 50 71 155
» цинк 210 360 610
У величезній більшості випадків при підвищенні температу-
ри розчинність підвищується, причому часто дуже набагато
(наприклад, азотнокислий калій). Іноді зміна розчинності при
нагріванні невелика (хлористий натрій), а в рідких випадках
спостерігається навіть зменшення розчинності при нагріванні
(вуглекислий літій). Якщо насичений розчин азотнокислого
калію або іншої речовини, розчинність якої зростає з підвищен-
ням температури, охолодити, то частина розчиненої речовини
виділиться у вигляді твердого залишку. При деяких умовах (чис-
тота розчину і побуду» обережне охолоджування) іноді вдається
утворити розчини з концентрацією, яка перевищує граничну
(пересичені розчини). Якщо в такий розчин кинути крупинку
розчиненої речовини, то відразу ж відбудеться кристалізація
і концентрація розчину зменшиться до концентрації, яка відпові-
дає насиченню.
РОЗДІЛ XV
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ. ПЕРЕХІД ТІЛ
З ТВЕРДОГО СТАНУ В РІДКИЙ І НАВПАКИ
§ 263. Вступ. У попередніх розділах ми розглянули власти-
вості газоподібних і рідких тіл. Переходячи тепер до вивчення
твердих тіл, насамперед треба уточнити поняття твердого тіла.
Рідини і тверді тіла відрізняються від газів тим, що в газах
значні зміни об’єму супроводяться виникненням порівняно неве-
ликих сил пружності, тоді як у твердих і рідких тілах малі об’єм-
ні деформації пов’язані з виникненням дуже значних пружних
•сил. У механіці ми навіть ввели поняття абсолютно твердого тіла
(§ 70) і нестисливої рідини (§ 141), щоб позначити можливість
нехтувати величиною деформації, обмежуючись лише врахуван-
ням пружних сил, які супроводять ці деформації.
Вважаючи характерним для рідин і твердих тіл виникнення
значних пружних сил при невеликих деформаціях, ми повинні
встановити відмінність між рідкими і твердими тілами. Ми від-
різняємо тверді тіла від рідких тим* що в твердих тілах значні
пружні сили виникають як при невеликих змінах об’єму (стиск
і розтяг), так і при невеликих змінах форми (зсув), які не супро-
водяться зміною об’єму. У рідинах такі зсуви (зміна форми) не
супроводяться виникненням пружних сил.
Проте, виділивши за зазначеною ознакою тверді тіла, ми
повинні звернути увагу на можливість існування твердих тіл
у двох істотно різних станах, відмінних за своєю внутрішньою
будовою, що веде до відмінності багатьох їх властивостей. Це —
кристалічний і аморфний стани твердих тіл.
Останнім часом особливого значення набули так звані
полімери—тіла, молекули яких складаються з десятків
і сотень тисяч атомів, що зумовлює їх особливі властивості,
зокрема здатність до порівняно великих деформацій. Полі-
мери раціонально розглядати як особливу різновидність твер-
дих тіл.
%
§ 264)
КРИСТАЛІЧНІ ТІЛА-
459
о б
Рис. 442. а) Кристалик льоду
має форму шестикутної приз-
ми, бічні грані якої утворю-
ють кути по 120° б) Кристал
кухонної солі має форму куба.
§ 264. Кристалічні тіла. Озброїмось лупою і уважно розгля-
немо яке-небудь порошкоподібне тіло (сіль, цукровий пісок,
соду, лікарські порошки і т. д.). Ми побачимо, що окремі кру-
пинки іїих порошків являють
собою тіла, обмежені плоскими,
ніби шліфованими гранями. Ці
грані утворюють між собою певні
кути, в різних речовин, взагалі
кажучи, різні (рис. 442, а і б). На-
явність таких природних граней є
ознакою того, що речовина пере-
буває в кристалічному стані.
Іноді весь кусок речовини яв-
ляє собою один кристал. Прикла-
дом цього можуть бути крупинки
цукрового піску. Такі тіла називаються монокристалами, або
просто кристалами. Деякі речовини можуть утворювати дуже
великі кристали (рис. 443), іноді дуже правильної форми. В ін-
ших випадках тіло являє собою безліч кристалів, іноді надзви-
чайно дрібних, які химерно зрослися .між собою. Прикладом
цього може бути грудка цукру-рафінаду, кусок будь-якого мета-
лу і т. д. Такі тіла нази-
вають полікристалічними\
Природне утворення
граней на кристалі —
, тільки одна з ознак кри-
сталічного стану’речови-
ни. Найзагальнішою озна-
кою є відмінність фізич-
них властивостей тіла в
різних напрямах. Насам-
перед впадає в очі неодна-
кова механічна міцність у
п о , . різних напрямах криста-
Рис. 443. Великим кристал кварцу (гір- тл »
ського кришталю), знайденого на Уралі. Кристали найлегше
розколюються по певних
площинах. Наприклад, кристали слюди у вигляді тонких пласти-
нок дуже легко поділяються на ще тонші пластинки. Якщо роз-
бити кристал солі, зображений на рис. 442, б, то знов утворяться
дрібніші кристали такої самої форми. Тіла, що складаються
з одного або кількох однаково розміщених кристалів, легше де-
формуються в одному напрямі; ніж в іншому. Це, наприклад,
стосується грудок льоду (рис. 444). За своїми механічними вла-
1 «Моно» по-грецьки — один, «полі» — багато.
460
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV
стивостями брусок з озерного або річкового льоду схожий на
стопу скляних пластин, з’єднаних клеєм, який не зовсім затвер-
днув.
г г г ?
а б
Рис. 444. а) Брусок АВ, вирізаний певним спосо-
бом з великого кристала льоду, покладений на дві
опори, при дії на його середину сили В повільно про-
гинається. б) Такого самого розміру брусок СИ,
який вирізаний у напрямі, перпендикулярному до
напряму АВ, при дії тієї самої сили Г зберігає свою
форму, а при збільшенні сили руйнується.
б в
Рис. 445. а) При доторканні
розжареної голки до точки О
тонкої пластинки на проти-
лежному боці парафін пла-
виться. б) Пластинка — кри-
стал гіпсу: площа, на якій роз-
плавився парафін, має форму
еліпса, в) Пластинка скляна;
площа має форму круга.
Теплопровідність деяких кристалів у різних напрямах також
неоднакова. Покриємо кристали гіпсу і скляну пластинку тон-
ким шаром парафіну і доторкнемося до них розжареною голкою.
Ми побачимо, що навколо голки
парафін розплавиться, причому
площа, де парафін розплавився,
на кристалі має вигляд еліпса
(рис. 445), тоді як на склі утво-*
рюється круг. Це й доводить, що,
на відміну від скла, кристал про-
водить тепло в різних напрямах
неоднаково.
Багато кристалів при нагріван-
ні розширюються неоднаково в
різних напрямах. Для характе-
ристики таких кристалів щодо
теплового розширення треба зна-
ти не один, а три коефіцієнти
лінійного розширення (напри-
клад, у трьох взаємно перпенди-
кулярних напрямах). Цікаво, що
деякі кристали при нагріванні в одних напрямах розширяються,
а в інших стискаються (у цих напрямах коефіцієнти лінійного
розширення є від’ємними величинами; прикладами таких крис-
талів є кристали графіту або телуру). Оптичні електричні вла-
стивості кристалів також залежать від напряму.
§ 264]
КРИСТАЛІЧНІ ТІЛА
461
Рис. 446. Будова дере-
ва поблизу серцевини і
поблизу краю різна.
Утворення плоских граней у кристалів — прояв схожої вла-
стивості кристалів щодо росту. Якби кристал ріс у всіх напря-
мах з однаковою швидкістю, то, очевидно, утворилося б тіло
у формі кулі. Слід зазначити, що залежність властивостей кри-
сталів від напряму спостерігається не для всіх властивостей.
Наприклад, кристал міді, що має форму куба, характеризується
в усіх напрямах однаковою електропровідністю і теплопровід-
ністю, але пружність його залежить від напряму.
Щодо відмінності властивостей у різних напрямах кристал
нагадує собою кусок дерева. Дерево також легко розколюється
вздовж волокон, тоді як у напрямі,
перпендикулярному до волокон, воно
значно міцніше. Дерево також має різ-
ну теплопровідність у різних напрямах
(уздовж волокон і поперек їх) і т. д.
Проте між властивостями кристала і
дерева є дуже важлива відмінність.
Будова дерева в середині стовбура
і в його зовнішніх частинах різна; стов-
бур має серцевину, поблизу неї річні
кільця малі, а «далі — більші. Отже,
дерево не однорідне. Кусок дерева від
серцевини має одні властивості, при-
датний для виготовлення одних виробів; кусок, близький до кори,
має.більш плоскі шари і придатний для інших виробів (рис. 446).
А кристали — цілком однорідні тіла, У кристала немає «середи-
ни», усі частини куска кристала мають однакові властивості.
Усе сказане вище стосується монокристалів. Полікристалічні
тіла утворюють іншу картину. Оскільки вони являють собою
безладні скупчення численних дрібних кристалів, то їх однорід-
ність значно менша, ніж у монокристалів. З другого боку, у полі-
кристалах не спостерігається відмінності властивостей у різних
напрямах. Пояснюється це тим, що в будь-якому напрямі, про-
веденому всередині- тіла, зустрічається безліч кристаликів, повер-
нутих зовсім по-різному. Тому електропровідність, теплопровід-
ність і взагалі будь-яка властивість тіла є деякою середньою
величиною, що стосується всіх цих численних кристаликів. Це
середнє значення однакове для всіх напрямів усередині тіла.
Розміри кристаликів, з яких складається полікристалічне тіло,
істотно впливають на міцність цього тіла. Матеріал (наприклад,
сталь певного складу), що складається з дрібних кристаликів,
звичайно міцніший, ніж той самий матеріал, що складається
з крупніших кристаликів. Якщо, наприклад, у вольфрамовій нит-
ці, з якої виготовляють волосок лампи розжарювання, утворює-
ться кристалик такий великий, що займе весь переріз нитки,
462
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV
то волосок обов’язково поламається в цьому місці. Іноді* кри-
сталики, зростаючись між собою, утворюють волокна. Це сприяє
збільшенню міцності. Ми бачимо тепер, що будова полікристаліч-
ного тіла має величезне значення для техніки.
Отже, полікристалічне тіло з безладно розміщеними криста-
ликами за своїми властивостями схоже на некристалічне тіло.
Це було однією з причин, чому раніше вважали, що кристаліч-
ний стан не дуже поширений у природі. У 1912 р. було відкрито
новий спосіб дослідження будови тіл — за допомогою рентгенів-
ських променів. Цим методом було встановлено, що переважна
кількість тіл, які нас оточують,— усі метали, усі мінерали, рос-
линні волокна, білкові речовини, сажа і т. д.— складається з кри-
сталів, іноді таких дрібних, що їх не можна розглянути в мікро-
скоп, який дає велике збільшення.
Вправа. 264. 1. Розгляньте в лупу з великим збільшенням зломи різних
металів: чавуну, міді і т. д. Знайдіть у них грані дрібних кристалів, які утво-
рюють цей кусок металу.
§ 265. Аморфні тіла. Другий вид твердого стану — аморф-
ний стан — різко відрізняється від кристалічного. У тілах, що
перебувають в аморфному стані, не можна зндйти навіть дуже
малих областей, усередині яких спостерігалася б залежність
фізичних властивостей від напряму^ Теплові, електричні і оптич-
ні властивості аморфних тіл цілком однакові незалежно від
напряму.
В аморфному стані можуть бути й такі речовини, які звичай-
но мають кристалічну будову. Так, наприклад, кристал кварцу,
якщо його розплавити (це відбувається при температурі близь-
ко 1700° С), при охолодженні утворює так званий плавлений
кварц, що має меншу густину, ніж кристалічний, і властивості,
цілком однакові в усіх напрямах, причому такі, що значною
мірою відрізняються від властивостей кристалічного кварцу.
У кристалічного кварцу коефіцієнти лінійного розширення для
двох взаємно перпендикулярних напрямів дорівнюють 0,000013
і 0,000008 град~х, а в плавленого кварцу коефіцієнт лінійного
розширення для всіх напрямів однаковий: 0,0000004 град~х.
Коефіцієнти теплопровідності кристалічного кварцу для тих
самих напрямів відрізняються майже в два рази, тоді як у плав-
леного кварцу коефіцієнт теплопровідності для всіх напрямів
однаковий, причому він у чотири рази менший від найменшого
з коефіцієнтів теплопровідності кристалічного кварцу. Відмін-
ність у теплопровідності аморфного і кристалічного кварцу при
низьких температурах стає ще значнішою.
Аморфний стан речовини, взагалі кажучи,— нестійкий стан.
Через деякий час аморфна речовина переходить у кристалічну.
§ 2661
КРИСТАЛІЧНА РЕШІТКА
463
Проте часто цей час буває дуже великим і вимірюється роками
та десятиріччями.
Найважливішим прикладом аморфного стану може бути скло
(аморфний сплав силікатів). Аморфними є каніфоль, цукровий
леденець і багато інших тіл. Усі ці речовини з часом мутніють
(скло розстекловується, леденець «зцукрюється» і т. д.). Це
помутніння пов’язане з виникненням усередині скла або леден-
ця дрібних кристаликів, оптичні властивості яких інші, ніж
аморфного середовища, що їх оточує.
§ 266. Кристалічна решітка. Як пояснює властивості криста-
лів молекулярна теорія? На початку XIX ст. вперше було вислов-
лено припущення, що зовні правильна форма кристалів зумов-
лена внутрішньо правильним розміщенням частинок, з яких скла-
даються кристали, тобто атомів. На підставі досліджень за
допомогою рентгенівських променів було з’ясовано, що це
припущення справедливе.
Частинки, які утворюють кристали, розміщені одна відносно'
одної в деякому певному порядку, на певних відстанях одна від
одної. Звичайно, внаслідок теплового руху відстані між- частин-
ками трохи змінюються, але можна говорити про деяку середню
для кожної температури відстань. Сукупність вузлів, тобто
точок, які відповідають середнім положенням частинок, що утво-
рюють кристал, називається просторовою решіткою цього кри-
стала.
Частинками, з яких складаються кристали, у деяких випад-
ках є електрично заряджені частинки — іони. Іонами називають-
ся атоми (або групи атомів), які втратили або, навпаки, приєд-
нали до себе один, два чи більше електронів. Якщо атом
втратив електрони, він є позитивно зарядженою частинкою —
позитивним іоном. А якщо до атома приєдналися електрони, то
він є негативним іоном. Кристали, які складаються з іонів,
називаються іонними кристалами.
Простий приклад просторової решітки іонного кристала
являє собою решітка кристала хлористого натрію (кухонно?
солі). Молекулу цієї речовини ми уявляємо собі такою, що скла-
дається з одного атома хлору і одного атома натрію (N3(21).
Такими є ці молекули в парі солі. Дослідне вивчення показало,
що в твердому кристалі немає молекул ИаСІ у тому розумінні,
як було зазначено вище. Кристалічна решітка хлористого натрію
складається не з молекул хлористого натрію, а з іонів хлору
і натрію, що чергуються (рис. 447).
Кожний іон натрію оточений шістьма іонами хлору, розмі-
щеними в трьох взаємно перпендикулярних напрямах, а кожний
іон хлору в свою чергу оточений шістьма іонами натрію.
464
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV
ОХлор
Ь Натрій
Рис. 447. Схема розміщення вузлів
у просторовій решітці кристала хло-
ристого натрію.
Такі решітки мають багато солей, що складаються з двох
атомів (бромисте і хлористе срібло, йодистий калій, багато сір-
чистих металів і т. д.). Відста-
ні між середніми положення-
ми іонів у решітках різних ре-
човин різні. У хлористого нат-
рію відстань між сусідніми іо-
нами дорівнює 2,81 • 10-8 см,
у хлористого срібла — 2,77 X
X 10-8 см, у йодистого калію —
3,54 • 10-8 см і т. д.!.
Існують і складніші іонні
кристали. Так, наприклад, ре-
шітка ісландського шпату
(СаСОз) складається з іонів
Са++ і іонів СО3—.
Крім іонних кристалів, існу-
ють також кристали, що скла-
даються з незаряджених частинок — атомів або молекул. Напри-
клад, решітка алмазу складається з атомів вуглецю, решітка
кристалів льоду — з атомів кисню і вод-
ню, решітка нафталіну — з великих моле-
кулярних груп (СіоН8) і т. д. Відстані між
атомами таких кристалів також порядку
10-8 см.
Далеко не завжди атоми або іони
розміщені в решітці, що являє собою су-
купність кубів (кубічні решітки), як це
спостерігається в ИаСІ і ін. Більшість
решіток має значно складніший вигляд.
Прикладом є, решітка льоду (рис. 448).
Як саме пояснити залежність фізичних
властивостей кристалів від напряму?
Нехай на рис. 449, а кружки зобража-
1 Ці числа легко перевірити, коли відомо
молекулярну вагу солі і її густину. Розглянемо,
наприклад, хлористе срібло (А&С1). Його молеку-
лярна вага дорівнює 143, густина 5,56 г/см3. В
одній грам-молекулі А§С1 міститься 6,02- 1023 мо-
’ 143 рази
1 см3 —
Уздовж
лежить
лекул, тобто 12,04 • 1023 атомів; в 1 г в
менше атомів, тобто 8,42-1021, а в
у 5,56 раза більше, тобто 4,68 • 1022.
кожного ребра кубика в 1 см3
з___________
}^4,68 • 1022 = 3,60 • 107 атомів. Отже,
між двома атомами дорівнює и І07== ^>77 • 10""ь см.
відстань
•8
Рис. 448. Просторова ре-
шітка кристалів льоду.
Кульки зображають ато-
кисню; положення
водню не пока-
Вгорі — вигляд
внизу — вигляд
збоку.
ми
атомів
зані.
зверху,
§ 266]
КРИСТАЛІЧНА РЕШІТКА
465
ють атоми рідини (наприклад, ртуті), розміщені в деякій площи-
ні. Виберемо який-небудь атом А і проведемо через нього прямі
а
б
Рис. 449. а) Безладне розміщення частинок у рідині. Будь-яка пряма
(АВ, АС, АО, АЕ, ...), проведена через молекулу А, зустрічає одна-
кову кількість частинок їх позначено чорними кружками, б) Упо-
рядковане розміщення атомів у кристалі. Різні прямі (ВВ, СС,
ОО, ...), проведені через молекулу А, зустрічають різну кількість
молекул.
лінії в різних напрямах. Легко побачити, що внаслідок повної
хаотичності розміщення атомів на однакових відрізках будь-якої
з цих прямих буде розміщено
Це означає, що при хаотично-
му розміщенні атомів усі на-
прями рівноправні.
Не те буде, коли ми вико-
наємо таку саму побудову при
правильному розміщенні ато-
мів, характерному для криста-
ла, наприклад, такому, як
зображено на рис. 449,6. Вид-
но, що прямі, проведені в на-
прямах ВВ або СС, зустрінуть
багато атомів, у напрямі
ОЕ —трохи менше, а в напрямі
ЕЕ— зовсім мало. Це й пояс-
нює, чому фізичні властивості
кристала залежать від на-
пряму.
Так, наприклад, у решітці
кухонної солі розколювання
ЗО 7-103
практично те саме число атомів.
В
।
Рис. 450. Кристал кухонної солі роз-
колюється легше по площинах, пара-
лельних АА або ВВ, ніж по будь-
яких інших площинах (наприклад,
СС).
466
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
(РОЗД. XV
Рис. 451. Льодяні кристали на
віконній шибці.
Рис. 452. Суб-
лімація криста-
лів йоду.
відбувається найлегше по площинах, паралельних АА або ВВ
(рис. 450). Тому, вдаривши молотком по кубику кристала кухон-
ної солі, ми розіб’ємо його знову
на правильні кубики, тоді як удар
по куску аморфного скла розби-
ває його на осколки найрізнома-
нітнішої форми.
На закінчення зазначимо, що в
реальних кристалах решітка зви-
чайно не є правильною в усьому
об’ємі кристала. Де-не-де решітка
спотворена, є ділянки, де атоми
розміщені безладно, де-не-де є
домішки сторонніх атомів. Ці
місцеві спотворення відіграють
важливу роль для пояснення де-
яких властивостей реальних крис-
талів.
§ 267. Кристалізація. Якщо мо-
розного дня подихати на покрите
інеєм вікно і потім зробити так,
щоб іній розтав, то після цього
можна спостерігати, як ростуть голки льодяних кристалів. їх
утворення починається від якого-небудь вже готового кристала
льоду. Коли льодяні голки ростуть, утворюються
відгалуження в сторони, причому завжди під тим
самим кутом. Коли льодяні голки зустрічаються
між собою, вони зростаються, утворюючи узор,
що складається з багатьох кристаликів (рис. 451).
Подібно до росту кристаликів льоду росте
багато інших кристалів з розплавленого стану
(з розплаву).
Крім утворення кристалів з розплаву, можна
легко спостерігати утворення кристалів з розчи-
нів (наприклад, випадання кристалів азотнокис-
лого калію з розчину його у воді).
Іноді кристали утворюються безпосередньо з
пари, а не з рідини. У цьому разі вони бувають
особливо правильними. Прикладом цього є утво-
рення інею і сніжинок з водяної пари повітря.
Легко спостерігати утворення кристаликів йоду
з пари йоду. Покладемо 2—3 кристалики йоду в
пробірку і нагріємо на полум’ї те місце пробірки, де вони лежать
(рис. 452). Ми побачимо, що кристалики йоду не плавляться,
§ 268)
ПЛАВЛЕННЯ І ТВЕРДНЕННЯ
467
а відразу випаровуються (як кажуть, сублімують), утворюючи
темно-буру пару йоду. Потім на холодних місцях пробірки утво-
риться темний наліт. У лупу можна розглянути, що це—безліч
дрібних кристаликів йоду. Вони утворилися з пари йоду, яка, не
переходячи в рідкий стан, перейшла відразу в твердий —-криста-
лічний.
§ 268. Плавлення і тверднення. Вивчимо докладніше плав-
лення і тверднення кристалічних і аморфних тіл. Суміш «кри-
стали — розплав» неоднорідна: існує різка різниця між криста-
лом і розплавом. Якщо кристали не дуже дрібні, то завжди/
Рис. 453. Графік темпера-
тури нафталіну, який тверд-
не.
Рис. 454. Графік темпе-
ратури смоли, яка охо-
лоджується.
можна бачити, де утворився кристал і де ще залишився розплав.
Це зовсім не схоже на охолодження аморфних тіл. Коли охо-
лоджується смола, то вона густішає поступово і однаково в усіх
своїх частинах. Аморфне тіло, охолоджуючись, залишається
однорідним.
Важлива різниця між властивостями кристалічних і аморф-
них речовин стосується температури охолодження. Винесемо на
мороз посудину з водою і опустимо в неї термометр. Ми поба-
чимо, що вода швидко охолоне до 0° С. Потім почнеться утво-
рення льоду. Щоб не утворилася кірка з льоду, розмішувати-
мемо воду. Увесь час, поки утворюється лід, температура сумі-
ші води і льоду триматиметься на 0° С. Потім, коли вся вода
замерзне, лід, який утворився, почне охолоджуватись нижче
нуля. Внісши цю посудину назад у теплу кімнату, помітимо,
що температура льоду підвищується до 0° С, потім тримається
на 0°С, поки весь лід не розтане, і лише після цього темпера-
тура води в посудині піднімається вище 0°С.
Такі явища спостерігаються при твердненні і плавленні всіх
чистих кристалічних речовин. Якщо, наприклад, спостерігати, як
змінюється з часом температура розплавленого нафталіну,
зо*
468
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV
і побудувати графік, що показує цю залежність, то дістанемо
криву з горизонтальною частиною (рис. 453). Ця горизонтальна
частина відповідає наявності суміші кристалів нафталіну і роз-
плаву.
А при твердненні некристалічних тіл, наприклад смоли, тем-
пература знижується поступово, ніде не затримуючись (рис. 454).
Звідси можна зробити висновок, що при твердненні аморфних
речовин речовина не переходить у новий стан. Тверднення смоли
або скла — це лише поступове їх загустівання. Скло можна
розглядати як дуже густу рідину.
Отже, кристалічні речовини мають певні температури плав-
лення і тверднення (точка плавлення). Аморфні тіла розм’яка-
ють при підвищенні температури поступово.
Наведемо таблицю точок плавлення деяких речовин (табл. 14).
Т а бли ця 14
Точки плавлення деяких речовин
Речовина Точка плавлен- ня, °С Речовина Точка плавлен- ня, °С
Вода 0 Цинк . 419
Вольфрам 3370 Свинець ‘327
Золото 1063 Олово 232
Залізо 1535 Ртуть —39
Мідь 1083
Вправа. 268. 1. Всипте трохи нафталіну в пробірку і опустіть її в кип’я-
ток. При цьому нафталін розплавиться. Вийнявши пробірку з кип’ятку, опу-
стіть у нафталін лабораторний термометр і записуйте температуру через кожні
півхвилини. Як за цими даними визначити температуру плавлення', нафта-
ліну?
§ 269. Теплота плавлення. Ми бачили, що посудина з льо-
дом і водою, внесена в теплу кімнату, не нагрівається доти, поки
весь лід не розтане. При цьому з льоду при 0° С утворюється
вода при тій самій температурі. У цей час до суміші «лід —
вода» припливає теплота, і, отже, внутрішня енергія цієї суміші
збільшується І Звідси ми повинні зробити висновок, що внутріш-
ня енергія води при 0°С більша, ніж внутрішня енергія льоду
при тій самій температурі. Оскільки кінетична енергія молекул
води при 0° С і льоду при 0°С однакова, то зміна внутрішньої
енергії при плавленні є зміною потенціальної енергії молекул.
1 Зовнішня робота, яка виконуються внаслідок зміни об’єму речовини
при плавленні, мала і її можна не брати до уваги.
§ 269]
ТЕПЛОТА ПЛАВЛЕННЯ
469
Дослід встановлює, що сказане справедливо для всіх криста-
лів. При розплавлянні кристала треба безперервно збільшувати
внутрішню енергію системи, причому температура кристала
і розплаву залишається незмінною. Звичайно внутрішня енергія
збільшується при наданні кристалу деякої кількості теплоти.
Того самого можна досягти і за допомогою виконання роботи,
наприклад тертям. Отже, внутрішня енергія розплаву завжди
більша, ніж внутрішня енергія такої самої маси кристалів при
тій самій температурі. Це означає, що впорядковане розміщення
частинок (при кристалічному стані) відповідає меншій енергії,
ніж невпорядковане (в розплаві).
Кількість теплоти, яка потрібна для переходу одиниці маси
кристала в розплав тієї самої температури, називається тепло-
тою плавлення цього кристала Ч її подають у кал/г, у ккалікг
або в дж/кг.
При затвердіванні одиниці маси речовини теплота плавлення,
навпаки, виділяється і передається навколишнім тілам.
Визначити теплоту плавлення тугоплавких тіл (тіл з висо-
кою температурою плавлення) — нелегке завдання. Теплоту
плавлення такого легкоплавкого кристала, як лід, можна визна-
чити за допомогою калориметра. Наливши в калориметр деяку
кількість води певної температури і кинувши в неї певну масу
льоду, який вже почав танути, тобто при температурі 0° С, поче-
каємо, поки весь лід розтане і температура води в калориметрі
набере остаточного значення. Користуючись принципом збере-
ження енергії, складемо рівняння теплового балансу ,(§ 209),
яке дає змогу визначити теплоту плавлення льоду.
Нехай маса води (включаючи водяний еквівалент калоримет-
ра) дорівнює А4, маса льоду т, теплоємність води с, початкова
температура води /2, остаточна і шукана теплота плавлення
льоду г. Рівняння теплового балансу має вигляд
сМ (/2 — ^і) = гт + сті^
ЗВІДКИ г _ сМ(і2—-і1) — сті1
т
Наводимо теплоту плавлення деяких речовин (табл. 15).
Таблиця 15
Теплота плавлення деяких речовин
Речовина Теплота плавлення Речовина Теплота плавлення
кал/г СІ, дж/кг наліг |СІ, дж/кг
Лід Свинець . . . • Мідь 79,4 5,5 51 334 000 23 100 214000 Залізо Ртуть 64,4 2,8 270 000 11800
1 Іноді теплоту плавлення називають захованою теплотою плавлення.
470
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV
Тут звертає на себе увагу велика теплота плавлення льоду.
Ця обставина дуже важлива, бо вона сповільнює танення льо-
ду в природі. Якби теплота плавлення була значно менша, вес-
няний паводок був би в багато разів більший і короткочасніший.
Знаючи теплоту плавлення, ми можемо розрахувати, скільки
треба теплоти, щоб розплавити яке-небудь тіло. Якщо тіло вже
нагріте до точки плавлення, то треба затратити теплоту лише на
його плавлення. А якщо воно має температуру нижче точки плав-
лення, то треба ще затратити теплоту на нагрівання.
Вправа. 269.1. У посудину з водою, добре захищену від припливу теп-
лоти ззовні, кидають грудочки льоду при —10° С. Скільки можна кинути
льоду, якщо треба, щоб він повністю розтав, і якщо в посудині є 500 г води
при 20° С? Теплоємність посудини можна вважати дуже малою порівняно з
теплоємністю води в ній.
§ 270. Переохолодження. Якщо нагрівати кристал, то при
відповідній точці плавлення він обов’язково розплавиться. А як-
що охолоджувати рідину, то вона починає тверднути при точці
плавлення.
Проте іноді вдається охолодити рідину на кілька градусів
нижче від точки плавлення, і вона при цьому не твердне. Це лег-
ко спостерігати при охолодженні розплавленого гіпосульфіту \
Гіпосульфіт плавиться при 48° С. Тим часом легко вдається охо-
лодити чистий гіпосульфіт, розплавлений у пробірці, до кімнат-
ної температури, і він залишається рідким. Але як тільки кинути
в нього кристалик гіпосульфіту або різко струсити пробірку,
частина гіпосульфіту дуже швидко перейде в кристалічну форму,
причому утвориться суміш розплавленого і кристалічного гіпо-
сульфіту. Температура такої суміші дорівнює температурі плав-
лення гіпосульфіту, тобто 48° С. Чому підвищилась температура
і чому кристалізується лише частина гіпосульфіту? При переході
розплаву в кристал внутрішня енергія зменшується і енергія,
яка вивільнюється, розподіляється по всій масі суміші, підви-
щуючи її температуру. Кристалізація припиняється, коли вся
суміш буде нагріта до температури плавлення.
Можна переохолодити й інші рідини. Легко переохолоджу-
ється цукровий сироп, утворюючи леденець. По суті справи будь-
яку аморфну речовину можна розглядати як переохолоджену
рідину з дуже великою в’язкістю. В’язкість заважає таким речо-
винам переходити в кристалічний стан. Проте, як було зазначе-
но (§ 265), з перебігом часу в таких речовинах, як скло, цукро-
вий леденець та ін., виникає помутніння, що є ознакою виділення
всередині них дрібних кристаликів.
1 Речовину, яку використовують у фотографії для приготування закріп-
лювача.
$ 271]
ЗМІНА ГУСТИНИ РЕЧОВИНИ ПРИ ПЛАВЛЕННІ
471
В яких випадках рідини починають кристалізуватися відра-
зу ж, як буде досягнуто охолодження до точки плавлення, і в
яких випадках можливе переохолодження? Для початку криста-
лізації потрібні так звані «центри кристалізації». Центрами кри-
сталізації можуть бути дрібні, іноді невидимі навіть у мікроскоп
кристалики (затравка) або сторонні пилинки, якг є в рідині.
Навколо центрів кристалізації і починають групуватись молеку-
ли, які поступово утворюють кристалічну решітку. А якщо цент-
рів кристалізації немає, то може переохолодитись на кілька
градусів навіть рідина з невеликою в’язкістю. Важливим при-
кладом цього є вода. Переохолодження чистої, без ніяких пили-
нок, води часто спостерігається в природі. Краплинки туману
можуть не замерзати навіть при морозах, які досягають —30е С.
Тумани, що складаються з переохолоджених краплинок, небезпеч-
ні для літаків: осідаючи на крилах літаків, вони швидко утво-
рюють на них нарости льоду, які можуть спричинити аварію
літака (обледеніння).
Із сказаного зрозуміло, що переохолоджена рідина перебуває
в нестійкому стані; з часом під впливом тих або інших дій пере-
охолоджена рідина переходить у стійкіший при певній темпера-
турі кристалічний стан.
Вправа. 270.1. У цукровому виробництві для прискорення виділення
крупинок цукру з цукрового сиропу до нього домішують цукрову пудру. Чо-
му це веде до цілі?
§ 271. Зміна густини речовини при плавленні. При плавленні
густина більшості речовин зменшується. Наступний дослід ілю-
струє це положення. Кинемо в розплавлений парафін грудочку
твердого парафіну. Вона потоне. Отже, густина розплавленого
парафіну менша за густину твердого парафіну. Парафін при
плавленні збільшує свій об’єм. Так само поводить себе й багато
інших речовин. Це явище показує, що при правильному упоряд-
кованому розміщенні молекул у кристалі об’єм менший, ніж при
безладному їх розміщенні в рідині. Це легко зрозуміти. Справді,
укладаючи апельсини в ящик правильними рядами, можна укла-
сти їх так, що вони займуть менше місця, ніж безладно насипані.
Проте з цього загального правила є кілька винятків, з яких
найважливіша вода. Лід, як відомо, плаває у воді; його густина
помітно менша за густину води. Ця обставина відіграє велику
роль у природі. Шар льоду на поверхні води, покритий зверху
снігом, який погано проводить тепло, добре захищає воду під
ним від охолодження. Таким чином, водойми не промерзають до
дна, і це рятує від загибелі риб, які живуть у них.
Розширення води при замерзанні є однією з причин і друго-
го важливого в житті Землі явища — руйнування гірських порід.
т
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV

Рис. 455. Розтріскування
каменя. На морозі вгорі
утворилась пробка з
льоду, яка замкнула во-
ду в нижній частині щі-
лини.
Уявимо собі, що в тріщині каменя є вода (рис. 455). Під час
морозу спочатку замерзає верхній шар; при цьому глибші шари
будуть «замкнуті». Якщо й ці шари почнуть замерзати, то вони,
збільшуючись при цьому в об’ємі, розширюватимуть тріщину.
Кінець кінцем це призведе до руйнування каменя.
Простий Дослід може дати уявлення про сили, які розвива-
ються при розширенні води, що супроводить замерзання. Наллє-
мо воду в пляшку до самої шийки і виставимо пляшку на мороз.
Вода замерзне і розшириться. Льодяна
пробка в шийці пляшки перешкоджає
вільному виходу розширюваного льоду, і
пляшка лопне під тиском льоду. Такий
дослід вдається навіть з чавунною тов-
стостінною пляшкою (бомбою).
Чим саме пояснити таку особливість води?
Чому у води збільшення потенціальної енергії
взаємодії молекул зв’язане не із збільшенням
об’єму, як в інших речовин, а із зменшенням?
Це пояснюється особливою структурою кристаліч-
ної решітки льоду. Звернемось до рис. 448, який
показує внутрішню структуру кристалів льоду.
Видно, що в кристалі льоду молекули розміщені
дуже нерівномірно: в одних місцях молекули
зближені, зате в інших місцях є великі порож-
нини між шарами. При переході від кристаліч-
ного стану до рідкого розміщення молекул змі-
нюється і стає рівномірнішим; при цьому відстань між молекулами, які в кри-
сталі розміщені близько одна до одної, збільшується, а відстань між відда-
леними молекулами зменшується. Потенціальна енергія взаємодії перших
збільшується, а других — зменшується. Але збільшення потенціальної енер-
гії близьких молекул більше за зменшення потенціальної енергії віддалених
молекул. У кінцевому підсумку внутрішня енергія води все-таки більша за
внутрішню енергію льоду, з якого вона утворилася.
272. Полімери. Ми розглянули внутрішню будову криста-
лічних тіл, прикладами яких є кам’яна сіль, кварц, метали, і та-
ких аморфних тіл, як скло. Ці речовини складаються або з ато-
мів, або з молекул, що містять невелике число атомів. Розгляне-
мо тепер особливу групу речовин, які відіграють і в природі і в
техніці дуже важливу роль. Ми маємо на увазі такі природні
речовини, як бавовна, дерево, шкіра, вовна, природний шовк,
природний каучук, і численні матеріали, які виробляє промис-
ловість, такі як штучний каучук, віскозний шовк, целофан, орга-
нічне скло, найрізноманітніші пластмаси. Ці речовини мають
малі порівняно з металами густину, теплопровідність і електро-
провідність і своєрідні механічні властивості, які різко відріз-
няють їх від інших речовин. Особливо цікаві механічні вла-
стивості гуми, про які мова буде далі і які роблять її цілком
§ 2721
ПОЛІМЕРИ
47І
незамінною в ряді галузей техніки (автомобільні шини, трубки,
галоші і т. д.).
Хімічна природа всіх цих речовин майже однакова. Усі вони
є полімерами І Цей термін означає, що молекули цих речовин
складаються з безлічі однакових частин (мономерів), з’єднаних
у довгі ланцюжки міцними хімічними зв’язками.
Мономери складаються з невеликого числа
куди обов’язково входять вуглець і водень,
часто входять кисень, іноді хлор або інші еле-
менти. Приклад будови полімеру схематично
показано на рис. 456; місця з’єднання мано-
мерів між собою позначено пунктиром. Число
мономерів, які утворюють молекулу полімеру,
звичайно дуже велике: тисячі або десятки ти-
сяч мономерів. Так, наприклад, молекула при-
родного каучуку складається з 3000—6000
мономерів, кожний з яких складається з ато-
мів вуглецю і водню; молекула целюлози (ос-
новної частини бавовни) містить понад 10 000
мономерів, які складаються з атомів вуглецю,
кисню і водню. Слід зазначити, що в тому
самому полімері (наприклад, у целюлозі)
одночасно існують молекули, які містять різне
число мономерів; отже, молекулярна вага
полімеру не є цілком певною величиною.
Фізичні властивості полімерів визначають-
ся в основному тим, що їх молекули являють
собою довгі міцні ланцюжки, які зберігають-
ся при механічних і термічних операціях (пря-
діння, продавлювання крізь вузькі отвори, пре-
сування і т. д.), а також при розчиненні і плав-
ленні полімерів. Ці ланцюжки іноді скручені
в клубки, іноді більш або менш витягнуті.
Вони можуть переплітатись між собою, як
нитки в заплутаному клубку. Ланки полімерів
(тобто мономери) можуть більшою або мен-
шою мірою повертатися одна відносно одної;
хоч кут повороту окремої ланки не може бути
великий, але оскільки ланок дуже багато, закручування молеку-
ли може бути значним. Це й зумовлює можливість великих
деформацій предметів, виготовлених з полімерів.
Розчини полімерів завжди мають значну в’язкість. Це пов’я-
зано з наявністю довгих ланцюжків полімеру в розчині. В’язкість
легких атомів.
О_*
• О
оео
ре_
ео
оео
ое__
ео'
оео
ое
ео'
оео
о»
оео
_ое__
•о
оео
•о
456. Ланцю-
Рис.
жок мономерів, які
утворюють полі-
мер,— один з ви-
дів синтетичного
каучуку. Чорні
кружки зобража-
ють атоми вугле-
цю, білі — водню.
1 Грецькі слова: «полі» — багато, «мерос» — частина, «моно» — один.
474
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV
самих полімерів дуже велика і швидко зменшується при збіль-
шенні температури. Під час пресування виробу з пластмаси її
ниткоподібні химерно переплетені молекули примусово набира-
ють нового розміщення. Вони прагнуть знову повернутися до
попереднього розміщення, але величезна в’язкість пластмаси
дуже сповільнює процес повертання до попередньої форми
виробу. Підвищення температури прискорює цей процес. Якщо,
наприклад, блюдце з органічного скла потримати кілька хвилин
у кип’ячій воді, то воно набирає форми плоскої пластинки,
з якої його було випресовано (рис. 457).
о б
Рис. 457. а) Блюдце з плексигласу. 6) Те саме блюдце
після перебування в киплячій воді.
Особливо цікаві механічні властивості гуми, тобто еластич-
ної речовини, яку виготовляють з каучуку. Усі знають, що виро-
би з гуми можна розтягувати в багато разів більше, ніж це мож-
ливо для інших речовин. Це пояснюється так. Каучук, як і вся-
кий інший полімер, складається з довгих, зігнутих у різних
напрямах молекул. Ступінь зігнутості залежить від теплового руху
ланок ланцюга, тобто від температури. Певній температурі від-
повідає певна зігнутість молекули каучуку, тим більша, чим
вища температура. Але чистий каучук при температурах, близь-
ких до кімнатної, перебуває в рідкому стані. Щоб надати йому
еластичності, треба зв’язати між собою переплетені кінці моле-
кул так, щоб вони не могли розійтися. Для цього треба зв’язати
між собою кінці молекул, які близько розміщені, «містками». Ці
містки можна зробити різними способами. Найстаріший спо-
сіб— «вулканізація каучуку», тобто внесення в каучук сірки.
Атоми сірки входять між ланки двох молекул каучуку, утворю-
ючи містки. Містки зв’язують безліч молекул каучуку в одну
загальну структуру, каучук втрачає текучість і перетворюється
в гуму. Містків з атомів сірки (або інших) не повинно бути бага-
то, бо при надлишковій їх кількості гума буде жорсткою.
Що ж відбувається при розтягуванні гуми? Молекули каучу-
ку змінюють форму, наближаючись до прямої лінії і розміщаю-
чись більш або менш паралельно одна одній. Якщо зняти роз-
тягуючі сили, молекули каучуку знову набирають попередньої
§ 273]
СПЛАВИ
475
форми, яка відповідає певній температурі, і гумовий вибір уко-
рочується.
Стан речовини, при якому можливе дуже велике видовження
виробу без розриву, називається каучукоподібним станом. Він
можливий лише в деякому інтервалі температур. При зниженні
температури речовина переходить у твердий стан, а при підви-
щенні — структура руйнується.
Крім природного каучуку, який добувають з соку деяких рос-
лин, у техніці широко використовують штучні каучуки, які добу-
вають, наприклад, із спирту.
§ 273. Сплави. У техніці майже ніколи не застосовують
«чистих» металів, тобто металів, які складаються з атомів лише
одного елементу (наприклад, заліза). Майже завжди металеві
вироби складаються з різних сплавів металів з металами або
неметалевими елементами. Наприклад, величезне значення в тех-
ніці мають різноманітні сталі — сплави заліза, вуглецю та інших
елементів (хрому, вольфраму, марганцю і багатьох інших); ши-
роко використовують ртуть (сплав міді і цинку). У літакобуду-
ванні велике поширення мають сплави алюмінію або магнію з
рядом елементів (міддю, залізом, цинком тощо), дуже легкі і
водночас міцні.
Причина поширення сплавів полягає в ряді їх переваг перед
«чистими» металами. Насамперед сплави майже завжди міцніші
від металів, з яких вони складаються (зауважимо, що чисте залі-
зо називається «м’яким»). Сплави часто плавляться при нижчій
температурі, ніж метали, з яких вони складаються. Наприклад,
олово плавиться при 232° С, свинець — при 327° С, а сплав олова
з свинцем — третник — близько 170° С.
Сучасна техніка має безліч сплавів, технологічні властивості
яких дуже відрізняються від властивостей чистих металів, зав-
дяки чому вдається задовольнити найрізноманітніші вимоги
практики. Є сплави, які майже так само тверді, як алмаз; існу-
ють дуже пружні сплави; сплави, які поєднують легкість і міц-
ність (дюралі); сплави, які не окислюються не тільки при стикан-
ні з водою, а навіть з кислотами (нержавіючої сталі); сплави, які
не змінюються при розжарюванні до червоного (жаротривкі);
сплави з дуже великим електричним опором (ніхром) або з спе-
ціальними магнітними властивостями; сплави, які майже не роз-
ширюються при нагріванні (інвар), і т. д.
Зазначимо, що і так звані «чисті» метали завжди містять у
собі невелику кількість домішок, видалити які дуже важко. Тому
«чисті» метали можна розглядати як сплави з дуже великим вмі-
стом одного з складових металів. Гим часом навіть мізерні кіль-
кості домішок іноді дуже різко змінюють властивості металів.
476
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV
Наприклад, наявність невеликих кількостей сірки або фосфору
в сталі чи чавуні робить їх ламкими, наявність домішок у міді
різко знижує її електропровідність і т. д.
Що саме являють собою сплави і чому їх властивості відрі-
зняються від властивостей елементів, які їх утворюють? На це
питання не можна дати загальної відповіді, бо сплави можуть
мати дуже різну, іноді дуже складну будову, особливо тоді, коли
між елементами, що їх утворюють, можливі хімічні сполуки.
Рис. 458. Шліф поверхні латуні (сплав
міді і цинку) при значному збільшен-
ні. Видно чорні кристалики міді впе-
реміж із сірими кристаликами цинку.
Рис. 459. Шліф поверхні алю-
мінію. Чорні тонкі лінії — слі-
ди прошарків між кристали-
ками.
Іноді при твердненні сплаву з нього виділяються дрібні кри-
сталики чистих металів, тісно перемішані між собою (рис. 458).
Ріст кристаликів у цій суміші утруднений через наявність кри-
сталиків іншого металу. А ми вже знаємо, що дрібнокристаліч-
ний стан металу є причиною підвищеної його міцності.
Зазначимо, що кристалики в металі завжди відокремлені ду-
же тонкими прошарками (рис. 459). Ці прошарки мають зовсім
інші фізичні властивості, ніж самі кристалики. Фізичні власти-
вості металу визначаються одночасно властивостями і криста-
ликів, і прошарків. Наприклад, дуже мала міцність прошарків
призвела б до того, що метал розсипався б у порошок. Звичайно
прошарки міцніші від самих кристаликів, і злом металу відбу-
вається по кристаликах, а не по межах між ними.
Оскільки кристалики складаються з чистих металів (або з
хімічних їх сполук), то в прошарках скупчуються неметалеві
домішки до металу. Внаслідок тонкості прошарків досить дуже
малої кількості домішки, щоб різко змінити властивості прошар-
ків, а разом з цим і всього металу. Отже, можна пояснити, на-
приклад, чому домішки сірки до заліза такі шкідливі.
§ 274. Тверднення розчинів. Солона (наприклад, морська)
вода замерзає не при 0°С, а при нижчій температурі. Така сама
§ 275]
ОХОЛОДНІ СУМІШІ
477
справа із іншими розчинами. Температура тверднення розчину
нижча, ніж чистого розчинника. Із збільшенням кількості розчи-
неної речовини температура тверднення розчинника знижується.
При замерзанні не дуже міцного розчину замерзає лише роз-
чинник. Наприклад, при замерзанні солоної води виділяються
кристали чистої води, а сіль залишається в розчині, «міцність»
якого, тобто вміст у ньому солі, таким чином, збільшується.
Зниження температури тверднення при збільшенні кількості
розчиненої речовини знижується лише до певної межі. При де-
якій певній концентрації замерзає вже не розчинник, а весь роз-
чин; при цій концентрації температура охолодження нижча, ніж
при всякій іншій. Для розчину кухонної солі у воді це буде тоді,
коли кількість солі у воді становитиме приблизно 30% за вагою.
Такий розчин замерзає лише при — 21° С.
Для водного розчину нашатирю (МН^І) найнижча темпера-
тура— 15°С. Вона відповідає 20%-ному розчину. Розчин, який
містить нашатирю менше або більше за 20%, починає замерзати
при вищій температурі.
Вправи. 274.1. Чому в холодильних установках по трубах, прокладених
у приміщенні, яке треба охолодити, гонять не чисту воду, а розсіл?
274. 2. Як під час морозу з солоної води добути прісну?
§ 275. Охолодні суміші. Візьмемо в руки грудку цукру і до-
торкнемося ним до поверхні кип’ятку (рис. 460). Кип’яток втя-
гнеться в цукор і дійде до наших пальців.
Проте ми не відчуємо опіку, як відчули б, ґ ------------Г--
коли б замість цукру взяли жмутик вати. і-1
Це спостереження показує, що розчинення ік.
цукру супроводиться охолодженням розчи-
ну. Якби ми хотіли зберегти температуру Г.=“]
при розчиненні незмінною, ТО ПОВИННІ були
б ПІДВОДИТИ ДО розчину енергію. Звідси ВИ- рис 4б Ки ,
пливає, що при розчиненні цукру внутріш- щ“с- розчиняє Ицуко£:
НЯ енергія системи цукор — вода збільшує- значно охолоджує-
ться. ться.
Те саме відбувається при розчиненні
більшості інших кристаликів (саме тих, розчинність яких збіль-
шується з підвищенням температури, § 262). У всіх таких випад-
ках внутрішня енергія розчину більша, ніж внутрішня енергія
кристала і розчинника при тій самій температурі, взятих окремо.
На прикладі з цукром ми бачили, що потрібна для розчинен-
ня цукру теплота запозичується від кип’ятку, охолодження якого
помітне навіть від безпосереднього відчуття.
Якщо розчинення здійснюється в кімнатній воді, то темпера-
тура утвореної суміші може в деяких випадках зменшитись
478
ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
[РОЗД. XV
нижче 0° С, хоч суміш і залишається рідкою, бо температура охо-
лодження розчину може бути значно нижча від нуля. Цією обста-
виною користуються для утворення дуже охолодних сумішей з
снігу і різних солей. Сніг, починаючи танути при 0° С, утворює
воду, в якій розчиняється сіль; незважаючи на зниження темпе-
ратури, яке супроводить розчинення, утворювана суміш не тверд-
не. Сніг, змішаний з цим розчином, продовжує танути, запози-
чуючи теплоту плавлення від розчину, тобто охолоджуючи його.
Процес може тривати доти, доки не буде досягнута температура
замерзання утвореного розчину. Суміш снігу і кухонної солі
(у відношенні 2:1) дає змогу, таким чином, утворювати охоло-
дження до —21° С; суміш снігу з хлористим кальцієм (СаСЬ)
(у відношенні 7 : 10) до — 50° С.
Вправи. 275. 1. Чому при виготовленні морозива беруть не чистий лід,- а
суміш льоду і солі?
275.2. Іноді тротуари посипають сіллю, від чого сніг на тротуарі тане.
Чому? Де ноги охолоджуватимуться більше: на засніженому тротуарі чи на
такому самому тротуарі, посиланому сіллю?
§ 276. Зміни твердого тіла. Ми вже бачили, що багато влас-
тивостей полікристалічного тіла, особливо механічні властивості,
залежать від розмірів кристаликів, які його утворюють: дрібно-
кристалічні сплави, як правило, міцніші. А структура полікри-
сталічних тіл, зокрема металів, залежить, як показує дослід, не
тільки від хімічного складу сплаву, а й від «попереднього життя»
зразка, зокрема від того, яких механічних і теплових дій він за-
знав (холодна обробка: прокатування, кування і т. д., термічна
обробка: гартування, відпилювання і т. д.).
Якщо залізну штабу піддати прокатуванню або куванню, то
її міцність збільшується. Дослідження показує, що при цьому
вона набуває волокнистої, дрібнокристалічної будови.
Ще приклад. Нова вісь залізничного вагона дуже міцна. Але
зробивши велику кількість пробігів, вона стає крихкою і може
зламатися. Дослідження показують, що дрібнокристалічна во-
локниста будова, яка спочатку зумовлювала її міцність, заміни-
лася крупнокристалічною, при якій міцність помітно зменши-
лася. Росту кристаликів сприяли постійні поштовхи, яких зазна-
вала вісь.
Проте і при відсутності поштовхів спостерігається ріст кри-
сталиків, хоч і повільніший.
Ці приклади показують, що тверде тіло не є чимось незмін-
ним. Кристалики, які його утворюють, живуть своїм життям і,
змінюючи свою величину та розміщення, змінюють властивості
тіла.
На властивості твердих тіл найбільше впливає зміна темпе-
ратури. При цьому можуть змінитися навіть форма і будова са<
§ 276]
ЗМІНИ ТВЕРДОГО ТІЛА
479
мих кристаликів (їх просторова решітка). Так, наприклад, залізо
при кімнатній температурі має іншу кристалічну решітку, ніж
при вищих температурах. При нагріванні залізо переходить в
інші кристалічні форми (всього є чотири кристалічні форми залі-
за). При переході від однієї кристалічної будови в іншу погли-
нається або виділяється деяка кількість теплоти (так само, як
і при плавленні та твердненні), помітно змінюються розміри тіла
і т. д. Це можна встановити на такому досліді.
Натягнемо горизонтально залізну дротину завдовжки 2—3 м
і розжаримо її електричним струмом до світло-червоного розжа-
рення. Вона видовжиться і значно провисне. Потім вимкнемо
струм і дамо дротині можливість охолонути ’. Ми побачимо, що
дротина спочатку почне підніматися, потім у деякий момент під-
німання припиниться, дротина сама собою знову розжариться
і провисне, а потім знову швидко почне підніматись. Момент,
коли дротина знову видовжується, і є моментом, коли залізо
переходить з одного кристалічного стану в інший (близько
900° С). Процес можна спостерігати і в зворотному порядку, як-
що дуже повільно збільшувати силу розжарюваного струму.
Цікавий процес відбувається при гартуванні сталі. Під час
гартування сталь охолоджується так швидко, що вона не всти-
гає перейти з того кристалічного стану, в якому вона перебуває
при високій температурі, у той стан, в якому вона повинна була
б бути при кімнатній температурі. У холодному стані перекри-
сталізація дуже сповільнена і сталь залишається в кристалічно-
му стані, що відповідає високій температурі. При цьому вона
стає дуже твердою і крихкою. Можна зробити так, щоб сталь
перекристалізувалася (частково або повністю), для чого треба
знову нагріти її і повільно охолодити (відпускання сталі).
1 Дослід удагться краще, коли струм не вимикати зовсім, а лише осла-
бити настільки, щоб дротина охолоджувалась дуже повільно.
РОЗД І Л XVI
ПРУЖНІСТЬ І МІЦНІСТЬ
§ 277. Вступ. У «Механіці» неодноразово зазначалося, що
стичні тіла діють одне на одне з деякою силою тоді, коли вони
деформовані, наприклад стиснуті. Іноді деформацію легко спо-
стерігати, але частіше вона дуже невелика і щоб її виявити, тре-
ба застосовувати тонші засоби. Порівнюючи м’яч, який вільно
падає, і м’яч, що лежить на столі, ми встановимо порівняно лег-
ко, що в другому випадку м’яч деформований (стиснутий), але
щоб виявити деформацію стола (згинання його кришки), яка
виникає при цьому, потрібні будуть тонкі методи спостереження
(§ 70). Такими методами можна також виявити, що обертове
колесо деформоване (спиці і обід розтягнуті) порівняно з коле-
сом, яке не обертається, і т. д.
У «Механіці» деформація тіл цікавила нас лише остільки,
оскільки з нею зв’язана поява виникнення тих або інших сил.
Розглядаючи, наприклад, тверді тіла, ми не цікавилися змінами
об’єму і форми тіл при деформаціях, бо вони були малі і не впли-
вали на розв’язання питань, які стосуються рівноваги або руху
тіл. Так, розглядаючи важіль у вигляді прямого стержня, ми не
брали до уваги того, що при навантаженні він з прямого пере-
творювався в зігнутий.
Проте при точнішому розрахунку деформації треба брати до
уваги. Особливо важливо знати деформації в будівельній справі,
наприклад при будуванні мостів, у машинобудуванні і т. д.
§ 278. Пружні і пластичні деформації. Зігнемо трохи сталь-
ну пластинку (наприклад, ножовку), а потім через деякий час
відпустимо її. Ми побачимо, що ножовка цілком (у всякому разі
на око) відновить свою форму. Якщо візьмемо свинцеву пластин-
ку таких самих розмірів і на такий самий час зігнемо її, то вона
не відновить своєї форми цілком і залишиться зігнутою. Дефор-
мації, які зовсім зникають, як тільки зникають деформуючі сили,
як у стальної пластинки, називають пружними. Деформації, які
§ 278]
ПРУЖНІ І ПЛАСТИЧНІ ДЕФОРМАЦІЇ
481
не зникають після дії деформуючих сил, як у свинцевої пластин-
ки, називають пластичними.
Точніше кажучи, не спостерігається ні цілком пружних,
ні цілком пластичних деформацій. Якщо стальну пластинку
тримати в зігнутому стані дуже довго (наприклад, кілька
років), то після припинення дії деформуючих сил вона не розіг-
неться до кінця. Ми матимемо залишкову деформацію, яка буде
тим більшою, чим довше пластинка була в деформованому
стані.
Отже, пружна деформація в усіх тілах з часом переходить у
пластичну.
Речовини, в яких пружна деформація помітно переходить у
пластичну протягом тривалого часу (роки!), називаються пруж-
ними речовинами. Прикладами пружних речовин є сталь, скло.
Речовини, в яких пружна деформація помітно переходить у пла-
стичну протягом короткого часу (секунди, частки секунди), нази-
ваються пластичними речовинами. Приклади: свинець, м’який
віск і т. д. Проте якщо проміжок часу буде дуже малий, то
деформація і в пластичній речовині не встигає перейти в пла-
стичну. Наприклад, при дуже короткочасній деформації свинце-
ва пластинка може поводити себе як стальна.
Перехід пружної деформації в пластичну залежить ще від
величини самої деформації. Чим більша деформація, тим мен-
ший проміжок часу потрібний для її переходу в пластичну. Збіль-
шуючи деформацію якого-небудь тіла, ми дійдемо, нарешті, до
такої деформації, при якій перехід з пружної в пластичну від-
бувається практично вмить. У такому разі ми говоримо, що
досягли границі міцності. У пружних речовин границя міцності
велика, а в пластичних речовин мала. Зауважимо, що границя
міцності залежить від температури. Чим вища температура речо-
вини, тим нижча в неї границя пружності.
Вправи. 278. 1. Чому пружинні динамометри після тривалого викори-
стання починають давати неправильні покази?
§ 279. Закон Гука. Ми з’ясували, що деформація тіл є пруж-
ною, тобто такою, яка не дає помітної залишкової деформації,
тільки при умові незначної величини і невеликої тривалості
деформації. Нехай ці умови виконано. Який у цьому випадку
зв’язок між величиною деформації і силами, які її зумовлюють?
Найпростіше простежити цей зв’язок на гумовій нитці доброї
якості. Закріпимо верхній кінець такої нитки нерухомо, а до ниж-
нього кінця підвішуватимемо різні тягарці (рис. 461). Якщо ці
тягарці такі, що деформація є пружною, то видовження нитки
буде пропорціональне розтягуючій силі (у цьому разі вазі тягар-
ця). Те саме буде при будь-якій іншій деформації (розтягу, зсубу
31 7-103
482
ПРУЖНІСТЬ Т МІЦНІСТЬ
ІРОЗД. XVI
і т. д.). Отже, при пружній деформації деформуюча сила і вели-
чина деформації пропорціональні між собою. Це й є закон Гука,
названий так на честь англійського фізика Роберта Гука (1635—
у//////> 1703).
Закон Гука можна сформулювати трохи по-
іншому. Відношення сили до площі перерізу тіла,
на якому ця сила розподіляється, називається на-
пругою. Закон Гука означає, що деформація якої-
_ небудь частини тіла пропорціональна напрузі, яка
; є в цій частині тіла.
Рис. 461. До-
слідження за-
лежності ви-
довження гу-
мової нитки
від розтягую-
чої сили.
§ 280. Розтяг і стиск. Пружні деформації, які
виникають у тілах, можуть бути дуже різними.
Тіло може розтягуватись або стискатись, згина-
тись, перекошуватись, скручуватись. У більшості
випадків спостережувана деформація являє собою
кілька деформацій одночасно. Проте в кінцевому
підсумку будь-яку деформацію можна звести до
двох найпростіших: розтягу (або стиску) і зсуву.
Розтяг. Стальна струна на балалайці, зви-
чайна (не скручена) дротина, яка підтримує тяга-
рець, гумова нитка в рогатці є прикладами тіл,
які зазнають розтягу. Це приклади односторон-
нього, або поздовжнього, розтягу, бо тіло розтя-
гується вздовж одного напряму. При такому розтягу тіла
видовжуються і водночас трохи зменшуються в поперечних роз-
мірах. Це добре видно при розтяган-
ні гумової смужки, на якій нанесені
поздовжні і поперечні лінії (рис. 462).
Внаслідок розтягу тіла перебувають
у напруженому стані. У прикладі з гу-
мовою смужкою деформація окремих
її частин, а отже, і напруга приблизно
однакові по всьому її об’єму, крім
місць поблизу прикладання зовнішніх
сил. Те саме можна сказати і про на-
тягнуту струну.
Стиск. Балки, які розпирають
грунт у глибоких вузьких канавах
(рис. 463) або в рудниках, колони, на
яких тримається частина будинку, ніж-
ки стола, які підтримують його кришку,
є прикладами тіл, які зазнають стиску.
І тут ми маємо приклади односторон-
нього, або поздовжнього, стиску.
І
Рис. 462. Зліва: на гумовій
смужці накреслено сітку,
комірки якої мають форму
квадратів. Справа: коли
смужка розтягується, ко-
мірки сітки перетворюються
в прямокутники.
$ 280]
РОЗТЯГ І СТИСК
483
При односторонньому стисканні тіло трохи «розсувається»,
тобто розширяється в поперечних напрямах. Це добре помітно,
коли стискати м’яку гумку, на якій нанесено сітку чорних ліній
(рис. 464). На цьому рисунку помітно
також, що деформації окремих частин
можуть бути неоднаковими в різних
місцях тіла: у середині гумка деформо-
вана більше, ніж по краях.
Вимірюючи розтяг (або стиск) дро-
тин (стержнів) з різних матеріалів під
дією певного навантаження, ми встано-
вимо, що розтяг тим більший, чим дов-
ший зразок і чим менший його попе-
речний переріз. Це неважко зрозуміти.
Чим товщий зразок, тим менше наван-
таження припадає на кожний квадрат-
ний міліметр його перерізу, а чим він
Рис. 463. Балки Л, які вдер-
жують грунт від обвалю-
вання, перебувають у стані
стискання.
довший, тим більше буде видовження,
яке становить певну частину початкової довжини: кожна оди-
ниця довжини дістає того самого приросту. Дуже значно позна-
чаються властивості матеріалу. Наприклад, стальна дротина
при тих самих розмірах і навантаженні розтягується в два з
чимось рази менше, ніж мідна.
При розглянутих поздовжніх (односторонніх) деформаціях
тіла перебувають під дією двох однакових.
Рис. 464. Стискання
гумки. Комірки сітки
деформовані
пальцями,
по краях.
більш
між
Велике
протилежно напрямлених сил.
Часто в природі і в техніці ми зустрічає-
мось з всесторонніми деформаціями: всесто-
роннім стиском і всестороннім розтягом.
Обидві деформації спостерігаються тоді,
коли деформоване тіло зазнає тиску з усіх
боків або розтягу в усі боки. Наприклад, у
стані всестороннього стиску перебувають
тіла, занурені в рідину. У випадку занурен-
ня тіл на велику глибину в морі деформація
всестороннього стиску досягає помітної вели-
чини, і це має значення для тварин, які там
живуть. Рідше зустрічається всесторонній
розтяг. У стані всестороннього розтягу пе-
ребуває, наприклад, внутрішня частина хо-
лодної залізної кулі, опущеної в гарячу
значення мають деформації всестороннього
ніж
воду.
стиску і розтягу при поширенні так званих поздовжніх звукових
коливань (про які мова буде в розділі «Коливання і хвилі»,
т. III).
31»
484
ПРУЖНІСТЬ І МІЦНІСТЬ
[РОЗД. XV!
виникають під дією двох однакових
А А В
О б
Рис. 465. а) Прямокутний брус перебу-
ває під дією двох зрівноважувальних
сил Р і N. б) Брус перебуває під дією
двох зрівноважувальних пар сил; вна-
слідок цього брус перекошений.
Вправи. 280. Ь Як зміниться видовження, коли, не змінюючи наванта-
ження, дротину замінити іншою з того самого матеріалу, що має в два рази
більші довжину і діаметр?
280.2. Дослід показує, що стальна дротина з площею перерізу 1 мм2,
довжиною 1 м при навантаженні в 20 кГ видовжується на 1 мм. Яке буде
видовження, якщо стальну дротину перерізом 0,5 мм2 і довжиною 3 м наван-
тажити гирею в ЗО кГ?
§ 281. Зсув. Ми розглянули поздовжній розтяг і стиск, які
і протилежно напрямлених
сил. Тепер розглянемо де-
формації, зумовлені дво-
. ма однаковими, проти-
лежно напрямленими мо-
ментами сил.
Уявимо собі брус, що
має форму прямокутного
паралелепіпеда і стоїть
на горизонтальній підлозі
(рис. 465). Сила тяжіння
Р бруса, яку ми можемо
вважати прикладеною в
центрі ваги С, повністю
зрівноважується силою тиску з боку підлоги N. Оскільки
брус нерухомий, то сила тиску повинна бути прикладена в точ-
ці А внизу бруса, що лежить на одній вертикалі з центром
ваги С (рис. 465, а). Нехай тепер до верхньої частини бруса при-
кладено горизонтальну силу Р таку, що брус перекошується, але
не ковзає по підлозі (рис. 465, б). Оскільки брус перебуває в спо-
кої, то, отже, на нього діє ще одна сила, яка дорівнює поперед-
ній і напрямлена в протилежний бік. Цією силою, очевидно,
є сила тертя Гтр. Сила Р разом із силою Гтр утворюють пару
сил, яка повинна була б спричинити прискорене обертання бруса
навколо, осі, перпендикулярної до площини рисунка. Проте брус
перебуває в спокої. Отже, існує інша пара сил, яка зрівноважує
першу. Неважко . знайти цю пару сил. Якщо при відсутності
сили Р сила тиску на брус з боку підлоги N. проходила через
точку Д, то при наявності сили Р тиск підлоги на брус трохи
зміниться і сила тиску N буде прикладена в точці В, що лежить
нз нащому рисунку вправо від точки А. Внаслідок цього утворю-
ється нова пара сил Р і /V, яка прагне обертати наш брус у напря-
мі, протилежному тому, в якому брус обертався під дією пари
Р і /чр. Оскільки брус перебуває в спокої, то пари сил Р і Р^,
Р і ^взаємно зрівноважуються. Наявність цих пар сил пов’яза-
на з^дефррмацією перекошування бруса, і він замість прямокут-
ної форми набирає похилої. Очевидно, такого самого характеру
$ 282]
КРУЧЕННЯ
485
матимемо деформацію і з будь-яким прямокутним паралелепіпе-
дом, який ми мислено виділимо в розглядуваному тілі. Деформа-
ція, при якій прямий паралелепіпед, узятий у тілі, перетворю-
ється на похилий, об’єм якого дорівнює об’єму недеформованого
паралелепіпеда, називається зсувом. Рис. 466 показує, що зсув
завжди супроводиться роз-
тягом і стиском (діагональ
АВ розтягується, а діагональ
СИ вкорочується).
Зсув — дуже поширений
вид деформації. Насамперед,
зсув спостерігається в усіх
тертьових твердих тілах як
при терті спокою, так і при
терті ковзання. Наприклад,
якщо тягти по підлозі тіло, то
Рис. 466. Зсув супроводиться видовжен-
ням у напрямі АВ і вкороченням у на-
прямі СО.
і тіло і підлога перебувають у ста-
ні зсуву. У стані зсуву перебувають заклепки, які зв’язують два
залізні листи (рис. 467), якщо листи зазнають розтягу. Але особ-
ливо важливим випадком зсуву є деформації середовища, коли
по ньому біжать так звані поперечні хвилі (про це мова буде в
розділі «Коливання і хвилі», т. III).

§58^
Якщо деформація зсуву з пружної переходить у пластичну,
то ми маємо справу з переміщенням одних шарів тіла вздовж
інших. Легко побачити, що плас-
. _ тич на деформація зсуву почасти
подібна до течії рідини: коли ріди-
„ . на тече, її шари безперервно зсу-
Рис. 467. При розтягуванні скле- олин вздовж одного Ня-
паних залізних листів заклепки ваються один вздовж одного. На
зазнають зсуву. гадаємо (§ 263), що пружність
зсуву може бути ознакою, за
якою відрізняють твердий стан від рідкого: при рідкому стані
речовини пружний зсув неможливий.
§ 282. Кручення. Кручення є особливий випадок зсуву. Кру-
ченням називається деформація, яка спостерігається в твердому
тілі, коли воно перебуває під дією двох протилежно напрямлених
моментів, прикладених до протилежних кінців тіла. Щоб мати
наочне уявлення про кручення, візьмемося обома руками за
кінці гумового стержня, уздовж твірної якого проведено чорну
лінію (рис. 468), і обертатимемо кінці стержня в протилежних
напрямах. Стержень зазнає кручення і чорна лінія вздовж твір-
ної набере форми гвинтової лінії. Якщо один з кінців стержня
тримати нерухомо і обертати другий кінець, то кут повороту ра-
діуса якого-небудь перерізу стержня буде тим більший, чим далі
від нерухомого кінця лежить цей переріз. Кут, на який повер-
486
ПРУЖНІСТЬ І МІЦНІСТЬ
[РОЗД. XVI
неться радіус найбільш крайнього перерізу, називають кутом
кручення (рис. 469).
Кручення — також дуже поширений вид деформації. У за-
крученому стані перебувають усі тіла, які передають обертаючий
Рис. 468. а) Недеформований гу- Рис. 469. Якщо правий кінець трубки
мовий стержень, б) Стержень у нерухомий, а на лівому кінці радіус
стані кручення. ОА зайняв положення ОВ, то кут
АОВ є кутом кручення.
момент від двигуна до машини: карданний вал автомобіля, вал,
який обертає гвинт пароплава, і т. д. У стані кручення перебуває
також ручка викрутки, яка передає обертаючий момент від руки
до гвинта.
Розтяг циліндричної пружини також є крученням. Справді,
Рис. 470. Розтягу-
вання пружини є
крученням дроти-
ни, з якої виго-
товлено пружину.
того кута кручення
розглянемо два близькі перерізи пружини
5і і 52 (рис. 470). З рисунка видно, що роз-
тяг пружини веде до повертання перерізу
5’і за рухом стрілки годинника і перерізу
52 — проти руху стрілки годинника, тобто
утворюється кручення дротини, з якої виго-
товлено пружину.
Кут кручення зростає із збільшенням
обертаючих моментів, які спричинили кру-
чення. При заданому обертаючому моменті
кут кручення залежить від матеріалу, з яко-
го зроблено закручуване тіло, а також від
його розмірів і форми. У випадку стержнів
циліндричної форми кут кручення пропор-
ціональний довжині стержня і обернено про-
порціональний четвертому степеню діаметра.
Це означає, що невелика зміна діаметра ду-
же різко змінює кут кручення, якщо обер-
таючий момент залишився попереднім. Цим
користуються при виготовленні фізичних
приладів, де бажано досягти якомога біль-
при дуже малих обертаючих моментах (на-
приклад, до цього прагнуть при побудові гальванометрів). Засто-
совуючи для підвішування обертових частин дротинки діаметром
у кілька мікронів, досягають дивовижної чутливості приладів.
$ 283)
ЗГИН
37
Вправа. 282.1. У фізичному приладі треба замінити дротинку, на якій
підвішено обертову частину, іншою дротинкою, зробленою з того самого ма-
теріалу, але в два рази довшою. Треба підібрати такий діаметр дротинки,
щоб при тому самому обертаючому моменті кут кручення мав попередню
величину. Чому дорівнює цей діаметр, якщо замінювана дротинка мала діа-
метр 0,3 мм?
Рис 471. Згин. Л — стріла прогину.
Рис. 472. Інший випадок згину.
§ 283. Згин. Розмістимо креслярську лінійку горизонтально,
закріпивши один з її кінців (рис. 471). Прикладаючи до віль-
ного кінця її деяку си-
лу, дістанемо згин лі-
нійки в бік дії сили.
Можна також покласти
лінійку на дві опори і
дістати згин, натискаю-
чи на неї де-небудь на
її середині (рис. 472).
У техніці згин — одна з
деформацій, яка найчастіше зустрічається. Згину зазнають рейки
залізничної колії, сволоки перекриттів у будинках, залізні шта-
би в ліжка, різні важелі тощо.
Згин — деформація, яка зводиться до розтягів і стисків, різ-
них у різних частинах тіла. У цьому можна впевнитись так.
Застромимо в гумову смужку (або в трубку) ряд паралельних
спиць (рис. 473). Згинаючи смужку, ми побачимо за розміщен-
ням спиць, що одні її ша-
ри (на рис. 473 шар МЛІ)
зазнали розтягу, а інші
(шар МУ) — стиску. Де-
який середній шар не змі-
нив своєї довжини (нейт-
ральний шар).
За міру деформації у
випадку згину можна взяти зміщення кінця балки (рис. 471) або
середини її (рис. 472). Це зміщення називають стрілою прогину.
Дослідимо, від чого залежить стріла прогину балки. Нехай
балкою буде креслярська лінійка. Покладемо її на опори, розмі-
щені один раз далеко, а другий — близько одна від одної,
і навантажимо гирею (рис. 474). Ми побачимо, що із зменшен-
ням довжини тієї частини лінійки, яка лежить між опорами,
стріла прогину дуже зменшується.
Якщо взяти лінійку ширшу (при тій самій товщині і довжи-
ні, тобто відстані між опорами), то для неї стріла прогину під
дією того самого навантаження буде відповідно менша. Лінійка
з того самого матеріалу, такої самої ширини і довжини, але тов-
ща, матиме значно меншу стрілу прогину.

ПРУЖНІСТЬ І МІЦНІСТЬ
[РОЗД. XVI
Легко помітити,
перерізом значно різкіше
М
М
N
N
Рис. 473. Розміщення спиць
показує, що одна сторона
тіла, яке згинається, розтяг-
нута, а друга — стиснута.
що зміна товщини балки з прямокутним
позначається на стрілі прогину, ніж
зміна ширини. Щоб упевнитись
у цьому, досить спробувати згинати
креслярську лінійку, установивши її
на ребро (як показано в балки на
рис. 475 зліва) або закріпивши її
плазом (так, як показано на тому
самому рисунку справа). Очевидно,
що в першому випадку товщина
лінійки в стільки ж разів більша за
товщину її в другому випадку, у
скільки разів ширина її менша. Але
зігнути лінійку в першому випадку
значно важче. Легко зрозуміти, чому
це так. У випадку, показаному зліва,
розтяг верхньої частини і стиск ниж-
ньої при тій самій стрілі прогину
утворюється значно більший.
Точний розрахунок показує, що
стріла прогину балки прямокутного
перерізу прямо пропорціональна на-
вантаженню і кубу довжини балки
і обернено пропорціональна кубу
товщини балки і першому ступеню її ширини. Дослід підтвер-
джує цей висновок.
Рис. 474. Залежність прогину
від довжини балки.
Рис. 475. Залежність
прогину від форми пере-
різу балки.
балками з перерізами, зобра-
У техніці часто користуються
женими на рис. 476 (таврові і двотаврові балки). Прикладом дво-
таврової балки може бути рейка. Двотаврова балка являє собою
по суті широку балку прямокутного перерізу, з якої видалено час-
§ 284]
МІЦНІСТЬ
489
тину середнього шару (рис. 477), який менше розтягується і стиска-
ється і тому меншою мірою протидіє згину. Тому двотаврова
балка дає змогу заощаджувати матеріал і полегшувати балку.
майже не погіршуючи її бу-
дівельних якостей. Такої са-
мої мети ми досягаємо, за-
стосовуючи замість стержнів
труби (наприклад, у велоси-
педної рами).
Вправи. 283.1. Дослідіть
відмінність у прогинах, яка спо-
Рис. 477. Вида-
лення незаштри-
хованої частини
балки прямо-
кутного пере-
різу мало
впливає на її
міцність.
стерігається, якщо навантажити _ _
тим самим тягарцем зошит, покла- Рис; ^76. Балка таврово-
дений на дві опори плазом, і той г0 1 Двотаврового пере-
самий зошит, згорнутий трубкою. Р13У-
283.2. Наведіть приклади ви-
користання трубчастої будови в техніці і в живій природі.
283.3. Нехай ширина прямокутної балки в три рази
більша за її товщину. У скільки разів стріла прогину у ви-
падку, зображеному на рис. 475 справа, більша, ніж у ви-
падку, показаному зліва?

§ 284. Міцність. Жодне тіло не може деформуватись, напри-
клад розтягуватись, безмежно. Кінець кінцем воно руйнується.
Для кожного матеріалу можна назвати максимальне наванта-
ження на одиницю площі перерізу, яке він може витримати (руй-
нівне навантаження). Чим більше руйнівне навантаження, тим
міцніший матеріал. Здатність виробу протидіяти руйнуванню
залежить не тільки від якостей матеріалу, а й від форми виробу
і виду дії. Так, наприклад, стержень легше зруйнувати односто-
роннім натисканням (зверху), ніж розтягом, бо в першому випад-
ку він може зігнутися і зламатися, тоді як у другому він повинен
розірватися. Інший приклад значення характеру дії розглянуто
в гідростатиці (§ 159), де показано, що порожнисту кулю (або
підводний човен) легше сплющити тиском зовні, ніж розірвати
тиском зсередини.
Величина руйнівного навантаження значною мірою залежить
від якості матеріалу і способу його обробки. Тому можна подати
лише його приблизні величини (табл. 16).
Величина руйнівного навантаження набагато залежить від
термічної і механічної обробки матеріалу, а в складних речо-
вин — і від їх складу (сталь, скло).
Вправи. 284. 1. Який максимальний вантаж може витримати стальний
трос, площа перерізу якого дорівнює 12 льи2? Вважати, що руйнівне наванта-
ження дорівнює 6000 кГ/см2.
284.2. Чому дорівнює найбільша довжина свинцевої дротини яка не пор-
веться, коли її підвісити за верхній кінець? Густина свинцю 11,3 гісм3. Вва-
жаіи, що руйнівне навантаження дорівнює 200 кГІсм2.
Таблиця 16
Руйнівне навантаження деяких матеріалів
Матеріал Руйнівне навантаження при розтягу, кГ/см*
Сталь ... 4000—14 000
Мідь ... 2000-5 000
Свинець . . 100—200
Дерево соснове 200—800
Скло 300—900
Рис. 478. Обробка
металевого вала
різцем, армованим
пластинкою з над-
твердого сплаву
(показано чор-
ним).
§ 285. Твердість. Крім міцності, у техніці ще розрізняють
матеріали за їх твердістю. З двох матеріалів вважають тверді-
шим той, який дряпає інший. Проведемо
краєм куска скла по мідній пластинці. Ми
утворимо подряпину. Навпаки, проводячи
краєм мідної пластинки по склу, ми не по-
мітимо ніякої подряпини. Отже, скло твер-
діше за мідь.
Різці і свердла для різання металів по-
винні, очевидно, мати більшу твердість, ніж
оброблюваний метал. Для міді, латуні, залі-
за можна використовувати стальні загарто-
вані різці. У сучасній техніці для різців і
свердел широко використовують так звані
надтверді сплави.
Надтверді сплави складаються з найдріб-
ніших зерен карбідів вольфраму або тита-
ну, зцементованих кобальтом. їх виготов-
ляють пресуванням порошків карбідів при
високій температурі, при якій, однак, вони
ще не плавляться, внаслідок чого зерна
карбідів зберігають свою виняткову твердість. Різці, виготовлені
з таких сплавів (рис. 478), зберігають свою різальну здатність
при температурах до 700—800° С. Оскільки саме втрата різаль-
них властивостей при високих температурах обмежувала швид-
кість різання металів (при роботі на великих швидкостях різці
дуже нагріваються), то зрозуміло, що застосування надтвердих
сплавів дало змогу підвищити цю швидкість. Останніми роками
було досягнуто нового успіху: було створено новий тип надтвер-
дих різців —мінералокерамічні різці, основною складовою части-
ною яких є окис алюмінію, який добувають з мінералу бокситу.
Мінералокерамічні різці зберігають різальну здатність до темпе-
ратур 1100°С і вище. Ця особливість дала змогу збільшити
5 286]
ЩО ВІДБУВАЄТЬСЯ ПРИ ДЕФОРМАЦІЇ ТІЛ?
491
швидкість різання металів до нечуваної раніше величини —
понад 50 місек. З природних матеріалів найбільшу твердість
має алмаз. Тепер технічні сплави за своєю твердістю наближа-
ються до алмазу.
Вправа. 285. 1. Випробуйте на твердість матеріали (сталь, свинець,
скло, дерево, ніготь, і т. д.), які є під руками і розмістіть їх у ряд за тверді-
стю, яка зменшується.
Рис. 479. Монокри-
стал цинку, який за-
знав розтягу (схема).
за своїми механічними
§ 286. Що відбувається при деформації тіл? Дослідження будови тіл за
допомогою рентгенівського проміння (§ 266) показало, що при пружних де-
формаціях кристала його решітка зазнає лише невеликого спотворення. На-
приклад, комірки решітки, зображеної на рис. 447,
у випадку деформації кристала з кубиків перетворю-
ються в трохи похилі паралелепіпеди. Коли деформу-
ючі сили не діють, решітка повертається до поперед-
ньої форми. У полікристалічних тілах ці тимчасові
зміни решіток в окремих кристаликах можуть бути
різними. Пружні деформації в ацорфних тілах також
зв’язані лише з невеликими зміщеннями положень
рівноваги молекул.
Зовсім по-іншому змінюється при пружній дефор-
мації будова каучукоподібних тіл (про це було за-
значено в § 272). Цією різницею і пояснюється вели-
чезна відмінність у величині пружних розтягів, які
можуть спостерігатися в гумовій нитці і, наприклад,
у стальній дротині.
При пластичних деформаціях зміщення молекул
можуть у багато разів перевищувати відстані між ни-
ми. У монокристалах пластична деформація зв’язана
з проковзуванням окремих шарів решітки одного від-
носно одного. У кожному кристалі є такі напрями,
в яких шари решітки ковзають особливо
легко. Ми вже говорили (§ 264), що кристал льоду
властивостями схожий на стопу скляних пластинок, з’єднаних клеєм, який не
зовсім затверднув. Те саме можна сказати і про інші кристали. На рис. 479
показано форму кристала цинку, який зазнав розтягу. На кристалі добре вид-
но сліди ковзання шарів. Установлено, що ковзання шарів ніколи не почи-
нається відразу по всьому об’єму кристала. Воно починається з якого-небудь
одного місця, де решітка чомусь ослаблена (див. закінчення, § 266), і потім
поступово поширюється на інші місця.
У полікристалах також можливі проковзування шарів решітки в малень-
ких кристалах, які утворюють полікристал. Проте, оскільки напрями найлег-
шого ковзання в окремих кристаликах, взагалі кажучи, не збігаються між
собою, то виникнення ковзання в таких тілах утруднене порівняно з моно-
кристалами. Цей ефект проявляється тим більше, чим дрібніші кристали. Тому
в дрібнозернистих тілах пластична деформація виникає при більшій дефор-
муючій силі, ніж у крупнозернистих.
Крім зазначеної обставини, справа ускладнюється наявністю прошарків
між кристаликами, механічну властивості яких відрізняються від самих кри-
сталиків.
Що ж до аморфних тіл, то в них молекулярна картина пластичної дефор-
мації така сама, як молекулярна картина спокійної (ламінарної) течії рідини
(§ 194). Ми вже говорили про те, що аморфний стан можна розглядати як
рідкий з дуже великою в’язкістю.
492
ПРУЖНІСТЬ І МІЦНІСТЬ
[РОЗД. XVI
§ 287. Зміна енергії при деформації тіл. При деформації
дротини, на якій висить вантаж, вантаж опускається і, отже,
сила тяжіння виконує роботу. За рахунок цієї роботи збільшу-
ється енергія деформованого тіла, яке при цьому переходить
з ненапруженого стану в напружений. Отже, при деформації
збільшується внутрішня енергія тіла. Збільшення внутрішньої
енергії полягає в збільшенні потенціальної енергії, яка залежить
від взаємного розміщення молекул тіла. Якщо деформація пруж-
на, то, коли її усунути, ця додаткова енергія зникає і за її раху-
нок пружні сили виконують роботу. При пружній деформації
твердих тіл тіла помітно не нагріваються. Щодо цього, то вони
відрізняються від газів — адже при стисканні газів, як ми бачи-
ли, вони нагріваються (§ 225). При пластичній деформації твер-
дих тіл ці тіла значно нагріваються. У цьому підвищенні темпе-
ратури, тобто збільшення кінетичної енергії молекул, і проявля-
ється збільшення внутрішньої енергії деформованого пластичного
тіла; звичайно, і в цьому разі внVтрішня енергія збільшується
за рахунок роботи сил, які зумовлюють деформацію. Сюди
належать випадки нагрівання дротини, яку багато разів згина-
ють, або куска свинцю, розплющуваного ударами молотка, про
які говорилося в § 202.
З викладеного в цьому розділі випливає, що для практично-
го використання матеріалів у будівельній техніці і при виготов-
ленні різноманітних машин та механізмів дуже важливо знати,
як реагує матеріал на дію зовнішніх сил.
Дослідження з молекулярної фізики твердого тіла дали змо-
гу останніми роками з’ясувати багато питань, які стосуються
фізичної природи явищ, які відбуваються. Технічні дані і способи
вимірювань та розрахунків, які стосуються змін у матеріалі під
дією зусиль, викладені в курсах опору матеріалів.
РОЗДІЛ XVII
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
§ 288. Вступ. Скрізь навколо нас, і в природі і в технічних
установках, відбуваються взаємні перетворення рідини і пари.
Рідини перетворюються в невидиму пару, тобто переходять
у газоподібний стан (випаровування); іноді, навпаки, виникають
краплинки рідини, що утворюються з пари (конденсація). В осо-
бливо великих розмірах відбуваються в природі і техніці взаємні
перетворення водяної пари і води. Водяна пара утворюється не
тільки на величезних водних просторах поверхні Землі, а й на
суші; вода безперервно випаровується з поверхні грунту, з лист-
ків рослин, із шкіри та з легень тварин і т. д.
Придивляючись до явищ випаровування, ми легко помітимо,
що при тій самій температурі різні рідини випаровуються по-різ-
ному: ефір, бензин та інші такі «леткі» рідини випаровуються
швидко, вода—трохи повільніше, а олія, ртуть і т. д. випаро-
вуються так повільно, що це випаровування без точних вимірю-
вань не помітне. Проте випаровування все-таки відбувається,
і тому, наприклад, не слід тримати в кімнаті відкриту ртуть, бо
її пара дуже шкідлива для здоров’я. Усі рідини без винятку випа-
ровуються.
Випаровуються і перетворюються в пару не тільки рідини,
а й усі тверді тіла — одні швидше, інші дуже повільно. Відомо,
що мокра і замерзла білизна все-таки поступово висихає на
морозі. Пахучими, а отже, такими, що дають пару, яка діє на
нюх, бувають не тільки рідини, а й тверді тіла, наприклад нафта-
лін. Ми вже описали дослід з нагріванням йоду, коли він випа-
ровується, не переходячи в рідкий стан (§ 267).
Вправа. 288. 1. Чи пуста «торрічеллієва пустота»?
§ 289. Пара насичуюча і ненасичуюча. Калюжі після дощу
на вітрі висихають швидше, ніж при тій самій температурі без
вітру. Це показує, що для випаровування рідини потрібно, щоб
утворена пара видалялась. Якщо пари зовсім не видаляти, напри-
494
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
(РОЗД. XVII
клад, якщо закупорити пробкою пляшку з рідиною, то випарову-
вання швидко припиниться. Оскільки при такому положенні ні
рідина не перетворюється в пару, ні пара не згущається в ріди-
ну, то ми кажемо, що пара і рідина перебувають у рівновазі
Пару, яка перебуває в рівновазі з рідиною, називають насичую-
Рис. 480. Перші крап-
лини ефіру, які пада-
ють у колбу А, випа-
ровуються, причому
ртуть у трубці В
швидко опускається.
Якщо настає насичен-
ня, то краплини ефі-
ру, які падають у кол-
бу, не випаровуються
і рівень ртуті більше
не змінюється.
чою (або насиченою) парою. Ця назва пере-
дає ту думку, що в певному об’ємі при зада-
ній температурі не може бути вміщена біль-
ша кількість пари.
У пляшці з рідиною, крім пари, над ріди-
ною є ще й повітря. Проте неважко зробити
так, щоб над рідиною була тільки її пара,
майже без домішки інших газів. Для цього
простір над рідиною слід відкачати насосом
або видалити газ тривалим кип’ятінням
рідини, при якому пара витіснить гази.
Досліджуючи поводження пари в прос-
торі, звідки всі сторонні гази видалено, ми
дістаємо важливі відомості про властивість
пари. Дослідження можна провести, напри-
клад, так.
Круглодонна колба А закупорена гумо-
вою пробкою, сполучена, як показано на
рис. 480, із скляною трубкою В, опущеною
в посудину з ртуттю. Через другу трубку С,
що має кран, з колби якомога краще вика-
чують повітря, причому ртуть у трубці В під
дією атмосферного тиску піднімається. Пара
ртуті в цих умовах утворюється в таких ма-
лих кількостях, що нею можна знехтувати.
З лійки Г, в яку налито ефір, через кран
К обережно, краплинами, вводять ефір у
колбу А. Перші краплини ефіру вмить випа-
ровуються, і ртуть у трубці швидко опуска-
ється вниз. При цьому в колбі маємо ненасичуючу пару ефіру.
При збільшенні кількості ефіру, який випарився, збільшується
густина пари, агразом з тим і її тиск, подібно до того, як при
збільшенні густини збільшується тиск усякого газу. Насичуюча
пара хоч і не відповідає точно газовим законам Бойля—Маріотта
і Шарля, проте, загалом, має всі властивості газів. Однак, про-
довжуючи добавляти ефір у колбу 4, ми помітимо, що ртуть
у трубці В перестає опускатися, а добавлений ефір більше не
1 Тут мають на увазі рухливу, або динамічну, рівновагу, про яку було
сказано в § 260.
§ 290]
СУМІШ РІДИНИ І НАСИЧУЮЧОЇ ПАРИ
49.*>
випаровується: досягнуто насичення. Скільки не доливати ще
ефіру, густина його пари і її тиск залишатимуться сталими.
Зазначимо, що під час досліду температура не повинна зміню-
ватись !.
Повторивши той самий дослід з іншою рідиною, наприклад
із спиртом, побачимо, що тиск насичуючої пари також буде ста-
лим, але іншим, ніж в ефіру. Тиск насичуючої пари ефіру при
20° С становить близько 440 мм рт. ст., пари спирту — близько
44 мм рт. ст.
Отже, густина і тиск насичуючої пари при незмінній темпера-
турі є сталими величинами, у різних рідин — різними.
§ 290. Що відбувається при зміні об’єму суміші рідини і наси-
чуючої пари? Розглянемо докладніше що означає
тиск насичуючої пари при незмін-
ній температурі сталий. Щоб
пояснити це, розглянемо два
досліди.
1) Пляшка А (рис. 481)
заткнута гумовою пробкою, в яку
вставлено лійку В з вузьким кін-
цем С. Верхній отвір у лійці мож-
на закривати гумовою пробкою £>.
Наллємо в лійку приблизно напо-
ловину води і негайно заткнемо її
пробкою. Вода деякий час переті-
катиме з лійки В в пляшку А, але
потім течія води припиниться. Чо-
Рис. 481. У пля- Рис. 482. У по-
шці А і в лій- судинах А і В
ці В розміщені е вода і її пара,
му це так? Тому що в міру пере-
тікання води з лійки в пляшку
об’єм повітря в В зростає, а його
тиск зменшується (закон Бой-
ля— Маріотта). Водночас об’єм
повітря в А зменшується і тиск
його збільшується. Нарешті, різ-
ниця тисків у посудині А і в лійі
вода і повітря; повітря немає,
течія води з В Вода з посуди-
в А швидко ни В уся сті-
припиняється. кає в А.
і В зрівноважить тиск рідини,
і її течія припиниться.
2) Тепер розглянемо спеціальний прилад (рис. 482). Цилінд-
рична посудина А сполучена вузькою трубкою з посудиною В.
Посудина В запаяна. Повітря з обох посудин зовсім видалене
перед запаюванням посудини В і єдине, що є в приладі, — це вода
та її пара. Як тепер тече вода? Перекидаючи прилад, побачимо,
що вода з посудини В в посудину А перетікає через вузьке місце
1 Для цього колбу А треба занурити у велику посудину з водок кім-
натно. температури.
496
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
повністю, зовсім не затримуючись. Це означає, що при перетікан-
ні води тиск пари ні в посудині Д, ні в посудині В не змінюється,
хоч при цьому об’єм пари в посудині А зменшується, а в посуди-
ні В збільшується. Але в такому разі очевидно, що при опусканні
рівня води в В і збільшенні об’єму пари вода випаровується саме
такою мірою, що густина пари і її тиск не змінюються. Навпаки,
в посудині А із збільшенням об’єму, не зайнятого рідиною, пара
весь час конденсується саме настільки, що її густина і тиск також
залишаються сталими.
З приладом, зображеним на рис. 482, можна виконати ще
такий повчальний дослід. Якщо різким рухом підняти прилад
угору, то стовп води в А підніметься, а внизу під ним утвориться
об’єм, заповнений парою. Потім стовп води, який піднявся, опус-
титься вниз. Коли він торкнеться дна посудини, то буде чути
різкий дзвінкий звук, ніби на дно упало тверде тіло. Цей звук
утворюється через те, що водяний стовпчик, рухаючись у трубці,
не зустрічає ніякого опору з боку пари. Справді, на обидві
поверхні стовпчика діють однакові, але протилежно напрямлені
•сили— сили тиску насичуючої пари, однакові при різних поло-
женнях стовпчика в трубці. При переміщенні стовпчика рідини
з однієї його сторони пара згущається в рідину, а з другої —
рідина випаровується, а тиск пари залишається весь час одна-
ковим.
Повторивши цей дослід з приладом, зображеним на рис. 481,
•в якому, крім пари, є ще повітря, ми не почуємо ніякого стуку.
Повітря чинить рідині, як кажуть, «пружинячий» опір, який
зростає в міру його стискання. Подібно до того, як при стискан-
ні пружини сила, з якою вена діє, збільшується в міру її стис-
кання (за законом Гука), так і тут сила тиску повітря зростає із
зменшенням його об’єму (за законом Бойля—Маріотта) і тому
гальмує рух води. На відміну від повітря насичуюча пара має
сталий тиск, який не залежить від об’єму, а тому «пружинити»
не може.
Цей дослід пояснює нам, чому при зникненні бульбашок пари
всередині рідини чути різкі удари, іноді такі, що призводять до
пошкоджень. Прикладом цього можуть бути гвинти пароплавів,
на лопатях яких часто утворюються вибоїни від частих ударів
води при зникненні бульбашок, що виникають на поверхні лопа-
тей під час роботи гвинта (так звана кавітація). При неправиль-
ній формі гвинта кавітація може зруйнувати його за кілька
годин ходу.
§ 291. Закон Дальтона для пари. Помістимо в пляшку закупо-
рену пробірку з ефіром. Пляшку заткнемо пробкою з скляною
трубкою, приєднаною до ртутного манометра (рис. 483,а). При
§ 292]
МОЛЕКУЛЯРНА КАРТИНА ВИПАРОВУВАННЯ
497
Рис. 483. а) У пляшці розміщена закупоре-
на пробірка з ефіром; манометр показує, що
тиск повітря в пляшці дорівнює атмосфер-
ному. б) Пробірка розбита, і до повітря
домішалась насичуюча пара ефіру; мано-
метр показує збільшення тиску.
закупорюванні пляшки в ній було атмосферне повітря, і рівні
ртуті в обох колінах майже однакові. Потім різко струсимо
пляшку, щоб пробірка розбилася (рис. 483,6). Ми побачимо, що
ртуть у манометрі почне підніматися. Через кілька хвилин уста-
новиться різниця рівнів, яка дорівнює зниженню рівня в досліді,
зображеному на рис. 480. Зміна рівня ртуті показує, що до тис-
ку повітря додався тиск пари ефіру. Отже, рівновага між рід-
ким ефіром і його парою
встановлюється при наяв-
ності повітря при тому са-
мому тиску пари ефіру,
що й у просторі, звідки
викачано повітря. Правда,
ефір при наявності повіт-
ря випаровується повіль-
ніше, ніж без нього, і тому
і рівновага встановлюєть-
ся повільніше.
З того спостереження,
що тиск пари ефіру і при
наявності повітря і без
нього буває однаковим,
можна зробити висновок,
що кількість ефіру, яка
випаровується в певний
простір, однакова в обох
випадках (звичайно, при
умові рівності темпера-
тур).
Отже, тиск суміші га-
зів і пари, що перебувають у рівновазі з рідиною, дорівнює сумі
тисків, які мали б складові частини суміші при відсутності інших
частин. Це— закон Дальтона в застосуванні до пари.
Вправа. 291.1. Якщо повторити дослід, зображений на рис. 483, не
видаливши з пляшки рештків ефіру, то, коли розбити другу пробірку з ефі-
ром, манометр не показує підвищення тиску. Чому?
§ 292. Молекулярна картина випаровування. Пригадаємо, що
молекули рідини рухаються з найрізноманітнішими швидкостя-
ми. Для того щоб молекула, яка перебуває в поверхневому шарі,
могла вилетіти за межі рідини, її кінетична енергія повинна бути
більша, ніж робота, яку треба при цьому затратити проти сил
зчеплення, що тягнуть її всередину рідини. Тому лише ті моле-
кули, які мають у цей момент достатню швидкість, зможуть
вилетіти з поверхневого шару рідини назовні. Тут вони стика-
32 7-юз
498
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
ються з іншими молекулами, змінюють напрям руху, через
деякий час можуть знову досягти поверхні рідини і проникнути
в її глибину. Отже, молекули весь час вилітають з рідини і зно-
ву повертаються до неї. Якщо вилітає більше молекул, ніж
повертається назад, то рідина випаровується. Якщо, навпаки,
молекули в більшій кількості повертаються в рідину, ніж вилі-
тають з неї, пара конденсується. Нарешті, якщо число моле-
кул, яке вилітає з рідини, дорівнює (в середньому) числу моле-
кул, яке повертається, утворюється рухома рівновага пари
і рідини і пара є насичуючою.
Чому ж у різних рідин рівновага утворюється при різному
тиску пари, а отже, при різному числі молекули в 1 см3? Причина
полягає у відмінності в силах зчеплення. В одних рідин (напри-
клад, у ртуті) сили зчеплення дуже великі, і тому шанси вилеті-
ти за межі рідини мають лише небагато найшвидших молекул.
За межі рідини виривається за одиницю часу лише невелике
число молекул. Тому, щоб досягти рівноважного стану, тобто
для того, щоб назад у ртуть поверталося таке саме число моле-
кул, досить невеликої густини пари ртуті. В інших рідин (напри-
клад, в ефіру) сили зчеплення малі і при тій самій температурі
за межі рідини можуть вилітати молекули в значній кількості.
Тому рівноважний стан настає лише при значній густині пари
ефіру над поверхнею рідкого ефіру.
У розд. XIV ми бачили, що сили зчеплення молекул зумовлю-
ють поверхневий натяг рідини. При великих силах зчеплення
поверхневий натяг великий. Отже, чим більший поверхневий
натяг, тим менш летка рідина і тим менший тиск насичуючої
пари.
Число молекул, якими обмінюються за 1 сек рідина і насичуюча пара,
яка стикається з нею, навіть у випадку малолетких рідин дуже велике. Про
це свідчить незвичайна швидкість, з якою випаровується рідина, якщо чомусь
пара, яка утворюється, не повертається в рідину. Про це саме свідчить швид-
кість, з якою зникає пара в дос.і’ді < ударом води об дно посудини (§ 290).
Можна оцінити, що при кімнатній температурі крізь 1 см2 поверхні води за
1 сек пролітає 1021 молекул.
§ 293. Залежність тиску насичуючої пари від температури.
Досі ми розглядали явища випаровування і конденсації при ста-
лій температурі. Тепер розглянемо питання про вплив темпе-
ратури.
Легко побачити, що вплив температури дуже великий. У спе-
ку або поблизу печі все висихає значно швидше, ніж на холоді.
Отже, випаровування теплої рідини інтенсивніше, ніж холодної.
Це легко пояснити. У теплій рідині більше число молекул має
швидкість, достатню для того, щоб подолати сили зчеплення
і вирватись за межі рідини. Тому при підвищенні температури
§ 293] ЗАЛЕЖНІСТЬ ТИСКУ ПАРИ ВІД ТЕМПЕРАТУРИ 499
разом із збільшенням швидкості випаровування рідини збільшу-
ється і тиск насичуючої пари рідини.
Таблиця 17
Тиск насичуючої пари води і ртуті при різних температурах
Температура в °С Тиск пари води, мм рт. ст. Тиск пари ртуті, мм рт. ст.
0 4,58 0,00021
20 17,5 0,0013
40 55,3 0,0065
60 149 0,026
80 355 0,092
90 526 0,16
100 760 0,28
120 1489 0,76
140 2711 1,85
200 11 660 17,2
300 64 450 245
374 165 530 1100
Збільшення тиску пари легко встановити за допомогою при-
ладу, описаного в § 291. Опустивши колбу з ефіром у теплу воду,
Рис. 484. Залежність тиску наси-
чуючої пари води від температури.
побачимо, що манометр покаже
різке збільшення тиску. Опустив-
ши ту саму колбу в холодну воду
або, краще, в суміш снігу і солі
(§ 275), помітимо, навпаки, зни-
ження тиску.
Отже, тиск насичуючої пари
набагато залежить від темпера-
тури. У табл. 17 подано тиски на-
сичуючої пари води і ртуті при
різних температурах.
Звернемо увагу на дуже малу
величину тиску пари ртуті при
кімнатній температурі. Пригадає-
мо, що при відлічуванні на баро-
метрі цим тиском нехтують.
На рис. 484 подано графік,
який показує залежність між тем-
пературою насичуючої пари води
і її тиском. Як видно, тиск наси-
чуючої пари при підвищенні тем-
ператури на 1°С при високих тем-
пературах підвищується більше, ніж при низьких. У цьому різка
відмінність насичуючої пари від газів, тиск яких при нагріванні
32*
500
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
на Г С збільшується і при низьких і при високих температурах
на ту саму величину (на 727з тиску при 0°С). Ця відмінність буде
цілком зрозумілою, коли пригадати, що при нагріванні газів
у сталому об’ємі змінюється лише швидкість молекул. При нагрі-
ванні суміші «рідина — пара» змінюється, як ми зазначали, не
тільки швидкість молекул, а й їх чис-
ло в 1 см3у тобто при більшій темпера-
турі ми маємо пару більшої густини.
^Г****^ Вправи. 293.1. Чому газовий термометр
/ (§ 235) дає правильні покази лише при зовсім
/| сухому газі?
| 293.2. Припустимо, що в замкнутій посуди-
।___________ ні, крім рідини і пари, є ще повітря. Як це по-
значиться иа зміні тиску з підвищенням темпе-
Рис. 485. До вправи ратури?
293, з. 293. 3. Зміна тиску пари в замкнутій посу-
дині при підвищенні температури демонстру-
ється графіком, зображеним на рис. 485. Який висновок можна зробити щодо
процесів випаровування всередині посудини?
§ 294. Кипіння. Помістимо скляну посудину з холодною водою
на пальник і спостерігатимемо за нею. Незабаром дно і стінки
посудини покриваються бульбашками, про походження яких
було зазначено в § 260. У цих бульбашках, як ми знаємо, є повіт-
ря і пара води. Бульбашки виникають у тих місцях стінок посу-
дини, де немає повного змочування. Такими місцями можуть бути
сліди жиру на стінці або дрібні тріщинки на ній.
Спостерігаючи за бульбашкою при незмінній температурі,
ми побачимо, що вона зберігає свої розміри; отже, тиски зсере-
дини і ззовні на її поверхню взаємно зрівноважуються. Оскільки
всередині бульбашки є повітря, кількість якого треба вважати
сталою, то ця рівновага стійка. Справді, якби з якоїсь випадко-
вої причини бульбашка розширилася, то тиск повітря в ній за
законом Бойля — Маріотта зменшився б і зовнішній тиск, який
при цьому майже не змінюється, знову зменшив би бульбашку.
Міркуючи так само, легко з’ясувати, чому бульбашка, яка випад-
ково зменшилася, відразу ж знову розшириться до попередньо-
го об’єму. При підвищенні температури бульбашка поступово
розширюється так, що сума тиску повітря і пари в ньому дорів-
нюватиме зовнішньому тиску. Проте коли бульбашка буде досить
великою, виштовхувальна сила води примусить її відірватися,
подібно до того, як відривається порівняно важка краплина
води, що звисає з даху (рис. 377). При цьому між бульбашкою
і стінкою посудини утворюється повітряна перемичка, яка дедалі
більше звужується (рис. 486) і, нарешті, бульбашка відриваєть-
ся, залишаючи біля стінки невелику кількість повітря, з якої
з часом утвориться нова бульбашка.
§ 294]
КИПІННЯ
50)
Піднімаючись угору, бульбашки, які відірвалися, знову
зменшуються в розмірах. Чому? Ці бульбашки містять пару
води і трохи повітря. Коли бульбашка досягає верхніх шарів
води, які ще не встигли нагрітися, то значна частина водяної
пари конденсується у воду, внаслідок
чого бульбашка зменшується. Це по-
змінне збільшення і зменшення бульба-
шок супроводиться звуками: вода, яка
закипіла, «шумить». Нарешті, вся вода
прогрівається достатньою мірою. Тоді
бульбашки, які піднімаються, вже не
зменшуються в розмірах і лопають на
поверхні, викидаючи пару в зовнішній
простір. «Шум» припиняється і почи-
нається «булькання» — ми кажемо, що
вода закипіла. Термометр, поміщений
Рис. 486. Бульбашки газу,
які прилипли до дна посу-
дини з рідиною, і відірва-
лися.
у пару над киплячою водою, весь час, поки вода кипить, показує
однакову температуру — близько 100° С.
Очевидно, що при кипінні тиск пари, яка утворюється всере-
дині бульбашок біля дна посудини, такий, що бульбашки
можуть розширюватись, піднімаючи при цьому воду, тобто пере-
магаючи атмосферний тиск, який діє на
вільну поверхню води, а також тиск стов-
па води.
Ми приходимо до висновку, що ки-
піння відбувається при такій температурі,
коли тиск насичуючої пари рідини дорів-
нює зовнішньому тиску. Температура ки-
піння визначається, отже, тиском пари,
а значить, і температурою пари. Темпера-
тура пари киплячої рідини називається
точкою кипіння.
З поданих міркувань зрозуміло, що
точка кипіння рідини повинна залежати
Рис. 487. При викачуван-
ні повітря з-під ковпака,
вода, що має температу-
ру, значно нижчу від
100° С, закипає.
від зовнішнього тиску. Це легко можна
спостерігати. Поставимо скляночку з теп-
лою водою під ковпак повітряного насо-
са. Викачуючи повітря, ми можемо при-
мусити воду закипіти при температурі,
значно нижчій за 100° С (рис. 487). Нав-
паки, при підвищенні зовнішнього тиску точка кипіння підвищу-
ється. Так, у котлах парових машин воду нагрівають під тиском
у кілька атмосфер. Температура кипіння при цьому значно пере-
вищує 100° С. При тиску близько 15 атмосфер температура ки-
піння води становить близько 200° С.
502
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
Коли говорять про точку кипіння рідини, не називаючи тис-
ку, завжди мають на увазі температуру кипіння при нормаль-
ному тиску (760 мм рт. ст.).
Залежність точки кипіння від тиску дає нам новий спосіб
вимірювання атмосферного тиску. Вимірявши точку кипіння
води, ми можемо, користуючись таблицями тиску
пари при різних температурах, судити про атмо-
сферний тиск. Якщо, наприклад, перебуваючи в
горах, ми визначили, що точка кипіння води ста-
- 100° новить близько 90° С, то звідси можна зробити
- висновок (див. табл. 17), що тиск повітря дорів-
- 95О нює близько 526 мм рт. ст. Спеціально пристосо-
вані для таких вимірювань термометри назива-
ються гіпсотермометрами. Вони збудовані так,
- 90° що дають змогу відлічувати температуру близько
і 100° С з великою точністю (рис. 488).
Точки кипіння різних рідин (при нормально-
" 55<> му тиску) значно відмінні одна від одної. Це
). можна бачити з табл. 18.
Таблиця 18
Точки кипіння деяких рідин
Рідина Точка ки- піння, °С Рідина Точка ки- піння, °С
Рис. 488. Гіпсо- Рідкий гелій —269 Спирт 4-78
термометр. Від- » водень —253 Вода 4-100
лічує темпера- » кисень —183 Ртуть + 357
тури в межах » азот . . —196 Розплавлений цинк + 906
від 85 до 100°С. Хлор .... —34 Розплавлене залізо + 2880
Ефір ..... +35
Відмінність точок кипіння різних речовин має велике засто-
сування в техніці, наприклад при виробництві нафтопродуктів.
Під час нагрівання нафти спочатку випаровуються найцінніші,
леткі її частини (бензин), які можна так відокремити від «важ-
ких» залишків (масел, мазуту).
Відмінність точок кипіння різних речовин пов’язана з від-
мінністю в тиску пари при тій самій температурі. Ми бачили,
що пара ефіру вже при кімнатній температурі має тиск, біль-
ший за половину атмосферного. Тому, щоб тиск пари ефіру досяг
величини атмосферного, потрібне невелике підвищення темпера-
тури (до 35° С). Інакша справа, наприклад, у ртуті, що має при
кімнатній температурі зовсім малий тиск. Тиск пари ртуті дорів-
§ 294)
КИПІННЯ
503
Рис. 489. До вправи 294.4. Ав-
токлав. М — манометр.
вузькій пробірці, наповненій до
нюватиме атмосферному лише при значному підвищенні темпе-
ратури (до 357° С).
Вправи. 294.1. Де кипляча вода гарячіша: на рівні моря, на горі чи в
глибокій шахті?
294. 2. Для деяких виробничих процесів
у харчовій промисловості (наприклад, для
варіння буряків) потрібна вища температу-
ра води, ніж 100° С. Як цього можна до-
сягти?
294.3. Користуючись табл. 17, визначте
найвищу температуру, яку може мати вода
при тиску: а) 2 кГ/см2\ б) 0,2 кГІсм2.
294. 4. На рис. 489 зображено автоклав
(прилад, який застосовують у хімічних ви-
робництвах для процесів, що потребують
вищої температури, ніж температура кипін-
ня рідини, яка міститься в ньому). Це — міц-
ний котел, який наглухо закритий кришкою
так, що пара з нього може виходити лише
через запобіжний клапан А. Якої температу-
ри досягне при нагріванні котла вода в ньо-
му, якщо площа основи клапана дорівнює
0,75 см1 і якщо відстань від опори А до кла-
пана X дорівнює 6,5 см, а до гирі В— 18 см'ї
Вага гирі 1 кГ, вагою стержня можна знех-
тувати.
294.5. Спробуйте закип’ятити воду у
країв, нагріваючи її біля дна. Чому в цьому разі бульбашки викидають воду
з пробірки?
Примітка. Дещо подібне відбувається у величезних розмірах у приро-
ді в так званих гейзерах (в СРСР на Камчатці, а також в інших країнах).
Гейзер — фонтан, що періодично діє і викидає гарячу воду з вузького
вертикального отвору в землі
(рис. 490). Пара утворюється
на глибині кількох десятків мет-
рів. Тиск на такій глибині во-
дойми може досягти кількох
атмосфер і вода може нагріва-
тися до температури, значно
вищої за 100° С.
Коли внизу утворюються
бульбашки пари, то частина
води витікає, тиск зменшуєть-
ся і пароутворення перегрітої
пари йде з такою інтенсивністю,
що вода, яка залишилася, вики-
дається на значну висоту.
294.6. Закип’ятіть воду в
круглоподібній колбі і заткніть
її. Переверніть колбу. Якщо те-
пер на дно колби покласти тро-
хи снігу або облити її холод-
ною водою, то вода в колбі
закипить. Поясніть явище.
Рис. 490. Гейзер.
504
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
(РОЗД. XVII
§ 295. Теплота випаровування. Для того щоб підтримувати
кипіння води (або іншої рідини), до неї треба безперервно під-
водити теплоту, наприклад підігрівати її пальником. При цьому
температура води і посудини не підвищується, але щосекунди
утворюється певна кількість пари. З цього випливає висновок,
що для перетворення води в пару потрібний приплив теплоти,
Рис. 491. Поки з кип’ятильни-
ка К виділяється повітря, тер.
мометр показує майже однако-
ву температуру. Коли замість
повітря виділятиметься пара і
почне конденсуватись у воду
в склянці А, стовпчик термо-
метра швидко піднімається, по-
казуючи підвищення темпера-
подібно до того, як це спостерігає-
ться при перетворенні кристала
(льоду) в рідину (§ 269).
Кількість теплоти, яка потрібна
для перетворення одиниці маси ріди-
ни в пару тієї самої температури, на-
зивається теплотою випаровуван-
ня, або теплотою пароутворення
даної рідини. її вимірюють у кал/г,
ккал/кг або дж/кг.
Легко передбачити, що при кон-
денсації пари в рідину повинна ви-
ділятися відповідна кількість тепло-
ти. Справді, опустимо в склянку з
водою трубку, сполучену з кип’я-
тильником (рис. 491). Через деякий
час після початку нагрівання з кін-
ця трубки, опущеної у воду, почнуть
виходити з кип’ятильника бульбаш-
ки повітря !. Це повітря дуже мало
підвищує температуру води. Потім
вода в кип’ятильнику закипить, пі-
сля чого ми побачимо, що бульбаш-
ТУРИ- ки, які виходять з кінця трубки, вже
не піднімаються вгору, а швидко
зменшуються і з різким звуком зникають. Це — бульбашки пари*
які конденсуються у воду. Як тільки замість повітря з кип’ятиль-
ника почне виходити пара, вода почне швидко прогріватися.
Оскільки теплоємність пари приблизно така сама, як і повітря, то
з цього спостереження випливає, що вода так швидко нагріває-
ться саме внаслідок конденсації пари.
Кількість теплоти, яка виділяється при конденсації одиниці
маси пари в рідину тієї самої температури, називається тепло-
тою конденсації.
1 Кип'ятильник треба взяти у вигляді посудини з великою (порівняно)
кількістю повітря, щоб бульбашки повітря виходили досить довго.
§ 295]
ТЕПЛОТА ВИПАРОВУВАННЯ
505
Вимірювання показують, що теплота конденсації дорівнює
теплоті випаровування (при тій самій температурі).
До цього висновку можна було б прийти на підставі принципу збережен-
ня енергії. Справді, якби це було не так, то можна було б збудувати машину»
в якій рідина спочатку випаровувалася б, а потім конденсувалася: різниця
між теплотою випаровування і теплотою конденсації являла б собою приріст
повної енергії всіх тіл, які беруть участь у розглядуваному процесі. А це супе-
речить принципу збереження енергії.
Теплоту конденсації, а отже, і теплоту випаровування можна
визначити за допомогою калориметра, подібно до
робили для теплоти плавлення (§ 269). Нал-
лємо в калориметр певну кількість води і вимі-
ряємо її температуру. Потім деякий час випус-
катимемо у воду пару випробуваної рідини з
кип’ятильника, вживши заходів до того, щоб
виходила лише пара, без краплинок рідини.
Для цього пару пропускають крізь сухопарник
(рис. 492). Після цього знову вимірюємо тем-
пературу води в калориметрі. Зваживши кало-
риметр, ми можемо за збільшенням його ваги
судити про кількість пари, яка сконденсувала-
ся в рідину.
Користуючись принципом збереження енер-
гії, можна скласти для цього процесу рівняння
теплового балансу, яке дає змогу визначити
теплоту випаровування води. Нехай маса води
в калориметрі (включаючи водяний еквівалент
калориметра) дорівнює Л4, маса пари т, тепло-
ємність води с, початкова і кінцева температу-
того, як це ми
Пара
з кип'ятильника
Рис. 492. Сухопар-
ник — пристрій
для затримання
краплинок води,
які виходять ра-
ри води в калориметрі і\ і і2, температура ки-
піння води /з і шукана теплота випаровуван-
ня X. Рівняння теплового балансу має вигляд
сМ (/2 — ^і) = ^т + ст (/3 — /2),
ЗВІДКИ
зом з парою.
сМ (Г2 — ґх) — ст (і3 — /2)
т
Результати визначень теплоти випаровування різних рідин
при кипінні при нормальному тиску подано в табл. 19.
Як видно, все це досить великі величини. Значна величина
теплоти випаровування води відіграє дуже важливу роль у при-
роді, бо процеси пароутворення здійснюються в ній у величез-
них масштабах.
Зауважимо, що подані в таблиці значення теплоти випаро-
вування стосуються точки кипіння при нормальному тиску. Якщо
506
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
рідина кипить або просто випаровується при іншій температурі,
то теплота її випаровування інша. При підвищенні температу-
ри рідини теплота випаровування завжди зменшується. Це ми
пояснимо пізніше.
Таблиця 19
Теплота випаровування різних рідин
Речовина Теплота випаровування
кал/г | СІ, ож/кг
Вода 539 2260
Спирт (етиловий) 216 910
Ефір 89 373
Ртуть 68 285
Олово 721 3020
Мідь 1290 5420
Залізо 1515 6350
Вправи. 295. 1. Визначте кількість теплоти, яка потрібна для нагріван-
ня до точки кипіння і для перетворення в пару 20 г води при 14° С.
295.2. Яка буде температура, коли в склянку, що містить 200 г води при
16° С, пустити 3 г пари при 100° С? Теплоємністю склянки знехтувати.
§ 296. Охолодження при випаровуванні. Усім відомо, що в
мокрій одежі холодніше, ніж у сухій, особливо на вітрі. Відомо
також, що, обгорнувши посудину з водою мокрою ганчіркою
і виставивши її в спеку на вітер, ми помітно охолодимо воду
в посудині. Іноді для цього в жарких країнах використовують
спеціальні посудини з пористими стінками, крізь які вода повіль-
но просочується, підтримуючи їх весь час вологими. Ці спосте-
реження показують, що випаровування спричинює охолодження
рідини, а разом з тим і навколишніх тіл. У цьому випадку тепло-
та випаровування запозичується в самої рідини.
Особливо значним охолодження буде тоді, коли випарову-
вання відбувається дуже швидко, так що випаровувана рідина
не встигає одержувати теплоту від навколишніх тіл. Швидке
випаровування легко спостерігати в летких рідин. Наприклад,
ефір або хлористий етил при випаровуванні легко охолоджують-
ся до температури нижче 0° С (рис. 493). Цим користуються
лікарі, коли їм треба заморозити шкіру хворого, щоб зробити її
нечутливою до болю.
Охолодження при випаровуванні можна також спостерігати
в такому досліді. Дві скляні кульки сполучені зігнутою скля-
ною трубкою (кріофор> рис. 494). У кульках є вода і її пара,
§ 297]
ПЕРЕХІД РЕЧОВИНИ З РІДКОГО СТАНУ В ПАРОПОДІБНИЙ
507
Рис. 493 Продуваю-
чи повітря через труб-
ку і тим прискорю-
ючи випаровування
ефіру, можна приму-
сити воду внизу про- -
бірки замерзнути.
Рис. 494. Коли
кулька В охо-
лоджується, во-
да в кульці Я
замерзає.
повітря видалене. Нижню кульку поміщають в охолодну суміш
(суміш снігу і солі). Тоді вода у верхній кульці замерзає. При-
чина цього така. Охолодження нижньої кульки спричинює під-
силену конденсацію в ній пари. Внаслідок цього вода у верхній
кульці випаровується і тому охолоджується. Температура змен-
шується настільки, що
вода у верхній кульці за-
мерзає.
Охолодження при ви-
паровуванні і виділення
тепла при конденсації
пари відіграють дуже
важливу роль у природі,
зумовлюючи помірність
клімату приморських
країн.
Зазначимо, що випа-
ровування з шкіри люди-
ни і тварин є способом,
за допомогою якого орга-
нізм регулює температуру
тіла. У спеку шкіра потіє
і випаровування поту охо-
лоджує її.
Вправи. 296.1. Чому в
гумовій одежі важко витрима
ти спеку?
296.2. Чому при обмахуванні віялом легше витримувати спеку?
296. 3. Є два однакові за формою і розмірами стакани — один метале-
вий, а другий фарфоровий. У стакани наливають однакову кількість води і
залишають їх надовго в кімнаті. Чи однакова температура води в стаканах?
Сніг
з .сіллю
§ 297. Зміна внутрішньої енергії при переході речовини
з рідкого стану в пароподібний. Ми з’ясували, що випаровуван-
ня рідини можливе лише при наявності припливу теплоти до
випаровуваної рідини. Чому це так?
По-перше, при випаровуванні збільшується внутрішня енер-
гія речовини. Внутрішня енергія насичуючої пари завжди біль-
ша за внутрішню енергію рідини, з якої ця пара утворилася.
Внутрішня енергія речовини при випаровуванні без зміни температури
збільшується в основному завдяки тому, що при переході в пару середня
відстань між молекулами збільшується. При цьому зростає їх потенціальна
енергія, бо для того, щоб розсунути молекули на значні відстані, треба за-
тратити роботу на подолання сил притягання молекул однієї до одної.
Крім того, виконується робота проти зовнішнього тиску, бо пара займає
більший об’єм, ніж рідина, з якої вона утворилася. Виконання роботи при
пароутворенні особливо наочно видно, коли уявити собі, що рідина випарову-
508
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
ється в циліндрі і що утворювана пара піднімає легкий поршень (рис. 495),
виконуючи при цьому роботу проти атмосферного тиску. Цю роботу легко
визначити. Зробимо цей розрахунок для води, яка кипить при нормальному
тиску, отже, при температурі 100° С. Нехай поршень має площу 1 дм2 =
= 100 см2. Оскільки нормальний атмосферний тиск дорівнює 1,033 кГІсм2, то
на поршень діє сила 1,033 кГІсм2 • 100 см2, тобто 103,3 кГ. Нехай він піднявся
на 10 см = 0,1 м. Тоді буде виконана робота
10,33
103,3 кГ -0,1 м = 10,33 кГм = д ^7 кал = 24,32 кал.
При цьому утворюється 100 • 10 см3 = 1000 см3 пари. Густина пари при
100° С дорівнює ~ ' л —™

Рис. 495. Утво-
рена пара під-
німає поршень.
При цьому ви-
конується ро-
бота проти си-
ли зовнішнього
тиску.
0,000597 г/см3, тому маса пари дорівнює 0,000597 г/см3 X
X 1000 см3 = 0,597 г. Отже, при утворенні 1 г пари на роботу
24,2
проти зовнішнього тиску затрачено д^ду кал = 40,5 кал.
При випаровуванні 1 г води при 100° витрачається
539 кал (теплота пароутворення). З них 40,5 кал затрачає-
ться, як показує наш підрахунок, на роботу проти зовніш-
нього тиску. Отже, залишок (539 кал — 40,5 кал), що до-
рівнює 498,5 кал, є збільшенням внутрішньої енергії 1 г
пари порівняно з енергією 1 г води.
Як видно, для води більша частина тепла при випа-
ровуванні витрачається на зміну внутрішньої енергії і
лише невелика частина витрачається на виконання зовніш-
ньої роботи.
Вправа. 297.1. Визначити зміну внутрішньої енергії
при випаровуванні спирту, коли відомо, що густина пари
спирту при температурі кипіння дорівнює 0,0016 г!см3.
§ 298. Випаровування при кривих поверхнях рідини.
Дихнемо на який-небудь блискучий металевий предмет
(наприклад, лезо складаного ножа). Ми побачимо, що на
лезо осядуть дрібні краплинки вологи. Потім цей наліт
почне зникати по краях, ніби збігаючи з леза. Ми побачи-
мо, що випаровування відбувається лише біля краю ріди-
ни, тобто там, де рідина має опуклу форму і не оточена
іншими краплинами.
Що ж відбувається в тому випадку, коли рідина має
вгнуту форму (наприклад, угнутий меніск у вузьких капі-
лярах, що є в пористих матеріалах)? У цьому, разі випаровування рідини
утруднене. Це є однією з причин, чому дрова, навіть зовсім «сухі» все-таки
мають значну кількість води (близько 12%), яка міститься в тонких каналах
між волокнами дерева. Відомо, що суха білизна, сухий папір і т. д. також
містять деяку кількість вологи.
Це спостереження показує нам, що швидкість випаровування при тій
самій температурі залежить не тільки від роду рідини, а й від форми її по-
верхні. При опуклій поверхні випаровування відбувається інтенсивніше, ніж
при плоскій, а при вгнутій, навпаки, менш інтенсивно.
Чим це пояснити? Звернемо увагу на те, що при випаровуванні з опук-
лої поверхні (краплина, рис. 496, а) площа її зменшується; навпаки, при випа-
ровуванні з угнутої поверхні (бульбашка всередині рідини, рис. 496, б) площа
її зростає. Але при зміні поверхні змінюється і число молекул, розміще-
них на поверхні, а ми знаємо, що молекули на поверхні мають деяку додатко-
ву енергію порівняно з молекулами всередині рідини. Тому збільшення поверх-
ні рідини зв’язане з затратою додаткової енергії. Це додаткова енергія і
§ 299]
ПЕРЕГРІВАННЯ РІДИНИ
509
повинна бути доставлена при випаровуванні з угнутої поверхні. Тому вгну-
тість поверхні утруднює вилітання молекул за її межі, тобто зменшує випа-
ровування порівняно з плоскою поверхнею.
Навпаки, випаровування опуклої
отже, і запас її поверхневої енергії.
За цей рахунок можуть бути випаре-
ні нові молекули. Отже, опуклість по-
верхні полегшує молекулам вилітан-
ня за її межі, тобто підсилює випаро-
вування порівняно з плоскою поверх-
нею. Звідси випливає, що рівновага
пари і рідини у випадках опуклої,
плоскої і вгнутої поверхонь установ-
люється при різних густинах пари:
найбільша густина пари буде у випад-
ку опуклої поверхні, найменша — у
випадку вгнутої. Чим менший радіус
поверхні, тим більша різниця.
Якщо для вгнутої поверхні пара
вже є насичуючою, то для плоскої і
особливо для опуклої поверхні наси-
чення ще не можна досягти. Ось чому
при сирій погоді насамперед зволожуються пористі матеріали, які змочують-
краплини зменшує поверхню рідини, а
а
б
Рис. 496. а) Якщо краплина А част-
ково випариться, то її нова поверх-
ня В буде менша від початкової.
б) Якщо рідина частково випарить-
ся всередині бульбашки Л, то поверх-
ня нової бульбашки В буде більша
за початкову.
ся водою.
Навпаки, маленькі краплини з дуже опуклою поверхнею випаровуються
дуже легко. Якщо маленькі краплини розміщені поблизу плоскої поверхні
Рис. 497. Після
довгого кипіння в
колбі залишається
лише одне місце,
від якого час від
часу відокремлю-
ються бульбашки.
води або поблизу великих краплин, то вони випарову-
ються, а утворена пара знову конденсується на великих
краплинах. Отже, великі краплини ніби поглинають ма-
Ю ленькі. Ріст великих краплин за рахунок маленьких лег-
ко спостерігати, розглядаючи в мікроскоп 1 трохи охо-
лоджену скляну пластинку, яка запотіла від дихання
на неї.
§ 299. Перегрівання рідини. Якщо кип’ятити воду в
скляній посудині довго, то можна спостерігати, як посту-
пово змінюватиметься процес кипіння. Число місць на
стінках посудини, від яких відокремлюються бульбашки
з парою, з часом зменшується. Нарешті, залишаються
лише одне або два такі місця (рис. 497), але й від них
бульбашки відриватимуться дедалі рідше. Ці рідкі буль-
башки, відриваючись від стінки, негайно швидко збільшу-
ються в розмірах, що супроводиться різкими звуками,
ніби всередині рідини відбуваються невеликі вибухи.
Якщо в рідину занурено термометр, то він показує поміт-
не (на 1—2° С) підвищення температури порівняно з по-
чатковою температурою кипіння.
Як пояснити цю зміну? Ми вже з’ясували (§ 294),
що обов’язковою умовою стійкості бульбашки пари все-
редині рідини є наявність у ній повітря, тиск яко-
го при збільшенні діаметра бульбашки зменшується. Коли все повітря з
бульбашки вийде, стійка рівновага бульбашки неможлива. Щоб зрозуміти це,
уявимо собі, що в рідині випадково утворилась маленька бульбашка, яка мі-
1 Збільшення в 50—100 раз.
510
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
стить лише пару. Оскільки бульбашка дуже мала, то, як було показано в
попередньому параграфі, тиск у ній помітно менший, ніж тиск пари поблизу
плоскої поверхні рідини тієї самої температури. А ще раніше (§ 255) ми з’ясу-
вали, що рівновага можлива лише тоді, коли тиск усередині бульбашки біль-
ший, ніж тиск рідини. Внаслідок цього бульбашка, яка містить лише пару,
просто не може утворитися всередині рідини, якщо температура не дуже ви-
сока.
Проте оскільки тиск пари при підвищенні температури зростає, як ми
бачили, дуже швидко, то при досить високій температурі бульбашка, яка мі-
стить лише пару, незважаючи на несприятливі для її росту умови, все-таки
може утворитися. Як тільки радіус її почне збільшуватись, додатковий тиск
води, про який ішла мова в § 255, почне зменшуватись (нагадаємо, що він
дорівнює 2о //?), а тиск пари в бульбашці почне збільшуватись. Цим і зумов-
люється таке різне «вибухове» збільшення бульбашки пари, коли в ній немає
повітря.
Отже, наявність у рідині бульбашок повітря є необхідною умовою спо-
кійного кипіння без викидання рідини. У звичайній кухонній посудині є багато
бульбашок повітря в тріщинах та в інших дефектних місцях внутрішньої по-
верхні посудини (особливо при наявності накипу). У хімічних лабораторіях,
де часто кип’ятять рідини в скляних посудинах, стінки яких не мають вад, у
посудини кладуть пористі фарфорові кульки, які довго зберігають у своїх
порах повітря; при наявності кульок рідина кипить спокійно.
б
а
Рис. 498. а) У склянку нагнітають по-
вітря. б) Коли виймають пробку, у
склянці виникає туман.
§ 300. Пересичення пари. Вивчаючи властивості насичуючої пари, ми вста-
новили (§ 293), що кожній температурі при звичайних умовах відповідають
певні густина і тиск насичуючої пари.
Якщо в деякому об’ємі є пара якої-
небудь рідини, наприклад води, то в
звичайних умовах зниження темпера-
тури призведе до того, що пара набли-
зиться до станів насичення, а потім
почне конденсуватися, осідаючи у
вигляді рідини на стінках і на деякій
відстані від них утворюючи краплинки
туману. Однак легко виявити, що ту-
ман при охолодженні пари в одних
випадках утворюється густий, в ін-
ших — рідкий, а при деяких умовах
може зовсім не утворитись.
Виконаємо такий дослід. Випліс-
немо в товстостінну скляну посудину
кілька краплин води і накачаємо в
неї насосом повітря1 (рис. 498). При
цьому, як ми знаємо, повітря в посу-
дині нагріється. Почекавши кілька хвилин, щоб повітря в посудині набуло
кімнатної температури, відкриємо її. Ми побачимо, що в посудині утвориться
слабкий туман. Причина цього така. При відкриванні посудини повітря в ній
розрідилось і охолодилось. Це охолодження призвело до того, що пара води
в посудині дійшла до насичення і конденсувалась.
Кинемо в посудину запалений сірник. Він потухне, залишивши в ній не-
помітний на погляд дим. Якщо ми тепер повторимо дослід, то побачимо, що
посудина після відкупорювання наповниться туманом, значно густішим, ніж
раніше.
1 Небагато, бо банка може лопнути.
$ ЗО!] НАСИЧЕННЯ ПАРИ ПРИ СУБЛІМАЦІЇ 511
Отже, при наявності частинок диму утворення туману в повітрі полегшу-
ється. Частинки диму є центрами, навколо яких починається конденсація
пари (ядра конденсації). Тому при наявності диму при однакових інших умо-
вах виникає більше краплинок туману, ніж при відсутності його.
Якщо повітря в посудині старанно очистити від пилу (наприклад, філь-
труючи його крізь вату) або, ще краще, осадити наявний пил на дно, спри-
чинюючи багато разів конденсацію пари в посудині, то туман не виникне при
відкупорюванні посудини з стисненим повітрям навіть при охолодженні до
значно нижчої температури, при якій досягається насичення. У цьому разі
утворюється пересичуюча пара, тобто пара, тиск якої вищий, ніж це відпо-
відає тиску насичуючої пари при даній температурі.
Чому ж при відсутності частинок пилу утворення краплин утруднене?
Інакше кажучи, чому для утворення краплин потрібні ядра конденсації?
Щоб пояснити це, пригадаємо, що тиск пари навколо малих краплин
значно більший, ніж навколо плоскої поверхні. Це веде до того, що малі кра-
плини дуже легко випаровуються (§ 298). Така властивість малих краплин
і є причиною утруднення конденсації при відсутності пилинок. Справді, нехай
у чистому повітрі де-небудь випадково утворилося скупчення молекул пари
і утворилась краплинка. Ця краплинка швидко випариться знову.
Не те буде, коли в повітрі є пилинки, що складаються з речовин, які змо-
чуються водою і добре розчиняються в ній. Молекули водяної пари, потра-
пивши на таку речовину, вдержуються на ній силами зчеплення. Як тільки
на таку пилинку осяде пара води, відразу утворюється краплинка досить
великих розмірів. Тиск пари навколо неї лише дуже мало відрізнятиметься
від тиску пари біля плоскої поверхні, і краплина зростатиме при дуже малому
пересиченні.
В атмосфері ядрами конденсації є найчастіше дуже малі крупинки мор-
ської солі, які завжди є в повітрі. Немалу роль відіграє також дим.
Вправа. 300. 1. Статистика показує, що поблизу промислових центрів
тумани у вихідні дні слабкіші, ніж у робочі. Поясніть це.
§ ЗОЇ. Насичення пари при сублімації. Ми вже говорили (§ 288), що всі
тверді тіла тією або іншою мірою випаровуються. У цьому випадку також
можна розглядати рівновагу системи тверде тіло — пара, тобто говорити
про насичення. Наприклад, нафталін, поміщений у щільно закупорену банку,
перебуває в рівновазі з своєю парою; при кімнатній температурі тиск наси-
чуючої пари нафталіну становить близько 0,05 мм рт. ст. У багатьох твердих
речовин тиск насичуючої пари при кімнатних температурах дуже малий і лише
при високих температурах досягає помітних величин. У вольфраму, з якого
виготовляють волоски нитки електричних ламп розжарювання, тиск пари на-
віть при розжаренні до 2200° С досягає лише 3 • 10~7 мм рт. ст.
Якщо речовина при деякій температурі може існувати і у вигляді кри-
сталів та у вигляді переохолодженої рідини (§ 270), то тиск пари поблизу
переохолодженої рідини завжди більший, ніж поблизу кристала. Це легко
зрозуміти. Внутрішня енергія кристала завжди менша за енергію такої самої
кількості розплаву, взятого при тій самій температурі. Тому різниця між
внутрішньою енергією пари і кристала більша, ніж різниця між внутрішньою
енергією пари і переохолодженої рідини. З цієї причини число молекул у
кристалі, кінетична енергія яких достатня для вильоту за його межі, очевидно,
менше за число молекул у переохолодженій рідині, які можуть вилітати за її
межі. Внаслідок цього тиск пари поблизу переохолодженої рідини є більшим
за тиск поблизу кристалів тієї самої температури.
Найважливішим прикладом цього є вода. У табл. 20 подано тиски наси-
чуючої пари над переохолодженою водою і над льодом, з якої видно, що
різниця цих тисків зростає із зниженням температури.
Наявність різниці тисків пов’язана з нестійкістю системи, яка Хуже часто
512
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVI!
є в атмосфері: краплин переохолодженої води і кристаликів льоду. Водяна
пара дифундує від місця, де її тиск великий (тобто від краплин переохолод-
женої води), до місця, де її тиск малий (до кристаликів льоду). Внаслідок
цього краплини випаровуються і зменшуються в розмірах, а крижинки ростуть.
Ми повернемось до цього питання в розд. XVIII.
Таблиця 20
Тиск насичуючої пари над переохолодженою водою і над льодом
Температура, °С Тиск пари над водою, мм рт. ст. Тиск пари над льодом, мм рт. ст.
0 4,58 4,58
—2 3,96 3,88
-5 3,16 3,01
— 10 2,14 1,95
— 15 1,43 1,24
§ 302. Перетворення газів у рідини. 1 \4и вже знаємо, що
всі рідкі тіла можуть випаровуватись. Одні рідини при деякій
температурі випаровуються
швидко, інші — повільно. При
цьому вони перетворюються в
пару, тобто переходять у газо-
подібний стан. Природно поста-
вити питання, чи можна гази
перетворити в рідкий стан?
Яким способом цього можна
досягти?
Якщо ми маємо ненасичую-
чу пару води або ефіру і стис-
катимемо її, то спочатку її
тиск збільшуватиметься, подіб-
но до того, як це спостерігається для звичайних газів. Проте
тиск збільшуватиметься лише доти, поки не досягне тиску наси-
чуючої пари при температурі досліду. Після цього він вже не
зростатиме, але пара почне згущатися в рідину. Об’єм, в якому
здійснюють стискання, вже не буде заповнений однорідною речо-
виною— газом: виникне межа між речовиною в двох станах —
рідкому і газоподібному.
Ще на початку минулого століття англійському фізику і хімі-
ку Майклу Фарадею (1791 —1867) та іншим дослідникам удалося
таким способом перетворити в рідину ряд речовин, відомих до
цього лише в газоподібному стані. Вони перетворили в рідину
хлор і вуглекислий газ, стискаючи їх при можливо низькій тем-
пературі. На рис. 499 подано пристрій для зрідження хлору, який
був одним з перших успіхів Фарадея. У коліні А запаяної скля-
ної трубки поміщено сухий гідрат хлору. При нагріванні гідра-
ту хлору з нього виділяється газоподібний хлор. Кінець трубки
§ 303]
КРИТИЧНА ТЕМПЕРАТУРА
513
В поміщено в охолодну суміш. У ньому утворюється рідкий хлор.
Для зрідження таких газів, як хлор або вуглекислота, їх треба
стискати значно більше, ніж пару ефіру. Наприклад, щоб при
температурі 20° С перетворити в рідкий стан хлор, потрібний
тиск у 7 атмосфер, а для вуглекислоти — в 60 атмосфер. Це —
тиски їх насичуючої пари при температурі 20° С.
Проте деякі з газів (водень, азот, кисень і т. д.) виявилися
дуже стійкими. Ніякі відомі в часи Фарадея охолодження і тис-
ки в кілька тисяч атмосфер не спричинювали зрідження цих
газів. У чому була причина цих невдач? Розв'язати це питання
вдалося лише після того, коли було докладно вивчено, як густи-
на рідини і її пари залежить від температури і тиску. Виявилося,
що невдача була спричинена не тим, що в той час не вміли ство-
рювати досить великих тисків, а тим, що не вміли створювати
достатнє охолодження.
§ 303. Критична температура. Якщо деяка кількість рідини
розміщена в закритій посудині, то частина рідини випариться
і над рідиною буде наси-
чуюча пара. Тиск, а отже,
і . густина цієї пари зале-
жать для даної рідини
від температури. Як пра-
вило, густина пари знач-
но менша за густину від-
повідної рідини при тій
самій температурі. Якщо
підвищити температуру,
то густина рідини змен-
шиться (§ 198), а тиск і
густина насичуючої пари
збільшаться. У табл. 21
Рис. 500. Залежність густини води і її
пари від температури.
подано густини води і насичуючої водяної пари для різних тем-
ператур (а отже, і для відповідних тисків). На рис. 500 ці самі
дані подано у вигляді графіка. Верхня частина графіка АК пока-
зує зміну густини рідини залежно від її температури. При підви-
щенні температури густина рідини зменшується. Нижня частина
графіка ВК показує зміну густини насичуючої пари залежно від
температури. Густина пари збільшується.
При і = ік густина рідини дорівнює густині пари.
З таблиці видно, що кожній температурі (наприклад, 150° С)
відповідають два стани — пароподібний і рідкий (при 150° С
з густинами 0,00254 гісм3 і 0,92 г[см?).
33 7-103
514
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
(РОЗД. XVII
Таблиця 21
Властивості води і її насичуючої пари при різних температурах
Температура, °С Тиск насичую- чої пари, мм рт. ст. Густина води, г/см3 Густина пари, гісм3 Теплота пароутво- рення, кал{г
15 13 1 0,000073 587
50 92 0,998 0,000083 568
100 760 0,96 0,000597 530
150 3 570 0,92 0,00254 506
200 11 660 0,86 0,00784 464
300 64 450 0,70 0,0469 330
370 15 7700 0,44 0,208 99
374 16 5500 0,32 0,32 0
Ми бачимо, що чим вища температура, тим менша різниця
між густиною рідини і густиною її насичуючої пари. При деякій
температурі (у води при 374° С) ці густини збігаються.
Температура, при якій густини рідини і її насичуючої пари
збігаються, називається критичною температурою даної речови-
ни. На рис. 500 її позначено буквою /к. Відповідна точка графі-
ка є точка К. Тиск, який відповідає точці К, називається кри-
тичним тиском. Критичні температури різних речовин значно
відмінні між собою. Деякі з них подано в табл. 22.
Таблиця 22
Критичні температури і критичні тиски деяких речовин
Речовина Критична темпера- тура, °С Критичний тиск, ат
Ртуть 1700 близько 1600
Вода 374 218,5
Спирт етиловий 243 62,7
Ефір 197 35,8
Хлор 146 76
Вуглекислий газ ЗІ 73
Кисень — 118 50
Азот — 146 33
Водень —240 12,8
Гелій —268 2.26
Про що свідчить існування критичної температури? Що буде
при ще вищих температурах?
Дослід показує, що при температурах, вищих, ніж критична,
речовина перебуває лише в газоподібному стані; при цих темпе-
ратурах немає двох станів речовини. Якщо ми зменшуватимемо
§ 303)
КРИТИЧНА ТЕМПЕРАТУРА
515
при жодному тиску.
Рис. 501. Прилад для
спостереження кри-
тичного стану ефіру.
об’єм, зайнятий парою, при температурі, вищій за критичну, то
тиск пари зростає, але вона не стає насичуючою і продовжує
залишатися однорідною: який би великий не був тиск, ми не
матимемо двох станів, відокремлених різкою межею, як це завж-
ди спостерігається при нижчих температурах внаслідок конден-
сації пари. Отже, якщо температура якої-небудь речовини вища
за критичну температуру, то рівновага речовини у вигляді ріди-
ни і пари, яка стикається з нею, неможлива
Критичний стан речовини неважко спо-
стерігати. На рис. 501 подано простий при-
лад, призначений для цієї мети. Він скла-
дається із залізної коробки з вікнами, яку
можна нагрівати до 200° С і вище («повіт-
ряна баня»), і скляної ампули з ефіром,
розміщеної всередині бані. При нагріванні
бані меніск в ампулі піднімається, стає
більш плоским і, нарешті, зникає, що й
свідчить про перехід через критичний стан *.
При охолодженні бані ампула раптово мут-
ніє внаслідок виділення безлічі найдрібні-
ших краплинок ефіру, після чого ефір зби-
рається в нижній частині ампули.
Як видно з табл. 21, у міру наближення
до критичної точки теплота випаровування
стає дедалі меншою. Це пояснюється тим,
що при підвищенні температури зменшуєть-
ся різниця енергій тіла в рідкому і паропо-
дібному станах. Справді, сили зчеплення
молекул у тілі залежать від відстаней між молекулами. Якщо
густини рідини і пари різняться мало, то мало різняться і середні
відстані між молекулами. Отже, при цьому мало відрізнятимуть-
ся і величини потенціальної енергії взаємодії між молекулами.
Другий доданок теплоти випаровування — робота проти зовніш-
нього тиску — також зменшується з наближенням до критичної
температури. Це випливає з того, що чим менша різниця в густи-
нах пари і рідини, тим менше розширення, яке відбувається при
випаровуванні, і, отже, тим менша виконувана при пароутворенні
робота.
1 Треба, звичайно, підібрати таку кількість ефіру, при якій настає кри-
тичний стан, тобто при критичній температурі тиск пари досягає значення
критичного тиску. При недостатній кількості ефіру він весь випариться, не
даючи потрібного тиску: меніск поступово знизиться до дна ампули. При
надлишковій кількості ефіру він розшириться і заповнить всю ампулу раніше,
ніж буде досягнуто критичної температури.
33*
516
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
(РОЗД. XVII
Існування критичної температури вперше визначив у 1860 р.
Дмитро Іванович Менделєєв, російський хімік, який відкрив
основний закон сучасної хімії — періодичний закон хімічних
елементів. Великі заслуги щодо з’ясування цього питання має
Ендрюс, який незабаром після праць Д. І. Менделєєва глибоко
дослідив поводження вуглекислоти (СО2) при ізотермічній зміні
об’єму. Ендрюс показав, що при температурах нижче 31° С
у замкнутій посудині вуглекислота може існувати в рідкому
і газовому станах; при температурі понад 31° С таке існування
неможливе і вся посудина буде наповнена лише газом, як не
зменшувався б його об’єм.
Коли було відкрито критичну температуру, стало зрозуміло,
чому довго не вдавалося перетворити в рідину такі гази, як
кисень або . водень. їх критична температура дуже низька
(табл. 22). Щоб перетворити ці гази в рідину, їх треба охолодити
до температури, нижчої за критичну. Без цього всі спроби їх
зрідження приречені на невдачу.
§ 304. Зрідження газів у техніці. Коли було з’ясовано, що для
зрідження газів потрібне охолодження їх до температури, ниж-
чої за критичну, зусилля дослідників були спрямовані на роз-
робку способів добування низьких температур. Ці умови увінча-
лися успіхом, і тепер ми маємо ряд машин для виробництва
всіх без винятку газів у рідкому вигляді. Ці машини, особливо
машини для зрідження повітря, широко застосовуються в техніці.
Зрідження повітря використовують у. техніці для поділу
повітря на складові частини. Цього досягають при випаровуван-
ні рідкого повітря. При цьому спочатку випаровуються складові
частини повітря, що мають нижчу температуру кипіння: неон,
азот, а потім аргон, кисень. Справа відбувається зовсім так
само, як, наприклад, при відокремленні легше киплячого спирту
від води способом перегонки. Добуті гази широко застосо-
вують: 1) азот — для добування аміаку; 2)' аргон, неон та інші
інертні гази — для наповнення електричних ламп розжарюван-
ня, а також газосвітних ламй;'3) кисень — для ряду цілей: змі-
шуючи його з ацетиленом (або з воднем) і спалюючи цю суміш,
дістають полум’*я,.:іій‘має високу температуру і’ використовуєть-
ся для зварювання-ч^ізання металів (рис. 502). Великого зна-
чення набуває кисневе дуття для прискорення металургійних
процесів; кисень використовують і для медичних цілей.
Крім того, рідкий кисень використовують у вибуховій тех-
ніці. Суміш рідкого кисню з ошурками, сажею, нафталіном та
іншими речовинами, які легко окислюються, являє собою вибу-
хову речовину величезної сили (оксиліквіт). Вона вибухає через
те, що в присутності кисню, який перебуває в рідкому стані і,
§ 304]
ЗРІДЖЕННЯ ГАЗІВ У ТЕХНІЦІ
517
отже, займає малий об’єм, ці речовини згоряють дуже швидко.
При згорянні відбувається значне
утворюються газоподібні (вугле-
кислота), відбувається миттєве і
дуже велике розширення — ви-
бух. Ця вибухова речовина має
ту перевагу, що після випарову-
вання кисню вона перестає бути
небезпечною. У випадку, коли ви-
буху чомусь не сталося, до патро-
на можна через деякий час піді-
йти і виправити недоліки, не тур-
буючись про те, що можеш бути
вбитим.
Машини для добування рідко-
го повітря бувають різних типів.
Ми опишемо тут схему машини,
дія якої грунтується на охоло-
дженні дуже стисненого повітря
при його розширенні (§ 225).
Повітря надходить у компре-
сор А (рис. 503); тут його стиска-
ють до тиску в кілька десятків
атмосфер. При цьому стисканні
воно нагрівається. З компресо-
ра А повітря надходить у тепло-
обмінник С, де воно охолоджуєть-
нагрівання, продукти реакції
Рис. 502. Автогенне зварювання
металів. До пальника, розміщено-
го в правій руці зварювальника,
надходять з балонів по двох труб-
ках кисень і ацетилен; у лівій руці
зварювальника дротина, яка пла-
виться в киснево-ацетиленовому
полум’ї і заливає зварюваний шов.
ся проточною водою до початкової температури і потім іде в
детандер В (розширник). Детандер являє собою циліндр з порш-
нем. У детандері повітря
розширяється. При цьому
воно виштовхує поршень і
виконує роботу. Внутрішня
енергія повітря витрачаєть-
ся на цю роботу, і темпера-
тура його зменшується на-
стільки, що воно конденсу-
ється в рідину; зріджене по-
вітря збирається в посу-
дині £).
Іноді детандери будують
не у вигляді циліндра з
поршнем, а у вигляді турбі-
ни (турбодетандер академі-
ка П. Л. Капіци), в якій газ
Рис. 503. Схема машини для виробницт-
ва рідкого повітря.
518
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
Рис. 504. Розріз
посудини Дью-
ара. Знизу вид-
но кінець труб-
ки, через яку
при виготовлен-
ні посудини ви-
качували повіт-
ря з простору
між стінками і
яку після закін-
чення викачу-
вання спаяли.
розширюється і виконує роботу обертання турбіни. Дуже важ-
ливо, що ротор (обертова частина турбіни) під час роботи маши-
ни «висить» у потоці розширюваного газу, не торкаючись стінок
турбіни. Внаслідок цього відпадає потреба мащення, що дуже
істотно, бо підібрати мастило для частин машин, що працюють
при таких низьких температурах, дуже важко. Звичайні мастила
при низьких температурах тверднуть. Крім того, перевагою ма-
шин для зрідження газів, сконструйованих
П. Л. Капіцею, є їх висока продуктивність при
відносно малих розмірах.
Температура кипіння рідкого повітря дуже
низька. При атмосферному тиску вона дорів-
нює —190° С. Тому рідке повітря у відкритій
посудині, коли тиск його пари дорівнює атмосфер-
ному, кипить, поки температура його не знизить-
ся нижче —190° С. Оскільки навколишні тіла
значно тепліші, то приплив теплоти до рідкого
повітря, якби його зберігали в звичайних посуди-
нах, був би такий значний, що за дуже короткий
строк усе рідке повітря випарувалося б. Тому
його зберігають у спеціальних посудинах, які
добре захищають від доступу теплоти ззовні.
Це — посудини такого самого типу, як звичайні
термоси. Вони являють собою скляні посудини
(іноді металеві) з подвійними стінками (рис. 504),
з простору між якими повітря старанно видалене.
Перехід теплоти крізь такий простір з дуже роз-
рідженим газом надзвичайно утруднений. Щоб
захистити від нагрівання променями внутрішні стінки, порожни-
ни роблять блискучими (посрібленими). Такі посудини для збері-
гання рідкого повітря запропонував Дьюар. У добрій посудині
Дьюара рідке повітря випаровується так повільно, що його мож-
на зберігати 2—3 дні і більше.
Щоб, незважаючи на безперервний, хоч і повільний приплив
теплоти, зріджений газ не нагрівався, він повинен залишатись
у відкритій посудині, щоб мати змогу поступово випаровуватись.
Завдяки затраті теплоти на випаровування зріджений газ зали-
шається весь час холодним. Якщо закупорити посудину Дьюара,
тобто перешкодити випаровуванню, то зріджений газ нагріється
і тиск його пари зросте настільки, що розірве посудину. Якби
посудина була дуже міцною, наприклад стальний балон, подіб-
ний до зображеного на рис. 379, то зріджений газ нагрівся б
поступово до температури вище критичної і перейшов би в газо-
подібний стан. Отже, єдиний спосіб тривалого зберігання
зрідженого газу — це застосування відкритих посудин Дьюара.
§ 305]
ВАКУУМНА ТЕХНІКА
519
§ 305. Вакуумна техніка. Тепер у техніці широко використовуються різ-
ні пустотні (вакуумні) прилади, тобто прилади, які складаються з скляної або
металевої колби, з якої якнайкраще викачано повітря. Це — електричні роз-
жарювальні лампи, радіолампи, фотоелементи, посудини Дьюара і т. д. Дуже
часто також використовують прилади, наповнені інертними газами (наприк-
лад, потужні електророзжарювальні лампи або світні трубки, які використо-
вують для освітлення і реклами). Щоб наповнити їх інертним газом, треба
спочатку викачати повітря. Отже, створилася нова галузь техніки — вакуум-
на техніка. Вона швидко розвивається, бо вакуумні прилади завойовують собі
все нові й нові галузі застосування.
" * ' вакууму використовує сучасна техніка?
З відкачуваної
Які саме способи добування
1) Насамперед насоси,
які видаляють повітря за
допомогою руху твердих ме-
талевих частин, наприклад
поршня. Найбільше пошире-
ний обертовий масляний на-
сос. Будову і дію його опи-
сано в § 171.
2) Для добування дос-
коналішого
ристовукиь насоси
типу. Найбільше поширений
дифузійний, або паростру-
минний, насос, у якому вико-
ристовується пара спеціаль-
них масел, а іноді ртуті.
Такий насос може працюва-
ти лише при умові поперед-
нього викачування повітря
іншим насосом. Попереднє
викачування повітря звичай-
Рис.
Стін охолодної
води
До насоса
низького вакуум)
Прилив
охолодної води
вакууму вико- 4
іншого
505. Ртутний дифузійний насос.
но здійснюють обертовим
насосом. Будову ртутного дифузійного насоса схематично зображено на рис.
505. Він складається з посудини А з робочою рідиною, яку безперервно піді-
гріває пальник або електрична піч. Пара, яка при цьому утворюється, надхо-
дить по трубці Ь у порожнину В, що охолоджується проточною водою. Дія
насоса грунтується на тому, що молекули газу, які надходять по трубці С,
дифундують з об’єму М у порожнину В, заповнену парою, де парціальний
тиск газу менший, ніж в М. Тут молекули газу захоплюються струминою
пари і виносяться нею. Пара конденсується на стінках і стікає назад у посу-
дину А. Газ засмоктується крізь трубку В насосом, що дає попереднє розрід-
ження. Дифузійний насос може працювати тільки тоді, коли досягнуто такого
розрідження, що довжина вільного пробігу молекул пари стала більшою за
діаметр трубки В. Дифузійний насос є одним з найдосконаліших насосів.
При викачуванні повітря з скляних або металевих колб треба вживати
особливих заходів до того, щоб видалити також ті молекули повітря, які
адсорбовані стінками (§ 258). Для цього викачувані посудини (наприклад,
лампи розжарювання) під час викачування нагрівають (до 300—400° С) в
особливих печах. При нагріванні скляних стінок молекули повітря, які при-
липли до них, відскакують і викачуються насосом. Якщо зробити викачуван-
ня, не прогріваючи колби, то через деякий час усередині колби знову з’явиться
газ, і вакуум буде недостатнім.
3) У більшості вакуумних приладів під час їх роботи поступово виділя-
ється газ з їх скляних і металевих частин, незважаючи на попереднє прогрі-
вання. Щоб гази, які виділяються, не перешкоджали роботі приладу, всереди-
ні його поміщають безперервнодіючий газопоглинач. В освітлювальних
520
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
лампах розжарювання газопоглиначем є фосфор, який наносять безпосередньо
на вольфрамову нитку; після попереднього прожарювання лампи він осідає
прозорим шаром на її стінки. У радіолампах звичайно використовують шар
барію, який розпилюють усередині лампи після її відкачування; дзеркальний
наліт барію поглинає гази протягом усього строку служби лампи.
Сучасні вакуумні прилади мають вакуум порядку 1СН8 мм рт. ст. Це
означає, що густина газу в них у мільярди разів менша за густину атмосфер-
ного повітря. Проте неважко підрахувати, що навіть при такому розрідженні
в 1 см3 міститься кілька сотень мільйонів молекул. З цим результатом цікаво
зіставити той факт, що густина речовини в міжзоряному просторі така, що
на 1 см3 припадає не більше сотні молекул.
§ 306. Водяна пара в атмосфері. Кількість водяної пари, яка
міститься в повітрі, має велике значення для процесів, що від-
буваються в атмосфері. Вона дуже впливає на життя рослин
і тварин. Кількість водяної пари в повітрі можна характеризу-
вати за допомогою таких величин:
а) Тиск водяної пари (парціальний, § 239).
Тиск водяної пари в повітрі подають в особливих одиницях:
мілібарах (мб) або в тисячних частках бара. 1 мілібар дорів-
нює 0,75 мм рт. ст. (див. стор. 268).
б) Абсолютна вологість повітря — кількість водя-
ної пари в 1 м3 повітря в грамах.
в) Відносна вологість повітря — відношення тиску
пари, що є в повітрі, до тиску насичуючої пари при тій самій
температурі, подана в процентах.
У табл. 23 подано тиски насичуючої пари води при різних
температурах (в міліметрах рт. ст. і в мілібарах), а також абсо-
лютну вологість повітря при цих температурах.
Таблиця 23
Тиск насичуючої нари води і абсолютна пологість повітря залежно
від температури
Температура, °С Тиск насичуючої пари Абсолютна вологість насичуючої годяної пари, г/м3
мм рт. ст. мб
—40 0,143 0,19 0,18
—ЗО 0,382 0,51 0,46
—20 0,940 1,25 1,08
—10 2,14 2,«6 2,37
0 4,58 6,11 4,86
5 6,10 8,72 6,84
10 9,21 12,27 9,41
15 12,7 17,0 12,8
20 17,5 23,37 17,32
ЗО 31,8 42,43 30,4
40 55,4 73,78 51,1
§ 306]
ВОДЯНА ПАРА В АТМОСФЕРІ
521
Тиск насичуючої пари залежить також від того, де вона роз-
міщена — над поверхнею переохолодженої води чи над поверх-
нею льоду. Над льодом тиск насичуючої пари менший, ніж над
переохолодженою водою при тій самій температурі (§ ЗОЇ). Це
означає, що коли в повітря, яке містить водяну пару поблизу ста-
ну насичення, внести грудочку льоду і краплинку переохолодже-
ної води, то на поверхні льоду почнеться конденсація і він збіль-
шуватиметься в розмірах, а краплинка води випаровуватиметь-
ся і зменшуватиметься. Цей процес має дуже
велике значення при утворенні опадів (§ 311).
Для визначення вологості повітря користу-
ються гігрометром і психрометром.
В
Рис. 506. Волося
ний гігрометр.
1) Волосяний гігрометр зображе-
но на рис. 506. Основна частина приладу —
знежирена людська волосина, що має здат-
ність видовжуватись при збільшенні відносної
вологості повітря. Волосина В накручена на
ролик Р і вдержується в натягнутому стані тя-
гарцем М, При зміні вологості довжина воло-
сини змінюється, ролик Р повертається і рухає
стрілку С. Поділки шкали показують відносну
вологість. Якщо одночасно вимірюють і темпе-
ратуру повітря, то можна визначити абсолют-
ну вологість повітря і тиск водяної пари.
Нехай, наприклад, відносна вологість до-
рівнює 50%, а температура повітря становить
20°. Тоді з табл. 23 знаходимо, що тиск насичу-
ючої пари при температурі 20° дорівнює
23,37 мб, а абсолютна її вологість — 17,32 г/м3.
Отже, тиск (парціальний) водяної пари дорівнює 23,37 мб X
X 0,5 = 11,69 мб, а в 1 м3 повітря міститься 17,32 г X 0,5 =
= 8,66 г води у вигляді пари.
2) Психрометр зображено на рис. 507. Прилад склада-
ється з двох однакових термометрів. Резервуар одного з термо-
метрів А обгорнутий клаптиком чистого батисту, нижній край
якого опущений у невелику скляночку з дистильованою водою.
Вода змочує батист і випаровується на кульці термометра, якщо
водяна пара у повітрі не є насичуючою. Внаслідок втрати- тепла
на випаровування кулька термометра охолоджується і змочений
термометр показує меншу температуру, ніж сухий термометр.
Різниця між показами термометрів тим більша, чим більше від-
різняється тиск водяної пари, що міститься в повітрі, від тиску
насичуючої пари. За показами сухого і змоченого термометрів
і за допомогою особливих психрометричних таблиць знаходять
тиск водяної пари і відносну вологість повітря.
522
ВЛАСТИВОСТІ ПАРИ
[РОЗД. XVII
Рис. 507. Психрометр.
При зниженні температури повітря і при сталому вмісті
водяної пари відносна вологість зростає, бо чим нижча темпе-
ратура повітря, тим ближче водяна пара підходить до стану
насичення. Нарешті, при якійсь певній температурі відносна
вологість дорівнює 100%; дальше зниження
температури веде до конденсації водяної
пари. Виникає туман, «запотівають» вікна,
на траві осідають краплинки роси. Темпера-
тура, при якій пара певного тиску стає на-
сичуючою, або, що те саме, при якій віднос-
на вологість повітря дорівнює 100%, нази-
вається точкою роси. Точку роси легко ви-
значити, повільно охолоджуючи металевий
стакан, наприклад кидаючи в нього грудоч-
ки льоду і записуючи температуру, при якій
стакан запотіває. Існують і спеціальні при-
лади для визначення точки роси, які діють
приблизно за таким самим принципом. Зна-
ючи точку роси, можна визначити тиск водя-
ної пари і вологість повітря — абсолютну
і відносну. Нехай, наприклад, точка роси до-
рівнює 10°, а температура повітря становить
20°. З табл. 23 знаходимо, що при цих умо-
вах тиск водяної пари дорівнює 12,27 мб,
в 1 м3 повітря міститься 9,41 г води у вигляді пари і відносна
вологість повітря дорівнює (12,27 :23,37) • 100 = 52,5%.
Вправи. 306. 1. Яка відносна вологість повітря, якщо в 1 м3 міститься
7,5 г водяної пари, а температура повітря 10° С?
306.2. Яка маса водяної пари в кімнаті об’ємом 115 м3, якщо при 20° С
відносна вологість дорівнює 60%?
306.3. При температурі повітря 15° С відносна вологість дорівнює 55%.
Чи випаде роса, якщо температура повітря зменшиться до 10° С?
РОЗДІЛ XVIII
ФІЗИКА АТМОСФЕРИ
§ 307. Атмосфера. Повітряна оболонка Землі — атмосфера — являє собою
шар повітря, густина якого поступово зменшується в міру віддалення від
поверхні Землі. Вже на висоті близько 50 км тиск повітря в 1000 раз менший,
ніж біля поверхні Землі, так що ще вищі шари атмосфери являють собою
надзвичайно розріджений газ.
Відомості про будову атмосфери були здобуті внаслідок піднімання само-
пишучих приладів на літаках, а також приладів, які було піднято на гумових
балонах, наповнених воднем, і які передавали автоматично по радіо дані про
температуру, тиск і вологість повітря на різних висотах, аж до 40 км. Ці при-
лади називаються радіозондами.
Останнім часом верхні шари атмосфери вивчають за допомогою ракет
і штучних супутників Землі.
В атмосфері розрізняють кілька шарів. Нижній шар товщиною близько
11 км у помірних широтах і 14—17 км у тропічних широтах називається
тропосферою. У цьому шарі повітря зосереджена майже вся водяна пара
атмосфери, у ньому створюються висхідні і низхідні течії повітря, формую-
ться хмари і взагалі відбуваються процеси, що впливають на зміну погоди.
У тропосфері температура повітря зменшується з висотою в середньому на
5—6° на кожний кілометр висоти. Над тропосферою розміщена стратосфера,
яка майже завжди безхмарна. У нижній частині стратосфери, до висоти ЗО км,
температура майже не змінюється і дорівнює приблизно —55°. У вищих шарах
стратосфери температура повітря підвищується, досягаючи найбільших значень
(до 40° С) на висоті 50—60 км. Далі температура знову знижується. Таке під-
вищення температури пов’язане з тим, що на висоті від 15 до 60 км у стра-
тосфері є велика домішка озону, що нагрівається внаслідок поглинання час-
тини ультрафіолетових променів, які випускає Сонце. Над стратосферою, на
висотах понад 80 км, розміщена іоносфера (див. том 111, § 63).
Атмосферне повітря складається з азоту (78,09% за об’ємом), кисню
(20,95%) і аргону (0,93%), до яких завжди домішані в невеликих кількостях
вуглекислий газ, гелій, неон, криптон і ксенон. Внаслідок перемішування в
нижніх шарах атмосфери склад повітря до висот приблизно 100 км майже одна-
ковий. В атмосфері міститься також водяна пара, яка потрапляє туди при
випаровуванні з поверхні морів і материків. Роль водяної пари в явищах,
які відбуваються в атмосфері, дуже велика, хоч її і небагато (звичайно мен-
ше 1%). Конденсація водяної пари дає початок хмарам і опадам, супрово-
диться виділенням великої кількості теплоти; при випаровуванні опадів теп-
лота поглинається.
§ 308. Тепловий баланс Землі. Удень поверхня Землі безперервно нагрі-
вається променями Сонця. Вимірюваннями було встановлено, що поблизу по-
верхні Землі 1 см2 поверхні, яка поглинає всі промені, що падають на неї,
дістає при перпендикулярному падінні променів близько 1 кал за хвилину
524
ФІЗИКА АТМОСФЕРИ
(РОЗД. XVIII
(0,7 квт/м2). Атмосфера частину сонячних променів затримує. Сонячне світ-
ло розсіюється газами атмосфери, частинками пилу, краплинками води, а та-
кож поглинається озоном (у верхніх шарах атмосфери), водяною парою,
вуглекислотою, киснем і пилом. Особливо інтенсивно поглинається ультрафіо-
летова частина спектра, яку випромінює Сонце. Тому з підніманням над поверх-
нею Землі інтенсивність радіації від Сонця зростає і в її складі з’являється
дедалі більша кількість ультрафіолетових променів. На межі атмосфери інтен-
сивність радіації, як показують обчислення, становить 2 кал!см2*хв
(1,4 кет їм2). Ця величина називається сонячною сталою. Кількість енергії,
яка надходить на Землю від Сонця, у десятки тисяч разів більша, ніж люд-
ство використовує для готування їжі, опалення жител, роботи двигунів і т. д.
Рослини також використовують невелику частину цієї енергії (близько 1%),
запасаючи її у вигляді внутрішньої енергії речовин, що входять до складу
зелених частин рослини. Але не вся енергія, що йде від Сонця, поглинається
поверхнею Землі. Значна її частина (близько 42%) відбивається хмарами
і поверхнею Землі, а також розсіюється атмосферою. Близько 15% поглина-
ється атмосферою і лише 43% поглинається поверхнею Землі.
Енергія, поглинута поверхнею Землі, витрачається на випромінювання,
нагрівання повітря, грунту та водних поверхонь і на випаровування.
З неосяжних водних просторів океанів, а також із суші за рік випа-
ровується понад 500 000 км3 води, тобто така кількість води, яка майже
дорівнює кількості води в Чорному морі. На випаровування витрачається
трохи менше половини всієї поглинутої земною поверхнею енергії соняч-
них променів. У дальшому, при конденсації випареної води, така сама кіль-
кість теплоти, яка була затрачена при випаровуванні, виділяється в атмо-
сферу. Це нагріває атмосферу і захищає її від дуже різких знижень темпера-
тури. Далеко не завжди водяна пара конденсується там, де вона утворюєть-
ся. Часто пару переносить вітер на значні відстані, і вона конденсується
в районах, холодніших, ніж ті, де вона випарилась. Цей процес, як і процес
перенесення повітряними течіями теплоти, утвореної ними від нагрітих повер-
хонь, веде до пам’якшення кліматичних умов у холодних районах.
Внаслідок малої теплопровідності тепло, яке затрачається на нагрівання
грунту, поширюється дуже неглибоко — на глибину не більше 25 м. Внаслідок
того, що тепло поширюється дуже повільно, найвищі температури в глибині
грунту спостерігаються не тоді, коли вони були на поверхні грунту, а трохи
пізніше. Так, наприклад, на глибині 2 м максимум температури настає не в
липні, як на поверхні грунту, а в серпні. У морях завдяки перемішуванню води
при утворенні хвиль тепло проникає на великі глибини (сотні метрів).
Частину тепла від Сонця поверхня Землі втрачає внаслідок випроміню-
вання. Але завдяки тому, що в атмосфері є водяна пара це випромінювання
частково поглинається атмосферою, що зменшує втрату тепла Землею.
Як же може бути так, що атмосфера пропускає промені, які йдуть від
Сонця, і затримує випромінювання Землі? До складу випромінювання Сонця
входять як видимі промені, що діють на наше око і називаються світлом, так
і невидимі (ультрафіолетові і інфрачервоні). Земля, як і всяке інше тіло, тем-
пература якого нижча 500—600° С, випромінює в помітній кількості лише
інфрачервоні промені. Земля випромінює, звичайно, і вдень і вночі, але вдень
теплової дії ефекту випромінювання не помітно, бо втрата теплоти через
випромінювання повністю компенсується кількістю теплоти, яка утворюється
при поглинанні променів Сонця. Уночі охолодження земної поверхні зав-
дяки випромінюванню добре помітно. Особливо помітно охолоджуються
внаслідок випромінювання шершаві темні поверхні, наприклад виорана земля,
земля, покрита травою, і т. д. Водяна пара має особливість, що відіграє важ-
ливу роль у розглядуваному явищі. Вона значно більше поглинає інфрачер-
воні промені, ніж видимі. Тому земна поверхня є своєрідною пасткою для
енергії сонячних променів. Видимі промені, енергія яких становить значну
§ 3091
АДІАБАТИЧНІ ПРОЦЕСИ В АТМОСФЕРІ
525
частину енергії сонячного випромінювання (близько 40%), вільно проникають
крізь атмосферу і поглинаються земною поверхнею. За рахунок поглинутої
енергії земна поверхня випромінює інфрачервоні промені, які поглинаються
водяною парою і нагрівають атмосферу,
пература поверхні Землі становила б не
15ЬС, як це спостерігається насправді,
а була б значно нижче нуля. У цьому
розумінні дія водяної пари подібна до
дії стекол, призначених для закривання
парників (рис. 508).
§ 309. Адіабатичні процеси в атмо-
сфері. Досі ми говорили, що атмосферне
повітря може нагріватись або охолод-
жуватись, стикаючись з теплішими або
холоднішими тілами, запозичуючи в них
або віддаючи їм теплоту. Ми згадували
також те, що повітря може само випро-
мінювати і поглинати енергію у вигляді
енергії видимих або невидимих проме-
нів ’. Проте існують і такі процеси, при
яких температура повітря змінюється, хо1
Якби цього не було, то середня тем-
Рис. 508. Теплові промені, які ви-
промінює нагріта земля, не про-
ходять крізь скляну раму пар-
ника.
повітря при цьому не одержує і не
віддає теплоти навколишнім тілам.
Процеси, при яких немає теплообміну з навколишнім середовищем, нази-
ваються, як було зазначено в § 225, адіабатичними. Там же було з’ясовано,
шо при адіабатичному розширенні газ охолоджується, бо при цьому викону-
ється робота проти сил зовнішнього тиску, внаслідок чого внутрішня енергія
газу зменшується. Повітря у висхідному потоці розширюється, бо, піднімаю-
чись, воно потрапляє в області дедалі меншого тиску. Цей процес відбуваєть-
ся практично без теплообміну з навколишніми шарами повітря, які також
піднімаються і охолоджуються. Тому розширення повітря у висхідному потоці
можна вважати адіабатичним. Отже, піднімання повітря в атмосфері супрово-
диться його охолодженням.
Розрахунок і вимірювання показують, що піднімання повітря на 100 м
супроводиться охолодженням приблизно на 1°.
Прояви дії адіабатичних процесів в атмосфері дуже численні і різноманіт-
ні. Нехай, наприклад, повітряний потік на своєму шляху зустрічає високий
гірський хребет і вимушений через це підніматися по його схилах угору.
Висхідний рух повітря супроводиться його охолодженням. Тому клімат гірсь-
ких країн завжди холодніший, ніж клімат найближчих рівнин, і на великих
висотах панує вічний мороз. На горах, починаючи з певної висоти (на Кавка-
зі, наприклад, з висоти 3000—3200 л<)Л сніг вже не встигає танути влітку і
нагромаджується з року в рік у вигляді потужних сніговиків і льодовиків.
Коли повітряна маса опускається, вона стискається і при цьому нагріва-
ється. Якщо повітряний потік, перейшовши через гірський хребет, опускається
вниз, він знову нагрівається. Так виникає фен — теплий вітер, добре відомий
у всіх гірських країнах — на Кавказі, в Середній Азії, у Швейцарії.
По особливому відбувається адіабатичний процес, охолодження у волого-
му повітрі. Коли повітря досягає при своєму поступовому охолодженні точ-
ки роси, водяна пара починає в ньому конденсуватися. Так утворюються най-
1 Енергію поглинають і випромінюють в основному лише водяна пара
і вуглекислий газ, який становить дуже малу частину атмосфери. Інші га-
зи, що входять до складу атмосфери, майже не поглинають і не випроміню-
ють енергії.
526
ФІЗИКА АТМОСФЕРИ
[РОЗД. XVIII
дрібніші краплини води, з яких складається туман або хмара. При конден-
сації виділяється теплота випаровування (§ 295), яка сповільнює дальше
охолодження повітря. Тому потік повітря, який піднімається, охолоджувати-
меться при конденсації пари повільніше, ніж тоді, коли повітря буде зовсім
сухе. Адіабатичний процес, при якому одночасно конденсується пара, нази-
вається волого-адіабатичним.
Вправи. 309.1. Яким є процес розширення повітря в досліді, зображено-
му на рис. 498: 1) коли ядер конденсації багато? 2) коли ядер конденсації
немає?
309. 2. Коли повітря переходить через гірський хребет, то його температу-
ра після цього буде вишою, ніж була на тій самій висоті до переходу. Пояс-
ніть явище.
§ 310. Хмари. Коли
тієї або іншої причини
повітря разом з водяною парою, яка є в ньому, з
охолоджується, водяна пара може конденсуватись
Рис. 509. Краплини хмари.
у вигляді краплинок води або льодяних кристалів. Так утворюються хмари
і тумани. Вони складаються з найдрібніших краплинок води (діаметром від
З до 40 мікронів) або таких самих дрібних частинок льоду (рис. 509 і 510).
Конденсація починається тоді, коли повітря досягає точки роси. Краплини
хмар і туманів такі дрібні, що падають у повітрі надзвичайно повільно, май-
же непомітно. Дуже часто, коли стоїть мороз, тобто при температурі нижче
0°С, ці краплини переохолоджені, тобто залишаються рідкими і не замер-
зають.
Тоді, коли повітря охолоджується внаслідок стикання з холодною поверх-
нею Землі або моря, у приземному шарі повітря утворюється туман. Хма-
ри — це той самий туман, тільки вони виникають у вищих шарах атмосфери.
Ми вже говорили, що коли деяка маса повітря піднімається вгору, то
вона розширюється і охолоджується. У такому охолодженні — основна при-
чина утворення хмар. При потужних повітряних потоках, напрямлених вер-
тикально вгору, утворюються особливо густі, що не просвічують і клубочаться,
білі хмари. Такі хмари називають купчастими. Іноді вони переростають у
високі, висотою в кілька кілометрів, дощові хмари, що мають волокнисту, ніби
розтріпану, верхівку (рис. 511).
Коли висхідний рух в атмосфері дуже повільний (кілька см/сек), але охоп-
лює одночасно величезну масу хмари на протязі багатьох сотень кілометрів.
§ 310]
ХМАРИ
527
Рис. 510. Кристали льоду хмари.
Рис. 511. Грозова хмара.
528
ФІЗИКА АТМОСФЕРИ
[РОЗД. XVIII
утворюються шарувато-дощові хмари, сірі, густі і безформені. Шар таких хмар
іноді має товщину 4—5 км.
В атмосфері може також виникати хвилеподібний рух повітря. У гребін-
цях повітряних хвиль повітря піднімається вгору, і там утворюються окремі
хмарки або хмарові вали, а в проміжках між гребінцями є просвіти (рис.
512). Такі хмари в народі називають «баранцями».
Рис. 512. Хвилясті хмари.
У хмарі більші краплинки можуть стикатися з дрібнішими, бо великі па-
дають швидше і наздоганяють при падінні дрібні. З часом так можуть утво-
рюватись краплини справжнього дощу.
Найчастіше опади (дощ, сніг і т. д.) утворюються в хмарах внаслідок
різного тиску насичуючої водяної пари над водою і льодом (§ ЗОЇ і 306). Це
відбувається так. Припустимо, що в хмару, яка складається з переохолодже-
них краплин, потрапляє частинка льоду. Така система є нестійкою (§ 306)
і внаслідок дифузії водяної пари від краплин до кристалів останні ростуть,
а краплини випаровуються. Так у хмарі виростають великі сніжинки. Вони
поступово випадають з хмари. Якщо вони внизу потрапляють у шар теплішого
повітря з температурою вище 0° С, то можуть розтанути в ньому і випасти
у вигляді краплин дощу.
Сніг, дощ, град і т. д. в метеорології об’єднують загальною назвою «опа-
ди». Кількість опадів визначають, обчислюючи, якої товщини (в сантиметрах)
утворився б шар води на поверхні Землі, якби вода нікуди не стікала і не
випаровувалась. Щоб визначити кількість води, яка міститься в снігу, його
розтоплюють.
Найбільші зливи, які будь-коли спостерігалися в СРСР, давали понад
ЗО см опадів за добу. У центральних областях нашої країни вже 2 см опадів
слід вважати значним дощем. За рік, наприклад, у Москві випадає в сумі
всього 54 см опадів, у дощовій Західній Грузії —до 260 см; в Індії, еквато-
ріальній Африці і на Гавайських островах є місцевості, де річна кількість
опадів досягає 11—12 м.
$ 312]
ВІТЕР
529
§ 311. Штучні опади. Останніми роками було запропоновано і успішно
випробувано кілька способів штучного осаджування хмар і утворення з них
опадів. Для цього в переохолодженій краплинній хмарі з літака розбризкують
дрібні частинки («зерна») твердої вуглекислоти, що має температуру близь-
ко — 70°. Навколо цих зерен у повітрі внаслідок такої низької температури
утворюється безліч дуже дрібних кристаликів льоду. Ці кристалики потім
розсіюються в хмарі внаслідок руху повітря. Вони є тими зародками, на яких
потім ростуть великі сніжинки — точно так само, як було описано вище
(§ 310). У шарі хмар при цьому утворюється широкий (1—2 км шириною)
просвіт уздовж усього шляху, який пройшов літак (рис. 513). Сніжинки, які
утворились при цьому, можуть створити досить великий снігопад.
Рис. 513. Вигляд зверху на шар хмар, серед яких пролетів літак, що
розбризкує частинки твердої вуглекислоти. Чорна межа справа — крило
літака, з якого було зроблено фотознімок. Темна смуга у морі хмар —
результат осідання хмари після розбризкування зерен твердої вуглекис-
лоти.
Само собою зрозуміло, шо таким способом можна осадити лише стільки
води, скільки вже містилося раніше в хмарі. Підсилити процес конденсації
і утворення первинних, найдрібніших хмаринних краплин людина поки шо
не в силі.
§ 312. Вітер. Повітря атмосфери завжди перебуває в русі, більш або менш
швидкому. Рух повітря, напрямлений уздовж земної поверхні (паралельно їй),
називається вітром. Вітер у 3—5 м/сек — слабкий, який лише колихає гілки
дерев, а вітер у 13—15 м/сек — сильний, який заважає пішоходові йти йому
назустріч і піднімає в морі пінясті хвилі.
Крім швидкості вітру, треба визначати також і його напрям: звідки дме
вітер — з півночі, північного сходу і т. д.
Енергія вітру використовується у вітряках і насосах, у вітросилових і
вітроенергетичних установках, за її допомогою рухаються парусні судна. Ви-
користання її вигідніше там, де стійкіші і сильніші вітри. Ці установки най-
краще застосовувати в степовій місцевості, на відкритих берегах морів і т. д.
Повітря рухається від місць, де тиск повітря більший, до тих місць, де
тиск на тому самому рівні менший.
34 7-103
530
ФІЗИКА АТМОСФЕРИ
[РОЗД. XVIII
Відмінності в тиску повітря спричинюються різними причинами. Наприк-
лад, морський бриз виникає внаслідок неоднакового нагрівання поверхні Землі
і води Сонцем, а також різної швидкості їх охолодження вночі. Влітку грунт
на узбережжі нагрівається більше, ніж поверхня моря.
Справді, у порівняно прозорій воді теплота сонячних променів поширю-
ється на значну глибину і зміна температури поверхні буде мала, тоді як
на суші нагрівається лише поверхневий шар грунту, який до того ж має мен-
шу теплоємність (близько 0,2—0,3 кал/град). Повітря над сушею нагріваєть-
ся більше, ніж над водою, і піднімається вгору, бо його густина менша, ніж
густина навколишнього холодного повітря. Внаслідок цього тиск біля Землі
зменшується і до місця зниженого тиску припливає холодніше повітря з моря.
Такий потік і називається денним бризом. Уночі спостерігається зворотне яви-
ще: суша, прогріта за день лише в тонкому шарі, охолоджується швидше,
ніж вода; охолоджується і збільшує свою густину і повітря над сушею; так
виникає вітер від берега до моря.
Аналогічне походження вітрів, які змінюються від літа до зими і нази-
ваються мусонами. В Азії влітку температура повітря може перевищувати
50° С і тиск повітря значно. зменшується. Внаслідок цього потужний потік
холоднішого повітря з грозами І зливами вривається з моря наприкінці трав-
ня або на початку червня в Індію. Взимку над Сибіром і Центральною Азією
тиск повітря зростає і холодне повітря тече звідти на схід—на Японське і
Жовте моря і на південь — до берегів Індійського океану. Аналогічні мусони,
що змінюються, спостерігаються, наприклад, над Африкою.
Вітри, які охоплюють значні ділянки Землі, ніколи не дмуть прямо в
напрямі від великого тиску до малого. Можна довести, що всі тіла, які руха-
ються по поверхні Землі, внаслідок її обертання дістають прискорення впра-
во в північній півкулі і вліво в південній (сила Коріоліса, § 136). Це стосуєть-
ся і рухомого повітря. Внаслідок цього повітря, яке стікає до області зни-
женого тиску, закручується (в північній півкулі) проти стрілки годинника
(циклон), а повітря, яке розтікається від місць підвищеного тиску,— за стріл-
кою годинника (антициклон).
Іноді великі різниці тисків виникають на значній висоті; тоді на цій
висоті з’являються сильні вітри (до 130 м/сек), які називаються струминними
течіями, хоч на рівні землі в цей час вітру може й не бути. Звичайно це вузькі
смуги вітрів; вони спостерігаються взимку у високих широтах на висоті 3 —
4 км, над Японським і Охотським морями — на висоті 7 км, а також влітку
над півднем СРСР — Кавказом і Середньою Азією. У струминних течіях
утворюються високі, напівпрозорі хвилясті хмари. їх швидкі рухи і мінли-
вість показують, які великі швидкість, потужність і поривчастість струминної
течії.
§ 313. Завбачення погоди. Ми бачили, як різноманітні фізичні явища в
атмосфері визначають погоду, тобто ведуть до виникнення вітру, утворення
хмар, випадання опадів і т. д. Внаслідок винятково великого значення погоди
для найрізноманітніших галузей людської діяльності (сільського господарства,
мореплавання, авіації і т. д.) дуже важливо мати надійні прогнози погоди,
уміти завбачувати погоду.
Способи завбачення погоди, які грунтуються на спостереженні місцевих
прикмет, дійшли до нас ще з сивої давнини. Місцеві прикмети погоди мо-
жуть мати фізичний характер (випадання роси, вигляд неба на заході) або
стосуватися живих істот (ревматичні болі перед негодою, характер польоту
комах і птахів).
Процеси, які визначають погоду, охоплюють величезні рухливі маси повіт-
ря різної температури і вологості, що сягають над значними ділянками поверх-
ні Землі; місцева погода і її зміна визначаються станом атмосфери не лише
в даному пункті, а й на відстані від нього. Тому, хоч місцеві прикмети і грун-
§ 313]
ЗАВБАЧЕННЯ ПОГОДИ
531
туються на уважному спостереженні погоди, проте вони недостатні для надій-
ного прогнозу і не можуть замінити фізичного методу розв’язування склад-
ного питання завбачення погоди.
Такий метод полягає в складанні результатів величезної кількості систе-
матичних спостережень властивостей атмосфери, виконуваних у різних точ-
ках Землі Для цього скрізь, не тільки в населених пунктах, а й у пустинях
та інших місцях, які люди-
на рідко відвідує (у тому
числі й на полюсах Землі),
будують метеорологічні
станції. На таких станціях
щодня в певний час доби
вимірюють найважливіші фі-
зичні величини, які характе-
ризують стан атмосфери:
тиск повітря, температуру,
вологість, кількість опадів,
швидкість і напрям вітру
і т. д. Ці відомості переда-
ють телеграфом або по ра-
діо, так що кожна країна
може користуватися даними
не лише своїх станцій, а й
станцій усієї земної кулі.
Спираючись на багаторічний
досвід вивчення таких зве-
день, удається робити про-
гнози значно точніше, ніж
на підставі лише місцевих
прикмет. Крім того, такий
спосіб дає змогу робити про- _
гноз відразу для великої Рис. 514. Вигляд хмарного покриву Землі
території. Ще кращі резуль- 3 космосу.
тати будуть, коли не обме-
жуються якісними зіставленнями добутих відомостей, а користуються ними як
вихідними даними для кількісного розрахунку процесів, що відбуваються
в атмосфері. Закони протікання цих процесів дуже складні, а потрібні обчис-
лення надзвичайно трудомісткі; щоб мати прогноз досить швидко для прак-
тичних цілей, треба користуватися швидкодіючими електронно-обчислювальни-
ми машинами.
Для підвищення точності прогнозів дуже важливо знати загальний виг-
ляд хмарності над усією Землею. Недавно для добування таких даних почали
вивчати атмосферу, спостерігаючи її з космосу; зображення хмарного покри-
ву передаються на Землю з штучних супутників Землі за допомогою телевізій-
них камер.
Одне таке телевізійне зображення, передане з американського супутника
Землі, подано на рис. 514. Вихрова спіралеподібна будова хмар свідчить про
потужний циклон, який охопив величезну площу (до 2000 км у поперечнику).
34* 7-юз
РОЗДІЛ XIX
ТЕПЛОВІ МАШИНИ1
§ 314. Умови, які потрібні для роботи теплових двигунів. Най-
простішою машиною, за допомогою якої люди давно використо-
вували енергію випромінювання Сонця для виконання роботи,
є вітряки (вітряні двигуни). Обертання крил двигуна, що при-
водить у рух вал, який виконує яку-небудь задану роботу, вини-
кає ПІД ДІЄЮ вітру. Для виникнення вітру потрібна різниця ТИС-
КІВ1, а ця остання виникає внаслідок відмінностей у температурі
різних частин атмосфери. Вітер є не що інше, як конвекційний
рух атмосфери, зумовлений нерівномірним її нагріванням. Отже,
?нергія, яка надходить від Сонця, може бути використана для
виконання роботи у вітряному двигуні лише при умові, що є різ-
ниця температур окремих частин атмосфери, яка створюється
припливом променистої енергії від Сонця і частковим відтікан-
ням її в світовий простір. Установлено, що безперервне або
періодичне повторюване виконання роботи за рахунок охолод-
ження тіл може спостерігатися лише тоді, коли машина, яка
виконує роботу, не тільки дістає теплоту від якогось тіла (це
тіло називають нагрівником), а разом з тим віддає її іншому
тілу (охолоднику).
Таким чином, при цьому на виконання роботи витрачається
не вся теплота від нагрівників, а лише її частина; решту тепло-
ти забирають охолодники.
Машини, які виконують механічну роботу внаслідок обміну
теплотою з навколишніми тілами, називаються тепловими двигу-
нами. У більшості таких машин, що працюють тепер, нагрівання
здійснюється при згорянні палива, завдяки чому нагрівник
дістає досить високу температуру. У цих випадках робота вико-
нується за рахунок використання внутрішньої енергії суміші
палива з киснем повітря. Крім того, існують машини, в яких
1 У цьому розділі слово машина вживається в розумінні «двигун» — при-
стрій, який створює роботу з теплової енергії, тоді як раніше ми говорили
про прості машини, розуміючи під ними механізми, які передають роботу.
§ 315]
ПАРОСИЛОВА СТАНЦІЯ
533
нагрівання здійснює Сонце, а також проекти машин, які вико-
ристовують різницю температур морської води. Проте поки що
ні ті ні другі не мають помітного практичного значення. Тепер
експлуатуються також теплові машини, що використовують
теплоту, яка виділяється в реакторі, де відбувається розщеплен-
ня і перетворення атомних ядер (докладніше про це див. т. III).
§ 315. Паросилова станція. Найстарішим з типів теплових
двигунів, які застосовуються сучасною технікою, є паровий два-
Рис. 515. Схема устаткування паросилової станції.
гун. Як показує назва, цей двигун виконує роботу за допомо-
гою пари. У величезній більшості випадків — це водяна пара,
але можливі машини, які працюють і на парі інших речовин
(наприклад, ртуті). Парові двигуни поділяються на турбіни
і поршневі двигуни. Парові турбіни встановлюють на потужних
електричних станціях і на великих кораблях. Поршневі двигу-
ни, які звичайно називаються паровою машиною, були винайдені
приблизно на 100 років раніше, ніж парові турбіни (наприкінці
XVIII ст.). Тепер їх широко застосовують лише в залізничному
і водному транспорті (паровози і пароплави).
Для роботи парового двигуна потрібний ряд допоміжних
машин і пристроїв. Усе це господарство разом називається паро-
силовою станцією (рис. 515). На паросиловій станції весь час
циркулює та сама вода. Вона перетворюється в пару в котлі,
пара виконує роботу в турбіні (або в поршневому двигуні) і зно-
ву перетворюється у воду в барабані, який охолоджується про-
точною водою (конденсатор). З конденсатора утворена вода за
допомогою насоса через збірний бак (збірник) знову надходить
534
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
[РОЗД. XIX
у котел. Таким чином, кругообіг води відбувається за такою
схемою (див. рис. 515):
котел------► турбіна----->- конденсатор
| або поршнева машина |
нагнітальний •*- збірник •<-відсмоктувальний
насос насос
У цій схемі топка парового котла є нагрівником, а конденса-
тор — охолодником.
Оскільки в установці циркулює майже та сама вода (витікан-
ня пари невелике і добавляти свіжої води майже не доводиться),
то в котлі майже не утворюється накипу, тобто розчинені у воді
солі не осідають. Це важливо, бо накип погано проводить тепло
і зменшує коефіцієнт корисної дії котла. Якщо накип виникає на
стінках котла, його видаляють.
У наступних параграфах ми розглянемо частини паросилової
станції окремо.
§ 316. Паровий котел. Він складається з топки і власне котла.
Вугілля або дрова спалюють у топці на колосникових решітках.
Рідке паливо спалюється
в розпиленому стані; роз-
пилення звичайно здій-
снюють за допомогою па-
ри у форсунках (рис.
516).
Котел складається з
труб, крізь стінки яких
Рис. 516. Схема будови форсунки. Пара
або стиснене повітря, вириваючись з вузь-
кого отвору в трубці, засмоктує рідке паль-
не і розбризкує його (див. пульверизатор,
§ 182).
теплота від гарячих топ-
кових газів передається
воді. Іноді вода розміще-
на зовні труб, а по трубах
рухаються топкові гази
(вогнетрубний котел, ди-
могарні труби). Іноді, навпаки, вода міститься всередині труб,
а гарячі гази обмивають їх (водотрубний котел, рис. 517).
У багатьох парових котлах пара перегрівається в особливих
змійовиках, які обмиваються гарячими газами. При цьому вона
з насичуючої перетворюється в ненасичуючу. Цим досягають
зменшення конденсації пари (на стінках паропроводів і в турбі-
ні) і підвищення к. к. д. станції.
На котлі є манометр для спостереження за тиском пари
і запобіжний клапан, який випускає пару тоді, коли її тиск пере-
вищить допустиму величину. На дні барабана є пристрої для
спостереження за рівнем води в котлі (водомірне скло). Якщо
§ 317]
ПАРОВА ТУРБІНА
535
рівень води опуститься настільки, що полум’я нагріватиме стінки
котла в тих місцях, де
може вибухнути.
Енергія гарячих топ-
кових газів передаєть-
ся воді в котлі не вся.
Частина її розсіюється
в котельній, частина ви-
носиться з газами в ди-
мову трубу. Крім того,
значну втрату може да-
ти неповне згоряння
палива. Ознакою цього
є чорний дим з труб
станції. Чорного кольо-
ру надають диму кру-
пинки незгорілого ву-
гілля.
вони не стикаються з водою, то котел
Рис. 517. Схема будови водотрубного котла.
Б — барабан котла, В — водотрубна частина,
В. ск. — водомірне скло, П — перегрівник, Т —
труба для подавання води в котел, Пд — під-
дувало, 3. к. — запобіжний клапан, 3 — заслін-
ка в борові.
Вправа. 316.1. Чому
стикання полум’я з тими
частинами стінок котла, де
вони не обмиваються во-
дою, може призвести до ви-
буху котла.
§ 317. Парова турбіна. З котла пара паропроводом ш над-
ходить у турбіну або в поршневу машину. Розглянемо спочатку
турбіну (рис. 518,а). Турбіна складається з залізного циліндра,
всередині якого є вал із закріпленими в ньому робочими колеса-
ми Ь. На робочих колесах встановлено особливі зігнуті лопаті
(рис. 518,6 і рис. 519, де подано одне з робочих коліс із соплом).
Між робочими колесами розміщені сопла або напрямні лопаті.
Пара, вириваючись з проміжків між напрямленими лопатями,
потрапляє на лопаті робочаго колеса. Робоче колесо при цьому
обертається, виконуючи роботу. Причини обертання колеса
в паровій турбіні такі самі, як і причини обертання водяної тур-
біни, розглянутої в § 184. Усередині турбіни пара розширюється
і охолоджується. Входячи в турбіну по вузькому паропроводу,
вона виходить з неї по дуже широкій трубі (рис. 518, а).
Зазначимо, що турбіна може обертатись лише в одному
напрямі і швидкість обертання її не може змінюватись у широ-
ких межах. Це в багатьох випадках утруднює застосування паро-
вих турбін (на транспорті), але дуже зручно для обертання
електричних генераторів.
Дуже важливою для електричних станцій є можливість буду-
вати турбіни на величезні потужності (до 100 000 кет і більше),
536
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
[РОЗД. XIX
Свіжа
Рис. 518. а) Схема будови парової турбіни, б) Розміщення напрямних
лопатей (а) і робочих лопатей (б), закріплених на валі турбіни.
Рис. 519. Лопаті на робочому колесі
парової турбіни.
§ 318]
ПОРШНЕВА ПАРОВА МАШИНА
537
які значно перевищують максимальні потужності інших типів
теплових двигунів. Це зумовлено рівномірністю обертання вала
турбіни. Під час роботи турбіни немає поштовхів, які спостері-
гаються в поршневих машинах під час руху поршня вперед
і назад. Внаслідок цього можна збільшувати потужність турбіни,
не дуже збільшуючи її міцність.
§ 318. Поршнева парова машина. Основи конструкції порш
невої парової машини, винайденої на рубежі XVII і XVIII ст. 1
в основному збереглися до наших
днів. У свій час парова машина
дала техніці, яка до того майже
не знала машин-двигунів, новий
потужний засіб розвитку. Тепер
вона частково витіснена іншими
типами двигунів. Проте в неї є
свої переваги, які змушують іноді
надати їй перевагу перед турбі-
ною. Це — простота користування
нею, можливість змінювати швид-
кість і давати задній хід.
Будову парової машини пока-
зано на рис. 520. Основна її час-
тина — чавунний циліндр Л, в
якому ходить поршень В. Поряд з
циліндром розміщений паророз-
подільний механізм. Він склада-
ється з золотникової коробки, яка
з’єднана з паровим котлом. Крім
котла, коробка за допомогою от-
вору О сполучена з конденсато-
ром (у паровоза найчастіше через
димар — з атмосферою) і з ци-
ліндром за допомогою двох вікон
ЛІ і N. У коробці розміщений зо-
лотник 7, який рухається спеці-
альним механізмом за допомогою
Рис. 520. Будова циліндра і золот-
никової коробки парової машини.
а) Пара входить у циліндр зліва.
б) Пара входить у циліндр спра-
ва.
1 Ф. Енгельс говорить, що «парова машина була першим дійсно інтер-
національним винаходом» (К. Маркс і Ф. Енгельс, Твори, т. 20, стор.
402). Енгельс згадує Папена (француз), Лейбніца (німець), Севері і Ньюко-
мена (англійці), а також Уатга (англієць), який надав «паровій машині
в принципі її сучасного вигляду». Енгельсу в той час не були відомі мате-
ріали про відомого російського гірничого інженера Івана Івановича Ползуно-
ва (1728—1766), який працював на Уралі і в Сибіру, і який на 21 рік рані-
ше від Уатта створив свою парову машину.
538
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
[РОЗД XIX
тяги £ так, що коли поршень рухається вправо (рис. 520, а) г
ліва частина циліндра через вікно М сполучається з паровим
котлом, а права — через вікно N з атмосферою. Свіжа-пара вхо-
дить у циліндр зліва, а спрацьована — виходить з правої частини
циліндра в атмосферу. Потім, коли поршень рухається вліво
(рис. 520, б), золотник пересувається так, що свіжа пара входить
у праву частину циліндра, а спрацьована — виходить з лівої
частини в атмосферу.
Рис. 521. Схема поверхневого конденсатора. Спра-
цьована пара проходить повз труби, по яких проті-
кає холодна вода. Пара конденсується. Утворений
конденсат відсмоктується від конденсатора по трубі,
показаній знизу.
Пара подається в циліндр не весь час ходу поршня, а лише
на початку його ходу. Після цього внаслідок особливої форми
золотника пара відсікається (перестає подаватися в циліндр),
і, розширюючись та охолоджуючись, виконує роботу. Відсікання
пари дає велику економію енергії.
На паровозах звичайно встановлюють два циліндри (іноді
більше). Пара надходить спочатку в один циліндр, а потім у дру-
гий. Оскільки пара в першому циліндрі розширюється, то діа-
метр другого циліндра значно більший, ніж першого. На паро-
возах звичайно встановлюють вогнетрубні котли; є паропере-
грівник.
Досі будували паровози, які випускали пару в атмосферу. На
нових потужних паровозах ставлять конденсатори, і пара в них
циркулює так само, як і в паросиловій станції.
§ 320]
К К. Д. ТЕПЛОВОГО ДВИГУНА
539
Вправа. 318. 1. Який середній тиск пари в циліндрі парової машини,
якщо хід поршня 40 см, площа поршня 250 см2 і потужність машини при
120 обертах за хвилину дорівнює 21 к. с.? Взяти до уваги, що при одному
оберті вала машина робить два ходи,
§ 319. Конденсатор. Як було зазначено в § 315, після турбіни
або поршневої машини пара надходить у конденсатор, який
відіграє роль охолодника. У конденсаторі пара повинна згусти-
тись у воду. Але пара конденсується у воду лише тоді, коли вида-
ляється теплота випаровування, яка виділяється під час конден-
сації. Це роблять за допомогою холодної води. Наприклад, кон-
денсатор може бути побудований у вигляді барабана, прониза-
ного трубами, які наповнені проточною холодною водою
(рис. 521).
У конденсаторах тиск пари звичайно значно менший від
атмосферного (0,02—0,03 кГ/см2).
Воду, яка утворилася з пари (конденсат), і повітря, яке про-
никло разом з нею, викачують з конденсатора особливим
насосом.
§ 320. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна. Призначен-
ня теплового двигуна — виконувати механічну роботу. Ми вже
зазначали (§ 314), що лише частина теплоти, одержаної двигу-
ном, витрачається на виконання роботи. Відношення механічної
роботи, яку виконує двигун, до витраченої енергії називається
коефіцієнтом корисної дії двигуна (скорочено к. к. д.).
Розглянемо питання про облік енергії, яка витрачається
в двигуні. Звичайно це енергія суміші: паливо — кисень повітря,
її легко оцінити, коли відомі кількість палива і його калорій-
ність, тобто кількість тепла, яка виділяється при повному зго-
рянні 1 кг палива.
Калорійність різних сортів палива визначають, спалюючи
невелику порцію палива в закритій посудині, поміщеній у кало-
риметр. Калорійність різних сортів палива подано в табл. 24
(числа округлені).
Таблиця 24
Калорійність різних сортів палива
Паливо
КнуЛаЛ/ КИ
Гас . . .
Бензин .............
Вугілля кам’яне .
в буре
Дерево............
10500
11000
7 000—8 000
5 000
3000
540
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
(РОЗД. XIX
Розглянемо приклад. Нехай у двигуні спалено 3 кг бензину.
Енергія, яка виділилася при цьому, дорівнює 11 000 ккал/кг X
X 3 кг - 33 000 ккал = 33 000 X 427 кГм = 14 100 000 кГм.
Якщо при витрачанні 3 кг бензину двигун виконав роботу
З000 000 кГм, то його к. к. д. = = 21 %.
§ 321. Коефіцієнт корисної дії паросилової станції. Енерге-
тичний баланс паросилової станції з турбіною подано на
рис. 522. Він є приблизним, к. к. д. паросилової станції може
Рис. 522. Приблизний енергетичний баланс паро*
турбінної станції. Заштрихована плота показує
добуту корисну роботу.
бути й більшим (до 27%). Втрати енергії, які бувають при робо-
ті паросилової станції, можна поділити на дві частини. Частина
втрат зумовлена недосконалістю конструкції і її можна зменши-
ти, не змінюючи температури в котлі і в конденсаторі. Напри-
клад, забезпечивши досконалішу теплову ізоляцію котла, можна
зменшити втрати теплоти в котельній.
Друга, значно більша частина — втрата теплоти, переданої
воді, яка охолоджує конденсатор, при заданих температурах
у котлі і в конденсаторі цілком неминуча. Ми вже зазначали
(§ 314), що умовою роботи теплового двигуна є не тільки добу-
вання деякої кількості теплоти від нагрівника, а й передавання
частини цієї теплоти охолоднику.
§321)
к. К. Д. ПАРОСИЛОВОЇ СТАНЦІЇ
541
Великий науковий і технічний досвід щодо побудови тепло-
вих двигунів і глибокі теоретичні дослідження, які стосуються
умов роботи теплових двигунів, установили, що к. к. д. тепло-
вого двигуна залежить від різниці температур нагрівника і охо-
лодника. Чим більша ця різниця, тим більший к. к. д. може мати
теплосилова установка (звичайно, при умові усунення всіх тех-
нічних недосконалостей конструкції, про які мова була вище).
Але якщо ця різниця невелика, то навіть найдосконаліша в тех-
нічному розумінні машина не може дати значного к. к. д. Теоре-
тичний розрахунок показує, шо коли абсолютна температура
нагрівника дорівнює Г, а охолодника Т', то к. к. д. не може бути
більшим за
Так, наприклад, у парової машини, пара якої має в котлі
температуру 100° С (або 373° К), а в охолоднику 25° С (або
373__________________________________________298
298° К), к. к. д. не може бути більшим за —^73— = 0*2* тобто
20% (практично внаслідок недосконалості будови к. к. д. такої
установки значно нижчий). Таким чином, щоб збільшити к. к. д.
теплових машин, треба перейти до вищих температур у котлі,
а отже, і до вищих тисків пари. На відміну від попередніх стан-
цій, які працюють при тиску 12—15 кГІсм2 (що відповідає темпе-
ратурі пари 200° С), на сучасних паросилових станціях почали
встановлювати котли на 130 кГ/см2 і більше (температура близь-
ко 500°С).
Замість збільшення температури в котлі можна було б іти по
лінії зменшення температури в конденсаторі. Проте це вияви-
лось практично нездійсненним. При дуже низьких тисках густи-
на пари дуже мала і при великій кількості пари, яку пропускає
за 1 сек потужна турбіна, об’єм турбіни і конденсатора при ній
повинен був би бути дуже великий.
Крім збільшення к. к. д. теплового двигуна, можна було О
піти по шляху використання «теплових відходів», тобто теплоти,
яку відводить вода, що охолоджує конденсатор. Замість того,
щоб спускати нагріту конденсатором воду в ріку або озеро,
можна напрямити її по трубах водяного опалення або викорис-
тати для промислових цілей у хімічній або текстильній промис-
ловості. Можна також здійснювати розширення пари в турбі-
нах лише до тиску 5—6 кГІсм2. З турбіни при цьому виходить
ще дуже гаряча пара, яка може бути використана для ряду
промислових цілей.
Станція, яка використовує відходи теплоти, постачає спожи-
7-103
542
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
[РОЗД. XIX
нічної
, а п теплоту.
4%
Розсіялось від
„паропроводі
і турбін
?5%\
Розсі\
\лЯЛОСЬ\
*\у но- \
\тель-\
\ній і \
1 вийш-
ло в
трубу
100% енергії палива
Рис. 523. Приблизний енергетичний
баланс теплоелектроцентралі. За-
штрихована площа показує корисну
частину затраченої енергії (у вигля-
ді роботи і теплоти).
/.Винористано для
.роботи і у вигляді
вачам не тільки електричну^ енергію, добуту за рахунок меха-
називається теплоелектроцент-
раллю (ТЕЦ). Таке комбі-
новане використання енер-
гії якнайкраще відповідає
завданням соціалістичного
господарства. Тому в СРСР
будівництво ТЕЦ іде швид-
кими кроками.
Приблизний енергетич-
ний баланс ТЕЦ подано на
рис. 523.
§ 322. Бензиновий двигун
внутрішнього згоряння. Пе-
рейдемо тепер до інших ти-
пів теплових двигунів. Най-
більш поширений тип сучас-
ного теплового двигуна —
двигун внутрішнього згорян-
ня. Число двигунів внутріш-
нього згоряння, установле-
них на автомобілях, літаках, тракторах, танках, моторних човнах
і т. д., обчислюється в усьому світі десятками мільйонів і про-
довжує швидко зростати. Винятково велике значення двигуна
внутрішнього згоряння у військовій техніці.
Двигуни внутрішнього згоряння можуть працювати на рідко-
му пальному (бензин, гас і т. д.) або на пальному газі, який
зберігають у стисненому вигляді в стальних балонах або добу-
вають сухою перегонкою з дерева (газогенераторні двигуни).
Ми розглянемо будову чотиритактного бензинового двигуна
автомобільного типу. Будова двигунів, які встановлюють на
тракторах, танках і літаках, у загальних рисах схожа на будову
автомобільного двигуна.
Основною частиною двигуна внутрішнього згоряння є один
або кілька циліндрів, усередині яких згоряє пальне (рис. 524),
звідки походить і назва двигуна.
Усередині циліндра може рухатись поршень (рис. 525). Пор-
шень являє собою порожнистий стальний, закритий з одного
боку циліндр В, оперезаний пружинячими кільцями МММ.
вкладеними в стальні канавки на . поршні (поршневі кільця).
Призначення поршневих кілець — не пропускати газів, які утво-
рюються при згорянні палива, у проміжки між поршнем і стін-
ками циліндра (показані пунктиром).
Поршень має металевий стержень А («палець»), призначе-
§ 322]
БЕНЗИНОВИЙ ДВИГУН ВНУТРІШНЬОГО ЗГОРЯННЯ
543
кий для з’єднання поршня з шатуном К. Шатун у свою чергу
призначений для передавання руху від поршня до колінчастого
вала Р,
Рис. 524. Будова автомобільного двигуна.
Верхня частина циліндра сполучена з двома каналами, закри
тими клапанами. Через один
рис. 524 — лівий) подається паль-
на суміш, через другий — випуск-
ний — викидаються продукти зго-
ряння.
Клапани мають вигляд тарі-
лок, що притискаються до отворів
пружинами. Клапани відкрива-
ються за допомогою кулачків,
установлених на кулачковому
валі; при обертанні вала кулачки
піднімають клапани за допомо-
гою стальних стержнів (штовха-
нів) .
Крім клапанів, у верхній час-
тині циліндра є так звана свічка.
Це — пристрій для запалювання
з каналів — впускний (на
Рис. 525. Будова поршня двигуна
внутрішнього згоряння. Справа
показано приєднання шатуна до
поршня.
544
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
(РОЗД. XIX
Рис. 526. Будова карбюратора. О — дро-
сельний кран, який регулює приплив
пальної суміші в циліндр.
суміші за допомогою електричної іскри, яка утворюється від
установлених на двигуні електричних приладів (магнето або
бобіни).
Дуже важливою частиною бензинового двигуна є прилад для
утворення пальної суміші — карбюратор. Його будову схематич-
но подано на рис. 526. Якщо в циліндрі відкрити лише впускний
клапан і поршень рухається до колінчастого вала, то крізь
отвір О «атмосферний тиск заганяє повітря. Повітря проходить
повз трубочку Д, спо-
лучену з поплавковою
камерою В. У камері В
є бензин, який за допо-
могою поплавка М пе-
ребуває на такому рів-
ні, що в трубочці А са-
ме доходить до її кінця.
Це досягається тим, що
поплавок, піднімаючись
при натіканні бензину
в камеру, замикає от-
вір 5 особливою запір-
ною голкою Р і тим
припиняє натікання
бензину, якщо рівень
його підвищиться. По-
вітря, проходячи з ве-
ликою швидкістю повз
кінець трубочки Д, за-
опис пульверизатора в
§ 182). Таким способом утворюється пальна суміш (пара бензи-
ну і повітря).
Робота двигуна складається з таких тактів (рис. 527):
І такт — всмоктування. Відкривається впускний клапан Д,
і поршень ЛІ, рухаючись униз, засмоктує в циліндр пальну суміш
з карбюратора.
II такт — стискання. Впускний клапан закривається, і пор-
шень, рухаючись угору, стискає пальну суміш. Суміш при стис-
канні нагрівається.
III такт—згоряння. Коли поршень досягає верхнього поло-
ження (при швидкому ході двигуна трохи раніше), суміш підпа-
люється електричною іскрою, яку дає свічка.
Сила тиску газів — розжарених продуктів згоряння пальної
суміші — штовхає поршень униз. Рух поршня передається колін-
частому валу, і цим виконується корисна робота. Виконую-
чи роботу і розширяючись, продукти згоряння охолоджуються
смоктує бензин і розпилює його (див.
§ 322]
БЕНЗИНОВИЙ ДВИГУН ВНУТРІШНЬОГО ЗГОРЯННЯ
545
До кінця робочого ходу тиск
майже до величини атмосферного
(вихлоп). Відкривається випускний
продукти горіння викидаються через
тактів двигуна (тобто
за два оберти
такти роботи
Рис. 527. Чотири
двигуна внутрішнього згоряння.
і тиск їх зменшується,
у циліндрі зменшується
тиску.
IV такт — випускання
клапан В, і спрацьовані
глушитель в атмосферу.
Як видно, з чотирьох
колінчастого вала) лише один,
третій, є робочим. Через це дви-
гун повинен мати масивний ма-
ховик, за рахунок кінетичної енер-
гії якого двигун працює протя-
гом інших тактів. Зауважимо, що
одноциліндрові двигуни встанов-
люють переважно на мотоциклах.
На автомобілях, тракторах і т. д.,
щоб забезпечувати рівномірнішу
роботу двигуна, ставлять 4, 6 і
більше циліндрів, установлених
на спільному валі так, що при
кожному такті принаймні один з
циліндрів працює.
Щоб двигун почав працювати,
його треба привести в рух сторон-
ньою силою. В автомобілях це
роблять за допомогою особливого
електродвигуна, який живиться
від акумулятора (стартер).
Додамо, що необхідною части-
ною двигуна є пристрій для охо-
лодження стінок циліндрів. При надмірному перегріванні цилін-
дрів настає пригоряння мастила, можливі передчасні спалахи
пальної суміші і детонація (вибух пальної суміші замість згорян-
ня, яке спостерігається при нормальній роботі). Детонація не
тільки зменшує потужність, а й руйнівно діє на двигун. Охолод-
жують циліндри проточною водою, яка віддає тепло повітрю
(рис. 528), або безпосередньо повітрям.
Крім чотиритактних двигунів, бувають ще менш поширені
двотактні двигуни. Ми їх не розглядатимемо.
Двигун внутрішнього згоряння має ряд переваг, чим зумов-
лене його широке застосування (компактність, мала вага і т. д.).
3 другого боку, недоліками двигуна є: 1) те, що він потребує
рідкого пального високої якості; 2) неможливість забезпечити
за його допомогою малу швидкість обертання (при малому числі
обертів, наприклад, не працює карбюратор). Це змушує вдава-
35 /-103
546
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
[РОЗД XIX
тись до різних пристроїв для зменшення швидкості обертів (на-
приклад, до зубчастої передачі).
В В В В
Рис. 528. Схема будови водяного охолодження ци-
ліндрів двигуна автомобіля. А—циліндри, В — ша-
туни. Вода циркулює, омиваючи циліндри. Рух води
спричинюється нагріванням її поблизу циліндрів
і охолодженням у радіаторі Я. Це — система мідних
трубок, по яких протікає вода. У радіаторі вода охо-
лоджується потоком повітря, яке засмоктується під
час руху пропелером М.
Бензиновий двигун описаного типу може мати потужність
від 0,5 до 1000—2000 к. с. (залежно від розмірів).
100%
Рис. 529. Енергетичний баланс автомобільного
двигуна. Заштрихована площа показує добуту
корисну роботу.
Вправа. 322. 1. Яка
потужність чотирициліндро-
вого двигуна, що робить
300 обертів за хвилину,
якщо середній тиск 5 кГІсм2,
хід поршня 0,3 м і площа
поршня 120 см2?
§ 323. Коефіцієнт
корисної дії двигуна
внутрішнього згоряння.
Придивляючись до
умов, при яких викону-
ється робота в двигуні
внутрішнього згоряння,
ми побачимо схожість
з умовами, при яких
виконується робота в
паровому двигуні. Тут
також є різниця темпе-
ратур: з одного боку, джерело тепла (в цьому разі джерелом
тепла є хімічна реакція горіння) створює високу температуру
З 324]
ДВИГУН ДІЗЕЛЯ
547
робочої речовини, з другого боку, є величезний резервуар, в яко-
му утворене тепло розсіюється, — атмосфера; вона відіграє роль
охолодника.
Оскільки температура газів, які утворюються при згорянні
•суміші всередині циліндра, досить висока (понад 1000° С), то
к. к. д. двигунів внутрішнього згоряння може бути значно вищий
від к. к. д. парових двигунів. На практиці к. к. д. двигунів внут-
рішнього згоряння дорівнює звичайно 20—30%.
Примірний енергетичний баланс двигуна автомобільного
типу подано на рис. 529.
Вправи. 323. 1. Двигун на 10 к. с. споживає за годину 2,8 кг бензину.
Який його к. к. д.?
323. 2. Яку роботу можна виконати, якщо затратити в двигуні з к. к. д.
20% 0,5 кг бензину?
§ 324. Двигун Дізеля. Як підвищити к. к. д. двигуна внутріш-
нього згоряння? І розрахунки, і досліди показують, що для цього
треба використовувати великий
ступінь стиску (відношення між
найбільшим і найменшим об’єма-
ми циліндра, рис. 530). При вели-
кому стисканні пальна суміш на-
грівається більше, внаслідок чого
утворюється вища температура
під час горіння суміші. Прете в
двигунах автомобільного типу не
можна використовувати стискан-
ня понад 4—5 раз. При більшому
ступені стискання пальна суміш
нагрівається протягом II такту
настільки, що спалахує раніше,
ніж потрібно, і детонує.
Це утруднення усунене в дви-
гуні, сконструйованому наприкін-
ці XIX ст. Р. Дізелем (двигун Ді-
зеля, або просто дизель). Будо-
ву дизеля схематично зображено і-
Рис. 530. Ступінь стискання є
відношення об’єму газу в ци-
ліндрі при положенні поршня І
до об’єму при положенні порш-
ня //.
рис. 531. У дизелі стискаєть-
ся не пальна суміш, а чисте повітря. Тут застосовується 11 —
12-разове стискання, причому повітря нагрівається до 500—
600° С. Коли поршень досягає верхнього положення, у циліндр
впорскується рідке пальне, наприклад нафта. Це здійснюється
за допомогою особливої форсунки, яка працює від стисненого
повітря, що нагнітається компресором ‘. Розбризкана і випарена
1 У деяких типах дизелів компресора немає і нафту впорскує насос,
який дає дуже великий тиск.
35*
548
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
[РОЗД. XIX
нафта запалюється внаслідок високої температури, яка утвори-
лася в циліндрі при стисканні, і не потребує ніяких допоміжних
підпалювальних пристроїв.
Під час горіння нафти, яке триває значно довше, ніж горін-
ня суміші бензин — повітря в автомобільному двигуні, поршень
рухається вниз і виконує роботу. Потім спрацьовані гази вики-
даються.
Охолодження стисненого повітря
Бак
для нафти
о
Поршень Циліндр Впускання повітря
Рис. 531. Схема двигуна Дізеля.
Балон
стисненого
повітря
[Нафтовий насос
Повітряний компресор Форсунка
Випускання
газів
Дизель виявився більш економічним двигуном, ніж бензино-
вий (к. к. д. близько 38%). Він може мати значно більшу потуж-
ність (десятки тисяч к. с.). Дизелі встановлюють на суднах (теп-
лоходи), підводних човнах, на невеликих електростанціях і т. д.
Великою перевагою дизеля є те, що він працює на дешевих
«важких» сортах палива, а не на дорогому очищеному бензині.
Крім того, дизелі не потребують особливої системи запалюван-
ня. Проте в тих випадках, коли потрібна мінімальна вага двигу-
на при заданій потужності, дизелі менш вигідні. Тому, наприклад»
в авіації дизелі застосовують лише на важких машинах, розра-
хованих на велику дальність польоту.
§ 325. Реактивні двигуни. У § 188 ми розглянули дію реак-
тивної струмини, яка надає руху реактивним літакам і ракетам.
Реактивну струмину створює реактивний двигун, який є по суті
двигуном внутрішнього згоряння. На рис. 532 подано схему будо-
ви одного з типів реактивних двигунів, які встановлюють на
літаках. Двигун вміщений у циліндричний корпус, відкритий спе-
реду (повітроприймальний отвір) і ззаду (вихідне сопло). По-
вітря входить у передній отвір (це показано стрілками) і потра-
пляє в компресор, що складається з ряду лопатей, які закріплені
на обертових колесах і гонять повітря вздовж осі двигуна»
ущільнюючи його при цьому. Компресор приводиться в рух спе-
§ 326)
ВОГНЕПАЛЬНА ЗБРОЯ
549*
ціальною газовою турбіною, установленою в задній частині дви-
гуна. Після компресора повітря надходить у камеру, в яку впор-
скується пальне. Утворюється пальна суміш, яка спалахує^
утворюючи гази високої температури і високого тиску. Гази над-
ходять до вихідного сопла, приводячи в дію газову турбіну, яка
Рис. 532. Схема будови турбореактивного двигуна.
обертає компресор, а потім вириваються через сопло із заднього
отвору двигуна. Як було пояснено в § 187, гази, які виходять
з двигуна і набирають величезної швидкості в напрямі назад,,
діють на літак з величезною силою реакції, напрямленою вперед,,
яка й є рушійною силою реактивного літака.
§ 326. Вогнепальна зброя. Вогнепальна зброя — також один з видів тепло-
вого двигуна, деякою мірою схожий на двигун внутрішнього згоряння. Вона:
Рис. 533. Будова 76-міліметрової гармати.
виконує механічну роботу викидання кулі або снаряда за рахунок внутрішньої
енергії пороху (або іншої вибухової речовини), який вибухнув.
Винайдення вогнепальної зброї припадає на XIII ст. Протягом семи сто-
літь, які минули з часу винайдення пороху, вогнепальна зброя безперервно
вдосконалюється Тепер техніка кидання куль і артилерійських снарядів до-
сягла дуже високого рівня.
Розглянемо для прикладу 76-міліметрову гармату, тобто гармату, снаряд,
якої має діаметр 76 мм. В основному вона складається з труби (рис. 533),
позаду якоГ розміщений затвор, через який у патронник закладають снаряд,
і заряд пороху, після чого затвор закривають.
550
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
[РОЗД. XIX
Під час пострілу порох заряду спалахує і протягом дуже короткого часу
(для 76-міліметрової гармати 0,006 сек) згоряє. Внаслідок цього виникає
велика кількість розжарених до температури близько 3000° С газів,
Рис. 534. Енергетичний баланс по-
стрілу з гармати. Заштрихована пло-
ща показує корисну частину енергії.
що мають величезний тиск (по-
рядку 3000—4000 кГІсм2).
Сили тиску надають снаряду
всередині ствола великого приско-
рення, внаслідок чого снаряд ви-
літає з ствола з величезною швид-
кістю
Крім створення кінетичної
енергії викинутого снаряда, енер-
гія, що є в пороховому заряді, ви-
трачається на рух газів, на нагрі-
вання ствола і т. д.
Приблизний енергетичний ба-
ланс для 76-міліметрової гармати
подано на рис. 534. Оскільки при-
значення гармати — надавати кі-
нетичної енергії снаряду, то на
підставі наведених даних слід вва-
жати, що к. к. д. під час пострілу
становить близько 33%.
Найбільша втрата енерііі
(40%) припадає на тепло, яке роз-
сіюється в навколишній атмосфері.
§ 327. Передавання теплоти від холодного тіла до гарячого.
Ми впевнились на ряді прикладів, що робота виконується тоді,
коли теплота переходить від гарячого тіла (нагрівника) до холод-
ного (охолодника). Ми бачили, що при цьому охолодник одер-
жує менше теплоти, ніж віддає її нагрівник. Внутрішня енергія
нагрівника зменшується не тільки тому, що він передає теплоту
охолоднику, а й тому, що виконується робота.
Запитаємо себе: при яких умовах спостерігається зворотний
процес — передавання теплоти від холодного тіла до гарячого?
Такий приклад маємо в холодильних (льодоробних) маши-
нах, які дуже поширені в харчовій промисловості (для виготов-
лення морозива, для зберігання м’яса і т. д.). Схема будови холо-
дильної машини є зворотною будові паросилової установки. її
показано на рис. 535. Робочою речовиною в холодильній машині
звичайно є аміак (іноді вуглекислий газ, сірчистий ангідрид або
який-небудь з галоїдоводнів, які мають спеціальну назву: фрео-
ни). Компресор К нагнітає пару аміаку під тиском 12 кГ/см2 у
змійовик А (він відповідає конденсатору). При стисканні пара
аміаку нагрівається, і її охолоджують у баці В проточною водою,
яка відіграє роль теплого тіла, що одержує теплоту. Тут пара
аміаку перетворюється в рідину. Із змійовика А аміак через
вентиль V надходить у другий змійовик С (випарник), де тиск
становить близько 3 кГІсм2. Під час проходження через вентиль
§ 3271
ПЕРЕДАВАННЯ ТЕПЛОТИ
551
частина аміаку випаровується і температура знижується до
—10° С. З в'ипарника аміак відсмоктується компресором. Випаро-
вуючись, аміак запозичує теплоту, потрібну для випаровування,
від соляного розчи-
ну (розсолу), який
оточує випарник.
Внаслідок цього роз-
сіл охолоджується
приблизно до —8°С.
Отже, розсіл віді-
грає роль холодного
тіла, яке віддає теп-
лоту гарячому тілу
(проточній воді в ба-
ці В). Струмина охо-
лодженого розсолу
по трубах надходить
в охолоджуване при-
міщення. Штучний
лід добувають, зану-
рюючи в розсіл ме-
талеві коробки, на-
повнені ЧИСТОЮ ВО- Рис. 535. Схема будови компресорної
дою. холодильної машини.
Крім компресорних холодильних машин, для побутових потреб застосо-
вують адсорбційні холодильні машини, де робочий газ стискається не за до-
помогою компресора, а через поглинання (адсорбцію, розчинення) у відповід-
ній речовині. Так, у холодильнику «Газоаппарат» (рис. 536) міцний водний
розчин аміаку нагрівається (струмом) у генераторі / і виділяє газоподібний
аміак, тиск якого досягає 20 атм. Газоподібний аміак після висушування
(у висушувачі, не показаному на схемі) конденсується в конденсаторі 2.
Зріджений аміак надходить у випарник 3, де він знову перетворюється в газ,
запозичуючи у випарника значну кількість теплоти. Газоподібний аміак
адсорбується (розчиняється у воді) в адсорбері 4, де, таким чином, знов
утворюється міцний розчин аміаку, який перетікає в генератор /, витісняючи
звідти збіднений (після виділення газу) розчин в адсорбер. Так здійснюється
безперервний цикл, причому всередині охолоджуваного приміщення (шафи)
розміщують випарник (дуже охолоджуваний при випаровуванні аміаку),
а всі інші частини розміщені поза шафою. Виникає питання, чому в конденса-
торі газоподібний аміак зріджується, а у випарнику випаровується, хоч тем-
пература випарника нижча, ніж температура конденсатора? Цього досягають
завдяки тому, що вся система заповнена воднем при тиску близько 20 атм.
Коли нагрівають генератор, то газоподібний аміак виділяється з киплячого
розчину, причому його тиск досягає приблизно 20 атм, витісняючи водень з
верхньої частини генератора та конденсатора у випарник і адсорбер. Отже,
аміак у конденсаторі перебуває під власним високим тиском і тому зріджу-
ється при температурі, близькій до кімнатної, а у випарник рідкий аміак
потрапляє під низьким парціальним тиском; водень, який перебуває у випар-
нику, забезпечує потрібний сумарний тиск, який дорівнює тиску в конденса-
552
ТЕПЛОВІ МАШИНИ
4РОЗД. XIX
торі та інших частинах системи. Суміш водню і газоподібного аміаку з випар-
ника переходить в адсорбер, де аміак розчиняється у воді, що спричинює
нагрівання розчину, а водень проходить крізь теплий розчин і, нагрів-
шись там, переходить завдяки конвекції в холодний випарник. На місце аміа-
ку, який розчинився, у випарнику випаровуються його нові порції, спричиню-
ючи дальше охолодження випарника. Перевага цієї конструкції полягає у
відсутності рухомих механічних частин. Циркуляція аміачного розчину (між
/ і 4) і циркуляція водню (між 4 і 3) здійснюється за рахунок різниці гус-
тин, зумовленої різницею температур (розчин в 1 гарячіший, ніж у 4, а во-
день у 4 тепліший, ніж у 3).
Зріджений
ІМНз 2
Г азоподібний
ЬІНз
при високому-
тиску
О
О
Підігрівання^
розчину^О
МНз У воді О
О
Н2
МНз+Н2
О
О
О
о
о
Холодильна
шафа
Випаровується
ІМНз
міцнии п —
розчин Розчин
МН3 У воді
Рис. 536. Схема будови адсорбційної холодильної машини.
Слабкий
розчин
Отже, щоб передати теплоту від холодного тіла до гарячого,
треба виконати роботу сторонньою силою. При цьому гаряче тіло
одержить не тільки ту кількість теплоти, яку віддало холодне
тіло, а й ту, яка еквівалентна виконаній роботі.
Вправа. 327. 1. У кімнаті встановили домашній холодильник, який при-
водиться в дію двигуном, що живиться від електросітки. Чи холодніше стало
від цього в кімнаті?
ВІДПОВІДІ ДО ВПРАВ
5. 1. Точки осі циліндра. 9. І. 25 см. 9.2. 6 м/сек. 12.2. 10 м. 12. 3. 5=
= 12.4. 5 — $о -М>(< — /0). 12.5. 2,7 сек; —2 м; 0,75 м/сек.
(2.6. 40 хе; 60 км. 12.7. 1 год. 12 8. 0. 14.2. 40 км/год. 19.1.
І) ^2 -(- -у м/сек: II) (б —-|-/) м/сек: III) (—6->3/) м/сек: IV) ( —1—
— і) м/сек. 22. 1. 5 = (о2 — Од)/2а, о = -|=-2 ах. 22.4. 330 м. 22. 5. 4 м/сек.
22.6. Близько 14 м/сек. 22.7. 32 м. 24. 1. 500 км. 28.2. 2 км. 28.3. 12 год.
28. 4. У два рази. 28.5. 10 місек. 28. 6. а) 10 м/сек; б) 0 м/сек. 28. 7. 2 год
40 хе. 45. 1. 1,5 • 10е я. 45. 2. Близько 3 сек. 47. 1. 1 кГ. 47. 2. Відношення шляхів
дорівнює оберненому відношенню мас. 51. 1. 4 м/сек. 55.1. 15 м. 55. 3. а) о=р<2^/г;
б), в) о = . 55.4.15 м; 20 м/сек. 55.5. Приблизно в 1,4 раза.
55. 6. 45 м. 72.2. 50 н\ 71 н. 72. 3. 17 300 н. 72. 4. 14°; 103 н. 73. 1. ВС: 10 я;
СО:
11,6 я; СР: 5,8 я; РЕ:
Юя. 74.1. <2 = ^-^
14 я. Сила притискання до-
рівнює 7,3 я. 74. 2. Близько 56°. 74.3. 100 кГ, 173 кГ. 81. 1. На відстані Зсм
від місця скріплення. 81.3. 15 кГ; 45 кГ. 83.2. Так: при нахилянні центр
ваги лінійки піднімається. 83. 4. Близько 12 см. 84. 1. Виграш на силі в два
рази. 92. 1. 1,8 • 10е дж. 92. 2. 9600 дж. 95. 1. 20 кГ. 100. 2. На розгін від 5 до
10 м/сек. 101. 1. 25 м/сек\ при відсутності початкової швидкості 20 м/сек.
103. 1. 62,5 кГ. 103. 2. 2800 кГ. 103. 3. 3200 дж. 103. 4. 107 дж. 106. 1. 0,0007 ет.
106. 2. 6 Т. 106. 3. Близько 2 к. с. 107. 1. У 8 раз більшу. 107. 2. 500 к. с.
109. 1. 96%. 109. 2. Близько 4600 дж. 109. 3. 69%. 109. 4. 54%. 109. 5. 43 000 я.
109.6. Ні. 112. 1. 25 м/сек; через 1,5 сек. 112.2. 4,5 м/сек. 113. 1. 7 м/сек
і 9,8 м/сек; 4,9 м. 113.2. 45 м. 115. 1. Відношення дорівнює А.. 115.2. Ку-
това швидкість годинної стрілки в два рази більша за швидкість обертання
Землі. 116.1. 3,4 кГ. 116. 2. 7,7 м/сек. 118. 1. Близько 4 об/сек. 119. 1. При
Г7Ц Г2
умові —- = — , тобто коли спільний центр ваги лежить в О. 119.2. 1,5 кГ
г і __
(19.3. 7 рад/сек. 120.1. о =124.1. На 16,4%.
124. 2. Близько 10 кГ. 124.3. Шукана точка лежить від центра Місяця
на 0,1 відстані між Землею і Місяцем. 125.1. З першою космічною швид-
кістю. 125.2. На відстані 6,65 радіуса Землі від центра Землі, тобто
на висоті близько 36 000 км иад поверхнею Землі. 128.1. Цга = —;
Т = т V а* + 128.2. та. 134. 2. Близько 80 хе. 140.1. 0,9 л.
148. 1. Так. 152. 1. На глибині 10 м; на глибині 40 м 153. 1. 168 см
154. 1. 9,8 н/м\ 133,3 н/м*. 154. 2. На 27,2 мм. 155. 1. 5,5 стм. 155. 2. 29 де.
554
ВІДПОВІДІ ДО ВПРАВ
160. 1. 1,25 кГ. 160. 2. 0,905 кГ. 160. 3. З м. 160. 5. 0,8 Г на шальку» де під-
вішено цинк. 161.1. 2,3 Г/см*. 161.2. ?2 = р де Р, Р} і Р2 — ваіа
тіла в повітрі, у воді і рідині, а і ї2 — питома вага води і досліджуваної
рідини. 161. 3. 0,91 Г/см3. 161. 4. 0,2 Г/см3. 162. 4. 0,8. 162. 5. 0,43; кулька
трохи підніметься. 162.6. 4,6 кГ. 162. 7. 0,736; 0,054. 169. 1. Тиск рідини
швидко зменшується при* Ті розширенні; тому, розширяючись, стиснута рідина
може спричинити лише незначне розширення тканин. 172. 1. Вода 73 см,
ртуть 5,3 см. 173. 1. На 70 см. 174. 1. Збільшити поділки в 2 рази.
174. 2. Близько 60 кГ. 175. 1. Назовні. 177. 1. На 100 Г. 177. 2. Ні.
178. 1. 1000 кГ; 865 кГ. 195. 1. Збільшується. 195. 2. Сталь розширяється
більше, ніж дерево. 195. 3. Ні. 195. 4. Між склом і дротинкою може утвори-
тися зазор (теча). 195. 5. Рідина в шийці колби почала б підніматися відразу
після опускання колби в гарячу воду; загальна висота піднімання рівня рідини
в шийці була б більша. 195.6. Знизу. 196.2. Близько 99° С. 197. 1. 555 мм.
197.2. Від —10° С до 4-50° С. 197.3. 19,96 мм. 199.1. 50,12 см3.
200. 1. 0,0011 град~х. 203. 1. Якщо швидкість тягарців, які спускаються,
мала, то, визначаючи зміну механічної енергії, можна знехтувати кінетш нзю
енергією тягарців і вважати, що результатом виконаної роботи є лише зміна
температури в посудині. 209. 1. Об’єм не зміниться. 209.2. а) 23° С; б) якщо
спочатку вливають гарячу воду, остаточна температура нижча за 23° С, а якщо
спочатку вливають холодну воду, то вища за 23° С (при умові, що темпера-
тура зовнішнього середовища лежить між 50° С і 10° С). 212. 1. На середині.
212. 2. Теплопередавання від полум’я до паперу знизу однакове по всій
площі, де полум’я торкається паперу. Теплопередавання від паперу до по-
вітря, яке міститься над ним, менше, ніж теплопередавання від паперу до
повітря через металеву шпильку при тій самій різниці температур. Тому
папір під шпилькою буде холодніший, ніж решта паперу. 212. 3. Між волок-
нами є прошарки з повітря, теплопровідність якого мала. 212. 4. Цинкова.
212. 5. Краплинка на дуже розжареній плиті відокремлена від неї шаром
водяної пари, яка погано проводить тепло. При слабкому розжаренні крап-
линка води прилягає до плити впритул. 212.6. Конвекційних течій не було б
і нижні шари рідини мали б значно вищу температуру, ніж верхні. 212. 7. При-
вільному падінні банки конвекційних течій повітря в ній немає. 212. 8. Тепло-
провідність водню більша за теплопровідність повітря. 223. 1. а), б), в) Рівні
ртуті будуть попередніми; г) рівень ртуті в правому коліні підніметься ще
вище. 223. 2. 0,78 ат. 223. 3. Стрілка манометра перейде за червону риску.
223. 4. 0,00268 град~х. 225. 1. Процес накачування повітря в шину відбува-
ється так швидко, що теплообмін з навколишніми тілами недостатній і по-
вітря, яке стискається всередині насоса, нагрівається. Водночас трохи на-
гріваються і стінки насоса. При багаторазовому повторенні процесу підви-
щення температури стінок досягає помітної величини. 227. 1. 1000 мм рт. ст.
227. 2. 5,3 кГ/см2. 227. 3. Близько 6,5 мм3. 227. 4. 36 см2. 228. 2. Площі
однакові. 229. 1. 0,13 кг. 232. 1. 865 м3. 234. 1. Неправильно. 236. 1. 1,17 м3.
236.2. Близько 2,4 м/сек. 237.1. Підніметься. 238.2. 66 см3. 238.3. 529° С.
238. 4. 894 л. 238. 5. 0,000059 г/см3. 238. 6. Близько 12 000 м3. 242. 2. 2,7 х
X іо19 см~3. 242. 3. 3,3 • 10~24 г; 5,3 • 10“23 г. 243. 2. Близько 1200 м/сек;
360 м/сек. 243. 3. 3800 м/сек', близько 360 м/сек. 244. 1. Молекули газу руха-
ються з різними швидкостями. 246. 1. 0,178 кал[г-град\ 0,25 кал/г-град.
246.2. 0,223 кал/град. 247. 1. 0,056 кал/г-град', 0,033 кал/г-град. 249. 2. Плівка
збирається в круглу краплину, яка внаслідок того, що плівка тої.ка, має
дуже малий розмір. 250. 1. 118 ерг. 250.2.25 000 ерг. 250.3. 435 дж', 104 кал.
253. 1. Сили зчеплення між молекулами води і скла більші, ніж між моле-
кулами води; вода вдержується біля скла доти, поки не нагромадиться крап-
лина досить великої ваги. Сили зчеплення між молекулами ртуті і скла, на
ВІДПОВІДІ ДО ВПРАВ
555-
впакь, менші за сили зчеплення між молекулами ртуті, і ртуть не нагромад-
жується поблизу поверхні скла. 253. 2. На воду, яка стікає, крім ваги, діють
досить великі сили зчеплення, які примушують струмину води змінювати
напрям руху. 253.3. Оскільки жир не змочується водою, над лезом шару
води не буде і лезо опускається у воду доти, поки сила тиску воли знизу не
зрівноважить вагу леза. У випадку чистого леза вода розтікається по ньому.
253. 4. Розплавлений припій змочує чисту металеву поверхню і не змочує
окислену. 255. 1. Додатковий тиск у малій бульбашці більший, ніж у великій.
255. 2. При малому. 255. 3. Вільна поверхня краплини між пластинками має
сідлоподібну форму. Наближено її можна вважати за циліндричну поверхню*
з радіусом кривизни, що дорівнює половині відстані між пластинками. Ця
поверхня вгнута, а тому тиск у краплині менший від атмосферного, причому-
різниця тим більша, чим радіус кривизни менший. Сила, яка здавлює пла-
стинки, тим більша, чим більша різниця між тиском атмосфери і тиском
у краплині і чим більша площа, на якій ця різниця тисків існує. 255.4. Якщо
краплина у вузькому місці трубки має однакову кривизну з обох боків, ти
тиск газу з обох боків краплини однаковий. Як тільки краплина трохи
зміститься (наприклад, праворуч) радіус кривизни з правого боку збільшиться,
а з лівого — зменшиться. Внаслідок цього виникне різниця тисків, яка пере-
шкоджатиме дальшому руху краплини. Якщо краплин у трубці багато, то
протидія продуванню трубки досягає значної величини. 255.5. Вага краплини,
яка відривається, тим більша, чим більший поверхневий натяг рідини.
256. 1. Вода змочує крейду, входить в її пори і витискує з них повітря.
256. 2. Вода піднімається тим вище, чим менша відстань між стінками, а от-
же, і радіус кривизни поверхні води. 256.4. Поверхневий натяг гарячої води
менший, ніж холодної, внаслідок чого висота піднімання гарячої води повинна
бути меншою. З другого боку, густина гарячої води менша за густину холод-
ної, і це повинно зумовити збільшення піднімання. Зменшення піднімання,
яке виявляють на досліді, свідчить про те, що зміна поверхневого натягу
води при зміні температури більша, ніж зміна її густини. 256.5. Вода в лдвій
трубці при відсутності поштовхів може піднятися до такого самого рівня, до
якого піднімається рівень води в звичайному капілярі такого самого діаметра.
У правій трубці при повільному підніманні її меніск у вертикальній частині
буде на однаковому рівні доти, поки не дійде до горизонтальної частини;
тоді він швидко перейде на наступну вертикальну частину. 256. 6. Вільна
поверхня води і в прямому капілярі, і в зігнутому повернута вгнутістю
вгору. Тому капілярні сили тягнуть воду вгору і в прямій трубці, і в зі-
гнутій. 257.1. 5,8 см; 2,2 см.. 257.2. 21 ерг/см*. 269.1. 118 г. 275.2. На
тротуарі, посиланому сіллю. 278. 1. Виникає залишкова деформація
280. 1. Зменшиться в два рази. 280. 2. 9 мм. 282. 1. 0,36 мм. 283. 2. Кістки
тварин, пір’я птахів, стебла рослин. 283. 3. У 9 раз. 284. 1. 720 кГ.
284.2. 177 м. 288. 1. У ній міститься пара ртуті. 291. 1. Повітря вже насичене
парою ефіру і нового випаровування немає. 293. 1. Тиск насичуючої пари
води змінюється при нагріванні інакше, ніж тиск газів. 293. 3. При темпе-
ратурі, яка відповідає точці А на графіку, вся рідина випаровується.
294.3. Близько 120° С; близько 60° С. 294.4. Близько 140° С. 294.6. При
охолодженні дна колби тиск пари над водою буде менший за тиск насичуючої
пари, що відповідає температурі води в колбі. 295. 1. 12,5 ккал. 295. 2. Близько
24° С. 296.1. Утруднене випаровування води з поверхні тіла і внаслідок
цього — зменшена віддача теплоти в повітря. 296.3. У фарфоровій посудині
вода холодніша. 297.1. 201 кал/г'. 306.1. 80%. 306.2. 1,2 кг. 306.3. Ні.
309. 1. 1) Волого-адіабатичний; 2) адіабатичний. 309. 2. При підніманні процес
розширення є волого-адіабатичним, а при опусканні процес стискання — адіа-
батичний. Тому зниження температури при підніманні менше, ніж підвищення*
її при опусканні. 318. 1. 3,8 кГ/см*. 322. 1. 24 к. с. 323. 1. Близько 21%.
323.2. Близько 470 000 кГм. 327. 1. У кімнаті буде тепліше.
Злементарньїй учебник Физики
под ред. ака/][. Г. С. Ланпсберга, т. І
(на украинском язьіке)
Издательство «Радянська школа»
Комитета по печати при Сонете Министров
Украинской ССР
Редактор А. Н. Карнаух
Художній редактор Г. І. Грибгві
Обкладинка художника В. Ю. Чернишова
Технічний редактор А. Г. Фрідман
Коректори Н. І. Кондакова, Л. К. Плюта
Здано до наборV 5/1 1967 р. Підписано до друку
28/ХІІ 1967 р. Папір бОХОО1/^, друк, № З
Умови, арк. 34,75, видави, арк. 36,16
Тираж 56 000. Зам. 7-103
Видавництво «Радянська школа»
Комітету по пресі при Раді Міністрів
Української РСР, Київ, вул. Юрія Коцюбинсь-
кого, 5. Видави. № 17545. Ціна 1 крб. 21 коп.
Друкоофсетна фабрика Комітету по пресі при
Раді Міністрів УРСР. Харків» вул. Енгельса. II.
підручник

за Редакцією
академіка
г.сландсБерга