Author: Тюлин А.Е.   Бетанов В.В.   Юрасов В.С.   Стрельников С.В.  

Tags: электротехника   геофизические науки   монография   астрономия   ракетная техника   космос   космонавтика   навигация  

ISBN: 978-5-93108-176-2

Year: 2018

Similar

Навигационно-баллистическое обеспечение полета ракетно-космических средств. Методы, модели и алгоритмы оценивания параметров движения. Книга 1

Баллистико-навигационное обеспечение полётов автоматических космических аппаратов к телам Солнечной системы

Основные концептуальные положения баллистико-навигационного обеспечения полетов автоматических космических аппаратов

Ракетостроение и космическая техника. Том 11. Транспортные средства обеспечения космических программ

Text 
                    А.Е. Тюлин .*	’/:-
В.В. Бетанов .
В.С. Юрасов / . •	/ .
С.В: Стрельников
ЙАВИГАЦИОННО-'
БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ
"Обеспечение
ПОЛЕТА
РАКЕТНО-
КОСМИЧЕСКИХ
СРЕДСТВ
Системный анализ НБО
1ИОТЕХНИКА

А.Е. Тюлин, В.В. Бетанов,
В.С. Юрасов, С.В. Стрельников
НАВИГАЦИОННО-БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОЛЕТА
РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКИХ СРЕДСТВ
Системный анализ НБО
Книга 2
Москва
Радиотехника
2018

УДК 6213; 629; 681; 316
ББК 26.2
Т98
DOI: 10.18127.В9785931081762
Рецензенты:
Д.А. Ловцов - заслуженный деятель науки Российской Федерации,
д-р техн, наук, профессор, заместитель генерального директора
ФГУП «ИТМ и ВТ им. С.А. Лебедева РАН»
В.В. Васильев - д-р техн, наук, гл. научный сотрудник
ОАО НПЦ «Арминт»
Тюлин А.Е., Бетанов В>В.9 Юрасов В.С., Стрельников С.В.
Т 98 Навигационно-баллистическое обеспечение полета ракетно-
космических средств. Системный анализ НБО. В 2-х кн. Кн. 2.
Монография. - М.: Радиотехника, 2018. - 488 с.
ISBN 978-5-93108-176-2
Рассмотрено комплексное применение элементов оперативного навигацион-
но-баллистического обеспечения управления КА на этапе летных испытаний
и эксплуатации. Адаптируются такие понятия как технологическая операция,
технологический цикл и технологический процесс к навигационно-баллисти-
ческому обеспечению управления КА. Значительное внимание уделено во-
просам планирования и проведения измерений текущих навигационных па-
раметров. Рассмотрено применение численно-аналитических методов инте-
грирования при использовании математических моделей движения КА. Про-
анализированы современные способы совершенствования технологий НБО.
Для совершенствования компетенции специалистов в области проектиро-
вания, создания, испытания и эксплуатации космической техники комплек-
сов управления космическими объектами. Может быть полезна студентам
и аспирантам, обучающимся по специальности «Летные испытания ракет
и космических аппаратов», а также «Динамика и управление полетом ра-
кет и космических аппаратов», «Системный анализ, управление и обработ-
ка информации».
УДК 621.3; 629; 681; 316
ББК 26.2
© А.Е. Тюлин, В.В. Бетанов,
В.С. Юрасов, С.В. Стрельников, 2018
© АО «Российские космические системы», 2018
© ООО «Издательство «Радиотехника», 2018
ISBN 978-5-93108-176-2

Оглавление
Введение............................................8
ГЛАВА 1
Технологические основы
навигационно-баллистического обеспечения
испытаний космических аппаратов.................   11
Е1.	Адаптация понятий технологическая операция,
цикл и процесс к информационно-расчетному
обеспечению испытаний КА..........................12
1.2.	Предварительная обработка измерений
текущих навигационных параметров КА ..............21
1.3.	Использование полиномной среды
(таблиц узловых значений)
в практике оперативного НБО......................32
1.4.	Технологический цикл
информационно-телеметрического обеспечения
управления КА.....................................47
Литература.........................................54
ГЛАВА 2
Измерения текущих навигационных параметров
при летных испытаниях космических аппаратов........55
2.1.	Классификация измерений.......................56
2.2.	Виды измерений
и измерительная система координат.................57
2.3.	Физические принципы работы радиосистем
при измерениях параметров движения КА.............59
2.4.	Измерение радиальной скорости КА.............62
2.5.	Измерение дальности до КА....................79
2.6.	Измерение угловых координат КА...............97
---- 3

Оглавление
2.7.	Измерение производных угловых координат КА...........107
2.8.	Общая характеристика процесса сбора
и обработки телеметрических данных...................110
2.8.1.	Устройство и назначение
радиотелеметрических систем..................110
2.8.2.	Телеметрируемые параметры................  116
2.8.3.	Обработка результатов телеметрических измерений.123
Литература...........................................127
ГЛАВА 3
Оптимальное планирование
экспериментов и навигационных параметров
космических аппаратов..............................    129
3.1.	Планирование экспериментов и измерений
параметров движения КА...............................130
3.2.	Трудности планирования измерений
навигационных параметров и классификация планов.......132
3.3.	Планирование измерений навигационных параметров
в испытательных центрах...........................   133
3.4.	Планирования работы отдельного
командно-измерительного комплекса.....................135
3.5.	Некоторые понятия и определения
теории планирования...................................135
3.6.	Постановка задачи
оптимального планирования измерений
навигационных параметров.............................136
3.7.	Критерии оптимального планирования эксперимента......137
3.8.	Задача выбора плана измерений
навигационных параметров.............................145
3.9.	Задачи оптимизации спектра плана измерений
навигационных параметров.............................147
3.9.1.	Оптимизация спектра плана измерений
навигационных параметров КА
в однородном гравитационном поле Земли...........147
3.9.2.	Оптимизация спектра плана измерений
навигационных параметров при движении КА
в центральном гравитационном поле Земли...........151
3.9.3.	Оптимальное размещение
трёх радиодальномеров........................... 152
4 ----

Оглавление
3.10.	Последовательная структурно-параметрическая
оптимизация моделей
в едином технологическом цикле НБО
оперативного управления космическими полётами.........161
Литература................................................180
ГЛАВА 4
Баллистические задачи проектирования и эксплуатации
наземных и бортовых измерительных комплексов
космических аппаратов..............................  181
4.1.	Влияние навигационно-баллистического обеспечения
на характеристики КА и космических систем..........182
4.2.	Задачи баллистического обеспечения
для успешного функционирования
измерительных средств..............................199
4.3.	Определение трассы полета КА....................200
4.4.	Определение зоны видимости
измерительного пункта............................  206
4.5.	Определение расчетных значений
навигационных параметров.
Целеуказания измерительным средствам............213
4.6.	Прогнозирование параметров
движения центра масс КА для центров
управления полетом и бортовых систем............218
4.7.	Влияние возмущающих факторов
на прогнозирование движения центра масс КА.........242
Литература.......................................... 250
ГЛАВА 5
Универсальный численно-аналитический метод
прогнозирования движения космических объектов........253
5.1.	Элементы теории универсального
численно-аналитического метода...................  254
5.1.1.	Методическая основа......................256
5.1.2.	Вывод формул для расчета возмущающих факторов.265
5.2.	Оценка влияния точности модели движения КА
на точность определения и прогнозирования
орбитальных параметров спутников...................298
5

Оглавление
5.2.1.	Влияние различных возмущающих факторов
на элементы орбиты космических объектов............299
5.2.2.	Притяжение Луны и Солнца
на движение космических объектов....................300
5.2.3.	Влияние светового давления
на движение космических объектов.................  301
5.2.4.	Влияние сопротивления атмосферы
на движение космических объектов...................302
5.2.5.	Влияние нецентральное™ гравитационного поля Земли
на движение космических объектов...................303
5.3.	Оценка методических ошибок
универсального численно-аналитического метода..........315
Литература..............................................326
ГЛАВА б
Перспективные технологии навигационно-баллистического
обеспечения управления космическими аппаратами......... 333
6.1.	Направления совершенствования технологий
экспериментальной космической баллистаки...............335
6.2.	Определение орбиты низкоорбитального КА,
(метод, устойчивый к возмущениям
начального приближения)................................337
6.2.1.	Измерение траекторных параметров
наземными средствами при управлении КА..............337
6.2.2.	Проблемные вопросы определения орбиты
низкоорбитального КА................................339
6.2.3.	Требования к разработке устойчивого к возмущениям
начального приближения метода определения
орбиты КА...........................................344
6.2.4.	Построение инъективного отображения
измеряемых и расчетных параметров орбиты КА.........348
6.2.5.	Метод инверсного преобразования
траекторных измерений...............................352
6.2.6.	Математический подход к инверсному преобразованию
траекторных измерений...............................356
6.2.7.	Экспериментальное исследование
метода инверсного преобразования
траекторных измерений...............................358
6.3.	Однопунктовый способ навигации
геостационарного спутника..............................371
6----

Оглавление
6.3.1.	Анализ известных подходов................374
6.3.2.	Предпосылки для совершенствования
однопунктового способа навигации
стационарного искусственного спутника...........376
6.3.3.	Структурные составляющие
однопунктового способа навигации.................378
6.3.4.	Результаты применения
однопунктового способа навигации.................385
6.4.	Определение местоположения потребителя
с использованием РРР-технологии
для двухчастотного приемника СРНС ГЛОНАСС.......389
Литература..........................................416
Приложение 1
Типовой вариант прогнозирования движения КА..........419
Приложение 2
Коэффициенты моделей атмосферы Земли...............  423
Приложение 3
Типовые баллистические алгоритмы...................  430
Литература.........................................  481
Список основных сокращений.........................  482
Сведения об авторах..................................485
7

Введение
Как известно, под системой, вообще, и под системой навига-
ционно-баллистического обеспечения управления космических
средств, в частности, понимают множество элементов, находящих-
ся в связях между собой и образующих определенную целост-
ность, единство. Для подобной системы характерно не только
наличие связей и отношений между образующими ее элементами
(определенная организованность), но и неразрывное единство со
средой, во взаимоотношениях с которой система выражает свою
целостность. Как и в любой системе, уровни ИБО могут быть
рассмотрены как элементы системы более высокого порядка, в то
время как ее элементы могут выступать в качестве системы более
низкого порядка.
Системный анализ в современном понимании позволяет
осуществлять синтез идей и принципов общей теории систем, ки-
бернетики с возможностями современной вычислительной тех-
ники, и имеет своим предметом изучение и моделирование объ-
ектов сложной природы (систем) в части их организации, т.е.
взаимосвязи отдельных частей. В указанном смысле системный
анализ НБО позволяет в полной мере глубоко изучать рассматри-
ваемую область знаний, а именно: систему навигационно-
баллистического обеспечения управления космических средств с
различных точек зрения на различных уровнях познания.
Целью данного издания, являющегося второй книгой по
НБО космических средств, служит системный анализ различных
аспектов навигационно-баллистического обеспечения управления
КА, среди которых важную роль играет рассмотрение технологи-
ческих процессов, циклов и операций, исследование измеритель-
ных задач в различных условиях с соответствующим применени-
ем выбранных типов измерений, проведением этапов планирова-
8 ---

Введение
ния, а также применением современных технологий организации
и решения задач определения параметров движения.
Как известно, в контуре управления космических объектов
циркулируют три вида информации - баллистическая (траектор-
ная), телеметрическая и командно-программная. В представлен-
ных материалах в определенной мере затрагиваются и схожие с
ИБО вопросы информационно-телеметрического обеспечения
(ИТО), в частности, элементы технологического цикла ИТО и ви-
дов телеметрических измерений.
Несмотря на то, что отмеченным вопросам уделено доста-
точно много места в книге, на наш взгляд, при рассмотрении со-
временных технологий навигационно-баллистического обеспече-
ния (см. гл. 6) целесообразно было бы расширить рассмотрение
вопросов совместной обработки измерений текущих навигацион-
ных параметров «традиционными» измерительными комплекса-
ми и измерений, получаемых с помощью аппаратуры спутнико-
вой навигации, а также других типов измерений, в том числе
осуществляемых на борту космических аппаратов.
Особое место должно найти изучение вопросов автономного
определения траекторий движения (орбит) на борту космических
аппаратов с применением интеллектуальных средств контроля
процессов расчетов. По мнению авторов, подобные вопросы
должны войти в отдельную книгу, посвященную отмеченным
направлениям обработки данных, и будут предметом дальнейших
исследований и публикаций.
В приложении 1 приведен вариант прогнозирования движения
космических аппаратов на 8 витков. Результаты расчетов могут
быть полезны для оценки вычислений при разработке комплекса
программ математической модели движения КА и создания ав-
томатизированного имитационно-моделирующего комплекса
программ навигационно-баллистического обеспечения управле-
ния космическими объектами. В приложении 2 даны коэффици-
енты моделей атмосферы Земли, используемые в численно-
аналитических математических моделях движения космических
объектов.
Авторы признательны рецензентам монографии - заслу-
женному деятелю науки Российской Федерации доктору техни-
-------------------------------------------------------- 9

Введение
ческих наук, профессору ДА. Ловцову и доктору технических
наук, профессору В.В. Васильеву за внимание и доброжелатель-
ную критику.
Материал представленной книги обсуждался с многими ве-
дущими специалистами, в том числе с теми, кто внес суще-
ственный вклад в развитие теории и практики навигационно-
баллистического обеспечения. Авторы выражают им свою ис-
креннюю благодарность за поддержку и помощь.
В заключение авторы хотели бы отметить, что написа-
ние книги, особенно на завершающем этапе ее отработки, по-
требовало от них детального совместного обсуждения всех
включенных в работу материалов. Отдельные разделы книги
написаны совместно с доктором технических наук, профессо-
ром С.А. Ежовым (§6.1), доктором технических наук, профессо-
ром Л.Н. Лысенко (§3.10), профессором, доктором технических
наук А.И. Куприяновым (гл. 2), доктором технических наук, про-
фессором А.Ю. Потюпкиным (§4.1), кандидатом технических
наук Ф.В. Звягиным (§3.10), кандидатом технических наук
В.Е. Вдвасовым (§6.4), кандидатом технических наук М.Н. Кали-
ниным (§4.7), инженером С.Г. Лапшиным (§6.2), инженером
А.В. Бешановым (§4.6, прил. 1, 3).
Замечания и пожелания по книге просьба направлять по ад-
ресу: 111250, г. Москва, ул. Авиамоторная, д. 53, АО «Российские
космические системы».
10------

ГЛАВА 1
Технологические основы
навигационно-баллистического
обеспечения испытаний
космических аппаратов
1.1.	Адаптация понятий технологическая операция, цикл и процесс
к информационно-расчетному обеспечению испытаний КА
1.2.	Предварительная обработка измерений текущих навигационных
параметров КА
1.3.	Использование полиномной среды (таблиц узловых значений)
в практике оперативного НБО
1.4.	Технологический цикл информационно-телеметрического обеспе-
чения управления КА

Глава 1
1.1.	Адаптация понятий
технологическая операция, цикл и процесс
к информационно-расчетному обеспечению
испытаний КА
Управление технологическим циклом (ТЦ) навигационно-
баллистического обеспечения (НБО) по аналогии с формировани-
ем технологического управления космическими полетами (КП)
осуществляет интегрированная автоматизированная система
ТЦ НБО (АС ТЦ НБО), входящая в структуру АС НБО и предна-
значенная для решения навигационно-баллистических задач
(НБЗ) в интересах управления различного вида систем, комплек-
сов и обеспечения космических полетов в целом.
АС НБО является сложной территориально-распределенной
информационно-управляющей системой с соответствующими ви-
дами обеспечения. Она включает в себя информационно-вычис-
лительные средства, средства связи и передачи данных, программ-
но-математическое обеспечение (ПМО) и средства поддержки в
виде структур баллистического и технического комплексов. Как
и АСУ КП в целом, АС ТЦ БНО имеет централизованную иерар-
хическую структуру с программно-математическим обеспечением,
представляющим совокупность функционально и информацион-
но-связанных по уровням иерархии программных комплексов
различного назначения, объединяющих в замкнутую структуру
средства автоматизации, управления их функционированием, ре-
шение всего состава навигационно-баллистических задач при ис-
пытаниях и эксплуатации космических аппаратов (КА).
В состав задач АС ТЦ БНО входят задачи АС НБО, решае-
мые на уровне и с частотой, соответствующей реализации техно-
логических циклов НБО:
1)	отработка, тестирование и практическая реализация мето-
дов и алгоритмов решения НБЗ;
2)	НБО юстировки и эталонирования измерительных средств
автоматизированного управления;
12 ---

Глава 1
3)	сбор, предварительная обработка и оценка качества сеан-
сов измерений текущих навигационных параметров;
4)	решение задач НБО управления средствами наземного
комплекса управления (НКУ);
5)	выдача исходных баллистических данных элементам НКУ и
внешним организациям для планирования работ и управления КА;
6)	обмен баллистическими и технологическими данными;
7)	астрономическое обеспечение НКУ.
Формализация функционирования системы предполагает
необходимость введения в рассмотрение по аналогии с техноло-
гическим управлением (ТУ) АСУ КП понятий технологической
операции (ТО), технологического цикла (ТЦ) и технологического
процесса (ТП).
Технологическая ситуация - суть действий, выполняемых
над массивами данных, принадлежащих одному КА, по подго-
товке информационно-расчетных данных для принятия и реали-
зации решения на управление. По существу, это операции по
подготовке, решению навигационно-баллистических задач и кон-
тролю результатов решения, то есть технологическую операцию
ассоциируют с решением конкретной баллистической задачи.
Вводится также понятие вспомогательной операции (ВО), под
которой понимается операция, не относящаяся к технологической
(получение, буферизация и выдача данных, отображение резуль-
татов расчетов и др.).
Технологический цикл - целенаправленная упорядоченная
совокупность ТО, каждая из которых связана определенным от-
ношением, по крайней мере, еще с одной технологической опера-
цией.
Технологический процесс - совокупность, как правило, взаи-
мосвязанных ТО, ВО и ТЦ, проводимых в течение определённого
интервала времени. Технологический процесс управления НБО
является композицией ТЦ, ТО и ВО с определяемыми на них от-
ношениями.
К ТЦ предъявляются жесткие требования по точности реше-
ния НБЗ и оперативности получения результатов как отдельных
задач, так и выполнения ТЦ в целом. Обычно этот цикл принято
подразделять на оперативную и неоперативную части.
----- 13

Глава 1
Выполняемые работы по НБО управления одиночным аппаратом или
некоторой совокупностью КА в течение заданного опорного проме-
жутка времени (например, в течение суток) объединяются в оператив-
ный (в частности, суточный) план.
Тогда процесс, состоящий из множества ТЦ, технологиче-
ских и вспомогательных операций и обеспечивающий выполне-
ние оперативного плана, будем называть технологическим про-
цессом НБО. Если известно множество ТО {TOi} и определено
понятие отношения гу между i-й и j-й операциями, то цикл может
быть представлен в виде кортежа
ТЦ = ({ТО1},г,7).
По определению, технологический процесс управления НБО
является композицией ТЦ, ТО и ВО с определяемыми на них от-
ношениями:
тп = <{Т01}, {тод, {В04;г„>,
где гп - коэффициент, характеризующий отношения между ТО,
ТЦиВО.
В основу построения системы управления (СУ) НБО долж-
ны быть положены три основных принципа: автоматизация, ин-
теллектуализация и гибкость. Реализация первых двух принци-
пов связана с созданием СУ, сводящей к минимуму участие опе-
ратора в управлении ходом выполнения ТЦ в штатной ситуации.
Так как управление ТЦ НБО невозможно осуществлять традици-
онными методами и приемами, при построении такой системы
должны быть использованы положения теории ситуационного
управления, применяемой для автоматизации интеллектуальных
функций управления сложными системами организационно-
диспетчерского типа.
В процессе выполнения оперативного плана могут возникать ситуа-
ции, в которых, с одной стороны, обнаруживается резкое противоре-
чие между планом и реальным ходом ТЦ, с другой, - у оператора от-
сутствуют четкие представления о том, что необходимо сделать для
ликвидации последствий отклонения от плана.
14----

Глава 1
При этом возможны два случая отклонений такого рода. В
первом случае оператору вообще неизвестны способы действий,
поскольку подобная нештатная ситуация не встречалась ранее в
его личном опыте и не предусмотрена инструкцией. Во втором,
несмотря на необычность ситуации, в распоряжении оператора
имеются отдельные приемы управления, комбинация которых да-
ет возможность решить задачу (плановая или рассмотренная не-
штатная ситуация).
Вследствие указанных обстоятельств, система управления
ТЦ должна не только интерпретировать текущую ситуацию и
прогнозировать будущее, но и осуществлять диагностику причин
возникновения ситуаций, формулировать план действий и кон-
тролировать его выполнение. Эти возможности СУ ТЦ могут
быть реализованы только при использовании наряду с методом
ситуационного управления, методов искусственного интеллек-
та. предполагающих описание знаний о предметной области в
базе знаний (БЗ) и наличии логического механизма поддержки
принятия решения.
Данные обстоятельства приводят к необходимости ввода в
состав СУ ТЦ, наряду с управляющим элементом, экспертной
системы, предназначенной для накопления знаний о предметной
области, анализа текущей ситуации на объекте управления и под-
держки принятия решения по выполнению технологического
цикла с учетом складывающейся ситуации.
Технологическая гибкость определяется уровнем инвариант-
ности показателей качества ТЦ к технологическим возмущениям,
а оперативная гибкость оценивается по значению отклонений
показателей качества при изменении номенклатуры космических
аппаратов в пределах допустимого множества. Кроме того, целе-
сообразно ввести понятие интерактивной гибкости, которая
определяется временем адаптации оператора к проведению ТЦ
принятого на обслуживание КА.
С учетом изложенного, на самом высоком уровне иерархи-
ческой структуры рассматриваемая система может быть пред-
ставлена в виде множества подсистем
К={Д, Ф, Б},	(1.1)
----- 15

Глава 1
где Д - управляющая подсистема; Ф - функциональная подси-
стема; Б - интеллектуальный банк данных.
Взаимодействие подсистем (1.1) через внешнюю среду, представля-
ющую собой совокупность операционных систем ЭВМ СУ ТЦ,
обеспечивает реализацию каждой подсистемы, исходя из сформули-
рованных основополагающих принципов ее построения. Дальней-
шая декомпозиция составляющих подсистем определяется их функ-
циональным назначением.
Исходя из задач управления, решаемых диспетчером, и ал-
горитмов функционирования СУ ТЦ, морфология ДТЦ может
быть представлена в виде
Д = {Дв, Дпк, Дтц, Ддо, Дбз, Дц},	(1.2)
где Дв - подсистема, обеспечивающая взаимодействие с ОС, под-
системами приема и выдачи баллистических данных (СПБИ и
СВБД), мониторинга технологического процесса (МТП) и ин-
теллектуального банка данных (ИБД); Дпк - подсистема подго-
товки и контроля для автоматической (автоматизированной) под-
готовки исходных баллистических данных (ИБД), необходимых
для решения целевых баллистических задач (ЦБЗ), и контроля
промежуточных финитных результатов; Дтц - подсистема фор-
мирования состава ЦБЗ и ИБД для автоматического (автоматизи-
рованного) выполнения ТЦ; Ддо - подсистема, обеспечивающая
диалог с оператором (лицом, принимающим решение); Дбз -
подсистема формирования запуска и управления ЦБЗ; Дц - под-
система управления данными.
Функциональная часть АСУ ТЦ обеспечивает содержатель-
ное наполнение ТЦ, ее морфология определяется ориентирован-
ностью предметной области на спектр КА (КС), НБО которых
предполагается проводить. Анализируя содержание и особенно-
сти НБО существующих и перспективных КА (КС), нетрудно вы-
делить требуемое множество подсистем:
Ф = {Фм, Фовс, Фпо, Фдо, Фсз},	(1.3)
где Фм - подсистема математической модели движения (ММД)
КА; Фовс - подсистема определения вектора состояния (ОВС);
16----

Глава 1
Фпо - подсистема предварительной (первичной) обработки сеан-
сов ИТНП; Фдо - подсистема динамических операций (ДО): вы-
ведение на орбиту, маневрирование и посадка; Фсз - подсистема
сервисных задач.
Подсистемы (1.3), с одной стороны, должны обеспечивать
дальнейшую декомпозицию вплоть до неделимых элементов (мо-
дулей), с другой, обладать гомоморфизмом: при их агрегирова-
нии в АСУ ТЦ обеспечивать адекватное отражение предметной
области, т.е. свойства системы в главном.
Рассмотренная концептуальная модель АСУ ТЦ БНО позволяет со-
здать ее математическое описание и, кроме того, определить требо-
вания к СУ ТЦ, ее составляющим, а также к принципам их разра-
ботки.
Для более детального изучения технологических элементов
навигационно-баллистического обеспечения подробнее рассмот-
рим ленточный график типового технологического цикла НБО
управления КА (рис. 1.1, 1.2: Ув - номер витка; ПрО - предвари-
тельная обработка ИТНП; ПНУ - прогнозируемые начальные
условия; ОВС - определение вектора состояния; КЗ - краевая за-
дача; СВБД - совокупность баллистических данных; X - коэффи-
циент светового давления; КДУ - корректирующая двигательная
установка; УНУ - уточнённые начальные условия движения;
^бал.сущ - время баллистического существования; ЦУ - целеуказа-
ния для антенн измерительных средств).
Технологические циклы НБО, ленточные графики которых
изображены на отмеченных рисунках, принципиально отличают-
ся. При проведении технологических операций, изображенных на
рис. 1.1, предполагается обработка измерений текущих навигаци-
онных параметров по совместной выборке, то есть к началу про-
ведения расчетов накоплена полная предполагаемая выборка
ИТНП, в то время как рис. 1.2 иллюстрирует технологический
цикл с обработкой ИТНП посеансно. Как правило, при этом при-
меняются для обработки алгоритмы фильтрации калмановского
типа (например, линеаризованные многоитерационные рекур-
рентные алгоритмы обработки и др.).
----- 17

ПНУ
УНУ
I 3-й сеанс
| 2-й сеанс |
| 1 -й сеанс ИТНП |
z0
(*в0)
Уточнение
параметров
КДУ
Уточнение
Расчет трассы
полета КА
£-й сеанс
Про ОВС (КЗ)
Форми-
рование
СВБД
Долгосрочное ПРГ
движения КА
Краткосрочное
ПРГ движения
КА | z
Расчет/балсущ (Ув)
Расчет зон РВ
(ЛГв1) f--------------*-----------
Оперативная часть ТЦ
Расчет
времени
пересечения
свет-тень
Расчет ЦУ
Неоперативная часть ТЦ
______________________________Рисунок 1.1________________________
Типовой технологический цикл НБО (обработка совместной выборки измерений)

zo
ПНУ,
УНУ’
1 -й сеанс ИТНП
ИТНП а^1
ИТНП ©и.
Kaj
ОВС с исполь-
зованием
алгортимов
Лильтра
.алмана
УНУ,
Форми-
рование
СВБД
УНУ, = ПНУ2
^во)
2-й сеанс ИТНП
ПрО
ИТНП
ОВС с исполь-
зованием
алгортимов
фильтра
Кал мана
УНУ”
Форми-
рование
СВБД
УНУ2 = ПНУ3
t
(^В1)

ит.д.
__________________________________ Рисунок 1.2________________________
Типовой баллистический цикл НБО (обработка выборки измерений нарастающего объема)
40
Глава 1

Глава 1
Как уже отмечалось, под сеансом ИТНП понимается сово-
купность измерений одного типа (например, только дальностей),
проведённых одним и тем же измерительным средством в зоне
радиовидимости заданного КА.
Практика НБО показывает, что одновременная переработка ИТНП
различного типа («смешивание» сеансов ИТНП) в задаче определения
вектора состояния (например, для формирования системы нормаль-
ных или условных уравнений, весов измерений и др.) ухудшает точ-
ность получаемых оценок за счет усиления влияния погрешностей
измерений различного типа.
Например, оператору-баллистику при обработке смешанных
ИТНП сложнее выявить и отбраковать аномальные и системати-
ческие погрешности измерений.
Оперативная часть ТЦ начинается с решения задачи предва-
рительной обработки (ПрО) ИТНП (см. §1.2), только после за-
вершения которой может производится уточнение параметров
движения КА (задача определения вектора состояния или крае-
вая задача). После завершения решения краевой задачи осу-
ществляется формирование совокупности выходных баллистиче-
ских данных (соответствующей задачей СВБД), так как различ-
ным потребителям НБО требуются различные навигационно-
баллистические данные (НБД) со своей формой представления.
Параллельно различные этапы испытаний или эксплуатации мо-
гут потребовать решения задач идентификации математической
модели движения КА (например, уточнение баллистического ко-
эффициента для низкоорбитальных КА или коэффициентов све-
тового давления для космических объектов с высотой полета,
превышающей 800... 1000 км), а также уточнения параметров ра-
боты корректирующей двигательной установки и решения других
задач.
Рассчитанные уточненные начальные условия (УНУ) и при
необходимости дополнительные параметры служат одновремен-
но исходными данными для решения задач вторичной баллисти-
ки (см. гл. 3).
20 ----

Глава 1
1.2.	Предварительная обработка измерений
текущих навигационных параметров КА
Важной задачей оперативной части технологического цикла
НБО является предварительная обработка измерений текущих
навигационных параметров. ПрО осуществляет логическую и ма-
тематико-статистическую обработку ИТНП с целью подготовки
измерений и исходных данных для решения главной задачи ТЦ
НБО - задачи определения вектора состояния КА (краевой зада-
чи) (рис. 1.3).
Детальный алгоритм выполнения расчетов задачи предвари-
тельной обработки измерений ИТНП представлен на рис. 1.4.
Логическая обработка
- Контроль посылок, обработка иска-
жённых.
- Контроль достоверности по коррек-
тирующему коду Хэмминга позво-
ляет обработать искажения и ис-
правлять их.
- Перекодировка в форму, удобную
для дальнейшей обработки.
- Приведение информации ИТНП к
физическим размерностям внесение
поправок к измерениям.
Математико-статистическая
обработка
- Оценка статистических характери-
стик.
- Исключение («пометка») аномаль-
ных измерений.
- Получение предварительно обра-
ботанных измерительных пара-
метров и массивов времен, в кото-
рые эти параметры измерены.
______________________Рисунок 1.3____________________
Основные операции,
выполняемые задачей ПрО ИТНП
----- 21

Глава 1
22 ----

Глава 1
______________________Рисунок 1.4______________________
Алгоритм решения задачи ПрО ИТНП:
ББД - баллистическая база данных; ММД - математическая мо-
дель движения; AD - интервал времени в сутках, на которых име-
ются ИТНП; ТУЗ - таблица узловых значений (аппроксимирующие
моделируемую траекторию движения полиномы); Ал - приращение
измерения в сеансе; к - степень аппроксимирующего полинома
/=1
---- 23

Глава 1
Рассмотрим особенности статистической (математической)
обработки измерений текущих навигационных параметров.
Значения текущих навигационных параметров движения КА
(дальность, угловые координаты, скорость их изменения и т.д.)
непосредственно не измеряются. Их оценка осуществляется через
измеренные параметры электромагнитного сигнала, отраженного
от КА, ретранслированного или сформированного его бортовой
аппаратурой. К числу измеряемых параметров электромагнитно-
го сигнала относятся временный сдвиг, фазовый сдвиг, частота и
амплитуда.
В информационных посылках, формируемых на выходе
траекторной измерительной системы (ТИС), как правило, со-
держатся текущие значения измеряемых параметров сигнала,
представленные в цифровой форме. Поэтому на первом этапе ма-
тематической обработки ИТНП, прежде всего, решается задача
математической интерпретации измерительной информации. При
использовании функциональных зависимостей между контроли-
руемыми параметрами сигналов и соответствующих навигацион-
ных параметров движения КА осуществляется пересчет значений
«кодов параметра», содержащихся в информационных посылках,
в размерность навигационных параметров. Алгоритмы пересчета
зависят от вида измеряемого параметра, метода измерения, осо-
бенностей технической реализации измерителя, режима работы
системы и внешних условий измерения.
С целью повышения точности ИТНП на этапе предварительной обра-
ботки (ПрО) предусмотрено введение поправок к измерениям, компен-
сирующих сильно коррелированные (систематические) погрешности.
Таким образом, результирующее значение измерения навига-
ционного параметра ХО после ПрО определяется соотношением
п
у^=уАА^£АуА*)-	С1-4)
J-1
Здесь yn(t) - измеренное значение навигационного параметра, по-
лученное от траекторных измерительных средств на момент вре-
24 ---

Глава 1
мени t; Ayj(t) - поправка, компенсирующая сильнокоррелирован-
ную составляющую погрешности измерения, обусловленную у-м
фактором; п - число учитываемых факторов, порождающих ис-
точники сильнокоррелированных погрешностей измерений.
Число учитываемых факторов определяется для каждого
ТИС в зависимости от требуемой точности измерений, условий
измерения, вида измеряемого навигационного параметра, а также
используемого метода измерения.
При обработке, как правило, вводятся поправки, учитываю-
щие влияние на измерение следующих факторов:
1)	геофизического (влияние среды распространения элек-
тромагнитного сигнала);
2)	релятивистского эффекта;
3)	особенностей функционирования аппаратуры бортовой и
наземной частей ТИС;
4)	методические погрешности измерений.
Целью статистической обработки измерений каждого сеанса
ИТПН является решение следующих основных задач.
1.	Повышение достоверности измерений сеанса. Задача ре-
шается путем селекции измерений сеанса, т.е. отбраковки недо-
стоверных (аномальных) измерений.
2.	Оценка статистических характеристик, необходимых
для предварительного оперативного определения качества изме-
рений, а также для проведения селекции сеансов ИТНП на этапе
оценки вектора состояний КА по всей выборке измерений.
Для повышения достоверности ИТНП применяют различные алго-
ритмы селекции измерений. Ввиду сложности задачи селекции из-
мерений ее целесообразно решать поэтапно с последовательным
применением различных критериев достоверности измерений. При
этом «жесткость» каждого последующего критерия должна возрас-
тать.
Пусть вектор выборки (сеанса) навигационных измерений
имеет вид
>л|Г>	(1-5)
----25

Глава 1
где i = 1,..., п - индекс, означающий, что измерение проведено в
момент времени fc; п - число измерений сеанса (объем выборки).
Вид измеряемого навигационного параметра будем считать
произвольным, поскольку это не влияет на дальнейшее изложе-
ние. Вектору измерений у может быть поставлен в соответствие
вектор аддитивных погрешностей измерения:
7=I|jw2> •••> л1Г	<16)
так, что у =у* + 3у, где у* - действительное значение измеряе-
мого навигационного параметра. Предполагается, что погрешно-
сти измерений независимы и имеют нормальное распределение.
Образуем вектор отклонений (невязок) вектора измерений от
расчетного вектора :
Ду = у-у.	(1.7)
Здесь л/0) - вектор состояния КА, т.е. значение параметров дви-
жения КА (НУ).
При анализе погрешностей измерений будем оперировать
вектором Ду, полагая, что его погрешности такие же, как у век-
тора у.
Алгоритм селекции измерений
Этап 1. Первоначально отбраковка производится по усло-
вию нахождения значения измерения у/ в допустимых пределах:
У min — У1 — Утах? / = 1, И,	(1-8)
где ушт? Утах - допустимые минимальные и максимальные значе-
ния ИТНП для данного типа орбиты КА.
Этап 2. Из компонент вектора Ду образуется вариацион-
ный ряд:
Ду1 < Ду2< ... < Ау„1.	(1.9)
Здесь п\ - число измерений, оставшихся после первого этапа се-
лекции. Все отбракованные измерения не «выбрасываются», а
«помечаются» и остаются в массиве полученных измерений.
26 ---

Глава 1
Используя построенный ряд (1.9), определяется его медиана
Дут = гаедДу„	(1-Ю)
1 < i < п\.
Отбраковка производится по критерию
Ду, < Р Дут.
Здесь Р - коэффициент доверия, на практике его значение лежит
в пределах от 3 до 5.
Этап 3. Из-за приближенности начального вектора состоя-
ний вектор невязок Ду содержит и погрешности прогнозирова-
ния движения КА. Эти погрешности можно свести к постоянной
составляющей Дуг и ошибке, эквивалентной сдвигу измерений
всего сеанса по времени на Дуг (к - номер сеанса ИТНП). В связи
с этим каждое отклонение можно представить в виде условного
уравнения
^У1=^Ук~У^ку i=^n2.	(1.11)
Здесь y=-rLL; т - число измерении сеанса, оставшихся после
dt
второго этапа обработки.
Для более корректной последующей селекции измерений
сдвиг учитывается при вычислении расчетных значений измеря-
емых параметров, т.е. принимается, что
у,.=у.(г + Д/4).
С учетом сказанного на данном этапе производится отбра-
ковка по критерию трех сигм относительно аппроксимирующего
алгебраического полинома, например третьей степени:
Ду,(1.12)
Здесь аппроксимирующий полином
3
’	О-13)
у=о
---- 27

Глава 1
а используемая оценка д определяется из соотношения
п2
^(Ay,-Ay,W)2
/=1
п2
(1.14)
где т - число измерений, оставшихся после второго этапа селек-
ции; т - степень аппроксимирующего полинома (в данном слу-
чае т = 3).
Универсальный метод оценки временной погрешности kt к
рассматривается ниже.
Этап 4. Отбраковка аномальных измерений на основе ана-
лиза дисперсий подвыборок компонент вектора Ау .
Выборка невязок Ayz ,/=l,/73 разбивается на г подвыборок
одинакового объема, для каждой из которых находится выбороч-
ная дисперсия Sj, j=l9r. Вектору отклонений ставится в соот-
ветствие некоторая генеральная дисперсия о2. При отсутствии в
аномальных измерениях различия между каждой выборкой S?
должны быть незначительны (нулевая гипотеза). Подвыборки,
для которых нулевая гипотеза не подтверждается, исключаются
из рассмотрения до последнего этапа селекции.
Этап 5. Отбраковка аномальных измеренйй на основе сред-
них при нулевой гипотезе о том, что каждое выборочное среднее
является оценкой единого генерального среднего выборки откло-
нений Ayz, /=1,и4 . Подвыборки, для которых нулевая гипотеза не
подтверждается, исключаются из рассмотрения до последнего
этапа селекции.
Этап 6. На последнем этапе селекции производится аппрок-
симация полученной опорной выборки Ау/?/=1,и5 ортогональ-
ными полиномами Чебышева переменной степени. При этом из-
мерения, исключенные из рассмотрения на предыдущих этапах
селекции, не используются для построения аппроксимирующего
полинома.
28 -----

Глава 1
В качестве аппроксимирующего полинома может быть вы-
брана функция
L
ф(<)=2
(1.15)
где ТД/) — ортогональные полиномы Чебышева.
Выбор степени полинома L производится автоматически по
критерию Фишера, начиная с некоторого значения N:
((JN1 / <TV-I2) <Fn,n-i.
(116)
Для выбранной степени полинома производится оконча-
тельная отбраковка измерений относительно аппроксимирующе-
го полинома по критерию
|Ду,- -Ф(?,)| < 2,7ап, i=l,n5 .
Оценка ап находится следующим образом:
п5
£(Ду/ -ф-U))2
«5-(£-!)
(1-17)
Проверке по критерию (1.16) подлежат все измерения, в том
числе исключенные ранее на этапах 1-5 селекции. Измерения, не
удовлетворяющие этому условию, из дальнейшей обработки ис-
ключаются. При этом отбраковка оставшихся измерений повто-
ряется по критерию (1.12), начиная с построения аппроксимиру-
ющего полинома (1.13). С целью обеспечения более гибкого ис-
пользования измерений «некачественных» сеансов ИТНП на
практике обычно реализуется возможность участия человека-
оператора в селекции измерений.
Одной из основных задач предварительной статистической
обработки сеанса ИТНП является оценка статистических харак-
теристик измерений. Эти оценки используются для оперативного
определения качества поступивших в центр обработки измере-
ний, а также для селекции сеансов измерений на этапе определе-
ния вектора состояния КА по полной выборке.
---- 29

Глава 1
Как правило, оцениваются следующие статистические ха-
рактеристики измерений каждого сеанса.
1.	Среднеарифметическое отклонение измерений у, от рас-
четных значений
т е. Aycao=-^Ay, ,
п /=1
где невязки Ду,. определяются из соотношения
Ау,=л-Л-
Здесь и далее расчетные значения навигационных парамет-
ров определяются с учетом временной ошибки Az* сеанса, мето-
дика оценки которых рассматривается ниже.
2.	Среднеквадратическое отклонение измерений у/ относи-
тельно орбиты:
п
^Ьу{-Ьу)2
(1-18)
3.	Среднеквадратическое отклонение измерений относитель-
но аппроксимирующей функции (полинома). В качестве аппрок-
симирующей функции часто выбираются ортогональные поли-
номы Чебышева (1.15). Искомая оценка ап находится по соотно-
шению (1.17).
4.	Временная ошибка сеанса Д&.
Анализ методов определения временной ошибки и ее физи-
ческого смысла проведен в работах [3, 5]. Однако предлагаемые
методы оценки \tk пригодны для обработки ИТНП КА с вполне
определенными траекториями.
Для получения универсальной оценки временной погрешно-
сти Д/, можно использовать унифицированную ММД КА в не-
30 ---

Глава 1
особенных переменных Л (z = 0, 1, ..., 5), в которых положение
КА вдоль траектории характеризуется переменной [3-6]
Л5 = Q + бУ + &.
Пусть т - время прохождения перигея, /о - время прохожде-
ния КА плоскости экватора, тогда
250 =^(Z0	+	,
(1-19)
где п =
- среднее движение.
С учетом (1.19) можно записать выражение для производ-
ной - расчетного значения параметра y(/z) по времени прохожде-
ния экватора t3\
—1-1,И.
Это позволяет систему условных уравнений (1.11) для опре-
деления временной ошибки Д4 и среднего отклонения измерений
сеанса представить в виде
У,+	С1-20)
«Лю
Решение системы условных уравнений (1.20) методом
наименьших квадратов (МНК) можно записать в виде
1 хЧ /	xrdy(t:)
АУсао ^^(Уг ~ у(?1))
п L /=1	/=1
(1.21)
----- 31

Глава 1
Исследование оценок (1.20), полученное по реальной ин-
формации сеансов ИТНП КА с различными типами траекторий,
подтвердила их универсальность.
1.3. Использование полиномной среды
(таблиц узловых значений)
в практике оперативного НБО
Помимо совершенствования алгоритмического обеспече-
ния в части вычисления возмущающих ускорений в правых ча-
стях системы дифференциальных уравнений (СДУ) и интегри-
рования уравнений состояния, повышение оперативности про-
ведения технологического цикла (ТЦ) может быть также
обеспечено за счёт интерполяции рассчитанных в результате
численного интегрирования параметров движения КА, запоми-
нания их в баллистической базе данных с целью дальнейшего
использования подсистемами-абонентами как во время текуще-
го ТЦ, так и при проведении оперативной части следующего ТЦ
по обслуживаемому КА.
Идея использования полиномной среды (ПС) как средства решения
указанных задач в комплексах программ НБО различного целевого
назначения доказала свою состоятельность и эффективность.
В свете обсуждаемого подхода под полиномной средой (таб-
лицами полиномов) принято понимать совокупность значений
интерполируемых величин параметров движения, соотнесённых с
определёнными интервалами времени, записанных в той или
иной форме и сведенных в специальные таблицы. В зависимости
от типа выбранного интерполяционного процесса (Лагранжа, Ла-
гранжа-Эткена, степенного и др.) в таблицы могут быть сведены
либо некоторые коэффициенты интерполяции, либо непосред-
ственно рассчитанные тем или иным способом значения пара-
метров движения КА.
32 ---

Глава 1
Способ построения полиномной среды зависит от различных факто-
ров: используемой ММД (системы переменных, вида СДУ, метода
интегрирования), требований точности и оперативности расчета па-
раметров движения, имеющихся вычислительных ресурсов и др.
Алгоритм решения задачи
расчета таблицы степенных полиномов 8-го порядка
в технологическом цикле БНО
Этап 1. Вычисляются кинематические параметры движения
X, Vy, Vz в точках аппроксимации /о, Л, ..., /и и параметры К(^),
Vy(ts), Vz(t%\ x(/s), y(fs), z(^) в узловой точке t% путем интегрирова-
ния СДУ движения КА.
Этап 2. По истинным значениям Р*', ]И, Vz в точках аппрок-
симации (ti =1,2, ..., 15) и параметров К, Vy, Vz, х, у, z в узловой
для обоих полиномов в точке рассчитываются коэффициенты
интерполяционных полиномов ая-, azl (z = 0, 1, ...,7), находя-
щихся слева от точки h (рис. 1.5).
Для коэффициентов аув, выполняются соотношения:
^0=ТО> ay0=Vy(t%), аг0=ТО-	(1.22)
Отыскание остальных коэффициентов «левого» полинома
производится по формулам:
а1
а2
лев
v'(h) -
V’(t6) -
V'W-
(1-23)
Левый «полином»
Правый «полином»

_______________________Рисунок 1.5______________________
Размещение точек аппроксимации и узловой точки на оси времени
для компактного их размещения в памяти ЭВМ
---- 33

Глава 1
где
(-7)7 (-7)6 ... (-7)1
(-б)7 (-б)6 ... (-6)’
н»..........................
(-1)7 (-1)6 ... (-1)1
0	0 о
1
1
1
1
Отыскание коэффициентов «правого» полинома произво-
дится по аналогичным соотношениям:
К'(Г9) - К'('ю) -	Г(/8) К'(?8)
^15)-	КЧ)
(1-24)
Этап 3. Коэффициенты интерполяционных полиномов и
значения параметров в узловой точке сводятся в таблицы опреде-
ленной структуры (рис. 1.6), позволяющее использовать их при
дальнейших расчетах кинематических параметров движения (как
правило, управляющей программой автоматизированного ком-
плекса программ БНО).
Этап 4. Одновременно с расчетом таблиц полиномов опре-
деляются моменты времени прохождения КА восходящего узла 4.
Расчет производится методом последовательных приближений до
выполнения условий
sign(z,+1)#sign(z/), z/+1-zz >0, ||z||<е,	(1.25)
где £ - некоторая величина, определяющая точность прохожде-
ния КА восходящего узла; zz+i, - значения параметра z в двух
последовательных точках интегрирования СДУ движения.
Результаты расчетов сводятся в таблицы «fe - Nb».
Описанный вариант построения таблиц полиномов основы-
вается на следующем алгоритме аппроксимации кинематических
параметров движения КА. Считая каждую компоненту скорости
34 ---

Глава 1
Э В

Общие данные
таблицы полиномов
С^внач’ *8’
*эн
^эк
(левый
«полином»)
v'x
(левый
«полином»)
НУ
в узловой точке Г8

_______________________Рисунок 1.6______________________
Структура таблиц интерполяционных полиномов
и параметров в узловых точках
(К, Vy, Vz) заданной в виде степенного полинома, можно запи-
сать:
^(r) = 6z0 + а}т{ +а2т2 + ...аптп ,(i = 1,2,3),	(1.26)
где т — независимая переменная: т= (tj - to)/h; tj - текущее время;
to - время начала полиномиальной аппроксимации; h - шаг расче-
та компонент скорости по времени; п — степень полинома (как
правило, п < 7).
Для узловых точек значения т будут (при п = 7):
_ _ ^0 “ ^0 _ п.	~	_ ^0 + - Z0 _ 1.
т7=7.
h
---- 35

Глава 1
Система уравнений 7-го порядка для узловых точек (по ана-
логии с уравнением (1.16)) примет вид
4”... 4" #7 О? =	(О),
67q 4" Р 4- ^1^ 4- ... 4- #71? ~ (fa (1)»
До 4- 6Z| 7^ 4- #2 7^ 4-... 4- #7 7? — #/ ( 7 ).
Учитывая, что ао= ?о (индекс i будем опускать) получим:
Ojl1 +а212 + ... + а717 =я'(1)-4'(0)’
ах2{ + а222 +... + а121 = ^'(2)-<?'(0),
ах11 + а212+... + а111 = tf'(7W(°)-
Обозначая матрицу постоянных целочисленных коэффициен-
тов через ||б||, определим искомые коэффициенты аппроксимации
книг
1
j
(1.28)
Или применительно к каждой скорости:
36 ----

Глава 1
По рассчитанным значениям Кхо, Vyo, Ко, хо, ^о, ^о; Ki, К2, ...,
К?; Кь К2, ..., Vyr9 Ki, К2, К7 и известным Л, Го, составляю-
щим ядро полиномной среды, могут быть получены параметры
движения КА на любой момент времени из интервала Го + 7h по
соотношениям:
to< tj< /0 + 7Л.
(1-29)
где т =
£/___h
h
Однако описанный метод построения интерполяционных полиномов,
во-первых, обладает недостаточным быстродействием из-за необхо-
димости построения полиномов высокой степени и, во-вторых, быст-
рым накоплением погрешностей расчетов вследствие двойного инте-
грирования.
Поэтому в практике НБО была разработана методика, сво-
бодная от этих недостатков и заключающаяся в накоплении и за-
поминании таблиц узловых значений (ТУЗ), представляющих из
себя упорядоченную совокупность шестимерных векторов пара-
метров движения и времени в точках интегрирования [2, 3]. Для
обеспечения гибкости функционального модуля интегрирования
(ФМИ) и модели движения (МД), в целом, в основу методики по-
ложены два принципа: принцип унифицированной топологии,
инвариантной относительно параметров орбит КА, и принцип
наличия широкого спектра алгоритмов построения таблиц. Реа-
лизация второго принципа обусловлена особенностями техноло-
гического цикла ОНБО, при проведении технологических опера-
ций которого (решение целевых баллистических задач (ЦБЗ))
возникает необходимость расчета различных вариантов таблиц.
Так, например, для решения задач сервисной баллистики удобно
рассчитывать ТУЗ на заданное число витков.
---- 37

Глава 1
Этот вариант отличается простотой организации интерфейса, а также
обеспечивает возможность расчета параметров движения заранее (в
неоперативное время), что оказывается особенно важным в тех случа-
ях, когда определение вектора состояния по ИТНП проводится на до-
статочно протяженном временном интервале и к оперативности полу-
чения совокупности выходных баллистических данных (СВБД) предъ-
являются жесткие требования.
Данный вариант требует больших объемов оперативной памя-
ти ЭВМ. От этого недостатка свободен вариант построения ТУЗ на
заданные временные интервалы, который удобно применять при
решении задач предварительной обработки сеансов ИТНП и опре-
деления вектора состояния на коротких интервалах времени, когда
известно время начала и окончания сеансов ИТНП. Оба варианта
построения ТУЗ в виде массивов значений несингулярных 2-пе-
ременных включают параметры движения КА, рассчитанные на
момент прохождения плоскости экватора, а также массив справоч-
ных данных, необходимых для идентификации ТУЗ и обеспечения
последующей интерполяции на заданный параметр. Структура ТУЗ
на заданное число витков приведена на рис. 1.7.
Проведенный ретроспективный анализ практики оператив-
ного НБО показывает [1, 4], что для реализации эффективного
интерфейса с подсистемами-абонентами возможности гибкого
конструирования различных вариантов ЦБЗ в составе ФМИ
необходимо иметь различные алгоритмы построения ТУЗ на за-
данное число витков (см. рис. 1.7: а - от номера витка НУ (Мну) с
положительным шагом интегрирования по переменной 2s на за-
данный интервал витков ДМ (рис. 1.8,а); б - от заданного номера
витка (Мзад), причем Мзад > Мну, с положительным шагом инте-
грирования по 2s на заданный интервал витков ДМ (рис. 1.8,6);
в - от номера витков НУ с отрицательным шагом интегрирования
по 2з до заданного номера витка (Мзад < Мну) на заданный интер-
вал витков с последующей перестановкой ТУЗ по принципу моно-
тонности возрастания по времени (Мзад+ ДМ < Мну) (рис. 1.8,в); г -
совмещенное построение ТУЗ: от номера витка НУ до заданного
номера витка с отрицательным шагом интегрирования по 2s
(Мзад < Мну) с перестановкой ТУЗ или от Мну до Мзад + ДМ с по-
ложительным шагом интегрирования (рис. 1.8,г).
38 ---

Глава 1
________________________Рисунок 1.7	__________________
Структура таблиц узловых значений:
7VTy3 - номер таблицы узловых значений (1 - ТУЗ на заданный ин-
тервал витков, 2 - ТУЗ на заданное количество временных интер-
валов); NKa - номер космического аппарата; NHy - номер началь-
ных условий; ЛГВИ - количество временных интервалов; /н (•) - мас-
сив значений времен начала построения ТУЗ; tK (•) - массив
значений времен окончания построения ТУЗ; АЛ5 - величина шага
интегрирования по ; А/Ц Z - величина шага записи узловых то-
чек в ТУЗ; ЛГ - номер витка начальных условий, от которых
строится ТУЗ; Увн - номер витка начала построения ТУЗ;
ANB - интервал витков построения ТУЗ; - число узловых точек;
К.п - число точек на экваторе; ЛГШ1 - номер плоскости (0 - для
ненулевых наклонений; 1 - для нулевых наклонений орбит)
---- 39

Глава 1

Увну
a)

#вну+длгв
ТУЗ
Л’Езад
взад в

б)
(A)
ТУЗ
*В
^взад
e)
N +ДУ
взад в
N
W

ТУЗ	Nb
~	I	L—*
взад	^вну	взад+ в
г)
________________________Рисунок 1.8________________________
Варианты построения ТУЗ
40 ----

Глава 1
Алгоритм «перестановки» ТУЗ
Этап 1. Запоминается индекс последнего элемента массива
ТУЗ, построенной с отрицательным шагом интегрирования.
Этап 2. Определяется индекс последнего элемента «пере-
ставленной» ТУЗ по формуле
Kk^F-J-l.	(1.30)
где F - объем массива, отведенного под ТУЗ; J - индекс послед-
него элемента построенной ТУЗ.
Этап 3. Каждый элемент ТУЗ сдвигается в начало таблицы
от первого до Кк -го элемента (рис. 1.9).
________________________Рисунок 1.9________________________
Вариант перестановки ТУЗ
Перестановка таблиц узловых назначений на экваторе про-
изводится аналогично.
При построении ТУЗ на заданное число временных интервалов эти
интервалы предварительно расставляются по монотонности, что дает
возможность значительно уменьшить объем массивов, выделяемых
под ТУЗ, которые в этом случае накапливаются от времени начала
первого временного массива до времени окончания последнего (для
расчета моделируемых значений измеряемых параметров интервал
времени немного увеличивается за счет «страховочного» интервала).
Для расчета параметров движения на заданный момент времени с ис-
пользованием построенных ТУЗ необходимо применить интерполя-
ционный процесс. Для этой цели можно использовать множество раз-
личных формул интерполяционных процессов, основанных на раз-
личном выборе базиса. В [5] показано, что лучшие результаты среди

Глава 1
указанного множества дает метод Лагранжа, который минимизирует
число арифметических операций. Особенно выигрышные результаты
метод Лагранжа дает в случае равноотстоящих узлов.
Формула лагранжевой интерполяции несингулярных A-пере-
менных на заданное время t имеет вид
=	7=0,...,5,	(1.31)
*=1
и+1
П('-А)
где п - число узловых точек; Lk =	---.
к=1
Формулы интерполирования неособенных переменных на
момент времени t по пяти узловым значениям имеют вид:
A>(0=A>(z)Ajo +А(0Аи +--+А»(0А)4>
А (0=a(0Ao+a(0Ai+---+а0)А4>
A(z) = A(0Ao+ A A)Ai +•••+А(0А4’
где Л0(/),...,й5(г) - значения неособенных переменных на мо-
мент времени t; А/0,...,А/4 - значения неособенных переменных
Л/ (i = 0,1,...,5) в пяти рядом отстоящих узловых точках;
Z0(/),...,Z5(r) - весовые множители в узловых точках, рассчи-
тываемые по формулам:
'	(/-Л)(г-г2)(г-/3)(/-г4)
(А - )(А - А)(А _ А)(А _ А)
j ('-а)0-а)('-а)('-а)
^U"(^-A)(6-A)(^-A)(^-A)’	(1-33)
(b (*-а)(*-*1)('-а)(<-а)
t 4U"(a-a)(a-^)(a-a)(a-a)'
42 ----

Глава 1
Применение метода Лагранжа приводит к потенциально лучшим ре-
зультатам, однако он, в отличие от разностных методов, не имеет
строгого показателя точности. Кроме того, в силу теоремы Фабера [4]
для полиномиальных интерполяционных методов отсутствует гло-
бальная сходимость. Вследствие этого при использовании лагранже-
вой интерполяции возникает задача выбора как расстояния (шага)
между узлами, так и порядка интерполяционных формул.
Задача усложняется тем обстоятельством, что выбор указан-
ных величин зависит от формы орбиты и учитываемых в правых
частях системы (1.12) возмущений, так как именно они опреде-
ляют «гладкость» 2-переменных.
Алгоритм исследования оптимального шага
между узловыми значениями
и порядка интерполяционной формулы
Этап 1. Предварительная оценка указанных величин с уче-
том в правых частях системы (1.12) возмущений от второй зо-
нальной гармоники и сопротивления атмосферы. В результате
исследований из множества значений шагов и порядков формул
удалось выделить доминирующее подмножество, обеспечиваю-
щее приемлемую точность интерполяции. Некоторые результаты
приведены в табл. 1.1 и 1.2, а также на рис. 1.10 (N - шаг интер-
поляции, выраженный в числе узловых значений на витке).
В верхних строках таблицы помещены максимальные погрешно-
сти на витке в интерполируемых значениях радиус-вектора и век-
тора скорости относительно численного интегрирования для пя-
тичленных лагранжевых формул.
Анализ этих результатов свидетельствует о достаточно высокой точ-
ности, обеспечиваемой применением этих формул при значениях ша-
га между узлами по /Ц в пределах от 2zr/48 до 2яг/96: макси-
мальная погрешность радиус-вектора около 1 м, а вектора скорости
около 1 мм/с. Аналогичные результаты для модели в прямоугольной
системе координат с использованием методов интерполяции, описан-
ных выше, дают точность на порядок ниже.
---- 43

Глава 1
______________________Т аблица 1.1____________________
Максимальная погрешность интерполяции
параметров движения в неособенных переменных
по 5-ти узловым значениям
Шаг интерпо- ляции	Вариант 1		Вариант 2		Вариант 3	
	а = 6766 км е = 0,004 i = 70 град h = 350 км Н-420 км		а = 7380 км е = 0,003 i = 80 град h = 990 км Н= 1040 км		а = 26400 км е = 0 i = 63,4 град h = H=2Q 000 км	
	Аг, м	АГ, см/с	Аг, м	АТ, см/с	Аг, м	АГ, см/с
2^г/96	0,03	0,0004	0,03	0,0003	0,005	0,00009
2я7 48	1,1	0,1	1,1	0,1	0,16	0,003
2я724	31	4,2	32	3,7	0,92	1,01
_______________________Таблица 1.2______________________
Максимальная погрешность интерполяции параметров движения КА
в неособенных переменных по различному числу узловых значений
(параметры орбиты i = 83 град; е = 0,003; Н = 1000 км)
Число узлов	Состав учи- тываемых возмуще- ний в ММД	Число точек интерполяции					
		3		5		7	
		Аг, м	АГ, см/с	Аг , М	АГ, см/с	Аг, м	АГ, см/с
98	2.0+СМА	1,24	0,19	0,04	0,004	0,004	0,0004
	16.16+СМА	1,26	0,19	0,04	0,004	0,005	0,0007
66	2.0+СМА	4,17	0,63	0,28	0,03	0,02	0,002
	16.16+СМА	4,24	0,63	0,27	0,03	0,05	0,007
50	2.0+СМА	10,0	1,50	1,15	0,13	0,12	0,01
	16.16+СМА	10,2	1,52	1,16	0,14	0,20	0,04
41	2.0+СМА	19,6	2,94	3,27	0,38	0,50	0,05
	16.16+СМА	19,9	2,97	3,39	0,42	0,76	0,11
34	2.0+СМА	33,6	5,06	8,35	0,95	2,04	0,22
	16.16+СМА	34,2	5,12	8,32	0,89	2,67	0,20
44 ----

Глава 1
На рис. 1.10 приведены максимальные ошибки интерполя-
ции по 5-ти узловым значениям для орбит с различными эксцен-
триситетами. Из рисунка видно, что с увеличением эксцентриси-
тета погрешность возрастает.
_______________________ Рисунок 1.10______________________
Ошибки интерполяции по 5-ти узлам
Этап 2. Исследования, направляемые на уточнение величи-
ны шага между узлами интерполяции и порядка формул в зави-
симости от вариаций спектра учитываемых возмущений. Часть
результатов исследований приведена в табл. 1.1.
Анализ результатов, помещенных в этих таблицах, свидетельствует о
том, что значения максимальных погрешностей изменились незначи-
тельно (в пределах 10... 15%). Это объясняется достаточно «гладким»
поведением несингулярных 2-переменных.
Этап 3. Уточнение полученных результатов проводилось
при проведении оценки точности интерполяции по реально суще-
ствующим КА с реально учитываемыми при описании их движе-
ния возмущениями, причем для сравнения использовался быст-
родействующий метод интерполяции кубичным сплайном [2, 7].
(Анализ результатов исследования показывает, что максимальная по- I
грешность лагранжевой интерполяции не превышает в радиус-векторе |
-----------------------------------------------------------45

Глава 1
5,5 см, а максимальная погрешность радиус-вектора при сплайн-
интерполяции составляет около 2 м. Заметим также, что время, затра-
чиваемое на интерполяцию в случае использования кубичного сплай-
на, примерно на 20% меньше, чем при лагранжевой процедуре.
Это говорит о том, что при несколько заниженных требова-
ниях к точности интерполяции сплайн-процедура может исполь-
зоваться наряду с формулой Лагранжа.
Эта задача, несмотря на кажущуюся тривиальность, существенно вли-
яет на оперативную и надежную характеристики интерполяционной
процедуры в целом. В [5] показано, что среди множества различных
методов и алгоритмов поиска в ранжированных таблицах, а именно к
этому классу принадлежат ТУЗ, наиболее экономичным и надежным
является метод бинарного поиска, алгоритм которого имеет среднюю
сложность 0 (log2 N). Именно этот алгоритм может быть использо-
ван при нахождении необходимых для интерполяции узлов.
В процессе интерполяции возникает задача поиска среди
упорядоченного множества времени f = ,z = l,...,7vj, где N -
число узлов, на которые рассчитаны узловые значения парамет-
ров в таблицах; п - число узлов интерполяции, удовлетворяющих
условию < гзад < /п, где Гзад - заданное время интерполяции.
Отметим, что разработанная методика и алгоритм построения таблиц
узловых значений, обеспечивающие высокую точность и оператив-
ность интерполяции параметров движения КА на заданное время,
позволяют внедрить новую технологию в интегрированную автомати-
зированную систему ОБНО.
Суть этой технологии заключается в следующем. В процессе
проведения очередного технологического цикла после определе-
ния уточненного вектора состояния КА при прогнозировании его
движения (в неоперативной части ТЦ) осуществляется построе-
ние ТУЗ на планируемый интервал ИТНП следующего ТЦ по
данному КА и «запоминание» их в баллистической базе данных.
46 ----

Глава 1
Время, затрачиваемое на эти операции, не превышает 3...5%
от общего времени, необходимого для решения задачи прогнози-
рования. При проведении следующего ТЦ в ходе решения задачи
предварительной обработки сеансов ИТНП и первой итерации
определения вектора состояния производится поиск необходи-
мых таблиц узловых значений в ББД, «считывания» их и интер-
поляция множества необходимых параметров движения. Так как
при решении данных задач основное время (70...80%) затрачива-
ется на интегрирование СДУ движения с целью получения рас-
четных значений параметров движения, внедрение этой техноло-
гии позволяет существенно повысить оперативность проведения
ТЦ. Особенно большой выигрыш достигается при проведении ТЦ
на больших (3...10сут.) «мерных» интервалах по ОБНО КА с
жесткими требованиями к точности определения движений.
Разработанная технология является основой для реализации опера-
тивной предварительной обработки и оценки качества сеансов ИТНП
в реальном или близким к нему масштабе времени.
1.4.	Технологический цикл
информационно-телеметрического обеспечения
управления КА
Технологический цикл управления КА (ТЦУ КА) определяет-
ся типом КА, этапом его жизненного цикла, в котором планиру-
ется работа с ним [10].
Этап лётных испытаний КА [6]
1.	Отсутствие на начало летных испытаний информации о
реальном поведении КА.
2.	Документация по управлению и комплексу программ ма-
тематического обеспечения (КПМО) информационных систем (в
части специального программного обеспечения) по обеспечению
управления КА, проходящем испытания, недостаточно отработаны
(возможны ситуации с КА, не предусмотренные документацией).
----47

Глава 1
3.	Персонал по обслуживанию аппаратно-программных
средств (АПС) информационных систем и управлению в ЦУП
продолжает обучаться в процессе летных испытаний.
Этап штатной эксплуатации (ШЭ)
1.	Объёмы информации, предоставляемой (используемой)
для управления КА уточнены и они меньше, чем при летных ис-
пытаниях.
2.	Документация по управлению КА и СПО отработана.
3.	Обслуживающий персонал обучен.
Этап ремонтно-восстановительных работ (РВР) на КА со-
четает проблемы и работы по управлению при летных испытани-
ях и штатной эксплуатации КА.
ТЦУ КА составляется, исходя из необходимости проведения
операций по управлению конкретным типом КА, его целевым
назначением с учётом возможностей и результатов работы ин-
формационных систем (КПО, ИТО, НБО) и каналов связи между
ЦУП и элементами систем, организованными интегрированной,
системой обмена данными (ИСОД).
Системы информационного обеспечения управления КА
функционируют также по своим технологическим циклам, вклю-
чающим типовые наборы операций по подготовке и проведению
сеансов связи с конкретным КА, и наполняют управляющими и
информационными операциями собственно ТЦУ КА.
В качестве примера рассмотрим типовой технологический
цикл ИТО управления КА (ТЦ ИТО КА), структура которого
приведена на рис. 1.11, реализуемый ЦСИТО с приемной радио-
телеметрической станции (ПРС) ОКИК.
На рис. 1.12 дана структура цепочки средств, используемых
при подготовке и проведении сеанса связи с КА (РБ, PH).
В технологическом цикле информационно-телеметрического
обеспечения используются операции и термины, применяемые в
секторе оперативного управления (СОУ) ЦСИТО при контроле
за ходом выполнения работ по приему ТМИ КА и распределён-
ной обработке ТМИ в сеансе.
48 ----

Директива
«доложить о
готовности ПРС»
Директивы
по управлению обработкой
Сеанс связи с КА
Директива
«спасибо за сеанс»
--------------►
t Квитанция
о выполнении
тестирования
ПРС
Загрузка СПО
обработки ТМИ КА J
Л и режимов ПРС *2
Квитанция
о готовности к сеансу
Ожидание
сигнала,
антенна
«нацелена»
h ТМИ
в цсито
Ас-1 Квитанция «ушел tK
с данного сеанса»
до свидания
Сеанс связи с КА
Дообработка,
анализ
Прием, регистрация ТМИ, I результатов
анализ качества сигнала,
предварительная обработка
в ПРС, доставка
1-го файла в ЦСИТО
ТМИ^! - 1-й файл
ТМИ Л2-2-й файл I
; Дообработка,
анализ
результатов
в ЦУП
ТМИЛк-к-й файл
1. Архивирование всех
полученных данных
и дообработанных
для анализа результатов
2. Архивирование всех
полученных данных
и дообработанных
для анализа результатов
} 3. Возможна директива
» на смену программы
предварительной
обработки ТМИ
в ПРС-ЦСИТО
Директива
_______________________Рисунок 1.11 _______________________
Структура и последовательность операций ТЦ ИТО управления КА, реализуемого из ЦСИТО
с одной ПРС ОКИК: /з---Л), /2.../1, 6.../о- подготовка ПРС, антенны, канала связи, обработка директивы
на сеанс (тип КА, вариант СПО, № ПРС, № КС); - время ТЦ ИТО управления КА;
- время ТЦ ИТО управления в сеансе

Команды в КИС,
директивы в ПРС
план работ ПРС
_______________________Рисунок 1.12_______________________
Схема тракта «ПРС - ЦУП КА» при реализации ТЦ ИТО управления КА в сеансе
(* - средства СИТО)

Глава 1
Содержание операции, процесса в цепочке средств
ПРС - ЦСИТО - ЦУП
Передача суточного плана работ (СПР)
Подготовлен и выдан в ПРС СПР.
Сборка
Наступило плановое время работы:
-	каналы связи готовы;
-	логические соединения АРМ в ЦСИТО установлены;
- ПМО загружено.
Ожидание директивы
Получена квитанция о готовности ПРС.
Передача директивы
Выдана директива в ПРС на обработку ТМИ.
Ожидание реализации с ПРС
J\q начала зоны видимости КА -15 мин.
Настройка
Получена квитанция от ПРС о готовности АС.
Ожидание сигнала
ПРС в состоянии ожидания сигнала.
Приём и обработка
Получен от ПРС первый файл с ТМИ -Ль
Формирование документа
Завершён прием в ЦСИТО всех файлов (A i.. .Аь\ формируются
и выдаются результаты дообработки на АРМ в СОТИ или в ЦУП.
Ожидание в ПРС. Директивы
Завершено документирование. Готовится передача директи-
вы завершения сеанса или на следующий сеанс.
Окончание
Выдана в ПРС директива на завершение сеанса.
Выполнено
Получена от ПРС квитанция о завершении сеанса.
Событие
Выявлены обстоятельства, препятствующие завершению,
или нештатная ситуация. Код события в СПО АРМ СОТИ.
----- 51

Глава 1
Передача блоков (файлов) Ai, Л 2, ...,4 в режиме, когда из-за
недостаточной пропускной способности каналов связи ОКИК -
ЦСИТО (ЦУП), например при работе с перебазируемой (мобиль-
ной) ПРС, приходится планировать распределённую обработку
ТМИ КА - предварительную на ПРС КИП, затем первичную (до-
обработку) в ЦСИТО. В случае использования широкополосного
канала связи от ПРС полные потоки ТМИ (весь сеанс) поступают
с ОКИК в ЦСИТО фактически одним файлом Ль
В ЦСИТО проводятся оба этапа обработки (предварительная
и первичная) с выдачей результатов обработки в ЦУП. В этом
случае файлы с разных ПРС (ОКИК) должны быть «сшиты» в
ЦСИТО в единый массив, что делается при архивировании.
Таким образом, ТЦУ ИТО управления КА - это совокуп-
ность операций по подготовке и проведению сеанса связи с КА
по приёму, обработке и представлению результатов обработки
анализаторам ЦУП в согласованном объёме в заданное оператив-
ное время с заданной достоверностью.
Приведем в качестве простейшего примера ориентировоч-
ный расчёт производительности СИТО, пользуясь понятием ТЦУ
ИТО управления КА, и используем следующие исходные данные:
время ТЦУ ИТО управления КА (to - tk)
(объектпо-сеанс)............................20	мин (0,3 ч)
численный состав группировки автоматических КА,
обслуживаемых СИТО...................................100
число ОКИК...........................................10
число объекто-сеансов с КА на каждый комплект
из двух ПРС каждого ОКИК (в среднем).........3	раза в сутки
техобслуживание на ПРС.........................1 ч/сутки
Оценим:
1)	плановая суточная производительность СИТО:
П = 3 сеанса х 100 = 300 об.-сеансов;
2)	суточная техническая пропускная способность ПРС:
Ппрс= (24 - 1):0,3 = 70 об.-сеансов;
3)	суточная техническая пропускная способность СИТО:
Пт= 70x2x10 = 1400 об.-сеансов.
52 -----

Глава 1
При заданных исходных данных для расчёта получили почти
пятикратный запас по производительности при условии, что в
ЦСИТО обеспечено круглосуточное функционирование аппарат-
но-программных средств ССД, СОТИ, СОУ.
1.	Формализация функционирования автоматизированной системы
навигационно-баллистического обеспечения управления космическими
объектами предполагает необходимость (по аналогии с технологиче-
ским управлением космическими полетами и технологическим циклом
информационно-телеметрического обеспечения) введения в рассмот-
рение понятий технологической операции, технологического цикла и
технологического процесса. Адаптация отмеченных понятий в практику
управления КА позволяет повысить уровень автоматизации и надеж-
ность выполнения расчетов, обеспечивает эффективное планирование
выполнения работ по НБО.
2.	Проведенный анализ элементов технологического цикла НБО
управления КА с использованием ленточных графиков дает основания
для выделения оперативной и неоперативной частей ТЦ НБО. От дли-
тельности выполнения первой зависит принципиальная возможность
решения задач вторичной баллистики, обеспечивающих проведение
испытаний и целевого использования космических объектов.
3.	Решению краевой задачи, центрального элемента оперативной
части технологического цикла, предшествует предварительная обра-
ботка измерений текущих навигационных параметров, позволяющая, в
частности, оценить качество сеансов ИТНП с целью придания соответ-
ствующего «веса» измерениям на этапе выполнения КЗ.
4.	Полученные в процессе предварительной обработки ИТНП стати-
стические характеристики сеансов (Дусдо, оъ, ол, Л&) имеют случайный
характер и отличаются от реальных значений соответствующих веро-
ятностных характеристик.
Данное обстоятельство обусловлено тем, что используемые при этом
массивы измерений сеансов представляют собой выборку случайных
величин ограниченного объема и использованием еще не уточненных,
а «грубых» (как правило, спрогнозированных с предыдущего цикла
уточнения) начальных условий движения КА.
5.	Широкое применение в практике выполнения оперативного тех-
нологического цикла НБО получили операции построения полиномной
среды, играющие важную роль повышения эффективности выполнения
расчетов за счет единого построения и запоминания в базе баллисти-

Глава 1
ческих данных параметров траектории движения объекта в виде поли-
номной среде или таблиц узловых значений. Использование полином-
ной среды исключает дублирование вычислений на этапе применения
математической модели движения КА, например при решении задач
вторичной баллистики и подготовки трудоемких вычислительных опе-
раций к следующему технологическому циклу НБО.
Литература
1.	Бажинов И.К., Ястребов В.Д. Навигация в совместном полете кос-
мических кораблей «Союз» и «Аполлон». М.: Наука. 1978.
2.	Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических
аппаратов. Изд. 3-е. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2016.
3.	Лысенко Л.Н., Бетанов В.В., Звягин Ф.В. Теоретические основы
баллистико-навигационного обеспечения космических полетов.
Монография. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2014.
4.	Экспериментальная баллистика ракетно-космических средств.
Учебник / Под ред. Л.Н. Лысенко, В.В. Бетпанова, И.В. Лысенко.
М.: РАРАН. 2000.
5.	Байрамов К.Р., Бетанов В.В., Ступак Г.Г., Урличич Ю.М. Управ-
ление космическими объектами. Методы, модели и алгоритмы ре-
шения некорректных задач навигационно-баллистического обеспе-
чения. Монография. М.: Радиотехника. 2012.
6.	Тюлин А.Е., Бетанов В.В. Летные испытания космических объек-
тов. Определение и анализ движения по экспериментальным дан-
ным / Под ред. А.Е. Тюлина. М.: Радиотехника. 2016.
7.	Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная
баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1984.
8.	Ломако Г.И. Экспериментальная баллистика космических аппара-
тов. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1997.
9.	Макаренко Д.М., Потюпкин А.Ю. Системный анализ космических
аппаратов. Учеб, пособие. М.: МО РФ. 2007.
10.	Мухин Е.В. Наземные станции связи со спутниками. Принципы со-
здания и применения. Учеб, пособие. М.: МЭИ (НИУ). 2012.
11.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динами-
ческих систем по результатам измерений. М.: МО. 1981.
12.	Степанов М.Г. Введение в теорию смещенного оценивания пара-
метров движения космических аппаратов по ограниченным дан-
ным. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1993.
13.	Худяков С.Т., Жданюк Б.Ф., Брандин В.Н. Летные испытания ракет и
космических средств. Учебник. М.: ВА им. Ф.Э. Дзержинского. 1968.
14.	Элъясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений.
М.: Наука. 1976.
54 ---

ГЛАВА 2
Измерения текущих
навигационных параметров
при летных испытаниях
космических аппаратов
2.1.	Классификация измерений
2.2.	Виды измерений и измерительная система координат
23.	Физические принципы работы радиосистем при измерениях пара-
метров движения КА
2.4.	Измерение радиальной скорости КА
2.5.	Измерение дальности до КА
2.6.	Измерение угловых координат КА
2.7.	Измерение производных угловых координат КА
2.8.	Общая характеристика процесса сбора и обработки телеметриче-
ских данных

Глава 2
2.1.	Классификация измерений*
Под измерением некоторой физической величины понимают
процесс сравнения ее с другой однородной физической величи-
ной, принятой за единицу сравнения [11].
Измерения принято классифицировать:
1)	по физическому исполнению (прямые и косвенные);
2)	по количеству (достаточные и избыточные);
3)	по точности (равноточные и неравноточные);
4)	по условиям измерений (независимые и зависимые).
Прямые измерения - измерения, при которых непосред-
ственно сравнивают две физические величины - измеряемая и
принятая за единицу сравнения.
Косвенные измерения - измерения, при которых искомую
физическую величину получают вычислением как функцию ре-
зультатов измерений некоторых величин-аргументов.
Достаточные (необходимые) измерения позволяют полу-
чить только один результат прямого или косвенного измерения
искомой физической величины.
Избыточные (дополнительные) измерения позволяют полу-
чить более одного результата искомой физической величины.
Следует отметить, что деление измерений на достаточные и избыточ-
ные важно, так как осуществление дополнительных измерений позво-
ляет, во-первых, внедрять в практику алгоритмы обнаружения ано-
мальных результатов измерений и, во-вторых, создает необходимые
условия для решения основных задач теории математической обра-
ботки результатов измерений, в частности, задачи сглаживания и апо-
стериорной оценки точности.
Деление измерений по точности, а также на зависимые и не-
зависимые основано на анализе условий, в которых они прово-
дятся.
* Глава 2 написана совместно с проф., д.т.н. А.И. Куприяновым.
56 ----

Глава 2
Под условиями измерений следует понимать конкретное со-
держание и состояние в процессе измерений факторов измере-
ний: объект и субъект измерений, мерный прибор, метод измере-
ний и внешняя среда.
Если условия измерений одинаковы, то и степень доверия к
производимым в них измерениям одинакова. В этом случае ре-
зультаты измерений принято называть равноточными.
При неодинаковых условиях, т.е. когда состояние и содер-
жание хотя бы одного фактора отличаются (например, применя-
лись разные методы измерений или субъекты имели неодинако-
вую квалификацию), результаты измерений считаются неравно-
точными.
Если осуществляются два измерения в совершенно различных усло-
виях, то нет основания полагать, что влияние условий на результаты
измерений будет однообразным. Тогда, естественно, можно считать,
что такие измерения будут независимыми. В противном случае, когда
условия измерений имеют некоторую общность, например, в процессе
измерений используется один и тот же мерный прибор или измерения
выполняются одним и тем же наблюдателем, то естественно полагать,
что результаты могут иметь некоторые общие черты, свойства. По-
этому такие измерения считаются зависимыми.
2.2.	Виды измерений
и измерительная система координат
При проведении летных испытаний и эксплуатации лета-
тельных аппаратов применяются следующие виды измерений:
внешние (траекторные), телеметрические и автономные.
Характерной структурной особенностью внешних измере-
ний является то, что измерительная и регистрирующая аппарату-
ра размещается вне ЛА, скажем, на земной поверхности. Непо-
средственно на объекте могут устанавливаться средства повыше-
ния контрастности (ретрансляторы, маяки, отражатели и т.д.).
Данный вид измерений используется главным образом для
решения задач, связанных с определением движения центра
------------------------------------------------------ 57

Глава!
масс. С учетом специфики современных ЛА этими задачами мо-
гут быть:
1)	определение и прогнозирование параметров движения;
2)	управление и контроль движения;
3)	оценка эффективности и летно-технических характери-
стик;
4)	навигационное обеспечение;
5)	уточнение параметров внешней среды и др.
Телеметрические измерения____________________________
Их структурная особенность состоит в том, что измеритель-
ная аппаратура размещается на объекте, а регистрирующая - вне
объекта (на земной поверхности). Основные задачи, которые ре-
шаются посредством телеметрических измерений, сводятся, по
существу, к контролю функционирования бортовых систем и к
определению движения вокруг центра масс ЛА.
Автономные измерения_________________________________
Характеризуются тем, что и измерительная аппаратура и ре-
гистрирующая размещаются на объекте. Этот вид измерений
применяется в тех случаях, когда телеметрические измерения ма-
лоэффективны.
Следует иметь в виду, что упомянутые виды измерений до-
полняют друг друга. Их совместное использование в процессе
летно-баллистического эксперимента позволяет получить доста-
точно полную информацию о наиболее существенных характери-
стиках объекта и его систем и сделать на этом основании выводы
о соответствии требований, которые предъявляются к данному
объекту со стороны заинтересованных организаций.
Начало измерительной системы координат (OXHYKZK ) совпа-
дает с точкой стояния измерительного средства. Ось О¥и направ-
ляется вверх по отвесной линии. Положение оси ОХИ в плоскости,
касательной к геоиду в точке О, определяется астрономическим
азимутом Д,а. Положение начала определяется астрономическими
широтой Вт, долготой Lm и превышением Яиа. Система коор-
динат участвует в суточном вращении Земли (рис. 2.1).
58 ---

Глава 2
_______________________Рисунок 2.1_______________________
Измерительная система координат
Если некоторый угол, характеризующий уклонение отвесной
линии, равен нулю, то местная система координат [3] полностью
совпадает с измерительной системой.
2.3.	Физические принципы работы
радиосистем при измерениях
параметров движения КА
Работа радиоэлектронных систем контроля траекторий кос-
мических аппаратов основана на трех фундаментальных физиче-
ских принципах.
1.	Принцип постоянства скорости распространения элек-
тромагнитных волн (скорости света) с «ЗЮ8 м/с (точнее, ско-
рость составляет 299 762 456,2±1,1 в вакууме). На основе прин-
ципа постоянства и известности скорости света определяют даль-
ность R до цели, измеряя время задержки т переизлученного
(отраженного) целью зондирующего сигнала:
---- 59

Глава 2
Л =	(2-1)
Множитель 1/2 учитывает, что при измерении дальности за
время т радиосигнал проходит расстояние R дважды - от измери-
тельного пункта до КА, и обратно.
Разумеется, соотношение (2.1) устанавливает связь дально-
сти с задержкой лишь приблизительно. Причина этого в том, что
скорость света известна не абсолютно точно и зависит от свойств
среды (коэффициента преломления), в которой распространяется
электромагнитное колебание. Отличие коэффициента преломле-
ния атмосферы от значения п = 1 и, в особенности, изменение
этого коэффициента в силу действия различных дестабилизиру-
ющих факторов.
2.	Эффект Доплера. Специальная тория относительности
устанавливает, что при взаимном движении источника и прием-
ника сигнала частота принятого сигнала/ф отличается от частоты
сигнала излученного f^. А именно:
Jnp-Азл
где v - модуль вектора скорости излучателя сигнала (КА); с -
скорость света (распространения радиоволн).
Поскольку для макроскопических объектов — < — «1, пра-
с с
вую часть (2.2) можно разложить в степенной ряд и ограничиться
первыми членами разложения:
(23)
Для доплеровского смещения частоты (чаще всего использу-
емого в технических приложениях) из (2.3) можно получить со-
отношение
7 __ I f __ f I	Уизл dR _. 1
д	7пр| с dt^^dt'
(2.4)
60 ----

Глава 2
Если расстояние между КА и измерительным пунктом
уменьшается, то 7? < 0 ,/,р>и Fa> 0. Если расстояние увели-
чивается, то R > 0 , Упр ^Уизл и Fn<0.
Пренебрежение в (2.2) релятивистским эффектом может
внести недопустимо большие ошибки определения скорости кос-
мического аппарата.
Другим источником погрешностей может стать пренебреже-
ние эффектом, следующим из общей теории относительности,
устанавливающей зависимость скорости света от напряженности
гравитационного поля (ускорение силы тяжести), которое непре-
менно будет разным для точек расположения КА и измеритель-
ного пункта.
В атмосфере, которая является дисперсионной средой, скорость рас-
пространения электромагнитного поля зависит от частоты. Эта зави-
симость также может внести дополнительную погрешность при изме-
рениях радиальной скорости на основе использования эффекта До-
плера.
3.	Радиоэлектронные системы контроля траекторий КА
используют возможность направленного излучения прямолиней-
ности распространения электромагнитного поля. За счет этих эф-
фектов определяют направление прихода сигнала и, соответ-
ственно, угловые координаты КА. Измерение производных угло-
вых координат по времени дают возможность для определения
угловых скоростей.
Геометрические соотношения, характеризующие использо-
вание принципов постоянства скорости света, прямолинейности и
направленности излучения и эффекта Доплера, иллюстрируются
рис. 2.2 (7? - наклонная дальность от РЛС до цели, определяемая
по задержке принятого сигнала относительно зондирующего;
dR/dt = R - скорость изменения наклонной дальности (радиальная
скорость, т.е. проекция вектора скорости цели v на направление
наклонной дальности), измеряемая по доплеровскому смещению
частоты принятого сигнала относительно зондирующего излуче-
ния; а и (3- соответственно азимут и угол места радиолокационной
-----61

Глава 2
Физические принципы, используемые
радиолокационными системами извлечения информации
цели, измеряемые по направлению прихода отраженного целью
сигнала; 0х и ву - направляющие углы, которые вектор дальности
составляет с соответствующими координатными осями).
2.4.	Измерение радиальной скорости КА
Измерение радиальной скорости R при радиоуправлении
КА основано на определении доплеровского смещения частоты
сигнала, принимаемого с борта КА. Возможны два варианта по-
строения доплеровских систем: беззапросный и с запросом.
Беззапросные системы__________________________
При излучении с борта КА колебания частотыпринятого
на наземном пункте сигнала может быть найдена по формуле,
следующей из (2.4):
62-----

Глава 2
R = c-^-.
fwisi
(2-5)
Функциональная схема беззапросной системы измерения ра-
диальной скорости приведена на рис. 2.3.
_______________________Рисунок 2.3______________________
Функциональная схема, иллюстрирующая беззапросный метод
---- 63

Глава 2
Частота У^зл излучаемого с борта сигнала задается автоном-
ным высокостабильным эталонным генератором. В наземной ап-
паратуре принятый сигнал частоты /пр усиливается, фильтруется
и из него выделяется колебание доплеровской частоты с после-
дующим измерением. Для этого на наземном пункте имеется ав-
тономный эталонный генератор, частота / которого отличается
от частоты бортового эталонного генератора на постоянную из-
вестную величину Fo, называемую частотой подставки.
Сравнение частот принимаемого и эталонного сигналов поз-
воляет установить величину доплеровского смещения частоты и,
следовательно, определить радиальную скорость движения КА.
Подлежащая измерению частота равна
^изм =/изл-/г±77д-	(2-6)
Введение постоянной частоты подставки Fo = /вл - / обеспе-
чивает сохранение знака доплеровского смещения, так как если
выбрать /изл =/, то вне зависимости от направления движения КА
частота на входе измерителя будет изменяться в пределах от 0 до
F4MaKc. Для того чтобы по результатам измерений определять не
только модуль радиальной скорости, но и направление движения,
частоту подставки выбирают несколько большей F4MaKc.
Если КА приближается к измерительному пункту, то
FH3M > /изл “ fr • Обратный знак этого неравенства свидетельству-
ет об удалении КА от измерительного пункта.
В радиосистемах измерения радиальной скорости космических ком-
плексов применяются цифровые измерители частоты. Они имеют ма-
лые аппаратурные ошибки.
Для измерения частоты применяют схемы, реализующие
различные модификации двух основных методов. Это методы
цифрового частотомера и цифрового периодомера. Работа циф-
рового частотомера иллюстрируется схемой рис. 2.4.
Входной формирователь создает узкие импульсы в моменты
перехода сигналом через нулевой уровень снизу-вверх (с поло-
жительной производной). Эти импульсы через схему совпадений,
64 ---

Глава 2
От смесителя сигнала
на частоте Fo ± Кд
________________________Рисунок 2.4________________________
Цифровой частотомер
(2.7)
открываемую стробом на время измерения ТИзм, попадают на
счетчик. Результат подсчета числа импульсов за время ГНЗм выво-
дится в качестве оценки частоты
F*=2L
т ’
Лизм
где N- число в счетчике.
Ошибка дискрета измерений по методу частотомера соот-
ветствует ошибке в один счетный импульс (один период входно-
го сигнала за время измерения)
AF = —
Т
хизм
(2.8)
при 7’изм= 1с, AF= 1 Гц.
Для уменьшения ошибки дискрета цифрового измерения ча-
стоты используют метод периодомера. Функциональная схема
измерения по этому методу представлена на рис. 2.5.
Периодомер подсчитывает число импульсов частоты
fm»Fo + Fa за время Тт=~.—-—г. Результат подсчета
Ио^д)
nf
N - F„ fca = ———г. Поэтому частота сигнала может быть оце-
(F0±Fj
йена как
(Л,±Сд)*=~--	(2-9)
---- 65

Глава 2
______________________Рисунок 2.5______________________
Функциональная схема измерения частоты
по методу периодомера
Ошибка дискрета в один счетный импульс AN = 1 (один пе-
риод колебаний частоты fC4) соответствует ошибке в оценивании
частоты:
» _1(Л,±Л,)2
„ г
(2.Ю)
Ошибка дискрета тем меньше, чем больше fc4 по сравнению
с Fo + Fa.
Для определения составляющих ошибок измерения радиаль-
ной скорости можно в (2.5) найти полный дифференциал и пе-
рейти к конечным приращениям:
изл
• R К
&R = -Ac- ---
(2.П)
Среднеквадратические значения флуктуационных ошибок
можно определить, используя формулу
66-----

Глава?
(2.12)
Первые слагаемые в выражениях (2.11) обусловлены неточ-
ностью знания скорости распространения радиоволн. При этом
систематическую ошибку Ас удобно представить суммой
Ac = Aco + Acw, в которой Асо характеризует неточность знания
скорости света в вакууме при коэффициенте преломления среды,
равном единице, a Acw определяет дополнительную ошибку, воз-
никающую из-за того, что распространение радиоволн происхо-
дит в атмосфере с коэффициентом преломления иа, отличным от
единицы.
Флуктуационная ошибка <зс зависит от флуктуации коэффи-
циента преломления среды вдоль трассы распространения радио-
волн за время рассматриваемой серии измерения. В настоящее
время неточность знания скорости света в вакууме оценивается
величиной Асо/Ас = 3-10"8. Даже при очень больших значениях
R, равных второй космической скорости уц« 11,2 км/с, это при-
водит к ошибке 0,34 мм/с, которую можно не учитывать.
Более существенное значение имеют ошибки, вызванные
наличием атмосферы. Известно, что в тропосфере коэффициент
преломления п&> 1, а в ионосфере па< 1. Вносимое атмосферой
дополнительное фазовое запаздывание сигнала в процессе дви-
жения КА меняется из-за изменения длины траектории радиолу-
ча в атмосфере и из-за непостоянства коэффициента преломле-
ния атмосферы во времени и в пространстве. Так как производ-
ная фазы по времени есть мгновенная частота сигнала, то в
определении истинного доплеровского сдвига и, следовательно,
в изменении радиальной скорости КА возникает ошибка. В тро-
посфере коэффициент преломления уменьшается с высотой. Ре-
гулярные изменения коэффициента преломления сопровождаются
флуктуациями, вызванными случайными колебаниями темпера-
туры, давления и влажности воздуха. Коэффициент преломления
в тропосфере не зависит от частоты сигнала. Следовательно, от
частоты не зависит относительное смещение частоты принимае-
--- 67

Глава 2
мого сигнала, а также абсолютная ошибка измерения радиальной
скорости.
Вместе с тем, существует сильная зависимость коэффициен-
та преломления иа от угла места 0KA (см. рис. 2.2). При 0> 10°
ошибка в измерении скорости, вносимая тропосферой, оценива-
ется по формуле
АТ?™ =——7—cos#— м/с.	(2.13)
sin2 0 dt
По этой формуле (2.13) может быть рассчитана поправка,
уменьшающая систематическую ошибку измерения скорости.
Величина случайной составляющей ошибки, связанной с влияни-
ем тропосферы, обычно пренебрежимо мала.
В ионосфере коэффициент преломления определяется кон-
центрацией свободных электронов. Распределение электронов за-
висит от высоты, географической широты местности, времени
года, солнечной активности и сильно колеблется в течение суток.
Коэффициент преломления в ионосфере зависит от частоты сиг-
нала. В результате существует сильная зависимость смещения 8fz
частоты принимаемого сигнала от значения самой этой частоты.
Например, при полете ИСЗ на высоте порядка 1000 км макси-
мальная величина 8fc при больших возмущениях ионосферы для
сигнала с частотой 50 МГц составляет 20 Гц, а на частоте
1200 МГц - 0,8 Гц. В сантиметровом диапазоне ошибка в опреде-
лении радиальной скорости КА из-за ионосферы пренебрежимо
мала.
Существеннее уменьшение ионосферной ошибки в децимет-
ровом и метровом диапазонах волн достигается при двухчастот-
ном методе компенсации ошибок, В этом случае скорость КА из-
меряется дважды на двух различных частотах. Используя извест-
ную зависимость коэффициента преломления от частоты, можно
определить вызванное ионосферой смещение частоты и учесть
его при оценке радиальной скорости.
Вторые слагаемые в выражениях (2.11) и (2.12) учитывают
ошибки, возникающие из-за отличия фактической частоты сигна-
ла, излучаемого бортовым передатчиком, от ее номинального
68 ---

Глава 2
значения. Это отличие на величину 8fmn вызвано уходом частоты
вследствие нестабильности бортового эталонного генератора и
неточностью установки номинального значения. Поскольку уход
частоты из-за нестабильности генератора существенно превосхо-
дит неточность установки, в дальнейшем неточность знания эта-
лона не учитывается.
Л13М
Среднее отклонение частоты Л/изл =--------- £/изл(0^ за
Гизм Jo
время Тизм беззапросной доплеровской системой измерений и
приводит к систематической ошибке измерения радиальной ско-
рости, а случайное, флуктуационное отклонение частоты от сред-
него значения 8fmn= 8fw^~ Д/изл, оцениваемое среднеквадратиче-
ским значением
У изл
Лпм	2
— J	,
* МЗМ Q
обусловливает
возникновение флуктуационной ошибки.
Как следует из выражений (2.11) и (2.12), нестабильность
частоты бортового генератора приводит к двум составляющим
как в систематической, так и в флуктуационной ошибках измере-
ния R . Систематические составляющие пропорциональны к//изл
и связаны с тем, что при расчетах по формуле (2.5) вместо факти-
ческого значения частоты практически используется номиналь-
ное значение /изл. Флуктуационные составляющие ошибок про-
порциональны с//изл и вызваны тем, что отклонения от номи-
нальной частоты бортового генератора и доплеровский сдвиг
частоты не разделяются при измерении. Так как R <с, то систе-
матическими составляющими ошибок можно пренебречь.
Влияние нестабильности частоты эталонного генератора
наземного пункта (Д£ и о/г) учитывается третьими слагаемыми
выражений (2.11) и (2.12). Обусловленные ими составляющие
ошибки измерения Ай и - пропорциональны c/fэт и имеют
такую же природу как и вторые составляющие ошибок, связан-
ных с отклонением от номинала частоты бортового генератора.
---69

Глава 2
Оценим допустимую нестабильность частоты эталонных ге-
нераторов. Будем считать стабильность частот бортового и
наземного эталонных генераторов одинаковой и рассмотрим пол-
ное среднеквадратическое отклонение частоты
(2-14)
Учитывая выражение (2.12) и независимость работы обоих
эталонных генераторов, можно найти ошибку измерения скоро-
сти, связанную с нестабильностью частоты:
(о-д) = y/2-^—(af Y ,
V К / f \ Jmn /полн
/изл
(2.15)
откуда следует, что
Если допустимая погрешность измерения скорости
(сгл)нс ~ЮСМ/С ’ то выражение (2.16) приводит к оценке относи-
тельной ошибки измерения доплеровского смещения частоты
Необходимо подчеркнуть, что в рассмотренном случае ос-
новное влияние на величину нестабильности частоты оказывает
систематическая ошибка Д/изл, возникающая вследствие ухода ча-
стоты от номинального значения за все время работы генератора.
Определяемая величиной Д/изл нестабильность называется долго-
временной нестабильностью частоты.
Требования к долговременной стабильности порядка 1О"10 являются
очень жесткими. В настоящее время они обеспечиваются только
атомными стандартами частоты. Относительно большой вес и слож-
ность соответствующих генераторов является основным недостатком
при установке их на борту большинства КА.
70-----

Глава 2
Выше отмечалось, что наличие большого числа избыточных
измерений позволяет при вторичной обработке уменьшить си-
стематические ошибки измерений. Как правило, при применении
доплеровских систем число избыточных измерений велико. Это
открывает возможность в ряде случаев снизить требования к ста-
бильности эталонных генераторов в беззапросных доплеровских
системах.
Действительно, все выполненные за рассматриваемое время
Тизм измерения радиальной скорости будут иметь систематиче-
скую ошибку
^=-^-(4^-44),
Тизл
(2-17)
где 4/1вл_ 4/г- разность средних отклонений частоты бортового и
наземного эталонного генераторов.
Если за время Гнзм доплеровская частота принимаемого сиг-
нала изменяет знак, то вторичная обработка позволяет исключить
постоянное отклонение частоты А/ихт-ДЛ связанное с неста-
бильностью генераторов. В этом случае ошибка измерения R
определяется флуктуационными составляющими о/йзл и ф, а ста-
бильность эталонных генераторов порядка 10“*° требуется лишь в
течение периода наблюдения Т,13М. Очевидно, чем короче сеанс
измерений, тем легче обеспечить это требование. Наибольший
эффект указанная вторичная обработка дает при работе с низко-
летящими ИСЗ.
Последнее слагаемое в (2.11) учитывает ошибку определе-
ния радиальной скорости, связанную с погрешностью измерения
частоты. Из (2.11) видно, что с увеличением частоты /нзл допу-
стимые значения абсолютной ошибки измерения частоты F„3M
увеличиваются. Специфической ошибкой цифровых измерителей
является ошибка дискретности.
Сравнение (2.8) и (2.10) показывает, что при одинаковом
мерном интервале периодомер имеет ошибку дискретности в
раз меньшую, чем частотомер. Максимальное значение уёч
ограничивается быстродействием счетчиков и обычно на не-
сколько порядков превышает значение F„3M. Некоторым недо-
----- 71

Глава 2
статком периодомера является зависимость мерного интервала,
следовательно, и момента отсчета от измеряемой частоты.
Рассмотрим шумовые ошибки измерения частоты. На входе
цифровых измерителей частоты включена схема формирования
импульсов с периодом Гизм, на которую поступает аддитивная
смесь сигнала измеряемой частоты и шума, прошедшего узкопо-
лосный фильтр с эквивалентной полосой Д/э- Если отношение
сигнал/шум в полосе достаточно большое, то практически
число импульсов на выходе схемы формирования равно числу
периодов сигнала и шумы проявляются лишь во флуктуациях
времени появления импульсов. В противном случае, помимо ука-
занной флуктуации, образуются «ложные» импульсы, т.е. появ-
ляются лишние или подавляются сигнальные импульсы. «Лож-
ные» импульсы возникают из-за перескоков фазы смеси сигнала
и шума. При использовании в качестве узкополосного фильтра
системы фазовой автоподстройки эти импульсы свидетельствуют
о кратковременном срыве синхронизма следящей системы.
При высокоточных измерениях образование «ложных» им-,
пульсов недопустимо, так как приводит к грубым (аномальным
ошибкам). При отношении сигнал/шум в полосе \f3 больше
9... 12 дБ и длительности мерного интервала порядка секунды и
менее вероятность образования «ложных» импульсов становится
малой, и в большинстве случаев с ней можно не считаться.
При отсутствии «ложных» импульсов можно пренебрегать
шумовой ошибкой частотомера по сравнению с ошибкой дис-
кретности. Это объясняется тем, что в частотомере (см. рис. 2.4)
флуктуации времени появления импульсов на выходе схемы
формирования импульсов с периодом Тизм меньше периода изме-
ряемой частоты.
В периодомере действие шумов приводит к флуктуации дли-
тельности мерного интервала. Выражение (2.10), связывающее
измеряемую частоту с длительностью мерного интервала, можно
представить в виде FH3M = N/Т. Дифференцируя его по Т и перехо-
дя к среднеквадратическим отклонениям, имеем
jV0 F
<У р — (Ут —	(У т ,
гизм	1 j’ 1
(2.18)
72 ----

Глава 2
где Qr - среднеквадратическое значение флуктуации длительно-
сти мерного интервала.
Флуктуации длительности мерного интервала при отсут-
ствии «ложных» импульсов определяются флуктуациями вре-
мени появления двух крайних импульсов, ограничивающих ин-
тервал. Обычно величина интервала существенно больше по-
стоянной времени узкополосного фильтра приемника и
временные флуктуации крайних импульсов являются независи-
мыми. Поэтому
сгг=^2сгг.	(2.19)
Среднеквадратическое отклонение о? времени появления
импульсов связано со среднеквадратическим значением фазо-
вых флуктуаций равенством
2^изм '
Подставляя в (2.18) выражения (2.19), (2.20), можно получить
а	____C—L
2яТ 2я/излТу Q ’
где Q = Pc|Gm - энергетический потенциал радиолинии.
Отсюда, учитывая (2.11), можно получить
(2-21)
(2.22)
Отметим, что при выводе формул (2.21) и (2.22) предполага-
лось, что радиальная скорость движения КА постоянна. Формулы
даже остаются справедливыми и при изменении скорости КА по
линейному закону, если результаты измерения относить к сере-
дине мерного интервала.
Длительность мерного интервала, как правило, выбирается
достаточно малой для того, чтобы можно было пренебречь ошиб-
ками измерения, связанными с нелинейностью закона изменения
радиальной скорости.
---- 73

Глава 2
Выражение для дисперсии оптимальных оценок максималь-
ного правдоподобия при намерении постоянной частоты можно
записать в виде
6 6щ
(2я)2Т2 Рс
(2.23)
Сравнивая (2.21) и (2.23), можно установить, что шумовая
ошибка периодомера превышает шумовую ошибку оптимального
измерителя:
2
^изм	ГА/ИЗЛ
F	6
1 опт
(2.24)
Выражение (2.24) справедливо при условии T\f3> 1, так как
при вычислении дисперсии оценок для периодомера не учитыва-
лись затраты времени на переходные процессы в фильтре с поло-
сой предшествующей формирователю сигнала в периодоме-
ре. В радиосистемах траекторных измерений указанное условие
обычно выполняется.
Из выражения (2.24) следует, что при больших значениях
ТА/ шумовая ошибка периодомера значительно превышает ми-
нимально возможную. Однако в большинстве случаев точность
измерения частоты с помощью рассмотренных выше счетных из-
мерителей является достаточной и использовать для ее увеличе-
ния более сложной оптимальной обработки нецелесообразно.
Запросные системы____________________________________
В запросных системах для измерения радиальной скорости
используется доплеровское смещение частоты ретранслирован-
ного сигнала. Функциональная схема, иллюстрирующая прин-
цип запросного измерения радиальной скорости, представлена
на рис. 2.6.
Если несущая частота запросного сигнала была/юр, а коэф-
фициент преобразования частоты при ретрансляции равен m/Ц то
частота принятых на измерительном пункте колебаний с учетом
релятивистских эффектов, будет
74 ---

Глава 2
Космический
Наземный
радиальной скорости
_____________________Рисунок 2.6____________________
Функциональная схема, иллюстрирующая беззапросный метод
измерения радиальной скорости
---- 75

Глава 2
1--
/пр-у/з—(2-25)
1 1-Л
С
Разлагая правую часть соотношения (2.25) в ряд по степеням
R л
— «с 1 и ограничиваясь членами не выше первой степени, можно
с
получить приближенную формулу для частоты принятого сигна-
ла, справедливую для оценки частоты сигнала, ретранслирован-
ного движущимся объектом:
/пр «уЛ [1-2-1	(2.26)
/к с)
R
При — «1 первые два члена разложения (2.26) дают при-
с
ближенное выражение для доплеровского смещения частоты ре-
транслировано сигнала
Из последнего соотношения видно, что при т/1 = 1 и равен-
стве частот в запросной и беззапросной системах, доплеровское
смещение в первой из них в два раза выше, чем во второй.
При пользовании формулой (2.26) допускается ошибка в
оценке радиальной скорости, определяемая квадратичным чле-
ном разложения в (2.25). В отличие от беззапросных доплеров-
ских систем указанная ошибка зависит только от отношения А/с
и не зависит от отношения v/c. Если эта ошибка соизмерима с
другими ошибками, то необходимо учитывать квадратичный
член разложения и пользоваться более точной формулой (2.25).
В наземной аппаратуре синтезатор точных частот из высоко-
стабильного колебания эталонного генератора f3T формирует сиг-
нал запроса с несущей частотой у^ер. Этот сигнал принимается на
борту, преобразуется по частоте в т/1 раз и ретранслируется об-
ратно.
76 ---

Глава 2
Преобразование частоты несущего колебания (изменение в т/l раз)
при ретрансляции сигналов в системах с непрерывным излучением
необходимо для предотвращения попадания мощных сигналов пере-
датчиков в приемные устройства. Для исключения воздействия гар-
моник основной частоты отношение частот ответа и запроса выбива-
ется дробным, причем т и / - взаимно простые целые числа.
В совмещенной радиосистеме для преобразования частоты в
тП раз из спектра принимаемого на борту сигнала необходимо
выделить несущее колебание. Эта задача решается с помощью
узкополосной фильтрации. Полоса узкополосного фильтра долж-
на быть достаточно малой для отделения несущего колебания от
боковых составляющих спектра и обеспечения достаточно боль-
шого отношения сигнал/шум в полосе фильтра.
Преобразование частоты в ретрансляторе производится та-
ким образом, чтобы исключить изменение частоты из-за неста-
бильности бортового гетеродина. Для этого используется дву-
кратное преобразование частоты, как показано, например, на
схеме рис. 2.6. Очевидно, что частота излучаемого с борта сигна-
ла равнаУб= mll(f3± F\) и не зависит от частоты гетеродинаfT,
Наземный приемник, в принципе, не отличается от применя-
емого в беззапросных системах. Принятый на Земле сигнал также
подвергается двойному преобразованию частоты и после узкопо-
лосной фильтрации поступает на цифровой измеритель. Для со-
хранения знака доплеровской частоты вводится частота подстав-
ки Fn.
В запросных системах, в отличие от беззапросных, гетеродинные ча-
стоты в наземной аппаратуре формируются из частоты эталонного ге-
нератора /эт, задающего, кроме того, частоту запросного сигнала.
При рассмотрении функциональной схемы запросной систе-
мы нетрудно убедиться в том, что подлежащая измерению часто-
та равна FH3M = Fn±^. Радиальная скорость КА находится по
формуле
Я =—.	(2.27)
---- 77

Глава 2
Сравнение запросных и беззапросных систем показывает, что в них
при измерении радиальной скорости КА возникают ошибки одинако-
вого вида, однако нестабильность частот эталонных генераторов вли-
яет на эти ошибки по-разному.
Из (2.27) следует, что отклонение запросной частоты от но-
минала, вызванное долговременной нестабильностью эталонного
генератора [20], приводит к ошибке измерений, равной
(2.28)
/изл
Если допускается ошибка измерения AR=10 см/с и
R = уд» 11,2 км/с, то долговременная нестабильность генератора
должна иметь порядок 10~5.
Ошибка из-за постоянного отклонения запросной частоты от номи-
нального значения возникает в том случае, если частота запросного
сигнала и счетная частота FC4 в цифровых измерителях являются неза-
висимыми.
Обычно все частоты формируются от одного и того же эта-
лонного генератора. При этом постоянное отклонение частоты /изл
на точность измерения скорости не влияет. К ошибке приводит
лишь уход частоты/13л за время распространения сигнала до КА и
обратно. Для КА ближнего космоса это время составляет доли
секунды, а для КА дальнего космоса - достигает десятков минут
и более. Относительный уход частоты эталонных генераторов за
время распространения сигнала иногда называют кратковремен-
ной нестабильностью.
Допустимая величина кратковременной нестабильности задающего
генератора в запросных системах измерения скорости такая же, как и
допустимая величина долговременной нестабильности задающего ге-
нератора в беззапросных системах и составляет 1О“10 для рассмотрен-
ного выше примера. Во многих случаях кварцевые генераторы обес-
печивают необходимую величину кратковременной стабильности и
поэтому широко применяются в запросных системах измерения ради-
альной скорости.
78 ---

Глава 2
2.5. Измерение дальности до КА
Из многочисленных методов дальнометрии, разработанных для ра-
диолокации, в космических командно-измерительных комплексах мо-
гут использоваться лишь те, которые удовлетворяют специфическим
требованиям космических радиолиний. В частности, методы измере-
ния дальности должны быть удобны для применения непрерывного
излучения сигналов. С другой стороны, при управлении КА ряд тре-
бований, характерных для радиолокационных систем, не существен.
Так, например, при радиоуправлении КА не стоит задача
разрешения целей, так как на борту КА имеется ответчик и апри-
ори известно, с каким КА осуществляется сеанс связи.
В дальномерных системах командно-измерительных ком-
плексов процесс измерения расстояния R состоит в посылке на
борт сигналов запроса, приеме на Земле ответных сигналов и
определении времени распространения сигналов по трассе
Земля-КА-Земля. Очевидно, что
R = ^.	(2.29)
На рис. 2.7 представлена обобщенная функциональная схема
измерения дальности.
Сформированный в наземной аппаратуре относительно низ-
кочастотный сигнал S(t) модулирует по амплитуде, частоте или,
наиболее часто, по фазе непрерывное несущее колебание и излу-
чается на борт. Бортовой ответчик ретранслирует дальномерный
сигнал обратно на Землю. Разделение каналов запроса и ответа
осуществляется с помощью преобразования несущей частоты
принятого сигнала на борту КА, например аналогично тому, как
это сделано в схеме запросного измерения скорости (см. рис. 2.6).
При ретрансляции в ответчике либо производится выделение
и фильтрация дальномерного сигнала S(t), либо он просто пере-
излучается на Землю. В первом случае схема ответчика оказыва-
ется сложнее (в нее добавочно вводятся блоки, изображенные на
рис. 2.7 пунктиром), но позволяет работать при более низком
энергетическом потенциале радиолинии Земля-Борт. Кроме того,
------------------------------------------------------- 79

Глава 2
Космический
f
Наземный	пеР
и вычисления дальности
_______________________Рисунок 2.7_______________________
Обобщенная функциональная схема измерения дальности до КА
80 ---

Глава 2
такая схема позволяет одновременно использовать дальномерный
сигнал в качестве сигнала синхронизации командной радиолинии.
На Земле ретранслированные колебания принимаются, де-
модулируются и в итоге выделяется ответный дальномерный
сигнал S(t — tr). Из запросного и ответного сигналов формируют-
ся стартовые и рабочие импульсы. Стартовыми импульсами от-
мечается время излучения, а рабочими - время приема дально-
мерного сигнала. Измеряя временной интервал между импульса-
ми, находят величину tr и, следовательно, дальность R.
При определении tr, так же как и при определении допле-
ровской частоты, используются цифровые измерители. Простей-
шая функциональная схема цифрового измерителя временного
интервала приведена на рис. 2.8.
______________________Рисунок 2.8______________________
Функциональная схема цифрового измерителя
временного интервала
Стартовые импульсы открывают, а рабочие закрывают блок
формирования строба, длительность которого равна tr, В блоке
совпадения сформированный строб заполняется счетными им-
пульсами известной частоты FC4, число п которых фиксируется в
счетчике. Оценка времени tr определяется как rR = n/FC4 .
Ошибки измерения дальности________________________
Для определения составляющих ошибок измерения дально-
сти нужно найти полный дифференциал выражения (2.29) и пе-
рейти к конечным приращениям. В результате для систематиче-
---------------------------------------------------- 81

Глава 2
ских и флуктуационных ошибок измерения соответственно по-
лучаем
1
АП Я . С
AR -—Ac + — Atr,
(2.30)
(2-31)
Из выражений (2.30) и (2.31) следует, что точность измере-
ния дальности ограничивается точностью сведений о скорости
распространения радиоволн и зависит, от ошибок определения
величины tr. Как уже отмечалось, систематическую ошибку Ас
можно представить суммой Ас = Асо+ Acw. Поскольку неточность
знания скорости света в вакууме оценивается величиной
Ас/с = 310-8, то соответствующая ошибка измерения дальности,
например до Луны (R « 400 000 км), составит величину, равную
приблизительно 12 м. Составляющие Ас« и ас обусловлены от-
клонением коэффициента преломления атмосферы от единицы,
причем Acw определяется усредненным отклонением коэффици-
ента преломления, а сгс - его флуктуациями.
При распространении радиоволн в атмосфере происходит
дополнительное запаздывание радиосигнала. Оно связано с тем,
что в атмосфере скорость распространения радиоволн отличается
от скорости света в вакууме и, кроме того, происходит некоторое
увеличение длины траектории по сравнению с прямолинейной
из-за рефракционного искривления распространяющихся лучей.
Длина трассы распространения радиосигнала в атмосфере
зависит от рабочего угла места в. поэтому влияние атмосферы
сильнее сказывается при малых 0. Запаздывание сигнала в тропо-
сфере приводит к ошибке в измерении дальности, величина кото-
рой при #>10° оценивается выражением А7?тр~ 2,6/sin0, м. Чис-
ленное значение ошибки составляет при #«0° около 100 м, при
0= 10° - 15 м. Введение поправок, учитывающих реальное со-
стояние тропосферы, позволяет снизить величину этой ошибки
до значений, меньших 1 м.
82 ---

Глава 2
Запаздывание сигнала в ионосфере и соответствующие
ошибки измерения дальности в первом приближении обратно
пропорциональны квадрату несущей частоты. Для КА, находя-
щихся выше ионосферы, при 0° на частоте /= 10 МГц ошибка
измерения R составляет около 8 км; на частоте /= 1000 МГц -
около 0,08 км; а на частоте, большей 5000 МГц, ошибка измере-
ния пренебрежимо мала.
При использовании в системах измерения дальности метрового или
дециметрового диапазонов волн обычно требуется в результаты изме-
рений вносить поправки, обеспечивающие ослабление влияния ионо-
сферы.
Существенное снижение ионосферной ошибки намерения
при работе в указанных диапазонах достигается при двухчастот-
ном методе определения поправок. Суть его та же, что и при
двухчастотном методе измерения скорости.
Существенное влияние на точность измерения дальности
оказывает задержка сигнала в радиотехнических цепях, особенно
в бортовом ответчике. Для уменьшения этого влияния необходи-
мо обеспечивать высокую стабильность параметров радиотехни-
ческих цепей, контролировать и учитывать величину задержек
сигнала в аппаратуре.
При определении временного интервала цифровым измерителем, функ-
циональная схема которого изображена на рис. 2.8, возникает ошибка
дискретности. Максимальная величина ошибки измерения дальности,
Q
вызванной ошибкой дискретности, составляет =±-----. При
2FC4
необходимости эта ошибка может быть уменьшена, например, при ис-
пользовании измерителя нониусного типа.
Рассмотрим влияние шумов на точность измерения дальности.
Известно, что при наличии аддитивного широкополосного
нормального шума потенциальная точность оценки значения tr,
а значит и дальности R, может быть реализована в приемнике, в
---- 83

Глава 2
котором используется активный коррелятор либо согласован-
ный фильтр. В обоих случаях в приемнике вычисляется взаим-
ная корреляционная функция принятого на фоне шумов дально-
мерного сигнала с образцом запросного сигнала и находится за-
паздывание, при котором она принимает максимальное
значение. Это максимальное значение является случайным. Его
средняя величина не зависит от формы сигнала (вида функции
автокорреляции) и при наличии шума со спектральной плотно-
стью Gw равна 2£?е, где Qe = Ес/Gm - энергетическое отношение
в радиолинии.
Чем уже максимальный пик корреляционной функции, тем
точнее можно определить момент, когда достигается максимум и,
следовательно, точнее измерить tr и R. Так как ширина корреля-
ционного пика обратно пропорциональна ширине спектра сигна-
ла, то точность измерения будет тем выше, чем шире спектр. При
выполнении условия Qe> 1, справедливого для высокоточных
измерений, минимально достижимая среднеквадратическая
ошибка измерения дальности составляет
с
°r =------
(2.32)
где AFC - среднеквадратическое значение ширины спектра G(f)
сигнала S(t).
А^с2
|/2|g(/)|2#

Когда период повторения дальномерного сигнала S(t) мень-
ше времени распространения tr9 функция автокорреляции сигна-
ла на интервале [0, г/?] имеет больше одного максимума и стано-
вятся невозможными однозначные измерения.
84 ----

Глава?
Условия, которым должна удовлетворять
автокорреляционная функция ^(т)
дальномерного сигнала S(t)
1.	В малой окрестности точки т=0 функция То(т) должна
иметь форму узкого импульса с крутыми фронтами. При такой
форме оказывается минимальной ошибка в определении положе-
ния импульса.
2.	Половина периода повторения То(т) должна быть больше,
чем время распространения сигнала в пределах расстояния до КА
или априорной ошибки этого расстояния. Это необходимо для
однозначного измерения дальности.
3.	В интервале между т= 0 и значением т, равным периоду
повторения сигнала S(t) функция То(т) не должна иметь выбро-
сов, сравнимых с главным выбросом (выбросом при т= 0). Это
обеспечивает малую вероятность аномальных ошибок измерения
дальности.
Наибольшее распространение в командно-измерительных комплексах
КА нашли многошкальные дальномеры с модуляцией периодически-
ми гармоническими или меандровыми сигналами и одношкальные
дальномеры с модуляцией псевдослучайными сигналами. В этих
дальномерах автокорреляционная функция дальномерного сигнала
достаточно хорошо удовлетворяет сформулированным требованиям.
В многошкальном дальномере с модуляцией периодически-
ми сигналами нескольких частот, излучаемых последовательно,
измерение запаздывания производится отдельно и последова-
тельно на каждой частоте. В этом случае на модулятор в назем-
ной аппаратуре (рис. 2.7) с выхода схемы формирования дально-
мерного сигнала поочередно поступают гармонические колеба-
ния с частотой Тчп, i= 1,2, ...,/. Частоту этих колебаний
называют масштабной.
Схема выделения ответного дальномерного сигнала, стоя-
щая на выходе демодулятора, представляет собой / однотипных
систем фазовой автоподстройки частоты (ФАП). Каждая из
них отфильтровывает колебание одной из I масштабных частот.
Таким образом, задача определения дальности сводится к по-
---------------------------------------------------------- 85

Глава?
следовательному измерению на / шкалах временных сдвигов
между соответствующими синусоидальными колебаниями мас-
штабных частот, что эквивалентно измерению фазовых набегов
<Pi=27iFMiTR. Поэтому этот метод дальнометрии часто называют
фазовым.
Практически фазовый набег на каждой масштабной частоте
измеряется как временной интервал с помощью устройства, ана-
логичного изображенному на рис. 2.8. В моменты пересечения
напряжений масштабных частот нулевого уровня с положитель-
ной производной из синусоидальных колебаний формируются
стартовые и рабочие импульсы, временной интервал между кото-
рыми несет информацию о дальности. Результаты замеров на
всех масштабных частотах обрабатываются совместно для рас-
крытия неоднозначности и стыковки шкал.
Набег фазы (р колебания z-й масштабной частоты FMi за вре-
мя распространения определяется в пределах 2 я; и выражение
для дальности может быть записано в виде
К =	iM,	(2.33)
где ki - неизвестные числа, показывающие, сколько полных перио-
дов частоты FMZ укладывается в величине tr.
По существу, раскрытие неоднозначности сводится к вычис-
лению числа ki для самой высокой масштабной частоты i = /, т.е.
к нахождению ki. Эта операция выполняется при промежуточной
обработке принятого сигнала, для чего производится совместное
решение уравнений системы (2.33) при соответствующем округ-
лении показаний, получаемых на разных шкалах. Очевидно, что
среднеквадратическая ошибка определения дальности на z-й шка-
ле &Ri связана с ошибкой измерения фазы соотношением
Для определения с заданной точностью истинного значения
дальности до КА необходимо, чтобы номиналы масштабных ча-
стот удовлетворяли следующим условиям.
86 ---

Глава 2
1.	Условие обеспечения заданной точности. Номинал самой
высокой из частот FMi должен быть таким, чтобы при известной
ошибке измерения фазы cfy ошибка измерения дальности не пре-
восходила допустимую величину <7яДОп:
2.	Условие однозначного измерения. Номинал самой низкой
из частот FM] должен быть таким, чтобы фазовый набег на ней
при максимальной дальности 2?Макс не превышал 2 яг:
7 R
^макс=2^м1-Ж<2^,
С
откуда
^М1	——
акс
(2.36)
Если используются априорные сведения о дальности до КА,
то в (2.36) вместо 7?макс следует подставить максимальную апри-
орную ошибку АТ?.
3.	Условие правильного раскрытия неоднозначности (сты-
ковки шкал). Номинал z-й частоты FMz должен быть таким, чтобы
фазовый набег на этой частоте на отрезке времени тдям, соответ-
ствующем максимальной ошибке в определении дальности
(АТ? - 1)макс с помощью (/-1)-й частоты, не превышал 2 л*.
27rFMiT^Ri 1 = — 2?rFMi (R: -1)	< 2л .
MZ Ki-1	mi \ i /макс
Выражая (АТ?-1)макс через соответствующую фазовую ошиб-
ку (Аде-i)макс, имеем
При этом считается, что каждая следующая шкала точнее
предыдущей и ошибку измерения на ней можно не учитывать.
---- 87

Глава 2
Практически это оказывается справедливым, если отношение
значений соседних масштабных частот выбрано не меньшим
3...4.
При стыковке шкал следует учитывать, что случайные
ошибки измерения фазы имеют законы распределения, при кото-
рых, в принципе, возможно появление больших ошибок, близких
к± л. Говоря о максимальной ошибке Д^акс, можно лишь с неко-
торой вероятностью утверждать, что она не будет превышена.
Поэтому приходится вводить понятие вероятности неправильной
стыковки шкал (вероятность сбоя). При высокой точности из-
мерения фазы, когда закон распределения ошибок приблизитель-
но нормальный с дисперсией а? , вероятность сбоя РСб при сты-
ковке двух шкал определяется соотношением
(2.38)
- интеграл вероятности.
Отношение сигнал/шум в шумовой полосе системы ФАП не
должно опускаться ниже порогового значения, равного примерно
9 дБ. При этом фазовые флуктуации можно считать нормальными
с дисперсией Поэтому выражение (2.34) для среднеквадрати-
ческой ошибки измерения дальности можно представить в виде
Ri ~ Л	Г~^— 5
4^FM/- I 2Pci
Р Р
где ----— = —----отношение сигнал/шум в канале выделения
колебания f-й масштабной частоты.
В другом варианте многошкального дальномера разрешение
неоднозначности производится непосредственно в приемнике, а
не в процессе дальнейшей вычислительной обработки. В этом
88 ---

Глава 2
случае дальномерный сигнал S(t) представляет собой колебания
кратных масштабных частот, сформированные с помощью це-
почки делителей частоты от общего задающего генератора. Перед
поступлением в модулятор все колебания фазируются. В момен-
ты времени, когда фазы всех масштабных частот совпадают, вы-
рабатываются стартовые импульсы.
Схема выделения дальномерного сигнала представляет со-
бой цифровое устройство регенерации частот, входящих в даль-
номерный сигнал. Это устройство генерирует колебания, коге-
рентные с принятыми колебаниями, поступающими на него с де-
модулятора сигнала рис. 2.7. Для этого колебания наивысшие
частоты FMi подаются, например, на вход цепочки цифровых де-
лителей, которая вырабатывает колебания всех остальных частот.
Если кратность масштабных частот	= а. то восста-
новленный сигнал частоты Fmm будет либо в фазе с принятым
колебанием той же частоты, либо будет иметь дискретную раз-
ность фаз, кратную 360%z. Фазы восстановленного и принятого
сигналов сравниваются, после чего восстановленный сигнал дис-
кретно сдвигается до тех пор, пока разность фаз не будет равна
нулю.
После того как колебания частоты FM/-i будут синхронизиро-
ваны, та же самая операция осуществляется с частотой FMi-i, F^i-i
и вплоть до самой низкой частоты FMi. В результате сигнал
S(t - tr) на входе схемы выделения дальномерного сигнала будет
представлять собой сумму колебаний масштабных частот, фази-
рованных между собой так же как излучаемый сигнал 5(7), но за-
держанный на время tr.
Поскольку для работы цепочки цифровых делителей требу-
ется лишь колебание наивысшей частоты, то после фазирования
сигналов колебания всех низких частот могут больше не излу-
чаться. Приемник будет отслеживать дальномерный сигнал с
точностью до фазы колебания наивысшей частоты FMi, а выдавать
рабочие импульсы с периодом наинизшей частоты FMi.
Если априорная ошибка при определении дальности доста-
точно велика, то для однозначного измерения требуются очень
низкие масштабные частоты. Непосредственно их генерирование
встречает определенные технические затруднения. В этом случае
---- 89

Глава 2
для образования наиболее грубых шкал целесообразно использо-
вать разность близких модуляционных частот.
В качестве примера приведем некоторые данные об одной из высоко-
точных фазовых дальномерных систем. В системе используются мас-
штабные частоты 100, 20,4 кГц, 800, 160, 32 и 8 Гц. За исключением
последних двух частот, отношение любых двух соседних частот равно
5:1. Первые три частоты непосредственно модулируют фазу несущей,
а остальные образуются в результате биений колебаний с частотами
4000,4800,4160,4032 и 4008 Гц. При отношении сигнал/шум в канале
выделения наивысшей частоты 100 кГц не менее 21 дБ среднеквадрати-
ческая ошибка измерения дальности не превышает 15 м. Зона одно-
значного измерения, определяемая частотой 8 Гц, составляет 18 470 км.
Одношкальный дальномер
с модуляцией псевдослучайными сигналами
В этом дальномере сигнал S(t) представляет последователь-
ность биполярных импульсов одинаковой длительности, следу-
ющих в определенном порядке. Чередование полярности импуль-
сов подбирается таким образом, чтобы автокорреляционная
функция дальномерного сигнала обладала свойствами, суще-
ственными для определения задержки, а именно: имела узкий
максимальный пик при нулевой задержке и как можно меньшие
выбросы при других задержках. Такая корреляционная функция
подобна автокорреляционной функции видеошума. Поэтому та-
кой сигнал называют псевдошумовым или псевдослучайным (ПС-
сигналом).
Автокорреляционная функция периодической последова-
тельности псевдослучайных сигналов также будет периодиче-
ской. На рис. 2.9 приведена реализация периодического ПС-
сигнала с периодом М=24- 1 = 15, его автокорреляционная
функция 'Р(т), нормированная к единице при т = 0 и спектр G(f).
Автокорреляционная функция имеет пики, следующие друг за
другом с периодом сигнала Тпс. Значение ее модуля между пиками
не превышает величину 1/Л/, где М- число импульсов в периоде.
Крутизна пиков автокорреляционной функции и ширина спектра
сигнала определяются длительностью одиночного импульса.
90----

Глава 2
Т’пс'^и
1111111
-1-1-1	-1-1
в)
________________________Рисунок 2.9_______________________
Псевдослучайный модулирующий сигнал
системы измерения дальности:
а - осциллограмма сигнала при М= 24- 1 = 15;
б - автокорреляционная функция ПС-сигнала при М = 24- 1 = 15;
в - спектр периодического ПС-сигнала при М = 24- 1 = 15
1111111
ПС-сигналы формируются на регистрах с обратной связью.
С помощью «-разрядного регистра сдвига можно получить пери-
одическую последовательность, состоящую из М =2п- 1 импуль-
сов. На рис. 2.10 изображена схема генератора псевдошумового
сигнала на основе регистра сдвига, охваченного обратной связью
через сумматор по модулю 2.
Работой схемы управляют тактовые импульсы, следующие с перио-
дом ги. Под действием очередного тактового импульса записанное в
регистре число сдвигается на один разряд к выходу. Начальное состо-
яние разрядов регистра может быть произвольным, за исключением
всех нулей. После Я тактов сдвига начальное состояние регистра по-
вторяется и, соответственно, повторяется и вся последовательность
импульсов.
----- 91

Глава 2
Тактовый сигнал, управляющий сдвигом содержания регистра
_______________________ Рисунок 2.10______________________
Генератор запросного дальномерного ПС-сигнала
В модуляторе наземной части системы видеоимпульсы псев-
дослучайной последовательности модулируют высокочастотное
несущее колебание. Для упрощения разделения каналов в совме-
щенной радиолинии чаще используют трехступенчатую модуля-
цию: сначала видеоимпульсы манипулируют по фазе на подне-
сущее колебание, а затем уже осуществляют модуляцию несуще-
го колебания.
На выходе демодулятора наземного приемника ответный
сигнал представляет собой искаженную шумами и задержанную
на величину Гпс псевдослучайную последовательность видеоим-
пульсов. Выделение ее из шумов выполняет система слежения за
задержкой. Один из возможных вариантов построения такой си-
стемы представлен на рис. 2.11,а.
Во временном дискриминаторе, являющемся в данном слу-
чае двухканальным, осуществляется умножение смеси сигнала и
шума на два опорных ПС-сигнала, сдвинутых относительно друг
друга по времени на 2ти, и вычитание полученных произведений.
В рассматриваемой системе опорное напряжение подается с £-го
и (£-2)-го разрядов, а выходной сигнал S(t- т) снимается с (&-!)-
го разряда опорного генератора ПС-сигнала.
К выходу временного дискриминатора подключен низкоча-
стотный фильтр, на выходе которого формируется напряжение,
управляющее частотой FT генератора тактовых импульсов. Зави-
симость управляющего напряжения Uy от величины расстройки т
изображена в виде дискриминационной характеристики, приве-
денной на рис. 2.11,6. Дискриминационная характеристика пред-
ставляет собой разность корреляционных функций ПС-сигналов,
92 ---

Глава 2
а)
б)
_______________________ Рисунок 2.11_____________________
Схема слежения за задержкой ПС-сигнала
сдвинутых на время т= 2ти. Механизм ее образования становится
особенно наглядным, если предположить, что после перемножи-
телей в схеме стоят фильтры, образующие корреляционные
функции, а затем уже осуществляется вычитание.
После того как система слежения за задержкой войдет в син-
хронизм, частота генератора тактовых импульсов совпадет с ча-
стотой следования импульсов входного сигнала и рабочая точка
---- 93

Глава 2
дискриминационной характеристики будет находиться в окрест-
ности нуля. Динамическая ошибка слежения системы определя-
ется астатизмом замкнутого контура, а фильтрующие свойства -
шумовой его полосой пропускания.
Известны также и другие варианты построения временного
дискриминатора. Так, если в дискриминаторе, изображенном на
рис. 2.11,а, опорные ПС-сигналы сдвинуть на ти (а не на 2ти), то
крутизна дискриминационной характеристики будет в два раза
больше, но область захвата системы слежения - в два раза мень-
ше. Могут применяться и другие схемы дискриминаторов.
Основные трудности при выделении ПС-сигналов заключа-
ются в обнаружении (поиске) сигнала и вхождении системы сле-
жения в синхронизм. Трудности поиска объясняются тем, что
дискриминационная характеристика (рис. 2.11,6) при |z| > 2ти не
позволяет определить необходимое направление перестройки си-
стемы. Для поиска обычно используются внешнее напряжение,
сигнал управления поиском, подаваемый на управляющий эле-
мент и изменяющий частоту генератора тактовых импульсов
(рис. 2.11,я). При этом изменяется разность фаз между колебани-
ями генератора тактовых импульсов и входными ПС-сигналами,
следовательно, изменяется и задержка т до тех пор, пока не ста-
нет справедливым условие |z| < 2ти и на выходе временного дис-
криминатора не появится управляющее напряжение.
После этого система войдет в синхронизм, если разность ча-
стоты сигналов генератора тактовых импульсов и тактовой ча-
стоты входной ПС-последовательности импульсов будет меньше
полосы следящей системы. Во многих случаях постоянная вре-
мени следящей системы имеет величину порядка периода после-
довательности Тпс= птн что позволяет достаточно эффективно ис-
пользовать энергию принимаемого сигнала. Так как при поиске в
наихудшем случае перебираются все п возможных моментов
начала последовательности, а время «просмотра» в каждом слу-
чае равно постоянной времени системы, то максимальное время
поиска составит
Т = пт
* п макс * и •
(2.40)
94 ----

Глава?
Для ускорения поиска используют составные ПС-сигналы,
имеющие дополнительные пики в автокорреляционной функции.
Другой путь основан на учете априорной информации о дально-
сти до объекта, позволяющей производить поиск в ограниченных
пределах. Формирование стартовых S\f) и рабочих 5’(/-т) им-
пульсов в дальномере с ПС-сигналами осуществляется с помо-
щью детекторов ПС-сигналов.
Среднеквадратическая ошибка определения дальности от?
связана с ошибкой измерения времени запаздывания соотно-
шением <jr= ccrfl. Величина <тг зависит от построения и условий
работы схемы слежения за задержкой, осуществляющей филь-
трацию принимаемого сигнала. Величина сгг прямо пропорцио-
нальна длительности одиночного импульса ти, которая определя-
ется номиналом тактовой частоты ПС-последовательности. Для
схемы, изображенной на рис. 2.11, можно показать, что если от-
ношение сигнал/шум в эквивалентной шумовой полосе Д/э си-
стемы слежения за задержкой достаточно велико, то
. ж
Ч Q ’
(2.41)
с 2Д/Э
«—ги J------ ,
R 2 \ Q
(2-42)
где Q = Ре/Gm - энергетический потенциал ответного канала ра-
диолинии измерения дальности; Рс - мощность дальномерного
сигнала; С?ш - спектральная плотность шума.
Рассматриваемые дальномеры, в которых используются ПС-
сигналы, являются одношкальными. Однозначное измерение
дальности в них обеспечивается при выполнении неравенства
27?
>	> ^7Х~макс
ПС —
С
(2.43)
или при наличии определенных априорных сведений о дальности
т ^апр
ПС —
С
---- 95

Глава 2
Основным преимуществом дальномеров с ПС-сигналами яв-
ляется простота получения в них однозначного отсчета дальности
при большой априорной ошибке A/?anp. Для достижения при этом
высокой точности измерений требуется применять сигналы с ма-
лой длительностью одиночных импульсов ти и, как следствие
этого, с большим числом ж В свою очередь, это приводит к необ-
ходимости работы с широкополосными сигналами и значительно
увеличивает время вхождения в синхронизм системы слежения за
задержкой.
Представляется важным сравнение фазового метода дально-
метрии с методом, использующим ПС-сигналы.
Основные преимущества фазового метода
	Относительная простота осуществления узкополосной филь-
трации дальномерного сигнала на борту КА.
	Более быстрое вхождение в синхронизм следящих систем,
обеспечивающих фильтрацию.
Это связано с тем, что дальномерный сигнал состоит из сравнительно
небольшого количества гармонических составляющих (модулирую-
щих частот), тогда как ПС-сигнал занимает почти полностью участок
спектра, ширина которого ориентировочно равна наивысшей модули-
рующей частоте при фазовом методе дальнометрии (при приблизи-
тельно одинаковой точности двух методов).
	Возможность измерения больших расстояний при наличии
одной шкалы.
Преимущества этих методов реализуются в двухшкальном
дальномере, в котором для грубого определения дальности ис-
пользуется ПС-сигнал, а для точного - одна достаточно высокая
масштабная частота.
96-----

Глава 2
2.6.	Измерение угловых координат КА
Направление на объект определяется угловыми координата-
ми. Системы, измеряющие угловые координаты, называются пе-
ленгаторами. В измерительной (топоцентрической) системе ко-
ординат ОхтУт^т (рис. 2.2) угловыми координатами КА являются
азимут \|/ и угол места в. Для их определения при радиоуправле-
нии КА используются одноантенные и многоантенные (базовые)
пеленгаторы. Одноантенные пеленгаторы имеют следящую ан-
тенну. Оценки снимаются с датчиков, фиксирующих положение
оси антенны.
Одноантенные пеленгаторы широко используются в радиолокации. В
командно-измерительном комплексе они применяются, в основном,
для относительно грубого измерения углов. В случаях, когда требует-
ся измерение угловых координат с высокой точностью, используются
многоантенные пеленгаторы с антеннами, разнесенными на большие
расстояния.
Поскольку в таких пеленгаторах определение направления
на КА производится по фазе радиосигналов, то они также назы-
ваются фазовыми.
Расстояние между антеннами пеленгатора, точнее, между их
фазовыми центрами, называется базой. Обычно фазовые пеленга-
торы делают с неподвижными базами и в них производится то-
чечная оценка измеряемых параметров.
Оценка угловых координат, получаемая с фазовых пеленга-
торов, непосредственно не связана с положением оси антенн.
Поэтому у них отсутствуют ошибки, вызванные механическими
погрешностями, имеющие место в одноантенных пеленгаторах.
Преимущество фазовых пеленгаторов состоит в том, что они
позволяют получить высокую точность измерения наиболее
экономичными средствами. Действительно, точность любого
пеленгатора, в основном, определяется его угловой чувстви-
тельностью, которая, в свою очередь, зависит от размеров анги-
ной системы. Но антенна, имеющая единое зеркало, не может
---- 97

Глава 2
быть очень большой из-за технических и экономических огра-
ничений. Антенная система фазового пеленгатора состоит из
нескольких (сравнительно небольших) антенн, разнесенных на
значительное расстояние, что обеспечивает высокую угловую
чувствительность при относительной простоте и сравнительно
малой стоимости.
Метод измерения угловых координат с помощью фазового
пеленгатора иллюстрируется рис. 2.12.
Три антенны пеленгатора Al, А2 и АЗ расположены в гори-
зонтальной плоскости на поверхности Земли по осям координат-
ной системы. Причем антенны А1 и А2 находятся на оси хт и об-
разуют базу величиной rf, а антенны А1 и АЗ расположены на оси
Геометрические соотношения,
иллюстрирующие работу фазового пеленгатора
98 -----

Глава 2
y-t и образуют вторую базу, также равную d. Расстояние от КА до
антенн Al, А2 и АЗ составляет соответственно R\, R2 и R3. При
применении фазовых пеленгаторов направление на КА удобнее
задавать не углами & и £у, а направляющими косинусами cos^i и
COS£p
При большом удалении КА (R » d) приходящие в антенны
радиолучи можно считать параллельными (параллакс базы ан-
тенной системы равен нулю). В этом случае разность фаз между
сигналами в антеннах Al, А2 и АЗ, как видно из прямоугольных
треугольников А1А2А2' и А1АЗАЗ', определяется разностью хода
лучей на отрезках А1А2' = dcosex и Al АЗ = Jcose> соответственно.
Поскольку фазу радиосигнала можно измерять в пределах 2 я; то
измеренные разности фаз Фи и Ф,з между сигналами в антеннах
А1А2 и А1АЗ равны
Ф12 = cosех - 2лк1,	(2.44)
Л
_ Ind _ ,
Ф13 =----cos^ -1лк2 ,
А
где А - длина волны радиосигнала; к\ и fe - целые числа, обеспе-
чивающие выполнение условий -л< Фп< я и -л< Фв^ я.
По измеренным значениям Ф12 и Фв из соотношений (2.44) и
(2.45) находятся направляющие косинусы КА. При этом, так же
как в случае фазового метода измерения дальности, может воз-
никнуть задача разрешения неоднозначности измерений. По су-
ществу, она сводится к вычислению чисел к\ и кг. Для разреше-
ния неоднозначности необходимо иметь грубые значения углов
или направляющих косинусов. Для их нахождения используют
или одноантенные пеленгаторы, или дополнительные пары ан-
тенн, расположенные вдоль основной базы на меньшем расстоя-
нии друг от друга. Неоднозначность можно также исключить,
применяя модулированный радиосигнал и измеряя дополнитель-
но разность фаз на частоте модуляции.
При необходимости измеренные значения косинусов пере-
считываются в азимут и угол места по формулам сферической
тригонометрии:
----99

Глава 2
COS£i
у/ = arctg------,
COS £*2
0 = arccos^/cos^2 + cos^2 •
(2-46)
(2.47)
При вычислении траектории движения КА пересчет по формулам
(2.44) и (2.45), как правило, не производится, и при вторичной обра-
ботке в качестве навигационных параметров используются непосред-
ственно величины направляющих косинусов.
Так как оба соотношения (2.44) и (2.45) подобны, то в даль-
нейшем рассматривается определение только одного направляю-
щего косинуса и в обозначениях опускаются индексы. Из (2.44) и
(2.45) следует, что
Л( Ф , )
созг: = — — + к .
d \2л	)
(2.48)
Ошибки измерения направляющих косинусов определяются
обычным способом. Вычислив полный дифференциал косинуса s,
заданного соотношением (2.48), и перейдя к конечным прираще-
ниям, находим выражения для систематической и случайной
ошибок измерения направляющего косинуса
ACOS£' = COS£‘------
I Л
Л Л,.,
+--------ДФ
(2-49)
( /I ^\2	2
СТ -j 2	/I I ?
-4 COS £ + \ ----- СГф .
Л2 \2nd )
(2.50)
При оценке погрешности измерения будем исходить из того,
что необходимая точность определения направляющего косинуса
(в соответствии с данными табл. 2.1) ориентировочно равна 10"6.
Составляющая ошибок в выражении (2.49) связана с неточ-
ным знанием длины волны принимаемого сигнала. Так как
Л = dfb где с - скорость распространения радиоволн, a fc - часто-
та принимаемого сигнала, то
юо-----

Глава 2
Д2 _ Дс Д/с
с f/
(2.51)
(2.52)
При получении оценок с погрешностью порядка 10-8 неточное знание
величины скорости распространения радиоволн практически не ска-
зывается на результирующей точности измерений.
Составляющие Д/с//с; о/с//с в выражениях (2.51) и (2.52)
определяют ошибку из-за отклонения принимаемой частоты от-
носительно номинального значения. Если вследствие доплеров-
ского эффекта или нестабильности колебаний задающего генера-
тора относительное отклонение частоты достигает 10-6, то при
вычислении величины направляющего косинуса нужно исполь-
зовать значение /с, измеренное за время сеанса связи. Измерение
принимаемой частоты с точностью, существенно большей 10"5,
не встречает затруднений, и указанная причина не ограничивает
точность определения направляющего косинуса.
Вторая составляющая ошибки в выражениях (2.51) и (2.52)
обусловлена погрешностью определения геометрического разме-
ра базы (AJ/J). Не меньшими по величине являются ошибки, не
учитываемые выражениями (2.52), возникающие из-за неточно-
сти ориентации базы на местности.
Современные геодезические методы позволяют установить величину
базы с относительной погрешностью порядка 10’5. Однако в процессе
эксплуатации под влиянием климатических условий и деформации
грунта геометрические размеры и ориентация базы изменяются, по-
этому в фазовых пеленгаторах осуществляют периодический конт-
роль базового расстояния и ориентации базы.
Последние составляющие ошибок в выражениях (2.51) и
(2.52) связаны с флуктуационной оф- и систематической Дф-
погрешностью определения разности фаз между сигналами в ан-
теннах пеленгатора.
----- 101

Глава 2
При постоянной угловой скорости движения КА шумовая
ошибка оптимальной системы измерения разности фаз, отнесен-
ная к середине интервала наблюдения, определяется дисперсией
1 - 1
—	5
^ОПТ ГГ
1
(2.53)
где Сш - спектральная плотность шума на входе приемника; Рс -
мощность принимаемого сигнала; Т - интервал измерения.
Шумовая ошибка реального измерителя зависит от конкретного по-
строения системы и может превышать минимально возможную в не-
сколько раз.
Существенное влияние на погрешность измерения разности
фаз оказывает аппаратурная погрешность - неучтенные фазовые
сдвиги сигналов в аппаратуре. Они возникают из-за неидентично-
сти фазовых характеристик антенн или в результате различного
направления антенн на КА при приеме сигналов, из-за различных
фазовых задержек сигналов в каналах пеленгатора, идущих от раз-
несенных антенн и из-за паразитных связей между этими каналами.
Дополнительные набеги фазы
при распространении радиосигнала в атмосфере
Для КА, находящихся за пределами атмосферы, дополни-
тельная разность хода лучей (ошибка из-за регулярной рефрак-
ции) выявляется только при учете шарообразности Земли и имеет
заметную величину лишь при малых углах места. Движущиеся
атмосферные неоднородности вызывают дополнительные фазо-
вые флуктуации в случае, если их размеры сравнимы или меньше
базы пеленгатора. Влияние таких флуктуаций частично уменьша-
ется за счет сглаживания результатов отдельных измерений при
длительных сеансах.
Дополнительные набеги фазы
из-за ухода частоты задающего генератора
В результате ухода частоты этого генератора за интервал вре-
мени г, определяемый разностью времени приема сигналов разне-
102 ---

Глава 2
сенными антеннами, происходит дополнительный набег фазы. При
постоянной скорости ухода частоты генератора f получим
АФухода»^^-	(2.54)
В большинстве случаев величина этой ошибки пренебрежи-
мо мала.
Ошибки аберрации_____________________________________
Эти ошибки обусловлены смещением радиолуча вследствие
конечного отношения скорости движения КА к скорости света. В
результате явления аберрации доплеровские частоты сигналов, при-
нимаемых разнесенными антеннами пеленгатора, отличаются на ве-
личину А/д, поэтому за время гр распространения радиоволн от КА
до пеленгатора возникает дополнительная разность фаз, равная
ДФаб » 2лА/т = 2я~-^ vising	(2 55)
С с
где /б - частота излучаемого с КА сигнала; vT - тангенциальная
составляющая вектора скорости КА.
Помимо рассмотренных малых ошибок, учитываемых выра-
жениями (2.51) и (2.52), возможны грубые (аномальные) ошибки,
связанные с неправильным раскрытием неоднозначности. Ано-
мальная ошибка кратна отношению AJd,
Обычно в фазовом пеленгаторе имеются малые и большие базы, вво-
димые для раскрытия неоднозначности измерений. Каждой базе соот-
ветствует определенная измерительная шкала. Стыковка шкал произ-
водится так же, как и в фазовом дальномере.
Измерение разности фаз Ф удобнее осуществлять на доста-
точно низкой частоте. Поэтому принятые разнесенными антен-
нами радиосигналы преобразуют по частоте. Преобразование
должно быть выполнено так, чтобы сохранилась первоначальная
разность фаз принятых сигналов. Наибольший интерес с этой
точки зрения представляют пеленгаторы, у которых принятые ан-
теннами сигналы получают основное усиление в общем тракте.
---юз

Глава 2
Это позволяет снизить аппаратурные ошибки. Упрощенная схема
возможного варианта осуществления такого пеленгатора приве-
дена на рис. 2.13.
К системе обработки
и вычисления дальности
____________________ Рисунок 2.13______________________
Упрощенная функциональная схема фазового пеленгатора
104 -----

Глава 2
Излучаемые бортовым передатчиком сигналы принимаются
на две разнесенные антенны А1 и А2, усиливаются в усилителях
высокой частоты и поступают в смесители I и II. На эти смесите-
ли также подаются сдвинутые на некоторую частоту F сигналы
гетеродинов. В результате, сигналы, поступающие из первой и
второй антенн, получают различную промежуточную частоту.
После сложения оба сигнала поступают в общий усилитель про-
межуточной частоты, в котором осуществляют основное усиле-
ние. Разность гетеродинных частот выбирается достаточно ма-
лой, такой, чтобы фазовые сдвиги в этом усилителе практически
не влияли на измеряемую разность фаз принятых сигнала.
Напряжение с выхода усилителя детектируется на детекторе
биений, и из него выделяется сигнальное колебание uQ с частотой
F, Оно поступает на следящий фазометр, в котором выполняется
основная фильтрация. На этот фазометр поступает также колеба-
ние частоты F, формируемое на выходе смесителя Ш из колеба-
ний гетеродинных частот /г и /r + F. Разность фаз сигнального и
опорного колебаний несет информацию о направляющем косину-
се КА.
В фазовом детекторе следящего фазометра происходит срав-
нение фаз сигнального и опорного колебаний и вырабатывается
сигнал ошибки, управляющий сдвигом фаз опорного напряжения
«оп до совпадения с фазой сигнала wc. С выхода фазовращателя
напряжение w’c поступает на измеритель фазы. Измеритель фазы
аналогичен тому, который используется в фазовом дальномере.
Описанный фазометр эквивалентен следящему фильтру. При измене-
нии частоты сигнала ис из-за наличия угловой скорости в нем возни-
кает динамическая ошибка, уменьшение которой возможно за счет
увеличения астатизма следящей системы.
Аппаратурные ошибки в рассматриваемом пеленгаторе воз-
никают, главным образом, из-за различия фазовых сдвигов в вы-
сокочастотных каналах, а также вследствие изменений наклона
фазовой характеристики общего усилителя промежуточной ча-
стоты. Для их уменьшения применяют также калибровку прием-
ного устройства по контрольному сигналу, который одновремен-
но подается на входы обоих каналов.
----- 105

Глава 2
Аппаратурная ошибка обычно является доминирующей со-
ставляющей в общей ошибке фазовой угломерной системы.
Шумовая ошибка измерения зависит от построения пеленгатора. С
этой точки зрения схема, изображенная на рис. 2.13, уступает опти-
мальной. Проигрыш вызван тем, что в рассматриваемом пеленгаторе
для уменьшения аппаратурной ошибки основное усиление осуществ-
ляется в общем тракте и для выделения колебания частоты F, несуще-
го информацию о разности фаз, используется детектор биений, а не
перемножитель, как это имеет место в оптимальной системе.
Действительно, поскольку полоса пропускания усилителей
высокой частоты в каналах пеленгатора существенно превышает
F, при сложении напряжений на входе усилителя промежуточной
частоты спектральная плотность шумов практически удваивается.
Использование детектора биений вместо перемножителя также вдвое
увеличивает дисперсию ошибок результатов измерений, так как на
выходе детектора, помимо биений сигнала с шумом «своего» канала,
возникают биения сигнала с шумом «чужого» канала.
Таким образом, рассматриваемая схема пеленгатора при до-
статочно большом отношении сигнал/шум на входе детектора би-
ений проигрывает оптимальной по дисперсии шумовой ошибки
сГф примерно в четыре раза. Соответственно для рассматривае-
мой схемы имеем
о 2G
^ДГЭ,	(2.56)
где AF3= 1/2Т - эквивалентная шумовая полоса фазометра, рас-
сматриваемая как фильтр нижних частот, согласованный с пол-
ным временем измерения Т.
Для уменьшения систематических ошибок измерения пеленгаторы
высокой точности периодически подвергаются юстировке. При юсти-
ровке производится пеленгование источника излучения с известными
координатами и составляются таблицы поправок с отсчетами. Источ-
106----

Глава 2
I ник излучения может быть расположен, например, на специальной I
юстировочной вышке.	|
Для юстировки пеленгаторов дальнего действия используют
или естественные дискретные источники космического радиоиз-
лучения (радиозвезды), или специальные искусственные спутни-
ки Земли.
2.7.	Измерение производных
угловых координат КА
В космических измерительных радиокомплексах обычно из-
dcossi
меряются производные направляющих косинусов их = —-—L и
й2 = ^c-osg2 g случае необходимости от производных йх и й2
dt
можно перейти к угловым скоростям по азимуту и углу места по
формулам, полученным дифференцированием по времени соот-
ношений (2.44) и (2.45):
их cosy, - и2 sin^/ • их sin}/ + и2 cosys	ч
=--------------; #=-------—-------’	и-57)
cos в	sin в
Для определения производных йх и й2 используют разне-
сенные на местности антенны со взаимно перпендикулярными
базами, ориентированные в пространстве так же как при измере-
нии направляющих косинусов.
Рассмотрим измерение производной одного из направляю-
щих косинусов. Дифференцируя по времени выражение (2.48),
можно получить
й = — cosr = -— = 8Fn.	(2.58)
dt d 2л- д
Таким образом, для оценки й необходимо измерять ско-
рость изменения разности фаз сигналов, принятых разнесенными
----- 107

Глава 2
антеннами, т.е. определять разность доплеровской частоты при-
нимаемых сигналов 8Fj\. Отсчеты w, в отличие от отсчетов
направляющих косинусов, получаются однозначными независи-
мо от размеров базы d.
Ошибки в оценке производной й находятся дифференциро-
ванием выражения (2.58):
.(АЛ Ad} d ( ч
(2.59)
и
(2.60)
Первые две составляющие ошибок в выражениях (2.59) и
(2.60) аналогичны рассмотренным выше при измерении направ-
ляющих косинусов, а последняя - связана с погрешностью изме-
рения разностной частоты 5Fj\. Очевидно, что чем больше отно-
шение J/2, тем менее жесткие требования предъявляются к изме-
рению 5Fj\. Для обеспечения необходимой точности измерения й
отношение J/2 должно быть существенно большим, чем при из-
мерении направляющих косинусов. В реальных системах оно до-
ходит до величин порядка 104 и более.
Для получения оценок й, в принципе, может использоваться фазовый
пеленгатор, функциональная схема которого приведена на рис. 2.12,
если вместо фазы контролировать производную этой фазы. Однако,
поскольку постоянные фазовые сдвиги, приводящие к ошибкам изме-
рения направляющих косинусов, в данном случае не существенны, то
целесообразно использовать более простую схему.
Упрощенная функциональная схема системы измерения
производных направляющих косинусов изображена на рис. 2.14.
Принятые разнесенными антеннами А1 и А2 сигналы космиче-
ского аппарата после предварительного усиления взаимно сме-
щаются по частоте на величину Fn в смесителях I и II. Узкопо-
лосный фильтр, стоящий на выходе смесителя III, выдает сигнал
108 ----

Глава 2
биений. Частота биений ^Изм = /гп±/7д подлежит измерению. Как
правило, измерение частоты осуществляется с помощью перио-
домера. Так как для определения й необходима двухканальная
схема, то при прочих равных условиях дисперсия шумовой
ошибки измерения в данном случае, по крайней мере, в два раза
превышает дисперсию оценки доплеровской частоты, определяе-
мой формулой (2.3).
______________________ Рисунок 2.14____________________
Упрощенная схема системы измерения
производных направляющих косинусов
----- 109

Глава 2 -
2.8.	Общая характеристика
сбора и обработки
телеметрических данных
2.8.1.	Устройство и назначение
радиотелеметрических систем
Радиотелеметрическая система (РТМ) - это основное
средство для получения информации о процессах, протекающих
на борту ракет и космических аппаратов во время их испыта-
тельных полетов и штатной эксплуатации. Радиотелеметриче-
ские системы доставляют информацию и о результатах научных
экспериментов по исследованию космического пространства и
процессов на борту КА. Некоторые телеметрические данные,
подвергнутые соответствующей обработке, используются для
управления полетом КА.
Таким образом, РТМ в командно-измерительном комплексе
осуществляет сбор, передачу, регистрацию и обработку инфор-
мации о поведении различных устройств КА и об окружающей
его среде. С помощью устройств передачи и приема телеметриче-
ской информации решаются задачи как научно-исследователь-
ского характера (например, изучение свойств космического про-
странства или каких-либо процессов, происходящих на борту
объекта), так и контроля за правильностью функционирования
различных систем объекта, выполнения команд, а также задачи
управления полетом аппарата (рис. 2.15).
На борту объекта (ракеты или космического аппарата) много
источников информации (датчиков), доставляющих данные о его
функционировании. Поэтому РТМ является принципиально мно-
гоканальной, передающей множество разных сигналов по одной
радиолинии. Подлежащие передаче параметры внутреннего со-
стояния объекта преобразуются датчиками в форму, удобную для
дальнейшего использования, в электрические сигналы. Сигналы с
датчиков Ui(t) iel,n поступают на устройство уплотнения кана-
лов (коммутатор или мультиплексор). При уплотнении каналов
предусматриваются такие преобразования сигналов датчиков, ко-
по---

Глава 2
торые позволяют на приемной стороне РТМ разделить без взаим-
ных помех. Точнее - с минимальным уровнем таких помех, кото-
рые иначе называются межканальными помехами. Полученный в
результате уплотнения каналов групповой сигнал ws(z) кодирует-
ся для повышения помехоустойчивости и передается по радиоли-
нии на устройство обработки и регистрации.
_________________________ Рисунок 2.15__________________________
Обобщенная схема радиотелеметрической системы
В бортовой телеметрической аппаратуре КА используется запомина-
ющее устройство. Оно необходимо, поскольку сеансы связи между
КА и наземным пунктами приема во многих случаях бывают кратко-
временными, а информация от датчиков поступает непрерывно. Запо-
минающее устройство хранит информацию до начала сеанса связи с
наземной станцией.
----- 111

Глава 2
Работа бортовой аппаратуры подчинена блоку управления ре-
жимами непосредственной передачи (НП) и воспроизведения запи-
санной в запоминающем устройстве информации для передачи.
Комплект датчиков, суммирующее и кодирующее устрой-
ства, передатчик, антенны и т.д. составляют комплекс бортовой
телеметрической аппаратуры КА.
Сигналы с борта принимаются наземной станцией, в состав
которой входят антенна, приемник, разделитель каналов, декоди-
рующее устройство, аппаратура регистрации, индикации и пер-
вичной обработки.
Приемник наземной станции
супергетеродинного типа_______________________________
Его особенность - наличие следящего фильтра, так как ча-
стота приходящего сигнала (вследствие эффекта Доплера) изме-
няется в значительных пределах.
Устройство разделения каналов выделяет из принятого де-
модулированного и декодированного группового сигнала
канальные сигналы w*i(f),	^ *„(/), которые подаются на реги:
стратор и систему отображения. Для документирования сообще-
ний вся поступающая информация регистрируется. В регистри-
рующих устройствах применяют различные способы записи сиг-
налов.
Современные РТМ используют временное (ВРК) или кодо-
вое (КРК) уплотнение и разделение каналов.
В системах с ВРК датчики подключаются к кодеру последо-
вательно. В каждый момент времени передается сигнал только
одного датчика, т.е. к передатчику подключается только один ка-
нал (рис. 2.16).
Разумеется, по современным радиотелеметрическим линиям
передаются не импульсы, модулированные канальными сигнала-
ми по амплитуде, а амплитуда этих импульсов, представленная в
цифровой форме кодированными последовательностями стан-
дартных символов.
|Для правильной работы РТМ с ВРК необходима точная синхрониза- I
ция работы бортовой и наземной подсистем.	|
112----

Глава 2
_____________________ Рисунок 2.16____________________
Формирование группового сигнала
при временном разделении каналов
В системах с КРК признаком канала (датчика, передающего
сигнал) является адресный код. Поэтому кодированное сообще-
ние состоит из информационной и адресной частей. Устройство
разделения каналов на приемной стороне опознает адрес и по ад-
ресу идентифицирует источник сигнала (датчиком).
Для решения задач РТМ системы должны удовлетворять
следующим основным требованиям.
1.	Обеспечение одновременного измерения и передачи мно-
гих параметров (до нескольких десятков и более).
2.	Обеспечение необходимой точности измерений.
Также как для любых других измерительных систем, для
РТМ различают систематические, динамические и случайные
ошибки. Систематические ошибки исключаются калибровкой
радиолинии. Динамические ошибки возникают, когда измери-
тельные приборы не успевают следить за изменениями измеря-
емого параметра. Частично динамические ошибки также ис-
ключаются калибровкой. Случайные ошибки сводят к требуе-
---из

Глава 2
мому минимуму соответствующий выбор параметров РТМ ли-
ний.
3.	Обеспечение передачи сообщений с разнообразными
спектрами. Передаваемые сообщения условно разделяются на две
группы. В первую группу входят медленноменяющиеся сообще-
ния с шириной спектра от нуля до 5 Гц. Во вторую группу входят
сообщения с шириной спектра от нуля до 2000...3000 Гц. Первая
группа сообщений обычно многочисленна. Сюда входят темпера-
тура, давление, скорость потоков газов, ускорение, движение
корпуса ракеты-носителя или КА относительно центра масс и не-
которые другие. Во вторую группу входят вибрации и акустиче-
ские шумы, быстрые колебания давления в гидравлической си-
стеме, колебания в элементах системы управления ракеты при
возникновении ее неустойчивости, колебания напряженности
электромагнитного поля и прочие.
4.	Бортовая аппаратура РТМ систем должна быть макси-
мально проста и надежна. Надежность радиотелеметрической ап-
паратуры должна быть значительно выше надежности остальных
систем управляемого объекта, поскольку пуск каждого объекта
обходится очень дорого, а преждевременный выход из строя те-
леметрической аппаратуры делает пуск бесполезным.
5.	РТМ система должна быть гибкой. Например, в случае не-
удачного запуска бывает необходимо изменить программу изме-
рений и измерять ряд других параметров вместо каких-либо
прежних, поэтому РТМ система должна предусматривать воз-
можность быстрой замены одних датчиков другими.
Для иллюстрации характера измерений, производимых РТМ
системой, можно рассмотреть фрагмент типичной программы
измерений для ракеты-носителя. Часть этой программы пред-
ставлена в табл. 2.1.
Как видно, ширина спектра сигналов различных датчиков
отличается весьма значительно. И это накладывает требования на
дискретизацию сигналов, которая при ВРК и КРК производится
устройством уплотнения каналов.
114 -----

Глава 2
_______________________Таблица 2.1______________________
№ п/ п	Измеряемая величина	Пределы из- менения из- меряемой величины	Допусти- мая ошибка измерения, %	Ширина спектра сообще- ния, Гц
1	Температура внешней поверхности сопла двигателя 1-й ступени	0...3000 °C	5	5
2	Температура внешней поверхности сопла двигателя 2-й ступени	0...3000 °C	5	5
3	Температура внешней поверхности сопла двигателя 3-й ступени	0...3000 °C	5	5
4	Давление газов в камере сгорания 1-й ступени	О...5ОлГ/см2	5	НО
5	Давление газов в камере сгорания 2-й ступени	0...50лГ/см2	5	110
6	Давление газов в камере сгорания 3-й ступени	0...50 лГ/см2	5	ПО
7	Температура в верхней и нижней ча- стях камеры сгорания двигателя 2-й ступени	0...260 °C	5	5
8	Температура жаропрочной изоляции камеры сгорания двигателя 1-й ступени			
9	Температура задней кромки двигате- ля 1 -й ступени	0...300 °C	5	5
10	Вибрация по углу рысканья 2-й ступени	± 10#	10	600
11	Угловая скорость гироскопа стабили- зации по углу тангажа	± 10 град/с	5	14
12	Угловая скорость гироскопа стабили- зации по углу рысканья	± 10 град/с	5	20
13	Угол тангажа	± 15°	5	11
14	Угол рысканья	±15°	5	И
15	Давление турбонасосного агрегата	0...3 кГ/см2	5	5
16	Ускорение по углу крена	2,55 g	5	80
17	Выполнение программы поворота вектора скорости после вертикально- го участка взлета	Включено / выключено	5	160
18	Напряжение АРУ приемника радиоси- стемы траекторных измерений	0...5В	5	5
18	Зажигание 1-й ступени	Включено / выключено	-	220
19	Взлет ракеты	Включено / выключено	-	220
20	Отделение 1 -й ступени	Включено / выключено	—	160
21	Включение двигателя 2-й ступени	Включено / выключено	—	230
22	Напряжение бортовой сети	0...30В	3	5
----- 115

Глава 2
2.8.2. Телеметрируемые параметры
Источниками измерительной информации в системах кон-
троля состояния бортовой аппаратуры летательных аппаратов яв-
ляются, в основном, достаточно несложные датчики температу-
ры, давления, перемещений, ускорений [20] и т.д. В системах
научных измерений источниками измерительной информации
являются сложные по структуре научные приборы для измерения
параметров электрических и магнитных полей, различного вида
излучений и других физических процессов в космосе.
Телеметрируемые параметры можно разбить на две группы:
сигнальные и функциональные параметры.
Сигнальные параметры могут принимать лишь одно из М
априорно известных значений и характеризуют состояние борто-
вых технических устройств ЛА. Источниками сигнальных пара-
метров являются контактные датчики, дающие информацию о
переключениях режимов приборов, о шкалах измерения парамет-
ров, о нахождении параметров в заданных пределах изменения
(контроль нормальных условий).
Примеры сигнальных параметров, принимающих одно из двух
возможных значений: состояние переключателя тока (включе-
но/выключено); положение крана (открыто/закрыто); факт сраба-
тывания пиропатрона (да/нет). Более сложные сигнальные пара-
метры, например положение контактов т контактных датчиков,
может принимать любое из М= 2т значений.
Поведение сигнального параметра описывается непрерыв-
ной ступенчатой функцией времени (рис. 2.17,а).
Факт изменения сигнального параметра, характеризующий
моменты срабатывания технического устройства (исполнение
команды управления), называют событием.
При телеметрировании событий обычно требуется осуще-
ствить их временную привязку с погрешностью, не превышаю-
щей предельно допустимое значение (обычно Д/дОп= 10-4 с).
Функциональные параметры могут принимать значение в
априорно известных пределах шкалы. Если значение наблюдаемо-
го параметра не изменяется в течение сеанса связи, то такой па-
раметр фактически является физической величиной. Источниками
116----

Глава 2
______________________ Рисунок 2.17_____________________
Виды телеметрируемых параметров
непрерывных телеметрируемых параметров физических величин
являются датчики температуры, давления, напряжения бортовых
систем жизнеобеспечения. При телеметрировании физических ве-
личин необходимо определить их значения с заданной верностью.
Если значение наблюдаемой физической величины меняется
в ходе телеизмерений, то соответствующий параметр является
процессом.
Источниками непрерывных телеметрируемых процессов
служат также научные приборы: радиометры, осуществляющие
измерение мощности радиоизлучения в заданных диапазонах ча-
стот, телефотометры, измеряющие интенсивность света, отража-
емого от поверхности планет; инфракрасные фотометры, позво-
ляющие получить изображения поверхности в инфракрасном
диапазоне волн и др. При телеметрировании непрерывных про-
цессов требуется с заданной верностью определить их поведение
в функции времени.
С точки зрения «качественного поведения» можно выделить
следующие группы (рис. 2.17,б-д) функциональных параметров.
----- 117

Глава 2
1.	Параметры, функция поведения которых непрерывна, а
первая производная близка к нулю, за исключением отдельных
малых интервалов Д/,, когда она может принять большие значе-
ния, т.е. «медленная» функция с резким изменением в моменты
переходных процессов. Примерами таких параметров могут слу-
жить параметры, контролирующие работу двигателя.
2.	Параметры, для которых функция поведения и ее произ-
водная непрерывны, кроме того, производная на интервале
\Ti< Т (Т - период изменения параметра) может изменяться по
величине и по знаку с некоторой частотой. К таким параметрам
относятся различные виды управляющих воздействий в системах
управления объектом.
3.	Параметр, представляемый монотонно возрастающей (или
убывающей) функцией, производная которой близка к нулю
(температура, ток заряда и разряда, напряжение и т.п.).
4.	Параметры, описываемые быстропеременными функция-
ми, у которых первая производная на интервале ДЛ < Т может из-
меняться в широких пределах, меняя знак и претерпевая разрывы
(пульсация давления, вибрационные перегрузки, акустические
давления и т.п.).
По динамичности поведения телеметрируемые параметры
условно разделяют на медленноменяющиеся (ММП) с макси-
мальной частотой в спектре параметра не более 100 Гц и быстп-
роменяющиеся (БЫЛ) с максимальной частотой в спектре пара-
метра более 100 Гц.
Рассмотренные телеметрируемые параметры отражают фи-
зические процессы, происходящие на борту ЛА, и подлежат из-
мерению с заданной потребителем верностью с обязательной
привязкой результатов телеизмерений к шкале системы единого
времени (СЕВ).
Кроме рассмотренных сигнальных и функциональных теле-
метрируемых параметров по информационным каналам системы
информационно-телеметрического обеспечения (СИТО) требует-
ся передавать цифровые массивы данных.
Специфическими источниками массивов цифровых данных
являются бортовые ЦВМ, входящие в состав бортовых систем
обработки информации (БСОИ) и бортового комплекса управле-
118 --

Глава 2
ния (БКУ). Такие массивы цифровой информации отражают со-
стояние запоминающих устройств бортовых ЦВМ и позволяют
контролировать состояние и работоспособность последних, их
можно рассматривать как специфическую телеметрическую ин-
формацию (ТМИ).
Цифровые сообщения бортовых ЦВМ, как правило, представляются
двоичным кодом и должны быть переданы потребителям с более вы-
сокой верностью, чем избыточные сообщения о сигнальных и функ-
циональных параметрах.
Еще одну разновидность специфической цифровой ТМИ
представляют собой массивы данных от БСОИ, характеризующие
результаты бортовой обработки телеметрируемых параметров, в
том числе и сжатие ТМИ.
Источниками массивов данных являются научные приборы для ис-
следования импульсных процессов, представляющих собой последо-
вательности импульсов (рис. 2.17,е), имеющих случайные моменты
возникновения, форму, амплитуду, длительность и т.д. Для точной
передачи на землю формы и моментов появления импульсов требует-
ся иметь фактически непрерывный измерительный канал, что невоз-
можно.
Поэтому научные приборы для изучения импульсных теле-
метрируемых процессов содержат в качестве неотъемлемой со-
ставной части специализированные бортовые устройства их об-
работки (отбор импульсов по определенным критериям и подсчет
числа событий, заключающихся в появлении импульсов с задан-
ными характеристиками за некоторое заданное время). В итоге
при исследовании импульсных процессов на землю необходимо
передавать полученные на борту результаты их обработки в виде
цифровых массивов данных.
Такие научные приборы как газовые хроматографы, устрой-
ства измерения энергетического спектра радиосигналов, спек-
трометры инфракрасного и ультрафиолетового диапазонов волн,
приборы для изучения распределения частиц или квантов по
энергиям, являются источниками одномерных массивов данных,
--------------------------------------------------------- 119

Глава 2
отображающих результаты работы параллельных каналов этих
приборов в последовательные моменты времени.
Выходные сигналы телевизионных устройств для получения
изображений поверхности планет и звездного неба образуют на
выходе двумерные массивы данных. Их появление на выходе не
обязательно происходит через равные промежутки времени и за-
висит от особенностей исследуемого явления и программ прове-
дения измерений.
Телеметрируемые параметры {Л} имеют различную физиче-
скую природу и различные единицы измерения. Для передачи по
унифицированным каналам их представляют в виде первичных
телеметрических сигналов {и} - напряжений, значения которых
могут изменяться в пределах телеметрической шкалы (обычно
0...6 В или 0...100 мВ).
Функциональные параметры представляются аналоговыми
первичными сигналами (рис. 2.18,а), которые могут непрерывно
изменяться во времени и принимать любое значение внутри те-
леметрической шкалы.
В общем случае преобразование наблюдаемого параметра Л в пер-
вичный телеметрический сигнал и является нелинейным. Однако в
каждый момент времени между реализацией телеметрируемого про-
цесса и сигналом существует однозначное соответствие. Примером
аналогового представления может служить сигнал на выходе первич-
ного измерительного преобразователя (датчика).
Сигнальные параметры представляются непрерывно-кванто-
ванными первичными сигналами (рис. 2.18,в), которые могут
принимать только априорно известные квантовые значения, хотя
изменение последних возможно в любой момент времени. При
непрерывно-квантованном представлении осуществляется кван-
тование реализации процесса по уровню. Поэтому часто говорят,
что при квантовании непрерывная шкала значений процесса за-
меняется квантованной шкалой.
|Для одновременной передачи большого числа первичных телеметри- |
ческих сигналов {и} по общему каналу связи используют один из |
120----

Глава 2
возможных методов его уплотнения (разделение информационных
каналов) - временное (ВУК, ВРК), частотное (ЧУК, ЧРК), кодовое
уплотнение (разделение) или их комбинацию. В отечественных СИТО
преимущественно применяют ВУК (ВРК), при котором первичные
сигналы {и} из индивидуальных трактов поочередно поступают в
групповой тракт.
м(0
Реализация процесса
________________ Рисунок 2.18_____________________
Виды представлений телеметрируемых параметров
----- 121

Глава 2
Аналоговые телеметрируемые параметры при ВРК пред-
ставляются в групповом тракте дискретно-непрерывными пер-
вичными сигналами {и^} (рис. 2.18,6). При дискретно-непре-
рывном представлении однозначное соответствие между реали-
зацией процесса и сигналом существует только в дискретные мо-
менты времени (моменты отсчетов). Процесс дискретно-
непрерывного представления называют дискретизацией, которую
осуществляют путем опроса датчиков с помощью коммутатора.
Отдельные дискретные значения параметров называют отсчета-
ми (выборками), а интервал их следования - периодом или ин-
тервалом опроса То. Частоту следования отсчетов Fo = 1/Т0 назы-
вают частотой опроса.
В целях предотвращения накопления погрешностей при многократной
ретрансляции, записи/воспроизведения сигналов осуществляют кван-
тование телеметрической шкалы и аналогово-цифровое преобразова-
ние значений выборок. При этом действительные значения выборок
{мд} отождествляют со значениями ближайших уровней квантования.
В результате получают дискретно-квантованные первичные сигналы
{идк} (рис. 2.18,г).
Значение уровней квантования однозначно определяется их
номером, поэтому на практике значения выборок {мд} заменяют
не значениями, а номерами ближайших уровней квантования.
При этом получают цифровые первичные сигналы {мц}, в кото-
рых последовательность выборок телеметрируемого параметра
представлена последовательностью чисел (номеров уровней
квантования). Поэтому такое представление чаще называют циф-
ровым.
При дискретно-непрерывном и цифровом представлениях выборок
телеметрируемых параметров в процессе дискретизации и квантова-
ния возникают дополнительные методические погрешности, поэтому
совершенно точно восстановить параметр по цифровому сигналу
нельзя. Следовательно, операции квантования и дискретизации явля-
ются существенными с информационной точки зрения: при этих пре-
образованиях погрешность телеметрирования возрастает, количество
сведений об измеряемом параметре уменьшается.
122-----

Глава 2
Методическая погрешность зависит от характера поведения
и динамичности телеметрируемых параметров, количества уров-
ней квантования, частоты опроса Fo и способа восстановления
параметров. Обеспечение допустимого значения методической
погрешности является предметом расчета информационного ка-
нала СИТО.
2.8.3. Обработка результатов
телеметрических измерений
При телеметрировании медленноменяющихся параметров
обычно требуется их восстановление как функций времени. Для
этого можно использовать интерполяцию или аппроксимацию.
Интерполяция заключается в подборе функций заданного класса, сов-
падающих в точках опроса с имеющимися выборками, которые в ма-
тематике называют узлами интерполяции. В телеметрии обычно ис-
пользуют линейную интерполяцию, при которой интерполятор пред-
ставляет собой линейный фильтр.
Увеличивая порядок интерполирующих полиномов, можно увеличить
точность восстановления телеметрируемого процесса. Однако одно-
временно потребуется увеличить вычислительную сложность алго-
ритма интерполирования. Поэтому в вычислительных устройствах
дальше полиномов второго порядка не идут. На практике могут быть
реализованы лишь такие интерполирующие функции, которые пред-
ставляют собой импульсные переходные функции реализуемых филь-
тров-интерполяторов.
Любой реализуемый фильтр должен удовлетворять принци-
пу причинности: реакция на его выходе не может появиться ранее
входного воздействия. Реализуемы только односторонние функ-
ции, которые существуют в положительном времени. Примене-
ние реализуемых функций приводит к задержке восстановления
телеметрируемых параметров. Задержка тем больше, чем выше
порядок интерполяционного полинома. В предельном случае при
переходе к идеальному интерполятору, по Котельникову, задерж-
ка восстановления телеметрируемого параметра стремится к бес-
конечности.
----- 123

Глава 2
Аппроксимация заключается в подборе функций заданного
класса, не обязательно совпадающих с имеющимися выборками,
но наиболее близких к ним по заданному критерию (обычно - по
минимуму среднеквадратической погрешности).
Аппроксимация при практической реализации оказывается сложнее
интерполяции. Поэтому интерполяцию используют всегда, когда до-
веряют принятым выборкам, т.е. при малой погрешности передачи
выборок в телеметрической радиолинии. На практике это соответ-
ствует работе в штатных режимах функционирования космических
объектов.
Аппроксимацию могут использовать для сжатия передаваемой ТМИ
или для восстановления телеметрируемых параметров в тех случаях,
когда не доверяют принятым выборкам и имеют информацию о клас-
се функций, которыми можно задать телеметрируемые параметры.
При телеметрировании быстроменяющихся параметров их
восстановление (как функций времени) мало информативно, по-
этому необходимо определять их характеристики: среднее значе-
ние, дисперсию, авто- и взаимную корреляционную функцию,
спектры плотности мощности, распределение частиц по энергии,
направление прихода, вариации характеристик в зависимости от
положения космического аппарата в пространстве, его ориента-
ции и времени.
Одной из задач при разработке программы телеизмерений является
задание информационных характеристик СИТО и рациональное рас-
пределение усилий при разделении функций между бортовой и
наземной системами обработки данных.
Оперативная обработка данных, поступающих в Центр по
каналам связи, выполняется обычно в реальном времени и слу-
жит, в основном, целям управления аппаратом. Схема системы
предварительной и первичной обработки данных приведена на
рис. 2.19.
Первой операцией, проводимой в Центре после получения
или регистрации данных, является учет исходных материалов.
124 ---

Глава?
В результате образуются банки исходных данных и сопро-
вождающей документации, необходимой для однозначной иден-
тификации поступившей информации. Банк документов содержит
также все проектные и рабочие материалы, которые могут быть
полезными при обработке поступающей в Центр информации.
Практически одновременно с операцией учета выполняется
анализ качества данных. Также осуществляется экспресс-обра-
ботка данных. Ее задача, в отличие от оперативной обработки, -
просмотр и предварительное определение ценности информации
по приборам.
МНИ Сопровождающая Техническая
ТМ данные различных документация документация
РТС	,----- ,-------
Исходные данные
Банк исходных
данных
Сбор и учет	I1
_____________ План обработки
|Визуализация, анализ и задание на обработку]
Предварительная обработка^
____U ВводвЭВМизапись на МНИ L
Банк
документов
з:
Восстановление структуры
I	»	—
4____»| Дешифрация и привязка к единому времени]
! Обработка калибровочных уровней ~
* г_____________и масштабирование__________
I.________________£____________________
4-____^|Обработка ТМ данных для расчета ориентации |
L—-----------_
•3
оэ
2
11 Построение выходных форматов
Обработка
навигационных
данных
1
Л
!
!
3
а
2
Первичная обработка
."г.-—-------------------------------------
I Разделение данных по приборам
I I Определение внутренних циклов приборов |
[ | Построение измерительных циклов ~[
Банк данных
_______________________ Рисунок 2.19______________________
Схема систем предварительной и первичной обработки данных
----- 125

Глава 2
Далее проводится полная обработка принятой информации,
состоящая из предварительной, первичной и вторичной обработки.
Основной задачей предварительной обработки является
компоновка данных, полученных различными измерительными
пунктами, исправление сбоев структуры информации из-за помех
в каналах связи, привязка времени и т.п., т.е. проведение фор-
мальных операций, не связанных непосредственно с физическим
смыслом передаваемых данных, а определяемых влиянием звень-
ев информационно-измерительной системы, участвовавших в
преобразованиях данных. По результатам предварительной обра-
ботки создается банк обработанных данных, которые могут быть
использованы в других системах обработки.
Задача первичной обработки - выделение измерений, отно-
сящихся к отдельным приборам, проведение над ними операций
обработки, связанных с логикой работы приборов, снабжение их
всей сопутствующей информацией, необходимых для обработки
данных прибора. К этой информации могут относиться, в частно-
сти, результаты обработки навигационных данных, то есть тра-
екторных измерений и данных по ориентации ракеты или косми-
ческого аппарата. При этом обработка навигационных данных
составляет независимый контур наземной части информационно-
измерительной системы.
После первичной обработки создается банк данных по экс-
периментам. Информация из этого банка может быть передана
экспериментаторам для последующей независимой обработки. На
этапе вторичной обработки данных выполняется углубленный
анализ результатов.
Следует отметить и такую функцию ИИС как обеспечение
проведения автономных и комплексных испытаний бортовой ап-
паратуры при подготовке к полетам. Для этого используются от-
дельные части описанных выше аппаратных средств.
1.	Центральным элементом оперативного навигационно-баллисти-
ческого обеспечения управления КА при испытаниях, как составной
126 -----

Глава 2
части экспериментальной космической баллистики, является процесс
получения измерений текущих навигационных параметров (ИТНП).
При проведении летных испытаний и эксплуатации КА применяются
внешние (траекторные) бортовые данные спутниковой навигации, те-
леметрические и автономные измерения.
2.	Виды измерений дополняют друг друга. Их совместное использо-
вание в процессе летно-баллистического эксперимента позволяет по-
лучить достаточно полную информацию о наиболее существенных ха-
рактеристиках объекта и его систем и сделать на этом основании выво-
ды о соответствии требований, которые предъявляются к данному
объекту со стороны заинтересованных организаций.
3.	Работа радиоэлектронных систем контроля траекторий космиче-
ских аппаратов основана на следующих фундаментальных физических
принципах.
Принцип постоянства скорости распространения электромагнитных
волн (скорость света) с« З Ю8 м/с (точнее, скорость света составляет
299 762 456,2+ 1,1 в вакууме).
Эффект Доплера. Специальная тория относительности устанавлива-
ет, что при взаимном движении источника и приемника сигнала частота
принятого сигнала fi>p отличается от частоты сигнала излученного tan.
Контроль траекторий КА использует возможность направленного из-
лучения - прямолинейность распространения электромагнитного поля.
За счет этих эффектов определяют направление прихода сигнала и,
соответственно, угловые координаты КА. Измерение производных уг-
ловых координат по времени дает возможность для определения угло-
вой скорости.
Литература
1.	Тюлин А.Е., Бетанов В.В. Летные испытания космических объек-
тов. Определение и анализ движения по экспериментальным дан-
ным / Под ред. А.Е. Тюлина. М.: Радиотехника. 2016.
2.	Бетанов В.В. Измерения при летных испытаниях сложных дина-
мических объектов. Учеб, пособие / Под ред. Л.Н. Лысенко. М.:
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2011.
3.	Куприянов А.И., Дун Ге. Радиоэлектронные системы космических
комплексов. Учеб, пособие. М.: МАИ. 2015.
4.	Радиосистемы и комплексы управления. Учебник / Под ред. В. А. Вей-
целя. М.: Вузовская книга. 2016.
5.	Вейцелъ В.А., Поваляев А.А., Жодзишский А.И. и др. Радиосистемы
управления. Учебник для вузов. М.: Вузовская книга. 2014.
----- 127

Глава 2
6.	Березин Л.В., Вейцель В.А. Теория и проектирование радиосистем.
М.: Сов. радио. 1977.
7.	Космические траекторные измерения. Радиотехнические методы из-
мерений и математическая обработка данных / Под ред. П.А. Агад-
жанова, В.Е. Дулевича, А.А. Коростелева. М.: Сов. радио. 1969.
8.	ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / Под ред.
А.И. Перова, В.Н. Харисова. М.: Радиотехника. 2012.
9.	Бетанов В.В., Янчик А.Г. Навигационно-баллистическое обеспече-
ние испытаний и применения космических аппаратов. Учеб, посо-
бие / Под ред. Б.И. Глазова. М.: РВСН. 1993.
10.	Бетанов В.В., Кудряшов М.И. Практические подходы к решению
некорректных задач с приложениями к навигационно-баллисти-
ческому обеспечению управления космическими аппаратами.
Научно-метод. материалы. М.: РВСН. 1997.
11.	Ломако Г.И. Экспериментальная баллистика космических аппара-
тов. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1997.
12.	Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная
баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1984.
13.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динами-
ческих систем по результатам измерений. М.: МО. 1981.
14.	Степанов М.Г. Введение в теорию смещенного оценивания пара-,
метров движения космических аппаратов по ограниченным дан-
ным. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1993.
15.	Худяков С.Т., Жданюк Б.Ф., Брандин В.Н. Летные испытания ракет
и космических средств. Учебник. М.: В А им. Ф.Э. Дзержинского.
1968.
16.	Бетанов В.В., Лысенко И.В. Решение задач экспериментальной
баллистики в ходе летных испытаний образцов ракетно-косми-
ческой техники. М.: РВСН. 1999.
17.	Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений.
М.: Наука. 1976.
128 -----

ГЛАВА 3
Оптимальное планирование
экспериментов
и навигационных параметров
космических аппаратов
3.1. Планирование экспериментов и измерений параметров движения КА
3.2. Трудности планирования измерений навигационных параметров и
классификация планов
33. Планирование измерений навигационных параметров в испытатель-
ных центрах
3.4.	Планирование работы отдельного командно-измерительного ком-
плекса
3.5.	Некоторые понятия и определения теории планирования
3.6.	Постановка задачи оптимального планирования измерений навига-
ционных параметров
3.7.	Критерии оптимального планирования эксперимента
3.8.	Задача выбора плана измерений навигационных параметров
3.9.	Задачи оптимизации спектра плана измерений навигационных па-
раметров
3.10.	Последовательная структурно-параметрическая оптимизация моде-
лей в едином технологическом цикле НБО оперативного управления
космическими полётами

Глава 3
3.1.	Планирование экспериментов и измерений
параметров движения КА
Основными требованиями, предъявляемыми к любому экс-
перименту, являются условия получения наибольшего количества
высококачественной информации при наименьших затратах. Пу-
ти достижения данного условия могут быть различны.
Для эксперимента, связанного с проведением серии измере-
ний, это:
-	улучшение точностных характеристик измерительных
средств;
-	совершенствование методов обработки результатов изме-
рений;
-правильная организация проведения измерений, которая
выражается в оптимальном планировании измерений.
В термине «организация и планирование измерений» заклю-
чён двойной смысл. Первый связан, в обыденном понимании, с
установлением начала и окончания работы, порядка её проведения,
определения привлекаемых сил и средств. Второй использует ма-
тематическую (научную) трактовку этого понятия и требует разра-
ботки и применения специального математического аппарата на
основе теории вероятностей, теории принятия решений и методов
решения экстремальных задач, т.е. методов оптимизации.
По существу, теория планирования эксперимента развивается на стыке
таких математических дисциплин как вычислительная математика, ма-
тематическая статистика, дискретная математика и теория оптимизации.
Основные задачи оптимального планирования измерений
1	. Выбор структуры и состава НАКУ (ПИК) (определение
количества и типа измерительных средств, которые задействуют-
ся в измерительном процессе; определение требований к техни-
ческим характеристикам этих средств и точности их геодезиче-
ской привязки; выявление способов взаимодействия всех техни-
ческих систем, составляющих НАКУ или ПИК).
130 --

Глава 3
Перечисленные выше задачи в подавляющем большинстве не могут
быть формализованы (записаны в виде ограниченных выражений и
формул) с достаточной математической строгостью, поэтому в их ре-
шении определяющим является интуитивный эвристический подход.
2	. Оптимальное размещение измерительных средств на
местности. Как правило, эта задача предполагает определение
координат точек расположения измерительных средств, и в мате-
матическом плане сводится к классу оптимизационных задач не-
линейного программирования с большим числом ограничений
различного вида.
3	. Оптимизация временных программ измерений.
Сюда относятся задачи определения общего количества из-
мерений, выбора оптимального спектра измерений и распределе-
ние измерений по данному спектру.
Переменные при планировании измерений
	Состав измерений (типы измеряемых параметров).
	Размещение измерительных станций (радио-, фото-, оптических
и других средств).
	Моменты проведения измерений.
	Частота измерений.
Целесообразно напомнить, что постановка некоторых проблем-
ных вопросов в области оптимального планирования эксперимента
обнаружена еще в древнекитайских рукописях. В XVIII-XIX вв. в
Европе был распространен однофакторный способ планирования
эксперимента, когда оптимизация велась по одному из факторов,
от которых эксперимент зависел при фиксированных значениях
других факторов. Этот метод давал неплохие результаты для про-
стых объектов и несложных условий проведения эксперимента.
С ростом уровня сложности он перестал быть эффективным и воз-
никла потребность в выделении специального научного направле-
ния - оптимального планирования эксперимента на стыке матема-
тической статистики и теории оптимизации.
Родоначальником его считают английского статистика Р. Фи-
шера, который в 1919 г. при анализе опытных данных на агробио-
логической станции впервые предложил применять комбинатор-
ные методы планирования эксперимента, а в 1935 г. опубликовал
книгу «Планирование эксперимента». В 1940-х гг. А. Вальдом бы-
ла разработана процедура последовательного (пошагового) плани-
---- 131

Глава 3
рования, которая позволяла экономить количество опытов, увели-
чивая, однако, время на их обработку. В 1950-е гг. с появлением
работы американских химиков Г. Бокса и К. Уилсона (1951г.)
начинает разрабатываться теория экстремальных экспериментов. В
нашей стране это научное направление активно развивается в
1960-1970-х гг. (В.В. Федоров, В.В. Налимов, В.Н. Почукаев и др.).
Сейчас в теории оптимального планирования эксперимента оформи-
лись две тенденции (по аналогии с задачами оценивания и идентифи-
кации). Первая тенденция в планировании эксперимента предполага-
ет, что исследователя интересует лишь тот комплекс условий (вход-
ных воздействий), при котором изучаемый процесс (выход)
удовлетворит заданному (выбранному) критерию оптимальности.
Напротив, вторая тенденция при планировании эксперимента по вы-
яснению механизма явления устанавливает структуру самой системы.
Применительно к рассматриваемой предметной области лет-
ных испытаний космической техники первая тенденция решает
задачу: Как при существующем наземном автоматизированном
комплексе управления определить параметры движения космиче-
ского объекта с заданной точностью? Вторая тенденция связана с
детальным выяснением вопросов: Как дополнить существующий
комплекс управления для повышения эффективности функцио-
нирования КА? В каком месте разместить новые измерительные
комплексы? Как использовать глобальные навигационные спут-
никовые системы, например ГЛОНАСС и другие.
3.2.	Трудности планирования измерений
навигационных параметров
и классификация планов
Разработка и применение оптимального планирования име-
ют свои существенные трудности.
1.	Высокие требования по точности и большая неопределён-
ность приводят к необходимости проведения большого объёма
измерений текущих навигационных параметров (для низкоорби-
тальных КА - 500.. .2000 измерений).
132 --

Глава 3
2.	Навигационные измерения по-своему уникальны в том
смысле, что их нельзя повторить.
3.	Поиск оптимальных планов требует даже в относительно
простых случаях мощных вычислительных затрат и большого ко-
личества машинного времени, а навигационная обстановка может
существенно измениться за короткий интервал времени.
Исходя из широкого разнообразия решаемых при испытани-
ях космических объектов задач, оперативности изменения обста-
новки, сложности проводимых экспериментов на борту космиче-
ских аппаратов разрабатываемые планы экспериментов могут
быть разделены (классифицированы) на следующие группы.
1.	Оптимальные планы (планы, позволяющие эффективно
достигать решение задач испытаний по различным критериям ка-
чества и наличии ограничений).
2.	Рациональные планы (уступающие оптимальным планам,
но достаточные для решения задач с экономией ресурсов).
3.	Приемлемые планы (сильно проигрывающие оптималь-
ным и рациональным планам, но обеспечивающие выполнение
стоящих задач за счет значительного увеличения затрачиваемых
ресурсов).
4.	Устойчивые планы (планы, решающие задачи испытаний
и эксплуатации объектов в широком диапазоне изменения соста-
ва данных, обеспечивающих их выполнение).
5.	Экстремальные планы (планы, обеспечивающие выпол-
нение целей эксперимента в штатных и нештатных ситуациях).
3.3.	Планирование измерений
навигационных параметров
в испытательных центрах
При планировании работ сотрудники соответствующего отде-
ла координации и планирования главного испытательного центра
наземного автоматизированного комплекса управления (НАКУ)
КА и измерений учитывают состояние и характеристики назем-
----- 133

Глава 3
ных технических средств в ПАКУ. На этапе запуска космических
объектов дополнительно рассматриваются и измерительные
средства полигонно-измерительного комплекса.
В свою очередь, операторы центров управления полетами
(ЦУП) КА также фиксируют состояние бортовых средств управ-
ления, определяя возможности использования измерительных
средств как сложных технических объектов, включающих эле-
менты борт-земля.
Для низкоорбитальных КА с околокруговыми орбитами
обычно используют 6...8 сеансов измерений текущих навигаци-
онных параметров (ИТНП), проведенных на двух-трех смежных
витках. Подобный план измерений может служить примером
приемлемого плана для КА ДЗЗ.
Взаимодействие структурных подразделений НАКУ при
планировании ИТНП представлено на рис. 3.1.
________________________Рисунок 3.1_______________________
Взаимодействие структурных подразделений НАКУ
при планировании ИТНП:
БЦ - баллистический центр; СУ - сектор управления полётом КА
заданного типа; ЗРВ - зона радиовидимости; ИН - измерительный
пункт; ОКИК - отдельный командно-измерительный комплекс;
ТГУ -технологический график управления; ТЦУ -технологический
цикл управления; НУ - начальные условия движения КА
134 -----

---- Глава 3
3.4.	Планирование работы отдельного
командно-измерительного комплекса
Задача планирования работы ОКИК предназначена для оп-
тимального (рационального) распределения средств НАКУ по
проведению измерений с учётом реальной космической обста-
новки и ограничений, предъявляемых технологическим циклом
управления (ТЦУ), технологическим графиком управления (ТГУ)
и применением КА по целевому назначению.
План работы ОКИК - расписание работы по измерению дви-
жения КА с целью измерения реальных траекторий их движения.
Такое расписание формируется в виде групп данных:
1)	время начала и окончания связи;
2)	номер ОКИК;
3)	номер космического объекта;
4)	номер витка;
5)	номер сеанса связи и другие данные.
Под оптимальным (рациональным) планом понимается та-
кой план, который укладывается в штатные ТЦУ, подкреплен
наличием достаточного количества работоспособных ОКИК. При
этом планируемый объём измерений гарантирует определение
орбит с точностью, необходимой для решения целевых задач.
Практика обеспечения данными измерений для надежного определе-
ния орбит показывает, что сеансы измерений должны проводится с
измерительных пунктов, расположенных по разные стороны трассы
полета КА. Задача расположения измерительных средств анализиру-
ется ниже.
3.5.	Некоторые понятия и определения
теории планирования
В математическом плане измерительный эксперимент мо-
жет быть определен как совокупность моментов измерения , где
----- 135

Глава 3
Г = {/,}*, весов измерений FK = {<z>,}* и результатов измерений
z = {z,}*: £{7\JT,Z}. Причём совокупность параметров Т и W
обычно называют планом измерений. Запись
означает, что первый план эксперимента предпочтительнее вто-
рого. Запись л' = (7’,ИЛ} называют планом измерительного экспе-
римента. Для компоненты записи Т используют также специаль-
ное определение - спектр плана измерений.
На практике часто используют понятие нормированного пла-
на. Пусть л7 =	- нормированный план, при этом в спектре
времени проведения измерений используются нормированные
величины rmin = -1, zmax = 1, а также вес измерений = 1. Ес-
ли число измерений совпадает с числом определяемых парамет-
ров k =	, то план называется насыщенным. Измерительная
матрица (матрица измерений) Ф называется также матрицей пла-
на эксперимента, а сама матрица Грама	(см. кн. 1,
гл. 2) - информационной матрицей эксперимента.
З.б.	Постановка задачи
оптимального планирования измерений
навигационных параметров
При математической постановке задачи будем использовать
математические операторы, широко применяемые в теории ста-
тистического оценивания и идентификации.
Дано:
1.	Математическая модель (ММ) движения КА G.
2.	Математическая модель функционирования измерительной
системы (ММ ИС):
-	уравнения измерений S;
136---

Глава 3
-	уравнения измерений и условия опыта Q и Н.
При этом задаются структура ошибок измерения, способ ком-
бинации с измеряемыми параметрами, статистические свойства
ошибок измерении и их вероятностные характеристики:
у = ^(х) + h - аддитивный способ комбинации ошибок;
у = ср (х) h - мультипликативный;
у = #>(х) hx +	- комбинированный способ.
3.	Алгоритм оценивания L.
4.	Критерий оптимальности плана К (к критериям планирования
обычно применяют обозначения A-opt, B-opt, C-opt,...).
5.	Ограничения О (в ряде задач они отсутствуют).
Требуется: найти оптимальный план эксперимента
тг* = arg min а (тг)
из множества планов П, который минимизирует показатель каче-
ства, характеризующий план п.
3.7.	Критерии оптимального планирования
эксперимента
В теории оптимального планирования эксперимента
наилучшим считается эксперимент с наименьшим разбросом
оценки. В качестве критерия оптимальности используется усло-
вие минимума какой-либо скалярной характеристики ковариаци-
онной матрицы оценок:
minа(К- I.
\ хо /
Общих (однозначных) рекомендаций по выбору указанной
скалярной характеристики нет, и эта проблема решается экспери-
ментальным путем в каждой прикладной области с учетом опыта и
интуиции исследователя. Более того, часто в каждой конкретной
задаче. Подчас различные критерии могут формировать разные
(иногда даже прямо противоположные) планы экспериментов.
Рассмотрим некоторые часто применяемые критерии опти-
мального планирования проведения измерений текущих навига-
ционных параметров (табл. 3.1).
----- 137

Глава 3
________________________Таблица 3.1	_____________________
Примеры и интерпретации критериев планирования
Критерий		Интерпретация		
Название	Математическая запись	Алгебраическая	Статистиче- ская	Г еометрическая
A-opt	min SpA^	min следа (сум- ма диагональ- ных элементов) матрицы кова- риаций	min средней дисперсии оценок	min суммы квад- ратов длин осей эллипсоида рас- сеивания
				min длины диаго- налей параллело- грамма, описанно- го около эллипсо- ида рассеивания
B-opt	f ^-2 mm max cr~ k j XOj J	min наибольше- го диагонально- го элемента матрицы кова- риаций	min макси- мальной дисперсии оценок	min максимальной проекции оси эл- липсоида рассеи- вания на коорди- натные оси фак- тор-пространства
C-opt	min *°max Я- • v *0min J где . - корни характеристиче- ского уравнения -яе|=о 1 *0	|	min максималь- ного числа обу- словленности матрицы кова- риаций симмет- рического вида	Условие: оценки в среднем не должны об- ладать боль- шими дис- персиями и ковариация- ми	min отношения длины макси- мальной оси эл- липсоида рассеи- вания к мини- мальной его оси
		min отношения максимального собственного числа к мини- мальному соб- ственному числу		
D-opt	min det К~ XQ	min определи- теля матрицы ковариаций	min обоб- щенной дис- персии всех оценок	min объема эл- липсоида рассеи- вания
E-opt	min max Я- . 1 j xoJ J	min наибольше- го собственного числа матрица ковариации	Условие: от- дельные оценки не должны обла- дать больши- ми дисперси- ями и кова- риациями	min максималь- ной оси эллипсо- ида рассеивания
138 -----

Глава 3
Геометрическая интерпретация
А- и D-критериев оптимальности
Рассмотрим часто встречающиеся на практике А- и D-крите-
рии оптимальности плана эксперимента и рассмотрим их геомет-
рическую интерпретацию в двумерном факторном пространстве.
Пусть число определяемых параметров равно двум
х0 = {х10,х20} и они в общем случае связаны между собой стати-
ческой зависимостью. Тогда ковариационная матрица их оценок
имеет недиагональный вид:
*01*02
<4
где х - коэффициент ковариации.
Полагаем, что оценки хо распределены по нормальному за-
кону:
) = (2<1 |^о | 2 expj—j(x0 - //io f KfQ (20 -	(3.1)
Если оценки не смещены, то = х0. Геометрический образ
уравнения (3.1) представляет собой колоколообразную поверх-
ность над факторной плоскостью Ох1ох2о (рис. 3.2). Любое сече-
ние этой поверхности плоскостью, параллельной факторной
плоскости, дает эллипс, уравнение которого определяется с по-
мощью формулы (3.1) из условия
р(хо 1 = Со = const.
(3-2)
Проекция этого эллипса на факторную плоскость имеет вид
(рис. 3.3).
Аналитически эллипс может быть описан наиболее просто в
системе координат Айхй2:
----- 139

Глава 3
_______________________Рисунок 3.3______________________
Проекция эллипса на факторную плоскость
140 -----

Глава 3
Для перехода от системы координат Ох1ох2о к системе коор-
динат Айхй2 необходимо осуществить аффинное преобразование:
сдвиг начала СК 0х10х20 на расстояние х10,х20 по соответствую-
щим осям и поворот СК на угол а .
Поскольку оси СК Айхй2 направлены по осям симметрии
эллипса, то из механической аналогии следует равенство нулю
центробежных моментов инерции или коэффициентов ковариа-
ции, тогда форма (3.1) преобразуется к виду
(3-4)
где К.=
- ковариационная матрица случайного век-
тора оценок и .
Легко заметить, что А'* ] = <т?ст? : К~1 =
| и I М1 и2 и
. в
результате подстановки в формулу (3.4) получаем
р(и)=(2жтг1аЙ2) ’exp-
Из условия (3.3) находим уравнение эллипса (3.5):
(3-5)
тогда а =	, b =	.
с с
Вывод формулы для угла ориентации эллипса рассеивания
в факторном пространстве________________________________
Найдем угол а поворота системы координат (СК) Айхй2
относительно оси исходной СК, пользуясь имеющимися исход-
ными данными.
----- 141

Глава 3
В матричном виде применяемое афинное преобразование
выглядит следующим образом:
и\
_U2 J	|_Х20 “ Х20 _
где М =
cos а
-sin а
sin а
cos а
- ортогональная матрица элементарного
поворота.
Из условия линейности связи между случайными векторами
и и Дх0 = х0 - хо вытекает
М\
и хо
(3.6)
или в развернутом виде
О
О	cos а
сЛ	-sin а
w2 J L
sina
cos а
X*20*10
cos а -sin а
о-? sin a	cos а
*20
Рассмотрим уравнения для недиагональных элементов мат-
рицы к^-.
_	_Г 2	•	2
cosa sina cosa + xsma -<riio sma + xcosa
- sin a cos a H Cos a + cr ? sin a -x sin a + tr? cos a
L	*20	*20 J
°
-a? sinacosa + xcos2a-xsin2a + cr? sinacosa = 0,
*10	*20	’
xcos2a = (cr? -a? I sin a cos a,
xcos2« =— (al -aj 1sin2a,
2 \ *10	X20 /
откуда
142 --

Глава 3
~	2^
tg2a = —------—	(3-7)
^10	СТ*20
Видно, что при ст?0 -, когда эллипс становится окруж-
ностью, в уравнении (3.7) имеется особенность.
Вывод формулы для следа и определителя
ковариационной матрицы оценок
Из вида ковариационной матрицы по определению
находим
SpA^ = ст? +ст? detAS± = ст? ст? - 2х- * .	(3.8)
г XQ *10	*20 ’	ХО *10 *20	*10*20	v 7
Для получения окончательных зависимостей применительно
к ковариационной матрице воспользуемся формулой (3.6). Из
матричного представления этой формулы получим диагональные
элементы ковариационной матрицы К~:
бт? cos2 « +2х sin «cos а + ст? sin2 а = ст?
*10	*20	М1 ’
сг? sin2 a -2xsin«cos« + ст? cos2 a = ст? ,
2	2	2	2
*10 +СГ*20 =СГ»1 +СГ»2 ’
т.е.
Spfc=Spfc.	(3.9)
Наконец, из формулы (3.6) следует |^| = |ЛЖ^Л/Т| =
= |Л/||л?^о ||л/т| - по свойствам определителя. Так как матрица М
ортогональна, то |л/т| = |м-11 = |м|-1 = т-Ц,
det AS* = det AS-.	(3.10)
хо	u	v z
Таким образом, аффинные преобразования не изменяют ха-
рактеристики эллипса рассеивания.
----- 143

Глава 3
Теоретическая интерпретация критериев___________________
Воспользуемся характеристическим уравнением -Яе| = 0
или - ЛЕ\ = 0. В силу свойств (3.9) и (3.10),
а?-Я 0
0	<т?2 -Л
= 0; Я2-(<т?+сг?2)я + ст?сг?2 =0;
Л2 -Sp^2 + |^| = 0.
Решая, находим
где Я,, Л1 - корни характеристического уравнения (характери-
стические числа):
Л.+Л^К--,	(3.11)
АЛг -
I 2 J
Известна формула для площади эллипса:
5ЭЛ = яаЬ.
С другой стороны, из выражения (3.5) следует а ~ <тй1,
b ~стЙ2. Из аналитической геометрии а~ \, Ь~ Л^.
Таким образом, detA"^ = detX^ (определитель ковариаци-
онной матрица оценки) характеризует площадь эллипса.
144 ----

Глава 3
Из первой формулы (3.11) следует, что SpX^ = Sp/G - харак-
теристика длины диагонали прямоугольника, описанного относи-
тельно эллипса рассеивания со сторонами, параллельными его осям.
Обобщая полученные результаты, сформулируем вывод от-
носительно часто применяемых критериев:
A-критерий оптимальности минимизирует длину диагонали
многомерного параллелепипеда, описанного около эллипсоида
рассеивания оценок; D-критерий оптимальности минимизирует
объем этого эллипсоида.
3.8.	Задачи выбора плана измерений
навигационных параметров
Из двух заданных планов эксперимента
={-1;0;1},	[т,	={-1;0;1},
:Mi = {4;2;4};	= {3;3;3}
выбрать А и D оптимальные планы измерений.
Считать, что уравнения измерений представляются полиномом
второй степени у (г) = а0 + а}т + а2т2.
Решение:
1.	Уравнение измерений у (г) = а0 + ахт + а2т2.
Вектор оцениваемых параметров а = [а0; а}; а2 ],
J = (фтЖ ф)“' Фт W z, Ка = (фт^ ф)-1 = См’нк •
Здесь матрица С^нк является обращенной матрицей Грама.
Матрица наблюдений определяется следующим образом:
	1 Т,	Г1 -1 1
ф= ^,) = eta J	1 г2 г2	= 10 0
	1	L1 1 1
‘ 1 1 1‘		
Фт = -1 0 1		
! 0 1		
----- 145

Глава 3
Весовые матрицы могут быть сформированы для двух планов с
учетом исходных данных:
4 О О’
^=020
0 0 4
0 0
3 0
0 3
Нетрудно рассчитать обращенные матрицы Грама:
QfHKl “
10 О 8
0 8 0
8 0 8
О1НК2 - 0 6 О
6 0 6
|£мнк2|-108;
\ = J-
128
64
О
-64
О 64
16 О
О 10
£
2
О
1
2
О
5
8
I^mhkiI -128;
9 0 6
О
8
О
£
"з
О
2
Тогда для различных планов имеем:
- A-opt
5	4
tr/G tr^ =-; tr^ <tr^; £>>£;
ai 4	02 Д	02	O] ’	’1’
-D-opt
|xJ = —; 1^1=—; ЬЫ<ЬЫ; £>&.
I °и 128 । a2' 108 I ai‘ ' a2'
Таким образом, для А-ор1критерия предпочтение имеет второй
план, а для О-орОсритерия - первый план.
146------

---- Глава 3
3.9. Задачи оптимизации
спектра плана измерений
навигационных параметров
3.9.1. Оптимизация спектра плана измерений
навигационных параметров КА
в однородном гравитационном поле Земли
Постановка задачи
Рассмотрим неуправляемое движение ЛА на нисходящем участ-
ке траектории в однородном ГПЗ. Начальные условия (НУ) движе-
ния определяются по результатам траекторных измерений
(ИТНП), выполненных измерительным средством (ИС), располо-
женным в плоскости полёта ЛА (рис. 3.4).
Измерения ИС дискретны, равноточны (одинаковая погреш-
ность измерений). Ошибки измерений считаем аддитивными.
Кроме того, сами ошибки распределены по нормальному закону с
нулевым математическим ожиданием.
________________________Рисунок 3.4_______________________
Вариант неуправляемого движения ЛА
----- 147

Глава 3
Математическая постановка задачи
Дано:
G, S, =>£?> A=>L , К=>D-wpt
1. G (ММД)	Vx(0 = Vx0	vf(t) = vy0-gt
	x(/) = x0 + vx0z	
2. S (ММ ИС)	*(')’ Я')	
Q	х‘(/,.) = х(/,.)+Лм.	
	/Ю=у('()+л„	
	hx,hy^N(...,^E}	
3.L	МНК: W = E	Метод наименьших квад- ратов при единичной ве- совой матрице
4. Критерий оптималь- ного плана К	К- -> min *0	
5. Ограничения О	Отсутствуют, кроме од- ного - задан интервал из- мерений	
Примечание.
Как будет показано в гл. 5 МНК-оценка формируется на основе следу-
ющего соотношения:
q0 =(фТ№ <py'(DTWz.
(мнк) v 7
Требуется определить оптимальный спектр плана измерений
(где проводить измерения на интервале времени, чтобы оценка
оказалась наилучшей):
т‘={'.)?
Решение задачи для двух моментов измерений
Из алгоритма оценки МНК (см. кн. 1, гл. 2) с учётом равноточ-
ное™ измерений, имеем критерий оптимальности плана экспери-
мента
ФТФ —>max;	qQ = ФТФ Фтг;
1	1	(мнк) '	7
|фтфГ1=|к'г|; Ф= ;
1 1	L^oJ
148 -----

Глава 3
Ф =
д<р\
д(р2 ^91
ах0 акх0
d<Pi d<Pi
ду0 dVy0
д<р2 д<р2
fyo 9Vy0
#0 -\ХО’Ух()’У()’УуО/’
x(?,) = x0+vx0?;
\	gt2
y(t.)=yo+VyOt—-;
1 ?j 0 (Г
1 t2 о о
О О 1 Г, ’
О 0 1 ?2_
|фтф| = |фт||ф|=ф2.
Задача максимизации |фтф| сводится к задаче максимизации |ф|:
ф_ фп Ф12
Ф21 Ф22
Формула Шура (помогает рассчитывать определитель)
|ф| = |Ф111 |ф22 - Ф21Ф, ]Фп1 = |ф] ] | |Ф22 - °| = |Ф111 |Ф22| = |Ф111 ’
Xi I—>min; ~ ФТФ —>max; ~|ф|—>max; ~|Ф1]| —>тах;
1 ч
|фи|-
= ?2-?1 =?!+А-?2=Д.
Из условия А = /2 - tx —> max находим, что моменты измерений
должны быть совмещены с концами мерного интервала, который
задан в ограничениях.
Решение задачи для трёх моментов измерений
|/Сс	~|фтф|->тах;
	’1	^1	0	О’
	1	ч	0	0
ф =	1	ч	0	0
	0	0	1	6
	0	0	1	ч
	0	0	1	ч_
----- 149

Глава 3
Матрица уже не квадратная, поэтому надо найти произведение
ФТФ:
	3	Zj +/2 +z3	0	0
	Z] +t2 +t3	z2+z2+r3	0	0
фтф =				
	0	0	3	/1 +Z2 + *3
	0	0	6 + ^2 + ^3	r2 + r2+r32_
Получилась блочная матрица с одинаковыми диагональными
блоками и нулевыми не диагональными, поэтому по формуле
Шура
|фтф|-»тах; ~|ФИ|—>тах.
Введём обозначения: t2 = + Aj; t3 = t2 + A2 = + Aj + A2. Кроме
того, примем допущения, что в условиях рассматриваемой задачи
справедлив результат решения предыдущей задачи, полученной
для двух моментов измерений, т.е. моменты времени и t3 сов-
падают с концами интервала измерений Ги, иначе
А1+А2=Ги.
Таким образом, нужно определить, где находится t2 в интерва-
ле Ти . Для этого находим
det0n = з(<2 +/2 +f32)-('1 +h +'з)2 =-- = 2[д12 +Д,Д2 +Д2].
Применяя метод множителей Лагранжа, получаем:
£=|Ф„|+2(Д, + Д2 - Ти ) = 2[Д2+Д,Д2 + Д2] + 2(Д, + Д2 -Ти);
££ = 0; -^£ = 0; — = 0;
5Aj ЗА2 дЛ
4Ai + 2А? + Л — 0;]
1	2	Ч->а1 = а2 = а.
< 4А2 + 2А1+Я = 0;/	1	2
А+А2-Т;=0;
Решение нахождения экстремума выполнено. Однако найден-
ный экстремум не является максимумом и равномерное распреде-
ление измерений на интервале времени не является оправданным с
точки зрения оптимизации плана.
150------

Глава 3
3.9.2. Оптимизация спектра
плана измерений при движении КА
в центральном гравитационном поле Земли
Рассматривается движение КА по эллиптической орбите. С це-
лью определения параметров орбиты (а,е) с борта КА произво-
дятся измерения высоты полёта Я (рис. 3.5).
Дано*.
1. G (ММД)	r(z) = a(l + ecosE(r))
2. S (модель измерительной системы)	Уравнение измерений Я(/) = г(/)-Л3
Q (условия опыта)	h е ^0,ст;;£)
3. L (алгоритм оценивания)	МНК
4. К (критерий оптимального плана)	АГс	min 1 *о| ?о = {М
5. О (ограничения)	Отсутствуют
Требуется: методом Э-орШланирования определить два момен-
та измерений. Условия опыта принять стандартными.
Определить оптимальный спектр плана Т* =	•
________________________Рисунок 3.5________________________
К задаче определения параметров орбиты
----- 151

Глава 3
Решение задачи
В соответствии со схемой решения предыдущей задачи имеем:
Kz |—>min; ~|ф|-этах; ~|Фп|->шах;

где : Я, =а(1 + есо8£(/,))-Л5.
l + ecosjEj
l + ecos£2
a cos Ег
acosE2
1	Z7 Г1	77 Г1~а
l + ecos£y=—; acosE^-----;
a	e
a e
Решение очевидно из геометрических соображений:
'1=^; Г2=Га‘
Таким образом, измерения нужно проводить в перигее и
апогее орбиты. С информационной точки зрения полученный ре-
зультат абсолютно понятен, так как наиболее «информативные
участки» изменения траектории находятся в точках перегиба.
Кроме того, эти участки орбиты наиболее разнесены как в про-
странстве, так и во времени.
3.9.3. Оптимальное размещение
трёх радиодальномеров
Для упрощения задачи будем рассматривать минимальное
количество измерительных средств (ИС) - три. Измеряемый па-
раметр - дальность.
Общая постановка задачи
Со сферической поверхности Земли в дискретные моменты
времени с помощью трёх разнесённых измерительных
152 --

Глава 3
средств производится измерение дальности до ЛА. Расчётная тра-
ектория движения считается известной. Измерения синхронизиро-
ваны, равноточны и некоррелированы, их ошибки распределены
по нормальному закону с известной дисперсией.
Требуется: найти такое размещение измерительных средств
(радиодальномеров), которое обеспечит минимальную ошибку
оценивания в смысле D-критерия оптимальности. Считаем Землю
шаром. ЛА пролетает через точку S.
________________________Рисунок 3.6_______________________
К задаче размещения радиодальномеров:
d*9 d% - единичные векторы
Математическая постановка задачи планирования
Дано:
1. G (ММД)	9 =/(?,<); ?0о) = ?о
2. S (модель изме- рительной систе- мы)	<(')=а/(х(/)-хи7)2 +(/(0~Лу)2 +(z(0-zh,)2 (;=й), г (z)T = {x(z),y(/),z(/)J - координаты ЛА в момент /; ruj - {хир Уир zuj} ~ координаты j-го измерения
----- 153

Глава 3
3. Q (условия опы- та)	j - номер измерения; i - номер момента времени; Ал = {М*; heN(5’ff2h£)
3. L (алгоритм оце- нивания)	Алгоритм МНК, точность оценок характеризуется =См№ =(ФТ * О)'' =^(ФТФ)4
4. К (критерий оп- тимальности плана)	Kz —> min
5. О (ограничения)	|гНу| = Я3=6371 км G = U) ги/ * гИт, 1 * т ; измерители не размещены в одной точке
q - вектор расчётных значений параметров движения ЛА;
qr={v,r} .
Требуется: Из условия 1 надо найти г опт.
Решение задачи для одного момента измерений 
Пусть в некоторый фиксированный момент времени t, один и
тот же для любого ИС, любой из радиодальномеров совершает по
одному измерению. По результатам этих измерений оцениваются
начальные условия в дальнейшем (НУ движения ЛА):
'Ьт={хо;.Уо;2о}-
Так как число измерений тождественно числу измеряемых па-
раметров, то план считается насыщенным и, в принципе, при ре-
шении такой задачи оценивания можно не пользоваться алгорит-
мом статистической обработки по МНК, а непосредственно обра-
титься к уравнениям измерений, определив из них при известных
координатах измерительных средств соответствующее моменту t
значение текущих координат ЛА г = {x,y,z}, пересчитать их затем
с помощью ММДЛА при обратном шаге интегрирования в НУ г().
Однако здесь решается задача оптимального планирования изме-
рений, обратная к задаче оценивания, поэтому уравнения измере-
ний содержат уже не три, а девять неизвестных параметров
(J = 1,3). Поэтому воспользуемся алгоритмом МНК, заметив лишь,
что в качестве оцениваемых параметров при одном моменте изме-
рений вместо НУ можно рассматривать текущий вектор г . Де-
154 ----

Глава 3
терминированный характер ММД ЛА позволяет установить между
ними взаимнооднозначную связь.
Тогда матрица плана эксперимента в алгоритме МНК определя-
ется следующим образом:

d2 = \[(х - хи2 )2 + (У - У„2 )2 + (z - Z«2 )2;
=^-^зГ+^-кзГ+С2-^)2;
J 2(х хи1)_ х1 ХЩ _ * *!
2 V(X " ХИ1 )2 + (з' - Уи1 )2 + (z - 2и1 )2	d' dl
Матрица плана эксперимента
			'ddi	ddx	ddt'
			дх	ду	dz
ф =	.8г _	-	dd2 дх	dd2 ду	dd2 dz
			dd3	dd3	dd3
			. &х	ду	dz _
Т1-Л1 z\ -*И1
Х1~Хи2 У1 ~Уи2 Z\~~ Zy2
d2	^2	^2
*1-*иЗ У1 -Тиз
t73	d3	d3
> А V		
d\ dx dx		
II	=	
Л A A.		
d3 d3 d3		
Легко видеть (рис. 3.7), что
dj^xj + yj + zj.
xj yj zj
Тогда —, —, —— проекции единичных векторов дальности
dj dj
dj на оси измерительной системы координат (ИСК) соответ-
ствующих радиодальномеров.
----- 155

Глава 3
________________________Рисунок 3.7______________________
Измерительная система координат
Рассмотрим структуру критериальной функции задачи планиро,-
вания. Из формулы
ч(фТфГ
следует, что
А =
.2
п
Таким образом, минимум функции Кг совпадает с максиму-
мом функции ФТФ

ФТФ=[< J2°
'{W)	(«у
(аж) (d№) (d^)
W ) ^2° ) (^3^3 ).
Символ (.) обозначает скалярное произведение векторов. Оче-
видно, что из свойств единичных векторов djdj =1 (j = 1,3 ). Для
сокращения записи введём обозначения:
156------

Глава 3
6;=J1°J20; 02=^Ц°; 03 = </2°J30
и учтём симметрию матрицы Грама:
4 в2
1 03
03 1
Критериальная функция принимает вид
Д = |фтф| = 1 + 20,0203 - 02 - 02 - 02.
Её максимум отыскивается при ограничениях на модули
направляющих косинусов:
|0,|<1; |02|<1; |03|<1.
Таким образом имеем задачу на условный экстремум функции
трёх переменных при ограничениях типа неравенств. Сначала
снимем эти ограничения и решим задачу на безусловный экстре-
мум, а затем полученное решение проверим на предмет выполне-
ния ограничений. Воспользуемся необходимыми условиями экс-
тремума функций:
-^- = 20203-2Ц=О;
CC7j
— = 20.03-202=О;
502
— = 20,0,-20, =0;
503	12	3
— ^2^3’
#3 = ^1^2>
(3.12)
4g^=lg^2+lg^;
<lg02=lg01+lg03;	(3.13)
lg<?3 = lg6>! +lg6>2.
Легко видеть, что тривиальное решение системы (3.12)
^=^2=^3=0, а тривиальное решение системы (3.13)
= 02 = = 1. Более детальный анализ показывает, что других
решений не существует.
Видно, что оба решения удовлетворяют ограничениям и указы-
вают на существование в этих точках экстремума. Вид экстремума
(max,min) может быть определён несколькими способами.
Например:
----- 157

Глава 3
1) анализ знака гессиана (определителя матрицы вторых част-
ных производных): |г| > 0 —> min , |Г| < 0 —> max ;
2) непосредственная подстановка решения в критериальную
функцию А. Этот путь обычно короче.
Проверим:
1)	= #2 = 03 = о -> А = 1 - максимум;
2) 0] = #2 = = 1 —> А = 0 - минимум.
Возвращаясь к исходным понятиям, устанавливаем, что условие
d?d° = d°d° = dffi = 0	(3.14)
имеет явный геометрический смысл: сходясь в точке S траектории,
орты rf®,	> ^з° Должны образовывать ортогональный трёхгран-
ник (вершина куба). Обратным проектированием его рёбер до пе-
ресечения со сферой можно получить координаты всех измеритель-
ных средств. Легко заметить, что в общем случае получается мно-
жество решений, но может быть одно решение или решение может
отсутствовать. Всё зависит от исходных данных (траектории ЛА) и
устанавливается при проверке ограничений данной задачи.
Решение задачи для двух моментов измерений
Сначала попытаемся получить общий вид решения для произ-
вольного количества моментов измерений В этом случае в
качестве вектора оцениваемых параметров обязательно нужно ис-
пользовать вектор НУ движения. При этом алгоритм оценивания
усложняется, так как матрица функций влияния (матрица плана
эксперимента) принимает вид:
8<lo J	8Ч<>
фт _rg?U)Tr4(f/)T
5^0 J	’
где Л/(?,.,г0)=
(f\	Гзо зо
мI''"''2
матрица движения;
матрица. Пусть
T(z/) = MT(z/,Z0) - траекторная матрица; Фт =T(z/)n/(z/). Тогда
158

Глава 3
информационная матрица плана эксперимента может быть замене-
на на матрицу Грама с условием
| = (фтф) —> min ~ |Л | = |фтф| -> max,
к 3
Обозначим П (zz) = [г^ (г,), П2 (/,), П3 )] .
Решать эту задачу довольно сложно, поэтому перейдём к част-
ному случаю двух моментов измерений, в качестве которых возь-
мём крайние точки мерного интервала tx и tk.
Кроме того, траекторную матрицу представим двумя блоками:
Тогда Л = ЛтА,
Чо
4.1
,Л1
Так как А
, то по формуле Шура
|2
т;(^)п(гА)1
^22 _
|^Т|“Н11|р22 4>14 М12|~
=|тД<Оп(/1)||тХ/Оп(4)-тД^п(0п(г1)-,7’г(^)-,тг(4)пе*)|=
тг (ц )||п(г, )n(zt )|.
--------------2|-------------'	
Из условия pT|-»max ввиду независимости соотношений
следует: ах -> max, а2 -> max. Смысл второго соотношения был
выяснен ранее: а2=|п(/1)П(4)| = а^а^, где и совпа-
дают по виду с ФТФ, т.е. необходимо строить трёхгранник в
точках /j и tk, что, вообще говоря, одновременно реализовать
невозможно.
----- 159

Глава 3
Качественный анализ результатов общего решения
Более строгое решение задачи с учётом определяющей продол-
жительности процесса измерения позволило выявить следующие
закономерности (рис. 3.8).
1.	Радиодальномеры, находясь на поверхности Земли, должны
образовывать равносторонние треугольники, находясь в его вер-
шинах.
2.	Одна из сторон указанного треугольника должна быть парал-
лельна траектории полёта.
3.	Для круговой орбиты проекция точки S (средней точки) ин-
тервала (Sj,^], на котором производятся измерения, должна
находиться в центре треугольника 1-2-3. В более общем случае
точка смещена в сторону того конца участка траектории, кото-
рый имеет общую высоту.
4.	Длина сторон треугольника определяется из условия взаим-
ной ортогональности линии визирования, поправленных с мест
стояния радиодальномеров в точке Scp.
задачи размещения радиодальномеров
160 -----

Глава 3
3.10. Последовательная
структурно-параметрическая оптимизация
моделей в едином технологическом цикле НБО
оперативного управления
космическими полётами*
Создание навигационно-баллистического обеспечения кос-
мических полётов предполагает необходимость согласования
математической модели движения (ММД) с составом измеряе-
мых параметров, что, естественно, связано с необходимостью
проведения анализа их возможных структур. Очевидно, что при
этом могут быть использованы различные виды и типы моделей.
В частности, движение космического аппарата может быть
математически описано в прямоугольной, цилиндрической или
сферической системах координат. Состав измеряемых парамет-
ров также может варьироваться в широких пределах. Ввиду
наличия множества моделей состояния (движения) X и множества
моделей измеряемых функций У, возникает проблема выбора, ес-
ли не оптимального, то хотя бы рационального сочетания обсуж-
даемых моделей на прямом произведении XxY соответствующих
множеств.
При этом модели систем, удовлетворяющие множествам X и
У, должны быть, прежде всего, согласованы по наблюдаемости
[1]. Исследование наблюдаемости орбитального движения КА, в
частности, позволяет установить, что все шесть элементов невоз-
мущённой кеплеровой орбиты, характеризующих её положение в
пространстве Q, z, cd (восходящий узел, наклонение, аргумент пе-
ригея), форму -р, е (фокальный параметр и эксцентриситет) и т-
время, определяющее положение КА на орбите в начальный мо-
мент времени, могут быть уточнены по измерениям только
наклонной дальности или только радиальной скорости, произво-
* Материал написан совместно д.т.н. Л.Н. Лысенко, д.т.н. В.В. Бетано-
вым и к.т.н. Ф.В. Звягиным.
----- 161

Глава 3
димых с одного измерительного пункта (ИП), координаты поло-
жения которого на поверхности Земли известны. Задача также
будет иметь решение для любой измеряемой вектор-функции, в
состав которой входит один из названных параметров. Однако,
если принять к рассмотрению модель, в которой скорость враще-
ния Земли не учитывается, что характерно для случая, когда из-
мерения сосредоточены на коротком временном интервале, име-
ющем место при однопунктной технологической схеме управле-
ния, определить элементы орбиты по измерениям только одной
наклонной дальности невозможно. Для решения задачи уточне-
ния всех элементов орбиты в этом случае потребуются совокуп-
ные измерения наклонной дальности и хотя бы одного направля-
ющего косинуса угла из числа, определяющих направление на
КА относительно осей измерительной системы координат с нача-
лом в общем центре антенных баз.
Выбор структуры моделей
из условий выполнения наблюдаемости системы
Пусть состояние динамической системы описывается век-
торным нелинейным дифференциальным уравнением вида
X: — = f(z,x,u); х(/0) = х-задано,	(3.15)
dt
где x(z) - вектор состояния системы; xeRh;ueRl - вектор
управления, заданный в функции времени t е [/0Л]-
Уравнение наблюдений (уравнение измеряемых функций) в
общем виде представим в форме
Y:y = <p(t,х); y(t)eRm .	(3.16)
Вообще говоря, состояние системы X является неопределён-
ным. При этом степень неопределённости может быть различной.
Она может заключаться, в частности, в том, что:
1)не известны начальные условия в (3.15) при заданных
уравнениях состояния;
2) не известны какие-либо параметры этих уравнений при
заданных начальных условиях;
162 ---

Глава 3
3) возможно и то и другое.
Для навигационных определений состояния в задачах НБО
наиболее характерным является первый случай. Тогда необходи-
мым условием существования решения, позволяющего на основе
имеющейся измерительной информации однозначно определить
начальные условия состояния системы, является наблюдаемость
её вектора состояния по измерениям выходного сигнала (сигнала
обратной связи), математическое представление которого соот-
ветствуют форме (3.16). Система X-Y, описываемая уравнениями
состояния и уравнениями измерений на интервале времени [0, 7],
называется наблюдаемой, если между множеством фазовых тра-
екторий x(Z) и множеством измеряемых функций y(t) существует
взаимно однозначное соответствие.
Термин «наблюдаемость» был введён Р. Калманом ещё в начале
1960-х гг. Им же получены критерии наблюдаемости для линей-
ных систем. Применительно к линейным стационарным системам,
описываемым каноническими детерминированными уравнениями
состояния вида
^^ = Ях(,) + Ви(<), у(/) = Сх(<),	(3.17)
at
условие наблюдаемости формулируется следующим образом:
система наблюдаема в том и только том случае, когда
rank[cT ,ЛТСТ,..., Лт(п‘1)Ст ] = и,	(3.18)
где п - размерность вектора состояния системы.
Отметим, что данный критерий является глобальным, как ха-
рактеризующий наблюдаемость или не наблюдаемость системы во
всем фазовом пространстве Х*Т.
Отдельными авторами в разное время предприним;ались попыт-
ки получения критерия наблюдаемости для нелинейных систем.
По-видимому, одной из первых таких попыток, является критерий
Ю.М.-Л. Костюковского [3], рассмотрению которого здесь отдает-
ся предпочтение.
Прежде всего укажем, что для нелинейных систем, даже в
принципе могут быть получены только лишь локальные крите-
--------------------------------------------------- 163

Глава 3
рии, поскольку по своей природе нелинейная система, наблюдае-
мая в одной части фазового пространства может быть ненаблю-
даема в другой его части, и наоборот.
Предположим, что правые части уравнений (3.15) и (3.16)
являются аналитическими функциями переменных t и x(Z). Будем
считать также, что уравнение (3.15) удовлетворяет условиям тео-
ремы единственности решения, так что между множеством
начальных условий Ло и множеством текущих состояний системы
X существует взаимно однозначное соответствие:
Х.^Х,	(3.19)
Тем самым определено, что в областях АЬ и X условия
наблюдаемости эквивалентны. Предварительно требуется уста-
новить условия взаимно однозначного соответствия между мно-
жествами Хо и Y.
Следуя [4, 5], будем считать, что указанные множества вза-
имно однозначны в том смысле, что при любой программе из-
мерений, реализуемой в моменты времени tj из интервала [0, tk\,
где 1 <j < и, может быть указано множество из п чисел
где 1 < к < тп. взаимно однозначное с множеством из п чисел хю,
где х/о - компоненты вектора Хо е Хо. Предположим, что для
любого произвольного вектора Хо е Хо могут быть записаны п
значений &-й координаты ф*(/) вектор-функции <р(/) в п моменты
времени //
, х0)) = %(х0), к-1,2,...,п,	(3.20)
где фк (х0) при фиксированных tj представляет собой некоторые
функции переменных хо. Эти функции непрерывно дифферен-
цируемы в окрестности точки хо в силу своей аналитичности,
поэтому условие взаимно однозначного соответствия между
множествами ^(х0) и х/о в окрестности хо определяется усло-
виями теоремы существования неявных функций, состоящими в
том, чтобы определитель функциональной матрицы Якоби (яко-
биан)
164 ---

Глава 3
	\^м 	 IrM ОХп0		>(<)
t(« ") _		 ОХп0	J	=	
(3.21)
был бы невырожденным на интервале [0, 7].
Если теперь сформировать блочную матрицу I размером
(пхт п) путем объединения всех матриц к= 1,п, то, в
соответствии с [3], условие существования взаимно однозначного
соответствия между множествами Хо и Y в окрестности точки хо
будет иметь вид
rank[l] = n.	(3.22)
Динамическую систему, для которой выполнено условие
(3.22), принято называть локально наблюдаемой в области ХхТ.
Локальность в этом определении подчеркивает то обстоятель-
ство, что наблюдаемость системы рассматривается здесь, во-
первых, лишь в некоторой окрестности точки хо и, во-вторых, на
некотором вполне определенном множестве точек Z,- е Т, опреде-
ляемом программой измерений.
Как видим, ограничения здесь накладываются не только на
область (окрестность) множества состояний нелинейной системы,
что очевидно, но также и на множество времени (временную про-
грамму) проведения измерений.
Воспользуемся теперь условием аналитичности правых ча-
стей уравнений (3.15) и (3.16) и представим к-ю координату век-
тор-функции y(Z) в виде степенного ряда, сходящегося в области
выполнения условия аналитичности рассматриваемых функций:
7=0	1 *
где коэффициенты вычислены в точке хо множества Хо. Со-
ответственно, с помощью указанных коэффициентов может быть
------------------------------------------------------- 165

Глава 3
составлена новая матрица J, включающая п строк и бесконечное
(в силу «бесконечного» числа членов разложения) число столб-
цов:

’лфР
Jk =
d*o
d<$
(3-24)
i/x0
<йс0
Т.Н. Разореновым было доказано следующее утверждение
Ранги матриц и Jk принимают свое наибольшее возможное
значение, равное п, лишь одновременно, причем этот вывод не зави-
сит от программы измерений почти всюду на Т,
Объединив далее все матрицы Л в единую блочную, можно
доказать, что условие наблюдаемости (3.22) будет справедливо и
при использовании матрицы Л, т.е. справедливо условие
rank[j] = «,	(3.25).
где J = [Ji, J2, ... J„].
В случае линейных стационарных систем условие (8.25) лег-
ко преобразуется к виду (3.22).
Следующий вопрос, требующий обсуждения, касается воз-
можности распространения приведенных результатов на всю об-
ласть возможных начальных условий.
Предположим, что Ja - матрица (ихи), составленная из
столбцов J. Элементы этой матрицы представляют собой некото-
рые функции фазовых координат хю (i= 1, ..., п) начального век-
тора хо. Пусть также Xso е Хо - множество многообразий, порож-
даемое уравнением
det[jJ = O.	(3.26)
Тогда пересечение многообразий {Х10 А х20 П.. .Х5О П} е хо
есть подобласть локальной ненаблюдаемости в области Х*Т. Вы-
борка матриц J5 может производиться путем последовательного
перебора столбцов матрицы J. Если на некотором шаге s окажет-
166----

Глава 3
ся, что пересечение этих многообразии пусто, то система наблю-
даема во всей области Хо.
Наконец, последний аспект связан с необходимостью уясне-
ния проблемы ограничения количества столбцов в (3.24), «беско-
нечность» которых обусловлена теоретической бесконечностью
членов разложения в (3.23). Здесь следует иметь в виду следую-
щее обстоятельство.
При решении задач оперативного управления полетом к моделям НБО
предъявляются исключительно высокие требования по точности. В
этом случае ряд используемых моделей, в частности, модель гравита-
ционного поля Земли (ГПЗ), вынужденно основывается на идее пред-
ставления решения в виде степенных рядов, выбор количества сохра-
няемых членов разложения которых диктуется, в основном, сообра-
жениями удовлетворения требуемой точности.
В этом случае число столбцов в (3.24) должно определяться
из условия пропорциональности по отношению к числу удержи-
ваемых членов разложения в используемых структурах рядов.
В задачах проектного этапа НБО достаточно часто исполь-
зуются ММД, точные аналитические решения которых известны
в конечном виде, в частности, в случае постановки задач движе-
ния в центральном гравитационном поле.
При таком подходе функцию фк в (3.23) достаточно предста-
вить в виде некоторой линейной комбинации конечной части
суммируемых произведений, вычисленных в точке хо коэффици-
ентов в виде производных —— на линейно независимые на от-
dx0
резке [0, /*] функции, например функции эксцентрической или
истинной аномалии при рассмотрении движения КА по эллипти-
ческой орбите.
После выделения подмножества наблюдаемых систем на прямом про-
изведении X*Y дальнейшие поиски качественного «более оптималь-
ного» сочетания моделей на нем являются бесперспективными. Они
возможны только на основе количественного критерия ценности из-
мерительной информации.
----- 167

Глава 3
Исходная постановка задачи
оптимизации моделей заданной структуры
На эвристическом уровне, соответствующая задача может
быть сформулирована следующим образом: при выбранной
структуре модели состояния из подмножества X-Y, удовлетворя-
ющего условиям наблюдаемости, необходимо определить опти-
мальную (в смысле заданного критерия) программу измерений, а
также оптимизировать характеристики модели заданной структу-
ры, при которых гарантированно достигаются определение и ана-
лиз действительного движения с требуемой точностью и мини-
мальными затратами.
В такой постановке задача подпадает под класс задач теории
оптимального планирования эксперимента, возникновение кото-
рых относится к 1940-м гг.
Предпочтительным, естественно, является решение сформу-
лированной оптимизационной задачи на основе использования
единого критерия. Применительно к определению и анализу
движения в задачах НБО, в качестве соответствующего оценоч-
ного критерия должен выступать критерий, так или иначе связан-
ный с точностью нахождения КА в некоторой окрестности задан-
ного номинального состояния для фиксированного интервала
времени.
Однако при этом необходимо иметь в виду, что на вид
структуры критерия будет оказывать влияние степень полноты
априорной информации о векторе q неизвестных постоянных па-
раметров модели состояния исследуемого объекта.
При наличии полной стохастической информации, помимо
закона распределения, считаются известными вектор математи-
ческого ожидания mq, корреляционная матрица Rq и, следова-
тельно, плотность вероятностей pq(q), где Q - множество векто-
ров q:
-w	Г 1	у	"|
Р<?(ч) = (МТК1 2ехР|-^(q-II,q) R;’(q-nig)|. (3.27)
Корреляционной матрицей случайного вектора q, по опре-
делению, является матрица
168----

Глава 3
кч=м[адт],	(3.28)
где М - оператор математического ожидания; Jq = q* - q -
ошибка, равная разности случайного вектора оценок неизвестных
параметров q* и точного значения вектора оцениваемых пара-
метров.
Если ввести теперь в рассмотрение совокупность измере-
ний, называемых в математической статистике выборкой, обо-
значаемых
z = [z^;zJ...z^]T,	(3.29)
и матрицу частных производных от компонентов вектора функ-
ций f(q,z*j по компонентам вектора оцениваемых параметров q
6f(q,z*)
вида —------ = Q(q), то
5q
R<?=Q-,(q)G(q)[QT(q)]'1,	(3.30)
где симметричная матрица G(q) представляет собой математиче-
ское ожидание произведений различных компонентов векторной
функции f(q,z*j.
Из приведённого соотношения вытекает, что для расчёта Rq
необходимо знание точного значения вектора q. Исходя из харак-
тера решаемых задач НБО, его значение неизвестно ни до прове-
дения измерений, ни после их осуществления. Обработка опыт-
ных данных (результатов измерений) позволяет получить лишь
значение оценки вектора q, т.е. q .
Тогда, считая, что q«q, после подстановки в (3.30) имеем
матрицу
R^Q-^G^Q^q)]-’,	(3.31)
---- 169

Глава 3
представляющую собой оценку корреляционной матрицы, полу-
ченной по результатам измерений, которая и используется вместо
неизвестной матрицы Rq, задаваемой уравнением (3.30).
При неполной априорной информации единственным априо-
ри заданным условием является принадлежность
qeQ	(3.32)
или
4j ?ymax (J =	,	(3.33)
где, как следует из выводов теории статистических решений
А. Вальда, в общем случае, Q - многомерный параллелепипед в
евклидовом пространстве.
Для последнего случая в качестве единого критерия опти-
мальности плана эксперимента принято принимать вероятность
нахождения оценки в заданных пределах. Такой план назван оп-
тимальным по вероятности.
В случае использования гипотезы о наличии априори полной
стохастической информации и принадлежности плотности веро-
ятностей Pq(q) семейству нормальных распределений, в каче-
стве критериев используются различные скалярные характери-
стики матрицы 1Ц. При этом наиболее широкое распространение
находят D-оптимальные	min det R-	и ^-оптимальные
Ы д)
(пшатах (*,)) Планы-
D-оптимальный план, как известно, минимизирует обоб-
щённую дисперсию оценок параметров, или объём эллипсоида
рассеивания. Е-оптимальный план минимизирует максимальную
ось эллипсоида рассеивания.
Сопоставление D-оптимального и Е-оптимального планов дает основа-
ние отдать предпочтение первому, характеризуемому единой и более
простой схемой поиска решения как задачи планирования навигацион-
ных измерений, так и задачи параметрической оптимизации модели.
170----

Глава 3
Если ввести в рассмотрение вектор варьируемых парамет-
ров модели	и вектор варьируемых моментов
времени навигационных определений t(r1,r2,...,/Af), то задача
нахождения оптимальных моментов проведения навигацион-
ных определений и оптимальных характеристик в рамках D-
оптимального плана сведётся к решению системы экстремаль-
ных уравнений вида
(3.34)
где j должно последовательно принимать значения всей совокуп-
ности векторов t и х
Если теперь записать выражение матрицы (3.30) для систе-
мы X-Y, то получим
дх "dy"R-i Зу Т Зх
6q бх у _бх_ 5q
q=mq
(3.35)
где Ry - положительно определённая корреляционная матрица
вектора ошибок измерения; mq - математическое ожидание век-
тора оцениваемого параметра q. Причём
бх у бх
бх
(3.36)
в (3.35) характеризует свойства модели измерений, а матрица
(3.37)
- свойства модели состояния.
Из анализа выражений (3.36) и (3.37) однозначно следует,
что если априорная информация о предельных отклонениях ком-
понентов вектора q относительно ожидаемого значения mq отсут-
ствует, то в качестве показателей влияния параметров следует
рассматривать только частные производные ду/дх. Будем иметь
----- 171

Глава 3
в виду также то, что для любого q и любого t е [О, ] det[jTJ j > 0,
где, следуя (3.26), J =
Тогда, согласно критерию D-оптимальности, параметриче-
ская оптимизация модели структуры из множества {X-Y} должна
осуществляться, исходя из выполнения условия
m_a?)|o(X)H(Y)GT(X)|.	(3.38)
В этом случае можно декомпозировать задачу совместной оптимиза-
ции плана навигационных определений и параметрической оптимиза-
ции модели, что исключительно важно с точки зрения упрощения вы-
числительных процедур.
Задача отыскания оптимальных параметров заданной струк-
туры системы X-Y, в соответствии с условием (3.38), относится к
классу задач комбинаторного планирования. В такого рода зада-
чах важнейшим является требование предварительного сужения
множества {X-Y} до минимально возможного с точки зрения по-
следующей работы с непустым множеством по отношению к ис-
комой системе. Только в этом случае применительно к стандарт-
ным размерностям типовых задач НБО количество комбинатор-
ных вариантов окажется приемлемым для нахождения решения.
Если в качестве критерия оптимизации выбрана корреляци-
онная матрица оценок, то необходимо при фиксации последова-
тельности моментов измерений найти ту корреляционную матри-
цу, которая имеет наименьший определитель.
Оптимизация программы
навигационных измерений________________________________
После осуществления параметрической оптимизации моде-
лей состояния в рассматриваемой постановке можно переходить
к оптимизации программы навигационных измерений. Сформу-
лируем задачу следующим образом.
Для допустимого предельно возможного числа измерений N
требуется определить моменты времени проведения измерений Г-
172 ---

Глава 3
и число измерений т на момент tt, доставляющие экстремум за-
данному критерию оптимальности. В качестве последнего, как и
в предшествующей задаче, воспользуемся критерием D-опти-
мального плана теперь уже в явном виде, т.е. min det R.. Попутно
т 4
заметим, что в том случае, когда постановка задачи предполагает
возможным проведение в каждый момент времени только одного
измерения, под найденным оптимальным значением следует
понимать точки интервала навигационных измерений [0,^], в
пределах которого должна концентрироваться группа измерений,
технически реализуемая измерительным средством за обсуждае-
мый временной интервал.
Полученное таким образом решение будем называть опти-
мальной программой измерений, обозначаемой
u(q,t) = [uT(q,Z1)L..uT(q/y)]T.
Связь между вектором ошибок h и вектором оцениваемых
параметров представим в виде
h = z-u(q,z).	(3.39)
Применительно к задачам навигационных определений, из-
мерения, проводимые на интервале [0,^], являются дискретны-
ми (погрешность измерений предполагается, как правило, адди-
тивной):
z/=y/+hi (i = l,...,W).	(3.40)
Будем считать, что измерения прошли предварительную об-
работку с соответствующей отбраковкой аномальных данных и
убрано или снижено влияние систематических составляющих.
Очевидно, что вектор z, представляемый в виде выборки, и
совокупный вектор ошибок измерений h будут иметь одинако-
вую размерность, равную mN, Поскольку ошибки измерений
имеют Шь = 0, необходимо так построить схему обработки ре-
зультатов измерений вектора q, чтобы оценки ошибок измерений
----- 173

Глава 3
были близки к нулю. Понятно, что конкретные значения реализа-
ций каждой ошибки не являются показателем оптимальности ре-
шения. Важно, чтобы они были близки к нулю в совокупности.
Для этого достаточно потребовать, чтобы квадрат длины вектора
ошибок hTh был бы минимальным. На этом условии базируется
наиболее широко используемый на практике метод наименьших
квадратов.
Ошибки измерений часто являются неравноточными по вре-
мени или по физической природе измеряемых функций. Это даёт
основание ввести понятие веса измерений, задав его в виде мат-
рицы Qh. Соответственно, в этом случае критерий оптимальности
приобретает вид hTQh = h, а метод определения оценок на основе
данного критерия иногда называют методом взвешенных
наименьших квадратов.
Система уравнений для определения оценок неизвестных
параметров при этом записывается в виде
^^^Qh[z-u(q3)]=°’	(3-41)
dq L J
а наилучшая оценка параметра q ищется в форме
q = Rq'PTQhz,	(3.42)
где элементы матрицы Rq зависят от момента времени измерений.
Так как произведение весовой матрицы на невязку в общем
случае не равно нулю, справедливо требование
*1.0,	(3.43)
Jq
эквивалентное для критерия £>-оптимальности (при j, принимаю-
щему значение t в (3.34)) уравнению
sIrJ
_1-Я1 = 0 (£ = 1,...,АГ).	(3.44)
В силу монотонности логарифмической функции можно за-
писать
174 ---

Глава 3
ain|Rq|
6tk
( dR A
= Sp Rj1 —1 =0 (k = l,...,N).
I 0tk 7
(3.45)
Соответствующая (3.45) система экстремальных уравнений в
скалярной форме представления была получена В.М. Рудаковым
для определения оптимальной программы измерений в задаче
уточнения элементов кеплеровской орбиты по измерениям угло-
вых параметров между направлениями на светило и центр Земли
ещё в 1969 г.
Однако поиск решения по изложенной схеме в общем слу-
чае оказывается очень сложным. Более простым с вычислитель-
ной точки зрения является методика итерационного D-опти-
мального планирования, рассмотренная в §3.7 и описанная в ра-
ботах [4, 10].
Сущность методики сводится к следующему. Предваритель-
но задаются априори в достаточной степени произвольные пер-
вые т моментов программы измерений. Далее требуется
на основании этой произвольной последовательности определить
1т+х квазиоптимальный момент, а затем по той же методике ите-
рационно уточнить первые т приближённо заданных моментов
измерений.
Не останавливаясь подробно на описании методики, отме-
тим лишь, что неизвестный оптимизируемый момент tm+x нахо-
дится из условия
maxQhTT(r)R^(/).	(3.46)
Применительно к решению задач оптимального планиро-
вания навигационных измерений при наличии априори непол-
ной информации укажем на результат, сыгравший определяю-
щую роль на начальной стадии разработки НБО межпланетных
полетов.
Рассмотрим этот результат с позиций некоторого предельно-
го случая, когда имеют место наиболее неблагоприятные соот-
----- 175

Глава 3
ношения между ошибками измерений. При этом моделью состо-
яния вводится вектор параметров движения, связь которого с век-
тором характеристик модели состояния и составом самого векто-
ра характеристик является неизвестной.
В этом случае модель, называемая факторной, полностью
определяется выбором систем координат, в которой рассматрива-
ется движение.
Итак, будем считать, что задана предельная ошибка измере-
ний Дл/, такая что
К|<А4. 0=1,...,Я).	(3.47)
Пусть на интервале [0, tk ] в дискретные моменты времени
ti измеряется некоторая составляющая вектора параметров дви-
жения
z;=x(/,) + A( (i = l,
(3.48)
где ht^N (о, Сто/^/^), причем -компоненты весовой матри-
цы Qh.
Тогда плотность вероятности выборки z имеет вид
p(z|x) = (2^) 2 |Qh|^
exp
--^y(z-x)TQh(z-x)L (3.49)
„ 2°o	J
В соответствии с методом максимального правдоподобия
оценивать принятую к рассмотрению модель необходимо на
основании минимума показателя экспоненты в выражении
(3.49):
N	N 1
(Z; ~ X; )2 = XV~(Z< " Х< •	<3-50)
i=l	/=1
При этом оценка вектора параметров q будет иметь ошибку
^q = q-q = (R;)’,'PTQhh,
(3.51)
176 -----

Глава 3
где R? - матрица, представляющая собой произведение матрицы
Грама размера (гхг) на диагональную весовую матрицу
Qh =[ДМТ-
Будем далее полагать, что присутствует ограниченная апри-
орная информация об измеряемой функции, имеющая вид выбо-
рочной корреляционной матрицы
Rs=—-mz)(zA-тг)т,	(3.52)
1 п
где mz = — } zk ; к - номер измерений в серии; п - общее число
измерений.
Пусть (для определенности) вектор измерений z относится к
нормальной совокупности с нулевым математическим ожиданием
и корреляционной матрицей Rz, которая, например, для про-
стейшего случая N= 2 имеет вид
2
D _ а1 /?сг}сг2
z	2
1 ^2	&2
где р- коэффициент корреляции.
Введем в рассмотрение факторную модель в виде ряда
x(z)=2L^(z)/j’	<3-53)
где - неизвестные факторные нагрузки; - простые факто-
ры, о которых известно, что
/уе^0, 1) (7 = 1,...,г).	(3.54)
Спланируем измерения таким образом, чтобы при произ-
вольной корреляции между ошибками измерения ДА/ = |/г/Д^.1|<1
(Z = используемый метод обработки (метод наименьших
---------------------------------------------------- 177

Глава 3
квадратов для нормального закона распределения) обеспечивал
бы получение ошибок (3.51).
Допустим, Ф - множество всех векторов факторных нагру-
зок измерений е Ф; W* - множество всех возможных комби-
наций из к нагрузок (к > r\ a W - объединение всех множеств W*
при А: = г (г + 1, ..., N). Тогда задача планирования экстремальных
измерений по минимаксному критерию
min maximal,	(3.55)
{W} {*„} 1 41
в предположении произвольной корреляции между ошибками из-
мерений, относится к классу задач линейного программирования, в
частности, решаемых с использованием модифицированного сим-
пликс-метода, разработанного П.Е. Эльясбергом и Б.Ц. Бахшияном
в 1969 г. [6]. Несколько позднее, в работе [7] М.Л. Лидовым было
показано, что max| Jq| достигается в вершинах N-мерного куба при
| Ah | = 1 и для т>г справедливо неравенство
min maximal > min maximal.	(3.56)
Ш {An} 1 41 {Wr} {Дп} 1 41
Физический смысл неравенства (3.56) заключается в том, что
при произвольной корреляции между ошибками измерений, их
оптимальное число должно быть равно числу оцениваемых пара-
метров, а задача о выборе оптимального состава измерений мо-
жет трактоваться как задача коррекции траекторий. Полученный
результат может быть объясним следующим образом.
Наиболее неблагоприятное соотношение между ошибками
измерений означает функциональную линейную связь между ни-
ми, т.е. коэффициенты корреляции будут принимать предельные
значения ±1. Поскольку в этом случае ошибки измерений уже не
являются случайными последовательностями, увеличение избы-
точности измерений приведет не к улучшению, а к ухудшению
точности оценок. Оптимальными оказываются те измерения, в
которых достигается наиболее благоприятное соотношение меж-
ду факторной нагрузкой и ошибкой измерений.
Полученный результат позволил перенести на задачу опти-
мизации измерений известное для задачи оптимальной коррекции
178 ---

Глава 3
заключение о числе точек коррекции, реализующих оптимальную
программу, а также осуществить естественное обобщение на
многомерный случай некоторых задач, которые ранее рассматри-
вались исключительно в одномерной постановке.
Необходимо предположить, что изложенная здесь методика, в кото-
рой осуществлена «увязка» рассматриваемых этапов, а также осу-
ществлён анализ влияния уровня априорной неопределённости ин-
формации на выбор поиска конечного решения, может оказаться по-
лезным и в достаточной степени эффективным инструментом
планирования и решения задач НБО оперативного управления косми-
ческими полётами перспективных КА.
Рассмотрены основные задачи оптимального планирования измере-
ний (эксперимента) в наземном автоматизированном комплексе управ-
ления космическими объектами, прежде всего, включающие:
1)	выбор структуры и состава НАКУ (ПИК) (определение количества и
типа измерительных средств, которые задействуются в измерительном
процессе, определение требований к техническим характеристикам этих
средств и точности их геодезической привязки, выявление способов взаи-
модействия всех технических систем, составляющих НАКУ или ПИК;
2)	оптимальное размещение измерительных средств на местности;
3)	оптимизацию временных программ измерений.
Отмечается тот факт, что в теории оптимального планирования экс-
перимента оформились две тенденции (по аналогии с задачами оцени-
вания и идентификации). Первая тенденция в планировании экспери-
мента предполагает, что исследователя интересует лишь тот комплекс
условий (входных воздействий), при котором изучаемый процесс (вы-
ход) удовлетворит заданному (выбранному) критерию оптимальности.
Напротив, вторая тенденция при планировании эксперимента по выяс-
нению механизма явления устанавливает структуру самой системы.
Приведены примеры трудностей реального планирования и класси-
фикации планов измерений. Наряду с использованием оптимальных (в
том или ином смысле) планов выделяются рациональные, приемлемые,
устойчивые и экстремальные группы разработки и использования пла-
нов экспериментов.
При текущем создании и осуществлении планирования ИТНП в ис-
пытательных центрах изучается взаимодействие структурных подраз-
-----179

Глава 3
делений НАКУ. Частный вопрос связан с рассмотренным планировани-
ем работы ОКИК и формированием соответствующих групп данных.
Приводится строгая математическая постановка задач оптимального
планирования измерений. Подробно рассмотрены пять критериев опти-
мального планирования экспериментов. Рассмотрены примеры оптими-
зации спектра плана измерений и оптимального размещения измери-
тельных средств.
С вопросами планирования эксперимента тесно связана структурно-
параметрическая оптимизация моделей в едином технологическом цик-
ле НБО оперативного управления космическими полетами, завершаю-
щая рассмотрение вопросов планирования измерений.
Литература
1.	Лысенко Л.Н., Бетанов В.В., Звягин Ф.В. Последовательная струк-
турно-параметрическая оптимизация моделей в едином технологи-
ческом цикле баллистико-навигационного обеспечения оператив-
ного управления космическими полетами // Вестник МГТУ им.
Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2012. № 4. С. 19-32.
2.	Иванов Н.М., Лысенко Л.Н., Мартынов А.И. Методы теории си-
стем в задачах управления космическим аппаратом. М.: Машино-
строение. 1981.
3.	Костюковский Ю.М.-Л. О наблюдаемости нелинейных управляе-
мых систем // Автоматика и телемеханика. 1968. № 9. С. 29-42.
4.	Брандин В.Н,, Васильев А.А., Худяков С.Т. Основы эксперимен-
тальной баллистики. М.: Машиностроение. 1974.
5.	Брандин В.Н., Разоренов Г.Г. Определение траекторий космиче-
ских аппаратов. М.: Машиностроение. 1978.
6.	Эльясберг П.Е., Бахшиян Б.Ц. Определение траектории полета кос-
мического аппарата при отсутствии сведений о законе распределе-
ния ошибок измерений // Космические исследования. 1969. Т. VII.
Вып. 1. С. 18-28.
7.	Лидов М.Л. Математическая аналогия между некоторыми задачами
коррекции траекторий и выбора состава измерений и алгоритмы их
решений // Космические исследования. 1971. Т. IX. Вып. 5. С. 9-20.
8.	Бажинов И.К., Почукаев В.Н. Оптимальное планирование навигаци-
онных измерений в космическом полете. М.: Машиностроение. 1976.
9.	Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптималь-
ного эксперимента. Учеб, пособие. М.: Наука. 1987.
10.	Тюлин А.Е., Бетанов В.В. Летные испытания космических объек-
тов. Определение и анализ движения по экспериментальным дан-
ным / Под ред. А.Е. Тюлина. М.: Радиотехника. 2016.
180 -----

ГЛАВА 4
Баллистические задачи
проектирования и эксплуатации
наземных и бортовых
измерительных комплексов
космических аппаратов
4.1.	Влияние навигационно-баллистического обеспечения на характе-
ристики КА и космических систем
4.2.	Задачи баллистического обеспечения для успешного функциони-
рования измерительных средств
4.3.	Определение трассы полета КА
4.4.	Определение зоны видимости измерительного пункта
4.5.	Определение расчетных значений измеряемых навигационных па-
раметров. Целеуказания измерительным средствам
4.6.	Прогнозирование параметров движения центра масс КА для цен-
тров управления полетом и бортовых систем
4.7.	Влияние возмущающих факторов на прогнозирование движения
центра масс КА

Глава 4
4.1. Влияние
навигационно-баллистического обеспечения
на характеристики КА и космических систем
Решение задач НБО является основой проектирования КС,
залогом успешного выполнения миссии КС, а также составной
частью технологического цикла управления КА и КС в целом.
Ввиду сложности космической системы, наличия разнообразных
взаимосвязей между её элементами и множеством реализуемых
процессов качество решения задач НБО влияет на параметры и
характеристики как КС в целом, так и отдельных КА.
Важнейшим этапом синтеза любой КС является её балли-
стическое проектирование. Выбор параметров орбиты оказывает
существенное влияние на выполнение целевой задачи системы.
Обобщенная информация о зависимости выбора параметра орби-
ты от видов целевых характеристик представлена в табл. 4.1.
________________________Таблица 4.1_______________________
Выбор параметров орбиты
Целевая характеристика	Выбор формы орбиты КА			Выбор положения орбиты КА в пространстве		
	Н	а (Г)	е	i	П	со
Размеры и расположение (гео- графические координаты) районов обслуживания						
Качественные характеристики обслуживания районов						
Время и условия обслужива- ния районов						
Продолжительность сеанса обслуживания						
Периодичность обслуживания						
Срок баллистического суще- ствования						
182 -----

Глава 4
Необходимо заметить, что эта таблица носит обобщенный
характер, в ней отражены наиболее выраженные зависимости
[26]. Задача выбора реальной орбиты гораздо сложнее, так как в
той или иной мере все параметры зависят от выбора любого па-
раметра целевой характеристики. Для проведения анализа влия-
ния качества решения задач НБО на отдельные КА следует при-
вести некоторые базовые сведения по конструкции и управлению
современных КА.
Техническим средством реализации целей управления явля-
ется, собственно, сам КА, представляющий собой сложную тех-
ническую систему, структура которой состоит из взаимосвязан-
ных компонентов - бортовых систем (БС). В самом общем слу-
чае КА рассматривают состоящим из следующего перечня
элементов, который называют обобщенной технической струк-
турой КА\ полезная нагрузка; корпус; обеспечивающие и вспо-
могательные системы (рис. 4.1).
Полезная нагрузка включает целевое оборудование (борто-
вой специальный комплекс), предназначенное для непосред-
ственного решения поставленной задачи, перевозимые грузы для
транспортных КА или KA-буксиров, а также экипажи пилотиру-
емых КК и ДОС.
________________________Рисунок 4.1________________________
Обобщенная техническая структура КА
----- 183

Глава 4
Корпус КА предназначен для размещения бортового обору-
дования, обеспечения условий его функционирования, защиты от
действия факторов космического пространства. Он является си-
ловой базой КА.
Обеспечивающие системы предназначены для создания не-
обходимых условий функционирования бортового специального
комплекса и деятельности экипажа.
Структура обеспечивающей системы
1. Бортовой комплекс управления (БКУ), представляющий
собой совокупность систем КА, обеспечивающих управление
функционированием КА как единого целого, бортовые системы
которого связаны между собой информационными каналами.
Состав БКУ
	Система ориентации и управления движением (СОУД),
обеспечивающая управление движением КА при соверше-
нии межорбитальных маневров, ориентацию и стабилизацию
КА в процессе орбитального полета.
	Система управления работой бортовой аппаратуры (СУРБА),
обеспечивающая управление и синхронизацию работы бор-
товой аппаратуры.
	Система обмена информации (СОИ), обеспечивающая
прием и передачу командно-программной информации,
сверку бортового времени с наземным, радиоконтроль ор-
биты КА, получение и передача результатов телеметриче-
ских измерений.
2.	Система обеспечения теплового режима (СОТР), пред-
ставляющая собой комплекс средств в составе КА для обеспече-
ния внешнего и внутреннего теплообмена в процессе автономно-
го полета.
3.	Система энергопитания (СЭП), обеспечивающая элек-
троэнергией аппаратуру и оборудование КА.
4.	Система спуска и посадки (ССП), обеспечивающая воз-
вращение на Землю специальной информации, груза или экипажа.
5.-----Система обеспечения жизнедеятельности (СОЖ), пред-
ставляющая собой комплекс устройств, агрегатов, а также запасы
продуктов питания и других веществ, служащих для обеспечения
184 	

Глава 4
жизнедеятельности (обмена веществ) и работоспособности чело-
века (животных, растений) в условиях космического полета.
6.	Бортовой комплекс защиты (БКЗ), объединяющий систе-
мы и устройства, обеспечивающие защиту КА и его бортовых си-
стем от поражающих факторов оружия противника.
Вспомогательные системы - системы и устройства, предна-
значенные для выполнения операций, непосредственно не свя-
занных с решением целевых задач.
Примеры вспомогательных систем
1.	Система стыковки и разделения, предназначенная для без-
аварийного соединения (разъединения) различных узлов, агрега-
тов и составных частей КА, а также различных КА друг с другом.
2.	Система аварийного подрыва (аварийной ликвидации ин-
формации), предназначенная для уничтожения узлов, агрегатов и
составных частей КА в случае несанкционированного отклонения
от программы полета с целью обеспечения безопасности граждан
и предотвращения утечки сведений, составляющих военную и
государственную тайну.
3.	Механизмы раскрытия СБ, антенн и других устройств.
4.	Система герметизации, предназначенная для предотвра-
щения утечек газовой среды контейнера (отсека) КА.
5.	Система разгерметизации (сброс давления и сообщение с
атмосферой), предназначенная для регулирования давления газо-
вой среды в контейнере (отсеке) КА.
6.	Система наддува, предназначенная для поддержания (вос-
становления) давления газовой среды в контейнере (отсеке) КА.
7.	Система пеленгации, предназначенная для обеспечения
заметности возвращаемых частей КА в ходе поисково-спасатель-
ных работ.
8.	Система аварийного спасения, предназначенная для увода
КА или его составных частей от аварийной зоны и обеспечения
безопасности экипажа (груза) в ходе аварийной ситуации.
9.	Радиометрическая аппаратура, предназначенная для опре-
деления уровня радиации (излучений) на борту КА.
10.	Другие типы аппаратуры.
Как правило, вспомогательные системы обеспечивают
функционирование обеспечивающих систем.
----- 185

Глава 4-------
В целом общее количество бортовых систем для разных ти-
пов КА может достигать нескольких десятков. Например, для КА
наблюдения земной поверхности типа «Ресурс-П» (рис. 4.2) чис-
ло только основных систем составляет около тридцати.
Главной особенностью современных КА является высокая
степень «интеллектуальности» объектов, обусловленная наличи-
ем в их составе развитого БКУ, оснащенного высокопроизводи-
тельными бортовыми цифровыми вычислительными машинами
(БЦВМ) или сетью таких машин - бортовыми вычислительными
системами (БВС). Это позволяет проводить сложную логиче-
скую обработку данных непосредственно на борту КА.
Антенна
Объединенная
двигательная
установка
командно-
измерительной
системы
Батарея
солнечная
Антенна бортового
синхронизирующего
координатно-временного
устройства
Агрегатный отсек
Оптико-электронная
аппаратура
Блок определения
координат звезд
Измеритель угловой
скорости волоконно-
оптический с
акселерометрами
Гиперспектральная
аппаратура
Антенное устройство
высокоскоростной
радиолинии
Комплекс
широкозахватной
м ульти спектральной
Инфракрасный
построитель
местной вертикали
Антенна командно-
измерительной
системы
Силовой
гироскопический
комплекс
Отсек целевой
аппаратуры
Приборный отсек
_____________________Рисунок 4.2________________________
Внешний вид КА ДЗЗ «Ресурс-П»
186-----

Глава 4
Стало возможным часть задач, решаемых первоначально на НКУ, пе-
ренести на БКУ. Это относится к задачам навигации, частично к зада-
че контроля за состоянием бортовой аппаратуры (БА) и работой си-
стем КА, диагностики отказов БА, переключения в случае отказов БА
на резервные контуры и аппаратуру.
При применении КА по назначению многообразие целей
управления отражается во временной диаграмме полета (ВДП), на
основе которой формируется множество рабочих команд, времен-
ных программ и уставок. Для их выполнения объект располагает
некоторым заранее определенным инструментарием в виде управ-
ляющих программ БКУ (функциональных режимов), организую-
щих взаимосвязанное включение необходимой для выполнения
режима БА, сбор и «упаковку» контрольной информации о выпол-
нении функциональной задачи. Каждый режим состоит из ряда ал-
горитмов, операций и процессов, протекающих на борту КА.
Например, для КА зондирования земной поверхности преду-
смотрены следующие функциональные режимы системы управ-
ления: первоначальная ориентация; работа аппаратуры зондиро-
вания; совершение маневра; управление при обнаружении неис-
правностей; автономные навигационные измерения; доставка
информации зондирования на Землю [26].
Рассмотрим функциональные режимы системы управления
КА дистанционного зондирования Земли несколько подробнее.
Режим первоначальной ориентации
После включения БВС в момент отделения КА от ракеты-
носителя запускается программа тестирования БВС и в случае
исправной БВС начинается режим первоначальной ориентации,
который состоит из ряда последовательных операций-участков:
1)	подготовка и включение бортовой аппаратуры и систем КА;
2)	раскрытие элементов его конструкции, в том числе и
включение БА системы управления движением чувствительных
элементов, исполнительных органов, участвующих в переводе
КА в нормально ориентированное положение;
3)	гашение угловой скорости КА, накопленной в неориенти-
рованном полете за счет возмущений, действующих на КА в про-
----- 187

Глава 4
цессе отделения от ракеты-носителя или в процессе неориентиро-
ванного полета;
4)	поиск опорного ориентира системы управления движени-
ем (СУД) - Земли, Солнца, звезд;
5)	перевод КА в нормальное ориентированное положение (в
орбитальной системе координат);
6)	формирование контрольной информации и управление
системой телеметрического контроля (СТК).
Режим работы аппаратуры зондирования
Режим выполняет функции наведения оси аппаратуры зон-
дирования на требуемый участок земной поверхности, подготов-
ки и ввода в аппаратуру зондирования необходимых исходных
данных для ее работы, в том числе данных по компенсации сдви-
га изображения, моментам включения и выключения аппаратуры
зондирования. Эти операции выполняется для каждого объекта
зондирования, которых в режиме может быть несколько.
Кроме того, для группы последовательных объектов зонди-:
рования, обслуживаемых одним режимом, проводятся операции
по подготовке электромеханических исполнительных органов
СУД (в случае их наличия):
1) сброс накопленного кинетического момента;
2) уточнение угловой ориентации КА от датчиков внешней
ориентации СУД для проведения зондирования при максималь-
ной точности угловой ориентации КА.
Таким образом, режим состоит из нескольких последова-
тельных операций-участков:
1)	подготовка исполнительных органов СУД;
2)	уточнение ориентации КА относительно его центра масс;
3)	угловые развороты КА или его аппаратуры зондирования
в требуемое для зондирования заданного участка поверхности
Земли положение;
4)	введение исходных данных в аппаратуру зондирования;
5)	разворот КА для зондирования второго и последующих
участков;
6)	вывод информации на систему телеконтроля (СТК).
188 ---

Глава 4
Режим совершения маневра____________________________
Работу системы управления КА при совершении маневра
функционально можно разделить на следующие участки:
1)	перекладка панелей солнечных батарей из исходной рас-
крытой схемы в частично сложенную схему (это делается из со-
ображений обеспечения прочности панелей);
2)	программный поворот КА относительно его центра массы
в зависимости от назначения маневра (разгон, замедление, спуск)
и компоновки корректирующей двигательной установки (КДУ)
на борту КА;
3)	подготовка к работе и работа КДУ;
4)	успокоение углового движения КА после работы КДУ;
5)	поворот КА относительно центра масс в нормально ори-
ентированное положение;
6)	приведение панелей солнечных батарей в исходную рас-
крытую схему.
В этом режиме осуществляются сбор и упаковка контрольной
информации о завершении всех динамических операций, включе-
нии и выключении двигателя, а также управлении работой СТК.
Режим управления при обнаружении неисправностей
При возникновении неисправностей в работе систем КА,
распознаваемых БКУ или НКУ, подсистема контроля и техниче-
ской диагностики передает управление на режим «управления
при обнаружении неисправностей». КА и его системы переводят-
ся в одно из допустимых состояний, в котором предотвращается
развитие аварийной ситуации и обеспечивается сохранение и
восстановление работоспособности КА после устранения причи-
ны неисправности.
Обычно для КА дистанционного зондирования Земли преду-
сматриваются три допустимых нештатных состояния:
1)	ориентированный дежурный полет (ОДП);
2)	режим дежурной ориентации (РДО);
3)	неориентированный полет (НП).
Во всех допустимых состояниях КА будет находиться до
получения команд и рабочей программы с НКУ на переход в
режимы нормальной эксплуатации.
---- 189

Глава 4
В этом режиме осуществляются также сбор информации о
состоянии БС и передача ее в НКУ для анализа.
Режим доставки информации зондирования на Землю
В зависимости от принятого способа доставки информации
(в спускаемых элементах конструкции или по радиоканалу) здесь
проводятся следующие действия:
1)	подготовка БС к выполнению режима;
2)	ориентация и стабилизация КА в требуемое для передачи
информации или отстрела спускаемых элементов конструкции
(СЭК) углового положения;
3)	передача информации или отстрел СЭК;
4)	возвращение КА в исходное ориентированное состояние
для продолжения зондирования поверхности Земли.
В процессе исполнения режима осуществляются сбор и упа-
ковка контрольной телеметрической информации о всех динами-
ческих операциях режима, а также о факте передачи информации
зондирования.
Режим автономных навигационных измерений
В зависимости от устройства системы автономной навига-
ции и состава измеряемых параметров система управления обес-
печивает требуемую ориентацию КА (например, ось радиовысо-
томера выставляется по вертикали к центру Земли).
Далее режим включает измерительно-навигационную аппа-
ратуру, а после завершения измерений выключает ее. При полу-
чении навигационной информации режим включает программы
БВС, обеспечивающие ее работу и определение параметров орби-
ты. Проводятся сбор и упаковка контрольной информации о ра-
боте режима и бортовой аппаратуры.
Последовательность проведения (включения) различных
режимов системы управления определяется при долгосрочном
планировании работы КА и уточняется при оперативном управ-
лении.
Как видно из содержания приведённых выше режимов
функционирования КА ДЗЗ, задачи НБО в том или ином виде
присутствуют в каждом из них, например определение ориента-
190---

Глава 4
ции КА, определение местоположения КА до и после соверше-
ния маневра, решение задач автономной навигации и т.д. Оче-
видно, что качество решения задач НБО напрямую влияет на
качество выполнения режимов функционирования, алгоритмов
и операций.
Кроме того, задачи НБО оказывают влияние и на элементы
обобщённой структуры КА.
Так, баллистический коэффициент частично определяет тре-
бования к корпусу КА, его массогабаритным характеристикам,
компоновке и размещению элементов бортового специального
комплекса. Выбранная баллистическая структура и анализ осве-
щённости КА Солнцем позволяет правильно определить требова-
ния с СОТР и СЭП, точность определения местоположения КА и
его ориентацию во многом определяет требования к СОУД, в
частности, резервный запас рабочего тела (РТ), а также к харак-
теристикам бортовых антенных систем, мощности передающей и
чувствительности приёмной аппаратуры. Всё это в комплексе
влияет на характеристики БКУ, который, являясь ядром бортово-
го сегмента управления, обеспечивает решение следующих задач:
1)	управление оборудованием на участке выведения и при-
ведение элементов конструкции КА и бортовых систем КА в ра-
бочее состояние после отделения от средств выведения;
2)	управление работой бортовых обеспечивающих систем
автономно или совместно с НКУ в соответствии с данными, по-
ступающими с НКУ (через БА КИС), и текущим состоянием бор-
товой аппаратуры;
3)	организация взаимодействия с бортовой аппаратурой по-
лезной нагрузки;
4)	автономный контроль технического состояния и управле-
ние бортовыми системами по результатам контроля от ПО си-
стем;
5)	реализация режима реального времени в процессах управ-
ления и контроля с привязкой бортовой шкалы времени БКУ к
системе единого времени с требуемой для задач управления КА
точностью.
Как было отмечено выше, основу БКУ составляет высоко-
производительная БЦВМ, позволяющая решать задачи обработки
-------------------------------------------------------- 191

Глава 4
информации и выработки управляющих воздействий, перенося
тем самым часть функций наземного контура управления непо-
средственно на борт КА. Это в полной мере относится и к реше-
нию задач НБО. В частности, на борту КА могут быть решены за-
дачи автономного (без участия НКУ) поддержания заданных па-
раметров орбиты КА и обеспечение сверки и коррекции бортовой
шкалы времени, повышения автономности функционирования
КА и решения им целевых задач. Это возможно путём разработки
соответствующего программно-алгоритмического обеспечения,
ориентированного на комплексную обработку информации бор-
товой НАП КНС ГЛОНАСС/GPS, астровизирных устройств,
инерциальных датчиков и др. устройств, а также позволяющего
осуществлять в БКУ высокоточное моделирование движения КА.
Следует учитывать, что магистральным направлением раз-
вития бортового оборудования (БО) КА является его интеграция,
заимствованная из авионики. Это, прежде всего, переход от «фе-
деративных» систем к интегрированной модульной авионике
(ИМА). Системы с федеративной архитектурой содержат набор
независимых подсистем, каждая из которых состоит из собствен-
ных аппаратных средств, программного обеспечения и вычисли-
тельных средств, программируемых для выполнения только сво-
их, специфических для данной подсистемы функций.
В интегрированном НБО функциональные подсистемы не
обособляются, а реализуют совокупность различных задач не-
скольких традиционных бортовых систем на едином комплексе
аппаратуры. Целевые подсистемы при таком построении пере-
стают быть закрытыми автономными системами, визуализируют-
ся и становятся физически распределенными по компонентам ар-
хитектуры, совместно использующими ее интегральные ресурсы.
По оценкам экспертов объединенного комитета по стандартиза-
ции архитектуры авиационных систем НАТО ASAAC (Allied
Standard Avionics Architecture Council), подобная интеграция мо-
жет на порядок снизить число конструктивно-функциональных
модулей на борту летательного аппарата, что особенно важно для
малых и сверхмалых КА.
ИМА является базовой концепцией для построения БО пер-
спективных КА. Она включает поля датчиков - источников ин-
192 —

Глава 4
формации, поля исполнительных устройств, аналоговые подси-
стемы обработки сигналов, программируемую коммуникацион-
ную систему для высокоскоростных цифровых сигналов и инте-
грированную вычислительную систему цифровой обработки сиг-
налов и данных (ISDS). Интегрированная архитектура
перспективного БО КА поддерживается созданием новых совме-
стимых «сверху - вниз» системообразующих стандартов, кото-
рые обеспечивают большую технологическую независимость
следующего поколения аэрокосмических комплексов. В комплек-
сах БО КА (например, в разработках по заказам Европейского
космического агентства - ЕКА) требование снижения массогаба-
ритных характеристик и повышения функциональной гибкости
имеет еще большее значение, чем в авиационных системах.
Одной из перспективных форм сокращения избыточности
БО КА как целостной системы является распространение прин-
ципа интегрированности архитектуры БО на служебное оборудо-
вание и на специальный комплекс. Например, в малоразмерных
КА (МКА) стали традицией интеграция служебных каналов связи
для КПИ, ТМИ, траекторных измерений и каналов связи для пе-
редачи специальной информации, интеграция средств обработки
информации, энергоснабжения и термостатирования. Это позво-
ляет эффективнее использовать вычислительные и коммуникаци-
онные ресурсы МКА. Для МКА характерна более глубокая инте-
грация служебных систем и оборудования полезной нагрузки,
чем для КА других классов. В первую очередь этот процесс мо-
жет охватить системы обработки и передачи данных на борту
МКА, объединение и совместное использование вычислительных
ресурсов обработки сигналов и данных, коммуникационных ка-
налов передачи данных, датчиков - источников диагностической
информации. Такая единая вычислительная система (ВС) решает
как служебные, так и целевые задачи, что не отрицает распреде-
ленность системы параллельных вычислений.
Требование к интеграции бортовой ВС предполагает, что
разработчики БСК должны «приходить» на борт КА не со свои-
ми вычислительными средствами, встроенными в специальный
комплекс, а со своими функциональными задачами для единой
ВС КА.
----- 193

Глава 4
Интенсивно ведется разработка унифицированной архитек-
туры комплексов БО по стандартизации уровней ее протоколов и
интерфейсов, от уровня физических интерфейсов до уровней
стандартизованных сервисов - разработка стандартизованных
API (Application Program Interface) для каждого уровня, объекта и
сервиса. При этом стандартизуются требования к соответствую-
щим функциям и подсистемам, а не технические способы их реа-
лизации. Важная черта этих работ - создание единого набора стан-
дартов по интерфейсам для КА всех классов, что позволяет фоку-
сировать усилия проектировщиков на объединении современных
технологий, в том числе НИТ. Глубокая интеграция оборудования
распространяется и на программные системы (вне зависимости от
функциональных подсистем разных разработчиков).
Обеспечение высокой производительности БВС достигается
путем внедрения принципа параллелизма на устройства обработ-
ки информации. В традиционных бортовых интеллектуальных
системах одному из вычислительных устройств отводится роль
диспетчера, решающего свою частную задачу параллельно с дру-
гими вычислительными устройствами.
В перспективе данная проблема может быть решена за счет использо-
вания бортовых нейропроцессоров, для которых параллелизм являет-
ся неотъемлемым свойством.
БВС могут быть как многомашинными, так и многопроцес-
сорными системами, однородными (однотипными) и неоднород-
ными (разного типа с разной производительностью). В многома-
шинных и многопроцессорных системах с многоуровневой (иерар-
хической) структурой обработка данных осуществляется на
разных уровнях, причем на более низких уровнях используются
более простые вычислительные устройства (ВУ), осуществляю-
щие первичную обработку информации. Тем самым разгружаются
более мощные ВУ, находящиеся на других уровнях, от решения
громоздких, но простых задач, что приводит к росту общей произ-
водительности ВС. Потери производительности ВС можно снизить
также, если, наряду с общей для всех модулей шиной, использо-
вать автономные шины и связи для подключения отдельных моду-
194 —

Глава 4
лей памяти к каждому процессору. Наиболее перспективной явля-
ется структура БВС, содержащая несколько ВУ и общих шин, а
связь между шинами осуществляется при помощи специальных
переключателей шин и адаптеров межмашинных связей.
Обобщенная информация о влиянии задач НБО на элементы
обобщённой конструкции КА представлена в табл. 4.2.
_______________________Таблица 4.2_______________________
Обобщенная информация о влиянии задач НБО
на элементы обобщённой конструкции КА
Вид обеспечения	Объект влияния	Элементы влияния
Навигационно-баллистическое обеспечение	Космическая система	Баллистическое проектирование си- стемы
	Специальная аппаратура	Характеристики БСА, возможности по решению целевых задач
	Конструкция КА, корпус	Баллистический коэффициент, срок баллистического существования, фак- торы космического полёта
	СУД	Характеристики ДУ, запас РТ
	сос	Характеристики СОС, тип СОС, вид исполнительных элементов, запас РТ
	сэп	Характеристики СЭП, размещение па- нелей солнечных батарей, порядок управления ими
	СОТР	Характеристики СОТР, тип СОТР
	Телекоммуникационные системы	Характеристики антенных систем, приёмо-передающей аппаратуры
	БКУ	Характеристики БКУ, особенности программно-алгоритмического обес- печения
В настоящее время в связи с ярко выраженной тенденцией миниатю-
ризации в производстве КА возникают новые объекты обеспечения
НБО. В частности, создаются рои или кластеры малоразмерных КА
(МКА), для которых появляются новые задачи НБО, например про-
гнозирование баллистического существования кластера, расчет и про-
гнозирование движения центра масс каждого МКА, расчет и поддер-
жание баз между МКА в установленных пределах, определение вза-
имной ориентации МКА между собой [26].
----- 195

Глава 4
Кроме того, успехи в производстве МКА позволяют перейти
к созданию КС, включающих орбитальные группировки, состоя-
щие их сотен и даже тысяч КА. Например, уже сегодня система
космического мониторинга PlanetLabs насчитывает 160 КА Dove
(Голубь) (на октябрь 2017 г.). При этом система построена как
избыточная: всего же с 2013 г. запускалось более 300 КА, из-за
аварий ракет-носителей выведено на орбиту более 270 КА, из ко-
торых 40% уже сошли с орбиты.
К перспективным разработкам относится, например, система
OneWeb, имеющая целью массовое распространение Интернет-
технологий для 1 млрд абонентов, и предполагающая развёрты-
вание орбитальной группировки до 2000 КА на разной высоте:
на низких орбитах (1200 км)..........................720
на средней орбите.................................. 1280
При этом средний темп производства МКА составит 15 КА в
неделю со стоимостью в перспективе для 1 КА - менее $1 млн.
Такой проект не является единственным, известны также проекты
компаний Boeing - 1396-2956 КА на низкой орбите, SpaceX -
7518 КА и ряд других [26].
Следует учитывать, что и отечественная промышленность не остаётся
в стороне. Так, уже сегодня АО «РКС» реализует программы произ-
водства МКА различного назначения, а также разрабатывает проект
создания глобальной многофункциональной инфокоммуникационной
спутниковой системы, насчитывающей более 250 КА.
Создание таких многоспутниковых систем остро поставит вопрос управ-
ления ими, в том числе и вопросы решения задач НБО. Управление мно-
гочисленной группировкой неизбежно потребует новых технологий, ос-
нованных на гомеостатическом подходе. В самом общем понимании го-
меостатичность системы означает, что она не только выполняет
предписанное ей задание, но одновременно заботится и о сохранении
самой себя (по крайней мере, до момента выполнения этого задания).
Основное свойство гомеостатического процесса для систем
различной природы выражается в противоречии целей подси-
стем. Гармонизация интересов между противоречиями целей
подсистем достигается с помощью балансного гомеостата. С этой
целью выделяют взаимодействующие в системе антагонисты.
196 ---

Глава 4
С одной стороны, это процессы нарастания упорядоченности си-
стемы или негэнтропии. С другой стороны, процессы разрушения
системы или нарастания энтропии.
Функционирование такой системы предполагает определён-
ный баланс между процессами деградации системы, называемы-
ми энтропийными процессами, и процессами упорядочивания её
функционирования - негэнтропийными процессами.
К числу процессов разрушения, деградации системы отнесём
влияние факторов космического пространства, приводящее к
нарушению баллистической структуры системы:
1)	повышенная вероятность столкновения КА с другими КА
и космическим мусором;
2)	физическое и моральное старение элементов системы,
приводящее к отказам и сбоям в работе системы;
3)	влияние ресурсных ограничений, приводящее к ограниче-
нию возможностей центра управления полётом по управлению
системой;
4)	влияние человеческого фактора.
Процессы энтропии (разрушения)
1.	Влияние факторов космического пространства.
2.	Нарушение баллистической структуры системы.
3.	Повышенная вероятность столкновения КА с другими КА
и космическим мусором.
4.	Отказы и сбои в работе системы, вызванные физическим и
моральным старением её элементов.
5.	Влияние ресурсных ограничений.
6.	Влияние человеческого фактора.
К числу процессов нарастания упорядоченности системы
отнесём процессы реализации целевого предназначения КС, свя-
занные с удовлетворением потребностей потребителей в связи,
мониторинге, навигации и т.д.; процессы поддержания работо-
способности КС и реализации технологического цикла управле-
ния системой.
Процессы негэнтропии (упорядоченности)
L Реализация целевого предназначения системы.
2. Поддержание работоспособности системы.
----- 197

Глава 4
3. Реализация ТЦУ системой с решением задач командно-
программного, информационно-телеметрического, навигационно-
баллистического и частотно-временного обеспечения.
Требование гомеостаза системы предполагает наличие свое-
образных «уступок» антагонистам.
С одной стороны, допускается определённое снижение пока-
зателей упорядоченности, например отказ от жёсткой баллисти-
ческой структуры, понижение требований к точности занятия ор-
битальной позиции КА, допускается стохастический вывод КА на
орбиту, предполагаются также отказ от резервирования части
подсистем, перенос функций управления на борт КА, использо-
вание элементной базы с менее строгими требованиями по
надёжности - коммерческой электроники (например, «Industrial»
вместо «Space»); использование «наземных» решений для отра-
ботки и проведения испытаний из опыта автомобильной и элек-
тронной промышленности и т.д.
С другой стороны, разрабатываются способы компенсации
влияния факторов разрушения, например способы управления
системой с нарушенной баллистической структурой, своевремен-
ное восполнение системы в случае отказа элементов, проведение
мероприятий по восстановлению работоспособности системы и
её элементов, техническое обслуживание, целенаправленное ис-
пользование наличных ресурсов и т.д. Важным направлением яв-
ляется создание избыточности ресурсов на орбите для обеспече-
ния решения целевой задачи, например по количеству КА.
Реализация технологического цикла гомеостатического управления
избыточной орбитальной структурой КА предъявляет повышенные
требования к качеству решения задач НБО. С одной стороны, допус-
кается стохастический вывод на орбиту и стохастическое размещение
КА в космосе, с другой стороны, требуются прогнозирование балли-
стического построения и существования такой нестационарной груп-
пировки, а также расчет и поддержание необходимых локальных бал-
листических структур, в частности, баз между МКА в установленных
пределах, определение взаимной ориентации МКА между собой.
Фактически можно утверждать, что появляется новый класс задач
НБО - баллистическое обеспечение оперативного управления многос-
путниковыми орбитальными группировками.
198----

Глава 4
4.2.	Задачи баллистического обеспечения
для успешного функционирования
измерительных средств
Радиотехнические траекторные измерения используются для
определения и анализа реального движения ЛА. Комплекс задач
баллистического обеспечения радиотехнических измерений име-
ет целью обеспечить оптимальное (рациональное) использование
радиотехнических средств для решения этой основной задачи.
Задачи баллистического обеспечения
для успешного функционирования измерительных средств
1.	Уточнение начальных условий движения ЛА.
2.	Прогноз движения ЛА.
3.	Определение трассы ЛА.
4.	Определение зон радиовидимости, обслуживаемых ЛА
для конкретных измерительных средств.
5.	Определение расчетных значений измеряемых параметров
и расчет целеуказаний измерительным средствам.
6.	Распределение измерительных средств для наблюдения
за ЛА.
7.	Оценивание вероятностных характеристик ошибок изме-
рений по экспериментальным данным и другие.
Рассмотренный перечень вопросов, решаемых в процессе
работы измерительного комплекса, является неполным и содер-
жит лишь основные задачи баллистического обеспечения.
Решение всех перечисленных задач включает три основных
элемента:
1)	определение начальных условий движения ЛА;
2)	прогноз движения ЛА, т.е. определение текущих парамет-
ров движения по известным начальным условиям в некоторой
опорной системе координат;
3)	пересчет полученных параметров движения из опорной
системы в системы координат, связанные с конкретными измери-
тельными средствами.
---- 199

Глава 4
Наиболее сложным является решение первых двух задач, т.е. опреде-
ление начальных условий и прогноз движения КА. Для качественного
решения этих задач необходимо иметь большой объем высокоточных
измерений и также достаточно точные математические модели дви-
жения ЛА. Основная трудность заключается в необходимости прове-
дения численного интегрирования сложной системы дифференциаль-
ных уравнений, описывающих движение ЛА.
Далее рассматривается методика построения трассы полета
КА, зон радиовидимости, а также расчета целеуказаний измери-
тельным средствам и определения расчетных значений измеряе-
мых параметров.
4.3.	Определение трассы полета КА
Для решения различных задач баллистического обеспечения
широко используются трассы КА.
Проведем из центра притяжения радиус-вектор текущего
положения КА 7 (рис. 4.3). Этот радиус-вектор пересечется с по-
верхностью Земли в точке S', называемой подспутниковой точ-
кой. При движении КА данная точка будет перемещаться по зем-
ной поверхности и опишет на ней кривую, называемую трассой.
Трассу можно определить еще как геометрическое место под-
спутниковых точек.
Если бы Земля не вращалась, то для любого типа траекто-
рий трасса на сферической Земле представляла бы собой
окружность большого круга, определяемую как линия пересече-
ния земной сферы с плоскостью траектории КА. В действитель-
ности трасса является более сложной кривой. При ее построе-
нии необходимо учитывать вращение Земли, а также форму и
размеры траектории КА.
I Построение трассы КА - важная практическая задача, решение кото- I
рой необходимо для планирования работы измерительного комплекса. |
Трассу строят обычно на топографической карте, задавая для
произвольной ее точки S' геоцентрическую широту <р и долготу А .
200 ---

Глава 4
________________________Рисунок 4.3_______________________
Характеристика подспутниковых точек
Будем считать, что элементы траектории £2, z, со, р, е, t ж яв-
ляются известными величинами. Сначала получим зависимости
для расчета геоцентрической широты и геоцентрической долготы
при условии, что Земля не вращается. Для этого необходимо
определить координаты КА, соответствующие произвольному
моменту времени t в абсолютной геоцентрической системе.
Для решения задачи введем сопровождающую систему ко-
ординат ЛхсУс^с. Ориентация этой системы относительно абсо-
лютной геоцентрической задается с помощью трех углов £2, i, и.
Матрица направляющих косинусов, задающая взаимную
ориентацию этих систем, имеет вид
	COS О cos и	-cos£2 sinz/		-sin£2 sinz
	-sin £2 sinz/ cosz	-sin£2 cosz	cosz/	
=	sin £2 cosz/ +	-sin£2 sinzz	+	-cos£2 sinz
	+ cos£2 sinz/ cosz	+ cos £2 cosz/	cosz	
	sinzz sinz	cosz/ sinz		cosz
(4.1)
где и= €»+ <9.
----- 201

Глава 4
Для определения истинной аномалии £ используем выра-
жения:
, S 1+е t Е
tg- = J-— tg—;
2 Vl-e 2
(4-2)
Е-е smE =
(43)
где Е - эксцентрическая аномалия; а - большая полуось; t -
произвольное время (московское).
Координаты ЛА в абсолютной геоцентрической системе за-
даются формулой
r(cosQcosw-sinQ sinw cosz)
r(sinQcosw + cosQ sin и cosz)
rsinw sinz
(4.4)
Эти координаты можно представить также в виде (см. рис. 4.3)
ХГА ^COS^COS^
У ГА =Г^<Ра™Ла к
z^=rsinpa
(4.5)
где <ра, Ла - соответственно геоцентрические широта и долгота
КА, определенные без учета вращения Земли.
Сопоставляя выражение (4.4) с выражением (4.5), получаем:
sin<pa = sinw sinz;	(4.6)
.	cos Q cos и + sin Q sinw cosz
cosAa =---------------------------;	(4.7)
cos^za
. , sin Q cos w + cos Q sinw cosz	,.
sm =------------------------------,	(4.8)
cospa
202 ----

Глава 4
где
cos (ра = л/1 — sin2^ .	(4.9)
Формулы (4.6)-(4.9) однозначно задают широту фа и долго-
ту Ха для невращающейся Земли, т.е. в абсолютной геоцентри-
ческой системе координат.
Определим широту (р и долготу 2 КА для вращающейся
Земли, т.е. в гринвичской системе координат. Она жестко связана
с вращающейся Землёй; ось Az ГА совпадает с осью Az ГА\ ось
Az г лежит в плоскости экватора и проходит через гринвичский
меридиан. Оси этой системы совпадают с осями абсолютной гео-
центрической системы в момент прохождения гринвичского ме-
ридиана через направление на точку весеннего равноденствия. Из
рис. 4.3 видно, что вращение Земли не приводит к изменению
широты точки S, т.е. (р = (ра-
Долгота 2 точки 5 будет отличаться от долготы 2а на не
вращающейся Земле на угол А 2, величина которого равна
звездному времени 5 гринвичского меридиана.
Пусть So - звездное время в гринвичскую полночь (берется из
Астрономического ежегодника); t so - московское время наступле-
ния этой полночи; t - текущее время полета (московское).
Тогда
S = So+£l3(t-tso),	(4.10)
где Q3 - угловая скорость вращения Земли.
Поэтому формула для определения геоцентрической долго-
ты будет иметь вид
2 = Aa-S0-Q3(t-tso).	(4.11)
Полученные в результате расчета для различных моментов
времени точки наносят на карту, соединяют их плавной линией,
которая и является трассой полета.
Если трасса задана для не вращающейся Земли, то нетрудно
построить ее и с учетом вращения. Для этого каждую точку трас-
------------------------------------------------------ 203

Глава 4
сы, соответствующую моменту /, необходимо сместить вдоль па-
раллели на запад на величину
АЛ =	(/ — t so ).
Из формулы (4.6) видно, что широта КА изменяется в преде-
лах -<рпр < ср < #>пр, где <рпр - предельное значение широты, до-
лг
стигаемой КА. При этом <рпр = z, если 0 < i <—, или <рпр = я - z, ес-
71
ли —<1<тг, т.е. максимальная широта трассы определяется
наклонением орбиты.
В качестве примера рассмотрим несколько трасс круговых
спутников, имеющих наклонение орбиты z = 65°. Для простоты
предположим, что Q = 0 и в момент tw прохождения входящего
угла оси Ахг и Ахга совпадают.
На рис. 4.4 изображены трассы КА на невращающейся Земле
для круговых орбит с различными периодами обращения. Вид
этих трасс не зависит от периода обращения и представлен одной
кривой. Учет вращения Земли приведет к тому, что все точки
трассы на невращающейся Земле сместятся к западу на величину
ДЛдг - £l3(t - tw), а точка N - на величину ДЯ^ = Q3T, где Т - пери-
од обращения JIA по орбите.
______________________Рисунок 4.4______________________
Трасса на невращающейся Земле
204 ----

Глава 4
Смещение за один виток обычно подсчитывают по формуле
А^=2^,	(4.12)
где Т3 - звездные сутки (23 ч 56 мин 04 с). Это смещение будет
тем больше, чем больше период обращения КА по орбите.
Для низколетящих КА с наклонением 0 <i < — трасса напо-
минает синусоиду, многократно опоясывающую поверхность
Земли (рис. 4.5).
Если периоды обращения Земли и КА не кратны, то трасса
представляет незамкнутую кривую, равномерно заполняющую
широтный пояс
-рпр <<р<(рпр.
В случае кратных периодов трасса через несколько витков за-
мкнется и будет совпадать с предыдущими витками (рис. 4.6 и 4.7).
На рис. 4.5 изображена трасса околоземной орбиты с перио-
дом обращения
Т« TZ(T~ 100 мин).
На рис. 4.6 представлена трасса КА с периодом обращения,
равным половине звездных суток. В этом случае за время одного
оборота Земли КА совершает два полных оборота. Смещение
точки N трассы АЯу = тс .
---- 205

Глава 4
Трасса полета низкоорбитального КА с кратным периодом
_________________________Рисунок 4.7________________________
Трасса полета геостационарного КА
На рис. 4.7 показана трасса КА с периодом обращения, рав-
ным звездным суткам. Такой КА называется суточным, радиус
его круговой орбиты равен 42 188 км. Для такого КА &AN = 2 л, а
трасса имеет вид восьмерки, захватывающей сравнительно малые
области земной поверхности. При уменьшении наклонения орби-
ты восьмерка начинает стягиваться к своему центру и при накло-
нении, равном нулю, обращается в точку, лежащую на экваторе.
Суточный КА с нулевым наклонением называют стацио-
нарным. Так как его угловая скорость движения совпадает с уг-
206 ----

Глава 4
ловой скоростью вращения Земли, а плоскость орбиты - с плос-
костью экватора, то он будет постоянно находиться над одной и
той же точкой экватора.
Для эллиптических орбит будет иметь место более разнооб-
разное семейство трасс: их северные и южные ветви уже не будут
симметричными.
4.4.	Определение зоны видимости
измерительного пункта
Измерение параметров движения КА с помощью радиотех-
нических измерительных средств возможно лишь при условии
прямой видимости его с наземного измерительного пункта, т.е. в
пределах зоны видимости.
Зона видимости - область пространства, в которой возмож-
но наблюдение за КА с данного измерительного пункта. Размеры
зоны видимости зависят от технических характеристик измери-
тельных средств, прежде всего, от максимальной дальности дей-
ствия £> Y и минимального угла места ут- , позволяющего
наблюдать за КА.
Если дальность действия не ограничена, то зоной видимости
является область, расположенная внутри конуса ВОС с углом по-
лураствора 90-/min (рис. 4.8). Угловой радиус зоны видимости
/? для измерительного пункта нетрудно определить, рассматри-
вая рис. 4.8. Здесь - минимальный угол места КА, при кото-
ром он виден с измерительного пункта О, S - положение КА на
границе зоны видимости.
На основании теоремы синусов можно записать
sin(ymin +90°) = sin**	(4 13)
г	R
Так как а = 90° - {/3 + ymin), то
cos(/? + /min) =^-cos/min
---- 207

Глава 4
или
_______________________Рисунок 4.8_______________________
Пояснения к понятию зона видимости
а (R )
0 = arccos -cos/min - /min .
(4.14)
Если минимальный угол места равен нулю, то
Р = arccos—.	(4.15)
г
Из полученных формул видно, что угловой радиус зоны ви-
димости зависит от радиуса г, определяющего положение КА в
момент его входа в зону видимости. Отсюда следует, что для эл-
липтических траекторий радиус зоны видимости меняется на
каждом витке.
При определении зон видимости, ограничимся лишь круговыми тра-
екториями, для которых угловой радиус зоны видимости остается по-
стоянной величиной в течение всего времени полета.
Если дальность действия Z>max измерительного пункта огра-
ничена, то его зоной видимости является область, ограниченная
208 ----

Глава 4
конусом ВОС и сферой радиусом D тах (рис. 4.9). Угловой радиус
зоны видимости кругового КА в этом случае определим из тре-
угольника О АС:
D2m&x = г2 + R2 - 2rR cos ft.
откуда
а	r2+R2-D2
В = arccos--------—
2rR
(4.16)
Последней формулой следует пользоваться при условии
у - /min ’ где угол Y может быть определен из рис. 4.9 по фор-
муле
. r2-J?2-Z>2
у = arcsm-----------
2ЛОтах
(4.17)
Если поверхность Земли представить в виде сферы радиусом Л, то пе-
ресечение ее с конусом ВАС дает окружность углового радиуса ft,
которую можно рассматривать как изображение границы зоны види-
мости на поверхности Земли. Для планирования работы измеритель-
ного пункта используют картографическое изображение границы зо-
ны видимости.
_______________________Рисунок 4.9_______________________
Пояснение к угловому радиусу зоны видимости
---- 209

Глава 4
Рассмотрим методику построения границы зоны видимости
заданного углового радиуса на топографической карте. Зададим-
ся географическими координатами <ро и Ло некоторого измери-
тельного пункта О, а также угловым радиусом зоны видимости
Р. Будем считать, что зона видимости лежит в северном полу-
шарии и не включает северный полюс (рис. 4.10).
На карте граница зоны видимости изображается кривой,
симметричной относительно осевого меридиана с долготой
причем положение точек Si и S3 характеризуется широтой
(ро~Р и ф0 + р соответственно (рис. 4.11).
_______________________u Рисунок 4.10__________
Пояснение к расчету зон видимости
с использованием сферических треугольников
_______________________ Рисунок 4.11______________________
Характеристика широт точек зоны видимости
210 ----

Глава 4
Для нанесения границы зоны видимости на карту следует
задать несколько промежуточных значений широт <ps , где
(р0 - /3 < cps < ф0 + Р 9 и рассчитать соответствующие значения	-
долготные отклонения граничных точек от осевого меридиана.
Для этого воспользуемся формулой
еп«л; _COS/?-sin^osin^
COS ZX/tj
cospocos^5
(4.18)
полученной применением теоремы косинусов к сферическому
треугольнику POS (см. рис. 4.10).
Точки 5г и представляют собой максимально удаленные
по долготе от измерительного пункта О точки границы зоны ви-
димости, т.е. их долгота оказывается равной 2О + ДА5 и Л0-ДЛ$
соответственно; широта этих точек совпадает и равна <рэкс. Для
определения ^экс достаточно из формулы (4.18) найти частную
производную 6 t±A,sl 8 A<ps и приравнять ее к нулю, откуда по-
лучаем формулу для расчета экстремальной широты:
sin<p0
SW3kc =----%,
cosp
(4.19)
которая справедлива при выполнении условия |sin 1 < |cos Д |.
Подставляя (4.19) в (4.18), получаем формулу для определения
АДэкс •
созДЛ,кс=2
cos2 р - sin2 <р0
sin 1(pN
(4.20)
На рис. 4.12 показано картографическое изображение зон
видимости с угловым радиусом Д = 10° при расположении изме-
рительных пунктов на широтах <р= 0, 30, 60, 80°.
Для планирования работы измерительных средств большое
значение имеет определение времени пребывания КА в зоне види-
мости. Наиболее просто эта задача решается для КА, движущегося
----211

Глава 4
_______________________ Рисунок 4.12______________________
Картографическое изображение зон видимости
по круговым траекториям. Рассмотрим случаи, когда трасса КА
проходит через точку стояния измерительного пункта. В этом
случае время видимости будет максимальным
^тах=7’-,	(4-21)
71
где р определяется по формуле (4.14) или (4.16).
Если высота траектории изменяется от 250 до 1000 км, то
при ymin = 0 время видимости изменяется от 7,8 до 17,8 мин. При
увеличении ymin, а также при удалении плоскости орбиты от из-
мерительного пункта время видимости уменьшается.
Определим время видимости для случая, когда плоскость
траектории не проходит через измерительный пункт (рис. 4.13).
Пусть удаление плоскости траектории от измерительного пункта
характеризуется геоцентрическим углом а. Тогда из прямо-
угольного сферического треугольника OO'S имеем
Л	(соъвЛ	,А
cos/) = cosa cosy/; у/ = arccos -— ,	(4.22)
<coscr J
где у/ - центральный угол SA О'.
212 ----

Глава 4
Л Рисунок 4.13
Пояснение к определению времени видимости в ЗРВ
Подставляя в формулу (4.21) вместо Р величину у/ из
(4.22), получаем формулу для определения времени пребывания
КА в зоне видимости:
2r3/2	(cos/?
4 = '----arccos I ——
V cos а
(4-23)
где 0 < а < Р.
4.5.	Определение расчетных значений
навигационных параметров.
Целеуказания
измерительным средствам
Для решения различных задач экспериментальной баллисти-
ки и определения требований к измерительным средствам, пред-
назначенным для слежения за движением КА, необходимо знать
расчетные значения измеряемых параметров.
Для обеспечения высокой точности расчетные значения из-
меряемых параметров определяются на основании численного
интегрирования системы уравнений, описывающих движение
центра масс КА. Для решения данной задачи должны быть из-
---- 213

Глава 4
вестны расчетные значения начальных условий, которые обычно
определяются по результатам прогнозирования движения КА.
В результате интегрирования уравнений движения получают
составляющие радиус-вектора г и вектора v центра масс КА в
некоторой опорной, чаще всего абсолютной геоцентрической си-
стеме координат. Затем эти параметры с помощью матриц
направляющих косинусов пересчитываются в измерительную си-
стему координат Охнунгн (рис. 4.14).
Начало данной системы (точка О) совмещается с точкой сто-
яния измерительного средства. Ось Ozh направлена по внешней
нормали к поверхности земного эллипсоида; оси Охн и ун распо-
ложены в плоскости, касательной к земному эллипсоиду в точке
О. Направление оси Оун в этой плоскости определяется азимутом
Ао (углом, отсчитываемым от направления на север до положи-
тельного направления оси Оун по ходу часовой стрелки).
Положение точки О определяется геодезической долготой Л,
геодезической широтой В и превышением Н над поверхностью
земного эллипсоида.
Для пересчета параметров движения из абсолютной геоцен-
трической в измерительную систему координат используют сле-
дующие формулы:
214 ----

Глава 4
хн Ун ZH _	= ан,га	ХГА УГА _ZTA _	—	1	1 tq 3 £ £ 1	1	5	(4-24)
х'н	-	Х'Гл	1	’ 0	-а,,]	хн ’
У'н	= АН,ГА	У'Гл	1 	- £2 ZH	0	Ун >
_2'н	-	_Z'ГА	1 _	-fl	Q	о L ун	*н	J		.ZH _
						(4.25)
где хГА, уГА, z ГА - проекции радиус-вектора г на оси абсолют-
ной геоцентрической системы координат; х'ГА, у'ГА, z'rA - про-
екции абсолютной скорости КА на оси абсолютной геоцентриче-
ской системы координат; хн, ун, zH - проекции вектора D на
оси измерительной системы координат; х'н, у'н, z'H - проек-
ции вектора скорости КА относительно вращающейся Земли
на оси измерительной системы координат; RxH, RyH, RzH -
проекции радиус-вектора R на оси измерительной системы ко-
ординат; £lXff, Qyff, Q.Z[f - проекции вектора угловой скорости
вращения Земли на оси измерительной системы координат;
Л И,ГА - матрица перехода от абсолютной геоцентрической к из-
мерительной системе координат.
Матрицу А Н,ГА можно определить следующим образом:
j н,га _ А н,гра ГР,ГА
(4.26)
Здесь матрица
агр,га =
cosAL
-sinAZ
О
sin АЛ
cosAZ
О
(4-27)
О
О
1
является матрицей перехода от абсолютной геоцентрической к
гринвичской системе координат, а матрица
---- 215

Глава 4
АИ’ГР =
sin A sin В cos L - cos A sin L	sin A sin В sin L + cos A cos L -smAcosB
-sin A sin В cos L-sin A sin L -sin Я sin В sin £ +sin AcosL cosAcosB
cos В cos L	sin В sin L	sin В
(4.28)
представляет собой матрицу перехода от гринвичской к измери-
тельной системе координат.
В выражении (4.27) А£ = S есть звездное время гринвичско-
го меридиана.
Получив параметры движения масс в измерительной системе
координат, легко найти измеряемые параметры. Пусть, например,
измеряются дальность D, угол места / , угол а = А- Ао, где А -
азимут КА, а также производные D', /, а' (рис. 4.15). Тогда
V2	?	2	•
х н+У h+z н’> У =arcsm-^-,
Ун	D
_ Dz'h~zhd'.	_ Унх'н~хнУ'н
/	_2	’ U ?	2
D cosy	х н +у н
(4.29)
_______________________ Рисунок 4.15_______________________
Геометрическое пояснение
к расчету измеряемого параметра
216 ----

Глава 4
Задача расчета целеуказаний измерительным средствам состоит в
определении наклонной дальности, азимута и угла места КА в момент
входа в зону видимости измерительного пункта, необходимых для за-
благовременного наведения осей чувствительности измерительных
средств в заданную точку пространства.
По сравнению с предыдущей данная задача выглядит не-
сколько проще. Для ее решения требуется определить лишь ко-
ординатные параметры КА.
Эти параметры находят только для одного момента времени -
момента входа ЛА в зону видимости. Следует еще добавить, что
требования к точности решения этой задачи ниже, чем в преды-
дущем случае.
Задача расчета целеуказаний может решаться двумя спосо-
бами:
1)	интегрирование дифференциальных уравнений движения КА;
2)	по конечным аналитическим формулам.
При использовании этих способов координатные параметры
КА определяются сначала в абсолютной геоцентрической систе-
ме координат, а затем с использованием формулы (4.24) пересчи-
тываются в измерительную систему координат.
Момент входа ЛА в зону видимости ZBX определяется из
условия
/(М = /min = /вх-	(4-30)
Затем для этого момента времени нужно найти азимут Лвх и
наклонную дальность DBK, отвечающие началу слежения.
Азимут Лвх, в сочетании с минимальным углом места
/min = /вх > может быть использован для наведения измерительно-
го средства в ту точку пространства, из которой начинается сле-
жение за КА.
Наклонная дальность Dm служит для проверки досягаемости измери-
тельного средства в момент начала слежения. Очевидно, что начало
слежения по дальности возможно, если дальность Dn меньше макси-
мальной дальности действия измерительного средства D или рав-
на ей.
---- 217

Глава 4
4.6.	Прогнозирование
параметров движения центра масс КА
для центров управления полетом
и бортовых систем
Прогнозирование движения КА служит неотъемлемой со-
ставной частью любых баллистико-навигационных расчетов как
на этапе проектно-баллистического обеспечения, так и при опе-
ративном управлении полетом. В результате прогнозирования
представляется возможным определить параметры траекторного
движения PH и/или орбитального движения КА, оценить конеч-
ный результат, успех или неуспех в части достижения конечной
цели полета, принять решение о необходимости выполнения ка-
ких-либо срочных действий (проведение незапланированного ма-
невра, например увеличение высоты монтажной орбиты, измене-
ние времени проведения коррекции, преждевременное прекраще-
ние полета и т.д.).
С определенной долей обоснованности можно считать, что прогнози-
рование движения КА является одним из основных звеньев всего бал-
листико-навигационного обеспечения управления полетом автомати-
ческих и пилотируемых КА.
Успешное решение практических задач космонавтики часто
зависит от правильности выбора, точности и строгости использу-
емых методов прогнозирования движения. Эффективность этих
методов наиболее наглядно отражается в процессе управления
функционирующими КА, когда на основе результатов прогнози-
рования движения обеспечивают:
1)	успешное выполнение программы полета (проведение
различных экспериментов, например связанных с наблюдением и
фотографированием определенных участков земной поверхности
в заранее назначенное время);
2)	координацию и планирование наземных служб обеспече-
ния полета (долгосрочное и текущее планирование суточной ра-
боты измерительных наземных средств);
218 --

Глава 4
3)	успешное достижение конечной цели полета КА (для пи-
лотируемых объектов - обеспечение множества условий для схо-
да с орбиты с целью посадки на заданной территории, определе-
ния района посадки и мест расположения средств поисково-
спасательной службы и т.д.).
Задача определения параметров движения КА по результатам измере-
ний, методы решения которой рассматривались ранее, существенным
образом влияет на итоговые результаты прогнозирования. На основе
проводимых измерений положения КА на орбите (в течение некото-
рого интервала наблюдения и последующего решения задачи обра-
ботки измерений) уточняют вектор фазового состояния КА и пара-
метры орбиты, которые затем используют для осуществления долго-
срочного и текущего прогноза.
Наглядным примером эффективности и значимости прогно-
зирования в процессе баллистико-навигационного обеспечения
полета КА является задача определения времени существования
ИСЗ на орбите. Большое прикладное значение имеет задача опе-
ративного определенная времени существования (за минималь-
ное время, прошедшее после старта, и на основе минимального
количества измерений наземными средствами).
Для целей точного прогноза используют численный способ и иссле-
дуют наиболее полную модель движения КА с учетом полного соста-
ва возмущающих факторов. Решение такой задачи в полной постанов-
ке аналитическим способом в настоящее время невозможно. Поэтому
полученные аналитические решения отвечают задачам движения КА в
неполной или упрощенной постановке и с учетом определенных до-
пущений о составе действующих возмущений.
Результаты приближенных решений широко применяют при
проведении различного рода оценочных и проверочных расчетов
в процессе баллистико-навигационного обеспечения полета КА, а
также используют в качестве экспресс-оценок для оперативного
анализа результатов самостоятельных инженерных исследований.
Для получения приближенных решений используют методы
приближенного интегрирования уравнений Лагранжа или стре-
---- 219

Глава 4
мятся найти такой вид потенциальной функции (потенциала тяго-
тения), аппроксимирующей гравитационное поле Земли, которая
допускала бы решение дифференциальных уравнений в квадра-
турах (через конечные аналитические зависимости). Получить
решение в квадратурах удалось пока только в некоторых частных
случаях - для потенциалов тяготения, довольно полно учитыва-
ющих полярное сжатие Земли и частично аномалии поля сил
притяжения.
При решении многих практических задач точность аналитических ме-
тодов, построенных с использованием потенциала, оказывается недо-
статочной. В таких случаях найденные решения можно рассматривать
как модели новых (некеплеровых) промежуточных орбит и на их ос-
нове отыскивать новые решения, которые учитывали бы высшие гар-
моники потенциала Земли и другие возмущающие силы - сопротив-
ление атмосферы, гравитационные влияния Луны, Солнца и др.
Наибольшее распространение при аналитическом расчете
орбит нашли методы, основанные на приближенном интегриро-
вании уравнений Лагранжа.
Известные способы решения
	Разложение решения в ряды по степеням приращений неза-
висимой переменной.
	Разложение решения в ряды по степеням малого параметра.
	Повитковое суммирование приращений элементов в узлах
орбиты.
	Решение уравнений возмущенного движения с использова-
нием метода усреднения.
Каждый способ имеет свою область применения, в которой
наилучшим образом решаются задачи определенного класса.
Аналитические выражения, полученные в результате разло-
жения решений по степеням независимой переменной, использу-
ют лишь для непродолжительных прогнозов, в частности, при
необходимости расчета на ограниченном участке орбиты в пре-
делах одного витка.
Эти выражения имеют вид
220 ----

Глава 4
Э(О) = Э0 + Э<'> (р - ц,) + Э<«	+... + Э«	,
(4-31)
где Э(и) - элемент орбиты; и - независимая переменная (время,
средняя аномалия и т.д.); Эо - начальное значение элемента Э для
начального значения ио; - производная и-го порядка от Э(ь>)
по переменной и в точке о = ио.
Выражения для производных (о) получают в результате
дифференцирования уравнения Лагранжа. Выбор степени п, т.е.
числа слагаемых в разложении (4.31), зависит от продолжитель-
ности и требуемой точности прогноза. Для этой же цели необхо-
димо провести сравнительный анализ расчетных данных (в соот-
ветствии с (4.31)) с результатами численного интегрирования
уравнений движения.
Для прогнозирования на более длительные интервалы ис-
пользуют приближенные решения уравнений Лагранжа, получа-
емые с помощью разложения в ряды по степеням малого пара-
метра'.
k	к k
э(у) = Эо +	(и) + 2^22 е,£у. (и) +...,	(4.32)
/=1	/=1 j=\
где Si - малый параметр, соответствующий некоторому возму-
щающему фактору; к - число учитываемых возмущающих фак-
торов;/(р) и - известные функции начальных элементов ор-
биты и независимой переменной и (в качестве которой часто ис-
пользуют аргумент широты и).
Величина $1)3(l>) = £///(l>) характеризует возмущение 1-го
порядка, 3(2)Э(ь>) =	- возмущения 2-го порядка и т.д., при-
чем каждое из этих возмущений включает в себя коротко-, дол-
гопериодическую и вековую составляющие.
Для каждой конкретной комбинации учитываемых при прогнозирова-
нии возмущающих факторов сохраняют члены одного порядка мало-
сти. Указанный способ решения нашел применение при прогнозиро-
вании движения ИСЗ на интервалы в несколько десятков витков.
-----221

Глава 4
Для прогнозирования на большие интервалы времени ис-
пользуют также метод повиткового суммирования возмущений.
Аналитические выражения для возмущений за виток <59(2 л)
представляют в виде разложения решения в ряды по степеням
малого параметра. Любой элемент орбиты в узле р-го витка запи-
сывают как
э, = эо+2(э7-э7„,),
j=*
(4.33)
где Э7 - значение элемента в узле j-го витка; (Э/ - Эу-i) - фактиче-
ское изменение элемента на (/-1)-м витке.
Для тех же целей применяют метод усредненных уравнений
движения, которые получают из уравнения Лагранжа с помощью
метода усреднения, причем правые части уравнений усредненной
системы выражают через возмущения оскулирующих элементов
за виток:
d3
---= Z>9i
dN 1

+О(е!),
(4.34)
где Э - вектор-столбец средних элементов (выбираемых таким
образом, чтобы в узлах орбиты они совпадали с оскулирующими
элементами); N - независимая переменная (число витков);
<591(2 я) и <5Э2(2я) - возмущения первого и второго порядка (за
виток).
Переход к оскулирующим элементам Э от средних элемен-
тов Э осуществляют с помощью соотношения
где независимая переменная и = 2 nN.
222 ----

Глава 4
Решение системы уравнений (4.34) в общем виде невозможно. Поэто-
му для определения аналитических зависимостей Э = Э(ЛГ) исполь-
зуют различные способы приближенного решения системы (4.34), в
частности, способы решения на ЭВМ с помощью методов численного
интегрирования.
Для прогнозирования траекторий движения межпланетных
КА используют оба типа методов (аналитические и численные).
С учетом специфики задач исследования межпланетных
участков полета КА разработаны и используются специализиро-
ванные методы решения'.
1)	численное интегрирование уравнений движения КА в
прямоугольной системе координат;
2)	численное интегрирование уравнений движения КА в
оскулирующих элементах;
3)	расчет параметров траектории методом малых вариаций
уравнений кеплерового движения.
Траекторию полета КА разбивают на ряд характерных
участков в соответствии с методикой сфер действия. Расчет про-
изводят последовательно для геоцентрического (в поле тяготения
Земли), гелиоцентрического (в центральном поле тяготения
Солнца) и планетоцентрического (в поле тяготения планеты)
участков движения КА. При этом на геоцентрическом участке
необходимо рассчитывать возмущающие ускорения как за счет
влияния Земли, так и за счет притяжения Луны, Солнца; на ге-
лиоцентрическом участке возмущающее ускорение нужно рас-
считывать от системы Земля - Луна и планета; на планетоцен-
трическом участке - за счет влияния Солнца и, собственно, пла-
неты назначения.
При использовании метода малых вариаций движение КА
на каждом перечисленном участке рассчитывают с помощью ли-
нейных поправок к элементам невозмущенного кеплерового дви-
жения. Вместе с тем, в силу существенной нелинейности попра-
вок в районах границ сфер действия Земли и планеты назначения,
расчет траекторий движения КА необходимо вести методом чис-
ленного интегрирования с использованием ЭВМ.
---- 223

Глава 4
Сравнение различных методов решения задачи прогнозирования
движения КА показывает, что метод численного интегрирования
уравнений движения в прямоугольных координатах является наибо-
лее простым.
Его недостаток связан с большими затратами машинного
времени по сравнению с двумя другими методами. Необходи-
мость использования численного интегрирования для расчета
траектории движения КА на переходных участках (на границах
сфер действия) является существенным недостатком метода ма-
лых вариаций уравнений кеплерового движения.
Таким образом, задача прогнозирования движения центра
масс КА предназначена для определения параметров орбиты КА
на заданном интервале времени полета, а также данных, характе-
ризующих положение траектории движения относительно вы-
бранного тела отсчета (для низко- и среднеорбитального движе-
ния - относительно Земли).
Центральным элементом задачи прогнозирования движения
является математическая модель движения (ММД) КА, выбира-
емая в виде, необходимом для эффективного решения целевой
задачи.
Исходными данными для решения задачи прогнозирования
движения центра масс КА, как правило, служат следующие вели-
чины.
Начальные условия движения (НУ)
Задаются оператором-специалистом, например ключевыми
параметрами для «чтения» из базы баллистических данных
(ББД) - номером КА (№а) и номером НУ (Ану) или традицион-
ным «набором» данных (заведением) на клавиатуре вычисли-
тельной машины.
Вспомогательные данные________________________________
-Номер витка начала прогнозирования (Авн), выдаваемого
на средства отображения.
-	Интервал прогнозирования (ААв), задаваемый оператором-
специалистом либо в витках, либо в сутках.
224 ---

Глава 4
-Номер системы координат выдачи результатов расчетов
(Уск).
-Номер логической шкалы сил (Mime), определяющий за-
данный набор учета возмущающих сил в ММД КА при прогнозе
движения. При этом если логическая шкала сил (ЛШС), использу-
емая при расчете параметров прогноза не совпадает с ЛШС ис-
ходных НУ, то предварительно необходимо предусмотреть опе-
рацию согласования (корректировки) исходных начальных усло-
вий движения в «формат» НУ с ЛШС прогноза движения КА.
-	Признак направления выдачи результатов прогноза (в па-
мять ЭВМ, на экран, в буфер линии связи и др.).
Как правило, разработчики программно-математического
обеспечения широко используют принцип задания параметров на
решение задачи «по умолчанию», позволяющий использовать
при задании исходных данных минимальное их количество. Так,
при отсутствии номера витка начала прогнозирования (Увн) в
процессе решения задачи прогноза автоматически будет исполь-
зован в качестве указанного параметра номер витка начальных
условий.
Интервал прогнозирования движения «по умолчанию» также
фиксирован и зависит от характеристик орбиты КА и его целево-
го использования.
В качестве логической шкалы сил и системы координат
(СК) выдачи результатов расчетов прогноза движения «по умол-
чанию» используется ЛШС и СК исходных начальных условий.
В результате решения задачи прогнозирования параметров
движения КА на средства отображения выводятся общие и до-
полнительные данные. Общие данные включают номер КА (Ука),
номер НУ (Уну), номер витка НУ (Увну), номер витка начала про-
гнозирования (Увн), номер системы координат выдачи результа-
тов расчетов (Уск), интервал прогнозирования (АУв), дата НУ
(£>ну), номер логической шкалы сил (Улшс) и другие данные, свя-
занные с вариантом учета возмущающих сил в ММД КА.
На каждом витке интервала прогнозирования дополнительно
выдаются номер витка, дата, время, координаты и скорость в со-
ответствующей системе координат, оскулирующие элементы ор-
-------------------------------------------------------- 225

Глава 4
биты (а, е, i, Q, со. и), драконический и оскулирующий периоды
обращения, а также параметры орбиты в ее характерных точках
(точки апогея, перигея, точки с минимальной и максимальной
высотой, точки прохождения плоскости экватора).
Типовой вариант исходных и выводных данных задачи про-
гнозирования движения КА с учебным номером 213 представлен
на рис. 4.16.
Как видно из рис. 4.16, в исходных данных задачи прогнози-
рования, кроме указанных в начале раздела параметров, обычно
для контроля расчетов приводятся и сами начальные условия
движения КА, «считанные» из ББД автоматизированного ком-
плекса программ НБО. В первом столбце шаблона таблицы
начальных условий, в зависимости от задания системы координат
НУ, могут быть приведены как координаты радиус-вектора и ко-
ординатные составляющие вектора скорости (в декартовых СК),
так и элементы в специальных системах координат (например,
неособенные переменные Xi или оскулирующие элементы).
В результатах расчетов, кроме общих данных на каждый
рассчитанный виток прогноза, приводятся массивы данных в ха-
рактерных точках орбиты. Как правило, это параметры времени,
модуля радиус-вектора, высоты, широты и долготы (/, R. Н. В. L)
этих «векторных» точек. К таким точкам обычно относят восхо-
дящий и нисходящий узлы, апогей и перигей, а также точки ор-
биты КА с минимальной и максимальной высотой полета.
Проводимые расчеты прогноза «опираются» на исходные
начальные условия, задаваемые, как правило, в восходящем узле
орбиты (при их произвольном задании осуществляются дополни-
тельные вычисления по «спуску назад - прогнозу вперед» до до-
стижения КА плоскости экватора). С моментом прохождения
космическим аппаратом восходящего узла орбиты связан также
расчет номеров витков полета КА.
Именно поэтому прогноз движения КА на один виток (как
это показано на рис. 4.16) фактически повторяет уже известные
данные - начальные условия движения КА, переведенные в зака-
занную оператором-специалистом систему координат (в нашем
случае - АСК), дополненные данными о параметрах «векторных
226 ---

Глава 4
Исходные данные задачи прогнозирования: Nka - 213, Nhv - 7 СК - О,
ЛШС - 20011000, Nbh - 68, ANB - 1
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ: Nka - 213, Nhv- 7, ВЦ-2, СК-1
В	68
д	13.08.2015
т	04.44.30.339
Vx/lo	-0.21070000
Vy/Jk	0.28617000
VzflU	7.09075000
XAe	6410.83122000
VA	4438.08810000
ZAe	0.00000000
Sb	0.69999999
ЛШС	20011000
Результаты прогнозирования: Nka =213, Nhv =7, Nbhy=68, Nbh =68,
ANb=1, СК=О, ЛШС = 20011000
68 13.08.2015 (Bocx. узел) 04.44.30.339 7797.139405878 1419.003405878 000.00.00,000 +034.41.38,644 Гдр = 01.54.10.107	(ACK) 0.299667404 -0.873901971 7.090750000 -7403.434796354 -2446.331157226 0.0000000000 0.6999999999	T0CK= 01.54.14,132 7798.7979580 0.001463204 082.34.37,965 198.17.06,733 081.43.32,756 278.16.27,243 (Кепл. элементы)	(Ни ex. узел) 05.41.29.084 7794.6140976 1416.4780976 +000.00.00,000 -159.36.54,257
05.35.57.582 7791.043015967 1414.795302013 +017.17.12,396 -160.33.13,745 (min h)	06.10.33.046 7804.417868619 1447.294482175 -082.25.12,643 -065.28.04,916 (max h)	05.14.21.530 7781.775505554 1424.548697306 +081.25.27,333 + 147.19.47,903 W	. 06.13.52.218 7804.519502621 1446.511247229 -075.58.09,422 -019.12.29,754 (а)
_______________________ Рисунок 4.16_______________________
Типовой вариант исходных и выводных данных
задачи прогнозирования движения КА с номером 213
на один виток прогноза
---- 227

Глава 4
точек» орбиты и информацией о драконическом и оскулирующем
периодах полета на витке НУ. При этом, безусловно, все числен-
ные расчеты прогнозирования на виток осуществляются и допол-
нительная информация предоставляется оператору.
Как уже отмечалось, основой для прогнозирования движе-
ния КА (как и для решения других задач вторичной баллистики)
служит математическая модель движения космического аппарата.
Результаты прогнозирования движения КА, которые будут
полезны для отладки программного комплекса ММД, приведены
в приложении 1.
Система дифференциальных уравнений (СДУ) движения КА
в гринвичской системе координат имеет следующий вид (см.
также приложение 3):
Vx =	- А)х - S6pWx + Za^Vy + Р* + Р* + Р* ;
Vy = (^2 - А)у - S6pWy - 2(^Vx + p°+pS+pL-
Vz = (2BC - A)z - S6pWz + PZG + Р/ + P%;	(4.36)
x = Fx; у = Vy\ z-Vz,
где:
x,y,z,Vx,Vy,Vz - компоненты радиус-вектора и вектора скоро-
сти изделия в гринвичской относительной системе координат (ГСК);
Fx = 7Kx2+P/+Fz2 ;
(йз - угловая скорость вращения Земли;
5б - баллистический коэффициент;
А, В,С — вспомогательные величины, рассчитываемые сле-
дующим образом:
А = 5[1 + С(£>-1)]; В-р3/г3',
С = 1,5С20(Рэ/г)2; Р = 5(22/г2);
- гравитационная постоянная Земли;
г = у/х2 + у2 +z2 ;
228 ---

Глава 4
R3 - экваториальный радиус Земли;
р - плотность атмосферы, рассчитываемая по формулам,
приведенным в §3.2;
Рх .Ру ,Pz ~ составляющие ускорений от аномалий ГПЗ на
оси ГСК;
Рх , Ру ,Р? ~ составляющие ускорения от притяжения Солн-
ца на оси ГСК;
Px.Py.Pz ~ составляющие ускорения от притяжения Луны
на оси ГСК.
Используемые константы'.
= 7,292115• 10"5, рад/с; //3 = 398 600,44, км3/с2;
R3 = 6378,136, км; С2 0 = -0,001082625740522787.
Расчет плотности атмосферы___________________________
При использовании статических моделей атмосферы (ГОСТ
4401-81, модель АН-62) плотность атмосферы зависит от высоты
полета и рассчитывается по формуле
Р - Aj CMp[kXj(H - й,)2 - k2J(Н-hJ}],
где:
Н - текущая высота изделия над поверхностью Земли:
Н = г - а(1 - az2 / г2)',
Aj9kij9k2j - коэффициенты, выбираемые в зависимости от
высоты полета, приведены ниже; a - большая полуось общезем-
ного эллипсоида (ОЗЭ); a - коэффициент сжатия ОЗЭ, причем
а = 6378,136 км; а= 1/298,257839303.
Расчет ускорения от аномалий ГПЗ
Проекции ускорения от аномалий гравитационного поля
Земли (ГПЗ) Рх , Ру ,Pz на оси гринвичской системы координат
рассчитываются по формулам:
7f=-Ag - + A^---Ag,A
’ F	F F	F
---- 229

Глава 4
Ру = -&gr -+kg? --+Дгл -;
z	г г т\ гх
pf=-bgr--bg^,
г г
где г = ^х2 + у2 +z2 ; т\ = ^х2 +у2 .
Составляющие ускорения от аномалий ГПЗ Agr,Ag^,Ag£
направлены следующим образом:
Agr - радиальная составляющая возмущающего ускорения,
направлена по радиусу к центру Земли;
Agp - меридиональная составляющая возмущающего уско-
рения, лежит в плоскости меридиана рассматриваемой точки
пространства и направлена перпендикулярно радиусу в сторону
северного полюса;
Ag^ - нормальная составляющая возмущающего ускорения,
направлена по нормали к плоскости меридиана на восток.
Перечисленные составляющие рассчитываются по форму-
лам, приведенным ниже. При программировании формул необхо-
димо учитывать, что влияние второй зональной гармоники (Сгд)
уже учтено в общей СДУ движения КА, описанной в системе
(4.36):
п-2	\ r J т=0
~ I S(c™cos(^) + ^^
г '	т=0
=-^—У f—1	У sin(w2) + cos(w2))wPnw(sin^),
где R3 - экваториальный радиус Земли; ср - геоцентрическая ши-
рота; sin ср = z/r\ cos ф = г{/г; ^g[-90°;+90°]; sign(^) = sign(z);
2 - геоцентрическая долгота;
230 --

---- Глава 4
smX = y/rx\ cosX = x/rx\ 2g[0;360°];
cos(#?2) = 2 cos 2 cos((w -1)2) - cos((w - 2)2); cos(O) = 1;
sin(w2) = 2 cos 2 sin((m -1)2) - sin((w - 2)2); sin(O) = 0;
cnm.dnm ~ постоянные коэффициенты, полный массив которых
приведен в приложении A; Pnw(sin^) - сферические функции
Лежандра степени п и порядка тп. рассчитываемые по рекуррент-
ным соотношениям, в которых аргумент sin#> для сокращения
формул опущен;
/оо=1; /[0=sin^; /^j=cos^>.
Если т = п, то Рпт = (2и - Dcos^.^.
Если т < и , то
Рпт = —Г(2« -1)Sin<РРп-1,т -(.П + т- 1)P„_2;W] ,
п-т^	-*
Рпт = —— [(« + "1)^-1,т - п Sin (рР ].
COS^?L	’ J
Расчет ускорения от притяжения Солнца
Расчет составляющих ускорения от притяжения Солнца на
оси ГСК Р* , Ру ,Р$ осуществляется по следующим формулам:
Рх ~ P'S ((^ — х) / Гу — xs / ) ,
Ру = PS ((yS - У) / rs,ka -yslr,)-,
Pz = PS «Zs ~ z) Z rlka ~zs/rb’
где jlls - гравитационная постоянная Солнца; xs,ys,zs - коорди-
наты Солнца в ГСК; rs = ^х^ + y2s +z^ - радиус-вектор Солнца;
rStka = \l(xs - х)2 + (ys - у)2 + (zs - z)2 - радиус-вектор «Солнце-
изделие».
---- 231

Глава 4
Используемая константа-.
Vs = 132 712 518 000 км3/с2.
Расчет ускорения от притяжения Луны
Расчет составляющих ускорения от притяжения Луны на оси
ГСК Р* , Ру , PZL осуществляется по следующим формулам:
рх '= Pl(<xl “х)zг1,ка -xl /гьУ>
Ру = Pl UJl ~ У}1 г1ка ~ yL I
pz = Pl ((zl ~z)/ rL,KA ~ zl 1 rl) ’
где nL - гравитационная постоянная Луны; xL,yL,zL - координа-
ты Луны в ГСК; rL =	+ yl+z^ - радиус-вектор Луны;
гцка = уКхс~ х)2 + От. - У)2 + (zl ~ z)2 ~ радиус-вектор «Луна-
изделие».
Используемая константа:
HL = 4902,6591 км3/с2.
Расчет юлианской даты по заданной календарной дате
Переход от календарной даты вида DDMMGGGG к юлиан-
ской дате JD (текущему юлианскому дню) осуществляется по
формуле
JD = 2 451 545 + 365 No +
^о1
4
+ d ± 0,5,
где DD - число; ММ - месяц; GGGG - год; No = GGGG - 2000;
d - число дней, прошедших с начала текущего года до заданной
- берётся целая часть числа.
*о
4
даты;
Вместо ± в формуле берётся
- - если дата до 2000 г.,
+ - если дата после 2000 г.
232 —

Глава 4
Ранее рассматривалась система дифференциальных уравне-
ний в гринвичской (декартовой) системе координат. Для ряда ор-
бит удобно использовать ММД в кеплеровых (оскулирующих)
элементах, позволяющих существенно увеличить величину шага
интегрирования.
Математическая модель движения КА
в неособенных переменных____________________________
Дифференциальные уравнения в кеплеровых параметрах ор-
биты можно преобразовать в дифференциальные уравнения для
других переменных, являющихся функциями от кеплеровых пара-
метров орбиты. В качестве таких переменных используют некото-
рые функции от кеплеровых параметров, которые изменяются в
случае круговых орбит «более плавно» и правые части диффе-
ренциальных уравнений не содержат величину эксцентриситета в
качестве делителя.
Примером таких функций являются неособенные переменные
(Я-переменные). Они выражаются через кеплеровые параметры по-
средством следующих формул:
Л> = а>	Al = e cos(Q + co),
Al =esin(Q + «?),	A$ =sin^-zsinQ,	(4.37)
Ал =sin—zcosQ, 2	A5 = i9 + co + О,
где a, е, i, Q, f со - традиционные параметры орбиты большая по-
луось орбиты, эксцентриситет, наклонение плоскости орбиты к
плоскости земного экватора, аргумент перигея, истинная аномалия
и долгота восхождения узла соответственно.
Обратное преобразование неособенных переменных в орби-
тальные параметры осуществляется по формулам:
(7 = Aq ,	в = А^ + Л2 j
i = 2arctg^/^32 + А%, Q = arctg—,	(4.38)
А
_ Ai cos Ac -И А^ cos Ac	A^ A? At Ал
f = arctg— --------—, co = arctg-^-^——-.
\ cos/Ц cosЛ1Л3+Л2Л4
---- 233

Глава 4
Для угловых переменных Q.,fa> при определении четверти
окружности, к которой они относятся, используют знак косинуса:
sign(cos /) = sign(^ cos sin ), sign(cos Q) = sign^,
sign(cosfi)) = sign^/lj + Я^Я4).
Наклонение плоскости орбиты i изменяется от 0 до 180°. По-
этому достаточно получить главное значение аргумента, которое
умножается на два.
Используют и другие функции для описания движения КА.
Например, в качестве используют аргумент широты или па-
раметр = М + Q + cd. Основная цель перехода к переменным,
отличным от кеплеровых параметров орбиты, состоит в том, что-
бы исключить неопределенности, связанные с вырождением по-
нятия аргумента перигея для круговых орбит и долготы восходя-
щего узла для экваториальных орбит.
Система дифференциальных уравнений в неособенных 2-пе-
ременных, полученная в результате преобразования дифференци-
альных уравнений в кеплеровых параметрах орбиты, записывает-
ся в следующем виде:
dA, 7рД Р5 J
S7sin25+7’(/l1+(2 + /?)cos25)P5-^
J/Ц Р6

^- = -1 577COs25+T(21+(2 + ^)sm^)P5+fF
А 2Р671-Лз2-242
=-----(Р> (sin/Ц -Р324Х,
— = 1 07
А 4Р5 р65/1-Лз2 -я42
234 ---
РМ
(439)

Глава 4
где
Р{ =>l1cos/?5	Р3 =ЯзСО8Я5 + 24sin>^,
Р2 = ^8^/5 -^COS^, Р4 =Яз8П1Л5 -A4COS^5,
(4.40)
S, Т, W- составляющие совокупности возмущающих ускорений в
проекциях на оси орбитальной системы координат.
При расчете возмущающих ускорений, отнесенных к орби-
тальной системе координат, используют преобразование системы
координат, отнесенной к среднему экватору, в систему коорди-
нат, отнесенную к истинному экватору.
Некоторые дополнительные параметры орбиты рассчитыва-
ются по следующим зависимостям:
^др — (эу + Gy-1 ’ Rj ~ 'ПjPs^j
Hj =	-A3(l-acos2y3),
где Тдр - драконический период обращения, который определяет-
ся как разность между временем прохождения ЛА начала после-
дующего и предыдущего витков; Нj и Rj - высота и радиус-
вектор на данном витке соответственно; а - полярное сжатие
общего земного эллипсоида; R3 - экваториальный радиус Земли;
cos/3 =2сР4.
Система дифференциальных уравнений в неособенных пе-
ременных может быть использована для расчета орбит с любыми
е < 1 и произвольными i. Проведенное преобразование к новой
независимой переменной эквивалентно влиянию регуляризи-
рующего преобразования dt = r~2dS . В силу этого система (4.39)
обладает всеми достоинствами систем, использующих регуляри-
зирующие и стабилизирующие преобразования. Другое важное
достоинство систем дифференциальных уравнений (4.39) состоит
в том, что в ее правые части входят ускорения, создаваемые толь-
ко возмущающими факторами, и отсутствуют ускорения, созда-
ваемые притяжением центрального тела. При этом правые части
------------------------------------------------------ 235

Глава 4
системы можно рассчитывать с меньшим числом значащих цифр,
чем правые части системы дифференциальных уравнений в гео-
центрической СК.
Система дифференциальных уравнений в неособенных переменных
является устойчивой, что позволяет проводить численное интегриро-
вание с большим шагом.
Важным достоинством системы дифференциальных урав-
нений в Я-переменных является слабая зависимость погрешно-
сти численного интегрирования от изменения шага численного
интегрирования, т.е. методическая погрешность численного ин-
тегрирования изменяется медленно с увеличением шага инте-
грирования.
Система дифференциальных уравнений в 2-переменных может быть
использована для высокоточного расчета движения ИСЗ на близких к
Земле орбитах, высоких эллиптических и геостационарных орбитах.
Состав учитываемых возмущающих факторов может изме-
няться в зависимости от решаемой целевой задачи и изученности
возмущающих факторов.
Выбор возмущающих факторов
Влияние различных возмущающих факторов на движение
далеко не одинаково. Наибольшее возмущение оказывает влия-
ние сжатия Земли (вторая зональная гармоника). Оно почти в
1000 раз больше, чем влияние других факторов. Поэтому есте-
ственно, что возмущающее ускорение от второй гармоники необ-
ходимо учитывать с наименьшей относительной погрешностью, в
то время, как влияние других возмущающих ускорений может
определяться с большей относительной погрешностью. При рас-
чете параметров К4 и К6 возмущающее ускорение можно рас-
считывать только от второй зональной гармоники, а значения
возмущающих ускорений от других факторов принимать равны-
ми значениям, полученным при счете параметра К2 и специаль-
но сохраненным в памяти.
236 ---

Глава 4
При счете параметра К5 возмущающее ускорение следует
принимать равным значению, полученному при расчете К3.
За счет такой операции можно на 30% сократить затраты машинного
времени, приходящегося на расчет возмущающих ускорений. Эту ме-
тодику целесообразно применять, когда учитывается большое количе-
ство малых возмущающих факторов.
В данной работе нет требований к получению наибольшей
точности вычислений, поэтому учитываются только возмущаю-
щие факторы от влияния сжатия Земли (вторая зональная гармо-
ника) и влияния атмосферы.
Расчет возмущающего ускорения, обусловленного влиянием
зональных гармоник геопотенциала
Возмущения, обусловленные влиянием зональных гармоник,
рассчитываются по следующим формулам:
5, = -Дгг,
Т] = &gm cos 8,	= Agm sin 8,
(4.41)
где
_ 2сР3 . _ 1-Лз2-242
cosd = г--== , Sind =------—
71-4^?

n+2
Cn0P„0(sin<p),
w=2 V ' 7
oo z D xn+2
Л^=4Е — I c"o
R2 r J cos^p
Poo (sin <p) = 1, P10 (sin <p) = 2P4c,
_ (2« + 1)2P4cP„ o (sin <p) - nPn_} 0 (sin <p)
^n+1 0 “
П [^„-io(sin<?’)-sin<i’p»o(sin«’)]>
(и + 1)!
cos <р - ф-ЛР^с2 , г - ат)Р5.
---- 237

Глава 4
Так как мы учитываем только влияние сжатия Земли, то ко-
нечные формулы для Ag,(2), Ag^2), Р2о имеют следующий вид:
Д^2) = 43 — <V2o(sin<P),	(4.42)
R; V г )
и (R У
Ag^2) =	С20 [^o(sin^) - sin^P20(sin<p)J,	(4.43)
(4.44)
C20 = -0,00108263479.	(4.45)
Расчет возмущающего ускорения,
обусловленного сопротивлением атмосферы
Возмущающее ускорение, обусловленное сопротивлением
атмосферы, рассчитывается по следующим зависимостям:
$2 ~ ~“^бР^отн^готн»
r2=-S6P«0TH,	(4.46)
^2 =~^бР^отн^отн-
Здесь
^огн =7-1^2’
VU огн = 7-1^б 0 + р2) -	cos г3,	(4.47)
^отн ~ 2®3Гс7з, ^отн — -^готн ^иотн ^отн >
р - плотность атмосферы, которая в случае статической
модели атмосферы определяется по формуле
р = 4 ехр{^2/(й - й,)2 - KXi{h - )},	(4.48)
где
h = г - Рэ(1 - a cos2 у3),
238 ---

Глава 4
а - полярное сжатие Земли, а = 0,003352813; Ai9KU9K2i,hi - ко-
эффициенты статической модели атмосферы приведены в табл. 4.3;
S6 - баллистический коэффициент КА.
______________________Таблица 4.3_____________________
Коэффициенты для расчета плотности атмосферы ГОСТ 4401-81
1	, km	Д , кГс2 км-4	Ку9 км4	K2i9 км 2
1	0<Л<20	0,125-Ю3	0,90764-Ю’1	-0,20452-10’2
2	20<й<60	9,091	0,16739	0,62669-Ю’3
3	60<Л<100	0,0263	0,12378	-0,86999 -Ю’3
4	100<й<150	0,4141 •Ю’4	0,17527	0,12870-Ю’2
5	150<й<300	0,21727 Ю-6	0,45825-10’1	0,10167-Ю’3
6	200<Л<600	0,48607-Ю’8 *	0,19895-Ю’1	0,97266-Ю’5
7	600 < h <900	0,8904- Ю'10	0,14474-Ю’1	0,15127-10^
8	900<Л<оо	0,6497-Ю’11	0,39247-Ю’2	0
В случае использования динамической модели атмосферы
(например, ГОСТ 25645.115-84) плотность атмосферы для высо-
ты h > 120 км вычисляют по формуле
р = р„К0КуК2К3К4,
где:
Рн = ао exP[«i - «г (h “ аз )1/2 ] >
(4.49)
(4.50)
а0 =9,80665 кг/м3,
к0=1+(А + i2h+/3й2)(^ - f0)kf ,
Ку = 1 + (q + c2h + c3h2 + c4h3) cos" <p/2,
K2 = 1 + (dy + d2h + d3h2 )A(D),
K3 =l + (by +b2h + b3h2)(F-F^)/F\T5,
---- 239

Глава 4
7 Ч	-- ------2
К4 = 1 +	4- ^2/2 + e3h + e4h ) I (е$ + е^Кр + е^Кр ),
cos#> = —(zsmJ@ + cosJe(xcos/? + ysin/?)),
г
P = a$-S* -co3(t-10800) + ^;
t - московское декретное время, с;
h - геометрическая высота над поверхностью общего земно-
го эллипсоида;
<5ф - склонение Солнца, рад;
со3 = 7,292115 • 10"5 рад/с - угловая скорость вращения
Земли;
х, у, z - гринвичские координаты точки пространства, км;
5* - звездное время в гринвичскую полночь, рад;
r-yjx2 + у2 +z2 - расстояние от центра Земли до точки
пространства с координатами х, у, z, км;
рн - плотность ночной атмосферы, кг /м3;
Fq - фиксированный уровень солнечной активности за рас-
сматриваемый период времени, 10"22 Вт/(м2 • Гц);
F135 - среднее значение F107 за 135 суток, предшествующих
моменту расчета, 10”22 Вт/(м2 • Гц);
F10 7 - индекс солнечной активности, равный плотности по-
тока радиоизлучения Солнца на длине волн 10,7 см (на частоте
2800 МГц), выраженный в солнечных единицах потока:
10~22 Вт/(м2 Гц);
Кр - квазилогарифмический планетарный среднесуточный
индекс геомагнитной активности;
KF = 1 • 10-22 (м2 • Гц)/Вт - нормирующий множитель;
Ко - множитель, характеризующий изменение плотности
атмосферы, связанное с отклонением F135 от Fo ;
Кх - множитель, учитывающий суточный эффект в распре-
делении плотности;
240 ---

Глава 4
К2 - множитель, учитывающий полугодовой эффект;
К3 - множитель, характеризующий изменение плотности
атмосферы, связанное с отклонением F от F135;
К4 - множитель, учитывающий зависимость между плотно-
стью атмосферы и геомагнитной активностью;
<р - центральный угол между точкой пространства, для ко-
торой рассчитывают плотность, и точкой пространства с макси-
мальным значением плотности в ее суточном распределении;
- коэффициент модели, равный углу запаздывания мак-
симума плотности относительно к максимуму освещенности,
рад;
A(D) - множитель, характеризующий влияние полугодового
эффекта на плотность атмосферы;
D - число суток, прошедших от начала года;
e7,w,^ - коэффициенты модели, используемые для расчета
плотности атмосферы при различных значениях Fo .
Значения коэффициентов для 120 км <h< 1500 км и значения
множителя А(Р) с шагом 10 сут. приведены в ГОСТ 25645.115-84.
Для высоты h < 120 км плотность р рассчитывается по
формуле
/, = Д.ехр{ад-й,)2	.
В программе реализован расчет возмущающих ускорений
при статической модели атмосферы. В процедуру вводятся мас-
сив переменных lambda, содержащий текущие значения неосо-
бенных переменных, и переменные S2, 72, И2, которым в резуль-
тате работы подпрограммы присваиваются рассчитанные значе-
ния возмущающих ускорений.
----- 241

Глава 4 -
4.7.	Влияние возмущающих факторов
на прогнозирование движения
центра масс КА
Основные характеристики прогноза движения
(как, впрочем, ряда других задач
навигационно-баллистического обеспечения)
	Точность прогнозирования движения центра масс КА.
	Оперативность расчетов.
Точность прогноза зависит от полноты и строгости учета
возмущающих факторов, действующих на КА в полете, и от ме-
тода моделирования движения центра масс КА, т.е. от метода
решения систем дифференцированных уравнений, описывающих
движения КА.
Вклад тех или иных возмущающих факторов на точность
прогноза движения зависит как от параметров орбиты КА (высо-
ты полета, эллиптичности траектории и других параметров), так и
от массо-габаритных и аэродинамических характеристик КА.
Модель гравитационного поля Земли
Благодаря непрерывному совершенствованию методов ис-
следования, использованию спутниковых данных и нарастающе-
му объему гравиметрических измерений, модель известна в
настоящее время с достаточно высокой точностью, что позволяет
принципиально достичь высокую точность учета гравитационных
возмущений при моделировании движения КА.
Возмущения от второй зональной гармоники в разложении
геопотенциала в ряд по сферическим функциям (вызванные
«сплюснутостью» с полюсов Земли) приблизительно в 1000 раз
больше возмущений, вызванных влиянием любых других гармо-
нических составляющих (табл. 4.4).
Принимая во внимание, что моделирование движения для большого
числа задач производится с использованием численного интегрирова-
ния уравнений, описывающих движение, использование высокоточ-
ных данных в модели гравитационного поля Земли (ГПЗ) требует
242 ---

Глава 4
очень большого объема вычислений и снижает, в конечном счете, не-
обходимую оперативность решения задач управления полетом.
_______________________ Таблица 4.4______________________
Характеристика относительного вклада различных возмущений
на движение КА
Я, км	&!g	gn/g	gcfg	gi/g	gaHOM / g
,2000		2,510-’	1,2-10-’	2,0-10-’	3,5-10-s
10ООО 7		2,0-Ю-6	9,0-10-’	5,0-10^	9,0-Ю-6
50 000 /		8,0-10~5	4,0-10"5	4,0-10-5	8,010-’
gn - возмущения, вносимые в ускорение движения КА за счет влияния Луны;
gc - возмущения, вносимые в ускорение движения КА за счет влияния
Солнца;
gi - возмущения, вносимые в ускорение движения КА от сжатия Земли;
gaHOM - возмущения, вносимые в ускорение движения КА за счет всех ано-
малий;
g - суммарное ускорение движения КА.
На рис. 4.17 приведена кривая роста затрат машинного вре-
мени при моделировании движения численным интегрированием
с использованием модели ГПЗ, описывающих реальное поле с
различной степенью приближения.
_______________________ Рисунок 4.17_______________________
Изменение затрат машинного времени
при использовании различных моделей поля Земли
---- 243

Глава 4
Как следует из рис. 4.17, учет при моделировании движения
гравитационного поля Земли, описываемого до 8-го порядка в
разложении ГПЗ в ряд по сферическим функциям, приводит к
удвоению объема вычислений по сравнению с использованием
нормального гравитационного поля, а при использовании разло-
жения гравитационного поля Земли до 16-го порядка включи-
тельно - повышает объем вычислений уже в 14-15 раз.
Несмотря на значительное влияние нецентральное™ грави-
тационного поля Земли, благодаря его достаточной изученности
трудности достижения высокой точности прогноза путем учета
гравитационных возмущений носят, в основном, технический ха-
рактер.
Повышение оперативности расчетов при моделировании движения
центров масс КА с достаточно строгим учетом аномалий гравитаци-
онного поля Земли преодолевается развитием и использованием ана-
литических и численно-аналитических моделей, а также поиском но-
вых форм представления гравитационного поля Земли (например, си-
стемой точечных масс и другими).
Сопротивление атмосферы_________________________________
Наибольшие трудности достижения высокой точности про-
гноза движения КА на орбитах с высотой менее 1000 км связаны
с учетом сопротивления атмосферы. Атмосфера Земли на высоте,
где происходит полет, является весьма нестабильной. Как выяв-
лено уже по результатам слежения за полетом первых КА, плот-
ность атмосферы подвержена значительным пространственно-
временным вариациям, связанным, в основном, с деятельностью
и поглощением атмосферой солнечного переменного коротко-
волнового (ультрафиолетового и рентгеновского) излучения. Ва-
риации плотности атмосферы, как следует из изменения тормо-
жения КА, могут достигать от суток к суткам величин, приведен-
ных для различной высоты на рис. 4.18.
Из рис. 4.18 видно, что на высоте полета КА около 600 км
вариации плотности атмосферы за сутки могут достигать от -50%
до +60%. Эти вариации, хотя и не являются самыми большими из
244 ---

Глава 4
% 1 сут.
^пред’ J
______________________Рисунок 4.18______________________
Предельные изменения плотности атмосферы за сутки
в функции высоты
известных, по своей амплитуде, в связи с трудностью их прогноза
и учета в нестационарных моделях плотности атмосферы, вызы-
вают основные погрешности прогнозирования движения центра
масс КА на низких орбитах.
В качестве примера в табл. 4.5 приведена погрешность про-
гноза движения КА с баллистическим коэффициентом 5б = 0,003
м3/(кг с2) (5б обычно принимает значения 0,001...0,06), вызванная
короткопериодическими вариациями плотности атмосферы.
________________________Таблица 4.5________________________
Влияние короткопериодических вариаций плотности атмосферы
на погрешность прогноза движения КА
Активность	CKO прогноза на суточном интервале времени начала витка, с			
	Л = 200 км	h = 300 км	h = 500 км	h = 800 км
Низкая солнечная (Fo = 75)	3,3	0,36	0,008	0,0003
Высокая солнечная (Fo = 150)	4,3	0,67	0,040	0,0025
---- 245

Глава 4
Погрешность в учете сопротивления атмосферы вносит так-
же и ошибки в расчете коэффициентов аэродинамического со-
противления. Точность их расчета зависит от многих факторов,
например от характера взаимодействия поверхности КА с набе-
гающим потоком разряженного многокомпонентного газа, тепло-
вой скорости молекул, характера отражения и прочего.
Для КА, не изменяющих свою конфигурацию в пространстве или
относительно набегающего потока, систематические ошибки в ко-
эффициенте аэродинамического сопротивления могут быть устра-
нены по данным о торможении КА путем соответствующей кор-
рекции
Если же КА периодически меняет свою конфигурацию (перекладка
солнечных батарей, выдвижение и развороты аппаратуры, приемо-
передающих антенн) или ориентацию, то уточнение и коррекция
по торможению 5б и устранение ошибок в расчете коэффициента
аэродинамического сопротивления становится трудноразрешимой
задачей и эти ошибки приведут к снижению точности прогноза
движения.
Считается, что в общем случае погрешность расчета коэф-
фициента аэродинамического сопротивления для КА сложных
геометрических форм не превышает 30%. Для КА, близких по
форме к сферическим, погрешность в определении Сх оценивает-
ся величиной, менее 7%. Также ошибки в коэффициенте аэроди-
намического сопротивления приводят к погрешности прогноза
движения КА, сравнимой с возмущениями, вызываемыми вариа-
циями плотности атмосферы.
Влияние гравитационного притяжения Луны и Солнца
на движение КА____________________________________________
Это влияние на движение КА, находящихся на орбитах с вы-
сотой до 1000 км, является пренебрежимо малым: максимальные
возмущения от гравитационного притяжения Луны на КА с высо-
той круговой орбиты около 2000 км составляет завиток 21 м
(вдоль орбиты) и 5 м (по радиус-вектору).
246 ----

Глава 4
Возмущения, обусловленные притяжением Солнца, пример-
но в 2,2 раза меньше. На круговой орбите с высотой около 900 км
возмущения в положении центра масс КА, вызываемые влиянием
гравитационного притяжения Луны и Солнца, не превышают на
недельном интервале величин соответственно 1,5 и 0,7 км.
Гравитационные возмущения, вызываемые Луной и Солн-
цем, нетрудно учесть при любом методе моделирования движе-
ния КА, так как масса Луны и Солнца, а также орбиты Луны и
Земли известны в настоящее время с высокой для решения этих
задач точностью. Объем вычислений при моделировании повы-
шается при этом незначительно (на 10... 15%).
Влияние рассмотренных возмущающих факторов на движение КА
может приводить к вековым (большим и малым) и периодическим
возмущениям (умеренным и малым). Причем различные возмущения
оказывают различное влияние на различные кеплеровские элементы
орбиты (табл. 4.6).
_______________________Таблица 4.6	_________________
Характеристика качественного влияния
возмущающих факторов на движение КА
Возмущающие факторы	Вековые возмущения		Периодические возмущения	
	большие	малые	умеренные	малые
Аномалии поля Земли	Q, со	-	е	/, Q, со
Атмосфера	а, е	/	-	О, со
Влияние Луны и Солнца	-	-	-	а, е, /, Q, со
Влияние гравитационного притяжения планет
на движение КА на околоземных орбитах
Этим влиянием можно пренебречь, так как его вклад в сум-
марную ошибку прогноза крайне мал. Действительно, гравитаци-
онные возмущения планет приводят к ошибкам в координатах
КА на недельном интервале прогноза, не превышающем 10... 15%
для орбит с высотой около 1000 м.
---- 247

Глава 4
Возмущения, вызываемые световым давлением
В среднем эти возмущения в несколько раз меньше возму-
щений, вызываемых гравитационным притяжением Солнца. По-
этому этот фактор возмущений учитывают для высокочастотных
систем (например, навигационных космических систем 2-го по-
коления).
Для околокруговых орбит влияние светового давления и ат-
мосферы соизмеримо на высоте 800... 1000км. На высоте ниже
800 км преобладает влияние атмосферы, а на высоте более 1000 км -
световое давление (табл. 4.7).
_______________________Таблица 4.7_______________________
Характеристика относительного влияния возмущений
от светового давления и атмосферы на движение КА
Н, км	200	300	500	800
£св.д / £атм	2-Ю"4	ЗЮ-3	810-2	2
Немоделируемые возмущения______________________________
Гораздо большие ошибки в прогнозе вызывают немоделиру-
емые возмущения, к которым, прежде всего, следует отнести ра-
боту двигателей для сохранения заданной ориентации или обес-
печения разворотов КА.
Как правило, эти операции связаны с выполнением КА своих целевых
задач, а действующие при этом силы и моменты могут быть уточнены
лишь апостериорно.
Влияние возникающих при этом возмущений может привести к зна-
чительным ошибкам прогноза движения.
Так, по апостериорным оценкам серия разворотов космиче-
ской станции «Мир» была эквивалентна импульсу скорости по-
рядка 0,2...0,4 м/с, что на полусуточном интервале прогноза при-
водит к ошибке 27.. .28 км (вдоль орбиты).
Численное моделирование и детальный анализ показывают,
что для КА, движущихся по околокруговым траекториям на вы-
248 ---

Глава 4
соте 1000 и 20000 км справедливы величины относительных (к
ускорению от центрального поля Земли) возмущающих ускоре-
ний, приведенных в табл. 4.8.
________________________Таблица 4.8_________________________
Отношение возмущающих ускорений
к ускорению от центрального ГПЗ
н, тыс. км	Возмущающие факторы								
	Сжа- тие С20	Ано- малии ГПЗ (без С20)	Атмо- сфера	Притяжение		При- ливные эффек- ты	Свето- вое давле- ние	Пре- цессия и ну- тация	Дру- гие
				Луны	Солнца				
1	1,2-103	1,810*	3-1О-10	1.7-10-7	7«210-*	1,3-10*	6,ЗЮ*	7,7-10-9	10-'°
20	9-10"5	1,4-10~7	<1О-10	7,9-10*	3,610*	1-109	8Д-10-8	5,2-10-8	1О-10
Главной особенностью современных КА является высокая степень
«интеллектуальности» объектов, обусловленная наличием в их составе
развитого БКУ, оснащенного высокопроизводительными бортовыми
цифровыми вычислительными машинами (БЦВМ) или сетью таких ма-
шин - бортовыми вычислительными системами (БВС). Это позволяет
проводить сложную логическую обработку данных непосредственно на
борту КА.
Стало возможным часть задач, решаемых первоначально на НКУ,
перенести на БКУ. Это относится к задачам навигации, частично к за-
даче контроля за состоянием бортовой аппаратуры и работой систем
КА, диагностики отказов аппаратуры, переключения в случае отказов
БА на резервные контуры и аппаратуру.
Рассмотрена обобщенная информация о влиянии задач НБО на эле-
менты обобщённой конструкции КА. В настоящее время в связи с ярко
выраженной тенденцией миниатюризации в производстве КА возника-
ют новые объекты обеспечения НБО. В частности, создаются рои или
кластеры малоразмерных КА (МКА), для которых появляются новые за-
дачи НБО, например прогнозирование баллистического существования
кластера, расчет и прогнозирование движения центра масс каждого
---- 249

Глава 4
МКА, расчет и поддержание баз между МКА в установленных пределах,
определение взаимной ориентации МКА между собой.
Изучаются традиционные задачи баллистического обеспечения из-
мерений: определение трассы полета КА; определение зоны видимости
измерительного пункта; расчет целеуказаний измерительным сред-
ствам.
Подробно изложены вопросы прогнозирования движения КА, явля-
ющиеся неотъемлемой составной частью любых баллистико-навига-
ционных расчетов как на этапе проектно-баллистического обеспече-
ния, так и при оперативном управлении полетом.
Приведен типовой вариант исходных и выходных данных задачи
прогнозирования движения типового КА дистанционного зондирования
Земли на один виток прогноза (см. прил. 1).
Показано, что в процессе анализа результатов баллистических рас-
четов оператору важно ориентироваться в качественном анализе влия-
ния возмущающих факторов на прогнозирование движения центра
масс КА.
Литература
1.	Бажинов И.К., Ястребов В.Д. Навигация в совместном полете кос-
мических кораблей «Союз» и «Аполлон». М.: Наука. 1978.
2.	Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических
аппаратов. М.: Дрофа. 2004.
3.	Лысенко Л.Н., Бетанов В.В., Звягин Ф.В. Теоретические основы
баллистико-навигационного обеспечения космических полетов.
Монография. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2014.
4.	Байрамов К.Р., Бетанов В.В., Ступак Г.Г., Урличич Ю.М. Управ-
ление космическими объектами. Методы, модели и алгоритмы ре-
шения некорректных задач навигационно-баллистического обеспе-
чения. Монография. М.: Радиотехника. 2012.
5.	Тюлин А.Е., Бетанов В.В. Летные испытания космических объек-
тов. Определение и анализ движения по экспериментальным дан-
ным / Под ред. А.Е. Тюлина. М.: Радиотехника. 2016.
6.	ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / Под ред.
А.И. Перова, В.Н. Харисова. М.: Радиотехника. 2012.
7.	Бетанов В.В., Янчик А.Г. Навигационно-баллистическое обеспече-
ние испытаний и применения космических аппаратов. Учеб, посо-
бие / Под ред. Б.И. Глазова. М.: РВСН. 1993.
8.	Бетанов В.В., Кудряшов М.И. Практические подходы к решению
некорректных задач с приложениями к навигационно-баллистиче-
250 ----

Глава 4
скому обеспечению управления космическими аппаратами. Науч-
но-метод. материалы. М.: РВСН. 1997.
9.	Основы испытаний летательных аппаратов / Под ред. Е.Г. Кринец-
кого. М.: Машиностроение. 1989.
10.	Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений.
М.: Наука. 1976.
11.	Ломако Г.И. Экспериментальная баллистика космических аппара-
тов. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1997.
12.	Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная
баллистика космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1984.
13.	Бетанов В.В. Введение в теорию решения обобщенных некор-
ректных задач навигационно-баллистического обеспечения
управления космическими аппаратами. Монография. М.: РВСН.
1997.
14.	Разоренов Г.Н. Введение в теорию оценивания состояния динами-
ческих систем по результатам измерений. М.: МО. 1981.
15.	Степанов М.Г. Введение в теорию смещенного оценивания пара-
метров движения космических аппаратов по ограниченным дан-
ным. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1993.
16.	Баллистическое обеспечение космических полетов. Практикум по
дисциплине. СПб.: ВИККА им. А.Ф. Можайского. 1995.
17.	Худяков С.Т., Жданюк Б.Ф., Брандин В.Н. Летные испытания ракет
и космических средств. Учебник. М.: ВА им. Ф.Э. Дзержинского.
1968.
18.	Бетанов В.В., Лысенко И.В. Решение задач экспериментальной
баллистики в ходе летных испытаний образцов ракетно-космиче-
ской техники. М.: РВСН. 1999.
19.	Куприянов А.И., Дун Ге. Радиоэлектронные системы космических
комплексов. Учеб, пособие. М.: МАИ. 2015.
20.	Вейцелъ В.А., Поваляев А.А., Жодзишский А.И. и др. Радиосистемы
управления. Учебник для вузов. М.: Вузовская книга. 2014.
21.	Березин Л.В., Вейцелъ В.А. Теория и проектирование радиосистем.
М.: Сов. радио. 1977.
22.	Бетанов В.В., Кутин Д.Б., Ступак Г.Г. Определение и прогнозиро-
вание параметров движения разгонных блоков по ретрансляцион-
ным измерениям. М.: РВСН. 1998.
23.	Экспериментальная баллистика ракетно-космических средств.
Учебник / Под ред. Л.Н. Лысенко, В.В. Бетанова, И.В. Лысенко.
М.: РАРАН. 2000.
24.	Горшунов В.Т., Жданюк Б.Ф., Куницкий А.А. и др. Баллистическое
обеспечение и анализ функционирования радиотехнических и вы-
числительных систем. Учеб, пособие. М.: МО. 1978.
----- 251

Глава 4
25.	Карпушкин Н.А., Куницкий А.А. Основы баллистического обеспе-
чения измерений. Учеб, пособие. М.: МО. 1983.
26.	Макаренко Д.М., Потюпкин А.Ю. Системный анализ космических
аппаратов. Учеб, пособие. М.: МО РФ. 2007.
27.	Чечкин А.В. Математическая информатика. М.: Наука. 1991.
252 ----

ГЛАВА 5
Универсальный
численно-аналитический метод
прогнозирования движения
космических объектов
5.1.	Элементы теории универсального численно-аналитического метода
5.2.	Оценка влияния точности модели движения КА на точность опреде-
ления и прогнозирования орбитальных параметров спутников
5.3.	Оценка методических ошибок универсального численно-аналити-
ческого метода

Глава 5
5.1.	Элементы теории универсального
численно-аналитического метода
Основными критериями эффективности методов прогнози-
рования движения космических объектов были и остаются быст-
родействие и точность. С этой точки зрения наиболее распро-
страненные численные методы характеризуются высокой точно-
стью и низким быстродействием. Аналитические методы имеют
большое быстродействие и относительно низкую точность. Про-
межуточную нишу между численными и аналитическими мето-
дами занимают численно-аналитические или полуаналитические
методы. Пионерами разработки и внедрения численно-аналитиче-
ских методов в нашей стране являются А.И. Назаренко [36, 37],
М.Л. Лидов и его ученики [38, 39]. Кроме них существенный вклад
в развитие численно-аналитических методов внесли Г.М. Соловьев
[40, 41], ученики З.Н. Хуторовского [14], В.В. Чазов [42]. Среди
зарубежных наиболее известной и полной численно-аналити-
ческой теорией является Draper Semianalytical Satellite Theory
(DSST), разработанная Паулем Цефолой и его коллегами из
Charles Stark Draper Laboratory [43].
Рассматриваемый универсальный численно-аналитический
метод был разработан и реализован программно более 30 лет
назад на больших ЭВМ [11-13]. Первоначально он использовался
в основном для испытаний специализированных алгоритмов и
программ обработки информации, базирующихся на прогнозиро-
вании движения космических объектов. В 1998 г. была создана
программная версия универсального численно-аналитического
метода для ПЭВМ, что позволило вдохнуть ей новую жизнь с
точки зрения практического применения. Эта версия была внед-
рена для обработки измерений по геостационарным космическим
объектам, для оценки вариаций плотности атмосферы по тормо-
жению спутников в атмосфере, а также использована для сопро-
вождения ряда важных низкоорбитальных космических объектов
[44-65]. Некоторыми примерами использования универсального
численно-аналитического метода являются работы по определе-
254 --

Глава 5
нию времени прекращения существования орбитального ком-
плекса «Салют-7» - «Космос-1686», космических аппаратов
«Космос-398» и FSW-1-5. Ниже приводится описание основных
принципов и особенностей построения универсального численно-
аналитического метода.
Универсальность метода понимается здесь как пригодность
его для высокоточного прогнозирования орбит космических объ-
ектов с различными высотами, эксцентриситетами и наклонения-
ми. Она достигается за счет выбора неособенных элементов ор-
бит и учета в обобщенном виде возмущений, обусловленных не-
центральностью гравитационного поля Земли, сопротивлением
атмосферы, световым давлением и притяжением Луны и Солнца.
Варьирование числа и вида учитываемых в модели гармоник гра-
витационного поля Земли и числа параллактических членов в
разложении внешних притягивающих тел осуществляется путем
задания значений управляющих констант в программе в процессе
ее трансляции и/или счета.
Основная идея численно-аналитических методов заключает-
ся в разделении медленных и быстрых переменных в уравнениях
движения космических объектов (КО). Медленные переменные
определяют форму и ориентацию орбиты КО в пространстве.
Быстрые переменные характеризуют движение космических объ-
ектов вдоль орбиты и относительно Земли.
С помощью замены переменных из правых частей уравнений
исключаются только самые «быстрые» угловые переменные. Это
угловая переменная, связанная с орбитальным движением спут-
ника, и угловая переменная, связанная с вращением Земли. Угло-
вые переменные, определяющие положение возмущающих тел,
не исключаются и остаются в усредненных уравнениях, интегри-
руемых численно. В число медленных переменных включаются
также резонансные комбинации быстрых переменных. Для разде-
ления быстрых и медленных переменных в уравнениях движения
можно применять ряд методов [1-8]. В данном случае был ис-
пользован обобщенный метод усреднения [2, 5-7].
|Как известно, в теории возмущений сложность алгоритма связана с I
порядком теории. Повышение порядка теории на одну единицу обыч- |
--- 255

Глава 5
но переводит ее в другой класс сложности с точки зрения объема вы-
числений. При этом теряется основное преимущество численно-
аналитических методов перед численными методами - быстродей-
ствие. Представленный универсальный численно-аналитический ме-
тод базируется на теории первого порядка по всем возмущающим си-
лам, за исключением второй зональной гармоники, основные возму-
щения от которой учитываются во втором порядке.
На первый взгляд может показаться, что разработка численно-
аналитического метода расчета движения спутника достаточна
проста. Однако в случае универсальных методов приходится иметь
дело с орбитами с большими и малыми эксцентриситетами и
наклонениями, сложным нецентральным полем основного тела,
около которого обращается спутник, влиянием светового давле-
ния, сопротивления атмосферы, явлением резонанса и рядом дру-
гих факторов. Поэтому простые по идее численно-аналитические
методы оказываются достаточно сложными и трудоемкими при
необходимости их реализации в виде программы вычислений на
ЭВМ. В связи с этим при разработке данного универсального чис-.
ленно-аналитического метода большое внимание было уделено со-
зданию эффективных вычислительных схем расчета возмущений.
5.1.1.	Методическая основа
Метод усреднения__________________________________________
Обобщенный метод усреднения [2, 5-7] применяется для
решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
которые характеризуются наличием медленно и быстро меняю-
щихся переменных и периодичностью правых частей уравнений
по отношению к быстрым переменным. Так, система уравнений
движения спутника в оскулирующих элементах в общем случае
может быть представлена в следующем виде:
—	= £Х} (х, М, 0,гк (/)) + £ 2Х2 (х, А/, 0,гк (/)) +...,
dt	(5.1)
—	= и(х) + £% (x,M,0,rk(t)) + £2Y2(x,M,0,rk (0) +...,
dt
256 ---

Глава 5
где х - вектор медленноменяющихся элементов орбиты КО
размерности 5, который описывает ориентацию плоскости орби-
ты КО в пространстве, а также форму и положение эллипса ор-
биты в этой плоскости; М - быстрая переменная, описывает
движение спутника вдоль орбиты; в - угол, характеризующий
ориентацию Земли в пространстве (например, гринвичское
звездное время), также относящийся к быстрой переменной; е -
безразмерный малый параметр, в качестве которого обычно рас-
сматривается коэффициент при второй зональной гармонике
разложения гравитационного поля Земли; Х1,Х2,... - 2апе-
риодичные относительно Ми в вектор-функции размерности 5;
У1?У2,... - 2^-периодичные относительно Ми в функции; 7k(t) -
вектор-функции координат внешних возмущающих тел (Луны и
Солнца).
В уравнениях (5.1) п (х) зависит только от медленной пере-
менной и
где бУе - угловая скорость вращения Земли.
Согласно [7], уравнения (5.1) и (5.2) классифицируются как
многочастотные автономные вращающиеся системы.
В обобщенном методе усреднения [5-7] используется
асимптотически малое преобразование
х = х + бгЦ(х,М90,rk(t)) 4- £2U2(х,М,+...,
_ __ __ <5-3)
М = М + £ V} (х, М,	+ £2v2 (х, М, 0,rk(t)) +....
Функции Uj,Vj в этом преобразовании выбираются таким
образом, чтобы правые части преобразованных уравнений в
средних элементах х, М с точностью до заданной степени £ не
содержали быстрых переменных, за исключением, быть может,
их медленноменяющихся комбинаций ср{М9в):
---- 257

Глава 5
— = s\ (х,ф{М,6),гк) + £2А2(х,ф(М,0),гк) +
dt_	(5.4)
— = п(х) + £Вх{х,ф(М,д),гк) + £ 2В2(х,ф(М,0),гк) +...
dt
В нерезонансном случае функции Aj,BjJJj,Vj определяют-
ся посредством следующей последовательности:
2яг
^=—\xxdM,
О
Ц = 1 [ (Хх - 4 )dM + Ц° (х),
п J
2л	—
2я I	дх
о
= f « +	- Вх )dM + V?(x),
п< дх
.	1 Ч ,v дХх	дих . дХх„ dVx
in J	дх	дх дМ	дМ
о
1 fz	дХу	dUx	дХх	j тт^д~\
и2-- (Х2 + —=Ч71 —7=^4 + ТТ7^ -	-А2^М + и2 (х),
nJ	дх	дх	дМ	дМ
s2=±2f(y2+^_314+^_
In J Зх дх дМ
О
D	ТТ Г7 дпт, хл,
+^u2)dM.
дXI 1 . । £—1 дXj дХк	дх
(5-5)
Здесь (7у (х),	(х) - произвольные функции от медленных
переменных. Эти функции на практике определяют, исходя из
условия равенства нулю средних значений короткопериодиче-
ских возмущений. Это условие оказывается эквивалентным тож-
дественности нулю произвольных функций Uj (х) s 0, Vj (х) = 0.
258 ---

Глава 5
Можно показать, что в этом случае метод усреднения дает реше-
ние, совпадающее с решением, полученным с помощью класси-
ческого метода Цейпеля [1].
Для вычисления функций ApBjJU^Vj в резонансном случае
вместо усреднения по угловой переменной применяется усред-
нение по времени, либо схема усреднения многочастотных си-
стем [5-7]. Оценки показывают, что если £к является порядком
слагаемых, удерживаемых в правых частях усредненной системы
уравнений (5.4), то асимптотическое решение (5.3), (5.4) при из-
ложенном алгоритме построения функций (5.5) имеет погреш-
ность порядка О(£к) по медленным переменным и О(£к~х) по
1
быстрой переменной на интервале времени t —.
£
Короткопериодические возмущения £JUj, £JVj (см. (5.3)) в
численно-аналитическом методе рассчитываются, как правило,
аналитически, а усредненные уравнения (5.4) интегрируются
численно. Причем усредненные уравнения движения (5.4) могут
быть проинтегрированы численно с использованием гораздо
большего шага, чем первоначальные уравнения движения для
оскулирующих элементов (5.1).
Так, в численно-аналитическом методе шаг интегрирования может
быть выбран порядка одних суток, в то время как численный метод
требует интегрирования с шагом в несколько десятков секунд. Благо-
даря этим обстоятельствам, численно-аналитические методы обеспе-
чивают большее быстродействие при проведении расчетов, чем чис-
ленные методы. По отношению к аналитическим методам они имеют
лучшую точность, поскольку позволяют более строго учесть при ин-
тегрировании изменчивость возмущений.
В общем случае задача прогнозирования движения спутни-
ков представляет собой задачу Коши для системы дифференци-
альных уравнений движения спутника (5.1). Начальными услови-
ями в этой задаче являются значения оскулирующих элементов
орбит на начальный момент времени to:
---- 259

Глава 5
*('о) = *о> Л/Оо) = ЛГо.
Конечной целью является нахождение частного решения
x(tk), M(tk) на момент tk, удовлетворяющего приведенным вы-
ше начальным условиям. Решение данной задачи Коши числен-
но-аналитическим методом выполняется в три этапа.
Этап 1. Преобразование оскулирующих элементов в сред-
ние. Для преобразования оскулирующих элементов в средние
решается система уравнений (5.3). Конечным результатом дан-
ного этапа является определение значений средних элементов
на начальный момент времени x(t0), соответствующих
начальным значениям оскулирующих элементов x(tQ),
При этом выполняется исключение короткопериодических воз-
мущений.
Этап 2. Интегрирование усредненных уравнений. На этом
этапе осуществляется интегрирование усредненных уравнений
(5.4) на интервале [/0,^] с начальными условиями х(/0), Л/(Г0).
Для интегрирования уравнений (5.4) могут быть использованы
одношаговые или многошаговые методы невысоких порядков.
Конечным результатом данного этапа является определение зна-
чений средних элементов в конечный момент времени
x(tk\ На этом осуществляется учет вековых, долгоперио-
дических и резонансных возмущений.
Этап 3. Преобразование средних элементов в оскулирую-
щие. Для данных преобразований снова используются формулы
(5.3). При расчете короткопериодических возмущений в качестве
аргументов функций U^Vj используются значения средних эле-
ментов x(tk), соответствующих конечному моменту вре-
мени tk. Конечным результатом данного этапа является опреде-
ление значений оскулирующих элементов на конечный момент
времени x(tk),M(tk) путем учета короткопериодических возму-
щений.
При решении ряда задач, например при определении орбит
космических объектов, первый этап вычислений исключается,
260 ---

Глава 5
если в качестве оцениваемых элементов орбит принимаются
средние элементы вместо оскулирующих.
За счет этого при использовании численно-аналитических методов
обеспечивается значительная экономия в вычислениях. Если интерес
представляет только долгосрочная эволюция элементов орбит КО,
например в процессе баллистического проектирования, то целесооб-
разным является исключение и третьего этапа расчетов, что приведет
к дополнительному сокращению времени расчетов по сравнению с
численными методами в десятки раз.
Неособенные элементы орбит_____________________________
В качестве зависимых переменных в уравнениях движения
КО в предлагаемом методе используется equinoctial, равноден-
ственный, вектор неособенных элементов орбит
(а,£,7,ЛС,2),
где а - большая полуось;
£ = ecos;r, 77 = esin;r,
i	i
P= sin-j cosQ, 2=sin~2 sin Q,	(5.6)
2 = 71 + M.
Здесь e - эксцентриситет; i - наклонение; тс = + Q; co - аргу-
мент перигея; Q - долгота восходящего узла; М - средняя ано-
малия.
В отличие от кеплеровых элементов орбиты равноденствен-
ные элементы не имеют особенностей при малых эксцентрисите-
тах и наклонениях. В качестве независимой переменной исполь-
зуется время t.
Известно, что возмущающие функции могут быть выражены
непосредственно через неособенные орбитальные элементы (5.6).
Однако в таком случае возникают существенные проблемы в по-
лучении эффективных вычислительных алгоритмов. Поэтому для
вывода соотношений и реализации программы было решено ис-
пользовать классические кеплеровы элементы орбиты.
Пусть:
----- 261

Глава 5
. da Ai =—, 1 dt д	dn	.de	.	1 i di An —	,	Лэ —	cos	, dt	2	2 dt .	.	i dQ.	.	d A	1 ’ ’ 5	2 dt	6 dt
8АХ -За,	8A',=8e,	8A-, =— cos—3i, 2	J 7	7 (5.8)
АЛ4 = е8л,	8A5 ~sin^	-8A,
где п - среднее движение.
Тогда для вычисления правых частей усредненных уравне-
ний и короткопериодических возмущений в неособенных элемен-
тах могут быть использованы следующие формулы:
da . dA .
d£	dr]
— = A7cos;r-A4sin.T, — = A, smfl’ + A4cosfl’,
dt	dt
— = A, cosQ-A, sinQ, ^^ = A4sinQ + ArCOsQ,
dt 3	5	dt 3	5
(5-9)
8a = 8Ax, 8A = 3A(t,
8<^ = 8A2 cos Д’ - £Л4 sin tf, St] = 8A2 s*n 71 + cos л*,
8P = 8A3 cosQ - 8АЪ sinQ, 8Q - 8A3 sinQ 4- 8A5 cosQ.
(5.10)
Возмущения____________________________________________
Обобщенная информация об учитываемых возмущающих
факторах в универсальном численно-аналитическом методе пред-
ставлена в табл. 5.1.
От второй зональной гармоники учитываются для большой
полуоси короткопериодические возмущения первого и второго
порядка, для всех остальных элементов - только члены первого
порядка. Долгопериодические и вековые возмущения от второй
зональной гармоники учитываются до второго порядка включи-
тельно.
262 ---

Глава 5
____________________ Таблица 5.1________________________
Характеристики учитываемых возмущений
Возмущающие факторы	Короткопериодиче- ские возмущения	Усредненные уравнения
Вторая зональная гармо- ника	Члены первого по- рядка в а, £ г], Р, Q, 2. Члены второго по- рядка в а	Члены первого и второго порядка относительно вто- рой зональной гармоники С20
Гармоники 1т геопотенци- ала (2 < 1 < /max, 0 < т < /max, 1т 20)	Линейные члены в обобщенном виде	Линейные члены, включая резонансные эффекты, в обобщенном виде
Притяжение Луны и Солнца	Линейные члены в обобщенной форме	Линейные члены в обоб- щенной форме
Торможение атмосферы (Модель плотности ГОСТ 25645.115-84)	Нет	Линейные и перекрестные с его члены
Световое давление	Нет	Линейные члены, обуслов- ленные прямым световым давлением
Короткопериодические возмущения от светового давления и тормо-
жения атмосферы не учитываются из-за их малости. Все остальные
короткопериодические, долгопериодические и вековые возмущения
учитываются в линейном приближении. Для возмущений от тормо-
жения атмосферы дополнительно учитываются перекрестные со вто-
рой зональной гармоникой члены. В качестве модели плотности атмо-
сферы при учете возмущений от торможения атмосферы принята мо-
дель ГОСТ 25645.115-84 [23].
Выше отмечалось, что основным преимуществом численно-анали-
тических методов по отношению к численным является их более вы-
сокое быстродействие. Сохранить это преимущество в максимально
возможном виде при разработке универсального численно-анали-
тического метода, требующего применение формул для возмущений в
наиболее обобщенном виде, оказывается непросто.
Для этого необходимо получить специальное, эффективное с
точки зрения реализации вычислений, представление для правых
частей усредненных уравнений и короткопериодических возму-
щений.
---- 263

Глава 5
Эти выражения используют следующее общее представле-
ние для расчета правых частей усредненных и короткопериоди-
ческих возмущений:
Л>=F'”7) е'
™	.	(5.11)
S A.J =	Д7) (а, е, i) s(mj) (<у, Q, М, 0, rk ).
т
Здесь F^7) (а, е, i), (а, е, /) являются медленноменяющимися
функциями, зависящими от большой полуоси, эксцентриситета и
наклонения.
Поскольку большая полуось, эксцентриситет и наклонение
не испытывают вековые возмущения первого порядка от второй
зональной гармоники, то функции F^(a,eJ),	меня-
ются значительно медленнее, чем другие медленноменяющиеся
функции S^\a,Q,<p(M,0),rk), зависящие от аргумента перигея,
долготы восходящего узла и резонансных комбинаций (р{М,в)
быстрых переменных М и в.
В формулах (5.11) функции	являются
быстроменяющимися функциями, т - мультииндекс.
Применение представления (5.11) дает возможность при
расчете функций F^7)(a,e,z),/^y)(a,e,0, требующих большого
объема вычислений, использовать кусочно-постоянные аппрок-
симации. Значения этих функций запоминаются при первом об-
ращении к их расчету и в дальнейшем пересчитываются только
при значительном изменении их аргументов. Это позволяет су-
щественно уменьшить объем вычислений за счет сокращения
трудоемких вычислений этих сложных функций на каждом шаге
интегрирования.
Для большей строгости все элементы орбиты в правых ча-
стях соотношений (5.11) должны были бы быть записаны с чер-
точками сверху для того, чтобы показать, что мы имеем дело со
средними элементами. Для краткости здесь и далее, если это осо-
бо не оговорено, этот знак в формулах опущен.
264 ---

Глава 5
Интегрирование усредненных уравнений
Для интегрирования усредненных уравнений (5.4) в универ-
сальном численно-аналитическом методе был реализован метод
Рунге-Кутты четвертого порядка. Для большинства орбит шаг
интегрирования выбирается порядка одних суток. Однако для
близких к сгоранию спутников он может составить и долю пери-
ода. Для всех моментов времени, лежащих внутри одного шага
интегрирования, средние элементы находятся с применением
специальной схемы полиномиальной аппроксимации [14]:
У(г) = Уо +	+ ft (к2 + кз) + ft I
К =dy/dt(y^to),
к2 = dy/dt(yQ + ^-Д/&15/0
кз = dy/dt(yQ + |д^2> 'о +|д/),
к4 = dy/dt{yQ + Д/ £3, /0 + Д0,
2 з 3 2	2 з 2
<7, =— a —a + «, q2 =—a + a ,
1 3	2	42	3
2 3	1	2 Г — /л
q3 =—a —a , a =----------.
3	3	2	Д/
(5.12)
Применение приведенной схемы расчетов оказывается особенно эф-
фективным при вычислении элементов орбиты спутника с небольшой
дискретностью по времени, например при определении орбит по из-
мерениям, полученным с большой частотой.
5.1.2. Вывод формул
для расчета возмущающих факторов
Возмущения от второй зональной гармоники
Основными возмущениями от зональных гармоник являются
возмущения, порождаемые второй зональной гармоникой, по-
скольку коэффициент при второй зональной гармонике с20 имеет
порядок 10“3 (первый порядок малости), а все остальные коэф-
---- 265

Глава 5
фициенты имеют порядок с20 (второй порядок малости) и мень-
ше. Возмущающая функция от второй зональной гармоники
представляется в виде
Z \2
R = — с20 — (3sin2^-l),	(5.13)
2г г ) '	'
где ае - экваториальный радиус Земли; ср- широта подспутнико-
вой точки спутника; г - геоцентрическое расстояние до спутника;
//-гравитационный параметр Земли.
Подстановка этой функции в уравнения движения (5.1) и
применение процедур метода усреднения приводит к следующим
формулам для расчета правых частей усредненных уравнений,
учитывающих возмущения от второй зональной гармоники до
второго порядка включительно:
А1=0,
Л2 = п К2\ sin 2/у,
Л3 =п A?31sin2d),
Л4 = е(й)20 + Q20 ) + пе^ (K4j + K5j ) cos 2 j в),
7=0
i	i 1
Л5 = sin—Q20 + wsin—cos 2jtf>,
2	2 7=0
1
Л6 = *>20 + ^20 + ^20 + "£(K4j+K5j + ^6y)cos 2j®],
7=0
(5.14)
где
3	3	-3
®20 = д nYi (5z - 4), Q20 =-nr2 cos i,	M20 = - ny2i](3z - 2),
M
Г2=с20 — , 7 =
VP J
z = sin2/, p = ai]2.	(5.15)
Медленноменяющиеся функции Ку, зависящие от большой
полуоси, эксцентриситета и наклонения, вычисляются по следу-
ющим формулам:
266 --

Глава 5
*21 =^r22(14-15z)Z72e,
A?31 =-^-/2(14-15z)e2sin2zcos—,
128	2
*40 = ^/22[24(5z - 4)2 + z(136 - 170z) +
IZo
+(56 - 36z - 45z2)e2 + 24(5z - 4)(3z - 2)n],
K41=—^ [z(60z - 56) + (56 - 316z + 270z2 )e2 ],
128
K50 =—y2 cosz[40z - 36 - (5z + 4)e2 + 12(3z -
*51 =^Г2™й№-Ы)е2,
=~/22>?[80-200z + 130z2 +
IZo
+(40 - 40z - 25z2 )e2 + 16>/1 -e2 (3z-2)2],
(5.16)
3	,	5 ,
*61 =—r22/7(56-60z)z(l--e2).
IZo	Z
Значения этих функций вычисляются и запоминаются при
первом обращении к расчету правых частей усредненных уравне-
ний. В дальнейшем они пересчитываются только в случае суще-
ственного изменения аргументов. Потребное число ячеек для
хранения значений функций Ку равно ЭД = 8.
Выражения для расчета короткопериодических возмущений
первого порядка, обусловленных влиянием второй зональной
гармоники, имеют следующий вид:
За = /2а
ci о/3z-2
(3z-2) - ——j-
\r )	In
zi	3z~2
(3z-2) - —-—
\r) 2n
Se = y2<
1-e2
2
+—^r-[3cos2(<y + /) + ecos(2<y + 3/) + 3ecos(2<y + /)]
4z?
---- 267

Глава 5
z 17	2
e 4	e
8i = ~/2 S*n 4Z [3 cos 2(d? + /) + ecos(26a + 3/) + 3ecos(26y + /)],
8?74
3	Г	( z 17
=	(5z-4)(/-M) + 3- + — ze-
4т/2 |_	< e 4
1	( z 15
+-zesin(2d)-/) + l  ----—ze + e lsin(26tf + /) +
(3	A f 5 A	fl 1 )
+1 — z-1 Isin2/ + 1 1-—z Isin2(d> + /) + l —ze-—e |sin3/ +
fl	7 z 19 A . o
+ 1 —e---------ze |sin(2d9 + 3/) -
V3	6 e 24 )
3	1	3
-—z sin(2ty + 4/) -—ze sin(2(^ + 5/) +—z sin 2d> ,
(5.17)
=	- M + f sin2w-
2/72 2	2
-—esin(26t? + 3/)-—esin(26> + /)],
6	2
^ = 7^2
477
3	2 1 I • r
—ze —3—н----e sin f -
4 e e 2 J
1	{ z 5	\
zesin(26tf-/)-l — + —ze lsin(26) + /)-
(3 A (	5 A	fl 1 )
-I — z-\ Isin If + 1 1- —z I sin 2(o) + /)-l —ze-—e Isin3/-
7 z 1	1
---------ze sin(2tf) + 3/) ,
6 e 24 )
где f - истинная аномалия.
Для получения высокоточных результатов при использова-
нии в качестве начальных данных оскулирующих параметров ор-
биты необходимо вычислять короткопериодические возмущения
для большой полуоси с точностью до членов второго порядка ма-
лости включительно. Приведем соответствующую формулу:
268 ----

Глава 5
S2a = -^a\ (3z-2)[ —
|3 3z-2
' 2ij3
3z-2 9z-6
(3z-2) -
\r)	2т/	4t]
+——^^[3cos2(ft> + /) + ecos(2<y + 3/) + 3ecos(2<y + /)] +
+-ЛгГ (-8 + 8z + 5z2 W + 4(4 - 12z + 9z2 h - 5(-8 + 16z -
64т?7 LV	/\	/V
+ 2(-14z + 15z2)e2cos2ft>~|}.	(
ч
(5.18)
Вековые и долгопериодические возмущения
от зональных гармоник___________________________________
При выводе соотношений для учета возмущений от произ-
вольных гармоник геопотенциала было использовано представ-
ление возмущающей функции через орбитальные элементы,
предложенное Каулой [9]:
s i [МF'" r w.,5л9’
1-2 m=0 p=Qq--<X)^	'
где
с _ Г dlm 1 если (Z-w) четно • Г cim 1 если (Z-w) четно
°lmpq qm J если (Z-ти) нечетно ьш 'г	J если (Z-m) нечетно ?
<p = (l-2p)co + (l-2p + q)M + m(Sl-0);	(5.20)
0 - гринвичское звездное время; Flmp (z) - функции наклонения;
H^2Xp+qP (e) ~ функции Ганзена; clm dlm - коэффициенты разло-
жения гравитационного поля Земли.
Применение метода усреднения и преобразование правых
частей дает следующие выражения для правых частей системы
усредненных уравнений, описывающих вековые и долгопериоди-
ческие возмущения, обусловленные зональными гармониками
разложения геопотенциала:
А1=0,
----269

Глава 5
I -2
----'max
-e2 X QkJ(.ka>Y
k=\
necosi
i -2
'max
2 QkJ(kco),
k=\
A3=-
4 sin—Vl-e2
2
4nax~2 z --- .
Л.4=п У \ll — e2Pk + 2esin—Rt
k=o	7
I -2
'max z
Л5=« J
k=Q
4nax
(5.21)
k=Q
-e2-1 + e2
e
Pk +Tk +2sin^Rk J(kco),
О Zr Anax	, ( ~ V
a=T 2 (-1)ftk»"*'*
e /=шах(2Л+1) V 7	2
4nax /
pk =(2-M £ -
/=max(2,£+l)	® '	2
? — A	^max	( \l
Д4Ц / s	(5'22)
2V1 — el COS— Z=max(2,£+1)^	2
Tk =2(2-Skfi) Y (/ + 1) p F\^l~x’kcl0,
/=max(2,fc+l)	\ a J 2
rd, \ f sinid) при к нечетном,
V ^7 j cos ксо при к четном;	‘
7/, \ _ ( cos^ при к четном,
\ j sini^y при к нечетном;	' : '
8 _(1при/ = у,	f525)
0 при 7,
где /max - максимальная степень учитываемых зональных гармоник.
270 ----

Глава 5
Выражения (5.21)-(5.25) очень удобны для реализации на
ЭВМ. Возмущения от зональных гармоник представлены в них с
помощью общих формул, что намного облегчает процесс про-
граммирования. Кроме того, поскольку функции Qk,Pk ,Rk ,Тк за-
висят только от медленноменяющихся переменных a,e,i, то их
значения можно вычислить и запомнить при первом обращении к
расчёту правых частей. Для этого потребуется не более
N2 ~ 4(/max _ 1) ячеек памяти. Тогда в основном режиме учет вли-
яния зональных гармоник в правых частях усредненных уравнений
сведется к элементарному суммированию по формулам (5.21).
Существуют рекуррентные соотношения для входящих в
формулу (5.22) функций эксцентриситета и наклонения, позво-
ляющие уменьшить затраты времени расчётов функций
Qk,Pk ,Rk ,Тк . Для функций Ганзена и их производных они име-
ют следующий вид:
1г-кгН1-е Г	J
(5.26)
dHQ{l+1]'k = 2е -(i+2),t
de 1-е2 °
I
+ 7-------------ГТ-----------Гх
(2/ -_ (/ _ 1)^1
V 7 de V 7 de
Начальные значения для расчетов по этим формулам опре-
деляются следующими соотношениями:
я-(*+1)Л = 0
(5.27)
-------= 0,
de
тт~(к+2),к
ПО
dH^k+i}'k
de
(5.28)
----- 271

Глава 5
Функция наклонения и её производная выражаются через
другие функции:
(5.29)
J/+11 i+k ________
F ,,(/) = (-1)Ъ? 2 4(/)л/2ЛЙ,
/ov
(5.30)
для которых также применимы рекуррентные соотношения сле-
дующего вида:
(l-2Z)[(/ + 2)2-*2]X
+(2/ + 3)[(/-1)2-&2 j },
(5.31).
*^7+2 ____________1__________х
di (1-2/)[(/ + 2)2 -Л2]
х<(2/ + 1)[2(/2 + Л2+/-1)-
z(2/-l)(2/ + 3)W +
-I al
(2/ + 3)х
*[(М2-*2]ф
-2(2/ +1)(2/-1)(2/ + 3)sinz cosiL^
(5.32)
Здесь использованы обозначения z = sin2 i; Е[ ] - целая часть
числа в скобках.
Для расчетов по формулам (5.31), (5.32) используются сле-
дующие начальные условия:
4_2=о,	4=1, ^=о,
di	di
272 ----

Глава 5
_ (2Л;-1)!! А _ (2А-1)!!
к~ (2Л)!!	’ di (2Л)!!	’	(	}
где(2£- 1)!! = 1-3-5 ...{2k- 1); {2к)\\ = 2-4-6...2к.
При расчете тригонометрических функций J(fap) и J(ka>}
рекомендуется применять следующие рекуррентные формулы:
cos ка> = cos(£- 1)й)cos со- sin(£- l)6Z>snw,
sin ka) = sin(fc- 1)б>cos co- cos(&- l)tf> sinta.	(5.34)
Таким образом, полученное представление для правых ча-
стей усредненных уравнений при учёте зональных гармоник раз-
ложения геопотенциала дает возможность обеспечивать высокое
быстродействие метода за счёт:
1)	применения рекуррентных соотношений (5.26)-(5.33) при
расчете функций Qk,Pk ,Rk ,Тк от медленноменяющихся пере-
менных;
2)	использования при расчётах правых частей усредненных
функций в формуле (5.21) кусочно-постоянной аппроксимации
для медленноменяющихся функций зависящих от большой полу-
оси, эксцентриситета и наклонения;
3)	применения рекуррентных соотношений (5.34) при вы-
числении тригонометрических функций и J(k<o).
Анализ выражений (5.21), (5.22) показывает, что они не
имеют особенностей при малых наклонениях и эксцентриситетах.
Резонансные возмущения
от генеральных и векториальных гармоник
Выражения для резонансных возмущений, обусловленных
нецентральностью гравитационного поля Земли, были получены
также в обобщенном виде. Они представлены в виде
л>=" S S соз(ф^ з£п(ф^
(s,m)<=Rg q=s-lmK
(5.35)
где j = 1,2,..., 6,
---- 273

Глава 5 ------
Rs^^s,m):s^\,2,...,lma-,m^l,2,...,lmsa-\x\<3},	(5.36)
X = s-mC^~, Фгт =s(ft> + A/) + zn(Q-^),	(5.37)
8« 1 - малая величина, характеризующая величину резонансной
полосы.
Вопрос выбора величины 8 является предметом самостоя-
тельных исследований. В универсальном численно-аналитиче-
ском методе величина резонансной полосы была выбрана в соот-
ветствии с рекомендациями, приведенными в [6]:

(5.38)
Функции CJsmq,DJsmq (j = 1, 2, ..., 6) в (5.35) рассчитываются
по следующим формулам:
(с1 "I
smq
Dx
\ smq у
Qsmq
OL
»2
smq
D2
smq 7
2
e -s + q
xZsmq
qd
yx^smq 7
C3 I
^smq
D3
smq 7
_(s- <?)cOSZ - m Qsmq
qd
yzzsmq 7
4sin —
2
C4 I
smq
D4
smq 7
= \ll-e2
smq
PD
k smq 7
• 1
+ 2esin—
2
^smq
D5
smq у
(5.39)
Г6
^smq
D6
smq 7
-1 + e
7 P
* smq
PD
\ smq у
c5 )
smq
.5
\ smq 7
• 1
+ 2sm—
2 \d-
/TfC
1 smq
rjiD
^smq j
e
e
Здесь
Q
x-smq
qd
\zzsmq 7
4nax
/=max|
y
ae I Z7	TT-l~\,s-q
, l+q-s *1s
a ' m 2~
&lm
\&lm x
274 ----

Глава 5
где
fрС
*smq
PD
\ sm4 у
C5 I
^smq
D5
smq 7
4пах * (	jtj-/—l,s—q ( 
V I qg I F dHs	aim
i i\ к I a J lm~~^ de a}
/=max[w,|5~<7|) 4	'	2	y^lm 7
______1
„ i
2cos—
2
(tc
1 smq
rpD
\Jsmq J
Z7	ij—l—\,s—q
Im------
2
~<*lm
\&lm >
(5.40)
-"Im'
alm )
x
«/m =
( dlm, если (/ - m) четно,
[clm, если (l-т) нечетно,
-cZm, если (l-m) четно,
dlm, если (l-m) нечетно.
(5.41)
(5-42)
В формулах (5.40) звездочка при знаке суммы означает, что
для заданных индексов q и s суммирование ведется только по тем
значениям индекса /, для которых I + q-s- чётное число.
Несмотря на кажущуюся громоздкость выражений, расчёт
их может осуществляться с незначительными затратами времени,
поскольку все функции (£mq,	, Р^ , Р^, C*q, D^,q, Tscmq,
T^q зависят только от медленных переменных af ef i. Их можно
вычислить и запомнить при первом обращении к расчёту правых
частей усредненных уравнений и в дальнейшем пересчитывать
только при существенном изменении аргументов. Максимальное
число пар множества R6 может составить Zmax, а максимальный
объем памяти, необходимый для запоминания значений функций
---- 275

Глава 5
от медленноменяющихся переменных при учете резонансных
возмущений, определяется соотношением
^з=8/тах(27тах+1).
(5.43)
Короткопериодические возмущения
от тессеральных и секториальных гармоник
Формулы для расчета короткопериодических возмущений
представлены в виде
4nax ffmax	^max +Я
S S (Cco^+?4sin^>	<5-44)
w=0 Я~~Ятах 5=_Anax+<7
lzl>£
где ср = (s -q}a> + sM + т(£1-в).
Функции KJmqs,P^qs (j= 1, 2,	6) в (5.44) рассчитываются
по следующим формулам:
Р1
\ mqs J
^max
7w^2O,|/|><5'
С 17 TT—l—\,s—q (_^2 Л
Imp	(%1т
%	\alm j
mqs
Р2
у* mqs J
4пах
ae Y 5(1 - е2 ) - (5 - q)^l-e2
1=2 а
1т*20,\%\><5


alm
zv1 ’
\alm 7
^mqs
P3
y^mqs 7
^max
1=2
1т*2^\х\>ё
(s-q)cosi-m
...[ГЧ . iFl”VH°
2^Vl-e sin-
(	2 A
-<*lm
<alm J

(5.45)
'4
mqs
mqs у
lm*20,\%\>d
X
276 ----

Глава 5
X lmp de
etgf dFlmp
/71~<?2 di
Гае 1 jq-l-\,s~q alm
1-2	' ° '	— COS—	,alm ;
lm*20,\X\>3	2
( „f> A
&mqs
P6
\^mqs 7
Anax
z
Z=2
4^?-l + e2	dH;1-'^ , te2
X '"' * ZVT? * ’
Imp*1 s
X
/	л \ г тт-1-lyS-q (
л/т -i\	1
+ 2(7 + 1)-----
I X)
2 A
1
l + q-s	,	,
где p-—— - целое число (если l + q-s нечетно, то при
суммировании в формулах (5.45) выбирается следующее значе-
ние индекса Г);
Поскольку функции K^,qs, pj,qs зависят только от медленных
переменных а, е, i, то их можно вычислить и запомнить при пер-
вом обращении к расчёту короткопериодических возмущений. В
дальнейшем эти функции можно пересчитывать только при су-
щественном изменении аргументов. Это позволяет существенно
сократить объем вычислений при расчете короткопериодических
возмущений от нецентральности гравитационного поля Земли.
Возмущения от притяжения Луны и Солнца
Возмущающая функция Fk, характеризующая влияние внеш-
них тел, в предположении — «1 может быть разложена в ряд
гк
---- 277

Глава 5
1=2
Vkj
(5.46)
где Pz (cos Нк) - полином Лежандра порядка /;
cos Нк - sin £ sin	+ cos Jcos^ cos(« -	(5.47)
r - геоцентрическое расстояние до спутника; rk - геоцентриче-
ское расстояние до £-го возмущающего тела; а,8,ак,8к - соот-
ветственно прямое восхождение и склонение спутника и £-го
возмущающего тела.
В разложении (5.46) член при i = 2 называют основным или
хилловским, остальные члены - параллактическими.
При использовании функций наклонения и Ганзена возму-
щающая функция (5.46) может быть представлена в виде функ-
ции от орбитальных элементов КО и координат возмущающего
тела:
1 1=2 m=0p=Qq=-ooak
(5.48)
где
Rlmpq
Vhn	если (Z-ти) четно •
rjk	если (/-w) нечетно а1П	'
и Im J
к ”1
Ulm	если (1-т) четно
_ук	если (1-т) нечетноУ7’
у1т J
(р = (Z - 2 р)а> + (l-2p + q)M + wQ;
(5-49)
ак - большая полуось £-го возмущающего тела; рк - отношение
массы возмущающего тела к массе Земли.
Шаровые функции	в формуле (5.48) зависят от те-
кущих координат возмущающего тела:
Vfm = [—"| Pin, (sinsk) sin так,
fa Г _	(5’50)
— ^(sinJjcosm^.
\.rk )
278 -----

Глава 5
Подстановка возмущающей функции в уравнения движения
спутника и усреднение по быстрой переменной М дает следую-
щую систему усредненных уравнений, описывающих вековые и
долгопериодические изменения элементов орбиты КО под влия-
нием притяжения внешних тел:
Л> =	J = 1.2,-,6,	(5.51)
1=2 т=0 р=0
где
/ у+1
= а _а_.
Ы 27 + 1’
(5.52)
1к - максимальная степень учитываемых членов в разложении по
параллаксу возмущающего тела;
при, = 1,2,3;
У Imp = Rlmp(2p-l)	, (р] При j = 4, 5, 6.
Медленноменяющиеся функции LJlmp(a,e,i) вычисляются по
формулам:
4р=о,
- 2p)FimP ,
3 _(/-2p)cos/-m и-2р
Llmp ~	; r -... hmp	Hq ,	(Ь.ЬЗ)
4 sin—\l-e2
dFlmp
di 27T7cos^’
2
---- 279

Глава 5
6	[ 71-е2 -1 + е2 dH^1 2р 21Hij~2p\f +
Llmp - ---~--------^7---11 М 0	Р1тр +
2 di 4^'
Эти функции зависят только от большой полуоси, эксцен-
триситета и наклонения спутника. Поэтому значения этих функ-
ций запоминаются при первом обращении к расчету возмущений
одного из притягивающих тел. В дальнейшем их перерасчет осу-
ществляется при существенном изменении аргументов функций.
Потребный объем памяти для запоминания значений функций
составляет
^=5(Z,-l)(Zi+l)2.
(5.54)
Для расчета короткопериодических возмущений от притяги-
вающих тел применяются следующие соотношения:
Impq
Impq
Impq
Y+i
а
\ак >

( Y+1 /Г
rlmpnl-2p+q
P 4 e
( Y+1
° I I?
rlmprLl-2p+q
\ak J
ЗЛ4=-^'г!
Impq
Impq
л, J
иц-2р
Ml-2p+q	i   Klmpq
4/cos—yjl-e2
^1тР
Л/
dHl'l~2p
anl-2p+q
de
dRlmpq o • i e A
----—+ 2esin- JAS,
d(p	2	5
a Y+1 dFb
\ак J
Imp nl-2piq
2/Vl-e2 cos —
2
^Rlmpq
ocp
280 ----

Глава 5
	*л<.=-г4“Гх Impq	\ак ) к	+ ?	X xFlmp dRlmpq +2sini<?A^ X д(р	2
где	X — l — 2p + q, 		I l Яудах Impq	1=2 m=Q p=0 q=-qmax fympq = &lmpq Im •> ^lm ’	’ ^Impq _ dRbnpq	Im -> ^Im ’ Ф) dq>	d<p Л* = „*  1		1 U Im	Im	j-j	2 2-12’ Z» л Z « Л	(5,56) к* -K‘	1		1 'm lm X»	dt1 ' Одной из трудоемких вычислительных операций при рас-
чете возмущений от притягивающих тел по формулам (5.53) и
(5.55) является расчет шаровых функций (5.50), зависящих от
координат притягивающих тел. Движение притягивающих тел в
универсальном численно-аналитическом методе рассчитывается
по рядам Хилла-Брауна для эклиптических координат Луны и
аналогичными рядами для Солнца. Эти исходные ряды суть
тригонометрические ряды от четырех фундаментальных аргу-
ментов движения Луны и Солнца. Фундаментальные аргументы
являются, в свою очередь, известными линейными функциями
времени.
----- 281

Глава 5
Несмотря на то, в рядах Хилла-Брауна были учтены члены с
амплитудой, превышающей 0,2 с, расчет координат Луны и
Солнца по используемым формулам занимает существенное вре-
мя. Поэтому для экономии затрат при расчете шаровых функций
применяются интерполяционные многочлены Ньютона и извест-
ные рекуррентные соотношения для шаровых функций [35].
Следует отметить, что при наличии более экономных алгоритмов рас-
чета координат Луны и Солнца они могут быть легко встроены в су-
ществующую программную реализацию универсального численно-
аналитического метода.
Формулы для расчета возмущений от приливной деформа-
ции Земли по своей структуре идентичны формулам от притяже-
ния Луны и Солнца. Однако, ввиду малости, эти возмущения в
универсальном численно-аналитическом методе не учитываются.
Возмущения от светового давления
Для учета возмущений от светового давления были исполь-
зованы результаты работ [10, 15]. Расчёт правых частей усред-
ненных уравнений при учёте влияния сил светового давления
осуществляется с использованием следующих соотношений:
At = 2na£ | So cosE + To >/l-e2sinE
x
A2=z<Vl-e2x
-^-EoA/l-e2 cos 2E + To f-esin E +sin 2Ej + |-T0E
c------
— sm2F cost» +
4
_ nCW0 i
\ll-e2 | cosE-—cos2E isin^y-—ecostyE >,
I 4 J 2 J
A4 P\ + 2esin-^A5,
(5.57)
282 ----

Глава 5
nCW0
2cos->/l-e2
2
Jl-e2 | cosE-—cos2E |cos<»-—esintaE ,
I 4/2
(l + e2)sin£--^sin2E j sin co -
501 esinE + —sin2E | +
4	4	)
3
где
+ 2®—(ecosE-—cos2E )- —SnE ,
4	’ 2 0
2
P2 - 2 s S 0
~e
sinE—sin2E -
4
-Trx\ll-e2 (cosE-—cos2E e50£
0 I 4	) 2 0
(5.58)
В формулах (5.57) и (5.58) использованы обозначения:
7СЮ=/(^Т)-/(^1Т),
50 = -сх cos со - с2 sin со,
TQ =c1sin69-c2cos6?,
^о = -с3,
C = KR — 1
тп с 2л/л
где
q = cos<5o cos(cro -Q),
c2 = sin 8q sini + cos£0 cosi sin(«0 - £1),
c3 = sin 8O cos i - cos 8O sin i sin (ao - Q);
---- 283

Глава 5
5 - площадь поперечного сечения КО, освещенная Солнцем;
т - масса КО;
KR - коэффициент, характеризующий отражательные ха-
рактеристики поверхности КО;
q -мощность потока солнечного излучения в районе Земли;
с - скорость света;
ао, - прямое восхождение и склонение Солнца;
£*2 ,	- эксцентрическая аномалия КО при его входе и вы-
ходе из тени. Предполагается, что 0 < Ej - Ef < 2л . Если спутник
не входит в тень, то принимается EJ = 2яг, Е^ = 0.
Возмущения от сопротивления атмосферы
Ускорение КО, обусловленное сопротивлением атмосферы
может быть выражено формулой
=	(5-59)
где кь - баллистический коэффициент КО; Vrel - вектор скоро-
сти КО относительно вращающейся атмосферы; р - плотность
атмосферы.
Вектор скорости КО относительно вращающейся атмосферы
определяется соотношением
р dr _
Kel = —
at
где г - вектор положения КО в инерциальной системе коорди-
нат; - вектор угловой скорости вращения Земли.
Баллистический коэффициент в формуле (5.59) определяется
соотношением
кь-^~,	(5.60)
2m
где CD - безразмерный коэффициент аэродинамического сопро-
тивления; 5 - площадь поперечного сечения КО, перпендику-
лярная набегающему потоку воздуха; m - масса КО.
284 ---

Глава 5
Для вычисления плотности атмосферы необходимо использование
модели верхней атмосферы. Верхняя атмосфера очень динамична.
Под влиянием корпускулярных частиц Солнца и коротковолнового
излучения ее плотность иррегулярно меняется. Современные модели
верхней атмосферы позволяют учесть наиболее существенные зако-
номерности в вариациях плотности. Они позволяют рассчитать зна-
чение плотности в заданной точке околоземного пространства, если
известны значения индексов солнечной и геомагнитной активности.
Хорошо известные зарубежные модели верхней атмосферы -
CIRA-72, MSIS-86 (CIRA-86), Jacchia, Barlier, GRAM-95 [16-21].
Все эти модели относятся, как правило, к полуэмпирическим, по-
скольку при их построении были использованы как физические
законы распределения газовых компонент, так и эмпирические
данные, полученные от прямых и косвенных измерений парамет-
ров атмосферы.
Наиболее популярной отечественной моделью атмосферы
является модель, разработанная под руководством И.И. Волкова
[22, 23]. Эта аналитическая модель была разработана на основе
обработки данных о торможении спутников и она регулярно
уточняется по мере получения новых данных. В редакции модели
ГОСТ 25645.115-84 плотность атмосферы аппроксимируется за-
висимостью
р = рнК0К1К2К3К4,
где
Рн = ао ехр [«1 - аг (h - а3 )1/2 ],
а0 = 9,80665 kg/m3,
KQ = 1 + (А + l2h + l3h2)(FS, -F0)Kf ,
-1 + (q + c2h + c3h2 + c4h3) cos" у,
n = n0 + nxh,
cos^ = (zsin<5“o +cos£0(xcos/7 + ysin/?))/r,
(5.61)
(5.62)
---- 285

Глава 5
К2 = 1 + Ц + d2h + d3h2 )A(D),
K3 = 1 + (Z^ + b2h + b^h2 )(F - F81) IF,
K4 — 1 + (б[ + e2h + e3h2 + е4й3 )(cj + в(,Кр + s7F3),
h - высота над поверхностью эллипсоида Земли;
aQ,S„ - соответственно прямое восхождение и склонение
Солнца;
х, у, z - координаты точки, для которой рассчитывается
плотность;
г = Jx2 + у2 + z2 - геоцентрическое расстояние;
рн - плотность «ночной» атмосферы;
Fo - фиксированный уровень индекса солнечной активности
Ло,7 (Л) = 75, 100> 125, 15°, 175,200,250);
F = F(t -тр) - среднесуточное значение индекса солнечной
активности F107;
F81 - средневзвешенное за предшествующие 81 сут. значе-
ние индекса солнечной активности F10 7;
81
FSI=-^-----•	(5.63)
i=l
£,= 0,5 + 0,5(/-1)/(#-1), W = 81, z = l, 2, ...,81, F81 соот-
ветствует F10 7 на дату расчета плотности, F( - соответствует
F10 7 на дату, предшествующую на 80 сут. дате расчета;
F10 7 - индекс солнечной активности равный плотности по-
тока солнечной радиации на длине волны 10,7 см (2800 Мгц);
Кр = Kp(t-тКр) - среднесуточное значение планетарного
индекса геомагнитной активности;
286 ---

Глава 5
Ко - множитель, описывающий изменение плотности, свя-
занное с отклонением F81 от Fo ;
Кх - множитель, учитывающий суточный эффект в измене-
нии плотности;
К2 - множитель, учитывающий полугодовой эффект в из-
менении плотности;
К3 - множитель, описывающий изменение плотности, свя-
занное с отклонением F от F81;
К4 - множитель, учитывающий зависимость между плотно-
стью атмосферы и геомагнитной активностью;
(р - геоцентрический угол между направлением на точку,
для которой рассчитывается плотность и направлением на центр
атмосферного «вздутия»;
Фх - геоцентрический угол между направлением на центр
атмосферного «вздутия» и направлением на Солнце;
А(Р) - множитель, описывающий влияние полугодового эф-
фекта в изменении плотности атмосферы;
D - число дней с начала года;
> ткр ~ параметры, характеризующие запаздывание реак-
ции в изменении плотности по отношению к изменениям солнеч-
ных и геомагнитных индексов;
5 а2 ’ ^3 А ’ ^2 ’ ^3 ’ А > ^2 5^3 ’ С1 ’ С2 ’ с3 ’ С4 ’ ^1 ’ ^2 ’ ^3 ’ ’ е2 ’ е3 ’ е4 ’ е5 ’ е6 ’
е7, л0,- коэффициенты модели.
Значения коэффициентов модели ГОСТ 25645.115-84 приве-
дены в Приложении 2 (табл. П.1-П.4).
Главное преимущество данной аналитической модели рас-
чета плотности атмосферы заключается в ее простоте и гибко-
сти компьютерной реализации. Так, время расчета плотности с
помощью модели ГОСТ-25645.115-84 на один-два порядка
меньше, чем при использовании других динамических моделей
атмосферы. В то же время, точность этой модели сравнима с
точностью более сложных полуэмпирических моделей [22-27].
Следует отметить, что СКО относительных ошибок расчета
---- 287

Глава 5
плотности при использовании современных моделей атмосферы
на высоте составляет 10...30% (в зависимости от высоты) в спо-
койные периоды и достигает 30... 100% во время геомагнитных
бурь [24-30].
Модель ГОСТ 25645.115-84 применяется на высоте
120... 1500 км. Ниже 120 км атмосфера предполагается статиче-
ской и для расчета ее плотности используется следующая фор-
мула
Р = Л ехр[-^(Л-^) + K2(h -К3)2].	(5.64)
Значения коэффициентов для статической модели (5.64)
представлены в Приложении 2 (табл. П.5).
При выводе соотношений для расчета усредненных возму-
щений от сопротивления атмосферы в универсальном численно-
аналитическом методе для точек, лежащих вдоль орбиты КО, за-
висимость плотности от координат и времени аппроксимируется
выражением [11, 13]
f h-h,
p = poexp -
р
Нр
[1 + b{h - hp )2 ] (1 + Fx cos 0 + F2 cos 20),
(5.65)
где
H(hp)
p	dinA?
./=0,2,3,4
H(hp) = -^hp-a3,
a2
u3 a2 ’
Hpa2
Po =caoexp(al -a2^hp - a3 )K0K2K3K4,
(5.66)
flT -
c = l+ - K,
uJ
m(m-l) 2
4 Z
288 ----

Глава 5
F рт™хк,
<2 J с

(1Y” m(m-I)x2Kx
Г-) — —	------------
2 Ш 4c
X = ylzt+Z2>
n0 + nx(h +ha)/2
m =---------------,
2
O-u-u,
Kx=cx+c2hp+c3hp+c4hp,
X\ = cos(Q-ao -<^) cos5o,
/2 = sinz sin £ -sin(Q-ao -^)cosz cos#0,
w* = arctg —
Ui
(5.67)
hp - высота перигея КО;
h,u - высота и аргумент широты КО в точке расчета плот-
ности;
_ коэффициенты и
множители модели ГОСТ 25645.114-84, соответствующие высо-
те h = hp и текущим индексам солнечной и геомагнитной актив-
ности.
Формула (5.65) для аппроксимации плотности учитывает
экспоненциальную зависимость изменения плотности от высоты,
изменение шкалы высоты, суточные и полугодовые эффекты,
корреляции между изменениями плотности и изменениями ин-
дексов солнечной и геомагнитной активности.
В формуле (5.65) высота отсчитывается от эллипсоидальной
поверхности Земли. Поэтому высота КО рассчитывается с учетом
возмущений, обусловленных влиянием второй зональной гармо-
ники
---- 289

Глава 5
. .	___. Г 2(1 - cos E) 1 - cos(w - co)
h-h =ае(1-соьЕ) + Ах -----------' +---+
L	1 + 7/ J (5.68)
+B1(cos2w -cos2d>),
где
4 =-|%c20(3z-2)e,
4 p
(5.69)
n 1	(ae ,
Bl=“Tzae -c20+2£r »
4 kP )
rj = л/1-ё2,
z - sin2 i,	(5.70)
p = a(l-e2),
£ - коэффициент сжатия Земли;
E - эксцентрическая аномалия.
В формулах (5.69) и далее подчеркивание сверху означает,
что соответствующие орбитальные элементы являются средними
элементами.
Подстановка выражений (5.65) и (5.68) в уравнения движе-
ния КО и применение процедур усреднения дает следующие вы-
ражения для расчета правых частей усредненных уравнений:
4
/ = 1,2,...,6, (5.71)
ш=0
где
^atm kbPft®
нр
z=—
нр
290 ----

Глава 5
у2 exp(-Z - А), если Z < Zo,
C(Z) = l
, если Z > Zo
(5.72)
.417tZ
„ЛА
2 A
у = 1 -	cos Г ,
п - «среднее» среднее движение,
*511 “^21
—a cos
512
-acos2a) + ^B2F2 cos2^® + u j,
5]3 - 523	p52 cos(3«j +w*)-4acos(3Z»~
514 =*^24 ~^2 cos4®--^-7;’2acos^4«?-2M*^,
iS^q = 1, ^*31 = cos 2бУ,
*$40 = ^50 = *$60 = sin
S5i=S3.=S5.=(), j = 2,3,4,
(5-73)
*^41 - 5б1 ~Г\
—asm
$42 ~ $(>2
-asmlco + ^ЧВ2 F2 sin2^® + w*j,
---- 291

Глава 5
^43 “^63 “
= 5М = ~-^2 sin 4<у —	sin^4<w — 2u* j,
а = В + —В3.
8
Безразмерный параметр satm имеет обычно значение поряд-
ка 10Л..10-6. Если Z<Z0, то для вычисления функций fjm ис-
пользуются следующие выражения:
/ю ~{(4 + Зё2 +	+12/? ё2cosi)/0 +
+(8ё + Зё3 + 16ё/?соз i )I} +
+4^(Z0 ~А + е(“Л> + 2/ _/) +
+(3ё2 + 8/?ё2 cos i )/2 + ё3/3 +
+2х[370 -4Л +12 -ё^-Иу +4I2 -73)]},
/11=|а{4ё/0+871+12ё72 +
О
Г-8/о + 14Д - 8/2 + 2Z3 + I.
+ Х|_+ё(970 - 20Z1 + 2072 -12Z3 + 3/4)JJ ’
/и -	+8е/3 +
ГА)-4А + 6/2-4/3+/4+ Т
[+ё(2/! - 8Z2 +1213 - &Ц + 2I5)JJ ’
yj3 —	+
Г21г - 8/2 + 12Z3 - 8Z4 + 2I5 -
+ Х|_-ё(70 + 8/] +12 + 4/3 - 29Ц + 20/5 - 5/6)
292 ----

Глава 5
/14 =	[474 + 8ё/5 + x(Z2 - 473 + 674 - 4Z5 + 76)],
8е + Зе3 + ЗбеРcos i )Z0 +
+(16 + 6ё2 )Z] + (8ё + 4ё3 У2 + 2ё273 +
+4%[[-270 + 41 { - 21 2 + ё(270 - 3IX + 272 - 73) +
+2х[-870 +14/] - 872 + 273 + ё(770 -12/, + 8/2 - 473 + /4)]},
/21	{8(/0 +е 1}+12 +8е/3) +
1о
Г14/0 - 247] +1672 - 873 + 274 -
+ Х[-ё(870 -167] +16/2 -1473 + 874 - 275)
- х[870 -167] +1672 -1473 + 874 - 275 +
+ ё(470 -13Z2 +2073 -2074 +1275 -376)]},
Лз	+ 4/2 + 4е/3 + 474 + 8е/5 +
+ х[70 - 47] + 772 - 873 + 1Ц - 415 +16-	(5.74)
-ё(70 +67] -773 +674 -13/5 +876 -277)]},
/24-|[4(Л-^)-8ё(72-/6) +
+x(Z] -4Z2 +7Z3 -8Z4 +7Z5 -4Z6 +Z7)},
/зо =-J-cos-^sinry[(4 + e2)Z0 -8ё7] +ё272],
32/	2
/31 =— cos-sin/y[(lle2Z0 -16ё7] +(8-6ё2)72],
64/	2
/40 =2ё8цЛ/50,
---- 293

Глава 5
Ai =	+ 472 + 6ё73 - х(5/0 - 4/3 - 4/2 + 4/3 - /4)],
О
Аг = |[-4Л -8ё/2 + 4/3 + 8ё?4 + х(470 -6Д + 513 -4Д + Z5)],
О
Аз = |[2ёЛ - 4Z2 -12ё73 + 4/4 + 10ё75 -
-x(Z0-4Z1+5Z2-5Z4+4Z5-Z6)],
/44 =|[4ё/2 -4(/3 -/5)-16ё/4 +12ё/6 -
-x(Z1-4Z2+5Z3-5Z5+4Z6-77)L
Ао = -Грsin|[l 1ё2/0 - 16ё7, + (8- 6ё2)/2],
/я=ЛУ=/5/=0, / = 2,3,4,
Ao~2sin—f50, Ai“AX
Z	о
А2=|ё(71-/3), Л3=|ё(/2-/4),
О	о
А4=^(А-АЬ
о
z2
х =---7’
Яра2
K\{hp}ae
Xi =----------,
с
^1' (АР ) = с2 + 2с3 hp + Зс4 hp ,
1т - бесселевы функции мнимого аргумента
1 2;г
1т =— [ exp[(Z + A)cosE]cosmEdE, т = 0,1,2,3...	(5.75)
2яг J
о
294 ----

Глава 5
Короткопериодические возмущения из-за их малости рас-
считываются в упрощенном виде только для большой полуоси:
।	3
Mj = -2£етма exp(-Z - А + В cos 2щ) I Зё + — ё3
z х	(5-76)
(	9	3 , з ,
+ 2 + —ё2 7. +-ё312 + —ё213 sin£.
(.	4	) 1 4	2 4	3_
Если Z > Zo, то выражения для функций fy имеют следую-
щий вид:
1	3	15
(1 +--Ка\ +----ТКа2 + -^Г^аз) +
2Z al 4Z2	8Z3
/3	15	, 1	3 ,
+х( Т- 4----Г- Ка<) + X. (-1-г- 7
4Z2 8Z3	2Z 4Z2
1	3
/п=Г1 l + ^7(Cn+^j)+—2-(C12+Cn^fll+^2) ,
1	3
/12=Г1 1 +—(С21+ТСа1) + —,
L 2Z	4Z	J
/13 “ /14 _ 0 ’
v а (1 + *)3
/1=^4	,
У (1-е)
/го _ /г
1	3	15
(1 +—Кл + —^Ке2 + -АгКе3) +
2Z el 4Z2	8Z3
3	15	13
+АА- +	Кл ) + Xi (— +	КеХ)
4Z2 8Z3	2Z 4Z2
1	3
/21=Гг 1 +—(C11+7:ei) + —?(C12+Cn^1+^2) ,
fn-Yl 1+~(C21 +'Kel) + ~Z2'(C22 +C21^el +	’
---- 295

Глава 5
Аз ~ /24 _ о >
Г2=у1(1 + ё)\1-ё),
1	3	15
/зо=Л	.
ЧА ОА
/з1=/з 1 + ^(С11+^л) ,
/32 - /33 - /34 - о ’
<wffi(l-e)2 i ,
у-, -——-----COS—S1
3 8пу 2
Ло=41 + ^Д
(5.77)
/51 _ /52 ~ /53 _ /54 _ 0 >
<yffi(l-е)2 . i
у< = -^------—sm-,
5 8пу 2
, _ А 1 r
/40 - /41 1 + 27 Лп1 I
/41 - /42 - /43 ~ /44 _ ’
<yffi(l-<?)2 _ . 2 i
у4 = ——------—е sin —,
4	4п/	2
/бО - Тб I 1 +	] >
к	J
fei ~ /б2 ~ /бЗ ” /б4 “ 0,
Г6= ф'_ sin2-,
4и/	2
_1-8ё + Зё2
4(1-ё2) ’
296 ----

Глава 5
3 - 16ё + 50ё2 + 16ё3 - 5ё4
°2”	32(1-ё2)2
= 5 - 24ё + 45ё2 - 80ё3 - 249ё4 - 24ё5 + 7ё6
а3~	128(1-ё2)3
„	3 + 4ё-3ё2
,
4(1-ё2)
-5 + 24ё + 26ё2 + 8ё3 - 5ё4
е2~	32(1-ё2)2
7 - 20ё + 27ё2 + 200ё3 + 101ё4 + 12ё5 - 7ёб
е3~	128(1-ё2)3
„	1 + 8ё + 11ё2
Afl —	-	,
4(1-ё2)
15 + 24ё + 5ё2
4(1-ё2)	'
С = -—
11	1-ё’
_ё(1 + ё)
С — 4^ + е
1-е
= 1 + 4ё + Зё2
Структура выражений (5.71) для правых частей усредненных уравне-
ний имеет вид (5.11) и позволяет также реализовать эффективный с
точки зрения вычислений алгоритм расчета возмущений, обусловлен-
ных сопротивлением атмосферы за счет кусочно-постоянного пред-
ставления медленноменяющихся функций.
----297

Глава 5 -
5.2. Оценка влияния точности
модели движения КА на точность
определения и прогнозирования
орбитальных параметров спутников
Известно, что качество решения задач обработки координат-
ной информации и прогнозирования орбит космических объектов
в значительной степени определяется погрешностями применяе-
мого алгоритма прогнозирования движения КО. В идеальном ва-
рианте алгоритм прогнозирования движения КО, используемый
при обработке измерений, не должен вносить дополнительные
погрешности в определение орбит.
В связи с этим стремление максимизировать интервал обра-
ботки измерений, нередко вступает в противоречие с указанным
требованием. Так, по этой причине, мерный интервал по низко-
орбитальным космическим объектам, испытывающим суще-
ственное торможение атмосферы, выбирается равным 1-3 сут7
кам. Расширение этого интервала нецелесообразно из-за суще-
ственного увеличения ошибок прогнозирования, обусловленных
непредсказуемыми возмущениями плотности атмосферы.
Факторы, от которых зависит точность
алгоритма прогнозирования движения КО
 Погрешности применяемых моделей возмущающих сил.
 Полнота учета возмущающих сил, действующих на спутник.
 Методические погрешности решения уравнений движений
КО для выбранного состава возмущающих сил.
Рассмотрим сначала влияние на точность прогнозирования
движения КО двух первых вышеприведенных факторов.
Основные возмущающие факторы,
действующие на искусственные спутники Земли
 Нецентральность гравитационного поля Земли (ГПЗ).
 Сопротивление атмосферы.
	Притяжение Луны и Солнца.
	Световое давление.
	Лунно-солнечные приливы в теле Земли.
298 --

Глава 5
Рассмотрим детальнее характер действия указанных возму-
щающих сил и точность применяемых моделей, используемых
для их учета, а также общие рекомендации по их учету.
5.2.1.	Влияние различных возмущающих факторов
на элементы орбиты космических объектов
Известно, что возмущения в орбитальных элементах приво-
дят к вековым и периодическим изменениям. Рис. 5.1 иллюстри-
рует каждый вид изменений [31].
Прямая линия на рис. 5.1 показывает вековые возмущения
(secular). Вековые изменения приводят к линейному, а иногда к
степенному изменению элементов в зависимости от времени.
Периодические изменения являются либо короткопериоди-
ческими (Short-periodic), либо долгопериодическими (Long-
periodic) в зависимости от того, через какое время эти эффекты
повторяются. Короткопериодические изменения имеют период,
равный менее периода спутника. Долгопериодические эффекты
имеют период, значительно больший орбитального периода
(обычно на один-два порядка).
В табл. 5.2 в обобщенном виде представлены данные о ха-
рактере изменения элементов орбит космических объектов под
действием основных возмущающих сил, перечисленных выше.
Действие возмущающих сил
на элементы орбиты
----299

Глава 5
______________________Таб л и ца 5.2_________________
Характер изменения элементов орбит спутников
под действием различных возмущающих сил
Элемент орбиты	Нецентральность гравитацион- ного поля Земли			Сопро- тивление атмосфе- ры	Притяже- ние Луны и Солнца	Световое давление
	все зо- нальные гармони- ки	четные зональ- ные гар- моники	сектори- альные гармони- ки			
Полуось	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие	Периоди- ческие	Периоди- ческие
Эксцен- триситет	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие	Периоди- ческие	Периоди- ческие
Наклоне- ние	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие	Периоди- ческие	Периоди- ческие
Долгота восходя- щего узла	Периоди- ческие	Вековые	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие
Аргумент перигея	Периоди- ческие	Вековые	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие	Вековые й периоди- ческие
Средняя аномалия	Вековые и периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие	Периоди- ческие	Периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие	Вековые и периоди- ческие
5.2.2.	Влияние притяжения Луны и Солнца
на движение космических объектов
Для низкоорбитальных космических объектов влияние при-
тяжения Луны и Солнца незначительно. Оно существенно мень-
ше влияния возмущений от второй зональной гармоники разло-
жения геопотенциала и сравнимо по величине лишь с влиянием
гармоник высшего порядка. Поэтому для низкоорбитальных кос-
мических КО, испытывающих существенное торможение атмо-
сферы, влиянием притяжения Луны и Солнца без ущерба для
точности расчетов можно пренебречь.
С увеличением высоты космических объектов влияние при-
тяжения Луны и Солнца постепенно возрастает и на высотах гео-
300 --

Глава 5
стационарных спутников становится сравнимым с влиянием вто-
рой зональной гармоники.
Погрешности расчета возмущений от притягивающих тел в
численно-аналитических и аналитических алгоритмах прогнози-
рования определяются, в основном, двумя факторами:
1)	количество учитываемых членов в разложении возмуща-
ющей функции от притягивающего тела по степеням параллакса;
2)	точность теории движения притягивающих тел.
Эмпирически, на основе сравнения с численными методами,
было установлено, что для достижения точностей порядка не-
скольких метров по положению для высокоорбитальных спутни-
ков в разложении возмущающей функции Солнца кроме основ-
ного (хилловского) члена необходимо учитывать первый парал-
лактический член. Для Луны же требуется учитывать влияние
основного и первых трех параллактических членов. Для расчета
координат Луны и Солнца в универсальном численно-аналитиче-
ском методе используется теория Хилла-Брауна [32]. В тригоно-
метрических рядах в правых частях выражений для расчета пара-
метров движения Луны и Солнца удерживаются члены с ампли-
тудами, превышающими 0,2.
5.2.3.	Влияние светового давления
на движение космических объектов
Действие светового давления наиболее существенно для тех
космических объектов, которые имеют весьма большое по вели-
чине значение отношения площади поверхности 5 к массе т. В
этом отношении действие светового давления схоже с влиянием
сопротивления атмосферы. Однако следует отметить, что на ма-
лых высотах действие светового давления пренебрежительно ма-
ло по сравнению с торможением атмосферы. Только на высоте
свыше 800 км сила светового давления становится преобладаю-
щей. Для большинства крупных космических объектов отноше-
ние площади к массе составляет порядка 102... 10-3 м2/кг. Поэто-
му основной эффект в действии светового давления для них обу-
словлен падающим на объект прямым солнечным излучением.
-----301

Глава 5
Давлением света, рассеянного поверхностью космического объ-
екта и отраженного от поверхности Земли, если речь не идет о
высокой точности лазерных измерений, можно пренебречь.
Если спутник не входит в тень Земли, то возмущения пер-
вого порядка в большой полуоси орбиты под действием прямого
солнечного излучения содержат только короткопериодические
члены. Если космический объект пересекает границу тени и све-
та, то возникают долгопериодические возмущения во всех орби-
тальных элементах, включая большую полуось. Это может при-
водить к заметным возмущениям параметров движения КО на
больших временных интервалах. Поэтому в модели движения
космических объектов возмущения от прямого солнечного излу-
чения целесообразно рассчитывать с учетом тени Земли.
Существует другая особенность, связанная с учетом влияния
светового давления. Дело в том, что сила светового давления
пропорциональна отношению площади поверхности космическо-
го объекта к его массе. Для каждого космического объекта эта
характеристика имеет свое значение и может изменяться со вре-
менем из-за вращения космического объекта вокруг центра масс.
Сила светового давления связана с интенсивностью излучения
Солнца, носящего нестационарный характер. В общем случае при
определении орбит с учетом влияния светового давления величи-
ну S/m, так же как баллистический коэффициент для низкоорби-
тальных космических объектов, необходимо рассматривать в ка-
честве дополнительного оцениваемого параметра.
5.2.4.	Влияние сопротивления атмосферы
на движение космических объектов
Сопротивление атмосферы является преобладающей и
наиболее сложной с точки зрения определения и прогнозирова-
ния силой. Ускорение из-за сопротивления атмосферы пропор-
ционально плотности атмосферы и баллистическому коэффици-
енту спутника. Для вычисления и прогнозирования плотности
атмосферы используются эмпирические модели плотности ат-
мосферы.
302 ----

Глава 5
Точность современных моделей плотности атмосферы CIRA-72,
MSIS-86 (CIRA-86), Jacchia, Earlier, GRAM-95 составляет (в зависи-
мости от высоты) 10... 15% для спокойных условий и достигает
20...60% в периоды гелиогеомагнитных возмущений. В связи с этим
сопротивление атмосферы является основным источником ошибок при
определении и прогнозировании орбит низкоорбитальных спутников.
Характерным для ошибок определения плотности атмосфе-
ры является их непредсказуемость. Определение и прогнозирова-
ние высокоточных орбит на больших интервалах времени для
низкоорбитальных спутников, для которых существенно влияние
атмосферы (высота 400...500 км), при современной точности мо-
делей атмосферы, по сути дела, является не решаемой задачей.
5.2.5.	Влияние нецентральное™
гравитационного поля Земли
на движение космических объектов
Большинство современных моделей гравитационного поля
Земли (ГПЗ) имеет очень большую точность. Они содержат раз-
ложение геопотенциала в ряд по сферическим функциям до 70 и
даже более высоких степеней. Однако использование этих моде-
лей при прогнозировании движения КО в процессе решения
большинства практических задач не представляется целесообраз-
ным из-за чрезмерных затрат машинного времени и малости воз-
мущений от членов высшего порядка в разложении геопотенциа-
ла. С учетом этих обстоятельств полнота модели ГПЗ определя-
ется из условия малости влияния неучитываемых возмущений по
отношению к ошибкам измерений. При этом (табл. 5.2) возмуще-
ния от нецентральное™ ГПЗ имеют различный характер:
1)	вековые - пропорциональные времени прогнозирования;
2)	долгопериодические - с периодом несколько месяцев;
3)	короткопериодические - с периодом доли периода обра-
щения КО.
Поскольку мерный интервал по низкоорбитальным космиче-
ским объектам может составить несколько суток, то каждая из
этих составляющих возмущений, имеющая на интервале обра-
------------------------------------------------------- 303

Глава 5
ботки величину, сопоставимую с ошибками измерений, должна
быть учтена в модели движения.
В настоящее время обоснованные общепринятые рекомендации по вы-
бору модели ГПЗ для низкоорбитальных космических объектов в зави-
симости от интервала прогнозирования нам не известны. Эти рекомен-
дации, по-видимому, должны быть выработаны для каждого класса ор-
бит отдельно на основе проведения специальных исследований по
оценке вклада тех или иных гармоник разложения модели геопотенциа-
ла на возмущения параметров движения космических объектов с уче-
том погрешностей определения самих коэффициентов при гармониках.
Результаты такой работы были бы очень полезными для
практики, поскольку при их отсутствии выбор модели ГПЗ про-
изводится эмпирическим способом или основан на гарантирован-
ном подходе, заключающемся в учете в разложении геопотенциа-
ла полной модели. Очевидно, использование полной модели ГПЗ
сопряжено с большим объемом вычислительных затрат и оправ-
дано только в случае решений прецизионных задач. Для других,
целей может быть использована и усеченная модель гравитаци-
онного поля Земли, обеспечивающая требуемую точность.
Для примера рассмотрим каким образом влияет полнота мо-
дели ГПЗ на точность определения и прогнозирования ИСЗ с вы-
сотой около 800 км. Для изучения этого вопроса была выбрана
орбита ИСЗ WESTPAC на 00:00:00 UTC, 30.09.99 г. Параметры
этой орбиты в гринвичской системе координат (ГСК) следующие:
X = 6317,339843052 км Vx = 2,055593631685 км/с
Y = -2150,014891575 км	Vy = -2,503176940936 км/с
Z = -2707,429413619 км Vz = 6,801701261614 км/с
Баллистический коэффициент спутника принимался равным
0,001 м2/кг.
Используя эти параметры в качестве начальных данных, рас-
считывалась «истинная» траектория на десятисуточном интервале.
Для этого указанная орбита прогнозировалась с использованием
высокоточного численного метода Эверхарта [9, 10] с учетом воз-
мущений от нецентральное™ ГПЗ (полная модель JGM-02, гар-
моники до 70-й степени включительно), сопротивления атмосфе-
304 ---

Глава 5
ры, светового давления, притяжения Луны и Солнца. Через каж-
дые 20 мин производилась фиксация орбиты.
Эти данные в дальнейшем рассматривались в качестве изме-
рений для построения орбиты с использованием упрощенных мо-
делей ГПЗ и оценки точности определения и прогнозирования
этой орбиты.
Рассмотрим варианты упрощенных моделей движения.
Вариант 1
	Нецентральность ГПЗ - вторая зональная гармоника (20).
Вариант 2
	Нецентральность ГПЗ - гармоники до 16-й степени включи-
тельно (16x16).
	Притяжение Луны и Солнца.
Вариант 3
	Нецентральность ГПЗ - гармоники до 50-й степени включи-
тельно (50x50).
	Притяжение Луны и Солнца.
	Сопротивление атмосферы.
	Световое давление.
Для каждого варианта упрощенной модели по моделируемым
измерениям на временном интервале 1...1,5сут. методом
наименьших квадратов определялась орбита на момент последнего
по времени измерения, которая затем прогнозировалась на момен-
ты привязки измерений, не вошедших в набор, использованных при
построении орбиты. Остаточные невязки по измерениям, использо-
ванным при построении орбиты, рассчитывались для оценки точ-
ности определения орбит, а остаточные невязки по не вошедшим
измерениям - для оценки точности прогнозирования орбит.
Интервал прогнозирования для первых измерений имеет от-
рицательный знак, для вторых - положительный. Для прогнози-
рования орбит на этом этапе использовался универсальный чис-
ленно-аналитический метод.
На рис. 5.2-5.19 приведена зависимость ошибок определе-
ния и прогнозирования орбит от интервала прогнозирования и
гистограммы их распределения при использовании различных
вариантов упрощенных моделей движения. Ошибки для удобства
анализа представлены в орбитальной системе координат: по ра-
------------------------------------------------------ 305

Глава 5
диус-вектору, вдоль орбиты (трансверсали) и бинормали. Число
реализаций для каждого представленного варианта расчетов со-
ставило 5000.
________________________Рисунок 5.2________________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
по радиус-вектору для варианта 1 упрощенной модели ГПЗ 20
_________________________Рисунок 5.3__________________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирова-
ния орбит по радиус-вектору для варианта 1 упрощенной модели
ГПЗ 20 (МО = -0,005093 км; СКО = 0,281265 км)
306 ----

Глава 5
_______________________Рисунок 5.4________________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
вдоль орбиты для варианта 1 упрощенной модели ГПЗ 20
Невязки вдоль орбиты, км
________________________Рисунок 5.5________________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирова-
ния орбит вдоль орбиты для варианта 1 упрощенной модели ГПЗ 20
(МО = 0,18669 км; СКО = 0,8226 км)
---- 307

Глава 5
________________________Рисунок 5.6________________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
по бинормали для варианта 1 упрощенной модели ГПЗ 20
________________________Рисунок 5.7________________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирова-
ния орбит по бинормали для варианта 1 упрощенной модели ГПЗ 20
(МО = -0,005649 км; СКО = 0,200498 км)
308 -----

Глава 5
________________________Рисунок 5.8_______________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
по радиус-вектору для варианта 2 упрощенной модели ГПЗ 16x16
_________________________Рисунок 5.9__________________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирова-
ния орбит по радиус-вектору для варианта 2 упрощенной модели
ГПЗ 16x16 (МО = -0,00054 км; СКО = 0,026324 км)
---- 309

Глава 5
_______________________ Рисунок 5.10_______________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
вдоль обиты для варианта 2 упрощенной модели ГПЗ 16x16
_________________________ Рисунок 5.11_________________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирования
орбит вдоль орбиты для варианта 2 упрощенной модели ГПЗ 16x16
(МО = -0,038103 км; СКО = 0,085194 км)
310-----

Глава 5
_______________________ Рисунок 5.12______________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
по бинормали для варианта 2 упрощенной модели ГПЗ 16x16
________________________Рисунок 5.13________________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирования
орбит по бинормали для варианта 2 упрощенной модели ГПЗ 16x16
(МО = -0,000267 км; СКО = 0,030886 км)
----- 311

Глава 5
______________________ Рисунок 5.14______________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
по радиус-вектору для варианта 3 упрощенной модели ГПЗ 50x50
(-.015;-.01]	(-.005,-0]	(.005; .01]	(015;.02J
(-.02,-015]	(-.01;-.005)	(-0,005)	(.01;.015)	>02
Невязки по радиус-вектору, км
_______________________ Рисунок 5.15_______________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирова-
ния орбит по радиус-вектору для варианта 3 упрощенной модели
ГПЗ 50x50 (МО = -0,000435 км; СКО = 0,007961 км)
312 ----

Глава 5
_______________________ Рисунок 5.16_______________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
вдоль орбиты для варианта 3 упрощенной модели ГПЗ 50*50
Рисунок 5.17_______________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирования
орбит вдоль орбиты для варианта 3 упрощенной модели ГПЗ 50*50
(МО = -0,020358 км; СКО = 0,033866 км)
----- 313

Глава 5
0,014
x
s
ю
g -0,004
n
S -o.oio
Q
X
0,008
0,002
-1,5	-1,0
s
5
S
Интервал прогнозирования, сут.
_______________________ Рисунок 5.18_______________________
Зависимость ошибок определения и прогнозирования орбит
по бинормали для варианта 3 упрощенной модели ГПЗ 50x50
________________________ Рисунок 5.19________________________
Гистограмма распределения ошибок определения и прогнозирования
орбит по бинормали для варианта 3 упрощенной модели ГПЗ 50x50
(МО = -0,000136 км; СКО = 0,004018 км)
314 ----

Глава 5
В обобщенном виде статистические характеристики ошибок
приведены в табл. 5.3.
________________________Таблица 5.3_______________________
Влияние модели движения на точность
определения и прогнозирования орбит
№ варианта	Статистические характеристики ошибок определения и прогнозирования орбит					
	Математическое ожидание (МО), м			Среднеквадратическое отклонение (СКО), м		
	По радиус- вектору	Вдоль орбиты	По би- нормали	По радиус- вектору	Вдоль орбиты	По би- нормали
1	5	187	6	281	823	20
2	5 .	38	3	26	85	31
3	0	20	1	8	33	4
На основе анализа полученных результатов можно сделать
вывод, что для обеспечения точности порядка 100 м можно
удовлетвориться использованием упрощенной модели 2. Если
же требуемая точность составляет порядка 10...20 м, то целесо-
образно применять модель движения 3 или еще более полную
модель.
5.3. Оценка методических ошибок
универсального
численно-аналитического метода
Методические ошибки универсального численно-аналитиче-
ского метода оценивались неоднократно. Результаты этих оценок
изложены, в частности, в [11-13].
Рассмотрим более подробно здесь оценки, полученные для
двух орбит с полуосью 8000 км, а также для шести геостационар-
ных орбит [13]. Эти оценки были получены на основе сравнения
результатов интегрирования численным и численно-аналитиче-
ским методом. Численное интегрирование уравнений движения
осуществлялось методом Эверхарта [33, 34]. Никакое предвари-
------------------------------------------------- 315

Глава 5
тельное согласование начальных данных в численно-аналитиче-
ском методе не проводилось. Начальные данные по выбранным
низким орбитам отличались только эксцентриситетами.
Орбита 1	Орбита 2
а - 8000 км	а = 8000 км
е = 0,01	е = 0,15
z = 52°	i = 52°
о = 0	о = 0
Q = 0	Q = 0
и = 0	и = 0
Расчеты были проведены на тридцатисуточном интервале с
шагом 15 мин. При расчетах использовалась высокоточная мо-
дель ГПЗ JGM-02 70x70. На рис. 5.20-5.22 представлены откло-
нения между численным и численно-аналитическими решениями
в орбитальной системе координат для первой орбиты. На
рис. 5.20 отклонения вдоль орбиты выражены с секундах. Ради-
альные и поперечные отклонения представлены в км (рис. 5.21 и
5.22). Видно, что максимальные ошибки вдоль орбиты не превы-
сили для первой орбиты 0,01 с. Максимальные ошибки по ради-
ус-вектору и бинормали составили 8 и 11 м соответственно.
Графики отклонений для второй орбиты приведены на
рис. 5.23-5.25. Для этой орбиты максимальные методические
ошибки на 30-суточном интервале имеют следующие значения:
вдоль орбиты......................................0,006	с
в радиальном направлении..............................8	м
в поперечном направлении.............................13	м
Полученные оценки характеризуют универсальный числен-
но-аналитический метод как высокоточный метод.
Рассмотрим подробные результаты оценок методических по-
грешностей численно-аналитического метода для пяти геостаци-
онарных КО. Эти оценки получены на 50-суточном интервале
прогнозирования. Начальные элементы орбит КО выбирались та-
ким образом, чтобы они охватывали достаточно широкий диапа-
зон возможных вариантов орбит геостационарных КО. Парамет-
ры орбит выбранных для сравнения КО приведены в табл. 5.4.
316 ---

Глава 5
_______________________ Рисунок 5.20______________________
Ошибки прогнозирования вдоль орбиты
(Орбита 1, JGM-02 70x70, е = 0,01)
Prediction interval, days
_______________________Рисунок 5.21_______________________
Ошибки прогнозирования в радиальном направлении
(Орбита 1, JGM-02 70x70, е = 0,01)
---- 317

Глава 5
0,01024-
0.00896-
0.00768:
0.0064:
0.00512-i
0 00384-
0.00256:
0.00128
£
ХГ -0.001
-0.00256-
-0.00384:
-0.00512-i
-О.(Ю64-
-0.00768-
-0.00896-
-0.01024


2	4	6	8	10 12 14	16 18 20 22 24 26 28
Prediction interval, days
Г
_______________________ Рисунок 5.22_______________________
Ошибки прогнозирования в поперечном направлении
(Орбита 1, JGM-02 70x70, е = 0,01)
Prediction interval, days
_______________________ Рисунок 5.23______________________
Ошибки прогнозирования вдоль орбиты
(Орбита 1, JGM-02 70x70, е = 0,15)
318 ----

Глава 5
0.00576
0.00512
0.00448
0.00384
0.0032
0.00256
0.00192
0.00128
0.00064
E
-*-0.00064
^-0.00128
-0.00192
-0.00256
-0.0032
-0.00384
-0.00448
-0.00512
-0.00576
-0.0064
-0.00704
-0.00768
Prediction interval, days
_______________________ Рисунок 5.24______________________
Ошибки прогнозирования в радиальном направлении
(Орбита 2, JGM-02 70x70, е = 0,15)
Е
0.0128-
0.01024-
0.00768-
0.00512-
0.00256-
-0.00256
-0.00512
-0.00768
-0.01024
-0.0128
2	4	6	8	10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Prediction interval, days
_______________________Рисунок 5.25_______________________
Ошибки прогнозирования в поперечном направлении
(Орбита 2, JGM-02 70x70, е = 0,15)
---- 319

Глава 5
________________________Таблица 5.4_______________________
Параметры орбит геостационарных КО,
выбранных для оценки методических погрешностей
Номер КО	Пери- од мин	Эксцент- риситет	Накло- нение, град	Долгота восх. уз- ла, град	Аргумент перигея, град	Долгота, град	Дрейф, град/сут.
21056	1436,2	0,00032	0,0249	228,43	278,708	10,0710	-0,05
50201	1439,9	0,00130	0,76'49	41,0418	322,349	81,1276	-0,99
50202	1435,8	0,00155	0,0964	298,02	125,405	71,2988	0,04
8357	1436,1	0,00062	13,807	29,4841	206,472	114,000	-0,03
8366	1436,6	0,00055	12,664	38,873	12,2379	264,400	-0,14
8476	1445,8	0,00297	9,3038	’ 51,5348	11,9662	290,100	-2,44
Результаты сравнения представлены на рис. 5.26-5.28. Анализ при-
веденных данных показывает, что максимальные невязки в орби-
тальной системе координат между результатами численного и чис-
ленно-аналитического решения составили по радиальной составля-
ющей и бинормали - Юм, вдоль орбиты - 200 м. Затраты
машинного времени при использовании численно-аналитического
метода потребовались в несколько раз меньшие, чем при численном
методе.
Полномасштабные испытания методических погрешностей
универсального численно-аналитического метода были проведе-
ны на основе сравнения расчетов с численным методом по 963
КО, данные по которым были выбраны из реального каталога
космических объектов. По параметрам орбит эти КО были услов-
но разделены на 5 классов. Обобщенные характеристики распре-
деления орбит космических объектов (КО), выбранных для срав-
нения, приведены в табл. 5.5.
320 ----

Глава 5
_______________________Рисунок 5.26_________________________
Зависимость методической погрешности численно-аналитического
метода от интервала прогнозирования (радиальная составляющая)
----- 321

Глава 5
_______________________ Рисунок 5.27_______________________
Зависимость методической погрешности численно-аналитического
метода от интервала прогнозирования (боковая составляющая)
322 ---

Глава 5
dr, days	dr, days
________________________Рисунок 5.28_________________________
Зависимость методической погрешности численно-аналитического
метода от интервала прогнозирования
(трансверсальная составляющая)
---- 323

Глава 5
_______________________Таблица 5.5_______________________
Характеристики орбит КО
№ класса	Наименование класса КО	Эксцент- риситет	Наклонение, град	Высота перигея и апогея, км	Число орбит
1	Низкоорбиталь- ный	0..Д03	25...98	175...420 206...580	34
2	Среднеорби- тальный	0..Д09	23...115	450... 1200 550... 1900	353
3	Полусуточные круговые	0..Д02	53...65	19340...20250 20 220...20 700	30
4	Полусуточные высокоэллипти- ческие	0,5...0,74	16...70	700...6400 34 000...41 000	114
5	Геостационар- ные	0..Д02	0...16	34 500...36 000 35 500...36 600	432
Интервал прогнозирования для всех КО был выбран равным
50-ти виткам. Методическая погрешность оценивалась в орбиталь-
ной системе координат. Так как для низкоорбитальных КО ошибки
прогнозирования вдоль орбиты зависят от интенсивности тормо-
жения атмосферы и имеют квадратичную зависимость от интер-
вала прогнозирования, то для получения однородных статистиче-
ских данных для КО этого класса был использован нормализо-
ванный безразмерный показатель
£ =—100%,
А/
где 8t - временная невязка вдоль орбиты между результатами
расчетов, полученными численным и численно-аналитическим
методом; \t - величина атмосферных возмущений вдоль орбиты
на рассматриваемом интервале прогнозирования.
Как показывают расчеты, для низкоорбитальных КО, испы-
тывающих существенное торможение атмосферы, на интервалах
прогнозирования более одних суток данный показатель мало за-
висит от интенсивности торможения атмосферы и от интервала
прогнозирования.
Максимальные величины методических погрешностей уни-
версального численно-аналитического метода на 50-витковом ин-
324 —

Глава 5
тервале прогнозирования представлены в табл. 5.6. В этой же
таблице в последнем столбце приведены оценки затрат времени
для расчетов универсальным численно-аналитическим методом
по отношению к численному методу.
_______________________Таблица 5.6	___________________
Характеристики максимальных значений
методических погрешностей
класса	По радиус- вектору, км	По бинорма- ли, км	Вдоль ор- биты, с	£ %	Выигрыш во времени
1	0,10	0,05	-	4,5	~25
2	0,02	0,03	0,10	-	~ 15
3	0,01	0,005	0,012	-	~ 10
4	0,15	0,08	0,56	-	~3
5	0,02	0,04	0,30	-	~10
Из представленных данных можно сделать следующий вывод.
1.	Методические погрешности учета возмущений от сопро-
тивления атмосферы в универсальном численно-аналитическом
методе не превышают 5%.
Это вполне допустимый уровень ошибок, так как ошибки
расчета плотности для современных моделей атмосферы даже в
спокойные периоды гелиогеомагнитной обстановки составляют
10...30%.
2.	Для среднеорбитальных и высокоорбитальных классов КО
максимальные ошибки прогнозирования в радиальном и попе-
речном направлениях имеют приблизительно один уровень - по-
рядка 30...50м. Ошибки вдоль орбиты для этих КО достигают
0,1...0,3 с. Эти ошибки линейно возрастают по мере увеличения
интервала прогнозирования, что объясняется, в частности, не-
полным учетом короткопериодических возмущений в численно-
аналитическом методе при пересчете оскулирующих элементов в
средние. При обработке реальных измерений влияние этого фак-
тора компенсируется за счет соответствующей коррекции оцени-
ваемых параметров.
3.	Для эксцентрических орбит уровень методических по-
грешностей численно-аналитического метода в 2-3 раза больше,
---- 325

Глава 5
чем для других классов орбит. Этот факт объясняется тем, что
при построении универсальной численно-аналитическом теории
были использованы разложения по средней аномалии, которые
плохо сходятся для больших эксцентриситетов.
4.	Применение численно-аналитического метода для боль-
шинства орбит, за исключением высокоэллиптических, позволяет
на порядок сократить затраты времени прогнозирования движе-
ния космических объектов по сравнению с численным методом.
Для высокоэллиптических орбит выигрыш во времени составляет
2-3 раза.
Представлено описание основных принципов и особенностей по-
строения универсального численно-аналитического метода. Приведены
расчетные соотношения для расчета правых частей усредненных урав-
нений и короткопериодических возмущений. Структура полученных
выражений позволяет реализовать эффективные с вычислительной
точки зрения алгоритмы учета основных возмущений.
Даны оценки объема памяти, потребной для кусочно-постоянной
аппроксимации значений медленноменяющихся функций. Проведен
анализ точности моделей возмущающих сил, действующих на КО и
проанализировано влияние точности учитываемых возмущений на точ-
ность определения и прогнозирования орбит КО. Кроме того, получены
и проанализированы оценки методических погрешностей универсаль-
ного численно-аналитического метода и характеристик его быстродей-
ствия.
Литература
1.	Zeipel Н. Recherches sur le mouvement des petites planetes // Arkiv
Matemat., Astron., Fysik Col. 11(1). 11(7). 12(9). 1916.
2.	Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А, Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз. 1958.
3.	Hori G.I. Theory of general perturbations with unspecified canonical
variables // J. Japan Astron. Soc. 18.4. 1966.
4.	Deprit A. Canonical transformation depending on a small parameter //
Celest. Meeh. I. 1. 1966.
5.	Гребеников E.A., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небес-
ной механике. М.: Наука. 1971.
326 ----

Глава 5
6.	Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа не-
линейных систем. М.: Наука. 1979.
7.	Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. The
averaging method in applied problems. M.: Наука. 1986.
8.	Brouwer D., Clemence G. Methods of celestial mechanics // Academic
press. New York and London. 1961.
9.	Kaula W.M. Theory of Satellite Geodesy // Waltham MA. Blaisdell
Publishing Co. 1966.
10.	Kozai Y. Effects of solar radiation pressure on the motion of an artificial
satellite // Smithsonian Contr. Astrophys. 1963. V. 6.
11.	Юрасов B.C. Применение универсального численно-аналитиче-
ского метода для прогнозирования движения спутников в атмосфе-
ре / Труды совещания «Проблемы физики верхней атмосферы и
динамики искусственных спутников Земли» (Ужгород, 25-28 июня
1985 г.). Сб. «Наблюдения искусственных небесных тел». № 82.
Астросовет АН СССР. М., 1987.
12.	Юрасов В.С., Амелина Т.А. Применение универсального численно-
аналитического метода для прогнозирования движения геостацио-
нарных спутников / Труды конф. «Программы наблюдения высо-
коорбитальных спутников и небесных тел солнечной системы».
СПб., 1994.
13.	Yurasov V.S. Universal Semianalytic Satellite Motion Propagation
Method // Proceedings of U.S.-Russian Second Space Surveillance
Workshop. Poznan. Poland. 1996.
14.	Бойков В.Ф., Махонин Г. И, Тестов А.В., Хуторовский З.Н., Шогин
А.Н. Быстродействующие алгоритмы прогнозирования движения
для оперативного уточнения параметров и времени существования
космических объектов / Труды совещания «Проблемы физики
верхней атмосферы и динамики искусственных спутников Земли»
(Якутск, 30 июня - 4 июля 1987 г.). Сб. «Наблюдения искусствен-
ных небесных тел». № 84. Астросовет АН СССР. М., 1988.
15.	Лидов М.Л., Иванова Е.Я. Методы учета светового давления при
полуаналитическом расчете движения спутников // Институт при-
кладной математики АН СССР. 1975. № 42.
16.	COSPAR International Reference Atmosphere 1972 (CIRA-72).
Akademic verlag. Berlin. 1972.
17.	Hedin A.E. CIRA-86. Atmospheric model in the region 90-2000 km.
Draft 6/18/86. 1986.
18.	Hedin A.E. MSIS-86 Thermospheric model // Journal of Geophysical
Research. 1987. V. 92.
19.	Jacchia L. G. Thermospheric temperature, density and composition: new
models // SAO Special Report 375. 1977.
---- 327

Глава 5
20.	Barlier F. et al. A Thermospheric Model based on Satellite Drag Data //
Annales de Geophysics. 1978. 34.
21.	Justus C.G., Jeffris W.R., Yung S.P., Johnson D.L. The NASA/MSFC
Global Reference Atmospheric Model-1995 Version (GRAM-95).
NASA Technical Memorandum 4715. 1995.
22.	Модель верхней атмосферы для баллистических расчетов. ГОСТ
22721-77. М.: Изд-во стандартов. 1978.
23.	Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического
обеспечения полетов искусственных спутников Земли. М.: Изд-во
стандартов. 1984.
24.	Волков И.И., Ястребов В.В. Оценка моделей CIRA-72 и J-77 по
данным о торможении ИСЗ серии «Космос» / Труды совещания
«Проблемы физики верхней атмосферы и динамики искусственных
спутников Земли» (Якутск, 30 июня - 4 июля 1987 г.). Сб. «Наблю-
дения искусственных небесных тел». № 84. Астросовет АН СССР.
М., 1988.
25.	Волков И.И. Оценка модели атмосферы CIRA-86 по данным о тор-
можении ИСЗ серии «Космос» / Труды совещания «Проблемы фи-
зики верхней атмосферы и динамики искусственных спутников
Земли» (Одесса, 3-6 октября 1989 г.). Сб. «Наблюдения искус-
ственных небесных тел». №86. Ч. 1. Астросовет АН СССР. М.,
1990.
26.	Волков И.И., Ястребов В.В. Уточнение модели плотности атмосфе-
ры по данным об эволюции орбит ИСЗ серии «Космос» / Труды со-
вещания «Проблемы физики верхней атмосферы и динамики ис-
кусственных спутников Земли» (Одесса, 3-6 октября 1989 г.). Сб.
«Наблюдения искусственных небесных тел». № 86. Ч. 1. Астросо-
вет АН СССР. М., 1990.
27.	Волков И.И., Панкратьев О.В. Уточнение модели плотности атмо-
сферы по данным акселерометра «CACTUS» / Труды совещания
«Проблемы физики верхней атмосферы и динамики искусственных
спутников Земли» (Одесса, 3-6 октября 1989 г.). Сб. «Наблюдения
искусственных небесных тел». №86. Ч. 1. Астросовет АН СССР.
М., 1990.
28.	Назаренко А.И., Амелина Т.А., Гукина Р.В., Кириченко О.И., Кра-
вченко С.Н., Маркова Л.Г., Тумолъская Н.П., Юрасов В.С. Оценка
эффективности различных способов учета вариаций плотности ат-
мосферы при прогнозировании движения ИСЗ в периоды геомаг-
нитных бурь / Труды совещания «Проблемы физики верхней атмо-
сферы и динамики искусственных спутников Земли» (Якутск, 30
июня - 4 июля 1987 г.). Сб. «Наблюдения искусственных небесных
тел». № 84. Астросовет АН СССР. М., 1988.
328 ---

Глава 5
29.	Анисимов В.Д., Басс В.П., Комиссаров И.Н, Кравченок С.Н., Наза-
ренко А. И., Рычков А.П., Сыч В.И., Тарасов Ю.Л., Фридлендер О.Г.,
Шахмистпов В.М., Юрасов В. С. Результаты исследований аэроди-
намических характеристик и плотности верхней атмосферы с по-
мощью пассивных спутников «ПИОН» / Труды совещания «Про-
блемы физики верхней атмосферы и динамики искусственных
спутников Земли» (Одесса, 3-6 октября 1989 г.). Сб. «Наблюдения
искусственных небесных тел». № 86. Ч. 1. Астросовет АН СССР.
М., 1990.
30.	Batyr G., Bratchikov V., Kravchenko S., Nazarenko A., Veniaminov S.,
Yurasov V. Upper atmospheric density investigations based on Russian
Space Survellance System data / Proceedings of the First European
Conference on Space Debris. Darmstadt. Germany. 1993.
31.	Vallado D.A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications // US
Air Force Phillips Laboratory. 1997.
32.	Астрономический ежегодник. ИТА РАН. СПб., 1995.
33,	Everhart Е. An efficient integrator that uses Gauss-Radau spacings // In
Dynam. of Comets: Their Origin and Evolution / Eds. A. Carusl, G.B.
Valsecchi. Reidel Publ. Co. 1985. P. 185-202.
34.	Everhart E. Implicit single sequence methods for integrating orbits //
Journal Gelestial Mechanics. 1974. V. 10. P. 35-55.
35.	Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.:
Наука. 1980.
36.	Назаренко А.И. О составлении усредненных уравнений движения
искусственных спутников Земли / В кн. Современные проблемы
небесной механики и астродинамики. М.: Наука. 1973.
37.	Назаренко А.И., Скребушевский Б.С. Эволюция и устойчивость
спутниковых систем. М.: Машиностроение. 1981.
38.	Лидов М.Л., Ляхова В.А., Соловьев А.А. Полуаналитический метод
расчета искусственного спутника Луны. Препринт ИПМ АН СССР.
19754. №69,70.
39.	Лидов М.Л. Полуаналитический метод расчета движения спутни-
ков // Труды Института теоретической астрономии. 1978. № 17.
40.	Кочубей В.Д., Соловьев Г.М., Ходков Э.М. Некоторые особенности
построения математического обеспечения при исследовании вари-
аций плотности атмосферы по торможению ИСЗ / Труды совеща-
ния «Проблемы физики верхней атмосферы и динамики искус-
ственных спутников Земли» (ЛесосибирСк, 28-31 июля 1981 г.).
Сб. «Наблюдения искусственных небесных тел». № 80. Астросовет
АН СССР. М., 1982.
41.	Соловьев Г.М. Решение задачи спутника осесимметричного сферо-
ида в полуаналитическом методе расчета эволюции орбит / Труды
совещания «Проблемы физики верхней атмосферы и динамики ис-
---- 329

Глава 5
кусственных спутников Земли» (Лесосибирск, 28-31 июля 1981 г.).
Сб. «Наблюдения искусственных небесных тел». № 80. Астросовет
АН СССР. М., 1982.
42.	Чазов В.В. Основные алгоритмы численно-аналитической теории
движения искусственных спутников Земли // Труды ГАИШ
им. П.К. Штернберга. 2000. Т. 68.
43.	Cefola P.J. Equinoctial Orbit Elements - Application to Artificial
Satellite Orbits. AIAA paper 72-937 presented at AIAA/AAS
Astrodynamics Conference. Palo Alto. CA. 1972.
44.	Nazarenko A.L, Cefola P.J. and Yurasov V.S. Estimating Atmosphere
Density Variations to Improve LEO Orbit Prediction Accuracy /
Proceedings of the 1998 AAS/AIAA Space Flight Mechanics
Conference, Advances in the Astronautical Sciences. V. 99. P. 2.
Univelt. P. 1235-1264.
45.	Cefola P.J., Nazarenko A.I. and Yurasov V.S. Refinement of Satellite
Ballistic Factors for the Estimation of Atmosphere Density Variations
and Improved LEO Orbit Prediction / Proceedings of the 1999
AAS/AIAA Space Flight Mechanics Conference, Advances in the
Astronautical Sciences. V. 102. P. 2. Univelt. P. 1511-1548.
46.	Cefola P.J., Nazarenko A.L, Proulx R.J. and Yurasov V.S. Neutral
Atmosphere Density Monitoring Based on Space Surveillance System
Orbital Data / Proceedings of the 1999 AAS/AIAA Astrodynamics
Conference, Advances in the Astronautical Sciences. V. 103. P. 1257-
1291.
47.	Nazarenko A.L, Yurasov V.S, Cefola P.J., Proulx R.J. and Granholm
G.R. Monitoring of Variations of the Upper Atmosphere Density /
Proceedings of the US-European Celestial Mechanics Workshop.
Poznan. Poland. 2000. P. 375-384.
48.	Granholm G.R., Proulx R.J., Cefola P.J, Nazarenko A.I. and Yurasov
V.S. Near-real Time Atmosphere Density Correction using Navspasur
Fence Observations / Proceedings of the 2000 AAS/AIAA Space Flight
Mechanics Conference, Advances in the Astronautical Sciences. V. 105.
P. 2. Univelt. P. 1219-1234.
49.	Bergstrom S.E., Proulx R.J., Cefola P.J., Nazarenko A.I. and Yurasov
V.S. Atmospheric Density Correction Using Space Catalog Data /
Proceedings of the 2001 AAS/AIAA Astrodynamics Conference,
Advances in the Astronautical Sciences. V. 109. P. 2. Univelt. P. 1467-
1481.
50.	Granholm G.R., Proulx R.J., Cefola P.J., Nazarenko A.L and Yurasov
V.S. Requirements for Accurate Near-Real Time Atmospheric Density
Correction // The Journal of the Astronautical Sciences. January -
March 2002. V. 50. № 1. P. 71-97.
330 ----

Глава 5
51.	Bergstrom S. E., Proulx R.J., Cefola P.J., Nazarenko A.L. and Yurasov
V.S. Validation Results of An Algorithm For Real-Time Atmosphere
Density Correction and Prediction / Proceedings of the 2002
AAS/AIAA Space Flight Mechanics Conference, Advances in the
Astronautical Sciences. V. 112. P. 2. Univelt. P. 1197-1216.
52.	Cefola P.J., Proulx R.J., Nazarenko A.L and Yurasov V.S. Atmospheric
Density Correction Using Two Line Element Sets as the Observation
Data / Proceedings of the 2003 AAS/AIAA Astrodynamics Conference,
Advances in the Astronautical Sciences. V. 116. P. 3. Univelt. P. 1953—
1978.
53.	Nazarenko A.L and Yurasov V.S. Atmospheric Density Correction Us-
ing Real Orbital Data / Proceedings of the 17th International Symposi-
um on Space Flight Dynamics. V. 1. P. 327-342. Moscow. June 2003.
54.	Yurasov V.S., Nazarenko A.L., Cefola P.J. and Proulx R.J. Near Real
Time Corrections to the Atmospheric Density Model // Proceedings of
the Fifth U.S. - Russian Space Surveillance Workshop. SPb. September
2003. P. 216-235.
55.	Yurasov V.S., Nazarenko A.L, Cefola P.J., Alfriend K.T. Results and
Issues of Atmospheric Density Correction. 14th AAS/AIAA Space
Flight Mechanics Conference, Maui, Hawaii, Feb. 2004, AAS 04-305.
Published in the Journal of Astronautical Society. V. 52. № 3. July-
September 2004.
56.	Yurasov V.S., Nazarenko A.I., Cefola P.J., Alfriend K.T. Density
Corrections for the NRLMSIS-00 Atmosphere Model, AAS/AIAA
Space Flight Mechanics Conference. Copper Mountain, Co. January
23-27 2005. AAS 05-168.
57.	Yurasov V.S., Nazarenko A.L, Alfriend K.T., Cefola P.J. Reentry Time
Prediction Using Atmospheric Density Corrections / Fourth European
Conference on Space Debris. Darmstadt. Germany. April, 2005.
58.	Yurasov V.S., Nazarenko A.L, Cefola P.J., AlfriendK.T. Application of
the ARIMA Model to Analyze and Forecast the Time Series of Density
Corrections for NRLMSIS-00 / The Sixth US-Russian Space
Surveillance Workshop. St-Petersburg, August 2005.
59.	Yurasov V.S., Nazarenko A.L, Cefola P.J, Alfriend KT. Application of
the ARIMA Model to Analyze and Forecast the Time Series of Density
Corrections for NRLMSIS-00 / The Sixth US-Russian Space
Surveillance Workshop. St-Petersburg, August 2005.
60.	Yurasov V.S, Nazarenko A.L, Cefola P.J., Alfriend K.T. Review of
Results on Atmospheric Density Corrections / The Sixth US-Russian
Space Surveillance Workshop. St-Petersburg, August 2005.
61.	Yurasov V.S, Nazarenko A.L, AlfriendK.T., Cefola P.J. Direct Density
Correction Method: Review of Results. 57th International Astronautical
Congress. Valencia. Spain. October 2006. IAC-06-C1.5.2.
----- 331

Глава 5
62.	Yurasov V.S, Moscovsky A.A. Geostationary Orbit Determination and
Prediction / Proceedings of The Second U.S. - Russian Space Surveil-
lance Workshop. 4-6 July 1996. Poznan. Poland.
63.	Cefola P.J., Yurasov V.S. Optical Measurements Processing Technology
on Geostationary Satellite. Third U.S. - Russian Space Surveillance
Workshop. 20-23 October 1998. Washington. DC.
64.	Yurasov V.S. Long-Term Prediction of Space Objects Motion in GEO I
Proceedings of The Third U.S. - Russian Space Surveillance Workshop.
20-23 October 1998. Washington. DC.
65.	Yurasov V.S, Vygon V.G., Schargorodskiy V.D. Classification and Iden-
tification of Geostationary Space Objects by Using Coordinate and Pho-
tometric Observations / Proceedings of The Fourth U.S. - Russian
Space Surveillance Workshop. October 2000. Washington. DC.
332 ----

ГЛАВА б
Перспективные технологии
навигационно-баллистического
обеспечения управления
космическими аппаратами
6.1.	Направления совершенствования технологий экспериментальной
космической баллистики
6.2.	Определение орбиты низкоорбитального КА (метод, устойчивый к
возмущениям начального приближения)
6.3.	Однопунктовый способ навигации геостационарного спутника
6.4.	Определение местоположения потребителя с использованием РРР-
технологии для двухчастотного приемника СРНС ГЛОНАСС

Глава 6
Одним из путей повышения точности определения и прогно-
зирования движения КА является использование данных борто-
вой автономной системы радионавигации (АСРН). Первичные
измерения кодовых и фазовых псевдодальностей, доплеровских
смещений частоты сигналов навигационных КА глобальных нави-
гационных спутниковых систем (ГНСС) обладают высокой точ-
ностью и используются в баллистическом центре (БЦ) наземного
автоматизированного комплекса управления (НАКУ) космиче-
ских объектов наряду с ИТНП наземных средств при определении
вектора состояния (ОВС) КА.
Для решения этой задачи разрабатываются специальные
программные комплексы, методический и алгоритмический ап-
парат которых позволяет проводить определение вектора состоя-
ния КА ближнего и среднего космоса с использованием первич-
ных измерений бортовой АСРН. Научно-методические принципы
построения подобного программного комплекса обработки изме-
рений АСРН в БЦ НАКУ, его состав и структура, а также описа-
ние технологических операций и реализующих их методик и ал-
горитмов, составляющих технологический процесс использова-
ния навигационных данных ГНСС при НБО управления полетом
низкоорбитальных и геостационарных КА приведены, например,
в работах [1,2].
Совершенствование технологий НБО управления КА раз-
личного назначения связаны также с развитием технологий ре-
шения обобщенных некорректных задач НБО [3], в частности, в
условиях недостаточного объема измерительных данных. При
этом важное значение имеет методология синтеза обобщенной
технологической модели НБО, технологические модели иденти-
фикации некорректных задач определения параметров движения
космических объектов (см. гл. 5 книги 1 «Системный анализ не-
корректных задач оценивания»).
Важнейшее значение развития технологии управления и
контроля выполнения технологического цикла НБО принадлежит
активному внедрению в практику интеллектуальных систем
управления знаниями [4-6].
В главе рассмотрены методы определения орбиты низкоор-
битального КА, устойчивые к возмущениям начального прибли-
334 ---

Глава 6
жения, пути совершенствования однопунктового способа навига-
ции геостационарного спутника, а также общие направления со-
вершенствования технологий экспериментальной космической
баллистики.
6.1.	Направления совершенствования
технологий экспериментальной
космической баллистики
Направления разработки и совершенствования
космических технологий в части наземных комплексов
управления космическими аппаратами
	Однопунктные и малопунктные технологии определения
траекторий и управления КА.
	Технологии создания антенных полей с суммарной эффек-
тивной площадью, достигающей десятка тысяч квадратных
метров и более.
	Технологии создания многофункционального наземного из-
мерительного комплекса на базе территориально-распреде-
ленных полей, использующие методы когерентных измерений
в однопунктном и радиоинтерферометрическом режимах.
Направления разработки и совершенствования
космических технологий в части управления КА
	Технологии перераспределения задач между бортовыми и
наземными комплексами при управлении КА.
	Технологии управления изделиями ракетно-космической
техники с использованием спутников-ретрансляторов в ре-
жиме реального времени.
	Технологии комплексного сохранения информации в систе-
мах дистанционного зондирования Земли, в системах косми-
ческой навигации, в системах связи и в командных радиоли-
ниях в различных условиях.
	Системы передачи информации в реальном масштабе време-
ни с использованием высокоскоростных приемно-передаю-
щих устройств.
---- 335

Глава 6
	Робототехнические средства с элементами искусственного
интеллекта в наземных и бортовых космических системах.
Направления разработки и совершенствования
космических технологий в части бортовых
радиотехнических систем
	Технологии интеграции бортовых целевых и служебных
приборов в едином бортовом информационном комплексе,
построенном на принципах открытой системы.
	Технологии перехода в бортовых радиотехнических систе-
мах к сложным сверхширокополосным радиосигналам со
сложной поляризационной структурой, обеспечивающих ко-
довое разделение каналов.
	Технологии использования нейросетевых принципов постро-
ения цифровых средств формирования и обработки данных.
Направления разработки и совершенствования
космических технологий в части технологий
приборостроения
	Внедрение сквозных технологий системного проектирования
и автоматизированного производства изделий ракетно-кос-
мической техники на основе унифицированных конструк-
тивно-функциональных модулей.
	Создание программно-математических и технических
средств мониторинга состояния изделий ракетно-космиче-
ской техники и управления критически важными объектами
в режиме реального времени с использованием методов ис-
кусственного интеллекта.
Направления разработки и совершенствования
космических технологий в части электронной
компонентной базы и электронных радиоизделий
	Совершенствование технологии испытаний электронно-
компонентной базы (ЭКБ), используемой в ракетно-космиче-
ской технике.
	Технологии создания высокотехнологичного оборудования
для испытаний ЭКБ.
	Технологии перехода от системотехнических принципов ре-
ализации приборов на основе больших и сверхбольших ин-
336 —

Глава 6
тегральных схем к функциональным принципам на основе
нанотехнологий.
	Технологии создания линейки унифицированных интегри-
рованных бортовых информационных систем на электрон-
ные радиоизделия для модернизируемых и перспективных
пилотируемых и автоматических космических аппаратов и
ракет космического назначения.
	Технологии использования наноэлектроники и наноматериа-
лов в практике создания ЭКБ при производстве ракетно-
космической техники.
6.2.	Определение орбиты
низкоорбитального КА
(метод, устойчивый к возмущениям
начального приближения)
6.2.1.	Измерение траекторных параметров
наземными средствами при управлении КА
Навигационные сообщения ГНСС рассматриваются в каче-
стве основного источника навигационной информации перспек-
тивных космических комплексов при штатном функционирова-
нии КА. Однако применение только навигационных сообщений
без проведения измерений параметров орбитального движения
наземными средствами не достаточно для обеспечения надежно-
сти решения задачи определения орбиты КА и в целом навигаци-
онно-баллистического обеспечения (ИБО). Это обусловлено сле-
дующими причинами.
1.	Качество навигационных определений КА на основе спут-
никовых навигационных сообщений зависит от качества функци-
онирования ГНСС. В случае нарушения навигационного поля
ГНСС или неисправности навигационной аппаратуры потребите-
ля на борту КА определение орбиты по навигационным сообще-
ниям ГНСС становится невозможным.
---- 337

Глава 6
2.	Измерения наземных средств используют для расчета
эфемеридной информации и оценки точностных характеристик
бортовой навигационной аппаратуры. Развернутая сеть высоко-
точных наземных квантово-оптических средств позволяет полу-
чить объем измерений необходимого состава и качества, обра-
ботка которых обеспечивает расчет эталонных параметров орби-
ты для оценки качества работы бортовой навигационной
аппаратуры.
3.	Непосредственно после выведения КА на орбиту и до за-
вершения проверки соответствия результатов функционирования
бортовой навигационной аппаратуры установленным требовани-
ям именно расчеты параметров орбиты, выполненные в центре
управления полетом по наземным измерениям, являются основ-
ными данными для планирования и проведения дальнейших опе-
раций технологического цикла управления КА.
4.	Для выполнения требований к ИБО, установленных нор-
мативными документами и определяющих порядок организации
работ при управлении различными типами КА, используют избы-
точные навигационные измерения, получаемые разными измери-
тельными средствами, дублирование средств измерений и ком-
плексирование измерений при обработке.
Реализованные принципы организации измерений траектор-
ных параметров наземными средствами, состав и существующая
структура наземных измерительных средств обеспечивают доста-
точный объем измерительной информации о параметрах поступа-
тельного движения любого КА даже при нарушении работы ча-
сти наземных измерительных средств.
Возможность независимого использования для определения
орбиты измерений двух видов (получаемых с помощью наземных
или автономных бортовых измерительных средств) является не-
обходимым условием выполнения требований к надежности
НБО.
5.	При нештатных ситуациях, приводящих к потере связи с
КА, проведение навигационных измерений и определение орбиты
КА, необходимые для принятия решений по управлению КА,
становится возможным только по результатам измерений назем-
ных средств.
338 ---

Глава 6
6.	Результаты измерений наземных средств и расчетов пара-
метров орбиты, полученные в наземном комплексе управления,
могут быть проверены и при необходимости уточнены. Для про-
верки результатов измерений и качества навигационных опреде-
лений могут быть привлечены дополнительные средства измере-
ний, использование которых в штатных режимах эксплуатации
КА не предусмотрено. Для контроля результатов обработки из-
мерений и расчетов по определению орбиты предусмотрена воз-
можность проведения вычислений в дублирующих баллистиче-
ских центрах.
7.	При проведении особо ответственных операций управле-
ния КА для обеспечения высокой надежности и достоверности
данных о параметрах орбиты можно применять комплексирова-
ние наземных и бортовых измерений. К числу особо ответствен-
ных операций относятся:
1)	определение траектории движения после выведения КА
на орбиту;
2)	проведение орбитальных маневров;
3)	стыковка;
4)	спуск;
5)	маневр уклонения при возникновении угрозы столкнове-
ния с космическим объектом.
Наземные измерительные средства следует считать источником до-
стоверной информации о параметрах траектории орбитального дви-
жения КА. Отказ от использования измерений наземных средств пре-
пятствует возможности выполнения требования по обеспечению вы-
сокой надежности решения задач НБО управления полетами.
6.2.2.	Проблемные вопросы определения орбиты
низкоорбитального КА
Задача определения параметров траектории движения КА
относится к широкому классу обратных задач (задач оценки па-
раметров системы) в тех случаях, когда оцениваемые параметры
недоступны непосредственному измерению. Обратные задачи,
как правило, являются некорректно поставленными задачами.
Рассмотрим операторное уравнение
---- 339

Глава 6
Ax = z,	(6.1)
где А:{Х0] ciX Z - оператор с непустой областью определе-
ния {Хо}, действующий в общем случае из метрического про-
странства X в метрическое пространство Z. Задание про-
странств X и Z является необходимым элементом математиче-
ской постановки задачи (6.1).
При НБО используют определение обобщенно-корректной
задачи [2, с. 62]. Решение задачи определении орбиты сводится к
расчету параметров орбиты х по измеренным значениям пара-
метров траектории z, и задача (6.1) называется обобщенно-
корректной, если:
1)	решение существует и принадлежит множеству {с X;
2)	решение единственное на множестве с X;
3)	для любых xls х2е{Аг0} и любого числа s>Q существу-
ет такое 8(e) > 0, что из неравенства pz(Axx, Ахг)<8(е) следу-
ет неравенство
Рх(х1’ х2^£’	(6-2)
4)	решение и процесс его получения удовлетворяет ограни-
чениям вида
{Zi}^{Z*i},	(6.3)
где - параметры, характеризующие качество полученного ре-
шения; - допустимые значения параметров;
5)	затраты времени на решение отвечают условию
^реш ~ ^реш ’	(6.4)
где - затраты времени на решение задачи;	- допустимое
время решения.
Именно ограничение (6.4) определяет важное требование практики к
оперативности решения задач НБО управления полетами орбитальной
группировки. Решение (6.1) может быть получено путем подбора ре-
340 —

Глава 6
шения из области его нахождения. Теоретическое обоснование воз-
можности такого пути метода содержится в работе [14, с. 38-43]. Од-
нако такой путь не гарантирует выполнение условия (6.4) и при опе-
ративном управлении неприемлем.
Устойчивость корректной постановки задачи определения
параметров понимается здесь в смысле устойчивости по Ляпуно-
ву как непрерывная зависимость решения от возмущений исход-
ных данных [12, с. 560, 561]. Отсутствие непрерывной зависимо-
сти решения от исходных данных является причиной, по которой
формализованные постановки задач определения орбиты рас-
сматриваются как некорректные [12, с. 930, 1132]. При этом вы-
деляют три вида нештатных ситуаций [2, с. 30]:
1)	наличие в выборке большого объема навигационных из-
мерений со значительными погрешностями;
2)	ограниченный объем выборки ИТНП, обусловленный
невыполнением штатной схемы измерений траекторных пара-
метров;
3)	существенное отклонение начального приближения пара-
метров орбиты от искомого решения.
Первые два вида нештатных ситуаций приводят к информа-
ционной необеспеченности задачи, а третий вызывает нарушение
условия взаимнооднозначного отображения искомых параметров
орбиты и измеренных навигационных параметров. Детальный об-
зор состояния исследований по созданию методов решения не-
корректных задач определения орбиты КА приведен в работах [2,
3, 6, 8, 14].
К настоящему времени разработан ряд методов решения некоррект-
ных задач, возникающих в связи с информационной необеспеченно-
стью. Они базируются на идее А.Н. Тихонова о целесообразности
сужения области определения исходного оператора задачи (6.1) [15].
Вопросы, связанные с разрешением первых двух видов ситу-
аций, в подразделе не рассматриваются. Однако следует отме-
тить, что методы решения некорректных задач определения ор-
биты, нашедшие применение в практике управления КА для раз-
----- 341

Глава 6
решения нештатных ситуаций первого и второго вида, могут
быть разделены на две основные группы [2]:
1) методы, основанные на универсальных идеях теории реше-
ния некорректных задач, изложенных в фундаментальной работе
[14], и комбинированных подходах к использованию таких идей,
направленные на использование различных регуляризирующих
процедур, в том числе процедур обращения плохо обусловленных
матриц системы нормальных или условных уравнений;
2) методы, учитывающие свойства орбитального движения
КА, и основанные на анализе особенностей решаемой физиче-
ской задачи.
Методы этих групп неприменимы для разрешения нештат-
ной ситуации третьего вида. Так как при неудачном начальном
приближении необходимо, очевидно, не сужать, а, напротив,
расширять область определения оператора задачи (6.1), т.е. стре-
миться к выполнению условия {Jf0} -> max.
Таким образом, задача создания методов и алгоритмов определения
орбиты, устойчивых к возмущениям начального приближения, дикту-
ет необходимость выполнения действий, противоречащих используе-
мому основному направлению построения алгоритмов решения не-
корректных задач, вызванных информационной необеспеченностью.
Причины возникновения существенного отклонения
начального приближения искомых параметров орбиты,
приводящие к некорректным постановкам задачи
определения орбиты
1.	Выведение КА на орбиту со значительным отклонением
фактической траектории от расчетной траектории.
2.	Существенное отклонение параметров орбиты от номи-
нальных после проведения динамической коррекции траектории
движения.
3.	Ошибки прогнозирования движения, обусловленные про-
должительным интервалом прогноза или неадекватностью моде-
ли движения реальным физическим условиям полета.
Указанные причины проявляются, главным образом, при
управлении низкоорбитальными КА.
342 ---

Глава 6
Специализированные исследования, направленные на создание мето-
дов и алгоритмов, обеспечивающих расчет орбитальных параметров
при существенном отклонении параметров начального приближения
от искомого решения, прежде не проводились.
Актуальность дальнейшего развития технологии НБО и со-
здания методов определения орбиты, устойчивых к возмущениям
исходных данных, обусловлена следующими причинами.
1.	Свойства алгоритмов расчета существенно влияют на тре-
бования к схемам, объему выборки навигационных измерений.
Содержание и порядок операций технологического цикла управ-
ления, функциональная и эксплуатационная эффективность при-
менения КА во многом зависят от свойств алгоритмов расчета
параметров орбиты.
2.	Непрерывное повышение требований к уровню автомати-
зации процессов управления функционированием КА диктует
необходимость создания алгоритмов определения орбиты харак-
теризующихся устойчивых итерационными схемами расчета.
Разработанные и используемые в настоящее время алгоритмы
расчета орбитальных параметров при нештатных ситуациях мо-
гут требовать вмешательства оператора в процесс расчета для
гибкого управления сходимостью итерационных вычислений.
Несмотря на редкость неблагоприятных нештатных ситуаций,
возможность их возникновения следует учитывать и превентивно
разрабатывать меры по их предотвращению и более совершенные
методы расчета.
3.	Одним из направлений повышения эксплуатационной эф-
фективности космических комплексов является перенос части за-
дач, традиционно возлагаемых на наземные средства, в бортовой
комплекс управления. К числу таких задач следует отнести зада-
чу определения орбиты, так как она является первоочередной за-
дачей технологического цикла планирования целевого примене-
ния и управления КА.
Возможность выполнения бортовыми средствами всего ком-
плекса подзадач, необходимых для определения орбиты, выклю-
чающих проведение навигационных измерений, предваритель-
ную обработку измерений и вычисление вектора параметров ор-
--- 343

Глава 6
биты, создаст благоприятные условия для повышения эксплуата-
ционной эффективности космических комплексов за счет сниже-
ния нагрузки на средства наземного комплекса управления.
Разработка новых алгоритмов, обеспечивающих надежность и до-
стоверность решения задачи определения орбиты бортовыми сред-
ствами за счет использования устойчивых вычислительных схем,
является важным направлением совершенствования технологии
управления КА.
4.	Тенденцией развития математического обеспечения про-
цессов управления КА различного целевого назначения является
создание унифицированных комплексов НБО, или унифицирован-
ных подсистем комплексов, использование которых допустимо
при управлении различными типами КА. В рамках отмеченной
тенденции находится задача разработки алгоритмов определения
параметров орбиты, отличающихся устойчивыми вычислитель-
ными схемами, иначе говоря, хорошими характеристиками вы-
числительного процесса, сохраняющимися при вариации исход-
ных данных, необходимых для расчета в широком диапазоне зна-
чений.
Поисковые исследования показали, что повышение устойчивости вы-
числительных схем определения орбиты к возмущениям начального
приближения может быть достигнуто за счет разработки нового мето-
да расчета, основанного на построении алгоритма взаимнооднознач-
ного отображения и измеряемых и расчетных значений (расчетных
аналогов) текущих навигационных параметров траектории.
6.2.3.	Требования к разработке
устойчивого к возмущениям начального приближения
метода определения орбиты КА
Введем обозначения и представим классическую формали-
зованную постановку задачи определения орбиты по измерениям
текущих навигационных параметров траектории (ИТНП), следуя
работам [1, 4, 5, 7]. Пусть движение КА задано системой диффе-
ренциальных уравнений
344 ---

Глава 6
X(t) = F(t,X,G\ X(t^ = e {Jf0} cz R\	(6.5)
где X(t) = [x^Z),...,xn(Z)]T eLx - вектор состояния центра масс
КА; G - вектор возмущающих ускорений; Lx - метрическое
пространство параметров вектора состояния; Хо, {Хо}, п - со-
ответственно начальное приближение, область его допустимых
значений, размерность вектора состояния.
С вектором состояния X(t} связаны измеряемые параметры
траектории
Z = Н(Х) + 8Z, Ze {Z} czRm,	(6.6)
где Ze.Lz - измеряемые параметры; Lz - метрическое про-
странство измеряемых параметров; 8Z - вектор погрешностей
измерения; {Z}, т - соответственно множество возможных зна-
чений измеряемых параметров и размерность вектора измеряе-
мых параметров.
Результаты измерения траекторных параметров запишем в виде
Z(0 = [Z(^z(tm)]T,	(6.7)
где - значение параметра, измеренное в момент времени tj .
Задача определения орбиты КА по результатам измерений
текущих навигационных параметров, формулируется следующим
образом: для заданных модели движения КА (6.5) и модели изме-
рений (6.6) по измеренным значениям текущих навигационных
параметров траектории движения Z заданного состава и точно-
сти, определить вектор состояния Jf(/0).
При отсутствии экспериментальных данных о свойствах ошибок из-
меренных текущих навигационных параметров Z, допустимо пред-
положить, что ошибки измерений 8Z распределены по нормальному
закону с нулевым математическим ожиданием и конечными вторыми
моментами.
Такое предположение основано на центральной предельной
теореме теории вероятностей, в которой устанавливается закон
------------------------------------------------------ 345

Глава 6
распределения случайной величины, являющихся суммой или
другой функцией большого числа независимых или слабо зави-
симых случайных величин. Теорема определяет, что случайная
величина, являющаяся результатом действия большого числа
случайных величин, имеющих конечные математические ожида-
ния и дисперсии, характеризуется вероятностным законом, близ-
ким к нормальному распределению.
Оценку вектора состояния КА X(fo) получим методом
наименьших квадратов, пользуясь линейной моделью оценивания
поправок к начальному приближению вектора состояния. При
линейной модели оценивания, когда ошибки измерений являются
нормальными случайными величинами, применение других ме-
тодов статистической оценки параметров по результатам измере-
ний приводит, как известно, к оценкам метода наименьших квад-
ратов [4-6].
При случайных ошибках измерений, распределенных по нормальному
закону, оценки метода наименьших квадратов являются несмещен-
ными, состоятельными и эффективными, т.е. наилучшими среди всех
возможных линейных точечных оценок.
Линейная формализация нелинейной зависимости, связыва-
ющей измеряемые параметры Z с определяемыми элементами
вектора состояния Х(/о), приводит к необходимости использова-
ния способа последовательных приближений для расчета искомо-
го вектора состояния
Х(К)(/0) - Хо + £a(A)AYw(/0),	(6.8)
к=х
где X^K\tb) - вектор начальных условий, рассчитанный на ите-
рации К\ ДХ(^(70) - вектор поправок к начальным условиям,
рассчитанный на итерации к;	- итерационный параметр,
влияющий на сходимость; К - число последовательных прибли-
жений.
346 ----

Глава 6
В комплексах НБО расчет поправок ДХ(А;)(/0) осуществляют
методом наименьших квадратов, минимизируя функционал
Л = £[ z(Zy)-Zp(/y,X(K)(Z0)) ] Ц —>min,	(6.9)
% (%о)
где zp(tj9X^(tQ) - расчетное значение навигационного парамет-
ра, вычисленное на итерации с номером (Л);	- вес измерения.
Поправки	к вектору состояния Х(^(/о), удовле-
творяющие минимуму функционала определяют решением
системы уравнений
^- = 0, z = l(l>.	(6.10)
dXj
Уравнение для вычисления поправок ДХ^ к начальному
приближению координат вектора состояния X^k\t0), полученное
линеаризацией уравнений (6.10), представляют в виде
ВДХ(к)=С,	(6.11)
где В - ATPZA;
C-ATPzAZ; А =
dZ II
----- - матрица частных
^(/0)|
производных измеряемых параметров по определяемым элемен-
там орбиты; Pz - диагональная матрица весовых коэффициентов
измерений; AZ -вектор отклонения измеренных и расчетных
значений навигационных параметров.
Погрешность оценки вектора состояния определяется кова-
риационной матрицей
KZ=(ATPZA)~X.	(6.12)
Для дальнейшего изложения важно подчеркнуть, что в
функционале (6.9) независимым параметром является время про-
ведения измерения tj.
---- 347

Глава 6
Сложные технические системы наземного или бортового комплексов
управления, применяемые для определения орбиты, включают взаи-
мосвязанные аппаратные и программные средства. Модернизация та-
ких систем с целью улучшения свойств и выходных характеристик
может оказаться трудоемкой и дорогостоящей процедурой в случае,
если предусматривает изменения основных элементов или сложив-
шихся функциональных связей системы.
Выдвинем два требования к разработке метода определения
орбиты, отличающегося устойчивостью к возмущениям началь-
ного приближения.
Требование 1. Новый метод обеспечивает расчет параметров
орбиты при существенном отклонении начального приближения
от искомого решения и ограничении на продолжительность про-
ведения расчетов только за счет развития программных средств
системы НБО.
Требование 2. Новый метод допускает возможность приме-
нения апробированных методов решения некорректных задач,
вызванных информационной необеспеченностью задач измери-
тельной информацией.
Выполнение требования 1 позволит:
1)	улучшить функциональные характеристики системы НБО;
2)	сохранить в существующей системе НБО состав, структу-
ру, основные функциональные связи системы;
3)	минимизировать затраты ресурсов на модернизацию си-
стемы НБО в связи с изменением программного комплекса толь-
ко одной подсистемы - подсистемы математической обработки
навигационных измерений и расчета параметров орбиты.
Выполнение требования 2 сохраняет возможность примене-
ния существующего арсенала методов и приемов решения некор-
ректных задач.
6.2.4.	Построение инъективного отображения
измеряемых и расчетных параметров орбиты КА
Основная идея метода, предложенного для обеспечения
устойчивости к возмущениям начального приближения, заключа-
348 --

Глава 6
ется в обеспечении взаимно однозначного соответствия измерен-
ных и расчетных траекторных параметров.
Типовые зависимости параметров траектории низкоорби-
тального КА в функции времени, измеряемые наземными или
бортовыми средствами, приведены на рис. 6.1-6.3. При навига-
ционных измерениях относительно наземного средства точку на
орбите, находящуюся на минимальном расстоянии от наземного
средства, называют параметром.
Предложенный подход к построению отображения измерен-
ных и искомых параметров применим для обработки измерений
наземных и бортовых средств, получаемых, в частности, и при
межспутниковых навигационных сеансах.
Поэтому в дальнейшем изложении внешнее средство, при-
меняемое для проведения измерений текущих навигационных
параметров, вне зависимости от места его размещения, будем
называть навигационным ориентиром. Точку на орбитальной
траектории, расположенную на минимальном расстоянии от
навигационного ориентира, назовем точкой траверза.
Время, чч:мм
_________________________Рисунок 6.1________________________
Графики зависимости радиальной скорости
относительно средства измерения:
1 - НСр = 300 км; 2 - Яср = 600 км; 3 - Нср = 1000 км
---- 349

Глава 6
Время, чч:мм
,Рисунок 6.2.
Графики зависимости расстояния между КА и измерительным
средством:
1 -Нср = 300 км; 2-Нср - 600 км; З-Н^ = 1000 км
Время, чч:мм
________________________Рисунок 6.3_______________________
Графики зависимости относительных измерений дальности:
1 - Яср = 300 км; 2 - Яср = 600 км; 3 - Нср - 1000 км
350 ----

Глава 6
Все зависимости (рис. 6.1-6.3) на продолжительных интер-
валах времени являются немонотонными функциями. Это не поз-
воляет использовать их без ограничения для построения взаим-
нооднозначного отображения. Однако условие монотонности вы-
полняется для некоторых участков зависимостей, находящихся в
зоне радиовидимости измерительного средства:
1)для зависимостей радиальной скорости и относительных
измерений наклонной дальности в окрестности момента времени
прохождения КА через точку траверза (на рис. 6.1 окрестность
отмечена интервалом [7>и1, 7>и2]);
2) для зависимости наклонной дальности на двух участках
зависимости, расположенных справа и слева относительно точки
траверза.
В методе, предложенном для обеспечения устойчивости к
возмущениям начального приближения, использованы именно
участки монотонных зависимостей для построения алгоритма
инъективного отображения. Этот алгоритм предусматривает
строго определенный порядок вычисления расчетных значений
измеренных навигационных параметров [10, 11].
Так, пусть в зоне радиовидимости некоторого измери-
тельного средства получено / измерений некоторого навига-
ционного параметра z7,...,zy+z, а расчетная орбита задана век-
тором Хо.
Для вычисления расчетных значений навигационных пара-
метров должна выполняться следующая последовательность
действий [10, 11].
1.	На расчетной орбите XQ находят точку х*(Х0), минималь-
но удаленную от навигационного ориентира (точку траверза).
2.	Выделяют окрестность вблизи точки траверза, где зави-
симость измеренного навигационного параметра является мо-
нотонной.
3.	В окрестности точки x*(Jf0) вычисляют моменты времени
tp (ZjXq ),..., tp (zj+J 9 Xo), в которые на орбите Хо расчетные
значения навигационного параметра, соответствующие орбите,
----- 351

Глава 6
равны значениям параметров z	действительно измерен-
ных в навигационном сеансе.
Очевидно, что точка х* (Хо), минимально удаленная от из-
мерительного средства, является единственной точкой на орбите
Хо. Предложенная последовательность предусматривает, по су-
ществу, сопоставление одного участка траектории движения на
расчетной орбите со схожим участком траектории на искомой
орбите, оба расположенные в окрестности траверза навигацион-
ного ориентира. Вычисление невязок расчетных и измеренных
значений навигационных параметров следует проводить с учетом
физических особенностей орбитального движения низкоорби-
тального КА.
По существу сравнивают два аналогичных участка траекто-
рии на расчетной и искомой траекториях. Следуя предложенной
последовательности действий, получаем, что измеренные и рас-
четные значения навигационных параметров являются равными,
но попарно отличаются моменты времени, один из которых отно-
сится к измеренной, а второй к расчетной траектории.
Невязки моментов времени, при которых равны значения
навигационных параметров на расчетной и действительной орби-
тах, запишем в виде [10, 13]
=/(zy)-Zp(Z7,Jf(/0)), j = 1(1>.	(6.13)
Тогда расчет параметров орбиты следует искать из условия
т
F2	] 2 ->min>	(6.14)
7=1	Х°
где 69* - вес значения t{zj).
Функционал вида (6.14) отличается от традиционного
функционала (6.9) переменной, используемой для вычисления
невязок, и не применялся прежде в задачах экспериментальной
баллистики.
352 ----

Глава 6
6.2.5. Метод инверсного преобразования
траекторных измерений
Результаты измерений текущих навигационных параметров
представим в виде двух векторов:
Z(z) = [z(Zj),...,z(Zz(Zm)]T :
_г т . _г г	(6Л5)
Сеансы измерения параметров траектории движения КА
можно рассматривать как измерения выходных характеристик
сложной динамической системы. При этом для традиционного
функционала Fx программой измерения являются значения век-
тора Тт - моменты времени tj, выходными характеристиками
значения вектора Zm. Для функционала F2 в качестве програм-
мы следует рассматривать значения вектора Zm, а результатом
измерения характеристик значения Тт [13].
Схема рассогласования измеренных и расчетных параметров
в случае, если измерениями траекторных параметров являются
значения наклонной дальности Zj = dj, представлена на рис. 6.4 и
поясняет физический смысл функционала F2. На рисунке: А -
действительная орбита; В - расчетная, соответствующая некото-
рому приближению вектора состояния XL(f$).
В традиционном функционале Fx невязки рассчитывают как
разность измеренных и расчетных значений Дб/у- = d(t/) -dp(t,
где d(tj) - измеренная и расчетная dp(tу) наклонная дальность
между КА и навигационным ориентиром. Измеренная и расчет-
ная дальность соответствует одному и тому же моменту времени
tj. Здесь моменты времени tj можно рассматривать в качестве
программы измерений.
В функционале F2 рассогласованием является разность мо-
ментов времени на действительной и расчетной орбитах, соответ-
ствующих равным значениям измеренной наклонной дальности
---- 353

Глава 6
________________________Рисунок 6.4_________________________
Схема рассогласования измеренных и расчетных
навигационных параметров функционалов F\ и Fi
At = t(dj) - tp(dj), где t(dj) - момент времени, соответствующий
измеренному значению dj; t (dj) - время на расчетной орбите
XL(tQ), при котором наклонная дальность равна dj . При функ-
ционале F2 действительно измеренная и расчетная наклонная
дальность равна d(t)=d(t ), но они соответствуют разным мо-
ментам времени t Ф tp . Моменты времени измерения наклонной
дальности следует считать выходными характеристиками навига-
ционных сеансов.
Вычисления искомых орбитальных параметров проводят
минимизацией:
1) при функционале Fx невязок наклонной дальности, соот-
ветствующих программе измерений, определенной вектором Тт \
2) при функционале F2 невязок моментов времени, которым
соответствуют равные значения измеренной и расчетной наклон-
ной дальности; при этом значения наклонной дальности Zw, из-
354 ----

Глава 6
меренные в навигационных сеансах, следует рассматривать в ка-
честве программы измерений.
Параметр «наклонная дальность» используется здесь как
пример: аналогичные схемы могут быть построены для других
линейных или скоростных параметров траектории движения КА.
Важным является то, что равные значения измеренных и расчет-
ных параметров траектории рассматриваются в разные моменты
времени.
Иногда для иллюстрации особенностей различных навига-
ционных методов используют поверхности положения - геомет-
рическое место точек пространства с одинаковыми значениями
навигационных параметров. При дальномерном методе навига-
ции поверхностями положения являются сферы с радиусами,
равными измеренным наклонным дальностям. Тогда возможна
следующая интерпретация предложенного подхода. Уточнение
параметров орбиты сводится:
1) при функционале Fx к вычислению таких радиусов сфер,
при которых минимизируется рассогласование между измерен-
ными и расчетными радиусами, соответствующими одним и тем
же моментам времени;
2) при функционале F2 к поиску такой расстановки на рас-
четной орбите по времени сфер, радиусы которых соответствуют
измеренным значениям наклонной дальности, при которой ми-
нимизируется разность между моментами времени привязки сфер
на действительной и расчетной орбитах.
Предложенный функционал F2 приводит к необходимости
введения нового текущего навигационного параметра - времени
достижения программного значения линейного или скоростного
параметра траектории движения. В качестве линейных парамет-
ров рассматривается наклонная дальность, а в качестве скорост-
ных - радиальная скорость или относительные измерения
наклонной дальности.
Обоснованная возможность применения нового функциона-
ла и нового навигационного параметра и при обработке измере-
ний позволяет сформулировать новый метод определения пара-
метров орбиты.
---- 355

Глава 6
6.2.6.	Математический подход
к инверсному преобразованию
траекторных измерений
Пусть выполнены следующие условия:
1)	задана программа траекторных измерений как совокуп-
ность моментов времени измерения навигационных параметров
2)	получена выборка текущих навигационных параметров
Z = [zj,..., z}, zm ]т , измеренных относительно навигационных
ориентиров с известными координатами в соответствии с про-
граммой Рг;
3)	отображение Рг Z инъективно.
Предположим, что значения времени t- являются результатом
сеансов навигационных измерений, а совокупность текущих нави-
гационных параметров zy е Z определяет программу измерений.
Измерениями следует считать значения моментов времени /. , при
которых в орбитальном полете наступает достижение программных
значений линейных или скоростных параметров траектории движе-
ния ZjtZ. Измерения представим вектором Z* =	, а
программу измерений - вектором Pr* =[z1,...,zy ,...,zw]T.
Предположим, что ошибки измерений характеризуются
функцией плотности вероятности p[Z* - Z*p (Pr*, XQ)], где
Z*(Pr*,Jf0) - расчетные значения времени достижения про-
граммных линейных или скоростных параметров траектории, со-
ответствующие некоторому вектору начальных условий XQ. То-
гда параметры орбиты определим из условия
p[Z* - Zp(Pr*,Х0)] -> max .
Если ошибки измерений подчиняются нормальному закону
распределения, определение орбиты сводится к минимизации
функционала наименьших квадратов
356 --

Глава 6
У[ *(z )-f (z ,X0) ] 2<У* ->min,
7=1	%°
где Z(^y), tp(zj,XQ) - соответственно измеренные и расчетные
значения навигационных параметров; cOj - вес неравноточных
измерений.
Для расчета значений	следует применять алгоритм
вычисления расчетных значений навигационных параметров, в ко-
тором для вычисления расчетных аналогов используют монотон-
ные зависимости текущих навигационных параметров, располо-
женных в окрестности траверза навигационного ориентира.
Вес измерений следует назначать традиционно: обратно про-
порционально дисперсии погрешностей определения навигацион-
-2	2
ных параметров a>j = at j, где at j - дисперсия погрешности вре-
мени tj.
При определении значений сг^ целесообразно учитывать
следующие рекомендации. В некоторой окрестности измеренного
навигационного параметра zy- зависимость zy =z(ry ) может быть
аппроксимирована функцией =лу1/7+ау0, где а;1, ау 0 - ко-
эффициенты линейной функции. Откуда следует	у 5
где a^ j - дисперсия погрешности измерения . Предположим,
что для измерения параметров орбиты применяются N средств
траекторных измерения.
Представим измеренные навигационные параметры траекто-
рии в виде Z=[Z1,...,ZW,...,Z2V]T, где и = 1,...,#; Zn и zbj-gZw,
j = jnf-'jn;! ~ соответственно вектор навигационных парамет-
ров и навигационные параметры, измеренные средством с номе-
ром л;	~ соответственно начальный и конечный номер
измерений, выполненных средством п.
---- 357

Глава 6
Пусть - дисперсия погрешности измерения станции п.
Тогда ajj=a^x(j^ при j = jn^Численные исследования
показали, что при измерении параметров околокруговых орбит
2	2
можно считать ах = aj X.
Применение нового навигационного параметра отличает
сформулированный метод от других методов определения орби-
ты. Используемый в теории навигации параметр - время прохож-
дения КА через траверз навигационного ориентира (или иначе -
время на параметре КА в зоне радиовидимости наземного нави-
гационного ориентира), может рассматриваться как частный слу-
чай этого навигационного параметра.
В терминологическом смысле инверсия означает, в частности,
изменение обычного порядка следования членов последовательно-
сти. Идея метода заключается в изменении традиционного порядка
обработки результатов навигационных сеансов [13]. Этим объяс-
няется использование слова «инверсия» в названии метода.
Метод инверсного преобразования по существу соответствует идее
А.Н. Тихонова, предложенной для решения некорректных задач и
предусматривающей выполнение процедур, позволяющих провести
ограничение области поиска искомого решения.
В методе инверсного преобразования такое ограничение достигается
за счет использования алгоритма взаимно однозначного отображения
измеренных и расчетных траекторных параметров. Алгоритм ограни-
чивает область расчета невязок функционала участками, в которых
зависимость измеренных параметров является монотонной функцией.
6.2.7.	Экспериментальное исследование
метода инверсного преобразования
траекторных измерений
Предпосылкой проведения сравнительного исследования
функционала метода инверсного преобразования траекторных
измерений (6.14) с традиционным функционалом (6.9) является
совпадение результатов расчета параметров орбит при использо-
вании двух функционалов. Многочисленные экспериментальные
358 ---

Глава 6
исследования подтвердили идентичность решений задачи опре-
деления орбиты, полученных при использовании этих функцио-
налов, при условии единой выборки измерений, одинаковых ма-
тематических моделях движения и метрических пространствах
искомых и измеряемых параметров [10].
Пусть требуется определить отображение Fx F2. связыва-
ющее функционал F15 традиционно применяемый при решении
задачи определения орбиты, и функционал метода инверсного
преобразования траекторных измерений F2. Решение функцио-
налов Fx и F2 сводится к решению систем линейных уравнений,
связывающих поправки к некоторому приближению вектора Хо
с невязками измеренных и расчетных параметров орбиты. Анали-
тическая взаимосвязь функционалов следует из возможности
преобразования одной из двух систем линейных уравнений к
другой путем замены переменных в системах.
Пусть дана система линейных уравнений функционала Fx
dzx dzx
дхх дх2
&2	&2
дхх дх2
dzm
дхх дх2
1
(6.16)
где dzi / dxj - частные производные измеренных параметров по на-
чальным условиям; Azj = z(tj)-zp- невязки измеренных и
расчетных значений, соответствующие функционалу Fx; A¥Q0) =
= [Д15...., А,,..., Д„]т - искомые поправки к вектору состояния.
С погрешностью, не превышающей величин первого поряд-
ка малости, запишем Az,. =—-А/,., где —-— частая производная
7 dtj J dtj
---- 359

Глава 6
измеренного параметра z • в момент времени tj . Тогда предста-
вим (	6.16) в виде dzx dtx dzx dtx	dzx dtx dtx dxx dtx dx2	dtx dxn dz2 dt2	dz2	dt2	dz2 dt2 dt2 dxx	dt2	dx2	dt2 dxn ... <K: Gtm _dtmdxx	dtmdx2	dtmdxn_	-^-Az, r ,	3z. 1 Al &2 A,	—-\t2 I = dt2	,	(6.17) J
где Arj=	- невязки измеренных и расчетных
значений, соответствующие функционалу F2 .
Из (6.17) получим систему линейных уравнений функциона-
ла F2:
dtx dtx
дхх дх2
dZ2 dti
дхх дх 2
dtm
дхх дх2
(6.18)
Последовательность преобразований (6.16)-(6.18) доказыва-
ет аналитическую взаимосвязь функционалов F2 и Fx. Анало-
гично может быть показано наличие обратного отображения
F2 -> Fx. Таким образом, аналитически доказано существование
инъективного отображения Fx <-> F2.
Очевидно, что обе системы уравнений (6.16) и (6.18) могут
использоваться для поиска поправок к начальному приближению
параметров орбиты. Однако следует предположить, что характе-
ристики этих систем уравнений могут отличаться. За счет этого
могут отличаться и свойства итерационных процессов расчета
параметров орбиты при различных функционалах.
360 ----

Глава 6
Расчет параметров траектории
после выведения КА на орбиту_________________________
Представлены результаты решения задачи определения ор-
биты по натурным измерениям наземных средств, выполненным
после выведения группы малых КА на орбиту. Принятая техно-
логия предусматривает следующую последовательность действий
при первоначальном определении орбитальной траектории таких
КА после отделения от PH:
1)	непосредственно после завершения активного участка
траектории PH измерение траекторных параметров орбитального
движения не проводят, так как для получения качественной из-
мерительной информации по каждому КА необходимо взаимное
удаление их друг от друга;
2)	взаимное удаление выведенных КА достигается за счет
длительного полета продолжительностью около 90 витков, т.е.
6 суток полета;
3)	после удаления КА друг от друга осуществляют ИТНП
орбиты каждого КА на 90... 105 витках полета и затем определя-
ют их орбиты.
Продолжительный интервал полета от момента отделения КА от PH
до начала ИТНП является важной особенностью, существенно отли-
чающий схему определения орбиты группы малых КА от традицион-
ной схемы, при которой параметры орбиты выведенного КА измеря-
ют сразу на первых витках полета.
Отмеченная особенность существенно влияет на характери-
стики итерационного процесса расчета параметров орбиты таких
КА. В качестве начального приближения для расчета параметров
орбиты используют параметры целевой орбиты, заданной априо-
ри до старта PH, т.е. орбиты, предназначенной для целевого при-
менения КА.
Опыт летных испытаний показал, что априори рассчитанные началь-
ные условия движения КА являются неудачным начальным прибли-
жением задачи расчета параметров орбиты по ИТНП, полученным че-
-----361

Глава 6
рез 6 и более суток полета после окончания активного участка траек-
тории. Ввиду отличия фактической и расчетной траекторий, не всегда
удается получить решение такой задачи штатным программным ком-
плексом баллистического центра, использующим традиционный
функционал.
Результаты натурных ИТНП движения одного КА получены
при следующих условиях.
1.	КА с баллистическим коэффициентом 6 = 0,00048 м2 / кг ,
выведен 23.05.2014 г. на околокруговую орбиту высотой около
1500 км.
2.	В зоне радиовидимости одного наземного средства, уста-
новленного вблизи города Санкт-Петербург, в период 30-31 мая
2014 г. измерены приращения наклонной дальности между КА и
наземным средством.
3.	Сведения о навигационных сеансах указаны в табл. 6.1.
______________________Табл и ца 6.1____________________
Навигационные сеансы
Характеристика	Сеанс 1	Сеанс 2	Сеанс 3	Сеанс 4
Виток проведения ИТНП	92	93	100	101
Начало сеанса (чч.мм.сс)	16.19.14	18.17.14	07.26.14	09.24.14
Окончание сеанса (чч.мм.сс)	16.22.13	18.21.06	07.29.17	09.25.48
Длительность сеанса, с	179	231	183	94
Число параметров, измерен- ных в сеансе	180	232	184	095
4.	Расчет параметров орбиты проведен методом наименьших
квадратов на основе итерационной процедуры метода Ньютона-
Гаусса с помощью двух программ определения орбиты:
1)	программа штатного комплекса в БЦ НАКУ, применяемая
при НБО;
2)	программа определения орбиты, в которой реализован ме-
тод инверсного преобразования траекторных измерений.
5.	При расчетах параметров орбиты для предварительной
обработки измерительной информации использованы методы и
362 ---

Глава 6
алгоритмы обработки, применяемые в настоящее время в штат-
ных комплексах программ определения орбиты БЦ НАКУ.
Результаты расчета параметров орбиты одного КА позволи-
ли сделать следующие выводы [28].
1.	Применение программы штатного комплекса БЦ НАКУ и
параметров целевой орбиты в качестве начальных условий зада-
чи определения орбиты не позволили рассчитать параметры ор-
биты КА.
2.	Применение программы определения орбиты, основанной
на методе инверсного преобразования, в которой параметры це-
левой орбиты использованы в качестве начальных условий обес-
печило решение задачи.
3.	Параметры целевой орбиты на 92-м витке с начала прове-
дения ИТНП имеют существенные отклонения от искомых пара-
метров по двум переменным:
- по оси абсцисс гринвичской системы координат отклоне-
ние равно 330 км;
-по времени пересечения КА плоскости экватора в восхо-
дящем узле 92-го витка отклонение составило 10 мин 01,679 с.
4.	Использование решения задачи, полученного методом ин-
версного преобразования, в качестве начального приближения
для расчета штатным комплексом БЦ НАКУ позволило удачно
получить решение. При этом параметры орбит обоих решений
близки и вполне приемлемо говорить о полном совпадении этих
решений.
Результаты расчета параметров орбиты и некоторые харак-
теристики процесса итерационного вычисления приведены в
табл. 6.2 -6.5.
Расчеты получены для расширенного вектора состояния,
включающего искомые параметры орбиты и систематические по-
грешности навигационных сеансов. Полученный вектор состоя-
ния соответствует моменту времени прохождения экватора в вос-
ходящем узле 92-го витка.
В табл. 6.2 приведены поправки к параметрам вектора состо-
яния в декартовой системе координат при итерационных вычис-
лениях методом инверсного преобразования.
---- 363

Глава 6
_______________________Таблица 6.2_______________________
Поправки к параметрам вектора состояния
Номер итерации	Д7Х, км/с	ДРу, км/с	ДР^ , км/с	Дх, км	Ду, км	. Д?, км
1	0,31653	3,60816	-0,97857	532,1426	1085,6302	4014,7928
2	0,15534	-0,36429	0,04767	150,5995	94,6994	-475,0447
3	-0,07411	0,36141	-0,09352	-77,3170	-84,0266	474,4801
4	0,37456	0,36262	-1,02512	580,9532	1093,5909	4044,6539
5	0,02222	0,01075	-0,00710	15,0706	-5,7271	15,0894
6	0,00669	-0,00196	-0,00078	4,4505	-0,1514	-2,2672
7	0,00091	-0,00045	-0,00005	0,6309	0,0373	-0,5467
8	0,00020	0,00012	-0,00007	0,14156	-0,0651	0,1684
9	-0,00011	-0,00002	0,00002	-0,0752	0,0159	-0,0265
10	0,00001	0	0	-0,0038	0,0019	0,0139
В табл. 6.3 для каждой итерации представлены:
1)	значения систематических погрешностей (<Tiz,..., cr4z),
свойственные первому (crlz), ..., четверному (cr4z) навигацион-
ным сеансам;
2)	уточняемое значение времени прохождения экватора t3 в
восходящем узле 92-го витка; при этом в строке с номером ите-
рации «О» указано начальное приближение времени, соответ-
ствующее, априори, заданной целевой орбите;
3)	число обусловленности матрицы частных производных
системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов.
Систематические погрешности навигационных сеансов су ,
найденные штатным комплексом программ БЦ НАКУ, составили:
crlz = 0,02630 км; cr2z = 0,02591 км;
a3z = 0,02631 км; cr4z = 0,02687 км.
Указанные значения погрешностей, близки к значениям по-
грешностей, полученным методом инверсного преобразования и
приведенным в последней строке табл. 6.3. Взаимное отличие
двух расчетов систематических погрешностей не превышает
0,4 м и составляет 0,15% модуля значения.
364 ---

Глава 6
________________________Таблица 6.3_______________________
Систематическая погрешность, время прохождения экватора,
число обусловленности матрицы частных производных
Номер итерации	(Tlz , км	cr2z, км	<r3z, км	<r4z, км	/э, чч.мм.сс	
0	0	0	0	0	15.54.10,0462	-
2 1	-0,65526	0,02515	0,06548	-0,04064	15.44.05,1069	155814
"~2	0,13884	-0,00111	0,35031	0,53008	15.45.16,5908	166437
3	-0,05879	0,00393	-0,32322	-0,41683	15.44.09,4316	374591
4	-0,01982	-0,00197	-0,04909	-0,064448	15.44.05,1273	255207
5	0,23060	0,00040	-0,01697	0,00986	15.44.02,990	192496
- 6	0,00644	-0,00043	-0,00015	0,00775	15.44.03.3117	197342
7	0,00085	-0,00009	0,00018	0,00128	15.44.03.3891	202625
8	0,00023	0,00003	-0,02632	0,02707	15.44.03,3652	199935
9	-0,00011	0,02587	0,02639	0,02700	15.44.03,3693	200326
ю	0,02634	0,02584	0,02636	0,02698	15.44.03,3702	204738
Следует отметить, что значения параметров вектора состоя-
ния, рассчитанных при решении задачи определения орбиты, за-
висят от состава измерительной информации. Навигационные
измерения, исключенные из выборки навигационных измерений,
влияют на результаты решения. В табл. 6.4 приведены сведения о
результатах обработки навигационных измерений. Очевидно, что
количество измерений, использованных при определении орбиты
обоими рассмотренными программными комплексами, отличает-
ся незначительно - на 0,3%.
______________________Таблица 6.4______________________
Навигационные измерения
Номер сеанса	Число навигационных параметров измеренных в сеансах	Число измерений, использованных комплексом БЦ НАКУ	Число измерений, использованных алгоритмами диссертации
1	180	164	165
2	232	213	213
3	184	167	166
4	95	078	80
Z	691	622 (90%)	624 (90,3%)
---- 365

Глава 6
В табл. 6.5 представлены расчеты параметров орбиты на 92-м
витке:
-	орбита А - решение методом инверсного преобразования;
-	орбита Б - начальное приближение (заданная целевая ор-
бита Б);
-	разность параметров орбиты А и орбиты Б;
-	орбита В - решение штатным алгоритмом БЦ НАКУ.
Обозначения: Я,кв, LW11-высота и долгота в восходящем
узле; а, е, Q, i, a), v - кеплеровские элементы орбиты, время
приведено в формате чч.мм.сс.
________________________Таблица 6.5______________________
Результаты расчета параметров орбиты
Параметр	Орбита А	Орбита Б,	Разность А-Б	Орбита В
Дата	30.05.2014	30.05.2014	30.05.2014	30.05.2014
Время	15.44.03,3702	15.54.05,0462	-00.10.01,6759	15.44.03,35458
Vx, км/с	0,361670	0,352749	0,008922	0,361582
Fy, км/с	-0,029697	-0,036288	0,006591	-0,029051
Vz, км/с	7,060759	7,056767	0,003992	7,060745
X, км	-513,87784	-843,48577	329,60793	-513,919907
у, км	-7849,99718	-7829,47269	-20.52449	-7850,022561
Z , км	0	0	0	0
/Гэкв, км	1488,66298	1496,640878	-7,977897	1488,60105
£экв,град	266,254648	263,851137	2,403501	266,256076
Тд, мин	115,881491	115,991760	-0,110269	115,881508356
а, км	7876,54349	7881,527614	-4,984117	7876,5441727
е	0,001497	0,000889	0,000608	0,001496
Q,град	345,223344	345,333672	-0,110328	345,2229845
i, град	82,444753	82,501573	-0,056828	82,4454222
, град	325,663016	15,634348	310,028674	325,5342932
V , град	34,336984	345,365652	49,9713260	34,4757068
366 ----

Глава 6
Из табл. 6.5 следует, что решение, полученное штатными ал-
горитмами БЦ ПАКУ совпадает с решением метода инверсного
преобразования. Значения радиус-векторов решений отличается
на 35 м, а векторов скорости на 0,085 м/с.
Проведенные исследования показали, что метод инверсного преобра-
зования устойчив к возмущениям начального приближения, обеспе-
чивает выполнение нормативных требований НБО по затратам време-
ни на решение задачи определения орбиты при оперативном управле-
нии КА (т.е. условия (1.4) обобщенно-корректной задачи).
Оценка допустимых отклонений
начального приближения___________________________________
Оценка области допустимых отклонений начального при-
ближения, при которых удалось получить решение задачи опре-
деления орбиты методом инверсных преобразований траектор-
ных измерений при обработке натурных ИТНП, приведена в
табл. 6.6-6.7. КА находился на околокруговой орбите высотой
около 1000 км. Параметры вектора состояния КА в кеплеровских
элементах приведены в первом столбце таблиц. Длительность
мерного интервала составила 23 мин. ИТНП выполнены тремя
измерительными средствами, расположенными вблизи городов
Санкт-Петербург, Москва, Улан-Уде.
В таблицах показаны граничные значения области определе-
ния начального приближения вектора состояния, при которых
последовательные приближения устойчиво сходятся к искомому
решению. Расчет границ проведен путем пробных решений, а
именно: последовательного возмущения одной координаты век-
тора состояния при условии равенства всех других координат
значениям, приведенным в первом столбце таблиц, и проверке
возможности получения решения.
Границы области допустимых отклонений начального при-
ближения, свойственные методу инверсного преобразования,
приведены в табл. 6.6, штатного метода БЦ НАКУ- в табл. 6.7.
Значения границ представлены в кеплеровских элементах орби-
ты, в скобках приведены отклонения границ от значений, пока-
занных в первом столбце.
---- 367

Глава 6
_______________________Таблица 6.6______________________
Области допустимых отклонений начального приближения
Кеплеровские элементы орбиты	Левая граница		Правая граница	
	Мин. значение	Число итераций	Макс, значение	Число итераций
а = 7362 км Т = 104,7 мин	6502 (-2860) 86,8 (-17,9)	5	10252 (+2890) 172,1 (+67,4)	11
е = 0,0027523	0 (-0,0027523)	3	0,1227523 (+0,12)	6
i = 82,966472 град	30,966472 . (-52)	11	103,966472 (+21)	7
Q = 156,450286 град	141,450286 (-15)	7	189,450286 (+33)	8
v= 128,725137 град	69,725137 (-59)	4	383,725137 (+255)	7
со = 231,274868 град	173,274868 (-58)	4	481,274868 (+250)	7
/= 12.05.45,12030 чч.мм.сс.ддддд	10.51.45,12030 (-01.14.00)	5	12.22.45,12030 (+00.17.00)	4
_______________________Таблица 6.7_______________________
Штатный метод программного комплекса БЦ
Кеплеровские элементы орбиты	Левая граница		Правая граница	
	Мин. значение	Число итераций	Макс, значение	Число итераций
а - 7362 км Т = 104,7 мин	6999 (-363) 97 (-7,7)	6	7742 (+380) 112,9 (+8,2)	7
е = 0, 0027523	0 (-0,002752)	3	0,06 (+0,0572477)	6
/ = 82,966472 град	71,966472 (-Н)	8	100,966472 (+18)	8
Q = 156,450286 град	146,450286 (-Ю)	6	168,450286 (+12)	6
v= 128,725137 град	119,725137 (-9)	8	139,725137 (+Н)	8
со = 231,274868 град	222,274868 (-9)	8	242,274868 (+П)	8
/= 12.05.45,12030 чч.мм.сс.ддддд	12.02.45,12030 (-00.03.00)	7	12.07.45,12030 (+00.02.00)	6
368 ----

Глава 6
Показаны значения и отклонения драконического периода
ДГО для орбит с максимальным и минимальным значениями
большой полуоси. В столбцах 3 и 5 дано число итераций, выпол-
ненных при поиске решения с указанной в таблице граничной ве-
личиной отклонения параметра. Так запись «6» означает, что при
определении параметров орбиты с указанной граничной величи-
ной отклонения соответствующего параметра выполнено 6 шагов
итерационных вычислений.
Из таблиц видно:
1)	метод инверсного преобразования позволяет получить
решение в случае, если погрешность значения большой полуоси в
векторе начального приближения находится в диапазоне -
2860...+2890 км, а погрешность времени в диапазоне -
74...+17 мин;
2)	штатный метод программного комплекса БЦ позволяет
получить решение, если в начальном приближении искомого ре-
шения погрешность большой полуоси находится в диапазоне -
363.. .+380 км, а погрешность времени в диапазоне -3.. .+2 мин.
Анализ результатов экспериментального исследования,
представленных в табл. 6.1-6.7, и другие многочисленные ре-
зультаты, полученные при расчете параметров орбиты КА по
натурным и моделируемым измерениям траекторным параметров
для широкого диапазона возможных траекторий низкоорбиталь-
ных КА, выявили ряд свойств метода инверсного преобразования
траекторных измерений.
Свойство 1. Допустимое отклонение начального приближе-
ния метода инверсного преобразования превышает допустимое
отклонение, свойственное алгоритмам, основанным на традици-
онном функционале (6.19) и штатно применяемым при НБО в
наземном комплексе управления КА.
Рассчитанные оценки границ допустимой области начально-
го приближения подтверждают правомерность применения
функционала метода и алгоритма взаимно однозначного отобра-
жения измеряемых и расчетных навигационных параметров ор-
битальной траектории для расширения допустимой области
начального приближения задачи определения орбиты низкоорби-
тального КА.
---- 369

Глава 6
Свойство 2. Наиболее существенное значение допустимого
отклонения начального приближения в методе инверсного преоб-
разования наблюдается по большой полуоси орбиты и времени
привязки начальных условий.
Свойство 3. Зависимость допустимых отклонений пара-
метров начального приближения метода инверсного преобразо-
вания, как правило, обратно пропорциональна продолжительно-
сти мерного интервала. Наибольшее расширение границ допу-
стимого начального приближения достигается при обработке
ИТНП, полученных на мерном интервале продолжительностью
20...30 мин. При мерных интервалах менее 20 мин граничные
значения могут уменьшаться вследствие информационной не-
обеспеченности выборки навигационных измерений при таком
мерном интервале. Отмеченное свойство характерно и для штат-
ного метода БЦ.
Свойство 4. Метод инверсного преобразования обеспечива-
ет устойчивость итерационной процедуры вычисления даже в
случаях грубого задания начального приближения вектора состо-
яния и позволяет, как правило, уточнить параметры орбиты за
3...7 шагов последовательных приближений. Необходимое коли-
чество шагов последовательных приближений в основном зави-
сит, во-первых, от отклонения начального приближения от иско-
мого значения, во-вторых, от продолжительности мерного интер-
вала. Число шагов прямо пропорционально отклонению и
продолжительности мерного интервала.
При схеме навигационных определений, предусматриваю-
щих ежесуточное проведение ИТНП и уточнение вектора состоя-
ния, параметры орбиты удается рассчитать за 2.. .3 шага.
Свойство 5. Для учета систематических погрешностей сеан-
сов навигационных измерений необходимо включать искомое
значение погрешности каждого сеанса в состав вектора искомых
параметров. Увеличение размерности вектора искомых парамет-
ров не приводит к нарушению устойчивости итерационной про-
цедуры поиска параметров орбиты.
Отмененные свойства метода инверсного преобразования
траекторных измерений сохраняются при расчетах параметров
орбиты всего возможного диапазона траекторий, применяемых
при эксплуатации низкоорбитальными КА.
370 ---

Глава 6
Метод следует рекомендовать для расчета параметров орбиты на
начальном этапе орбитального полета КА. При значительных ошиб-
ках выведения КА на орбиту в случае, если действительная орбита
существенно отличается от расчетной, вычислить параметры орбиты
КА по априори заданным параметрам целевой орбиты затрудни-
тельно. Свойства метода способствуют успешному решению такой
задачи.
Применение метода на практике обеспечивает выполнение
требований к методу определения орбиты, изложенные в §1.3.
Так, внедрение метода в практику управления полетами КА не
требует изменения обычных организационных мероприятий для
проведения навигационных сеансов, порядка работы измеритель-
ных средств и действий обслуживающего персонала. Необходимо
только дополнение штатных программных комплексов програм-
мой определения орбиты, в которой реализован метод инверсного
преобразования.
Предложенный метод не накладывает ограничения на использование
известных методов решения некорректных задач, применяемых для
обработки таких результатов измерений, которые приводят к плохой
обусловленности задачи вызванных информационной необеспеченно-
стью выборки измерений.
6.3. Однопунктовый способ навигации
геостационарного спутника
Исходные предпосылки_________________________________
Широкое распространение для навигации геостационарных
спутников (стационарных искусственных спутников Земли
(СИСЗ)) произвольных типов и конструкций, управляемых раз-
личными спутниковыми операторами по всему миру получил
способ, основанный на проведении и обработке измерений от
единственной станции [1]. Причины такой популярности подоб-
ного однопунктового способа навигации связаны с удобством
----- 371

Глава 6
управления, низкой стоимостью эксплуатации (по сравнению,
например, с многопунктовыми способами). Кроме того, нередко
возможность привлечения дополнительных измерительных
средств просто отсутствует [2].
Среди возможных измерений текущих навигационных пара-
метров любого КА одним из наиболее простых является наклон-
ная дальность [1]. Но если для КА других типов обработка даль-
ностей от единственной станции, проведенных в течение не-
скольких сеансов, позволяет с достаточно высокой точностью
определить все параметры орбиты (как внутриплоскостные -
описывающие движение КА в плоскости орбиты, так и внеплос-
костные - описывающие положение этой плоскости), то для
СИСЗ из-за очевидной геометрической неопределенности этот
измеряемый параметр обладает крайне малым откликом к изме-
нениям внеплоскостных параметров.
Соответствующая краевая задача обработки дальностей для определе-
ния параметров орбиты СИСЗ является неустойчивой (некорректной)
в смысле возможности значительного возрастания ошибок в результа-
тах ее решения даже при сравнительно небольших погрешностях из-
мерений [1,3,4, 9,10].
Возможность применения однопунктового способа для
навигации СИСЗ с точностью, обеспечивающей его надежное
удержание в заданном угловом диапазоне по долготе и широте,
реализуется благодаря применению специальных мер и учету
определенных обстоятельств [1]:
1)	эффективная регуляризация некорректной задачи обра-
ботки измерений дальности с одной станции может быть выпол-
нена за счет дополнительного привлечения к обработке проводи-
мых той же станцией измерений углового положения линии ви-
зирования на спутник;
2)	точность определения внутриплоскостных элементов ор-
биты спутника зависит исключительно от точности измерений
дальности, точность определения внеплоскостных элементов - в
значительной степени от точности угловых измерений;
3)-----избыточные измерения дальности позволяют производить
уточнение постоянных систематических составляющих погреш-
372 	

Глава 6
ностей угловых измерений, что уменьшает их влияние и суще-
ственно повышает точность определения внеплоскостных пара-
метров (поскольку эти составляющие погрешностей в большин-
стве случаев являются превалирующими);
4)	выбор специальной структуры цикла измерений:
продолжительность............................1,5... 2,5 сут.
длительность каждого сеанса....................5...20 мин
шаг измерений в сеансе..........................10.. .30 с
шаг проведения сеансов...........................2...3ч
является необходимым условием для обеспечения требований к
точности и надежности навигации;
5)	обеспечение заметно более высокой точности определе-
ния внутриплоскостных элементов орбиты по сравнению с вне-
плоскостными удачно соответствует особенностям управления
удержанием спутника по долготе (чувствительного именно к
ошибкам внутриплоскостных параметров) и по широте (значи-
тельно менее критичного к ошибкам соответствующих внеплос-
костных параметров) [2].
Перечисленные положения необходимо учитывать при раз-
личных практических реализациях однопунктового способа нави-
гации СИСЗ. В то же время, необходимость проведения и обра-
ботки угловых измерений для реализации однопунктовой схемы
предъявляет целый ряд дополнительных требований как к ис-
пользуемым техническим средствам, так и к соответствующим
методам обработки ИТНП;
6)	антенна станции должна иметь достаточно сложные
устройства для измерения и передачи данных об угловом поло-
жении линии визирования на спутник;
7)	для уменьшения межсеансового разброса систематиче-
ских погрешностей угловых измерений антенна станции, как пра-
вило, должна быть оснащена специальными устройствами анти-
обледенения, защиты от снега, дождя, порывистого ветра и пр.;
8)	размеры антенны должны позволять обеспечивать прием-
лемый уровень случайных ошибок угловых измерений:
диаметр зеркала:
в С-диапазоне..........................не менее 8... 10 м
в Ки-диапазоне...................................4.. .6 м
--- 373

Глава 6
необходимо выполнять периодическую юстировку угломерных
каналов антенной системы;
9)	алгоритм обработки должен позволять производить ком-
пенсацию влияния систематических ошибок измерений углов
азимута и места на точность определения параметров орбиты,
учитывать относительную значимость дальномерных и угловых
измерений при их совместной обработке и пр.
Обеспечение возможности отказа от использования угловых измере-
ний при выполнении требований по точности и надежности позволяет
значительно снизить затраты на проведение навигации СИСЗ и явля-
ется крайне желательным.
6.3.1.	Анализ известных подходов
Известные подходы к обеспечению возможности использования из-
мерений только дальности от единственной станции основаны на ре-
гуляризации соответствующей краевой задачи за счет сокращения
(изменения) уточняемых параметров либо за счет привлечения апри-
орной информации того или иного вида об этих параметрах.
Один из подобных подходов состоит в уточнении по ре-
зультатам обработки измерений дальности только внутриплос-
костных параметров орбиты обслуживаемого геостационарного
спутника. При этом внеплоскостные параметры не уточняются
(сохраняются их исходные значения). В отечественной практике
управления полетом СИСЗ подобный подход применялся в ЦУП
НПО ПМ для навигации неуправляемых по наклонению (широ-
те) спутников [1]. На интервалах полета СИСЗ, при которых
наклонение орбиты превышало 0,5°, надежно уточнялись все
шесть элементов его орбиты (ввиду достаточно большой дина-
мики движения спутника относительно наземного измерителя).
При наклонении меньше 0,5° уточнялись только четыре внутри-
плоскостных элемента орбиты, а наклонение и долгота восхо-
дящего узла орбиты фиксировались и брались их прогнозируе-
мые значения.
Ошибки прогнозирования внеплоскостных элементов орби-
ты в основном зависят от начальных ошибок их определения (не
374 --

Глава 6
приводящих к вековым уходам), а также от возмущающих уско-
рений при проведении коррекций по долготе [1, 2]. Поскольку
эти возмущения на интервале 1 год не превышали нескольких уг-
ловых секунд, то на интервале активного существования СИСЗ с
малым наклонением обеспечивалась точность знания наклонения
не хуже 1,5”, а долготы восходящего узла - не хуже 3°. Данные
ошибки являлись допустимыми для целей удержания спутников
по долготе.
Другой известный подход состоит в уточнении всего состава
кинематических параметров только периодически с привлечени-
ем дополнительных средств в некоторых отдельных циклах
ИТНП. В промежуточных циклах используется только дальность
от одной станции и уточняются лишь внутриплоскостные пара-
метры, а для внеплоскостных параметров принимаются значения,
получаемые в результате прогнозирования с предыдущего цикла.
Правомерность применения этого подхода была подтвер-
ждена при управлении полетом спутника «КУПОН», когда для
высокоточного определения всех параметров орбиты периодиче-
ски (один раз в 2,5-3 недели) привлекались данные оптических
наблюдений спутника с телескопа пика Терскол [1].
Для получения уточненных значений всех кинематических параметров
орбиты может использоваться метод главных компонент [5]. При этом
за счет исключения незначимых компонент (например, с применением
метода кросс-проверки [6]) удается получить устойчивое решение зада-
чи обработки измерений дальности от единственной станции.
Среди известных подходов можно также назвать привлече-
ние априорной информации об ошибках параметров орбиты
СИСЗ. Такая информация обычно задается в виде ковариаци-
онной матрицы этих ошибок. Ее достаточно знать с точностью
до некоторого множителя, значение которого может прини-
маться в качестве параметра регуляризации и выбираться при
выборе устойчивого решения одним из рекомендованных
в [4, 5] способов.
Общим недостатком перечисленных подходов, снижающих
возможность их применения в реальной практике, является зави-
---- 375

Глава 6
симость от наличия и точности дополнительных данных о пара-
метрах орбиты спутника. Желательным является обеспечение
возможности получения устойчивого решения только по одним
дальностям при минимальном использовании априорных ограни-
чений на исходные значения параметров орбиты.
6.3.2.	Предпосылки для совершенствования
однопунктового способа навигации
стационарного искусственного спутника
Исследования показывают, что информация о внеплоскост-
ных параметрах орбиты СИСЗ в выборке измерений дальности,
проведенных на определенных мерных интервалах с достаточной
точностью, все же имеется. На рис. 6.5 даны графики изменения
отклонений координат dX, dY, dZ и составляющих вектора ско-
рости СИСЗ dVx, dVy, dVz по осям гринвичской системы коорди-
нат от эталонных значений при их уточнении по моделирован-
ным измерениям дальности с постоянным уровнем CKOd случай-,
ной погрешности 0,3 м и изменяющимся от 0 до 2 м уровнем
сеансной систематической погрешности CKODsys.
_______________________Рисунок 6.5_______________________
Изменение ошибок навигации СИСЗ при возрастании уровня
сеансных систематических погрешностей измерений дальности;
CKOd = 0,3 м
376 ----

Глава 6
Анализ графиков показывает, что если CKOosys не превыша-
ет 0,7...0,8 м, то даже применение обычной обработки позволяет
получить приемлемую для управления удержанием СИСЗ точ-
ность навигации не только по внутриплоскостным (X, Y, Vx, Vy),
но и по внеплоскостным (Z, Vz) параметрам.
К числу дополнительных предпосылок, которые способ-
ствуют реализации возможности использования только измере-
ний дальности для уточнения всех элементов орбиты СИСЗ, сле-
дует отнести:
1)	корреляционные связи между внутриплоскостными и вне-
плоскостными элементами орбиты СИСЗ при совместном уточ-
нении по данным обработки ИТНП являются крайне слабыми,
что позволяет выполнять их независимое уточнение без суще-
ственных потерь в точности;
2)	имеется возможность проведения циклов ИТНП без суще-
ственных ограничений, реализуя необходимые по структуре мер-
ные интервалы;
3)	имеются в наличии и уже находятся в эксплуатации высо-
коточные измерительные средства, обеспечивающие дециметро-
вый и даже сантиметровый уровень аппаратурных погрешностей
измерения дальности до СИСЗ (не только зарубежные станции
типа SATRE, DARTS, но и ряд отечественных станций [1]).
Анализ показывает, что гипертрофированное возрастание ошибок
определения внеплоскостных параметров орбиты СИСЗ при обработ-
ке измерений только дальности от одной наземной станции возможно
в случае превышения определенного уровня погрешностей исходных
данных. Поэтому необходимо выявление и возможное уменьшение
всех источников этих погрешностей, а также разработка способов для
повышения устойчивости решения краевой задачи.
Источниками погрешностей исходных данных являются по-
грешности ИТНП, а также ошибки применяемых моделей изме-
рений и движения СИСЗ. При выборе способов проверки умень-
шения их влияния на точность навигации СИСЗ целесообразно
использовать известный из теории обработки наблюдений метод
анализа невязок измерений [5, 6].
---- 377

Глава 6
6.3.3.	Структурные составляющие
однопунктового способа навигации
Уменьшение погрешностей модели измерений
Модель измерения дальности включает учет аппаратурных
погрешностей и погрешностей среды распространения сигнала.
Анализ особенностей влияния различных составляющих погреш-
ностей измерений дальности до геостационарного спутника пока-
зывает:
1)	влияние на точность навигации случайных погрешностей
эффективно ослабляется при обеспечении в сеансе информаци-
онной избыточности:
длительность............................не менее 5...7 мин
шаг измерений...........................не более 20... 30 с
2)	влияние постоянных для всех сеансов данного цикла изме-
рений систематических погрешностей не является существенным;
3)	влияние постоянных в пределах одного сеанса, но изме-
няющихся от сеанса к сеансу систематических погрешностей,
оказывается определяющим.
Последний вид погрешностей в значительной степени обу-
словлен тропосферной и ионосферной составляющими погреш-
ности измерения дальности [1]. Для компенсации их влияния мо-
гут использоваться подходы, разработанные, например, для вы-
сокоточной навигации спутников систем ГЛОНАСС/GPS. Они
заключаются в применении математических моделей для расчета
корректирующих поправок каждого выполненного измерения,
либо в применении специальных технических средств, например
двухчастотных приемников сигналов.
Обобщая результаты анализа способов компенсации влияния тропо-
сферной ошибки на результаты измерений дальности, можно отме-
тить, что достаточным для реализации рассматриваемой технологии
навигации является применение модели с текущим значением индекса
рефракции [1]. Для снижения влияния ионосферы на погрешность из-
мерения дальности в большинстве случаев достаточно применять мо-
дель ГОСТ [7]. Остаточные погрешности могут быть при этом сниже-
ны до 0,2...0,4 м.
378 ---

Глава 6
Совершенствование модели движения спутника 
Модель движения большинства геостационарных спутников
включает учет влияния следующих возмущающих факторов [1,3]:
1)	составляющие силы гравитационного притяжения Земли,
обусловленные его нецентральностью;
2)	силы гравитационного притяжения Луны;
3)	силы гравитационного притяжения Солнца;
4)	силы прямого светового давления;
5)	силы тяги двигательной установки на участках ее включе-
ния для выполнения маневров.
Анализ невязок измерений показывает, что учет других возмущений
мало влияет на точность навигации с помощью разрабатываемого
способа. Гораздо более значимым является совершенствование спосо-
бов учета влияния перечисленных выше основных возмущающих
факторов.
Для описания влияния силы гравитационного притяжения
Земли обычно используется модель разложения земного потен-
циала в ряд по сферическим функциям [1,2]. Существующие мо-
дели обеспечивают учет до нескольких сотен членов такого раз-
ложения. Однако отличия соответствующих невязок измерений
дальности, полученные с помощью применения одной из наибо-
лее высокоточных моделей JEM-З и с помощью модели ПЗ-90,
используемой при навигации отечественных СИСЗ, являются не-
значимыми (не превышают 0,05...0,07 м).
Влияние на движение геостационарного спутника гравита-
ционного притяжения Луны или Солнца обычно описывается как
притяжение точечных масс, хотя более высокоточные модели мо-
гут включать разложение соответствующих потенциалов в ряды
до 3-й гармоники.
Однако, как было установлено при проведении данных исследова-
ний, гораздо большее влияние на точность навигации СИСЗ по из-
мерениям только дальности от единственной станции может оказы-
вать учет специфического влияния силы гравитационного притяже-
ния Луны.
----379

Глава 6
Этот эффект иллюстрируется графиками изменения трассы
подспутниковой точки СИСЗ на интервале проведения цикла
ИТНП (рис. 6.6, 6.7) для различных вариантов положения Луны.
Если за время проведения цикла измерений Луна пересекает
плоскость орбиты спутника, и одновременно шаг проведения
сеансов измерений дальности в сеансе превышает 2,5...3ч, то
из-за существенно нелинейного изменения внеплоскостных па-
раметров орбиты может значительно возрастать погрешность
навигации.
_________________________Рисунок 6.6________________________
Трасса подспутниковой точки спутника KAZSAT-1
на двухсуточном интервале 5-6 декабря 2006 г.
(Луна пересекает плоскость экватора)
Трасса подспутниковой точки спутника KAZSAT-1
на двухсуточном интервале 9-10 декабря 2006 г.
(Луна не пересекает плоскость экватора)
380 ----

Глава 6
Результаты проведенных исследований позволили устано-
вить, что эффективный способ компенсации роста погрешностей
навигации из-за обнаруженного специфического влияния Луны
достаточно прост: необходимо, чтобы интервалы между сеансами
измерений дальности при проведении цикла не превышали 2 ч
(рис. 6.8).
________________________Рисунок 6.8_______________________
График изменения ошибки навигации по широте
при изменении интервала между сеансами измерения дальности
Анализ влияния различных источников ошибок модели движения
СИСЗ показывает, что основным из них является приближенность
описания воздействия силы светового давления на корпус аппарата.
Традиционный подход к ослаблению этого влияния на точность нави-
гации спутника состоит в включении постоянного коэффициента све-
тового давления /const наряду с элементами орбиты в состав уточня-
емых параметров при обработке измерений.
Проведенные исследования позволили установить, что в
рассматриваемой ситуации использования для навигации только
измерений дальности целесообразным является применение бо-
лее сложной модели влияния силы светового давления с пере-
менным значением коэффициента /var, зависящим от следующих
факторов:
1)	изменение расстояния от спутника до Солнца;
2)	высота Солнца над плоскостью орбиты;
----- 381

Глава 6
3)	затмения Солнца и Луны;
4)	отличие отражательных характеристик различных элемен-
тов конструкции спутника;
5)	изменение плоскости поперечного сечения корпуса аппа-
рата по отношению к направлению на Солнце.
Последний фактор наиболее сложен для учета, поскольку он
зависит от формы спутника, его программных разворотов
(например, при выдаче маневров), способов изменения ориента-
ции и взаимных затмений элементов конструкции, солнечных ба-
тарей, антенн и пр. Однако он оказывает и наибольшее влияние
на точность навигации в однопунктовом варианте по одним даль-
ностям, позволяя, например, в несколько раз снижать уровень
остаточных невязок измерений, как это показано на рис. 6.9 в
примере реализации однопунктового способа навигации спутни-
ка KAZSAT-1.
________________________Рисунок 6.9_______________________
Поведение невязок измерений дальности AR
для различных моделей учета влияния силы давления
солнечной радиации (спутник KAZSAT-1, станция Акколь,
цикл измерений 16-18 сентября 2006 г.)
Следует отметить, что использование модели с переменным значени-
ем коэффициента светового давления /var позволяет отказаться от
его уточнения, что дополнительно способствует регуляризации про-
цедуры обработки измерений.
382 ----

Глава 6
Проведенные исследования позволили также установить, что
при наличии на интервале проведения измерений включений
двигателя коррекции соответствующие компоненты вектора силы
тяги должны учитываться в модели движения спутника. Для того
чтобы невязки измерений не возросли заметно по отношению к
варианту обработки при отсутствии включений, необходимо,
чтобы ошибки моделирования влияния этой силы не превышали
10% от номинальной величины. Следует заметить, что такой уро-
вень ошибок обычно уверенно обеспечивается при навигации
СИСЗ после проведения калибровки двигателей коррекции [1].
Регуляризация процедуры обработки
результатов измерений__________________________________
Уменьшение влияния рассмотренных источников погрешностей до
уровней, соответствующих остаточным невязкам в измерениях даль-
ности порядка нескольких дециметров, является необходимой, но не-
достаточной мерой. Повышение надежности навигации в рассматри-
ваемом варианте требует применения дополнительной регуляризиру-
ющей процедуры.
Поскольку в данном случае можно выполнять независимое
уточнение внутриплоскостных и внеплоскостных элементов орби-
ты без существенных потерь в точности, то в качестве такой проце-
дуры рассматривалось применение метода подбора решения некор-
ректной задачи [4, 5], предполагающего выполнение серии реше-
ний при различных значениях искомых параметров и выбор из них
наилучшего с использованием стабилизирующего функционала.
Могут применяться различные виды таких функционалов: эвклидо-
ва норма вектора решения, значение определителя или следа кова-
риационной матрицы ошибок определяемых параметров и пр.
Исследования показали, что в условиях неопределенности
относительно погрешностей моделей и исходной информации
наиболее высокую точность позволяет получить применение
фукционала метода кросс-проверки [1, 6]. Он формируется путем
разделения выборки полученных ИТНП на две части, по одной из
которых осуществляется решение задачи, а по второй выполняет-
ся контроль качества такого решения.
---- 383

Глава 6
Пусть:
{Rj j	- совокупность всех поступивших измерений
дальности; 1 7Ъ=1,2,. мой выборки;	- совокупность измерений дальности обучае- - совокупность измерений дальности кон- ..,7V
трольной выборки;
M=L + N;
f - исходные значения внеплоскостных элементов ор-
биты спутника;
4ЛЛЛ ~ уточненные значения внутриплоскостных эле-
ментов орбиты, полученные статистической обработкой измере-
ний дальности из обучаемой выборки при фиксированных значе-
ниях fx, /2;
- предсказанные (расчетные) значе-
ния измерений дальности из контрольной выборки, получен-
ные при уточненных значениях внутриплоскостных парамет-
ров /1,/2,/3,/4 и выбранных значениях внеплоскостных пара-
метров /j, /2;
Pj - весовой коэффициент j-го измерения (для равноточных
измерений все pj = 1).
Тогда функционал метода кросс-проверки имеет вид
N	п
^(Rkj-Rnkj(fl,f2))2pj
Р(Л/2)=^---------„------------•	<6’19)
Исследования показывают, что одним из предпочтительных
вариантов разделения всей выборки измерений является отнесе-
384 --

Глава 6
ние к обучаемой выборке всех сеансов измерений, проведенных в
первые сутки, а к контрольной - в следующие сутки интервала
проведения измерений. Вычисленные при различных fx, f2 зна-
чения функционала (6.19) используются для нахождения его гло-
бального минимума. Соответствующие этому минимуму значе-
ния , /2 и полученные в результате уточнения по обучаемой
выборке значения /!,/2,/3,/4 принимаются в качестве искомых
оценок параметров орбиты СИСЗ.
6.3.4. Результаты применения
однопунктового способа навигации
стационарного искусственного спутника
Проверка возможностей предложенного способа навигации
СИСЗ, основанного на обработке измерений дальности от одной
станции, проводилась как с помощью метода математического
моделирования, так и с использованием измерительной инфор-
мации, получаемой в реальных циклах навигации обслуживаемых
СИСЗ. В первом случае, когда имелась возможность получать
циклы ИТНП любой структуры с произвольным составом по-
грешностей, а также идеальный эталон для проверки результатов
обработки этих ИТНП, исследовалось влияние различных исход-
ных данных на точность навигации СИСЗ в соответствии с тем
или иным способом.
Эти исследования, в частности, позволили установить, что
предпочтительная структура цикла ИТНП для разработанного
способа навигации представляет собой измерения дальности от
единственной станции, полученные в течение временного интер-
вала, составляющего не менее 1,5...2-х сут., в сеансах продолжи-
тельностью в 7...20 мин с шагом не более 20...30 с, следующих с
интервалом не более 2 ч.
Ошибки навигации СИСЗ при использовании моделирован-
ных циклов ИТНП не превышали 2...2,5 км по внутриплоскост-
ным и 6...7 км по внеплоскостным параметрам орбиты. Такая
точность является достаточной для надежного удержания спут-
---- 385

Глава 6
ника в области порядка ±0,05° по широте и долготе относительно
номинальной точки стояния [1,2].
Во втором случае при использовании реальных ИТНП для
применения разработанного способа навигации и объективной
оценки его возможностей требовалось выполнение указанных
выше условий по точности используемых моделей, а также по
достоверности значений параметров орбиты, принимаемых в ка-
честве эталонных. Такие условия обеспечивались при обработке
ИТНП, полученных при навигации спутников KAZSAT-1, БО-
НУМ-1, ЭКСПРЕСС-АМН [1].
Один из примеров сравнения результатов применения разработанного
способа для навигации спутника ЭКСПРЕСС-AMI 1 при использова-
нии двухсуточного цикла ИТНП дальностей станции Гусь-
Хрустальный с результатами применения других способов навигации
представлен в табл. 6.8.
___________________Таблица 6.8_______________
Параметры орбиты СИСЗ ЭКСПРЕСС-АМП,
полученные в различных вариантах навигации
при обработке результатов ИТНП
Параметры орбиты	Вариант навигации				
	1	2	3	4	5
Большая полуось, км	42165,840	42165,849	42165,841	42165,840	42165,838
Эксцентриситет	0,0000916	0,0000921	0,0001017	0,0003212	0,0000959
Наклонение, град	0,0150	0,0153	0,0173	0,1143	0,01493
Долгота восх.узла, град	114,0466	114,4598	127,5313	154,8840	122,4890
Арг-т перигея, град	344,0501	343,1762	330,5250	289,3108	337,1011
Арг-т широты, град	62,7165	62,3034	49,2330	21,9056	54,2746
Период, мин	1436,153	1436,153	1436,153	1436,153	1436,153
Широта, град	0,0133	0,0135	0,0131	0,0427	0,0121
Долгота, град	96,5012	96,5013	96,5023	96,5276	96,5016
Высота, км	35786,943	35786,978	35786,864	35788,311	35786,802
386 ----

Глава 6
Варианты навигации
Вариант L Использование многопунктового способа нави-
гации, рассматривавшегося в качестве эталонного.
Вариант 2. Использование измерений тех же средств за ис-
ключением измерений от станции Гусь-Хрустальный (с целью
получения независимой от данных этой станции оценки парамет-
ров орбиты).
Вариант 3. Использование измерений дальности и углов
линии визирования станции Гусь-Хрустальный (в соответствии с
классической однопунктовой технологией навигации).
Вариант 4. Использование только измерений дальности от
станции Гусь-Хрустальный и уточнение полного состава орби-
тальных параметров.
Вариант 5. Использование только измерений дальности от
станции Гусь-Хрустальный в разработанном однопунктовом спо-
собе навигации.
Сравнительный анализ представленных вариантов навига-
ции показывает следующее.
При исключении измерений станции Гусь-Хрустальный из
выборки измерений, использовавшихся для получения эталонных
значений этих параметров (вариант 2, табл. 6.8), не происходит
их сколько-нибудь существенное изменение. Это подтверждает
достоверность результатов экспериментальной оценки точности
однопунктовых определений и их практическую независимость
от использования в полной выборке измерений дальности от той
же станции.
Результаты определения орбиты при использовании только
измерений дальности от единственной станции и традиционного
метода их обработки (вариант 4, табл. 6.8) являются недопустимо
грубыми, что объясняется очевидной геометрической неопреде-
ленностью относительно внеплоскостных элементов орбиты в
дальностях от одного пункта. В то же время, применение разра-
ботанного способа позволяет получить параметры орбиты спут-
ника (вариант 5, табл. 6.8), которые в данном случае заметно
меньше отличаются от эталонных, чем параметры, полученные
применением классического однопунктового варианта с исполь-
зованием угловых измерений (вариант 3, табл.6.8).
---- 387

Глава 6
Выполненные исследования позволили разработать усовер-
шенствованный однопунктовый способ навигации геостационар-
ного спутника [8].
Основные преимущества
разработанного способа навигации
1.	Значительно уменьшается уровень требований к антенной
системе измерительной станции за счет отказа от необходимости
проведения измерения углов линии визирования на обслуживае-
мый геостационарный спутник с достаточно высокой точностью
в любых возможных климатических и погодных условиях.
2.	Отпадает необходимость в проведении регулярной юсти-
ровки угломерных каналов используемой антенной системы.
3.	Разрешается ряд алгоритмических проблем, связанных с
совместной обработкой дальномерных и угловых измерений
(корректный выбор весов измерений), с необходимостью компен-
сации влияния систематических погрешностей угловых измере-
ний и пр.
4.	Разработанный подход органически сочетается с суще-
ствующими тенденциями в управлении полетом геостационар-
ных спутников, предполагающими, например, все более интен-
сивное использование возможностей связного канала для переда-
чи и приема различной технической информации, включая и
данные ИТНП [1].
Недостатки и ограничения разработанного
однопунктового способа навигации
1.	Достаточно важной является необходимость соблюдения
приведенных требований к структуре интервала проведения из-
мерений дальности и к точности этих измерений, поэтому для
повышения надежности навигации целесообразно (когда это воз-
можно) обеспечивать более частое проведение сеансов и боль-
шую их длительность.
2.	Важным является выполнение качественной отбраковки
аномальных результатов измерений дальности, для чего целесо-
образно применение описанной, например в [1], процедуры.
3.-----При возрастании ошибок модели движения на интервале
проведения измерений (аномальная работа двигателей при вы-
388 	

Глава 6
полпенни маневров, повышенное влияние немоделируемых уско-
рений и пр.), когда уровень этих ошибок превышает 10% от их
номинальных значений, характеристики точности навигации мо-
гут ухудшаться, поэтому необходимо осуществлять контроль и
периодическую калибровку тяги двигателей, например по вели-
чине реализуемых в результате выполнения маневра кинетиче-
ских моментов.
(Указанные ограничения должны необходимо учитываться при прак- I
тической реализации разработанного способа навигации СИСЗ. |
6.4. Определение местоположения потребителя
с использованием РРР-технологии
для двухчастотного приемника СРНС ГЛОНАСС
Некоторые замечания_________________________________
При создании глобальных навигационных спутниковых си-
стем (ГНСС) предполагалось, что в них будут осуществляться
два вида измерений:
1) измерение псевдодальности на основе слежения за фазой
модулирующего дальномерного кода;
2) измерение псевдодоплеровского смещения частоты несу-
щих колебаний спутниковых сигналов.
Измерение псевдодальности предполагалось осуществлять
для определения местоположения навигационного приемника по-
требителя и смещения его шкалы времени относительно шкалы
системы, а измерение псевдодоплеровского смещения частот не-
сущих колебаний спутниковых сигналов предполагалось осу-
ществлять для определения составляющих вектора скорости
навигационного приемника потребителя и скорости смещения его
шкалы времени относительно шкалы времени системы.
I Однако после развертывания и начала эксплуатации ГНСС GPS и |
ГЛОНАСС навигационным сообществом была выявлена возможность |
---- 389

Глава 6
осуществления дополнительного вида измерений по фазе несущих ко-
лебаний спутниковых сигналов, которые часто для простоты называют
псевдофазовыми измерениями.
По своей природе псевдофазовые измерения являются оцен-
ками псевдодальности, осуществляемыми непосредственно по
фазе несущих колебаний спутниковых сигналов. Отличительной
особенностью этих измерений является их высокая точность,
характеризуемая ошибками порядка 1 см и менее, и целочислен-
ная неоднозначность, заключающаяся в том, что эти измерения
содержат в своем составе неопределенное целое число длин волн
несущего колебания того сигнала, на основе которого они фор-
мируются.
Псевдофазовые измерения смещены относительно измерений псевдо-
дальности на это неопределенное целое число длин волн. Дополни-
тельно, псевдофазовые измерения смещены относительно измерений
псевдодальности на некоторое небольшое неопределенное и не цело-
численное значение.
В настоящее время применение псевдофазовых измерений в
основном ограничивается их использованием для относительного
позиционирования, т.е. для определения координат одного привя-
зываемого навигационного приемника относительно другого ба-
зового. Для исключения неопределенных не целочисленных
смещений из измерений псевдофазы двух разнесенных в про-
странстве навигационных приемников образуется первая, а затем
вторая разность.
Первая разность образуется из измерений псевдофазы двух
разнесенных в пространстве навигационных приемников, полу-
ченных по одному и тому же спутнику. При этом неопределен-
ные нецелочисленные смещения, соответствующие этому спут-
нику в первых разностях, компенсируются.
Вторая разность образуется путем вычитания одной первой
разности, соответствующей некоторому (опорному) спутнику из
первых разностей всех остальных отслеживаемых спутников. Во
вторых разностях происходит компенсация неопределенных неце-
390 ---

Глава 6
лочисленных смещений, связанных с навигационными приемника-
ми. При этом исходные целочисленные смещения во вторых раз-
ностях преобразуются в целочисленные вторые разности. В про-
цессе последующей обработки вторых разностей псевдофаз,
неоднозначности вторых разностей исходных целочисленных не-
определенностей псевдофазовых измерений разрешаются и в ре-
зультате определяются координаты привязываемого навигацион-
ного приемника относительно базового. Точность такого относи-
тельного позиционирования характеризуется ошибками порядка
1 см и менее, при удалении приемников на расстояние
-10... 12км при одночастотных измерениях и до -80км при
двухчастотных измерениях.
Основным недостатком метода относительного позициони-
рования является необходимость использования в обработке из-
мерений двух навигационных приемников даже для случая, когда
необходимо определить высокоточные абсолютные координаты
только одного приемника. Существенным ограничением метода
относительного позиционирования является ограниченность уда-
ления привязываемого приемника относительно базового.
Метод Precise Point Positioning________________________
С 2005 г. в области использования измерений по фазе несу-
щих колебаний начал развиваться новый метод, основанный на
применении исходных не разностных измерений псевдодально-
стей и псевдофаз и явного оценивания исходных (не разностных)
целочисленных неоднозначностей и неопределенных не целочис-
ленных смещений.
Путем учета в обработке таких тонких физических эффектов, как
приливы во внутренней вязкой части тела Земли, вызываемые гра-
витационными полями Солнца и Луны, нагрузки на береговые ли-
нии материков, порождаемые океаническими приливами, движение
материков Земли и т.д., стало возможным высокоточное абсолют-
ное позиционирование с точностью для статических объектов, ха-
рактеризуемой ошибками на уровне сантиметра и для динамиче-
ских (подвижных) объектов ошибками на уровне нескольких деци-
метров.
----- 391

Глава 6
Этот метод не разностных измерений псевдодальностей и
псевдофаз назван Precise Point Positioning (PPP).
Метод FloatPPP_________________________________________
Однако при обработке измерений псевдодальностей и псев-
дофаз методом РРР не удается разделить целочисленные неодно-
значности от не целочисленных смещений псевдофазовых изме-
рений и поэтому оба эти типа смещения приходится оценивать
как сумму.
В результате природа целочисленных смещений псевдофа-
зовых измерений при обработке методом РРР не учитывается, так
как вместо целочисленных смещений при обработке методом РРР
оцениваются некоторые действительные смещения, равные сум-
ме их целочисленных и не целочисленных значений.
Поэтому такой тип обработки методом РРР получил назва-
ние FloatPPP.
Основной недостаток обработки методом FloatPPP состоит в
очень длительном интервале времени, необходимом для проведе-
ния и обработки измерений, который затрачивается для достиже-
ния точности позиционирования, характеризуемой сантиметро-
выми ошибками.
Этот уровень ошибок определения абсолютных координат
статического потребителя достигается в методе FloatPPP на ин-
тервалах проведения измерений и последующей обработки от де-
сятка часов до суток. Столь длительный период осуществления
измерений и их последующей обработки сильно ограничивает
широкое применение метода FloatPPP в различных областях хо-
зяйственной и иной деятельности.
Метод IntegerPPP_______________________________________
Стремление сократить столь длительный интервал осу-
ществления измерений псевдодальностей и псевдофаз привело к
разработке нового метода, в котором целочисленная природа
псевдофазовых неоднозначностей учитывается путем их оцени-
вания именно как целых чисел. По этой причине новый метод по-
лучил название метода IntegerPPP.
392 ---

Глава 6
Как показывают результаты проведения конкретных вычислитель-
ных экспериментов с обработкой реальных измерений псевдодаль-
ностей и псевдофаз одиночного навигационного приемника, время
проведения и обработки измерений методом IntegerPPP сокращается
в десятки и даже сотни раз. Обычно это время не превышает не-
скольких десятков минут при той же сантиметровой точности стати-
ческого позиционирования (определение абсолютных координат не-
подвижного объекта).
В зарубежной литературе, посвященной методу IntegerPPP,
приводятся результаты обработки реальных измерений методом
IntegerPPP, демонстрирующие достижение сантиметровой точно-
сти позиционирования статических объектов за время обработки
в десятки минут. Однако эти результаты получены полуэмпири-
ческими методами, без опоры на какую-либо развитую теорию и
относятся только к системе GPS.
Требуется дальнейшее развитие теории метода IntegerPPP, особен-
но в направлении ее математических основ, а также распростране-
ния метода IntegerPPP на псевдофазовые измерения системы
ГЛОНАСС, в которой используется частотное разделение спутни-
ковых сигналов, в отличие от системы GPS, применяющей кодовое
разделение.
Различия ГЛОНАСС и GPS в методах разделения спутнико-
вых сигналов приводят к различию математических моделей
псевдофазовых измерений этих систем и, как следствие, к разли-
чию математических основ метода IntegerPPP применительно к
системам ГЛОНАСС и GPS.
Исследования в разработке математических моделей измерений псев-
додальностей и псевдофаз применительно к системе ГЛОНАСС, ко-
торая использует частотное разделение спутниковых сигналов, и их
практическое использование являются весьма важным направлением
технологии местоопределения потребителя.
----393

Глава 6 --
Решение пользовательской задачи
с использованием РРР-технологии
Рассмотрим вариант позиционирования, когда для оценки
полных псевдофаз в диапазонах Ы и L2 предлагается алгоритм
на основе фильтра Калмана, где в качестве измерений использу-
ются комбинации измерений псевдодальностей по фазе несущей
и псевдодальностей по коду такие, которые компенсируют ионо-
сферную погрешность.
Так как этот вариант алгоритма не учитывает целые длины
полуволн при обработке, то его можно называть FloatPPP. Одна-
ко этот алгоритм для получения высокой точности требует зна-
ния суммарной задержки сигнала диапазона L2 относительно
сигнала диапазона L1 в фазовом центре антенн навигационных
спутников и задержки сигнала в цепях приемника. Практика по-
казывает, что задержки сигнала диапазона L2 относительно сиг-
нала диапазона L1 в передатчиках ГЛОНАСС «плавают» в тече-
ние суток на величину порядка 1,5 нс.
По-видимому, это связано с температурным режимом на
спутнике при переходе из ночи в день и обратно. Таким образом,
необходим алгоритм, производящий выравнивание задержек в
оперативном режиме. Известно, что алгоритмы FloatPPP доста-
точно долго сходятся для получения сантиметровой точности
оцениваемых координат. В связи с этим предлагается весь диапа-
зон времени, отведенный для получения оценки координат с сан-
тиметровой точностью разбить на три части. Первую часть отве-
сти для алгоритма выравнивания, вторую для работы алгоритма
FloatPPP. Получение достаточно хорошей точности оценок коор-
динат фактически раскрывает неоднозначность фазовых измере-
ний. Поэтому на третьем участке предлагается использовать ал-
горитм, использующий только высокоточные измерения псевдо-
дальностей по фазе несущей. Подобный алгоритм должен
приводить к сантиметровым точностям координат за достаточно
короткий интервал времени.
Следует отметить, что для GPS-сигналов обработку следует
производить аналогичным образом за исключением использова-
ния алгоритма выравнивания, так как эта процедура не требуется,
что будет показано в дальнейшем.
394 ---

Глава 6
Первый этап работы.
Алгоритм выравнивания задержек
Алгоритм выравнивания задержек требует выбрать пара-
метр, относительно которого будет производиться выравнивание,
причем в оперативном режиме. Так как этот алгоритм требует не
смещенных оценок координат, которые можно получить только с
помощью обработки GPS-сигналов, то удобно в качестве опорного
параметра для выравнивания взять задержку GPS-сигнала в диапа-
зоне L1 в цепях навигационного приемника, тем более что эти за-
держки можно считать одинаковыми. С учетом того, что для рабо-
ты используется двухчастотный приемник GPS +ГЛОНАСС,
ионосферную задержку можно компенсировать, что обеспечивает
более точное определение параметров выравнивания.
Выражения для измеряемых в GPS-приемнике псевдодаль-
ностей по коду стандартной точности диапазона LI С/А и L2 С по
j-му спутнику можно представить в виде:
^•с/а(^) = ^(/,.) + САГОР8 -C(AZ7’gps -7qD + 7SC7ic/a) +
+ С(^1гор + ^ion,Ll,GPS +г/,ЫС/а)_^Ь1С/А’ J ~ ^1’
Z>fc (ti) = Rj (Z;) + cATgps -c(A7’7,GPS - yT<iD + KC72C) +
___	,(6.20)
+ C(^trop + ^ion,L2 + rj,L2C ) ~ ^L2C’ J =	>
где J\ - число видимых GPS-спутников; - момент формирова-
ния измерения; Rj - длина пути распространения сигнала от фа-
зового центра антенны j-го спутника до фазового центра антенны
приемника, равная
Rj (zi) = ^(х7-х(?,)) +(/ ->'(/,)) + (z7-z(/,))	(6.21)
- расстояние между точками, которые занимал j-й спутник в мо-
мент предшествия и приемник в момент формирования измерения.
Под моментом предшествия понимают время, которое
предшествует моменту формирования измерения на время рас-
пространения сигнала:
---- 395

Глава 6
x\y\zj - координаты у-го спутника в момент предше-
ствия, пересчитанные в то положение гринвичской системы ко-
ординат, которое она занимает в момент измерения псевдодаль-
ности;
x(r/),y(z/),z(r/) - координаты приемника в момент форми-
рования измерения;
ATGPS - смещение шкалы времени приемника относительно
системной шкалы времени GPS;
Ar-/’Gps _ смещение шкалы времени у-го спутника относи-
тельно шкалы времени GPS;
^trop ~ задержка кодового сигналау-го спутника в тропосфере;
^onLiGPS “ задержка кодового сигнала диапазона L1 у-го
GPS-спутника в ионосфере;
ISCjLXCfA “ смещение шкалы времени сигнала LI P(Y) отно-
сительно L1 С/Ау-го спутника, передается в эфемеридах;
г;,ыс/а =rLic/A ~ задержка сигнала L1 С/А у-го спутника в
радиочастотной части приемника (одинаковая для всех сигналов
диапазона L1);
^lic/a “ шумовая составляющая измерения ПД приемником
сигнала L1 С/А у-го спутника;
ZqD - передается в эфемеридах дляу-го приемника.
Ионосферную задержку в диапазоне L1 можно представить в
виде
C^ion,Ll,GPS
(6.22)
где IJg GPS - ионосферная вертикальная задержка GPS-сигнала на
частоте LI; R3 - радиус Земли; h = 432,5-103 м - высота слоя
ионосферы, где интегральная концентрация электронов в верти-
396 ----

Глава 6
кальном столбе достигает 50%; а} - угол места j-го навига-
ционного спутника относительно приемника.
Для компенсации тропосферной погрешности используется
та или иная модель тропосферы. Одна из широко используемых
моделей определяется формулой
7*4, с = °’0022771 р + | -^ + 0,05L-^ctg2^) | + £Я, (6.23)
trop sin(a) V I Т )	5 J v
где T - температура в месте расположения приемника, К; р - ат-
мосферное давление, мбар; е - парциальное давление водяного
пара, мбар; а - угол места НС, для которого рассчитывается по-
правка; В и 8R - корректирующие члены, зависящие от высоты h
расположения приемника и угла а , для которых существуют
специальные таблицы.
Однако даже после компенсации тропосферной погрешности
остается неизвестная не скомпенсированная величина ——, ко-
sin а
торую следует учитывать.
Затем получим выражение взвешенной псевдодальности по
коду стандартной точности, соответствующее [5, 6]:
. л \	+ -да1С/А) rrj
UjyC\li)-		-	CiGD -
1-/
1	^L2C“/£l1C/A
" Rj Vi) + KGPS -	trop )----’
(6.24)
где }qpS
a _ ArZ
- c A^gps +;
I 1-/
Здесь Arc = Ar^ =r7 L2c “Лдлс/а “ величина, практически
одинаковая для всех сигналов по причине того, что принятые
GPS-приемником сигналы усиливаются в усилителе промежу-
точной частоты, а именно: в нем образуются задержки сигнала,
практически на одной частоте и в одинаковом участке спектра.
---- 397

Глава 6
Однако для разных GPS-приемников величины Агс могут быть
различными даже для приемников одной модификации.
Навигационное решение по J\ -спутникам позволяет полу-
чить оценки координат антенны приемника и времени
Д т
ATGPS +—— при работе по СТ-сигналам. Так как смещение шка-
1-/
ДгС	in
лы времени —— не превышает 10 нс, то даже для высокоманев-
1-Z
ренных объектов, движущихся со скоростью 10 000 м/с в пере-
счете на координаты, погрешность не превысит 10"4 м. В связи с
этим указанное смещение не учитывается.
Значение at^’gps должно быть уточнено по апостериорному
IGS-файлу. Таким образом, получаем не смещенные измерения
псевдодальностей по каждому спутнику.
Составляя уравнений, получим несмещенную оценку ко-
ординат антенны приемника GPS + ГЛОНАСС.
Координаты антенн, полученные с помощью измерений
GPS-приемника, вычислены в системе координат WGR-84, в то
время как в приемнике ГЛОНАСС в настоящее время принята
система координат ПЗ-90.11.
Таким образом, полученные координаты антенны L1 и L2
необходимо пересчитать в соответствии с выражением
х
у = (1- 0,008 -10"6)x
Z ПЗ-90.11
1	- 0,02041 10"6 - 0,01716 10’6
х 0,02041 Ю-6	1	- 0,01115 • 10 6 х
0,01716 10‘6 0,01115 10~6	1
398 ----

Глава 6
Выражения для измеряемых в приемнике псевдодальностей
по коду СТ для двух диапазонов L1 и L2 по £-му КА ГЛОНАСС
имеют следующий вид:
4'ст ('/) = Rk U-) +	- с(ЬТк + Аг*,) +
। г-	\
+CVtrop + 7ion,Ll + 4,L1,CT ) bLl,CT>
<	т (h) = Rk &) + cAT - c(AT* + \ткп + Ar*2) +
(6-26)
+c(2^op + 7ion>L2 + ri,L2,CT ) - £l2,CT>
где Ji - число видимых KA ГЛОНАСС; AT - смещение шкалы
времени приемника относительно системной шкалы времени
ГЛОНАСС; АТ* - смещение шкалы времени к-го КА ГЛОНАСС,
которая совпадает со шкалой времени сигнала L1BT, относитель-
но системной шкалы времени ГЛОНАСС; тк ,L1 вт, тк L2BT - за-
держка кодового ВТ-сигнала диапазона L1 и L2 к-го КА ГЛО-
НАСС в радиочастотной части приемника; ^L1,BT ’ £l2,BT - шумо-
вая составляющая измерения псевдодальности приемником по
сигналу диапазона L1 и L2 ВТ-кода к-го КА ГЛОНАСС; Ат* -
задержка кодового ВТ-сигнала диапазона L2 относительно L1 в
аппаратуре к-го КА ГЛОНАСС.
Выбираем в качестве опорного КА один из КА ГЛОНАСС,
входящих в ансамбль видимых, например р-й для первого сеанса
измерений, / -й для второго и т.д. Под сеансом измерений пони-
маем интервал видимости выбранных опорных КА ГЛОНАСС.
Запишем выражения для псевдодальностей в диапазоне L1,
получаемых приемником по сигналам к-го КА ГЛОНАСС и р-го
KAGPS:
^ст ('/) = Rk {ti) + CAT - с(ДТ* + Ат*,) +
+С(^ttop + ^ion.Ll + ГА,Ы,СТ ) - ^Ll.CT >
•	^р.с/а (Л ) = Rp (hi) + c(ATgps + rLlc/A ) -
-	c(AT/’’	—TGD +25С£1С/А) + с(т{£(р +7jfn,Li,GPs)~‘’Lic/A-
(6.28)
---- 399

Глава 6
Используя координаты приемника, полученные при обра-
ботке сигналов КА GPS, найдем разности аппаратурных задержек
из разности псевдодальностей, считая р-й КА GPS опорным:
^к-р,СТ (h ) = Dfr'cT (h ) ~ Вр\с/А (*/) •
Отсюда
А-p = С(ri,LI,CT “ ГЫС/А ~ГЬ1) =
+C(A7’*)-c(ATp’GPS -Т&, +ISC£ic/a)-	(6.29)
-c(^trop + ^ion.Ll) + '’Ll.CT + c(^trop + ^ion,Ll,GPS ) ~
~‘’L1C/A + C(^^GPS ~ &T\
где к = 1, J2 -1.
В качестве опорного спутника следует использовать спутник
с углом возвышения не менее 20°. При уходе опорного спутника
в течение сеанса измерений следует выбрать другой КА GPS,
удовлетворяющий приведенному условию.
Величина -Rk (/,)+/?(/,) вычисляется с достаточно высо-
кой точностью, так как для координат спутников используется
высокоточная информация БРЗ-файлов.
Для получения тропосферной задержки сигнала использу-
ется приведенный выше алгоритм. Значения Tjon.n и ^ion li gps
получаем, используя значения /^GPS, пересчитанные в IJgGL -
ионосферную вертикальную задержку сигнала ГЛОНАСС на
частоте L1 из апостериорного файла IGS. Из того же файла
определяем величину c(A7’t)-c(A7’₽,GPS). Уход шкал времени
ГЛОНАСС относительно GPS А 7^-АТ задан в эфемеридной
информации ГЛОНАСС. Так как величина А^р практически не
зависит от номера опорного спутника, то возможна ее запись в
виде Ар1.
400 ---

Глава 6
Так как величины Ак 1 - практически константы, то их мож-
но усреднять на достаточно большом интервале, сводя флуктуа-
ционные ошибки к ошибкам определения координат и ошибкам
ионосферной поправки.
Подставляя значения величин в уравнения (6.27), полу-
чаем систему уравнений для псевдодальностей по сигналам КА
ГЛОНАСС в диапазоне L1 в виде
4cT ('/ ) = Ъ ('/) +	- с(^Тк ) + с(ткор + ^n>L1) + 41 - 41)СТ,
к = \^Г2,	(6.30)
где KGL =с(ДТ-Дг^ +rLlc/A).
Для выравнивания задержек приемника по номерам КА в
диапазоне L2 запишем следующие разности, используя выраже-
ния (6.25) и (6.26):
^к,ст (h ) ~ 4,ст	_ 4 ст	~
= -С(Дт„А + Дт*2 - Д^1) + с(/-1)(4\и)+	(6.31)
+C(r4,L2,CT -ГА,Ы,Ст)_^Ь2,СТ +^Ы,СТ'
Здесь использована следующая зависимость [1]:
^ion,L2 = ^on,Ll •
Для ГЛОНАСС величина у - 81/49 .
Используя выражение (6.31), запишем:
&к ’ ~ C(rk,L2,CT ~^Тп ~ ^rL2 + ^41 ~ Tfc,Ll,CT ) =
~ ^к,СТ (^ ) - C(Z " 0(^ion.Ll ) + 4г,СТ ~ 41 ,СТ > к = 1,J2.
Запишем систему уравнений для сигналов ГЛОНАСС в диа-
пазоне L2:
<т (t.) = Rk (t,) + 41’2 +	-с(&Тк + Д41) +
+С(4ор + /^ion.Ll + r4,Ll,CT ) ~ 4г,ст > k=l,J2.
---- 401

Глава 6
Перепишем эту систему относительно YGt в виде
^(6)=^(^)+^2+42p+yGL-
-c(ATt) + C(7^p + r^niL1)-^2jCT, к = П~2.
(6.34)
Так как эти величины практически константы, то их можно
усреднять на достаточно большом интервале, сводя флуктуаци-
онные ошибки к малым значениям. Сравнивая выражения (6.30) с
(6.25) и (6.33) с (6.27), запишем значения аппаратурных задержек
в каналах приемника ГЛОНАСС в виде:
4* - Для сигналов в диапазоне L1;
С^2 = В?’2 + 41 ~ Для сигналов в диапазоне L2.
Окончательно запишем уравнения для сигналов ГЛОНАСС в
обоих диапазонах в виде:
4,ст('/) = ** (4) + *gl -с(ДТА) + с(г^, + ^n>L1) + 4’ -&,ст>
^£,ст	=	~с(А^Ъ+с(т^р+/7/оп,ь1)+^*2-£l2,cT’
к = \Т2.
Таким образом, использование значений величин 4* и 42
(аппаратурных задержек) позволяет устранять смещение коорди-
нат приемника, так как уход шкалы времени приемника равен
Ygl , т.е. одинаков на всех литерах и диапазонах.
Величины 4* и 42» по сути, - медленно меняющиеся па-
раметры, в состав которых входят задержки аппаратуры навига-
ционного спутника и конкретного приемника.
Так как на интервале 300 с полученные параметры можно
считать константой, то для получения их оперативных значений
целесообразно использовать усреднение на этом интервале
____	. 300
4’(0 = —£41('/-Л1)>
402 ----

Глава 6
ii Ji 300 
V y=i
______ 1	300
7=1
L2 J 1	300
= j35o2LCQL2(Z;-y+1)“qL2(0]2 ’
VJ u y=i
Z1 cL2
где V^.k и V<7 k являются СКП этих величин.
Второй этап работы.
Алгоритм FloatPPP для двухчастотного приемника
СРНС ГЛОНАСС______________________________________________
Запишем уравнения для фазовых измерений:
Gal1 (/,.) = ДЯ* - с(ДТк + Дт*,) + сДТ + Rk ) +
+^i (%,li + Po,li + &)+ с(Г*оР) “ с(^,ы) “
~^L1 (^Л.Ы ) ~	+ СГЛ,Ы,СТ >
G,L2 (/,.) = ДЯ* -с(\Тк + Дг* + Дг*2) + сДТ + Rk (lt) +
+^2(^0,L2 + ^0,L2 j + cf^opJ-C/f^on.Ll)-
-Л*2 (^ft,L2 ) ~ ^k2^L2 + crA,L2,CT’
где J - число видимых спутников; cpQ - начальная фаза приемни-
ка; cpl - неопределенная начальная фаза излученияу-го спутника;
(pjh - фазовые аппаратурные искажения в у-м канале z-го прием-
ника; - фазовые тропосферные искажения сигнала у-го
спутника на входе приемника; - фазовые ионосферные ис-
кажения сигнала у-го спутника на входе приемника; Mj - не-
определенное целое число, отображающее собой неоднознач-
---- 403

Глава 6
ность фазовых измерений в j-м канале приемника; — шумо-
вая составляющая измерения псевдофазы сигнала j-го спут-
ника в приемнике.
Окончательно,
Gf1 (/,.) = ARk + Угл -с(ДТ*) + А^р + Rk (0 +
+^i (po.Li +	)+ С(^Р ) -cfcu) -
~^L\ (^Л,Ы ) “	5
G^1 (ti ) = ARk + Yrn- с(ДТк) + C^p + Rk (ti) +
+^2 (^0,L2 + 4l2 +	) + C(C) - /C(^on,LI ) ~
~^L2 (^*,L2 ) “	2^L2 •
На первом этапе работы достаточно рассмотреть высокоточ-
ное оценивание неподвижного объекта. Рассмотрим применение
фильтрации на основе фильтра калмановского типа (ФКТ). Опи-
шем его. В качестве измерений будем использовать следующие
величины:
^тО,)+^Ги)
Gi U)
Z =
^ctO,) + GaL2U)
GM
(6.35)
G/U)
404 —

Глава 6
где, с учетом компенсации тропосферной погрешности, можно
записать:

= 2 АЛа+ЛД/,.) + Угл-с(А^) + ^ + 42р
sum и
+^Ь1 (^O,L1 + ^O.Ll +	“ ^Ll.CT -
^2ctU) + ^L2(6>
&DW , rL2
:	+ '-k-p
sma
= 2 ARk +Rk(ti) + Ггл-с(ДТ*) + -
+^L2 ($0,L2 + ^0,L2 +	- £l2,CT -
-^L2 (^A,L2 ) “ ^k2-^L2 5
M^=A^+M<)+y™-^)+—+
sincr
, cj--2„ - /41, ^2 (in) - (?й ) '
1-/ 1-/
^2 (^0,L2 + $),L2 ) “	2^L2 ~ Y[^Ll ($O,L1 + ^O,L1) - ^k '^Ll j
1-y
^L2 (^ft,L2 ) “ Ml1 (^A,L1)
1-/
Известными считаются величины, полученные по приведен-
ной ранее методике: Ак1р, Ск2р; величины ARk, с(ЛТк) полу-
чают из SP3-файлов.
В качестве оцениваемого вектора выбираем
---- 405

Глава 6
X =	X У Z ^гл ^гл ^L1 (Po.LI + ^0,Ы ) “ Ал (МЫ	(^A,L1 ) А.2 (%,L2 + <°0,L2 ) — А.2	“ А.2 (^й,Ь2 )
	(^0,Ll + ^ОДЛ) ~ Ал (A/Г ) ~ ^L1 (‘Z’A.Ll ) А.2 (^0,L2 + ^0,L2 ) ~ А.2 (-Ць'2 ) ~ А.2 (^A,L2 )
	Ал (^O,L1 + ‘Po.LI ) “ Ал (A/j * ) ~ Ал (^Л,1Л ) Ал! (^0,L2 + <Po,L2 ) - А^2	2 ) - А^2 (^ft,L2 )
(25)
Число измерений равно 3J, число неизвестных 2J + 5. Та-
ким образом, при J > 5 обеспечивается наблюдаемость процесса.
Приведем уравнения фильтра Калмана для рассматриваемо-
го случая [3].
Пусть xj//c означает оценку вектора х,, полученную на осно-
вании измерений, проведенных до момента времени k, a i обозна-
чает дискретный момент времени, в который производятся изме-
рения. Пусть Pjlk обозначает матрицу ковариаций ошибок, свя-
занную с оценкой xj/k.
Определим переходную матрицу Ф,, определяющую дина-
мику оцениваемого движения, следующим образом:
1 0000
Обозначим Ф =
0 1000
0 0100
0 001Т
0 0001
Ф7 - единичная матрица, Фо -
нулевая матрица;
406 ---

Глава 6
Фо ф/
(6.37)
Тогда уравнение экстраполяции вектора состояния будет
иметь вид
Xi+\/i ~~ ®iXi/i + Ci >	(6.38)
E{f,}=0, £{йй-} = еА.
где Ar - интервал дискретизации; - вектор шума модели дви-
жения; Е - оператор математического ожидания; Qt - матрица
интенсивности шума модели.
Если в качестве измеряемого ввести вектор z,, то связь оце-
ниваемых и измеряемых параметров можно записать в виде
Zj = hj (хт) + £j. Здесь hj - вектор, показывающий аналитическую
связь измеряемых параметров от оцениваемых; - вектор шума
измерений.
Предполагаем, что Е^с(£к} = Nj$ik и £{£•,}= 0, Ns - матрица
интенсивности шума измерений.
Уравнение коррекции вектора состояния
*7+1/Г+1 ~ xi+l/i Wj+l £zi+l — h [Xi+\H )J ’	(6.39)
где JVi+l - матрица коэффициентов усиления фильтра, получен-
ная как
^•+1 = РМ! Лж (нмРмнН^ + NM,	(6.40)
Уравнение экстраполяции матрицы ковариаций
^+1//=ФЛ,Ф/+й-
(6-41)
----407

Глава 6
Уравнение коррекции матрицы ковариаций
^+1/<+1 - (J ~ ^i+l^i+1 )^i+l/i 
(6-42)
Обозначим:
р О О О О О
О р О О О О
О 0 р О О О
ООО рО О
ОООО^О
ОООООр
Qj - единичная матрица, Qo - нулевая
матрица
q — интенсивность формирующего шума радиального ускорения,
р = 0,00001;
2[Yk] + X6+(2k_l)
2[Yk+B^2] + X6+(2k)
Yk +	+ ^6+<2*) ~^6+(2t-l)
1-/ 1-/
Yk = yl(xk-Хг)2+(ук-Х2)2+(zk-Х3)2 +
+Х4-с(ЛТк) + -^- + А^р,
sin ак
408 ----

Глава 6
2ак
Нк = 2ак
2Ък 2ск	1 0 ——
sincfy
2bk 2ск	1 О ——
sinc^
bk ск 1 0 ——
sinat
я1 =	1	0	••• 0	1	••• 	У _1_ 1-/ 1-/	9
Нк =	...	1	о	••• ...	0	1	••• 	У 1 1-/ 1-/	5
••• 1 О
Hj =
О 1
У 1
\-у
----409

Глава 6
н
М дх 1х=Х/+1//
нх н}
нк нк
HJ Hj
(6.43)
Матрица интенсивности шума измерений имеет следующий
вид:
(6.44)
где сг2^! - дисперсия измерений ПД в диапазоне L1; <т2^2 -дис-
Dj	Dj
(1 I г2
Персия измерений ПД в диапазоне L2; сг2 =-------4---диспер-
(I-/)2
сия измерений взвешенной псевдодальности по фазе несущей,
здесь Oli СКО величины ли($п)> СКО величины ^2(^2).
Считаем, что
2 _ 2 _	2
а -aU ~ °L2 >
а =-----,
(1-Z)

Время работы 900 с, СКО измерений ПД - 0,5 м, СКО изме-
рений ПД по фазе несущей - 0,003 м.
Представим график длительностью около 30 с, начиная с 470 с
этих же оценок.
410 ---

Глава 6
______________________ Рисунок 6.10______________________
Изменение СКО измерений ПД в различных случаях:
1 - ряд 1; 2 - ряд 2; 3 - ряд 3; 4 - ряд 4
______________________ Рисунок 6.11______________________
Изменение СКО измерений ПД в различных случаях на коротком
интервале времени: 1 - ряд 1; 2 - ряд 2; 3 - ряд 3; 4 - ряд 4
Представим график длительностью около 30 с, начиная с 870 с
этих же оценок.
Очевидно, что процесс уточнения оценки координат и шкалы времени
идет достаточно медленно и до сантиметровой точности еще далеко.
Таким образом, необходимо включение другого алгоритма на основе
фильтра Калмана, учитывающего полученные значения первого, но
являющегося более точным, так как используем только высокоточные
фазовые измерения.
----411

Глава 6
_______________________ Рисунок 6.12______________________
Изменение СКО измерений ПД в различных случаях
на коротком интервале времени с момента 870 с:
1 - ряд 1; 2 - ряд 2; 3 - ряд 3; 4 - ряд 4
Трети этап работы.
Алгоритм РРР, использующий только высокоточные измерения
псевдодальности по фазе несущей
В качестве оцениваемого вектора выбираем
Z
гл
1 гл
ДА,
и1
ик
и-
412 ----

Глава 6
- (f^2 (^o,L2 + ^o,L2 )	А^г^л.ьг))
~Y (А.2 (*%,L2 + ^0,L2 ) ~ А.2 (^к 2 ) - ^L2 (^,L2 ))] 0 - /)•
Значения этой величины получаем из оцениваемого вектора
первого алгоритма в виде
цк _ ^6+(2t) ~/^6+(2t-l)
1-у
Априорное значение этих величин вычисляется аналогично:
р[6+к 6+л]=f t6+(2*Х6+(2^+у2р t5+(2*)>5+(2^1
1	’ J	(I-/)2
В качестве измерений будем использовать следующие вели-
чины
Интенсивность шума модели этого фильтра такая же, как и в
первом варианте.
г* +
в^2
1-у
+ ^6+1
----413

Глава 6
Нк = ак Ьк
ск 1 0 ——
sina^
#1=1 1 о
нк=\ ... 1 о
Ъ=\- о 1 |,
		#1
н. =—1 gy I x~xi+Ui	нк	Hk
	HJ	
(6.45)
Матрица интенсивности шума измерений имеет следующий
вид:
414 ---

Глава 6
(6.46)
2 бГ(1 + /)
aG = —-—- дисперсия измерении взвешенной псевдодаль-
ности по фазе несущей, здесь - СКО величины j;
сг22 - СКО величины Л*2	. Считаем, что ст2 = сг^ = а£2 •
СКО измерений ПД по фазе несущей -0,003 м, априорные
ошибки координат и других параметров не превышают 7 см.
Время работы 300 с.
0,08	-
i
-0,06-----------------------------------------------------
-0,08 ----------------------------------------------------
______________________ Рисунок 6.13______________________
Изменение СКО измерений ПД по фазе: 1 - ряд 1; 2 - ряд 2; 3 - ряд 3
---- 415

Глава 6
Пример, приведенный на рис. 6.13, показывает, что предло-
женный алгоритм позволяет получать оценки с сантиметровой
точностью практически сразу.
Проанализированы основные направления совершенствования тех-
нологий экспериментальной космической баллистики в различных ас-
пектах ее применения, в частности, в части наземных комплексов
управления космическими объектами, управления КА, бортовых радио-
технических систем, технологий приборостроения, электронной компо-
нентной базы и электронных радиоизделий.
Важное значение в практике определения орбит низкоорбитального
КА, устойчивых к возмущениям начального приближения, играют мето-
ды решения обобщенно некорректных задач НБО, предполагающих
рассмотрение их расчета в объект-системе «задача НБО - инструмент
решения (АС НБО)» с соответствующими обобщенными структурными
свойствами измерительных задач.
Совершенствование однопунктового способа навигации геостацио-
нарного спутника является важным примером другого подхода к полу-
чению результата в ограниченных условиях. Представленный материал
хорошо зарекомендовал себя на практике. Результаты применения
разработанного способа навигации подкреплены конкретными резуль-
татами оперативного НБО.
Показано, что современные высокоточные технологии определения
местоположения потребителя (PPP-технологии) не мыслимы без ис-
пользования глобальных навигационных спутниковых систем.
Литература
1.	Бажинов И.К., Ястребов В.Д. Навигация в совместном полете кос-
мических кораблей «Союз» и «Аполлон». М.: Наука. 1978.
2.	Байрамов К.Р., Бетанов В.В., Ступак Г.Г., Урличич Ю.М. Управ-
ление космическими объектами. Методы, модели и алгоритмы ре-
шения некорректных задач навигационно-баллистического обеспе-
чения. Монография. М.: Радиотехника. 2012.
3.	Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космиче-
ских аппаратов. М.: Машиностроение. 1978.
4.	Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных из-
мерений. М.: Сов. радио. 1978.
416 ----

Глава 6
5.	Иванов В.К, Васин В.В., Танана ВЛ. Теория линейных некоррект-
ных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978.
6.	Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических
аппаратов. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.
Баумана. 2016.
7.	Лавренев М.М., Романов В. Г., Шишатский С.П. Некорректные за-
дачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980.
8.	Стрельников С.В., Лапшин С.Г., Шаповалов Г.И. Использование
телевизионных сигналов стационарных телевизионных центров
для навигационных определений низкоорбитальных ИСЗ // Косми-
ческие исследования. 2001. Т. 39. № 6. С. 657-664.
9.	Лапшин С.Г., Стрельников С.В. Метод расчета параметров орбиты
низкоорбитального КА устойчивый к возмущениям исходных дан-
ных / Труды VI Всерос. научно-техн. конф. «Актуальные проблемы
ракетно-космического приборостроения и информационных техно-
логий». М.: Радиотехника. 2013.
10.	Стрельников С.В., Лапшин С.Г. Патент на изобретение № 2509041
от 19.12.2012. МПКЗ G 01 С 21/24. Способ определения орбиты
космического аппарата.
11.	Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Со-
ветская энциклопедия. 1977. Т. 1. 1152 с.; 1982. Т. 3.
12.	Стрельников С.В. Метод определения орбиты по радиотехниче-
ским измерениям параметров траектории // Космические исследо-
вания. 2007. Т. 45..№ 4. С. 387-391.
13.	Тихонов А.Н, Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.
М.: Наука. 1979.
14.	Тихонов АЛ. О решении некорректно поставленных задач и методе
регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.
15.	Урличич Ю.М. и др. Современные технологии навигации геостаци-
онарных спутников. М.: Физматлит. 2006.
16.	Чернявский Г.М. и др. Управление орбитой стационарного спутни-
ка. М.: Машиностроение. 1984.
17.	Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач:
Учебное пособие для студентов вузов. Изд. 3-е, испр. М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986.
18.	Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов
математической статистики для решения некорректных задач //
Успехи физических наук. 1970. Т. 102. Вып. 3. С. 345.
19.	Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание
данных: метод локальной аппроксимации. М.: Наука. Гл. ред. физ.-
мат. лит. 1985.
20.	ГОСТ 25645.146-89. Ионосфера Земли. Модель глобального рас-
пределения концентрации, температуры и эффективной частоты
----417

Глава 6
соударений электронов. Ч. 1. Таблицы параметров. М.: Изд-во
стандартов. 1990.
21.	Махненко Ю.Ю. и др. Способ определения параметров орбиты гео-
стационарного спутника. Роспатент. Per. № RU 2313104 от
24.03.2005.
22.	Бетанов В.В. Введение в теорию решения обобщенных некоррект-
ных задач навигационно-баллистического обеспечения управления
космическими аппаратами. М.: Изд-во В А им. Ф.Э. Дзержинского.
1997.
23.	ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / Под ред.
А.И. Перова, В.Н. Харисова. Изд. 4-е, перераб. М: Радиотехника.
2010.
24.	Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы: время,
показания часов, формирование измерений и определение относи-
тельных координат. М.: Радиотехника. 2008.
25.	Поваляев А.А., Вейцель В.А., Мазепа Р.Б. Глобальные спутниковые
системы синхронизации и управления в околоземном простран-
стве: Учеб, пособие / Под ред. А.А. Поваляева. М.: Вузовская
книга. 2012.
26.	ИКД ГЛОНАСС.
27.	Вовасов В.Е., Ипкаев Н.Б. Методика определения аппаратурных за-
держек сигнала для двухчастотного приемника СРНС ГЛОНАСС //
Ракетно-космическое приборостроение и информационные систе-
мы. 2014. Т. 1. Вып. 2. С. 25-32.
28.	Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и её применение в связи и
управлении. М.: Связь. 1976.
29.	Казанцев М.Ю., Фатеев Ю.Л. Определение ионосферной
составляющей погрешности измерения псевдодальности в
одночастотной аппаратуре систем ГЛОНАСС и GPS //. Журнал
радиоэлектроники. Электронный журнал. Российская академия
наук. 2002. № 12.
418 ----

Приложение 1
Типовой вариант
прогнозирования движения КА
Приведенные результаты расчетов могут служить основой для
оценки результатов вычислений при разработке комплекса программ
математической модели движения КА и создания автоматизирован-
ного имитационно-моделирующего комплекса программ навигаци-
онно-баллистического обеспечения управления космическими объ-
ектами.
Исходные данные задачи прогнозирования
Nka-81	Nhy-27	СК-1
ЛШС - 020011000	Nbh - 9436	ANb - 10
Начальные условия
Nka-81 Nhy-27 ВЦ-5 СК-1
В	9436
Д	10.09.2017
Т	11.09.15.559
Vx/Xo	-0.73389081
Vy/Xi	0.35641169
Vz/X2	7.49131727
Х/Хз	7224.01764761
Y/X4	361.98602953
Z/X5	0.00000000
Se	0.00800000
ЛШС	20011000
Прогноз движения КА осуществлен с учетом двух возмущаю-
щих факторов: сжатия Земли и учета статической модели атмосферы
АН-62.
----419

Приложение 1
Результаты прогнозирования на 8 витков
в соответствии с заданием
Nka =81	NHy =27
NB ну = 9436 Nbh = 9436
ANB=10	CK=1
ЛШС = 20011000
9436 10.09.2017 Д (Bocx. узел) 11.09.15.559 h 7233.081283835 R 854.945283835 Н +000.00.00,000 в +002.52.07,020 L Тдр= 01.48.53.986	(НУ в ГСК) -0.733890813 Vx 0.356411691 Vy 7.491317266 Vz 7224.017647611Х 361.986029527 у 0.0000000000 z 0.00800000 S6	Tock= 01.48.59,306 7558.1202944 a 0.103588730 e 082.59.51,325 i 114.49.28,723 Q 071.00.00,407 co 288.59.59,592 v (Кепл. эл-ты)	(Ни ex. узел) 11.56.56.332 t 7732.1347183 R 1353.9987183 H +000.00.00,000 В +170.53.16,460 L
11.27.14.231 t 6771.042536432 R 411.543902102 Н +068.59.46,356 В +017.01.59,876 L (min h)	12.22.09.160 8332.489441295 1973.350446844 -070.28.45,565 -175.08.50,907 (max h)	11.27.31.873 6770.901535551 411.678050281 +070.07.21,570 +018.09.49,275 (я)	12.21.52.527 8332.571223001 1973.265534413 -069.46.50,522 -175.52.08,334 (а)
9437 10.09.2017 Д (Восх. узел) 12.58.09.545 t, 7230.720984742 R 852.584984742 Н +000.00.00,000 В -024.28.58,467 L ГдР= 01.48.53.983	(НУ в ГСК) -0.487129725 Vx 0.653832264 Vy 7.493764267 Vz 6580.57028183 х -2996.5681579 у 0.0000000000 z 0.00800000 S6	Tow= 01.48.59,313 7558.1259656 а 0.103590265 е 082.59.51,331 i 114.46.21,373 Q 070.48 09,500 со 288.11.50,499 и (Кепл. эл-ты)	(Нисх. узел) 13.45.50.753 t 7734.8305294 R 1356.6945294 Н +000.00.00,000 В +143.32.03,856 L
13.16.04.778 t 6771.051000462 R 411.503594513 Н +068.48.06,057 В -010.29.54,847 L (min h)	14.10.59.973 8332.492647069 1973.311531901 -070.18.03,030 +157.18.24,040 (max h)	13.16.22.581 6770.907455355 411.640143783 +069.56.23,072 -009.22.44,752 (л)	14.10.43.192 8332.575912190 1973.225111148 -069.35.42,217 +156.35.33,204 (а)
420 ----

Приложение 1
9438 10.09.2017 Д (Восх. узел) 14.47.03.529 t, 7228.365019556 R 850.229019556 Н +000.00.00,000 В -051.50.03,906 L Т^= 01.48.53.980	(НУ в ГСК) -0.131371959 Vx 0.804170139 Vy 7.496208368 Vz 4466,66845575 х -5683.14470715у 0.0000000000 z 0.00800000 S6	Тоск= 01.48.59,321 7558.1316329 а 0.103591801 е 082.59.51,338 i 114.43.14,024 Q 07036.18,605 о 289.23.41,394 в (Кепл. эл-ты)	(Нисх. узел) 15.34.45.255 t 7737.5249992 R 1359.3889992 Н +000.00.00,000 В +116.10.51,229 L
15.04.55.323 t 6771.059556522 R 411.462941563 Н +068.36.24,716 В -038.01.37,608 L (min h)	15.59.50.786 8332.495892900 1973.272282962 -070.07.19,690 +129.45.51,948 (max h)	15.05.13.287 6770.913428655 411.601899918 +069.45.23,720 -036.55.05,982 (я)	15.59.33.855 8332.580656442 1973.184343585 -069.24.33,040 +129.03.27,199 («)
9439 10.09.2017 Д (Восх. узел) 16.35.57.510 7226.013409374 R 847.877409374 Н +000.00.00,000 В +079.11.09,297 L Гдр= 01.48.53.977	(НУ в ГСК) 0.253413201 Vx 0.773870425 Vy 7.498649542 Vz 1355.764629754х -7097.68779682у 0.0000000000 z 0.00800000 S6	T^= 01.48.59,328 7558.1372963 a 0Л03593337 e 082.59.51,344 i 114.40.06,675 Q 070.24.27,723 ® 289.35.32,276 в (Кепл. эл-ты)	(Нисх. узел) 17.23.39.719 t 7740.2180912 R 1362.0820912 H +000.00.00,000 В +088.49.38,578 L
16.53.45.867 t 6771.068244312 R 411.421990781 Н +068.24.42,436 В -065.33.08,639 L (min h)	17.48.41.598 8332.499180001 1973.232701700 -069.56.35,546 +102.13.32,460 (max h)	16.54.03.992 6770.919455219 411.563317938 +069.34.23,497 -064.27.14,782 (я)	17.48.24.517 8332.585455464 1973.143231791 -069.13.22,988 +101.31.33,307 (а)
9440 10.09.2017 Д (Восх. узел) 18.24.51.487 b 7223.666175107 R 845.530175107 Н +000.00.00,000 В -106.32.14,639 L ГДр =01.48.53.973	(НУ в ГСК) 0.580839807 Vx 0.569959310 Vy 7.501087758 Vz -2056.15269042х -6924.85300372у 0.0000000000 z 0.00800000 S6	Tock= 01.48.59,335 7558.1429557 a 0.103594874 e 082.59.51,351 i 114.36.59,325 Q 070.12.36,854 co 289.47.23,145 в (Кепл. эл-ты)	(Нисх. узел) 19.12.34.184 t 7742.9097685 R 1364.7737685 Н +000.00.00,000 В +061.28.25,905 L
18.42.36.423 t 6771.076724273 R 411.380649378 Н +068.13.02,658 В -093.04.25,250 L (min h)	19.37.32.409 8332.502509628 1973.192789790 -069.45.50,596 +074.41.25,237 (max h)	18.42.54.696873 6770.925534790 411.524397014 +069.23.22,389 -091.59.11,502 (я)	19.37.15.177 8332.590308951 1973.101775786 -069.02.12,056 +073.59.51,199 (а)
---- 421

Приложение 1
9441 10.09.2017 Д (Восх. узел) 20.13.45.461 t, 7221.323337584 R 843.187337584 Н +000.00.00,000 В -133.53.19,933 L Гдр= 01.48.53.970	(НУ в ГСК) -0.777502147 Vx 0.238417909 Vy 7.503522988 Vz -5006.26797463х -5204.30511328у 0.0000000000 z 0.00800000 S6	TOck= 01.48.59,343 7558.1486110 a 0.103596412 e 082.59.51357 i 114.33.51,975 Q 070.00.45,997 co 288.59.14,002 в (Кепл. эл-ты)	(Нисх. узел) 21.01.28.651 t 7745.5999930 R 1367.4639930 H +000.00.00,000 В +034.07.13,208 L
20.31.26.979 t 6771.085257371 R 411.338967995 Н +068.01.22,373 В -120.35.30,494 L (min h)	21.26.23.218 8332.505883061 1973.152548912 -069.35.04,840 +047.09.29,946 (max h)	20.31.45.398 6770.931667094 411.485136213 +069.12.20,378 -119.30.56,484 (я)	21.26.05.835 8332.595216587 1973.059975544 -068.51.00,240 +046.28.20,557 (a)
9442 10.09.2017 Д (Восх. узел) 22.02.39.431 t3 7218.984917542 R 840.848917542 H +000.00.00,000 В -161.14.25,178 L ГдР= 01.48.53.967	(НУ в ГСК) 0.799434769 Vx -0.14618607 Vy 7.505955202Vz -6835.48248885x -2321.6206375 у 0.0000000000 z 0.00800000 Se	r0CK= 01.48.59,350 7558.1542621 a 0.103597951 e 082.59.51364 i 114.30.44,626 Q 069.48.55,153 ш 290.11.04,846 в (Кепл. эл-ты)	(Нисх. узел) 22.50.23.119 t 7748.2887297 R 1370.1527297 Н +000.00.00,000 В +006.46.00,489 L
22.20.17.535 t 6771.093846157 R 411.296949175 H +067.49.41,561 В -148.06.24,700 L (min h)	23.15.14.026 8332.509301641 1973.111980754 -069.24.18,275 +019.37.46,270 (max h)	22.20.36.098 6770.937851836 411.445534528 +069.01.17,447 -147.02.30,055 (я)	23.14.56.490 8332.600178040 1973.017830971 -068.39.47,533 +018.57.01,075 (а)
9443 10.09.2017 Д (Восх. узел) 23.51.33.399 t3 7216.650935635 R 838.514935635 Н +000.00.00,000 В +171.24.29,624 L Тдр= 01.48.53.964	(НУ в ГСК) 0.641944019 Vx -0.497470912 Vy 7.508384373 Vz -7135.66457832х 1078.119544653у 0.0000000000 z 0.00800000 S6	Tock= 01.48.59,357 7558.1599089 a 0.103599491 e 082.59.51370 i 114.27.37,276 Q 069.37.04322 co 290.22.55,677 в (Кепл. эл-ты)	(Нисх. узел) 00.39.17.589 t 7750.9759409 R 1372.8399409 H +000.00.00,000 В -020.35.12,253 L
00.09.08.090 t 6771.102493212 R 411.254595429 Н +067.38.00,199 В -175.37.08,183 L (min h)	01.04.04.833 8332.512766736 1973.071087011 -069.13.30,898 -007.53.46,099 (max h)	00.09.26.796 6770.944088708 411.405590875 +068.50.13,576 -174.33.52,530 (я)	01.03.47.146 8332.605216092 1972.975388046 -068.28.34,255 -008.34.07,263 («)
422 ----

Приложение 2
Коэффициенты моделей атмосферы Земли
________________________Таблица П.1________________________
Коэффициенты модели плотности атмосферы ГОСТ-25645.115-84 (высота 120...180 км)
Коэф-							
фициент модели	75	100	125	150	175	200	250
1	2	3	4	5	6	7	8
	-1,829910е+01	-1,819080еЮ1	-1,852090еЮ1	-1,865220е+01	-1,865860е+01	-1,864950е+01	-1,870740е+01
а2, км 2	7,009000е-01	7,000000е-01	6,419000е-01	6,124000е-01	6,038000е-01	5,974000е-01	5,772000е-01
а3, км	1Д53430еН)2	1Д46386&4-02	1Д59569е+02	1Д64154е+02	1,163531е+02	1,162144е4-02	1,163395е+02
4	-5,101900е+00	-5,101900е+00	-5,101900е4-00	-5Д01900е+00	-5,101900е+00	-5,101900е+00	-5,101900е+00
d2, км"1	6,258100е-02	6,258000е-02	6,258000е-02	6,258000е-02	6,258000е-02	6,258000е-02	6Д58000е-02
d3, км-2	-1,672100е-04	-1,672200е-04	-1,672200е-04	-1,672200е-04	-1,672200е-04	-1,672200е-04	-1,672200е-04
	-6,828000е-01	-7,804000е-01	-8,220000е-01	-7,376000е-01	-3,150000е-01	-5,161000е-01	-2,531000е-01
Ь2, км-1	5,576200е-03	7Д73000е-03	8,330000е-03	7,597000е-03	2,325000е-03	5,341000е-03	1,929000е-03
423

Окончание табл. П.1
424
1	2	3	4	5	6	7	8
by, км-2	9,523800е-07	-5,578000е-06	-U33000e-05	-U09000e-05	2,500000е-06	-8,672000е-06	1,495000е-06
ci	-4,384000е+00	-4,384000е+00	9,776000е-01	9,776000е-01	-5,632000е-01	-5,632000е-01	4,842000е-01
с2, км"1	8,063000е-02	8,063000е-02	-2,570000е-02	-2,570000е-02	5,743000е-03	5,743000е-03	-1,604000^-02
с3, км"2	-4,925000е-04	-4,925000^-04	2,027000е-04	2,027000е-04	-9,250000е-06	-9,250000е-06	1,405000е-04
с4, км"3	1,042000е-06	1,042000е-06	-4,708000е-07	-4,708000е-07	4,167000е-09	4,167000е-09	-3,375000е-07
W0	1,500000е+00	1,500000е+00	1,500000е+00	1,500000еН)0	1,500000е+00	1,500000е+00	1,500000еН)0
Ир км"1	6,000000е-03	65000000е-03	6,000000е-03	6,000000е-03	6,000000е-03	6,000000е-03	6,000000е-03
А-Рад	5,411000е-01	5,515000е-01	5,585000е-01	5,585000е-01	5,585000е-01	5,585000е-01	5,585000е-01
*1	-7Д38000е+00	-6,683000е4-00	-5,352000е+00	-4,799000е+00	-4,903000е+00	-5,115000е+00	-3,137000е+00
е2, км"1	1,203000е-01	1э101400е-01	8,615000е-02	7,779200е-02	8^270800е-02	8,507500е-02	4,774200е-02
е3, км"2	-6,450000е-04	-5,837500е-04	-4,437500е-04	-4,075000^-04	-4,587500е-04	-4,587500е-04	-2,275000е-04
е4, км"3	1>208000е-06	1,083000е-06	8,125000е-07	7,708300е-07	9,167000е-07	8,750000е-07	3,958300е-07
*5	-1,200000е-01	-1,200000е-01	-1,000000е-01	-1,000000е-01	-UOOOOOe-Ol	-1,100000е-01	-9,000000о-02
	5,000000е-03	2,500000е-02	2,083000е-02	2,750000е-02	4,116000е-02	3,810000е-02	3,118000е-02
е7	1,500000е-02	7,500000е-03	6,251000е-03	3,800000е-03	1,433000е-03	1,178000е-03	9,662000е-04
/1	-1,197500е-02	-9,900000е-03	-7,680000е-03	-5,600000е-03	-4,963000е-03	-4,110000е-03	-3,030000е-03
/2, км"1	9,983000е-05	8,212000е-05	6,362000е-05	4,667000е-05	4,136000е-05	3,463000е-05	2,532000е-05
/3, км"2	0,000000еН)0	3,125000е-09	3,125000е-09	0,000000е+00	0,000000е4-00	-3,125000е-09	-5,556000^-10
Приложение 2

________________________Таблица П.2________________________
Коэффициенты модели плотности атмосферы ГОСТ-25645.115-84 (высота 180...600 км)
Коэф-				F,			
фициент модели	75	100	125	150	175	200	250
1	2	3	4	5	6	7	8
	-1,556050е+01	-1,564080ё+01	-1,522290еН)1	-1,697520е+01	-1,730450е+01	-1,826600е+01	-1,927820е+01
2. а2, км 2	8,248000е-01	7,754000е-01	7,569000е-01	6,736000е-01	6,382000е-01	5,797000е-01	5,118000е-01
км	7,691320е+01	6,791620е+-01	5,581650е+01	8,544400е+01	8,195960е+01	1,009417е+02	1,165792е4-02
	-1,721000е-01	-1,721000е-01	-1,721000е-01	-1,721000е-01	-1,721000е-01	-1,721000е-01	-1,721000е-01
d2, км-1	5,756000е-03	5,756000е-03	5,756000е-03	5,756000е-03	5,756000е-03	5,756000е-03	5,756000е-03
d3, км-2	-3,635000е-06	-3,635000е-06	-3,635000^-06	-3,635000е-06	-3,635000е-06	-3,635000е-06	-3,635000е-06
*>	-8,607000е-01	-7,540000е-01	-5,700000е-01	-4,760000е-01	-2,920000е-01 :	-3,113000е-01	-3,307000е-01
Ь2, км-1	7,861000е-03	6,850000е-03	5,250000е-03	4,400000е-03	2,800000е-03	2,839000е-03	2,878000е-03
Z>3, км"2	-5,711000е-06	-4,600000е-06	-3,000000е-06	-2,400000е-06	-8,000000е-07	-1,089000е-06	-1,378000е-06
	1Д79100еН)0	1Д79100е400	1,290300е+00	1,290300е+00	2,057000е-01	2,057000^-01	1,499000е-03
с2, км"1	-1,576000е-02	-1,576000е-02	-1,547000е-02	-1,547000е-02	-2,912000е-03	-2,911000е-03	-2,399000е-04
с3, км 2	6,499000е-05	6,499000е-05	5,964000е-05	5,964000е-05	1,739000е-05	1,739000е-05	7,006000е-06
с4, км"3	-5,145000е-08	-5,145000е-08	-4,503000е-08	-4,503000^-08	-8,565000е-09	-8,565000е-09	-5,999000е-10
«0	1,500000еН)0	1,500000еН)0	1,500000е+00	1,500000е+00	1,500000е+00	1,500000е+00	1,500000е+00
Приложение 2
425

Приложение 2
Окончание табл. П.2
00	8 О о 8 40*	1 8 О 00 tn	1 о о 8 3 7	со 3 8 8 04 со*	40 1 о о до 7	о А 8 о «п	о о о 8 <э оС 1	сч 3 8 О г-м СО	9,662000е-04	о о о •п* 1	4,273000е-05	00 о о о <4 7
г-	со о о 8 О ол чо	? о о о tn 00	О 8 40 00 <4 °?	о о 8 ч	40 ? о о о 00 (О	04 1 8 7	3 о 8 О о 7	? о о 8 »—< (X	? о о о оо 1—1	X о 8 СО 7	о о о сч 00 <ч ЧГ	00 о 8 СЧ со 7
40	? о о о о о 40	? о о о tn 00 tn	сч 1 о § 04 °?	ГО о о о до сч"	о 8 00 04 £	04 о § <ч 7	о 8 О о 7	? о о 8 оо	? о о о сч 00	о 8 tn 04 7	ш я о о о ЧГ 40 чГ	00 о 8 3 7
п	со о о 8 4сГ	8 О *п 00	? о о о О\ 7	8 О сч 00 <	40 8 О tn ц сч	04 8 О 40 7	1 о о 8 СО 7	сч 8 О о tn СЧ	со 3 8 О о	3 о о о сч 00 00 7	tn 8 О сч 04 4ОЛ	00 ? о о о сч 7
	1 8 1 40	§ tn go tn	1 о о 8 ч 7	го § со 40 еч	40 ’'s- со'	04 8 8 сч 7	о о о 8 ОЛ 7	8 О со о сч*	? о о о о СЧЛ 40	5 о о о 04 00л 7	? 1 СЧЛ	00 о 8 00 7
го	I о о 8 чсГ	8 О tn «—1 tn	! о о о 53. 7	8 8 О тГ	40 I о о СЧ' f—l	04 о 00 tnA 7	? 8 О 8 7	о 8 О о я СЧ	8 О о 5	сч 1 о 8 7	! О о о 1—4 гН	00 о о 8 7
СЧ	? о о 8 О <4 40	? о о о г—<	О 8 сч ш 7	со ? о о 40	40 3 о о о 00	04 3 о 8 8 7	? о 8 О о <4 7	ГО CD о 8 Я	сч я о о 8 О	СЧ о 8 00 04 7	чГ Я о о 1 1“^	00 о 8 оГ 1
	sf	5 СХ		'§	7						'1	е»
426

________________________Таблица П.3________________________
Коэффициенты модели плотности атмосферы ГОСТ-25645.115-84 (высота 600...1500 км)
Коэф- фициент модели	Fo						
	75	100	125	150	175	200	250
1	2	3	4	5	6	7	8
	-3,322830е+01	-ЗД77310е4-01	-ЗД67150е+01	-2,975920еН)1	-2,884630е+01	-2,629940е+01	-2,366270е+01
а2,км 2	1,784000е-01	1,899000е-01	2,265000е-01	2,948000е-01	3,140000е-01	3,817000е-01	4^31000е-01
а3, км	5,550636е+Ю2	5,842450е+02	5,715408е+02	5,283389е+02	5,097230е+02	4,341220еН)2	3,364318еН)2
4	1,020400е+00	1,020400е+00	1,020400е+00	1,020400еЬ00	1,020400еН)0	1,020400е4-00	1,020400еН)0
d2, км-1	2,499000е-03	2,499000е-03	2,499000е-03	2,499000е-03	2,499000е-03	2,499000е-03	2,499000е-03
d3, км-2	-1,519000е-06	-1,519000е-06	-1,519000е-06	-1,519000е-06	-1,519000е-06	-1,519000е-06	-1,519000е-06
Ь1	7,833000е-01	7^50000е-01	6,100000е-01	9,333000е-02	-3,333000е-01	-4,333000е-01	-1,750000е-01
Ь2, км-1	2,861000е-03	2,675000е-03	2,343000е-03	3,038000е-03	3,522000е-03	3,522000е-03	2,642000е-03
Ь3, км-2	-1,944000е-06	-1,750000е-06	-1,433000е-06	-1,711000е-06	-1,889000е-06	-1,889000е-06	-1,417000е-Ю6
ci	-4,400000е+00	-^,400000е+00	-8,980000е+00	-8,980000е+00	-1,578000е+01	-1,578000е+01	-9,750000е+00
с2, км-1	3,024000е-02	3,024000е-02	4,087000е-02	4,087000е-02	5,757000е-02	5,757000е-02	3,383000е-02
с3, км-2	-3,283000е-05	-3,283000е-05	-3,950000е-05	-3,950000е-05	-5,322000е-05	-5,322000е-05	-2,694000е-05
с4, км-3	1,012000е-08	1,012000е-08	1,123000е-08	1,123000е-08	1,512000е-08	1,512000е-08	6,481000е-09
п0	1,500000еН)0	1,500000е+00	1,500000е+00	1,500000е+00	1,5ОООООе4-ОО	1,500000е+00	1,5ОООООе4-ОО
Приложение

428
Приложение 2
Окончание табл П.З
1	2	3	4	5	6	7	8
Ир км-1	6,000000о-03	6,000000о-03	6,000000е-03	6,000000е-03	6,000000о-03	6,000000о-03	6,000000о03
й,рад	5,411000е—01	5,515000е-01	5,585000е-01	5,585000е-01	5,585000о-01	5,585000о01	5,585000о01
е\	-3,8ОООООе+ОО	-3,700000еН)0	-3,700000е+00	-4,400000е+00	-3,600000е+00	-3,600000е+00	1,000000е-01
е2, км-1	1,972000о-02	1,783000е-02	1,750000о-02	1,981000е-02	1,694000е-02	1,653000о-02	2,639000о-03
е3, км-2	-1,833000е-05	-1,506000о-05	-1,500000о-05	-1,806000ё-05	-1,556000е-05	-1,528000о-05	-2}778000о07
еЛ,кт~у	4,938000е-09	3,580000е-09	3,704000е-09	4,938000е-09	4,321000о-09	4,321000о-09	-6Д73000О-10
е5	-UOOOOOoOl	-U00000e-01	-1,000000е-01	-1,000000е-01	-UOOOOOe-Ol	-1,100000е-01	-9,000000о02
еб	5,000000е-03	2,500000о-02	2,083000е-02	2,750000е-02	4,116000е-02	3,810000о-02	3,118000о-02
*7	1,500000о-02	7,500000е-03	6,251000е-03	3,750000е-03	1,433000е-03	1,178000е-03	9,662000о-04
А	1,083000е-02	8,317000о-03	4,667000е-03	-U333000e-02	-3,500000о03	-1,500000е-03	-8,333000о-04
/2, км-1	6,694000о-05	4,837000е-05	4,606000е-05	7,167000е-05	4,317000о-05	3,250000о-05	2,817000о05
/3, км-2	-4,277000о-08	-3,039000о-08	-2,722000о-08	-3,518000е-08	-2,056000е-08	-1,389000е-08	-1,129000о08

________________________Таблица П.4________________________
Коэффициенты A(D) модели плотности атмосферы ГОСТ-25645.115-84
D	A(D)	D	A(D)	D	A(D)
0	-0,028	130	0,013	260	0,015
10	-0,045	140	-0,037	270	0,070
20	-0,047	150	-0,086	280	0,115
30	-0,035	160	-0,128	290	0,144
40	-0,011	170	-0,162	300	0,155
50	0,022	180	-0,185	310	0,145
60	0,057	190	-0,199	320	0,120
70	0,090	200	-0,202	330	0,084
80	0,114	210	-0,193	340	0,044
90	0,125	220	-0,173	350	0,006
100	0,118	230	-0,140	360	-0,023
ПО	0,096	240	-0,096	370	-0,040
120	0,060	250	-0,042	-	-
______________________Таблица П.5	.________________
Коэффициенты для расчета плотности атмосферы на высотах ниже 120 км
/г, км	Ao, км/м3	A?1,KM^	fa, KM-2	fa, KM
0</z<20	1,2280	0,90764e-l	-0,20452e-2	0
20<A<60	0,9013e-l	0,16739	0,62669e-3	20
60<Л<100	0,31043e-3	0,12378	-0,8700e-3	60
100 <h < 120	0,53675e-6	0,17527	0,1287e-2	100
Приложение 2
429

Приложение 3
Типовые баллистические алгоритмы
П1. Система уравнений для расчета проекций
параметров движения на оси прямоугольной
геоцентрической гринвичской системы координат
Система уравнений движения КА в относительной геоцентриче-
ской прямоугольной гринвичской системе координат - ГСК (ОзХгУг/г)
имеет вид:
vx =^з2	-pSBWx + 2й>Л;
Vy =^32--^y + ^g^-pS^-2^
Vz=-^z + ^gzi-pSBWz,
г /=1
x = Vx, y=Vy, z = Vz.
где £Agx/,	~ проекции ускорений от учитываемых воз-
мущений на оси прямоугольной системы координат, м/с2; р - плотность
воздуха на данной высоте (из стандартной атмосферы), кг/м3,
2/4 о Сх^т с	, ,	г 2/ т
кгс-с /м ; оБ = * w - баллистический коэффициент [м7кг] для размер-
2w
г- Г 3	~1	Г 2 "
/То о nnzzr CrFm м	кгс-с
ности р, кг/м , оБ =9,80665	----- для размерности р ---— ;
1т [_кгс-с J	L м J
Fm - площадь миделева сечения КА, м2; сх - безразмерный коэффициент
силы лобового сопротивления; т - масса КА, кг; а>3 = 7292115* 10-11 - ско-
рость вращения Земли, рад/с; г- радиус-вектор КА в АГСК или ГСК, м.
Если в системе ДУ скорость вращения Земли принять а>3 = 0, то
система уравнений описывает движение в инерциальной (абсолютной)
геоцентрической прямоугольной системе координат - АГСК (O3XYZ).
430 ---

Приложение 3
П2. Используемые константы
2.1.	Угловая скорость вращения Земли
со3 = 7292115  1011 рад/с.
2.2.	Большая полуось общего земного эллипсоида (экваториальный
радиус Земли R3)
ае = 6378136,0 м.
2.3.	Гравитационная постоянная Земли
//= 398600,44 109 м3/с2.
2.4.	Коэффициент сжатия общего земного эллипсоида
«= 1/298,257839303.
2.5.	Средний радиус Земли
7?3 = 6371 км.
2.6.	Коэффициент перевода угловых секунд в радианы
к=---------= 0,484813681109536-КГ5.
3600 -180
2.7.	Коэффициент перевода угловых секунд в секунды времени
= 86400=	66666666666667
1296000
2.8.	Коэффициент перевода радиан в секунды времени
к
к2 = — = 13750,9870831398.
2 к
2.9.	Единичное расстояние в астрономии
а\= 1,49597870-Ю41 м.
2.10.	Постоянная аберрации
X = 20,"49552 утл. с.
2.11.	л-= 3,141592653589793.
2.12.	К =360°= 1296000".
ПЗ. Расчет проекций ускорений
от гравитационного поля Земли
на оси прямоугольной геоцентрической системы координат
Проекции ускорения от гравитационного поля Земли (ГПЗ-90) на
оси прямоугольной геоцентрической системы координат (АГСК или
ГСК) рассчитываются по следующим формулам:
-----431

Приложение 3
Л А Х А х Z Л У
&gn = ^gr— kg------д£л->
г г гх т\
^gys = Д?г - - ^Ч> - - + ДЯя - >
Л	Г	Г Г\	1\
A	a Z К Г\
^ga=^gr- + ^gv-^
г г
r = 4x2+Y2 + Z2, г\=^Х2 + У2,
где х, у, z, г, г\ - проекции координат, радиус-вектора в АГСК или ГСК.
Проекции ускорения от ГПЗ (силы притяжения) Agr, Ag^, Ag2
рассчитываются в геоцентрической сферической системе координат и
направлены как на рис. ПЗ. 1.
_______________________Рисунок П3.1 ______________________
Проекции возмущающего ускорения от ГПЗ:
Agr - радиальная составляющая возмущающего ускорения,
направленная по радиусу от центра Земли; Ag^ - меридиональная
составляющая возмущающего ускорения, лежащая в плоскости ме-
ридиана рассматриваемой точки и направленная перпендикулярно
радиусу в сторону северного полюса; Ag2 - нормальная составля-
ющая возмущающего ускорения, направленная по нормали к плос-
кости меридиана на восток
432 ----

Приложение 3
С учетом направлений возрастания величин (положительных
направлений) составляющие возмущающего ускорения для силовой
функции ГПЗ (F) рассчитываются по формулам:
. dV .	1 dV	1 dV
Agr=~ -r~>	Д?л=------— •
or	г дф	гсоъфо2.
В результате:
.. Л
ac n=2
36 (
e n=2\ .
n

m=Q
nm cos m2, + Snm sin m2, j,

n __ ________ _________
^,p,’m( sin^)^C nm cos m2,+ S nm sin ml),
m=0
36 (a Y+2 n —	—	—
“Г	X/wP”m (sin ф^-Спт sin m2, + Snm cos ml).
aeC0S^ п=2\Г )	m=0
П4. Сферические функции Лежандра
Л4.1. Первый вариант расчёта
Нормированные функции Лежандра Pnm (sin^) и их производные
по широте Рпт (sin<p) вычисляются по рекуррентным соотношениям:
О при п < т;
1 при п = т = 0;
Б / • х 12л +1	1
рп-\,т-\ (sinр)cosр —-- -— при и = т^0;
\ 2п о л
у	т-1
Рпт (Si11?) = 1

Чи2 -1
л2 - т2
(sin#?)
при п > т\
Рпт^V) = -[wtg<рРпт(sin<р) -^Sm(n - т)(п + т +l)P„,m+1 (sin р)],
----433

Приложение 3
где
8т
1/2 при т = О,
1 при т Ф 0;
r = Jxt+Y?+Z?; tj = ^X^ + Y^y
Zp	t\
sm^ = —cos^ =—,
r	r
^g[-90°;90°], sign ($>) = sign (z),
где A - геоцентрическая долгота; (p - геоцентрическая широта; Аг, Уг, Zr -
проекции скорости и радиуса ЦМ КА на оси ГСК.
Параметры ГПЗ-90
ае = 6378136,0 м - большая полуось общего земного эллипсоида
(экваториальный радиус Земли);
р = 398600,44 -109 м3/с2 - гравитационная постоянная;
со3 = 7292115-10"11 рад/с;
Спт > ~Snm ~ коэффициенты стандартной Земли (ГПЗ-90 приведены
в приложении А).
П4.2. Второй вариант расчёта
Сферические функции Лежандра рассчитываются по следующим
формулам:
если m > (п - 1), то Рп-\,Xsin^) = 0;
если m > (п - 2), то P„-2,w(sin^) = 0;
^m(sin<°) =
-^-[(w + n7)P„_1>m(srn^)-
cos^?
n sin ^Pn m (sin?)],
Pnm (sin<p) =
1 Г(2» -1) (sin <p) P„_Km (sin <p) -
n - m [-(n + tn -1) P„_2m (sin ?)
n > ТП,
pnm (sin ?) = (2w -1)cos? Pn_x „.j (sin <p), n = m,
где:
если m = 0, то sirvwz = 0; coswz = 1;
если m = 1, to siwwX = sinA; coswA = cos 2;
434 -----

Приложение 3
sin mA = sin(w-l)2cos/l + cos(zH-l)/lsin2;
cos mA = - sin (m -1) A sin A + cos (m-l)A cos A;
(sin <р) = гптРпт (sin ^);
P'„m(sin<p) = r„m^m(sin^);
m = 0 =5> >/2« + l;
nm
m*0=>
(и-/и)!
(и + ти)!’
7^0=1, 7}0=sin^, 7}!=cos^,
p2o=|(3sin2
7^ = 3 cos <p sin (p, P22 = 3 cos2 (p.
Здесь
Ле[0°;360°],
sin0> =—, cos^ = y=, ^g[-90°;90°], sign ($?) = sign (z),
где A - геоцентрическая долгота; <p- геоцентрическая широта; Аг, Уг, Zr -
проекции скорости и радиуса ЦМ КА на оси ГСК.
Параметры ГПЗ-90
ае = 6378136,0 м - большая полуось общего земного эллипсоида
(экваториальный радиус Земли);
ц = 398600,44Ю9 м3/с2 - гравитационная постоянная;
йЪ = 7292115-10-11 рад/с;
~Спт, ~Snm - коэффициенты стандартной Земли ГПЗ-90.
Для удобства программирования коэффициенты cnm9~Snm ГПЗ
представляются в виде одномерного массива ktes, элементы которого
сформированы следующим образом:
-	четные члены массива ktes[2£] = Cnmrnm;
-	нечетные члены массива ktes[2£ +1] = Snmrnm;
, (1 + и)и z ,
=	2-+(w-3).
---- 435

Приложение 3
П5, Статическая модель атмосферы
р (й) = 4е [МА " М2 - ки (h ~ hi)],
где:
р(Л) - плотность воздуха, •
м
(	(	z2Y|
h - высота КА над поверхностью Земли, м, Л= г-ае1-а-у ;
к	V	г ))
Ai, k\h k2t - коэффициенты, постоянные в пределах изменения вы-
соты от hi до hj+\, приведены в таблицах для моделей атмосферы
СМА62, СМА81;
ле = 6378136,0 м - большая полуось общего земного эллипсоида
(экваториальный радиус Земли 7?э);
а = 1/298,257839303 - коэффициент сжатия общего земного эл-
липсоида;
г - радиус-вектор (геоцентрический радиус) КА.
СМА 62
i	й,103 м	. кгс•с2 4>	4 м	*1,-, м'2	^2/’ м 1
0	0<А<20	0,1250	-0,2639-1 О'8	0,7825-1 О4
1	20 < h < 60	0,9091-Ю4	0,44070-104	0,16375 Ю4
2	60 < Л < 100	0,2630-104	-0,2560-10“*	0,5905-104
3	100 < h <150	0,4141 10"7	0,14688-Ю"8	0,1787-10"3
4	150 < h <300	0,21727-Ю-9	0,8004-10"'°	0,37336 k)-4
5	300 < h < 600	0,48607-10" "	0,71111-Ю-'1	0,15467 104
6	600 < h < 900	0,8904-Ю43	0,1830-IO'11	0,9275-Ю-5
7	900 < h < oo	0,6497 1014	0	0,9540-Ю"5
СМА81
i	АДО3 м	. кгс• с2 4->	4 м	м’2	А2/, м 1
0	0 < h < 20	0,12522	-0,20452-Ю-8	0,90764-10-4
1	20 < h < 60	0,91907 10-2	0,62669-IO’9	0,16739-104
2	60 < Л <100	0,31655-Ю4	-0,86999-Ю"9	0,12378-Ю4
3	100 < Л < 150	0,54733-104	0,12870-Ю-8	0,17527-Ю4
4	150 < h <300	0,20474-10'9	0,10167-Ю’9	0,45825-Ю4
5	300 < h < 600	0,19019-Ю41	0,97266-10-"	0,19885-Ю4
6	600 < h < 900	0,11495-Ю43	0,15127-Ю40	0,14474-Ю4
7	900 < h < oo	0,58038-Ю45	0	0,39247-10-5
436 ----

Приложение 3
П6. Определение юлианской даты
по заданной календарной дате
Переход от календарной даты вида DDMMGGGG к юлианской да-
те (текущий юлианский день) JD на 12h ЕТ осуществляется по формуле
JD = 2451545 + 365 М>+	+</+0,5;
здесь:
DD - число; ММ - месяц; GGGG - год;
№ = GGGG -2000;
d - число прошедших дней с начала текущего года до заданной даты;
#о-1
4
- берётся целая часть числа; вместо +
в формуле берётся
---если дата по 2000 г. включительно,
+ - если дата с 2001 г.
П7. Расчет истинного звездного времени на 0ч 0м Ос
всемирного времени заданной даты
Г= 360°= 1296000";
к = 0,484813681109536-10’5;
кх = 0,066666666666667;
*2= 13750,9870831398.
Для определения истинного звездного времени на 0ч 0м 0е всемир-
ного времени заданной даты рассчитываются следующие величины.
П7.1. Относительная юлианская дата в XXI столетии
(доля юлианских столетий от момента 2000 г., 1 января, 12h
UT1 (JD 2451545.0)
r JD-2451545
36525
П7.2. Среднее звёздное время в Ф всемирного времени
заданной даты (звездное время на меридиане Гринвича)
Som = 6h41m50s.54841 + 8640184s.8128667’+
+ 0\093104Г -	час. мин. с;
Som = 24110s.54841 + 86401845.812866Г+
+ 0s.09310472 - 6S.2- Ю^Т3, с времени;
----437

Приложение 3
г» т
S?=-?-, рад;
5от= 1,7533685592332653 + 628,33197068884089707’+
+ 0,00000677071394497s - 0,00000000045087677s, рад.
Исключаем целое число суток:
где [...]- берётся целая часть числа.
Л7.3. Поправки от нутации в долготе
-	Средняя аномалия Луны'.
€ = 485866.”733 + (1325г + 715922."633)7+ 3l/’ЗЮТ2 + 0.”0647*, угл. с;
£ = kt рад;
I = 2,3555483935439407 + 8328,691422883895594007+
+ 0,00015179516355547* + 0,000000310280755973, рад;
-	Средняя аномалия Солнца'.
Г= 1287099."804 + (99г + 1292581.”224)7-0.”5777*-0."0127*, угл. с;
V = kV рад;
V = 6,2400359393260230 + 628,30195602418416507-
-	0,00000279737494007* - 0,000000058177641773, рад;
-	Средний аргумент широты Луны'.
F= 335778.”877 + (1342г+ 295263.” 137)7- 13.”2577* + 0.”0117*, угл. с;
F=kF, рад;
F= 1,6279019339719609 + 8433,46615831845338007-
-	0,00006427174970477* + 0,000000053329504973, рад;
-	Средняя элонгация (разность средних долгот) Луны и Солнца'.
7) = 1072261.”307 + (1236r+ 1105601.”328)7-
-	6.”8917* + 0.”01973, угл. с;
D = kD рад;
D = 5,1984695135799228 + 7771,37714617064103007-
-	0,00000807699592737* + 0,000000092114599473, рад;
-	Средняя долгота восходящего узла орбиты Луны на эклиптике'.
Q = 450160.”280 - (5Г + 482890.”539)7+ 7.”4557* + 0.”00873, угл. с;
438 --

Приложение 3
Q = A£2, рад;
Q = 2,1824386243609943 - 33,75704593375350987+
+ 0,000036142859926772 + 0,000000038785094573, рад:
-	Средний наклон эклиптики к экватору Земли:
г = 84381."448-46."81507-0."0005972+0."0018137е, угл. с;
рад;
е = 0,4090928042223290 - 0,00022696552481147-
- 0,0000000028604007т2 + 0,00000000878967207е, рад;
-Долгопериодическая нутация по долготе:
ДТ’ = (-17."1996 - 0,017427)sinQ + (0,2062 + 0,000027)sin2Q +
+ (-1,3187 - 0,000167)sin(2F- 2D + 2Q) + (0,1426 - 0,000347)sin£’+
+ (-0,0517 + 0,000127)sin(£’ + 2F-2D + 2Q) +
+ (0,0217 - 0,000057)sin(-r + 2F-2D + 2Q) +
+ (0,0129 + 0,000017)sin(2F - 2D +Q) угл. c;
- Короткопериодическая нутации no долготе:
ДТ" = (-0,2274 - 0,000027)sin(2F + 2Q) + (0,0712 + 0,000017) sinl +
+ (-0,0386 - 0,000047)sin(2F + Q) + (-0,030l)sin(£ + 2F + 2Q) +
+ (-O,O158)sin(£ - 27)) + 0,0123sin(-£ + 2F + 2Q) угл.с.
Поправка от нутации в долготе:
ДТ = ДТ’ + ДТ", угл. с.
П7.4. Истинное звёздное время в О4 0м 0е
всемирного времени заданной даты
(истинное звездное время на меридиане Гринвича)
So = So” [рад] + AATcoss рад;
Sb = Som [сек времени] + к\ ДТсозе, сек. времени.
П8. Угловое расстояние между инерциальной (абсолютной)
геоцентрической прямоугольной
и относительной геоцентрической прямоугольной
гринвичской системами координат
Угловое расстояние между инерциальной (абсолютной) геоцентри-
ческой прямоугольной (АГСК) и относительной геоцентрической прямо-
угольной гринвичской (ГСК) системами координат определяется углом
----439

Приложение 3
у — 5b + а>з (/дмв - 10800 ), рад;
где 5о - истинное звездное время на 0h всемирного времени заданной
даты в радианах; /дмв - декретное московское время (ДМВ), с;
со3 = 7292115 • 10-11 - угловая скорость вращения Земли, рад/с.
П9. Определение координат
(видимого прямого восхождения, склонения
и модуль радиус-вектора) Солнца
Г =360°= 1 296 000”;
тг = 3,1415926535897932;
к = 0,484813681109536-10’5.
9.1.	Время, отсчитываемое в юлианских столетиях по 36 525 сут.
от эпохи 2000 г., 1 января, 12h UT1 (JD 2451545.0 )
JP + /-2451545
36525
/дмв-10800	_
где /=	86400— С^Т’’	~ московское Декретное время, с; ГО - те-
кущая юлианская дата.
9.2.	Средняя долгота Солнца:
L = 1009677.” 850 + (100г + 2771."270)Т+ 1."089Л угл. с,
L = kL, рад.
9.3.	Средняя долгота солнечного перигея:
Г = 1018578."046 + 619О."О46Т+ 1.”666Т2 + О.»О12Т3, угл. с;
Г = АГ рад.
9.4.	Эксцентриситет орбиты Земли:
е = 0,0167086342 - 0,00004203654 Т- 0,00000012673 Т2 -
-0,00000000014 Г3.
9.5.	Средняя долгота восходящего узла орбиты Луны на эклиптике:
Q = 450160.”280 - (5Г + 48289О.”539)Г+ 7."455 Т2 + 0.”008 Т\ угл. с;
Q = AQ рад.
9.6.	Средний наклон эклиптики к экватору Земли:
е = 84381."448-46."8150 Г-0.”00059 Г2+0.”001813 Г3, угл. с;
£= ке рад.
9.7*	Долгота Солнца:
2 = L + 2е sin(Z - Г) + 5/4e2sin2(£ - Г) рад.
440 ----

Приложение 3
9.8.	Долгопериодическая нутация полюса Земли:
ДТ' = -17."1996 sinH угл. с;
ДТ^ЛДТ’ рад.
9.9.	Нутация в прямом восхождении:
ДТ = 0.061165 ДТ’ рад.
9.10.	Видимое склонение Солнца (-90 < 3< +90):
3 = arctg(sinA sine / (cos2A + sin2A cos2c)1/2).
9.11.	Видимое прямое восхождение Солнца (0 < а< 360):
а = arctg(tgz cose) рад;
а- а,	если	а>0, £>0;
а = а + я;	если	а>0, £<0;
а= а+	если	а<0, $> 0;
а= а+2л,	если	«<0, £<0.
9.12.	Поправки к а, 3, обусловленные нутацией:
Да = ДТ - %; А3 = AT-sins coscr,
где % = 20."49552 угл. с - постоянная аберрации; X = рад-
9.13.	Уточнённые значения а, 5:
а = а + Да рад; 3* = 3 + АЗ рад.
9.14.	Модуль радиус-вектора Солнца:
rs =aj(l-ecos(£-r) + e2(l-cos2(Z-r))/2),
где as = 1,00000023 а*е; а*е = 1,49597870-1011 м - единичное расстояние.
П10. Определение направляющих косинусов
радиус-вектора Солнца
Направляющие косинусы радиус-вектора Солнца определяются:
-	в инерциальной (абсолютной) геоцентрической экваториальной
системе координат - АГСК (O3XYZ):
Xs° = cosa cos<5;
Ysq = sina cos<5;
Zs° = sin<5;
-	в относительной геоцентрической прямоугольной гринвичской
системе координат - ГСК (ОзАгУгХг):
---- 441

Приложение 3
Агх° = со&5 cos(a - у);
Y	rs0 = cos<5 sin(a - y);
Zrs° = sinrJ.
ПИ. Определение видимой долготы
и видимой широты Луны
Г =360°= 1 296 000";
л-=3,1415926535897932;
к = 0,484813681109536-10~5.
Для определения видимой долготы и видимой широты Луны рас-
считываются:
-	время, отсчитываемое в юлианских столетиях по 36 525 суг. от
эпохи 2000 г., 1 января, 12h UT1 (Л) 2451545.0)
JD + r-2451545
36525
Глмв-10800	m
где г - '§5400— СУТ*’ ^дмв ~ московское декретное время, с; JD - те-
кущая юлианская дата;
-	средняя аномалия Луны
£ = 485866.”733 + (1325г + 715922."633) Т+
+ 31."310Г2 + О."О64Т3, угл. с;
£	= ££ рад;
-	средняя аномалия Солнца
£’= 1287099.”804 + (99г + 1292581.”224) Т+
+ О.”577Г2 + 0.”012 Г3, угл. с;
£	’ = kV рад;
-	средний аргумент широты Луны
F = 335778.”877 + (1342г + 295263."137) Т+
+ 13.”257Т2 + 0 ”011 Т3, угл. с;
F	= kF рад;
-	средняя долгота восходящего узла орбиты Луны на эклиптике
Я = 450160.”280 - (5r + 482890.”539) Т+
+ 7."455 Т2 + 0.”008 Г3, угл. с;
П	= Ю рад;
442 ----

Приложение 3
-	средняя элонгация (разность средних долгот) Луны и Солнца
D = 1072261.”307 + (1236r + 11O56O1.”328) Т+
+ 6.”891Т2 + 0."019Г3, угл. с;
D = kD рад;
-	средний наклон эклиптики к экватору Земли
s = 84381."448 - 46."8150 Т-0."00059 Г2 + 0."001813 Г3, угл. с;
кв рад;
-	видимая широта Луны (-90 < (3 < +90):
/3= 18461.”48 sin(F) +1010,18 sin(£ + F) - 999,69 sin(F- £) -
-	623,65 sin(F- 2D) + 199,48 sin(F+ 2D - £) - 166,57 sin(£ + F-2D) +
+ 117,26 sin(F + 2D) + 61,91 sin(2£ + F) - 33,35 sin(F - 2D - £) -
-31,76 sin(F- 2£) - 29,68 sin(£’ + F- 2D) + 15,12 sin(£ + F+ 2D) -
- 15,56 sin(2£ + F-2D), угл. c;
p=kpvw,
-	видимая долгота Луны (0 < Л < 360):
Я = 785939.”157 + (1336r + 1108372,598) Т- 5.802 Т2 + 0,019 Г3 +
+ 22639."5 sin(£) - 4586,42 sin(l - 2D) + 2369,9 sin(2D) +
+ 769,01 sin(2£) - 668,11 sin(t’) - 411,6 sin(2F) -
-	211,65 sin(2£ - 2D) - 205,96 sin(£ + Г - 2D) + 191,95 sin(€ + 2D) -
-	165,14 sin(£’ - 2D) + 147,69 sin(£ - £’) - 125,15 sin(D) -
-	109,66 sin(£ + £') - 55,17 sin(2F- 2D) - 45,10 sin(£ + 2F) +
+ 39,53 sin(£ - 2F) - 38,42 sin(£ - 4D) + 36,12 sin(3£) -
-	30,77 sin(2£ - 4D) + 28,47 sin(£ - - 2D) - 24,42 sin(£’ + 2D) +
+ 18,60 sin(£ - D) + 18,02 sin(£’ + D), угл. c;
Л-кЛ рад;
-	параллакс Луны
Ъ = 3422."7 + 186,539 cos(£) + 34,311 -cos(£ - 2D) + 28,233 cos(2D) +
+ 10,165 cos(2£) + 3,086 cos(£ + 2D) + 1,917 cos(£’- 2D) +
+ 1,443 cos(£ + £’ - 2D) + 1,152 cos(£ - €’) - 0,978 cos(P) -
-	0,949 cos(£ + £’) - 0,713cos(£ - 2F) + 0,62 cos(3l) +
+ 0,600 cos(£ - 4D) - 0,399 cost’, угл. c;
лс = кпс рад;
-	модуль радиус-вектора Луны
---- 443

Приложение 3
М = Де /
где ае = 6378136,0 м - большая полуось общего земного эллипсоида.
Примечание: Вид разложения для видимой долготы, видимой ши-
роты и параллакса Луны взяты из книги «Справочное руководство по небесной
механике и астродинамике». Авторы: В.К. Абалакин, Е.П. Аксёнов, Е.А. Гребе-
ников, Ю.А. Рябов. Наука. 1971 / Под ред. Г.Н. Дубошина, с. 370.
П12. Определение направляющих косинусов
радиус-вектора Луны
Направляющие косинусы радиус-вектора Луны определяются:
-в инерциальной (абсолютной) геоцентрической прямоугольной
системе координат - АГСК (O3ATZ):
Xlq = cosQT) cos(2);
Ylq = (cos(/7) sin(2) cos(e) - sin(/7) sin(e));
Zl° = (cos(/7) sin(2) sin(s) + sin(/7) cos(s));
-в относительной геоцентрической прямоугольной гринвичской
системе координат - ГСК (ОзАтУг^г):
Xvi? = Xl° cos(tf + Ylq sin(tf;
YnQ = -XL° sin(tf + Ylq cos(tf;
Zrz° = Zz°.
П13. Проекции возмущающего ускорения,
вызванного притяжением Солнца или Луны
Проекции возмущающего ускорения, вызванного притяжением
Солнца или Луны, в прямоугольной геоцентрической экваториальной
системе координат (инерциальной или относительной) рассчитываются
по формулам:
Ag =^.ffy.0--V-y.°
у* п	п)
444 ----

Приложение 3
Ag. =4ffz.°--\3-Z.°
z* r* r*)
//* = Gw*,
где G = 6,672 IO-11 м3 кг-1с-2 - гравитационная постоянная Кавендиша;
w*: ms= 1,98909529376-IO30 кг-масса Солнца;
mi = 7,34831142687-1022 кг - масса Луны;
г*: rs - модуль радиус-вектора Солнца;
гь - модуль радиус-вектора Луны;
Х°, У*0, Z*0:
-Xl°, Yl°9 Zlq (Xri°, УгД Zrz°) - направляющие косинусы радиус-
вектора Луны в инерциальной (абсолютной) геоцентрической прямо-
угольной системе координат - АГСК (в относительной геоцентрической
прямоугольной гринвичской системе координат - ГСК);
-Xs°, Ys°, Zs° (Xrs°, Yrs°9 Zrs°) - направляющие косинусы радиус-
вектора Солнца в инерциальной (абсолютной) геоцентрической прямо-
угольной системе координат - АГСК (в относительной геоцентрической
прямоугольной гринвичской системе координат - ГСК);
X, Y, Z:
-	X, Y, Z (Хг, Кг, Zr) - координаты КА в инерциальной (абсолют-
ной) геоцентрической прямоугольной системе координат - АГСК (в от-
носительной геоцентрической прямоугольной гринвичской системе ко-
ординат - ГСК);
Ag , Ag , Ag :
х* у* z*
-	Ag , Ag , Ag (Ag , Ag , Ag ) - проекции возмущаю-
Xs ys Zs \5 yyS "b
щего ускорения вызванного притяжением Солнца в инерциальной (аб-
солютной) геоцентрической прямоугольной системе координат - АГСК
(в относительной геоцентрической прямоугольной гринвичской системе
координат - ГСК);
-	Ag , Ag , Ag (Ag , Ag , Ag ) - проекции возмуща-
XL Уь ZL XTL УГЬ ZVL
ющего ускорения вызванного притяжением Луны в инерциальной (аб-
солютной) геоцентрической прямоугольной системе координат - АГСК
(в относительной геоцентрической прямоугольной гринвичской системе
координат - ГСК).
---- 445

Приложение 3 -
П14. Проекции возмущающего ускорения,
вызванного влиянием светового давления
= -в[^--1д3;
Асд	k	rs )
bg =-z?|7s°--V
сд	к	rs)
t^g = -Л
сд \ rs)
B=—cq0,
т
где:
В - коэффициент светового давления;
т - масса КА, кг;
F - площадь сечения ИСЗ, нормального к световому потоку (для
неориентированных выпуклых спутников F берется равной 0,25 от ве-
личины полной поверхности спутника), м2;
до ~ 4,5 Ю-7 кгс/ м2 = 4,4-10"6 кг/с2м - световое давление в районе
земной орбиты;
с = 1,0... 1,44 - коэффициент, зависящий от характера отражения
света:
-	с- 1,0 - соответствует случаю полного зеркального отражения, а
также случаю полного поглощения световой энергии;
-	с = 1,44 - соответствует полному диффузному отражению;
rs - модуль радиус-вектора Солнца, м;
Xs\ Ys°, ZsQ (АтА УгЛ Zrs°) - направляющие косинусы радиус-
вектора Солнца в инерциальной (абсолютной) геоцентрической прямо-
угольной системе координат - АГСК;
АГ, У, Z (Аг, Уг, Zr) - координаты КА в ГСК.
При расчете возмущающего ускорения, действующего на КА от
светового давления, необходимо учитывать прохождение тени Земли.
КА находится в тени Земли при выполнения условия:
446 ----

Приложение 3
J cosy<<0,
[г sin у/ < R3,
где:
xx2 + yy?+zzZ
cos у/ =--------------;
г
r = y]x2 + Y2+Z2;
R3 = 6371 км - средний радиус Земли.
П15. Определение координат и составляющих
вектора скорости в инерциальной АГСК
по кеплеровским элементам орбиты
По известным кеплеровским (оскулирующим) элементам орбиты:
i - наклонение;
Q - прямое восхождение восходящего узла;
а - большая полуось;
е - эксцентриситет;
со - аргумент широты перигея;
Тл - время пролета перигея орбиты,
заданным на время t (время полета) координаты X, Y, Z, составляющие
вектора скорости Vx, Vy, Vz в АГСК определяются так.
Алгоритм расчета
1.	Из уравнения Кеплера
t-Tx = ^(E-esinE)
итерационным способом находится эксцентрическая аномалия Е поло-
жения КА по итерационной формуле
Ej= М + е sin Ej_}
или
Е-	!-esinЕ. 1 — М
р-р_______Jzl______ •/~1___
J=l,2,3,...;
Eq — M;
----447

Приложение 3
где /z = 398600,44Ю9 м3/с2 - гравитационный параметр Земли (u
j - номер итерации.
Итерацию заканчивают при выполнении условия:
Ej - Ej-\ < е;
е = (360А/с)/Гка,
где £ - заданная точность вычисления в угловой мере; А/с - заданная
точность вычислений по времени; 7кд - период КА.
2.	Определение координат и составляющих вектора скорости в АГСК:
X=r (cosQ cosw - sinQ sinw cosz);
Y = r (sinQ cosw + cosQ sinw cosz);
Z=r sinw sinz;
Vx - Vr (cosQ cosw - sinQ sinw cosz) - KM(cosQ sinw + sinQ cosw cosz);
Vy =Vr (sinQ cosw + cosQ sinw cosz) - KM(sinQ sinw - cosQ cosw cosz);
Vz = Vr sinw sinz + Vu cosw sinz.
где:
P = a (1 - e2) - фокальный параметр;
P
r =-----------радиус-вектор.
l + ecos»9
Vr = A— e sin «9 - радиальная составляющая скорости;
<9 = 2arctg
- нормальная составляющая скорости;
- истинная аномалия положения КА.
П16. Определение кеплеровских (оскулирующих) элементов
орбиты по известным координатам и составляющим вектора
скорости в АГСК
По известным на заданный момент времени t координатам X, У, Z и
составляющим вектора скорости Vx, Vy, Vz в АГСК кеплеровские (оску-
лирующие) элементы орбиты:
z - наклонение;
Q - прямое восхождение восходящего узла;
а - большая полуось;
е - эксцентриситет;
со - аргумент широты перигея;
448 ---

Приложение 3
Tn - время пролета перигея орбиты
определяются так.
16.1.	Скорость V и радиус-вектор г:
Г2 = V2 + Vy2 + К?;
r2=A2+P2 + Z2.
16.2.	Проекции вектора кинетического момента (вектор площадей)
и его единичного вектора:
Cx=YVz-ZVy; Cy=ZVx-XVz; Cz=XVy-YVx;
|C| = JCX2 + C2+C22 ;
ztO _ С _ I x-rO s~i0 I .
Cx°=^; C»=S; C°2=^
c y c c
16.3.	Вектор Лапласа
fi = _//_+СЛ_СЛ; f2 =-n-+Cyz-C3Vx-,
IS	IS
где // = 398600,44-109 m3/c2.
16.4.	Фокальный параметр орбиты.
p-c-.
16.5.	Эксцентриситет орбиты
e = J1 +
f. е=и
-2 ’ A
16.6.	Большая полуось орбиты
P
a=T~^'
i~e
«=—V
jz2-^£
16.7.	Наклонение орбиты
- i =arctg
C.sinQ
---- 449

Приложение 3
если Cz > 0;
i = 71- i\ если Cz < 0;
arscos
z = z*,
если Cz > 0;
z - я- Г, если Cz < 0;
- sinz =
- Cz
cosz = —
C
16.8. Долгота восходящего узла
0 < Q < 2 л;
Q* = arctg
Су
-Q = Q*,
Q = 7t- Q*3
Q = л+ Q*,
Q = 2^-Q*,
если Cx >0, Cy < 0;
если Cx > 0, Cy > 0;
если Cx <0, Cy > 0;
если Cx <0, Cy < 0;
если Cx>0,
если Cx<0;
16.9. Истинная аномалия
0< 3<2tc,
C
если (г,И)<0,
где (г,К) = XVx + YVy + ZVz.
16.10.	Аргумент широты спутника
0 < и <2тг,
450 ----

Приложение 3
arccos —cosQ + —sinQ , если sqn
2тг-arccos —cos Q +—sinQ , если sqn
1 г г )
16.11.	Аргумент широты перигея
О < со <2я; со = и - о.
При cos i Ф О
-Л sinQ + Л cosQ	/iCosQ+/
Sin СО =	-:—: —----, COS CO =---: у
|/|cosz	|/|
При cos i = 0
f	f
sin co = 7—cosd) = 7—;
\f |	|/ |sinQ
sin<a=-gCA.cW2Q); COS(W=4^£).
/c^c?+cl fjcf+cl
16.12.	Эксцентрическая аномалия
0<£<2^ tg?=^—
E »9
— и — лежат в одной четверти.
2	2
16.13.	Момент прохождения через перигей орбиты
П17. Определение угла освещенности
Угол v - угол с вершиной в центре Земли между нормалью к
плоскости орбиты, направленной по вектору
C = rxV,
и линией Земля-Солнце. При этом он лежит в диапазоне [0°; 180°]:
0° < v < 90° - освещенность слева от КА по направлению полета;
90° < v < 180° - освещенность справа от КА по направлению полета.
-----451

Приложение 3
Исходные данные для вычислений:
1)	дата;
2)	момент времени, на который заданы параметры орбиты;
3)	номер витка;
4)	р - гравитационная постоянная Земли 398 600 км/с2;
5)	параметры орбиты:
i - наклонение орбиты;
Q - долгота восходящего узла;
а - большая полуось, км;
е - эксцентриситет.
Алгоритм расчета
1.	Фокальный параметр
р = а(1-е2).
2.	Период обращения
3.	Юлианская дата (текущий юлианский день) на 12h ЕТ
JD = 2 451 545 + 365Л/о +
No
4
+ J-0,5,
если календарная дата равна и больше 2000 г., где
DD - число;
ММ - месяц;
GGGG — год;
No = GGGG - 2000;
d - число прошедших дней с начала текущего года до заданной даты;
[...]- берётся целая часть числа.
Для определения угла v от момента заданной точки и далее в вос-
ходящем узле на каждом витке рассчитываются следующие параметры.
4.	Время, отсчитываемое в юлианских столетиях по 36 525 сут. от
эпохи 2000 г., 1 января 12h UT1 (JD 2451545.0):
J£> + Z-2451545
ст “	36525
где t - время, прошедшее с момента начала движения с учетом t0 от
начала суток:
Т
t = t^ + п--, сут.;
0	86400
452 ----

Приложение 3
_ *дмв 3 .
/дмв “ декретное московское время, ч;
n = \,2,...9N - число полных витков от момента начала рассматри-
ваемого движения.
5.	Средний наклон эклиптики к экватору Земли
е = 84381,448’-46,8150'Гст -0,00059’7^ + 0,001813'ГС3Т, угл. с;
8 = кг, рад,
где коэффициент перевода угловых секунд в радианы
к =”_______
3600 180 ’
6.	Эксцентриситет орбиты Земли
е3 = 0,0167086342 - 0,00004203654Тст -0,000000126737^ -
-0,000000000147^.
7.	Средняя долгота Солнца
Л = 1009677,850" + (100' + 2771,270’)гст + 1,089'7’ст ,угл. с;
L-kL, рад,
где 1г= 360° = 1296000”.
8.	Средняя долгота солнечного перигея
Г = 1018578,046'+ 6190,046’Гст + 1,666'Тс2т +0,0127^, угл. с;
Г = кГ , рад.
9.	Долгота Солнца
2 = £ + 2е3 sin(£-F)+'|e3 sin2(£-F), рад.
За один виток (/ = Г) долгота восходящего узла изменяется на ве-
личину AQ:
9
где:
AQ = ЗС20 ^y-cos i,
С20 = -0,108262741*10-2,
Я, = 6378,140 км - экваториальный радиус Земли.
----453

Приложение 3 ----
Выражение для определения угла v имеет вид
cos v = cos 2 sin i sin Q + sin £ sin 2 cos i - cos £ sin 2 sin i cos Q.
П18. Перевод вектора тяги
из связанной системы координат в гринвичскую
Орбитальная система координат 0}1гЬ 
-	начало - в центре масс КА (рис. П2);
-	ось 0}r (OY0) направлена от центра Земли по радиус-вектору КА
в сторону возрастания;
-	ось Oxb (OZ0) коллинеарна и противоположно направлена век-
тору кинетического момента С - г х V ;
-	ось Oxl (OXq) ортогональна двум другим и направлена по транс-
версали движения КА, дополняет систему до прямоугольной правой.
454 ----

Приложение 3
Связанная система координат 
-	начало - в центре масс КА (рис. П2);
-	ось О}Х} совпадаете Oxl (О¥0);
-	ось OXYX совпадает с Oxr (OY^);
-	ось OXZX совпадает с O}b (OZQ).
Перевод вектора тяги Р из ССК в ОСК
Отсчет углов отклонения вектора тяги Р из ОСК в ССК осуществ-
ляется посредством трех последовательных поворотов (рис. ПЗ):
-	на угол 3 (угол тангажа) вокруг оси OXZQ ;
-	на угол у (угол крена) вокруг нового положения оси ОхХх;
- на угол у/ (угол курса) вокруг последующего положения оси O}Y}.
Поворот осуществляется таким образом, что если смотреть с конца
оси, вокруг которой совершается поворот, то вращение осуществляется
против часовой стрелки (в случае, если угол - положительный).
________________________Рисунок ПЗ________________________
Отсчет углов отклонения ССК от ОСК
----455

Приложение 3
Перевод Р из ССК в ОСК_____________________________________
где:
ах j = cos у/ cos <9 - sin у/ sin £ sin /;
а12 = sin «9 cos у/ + sin у/ sin у cos &;
«13 = -sinу/ cos/;
a21 =-sin <9 cos/;
a21 = cos i9cosy ;
«23= sin/;
a31 = sin «9 sin / cos у/ + sin у/ cos <9;
a32 = sin sin 19 - sin / cos <9 cos yr,
a33 = cos у/ cos /;
Px, PY}, PZj - составляющие вектора P в ССК;
Pl9Pr,Pb - составляющие вектора Р в ОСК.
Перевод Р из ОСК в АГСК______________________________________
(геоцентрическая экваториальная прямоугольная система коорди-
нат OXYZ)
рх
Ру
р2
р,
-Pl
рг
—(C2Z-C3Y)	—
CR 3 С R

±(ClY-C2X)
где:
Px,Py,Pz - составляющие вектора Р в АГСК;
R = {X, Y, Z}, V = | Vx, Vy, V2} - составляющие координат и скоро-
сти в АГСК;
R = Jx2+Y2+Z2;
456 ----

Приложение 3
С = {СГ,С2,С3} - вектор интеграла площадей (и его проекции на
оси АГСК);
Cx-YVz-ZVy\ C2=ZVx-XVz; C^-XVy-YVx.
Перевод Р из АГСК в ГСК_____________________________________
Формулы перевода вектора тяги из геоцентрической экваториаль-
ной прямоугольной системы OXYZ в гринвичскую прямоугольную
Oxyz:
cos /*
siny*
О
—sin/ О
cos/ О
О 1
где:
/* - угловое расстояние между АГСК и ГСК;
/ = 50+ ^(/^8-10800я);
гдмв - декретное московское время (ДМВ), с;
PX,PV,PZ - составляющие вектора Р в ГСК;
So- звездное время в гринвичскую полночь для заданной даты
(истинное звездное время в 0ч 0м 0е всемирного времени заданной даты);
а>3 - угловая скорость вращения Земли, рад/с.
П19. Определение времени прохождения плоскости экватора
с помощью интерполирования
Интерполирование по трём табличным значениям
71 Х}
^2	%2	1 С
Т3
Алгоритм расчета
1.	После каждого шага интегрирования С ДУ движения ЦМ долж-
ны быть:
F)-i,	- время и проекции ВС предыдущей точки интегри-
рования;
---- 457

Приложение 3
ti9 fi9 Vt - время и проекции ВС точки, от которой ведется инте-
грирование;
Z/+1, zj+1, Vi+] - время и проекции ВС, полученные в результате ин-
тегрирования.
2.	Проверяется условие
zz < 0 и zz-+1 > 0 - для восходящего узла;	(1)
zz > О и zI+1 < 0 - для нисходящего узла.
Если условие (1) не выполняется, то интегрирование продолжается
(см. п. 1);
если условие (1) выполняется, то выполняется п. 3.
3.	Определяется интервал интерполяции.
Проверяется условие
1ФЫ>	(2)
где | | - модуль.
Если условие (2) выполняется, то точка с координатой z = 0 лежит
ближе к zz. Тогда
= zz-_j; Х2 = Zi; Х3 = zi+};
= h-\ ’ ^2 = Ь ’ ^3 = ^+1 ’
Если условие (2) не выполняется, то точка с координатой zQ = О
лежит ближе к z/+1, делается еще шаг интегрирования. В этом случае:
2Г] = Zj; Х2 = z/+1; Х3 = zz+2 ;
= h ’ ?2 = *i+\ ’	~ h+2 •
4.	Вычисляется первая и вторая разность:
а = Х2-Х}; Ь = Х3-Х2; с = Ь-а.	(3)
5.	Методом итераций определяется отклонение
где j = 1,..., к - число итераций; ДТ0 = 0 .
Процесс итерации заканчивается при выполнении условия
где е - заданная точность; ДГу находится в единицах табличного ин-
тервала [-1; +1].
458 ----

Приложение 3
6.	Вычисляется момент прохождения экватора ( z = 0)
'факт = Т2 + &TJ х h >
где Л=|7’2-7]|.
7.	Определяется шаг для интегрирования от точки tj, обеспечива-
ющий выход в точку с z = 0 :
~ ^факт ~ tj ’
8.	От точки с tj СДУ интегрируется с шагом АЛ*, в результате чего
определяется положение и находятся проекции скоростей (вектор со-
стояния (ВС) в восходящем (нисходящем) узле).
9.	Проводится дальнейшее интегрирование от точки со временем
//+1(^+2).
Примечание:
Для нахождения ВС на момент времени f фак? без интегрирования можно
использовать формулу
*(w) = Х2	+ АТ,-с] ,	(4)
где а, Ь, с рассчитываются по формулам (3), в которых вместо Х\, Xi, Хз под-
ставляются соответствующие проекции ВС на время Г], Гг, Гз.
10.	Экстремумы значений координаты z (точки с наибольшей ши-
ротой) находятся при выполнении условия:
-	zi > z;_j и zz- > zM - для северного полушария;	(5)
-	z, < z^j и zi < z/+1 - для южного полушария.
При невыполнении условия (5) интегрирование продолжается.
11.	При выполнении условия (5) рассчитываются
а = zz- -zz_j; b - zi+l -zt; с = b-а.	(6)
12.	Экстремум находится с помощью выражений:
^€[-1;+!]; ^(факг)=',+^тХЛ-
Нахождение ВС на момент tm факт производится по п. 7-9.
----459

Приложение 3
Интерполирование по пяти табличным значениям
Алгоритм расчета
1.	Рассчитываются по пяти значениям разности до 4-го порядка по
схеме
7\	xi			а = х2-х}
		А		
Т2	Х2	В	Е Н	в = х3-х2
АГФ Т3	Х3		F	К	Е = В-А
		С	J	
Ъ	Х4	D	G	H = F-E
Ts	Х5			K = J-H
Из условия нахождения определяемой точки в окрестности третье-
го значения это достигается за счет выполнения п. 2, 3 ч. I.
2.	Момент прохождения плоскости экватора находится по формуле
_ -24Х3 + АТДj (К -12F) - 2АТЦ (H + J)- ЬТ^К
2(6B + 6C-H-J)
по алгоритму п. 5 ч. I с точностью г .
3.	Экстремумы функции (точки с наибольшей широтой) находятся
по формулам:
6В + 6С - Н - J + ЗАТ2 , (Н + J) + 2АТДК
_________________J-1 v
j	K-12F
АГо=О;
ДГ; е[-1,+1] отсчитывается от центрального значения Х3 по
направлению к Х4;
t = Т3+Д7);
t^=Ti+^TjXh-,
й = |7’2-7]|.
Расчётная формула (4) принимает вид
Z{t*) = Z.+HT	+
1 J\ 2	12 J
4.	Остальные параметры находятся аналогично (см. п. 8 ч. 1).
460 ----

Приложение 3
П20. Метод Адамса
Запишем систему дифференциальных уравнений движения КА в
общем виде:
yj = ('; yi, У2,ye) (/=1,2,..., 6),
где yi(r), у2(0, • Уб(0 - искомые функции; yi(/o)=yi,o, у2^о)=у2,о, ...,
у6(Л>) = Уб,о - начальные условия.
Обозначим yj,k = yj{tk), Jj.k=Jj(jk,y}k,y2k, ...,Убк)- Интегрирование ве-
дётся с постоянным шагом ht.
Значения функций в точке /с+1 определяются по формуле
У j,k+]~y j.k	, Р р\7 f j,k ’
p=0
где:
г (г = 7) - число входящих разностей функции fj\
\р fj к - левая разность р-го порядка функции /. к , вычисленная
в точке
0л,У1ЛУ2Л, ...,УбА Т.е
=vp~'fj,k-, V%.t=fj'k 
Коэффициенты pp экстраполяционной формулы Адамса принима-
ют значения:
Л=1 В л в=^ в л в=™- в=^- 0=™^-
Ро ’ А 2 ’ + 12 ’	8 ’	720 ’	288 ’	60480 ’
_ 5257	1070017	_2082753	_ 26842253
17280’	3628800’ + ~ 7257600’	~ 95800320 ’
Для уточнения значения искомых функций, полученных по экс-
траполяционной формуле Адамса, используется вторая (или интерполя-
ционная) формула Адамса:
/>Л+1 =	+ /г'2₽*рУ/>Лл+1 ’
р=0
где fj,k+\ =fj(tk+\, у\,к+\> угли, ..., УбЛ+i); ум+1 (/=1,2, ..., 6) - значения ис-
комых функций, полученных по экстраполяционной формуле Адамса.
Для интерполяционной формулы Адамса коэффициенты ft*p при-
нимают значения:
Р* = \, Д*=--, Р1=-—, А=~—, &=-—.
°	1	2	12	24	4	720
---- 461

Приложение 3
3 в" -	863	1375	♦ _	33953
160 ’ Лб” 60480’ Р1~ 120960’	3628800’
57281	.	3250433
7257600’ ^°“ 479001600’
В случае, когда г фиксировано, для уменьшения объёма вычисле-
ний пользуются модифицированными формулами Адамса:
Уj,k+\ ~ УJJi "* fy ' apfj,k-p >
р=0
Уj,k+l ~ У j,k	Gp fj,k+\-p *
p=0
Для различных г коэффициенты ар и ар имеют разные значения. В
частности, для г = 7:
а0 = 3,589955357142857295
=-9,525206679894179018
а2= 18,05453869047619264
аз = -22,02775297619047734
а» = 17,37965443121693454
а5 = -8,612127976190476986
а6 = 2,445163690476190421
ai = -0,3042245370370370572
о* =0,3042245370370370017
ai = 1,156159060846560838
а\ =-1,0069196428571429713
а\ =1,017964616402116551
а\ =-0,732035383597883671
а\ =0,343080357142857173
а\ =-0,09384093915343914849
ai =0,01136739417989418056
462 ----

Приложение 3
При численном интегрировании системы дифференциальных
уравнений методом Адамса для каждой функции кроме начального
значения, необходимо иметь ещё г дополнительных точек y7,i, у/,2,»>•
Для вычисления значений искомых функций в первых г точках приме-
няют метод Рунге-Кутта 4-го порядка.
П21. Метод Рунге-Купа
Запишем систему дифференциальных уравнений движения КА в
общем виде:
yj = f У1,У2, -’Уб) U =
где yi(Z), y2(t), ..., у6(0 - искомые функции; yi(Zo) =yi,o, угОо) =№0,
Уб(^о) =Уб,о - начальные условия.
Обозначим yj,k=yj(tk) и £л=/&к,у\к,У2к,...,Убк)-
Интегрирование ведётся с постоянным шагом ht. Значения иско-
мых функций для M l-го шага вычисляются по формуле
yj,k+\ =yj,k + 7 (faj + 2k2j- + 2k3j + faj) (/=1,2,..., 6),
6
где:
kij = yi,k, У2,к, уь,кУ
k2j = htJj(tk+ ^ht; y\,k+ -^kiti,y2tk+ “£1,2, —,Уб,к + уА\б);
kij = htfj(tk+ — ht; yy,k+ — k2j,y2jc + — fa,2, ...,уб,к + — к2,ь);
кц = htfj(tk + ht; yvk + fa,i, У2,к + fa,2,У б,к + fa,6)-
Второй индекс у величин к\, к2, кз, к$ показывает, к какой функции
yj(t) относятся эти коэффициенты.
П22. Расчёт координат и составляющих вектора скорости
в точках, не кратных шагу интегрирования
В процессе численного интегрирования системы дифференци-
альных уравнений движения КА для вычисления координат и состав-
ляющих вектора скорости в моменты времени tv , не кратные шагу ин-
тегрирования ht используются точные интерполяционные формулы
Лагранжа:
Вводится переменная:
---- 463

Приложение 3
t —t	k
S = h’ yi{tv} = У^к)	0=1,2,...,6),
nt	i=k-l
где
1	(з? - 72 f + 700£6 - 3528£5
~ 120960[+9744£4 -14112£3 + 8640£2 ) ’
^*-6=-
1	f 21£8 -528£7 + 5320£6 -27552<5 +"
120960 (+77658£4 -114128£3 + 70560£2 ,
1
^-5 =
1
П-4=-
1
^-3 =
63£8 -1656£7 +17388£6-93240£5+'
120960 ^+270144£4 - 405216£3 + 254016f J ’
105£8 - 2880<f + 31640£6 -177408£5 +'
1209601^+534450£4 - 826560£3 + 529200<f2
'105 f - 300f + 34580£6 - 204792£5 +'
1209601^+653520^ -1062880£3 + 705600£2 ) ’
1 (63 f - 1872<f + 22680£6 -143136<f +)
Vk-?.-------- :
120960 ^+495054^ - 886032£3 + 635040£2	)
21£8 - 648£7 + 8260<6 - 55944£5 +'
120960[+214368£4 -449568£3 +423360£2 J ’
3^ -96^7 +1288^6 -9408^5 +40614^4 -
120960^-105056^ + 156816^2 -120960^
1
Wk-\ =
1
^к=~
П23. Расчёт параметров освещённости KA
Если обратиться к рис. П4 и считать тень Земли в первом прибли-
жении цилиндрической, то легко сформулировать следующие условия
нахождения КА в тени Земли.
1. Проекция радиус-вектора КА г на плоскость, нормальную век-
тору (перпендикулярную солнечному свету, в частности, плоскость
терминатора), должна быть по модулю меньше радиуса Земли R. В этом
случае КА будет, очевидно, находиться внутри цилиндра радиусом R,
вдоль которого направлен вектор £ .
464 ---

Приложение 3
2. Угол ф между векторами г и должен быть во второй или
третьей четверти, т.е. ф е [90°, 270°]. Поскольку для КА всегда R < г , то
можно ввести в рассмотрение угол у/ , определяемый соотношением
def R
sin^ = —.	(1)
г
Тогда указанные условия могут быть записаны следующим образом:
1) г cos — + (р = rsin^<7?, т.е. sin^<sin^;
2) <р^
я Ъл
2*’Т
Можно показать, что выполнение этих условий идентично выпол-
нению одного условия:
В} = cos ф + cos у/ < 0.
Причём при Вх < 0 КА находится в цилиндрической тени Земли, а
при В} > 0 - вне её. Случай В} = 0 соответствует входу в тень или вы-
ходу из тени.
Если теперь учесть, что на самом деле за счёт ненулевых размеров
Солнца, рефракции и других причин тень от Земли имеет коническую
форму с углом % ® 48' при И < 5000 км, то условие нахождения в кони-
ческой тени можно переписать в виде
В2 = cos ф + cos(^ - А ^) < 0,	(2)
где \у/ должен вычисляться по известному радиус-вектору КА в мо-
мент входа в тень (или выхода из неё). Однако это изменение становит-
ся ощутимым лишь при высоте полёта КА выше 5000 км; при г < R +
+ 5000 км, когда / ~ 48' = const, можно полагать А у/ »1,5° = const.
Из рис. П4 видно, что угол ф легко определить через скалярное
произведение векторов г и /, поскольку их координаты в гринвичской
системе известны и известно, что |/|= 1:
(?Д^ = £хх + £уу + £2г = г£соъф.	(3)
Отсюда следует
£ х + £ v + -Lz
СОЬф =------------— .
---- 465

Приложение 3
Свет
Линия терминатора
При % ~ 48'
Ду/-1,5°
Рисунок П4,
Схема освещённости аппарата
В то же время, из (1) и (2) можно записать:
cos(y/ - А^) = cos
•	А
arcsin — -Ду/
у г )
Следовательно, в любой момент времени величина В2 может быть
определена, поскольку векторы q и £ известны. Очевидно, что решая
каким-либо численным методом уравнение В2(/) = 0, можно найти мо-
менты времени, соответствующие входу и выходу в коническую тень
Земли - ZBXXbIX-
Теперь, зная эти моменты, легко определить широту В, долготу L и
высоту Н орбиты при входе КА в тень и его выхода из тени по работе
[10] (алгоритм расчёта этих величин приводится также в следующем
подразделе). Можно также найти
Д Ту — ZBb]X — tBX и Д тсв — Тдр —Д Гу,
где драконический период обращения Тдр берётся для указанного но-
мера витка на момент прохождения восходящего узла орбиты t3.
466 ----

Приложение 3
Как уже отмечалось, к параметрам освещённости КА относятся
ещё углы а, р и у. Рассмотрим, что они собой представляют и как их
определить.
Угол а - это угол между плоскостью местного горизонта и
направлением на Солнце, т.е. угол места Солнца. Из рис. П4 и П5 видно,
71
что а = (р	. Тогда из формулы (3) следует
. £хХ + £ y + £zZ	Г 71	71~
a = arcsm-----'-----, ае-----, — .
г	L 2	2J
Угол у - угол между плоскостью орбиты и направлением на Солн-
це, т.е. вектором £ (рис. ПЗ). Из работы [10] известно, что плоскость ор-
биты определяется вектором момента количества движения с , который
перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, (с,?) = с sin у, откуда
/х+с/„+с/
= arcsm----—-------, у е
с
71	71
7’ ~2
(4)
где cx9cy,cz - проекции вектора момента количества движения на оси аб-
солютной геоцентрической системы координат, совпадающей на рассмат-
риваемый момент (в данном случае - на момент /вых) с гринвической си-
стемой. Тогда эти проекции можно определить следующим образом:
_______________________Рисунок П5_______________________
Прохождение плоскости терминатора
---- 467

Приложение 3
cx =yVz-zVy, cy = zVx-xVz, cz=xVy-yVx.	(5)
Угол p - это угол между трансверсалью и проекцией вектора 1
на плоскость местного горизонта (рис. П6). Он лежит в плоскости мест-
ного горизонта и отсчитывается от положительного направления транс-
версали.
Алгоритм определения этого угла
1.	Вычисляется угол р' - проекция угла у на плоскость местного
горизонта:
,	. ( sm/ )	.
р = arcsin --- , р е
I cosa)
л л
2.	Определяется cos/* по формуле
___♦ гД+лА+гЛ
COS/ =---—----
Т
где
гс
сху-сух
ГС
т.е.

_ (с*г)
т = 2--L - единичный вектор трансверсали.
СТ
3.	Находится угол Р :
Р\ если
если
если
cos/ >0;
cos/*<0 и у > 0; ре\-л, л].
cos/*<0 и /<0,
(6)


Таким образом, сводка формул (2)—(6) и формул (8) определения В,
ЬнН дают основу построения алгоритма расчёта параметров освещён-
ности КА.
Анализ изменения углов а, р, и у показывает, что угол
авх ~ авых ’ причем явх(вых) < 0, так как на «ночной» стороне угол а -
отрицательный; угол у мало изменяется за виток, поскольку за время
витка вектора с и £ изменяются весьма незначительно [10]. Отсюда
угол Ръх тоже примерно равен углу /?вых , что следует из формулы (6) и
вышесказанного об углах а и у . Это означает, что в состав определя-
емых параметров достаточно включить значения указанных углов либо
на входе в тень, либо на выходе из тени. В комплексах программ балли-
стического обеспечения обычно определяются значения углов а, р , и
у на выходе из тени.
468 ----

Приложение 3
Рисунок П6, ..
Углы освещенности а, /?,и /
---- 469

Приложение 3
Алгоритм расчёта параметров освещённости КА должен, очевид-
но, начинаться с проверки условия непрерывной освещённости орбиты
КА Солнцем. Действительно, из рис. П6 следует, что в случае у - л/2,
т.е. в случае коллинеарности векторов с и 1, орбита КА вся освещена
Солнцем. И даже при sin у < 1 орбита может быть целиком на свету, ес-
&
ли sin у > — (*), где гв - радиус-вектор точки В - точки касания орби-
гв
той цилиндра тени Земли. Поскольку радиус гв заранее не известен, то
условие (*) будет выполнено всегда, если принять радиус входа КА в
тень Земли равным радиусу перигея гя. Таким образом, можно считать,
что если выполняется условие
8П1Г = СЛ+С^+СЛ >-,	(7)
с	гк
то КА постоянно освещён Солнцем и рассчитывать перечисленные вы-
ше параметры освещённости не имеет смысла.
Как уже отмечено, вектор с за виток изменяется очень мало;
вектор 1 также изменяется за время одного витка мало, поскольку за
сутки мало изменяются углы аО( и (даже aot за сутки изменяется
менее чем на 1°, тем более за один виток). Поэтому проверку условия
(7) достаточно проводить для витка лишь один раз - в восходящем уз-
ле орбиты.
Алгоритм расчёта параметров освещённости, построенный на
основе приведённых выше формул и реализованный в автоматизиро-
ванных комплексах программ, составлен в виде следующих двух ва-
риантов.
Вариант 1 (на первом расчётном витке)
1.	Вычисляется вектор с и проверяется условие (7) для момента
прохождения восходящего узла орбиты t3. Если условие выполняется,
то переходят к проверке его на следующем витке, а на печать при это
выдаётся специальная условная информация, свидетельствующая о том,
что на данном витке КА всё время освещён Солнцем. Если не выполня-
ется, то переходят к расчёту параметров освещённости.
2.-----Начиная от /9, с шагом Аг (для КА ближнего космоса обычно
берут t = 1 мин) определяется величина В2 и её знак; фиксируются мо-
менты времени f. и tM = tj+t, между которыми величина В2 меняет
знак; после этого методом половинного деления решается уравнение
#2(/) = 0 и определяется момент если B2(tj) >0, В2(//+1)<0, или
470 	

Приложение 3
момент /вых, если B2(/z)<0, а В2(г/+1)>0. Далее продолжается опреде-
ление величины В2 от tM , с шагом А/ и находятся два других момента
времени tj и г Ч1, между которыми В2 снова меняет знак (теперь уже в
обратную сторону); затем методом половинного деления решается
уравнение В2(г) = 0 и находится /вых(гвх).
3. Определяются \тт = /ВЬ1Х -гвх
Агсв = ГдР-Агт и причём,
7 др
если на данном витке Гвых <	, т.е. если в восходящем узле КА уже
находится в тени, то Атт и АтсВ определяются в обратном поряд-
ке. АтсВ /вх /вых, Атт Тдр АтсВ.
4.	Находятся координаты В, L, Н по формулам (8) для /вх и /вых, а
также углы «(ZBblx), Д(/вых), /(ZBbIX) по формулам (5>-(6). Таким образом,
все параметры освещённости КА оказываются определёнными для пер-
вого расчётного витка.
Вариант 2 (на последующих витках)
1.	Проверяется условие (7) для приближённого момента входа в тень
^bxN ~ ^bxN-\ + ^др?/-1 ’
где N - заданный номер витка. Если оно выполняется, то переходят к
расчёту следующего витка; если не выполняется - рассчитывают пара-
метры освещённости КА. В случае, если на предыдущем витке КА не
входил в тень, то условие (7) проверяется для момента t.iN.
2.	Определяется величина В2(/вхЛГ) и анализируется её знак. Если
^2(^вху)<^’ то определяют В2 последовательно для моментов времени
Zz. =/Bx7V - zА/, z = l, 2,..., и фиксируют моменты t. и ti+}, между которы-
ми В2 меняет знак; затем решают уравнение В2 = 0 методом половин-
ного деления и находят точное значение момента t3xN. Если
В2 (JBxN) > 0, то рассматривают моменты Zz = taxN - i\t и аналогичным об-
разом определяют rBX7V . Точно также рассчитывается приближённое значе-
ние 'вых?/ = 'выхА^-1 + TapN-] и определяется точный момент выхода /выхЛГ.
А т
3.	Определяются Дтто = tBb[xN-tmN, ДгсВЛГ = ГдрЛ,-Дгт„ и —Ч
1 др
если при этом окажется, что tBUxN < tmN, то ДгсВЛГ=/юЛГ-/выхЛ,;
Д гта = TapN - ДгсВЛ,; остальное - без изменений.
----471

Приложение 3
4.	Определяются координаты В9 L, Н для tm и /вых, а также углы
а9 Д / для /вых по формулам (4)-(6).
Сравнение вариантов алгоритма расчёта параметров освещённости
КА показывает, что при такой организации вычислений задача будет
решаться быстрее, чем только при использовании варианта 1, поскольку
за виток время пребывания КА в тени и моменты и /вых изменяются
медленно, т.е. приближённые значения /ВХ(ВЫХ)У, будут весьма близки к
точным. Это сокращает объём вычислений для определения этих точ-
ных значений Цвых)„.
П24. Формирования параметров опорной орбиты
1.	Определяются невязки ЛХ, АУ, AZ, АКХ, АКу, АК между 2-м и
2 + Nv, где Nv - число витков в ЦЗТ;
/^X = X(No+N¥)~XN<i’
^Х ~ YX(N0+Ny) ~ YXNa >
=	“ YyN0 
В данном случае No = 2.
2.	Из ГСК переходим к оскулирующим элементам.
3.	Возмущаются по отдельности параметры р9 е, и.
3.1.	р = р + др , где ЭА = —;	- заданная константа (служит
для автоматического вычисления производных).
3.2.	Оскулирующие элементы переводим в ГСК.
3.3.	Прогноз на ЦЗТ - определение X[No+Ny}; V'x(No+liy};
V
y(NQ+Nv)
3.4.	Определение изменений невязок дА¥, дАУх, дЬУ:
адх = X'{N^Nv}- X{Na+Ny};
= V^N<t+Nl,'>-Vx^Na+Ny)',
dAVy = ^(^+ЛГи) - Yy(No+Ny)-
8&X дЛУ
3.5.	Определение производных-----; -----
др др др
3.6.	Аналогично определяются производные:
472 ---

Приложение 3
дДХ. дДУх. дДУу . дДХ	дДУх. дДУу.
де ’	де ’ де ’ д& ' д<9 ’ di9 ’
ДУ ЛУ„
при этом де = —-; дЗ =—
^2
дДХ дДХ к дДХп
---Др н---Де +---Д .9 = —ДХ9
др де дЗ
дЛ^Ап ЛТ7
----ДУ = —ДУг9
а<9
ЗДК
----Д19=-ДК .
дз у
дЬХ
де
дЬРх *
----be +
де
5АГ
---- Де +
де
В общем случае кх * к2 ф к3, кХ9к29к3 задаются пользователем.
4.	Решается система уравнений:
дДХ
др
dbVx
др
дЬР}
. дР
Отсюда находим поправки к НУ Др, Де, Ди .
5.	Изменяются НУ:
р = р + Др; е-ел-Де; и = и + Ди.
6.	Оскулирующие элементы переводим в ГСК.
7.	Прогноз на ЦЗТ и повторение п. 1-7 пока невязки не станут
меньше допустимых.
< ДУдоп
 АГ < Д^доп
8.	После замыкания трассы в плоскости корректируется наклоне-
ние для обеспечения кратности длительности ЦЗТ 1 с. Для этого:
8.1.	Задаются константы (пользователем) др; де; ди; di.
8.2.	Определяются производные (см. п. 3), включая производную
---, где и -> р, е, <9, i.
ди
8.3. Система уравнений (п. 4) расширяется до 4-х:
адг А -т— Хр + др	дЬХ А 	Де + де	дЬХ	дЬХ .. . v 	b& + 	bi =-ЬХ, д9	di
дДК Л , Ар + др	5ДКХ л 	-Де + де	dbV	dbV 	^b& + ^-^-Дг = -ДГ, дЭ	di
	—Др + др		^Де + де	dbV	dbVv 	-bd + 	--bi = -bVv, d&	di	y
дДГ Л 	Др + 1 Sp	дДТ А 	Де + де	dbT n dbT	krT, 	Д<9 +  Д/ = ДТ 9 d&	di
---- 473

Приложение 3
где ДГ может быть со знаком «+» или «-» в зависимости от того при-
бавляется доля секунды к длительности ЦЗТ или отбрасывается. При-
бавление или отбрасывание производится по правилу округления.
9.	Повторяются §§8.1-8.3 до тех пор пока невязки (включая ДТ) не
станут меньше допустимых (см. п. 7) +|ДТ| < |ДТдоп|.
Все невязки в ГСК.
П25. Системы координат
Гринвичская система координат (ГСК), в соответствии с РД 50 -
25645 - 325 - 89.
ГСК - прямоугольная система координат oxyz, имеющая начало в
центре масс О Земли, вращающаяся вместе с Землёй. Ось oz направлена
к Международному условному началу. Ось ох лежит в плоскости средне-
го гринвичского меридиана и определяет положение нуль - пункта при-
нятой системы счёта долгот. Ось оу дополняет систему oxyz до правой.
Международное условное начало - среднее положение Северного
полюса Земли 1900-1905г г., определённое номинальными значениями
широт, принятыми в качестве абсолютных постоянных пяти широтных
обсерваторий Международной службы движения полюсов.
Абсолютная система координат (АСК), в соответствии с РД 50 -
25645 - 325 - 89.
В качестве эпохи Го принята эпоха 2000 г.
474 ----

Приложение 3
АСК - фундаментальная инерциальная система координат эпохи
То - прямоугольная система координат OXYZ, имеющая начало в цен-
тре масс О Земли.
Ось ОХ направлена в среднюю точку весеннего равноденствия
эпохи То.
Ось OZ направлена по нормали к плоскости среднего экватора
эпохи TQ к Северному полюсу мира.
Ось OY дополняет систему OXYZ до правой.
Топоцентрическая пунктовая система координат ^П7П^П
----475

Приложение 3
Начало - в точке расположения пункта наблюдения (НП), опреде-
ляемой геодезической широтой В и долготой L. Ось £п направлена на
Северный полюс Земли Р по касательной к меридиану пункта наблю-
дения; ось 7/п - по внешней нормали к земному эллипсоиду в пункте
наблюдения, а ось дополняет систему до правой.
Стартовая система координат xcyczc
Начало координат в точке старта
Ось ус ус направлена вверх по линии отвеса;
Ось хс хс направлена по азимуту стрельбы;
Ось zc дополняет систему до правой.
Геодезическая сферическая система координат p^BL
р0 - радиус-вектор пункта наблюдения; В - геодезическая широта,
угол между нормалью к поверхности референц-эллипсоида в пункте
наблюдения и плоскостью земного экватора; L - долгота, угол между
гринвическим меридианом и меридианом пункта наблюдения.
Орбитальная система координат (ОСК) ^Ьг
Начало - в центре масс КА. Ось г направлена по радиус-вектору в
сторону возрастания, ось b коллинеарна вектору кинетического момента
С=гхК и направлена в противоположную сторону, ось £ дополняет
систему до правой.
476 ---

Приложение 3
Формулы перехода
от одной системы координат к другой
От гринвичской системы координат xyz
cos у sin у
-sin/ cos/
О О
О
О
1
где у = So + a>3(t -/0); со3 - абсолютная угловая скорость вращения Зем-
ли; So - звёздное время в среднюю гринвичскую полночь для заданной
даты; t и /0 - среднее солнечное время, tQ = 0, если текущее время
гринвичское; t0 = 3h, если t - московское время.
---- 477

Приложение 3
От гринвичской системы координат xyz
к топоцентрической пунктовой системе %пт]пСп
%
X~XN
у-уы ;
z-zw

Vx
Vy
V.
- sin BN cos Ln - sin BN sin LN
cos BN cos Ln cos Bn sin LN
- sin Ln	cos Ln
cosBN
sinBN
0
где xN,yN,zN - координаты пункта наблюдения, определяемые по фор-
мулам:
cos ВN cos Ln ;
sinBN ;
ZN ~
( R	i
yN = ,+HN cos^sinljv ;
an	J
J
Л,0-5) ,H
An = y]\-a(2-a)sin2 BN = ^Jcos2 BN+(1-a)2 sin2 BN ;
= 6378131 м - радиус Земли на экваторе; а - коэффициент сжатия Зем-
ли; Bn,Ln - геодезические сферические координаты пункта наблюдения;
N - номер пункта наблюдения; HN - высота пункта наблюдения над по-
верхностью референц-эллипсоида Земли, определяемая по формуле
здесь Rn - радиус Земли для широты пункта наблюдения;
^=74+^+4-
От топоцентрической пунктовой системы координат £ni]n£n
к абсолютной системе координат XYZ
478 ----

Приложение 3
где Xn,Yn,Zn - координаты N пункта наблюдения, определяемые по
формулам пп. 1, 2;
cos/ -sin у
sin/ cos/
О О
О
О
1
-sin^ cosLn -sinBv sinl^ cosBN
cos BN cos Ln cos Bn sin LN sin BN
-sinLN cos Ln 0
От геоцентрической гринвичской системы координат xyz
к геодезической сферической системе HBL
у
sinL = —;
ri
или по формулам
у
В = <рц + е ; L = arctg —,
. z
где <рц = arcsm—;
Re8' . __ aVl-ё2 . e2sm^ucos<?u
r cos 1-e 008 p
~2	~2	/222
e = 2a - a ; r = yj x +y +z .
Высота над поверхностью референц-эллипсоида Земли определя-
ется по формуле

где а = ———; а ,Ь - большая и малая полуоси референц-эллипсоида
а
Земли.
----479

Приложение 3
где:
От орбитальной системы координат I Ьг
к геоцентрической экваториальной
прямоугольной системе XYZ
^-^0
vz-v4
- CDyZ'
coxZ' - cozX'
C0yX’ - a>xY'
-^(ед-сл)
C«o
-L(C/0-C2^0)
х-х0
Y~Y0
Z-Zo
C
C2 A
C 7?o
Co 7
3 £o
C
^ = {Jfo,yo,Zo},
Fo = f xo»^ro»^zoj “ составляющие положения и скорости КА, с кото-
рым связана система координат rbn ; coQ = {<ox,a>v,a)z} - абсолютная уг-
ловая скорость (и её составляющие на оси координат XYZ) вращение си-
стемы тЬп относительно системы XYZ, определяемая по формулам:
С С С? Со
^0=^;	^z=^;
*Ч)	^Ч)
С={СИ С2, С3} - векторная константа (её составляющие на оси систе-
мы XYZ) интеграла площадей, определяемая по формулам:
Q=W7-ZVy; C,=ZVx-XV7;
C3=XVy-YVx; C = Jc? + С22 + С32 .
480 ----

Приложение 3
В том случае, когда параметры движения КА, с которыми связана
система тЬп, известны в оскулирующей системе координат, матрица С^
примет вид
- sin и cos Q - cos и sin Q cos i
- sin и sin Q + cos и cos Q cos i
cosw sinz
- sin и cos Q - cos и sin Q cos z
- sin и sin Q+cos и cos Q cos z
cos и sinz
cos и cosQ -sinw sinQ cosz	sinz sinQ
cos и sin Q + sin и cos Q cos z - sin z cos Q
sinw sinz	cosz
ЦСКБ
cos и cos Q - sin и sin Q cos z - sin z sin Q
cos и sin Q+sinz/ cosQ cosz sinz cosQ
sinw sinz	-cosz
Литература
1.	Нариманов Г. С. Основы теории полёта космических аппаратов. М.: Ма-
шиностроение. 1972.
2.	Эльясберг П.Е, Введение в теорию искусственных спутников Земли. М.:
Наука. 1965.
3.	Астрономический ежегодник СССР. 1988.
4.	Шебшаевич В.С. Введение в теорию космической навигации. М.: Сов.
радио. 1971.
5.	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука. 1970.
6.	Решетнев М.Ф., Лебедев А.А., Бартенев В.А, Управление и навигация
искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах. М.: Маши-
ностроение. 1988.
7.	Мишин В.П. Механика космического полета. М.: Машиностроение.
1989.
8.	Абалакин В.К, Аксёнов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное
руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Г.Н. Ду-
бошина. М.: Наука. 1971.
9.	Меёс Ж. Астрономические формулы для калькуляторов. М.: Мир. 1988.
-----481

Список основных сокращений
АРМ	-	автоматизированное	рабочее место
АС	-	автоматизированная	система
АС НБО	-	автоматизированная	система навигационно-балли-
стического обеспечения
АСИТО	-	автоматизированная	система информационно-теле-
метрического обеспечения
АС КПО	-	автоматизированная	система командно-программ-
ного обеспечения
АСК - абсолютная (звездная) система координат
АУТ	-	активный участок траектории
БЗ	-	баллистические задачи
БЗн	-	база знаний
БКУ	-	бортовой комплекс управления
БЦ	-	баллистический центр
ВТИ	-	внешнетраекторные измерения
ВТО	-	вторичная обработка (информации)
ВЦ	-	вычислительный центр
ГЛОНАСС - глобальная навигационная спутниковая система
(Россия)
ГНСС	-	глобальные навигационные спутниковые системы
ГПЗ	-	гравитационное поле Земли
ГСК	-	гринвичская система координат
ДМА	-	динамическая модель атмосферы
ДС	-	динамическая система
ДУ	-	двигательная установка
ЗРВ	-	зоны радиовидимости
ЗИ	-	задача-инструмент решения
ИД	-	исходные данные
ИП	-	измерительный пункт
ИРО	-	информационно-расчетное обеспечение
ИТНП	-	измерения текущих навигационных параметров
482 ----

Список основных сокращений
ИТО КА КО КИК кду КЗ КП КПО ЛА ли лтх ЛШС мм ММАВ ммд ммп мнк мнм мтп НАКУ	-	информационно-баллистическое обеспечение -	космический аппарат -	космический объект -	командно-измерительный комплекс -	корректирующая двигательная установка -	краевая задача -	космический полет -	командно-программное обеспечение -	летательный аппарат -	летные испытания -	летно-технические характеристики -	логическая шкала сил -	математическая модель -	метод максимальной апостериорной вероятности -	математическая модель движения -	метод максимального правдоподобия -	метод наименьших квадратов -	метод наименьших модулей -	мониторинг технологического процесса -	наземный автоматизированный комплекс управ- ления
НБЗ НБО НкЗ НКУ НУ ОВС ОКИК ОНБО	-	навигационно-баллистическая задача -	навигационно-баллистическое обеспечение -	некорректная задача -	наземный комплекс управления -	начальные условия -	определение вектора состояния -	отдельный командно-измерительный комплекс -	оперативное навигационно-баллистическое обес- печение
ОНкЗ ООП опд пмо ПНУ ПРГ ПрО РК	-	обобщенная некорректная задача -	объект общего предназначения (НАКУ) -	определение параметров движения -	программно-математическое обеспечение -	прогнозируемые начальные условия -	прогноз (движения) -	предварительная обработка -	ракетный комплекс
----483

Список основных сокращений
РКК РКН РКО РМВ сдо СДУ СИСЗ СК СМА сои дс	-	ракетно-космический комплекс -	ракета космического назначения -	радиоконтроль орбиты -	реальный масштаб времени -	сложный динамический объект -	система дифференциальных уравнений -	стационарный искусственный спутник Земли -	система координат -	статическая модель атмосферы -	статистическая оценивание и идентификация ди- намических систем
сто СУ ттт то тп ТЦ тми ТМЦ тп ТУЗ УНУ ЦБЗ цу ЦУИ ЭРИ	-	специальное техническое обоснование -	система управления -	тактико-технические требования -	технологическая операция -	технологический процесс -	технологический цикл -	телеметрическая информация -	телеметрический центр -	технологический процесс -	таблица узловых значений -	уточненные начальные условия -	целевая баллистическая задача -	целеуказания -	центр управления полетом -	электрорадиоизделия
484 ----

Сведения об авторах
Тюлин Андрей Евгеньевич
д.э.н., к.т.н., член-корреспондент Россий-
ской Академии ракетных и артиллерий-
ских наук, профессор академии Военных
наук, Лауреат Премии Правительства Рос-
сийской Федерации в области науки и тех-
ники, Заслуженный военный специалист
Российской Федерации.
Руководитель и участник разработки
специальных систем и комплексов, мето-
дологии программно-целевого планирова-
ния, структуры и состава систем автоматизированного управле-
ния, председатель Совета главных конструкторов по направле-
нию космического приборостроения.
Область научных интересов:
информационное обеспечение органов и систем управления; тех-
нико-экономическая оценка эффективности разработки слож-
ных систем специального назначения.
Автор более 80-ти печатных трудов.
Бетанов Владимир Вадимович
д.т.н., профессор, член-корреспондент
Российской Академии ракетных и артил-
лерийских наук, действительный член
Академии военных наук.
Область научных интересов:
управление сложными динамическими
объектами; экспериментальная космиче-
ская баллистика; летные испытания ра-
кет и космических аппаратов.
---- 485

Сведения об авторах
Автор и соавтор более 350-ти научных работ и изобрете-
ний в области баллистики, динамики полета, управления движе-
нием ракет и космических аппаратов, в том числе Военного эн-
циклопедического словаря РВСН, 9-ти монографий, четырех
учебников, более 30-ти учебных и научно-методических пособий.
Юрасов Василий Степанович
к.т.н, ст. науч, сотрудник, лауреат премии
Ленинского комсомола, лауреат премии
Ассоциации американских ученых.
Область научных интересов:
прикладная космическая баллистика, про-
блемы мониторинга околоземного косми-
ческого мусора, каталогизация космиче-
ских объектов, вариации плотности верх-
ней атмосферы.
Автор и соавтор более 50-ти науч-
ных публикаций, из них свыше 20-ти в иностранных изданиях.
Стрельников Сергей Васильевич
д.т.н.
Область научных интересов:
системный анализ сложных технических
систем, теория полета ракет и космиче-
ских аппаратов, прикладная математика,
теория оптимального управления движе-
нием динамических объектов.
Автор более 150-ти научных трудов,
в том числе 15-ти патентов на изобрете-
ния.
486 ----

Для заметок

Научное издание
Авторы
Андрей Евгеньевич Тюлин
Владимир Вадимович Бетанов
Василий Степанович Юрасов
Сергей Васильевич Стрельников
НАВИГАЦИОННО-БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ПОЛЕТА РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКИХ СРЕДСТВ
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ НБО
Монография
Книга 2
Редактор Т.Н. Чернышева
Корректор И.В. Бровко
Верстка С.Н. Яковлевой
Рисунок на обложку предоставлен авторами
Изд. №11. Сдано в набор 17.04.2018.
Подписано в печать 10.07.2018.
Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Печ. л. 30,5. Тираж 500 экз. Заказ № 08341.
Издательство «Радиотехника»
107031, Москва, К-31, Кузнецкий мост, д. 20/6
Тел./факс: (495)621-48-37; 625-78-72, 625-92-41
e-mail: info@radiotec.ru
www.radiotec.ru
Отпечатано в типографии ООО «Паблит»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 230-20-52

Рассмотрено комплексное применение элементов оперативного
навигационно-баллистического обеспечения управления КА на этапе летных
испытаний и эксплуатации. Адаптируются такие понятия как технологическая
операция, технологический цикл и технологический процесс к навигационно-
баллистическому обеспечению управления КА. Значительное внимание уделено
вопросам планирования и проведения измерений текущих навигационных
параметров. Рассмотрено применение численно-аналитических методов
интегрирования при использовании математических моделей движения КА.
Проанализированы современные способы совершенствования технологий НБО.
Для совершенствования компетенции специалистов в области
проектирования, создания, испытания и эксплуатации космической техники
комплексов управления космическими объектами. Может быть полезна
студентам и аспирантам, обучающимся по специальности «Летные
испытания ракет и космических аппаратов», а также «Динамика и управление
полетом ракет и космических аппаратов», «Системный анализ, управление и
обработка информации».