/
Text
В. Г. ЗЕЛЕ ВИ ИСКИ И ЛЕКЦИИ по квантовой механике
ЛЕКЦИИ
ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В. Г. ЗЕЛЕВИНСКИИ
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
2-е издание, исправленное и дополненное
СИБИРСКОЕ УНИВЕРСИТЕТСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
НОВОСИБИРСК • 2002
УДК 530.145
ББК В314
348
Зелевинский В. Г.
348 Лекции по квантовой механике: Учеб, пособие. — 2-е изд.,
испр. и доп. — Новосибирск: Сиб унив. изд-во, 2002. — 499 с.
ISBN 5-94087-021-Х
Учебное пособие представляет собой расширенное изложение курса
квантовой механики, читавшегося автором на физическом факультете НГУ.
В отличие от стандартных вузовских курсов в него включены основы теории
излучения и релятивистской волновой механики, дано представление о много-
образии идей и методов квантовой теории. Примеры практического приложе-
ния относятся в основном к атомной и ядерной физике. Большое количество
задач включено непосредственно в текст лекций.
Изложение материала начинается с азов. Прагматическая направленность
книги делает язык квантовой механики понятным и привычным, что позволя-
ет в дальнейшем достаточно уверенно работать с самой сложной литературой
в этой области
Для студентов физических специальностей вузов.
УДК 530.145
ББК В314
ISBN 5-94087-021-Х
© Зелевинский В. Г., 2002
© Сибирское университетское
издательство, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
Лекция 1. Возникновение основных квантовых понятий ..............7
Лекция 2. Волновая функция и вероятность............... ... 21
Лекция 3. Соотношение неопределенностей.........................28
Лекция 4. Динамические переменные . . .......................47
Лекция 5. Простейшие квантовые задачи ... . . . . 57
Лекция 6. Общие свойства уравнений Шредингера ...... . 67
Лекция 7. Квазиклассическос приближение . .... 80
Лекция 8. Частица в центрально-симметричном поле................95
Лекция 9. Атом водорода (дискретный спектр)....................105
Лекция 10. Пространство состояний квантовой системы . .111
Лекция 11. Наблюдаемые и операторы . ...................119
Лекция 12. Уравнения движения для операторов.................. 126
Лекция 13. Свойства симметрии и законы сохранения ....... 137
Лекция 14. Гармонический осциллятор........................... 147
Лекция 15. Общая теория углового момента .................. . 155
Лекция 16. Сложение моментов.................................. 164
Лекция 17. Тензорные операторы и правила отбора................172
Лекция 18. Частица в электромагнитном поле. . . 180
Лекция 19. Квантование электромагнитного поля..................190
Лекция 20. Стационарная теория возмущений. . . 197
Лекция 21. Тонкая структура спектров...................... ... 205
Лекция 22. Лэмбовский сдвиг............................... ... 211
Лекция 23. Сверхтонкая структура спектров......................216
Лекция 24. Атом в электростатическом поле.................... 223
Лекция 25. Атом в постоянном ма1 нитном поле...................229
Лекция 26. Нестационарная теория возмущений....................237
Лекция 27. Вероятность перехода при периодическом возмущении. . 246
Лекция 28. Рассеяние быстрых заряженных частиц................ 254
Лекция 29. Полуклассическая теория поглощения и излучения света. 266
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Лекция 30. Спонтанное излучение. 275
Лекция 31. Индуцированное излучение. ..........................281
Лекция 32. Дисперсия света 288
Лекция 33. Рассеяние света. ............... ... 298
Лекция 34. Фотоэффект . . 306
Лекция 35. Релятивистские квантовые уравнения 313
Лекция 36. Уравнение Дирака. . . . ... 318
Лекция 37. Свободное движение дираковской частицы...............325
Лекция 38. Нерелятивистское приближение в уравнении Дирака. . 332
Лекция 39. Оценки процессов в квантовой электродинамике . 338
Лекция 40. Релятивистская ковариантность уравнения Дирака. 343
Лекция 41. Нейтрино и несохранение четности.....................350
Лекция 42. Нейтральные каоны . . 356
Лекция 43. Квантовая теория рассеяния . 362
Лекция 44. Метод парциальных волн 370
Лекция 45. Низкоэнергетическое рассеяние . . . . 376
Лекция 46. Метод функций Грина и борцовский ряд. 383
Лекция 47. Квазиклассическое рассеяние и рассеяние
при высоких энергиях . 392
Лекция 48. Рассеяние частиц со спином . . ..........398
Лекция 49. Дифракционное рассеяние и оптическая модель. . 405
Лекция 50. Многоканальные процессы . . .411
Лекция 51. Формулы Брейта - Вигнера 419
Лекция 52. Тождественные частицы 427
Лекция 53. Принцип Паули. 436
Лекция 54. Изотопический спин 442
Лекция 55. Метод самосогласованного поля. 453
Приложение А. О квазиклассических формулах связи 472
Приложение Б. Линейные операторы. 481
Приложение В. О плоских и сферических волнах . 489
Список литературы 497
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемые лекции по квантовой механике были впервые изда-
ны небольшим тиражом на ротапринте Новосибирского государствен-
ного университета в 1970 г. Издание называлось „Конспект лекций".
Это были, по существу, конспекты лекций, читавшихся автором, начи-
ная с 1965 года, на физическом факультете НГУ; текст был записан ав-
тором с его собственных заметок и несколько расширен в основном за
счет приложений. За прошедшие четверть века выяснилось, что „Конс-
пект" оказался полезен нескольким поколениям студентов и препода-
вателям.
Живучесть курса обусловлена, по-видимому, тем обстоятельством,
что он заполнил некий пробел, существовавший в обширной учебной
литературе по квантовой механике. С одной стороны рассчитан на бо-
лее высокий уровень студентов и требования, чем стандартные ву-
зовские курсы, например, „Основы квантовой механики" А. И. Блохин-
цева, а с другой стороны — курс все же начинается с азов и не требует
столь серьезных усилий, как „Квантовая механика" Л. Д. Ландау и
Е. М. Лифшица. Можно напомнить, что наш курс был в свое время
обязательным для всех студентов-физиков независимо от их будущей
специальности. Поэтому освоение книги Ландау и Лифшица было бы
естественным следующим шагом.
Особенностью курса является его прагматическая направленность.
Мне казалось, что было неправильным тратить слишком много време-
ни на обсуждение глубоких идеологических проблем квантовой меха-
ники или, вернее, квантового мировоззрения. Без ясного понимания
того, как квантовая механика работает в конкретных физических проб-
лемах, такие дискуссии легко могут скатиться на уровень пустословия.
Наоборот, постоянная работа с приложениями делает язык квантовой
механики привычным, понятным и, в конце концов, единственно воз-
можным.
Поэтому курс должен сопровождаться интенсивными семинарски-
ми занятиями, где и происходит основное привыкание к словарю и ос-
ваивание материала. Работа над программой семинаров велась груп-
пой преподавателей параллельно и частично отражена в „Сборнике за-
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
дач по квантовой механике14 (авторы Л. М. Альштуль, В. Г. Зелевин-
ский, Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, С. А. Хейфец, И. Б. Хриплович и Чер-
няк, ротапринтное издание НГУ, 1974), который тоже стал библиогра-
фической редкостью.
Большинство задач, приведенных в „Лекциях11, носит чисто ил-
люстративный характер. Стандартные задачи включены лишь постоль-
ку, поскольку результаты используются в дальнейшем.
Этими же прагматическими соображениями автор руководствовал-
ся при отборе тематики той части лекций, которая относится к прило-
жениям. Стремясь расширить круг идей, автор включил основы теории
излучения и релятивистский квантовой механики вместе с такими
проблемами, которые в то время были весьма актуальны (нейтральные
каоны). Во многих местах читатель может найти менее подробное об-
суждение других важных с идейной и практической точек зрения воп-
росов — эффект Мессбауэра, магнитный резонанс, позитроны, эффект
Айронова - Бома и т. д. И также стремился дать представления о тео-
ретических методах, выходящих за пределы стандартных курсов (на-
пример, тензорные операторы и теорема Вигнера - Экарта, теория
адиабатических и внезапных возмущений или аналитическое продол-
жение в комплексную плоскость).
Конкретные примеры взяты главным образом из атомной и ядер-
ной физики. При этом имелось в виду, что за курсом квантовой меха-
ники последует так называемый курс „Квантовая физика11, где приме-
нения к микро- и макромиру будут изучаться более детально.
Если бы книга писалась сейчас, автор предпочел бы изложить
многие места иначе. К тому же за эти годы развитие науки дало много
новых результатов, и в ряде проблем сильно сместился центр тяжести.
Такие главы теории, как метод интегралов по траектории, статистика
уровней и квантовый хаос, теория периодических орбит и оболочеч-
ной структуры, представления вторичного квантования и коллектив-
ные возбуждения в системах многих частиц, заведомо должны изла-
гаться в современных курсах квантовой механики. Однако тогда это
была бы совсем другая книга.
Из-за недостатка времени мы вместе с издательством решили ог-
раничиться переизданием лекций, на этот раз в одной книге, с мини-
мальными изменениями редакционного и стилистического характера.
Раскрыты многочисленные сокращения, имевшиеся в конспекте, ис-
правлены замеченные опечатки, в некоторых местах в тексте внесены
краткие добавления.
Автор глубоко благодарен Издательству Новосибирского универ-
ситета за идею переиздания и ее практическое воплощение, которое
было бы невозможным без дружеской помощи своих коллег профес-
соров И. Б. Хрипловича и В. В. Соколова.
Лекция 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ КВАНТОВЫХ ПОНЯТИЙ
Строго говоря, название „квантовая механика" устарело. Сейчас
надо говорить о единой квантовой теории, охватывающей все области
физики — от биофизики до физики элементарных частиц и космоло-
гии — и представляющей собой, с одной стороны, фундамент совре-
менного физического мировоззрения, а с другой — базу новейшего
технического прогресса (современная квантовая электроника, компью-
теры, квантовые генераторы света и радиоволн, сверхпроводимость,
ядерная и термоядерная энергия и т. д.). Вопреки (или благодаря?) сво-
ему всеобъемлющему характеру квантовая теория может теперь стро-
иться чисто аксиоматически (подобно термодинамике), без воспроиз-
ведения сложного и противоречивого пути ее хронологического разви-
тия. Однако краткое знакомство с историей основных квантовых идей
необходимо и поучительно.
Первым источником квантовых понятий был вопрос о природе
света. К концу XIX в. господствовала волновая теория, исходя из кото-
рой еще в 1802 г. Юнг дал объяснение явлений оптической интерфе-
ренции. Он сформулировал важнейший принцип суперпозиции волн.
При фиксированных фазовых соотношениях суперпозиция является
когерентной, что позволяет наблю-
дать типичные интерференционные
эффекты, как в стандартном примере
с дифракцией на щелях (рис. 1.1).
Волновые представления о приро-
де света были окончательно оформ-
лены в системе уравнений Максвелла
(1861). Эти уравнения допускают
распространение электромагнитных
волн в свободном пространстве. В си-
лу линейности уравнений справедлив
принцип суперпозиции; как следст-
вие его получается все разнообразие
явлений интерференции и дифрак-
8
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ции, а при наличии материальных сред — также законы отражения,
преломления, дисперсии и др.
С другой стороны, еще Ньютон придерживался корпускулярной
точки зрения на природу света. Кроме простых аргументов, связанных
с прямолинейным распространением света (геометрическая оптика),
он опирался на монистическое представление о мире: признав атомизм
вещества, странно допустить, что структура света и структура вещест-
ва являются принципиально различными, а тогда естественно верить
в существование корпускул света.
Но для превращения такой веры в научную гипотезу понадобилось
два столетия накопления экспериментальных данных, сначала доказав-
ших атомное строение вещества, а затем заставивших вновь обратить-
ся к идеям дискретной природы света. Начало квантовой физики сов-
пало с началом XX века (М. Планк, 1900).
Известно, что электромагнитное поле, заключенное в некоторый
объем, можно представить как набор гармонических осцилляторов, от-
вечающих различным частотным составляющим поля. Планк показал,
что правильное (наблюдаемое) распределение энергии в спектре тако-
го равновесного („черногоВ * * 11 * * * *) излучения нельзя получить, считая, что
осцилляторы поля приобретают и теряют энергию непрерывно. Он
вынужден был принять, что каждый осциллятор частоты v может су-
ществовать лишь в дискретных состояниях, энергии которых распре-
делены интервалом t±E = hv, где h — новая мировая постоянная —
„квант действия11:
h = 6,626 • 10“34 Дж • с.
Эта постоянная имеет размерность действия или углового момента
[энергия X время = импульс X расстояние]. Обычно удобнее вводить
циклическую частоту а> = 2тгг, тогда согласно гипотезе Планка энер-
гия излучается и поглощается порциями — квантами hv = hcj, где
h = - л = 1,0546 • 10“34 Дж • с = 6,583 • 10“16 эВ • с.
2
В этой картине поле излучения „состоит11 из квантов, а энергия
осциллятора частоты (о определяется числом квантов поля с энергией
tw). Остается неясным, справедливо ли это для любых физических сис-
тем, локализованы ли эти кванты и т. д.
Сделав следующий шаг, А. Эйнштейн показал в 1905 г., что если
считать черное излучение газом частиц с энергией то (по крайней
мере, для больших со) формула Планка для энтропии черного излуче-
ния может быть получена так же, как в обычной кинетической теории
газов. Непонятные с волновой точки зрения законы фотоэффекта (из-
менение интенсивности света не влияет на энергию фотоэлектронов,
Лекция 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ КВАНТОВЫХ ПОНЯТИЙ
9
а лишь пропорционально меняет их число) были объяснены Эйнштей-
ном как следствие сохранения энергии в каждом индивидуальном акте
поглощения кванта. Если е<р — работа выхода, то максимальная кине-
тическая энергия фотоэлектронов
| WVmax = Й(У - &р.
(1-1)
Экспериментальное подтверждение Милликеном (1915) этого соотно-
шения явилось одним из первых измерений постоянной Планка.
Итак, введем квант электромагнитного поля — фотон как частицу
с энергией Е = йш; с другой стороны, для любой свободной частицы
существует связь энергии с импульсом
Е2 = с2р2 + (тс2)2. (1-2)
Применимость формулы (1.2) к фотонам может быть проверена в опы-
тах по рассеянию электромагнитных волн на микрочастицах (эффект
Комптона). Такой эксперимент подтверждает, что фотон ведет себя как
частица, причем т = О, Е = ср.
Экспериментальный результат
ДА = 2 —sin2- (1.3)
Мс 2
для увеличения длины волны фотона Л = 2тгс/ш и, следовательно,
уменьшения его частоты при рассеянии его на угол в (если первона-
чально частица массой М покоилась) является тогда прямым следстви-
ем соотношения Е = Й<у и законов сохранения энергии и импульса.
Задача 1-1. а) Вывести формулу (1.3); оценить длину волны, необходимую для
измерения эффекта Комптона на электронах, б) Непосредственной проверкой корпус-
кулярных свойств света является измерение отдачи атомов при излучении. В опытах
Фриша (1933) атомы Na излучали свет с длиной волны А = 589 нм. Оценить скорость
отдачи атомов.
Очевидно, что результат (1.3) нельзя получить из классических
уравнений, не содержащих Й. Таким образом, свет в различных экспе-
риментах проявляет свойства и волн, и частиц. Волновые аспекты вы-
текают из уравнений Максвелла; корпускулярная картина показывает,
что поле несет импульс и энергию и при обмене ими с веществом ве-
дет себя дискретно. Вводя волновое число фотона к = — , имеем
с
Е = ср = ho = tick, (1.4)
т- е. волновой вектор к связан с импульсом р
р = hk, (1.5)
10
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Лекция 1 ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ КВАНТОВЫХ ПОНЯТИЙ 11
а длина волны
! с 2лс 2л , Л 1 й ,,
А = - = --- = --- ИЛИ л = ---- = - = - (1.6)
v cd к 2л к р
К началу XX в. в дискретности вещества уже не было сомнений.
Было твердо установлено существование элементарных носителей
электрического заряда (электронов) и нейтральных атомов. Из опытов
конца XIX в. следовало, что в электромагнитных полях пучок электро-
нов подчиняется классическим законам движения. Однако это не так
для системы электронов, сосредоточенных в конечной области прост-
ранства (атом, имеющий размеры 1О~10 м). Наличие в атоме тяжелого
положительного заряда крайне малых (10~15 м) размеров было доказа-
но опытами Э. Резерфорда (1911). Но классическая механика и элект-
родинамика не могли объяснить стабильность атомов. Известно, что
статическая система зарядов, связанных лишь кулоновскими силами,
является неустойчивой. В то же время в буквально понимаемой плане-
тарной модели атома электроны, движущиеся по кулоновским орбитам
вокруг ядра, должны, излучая, терять энергию и падать на ядро.
Ключ к решению загадки дала атомная спектроскопия. Спектры из-
лучения нагретых паров химических элементов, т. е. фактически от-
дельных атомов, представляют собой серии характерных для данного
элемента очень узких линий, отвечающих определенным длинам волн.
Эмпирическая обработка огромного количества наблюдаемых спект-
ральных линий привела к комбинационному принципу Ритца', испуска-
емые длины волн могут быть выражены через разности спектральных
термов, которые можно нумеровать целыми числами:
7 = Т„, - Т„. (1.7)
Так, для водорода справедлива формула Бальмера
где постоянная Ридберга /?н = 109678 см-1. Аналогично и Для других
элементов, причем постоянная R принимает большие значения для бо-
лее тяжелых элементов.
Комбинационный принцип (1.7) непохож на известные законы
классических излучателей, типичным примером которых служит виб-
ратор, излучающий основную гармонику <dq и кратные ей гю)$. (В пла-
нетарной модели атома частота <д0 совпадала бы с частотой обращения
электрона по орбите.) Революционный шаг, заложивший основы кван-
товой механики, был сделан Н. Бором (1913). Постулаты Бора позволя-
ют построить непротиворечивую модель атома и объяснить основные
опытные факты. Правда, сами постулаты — зародыш будущей нау-
ки___пока выглядят чужеродным довеском к классической физике.
Согласно Бору, атом (для простоты будем говорить о водороде),
действительно, напоминает солнечную систему, но существуют выде-
ленные орбиты — стационарные состояния, когда электрон враща-
ется в кулоновском поле ядра без излучения. Эти стабильные орбиты
образуют дискретную совокупность {квантованы). Опираясь на су-
ществование кванта действия h, Бор предположил, что для устойчивых
орбит классическое действие равно целому числу квантов (ср. с [32а,
§ 49]):
ф р dq = nh = 2nnh. (1.9)
Для круговых орбит это эквивалентно квантованию момента импульса
L = mvr = nh, п = 1, 2,... (1-9')
Здесь впервые возникает квантовое число п, нумерующее стационар-
ные состояния атома.
Приняв (1.9), мы можем вычислить характеристики атомных
состояний уже просто по ньютоновской механике. Для круговых орбит
сила
f = 4 = —, (1-10)
г2 г
тогда полная энергия электрона отрицательна:
= (111)
2 г 2г
Квадрат момента импульса в силу (1.9') и (1.10) равен
Z2 = m2v2r2 = mre2 = n2Ti2, (1-12)
откуда получаем квантованные радиусы устойчивых орбит
г = п2 = а$п2. (1-13)
тег
Здесь а0 = й2/(/ие2) = 0,0529 нм — так называемый боровский радиус
(радиус ближайшей к ядру водородной орбиты). Из (1.11) и (1.13) на-
ходим энергии стационарных состояний {энергетические уровни атома
водорода)
12
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Энергия наинизшего (основного) состояния атома водорода равна
(с обратным знаком) энергии ионизации и для водорода составляет
Еион = — Е[ = = Ry = 1 ридберг = 13,6 эВ. (1-15)
Иногда пользуются так называемыми атомными единицами (а.е.), где
принято т = е = й = 1, тогда атомная единица энергии равна 2 Ry,
Е„ =----^7 а.е. Отметим, что энергия (1.15) мала по сравнению с мас-
2п*
сой электрона:
ЕИон = “ тс2 “ТУ = “ а2тс2 «тс2, (1-16)
2 trc 2
е2 1 z- ~ гт
где а = — = — — безразмерная постоянная тонкой структуры. По-
ле 137
этому в атомной физике обычно релятивистские эффекты оказываются
малыми. Это будет не так лишь для тяжелых атомов, так как соглас-
но (1.10) вместо е2 всюду войдет Ze • е = Ze2, где Z — заряд ядра, а а
заменится на aZ, что может приближаться к единице.
Из (1.12) и (1.13) легко оценить скорость электрона в атоме
v
п
Z<Z Za
— = с —
tin п
(1.16')
Заметим, что в более точной квантовой Теории (лекции 8 и 9) закон
квантования (ср. (1.9')) принимает вид L = eti, где целое число е для
электрона в атоме может быть равно 0, 1,... , п — 1 при заданном „глав-
ном" квантовом числе п, определяющем уровни энергии (1.14). Все
„орбиты" с разными е, но одним и тем же п образуют атомную обо-
лочку. В кулоновском поле точечного ядра все они имеют одну и ту же
энергию (вырождены).
Примирившись с наличием выделенных стационарных состояний,
естественно уже вместе с Бором пойти дальше и постулировать, что
излучение света может происходить лишь при переходе электрона
с одной стационарной орбиты п на другую п (п < п). Закон сохране-
ния энергии совместно с формулой Планка (1.4) определяет частоту
испускаемого при переходе п -> п' света:
<1)пп'
Еп ~ Еп'
Й
(1.17)
т. е. мы пришли к комбинационному принципу (1.7). Для атома водоро-
да два постулата Бора (1.14) и (1.17) дают
4
те
~ 2й3
(1.17')
Лекция 1 ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ КВАНТОВЫХ ПОНЯТИЙ
13
или, при переходе к длинам волн,
— = — = Ру - -у) • (1-18)
Лт' 2л с 4 лей3 \(п’)2 и2/
Мы получили формулу Бальмера (1.8) и предсказываем значение по-
стоянной Ридберга
= 10973732 м"1. (1.19)
4лсй3
Задача 1-2. Показать, что учет поправок, связанных с отдачей ядра при дви-
жении электрона, приводит к совпадению постоянной Ридберга с экспериментальным
значением Лн- (В этом смысле (1.19) отвечает неподвижному тяжелому ядру с массой
М -» оо.) Сравнить уровни водорода и дейтерия. Ядро атома водорода — протон, ядро
атома тяжелого изотопа водорода (дейтерия) — дейтрон, состоящий из протона и
нейтрона и имеющий массу примерно вдвое большую, чем протон.
В целом атом водорода по модели Бора обладает бесконечной пос-
ледовательностью дискретных связанных состояний (рис. 1.2), сгу-
щающихся к значению Е = 0.
Поскольку энергетические интервалы быстро убывают с номером
уровня, то все спектральные линии (1.18), отвечающие переходам из
разных начальных состояний п в одно конечное rl, оказываются близ-
кими и объединяются в спектральные серии: и' = 1 — серия Лаймана
(ультрафиолетовая область); и' = 2 — серия Бальмера (видимый свет);
серии с п > 2 отвечают инфракрасной области спектра и т. д.
Для высоких уровней (и » 1) радиусы боровских орбит (1.13)
быстро растут и могут стать макроскопическими, т. е. попадают в об-
ласть справедливости классической механики. Но тогда и комбинаци-
онный закон (1.17) для излучения должен переходить в классическое
осцилляторное правило (испускается излучение с частотами, соот-
ветствующими частоте обращения со0 и ее обертонам). Фактически это
проявление общефизического принципа соответствия: результаты бо-
лее общей теории (квантовая механика) содержат в качестве частного
случая, реализующегося при определенных физических условиях,
результаты менее общей теории (классическая механика). Атом Бора
удовлетворяет этому принципу. Действительно, в квазиклассической
области (и » 1, п » I, -—- = — « 1)
п п
те* ~ (и')2 тел /.
'' - == -ГГ
"ИЗЛуч “ 2Й3 И2 и2 ~ й3„3
в то время как частота обращения на орбите
^обр ~
п _ те4
г h3n3 ’
(1-20)
14
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рис. 1.2
так что излучаемые частоты кратны частоте обращения:
^излуч — Ал ' Й^обр-
(1.20')
В дальнейшем теория Бора была усовершенствована А. Зоммер-
фельдом (обобщение на эллиптические орбиты, объяснение тонкой
структуры с помощью релятивистских эффектов и т. д.). Дискрет-
ность атомных состояний была явно продемонстрирована в опытах
Франка и Герца (1913), где наблюдались минимумы электронного тока
через газ при таких значениях ускоряющего потенциала, которые от-
вечают энергиям электронов, достаточным для возбуждения дискрет-
ных уровней атома при столкновении с ним электрона. После объясне-
ния на основе теории Бора периодической системы элементов уже не
оставалось сомнений в правильности идеи квантования.
Лекция 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ КВАНТОВЫХ ПОНЯТИЙ
15
Задача 1-3. Показать, что в экранированном кулоновском потенциале
U(r) = ё~х Г1г число связанных состояний конечно.
Ясно, что правило (1.9) не может относиться лишь к связанным
состояниям в кулоновском поле, а имеет гораздо более общий харак-
тер. Отсюда следует, например, что должен квантоваться магнитный
момент электрона. Действительно, электронная орбита представляет
собой виток с током I = е!Т, где Т — период обращения. Такой виток
обладает магнитным моментом д = IS/c, где площадь (эллиптической)
орбиты
2л т , Т Т
S = f d<p т\ г2 = 1 f dt г2 -у = j f dt г2юобр = Г" f Ldt=^-
q 2 2 о ^ 2 о 2ш 0 2/и
е L
Отсюда /л =------Т, и с учетом (1.9') получаем квантование магнит-
сТ 2гп
ного момента:
Д = 7е- L = glL = ginh,
zmc
(1-21)
где gi = e!(2mc) — орбитальное гиромагнитное отношение. Итак, маг-
нитный момент должен быть равен целому кратному элементарного
магнитного момента, называемого Боровским магнетоном'.
р = прь, 1^Б = — = 0,927 • 1(Г23 Дж/Тл. (1.2Г)
2тс
Поскольку результат (1.21) не содержит никаких характеристик куло-
новского поля, естественно считать, что такой магнитный момент свя-
зан с движением каждой заряденной частицы. Магнитные моменты
нуклонов (протона и нейтрона) обычно выражают в ядерных магне-
тонах'.
1/Z = 777“ с = 1 = 1 Аб ‘ ТТТ? = 0,505 • 10-26 Дж/Тл. (1.22)
2м р М р 1836
Эксперимент дает рр = 2,79 р.я и р„ = — 1,91 ря для протона и нейт-
рона соответственно. Заметим, что нейтрон электрически нейтрален,
но обладает ненулевым магнитным моментом вследствие нескомпен-
сированных моментов внутренних составляющих нуклонов — кварков
и глюонов.
На самом деле соотношения (1.9) и (1.21) должны быть уточнены,
так как параметры L и р являются векторами Прямой опыт Штерна и
срлаха (1922) показал, что квантуется проекция этих векторов па фи-
зически выделенное направление. В этом эксперименте (рис. 1.3) пу-
чок атомов отклоняется от прямолинейного движения неоднородным
16
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Лекция 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ КВАНТОВЫХ ПОНЯТИЙ 17
магнитным полем &^z(z), т. е. силой F =
Z _
= pz-----. Вместо предсказываемой класси-
dz
чески широкой полосы (отвечающей всем зна-
чениям pz от — р до +р) на пластинке Р
образуется дискретное число узких полосок,
расположенных симметрично относительно
Р первоначального направления. Таким образом,
допустимы лишь определенные значения /zZj
т. е. — при фиксированном \р. | (1 21) — опре-
деленные ориентации р и L по отношению
к внешнему полю (пространственное квантование). Опыт показывает,
что расщепленные компоненты пучка отвечают всевозможным цело-
численным значениям проекции Lz в границах | Lz | < L = lh:
Lz = mti, m = -l, -1+ 1,... , 0,...,/- 1,/. (1.23)
Таким же спином s =
- h обладают нуклоны и кварки, однако их ге-
омагнитные отношения отличаются от (1.25).
Р Модель атома Бора при всех ее успехах не могла решить многих
поблем, особенно касающихся интенсивности излучения и строения
сложных атомов. Сам рецепт квантования не имел общего характера,
в значительной степени это была гениальная догадка Бора. Нужна бы-
ла общая физическая концепция, которая легла бы в основу новой тео-
рии. Существовавшая ситуация обрисовывается такой табличкой:
Свет Вещество
Классическая теория Волновые явления (уравнения Максвелла) Корпускулярная динамика (уравнения Ньютона при v « с или Эйнштейна при V ~ с)
Квантовая теория Корпускулярная картина (фотоны со свойствами (1.4) и (1.5)) ?
Поэтому, если орбитальный момент атома равен L = lh, то опыт Штер-
на - Герлаха должен дать расщепление на 2/ + 1 компонентов. Новое
квантовое число т (1.23) носит название магнитного.
Однако в ряде опытов наблюдалось четное число компонент,
в частности пучок атомов с нулевыми орбитальным моментом расщеп-
лялся надвое. Для объяснения этого факта, а также ряда спектроскопи-
ческих эффектов, С. Гаудсмит и Дж. Уленбек (1925) выдвинули гипо-
тезу о наличии у электрона внутреннего момента импульса — спина s,
не связанного с орбитальным движением (аналог вращения планеты
вокруг собственной оси). Все опытные данные согласуются со значе-
нием спина электрона
s = ih, (1.24)
2
причем пространственное квантование допускает лишь две ориента-
ции s, а именно те, при которых sz = ± Й/2. Величина отклонения пуч-
ка в опыте (см. рис. 1.3) дает спиновое гиромагнитное отношение gs,
которое оказывается вдвое больше орбитального gi (1.21):
е
gs = —
тс
(1-25)
Поэтому магнитный момент покоящегося (L = 0) электрона равен во-
ровскому магнетону:
= 0 = Ps = gs S = — = 1 Рб- (I-25')
тс 2
Место „?“ заняла картина волн де Бройля (1923). Предположим, что
Е\ пучку частиц с энергией Е и импульсом р соответствует некий вол-
новой процесс с длиной волны А и частотой <о такими, что
Я = 2лХ = - , ш~ — . (1-26)
Р й
Тогда движение частиц должно сопровождаться волновыми явления-
ми. Так, при огибании частицами преграды, имеющей размеры, срав-
нимые с длиной волны (1.26), должна наблюдаться дифракция. В опы-
тах Дэвиссона и Джермера (1927) пучок электронов, отраженных от
специально ориентированного кристалла, дал типичную дифракцион-
ную картину (похожую на лауэграмму для дифракции рентгеновских
лучей). Штерн и другие (1931) показали, что и более сложные образо-
вания (например, атомы гелия) обнаруживают дифракцию на кристал-
ле. Во всех случаях найденная из опыта длина волны точно отвечала
импульсу частиц в согласии с (1.26).
Задача 1-4. Оценить энергию электрона в опыте по дифракции. Найти длину и
частоту волны де Бройля: для электрона со скоростью v = 1 см/с, с энергией Е =
~ 100 МэВ; для теплового нейтрона (энергия равна 3772 при комнатной температуре;
1 эВ = 11600 К); для футбольного мяча.
рименяя такой же волновой подход к связанным состояниям
атома (состояния финитного движения классической механики), мы
Должны получить в стационарном случае карта ну* С10ЯЧЙ1 волц'^го
сразу приводит к постулату Бора (1.9'): для крупней ЬюбилВГрадД^а г
18
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
стационарная картина возникает, если длина волны укладывается на
орбите целое число раз, т. е.
Л = —, /7 = 1,2,..., (J.27)
п '
откуда г = гп = — = //X или, в соответствии с (1.26), r„ = rih!р, а мо-
2л:
мент импульса Ln = mvrn = prn — nti, что совпадает с (1.9'). Здесь ясно
видно, что квантование (вспомним классическую струну или волны
в резонаторах) возникает как следствие граничных условий, наложен-
ных на волны де Бройля.
Для того чтобы иметь математический аппарат, пригодный для ре-
шения любых квантовых задач, необходимо найти динамическое урав-
нение, описывающее распространение волн де Бройля в пространстве и
времени. Ясно, что это уравнение не может быть выведено из предыду-
щих теорий; согласно принципу соответствия, наоборот, их результаты
должны получаться из решений искомого уравнения как определенные
предельные случаи. Мы придем к нужному уравнению с помощью неко-
торых правдоподобных аналогий.
Пусть имеем волну, заданную комплексной функцией vP(r, f). Рас-
пространение обычных волн (электромагнитных или звуковых) описы-
вается волновым уравнением
V2vP - -у = 0. (1.28)
с2 dt2
У нас вместо скорости волны с должна стоять фазовая скорость:
но импульс частицы выражается через ее кинетическую энергию
р2
К = — = Е - U, (1.30)
2т
поэтому
гф = 7—^—- • (1.30')
Поскольку фазовая скорость зависит от координат через потенци-
альную энергию U(г), распространение волны де Бройля должно напо-
минать распространение света в среде с переменным показателем пре-
ломления.
Лекция 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ КВАНТОВЫХ ПОНЯТИЙ 19
Стационарное состояние имеет вполне определенную сохраним-
ся энергию, поэтому в силу (1.26) соответствующая волна де Брой-
ля имеет определенную частоту ш = E/ti, т. е. Ф(г, t) зависит от времени
гармонически: .
Ф(г, /) = гр (г) e~ia)t = ф (г) е“ л £',
(1.31)
ЕЧ> = ih ~ Ф.
dt
Подставляя (1.30') и (1.32) в (1.28), найдем
У2Ф = --G) (-0,2) (E-U) гр,
(й<о/ h
т. е. для стационарных состояний частлцы
( ь2 1
— V2 + t/(f» гр(г)= Егр (г).
I 2т I
(1.32)
(1.33)
В общем случае произвольного нестационарного движения зависи-
мость Ф от времени не является чисто гармонической (1.31), энергия
уже не сохраняется, и мы вместо Е оставим в (1.33) производную (1.32)
по времени:
th = L V2 + Д г) (i .34)
dt I 2т J
Итак, мы „получили" волновое уравнение для волны де Бройля, от-
вечающей движению частицы массы т во внешнем поле U(F, t), —
знаменитое уравнение Шредингера (1926) соответственно для стацио-
нарного (1.33) и общего (1.34) случаев. Отметим сразу очевидные
свойства этого уравнения.
1. Уравнение Шредингера линейно, т. е. волны де Бройля удовлет-
воряют принципу суперпозиции (линейная комбинация У, с„Ф„ не-
п
скольких решений Ф„(г, /) с произвольными комплексными коэффици-
ентами с„ опять удовлетворяет тому же уравнению).
2. Уравнение Шредингера имеет первый порядок по времени; поэ-
тому его решение полностью определяется значением Ф(г, t) в произ-
вольный момент времени to, задание Ф(г, /о) детерминирует всю даль-
нейшую эволюцию системы, дает о ней максимально полную инфор-
мацию.
3. Формально уравнение Шрендингера (1.34) сразу получается из
классического выражения полной энергии частицы Е = К + U =
20
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
= />2/(2лл) + U, если заменить энергию Е и импульс р на операторы
дифференцирования по времени и координатам, действующие на амп-
литуду волны Ф(г, f):
Е -> ih р -ffiV (1.35)
(выбор знаков перед i в (1.31) и (1.35) произволен, но должен быть раз
и навсегда фиксирован).
Остается „только14 понять физический смысл амплитуды ф, кото-
рую принято называть волновой функцией, и связать ее с наблюдаемы-
ми величинами.
Литература: [12, 27, 34, 47, 54].
Лекция 2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Сравним общую постановку задачи в классической и в квантовой
физике. Под системой всюду будет пониматься совокупность частиц,
взаимодействующих друг с другом и с окружением (необходимой
частью которого являются измерительные приборы). Примем, что
внутренние свойства частиц (массы, заряды, спины и др.) известны
из опыта. Поведение системы описывается в терминах динамических
переменных, каждой из которых должен быть сопоставлен способ ее
физического определения.
Для классической системы динамические переменные -— это коор-
динаты qa и импульсы ра частиц системы (либо какие-то функции
?а, Ра), Для полей — это плотности соответствующих величин в каж-
дой точке (г, /). При этом подразумевается, что (по крайней мере,
в принципе) можно сколь угодно точно измерить значение любой ди-
намической переменной в данный момент времени. Задание всех мгно-
венных значений qa, ра определяет конфигурацию системы — поло-
жение изображающей точки в фазовом пространстве. Со временем
конфигурация меняется (точка движется по фазовой траектории),
причем каждая фазовая траектория характеризуется набором интег-
ралов движения (в их роли могут выступать сами начальные условия
Для каждой индивидуальной траектории). Один или несколько интег-
ралов еще могут не определять полностью траекторию (например, при
рассеянии частицы в центральном поле задание начальной скорости ит
или энергии Е = mv^/1 определяет множество фазовых траекторий,
отличающихся прицельным расстоянием b или моментом импульса
L = mvxb). Существуют полные наборы интегралов движения, каждо-
му из которых отвечает лишь одна фазовая траектория. Можно сказать,
Что такой набор полностью определяет состояние системы. В более
общем случае некоторые (или все) интегралы движения из полного
набора могут быть заданы вероятностно, с помощью каких-либо функ-
ций распределения — это тоже способ описания состояния системы.
Вообще, состояние — это невозмущенное движение системы, ограни-
ченное набором каких-либо условий.
22
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Очевидно, что условия, характеризующие состояние, должны быть
взаимно совместными (хотя и не обязательно максимально полными).
Для „приготовления" системы в нужном состоянии (т. е. для проверки
выполнения наложенных условий) необходимы физические измерения.
Однако любое измерение требует взаимодействия системы и измери-
тельного прибора („наблюдателя11), которое неизбежно возмущает сис-
тему.
Классические теории основаны на концепции непрерывности:
твердые и жидкие тела, рассматриваемые в классической механике, за-
ряды классической электродинамики считаются бесконечно делимыми
без изменения своих существенных свойств. Именно поэтому вполне
естественным кажется, что всегда можно сделать такие измерительные
приборы, влияние которых на систему будет ниже любого наперед за-
данного предела (например, можно уменьшать внутреннее сопротивле-
ние амперметра или увеличивать эту величину у вольтметра). Устремляя
к нулю вносимое искажение, мы получим при измерении информацию
о системе „как таковой".
Поэтому в классической физике требование взаимной согласован-
ности условий, характеризующих состояние, удовлетворяется просто
ограничением тех переменных, чьи значения (или пределы, в которых
они лежат) являются динамически связанными. В гамильтоновой ди-
намике независимыми переменными являются координаты и импуль-
сы, которые и образуют максимально полный набор. Обычно динами-
ческие задачи формулируются так: если координаты qa и импульсы ра
имеют при t ~ to соответственно значения Цд и р£, каково значение
некоторой функции координат и импульсов f(ya, ра) в момент t = ft
Кардинальное изменение в динамику вносит атомистика: сущест-
вуют элементарные структуры, так что некоторые величины не явля-
ются беспредельно делимыми. Но тогда необходимо пересмотреть и
процесс измерения. Хотя взаимодействие атома и макроскопического
прибора пренебрежимо мало влияет на свойства прибора, оно никогда
не является бесконечно малым. Атом вообще можно изучать лишь по
его взаимодействиям с другими объектами (в том числе с его собствен-
ными дубликатами), а тогда влияние взаимодействия на изучаемый
объект не мало. Всегда существует нижний предел возмущения, произ-
водимого в системе процессом измерения (хотя само значение этого
предела может зависеть от природы эксперимента). Этот предел зало-
жен в атомной, квантованной природе микромира и не может быть
обойден искусством экспериментатора.
Более того, фактическая величина возмущения в каждом частном
взаимодействии неизвестна, и поэтому нельзя внести количественную
поправку. Можно лишь ожидать, что в большом числе тождественных
экспериментов будет некоторый статистический разброс возмущений.
Лекция 2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
23
Этот разброс можно характеризовать отклонением от среднего значе-
ния- отклонение само имеет нижний предел, что ведет к важнейшим
следствиям.
Ясно, что теперь некоторые виды измерений могут стать взаимно
несовместимыми, так что будет бессмысленно говорить об одновре-
менных точных значениях некоторых переменных. Действительно,
когда мы говорим, что переменная А имеет в момент t определенное
значение а, то подразумевается, что измерение величины А в момент t
дало значение а, а в бесконечно близкий момент времени повторное
измерение даст бесконечно близкое значение. Однако уже первое изме-
рение фактически перевело систему из ее исходного состояния в со-
стояние с определенным значением переменной А. При этом неконтро-
лируемое воздействие на систему должно было быть достаточно силь-
ным (выше того нижнего предела, о котором говорилось ранее). Может
оказаться, что такое воздействие полностью лишит нас возможности
предсказать результат измерения в ближайший момент времени другой
величины В, т. е. в созданном первым измерением состоянии с опреде-
ленным значением А не существует определенного значения В. Тогда
это означает, что состояние, в котором величины А и В одновременно
имеют определенные значения, не может быть „приготовлено*1 — оно
физически нереализуемо.
Итак, в квантовой области кроме динамических появляются доба-
вочные ограничения на переменные, характеризующие состояние: на-
чальные условия могут включать лишь одновременно измеримые ве-
личины. Однако это никоим образом нельзя понимать как признание
непознаваемой внутренней сущности микромира. Координаты, им-
пульсы и другие динамические переменные („наблюдаемые**), с по-
мощью которых мы пытаемся описывать квантовые состояния, — суть
классические величины, заимствованные из макрофизики. С этими
классическими мерками мы подходим к микрообьекту. Бессмысленно
говорить о том, что микрочастица „сама по себе** обладает определен-
ными значениями каких-то классических переменных. Состояние с та-
кими определенными значениями создается в процессе взаимодейст-
вия с измерительным прибором. Поэтому прибор — анализатор —
Должен быть органически включен в аппарат квантовой механики. Су-
ществование же некоторых величин, которые не имеют одновременно
определенных значений, говорит лишь о том, что природа не может
Дать ответ на вопрос, который неправильно поставлен, сформулирован
На языке, не адекватном физической реальности.
Подобная ситуация всегда возникает в физике волновых процес-
с°в, если пытаться их анализировать в терминах точной локализации
в° времени и пространстве. Рассмотрим, например, попытку построе-
24
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Reip(t)
Рис. 2.1
ния короткого волнового цуга заданной пе-
риодичности. Здесь мы хотим одновремен-
но фиксировать время испускания /о = 0 и
частоту волны 0)q, что физически невозмож-
но. Действительно, измеряя момент испус-
кания, необходимо укорачивать цуг; пусть
он имеет форму (рис. 2.1)
^(0 =
ае
О,
(2-1)
т. е. момент испускания определен с точностью т. Однако такой цуг
уже не эквивалентен волне с определенной частотой 0)q: гармоничес-
кий анализ дает спектр
Г
00 2
<рш = f (О e,ft" = a f
-00 _Т_
2
sin (со — coq)
2
а> — WQ
-pt- е' (ю - <u0) t =
(2.2)
показанный на рис. 2.2.
Ширина Дщ = (0 — 0)0 участка спектра, где амплитуды фурье-гар-
моник заметно отличны от нуля, есть
Aoj = — , (2.3)
т
т. е. растет с уменьшением длины цуга. Это типичный пример допол-
нительности, возникающей при измерении величин, которые не
могут одновременно иметь определенных значений. Как видно из
примера, для выявления таких взаимоотношений между дополни-
тельными величинами удобен гармониче-
ский анализ.
Как следует видоизменить постановку
динамической задачи при переходе в кван-
товую область"? Пусть состояние задано
набором одновременно измеримых вели-
чин А в момент /о- Будем теперь измерять
в момент t значение величины В. Посколь-
ку однозначного ответа может не сущест-
ве. 2.2 вовать, в серии тождественных экспери-
Лекция 2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
25
мы получим разные результаты. Однако при достаточно боль-
М м числе измерений проявляются статистические закономерности и
можем судить о вероятности тех или иных результатов опыта. Та-
ки' эбразом, максимальная информация о квантовой системе — это
знание вероятностей результатов всех экспериментов, которые могут
быть поставлены над системой (некоторые результаты могут, в част-
ности, иметь вероятности, равные единице или нулю). Динамическая
квантовая теория должна уметь предсказать все эти вероятности.
С другой стороны, если принять уравнение Шредингера (1.34), то
максимально полная информация о системе содержится в волновой
функции Ф(г, <) Поэтому ее интерпретация неизбежно должна быть
вероятностной.
Вернемся к эксперименту с дифракцией на двух шелях (рис. 1.1).
Интерференционная картина на экране свидетельствует о волновой
природе света. Однако поглощение и испускание света происходит
квантами — фотонами. Любой фотонный детектор, расположенный в I
или II щели, зафиксирует лишь целый фотон, но не часть его. Это де-
лает, казалось бы, непонятным возникновение интерференции: если
фотон целиком проходит через одну щель, то наличие второй щели во-
обще не должно на него влиять. (Влияние одних фотонов на другие
можно исключить понижением интенсивности источника 5.)
Разгадка состоит в том, что детектор, с определенностью фикси-
рующий, через какую из щелей прошел фотон („измеритель координа-
ты фотона“), полностью нарушит интерференционную картину — бу-
дет наблюдаться простое наложение интенсивностей, отвечающих
отдельно открытой I и открытой II щелям. Два эксперимента — интер-
ференционный и фиксирующий одну из щелей — являются дополни-
тельными друг к другу {„дополпитепьностями“). Каждый из них выде-
ляет один — волновой или корпускулярный — аспект описания элект-
ромагнитного поля.
Таким образом, дуализм волна частица проявляется отнюдь не
в том, что объект ведет себя в одном и том же опыте как волна и как
частица. Наоборот, именно вследствие дуализма таких экспериментов
не существует.
Связь между двумя дополнительными описаниями (и типами экс-
периментов) устанавливается через статистическое истолкование. По-
ведение любого данного фотона в классическом смысле непредсказуе-
мо: нельзя предвидеть, в каком именно месте экрана он будет зарегист-
рирован. Однако большее число фотонов придет па светлые кольца на
тиране, т. е. туда, где (в волновом описании) выше интенсивность ин-
ференционной картины. Значит, вероятность прихода фотона в ка-
’О'Ю-то точку экрана пропорциональна интенсивности волны в этой
точке, или квадрату модуля амплитуды волны. Уравнения Максвелла
26
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
можно поэтому интерпретировать как законы изменения в пространст-
ве и времени плотности вероятности обнаружения фотонов.
Эксперимент (см. лекцию 1) показывает, что волны де Бройля про-
являют все характерные волновые свойства. Поскольку максимумы
дифракционной картины отвечают большему числу электронов, интен-
сивность волн де Бройля | Ф(г, /)|2 пропорциональна вероятности на-
хождения частицы в точке (г, /), точнее — плотности вероятности
нахождения в бесконечно малом объеме dr вблизи г. Тогда сама вол-
новая функция может быть названа амплитудой вероятности. Так как
уравнение Шредингера (1.34) линейно, Ф определяется с точностью до
произвольного нормировочного множителя, т. е. имеет смысл говорить
лишь об относительных вероятностях для разных пространственно-
временных точек.
Отметим, что прямое отождествление электрона с волной (припи-
сывание последней „вещественной" природы) не может иметь смысла:
тогда один электрон давал бы всю дифракционную картину, в то время
как на самом деле он попадает в определенную, хотя и непредсказуе-
мую, точку экрана (взаимодействие его с экраном создает локализован-
ное состояние), а волновая функция Ф управляет вероятностями попа-
дания в ту или другую точку. Таким образом, волновые свойства при-
сущи каждому отдельному электрону, но проявляются в большом чис-
ле экспериментов, предназначенных фиксировать координаты точки
взаимодействия электрона с детектором.
Обобщая вероятностную интерпретацию на случай произвольной
квантовой системы, постулируем, что для каждого события (т. е. любо-
го возможного эксперимента над системой) существует комплексная
амплитуда вероятности Ф, так что вероятность данного события
w ~ I Ч' |2. (2.4)
Пока у нас нет рецепта нахождения динамического уравнения для про-
извольной системы — аналога уравнения Шредингера (1.34) для одной
частицы. Однако это общее уравнение Шредингера должно удовлет-
ворять некоторым физическим требованиям (ср. конец лекции 1).
Как и раньше, оно должно быть первого порядка по времени, тогда
задание 4j(/q) детерминирует дальнейшее развитие системы — опреде-
ляет вероятности всех возможных экспериментов (такую форму при-
нимает здесь условие причинности). Для того чтобы из уравнении
Шредингера вытекали все волновые явления, оно должно быть линей-
ным. Тогда, если событие может происходить несколькими независи-
мыми взаимоисключающими путями, то решение Ф будет даваться су-
перпозицией 4J| + 4J2 + ... и полная вероятность будет содержать ин-
терференционные (перекрестные) члены:
Лекция 2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
27
W ~ | Ф |2 = | ЧЛ + Ф2 + ... |2 =
= | Ф112 + I Ч'2|2 + ... + 2 Re Ф1* Ф2 + ...
(2-5)
Как мы увидим дальше, если эксперимент ставится так, что каж-
дый Раз определяется, какая из альтернативных возможностей осу-
ществляется, то полная вероятность есть простая сумма вероятностей
различных возможностей
vv ~ | Ф[|2 + | Ф2|2 + ... (2.6)
(интерференционная картина исчезает, когда фиксируется, через какую
щель прошел фотон).
Подчеркнем еще раз, что хотя слово „вероятность" имеет оттенок
субъективного отношения, фактически вероятность (2.4) вполне объек-
тивна, ее значение зависит не от степени знания наблюдателя, а от при-
роды наблюдения, т. е. от реального взаимодействия прибора с объек-
том.
Литература: [10; 21; 32в, § 1, 2; 46; 47, вып. 8; 54].
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Рассмотрим более подробно случай одной частицы, когда уравне-
ние Шредингера имеет вид (1.34). Вся информация о состоянии части-
цы содержится в волновой функции Ф(г, f), которая есть амплитуда
вероятности нахождения частицы в момент времени t в элементе объе-
ма dr вблизи точки г:
dw = | Ф(г, Ol2 dr. (3.1)
Хотя абсолютная общая нормировка волновой функции несуществен-
на, обычно удобно нормировать ее так, чтобы полная вероятность об-
наружения частицы равнялась единице:
f dr |Ф(г,012 = 1- (3.2)
В случае бесконечного объема, доступного для частицы, интеграл в ле-
вой части (3.2) может расходиться, тогда будет иметь смысл лишь от-
ношение плотностей вероятностей | Ф(г, /)|2 в разных точках г, для
которого нормировка несушественна.
Пусть частица совершает свободное движение в направлении оси х
с заданным импульсом р = рх. Такое состояние, как показывает экспе-
римент, физически осуществимо; проверку значения импульса можно
(например, для электрона) провести с помощью эффекта Комптона —
рассеяния очень мягкого фотона, почти не меняющего импульс элект-
рона. При U = 0 уравнение Шредингера имеет вид
гй _ А'2 у2Ф. (3.3)
dt 2т
Поскольку физически выделено лишь направление оси х, будем ис-
кать решение (3.3), зависящее только от х и /:
0 й2 а2Ч'(х, /)
dt 2т дх~
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
29
решение
уравнения (3.3') в виде бегущей волны есть
Ф(х, 0 = Ае^ - °»\
(3-4)
________произвольная комплексная амплитуда, а волновой вектор к и
частота ш произвольны, но связаны соотношением
к к2к2
па) =-----
2т
(3-5)
Согласно (126) импульс частицы р и ее энергия Е выражаются через
характеристики волны де Бройля (3.4) как
р = fik, Е = ка>, (3.6)
т е. (3.5) дает обычную связь энергии и импульса свободной частицы,
как и должно быть по „выводу" уравнения Шредингера (1.34). Ясно,
что свободному движению частицы в произвольном направлении к бу-
дет отвечать бегущая в этом направлении плоская волна
Ф(г, t) = Ле'<*? - 0>1\ (3.7)
связь (3.5) между ш и к = | к | сохранится.
Применяя к решению (3.7) вероятностную интерпретацию (3.1),
видим, что плотность вероятности обнаружения частицы в точке (г, t)
|Ф(г,/)|2 = |/1|2 = const (3.8)
не зависит от координат и времени. Следовательно, в состоянии с оп-
ределенным импульсом (понимая состояние в смысле невозмущенного
движения, ограниченного какими-то условиями, — см. лекцию 2) де-
тектор, фиксирующий координаты, т. е. локализующий частицу, с рав-
ной вероятностью может обнаружить ее в любой точке — частица как
бы „размазана" по всему пространству. С точки зрения волновой тео-
рии мы имеем стационарную плоскую волну, бесконечную в прост-
ранстве и времени. Акт измерения координаты „стягивает" плоскую
волну в точку.
Конечно, состояние в виде плоской волны (3.7), заполняющей неог-
раниченное пространство (и потому не нормируемой в смысле (3.2)),
является идеализацией нормального эксперимента, в котором пучок
част создается источником, формируется, направляется в экспери-
ментальную зону и регистрируется детектором. Реальный пучок всегда
имеет конечную протяженность в пространстве и времени (ср. пример
с волновым цугом в лекции 2), что искажает монохроматичность вол-
Нь,‘ Однако во многих случаях можно этими искажениями пренебречь
пользоваться идеализированным описанием (3.7).
30
ЛЕКЬДИИ по КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В опыте с дифракцией на двух щелях на экран падала неплоская
волна. Однако любая в<?лна может быть представлена как суперпози.
ция плоских (разложенное Фурье). Пусть, для простоты, мы имеем все.
го две составляющих ви1Да (3.7), которые имеют одинаковую частоту
(иначе картина перестанет быть стационарной — будут наблюдаться
биения) и, согласно (3.^), равные волновые векторы к = | £]| = | £2|:
= jje'W “ + A2ei(& ~ (3.9)
Решение (3.9) опись^вает уже совершенно иное физическое состоя-
ние, чем (3.7). Плотность вероятности нахождения частицы вблизи
точки (г, Г) равна тепер ъ
| ф(г, Г) |2 = | 4|2 +|Л2|2 + 2Ке{Л1Л*е'^-^Ч, (3.10)
т. е. наблюдается в соответствии с (2.5) стационарная (не зависящая от
времени) интерференционная картина: интенсивность волны в данной
точке определяется разностью фаз интерферирующих компонент. Как
и в (3.7), частица не локализована, однако теперь вероятность ее на-
хождения в некоторых точках выше, чем в других.
Наличие предпочтительных для частицы областей пространства
(интерференционные максимумы (3.10)) достигнуто за счет того, что со-
стояние (3.9) больше нО является состоянием с определенным импуль-
сом, а содержит две компоненты: с импульсами р\ = Тгк\ v\ р2 — hk2.
Если мы теперь с помощью импульсного анализатора будем измерять
импульс частицы, то теМ самым будет совершаться выбор одной из двух
альтернативных возможностей („закрываем одну щель“). Никаких дру-
гих значений, кроме р\ и /Ь, мы ПРИ этом не можем получить, а сами
эти значения будут появляться с относительной частотой, пропорцио-
нальной интенсивностям соответствующих компонент | А\ |2 и | А2 Та-
ким образом, анализатор будет регистрировать импульсы р\ и р2 с ве-
роятностями
W1 = ---, w2 =------‘7)2,2 , , (З-11)
1 |^12+М212 |Л,|2+|Л2|2
VV| + w2 = 1.
Акт измерения импульса возмущает систему, интерференционная кар-
тина разрушается (см. (2 6)). После измерения волновая функция буД#
представлять собой пЛ°скую волну с фиксированным импульсом (/’l
или р2)-
Перейдем теперь К общему случаю произвольного состояния час-
тицы. Интересуясь мгновенными характеристиками, будем опуск?-^
аргумент t у волновой функции.
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
31
разложим волновую функцию в интеграл Фурье
W) = ^71 f (312)
?(*) = df 'P(f) (312<)
Нормировка (3.12) выбрана так, что при выполнении условия (3.2)
фурье-образ волновой функции нормирован:
f dk I <р(к) \2 = fdk <р'(к) —f df Ф(г) =
f df Ф*(г) Ф(г) = 1.
Разложение (3.12) представляет волновую функцию как суперпозицию
бесконечного числа плоских волн. Рассуждая точно так же, что и в
случае двух слагаемых (3.9), легко понять, что импульсный анализатор
будет регистрировать все значения импульса частицы р = hk, для ко-
торых амплитуда <р(к) & 0, причем частота появления к пропорцио-
нальна интенсивности соответствующей гармоники |^>(А) |2. При нор-
мировке (3.13) величину \<р(к) \2 можно прямо интерпретировать как
вероятность обнаружения импульса р = hk. Поэтому у?(А) называют
волновой функцией (или амплитудой вероятности) в импульсном пред-
ставлении (ф(г) — волновая функция в координатном представлении).
Координатное и импульсное представления однозначно связаны пре-
образованием Фурье (3.12). Здесь полностью применимо рассмотрение
волнового пакета (см. лекцию 2). Заслонка, пропускающая участок вол-
ны е‘к°х малой протяженности Д х (аналог т, см. рис. 2.1), искажает эту
волну: в спектре появляются составляющие с волновыми векторами к,
отличающимися от ко, по крайней мере, на величину порядка
ДА й — (3.14)
А х
В предельном случае точной локализации частицы в точке f = f^ ее
координатная волновая функция
Ф(г) = <5 (г - г0). (3.15)
Однако при этом импульсная волновая функция содержит все возмож-
значения волнового вектора к с равными весами:
<?(*) = ;; е'*Г°’ I I2 = consL (315’)
32
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Конечно, точно локализованное состояние (3 15) является предеЛь ।
ной идеализацией в той же мере, что и неограниченная плоская водда
(3.7). Позже (лекция 35) мы увидим новые стороны этой проблем^
в релятивистской квантовой механике.
Итак, любая попытка локализовать частицу, т. е. создать состоял^
с определенным значением координаты х (уменьшить неопределенность
координаты Ах), неизбежно влечет за собой размывание импульсной
волновой функции, т. е. увеличение неопределенности импульса
Др = ЙД&. Эти две неопределенности связаны соотношением неопре-
деленностей Гейзенберга (1927), которое (опуская числовые множители
не имеющие смысла, пока само понятие неопределенности точно коли-
чественно не сформулировано) запишем в виде
Дх-Др=:Й. (3.16)
Таким образом, не существует состояния, в котором частица одно-
временно имела бы определенные значения координаты и импульса.
Координата и импульс являются сопряженными (дополнительными
друг к другу) переменными, а эксперименты, измеряющие их, состав-
ляют два класса дополнительных экспериментов (см. лекцию 2). Сле-
довательно, теряет смысл понятие траектории микрочастицы, подразу-
мевающее определение в каждый момент времени значений коорди-
наты и скорости (или импульса).
Задача 3-1. Выяснить на примере образования трека частицей, движущейся в ка-
мере Вильсона, когда приближенно можно ввести понятие траектории и пользоваться
классической механикой.
Согласно соотношению неопределенностей (3.16) наилучшая воз-
можная локализация частицы при заданной неопределенности Др ее
импульса р есть A х £: tilАр. Однако говорить хотя бы приближенно об
импульсе частицы имеет смысл лишь тогда, когда значение этого им-
пульса больше его неопределенности: р > Ар. При этом titАр > ti/p =
= X и
Дх>Х, (3.16')
т. е. микрочастица, которую с некоторой точностью можно охарактерй-
зовать импульсом, а значит, и длиной волны, не может быть локали-
зована точнее, чем в области с размерами порядка этой длины волны
Отсюда ясно, что само представление о волне де Бройля имеет огра-
ниченную применимость и им можно пользоваться только, если прост'
ранственную периодичность ф можно проследить на длине хотя бы
нескольких периодов.
Задача 3-2. Рассмотреть с точки зрения соотношения неопределенностей
ракцию волны на отверстии в непрозрачном экране.
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
33
Задячя 3-3. Проследить выполнение со-
иения неопределенностей при определе-
°Т”°коорДИНЭТЫ частицы с помощью микро-
скопа.
Задячя 3-4. Шарик для пинг-понга под-
бивает, упруго отражаясь от площадки раз-
мерам 5 см2. Оценить максимальное число
отражений.
Задячя 3-5. Почему в установке Штерна
_ Герлаха (см. рис. 1.3) используется пучок
атомов, а не свободных электронов?
X
Задача 3-6. Показать, что если в схему
опыта по дифракции на двух щелях (см. рис. 3.1
рис. 1.1) ввести детектор, регистрирующий
прохождение частицы через щель I, то интер-
ференционная картина будет полностью искажена. (Детектор d, испытывающий малую
отдачу при прохождении частицы через щель / (рис. 3 1), должен быть достаточно мал в
направлении х, чтобы частицы, идущие через щель //, не регистрировались им, напри-
мер, его размеры Axj < all. Но сам детектор подчиняется соотношению неопределен-
ностей, Д/у Й/Д xj й 2Ла, а значит, детектируемый импульс отдачи должен быть не
слишком мал: Дд > Д/у, т. е. импульс частицы при взаимодействии с детектором меня-
ется на Др > 2h/a. После этого волна проходит до экрана расстояние больше а/2, а ис-
кажение фазы у? = ка на этом пути достигает Ду? > txk а/2 = (Д/Уй) all й 1 рад, что
полностью разрушает интерференцию.)
Во всех физических ситуациях, когда речь идет о траекториях час-
тиц (см. задачу 3-1), фактически подразумеваются волновые пакеты,
размеры которых малы по сравнению с характерными размерами опы-
та. В отличие от (3.9) общий волновой пакет — это группа волн с раз-
личными (хотя и близкими) величинами волнового вектора к, а значит,
и частоты
ш = ш (к) ~ ш0 + (* - к0) [ -) + ... . (3.17)
\dklo
Здесь д?0 = а) (ко)', ко — волновой вектор центра пакета, который опи-
сывается распределением амплитуд А(к) в интервале волновых векто-
ров, где применимо разложение (3.17):
Ф(х, /) = f dk А(к) е' (3.18)
С помощью (3.17) найдем
Ч^х, t)
cfa?|
dk)o
е' (*ох е»оО J dk d(k) exp i(k — ко) x — I ~
(3.18’)
т e волновая функция пакета есть плоская волна, отвечающая центру
пакета (£0, „амплитуда" которой зависит от координат и времени
2 За«м 3010
34
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
лишь через комбинацию х — (d(jjldk)^t. Поэтому для всех точек х и мо-
ментов времени t, связанных условием
х ~ I J ( = const> (3 191
\dkJQ >
амплитуда имеет одинаковое значение: пакет движется как одно целое
с групповой скоростью
(3.20)
Считая А(к) слабо меняющейся на ширине пакета и интегрируя (3.18’),
легко убедиться, что максимум амплитуды отвечает выбору в (3.19)
const = 0. Из (3.18') видно, что этот максимум можно найти, приравни-
вая нулю производную dp/dk фазы р — (к — кф) [х — (dw/dk^t] подын-
тегрального выражения. При этом условии стационарной фазы сосед-
ние по к компоненты волнового пакета складываются („конструктив-
ная интерференция'4), что и приводит к максимальной амплитуде.
Если пакет движется свободно, т. е. закон дисперсии (зависимость
частоты от волнового вектора) имеет вид (3.5), то групповая скорость
d J hk2\ _ кк0 _ pq
.dk \ 2т к Лр _ * т т
(3-21)
пакет как целое движется с классической скоростью. Ясно, что если на
частицу не действуют слишком резко меняющиеся поля, то на каждом
небольшом (по сравнению с неоднородностями потенциала) участке ее
движение можно считать почти свободным и применять результат
(3.21). Сама величина р0 будет согласно (1.30) плавно меняться вслед-
ствие действия поля. Тогда мы получаем квазиклассическое движение
пакета по траектории.
Отметим, что рассмотренный волновой пакет в силу дисперсии об-
ладает энергетическим разбросом
Д Е = Д [—] = — Др = и, Др, (3.22)
\2т) т
а из-за конечной протяженности в пространстве время прохождения
этого пакета также конечно:
Д/=
Ах _ шАх
fr Р0
Из (3.22) и (3.23) имеем
Д Е • Дг = Д х • Др S: Й
(3.23)
(3.24)
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
35
называемое „соотношение неопределенностей" энергия - вре-
" которое мы фактически уже видели в лекции 2. Это соотношение
мя’ еделенностей на самом деле имеет более глубокий смысл, свя-
Не°ный с детальным анализом квантовых измерений [32в, § 44].
ЗЭН В приближении (3.18) пакет движется как целое по законам класси-
ческой механики. Однако если зависимость а> (к) нелинейна, как в (3.5),
о скорости разных компонент пакета различны (в (3.17) есть следую-
щие члены разложения). Разные гармоники пакета пройдут за время t
азличные расстояния, т. е. пакет будет расплываться со временем. При
неопределенности импульса Др расстройка скоростей для квадратично-
го закона дисперсии (3.5) Др ~ tsptm и расплывание за время t составит
t До ~ 1 ~ ~ ~ Итак, размер пакета растет приблизительно по
/л /71 А X
закону
(Дх), ~(Дх)0 + А-^-.
/я (А х)0
(3.25)
В обычных условиях эксперимента чисто квантовый эффект рас-
плывания мал и отстает от движения по траектории.
Задача 3-7. Оценить расплывание протонного пучка радиусом 0,1 мм с энергией
1 ГэВ на пути в 10 м от ускорителя до счетчика.
Задача 3-8. Получить результат (3.25) непосредственным вычислением интег-
рала (3.18). (Учесть следующий член разложения (3.17').)
Задача 3-9. Показать, что для релятивистского волнового пакета расплывание
в направлении, поперечном к скорости, больше продольного в отношении
У =
Не следует думать, что соотношение неопределенностей имеет в
основном негативную ценность, ограничивая применимость класси-
ческих понятий к микромиру. Рассмотрим простейшие примеры его
использования для получения новых физических результатов.
1- Энергия связанного состояния. Пусть квантовая система нахо-
дится в связанном состоянии (на классическом языке — совершает фи-
нитное движение), причем ее размеры а (область, где волновая функ-
ция заметно отлична от нуля) известны из опыта. Тогда неопределен-
ность импульса системы Др ~ kJ а. Основное состояние отвечает ми-
нимальному импульсу системы р ~ &р. Поскольку величины кинети-
ческой и потенциальной энергий имеют одинаковый порядок (теорема
ВиРиала [32а, § 10], квантовый аналог которой мы дальше докажем), то
полная энергия
Е ~ ~ ~ (3.26)
2т та2
36
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(если уровень отсчета выбран так, что потенциальная энергия обращу
ется в нуль на бесконечности, то в (3.26) надо писать \Е | = — Е).
Оценка (3.26) дает для электрона в атоме (а ~ 10“ 8 см) Еат ~ ЮэВ
(при переходах между атомными уровнями с разницей энергий такого
порядка излучаются электромагнитные волны в ультрафиолетовой и
оптической областях); для протона или нейтрона в атомном ядре
(а ~ 10-13-10“12 см, М ~ 2 • ICPwO Ея ~ 1 МэВ (в ядерных переходах
излучаются у-кванты). Для конкретных систем возможны более точ-
ные оценки.
Задача 3-10. С помощью соотношения неопределенностей оценить размеры и
энергию связи основного состояния водородоподобного атома; сравнить результаты с
моделью Бора (1.13)-(1.14).
2. Классификация возбуждений молекулы. Обычные (неполимер-
ные) молекулы представляют собой связанные состояния двух или боль-
шего числа атомов с линейными размерами а порядка долей нанометра.
Химическая связь в молекуле осуществляется „коллективизированны-
ми" электронами, орбиты которых принадлежат сразу нескольким яд-
рам. Ядра значительно тяжелее электронов: Mini ~ 103 -104. Поэтому
в молекуле естественно выделяются две подсистемы, совершающие
медленные (ядерные) и быстрые (электронные) движения.
Тяжелые ядра в основном находятся вблизи своего положения рав-
новесия. Равновесная конфигурация ядер определяется компромиссом
между притяжением, создаваемым облаком валентных электронов, и
собственным кулоновским отталкиванием. Изменения состояния
электронов (электронные возбуждения') происходят быстро, поэтому
ядра не успевают изменить своего положения. Ядерные движения
можно подразделить на поступательное перемещение (которое всегда
квазиклассично и не представляет интереса), колебания ядер относи-
тельно положения равновесия и вращение равновесной конфигурации.
Поскольку за время ядерных движений электронная волновая
функция, обладающая большой частотой Eelh, успеет „приспособить-
ся" к изменению конфигурации ядер, удобным оказывается адиабати-
ческий подход, когда в первом приближении рассматривают движение
электронов при фиксированном (хотя, быть может, и неравновесном)
расположении ядер. Тогда мы возвращаемся к примеру 1, так что (3.26)
сразу дает оценку характерной энергии электронных возбуждении
в молекуле (переход с орбиты на орбиту)
Е ~ —
та
(излучение при таких переходах принадлежит ультрафиолетовой иД*1
видимой областям спектра).
(3-27)
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
37
Энергию колебательных (вибрационных) возбуждений молекулы
м через частоту соответствующего осциллятора с массой М (по-
°це Ядерной) и упругостью &С. Для оценки величины гРГ экстра-
РЯДКоуем колебание до больших амплитуд, эквивалентных а. При этом
П овая функция электронов существенно исказится, т. е. энергия
возбуждения е%а2 ~ Ее или ёТГ ~ Ее/а2 ~ Й2 /(та4). Отсюда получа-
ем, что энергия колебаний
Ev = Й (D
й2
(3.28)
е
примерно в 102 раз меньше Ее (соответствующие переходы — в ближ-
ней инфракрасной области).
Наконец, для оценки энергии вращательных (ротационных) воз-
буждений воспользуемся классическим выражением энергии враще-
ния Er ~ L2IJ через момент вращения L и момент инерции J — Маг.
Поскольку момент импульса квантован (L = пЕ), находим для п ~ 1:
Er ~ ~ Т, Ее ~ Я Ev, (3.29)
Ma М \М
т. е. еще в 102 раз меньше (далекая инфракрасная область).
Мы получили своего рода иерархию возбуждений (по убывающим
степеням малого параметра адиабатичности у/т / М)\ вращение, коле-
бания, электронные возбуждения. Такая же последовательность имеет
место и в атомном ядре (там место электронных возбуждений занима-
ют нуклонные — изменения состояния одного протона или нейтрона;
кроме того, в ядре нет такого малого параметра адиабатичности, так
что возбуждения разных типов не столь резко разделяются). Вообще,
типичной ситуацией в системах многих тел является существование
высоколежащих одночастичных возбуждений и низколежащих коллек-
тивных.
3. Наблюдаемость электромагнитных потенциалов. В классичес-
кой электродинамике потенциалы <р, электромагнитного поля явля-
ются вспомогательными понятиями — в опытах измеряются лишь
напряженности полей % , (именно так интерпретируется калибро-
вочная инвариантность [326, § 18] уравнений электромагнетизма),
казывается, существуют специфические, экспериментально наблю-
эЛНт1Ые квантовые эффекты, зависящие именно от потенциалов. Эти
Ффекты связаны с фазой волновых функций.
В качестве примера рассмотрим волновой пакет с зарядом е, испы-
ЦиГЩИЙ диФРакЧию на ДВУХ щелях (рис. 3.2). Пусть угол дифрак-
> °Пределяемый шириной щелей, мал. Поставим за щелями две ме-
38
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рис. 3.2
таллические трубки Т\,Ттс длиной, больщ^
протяженности дифрагирующего волнового
_ пакета, но много меньшей того расстояния
s на котором сходятся пучки, прошедшие чер^
£ разные щели. Есть интервал времени Аг, Ког_
да пакет целиком находится внутри трубок
(конечно, „одновременно внутри обеих11
это необходимо для наблюдения иптерфе.
ренции).
На некоторое время г (в интервале Д/)
к одной из трубок (Т\) прикладывается по-
тенциал <р (процесс включения и выключе-
ния можно проводить достаточно медленно).
До и после отрезка времени т всюду <р = 0, так что частицы проходят
только через пространство, где нет никакого поля. Единственным эф-
фектом включения <р будет увеличение энергии каждой монохрома-
тической составляющей в трубке Т\ на величину &р, т. е. частоты на ер/
Й Поэтому за время т волновая функция пакета в Т\ приобретет
добавочную по сравнению с пакетом в Тг фазу еу>т/Й. В результате ин-
терференционная картина на экране получит наблюдаемый сдвиг (если
только e<prlti не кратно 2.т), которым можно управлять, меняя <рт.
Итак, заряженные частицы из-за своих волновых свойств чувству-
ют изменение потенциала, хотя никакое реальное поле на них не
действовало. Более того, этот эффект необходим для того, чтобы было
справедливо соотношение неопределенностей — иначе можно было
бы, сохранив интерференционную картину, установить, через какую
именно щель прошла волна.
Задача 3-11. Используем для определения траектории частицы в опыте на рисун-
ке 3.2 пробный заряд е', который фиксирован точно посередине конденсатора (х = 1/2)
и поэтому не создает разности потенциалов между трубками 7’|, 7". В течение интер-
вала г. когда пакет заведомо находится внутри трубок, заряду е' позволяют свободно
двигаться. Тогда, казалось бы, ио направлению его ускорения можно заключить, в ка-
кой трубке двигался пакет. Показать, что такой эксперимент ратрушит интерфе-
ренцию.
Решение. Проходящая волна создает на конденсаторе разность потенциалов
tp ~ е /С, где С — полная емкость конденсатора и трубок, а знак ip определяется тем.
через какую щель прошла частица. В конденсаторе возникает поле с — е /(/Q, т е‘
пробная частица приобретает импульс р ~ Рт ~ ё'6 т — еётЩС). Для измерения это-
го импульса его неопределенностей должна быть мала, Др < сё т/(1С). Однако тогда
по соотношению неопределенности положение частицы ё также не определено.
Д.т > —----h/C^ q другой стороны, смещение заряда от середины конденсатора л8
Др еёт
ё А т ё ti/C
Дх создает па его обкладках разность потенциалов Др------------>-----------
С I С1 еёт &
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
39
в силу приведенных выше рассуждений, у волны возникает дополни-
А пр“ ?тнерПреДСлепный фазовый сдвиг порядка еДрт/ Й > (ет/ й)(й/(ет)) = 1 рад, т. е.
^ргина интерференции совершенно размывается.
Аналогичные явления существуют и для векторного потенциала
/см лекцию 18). Таким образом, потенциалы являются наблюдае-
мой если разные части волнового пакета приобретают различные
Ф3 4 Ширина уровней. Согласно общей концепции волн де Бройля,
стационарному состоянию системы с энергией Е отвечает волновой
пооцесс с частотой cd = E/h. Если зависимость волновой функции Ф(/)
от времени не является чисто гармонической, то Ф(/) описывает неста-
ционарный пакет без определенной энергии. Аналогично импульсной
волновой функции <р(к) (3.12'), временное фурье-преобразование (2.2)
приводит к функции <рш, которую следует интерпретировать как ампли-
туду вероятности обнаружения у нестационарного пакета значения
энергии Е = tiw.
Рассмотрим возбужденные состояния квантовых систем. Опыт по-
казывает, что все они нестационарны и с течением времени переходят
в менее возбужденные состояния, а затем — в основное состояние
(только тогда система строго стационарна и живет бесконечно долго).
Механизм такого перехода может быть различным. Важно, однако, что
даже отдельный атом обладает конечным временем жизни в возбуж-
денных состояниях, так как его нельзя изолировать от поля излучения,
взаимодействие с которым и вызывает испускание атомом реального
фотона и переход в нижележащее состояние.
Многочисленные эксперименты (электромагнитное излучение
ядер, атомов и молекул, радиоактивный распад ядер и т. д.) свиде-
тельствуют, что с хорошей точностью распад можно считать экспонен-
циальным, т. е. число N возбужденных объектов уменьшается со вре-
менем по закону
МО = МО) е" (3.30)
причем у не зависит от первоначального числа МО) атомов. Временем
жизни можно назвать время
т = 1, (3.31)
У
За КОторое число N уменьшается в е раз.
Длительность возбужденного состояния атома можно грубо оце-
™ть> рассматривая электрон в атоме как классический осциллятор.
ОгДа его радиационное затухание [326, § 75]
У ~ ~ CD -1 = Щ ,
тс3 тс2 А А
(3.32)
40
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
где
л
Го = — = 2,82 • 10-13 см (з з3,
тс J
классический радиус электрона', для видимого света затухание ца.
ло, у ~ 107со, время жизни т велико по сравнению с периодом собст-
венных колебаний аГ1 (высокая „добротность" осциллятора).
Согласно (3.30) yN дает число переходов в единицу времени
(dN/dt — — yN), т. е. у можно интерпретировать как вероятность рас.
пада атома в 1 с. Значит, для каждого атома вероятность P(t) остаться
в возбужденном состоянии с энергией Ео убывает пропорционально
е~У, а его волновая функция должна иметь вид (считая Р(0) = 1)
Ф(0 ~ exp j Eot - /j ,
, (3-34)
P(t) = |Ф(Г)|2 ~е-У‘, t > 0.
В силу (3.34) временная зависимость волновой функции возбужден-
ного состояния отличается от гармонической. Поэтому мы должны
заключить, что возбужденное состояние не имеет строго определенной
энергии. • .
Легко видеть, что (3.34) можно записать в виде фурье-разложения
exp |— - Eot — — л = — f do)----------—-----, t > 0 (3.35)
\ й 2 / 2я у 1
00 а> — + i -
ft 2
(при t > 0 интеграл сразу вычисляется, если замкнуть контур в нижней
полуплоскости комплексной переменной во). Согласно нашему вероят-
ностному истолкованию вероятность w (to) dco обнаружить у системы
энергию Е = Pico в интервале частот от со до со + dco определяется квад-
ратом модуля фурье-компоненты (3.35) с частотой со:
w (со) dco =----------------у dco,
или, переходя к энергиям, вводя Г = try и нормируя w(£) так, чтобы
f dE vv (Е) =1,
w (Е) dE = — --------—-------у . (3.36)
271 (Е - £0)2 + '
4
Вероятность w(E) (3.36) изображается лоренцевой кривой (рис. 3-3)>
похожей на резонансную кривую классического осциллятора с собе?"
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
41
Й частотой Е0/й и затуханием Г [32а,
ВС?бТ которое равно ширине кривой на ее
§ 2 .оте и часто называется шириной
П°ЛУ я Величина Г может служить мерой
?нтервала энергий Е (вблизи резонансного
значения £о), в котором вероятность обна-
жить систему заметно отлична от нуля.
Р} Итак, возбужденное состояние являет-
ся лишь квазистационарным, причем вре-
мя жизни т, согласно (3.31), связано с ши-
риной:
"(Е)
Е„-1/2Г Еп ЕпН/2Г Е
Рис. 3.3
Г = й У = -
т
(3.37)
При т -* 00 кривая w (£) сужается (Г -» 0) и вытягивается вверх (см.
рис. 3.3) при неизменной общей площади, равной единице, так что
w (£) - д (Е - £0), (3.38)
и мы получаем стационарное состояние с определенной энергией Eq.
По самому смыслу Г характеризует неопределенность энергии распа-
дающейся системы, тогда (3.37) есть не что иное как известное уже
соотношение неопределенности энергия — время (3.24) Этот результат
имеет общий характер и не зависит от точного выполнения экспонен-
циального закона (3.30), приводящего к лоренцевой кривой (3.36).
Реально при переходе из начального состояния I в конечное f мож-
но наблюдать, например, фотоны с частотой at,/ = (£( — Ef)!h. Тогда
в силу неопределенности энергии уровня i фотоны будут иметь раз-
брос по частотам в пределах Г,/Й. Если и конечное состояние /квази-
стационарно, то наблюдаемая ширина спектральной линии будет опре-
деляться суммой Г — Г, -Г Г/ •
В эксперименте ширина линии обычно превышает естественную
ширину линии Г. Тепловое движение атомов со скоростями ит приво-
дит к доплеровскому уширению Гд ~ — ha>. Существенно уширяются
с
линии и из-за столкновений атомов, так как при пролете внешней час-
тицы вблизи излучающего атома состояние последнего возмущается,
ио энергия меняется со временем, т. е. монохроматичность колебаний
нарушается. Соответствующая ширина здесь Гст 1Д^ ^ст
среднее время между столкновениями. Форма линии может при этом
сильно отличаться от лоренцевой.
Ширина линии зависит и от способа возбуждения системы. Воз-
но возбуждение при поглощении внешней электромагнитной вол-
42
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ЕП'
Возбужден^
состояние
Гт„вг,
Основное
Источник Поглотитель состояние
Рис. 3.4
и ^отд
Е —
Е-Ео,^
ны той же частоты (резонансная флу-
оресценция). Если падающая волна
имеет широкий частотный спектр
(Д Е »Г), то возбуждаются все ком-
поненты возбужденного состояния
и ширина линии излучения будет
совпадать с естественной (радиаци-
онной) Г. Если же в падающей вол-
не энергетический разброс Д Е <<Г
то и возбуждаются лишь соответствующие компоненты, так что форма
линии излучения повторяет спектр падающей волны, т. е. имеет шири-
ну меньше естественной. Возбуждение при столкновениях обычно но-
сит такой же характер, как и при возбуждении со сплошным спектром.
В ядрах аналог резонансной флуоресценции наблюдать затрудни-
тельно из-за отдачи (рис. 3.4).
Энергия Е возбуждения ядра-источника при излучении переходит
помимо энергии фотона Йсоист в энергию отдачи Е^д- Импульс отдачи
р = 1i со11СТ/с, поэтому
Е = Eq + Йсоист + Eq-гд, Еотд = _ ., ~ . 2 (3.39)
2 М 2 Мег
Для средних ядер с атомной массой А ~ 50 при энергии возбуждения
Е — Ео ~ 1 МэВ энергия отдачи (3.39) составляет около 10 эВ. Ана-
логично ядро-поглотитель требует энергии кванта, превышающей
Е — Ео на энергию £отд (поглотитель воспринимает импульс кванта).
Поэтому возникает рассогласование
Д Е 7/(Дпогл ^^нст 2Е*0Тд.
Для возбужденных состояний ядра, имеющих время жизни т ~ 10"13 с,
радиационная ширина (3.37) Г — 10“ 2 эВ « Ета, т. е. Д£ выводит
далеко за пределы ширины резонанса. Не всегда спасает даже допле-
ровское уширение, так как при комнатной температуре Т (и тех же
параметрах ядра)
Гд ~ — tla> ~ J-—' tvu> ~ 10~5Йсо ~ 10 эВ.
Д с \мЗ
Поэтому резонанс может наблюдаться лишь при высоких температурах
или для уровней с малым временем жизни.
Лишь в 1958 г. был обнаружен эффект Мёссбауэра', если ядра
сильно связаны в кристаллической решетке, можно наблюдать испус-
кание и поглощение без отдачи (существует заметная вероятность пр0'
цесса, когда импульс отдачи берет решетка как целое). Благодаря это-
му эффекту можно наблюдать очень резкие спектральные линии. Вво-
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
43
малые относительные скорости (порядка 1 мм/с) источника и погло-
•дЯ можно менять рассогласование и исследовать форму линии.
оЖгйект Мёссбауэра дает экспериментатору инструмент, чрезвычайно
^ргвительный к очень малым относительным сдвигам уровней в ис-
Ч^чнике и поглотителе, например, вызванным различием в химическом
составе окружения или слабыми внешними полями (магнитным или
паже гравитационным).
5. Виртуальные частицы. Согласно соотношению неопределеннос-
тей энергия - время, для точного определения энергии системы необ-
ходим процесс бесконечной длительности. Однако иногда удобнее при-
ближенно представить развитие системы с помощью разделения на про-
межуточные процессы конечной длительности. Рассматривая резонанс-
ную флуоресценцию (см. п. 4), мы говорим о фотоне, излученном одним
атомом и поглощенном другим, как о вполне реальной частице с энер-
гией Е = hoi и импульсом р = Etc. Однако, если промежуток времени Д/
между актами излучения и поглощения уменьшать, то понятие фотона
с определенной энергией потеряет смысл в силу соотношения неопре-
деленностей. В таком приближенном описании граница между реальной
частицей с фиксированной энергией и вспомогательным образованием,
„не успевающим" приобрести черты частицы, становится условной и
разница между ними носит только количественный характер.
Для таких ситуаций говорят о виртуальных процессах или вирту-
альных состояниях системы (если, как в рассмотренном примере, появ-
ляется новая „частица", ее тоже называют виртуальной). Такой подход
значительно облегчает описание очень сложных состояний (в нашем
случае — системы двух атомов и электромагнитного поля). Ясно, что
при виртуальных переходах энергия не сохраняется (т. е. условное со-
стояние, с помощью которого описывается система, имеет энергию, не
совпадающую с энергией истинного исходного состояния). Но законы
сохранения импульса, момента, заряда и др. выполняются. Можно и не-
сколько иначе описывать виртуальные частицы — считать, что при каж-
дом виртуальном переходе энергия сохраняется, но энергия и импульс
не связаны соотношением (1.2), т. е. масса виртуальной частицы произ-
вольна. Так обычно поступают в релятивистской квантовой теории.
Задача 3-12. Считая, что ядерные силы между двумя нуклонами возникают нз-за
а виртуальной частицей — мезоном, оценить массу мезона.
Решение. Известно, что радиус действия ядерных сил г0 ~ 10 см. Чтобы
времяЬ ДПа ,1укЛ011а’ виртуальный мезон должен успеть пройти это расстояние за
С11ст Жиз1Н1,т. е. if) < с т. При рождении мезона массой т неопределенность энергии
%~Сг~А (3.40)
тс
44
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
— обмен квантами массы т связывает частицы на расстоянии комптоновской дли^
й/(/ис) этого кванта. Для фотона т = 0, что отвечает дальнодействующему характеп
кулоновского поля. В случае ядерных сил согласно уравнению (3.40) т ~ 200л/
Именно так было предсказано существование л-мезонов („пионов") как переносчиков
ядерных сил (Юкава, 1935). В строгом рассмотрении мы имели бы систему взаимо.
действующих нуклонов и мезонного поля, которая в стационарном состоянии обладает
определенной энергией.
Движение частицы при наличии по-
тенциального барьера (рис. 3.5) можно
Рис. 3.5
пояснить, используя понятие виртуаль-
ных состояний. Пусть частица имеет
энергию Е < U„ах- Классическое дви-
жение в подбарьерной области а < х <
< b невозможно. Однако возможны
квантовые виртуальные состояния, при
которых частица попадает в эту область
на короткое время Д/. Такому состоя-
нию отвечает флуктуация энергии
ДЕ ~ ti/kt. При малых Д/ „мгновен-
ная" энергия частицы может превысить высоту барьера, так что за это
время частица может преодолеть („перескочить") часть запрещенной
области.
Задача 3-13. Оценить
барьера.
Решение. Перемножая
вероятность и’ прохождения частицей потенциального
вероятности прохождения малых участков и переходя
к пределу, можно получить
w — ехр
b
~ J IP W I dx
Т1 J
(3 41)
где р (х) = ^2/п [£ — С7(х)] — классический импульс частицы.
Еще раз подчеркнем, что при точном решении уравнения Шредин-
гера нет надобности в понятии виртуального состояния; полная волно-
вая функция дает всю информацию о системе, позволяя, в частности,
найти и коэффициент прохождения (3.41) вместе с предэкспоненциаль-
ным фактором.
6. Пространственное квантование. Опыт показывает (см. ДеК'
цию 1), что момент импульса L частицы квантован, так что его величи-
на есть целое (для спина может быть полуцелым), кратное Й. Выделяя
(как в опыте Штерна - Герлаха) произвольное направление z в прост
ранстве и измеряя проекцию L-, можно получить лишь 2/ + 1 значение
проекции от — /Й до + /Й. Поскольку максимальная проекция момеН
Лекция 3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
45
/й естественно было бы считать, что длина вектора момента
равна
= /й Однако это привело бы к явному противоречию.
Jl-b I
Действительно, пусть в анализируемом пучке частиц нет никакого
уделенного направления. Тогда, прикладывая штерн-герлаховские по-
ВЬ с разными ориентациями, мы с одинаковой вероятностью получим
любые допустимые значения проекции момента. Среднее значение
квадрата момента £2 по большому числу измерений в силу изотропии
равно (из (1-23))
г2 = /2 + £2 + £2 = 3I2 = ЗЙ2ш2 = ——— V т2 - —— V щ2.
Вычисляя сумму квадратов целых чисел, находим
6Й2 /(/ + 1Х2/ + 1)
I? =
21 + 1 6
= Й2/(/ + 1).
Таким образом, среднее значение длины век-
тора момента равно d и всегда больше мак-
симальной проекции этого вектора на любое
направление (рис. 3.6).
Полученный странный результат следует
интерпретировать в духе соотношения не-
определенностей. Если бы существовало со-
стояние с одновременно точно заданными
длиной вектора L и его направлением, то вы-
бирая это направление за ось квантования,
мы, конечно, получили бы проекцию, равную
(3.42)
Рис. 3.6
максимальному значению и совпадающую
с л/£2, На самом деле такого состояния не су-
ществует. Поэтому при фиксированном значении £2 = Й2/ (/ + 1) нель-
зя точно определить направление L в пространстве. Хотя проекция £z
может иметь вполне определенное значение /нй, проекции Lx и £у
в Этом состоянии оказываются полностью неопределенными (а с ни-
ми и азимутальный угол <р). Классической аналогией этого является
прецессия вектора момента вокруг оси z (Lz = const, ® = const, Д. и Ly
не определены, а их средние значения Lx = Ly = 0, £2 = £2, = - [£2 —
- %] > 0).
и Здесь мы имеем новую пару дополнительных переменных: угол <£
проекцию момента Lz, которые не могут одновременно иметь опре-
нных значений. Так как ip и Lz в классической механике могут
46
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
играть роль обобщенной координаты и сопряженного ей обобщенного
импульса, то в духе (3.16) можно сформулировать гипотезу о том, что
для любых обобщенных координат и импульсов классической
механики справедливо соотношение неопределенностей вида
&Яа &Ра ~ й- (3.43)
При этом координаты могут меняться как в бесконечных пределах Д)
так и в конечных (<р\
Если формально устремить квант действия h к нулю, то квантовые
эффекты исчезают. Расплывание пакетов (3.25) прекращается, соотно-
шение неопределенностей (3.43) не накладывает больше ограничений
на одновременную измеримость величин. Для момента предельный
переход к классической механике происходит сложнее: нужно перейти
к большим значениям момента (/ -» °о), тогда исчезает прецессия
(Ji? -> й/ = (Тг)тах), а затем положить h -» 0, так чтобы hl оставалось
конечным. Электронов с макроскопическим значением спина не су-
ществует, поэтому вектор спина (1.24) ж = h/2, имеющий длину
= Jh2 - I- + 11 = h2, исчезает в классическом пределе.
V 2 \2 / V4
Мы видим, что вся квантовая теория базируется на существовании
дополнительных величин и дополнительных классов экспериментов.
Это как бы проекции микрообъекта на различные физические ситуа-
ции (в каком-то смысле аналогично различным системам отсчета в те-
ории относительности). Так происходит познание природы с точки
зрения принципа дополнительности Н. Бора (1928), имеющего более
глубокое, философское значение. Фактически соотношение неопреде-
ленностей — это количественное выражение принципа дополнитель-
ности в квантовой физике.
Литература: [10; 21; 326, § 58; 34; 39, гл. 1; 46; 47; 54].
Лекция 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Согласно основному квантовому постулату волновая функция Ф
определяет вероятности всех возможных экспериментов над системой.
Простейший результат эксперимента — среднее значение физической
величины.
Пусть, например, ставится опыт по измерению координаты час-
тицы. При многократном повторении опыта в тождественных условиях
каждое значение х„ будет встречаться с вероятностью w„ ~ | ф(х„) |2.
Тогда среднее значение координаты (математическое ожидание)
(х) = У xnw„ $ dx х\ Ф(х) |2 (4.1)
И
или для трехмерной задачи
(r)= f dr г |Ф(г) I2.
(4-Г)
Если волновая функция Ф(г) не нормирована на единицу, как в (3.2),
то (4.1') следует заменить выражением
IW)!2
JrfrlW)!2
(4.1")
Аналогично среднее значение любой функции координат F(r)
(F)= J dr F(r) | ф(г) |2. (4.2)
Координатная волновая функция Ф(г) позволяет предсказать веро-
ости и импульсно-энергетических экспериментов. Действительно,
Рье-преобразование (3.12) дает амплитуду вероятности <р(к) в им-
соГНОМ пРедСтавлении- Тогда среднее значение импульса в том же
т°янии, аналогично (4.1), равно
(р) = f dk h к |2. (4.3)
48
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
С помощью (3.12)—(3.12') и (4.3) легко выразить (р) через коордцНат,
ную волновую функцию:
<Р> = f 77377 А f df =
(2л )
= ih f ф(7) Ve~'к7 = (<4)
(2л)
= Ш f <р*(к) f dr e~iif УФ(г) = - ih f dr Ф’(г) УФ(г).
(2л)5'-
(При интегрировании по частям предполагалась квадратичная интег-
рируемость Ф(г), в силу которой Ф|г-» оо -* 0)- Напомним (лекция I),
что реально никогда не существует пакетов бесконечной протяжен-
ности; плоская волна есть математическая идеализация.
Таким образом, мы имеем два эквивалентных выражения для сред-
него значения импульса — (4.3) и (4.4), которые можно записать еди-
нообразным способом
(р) = J dk <р*(к) П к <р(к) = f dr Ф*(г) (—zftV) Ф(г). (4.5)
Удобно ввести понятие оператора Q, соответствующего динамической
переменной Q, так чтобы среднее значение этой переменной в состоя-
нии с волновой функцией ф выражалось в виде
<0 = f dr Ф^Ф, (4-6)
где оператор Q и элемент объема di отвечают тому же представлению,
что и волновая функция Ф. Преобразование операторов Q от одного
представления к другому определяется требованием совпадения физи-
чески наблюдаемых величин (Q) во всех представлениях.
Из уравнения (4.5) заключаем, что оператор импульса р в импульс-
ном (собственном) представлении есть просто оператор умножения на
(с-числовой, неоператорный) вектор р = Пк, а в координатном сводит-
ся к оператору дифференцирования (ср. с (1.35)):
~ Пк — импульсное представление,
V — /ЙУ — координатное представление.
Задача 4-1. Найти операторы координаты г, кинетической энергии К, момеИ1*
импульса £ = [г X р] в координатном и импульсном представлениях.
Задача 4-2. Вычислить среднее значение импульса для произвольного ограЧ
ченного волнового пакета вида Ф(г) = е'^г/1(г), где А(г)— вещественная амплитУ®8,
|<Р> = I-
Лекция 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
49
х пор мы рассматривали средние значения, относящиеся
^ированному моменту времени. Задача квантовой динамики —
к ^ИК азать их изменение со временем. Эволюция системы управляется
ПР^нением Шредингера, которое для одной частицы имеет вид (1-34)
ih = _ у2ф(7, г) + U(r, t) Ф(г, 0-
dt 2т
Длотность вероятности нахождения частицы в окрестности дан-
ной точки
р(г,0=|Ф(г,/)|2. (4.8)
Изменение p(f, f) со временем в силу уравнения Шредингера равно
_ ф* ф _ А (ф*(\72ф) — (\72Ф*) Ф} =
dt dt dt 2т (4.9)
= — V {Ф*(УФ) - (УФ*) Ф} = - dw j,
2т
где введен вещественный вектор
j = — {Ф*(УФ) - (УФ*) Ф}.
2т i
(4.Ю)
Уравнение (4.9) приобретает теперь вид уравнения непрерывности
dw j + — = 0,
dt
(4.11)
выражающего закон сохранения плотности вероятности. Поэтому век-
Т0РУ j (4.10) естественно приписать смысл плотности потока веро-
ятности.
Дифференциальный закон сохранения (4.11) можно преобразовать
к интегральной форме, связывая изменение вероятности нахождения
частицы внутри конечного объема V с потоком через поверхность
объема:
f f dr | Ф |2 = - J dr dw j = - ф dSj.
dt v У
(4.12) следует, что для нормируемых (квадратично интегрируемых)
волновых функций интеграл по всему пространству не зависит от вре-
мени:
~ рг|Ф|2 = 0,
™ Г-»оо
Мент^еСПеЧИВает сохРанение нормировки, выбранной в начальный мо-
(4.12)
(4.12')
50
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Иногда полезным бывает представление комплексной волнОВо>.
функции через две вещественных функции (модуль и фазу):
/— £ £
ф = у!Р (4.13)
Тогда плотность потока (4.10) выражается только через градиент фазы-
j = - VS. (4.14)
В частности, для волнового пакета (задача 4-2) р = A2, S = рг, так
что j = р — = pv, т. е. имеет вид обычного вектора плотности тока
777
в гидродинамике. В общем случае вектор у можно записать с по-
мощью оператора р в координатном представлении (4.7):
j = Re Ф И . (4.15)
I У™ ZJ
Отметим, что плотность вероятности (4.8) можно понимать как
среднее значение оператора плотности, имеющего вид в координатном
представлении (здесь г\ — переменная координата, а г играет роль
внешнего параметра: это точка, в которой измеряется плотность веро-
ятности)
р(г) = д (г - /•),
(4.16)
(р (г)) = f dr, Ф*(л) р (г) Ф(г) = Ф*(г) Ф(г).
(4.16')
Представление (4.16) удобно для обобщения на случай многих частиц.
В системе N частиц введем волновую функцию Ф(^,..., ), опреде-
лив ее так, что квадрат модуля | Ф(Я, - - •, Гу) |2 Дает плотность вероят-
ности найти первую частицу в окрестности г}, вторую — в окрестнос-
ти г2 и т. д. Среднее значение любой функции F(r„гпонимается
теперь в смысле интегрирования по всем переменным (ср. с (4.2)):
N
(П = f П т IW» -, )l2 F(f„ (4.17)
а = 1
Если частицы тождественны, то величина р (г) должна давать плот
ность вероятности нахождения любой частицы вблизи точки г. Лей®
видеть, что соответствующий оператор, обобщающий (4.16), имеет в®1
Р(г)= (4Д8)
а = 1
Лекция 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
51
выражением для плотности заряда в электродинамике). Оператор
(4₽18) формирован на число частиц, J dr р (г) = N.
П я вывода" уравнения Шредингера для системы многих частиц
ользуемся процедурой (1.35), сопоставляя в классическом выра-
сти дяя энергии системы
Е
+ S ^(га - fb) (4-19)
а # b
(где!7(^) — потенциал внешнего поля, a W—энергия взаимодействия
частиц) энергии Е оператор ih ~ , а каждому импульсу — оператор
дифференцирования по координатам соответствующей частицы
Ра = ~
(4-20)
Тогда искомое уравнение Шредингера будет иметь вид
(4-21)
Задача 4-3. Получить уравнение непрерывности для системы N тождественных
частиц (фактически — закон сохранения числа частиц); найти плотность потока j и
соответствующий ей оператор ].
Мы видим, что в системах многих частиц нельзя ввести наглядно-
го представления о волнах де Бройля, распространяющихся в реаль-
ном пространстве. Волновые процессы разыгрываются теперь в 3N-
ыерном конфигурационном пространстве.
Перейдем к нахождению временной зависимости средних значе-
нии динамических переменных. Мы будем рассматривать более общие
величины — матричные элементы оператора Q, которые также выра-
*аются интегралами типа (4.6), но где функции Ф’ и Ф могут не сов-
падать. Рассмотрим эволюцию матричного элемента
Q^m dr, (4.22)
где Ф и Ш нт
л и ч т — два произвольных решения уравнения Шредингера.
в с ведем оператор Гамильтона Н, соответствующий энергии
Ча д1??516 (4-6), (4-7). В координатном представлении он равен (зада-
52
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Н = К + U = — — V2 + U(r\
2т
Тогда уравнение Шредингера (1.34) приобретает вид
t tZ ITf
th — = Н Ф.
dt
(4.23)
(4-24)
Согласно (1.35) форма (4.24) является универсальной для всех кванто
вых систем (конкретный вид Н определяет специфику системы).
Из (4.22) и (4.24) имеем
4 <"\Q Н =
at
= f dr \ih &№ + ф; ih wm + ф; q ih =
L dt dt dt
= fdr -(H Ф„)* Q фт + Ф„* ih Фга + ф; q (H фт)
о/
(4.25)
С учетом (4.23) преобразуем в (4.25) первый член под интегралом:
1= f dr (Н Ф„)* Q Фт =
, (4.26)
= ~~f dr (?2Ф„*) Q Ф„, + f dr Ф„‘ UQ Фт.
2т
Воспользуемся теоремой Грина для интеграла по любому объему
(и и и — произвольные функции):
J dr (u\2v — uV2u) = f dr dw (uVu — vVu) =
г у (4.27)
= ф dS (uVn — nVu).
Если мы имеем дело лишь с убывающими на бесконечности функция-
ми, то для интеграла по всему пространству
J dr uV2v = f dr v\2u. (4 27')
Применяя (4.27') к (4.26), получим
/ = -£1^Ф; v2(^m)+ fdr ^*UQ^m =
= f dr Ф„’(^ + U)Q^m, (4.28)
f dr (H W„yQWm = fdr
Лекция 4 ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
53
„ твие оператора Н в любом матричном элементе можно пере-
т- е. дСИ[ъ с левой функции („обкладки") на правую — оператор Н яв-
^^эрмитовым. Подставляя (4.28) и (4.25), найдем
ih-{n\Q\m}= ihtn
dt \
dQ
т) + {n\QH - HQ \ т).
Вводя обозначение для коммутатора двух операторов
[Q,R]=QR- RQ, (4-29)
запишем в окончательном виде уравнение движения для матричных
элементов:
п — + 1 [Я, Q] т) .
I dt й /
(430)
d
(4.30')
dt
(4.31)
Из вывода уравнения (4.30) ясно, что оно справедливо для любого
оператора и любой системы, волновая функция которой подчиняется
уравнению Шредингера (4.24) с эрмитовым гамильтонианом. Если
положить в (4.30) т = п, то мы получим закон изменения со временем
средних значений {п | Q | п) = (Q)„:
dt \dt I n Й
Из (4.30) видно, что если оператор Q не зависит явно от времени
(dQ/dt - 0) и коммутирует с гамильтонианом
[И, Q] = 0,
то все его матричные элементы не меняются со временем:
(п | Q | т) = const. (4.32)
Условие (4.31) дает квантовую форму законов сохранения, величина Q
является тогда интегралом движения.
Простейший пример выполнения (4.31) мы получим, выбирая Q
с‘Числом. Соответствующий закон сохранения есть просто постоянст-
Во Полной вероятности (4.12').
Условие (4.31) будет, конечно, выполняться при Q = Н. Таким об-
е^°М’ если гамильтониан Н не зависит явно от времени, то энергия
По и”гсгРал движения, как и в классической механике. Сохранению
ои энергии не мешает то обстоятельство, что две ее составные
кинетическая энергия К (функция импульсов) и потенциаль-
(4.33)
(4.34
(4.34'
54 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ная U (функция координат) не имеют одновременно
значений в силу соотношения неопределенностей.
Задача 4-4. Доказать общие свойства коммутаторов
[С, Я] = — [Я, р]; [Q + R,S] = [Q, S]+ [R, S];
[Q, aR] = a [Q, Я] (a — с-число);
[e«.S] = [2,S]tf+ 0[Я,5]
(соблюдать порядок операторов Q и Я!);
Иб, Я], $]+ [[Я, 5], G1+ [[S, Q], Я] = О
(тождество Якоби).
Задача 4-5. Доказать прямыми вычислениями в координатном и импульсном
представлениях, что коммутатор операторов импульса р и произвольной функции ко-
ординат f(r) равен
[р> 7] = - й (V 7). (4.35
в частности,
[Ра • гр ] = - /Й 6ар\ [%, гр ] = [ра, рр ] -= 0. (4.36)
Задача 4-6. Доказать, что для операторов момента импульса частицы 7 =
= [г X р] а (задача 4-1) коммутаторы равны
[4.^?] =Л£аруГу, [La,Pp] = itieapY ру, 4з7)
[Aa> Lp] = ih £аРу Ly-
(£ару — полностью антисимметричный тензор; а, р, у = 1, 2, 3).
Заметим, что в то время как компоненты векторов г и р коммути-
руют между собой — (4.36), компоненты вектора L неперестановоч-
ны — (4.37). Дальше мы увидим, что именно с этим связана невозмож-
ность одновременного измерения всех компонент L (см. также лек-
цию 3, п. 6).
Пользуясь коммутаторами (задачи 4-5, 4-6), легко получить кванто-
вые уравнения движения (4.30) для конкретных динамических пере"
менных.
Мы видели (формула (3.21) и задача 4-2), что среднее значение
импульса волнового пакета тиг = «гГкласс, хотя форма пакета со време-
нем меняется. Установим закон движения центра пакета:
7<7) = ^{[H,7]) = 4([^ + i7,f]) = {([^,F]). (4-38)
at h h h
Лекция 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
55
1О что г коммутирует с потенциальной энергией U{f), как и
~ функцией координат. Оставшийся коммутатор в (4.38) легко
вьгчисляется с помощью (4.34), (4.36) и дает
Л
т.
(439)
лЮбом состоянии среднее значение координаты меняется со време-
нем классически, хотя для пакета ни г, ни р не имеют определенных
значений.
Аналогично из (4.30) и (4.35) получаем изменение со временем
среднего импульса.
- 0) = 7 <[#, >]> = 7 >1> = - <Vt7) = (F), (4.40)
dt h й
где введен оператор силы F = — V(7 (импульс р коммутирует с кине-
тической энергией К(р), как и с любой функцией импульсов). Из (4.39)
и (4.40) находим „уравнение Ньютона"
W^(F)=(F). (4.41)
at
Результаты (4.39)-(4.41) {теоремы Эренфеста, 1927) показывают,
что квантовые матричные элементы удовлетворяют соотношениям,
формально совпадающим с уравнениями классической динамики. Од-
нако на самом деле найденные уравнения не тождественны ньютонов-
ским. Действительно, согласно (4.41) ускорение центра волнового па-
кета определяется средней действующей силой. Но средняя сила, во-
обще говоря, не совпадает с классической силой, действующей в точке
расположения центра пакета:
(F(r))^F((Z)). (4.42)
Разница левой и правой частей (4.42) зависит от того, сильно ли меня-
ся F{f) на размерах волнового пакета. Учитывая это изменение,
имеем
(Аг)) = (р (<;>) + (; - <f)) • vf ((#)) +
. 1 Л А A a2F(0) \ (4’43)
56
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
При усреднении член с VF в (4.43) исчезает, так что
« F((r)) + ± <(fa - (га)) (гд - <гд»> —. (4.43к
2 г- г дгадгр J
Центр пакета будет двигаться точно по классической траектории
если флуктуации силы в области пакета (второй член (4.43')) малу
(ср. рассуждения после формулы (3.21)). Так как (3.16') размер пакета
не меньше его длины волны X, то условие классичности движения есть
'k1 FIR1« F (где R — характерный размер неоднородности поля), или
/ /А2
R2 »Х2, — »1 (4.44)
\ h /
(большое по сравнению с й изменение классического действия f pdx
на длине неоднородности). Согласно (4.431) свободное движение, дви-
жение в однородном поле (F = const) или в поле упругой силы (гармо-
нический осциллятор с F = — то1 г) всегда классичны в смысле дви-
жения центра пакета:
m^(r)=F((F>). <4-45)
Если (4.44) не выполнено, то квантовые флуктуации весьма сущест-
венны и понятие траектории теряет смысл. Из (4.40) мы видим, что
при свободном движении
(» = 0 (446)
— аналог классического закона сохранения импульса.
Задача 4-7. Доказать квантовый закон сохранения момента импульса для движе-
ния частицы в центрально-симметричном поле U = £7(|г|).
Задача 4-8. Найти квантовый аналог вектора Рунге - Ленца [32а. § 15] (дополни
тельный интеграл движения для кулоновского поля).
Литература: [10; 15; 17; 21; 32в, гл. 2].
Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ КВАНТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим простейшие задачи, допускающие точное решение.
Уже здесь оказывается возможным выявить большое число качествен-
ных эффектов, имеющих место в реальных квантовых системах. Будем
искать стационарные состояния — те, которым отвечают новые про-
цессы де Бройля с определенной частотой <у, с определенной энергией
Е = ha>. В соответствии с этим выделим в общем уравнении Шредин-
гера (4.24) чисто гармоническую временную зависимость волновой
функции (131) (это возможно, если Н явно от времени не зависит)
Ф(?) = ipe~,tut = ipe ь ЕТ (5.1)
Подстановка (5.1) в (4.24) приводит к стационарному уравнению Шре-
дингера
Нхр = Eip (5.2)
или для одной частицы в постоянном поле
- — V2 + U(r)\ ip (г) = Eip (г). (5.3)
2т J
Для стационарного состояния p(f, f) = | Ф |2 = | ip |2 не зависит от t, и
Уравнение непрерывности (4.11) дает
div j = 0. (5.4)
Мы знаем, что многие квантовые системы обладают дискретным
ектром разрешенных энергий Е. Как видно в модели Бора (1.27),
у т°вание энергии возникает вследствие наложения граничных
Поэ ВИИ И °®еспечивает стационарное существование стоячих волн.
nvcn?My В УРавиении (5-3) Е следует рассматривать как параметр, до-
Мес МЬ,е Зиачеиия которого должны получиться из решения (5.3) сов-
Зад с требуемыми граничными условиями. Фактически мы имеем
Ние ф Нй с°бственные значения Е: согласно (5.2) стационарное состоя-
есть собственная функция гамильтониана Н, отвечающая собст-
58
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
венному значению Е. Очевидно, что в состоянии с определенным
чением энергии Е ее среднее значение тоже равно Е:
зна.
{Н) = f dr Ч!'Н Ф = Е f dr Ф‘Ф = Е.
(5.5)
Ограничимся пока одномерными задачами, где потенциал U и В0]]
новая функция ip зависят лишь от одной координаты х, так что урал
нение Шредингера (5.3) принимает вид
ip" + к2(х) гр = 0, к *
где переменный „волновой вектор"
к (х) = Й [£ - t/(x)] .
V h
При этом из (5.4) следует постоянство плотности потока:
Т = °’ J = Jx = const.
dx
(5.7)
(5.4)
Простейшей моделью связанного состояния частицы в атоме, моле-
куле или ядре является прямоугольная яма с бесконечно высокими
стенками (рис. 5.1):
С/(х) =
О, 0 < х < а,
оо, х < 0 и х > а.
Наличие резкого края (разрывность потенциала) является, конечно,
идеализацией — в применении к реальным системам это означает
очень быстрое изменение потенциала на длине волны частицы (R <<: К
случай обратный квазиклассическому (4.44)).
Физически ясно,
прерывной функцией
U(x) j
Рис. 5.J
что плотность вероятности Ф должна быть не-
координат и времени. В данном случае бесконеч-
но большие силы, действующие на границ®
ямы (х = 0 и х = а), запрещают выход части®1
наружу, т. е. вне ямы гр = 0. Тогда требовав®
непрерывности приводит к граничным условиям
гр (0) = 0, гр (а) = 0. (^
Внутри ямы волновой вектор (5.7) постоянен-
о
к2 =
к2 ’
Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ КВАНТОВЫЕ ЗАДАЧИ
59
чяпача сводится к решению уравнения колебаний струны
так чт0 3
гр" + к2гр = 0 (5.10)
„лепленными концами (5.8).
С решением (5.10) являются стоячие волны
гр(х) = A sin (кх + а), (5-11)
а граничные условия (5.8) определяют фазу а = 0 и допустимые значе-
ния энергии:
= (« = 1,2,...); Еп = ~п
а 2т
_2fc2
п2. (5.12)
2™?
Нормируя волновую функцию (5.11) в соответствии с (3.2), найдем
« “ / \
f dx | грп(х) |2 = \Ап |2 f dx sin2 (— x I = | An |2 J = 1.
0 0 ' a ' 2
Общая фаза волновой функции остается произвольной и не войдет в
физические величины (поэтому, в частности, значения п < 0 в опре-
делении волнового вектора кп (5.12) отвечают тем же состояниям, что
и п > 0), а нормировочная константа Ап может быть выбрана чисто ве-
щественной и не зависящей от «:
Ап = грп(х) = [- sin (— х) .
V а \а \ а /
(5.13)
Таким образом, связанные состояния частицы образуют здесь дис-
кретный спектр (5.12), характеризуемый одним квантовым числом п.
Существенно, что уже в основном состоянии (« = 1, так как п = 0 при-
вело бы к гр = 0) энергия отлична от нуля:
р — п2^
^та „энергия покоя11 является прямым следствием соотношения неопре-
деленностей, и величина ее совпадает с оценкой (3.26). Относительное
Расстояние между соседними уровнями (Еп + । — Еп~)1Еп убывает с рос-
ом п (поскольку пропорционально п-1), т. е. спектр приближается к не-
Р рывному. Легко убедиться, что, например, для электрона в сосуде
ничт^К°ПИЧеских РазмеРов Уже при п ~ 1 расстояние между уровнями
низ Н° Мало по сравнению с тепловой энергией кТ даже при сверх-
ТсмпсРаТУРах- Поэтому, как упоминалось в лекции 3, п. 2, посту-
пое движение атомов или молекул в газах всегда квазиклассично.
к>т п ЛНовые Функции грп стационарных состояний (5.13) осциллиру-
РИЧем число узлов внутри ямы равно п — 1. Хотя силы действуют
60
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
на частицу лишь на границах, внутри есть области с разной верОяг
ностью обнаружения частицы
dw„ = рп(х) dx = IV'n(-x) I2 dx = - sin2 [— x) dx.
a \ a /
(5-14)
Однако при больших n уже на малой длине (х « а) волновая функция
ip„(x) имеет много узлов, так что вероятность (5.14), усредненная по
этому участку, не зависит от того, в каком месте ямы выбран интервал
усреднения:
dwn = - sin2
а
, 21, dx
dx = - • - dx = —
a 2 a
(5.14’)
Усредненная вероятность (5.14') не зависит от п и совпадает с вере-
ятностью обнаружения на данном участке классической частицы, со-
вершающей последовательные отражения от стенок через интервалы
времени т = - :
v
^^’класс
dt _ (dx / v) _ dx
t (а / v) а
(5.14")
Таким образом, и с этой точки зрения при больших п мы получаем
классические результаты (принцип соответствия, см. лекцию 1).
Пусть теперь потенциал U не обращается в бесконечность, а ис-
пытывает скачок на конечную величину Е'о (потенциальный барьер,
рис. 5.2).
Типичный пример подобной ситуации — движение электрона у по-
верхности металла, когда по обе стороны границы электрон движется
почти свободно, а высота барьера равна работе выхода. Функция к(х]
(5.7), входящая в уравнение Шредингера (5.6), терпит разрыв при х=|
и равна
(5.15)
U(x)
II
Рис. 5.2
бы над оар*
кинстическу1®
: F.. ППИ X * и
Здесь возникают два принципиаль-
но разных случая (см. рис. 5.2). Пр*1
Е = Еа > U о классическая части**®1
двигаясь слева, прошла
ром, уменьшив свою
энергию величиной Ki : -г
до значения Кц — Еа - 67о- В т0
время при Е — Еь < U о кинетичесв
энергии не хватило бы для преодоле
Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ КВАНТОВЫЕ ЗАДАЧИ
61
частица отразилась бы от него. В этом случае величина Аг в
барьеРа’ и ча
(5 15) мнима.
А2 = /х, х = Й (С/о - £л). (5.15')
V tr
для решения квантовой задачи нужно к уравнению Шредингера
< б) имеющему разный вид в областях I и II, добавить кроме требо-
вания непрерывности ip условие сшивки решений I и II при х = 0. Из
(5 6) видно, что во всех точках, где к(х) не обращается в бесконечность
: е U(x) °0)’ V;"(A) также конечна. Но это означает, что 1р'(х) не мо-
жет терпеть разрывов (иначе, проинтегрировав обе части (5.6) по мало-
му участку, включающему точку разрыва, и, воспользовавшись непре-
рывностью ip, мы получили бы противоречие — в этой точке уравне-
ние не было бы выполнено). Таким образом, условия сшивки таковы:
V-/(0) = ipn(0), хр',(О) = ipn(0). (5.16)
Вспоминая определение (4.10), видим, что (5.16) обеспечивает сохра-
нение тока (5.4').
В области I уравнение Шредингера (5.6) одинаково для обоих слу-
чаев (с Еа и Еь, далее просто а и Ь):
ip, 4- k^ip! = 0.
(5-17)
Общее решение (5.17) содержит две произвольных константы:
хр! = eik' х + В, е-'*' х, (5.18)
т е является суперпозицией двух волн, бегущих в противоположных
направлениях вдоль оси х (при нашем выборе временной зависимости
(51) Л1 есть амплитуда волны, распространяющейся вправо, а В\ —
влево). Соответственно плотность потока, отвечающего решению
( 18), является согласно (4.15) разностью двух встречных потоков:
у(/) = ^.(|Л1|2_|д||2) = у(/)_у(/) (5.19)
т —> «—
Совершенно аналогично имеем в области II:
ip'ii + klip и = 0, 1р'п - x2ipii = 0, (5.17')
V11 = Л2е^ + B2e~‘kix, 1рц = Се~хх + Dexx, (5.18')
///) = (|д2 |2 _ |д2 |2); у(//) = 2 — Im (C*D). (5.19')
т m
62
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В обоих случаях общее решение (5.18), (5.18') содержит 4 Не ]
вестных коэффициента. Для полного их определения недостаток2'
двух соотношений (5.16) и нужны еще физические условия, конкреС
зирующие реальную постановку задачи. Пусть, например, источи
частиц находится при х -» — °°. Тогда падающий поток упад = у(/)
но задать произвольно (например, выбор/) = 1 отвечаетупад = I
единичной плотности падающей волны). В области I кроме падающл
есть еще отраженная волна у'отр = у?7). Однако в области // в случае
при такой постановке опыта неоткуда взяться обратной волне, поэтому
/?2 = О, = О, — Упрош — поток в прошедшей волне. Оставшие-
ся два коэффициента В[, А2 определяются из условий сшивки (5.16)
к, - к2 2к,
Bi = J------ Л, А2 =---------*— /).
А, + к2 kf + к2
(5.20)
Физически наглядными величинами являются коэффициенты от-
ражения и прохождения
_ Уотр _ I Д| I
Упад
Ч - кД2
(5.21)
|Л| I2 Ц| + к2)
к? I а2 I2 _ 4*|А2
kt | Я, |2 “ (А, + к2)2
В силу сохранения тока (5 4')/? + Т = 1. Таким образом, мы получили
чисто квантовый результат — надбарьерпое отражение частицы.
(Аналогичной формулой дается коэффициент отражения электромаг-
нитной волны на границе двух прозрачных сред с разными показате-
лями преломления: R = [(??| — n2Mni + л2)]2.) Поскольку в (5.21)/? за-
висит лишь от | к\ — к2 |, то такая же доля интенсивности волны отра-
зится и при падении ее справа - например, из вакуума на поверхность
металла.
В случае b решение (5.18') дает суперпозицию затухающей и рас-
тущей экспонент. Плотность вероятности нахождения частицы не мо-
жет беспредельно возрастать вдали от начала барьера; поэтому следуй
положить 0 = 0. При этом из (5.19') j(//) = 0, а в силу сохранения тока и
y’W = 0, т. е. у’пад - у'отр, И i| = |2?i|. Здесь мы получаем аналог полной
внутреннего отражения. Амплитуды В\ и С получаются из В\ и -
случая а заменой к2 па /х. Волновая функция фи — СеГКХ затухает,
вероятность найти частицу в классически запрещенной области // е
заметна на расстоянии порядка глубины проникновения
1~±=-. * —
х д/2/н (70 - £)
__ 7 прош _
Упад
(5 22)
(5-23)
Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ КВАНТОВЫЕ ЗАДАЧИ
63
им
Рис. 5.3
и ц классический импульс яв-
В обЛ мнимым, а кинетическая энер-
ляет<^> < 0. Это не ведет ни
гИ* им парадоксам, так как обнару-
к „Р частицы в области II требует ее
локализации на длине Ьх ~ I (5.23),
я па по соотношению неопреде-
3 «остей ДР Й/Z ~ Йх, ЬК >
~ й2х2/(2ли) = Uо - Е,
" 2 А К' > I I > так что становится
бессмысленным говорить об определенном значении К.
Отличие глубины проникновения от нуля ведет к новому явлению —
туннельному эффекту. Пусть барьер в области II имеет конечную шири-
ну а (рис. 5.3) и мы рассматриваем случай Е < U$. Решения уравнения
Шредингера по-прежнему даются формулами (5.18) в области I и (5.18'),
случай b — в области II. Однако, поскольку область II теперь не про-
стирается до бесконечности, нет оснований полагать D = 0, а при D & 0
плотность потока & 0 (см. (5.19')). В силу (5.4') мы получаем нену-
левой поток и в области III, где решение содержит лишь прошедшую
волну с тем же волновым вектором, что и падающая:
фш = Felk‘ х. = — |F |2.
in
(5.24)
Таким образом, частица может „протуннелировать" через класси-
чески запрещенную подбарьерную область II. Четыре условия непре-
рывности (5.16) для ф и ф’ в точках х = 0 и х = а позволяют определить
неизвестные коэффициенты В\, С, D, F.
Задача 5-1. Решить уравнение Шредингера для барьера на рис. 5.3 и доказать,
чго коэффициент прохождения равен
г=1£|1=4А-2х2
| Л] |2 4А-2х2 + (Л2 + х2)2 sh2(xa)
При малых ха « 1 величина Т немногим меньше единицы (что
является оптическим аналогом этого случая?).
Практически интересен случай ха »1, когда (5.25) переходит в
_ 16£2х2
(*.2 + х2)2
(5.25)
(5.25')
п Равните точный результат (5.25) с оценкой, приведенной в лекции 3,
эд ’ где тУчнелирование оценивалось как последовательность вирту-
псрескоков без сохранения энергии.)
64
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
U(x)
Рис.
5.4
При больших ха величина Т (5.25') чрезвычайно чувствительна
к энергии частицы. Этим объясняется, в частности, различие на
порядков времен жизни различных ядер по отношению к «-распаду
который является типичным туннельным эффектом: «-частица должна
преодолеть потенциальный барьер, образованный внешней сменкой ко-
роткодействующего ядерного потенциала притяжения и ближней
частью дальнодействующего кулоновского отталкивания.
Зная решение для подбарьерного значения энергии, легко перейти
к случаю Е > Uq. При этом возможны случаи L'o > О (барьер,
рис. 5.4, а) и (/0 < 0 (яма, рис. 5.4, б). Легко видеть, что здесь волновая
функция получается из решения задачи 5-1 заменой х на -й2.
Рис. 5.5
к2 = (Е — L'o). Тогда вместо sh2(*a) в коэффициент прохождения!
V й"
Т (или в коэффициент отражения R = I — Т) входит sin2 (Адп) и при
к2а = пл мы получаем Т = 1, R = 0 — резонансное прохождение. Зава-
симости R и Т от энергии имеют вид рис. 5.5. Применение понятия ре-
зонанса оправдывается здесь тем, что условие к2а = пл совпал®
с условием (5.12) существования связанных состояний в яме. Действи-
тельно, при этом внутри области действия потенциала может суще1*
вовать стоячая волна де Бройля.
Физическим примером резонанса может служить так называем!®
эффект Рамзауэра (1920): наличие ми"
иимумов эффективного сечения рассе*
ния (оно появляется трехмерным анал*
гом коэффициента отражения) в стол
новении медленных электронов с аЧ
мами. Для электронов с Е — 1 эВ 0 j
городные газы (Аг, Хе, Кг) оказываю^
почти прозрачными. Однако TPeXNL
ность реальной задачи вносит неК
Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ КВАНТОВЫЕ ЗАДАЧИ
65
ожнения (состояние электрона в атоме кроме энергии описы-
рь’е уСЛе1Пе орбитальным моментом).
5-2. Определить фазу д(Е) одномерного рассеяния на потенциале рис. 5.4,
Задача фазы прошедшей волны по сравнению с волной, отвечающей свобод-
дцб. т-с с тод же энергией (при одинаковой нормировке на — оо). Показать,
ному ДО" движение волнового пакета, что возникающее из-за наличия потенциала
раССМазадер>кки (или опеРеження) пакета равно
dE'E = Ео
(5.26)
где Ее — энергия центра пакета.
Рассмотрим, наконец, случай ямы на
рис 5.4, б, но при значении энергии
Uo < Е < 0 (рис. 5.6) (возможны ли со-
стояния с Е < UJ).
Внутри ямы (область II) решение
уравнения Шредингера имеет вид
(5.18'), случай а. Однако по обе стороны
ямы лежат бесконечные подбарьерные
области, где волновая функция должна
затухать:
U(x)
V'/ = Сех\ ipul - De~*x,
Рис. 5.6
(5-27)
Из-за отсутствия внешнего потока здесь нет произвольно задаваемого
коэффициента. Поэтому условия сшивки при х = 0 и л = а дают
линейную однородную систему четырех уравнений для определения
^2, ^2, С, D. Эта система может иметь нетривиальные решения лишь
при некоторых значениях параметра Е. Отсюда получаются дискрет-
ные энергетические уровни (стоячие волны). Поскольку волновая
Функция сосредоточена в конечной области пространства, она может
быть нормирована на единицу.
Задача 5-3. Найти волновые функции и энергии связанных состояний для ямы
на Рис. 5.6.
не ^алача 5_4. Показать, что в симметричной одномерной ямс при любой се глуби-
сУЩествует связанное состояние, и определить его энергию связи.
Решение. В [32в, § 45, задача 1] найдено, что
|£ | =
f с/х ЕМ
(5 28)
33««3010
66
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Качественно результат (5.28) можно получить простыми оценками. Пусть Поте(1 I
циал характеризуется радиусом действия а и глубиной t/o, так что J" dx U(x) —
При малой энергии связи (ха« 1) волновая функция будет затухать в области барЬе
очень медленно, т. е. глубина проникновения (5.23) I» а. Среднее значение энерп/
связанного состояния Е = (К) + (7). Согласно соотношению неопределенное™
средняя кинетическая энергия в основном состоянии определяется размером I обда(?
ти локализации: (К) ~ fi2/(2ml2). Средняя потенциальная энергия равна произведи
нию Uo на относительную вероятность пребывания частицы в ямс: (7) — 1/р •
Минимизируя Е как функцию Z, получим
E~-~(fJGa)2
maUo Zr
в согласии с (5.28); I <» при £/q -» 0.
Задача 5-5. Путем прямого решения дифференциального уравнения Шредингера
найти энергетические уровни и волновые функции стационарных состояний частицы
в поле упругой силы (одномерный гармонический осциллятор)
U(x) = - та7х2. (52',
Метод нахождения собственных функций и собственных значений
дискретного спектра для дифференциального уравнения второго по-
рядка будет проиллюстрирован далее на примере радиальной задачи
Кеплера (лекция 9). Задача для гармонического осциллятора (5.29) бу-
дет решена более простым — операторным — методом в лекции 14
Задача 5-6. Решить уравнение Шредингера для электрона в однородном электри-
ческом поле = <?х.
Указание. Удобно, сделав фурье-преобразованис, перейти в уравнении Шредин-
гера к импульсной волновой функции <р(к) (3.12'); [17, § 1, № 13].
Задача 5-7. Найти волновые функции и раз-
решенные значения энергии (зоны) для части-
цы в одномерном периодическом потенциале
(рис. 5.7) U(x) = U(x + I).
□ I I I I I Указание. Сделав в уравнении Шредингер
j || [I замену переменной х на х + I и воспользовае
-Z>0a а+Ь=1 * шись периодичностью потенциала, легко полу
чить, что ^(х) = const V' (х + Z), где [constI ' и
Поэтому достаточно рассмотреть один период
Рис. 5.7 произвести две сшивки — при х — 0 и х - а I
§ 1, № 16].
В задачах 5-6 и 5-7 появляются специальные функции — поЛЙ^.
мы Эрмита и функции Эйри, которые окажутся полезными в Д^
нейшем.
Литература: [15; 17; 32д, § 66; 36, § 55].
Лекция 6. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА
В лекции 5 мы видели, что стационарное уравнение Шредингера
имеет вид задачи на собственные значения
Hip = Eip. (6.1)
На классе нормируемых функций оператор Гамильтона Н эрмитов
(4.28), т. е.
f dr (Hip2) ipi = f dr ip2Hip}. (6.2)
Через матричные элементы (4.22) свойство эрмитовости записывается
как
<2|Я|1)=(1|Я|2}*.
(6.2')
Свойство (6.2) приводит к важнейшим физическим результатам.
Пусть функции ipx и 1р2 — решения уравнения Шредингера (6.1), т. е.
собственные функции Н с собственными значениями Е\ и Е2:
Hip} = Etipt, Hip2 = E2ip2. (6.3)
Умножим первое из уравнений (6.3) на 1р2, вычтем из него умноженное
на V'l комплексно сопряженное второе уравнение (6.3) и проинтегри-
руем обе части получившегося соотношения
ip2Hipi - ipi(Hip2)* = Ех1р21р} - E2ip2ipi (6.3')
По объему dr того представления, в котором выражены волновые функ-
ции и хр2. В силу эрмитовости (6.2) интеграл от левой части (6.3)
очезает, и мы получаем
(£1 ~ Е2) f dr ip*2ipi = 0.
(6.4)
ЕсдИ Ьтамршь состояния 1 и z совпадающими, то интеграл и
РаЩ я в нормировочный и отличен от нуля. Поэтому £] = Ef,
выбрать состояния 1 и 2 совпадающими, то интеграл в (6.4)
68
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
т. е. все собственные значения энергии вещественны. Тогда (6.4)
нимает вид
(£i - Е2) f dr = 0.
пРи.
Полагая теперь £| £2, видим, что
J dr гр*2гр} = 0,
следовательно, собственные функции, отвечающие различным собст
венным значениям, ортогональны.
Покажем теперь, что уравнение Шредингера (6.1) эквивалентно
некоторому вариационному принципу. Рассмотрим среднее значение
энергии в состоянии гр
<Е) =
(6.6)
как функционал от произвольной (ненормированной) функции гр, оп-
ределенной на классе квадратично интегрируемых функций. Будем ис-
кать функцию гр, дающую экстремум функционала (6.6), т. е. обращаю-
щую в ноль вариацию б (Ер.
°<Е) = —Г~.—*----
1 СЕ W /I w г г .
. ,2 6 (/ dr =
(J dt гр
гр*Ндгр - (Е) (d^‘) V' ~ <Е)
1 „ J dr {(дгр*) Нгр
(6.7)
или, в силу свойства эрмитовости (6.2),
й(£) = г 1 . f dr {(дгр*)[Нгр - ( Е ) V-] +
J dr гр гр
+ [СЭДО* ~ (Е) гр*] дгр}.
Из (6.7) сразу следует, что условие экстремума д(Е) = 0 удовлетво-
ряется для функции гр, если она подчиняется уравнению Шредингер8
Нгр = (Е) гр,
а среднее значение (£) есть собственное значение Н в этом состоянии
(5.5). Обратно, можно доказать, что если какая-то функция ip иМ<^
экстремум (£), то она удовлетворяет уравнению Шредингера. ПозЮ ,
наинизшее собственное значение £min оператора Н дает абсолют |
минимум функционала (£), который, таким образом, реализуется
Лекция 6. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА
69
“ 1 ункции V'o основного состояния системы. Легко видеть, что
волновой <р.
по величине после £min собственное значение Н дает мини-
слеДУ^ на ^ссе функций, ортогональных к гр0, и т. д.
мум ( / лически вариационный метод служит удобным приближен-
способом решения уравнения Шредингера в реальных ситуациях
НЬЖ не атомы, молекулы, атомные ядра, твердое тело), когда не су-
(сл°Я' аналитического решения. Обычно из физических соображе-
шеС выбирают пробную функцию <р основного состояния, оставляя
нИИ < несколько свободных параметров «(. Вычисляя затем (E)v и ми-
В визируя результат как функцию a, (d{E)/dai = 0), находят наилучшее
НИиближение к волновой функции основного состояния, достижимое
на выбранном классе пробных функций. При удачном выборе <р резуль-
тат будет достаточно близким к истинному.
Из вариационного принципа могут быть получены осцилляционные
теоремы, согласно которым волновая функция основного состояния
нигде, кроме, быть может, границ области, не имеет узлов, а для сле-
дующих уравнений число узлов отлично от нуля и возрастает на еди-
ницу для каждого последующего уровня с большей энергией.
Опираясь на результаты решения простейших задач (лекция 5),
легко установить некоторые общие свойства решений стационарного
уравнения Шредингера (5.3) для одной частицы в потенциальном поле
l/(Z)
Если (7min — минимальное значение потенциальной энергии, то
очевидно, что в любом стационарном состоянии (£/) > t/min- Посколь-
ку кинетическая энергия К — положительно-определенный оператор
(на классе нормируемых функций),
(К) = f df Ф* (- — V2) Ф = — f df I VФ I2 > 0, (6.8)
\ 2m / 2m
то для любого стационарного состояния
£„ = (£ + U)n > t7min.
(6.9)
Ноли (Jmin < 0, а при | г | “* 00 (/(г) -» 0, то все стационарные со-
стояния с £ < о являются связанными и образуют дискретный спектр,
трехмерном случае, в отличие от результата задачи 5-4, в достаточно
ные^ ЯМе связаннь1Х состояний может вообще не оказаться.) Связан-
состояния могут быть нормированы на единицу. Состояния с £ > О
Ii0-'1а,аг инфинитному движению и образуют непрерывный (сплош-
и СпектР (для соответствующих волновых функций нормировочные
егралы расходятся).
стоп СЛИ В оДномсриом случае для £ > Eq движение инфинитно в обе
1 ы оси х, то все состояния с £ > £0 оказываются вырожденными,
Данному значению £ отвечают две линейно независимые собствен-
70
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ные функции (с асимптотиками е±,кх, ср. (5.18)), кратность вырожу
равна 2. В случае, когда движение инфинитно в одну сторону, а в пр
гую С/(х) -» оо, спектр остается непрерывным, но вырождения нет 1
Определенные свойства симметрии потенциальной энергии
могут облегчить разыскание и классификацию стационарных состоя
ний (подробнее об этом см. в лекции 13). Пусть потенциал С(г)иИ
риантен при пространственной инверсии:
U(r) = U(—r).
(6.10
Тогда при замене г на —г уравнение Шредингера не меняется, значит
если ^(г) описывает стационарное состояния с энергией Е, то
также отвечает стационарному состоянию с той же энергией. Если это
состояние не вырождено, функции ip (г) и ip (—г) могут отличатьц
лишь постоянным множителем: ip (—г) = aip (г). Отсюда, делая еще раз
отражение координат, получим ip (г) = a2ip (г), следовательно, а2 = ],
а = ± 1. Поэтому при четном потенциале (6.10) волновые функция
невырожденных состояний обладают определенной четностью. Еслв
же состояние вырождено, т. е. ip {г} и ip (—г) линейно независимы, то
любые их линейные комбинации также описывают стационарные со-
стояния. Всегда можно составить четную и нечетную суперпозиции
ip (г) ± 1р(—г). Итак, при выполнении условия (6.7) решения уравнения
Шредингера можно классифицировать по четности.
Точно так же можно рассмотреть операцию комплексного сопря-
жения в стационарном уравнении Шредингера. В силу вещественности
энергии и потенциала функция ip* удовлетворяет тому же уравнению,
что и ip. Для невырожденных состояний они могут отличаться тольк
постоянным множителем; выбором фазы их можно сделать вещест-
венными. При наличии вырождения всегда можно выбрать веществен-
ные суперпозиции вырожденных волновых функций. Эти результаты
не относятся к движению в магнитном поле, которое нельзя описал
потенциалом (см. лекцию 18). Как мы вскоре увидим, операция комп-
лексного сопряжения связана с обращением времени. Стационарны'
потенциал при этом не изменяется, в то время как магнитное поле Mt
няется на противоположное.
Перейдем теперь к полному уравнению Шредингера (4.24), опий»
вающему эволюцию во времени. Для стационарных состояний за»и
мость от времени является чисто гармонической (5.1). В силу веШе
венности энергии (6.4) среднее значение любой физической величи^
не зависящей явно от времени, в стационарном состоянии оказыва
постоянным (это и есть свойство стационарности):
АФ
* Et ~ — — El
dr ip eh Qe h щ =
drip*Qip- (6Д|
Лекция 6. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА
71
„ „тоМ случае легко из уравнений движения (4.30') получить
Конечно, в
7<е> = 0, (6.12)
at
эквивалентно (6.11). (При этом нужно воспользоваться эрмито-
чТ°тьЮ ft, которая эквивалентна вещественности энергетического
СПе Стационарность (6.12) средних значений приводит к важным фи-
«ческим следствиям. Так, теоремы Эренфеста (4.39), (4.40) сразу да-
3 что в стационарных состояниях дискретного спектра средние зна-
чения импульса и силы равны нулю. Подчеркнем, что речь идет лишь
о дискретном спектре, так как в доказательстве использовалось свойст-
во эрмитовости Н, сформулированное с помощью теоремы Грина
(4 27') лишь для функций, исчезающих на бесконечности. В непрерыв-
ном спектре, разумеется, возможны стационарные состояния с {р} * 0
и (F) г4 0 (за счет этого частица и уходит на бесконечность).
Задача 6-1. Доказать квантовую теорему вириала: в стационарных состояниях
дискретного спектра
(К) = 1 (г V0 = - — (, F). (6.13)
2 2
Аналогично (6.11) легко найти временную зависимость произволь-
ного матричного элемента (4.22), взятого между стационарными со-
стояниями. Действительно, если Q не содержит явно времени, то
«Е„Г л /Ем» |(£м - E„)t (6Л4)
= Jdr е Й ip*„Qe * грт=е л f dr y*Q грт
(то же дает и явное решение уравнений (4.30)). Мы видим, что мат-
ричные элементы между стационарными состояниями суть чисто гар-
монические функции, осциллирующие с частотами
=-------- (6.15)
п
и амплитудами
Qnm = (и | Q I m)i = о = f dr VnQ Vm- (6.14')
НенСМотРим теперь произвольное нестационарное решение урав-
пРеХтеДИНГераФ(9’°’ где q — совокупность переменных данного
авления. Запишем его в виде фурье-разложения по времени
^(q,t)= (6.16)
п
72
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
где ipn(q) — коэффициенты разложения, а обозначает сумму
интеграл по фурье-гармоникам. Подставим разложение (6.16) в упя
нение Шредингера:
<W(<7, /) _
/7?------= л й "Жй е
п
Ее ‘Н Vn(q) (6.171
п '
dt
(мы считаем, что Н не зависит явно от времени). Поскольку (6
должно выполняться для всех моментов времени, можно приравняв
коэффициенты при всех гармониках
н УМ =
(6.18)
Итак, коэффициенты ipn(q) разложения (6.16) являются решениями
стационарного уравнения Шредингера (5.2), отвечающими энергиям
Будем считать, что стационарные волновые функции ipn нормиро-
ваны согласно выражению
f dr ip*(q) V'n' (?) = (6.19)
где для случая ненормируемых состояний правая часть обращается при
п = п' в бесконечность, и мы будем ее понимать в смысле ^-функции
<5(н — п'} (эти состояния принадлежат непрерывному спектру и индек-
сы п состояния меняются непрерывно; например, в качестве индекса
можно взять саму энергию Еп). Тогда коэффициенты tpn в (6.16) отлича-
ются от нормированных волновых функций (6.19) постоянными мно-
жителями (вообще говоря, комплексными)
Ы?) = с«^»(?Х (6-20)
Г-Л - ,£”( I
Ф(?> t) = Л сп е * Ipn(q). (6-2b
п
Формула (6.21) дает общее решение нестационарного уравнения
Шредингера. Выбор конкретного решения для данной физической си-
туации осуществляется наложением начального условия. Согласно
квантовому принципу причинности (см. лекцию 1), задание волново
функции Ф((/, 0) в какой-то начальный момент 7 = 0 полностью опрсД6"
ляет дальнейшую эволюцию системы. Из (6.21) имеем
Ф(?,0)= ^сЖ(?)- (б22)
п
Так как начальная волновая функция может быть любой, (6.22) означа^
что любая функция переменных q может быть разложена (представле
Лекция 6. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА
73
оЗИЦией) по стационарным решениям уравнения Шредингера. Из
ЙГи (6-22) мы заключаем, что стационарные волновые функции
(6- ?образуют полную ортонормированную систему функций.
Коэффициенты с" суперпозиции (6.21) легко находятся: умножая
обе части (6.22) на ip*m(q\ интегрируя по ch и пользуясь (6.19), получим
ст = fdr 0). (6.23)
Согласно (6.21) среднее значение любого оператора Q (не зависящего
от времени явно) равно
(Q), = f dt Ф*(9, Г) Q W(q, Г) = Е с*тсп е~й (£" “ £m) 'Qnm, (6.24)
тп
ще введены матричные элементы (6.14') по стационарным волновым
функциям. Мы видим, что величина Q„m фактически дает фурье-гармо-
нику среднего значения (£?),, отвечающую частоте перехода сипт (6.15).
Выбирая в качестве Q гамильтониан Н, найдем среднее значение
энергии системы (оно, конечно, не зависит от времени):
Нпт ~ f dv хрп Н ipm — Ет f dr ipn ijjm = Етдпт, (6.25)
(fl) ~ I cm |2- (6.25')
Сравнивая (6.25') c (4.1) и (4.3), мы видим, что величины | ст |2
дают вероятности обнаружения у системы энергии Ет (исходное со-
стояние нестационарно и не имеет определенной энергии, хотя среднее
ее значение постоянно). Как следует из (6.21), задание амплитуд ст
полностью определяет состояние системы, так как это эквивалентно
заданию волновой функции Ф(Г). Поэтому набор величин ст естествен-
но назвать волновой функцией в энергетическом представлении.
Отсутствие явной зависимости Н от t приводит к тому, что с тече-
нием времени меняются лишь фазовые соотношения между отдельны-
ми составляющими суперпозиции (6.21), а интенсивности | ст \2 гармо-
ник (вероятности разных значений энергии) остаются постоянными
лнкими, какими они были при приготовлении начального пакета (6.22).
Подставляя (6.23) в (6.21), явно выразим решение Ф(^, t) для
произвольного момента времени через начальные условия:
ф(9, 0 = У f dt' 0) tpn(q) e * = 26)
= J dr' G(q, q", tyV(q’, 0).
74
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Л1°бог0
(6-27)
(6.28)
начало.
Здесь введена функция Грина, описывающая распространение
исходного пакета:
G(q, q", t) = 2Л)п(д) ipn(q')e й ,
п
Очевидно, что она подчиняется уравнению Шредингера
ЙС(9, ; г) »
/Й---------= H(q) G(q, q'\ t)
dt
и представляет собой его частное решение, удовлетворяющее
ному условию, которое легко найти, положив в (6.26) t = 0:
Ф(<7,0)= f dT'Gtq^-0)^,0).
Отсюда
G(q, q", 0) = \q - q1)
(если представление характеризуется несколькими переменными, то
подразумевается произведение соответствующих д-функций).
Из (6.27) и (6.29) получаем
~ q1)- (6-30)
Только при выполнении этого условия любое решение нестационар-
ного уравнения Шредингера можно представить в виде (6.21). Поэтому
(6.30) есть математическое выражение полноты системы функций
Vn(q)-
Задача 6-2, Найти функции Грина: а) для свободного движения частицы; б) №
одномерного гармонического осциллятора (5.29).
Ответы.
3/2
а)
G(r, г'; г) =
т
2int
(6.31)
б)
G(x, x', t) = -------:----x
\2jtin sin a)t
(6.32»
та)
X exp----------------Г(х2 + д'2 ) cos 0)1 — 2 х х']
2ih sm a)t
Задача 6-3. Найти закон свободного движения гауссовского волнового пак61
неопределенностью координаты (Д x)f = q = op
Лекция 6. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА
75
х1
exp ikQX---—
40 о.
у -азаиие- Пакет движется равномерно и расплывается; | Ф(х, t) |2 сохраняет при
avccoB вид (6.33) с увеличивающейся дисперсией (Д х), = <r(f):
всех t ray
ф(х, 0) = (27^)-1/4
(6-33)
h2t2
малых t результат совпадает с простой оценкой (3.25).
Кратко рассмотрим вопрос о временной обратимости уравнений
SH
если — = 0)
st
<72(0 = <72
(6.34)
Шредингера (4.24). Замена t - t дает (в случае,
-ih = Н Ф(-().
St
(6.35)
Сделав в (6.35) комплексное сопряжение
,Й^Н)
st
= н* Ф*(-о.
(6.36)
убедимся, что функция
Ф(0=Ф*(-0
(6.37)
удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильтонианом
Н = Н*
(6.38)
Операция замены Ф -» Ч', Н -» Н описывает обращение
в квантовой механике. При этой операции матричный элемент гамиль-
тониана преобразуется как
М = (Ф |Я |Ф ) = f dr Ф*(д, t)H ф(з, t) ->
f dr Ф(9, - (q, -t)= f dr {H Ф (q, - t)}*4(q, - t)
Или. пользуясь свойством эрмитовости (6.2),
М = f dt Ф'* (q, — t)H Ф(д, — t),
т. e
сто B ./^образованном матричном элементе М меняются роли со-
Что НИИ и Ф по сравнению с исходным М. Из (6.14) и (6.15) видно,
с ух.еСЛи «прямой" матричный элемент М отвечает процессу, скажем,
ьшением энергии (а>тп > 0, „излучение"), то матричный элемент
времени
(6.39)
76
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
М „обратного" процесса отвечает фурье-компоненте с увеличен^
энергии („поглощение"). Поэтому фактически процедура (6.37), (6 -Л*1
как и должно быть при обращении времени, включает перестанем ‘
начальных и конечных состояний (см. лекцию 13). Для потенциально"^
поля Н* = И; преобразование (7.38) существенно лишь при наличД
магнитного поля (вспомним что в классической теории при отражении
времени векторный потенциал со/ и поле суГ = rot гО/ меняют знак)
Остановимся еще па группе своеобразных задач, связанных с кед.
зистационарными состояниями (см. лекцию 3, п. 4). Мы видели, чг0
волновая функция такого состояния имеет зависимость от времени ви-
да (3.34)
Ф(г, г) = ip(r) е ti ' ° 2/ ,
(6.40)
т. е. формально аналогична волновой функции стационарного состоя-
ния с комплексной энергией
E=E0-iV-
(6.41)
Как мы доказали в (6.4), на классе нормируемых волновых функций
возможны только решения уравнения Шредингера (6.1) с веществен-
ной энергией. В задачах с ненормируемыми волновыми функциями
(например, рассеяние, см. рис. 5.4) энергия частицы лежала в непре-
рывном спектре и фактически определялась источником, расположен-
ным на бесконечности и рождающим реальный поток частиц с Е > 0.
Рассмотрим условия, когда уравнение Шредингера может иметь ре-
шения типа (6.40).
Для определенности будем иметь в
виду, например, ситуацию типа с-Р3-
пада (классический пример квазисч
ционарного состояния. — Г. Гамов-
1928). Реальная задача, конечно, треХ
мерна, но качественно ее можно onfr
сать, рассматривая только радиально*
движение (0 < г < “), т. е. введя ОД
мерный потенциал с бесконечной ся
кой при г = 0 (рис. 6.1).
Область энергий Eq > О прин)
жит непрерывному спектру. Ооы
постановка задачи отвечает рассея,
на потенциале С/(г) частиц с ве 1
Лекция 6. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА
77
Т энергией Е = £'о, испускаемых источником при г = оо. Волновая
БеНН ия асимптотической области (г -* со, Ео » (7(г) является
ФУНерпозицией двух волн — падающей справа и отраженной от центра:
ф(г) ~ e~ikr - S(k)eikr, (6.42)
, ЪпЕ0
где волновой вектор к = ’ а Х*) — амплитуда отраженной вол-
ны В силу сохранения тока коэффициент отражения
/? = |5(*)|2 = 1,
(6.43)
т е S(k) = е2,6(к\ где д(к) — фаза рассеяния (см. задачу 5-2), обуслов-
ленная наличием потенциала U(f) (5 — фаза, набираемая на пути к
центру, 25 — полная фаза). Знак „минус" в (6.42) выбран для того, что-
бы свободному движению ((7=0) отвечало значение S(k) = 1, тогда
^(г) — ^о(г) ~ e_,to' - eikr ~ sin кг, (6.44)
так что выполняется правильное граничное условие ф {г = 0) = 0 в точ-
ке обращения потенциала в бесконечность. При U * 0 асимптотика
волновой функции (6.43) имеет вид
ф (г) ~ е“'Аг - е2йе'*'’ ~ sin (кг + 5), (6.45)
следовательно, фаза д(к) (определяющая, согласно (5.26), временную
задержку пакета) полностью характеризует результат рассеяния.
Ясно, что изложенная постановка задачи не описывает «-распад,
поскольку нет никакого источника «-частиц на бесконечности, «-час-
тица, образованная внутри ядра благодаря притяжению пары протонов
и пары нейтронов, имеет ненулевую вероятность туннельного выхода
через классически запрещенную область кулоновского барьера наружу.
Поэтому на больших расстояниях от ядра есть только расходящаяся от
Центра волна
ф ~ е‘кг. (6.42')
при Г 00, ф е
Значениях * = J.
Точно
Т’Ри вполне
чие от
Но
тогда задача становится аналогичной задаче о связанных состояни-
Ях- Для Е = Е\ < 0 (см. рис. 6.1) волновая функция должна убывать
'~~хг. Как мы знаем, это возможно лишь при некоторых
I 2mEt
।---— — спектр связанных состоянии дискретен.
так же граничное условие (6.42') может удовлетворяться только
к2 к2
определенных значениях энергии Е = -у—. Однако в отли-
нстинных связанных состояний здесь у пас граничное условие
78
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
комплексно, поэтому и допустимые значения Е окажутся комплекг
ми (6.41). НЬ1'
Если бы потенциальный барьер (см. рис. 6.1) тянулся до бескоцеч
ности, состояния с энергией £о были бы обычными связанными
стояниями. Конечность барьера приводит к возможности туннельное
перехода, а следовательно, к сдвигу „энергии" в комплексную обласц,
и к конечному времени жизни (3.37) т = р Само по.
нятие квазистационарного состояния оправдано только в том случае
если время жизни достаточно велико (по крайней мере, несколько пе-
риодов колебаний Й/Е), т. е. ширина уровня мала по сравнению с энер-
гией, Г «£(; — собственное значение Е недалеко ушло в комплексную
плоскость. „Волновой вектор" к теперь также имеет мнимую часть:
(6.46)
Поэтому на больших расстояниях от центра волновая функция (6.42’)
содержит кроме осциллирующей составляющей растущую экспоненту:
ip ~ eikr _ ех„ hkor) exp — — г = exp нйгл' + “ “L
\4й \е0 ) 1 2Й vo) (6.47)
_ /2£0
v0 ~ ~ V
m \ m
Таким образом, полная волновая функция (6.40) в асимптотике имеет
вид
ЧТ(/-, t) — ехр
Г
2Й
(6.48>
Отсюда понятно, что возрастание ty при г -» 00 — это просто результат
убывания волновой функции в центре из-за распада; все „просочив
шиеся" через барьер частицы уходят на бесконечность, амплитуда вол
новой функции одинакова для всех точек (г, t), связанных классичес |
ким уравнением движения
-— t — const = to-
Лекция 6. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА
79
Рис. 6.2
начает, что в точке (г, t) наблюдают-
ЭТООЗСТИЦЫ, испущенные в точке г = О
СЯ момент t' = -tG = t~ r/v0 и дальше
пвигавшиеся классически.
Л ЗадаДим теперь вопрос, можно ли су-
0 наличии квазистационарных состо-
ДИТ“< зная решение (6.42) обычной задачи
^ссеяния с источником на бесконечности.
Ра и gbI при каком-то значении к амплиту-
а S(k) | »1, то в (6.42) можно было пре-
небреч первым членом и решение (6.42)
перешло бы в квазистационарное решение
(6 42'). Однако при вещественных к, как
мы видим, волновая функция рассеянной
волны (6.42) отличается от функции свободного движения (6.44) только
фазой, так что | S(k) | = 1. Будем считать S(k) аналитической функцией к
и совершим аналитическое продолжение на комплексные значения
этой переменной. Аналитическое продолжение <5(А) содержит мнимую
часть, так что | S(k) | 1. Полюсы S(k~) в нижней полуплоскости к (см.
(6.46)) как раз дадут квазистационарные состояния.
Задача 6-4. Решить одномерное уравнение Шредингера для потенциала на
-ис. 6 2. Найти энергии и ширины квазистационарных состояний. Показать, что при
h -»со эти состояния переходят в стационарные.
Простейшую оценку ширины Г (в случае Г « £0) можно получить,
если считать, что вероятность распада в 1 с у = Г/й есть произведение
вероятности прохождения через потенциальный барьер (коэффициент
Т в (5.25')) на число „ударов11 v/a частицы о правую стенку за 1 с:
Г = 1гу ~ П - Т ~ Ео е-2*^ ~ а1
а
(6.49)
Для точного вычисления предэкспопепциалыюго множителя требует-
ся. конечно, решение уравнения Шредингера внутри ямы, однако для
малых ширин основная зависимость энергии дается коэффициентом
прохождения Т.
Литература: [4, § 26-30; 15; 17; 32 в, гл. 3; 37, гл. 3-6; 46, гл. 2-А;
чу> гл. 3].
Лекция 7. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шредингера дц
частицы в некотором потенциале U(x) (рис. 7.1). Согласно результатам
приведенным в лекции 6, волновые функции с энергией в областях (ab)
и (Ас) будут иметь принципиально различный характер. Область, огра-
ниченная точками поворота а и Ь, представляет собой область клас-
сического движения. В этих точках 17(a) = U(b) = Е. Поэтому клас-
сический импульс р (х) = у)2т [£ - 17(х)]
обращается в нуль, и частица отразилась
бы от барьера. В квантовой механике есть
вероятность проникновения частиц за точ-
ку поворота и, при конечной ширине барь-
ера (be), туннельного выхода наружу. Для
достаточно широкого барьера вероятность
туннельного перехода будет мала (экспо-
ненциально — см. (5.25')). Поэтому с опре-
деленной степенью точности можно ска-
зать, что движение частицы в основном со-
средоточено в классической области (ab).
Мы видели из теорем Эренфеста (лекция 4), что в классически
доступной области движение в плавно меняющемся потенциальном
поле близко к ньютоновскому. Естественно ожидать, что для такого по-
тенциала должно существовать математическое приближение, даюШ^
предельный переход от уравнения Шредингера к результатам класси
ческой динамики и в то же время позволяющее учесть основные кваН
товые эффекты. Это приближение называется квазиклассичес
(1926; метод WKB — Вентцеля, Крамерса, Бриллуэна).
В классическом случае стационарная плотность вероятности
хождения частицы в окрестности точки х (ср. (5.14')) пропорцион
рнэ'
альна
времени прохождения этого участка:
dw = р dx = const • dt,
, , const const
p(x) = ------------= -------7
(dx / dt) v(x)
Лекция?. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
81
е классическая скорость
v(x) = ^ = Л[£-С/(х)]
т V т
(7.2)
искомое решение носит квазиклассический характер, то кван-
ЕсЛИ плоТность вероятности | ip (х) |2 должна совпадать с р(х) из (7.1).
1° ому волновая функция должна в квазиклассической области вы-
ражаться формулой типа нижеследующей:
exp |± - S(x) — - ,
\ h h /
ф(х, t) =
(7.3)
где два знака перед неизвестной фазой Sfx) отвечают волнам, бегущим
в разных направлениях оси х. Отметим, что и р в (7.1), и ф в (7.3)
обращаются в бесконечность в точке поворота, где р (х) -» 0. Точное
квантовое решение не может иметь такой особенности; тем не менее
использование приближенной волновой функции (7.3) вполне законно,
так как корневая особенность является интегрируемой, и, следователь-
но, окрестность точки поворота а на самом деле не дает существенного
вклада в интеграл J* | Ф(х) |2 dx.
а
Само понятие классического импульса р(х) сохраняет еще смысл
в квантовой теории в том случае, если он меняется достаточно плавно
и его можно определить, не прибегая к слишком сильной локализации
частицы. С той же оговоркой можно использовать понятия переменной
длины волны Х(х) = h/p(x) и волнового вектора &(х) = 1/Х(х). Тогда
изменение фазы волны де Бройля на длине dx есть к(х) dx, в то время
как для решения в виде (7.3) это изменение равно ± dS/h. Сопоставляя
эти два выражения, видим, что квазиклассическая фаза 5(х) волновой
Функции удовлетворяет уравнению ± dS = hk dx = р (х) dx, т. е.
S(x) = ± f р(х) dx. (1.4)
^так> общее квазиклассическое решение в классически доступной об-
Ласти должно иметь вид
( х \
W, 0 = 7= exp | f р (х) <7х +
у]Р (х) \h )
(7.5)
+ В exp — - J р (х) dx • exp I— - £п .
I fl \ h /
h
82
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Покажем теперь, что уравнение Шредингера допускает в ОПп I
ленных условиях решение вида (7.5). Подставим в уравнение 1п1
дингера (5.3) волновую функцию в виде, аналогичном (4.13):
V>(r) = Дг)ей
Разделяя в получившемся уравнении вещественные и мнимые
получим:
Im 2V/ • VS + ЛУ25 = 0;
Re V2A = А ± (V5)2 - £2(г) .
(7.6)
членц
(7.7)
(7.8)
Уравнение (7.7) может быть записано в виде
V(A2VS) = 0. (7.7,
В силу (4.14) оно совпадает с уравнением непрерывности (5.4). В одно-
мерном случае (S = S(x), dS/dx = S') из (7.7') получаем
_ const
Js'
(7-9)
Предположим, что в (7.8) левая часть мала по сравнению с каждым
из членов правой части. Тогда (для одномерной задачи)
^2
= к2, S' = ± hk, S = ± f р(х) dx.
(7.Ю)
Используя (7.9) и (7.10), находим, что решение (7.6) имеет ожидаемую
квазиклассическую форму (7.5). Пренебрежение левой частью (7.8) бу-
дет оправданным, если
_ d2 j const | <<^2 — Р2 const _ 1 const p ]]>
dx2 \ Jp ) Й2 y[p X2 yfp
Пусть R — характерный размер неоднородности поля, а следова-
тельно, и величин р(х), к(х), Х(х). Тогда неравенство (7.11) приводит
к соотношению 2
И = = (7.12)
\R/ (kR)2 (pR)2
что совпадает с найденным ранее условием (4.44) эквивалентное
квантовых теорем Эренфеста и уравнений Ньютона. . .
К условиям квазиклассичности (7.12) можно подойти с точки 3Рей
оптической аналогии. Медленно меняющаяся длина волны Х(х)анаЛ
Лекция 7 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
83
пеменному показателю преломления среды, который ведет
гйЧНа влению траектории светового луча. При наличии мест быстрого
к искри показателя преломления свет начинает отражаться от этих
язмеН|аК же и квантовый волновой пакет будет двигаться с классичес-
»«ef- остью вдоль криволинейной ньютоновской траектории, если
К°Й кия R, на которых меняется X (х), велики по сравнению с самой
РаС р противном случае в местах быстрого изменения или раз-
д-пИ потенциала возникает отраженная волна, а ее интерференция
РЫВ°воначальной ведет к существенно квантовым эффектам. Таким
^Тзом квантовая механика дает классические результаты, когда
Как в (7.12). Квазиклассическая область — это фактически
область геометрической оптики для волн де Бройля. Отметим, что в ре-
шении (7.5) отброшенные члены имеют, согласно (7.11) и (7.12), второй
порядок малости по параметру квазиклассичности.
Требование малости изменения дХ = — дх длины волны X (х) =
дх
- ti/p(x) на расстоянии дх ~ X можно записать еще в виде
ах
ЭХ аХ
— X «д, т. е. —
дх дх
дх
1, или
Подставляя р2 = 2т (Е — U), получим
_ \dU /дх |
2 |£ -U |
tim dU
pl дх
dU 1
дх 2(Е - U)
h
Р2
др
дх
(7.12')
- |F- «1. (7.12")
2 |£ -U |
h
Р
Из эквивалентных оценок (7.12), (7.12'), (7.12") следует, что квазиклас-
сичным движение является всегда, когда Й можно считать малым по
сравнению с классическим действием на длине неоднородности R.
Вблизи точек поворота (р = О, Е ~ U) движение не квазиклассично.
При й -» О любой потенциал без скачков (R 0) будет удовлетво-
рять условию (7.12), так что мы должны получить предельный переход
к КЛассической механике. Однако этот переход происходит своеобраз-
Но- сама волновая функция ip не имеет классического аналога и неана-
литична по й при Й -» 0. К определенному пределу (7.10) стремится фа-
ц Вол,,овой функции, a ip при этом чрезвычайно быстро осциллирует.
eTcjT°My РегУляРным приемом отыскания квантовых поправок явля-
Разложение фазы по степеням Й.
Для этого можно искать волновую функцию в виде
ip{x) =
(7-13)
84
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
где определение фазы отличается от (7.6) лишним слагаемым ~ i
Фазу (7.13) представим степенным рядом
й2
5 = So + hSi + — S2 + ... -
2
(7.14)
Подставляя (7.13), (7.14) в уравнение Шредингера и приравнивая чле
ны при одинаковых степенях Й, находим
^5„2 + <7-Е = 0, Si = ±p, So = ± f p(x)dx; (7.15)
S;sj-iS0' = O, S, = i|n^. e«' = + ; (7.Ц
z z ox yjp '
S0S2 + Sj2 - iS'{ = 0, S2=^~-JfU—)2^. (7.17)
2/r dx 4/r \dx/
Результаты (7.15) и (7.16) совпадают с (7.5). Величина S| дает амп-
литуду (7.9), а в правой части выражения для S2 (7.17) оба члена одного
порядка, и при выполнении неравенства (7.12") й£2 «1. В самом деле,
ряд (7.14) является лишь асимптотическим, т. е. для любого 7V сущест-
вует столь малое й, для которого разность S — ^(Й"/н !)S„ сколь угод-
п
но мала, однако при фиксированном реальном значении Й и больших N
эта разность растет. При выполнении неравенств (7.12) первые члены
ряда дают хорошее приближение, а допущенная ошибка — порядка
величины старшего из отброшенных членов.
Волновой пакет, собранный из решений типа (7.5) с одинаковым
направлением распространения,
Ф(х, t) = f f(E- Ео) exp S(x; E) - L £/] (7-18)
E-Eo'JP ti /
обладает уже по существу классическими свойствами Действительно,
фаза составляющих пакета
S(x, t, Е)= S(x; Е) - Et
- £.
есть не что иное, как классическое действие для частицы с энергией
так как
— = ~Е, — = ^ = ±р(х)=± [£ - С7(х)] , (7-20)
dt дх дх
Лекция 7. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
85
фу'ЦКЛ11Я
§ удовлетворяет уравнению Гамильтона - Якоби [32а, § 47]
+ С7(х).
(7.20')
Центр
гиями
пакета (7.18) расположен там, где компоненты с разными энер-
стремятся остаться в фазе, т. е.
^ = — -7 = 0. (7.21)
дЕ ЙЕ
Отсюда мы видим, что центр пакета движется в точности по класси-
ческому закону (квантовые флуктуации и расплывание пакета содер-
жатся в высших членах разложения (7.14)):
as = а Г
а£
Г —-— dx = Г — . (7.2Г)
Поэтому с математической точки зрения квазиклассическое приближе-
ние является разновидностью метода стационарной фазы. Фактически
на этом основана альтернативная формулировка квантовой теории —
метод интегралов по путям Фейнмана [6], заключающийся в сумми-
ровании вкладов от всех траекторий с весом exp (iSIti), где 5 — клас-
сическое действие вдоль данной траектории. Классический принцип
наименьшего действия [32а] отбирает из семейства виртуальных тра-
екторий одну, удовлетворяющую классическим уравнениям движения.
Квантовая механика отвечает „суперпозиции" траекторий, где резуль-
тирующая волновая функция (амплитуда вероятности) определяется
интерференцией их вкладов, имеющих разные фазы.
Легко видеть, что для получения квазиклассического решения в
классически недоступной (подбарьерной) области достаточно в реше-
нии (7.5) считать к(х) = i х (х) чисто мнимой величиной:
Ф(х, /) = -y=J=
Vй* to
х
С exp — J х(х) dx +
( >
(7.22)
/х \
+ D exp J х (х) dx
< А
В любой
ХП°В'-(«/>) и
^Димо уметь
о г
LfleBa
реальной задаче (см. рис. 7.1) есть области обоих ти-
(Ьс). Поэтому для нахождения волновой функции необ-
Поп J сшивать решения, найденные с обеих сторон от точек
СЛР1>Рота- Рассмотрим, например, окрестность точки Ъ (см. рис. 7.1).
-а от нее (а < х < Ь) квазиклассическое решение имеет вид (7.5),
86
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
а справа (Ъ < х < с) — вид (7.22). Удобно во всех фазовых интегрдд
отсчитывать фазу от точки поворота, т. е. выбрать за нижний пред^
точку Ъ (это отвечает определенному выбору предэкспоненциально Л
множителя).
Пусть в области (ab) задано решение (7.5). Оно однозначно опреде
ляет волновую функцию всюду. Однако прямая сшивка (7.5) и (72?i
невозможна, так как вблизи точки поворота квазиклассика непримени
ма и решение не дается формулами (7.5) и (7.22). Искомые коэффи
циенты С и D в (7.22) определяются в принципе амплитудами А и В в
(7.5): запишем их связь через матрицу перехода М
(7.23)
Некоторые свойства матрицы М могут быть установлены из общих со-
ображений.
Существенное ограничение на матрицу М накладывается требова-
нием инвариантности относительно обращения времени (Т-инвариант-
ность, лекция 6). Обращение времени эквивалентно комплексному со-
пряжению и перемене ролей волн, бегущих влево и вправо. Таким об-
разом, матрица М не должна измениться при замене
А ->В*, ВА*, С^С*, D^D*. (7.24)
Для обращенной системы имеем
/С‘\ - {а
J “ \Р
(7.24’)
Сравнивая (7.24') с выражением, комплексно-сопряженным к (7.23), и
требуя их тождественного совпадения при любых А и В, найдем
а = а, р = Д*, М = (7-21
Учтем теперь закон сохранения тока. Аналогично (5.19) и (5.19)
требование j = const дает
| А |2 - | В |2 = 2 Im (С*О). (7-2б)
Выражая теперь С hD через А и В с помощью матрицы М (7.25) и под
ставляя в (7.26), получаем
|Л |2 - |5 |2 = 21т(а*Д)(|Л |2 - |5 |2 ),
Лекция 7. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
87
откуДа
Im (ар) = j .
(7.27)
Однако для полного определения матрицы перехода найденных
тнОщений недостаточно. Существует сравнительно простой способ
С°° ки решений в окрестности точки поворота, если потенциал U(x)
СШ имеет там никаких особенностей. В точке поворота (пусть, напри-
Не она расположена в начале координат х = 0) потенциал (7(0) = Е,
поэтому вблизи этой точки
U(x) ~Е + х [—] .
\dxJ0
(7.28)
Согласно (7.28) в окрестности точки поворота мы получаем задачу
о движении частицы в однородном поле, точное решение которой из-
вестно (задача 5-6), причем оно имеет именно квазиклассическую
асимптотику.
При удалении от х = 0 найденное точное решение должно непре-
рывно сшиваться с квазиклассическим. При этом только необходимо
иметь уверенность, что существует область перекрытия квазикласси-
ческого решения и разложения (7.28). Легко показать, что можно выб-
рать точку х = х, где потенциал еще можно считать прямолинейным
(т. е. х « R, где R — характерное расстояние изменения (7),
а с другой стороны, уже применимо квазиклассическое приближение,
т. е. (dk/dx)x _ * 1- Согласно (7.28) р = ^2тх (—dU / dx)$ ~
~ fin х (U)x = 0 R ~ х = р0 .R Поэтому X. = - ~
V R \R р ро V х
л , и условие (7.12) приобретает вид х3/2 — или х
РО * х рц
/ \2/3 / \2/3
"> _Й_| „ I й „
n — — R — Поскольку параметр квазиклассичности
\А>/ \PqRJ
<) 1 Й
PqR <<: можно выбРать точку х, удовлетворяющую двойному
неравенству
/ \2/3
R — « х « R, (7.29)
\poRJ
пРовести сшивку при х = х.
э
рец] дача 7-1. Сшить асимптотику функций Эйри (задача 5-6) с квазиклассическим
м По обе стороны точки поворота и, выражая результат через матрицу связи М,
88
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
показать, что неизвестные параметры а и (7.25) равны (для рассмотренного
окрестности точки Ь, когда барьер лежит справа от классической области)
случа.
с=1е““/4; 0 = е“/4
2
(7-30)
так что нужные формулы связи имеют вид
Л =е“/4С + 1 е~“/4О; В = е'™/4С + 1 е'л/4Г>.
2 2
(7.31)
Окрестность точки поворота а, когда барьер лежит слева от клас
сической области, рассматривается аналогично, и ответ можно полу,
чить из (7.31) с помощью замен А ** В, С ** D.
Выпишем окончательные формулы связи, которые получаются из
(7.5), (7.22) и (7.31) в разных ситуациях.
I. Точка поворота типа b (рис. 7.2).
1) Задано, что справа (х > Ь) волновая функция убывает (D = о,
С = 1). Соответствие между решениями по обе стороны точки b имеет
вид
(Ь \ / х \
f k dx — —I ------► ~4= exp — f х dx . (7.32)
x 4/ \ b )
2) Справа задана растущая функция (С = О, D = 1):
(Z> / х \
Г к dx — — ------►*---exp If x dx . (7.32')
4) U j
II. Точка поворота типа а (рис. 7.3).
1) Задана слева (х < а) убывающая функция:
“т== ехр [— f х dx | cos | J" к dx — —| . (? -33)
lx / VP L 4/
2) Слева — растущая функция:
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Лекция 7. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
89
Рис. 7.4
Отметим, что, вообще говоря, формула-
U и с уверенностью можно пользовать-
МИ с в одном направлении (указанном
СЯйнЫМИ стрелками в (7.32) и (7.33)).
У°сТвительно, пусть в формуле (7.32) мы
Деи лжаем решение слева направо и в об-
ПРОД х < b допускаем малую погрешность
ла£™ эТо означает малую примесь синуса
32') к левой части (7.32). Однако при продолжении примесь синуса
ает растушую экспоненту (7.32'), которая, каким бы малым ни был
коэффициент при ней, при достаточном удалении от точки поворота
превысит основную (убывающую) экспоненту (7.32). Поэтому „гаран-
тированным“ является лишь продолжение в направлении возрастания
вещественной экспоненты.
В качестве примера применения полученных общих результатов
рассмотрим задачу о нахождении энергетического спектра связанных
состояний частицы в квазиклассической потенциальной яме (рис. 7.4).
Согласно граничным условиям для волновой функции связанного со-
стояния в подбарьерных областях (х < а и х > Ь) должны остаться
лишь экспоненциально убывающие решения. Поэтому при х < а
чр (х) = -£= exp — J тс dx ,
Уйх I „
(7.34)
тогда в соответствии с (7.33) для ямы (а < х
сическое решение
< Ь) запишем квазиклас-
чр (х) = -j= COS
у1р
X
f к dx
k а
4)
(7.35)
Чтобы продолжить решение (7.35) в область х > Ь, перепишем его, из-
менив начало отсчета фазы:
ь ъ '
fkdx — fkdx — —
X sin
+ sin
'b '
J к dx cos
— cos
b
f к dx — —
4,
'b \
J к dx X
(7.35')
(*) —т= cos
IP
'ь
Г к dx — —
4>
^6a0n,aCHo (7-32) и (7.32') первый член в (7.35') при продолжении
•Чую ггЬеР дает РастУЩУЮ экспоненту, а второй — убываю-
стр01^) оэт°му условием существования связанного состояния будет
е обращение в нуль коэффициента при первом члене (тогда ис-
90
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
;КТр
пользование (7.32) в направлении одинарной стрелки безопасно) т I
ким образом, условие квантования, определяющее дискретный спе а"
(ь 4 е’
f k dx
a t
= 0, или
(7.36j
(энергия входит явно в импульс р и в пределы интегрирования- £ -
= U(a) = U(b)).
Мы получили знаменитое правило Бора - Зоммерфельда, обобщаю-
щее и уточняющее первый постулат (1.9) боровской модели атома
Квантуется фазовый интеграл (площадь в фазовой плоскости р, х), рав.
ный классическому действию за период движения
S = ф р dx = 2яЙ (7.36 ,
Строго говоря, квазиклассическим квантованием можно пользоваться
лишь при 5 » Й, т. е., как следует из (7.36'), для высоких квантовых
чисел п »1. Однако для качественных оценок обычно можно экстра-
полировать (7 36') вплоть до л ~ 1.
Разница по сравнению с первоначальным постулатом Бора состоит
в слагаемом 1/2, которое происходит от квазиклассической фазы л/4.
Учет его не приводит к превышению точности, так как оно является
поправкой первого порядка малости по сравнению с п, а ранее отбро-
шены лишь члены второго порядка (7.12). Внутри ямы укладывается
согласно (7.36')
ь
-л fndx = ~n + ^- (?•«
2 J 24
переменных „длин волн“, так что основному состоянию (если бы Для
него можно было применять квазиклассическое приближение) отвечала
бы длина не 2/2, как в случае глубокого ящика (5.13), а лишь 2/4 (ос-
тальная часть полуволны забирается подбарьерными „хвостами в®
новой функции). Однако, как и в случае (5.13), каждому следуюш®*
состоянию отвечает добавление 2/2, т. е. п — число узлов воинов
функции внутри ямы в соответствии с осцилляционной теоремой 1
ция 6). сС.
Площадь в фазовом пространстве между данным связанным в
стоянием и следующим, как видно из (7.36’), равна h = 2nh (Р^^^
Поэтому говорят, что на каждое состояние приходится фазовый о
Лекция 7. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
91
и (2%^)3 в трехмерном случае). От-
(вив .
определяет число квазикласси-
ношение
состояний, которые возникают в ре-
ческих квантования из классических траек-
зУ;1ЬТ., в фазовом объеме кр&х. Это обстоя-
^"ство содержит в себе зерно квантовой
Мистики (для систем многих тел, где при-
С <мо статистическое рассмотрение, обыч-
* большинство доступных состояний мож-
но рассматривать квазиклассически).
Своеобразный характер квазиклассичес-
Рис. 7.5
ких волновых функций (быстрые осцилля-
ции в классической области) позволяет упростить вычисление физи-
ческих величин. Для нормировки волновой функции (7.35') вычислим
нормировочный интеграл J dx | гр (х) |2. Поскольку под барьером вол-
новая функция быстро затухает (квазиклассическая глубина проникно-
вения мала: / ~ ~ ~ X 7?), то достаточно в интеграле оставить лишь
х
классическую область. Квадрат быстро осциллирующего косинуса
можно заменить его средним значением 1/2, после чего интеграл легко
выражается через классический период движения Т или частоту
со - 2л/Т:
ь
f dx
b ‘(b)
-Lfdx = J_ fdt = d_L = _?_
2m а v 2m 2m 2 2ma>
(7.38)
Поэтому нормированная волновая функция и-го связанного состояния
tynix) = cos (fk„dx — ~
\ Ч>П U
cos Ф„(х). (7.39)
пРп
вычисляя J ipmipn dx, легко видеть, что с точностью до экспоненци-
Щих° Малых вкладов подбарьерных областей и быстро осциллирую-
спк „Членов различные квазиклассические волновые функции между
ортогональны.
воЛь Ычислим теперь квазиклассический матричный элемент произ-
цу П Г° опеРатоРа 6, зависящего от координаты или импульса части-
определению матричного элемента имеем в приближении (7.39)
92
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
{п | Q | т) = J dx Q ут =
= — ^со„а)т J* dx cos Ф„(х) Q -Д= cos Фт(х).
п -JPn уРт
Пусть сначала Q — Q(x). Тогда произведение косинуса в (7.40) М0Ж1)
преобразовать так, что
(и | т)={п |0(x)|zn>= - ^(Pr,(P,n f Л- Q(x) X
Л TlPnPm (7.41)
X {cos [Ф„(х) - Фт(х)] + cos [Ф„(х) + Фт(х)]}.
Поскольку обе фазы Ф„, Ф,„ квазиклассически велики, второй косину^
в (7.41) очень быстро осциллирует, так что интеграл от его произведи
ния на плавную функцию крайне мал и им можно пренебречь.
Дальнейший расчет мы произведем для практически'важного слу-
чая близких состояний, когда п ^>1, т»1 (квазиклассическое прибли-
жение), но | п — т \/п « 1. (Рассмотрение более сложного общего слу-
чая см. в [32в, § 51].) Тогда в плавных функциях всюду можно поло-
жить п = т (ш„ = а)т = со, р„ - рт = р)\
{п | Q(x) | /н) = — f Q(x) cos [Ф„(х) - Фи(.х)] . (7.421
п р(х)
Для разности фаз близких состояний имеем:
X X
Ф„(х) - Фт(х) = 7 f Рп dx - - f рт dx ~
П (7.43)
х х а
~ Т )(«« “ «„>) — f Рп dx + (и - т) f dx
й «„ а„ дп
В первом члене в фигурных скобках (7.43) надо взять подынтеграль-’
ную функцию на нижнем пределе интеграла, но так как ап — тоЧК
поворота, то рп (ап) = 0, и в (7.43) остается лишь второй член. Его мож-
но выразить через расстояние между соседними уровнями
д = е - Е (7-441
ап
Продифференцировав по п уравнение, связывающее энергию и и*1
пульс и-го состояния: 2
Еп = + ЩхУ
zni
найдем dEn = — dpn = vn dp„, откуда
m
93
Лекция 7 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
f dx = J dx = Д„ JT = Д„/„(х). (7.45)
7 дп ап дЕп dn anvn
( ___время классического движения с энергией Еп от точки
ЗЯеСЬота ДО точки х.
п0В для нахождения Д„ продифференцируем по п условие квантования
(7.36): ! d ь
71 =-----I р„ dx.
h dn а
ип
(7-46)
Так как по-прежнему дифференцировать следует лишь подынтеграль-
нуЮ функцию, но не пределы интеграла (7.46), получаем аналогично
(7.45)
*
Л = 1 д„/^ = 1д
й Ja - “
vn п 2 л <ип
(7.46')
откуда
Д„ = Па)п.
(7-47)
Равенство (7.47) выражает принцип соответствия (ср. с (1.20)).
Расстояние между ближайшими квазиклассическими уровнями равно
классической частоте периодического движения с той же энергией.
В каждом малом участке квазиклассический спектр связанных состоя-
ний эквидистантен (как у гармонического осциллятора с частотой а>,
причем сама частота со плавно меняется при переходе от одного участ-
ка спектра, включающего много уровней, к другому). В силу этого
спектр излучаемых квазиклассической системой частот будет содер-
жать основную частоту и почти кратные ей гармоники — как у класси-
ческого вибратора.
Подставляя результаты (7.45) и (7.47) в (7.43), находим
Фп(л) - Фт(х) ~ - (и - т) tta)„tn(x) = а)п(п - т) t„(x). (7.48)
h
(7.48) и (7.42), где опять достаточно оставить лишь интеграл по
ассической области а < х < Ь, получаем матричный элемент
Ь"
(« I б(х) | nt) = — f — Q(x) cos [(« - m) a)t (x)], (7.49)
n a„ v
’ пе₽еходя к интегрированию по времени,
Г/2
. . % 7 Г 2лг(« “ w)/
(« | Q(x) ]т) = — f dt Q(x(t)) cos -— -----. (7.50)
94
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Таким образом, в квазиклассическом пределе матричный элемент J
ратора Q(x) между близкими состояниями с разностью энергий йсо° |
реходит в фурье-гармонику с частотой а) величины Q(x(f)), рассма-г^ 1
ваемой как функция времени вдоль соответствующей классически
траектории (ср. с точным результатом (6.24)).
Задача 7-2. Доказать, что матричные элементы оператора Q(p) также перехОдят|I
фурье-компоненты классической величины где р(Г) — импульс на той же кп *
сической траектории.
Указание. Заменить импульс дифференциальным оператором
и Учесд
что в применении к квазиклассической волновой функции следует дифференцировав
лишь фазу Ф(х), но не плавный множитель ——
Аналогично с помощью формул связи (7.32), (7.33) можно рас-
смотреть и задачи, связанные с непрерывным спектром, в частности,
туннельный эффект.
Задача 7-3. Доказать, что квазиклассический коэффициент прохождения через
барьер (см. рис. 3.5) равен
' Ь
Т = ехр — 2 J" х dx ,
i а I
х = - у)2т [t/(x) - £] .
(7.5!
Результат (7.51) правилен, если точки поворота а и b расположен’
достаточно далеко друг от друга, так что под барьером есть облает^
удаленная от а и Ь, где уже применимо квазиклассическое приблииМ
ь
ние. Легко видеть, что при этом J х dx 1, Т « 1. Если же это нет»
а
и Т ~ 1 (например, энергия Е близка к вершине барьера на рис. 3.5, так
что точки а и b сближаются), то необходимы более тонкие методы-
позволяющие учитывать обе точки поворота сразу, а не в отдельности
Такой подход будет намечен в приложении А.
Задача 7-4. Вычислить коэффициент прохождения через кулоновский барьер <4*
делении ядра на два осколка Z -» Z\ + Z2.
Ответ. Для точечного ядра
Т = ехр
“ 2jiZ\Z2 —
hv,
v — относительная скорость осколков.
а- 4с
Литература: [16; 17; 21; 25; 27; 32в, гл. 7; 32д, § 68; 39, гл. >
гл. 2-5; 50; 51].
Лекция 8. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
Покажем сначала, что, как и в классической механике [32а, § 13],
квантовая задача двух тел с потенциалом взаимодействия W, завися-
щим лишь от относительного расстояния, сводится к задаче одного
тела. —
Система двух тел описывается волновой функцией Ф(^, r2, f), кото-
рая подчиняется уравнению Шредингера (4.21):
j, Г 2> 0 о О -
л —------= • - ~ V? - V2 + Wtf - г2) Ф(/], f2, t). (8.1)
dt 2m2
Введем координату R центра масс и относительную координату г:
mtrt + т2г2
R = ------------, М = ГИ[ + m2', г = rt — г2. (8.2)
м
Тогда операторы импульсов V| и V2, входящие в (8.1), следует преобра-
зовать так:
Vj = V + V=, v2 = - V + v=, V = v?.
м R М R
Оператор полной кинетической энергии в переменных (8.2)
К = _ * te + УЙ = _ £ [у! + VF
2 \ т2/ 2 т М,
(8-2')
(8.3)
как ЭДается на Два слагаемых, отвечающих энергии движения системы
гии Делог° ( перемещение массы М, описываемое вектором R) и энер-
°тносительного движения с приведенной массой
т = 1 _ wlw2 _
_1_ + _L т\ + п>2 М
т2
(8.4)
96
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Энергия взаимодействия W(f) играет роль потенциала внешнего п0 I
в котором движется частица массой т, так что мы вернемся к обоз^’
чению U(г ): 11а"
aW, «J) = J V2 _ Ji vj + ф(Г д 0
dt I 2т 2М * J 2
(8.5
Ясно, что зависимость Ф от R отвечает свободному движению
центра масс с произвольным полным импульсом Р и соответствую^
энергией £П0Ступ = Р2/(2Л/)- Поэтому сразу отделим общие множители
описывающие тривиальное поступательное движение:
~ “ доступ Л ^(г. О-
п /
Ф(г, R, t) = exp - И? exp
\й /
(8.6)
Окончательно получаем для описания внутреннего движения
одного тела массы т в поле U(f'):
О
in-------=
dt
Г ft2 _
J_ «_ v2 + U(ry Ф(г, 0
I 2m
_ — — Et
или для стационарных состояний Ф(г, t) = ip (г) е й
V2tf> + (t2(F) ip = 0, k\r) = ~ [Е - C/(F)]
п
задач}
(8.7)
(8.8)
Пусть потенциал обладает центральной симметрией, т. е. зависит
только от абсолютной величины г = | г | , тогда уравнение (8.8) содер-
жит явную функцию лишь от г и допускает разделение переменных в
сферических координатах (г, в, <р):
х = г sin 6 cos <р, у = г sin 6 sin ip, z = r cos 6, (8 ^
в результате (8.8) принимает вид
— (г2 —+ -у AV + £2(r) = °-
г2 dr X dr) г2
Здесь оператор А есть угловая часть оператора Лапласа V2:
1 1 а . л а , 1 а2
А =----------sin 0-----1- —5-----у
sin 0 дО дО sin2 0 д<р
(8.Ю'
неПр^*
Мы должны найти непрерывное решение (8.10), обладающее
рывными производными по г, в, <р. Будем искать его в виде
ip (г, в, tp) = и (г) Y(0, <р).
Лекция 8. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
97
„ пепеменные, получаем из (8.10)
разделяя Р
1 М
и
dr
r2 du
< dr,
—I + &2(г) Г2и\
(8.13)
Займемся сначала угловым уравнением, которое не содержит ни
и Е ни потенциала U и поэтому является универсальным для
^^ретного и непрерывного спектров в любом центрально-симмет-
"°"е: Ar + сг = а
(8-14)
Угловое уравнение (8.14) решается новым разделением переменных
У(0, у>) = Р(0) Ф(у>). (8.15)
Введя аналогично (8.13) новую константу разделения, которую обозна-
чим п?2. получим
Ф" + ти2Ф = 0, Ф = e±imP (8.16)
Так как волновая функция ф (г, 0, tp) должна быть однозначной функ-
цией своих аргументов, то изменение угла р на 2л должно приводить к
тому же значению Ф(уг), т. е. Ф(у>)— периодическая функция. Требова-
ние периодичности сразу отбирает лишь целочисленные значения т.
Тогда для Р(0) получается известное уравнение присоединенных
функций Лежандра [35], причем условие конечности значений Р на
концах интервала (0 = 0 и 0 = л) может быть выполнено лишь для
определенных значений
С = 1(1 + 1); 1 = 0, 1, ...,
(8.17)
а при фиксированном I для т может существовать лишь 27 + 1 зна-
чений:
m= — l, — l + 1,... ,0,. ..,1-1,1. (8.18)
Обычно для обозначения состояний с определенным 7 используют
спектроскопическую символику, сопоставляя значениям 7 буквы:
0 1 2 3 4 5...
s р d f g h ...
(8.17’)
Для
лЯ1а?Ы^Ранных согласно (8.17) и (8.18) значений т и 7 решением яв-
присоединенные полиномы Лежандра
(7 + W)! (1 - Г]2) т/2 dl -т
(Z - /и) ’ 21 7! dr]1 ~т
Т] = cos 0. (8.19)
3010
98
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
При т = 0 присоединенные полиномы Лежандра переходят в поли 1
Лежандра
P/oW) = Pi(V), (8 J
а при замене т на — т
(I — т)!
Pl -М = (“ 1)"' (/ + ш) । р1т(г]). (8,!9'|
Таким образом, решениями углового уравнения (8.14) являются
сферические функции
<Р) = ^„e''"'pP/„,(cos 0), (8 2)|.
где I и т — произвольные целые числа, / > 0, | tn | < I. Можно прове-
рить, что сферические функции (8.20) ортогональны, если определив
скалярное произведение функций на сфере единичного радиуса как
(V, Ф') = f d0 Ф*(0, tp) Ч'(0, <р) =
2л л 2л I (8 2’1
= f dtp J sin 0 dO Ф*Ф' = J dtp f dr] Ф*Ф'.
0 0 0 -1
Если выбрать нормировочную константу равной
/г/ +
Nlm = (-1)"1 л —
V 4л
0-м)!
(/ + т) ! ’
(8.22)
то сферические функции (8.20), (8.22) образуют ортонормированную
систему
(^/»i> Ъ’т') &1Г ^тт'-
(8.231
Эта система является полной, так что любая непрерывная на интервал
| г] | < 1 и периодическая по tp функция /(0, tp) может быть по ней ра’
ложена:
оо /
Ж^)= 2 fimYlm(6,tp\ (8 2<1
I = 0 m = -/
fln, = (У/,,,, П-
Найденное решение углового уравнения имеет простой физичес
смысл. Оператор углового момента в задаче 4-1 есть
- (8 2-'
L = - ih [г х V] 18
лекция 8. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
99
"" 8-1. Доказать, что оператор квадрата момента пропорционален угловой
3®Д П) оператора Лапласа:
части Д ~
Z2 = - Й2Л.
(8.26)
Р то же время в сферических координатах оператор имеет вид
t ч- I а а । .* а
Lz = — iti\x----у — = - tn — .
\ду дх) д<р
(8.27)
ду ' дх.
Действуя операторами (8.26) и (8.27) на сферическую функцию
Г/и(0%), видим из (8.14), (8.17) и (8.20), что
L2Ylm = h2l (I + 1) У/т,
(8.28)
ftnt -
(8.28*)
Таким образом, сферические функции У/т являются собственными
функциями операторов квадрата момента и его z-проекции, отвечаю-
щими собственным значениям Й2/ (/ + 1) и tun соответственно (т. е.
константы разделения С и т определяют орбитальное и магнитное
квантовые числа). Условие (8.17) дает, следовательно, квантование ор-
битального момента (1.9'), а (8.18) — ограничение I = (Lzjmax,
L | < (£z)max (1.23) и пространственное квантование (см. лекцию 3,
п. 6).
В центрально-симметричном поле все операторы L2, L>:, Ly, Lz ком-
мутируют с гамильтонианом (задача 4-7) и, значит, сохраняются. Одна-
ко, как мы видели в лекции 3, п. 6, не существует состояний, где были
бы одновременно точно определены все три проекции момента. В на-
шем случае осью квантования выбрана ось z, поэтому проекции Lx, Ly
не имеют определенных значений. Поскольку функции У/т образуют
полную ортогональную систему и сами в силу уравнений (8.28) це-
ликом определяются значениями операторов Lz и Z?, то Lz и L2 пред-
ъявляют собой полный набор одновременно измеримых величин для
УЯовых волновых функций.
Конечно, выбор оси z в качестве оси квантования произволен. Пе-
°Д к другой оси означает некоторый пространственный поворот и
Ны аеТ ВЬ1б°РУ состояний с определенным (как и раньше, квантован-
тах ) ЗНачением проекции момента на новую ось. Так как при поворо-
Дол-МеНЯетСЯ лишь ориентация системы координат, то длины векторов
Ы остаться неизменными. Это означает, что преобразованное со-
е по-прежнему будет отвечать значению L2 = h2l (I + 1). Поэто-
если по общему правилу (8.24) угловую часть новой волновой
100
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
функции У/,„- (О', <р' ) разложить по старым функциям У/т(0, <р\ То
ложении отличными от нуля будут лишь члены с тем же самым
чением 1 = 1".
Раз.
3На.
/
F/-m- (О', <р') = X D^)mYrm(0, <р),
т =
(8 29
где коэффициенты разложения зависят от углов поворота СИс
темы координат. Таким образом, 2/ + 1 сферических функций у
(„мультиплет”) преобразуются друг через друга при вращениях (реа"
лизуют неприводимое представление группы вращений). Очевидно, что
радиальное уравнение (8.13) вообще не затрагивается поворотами.
При пространственном отражении (г -> — г) радиальная часть вол-
новых функций также не меняется (г -> г), а в угловых функция»
следует преобразовать координаты
0 -> л — 0, <р -> л + <р. (8 3(
При этом Ф(^>) -> (— 1)'"Ф($р), а, согласно (8.19), Р/,„ -> (—1/ ~тР/т, та
что сферическая функция У/,„ приобретает фазу (— l)z. Итак, четность
состояния определяется только величиной орбитального момента
и равна П = (— 1/. Подчеркнем, что этот результат специфичен для
одной частицы в центральном поле: в общем случае нет однозначно
связи углового момента с четностью. Для системы слабо взаимодейст-
вующих частиц в общем центральном поле полная волновая функция
есть произведение одночастичных функций и полная четность равна
____ /.
П = (— 1) «
Приведем еще некоторые полезные свойства сферических функ-
ций. При нашем определении (8.19)
K/X = (-i)"'i/m- (8J
При т = 0 сферические функции не зависят от <р и пропорциональны
полиномам Лежандра:
\ц + 1 /о ijl
Yl0(6) = л----- Pi (cos 0).
V
Полином Лежандра от косинуса угла между векторами Я, л расклаД
вается по сферическим функциям (теорема сложения)
Р^йп') = £ Yim(H) Ytm(ii )• (8'1
2/ + 1 т = -I
Лекция 8. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
101
ВЫПИ1ИеМ’
наконец, несколько первых сферических функций:
- -Д=, ylo = ,f^cos0, Гц = - Д- е'*’ sin 0,
’° 444 Мл V&r (8.34)
cos2 0 — 1).
рассмотрим теперь радиальную часть уравнения Шредингера
13 4 - (г2 —) + к\г) и-^и = 0. (8.35)
г2 dr \ dr) г2
Переходя к новой функции
(8.36)
и подставляя константу С из (8.17), получим
/ (I + I)
,2
%" + k2(r) -
X = °-
(8.37)
Радиальное уравнение свелось к „одномерному11 (но на полуоси г > 0)
уравнению для движения в эффективном потенциале
U{r) = U(r) + hl(l + -- . (8.38)
2mr£
Добавленный в (8.38) член равен, согласно (8.28),-т. е. представ-
2тгл
тяет собой центробежный потенциал.
Уравнение (8.37) содержит всю специфику задачи и определяет
собственные значения энергии Е. Поскольку магнитное число т не вхо-
дит в (8.37), энергия Е не будет от него зависеть (поле центрально-сим-
“етричпо, так что энергия не может зависеть от ориентации системы
«к целого). При каждом I возможен целый набор собственных значе-
и 1 Е. Если соответствующие состояния лежат в дискретном спектре,
их можно нумеровать главным квантовым числом п, так что волно-
ад Функция (8.12)
4>ni,n{r) = u„i(r) Ybn(0, <р), (8.39)
Е = Eni. В непрерывном спектре роль главного квантового
и1 а играет сама энергия Е.
(И)Не^ЛИ Потенциал U(r) не слишком сингулярен в начале координат
'’азы еН ИЛН °^Раи1ается в бесконечность медленнее, чем 1/г2), то при
г основным в (8.38) оказывается центробежный член. Поскольку
102
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ механике
(8.3),
он положителен, возникает центробежный барьер, препятствуй I
проникновению частицы к центру. В области малых г уравнение
сводится к следующему:
Z (Z + 1)
z-----------X = 0. (8 371
и имеет два линейно независимых решения
хГ’ = ^' + '. = (8.40)
Сингулярное решение не удовлетворяет физическому требованию ко.
нечности волновой функции в центре, поэтому следует выбрать регув
лярное решение и ~ г1. Амплитуда вероятности попадания частиц!
под центробежный барьер, естественно, уменьшается с / и лишь дц
s-волны (/ = 0) отлична от нуля в начале координат:
V’nOoCO) -
WO) _ ао
(8.41J
Более сингулярные потенциалы притяжения могут разрешить паденм
на центр [32в, § 35] и не встречаются в реальных задачах. Сингулярньи
отталкивательные потенциалы (например, для взаимодействия нукло-
нов на очень малых расстояниях) иногда могут быть заменены тверда
непроницаемой сердцевиной, на границе которой волновая функции
обращается в нуль.
На больших расстояниях реальные потенциалы обычно довольно
быстро убывают. (Исключение составляет кулоновский потенциал, W
убывание слишком медленно — пропорционально 1/г.) Тогда при
г -* оо уравнение (8.37) дает
%" + к2% = 0, к2 = £2(°°) = (8.4*1
Таким образом, для Е > 0 мы имеем непрерывный спектр, а асимпто-
тика волновой функции приобретает вид
* /. е±'*г
% — е~’кг, и-----------------
(8.43]
а (е*1
что соответствует сферическим волнам, расходящимся от центра « j
или сходящимся (е~'кг). Убывание амплитуды волны как 1/г обесп
вает сохранение радиального потока вероятности jr = ttknjnr
увеличении поверхности пропорционально г2 (аналогично этом)'
кие волны имеют зависимость е±,кх, а цилиндрические — е-' Nr’ т
р — радиус цилиндрической системы координат).
Лекция 8. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
юз
р и £ < 0 (дискретный спектр) функции % затухают:
X ~ е-хг, и = | Е | .
(8.43')
состояния частицы в центральном поле характеризуются
интегралами движения — Е, Z2, Lz — и соответственно тремя
Ютовыми числами — п (или Е), I, т. Три коммутирующих операто-
f{ j?yL2 — дают полный набор одновременно измеримых ве-
pi
«чин.
Остановимся кратко на применении квазиклассического приближе-
л [Я радиальной задачи (для угловых функций см. в [32в, § 49]). Ра-
диальное уравнение (8.37)
2mU(r)
й2
Г+ к2~
/ (/ + 1)
„2
X = 0, к2 = , (8.44)
Й
имеет особенность при г = 0. Поэтому, например, для задачи о связан-
ных состояниях, кроме имевшегося в одномерном случае (рис. 7.4) тре-
бования убывания волновой функции в подбарьерную область, здесь
есть еще строгое условие %(0) = 0. Для того чтобы убрать особенность,
фхобразим полуось г > 0 в ось — оо < % < оо с помощью замены
г = еА, г = 0-»х = — оо, г = оо -> х = оо
(8.45)
После замены (8.45) уравнение (8.44) примет вид
l‘?z . 2л
— ----------Ь е2л
dx1 dx
к2 U(ex) - Z (Z + 1) е~2х % = 0.
tr J
(8.44')
Член с первой производной исключим, введя новую функцию /т(х) сог-
10 выражению
.1:'
+ е2г к2 -
X = ех/2и(х)>
- U(е*) — (/ + -] е~2х ц(х) = 0.
(8.46)
(8.44")
получили одномерное уравнение обычного типа с граничными ус-
« j 1И на ± оо. Фаза квазиклассической волновой функции согласно
4 ) равна
Л / \2
S(x) = f dx exJk2 - U(ex) - |Z + e“2r. (8.47)
Возвращаясь к исходной переменной г (8.45),
104
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
J/ \2
V +
к2 - U(r) -
Сравнение (8.44) и (8.48) показывает, что радиальное уравнен '
(8.44) можно решать обычным квазиклассическим методом (если Ие
тенциал удовлетворяет условиям квазиклассичности), сделав лишь
мену
(8.49)
Для трехмерных задач с неразделяющимися переменными кони,
руктивные квазиклассические методы почти не разработаны.
Литература: [4, § 1-3; 13; 15; 17; 21; 22, § 38; 32в, гл. 5; 37, гл 3-
39; 51].
Лекция 9. АТОМ ВОДОРОДА (ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР)
Атом водорода — связанная система протона и электрона. Основ-
взаимодействие здесь — кулоновское. Пренебрегая всеми осталь-
ными взаимодействиями и выделяя движение центра масс, как показа-
ло в лекции 8, получим для описания стационарных состояний относи-
тельного движения уравнение
- — V2^ (г) - - (f) = Eip (г). (9.1)
2т г
Здесь т — приведенная масса ядра и электрона (8.4), почти равная те',
g = е1. Точно такой же вид уравнение Шредингера будет иметь для
других водородоподобных систем. К ним относятся водородоподобные
ионы (т = теМя!(те + Л/я), g = ZHe2), позитроний (связанное состоя-
ние электрона е~ и позитрона е+, т = теГ2, g = е2), мезоатомы
(связанные состояния ядра и отрицательного л-, р- или А'-мезона,
т= рМя1(р + Мя), g = Z„e2) и др. Уравнение (9.1) принадлежит к
типу центрально-симметричных задач (8.8) и может быть решено раз-
делением переменных в сферических координатах. Энергетический
спектр состояний с орбитальным моментом I определяется радиальным
Уравнением (8.37):
2тЕ 2m g _ Z (Z + D
Й2 Й2 r
(9-2)
ак было показано в (8.40), вблизи начала координат регулярное реше-
е х ~ г1 + 1. На больших расстояниях асимптотика волновой функ-
Ии (8.43), (8.43’) такова, что состояния с Е > 0 образуют непрерывный
Р> а с Е < 0 — дискретный, который мы ниже и рассмотрим.
зап еДЯ показатель затухания х волновой функции при г (8.43’),
ем Уравнение (9.2) в безразмерном виде
U[p) / (/ + О
Ф2 £ р2
р=хг.
(9.3)
7 = 0,
106
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Для нахождения решения, отвечающего связанному состоянию ПсД
вающего пропорционально с~р при р -» °°), выделим сразу извести*
по результатам лекции 8 поведение радиальной волновой фунсИ
вблизи особых точек р = 0 и р = °о;
%(р) = р‘ + 1 е~Р п(р). (9;
Функция п(р) должна быть регулярной вблизи особых точек, т. е.
ложима в степенные ряды. Она удовлетворяет уравнению
CQ) _ 2(7+ 1)
. Е р .
V = 0.
V" + 2-----------1 1/ +
\ Р /
Введя еще вспомогательный параметр
U(p) -g i gx
Е = р ~— = хг---------— —
Е г -\Е |£|
' 2т
g
й
перепишем (9.5):
pv" + 2(1 + 1 - р ) V’ + [£ - 2(1 + 1)] v = 0.
Решение (9.5') будем искать в виде ряда
1?(р) = с0 + cip + с2р2 + ... = ^скрк
к = 0
(9.I
ГО;
(О-
Подставляя ряд (9.7) в уравнение (9.5') и собирая коэффициенты .пи
рк, получаем
к(к + 1)ск + j + 2(/ + 1)(А- + 1) ск + j - 2кск + [£ - 2(1 + 1)] ск = U
откуда следует двучленное рекуррентное соотношение
2(А + 1 + Z) - 5
Cl j_ i — Ск •
(к + 1)(7t + 2/ + 2)
Если ряд (9.7) содержит бесконечное число членов, то для больший
из (9.8) вытекает приближенно:
(OS'
ск + 1 __ 2
Q к
Именно члены ряда с большими к определяют асимптотическое п
дение v(p) при р -» °о Согласно (9.8'), асимптотика v(p) совпала
с асимптотикой растущей экспоненты
I ‘I
Лекция 9 АТОМ ВОДОРОДА (ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР)
107
означало бы что радиальная волновая функция %(р) (9.4) рас-
Цо эТ°я ири р ”* 00 как Р1 + ' еР- Поэтому для волновой функции, опи-
хоДИ^я j, связанное состояние и убывающей на бесконечности, ряд
сыва10 жеН обрываться, так что функция ц(р) (9.7) должна быть ко-
(9 7 полиномом некоторой степени N, т. е. cN 0, cN + i = 0.
He4Hpj3 (9.8) получаем условие убывания волновой функции
£ = 2 (N + 1 + /), (9.9)
тогда
2(k - N)
с/( + ] — -------------------------с I.
(к + 1)(й + 2/ + 2)
(9.10)
(Полиномы с коэффициентами, подчиняющимися условию (9.10), на-
зываются полиномами Лагерра.)
Удобно ввести главное квантовое число
I
2
п = N + I + 1 =
(9.П)
Используя определение (9.6) параметра £,
состояний
получаем спектр связанных
Е=Е
" Й2£2
mg2
2h2n2
(9-12)
и 1и для водородоподобного атома
г, mZ2e4
Еп = ~
2h~n~
(9.13)
Зто полученная в начале курса формула Бальмера (1.14).
жш ^адача Показать, что квазиклассическое квантование (8.48) приводит в дан-
случае к точному результату (9.13).
Вводя „боровский радиус”
_ Ji
а т<?
(9-14)
Пр!} —
найдем We он совпадает с боровским радиусом водорода ао (1.13)),
„Длину затухания” волновой функции и-го уровня
(9.14*)
Я2 а
---------- = п — .
2т | Еп |-Z
i +С1°С)ЬК^ сгепень полинома N > 0, то главное квантовое число
• Основному состоянию согласно (9.13) отвечает п = 1 (К-обо-
108
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
лочка) Тогда орбитальный момент I может быть равен только J
(АГ-оболочка содержит лишь .s-состояние, спектроскопическое облЯ
чение l.s), а значит, и его проекции на ось квантования lz =
новая функция основного состояния (8.39), учитывая (9.4) и (9.14ч °'*’
пишется как z ’ За‘
V’ioo ~ “---е~р v(p) ~ ~ e~Zrla
Р
(9.15
2
так как v(p) = с0 — const, Х\ = —. Нормируя волновую функцию (9 [ I
получим
Viootf) = V’ioo(f-) = е Zr,a.
V 7ГО
(9.16,
Так как радиус орбиты а------ , то в /z-мезоатомах (масса мюона ц\
нижняя орбита расположена в pjme ~ 200 раз ближе к ядру, чем в aroi t
водорода. Для электрона ядро можно в хорошем приближении считал
точечным. Однако в мезоатомах (особенно тяжелых, где радиус орби j
еще уменьшается в Z раз) размеры орбиты становятся сравнимыми с
размерами ядра. Тогда рассматриваемый подход, основанный на
гамильтониане точечных зарядов, будет незаконным и нужно учиты-
вать конкретное распределение заряда по объему данного ядра. С этой
точки зрения излучение спектров мезоатомов дает ценную информ
цию о ядерной структуре.
Первая возбужденная оболочка (L-оболочка) водородоподобной
системы отвечает п = 2, тогда возможны орбитальные моменты / =
(одно 2л-состояние) и I = 1 (три 2р-состояния с т = 0, ± 1), т. е. L-o&
лочка содержит 4 разных состояния. Состояния, отличающиеся лишь
по магнитному квантовому числу т при совпадающих остальных кван-
товых числах, заведомо вырождены по энергии в силу центрально
симметрии поля. Однако в случае чисто кулоновского поля существу1
еще и случайное вырождение', согласно (9.12) энергия определяет я
лишь главным квантовым числом п и не зависит от I (на классичес
языке — от эксцентриситета орбиты). При п = 3 (М-оболочка) возм^
ны одно Зд-состояние (/ = т = 0), три 3/2-состояния (/ = 1; w = 0, - V
пять 3<7-состояний (/ = 2; т = 0, ± 1, ± 2), всего 9 состояний. Легко W
лучить общую формулу для числа вырожденных состояний в обол
с данным числом п: п _ ।
2 (2/ + 1) = и2.
/ = о
(9.Г'
сшч
До сих пор мы не учитывали наличие у электрона вектора
проекция которого на направление квантования ms (в единицах Я
Лекция 9. АТОМ ВОДОРОДА (ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР)
109
инимать два значения: ±1/2. Тогда каждое состояние удваива-
ет пРна1пем приближении энергия от спина не зависит, и мы имеем в
ется, водочке 2и2 вырожденных состояний.
каЖДоИ^ фаКГ обЪЯсняет особую устойчивость электронной структуры
тных газов: число электронов в их атомах как раз таково, что пол-
инеР заполнено некоторое число оболочек (Не — Z = 2; Ne —
h°^Tjq 2 + 2 4)). В более сложных атомах эффекты межэлектронно-
"взаимодействия достаточно сильны, так что рассмотренная одно-
г0 кронная картина оказывается слишком грубой.
Задача 9-2. Показать качественно, что в сложных атомах вырождение по I снима-
и состояния с большим Z (при данном и) имеют меньшую энергию связи (эффект
экранировки ядра другими электронами).
Конечно, выражения „орбита“, „оболочка11, „радиус орбиты11 не
следует принимать в буквальном смысле. Как всегда в квантовой меха-
нике, в отличие от первоначальной модели Бора, мы имеем „облако11
вероятности обнаружения электрона, имеющее угловую форму, описы-
ваемую функцией Yim(6, <р), и определенную радиальную зависимость
с максимумом на боровских радиусах (1.13) r„ = n2a/Z (проверьте!).
Число узловых поверхностей радиальной волновой функции (включая
г = 0 для всех состояний с / / 0) равно п.
Отличие от нуля волновой функции 5-состояний в начале коорди-
нат (8.41) существенно в ряде физических эффектов. В некоторых слу-
чаях структура ядра такова, что энергетически возможен захват атом-
ного электрона ядром с реакцией
р + е -+ п + V.
Этот процесс обусловлен слабым взаимодействием, в результате ядро,
имевшее избыточное количество протонов, перестраивается в более
низкоэнергетическое состояние. Высвобожденная энергия уносится
нейтрино.
Вероятность такого процесса существенна лишь для электронов,
попадающих внутрь ядра, т. е. находящихся в s-состоянии (в зависи-
I и от главного квантового числа п это будет //-захват, Z-захват и
так АТОМНЬ1е ^-оболочки играют особую роль и в других процессах:
св0’егПРИ внУтРенней конверсии возбужденное ядро отдает энергию
либо ° В03^ждения (без излучения фотона) непосредственно какому-
g Из ^'Электронов, который после этого вылетает из атома.
НеУчт3аКЛЮЧение перечислим физические факторы, которые остались
^нными в проведенном расчете.
°тлИча ДР° имеет конечные размеры и его электростатическое поле
зт°т эа ,Ся от чисто кулоновского. Как уже говорилось, для электрона
TH4ecKngT МаЛ’ ТаК КаК аУ> Тем не менее эффект носит система-
характер и проявляется в изотопическом смещении атомных
110
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
уровней при добавлении к ядру одного или нескольких нейтронов
меняющих полного заряда ядра, а изменяющих лишь его объем ’
2. Электрон обладает спином, так что возникает магнитное в
модействие движущегося магнитного момента с электрическим пол^Д
ядра.
3. Существуют релятивистские эффекты зависимости от скор0сти
Эффекты 2 и 3 имеют порядок и2/с2 ~ («Z)2 (1.16') и обычно малы
хотя вполне наблюдаемы и обнаруживаются в тонкой стру/^Л
спектров.
4. Ядро может иметь магнитный момент (порядка ядерного магне-
тона (1.22)), а иногда (как дейтрон) и квадрупольный момент. Поэтом)
уже статическое поле ядра отлично от кулоновского, что привода
к сверхтонкой структуре спектров (эти эффекты малы по сравнению
с эффектами тонкой структуры из-за большой массы ядра).
5. Наконец, атом окружен полем излучения и взаимодействуете
его нулевыми колебаниями. В результате возникает малый сдвиг неко-
торых атомных уровней (лэмбовское смещение).
Все эти явления будут приближенно рассмотрены после того, как
мы введем аппарат, позволяющий учитывать малые поправки к точным
решениям, — теорию возмущений.
Литература: [4, § 10; 9; 19, гл. 6; 22, § 39; 27; 32в, § 36, 37; Г,
гл. 7; 47, вып. 9; 54].
Лекция Ю. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ
рассмотренные простейшие задачи дали нам представление об
основных идеях квантовой теории и наиболее важных физических
№1ениях, ею предсказываемых. Опираясь на эти результаты, можно
теперь попытаться подойти к построению теории с более общей (абст-
рактной) точки зрения.
В лекции 2 мы видели, что вопрос, на который должна отвечать
квантовая динамика, следует формулировать, в отличие от классичес-
кой теории, в терминах вероятности того или иного результата экспери-
мента. Если в момент времени to приготовлено состояние, описываемое
набором одновременно измеримых величин А, то нас интересует веро-
ятность
w(B,f,A,t0) (10.1)
loro, что при измерении в момент t некоторой совокупности, вообще
своря, отличных от А, по также одновременно измеримых величин
''дет получен результат В. (Для величин В, имеющих непрерывный
спектр значений, следует подразумевать плотность вероятности значе-
ний В в бесконечно малом интервале от В до В + dB. В целях простоты
яписи будем пользоваться одинаковыми обозначениями (10.1) как для
•и.кретного, так и для непрерывного спектров. К тому же обычно
*но все рассмотрение проводить для дискретного спектра, совершая
включение предельный переход, что часто в дальнейшем будет пред-
лагаться без особых оговорок.)
скомая вероятность (10.1) есть вещественная положительная ве-
а> и поэтому можно ввести, вообще говоря, комплексную ампли-
V вероятности (В, 11 A, to), так что
yv(B,t-A,to) = \{B,t\A,to)\2. (10.2)
’вракт03Начения слеДУет интерпретировать „справа налево'4: состояние
1 "антоеРИзУется набором А, развивается во времени согласно законам
а ’атем °И ДИнамики (вспомним определение состояния из лекции 2),
1 ИУ вМЬ1 ИзмеРяем распределение величин В в этом Состоянии. По-
[ Денную в (10.2) амплитуду назовем амплитудой вероятности
112
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
состояния А в В-представпении. Выбор представления зависит от J
(выбор величин В, которыми мы интересуемся, и соответствующая
становка эксперимента). Амплитуда {В |Л) (временные аргументы к?*
дем опускать, если они не существенны) является формальным ан •
том амплитуды классических волн (однако там опа сама имеет п В
средственный физический смысл, вследствие чего вещественна) °
Так как величины В одновременно измеримы, то каждое измерен
даст какой-то результат. Поэтому естественным было бы нормирова**
вероятности (10.1) так, чтобы их сумма (интеграл в случае непрерЫв
ного спектра) по всем возможным значениям В была равна единице-
2 w (5,Л, ^о) = 1- (io-
в
Если интеграл (10.3) сходится, то всегда можно получить пормжровй
(10.3), умножая iv или амплитуду па числовой множитель, не завися-
щий от В. Если же интеграл (10.3) расходится, то амплитуда ненормя
руема и имеют смысл лишь относительные вероятности.
Рассмотрим теперь вопрос о вероятности события, которое можг
быть получено с помощью некоторого числа неперекрывающихся про-
межуточных состояний. В классической теории этот вопрос решаете»
весьма просто. Пусть, например, состояние А — это абитуриент, а нае
интересует вероятность события В — получения им высшего обре
зования. Тогда, очевидно, что
iv (5; А) = ш (В- С) w (С; А), (l03t
с
Е-
B
..А
Рис. 10.1
где и’(С; А) — вероятность поступления А в ин
ститут С, a w(B', С) - вероятность окончания ик
титута С.
Легко видеть, что в волновой теории класси-
ческий закон (10.4) сложения вероятностей непрг
виден. Возьмем, например, установку типа опыт
Майкельсона (рис. 10.1); пусть R — коэффии*1
отражения света от центральной пластинки
а Т — коэффициент прохождения Тогда имев
1г(С,;Л)=Г, и-(5;С,) = Л, и- (С2; А) = R, w(B;C2)=T,
так что вычисленная по формуле (10.4) полная вероятность попади
в точку Л равна ИО'
w(B; А) = 2RT 1
113
цснав'
еда, и —
Задача
(10.5')
Лекция Ю. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ
от разности хода двух расщепленных пучков. Ясно, что
нс1®в,,сИ^10 4) не учитывает фазы пучков, зависящие от их времени
форм^ поэтому не дает интерференции.
10-1. Получить правильный результат
(/♦у
1 + COS - ,
й /
_ нергия фотона; т — разность хода для путей через С, и С2 (именно так устро-
С ^терфсренци°нный компаратор, измеряющий длины по известной частоте света).
Начальный монохроматический пучок в квантовом смысле отвечает
стоянию фотона с определенным по величине и направлению им-
' пьсом После расщепления пучка импульс фотона сохраняет опреде-
*^цную величину, но не направление. Поскольку полная система при-
бор - фотон замкнута, а изменением состояния макроскопического
прибора (отдачей) можно пренебречь, мы по-прежнему имеем некото-
рое состояние системы в смысле определения, данного в лекции 2. Но
то состояние есть теперь комбинация, суперпозиция состояний, отве-
чающих двум определенным направлениям движения. Помещая детек-
.ор в плечи прибора, можно было бы поймать фотон в одном из них
(никогда не будет дробной его части), но этот детектор полностью на-
рушит интерференционную картину (дополнительное описание см.
в лекции 3).
Таким образом, выполняется принцип суперпозиции: любое состоя-
ла системы можно рассматривать как су-
• ерпозицию других состояний и, обратно,
Любая суперпозиция снова есть допустимое
состояние системы. К правильному матема-
тическому выражению принципа суперпо-
зиции легко прийти, рассмотрев простой
пример.
Пусть имеем свет, поляризованный в на-
правлении А (рис. 10.2), и интересуемся ин-
‘-Нсивностыо света, прошедшего через ана-
1Изатор £. По известному закону оптики эта
интенсивность равна
w (В: А) = cos2(0 + в').
“ Другой стороны, исходный пучок А согласно принципу суперпозиции
представить как суперпозицию света, полязированного в двух
ь м,,° перпендикулярных направлениях С[ и Сг, причем соответст-
Щнс анализаторы пропустили бы относительные интенсивности
Рис. 10.2
(10.6)
114
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
W (С\; Л) = cos2 6,
IV (С2; Л) = cos2
.7 + =511,2 fl- (IJ
Для каждого из этих пучков доля, прошедшая через конечный
тор В, составляет
W (5; С,) = cos2 &, iv (В-, С2) = cos2 - 0J = sin2 0', ц0,
так что соотношение (10.4) опять не выполняется.
Однако если согласно (10.2) ввести амплитуды волн и приписа
им соответствующие фазы, то получим
(Ci | Л) = cos 6, {С2 | Л) = cos + 0^ = - sin 0,
{В | S]) = cos в', (Б | С2) = cos (у - 0'j = sin 0', (10?.
(в |C1> <q IЛ) + (В |С2) <с2 |Л) =
= cos 0 cos 0' — sin в sin 0' = cos (0 4- 0') = (В | Л).
Итак, складываться должны не вероятности (интенсивности волн
а амплитуды с присущими им фазами (важны, конечно, лишь относи-
тельные фазы компонент суперпозиции, определяющие результат ин
терференции), т. е. принцип суперпозиции имеет вид
(5|Л)= £(5|С)(С|Л),
с
(10.9’
или в более полной записи и для непрерывного спектра
(В, t I Л, /0> = f dC (В, t |С, Г) (С, Г | Л, Го) С09’1
Здесь f — произвольный промежуточный момент времени (интегри-
рование по Г отсутствует).
Для большого числа промежуточных состояний С с хаотическими
фазами амплитуд при возведении суммы (10.9) в квадрат интерфв^Н
ционные члены будут в значительной степени гаситься, и мы придем »
классическому закону сложения вероятностей (10.4).
Для того же начального состояния А мы могли бы интересоваться
результатами измерения других динамических переменных, т. е. бра^1
амплитуду {D |Л) состояния Л в представлении £>, отличном оТ
Принцип суперпозиции (10.9) универсален и в новом представлении
(но для того же набора неперекрывающихся промежуточных состояв
Q запишется в аналогичном виде:
Лекция 1 °- ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ 115
(£>М) = 2>|С>(С|Л)
с
(10.9")
Таким образом, в терминах какого представления ни описывалось
бы состояние А, мы имеем
(...И)=Х<-|С)<см),
(10.10)
С
вместо многоточий следует подставить характеристики используе-
мого представления.
' Выражение (10.10) напоминает разложение вектора а по базису
а = ^с„(с„-а) (10.10’)
п
и по своему смыслу аналогично этому разложению. Выбор представ-
ления В, D, ... аналогичен проектированию вектора а на некоторый
вектор b, d, ...
{Ъ, а) = ^(Ьс„) (с„а);
п
(10.10")
разные представления — это разные координатные системы, в которых
рассматривается состояние А. „Промежуточные состояния" С — это
базисные орты, линейной комбинацией которых является исходное со-
стояние А (принцип суперпозиции), причем амплитуда каждой компо-
ненты суперпозиции равна проекции исходного вектора на соответст-
вующий базисный орт (см. пример на рис. 10.2).
Итак, каждому состоянию А квантовой системы сопоставим вектор
оюпояния | А) в абстрактном пространстве состояний данной систе-
мы. Компонентами вектора |Л) являются амплитуды вероятности
М>,<Z?2 |Л),..., для всевозможных значений переменных В (В-пред-
ставление) или | A), (D2 \А),... в другой „координатной системе"
в ^-представлении), а принцип суперпозиции имеет вид
И)=£|$)(с|Л> (Ю.п)
с
в состоя-
мплитуда вероятности обнаружить частицу, находящуюся
on Л' В точке f в момент t есть уже известная волновая функция в ко-
наяиНатном представлении ^(г, /). На новом языке это „координат-
к°мпонента вектора |Л):
0 = {f, t и>.
(10.12)
116
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Аналогично, „импульсная" компонента того же вектора состояния ’
(10С^
Число независимых компонет {В | А) вектора | А) может быть как кп J
ным, так и бесконечным, в зависимости от спектра динамических п
менных. еРе-
В комплексном векторном пространстве можно ввести скаля J
произведение (Фь Ф2) векторов Фь Ф2 согласно следующим v С
виям:
1) взаимности
(Ф1, Ф2) - (Ф2, Ф1)*; ц0 ]3
2) линейности по второму аргументу
(Фь оФ2 + 6Ф3) = а (Фь Ф2) + b (Фь Ф3); (10.14)
из (10.13) и (10.14) вытекает, что
(пФ,, Ф2) = (Ф2, «ФО* = п*(Фь Ф2); (Ю.14
3) положительной определенности-, для любого вектора Ф скаляр
ный квадрат (норма вектора)
(Ф, Ф) > 0, (10.15
причем (Ф, Ф) = 0 лишь для нулевого вектора Ф (в силу (10.13) ска-
лярный квадрат веществен). Известны реализации такого определения:
в пространстве функций <р, квадратично интегрируемых в некоторой
области Г своего определения,
(Рь 'Pi) = f <Р*<Р2, (1016)
г
в «-мерном пространстве векторов Ф, представляемых совокупность»
п чисел ai, а„,
п
(Ф, Ф')= Ja/a,. О016'1
i = 1
Изображая вектор Ф столбцом и вводя сопряженный вектор-строку
Ф+ = аГа2 ... а*,
ф+ и®
можно записать (10.16') в виде матричного умножения строки
столбец Ф: 16
(Ф, Ф') = «Га] + ... + а*„а„ = Ф+Ф'.
Лекция 10- ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ 117
одном пространстве с введенной операцией скалярного про-
I ВВСця можно определить длину вектора — его норму | Ф | =
расстояние | Ф - Ф' | = ^(Ф - Ф', Ф - Ф')> доказать нера-
венство треугольника
I ф - Ф' | < | Ф - Ф" | + | Ф" — Ф' | , (10.17)
После этого можно рассматривать последовательности векторов,
по^тия предела, сходимости и др.
" согласно нашей интерпретации, амплитуда вероятности {В | А) со-
ниЯ а в ^-представлении имеет смысл проекции вектора) Л) = Фд
координатные оси представления В. Поэтому, если ввести вектор
На тояния Фд = |0, характеризуемый набором одновременно измери-
мых величин В, то (jB | А) будет „проекцией" вектора | А) на вектор | В),
г е. их скалярным произведением,
{В М> ее (фй, фл) = (А |Б>
(10.18)
в силу соотношения взаимности (10.13). Таким образом, операция ска-
лярного произведения в пространстве состояний определяется как
(Ю-9): _
(Фд, Фя) = 10 М) = 2/Фс, Ф«)*(Фс, Фя) (Ю.19)
с с
в полной аналогии с (10.16) или (10.10"). Здесь в качестве С следует
брать набор состояний Ф^-, в которых совокупность максимального
числа одновременно измеримых величин пробегает все свои возмож-
ные значения.
Взяв в качестве набора С совокупность векторов | А'), имеющих
определенные значения А' тех же переменных А, что и исходное со-
стояние | А), получим
<ЯИ)=£(ВМ')(Л'|Л) (10.20)
А'
•то равенство будет выполняться в любом представлении В, если ко-
‘Ффициенты {А' |Л) из всей области суммирования по А1 выделяют
Лишь точку А' = А, т. е.
(А' |Л) = д (А', А), (10.21)
символ Кронекера для дискретного спектра или обобщенная
тУнкция Дирака для непрерывного спектра.
Чия ф3УЛЬтат (Ю.21) выражает ортонормированность векторов состоя-
>ероя л‘ Физический смысл его очевиден. По самой природе понятия
w(A;A) = l(A IA) |2 = 1,
(10.22)
118
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
откуда, в силу вещественности (А |Л) (10.13),
(-4 М) = 1,
что совпадает с (10.21) при А = А'. С другой стороны, при А' л „
ятность ВеР^
ж(Л ^) = |{Л'М) |2
найти в состоянии | Л) значения тех же переменных, не равные A, дол.
на обращаться в нуль, что также следует из (10.21).
При выполнении нормировки (10.21) максимальный набор ир0Ме
жуточных состояний С образует полную ортонормироеанную систем'.
(базис векторного пространства), по которой может быть разложен
произвольный вектор состояния |Л) (10.11). Согласно (10.11) условие
полноты набора состояний С можно условно записать в виде
2Ю<С| = 1. (10.23)
Тогда
w (С; А) = X | (С М) |2 = X (С | A)* (С I А) =
с с с
= ^(Л|С)(С|4=(Л|4 = 1,
с
т. е. полнота набора | С) эквивалентна учету вероятностей всех воз-
можных процессов, или нормировке (10.3) (ср. с (6.30)).
Таким образом, мы постулируем, что каждому типу квантовых
систем отвечает свое пространство состояний; каждое состояние систе-
мы представляется линейной комбинацией (10.11) векторов, принадле-
жащих к полному ортонормированному набору.
Динамическим переменным будут сопоставлены линейные опера-
торы, действующие на векторы состояний. Приложение Б содержит об-
зор свойств определенных классов операторов, которые находят приме-
нение в квантовых задачах.
Литература: [22, гл. 1; 37; 47, вып. 8, гл. 3].
Лекция 11. НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕРАТОРЫ
Рассмотрим состояние | А), характеризуемое полным набором одно-
пеменно измеримых величин А. Пусть Аа — одна из переменных это-
г набора, имеющая в состоянии | А) определенное значение аа. Введем
проекционный оператор Л.(аа\ проектирующий на подпространство
рктояний, где Дз имеет заданное значение аа\
| А) = | А) д(аа, аа)
(П.1)
(проекция вектора | А) равна ему самому, если значение аа переменной
Л, в пом состоянии совпадает с требуемым значением аа, и равна
пуло при а А аа). Определим теперь оператор отвечающий дина-
мический переменной Аа, как взятую по всей области значений аа этой
переменной сумму проекционных операторов (11.1), умноженных на
соответствующие значения переменной:
4 = 2««Л(°а)- О12)
Результат действия оператора (11.2) на состояние |Л) с определен-
нее значением аа переменной Аа сводится к умножению | А) на это зна-
чение
.1а \А) = 2«аА(по I А) = ^dad(aa, da) | А) = аа М). (Н-3)
fJn аа
та, если переменная Аа имеет в данном состоянии | А) определенное
4 'ение аа, то | А) является собственным вектором оператора Аа, отве-
собственному значению аа- Но это означает, что каждое воз-
Иое значение аа переменной Аа, т. е. каждый возможный результат
^Рения этой величины, есть собственное значение оператора Аа, и
”°- Иными словами, оператор, соответствующий данной наблю-
величине, предопределяет все допустимые результаты ее изме-
120
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Легко понять, как действует оператор А на произвольное состоя 3
| Ф), в котором переменная А не имеет определенных значений. Сот 1
но принципу суперпозиции разложим вектор | Ф) по состояниям | Jl
|Ф)=р4(я|Ф). (1ц
Из (11.3) и (11-4) получаем
Л |Ф> = 2Л|Л)(Л|Ф)= 2«М>^|Ф>- (1в,
А А
Пусть мы имеем много тождественных систем, находящихся в
состоянии | Ф), и будем измерять величину А. Среднее значение резудь.
тата большого числа измерений, каждое из которых дает свое значение
а, обозначим (Л)ф. Оно равно, согласно определению вероятности
w (А; Ф),
(Л)ф = ^,aw (4 ф)- (116)
А
Выражая вероятность через амплитуду (А | Ф), получим
(Л)ф = £ «I (Л I Ф) I2 = (Л I Ф)*(л I Ф) =
л А (1171
= X а (Ф (А | Ф) = (Ф | 2 а М) (А | Ф) .
А А
Сравнивая (11.7) с (11.5), видим, что среднее значение переменной Я в
состоянии | Ф) дается диагональным матричным элементом оператора
А (ср. (4.6)):
(Л)ф = (Ф | А | Ф) = (Ф, АФ). О1")
Поскольку в любом состоянии средние значения любых наблюдаемы*
величин А вещественны, соответствующие операторы А должны быть
эрмитовыми (Б. 17). Очевидно, что среднее значение {А} в состоянии
| А), где эта величина имеет вполне определенное значение а, должно
совпадать с последним:
(А)а = а.
Действительно, равенство (11.9) следует из (11.8) и
нормировки (10.22).
Конечно, среднее значение наблюдаемой величины
зует полностью всего распределения результатов измерении.
характеристикой служит среднее квадратичное отклонение вели
от ее среднего значения (Л)ф в состоянии | Ф). Это отклонение,
(И-01
(11.3) при учете
не характ^
--Й ВаЖН°^
отклонение величи
Лекция 11. НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕРАТОРЫ
121
Овем неопределенностью ДфА величины А в состоянии | Ф),
мы н
ра®н0 ДФЛ s 4((А - <4)ф)2)ф = (П 10)
= 7(Л2 - 24 (Я)ф + (Л)|)ф = М - (А)2ф.
Легко видеть, что неопределенность Дфт4 обращается в нуль тогда
олько тогда, когда состояние | Ф) является собственным для опера-
И А В противном случае результат измерения А однозначно не опре-
Т°РрН и можно лишь указать вероятность того или иного ответа.
“е 0Так> мы постулировали, что каждой динамической переменной А
отвечает эрмитов оператор А, действующий на векторы состояний.
Система собственных векторов | А) оператора А является полной и ор-
тонормированной (см. (10.23) и приложение Б).
Как уже говорилось, полной характеристикой состояния является
задание максимального набора одновременно измеримых величин. Две
величины А, В одновременно измеримы в состоянии Ф, если процесс
измерения каждой из них дает однозначный результат. Тогда вектор Ф
должен быть собственным для обоих операторов А, В:
АФ — аФ, ВФ = ЬФ.
(11.11)
Из (11.11) имеем
АВФ = АЬФ — ЬаФ; ВАФ = аЬФ;
(АВ - ВА)Ф = [А, В] Ф = О,
т. е. состояние Ф, в котором величины А и В одновременно измеримы,
является собственной функцией коммутатора [А, Б] с собственным
значением, равным нулю. Для произвольных переменных А, В условие
I 112) выполняется лишь в некоторых состояниях Ф, а иногда вообще
Не Может быть выполнено. Однако существуют коммутирующие пере-
менные, для которых операторно
[Л,В] = 0. (П-13)
щее^°Кажем’ что равенство (11.13) необходимо и достаточно для су-
вРем °ВанИЯ полн°й системы векторов Фа/> = | ab), являющихся одно-
нно собственными для операторов А и В.
П|СТем°Ьходим°сть (11.13) доказывается просто. Пусть такая полная
Г существует. Тоща произвольный вектор | Ф) по ней разложим:
| " Xlai) (ab |Ф), АВ | Ф> = ^ab\ab) (ab | Ф) = ВА | Ф), (11.14)
ab
(11.12)
122
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
значит, для произвольного | Ф)
[А, 5] | Ф> = О,
откуда следует (11.13).
Обратно, пусть выполнено (11.13). Покажем сначала, что люйи«
собственный вектор Ф оператора А, принадлежащий невырождапЛ
собственному значению а, является одновременным собственным вм
тором А и В.
Имеем АФ = аФ, тогда АВФ = ВАФ = аВФ, т. е. ВФ также являем
ся собственным вектором оператора А с тем же собственным значении
а В силу невырожденности а векторы Ф и ВФ линейно зависим»
ВФ = ЬФ, следовательно, Ф — общий собственный вектор А и В. Есля
же собственное значение а п-кратно вырождено, то всегда можно
привести к диагональному виду (см. приложение Б) оператор В в зим
и-мерном пространстве, т. е. найти линейные комбинации, являющиеся
собственными векторами В (собственными векторами А являются
любые линейные комбинации векторов этого подпространства).
Рассмотрим теперь некоммутирующие эрмитовы операторы А к fi
В соответствии с доказанной теоремой они не могут одновремея#
иметь определенных значений — отлична от нуля по крайней мере од-
на из неопределенностей k А, к В. Найдем количественную меру эпи
неопределенностей.
Поскольку коммутатор двух эрмитовых операторов меняет знак пр!
эрмитовом сопряжении, его всегда можно выразить с помощью не-
которого эрмитова оператора С:
[А, Б] = iC, С+ = С
(И. 15)
Пусть а — произвольный вещественный параметр, а Ф
неь jrnprf
вектор состояния. Введем (снова эрмитовы) операторы
А = А - (Л)Ф, В = В- {В)ф, О1
„отсчитанные'1 от их среднего значения. Очевидно, что по-пре»
[А , В ] = iC. Положим Ф' = (А + iaB )Ф.
Так как скалярный квадрат (Ф', Ф') > 0, то
О < ((Л' + iaB') Ф, (А + iaB') Ф) = (Ф, (А + iaB') + (^ + iaB»ф) .
= (Ф, (Л' - iaB')(A + iaB') Ф) = (Ф, (/2 + ia [А', В' ] + а2#2 1
Лекция 11. НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕРАТОРЫ
123
(П-17)
бпазом, мы имеем положительно определенный квадратный
ТаКХен по переменной а
{А2 )ф - а (С)Ф + а2 (#2 )Ф > 0.
вИе выполнения неравенства (11.17):
УСЛ° 4 (А2 )ф (S'2 )Ф > (С)|.
(11.17')
В силу (П-16) и (И-10)
л/(^2 )ф = № ~ ^>ф)2)ф = дфл
И аналогично для )ф, так что (11.17') дает
ДфЛ • ДфВ > | (С)ф | .
(11.18)
Мы получили количественную формулировку соотношения неоп-
ределенностей. Ясно видно, что нижней границей произведения неоп-
ределенностей является среднее значение коммутатора соответствую-
щих операторов. Используя (4.36), находим, в частности,
Дх-ДЛ>^ (11.19)
(в любом состоянии Ф, так как [х, рх] = /7г и оператор С сводится к
числу).
Рассмотрим несколько более сложную ситуацию. Пусть | а) —
собственное состояние набора переменных А, отвечающее их собст-
венным значениям а. Пусть В и С — два оператора, коммутирующие со
всеми членами набора А, но не коммутирующие между собой:
& С] | а) & 0. Так как В и С коммутируют с А, то векторы В | а} и С | а}
являются собственными векторами набора А, отвечающими тем же
Собственным значениям а. Но так как В и С не коммутируют, то вектор
Hef6 М0Жет быть их общим собственным вектором. Значит, по край-
меРе один из векторов В | а), С | а} (или оба) линейно независим по
^ношению к | а). Мы доказали, следовательно, что набор собственных
начений а вырожден.
усть> например, векторы В | а} и | а} линейно независимы. Диаго-
вект^еМ ОпеРатор В в подпространстве вырожденных собственных
иМеют°В Наб°Ра А. Все векторы нового базиса в этом подпространстве
Нця ь Знаковые значения а набора А и разные собственные значе-
Оператора В (докажите, что все b не могут между собой совпа-
124
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
дать). Значит, собственными значениями оператора В можно hv J
вать вырожденные состояния | а) — они играют роль дополните
квантовых чисел, нужных для того, чтобы классифицировать вь 1
денные состояния. Р0**
Мы видели в (4.37), что различные компоненты оператора
мента импульса частицы не коммутируют между собой. Именно
объясняется тот (обсуждавшийся в лекции 3, п. 6) факт, что однов*”1
менно с L? определенное значение может иметь лишь одна из проект^Д
L, например, Lz. Поскольку все операторы 1%, Ly, Lz коммутируют с £
но не коммутируют между собой, то мы имеем ситуацию, рассмотрен
ную в последнем примере. Собственные векторы оператора £2 вырок
дены; согласно явным вычислениям в лекции 8, степень вырождена
равна 2/ + 1. Базисом в этом (2/ + ])-мерном подпространстве можнг
взять сферические функции У/„„ являющиеся одновременно собствен-
ными функциями оператора Lz. Тогда собственные значения т доба-
вочного оператора Lz нумеруют базисные векторы данного мульти-
плета.
Таким образом, в случае наличия вырождения следует искать не-
коммутирующие между собой операторы, которые коммутируют с н<.
бором величин, характеризующих состояния. В задаче об атоме водо-
рода (лекция 9) мы были свидетелями „случайного" вырождения (энер-
гия уровней не зависела от орбитального момента I). Это связано с на-
личием еще одного (кроме £) оператора, коммутирующего с энергией
Н, а именно — вектора Рунге - Ленца (задача 4-8)
М = ^- ([> X £] - [£ X >]) + g .
2т г
Оператор М, как и любой вектор (ср. (4.37)), не коммутирует с L
[Ц, Мр\= iti£afiyMy. О1-2"
В обычном описании (лекция 9) состояния, принадлежащие выроЖ'
денному значению энергии, нумеруются в качестве дополнительны*
квантовых чисел моментом I и проекцией т. Наличие другого (Ф°Г"
мально равноправного с £) интеграла движения М ведет к тому- ч1^
уравнение Шредингера для кулоновского поля допускает разделе!
переменных не только в сферических (см. лекции 8 и 9), но и в пар
болических координатах [32в, § 37]. ]е
Возможно и истинное случайное вырождение, когда собстве
значения оператора зависят от каких-то параметров и при неК0Т^мСя
значениях параметров совпадают (с таким положением мы встрет w
при рассмотрении поведения системы в магнитном поле).
(11.2("
Лекция 11. НАБЛЮДАЕМЫЕИОПЕРАТОРЫ
125
Ссудили соответствие динамических переменных и операто-
же свойства измеримости различных величин. Однако опре-
ров, а таог |ератора (11-2), хотя и позволяет получить ряд важных выво-
деление неконструктивным: для реального построения оператора
лов, явЛ знать всю совокупность его собственных значений, т. е.
задачу.
зарз*\ Очески квантовые операторы и всю их динамику можно по-
ить разработав схему квантования классической динамики. Обоб-
«^^зультаты, полученные в классической механике относительно
Ш зидинамических законов сохранения со свойствами симметрии сис-
Семь'1 мЫ сможем построить фундаментальные квантовые операторы
как реализацию свойств симметрии (инвариантности относительно оп-
пепеленных преобразований).
Литература: [22, гл. 2; 41, гл. 2, 3; 47, вып. 9, гл. 18].
Лекция 12. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
Для нахождения рецепта квантования удобно воспользоваться га
мильтоновой формулировкой классической динамики. Система описи
вается обобщенными координатами qa и импульсами ра, изменение!
которых со временем дается уравнениями Гамильтона
эн . эн
Qa = —, Ра = —
dPa дЧа
(12.1)
где гамильтониан H(qa, ра, I) есть энергия, выраженная в переменных
q и р. Согласно (12.1) для любой функции A(q, р, t)
dA дА V* I дА . . дА .1 дА ( л т /пт«
— = — + z L С1а + — Ра = — + {А,Н}, (12.2)
eft dt а \dqa дра ) dt
где классические скобки Пуассона величин А и В определены как
{А, В} = У . (12.3-
а dPa ^Ра <^Яа)
Условие {А, Н} =0 выражает для величины А, не зависящей от време-
dA п
ни явно, закон сохранения — = 0.
Легко доказать из определения (12.3) следующие формальны*
свойства скобок Пуассона:
антисимметричность . j
{А, В} = — {В, А};
распределительный закон
{A, BtB2} = {A, В2 + Bi {А, В2}, (1~
{AiA2,B} = {Ai,B}A2+Ai{A2,B}-, °2'
(12-61
тождество Якоби
{А, {В, С}} + {В, {С, А}} + {С, {А, В}} = 0.
Лекция 12. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
127
для координат и импульсов
С И! — дД
дРа
дА
SQa
(12.7)
{Ра, ^} = ~
в частносп, = о, = 0, =
(12-8)
Ппеобразование к новым переменным q, р является каноническим,
с.^ сохраняются скобки Пуассона, т. е.
{qa, Чр} = °- Рр} = 0, {qa, рр} = дар. (12.8')
Ясно что само изменение q и р при движении системы есть совокуп-
ное гь последовательных бесконечно малых канонических преобразо-
ваний
q(t) ->q = q{t + dt), р (t) р = р (t + dt). (12.9)
При этом согласно (12.2) изменение произвольной функции A(q, р, t)
равно
дА = — dt + {А, Н} dt.
dt
(12.10)
Наша цель нахождение квантового аналога скобок Пуассона.
Это будет оператор {А, В}, поставленный в соответствие паре других
операторов А, В. В классическом пределе мы должны получить уравне-
ния 1амильтона (12.2), поэтому потребуем выполнения (в операторном
смысле) всех свойств (12.4)-(12.8). Вычислим квантовые скобки Пу-
ассона
П = {AiA2,A3Ai}, (12.11)
фото сохраняя порядок сомножителей в парах (12) и (34). При этом
*УНо пользоваться сначала правилом (12.5), затем (12.5'), а можно
, В0Бать в обратном порядке. Первый способ дает
Й = {AiA2, А3} А4 + А3 {AtA2, А4} = (А{ {А2, А3) + 12)
+ Й> А3} А2) А4 + А3 Й {А2, А4) + {Ai, Л4} А2),
‘•Горой способ —
Й - Л, {А2, Л3Л4} + {Л,, Л3Л4} А2 — Ai ({А2, А3} А) + Q2 12')
+ Л {л2,Л}) + (Й,Л}Л+ Л Й,Л})^2.
f’* нивая (12.12) и (12.12'), найдем
(4А3 - А3А{) {А2, А4} = Й, А3} (А2А4 - А4А2),
128
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
или, вводя коммутаторы,
[Л,Л]{Л,Л} = {4,Л}[Л,Л].
02.1],
Для классических величин порядок безразличен и соотнощ 1
(12.13) является тождеством. Для произвольных операторов (12
дет выполняться, только если скобки Пуассона любой пары оператл
отличаются от коммутаторов тех же операторов лишь универсаль Р *
числовым множителем: Ны
[А, В]= z {А, В}.
(12.14,
Скобка Пуассона есть наблюдаемая физическая величина, поэтому 0Пе
ратор {А, В} должен быть эрмитовым, а константа z — чисто мнимой
Из (12.3) видно, что z должна иметь размерность действия, а при пере-
ходе к классической механике (Й -» 0) исчезать, т. е. z = i • const *
Константа определяется согласием результатов с экспериментом и ока-
зывается равной единице, т. е.
[А, В] = ih {А, В}. (12.151
Соотношения (12.4)-(12.8) теперь дают возможность найти комм,
Тагоры квантовых операторов:
\йа, Чр\ = 0, [рс, рр] = 0, [qa, рр] = dap, (12.1 ।
что совпадает с уже известными нам результатами (см. (4.36), (8.2"
[х, рх] = ih, [£>, Lz] = ih. (12171
Для оператора А, явно от времени не зависящего, из (12.10) I
(12.15) находим приращение за время dt
dA = — [А, Н] dt. О21'
ih
Сравнивая (12.18) с изменением (Б.31) оператора при бесконечному
лом унитарном преобразовании, видим, что классическое канониче
преобразование (12.9) имеет квантовым аналогом унитарное пре°
зование
U(dt) =l + 1 Н dt. (12J
Отсюда следует, что гамильтониан И квантовой системы является ге
ратором бесконечно малых сдвигов по времени.
129
Лекция 12. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
гамильтониан Н не зависит явно от времени. Тогда любое
Р?^СТЬ перемещение системы во времени является бесконечно по-
к-онечН°е льнОстью бесконечно малых сдвигов на dt (12.19). Легко най-
слеД°вате виде оператор, осуществляющий конечный сдвиг на время
in в 0 л ft/at = 0 начальный момент отсчета несуществен). Дейст-
, (в силу №
п оператор сдвига на t + dt есть произведение
вцтельно,
U(t + dt} = O(df) U(f). (12.20)
Используя (12.19), имеем
1
0(t + dt} = 1 + 1 O(t} = O(t) + 1 dt HU(t).
\ ft / ft
(12.21)
ft
С дрУг°й стороны,
0(t + dt} = O(t} + dt — . (12.21')
dt
Сравнение (12.21) и (12.2Г) дает дифференциальное уравнение для
оператора 0(/)
— = 1 00, (12.22)
dt ft
которое надлежит решить с очевидным начальным условием [/(0) = 1.
Отсюда получаем оператор конечного сдвига во времени
O(t} = eifl,/h. (12.23)
В силу унитарности (12.23) можно заключить, что нормы всех векто-
ров состояния и свойства эрмитовости всех операторов в замкнутой
системе (ЗН/dt = 0) со временем не меняются (см. (Б.24) и (Б.27)).
Для произвольного оператора А закон изменения со временем сог-
ласпо (12.10) и (12.18) имеет вид
^1 = М + 1[Дл]. (12.24)
dt dt ti
Мы
любь^еЧИЛИ опеРат°рные уравнения движения Гейзенберга. Как и
( в операторные соотношения, они справделивы в любом базисе
” лР0ИЗБ°льных складках").
п,пц., К° ВиДеть, что уравнение (12.24) обладает формальным опера-
-•kiw Решением
130
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ДО = е'™/л ДО е"и*/й = (7(0 A(t)U~'(j\
_ e-iHt/n дА_ QiHUti
dt dt
Подчеркнем, что паши векторы состояния никак от времени не зав Л
а вся временная зависимость (динамика) сосредоточена в оператВ
(12.25). Это так называемая картина Гейзенберга. В этой картине
ричные элементы наблюдаемых можно выразить как 1
(Ф, ДО ФО = (Ф, A(t)U~'(t) ФО = (t/ + (0 Ф, A(t) U-'(t) ф,(
или, вследствие унитарности О + = U 1
(Ф, A(t) ФО = (U-'(t) ®,A(e)U-'(t) ФО. (12.2(„
Введем так называемую картину Шредингера, в которой операто-
ры (явно не содержащие времени) постоянны в силу (12.25)
Дп(0 = ДО \--------------* ДО) = ДО), (122-
м _ л
а зависимость от времени перенесена на векторы состояния
Фш(0 = (7~'(0 Ф = е"'^/й ф, (122ч
которые удовлетворяют „уравнению Шредингера"
ih= ЯФШ(/). (12.»)
dt
Мы видим (12.26), что обе картины физически эквивалентны,!»'
как для любой величины А
(ф. A(t) Ф0 = (Фш(/Мш(0 Ф'ш(0). (12q
Тогда
у (Фш (0, Лш (0 ФФш(0) = у (Ф- ДО Ф0 = (ф> "Г Ф'1 ’
dt dt V dl
т. е. взяв в уравнении (12.24) матричный элемент (Ф |... | Ф' X мЫ
чим рассмотренные ранее уравнения движения для матри
элемента (4.30) со всеми их следствиями. Обратное преобразова
от картины Шредингера к гейзенберговской — дается формула
/122।1
Ф = (7(0Фш, Д0 = О(0 Дн (0О-'(0.
131
Лекция 12, УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
|Т 'Т^ггоонопредставляет собой частный случай общего уни-
0Т1Суда ^Образования (Б.25), (Б.25'). Смысл его очевиден. В картине
гарн°г0 пр система „вращается" по закону (12.23), и мы описываем ее
ГейзенбеРг я покоящейся СИСТСмы отсчета, в то время как картина
с точки зр отвечает описанию покоящейся системы с помощью ба-
Ц1реД11НГ^Рк)ШегоСЯ по (12.28) в обратную сторону. Оба описания дают
'"‘а'ственные результаты.
V внение Шредингера" (12.29) не есть то уравнение, которым
' Р зовались в предыдущих лекциях. Оно дает зависимость от вре-
П° педингеровского вектора состояния, в то время как раньше речь
МеНИ волновой функции — проекции гейзенберговского вектора со-
ия на орты определенного (например, координатного (10.12) или
^льсного (10.12')) представления. Получим теперь уравнение Шре-
дингера в „старом" смысле.
Нас интересует изменение со временем амплитуды вероятности
| л) = (Фд(0> Ф/1) состояния |Л) в ^-представлении. Здесь мы
проектируем вектор | А) на переменные орты, изменение которых дает-
ся сдвигом во времени
®B(t') = \B(t') = U(t'~ Г)|В(О), (12.32)
-г оператор сдвига был найден в (12.23). Тогда искомая амплитуда
(Фд(^), Фл) = Фл ) = (Фв(С,^ + Фл ) = (12.33)
= (B(t)\U~l(t'— t)\A).
.1ля бесконечно малого сдвига V — t = dt согласно (12.19)
U~'^]--LdtH, (12.34)
й
1ак что (12.33) дает
18(‘ + dt) |Л) = (5(0 М) + dt - (5(0 \А) = (5(0 | 1 - L dt Н |Л),
lit й
«куда
ih - (B(t)\A) = (5(0 | Я |Л). (12.35)
dt
Но и естк
гнии ь искомое уравнение Шредингера в произвольном представ-
г ь^аЛЯ ст?ци°чарных состояний | А) мы получаем уже известные ре-
М), так что (12.35) сводится к уравнению
ih ~ (B(t) \А) = ЕА (5(01 л), (12.35')
132
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
решение которого дает гармоническую зависимость всех ампли
роятности от времени
(В([) |4 = e-iEAtih (до) |Л>.
Остановимся более подробно на координатном представлю
зисные векторы | q) такого представления — это состояния с с
ленными значениями qa всех координат qa (для одной частицы
стояние, где частица локализована в точке г):
Qa к) = Ча I я)-
Векторы | q} ортонормированы,
{я' IЯ") = d(q', q") = П d(qa - q'a)
a
(12.1
'eW Ба
: опр^
'-1 си
(12371
(123|)
и образуют полную систему. Операторы qa, конечно, диагональны в
собственном базисе, так что их матричные элементы равны
{q' I Qa I Я") = Яай (я', Я") = Яад (я', Я")- (12 391
Найдем матричные элементы оператора импульса ра в координа»!
ном представлении.
Будем исходить из перестановочных соотношений [qa, рр] = М.
(12.8), от которых берем матричные элементы {q' |... | q"}\
Мар д (q1, q") = {q1 \qaPp ~ PpQa I Q")-
Вычисляем матричный элемент в правой части по правилам матрично-
го умножения:
(Q' I ЯР I Я"} = У (^ I Я I Я'"} {Я"' I Р I Я"\
(12.40i
что равносильно „прокладыванию" полной системой функций
Тогда из (12.40) и (12.39) получаем
if^aP <5 (я', я"} = (я'а ~ Qa) {я' | Рр | Я")- 12 4<
Тот же результат можно получить и иначе, используя в (12.40) УРаВ
ние (12.37) и эрмитовость операторов qa.
Решением (12.40') является
(Q' I Рр I Q") = - гЙ -V- d (q>, q").
Цр
(12.4‘>!
ЛеКцИя 12. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
133
[ствительно, тогда
{qa - & & 1 1 q"} = “ /Й ~ ~~ & (<Л Q") =
д . . „ 1 1
>_' \fla ~ qa)l d(q’, q")) .
(12.42)
'j- [{qa - <5 (<?', q")\ ~
[dqp
= iti
1янако при всех значениях переменных (qa - 6 gll) = Q так
(qa - q'a) (q' I Рр | q") = ih
(q'a - q'a) <3 (г/, q") =
= ih dap d(q', q")
согласии с (12.40'). На самом деле, решение (12.41) неоднозначно и
определяется с точностью до слагаемого вида f(q’) д (q', q") с произ-
вольной функцией /{(/') Однако всегда можно сделать унитарное пре-
образование к новым операторам, для которых будет справедливо
(12.41) с/= 0.
С помощью (12.41) получаем для произвольного состояния |^4)
{q I Ра |Я> = У (q I Ра | Cf) (q' М) =
(12.43)
= - q') kq' M) = ~ (q I A\
^4a q' дЯа
или для любой функции F(qa, ра)
<q\F{qa,Pa)\A}= F\qa,-ih^-\{q\A). (12.43')
- нас есть уравнение (12.35) для изменения со временем любой амп-
”'ПУЦЫ(В(0|Л) в
частности, в координатном представлении
Г Ш I А) = (q(j) I H(q, р, t) I А). (12.44)
dt
Равая часть (12.44) содержит матричный элемент, вычисляемый по
У правилу (12.43') заменой ра -> — ifi где производная будет
IWicTBo
1 вать на амплитуду (q(j) | А). Поэтому
/йт;(9(0М) = ^к,-^Ул1Ш|21). (12.45)
о? \ dq )
134 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Вводя шредингеровскую волновую функцию (10.12)
(|J
имеем уравнение Шредингера в координатном представлении
дФл (<7, f) а ( л \
или для стационарных состояний из (12.35’), (12.36), (12.46) и (12 47у
ЧШ 0 = 0) = xpA{q) e~iE^\ (12^
Н (9’ ” /Й = Еа ^А^' (12.47)
Таким образом, все старые результаты получены здесь единым бо-
лее или менее строгим, способом. Мы видим, что волновая функци»
(12.46) есть просто частный случай зависящих от времени амплиш
вероятности. Произвольная амплитуда {А | В) может быть найдена Я
результатам координатного представления:
(A\B)=^(A\q(t)){q(t)\B) =
ч (12.4S)
= 2 (9(0 I 4* (9(0 I В} -> f drq ЧГА(д, t) 4B(q, t).
Поскольку координатная волновая функция частицы, описываю-
щая состояние, локализованное в точке г', согласно (12.38) равна (ср.
с (3.15))
Фг (f) = (Г | Т) = д (г - F ), (12.491
то амплитуда вероятности локализованного в г' состояния в дмиЯт
ном представлении запишется из (12.48) и (12.46) так:
(р I f> = f dr Ф^(г) Фг (г) Ф^(г ) = (F I рУ, (12-5<ч
что согласуется с соотношением взаимности (10.18). АмплифР
(12.50) легко найти явно, так как для состояния с определенным
ПУЛЬСОМ |р) <))
Р I Р) = Р I Р), 1 1
откуда в силу (12.43) находим
(f I Р I Р} = Р (г I Р) = - Т if I Р)> (!2’
135
Лекция 12. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
(12.53)
un координатная волновая функция состояния с опреде-
(г | р) = Фр(г) = const е' pr/!1
ая волна (3.7). Если нормировать неубывающую на беско-
есть пло ую функцию (12.53) в соответствии с (10.21), то
„ечности вод j
6{р- {р\Р'>= f dr (p\r) (г \р)= f dr 4>р(г) Фр- (г) =
= (const |2 J dr ей № P) r = (const |2 (2л/г)3 d (p - p>),
. e нормированная на d-функцию амплитуда (12.53) равна
7 l»=(P|f),=^37I (12.54)
Наконец, амплитуда вероятности обнаружить у частицы в произволь-
ном состоянии | А) значение импульса р равна
<Ра(р) = (Р \А) = f dF (р \ г) {г \А) =
—-----Цтб f dr e~l Prlh Фя(г),
(2дй)3/2 J V 7
(12.55)
и, сравнивая с (3.12), видим, что получается фурье-преобразование ко-
ординатной волновой функции ФХг) = И) состояния |Л).
Аналогичным образом, используя соотношения коммутации, вы-
числяются матричные элементы различных операторов в любом пред-
ставлении и с помощью амплитуд {А | В) (играющих роль функций пре-
образования) совершается переход от одного представления к другому.
. Задача 12-1. Доказать, что для финитной системы А' частиц, между которыми
СлСТВУ!?т силы. зависящие только от координат частиц, справедливы правила сумм
и I) стационарные состояния системы):
2
(12.56)
та од^"ое правило Томаса - Райхе - Куна (х-компонента вектора дипольного момен-
bd*eZ%*a);
а
л'
У.(/ |е-'*Гй
2
= Nk2
(12.57)
а = 1
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ механике
136
— правило сумм для флуктуаций плотности, так как фурье-компонента о
плотности р(г) (4 18) равна
f>l = f drp(f)e~'kr
a
Указание. Воспользоваться тем, что для любого оператора Q и любого сог^
I')
{< ।[гё, я], ё] ю = 2 X к/ ie ю |2 (Е/ -
(12'5
и для сил, не зависящих от скоростей, аналогично (4.39),
[г,Я1 = [г,К] = «—р, /—(Е/-£,)</|r|i> = (/|p 10-
т й
(12 \
Литература: [16; 22, гл. 4, 5; 32а, гл. 8].
Лекция 13. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Согласно уравнениям движения (12.24) любой оператор А, не за-
исяший явно от времени и коммутирующий с гамильтонианом Н, есть
интеграл движения.
^ = 0.
dt
(13.1)
Как и в классической механике [32а, § 6, 7, 9], наличие интегралов
движения тесно связано с симметрией системы. Пусть система инвари-
антна относительно некоторого преобразования U. При этом физи-
ческий смысл имеют лишь унитарные преобразования, сохраняющие
нормы векторов и свойства эрмитовости операторов. Поскольку дина-
мика системы определяется ее гамильтонианом, свойство инвариант-
ности означает, что при таком преобразовании
Н' = UHU-' = Н, (13.2)
т е. оператор О коммутирует с гамильтонианом:
UH = HU. (13.2')
Если оператор U не содержит явно времени, то в силу (13.2') ему
должен отвечать некоторый закон сохранения. Тогда собственный век-
ТОР Фр гамильтониана Н, имеющий определенную энергию Е, при
преобразовании (7 переходит в вектор Ф' = 17Фе, обладающий вследст-
Ие (13.2') той же энергией.
Усмотрим сначала симметрии, порождаемые непрерывными пре-
рываниями (они и только они приводят к законам сохранения, име-
ет КЛассические аналоги). В силу непрерывности преобразования
можно взять бесконечно малым (см. (Б.29)):
U = 1 + ieF, F = F+, (13.3)
опеРатоР F есть генератор преобразования U, а е сколь
эг, мало. Инвариантность (13.2') означает, что [F, Н] = 0. В силу
^OfiOCTu > с ** Г'1
г мы имеем закон сохранения наблюдаемой величины г.
138
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Простейшим примером является инвариантность замкнуто^ 1
мы при временном сдвиге (однородность времени).Генератором Ис'е'
сдвигов является (см. (12.19)) сам гамильтониан Н, так что kJ3*011
классической механике, однородность времени влечет за собой И1
пение энергии замкнутой системы.
Рассмотрим теперь пространственный сдвиг системы как
на вектор да, т. е. преобразование координат всех частиц
|г>-»С7 |г> = |г') = |г + да).
Генератор этого сдвига есть вектор F, определенный так, что
U(да) = 1 + ida F.
(13.4
(135
Пусть частица находится в состоянии | А). Совершенно ясно, что ам\.
литуда вероятности найти ее в сдвинутой точке г = г + да равна акп-
литуде вероятности найти ее в старой точке г, если бы она находила
в „сдвинутом назад41 состоянии |4
(г'|Л>= (О г \А)=(г |С/+ |4 = (г |С7-’ |4 (13,6.
Из (13.4)-(13.6) имеем:
(г + да | А) = (г | А) + (да • V) (г | А) =
= (г | А) - ida (г | F 14 (13"
(f |F |4=/V (г |4
Сравнивая (13.7) с матричным элементом (12.43) оператора импульса р
в координатном представлении, находим
F = -U О’*
а оператор (13.5) бесконечно малого сдвига на да
U(da) = 1- 1 (р • да) (1?
й
Аналогично тому, как это сделано в (12.23), можно восстановить!
(13.81) оператор конечного сдвига на вектор а:
U(а) = exp (—i pa/h).
Таким образом, инвариантности системы относительно сдвигов (^&<г
родность пространства) отвечает и в классической, и в кванто ,
нике сохранение импульса системы.
Лекция 13. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 139
пенно так же можно рассмотреть поворот системы как цело-
Совер неКОторой оси z. Оператор бесконечно малого поворота на
ОТ**®111™в виде
!Ъ ' Uz (dtp) = 1 + I d<pFz.
(13.10)
рассужДенИЯ’
аналогичные (13.6), приводят к
(г <г14.
д<р
(13.11)
оператор Fz пропорционален z-компоненте оператора момента им-
пульса L: (8.27):
FZ = -~LZ, Uz(d<p) = \ - 1 д<р Lz. (13.12)
Л h
Поскольку все повороты вокруг данной оси аддитивны (U(<p + dtp) =
= О(д<р) оператор конечного поворота равен, аналогично (13.9),
U z(<p) = exp I- - Lz<p], (13.13)
Как и в классической механике, инвариантность системы относительно
поворотов (изотропия пространства) ведет к сохранению момента им-
тчьса (в центрально-симметричном поле (см. лекцию 8) сохраняются
все компоненты £, хотя они и не могут одновременно иметь определен-
ных значений; в аксиальном поле, направленном вдоль оси z, сохра-
няется только соответствующая компонента Zz). Результат (13.12) де-
монстрирует причину некоммутативности (4.37) операторов 1^: в силу
-ометрии трехмерного пространства результат двух последовательных
поворотов вокруг разных осей зависит от их порядка.
* К№1аДаЧа 13"!• Получить соотношения (4.37), исходя из явного рассмотрения по-
м»Н1.Ведем теперь не имеющий классического аналога внутренний мо-
' P®HcTBeCTlI4bI — спин- Частица, находящаяся в определенном прост-
зНач НН°М состоянии> может при этом характеризоваться разными
кчеет Ми пРоекЦии вектора спина ж на выделенное направление, т. е.
4/нкцщУТРенние степени свободы. Ясно, что в этом случае волновая
’’сколь Частицы в координатном представлении должна состоять из
Компонент, каждая из которых дает амплитуду вероятности
П'Кой и частиЦы в данной точке г с заданной проекцией sz. (Для
кых 31ia формации компонент должно быть столько, сколько различ-
Нии может принимать величина sz.)
140
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотренная выше однокомпонентная волновая функция
преобразовывалась при поворотах лишь в силу своей явной завис Л
ти от углов вектора г (13.11). В случае же многокомпонентной во^’
вой функции (f; sz |/) компоненты могут преобразовываться ппи^’
щениях друг через друга подобно компонентам обычного вектора т*
означает, что оператор L (13.12), вообще говоря, не дает всего и I
нения состояния при поворотах, а следовательно, и не обязан сг>
няться. Сохраняться будет лишь полный угловой момент Ра'
J = L + S,
(13.U,
складывающийся из орбитального L и спинового 5 моментов.
Проиллюстрируем это на простом примере. Пусть V — постоям-
ный вектор с углами в, р. При бесконечно малом повороте на угол fy
вокруг оси z он преобразуется
uz(dp) v = uz(dp) vу = IЙ •
sin 6 cos р — dip sin в
~ | Й | • sin 0 sin р + dp sin в
cos в
sin e
sin в
cos в
sin p
cos p
>
cos (y> + <5y>)'
sin (y> + dp)
' (13.6
У у
Vy + dp Vx ,
т. e. компоненты вектора, не зависящего от координат, преобразуют
друг через друга, и это преобразование можно записать как дейся*
оператора „спина“ на столбец из компонент V\
Uz(dp) V = (1 - 1 dpS J V, <13 U
где оператору спина отвечает матрица 3x3
0 —i О'
Sz = ti z 0 0 .
P 0 Q
?lc
Пусть теперь векторное поле V(f) само зависит от к°орДинаТ^
да к преобразованию (13.15) компонент V добавится обычное Г1^нИ? t
зование (13.11) функций при поворотах. Оно не имеет отН°^м01
векторности поля (каждая компонента преобразуется независ
скалярная функция координат) и заключается в том, что
преобразованной функции f в точке г пришло в нее из точки
Лекция 13- СВОЙСТВАСИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 141
f(f)^Uzf = /(tf-’r).
(13.17)
Таким образом, для векторного поля
где штрих у У означает преобразование (13 16) комппп
пример, для компоненты Г/г) имеем ' М юнентвектора.На-
t/z(^)^.bz) = Kz'(f/-^(7-i
Ух = Ух - дрУу.
Аналогично (13.15)
Поэтому
l/z(<5p) Vx = Ух (x + у dp,y - x dtp, z) =
- Vx (x + У &Р> У ~ x ^(P-> z) ~ Уу(х + У <5<P, У ~ x bp, z) ~ (13.18)
\ X TZ Z \ x I ^x arJ
я К, (x, у, z) - др V,(x, у, z) — Otp X--------У ---- .
\ dy Sx)
(13.19)
В окончательном виде преобразованное векторное поле равно
£Л(<М Ух = Ух - дрУу - др [г х V]z У2 (13.18')
или, вводя операторы спина (13.16') и орбитального момента Lz =
= [г х Я = - щ [г х V]z:
U z(dp) = 1 - 1 др Sz - 1 др Lz,
й й
М(»ие0ВаТ^ЬН0’ генеРатоР бесконечно малых поворотов есть полный
сох 0ВЫе П° сРавнени1° с классической механикой квантовые законы
(ллс^еНия обязаны своим происхождением конечным симметриям
Шпль 1НЫМ пРе°бразованиям, оставляющим гамильтониан инвари-
нечно'М 1"СЯИ опеРатоР> описывающий такую симметрию (здесь, ко-
ет наблНет понятия генератора преобразования), эрмитов, то он отвеча-
П даемой сохраняющейся величине.
“йверсцд дискретное преобразование — это пространственная
Вегету UnePaTOP отражения в плоскости (yz) обозначим Рх, соот-
”Э1ц -НН° В илоскости (zx) — Ру, в плоскости (ху) — Pz. Оператор
011 инверсии
Р = PXPyPZ.
(13.20)
142
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Пркция 13. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 143
Четыре введенных оператора коммутируют между собой; все о 1
митовы. Любая парная их комбинация эквивалентна некоторому И Э₽'
роту, т. е. принадлежит к уже рассмотренным непрерывным npeogq
ваниям.
Действие операторов А, z и Р на любой вектор состояния Зада1
ный с помощью какого-либо полярного вектора V (например, со Д
ние с определенной координатой г или с определенным импульсом -1
очевидно:
А I V) = Рх I Рх, Vy, Vz> = I - Vx, Ру, Vz>. (13.21
Соответственно преобразуются при пространственном отражении и
операторы л -
б(Г) -> Q (Г) = Р0(Г) Р~х = 0(~Р)- (13 22
Любой оператор физической величины, являющийся полярным некто,
ром, меняет знак при инверсии. Полярными векторами являются век-
тор положения г, импульс р, напряженность электрического поля I,
векторный потенциал Операторы аксиально-векторных (псевд
векторных) величин, например, векторное произведение двух поляр-
ных векторов, при пространственной инверсии не меняют знака. При-
мером служат операторы углового момента L, S, J или напряженное^
магнитного поля = rot os/.
Все операторы отражения совпадают со своими обратными значе-
ниями (Р = Р~х) и поэтому унитарны. Поскольку для них
р2 = j (13.2н
то собственные их значения равны П = ± L Соответствующие собй-
венные векторы отвечают состояниям с определенной четностью (
ложительной или отрицательной).
Гамильтониан замкнутой системы частиц, взаимодействие м
которыми зависит лишь от относительного расстояния,
w
+ ; 2>(|rD-4l)
N -2
У Р«
(13>'
£2
а = 1 —а а * о
очевидным образом инвариантен относительно пространственны^
ражений, т. е. коммутирует со всеми Р. Поэтому стационарные
ния (13.24) можно характеризовать сохраняющимся квант0В и I/111
лом — четностью П (ср. с (6.10)). Легко видеть, что в состояв V
определенной четностью Щ среднее значение любого опе^ора Г
меняющего знак при отражениях (например, полярного ве
равно нулю. Действительно, если Q = PQP~X = PQP = ~ V’
(Q}a = (Фа, ОФ а) = ~ (Фа, Р&РФа) =
= - (РФ А, &РФл} = - ПЗ(ФЛ, ОФ a) = ~(Q)a = 0.
(13.25)
' сюда, в частности, следует, что никакая система заряженных
U не может в состоянии с определенной четностью обладать
Ча<ктрическим дипольным моментом
d = У еага,
а
однако может иметь квадрупольный момент
Qik = ^еа [Зх,^о) - d,*rfl2]
а
(13.26)
или магнитный момент Д (псевдовектор!). Дипольный же момент d
имеет ненулевые матричные элементы только с изменением четности.
В лекции 8 мы видели, что при движении частицы в центрально-сим-
метричном поле стационарными являются состояния с определенным
орбитальным моментом I и четностью (— 1/. Поэтому такая система не
может обладать дипольным моментом.
Исключением являются случаи, когда состояния с различными I и
разной четностью оказываются вырожденными по энергии. Тогда в
качестве стационарного состояния можно взять любую их линейную
комбинацию, не имеющую определенной четности и поэтому могу-
щую иметь (</) 0. Именно так обстоит дело в атоме водорода, где
есть „случайное" вырождение (лекция 9), происходящее от наличия до-
полнительного кулоновского интеграла движения. Вследствие этого
вырождения классические кеплеровские траектории замкнуты (эллип-
9 и частица большую часть времени проводит с одной стороны цент-
ра. что как раз эквивалентно (d) & 0.
Если же поле не является чисто кулоновским, то орбита частицы не
(d) -HQTa’ Э ИМеет ВИД [32а, § 14] поворачивающейся „розетки", так что
р
“Меет °ЯНие свободного движения частицы (бегущая волна) не
КрИч°ПРеДеЛеНН°^ четнос™’ в отличие от этого стоячая волна в сим-
^лапп10*1 ЯЩике имеет определенную четность. Макроскопические
•"° эцепгДСТавляют собой волновые пакеты из большого числа близких
W) ж о И МикР°состояний с разными четностями, т. е. могут обладать
че^!еНительно к элементарным частицам говорят об их внутрен-
Осгпи- При этом оказывается, например, что внутренние чет-
144
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ности протона и нейтрона одинаковы (безразлично, считать ли I
ложительными или отрицательными) и противоположны внупъГ
четностям антипротона и антинейтрона. Так же противоположный
ности электрона и позитрона (см. лекцию 41), ал- и К-мезону
дают отрицательной четностью (псевдоскалярные частицы), в с *
пионов или каонов можно говорить об их внутренней четности взе*
лютном смысле, потому что они могут рождаться или поглощатЬся~д
одиночке, меняя определенным образом полную четность состоял
О внутренних четностях элементарных частиц можно судить по п
цессам их взаимного превращения, сравнивая четности начальных
конечных состояний (с учетом, конечно, и внутренних волновых фуИ|.
ций, и волновых функций, описывающих пространственное движение
частиц как целого). Оказывается, большинство взаимодействий элемен-
тарных частиц инвариантно при пространственных отражениях, I е
сохраняет четность. Насколько сейчас известно, неинвариантным явля-
ется лишь гамильтониан слабых взаимодействий, ответственный м
сравнительно медленные (т. е. протекающие за времена, малые по срав-
нению с характерными ядерными временами тяд — Rxp/c ~ 10~и fl
процессы типа /3-распада нейтрона
п -» р + е~ + ve (13.27)
на протон, электрон и электронное антинейтрино (время полураспад
составляет порядка 103 с).
Сохранение четности в процессе означает, грубо говоря, что в зер-
кально отраженной лаборатории процесс будет протекать совершен;1
аналогично и даст зеркально отраженный результат. В /J-pacnaj
(13.27) это оказывается не так. В опыте By (1956) по /3-распаду поляр-
зованных (имеющих заданное направление о спина s) ядер 60Со бы»
обнаружено, что число электронов с импульсом р зависит от угла ме»
ду направлениями р и о. Число электронов, вылетающих под углом
(cos 0 = — • д), оказалось пропорциональным
P
N(6) ~ 1 + a cos 6, j
где коэффициент асимметрии а ~ — vie (релятивистские элек^И
преимущественно летят против спина ядра). Величина р ' ° псев^Н
произведением полярного вектора на аксиальный и поэтому
скалярна (меняет знак при отражении координат). Значит, в зеР g ^т.
отраженной лаборатории вместо (13.28) мы получили бы ДРУ
ловое распределение I — a cos в, т. е. наличие псевдоскаляра^^
риментальпом результате (13.28) отвечает несохранению
в слабых взаимодействиях.
ЛеКция 13. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
145
от пространственного отражения, отражению времени
В отличи к()й закон сохранения. Как мы видели в лекции 6, пре-
не отвечает -
обра3°ваНйе Ф -> Ф = ГФ (13.29)
содержит переход к комплексно-сопряженной волновой
)0ЯЗаТииЬ(замена пачальных состояний конечным), так что оператор
2брашени t = UQ%\ (13.30)
q___унитарный оператор, а — оператор комплексного сопря-
жения Тогда преобразованный оператор наблюдаемой физической ве-
личины Q есть
Q = UQ*U~} = UQU~l. (13.31)
Конкретный вид оператора JJ определяется принципом соответствия,
так как поведение классической величины при обращении времени из-
вестно.
Например, классическая скорость v = dr/dt и импульс р = mv
должны менять знак. Поэтому в координатном представлении можно
положить U = 1. Тогда
р = р* = (—tfiV)* = zTzV = - р,
(13.32)
как и должно быть. Легко видеть, что и L = — L. Вектор состояния Ф,
полученный из начального вектора Ф действием Г (13.29), описывает
конечное состояние, причем все его характеристики обращены во вре-
мени (т. е в состоянии Ф все импульсы и моменты равны р = — р и
J ~ ~ J, если в состоянии Ф они имели значения р и J). Таким обра-
том, если мы имеем процесс |z)-»|/), развивающийся в согласии
с Уравнением Шредингера (12.28)
Фу = фь (13.33)
то обращенным во времени является процесс |/) -> | г):
ф,- = е-'та/й Фу. (13.33’)
Ква^НваРиантность относительно обращения времени (обратимость
"Роц 0В°И Механики) означает, что Н = Н, так что каждому прямому
СсУ (13.33) отвечает обращенный (13.33’), протекающий по тем
146
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
же законам. В настоящее время известно лишь одно взаимоде"
(ведущее к распаду нейтральных К-мезонов), где Т-инвариантноИСТВ|1е
соблюдается (лекция 42). СТь Не
Если бы пространственная четность строго сохранялась то J
ментарные частицы, находясь в состоянии с определенной четно 1
не могли бы в силу сказанного ранее обладать электрическим ди/1"10*
ным моментом. Поскольку четность в слабых взаимодействиях Не°Л1“
храняется, запрет на дипольный момент не является строгим. Легко 1
нять, однако, что дипольный момент строго запрещен Г-инвапиЗ
ностью. Действительно, дипольный момент частицы мог бы быть
правлен лишь по единственному вектору, характеризующему части
цу — вектору спина:
<^> ~ <«>• (13.34)
Но при обращении времени d -> d = d, а спин меняет знак s -» s =
= - s, так что (d) = - (J) = 0. Обнаружение (d) * 0 свидетельствова-
ло бы о нарушении не только Р-, но и 7-инвариантности. Эксперимен-
тальные поиски дипольного момента нейтрино дают верхнюю границ)
| (dn) | < е • 10-26 см.
В разных квантовых системах существуют и другие дискретные
симметрии: точечные симметрии молекул и кристаллических тел отно-
сительно поворотов на определенные углы или определенных дискрет-
ных смещений; симметрия относительно перестановок тождественных
частиц; зарядовое сопряжение (переход от частиц к античастицам':
изотопическая инвариантность. Некоторые примеры будут рассмотре-
ны в соответствующих местах курса.
Литература: [4, § 5; 5, гл. 1; 13; 14, гл. 30; 21; 26; 42; 44; 47, вып. 9,
гл. 15; 52].
Лекция 14- ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Задача о малых колебаниях вблизи положения равновесия имеет
постепенное значение как в классической, так и в квантовой механи-
е В огромном числе реальных систем многие возбужденные состояния
могут быть с хорошей точностью описаны как малые колебания (вибра-
ционные возбуждения молекул и атомных ядер, колебания кристалли-
ческой решетки любого твердого тела, волны в жидкостях и в плазме).
Наконец, представление электромагнитного поля как совокупности
гармонических осцилляторов послужило одним из отправных пунктов
всей квантовой теории (см. лекцию 1).
К счастью, уравнение Шредингера для гармонического осциллято-
ра решается точно (задача 5-5). Сейчас мы разовьем другой, оператор-
ный, метод решения той же задачи, особенно полезный для систем со
многими степенями свободы (например, для электромагнитного поля).
Гармоническим осциллятором назовем систему с гамильтонианом
~2
Н = — + - то)2х2
2т 2
(МЛ)
•де операторы координаты х и импульса р удовлетворяют перестано-
вочному соотношению (12.17)
[х, р] = th. (14.2)
Операторный момент, ведущий начало от матричной механики Гейзен-
I рга - Борна - Иордана (1926), позволяет решать задачу, не прибегая
какому-то определенному представлению.
Метод, пригодный для любого числа степеней свободы, состоит
вахождении „собственного11 оператора гамильтониана, т. е. оператора
’ мутатор которого с гамильтонианом Н пропорционален снова то-
*е оператору:
[a, H]=Qa, (14.3)
ИЛи> Для
эрмитово сопряженного оператора а+,
[а+, ff] = - Q*a+.
(14.3')
148
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Наша цель состоит в нахождении стационарных состояний ф
торых ’ ДЛя Ко.
НФ = £<Ь, I
и самих энергетических уровней Е (из вида гамильтониана Н ясно
существует лишь дискретный спектр). Однако для того чтобы п ’
смысл операторов а и а+, удобно обратиться к нестационарной за j
и считать все операторы взятыми в картине Гейзенберга (лекция п?
Тогда в силу (14.3) и (14.3') имеем операторные уравнения '
ния (12.24)
— = ~ [Н, а] = - 1 Qa, — = L Q*a+,
dt h й dt h
ДВИЖе-
(14.51
которые сразу решаются:
a(z) = е_,й,/л a(0), a+(r) = е'п’,/й a+(o).
Таким образом, если Q — вещественная величина, гейзенберговские
операторы о(/) и а+(г) имеют чисто гармоническую зависимость от
времени и являются квантовыми аналогами незатухающих нормальных
колебаний классической системы.
Возвращаясь к стационарной картине, возьмем некоторый собст-
венный вектор Ф, удовлетворяющий (14.4), и построим вектор йФ.
Действие гамильтониана Н на этот вектор в силу (14.3) дает
НаФ = {[Я, а] + аН}Ф = {-Qa + аЕ} Ф,
т. е. вектор аФ, так же как и Ф, отвечает стационарному состоянию
Н(аФ) = (Е — Q)(^), (14-
которое имеет энергию на Q меньше, чем исходное состояние Ф. Вели-
чина Q дает энергетические интервалы между уровнями, а следова-
тельно, вещественна. Оператор а, таким образом, переводит систему
одного стационарного состояния в другое, уничтожая энергию возбу*
депия Q, и поэтому может быть назван оператором уничтожения-
Аналогично для оператора а+ получаем
Н(а+Ф) = (Е + QXa+ф), (14Л
т. е. а+ — оператор рождения, увеличивающий энергию возбуЖДе
системы на Q. Подобные аргументы работают всегда, когда пара о
торов а, Ь удовлетворяет соотношению типа (14.3) [а, />] — (сМ‘ I
цию 15). При этом спектр собственных значений b образует „лестниП)
с шагом Q.
Лекция 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
149
нахождение всех операторных решений й,, at уравнений
^ТаК’/14 з') дает возможность, начиная с основного состояния,
(14.3) и ' операторов а+ построить все возбужденные состояния,
действиеА’ ]И возбуждения Q должны получиться из самой системы
пРиЧеМ /(4 з'). Поскольку основное состояние (вакуум) | 0) имеет ми-
(I4Н возможную энергию Ео, операторы а уже не могут пони-
нимал их действие должно давать нуль (набор стационарных
’^ояний ограничен снизу):
с°сТ0Я а | 0) = 0. (14.8)
для каждого оператора at, т. е. для каждой z-й нормальной моды, мно-
кпатным последовательным повышением энергии мы получим набор
возбужденных состояний |л,), энергия которых по построению (14.7')
будет равна
4° = Ео + nPi, (14.9)
следовательно, эти состояния образуют эквидистантную колебатель-
ную полосу. Вместо того, чтобы говорить об и-м возбужденном со-
стоянии z-й нормальной моды, удобно ввести представление о квантах
1-го сорта и сказать, что состояние | и,) отвечает наличию и, квантов
С энергией й, каждый (ср. с лекцией 1). Формулировка задачи с по-
мощьью операторов а и а+, которые теперь являются операторами
уничтожения и рождения квантов, называется вторичным квантова-
нием. Очевидно, что число квантов каждого сорта может быть любым,
тогда говорят, что они подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна (яв-
ляются бозонами, см. лекцию 52).
Конечно, (14.3) и (14.3') определяют операторы а и а+ лишь с точ-
ностью до нормировки. Удобно нормировать их так, чтобы выполня-
лись бозевские перестановочные соотношения
[а,,а+]=1 (14.Ю)
(операторы, относящиеся к разным нормальным колебаниям z # к,
коммутируют).
Введем теперь для каждого сорта квантов z оператор
N, = atat. (14.11)
Ользуясь (14.10), найдем
[а,-, #.] = ah [at, N(] = - at- (14.12)
дени^ения (14.12) аналогичны (14.3) и (14.3'). Применяя те же рассуж-
видим, что оператор й, уменьшает собственные значения N, на
150
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
единицу, й,- их. увеличивает на единицу. Основное состояние | Q) с ]
гией Ео в силу (14.8) является собственным вектором JV, с собст^ |
ным значением, равным нулю. Действуя на | 0) оператором рОж
af, получим состояние | 1,) с энергией Е + Q,, опять являющ^1” I
собственным вектором 7V,- с собственным значением 1. Очевидно
состояние | nt) удовлетворяет соотношениям k
& I nt) = (Ео + п, Q,) | nt), Ni\nt)= ni\nt). (14
Поэтому оператор tV,( 14.11) есть оператор числа квантов z-ro сорта и
имеет целочисленные собственные значения и, > 0. Если у нас есть
кванты разных сортов с соответствующими числами заполнения п и
энергиями Q,, то полная энергия такого состояния
Е = Ео + ^п. Q,.
(14.14)
Сравнивая (14.13) и (14.14), мы видим, что спектр (14.14) эквивалентен
операторному представлению гамильтониана в виде
Н = Eq + r Q, = Ео + atat. (14.151
i i
Таким образом, решение уравнений (14.3), (14.3') равносильно на-
хождению операторов a,, at с правилами коммутации (14.10), выра-
жение гамильтониана Н через которые имеет вид (14.15). Тогда энергия
любого стационарного состояния системы равна (14.14), т. е. энергии
смеси идеальных газов, причем число частиц z-ro сорта, имеющих
энергию Q,-, равно щ.
В случае одномерного осциллятора (14.1) задача нахождения опе-
раторов рождения и уничтожения решается совсем просто (в реальных
задачах многих тел колебательные ветви спектра обычно выделяются
лишь приближенно). Из (14.2) видно, что коммутатор [х, Я] пропор-
ционален р, а [р, Я] ~ х. Поэтому, взяв линейную комбинацию опера
торов х и р, нетрудно подобрать коэффициенты этой комбинации так-
чтобы она согласно (14.3) воспроизводила себя после коммутации с
Легко проверить, что искомые линейные комбинации х и р, удовлетв0
ряющие (14.3), (14.3') и (14.10), суть
1 1 . Z14.16’
а = -г-- (то)х + ip), а* = , (тв)х — ip)- 1 1
Лекция 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
151
пмитовы операторы х и р выражаются через а и а+:
Обратно, .----
х = лГГ- + й+)’ Р =
(М.17)
гамильтониан примет вид
(14.15):
(14.18)
Подставляя (14.17) в (14.1), найдем, что
ем энергетические интервалы в эквидистантном спектре равны
q*= to, а основное состояние | 0) имеет энергию
г' _
Е°~ г
(14.19)
(энергия нулевых колебаний).
Найдем теперь матричные элементы операторов между стационар-
ными состояниями Ф„ = | л), которые будем считать ортонормирован-
ными согласно
(«|^>=(5лт. (14.20)
Так как оператор а уничтожает квант, то
й | и) = а„ | л — 1). (14.21)
Чтобы найти константу ап, вычислим норму
(^Ф«, 6ФП) = (а„Фп _ 1, а„Ф„ _]) | ап р —
= (Фпа+аФп) = (n\N \п)= п.
Мы нормировали а и а+ с помощью перестановочных соотношений
(14.10), поэтому они определены с точностью до фазы (всегда можно
переопределить а -» е^й, а+ -* e~iOa+). Выбирая фазу так, чтобы мат-
ричные элементы ап были вещественными, находим с„ = х/й, т. е.
атп — (о )„т = -yjn dm л _ i, Ятл = 4" 1 <5т> п + ]. (14.22)
^ТсЮда матричные элементы координаты согласно (14.17) равны
Хтп = + /л+1 6т> п + Д (14.23)
V 2та)
Сост^аК°Нец’ легко явным образом построить все векторы состояния.
Ние I ri) получается «-кратным действием на | 0) оператора а+:
|л)= с„(а+У |0), с0 = 1, (14-24)
152
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
где осталось лишь определить нормировочную константу с„. Из
и (14.22) имеем
а | п) = л/л | п — 1).
(U.21)
04-25',
Подставляя в (14.25) выражение вектора состояния (14.24)
(14.10), получим
и пользуЯС1>
сп а (а+у \0)=сп аа+(а+У ~ 1 | 0) = с„(1 + N)(a+y ~ 1 | 0) =
= с»(1 + « - 1)(а+)" " 1 | 0) = сп п (а+)п ~ 1 | 0) = 4п сп_ }{а+у -1 щ
т. е. рекуррентное соотношение
_ 1
Сп Г Сп-Ъ
УП
(14.26)
откуда
сп = ~4 , I п} = 4= (а+)" | 0). (14.27)
№. У1П1
Результаты (14.22), (14.23), (14.18) и (14.27) дают полное решение
задачи и позволяют найти вероятности любых экспериментов. Легко,
например, построить координатные волновые функции 1р„(х) =
= (х | л). Согласно (14.16) уравнение (14.8) для основного состояния
имеет в координатном представлении (12.43') вид
тых + i
(14.28)
что гораздо проще, чем обычное уравнение Шредингера, содержащее
вторую производную. Решение (14.28) дает
(2
- v
h 2
(14.29)
— волновую функцию основного состояния, которую надо еще норм»
ровать на единицу. Волновые функции возбужденных состояний полу
чаются согласно (14.27), (14.16) и (12.43') последовательным дифФе
ренцированием функции (14.29):
М «> = л= М (а+)" I о> = г-,1 п/2 (т0)х ~ 1 (14J0)
yjnl yln\(2mha)) \ ах/
Все состояния | л) имеют определенную четность П„, которую леГК
вычислить. В силу (13.22) и (14.16) при отражении координаты
Лекция 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
153
так что (л + 11А а+ А |- <л + 11 а+ | л) =
= П„+1П„ (и + 1|а+ |л>, (14.32)
П„ + 1П„ = - L
Так как вакуум | 0) (14.29) имеет По = 1, то
П„ = (-1)"П0 = (-1)”, т.е. А = е^. (14.32')
Задача
циллятора в
14-1. Найти статическую поляризуемость а заряженного линейного ос-
однородном электрическом поле
| о
Указание. Энергия в присутствии поля есть Е (?) = Е(0)---.
Рассмотрим теперь, как выглядит изменение состояния осциллято-
ра со временем. Из (14.6) и (14.17) находим гейзенберговский оператор
координаты
ад=\Е'“"
+ а+е‘ш/).
(14.33)
Так как в стационарных состояниях | и) оператор х (как и р) имеет
лишь недиагональные матричные элементы (14.23), то средние значе-
ния координаты или импульса исчезают:
(л | х(Г) | и) = 0, (и | р (Г) | п) = 0. (14.34)
Поэтому квантовые состояния | п) не отвечают классическому колеба-
нию с определенными амплитудой и фазой. Классическому движению
соответствуют определенные суперпозиции | а) состояний | п) — коге-
рентные состояния, являющиеся собственными векторами оператора а
с комплексными собственными значениями а = Ае"Р;
а | а} = а | а) = Ае1'? | а). (14.35)
Действительно, среднее значение оператора x(t) (14.33) по состоянию
равно (если принять нормировку (а |а) = 1)
(14.34')
-< (tot -Ч>) + Aei (tot - 0} = 21 А cos ^mt _ у},
\ та)
^алог^ДУет для колебаний классического осциллятора. Из (14.34') и
проПо 1Чного выражения для среднего значения импульса p(f), которое
авалопУИ°Нально A s’n ~ Ф)’ ВИДНО> что комплексная плоскость а
чиа фазовой плоскости (х, р) классической механики.
154
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Задача 14-2. Доказать, что:
1) нормированное когерентное состояние |а) (14.35) является
позицией состояний |и):
следу10Щей
(143с>
(классические состояния не характеризуются определенным числом квантов-
„когерентность" отражает сфазированность стационарных составляющих супе^*01*
ции (14.36), где разность фаз между любыми соседними гармониками равна aprv 03*
<р комплексной амплитуды а; можно показать, что между фазой <р и числом кван-пш^
существует своеобразное соотношение неопределенностей); в ”
2) среднее число квантов в состоянии |а) равно
й = {a |7V |а) = |« |2 = А2-,
(14.3
3) вероятности обнаружения п квантов в состоянии | а) распределены по статисти-
ческому закону Пуассона вокруг среднего значения (14.37)
w (и; а) = |(и |а) |2 = е~1а ' —---- = е
и!
(14.3
' и!
4) неопределенности координаты и импульса таковы, что их произведение разг.-
минимальному значению, совместимому с соотношением неопределенностей (11.19
* I й А Imficu а *
Дх =--------, Др = ,------, ДхДр = — ;
\2ты V 2 2
(14.39
5) состояния | а) со всевозможными А и <р образуют полную систему, хотя они и нг
ортогональны.
Литература: [19, гл. 3; 23, § 34; 26; 28, гл. 5].
Лекция 15. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА
Для случая движения одной частицы в центральном поле в лекции 8
была построена полная ортонормированная система одновременных
собственных функций К/т операторов Z2 и Lz. Эти функции отвечают
обственным значениям h2l (/ + 1) и hm (т= - операторов и
образуют мультиплет из 21 + 1 функций, преобразующихся при вра-
щениях друг через друга. Оказывается, что подобную структуру имеют
все неприводимые представления группы вращения.
Задачу нахождения всех возможных мультиплетов будем решать
операторным методом, аналогичным использованному в лекции 14.
Удобно оператор момента J измерять в единицах Й, тогда коммутаци-
онные соотношения между различными компонентами Ja универсаль-
ны и независимо от конкретной природы момента имеют вид (4.37)
[./a, *7/j] i Softy Jy (15-1)
Отсюда сразу следует, что для всех а = 1, 2, 3
[J2,Ja] = 0, (15.Г)
так что можно одновременно диагонализировать оператор J2 и один из
а> например Jz. Будем поэтому искать общие собственные функции
Щ операторов J2 и Jz с собственными значениями А и т:
J2 | А/и) = А | A/и), Jz | А/и) = т | А/и).
Унич^аК И В ЛСКции 14, постараемся найти операторы рождения и
лей., °Жения, повышающие и понижающие т. Для этого введем ли-
Ные комбинации
(15.2)
•7± — ^х — 1 и у> V'+7 — </ —
Удовлетворяют перестановочным соотношениям
(153)
(15-4)
156
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Сравнивая первую формулу (15.4) с (14.3) или (14.12), заключаем 1
оператор J_ уменьшает собственные значения т оператора J На’
J+ увеличивает на 1. В силу (15. Г) все эти состояния с разными 8
ют одно и то же собственное значение Я оператора J2, т. е. физич J
отличаются лишь пространственной ориентацией и принадлежа/ Л
этому одному мультиплету.
Заметим теперь, что так как в любом состоянии (J2) = (j2 1
+ J2 + Л) > (./2), то Я > «г2. Поэтому набор состояний с раступцЛ
т, полученными последовательным действием оператора J+ на некого
рое исходное состояние, должен быть в отличие от осцилляторной за
дачи ограниченным сверху. Пусть максимальное значение т равно ।
т. е. т < у, у2 < Я. Это означает, что дальнейшее действие повышаю-
щим оператором дает нулевой вектор:
I А/) * о,
(15',
Совершенно аналогично, понижая проекцию т, придем начиная с j Ад
к состоянию с минимальной проекцией j':
|ЯУ')^О, 7_|ЯУ') = О. (15/
Из (15.3) легко получить представления оператора J2:
J2 = Л + J2 + Л = J+J_ + Л - Jz = j- J+ + Л + Л- (15.6
Действуя операторами J+J_ и J_ J+ на предельные состояния j Я;) и
| Яу) и пользуясь (15.6) и (15.2), получаем
О = J_ J+ | Яу) = (J2 - J2 - Jz) | Яу) = (Я - у2 - У) | яу), (15.-
0 = J+J_ | Яу') = (J2 - Л + Л) I Л) = (Я - 7'2 + /) I (15 Т’
Сравнение (15.7) и (15.7') дает
А = УО + 1) = -./'(-У' + 1)- (15J
Уравнение (15.8) имеет решения /' = - j и j' = j + 1. Так как/
j' = — у, т. е. максимальная и минимальная проекции равны по ам
лютной величине и противоположны по знаку. По nOCTl’^golt
У = (/ + целое число), откуда 2у должно быть целым: для
мультиплета максимальная проекция момента равна целому или
целому числу j = 0, 1/2, 1, 3/2, ... . меНТа
Согласно (15.8) число j определяет „длину“ вектора М
Л(У + 1) и поэтому часто называется просто моментом состо
ЛеКция 15. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА
157
но пользоваться для характеристики состояния вместо Я.
410 ЯМ М имеем мультиплет из (2j +1) вырожденных по моменту со-
которь,’<
J2 |JW) = j(J + 1) IM Л I» = т= — (15.9)
Поскольку всегда ^j(J + 1) > (Л)тах = j, то обсуждавшееся в лек-
6 соотношение неопределенностей между Lz и азимутальным
иИИ ’ л имеет место для любых систем и фактически есть следствие
^КтагивНОСТИ (15Л)’ 7 5 I ’ \
Найдем теперь матричные элементы операторов J± в базисе | jm),
где операторы J2 и диагональны (15.9). Состояния | jm) ортогональ-
1 так как принадлежат разным значениям эрмитова оператора Jz
задача Б-1), и мы будем их считать нормированными. Неизвестные
матричные элементы обозначим
ат = (Jm + 1 |J+ \Jm), bm = (Jm - 1 |J_ | jm).
(15.10)
Условие (15.3) J+ = J- дает
bm = (jm\J+ \Jm - 1)* = а*т-}.
(15.11)
Из (15.10) и (15.11) находим
J- A \jm) = amJ_ \jm + 1) = amb„, + i | jm) = | am |2 | jm). (15.12)
С другой стороны, согласно (15.6) и (15.9)
J+ | jm) = (J2 - Jz- J2) \ jm) = (15.12')
= I/O' + 1) - m (m + 1)] | jm) = (J - m)(J + m + 1) | jm).
Сопоставляя (15.12) и (15.12'), получим
I |2 = (J - m)(J + m + 1). (15.13)
матричных элементов (15.13) выберем так, чтобы для частного
падЧаЯ’ КОгда базисом служат сферические функции У/„„ результат сов-
с прямым вычислением матричного элемента при определении
1аем°ГЛаСН° (8-20), (8.22). Легко проверить, что при этом матричные
111 ат, Ьт вещественны:
+ т + 1), Ьт = ат _! = 7(7 + m)(J - 'и + 1) = а_т.
0конЧатеЛЬно
(/'w | J± \jm) = djf дт.(т ± }yj(j + m)(J ± т + 1). (15.14)
158
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Воз.
м°МецТа
1ас?«1 в
:Кс,
По.
а про.
> как и
Эти результаты полностью решают задачу о нахождении всех
можных систем собственных функций любого оператора
(орбитального или спинового, одной частицы или системы
целом). Как следует из (13.19), оператор момента Ja генерирует бес
нечно малые повороты вокруг оси а. В силу (15.1’) при всех таких
воротах собственное значение j(j +1) оператора J2 не меняется j
екция т (ориентация) может изменяться (при а = х или у), т. е.
следовало ожидать, при вращениях 2j + 1 компонент мультиплеь
преобразуются друг через друга.
В качестве простейшего (но очень важного) примера рассмотрим
частицу со спином 5 = 1/2. Согласно (15.9) в данном случае есть два
состояния | 1/2 sz), sz = ± 1/2, образующие спиновой дублет. Любое
спиновое состояние частицы есть суперпозиция вида
Z = a+|V2 1/2) + а_ | 1/2 1/2), | а+ |2 + |а_ |2 = L (15.15
Поэтому удобно изображать векторы состояния частицы со спином 11
в виде двухкомпонентного столбца (спинора)
X =
(15.15'»
где в соответствии с (15.15) верхняя компонента есть амплитуда веро-
ятности найти частицу в состоянии с sz = 1/2, а нижняя — в состоянии
с sz = —1/2. Точно так же волновую функцию частицы с любым спи-
ном 5 можно записать (2s + 1)-компонентным столбцом.
Базисные векторы | 1/2 sz) в представлении (15.15') имеют вид
Х+ = I V2 1/2) = Q, X- = I V2 - 1/2) = Q - (15 И
Матрица sz диагональна в этом представлении и согласно (15.9) равная
А/2 0 (15.17
Sz \ О -1/2/
Легко проверить, что векторы (15.16), как и должно быть, являют
собственными векторами sz с собственными значениями ± V2-
/1 0\ П5.18)
szX± = 1/2 _ J х± = ± 1/2Z± 1
Из (15.14) получаем повышающие и понижающие операторы ДлЯ
на 1/2:
Лекция 15. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА
159
_ /о п _ /о о\
*+ = l^o oj ’ 5_ “ v oj •
на базисные векторы (15.16) крайне просто:
действие их и
s+%+ = °. 5+Z- = Z+> S-X+ = Х-, s-x- = 0.
(15.19)
(15.19')
Наконец, переходя от 5+ (15.19) к sx, sy,
^ = 1/2(5+ + 5-) =
0 Г
Л Oj
согласно (15.3) находим
__(0 -/
0
’Sy = i ~s->=Е Ь
. (15.19”)
Матричный вектор спина s удобно записать, введя три спиновых
матрицы Паули оа, объединенных в вектор а:
(0 1\ (0 -А (1 0\
Ц о)’ О/ ’ °z ~ (0 -1J ‘ (15.20)
Из (15.17), (15.19") и (15.20) получаем, что (в единицах Й)
х = <572.
(15.21)
Алгебра матриц Паули несложна. Квадрат любой из них есть еди-
ничная матрица
сг2 = а2 = а2 = (15.22)
коммутационные соотношения их легко получаются из (15.1):
[<tg, од] '2iEapy Оу, (15.23)
Наконец, прямое вычисление показывает, что все они антикоммутиру-
Ют между собой:
оу + оу ох = оу oz + ozoy = ох oz + oz ох = 0. (15.24)
^°мбинируя равенства (15.18) и (15.19), получаем
°х оу = ioz, Оу oz = iox, oz ох = ioу. (15.24')
Рмулы (15.22) и (15.24') можно записать единым образом:
ОсПр &сф 4” iSafiy Оу (15.25)
1^биение п
пР°изведения оаор на симметричную по а, р и антасим-
F ’ty’0 Части), или для любых (нематричных) векторов А, В
(рА)(оВ) = АВ + io • [А х Л]. (15.25')
160
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Очевидно, всего существует 2x2=4 линейно независимых
рядных матрицы, в качестве которых можно выбрать матрицы г^'
оа и единичную. Любой оператор Q, действующий в пространст 1
стояний спина 1/2, может быть представлен суперпозицией этих е<^
рех матриц: Че11>
e = ai + ea (15,.
(в частности, как видно из (15.25), полином любой степени
рицам оа сводится к линейному выражению). Коэффициенты
Qz разложения (15.26) легко найти, пользуясь тем, что
"о ма:
£о, g
Sp 1 = 2, Sp иа = 0, Sp оаор = Sp (дар) = 2 дар. (13
Поэтому
во = (1/2) Sp 2, Q = (1/2) Sp (Qd). (15 ?.
Наиболее общий вид нормированного спинора (15.15’) с тремя вс
ществениыми параметрами в, <р, <5:
X =
а_
ею cos -
2
е'(б + sin —
2/
(15?
Форма (15.29) имеет наглядный физический смысл. Среднее значенг
компонент вектора спина s в состоянии (15.22) равно
I 1 I 1 ♦ * I 1 I I I *
fcx) = (Ь 2 °хХ) = 2 а+а~ U о) LJ = Re =
(1530
= Re
cos — + sin —
2 2J
- sin 0 cos tp,
V
(s,,) = - sin 6 sin <p, (sz) = - cos 0, (?) = ~
2 2 2
где единичный вектор n имеет полярные координаты 0, <р- Параме
дает лишь несущественную общую фазу.
Если ввести оператор проекции спина на направление п
(sri) = - on = -
2 2
пх + inv
пх — in у
1 / cos 0 sin 0 e
Hsinfle*’ -cos 0 1
(15-'"
C0Cl ‘
то, как легко проверить, спинор (15.29) является собственны
нием оператора (15.31) с собственным значением +1/2:
Лекция 15. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА
161
(s«) % = -
(15.32)
| образом, всегда существует направление (О, гр), проекция на
ТаКЙоператора s равна +1/2, т. е. в любом состоянии %-частица со
котор06 поляризована. Частицы с высшими спинами таким свой-
спиноМ о^ладают Согласно (15.29), если частица поляризована вдоль
сТвом через анализатор, пропускающий частицы, поляризованные
°сИ П’ 7 ( вверх“), пройдет в среднем доля всех частиц, равная
:°sw) (ср” с (io-б».
Отметим, что операторы
А±(й) = j (1 ± дп)
являются проекционными, выделяющими из любого спинора х часть,
имеющую проекцию спина на ось й, равную ± 1/2:
- (1 ± bit) х I = 1 ‘ ~ (5й ± 1) х =
.2 / 2 (15.34)
(15.33)
(5Л)(Л±(Л)Х)=^(&«)[|
= ± j • j И ± on) х = ± (Л±(й) х\
.де использовано равенство (ай)2 = й2 = 1, вытекающее из (15.25').
Матрица (13 13) конечного поворота на угол гр вокруг оси z
Uz(v) = ехр [-jtpJj
\ п /
имеет, согласно (15.9), матричные элементы
(J'ni | Uz(tp) \jm) = дjf дтт- е~,т^.
При целых/ целыми являются и т, тогда е_,т2л = 1 и
(J'ni \Uz(2x) \jm) = djj. дтт-,
(15.35)
(15.36)
(15.37)
5 К ЧТ° г^л) = 1- Это и понятно, так как целое j может отвечать ор-
^^ЬНомУ МС)менту. Целочисленность т является тогда следствием
I Мичц НаЧности (8-16) волновой функции гр (г) и, следовательно, перио-
на^ ™ По УгаУ гр, поэтому гр (г) вообще не меняется при повороте
полуцедых j и т согласно (15.36)
t7z(27T) = -l,
(15.37')
162
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
полный поворот меняет знак вектора состояния, т. е. полуцеЛЬ1
ставления группы вращений двузначны, тождественным вращен
и ip + 2д отвечают разные матрицы: 1Ду>) — — U(<p + 2д). По
полуцелые моменты отвечают спину, здесь нет требования одНоз
ности волновой функции как функции координат; двузначные
ставления допустимы, так как физические свойства все равно бут^Н
висеть лишь от билинейных комбинаций спиноров. 4
Задача 15-1. Доказать, что для спина s = 1/2 оператор поворота (13.13') на п1
вокруг оси п равен
(/й(«) = cos — — i (an) sin —
2 2
(15
Указание. Воспользоваться тем, что в силу (15.25') любая четная степень (сп-
равна единице.
Задача 15-2. Найти операторы момента для j = I и сравнить с матрицами прей
разования вектора (13.16').
Отметим, что для частиц со спином 5 оператор Т обращения време-
ни (13.30) также должен быть матрицей, действующей на спиновые пе-
ременные. Его вид определяется тем требованием, что при отражен»'
времени спин, как и любой вектор момента, меняет знак:
s = U s* U~} = - s. (15.39
Задача 15-3. Доказать, что для частиц со спином s = 1/2 оператор отражения вре-
мени имеет (в представлении, где операторы спина даются матрицами Паули (15 2
вид
Т = = юуоУС. О5’
Для системы из N частиц со спином 1/2 естественное обобщение
(15.40) дает
Если гамильтониан такой системы Г-инвариантен, Н = Н, что вып (
няется при отсутствии внешнего магнитного поля, то стационарные
стояния Ф и Ф = ГФ обладают одинаковой энергией Е. Если со
ное значение Е не вырождено, то Ф и Ф могут отличаться лишь ф
ГФ = е,й Ф. Отсюда
Г2Ф = Г(е'5 Ф) = UoK\ei6 Ф) = е“'дГФ = Ф,
Лекция 15. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА
163
цменепии к невырожденному состоянию t2 = 1. Но, как не-
1 е‘ В твенно видно из (15.40'), для системы N частиц со спином 1/2
цосре'П-2 __ (_])л'_ Мы получили теорему Крамерса. при отсутствии
нме£М "
" го поля все состояния системы из нечетного числа частиц со
магнИ по крайней мере двукратно вырождены. В системе с чет-
спин°м м Частиц вырождение может отсутствовать
нЫМлЧитератУРа: [13; 19, гл. 5; 21; 22, § 36, 37; 26; 32в, § 26-28; 47,
„ып. 8, гл- 4’ 9L
Лекция 16. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
Рассмотрим систему, состоящую из двух подсистем, так что По?
ный оператор момента есть векторная сумма операторов, относящих
к подсистемам:
J — J\ + J2.
(16.П
Если подсистемы не взаимодействуют, то их моменты сохраняются и
состояние каждой подсистемы описывается моментом и его z-npo-
екцией т 1(2) (а также прочими квантовыми числами) Тогда состояние
всей системы задается вектором
ф./>|. /2»<2 = I7iw,E Л«’2>, (162)
где остальные характеристики состояния явно не указаны Пространст-
во состояний с заданными 71,72 имеет размерность (271 + 1)(2/2 + 4>г
векторы (16.2) могут быть выбраны как базис в нем.
Возможно, однако, что из-за взаимодействия между подсистемам»
моменты J\,J2 в отдельности не сохраняются. Типичным примером
является спин-орбиталъная связь — наличие в гамильтониане члени
пропорционального произведению L S операторов орбитального |
спинового моментов. В силу (15. Г) операторы £2 nS2 коммутируют с
спин-орбитальным членом, т. е. квантовые числа 7) = I и J2 = 5 nf
прежнему являются интегралами движения. Но [L:, £5] & 0, так
магнитные квантовые числа iri] = mt и т2 — ms не сохраняются иЯ
стояния (16.2) перестают быть стационарными. В то же время Д
ленный член LS является скаляром и не меняется при в^ащениях^
темы как целого. Поэтому полный генератор поворотов J = +
храняется (13.14), соответствующие ему величины j и т (моментг^Ч
екция всей системы) являются хорошими квантовыми числами
парных состояний.
Лекция 16. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
165
необходимо уметь делать преобразование от базиса (16.2)
роэтомУ
кссстоянияМ <^Jjyh = \j\j2, jm), (16.3)
• и т, а проекции т\ и m2 не имеют определенных значений.
г,езаДаНЬ1^осит название векторного сложения моментов.
(Га задача вь1Ясним, какие значения могут пробегать квантовые
1*Ре т всей системы в пространстве состояний с заданными J\ и j2.
ЧИСЛа7 м для определенности у) > j2 и начертим (рис. 16.1) прямо-
П0110*ую таблицу с размерами (2у, + 1) X (2у2 + 1), так чтобы каждой
>|10ЛЬ таблицы однозначно соответствовало состояние (16.2) с опре-
Г*НЬ1МИ т\ и т2. Из (16.1) следует, что состояния (16.2) являются
'ветвенными векторами оператора
(16.4)
собственное значение которого равно
т = /И| + т2. (16.4")
Поэтому максимальная величина полной проекции
(^-)тах — «Апах — т1 тах + т2 тах — j\ + j2, (16.5)
тому состоянию отвечает правый верхний угол (X) таблицы. По опре-
?лению (лекция 15), максимальная проекция называется моментом
системы j и ей отвечает мультиплет 2J + 1 состояний с проекциями от
до-у. Итак, согласно (16.5), наивысший возможный момент систе-
мы как целого равен сумме моментов подсистем:
Ушах = /1 + J2- (16-6)
Рис. 16.1
166
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотрим теперь состояния (16.2) с полной проекцией
ницу меньшей чем (16.5):
z ~ j\ "Р J2 ~ 1 — (^z)max ~ 1-
Как видно из таблицы, таких состояний (+) оказывается два-
1/1. W| = Ji, J2, т2 = j2 ~ 1), l/i, mi = /] - t >2,
На еДк
(16.7
(16.'
любая их линейная комбинация также имеет значение т, равное йл
Однако в уже найденном мультиплете (16.6) состояний (16.3) \j / •
+ J2, т) тоже должно быть состояние с т = j\ + /2 — L Поэтому
из двух линейно независимых комбинаций векторов (16.7') прина'^*1
жит мультиплету (16.6). Вторая, ортогональная к первой, суперпози
состояний (16.7'), очевидно, сама открывает новый мультиплет Ит
есть мультиплет с максимальной проекцией (16.7), т. е. с моментом
/ = /max - 1 = /1 + /2 ~ 1, (16°
включающий (2/ + 1) = 2 (7) + j2 — 1) состояний I/1/2; j\ + /2 - 1,и)
Перейдем к состояниям (•), имеющим
А = /1 + /2 _ 2.
(16°
Их будет уже три:
1/1, mi = 7); 72, т2 = j2 - 2), |/ь /wj = j\ - 1; J2, = j2 - 1), (16y,
1/1, mi =/1-2; j2, = j2).
Рассуждая, как и раньше, видим, что из трех линейно независимы»
комбинаций векторов (16.9') две принадлежат предыдущим мультиплс
там (16.6) и (16.8), а третья является „родоначальником" мультиплеп
отвечающего полному моменту
: _ , . , _ 9 (16.101
J — Jl + J2 2 V
и поэтому содержащего 2Jj\ + /2 — 2) + 1 состояний | j\j2, /1 +
- 2, тл).
Легко видеть, что, двигаясь аналогичным образом по таблипеДв
рис. 16.1), мы будем на каждом шагу получать на одно состояние
ше, чем в предыдущий раз, так что каждый раз придется
новый мультиплет с j, уменьшенным на единицу. Увеличен^^^И
мультиплетов закончится, когда мы достигнем состоянии на тп
выходящей из правого нижнего угла таблицы (заштрихованные
раты). Из этих состояний одно принадлежит минимальному 3 -ft
(Лз)пнп = - J2, так что следующий шаг (\) даст уже РовНО дСПрс<
количество состояний, как и предыдущий, поэтому все они Р
Лекция 16. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
167
е найденным мультиплетам и новых мультиплетов с еще
1ятс« 110 ^аЧением не возникнет.
ченЫииМ мУЛЬтиплет с наименьшим моментом j =/min возникает после
ИтаК’ А гпя МЫ достигаем состояния с проекцией
к шагов, когд
J2z = J2~ к = -J2,
и’
следовательно,/min отличается от /тах (16.6) на Ijx
/min = Jl + J2 “ 2/2 = /| - /г (16.11)
: > /] было бы Jmin J2 Jl)-
три J * уЮщИе шаги отвечают неизменному числу заполняемых
ьтиплетов до тех пор, пока минимальный из них (16.11) не будет
Н костью заполнен. Это произойдет, когда мы попадем на линию (/ ),
исходящую из левого верхнего угла, т. е. минимальный мультиплет, как
видно из таблицы, содержит
(2/1 + 1) - (2/2 + 1) + 1 = 2 (Zi - /2) + 1 = 2/min + 1
.эстояний, в соответствии с общим правилом (15.9). После этого даль-
нейшие шаги последовательно завершают построение мультиплетов с
моментами, возрастающими от ymin (16.11) до/тах (16.6).
Таким образом, при сложении моментов/1,/г подсистем состояния
всей системы образуют мультиплеты, отвечающие определенным зна-
чениям полного момента
>оХИНЦИПу с
Разевание
/ -/1 + J2, J1 + J2 - 1, •••» 1/1 - J2 I (16.12)
И содержащие по 2/ + 1 векторов (16.3) с проекциями момента т =
Полный момент (16.12) принимает меняющиеся через
единицу значения между суммой и разностью слагаемых — квантовый
аналог обычного геометрического сложения векторов (правило тре-
„ иь"«ка). Из построения (или из (16.12)) следует, что число мульти-
"ictob равно
2/< + 1, (16.13)
меньшее из чисел /ь/г-
"епомТаК’ МЫ имеем два спос°ба классификации состояний системы в
ом. (16.2) и (16.3). Число линейно независимых векторов в обоих
влениях, разумеется, одинаково и равно числу клеток таблицы:
j= 71 + 72
2 (2/ + 1) = (2/. + 1)(2/2 + I). (16.14)
j~ U1 - h I
/перпозиции (10.11) должно существовать унитарное
/г«’2 \j\J2\ Jm) от одного базиса к другому:
168
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
IJ1J2; jm) = XI Д/щ; j2m2) (Jimt; j2m2 | jyj2-, jm). I
mim2 U6jc
Коэффициенты преобразования
(/>ь J2»i2 IJ1J2; jm) = (jj2, jm I JiR; j2m2)* = C '^ J
2 -1?|
называются коэффициентами Клебша - Гордана (коэффициент!. J
торного сложения). Ве
Принятому условию (15.14) вещественности матричных элем nJ
момента отвечает вещественность коэффициентов Клебша - Гоп
Унитарность преобразования (16.15) означает фактически полноту
зисов (16.2) и (16.3) и в силу вещественности коэффициентовКлебгц*
Гордана сводится к двум соотношениям ортогональности: й
S O1J2; jm IjiWi; j2m2) (Jymy; j2m2 \j\j2; j'ni ) =
/m. (16.16
— £ Cjimt jim-lPлпц j2m2 ~ jm I j\Jl, j'^ ) = djj' <5mm,J
ЛИ1/И2
I jij2, jm) (j\j2, jm \ jxn^ j2m2) =
,m (16.16'
^/pii 2 J2m2 I j\tn\, j2m2) &m^n'fim2m
jm
Поэтому преобразование, обратное к (16.15), дается той же матрицей
коэффициентов (16.15'):
I Jiwi; ./2^2) = 2 CZ, j2m2 IV1J2; jm). (16.16'
ym
Рассмотрим простейшие примеры, на которых можно понять сп
собы вычисления коэффициентов Клебша - Гордана. Ясно, что если
одной из подсистем j2 = 0, то векторное сложение тривиально, ] ~ Н
Jz = т = т}. Пусть подсистемы имеют j) = j2 = 1/2 (назовем их
тицами“ со спином 1/2). Базисные спиноры обозначим, как в (15-И
посредством /±. Базис (16.2) состояний с определенными проект
спинов частиц состоит из четырех векторов
Z+(l)Z+(2), Z-(l)Z+(2). Z+(l)Z-(2), %Д1)Х-(2). О6'
Для того чтобы классифицировать состояния по определенному п^а
му спину и его проекции, т. е. явно вычислить коэффициенты Кл
Гордана, будем действовать, как и в вышеприведенных рассуЖД j
двигаясь от правого верхнего угла таблицы.
Лекция 16. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
169
но (1612) полный спин системы может принимать значения
^состояния с Sz = 0, ± 1 — триплет) и S = 0 (1 состояние с
5’ ' синглет). Состояние (X) с максимальными значениями S = 1,
у г0^|/2 + 1/2 строится однозначно:
! | S = 1, Sz = 1) = | 1 1) = Z+(l) Z+(2), (16.18)
тветствующий коэффициент Клебша — Гордана можно поло-
' е' С иым 1 Такой выбор фазы возможен всегда и мы примем
жить равным
Аналогично имеем (левый нижний угол таблицы) для Sz = - 1 =
= ',/2'1/2: |1 -l)=Z-(l)Z-(2). (16.18')
Оставшиеся два состояния из набора (16.4) обладают Sz = 0 и поэтому
цогут принадлежать как триплету, так и синглету. Триплетная линей-
ная комбинация | 1 0) сразу получается из (16.18) действием понижаю-
щего оператора S_ = 5|_ + .?2- (15.14):
S- | 1 1) = у/2 | 1 0) = (s,_Z+(l)) Z+(2) + Z+(l) (?2-Z+(2)) =
= Z-(l) X+(2) +/+(1) X-(2),
откуда
11 0) = ± [ Z+(l) Z_(2) + X-(l) Z+(2)], (16.20)
Cj l у _ i = Q _ i ll= T (16.20')
2 2 22 2222
Ортогональная к (16.20) линейная комбинация дает синглет
10 0) = ± [ Z+(l) z-(2) - z-(l) Z+(2)], (16.21)
о о
J 1 J
2 2 2
_ -0 0 _ 1
± - - c I _1 11 ~ V5 •
2 2 2 2 2
(16.21')
CToa^3 (16-18), (16.18'), (16.20) и (16.21) мы видим, что триплетные со-
Наг симметричны относительно перестановки спиновых коорди-
1 ** в то время как синглет антисимметричен. Оператор 5
с ,q2 ^Спина можно написать согласно (15.16) через матрицы Паули
’ вносящиеся к спиновым переменным частиц 1 и 2:
S = 1 (5, + 52). (16.22)
170
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Пользуясь (15.22), находим
S2 = (а? + о22 + 2 5х52) = j (3 + ato2). (] I
С другой стороны, оператор S2 имеет собственные значения-
О для синглета,
2 для триплета.
S(S + 1) =
(16.2;
Поэтому синглет и триплет являются также собственными
оператора б\б2, отвечающими собственным значениям
— 3 (синглет),
+1 (триплет).
функциям.
510^2 -
(16.24,
Согласно (16.24) оператор
S2 - 1 = j (1 + ага2)
(16.25i
имеет собственные значения +1 и —1 для триплета и синглета соот-
ветственно, т. е. отвечает перестановке спиновых координат частил
(оператор спинового обмена). Можно ввести проекционные операто-
ры, проектирующие любое состояние системы на синглет или триплет
(1626
As = j (1 - 3?) = 1 - | S2 = | (1 - a,a2),
(16.26
A, = -2 (1 + 9?) = p2 = (3 + a,a2).
Задача 16-1. Построить волновую функцию с определенным полным момяП*
для электрона на р-оболочке.
Ответ. Векторное сложение орбитального момента / = 1(К/т) и спина 5 " 2
дает квадруплет j = 3/2 и дублет j = 1/2:
з з\ --) = Ч1Х+. 2 2/ 3 2 _ з\ 2/ Н -1 Z-;
1 1F Г1° Х+ + J~ Уи Х-< 3 _ А = Р ЧZ* + JI
2 2/ УЗ V3 2 2/ ) 3 ’3
1 F Г1° Х+ “ -Д ГН Х-, _1\ =
2 2/ УЗ у 3 2 2/ ) 3 *3
(16>
Лекция 16. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
171
ЛЛициентов Клебша - Гордана существует замкнутое вы-
Для к конечного ряда или некоторого интеграла, откуда мож-
pa*eHje® , ряд свойств этих коэффициентов. Очевидно, что в силу
и° "“Треугольника коэффициент hmi отличен от нуля лишь при
rtl + m2 =
Называется,
роны W14"
Гордана в»' ,
шению
= (-1V1-72 + mJ2j + 1
Jlml J2m2 v J
и моментах j, лежащих в пределах (16.12). На самом деле
что моменты /ь j2, j фактически равноправны (три сто-
-ольника). Поэтому часто вместо коэффициентов Клебша -
вводят Зу-символы Вигнера, определенные согласно соотно-
72
ГП2
71
J3 1
-J ’ <16-28)
которые обладают следующими свойствами:
72 73 1 Q, ТОЛько если гщ + m2 + ту = 0 и три вектора с длина-
Ш2 ^з)
ми л,У2,73 удовлетворяют условию треугольника;
б) перестановка любых соседних столбцов меняет фазу символа
Р’ = (-1)71 + 72 + 73 Р*
\т\ т2 1Щ) v ’ \т] m2 ’
(16.29)
в) та же фаза (16.29) возникает при изменении знака всех проекций
f 71 72 7з 'j _ + у2 + 7з р1
\—т[ —m2 —т^) v ’ \п\ т2 1Щ) ‘
(16.29’)
(Проверьте все эти свойства для рассмотренных выше случаев!)
Из (16.29), в частности, следует, что
= 0, если /] + /2 + 7з нечетно. (16.30)
pl 72 /з^
(0 о oj
Ши сг^848 ®Ь1ЧИСЛИТЬ коэффициенты Клебша - Гордана для векторного сложе-
у ина 1/2 и произвольного орбитального момента I.
Литература: [7, гл. 8; 13; 15; 17; 26; 31; 32в, § 31, 106; 47, вып. 9,
Лекция 17. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА
В силу изотропии пространства полный момент импульса замкнх-,
той системы сохраняется. Поэтому все состояния системы распадаются
(лекция 15) на неприводимые представления группы вращений J
мультиплеты, члены которых преобразуются друг через друга при
поворотах. Аналогично можно все динамические переменные класси-
фицировать по трансформационным свойствам относительно враще-
ний. Это позволяет установить ряд теорем об условиях обращения
в нуль некоторых матричных элементов — правила отбора. Начнем
с простейших типов величин.
Скаляр А — величина, не меняющаяся при поворотах U всей сис-
темы, т. е. для нее UAU~X = А, следовательно, А коммутирует с опера-
торами U и, в частности, с генератором бесконечно малых поворо-
тов — полным моментом J'.
[A, J] = 0.
(17.1'
Возьмем от соотношения (17.1) произвольный матричный элемент
между состояниями системы, характеризуемыми полным моментом/,
проекцией т и, возможно, другими квантовыми числами, которые не
будем выписывать. Для z-компоненты (17.1)
(J'ni | AJZ — JZA | jm) = (m — ni) (J'ni | A | jm) = 0. 07-*
Так как А коммутирует и с J2, то
{j'ni | AJ2 - J2A \jm) = [ y(j + 1) - j'(J' + 1)] (J'ni |Л \jm) = 0- (V
Из (17.2) и (17.2') видно, что матричные элементы (J'ni ]А Ijri) иСЧе\
ют, если т ni, J Поэтому имеем правила отбора для скал р ч
операторов: 0-yji
Aw = 0, Aj = 0
(скаляр диагоналей no j и m).
Лекция 17. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА
173
р соответствии с (17.3) матричный элемент скалярного оператора
Лравеи (j'ni \A\jn^ — ajm (17.31)
й гтопоны, вследствие (15.14) имеем
С одн°и *
(>п|.МЛ- = ~ + m+W m + ^\A\j т+\)= (17 4)
= О' ~ m)(J + т + 1) aj т +
(17-5)
c другой стороны, из (17.1) и (15.12H15.13)
(Jm | J_ AJ+ I jm) = (Jm \AJ_J+\ jm) = q7 4-^
= (j - m)(j + m+ 1) (Jm\ A \jm) = (j - m)(j + m + 1) ajm.
Сравнивая (17.4) и (17.4'), получаем ajm = aj m + i(| w | < j), т. e. мат-
ричные элементы (17.3') скаляра на самом деле не зависят от т (от ори-
ентации системы как целого):
(j'ni IA Ijm) = а} д# дтт',
и вся зависимость от т выделена в
Рассмотрим теперь матричные элементы векторного оператора V.
Компоненты любого вектора при вращениях преобразуются так же, как
и векторов г и р, поэтому коммутатор V с генератором бесконечно ма-
лых поворотов равен (4.37)
[Л, 1^] = i Уу (17.6)
Очевидно, что [Jz, Vz] = 0 (z-проекция вектора не меняется при поворо-
тах вокруг оси z). Отсюда полностью аналогично (17.2) следует прави-
ло отбора:
Гг: Дщ=0. (17.7)
координат Vx, Vy удобно ввести комбинации,
у± = Ух ± (Уу- (17.8)
Вместо декартовых
аналогичные (15.3):
Г (17.6) находим
я в (17.9) матричный элемент (J'ni |... |yw), получим
| ~ У±3г l/w) = (ni - т) (J'ni |Г± \jm) = ± (J'ni |\jm),
(nt — m + 1) (J'ni | V+ | jm) = 0. (17.10)
(17-9)
174
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Это означает, что матричный элемент Й± отличен от нуля
nl = т± 1, т. е. справедливо правило отбора
V+: Длг = ± 1.
(17'П)
Согласно (17.7), (17.11) комбинации У±, как и J+, повышают (+1.
. . . \ 'и По-
нижают (—) проекцию Jz = m полного момента, в то время как Vz дц^
пальна по т.
Задача 17-1. Найти закон преобразования при поворотах симметричного тенз
Qa0 со следом Sp Q = Qaa = 0 (например, тензора квадрупольного момента), пот,
чить коммутатор [ Ja, Qpv ] и правила отбора по проекции момента для тензора
Мы не нашли пока правил отбора по полному моменту j для век-
тора и тензора. Это можно сделать с помощью более сложной алгебры
Вместо этого мы наметим общий подход к проблеме.
Введем понятие тензорного оператора ранга / как совокупности
21 + 1 операторов Qim (I — целое, /л = — /,...,+ / ), преобразующихся
при вращениях друг через друга в точности по тому же закону, что и
сферические функции Yi,n.
Скалярные операторы не меняются при вращениях, как и
Уоо = 1Д/4я, поэтому скаляр — тензорный оператор ранга I = 0 (одна
компонента).
Векторный оператор имеет три компоненты. Установим однознач-
ное соответствие между вектором г и набором трех сферических функ-
ций Yim. Пользуясь (8.9) и (8.34), находим
= Д cos е = Д I, (17.12,
V 4л V 4л г
(17.12')
Введем сферические компоненты Ym (т = 0,± 1) согласно
р _ р v - - 4 у _ = $ (17 Л)
к» - к, - - - - j-2. V-, - £ Я I
ру-
Задача 17-2. Найти правила отбора по орбитальному моменту / для ве ат»
ге - Леица (11.20) частицы в кулоновском поле и получить отсюда спектр ур°
ма водорода.
Указание. Построить оператор, повышающий I, и доказать существо
мального / при данной энергии Е.
Лекция 17. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА
175
I тиМ полезную в приложениях запись скалярного произведе-
екторов чеРез сФеРические координаты (17.13):
НИ ab = У (~1)татЬ-т.
т
(17.13*)
Равенства (17.12) дают связь сферических компонент единичного
кгора п ~ т!г с0 сФеРическими функциями
«т
Im-
(17.14)
П0И поворотах компоненты любого вектора преобразуются одинаково;
следовательно, из (17.14) заключаем, что вектор есть тензорный опера-
тор ранга I = 1-
Задача 17-3. Доказать, что пять независимых компонент квадрупольного тензора
Qaf (SP Q ~ °) образуют тензорный оператор ранга / = 2.
Указание. Перейти аналогично (17.13) к сферическим координатам Qap -» Q2fi
= 0, ± 1, ± 2) и убедиться в пропорциональности Q2fl ~ Y2/l.
Сопоставляя результаты задач 17-1 и 17-3, легко проверить, что
аналогично (17.11) именно сферические компоненты тензора Q2fl обла-
дают определенными правилами отбора:
Длг = А- (17.15)
Для всех тензорных операторов правила отбора по проекции момента
определяются их трансформационными свойствами; поэтому они сов-
падают с правилами отбора для сферических функций.
Произведение двух сферических функций может быть снова разло-
жено по сферическим функциям. Результат разложения (см. приложе-
ние В) удобно записать через 3/-символы (16.28):
= J fel + 1X2/2 + 0(2/ + 1) [ А А>
1т ’ 4л W2 (О
1\ . _ (17-16)
gl 1Л/т(Я)>
I НА
О
ИЛИ’ Пользуясь свойством (8.31),
(2/1 + 1)(2Z2 + 1)(2/ + 1)
(17.16*)
X (-1)"Ч
' А
-пц
1т
12 1>
т2 Ш)
4л
С(й).
176
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Ортонормированность сферических функций дает
г . |(2/1 + ')(2/2 + l)(2^~+~i)
J п ' X
V 4/Г
12 12 /з1 1717)
' ' \-rnt m2 т3)\0 0 ОД
Левую часть (17.17) можно интерпретировать как матричный элемент
У™ | У/2т2 11зт3) = (- 1У‘ (А 11Г/2 11 /3), (17 ,8)
где выделена явно зависимость от проекций, а остаток объединен
в приведенный матричный элемент
(21\ + 0(2/2 + 1X2/3 + 1) (h h
О 0
о • 0719)
4л
Формулы (17.18), (17.19) определяют правила отбора для угловых
операторов. Эти правила отбора следуют из свойств Зу-символов. Зу-сим-
( h h h
вол
«2] т2 1Щ
= mi — т3 = пн, (17 20)
отличен от нуля только при —пц + т2 + гщ = 0, т. е.
что совпадает с (17.15). Это означает, что сферическая функция 1/2„2
„рождает" проекцию т2, которая, складываясь с начальной проекцией
тз, дает конечную проекцию mj. Далее, тот же Зу-символ не исчезает
лишь в случае выполнения условия треугольника для моментов /ь h, h
Суммировать эти правила можно, записав, что в матричном элементе
(17.18) происходит рождение момента 12, векторно складывающегося
с начальным Z3 в конечный 1р
1\ = 12 + h-
(17.20''
Поскольку правила отбора, заключенные в записи
h 1У\
-mi Щ2
являются следствиями только геометрических трансформацИО^И
свойств, они одинаковы для всех тензорных операторов. Справ
теорема Вигнера - Эккерта". матричные элементы любого теН^е^ц}1я-
оператора по состояниям с определенными моментами и пр
ми равны
/ р i ;\ .. (17,21
(a'j'ui | Q/р | ajm) = (-1/ ~ J («'у' 11 Qi 11a^’ j
Лекция 17. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА
Ml
& . прочие квантовые числа состояний, а приведенный
где а И й элемент (o'/ 1| Qi |1 aj) не содержит проекций п!, р,т.
Е^11Ч1етствии с (17.15), (17.20) и (17.20') тензорный оператор являет-
В с0°ТВ тОрцм рождения момента I и проекции /г. Эрмитово сопря-
сЯ опер . является оператор уничтожения I и р. Для эрмитовых
женным к V/
зОрНых операторов справедливо свойство (8.31)
Qtn = (-WQi -ti-
(17.22)
Приведенные матричные элементы содержат дополнительные
вила отбора, специфические для данного тензорного оператора.
Так приведенный матричный элемент сферических функций (17.19)
(h h. h\
пропорционален 3/-символу Г Q Q I, который кроме правила треу-
ll h. h
гольника для моментов (7Ь 72, 73), выполненного уже из-за выделенно-
( A h. h \
го ранее 3/-символа I _ I, дает новое ограничение: согласно
(16.30) он отличен от нуля лишь для четной суммы А + /2 + /3. По-
скольку пространственная четность Yfm равна П/ = (— 1/ (см. лек-
цию 8), видим, что это правило отбора эквивалентно закону сохра-
нения четности:
П/ = (- !/ = (- 1У* • (- 1)'з = П/2 П,. (17.23)
Кроме того, возможны определенные правила отбора по добавочным
квантовым числам а.
Известно, что поле системы заряженных частиц может быть пред-
ставлено как набор мультипольных моментов (электрический заряд,
Дипольный момент (13.25), квадрупольный момент (13.26), магнитный
Дипольный момент и т. д.). Электрический мультипольный момент ран-
га I системы статических зарядов с плотностью р (г) дается формулой
Qw = f df р (?) rl
\21 + 1 \г/
(17.24)
Слагая / - 0, получим goo = f dr p(r) — полный заряд; при 7=1 —
Ферические компоненты dm дипольного момента d (13.25) и т. д.).
Антовом случае мы получаем операторы Qi мультипольных мо-
(СК) ^в’ Для магнитных мультиполей нужно добавить еще вклад спина
-25)). Из (17.24) очевидно, что мультипольные моменты Q/ яв-
178
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ляются тензорными операторами ранга I. Кроме того, они об
определенной четностью: электрические мультиполи ранга /
четность иМеЛ
в то время как мгнитные мультиполи ведут себя при пространств J
инверсии противоположным образом (например, магнитный моме Н 1
аксиальный вектор): ~~
пм = (-1)/ + 1. (1725.
В результате мы находим правила отбора для матричных элемен
тов мультипольных моментов {a'j'ni | gz д I ajni) (так называемые элект-
рические переходы Е1 и магнитные Ml):
Переход Em ду ДП
El m' — m = fi 1+ j> j'> IZ — 7 1 (-1У (17.26)
Ml E Z+ j> j’> \l- j\ (~D/ + 1
В частности, положив j' = j, получим, что в состоянии с полным
моментом j ненулевое среднее значение могут иметь лишь мультиполи
с 1 < 2j. Если же состояние характеризуется еще и определенной чет-
ностью, то должно быть ДП = 0, т. е. могут существовать средние зна-
чения только электрических мультиполей с четными I и магнитных
с нечетными I. Окончательно имеем:
Состояние с моментом j Возможные мультипольные моменты
0 1/2 1 3/2 Z = 0: £0 (заряд) (17.27) Z = 0, 1: £0, M\ (магнитный момент) Z = 0, 1, 2: £0, Ml, £2 (квадрупольный момент) I = 0, 1, 2, 3: £0, Ml, £2, М3 (магнитный октуполь)
Оператор J полного момента коммутирует (15.Г) с/2 и ПОЭУ°^
имеет лишь диагональные по j матричные элементы. Произвольный
вектор V согласно (17.26) имеет кроме диагональных по j еще и мат
ричные элементы с изменением / на ± 1.
Задача 17-4. Доказать, что диагональные по j и другим квантовым 4HCJia*L^-
ме т) матричные элементы любого вектора пропорциональны соответствую
ричным элементам момента:
д U V)ai =
{ajni | Г | ajm) =----L {jm' |J \jm),
J(j+ 1)
Лекция 17. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА
179
- ". ._ Не зависящий от т (согласно (17.5)) матричный элемент скаляра
_ Ц • 1 MJ
где V
указание. Используя (17.21) и (17.13), доказать сначала, что V) J \ajrn) =
р яенство (17.28) составляет основу полуклассичес-
“ векторной модели, которая была эмпирически полу-
1(0,1 «а атомных спектров еще на заре квантовой меха-
В этой модели состояние характеризуется единст-
н^м вектором — полным моментом J, а любой дру-
й вектор V прецессирует вокруг направления J. Тогда
см рис. 17.1) среднее значение нормальной к J компо-
ненты V равно нулю, а среднее значение продольной
J V
Рис 17.1
компоненты определяется как — . Поэтому
<У) =
J V
|/I
J J V - J V ~
. - — J ->-------------J.
|J| j2 7(7+1)
что совпадает с (17.28). Однако недиагональные по j матричные эле-
менты не связаны с моментом J и не могут быть найдены в векторной
модели
Задача 17-5. Дейтрон является связанным состоянием нейтрона и протона, при-
чем его волновая функция дается суперпозицией 3S| и 3D| с весами ну и згд соответст-
венно (wg + мщ = 1). Доказать, что магнитный момент дейтрона равен
Д = Рр + Рп = | и® + рп - , (17.29)
Нр и рп — магнитные моменты протона и нейтрона.
Литература: [2, § 25; 3, § 4, 5; 5, гл. 1, § 6; 6, § 46-47; 13; 26; 31;
J2b> § 29, 107-110; 33; 54].
Лекция 18. ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
До сих пор при решении уравнения Шредингера предполагало,,
что частицы движутся в потенциальном поле U(r), которое в реалыви
случаях имеет электростатическое происхождение,
(7(f) = ер(г). (18 Л)
Теперь мы обобщим полученные результаты на случай непотен-
циальных полей (в первую очередь нас будет интересовать магнитное
поле dXtf").
Рассмотрим сначала бесспиновую частицу в произвольном поле
(ос/, <р). Согласно общему методу получения квантовой динамики (см
лекцию 12) потребуем, чтобы операторные уравнения движения и
в этом случае совпадали по форме с классическими уравнениями для
движения частицы под действием силы Лоренца
F = ef + - [ v X d&].
С
(18.2)
Классический гамильтониан частицы в электромагнитном поле получа-
ется [326, § 16] введением вместо импульса р = mv обобщенного им-
пульса
Р = mv + - otf,
с
так что гамильтониан свободной нерелятивистской частицы Н - К
ту2 i Zr \
-----= — при включении поля (осу, <р) принимает вид
2 2т
(18-4)
Совершая квантование, мы должны заменить в (18.4) велИ'^иЯ
Р, (г), 9?(г) операторами, причем коммутационные соотно
(12.16) выполняются теперь для обобщенного импульса Р-
ЛекцИЯ 18. ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
[fa, Pf}] = ihdap.
181
(18.5)
йтак, гамильтониан
частицы в электромагнитном поле
/ -\2
(р - - й/]
Н = -----£---— + еф,
2т
или ДЛЯ
системы нерелятивистских частиц
[Д - О5/( %)]2
+ еа<р(т«)
(18.4-)
(18.4")
1
2
а * b
а
где учтено также прямое взаимодействие между частицами. Отметим,
что электромагнитное поле (&£, <р) всюду считается внешним, т. е.
представляет собой заданную функцию координат и времени.
Задача 18-1. Пользуясь (12.24) и (18.4'), получить уравнения движения частицы:
Р - - 05/
— r = v =—£—, (18.6)
dt т
-у К ~ — *
т S-Г- =ес£ + — {[Dx оЗГ]-[еГх г]}, (18.7)
dt2 2с
f = 0^= rotes/. (18.8)
С dt
В случае действия на частицу постоянного во времени однород-
ного магнитного поля операторы v и коммутируют, так что
(18.7) дает обычную силу Лоренца (18.2). Однако различные проекции
вектора скорости v (18.6) не коммутируют:
— z 2 ^сфу <2%у-
(18.9)
-J
адача 18-2. Найти стационарные состояния заряженной бесспиновой частицы в
Постоянном однородном магнитном поле о^.
казание. См. [32в, § 111-112]; удобно выбрать векторный потенциал в виде
о5/ = ( - <STy, О, 0), <2? = o>Tz.
в постоДа'1а Найти стационарные состояния заряженной бесспиновой частицы
полях ЯННЬ1Х однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном
182
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Как мы видели при выводе уравнения непрерывности (4.1 ]) 0-
ное потенциальное поле U не входит в выражение для плотности п
ка вероятности j. Иначе обстоит дело с магнитным полем. Вычи
аналогично (4.9) производную по времени от плотности вероятно
р = | Ф |2 и используя уравнение Шредингера с гамильтониан^
(18.4'), где оператор обобщенного импульса в координатном предст^
лении согласно (18.5) равен Р = — zTiV, найдем
f = - б- Jo + div W Ф*Ф}. (18 10)
Здесь /о — вектор потока (4.10) в отсутствие поля. Таким образом
если векторный потенциал оЕ/ 0, то вектор плотности потока
j = { Ф*(УФ) - (УФ’)Ф} - — сМ Ф*Ф. (18 in
2mi тс '
Среди многих важных следствий, к которым приводит наличие по-
следнего члена в (18.11) (диамагнитный ток), отметим одно. Сверхте-
кучая электронная „жидкость" в сверхпроводниках может быть описа-
на „макроскопической волновой функцией" Ф(г, t). Выражение для
плотности электрического тока в сверхпроводнике получается из
(18.11), если в качестве е взять эффективный заряд е частиц „жидкос-
ти", а в качестве т — эффективную массу т:
~. ~2
;эл = е ] = { ф*(УФ) - (УФ*)Ф| - тг Ф’Ф. (18 И )
2mi тс
Введя, как в (4.13), модуль -Jp и фазу Sift волновой функции Ф,
перепишем (18.11) в виде
Уэл = 4 (vs - р; <1812)
т \ с /
= Рэл ’ где в качестве скорости v берет
. Учтем теперь, что в сверхпроводни
малую глубину (эффе*
слое сверх
фактически это означает /эл
ся согласно (18.6) 4 l-Р — ~
т \ с
магнитное поле проникает лишь на очень
Мейсснера). Внешнее поле индуцирует в поверхностном - внеЛ
проводника токи, полностью экранирующие толщу металла от 1
него поля. Внутри массивного сверхпроводника j3n — Q тогда
е (18.13)
VS = - 1
ЛекцИя 18. ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
183
замкнутый контур, целиком лежащий в толще сверхпровод-
ВбИР351 егрируя по этому контуру равенство (18.13), получим
ника, и ин к
Ф VS dl = - $&/dl = - Ф, (18.14)
С с
-___магнитный поток через площадь контура.
ГДе П скольку волновая функция ф должна быть однозначной функ-
1 координат, фаза S'/Й после обхода по замкнутому контуру может
и!лучить лишь не меняющее значения волновой функции приращение,
кратное 2л. ~
ZkS = ф VS • dl = 2лпИ = - Ф, •
откуда мы получаем квантование магнитного потока в сверхпровод-
нике
Ф = п = пФ0.
е
(18.15)
В сплошном (односвязном) сверхпроводнике вся площадь контура ин-
тегрирования (18.14) лежит внутри металла, где нет поля, поэтому
Ф = 0 (и = 0 в формуле (18.15)). Если же сверхпроводник является
многосвязным (например, сверхпроводящий тор), то в отверстии поле
может быть отличным от нуля, но поток обязательно квантован.
Результат (18.15) подтверждается точными измерениями, которые
дают величину кванта магнитного потока
Фо = 2,07 • 10~15 Вб, (18.15’)
что соответствует е = 1е. Это прекрасно подтверждает современную
микроскопическую теорию сверхпроводимости, по которой сверхтеку-
зя электронная жидкость состоит из связанных пар электронов с заря-
том, равным 2е.
Из электродинамики [32в, § 18] известно, что описание электро-
магнитного поля с помощью ^-потенциала (о£/, <р) неоднозначно. Лго-
градиентное преобразование к новым потенциалам
= с'-/ + V^, tp' = <р — - —
с dt
(18.16)
времецЯеТпП0Ле^ (18.8). Здесь / — произвольная функция координат и
Измени J erK0 видеть, однако, что физические величины остаются не-
®сех по Ми> Действительно, если сделать унитарное преобразование
волновых функций
Ф -> Ф- = ехр [-
\ he /
(18.17)
184
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
то, поскольку
ехр (— — /) [ Р — - о^'I Ф =
\ he / \ с /
= 1—zftV + - V% — - (се/ + V%)[ Ф' = (р — - о/ гр,.
1 с с J \ с / ’
ехр (- ~ й (Я - &р') Ф =
= - - - X - е\<р - - А Ч'' = (Я - е<р) ф',
I dt с \ с /J
преобразованная функция (18.17) подчиняется исходному уравнению
Шредингера. Согласно (18.12) вектор потока
/ = - (vS' - - оеЙ = - (VS + - V/ - - Vv) =
тп \ с ) т \ с с с /
= - (VS - - ойИ = j
т \ с /
также остается инвариантным. Аналогичная калибровочная инвариант-
( N \
ность имеет место и для системы N частиц
а-*
а = 1
В лекции 3 уже разбиралось различие роли потенциалов в класси-
ческой и квантовой теориях. В квантовом случае сохраняется калибро-
вочная инвариантность теории, однако при этом меняется фаза вол-
новой функции (18.17). Если это изменение различно для разных час-
тей волнового пакета, то эффект можно наблюдать по интерференции.
Вернемся снова к дифракции на двух щелях (рис. 18.1) и поставим
в области разделения пучков длинный соленоид, перпендикулярный
плоскости рисунка, с магнитным потоком Ф. Вне соленоида поле
= 0, так что частицы не проходят в области действия поля и все
классические эффекты исключаются. Однако вне соленоида есть
торный потенциал о?7 # 0 (хотя rot о.;7 = 0). Для любого пути интег
рирования, окружающего соленоид,
фс& di = Ф.
Рис. 18.1
экран
Так как rot о'У = 0, то можно пОЛ°^1
ос/ = V/, где х — многозначный потеНн01Г
в двусвязной области с вырезанным
дом, и затем убрать ос/ градиентным пре
Лекция 18. ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
185
[ 08 16) Тогда его действие сводится согласно (18.17) к измене-
ваНИеМ волновой функции на — J os? dl вдоль пути волнового паке-
нию ф®31,
тал не зависит от пути, если последний не пересекает соле-
та (и1^7?пя пазность сдвигов фаз для волн, прошедших через верхнюю
шелк.»*»
(18.18)
т адвиг определяет результирующее смещение интерференционной
^ины Как и в задаче 3-10, можно показать, что эффект необходим
К я выполнения соотношения неопределенностей (иначе соленоид на
рис 18 1 можно было бы использовать для определения траектории па-
кета).
Рассмотрим влияние спина 5 частицы на ее поведение в электромаг-
нитном поле. В нерелятивистском приближении, которым мы сейчас
ограничимся, играет роль лишь прямое взаимодействие спина с маг-
нитным полем. Если гиромагнитное отношение для спина равно gs, то
спиновый магнитный момент равен
P-s = gsS
(18.19)
(для электрона, как указывалось в (1.25), gs = 2gi = —). Поэтому во
тс
внешнем магнитном поле возникает дополнительная энергия
Hs = - fis оГ = - gs so^. (18.20)
Для частицы со спином 5 волновая функция должна быть (лекция 15)
(2j + 1)-компонентным столбцом Ф, который, согласно (18.4') и (18.20),
Удовлетворяет уравнению Паули (1927, для спина 1/2)
/ \2
е
dt
+ е<р — gs sq№ Ф.
(18.21)
2w
^лениЯДе СЛУчаев существенным является пространственное распре-
плогио Магни™ого момента. Введем, по аналогии с (4.18), оператор
Динатой1-- Магнитного момента {вектор намагничения) частицы с коор-
M(f) = gssd (г - п),
(18.22)
186
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
так что его среднее значение в состоянии Ф равно
М(г) s (М(г)) = f dr. Ф+(п) М(г) Ф(п) = Ф+(г) Д Ф(г)> (18
где Ф+ — сопряженный к Ф вектор-строка (10.16"), и подразумев
свертка по спинорным индексам
ается
М(г) = (Ф+(г))о (р)ар (Ф(г))д.
(18.22 )
Как всегда в электродинамике, плотности намагничения отвечает
намагничения
Шок
У маги с 2W,
(18.23)
так что полный ток /полн складывается из тока проводимости (18.11) и
тока намагничения (18.23):
Уполн = {Ф+(?Ф) - (УФ+) Ф} -
2т (18.24)
- — Ф+Ф + cgs rot {Ф+х Ф}.
тс
Очевидно, что ток Умагн (18.23) не дает вклада в уравнение непрерыв-
ности (div умагн = 0) в соответствии с обычным определением тока на-
магничения в макроскопической физике [32в, § 27].
Поведение спина частицы в магнитном поле нетрудно установить
с помощью гамильтониана (18.20). Пусть остальная часть полного га-
мильтониана не содержит спиновых операторов. Тогда имеем уравне-
ние движения
гй — = [s, Я] = [s, ЯД . (18.25-
Коммутационные соотношения (15.1) дают
= " = ” (18.26*
^ = gs[s хоГ].
at
Для классического вектора V уравнение типа (18.26)
— = [Q х К]
dt
(18.26 >
у вокрУ1
лнтерпР6"
означает [32в, § 36] прецессию — вращение конца вектора
оси Q с угловой скоростью | Q | = Q. Легко видеть, что такая
Лекция 18 ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
187
гОдИтся и ДЛЯ операторного
таПп^ Имеем (в случае поля ,
^времен"*
/ f2 = 0, - («<^Й = О,
dt dt
Рис. 18.2
(18.28)
плина“ вектора спина и его проекция на
Т’ 6 явление поля являются интегралами движе-
н?(рИС 18.2). Частота прецессии спина равна
Й = - gs
в частности, для электрона
е
gS = ~
тс
тс
(18.29)
т е. совпадает по величине с частотой обращения электрона по класси-
ческой орбите в однородном магнитном поле Существующее
малое отклонение gs от — (23.18) ведет к рассогласованию орбиталь-
тс
ного и спинового движений и может быть измерено. Отметим, что в
слабом магнитном поле средний орбитальный момент L классического
электрона также прецессирует вокруг направления q%9, однако частота
прецессии равна ларморовской частоте [326, § 45]
Йл = - — ©%<
2тс
(18.30)
Ту же картину прецессии интересно рассмотреть с точки зрения
стационарных состояний спина в постоянном магнитном поле. Прини-
мая направление поля оу?9 за ось z и пользуясь (15.15'), (15.17), находим
(для спиновой части / волновой функции частицы с 5 = 1/2)
ЕХ = Е = = ~ 8s 2 = “ Ss~2^ (al)
(18.31)
видно, что состояния %± (15.16) с определенными значениями
2- проекции спина являются стационарными и отвечают энергиям
Е+ = + - gjto/f = ± - HQ,
2 6 2
(18.32)
где Q__
Мент частота прецессии (18.28). Пусть, например, в начальный мо-
(15 29)ЭСТИЦа была поляризована в направлении (в, <р), т. е. согласно
188
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
х(‘ = 0) =
' в
COS -
2
е'*5 sin —
< 2/
ХЮ =
cos • ехр (— E+t
. в
sin — • ехр
й /
+ iip
О
Тогда среднее значение поперечной компоненты спина,
(15.30), равно в момент времени t > 0
аналогичНо
Ш) = И Re {4(0 «-(О) =
* е . е
- п COS — sin — cos
2 2
Е+ - Е- ’
<р +----------1
/ й >
й • а . _ (18.34)
- sin 0 cos(<p + Qr),
что отвечает наглядной картине прецессии. В системе координат, вра-
щающейся с угловой скоростью Q, состояние остается таким же, каким
было бы без магнитного поля (аналог классической теоремы Лар-
мора).
Представим теперь, что кроме постоянного поляс%ц = q^z сущест-
вует еще переменное поле оХХ' частоты со, вращающееся в плоскос-
ти (ху):
оХХх = qXX' cos cot, оХХу = qXX' sin cot, oXfz = oXf0. (18.35)
Переменное поле действует на спин, как на классический волчок,
создавая момент сил, стремящийся изменить угол конуса прецессии.
Однако при со Ф Q средний эффект переменного поля будет мал. При
совпадении частот (магнитный резонанс) оХХ' следует за вектором s.
действуя на него как постоянное поле. Угол прецессии будет увеличи-
ваться, так что (л,) изменит знак, и т. д. — мы получим колебания (s2)
(конец вектора (ж) описывает спирали на поверхности сферы). По час-
тоте, при которой наступает резонанс, можно экспериментально опре-
делить gs, т. е. магнитный момент квантовой системы.
Задача 18-4. Частица со спином 1/2, находящаяся в магнитном поле (18.35), в мо-
мент t = 0 поляризована вдоль оси г. Наити вероятность обнаружения противопол •
ной проекции sz = —1/2 в момент времени / > 0.
Решение. Прямое решение нестационарного уравнения Шредингера ОД
= — gss d7f(t)x с начальными условиями о+(0) = 1, я_(0) = 0 дает
= <’«*
т
v = - - g^C, - = V(Q - w)2 + 4v2 - (18 J1
2 т
Вероятность найти спин „вниз"
wi(Z) = (vr)2 sin2 - = [1 - cos2
т 2 \ т/
Лекция 18. ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
189
(18.38)
Копирует с частотой 2/т; максимум вероятности
max = (vr)2 ------------------------feg^')2
(Я - w)2 + (g^Tf)2
. пезонансе (a) = Я) равен единице, причем остпотя
амплитуды сГ'переменного поля, а частота ос
На квантовом языке резонанс отвечает совпи пр
тов to переменного поля с разностью уровней Е -Т !_Нергии кван'
нарных спиновых состояний (18.32) так чтл ~ стацио-
нансных переворотах спина. ’ ОЖно ГОвоРить о резо-
Литература: [20; 23, га. 9; 32в, гл 15- 39п г
вып. 6, гл. 15, вып. 9, гл. 5, 7-9, 19] ’ ГЛ‘ 6’ 36> гл- 6’ 47,
Лекция 19. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В лекции 18 мы получили описание движения частицы в задан
внешнем электромагнитном поле. Ясно, что такое описание име**
ограниченную применимость. Оно пригодно лишь до тех пор щ
можно пренебречь обратным влиянием частицы на поле, т. ё
классических интенсивностях внешних полей. В противоположное
случае мы должны рассматривать поле как специфическую квантовуш
систему, взаимодействующую с другими квантовыми системами (моле-
кулами, атомами, ядрами, элементарными частицами).
Действительно, классический смысл могут иметь лишь поля ? и
<эГ, усредненные по некоторой пространственно-временной области
(объем V, интервал времени Т), причем энергия поля в данном объеме
должна быть велика по сравнению с квантовой неопределенностью,
Е ~ $2V »А£' & . С другой стороны, если характерная частота поля
равна (о, то интервал усреднения Т < — (иначе среднее значение поля
со
обратится в нуль). Поэтому Е Тю, т. е. среднее число квантов поля
должно быть в классическом пределе велико: п = E/(tio)) =>1. Именно
при Л »1 можно не учитывать влияние процессов излучения и погло-
щения на поле (Д/г й).
Квантование свободного электромагнитного поля (поля излучения),
т. е. переход от волновых полей и off к фотонам (см. лекцию И
число, энергия и импульс которых меняются дискретным образом при
излучении и поглощении веществом, проще всего провести в гамиль-
тоновой формулировке теории поля [326, § 52]. м
Поле излучения можно характеризовать векторным потенци
йУ(г, /). Мы будем пользоваться кулоновской калибровкой
(19-1’
div &t = 0, р = 0,
которая окажется удобной, несмотря на отсутствие релятивистской
вариантности. Чтобы избежать вопросов, связанных с поведен ич.
лей на бесконечности, введем так называемые периодические к
191
Лекция 19. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
"" Пусть поле заключено в кубический ящик объемом V= L?,
цы- ^^ц^чения поля в противоположных точках ящика, например
гРичеМ j совпадают. Это означает, что волновые векторы к
ы eikr имеют дискретный спектр: любая их декартова
п-^нта пропорциональна целому числу
—
2л
Т'2-
(19.2)
а ортогональность принимает вид
/ е'*? " ik'fdr = УдГк,
(19.3)
. ___ символ Кронекера. Конечные физические результаты не
(лдут*зависеть от нормировочного объема V, его можно будет устре-
мить к бесконечности. При этом спектр волновых векторов станет не-
прерывным, суммирование по целочисленным проекциям к (19.2) за-
менится интегрированием, а <5-символ (19.3) перейдет в д-функцию
Дирака:
V -> —f dkx dky dkz = V - f dk \
J x y 2 (2л)3 J
(19-4)
hi
(19 4')
Итак, рассматриваем поле излучения в калибровке (19.1) при пе-
риодических граничных условиях (19.2). Фурье-разложение вещест-
венного поля с'У имеет вид
0 = £ &kV> е'кг + bi^ e~‘kf}-
к
(19.5)
® силу (19.1) комплексные векторы bk(t) ортогональны волновым век-
10Рам к;
к Ьк=0 (19.6)
перечность поля излучения). Зависимость амплитуд Ьк от времени
Инад еТСЯ тем’ чт0 в свободном от зарядов и токов объеме потен-
иодчиняется волновому уравнению (1.28)
/ _ 1 д2 \ —
V ” У = °- (19-7)
192
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Поскольку различные компоненты суперпозиции (19.5) лине"'
висимы, условие (19.7), примененное к каждой из них, дает °
£*(0 = шк = ск.
Вычисляя по (19.5) напряженности полей
(19,,
f = GX? = roto^,
с dt (19.9’
подставляя их в выражение для энергии поля
Е = f dr (^2 + ©%*2)
и интегрируя согласно (19.3), найдем сумму энергий дискретных стъ
пеней свободы поля
Е= IX = (19.11
к 271 к
Поперечная плоская волна может быть представлена суперпозицией
плоских волн с заданной поляризацией
^к 2 ^ккЬкк’
Л = I, 2
(19.1:
где введены два линейно независимых орта в плоскости, пер-
пендикулярной к к\
' ё2к = ё\к ^=ё2к^ = °- (19Л2'
Тогда каждая степень свободы поля определяется поляризацией 2 = 1-
и волновым вектором к:
е=Уе- е - = — ь-ь*- о911
с *hk DlkDlk-
ЛА
Введем, наконец, координаты и импульсы для каждой
пени свободы:
Q}.k = ^4яс2 ^ЛА + ЙЛ*Ь Ркк = ~ ia)k
Согласно (19.8) величины Q,~b и Р,г удовлетворяю уравнениям ЛИ
Ап
Qkk ~ рй’ Ркк ~ Qkk ^kQkk-
Лекция 19. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
193
(19.15)
ля (19 П), выраженная через координаты и импульсы поля,
2 2
Н “ 2 +
Лк
еские уравнения Гамильтона (12.1), найденные с использова-
^’^мильтониана (19.15), конечно, совпадают с (19.14).
ние,Г свободное поле излучения представлено совокупностью не-
имых гармонических осцилляторов. По общему правилу (12.16)
ЗЭВИС1 ание поля означает замену его классических координат и им-
^ьсов эрмитовыми операторами с соотношениями коммутации
” [ . e,v 1=[р«. ад -116>i • Л* 1 = д«- <19-1 б>
Сошошения (19.13) дают соответствующие операторы и Ь<:
£+_ = (/)---------
°ik у у (ул*
Л* > (19.17)
перестановочные соотношения которых имеют вид
(19.18)
(19.18’)
Сравнивая полученные результаты с (14.10), мы
ввести операторы рождения и уничтожения квантов:
W йл* = /
^Лк’ ^Л'к’^ = ^кк"
°СЛе Чего гамильтониан (19.15) запишем в виде
" = Х«й.
Лк
Лк ~ + = + Й,7Й?г),
4л<г Лк Лк Лк Лк' 2 4 Л* Лк Лк Лк'
Иди
пользуясь (19.18'),
Н, 7
видим, что можно
6+
2ТЙС2 *к’
(19.19)
(19.20)
3010
(19.20’)
алк ~
«*Г
= ha)k i
194
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Теперь поле описывается числами пкк фотонов сорта Лк
мающими любые целочисленные значения (фотоны подчин '
тистике Бозе - Эйнштейна). Как и для любого осциллятора v Я г
энергию нулевых колебаний: полная энергия основного состоЫ ИМ^;'
сутствие реальных квантов, nfk = 0) ЯНИя (
Ео = 21 йбУ*
ЛА 2
расходится. Для свободного электромагнитного поля эта расходи nJ
не существенна (Ео может быть принято за начало отсчета). Легкс.0^'
числить импульс электромагнитного поля, выражая его через веЛ
Пойнтинга 5 = — [^ X сЙ' ] (см. [326, § 32]):
4л
Р = -j f dr S(r) = f dr [f X dX? ] . (192,
Выражая поля (19.9) через потенциал os/ и переходя к операторам, ле-.
ко получим
ЛА * ЛА
(19.23.
формулы (19.20') и (19,23) полностью соответствуют обычному пред-
ставлению (см. лекцию 1) о фотонах как о частицах с энерги.
Ек = h(Dk = hck и импульсом р = Тгк, т. е. с массой, равной нулю. От-
метим, что „нулевой" импульс в (19.23) исчезает в силу изотропии е
куума.
Задача 19-1. Вычислить момент L электромагнитного поля, определенный
ласно
L = f dr [Fx^S(?)].
СТ
Векторный потенциал (19.5), выраженный через операторы (19-1
рождения и уничтожения квантов, имеет вид
0 = X - ёЛк {е*'акк + ^а+кк}. <1
ЛА * к
. ci9 8), '
Входящие сюда операторы имеют временную зависимость ' я 0461
полагается для гейзенберговских операторов свободного поля
Согласно (19.25) оператор имеет ненулевые матричные^ таК)1^
для изменения числа фотонов Ди = ± 1 (14.22).^Очевидно, ч
же свойствами обладают и операторы полей (19-9)-
средние значения полей равны нулю, если состояние обладает и
195
Лекция 19. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ом квантов. Для перехода к классическому пределу необ-
1еиным чИСД1Ь когерентные состояния (см. лекцию 14).
ддим° сТР пы полей, вообще говоря, не коммутируют между собой и,
ОпеРаТ°Рр не являются одновременно измеримыми. Бор и Розен-
- ,с.1овате (1933), что любые две компоненты и <2%*, усреднен-
|>сльл ° ой и той же пространственно-временной области, всегда из-
вые 1,0 разных областей, которые можно связать световыми сиг-
ЫеРяМЬ1’воЗН11каеТ отличное от нуля произведение неопределенностей,
налам”, в КЛассическом пределе (Й -» 0 или и » 1).
><чезаюшс
а 19-2. Доказать, что операторы полей в двух точках (г, f) и (г', I’) не комму-
Неншь если эти точки могут быть связаны световыми сигналами, т. е.
дЛя описания взаимодействия поля излучения с системой зарядов
следует (см. лекцию 18) сделать в гамильтониане системы замену всех
р -+ Ра — — &/(га). Тогда члены взаимодействия будут
,мпульсов
равны
2
(£)
с J
а 2та
a
= - 2 [А • • Ра] -
2таС
у Рд __
а^а
2тас J
а
При выбранной калибровке (19.1) р&/ = &/р, тогда
е л л е2 г. ’ л
- Ра&/(га) + &?2(га)\ = Н{ + Н2. (19.26)
, тасг
а
В силу (19.25) член Н\ в (19.26) может менять числа фотонов на
bjV~0? описывая излучение или поглощение системой квантов поля.
>*ои член н2 — в (19.26) дает Ди = ± 2,0, что отвечает двукван-
I v ПеРеходам нли рассеянию света на системе (поглощение с по-
Ёып14*™1 ИСпУсканием или наоборот).
Р*>ичн Ule<KI матРичные элементы оператора И' (19.26), отвечающие
11 ^Изическ’им процессам, которые нам понадобятся дальше:
ение системой кванта Ак с переходом i -» f
{п^ + lf \Н{ |л^; t) =
S— (Л^)е-'^
а тас
(19.27)
196
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ механике
б) поглощение системой кванта Лк с переходом i -» f
= - V I 2 — e'*?- I i>; (15^
Va>k ЛК ~ mac A* 1 ' ’
в) испускание системой двух квантов Лк X к' с переходом
(двуквантовый переход)
<ИЛ* + пХк' + ^f\H'2\nxi,п к) = 2 ~^= х
х + 1) ёд.г,) « IЕ A e-(J * *4
а 2та<г
(192
10;
г) поглощение кванта Лк и испускание X к' с переходом i -» f (mrj
ние электромагнитной волны)
— nxii' + 1» f I ^2 I пхк'-> ') = 1~ X
V ^ЫкШк‘ (19.29)
х 7<иЛА- + ]) пкк &Хк ’ ёХк^> । S А е'(к
а 2та<г
Если процесс происходит со свободной частицей, то начальное и ко-
нечное состояния — плоские волны с импульсами р, и pf соответ. •
венно. Тогда матричные элементы (19.27)-(19.29) пропорциональны
d-функции, выражающей закон сохранения импульса в процессе:
а) д (pj - р{ + й£);
в) д (jif + hk + hk’ — pi);
б) d (pf - р{ - hk);
(193»
г) d (pf + hk' — pi — hk).
Для связанных частиц сохраняется полный импульс системы в це
В реальном процессе кроме импульса должна сохраняться и энеР_
Для свободной частицы эти законы сохранения одновременно не ,
выполняться, излучение и поглощение света одновременно нево
ны. Однако рассеяние света (процесс г) возможно на свободном ™
[326, § 78].
Задача 19-3. Совершить квантование колебаний: в электромагнитном LC
в цепи с распределенными L и С; волн в струне с закрепленными конца •
НГТ’
Литература: [2, § 5; 6, гл. 1; 7, гл. 19; 21; 22; 32г, § 72]-
Л кция 20. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
и о квантовых задач, допускающих точные решения, невелико,
часто в реальных ситуациях воздействие различных факторов
^^нозначно, среди них можно выделить более и менее существен-
"еР Если удается точно решить задачу при пренебрежении менее важ-
аыми факторами, то затем их влияние можно учесть как малую по-
>авк}'. Обычно (хотя и не всегда) включение добавочных взаимодейст-
вий лишь слабо меняет волновую функцию системы и энергии стацио-
1арных состояний дискретного спектра. Качественная картина дис-
кретного спектра сохраняет свои главные черты. Математически такое
доложение означает аналитичность соответствующих физических ха-
рвтеристик, рассматриваемых как функции новых взаимодействий.
Тогда можно искать поправки к исходному (невозмущенному) реше-
нию в виде степенного ряда по интенсивности дополнительных факто-
ров (возмущении). Существуют случаи, когда уже бесконечно слабое
выдействие в каком-то отношении радикально меняет невозмущенную
аргину (в классической механике говорят, что исходное состояние
•еулойчиво). Тогда рассматриваемая ниже форма теории возмущений
•взывается неприменимой.
Рассмотрим возмущения, не зависящие от времени (стационар-
ен Пусть гамильтониан системы может быть разбит на две части
Н = Но + gH', (20.1)
р__
'1аРаметр, формально введенный для указания силы возмуще-
• Предположим, что известны стационарные состояния | и)о дис-
спектра и энергии Е„ невозмущенной системы (g = 0)
Но|л>о = £й Но- (20.2)
%ь1Таем
Р’Ющие Я Ha^TH истинные стационарные состояния Ф, удовлетво-
Урзвнению Шредингера
(Но + gH')fi> = ЕФ,
(20.3)
198
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
считая возмущение в каком-то смысле слабым (точный Крит
получен в ходе решения). 6}д_
Если возмущение Н' не меняет граничных условий, то точ
тор состояния Ф может быть разложен по полной системе нев
ных состояний | н)о:
Ф = S с« । ">о-
п
(204,
Подставляя (20.4) в уравнение Шредингера (20.3), умножая Л
на вектор о(т | и пользуясь ортонормированностью состояний
найдем ' •
S с«о (т I Еп + ёН' | н)о = Е
(Е - Е°) ст = g ^с„Н'„т, °
где введены невозмущенные матричные элементы
Н'тп = о(т | Я'| и)0.
(20.5)
Система линейных однородных уравнений (20.5) для коэффициен-
тов с„ полностью эквивалентна уравнению Шредингера (20.3). Одн®
при большой (или бесконечной) размерности матрицы (20.51) точнэе
решение невозможно; лишь с помощью ЭВМ возможна численная диа-
гонализация матриц большой размерности. Разовьем регулярный мета
построения последовательных приближений.
Пусть | к)о — невырожденное стационарное состояние Hq. При
„включении14 возмущения Н' оно перейдет в некоторое точное состоя-
ние Ф* = | к), которое, будучи разложенным согласно (20.4), содержит
примеси с„ других исходных состояний | и)о, п к. Наше предпаЮ
жение аналитичности равносильно гипотезе о плавном убывании вЛ
си * А и переходе значения энергии Е в Е® при g -» 0. Поэтому ищем ре*
шение для к-го стационарного состояния в виде
ст = д,„к + gCm + g2Cm} + (2°6
E = E$ + gE® + g2E(2} + .... 1
Подстановка (20.6) в (20.5) дает систему уравнений
[Et° - Е° + gE® + g2EP + ...][<),„* + gc*1? + g2c^ + -]=(20^
= g ^нтп[д11к + + g242) + ...],
где к фиксировано, a m принимает различные значения.
ЛеКЦИЯ 20. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
199
Положим сначала в (20.7) т = к, тогда
+ #242) + ••• ] [1 + gck} + g242) + ...] =
= g ^L,H'k№nk + gc(n + g2C{n} + ...].
(20.7')
-ены первого
и второго порядков по g в (20.7') дают
Е? = Н'кк,
(20.8)
Е? +
п
(20.8')
Таким образом, в первом порядке по возмущению сдвиг энергии (20.8)
ен среднему значению гамильтониана возмущения по невозмущен-
состоянию, а с точностью до второго порядка
Е = Ек + gHkk + g2
(20.8")
п
Уравнения (20.7) при т к дают
[Е*° - Е°т + gE® + g2£f + ...][С® + gc<2) + ...] =
= ^Нтп[дпк + gc® + g2c® + ...];
и
№ - Е°т) = нтк- (20.9)
4’^ + (Ек - Е„) с™ = Нтпс®, .... (20.9')
п
(20.9) получаем примеси (т к) к волновой функции к-го уровня
$ = , (20.10)
Ек ~ Ет
ЧТ° Вект°р состояния (20.4) в первом приближении
Ф = = | к) = слг | т)0 = ^(дтк + gc^}) | т)0 =
т т , (20.11)
= l^o(i + g4,)) + g S
т * к Ек Ет
200
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Коэффициент ср, дающий изменение веса исходного сос-т
т°яни^И
по сравнению с единицей, остался пока ненайденным и оп * ’
из условия нормировки. С точностью до членов, пропорциоца^ел^И
(к \к) = 1 = 1 + + 4°*), Х)
так что коэффициент сРоказывается чисто мнимым и согласно
дает несущественную общую фазу Ф. Полагая
JD _ n v
ск ~ Ч получаем
io=i«o + g 2
m * к Ьк
(2011
Из (20.10) и (20.8")
Е — Е® + gHkk + g1 J Нкп~^-
п * к ^к к-п
или с учетом эрмитовости Нпк = (Нкп)*
Е = Ек + gHfat + g2 * 2 -' о4" L (20.12
n * к Ьк ~ Ьп
Формулы (20.11) и (20.12) полностью решают поставленную зад1ч?
нахождения векторов состояния и энергии уровней. Метод последом-
тельных приближений является вполне регулярным, так что не сос.«-
ляет труда вычислить поправку любого не слишком высокого поряди
При этом из структуры уравнения (20.7) легко понять, что для вычис
ления энергий в л-м порядке всегда достаточно знать волновую фу 1
цию лишь в предыдущем (л — 1) порядке. В 1-м порядке, как видном
(20.11), к состоянию | А)о примешиваются только те невозмушенные с
стояния 17»)о, которые связаны с исходным | к)о неисчезающими
ричными элементами возмущения Н'. Отметим, что поправка (20- •'
2-го порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна-
Задача 20-1. Найги вектор состояния во втором приближении и энергию УР°*
в третьем.
Ответ.
(2«lb
421-^ 2
\Н'кт I2 .
и/а(4-^)2’
(2®
(2) = 1 у НттНтк _ HkkHnjk.
т * к гЮ _ ,,-0 Zj рО _ ₽0 г0 _
ьк "> к ^к Ьк m
Лекция 20. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
201
Нкт
m + к
т *
V1 НтпНпк _ НккНтк
Ej г0 _ гО г0 __ ffi
,*кЕк Е" Ек Е™
(20.14)
и-е приближение отвечает примешиванию состояний,
лС1 ’ быть достигнуты за п шагов с помощью Н; процесс
гторУе^ черСЗ п — 1 промежуточное (виртуальное) состояние. Если
llt>T Итониан Но имеет кроме дискретного спектра, которому принад-
’**“ ссматриваемое состояние | к)0, еще и непрерывный, то, вооб-
'е*”т Ра состояние | к) будет принадлежать непрерывному спектру,
тегов Р'’к|^0 возникают соответствующие примеси. Состояния не-
П0С'ывного спектра следует учитывать и в числе виртуальных.
"^Возможны, однако, случаи, когда гамильтониан Яо имеет только
кпетный спектр, а возмущение превращает его в непрерывный. Ти-
пичный пример такого рода — ангармонический осциллятор (рис. 20.1)
*2 *з
ЕГ = Но + gH' = — + - mw2x2 + g — . (20.15)
2т 2 3
При малых g, решая формально задачу (20.15) по теории возмущений,
мы получим новые стационарные состояния (энергия меняется лишь
во 2-м порядке по g, а к основному состоянию появляется примесь
дно- и трехквантовых). Однако истинные стационарные состояния
(амильтониана (20.15) из-за конечной проницаемости барьера являют-
ся несвязанными. Значит, состояния, найденные по теории возмуще-
ний, на самом деле квазистационарны (см. лекцию 6).
Потенциальный барьер существует для всех состояний с энергией
• < Е\ (см. рис. 20.1). Вершина барьера отвечает точке jq = — тал21g,
где[/ (х0 = 0, £, = U(x\) — ^пЮj ”, левая граница барьера хг = — ~ X
, Ъ 2
X __ 3
g ~ 2 Х*’ Таким образом, при g -» 0 Е\ -» 0, Х|, 2 °0, барьер для
ад
Рис. 20.1
(для Е « Е\ г ~
X а
при малых g вероят-
Кв^Х^0Чень широк и высок, т. е. захватывает большое число уровней
t З^Ушенного осциллятора. Время жизни
чРезы,^С“аЦИОНар11ЫХ состояний поэтому
WP Const • ff3(t)S
«^7тдау~1/т
В лРИццн ЭКОе неаналитическое поведение
^Ычной Пе нельзя получить средствами
ТеоРии возмущений. В то же время
неаналитически зави-
202
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
для времен меньших т найденные по теории возмущений кв
нарные состояния очень близки к истинным. Истац)
Как видно из результатов (20.11) и задачи 20-1, каждое п '
щее приближение теорий возмущений добавляет недиагонал °СЛ5^
ричный элемент возмущения Нтк, деленный на соответств **
энергетический знаменатель Ек — Eg (теория возмущений
Шредингера). Условием, при котором можно ограничиваться и
неисчезающими приближениями, является поэтому малость //в
сравнению с разностями невозмущенных энергий — "*
Итк
Е°к - Eg
(20.li,
Если для данного исходного состояния | к}0 существует состояние I1
вырожденное с первым (Ек = Е%) или близкое по энерг®
(|£° - Е% | |), причем соответствующий матричный элемент
Нкк' * 0, то теория возмущений в рассмотренной форме неприменим
Исходные состояния | к)$, | к')$ оказываются неустойчивыми: уже лк-
таточно слабое возмущение Н1 сильно их изменит.
Чтобы понять, как следует модифицировать теорию возмущен»
для случая близких уровней, рассмотрим простую задачу, когда близи
два невозмущенных состояния | 1)0, | 2)о- Если бы матричный элемент
о(11Н' | 2)0 обращался в нуль, то в теории возмущений не возникло бы
опасных малых знаменателей. Поэтому сначала точно диагоналшув
полный гамильтониан Н в подпространстве, натянутом на вектор»
| 1)о, | 2)о- При этом мы получим правильные линейные комбинации
Ф = а{ 11>0 + а2 | 2)0, | а, |2 + | а2 |2 = 1, <20 1
между которыми матричный элемент полного гамильтониана Н ра®*
нулю. Состояния Ф дальше могут быть выбраны как нулевое при j
жение, по отношению к которому можно уже развивать обычную
рию возмущений (гамильтониан Н диагонализован, конечно, не
ностью, а лишь в рассматриваемом подпространстве).
Подставляя (20.16) в уравнение Шредингера
(Я -£)(а1|1)о + а2|2)о) = 0
и умножая слева на 0(11, о(2 |, получим систему двух уравнений
и а2: .
-п (20-11
(Нц - E)at + Н12а2 = 0, H2iaa + (Я22 ' Ц
(20 1
Лекция 20. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 203
щимосги которой дает характеристическое уравнение для
^овиеразР6
£рги» _ Я11ДН22 ± 1 ^(Я|1 -я22)2 + 4|Я12 |2 = Е±. (20.18)
едиагональные матричные элементы малы,
! ЛйНеД Я|2« |Яц-Я22|,
(20.19)
И) ИЗ (20.18) находим
Яц + Я22 1
Е± S 2 2
2 |Я12 I'
I2
± - |Яц - Н22 | 1 + ~ '"** 9
2 1 11 22 1 (Яц - Я22)2
Пусть, например, состояние | 1)0 лежит выше, чем | 2)0 (Яп > Я22),
'"'2|2 г и Iя'2 12
Е+ = Яц + ---------—, £_ = Я22 — --------------— , (20.20)
Яц - я22 Ни — /У22
,го совпадает с обычной теорией возмущений (20.12). Отношение ко-
эффициентов суперпозиции (20.16)
(ч) = я12 _ Яп - Я22
\«2/+ Е+ - Я|1 Я21
(20.20')
(оЛ _ £- - Я22 _ Я12 <<; j
Х^гЯ я21 я22 - Яц
I е. состояние (+) есть | 1)0 с малой примесью | 2)о, а (—) в основном
впадает с | 2)0.
Другой предельный случай, противоположный (20.19), — полное
“Радение Яц = Я22 = Е°. Тогда (20.18) дает
Я± = Я°±|Я]2|. (20.21)
^етим, что в обоих случаях расстояние между уровнями увеличива-
F '”отгалкивание“ уровней). В случае (20.21)
= Я12 _ =
Е° ± |Я12 | -£° |Я12 | ’
Я12
—
Vb,
!)ГКуда
весами ДН°’ что состояния | 1)0 и | 2)о перемешиваются с равными
ИГЖдеи°ТР/еннь1й метод применим в общем случае 5-кратного
Ия (или 5 близких состояний | A'i)o, I к2)о,..., | ks)o). Диагона-
(20.2 Г)
204 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
лизуя Н в .s-мерном подпространстве, получим (см. Б.211 сы
нений Стсму
Д'
^(Ят„ - Екдтп) cn = Q, m=\,..s
л = 1 (20 >
для коэффициентов с„ суперпозиции
Д'
I = 2 Сп । ^п)о-
п = 1
(201,
Равенство нулю определителя
det \Нтп ~ Екдтп | = 0 (2024,
дает характеристическое уравнение в виде полинома степени s отг-
находим 5 вещественных корней Ек , т = 1,..., s, и для каждого знь
чения Е^ — коэффициенты с„п^ (20.22).
Легко показать, что найденные .s правильных линейных комбина-
ций ортогональны между собой. Они уже устойчивы относителик
малых возмущений /Г, для которых годится теория возмущений в ст®-
дартной форме, дающая малые примеси других (далеких) состояли!
Мы видим, что возмущение, приложенное к системе, может ста
вырождение (расщепить вырожденные невозмущенные состояния.
При этом выбор правильных линейных комбинаций нулевого прибли-
жения часто даже не требует явного решения характеристичесюге
уравнения, он диктуется свойствами симметрии системы. Примет-
этого мы увидим в ряде конкретных задач.
Литература: [32в, § 38, 39; 33; 39].
Лекция 21. ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРОВ
В лекции 9 отмечалось, что стандартный расчет спектра даже про-
йшего атома (водорода) связан с пренебрежением ряда физических
Ов Эти факторы, второстепенные по сравнению с основным ку-
лоновским полем ядра, сами по себе важны и приводят к интересным
наблюдаемым эффектам.
Рассмотрим прежде всего так называемую тонкую структуру
спектров. Тонкая структура в атоме водорода является результатом сня-
тия „случайного" кулоновского вырождения релятивистскими добавка-
ми к гамильтониану. Эти добавки (~ п2/с2) возникают, в частности, из
явисимости массы электрона от его скорости и из наличия у электрона
чина Оставляя точное вычисление релятивистских эффектов на
будущее, рассмотрим качественно спин-орбиталъную связь.
Спин-орбитальное взаимодействие имеет место для любой заря-
женной частицы со спином 5 5й 0, движущейся в электрическом поле
I - - \<р. Легко сделать грубую ошибку величины эффекта. В систе-
ме координат, связанной с частицей, кроме электрического существует
‘ агнитное поле
&€ ~ — IP х •
тс
Поле взаимодействует со спиновым магнитным моментом частицы
8s s, так что энергия взаимодействия
Н = - pi&f ~ — s [V^p X р] ;
тс
поле сферически симметрично U(г) = &р = U(r), то
с
Че буквы
r dr emc r dr emc r dr
этой лекции, для одночастичных величин будем писать ма-
s’ I ’ j)- Таким образом, возникает взаимодействие, завися-
206
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
щее от взаимной ориентации векторов спина и орбитальног
частицы: ° Мок<ец
Й'ь = W(r) I • х, JF(r) ~ 1 . 1
emc r dr (21 |
(gs = ) B водоРодопоД°бном anj
В частности,
(U = - Ze2/r)
для электрона
*' Ze2 ~ "
Взаимодействие (21.2) слабо, так как среднее значение H'ls мало
сравнению с энергией связи электрона (1.14) Есв ~ mZ2e4/h2 ~Z2e2 u
W ~ h2 ~ £cb ~
nrcrtoQ I Z) m <raQ
^CB ^2^2 2?cb(^ g)2 <S: ^cb,
(21.2
здесь введена постоянная тонкой структуры а (1.16) и считается, hi
Za = « 1. Такого же типа (21.1) спин-орбитальная связь имеет мес
то и для нуклона в атомном ядре, хотя там ее влияние численно бо..
существенно, чем для электрона в атоме.
Рассмотрим в общем виде, к чему приводит наличие взаимодейс
вия H\s (21.1). Сразу видно, что
(21
т. е. проекции lz и sz перестают сохраняться (квадраты моментов I •
х2 все еще сохраняются). Полный же момент частицы
т f л (21-
j = I + s, 1
конечно, сохраняется. В отсутствие H\s в кулоновском поле выр
все состояния внутри оболочки с данным п, характеризуй мне
товыми числами I, mi, ms (лекция 9). Теперь мы должны в соОТВ BbJpc»-
с лекцией 20 выбрать правильные линейные комбинации эТИ^мИдЯ
денных состояний, диагональные по отношению к полному очеВцГ
ниану, включающему H\s. В силу сохранения j эти комбинации
ны без выписывания характеристического уравнения у,<) с __ । у
с определенными j, пу (а также с I, т. е. четностью (— 1) > и
Лекция 21. ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРОВ
207
1
есть стандартная
2 ’
состояний / из 1пц‘, ms
сложения моментов (задача 16-2). Возможные значения
Постр°ение
шача теории
>оЮ момента
1
2
(21-5)
ют ,параллельной" и „антипараллельной" ориентациям I и у и
бедствие наличия H\s расщепляются по энергии. Естественно, для
^дого значения j существует мультиплет из 2j + 1 состояний с раз-
ными проекциями пу, которые все остаются вырожденными (ориента-
ция системы как целого).
Поскольку правильные линейные комбинации определены, можно
применять обычную теорию возмущений, не учитывающую вырожде-
ния (переходы внутри мультиплета, т. е. с изменением mj, под дейст-
вием скалярного оператора H/s невозможны — лекция 17). В первом
порядке по H'is смещение уровней
^Enjl = {njl | W(r) Is | njl).
(21.6)
(21-7)
Величина (21.6) вычисляется элементарно, если учесть, что согласно
21.4)
Is = | (у2 - Г2 - s2).
Поэтом}' сдвиг энергии
г_____й2
2 L' - ' ’
п1^5И^,1~НЬ1е волновые функции невозмущенных состояний от / не за-
ИСят)- Отсюда имеем:
^nji = ~ j (j + 1) - I (I + 1) - I <lF(r))„,.
2 L 4J
(21-8)
/,
njl = ~ х
(21.8')
1
2 ’
1
2 ’
е- При лр\ > л /
•Hbiera с. ' U КаК Для электРона в атоме) член спин-орбитального
МОрот /иаНЬШим J имеет меньшую энергию. Для нуклона в ядре,
’ ' ' < 0. Полное расщепление дублета
+ (|/2) z - АЕЯ/ _ (1/2)! = (IV)nl(2l + 1). (21.8")
208
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Как уже упоминалось, в атоме кроме спин-орбитальной с
и другие релятивистские члены того же порядка величины Под^ ес?‘
вклад (лекция 38) оказывается равным (в приближении v/c — 7 Нь'^
40'«П
^Enj —
a2Z4
п2
7 - ~ Ry-
_L 4л
2 >
(21.,
1
Из (21.9) видно, что энергия смещенного уровня определяется толн
полным моментом j, т. е. осталось двукратное вырождение (не счилц
вырождения по mf), ибо данное значение может получиться из разны
/ = / ± - Этого вырождения нет лишь для / = /111ах = и — 1, । -
2
= 1тах + 1/2 (во всех оболочках).
Суммарная картина тонкой структуры в атоме водорода предсщ.
лена на рис. 21.1. Здесь штриховыми линиями изображены невозм.-
щепные боровские оболочки, сплошными -— с учетом релятивистски
поправок (масштаб не соблюден). Энергетические сдвиги измеряют.1
в единицах
С = # = a2# Ry
2 Й2
(эффект пропорционален Z4 и поэтому становится заметнее в водоро-
доподобных ионах с Z > 1). Расщепление дублета у = 1 ± 1/2 раык
согласно (21.9)
-'/«(CZ27)
1= о. 1.
(ч) (Р)
-----—— I--—----—---1— 3d,,,
... . 1-^(С/27)21Гъ7. }d„
---------------3t,n. Зр,п
1= 0.
fs(C78) ' f - '/s(C/8)
\~0.36 см '(3-2.7 см. ч>~ 1(?МГII)
2Рз/2
2s 1П. 2рщ
п=1
1=0
(ч)
4
!
,1 = 2
Рис. 21.1
Лекция 21. ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРОВ
209
С I__________1_ _ с
и3 I/ / + n3l (I + 1)
убывает с увеличением п. Оно имеет порядок величины
и быстр0 и,у1учение; отвечающее переходам между расщепленными
(212Х а одной оболочки, относится к сантиметровому диапазону.
УР°в"ЯМрИпс 21.1 и далее используются спектроскопические обозна-
ченИЯ |н/7)-*л„Гу, (21.10)
/“ означает спектроскопический символ (5, р, d, ...) данного значе-
Х’орбитального момента I частицы.
В ядре спин-орбитальное взаимодействие оказывается настолько
сильным, что расщепление (21.8") дублета велико и компоненты дуб-
лета с большим I раздвигаются обычно в разные оболочки.
В сложных атомах, содержащих много электронов, которые „за-
полняют" атомные оболочки, можно ввести операторы полного спина и
полного орбитального момента
а а
(21-11)
В легких атомах (Zcr <к 1) релятивистские взаимодействия относитель-
но слабы, так что S и L в отдельности сохраняются, и состояние атома
в целом может характеризоваться квантовыми числами 5 (конечно,
наряду с заданием электронной конфигурации и L — перечислением
занятых электронами состояний). При этом энергии состояний данной
конфигурации с различными значениями S и L, разрешенными по пра-
вилам сложения моментов, определяются электростатическим меж-
электронным взаимодействием.
Расщепление уровней, принадлежащих данным S’ и L, называется
релятивистскими взаимодействиями, которые аналогично случаю од-
ного электрона (21.1) можно записать в виде
H’LS =Wls L S. (21.12)
послеЛИЧИНа ^LS— некотоРая эффективная константа, получившаяся
анно^СРеДНеНИЯ истинного гамильтониана по волновым функциям
чис конфигурации с определенными L и S’, т. е. по всем квантовым
сС’ КР°ме пРоекЦий Lz и Sz (аналог (1Р)„/ в (21.8")). Дальнейшее
стояний*.К диагонализаЦии оператора (21.12) в подпространстве со-
EpL. I^SZ) (эти состояния образуют мультиплет тонкой струк-
210
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Считая взаимодействие (21.12) слабым, можно воспольз
теорией возмущений. Как и в (21.3), сохраняются величины
правильные линейные комбинации вырожденных состояний
суть состояния | JJz), где полный момент
'0ВаР>ся
11^2
1 14s.)
L + S’.
<21.13,
Из (21.11) и (21.12) находим
H'ls = WLS j (j2 - L2 - S2).
(21.14,
Итак, мультиплет с данными L и S' расщепляется по J, причем
6Ej(L, S)=^ [J(J + 1) - L(L + 1) - S(S + 1)], (21 14<)
t. e. справедливо правило интервалов Ланде для соседних компонент
мультиплета
EAL, S) - Ej_ ,(£, S) = W^J. (21 15)
Такое рассмотрение правильно, пока интервалы (21.15) тонкой
структуры малы по сравнению с расстоянием до уровней мультиплета,
получившегося из других значений L, S той же конфигурации. В этом
случае, действительно, L и S являются хорошими квантовыми числами
(LS-связъ, или ресселъ-саундеровский случай). В другом предельном
случае, когда основную роль играют не электростатические, а реляти-
вистские взаимодействия, L и S нс сохраняются, для каждого электрона
нужно ввести момент j (21 4), а их сложение дает полный момент
7 = 21 (21.16:
а
(jj-связъ). Реально в тяжелых атомах связь носит промежуточный ха-
рактер между LS- и //-типами. Нуклоны в ядре вследствие сильного
спин-орбитального взаимодействия связаны по jj-типу.
Литература: [7, гл. 9; 9; 27; 32в, § 72; 54].
Лекция 22. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ
Атом водорода является единственной системой, для которой точно
шаются как нерелятивистское уравнение Шредингера, так и реля-
niBBCTCKoe уравнение Дирака. Поэтому здесь расхождения теории с
опытом нельзя отнести за счет приближенного характера вычислений.
Экспериментально достоверное расхождение свидетельствует о нали-
чии нового физического эффекта.
Как мы видели в лекции 21, уровни 2s\/2 и 2рц2 в атоме водорода
остаются вырожденными даже при учете тонкой структуры. В ряде
опытов 30-х годов оказалось, что уровень 2s)/2 лежит примерно на
0,03 см-1 выше, чем 2ру2. Однако соответствующее излучение отно-
сится к радиочастотной области, для которой не было в то время на-
дежных измерительных методов. Лишь в 1947 г. точные радиоспектро-
скопические измерения Лэмба - Резерфорда надежно установили нали-
чие сдвига
дЕ2 = E2si/1 - Е2рп = 0,034 см—| = 1057,8 МГц. (22 1)
Этот сдвиг, составляющий примерно 0,1 расщепления тонкой струк-
туры, принято именовать лэмбовским, или радиационным. Он оказы-
вается еще заметнее в водородоподобных ионах (~ Z4 — см. ниже
Формулу (22.18)).
Лэмбовский сдвиг сыграл принципиальную роль в истории физи-
и ибо явился первым эффектом, явно продемонстрировавшим влия-
НИе Физического вакуума — реального основного состояния поля излу-
Чеиия. Согласно Бете, сдвиг уровней обусловлен тем, что нулевые
«>ания электромагнитного поля (лекция 19) создают дополнитель-
к ^’Лоновскому полю ядра флуктуирующее воздействие на атом-
электрон. Это означает, что физический вакуум (состояние без ре-
св -Ь1Х Квант°в) обладает определенными вполне наблюдаемыми
Moi в^ми- Именно открытие и объяснение лэмбовского сдвига дало
мики ЫИ Толчок развитию новой науки — квантовой электродина-
212
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Дадим полукачественную оценку величины лэмбовско]
ния. Нулевые колебания
каждого осциллятора
поля создают вакуумную энергию
г _ 1
Л* 2 ’ (22.21
Говоря на классическом
флуктуирующие вакуумные поля Вследствие изотропии
ума среднее по времени значение полей обращается в нуль
языке, можно энергии (22.2) сопоста
Кепрпстпир _________________________ ’J*®
Ваку.
= = 0,
(22.3)
однако
—2
—=-2
= qZZ ш * 0.
(22.3')
Средние квадратичные величины (22.3') можно связать с энергией
(22.2), используя как в лекции 19 нормировку поля в объеме V:
Е,; =-------------
8л
—2
% а.
у _ у _ Ьш
4л 2
(22.4)
2л .
= ---- НО).
V
(22.4')
Флуктуационные поля действуют на электроны в атоме.
Ограничимся случаем достаточно легких атомов (Za « 1), когда можно
считать движение электронов нерелятивистским (у/с ~ Za« 1) и пре-
небречь действием магнитного поля Электрическое поле при-
водит к добавочному смещению электрона £. Чтобы найти это смеще-
ние, напишем классическое уравнение движения для электрона в поле
(оно совпадает с гейзенберговским операторным уравнением дви-
жения)
(22.5)
= е'Ё.
Существенный вклад могут дать лишь те осцилляторы поля, длина
волны которых велика по сравнению с амплитудой смещения (ин
действие различных участков поля взаимно компенсируется), т. е.
ч«1. <22-6’
Предполагая (22.6) выполненным и считая поэтому поле ? в (22.5) оД
нородным. получим для фурье-компонент частоты w
-ты2^ = е^,
(22.5')
Лекция 22. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ
213
t = 0 а среднеквадратичная флуктуация положения элекгро-
откуда 5а> ’
Теовсно (22.4) равна
t2 — g2 <г*2 _ 2л Йе2
~ V та? ’
(22.6')
I различные степени_свободы поля дают некогерентные вклады, так
о средний квадрат |2 смещения есть сумма величин (22.6') для всех
сцилтяторов. Число осцилляторов (обеих поляризаций) в интервале
частот от со ДО 0) + равно в соответствии с (19.4)
, , , ,, 4jtk2dk „ r, a?da)
р(ш) da>= V------Z- 2 = V "w .
к (2л)3 л2?
(22.7)
Из (22.6) и (22.7) находим
F = f dco р(а>) Е = • (22.8)
пт сг <о
Среднеквадратичное смещение (22.8) формально расходится, одна-
ко физической расходимости нет, так как существуют реальные фак-
торы, обеспечивающие обрезание интеграла. Большие частоты не дают
вклада из-за того, что начинается релятивистский рост массы электро-
на; не работают и частоты, малые по сравнению с расстоянием от ос-
новного до первого возбужденного состояния электрона в атоме. По-
этому пределы интеграла (22.8) можно оценить как
^Д^тах тс2, foOrnin ^св (Zez)2/M<?2. (22.9)
Точное значение пределов не существенно, так как интеграл (22.8) за-
висит от них слабо (логарифмически).
Таким образом,
I2 = In In , (22.10)
пт1? Wmin ппгсг (2йд
численный множитель
Титула „дрожаний" мала:
порядка единицы. Из (22.10) видно, что
= аА20,
(22.11)
Ао = — = аоа = 3,86 • 10 11 см
тс
(22.12)
214
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
— так называемая комптоновскаядлина волны электрона (ср с /
Из (22.11) и (22.12) получаем, что £2 много меньше площади бо
орбиты: — Ск°’*
^-аЧ!~Ю-Ч2. И]|1
Согласно (22.9) эффективными в смысле воздействия па электрон I
зываются осцилляторы с hk < тс, т. е. с длиной волны ’ Ка'
Л = 1 > А = Ло.
к тс
Отсюда сразу видно, что неравенство (22.6) выполняется:
к^ ~ ка^а32 < — аоа3/2 = — а3/2 — 4а «: 1
й Ло
Флуктуации положения электрона приводят к тому, что кулонов-
ский потенциал ядра U(г) следует заменить на
U(r + |) « U(r) I • W(r) + U(r\ (22.13)
2 dxa dxp
или, усредняя по флуктуациям с учетом некоррелированности
смеще-
ний
по разным направлениям = 0, £пЕ,р = - £2 дар),
U(r + |) = (7(F) + 1 £W(f).
6
(22 13’)
Добавочный член в (22.13) можно рассматривать как малое статисти-
ческое возмущение. Поэтому сдвиг уровня | н1) в первом порядке тео-
рии возмущений согласно (22.10), (22.11) и (22.13') равен
дЕп1 = 1 j2 (и/ | V2(/ | »/) = a2 In {V2U)nl. (22.14)
6 Зя (Za)
В кулоновском поле
(/ = -—, V2C/ = 4xZe2d (г), <2215)
Г
(У2и)„1 = f dr I уп1 |2 V2(7 = 4xZe2 | V>„/(0) I2- <22’ 1
Вспоминая результаты лекции •
!г———————— '«//г видим, что сдвиг (22.16) отличеН ые
----------------"Рт нуля лишь для *-с°™н”Й’0^нИЙ
отодвигаются вверх от р-со<-
Рис. 22.1 (рис. 22.1).
Лекция 22. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ
215
, П из (9.14Н9.16) получаем
ПР11' 7з
I ^о(0) I2 = ,
ла nJ
ft2
е2
(22.17)
I2 f
a3 In -Ar . (22.18)
(Za)2
двиг (22.14) существен лишь для основного состояния (и = 1):
с3«р У 4jtZV _ 4 zV (а
зд (Za)2 пс?п3 Зя аг,-' \ <
В частности, для водорода (Z = 1, а = ао)
д£„ = - «3 In 4 А 1 ~ — ,п 4 Еп- <22-19)
Зя а ао>г п п а
Сдвиг (22.19) содержит лишнее а по сравнению с расщеплением тон-
кой структуры (21.9), однако большая величина In а~2 приводит к то-
му что дЕ (22.10) не в 100, а всего примерно в 10 раз меньше (21.9).
Расчет методами квантовой электродинамики дает точное значение
множителя f и прекрасно согласуется с экспериментом. Смещение
уровней с / > 0 оказывается примерно на два порядка меньше, чем
(22.18).
Литература: [9; 39].
екция 23. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРОВ
До сих пор в рассмотрении атомных состояний мы учитывали лишь
кулоновское поле ядра. Однако ядро с ненулевым спином I может
обладать и высшими мультиполъными моментами (17.27). уже лег.
чайшие ядра (протон и нейтрон) имеют спин 1/2 и магнитные момен-
ты рр = 2,79, рп = -1,91 ядерных магнетонов (1.22). Такого же поряд-
ка и магнитные моменты других ядер с / / 0. Многие ядра (с I > 1)
Ьбладают несферическим распределением заряда — ненулевым квад-
пуполъным моментом Q. Поэтому возникают добавочные члены в га-
мильтониане атома, описывающие взаимодействие электронов с ядер-
дыми мультиполями. Оценим величину энергии этих взаимодействий,
триводящих к сверхтонкой структуре атомных спектров.
Взаимодействие магнитного момента ядра Дя со спином электрона,
эчевидно, можно оценить как
- - - - 2 / \2
__ Р-еР-я РЪРя ~ f*E tn I eft j 1 — (23 1)
г3___________________________________________о3 о3 M_\mc) с? M
Сравнивая с расщеплением (21.2) тонкой структуры, найдем
(23.2)
дЕр ~ dEls ~ МгЧЕь, 6Ер ~ 1(Г4ЕСв-
м
Аналогично для взаимодействия с квадрупольным моментом ядра
Р ~ eR2 (R — радиус ядра) имеем
Аг ~ ~
~ гз j
2
I F
^св>
2
(23.3)
[ля самых тяжелых ядер (Я < 10~12 см) 6 Eq ~ 10-8 Есв. Таким о р
рм, эффекты сверхтонкой структуры малы.
Оператор магнитного взаимодействия можно записать в виде
. д (23 4)
Нр = - £я^(0),
Лекция 23. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРОВ
217
= .__магнитное поле, создаваемое электронами атома в начале
гйе пе находится ядро — точечный магнитный диполь
^ординат, «л
Fa = gi^I- (23.5)
_________ядерное гиромагнитное отношение (~ ря/К), все моменты
3деСЬ ^ем в единицах й. Поле о^(0), усредненное по волновой функ-
электронов, может быть „направлено" (в смысле векторной модели
^кции 17) лишь по единственному вектору, характеризующему элект-
ронную оболочку в целом, — ее полному моменту J,
<Ж(0) = 0J, (23.6)
где fi зависит от электронной конфигурации. Из (23.4)-(23.6)
Я; = - hgrf JI = A J I. (23.7)
Гамильтониан (23.7) рассматривается полностью аналогично тон-
кой структуре (21.12), если учесть следующее соответствие:
Тонкая структура
Суммарный спин электронов 5
Суммарный орбитальный момент
электронов L
Полный момент электронов J
Сверхтонкая структура
Спин ядра I
Полный момент электронов J
Полный момент атома F = I + J
(23.8)
Уровни с заданным J и различными F расщепляются, образуя
мультиплет сверхтонкой структуры, содержащий 27+1 компонент,
если 7 < J, и 27 + 1 компонент в случае J < 1. Сдвиг энергии, обус-
ловленный (23.7), равен
dEF(J, Г) [F(F + 1) - J(J + 1) - 7(/ + 1)] = , (23.9)
пРИчем, как и в (21.14), выполняется правило интервалов
EF(J, /)-£/.-_ i(J, 7) = AF. (23.10)
сле М ^Р330*1» прямое наблюдение сверхтонкой структуры позволяет
дцм Ь ВЫв°ДЫ о магнитном моменте и спине ядра. При этом необхо-
ЭлекпУМеТЬ Независимо вычислить величину /3 в (23.6), определяемую
кронной волновой функцией.
218
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Для иллюстрации рассмотрим простейший случай, когда
есть один электрон в состоянии | nljtn) сверх полностью запо^ аТ°Ме
оболочек (суммарное магнитное поле последних, разумеется рав^1451
лю). В этом случае J сводится к j = / + ж. Магнитное ппп»
с е c^(0i
электрона складывается из двух полей — орбитального, когоппр J'
кону Био - Савара [326, § 43] равно По За-
<W) = -у [г х v] -> 4
crJ тс г
(23.11)
и спинового (от магнитного момента p.s = gshs = — s), равного [326.
§ 44] .
& 3n(PsH) ~Ps „ Зй(5я) - 5
(°) =----------“ 2^б -----------------~3----, (23.11-)
где л = - (г — радиус-вектор электрона).
Г
Таким образом,
©^(0) = - [/ - s + Зл (1л)]. (23.12)
Задача 23-1. Показать, что среднее значение вектора (23.12) по состоянию с опре-
деленным j равно
(7 - S + Зй (5й)) = + (j).
JU+ О
(23 131
Величина (23.13) обращается в нуль для 5-электронов (/ = 0).
однако в этих состояниях отлична от нуля волновая функция электрона
гр (О) в начале координат (8.41), так что среднее значение г-3 расхо-
дится.
Задача 23-2. Доказать, что среднее значение г 3 для водородоподобного ато
J_\ =___________Z3__________ (23 И'
г3/„/ <?о”3(/+ I72) l(!+ 1)
Из (23.12)-(23.14) получаем результат, пригодный для любо(|
значения /:
и <3lfl
Z3
Я(0) = - 2дБ -уу
4n\l +l/2) j и + 1)
Это выражение правильно с точностью до релятивистских попра
поправок, учитывающих конечность объема ядра. Окончатель
Лекция 23. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРОВ
219
(23.16)
определяющий сверхтонкое расщепление (23.10) водородо-
гз
g''
ное состояние атома водорода отвечает квантовым числам
ОсН _ ] i = о, j = 1/2; протон имеет заряд Z = 1, спин 1Р - 1/2,
магнитный момент цр = 2,79^я = 2,79 —
Рр fyip 5,58 т
gP = ТГ ~ ~ ТГ
hlp h h мр
(23.17)
А = 2- 5,58 — & -V
Мр 3^
Мультиплет сверхтонкой структуры основного состояния атома во-
дорода состоит из двух уровней (синглет F = 0 и триплет F = 1),
энергетическое расстояние между которыми равно согласно (23.10) ве-
личине А. Соответствующая частота перехода
v = — = 1423 МГц (23.17')
2nh
(это знаменитая линия излучения межзвездного водорода с длиной
волны 21 см, по наблюдениям которой предлагают искать сигналы от
внеземных цивилизаций). Теоретическое значение (23.17') отличается
от экспериментального на 0,2%. Расхождение было объяснено кванто-
вой электродинамикой: взаимодействие электрона с вакуумом электро-
магнитного поля приводит кроме лэмбовского сдвига и к изменению
магнитного момента электрона, который равен не 1 а
(23.18)
даж°КаЯ точность современных экспериментов позволила проверить
высшие (по степеням а) поправки к величине магнитного мо-
Ba^Ta Экспериментальные данные согласуются с расчетами. Кванто-
кой 1яектР°Динамика является наиболее точной современной физичес-
м°М№?яДН° В °бЩеМ виде рассмотреть и влияние квадрупольного
РУпол лЯдРа- Потенциальная энергия взаимодействия ядерного квад-
вьщамг с полем электронов, суммарный потенциал которых есть <р,
Р^ается [326, § 42] как
220
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
^2У> I п
(23.19)
(производные вычисляются в начале координат, где находится
f д^<р
Величины ------- и Qap являются симметричными тензорами
\дхадхр)^
ядро).
Со еле-
дом, равным нулю. Если ядро имеет момент I, то оператор Qa$ ус
ненныи по всем квантовым числам ядра, кроме проекции IZy
выражаться через I, а поэтому с необходимостью имеет вид
Должен
Qafl Q j
(23.20)
Обычно квадрупольным моментом ядра называют величину
Q=(I,IZ = I\QZZ\UZ = I) (23.21)
(среднее значение Qzz в состоянии с максимальной проекцией lz = /)
именно эта величина приводится в таблицах ядерных моментов.
Задача 23-3. Показать, что
,и_е_
2 1(2] - 1)
(23.22,
Обращение знаменателя (23.22) в нуль при / = 0, 1/2 не означает
q = оо, поскольку в таких состояниях, как следует из (17.27), квадру-
польный момент вообще отсутствует.
Совершенно аналогично квадрупольная часть поля электронов, ус-
редненная по волновой функции атома, представляется квадрупольным
оператором, составленным из компонент полного электронного мо-
мента J:
7
?хадхр)0
- —- (jaJe + JpJa ~ \ Ж/1) -
2 J(2J - 1) \ р р 3
(23.23)
где <Pjj — значение (d2^>/dz2)o в состоянии \J,JZ = J)-
Задача 23-4. Показать, что в состоянии с полным моментом F атома квадрУпоП
ное сверхтонкое расщепление равно
п - 1 п (3/2)С(С + 1)-27(7 +WJJ)
oEf (J, 1} = - <pjjQ------------------------
4 J(2J - 1) 1(21 - 1)
(23»
где величина С определена в (23.9).
Лекция 23. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРОВ
221
Задача 23-5. Вычислить величину <р„ ддя
вне замкнутых оболочек в состоянии \nlj} ’ ” е«ь один электрон
Решение. Замкнутые оболочки образуют с<Ь₽
даюшяй вклада в квадрупольным момент. Тогда Ф Ртески с™метричный остов не
" ’' - I
nlj, jz = j
О
= е
3? -г2
„5
е___
-?я!
I = е
nljj
nlj, jz = j]
' г. =0
3 cos2 0 — 1'
(23.25)
nljj
Вычисляя угловой интеграл и используя коэффициенты Клебша - Горлана из чЯПЯЦН
16-2, получим пз <ад“чи
'dV) 2/-1
Знак минус" отражает тот факт, что частица с максимальной проекцией момента на
ось /движется в основном в перпендикулярной плоскости, ее „облако" сплющено и
(cos20)< 1/3.
Измерение расщепления (23.24) позволяет определить квадруполь-
ный момент Q ядра, если известна величина <рjj.
К рассмотренной сверхтонкой структуре, обусловленной распреде-
лением зарядов и токов в ядре, тесно примыкает ряд других эффектов.
В первую очередь это изотопическое смещение атомных уровней [32в,
§ 120]. Кроме того, свойства ядра (величины магнитного и квадруполь-
ного моментов, радиус ядра и т. д.) меняются при возбуждении ядра, а
это ведет к смещению электронных уровней (изомерный сдвиг). Нако-
нец, атомные уровни зависят и от среды, куда помещен данный атом
(химический сдвиг). Поэтому атомная спектроскопия весьма полезна
для изучения свойств как ядра, так и твердого тела.
Некоторым своеобразием отличается сверхтонкая структура пози-
трония — связанного состояния электрона и позитрона. Все его уровни
вполне аналогичны водородным, но энергии вдвое меньше (приведен-
масса позитрония т = те/2). Здесь обе частицы имеют магнитный
й ент’ Равный магнетону Бора, в результате чего магнитное взаимо-
а не™116 ПРИВОДИТ к расщеплению порядка т- е- порядка тонкой,
№ СВеРу°нк°й структуры. Основное состояние (1s) расщепляется на
значецТ * И тРиплет (используем спектроскопические обо-
2у + 2 \r4„i
(23.26)
n2S + i(L)j (23-27)
*УЯ конфигурации с квантовыми числами S, L, J, и). Есть как б д
^Рта позитрония _ парапозитроиий (синглет $ = J - 0) и ортопоз -
Ронии (триплет S = J - 1, имеющий большую энергию).
222
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Позитроний является нестабильным образованием, так как J
рон и позитрон аннигилируют, превращаясь в у-кванты. ДНН1° ЭЛе1сг-
в один квант запрещена законами сохранения энергии и импул Л
рапозитроний аннигилирует в два фотона с полной энергией &
1 МэВ; время жизни парапозитрония — порядка 1О~10 с. Можно0*
зать, однако, что двухфотонная аннигиляция ортопозитрония за " I
на законом сохранения момента. Рице'
Дело в том, что система из двух у-квантов не имеет состояний
ментом, равным 1. Не доказывая строго это утверждение (щеп 'I
Ландау, [6, § 9]), приведем только некоторые аргументы. Волно^ 1
функция системы с моментом 1 при вращениях преобразуется
вектор (лекция 13). Для системы из двух фотонов этот вектор должен
быть построен из волновых векторов к\, к2 и векторов поляризации
ё\, ё2. В системе покоя распадающегося ортопозитрония А] = - £ _
= к. Из векторов ё\,ё2,к можно построить векторы
[ё} х ё2], (ёх ё2) к, [А х [ех х ё2]] (23.28)
Однако волновая функция двух фотонов должна быть симметричной
относительной их перестановки (лекция 52), т. е. не меняться при
замене q *> е2, к -> — к, чему не удовлетворяют первые две комбина-
ции (23.28). Третью из них преобразуем так:
[£ х [q х ё2]] = ёх(кё2) - ё2(кёх).
В силу поперечности фотонов (лекция 19) это выражение тождествен
но равно нулю. Поэтому ортопозитроний может распасться не меньше
чем на три фотона. Такой процесс значительно менее вероятен и время
жизни ортопозитрония оказывается порядка 1СГ7 с.
Литература: [9; 32в, § 121-122; 47, вып. 8, гл. 10; 54].
Лекция 24. АТОМ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Рассмотрим систему заряженных частиц, помещенную во внешнее
остоянное однородное электрическое поле g”. Потенциальная энергия
взаимодействия системы с полем равна
Н’ = У O^(fo) = -f ^eara = -fd,
а а
(24.1)
где j_оператор дипольного момента системы. В большинстве слу-
чаев энергия (24.1) может считаться малой и рассматриваться по
теории возмущений. Тогда волновая функция стационарного состояния
^согласно (20.1 Г) и (24.1) дается суперпозицией невозмущенных со-
стояний
i*>=i*>0- 2 4%|п>» (24-2)
п * к Lk
(все матричные элементы — по состояниям системы без поля!).
Существенно, что если невозмущенное состояние | к)о обладало
определенной четностью, то в силу (24.2) к нему возникают примеси
состояний | л)0, связанных с | к )0 дипольными матричными элемента-
ми- т. е. имеющих противоположную четность. В результате состояние
не обладает определенной четностью. Поэтому система в поле мо-
Жет приобрести дипольный момент:
- I о(*\d |п)о
л * к .
(243)
^к ^к
V <4л( dnk) + ( $ dkn) dnk
~ dkk- 2j
£-к сл
1десь л
и>.е w = о(& | <7 | к)о обращается в нуль, если состояние без поля
Г ° ОпРеДеленную четность.
224
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Результат (24.3) означает, что дипольный момент (а\
—• , • Iк
в поле складывается из собственного момента dkk и индуиип 414
го (d’)k (пропорционального полю):
(J)A = du + {d')k.
(24.4)
Коэффициент пропорциональности между индуцированным дИп
ным моментом {d')k и вызывающим его полем % назовем атич
поляризуемостью (ср. с задачей 14-1)
{d^)k = (245(
Поляризуемость ак^ есть вещественный тензор, зависящий от состоя
ния | к}. Согласно (24.3)
,А , ,А' .А
AZ'’ _ X* “krflnk + "кп^пк
к гУ ___ гО
п*к Ьк
(24.6,
откуда видно, что тензор статической поляризуемости симметричен:
akf = ак^- ^ак ВИДНО из (24.5), величина а имеет размерность объема
Зная волновую функцию (24.2), найдем изменение энергии (20.12?
системы с точностью до второго порядка по внешнему полю.
Bt = £? -
п * к Ьк Ди
или, вводя тензор поляризуемости (24.6),
Ек = Ек - tdu - j а? < (24 g
Мы получили классическую формулу: энергия системы зарядов во
внешнем поле складывается из взаимодействия с этим полем
ного дипольного момента (— du) и индуцированного. Как и в
сической теории,
Э=- < - «л-=- « + =- л- (241
Таким образом, теория возмущений дает обычную картину пол р
ции системы зарядов электростатическим полем. _ ^ь1ЧНОна-
В квантовой теории изменение энергии (24.7) в поле % ° еЛе1в
зывается эффектом Штарка. Если состояния | к)о имеют
Пркция 24. АТОМ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
225
т0 rfkk = 0 и линейный эффект Штарка отсутствует.
-Ю 4 е % выделяет направление в пространстве, поэтому пол-
рцеШ11С'е J перестает сохраняться. Но легко видеть, что по-прежне-
ный проекция Jz вектора J на направление поля (J = ^),
Ю С<?ХР силу (17.6) [Л. dz\ — Поэтому состояния с определенными
w J = М являются правильными линейными комбинациями
,НаЧеНименения теории возмущений.
'Я Таким образом, квадратичный эффект Штарка заключается Крас-
ин уровней по проекции М при наложении слабого поля . За-
^имость расщепления от М легко установить в общем виде. Для это-
8 введем оператор akv, действующий в пространстве 2J+ 1 состояний
К Ш} где (к) — фиксированные остальные квантовые числа, так
'гобы средние значения этого оператора давали значения (24.6) тензо-
поляризуемости. В наиболее общем виде симметричный тензорный
дераюр запишется для изотропной системы аналогично (23.20):
«Г = + /Зк\JMJV + ЛЛ - I (24Л°)
цензор разбит на скалярную и квадрупольную части). Конечно вели-
чины ак, Pjc определяются структурой состояний | к) и могут еще за-
висеть от J2, но не от проекций J
Задача 24-1. Получить зависимость квадратичного штарковского расщепления от
тоекции М момента на направление поля .
ак-1 PkUV + 1) " ЗА/2
3
Ответ. dEk(JM) = - -
2
Особенно простой результат получается для состояний с J = 0:
=2 J _ 2 2 ДЦ, . (24.12)
п * к Lk п * к Ек
(24 11)
Показать, что вычисленная по (24.12) поляризуемость линейного ос-
Ра совпадает с точным результатом (задача 14-1).
выч^3 За наличия в (24.6) суммы по промежуточным состояниям | п)
ение поляризуемости может оказаться нелегкой задачей. Fac-
et^ квадратичный эффект Штарка для основного состояния | 0)
^РеДин°Д°РОда' Злесь можно было бы решать [32в, § 77] уравнение
*»юТся в параболических координатах, где переменные разде-
•инако ДаЖе ПРИ наличии поля <^z. Для основного состояния можно,
“ по Неп°средственно вычислить поляризуемость (24.12).
226
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
п _ n„2 V «О^иО
«o-2ez 2/ То >•
п * 0 “ л0
Введем вспомогательный оператор £ такой, что
z | 0>0 = [|, Яо] | О)о. ..
Тогда
г„о = о(« I z | О)о = о(« I [|, А)]1 О)о = (Е§ - Е°) £ ’
„ _ п„2 Y z°n^0 “ 1и0 - 2 V ь (24 1<
«о-2е2 2 --------ТоТГо-----= -2е Zzo^„o- 1
« * 0 Л0 „ * о
Поскольку основное состояние четно, zoo = 0,
« = - 2е2 ^zo„£„o = - Те2^)^,
п
(24.lt
следовательно, осталось вычислить среднее значение оператора z| по
невозмущенному основному состоянию.
Задача 24-3. Найти оператор | и вычислить поляризуемость основного состояния
атома водорода.
Решение. Если считать, что | есть функция только координат, то (24.14) дает в ко-
ординатном представлении дифференциальное уравнение для этой функции. Уравне-
ние решается разделением переменных в сферических координатах; в результате на-
ходим
i 1 [ г . I п 1 (г , | Й2 пл -
5 = —у — + oq г сое 0 =-Tz -+о0 > °0 =—I24'-
ег \2 ) ег \2 / те
°0 = 2 0<0 | - + е?о z2 I О)о-
\2 /
В силу сферической симметрии состояния | 0 )о
0<0|/(r)z2 | 0>0 = ~ о(О|/0г2 I О>о-
3
Вычисление с использованием волновой функции (9.16) дает
(24.
(24.
(Н00=^Т(л+2)!.
(24-
_ 9 2
-2“3
Атом водорода специфичен в том отношении, что из-за
ного“ кулоновского вырождения (лекция 9) в качестве его ст
«О = - - (г3)оо + = - «6
3 12 J 2
(24:
слУча;1
Лекция 24. АТОМ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
227
ий можно взять суперпозиции уровней с различными /, не
состояв еделеНной четности. Для этих суперпозиций будет отли-
ипольный момент dkk и, следовательно, будет наблюдаться
чен от )фект Штарка. Задача сводится к нахождению правильных
пИнейны к0МбИНаций и решению характеристического уравнения
^“да »“м>™“ие
Н’ = - e$z.
(24.22)
овнОе состояние атома водорода (1s) невырождено и обнаружи-
’ лиШЬ квадратичный эффект. Рассмотрим четыре состояния с п = 2
{^состояние и три 2р-состояния). Как уже отмечалось, проекция мо-
'^нта I частицы на ось поля сохраняется. Здесь, как и выше, предпола-
гается что штарковское расщепление велико по сравнению с интерва-
ами тонкой структуры (какие для этого нужны поля?), так что спин
электрона вообще можно не учитывать. Поэтому не нужно брать ли-
нейные комбинации всех четырех вырожденных состояний. В силу со-
хранения lz = т состояния | nlm) = | 2 11) и | 21 —1) не перепутываются
(в этом приближении для них есть только квадратичный эффект).
Мы приходим к характеристическому уравнению для двух вырож-
денных состояний | 2 0 0) и | 2 1 0) с разными /, но одинаковыми т. Сю-
ia полностью применимы формулы (20.21), в силу которых правиль-
ные суперпозиции имеют вид
| +) = 4= ( I 2 0 0) + | 2 1 0), (24.23)
л/2
а их энергии сдвинуты от невозмущенного значения на
= ± е?7 | (2 0 0 | z | 2 1 0) | . (24.24)
Задача 24-4. Вычислить матричный элемент (24.24).
Отвст- (2 0 0 |z | 2 1 0) = — ЗЦ).
Таким образом, мы получаем следующую картину линейного по
олю расщепления оболочки п = 2:
^(т = 0)
7J [|2s(m = 0)) - \2р(т =0))]
\2р(т=± /))
£[|2Цт = 0)) + |2р(т = 0))]
ренного 1ый эффект в оболочке п = 2 отличается от рассмот-
рена Не ВЫше Для п = 1. Действительно, в /r-состоянии момент / элект-
Равен нулю Поэтому тензор поляризуемости, усредненный по
228
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
всем квантовым числам кроме lz, будет иметь вид (24.10) г *
Если поле мало по сравнению с эффектами тонкой структ\ ° "* *
храняющимся вектором является у и в формуле (24.101 сп» ,т°<<х
т v д ^егзамк.
нить / -» j. Конечно, величины ак, рк определяются структуру /д
мы и сами зависят от /, j (но не от ml). С1,е‘-
Наконец, если внешнее поле неоднородно, то существует
действие мультипольных моментов системы с высшими ппоизвр381^
потенциала <р внешнего поля. Обычно поля слабо меняются
мерах атома или ядра, так что достаточно учесть квадрупольно^
модействие (23.19) с градиентом внешнего поля
Нв = - j (VA S w,
(242-
где Q/IV — оператор квадрупольного момента системы. Испочьзи
(23.20), (23.22), получим, аналогично (24.11), квадрупольное раснщ >
ление уровня \JM) в поле с ненулевым градиентом (d^Jdz\ «
= - (d2<p/dz2)0 = - tp'".
dE?\jM) = <р" л - [ЗА/2 - J(J + 1)]. (24.26
4JQJ — 1)
Во всех рассмотренных случаях уровни с противоположными зна-
ками проекции ±М остаются нерасщепленными. Это является строгим
следствием инвариантности аксиально симметричного гамильтониан
относительно отражения в любой плоскости, проходящей через ось:
При таком отражении состояние | JM) переходит в | J — М), а гамиль-
тониан не меняется, так что эти два состояния обязательно вырождены
Строго говоря, в однородном электрическом поле возникает (как
при холодной эмиссии из металла) вероятность туннельного выходе
электрона из атома (ионизация полем), так что рассмотренные состоя
ния квазистационарны (ср. (20.15)). Однако время жизни велико при
слишком сильных полях [32в, задача в § 77].
Литература: [7, гл. 10; 32в, § 76, 77].
94 АТОМ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Лекция 25. mi Vi
екции 18 было рассмотрено поведение свободной бесспиновой
и свободного спина в магнитном поле. Если система заряжен-
^^астин, находящихся в связанном состоянии, помещена в посто-
в0 времени однородное магнитное поле то возникает
^пифическое расщепление ее спектральных линий. Расщепление
слабом магнитном поле называется эффектом Зеемена.
Эффект Зеемана в классической теории непосредственно вытекает
из электродинамики. Согласно теореме Лармора ([326, § 45], ср. с лек-
лей 18) поведение системы заряженных частиц, совершающих финит-
ное движение в центрально-симметричном электрическом и слабом
однородном магнитном полях, эквивалентно поведению при off — О
в том же электрическом поле в системе координат, равномерно вра-
аающейся с ларморовской частотой (18.30)
Йл = - — оХ?
2тс
сношение е/т считается одинаковым для всех частиц системы). Гру-
° говоря, если финитное движение частицы состоит во вращении час-
тицы по окружности с частотой (Од, т. е. с энергией
Е° ~ 2 mr2(t)0’
Й в поте, направленном перпендикулярно плоскости орбиты,
Ед -» Е = - тг2(а)д + йл)2,
2
‘Ойбом поле (щ0 » Йл)
Е ~ Ед + тг2(1)д£1п ~ Ед + ТЙЛ, (25.2)
le [ _____
Мергия момент импульса частицы. Таким образом, добавочная
АЙЛ = - — Lo/f = - /гоГ
2тс
(25.1)
(25.3)
230
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
является энергией взаимодействия магнитного момента
(т е ] тт - П°Л
р = giL, gi =--1 . На языке классической механики C2S ''
2mc' v ’ Означае1
учет сил Кориолиса при пренебрежении квадратичными по Q
бежными эффектами. л ^е1|тро.
В классической электронной теории атомный электрон ппе
ется линейным осциллятором, излучающим частоту со0, равную
венной. В слабом поле сЙ линия, по которой колеблется
будет вращаться вокруг направления с частотой Йл. Разложим**8"
ходное гармоническое движение на параллельную и нормальную к &
составляющие. Поле не влияет на продольную компоненту ел'
прежнему отвечает линия излучения с частотой о)(). Поперечная **
компонента колебания есть суперпозиция двух круговых движений*6
противоположные стороны. В магнитном поле соответствующие часто!
ты расщепляются: йщ -> от о ± Ял.
Таким образом, слабое магнитное поле расщепляет невозмущен-
ную линию в лоренцевский триплет (ojq — л-компонента, от0 ± Q —
а-компоненты). Легко предсказать поляризацию излучения: при наб-
людении в направлении, перпендикулярном несмещенная линия
(л) линейно поляризована вдоль поля (как всегда, направлением поля-
ризации считается направление ? излучаемой волны), смещенные ли-
нии (а) линейно поляризованы перпендикулярно полю. При наблюде-
нии вдоль поля гт-компоненты циркулярно поляризованы в разные сто-
роны, а лг-линия не видна, так как осциллирующий заряд не излучает
в направлении своего движения.
По классической теории у всех спектральных линий атома в маг-
нитном поле должен наблюдаться такой нормальный эффект Зеемана.
Однако фактически гораздо чаще имеет место аномальный эффект
(число компонент и величина расщепления не отвечают лоренцевскому
триплету).
Квантовое описание нерелятивистской системы заряженных частиц
в магнитном поле должно основываться на общем гамильтониане
(лекция 18), который можно записать как
[Ра (га) + &/ (Га) • Р„] - .
.2w„c
Jd/2(r„) + g^ScP^ ,
где в случае однородного поля векторный потенциал мо л
рать равным . (25
&?(r) = j [оГ х г ].
Я = Но - X •
а
a
ЛекЦИЯ 25. АТОМ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
231
выборе div os£ = 0, р • = с&1 • р, тогда
• Ра - А + С25 4')
тас 2л,ас
„ ч таком
При '°
й = Но ~
" а
лах (25.4) и (25.4') Но означает часть гамильтониана, не зави-
В формУ итН0Г0 поля. Подставляя (25.5) в (25.4'), получаем
сЯщуЮ ОТ м
= х£]=|оГ- /,
2 1
И = Йо
а
-%- off 1а -
2таС
, [<йГ X ro]2 + (25.6)
8тасг
Второй член в (25.6) совершенно аналогичен классическому взаи-
модействию (25.3). Третий (квадратичный по полю) член, как пока-
зывает непосредственная оценка, может сравниваться по величине со
вторым лишь в очень сильных полях. Эффекты, вызываемые им, наб-
людались экспериментально в спектрах поглощения щелочных метал-
лов (переходы в очень высокие состояния, п ~ 20-30, в полях
V - 1 Тл).
Считая поле достаточно слабым, пренебрежем квадратичным
ыеном в (25.6). Тогда для системы бесспиновых частиц с одинаковым
отношением е/т имеем
Н = Но - — ©Г1, (25.7)
2тс
где L = 1а — полный момент системы.
а
Гамильтониан (25.7) допускает простое решение. Полагая
r = мы видим, что если операторы £2 и Lz коммутировали с Hq,
у они сохраняются и для полного Н. Поэтому стационарные состоя-
"Яя | LM) гамильтониана Но по-прежнему остаются стационарными, но
вмененной энергией
Elm = E°l~— qKM = Ef - poffM. (25.8)
2mc
ТакИм
образ°м, поле просто расщепляет все вырожденные по А/муль-
w । на 2L + 1 компонент каждый. Расщепление эквидис-
Elm + 1 — Elm — ~ ~ ГгЯл-
2тс
(25.9)
232
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Полученные результаты в точности соответствуют кла
нормальному эффекту Зеемана. Пусть мы имеем в отсутсгви 1Чес,с<^
лучение с частотой а>о = (Е? - E%)/h, отвечающей переходу^ *t
двумя вырожденными невозмущенными уровнями. При в Ме^
поля возникает серия переходов между двумя расщепленным 1°ЧенЧ|
плетами с частотами ми ЫУльц.
Е\ - Е2 /Р - Е? Д
" = ““— = —----------'У' {М' - = "» + AMUCS.!,
Как мы увидим ниже (лекция 30), наиболее интенсивны пепе
с АЛ/ = 0, ± 1. Они и отвечают лоренцевскому триплету (ш0, <у0 + q
Можно сказать, что и поляризация излученных волн совпадает с клас-
сической (при переходе с АЛ/ = 0 фотон не уносит момента в наврав'
лении z, т. е. волна линейно поляризована вдоль поля; переходы
АЛ/ = ± 1 отвечают круговой поляризации в плоскости, перпендику-
лярной полю).
Аномальный эффект возникает при учете спинового члена в (25 6‘
Для системы одинаковых частиц с орбитальным гиромагнитным отно-
шением gi и спиновым gs
H = HQ- (giL + gsS)-d&, S = ^a.
a
Введем полный момент системы J = L + S, тогда
(25.1b
н = Яо “ g/GX?(J + 0S), 0 = ^- 1.
gl
(25.11
-X? "
.с J
Дальнейшие вычисления существенно зависят от соотношения между
величинами внешнего поля сУА и „внутреннего" поля (—
— 10 Тл в атоме), вызывающего расщепление тонкой структуры (лек
ция 21). .
В не слишком тяжелых атомах осуществляется /5-связь, т. е.
являются хорошими квантовыми числами. Пусть внешнее поЛ^нкО|
слабо, так что зеемановское расщепление мало по сравнению т м
структурой (собственно эффект Зеемана). Тогда и / является хор
квантовым числом, т. е. состояния \LSJJZ = М) пРедС1авЛЯЮТлсТвЛ
правильные линейные комбинации (спин-орбитальное взаимод^
связывает L и 5 в моменте J, который прецессирует вокруг зМу
вычисления расщепления достаточно найти среднее значение
Лекция 25. АТОМ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 233
ц п пО этим состояниям. Снова воспользуемся векторной
1,1Я ^н7 28):
1еПЬЮ /л?\ - - л
^=^)<7>’7s=i(/2 + 52-£2)’
ЕЕМ = (LSJM | - gl <M(J + ДУ) | LSJM} =
= ~ gi off (LSJM | J z | LSJM} X
(25.12)
X
j(j + 1) + S(S + 1) - L(L + 1)
2J(J + 1)
= — goffhM,
полное гиромагнитное отношение g отличается от орбитального gi
фактор Ланде
;e
на
^- = 1 +
gi
gs __ |
£1 )
J(J + 1) + S(S + 1) - L(L + 1)
2J(J + 1)
(25.13)
Для атома (как и для любой системы электронов) gi = Д[,//г,
j = 2gh — 1 = 1. Согласно (25.12) расщепление уже не универ-
ft
сально и зависит от квантовых чисел J, L, S. Уровень \LSJM} рас-
щепляется на 27 + 1 компонент (25.12), причем его центр тяжести не
смещается ( А£д/ — 0)- Только спиновые синглеты (а = 0) дают нор-
м
мальный эффект.
Перейдем теперь к случаю полей o/f, сильных по сравнению с эф-
фектами тонкой структуры (но, конечно, достаточно слабых по сравне-
нию с расстоянием до уровней с другими значениями L, S, чтобы вооб-
ще можно было пользоваться теорией возмущений). Если пренебречь
тонкой структурой, то Lz и Sz коммутируют с гамильтонианом (25.11) и
'^вечают хорошим квантовым числам Л/д, Ms. Это означает, что поле
Разрывает спин-орбитальную связь, так что S и L независимо пре-
Н^ИРУКЭТ вокруг <2%" (эффект Пашена - Бака). Здесь правильные ли-
1е комбинации суть состояния | JSMLM$ }, для которых
^mlms = -&? (LSMlMs \glLz + gsSz \LSMlMs) = (25.14)
= - hr^(giML + gsMs},
ИЛи «ля атома
^mlms — “ Дб^С^т + 2^)-
(25.14')
234
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Теперь взаимодействие спин-орбита (21.12) представляет
вторичный эффект, приводящий к сдвигу состояний | )«.
&Emlms = {LSMlMs I WlsL • 5 | LSMlMs) = WLSMLM, \ I
(25l5|
В промежуточных случаях взаимодействие спин-орбита и
магнитное поле нужно рассматривать одновременно, что обы ВНеЦ1н?г
водит к характеристическому уравнению высокого порядка X Н° П^'
литического решения получить нельзя, иногда, зная ответ в пТЯа1к
ных случаях слабых и сильных полей, можно провести качеств J
интерполяцию. При этом существенную помощь оказывают общие1’*
ображения о непересечении термов (уровней) одинаковой симмето °*
Пусть мы рассматриваем расщепление уровней с ростом магнит
него поля о/. Предположим, что два уровня пересеклись (имеют оц'
наковую энергию при = о^р). Поскольку вблизи сЛ0 уровни бли>
ки, надо найти их правильные линейные комбинации. Такая двухуров-
невая задача рассматривалась в лекции 20. Решение (20.18) характе-
ристического уравнения показывает, что точное пересечение термов
возможно лишь в том случае, если при сУ? = выполняются усло-
вия Н\i(rv/0) = 7/22(0^0). I ^12(^0) I = 0. Но это означает, что на одь
величину cXq наложено слишком много условий, которые, вообще го-
воря, не могут удовлетворяться одновременно. Пересечение термов
возможно только тогда, когда в силу каких-то свойств симметрии мат-
ричный элемент Н\г тождественно обращается в нуль. Подобные par
суждения справедливы и в других случаях, когда энергии термов зави-
сят от какого-либо параметра.
В нашей задаче единственным точным интегралом движения лля
любых полей является проекция Jz полного момента на направлен’
поля. Поскольку [Sz, Jz] = 0, все матричные элементы Sz, а значит, и
Н, между состояниями с разными Jz = М тождественно исчезают, по-
этому пересечение уровней с разными М возможно. Термы же ол-
наковой симметрии (с одинаковым М) не пересекаются.
Задача 25-1. Проследить качественно расщепление водородного уровня 2д в м
ннтном поле (рис. 25.1).
Линейная зависимость (25.12) энергий от слабого поля означает
что атом обладает магнитным моментом
ЙАЕ ь, ,
л = - — = - к™.
де/(
Однако эффект (25.11) исчезает, если атом находится в с0СТ°ленрм
L = S = 0. Единственный эффект здесь дается квадратичным 1
(25.6). Соответствующий энергетический сдвиг
(25.1'
Рис. 25.1
Л£ = x = s = о =
&7K- „
r2\ e2^2 2 у , ?д =
Я>Л = 5=° S^c2 3~'"'
(25.17)
ie магнитная восприимчивость
e2
6т<^
S(r2><0,
(25.18)
диамагнитен.
и. следовательно, газ таких атомов
Задача 25-2. Ядро со спином /, гиромагнитным отношением g и квадрувольным
ентом Q помещено в кристаллическую структуру, где существует градиент элект-
*ск°го поля на ядре (dez/dz)o = — <р". Показать, что при наложении постоянного
"Т1,ого поля под углом в к оси z энергетическое расщепление мультиплета
«ид (Ср. с {24 26))
= *" [ЗЛУ2 - /(/ + 1)] - М^7Г [1 + g - 1) <5|М |, 1/2 ]cos6> (25.19)
4/(27 _|) 1
| = 71 + (/ + 1 / 2)2 tg26>.
вть зависимость от М.
Рассмотреть эффект Зеемана в позитронии (см. лекцию 23), считая
равнимым с расщеплением орто- и парапозитрония.
236
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Решение. Нужно диагонализировать гамильтониан
Н' = AsiS2 ~ ~ hz\
(25^
где 51 относится к позитрону, a s2 — к электрону, в пространстве четыое
(синглет парапозитрония и триплет ортопозитрония). Полная проекция 5 о^0СТ0’НИ
тегралом движения, поэтому триплетные состояния с Sz = ± 1, как и 2р- **
ных состояния в линейном эффекте Штарка (лекция 24), являются прапи ВОд°Р’^
нейными комбинациями. Состояния синглета и триплета с S, = 0 перепу, Jp 11ЫМи
шение характеристического уравнения дает Bat0T4 ре-
^.= 0=-f
4
.2
<252 ,
Более высокое по энергии состояние при off = 0 отвечает ортопозитронию-
еЖ X 0 оно не обладает определенным моментом (суперпозиция S = 0 и S = 1) pj0^*
му снимается запрет; налагаемый теоремой Ландау на двухфотонный распад орлик
зитрония (лекция 23). Время жизни возбужденного состояния сокращается („гашение
ортопозитрония).
Оценить, какое поле off необходимо для уменьшения времени жизни г
в 10 раз.
Литература: [7, гл. 10; 15; 34; 47, вып. 8, гл. 10; 54].
и ,uH 26 НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
Лекция
Пля замкнутых систем с гамильтонианом, не зависящим от време-
ни нестационарный волновой пакет
Ф(0 = 2 °«(01 п)
и
(26.1)
(26.2)
(26.2')
эволюционирует так, что со временем меняются лишь относительные
фазы компонент (,,биения“), а амплитуда вероятности обнаружения
системы в п = N-ja стационарном состоянии равна
«„(О = «и(0) e-iE",/n.
Поэтому вероятность
^„(0 = | а„(0 |2 = | а„(0) |2
от времени не зависит (см. лекцию 6).
Предположим теперь, что на систему наложено возмущение, зави-
сящее от времени, и полный гамильтониан
Н = Но + Н' (Г). (26.3)
Мгновенный вектор состояния Ф(/) по-прежнему можно представить
в виде суперпозиции (26.1) состояний | и), принадлежащих полной сис-
Геме Стационарных состояний гамильтониана Но
Но \ п) = Е„\ п).
(26.4)
изически разложение (26.1) означает, что если в момент t включить
см ^1Цение то вектор состояния Ф(/), не успев измениться (об этом
ШемНи*е)> останется равным суперпозиции (26.1), однако в дальней-
составляющие an(t) будут развиваться во времени по невозму-
законам (26.2).
вь1е „ Скольку Н' зависит от t, меняются со временем не только фазо-
чт° м н°шения между весами a„(t), но и их абсолютные величины,
от быть обнаружено в экспериментах с отключением возмуще-
238
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ния в различные моменты. Даже если с приготовленном в н j
момент состоянии Ф(/о) какие-то компоненты | п) вообще аЧальЧв
вали, в другие моменты времени они могут появиться. Это^^^И
что отлична от нуля вероятность перехода под действием воз°ЗН^И
H'(t) в состояния, отличные от начального. Если эти вероятное^6 д
(значительно меньше 1), то возмущение можно считать слабым
зволяет развить специальную форму теории возмущений, завися*10
времени. Подчеркнем, что здесь речь идет о вероятностях пеп Д
между стационарными невозмущенными состояниями * Х(!
Для такой поставки задачи удобно искать решение уравнения щ
дингера
ih — = {Яо + Я'(Г)} Ф
dt
(26'
в виде суперпозиции (26.1), выделив сразу невозмущенную временно
зависимость (26.2):
Ф(0 = S а>М e~,E"'/h | п) (2б(.
(известный в математике метод вариации постоянных). Теперь вся и-.-
висимость an(t) связана лишь с возмущением H'(f). Подставляя (26.2
в (26.5) и пользуясь (26.4), получим эквивалентную исходному уравш
нию Шредингера (26.5) систему уравнений для амплитуд am(t):
ih = Н'т,М an(t) (26 П
л п
Нт,М = {т I #'(') | п), (От„ = (26 Т»
Различные конкретные физические постановки задачи приводу
к различным приближенным методам теории нестационарных возы
щений. Пусть, например, возмущение существует в течение оГРан”й-,
ного интервала времени При t = — °° система была в одном из ста
парных состоянии (26.4); это начальное состояние обозначим | ч- I
а„(-°°) =
(предполагается, что | i) принадлежит дискретному спектру)-
роятности перехода малы, то все амплитуды a„(f) «1, и z’
отличается от 1 для всех t. Тогда из (26.7) приближенно име
ih „ н' „ Hmi(f)eiu>mi‘-
dt
Если Е*'
a,(t)^
Лекция 26. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
239
плитуда вероятности нахождения системы в
ргсК>Да । у) (тоже дискретного спектра) равна
конечном со-
(26.9)
g вероятность перехода f
wfi(t) = | af(t) \2 = ±
t
f dt’
(26.10)
/ -» и возмущение, по условию, перестанет действовать, так что
олная вероятность перехода
=о 2
« -оо
(26.11)
т е. определяется гармоникой Фурье матричного элемента возмущения
1тя частоты, равной частоте перехода: со = соft.
В тех случаях, когда матричный элемент Hfj оказывается равным
кулю (или аномально малым), формула (26.9) недостаточна и нужно
читывать поправки следующего порядка. Вторая итерация уравнений
26.7) дает амплитуду перехода
*/(')= ~ 7 /jrH},(r)eto/"' +
— 00
( v . Г (26.9’)
+ (- ТI J dt' f dt" 2 +
n —co — 00 s
(s * /)
СИены cs = itf следует учитывать из-за малости Ну,). Мы видим,
>ЮмеТ0ЧН0СТЬ10 Д° членов ВТОРОГО порядка по возмущению возможен
В I прямого перехода i -» f переход через промежуточное состоя-
ер 5 * f Вероятность му,(/) по-прежнему равна | a fa) |2, т. е. со-
I 5) р ИнтеРФеренцию всех внутренних переходов (ср. с лекцией 3,
’• <<|63^льтат (26.11), конечно, правилен лишь в том случае, если
р »
и Hft(f) является главной функцией, то ее фурье-разложение
i 2б.Ц) Лищь гармоники с малыми частотами со. Тогда, как видно из
*<ится ’ Вероятн^ь перехода и/, с изменением энергии у,- > <д стре-
роГОг НУЛ1<). Возмущение характерное время изменения кото-
Велико по сравнению с периодом биений 1/<0у,, назовем адиаба-
240
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
тическим по отношению к переходу i -* f. Точнее, д;1я
ского возмущения изменение энергии за время 1/со^, Должно^^^^И
го меньше самой разности энергий Ef — Е, = hatf,: Ь1ТьМцг^
azt 6н' а< dHf' 1 t
ОН-------Ot —----------« tl(D
6t dt (Dfi
<26.12.
Рассмотрим простой пример, когда возмущение плавно
в момент t = 0 и выключается i
получаем
p, плавно включает
к моменту /. Тогда при t > t из (26 1 о"
1
t
f dt'
о
или, интегрируя по частям,
(26.13i
_1_ рГе^'^Я/1(/')
о л
При выполнении условия адиабатичности (26.12) производная Я
мала; вынося ее усредненное значение из-под интеграла, найдем
-лн'^
(26.141
io>fi
. . 2 J
4 sin
2
т. е. вероятность пропорциональна квадрату малого параметра аднабг
тичности (d#y,7d/)(7to2,)-1 (см. (26.12)).
Таким образом, при адиабатическом включении и выключений»
мущения реальные переходы почти не происходят. С ДРУГОИ не11.
при 0 < t < i вероятность перехода отлична от нуля за счет «Ж
предела в проинтегрированном члене (26.13). Это означает, времецИ
состояния Ф(/) отличается от начального | i) в течение
0 < t < t. Выключив возмущение мгновенно в какой-то мо
Лекция 26. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
241
т. е. раскладывая Ф(/) по невозмущенным стационарным
ри цнтеГР I мы нашли бы ненулевые вероятности переходов i -> f,
состоянИ aKOj были бы в основном обусловлены именно резким вы-
хоторые’ вОЗМущения. Вектор состояния Ф(Г) при адиабатическом
(-почею и меняется плавно, „подстраиваясь" к возмущению, так что
возДеИ - истема с большой вероятностью вернется в исходное состо-
при
яНН0казЫвается возможным построить специальный метод — адиаба-
I ю тсорию возмущений, в которой, в отличие от вышеприве-
Т”вного рассмотрения, возмущение H'(t) вообще не считается слабым,
малым параметром является лишь скорость изменения Н' (в смысле
Э явенства (26.12)). При этом за большое время медленное изменение
вектора состояния может привести к большому его результирующему
изменению. При таком подходе не имеет смысла разбиение гамильто-
ниана (26.3). Будем просто считать, что гамильтониан системы содер-
жит некоторые параметры являющиеся заданными плавными
функциями времени:
H(t) = Я(а(/)).
(26.15)
Мы знаем, что вектор состояния будет приспосабливаться к изме-
нению а(/), плавно меняясь со временем, так что, например, основное
состояние системы будет оставаться основным, первое возбужден-
ное — первым возбужденным и т. д., с тем большей точностью, чем
меньше = а. Поэтому зафиксируем некоторое значение а и найдем
набор стационарных состояний | и)а гамильтониана Н(а) при данном
значении а:
Н(а)\п)а = Еп(а)\п)а. (26.16)
место разложения (26.6) будем в каждый момент t использовать в
^честве базиса систему состояний | п)а с мгновенным значением
Г °(0- Ясно, что вместо фазы (—Hh)Ent теперь надо взять полное
изменение фазы (—НЕ) J dt' En(a{t’)\ что аналогично пространствен-
фазе i J dx квазиклассической волновой функции (7.10) при
I *^Нии в медленно меняющемся поле.
ак> ищем решение уравнения Шредингера в виде
ф(0 = ехР “ ~ f dt' Е^’У) |«>а(0>
п L й
(26.17)
242
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
тогда
ih ~ 2ехР “7 f dt' £и(«(^)) X
dt п L Й -оо
j ЕМ)) а„ + а,,а~ | n)a(t) =
И
dan
X
L dt
= Я(0 Ф = ^ехр j dt' ЕМ')) апЕМ)) |„)
м п -00 W
<26.18)
п
При фиксированных t и а = a(t) состояния | п)а ортонормированы
что, умножая (26.18) слева на а(т |, находим (ср. с (26.7)) ' М
da • 1
I I а„ ехР “ | / dt' (Еп ~ Ет)( = 0. (26.19)
Пусть
г(°)
'н
при t -> - 00 коэффициенты суперпозиции были равны
«и' = а„(- оо). При а -» 0 любые переходы исчезают, и мы получили бы
a„(t) = а®\ Решая (26.19) последовательными приближениями
«ш(0 = <40) + + ••• ,
(26 20’
находим в первом порядке по параметру адиабатичности а
«(1) =
ит
— I ) Х
да
(26.2b
п
,(0)
X ехр - ~ jf dt" (Е„ - Em)f а®.
Для матричных элементов, входящих в (26.21), существуют точные
соотношения. Дифференцируя (26.16) по а, получим
д^\п)а + н ±\п)а = д-^\п)а + Е„ j-\п)а,
да да да да
или, для матричного элемента а(т |... |п)а,
а(т \ ^- \п)а + Е„ а{т \~~\п)а =
да да
— ёт„ + Еп а(т\т~\п)а-
да да
(2622)
243
Лекция 26. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
flonara” в
(26-22) т * и, найдем (при отсутствии вырождения)
а(т I I ">а
_____да_____
Еп(а} - £т(«) ’
а{т I -Г I п>а
да
(26.23)
а при w
а{^\~
да
(26.24)
по параметру равна среднему значению про-
— теорема Паули (иногда приписываемая
WV* Интересуясь вероятностями перехода, рассмотрим случай опреде-
ленного начального состояния а® = <5,„; тогда с помощью (26.23) по-
е производная энергии
взводной гамильтониана
Инману - Хельману).
лучим из (26.21) для f i:
I — 10«(*')
----------—----------ехр
£,(а(/-)) - £/(«(<’))
flW(r) = - f dr
г
f dt" (Ei - Ef\:
— 00
(26.25)
Результат (26.25) очень напоминает обычную стационарную теорию
возмущений. Как и там, в случае близости каких-то уровней для неко-
торых моментов времени нужно находить правильные линейные ком-
бинации Нетрудно построить и высшие приближения адиабатической
теории возмущений.
Противоположным предельным случаем является внезапное вклю-
чение возмущения (время т изменения Н' мало, т « Пусть, на-
пример, возмущение Н' мгновенно включается в момент t = 0 и адиаба-
тически выключается при t -> °°. Из общей формулы (26.11) находим
аналогично (26.13)
Wfi М
dHf,®
dt
2
(26.26)
Поскольку производная — H'ffct) заметно отлична от нуля лишь в тече-
Ние
Измен0!50™0143 отРезка т вблизи t = 0, а е”^'' не успевает за это время
ться, то e"u/>' ~ 1, а оставшийся интеграл дает полный скачок
УТЦения, равный Н'^ (до t = 0 его не было), тогда получаем
(26.27)
^Десь
> конечно, возмущение считается слабым.
244
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотрим теперь более общий подход — теорию внеза
мущений, когда на величину возмущения ограничения не на НЬ1Х 8°3'
ются, а малым считается лишь время т. Пусть гамильтонианКЛЭДЬ1В®'
за короткое время испытывает изменение Н -» Н\, так что приТ*6*141
О юн вообще не зависит от времени. Введем полную систе Л
ционарных состояний | и) нового гамильтониана Яр СТа-
ян «)=£„!«> (262g)
и будем искать решение Ф(Г) в виде суперпозиции (26.6) состоя I
(26.28). При 0 < t < т полный гамильтониан отличен от конечного/7^
Я = Я, + Н'. (2б 29)
Система уравнений для амплитуд am(f) суперпозиции Ф(г) имеет вип
(26.7), откуда t
am(t) = ат(0) ~ - dt' Hmtl (f) е"0™' а„(Г). (26.30)
" о
В силу сделанных предположений Н' (/') 0 только при 0 < г < т,
со,„„г 1, так что е'"""' ~ I,
am(t) ~ ат^) df (26.30’,
” n о
Результат (26.30’) еще более упрощается, если кроме штпт «1 выпол-
няется и неравенство
«j (26.31)
й
(для слабых возмущений Ят„ « h(Dm„ такого условия не нужно). Это
означает, что интегральный член в (26.30’) мал, и можно пользоваться
последовательными приближениями. В нулевом порядке
Л) = аш(0).
(26.32)
При t = 0 вектор состояния
Ф(0) = X МО) I "’X ат(9) = {пг I Ф(0)>.
т
Вероятность перехода Ф(0) -> |/) равна согласно (26.32) и
Ч?)о = 1</|Ф(О))|2.
Следовательно, при мгновенном включении возмущения
функция Ф(0) не успевает измениться, и для нахождения веро
(26.33 >
(26 33)
(26.34)
волнов^
оетеИ
Лекция 26. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
245
надо просто найти содержание в ней различных новых ста-
перехода
состояний, т. е. разложить Ф(0) по собственным функциям
цйонарныл неизменности вектора состояния при быстром изменении
/у (факт
рI- льт0Ниана мы уже пользовались выше.)
я 26-1- Получить результат (26.34) из ранее рассмотренной обычной неста-
ЗяЯЯ.. те013ии возмущений, считая мгновенное возмущение слабым
цнонарно” г
Подставляя (26.32) в интегральный член (26.30'), легко найти по-
правки первого порядка:
а®(0 = аДО) - { ^>„(0) f dt' Нтп{Г) =
= (т | Ф(0)> - { fdr 2 (т | Й(Г) |«) {п | Ф(0)) = (26.35)
й о „
t
= {т I Ф(0)> -if dr {т IН(Г) I Ф(0)>,
й о
где использована полнота системы состояний (26.28). Из (26.35) веро-
ятность перехода в первом приближении
0 = | (/• | Ф(0)> - { f dr {f I Н(Г) I Ф(0)) I2. (26.36)
* о
Типичной ситуацией, когда применима теория мгновенных возму-
щений, является резкое воздействие на атомное ядро (/5-распад, „встря-
хивание“ — толчок со стороны внешней быстрой частицы — и т. д.).
При этом гамильтониан электронов претерпевает внезапное изменение,
так что стационарное состояние становится для нового поля нестацио-
нарным — пакетом (26.33), где, в частности, могут появиться и компо-
ненты, отвечающие непрерывному спектру. Таким образом, резкое воз-
действие на ядро может привести к ионизации атома (грубо говоря,
ЯДР° получает толчок, а электроны за ним не успевают).
'•т°янии,аЧа Пока3ать’ ЧТ° есЛИ В атоме водорода, находящемся в основном со-
°®рость ПР°ТОН в Результате внезапного толчка приобретает за очень малое время т
Ц то полная вероятность возбуждения и ионизации атома равна
(26.37)
*’ 132в, § 41, Задача 3]).
Литература; [15; 17; 22, § 44; 32в, § 40-41; 39].
Лекция 27. ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ
ВОЗМУЩЕНИИ
Рассмотрим наиболее часто встречающийся класс задач, в которых
система при t < 0 находится в определенном стационарном состоянии
| /), а при t > 0 на нее действует слабое периодическое возмущение
Н' (Г) = Н’ + Я'+ eia>t. (27.1)
В частном случае (D = 0 возмущение (27.1) является при / > 0 посто-
янным, однако здесь мы интересуемся развитием вектора состояния во
времени, так что постановка задачи отличается от имевшей место в
стационарной теории возмущений (см. лекцию 20).
Амплитуда перехода i -» f определяется по общей формуле (26.9),
где нижним пределом интеграла следует взять t = 0:
af(f) = -L f dt’ {H'fi ~ + (Н'+)п ё(ш<‘ + w)r} =
7 h о (27.2)
= ---------- J j _ - <u)f] _|&—[ j _ + ш)']_
Л(со fi — co) й(со ji + co)
Если частота поля си сильно отличается от ± &>/,, то амплшуда
перехода (27.2) мала для всех моментов времени. Существенной
может стать лишь при выполнении резонансных условий со ® ±
Очевидно, что эти условия выражают сохранение энергии: система
( Ef — Д z ____ у.л квант поля,
глощает I соff = ----= col или испускает (со/, — — к
переходя в конечное состояние | /). Как следует из соотношения н
ределенностей для энергии, энергия системы будет сохраняться
большей точностью, чем больший промежуток времени I пройд т
мента включения поля. часЮта
Поэтому рассмотрим амплитуду (27.2) при больших t, если сЛа-
о близка, например, к + a)fi- Тогда резонансным является п р
m ВРРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ 247
jleKWJfL?—-----------------“
L ?7 2) которое и даст основной вклад в амплитуду. В этих усло-
0еМ°пее(поятность перехода
В,1Я- Р ,2
IflrCO I2 ~ ~------2 4S’n2
1ЯД"1 (Ef - Е, - fao)2
Ef — Е, — fan
Th
Puc. 27.1
a поятность (27.3) изображена на рис. 27.1
еР (Ьункдия энергии конечного состояния,
п^симуме (при точном выполнении резо-
нансного условия £/ = £,- + М вероят-
сть растет пропорционально г, заметную
величину она имеет лишь внутри интервала
- й г вблизи резонанса (что, конечно, согла-
суется с соотношением неопределенностей).
Поэтому при больших t (много больше ха-
рактерных периодов системы Й/£) функция
(27.3) обладает свойствами d-функции. Площадь под кривой рис. 27.1
равна в этом пределе
— 00 Xе* f
(Ef — Е; — fall ) , _ f c;n2 „
/ = 4\Hfi |2 — f dx .
Th J ' Th x2
(27.4)
где матричный элемент | Hj |2 считался плавной функцией энергии Ef
по сравнению с функциями, резко меняющимися при больших Z, а пос-
ie вынесения матричного элемента за знак интеграла интегрирование
можно распространить на бесконечный интервал. Поскольку послед-
ний интеграл в (27.4) равен л, то
$ dEf\af(t)\2 = ^\H'fi\2 t.
(27.5)
Итак,
в виде
при больших t вероятность перехода может быть записана
I я/(о I2 = 7 и и'л I2 5 (£/ - Ei ~ (27.6)
^иениП0РЦИОНаЛЬНа вРемени> прошедшему с момента включения воз-
*‘7-6) и” ^Т0Т РезУльтат справедлив до тех пор, пока вероятность
Ге°Рни СТанет порядка единицы, что нарушит условия применимости
*Упой Л°3мУЩений. Однако в силу малости энергии возмущения фор-
•о) можно пользоваться при достаточно больших временах.
248
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Если матричный элемент Ну, прямого перехода i -> f мад
но брать более точное выражение (26.9'). Оставляя в гамильТ°
(27.1) лишь резонансный член (to ~ (Oft), получим и
t г
f df f dt" H’f^r)H'si(t") eia>fie + =
о 0
= H'fs Hsi f dt' - °* J dr' e'^' - "У = ,, J
0 0 ' •*)
_ HfsHsi Г & rei(W/, - toy _ ei(toyj - toy-]
i(a)si - <o) Jo
Легко видеть, что только первый член в квадратных скобках (27 Г)
приводит к существенному резонансному вкладу. Пренебрегая нерезо-
нансным вторым слагаемым, найдем вместо (27.3)
1*у(')12 =
[ Ef — — tu»
4 sin2 -------
\ 2П
(Ef — Ej — Йо>)2
2
. (27.3')
Видно, что, как и в стационарной теории возмущений (20.14), второе
приближение приводит к замене матричного элемента прямого пере-
хода на эффективный матричный элемент двухступенчатого перехода
через виртуальное состояние s. С учетом такой замены формула (27.6)
сохранит свой вид.
Согласно (27.6) можно характеризовать процесс вероятностью пе-
рехода в единицу времени (для ансамбля систем — числом переходов в
единицу времени)
Wfi = । H'fi I2 ^Ef ~ Е‘ ~ (27 ?1
Отметим, что выбор t = 0 в качестве момента включения возму
щения, конечно, не нарушает общности. Результат (27.7) легко палу^
чить из общей формулы (26.9), подставляя гамильтониан (27.1), в к
ром теперь момент включения отнесен к t -> — °0, и интегрируя-
аДоо) = - ± 2л [H'fi д(а) - a)fi) + (H'+)fi d(w + «7,)] в
Считая со > 0 и оставляя только резонансный для рассматрива
процесса член (например, первый), найдем
772 .V /27-9)
wfi = \H'fi |26(со - (Dfi) lim $ dte,(lu ’
Й Т -* °° _т/2
27 ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ 249
" пний интеграл записан вместо 2m5((W — (Оf,). Переписывая
пе послед
,7 о) в виде
*fi = * \Н fi । “ Ef + (27.9')
1
I ^иМ что вероятность перехода в единицу времени — wp, совпадает
Г ? Однако этот вывод слишком формален и не вскрывает ряда
важных физических аспектов.
Обычно представляет интерес переход в состояния | f), принадле-
жащие непрерывному спектру и описываемые набором квантовых чи-
сел Vf (среди которых есть и энергия £у). Тогда имеет смысл лишь
плотность вероятности перехода за 1 с в бесконечно малый интервал
спектра, содержащий состояния с квантовыми числами от v f до v f +
dqfi = ^\ Hfi |2 \Ef - Ei - tuo)dvf.
n
Если состояние |/) полностью характеризуется энергией, то dv f =
= dEf, и полная вероятность перехода i -» f равна
иу, = f dwfl. = f dE | H'fi |2 \Ef - £, - to) = ^ | H'fi |2. (27.10')
(27.10)
В большинстве случаев, однако, состояния непрерывного спектра вы-
рождены (например, по направлению импульса pf). Введем поэтому
плотность конечных состояний pf на единичный интервал энергий,
выделив из dvf дифференциал энергии dEf,
dvf = pfdEf. (27.11)
Подставляя (27.9) в (27.8) и интегрируя по энергии, получим
dwfi = ^\H'fi? pf, (27.12)
п
энергии
еще со-
элемент
1с вер ол г
Е - к величины с индексом f берутся при значении
дерЖи ' + а Дифференциал dw пишется потому, что ру
тедеснТ ДнФФЧ’евдиалы других переменных из v f (например,
УГЛа dof, куда направлен конечный импульс частицы). Фор-
’ 12) дает так называемое золотое правило Ферми.
Непреп е ВЬ1Ражсние для ру зависит от нормировки состояний |/)
от перемВН0Г° спектРа (они должны быть нормированы на д-функцию
f (27 v f-> произведением дифференциалов которых является
)) Часто удобно бывает использовать нормировку в „ящике“
250
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
объемом V (см. лекцию 19), когда координатная волновая фун
бодной частицы есть К1(Ия сВо.
<f|*)=Wr)=^e*. (n|j)
волновые векторы к имеют дискретный спектр, переходящий в
рывный при V -» оо (19.4). Функции (27.13) нормированы условием^'
{к' \к)= f dr фЦг) ф-к(г) = дГк„ (27 n,(
а плотность конечных состояний в интервале dkx dky dkz = к2 dk do
= dk определяется из формулы
dv f = —dkf = —^-7 k2f dkf do.
J (2лу J (2л:)3 7 7
ft2 к
Поскольку в непрерывном спектре Е =-----------, dE = — dk,
2т т
dv f = V n -3- kr do dEf,
7 (2л:)3 h2 7 7
у mkf у
Pf =------=-------7 —7- do =--------7 mpf do.
7 dEf (2л:)3 Й2 (2л:Й)3 7
ТО
(27.14,
(27.14'1
(27.14"!
Величина (27.14) есть число „клеток“ (см. лекцию 7) в фазовом прост-
ранстве вылетающей частицы ((f dr) dpIQnti)3 = V dp/(2xh)3) и ча
то называется фазовым объемом.
Задача 27-1. Вычислить плотность конечных состояний:
1) Для релятивистской вылетающей частицы.
Решение. Е2 = т2с^ + f^c2, pdp = —— = — dE,
с2 v
/7С2
V =----
E
2
(2л:Й)3 7 dEf (2лЛ) Vf
при v «с (27.15) совпадает с (27.14);
2) Для излучения или рассеяния фотона определенной поляризации.
Решение. Е = Лш = Лек;
(2л)3 7 dEf (2лУ Лс3
скорость,
(27.151
1Я
' 27 ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ 251
есует вероятность излучения данной частоты (о независимо от поляриза-
ции яаС И сложить вероятности (конечно, не амплитуды, так как здесь нет интерфе-
ИНИ, то наД°пуСкания фотонов с данным волновым вектором к и поляризациями
ренции!) матричный элемент \Hfj |2 не зависит от поляризации, то результат
умножению р f (27.15') на 2; аналогично для вылета частицы со спином я:
своД1ГГСЯ к „ый элемент не зависит от конечной проекции спина, полная вероятность
если натр ^^я плотностью состояний (27.15) или (27.14"), умноженной на
p-’pZlS') переходит в (27.15) при v -* с;
3) Для эффекта Комптона (рис. 27.2).
енИе. В системе координат, где волна частоты сод падала на покоящуюся час-
liv массы т, фотон, рассеянный на угол 0, имеет частоту (1.3)
ш = —-----------------
1 + 0 - COS0)
т<г
(27.16)
из-за отдачи частицы ______________
Ef = tuo+ Е^ =tia>+ yPf) е2 + от2с4 =
= Йа> + ^^(Ар + Л2 — 2kQk cos0) + zn2c4;
Л ь K(O-O)QCOS0)
dEf — dk • Йс 1 +--------
№
йо>о(1 ~ COS0)+отс2 <и0 тс2
= dk • he-------тт-------— dk ' Tic--сс- ,
Е&
(27.17)
£$е)
V кг dk
Де)
V О) ,
Pf =------Г---------do =------------------- do,
(2л:)3 dEf (2л) <uq mc2
Че m(2. — элемент телесного угла, куда направлен волновой
к рассеянного фотона (направление вылета электрона однозначно определяется
«“нами сохранения);
4) Для рассеяния электронов друг на друге (рис. 27.3).
Решение. В системе центра масс P\= — Pi=p,P\= — pi=lf, по величине
I? I - р (упругое рассеяние), Е\ = Е2 = Е‘ = Е2 = Е, поэтому достаточно сле-
t М 0,чним из конечных электронов, но Ef= IE, из (27.15)
1 V РЕ
Р f =---------Т do-,
J 2 (2лй)3 с2
Не Излучает)ПО^г'<ОЗ,/Ого изпУчения заряженной частицы в поле ядра (свободная частица
(27.18)
Рис. 27.4
Рис. 27.5
Решение. Ядро считаем бесконечно тяжелым, импульс электрона не сохраняется
Ef = Е + tiw = Eq (рис. 27.4), к и р независимы, при данной частоте ш dEj -dE,
у рЕ , Vk2 dk
Р f ч “° е Ч- »
(2лЛ)3 с2 (2л:)3
(27.19
6) Для образования электронно-позитронной пары фотоном с эиершен
Jia> > 2тсг в поле ядра.
Решение. В отсутствие ядра это запрещено законами сохранения, ядро принимит
лишний импульс, процесс аналогичен тормозному излучению 5, но фотон —
начальный, а не конечный, а начальный электрон заменен позитроном (рнс. I -I
в пренебрежении энергией отдачи ря/(2Л7я) тяжелого ядра и при фиксированной энер-
гии Е+ dEf = dE-
dE+dE-
P f = P+P-------= P+P- (IE+
dE/
_ P+E+ P-E- Vdo+ Vdo- dE+.
с2 с2 (2л7;)3 (2лк)3
(27-”
e+(f+.p+)
Puc. 27.6
e (E ,p )
7) для двухквантовой аннигиляции электр
позитронной пары (рис. 27.6).
Решение. Одноквантовая аннигиляция ®°исТ{ИС
лишь в поле ядра — процесс, обратный
центра масс р+ + р- = О, Е+ = Е-- paeHJ^
получат одинаковую энергию с, _ t2’ _
Е; 1ц + k2= 0, Ef = 2fick, k = |M I =
y, (£,.»*,)
(27.21)
27 ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ 253
пеки^—-—~~
у к2 den
Pf =-----т--------
(2л)3 2hc
27-2. Показать, что при ^-распаде ядра (ядро (A, Z), состоящее из Z прото-
ЗаД**^ _ 2 дейтронов, переходит в ядро (A, Z + 1) с вылетом электрона и элект-
„эв *' "ггинейтрино или в ядро (A, Z - 1) с вылетом позитрона и электронного нейт-
рон110*10 а' етаческий спектр электронов (или позитронов) в пренебрежении кулонов-
°) Э*1е,Э ялоа и массой нейтрино (антинейтрино) имеет вид
.щм поле __________
dN = const • | Яр |2 (Е - Ее)2ЕеУ1Е2 - mec2 dEe, (27.22)
г___энергия электрона; E — полная энергия, выделенная в распаде. Как скажется
гдс trе (27.22) кулоновское поле в случаях электронного и позитронного распадов?
СП' был бы спектр при ненулевой массе нейтрино?
Литература: [22, § 44; 32в, § 42, 43; 47, вып. 8, гл. 7; 48, гл. 4].
Лекция 28. РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Применим общие результаты лекции 27 к важной задаче о взаи
модействии пучка быстрых заряженных частиц с системой зарядов col
средоточенных в конечном объеме (ядро, атом, молекула). Падающий
поток (волновой пакет) после взаимодействия отклоняется от перво-
начального направления. Система зарядов может при этом остаться в
исходном состоянии (упругое рассеяние), тогда в системе центра масс
процесс сводится к повороту относительного импульса, кинетическая
энергия относительного движения сохраняется. При неупругом рассея-
нии меняется состояние системы зарядов (рассеивателя) и соответст-
венно изменяется энергия относительного движения (уменьшается, ес-
ли рассеиватель сначала находился в основном состоянии). Если па-
дающая частица имеет внутренние степени свободы, то и ее состояние
может изменяться при взаимодействии; в релятивистском случае могут
рождаться новые частицы.
Рассмотрим нерелятивистскую задачу, когда потенциал взаимо-
действия падающей частицы (г, заряд ео) с системой зарядов (rfl,
можно считать чисто кулоновским
» = е^г) = « 2 -Л- <28"
a I'-fcl
Интуитивно ясно, что для достаточно быстрых частиц (со скорость
много большей характерных скоростей зарядов системы) вероя J
рассеяния должна быть достаточно малой — слишком мало „эфф
ное время взаимодействия". Поэтому воспользуемся развитой
ции 27 формой теории возмущений. , Ца-
Невозмущенное начальное состояние системы обозначим р (.до
чальный волновой пакет частицы характеризуется импульсом
столкновения"), нас интересует вероятность dwp обнаруже сИс-
щего волнового пакета с импульсом р в телесном угле do, пр Пра^И
тема зарядов останется в состоянии |/). Согласно „золотому
Лекция 28. РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 255
Г ZZiffmoerb (если состояние I /) принадлежит дискретному
, ю) эта
Vffl-y) ₽ав
= + <282>
__ _2/(2w), £f = — начальная и конечная энергии отно-
г.1е£< '? движения (т — приведенная масса); £/, Ef— энергии соот-
У6111, шИХ стационарных состояний системы зарядов.
‘^Вычисляя плотность конечных состояний согласно (27.14") и ин-
тегрируя по энергии Ef, получим
= V I H'fi I2 do.
torn*
(28.3)
Пользуясь нормировкой (27.13) волновой функции частицы в объеме V,
находим „ _
Н'л = Р \Н \ i‘, р)= f dr <pp(f) {f \H'\i) ipp(r) =
. , (28-4)
I =jfdr^{p-p}r(f\H'\i),
где {[ | H' | z) — матричный элемент взаимодействия (28.1), взятый по
метояниям системы зарядов и зависящий еще от координат г рассеи-
мемой частицы. Введем вектор
Я = ; (Р “ Р') = к - к', (28.5)
й
определяющий импульс, переданный рассеивателю. Тогда матричный
лемент перехода (28.4) есть фурье-гармоника амплитуды перехода
у 17/ | z), отвечающая волновому вектору q.
Из (28.1) и (28.4) получаем
= 7 </ I Sdf^q^f) |z) = (/• |z). (28.6)
Е^ий в (28.6) фурье-образ <pq потенциала <р(г) легко выразить в
Действ ВИДе чеРез плотность заряда, создающего этот потенциал.
Г ельно, потенциал у>(г) удовлетворяет уравнению Пуассона
V2y>(r) = - 4тгр(г), (28.7)
Ptf) = 2 е^> (г ~ F«)-
(28.8)
256
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Переходя в (28.7) и (28.8) к фурье-компонентам, найдем
<Pq = ^2 Рч’ Рч = ^еа = ze
я а „Ze (28.9)
где Ze = J р dr — полный заряд системы. Удобно ввести
отвечающий переходу i -* f :
Ф^фак^
зд-)=^<г|^10 = ^</|2=-^,), а,(11
тогда из (28.6)
тт' _ 4тг ^0 /г । _ I а _ InZepe
Hf‘ q1 v<J\Pq\4 у^2 FM- (28.Ц,
Подставляя (28.11) в (28.3), выражаем через формфактор вероятность
перехода
AZ^e2 p'nj -
(fyi = \Ffi^ । d°-
(28.12
Сама по себе вероятность (28.12) не годится для сравнения с экая
риментом Наблюдаемой величиной является эффективное диффер.
циальное сечение рассеяния [32в, § 18], которое дается отношением
числа частиц, рассеянных за единицу времени в детектор, расположен-
ный под данным углом, к плотности падающего потока. Если интен-
сивность исходного потока равна N частицам в единицу времени, т<
скорость счета детектируемых частиц есть Ndwfj. Плотность ладя-
щего потока равна (N/V)v, где v = pirn — начальная относительная
скорость. Поэтому дифференциальное сечение
da., _ _
' N р
V т
V - dwfl.
Р
(28. В'
Из (28.4) (28.12) и (28.13)
2 '
da f> = тЬ ~\Sdf IH' I i) I2 do,
(28-14'
do^0H =
I \2
(28 I4 '
Как и должно быть, ответ не зависит от нормировочного
объема К
257
„ ,ия 28 РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
J]6КЦ*1*1 ___---- .. .1 ' —1
мотрИМ сначала упругое рассеяние (jl = р, i = f, Ffi = F).
В этом сл [ае 0
q2 = (к — к' )2 — 2А2 — 2к2 cos 0 = 4£2 sin2 — , (28.15)
vtoji между начальным и конечным относительными импуль-
Т т рассеяния). Согласно (28.14') сечение упругого рассеяния
_ами
/ \2
Ы = рМ |F(£)|2 =
2
I |^(?)|2,
mZe^e
2h2k2 sin2 0/2
\ДО/уПр \ V / \ /
вводя энергию £ = р2/(2лг) и резерфордовское сечение рассеяния
[32а, § 19] на точечном заряде Ze
/ \ \2
1
рез
sin4 в / 2 ’
(28.16)
найдем
I -Щ?)12-
рез
(28.17)
(28.18)
уПр
Легко понять смысл статистического формфактора F(q). Пусть,
например, Z частиц с зарядом е движутся в некотором объеме. Тогда
F{q) = ~(p<i)=
Ze Ze
Рассмотрим (рис. 28.1) интерференцию волн, испытавших рассеяние
на элементе объема dr с координатой г и на элементе объема вблизи
начала^ координат. Как видно из рисунка, разность фаз этих волн равна
= к'г = qf. Интенсивность рассеяния на элементе dr пропорцио-
•йльна плотности заряда {р(г)) в этом элементе объема. Поэтому форм-
фактор F(qy естъ ПрОСТО Сумма волн, рассеявшихся на данный угол
Разных точках объема, с учетом их относительных фаз.
'о( заряду отвечало бы
*> =
ивает 7ри‘ ° Этом пРеДелс заряд рассе-
По Как Целое. Если заряд „размазан"
никае ТОромУ объему, то неизбежно воз-
ЧеНиеТ ИнтеРФсРснция, |F(^) | < 1, и се-
яенкще^иР^701^0 рассеяния оказывается
РезеРфордовского. Таким обра-
к'
кг
Рис. 28.1
258
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
зом, измеряя сечение (do/do)ynp, можно получить данные о п
нии заряда по объему системы. спРеДеда
Из определения формфактора следует
F(0) = 1.
<28.18j
Предел q 0 отвечает углу рассеяния 0 -» 0, т. е., в термин J.
сической механики, рассеянию с большим прицельным пап Клас'
При таком далеком пролете частица не попадает внутрь объема
тому она чувствует лишь суммарное поле системы, ее полный ' П0>
Естественно, что при этом в силу (28.18') сечение рассеяния совп^'
с (doldo)^. Следующие члены разложения F(q) по степеням а
уже некоторую грубую информацию о распределении заряда в систем1
Пусть, например, плотность (p(F)) = р(г), т. е. обладает сферической
симметрией. Тогда при малых q с 1/R, где R — размер системы
F(q) = — f г2 dr р(г)2л j е"7”/ dq = — J dr r2p(r) =
7e -I Ze 4r (28.19)
== у f dr r2p(r) (1 - q2rA = 1 ~ ; q2(r2),
Ze \ 6 / 6
где введен среднеквадратичный радиус заряда
О'2) = ТГ f dr Р(ГУ2- (28.19')
Ze
При qR » 1 величина е"/г многократно осциллирует на размерах
системы, так что для любого гладкого распределения заряда р^г} вкла-
ды различных областей в сильной степени гасятся и формфактор
уменьшается, 0 (28.201
Ясно, что при больших q вклад в интеграл F(q) вносят самые малые
значения г, лежащие в пределах одной длины волны \/q и поэтому
дающие конструктивную интерференцию. Таким образом, нсследова
ние рассеяния с большими переданными импульсами (малые пршК
ные расстояния) дает информацию о самых внутренних областях
темы Но при плавной функции р(г) на таких малых расстояниях Р®-
с- л г, I -» 0 Тольке
положена ничтожная доля заряда, поэтому г -» О и J и-
если в распределении заряда на малых расстояниях есть особенно^
(например, типа твердой сердцевины), (28.20) не будет выпо
Так, мы уже видели, что для точечного заряда F(q) = 1 ДЛЯ.В^1це»-
Если распределение заряда р(г) не обладает сферической
рией. то р(Г а значит, и формфактор F(q) зависят от направле
259
Лекция 28 РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
анализа удобно тогда воспользоваться разложением плоской
ра Ч сферическим функциям (В.ЗО):
Ь е'’? = 2 + ОЛС^У^соз qr) =
L = 0
00 l-
(28.21)
L = 0 M = -L™ 'Ч/
— -Z- J/+ i/2 (qr) •— сферическая функция Бесселя, имею-
W
где
щая при qr < 1 асимптотику (В. 16), (В.23):
, =________(У)А________= (у/
М<7Г) 1-3-5-.. -(2L+1) (2£ + 1)!!
(28.22)
фурьс-компонента плотности
pq = f dr ег^р (r) = J j- УдД| Pt-M(q),
LM
Ч
(28.23)
Я/
РиЛя) = f dr jL(qr)YLM - р (г).
\г/
Величины PuAq) при малых q < — в силу (28.22) пропорциональны
R
статическим мультипольпым моментам системы (17.24):
= qL о
(2L + I)!! ^LM V 4л:
Таким образом, измерение угловой зависимости формфактора F(q)
воляет получить ценную информацию о высших мультипольных
е*1тах системы. Их вклад в рассеяние растет с ростом q.
в ег Рассеянии электрона на нейтральном атоме на электрон дейст-
* Р ,суммаРное поле ядра заряда 2 и Z атомных электронов, р(г) =
Рпиов г + Pdd'}- При нерелятивистских энергиях рассеиваемых элект-
Шцкцр 0Т0РЫе мы только и рассматриваем) qRK 1, поэтому ядро
1,1 ял Считать точечным (F(q) = 1). Полный формфактор складывается
Г еРпого и электронного:
(28.23')
(28.24)
2L + 1
^ат(?) = 1 “
(28.25)
260
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
поэтому сечение упругого рассеяния быстрого электрона
равно ''
(—) = (—) 11 - Fe(q) |2.
Wo/ynp '^°'рез
На атоме
(28.261
Для близких пролетов (большие переданные импульсы) qR
в силу (28.20) Fe(q) 0, рассеяние совпадает с резерфордовским^ I
сеянием на ядре (внешняя частица проходит ближе к ядру чем Рас’
положены атомные электроны, и поле последних несущёст ^C'
На больших расстояниях qRm « 1, из (28.18') следует F^"f\
(do/do)ynp 0, частица проходит далеко, поле ядра полностью экпя ’
руется атомными электронами. ни’
Итак, экранировка существенна при qRaT ~ kRa[ sin - < 1. Однако
наше рассмотрение по теории возмущений пригодно лишь для быст-
рых электронов (v > vm, ti2k2/m > h2/(mR2T), т. e. kRaT > 1). Поэтому
для малых углов рассеяния (0 S 1/(А/?ат)) всегда надо учитывать экра-
нировку, в результате чего сечение рассеяния на малые углы становит-
ся, в отличие от резерфордовского, конечным.
Рассмотрим теперь неупругое рассеяние быстрых электронов на
атоме (атом испытывает возбуждение i /). В формулу (28.14') следу-
ет подставить
= “Г </ I pf ~ pf I i)-
eZ
Однако для нерелятивистских электронов ядро можно считать
точечным, pf = Ze, и этот член не может вызвать переходов i -* f (яс-
(я) р
но, что оператор р- действует лишь на ядерные переменные, т. е.
отвечает возбуждению внутренних степеней свободы ядра, однако
у нерелятивистского электрона не хватает для этого энергии, и следует
учитывать возбуждения только электронных оболочек атома). Оконча
тельно
(\2 z
& (28Г|
q ) р а = ]
Сложный атом можно в хорошем приближении опиСЬ1ВаТЬлеН1!ые
чечиой моделью, когда электроны независимо занимают опРеДе^пьНых
состояния в самосогласованном (среднем) поле ядра и ост
электронов (см. лекцию 55). Оператор ^е'^" состоит из / слаг
° и мо*61
каждое из которых действует на переменные одного электрона
261
Лекция 28. РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
дощГеговолновую функцию. Поэтому состояние | /) в ос-
>3мениТЬтЛ11чается от | i ) только тем, что один из электронов переведен
ковн°м 0 оболочку, а прежнее его состояние пусто („дырка"), — это
,чцОе возбуждение. Более сложные возбуждения, связанные
c“*l04flC нием движения нескольких электронов, могут возникнуть
с ^^из-за прямых межэлектронных корреляций, не учтенных в сред-
*’ЛЬп°оле, « менее веР°ятны-
*** Для неупругого рассеяния вместо (28.15) имеем
q2 = к2 + к2 _ 2кк cos в.
(28.28)
1^йНИмальные переданные импульсы связаны с малыми углами рас-
СеЯННЯ ‘ _ Ар ~ А* = Ef~E‘ .
к к Л hv hv '
(28.29)
оценивая энергию возбуждения Ef - Е, по соотношению
ценности, находим
_ wvjr ~ £ат ~ _L « 1
qmm Hv v h v Rm Rm
неопредe-
(28.29')
в силу условия применимости теории возмущений. С другой стороны,
9 max ~ к + к ~ 2к > ,
«ат
(28.30)
т е. параметр qRat меняется в очень широких пределах.
При малых qRai находим, раскладывая экспоненту в (28.27),
, / \2 , \
f.
do \*2q2) р
ИЛИ’ ВВОДЯ дипольный момент d = е ^га,
а
2
(28.31')
dafi
do
'Но
матг)ХНаЧает’ что наиболее вероятны дипольные переходы с большими
ними элементами dft. Мы увидим (в лекции 30), что именно эти
С рОс 1 flaiOT и наиболее интенсивное оптическое излучение атома.
| гг м 9 Увеличивается роль переходов высшей мультиполыюсти.
И 9^ат 1 экспонента в (28.27) сильно осциллирует. Сечение
£'’ЛВоваяа^ 3аметнУю величину, только если в конечном состоянии
Функция одного из электронов такова, что может погасить эту
262
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
экспоненту. Это означает, что один из электронов можно оп
кой волной с импульсом, близким к q. Приближенно выполн^ Пл°с-
кон сохранения импульса, внешняя частица почти весь импуЛ1 ЯСТСЯ За-
ет одному электрону, переводя его в непрерывный спектр (ll0 От^'
атома). Этот случай похож на классический удар падающей '1ЦЗа^Ц11
массы то с электроном; импульс, приобретаемый ядром, мал
мальный переданный импульс при таком классическом столки
равен J hl)Bc|inn
. 2m0mc J 2wt, V, mo >> me,
^max = = ------- V = j
mo + me ( me v, mo = me.
(28.30',
равна и
Оценим потери энергии быстрой заряженной частицы на возб
Денис и ионизацию атомов среды. Если плотность вещества равна
атомов в единице объема, то на длине пути dx частицы среднее чис-"
столкновений с переходом атома i f равно по fidx где
о /, = f do (do f jldo) — полное сечение данного процесса с рассеянием
частицы на любой угол. В каждом таком акте быстрая частица псредаег
атому энергию е — d = Ef — Е,. Потери энергии на единицу длины
пути даются суммой по всем возможным процессам i -* f:
j = - "(£/ - е,у,
(28.32,
de
dx
/
2 Z
| 7 К/' I 2 10 I2. (28.32'»
k 0 = 1
В (28.32') удобно перейти от интегрирования по углу рассеяния Ь
к интегрированию по q. Из (28.28)
1.< 2т? dq
q clq = кк' sin 0 dO, — do = 2л — sin 0 elf) = 12 “
к к *
(28.??)
Подставляя (28.33) в (29.32') и вводя v = — , найдем
т
(28-u>
2
а = 1
осла*'
E,dT $IVI 2
Vmin
Вычисление суммы по конечным состояниям в (28.34) сильно
няется тем, что в силу законов сохранения сами пределы ин L oUJyiP
ния qmm и е/1Пах зависят от конечного состояния f Однако ^че1)1(я
оценку можно получить, заменив их на некоторые средние
91П1п> ?тах- Тогда
Лекция 28 РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 263
)2 ^Zniax I JL.
J 4 5М - *«) I « I 2 I') I2- (28.34')
? / « = 1
|Д
К по f вычисляется точно по (12.57) и равна 27i2<72/(2/ne), где
Р* й номер вещества (число электронов в атоме). Интегрируя
7 атомны г
' . получаем _
- 4яи/ -фу In .
Jx тпе V <7min
(28.35)
результат оправдывает сделанную в (28.34') аппроксимацию, так
^зависимость от пределов интегрирования q получилась слабой
К^фмической). Формула (28.35) не содержит явно Й и по существу
вляетея классической. Ее нетрудно получить в рамках классической
Электродинамики [48, гл. 2, § 1]. Однако квантовые соображения долж-
ны приниматься во внимание при выборе величин q.
Согласно оценкам (28.30) для существенных переходов hqmax ~
~ n^v (это отвечает минимальному прицельному параметру /?ГП|П ~
~ ~ Ы(тс и) порядка длины волны де Бройля электрона в сис-
еме координат, связанной с падающей частицей; очевидно, что только
при этом условии может быть справедлив классический результат
1Й 35)). Из (28.29) /S/min ~ E/v, гДе Е — некая усредненная энергия
порядка энергии связи электрона в атоме. Эта оценка даег максималь-
нее прицельные расстояния femax ~ (^ппп У1 ~ (<й/ 17)~1, где со — харак-
.‘рная атомная частота. Ясно, что при b > о/щ „эффективное" время
аимодействия т ~ b/v становится больше атомных периодов со-1.
I 1 ia внешняя частица оказывает адиабатическое воздействие (см. лек-
п'Ю 26), и вероятность возбуждения атома мала. С учетом этих сооб-
I эжешш
dx mcvz Е
(28.36)
1а видно, что потери энергии зависят лишь от скорости, но не от
** сы /«о падающей частицы. От массы будет зависеть средний угол
"^кратного рассеяния частицы в среде (он растет с уменьшением
В реальных случаях следует учитывать релятивистские поправки,
ярчзацшо среды частицей, а для рассеяния электрона — также
Pq. "1Ыс эффекты (см. лекции 52, 55). Кроме того, с энергией растет
гДРУгого механизма потерь энергии частицы — тормозного излу-
р.. П°Ле ядРа- Квантовая электродинамика дает оценку отношения
Иц. „ Pe,I|ibix выще ионизационных потерь и потерь на тормозное
' 'ен,1е W МэВ)
264
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(dE / ^у)изл ___ £М * %
(de / <^*)ион 800
(28.3’,
Рис. 28.2
При энергиях частицы в несколько де
ков мегаэлектрон-вольт сущесгвеншМ
становятся уже процессы возбужден1]
внутренних степеней свободы ядер.
Задача 28-1. Получить формулу (28.36), СЧи
тая, что быстрая частица движется по квазицлас"
сической траектории R(t) (рис. 28.2) достаточно да
леко от систем (типичная ситуация при кулонов-
ском возбуждении ядер многозарядными '
Решение. В системе, связанной
действует переменное поле
ионами).
с атомом,
Z
Н'^еое
а - 1
1
1% - Л(Г) | ’
(283?)
которое удобно представить в виде разложения по полиномам Лежандра
I = 0 а = 1
[ДО/ + 1
/) (cos (го • «(/))).
(28.38)
Первое приближение нестационарной теории возмущений дает амплитуду
00 00 Z
af = “ 7 X / dt \ </ I У raPl (cos (ro R(t))) |i>.
b /=0-00 Л (0 a = 1
перехода
(28.39)
Если траектория R(t) достаточно далека, то мультипольное разложение (28.38) быстро
сходится, и в (28.39) надо учесть лишь наинизшие значения /. Монопольный член (I- '
не.дает вклада в неупругое рассеяние из-за ортогональности состояний | i) и | /)- Основ-
ной член — дипольный (I = f), тогда амплитуда перехода
Z
</i X
a - I
af =
- вое f dt
eio)Pl
R2(t)
R(i)
(28 3°
Направляя оси x и z, как на рис. 28.2, имеем
га • = ха sin 6(t) + za cos 6(t\
R(t)
Если атом в состоянии | /) имеет сферическое распределение iaP ™
то вдоль траектории сохраняется момент частицы L —
Mr2 = dei(bv\
ПпШИЯ 28. РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
265
. ОД
af{b) fde е/а>Л'(е)[(б4)// sin 6 + cos 0]’ (28-40)
дипольный момент системы, 0(b) — классический угол рассея-
1,6 и данном прицельном расстоянии Ь. Как видно из (28.39'), наи-
ьйЯ пР‘’ушесТвенНый вклад в вероятность возбуждения дают участки
с минимальным расстоянием R ~ Ь, но R ~ Jb2 + v2t2,
траектории
отсчитывать t от момента наибольшего сближения. Поэтому эф-
фекгивное время взаимодействия т ~ b/v. Если т то экспонента
вает менять знак за время т, и амплитуда стремится к нулю (адиа-
батическое воздействие, в согласии с (26.12)). Если же т < то,
заменяя экспоненту в (28.40) единицей и интегрируя, найдем
Д/(/>) “ - 77 t- №)//(! + cosfl(£)) + (dz)fi • sin 0(6)].
J nvb
Пренебрегая редкими столкновениями с сильными отклонениями,
можно считать 0(b) малым, тогда
af(b) ~ 77 №)/'• (28-41)
bvb
Аналогично (28.32), средняя потеря энергии при столкновениях с дан-
ным параметром удара b равна
И,=~• Si г- (£/ - ел=- -rL п Si<«/, р (£/ - ел.
О f п V I у
или, пользуясь дипольным правилом сумм (12.56),
(de} TZ^e2 i
- — = - П----г---у ;
\dx) /, mv Ъ
чаконец, интегрируя по всем прицельным параметрам,
- * = - fdb?jTb{^\,
dx \dx) 5
"<1П^Им Результат (28.36).
ИтеРагура: [3, § 82; 7, гл. 15; 11; 20; 32в, § 135, 139, 148, 149].
Лекция 29. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ
И ИЗЛУЧЕНИЯ СВЕТА
В лекции 24 рассматривалось влияние заряженных частиц на I
тему постоянного электрического поля заряженных частиц (сгатичес
кая поляризация). Переменное поле может передавать свою энергию
системе (поглощение света), возбуждая ее. Это же поле может отбирать
от системы энергию {индуцированное, или вынужденное, излучение
Действительно, общие формулы теории нестационарных возмущений
(см. лекцию 26) дают амплитуды процессов i -» f и f i;
af^ = -j f dt Hfi{t)
f = -LJ dt H^t)^1.
Учитывая равенство (Ofj = — (i)tf и эрмитовость гамильтониана
{H'fi = {H'if)*), находим
откуда следует, что вероятности прямого и обратного переходов отли-
чаются только плотностями конечных состояний {принцип детален
равновесия, лекция 50). Наблюдаемые интенсивности процессов пог"
щения света и стимулированного излучения будут, конечно, Р33"^
ными, несмотря на равенство вероятностей, — просто из-за того,
число переходов i -» f и f -> i определяется числом атомов, им
ся первоначально в состояниях | i) и | /). В системе, находящейся
ловом равновесии, всегда заселенность более высокого энергет
уровня (скажем, |/)) меньше, чем более низкого (] i)),
= e-(Ef-Ed/T
Ki
Поэтому в обычных условиях поглощение света {i -> f)
дать над индуцированным испусканием.
П0Г1у|<ЛАССИЧЕСКАЯТЕОРИЯГ1ОГЛОЩЕНИЯИИЗЛУЧЕНИЯСВЕТА 267
пим вероятность элементарного акта поглощения или инду-
ВЫчИ го испускания света при взаимодействии квантовой системы
цировани элеКТрОМагнитным полем. Рассмотрим сначала полуклас-
^е^Ц^еориЮ, в которой внешнее поле считается неквантованным
•’’^^вается классическими уравнениями Максвелла. Это означает,
и опис ПредСтавляет собой заданную функцию координат и времени
что достаточно большую интенсивность, чтобы можно было пре-
и иМе6^ обратным влиянием системы на поле — изменением поля в ре-
поглощения или испускания одного кванта. Будем, однако,
1>льТ ь поле не настолько сильным, чтобы понадобилось учитывать
41 этичный по член в гамильтониане (18.4') взаимодействия сис-
|дад полем. Пользуясь калибровкой tp = 0, div ой/ = 0, запишем воз-
TCMbi v
лущение в виде
Я' (0 = - 2 — ^(ra, t) ра. (29.3)
а тас
Представим векторный потенциал ос/(г, /) падающей волны в виде
суперпозиции фурье-гармоник
~ ,ш' + к с-}>
(29.4)
це ёрк — вектор поляризации Л; к • е = 0, к = — . Если мы интере-
суемся данным переходом системы i -> f, то, согласно „золотому пра-
вилу", сработает лишь резонансная гармоника chat = Ef — Е, =
Обратный переход f -> i описывается тогда комплексно-сопряженным
кс.) членом в (29.4). Таким образом, вероятность поглощения света
частоты (л атомной системой равна (в единицу времени)
Wf'1 = I X (f I е‘кг“ёЕк ' Ad О I2 I I2 (29-5)
Интенсивность падающей волны | |2 удобно выразить через сред-
Г СЛо фотонов с импульсом hk и поляризацией Л. Электричес-
е и магнитное поля волны (29.4) равны
^ = _ 1 g - «ot _ к cд (29.6)
C dt с
~ rot А = i [Л х ёдд] {оя^ие'*'' ~ ,ш‘ — к.с.}, (29.6')
®Постол
1 'слей о Ку В ПЛОСк°й волне амплитуды электрического и магнитного
ЧИНаковы, то энергия волны
268
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
^(|? |2 + |й/?|2) = ^|-|о^|2 = йщ.й.
оТГ 27ГСГ ZJt ’
(э'
со И лк
(ср. с (19.25)).
В каждом акте поглощения энергия системы увеличивается J
поэтому среднее приращение ее энергии в единицу времени равн
4 те л, г р — л
to = to — | 2^- {f |е“'-ёй h I 'I I2 «» - (2W|
В то же время поток энергии в падающей волне равен chtu Отно-
шение поглощенной энергии к падающему потоку дает сечение погло
щения света частоты со с переходом системы между дискретными сс-
стояниями i -* f
2 _
°f№) = 1 |2 ~ (29<|
или для системы одинаковых частиц
Vfitfi)} = ^7^ I le'A%i ’ Ра 10 12<Х<« “ <«//), a = Y (29.9,
пГш a tic
Если частицы обладают спином, то к гамильтониану (29.3) нужно доба-
вить взаимодействие (18.19) спинов с магнитным полем off падающей
волны
fl's = “ ^gsa)s^(ra), (29J0)
остальные вычисления остаются без изменения.
Результаты (29.91) означают бесконечную узкую пинию поглО*‘
ния. Мы знаем, однако (см. лекцию 3, п. 4), что в силу квазистаци
ности возбужденных состояний они обладают конечной шири
г- г Л /7 -ъ Г ТО ВОЗМО*
Если падающая волна имеет разброс по энергиям АД т ,
ны переходы с сохранением энергии во все монохроматические^^
поненты возбужденного состояния. В обычном приближении _
ненциального распада (3.30) мы должны тогда заменить <л
в (29.9') на лоренцеву резонансную кривую
<Х<У ~ (У/,) ~----------1---2-->
2тг (со - (»fir + у2 / 4
у = - (Г/ + г-)’ (29'П
й
(29.12)
ЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ИЗЛУЧЕНИЯ СВЕТА 269
-----
и у _» о снова переходит в <5(со — со у/). Таким образом, мы
естественную форму линии поглощения
''ПУЧ Of,{(0) =
__ । У|е/лн«едд • ра | i) |2 y
" tuoc а т« 2я (ю -
L маТричный элемент (29.12) является плавной функцией частоты со
^CJ111fio меняется на ширине линии у, можно найти сечение, проинтег-
Езванное по линии поглощения:
f^С7//(Щ) = ^4'|2—</1е'‘Чг >°1012- (29-13)
J <ofitic ° та
Для системы частиц, находящейся в связанном состоянии в облас-
ти размерами а, показатель экспоненты (29.13)
Г_ , со Еа Р2а р2 h Р v
с tic time time р тс с
Поэтому для нерелятивистских систем ка 1; например, в атомах
(кроме самых тяжелых) ка ~ vic ~ Za « 1.
Для большинства возбуждений ядер также ка < 1. Поэтому можно
разложить экспоненту в матричном элементе (29.13) в степенной ряд.
Полагая е'*г° = 1, находим
К ^а)О/1 = ^-\и\ёГк -2-
Ш/<ЙС а
Если силы, действующие в системе, зависят лишь от координат, то
И 2.60) можно записать как
(Pa)fi (29.15)
Тогда сечение (28.14) выражается через дипольный матричный эле-
fdeoofj = |« |едд • • eara 11) |2 =
7
4лгю f; - .
^Ядачэ 2Q 1 гг
'1яРИзова 1оказать’ что интегральное сечение поглощения (29.16) линейно-
Звно Ного света одномерным осциллятором, находившимся в и-м состоянии,
(29.14)
(29.16)
f dco afj = 2тг2 — cos2 в • (и + 1),
тс
(29.17)
270
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
где в — угол между направлением поляризации волны и осью, вдоль к
лется осциллятор (При п = 0 получается чисто классический результат°^2б]* 1в°Лв*-
Интенсивности дипольных (£1, по классификации в лекцци I
реходов часто выражают через силы осцилляторов И ^Пе-
(29.18)
Согласно правилу сумм Томаса - Райхе - Кука (12.56), при
сил, зависящих от скоростей,
отсутствии
= z
f
(29.19)
(число электронов в атоме). Если система находилась в основном со-
стоянии, то Ef > Ej = Eq, все силы осцилляторов Ff0 (29.18) поло-
жительны. Тогда из (29.16) и (29.19) легко найти полное интегральное
сечение поглощения света атомом (сумма по всем переходам 0 -* /1
f dojo=^ f dci)of0 = Z,
тс
(29.23)
опять совпадающее с классическим пределом и не зависящее от конк-
ретного вида потенциальной энергии системы.
Формула (29.20) применима к нейтральному атому, если огра-
ничить частоту падающей волны сверху так, чтобы не возбуждаясь
ядерные переходы. Если система не нейтральна, то возможно еще том-
соновское рассеяние света на системе как на целом [326, § 78]. Если нас
интересует лишь внутреннее возбуждение системы, то нужно отделить
движение центра масс. Рассмотрим, например, ядро с атомным весом
(N нейтронов и Z протонов, N + Z = А). Вклад в дипольный момент да
ют только протоны. Перепишем этот оператор так:
е А р
Р, «
-А 2 Гр - - 2 r„l = eZR + 4эфФ>
А А „
Р И J
где R = — V г — радиус-вектор центра масс, который не ДаеТ П
Л _е> ВнУ1'
дов i -» f, а участвует лишь в томсоновском рассеянии на ^9-211
ренние возбуждения вызываются оператором с/эфф- ^оГ
ОДУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ИЗЛУЧЕНИЯ СВЕТА 271
------
яПпе следует приписать эффективные заряды (для диполь-
-лонаМ в
ных переХ0ДОВ (р) ту („) _ z
Н еэфф = е - , еэфф е ~ •
(29.22)
п ко видеть, что часть полного сечения (29.20), обусловленная
(фениями ядра, равна (М — масса нуклона)
f do оътб = {(^)2Z + (е$ф)2М.
(29.23)
Подставляя (29.22) в (29.23), находим полное сечение
f dEv аВОзб = Й J авозб = Й е2 = °’06 ? МэВ ‘ б’ (29‘24)
J • IVLC <п /±
где 1 б (барн) = 10-24 см2 — единица площади, принятая в ядерной
физике.
Таким образом, эффективная сила осцилляторов для ядерных пере-
ходов равна NZ/A', сила осцилляторов для томсоновского рассеяния,
как видно из (29.21), есть (Z/Л)2 • А = Z2/A, так что полная сила
\£ЧА) + (NZIA) = Z, в согласии с (29.20).
Сравнение формулы (29.24) с экспериментом затруднено тем, что
на самом деле силы между нуклонами в ядре нельзя считать зависящи-
ми только от координат, что предполагалось в (29.19).
Задача 29-2. Между нейтроном и протоном, кроме обычных сил, действуют
^рстранственно-обменные типа
^обм = -U(fhp)'&np’
™ оператор, переводящий нейтрон в протон и наоборот
^сие силы могут быть обусловлены обменом заряженным
09^9?НОМ’ Рис' 29.1). Показать, что с учетом сил (29.25) сумма
метрие“,ВеЛИЧИВаеТСЯ И ДЛЯ состояний । со сФеРической сим-
(29.25)
п
р
?fi=z I1+^2{i 12 r"p U(rnp) ^пр 1 °
(29.26) Рис. 29.1
\*Мма_Пп
° парам протон - нейтрон).
Хот
” Рассмотренное выше дипольное (длинноволновое, А »а) при-
Ьвист спРавеДливо для полного сечения поглощения света нереля-
4Иполь И~1И системами> может оказаться, что для данного перехода
выбора (с И МатРичный элемент мал и строго равен нулю в силу правил
^°Да м ЛеКЦию 17)- Так, дипольный оператор не может вызвать пе-
ДУ состояниями с одинаковой четностью или с изменением
272
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
момента Д J > 1. Тогда необходимо учесть следующие члены
ния е'*1" в (29.13) по степеням ка. азл°Же-
Линейный по ка член можно переписать в виде
/ - (е • р)(к г) = “ {[(ё • р)(к • г) + (ё • г)(к й)1 +
т 2т 1
+ [(ё • р)(к • г) - (ё • г)(Л • >)]} = ~ {(I) + (II)}. ’2''
В силу уравнений движения (29.15) первая квадратная скобка равна!
(I) = т (ёг)(кг) + (er) т (кг) = т ~ [(ег)(кг)]
dt
и, поскольку (ёк) = О,
(I) = теакр у (гагр) =
х (29.28)
= теакр \гагр - 7 дс^г2) = у- теакр у Q^,
dt \ 3 / Зе dt
где Qap — оператор тензора квадрупольного момента частицы Соот-
ветствующий матричный элемент
2т 6 dt
= ^(f \[Qafl,H0]\i) = - ± cofieakp (f\Qap\i)
bn о
отвечает Е2-переходам (электрические квадрупольные).
Слагаемое (II) в (29.27) равно
01) = [Л X ё] • [г X >] = [Л X ё] • I, (29'29'
но вектор [Л X е], как видно из (29.6), равен — , т. е. (II) Дает взаИ
/ с# одСМ
модействие орбитального момента частицы I с магнитным п
волны
-^(П)=-е (29'29'
2т 2тс \ d/f)
Легко проверить, что (29.29) вместе с (29.10) дают обычное
действие
(29.301
- = - (gss + gii)G/f, gi = ’
РОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ погл°Щения и ИЗЛУЧЕНИЯ СВЕТА 273
2^—- '
—цельно, приводят к М\ -переходам (магнитным дипольным).
- вер°ятносТея -переходов. Можно проверить, что вообще
"lAL 1-переходы оказываются одного порядка, причем
F L
М L-
t спеД°ва^ еХОДы в среднем имеют вероятности в (ка)2 — о2/с2 раз
ГХ И __И_ПППР¥ЛПГ>П К/Тпмгип ГТПППРПЫТк UTG nnnfSlTTP
и
ij ~ (ka)2^L ])w (£1)
(29.31)
w
цагнитяые мультиполи содержат лишнюю степень и!с ~ ка по срав-
нению с электрическими).
Совершенно аналогично поглощению можно рассмотреть процесс
эмулированного внешней волной испускания света атомной систе-
мой, находящейся в возбужденном состоянии. Здесь работает член
,?9.4), комплексно сопряженный к явно выписанному. Конечное со-
v.'ohhbe содержит фотон с поляризацией А, волновым вектором к в те-
iccHOM угле do и частотой ш = ск = (£, — Ef)/h. „Золотое правило“
(27.12) дает вероятность излучения в единицу времени (по-прежнему
внешнее поле нормировано согласно (29.7))
I
° т° (29.32)
х (f е. А, | >) |2 |4» |2 <Х<» - Ш/|) -Ц.
(2т)3
и 1и. интегрируя по частотам и вводя плотность конечных состояний
. 127.15),
1 ? С<л h 1|2 =(29 зг)
р-
'ак и В (29.9), нормировочный объем И „выпал“ из ответа.
в Итенсивность индуцированного излучения в единицу времени
3T0JI do равна
dIXk = йш cEVf. = | (f |е-^ё^ • ра I i) I2 do. (29.33)
а та
цем в°лновом пределе (ка «1) аналогично (29.14) и (29.16) полу-
енсивпость дипольного излучения
274
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(29.3ч
2-
~ Ъи? । т~ ।ёЛ* ‘ Ра I') I2 do =
4-
(Dn.v
Интегрирование по углам даст полную интенсивность cthmv
ного пропорционального интенсивности излучения в един ИР°Вая"
мени. 5!Цу ВР«'
Результат (29.34), как и вся полуклассическая теория, правилен 1
классического внешнего поля с большими средними числами кв
Как мы увидим в лекции 30, существует спонтанное (самопро°В
вольное) излучение системой, находящейся в возбужденном состоя"
нии, — эффект, имеющий место при отсутствии индуцирующего п
(при nxi = 0 в (29.34)). *
Литература: [3, гл. 11; 6, гл. 5; 7, гл. 12].
пркния 30. СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Рассмотрим процессы поглощения и испускания света как ре-
тат взаимодействия между двумя квантовыми системами: атомом
Молекулой, ядром, ...) и электромагнитным полем. Квантование поля
, лекцию 19) представляет его как совокупность фотонов с опреде-
ленной поляризацией А, частотой су = ск и волновым вектором к. В ли-
нейном по полю приближении гамильтониан взаимодействия системы
зарядов с полем имеет вид (без учета спинов)
Й = - 2 «и • <3(U|
й “ °'
„ 7*
единицу
где в правой части первый член содержит оператор а уничтожения
фотона, а второй — оператор рождения а+.
При поглощении кванта нам нужен переход системы i-> f с уве-
личением энергии на си = соу/ и изменением состояния поля п^к -»
Соответствующий матричный элемент выписан в (19.27')
конечно, вклад дает лишь тот член в (30.1), который содержит опе-
РЭТоР поглощения нужного кванта). Подставляя матричный эле-
Мент в „золотое правило", мы получим результат (29.8) полуклассичес-
КОи теории, где среднее число квантов п)к следует заменить на целое
Ч1|СЛо п).к квантов в начальном состоянии.
Матричный элемент излучения кванта (19.27) связан с уменьше-
ВИ'-М энергии атома на су = суу/ и увеличением чисел заполнения п)к -»
’ * L Переходя, как в лекции 29, к интенсивности излучения за
времени в телесный угол do, найдем
2 -
° S? <"« + ‘>1 l‘> I2 d° <ЗО-2>
Q &
£
Вцди^ИВДЯ Квантовый результат (30.2) с полуклассическим (29.33), мы
> что разница состоит в замене
пй -* п).к
(30.3)
276
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Здесь первое слагаемое в правой части п^ отвечает оп
числу квантов внешнего поля и описывает выи^жЭен;/оРеДелеНн01й\
второе (единица) — дает переход в отсутствие падающей во иЗЛучен^
сывает спонтанное (самопроизвольное) излучение атома ко ЛНЬ1 И 0Г1в
ределяет время жизни возбужденных состояний. Р°е и ор.
Займемся сначала спонтанным излучением. В дипольно Д
жении 2 х-ч М При^и-
Для системы с потенциальным взаимодействием, пользуясь (29 15)
лучим 4 ’ Л
dI>k = 2^ ' dfi I2 d°' (30.5
Эта формула для интенсивности дипольного излучения в единицу вре.
мени очень похожа на классическую [326, § 67]. Пусть 0 — угол между
к и d. Поскольку • к = 0, всегда можно выбрать векторы I - ё -
так, что е2^ • dfi; = 0 , тогда dу,- имеет компоненты по к (— cos 0) и пс
(~ sinfl),
1ё1* ’ ^fi I2 = \^fi I2sin2 0’
полная интенсивность излучения
lw = ^\dfl\2 f dosin20 = ^\dfip. (30.6.
2Л(Г 3 (Г
Таким образом, и угловое распределение, и поляризация, и полная
интенсивность совпадают с соответствующими величинами для клас
сического осциллятора с собственной частотой о = а>р и средним
квадратом дипольного момента
|rf(0 I2 = 2 Irfy, I2. (3°"
Но так и должно быть по принципу соответствия. Колеблющийся клас
сический диполь можно представить рядом Фурье
rf(0 = £ d„d^, dn = dln, тп = пт-,
п = — оо
00
d(t) = S (dtte^ + JwVto"') =
п = I
(30-S'
ОО
= ^(2cos a)nt Re dn — 2sin a>nt • Im d„)-
n = I
Лекция 30. СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
277
I юла среДНий квадрат
ОтсЮДа р т _______ __________________
= 4 2 ^")2 c°s2 <w”r + ^п)2 sin2 со„1} =
' 1 1 «=> (30.9)
00 ОО
= 2 £ + (1т ^)2} = 2 I2 •
п = 1 « = 1
в классическом пределе матричные элементы d fi переходят
Поскольку » _ „
лекнию 7) именно в компоненты Фурье d„ классической функции
мы получаем результат (30.7), так как в данный переход дает вклад
соответствующая гармоника суммы (30.9).
1И Согласно (30.6) время жизни возбужденного состояния по отноше-
нию к дипольному переходу в состояние |/> равно (ср. с (3.32))
г/. = — = т ,4; = т 4 Ы/< г2- o“i°)
J wfi / (hco) 4 со
1 соа I j io
Для оптических переходов в атоме ка----------а; оценивая | a как
, 2аг, получаем
w ~ | d |2 — — — к2а2о) ~ а3со,
не he
т~-Ц-; (30.11)
(ист
подставляя (у — 1015 с-1, w ~ 109—108 с-1, находим т ~ 10~8-10-9 с;
для низколежащих ядерных возбуждений Е ~ 1 МэВ, со ~ 1021 с-1,
и ~ 1015 с-|, х ~ 10-15 с
Задача 30-1. Найти интенсивность спонтанного электрического квадрупольного
'6 *§М7Г]НИТН0Г° дипольного (^) излучений и сравнить с классическими формулами
Задача 30-2. Показать, что невозможно излучение фотона с переходом системы
если моменты состояний Jj = Jf= 0.
ВоЛШе"ИС- Нормально это легко получить из матричного элемента вида (19.27).
переходе в силу общих правил отбора (см. лекцию 17) работала бы лишь ска-
Рная часть оператора е р е~‘к', которая получится от векторного сложения вектора
j по сферическим гармо-
не зави-
с т = 0. Поэтому все члены разложения
*^^еКТ0РНО|Ц' ~ частью разложения плоской волны е
№•30). Выбирая направление к за ось z квантования, найдем, что е~‘к'
Г >гла tp н поэтому содержит лишь У/т I
С‘кг \г.
Меняют проекции Mj состояния |/), оставляя ее равной нулю, если Л = 0.
278
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Однако вектор е обязательно ортогонален к, поэтому от р входят лишь
рх, Ру, или — в сферических координатах (17.13) — р±, которые ме К°Мпо,^И
Поэтому Mf = ± 1, что невозможно для Jf = 0. Физически это означ**01 На t
поперечности электромагнитной волны фотон не может находиться в со 410 И)--в
ной нулю проекцией момента на направление к (такое состояние отвечал 'Ра*'
т. е продольной поляризации). Значит, фотон обязательно уносит момент *’
0 -* 0 переходы невозможны Поскольку оператор (е р) ё~,к' не действует на *
переменные, он не может вызвать и переходов L, = 0 -» Lj =0 при любых ^СПИН°ВЫе
Такие переходы могут быть лишь спиново-магнитного происхождения
Ji = 0 -* Jf = 0 запрещены абсолютно). 'Перехо ,ы
Вместо запрещенных однофотонных 0 -» 0 переходов возможен двухква
переход, вызываемый квадратичным по сУ членом в гамильтониане, а при воз&З?
нии атомного ядра — внутренняя конверсия (см. лекцию 9).
Задача 30-3. Уровень 2s в атоме водорода в результате лэмбовского
лекцию 22) находится выше уровня 2р. Поэтому возможны переходы 2s -*
Сравнить их вероятности и оценить время жизни атома в состоянии 2s.
сдвига (св
2PH2s-»i,
Рассмотрим некоторые примеры, связанные со спонтанным излу-
чением квантовых систем и правилами отбора при этом.
Оптические спектры атомов обусловлены переходами внешних
электронов, для которых в силу ка ~ vic 1 наиболее вероятны ди-
польные переходы, возможные лишь с изменением четности (правила
Лапорта). В легких атомах из-за слабости спин-орбитального взаимо-
действия осуществляется LS-съязъ (см. лекцию 21), т. е. сохраняются в
отдельности L uS. Поскольку d не действует на спиновые переменные
для этих переходов справедливо приближенное правило отбора
AS = 0. Таким образом, при любых ЁТ-переходах получаем (с точ-
ностью до спин-орбитального взаимодействия) правила отбора:
AS = 0, \J, - Jf \ < L< Ji + Jf, (30.12;
n,nz = (-1/, 1Д: - Lf I < L < Ji + Jf.
Наличие тонкой структуры приводит к расщеплению спектраль
ных линий. В атоме водорода полный момент J = j = I + s Iм0
электрона). Поэтому для дипольных („разрешенных14) переходов
А/= 0, ± 1, А/= ± 1 (здесь четность П = (-l/, П,П/= — 1
А/ = 0 невозможно). Например, разрешены следующие переходы
ду уровнями nd -* rip (рис. 30.1). пепеход£
Для серии Лаймана (л -»ri = 1) разрешены два щепл«'
пр\!2 -» 1*1/2, «Рз/2 * 1*1/2- Поэтому все линии этой серии Ра^ деЛЯ.
ются на дублеты. Расстояние между компонентами дублета уввД
ется расщеплением верхнего уровня (пр), т. е. быстро падаетлиНйя Lr-
чением п (см. лекцию 21). Наиболее велико оно при п - \
находящаяся в ультрафиолетовой области спектра).
Лекция 30. СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
279
Рис 30.1
Рис. 30.2
Для серии Бальмера (и -> п = 2) возможны конечные состояния
2п 1,2Р\/2ЛР312- Здесь разрешены 7 переходов: hsi/2 2/?|/2,2р3/2;
j -» 251/2; Фз/2 “* 2^1/2; л^з/2 ** 2/?i/2, 2/?3/2; nd5/2 -» 2р3/2. Экспе-
•даиентально наиболее важна линия На (л = 3 -» п = 2), где (без учета
1эмбовского сдвига) должно быть пять различных спектральных линий
/пис 30.2). Однако расщепление верхних уровней (см. лекцию 21)
мало, поэтому получаются две группы близких линий с расстоянием
.72р3/2) - Е(2р\/2) ~ 0,36 см"’ (бальмеровский дублет с расщеплени-
м, одинаковым для всех п, открыт еще Майкельсоном, 1887).
Тонкая структура спектров сложных атомов приводит к мульти-
плетам спектральных линий niLjSjJi -» njLfSfJf. Можно показать,
то при этом наиболее интенсивны главные линии с Д J = Д£ (осталь-
ные линии называются сателлитами). При учете сверхтонкого расщеп-
тения (см. лекцию 23) точное правило справедливо лишь для полного
камента атома F = J + 7:
| F,Ff | < L < Ft + Ff, (30.13)
•° из-за слабости сверхтонкого взаимодействия электронные правила
' ора выполняются с большой точностью. Все компоненты тонкой
сверхтонкой структуры одного и того же электронного терма име-
Одинаковую четность, поэтому Е\-переходы между ними запре-
лро^ак МЬ1 виДели (29.31), для атомных переходов между далекими
н,5сти (Разность энергий А£ порядка энергии связи £св) интенсив-
чадых И ^-излучения оказываются одного порядка величины. Для
*а, ПоэЧастот «^св) ка уменьшается, a v/c остается того же поряд-
"римеп ^-переходы становятся более вероятными, чем Е2 (на-
ТгРМа) ’ВМеЖДУ компонентами тонкой структуры данного электронного
быть-,, ат°ме оператор полного магнитного момента (25.11) может
адисан как
280
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ft — Иь (L + 2 5) — /г б (J + 5);
(ЗО.Ц(
поскольку полный момент J сохраняется (без учета
структуры), то Ml -переходы вызываются чисто спиновым о ХТ0ЧЧ
ft = fi^S. В LS-схеме квантовыми числами состояния являются °*Ч
под действием оператора S ни одно из них не меняется изм 1
может только J. Поэтому имеем правйла отбора для Ml-nepexo^1
= п,, Sf = Si, Lf = Li, Пу = П„ Jy = j. ± 1 (3
Возможны и Ml -переходы между компонентами сверхтонкой
ры данного терма (Ё2-переходы совсем маловероятны из-за мало!! '
ности энергий — излучаются радиоволны). ₽а'
В присутствии слабого магнитного поля переходы между зее*1
новскими компонентами разных термов обычно носят дипольный в
рактер (25.10). Между расщепленными полем компонентами одного
терма, имеющими одинаковую четность, идут Ml -переходы (поскольку
при таких переходах ДМ = ± 1, связываются между собой соседнж
компоненты). Эти переходы обычно лежат в сантиметровом диапазоне,
именно они используются в электронном парамагнитном резонансе.
Поскольку в магнитном поле, строго говоря, полный момент J не со-
храняется, к состояниям возникают примеси с другими значениями J и
становятся разрешенными ранее запрещенные переходы, но в слабых
полях их вероятности еще малы (вспомним гашение ортопозитрония,
задача 25-3).
В силу адиабатичности медленного движения ядер в молекуле
(см. лекцию 3, п. 2) оператор электронного дипольного момента d(fTi
можно находить при фиксированных координатах ядер R. Если ядрв
находятся в колебательном возбужденном состоянии вблизи точки рав-
новесия Ro, то
d(R) ~ d(R0) + ((Л - Ло) • V) d. <30 Ь
Последний член является векторным оператором по отношению
ным переменным. Колебательные состояния ядер описываются "Я
ными осцилляторными функциями. Поэтому оператор (30.16) пр {
к переходам с изменением числа колебательных квантов на^ора нз-
между соседними вибрационными состояниями Это правило KffrOpjtf
рушается тем, что существуют ангармонические эффекты, из-
число колебательных квантов не строго сохраняется. О’-
Литература: [3, гл. 11; 5, гл. 4; 6, гл. 5: 7, гл. 13; 9, > "
27; 28; 54].
Лекция 31. ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
В лекции 30 мы видели, что в присутствии переменного электро-
итного поля в системе протекают процессы трех типов: поглоще-
* квантов поля, спонтанное и вынужденное (индуцированное) излу-
«ние Первый процесс увеличивает энергию системы, два других
шеныиают ее. Рассмотрим ансамбль одинаковых систем — например,
тсду с большим числом атомов. Для данной пары состояний атома
поглощение увеличивает число N> атомов, имеющих большую
энергию, излучение приводит к увеличению атомов с меньшей
кргией Конечно, в среде все эти процессы идут одновременно. Так
танавливается равновесие между веществом и окружающим полем
«мучения.
Пусть, для простоты, атомы между собой не взаимодействуют. Тог-
н акты поглощения и излучения различных атомов никак не скор-
релированы. Рассмотрим процессы, при которых испускаются и погло-
ввются кванты с волновым вектором к и поляризацией Л. Пусть wj —
вероятность перехода атома из состояния с большей энергией в состоя-
ме с меньшей энергией за единицу времени. Если в верхнем состоя-
•и находилось N> атомов, то за 1 с переход совершат в среднем
них. Соответственно, обратный переход испытают w^N< атомов,
этому изменение заселенности данной пары состояний дается урав-
*нием баланса
dN>
--------------------= ~
ас
* то М деле’ конечно, оба выбранных состояния связаны переходами
0 Между собой, но и с другими уровнями. Однако нас интере-
£|lf) НОвесие, при котором существуют и не меняются со временем
& ЧИСЛа зап°лнения N атомных состояний и квантов поля,
BiaKQB100^0^ паРы состояний число прямых и обратных переходов
’мсЧаВ° ^B„nP°™BHOM случае изменялось бы среднее число квантов
ИТак Тои Данного перехода — не было бы полного равновесия).
F ’ Условие равновесия
(31.1)
(31.2)
282
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Если принять, что среда находится в равновесии при
температуре Т, то принцип Больцмана утверждает, что
= е_<Е> ~ Е<’>/т = Q-^k/T
N< (ЗГ,
°"РсЛеле(1
(29.2) Н*
С другой стороны, согласно результатам лекции 30 вероятное
ментарных актов испускания и поглощения, отнесенные к ол ТИ Эаб‘
тонному состоянию, равны соответственно 4х'-
= В^ + 1), = В^, (31 .
а величины В^, В^ на самом деле даются квадратами матричных а
ментов и равны между собой:
2
to ma
(31 <
(принцип детального равновесия (29.1)). В (31.4) п}к — целые чиск
дающие точное число квантов данного сорта. При тепловом равновг
сии состояние поля уже нельзя описать волновой функцией с опреде-
ленными числами заполнения: имеет смысл говорить лишь о средне,,
функции распределения nkk(T).
Для этой функции имеем из (31.2)-(31.5)
П,7 + 1 1
----е-^к/т = j г = „ L---. (316,
А* * - 1
Мы получили формулу Планка. Физически удобной характеристикой
является распределение энергии по спектру равновесного (черного
излучения. Среднее число квантов dnCj в интервале частот от а)
а) + da) получается умножением (31.6) на число состояний (куда на,'
включить суммирование по поляризации и интегрирование по )
Л):
, - , _ Л V 0)2 da) Л <31 ’I
апю - п,рш dw = п. 2 -у- —у- 4Я.
к * (2л)3 с3
Отсюда средняя энергия dEw в данном интервале частот
у tux' da> (31 '
dEw = tiw dnCJ = ^2^ ^ш/т _ 1
Фактически эта формула, хороню согласующаяся с эксперимеН
жала в основе гипотезы квантов (см. лекцию 1).
Лекция 31. ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
283
соких температурах находим из (31.6)
При вь—
т
Иг = --- >
я энергия каждого квантового осциллятора поля равна Т, как
г е. сРед тся рфи классическом равнораспределении по степеням сво-
н полага энерГИЯ поля получается интегрированием (31.8) по час-
ютам и равна
f dEw = -4 VoT\
о с
(31-9)
2
„ _ — — постоянная Стефана - Больцмана. (Подробное обсуж-
>е<Т' 60S3с2
>ние формулы Планка см. в [32г, § 63].)
Пусть теперь электромагнитная волна частоты ш попадает в ве-
щество, атомы которого могут совершать резонансные переходы с той
же частотой. При распространении волны в среде будут происходить
как акты поглощения ее квантов, так и акты индуцированного излу-
“ния, увеличивающие интенсивность волны (испускаются кванты с
теми же значениями ш, к и Л, что и в волне). При спонтанном излуче-
иеи испускаются кванты с любыми векторами к, не совпадающими с
направлением распространения волны, так что спонтанное излучение
не влияет на интенсивность рассматриваемой волны. В то же время
при индуцированном излучении больше вероятность появления кванта
именно с теми значениями^ и к, что в волне.
Если волна имеет интенсивность I, то ее изменение вдоль пути
во аны в среде определяется конкуренцией процессов индуцированного
излчения и поглощения. Оба они согласно (31 4) пропорциональны
1меющемуся числу квантов п, т. е. интенсивности I и числу атомов в
'Тжном для данного перехода состоянии. Поэтому
(31.10)
— = const • I • (N> — 7V<).
dx
’1авно ЧТ° ДЛЯ Усиления волны нужно, чтобы N> > 2V<. Однако при
~,Молесии (31-3) заселенность уровней падает с энергией. Для ви-
I ь Света при комнатной температуре (Йсо / Г) ~ 102, т. е. N> « N<.
Н\ю) заЦиальные квантовые приборы, создающие инверсную (обрат-
ить ге еленность энергетических уровней, дают возможность полу-
ч°нохооеРаЦИЮ и Усиление электромагнитных волн при уникальной
•сти от атичности, когерентности и направленности пучка. В зависи-
"аЮтся ДИапазона частот (микроволны или видимый свет) они назы-
Соответственно мазерами или лазерами (от начальных букв
284
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Amplification...). Формально в случае инверсной заселенное
говорят, что среда характеризуется „отрицательной темперащ Ин01М
отношению к данной частоте излучения.
Простейший способ создания отрицательных темперагуп J
зован в молекулярных генераторах на молекулах аммиака. зПрр,ИСпуД
альное устройство отклоняет из молекулярного пучка МолекулыСПеЦй'
дящиеся на нижнем уровне. Тогда в оставшемся пучке > д’?Нах5"
нечно, время жизни верхнего уровня относительно спонтанного *
чения должно быть достаточно велико). Полученный пучок попадает^
объемный резонатор с собственной частотой cd0 = —> ? Е<- Имеющее
ся всегда тепловое излучение индуцирует испускание квантов моле 1
кулами пучка, которое усиливает собственные колебания резонатора
Часть энергии колебаний отводится, а оставшаяся действует на новщ
приходящие молекулы, индуцируя новое излучение, чем обеспечива-
ется высокая стабильность частоты.
В лазерах нет такого сортирующего устройства. Простейшая и-
зерная система — трехуровневая (рис. 31.1). В равновесии преоблаэ-
ющее число атомов находится на уровне 1. Специальное внешнее пак
{оптическая накачка) с частотой со-ц возбуждает атомы на уровень J
Пусть вероятность vv’23 перехода 3 -» 2 велика по сравнению с vvl3. Тоща
через время т3 ~ и^з* атомы перейдут на уровень 2. Пусть состояние
2 — метастабильное (долгоживущее, его время жизни г 2 ~ w2i' *
Тогда произойдет накопление атомов на уровне 2, и при достаточки
мощности накачки можно добиться долгоживущей обратной заселен-
ности А2 > М- Реально характерные величины Тз ~ Ю- -10 •
т2 ~ Ю“3 с; выгодно, чтобы уровень 3 был по возможности более ши-
роким, тогда больше будет интенсивность перехода накачки 1 * 3.
Конечно, в оптическом диапазоне нет объемных резонаторов (ДЯ>
на волны Я — 5 • 10“ 5 см), но есть специальная система зеркал,
тайный переход 2 -* 1 дает нужную волну частоты o>2i- Распростри __
по среде, волна индуцирует излучение других атомов, находя
в состоянии 2. Многократно отражая^
зеркал, волны все время усиливают^
Аудированным излучением. Если Ус С,1Г
больше потерь при отражении, Идд(10 да
ность лавинообразно нарастает. -v
п;2(и—ая среди) оделано прозраЧНЫМ ДЛЯ В““
ча наружу. Очень узкая угловая р^-
ность обеспечивается тем, что в ь
пространяющиеся не строго
3
112
Рис. 31.1
Лекция 31. ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
285
Меныпе отражений и не успевают усилиться. Ширина
Ьгерпева тся фактически лишь дифракционными явлениями (уг-
опр одиМОСТь в — MD, D — размер зеркал, в может быть поряд-
ная РаСХ л Цо всему сечению пучка фазы одинаковы; волны от раз-
ц 10зеркала имеют постоянную разность фаз, что обеспечивает
Умственную когерентность.
м образом, в лазере энергия накачки (с широким диапазоном
И*а оте) преобразуется в монохроматическое излучение частоты
Р Е пина линии излучения была бы меньше естественной, если бы
В лась одна мода стоячих волн, устанавливающихся между зерка-
UJ5 Реально луч состоит из многих мод, так что ширина линии имеет
*ми |Q9 Гц (естественная ширина, согласно лекции 30, 107—108 Гц,
"^теплового источника она была бы порядка 1013 Гц).
* Такая схема используется в широко распространенном рубиновом
gnepe где переходы примесных атомов хрома дают красную линию
/,04 3 мм. Мощность лазера очень велика, в расчете на ширину полосы
|11’ Гц она составляет примерно 106 Вт/см2 (для Солнца ~ 0,2 Вт/см2).
Поле волны может достигать ~ 106—108 В/см.
Ширина линии еще меньше (~ 104 Гц) в газовых лазерах, рабо-
пюших в инфракрасной области (Л ~ 1 мкм). В полупроводниковых
Д л
озерах излучается частота со-, А — ширина запрещенной зоны в
h
электронном спектре полупроводника, А ~ 1 эВ; здесь ширина срав-
нительно велика, но можно получить высокий кпд. Во всех случаях
существуют удобные способы модуляции излучения.
В газовом лазере источником возбуждения атомов служит элект-
рический разряд в газе. При столкновениях атомов с электронами воз-
’Жшей плазмы обычно высшие уровни заселяются слабее и инверсной
медленности не образуется. Однако возможна безызлучательная пере-
ча возбуждения от одного атома к другому при атомных столкнове-
второго рода (соударение с изменением внутреннего состояния).
_ акои процесс имеет заметную вероятность, только если электрон-
Уровни атомов достаточно близки [32в, § 90]. Это осуществляется,
Ример, в смеси гелия с неоном (рис. 31.2).
поя Р°ВНИ 2‘5 и 235 атома гелия метастабильны (атом в таком со-
Й ато °Ьь1ЧНо Успевает раньше столкнуться со стенками или с други-
Пп'кноМаМИ’ пРежде чем произойдет спонтанное излучение). При
Пояцлн НИИ агома Не в состоянии 23S с атомом Ne в основном со-
**406 В03можно соударение второго рода, атом Не переходит в ос-
'"я знеп СТОяние’ а Йе возбуждается на уровень 2p5zk (закон сохране-
'1|,веРснаяИИ обеспе™ется кинетической энергией). Так возникает
’ .V с а Заселенность атомов Ne. При столкновениях Не в состоянии
°м Ne будут заселяться другие уровни Ne.
286
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
2'S -------------- 20.55 эВ
Л ---------------- 19,31 эВ
-Р6-
(’S)
l'S
Не
Рис. 31.2
Такие лазеры излучают в красной или инфракрасной области
спектра. Сходным образом работают лазеры в далекой инфракрасн. и
области (например, на смеси СО2 + N2, где возбуждаются определен
ные колебательные и вращательные уровни молекул; достигается очен,
большая мощность излучения).
Упомянем еще квантовый стандарт времени на радиочастотном из-
лучении атомарного водорода. Основное состояние атома водорода об-
ладает сверхтонким расщеплением (F = 0 и F = 1, (£F = j — Е/. = оуй =
= 1423 МГц (23.17')). Между этими состояниями возможен Л/1-псрех :
(переворот спина), наблюдаемый в спектре межзвездного водорои
Инверсную заселенность этих уровней можно создать с помощью уста-
новки Штерна - Герлаха (рис. 31.3). При этом используется тот фаг
что магнитный момент электрона много больше, чем протона. Если 01
делить две верхние компоненты (см. рис. 31.3), то в этом пучке заселен-
ность состояния F = 1 будет больше, чем F = 0 (состояние с Мр - 1 —
чистое состояние F = 1, состояние с Мр = 0 есть суперпозиция с рав-
ными весами F = 1 и F = 0), что и нужно. Если затем пучок попадае
Рис. 31.3
Лекция 31 ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
287
в" отный (Я ~ 21 см) резонатор, то слабое спонтанное излуче-
вР^^вет самовозбуждение и генерацию.
* * вЬ13ОбольШИХ плотностях фотонов в лазерном луче становятся воз-
ЛРЯ [[еКОторые принципиально новые эффекты. Например, те-
^*нь1М^яетсЯ невероятным одновременное попадание двух фотонов
|*РЬ не Если их суммарная энергия совпадает с энергией атомного
. дин атом-
ГК|^Х0Да О)! + О)2 = O)fi, (31.11)
зможно их поглощение с переходом атома / -» f Таким образом,
' Обходимо уже учитывать нелинейные (высших порядков по о5>/, т. е.
^операторам рождения и уничтожения квантов) многофотонные про-
весы Возможна, в частности, многофотонная ионизация атома (в ус-
«внях, когда энергии одного кванта было бы недостаточно для иони-
. ции)-
Литература: [6, § 44; 28, гл. 9; 30; 47, вып. 8, гл. 7].
Лекция 32. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
(32.11
Рассмотрим прохождение электромагнитной волны через си
заряженных частиц. В лекциях 29, 31 мы исследовали процессы^
модействия системы с волной, ведущие к реальным переходам систем!
с изменением ее энергии (поглощение и индуцированное излучение!
Сейчас мы остановимся на поляризации среды проходящей через не-
волной, причем в отличие от статического поля (см. лекцию 24) нк
будет интересовать частотная зависимость возникающих эффектов
Для простоты ограничимся длинноволновым случаем, когда и
размерах атома поле волны меняется слабо и его можно считать одно-
родным. Электрическое поле волны запишем в виде
'/"(/)= ё ? cos он = ё — (е,а>‘ + е_'“'),
2
где ё — вектор поляризации. В классической электронной теории зг
ряды, колеблющиеся в атомах, совершают под действием волны (32
вынужденные колебания с частотой со. Если эта частота приближает
к собственной частоте сл0 атомного осциллятора, то возникает ре ю
нанс: растет амплитуда колебаний заряда, т. е. средний дипольный мо-
мент, — происходит динамическая поляризация среды.
При распространении света в такой среде энергия волны трати.. *
на возбуждение атомных осцилляторов, которые, в свою очередь. -Д
вершая вынужденные колебания, излучают волны той же частоть.
падающая. Суммарная интенсивность поля определяется интерфЧ"^
цией падающей и вторичной волн, что можно макроскопически
сать, вводя зависящую от частоты диэлектрическую проница
среды e(w) [32д, § 58] или показатель преломления п (щ),
е(со) = н2(<у).
в BaK^xSi^
Волновой вектор в среде отличается от его значения
Л- = й)/с: (j:: 1
к = — п (ш).
Лекция 32. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
289
коросгь волны тоже зависит от частоты
, to с
^ф(") = Т = —~
к п (ш)
гпупповая скорость отличается от фазовой:
f]pH ЭТОМ 1НУ
, . dw __ с ск dn _ w dn
Угр(<У) ~ ~ 2 . ~ “ j ’
р dk п nr dw и dw
(32.4)
(32.5)
иводит к дисперсии света (явление, аналогичное расплыванию
410 ого пакета (см. лекцию 3)). В зависимости от знака dnldto гово-
В°Л^положительной (dnlda) > 0, < пф) или отрицательной (dn/dm <
<*0 v > т'ф) дисперсии. Величины e(<z>) и п (ю), вообще говоря, комп-
кксны, И волна в среде затухает:
= ехр io [Re п - — л — Im п — . (32.6)
L \ с / с J
л
giffcc ~ (Dt) _» e
С
Нашей целью будет найти квантовое описание всех этих явлений, даю-
щее возможность вычислять характеристики среды £ (со), п (со).
В длинноволновом случае (32.1) гамильтониан возмущения можно
взять в дипольном приближении
= (32.7)
де J — оператор дипольного момента атома. Для того чтобы избежать
реальных переходов, связанных с резким включением поля, предполо-
жим, что поле медленно (адиабатически) включается в отдаленном
прошлом (Г — оо). Выразим этот факт, формально приписывая к га-
мильтониану (32.7) множитель, дающий плавное включение:
Н -*Н' е1?', (32.7’)
‘Де j] __
Нест
еистемы
сколь угодно малая положительная величина.
ационарная теория возмущений (26.6) дает вектор состояния
в присутствии поля (32.7')
। Ф(г)=2а„(г)е й£я,|л>, (32.8)
;-Де|ч\
Тему jr ^ТаДнопарные состояния с энергией Еп невозмущенной сис-
«Ри t ^^ФФиЦиенты разложения ап (Г) найдем из (26.9), считая, что
' -iu °° Система находилась в основном состоянии | 0):
290
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
f dr ff'„0(f)eio>"ot' =
ft
1 e d„0 - f dt' (yiat' + + ^nBf _
2 —00
ei(f0 + <onO)t e-i (a,
ш ~ шп0 + «]_
_tu + й)„о - it]
е'?'.
(32.9,
Теперь легко найти поляризацию системы как среднее значение I
тора 3 по нестационарному состоянию (32.8). В линейном приб"4^
пии по полю д р ЛИХе’
(J(0) s (Ф(0, ^Ф(О) =
= d00 + 2 (Е" ~ Е°}1 dn0 + О„(0 е~ ft (£" “ £e)' J . =
don =
e~i(fi> + ши0)« ei(a> - ш„0>
ш “ О/.
= ^oo+ £
X e™"0' (ё • J„*o) +
jd + to„Q + it]
x
(32.10.
n * 0
е!(ш + ш„о)' e-i(at - <u„0)l
_w + w„o - it] at - w„o + ty.
e-Kut eia>t
e--"»' Jo„ (e-Jn0) =
- J„*o (е 3^) + к.с
_cu - <и„о + О] О) + гоп0 - it]_
= d00 - е"‘
2ft
Члены, пропорциональные в (32.10), дают квантовый аналог
классических вынужденных колебаний. Аналогично (24.5) введем
зор поляризуемости системы, зависящий теперь от частоты а), опрел
лив его как коэффициент пропорциональности между фурье-гармони-
ками дипольного момента (d(fj) и внешнего поля (32.1):
{d^)= (321П
Выбирая в (32.10) члены с зависимостью е ш1 + получим
4и0 (ё - 4„р) _ 4п0 ( g • 4q2
и> - w„o + it] at + atno + ”i.
(32 12
й и * 0
откуда тензор поляризуемости
'' я * о
(^nO) dn0
at - atll0 + it]
4(^0)*
at + w„o + it]
Л2-1-
= (
Лекция 32 ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
291
е выражение (с соответствующим изменением матричных
чнаЛ°гиЧ1' поЛучилось бы для поляризуемости системы, находившей-
х7СМеИТ0В^ в стационарном состоянии, отличном от основного,
j cHa4^aj3) еще осталась величина Т], которую следует устремить к
В частота со такова, что нет резонанса ни с одним из пере-
110 темы (далека от всех со„о), то бесконечно малой величиной ir)
„,}ов сИ енебречь. Однако в случае близости к резонансу h] необходи-
мо*110 П^[ИТЬ Действительно, пусть й^’’(т) есть зависящая от времени
м° С°ХРцна фурье-образом которой является edited). Тогда, совершая в
Г-^1") обратное фурье-преобразование, получим
(^(0) = f dt' a^t - Г) ^(Г).
(32.14)
Согласно (32.14), величина a(t — Г) показывает, как поле волны, имев-
ееся в момент Г, влияет на поляризацию системы в момент t.
Как видно из (32.13), это влияние состоит в виртуальном возбуж-
ении системы 0 -> п и последующем переходе п -» 0, что аналогично
шссическому переизлучению волны колеблющимся осциллятором.
Виртуальные переходы (см. лекцию 3) не требуют сохранения энер-
л1и и потому осуществляются (на короткое время порядка при
„обой частоте со & соп0. Однако при частотах, близких к со „о, закон
сохранения энергии почти выполняется, что отвечает почти реально-
му переходу с большим временем жизни промежуточного состояния.
£ нашем случае это проявляется в резонансном росте поляризуемости
•и).
Для того чтобы перейти от «(со) к функции 2(г), нужно вычислить
интеграл
«(/) ~ f da) «(со) е-"0'. (32.15)
— 00
и пренебречь величиной ir) в знаменателе (32.13), то подыптеграль-
выражение (32.15) будет иметь особенности в резонансных точках
Ягю Э ИптегРиРоваиия! т- е- станет неопределенным. Именно беско-
„ ма;,ая величина ir] однозначно определяет результат, давая прави-
осо^енностей. При г) & 0 формула (32.13) показывает, что
ности «(to) расположены в точках
со = ± со„о — ir], (32.16)
ПояУплоЖНе^ ПолУплоск°сти комплексной переменной со. В верхней же
Ь интегпСК0С'И Ш ФУ,1КЧИЯ а(ш) аналитична. В то же время при t < О
1Ругом в4 IC (32-15) можно замкнуть контур интегрирования большим
веРхней полуплоскости (там подынтегральное выражение при
292
ЛЕКЦИИ ПОКВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
t < 0 пропорционально е "1тш/ — е-1тш 1'1, Т. е. убывает
Im си > 0). Тогда в силу аналитичности а(ш) получаем- ПРИ б°ЛьШц11
2(/) = 0, г < 0.
(32.1-
Итак, в формуле (32.14) интегрирование фактически идет X Л
ти t > f. Это означает, что поле ^*(Г) может определить по ° лЯ
J(r) лишь в последующие моменты времени t > г. Таким обпа
вило обхода в (32.13) отвечает принципу причинности.
Математические правила обращения с сингулярными зна
лями типа (32.13) весьма просты. Имеем (р > 0)
1 _ XT П] _ х _ tj
х + it] х2 + rj2- х2 + у2 1 х2 + t]2 (32.18
Вещественная часть этого выражения х/(х2 + ц2) при ц -» Оравщ
1/х всюду, кроме точки х = 0, где она равна нулю. Это нечетная фущ.
ция, которая при интегрировании с любой функцией х, плавной при
х = 0, даст главное значение интеграла, что символически обозначают в
виде
lim - х . = &>- (32.18-
п -» 0 X + Г]1 X
(9° — principal value — главное значение).
Мнимая часть (32.18) является четной функцией х, которая прг
ц -» 0 равна нулю всюду, кроме х = 0, где она обращается в бесь
нечность. Интеграл от этой функции при всех значениях ц равен я, т е
при ц -» 0 функция ведет себя как д-функция:
lim —т = я<5(х). (^ ^
I] -* о х2 + гр
Окончательно находим при ц -* + 0
—— = З3 1 + стд(х). (32J
X ± IT] X
Согласно правилу (32.19) можно найти вещественную и мнИ*Ч
части поляризуемости (32.13). Считая для простоты основное V
ние системы изотропным, получим аналогично (24.12):
/ 1 (32-11
«(") = - ; I2 ---------------~ ’ 1
Й иТо + "7 Ш+
Лекция 32. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
293
Кео(<»)=-± ^“4-
Ч7о W - "„о
Im а(а>) = № I2 <XW ~ со„о).
" м at Л
(32.22)
I ? 22) мы выбрали и > 0 и учли, что при п * 0 величина сопо > О,
+ "ио) обращается в нуль.
Т к^жлое слагаемое мнимой части (32.22) имеет очень простой
_ в сИЛу „золотого правила" оно пропорционально вероятности
*^,ного дипольного перехода 0 -> п за единицу времени под действи-
^^змущения (32.7). Если ввести диэлектрическую проницаемость
среды
е(со) = 1 + 4?r№z(w),
(32.23)
пе дг_число атомов в единице объема, то член (32.22) определяет
1m г, а следовательно, согласно (32.2), и Im и(ш). Как видно из (32.22),
Ima > 0, тогда Im п > 0, т. е. волна затухает (32.6), причем причиной
щухания является затрата энергии на резонансное возбуждение ато-
мов среды
Вводя силы осцилляторов F„o (29.18), перепишем Rea(w) (32.21) в
виде
Re«(w) = ^ ~2 ~ 2 »
т и # О w
(32.24)
де особенности надо понимать в смысле главного значения. Именно
[акои вид имеет поляризуемость в классической электронной теории, в
«порой а)п0 — собственные частоты атомных осцилляторов, a F„o —
их эмпирические „силы" (отсюда и пошло название „силы осциллято-
₽°в )• При частотах со, больших по сравнению с атомными, в силу пра-
ВИла сумм (12.56)
Rer<w) -> - -^2 ,
таг п # О та>
(«акимРаВедлив чист0 классический результат для свободных зарядов
:десь % шляются атомные электроны при столь больших частотах);
ческой число электронов в атоме. Соответственно для диэлектри-
пР°ницаемости имеем
Re£(w)=1 + 4jr7VRetz(ft?) = 1 + ±^ V ^0 (3226)
(32.25)
294 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
или в пределе больших частот
Re е(ш) -> 1 - = 1 _
",ш Ш2 (32 г,
Мы получили классическое выражение для диэлектрической
мости свободного электронного газа, где "РОннц^
ш0 =
AxNZe2
т
(322Ц)
— плазменная частота-, NZ — полное число электронов в
объема. Фактически результаты (32.25), (32.27) являются у
ными для любых систем при ш -» оо [32д, § 59]. Показатель
ния среды н = >/е при больших а> пропорционален
чисто мнимый для ш < ш(), что отвечает полному отражению света
среды. При ш > ш0 н(ш) становится вещественным (известная ультт-
фиолетовая прозрачность металла).
Обратный предельный случай малых частот может быть получен
из (32.13) при со -* 0. Статические выражения (со = 0), конечно, совпа-
дают с найденными в лекции 24. Статическая диэлектрическая прони-
цаемость
еДИНИЦ;
[ универсала
ОМГ •
6,о / о>2, т. с
е(0) = 1 + > (32-21)
т п* О шл0
т. е. среда со слабо взаимодействующими атомами обладает диэлектри-
ческими свойствами (е(0) > 1). В достаточно плотных средах все зга
рассмотрение становится неприменимым, ибо нельзя просто склады-
вать поляризуемости отдельных атомов. Локальное поле в среде тогда
отличается от макроскопического, так как необходимо учитывать по
самих поляризованных атомов. Эти же коллективные эффекты мог-
привести к пространственной неоднородности системы (например, при
наличии свободных зарядов они могут экранировать внешний зар*
создающий поле в среде). В таких случаях бывает необходимо учиты
вать кроме зависимости е(ш) зависимость е(А) — пространственную^
дисперсию диэлектрической проницаемости. И
Возвращаясь к системе слабо взаимодействующих атомов^,*
смотрим полученную частотную зависимость е. Вещественная
(32.26) показана на рис 32.1 сплошными линиями. Вблизи
собственной частоты «о„о, где е(ш) имеет сингулярности, суш _
область аномальной дисперсии: среда прозрачна вплоть до
при ш > соп0 имеем е < 0 — полное отражение, среда непР ^-jw
Везде dn/dco > 0, т. е. дисперсия положительна (если бы ато
Лекция 32. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
295
„водились в возбужденном
‘•'-ояние сила осциллятора
.^йпятельная дисперсия).
состоянии, то для перехода в основное
(29.18) F„o < 0, т. е. была бы возможна и
Н Однако такая картина становится неправильной в непосредствен-
. близости к резонансу. Как уже говорилось, здесь возникает погло-
ш-нне волны, связанное с реальными переходами (32.22). Фактически
1Я поглощения не обязательно строгое равенство со = со„о. На самом
кле возбужденные состояния | п) обладают (см. лекцию 3, п. 4) ес-
тественной шириной Г„ = Йу„. Поэтому в общем выражении (32.20)
шо сделать замену со „о -* со „о — (z/2) у п. По сравнению с конечной
личиной уп можно пренебречь бесконечно малым Т] (положитель-
стьу„ обеспечит соблюдение принципа причинности). Тогда, считая
□ирииу уп малой, получим вместо (32.24), (32.26)
' 5 Т---------- S ——г2--------------------------------’ (32-3°)
П * 0 | < | 2 п * 0 шп0 ш ,а)п0 У п
-со
X 2 /
Ррр _ . , .кг D , . V /эо
кее - 1 + Recz = 1 +------------ У —5----------77----л—7 . (32.31)
„То ^пО - W Г + %() УЙ
типе от (32.26), Re е теперь нигде не обращается в бесконечность,
” в области резонанса имеет пик шириной порядка у„ (рис. 32.2).
”)и жс области шириной у„ отлично от нуля поглощение:
’>П£ = 4яЛЧта = ^- У 2 ^°<2° 2~2 (32-32)
т п*0 К,0 - " ) + Ул
132)ВИДеТЬ’ что ПРИ малой ширине у„ в силу (32.18") выражение
Нк ПереХ0дит в набор бесконечно узких линий поглощения, отве-
' 130) ,?е3011анспь1м частотам. Строгое доказательство соотношений
’ ’ 1 2.31) дается квантовой теорией затухания [6, § 62; 7; 40].
296
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Задача 32-1. Начертить график поведения показателя преломле
нанса. Ния вблцзи
В непосредственной близости от резонанса в формуле Пэ
щественно лишь одно слагаемое. В силу (29 18) имеем ' ^2) ц.
е
т
Im а |ш Шп0
4t4)
Fn0 ОиО Ул
(wn0 ~ W2) + 1 yj;
4
Сравнивая с (29.12) (в дипольном приближении), находим, что сечен»
поглощения света атомной системой определяет ся мнимой частью по-
ляризуемости (считаем свет поляризованным по оси х):
2
погл(0 - И) = — I d2n0 I2 ---------------!----—
с * (Ш - Шп0)2 + 1 у2
4
— Im а |ш _» ш .
с
Задача 32-2. Установить классический смысл соотношения (32 34)
Принцип причинности, обеспечивающий аналитичность поляри
зуемости о(а>) в верхней полуплоскости комплексной переменной и.
позволяет получить некоторые важные общие соотношения. Заметим
сначала, что из (32.19) следует интегральное тождество
Г Ш * = - йф* 132,S|
со' - со + П] _ю со' - 0)
С другой стороны, замыкая контур интегрирования сверху, видим, чт
интеграл (32.35) равен нулю в силу аналитичности а(со) в верх
полуплоскости и достаточно быстрого ее убывания на бескон
(32.25). Поэтому
х J со'-со
(3235'
Г? 2 35')- псЛГ
Приравнивая отдельно вещественные и мнимые части
чаем знаменитые дисперсионные соотношения Крамерса
Лекция 32 ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
297
71 (1) — (1)
(32.36)
п о/ - си
Ь проверить, что Ф°РмУла (32.20) удовлетворяет этим соотноше-
г‘иЯ^так условие причинности гарантирует связь между веществен-
- мнимой частями поляризуемости. Поскольку принцип причин-
*°Иги носит совершенно общий характер, дисперсионным соотноше-
* V типа (32.36) должны удовлетворять любые восприимчивости —
11 1ИЧИНЬ1! дающие отклик произвольной системы на слабое внешнее
*Пе Конкретный вид дисперсионных соотношений зависит от пове-
кния восприимчивости при со -» оо.
Задача 32-3. Получить дисперсионное соотношение для диэлектрической прони-
исмости и доказать равенство
СО
/, Г z X Л 2
da) (D im £{0)) — — Wq,
О 2
х плазменная частота (32.28).
Литература: [21; 24; 32д, § 58—62; 34; 39, гл. 1; 43].
(32.37)
Лекция 33. РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Рассеяние света на квантовой системе тесно связано с рассмотл
ними в лекции 32 задачами дисперсии. Его также можно интерпкА
ровать в терминах виртуального поглощения и испускания квантов
Здесь нас будут интересовать не свойства среды, а сама рассеянная вС(
на — вторичная „переизлученная" волна, вообще говоря, не совпадав
щая по своим характеристикам (частота, направление распространени»
и поляризации) с первичной. Как уже упоминалось, рассеяние света в
отличие от реального поглощения возможно даже в случае свободной
частицы (классическое томсоновское рассеяние [326, § 78]).
Поскольку рассеяние включает два элементарных акта (поглощение
и испускание фотона), соответствующий матричный элемент должен
включать оператор а^, уничтожающий начальный фотон (к,а) =
= ск, Л), и оператор рождающий рассеянный фотон (к', си =
= ск’, 2'). Считая взаимодействие волны с атомом слабым и ограничи-
ваясь теорией возмущений, мы видим, что линейные члены в гамильто-
ниане Н’ (19.26) взаимодействия системы с полем дадут вклад в про-
цесс рассеяния только во втором порядке. Вероятность процесса с пе-
реходом атома i -* f во втором порядке определяется, согласно (2 с
матричным элементом
м(1) = у HSI _ (33 i
^E, + Hm-Ws'
s 1 л
где 5 — промежуточное (виртуальное) состояние, Ws — полная энер
атома в состоянии |s) и имеющихся при этом квантов поля. jj.
Начальное состояние содержит атом | I) и падающий ква
конечное — атом | /) и квант (2' к'). Переход из начального в кон
состояние можно осуществить двумя способами (рис. 33.1; £онечнс
включает поглощение падающего кванта, а затем испускание ^осТ0Я.
го; в промежуточном состоянии квантов нет, а атом находится
нии 15), = Es. При другом способе — б — атом сначала иС 1
Лекция 33 РАССЕЯНИЕ СВЕТА
299
Рис. 33.1
чный квант, а затем поглощает начальный, промежуточное состоя-
*,Н с0СТ0Ит из атома | .$) и двух квантов: = Es + h(i) + Йо/. Выпи-
^ая матричные элементы из (19.27), (19.27'), находим
_ (/ I ’ Ра е ,кГа |s) <5 I е • ръ |s)
(1) _ 2nfici X* • а т°с_______________________________ь тьС__________________
Mf‘~ v4^>' s] E, + hm-Es
(/ |S e°~ ~e Pa ^T“ Is) <s I 2 ~ ? Pb e ’*** 10
a mac________________________________b mbc______________________
Ej + ha) — (Es + ha> + hay)
(33.2)
2л У eaeb у (e ‘kr“pa e')fs (е'^рь e)si
V lb mamb j I w “ "si
_ e)fs (e ,k^pb • e')si
w' + 0>sj
Вспомним теперь, что гамильтониан Н’ (19.26) содержит еще и
“ЗДратичный член ~ &/2. Поскольку мы учитываем вклад линейного
Лена во 2-м порядке теории возмущений, то наряду с ним необходимо
и вклад квадратичного члена, отличный от нуля уже в 1-м по-
Ке- Соответствующий матричный элемент равен (19.29)
ee'if | У-4е'<*-*’)?» |»Х (33-3)
Vyloxo' а
^ОЛНая —
^Мся ампдитуда рассеяния дается суммой (32.2) и (33.3). Ограни-
кстда J^151 простоты дипольным (длинноволновым) приближением,
взял, в °ЖН° пРенебречь неоднородностью поля на размерах атома и
экспоненты в точке R центра масс атома. Тогда амплитуда
300
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Д/2)
отлична от нуля только для процессов без изменения
системы (z = f когерентное рассеяние). С°Ст°янщ
Таким образом, в дипольном приближении полная амп I
Mfi = + M(f] = е' - *')я V у
rVww' тать
(Pa^,')fs (Pb^isi (l>ae)fs (Pbe<)si
ш - wsi a! + wsi
(33 4
S
+ ^b(ee’)dab6fj
X
а вероятность процесса, по„золотому правилу14, равна
dwfi.= у । MPI2 Pf^E‘ + ha> ~ Ef ~ htf)hd(d, (335
где плотность конечных состояний pf определяется формулой (27 151
Удобно преобразовать (33.4) к другому виду, воспользовавшись комму^
татором
(33.6'
[(PX), (4«)] = ёаёр [pg, r£] = - ihdab(ee'),
ё • ё' = i (f | [(раё'),
(гьё)] |/> = i ^[(раё')р(гьё)х1 - (г*ё)^(роё')я].
Заменяя последний член в (33.4) согласно (33.61) и переходя, как в
(29.15), к матричным элементам дипольного момента d = ^еога, по-
а
лучим
= -^= е'(* - *У (df^')(dsie')a)fs COci 1 t — 1 - —~— + w - "я/ (33'
+ (^/Л)(^')^. ,/ +1
Пользуясь законом сохранения энергии (33.5), в силу которого
а)/, = а> — (d,
найдем
Лекция 33 РАССЕЯНИЕ СВЕТА
301
О) si
»>fe
w' + <Osi
(Dfj + to’
= Msl —------------ =
<U + <Dsj
= (1)
О)'
W* + 0>si
Подставляя эти выражения в амплитуду (33.7), получим
e<(* - i’)R
s
(oaJ
\dfse'Xdsie)
й) - (Dsi
(df^){dsie')
(33.9)
(j) + COsj
- a{{dfie'){ds,l) - (d fse)(dsie')]
(a) ft + «>') 1 ~
W
\ «’ + Wji
Легко видеть, что вторая квадратная скобка в (33.9) обращается
в нуль:
£[(rf//')(^) - (*//)(^')1 = (f \(de')(de) - (de)(de,y) | i) = 0,
Mfi = у e'<* ~ ^ylaiai
(<fy^-)(<t,e) _ (dfseMsit1)
w - a)si w + wsi
(33.10)
(33.11)
Ло выражение правильно „на энергетической поверхности" (33.8).
Задача 33-1. Доказать, что результат (33.10) можно получить, записав точный га-
“«.кгониан (19.26) в дипольном приближении
,,г ___ if j if 1 0
Н дип — ~ V о, ф — —
с dt
Для нахождения эффективного сечения рассеяния кванта в элемент
- ясного угла do нужно вероятность (33.5), проинтегрированную по
Сергиям кванта ti(d, разделить на плотность падающего потока фо-
Ов (один фотон в единице объема):
= 2я . u |2 Vd2 V_ _ V2oi2
d° й c 4n2h2c4
(33.12)
2
<у — wsj а>' + wsj
c
~ I Mfi |2
__ wco'3 V'
й2с4 , . w - wsi
^5/ о°лучили дисперсионную формулу Крамерса - Гейзенберга
*°-1ц (а На применима для рассеяния видимых и ультрафиолетовых
1 акже мягких рентгеновских лучей), когда Ттш < тс2 и можно
302
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
пренебречь релятивистскими эффектами, а длины волн н
конечного квантов велики по сравнению с размерами атом^ rJbHoM
использование теории возмущений оправдано лишь для ч
ких от резонанса. СТОт> далъ
Рассмотрим сначала когерентное (несмещенное) рассе
f,o) = а)'. Дисперсионная формула дает в этом случае ЯНИе’
, Л 4 ~ -
do he s (О — Wsj О) + (OSI-
(33.1jj
Сравнивая (33.13) с (32.21), находим, что сечение когерентного^
сеяния полностью определяется тензором поляризуемости си
о(ш) в данном состоянии | /) (вдали от резонанса тензор а вещества
Для изотропной системы
I |2 = ~ | а(ш) |2 (ее')2. (33 14)
Результат (33.14) по форме совпадает с классическим: индуцированный
дипольный момент d = а$, а сечение пропорционально Ш2 ~
~ <у4| а |2, хотя поляризуемость должна, конечно, рассчитываться кван-
товым образом.
Если частота света <о велика по сравнению с собственными частота-
ми (однако длина волны больше размеров системы), то рассеяние фак-
тически происходит как на свободных зарядах. Пользуясь асимп-
тотическим значением поляризуемости (32.25), находим из (33.14
классическое томсоновское сечение [326, § 78]
do>
do
4 М2 (»я = 44 <"')2 =
с Хтаг/ тггс
где введен классический радиус частицы (3.33). Из выражения (33.1-*!
видно, что сечение рассеяния (33.15) на свободных зарядах целик'
возникает из квадратичного по os/ члена, так как квадратная ско
(33.4) обращается в нуль при а> -* о°. И
Как мы видели при рассмотрении гармонического осциллятор
лекцию 14), состояние с определенным числом квантов (у в М
рассеянный фотон) не отвечает колебанию с определенной фаз
этого нужно взять когерентное состояние, не обладающее фи
ным числом квантов). Однако при наличии нескольких РаСС^
определенное значение имеет разность фаз волн, рассеянных
центрах. Действительно, при когерентном рассеянии атоМЬ1 ьГХ ат*
в исходных состояниях, так что процессы с рассеянием на р раСсе«-
мах физически неразличимы, и нужно складывать амПЛН1\ДаТОма в*'
ния на отдельных центрах. Если, например, два одинаковы
Лекция 33 РАССЕЯНИЕ СВЕТА
303
одНом и том же состоянии, то, как видно из (33.7), полная
пропорциональна
*,ПЛ1 1(д _ m + е'(* - = е'<* - к'^ [1 + е'<* " * ХЛ - Ъ)], (33.I6)
V " е'
ятносгь определяется результатом интерференции
do ~ । j + е'<* ' к " *) |2 = 2 {1 + cos [(£ - £') • (А - Я2)]},
do
орый зависит от разности хода двух рас-
*|Т Р волн, оказывающихся, следователь-
когерентными (рис. 33.2). Отсюда легко
Прейти к рассеянию на упорядоченной сис-
теме атомов, какой, например, является иде-
альный кристалл. Если для простоты счи-
тать, что в узлах решетки находятся одина-
ковые атомы одного сорта, то полная ампли- Рис. 33.2
пда рассеяния будет определяться интерфе-
ренцией волн, рассеянных от различных узлов
М ~ ^e^J, q = к — к'
(33.17)
j
В большом кристалле сумма (33.17) равна нулю для всех векторов q, за
исключением тех случаев, когда q совпадает с одним из векторов Ь об-
ратной решетки (по определению, обратная решетка образована векто-
рами Ь, для которых
e,bRJ = 1, bRj = 2пп, (33.18)
’ целое число, R} — любой вектор прямой решетки).
При когерентном рассеянии к = к', q = 2к sin 0/2, где в — угол рас-
Ия волны. Условие q = b, при котором только и происходит конст-
ШкиВНаЯ интеРФеРенПия волн, рассеянных от различных кристалли-
пр0стотПлоскостей> м°жет быть выполнено лишь при 2к = Z>mjn. Но (для
ы Возьмем кубическую решетку с периодом а)
, _ 2тг , _ 2л
и ~ ®min ~ »
а а
I е
•Пя РеТтг^1111106 Рассеяние возможно, лишь если к > л!а, — только
^ьной еновских лучей (или еще меньших длин волн). При произ-
-Тации монокРисталла по отношению к падающей моно-
кои волне условие q = b не выполняется ни для какого зна-
304
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
чения угла рассеяния; вращением монокристалла (или испо
поликристаллических образцов) можно добиться выполне ЬЗ°Ваниец
q = b и наблюдения дифракции рентгеновских лучей. ТогдаЯ ^СЛ°Ви»
2k sin — = — и, пХ = 2а sin — J
2 а 2 (33 ц,
— формула Вольфа — Брегга. Если сечение рассеяния ока
сравнимым с геометрической площадью кристалла, то результа В1етс1'
зависеть от его формы. ‘ ’ -дег
Рассеяние с изменением состояния системы (/ /) называете
когерентным (смещенным, рамановским) и впервые наблюдало*
Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом, 1928. В отличие от коте*
рентного случая здесь можно физически установить, на каком атом"
произошло рассеяние, поэтому должны складываться не амплитуды
а сечения (2.6), относящиеся к разным рассеивателям. Так, если В аль
мов находятся в объеме размерами R Я, то сечение когерентного рас-
сеяния будет больше атомного в№ раз, а некогерентного — в N раз.
При приближении к резонансу (со -> to„) сечение рассеяния (33.1?
неограниченно растет. Как и при рассмотрении дисперсии (см. лекцию
32), бесконечный рост связан с пренебрежением затуханием возбуж-
денных состояний атома. Вблизи резонанса необходимо учитывать е.
тественную ширину уровней, т. е. сделать замену
т—» /Й
-* Es - - ys.
Тогда главный (резонансный) член в сечении (33.12)
, . 2
(33 -'"I
о
п С
do ft
< do t
резон
(ш - шя)2(1 / 4) у?
(33.211
1
V.
всем состояниям системы, имеющим ре
где означает сумму по
к J 11
нансную энергию Es (например, по проекциям момента, есл s &
Результат (33.21) дает форму рассеянной линии, совпада1ОЩ\^стСя^
тественной формой линии при спонтанном излучении ^ванТац1ИрИн<’й
атомом в возбужденном состоянии | s) (если пренеореч
состояния | /)). Формула (33.21) правильна, если падающая во^ ^ейЬ
разброс по частотам больше ширины ys. Для падающего ЯУ еСТес’-
малым разбросом по частоте и рассеянная линия будет }
венной ширины (ср. с лекцией 3, п. 4).
33 1)орезонаН?
В согласии с наглядным представлением (см. рис. 3 ' м BbiO"
ном возбуждении состояния | х) и его последующем спон
Лекция 33. РАССЕЯНИЕ СВЕТА
305
сечение резонансной флуоресценции, получающееся из
ццваШ111’ . = = aj ё = ё", можно связать с интенсивностью
,з3'21)нного излучения (30.6) или с шириной
лонтан , ,
1 J(u 4 I 7 ,2
Ys = - = — = - TJ I d” I -
rv hat 3 her
я 33-2. Доказать, что сечение резонансной флуоресценции, просуммирован-
' ^поляризациям рассеянного кванта и проекциям конечного момента атома, про-
НОС П° ванное по направлениям к' и усредненное по поляризациям начального кван-
"^"^юекциям начального момента атома, равно
2Л+1___________d
Лпезон =--"-----------Г--------7 "7 ’ к = ~ ‘ <33'22)
Р 2(27,+ 1) (w-wCT)2 + (l/4)d к1 с
Согласно (33.22) в резонансе о-резО1, ~ рг ~ X2 — порядка квадра-
та длины волны фотона. Это максимально достижимое квантовое сече-
ние рассеяния (см. лекцию 44).
Иногда для описания упругого (несмещенного) рассеяния вводят
амплитуду рассеяния f зависящую от угла рассеяния и поляризации
рассеянного кванта и нормированную так, что дифференциальное сече-
ние упругого рассеяния
(33.23)
(33.24)
v = l/l2-
do
Из (33.14) мы видим, что (для изотропной системы)
2
f = а(т) (её').
Формулы (33.14) и (33.23) правильны и при учете резонансов, од-
нако тогда поляризуемость tz(w), а с ней и амплитуда f становятся комп-
лексными (см. лекцию 32). Одновременно с этим мнимая часть а опре-
деляет и реальное поглощение света системой. Сравнивая (32.34) и
мы находим замечательную связь сечения поглощения фото-
**°в, т. е. полного сечения всех процессов, ослабляющих первоначаль-
фотИоПУЧОК’ С амплитУД°й упругого рассеяния без изменения состояния
а (е — е)-
о = Y Im f.
Этд Свячт.
носит название оптической теоремы (см. лекцию 43).
Итература: [2, § 27; 6, гл. 6; 21; 34].
(33.25)
Лекция 34. ФОТОЭФФЕКТ
Когда частота света, падающего на атом, превышает порог иони-
зации, становится возможным поглощение кванта с выходом электрона
в непрерывный спектр. Именно объяснение законов фотоэффекта
Эйнштейном (см. лекцию 1) было одним из основных указаний на
квантовую природу света: элементарный акт взаимодействия кванта
поля — фотона — с атомным электроном происходит при выполнении
закона сохранения энергии
Г - Г 4-
ЛШ Ссвязи +
2т
(34.1)
где р импульс конечного электрона. (Если фотоэлектроны выбива-
ются из твердого тела, то необходимо учитывать работу выхода.)
При взаимодействии фотона со свободным электроном законы со-
хранения энергии (34.1) и импульса одновременно не могут быть вы-
полнены, так что поглощение возможно только связанным электроном,
когда лишний импульс принимается ядром (или кристаллической ре-
шеткой). Поэтому качественно ясно, что чем сильнее связан электрон,
тем больше вероятность фотопоглощения (если, конечно, lico превыша-
ет пороговое значение — энергию связи). Экспериментальное сечение
фотоэффекта на атоме (рис. 34.1) при энергии ha>, достигающей энер-
гии ионизации новой атомной оболочки (М, L, К), резко растет
а с дальнейшим ростом частоты снижается, так как относительная свя
---I >пайКв
занность электрона уменьшает-
ся. Мелкие всплески на схеме
обусловлены тонкой структурой
атомных спектров. Энергия
ионизации Ir основного состоя-
ния атома определяет красную
границу фотоэффекта, за кото-
рой сечение уже монотонно
уменьшается: в нерелятивмст-
Рис. 34.1
Лекция 34. ФОТОЭФФЕКТ
307
тИ пропорционально Z5<w 7/2, а при Йсо » тс2 сечение фото-
o6facC Г-оболочки
эфФеКга С
о к ~ 10-33 Z1,
ПО)
(34.2)
I в см2, в МэВ. Сильная зависимость от заряда ядра (~ Z5)
,е е обусловлена ростом связанности электрона при увеличении Z.
^^ычисление сечения фотоэффекта оказывается достаточно прос-
области частот ho), удовлетворяющих неравенству
тым в и
^связи « тС2,
(34.3)
когда с одной стороны, электрон можно рассматривать (для не слиш-
ком тяжелых атомов) нерелятивистски (р/(тс) «1), а с другой, — его
конечная скорость велика по сравнению с атомными скоростями иат:
р2 _ гтх
2т 2
,2 723 z17
- ~ hw »ЕСВ ~ ,
2ау 2h2 / (те2)
откуда следует, что
Т] = ~ «1.
hv
(34.4)
(34.4’)
При этом импульс кванта Пк оказывается малым по сравнению
с импульсом фотоэлектрона:
2
hk _ ha> _ Р __ у_
р ср 2тср 2с
(34.5)
В силу v » нат для расчета вероятности фотоэффекта можно поль-
юваться теорией возмущений, так как искажение состояния вылетев-
шего быстрого электрона полем ядра несущественно и конечную вол-
новую функцию можно считать плоской волной -4= Q‘Prlh.
Vr
Поглощение света атомом, совершающим переходы в дискретном
спектре, носит резонансный характер (29.9), (29.12). Для переходов в
спек,пР сечение будет плавной функцией частоты света.
адь грируя (29.9') по энергиям фотоэлектрона, найдем дифференци-
вием°е Сечение ^(о) вылета электрона в телесный угол do под дейст-
Rnn Света с частотой со и поляризацией Л, падавшего в направлении
°Лн°вого вектора Л:
2 _
dd(0)) = I (/ Iе'^> I /) I2 Р/, (34.6)
пгш Л*
308
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
где в силу (27.15) плотность конечных состояний
И
Р/ =------г тп do,
' (^')3 F (34.6,
и в матричном элементе (34.6) для простоты оставлены лишь
ры, действующие на переменные вылетающего электрона (чи °Перат°-
частичный переход) ' СТо °Дно-
Пусть начальное состояние электрона отвечает Л'-оболочке
волновая функция водородоподобна (9.16): ’ Где его
(f 11) = e-z'/flo; (г I/) = ~
\ лаХ dy
(34.?,
Тогда матричный элемент (34.6) легко вычисляется с помощью инт
рирования по частям:
_ / z3
f Z3 - _
Mfi = (f \e‘krP |i) =
ё.^ f dr e ft ,>r + ’*r(—ZftV) e~Zrlao -
= e).k ' (P ~
• f dr <—itN ехр i I— — к г
g—Z/7o0 _
1 z3
Л
J dr exp
«о
Поскольку из-за поперечности волны ё^ • А = 0, то найдем
Z3
Мп = P'ed f dr е‘9~г ~ Zr/“« = J^~- 7 P 2^ 2~’ (34'f'
" V «0^ (Z2/oo+9)
где введен импульс, переданный ядру,
iiq = tik — р. (34.^)
Из (34.6), (34.6') и (34.8) получим
4
do _ 32«
do
Р
(Z2 / + <72)4
(34.10*
, __вдоль
Выберем ось z вдоль волнового вектора к фотона, а ось х в
его поляризации ё, ,. Тогда р • ё.т = psin 6 cos р, а в силу нер
(34.3Н34.5)
Лекция 34. ФОТОЭФФЕКТ
309
h2q2 = р2 1 — 2 — cos в + й2Л2 ~
\ Р > (34.11)
р2 11 — 2 — cos в] ~ р1 (1 — - cos в| ;
\ р / \ с /
Потому
£ ар _ mv ft2 _ tiv _ j.
fi Z ti mZe2 Ze2 tj
сечение (34.10) приближенно равно
sin2 в cos2 <р
] V
1 - - cost?]
< с /
(34.12)
(34.13)
Как уже упоминалось, основная энергетическая зависимость при
«1 дается фактором (т}5/(о) ~ ео-7/2. Угловое распределение фото-
лектронов изображено на рис 34.2, а.
При и «с большинство электронов выбивается в направлении элект-
рического поля фотона; в направлении к сечение обращается в нуль.
С ростом к, а следовательно, и V, все большую роль играет знаменатель
(34.13), из-за чего лепестки углового распределения поворачиваются
вперед (рис. 34.2, б). Интегрирование по углам в (34.13) дает полное
сечение фотоэффекта, которое удобно представить в виде
оК = 10-16Z5 , Есп « fat) •« тс2, (34.14)
\ hcuJ
ie af- в см2, со в эВ.
При энергиях порядка нескольких мегаэлектрон-вольт сечение фо-
тоэффекта мало и дается формулой (34.2). При еще больших энергиях
возможен уже ядерный фотоэффект — поглощение у-кванта ядром
Рис. 34.2
310
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
с выбиванием одного или нескольких нуклонов (энергия св
в ядре составляет 7-8 МэВ). Из-за сильного взаимодейств” НуКл°на
нуклонами существуют сравнительно долго живущие соснт Ме*ДУ
с энергией возбуждения больше энергии связи нуклона. Эти ЯНИЯ ЯДра
конечно, относятся к непрерывному спектру, но являются кв°Остояния,
парными. Энергия возбуждения ядра при этом распределяется”0™4”0'
гим нуклонам, так что энергии, приходящейся на один нукло П° Мно'
статочно для его вылета. Такую картину составного ядра (Н Бо ’ 1^°'
интерпретируют термодинамически — „нагретая капля", где возбуж
ны многие степени свободы. После того, как в результате флукт^Т
энергия все же сосредоточится на одном нуклоне, он может выл аЦИ”
из ядра, однако такой процесс отличается от прямого фотоэфф^1
выбитый нуклон „потерял память" о том способе возбуждения каки I
было получено составное ядро, так что результат скорее напоминает
испарение из капли — угловое распределение таких нуклонов в отли-
чие от (34.13) близко к изотропному, а энергетический спектр напо-
минает максвелловский. Вместо испарительных нуклонов могут излу-
чаться вторичные у-кванты. Естественно, что и возбуждаться составное
ядро может не только у-квантами, но и в различных других реакциях.
Состоянием рассмотренного типа (но с большой шириной — по-
рядка 5-7 МэВ) является наблюдаемый во всех ядрах гигантский ди-
польный резонанс — широкий максимум в сечении фотопоглощения в
области ho ~ 20 МэВ. Его часто интерпретируют как коллективное ди-
польное колебание протонов относительно нейтронов; проинтегриро-
ванное по площади этого пика сечение фотопоглощения J dEya со-
ставляет значительную часть полного дипольного правила сумм
(29.24).
Как в случае прямого ядерного фотоэффекта, так и для процессов,
идущих через составное ядро, реально наблюдаются обычно продукты
распада (нуклоны и у-кванты). Резонансное поглощение кванта с воз-
буждением ядра в дискретном спектре (аналог резонансной флуорес-
ценции, см. лекцию 33) обычно трудно наблюдать из-за отдачи ядра,
это стало возможным с открытием эффекта Мессбауэра (см. лек
цию 3).
Атомный фотоэффект является основной причиной поглош
мягких у-квантов (до энергий ho порядков десятков и сотен кил
рон-вольт); наши формулы хорошо работают примерно до
~ - тс2, причем вычисленное фотопоглощение ^-оболочкой со
ляет основную часть полного эффекта. При энергиях ho пСРяД^ваН-
скольких мегаэлектрон-вольт главным механизмом поглощения У сеЯ.
тов в веществе является эффект Комптона (см. лекцию 1)
Лекция 34. ФОТОЭФФЕКТ
311
я на атомных электронах, которые при таких больших зна-
ние св^ моЖНо считать свободными.
чен> ? еход рассеяния света на связанных электронах в комптоновское
I о проследить на формулах лукции 33. С ростом to длина волны
М0*Н° становится меньше размеров атома. Тогда функция е'*г в мат-
В>т°на элементе (33.2) начинает осциллировать на размерах атома, что
РичН уменьшает вероятность рассеяния с переходом атома в дискрет-
5Крпектре (сказывается то же самое уменьшение атомного формфак-
Н°М с ростом переданного импульса, которое рассматривалось в лек-
тОц228). Однако, как и при неупругом рассеянии заряженных части,
^чинает расти роль процессов, в результате которых один из атомных
электронов оказывается в непрерывном спектре.
Если конечный импульс электрона близок к
р = Й (£ - к'),
(34.15)
то в матричном элементе рассеяния (33.3) осциллирующая экспонента
ецк - к‘)г Погасится плоской волной конечного электрона. При этом для
аданного угла рассеяния 0 = (кк') частота рассеяного кванта а)' пол-
ностью определена формулой (34 15) и законом сохранения энергии.
Но эти законы сохранения при ha) » Есв совпадают с условиями рас-
сеяния на свободном покоящемся электроне. Это и есть эффект Комп-
тона. Ему отвечает узкая смещенная линия с частотой
а)' =----—----------, (34.16)
1 + --- (1 - cos в)
тс1
дающая при ha)/(mc2) «1 томсоновское рассеяние, сечение которого
определяется (33.14). При ha)/(mc2) » 1 для не слишком малых углов
рассеяния конечная длина волны Я' = (1 — cos 0)Й/(тяс) определяется не
начальной частотой а), а комптоновской длиной волны частицы h/(mc).
Ирина линии (34.16) зависит от неопределенности Д/? импульса
J^poHa в атоме. Точный расчет с учетом релятивистских и спиновых
ктов дает для сечения комптоновского рассеяния формулу Клей-
~ Мишины - Тамма (1929-1930)
^ = г2-4(«1 + ^_2+4(ё
do 4&Г \ш а) /
(34.17)
ГДе е и ё' е2
поляризация начального и конечного квантов; го = —г —
₽ассиче - тс^
^гласно СДИй РадиУс электрона, а со' определяется углом расстояния
(34.16). При а) = aJ отсюда снова получается формула (33.14)
312
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
томсоновского рассеяния. При Йсо/(тмс2) »1 полное сечение рассеяния
неполяризованных квантов равно
„ _ 2 мс2 h 2й<11 , 1
о = — In — + - , (34 и
па> \ тег 2/
т. е. уменьшается с увеличением частоты ео (для атома результат (34.18>
следует умножить на Z). В силу этого уменьшения растет проникаю-
щая способность у-квантов (или жестких рентгеновских лучей).
Однако при tun > 2тес2 ~ 1 МэВ разрешенным становится новый
процесс — рождение падающим квантом пары электрон - позитрон
в поле ядра (ядро опять принимает лишний импульс, что необходим!
для выполнения законов сохранения; энергия отдачи ядра мала из-за
большой его массы). Сечение образования пар растет с частотой про-
порционально Z2 1п со, а при очень больших частотах перестает зави-
сеть от со. Для частот fico й I Отис2 рождение пар является доминирую-
щим механизмом поглощения у-квантов. На рис. 34.3 показана относи
тельная роль различных процессов при разных энергиях (для тяжел
атомов).
т-г * /1 г о -1 л9 эВ) воз-
При энергиях па) порядка гигаэлектрон-вольт (1 1 эВ - i v J /G,,n.
можны кроме атомных и ядерных процессов (включая эффект
тона на нуклонах) также процессы с рождением других частИЦ'э1еКТ-
нец, при достаточно большой энергии у-квант может вызывать
ронно-позитронный ливень: частицы, рожденные первичным „
тормозятся в поле ядра и испускают новые у-кванты, которые,
очередь, образуют новые пары и т. д. гд].
Литература: [1; 3, § 12; 6, гл. 5; 7, гл. 14; 8; 21; 34; 5 ,
Лекция 35. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обычное уравнение Шредингера, как легко показать, удовлетворяет
релятивистскому принципу относительности Галилея — не меняет
зоего вида при переходе в систему отсчета, движущуюся со ско-
I тью v « с [17, гл. 5, № 5]. Относительно общих преобразований
Лоренца оно явно не ковариантно, так как содержит временную произ-
водную первого порядка, а пространственные производные — второго
С другой стороны, ясно, что при переходе в релятивистскую об-
меть, где необходимо учитывать конечность скорости распростране-
ния взаимодействия с, возникают кроме обычных квантовых соотно-
шений неопределенностей некоторые новые ограничения (подробно об
)том — см. [6, § 1]). Действительно, для волнового пакета со ско-
истью движения как целого, равной V, имеем (см. лекцию 3)
— — А Е ~ пАр = Ер « сАр,
А/ Е
ie ЕЕ и Др — энергетический и импульсный разбросы в волновом
'акетс, А/ — время его прохождения. Таким образом,
Ар Аг й - , (35.1)
С
го определяет наилучшую точность измерения импульса при задаи-
продолжительности измерения. Для того чтобы имело смысл по-
ие частицы с массой покоя т, должно быть, по крайней мере,
ЕЕ < тс2, Et & —,
П1(Г
откуда п
леНн ’ со°тветствии с (35.1), Др — тс, а следовательно, неопреде-
ть локализации частицы (в системе ее покоя)
Ах а — ~ — . (35.2)
Ар тс
314
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Это означает, что частицу нельзя локализовать на размерах
ее комптоновской длины волны = Й/(тис); при более то' М~НЬ1ци'
лизации неопределенности импульса и энергии станут ст И Ло,са'
шими, что возможно рождение новых частиц. Тогда сама задача
смысл — от квантовой механики необходимо будет перейти к ТеРЯет
вой теории поля. Квант«
Поэтому возможные релятивистские обобщения уравнения
дингера заведомо будут иметь ограниченную область применимо
(Для фотона т = 0 и согласно (35.2) вообще не существует его СТН
вой функции в координатном представлении.) В частности, ypaBH^”0"
для движения частицы во внешнем электромагнитном поле нельзя бк
дет пользоваться, если поля быстро меняются в пространстве (на пас
стояниях не более Й/(тис) или во времени (за интервалы меньше
Наличие высоких фурье-компонент поля (Аси тсЕ 2 *) приводит к реаль
ному или виртуальному (на коротких временах) появлению новых час-
тиц, так что представление об одночастичном движении становится
неприменимым.
Имея в виду эти ограничения, попробуем построить релятивист-
ское квантовое уравнение. Искомое уравнение должно для свободног
движения частицы с импульсом р давать формулу энергии
(35 3)
для плавно меняющихся полей <р, переходить в классическое выра-
жение _______
2
I + е1Р'
(35.3»
Е = Jm2c4 + с2 [р — ~
V \ с
а в квантовом нерелятивистском пределе обращаться в уравнение Шре-
дингера.
Простейший путь такого построения — замена в выраже
(35.3)—(35.3*) энергии и импульса релятивистской частицы соответ-
вующими квантовыми операторами (1.35)
Е Ё = ih-, р-+ р = - ihV,
dt
действующими на координатную волновую функцию 0„„...
в силу некоммутативности операторов р и Q?/(r)трудно придат
значный смысл входящему в (35.3') квадратному корню. квадрег "
Предпочтительнее поэтому сначала возвести (35.3) ь1(354>
лишь затем „квантовать41 это соотношение с помощью
(35-4)
Лекция 35. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
315
получаем уравнение Клейна - Гордона (1926) для релятивист-
forfla М^иЦы во внешнем электромагнитном поле
(Я — е^)2Ф = {raV + (ср — ео£/)2} Ф,
(35.5)
дифФеРеНЦИаЛЬН0М ВИДе
\2 / \2
+ _ IV — — ояч +
с dt he / \ he /
т^с2
й2
Ф(г, t) = 0.
(35.5')
в отсутствие поля (35.5') сводится к уравнению Гельмгольца
k - -L _
г 2 \
4 - V2 + к2 Ф = о,
itr аг /
(35.6)
а для частиц с нулевой массой покоя т = 0 — к обычному волновому
уравнению.
Очевидно, что уравнение (35.6) обладает решениями, описываю-
щими плоскую монохроматическую волну. Действительно,
Ф(г, 0 = const • е'№? “ й>/й (35.7)
является решением (35.6), если
Е2
й2^
- Тэ + ^0 - °,
й
по совпадает с релятивистским соотношением (35.3) между энергией
и импульсом свободной частицы. Можно, как и в уравнении Шредин-
гера, искать стационарные решения уравнения (35.5'), описывающие
Движение частицы во внешнем поле, не зависящем от времени. В част-
ости, при <р = - Ze'г, &Г — 0 мы получаем релятивистский „атом во-
чорода“. Решение этого уравнения дает спектр связанных состояний,
*торый при с -» оо переходит в обычный нерелятивистский спектр
' а Однако релятивистские поправки, полученные из решения урав-
МиНИя (35.5') в кулоновском поле, не согласуются с экспериментальны-
Рсзультатами исследований тонкой структуры водородного спектра
V- лекцию 21).
^Таким образом, уравнение Клейна - Гордона не описывает кван-
воЛно Поведение релятивистских электронов. Это связано с тем, что
НокОмВая Фикция ф, удовлетворяющая этому уравнению, является од-
^Равце°НеНТН°й величиной, т. е. отвечает частицам со спином 5 = 0.
вистскц ИС ^Лейна ~ Гордона можно применять для описания реляти-
УЖе упИХ ®Сссг,иновых частиц, например, лг-мезонов („пионов"). Как
иналось в лекции 3, „пионы" (наряду с другими мезонами)
316
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
выполняют роль переносчиков ядерных сил, а их комптонов
волны играет роль радиуса действия этих сил ДЛИНЬ1
Уравнение Клейна - Гордона имеет решения, подтвепжп
кое истолкование. Пусть, например, источником поля ядерных'
ляется точечный нуклон, расположенный в начале координат
чески симметричное статическое решение уравнения (35 6) с
ностью в точке г = 0 имеет вид '
>Шие -г,.
с«л яв.
Сфери-
особен-
... z-ч const -К,- const __/]
ip(r) =---------e ° =-----------e r'M
(35.h)
на рас-
т. e. описывает пионную „шубу“ нуклона, простирающуюся
стояния — Именно пион, как легчайший из мезонов, опреде
радиус действия межнуклонных сил. Силы, действующие’на меньших
расстояниях, определяются уже более тяжелыми (т. е. с меньшей комп
тоновской длиной волны td(mc) мезонами. При т -» 0 потенциал Юка
вы (35.8) переходит в обычный кулоновский потенциал точечного заря-
да („переносчиком" здесь является безмассовый фотон). Применимость
уравнений Клейна - Гордона для описания пионного поля подтверж-
дается удовлетворительным согласием вычисленной по этому уравне-
нию тонкой структуры спектра связанных состояний в кулоновском
поле с наблюдаемым спектром л-мезоатомов.
Следует, однако, отметить, что уравнение Клейна - Гордона требует
видоизменения интерпретации по сравнению с уравнением Шрединге-
ра. Поскольку теперь мы имеем уравнение второго порядка по времен-
ным производным, задание волновой функции Ф(/о) уже не определяет
всего дальнейшего развития системы — для этого необходимо задать,
например, еще производную Ф(г0). Величина | Ф |2 уже не может яв-
ляться плотностью вероятности в обычном смысле, так как интеграл
J dr | Ф |2 по всему объему, в отличие от (4.12'), теперь не сохраняется.
Как легко убедиться, для уравнения (35.5') роль плотности вероятности
могла бы играть величина
так как интеграл от нее по объему не зависит от времени. Но вырВВ
ние (35.9) не является положительно определенным. Факгич ^р^,.
дает временную компоненту р 4-вектора тока {р, j/c}, удовле W
ар , ~ п
щего уравнению непрерывности------1- dw J = U
в/
Все эти трудности тесно связаны с упомянутыми Ре^я™епеНц
соотношениями неопределенностей. Они в значительной
Лекция 35. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
317
ются в квантовой теории поля, где допускается рождение но-
И*,СВиЦ число которых является переменным.
частиц со спином 5=1/2 можно построить уравнение, фор-
I ^аналогичное уравнению Шредингера в смысле вероятностной
мадьно _ — уравнение Дирака (1928). Однако при этом неиз-
инте
Р оказывается, что наряду с электронами („частицами14) уравнение
®ежН°а описывает также их античастицы — позитроны.
^При попытке локализации электрона более тесной, чем в пределах
комптоновской длины, энергия, затраченная на локализацию, в си-
^соотношения неопределенности превысит порог 2тсг рождения па-
° электрон - позитрон, так что вновь мы получаем задачу многих тел.
рЫ Литература: [2, § 13; 7, гл. 16].
Лекция 36. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Будем искать релятивистское уравнение, содержащее первую п
изводную по времени, а следовательно (для релятивистской ковариант
ности), и по координатам. Если мы хотим придать ему обычную га
мильтонову форму (4.24)
ih — = НЧ,
dt
(36.1)
то гамильтониан Н свободной частицы должен быть линейной функци-
ей компонент оператора импульса pt = — in — ,т. е. может быть запи-
дх,
сан в виде
Н = сахрх + сауру + cazpz 4- flmc2 = cap + fhnc2. (36.2<
Здесь a = {aXt y, z} и /3 — неизвестные операторы, а коэффициенты
выбраны так, чтобы обеспечить правильную размерность Н.
В силу однородности пространства и времени операторы а и /3 не
могут зависеть от координат частицы (г, f) и поэтому коммутируют
операторами энергии и импульса; они определяются лишь внутрен
ними энергиями частиц данного сорта. Для того чтобы найти Усл0®^
которым должны подчиняться эти операторы, заметим, что для
свободных частиц о
Я2 =/и2с4 + с2>2. (36
Однако из (36.2) имеем (соблюдая порядок операторных сомн w
ТеЛеЙ) /36.4»
Н2 = т2с4[32 + c2PiPjaiaj 4- тс3 Pi(ficti +
Записывая второй член в правой части (36.4) в симметричног»
| с2 Р,Pjictiaj + с7«,)
Лекция 36. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
319
Ьнивая (36.4) с (36.3), получаем:
= 1; 0af + аф = 0;
а2 = l(i = х, у, z); а,а^ 4- = 0, i j. (36.5)
боазом, мы получили условия, определяющие алгебру опера-
о Никаких других условий для них не существует.
тЭР°Птак квантовое уравнение (36.1) для частиц, описываемых вол-
функцией Ч>, имеет вид
/Й = (fimc2 + cap) Ф.
(36.6)
Оно легко обобщается на случай наличия внешнего поля (<р,
ih — = { втс2 + а(ср — e&tf) + ер} Ф. (36.6')
dt
Здесь мы предполагаем, что взаимодействие с электромагнитным по-
ем „включается44 таким же „минимальным44 способом, как это было в
нерелятивистской теории.
Очевидно, что операторы а и /3 действуют на внутренние степени
свободы частицы, т. е. могут быть представлены матрицами, имеющи-
ми размерность (как и число компонент волновой функции Ф), совпа-
дающую с числом различных значений, которые могут принимать эти
степени свободы (аналогично обычным двухкомпонентным спинорам,
си. лекцию 15). В силу (36.3) каждая компонента волновой функции
човлетворяет уравнению Клейна - Гордона (35.5)
-ft2 = Н2Ч> = {т2с4 + с2(—z/zV)2} Ф.
dt
Задача 36-1. Показать, что необходимые условия (36.5) не могут быть выполнены
матриц размерностью меньшей 4.
Уравнение (36.6) волновой функции Ф, имеющей 4 компоненты
пинор), описывает, как мы увидим ниже, частицы со спином 1/2 и
беек ается УРавнением Дирака. На классе матриц 4x4 можно найти
81)ям (1лНОе Множество наборов частиц аи /?, удовлетворяющих усло-
КГ-*)• Физически все они эквивалентны, и выбор того или иного
люк°Г° пРедставления определяется соображениями удобства,
кие, Ос Ых ДвУх представлений можно найти унитарное преобразова-
^’Тс/ЩествляюЩее переход между ними (конечно, линейно преобра-
Ф и Компоненты волновой функции).
в0;‘/ЧенИЧеСКИе Результаты не будут зависеть от представления; для их
Достаточно свойств (36.5). Если же нам понадобится явный
320
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
вид волновой функции, то мы будем пользоваться так
стандартным представлением, в котором для построения
ных матриц а и /? кирпичами служат матрицы Паули (15 2())WPeXMeP'
1 о) _
-П~
/1
О
о
О
1
О
О
0
0
-1
О
О'
О
О
-I
а =
О а\
Д 0 ’
(36.? ।
Эти 4 матрицы Дирака эрмитовы i
единичной матрице 4 X 4). Легко проверить выполнение
(36.5). Следы матриц (36.7) равны нулю.
и унитарны (квадраты матриц павИ1
ппппепитк Rkinonun,,..^ СООТНО ”
Матрицы а и /? удобны в задачах, где решение ищется в спред,
ленной системе отсчета. Если же желательно иметь релятивистск
ковариантную форму, то целесообразно ввести вместо них матрицы
Уо = А у = ^ = у ой =
(0 о\
(36.8 >
Как следует из (36.5), коммутационные соотношения у-матриц имеют
вид
УцУг + УуУ/. = 2gflv’, (/и, v = 0,1, 2,3), (36.9)
где метрический тензор (четырехмерный символ Кронекера)
8 цу
1, /л = v = 0;
- 1, /л = v = 1, 2, 3;
0, ц V.
(36.11
С его помощью скалярное произведение 4-векторов а и b запишется
как
(a - b)- a0b0 - ab = a^g^ = ацЬ^ (36 1!
(по повторяющимся индексам — суммирование с правилом знаке»
(36.10)). Согласно (36.9) и (36.10)
Уо = 1. У?, 2. 3 = - 1-
(36 01
Полезной в дальнейшем будет также матрица
Р Л (36.12
У5 = гУ1УгУзУо = iaia2a3 = - ^ 0]
(она меняет местами две верхних компоненты биспинора с диУм
ними) Легко найти, что
Лекция 36 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
321
yl = 1; У5У/< + У/<У5 = 0, Ц = о, 1, 2, 3.
(36.13)
теперь уравнение Дирака с помощью матриц у. Умножая
’J I г » 3 I
получим А = in —
,(,.6-) на 74, k dt)
(F е I - । -
уо - - У Р-
\с С / \
- <%/ - тс\ Ф = О,
(36.14)
вводя 4-векторы импульса и потенциала,
. Jl iftf1-,-v); й//„ = {tp, СО/) = (с</0, ctf), (36.15)
Ph " kc ’ / Vc dt )
Yu ~ - mc| Ф = 0. (36.14’)
Удобно обозначать для любого нематричного 4-вектора Vfl
V = {V -у) = УрУр = И0уо - Уу, (36.16)
тогда уравнение Дирака примет красивый вид
- - се/- тс] Ф = 0. (36.17)
С ~ /
Задача 36-2. Пользуясь (36.9), доказать, что в любом представлении имеют место
ткдества:
11 (г У)-УД> =4;
;)Р<?+ q р = 2(р q);
''YpP+ РУр = 2Pfl, уpPqyfl=4(p- q\
* 5РУЯ =Spy5 =0;
°лед любого произведения нечетного числа матриц у равен нулю;
''ИР(УдУг) = 4а^;
₽ (УpYvyруо) = 4(6pV6pO — dpp6va + ^po^vpY
Sp ^^УрУуУрУо) = - 4i£pvpa,
hvpo абсолютно антисимметричный тензор 4-го ранга.
В (л
да^ вь,бранном стандартном представлении (36.8) у-матрицы обла-
СЛеДующими свойствами: при комплексном сопряжении
у| =Уь У2 = - У2, Уз = Уз, Уо = Уо, У5=У5; (36-18)
3*«3010
322
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
при транспонировании
У1 = ~ У1> У2 = У2, Уз = ~ Уз. Уо = Уо, у? = у . I
Г5* (Зб.1у
при эрмитовом сопряжении
УГ = -Уь У2=-У2. Уз=-Уз, Уо = Уо, У5=у5. (361
Определим для каждого биспинора (столбца)
'фЛ
Ф2
Ч'з
W
Ф =
эрмитово сопряженный биспинор (строку)
Ф+ = Ф^Ф^Ф^Ф;'.
Очевидно, что Ф+ удовлетворяет уравнению
—ih = Ф+ {fimc2 — аеА + е<р} — ср^+а. (36.19,
dt
Вводя плотность вероятности
4
р = ф+ф= (36.20
/4 = 1
найдем, что справедливо уравнение непрерывности
— + div / = О, <’621
dt
где вектор плотности потока вероятности
] = сф+йф = с Хфдй^ф,- (
/1, v = 1
В отличие от нерелятивистского случая (18.11) вектор j формально^
содержит диамагнитного слагаемого, хотя компоненты волнов
ции Фу, конечно, зависят от поля. Величины р и j вещественны,
„ zt cqa использова>₽
чем р > 0, что позволяет в противоположность (ээу; сКалярн<х
обычную шредингеровскую интерпретацию. Определив
произведение биспиноров как (10.16")
Лекция 36 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
323
(Ф1,Ф2) = рг Ф,+ Ф2,
строить весь аппарат гильбертова пространства. Задание
цо*110 ПдОстью определяет эволюцию системы.
Wo)п<^ользуемся свободой, существующей в выборе матриц Дирака,
Г В°СПновЛения важного свойства уравнения Дирака. Заметим, что
^/вместо матриц а и /5 ввести
(36.23)
(36.25)
а! = а, (36.24)
Р мутационные соотношения (36.5) не изменятся. Это означает,
1 К° трицы (36.24) осуществляют представление алгебры (36.5), экви-
410 твое исходному, так что существует унитарное преобразование С,
взывающее оба набора:
С (-0*) С~} = Д С аС~' = а.
Задача 36-3. Найти матрицу С в стандартном представлении.
Ответ. С = ^«2> гдс множитель i выбран так, что С+ = С = С-1
Сделаем в общем уравнении Дирака (36.6') комплексное сопря-
жение:
—ih = {0*тс2 — а*(ср + еос/) + е&^о} Ф* (36.26)
dt
десь ф" — по-прежнему столбец, но с комплексно-сопряженными
компонентами). Подействуем на обе части (36.26) матрицей С:
ih = {С (-0*) С~хтс2 +
dt
+ С а* С~' (ср + е&Г) - eatf0} С Ф*.
Пользуясь свойствами (36.25), окончательно получаем
а(с ф*)
Я -------- = {0mc2 + а(ср+ е&/) - еос/0} (С Ф )• (36.27)
dt
Нем^Ы видим, что если Ф есть решение уравнения Дирака во внеш-
1еП°Ле’ то (С Ч/*) также есть решение уравнения Дирака в том же
*3' (3r?oHaK° описывающее частицу с зарядом противоположного зна-
*зыв 27 0Тличается от (36.6') заменой е -» — е. Поэтому операция С
Сается заря^овым сопряжением.
ft, отв^Р^0** СТОРОНЬ1> если Ф есть собственный вектор гамильтониана
ком аЮЩИй ОпРеделенной энергии Е (все компоненты Ф ~ е_'й/й),
ненты вектора (СФ*) имеют временную зависимость е'й/й,
(36.26')
324
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
т. е. описывают состояние с энергией — Е. Ниже мы увидцм
ния уравнения Дирака всегда появляются парами (±Е). олн ’ Чт° Рец*,
с полной энергией Е < 0 не наблюдаются и не отвечают пе ° ЧастиИ«
зическим состояниям. Сделав над формальным решением ЬНЫМ
Дирака с Е < О операцию зарядового сопряжения, мы получ₽аВНя1
ние с Е > 0, но с противоположным зарядом. Это решение М РеЦ1е'
реальному физическому состоянию — античастице. Таким об °ТВеча<*
рядовое сопряжение позволяет вместо решения, описывающег ***
рон с Е < 0, е < 0, рассматривать позитрон с Е > 0, е > Q. сама
ция зарядового сопряжения имеет смысл, конечно, и без всякого
него поля, когда Ф и (СФ*) описываются просто тождественш!^
уравнениями. h
Литература: [2, § 7; 6, § 21, 22; 7, гл. 17; 23, § 66, 67; 42, §
(37.3)
(37.4)
Лекция 37. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ДИРАКОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ
мы ограничимся частицами с ненулевой массой покоя т 0.
. мотрим стационарные состояния свободной частицы, подчиняю-
гйся уравнению Дирака, когда задана энергия Е частицы:
Д/(г, 0 = ^) е-/£//й. (37.1)
I е зависящий от времени биспинор ip(f) удовлетворяет уравнению
Hip = (jhnc2 + cap)ip = Eip. (37.2)
ператор импульса р очевидным образом коммутирует с Н, поэтому
в <ачестве ip можно выбрать состояние с определенным импульсом р.
вующее решение есть плоская волна
\2Jtn)
р — собственное значение импульса, а и(р) — биспинор, удовлет-
кряющий алгебраическому уравнению
(jfrnc2 + cap) i^p) = Е и(р),
после умножения на у0 (ср. с (36.17)),
(/? — тс)и = 0. (37.41)
Фактически (37.4) представляет собой набор четырех линейных
“родных уравнений для компонент биспинора и (р). Поэтому долж-
>ть четыре линейно независимых стационарных состояния, при-
*auuix данному собственному значению р. Подействовав на обе
137-4) оператором (Дшс2 + cap), найдем допустимые энергии
Е2 = т2с4 + с2р2, (37.5)
Два возможных значения
Е = ± Ер = ± ^m2c4 + с2р2.
(37.51)
326
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Надо еще показать, что оба эти значения действительно
появляются парами, т. е. для каждого собственного вект В°ЗМ°*Ны ц
лежащего одному из значений Е (37.5'), существует другой’ ПрИвД."
ный вектор, принадлежащий значению —Е. Это устанавл * Собст®еь.
мощью зарядового сопряжения (см. лекцию 36). егся с
Заменим в (37.4) р -» — р:
(Рте2 - cap) и (~р) = Ей (-р),
(37.(
сделаем комплексное сопряжение и изменим общий знак
(~Р*тс2 + са*р) и(-р) = - Еи*(-р), &
после чего совершим зарядовое сопряжение
{С(~Р*) С~1тс2 + Са*С~1ср} Си(-р) = - ЕСи*(-р). (37 6,(
По определению (36.25) получаем
(Рте2 + сар)(Си(-р)) = - Е(Си(-р)\ (37
т. е. каждому биспинору и (р) с энергией Е соответствует биспино?
Си*(-р\ отвечающий энергии -Е. Из четырех линейно независимых
решений с данным р два отвечают энергии Е = Ер > 0 и два Е =
= Ер < 0. Как уже говорилось в лекции 36, наша интерпретация зь
ключается в том, что решения с £ > 0 описывают частицу-электрон
тогда как вместо решений с £ < 0 следует брать им зарядово-сопря-
женные, описывающие античастицу-позитрон:
нэл(р, £ > 0) = и (р, Е); иит(р, £ > 0) = Си(-р, - Е). (3’’Л)
Согласно Дираку, возможна и несколько иная интерпретация реше-
ний с отрицательной энергией. Спектр разрешенных энергий (375)
имеет вид континуума с щелью от —тс2 до +тс2 (рис. 37.1). Ясно, чтв
така картина физически неудовлетворительна, так как электроны С
£ > 0 могли бы в присутствии третьего тела излучать энергию больше
2тс2 и переходить в состояния с £ < 0. Дирак допустил, что нормаль»
все состояния с £ < 0 заполнены однородным фоном электронов („
, ,£ ре Дирака'), который в силу своей однородности
------------+тс-’ сказывается на реальных экспериментах. *огл.
принципу Паули (см. лекцию 53) переход эле I
нов из состояний с £ > 0 в заполненные сосТчас1^.
------------° фона невозможен. С другой стороны, поле с
той <и > 2mc2/h может перевести фоновый
____________тс2 в верхнюю часть континуума, что будет на
ся как появление частицы с £ > 0 и дырки
„ „ , ниях фона. Во внешнем поле электроны Д
Рис 17 / *
327
f Лекция 37. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ДИРАКОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ
^^^^^д^сймоотзнака энергии. Тогда дырка в фоне передвига-
^нак°в°тИВ0Г1ОлОжНую сторону, что отвечает движению позитрона.
в ПР° видим, зарядовое сопряжение позволяет избежать введения
^акМ*емого моря электронов. Перескок электрона из состояния
яние £ > Ос оставлением дырки в фоне есть просторож-
. •<0вс электрон — позитрон внешним полем; обратным процес-
се лД^ся аннигиляция пары — заполнение электроном дырки в фо-
.. 4 возможность таких процессов кладет предел рассмотрению дви-
* электрона во внешнем поле как одночастичной задачи — при
’“"’’’очно больших частотах поля число частиц перестает быть фик-
мвадным и необходимо решать задачу многих тел (электрон и
Ктонно-позитронные пары). Это приводит к ряду наблюдаемых эф-
,jeK? чт01 конечно, связано с обсуждавшимися в лекции 35 реляти-
' стскими соотношениями неопределенностей.
Перейдем теперь к решению уравнения Дирака (37.4) для свобод-
ного движения частицы. Удобно вместо четырехкомпонентного биспи-
)ра и ввести два двухкомпонентных спинора <р, %, объединив верхние
. нижние компоненты и\
'щ
«2
щ
и .да в стандартном представлении (36.8) уравнение (37.4’) примет вид
Е f <Р
с X
мы получаем систему связанных уравнений для спиноров р и %
Е ~ ~
— р — о • рх = тер,
С
Е _
---X + о • р<р = тех,
с
и =
<р
л
(37.9)
- (а • р)
<Р
гх,
— тс
<Р
.X,
= 0.
(37.10)
(37.11)
можно выразить каждый из спиноров через другой:
со р со • р
X = —------2 <Р = -----------2 'X-
Е + тс Е — тс
(37.12)
BtdHbIe РазРешимости однородной системы (37.11) дает снова собст-
востЬ10 Значения энергии (37.5’). Само же решение определено с точ-
До Двухкомпонептного спинора (задавая, например, у? произ-
328
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
вольно, из (37.12) с Е = ± Ер находим %). Ясно, что двукп
дение состояний с определенным знаком энергии связано'31"06
в выборе двухкомпонентного спинора, т. е. с возможность Пр°Изв°Я(^'
висимых внутренних состояний частицы ’ ДвУХ
1 '
или <р =
<Р
Очевидно отсюда, что дираковская частица имеет спин 1/2
водит к наличию двух внутренних состояний. 1
Пусть мы имеем состояние с положительной энергией
= + Ер > тс2. Тогда из (37.12) следует, что
деле (£ — тс2 « тс2) верхние компоненты
сравнению с нижними (/):
в нерелятивистском Пр-
биспинора (р) велики7
со • р д-р v
X ~ —у <р = —— <р ~~ <р.
2тс 2тс с
(Я !:
Наоборот, для решений с Е = - Ер малы верхние компонент
р ~ vx/c. В системе покоя частицы (р = 0) один из спиноров обращу
ется в нуль, а оставшийся дает обычное нерелятивистское описакиг
частицы со спином 1/2. Именно этим удобно стандартное предстань
ние матриц Дирака.
Для нахождения матричных элементов физических величин hi
мируем биспинор условием
и+и = 1. (З1 14
Рассматривая состояния с Е > 0, имеем из (37.9), (37.12)
и =
ITU = | /V рт, <р
' <р
сд р
Е+т? + тс2
сд р
Р
115 25'),
Считая спинор <р нормированным (<р+<р = 1) и пользуясь (.
лучим
^Р2
(Е + тс2)2
= | N |2 ~•
1 Е + тег
329
ла 37 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ДИРАКОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ
Пакции д'__________:--------:--------------------
азом, нормированное согласно и+и = 1 решение уравнения
°с £ = Ер имеет вид
<Р
о • Р
Е + пи
Е + тле2
~7<Р ’
(37.15)
и =
С
качестве примера вычислим среднее значение скорости частицы
. Одеянии (37.3). Оператор скорости согласно (37.2) равен
б = [F, Я] = Т [г, («Р)] = са. (37.16)
dt ih th
ко убедиться, что собственные значения всех матриц а, равны ± 1,
’ собственные значения компонент скорости частицы равны ± с.
Оцнако состояние с определенным значением компоненты скорости не
ляется стационарным, его можно построить лишь как суперпозицию
—пений с положительными и отрицательными энергиями, для такого
стояния величина | Ф |2 будет содержать быстро осциллирующие
2Е„ 2тс^
। «ны (с частотой (+Е„!Е) — (-Eplh) =->---), так называемое
h h
г^саиие. Из (37.16) видно, что различные компоненты скорости меж-
? собой не коммутируют аналогично тому, как это было для нереляти-
лской частицы в магнитном поле (18.9). В данном случае эффектив-
V „поле“ создается спином частицы, а взаимодействие его с движе-
аем частицы есть спин-орбитальная связь
В состоянии с определенной энергией (например, Е > 0) среднее
ачение скорости отлично от с. Усредняя оператор (37.16) по состоя-
ли (37.15), найдем
(D) — и+саи =
сг<р
со р (О сЛ
ф +, ср + ------ _ „ X
Е + тЕ w
(др) д + д(др) <?р
-------------(Р = ----,
IE----------Е
(37.17)
ли™ ПРавильное релятивистское выражение для скорости свободного
^ния [326, § 9].
Ый и 1ИЧие спин-орбитальной связи приводит к тому, что орбиталь-
'л,КенПИН0ВЬ1й моменты частицы в отдельности не сохраняются. При
1пЬся Ии в любом центральном поле U(r)~ еогУ0(г) должен сохра-
1ft Волнь1й момент частицы. Для орбитального момента (в едини-
| " (1/Й) [г х р] имеем:
330
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
[/, Я] = [/, Рте2 + са - р+ еоя/0(г)] = [/, ей • р] _
= ак [[г х р], рк] = ic [Й х р]. (3? 1
Введем теперь оператор
/й 0)
2 = 1
\0 а) (37.19
Его производная по времени пропорциональна
[2, Я] = с [2, а • р] = с [2, ак] рк,
так как 2 и Р коммутируют между собой. Вычисляя коммутатор I
ходим
[2(, ctk] —
0 (° оА
[Oi,ak] 0 l£ikl[ai o)~2l£Mab (372l
[2, Я] = — 2ic [й х р].
Сравнение (37 18) и (37.20) показывает, что
[/ + (1/2)2, Я] = 0, (37.21
т. е. в любом центральном поле сохраняется оператор
J = 1 + (1/2)2, (37 22
который поэтому и следует называть оператором полного момента
тогда
s = (У/2) 2 (371
— оператор спина дираковской частицы. При р = 0, т. е. в истем-
покоя частицы, вектор спина s сохраняется, как в нерелятивист
теории. льС р
Из (37.20) следует, что для свободного движения, когда импул
сохраняется, интегралом движения является также р • 2.
. _ . Г .24
[р • 2, Я] = 0.
Поскольку р • 2 коммутирует с р, эту величину можно иСП0Л^ь1МИ /
чтобы различить два линейно независимых состояния с (Прое-
и р. Новое квантовое число будем называть спиральностью г
Лекция 37. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ДИРАКОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ 331
на направление движения, характеризующая продольную
чаотцы): 6 =
(37.25)
(37.26)
(37.27)
нНь1е значения &р равны о = ± 1 (соответственно проекция
и^на импульс равна ±1/2).
Если ввести еще оператор знака энергии
Лр = ^, Ер = + -JnPc4 + с2р2,
Ер
рый также имеет собственные значения Л = ± 1, то четыре возмож-
иих сочетания значений о и Л определяют все линейно независимые
состояния IppoX-
Окончательно имеем полную систему решений уравнения Дирака
ля свободного движения
ЧМ'- 0 = <* - «(»
которые являются общими собственными функциями операторов Н, р,
PtypaX = Р^роХ, H^Ppoi Л yjir^C4 + С2р2 ЧраЯ, (37 2g)
&P^A = ^, ApVjM = ЛЧ'рар
Конкретный вид биспиноров мол(р) зависит от представления матриц
Дирака, и их можно нормировать согласно выражению
4'Л' (Р) UElCP) = (37.28’)
^°гиа общее решение уравнения Дирака дается суперпозицией
Ф('’ ° = А S ( S f Si «^(Р) иок(р) (37.29)
Ф^*ИЦиенть1 которой аа;(р) определяются начальными условиями
а<^Р) = f 77^72 е‘^/Й ^(р) Ч'С'. 0). (37.29')
Литература: [2, § 9; 6, § 23; 7, гл. 18; 19, пт. 7; 22, § 69, 70, 73].
Лекция 38. НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В УРАВНЕНИИ ДИРАКА
В нерелятивистской квантовой теории хорошее описание
ронов дается уравнением Паули (18.21), где спиновое гиромагнит*7
отношение gs является эмпирическим параметром. Исходя из пел*
вистского уравнения Дирака, мы должны получить уравнение пГ
с вполне определенным значением спинового магнитного момент
Этот нерелятивистский предел будет осуществляться при низки
энергиях частицы v/с «1 ив тех случаях, когда внешнее поле не м
жет создать релятивистских эффектов, т. е. не имеет больших фурьс-
компонент (пространственных с к > mc/h, или X < Ао, и временных I
о ~ тс2/К).
Пусть нерелятивистская частица с положительной энергией дви-
жется во внешнем поле (oR^j, &^)- Волновые функции стационары ’
состояний ijXr) удовлетворяют уравнению Дирака (36.14) Запишем э..
уравнения через двухкомпонентные спиноры ip(r) аналогично (37
(38.Н
{Е — еоЯ^о — тс2) <р = со
(Е — е&^о + тс2) % = со •
<Р-
(38.1
Выделим из энергии Е > 0 слагаемое, отвечающее массе
ложив
ПОКОЯ. П'
(38 -
Е = тс2 + Е,
и будем считать | е | «тис2, | е — ей/0 | «тс2. В нерелятивистском Црч
деле, как и в случае свободного движения (37.13), нижнии с
мал. В первом приближении, оставляя лишь члены порядка >
из (38.Г) ч
X =-----5----~------со (р -
2т(Г + е — \
а (р - )
\ с_______- >р.
Ф ~ 2тс
38 НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ВУРАВНЕНИИ ДИРАКА 333
Г38.3) в (38.1), получаем уравнение для верхнего спинора
raBjU*ro в нерелятивистском пределе:
12
е
V с /
О
р - ~ й?
I с
2т
+ е&^0
<р. (38.4)
„„ „ (38 4) выражение в квадратной скобке легко преобразуется
ВхОдяшее в V • /
.помошью (15.25).
\-12 / \ / \
' - \2 / \
р - - + i^ijk “ "I °k(c&iPj + Pi^j)-
Поскольку
Eijki&^iPj + PiG^j) = £,Jk(^iPj + G^jPi + [Д, QSf,]) =
= £ijk[p„ G^j] = - ih£ijk G^j = - ih (rot OS/)*,
«энчательно находим
д
p--otf] - — a-rot 05/. (38.5)
c / c
Жщя магнитное поле сРГ = rot of/, запишем нерелятивистское при-
нижение первого порядка в виде
/ \2
1р - - й/
------------+ eos/o —— a off
2т 2тс
<Р = £<Р,
(38.6)
ы получили уравнение Паули для двухкомпонентного спинора р,
ии Щего в нерелятивистском пределе роль обычной волновой функ-
С ей°ГЛаСно (38.6) спиновый магнитный момент частицы равен
hnc °’ т- е- по величине р равен одному магнетону (1.2Г). Факти-
'^ски
*>81^ неоказание с хорошей степенью точности выполняется для
<-чта (Ла и А-мезона (мюона). Отличие наблюдаемого магнитного мо-
Р ^) и ^1агнетона {аномальный магнитный момент) для них мало
объясняется, как и лэмбовский сдвиг, взаимодействием с ва-
334
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
куумными полями. В силу малости постоянной тонкой стп
взаимодействие слабо. В то же время для протона и нейФоЙ^Оэтг
ныи момент превышает нормальный, что обусловлено силг aH°MajiL-
модействиями этих частиц (нуклонов) с мезонными полями Взаи-
ными в уравнении Дирака. Поэтому аномальный магнитнь “& УЧге*
нуклонов не может быть вычислен в рамках квантовой элект М0МеЧт
ки (его необходимо объяснить квантовой хромодинамикой -_ДИНаж
кварковой структуры нуклонов) и должен включаться в уравнеТС°₽пЗ
рака как эмпирический параметр. ние Ди-
Простые оценки тонкой структуры атомных спектров (см
цию 21) показывают, что она появляется от релятивистских по
второго порядка v2/c2. Рассмотрим поэтому следующее за (38 3) неое^*
тивистское приближение. Для простоты ограничимся случаем сггсуг^'
вия магнитного поля (о5/ = 0, ео^о = С/(г))- Аналогично (38.3) имеем
£ - U
Ттс2 ,
X = 7~777-----7 сЪ
Ъгсг + £ — U
а • Р<р
(38-
и, подставляя (38.7) в (38.1), получаем
« 1 ~ ( £ — U
(е - и) <р = са-рх^~о-р\1-
д jj<p.
(38.8.
Для того чтобы перейти от (38.8) к уравнению Шредингера, необ-
ходимо учесть, что с точностью до членов порядка v2/c2 спинор <р уже
не может служить нерелятивистской волновой функцией, так как не-
правильно нормирован. Действительно, если биспинор Ф -1 I У*с
был нормирован на единицу, то
I = J df Ф+Ф = f df (<р+<р + z+%) «
(38«1
= $ df \<Р+(Р +
(поскольку сюда входит %+/, малый спинор % достаточно взять в_ _
вом по v/c порядке (38.3)). Пользуясь эрмитовостью оператора
находим с той же точностью
(РР)2
Ат2^2.
«/Jr 1 +
(ОР)2
8»г2<?
<Р
<Р «
(цр)\
8т2 с2.
Ч>-
’ ия38 НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ в УРАВНЕНИИ ДИРАКА 335
^,ввеЯЙСП№р
(ор)21 _
8/А2]
(38.10)
у (38.9') он оказывается правильно нормированным и играет
’ в ^релятивистской волновой функции. С помощью (38.8) и (38.10)
Кслим
= (Е
2т
^-иА'+^)^
(38.11)
2 , {Р2(.£ -U)- 2(рр\Е - U)(ap) + (е - 17)р2}<р.
8т2 с2}
~2
-U)<p +
Выражение в
фигурной скобке в (38.11) легко преобразовать к виду
fc2V2t/+ 2/г5 • [Vt7 X р]. (38.12)
Подействуем на обе части (38.11) оператором
I
8т2 с2
( ~2
1----
&гг<г
’тором члене, который уже порядка v2/c2, <р на ip, получим с учетом
а во
/ ~2
+ -Ц-у {h2^2U + 2Ьд [Vt/ х р]} ip.
JL
8т2 с2
Стельно находим аналог уравнения Шредингера
Hip = £1р,
Г "4
2п 8^
(38.13)
336
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Итак, кроме обычного нерелятивистского
р2/(2т) + (7(г) мы получили три поправочных члена порЯдЬТ°НИа,!а
Второй член в правой части (38.13) представляет собой ° я
релятивистской энергии свободной частицы до нужного п
____________ -2 -4
Jm2c4 + с2р2 « тс2 + ----------~г
V 2т Кт3^
(38.14,
Четвертое слагаемое в (38.13) дает спин-орбитальную связь и
ностью до множителя 1/2 совпадает с полученной из общих <• 1°Ч
сообра-
жений оценкой (21.1). Для ядра с зарядом Z находим: U(f) = ~ &
- - Ze2 ~ а
Hls = 2mW 1 '
(38.15,
Наконец, последний член (38.13) для чисто кулоновского потенциала
отличен от нуля только в начале координат:
V2C/ = - Ze2V2 1 = 4лг7е2<5(г).
(38.16,
Спин-орбитальное взаимодействие (38.15) отлично от нуля для со-
стояний с ненулевым орбитальным моментом. Напротив, слагаемое
(38.16) (так называемый дарвиновский член) приведет к сдвигу энергий
тех состояний, для которых ip (0) 0, т. е. как раз 5-состояний (/ = 0).
Задача 38-1. Доказать, что расщепление тонкой структуры водородоподобног,
атома дается формулой (21.9) (для любых значений I и у).
Как отмечалось в лекции 21, интервалы тонкой структуры имеют
порядок величины ECB{Za}2, где Еса — энергия связи электрона в атоме.
Поэтому при vic ~ Za « 1 рассмотрение релятивистских членов
в (38.13) по теории возмущений вполне оправдано. С другой стороны,
кулоновское поле допускает и точное решение уравнения Дирака ш
§ 36]; при разложении точного энергетического спектра по степеням
опять получится результат (21.9). Однако мы знаем, что само
внешнего поля и описание частицы с помощью уравнения
в таком поле имеют ограниченную область применимости. 1
поле здесь считается заданным, а число частиц фиксирован ^^рОна
ным единице), не учитываются процессы взаимодействия ноВ
с полем излучения (испускание и поглощение виртуальныховСК0М\
Эти виртуальные процессы приводят, например, к л сДВ11г
сдвигу атомных уровней (см. лекцию 22). Как следует из ( • ’
имеет порядок величины Есв ~ Z2a3 In — и, следовательно, пр
Za
я 38. НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В УРАВНЕНИИ ДИРАКА 337
цбКЦ •—• ~
яемые из точного решения уравнения Дирака поправки сле-
П 110Л\ порядков (и4/с4), дающие вклад ~ £CB(Za)4. Поэтому здесь
.С'1°Шое“ решение уравнения Дирака является на самом деле превыше-
*т°ЧН°очности. Лишь в тяжелых атомах (Za ~ 1) поправка от виртуаль-
чИеМ цессов играет относительно меньшую роль, хотя и здесь она
учитываться. Кроме того, в тяжелых атомах заведомо нельзя
ь потенциал кулоновским, так как ядро имеет конечные размеры.
'ЧИ Литература: [2, § 12; 6, § 33, 34; 7, гл. 18; 22, § 71, 72].
Лекция 39. ОЦЕНКИ ПРОЦЕССОВ
В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Полученные нами результаты в теории излучения, с одной сто
роны, и в релятивистской квантовой механике, с другой, позволяют
в ряде случаев сделать оценки вероятностей электродинамических про-
цессов с релятивистскими частицами. Точные вычисления этих вероят-
ностей возможны только с использованием аппарата квантовой элект-
родинамики, которым мы заниматься не будем.
В порядковых оценках основным параметром является постоянная
е2 1
тонкой структуры а = — = — . С ее помощью мы получаем три фун-
даментальных величины с размерностью длины — боровский радиус
оо = Й2/(тее2), комптоновскую длину волны электрона Ло = ~ аао
и „классический" радиус электрона гц = е2/(тс2) = а2ао- Эти три дли-
ны разделяют по масштабам области принципиально различных физи-
ческих эффектов: атомные масштабы, характеризуемые величиной до,
описываются нерелятивистской квантовой теорией; на расстояниях по-
рядка Ло кинетическая энергия частицы, растущая при локализации
частицы в силу соотношения неопределенностей, достигает величины
массы покоя (р2/т ~ Й2/(тяЛо) ~ тс2), так что необходимо перейти
к релятивистской теории; наконец, на расстояниях порядка го сумеет
венной становится структура „элементарных" частиц.
Напомним сначала оценки атомных величин. Радиус водород
cz -у °0 1 „ 1.0 5 • Ю-8 сМ’
добного атома с ядром заряда Z равен а---------
Z Z Z 2 4
скорость электрона в атоме v ~ с (Za), энергия связи Есв ~ й2
~ mc2(Za)2 ~ Z2 • 13,6 эВ; поправки от магнитных взаимодейств
релятивистского изменения массы малы (~ и2/с2 ~ (2а) от 2 ,
Есв^п^- (Za)2 "
оптических переходах испускаются частоты о) ~
~ Z2 • 1015 с (того же порядка, что и классическая частота д -
электрона по орбите <к<>бр ~ с’/а), чт0 соответствует длинам
39. ОЦЕНКИ ПРОЦЕССОВ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 339
___________________________________________
| с до-5/"2 см. Как и для любой нерелятивистской системы [326,
VlC-
. тенсивность дипольного излучения электрона в единицу време-
I «-«о оценить по классической формуле
ням°ж _ _
, сг ег .)
I----т-----tV1.
(39.1)
осциллятора частоты а> вероятность перехода в единицу времени
Г т 2-
w-------------у 0)21)2 ~ «(У (р/с)2, (39.2)
й<и haxr
1с2 _ „
е один квант излучается за-----у периодов колебании осциллятора.
*• a
Поэтому время жизни осциллятора в возбужденном состоянии т ~
,-/(ашс2), или для атома, с:
1
т-------
сио (Za)'
1 Й _ 10~9
I2 amcl(Za)4 Z4
(39.3)
Здесь отношение времени жизни к периоду колебаний тГТ ~ шт ~
~ a~\Za)~2 1, но это же отношение дает для ширины Г уровня по
сравнению с его энергией Е ~ fair. ЕГГ ~ ftw/h ~ шт » 1. Предельная
длина светового цуга (когерентная длина), см: ст---------------Цг ~
amc (Zap
~ ao/(Za)4 ~ 10 Z-4.
Перейдем теперь к релятивистским эффектам. Появившийся
в (38.13) дарвиновский член ft2V2t//(8zn2c2), как можно проследить,
возникает во втором порядке теории возмущений по v/c ~ Za от инду-
цированных спином (и поэтому отсутствующих в уравнении для бес-
-пиновых частиц, где тонкая структура определяется единственным
ЦЦеном, происходящим от кинетической энергии (38.14)) виртуальных
РЗДдов в промежуточное состояние с отрицательной энергией. Этот
альнь1й процесс легко интерпретировать как рождение электрон-
с озитронной пары, причем первоначальный электрон аннигилирует
Ни°ЗИтРоном пары (рис. 39.1). За время „жиз-
°на ^Ртуяльной пары Az — й/А£ — й/(тос2)
= ; на расстояние Ах ~ cAz ~ hl(mc) =
Ьстав °“Ле аннигиляции исходного электрона
^Г—нйея ^ектрон сдвинут от начального
Оае Ия на Ло. Это означает, что кулонов-
е ЗДра на самом деле необходимо ус-
340
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
реднить по объему Л30, обусловленному аннигиляционными
циями. Усреднение (аналогичное проделанному в лекции 22 дЛя
ления лэмбовского сдвига) дает изменение потенциальной энерВЬ1ЧИс'
ди ~ (Д^)2 V2U ~ Я20У26/ =
пгсг (39.4)
Это и есть дарвиновский член. Подставляя (38.16) в (39 4) н
сдвиг энергии электрона в поле ядра Z ’ наидсм
2 2
дЕ ~ {4jtZe2d (г)) ~ Ze2 | (0) I2 ~
т ст тпст
(39.4)
Ze2 ~ mc2(Za)4,
пгсг \а/
т. е. того же порядка величины, что и расщепление тонкой структуры
(21.2').
Для оценки релятивистских процессов, связанных с излучением
снова воспользуемся выражением (39.1), согласно которому интен-
сивность излучения при изменении скорости электрона на Ди за время
Дт составляет
IAt ~ 4 (—1 Д' ~ 4 (39.5.
с3 \Де/ с3 Де
Если Д/ — характерное время движения электрона, то спектр излу-
чения содержит в основном частоты со ~ 1/Дг (мы не рассматриваем
случаи ультрарелятивистского движения с Е тс2). Тогда типичная
энергия испущенного кванта Е? = /гео — h!At, а полная вероятность ис-
пускания
/де _ £ (Ml Дг _ )2 ~ а
hoj с3 Et h he3
(396'
VV|
Последовательные акты испускания фотонов почти независимы, поЭЗ
му вероятность W2 излучения двух квантов по порядку величины р V
квадрату вероятности (39.6):
2
И>2 ~ W] ~
а
(39.”'
Даже для релятивистских частиц (Ди/с ~ 1) вероятность ис , чА
каждого кванта мала (~ а). иЛяиии па'
Аналогичным образом можно оценить процессы анН”аСТИц; на*0"
ры (е~, е+). Реальная аннигиляция в один у-квант пары ч 23)
дящихся в свободном или связанном (позитроний, сМ_
Лекция 39. ОЦЕНКИ ПРОЦЕССОВ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 341
запрещена законами сохранения. Однако такой процесс воз-
<°сТ°Я Как виртуальный — можно, например, сказать, что некоторую
емеНи позитроний существует в виде фотона, что приводит
ч8СТ« юдаемому сдвигу энергетических уровней позитрония. Оценим
величину
ГО Поскольку положение электрона не может быть фиксировано точ-
чем его комптоновская длина волны Ло = hi (тс), для аннигиляции
К'тпону и позитрону необходимо сблизиться по крайней мере на это
Г сстояние. Если бы они находились на таком расстоянии, то веро-
^тносгь перехода в одноквантовое состояние в единицу времени можно
Sbino бы оценить согласно (39.6), где Ди ~ с (излучение с переходом в
состояние дираковского фона, лекция 37). Следовательно, из того вре-
мени, что частицы проводят на расстоянии s Ло, на состояние вирту-
ального фотона приходится доля а. В среднем в позитронии электрон и
позитрон находятся на расстоянии боровского радиуса а ~ Ло/ct, поэ-
тому доля времени их сближения на Ло дается отношением объема
к объему атома а3 и равна а3. Окончательно, полная доля времени,
приходящаяся на виртуальное однофотонное состояние, есть
д-а3 = а4. Следовательно, S'-состояние (только для него заметна ве-
роятность сближения электрона и позитрона) получает энергетический
:двиг, равный произведению а4 на изменение энергии (~ тс2) при пе-
реходе в состояние фотона:
дЕ ~ а4тс2. (39.8)
Этот сдвиг того же порядка, что и расщепление тонкой и сверхтонкой
структуры (лекция 23). Поскольку при виртуальном переходе момент, в
отличие от энергии, сохраняется, а фотон имеет момент 1, то сдвиг
(39.8) существует лишь для ортопозитрония (триплет, J = S = 1) и
отсутствует в парапозитронии (J = S = 0).
Для того чтобы произошел реальный процесс двухквантовой анни-
гиляции, электрон и позитрон должны подойти на расстояние Ло с по-
1едующим испусканием двух квантов с энергией flco ~ тс2. По срав-
нению с однофотонным процессом, вероятность которого есть а4, нуж-
еЩе излучить один квант за время существования однофотонного
► Поскольку в силу соотношения неопределенностей Дт ~
- о 2/веРоятн°сть испускания второго кванта в 1 с равна а/At ~
в 1 с и значит> полная вероятность двухквантовой аннигиляции
Ния W ~~ а amc2/h ~ a5mc2lh. Отсюда время жизни парапозитро-
(39.9)
т ~ -у- -у ~ Ю“9 с-
т(г
ч« возкВаЯ (39-9) и (39.3), видим, что для парапозитрония времена жиз-
J Денного состояния по отношению к излучению и основного
342
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рис. 39.2
Y СОСТОЯНИЯ ПО отношению К ДВухфот
нигиляции оказываются величинами Н°Й
порядка. Согласно (39.9) ширина (Ге °ДНО1Ъ
~ состояния Й/т ~ тс2а5, т. е. в а раз °BHW
интервалов тонкой структуры (39 8) -j'eHblUe
распад ортопозитрония возможен лишь н"
фотона (лекция 23), вероятность такой анн
ляции содержит (см. (39.7)) лишний множитель а, и время жизни
зывается на два порядка больше. 0Ка'
Процессы с виртуальным образованием пар дают вклад и в
чение рассеяния света на заряде (эффект Комптона, лекции 33 341
Кроме обычного процесса поглощения электроном кванта с дальней
шим испусканием вторичного кванта и процесса с обратной временной
последовательностью (см. рис. 33.1), которые дают сечения порядка
г02 ~ 10~25 см2, возможно так называемое дельбрюковское рассеяние
(рис. 39.2). Здесь падающий на электрон квант у рождает виртуальную
пару е~, е+. Позитрон пары аннигилирует с исходным электроном, и
испускается „рассеянный" квант /. Для возможности аннигиляции
пара должна быть образована, по крайней мере, на расстоянии Ао от
начального электрона. Поэтому вероятность процесса есть произведе-
ние вероятности з/Ч того, что падающий квант в течение 1 с окажется
на нужном расстоянии от электрона, на вероятность з/2) рождения
пары и на вероятность з/31 аннигиляции с испусканием кванта/. Каки
раньше, нА2) ~ з/3* ~ а. Вероятность з/Ч дается отношением объема
трубки с сечением Яд и длиной, равной скорости кванта с, ко всем)
/ h \2
объему V: w® — I— — . Тогда сечение процесса на рис. 39.2 равно
\тс/ V
вероятности, деленной на плотность падающего потока:
W(1)W(2)W(3) /А\2 с 1________Й2 2 _ Л (39.10'
*** II G, * Сс ? ? '
с / V \тс) V с / V т <г
порядка, что и обычное томсоновское сечение. Конечн-.
типа рассеяния должны учитываться одновремен
процессах рассеяния за
1 и ооль
410
т. е. того же
реально оба
складываться должны их амплитуды, а не вероятности.
Виртуальные пары следует учитывать и в 1,
ряженных частиц, особенно при достаточно высоких энергиях
ших углах рассеяния (малые прицельные параметры). Отме ’арЯ-
могут рождаться пары не только электронов, но и любых ДРУ тве[]Н0
женных частиц. Однако ясно, что при энергии кванта Йш суш
лишь виртуальное рождение пар частиц с массой М — 1а>
Литература: [5, гл. 6; 6, § 89; 39, гл. 1].
п КЦЙЯ 40. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОВАРИАНТНОСТЬ
УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
Согласно теории относительности физические процессы не могут
зависеть от выбора лоренцевой системы отсчета. Во всех таких систе-
мах уравнения, выражающие физические законы, должны иметь оди-
наковый вид — должны быть ковариантны. Запишем общее однород-
ное (без сдвигов) преобразование Лоренца в виде
х -> х) = Ах, (40.1)
где Л — вещественная матрица преобразования 4-вектора х, или, под-
робнее,
х/г ~ ^-/xvxv
(40. Г)
Релятивистская инвариантность квадрата 4-вектора означает, что
х
ц ~ ^-p.v^-fiOxvxa — xv>
(40.2)
г е- - ^va — матрица Л ортогональна.
Запишем уравнение Дирака в форме (37.4'), введя 4-вектор гради-
ента Vu = 1 й = fl А _ а\
\с dt dr)
+ т)
Ф = 0.
(40.3)
^^РШим лоренцево преобразование (40.1). Если бы величины упре-
‘плно°ВаЛГЬ ПРИ этом как 4-вектор хц, то в новой системе отсчета
7^ Функция ф удовлетворяла бы тому же уравнению (40.3), т. е.
/г,ивепс Релятивистским скаляром. Однако мы считаем величины у
-Яцеств Ьными> не зависящими от системы отсчета. Тогда должно
170 нова ВЭТЬ такое линейное преобразование 5 волновой функции Ф,
волновая функция
Ф' = S Ф,
(40.4)
344
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
описывающая то же состояние в новой системе отсчета (40 п
подчиняться такому же по форме уравнению, что и уравнение
для Ф в старой системе: Ие (40. л
Ф' = О,
(40.5)
Матрица S’ преобразования (40.4) должна быть универсальной мат
цей 4x4 (поскольку биспинор Ф имеет четыре компоненты) Она₽
может зависеть явно от координаты х и определяется матрицей А пп
образования (40.4), кроме того, она должна иметь обратную матрицу
S-1 В (40.4) функция Ф' берется в точке х', а Ф — в соответствующей
в смысле равенства (40.1) точке х = А-1^:
Ф«(х') =
Согласно (40.1), имеем
дх^ дха дха
(404’)
(40.6,
Используя (40.6) и (40.4), перепишем исходное уравнение Дирака
(40.3) в виде
S’1 Ф' = 0,
(40.7'
или, умножая на 5 слева,
5НЧУ/,)ГЧФ'+^Ф' = О
Уравнение (40.7) для преобразованной волновой функции Ф бу—еТ
удовлетворять требованию релятивистской ковариантности, т. е. с
дать с (40 5), если
= уо, S~lyoS = ^Ум- (4°
Это и есть условие на матрицу S, определяющее закон прес аз°®
(40.4) волновой функции Ф при лоренцевом преобразов f' , ,тВу
Можно показать, что матрица S, удовлетворяющая (40&)’СУip0Bai».
для любого преобразования А. Выбор матрицы 5 можно ф на-
наложив дополнительное условие (фактически нормиро
пример, приняв (40-9’
det 5 = 1.
Лекция 40. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 345
П гко понять смысл условия (40.8). Если бы волновая функция Т
а скаляром СЕ' = *E), то нам надо было бы преобразовывать у ц как
веКðРХ/' Уо - У о = (40.10)
же теперь хотим найти такое преобразование S чтобы у-матрицы
' нулись к прежнему виду. При преобразовании (40.4) волновой
^нкдии оператор преобразуется по закону (Б.251), в частности,
У о ”* У о = $У о S * = SA.a^y i. (40.10')
Требование уа = У а как раз совпадает с (40.8).
Задача 40-1. Найти матрицу S’ для поворота на угол <р вокруг оси z
Решение. Для бесконечно малого угла поворота д<р согласно (13.15)
х' = х — уд<р, у' — у + хд<р, z' - z, Г = t,
е. матрица А = 1 + 6<р • Л, где бесконечно малая матрица имеет отличные от нуля
матричные элементы Я|2 = — Л21 = - 1. Тогда S’ бесконечно мало отличается от 1:
S = 1 + Т,
S-1 = 1 - &<р Т, S~lyaS = (1 - д<рТ}уа(\ + д<рТ) ~
= То + &р(Уо ~Туа) = Ьацуц —Уо^ МодУ/т,
лтуда
УоТ —Туа ~ ^ацУ/л- (40.11)
Из нормировки (40 9) следует det (1 + д<рТ) ~ 1 + д<р Sp Т = 1, т. е.
Sp Т = 0. (40.12)
Решение уравнения (40.11) при условии (40.12) имеет вид
Т = (1/8) //„(y^yv - УгУ^
3 Рассматриваемом случае
T=-(V2)yIy2,
И’И в СТанДартном представлении (36.8), (37.19)
(тз 0 ’I >
Г=-(У2)1 =-^23=-«з,
\ о <т3; 2
(40.13)
(40.14)
(40.15)
Мйти к°ЛЖН° ®ыть по смыслу спина как генератора поворотов (лекция 13). Легко пе-
сператору конечных поворотов
S2(<P) — = е_'Я^з = cos — — i S3 sin — . (40.16)
о + гд)*^0 Для частиц со спином 1/2 (ср. (15.37’)), для поворота на 2л получим
Задача 40 э п
дельно ’ ,10казать> что Для лоренцева преобразования в систему, движущуюся
° исходной со скоростью v вдоль оси х,
346
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
S(vx) = ch + a, sh , th £ = — ,
2 2с
Указание. Опять воспользоваться формулой (40.13).
«0.1,
Рассмотрим теперь поведение физических величин (матрич
менты различных операторов) при преобразовании системы 1еэле-
Начнем с величины, закон преобразования которой известен изокеТа
соображений. 4-вектор плотности тока 1' ’ljJ1,x
(40.]f,
должен преобразовываться как вектор х^. Согласно (36.20), (36 22)
дираковской частицы
= (Ф+Ф, Ф+ЙФ) = (Ф+уоуоФ, Ф+уоУойЧ') = Ч'+уоУД. (40.19,
Введем вместо эрмитово сопряженного спинора Ф+ дираковски сопря-
женный ____
Ф = Ф+Уо, (40.20)
тогда оператор тока __
4 = ФуД. (40.19)
Если Л соответствует лоренцевому преобразованию, то
jft - и = ^vjv = Л^ФуД = Ф(Ля„у„)Ф,
или, в силу (40.8), г _
4 = ф^Д^.
С другой стороны, согласно (40.4),
Ф' = (Ф')+Уо = Ч^+уо = 4W+yo,
так что преобразованный вектор тока (40.19') запишется
4 = ФуД’ = Фу05+УоУ^ Ф.
(40.211
(4022
(40.21''
Выражения (40.21) и (40.2 Г) будут совпадать, если
с+ с-l (40.2?
У (Ду о = 5 *. 1
Покажем, что это соотношение действительно выполняется.
Задача 40-3. Доказать, что оператор 5Уо^+Уо коммутирует со всеми ма
Указание. Воспользоваться условием релятивистской ковариантности >
Дирака для спинора Ф+ и свойством эрмитова сопряжения (36.18 )
Уд = 70УдУ0-
Лекция 40. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 347
— aVfi — „антисимметричный
гушествует 16 линейно независимых матриц 4 X 4. В качестве этих
I ин уД°бн0 выбРать следующие:
’’’’Единичная матрица I — „скаляр";
4 матриЦь] у„вектор ;
6 матриц оfiv ~ ~ УvVц) ~ '
^Тматрицы i уЦУ5 — „псевдовектор";
матрица у $ — „псевдоскаляр"
]СЛ взятых в кавычки названий выяснится ниже, i добавлено для
пмитовости). Видно, что только единичная матрица коммутирует со
всеми уПоэтому результат задачи 40-3 означает, что
S У о 5'+Уо = V = const. (40.25)
Найдем величину константы Г]. Запишем (40.25) в виде S уS+ =
= Т[у$н сделаем эрмитово сопряжение. В силу (40.24) имеем
(S Уо S+) = S+y0S+ = S y0S+ = 1ууо = (t]y0)* = 1]*у0,
т. е. значение Г] вещественно. Так как det S = L, то
det (S уо 5+уо) = | det 5 |2 • |det у0 |2 = 1 =
откуда г] = ± 1. Осталось понять, каков смысл знака Т]. Взяв обратный
оператор от равенства SyQS+ = Т]у0, получим
(5+Г'уо5-’ = 1 уо, rryoS~l = S+y0.
7
Оператор S+S имеет вещественные положительные собственные зна-
чения, поэтому его след больше нуля. С другой стороны, в силу (40.26)
S+5 = S+yoyoS = tiyoS-lyoS,
Или* использовавшись (40.8), получим
S'+S' = ^уоАо^Уд = //УоАооУо ~ ПУо^окУк = (40.27)
= ’ХАоо - А0*а*), Sp (S’+S) = 4 > 0.
няюцМ °^Разом> ’У — + 1, если Лоо > 0, т. е. для преобразований, не ме-
вКлк>ч Х Знака вРемени, и Г] = — 1 при ЛОо <0 — для преобразований,
^Юцщх отражение времени (их мы рассматривать не будем).
времен В/ИДИМ’ что для преобразований, не включающих отражение
К?з,.И’ (40.25) совпадает с (40.23), и (40.19'), действительно, пре-
Няет знак^ КаК И положено 4-вектору. (При отражении времени ме-
11йЧент К Легко видеть, что 4-вектором является любой матричный
вида = Ф]у^Ф2. Плотность вероятности р (36.20) является
(40.26)
348
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
четвертой компонентой вектора, а не скаляром. Поэтому цСпо
шаяся ранее нормировка Ф+Ф = 1 не является релятивистски ЛЬЗ°®ав-
антной. Инвариантную нормировку можно получить, рассмотпИНВари'
ричный элемент ЧАР, построенный так же, как и j^, но не от В Мат'
ного“ оператора а от „скалярного" 1. ”в^-юр.
Пользуясь (40.22) и (40 23), получаем
ф- = Ф5-1, ф-Ф- = ф5->5 ф = фф
следовательно, ФФ (или в более общем случае ЧТф2) является
риантом. Аналогично в силу (40.8) получаем, что матричный
„тензорного" оператора oflv
Ttiv = фПдгФг
преобразуется как антисимметричный тензор 2-го ранга:
= ф’а^Фг = Ф^-'а^ Ф2 =
Лу(рЛгаФ|(ТраФ2 t\.^p/\.vaTpO.
(40.2м,
нива-
элемент
(40 2*л
Задача 40-4. Показать, что при лоренцевом преобразовании А матричный змшц
„псевдоскалярного" оператора у$ преобразуется по закону
р = Щу5Ф2 + Р’ = = Р ' det А. (40 "
Определитель матрицы преобразования А есть якобиан перехпа
от старых координат х к новым х’. Для обычных преобразований Ло-
ренца (без отражений) 4-объем является инвариантом, поэтому якобиан
преобразования, который дает изменение величины элемента объема
равен единице, т. е. Р’ = Р. Если же преобразование включает отражс
нпе одной или грех координатных осей, то det А = — 1, Р' = ~ Р< *
довательно, величина Р является псевдоскаляром. Нетрудно показал
что
Afl = Ф1УДУ5Ф2 (4UJ'
обладает свойствами аксиального вектора.
Таким образом, операторы всех физических величин, относятся
к дираковским частицам, можно классифицировать по трансфер* М
онным свойствам при преобразованиях Лоренца. Отметим,
свойства не зависят от того, совпадают ли Ф и Ф или опис оНщи
ные состояния (или даже разные спинорные частицы). aM'eroMli>
взаимодействия двух частиц должен быть скаляром, поэтому
но строить с помощью сверток величин, обладающих од!
трансформационными свойствами, например,
(Фу/(Ф2 )(ФзУ/,Ф4), 5^2 )(ФзУ АУ5Ф4 )-
,ла 40 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 349
Пекци* _-------------------------------------------------------
L же гамильтониан не сохраняет четность, то возможны взаимо-
&п>«« «па
(Ф1У/Р2)(Ф3у5Ф4).
а 40-5. Доказать, что для свободной частицы с массой т * 0 вес диагональ-
Х*’ч,,ые элемеиты
иу5и = 0-
pCIIICInic. Спиноры ний удовлетворяют уравнению Дирака (37.4')
(р — тс) и = 0, й(р — тс) = 0,
(40.32)
(40.33)
^г>му С учетом (36.13)
йу5« = —(йтсу^и + йуупси) = —й(ру5 + у 5 р)и = 0.
2тс 2тс
С точки зрения рассмотренных трансформационных свойств ре-
мьтат (40.32) очевиден, матричный элемент (40.32) есть псевдоска-
,1'яр. но частица характеризуется единственным псевдоскаляром др, ко-
горый (при т * 0!) можно убрать переходом в систему покоя частицы.
Оператор у 5 для частиц с т * 0 имеет лишь недиагональпые матрич-
ные элементы w(p2)/5 w(/?|) (после перехода к двухкомпонентным спи-
норам этот матричный элемент пропорционален (<р, д (д2 ~ Р\) (О),
гак что его нельзя обратить в нуль выбором системы отсчета).
Литература: [2, § 8; 5, гл. 6, § 4; 22, § 68].
Лекция 41. НЕЙТРИНО И НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ
Если гамильтониан системы коммутирует с оператором прост
ранственной инверсии Р, то (см. лекцию 13) стационарные состояния
системы можно классифицировать по четности, которая является ин-
тегралом движения. Дираковский гамильтониан (36.2) является скаля-
ром, если считать а полярным вектором, меняющим знак при отраже-
нии координат. Однако, как и в случае пространственных и лоренцевых
поворотов, удобнее считать матрицы Дирака универсальными и вер-
нуть их к первоначальному виду, совершив преобразование над волне
вой функцией Ф.
Матрица преобразования, которую мы здесь обозначим 93, должна
удовлетворять условию (40.8), т. е.
= - у, (41.1)
откуда (с точностью до фазы) 9° = у0. Отсюда и из результатов задачи
36-2 следует, что для дираковской частицы С^Ф — — ?РС Ф. Это оз-
начает, что частица и античастица имеют противоположные четности
(в левой части этого равенства операция инверсии совершалась над
частицей, а в правой — над античастицей). К тому же выводу можно
прийти, рассмотрев выражения (37.12) для двухкомпонентных спино-
ров <р, %. В нерелятивистском пределе остается один из них ДО*
Е > 0 и х Для Е < 0)> однако связь между <р и / дается псевдоскаляро^
д р, поэтому четности р и х противоположны. (Это правильно
для частиц спина 1/2; для спина 0 четности частицы и античас
совпадают.) - поКОя
Рассмотрим теперь уравнение Дирака для частицы с массо
т = 0. Такая частица в любой системе отсчета движется с^чесК})й
стью с. В соответствии с этим уравнение Дирака дает энерг
спектр свободного движения (37.5') (412)
и двухкомпонентные спиноры (37.12)
- - - - 1413’
о • р ° ’ Р _ л • v <Р, '
<Р = С — Х = ° vx, Х = с ~ У ~ ° г
Е &
Лекция 41. НЕЙТРИНО И НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ
351
I в£деН единичный вектор
1 ср р .
v = — = — sign Е.
Е IP I
(41.4)
i для частиц с т * 0, спиноры <р и % имеют определенные (проти-
!>«> в
Введем линейные комбинации спиноров <р и % так, чтобы урав-
нения (413) для них разделились:
^(±) = ± Z)‘
(41.5)
Новые спиноры чр№ удовлетворяют уравнениям Вейля
^(±) = ± (j •
(41-6)
откуда видно, что в состояниях чр^ частица имеет определенную спи-
ральность о р/\ р | — является продольно поляризованной. При этом
жа уже описывается не четырехкомпонентным, а двухкомпонентным
спинором.
Так как при свободном движении дираковской частицы ее спираль-
ность сохраняется, то частицы, описываемые спинорами чр^\ никогда
lie перепутываются, и поэтому вообще вместо уравнения Дирака мож-
но обойтись двухкомпонентными уравнениями (41.6), если только ка-
юе-то внешнее поле (или взаимодействие с другими частицами) не
перемешает решений чр^Х Легко видеть, что продольная поляризация
частицы с и / 0 релятивистски инвариантна (у такой частицы нет сис-
‘емы покоя!). Действительно, оператор (1 + у5) в применении к би-
х2
'Ч>
'.ПИНору и =
дает
о\ р 1Y
V ± V °Z
(41.7)
*нтно2И1фаКТИЧеСКИ четырехкомпонентный спинор к двухкомпо-
Г «У- Отсюда видно, что для частиц с т = О
(dv 0\
\0 dv)
(41.8)
=
Иед°вательно,
спиральность здесь лоренц-инвариантна
352
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Эксперименты показывают, что существуют частицы, опис
уравнением Вейля (41.6). Такими частицами являются нейтп ВаемЫе
антинейтрино v (на самом деле каждому заряженному лептону Н° V и
тице, похожей на электрон (мюон р. или т-лептон), — соответс ЧЭС
своя пара нейтрино — антинейтрино, но для нас сейчас это не
роли). Эксперименты по точному определению массы нейтрин0ИГ^
трудны, однако, по-видимому, эта масса действительно мала По°ЧеНь
нению с массой их заряженных лептонных партнеров. Так, для м^8'
электронного нейтрино верхний экспериментальный предел составл СЫ
примерно 10 эВ. Эксперименту не противоречит представление о тоы
что нейтрино всегда обладает отрицательной спиральностью, т. е еп
спин направлен антипараллелыю импульсу — нейтрино движется как
винт с левой резьбой. Антинейтрино, наоборот, является правополяри-
зованной частицей (спин параллелен импульсу). Считая нейтрино час-
тицей, т. е. сопоставляя v решение с Е > 0, а антинейтрино v — его
античастицу, мы видим, что для них (от) = — 1. Значит, они описыва-
ются уравнением Вейля (41.6) с нижним знаком.
Существование частиц с продольной поляризацией и, следователь-
но, без определенной четности (см. (41.5)), являющихся стационарны-
ми состояниями некоторого гамильтониана, показывает, что этот ia-
мильтониан не сохраняет четности. Известно из опыта, что в сильных
и электромагнитных взаимодействиях четность сохраняется. Однак
нейтрино не участвуют в этих взаимодействиях. В слабых же взаимо-
действиях, в которых нейтрино принимают участие, четность не сохра
няется. Структура гамильтониана слабых взаимодействий оказывается
именно такой, чтобы ни в каких процессах нейтрино и антинейтрине
не перепутывались.
Несохранение четности проявляется во всех процессах, обуслов
ленных слабым взаимодействием, как с участием нейтрино, так и I
него. Например, так называемый 0-распад положительного К-мезон
имеющего отрицательную внутреннюю четность и спин 7к>
v+ . „о (*4
был бы невозможен при сохранении четности. Действительно, в
ном состоянии имеются два тс-мезона, их внутренние четности о:
ковы (отрицательны), так что полная четность конечного сост
ределяется четностью относительного орбитального движ еНн«
зонов П/ = (—1)'. Но спины тг-мезонов равны нулю в силу < qeTHOd>
момента, I = JK = 0, т. е. П z = ± 1, в то время как раСпа>*
П, = Пк = - 1. Реально 0-распад составляет более 20/о
К+.
Лекция 41. НЕЙТРИНО И НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ
353
ктерным проявлением несохранения четности могут быть
Хара псевдоскалярного типа р J, как в /3-распаде поляризован-
. ,прСЛЯЦ
(лекция 13), где коррелировали импульс электрона и спин
иЫх ^K)II(erocB ядра. Эффектом такого же типа является вынужден-
аризация мюона или электрона (их свойства одинаковы, кроме
® 207тс) при распадах л-мсзона
J^JCCW, "’/»
Е +
е~ + г„.
/о
я -»
л
(41.10)
Поскольку распавшийся л-мезон
1‘.
V
Рис 41.1
кольку распавшийся л-мезон имел
1 равный нулю, то в системе, где он по-
ился, а получившиеся частицы (рис. 41.1)
.лзлетаются в противоположные стороны,
суммарный спин конечных частиц равен
ну ио, т е. спин v^e) и р~{е~) антипарал-
:льны Но антинейтрино продольно поляризовано по своему импуль-
су, значит, спин мюона направлен противоположно импульсу v^, т. е.
го своему импульсу. Таким образом, автоматически отрицательный
мюон (или электрон) оказывается продольно поляризованным по пра-
вому винту. Аналогично, в распаде л+ положительный мюон (или по-
зитрон) обязательно левополяризован.
С другой стороны, если дираковская частица с т 0 имеет боль-
шую энергию Е » т2, то в соответствующей волновой функции можно
пренебречь массой частицы. Структура слабого взаимодействия уни-
версальна для всех частиц, поэтому дираковские частицы с Е » »г2 бу-
дут вести себя в процессах, обусловленных слабыми взаимодействия-
“и, как нейтрино, а античастицы — как антинейтрино. Следовательно,
истицы будут при Е » щ2 (о — с) левополяризованными, а античас-
тицы — правополяризованпыми {„естественная''1 поляризация).
Так, в распадах
е +я°
к+ ->
(41.11)
8 К
^льщинстве случаев е+ (р+) будут иметь естественную поляриза-
правую. Однако в тех редких случаях, когда л° почти не уносит
И’ ^ло ~ т^с, заряженные лептоны е+ {fi+) и соответствующее
. тцМРИНо обязательно разлетаются в противоположные стороны, и их
•° цуРИЬ1^ спин Д°лжен быть равен нулю, чтобы обеспечить равснст-
'1 (Д*)б Полного момента (JK = Jn = 0). В этом случае лептоны
; ;<0 р ТДут иметь кинетиматически вынужденную (левую) поляриза-
•<мротивоположную естественной. Такие распады были бы строго
354
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
запрещены, если бы масса лептона е+ (р+) была точно п
Поскольку те « тц, электронные распады пионов (41 Ю) Н°И НУЛЮ
этим несоответствием поляризаций гораздо сильнее, чем П°ДавлеНы
Доля электронных распадов составляет всего лишь '10~4 М1°°НнЫе
близости масс и тц в мюонном распаде доступный фазовь'* Из''й1
(лекция 27) гораздо меньше, чем в электронном. 1И °^ем
Задача 41-1. Показать, что в распаде поляризованного положительного
наиболее энергичные позитроны вылетают в направлении спина ц+
Решение. Энергая е+ будет наибольшей, если ve и вместе летят в противо
ложную е+ сторону, тогда их полный спин равен нулю, и спин е+ направлен по
д+, но позитрон имеет естественную поляризацию античастицы — правую т
импульс его направлен по спину ц+. В распаде ц -* е + + ve максимум угловою
распределения энергичных электронов — против спина р.~
Легко понять, что продольная поляризация нейтрино означает на-
рушение инвариантности относительно замены частиц на античасти-
цы: при зарядовом сопряжении С левополяризованное нейтрино пере-
ходит в левополяризованное антинейтрино, которое в природе не су-
ществует (рис. 41.2). Точно так же нарушение инвариантности относи-
тельно пространственной инверсии Р проявляется в том, что левое
нейтрино при этом переходит в невозможное правое нейтрино.
Видно, однако, что при совместном совершении операций СР мы
переходим от левого нейтрино к правому антинейтрино, которое опи-
сывается тем же уравнением Вейля. Таким образом, законы природы
здесь инвариантны относительно комбинированной инверсии СР, со-
стоящей из пространственного отражения и перехода к античастицам-
Л. Д. Ландау предположил (1956), что сохранение комбинированной
четности является универсальным законом, справедливым взамен не
выполняющихся в слабых взаимодействиях законов сохранения прост
р
Левое V Правое V
Левое V Правое V
Рис. 41.2
ранственной и зарядовой четности.
В квантовой теории поля доказывается,
при очень общих предположениях (типа Ре^оС.
вистской инвариантности и сохранения вероя
ти) должна соблюдаться СРТ-шварианте
т. е. все законы природы не меняются при одт
менном осуществлении лростра".стЛ“'^»»">
жения Р, перехода к античастицам С и Р на.
времени Т. Наличие / • р-корреляции озна
рушение Р-инвариантности (это псевдо
Лекция 41. НЕЙТРИНО И НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ
355
1 Хранении Г-инвариантности (J и р меняют знак при отражении
пр” л в силу СРГ-теоремы при этом обязательно нарушается С-ин-
ареме тность, о которой, таким образом, можно делать выводы без
|взРиа ения экспериментов непосредственно над античастицами. Лю-
’1?°веЛ ч ш CP-инвариантности свидетельствовало бы о нарушении
б°е дацтности по отношению к обращению времени. Наоборот, появ-
*",ваР у-нечетных корреляций (например, в вероятности /5-распада
дейтрона появление членов типа
Sn'lPe^Pv], (41-13)
исящих от угла между плоскостью разлета электрона — нейтрино и
направлением спина нейтрона; выражение (41.13) меняет знак при от-
ражении времени) доказывало бы несохранение комбинированной чет-
ности
В 1964 г. впервые был обнаружен процесс, где нарушается СР-,
а значит, и Т-и( [вариантность, —- распад долгоживущей компоненты
нейтральных К-мезонов на два Ил-мезона.
Литература: [5, гл. 8; 6, § 30; 14, гл. 30, 31; 42, § 3, 17; 44; 52].
Лекция 42. НЕЙТРАЛЬНЫЕ КАОНЫ
Нейтральные К-мезоны (,,каоны“) рождаются в столкнове
сильновзаимодействующих частиц совместно с другими нестабилНИЯ*
ми частицами (гиперонами — частицами, похожими на нуклоны) Т'
пичной реакцией является следующая, где в столкновении пиона (л~)
протоном рождаются нейтральные каон и Л-гиперон:
п~ + р -* К0 + Л°.
(42 и
Для всех этих нестабильных частиц общим является большое (по срав-
нению с ядерным ~ 10-23 с) время жизни, порядка 10~8-10~10 с. Мед-
ленность их распадов означает, что за распады ответственно слабое, а
не сильное (ядерное) взаимодействие. В то же время вероятность их
рождения обусловлена сильным взаимодействием и велика.
Для того чтобы объяснить тот факт, что не происходит быстрых
распадов каонов и гиперонов (например, А° -» р + л-), которые шл’
бы с помощью сильного взаимодействия, была выдвинута (М. Геля-
Манн, К. Нишиджима, 1955) гипотеза о существовании нового кванто-
вого числа — странности S, — которое равно нулю у „обычных" силь-
новзаимодействующих частиц (пионы и нуклоны) и отлично от нуля
у каонов и гиперонов. Вся совокупность экспериментальных данньп
подтверждает, что странность следует приписать следующим образом
мезоны. К+, К" 5 = + 1; К-, К0 -* S = - t
гипероны: Л° -» S = — 1; S+- S = — Г '
о S = - 2; Q~ -* S = - 3.
По своим ядерным свойствам каоны аналогичны пионам,
Jk = 0, четность —1; гипероны аналогичны нуклонам (спин ^дцчаЮ-
как бы имеем „возбужденные" состояния пионов и нуклонов, о
щиеся новой внутренней характеристикой — странностью (в
кварков гипероны содержат „странные" кварки). Сохранение 1 паД?э
ти в сильных взаимодействиях объясняет отсутствие быстрых р
гиперонов на нуклоны и пионы. Ясно, что в силу этого
Лекция42. НЕЙТРАЛЬНЫЕ КАОНЫ
357
частицы рождаются лишь парами, как в реакции (42.1), где
-граннЬ я странность продуктов реакции равна нулю.
-vm№P 0, что из двух по виду похожих реакций ассоциативного
1 ° чапяженных S-гиперонов и каонов
до^еяия р
+ р Y + К+ и л + р -» 2+ + К
В о}кна лишь первая (во второй реакции странность конечных час-
’*'зМ вна 2, а начальных — нулю). Поскольку у всех гиперонов стран-
ь отрицательна, в столкновениях нуклонов вместе с гипероном мо-
^^ождагься лишь каоны с S = +1, т. е. К+ и К0. Их античастицы К- и
V* име10щие S' = — 1, могли бы рождаться совместно с антигиперона-
Ц11 д» и 2, у которых S’ = +1. Но для рождения антигиперонов нужно
начальном состоянии иметь не нуклоны, а антинуклоны (сохраняется
уклонный, или барионный, заряд, равный +1 у нейтрона, протона и
гиперонов и -1 у антинуклонов и антигиперонов).
То, что в медленных распадах (например, (41.11)) странные части-
цы распадаются на нестранные, означает, что слабые взаимодействия
ис сохраняют странности. Будем считать, что в слабых взаимодейст-
виях сохраняется комбинированная четность (лекция 41) и рассмотрим
с этой точки зрения возможные распады нейтральных каонов К0 и К0.
Рассмотрим сначала распад
К0 -> 2 л°. (42.3)
Нейтральный пион л° обладает определенной комбинированной чет-
Ч|,стью (при отражении координат его волновая функция меняет знак,
- при зарядовом сопряжении л° переходит сам в себя), СР |л°) =
~~ л ). В силу сохранения момента (спины К0 и л° равны нулю) ор-
тальный момент конечного состояния / = 0, т. е. четность конечного
^стояния равна +1. Поэтому СР.,^я°) = | 2т °). Но комбинированная
етность сохраняется и поэтому должна быть равна +1 для К0. Это,
"«нако, не так: приписывая каону внутреннюю четность —1, имеем
СР I К0) = - I К), СР I К0) = - I К0), (42.4)
6’ К° и К° вообще не имеют определенной СР-четности.
^решение парадоксов заключается в том, что состояния с опреде-
иях0 У Сгпраиностью К0 и К0, рождающиеся в сильных взаимодейст-
’ Не являются правильными линейными комбинациями по отно-
*Ран К СЛабомУ взаимодействию. Если в слабых взаимодействиях со-
-я ^-четность, то диагональными комбинациями будут супер-
4((0 аи К0 и К0 с определенной CP-четностью. Такие суперпозиции
358
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ik°) - |к°:
Л
V2
(42.5|
В силу (42.4) имеем
СР |К?>= |К?>, СР |К°) = -|К°).
Именно комбинация К ° может распадаться на 2л °, для К° такой
запрещен.
(42.6,
распад
Перейдем к трехмезонным распадам
К°-» Зл°, К0 -+л+ + л~ + л°. 1а,,
В обоих случаях конечная система имеет полный момент 0 равн
спину /£. Так как спины пионов равны нулю, суммарный момент сила
дывается из относительного момента I каких-либо двух пионов (2лс
в первом и, например, л+л~ во втором случае) и момента /' последнего
л° относительно центра масс этой пары. Поскольку Т и /' складыва-
ются в нулевой момент, должен быть I = В первом случае из-за тож-
дественности двух нейтральных пионов (лекция 52) их волновая функ-
ция симметрична относительно их перестановки, т. е. / = /' — четнс
Значит, CP-четность состояния | Зл°) определяется лишь СР-четностя-
ми пионов и равна —1, так как число пионов нечетно. Поэтому наЗл"
может распадаться только CP-нечетная комбинация К® (42.5). В случае
второго распада (42.7) CP-четность системы | л+л~л°) дается произве-
дением CP-четности системы (л+л~), CP-четности лс (равной -1) и
четности (—I)7' орбитального движения л° относительно пары (л+л~
В применении к паре (л+л~) С- и P-операции эквивалентны (и та
и другая меняет л+ ** л"), поэтому CP-четность пары (л+л~) всегда
есть +1. Окончательно, CP-четность состояния \л+л~.л°) Рави-
(— I)7' (— 1) = (— I)7 + I. Значит, при четном 1=1' трехмезонные состоя-
ния имеют СР = — I, при нечетном СР = +1.
Мы получили распады нейтральных каонов, допустимые при со-
хранении комбинированной четности:
СР = + t К° (2л0); (л+л~); (л+л~л°); / = /' = 1,3, 5,... (42-f
СР = - 1: -> (Зл°); ([л+л-л°); Z = /' = 0,2, 4,... ( k S
В двухмезонном распаде число возможных конечных состоянии
вый объем, лекция 27) значительно больше, чем в трехмезонн *
тому и вероятность распада (42.8) много больше, чем (42.о )
время трехмезонный распад К° подавлен центробежным барь Р
как испускание л° с I = 0 здесь невозможно. Эксперимент Да
Лекция 42 НЕЙТРАЛЬНЫЕ КАОНЫ
359
«тельно, есть как бы два сорта нейтральных каонов — долго-
^шиеКд и короткоживущие К$, с временами жизни соответственно
Ь тд = 5,4 • 10~8 с, rs = 0,9 10“10 с.
этом распады К® идут на два, а Кд на три пиона, так что их можно
*рИ лесТвить с К? и К° соответственно.
В опытах Кронина, Фитча и др. (1964) были обнаружены редкие
Ь относительной вероятностью примерно 0,002) распады долгоживу-
щей компоненты Кд на два пиона. Эти эксперименты показывают, что
аких распадах не сохраняется комбинированная четность, а значит,
В ,>nv СРГ-теоремы (лекция 41), нарушается Т-инвариантность. Поэ-
1&му строго говоря, есть не чистое К]-состояние, а содержит ма-
примесь К2; наоборот, Кд есть в основном К2 с небольшой добав-
гэй К?. Несохранение CP-четности пока не обнаружено ни в каких
фугих экспериментах. (В принципе теперь разрешен, например, элект-
рический дипольный момент элементарных частиц, запрещенный
Г-инвариантностью, лекция 13.)
Даже если пренебречь малым нарушением СР-инвариантности,
распады нейтральных каонов очень интересны, так как дают уникаль-
ную возможность для проверки основных положений квантовой меха-
ники — принципа суперпозиции.
Рождаясь в сильных взаимодействиях (42.1), нейтральные каоны
обладают определенной странностью. Однако они нестабильны и рас-
каются посредством слабого взаимодействия (42.3), (42.7). Посколь-
распад происходит с сохранением CP-четности, здесь нужно пред-
ъявить родившийся К0 как суперпозицию состояний (42.5) с опреде-
ленной комбинированной четностью, но уже без определенной стран-
11 сти (последняя в слабых распадах не сохраняется):
(42.9)
з
Чит> Родившийся К0 есть комбинация долгоживущей К® и коротко-
^®УШей К° компонент. Через время, превышающее время Т] жизни
• но малое по сравнению со временем т2 жизни К2, компонента К®
**Ь1мРет‘, и пучок будет состоять из К2, но иметь вдвое меньшую ин-
енсивность:
|К^)+|К2) |К§)
1К>~
(42.10)
360
ЛЕКЦИИПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(42.10';
Вспоминая определение (42.5) К®, видим, что в пучке
сначала из К0 со странностью +1, появились К° со cmaJ °Явц*ем
ранностью
1К°\ -» 1 I к°\ — 1 ~ |К°)
(42.10,
Теперь можно пропустить полученный пучок (42.10') через ’
Сильные взаимодействия с ядрами среды различны для частиц
в силу различия их странностей. К0 легко могут в столкновении
ми рождать гипероны с такой же странностью —1, а для К0 такие^Р8'
цессы запрещены, возможно лишь рассеяние К0 на нуклонах
Если считать, что в достаточно толстой мишени К0 полностью
глотятся в результате неупругих процессов, то на выходе из мише^
состояние пучка будет описываться волновой функцией
_LJ2^_1|Kok
Л 41 ~ 2|К >’
аналогичной исходной (после реакции (42.1)), но с интенсивностью 1/4
от первоначальной. Предоставленные самим себе К° (42.10") снова на-
чинают распадаться. Мы видим, что „вымершая1* ранее (42.10) Ер-ком-
понента после прохождения через мишень испытала регенерацию, и
мы вновь можем наблюдать характерные для Кр двухмезонные распа-
ды (42.3).
Реальный опыт по регенерации значительно сложнее, здесь необ-
ходимо учитывать и рассеяние К0 в мишени, и неполное поглощение
К0, так что вместо (42.10") волновую функцию пучка, вышедшего из
мишени, следует записать в виде
-^{e|K°) + i7|K°)}= —|К?)+Ц-^|К§), (42.11'
V2 2 2
где | £ | = 1 (упругое рассеяние К0, не меняющее интенсивности пучка),
| »7 | < 1 (упругое рассеяние и поглощение К°). Следовательно, амплиту
да регенерации К? пропорциональна £ — rj. Процесс оказывается силь
но зависящим от небольшой разности масс Кр- и К^-состояний (их вир-
туальные слабые взаимодействия, а значит, и энергии, несколько ра^
личны). Эксперимент подтвердил эффект регенерации, вытекаю
основных квантовых постулатов, и дал возможность измерить р
Д/л масс К? и К;.
И
Задача 42-1. При t = 0 пучок состоял из К0. Если Т] и тг — времена
Кэ соответственно (Т2 >:> г |), то какова интенсивность К -компоненты в мо
Лекция 42. НЕЙТРАЛЬНЫЕ КАОНЫ
361
Вводя массы т, и т2 для К? и К2 соответственно, получаем
решение. 1 z
Ф(/ = О) = |КО) = -^{|К{’)+
V2
ф(,)=^
ехр
| К]1) + ехр — — m2c2t — | К®) ' =
I Й 2т2)
2*1/
m\ch----— — ехр — — m^t--------~
й 2*2,
(42 12)
I амплитуда К°-компоненты равна (Ат = т2 - /и;)
а ее интенсивность пропорциональна
Tj + 1/т2)/2
— 2 cos
~ е-//г> + е
IX
"ч, в силу г2 ^*1» при 1112< 1
lV^o(O ~ 1 + e7tlT' — 2e~t/2T} cos ch
к \ h I
Таким образом, возникают характерные осцилляции интенсивности
К Период осцилляций определяется разностью масс Д/и.
Измеряя вероятность рождения гиперонов Л и X вдоль пути пучка
ано обусловлено только наличием К0), можно найти интенсивность К0
ик функцию времени. Такие опыты дали Дтл ~ 0,4-10“5 эВ (мини-
мальная из разностей масс, измеренных в физике элементарных
Литература: [14, гп. 32; 42, § 15, 16; 44; 47, вып. 8, гл. 9].
Лекция 43. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Основным источником информации о силах, действующих меж,
частицами, служат столкновения. В эксперименте измеряются энепг
тические и угловые распределения продуктов столкновения (они могут
не совпадать с первоначальными частицами), а также характеристики
их внутренних состояний (например, поляризация). Полученные дан-
ные должны затем интерпретироваться в терминах взаимодействий, оп-
ределивших результат элементарного акта соударения. Фактически
многие свойства систем многих частиц также определяются столкнове-
ниями частиц системы между собой.
В рамках теории возмущений мы уже рассматривали (лекция 28)
упругое и неупругое рассеяние частицы на системе зарядов, когда по-
тенциал взаимодействия известен (кулоновский) и для быстрых частиц
может считаться возмущением. Теперь нам предстоит развить общий
поход, который позволит дать описание в более сложных случаях. Пр,
этом, в отличие от лекции 28, нас обычно будет интересовать рассеяние
при короткодействующем взаимодействии (ядерные силы или экрани-
рованный кулоновский потенциал).
Пусть взаимодействие рассеиваемой частицы и рассеивателя (ми-
шени) убывает при увеличении их относительного расстояния г, стре-
мясь к нулю при г -* оо (всегда будем рассматривать столкновени.
в системе центра масс, вводя приведенную массу т частицы и рассей
вателя). Сформулируем задачу так, чтобы в нее входили величины,
блюдаемые в реальном опыте по рассеянию. Удаленный источник рт*
дает поток рассеиваемых частиц, движущихся с относительной -s
гией Е = к2 к2/(2 т) вдоль оси к:
г- (43-В
^пад — О1 г
(падающая волна нормирована на единичную плотность). С ого
ря, в эксперименте приходится иметь дело с волновыми паке Lpu.
перечные размеры d которых ограничены возможностями ai не
Однако при выполнении неравенства TJd = M(kd) « 1 можн ()^о3нв-
учитывать. В некоторой области, характерный размер котор
Лекция 43. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
363
происходит взаимодействие, и
чим го’ расположенный при г » г0
Х^^ении ?(&, <р) от мишени, реги-
в Ну£ГТ рассеянные частицы (рис. 43.1).
^Хссмотрим наиболее простую по-
вКу эксперимента, когда измеряется
Ечисло частиц, упруго рассеянных в
ный телесный угол do, т. е. имеющих
Яновой вектор к', равный по абсолют-
ен -------- £ _ । £ । и направленный
наблюдения г:
к’ = kL .
(43.2)
ной величине
вдоль вектора
При упругом рассеянии меняется лишь направление относительного
движения (к -» к') при неизменной его энергии (и неизменных внут-
ренних состояниях частиц).
Нас будет интересовать стационарное состояние непрерывного
спектра с энергией Е. Поскольку взаимодействие происходит в конеч-
ной области пространства, па больших расстояниях (г -» оо) мы имеем
просто свободное движение. При отсутствии рассеяния волновая функ-
ция относительного движения всюду совпадала бы с трпла (43.1). Рас-
сеиватель искажает эту волновую функцию, однако по-прежнему при
-» а> решение может быть представлено суперпозицией решений сво-
бодного уравнения Шредингера с заданной энергией (приложение В).
П смыслу задачи эта суперпозиция должна отличаться от падающей
вечны на расходящуюся от центра волну. Амплитуда последней, одна-
N может зависеть от направления распространения г, т. е. от волно-
вого вектора к' (43.2).
Итак, для упругого рассеяния волновая функция должна иметь
•симптотический (| г | »/0) вид
VKF) ~ е'*? + f{k', к) — (43.3)
Г
Устное в математике условие излучения). Величина f(k', к) — амп-
1о^ь° Рассея11ия (размерности длины)_— характеризует интенсив-
11иелаВ0ЛНЬ1’ Рассеянной в направлении к', если первоначальная волна
’ости В°ЛНОВОЙ вект°Р Наблюдаемыми величинами являются плот-
Пот°ка (4.10) в падающей волне
Упад = - Im (^пад 4 = ~ = Г (43.4)
т \ дг / т
364
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
и в расходящейся (рассеянной) в направлении к
Jpacc jr ~ ]f
m I
* e d
Г dr
= Jl/I2-
Интерференция падающей и рассеянной волн в области детект
можна лишь при расположении детектора почти точно в наппав В°''
(в пределах пренебрежимо малого угла X/d, куда попадают падеНИИ *
волны, дифрагированные от краев отверстия, формирующего п ЩИе
так что ее можно не учитывать. Конечно, интерференция в об
взаимодействия (г < ц>) должна быть полностью учтена.
Детектор площадью dS, регистрирующий частицы в телесном угле
do = dS/r2 вокруг направления к', за 1 с отметит число частиц, равное
jpa.cc dS = /расе г2 do. Отношение числа частиц, рассеянных в детектор
с единичным телесным углом, к числу падающих на 1 см2 частиц
назовем дифференциальным сечением упругого рассеяния —
do
do _ Jpacc ^do _ (ц / г2) | / |2 г2 _ । у р
do Упад do V
(43 6)
Полное сечение упругого рассеяния <7упр получается из дифференциаль-
ного (43.6) интегрированием по углам вектора к':
аупр = f у- do = f d° \f I2' (43'
do
В классической механике полное сечение рассеяния
о-кл ~ J db • 2nb
(43.8 >
дается интегралом по всем прицельным параметрам Ь, для которых
имеет место рассеяние. Поэтому, если рассеивающий потенциал
не обращается строго в нуль при b > />П1ах, полное классическое
ние О'1'" расходится. В то же время мы увидим, что квантовое се
(43.7) конечно, если потенциал убывает быстрее, чем 1/г . сМот1
При больших прицельных параметрах b классическое ра
ние становится неприменимым, так как большим b отвечают
углы рассеяния в = (кк'), но для классического описания угол B1^J
жен быть больше квантовой неопределенности Дб направления
ния частицы (а неопределенность Д/> должна быть мала по р
Лекция 43 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
365
параметром Ь). Классический угол отклонения имеет порядок
Е”Мнь. (при “°™ й . д,
G----------------------------- ----
Р Р
(43.9)
I р . поперечная сила, вызывающая искривление траектории;
Vе _______характерное „время столкновения". Отсюда
д _ ~ ~ __ t/ft) (43 10)
db p b pv pv E
f другой стороны, неопределенность Ай создает неопределенность по-
перечной компоненты импульса А/?] — Й/Ай и, следовательно, неопре-
деленность угла рассеяния:
де _ 5а _
р ЛЬ • р
(43.11)
Таким образом, условия Д0 « 0 и Ай « й дают пределы классич-
ности рассеяния:
6 »А0 ~ — » — , » — . (43.12)
рЛЬ pb Е pb
Если потенциал убывает с расстоянием быстрее кулоновского (~ 1/й),
то неравенство (43.12) при больших й нарушается, т. е. рассеяние на
.толь малые углы целиком определяется квантовомеханической диф-
ракцией. Для чисто кулоновского случая 0 ~ Ze2/(pvb), и условие
«-.ассичности будет выполнено для всех й при больших значениях ку-
сковского параметра (ср. с обратным неравенством (34.4') в теории
возмущений)
т] = — » 1.
hv
(43.13)
Отметим, что хотя выше говорилось о детекторе, регистрирующем
^Руго рассеянные частицы, нигде не предполагалось отсутствие неуп-
х процессов. До тех пор пока мы интересуемся только упруго рас-
Уме НЫМи частицами, наличие неупругого рассеяния скажется лишь на
Шении интенсивности пучка частиц с первоначальной энергией,
^исследуя продуктов неупругого рассеяния, наличие его можно фе-
Кно°Л°ГИЧеСКИ описать’ ввеДя понятие поглощения частиц — сум-
ЬСЛоГО ‘’кивания их из пучка за счет неупругих процессов. Полное
^важцЧаСТИц’ конечно> сохраняется. Этот простой факт приводит
Г °МУ соотношению для амплитуды упругого рассеяния.
366
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Найдем полный вектор плотности потока вероятности в
ческой области, где волновая функция имеет вид (43.3) и аси^,Пт°ти-
цировать следует лишь экспоненты. Простое вычисление дает^6*1'
, I f I2 й + й' „ .г-
п + п —5—I------------------------(/ё ,kr + ,kr + f *eikf - На-
Эи J
hk
т
Я > (43.14)
где пи ii — единичные векторы, направленные соответственно
к', т. е. по вектору наблюдения г (см. (43.2)). Подставляя в (43
асимптотику (В.ЗЗ) плоской волны и учитывая, что из-за множ
ii + Я члены с д(п + л') не дают вклада, находим еля
j =v
_ I f I2
n + n ------------J-
- 77 Im /(«', «)<?(«- л') n
kr
(43.15)
Здесь первый член в правой части отвечает падающей волне, второй —
рассеянной и третий — дает их интерференцию, которая возможна
лишь в направлении „вперед14 (Я = Я).
Вычислим поток вектора j через поверхность большой (г -»оо)
сферы (падающая волна в (43.15) не дает вклада)
$dS j = v f do • г2 । — v — Im f(ii, л),
г2 к
или, в силу (43.7),
1 Ф ] • dS = оупр - v Im /(°>’ (43 16'
v к
где /(0) = f(n, Я) — амплитуда упругого рассеяния вперед.
С другой стороны, отличие потока ф j • dS от нуля целиком обу-
словлено неупругими процессами (поглощением). Определим полное
сечение поглощения онеупр как отношение поглощенного потока к
дающему
= ~ dS = -- Aw j d?. (43J7'
V V у
Тогда (43.16) дает оптическую теорему, выражающую мг мук^
амплитуды упругого рассеяния вперед через полное сечение
процессов рассеяния (ср. с (33.25)) Л
О’ = О'урр + Онеупр к
сохрая6*
Оптическая теорема фактически не содержит ничего, кР0М^ег0 пу"41®
ния числа частиц, и утверждает, что выбывание из падаю
Лекция 43 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
367
пит за счет поглощения и за счет интерференции падающих
цр°1,сХ и рассеянных вперед. Ослабление пучка вследствие интерфе-
час™11 компенсируется наличием волн, рассеянных в направлениях,
Рей1^ных от первоначального.
^Свойства рассеивателя по отношению к поглощению иногда харак-
| т вВодя в уравнение Шредингера для падающей частицы комп-
у - потенг{иал U(r) Действительно, пусть волновая функция час-
^цы удовлетворяет уравнению Шредингера
• V2 + к2 -
U(r)} V (?) = 0, к2 = . (43.19)
Тогда обычным образом определяя вектор плотности потока j, имеем
div J(r) = (ip*V2ip - ipV2ip*) =
2т, (43.20)
= — (ip*Uip — ipU*ip*) = - |(p (r) |2 Im U(f).
ih h
Таким образом, не вдаваясь в изучение структуры рассеивателя и ос-
таваясь в рамках одночастичного уравнения Шредингера, можно опи-
сать поглощение частиц (div j < 0) введением комплексного потенци-
ала с
Im U(r) < 0. (43.20')
Поглощение (43.20) зависит от координат, причем пропорционально
вероятности | ip (г) |2 попадания частицы в данную точку. (Если рассеи-
ватель содержит источник, рождающий частицы, то можно ввести
комплексный потенциал с Im U > 0.)
Задача 43-1. Доказать, что амплитуда /(А', к) рассеяния на комплексном потен-
тате удовлетворяет соотношению
2/ 4л J
----J dripj.(f) Im U(r)iJ)7(r),
2яЛ2 J к к
"Зе W- и
* Тк' — два решения уравнения Шредингера (43.19), отвечающие падающим
'^нам ркг и ^к'г. |£ । = |£, । = |£„ । = к
;иРов Ка3а,,Ие Написать уравнение Шредингера для и 1рк, вычесть и проинтег-
*е*)Иеи\П° °®ъемУ> воспользовавшись асимптотикой волновой функции (43.3) и разло-
I м доской волны.
(43.21)
368
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Полагая в (43.21) к = к' и вводя сечения упругого рассеяния
и поглощения (43.17), где div j выражается через мнимую чяг
j 'асть потея
циала согласно (43.20), вновь придем к оптической теореме 14
При отсутствии поглощения (43.21) дает так называемое уп ' 3
ловив унитарности - Ое Ус
j. [f(n', Я) - f*(n, й')] =-^ f dn" f\n", n). (43 2
Набор функций ip*(r), имеющих асимптотику в виде падающей
расходящейся волн, образует полную систему функций непрерывного
спектра и обычно обозначается Согласно (43.3) и (В.ЗЗ)
, (+), —. 2л .,
V} (О —- — X
* ikr
х id (й + Я’) е-'*7 —
(43.22)
е,кг <5 (й - й') + f(n', Я)
Эквивалентную полную систему образуют функции
= (V'f V»*,
(43.22’)
в асимптотике имеющие падающую и сходящуюся волны,
х w (й — й') е,кг — е~,кг д(п — Я) — — f(n', — Я)
-ikr
ik
(43.23)
2л
В (43.231) расходящаяся волна имеется лишь в направлении вектора А.
Поэтому система функций (43.23) удобна для описания рождения час
тиц, вылетающих из области взаимодействия с волновым вектором -
Если рассматривать f(ft, Я) как матричный элемент {Я \f Iй/оп
ратора /, преобразующего падающую волну в рассеянную по правилу
7^(Я) = /^(яшя)у(я), 4324
4л
то упругое условие унитарности (43.2Г) принимает операторнь “
(Л-25’
Лекция 43. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
369
определив матрицу рассеяния S как
S = 1 + 2?Л/,
(43.26)
ддучим, чт0 (43-25) означает унитарность S-матрицы
S+S = SS+ = 1, (43.27)
гптолая, таким образом, есть иное выражение сохранения числа частиц
Охранение вероятности).
Литература: [4, гл. 2; 18; 21; 39, гл. 1; 40].
Лекция 44. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Существуют различные способы описания рассеяния, практичес
удобные в разных ситуациях. Ниже мы рассмотрим случай, когда па
сеиватель обладает сферической симметрией. Тогда орбитальный мо-
мент I рассеиваемой частицы сохраняется. Удобно поэтому искать вол
новую функцию в виде разложения по парциальным волнам_____состоя-
ниям с определенным значением I. Выберем направление к падающей
волны за ось z. В центральном поле амплитуда рассеяния f(k', ^мо-
жет зависеть лишь от угла в между к и к' = к - — угла рассеяния. По-
г
прежнему считая взаимодействие сосредоточенным в некоторой облас-
ти размером порядка го, имеем (43.3) асимптотику волновой функции
да-------* e,fa + /(0) — = e'Pcose + kf(6) p = kr. (44.1)
r P
Разложим амплитуду рассеяния по полиномам Лежандра
/(0)= 2(2/ + 1)P/(cos0)//.
/
Используя разложение плоской волны (В.28), получим
V (О У, (21 + 1) Pi (cos 6) — [е«° - (- 1)'е-Н + - е*7/
l2(o р
(44.2)
= (44.3)
/
(44.3')
= -i- У (21 + 1) Pt (cos #)[(—l/e-^ - (1 + 2г///)е<°].
2Р /
Рассеяние искажает только расходящуюся волну, так что ее ампли
туда теперь отличается от единицы и равна
(44.4)
S, = 1 + 2ZV/. 1
Величины S/ показывают изменение каждой парциальной B0'nIlb'^IfIvi
зультате рассеяния и согласно (43.26) составляют матрицу Ра
Лекция 44. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
371
Оупр
И1гу), которая для рассеяния в центральном поле диагональна в
(S-h’21" влёнии (fi — соответствующие диагональные матричные эле-
'•"^оператора 1 (43.24)).
М ВыРажая амплитУдУ рассеяния (44.2) через S’-матрицу
/(0) = 2 & + W°s Wi - IX (44-5)
айдем дифференИиальное и полное сечения упругого рассеяния
~ = (44.6)
do
= / do |/(0) |2 = -^ £(2/ + 1)(2Z' + 1)(SZ - 1)(S; - 1) X
4* (44.7)
x fdq /Щ/) = 4л £(2/ + 1) |/2 |2 = £(2Z + 1) | Sz - 112 .
Поскольку l сохраняется, проинтегрированное по углам рассеяния
упругое сечение является просто суммой парциальных сечений. Конеч-
но, для фиксированного угла в все парциальные волны интерферируют
(см. (44.2) и (44.6)).
Для того чтобы найти сечение поглощения, вычислим поток час-
тиц через поверхность большой сферы в направлении внутренней нор-
мали — это и есть число частиц, поглощаемых рассеивателем в едини-
цу времени. Используя (44.3) и (44.4), находим:
V (г) -* — У (- 1)'(2Z + IXXcos 0)[е-'^ - (-1)% е'^]; (44.8)
2kr i
— f do г2
2т J
(44.9)
тк j
ечение поглощения (43.17) равно
°неУ„Р = - ТГ/Т j do J>2 = 77 + М - Is' I2 )• <44Л°)
(М / т) к I
ПогпМ °бразом> ^-матрица определяет как упругое рассеяние, так и
Ци Л0Щение (неупругие процессы, которые мы здесь рассматриваем
р0 ь суммарно). Из (44.9) видно, что при поглощении |S/ | < 1, для
ДеНия частиц | St | > 1 (тогда понятие сечения поглощения теряет
372
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
смысл) и, наконец, при чисто упругом рассеянии | S/ I = 1 (г _
чает свободному движению — полное отсутствие рассеяни
Поглощение иногда описывают еще так называемым
том прилипания
0<^<L
Выражение для неупругого сечения (44.10)
^неупр = ТУ 2( 4" 1) £/
к I
' отве.
хоэффи^
(44.Ц)
(44.10')
допускает простую квазиклассическую интерпретацию. Результат клас
сического соударения определяется прицельным параметром Ь/, связа "
ным с моментом импульса:
Ih = mvb/, bi = — = - = [К. 144 1
mv к v.
Поэтому /-й парциальной волне отвечают частицы, проходящие в коль-
це между радиусами bi и bi + ь Если на 1 см2 в 1 с падает одна частица,
то на это кольцо приходится поток, равный его площади:
л(^/2+ 1 ~ fc/2) = ttX2(2Z + 1). (44.12')
Если вероятность захвата каждой частицы равна £/, то для полного
сечения поглощения сразу получаем (44.10').
Отметим, что неупругое рассеяние может отсутствовать (при
|5/ | = 1), однако если оно отлично от нуля, то обязательно существуй
и упругое рассеяние („теневое"). Это является типичным волновым эф-
фектом: поглощение искажает падающую волну, тогда в ее фурье-раз-
ложении появляются дифрагированные — рассеянные — составляю-
щие. Согласно (44.7) и (44.10) полное сечение
® *2упр 4“ <7иеуПр — ~ 2(2/ + 1)(2 Si St)
к I (44.1
= ТУ 2(2/ 4- 1)0 - Re Si).
к I
Сравнивая (44.13) с (44.5), вновь убеждаемся в выполнении оптичесЮ
теоремы (43.18). эпе_
Рассмотрим подробнее случай упругого рассеяния. При этом
менты S-матрицы равны по модулю единице (равенство пОТ°ков
дягцейся и расходящейся волнах), т. е. можно положить (ср. 1 •
Si = e2id>, (44' •
Лекция 44 МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
373
_____ вещественные числа, называемые фазами рассеяния. Запи-
где (>i с _ I как 2ей/ sind/, находим амплитуду рассеяния (44.5)
„•цвая >/
/(0) = 1 I/27 + ^/(cos е) ей/ sin <5/- (44.15)
к i
рыразим через фазы асимптотику волновой функции (44.8):
iHr) — У i‘(% + l)P/(cos0)[e2A5'(-dze’0 “ =
2ip i
= — У /(2Z + l)/)(cos 6») ей' X
2'Р i
{ Ьт ,
ехр i ^р —— +
(44.16)
bt . t
7 + d'
= - 2 + Wcos в) е'6’ sin (р - — + <5/) .
Р I ' 1 )
Сравним (44.16) с асимптотикой (В.ЗГ) плоской волны. Мы видим, что
й/ представляет собой сдвиг фазы /-й парциальной волны по сравне-
нию с свободным движением (см. задачу 5-2). Поскольку потенциал
короткодействующий и отсутствует в асимптотической области, то
единственным „следом", оставшимся в /-й парциальной волне от взаи-
модействия, является фазовое смещение <5/. Удвоенная фаза 2(5/ в Si
„набегает" на пути волны к центру и от центра.
Аналогично случаю свободного движения, волновая функция для
рассеяния в центральном поле может быть (точно, а не только в асимп-
тотической области) представлена как
ф = У(2/ + l)P/(cos 0)с/ .
/ Р
Радиальные функции и/ удовлетворяют уравнению (8.37)
d\ + к2 _ 2mU(r) _ /(/ + 1)
(44.17)
Jr2
h2
wt = b, к2 = ^, (44.18)
d2w/
dp2
1(1 + 1)
Р2 .
wi = 0.
(44.18’
U
Е
”и Должпы быть регулярными в начале координат, а в асимптотике
Но ^Ставляют суперпозицию сходящихся и расходящихся волн. Будем
туд^11^)0Вать wi аналогично функциям f (В. 16) на единичную ампли-
°тда (44.16) и (44.17) дают
374
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
W/(p)----------
р-* сп
sin [ р - — + <51 ]
V 2 7
(419)
что подтверждает значение <5/ как фазовых сдвигов,
разложения (44.17) согласно (44.16) равны
С/ = i^e"5'
Возвращаясь к S-матрице, находим
Коэффициенты С(
(44.20)
H'z(p)--——i64l [е '/>-(-1)% е'Р]. (44191)
Обозначая wz+) частные решения (44.18), имеющие соответственно
асимптотики е±1Р (аналоги h* и А, из (В.25)), wz(+) = (WH)‘, подучаем
что решением задачи рассеяния является их суперпозиция (ср. 6.12)
Wi(p) = 4k/H(p) - S>/+)(p)l, (44.21)
где Ai и Si зависят от энергии, причем S/ находится из условия ре-
гулярности wi(p) в начале координат р = 0 (как и в (В. 11), регулярное
решение однозначно определяется асимптотикой).
Из (44.15) находим дифференциальное (44.6) и полное (44.7) сече-
ния упругого рассеяния,
^упР = Т7 X (2/ + 1) sin2 <5;. (44.22)
к i
Ясно, что равенство <5Z = пл означает отсутствие рассеяния данной
парциальной волны (Ji = 0). Максимум рассеяния (резонанс) отвечает
значению д/ = л/2, сечение в резонансе определяется только длиной
волны (ср. с рассеянием света, лекция 33)
(О7)тах = т? (2/ + 1) = 4ttX2(2Z + 1). (4.23)
Заметим, что максимальное квантовое упругое сечение (44.23) в 4 раза
превышает классическое, равное площади кольца (44.12').
Рассмотрим теперь асимптотику (44.19) волновой функции (44.
в зависимости от волнового вектора к. Продолжим аналитич
Si(k) = е2,6'№ на комплексные значения к. Там di(k) перестает
вещественной величиной. Пусть в некоторой точке к = — х
отрицательной мнимой полуоси) фаза <5Z(—ix) = i°°, т- е-
S/(-zx) = е2й'Нх> = 0. (44’24)
Лекция 44. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
375
асимптотике (44.19) данной парциальной волны остается лишь
ТоГДа в а
ратаем __ e-i(-ix)r _ е-хг,
„впадает с асимптотикой волновой функции связанного
с Й2 — (-/X)2 Й2*2
имеющего энергию Е =----—-----= - — < 0.
состоя-
что
Н0Я,
Таким образом, связанным состояниям с моментом / отвечают ну-
соответствующего элемента S'-матрицы Si(k) на отрицательной мни-
мой полуоси. Обратное, вообще говоря, неверно, так как не всем таким
нулям S, отвечают реальные связанные состояния.
' Поскольку уравнение Шредингера содержит не к, а А2, то формаль-
ное изменение к на —к должно привести (с точностью до независящего
от г множителя) к тому же решению W/(r). Однако при такой замене
[е“^ - (~l)'Si(k) е'*Ч -* [e'*r - (-T)lS^-k) e~ikr] =
= - (—l)zS/(—к)[е“/Лг - (—l)zS/-,(—k) e'fo'].
Отсюда следует, что
Sf l(-k) = Sz(k). (44.25)
Поэтому нули на нижней полуоси (к = - ix) соответствуют полюсам
ЭД при к = ± ix.
Задача 44-1. Найти фазу <5q(A) рассеяния s-волны на прямоугольной яме радиусом
гц и глубиной С70, совершить аналитическое продолжение и проверить связь нулей
S-матрицы со связанными состояниями
Мы видим, что S-матрица вместе с предположением о ее анали-
тичности суммирует в себе всю информацию о квантовых свойствах
системы без явной ссылки на волновую функцию или гамильтониан.
Вектор состояния здесь используется лишь для характеристики асимп-
тотических состояний, т. е. свободно движущихся частиц, которые ре-
Н’стрируются измерительной аппаратурой. По-видимому, именно та-
Кои подход является наиболее обещающим для построения теории эле-
ментарных частиц.
Литература: [4, гл. 3; 5, гл. 3, 5; 11; 15; 17; 18; 21; 32в, § 23, 25;
Лекция 45. НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
В лекции 44 было получено формальное решение задачи рассеяния
в центральном поле конечного радиуса действия. Все наблюдаемые ве-
личины выражаются через бесконечный набор фазовых сдвигов dz(i)
Если потенциал С7(г) известен, то решение радиального уравнения
Шредингера с асимптотикой (43.3) дает возможность найти й/ (это
всегда можно сделать численно). Однако заранее ясно, что весь метод
парциальных волн практически удобен, лишь если ряды по / достаточ-
но быстро сходятся, т. е. фазы <5/ убывают с ростом /. Чтобы понять,
когда это происходит, получим точное соотношение для фаз.
Возьмем уравнения (В.21) и (44.18') для регулярных решений /
при свободном движении и w/ при наличии потенциала С7(г):
d2fi
dp2
Щ + 1)
d2wi , U(p)
dp2 L E
// = 0;
(45.1)
(45.2)
Умножая (45.1) на w/ и (45.2) на f и вычитая, получим уравнение для
... dfi _ dwi
вронскиана W = — wi ~ ji — :
dp dp
, U(p)
-----1---~~ wifi = 4
dp E
(45.31
или, интегрируя,
R л)
W(R) = W(0) - J dp^ wt(p)fi(p). {45’
о E
П U(P^
Предположим, что вблизи начала координат потенциал
имеет особенности или имеет, но более слабую, чем центро ^а.
член /(/ + 1Ур2. Тогда при р -» 0 можно пренебречь в (45.2) по
Лекция 45. НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
377
регулярные решения обоих уравнений (45.1) и (45.2) будут
|оМ- Одинаковое поведение. Это означает, что при р -» 0 wi и f про-
иМСТ«пнальны, т. е. РГ(О) = 0. Устремляя в (45.4) R -» оо, находим
порцион
FP(oo) = - J dp B7(p)/Z(p). (45.5)
о Е
и потенциал убывает достаточно быстро, то интеграл (45.5) сходит-
I в то же время из асимптотик (В. 16), (44.19) следует, что
СЙ' ' г /
ИД00) - lim cos Ip — — ] sin (р — — + <5/
p-»“L \ 2/ \ 2
Cbt) ( bt . t
p---cos p-----h OZ
2/ \ 2
= sin dz.
Окончательно получаем
sind/ =
CO
J dp w/(p)/z(p),
о E
(45.6)
Рис. 45.1
что определяет фазу с точностью до кратного 2т.
Для исследования сходимости разложения по парциальным волнам
рассмотрим фазы с большими /. Интеграл в (45.6) содержит неизвест-
ное точное решение иу. Предположим, что потенциал удовлетворяет
условиям „хорошего поведения14 при г -» 0 (r2U(г) -* 0) и быстрого
убывания при г -» оо Тогда легко видеть, что для достаточно больших /
функцию wi под интегралом в (45.6) можно заменить на решение fi
свободного уравнения Шредингера.
Действительно, при классическом
рассеянии большим I отвечают орби-
ты, настолько удаленные от центра,
что движение по ним лишь слабо воз-
мущается короткодействующим по-
тенциалом. Такой же результат полу-
чается и в квантовом случае. Рассмот-
рим эффективный потенциал
GefT = и(г) + h 1(1 + ° (рис. 45.1).
На малых расстояниях потенциал
’ т- е. велик, а затем
становясь равным энер-
I в точке поворота rz. При данной
378
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
энергии Е выбором I можно сделать г/ сколь угодно болы
малых г доминирует центробежный барьер, в силу чего волно М
ция wi мала (порядка г1 + ’). При г > rt волновая функция и'/ВодНу^Нк"
* вне об.
везде>
ция w/ мала (порядка г
дальна, т. е. ведет себя как fi, если точка поворота лежит
ласти потенциала. Итак, при г; > го влияние потенциала мало
следовательно, малы фазы рассеяния волн с такими /.
Условие г/ > го означает, что
IKn) «
й2/(/ + 1) _ й2/(/ + 1)
2 — < т ,
2mi] 2т§
и, значит, оно выполняется при
/(/ + 1) > ~ r02 = k2r$, I > кгй
tr
(45.7)
(классический результат). При выполнении условия (45.7) фазы рассея-
ния малы, д/ « 1,sind/ ~ <5/, и из (45.6) находим
<5/ « - f dp /Др). (45.8)
о £
Условие (45.7) выполняется для всех I * 0 при низких энергиях
(кто <1). Поэтому в рассеянии медленных частиц заметен только фазо-
вый сдвиг 5-волны: высшие моменты становятся важными по мере рос-
та энергии.
В пределе низких энергий во всей области, где потенциал U(r) су-
щественен (г < го), в силу (45.7) можно заменить согласно (В.З)// на
С/р1 + *, причем С/ не зависит от энергии (В. 15). Тогда из (45.8) нахо-
дим низкоэнергетическое поведение фаз рассеяния (/ > 0)
<3/ = - J dp С2р2' + 2 = - С2 — f dr U(r)r2‘ + 2- (45.9)
о Е Е о
Согласно (45.9),
д, _ k2i + 1 _ Е1 + 1/2 (45 lb-
т. е. <5/ убывает с ростом /. Поэтому метод парциальных волн
работает для медленных частиц, когда в рядах (44.15), (44.Z ) j
точно ограничиться первыми членами. случае
Заметим, что в случае притяжения (U < 0) фазы д/ > °> в ходсац
отталкивания д/ < 0 (это легко понять, качественно проследив тВ1,я
решения уравнения Шредингера по сравнению со случаем
потенциала).
Лекция 45. НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
379
ролее аккуратные оценки необходимы, когда потенциал U(r) убы-
К степенным образом, т. е. нельзя указать величину, играющую роль
Г^йуса взаимодействия г0.
Задача 45-1. Показать, что фазы рассеяния <5/ с I > 0 для потенциала
---------- — пропорциональны в низкоэнергетическом случае
!?)
к21 + ’, 21 + 3< а;
д/ ~ к21 + 1 In к. 21 + 3 = а;
ка~2, 21+ 3> а.
(45.11)
Коооткодейсгвие отвечает а -» оо, тогда возможен лишь первый случай, и результат
совпадает с (45.10).
В предельном случае &ro « I существенный вклад в рассеяние да-
ет только s-волна. Общие формулы (44.15), (44.22) дают тогда
/(в) = - e'd° sin до, о = sin2 до- (45.12)
к
Поскольку амплитуда рассеяния не зависит от углов, рассеяние мед-
ленных частиц изотропно. Физически это совершенно понятно, так как
для рассеивателя направление падения волны выделено по наибольшей
разности фаз между двумя точками рассеивателя, разнесенными на
расстояние го- Однако длина волны медленных частиц X, » го, т. е. эта
разность фаз пренебрежимо мала, и выделенные направления отсутст-
вуют.
Рассмотрим рассеяние очень медленных частиц. Предел, к которо-
му стремится при к -» 0 амплитуда рассеяния, назовем длиной рас-
сеяния
£limo f(0) = -а, (45.13)
тогда сечение рассеяния
о -» Ала2. (45.14)
Для иллюстрации возьмем яму радиуса го (рис. 45.2) и рассмотрим
по ественно зависимость длины рассеяния от параметров ямы (считая
Во пРежнему X,» г0). В случае свободного движения (см. рис. 45.2, а)
Тен °ВаЯ ФУНКЦИЯ всюду есть w = sin кг. Для отталкивательного по-
L ала (б) волновая функция уменьшается в подбарьерной области
Подхо^6 кооРДинат всегда w(0) = 0), так что к границе потенциала w(r)
Г Дит с увеличенной по сравнению со случаем свободного движе-
>->/.ПРОизвоДной. Это означает, что в область свободного движения
волновая функция выходит с запаздыванием (д < 0). Пока высота
380
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Ц»)
Рис 45.2
Лекция 45. НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
381
мала, малой будет и фаза д0. Согласно (45.12) и (45.13), в этом
арьсра
-а = 1 e'd° sin д0 « — , д0 « - ка.
к к
(45.15)
По меРе Роста высоты барьера уменьшается значение vv(r) на гра-
В пределе бесконечно высокой стёнки (рассеяние на непроницае-
шаре радиуса го, — случай (в)) волновая функция имеет точный
,'°ль при г = '’О, т. е.
до = — кго, а = г0, ° — 4nt'o-
(45.16)
Здесь сечение рассеяния в отличие от классического, равного площади
поперечного сечения лг02, равно площади поверхности сферы (волны с
Х»г0 взаимодействуют со всей поверхностью).
В случае потенциала притяжения внутренняя волновая функция
подходит к границе с уменьшенной производной (г). Поэтому внешняя
волновая функция смещена по сравнению со свободным движением
влево, фазовый сдвиг
(45.18)
д0 = — Ад > 0. (45.17)
При углублении ямы (д) производная волновой функции на границе
стремится к нулю. Тогда максимум волновой функции смещен из точки
< - л/(2к) (для свободного движения) на границу (г = го). Поскольку
>. '> го, фазовый сдвиг в этом случае близок к л/2. Согласно (45.12) и
15.23), при этом мы получаем резонанс в сечении:
_ _ 4л
® ~ ^тах д2 ’
и сечение растет с уменьшением энергии (аномально большое сечение
рассеяния тепловых нейтронов на протонах).
Резонанс (45.18) в сечении связан с появлением при данной глу-
'ине ямы связанного состояния. При малых энергиях Е (много меньше
"убнны ямы) в уравнении Шредингера для внутренней волновой
Функции можно пренебречь Е по сравнению с U. Поэтому внутренняя
I лиовая функция почти не зависит от Е и практически одинакова как
я положительных энергий (задача рассеяния), так и для отрицатель-
(дискретный спектр). Если глубина ямы такова, что производная
Таиице обращается в нуль, то для чуть большей глубины опа уже
^нет отрицательной, и это даст возможное гь плавно сшить внутрен-
Б э ВолновУЮ функцию с убывающей экспонентой во внешней облас-
неЧцНаЧит’ ЭТ° и есть момент появления связанного уровня в яме. Ко-
• аеТся’ ^Овеиь появляется сначала с пулевой энергией связи и опус-
пРи дальнейшем углублении ямы. Если производная на границе
382
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
еще положительна, но мала, то это область вблизи резонанса
сечение начинает расти. В этом случае реального уровня в яме’ Чт°
но он как бы уже находится „близко" (пока еще в непрерывно^16 Нет’
ре) — в этом случае говорят о рассеянии на виртуальном vn<~> СПект-
§ 133]. Р е [32в,
Такая ситуация имеет место при рассеянии медленных ней I
на протонах. Существует реальное связанное состояние (и + р\^°*
рон с энергией связи 2,226 МэВ. Дейтрон имеет спин 1 и отв tM
триплетному состоянию нейтрона и протона. В синглетном спин
состоянии взаимодействие п — р недостаточно сильно для образова М
связанного состояния, однако „не хватает" совсем немного, так что
синглет проявляется как виртуальный уровень в рассеянии п - р
Подобный резонанс возникает каждый раз при появлении нового
уровня в яме, когда фаза равна нечетному кратному л/2. Это означает
что если фаза находится в пределах л(и — 1/2) < д < л(и + 1/2), то чис-
ло связанных состояний в яме равно п. Длину рассеяния здесь надо
определить вместо (45.15) как
до — пл,
—а = lim ---------
к -» о к
(45.19)
При углублении ямы (см. рис. 45.2, е) фазовый сдвиг растет, так
что внутри ямы появляется нуль. Здесь фаза близка к л, т. е. сечение
(45.12) обращается в нуль, и s-волна не дает вклада в рассеяние. По-
скольку вклад высших парциальных волн мал при низких энергиях,
полное сечение оказывается аномально малым.
Литература: [3, гл. 1; 5, гл. 3; 8, ч. 2; 15; 17: 20; 32в, § 132; 33; 40;
48, гл. 6; 53].
I кЦИЯ 46. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И БОРНОВСКИЙ РЯД
Рассмотренный в лекции 44 метод парциальных волн годится лишь
и рассеянии на сферически симметричном потенциале. Кроме того,
практически его использование ограничено низкоэнергетической об-
ластью. Более общий подход связан с переходом от уравнения Шредин-
гера к соответствующему интегральному уравнению и построением
функции Грина для задачи рассеяния.
Мы ищем решение ip (г) стационарного уравнения Шредингера
V2^ + k2ip = U(f)V
(46.1)
^потенциал U(f) может быть нецентральным), имеющее в асимптотике
(вне области действия потенциала) вид
ip (f) ~ + f(k', к) — , (46.2)
Г
где | к | = | к' | = к", к — вектор падения волны; к' — вектор по направ-
лению г наблюдения (43.2). Выделим из решения уравнения (46.1) па-
дающую волну
1р(г) = е‘кг + $(г), ----——> f — . (46.3)
г г
Плоская волна удовлетворяет однородному волновому уравнению
1 + к2) е'кг- — о, поэтому
(V2H2)^(r)=§t/(r)^(r).
/г
(46.4)
®еДем функцию Грина G(f, г'), удовлетворяющую уравнению (здесь
г иент V действует на переменную г, a F играет роль параметра)
(V2 + k2)G(r, г') = - 4яд(Г - г')
(46.5)
384
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
и граничному условию расходящейся волны при г -> оо; q е,кг
г ' Т°гда
применение принципа суперпозиции сразу дает формальное
уравнения (46.4) в виде реЩеНце
Ч’(г) = - J dP G(f,
(46.6j
что на самом деле является интегральным уравнением (справа_ Л
вестная функция гр (?')), объединившим в себе уравнение Шреди”6113'
(46.1) и нужные граничные условия (46.2). ИНгеРа
Легко видеть, что искомая функция Грина (46.5) дается вып
нием раже'
G(r, Р) =
I' ~ I
|г -г'|
(46.7)
Действительно, выполнение уравнения (46.5) проверяется непосредст-
венно (оператор V2 + к2, действуя на G(r), дает нуль всюду, кроме
точки г = Р). Для проверки асимптотики (46.7) рассмотрим область
больших расстояний |г | »|F |. Здесь, как видно из рис. 46.1, имеем
| г - Р | ~ г - р - , т. е. к | г - F | ~ кг - к - • Р = кг - к' р,
G(r, г') -» е ,к'г —
(46.8)
Первый множитель в правой части (46.8) зависит только от ориентации
вектора к' по отношению к некоторому направлению Р, т. е. имеет вид
f(6, <р). Второй множитель описывает расходящуюся сферическую
волну.
Итак, согласно (46.3), (46.6) и (46.7), задача рассеяния сведена к
интегральному уравнению
V (г) = е*? - f dP ^7/ U(f')гр (Р). («6 9)
2л7Г J | г - г' |
Рис. 46.1
Смысл уравнения (46.9) очевиден: волна в точке г складывается
первоначальной плоской волны, пришедшей туда без рассеяния, и Ч^,
рических волн, исходящих из к
точки Р, где имеется ненулевой Ра^ниМ
вающий потенциал U(r') BCP°gHca)
классический принцип ^ЮИ мпЛи-
вклад точки Р пропорциона; е
туде имеющейся там волны гр у1,
чению потен циала U (г' )•
Лекция 46 МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И БОРНОВСКИЙ РЯД
385
4 о) к асимптотике (г велико по сравнению с радиусом действия
в ( дциала го), получаем точное выражение амплитуды рассеяния
роте
/(*’, *) = - f df гр (г') (46 10)
(<rr i спРава зависит Функция V'
Задача 46-1. Доказать, что для сферически симметричного потенциала амплитуда
« совпадает с полученной в методе парциальных волн (44.15).
И®' указаине. Воспользоваться разложением точного решения (44.17) и плоской
кущи (В 30') И выражением (45.6) для фаз рассеяния.
Будем формально решать уравнение (46.9) итерациями. Подставляя
гр (г') = е'кг----------/ dr" G(f’, r")U(f”) гр (г")
в правую часть (46.9), получаем
гр (г) = eiki - Г dr' G(f, г') U(r’) eikr +
2 (46.11)
+ (- f dr' dr" G(r, r') U(f') G(r', r") U(r”) гр (r").
\ 2лТг /
Продолжая эту процедуру, мы получим представление решения урав-
нения (46.9) в виде бесконечного ряда (ряд Неймана в теории интег-
ральных уравнений; в теории рассеяния его принято называть борнов-
ским рядом). Первый член ряда есть падающая волна, второй — ре-
зультат одного рассеяния падающей волны е'*г в точке г' с последую-
щим свободным распространением от г до точки наблюдения г, при-
чем по всем точкам г, где возможно рассеяние, идет интегрирование,
свободное движение волны г' -* г описывается функцией Грина
Хё, г), которую поэтому иногда называют функцией распростране-
Ния> или пропагатором свободной частицы.
Третий член борцовского ряда отвечает двукратному рассеянию со
^ободным движением между актами взаимодействия, и т. д. Каждый
Дующий член ряда содержит добавочную степень потенциала U и
нюю функцию распространения G. Поэтому борновский ряд есть
ожение волновой функции по степеням потенциала, т. е. совпадает
°рией возмущений. В целом разложение (46.11) есть просто явная
ь Принципа суперпозиции, согласно которому полная амплитуда
сУмме амплитуд всех возможных путей развития процесса. Удоб-
Нов обР^ить ряд (46.11) графически, что позволяет без труда восста-
произвольного члена ряда теории возмущений:
386
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
=t = 4—+ 4---------1 и------1
V(r) е'*~ Gtfr’) е«г-
1 2лЛ J
Иб.12)
G ( пи\ G (-"И е'
1 ’лЛЛ I 2л/Р
Поскольку графическое выражение, стоящее справа от первой фу
Грина G и первой вершины U во всех членах, начиная со втопо ЦИИ
сумме снова дает тот же бесконечный ряд, то справедливо уравнен *
Г
гр е'
]S=1
(46.13)
которое есть не что иное как исходное уравнение (46.9).
Точное суммирование ряда (46.12) обычно невозможно. Однако ес-
ли потенциал U можно считать слабым, то ряд (46.12) должен быстро
сходиться. Ограничиваясь линейным по U членом, получаем первое
борновское приближение
^(i)(f) = е'*г---f df G(r, г') U(r')e'*r. (46.14)
2лТг
Из (46.14) и (46.8) находим амплитуду рассеяния в этом приближении
/ОКИ'.
(46.15)
где введена фурье-компонента потенциала
U-q = f dr
(46.16)
отвечающая переданному импульсу
hq = й(Л — к'),
• &
а = 2А' sin - ,
4 2
(46.16')
сечения ра
(46-1?'
О — угол рассеяния (кк'\ Вычисляя дифференциальное
сеяния 2
7 =
do 4nh
видим, что оно совпадает с найденным в первом приближении
пой теории возмущений (28.14). Отметим, что в приближении
G
Лекция 46. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И БОРНОВСКИЙ РЯД
387
исимость от угла рассеяния и от энергии входит лишь через q
16')
Ндля рассеяния в центРальном поле Цг) интегрирование в (46.15)
амплитуду оо
" = — r2U{r). (46.18)
о Чг
мощью (B.37) легко показать, что (46.18) совпадает с результатами
L топа парциальных волн, если фазы <5/ считать малыми и вычислять
по (45-8)-
Борновское приближение будет хорошим, если отброшенные члены
малы по сравнению с учтенными. Малость и-го члена по сравнению с
|Л - 1)-м дает условие типа
JdF
2лЛ2 J
U(r') eiir
« \eikf | = 1.
(46.19)
Наиболее опасной в смысле нарушения неравенства (46.19) является
область малых г. Полагая г = 0, имеем в случае низких энергий
2яй2 J г 2лЬ2
(46.20)
Условие (46.20) означает малость средней потенциальной энергии U по
отношению к среднему значению К ~ Й2/(2тгр ) кинетической энергии
частицы в области взаимодействия.
Ситуация для применимости борцовского приближения улучшается
при высоких энергиях: здесь уже не требуется слабости взаимодействия
ПК «1). С ростом энергии волновая функция начинает быстро ос-
циллировать внутри области взаимодействия, и интеграл (46.6), опре-
деляющий рассеянную волну, мал из-за компенсации вкладов от раз-
личных участков области г < г0, даже если взаимодействие является
яостаточно сильным. Грубый критерий можно получить из (46.19), от-
’"УДа при г = О
2яЙ2 J г
(46.21)
Для сферически симметричного потенциала С/(г)
kh2
00
f dr U(r)(e2ikr - 1)
о
(46.2 Г)
н'Лщ13КИх энергий е2йг - 1 ~ 2ikr, и мы возвращаемся к оценке
1- Однако при kro » 1 член е2|А/ дает исчезающий вклад, и уело-
388
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
вие применимости борновского приближения становитс
слабее я ГоРазд0
kfi2 К krD
(46.22|
Таким образом, с ростом энергии рассеиваемой частицы то J
борновского приближения растет (оно поэтому является допол ЧН0С1ь
ним к методу парциальных волн, удобному при малых энеНИТеЛЬ"
В случае кулоновского взаимодействия ([/(г) = Ze2/г) нельзя ввеРГИЯ^
диус го, однако, оценивая U как U(tq), получим ти Р3'
kh2 r0 kh2 hv
(46.23)
что совпадает с критерием теории возмущений (34.4').
При низких энергиях, как видно из (46.18), амплитуда рассеяния/
не зависит от в и к, и рассеяние изотропно, как и должно быть по
(45.12). С увеличением энергии растет роль рассеяния вперед, так как
/(0) имеет заметную величину лишь для qr0 = 2к sin(0/2)ro < 1, т. е. для
малых углов рассеяния 0 < Щкго). Ясно, однако, что для рассеивания
вперед (0 -» 0) борновское приближение не может дать точного резуль-
тата, так как борновская амплитуда (46.18) вещественна, что противо-
речит оптической теореме (43.18). Дело в том, что полное сечение и,
следовательно, Im f (0) являются величинами более высокого порядка
по потенциалу, которыми пренебрегали в борновском приближении.
Кратко рассмотрим рассеяние частицы средой, состоящей из мно-
гих рассеивающих центров, которые мы будем считать расположенны-
ми хаотически (в противном случае возникают дифракционные явле-
ния, ср. с лекцией 33). Предположим, что размеры области действия
сил малы по сравнению со средним расстоянием между рассеивателя-
ми. Следствием многократного рассеяния падающей частицы будет ин-
терференция волн, рассеянных от различных центров, а также волн,
рассеянных вперед, с падающей волной. Эти явления обусловливают,
как в оптике, преломление и отражение пучка частиц при прохождении
через вещество. Типичным примером может служить преломление^
полное отражение пучка нейтронов в твердых телах и жидкостях,
длина волны X порядка межатомных расстояний, и в газах, где ср
расстояние между атомами больше X.
Для упругого рассеяния падающей волны е'кг на отдельном р
вателе, расположенном в начале координат, имеем из (46.1 )
= - — f(k’, k)ek'f (46-"|
m (2л)
Лекция 46. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И БОРНОВСКИЙ РЯД
389
сделали обратное фурье-преобразование). Сравнивая (46.24)
Р^звнением ШРеДингеРа’ получаем
(V2 + к2) ip-k(r) = f dk! f(k', к) eikf. (46.25)
ikr
ча 46-2. Показать, что если волна е падает на рассеиватель, находящийся в
- соответствующая волновая функция у» г (г; ij) удовлетворяет уравнению
(V2 + к2) 1рт(г, /j) = - f dk' f(k\ к) е‘к & ~ *>) =
к 2л2 J (46.25’)
= - -Ц- f dk' f(k’, к) ei(-k " к'* d*'7.
2л2 J
Правая часть (46.25') описывает действие оператора рассеивания f
на плоскую падающую волну. Пусть система содержит N рассеива-
телей (ij,..-,*w), распределенных со средней плотностью р= NIV.
Нам надо найти^волновую функцию пучка частиц, падающего на среду
в направлении к; обозначим ее ipk(f', Й> • • •, rN ). Для данного (z-ro) рас-
сеивателя эффективной падающей волной будет некоторая функция
учитывающая наличие всех остальных рассеивате-
лей. Поэтому вместо (46.25') получим, суммируя волны, рассеянные на
всех центрах,
(V2 + k2)ipk(r,rl,...,fN) =
, г (46.26)
= ~ ~2 f dk' f(k', к) ^e,(* к>1 1р(£(г;
Поскольку рассеивателей много, влияние на волну какого-либо од-
ного из них мало. Поэтому заменим в сумме по i в (46.26) функцию ip^
на полную волновую функцию Усредним теперь (46.26) по всем
Расположениям рассеивателей при заданной их плотности р. В силу
Исх°Дного предположения о малости радиуса действия сил, рассеяние
Данным центром не зависит от положения всех остальных, так что в
4>авой части (46.26) экспоненту и функцию ip можно усреднить неза-
Симо Усредненная функция ^(г) подчиняется уравнению
(V2 + £2)^Г) = - f dk' f(k', к) %&<к ~ (46.27)
еняя суммирование по i и усреднение интегрированием по объему
РеДЫ, получим
2е'(* - k')r = J е,(* - к’)гр dr = р (2л)3д (к - к'). (46.27')
390
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Отсюда видно, что многократное рассеяние гасит в среднем
кроме рассеянных вперед. Вводя амплитуду f(0) = f(k г\Всев°Л1щ
_______________________________ J 1 находим ’
(V2 + k2)ipk(f) = -
Таким образом, усредненное действие среды меняет
тор частиц
волновой век-
к2 -» d?T2 = к2 + 4лр/(0),
(46.29)
следовательно, показатель преломления среды
= 11 4^Я°)
к V к2
(46.30)
определяется в нашем приближении лишь плотностью среды, но не де-
талями ее структуры (при наличии нескольких сортов (а) рассеивате-
лей в (46.30) войдет Р«/«(0)).
а
Согласно (46.29), среда эквивалентна потенциальной яме глубиной
и = ~ (к2 - ax'2) = -^ pf(O). (46.31)
2т т
Эта яма в силу оптической теоремы (43.18) содержит поглощение (см.
(43.20))
Im U = — р Im /(0) = - — рко = - - pvo, (46.32)
т 2т 2
что отвечает элементарным представлениям о длине свободного пробе-
га А частицы в веществе. Действительно,
- у i Im U • t - 7 pvat . ~ 7
гр ~ е к ~ е 2 э | гр |2 —- е pva = е г,
время свободного пробега
г _ 1 _ Л (46.33)
pvo V
где Л = — . Если справедливо борновское приближение (46.15),т0 в
р<т
щественная часть потенциала (46.31)
Re U = - — р (- f dr U(f) = р J dr U(r) (4б^
m \ Zrth2) J
Лекция 46. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И БОРНОВСКИЙ РЯД
391
1 я просто суммарным действием всех рассеивающих центров
усредненным, как в (46.27'), по их координатам при посто-
вой плотности р.
1 пача 46-2. Найти критический угол отражения нейтронов от поверхности фер-
ИДетика с магнитным полем <£V.
_ шенне. Обычно среда является для нейтронов менее плотной, чем вакуум;
___с < о (пренебрегаем поглощением); даже для достаточно медленных нейтро-
: _ 1 нм) отличие показателя преломления п от единицы мало, поэтому п ~ 1 —
сюда НУЖНО Добавить эффект магнитного взаимодействия С/магн =
+ ца/С в зависимости от направления спина нейтрона. В результате
и~ 1-----------------------у |2лра± ,
к2 \ Тг /
возникает двойное преломление пучка нейтронов. Критический угол отражения
lCOS0|cp ® 1 ~ 0^2) ®кр = и)
Скр = ^2(1 - и) = - ± (2т / Й2)д©>Г, (46.35)
к
т.е. очень мал (меньше 1 для тепловых нейтронов). Если магнитное слагаемое в (46.35)
больше ядерного, то нейтроны со спином, противоположным направлению aXf, вообще
не будут отражаться и все отраженные нейтроны окажутся поляризованными.
Литература: [4, гл. 4; 5, гл. 3; 20; 21; 22, гл. 8; 32в, § 126; 40, гл. 4,
5,12].
Лекция 47. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ И РАССЕЯНИЕ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
Если в сечении упругого рассеяния на плавном центрально-сим
метричном потенциале существен вклад многих парциальных волн
(что возможно лишь при достаточно больших энергиях), то хорошие
результаты дает квазиклассическое приближение. При не слишком ма-
лых углах рассеяния оно должно переходить в классическую теорию
рассеяния. Как указывалось в (43.12), угол рассеяния О при этом дол-
жен превышать величину td{pb) ~ VI, т. е. должно выполняться нера-
венство
/0»1. (47.1)
Само по себе клазиклассическое приближение справедливо в широкой
области углов и, соответствующим образом усовершенствованное, даст
описание дифракционных эффектов.
Квазиклассическая радиальная волновая функция для рассеяния в
центральном поле имеет согласно (8.48) фазу
ФИО = ; J Pr dr + 7 =
й п 4
1 Г / ft2(Z + 1 / 2)2 п
= f dr С(г)]--------j------ + ~ ,
" г; ' г
(47.2)
где г/ — точка поворота; рг(г/) = 0. Сравнивая (47.2) с фазой для сво
бедного движения
ь(0), . if, (0) л if, L р й2(/ + 1 + л (47.2)
ф/ (О = " J dr J + - = - J dr у2тЕ - j 4
л _(0) 4 п (0) V г
П П
найдем фазовый сдвиг
«л (47J)
д, = {Ф,
f д7 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ И РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 393
< затем следует подставить в амплитуду рассеяния
gOTOph11
/(0) = ТГ + 1) р1 (cos 0) (е2"5' - !)•
2лк
(47.4)
Нас будут интересовать отличные от нуля углы рассеяния (при
1 0 условие классичности (47.1) нарушается). Тогда в силу (В.32)
^ма в (47-4), не содержащая е2й/, обращается в нуль, так что
/(0) = — У (21 + lyftcos 0) е2й/, 0*0. (47.5)
2ik j
В квазиклассической области (47.1) полиномы Лежандра Pi можно
представить выражением [32в, (49.7)]
P/(cos 0) ~ J—-— sin [0 (I + 1/2) + л/4]. (47.6)
V л7 sin в
Тогда амплитуда (47.5) принимает вид (/ » 1)
/(0) = - J—2— ем' sin[0(Z + 1/2) + л/4].
ik V л sin в j
(47.7)
Существенный вклад в (47.7) дают многие парциальные волны с
большими /, причем они входят с быстро меняющимися фазами и силь-
но гасят друг друга. Нескомпенсированным останется лишь вклад тех
волн, для которых фаза стационарна, т. е. слабо меняется между сосед-
ними 1. Вспомним, что именно так всегда и происходит переход к клас-
сической механике: условие стационарности фазы выделяет классичес-
кую траекторию (лекция 7). Соседние волны будут складываться в фазе
*ФИ условии
~ [2d/ + 0(1 + 1/2)] = 2 ± 0 = 0. (47.8)
Простое интегрирование в (47.21) дает фазу свободного движения при
г » г Ф) _ Й(1 + 1 / 2) _ /+ 1/2
^2тЕ к
Ф г) = кг — ,
(47.9)
н^, конечно, совпадает с точным результатом (В. 16). Это совпаде-
является следствием правильной замены /(/ + !)-»(/ + 1/2)2 под
Г ем в (47.2) и (47.2') (см. (8.48)). С учетом (47.9)
394
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
д/ = Нт -
f h гг ттг Vi + 17 2)2
J № [£ - ----------dr +
П ’ г
(47.10)
л
4
1л
2
(ясно, что расходящиеся при г -* °°
условия стационарности (47.8)
члены в (47.10) уничтожаются). Из
__ г dr
J г2
п
(27+1)
2m (/ + 1 / 2)2
[Е - С/(г)] ----------~-
tr И
+ л ± е = о.
(47.11)
Если теперь ввести классическое прицельное расстояние b = г^ в
= Й(/ + ]/2)/(niv), где v = J— — скорость частицы на бесконечности
V m ’
то (47.11) примет вид
— 2b J dr------------г + л ± в = 0.
г(Ь) г2 к _ _ Ь2
\ Е г2
(47.12)
Это классическое уравнение [32а, § 18], определяющее угол рассеяния
0(b) как функцию прицельного параметра.
Простое квазиклассическое выражение для сдвига фазы (47.3) мож-
но получить, если потенциал U(r) убывает с ростом г настолько быст-
ро, что в области интегрирования (47.2), кроме окрестности точки ми-
нимального сближения г/ (/ » 1),
ft2(/ + 1 / 2)2
2w | t/(r) | « ЪпЕ----------------—--------
Тогда разность интегралов (47.3) можно заменить производной
- — (/ + 1 / 2)2
«12 ~ Л
tr r
6i ~ - J dr U(r) —
(0) ’ dE N Я2
и
(47.13)
г 1/QU-------
f>2 i L +
'J , 4-4 _ —-----------
47 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ И РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 395
___
сКольку сходимость рядов (47.4) и (44.22) определяется членами
__ „ллТТЛТТЛЛПОTJTZCT VrmAirn ОЛГПЛПГ ОЛПП'ГЕ га <4*7 141
с0гпасно
1 для исследования удобно воспользоваться формулой (47.13),
которой при больших I фазы имеют порядок величины
727 ЩЬ), (47.14)
klr
т uVl KI _
6l ~ Й2 k
U(b)tlh, где х ~ blv — „время столкновения*1. Можно показать
^2в § 123], что фазы (47.13) конечны, если потенциал U(r) убывает
: ’г _» оо быстрее кулоновского; полное сечение (44.22) конечно для
н^енциалов, убывающих быстрее 1/г2, амплитуда рассеяния вперед
Пф__для потенциалов, убывающих быстрее 1/г3.
’ расстояние г/0) минимального сближения при свободном движении
совпадает с прицельным параметром Ь, поэтому (47.13) можно перепи-
сать в виде
Ц(Г)
J1 — Ь2 / г2
(47.13’)
или, вводя переменную z = -Jr2 — b2,
<5(b)=--^f U^b2 + z2) dz-
о
(47.15)
Очевидно, z имеет смысл координаты вдоль классической прямолиней-
ной траектории (рис. 47.1; прямолинейность связана с приближением
(47.13)). Переходя к интегрированию по времени t движения, отсчиты-
ваемому от точки сближения, найдем (z — vt = (tik/m) • t)
\b)=-1fdt U(-Jb2 + v2t2) f dtU (Jb2 + v2t2) (47.15')
Л о 2^-00
в соответствии с оценкой (47.14). Таким образом, в этом приближении
Полный сдвиг фазы 2d/ = 2d есть просто деленный на Й интег-
ЭНергии взаимодействия вдоль невозмущенного прямолинейного
^Приближение (47.13) обосновано лишь
^слабого действия потенциала, т. е. малых
®елиВ Рассеяния $ 1 (причем / настолько
Пря °’Что по-прежнему 16 > 1), что отвечает
°лИнейности траектории (47.15). Рис. 47.1
396
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Задача 47-1. Доказать, что (47.13) может быть получено из боонл
жения (46.15) 1 ского при5ли.
Л(в) = --54’ / drUCr)e‘^.
2л7г
«7 16)
в случае больших I и высоких энергий.
Решение. Введем в интеграле (47.16) цилиндрическую систему координат
z вдоль вектора к + к', который ортогонален q = к — к'. Вектор г имеет компон °СЫ°
вдоль оси и b в поперечной плоскости х, у. Угол <р вектора b в плоскости х у бу *
отсчитывать от вектора q, целиком лежащего в этой плоскости. Тогда г2 = z2 + р
qr = qb = qb cos <p = 2kb sin(0/2) cos <p,
2л 00 co _______ .
Л(0) =-----^7 f d<p f bdb f dz U(Jz2 + b2) exp | i2kb sin - cos J (47
О 0 - co V 2
Интеграл по <p дает функцию Бесселя 2ttJo 2kb sin — , тогда
\ 2/
CO CO ______ Z .
/б(®) = _ “j f & f bdbUf^z2 + Z>2) Jo (zfcbsin —j . (47.17)
Й -«> 0 \ 2/
Но для малых в [32в, § 49]
J0[(/+V2)0]«/)(cos0)i (4718)
Q
с той же точностью 2 sin — = в, а момент (/ + 1/2) = kb. Перейдем к интегрированию
по I и г = •Jb2 + z2:
Л(0) = - § ft dl f dr , rU(r) 7) (cos в). (47 19)
Й О ^<°> № ~ (1+1/ 2)2 / k2
Эта формула совпадает с точным разложением (44.15) в методе парциальных олн, г
в качестве фаз <5/ (которые здесь считаются малыми, sin <5/ ~ bf) взяты выраже
(47.13), а суммирование по I заменено интегрированием ^(2/+!)- 2 J I dl, так как
вклад дает большое число парциальных волн.
Вычисления задачи подсказывают такой путь усовершенствования
рассмотренного приближения, чтобы стал возможным учет
онных эффектов при рассеянии на малые углы (и, следовательно, и
печивалось выполнение оптической теоремы). Будем считат в()ЛН
раньше, что существенным является вклад многих парниальн
и энергия частиц велика по сравнению с потенциалом
|U | «£ = — ~ -^2 к2го = ' ^Го)2’ 1
2л> 2т/()
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ И РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 397
------------------------------------------------------------—
м условия (46.22) применимости борновского приближения мо-
АРИ Э не выполняться.
01 В силу (47.20) углы рассеяния малы. Пользуясь (47.18), запишем
, kbt = I + 1/2.
/}(cos в) Jo [(1 + 1/2) в] ~ Jq [ikbi sin
Тогда разложение по парциальным волнам (44 15) дает
2kb/ sin -] ,
< 2/
(47.21)
(47.22)
/(0)=iS(2/+l)(e2ia'
2ik
клн переходя от суммирования по I к интегрированию по прицельным
параметрам Ь,
f{6) = — ik J b db (e2"5^)
о
Разлагая е2й^ ~ 1 + 2id(b) и беря в качестве фазы d(fe) выражение
(47.15'), мы вновь придем к борновскому приближению (см. (47.17)).
Метод прицельного параметра (или приближение эйконала') со-
стоит в использовании (47.22) без разложения е2"5®. Записывая функ-
цию Бесселя в (47.22) как интеграл по <р (см. (47.16')), найдем
f(6) = -T- f dp f b db (e2*W) - 1) e^, (47 23)
Zzr о 0 7
b = (b cos p, b sin p).
Легко проверить, что при любых вещественных <5(6) амплитуда (47.23)
Удовлетворяет оптической теореме (43.18), причем полное сечение
ггупр = 4тг f b db [1 - cos2d(6)] = — Im /(0). (47.24)
о k
Саму фазу fyb) в (47.23) можно вычислять по (47.15). Формулы (47.22),
' -23) служат исходным пунктом при рассмотрении дифракционного
^сеяния (лекция 49). Нетрудно обобщить их и на случай нецентраль-
9 го Поля- При наличии поглощения эти формулы также справедливы,
ак° фазы д(6) становятся комплексными, а | S; | = | e2i6dd | < 1.
Литература: [18; 32в, § 131; 40, гл. 5, 13].
Лекция 48. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
В предыдущем рассмотрении считалось, что внутреннее состояни
рассеиваемых частиц не меняется в процессе рассеяния_____в против
ном случае частица выбывает из первоначального пучка. Сейчас мы
обобщим полученные результаты на случай упругого рассеяния частиц
со спином, когда в процессе рассеяния может измениться не только на-
правление движения частицы, но и ее спиновое состояние (без измене-
ния кинетической энергии относительного движения). Пусть падаю-
щая волна описывается волновой функцией
У*пад = (48.1)
где яд($,) — спиновая часть волновой функции, отвечающая состоя-
нию с проекцией спина р на ось движения z.
Детектор зарегистрирует рассеянную волну в направлении к', при-
чем этой волне будет отвечать спиновое состояние %fl'(sz). Вообще го-
воря, д' * д, т. е. при рассеянии возможен переворот спина. Для этого,
конечно, необходимо, чтобы гамильтониан взаимодействия с мишенью
зависел от спина частицы, в противном случае д является интегралом
движения. Характерным примером такого взаимодействия может слу-
жить спин-орбитальное (лекции 21 и 38). Если в падающем пучке оди-
наково часто встречаются разные значения проекции д (неполяризовм-
ное состояние), то после взаимодействия с мишенью доля частиц
некоторыми значениями д может увеличиться по сравнению с другими
значениями (поляризация). Наконец, теперь кроме оси падающего пу^
ка существуют выделенные направления, связанные со спинами,
этому аксиальной симметрии рассеяния может уже не быть, ^^носИ.
сеянных частиц будет зависеть от обоих углов (0, <р) вектора к от
тельно оси z. ий в
Исходя из этого, следует искать асимптотику волновой ФУ
ВИДе - ~ (48-2)
e'fe + е_ Д0, Z^(5z),
W, 5г)
Лекция 48. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
399
(48.3)
амплитуда рассеяния f явно зависит от углов вектора к' и еще явля-
операт°Р°м в (2s + 1)-мерном спиновом пространстве, переводя-
начальное состояние в конечное
ЙЙМ г - V f
J Хц ~ 2-) Jд'2X/J-
д'
фактически мы имеем здесь дело с общим оператором f, преобразую-
щим падающую волну (к, ц) в рассеянную (к', /и') — ср. с (43.24).
Как пример, рассмотрим практически важный случай рассеяния
частицы со спином 1/2 на бесспиновой мишени (такие же результаты
получаются для любой неполяризованной мишени после усреднения
по хаотическому распределению спинов). В этом случае стационарное
состояние характеризуется, кроме энергии Е = к2к2/(2т), квантовыми
числами /, j, I ±1/2 и jz. Проекции lz и sz в отдельности, вообще говоря,
не сохраняются. Начальное состояние имеет определенные значения
= 0 и sz = Ц, но поэтому является суперпозицией состояний с полны-
ми моментами j = I ±1/2 (компоненты которой определяются коэффи-
циентами Клебша - Гордана С/о р2 я).
Взаимодействие же с мишенью определяется точными квантовыми
числами, т. е. полным моментом /. В состояниях с разными моментами
/ оно различно (вспомним спин-орбитальную связь). Состояние с опре-
деленным j перешло бы само в себя в результате рассеяния, т. е. такая
волновая функция могла бы лишь приобрести фазовый сдвиг. Это озна-
чает, что S-матрица диагонализуется теперь в представлении I, j и ее
диагональные матричные элементы определяются фазами рассеяния:
s О) = (48.4)
Таким образом, каждой парциальной волне отвечают теперь две воз-
можных фазы д/ ± 1/2\ которые мы обозначим просто дрЧ
Итак, матрица рассеяния раскладывает исходную волну на состоя-
Ния с определенными I, j и каждому из них сообщает свой фазовый
с®иг- Поэтому вместо старого вида амплитуды рассеяния (44.5) следу-
61 теперь записать
= + W/(+) - 1)А+ + (S/(_) - 1)А_} PXcos в), (48.5)
где А
± —- проекционные операторы, действующие на начальную функ-
Оц ’ Р/(со^/)/Длг) и отбирающие из нее компоненты с j = I ± 1/2.
I ерагоры Л± легко выразить через оператор I • о = (1 /2) Т • s, где
400
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
д — вектор из матриц Паули. Пользуясь собственными
(21.8') оператора I д, найдем На',с,,Иямц
, I+ 1+I •о х 1-16
+ 21 + 1 ’ ~ 2/ + 1 ’ Л+ + А- = 1. (48.6)
Подставляя (48.6) в (48.5), получим
7(0> ?) = i S W + !Х5/(+)" О + - 1) +
1 . (48.7)
+ (5/(+)- S\ })Т ' a}Pi(cos6).
Действие оператора I о на полином Лежандра 7}(cos 0) легко вычис
лить явно. Производные д/ду> не дают вклада, и остается
Т • a Pi = (/х ох +
ly(^y)Pl = i(oxsm<p - oycos<p) (48.8)
д0
QpL
Но — = — Pi (присоединенный полином Лежандра), а выражение
в скобках (48.8) запишем с помощью единичного вектора v нормали
к плоскости рассеяния, образованной векторами к = кп и к' = кН.
Вектор п направлен по оси z, а И имеет полярный угол в и азимуталь-
ный так что
[и X И<1
v =---------= (— sin <р, cos <р, 0). (48.9)
sin в
Из (48.8) и (48.9) находим
7 • д Pi = /(— о* sin + о у cos р)Р[ = id • vP}. (48.10)
С учетом (48.7), (48.4) и (48.10) амплитуда рассеяния принимает окон-
чательный вид
/(0, <р) = А(0) + B(O)v • о,
Л(0) = — 2t(Z + 1)(ем'+> - 1) + /(е2'5' ’ - О] Рь
ад = -L У [e2/l5/+> _ e2,dJ ’jP/1.
2Л ,
Впрочем, вид (48.11) можно было угадать сразу, так как в
хранения момента и четности амплитуда f может зависеть
(48.11)
(48.12’)
сипу с0"
лишь от
Лекция 48. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
401
пов п • Я = cos 0 к v • д, поскольку v — единственный аксиалъ-
вектор, который можно образовать из полярных векторов п, п.
омним, что а — аксиальный вектор, так что его скалярное произ-
^ние на обычный вектор дало бы псевдоскаляр.) Поскольку о отве-
рг спину 1/2, то степени о снова сводятся к о (15.25). Поэтому выра-
ч8дое (48.11), линейное по о, дает общий вид /.
Амплитуда (48.11) содержит азимутальную асимметрию (зависи-
ость от <р~) лишь через вектор v (48.9). При отсутствии спиново-зави-
сЯщИх сил фазы не зависели бы от j, <5,+* = \ тогда В = 0, и асим-
метрия исчезает, а амплитуда f переходит в старое выражение (44.5).
Амплитуда рассеяния в направлении п (в, <р) с изменением проек-
ции спина с р на р' дается матричным элементом (48.3)
fpfl = Xpf /Хц) = 'ZxpWX/W)- (48.13)
Соответствующее дифференциальное сечение равно квадрату модуля
этого матричного элемента:
И =1/Ад|2. (48-13')
Если конечные поляризации не фиксируются, то наблюдаемая вели-
чина есть сечение рассеяния из заданного начального состояния р,
просуммированное по конечным состояниям р! (состояния с разными
ц' некогерентны, так что нужно складывать сечения, а не амплитуды):
(£) - s fe) - I2-Sw;, =
А и (48.14)
= = (/+/)дд,
А
т- е. сечение дается средним значением оператора f+f по начальному
с°сгоянию. Если начальный пучок не поляризован, то все значения р
Равновероятны. Усредняя (48.14) по начальным проекциям, получим
y = =;Sc/‘/)w = ;Sp(/+7). (48.15)
do 2 /z \do)^ 2 /z 2
^Ля °бщего вида (48.11) амплитуды рассеяния
J = (1/2) Sp {И*(0) + В* (в) v 5] [Д0) + В(6) v а]}.
402
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В силу (15.25), (15.27) имеем для неполяризованного пучка
Н = |Д0)|2+|В(0)|2,
'«О'неполяр
(48.16)
т. е. азимутальная асимметрия отсутствует.
Пусть теперь в начальном пучке числа N+ и частиц с s ~
не совпадают. Назовем поляризацией пучка вектор Ро, дающий отн^^
ние среднего по ансамблю падающих частиц вектора спина (?) к
максимально возможному значению
Л) = = 2 <«) = ^)- (48.17)
Здесь подразумевается усреднение (черта) матричного диагонального
элемента (а) по фактическому состоянию падающего пучка. При нали-
чии поляризации дифференциальное сечение (см. (48.14))
% = (Г7) = 14в)|2 + 1ВД12 +2Re(A*B)v Ро (48.18)
обладает азимутальной асимметрией, которая определяется поляриза-
цией, перпендикулярной к плоскости рассеяния. Обычно вводят коэф-
фициент асимметрии а, представляя с помощью (48.16) сечение (48.18)
в виде
d(J _ | GCFI /1 t х
— = —I • (1 + av • Ро);
do \<ю/ неполяр
2 Re (Л*В)
а =------:-------у .
\А |2 + |В |2
Вектор Р поляризации рассеянных частиц определим так, чтобы
умноженный на плотность рассеянной волны (Vpacc, У’расс) t-- -
среднее значение спина (V’pacc. ^раСсУ(1/2) = (V’pacc, О’ ^расс):
(V’pacc, У’расе) Р ~ (V'pacc, & lApacc)-
Усредняя по начальному пучку, получим
р _ (У'расе» У'расе) _ С/Хц, GfXfJ _
(У'расе> У'расе) (/Хд> fX/A (f
Задача 48-1. Показать, что для волны, имевшей начальную поляризаи
рассеянной в направлении 7г', конечная поляризация (48.22) равна
(48.19)
(48.20)
он давал
(48.21)
(48.22)
Л н
Лекция 48. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
403
тЪ(А*В)у + (М |2 - IВ |2 )Я + 2 I в |2 у (у • Ро) + 2 1m (АВ*) *
]А |2 + |В |2 + 2Re (А*В) (Р • Ро) (48.23)
х (Р х Ро]-
р(з (48.23) следует, что для неполяризованного пучка (Ро = 0) воз-
никает поляризация
2 Re (АВ ) _
-----z--------у v = flv,
|Л|2 + |В|2
(48.24)
направленная по нормали к плоскости рассеяния (единственный акси-
альный вектор, имеющийся в задаче). Сравнение (48.24) с (48.20) пока-
зывает, что коэффициент fl поляризации первоначально неполяризован-
ного пучка совпадает с коэффициентом а асимметрии в рассеянии по-
ляризованного пучка.
Если амплитуда рассеяния вычисляется в борновском приближе-
нии, то фазы малы. Раскладывая е2'5 = 1 + 2к5, получим, что
ДО)— вещественная величина, а В(0)— мнимая, т. е. коэффициенты а
и fl обращаются в нуль. Отсутствие поляризации в борновском при-
ближении является следствием инвариантности относительно отраже-
ния времени, в силу которой вероятности процессов не меняются при
перестановке начального и конечного состояний и обращении всех им-
пульсных и спиновых переменных (лекция 13). Однако в борновском
приближении амплитуда рассеяния мала, так что в условии унитарнос-
ти (43.25) следует пренебречь квадратичной правой частью и оператор
f оказывается эрмитовым. Это легко проверить в частном случае
(48.11): при эрмитовом сопряжении, т. е. транспонировании (й *» п',
г «. _ р) и комплексном сопряжении (для малых фаз А -» А* = А,
В * В* = — В), f переходит сама в себя. Но для эрмитовой амплитуды
f вероятности процессов не изменятся просто при перестановке на-
чального и конечного состояний, без обращения импульсов и спинов,
значит, в этом приближении существует и инвариантность относитель-
н° одного только обращения импульсов и спинов (поскольку суммар-
инвариантность есть просто /’-инвариантность). Поляризация Р не-
Поляризованного сначала пучка может быть направлена лишь по v, но
При обращении импульсов и спинов Р меняет знак, a v нет; требование
’вариантности приводит, следовательно, с необходимостью к Р = 0.
™ РассУждения не ограничены случаем спина 1/2: всегда в борнов-
м приближении поляризация пучка отсутствует.
»рям3адача 48-2- Нуклон рассеивается на ядре, потенциал взаимодействия содержит
U(r) и спин-орбитальную части (ср. с (21.1))
404
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
' 1 dU(r) у л
U/s =~V--------—I ' s
r dr
(»? — константа, имеющая размерность квадрата длины). Показать, что есл
U(r) имеет мнимую часть, </(r) = (1 + г|)К(г), где константа £ и Г(г) вещее П0Тенциал
в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния неполя Венны> то
пучка равно Ризованнощ
— = I /Б(0) |2 [1 + £2 + ~ г? sin2 в]
do \ 4 )
и возникает поляризация Р = ft v с коэффициентом
„ к2^ sin в
1 + £2 + - k4t]2 sin2 в
4
(Здесь /б (в)— борновская амплитуда (46.15) для потенциала К(г).)
Литература: [5, гл. 3; 8, § 17; 20; 32в, § 140; 40, гл. 10; 42; 49, III].
Лекция 49. ДИФРАКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ОПТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
Переходим к рассмотрению неупругих процессов, которые здесь
нас будут интересовать как поглощение, т. е. их влияние на упругое
рассеяние частиц. В лекции 43 мы видели, что поглощение и упругое
рассеяние определяются одними и теми же параметрами — элемен-
тами S-матрицы. Наличие поглощения, вырезающего или ослабляю-
щего некоторые куски волнового фронта, неизбежно искажает и упруго
рассеянную волну; искаженная волна уже не является плоской — в ней
появляются фурье-компоненты с волновыми векторами направлений,
отличных от первоначального.
Такое дополнительное рассеяние при длине волны X, меньшей раз-
меров го области действия потенциала, аналогично дифракции света на
препятствии. Рассматриваемая ниже теория дифракционного рассеяния
частиц практически совпадает с теорией дифракции параллельного ко-
ротковолнового пучка от удаленного источника (дифракция Фраунго-
фера, [326, § 61]), и ряд формул полностью переносится оттуда.
Обычной областью применимости дифракционной картины являет-
ся рассеяние достаточно быстрых частиц на атомных ядрах. Если R —
размер (радиус) ядра, то условие X «/? выполняется для нейтронов
с энергией, превышающей несколько мегаэлектрон-вольт. Конечно,
строго говоря, квантовая система, какой является ядро, не может иметь
Резкой границы. На самом деле понятие радиуса ядра R условно, так
плотность постепенно спадает от среднего ядерного значения до
^ля. Это можно учесть в более точных расчетах.
Если нейтрон попадает внутрь ядра (прицельное расстояние b < R),
лз-за сильного взаимодействия с нуклонами ядра вероятность его
^Ывания из пучка после столкновения (например, застревание с об-
°ванием составного ядра, лекция 34) должна быть большой. Попы-
Мея грубо оценить эту вероятность для нейтронов с энергией поряд-
0-100 МэВ. Средняя длина свободного пробега нуклона в ядреном
е^естве (46.33) А--— , где п — плотность числа частиц в ядре
па
406
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(10-38 см-3), о — сечение столкновения с нуклонами ядра Есл
честве о взять экспериментальное значение сечения рассеяния И В
ных нуклонов с кинетической энергией в системе центра масс CB°^Ofl'
нескольких десятков мегаэлектрон-вольт, то о ~ 0,5 • 10-24 см2**?^*3
да А = 2 • 10“14 см. Радиус ядра можно оценить, учитывая, что01^
ность ядра не зависит от массового числа А (тяжелое ядро по
капле несжимаемой жидкости), а значит, объем V пропорционал Н°'
Считая ядро сферическим, имеем (из опыта) а л
V = (4/3) л/?3, R = ГоА"\ г0 ~ 1,2 • 10-13 См. (
Мы видим, что даже для легких ядер А « 7?, тогда вероятность того
что нуклон пролетит через ядро без столкновения, ничтожна (порядка
10-8). Естественным кажется поэтому предположение, что при рас-
сматриваемых энергиях ядро должно вести себя как черный шар, по-
глощающий все падающие на него частицы.
Таким образом, задача сводится к рассмотрению дифракции час-
тиц на черном шаре при условии X//? «1. В этом случае для упруго
рассеянных частиц мы имеем лишь слабые отклонения от геометри-
ческой оптики (т. е. от классических траекторий). Заметим, однако, что
если в оптике при малых углах дифракции Фраунгофера наблюдаемые
эффекты малы, то в ядерной физике они полностью определяют кар-
тину эксперимента. Пусть, например, имеем дифракцию на диске ра-
диуса R (рис. 49.1), тогда угол дифракции в определяется условием
X ~ R sin в, т. е. мал, в ~ K/R «1. Вблизи от диска (за ним) — область
геометрической тени. Дифракционная картина начинается лишь на рас-
стоянии первого максимума, которое порядка
р р2
R ctg 6 ~ ~ — »R.
ex
В оптике X — 10-5 см, R ~ 1 см, /?2/Х — 1 км, в то время как наблюде-
ния проводятся на расстояниях г /?2/Х. В ядерной физике
R s Ю-12 см, X 2= 10"13-10-’4 см, /?2/Х ~ 10-1°-10-11 см, а наблюдается
картина на макроскопических расстояниях г '»R2!’k.
Результаты дифракционного рассеяния на поглощающем шаре ра
диуса R легко вычислить по формуле (47.22). „Черноту" шара вырази
посредством коэффициента приляпан
(44.11). Поскольку прицельный пара-
I + 1 / 2_/_1Чг а части-
метр bi = —-— =а - — /л, a bvo
цы, попавшие в ядро, поглощаются, в
время как не попавшие проходят е
сеяния, имеем
Рис. 49.1
первый
максимум
Лекция 49. ДИФРАКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
407
Отсюда
^ = 1-15, |2 =
1,
0,
b < R, т. е. I ;
X
b> R, т. е. / > —.
X
(49.2)
0,
R .
X’
R
X’
(49.3)
Sl = JMto =
В силу (49.3) интегрирование в (47.22) обрезается размерами шара:
R I \
f(ff) = ik f b db Jo \2kb sin ,
(49.4)
о
или, вычисляя интеграл,
/(0)=i*
R j
Ik sin в I 2 1
2kR sin — I =
k 2/
iR
2 sin 0 / 2
2kR sin —
k 2>
(49.5)
а дифференциальное сечение
J2 [21л sin -] .2,.
— = Л2—1--------= x = 2tKsme/2. (49.6)
2
Функция Бесселя Jj(x) при x »1 имеет асимптотику
J\(x) ~ sin (x - —) , (49.7)
Vtcx \ 4/
поэтому при 2 sin - » — = — сечение (49.6) убывает пропорционально
2 kR R
x • Это как раз и означает, что существенные углы дифракции малы:
2sin 0/2 ~ sin в ~ в s — = — «1. (49.8)
kR R
® этой области
^=К2^, (49.6.)
do в2
408
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
а при совсем малых углах в « — сечение стремится к постоянному J
делу (Ji(x) -» х/2):
do k* 2R4
do ® 4
Д/ 4
J/(x)A
p=2hR sin
(49.6")
Угловое распределение (48.6) обнап
живает, таким образом, характерные чещ
ты дифракционного рассеяния (рис 49Т
Сечение имеет резкую асимметрию впе
ред (0 < Х/А); при больших углах наблк^
даются вторичные максимумы, периодич-
ность которых по углу определяется ве-
личиной kR, а интенсивность
убывает пропорционально 1/03.
быстро
Рис. 49.2
Полное сечение упругого рассеяния
J?(2M sin в / 2) .
-------------sin в ав
и • 2 “
4 sin —
2
Оуир = f do у = XtR2 f
do о
(49.9)
с достаточной степенью точности можно вычислить, считая углы ма-
лыми и распространяя интегрирование до бесконечности:
= «2 / 2^® в М 2 / * = rf. ДОЮ)
УПР J я2 „г
0 ° 0 х
Как в классической теории, сечение упругого рассеяния равно попереч-
ному сечению шара.
Задача 49-1. Показать, что сечение поглощения также равно классическому
^неупр — л (R + = °упр> (
и проверить оптическую теорему (43 18).
Указание. Воспользоваться (44.10') и (49.2).
Если ядро, действительно, можно считать черным, то сечение, сог^
ласно (49.10), (49.11), должно монотонно расти с ростом масв°
числа (~ R2 ~ Л2/3) и при X//? « 1 не зависеть от энергии. ^ение
римент не подтверждает этих предсказаний, угловое распред ^о-
рассеянных частиц также отличается от чисто дифракционно
рошее согласие с опытом получается, если считать ядро не ^уиро-
а „серым" — полупрозрачным. Дифракционное рассеяние ^на-
зрачными ядрами описывается оптической моделью, приним
личие комплексного потенциала (43.20').
Лекция 49. ДИФРАКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
409
параметры оптического потенциала подбираются эмпирически и
* зависят от энергии рассеиваемой частицы. При Е — 10 МэВ мни-
^часть потенциала оказывается небольшой, Im U ~ 5-6 МэВ, в то
L мя как Ret7 ~ 40-50 МэВ. Оценим, какой длине свободного про-
врем*^ нейтрона в веществе отвечает такой потенциал. Поскольку
R можно пренебречь локальной кривизной поверхности ядра и
я оценки считать, что нейтрон с внешним импульсом hk пересекает
^оскую границу двух сред. Внутри ядра его волновой вектор
комплексный — + idK2,
(49.12)
+ iryc-^r
Величины и выражаются через потенциал:
= ^2w(£- [/), U = - - iU2
(49.13)
(потенциал отвечает притяжению). Поскольку t/2/C7| ^1, имеем
= Re Ж « (Е + Ui) = к ^1 + , (49.14)
d%2 = Im ~
2mU2 U2 1
2Й (£ + <7i) Е + U\ / Е '
Интенсивность волны (49.12) в результате поглощения затухает в ядре,
VH2 ~ е-2г’л2г, т. е. длина свободного пробега
1 _ _Е_
2^2 U2
(49.15)
Для указанных выше значений Е, U\, U2 находим А ~ 0,6 X
Х10 12 см > R, т. е. гораздо больше полученного ранее значения. Так
Ик плотность ядерного вещества задана, это означает, что эффектив-
ное сечение столкновения в ядре примерно в 30 раз меньше, чем сво-
дных нуклонов. Это объясняется принципом Паули (лекция 53), сог-
которому число доступных конечных состояний сильно умень-
т Считая ядро серым и пользуясь оптической аналогией, удобно ввес-
комплексный показатель преломления (46.30)
^Римем
₽ад,1Уса /?,
П = П, + Ш2 = — =----------------------
к к
(49.16)
Для простоты, что потенциал U имеет форму сферической ямы
(X,
— «11 „не чувствуют" кривиз-
R /
410
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
_ПУТЬ, Проход
. 'итальны!
ментом I (рис. 49.3), т. е. с прицельным
к — rv п----------------------------------------------------------------------------------------------
иу поверхности. Пусть 2xi путь, проходи-
мый в ядре нейтроном с орбитальным Мо_
ментом I (рис. 49.3), т. е. с прицельным пара-
метром b = /X. Прошедшая волна отличается
от падающей на фазу: (о>ч к) 2xt - кЬъ ~
_ п 2x1 и по амплитуде уменьшена в е^ =
_ Мч паз. Таким образом, аналогично
(49.3);
exp (~2xi [«2 ~ i («1 “ 1)] к),
1,
/<—;
X
/>*
X
(49.17)
По-прежнему основной вклад дают большие значения I и малые углы
рассеяния. Из общей формулы (47.22) находим
я
/(6>) = ik f b db {1 - exp (~2kx(b) [и2 - i («i - 1)])} x
о (49.18)
x Jo ^2£Z> sin , x(b) = -Jr2 — b2.
Задача 49-2. Показать, что
Я ________
ОуПр = 2л: J* b db 11 - ехр(-2А-^Я2 - Ь2 [«2 ~ '(”1 ~ 01) |2. (49.19)
0
Я _______ Я
^неупр = 2?г f b db [1 - expf-ln^R2 - b2)] = 2л f (1 - е-4"^) х dx; (49.20)
О 0
вычислить сечение поглощения (49.20).
Точность реальных расчетов можно повысить, учитывая размы
тость границы ядра, различие формы вещественной и мнимои част
потенциала (поглощение сильнее в поверхностном слое) и т. д. не
рыми особенностями обладает применение оптической модели к
женным частицам. Здесь рассеяние аналогично дифракции св
шарике с показателем преломления — ^1 — , преломление уводит
лучи от шарика и искажает область тени. Для резкой гРан™Ыместа
отношение оупр/<тнеуПр оказывается завышенным (отражение
скачка показателя преломления). Введение плавного измене еНТОм
ного потенциала уменьшает о’Упр/°'неупр в согласии с экспер
(аналог „просветленной оптики“).
Литература: [3, § 20-22; 18; 33; 38; 40, гл. 8, 20; 45].
Лекция 50. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
До сих пор наличие разных неупругих процессов учитывалось
лишь суммарно как частичное поглощение пучка. Теперь нас будут
интересовать вероятности каждого конкретного процесса, т. е. разных
каналов реакции.
Для определенности рассмотрим двухчастичную реакцию типа
а + А -» •
а + А,
b + В,
с + С,
(50.1)
Каждая совокупность частиц образует канал (будем их обозначать а, Ь,
е,...). Канал, в котором конечные частицы совпадают с начальными,
назовем входным (для каждого канала мыслим опыт, в котором он яв-
ляется входным). Поскольку существуют определенные амплитуды ве-
роятности того, что процесс пойдет по одному из каналов (50.1), пол-
ная волновая функция системы имеет вид
Ч=^аФ(а,А), (50.2)
а
К описывает относительное движение частиц (а, А), а Ф — внут-
реннее состояние.
Входной канал (а) отвечает упругому рассеянию. Соответствую-
волновая функция в системе центра масс имеет асимптотику (43.3)
Va ~ + , (50.3)
Г
нект^0 амплитуда упругого рассеяния на угол в, а ка — волновой
г«я ОТносительного движения (в разных каналах величина ка, энер-
° = ^2^fl/(2wa) и приведенные массы та различны). В каналах,
<«Ь1х от входного, нет падающей волны, и в асимптотике остается
Ко Расходящаяся волна, которую запишем в виде
412
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Л-ЛХв)^1^. ь*
\та г
(50.3-)
Величина fbcffi) — амплитуда неупругой реакции а + А ->
Обычным образом (по (43.5)) вычисляя поток, найдем
циальные сечения:
Ь + в.
даФферен-
dS = А. 2 S „1Г2 j =
Г та
^ = |/to|2— = \fba\2^.
do^ ^а^а ^а
(50.4)
Обобщим теперь понятие S-матрицы (лекция 43), понимая ее как опе-
ратор в пространстве начальных и конечных состояний для всех воз-
можных каналов (50.1). Определим S-матрицу так, чтобы ее матричные
элементы для перехода а -» b были равны (ср. с (43.26)):
SЬа &ba 4" 2/ y[kj^bfba-
(50.5)
Равенство (50.5) следует понимать как операторное, от которого еще
можно брать различные матричные элементы по квантовым числам со-
стояний данного процесса а -> Ь. Например, если взаимодействие но-
сит центрально-симметричный характер, / является интегралом движе-
ния, величины Sba и fba диагональны в /-представлении. Тогда для каж-
дой парциальной волны
S12 = Ъьа + 2/ ДХ
(50.6)
Из (50.6) и (50.3) видно, что при а = Ь величины S„2 совпадают с S/для
упругого рассеяния (44.4).
Выражая из (50.6) амплитуды
^аа
г (О =
J Ьа
Л)
ЪЬа
2i
(50.6')
подставляя в (50.4) и интегрируя по углам, найдем
^упр & та ,2
ка
Х(2/ +1) 11 - I2;
o-^« = tiS(2/ + 1)i42i2-
ка I
(50
(50.™
f (0 =
J аа
- 1
2гАо
Лекция 50. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
413
ругой стороны, в силу сохранения вероятности (44.10)
Онеупр = 77 + 0(1 - и™ Г).
ка I
Поскольку о-неупр = S °Ьа, из (50.7’) и (50.8) имеем
(50.8)
i-i^2i2= 2М р.
(50.9)
(50.10)
Легко видеть, что если обобщить понятие унитарности на наличие
многих каналов и считать S-матрицу унитарной,
S+S* = 1, Т. е. ^SbaSbc = вас-
ь
то (50.9) автоматически выполняется. Таким образом, унитарность
(50.10) эквивалентна сохранению вероятности и обеспечивает выпол-
нение оптической теоремы (43.18).
Если система инвариантна относительно отражения времени, то
(см. лекцию 13) должны быть равны амплитуды процессов а -> b и
b -*а, т. е.
fba = ftf, Sba = Ssi. (50.11)
Согласно £50.4) дифференциальное сечение обращенного во времени
процесса Ь а
da~r к'~ к
ab —if |2 . — if |2 ЛИ.
dOa U°b' кЬ’
так как волновой вектор при обращении времени меняет лишь знак.
Сравнивая (50.12) и (50.4), получаем принцип детального равновесия
(50.12)
(50.13)
ечно, реакции а -> b и b а следует сравнивать при одинаковых
ЭНергиях в системе центра масс.
о борновском приближении (лекции 28, 46) матричные элементы
пР°порциональны матричным элементам гамильтониана {b | Н' | а).
}Де^у зрмитовости Н' имеем Sfa = ffc, = (fab)*- Поэтому
Инд Mo*ho сравнить сечения прямой (а -> Ь) и обратной (Ь -> а) реак-
[ ез обращения времени:
414
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Б
(50.13’)
Из Г-инвариантности (симметрия относительно а -> й Ь -»
, Z.4 ’ ’ и бор.
новскои симметрии (относительно а *» о) следует инвариантность
простом обращении импульсов и спинов (а -» а, b -> Ь). Отсюда и
текает отсутствие поляризации в борновском приближении (
ция 48). Ненулевая поляризация в задаче 48-2 возникает только^
наличии поглощения, но тогда нет Т’-инвариантности. Если же вмест*
Im U рассмотреть реальные неупругие каналы, то полученный резулы
тат не будет отвечать борновскому приближению.
Введем интегральное сечение аЬа, проинтегрированное по конеч-
ным углам dob, просуммированное по конечным проекциям спинов ть
и тв и усредненное по начальным характеристикам (углы ка и проек-
ции та, тА):
1
2Jfl + 1
У '
+ •
** (50.14)
т т 471 сю к
ГПА mb ,пВ D
(J, — величина спина z-й частицы). Ясно, что здесь вклад а b и
а -> b входят на равных основаниях, оЬа = Поэтому, проводя опе-
рацию (50.14) над равенством (50.13), получим усредненный принцип
детального равновесия
(2Ja + 1)(2/л + 1)/Йй = (2Л + l)(2Jfi + (50-15)
В ряде случаев можно в общем виде установить энергетическую
зависимость сечений. Для двухчастичной реакции (50.1) закон сохране-
ния энергии включает энергию относительного движения и внутрен-
нюю энергию частиц:
F . г-внутр _ р , рвнутр
Еа + ЕаА ~ ЕЬ + ЕЬВ
(50.16)
Величина приращения кинетической энергии
Q = ЕЬ - Еа = ~ ЕТГ
называется тепловым эффектом реакции. Реакции с Q > 0 называют^
экзотермическими (выделение энергии) и могут идти при еМ
значениях Еа. Эндотермические реакции (Q < 0) идут с погло
энергии; поскольку всегда Еь > 0, то эндотермические реакц г,.
можны лишь при Еа + Q > 0, т. е. Еа > — Q > 0 — существует
(50.17'
Лекция 50 МНОГОКАНАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
415
энерго Е"ор = - Q = Е^утр - Е^тр, начиная с которой откроет-
гЯ канал я
СЯ Проведем грубую оценку сечения экзотермической реакции для
пенных частиц (при этом речь будет идти лишь о плавной зависи-
гги сечения от энергии, на фоне которой возможны резонансные
лЛекты, см. лекцию 51). Если кого «1, то в области взаимодействия
/ < го) волновая функция /-Й парциальной волны (В.З) пропорцио-
яльна (кг)1, и амплитуда перехода для / * 0 будет мала (лекция 45).
Поэтому ее можно оценивать в духе теории возмущений как матрич-
«й элемент (f \Н’ \i), где оператор Н' в пределе к 0 не зависит от
энергии.
При упругом рассеянии (а -» а) и начальная, и конечная волновые
функции содержат к!, так что ~ к21, а сечение в силу (50.4) (при
Г ка~ с$р ~ к41 ~ Е21, (50.18)
ЧТО совпадает с оценкой (45.10).
Для неупругого экзотермического процесса а -> b при ка -> 0 им-
пульс кь конечной частицы стремится к фиксированному пределу
flm/iQ / ti2, не зависящему от ка, так что в конечной волновой функции
зависимость от ка пропадает и матричный элемент пропорционален к1а.
Из (50.4)
о<р ^k2l _L~ к21-'
и Ьа ля , ла ,Ja
ка
При малых энергиях существенно только поглощение 5-волны, для ко-
торой получается ~ ЕдШ ~ \lva — известный закон 1/н. Он спра-
ведлив, например, для захвата ядром медленного нейтрона с образова-
нием составного ядра, которое затем распадается с вылетом протона,
т-частицы или у-кванта. Если частица а положительно заряжена, то
(50.19) следует еще умножить на проницаемость кулоновского барьера
52), равную exp (— 2леае^1(ЕиаУ), и сечение для малых иа становится
0Чень малым.
Рассмотрим теперь эндотермическую (пороговую) реакцию, на-
РНмер, неупругое рассеяние нейтрона с возбуждением ядра. Рассеян-
НЬ1й нейтрон имеет энергию Еь = Еа + Q = Еа — Еа°р,
(50.19)
кь =
(£« - £Г).
. п
(lycrj,
'*ение Начальная энергия Еа лишь немного превышает пороговое зна-
’ тогда кь мал, конечная частица — медленная, и легко оценить
(50.20)
416
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
зависимость сечения от кь, поскольку в матричном элементе тол
печная волновая функция существенно зависит от кь (~ УР к°-
(50.4) находим вблизи порога реакции с вылетом частицы с момещо
~ tfkb ~ к}1 + 1 ~(Еа~ Е™РУ + 1/2.
Ясно, что вблизи порога вылет частиц в основном будет происходить
5-состоянии, а сечение будет расти пропорционально корню из избыт»8
энергии над пороговым значением. Для вылета положительно заряжен
ной частицы сечение (50.21) подавлено фактором ехр (-2nebeB/(hv )\
Существование порогов реакции отражается на сечениях упругого
рассеяния в той же области энергий, так как все сечения согласно
(50.7) выражаются через одну S’-матрицу, элементы которой связаны
условием унитарности (50.9), (50.10). Пусть, например, возможна кро-
ме упругого рассеяния пороговая реакция а Ь. Асимптотика волно-
вой функции (50.2) с учетом (50.3), (50.3') и (50.6') имеет вид
Ф ~ е^Ф(о, Л) + х
Т V"1» 2i^kakh
х ^(2Z + 1) Pt (cos0fc) ($£> - &ba) <&(*, В),
i
(50.22)
Ниже порога реакции а b волновой вектор кь (50.20) является чисто
мнимым, кь = Zxj, и соответствующая часть волновой функции (50.22)
затухает пропорционально ~ . Поэтому вероятность обнаружить
частицу b при гв 00 равна нулю; эта частица лишь „виртуально появ-
ляется на расстояниях, меньших 1/хА. При кь = 0 канал b открывается
(1/Х/, -* оо) и в асимптотике (50.22) возникает расходящаяся волна, от-
вечающая этому каналу.
Рассмотрим для простоты 5-волну, для которой условие унитарное
ти дает
|sS,P = i-|s£,l!. (503i
I с(°) |2 -
Из оценки (50.21) следует, что вблизи порога (выше него;
— — кв. Поэтому при кь > 0 можно положить
|5^|2 = а^, а > 0; 15*?? |2 = 1 - акь.
С точностью до членов порядка кв выше порога
S(aa = М{кь){\ - акь/2),
(50.24’'
Лекция 50. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
417
[ । д/ |2 = 1- Будем считать S-матрицу аналитической функцией и
гЯ^д0ЛЖИМ выражение (50.24') на область ниже порога (kb = ixb).
^есъ возможно только упругое рассеяние, при котором | S® |2 = 1, т. е.
!= < £"°Р)12 = । I2 (1 - | ***) (1 + | i*bj = I M(ixb) I2
(.точностью до членов порядка — к2. Значит, и ниже порога | AY ]2 — 1,
е д/ = е'1Р(*4), где функция <р(к) вещественна по обе стороны от поро-
ра Поэтому <р(к) разлагается лишь по четным степеням к, и с точ-
ностью до членов порядка к2 <р(к) = <р(0). С другой стороны, в точке
порога должно быть = е2'д°, где д0 — фаза упругого рассеяния при
= е"°р- Значит, <р(0) = 2д0, и формула (50.24) приобретает вид
SaJ = e2i6° (1 - j + О(^), (50.25)
справедливый как выше, так и ниже порога.
С помощью (50.7) и (50.25) находим сечение упругого рассеяния
(0) —л_ । . _ „(0) р _
к° (50.26)
= {4sin2 д0 - a Re fo(l - e2'd°)]} + О(А2).
Кд
Выше порога кь (50.20) вещественно,
°у°пр = 7г <4sin2 <5о ~ о*й(1 “ cos2d0)} =
= JvL(^-^nop)|,
2 V п
(50.27)
ао) — 4л/(А2 sin2 до) — сечение в пороговой точке. Ниже порога
°упр = 72 (4sin2 <5о - sin2d0) =
Кд
= 4” |1 - ; ctg do J^(Eamp-Ea)
2 V г
(50.27')
Та
йае^М °®Раз°м, вблизи порога сечение упругого рассеяния претерпе-
Мали^аЧок производной, зависящий от знака ctg до (пороговые ано-
418 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Задача 50-1. Найти возможные типы поведения Дифференциального се
ругого рассеяния вблизи порога неупругого канала. Ия уп-
В случае положительно заряженных частиц (отталкивание от
проницаемость кулоновского барьера для частиц b стремится к
на пороге их рождения, так что аномалии (50.27) не возникают Бол
сложная ситуация имеет место при наличии кулоновского притяжен^
[32в, § 147] из-за резонансов, связанных с дискретными уровнями
Литература: [4, гл. 6, 7; 5, гл. 5; 18; 32в, гл. 18; 40, гл. 13; 49, II]
Лекция 51. ФОРМУЛЫ БРЕЙТА - ВИГНЕРА
Рассмотрим рассеяние медленной (X.» R) частицы на системе, ког-
да возможно квазистационарное (лекция 6) состояние составной систе-
мы (рассеиватель + рассеиваемая частица). Такая ситуация осуществ-
ляется, например, при рассеянии нейтронов с энергией менее 1 МэВ на
атомных ядрах. В упругом сечении и в сечении радиационного захвата
ядром Я (п + Я -> Я + у), а также других неупругих процессов на
фоне плавной энергетической зависимости сечений (лекция 50) наблю-
даются резкие максимумы. В достаточно тяжелых ядрах эти макси-
мумы возникают при тепловых энергиях, имеют очень малые ширины
(~ 0,1 эВ) и разделены на расстояние порядка 0,01-1 кэВ. Сечение в
максимуме может возрасти на несколько порядков. В легких ядрах
энергия и ширина максимумов больше.
Наблюдаемые резонансы можно сопоставить с долгоживущими со-
стояниями составного ядра (лекция 34). Внешняя частица играет по
существу роль силы, резонансно возбуждающей колебания затухающе-
го осциллятора, если ее частота близка к одной из собственных. Подоб-
ную картину мы видели при рассмотрении дисперсии света (лек-
ция 32). В реакциях с элементарными частицами аналогичные резонан-
сы отвечают промежуточным нестабильным, хотя и достаточно долго
живущим, образованиям с определенными квантовыми числами. Энер-
гическая ширина резонанса I интерпретируется в терминах времени
жизни т нестабильной системы, Г — /г/т (лекции 3 и 6).
Если ширина квазистационарного состояния составного ядра
0>1 эВ, то соответствующее время жизни т — /г/Г ~ 1СГ14 с. В то
время прямой пролет нейтрона с Е ~ 1 кэВ через тяжелое ядро
~ 10~12 см) занял бы всего R/v — 10-20 с. Поэтому в ядерных мас-
а(:)ах мы имеем, действительно, почти стационарное состояние. Оно
««ает из-за сильного межнуклонного взаимодействия, распреде-
Все Г° энергию возбуждения, вносимую внешним нейтроном, по
Ча степеням свободы ядра, так что концентрация энергии на одной
Це и ее вылет становятся маловероятными, и возбужденное со-
и р Не живет долго. В легких ядрах число степеней свободы меньше
°нансные эффекты не так ярко выражены.
420
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотрим рассеяние медленной частицы на системе
радиус R. В силу неравенства Х/Е »1 точное значение R несущ еК)1Цей
но. По этой же причине для простоты мы ограничимся рассмот^6*1'
j-волны. Волновая функция относительного движения (44 21) им^^
внешней области вид 61 во
w (г) ~ A(e~ikr - Seikr\ I
где величина S определяет сечения как упругого, так и Heynnv
рассеяния (44.7), (44.10). Полюсы аналитического продолжения S
мнимой оси отвечают (44.25) точным связанным состояниям систе
Полюсы, расположенные в комплексной плоскости (при Е = £ *
- (02) Г), отвечают квазистационарным состояниям, асимптотика
(51.1) дает тогда расходящуюся волну (6.42’), описывающую распад со-
ставной системы.
S-матрица должна находиться из сшивки волновой функции (51 1) с
решением в области взаимодействия (г < R). От последнего фактически
требуется лишь логарифмическая производная волновой функции на
поверхности, которую мы определим как безразмерную величину
ДЕ) = R (- —)
\w dr)r = R
(51.2)
Сшивая ДЕ), найденное из внутренней задачи, с (51.1), получим
ДЕ) = - ikR 1 + S^kR , S' = - e~2ikR . (51.3)
1 - Se2,kR kR + ip
Если величина (3 вещественна, то | S | = 1, что отвечает упругому рас-
сеянию.
В общем случае наличия неупругих каналов выделим веществен-
ную и мнимую части Д
(51-4)
0 = Д - 102, S = - е-“” —
(kR + 02) + Ф\
Величины Д и (32 зависят от энергии. Поскольку при поглощении
| S | < 1, из (51.4) сразу видно, что (32 > О- Из (51.4) выражаем сечен
упругого и неупругого рассеяния
_ |<| с i7 4jt
°УПР ~ k2 । 1 “ 5 । ~ к2
_______kR_________|_ Q—ikR sin kR
i(kR + 02) - 01
2
; (51Я
kR 02
-----~ <2 ‘
авд = ^(1-|5П=^—2)2 + /jf
(51-6)
Лекция 51. ФОРМУЛЫ БРЕЙТА - ВИГНЕРА
421
Сечение упругого рассеяния (51.5) определяется интерференцией
слагаемых — потенциального и резонансного рассеяний:
°упр = 4?Г I/пот + /рез Р- (51-7)
Здесь потенциальная амплитуда
/пот = ~ e'kR sin kR = — (e2,kR — 1).
к 2ik
(51.8)
Согласно (44.15) она описывает упругое рассеяние со сдвигом фазы
а = kR Но такая фаза отвечает (45.16) рассеянию на твердом шаре
Jnnyca R- Все отличие от непроницаемой сферы, связанное с попада-
нием частицы внутрь и возможностью образования квазистационарных
состояний, содержится в амплитуде
f = 1 АТ?
/ре3 к ,(kR + Р2) ~ fa
(51.8')
В случае медленных частиц (kR 1) вклад fpe3 будет большим,
только если /?2 и fa малы (^kR). Если бы при каком-то значении энер-
гии было /?] = 0, /?2 = ~ kR, то мы имели бы точный резонанс, оба се-
чения сгупр и Пнеупр обращались бы в бесконечность. Легко видеть, что
это формально отвечало бы старому определению квазистационарного
состояния (лекция 6) для наличия только упругих процессов; тогда из
(51.1) w (г) ~ elkr, /3 = ikR, т. е. = 0, /?2 = — kR. Конечно, обращение
ЭД в бесконечность возможно лишь при комплексных к и Е, но поня-
тие квазистационарного состояния вообще имеет смысл лишь в том
случае, если оно обладает малой шириной, т. е. недалеко „ушло"
в комплексную плоскость. Из-за наличия неупругих процессов /32 — О,
тем не менее эта величина может быть мала, если мала ширина и по
отношению к неупругим процессам. Поэтому по-прежнему возможные
резонансы находятся в этой же области.
Величину ЕГ энергии, при которой ^^Ег~) = 0, назовем резонансной
’нергией. Разложим /?[ вблизи резонанса:
Д(£)«|—) -(Е- Ег)+ ... = fa(E- Ег)+ ... (51.9)
\dE/E =Ег
И введем обозначения
г 2АТ?. г - - 2^2
Аупр р' , Ацеупр
(51.10)
^’о^ыо (51-9), (51.10) перепишем сечения (51.5), (51.6) вблизи ре-
„ 1 (1/2) Гупр
tfynp = |/пот + /рез |2 , /рез = 1 ур~ , (51.11)
к Е — Er + (i / 2) Г
3010
422
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
г г
7Г УПР нсупр
°”еупр ~ £2 (£_£г)2+г2/4 >
(51.1Г)
где Г Гупр + Гнеупр. Формулы (51.11) называются резонанс 3
формулами Брейта - Вигнера. нь<мц
В непосредственной близости от резонанса (| Е — Er | s Г)
пренебречь потенциальным рассеянием. Тогда
Г2
___п________1упр_____
упр к2 (Е - Ег)2 + Г2 / 4 ’
_ I л Гупр Г
^поли ^упр ' ^Hevnp ~ 3 о
Р ’ к2 (Е - Ег)2 + Г2 / 4
(51.12)
Мы получили типичные дисперсионные кривые с шириной Г =
= Гупр + Г11еупр. В то же время согласно (51.12)
, Гупр
°\пр °ЪоЛН J, j
ГЦ(6уПр ^полн
г
гнеупр
Г
(51.13)
Из общих рассмотрений ширины уровня (лекция 3, п. 4) ясно, что ве-
личина Г определяет полную вероятность распада квазистационарного
состояния, т. е. время жизни т ~ Г/й. Отдельные слагаемые Г (Гупр и
Г|1еупр) дают парциальные ширины — вероятности распада по упруго-
му каналу или по любому из неупругих, как видно из формул (51.13).
Полное сечение (51.12) пропорционально вероятности возбуждения со-
ставного ядра С по упругому каналу (Гупр = Гв) с последующим рас-
а + А
падом его по любому а + А-*С-*Ь + В (множитель Г). Результаты
d + D
(51.12), (51.13) находятся в полном соответствии с представлениями о
составном ядре, свойства которого не зависят от способа его воз У*
дения (состояние — долгоживущее, „память" о его истории теряе /•
Если интересоваться отдельными каналами распада, то можно предста
вить неупругую ширину в виде суммы Гнеупр = 2 так ЧТ° сечеНИ
реакции а -» Ь, идущей через квазистационарное состояние, буД
равно
Га Га
Vrr (51-14)
°Ьа~ к2 (Е-Ег)2 + Г2/4’ анеуПР'АГ« Ьа'
Лекция 51. ФОРМУЛЫ БРЕЙТА- ВИГНЕРА
423
g самом резонансе (Е = Ег) сечения максимальны и пропорцио-
йалы
ны предельному квантовому сечению (45.18) Ал/к2-.
л /г \2
4- . (51.14')
„max _ 4тг ГрГй „max _ Ell
uba ~ k2 г2 ’ ° УПР k2
обычно рассматривают сечения, усредненные по проекциям спина та
и яа10щей частицы и ша начального ядра и просуммированные по про-
П дням спина тс квазистационарного состояния. Так, усредненное
полное сечение образования составного ядра равно (ср. с (33.22))
л 2JC + 1_________________ГОГ
°а" С0СТ к2 (2Ja + 1)(2УЛ + 1) (Еа - Ег)2 + Г2 / 4 ’ 1 ’ 7
Согласно (51.10) Снсупр^упр ГнеуПр/Га к * закон 1/п (50.19).
Для того чтобы величины Г (51.10) могли быть ширинами, они
должны быть больше нуля, т. е. Д/ > 0. Это можно строго показать,
исследуя аналитические свойства S-матрицы. Смысл доказательства
сводится, грубо говоря, к следующему. При наличии неупругих кана-
лов упругое рассеяние будет описываться неэрмитовым гамильтониа-
ном Н (43.20') с собственными значениями (Ер ~ гГнеупр/2). Это обес-
печивает правильное убывание волновой функции Ф — е-Гнс5,ПР,/2\ Ес-
ли % — волновая функция упругого рассеяния, отвечающая энергии
£о(#Фо = ЕрФр) и отсутствию неупругих каналов, то истинная волно-
вал функция упругого рассеяния получится из уравнения Шредингера,
где гамильтонианом является Н = Н — Г|1еупр,
Ф = Е0Ф
Н 2 ^неУ"Р
(51.16)
'энергия £0 частицы вещественна). Это означает, что Ф получается из
% заменой £0 -» £0 + (i/2) Гнеупр (обратим внимание на знак!). Поэто-
му логарифмическая производная
ДЕо) = fa (ео + | Гнеупр) = Д1(Ео) + | Гнеупр Др (Ео), (15.17)
?е $i(E) —- логарифмическая производная волновой функции в задаче
3 неупругих каналов. Из (51.17)
Im Д(Е) = - Д2 = | ГнеупрД’ь (51.17')
^с*ода очевидно, что величины Гнеупр в (51.10) и (51.17) совпадают и,
4овательно, положительны, а Др < 0.
424
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Приведенные результаты правильны для одного изолированн
зонанса, когда в некоторой его окрестности справедливо пяч 0Г°Ре'
(51.9). р43л°жение
Задача 51-1. Показать, что вследствие интерференции потенциаль
нансного рассеяния форма кривой упругого сечения несимметрична (миним И Рез°'
максимума и плавное спадание справа). ' СЛеваот
Задача 51-2. Показать, что при применимости разложения (51.9) фаза
рассеяния равна УпРугоц>
д = д — arctg--—----,
2(Е - Ег)
т. е. меняется на л при прохождении резонанса (<5 — значение фазы вдали от
нанса). Р630"
(51.18)
Задача 51-3. Найти форму резонансной линии поглощения нейтронов в среде из
тяжелых ядер массы М при температуре Т\ рассмотреть случай, когда естественная ши-
рина линии Г велика по сравнению с доплеровской, и обратный случай.
Указание. В формулы Брейта - Вигнера входит относительная энергия ядра и
нейтрона Е = (1/2) flip - Гу)2; ц = + М)~ тп(\ - тп!М'} — приведенная
масса, v — скорость нейтрона; Vj- — тепловая скорость ядра. При малых гу £ =
~ (1/2) ди2 — nvzvj-. Считая распределение ядер по скоростям максвелловским,
dN(vj-) = М ехр (—Л/(и^)2/27’) dVq-,
2лТ
переведем его в распределение по Е:
г-- z ди2
Е = £ — J2fi£ v£; £ - ----
2
dN(E) = -±=е~(Е ~ e)2/Id —
Jn Го
(51 19)
где доплеровская ширина
rD = 2 — еТ.
N М
(51.1?)
Интегрируя по энергиям неупругое сечение (51.11) с функцией распределения (51. )•
найдем, что при Г » Гд линия поглощения имеет естественную форму; при Г «1D в
личина сечения в центре понижается, а линия поглощения расширяется, сохраняя
менной полную площадь.
В случае наличия нескольких перекрывающихся резонансов ме
ними могут существовать определенные фазовые соотношения, завися
щие от способа возбуждения ядра, и простые формулы Брейта - ~
ра будут неприменимы. Если же резонансов много, то правильный^
зультат можно получить, усредняя (51.12)—(51.14) по большому
резонансов. Усредненное сечение будет определяться статистиче
характеристиками — плотностью уровней и средними парци
ширинами.
Лекция 51. ФОРМУЛЫ БРЕЙТА- ВИГНЕРА
425
g случае перекрытия многих независимых резонансов и наличия
I ьЦ1ого числа каналов распада можно ожидать крайне нерегулярную
еогетическую зависимость сечений („эриксоновские флуктуации11).
Э До некоторой степени о свойствах составного ядра можно судить
0 угловому распределению продуктов реакции. Так, если мы имеем
кодированный резонансный уровень с определенной четностью, то
амплитуда реакции будет содержать лишь полиномы Лежандра
p(cos в) одной четности. Значит, dobaldob ~ I fba(6) I2 содержит только
чеТНые степени cos в, т. е. в системе центра масс угловое распределе-
ние симметрично относительно 90°. Если промежуточное состояние С
имело момент J, а конечное ядро находится в основном состоянии, то
дифференциальное сечение не может содержать степени cos0 выше,
чем (cos б)27. Вдали от резонансов или в случае их перекрывания ре-
зультаты усложняются.
С ростом энергии открывается все большее число неупругих кана-
лов и доля упругого рассеяния Га/Г уменьшается — мы переходим в
область, где единственно оставшееся упругое рассеяние обусловлено
просто наличием поглощения, т. е. является дифракционным. В этой
области эксперимент не дает резких резонансов. Действительно, ядро
постепенно „чернеет11 (растет поглощение). Тогда внутри ядра интен-
сивность волны падает к центру. Если поглощение сильное, то внутри
остается только сходящаяся волна е-'®^, где dJC — волновой вектор
частицы в ядре. При этом логарифмическая производная (51.2) стре-
мится к значению /? = — ioTCR, т. е. /?] -» 0, /?2 "* offR, а сечение пог-
лощения (51.6)
4Л kR d%R „
°НСУПР " I2 (kR + dXR? ~
4Ь<Ж
(51.20)
Ми для данного неупругого канала а -» b
ha ~ к1 (к + сРГ)2
И
Г
(51.21)
говоря, с ростом энергии
Не проявляет никаких резонансов. (Строго говоря, с ростом энергии
^еДУет учитывать высшие парциальные волны, однако это не меняет
Результатов принципиально.)
Именно такую картину дает в среднем наличие многих перекрыва-
чихся уровней составного ядра. Если D — среднее расстояние между
(51 м МИ’ То на интеРвал ^Ег приходится dE^D резонансов. Сечение
проинтегрированное по большому числу резонансов, равно
#0з6^П°ЛаГается определенных фазовых отношений при
отдельных резонансов, тогда складываться должны сече-
’ а не амплитуды)
426
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
_ я Г dEr ___________Га Г/,________ п Гд Г/,
ia k2 { D (Е — Ег)2 + Г2 / 4 к2 D Г (51.22)
Свяжем теперь приближенно плотность уровней с упругой в
ной Гд. Волновая функция промежуточного состояния есть супепп ₽И"
ц”т уровней Ф„, имеющих энергии Еп ~ Ео + nD, и‘
ЦИЯ
Ф = 2 а„е-^/й Ф„ « (
И п '
где амплитуды а„ — комплексные числа со случайными фазами, так
что интерференционные члены в |Ф |2 гасятся. Из (51.23) видной что
| Ф |2 имеет периодичность Т = — , что можно интерпретировать как
период движения рассеиваемого волнового пакета внутри ядра. Значит
войдя в ядро, нейтрон ударяется о поверхность ИТ = Dl{nh) раз в 1 с.
Каждый раз при ударе есть вероятность его выхода наружу с измене-
нием внутреннего значения импульса о/Г на внешнее к. Эта вероят-
ность дается решением простейшей задачи о рассеянии на одномерной
яме и равна (см. (5.22)) АкоТСЦк + е/Г)2. Поэтому вероятность распада
в 1 с по упругому каналу а есть произведение числа ударов в 1 с на ве-
роятность выхода при каждом ударе
2 = Гд _ д 4к<Ж
т й яй {к + d?T)2
(5124)
яГд 4к<Ж
Отсюда-----=---------7
D (к + d/f)2
, и подставляя это выражение в (51.22), мы
" D (к + <ЖУ
получаем выражение для неупругого сечения, совпадающее с (51.21).
Литература: [3, гл. 2, 3; 5, гл. 5; 8, § 20; 18; 20; 32в, § 134, 145,4 ,
гл. 13, 17, 20; 48, гл. 8].
Лекция 52. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
Каждый тип частиц в нерелятивистской квантовой теории характе-
ризуется определенными свойствами (значения спинов, масс, зарядов),
которые входят как параметры, тождественные для всех частиц данно-
го типа. Это означает, что частицы одного класса в принципе неразли-
чимы между собой. Поэтому гамильтониан любой системы многих
частиц не изменится, если переобозначить символы, которыми в паре
тождественных частиц отмечены динамические переменные одной и
другой частицы.
Например, двухэлектронный атом (без релятивистских поправок)
описывается гамильтонианом
=2 =2 7
Я(1,2)= ^ + ^-+ ^(л)+^(г2)+-А- , (52.1)
2т 2т И — *2 I
где <р(г) — потенциал ядра. Тождественность электронов выражена
здесь тем, что величины е и т для электронов одинаковы и не имеют
индексов. Поэтому
Я(1,2) = Н(2,1), (52.2)
1 е. существует симметрия по отношению к перестановке 1 *» 2 (пере-
ставляются все переменные, относящиеся к паре частиц).
Симметрия (52.2) существует и в классической механике, где она
Не приводит ни к каким добавочным следствиям. Гамильтониан (52.1)
является тогда просто частным случаем более общего
й? й2
Я = - F + ei^(f]) + e2(p(f2) + . (52.3)
2гл1 2т2 IЧ ~ г2 |
^Пзив при данных начальных условиях уравнение движения с гамиль-
Ианом (52.3), найдем rx 2{t). Полагая е\ = е2, т\ = т2, получим
^р.ение Для гамильтониана (52.1). Если в данном решении частица 1
F ется по траектории I, а частица 2 — по траектории II, то вследст-
симметрии (52.2) существует (для переставленных начальных ус-
428
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ловий) решение, где траектория I принадлежит частице 2, а час
движется по пути II, причем в этих двух решениях соответствуй?13 *
точки проходят в одинаковые моменты времени и с одинаковыми *1
ростами. Коль скоро мы знаем, что в начальный момент на Траект СК°*
I находится частица 1, то мы можем быть уверены, что и в после I
щие моменты на траектории I будет именно частица I, так что ее УК>'
жение по этому пути можно проследить во времени. Поэтому класс*1"
ческие решения, полученные перестановкой тождественных части
различимы.
В квантовой задаче симметрия (52.2) означает, что вектор состоя-
ния Ф(2,1) удовлетворяет тому же уравнению Шредингера, что и Ф(1 2
В силу принципа суперпозиции вместо этих состояний можно
их симметричную и антисимметричную комбинации
Ф(1,2)= Ф5(1,2)+ Фл(1,2),
Ф5(1, 2) = (1 / 2) [ Ф(1,2) + Ф(2,1)],
ФЛ(1,2) = (1/2)[Ф(1,2)- Ф(2,1)].
ввести
(52.4)
(52.4’)
Так как симметрии гамильтониана отвечают законы сохранения (лек-
ция 13), симметрия волновой функции (52.4) будет сохраняться со вре-
менем. Поскольку два состояния разной симметрии ортогональны, то
относительные амплитуды симметричной и антисимметричной компо-
нент определяются их значениями в начальный момент и в дальней-
шем не меняются. Итак, возникает не имеющая классического аналога
классификация состояний по симметрии относительно перестановок
тождественных частиц (ф$- и Фл суть суперпозиции двух рассмотрен-
ных выше классических решений; теперь каждая частица „одновре-
менно движется по обоим путям").
Закону сохранения должен отвечать эрмитов оператор, коммути-
рующий с Н. Очевидно, что это — обменный оператор перестав-
ляющий все (в том числе и спиновые) координаты частиц 1 ** 2-
3®12Ф(1, 2) = Ф(2,1). (52’5)
(его еще называют оператором транспозиции 1 <♦ 2). Обменный onef®
тор эрмитов, так как 9^2 = 1, его собственными значениями являю
± 1, а собственными функциями — векторы состояний (52.4) с опре
ленной симметрией:
2) = Ф5(2,1) = Ф5(1, 2); (52-6)
№(!, 2) = Фл(2,1) = ~ Фл(12).
Тогда Ф5 и Фл ортогональны как собственные функции одН^м/длЯ
това оператора, отвечающие различным собственным знач
Лекция 52 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
429
ионарных состояний Ф$, Фл их энергии одинаковы, т. е. существу-
вырождение.
еТ в системе произвольного числа N тождественных частиц гамиль-
^ниан Е1(\> ..., TV) инвариантен относительно любой перестановки.
Число состояний Ф(1,..., TV), отличающихся лишь перестановками
F е кратность вырождения каждого значения Е
в стационарном слу-
чае) равно 7V1. Каждая перестановка может быть получена носледова-
тельностью транспозиций = &>}1,
^Ф(1>N) = Ф (1,j,i,N). (52.5’)
Очевидно, что таких операторов TV(TV — 1)/2, квадрат каждого из них
частиц
= 1 и собственные значения равны ± 1. Поскольку все N
тождественны, гамильтониан полностью симметричен, т. е. коммути-
рует со всеми Однако все 3^- одновременно, вообще говоря, не
могут сохраняться, так как между собой не коммутируют.
Легко убедиться, что справедливы соотношения
— 03., да.,
у-' Ik jk^ у гк^ jk-
(52.7)
Например, для системы из трех частиц имеем:
^13^12Ф(1, 2, 3) = Зг13Ф(2,1, 3) =
= Ф(2, 3,1) = 3323Ф(3, 2,1) = З^з^зФО, 2,3),
следовательно, З^з^г = ^23^13 ^12^13- За исключением случая
N = 2, не существует полной системы TV! вырожденных собственных
векторов оператора Н, являющихся одновременно собственными век-
торами всех операторов транспозиции. Но всегда есть две собственных
Функции, которые одновременно являются собственными функциями
всех 3^.. Пусть, например, Ф(1, 2, 3) есть собственная функция всех
тРех операторов 3®i2, З^3, З®23:
^23Ф(1,2,3) = Л1Ф(1,2,3); 3*1зФ(1,2,3) = Л2Ф(1,2,3);
3®12Ф(1,2,3) = Я3Ф(1, 2,3),
ГДе все собственные значения Л, = ± 1. Тождество З^39^2 = ^23^13
Чает Я2Л3 = Я]Л2, откуда Л] = Л3. Аналогично из 9®i33®i2 = 3^23^23 на-
(5эИ ~ ^2‘ Таким образом, все Л,- равны между собой. С помощью
Ф -о) такой же результат легко получить для произвольного TV. Итак,
N) может быть общей собственной функцией всех 3s,-,, только
430
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
если все собственные значения равны +1 или — 1. Поэтому фл
этом случае будет либо не меняться (Ф$), либо менять знак (Ф \^в
перестановке любой пары частиц. ' пРи
Физически наблюдаемой величиной является, например ве
ность | Ф(й,..., гдг)|2 di\ ... drN того, что одна частица окажется^”'
зи Г], вторая — вблизи г2 и т. д. Поскольку частицы тождественны^*
квантовые состояния, полученные их перестановкой, неразличи’ Т°
т. е. подействовав сначала оператором мы не должны изменитьМЫ'
вероятность. Поэтому для любого физического состояния ф должна
быть собственной функцией всех операторов транспозиции. Мы прихо
дим к новому квантовому постулату все физически реализуемые со
стояния должны быть полностью симметричными или полностью ан
тисимметричными относительно перестановки любой пары тождест-
венных частиц. Из Д'! вырожденных состояний допустимы только два
Итак, каждое физическое состояние принадлежит к классу ф или
Фя, их линейные комбинации невозможны. Свойство симметрии (при-
надлежность к тому или иному классу) не меняется со временем и не
может быть нарушено никакими возмущениями. Действительно, если
возмущение 1Г само обладает симметрией (52.2), то симметрия состоя-
ния не изменится; если же Н' нарушает эту симметрию, то частицы, по
определению, не являются тождественными.
Рассмотрим систему из двух невзаимодействующих частиц, каждая
из которых может находиться в двух состояниях: ip и <р. Полная вол-
новая функция Ф(1, 2) есть произведение одночастичных. Логически
возможны 3 случая:
1) частицы различны, тогда есть 4 линейно независимых состояния
ДО) ДО), ДО) ДО), ДО) ДО), ДО) До); (52-8)
2) частицы тождественны и волновая функция симметрична (Ф$),
возможны 3 состояния
(52.8")
ДО) ДО), ДО) ДО), [ДО) ДО) + ДО) ДО)]; (528,)
3) частицы тождественны и волновая функция антисимметрична
(Фя), возможно лишь одно состояние
[ДО) - ДО) ДО)] .
Если одночастичные состояния 1р и <р имеют одинаковые энергии,
двухчастичные состояния (52.8) также вырождены, а их стати
кие веса равны в трех случаях соответственно 4, 3, 1.
Лекция 52. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
431
Эксперимент показывает, что для данного типа частиц всегда воз-
лишь одна структура состояния — либо только Ф^, либо только
Соответственно мы получаем два типа статистики: Бозе — Эйн-
Р ^на для частиц (бозонов), для которых допустимы лишь состояния
V и Ферми -Дирака для частиц (фермионов) с допустимыми состоя-
ями типа ’ В системах многих частиц мы получим для этих двух
атистик существенно различное число допустимых состояний и поэ-
тому принципиально разные макроскопические свойства. Случай
/52 8), строго говоря, возможен лишь в системах нетождественных час-
тиц Однако при достаточно высоких температурах доступный для час-
тиц фазовый объем велик, а средние числа частиц в каждом состоянии
малы. В этих условиях свойства симметрии волновых функций оказы-
ваются несущественными, система многих тел становится классичес-
кой и описывается статистикой Больцмана.
В квантовой теории поля доказывается теорема о связи спина со
статистикой. Согласно этой теореме частицы с целым спином являются
бозонами, а с полуцелым — фермионами. Практически вся окружаю-
щая материя построена из ферми-частиц (электронов, нейтронов и про-
тонов). Из стабильных частиц бозонами являются лишь кванты элект-
ромагнитного поля — фотоны (лекция 19).
Однако во многих случаях сложные образования из нескольких
частиц выступают как целое. Так, при не слишком высоких температу-
рах (во всех явлениях на атомном и молекулярном уровне) атомные яд-
ра, состоящие из нуклонов, т. е. фермионов, можно рассматривать как
единый объект. До тех пор, пока волновые функции ядер не перекрыва-
ются, можно пренебречь антисимметрией между нуклонами, входящи-
ми в состав различных ядер. Тогда статистика газа или жидкости из
таких ядер (или атомов) определяется спином ядра как целого, т. е.
четностью его массового числа. Поэтому, например, изотопы гелия 3Не
и Не образуют при низких температурах соответственно ферми- и бо-
те-жидкости с совершенно разными свойствами.
В качестве примера влияния статистики на амплитуду квантового
процесса рассмотрим рассеяние тождественных частиц. Уже в класси-
ческой механике мы имеем два случая регистрации частиц детектором,
Расположенным (в системе центра масс) под углом в (рис. 52.1). В слу-
Чае / детектор D регистрирует частицу 1, рассеянную на угол О (тогда
^тица 2 была бы зафиксирована детектором под углом л — 0). В слу-
ае II частица 1 рассеялась на угол л — в, а детектор зафиксировал
стицу 2, тождественную частице 1.
м Лсно> что классическое наблюдаемое сечение окл будет просто сум-
элементарных сечений прямого (Л -» к') и „обменного11 (к -» — к')
пР°Цессов: _ _ _ _ _
daKn{k’, к) = do(k', к) + do{—к', к\
(52.9)
432
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
или в случае центрального поля
= do{6) + da(n — 0),
слУчае,
системе
Для того чтобы найти правильный результат в квантовом
заметим, что волновая функция двух тождественных частиц в
центра масс имеет вид
0 ± ^12) (г-, sis2) = (г; ад) ± ip (—г; 525,)], (52 lQ)
где г = f] — г2; 5, и 52 — спиновые переменные, а знаки „+“ и _«
относятся соответственно к бозонам и к фермионам. В простом случае
когда пространственные и спиновые переменные разделяются'
(г; ад) = (г) % (ад) и волновую функцию (52.10) можно перепи-
сать как
-7= {V (г) %(ад) ± 1р (-Г) Х(5251)} =
1/2 (52.11)
= {(^5 + MXs + Ха) ± (V>s - M(Xs ~ ха)};
1S = . Xs = Z^).± Z(^) (42 lr)
A 2 л 2
Отсюда в бозевском случае получаем
<Рб (г-> ад) = у/2 (xpsxs + V^aXa), (5212>
а в фермиевском
^ф(г; ад) = д/5 (ipAXs + ^PsXa)-
(52.12')
Рис 521
Лекция 52. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
433
метрии координатной и спиновой волновых функций дополняют
друга, обеспечивая правильную полную симметрию.
ДРУГр упругом рассеянии тождественных частиц волновая функция
^еет асимптотику (43.3)
•7- - - Jkr'
ад) ~ е'кг + /(*', к) —
Хад), (52.13)
де векторы г и А' = к — меняют знак при перестановке частиц, что
отвечает случаям I и II на рис. 52.1. Согласно (52.1 Г)
=1 Iе ** + е"'*? + — [/(*'• *) ± /("*'. *)]( • <52-14)
А 1 г
Для бозонов со спином 0 Ха = Q Xs из (52.12) и (52.14)
уо(г)= „Падающая" часть волновой функции равна теперь
-U(e'*? + е~'кг), что отвечает потоку (1/2) hk/m в каждой волне (к и
А
-к), но нельзя указать, какая именно частица движется слева и какая
справа. Рассеянная часть волновой функции равна -j= (е'кг/г X
х [/(£', к) ± f(—k', А)]). Полный поток рассеянных на угол в частиц
есть сумма потоков, относящихся к обеим частицам
I2 -
7расс’^ = - -г [/(*', *) + /(-*',*)] L^dS. (52.15)
т 12 I г г
Отсюда аналогично (43.7) получаем сечение
^ = !/(*',*) +/(-*’. *)12 = <52.16)
= |/(£', к) р + |/(-£', к) I2 + 2Re {/•(*, k)f(-k', к)}.
Очевидно, что разница по сравнению с классическим результатом
(->2.10) заключается в интерференционном члене (складываются амп-
ЛИтУды прямого и обменного процессов). Для центрального поля
= 1/(0) I2 + № " 0) I2 + 2 Re {/*(0)/(* - 0)},
сю
(Л (52.17)
я
^0 -J / \ 2
----xzZ = 4 f М
do \2/
434
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
т. е. сечение рассеяния на угол 90° вдвое превышает
(52.9').
Для фермионов спина 1/2 возможны синглетное (S =
триплетные (S = 1, / = %$) спиновые состояния. Соответств(
бираются (52.12') пространственные функции 1р$,грА,
(52.15), (52.16) получаем
классическое
21?” ~ % а) н
--зенно от-
аналогично
И
PM = !/(*',*) + /(-*', *)|2; (5218.
\ do /5=0
(^)s . , = 1 Л*’’ *’|2' <52Л8,
В триплетном случае (52.18') интерференционный член имеет знак
противоположный (52.16) и (52.18), в результате чего для центрального
поля сечение на 90° обращается в нуль. Легко видеть, что в разложении
по парциальным волнам для случаев (52.16) и (52.18) остаются лишь
четные /, а для (52.18') — нечетные.
Если все четыре спиновых состояния в столкновении фермионов
спина 1/2 равновероятны, то наблюдаемое сечение
<^1/2 _ 1 [ ^1/2 ]
do 4 \ do '$ = о
(52.19)
= \f(k', к) |2 + | f(-k', к) |2 - Re {f\k', k)f(-k', к)}.
в центральном ноле
do
(52.19')
Эти результаты позволяют судить о спине частиц по рассеянию, если
силы (например кулоновские) известны.
Задача 52-1. Сталкиваются два поляризованных пучка частиц со спином 1/2- П
казать, что
— = - (1 - cosy) | Дк', к) + Д-ic'. к) |2 + _ 2G)
do 4 V
+ - (3 + cosy) | Дк’, к) - Д-к', к) I,
4 -ОВ
где у — угол между векгорами поляризаций пучков. (Для неполяризованИЬ1
cosy = 0 и (52 20) переходит в (52 19) )
Лекция 52. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
435
Задача 52-2. Показать, что при столкновении неполяризованных частиц спина s
= 2±11 f(i,t ц + к ) |2 +
do 2s + 1
+ —-— | Дк', к) - Д-i', к) |2 (s - целое);
2s + 1
I Дк', k) + /(-*', k) |2 +
do 2s + 1
s4"l — — -
+-------| Дк', к) - Д-к', к) г (s — полуцелое).
2s+ 1
(52.21)
(52.2 Г)
Отметим, что полное сечение должно теперь вычисляться по фор-
муле
о = 1 f—do, (52.22)
2 J do
для того чтобы не считать каждый акт рассеяния дважды.
Литература: [6, § 25; 13; 22, гл. 9; 32в, § 137; 40, гл. 11; 47, вып. 8,
!Л. 2].
Лекция 53. ПРИНЦИП ПАУЛИ
Рассмотрим систему из А тождественных фермионов спина 1/2
(например, многоэлектронный атом). Волновая функция согласно
(52.10) должна быть полностью антисимметричной относительно пере-
становки всех (пространственных и спиновых) координат любой пары
электронов. Таким образом, эта волновая функция меняет знак при
каждой транспозиции 3^,, а для перестановки Э3, состоящей из не-
скольких (р) транспозиций, результирующее изменение знака равно
(—1)₽- Полное число возможных перестановок равно №.. Поэтому если
для различных частиц волновая функция была бы ф(1,..., А), то для
тождественных фермионов нормированная антисимметризованная
функция есть
ФЛ(1,...,
^(-1у^ф(1,
да
N),
(53.1)
где берется сумма по всем А! перестановкам с учетом относительной
четности каждой из них. ,
Аналогично (53.1), волновую функцию N тождественных бозонов
можно представить в полностью симметризованном виде
Ф^(1,..., А) =^З^Ф(1,..., А). (53 2)
УА ! до
Разница между (53.1) и (53.2) весьма существенна. Так, если вероят-
ность найти два бозона в точке г согласно (53.2) отлична от нуля, то та
же вероятность для двух фермионов, находящихся в одинаковых спи
новых состояниях, согласно (53.1) точно равна нулю. Таким образ «
возникает чисто статистическое „отталкивание" между фермионами
параллельными спинами.
Во многих системах хорошим является приближение независ1
частиц. Тогда волновая функция является произведением одноч
ных функций
w(i,...,A) = ^ai(i) гра2(2)...^т
Лекция 53 ПРИНЦИП ПАУЛИ
437
нцжние индексы а, указывают квантовые числа одночастичных со-
й Формула (53.3) означает, что частица 1 находится в состоянии
сТ° частица N — в состоянии а^. Симметризуя нужным образом
мы получим состояние, в котором по-прежнему одна частица
ним'ает состояние другая — а2 и т. д., однако уже нельзя говорить
33 пм какая именно из тождественных частиц находится в состоянии
Q 'ГОМ,
Ясно, что вместо того чтобы полностью выписывать все одночас-
тные волновые функции, для полной характеристики состояния дос-
^чно указать, сколько раз в (53.3) встречается каждый индекс а, —
х е сколько частиц из общего числа N находится в состоянии а,. Зада-
ние этих чисел заполнения н, однозначно описывает состояние систе-
мы (конечно, ni ~ Ю- Из (53.2) видно, что в бозе-системе в каждом
i
состоянии может быть любое число частиц, т. е. допустимы все числа
заполнения.
Легко видеть, что волновая функция (53.1) ферми-системы в при-
ближении (53.2) может быть записана в виде определителя:
V'aiO) ^сг|(2) • • • М^)
1 ^«20) V’ajP) - • •
вд...,*)=^ • • (53.4)
V*aA>(2) •••
(детерминант Слэтера). Если хотя бы два одночастичных состояния
(а,- и а.-, i j) совпадают по всем квантовым числам, то в определи-
теле (53.4) равны i-я и j-я строки, т. е. Фд = 0. Поэтому определитель
(53.4) отличен от нуля, только если каждое одночастичное состояние а
входит в него один раз либо вообще не входит. Это означает, что каж-
дое состояние может быть пустым или занятым одной частицей, т. е.
числа заполнения в ферми-системе могут принимать лишь два значе-
ния л, - 0, 1; в ферми-системе не существует частиц с полностью сов-
падающими квантовыми числами (принцип Паули).
Для системы двух частиц этот результат мы фактически уже имели
в (52.12'). Если два электрона имеют одинаковые пространственные
волновые функции, то их спиновая функция обязательно антисиммет-
рична (у00, синглет), т. е. проекции спинов на любую ось противопо-
ложны (±1/2). Если бы еще и третий электрон имел такую же прост-
ранственную волновую функцию, то его проекция спина совпадала бы
с проекцией одного из электронов пары. Тогда полная волновая функ-
оказалась бы симметричной относительно перестановки третьего
^Лектрона с этим электроном пары, что невозможно. Таким образом,
Динаковые орбитальные квантовые числа могут иметь лишь два
ектРона в атоме или два протона (нейтрона) в ядре.
438
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Если частицы взаимодействуют, то факторизованные мног
ные волновые функции в виде произведения (53.3) или omen4^^4'
(53.4) перестают быть стационарными. Истинно стационарные ЛИТеля
ния, вообще говоря, не имеют определенных чисел заполнения001**'
частичных орбит, так как взаимодействие переводит частицы с °ДНо'
орбит на другие. Тем не менее базис, составленный из функций0ДНИХ
висимых частиц со всевозможными (совместимыми с типом СтатНеза‘
ки частиц) числами заполнения, является полным и зачастую уд°к^'
для расчетов эффектов взаимодействия. ?'ен
В качестве примера рассмотрим двухэлектронный атом с гак™
тонианом (52.1) ль‘
А Р? Р2 Ze2 Ze2 , е2
2т 2т г| г2 | г, - г2 | ’ (53.5)
Для простоты будем рассматривать последний член в (53.5) (межэлекг-
ронное взаимодействие) по теории возмущений. В нулевом приближе-
нии имеем обычные водородоподобные функции независимых элект-
ронов, а волновая функция всей системы должна строиться как их пра-
вильная антисимметризованная комбинация.
Пусть электроны находятся в пространственных состояниях v
(квантовые числа п, I, т) и v'(n', I', tri). Полную пространственную
функцию с определенной симметрией запишем в виде
Ws(ri, г2) = Шп) Ip'v(r2) ± V’v(^i) V’vfo)}, V * V'; (53.6)
А W
(53.7)
r2) = tpv(f2), v = v. (53.6')
Полная спиновая функция может быть синглетной (/оо) или ТРИ'
плетной М = 0, ± 1). Допустимые волновые функции атома, по
правилу (52.12'), суть
Ч^/оо; Ч'лХт; ФЛХ1 -1-
В нулевом приближении все 4 функции (53.7) вырождены, их энергия
равна сумме боровских энергий для состояний v иг' (£{у = Rv +
Найдем теперь энергетическое расщепление состояний (53.7) при
учете кулоновского отталкивания между электронами. Если электр
эквивалентны (г = г'), то = 0, и возможно лишь синглетное^
стояние Ф$Хоо> которое сдвигается возмущением U = £’2/^г* . цИИ
Для неэквивалентных электронов (г * V) допустимы все 4 а_
(53.7). Поскольку U не зависит от спинов, триплетные состояния
нутся вырожденными.
Лекция 53. ПРИНЦИП ПАУЛИ
439
СДВИГ
Однако синглет и триплет теперь расщеплятся: хотя силы и не зави-
оТ 5, н° $ определяет возможную симметрию пространственной
^„овой функции и тем самым влияет на энергию.
В° В первом приближении теории возмущений энергетический
состояний (53.6) с v * v'
дЕ^ = \U\4>s) = {w'\U\w) ± (vV \U\w),
А А
введены прямой и обменный интегралы
Iv Iw' > = f dFl dF2 I V’v(n) I2 r2) 11pv(r2) I2,
(53.8)
(53.9)
= (yv1 I и I v' v) =
= f di\ dr2 ^(Й) ip*Ar2) U(r\, f2) ipv(ri) ipv(r2).
(53.10)
Прямой интеграл (53.9) соответствует обычному электростатичес-
кому взаимодействию распределенных зарядов первого и второго
электронов; обменный интеграл (53.10) не имеет классического
аналога. Величина дает сдвиг для обоих значений спина 5 = 0, 1
в одну (положительную) сторону, такой же сдвиг был бы и для различ-
ных частиц. Величина также оказывается положительной и сдвига-
ет синглеты выше соответствующих триплетов (с теми же состояниями
v, v). Качественно это вполне понятно, так как триплету отвечает вол-
новая функция Ф/, имеющая узел при й = Йг, т. е. электроны с мень-
шей вероятностью сближаются на малые расстояния, и, следовательно,
меньше становится положительный вклад кулоновского отталкивания.
Окончательно имеем
дЕ^.= ° = J„- + Ку,, дЕ^ = 1 = Лу - KW' . (53.11)
V v'
Полученные результаты в основном объясняют оптический спектр
зтома гелия, хотя для количественных расчетов теория возмущений не-
достаточно точна. Основному состоянию отвечает конфигурация 1s2
с Двумя эквивалентными электронами на нижней оболочке 1s (и = 1,
т ~ 0). При этом спиновая волновая функция есть /оо (синглет), т. е.
В с = J = о, уровень атома имеет квантовые числа
(53.12)
^°ЛьзУемся спектроскопическими обозначениями). Наинизшие воз-
Денные состояния получаются переносом одного из электронов на
Вп ИТУ с и = 2. При этом электроны становятся неэквивалентными.
Зм°жны конфигурации:
440
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
синглет
*>$0
Триплет
351 (53.13)
Ч 1.2
l.v2.s', L = 0, возможные термы
1 а2/э, L = 1, возможные термы
Мы получаем две полосы уравнений (рис. 53.1): синглеты и
плеты. Основное состояние синглетно и называется парагелием ?И"
орто- и парапозитроний, лекция 23). Для всех синглетов J = д поэта ₽
они не обладают тонкой структурой Три
плетные состояния начинаются с конфи-
гурации ls2s, которая называется ортоге-
лием. Более высокие триплеты имеют при
данном L значения J = L, L ± 1, которые
расщепляются тонкой структурой. Ддя
данной конфигурации состояния с боль-
шим L имеют большую энергию — про-
явление эффекта экранировки. Оптиче-
ской области спектра отвечают диполь-
ные переходы, которые невозможны меж-
ду синглетами и триплетами, ортогональ-
ными по спину. Поэтому ортогелий пред-
ставляет собой долгоживущее (метаста-
бильное) состояние — фактически другой газ, отличающийся от пара-
гелия. Согласно лекции 25, парагелий является диамагнитным газом
(ортогелий парамагнитен).
В этом примере мы видели, что условие определенной симметрии
волновой функции не мешает классификации состояний по собствен-
ным значениям определенных операторов (Z. S, J}. Все эти операторы
являются аддитивными, т. е. выражаются суммой одночастичных опе-
раторов
57.8
-58
58.4
59
Р,
(№)
(ls2s) 's„
(ls2s) 3S,
CO SlL
79
энергия S-0
связи,
эВ
Puc. 53.1
S=1
(53.14)
V /4
a
а потому коммутируют co всеми $аь.
72 •3^-
Задача 53-1. Построить волновую функцию с определенными значениями
для двух электронов в центральном поле на орбитах / = /' = !;/ = /= 2./ — С
(рассмотреть случаи и = п' и п if).
. = 5/2 Найти
Задача 53-2. а. Три протона находятся на ядерной обо ючке с j
возможные значения полного момента ядра J — Л + ji + jj.
Лекция 53. ПРИНЦИП ПАУЛИ
441
g Ресспииовые бозе-частпцы находятся на уровне 1 = 2. Найти возможные значе-
юмента L — для системы двух и трех частиц.
ЦИЯ *
а
Ответ. L — 0, 2, 4; 0, 2, 3, 4, 6.
Задача 53-3. Протоны в ядре заполняют оболочку с моментом j. Чему равен мак-
альный возможный момент 7„,ах оболочки, если па ней находятся А' протонов; при
Са№4 достигается наибольшее значение ./,гах?
Ответ. .7тах(^) = *--—- достигается при N = (1/2)(2/ + 1) (наполовину
заполненная оболочка) максимума, равного (1/8)(2/ + I)2.
Задача 53-4. а. Доказать, что замкнутым оболочкам (ферми-системы) всегда отве-
чает терм 'S() (L = S = J = 0). (Замкнутая оболочка — конфигурация, в которой заняты
все состояния, отвечающие всем возможным проекциям спинового и орбитального мо-
ментов при данных п, I.)
б. Доказать, что каждому состоянию конфигурации с А электронами иа оболочке
отвечает состояние конфигурации с N дырками, имеющее те же квантовые числа
S, L. J.
С формальной точки зрения следовало бы антисимметризовать
волновую функцию по координатам вообще всех фермионов, имею-
щихся во Вселенной. Однако ясно, что делать этого не нужно. Как мы
видели в задаче об атоме гелия, антисимметризация приводит к обмен-
ной энергии. Но если состояния v и v' локализованы в различных
пространственных областях, обменный интеграл КУп>- исчезает и мы
получаем такие же результаты, как и при использовании несимметри-
зованпых волновых функций. Таким образом, тождественность частиц
реально следует учитывать лишь при перекрытии волновых функций
этих частиц.
Литература: [5, гл. 2; 7, гл. 4; 32в, гл. 9].
s За“м ЗОЮ
Лекция 54. ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
Большое число экспериментальных фактов свидетельствует о том
что свойства нейтронов и протонов по отношению к сильным (ядерным!
взаимодействиям одинаковы. Отличие нейтрона от протона связано
с электрическим зарядом и поэтому сравнительно мало во всех случаях,
когда электромагнитным взаимодействием можно пренебречь по сравне-
нию с ядерным. Разница масс нейтрона и протона ДЛ/„ _ р/М <0,15 %
рассеяние (/? — р) и (и - и) происходит почти одинаково за вычетом
кулоновской части в р — р рассеянии. Существует большое число зер-
кальных ядер (одно получается из другого заменой всех нейтронов на
протоны), например, 3Не2, 2Не, (тритий); зВе, 4Li3; 4В5, ^Ве4; 43С6,
63N7; |;4Сб, б4Оя и т- Д- Все их ядерные свойства практически совпадают.
Отсюда можно сделать вывод о зарядовой симметрии ядерных сил —
инвариантности относительно замены п ♦» р.
Рассмотрим возможные состояния системы п + р. Классифицируя
их по полному спину S, получим:
£ = 0 £= 1 £= 2 £ = 3 £ = 4
синглеты S = 0; J = L ‘So ‘Pl ‘D2 ’F3 ’G4
триплеты S = 1; J = L, L — 1 — 3Ро 3Di 3f2 3G3
J = L — 3Pi 3d2 3F3 3g4
J = £ + 1 3s< 3Р2 3D3 3f4 3Gs
Исключением из общего правила для триплетов является случай L — 0, когда воз
можно лишь одно значение момента J = S = 1.
Для двух частиц в системе центра масс четность волновой
относительного движения равна П = (—1)£. Поэтому для сиИГ^сТ0В
(J = Е) задание J однозначно определяет и четность. Для три
момент Jh четность П не определяют полностью состояния: воз
два значения L = J ± 1 (кроме случая Jn = 0, когда состояниями
единственно). Поскольку орбитальный момент L не должен c0Xf^ )
ся, возможны суперпозиции (3S[ + 3£)ь 3/э2 + 3^2, + 3’
Лекция 54. ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
443
еделенным моментом J и четностью П. Комбинация 35j + 3D\ от-
CgT дейтрону — связанному состоянию п + р с энергией связи
МэВ; веса 353 и 3Di состояний в этой суперпозиции равны при-
j 94 и 6% соответственно.
образом, возможны следующие состояния системы и + р с
Jn:
мер"0
Таким
заданными
синглеты 0+ 1 2+ 3“ 4+
’So ’Pi ’d2 ’F3 ’g4
триплеты 0" Г Г 2+ 2" 3+ 3“ 4+
3Ро 3Si + 3D, 3Р! 3d2 3Р2 + 3F2 3D3 + 3G3 3F3 3g4
дейтрон
Перейдем к системе из двух одинаковых частиц (пп или рр). В силу
принципа Паули волновая функция такой системы должна менять знак
при перестановке частиц. Согласно лекции 53, симметричной спино-
вой функции (синглет) отвечает антисимметричная пространственная и
наоборот. Однако в системе центра масс двух частиц перестановка
пространственных координат (/) ♦» г2) эквивалентна инверсии (г =
- Л _ "* ~ Л = ~ F). Поэтому симметрия пространственной вол-
новой функции здесь просто совпадает с ее четностью (— 1)л. Итак,
в системе двух тождественных фермионов допустимы лишь
четные синглеты
нечетные триплеты
о+ (*So)
о' (3Ро), г (3₽i),
2+ (*Р2) 4+ (’g4), ...;
2 (3Р2 + 3F2), 3’ (Ч),
Если мы принимаем, что ядерные силы одинаковы между любыми
двумя нуклонами (зарядовая независимость), то, казалось бы, наряду с
Дейтроном должны существовать связанные состояния пп (динейтро-
ны) и рр (ядро 2Не). Таких связанных состояний не обнаружено. Из
вышеприведенного рассмотрения легко понять, почему это так. Ядер-
чое притяжение зависит от состояния пары нуклонов (от квантовых
чисел S, J). Как видно из системы пр, эффективная яма оказывается
Достаточно глубокой для создания связанного состояния только при
некоторой суперпозиции 3S, + 3D]. Если ядерные силы зарядово неза-
висимы, то связанные состояния пп и рр имели бы такие же квантовые
числа. Но в системах одинаковых частиц такие состояния строго запре-
щены принципом Паули. Таким образом, зарядовую независимость
верных сил следует понимать как одинаковые взаимодействия любой
аРы нуклонов в одинаковых состояниях.
г Звлача 54-1. Отрицательно заряженный пион (со спином 0), находящийся на
Р ите л-мезоатома дейтерия, захватывается ядром (дейтроном) согласно реакции
444
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
л + d -* п+ п. Показать, что этот процесс возможен лишь при
ренней четности пиона.
отрицательной
внут-
Решение. В силу сохранения момента Jj= Jj = Jd= 1. Поэтому Lf = ] ддя
ного конечного состояния или Lf = 0, 1, 2 для триплетного конечного состоя ИНГЛег'
скольку нейтроны тождественны, возможно лишь триплетное состояние с £ = 1?я;3По'
но оно нечетно, Пу = — 1. Четность начального состояния П, = Пу совпадает '
ренней четностью пиона (для /^-орбиты L = 0), которая, следовательно, отрицательц1^'
В силу зарядовой независимости ядерных сил удобно рассмат
вать нейтрон и протон как два зарядовых состояния одной и той '
частицы — нуклона. Их энергии Мс2 несколько различны вследствие
наличия электромагнитных взаимодействий. Поскольку вклад после
них невелик, в первом приближении два зарядовых состояния нуклона
вырождены. Таким образом, мы имеем „двухуровневую" систему с ба-
зисными состояниями
th
д) ’
1Р> =
Th
(54.1)
где верхнее число есть амплитуда вероятности найти нуклон в протон-
ном состоянии р, а нижнее — в нейтронном состоянии п. Базисные со-
стояния (54.1) имеют определенный заряд Qp = 1, Q„ = 0, т. е. являются
собственными функциями оператора Q заряда. Очевидно, что этот опе-
ратор имеет вид
Q =
/Т Ch _ ] /1 о\ А р
[о oj “ 2 [о V + 2 b
О'
-1,
= | (1 + гз),
(54.2)
где через т,, i = 1, 2, 3 мы будем обозначать матрицы Паули (15.20).
действующие на зарядовые переменные. Можно ввести операторы, пе-
реводящие нуклон из одного зарядового состояния в другое. Так, опе-
ратор, повышающий заряд системы, имеет вид
'0 П
,0 о) ’
т+ | р) = 0, т+ | п) = | р\
(54.3)
а понижающий оператор
т~ = (1 о)= (T+)+* т-1 = । г-1 = °- (54‘3'
Матрицы т+ строятся из матриц Паули ту 2 так же> как ПОВЫ1ЯчТо
щий и понижающий операторы для момента 1/2 (15.19). Мы видим,
алгебра матриц Т[ 2, 3, которые можно символически объединить^
тор т, полностью совпадает с алгеброй операторов о для спина ^ск0.
аналогии с оператором спина s = 672 введем оператор изотоп
Лекция 54. ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
445
L сцина (называемого также изобарическим спином или просто изо-
лином) нуклона
Г t = т/2, (54.4)
Йствуюший в зарядовом пространстве с базисом (54.1), включающим
десебя состояния с определенным значением заряда
(54.5)
2
Итак, протон и нейтрон представляют собой состояния с определенной
проекцией изоспина на ось z зарядового пространства (иногда в лите-
ратуре по ядерной физике, наоборот, протону приписывается проекция
изоспина —1/2, а нейтрону +1/2):
?з IР) = ~ I /Д ?з I«) = - “ I «)•
(54.6)
Преобразование зарядовой симметрии, переводящее нейтрон в протон
и наоборот, меняет согласно (54.6) знак проекции t3. Это преобразо-
вание можно изобразить поворотом на 180° вокруг оси х или у заря-
дового пространства.
Зарядовые состояния двухнуклонной системы строятся так же, как
спиновые волновые функции системы из двух частиц со спином 1/2.
Для этого введем оператор полного изоспина
Т = 6 + ti = ~ (Т] + т2). (54.7)
Очевидно, что его компоненты удовлетворяют обычным коммутацион-
ным соотношениям углового момента (15.1). Поэтому оператор Т2
имеет собственные значения Т (Т + 1), где Т = 0 (изосинглет) или Т = 1
(изотриплет). При этом оператор принимает значения 0 для синглета
и 0, ± 1 для триплета, а заряд (54.5) системы равен
Q — “ + (?з)1 + ~ + (?з)2 = 1 + Т3. (54.8)
2 2
Итак, возможные состояния системы нуклонов можно теперь клас-
сифицировать по новым квантовым числам величины изоспина Т (для
нУклона Т ~ 1/2) и его проекции 7з, связанной с зарядом (54.8):
"Зо»фгщ,7ещ Т = 1, Гз = -1, 2 = 0 (2 нейтрона),
7з = + 1, 2 = 2 (2 протона),
?з = 0, 2 = 1 (нейтрон и протон);
"3°см/гле/И 7 = 0, Т3 = 0, 2 = 1 (нейтрон и протон).
446
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Правильные линейные комбинации, отвечающие заданным Т
строятся, как и для обычного углового момента, с помощью коэ ^3’
ентов Клебша - Гордана. Обозначая зарядовые волновые функпи <лЦи'
имеем из (16.18), (16.20), (16.21) М ИЦГг3,
Ф 1 = I Р\Р1\ = (I Р1«2> + | П1р2)); (54 9)
Q°° = ?2 Р'П^ ~ । niP2»'
(54.9-)
Классификация зарядовых состояний с помощью квантовых чисел
Т, 7з имеет смысл, только если они хотя бы приближенно сохраняются
Величина 7з связана с зарядом системы (54.8) и поэтому сохраняется
строго. Состояния с разными 7з при одном и том же Т преобразуются
друг через друга при „поворотах" в зарядовом пространстве. Зарядовая
симметрия и зарядовая независимость ядерных сил показывают, что
в одинаковых состояниях пары нуклонов сильное взаимодействие оди-
наково. Можно обобщить эти экспериментальные факты, предположив
что ядерные силы не меняются при любых поворотах в зарядовом
пространстве (изотопическая инвариантность). Тогда величина Т
должна сохраняться, подобно тому как сохраняется угловой момент J,
если система инвариантна относительно поворотов в обычном прост-
ранстве.
Конечно, кулоновское взаимодействие зависит от зарядового со-
стояния нуклонов, т. е. от проекции Ту В этом смысле оно эквивалент-
но полю, выделяющему направление оси z в зарядовом пространстве, и
нарушает изотопическую инвариантность. Многочисленные экспери-
ментальные следствия гипотезы изотопической инвариантности под-
тверждают, что она справедлива с точностью до электромагнитных по-
правок. Некоторые из таких следствий мы ниже рассмотрим.
Изотриплетные состояния (54.9) при преобразовании зарядовой
симметрии п ♦» р переходят сами в себя, т. е. они симметричны по
зарядовым переменным; изосинглетное состояние — антисимметрич-
но. Составим теперь полную волновую функцию двух нуклонов, зави
сящую от их пространственных, спиновых и зарядовых координат.
У(1,2)=Ш^ЛГ (5410)
Если нуклоны тождественны (два нейтрона или два протона), то ПР°
ранственно-спиновая часть волновой функции в силу при
Паули антисимметрична. Однако, как видно из (54.9), этим состо
отвечает симметричная зарядовая волновая функция Q| ±ь так чт0
ная волновая функция антисимметрична.
Лекция 54. ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
447
В силу изотопической инвариантности ядерных сил состояние Qlo
т Такую же энергию и такие же квантовые числа, что и состояния
* Поэтому ему так же отвечает полная волновая функция Ф, анти-
'мметРичная относительно перестановки всех переменных пары нук-
Состояния пр, для которых волновая функция V’Z симметрична
тНосительно перестановки пространственно-спиновых координат, не
име1от аналогов в системе тождественных нуклонов и поэтому не мо-
т принадлежать к изотриплету (54.9). Следовательно, изосинглетная
волновая функция QOo антисимметрична по зарядовым координатам.
Поэтому и здесь полная волновая функция Ф антисимметрична.
Мы получили обобщенный принцип Паули', полная волновая функ-
ция двух нуклонов антисимметрична относительно перестановки
пространственных, спиновых и зарядовых координат. Поскольку
пространственная четность есть (-1)£, симметрия спиновой функции
(лекция 16) равна (- l)s + *, а зарядовой (9.9’) равна (- 1)г + *, можно за-
писать этот принцип в виде
(-!>
(54.11)
Теперь легко классифицировать перечисленные выше двухнуклонные
состояния по значениям изоспина: все состояния, допустимые для
пары одинаковых нуклонов, имеют Т = 1, а остальные (в том числе и
дейтрон) Т = 0:
г = 1 %, 3р0> 1,2, *о2,...;
7 = 0 3Sb *Pb 3D1i2>3,....
При данном значении L триплеты и синглеты всегда принадлежат к
разным значениям Т. Фактически изотопическая инвариантность ядер-
ных сил означает лишь то, что взаимодействия любых двух нуклонов в
состоянии с Т = \ одинаковы.
Задача 54-2. Доказать, что если ядерные силы изотопически инвариантны, то
спин S' двухнуклонной системы сохраняется.
Обобщение понятия изотопического спина на систему из многих
нуклонов (атомное ядро) очевидно. Для этого нужно ввести оператор
Полного изоспина
А А
т = = ; IX (54.12)
а = 1 2 а = 1
Причем аналогично (54.8) оператор заряда системы
Q = £ Г; + (<з)
а = 1 LZ
= Ъ + ±.
(54.13)
а
448
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Если ядро состоит из Z протонов и Л’ = / - Z нейтронов
7з = —- (N — Z), т. е. допустимые значения изоспина
то Q = Z,
Т > I Т3 I = i (N - Z)
(54.14j
(обычно в ядрах N > Z). С точностью до кулоновских поправок
которых растет с зарядом ядра, Т является сохраняющимся квантов°ЛЬ
числом, и состояния ядер с разным соотношением N и Z при одинМ
ковых А и Т обладают близкими свойствами.
Задача 54-3. Какое из ядер — g6O8 или ^6N7 — имеет большее число возбу»
денных уровнен?
Формула (54.13) легко обобщается на случай систем, состоящих из
нуклонов и антинуклонов. Здесь под А следует понимать барионный
заряд системы — разность чисел нуклонов и антинуклонов.
Подобно тому, как нейтрон и протон объединяются в нуклонный
изодублет Т= 1/2, другие элементарные частицы так же можно разбить
на зарядовые мультиплеты, причем все сильные взаимодействия час-
тиц из одного мультиплета одинаковы. Таким образом, всем сильно-
взаимодействующим частицам (адронам) можно приписать определен-
ное значение Т изоспина, сохраняющееся в ядерных реакциях. Эта
идея распространяется и на кварковый уровень, где и- и d-кварки („ир“
и ,,dovvn“) с близкими массами и одинаковыми сильными взаимодейст-
виями образуют изодублет, что предопределяет изотопическую инвари-
антность на нуклонном уровне. В модели кварков протон и нейтрон
состоят из трех кварков, причем их волновые функции (р = ииа,
п = ddu) переходят друг в друга при преобразовании зарядовой сим-
метрии и d. В слабых и электромагнитных взаимодействиях Т не
сохраняется, поэтому не имеет смысла вводить изоспии для частиц, не
участвующих в сильных взаимодействиях (электрон, нейтрино и т. Д-)-
Число частиц, принадлежащих к данному зарядовому мультиплету
с изоспином Т, равно 2Т + 1. Между собой они отличаются проекцией
7з, которая однозначно связана с электрическим зарядом. Формулу,
связывающую Q и Т3, можно записать аналогично (54.13) в универсаль
ном виде для всех мультиплетов
т, + f-, <54 ,5)
2
где Y — гиперзаряд частиц мультиплета, равный сумме барион!
заряда В и странности £ (лекция 42), Y = В + S.
Q
Лекция 54 ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
449
В качсс^пе примера возьмем мультиплет пионов, состоящий из
+ л°, Они нс имеют барионного заряда и странности, по фор-
’е (54.15) им следует приписать Т$ = Q = 1, 0, — I и, следовательно,
1 (изовектор). Изотопическая инвариантность ядерных сил позво-
ет предсказывать соотношения сечений разных реакций между час-
Ащами данных мультиплетов (при одинаковых относительных энср-
спиновых состояниях и углах рассеяния).
Уже из зарядовой симметрии (р *» л, л л , ли *» я ) следует
равенство сечений рождения л+ и в ////-столкновении
р + п -* п + п + л+, р + и -> р + р + л .
В более сложных случаях нужно начальное и конечное состояния раз-
ложить по состояниям QTf3 с определенным значением Т. Сравним, на-
пример, сечения рождения пиона с образованием дейтрона при столк-
новениях пр и рр :
а) п + р -» л° + d, b) р + р -» л+ + d. (54.16)
В обоих случаях конечное состояние имеет изоспин Tf = 1 (Гт = 1,
Т<- 0), поэтому реакция возможна лишь при Г/ = 1. Система рр всегда
имеет Т = 1, в то время как согласно (54.9), (54.9')
I Рп} ~ (^ю + ^ооХ
т. е. доля состояния Т = 1 равна 1/2. Поскольку при Т = 1 обе реакции
154.16) должны в силу изотопической инвариантности иметь одинако-
вые амплитуды, получаем oh = 2сг„. Фактически соотношения между
сечениями определяются в подобных случаях коэффициентами Клеб-
ша - Гордана.
Существует простой прием, позволяющий связать различные ре-
акции без вычисления коэффициентов Клебша — Гордана (так назы-
ваемая „фабрика" Шмушкевича). Рассмотрим, например, всевозмож-
ные процессы рассеяния пионов на нуклонах (с учетом возможной
перезарядки):
+ 0 -
1) -7+р -> л+р. Г) л~п -» л~п, 1 0 1
2) л°р -» тт°р, 2') л°п -* л°п. 0 2 0
3) л°р -> л+л, 3') л°п -* л~р, 1 0 1 (54.17)
^) л р -> п~р, 4') л+п -» л+п, 1 0 1
5) л~р -» лоп> 5') п+п -> р, 0 2 0
450
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Реакции 1-5* получены из 1-5 операцией зарядовой симметрии и
такие же сечения: о, = О’,. Справа выписаны числа различных пИмеет
в конечных состояниях реакции данной строки. °Нов
Представим себе, что все реакции (54.17) идут одновременно
ри „черного ящика", причем начальное состояние было полностью
поляризованным" по изоспину, т. е. содержало все члены мезонного6
нуклонного мультиплетов в равных количествах (равновероятн И
всех начальных проекций). В силу изотопической инвариантности *
результате реакций не может появиться никакого выделенного напп В
ления в зарядовом пространстве — состояние остается неполяризовац"
ным. Это означает, что числа различных мезонов останутся равными а
это возможно, только если сечения реакций (54.17) удовлетворяют ус-
ловию
0'1 + 0’3 + 04 = 2((72 + <75).
Если учесть еще принцип детального равновесия (лекция 50), то полу-
чим От, = Оу = О$, поэтому О\ + Од = 2О2 + Оу
Задача 54-4. Получить связь между сечениями рождения пионов
о(пр -* ирл°) + о(рр -* ррл°) = и(пр -* ррл~) + — и(рр -» рпл°).
К интересным результатам приводит более детальное рассмотре-
ние л-нуклонного рассеяния. Система nN может иметь Г = (Г3 =
= ±1/2) и Т = | (7з = ± 1, ±3/2). Ядерные силы сохраняют Т, поэтому
существуют две независимых амплитуды л/У-рассеяния: /1/2 и/зп-
Задача 54-5. Выразить наблюдаемые сечения рассеяния заряженных пионов на
нуклонах через амплитуды f/2, fjn рассеяния в состоянии с определенным Т.
Решение. С помощью коэффициентов Клебша - Гордана (16.27) представим со-
стояния |тс/'/) в виде суперпозиции состояний с определенным Г:
|л+р) =Q3/2 3/2; И“и) = Й3/2-3/2; 5418
|л"р) = Й3/2 —1/2 + й1/2 -1/2; к°и) = ^3/2 -1/2 - fil/2
k°P> = ^3/2 1/2 - й1/2 1/2; k+«) = - Я3/2 1/2 + fi| 2 1/2‘
Отсюда находим амплитуды перехода (элементы 5-матрицы)
(54.19)
М(л+р^> п+р) = (Й3/2 3/2 I5 1йЗ/2 3/2 )~ Л/2-
Лекция 54. ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
451
Л/(л р -* л°я) =
Яз/2 -1/2 +
Г й]/2 —1/2 1$ |^| Оз/2 -1/2
1/2 IS IQj/2 -1/2) ~ Ф1/2 -1/2 IS |й1/2 —1 /2> ~
(54.19')
~ ^3/2 " ^/2^’
М(л р -» п р)~~ (/з/2 + 2/1/2)- (54.19")
3
Сечения пропорциональны \М |2.
Эксперимент показывает, что во всех реакциях (54.19) при кинети-
ческой энергии пиона около 190 МэВ имеется четкий резонанс, причем
сечения реакций относятся как 9:2:1. Именно такое соотношение по-
лучается, если считать, что в области резонанса взаимодействие в со-
стоянии с Т = 3/2 гораздо сильнее, чем при Т = 1/2, |/3/2 I 1/1/2 I-
Таким образом, в этой области энергий взаимодействие nN идет в ос-
новном через промежуточное состояние с Т= 3/2. Анализ углового рас-
пределения рассеянных частиц показывает, что и обычный момент это-
го состояния J = 3/2 (3-3-резонанс). Резонанс можно описать формулой
Брейта - Вигнера (51.12) с Е = — 1236 МэВ и шириной Г ~ 120 МэВ.
Мы видим, что существует квазистационарное состояние (спин-изо-
спиновое возбуждение нуклона) с квантовыми числами J= 3/2, Т= 3/2,
которое называют Д-частицей или изобарой. Фактически число таких
частиц 2Т + 1 = 4:
Д+ + Д+ д° д-
(лг+р) (п°р), (л+и) (п°п), (п~р) (пи)
T3 = Q-A = q_1= +з/2 +1/2 -1/2 -3/2
2^2
Задача 54-6. Какой изоспин имеет конечное состояние в распаде К+ -» л+л°?
Ответ. 7=2. 7=0 невозможно из-за 73 = + 1; 7= 1 дает антисимметричную заря-
®ОвУк> волновую функцию двух пионов, тогда и пространственная волновая функция
“ла бы антисимметричной, но 1 = 0, так как спины и А равны нулю.
С математической точки зрения, вращательная симметрия в обыч-
«°м пространстве и изоморфная ей изобарическая симметрия в зарядо-
пространстве описываются группой SU(2) — группой унитарных
Т^Риц 2 х 2 с определителем, равным 1. Эти матрицы определяют
^образование элементарных объектов, в данном случае — двухком-
52
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
гонснтных спиноров (15.16) или (54.1), отвечающих спину и
спину 1/2. Объекты с высшими спинами можно построить, комб И Из°*
несколько спиноров. Эта конструкция обобщается на высшие < Ни^я
щи [56]. Так, фундаментальная симметрия квантовой хромодин^"
си — цветовая — описывается группой 5ЦЗ) преобразований в пНЭми'
•анстве 3x3 „цветовых11 квантовых чисел кварков и глюонов пе е
'ящих взаимодействия между ними. ’ р но'
Литература: [5; 32в, § 116; 33; 38; 42, § 1, 7, 14; 45; 49]
Лекция 55. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
В сложных системах, состоящих из большого числа тождественных
частиц, взаимодействующих между собой и с внешними полями, точ-
ное решение квантовой задачи невозможно даже с применением вы-
числительной техники. Здесь приходится развивать приближенные ме-
тоды, основанные на физических гипотезах и простых моделях. Если
взаимодействие частиц не является слабым, теория возмущений непри-
менима. Поскольку гамильтониан системы не распадается на сумму
энергий независимых частиц, волновая функция не может быть пред-
ставлена произведением одночастичных функций.
Предположим, что либо взаимодействие в системе является дально-
действующим, либо (для короткодействующего взаимодействия) плот-
ность частиц достаточно велика. Первый случай реализуется для ку-
лоновских систем (электроны в металле, сложные атомы, плазма), вто-
рой — в атомном ядре и в жидком 3Не (мы рассматриваем здесь только
системы фермионов). В обоих случаях данная частица одновременно
подвергается действию большого числа частиц, поведение которых,
в свою очередь, определяется взаимодействием со всеми остальными
частицами, в том числе и с первой.
Ниже мы разовьем метод самосогласованного поля, позволяющий
Учесть воздействие на каждую частицу усредненного „облака“ всех ос-
тальных. Рассмотрим сначала, как строится основное состояние фер-
ыи-системы без взаимодействия (идеальный газ). Пусть N тождествен-
ных фермионов движутся в некотором общем внешнем поле
N р2 ] N
+ <551>
О = 1 12и J а = 1
В
этом случае волновая функция Ф системы в целом строится из одно-
Частичных функций удовлетворяющих уравнению
Йл = (55.2)
454
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(конечно, в силу тождественности частиц все операторы ha одинако
Решив уравнение (55.2), найдем полную систему состояний и J
энергии ед. Тогда ясно, что стационарное состояние ф всей систем*
получится, если „рассадить" имеющиеся N частиц по произвольным W
одночастичным состояниям из набора (55.2).
В соответствии с принципом Паули в каждом из состояний мо_
жет быть не более одного фермиона. Поэтому, чтобы задать однозначно
Ф, достаточно перечислить N занятых состояний ^д, т. е. фиксировать
числа заполнения пд, равные нулю или единице, так чтобы
У «А = N.
А
(55.3)
Если занятые и пустые состояния фд заданы, то функция Ф дается
слэтеровским детерминантом из заполненных гр^, что автоматически
обеспечивает антисимметрию Ф (лекция 53).
Энергия полученного состояния Ф есть, очевидно, сумма одночас-
тичных энергий Ед занятых состояниях грр.
Е= Х£А = ХЛ^А- (55.4)
(занят) Л
Поэтому основному состоянию системы Фо отвечает заполнение W на-
инизших по энергии е состояний гр-2 (ip\, 1р2, , fpN заняты, остальные
грд пусты). Энергию е w максимального из занятых состояний 1рц на-
зовем энергией Ферми Ер.
В качестве простейшего примера рассмотрим случай, когда внеш-
нее поле U(r) в (55.1) задается стенками большого кубического сосуда
объемом V = L?. Тогда решениями уравнения (55.2) служат плоские
волны
ippa(r, s2) = е» prxo(sz), (55 5)
где /о($2) — спиновая функция с определенным значением о проекци^
sz спина частицы, а волновые векторы дискретны: ка — Ра
= (2л IL) па. Таким образом, здесь роль одночастичных квантовых
сел Л играют р и о. Энергия состояний (55.5) равна
Р2 (55 6)
2т
она не зависит от о и углов р. В основном состоянии систем
нсны будут все состояния (55.5) вплоть до энергии £/-, т. е. до
Лекция 55. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
455
ферми рр ~ В случае большого объема V и большого числа
частиц N (ПРИ конечной плотности тг = NIV) легко найти по формуле
^5 3), заменяя суммирование интегрированием (19.4),
dp = -^(2s+l). (55.7)
0 6тгх/г
'(2s +1) (W
Таким образом, заполненные состояния образуют сферу Ферми в им-
пульсном пространстве, граничный импульс Ферми равен
/ , , \1/3 / „ , \1/3
| 6тг2Й3 N | 16тг2Й3 |
Pf =------------= --------------«
(2s + 1 V) (2s + 1 )
(55.7)
Легко вычислить энергию основного состояния идеального фер-
ми-газа. Согласно (55.4), (55.6) и (55.7)
v _ Г(2у + 1)
0 (W?
Ре 2
j^2 dp JL = 1 ЕЕ. N = 1 £fN. (55 8)
q 2m 5 2m 5
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу, е =
3
= ErJN = - ef и растет с увеличением плотности газа пропорциональ-
но что является прямым следствием соотношения неопределен-
ностей. В то же время среднее расстояние между частицами а =
[3/(471/2)]* 3 уменьшается. Поэтому, если газ состоит из заряженных час-
тиц, то средняя энергия ёЧа их кулоновского взаимодействия растет
с плотностью пропорционально «1/3, т. е. медленнее кинетической
энергии. Это означает, что плотный кулоновский газ приближается по
свойствам к идеальному, относительная роль взаимодействия умень-
шается.
Задача 55-1. Показать, что разность N — Z чисел нейтронов и протонов в атом-
иом ядре ведет к дополнительной энергии симметрии, пропорциональной T^iA (Т3 —
пРоекция изоспина (54.12), А = N + Z — массовое число)
f Решение. Полная кинетическая энергия нейтронного и протонного ферми-газов
Л + Ez = епР + £pZ, где £п> р — средние кинетические энергии нуклонов. В силу
' ,\2/3
—) + Z
V)
Eft + Ez = const N
2/3
#5/3 + z5/3
= const------—------, (55.9)
Л2/3
Z
V
адКаК °®ъем ядРа V пропорционален числу нуклонов А (49.1). Энергия (55.9) Мини-
на при N = Z. Если 2 и .V не совпадают, то искомое изменение энергии
456
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
где считалось 2Гд = Z — /V « .4.
Чтобы показать, как ферми-газ реагирует на внешнее воздействие
перестройкой основного состояния, вычислим спиновую магнитную
восприимчивость идеального электронного газа. В отсутствие магнит-
ного поля минимум энергии £« достигается, когда числа N± частиц с
проекциями спина о = ±1/2 одинаковы и эти частицы заполняют оди-
наковые сферы Ферми (55.7):
п+ = Il-
li — Pf
2 6.т2Гг '
„<+) _ J-) _ (6.т2Й3п+)2 3 _ (6д2Й3н_)2 3
ef - ef ~ " —.(55.10)
2ш 2ih
В присутствии поля = <~У(. надо учесть дополнительную энергию
— и сМ = — g/io^ /2 = ± взаимодействия спина с магнитным
полем, так что
(±) р~ •
£ fxi £р = — ±
Теперь при данном импульсе р энергия частиц с о = +1/2 больше, чем
частиц с а = —1/2, на . С другой стороны, максимальная энергия
t/?' частиц с данной проекцией спина о должна (в основном состоя-
нии) быть одинаковой для обоих значений о (иначе было бы выгодно
частицу из группы с большим значением о перевести в группу с мень-
шим значением). Поэтому
Рис. 55.1
Лекция 55. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
457
(+)2 (—)2
= 4“’ = ,
2т 2т
т е в основном состоянии N+ < N— Считая поле слабым, легко найти
эту „раздвижку" границ Ферми (рис. 55.1). Положим п+ = - (1 — л),
л_ = (1 + х). Тогда
[(1 - х)2 3 - (1 + х)2/3] «
(4~)2 ( )2 •) о п / д
PF = - 2^ = (и2'3 - и273) =
2т 2т
= (&T2Zi3)2/3 /-А2/3
2т
4 (3.т2Й3/))2/3
~ — Л'
3 2т
4
3
где Ер — энергия Ферми системы с полной плотностью и — совпадает
с (55.10). Отсюда л = - ‘“-Б , а магнитный момент единицы объема
2 tF
и = рБ(п_ - п+) = = ,ul ~~
2 eF
следовательно, парамагнитная спиновая восприимчивость
<<« 3 э и
-------= - ,» Б —
д-УУ---2 eF
(55.11)
Предположим теперь, что мы хотим описать систему взаимодейст-
вующих фермионов как состоящую из независимых частиц, движу-
щихся в некотором эффективном поле, которое складывается из внеш-
него поля U и среднего поля самих частиц. Нам предстоит выбрать это
поле так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать состояние ре-
альной системы. Далее задача сводится к нахождению одночастичных
состояний Ц), в этом поле, т. е. к решению уравнения (55.2) и построе-
нию из наинизшпх по энергии состояний гр волновой функции Ф всей
системы. Если поле выбрано правильно, то в состоянии Ф частицы
Движутся именно так, что создаваемое ими среднее поле совпадает с
начальным. Это и означает самосогласованность поля.
Наиболее простым вариантом метода самосогласованного поля яв-
ляется приближение Хартри, где пренебрегается влиянием антисим-
458
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
метрии Ф на энергию (лекция 53). Рассмотрим этот метод на
атома с зарядом ядра Z и числом электронов N (для иона У
мильтониан атома в нерелятивистском пределе имеет вид
примере
* 2). Га-
9 N N ~
2'” а = t а = 1 г“
а * b rab
(55.12)
Ясно, что искомое самосогласованное поле U, заменяющее многочас-
тичный гамильтониан (55.12), складывается из поля ядра и среднего
поля пространственного заряда электронов:
Г° Ь а
Pbfo)
\'а ~fh Г
(55.12’)
Одночастичные функции электронов должны удовлетворять уравне-
нию
( й2 , ~ 1
— V2 + С/(г) - (И = 0. (55.13)
I 2т J
После нахождения решений ^я(г) уравнения (55.13), имеющих энергии
мы должны выполнить условие согласования: плотность заряда
электрона b есть Pj, = е | V/ХЛ) |2, и суммирование по b должно вновь
давать потенциал U (55.12'). Если полученный потенциал U' отличает-
ся от исходного U, то нужно сделать следующую итерацию: решать
(55.13) с потенциалом U', найти подправленные функции ip' и вычис-
лить поле U". Обычно после нескольких итераций потенциал с доста-
точной точностью себя воспроизводит. На самом деле эффективное по-
ле (55.12'), действующее на данный электрон, зависит от состояния,
в котором он находится, так что, строго говоря, единого потенциала U
не существует. Однако оказывается, что в сложных атомах хорошим
приближением может служить экранированный потенциал вида
[/(г) = - ^ Z(r),
Г
(55.14)
где эффективный заряд Z зависит от расстоя-
ния примерно так, как показано на рис. 55.2.
На малых расстояниях Z(r) -* Z (нет экра-
нировки, чистый заряд ядра), а при больших г
электрон движется в поле остаточного заряда
Лекция 55. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
459
Z(r) z = Z — (N — I), (55.15)
для нейтральных атомов z = 1.
Решения уравнения Хартри (55.13) имеют обычные „водородные"
квантовые числа nlm/, а энергию их можно выразить как
- А - Znh (55.16)
2л ао
гце Z„i дает отличие спектра от водородного, обусловленное экрани-
ровкой заряда ядра. Очевидно, что z < Zni < Z, причем Z„/ должно
уменьшаться с ростом п и I (далекие оболочки).
Сравнивая метод Хартри с вычислениями для атома гелия, легко
понять, что в (55.12') учтена лишь „прямая" энергия взаимодействия
электронов и отброшены обменные эффекты. Учет последних возмо-
жен, если правильным образом антисимметризовать состояние Ф (при-
ближение Хартри - Фока). Если мы представим систему набором неза-
висимых частиц, заполняющих последовательно состояния в неко-
тором самосогласованном поле, то функция Ф всей системы должна
быть слэтеровским детерминантом, построенным из занятых состоя-
ний Пусть истинный многочастичный гамильтониан имеет вид
(аналогичный (55.12))
= 2 I- Г- + №)} + ; 5Ж = ; 3>flZ,(55.17)
а 1 2m J 2 a*b а 2 а*Ь
Легко показать, что среднее значение энергии (55.17) в состоянии, опи-
сываемом слэтеровским детерминантом из функций ipi,.... равно
£=^<Л|й|Л) + 1 { (Д'|FF | Д') — (Д'|FP |Л'Л) }, (55.18)
Л 2 л * X
где суммирование по Л идет по занятым состояниям от 1 до N,
(2 \
- V? + С/(Л)Ьл<1); (55.19)
2т /
(М2 IW I л3л4) = f dr, dr2 ^,(1) ^12(2) Иф, 2) V-z3(l) ^Л4(2); (55.19’)
(1) и (2) означают всю совокупность одночастичных переменных (ср.
(53.8)-(53.10)).
Таким образом, если состояние полностью антисимметризовано,
то усреднение энергии автоматически дает как прямой, так и обменный
вклады. Для определения состояний требуется, чтобы энергия
(55.18) принимала наименьшее возможное значение. Найдя функции
460
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ip Л, минимизирующие функционал (55.18), т. е. решив cootbctctbv
щую вариационную задачу, мы определим наилучшее приближение
истинной волновой фунукции Ч* на классе детерминантов Слэтера Тем
самым определится наилучший выбор самосогласованного поля
Чтобы вывести уравнения для функций 1р2, будем варьировать
(55.18), считая ip2 и 1р*> независимыми. Вариация матричных элементов
по 1р\ дает
д (w | h | X ) = f dr} dv4(l) й(0 V>(1) <5^1 (55.20)
<5 | W | w') = f dtl Jr2 dV»I(l) <5л^Д2) ^(1, 2) ^v(l) ipv(2) +
+ J Jri Jr2 V^(l) <tyl(2) <5 v 2) ipv(l) ipv{2) = (55.20')
= f dT} dV»l(l) [Wjr/l) V'v(l) + и>(1) ^,/(1) <5^];
*>(1) = f dr2 V^(2) FK(1, 2) Vv(2). (55.21)
Поскольку результирующее самосогласованное поле будет для разных
одночастичных состояний Л разным, функции ip л не являются автома-
тически ортогональными. Поэтому минимум (55.18) следует искать
при добавочном условии ортогональности
(Л|Л')= f drxp\ ^ = <5лг- (55.22)
Введем для этого ?V(N + 1)/2 множителей Лагранжа Елх = £ЛХ и будем
решать вариационную задачу
д
Е-^Елл' <А |Л' >
лх
= о,
(55.23)
после чего определим параметры Е^ из 7V(N + 1 )/2 условий ортогональ-
ности (55.22).
Подставляя (55.18) в (55.23) и выполняя варьирование по ip л сог-
ласно (55.20), (55.20'), получим
Jr] д ip\(l)
ОД ^0) + 2 W) ^л(1) "
X
- w/l) V'z(l)] - ^ем V'XDf = °-
х
Поскольку вариации dip\ произвольны, отсюда находим искомые урав-
нения Хартри - Фока
Л(1) ^Л(1) + 2 {WI) V'A(l) - >W1) V4(l) - £ЛЛ’ Ш»} = °- (55-24)
X
Лекция 55. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
461
Йз-за присутствия обменных эффектов (второй член в фигурных скоб-
ках) фактически мы имеем систему связанных уравнений для функций
Если пренебречь обменными членами и неортогональностью гр^
(опустить в (55.24) недиагональные по Л члены угд-д и Ем с Я Л'), то
получим
{- V? + <7Л(1)} ^А(1) = (55.25)
I 2т J
т. е. обычное уравнение Шредингера с энергией Ем и самосогласован-
ным полем
&(!) = 5>л-Х1) + <Д1)- (55.25’)
X х Л
Из (55.21) и (55.25’) видно, что поле есть просто среднее значение
энергии прямого взаимодействия частицы в состоянии Л со всеми ос-
тальными частицами и с внешним полем. Поэтому (55.25) совпадает
с уравнением Хартри (55.13). Нетрудно показать, что уравнение Харт-
ри дает минимум энергии Е на классе функций Ф, являющихся несим-
метризованным произведением одночастичных функций 1рм
Конечно, реальное решение уравнений самосогласованного поля
возможно только численно посредством последовательных приближе-
ний. Такие расчеты для многих систем (атомы, ядра, кристаллы) дают
результаты, согласующиеся с экспериментом. Считая это решение ну-
левым приближением, можно уточнять результаты, учитывая непо-
средственные корреляции между состояниями отдельных частиц (в ме-
тоде самосогласованного поля учтено только усредненное взаимо-
действие частицы со всеми остальными, которое не чувствительно
к изменению движения малого числа частиц).
Уравнения Хартри - Фока (55.24) решаются в общем виде для
пространственно однородной системы частиц в большом объеме V.
Выше мы рассматривали состояния такой системы фермионов в от-
сутствие взаимодействия. Пусть внешнего поля нет (кроме стенок со-
суда), а взаимодействие 1К(1, 2) зависит лишь от относительного рас-
стояния между частицами, 1Е(1, 2) = 1К(г) — /^). Тогда проекция о спина
каждой частицы является интегралом движения, а матричные элемен-
ты (55.21) диагональны по о. Поэтому член прямого взаимодейст-
вия в (55.24) содержит суммирование по частицам Л' с обеими проек-
циями ст = ±1/2, а обменный член — только по частицам Л' с той же
проекцией а, что и у частицы Л.
Нетрудно доказать, что в этом случае решениями (55.24) по-преж-
нему являются плоские волны (55.5), и найти их энергии. Предполо-
жим, что (55.5) удовлетворяют уравнению (55.24). Волны с разными
462
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(Л) = Р, О ортогональны, поэтому МОЖНО ПОЛОЖИТЬ Etf = Е^ё}!
(55.24) принимает вид (суммы по занятым состояниям!) !
V2 _ у"'
” Ь? + Л Wx^ ~
_ * (55.26)
- Z ™A'Xr) -Уг) = S:).
Л
Подставляя (55.5) в (55.21), найдем (прд — числа заполнения, равные
2 ггАЛ<г) = 2 Пр.о. f df , s'z) W(r - г' ) Vp-atr', s’) =
Z pa' s*
= 2 llP’o f dr' 4; e" * 'W - f) ей p'r\Xo., Xa.) =
p'cr' v’ Vr
= м 2 npo- f dr' W(f - r);
’ p'a'
S^'A(r) = j ^nlYo. f dr' 4 ~ p VW(r - r') doa.,
Я' V pa'
или, вводя фурье-компоненты потенциала ^V(r)
= f df e“ л (55.27)
получим
2 >W'7) = 7 S = И u (55.28)
Л v p'o'
2 ^л-л(г) ip^F) = J npo- f dr e~fi{p~p)(r~r}x
л' p (55.29)
X - r-) ei
Собирая (55.5), (55.28) и (55.29) в (55.26), получим, что все члены
- рг
уравнения содержат одинаковую зависимость от координат ел , т- е-
(55.5) является решением. Сокращая на эту компоненту, найдем энер-
гии
е> = i + >У«" “ г 2 - -> (553<”
р'
Лекция 55 МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
463
; д=о
I
I
О "=££ %
а
Рис. 55.3
Второй член в правой части (55.30) отвечает виртуальному рассеянию
частицы р, о на ферми-сфере с полной плотностью п (рис. 55.3 а),
в котором частица передает импульс q = 0. Третий член описывает
виртуальный обменный процесс (рис. 55.3 б), когда частица р, о пере-
дает импульс q = р — р частице фона, имевшей квантовые числа
р, о' = о. и меняется с ней ролями.
Поскольку функции остались такими же (55.5), как в идеальном
газе, приближение Хартри - Фока здесь фактически эквивалентно пер-
вому порядку теории возмущений, но дает больше, чем теория возму-
щений, в системах конечных размеров (атом, ядро).
Для расчетов процессов в электронном газе метод Хартри - Фока
следует применять с осторожностью. Из-за дальнодействующего от-
талкивания такой газ был бы неустойчивым, но реальные кулоновские
системы обычно нейтральны (например, в металле — за счет положи-
тельных ионов решетки). Если нас не интересуют эффекты, связанные
с кристаллической структурой, можно заменить решетку равномерно
„размазанным" компенсирующим фоном положительного заряда. Тогда
рассеяние электрона на этом фоне добавляет в (55.30) член, в точности
уничтожающий эффект от рассеяния на электронной сфере Ферми
(Иол), так что в этом случае
2
= ~ ~ 7 2 nP<’wP - г
р * р
р2
2т
4ле2й2
\Р~Р I2
(55.31)
(подставлена фурье-компонепта (55.27) кулоновского взаимодействия
= 4яе2й2/72).
Легко вычислить обменную энергию кулоновского газа (при нали-
чии нейтрализующего фона противоположного заряда) и энергию час-
тицы
Г- _ 1 V 4ле2Л2 _ A, _3_ e2PF
^обм ~ д Пропр’о ~ , (55.32)
2V (/> - Р I2 ' ' 4л л
£ро ~ ,
2т
2 2
1 + In
лЛ 2ppF
(55.32’)
Р + PF
Р ~ PF
464
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Следует, однако, отметить, что из-за дальнодействия здесь приближ
пне Хартри - Фока не вполне удовлетворительно, так как следующи~
поправки к энергии основного состояния не могут быть вычислены 6
теории возмущений (формальное ее применение ведет к расходимос
тям, а результат, полученный более сложными методами, имеет
функция взаимодепствия неаналитическии характер).
До сих пор мы говорили об основном состоянии ферми-системы
Поскольку система здесь построена из независимых частиц, простей
шпе возбуждения состоят в переносе частиц в более высокие состоя-
ния. При этом в ферми-заполненин создается соответствующая дырка
Например, обменный процесс, показанный на рис. 55.3 б, можно ин-
терпретировать как виртуальное рождение внешней частицей р, о час-
тицы р, о и дырки в состоянии /Г, о. После этого первичная частица
имеющая после образования пары импульс р', заполняет дырочное со-
стояние (аннигилирует с дыркой, как в теории Дирака), а вторичная
частица распространяется дальше.
На самом деле независимые частицы, из которых построена сис-
тема в методе самосогласованного поля, отличаются от исходных за-
травочных частиц. Их свойства (закон дисперсии, т. е. зависимость
(55.30) энергии от импульса, реакция на внешние поля и т. д.) могхт
сильно измениться. Можно показать, что парамагнитная спиновая вос-
приимчивость кулоновского газа равна
Х' 1 + (2 / 3) Еобм / (.Vf/. ) ’
(55.33)
где х? — восприимчивость (55.11) идеального газа, а £обм дается фор-
мулой (55.32). Поскольку £обм < 0, то выгодно ориентировать спины в
одну сторону (ведь энергия Еосп1 как раз обусловлена корреляциями
электронов с параллельными спинами), поэтому естественно, что
Xs > Xs- Отношение растет с уменьшением плотности
(~ /Y* ~ ч 1/3). так что выигрыш обменной энергии может превзойти
проигрыш кинетической, и выгодно будет выстроить спины всех час-
тиц в одну сторону — система станет ферромагнитной. Фактически
этому препятствуют неучтенные в приближении Хартри - Фока корре-
ляции частиц с антипараллельными спинами.
Поскольку частицы в самосогласованном поле представляют сооои
уже новый физический объект, их можно назвать кеазичасншца-М •
Можно проверить, что в приближении самосогласованного поля энер
гия квазнчастицы дается вариационной производной полноп энергии
системы по соответствующим числам заполнения
Лекция 55 МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
465
Ера = (55.34)
опра
(изменение Е при добавлении квазичастицы сг).
Таким образом, добавляя в систему частицу и учитывая изменение
ее свойств от взаимодействия, мы получаем состояние с одной квази-
частицей (конечно, ее импульс р > рр). Точно так же можно получить
состояние с квазидыркой (р < рр). Совокупность состояний, характери-
зующихся такими же квантовыми числами р, о, что и свободные фер-
мионы, но имеющих, вообще говоря, новый закон дисперсии (55.34),
образует фермиевскую ветвь спектра возбуждений системы.
Однако ферми-система со взаимодействием может обладать и воз-
буждениями иного характера. Мы уже видели, что в такой системе есть
возбужденные состояния типа частица — дырка. Ясно, что эти состоя-
ния имеют спин, равный спину основного состояния или отличающий-
ся от него на единицу. Поэтому такое возбуждение имеет целочислен-
ный спин. Ему можно сопоставить своеобразную „квазичастицу“, кото-
рая по своим квантовым числам является бозоном. В отсутствие взаи-
модействия такое возбуждение состоит из независимых частицы и
дырки и фактически есть просто двойное фермиевское возбуждение.
Иная ситуация возникает, если учесть взаимодействие между ква-
зичастицами. Если (как в электронном газе) исходные частицы испы-
тывали взаимное отталкивание, то частица и дырка должны притяги-
ваться. Поэтому при достаточно сильном взаимодействии возможно
возникновение связанных состояний. Это состояние можно описать
импульсом Р = tik движения пары как целого и относительной коор-
динатой f частицы и дырки. Поскольку связанное состояние отвечает
локализации по г, оно представляет собой пакет по относительному
импульсу р.
Обычное парное возбуждение частица — дырка имеет волновую
функцию
Ф (Р-> £) = (^част (Р + ЙА) ^дырк(Р) (55.35)
(из состояния р частица перенесена в р + tik, т. е. импульс системы
увеличился на Р = р + tik — р = ЙА). Энергия возбуждения этого со-
стояния (по сравнению с основным — заполненной сферой Ферми)
h ° f, (р+ й*)2 р2 п , Я2
Й в) (р, к) -------------- — рк Ч-----к~. (55.36)
1т т т 2>п
•Легко найти область возможных значений энергии парных возбужде-
ний (55 36) в зависимости от полного импульса ЙА пары. Поскольку
Должно быть | р | < рр, | р + йА | > pF, то область разрешенных зиа-
466
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рис. 555
чений р дается разностью объемов двух сфер радиуса pF, одна из кото-
рых смещена на —hie относительно другой (рис. 55.4). Отсюда находим
(рис. 55.5) возможные значения со (континуум парных возбуждений)
0 - м2
О < со (р, к) < kuF + , hk < 2pF,
2т (55.37)
hk2 ° - hk2
kvF S (D (p, k) < - + kvF, hk -i 2pF,
2m 2m
где vF = pF/m — скорость частиц на границе Ферми.
Связанное состояние частица — дырка, если оно существует,
должно быть суперпозицией пар (55.35) с разными значениями относи-
тельного импульса р:
Ф(*) = 2 Г ^(Л)Ф°(р, к) ]. (55.38)
Р
Коэффициенты Ср(к) и энергия hco (к) суперпозиции (55.38) определя-
ются из решения уравнения Шредингера для взаимодействующих час-
тиц и дырки (по-прежнему в силу принципа Паули р < PF,
| р + hk | > pF). Здесь мы имеем уже не континуум состояний с раз-
ными р, к, а определенную (бозевскую) ветвь спектра возбуждении
с импульсом hk (коллективные возбуждения). Реально она проявляется
в виде некоторой волны, бегущей по системе со скоростью V — -
В системе нейтральных частиц с короткодействующим отталкива-
нием длинноволновые (hk « pF) коллективные возбуждения имеют
звуковой закон дисперсии щ (А) = sok. Следует, однако, иметь в виду,
что этот „нулевой" звук отличается от обычного гидродинамического.
Обычный звук может распространяться, только если столкновения
Лекция 55. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
467
между частицами настолько часты, что успевают устанавливать ло-
кальное равновесие при распространении волны разрежения или сжа-
тия. Это означает, что такой звук является низкочастотным: должно
быть й>т «1, где г — время между столкновениями. В идеальном фер-
ми-газе при температуре Т = 0 столкновения вообще отсутствуют, так
как нет конечных состояний, разрешенных принципом Паули. Поэтому
при Т -» 0 поглощение обычного звука резко возрастает.
Напротив, для нулевого звука роль „возвращающей*1 силы, уста-
навливающей локальное равновесие, играет самосогласованное по-
де — усредненное воздействие всех остальных частиц, а столкновения
являются мешающим фактором (в этом смысле нулевой звук — высо-
кочастотный и распространяется при <ут »1). В пределе очень слабого
взаимодействия нулевой звук теряет коллективные свойства и пере-
ходит в движение отдельных частиц, т. е. его скорость s0 Up. Однако
всегда л0 > Vp, так как коллективная ветвь (пунктир на рис. 55.5) долж-
на лежать вне континуума парных возбуждений, иначе при распростра-
нении волны всегда нашлись бы частицы, движущиеся с той же ско-
ростью, что и волна, и находящиеся с ней в фазе. Тогда волна отдавала
бы энергию этим частицам, выводя их из сферы Ферми наружу (рож-
дая пары (55.36) частица — дырка), и быстро затухала (затухание Лан-
дау, или, что то же самое, обратный эффект Черенкова).
В системе заряженных частиц с кулоновским взаимодействием
локальное изменение плотности, как в звуковой волне, потребовало бы
нарушения электронейтральности. Чтобы здесь возбудить длинновол-
новое (к -» 0) колебание, сразу нужна не малая (а) -* 0), а конечная
энергия. Поэтому спектр таких плазменных колебаний начинается со
щели
щ (к -> 0) = а)0 = (55.39)
V т
Подчеркнем еще раз, что кванты таких коллективных возбуждений
ферми-частиц (фононы нулевого звука или плазмоны в электронной
жидкости) дают бозевскую ветвь спектра возбуждений, которая не
затухает, если не попадает внутрь континуума. Для коротких воли
(X ~ hlрр, т. е. порядка межчастичного расстояния) начинается силь-
ное затухание.
Если ферми-система состоит из достаточно большого числа час-
тиц, то обычно основная их часть находится в состоянии с высокими
квантовыми числами, т. е. может описываться квазиклассически.
В этом случае можно развить особую форму метода самосогласованно-
го поля — метод Томаса - Ферми. Рассмотрим, как можно с помощью
Данного метода получить информацию о свойствах сложных атомов.
При этом нас будет интересовать не детальная оболочечная структура,
468
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
а усредненные свойства, зависящие от средней плотности электронов
которая велика всюду, кроме крайней периферической области.
Если считать потенциал внутри атома плавной функцией коорди
нат, то можно разделить объем атома на ячейки, внутри которых эл
роны имеют определенный в квазиклассическом смысле импульс р (г)
(для простоты считаем атом сферически симметричным). Поэтому
можно сказать, что в каждой ячейке устанавливается локальное фер-
ми-распределение с границей Ферми
2
eF = С/(г) +
2т
(55.40)
здесь рр (г) — локальный импульс Ферми, связанный, как и в (55 7'),
с локальной плотностью
(55.41)
Ясно, что энергия Ферми £р не может зависеть от г, так как иначе
состояние не было бы стационарным: выгодным было бы перетекание
электронов в сторону минимума Ер.
Чтобы сделать задачу самосогласованной, учтем, что потенциал
£/(/•) складывается из полей ядра заряда Z и самих электронов, распре-
деленных с плотностью и(г). Поэтому С7(г) удовлетворяет уравнению
Пуассона
V2U = - = 4лге [Zed(f) + ре(г)]. (55.42)
где плотность заряда электронов ре{г) = — еп(г) и считается, что е > 0.
При г д, учитывая сферическую симметрию, имеем
V2(7(r) = 4 у Й у) W = - 4де2и(г) =
dr \ dr/ (55.42)
= - - ^)]3/2,
Зтгй
Приведем это уравнение к безразмерным переменным. Заметим, что
при г -» 0 основную роль играет поле ядра, т. е. [/(г) -» — 7£2!г. Введем
поэтому новую неизвестную функцию %, положив
- t/(r) = ~ Z> z------7^-» (55.43)
Г
тогда (55.42’) примет вид
7T\d(2d\^ 2Ё2 d2X 4е2(2т)3 2 (Ze2 V 2
Ze“ — — rz — ~ =---------у = ------Ч--I X)
r2 dr \ dr! r r dP ЗлТг \ r /
Лекция 55. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
469
d2%
dr2
4 23/2
Зл
М3'2 ?'2 = Г 27'3 Т'2. -V7 ?'2
\ Й2 / Vr/Z |_(ЗлО2/3 J ° ylr / Z
Если теперь ввести безразмерную координату х,
г = a^Z 1/3
27/3
(З^73
-1
х ~ O,885aoZ~1/3x = baQZ~}/3x,
(55.44)
то получим универсальное уравнение Томаса — Ферми
dx2 -Jx
(55.45)
(55.46)
Для решения (55.45) нужно кроме (55.43) задать еще одно гранич-
ное условие. Если существует „поверхность14 атома г = гд, то на ней
»0'о) = 0 и, следовательно, %(го) = 0, т. е. [/(го) = Ef- При г -» гц поле
должно переходить в кулоновское поле заряда Z — N (N — число
электронов)
dU _ (Z — N) е2 х =_ Z-N
д' г -* г0 г0 х -* х0 %
(это легко доказать, требуя, чтобы интеграл по объему сферы радиуса
го от плотности /?(/') давал N). Однако для нейтрального атома (Z = N)
на поверхности U = 0, т. е. всюду Ер = 0. (Все электроны, связанные в
атоме, имеют, конечно, е < 0, т. е. Е < Ер-) Поскольку из (55.45) и
(55.46) следует, что при конечных значениях х = хо в этой точке все
производные у(х) обращаются в нуль, то мы получаем единственное
подходящее решение (55.45) у = 0.
Поэтому нетривиальное решение, описывающее в модели Томаса -
Ферми нейтральный атом, возможно лишь при обращении радиуса го
в бесконечность: плотность асимптотически убывает при удалении от
ядра. В то же время радиус положительных ионов (Z > N) оказывается
конечным. При Z<Nнаклон (fyjdx на границе положителен, в то время
как решение внутренней задачи (г < го) заведомо даст отрицательный
наклон (плотность убывает, обращаясь в нуль на границе). Это
означает, что отрицательные ионы в этой модели нестабильны.
Для всех нейтральных атомов уравнение (55.45) и граничное усло-
вие (55.46) универсальны. Значит, распределения электронов в них по-
добны и получаются одно из другого масштабным преобразованием.
Из (55.44) следует, что масштаб длины имеет порядок а02“1/3, т. е. „ра-
диус атома“ (размер объема, включающего большую часть заряда) про-
порционален Z~1/3 (уменьшается с ростом заряда ядра). В то же время
внутренние электроны атома находятся в основном на расстоянии по-
470
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
рядка a^lZ, а самые внешние — на расстоянии ~ а^, так как для них эЛ
фективный заряд атомного остатка близок к единице. Легко оценить
среднюю скорость электронов нейтрального атома и энергию полной
ионизации
V ~ t Ет ~ Z7/3. (55.47)
Хотя по порядку величины метод Томаса - Ферми дает разумные
результаты для усредненного поведения электронной плотности и мо-
жет быть улучшен учетом обменных и релятивистских эффектов, об-
ласть его применимости ограничена. Здесь не находит своего отраже-
ния оболочечная структура атома, вместо которой используется модель
„капли" с плавно меняющейся по объему плотностью заряда. Поэтому
описание индивидуальных электронных состояний здесь невозможно.
Лучше всего работает эта модель для инертных атомов с полностью
заполненными оболочками; для периферических состояний валентных
электронов она непригодна. Аналогичная полуклассическая модель
„жидкой капли" описывает макроскопические свойства сложных ядер;
как и в случае атома, она должна быть дополнена учетом оболочечной
структуры.
Применим модель Томаса — Ферми к системе электронов в боль-
шом объеме V (при наличии компенсирующего фона положительного
заряда). В равновесии такая система является пространственно одно-
родной,
Z \ (2л;)3/2 13/7
(55.48)
Внесем внешний точечный заряд ео и поместим его в начале координат.
В зависимости от знака ео вблизи него создается избыток или недос-
таток электронов. Новое (пространственно неоднородное) распределе-
ние электронов будет именно таким, чтобы результирующее электри-
ческое поле удовлетворяло уравнению согласования (55.42')
V2$P = — 4де [и(г) — и] =---------—— {[Е/г — е/>(г)]3/2 - Е3/2}- (55.49)
ЗлД
Считая возмущение от внешнего заряда малым, найдем из (55.49) и
(55.48) выражение
2^(2т)3'2 I---
v ” “ (55.50)
2
2е2(2т)3/2 9 ч1/ч Дтгле2 3/и2 о ^0
= ----,' — (Злг-и)17 V =----------=3JP’
лУ 2т т рр Up
Лекция 55. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
471
где введены плазменная частота (55.39) и скорость на границе Ферми
Vf =
Решение уравнения (55.50), переходящее вблизи т — 0 в кулонов-
ский потенциал ео/r заряда ео, имеет вид
у?(г) = Q е-^, х = , (55.51)
Г Vp
т. е. статический заряд в электронном газе экранируется. Радиус экра-
нирования (дебаевский радиус) равен
(55.52)
1 Vp
rD — ~ к
х V3<uo
Очевидно, го — характерное расстояние, на которое в среднем сме-
щаются заряды среды, чтобы уравновесить внешний заряд, и тогда сре-
да в целом остается в равновесии (поляризационная длина). Как видно
из (55.52), на эту длину распространяется возмущение в электронном
газе за время порядка периода плазменных колебаний.
Литература: [1; 5, гл. 2; 7, гл. 5—7; 11, гл.'2; 23; 24; 32в, § 69, 70;
36, гл. 1; 39; 43].
Приложение А. О КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМУЛАХ СВЯЗИ
В лекции 7 была поставлена задача о сшивке квазиклассических
решений одномерного уравнений Шредингера, найденных по разные
стороны точки поворота. Решение задачи в случае изолированной точ-
ки поворота дается формулами (7.32), (7.33) и может быть получено с
помощью продолжения точного решения, найденного вблизи точки по-
ворота (задача 7-1). Здесь мы наметим более общий подход, допус-
кающий распространение на задачи с несколькими особыми точками.
Идея состоит в аналитическом продолжении найденного в одной об-
ласти решения через комплексную плоскость, минуя опасное место,
где нельзя использовать квазиклассическое приближение.
Рассмотрим уравнение Шредингера
гр" + w(z) гр = О, (А.1)
где z — комплексная переменная, а функция w(z) аналитически продол-
жает с вещественной оси
г<(х) = к2(х) = ^[Е- U(x)] (А.2)
tr
Пусть точка поворота расположена в начале координат z = 0, w(0) = О,
вдали от нее потенциал U таков, что справедливо квазиклассическое
приближение, так что два линейно независимых решения имеют вид
(7.5), (7.22):
(О, z) = и 1/4
ехр I J
\ о
(А.З)
(z, 0) = и 1/4 ехр
(1 + 0(h)),
где введены для удобства специальные обозначения решений.
Если точка поворота является изолированной, то в ее окрестности
функцию »(z) обычно можно разложить в степенной ряд, начинающий^
ся с линейного члена: J7(z) ~ cz. Будем считать вещественную коне
Приложение А. О КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМУЛАХ СВЯЗИ
473
с положительной (это отвечает случаю на рис. 7.3). В (7.29) было
доказано, что такое разложение zz(z) захватывает и область примени-
мости квазиклассического приближения (параметр !/(£/?) «1). В этой
окрестности решения (А.З) принимают вид
(О, z) ~ z-,/4 exp(zcz3/2); (z, 0) ~ z_,/4 ехр(—zcz3/2); ,. ...
(A.4J
с = (2 / 3) VF.
Точка z = 0 является точкой ветвления, и для выделения одно-
значной ветви нужно провести от этой точки линию разреза. Однако
истинное решение уравнения Шредингера (А.1) не имеет особенности
при z = 0, т. е. является однозначной аналитической функцией; особен-
ность появилась лишь в квазиклассическом представлении решения,
несправедливом в самой точке z = 0. Отсюда легко получить правило
перехода через разрез: поскольку аналитическая функция не должна
претерпевать скачков, этот переход означает просто изменение аргу-
мента z на 2л.
Пусть линией разреза (рис. А-1) служит
луч, нижней границе которого отвечает значе-
ние arg z = <5, а верхней — arg z = <5 - 2л (по-
ложительным считается направление обхода во- х
круг z — 0 против часовой стрелки). Соответст- ( ,/ь
вующие выражения для волновой функции гр \У=0 J
пометим индексами „±“. Пусть на нижней гра-
нице решением является первая из функций Рис. А-1
(А.4):
z = | z |е,<5 (0, z)+ = | z |-1/4 ехр(—й5/4) exp(zc | z |3/2 е^372/"5). (А.5)
Согласно вышесказанному, находим отсюда решение на верхней гра-
нице
z = | z | ей ~ 2я' (0, z)_ =
= | z |_,/4 ехр (— i — + —] ехр [zc | z |3/2 е^3/2)'(д ~ 2л)] = (А.6)
= i | z |_|/4 ехр (—z —) ехр (— ic | z |3/2 е^3/2^,<5).
С Другой стороны, второе решение (А.4) на нижней границе имеет вид
0)+ = | z |-1/4 ехр (— z ехр (—ic | z |3/2 еС372)'5) = — z (0, z) . (А.6')
Таким образом, при переходе через разрез в положительном направ-
лении меняется форма записи решения:
16 Заки ЗОЮ
474 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(z, 0) - i (0, z) (А
и аналогично
(0, z) -> - i (z, 0). (А
При переходе в отрицательном направлении в формулах (А.7) следуе
заменить — i -> i. * т
Из (А.З) легко видеть, что комплексная плоскость z делится на
несколько секторов с различным поведением решений. Линии, на кото
рой фаза J Jii dz вещественна, характерны тем, что на них волновые
О
функции осциллируют, так что оба решения имеют одинаковый поря-
док величины (аналог области классически допустимого движения)
Эти линии назовем линиями уровня, или сопряженными линиями Сток-
Z
са. Линии, на которых фаза J Ju dz чисто мнима, назовем линиями
о
Стокса. Здесь одно из решений (А.З) экспоненциально растет, другое
убывает при удалении от z = 0 (аналог классически недоступной об-
ласти).
Пользуясь (А.4), находим уравнения линий уровня
Im z3/2 = 0 -» arg z — 0, ± —
и линий Стокса
Re z3/2 = 0 -» arg z = ± — , л
3
(А.8)
(А.9)
Таким образом, из точки поворота исходит 7 линий: три линии уровня
(А.8), три линии Стокса (А.9) и разрез, который можно провести произ-
вольно (см. рис. А-2, где линии уровня изображены сплошными линия-
ми, линии Стокса — штриховыми, разрез — волнистой линией, верх-
няя граница разреза совмещена с линией уровня /). При переходе через
линию уровня, на которой оба решения осциллируют, вид функции не
х , изменяется, но мнимая часть фазы меняет
' знак (переходя через нуль на самой линии
уровня), так что растущая функция стано-
__________________ вится убывающей и наоборот. На линиях
' Стокса вещественная часть фазы исчезает
уХ—4 и различие между решениями максималь
/X________________но. В то же время на разрезе меняется
з/ \з' лишь вид решения, но сохраняется ег
,, „ свойство быть растущим или убывают”
Рис А-2
Приложение А. О КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМУЛАХ СВЯЗИ
475
В области применимости квазиклассического приближения общее
решение уравнения Шредингера дается суперпозицией
гр = ДО, z) + B(z, 0).
(АЛО)
Как видно из (А.4), в нашем случае (с > 0) в секторе 1-2 решение (0, z)
убывает, a (z, 0) растет. Если при растущем решении коэффициент
g 0, на линии Стокса Г убывающее слагаемое А(0, z) нельзя удержи-
вать, оно экспоненциально мало по сравнению с поправками порядка Й
к растущему решению. Однако на линии уровня 2 оба решения опять
осциллируют. Значит, в окрестности 2 уже необходимо учитывать член
(О, z), но, поскольку невозможно проследить за ним на всем протяже-
нии сектора 7-2, мы, вообще говоря, не знаем, с каким коэффициентом
следует брать решение (0, z) на линии 2. В то же время слагаемое (z, 0)
доминирует во всем секторе и поэтому просто аналитически продолжа-
ется с 7 на 2 с той же амплитудой В. На самом деле коэффициент при
решении (0, z), действительно, будет другим после перехода с 7 на 2
(явление Стокса).
Чтобы продолжить решение с одной из линий уровня, обойдем
точку поворота в комплексной плоскости (см. рис. А-2), не выходя из
области применимости квазиклассики. Пусть известно решение на ли-
нии уровня Г.
гр = Д(0, z) + Bt(z, 0), (А. 11)
на линии 2 оно будет иметь вид
гр = Д(0, z) + B2(z, 0). (А. 11 ’)
В секторе 7-2 решение (z, 0) растет, т. е. непрерывно переходит на ли-
нию 2: В2 = Bi. Если бы растущее решение строго отсутствовало,
7?1 = 0, то тогда бы в решении (А.11) было лишь слагаемое A i(0, z) и мы
могли аналитически продолжать его с 7 на 2, т. е. было бы А2 - А ।. При
В\ * 0 это уже не так, поэтому
Д = А\ + оэВ|, (А. 12)
где введена неизвестная постоянная Стокса а. В секторе 2-3 растет
уже функция (0, z), поэтому мы приходим на линию 3 с решением
гр = Д(0, z) + B3(z, 0), А3 = А2, В3 = В2 + fiA2, (А.13)
где/} — новая константа. Наконец, совершенно аналогично на линии 4
гр = Д(0, z) + Вд(г, 0), Вд = В3, Ад = А3 + уВ3. (А.14)
Переводя теперь решение (А.14) с нижней границы разреза на верх-
нюю, получим согласно (А.7), (А.71)
гр = — гАд(г, 0) — zS4(0, z). (А. 15)
476
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Однако в силу аналитичности решения функция (А. 15), которую
получили на линии 1, после обхода должна совпадать с исходным М£Л
шением (А. 11). Так как решения (0, z) и (z, 0) линейно независимы
ходим 1,ь
в4 — ‘А, А - iB\, (А.16)
или, используя промежуточные результаты (А. 12)—(А. 14),
^10 + «Д) + &АХ = iAx, Ах(1 + у0) + Вх(а + у + ау/3) = iBx. (А.161)
Равенство (А.16') должно быть справедливо для любой начальной су-
перпозиции (А. 11), т. е. при произвольных Ах, Вх. Отсюда находим по-
стоянные Стокса
Рис. Л-3
а = /3 = у = i (А.17)
(из четырех уравнений (А. 16) только три являются независимыми).
При обходе в отрицательном направлении постоянные Стокса будут
равны — i.
Задача А-1. Доказать, что если точка z = 0 является //-кратным корнем функции
u(z), то все постоянные Стокса равны 2i cos(zr/(n + 2)); при этом точное решение урав-
нения Шредингера (А.1) вблизи z = 0 выражается через функции Бесселя J|/(n + 2).
Покажем, как, зная постоянные Стокса,
получить формулы связи, приведенные в лек-
ции 7. Пусть, например, точка поворота ле-
жит справа от барьера (рис. 7.2), причем в
классически недоступной области (х > 0) есть
лишь затухающая функция и требуется найти
решение в классической области (х < 0). Вид
картины линий уровня показан на рис. А-3.
Удобно выбрать начало отсчета фазы
функции и так, что arg и = 0 при х < 0. Тогда
положительной полуоси х > 0 отвечает
arg и — — л, и — | и | е~ст, | и | = — и, так как и > 0 при х < 0 и и < 0 при
х > 0. Имеем
при х > О
X ___
1Л
О
О
О
а при х < О
о
(А. 18')
о
Решения при х > 0 запишутся в виде
Приложение А. О КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМУЛАХ СВЯЗИ
IX I
ехр ± i J dx Vw = ехр (± Ф),
\ о /
(А.19)
т. е. (х, 0) ~ ехр
( х '
= ехр — i J dx у/й
\ о /
= ехр (—Ф) — убываю-
щее решение.
Итак, задано на линии 1' (х > 0) затухающее решение (х, 0). Это
означает, что во всем секторе 1-2 есть только убывающая функция (z, 0).
При переходе через линию уровня 2 решение становится возрастающим
и доходит до линии 3 с амплитудой, равной 1. Здесь же (в секторе 2-3)
набегает убывающее решение (0, z), т. е. по формуле (А. 12) в окрест-
ности линии 3 имеем решение (z, 0) + (0 + z)(0, z) = (z, 0) + 1(0, z) или на
вещественной оси (х < 0) решение ф = (х, 0) + i (0, х). Окончательно
имеем соответствие
(х, 0) + i (0, х) -• ф (х) -—-(х, 0)
I 1 I
точное решение
х < 0 _ „ х > 0
вблизи х = 0
(А.20)
или, пользуясь обозначениями (А. 18) и сделанным выбором фаз,
м~1/4е1Г ест/2м~1/4е 'Г о и | е l/4g Ф,
2и~,/4 cos(F — л / 4) «* | и |~1/4 е_ф.
(А.21)
Мы получили правило связи, совпадающее с (7.32).
Рассмотрим теперь более сложный случай двух точек поворота. Ес-
ли они достаточно близки, линейная аппроксимация w(z) нарушается
и мы не можем рассматривать эти точки по отдельности. Метод обхода
в комплексной плоскости годится и здесь, но обходить надо обе точки
сразу, все время находясь в области применимости квазиклассическогс
приближения.
Пусть, например, потенциал имеет
вид барьера, как на рис. 3.5. В этом слу-
чае схема линий уровня имеет вид, пока-
занный на рис. А-4 (каждая точка пово-
рота дает свое ответвление). Будем
Действовать, как и в случае одной точки
Поворота. Имеем общее решение при
х> b (линия Г)
478
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
гр = A\(b, x) + Bx(x, b) (A 22)
(обозначения решений — как в (А.З)). В секторе 1-2 решение (ft 2\
убывает, a (z, ft) растет, так что на линии 2 ' '
ф = A2(b, z) + B2(z, b), В2 = Bi, А2 = А}+ «,ВЬ (А.23)
где постоянная Стокса а^, конечно, не совпадает с найденной выше
(А. 17). При переходе с 2 на 3 мы не пересекаем линий Стокса, так что
решение по-прежнему дается формулой (А.23). Но здесь нам
удобнее отсчитывать фазу от точки а. Поэтому запишем
гр = (Л] + a[Bi)(b, z) + B\(z, b) =
= (/j + a[Bi) e6(a, z) + B^tz, a).
будет
(А.24)
где фазовый интеграл
о
ь I----------
fdx №[E-U(x)]
a
л2
(А.25)
ь
является вещественным положительным числом. Случай d » 1 отвеча-
ет обычной ситуации удаленных точек поворота, когда их можно обхо-
дить поодиночке (между ними уже применимо квазиклассическое при-
ближение). Рассматриваемый подход годится для произвольной вели-
чины д.
В секторе 3-4 затухающим является решение (z, а), так что на ли-
нии 4
гр = А4(а, z) + B4(z, а) = (А 26)
= (Jj + aiBi)e6(a, z) + [Bje-*5 + ft\e6(A\ + cq.Si)](z, a),
Pi — новая постоянная Стокса. Пересекая затем разрез в положитель-
ном направлении, получим, согласно (А.7),
гр = — iA4(z, а) — iB4(a, z).
Дальнейшее продолжение ясно без подробных пояснений:
гр = — i (А4 + a2B4)(z, а) — iB4(a, z) =
= — ie6(A4 + a2^4 )(z, — iB4e~\b, z);
(А.26')
линии
5, 6
линия
гр = — /ед(И4 + а2В4)(и, 6) —
— Z [e“^B4 + /?2е<5(А + «2^4 )](А z)i
(А.27)
линия
гр = — ед(Лд + й2^4)(^> *) ~
- [е-’Вд + &еб(Л + «2Я4)](х, Ь).
7
1
Приложение А. О КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМУЛАХ СВЯЗИ
479
Наконец, сравнение (А.27) и (А.21) дает
-Л, = еб(А + а2В4), - Bi = е6[Р2А + (а2Д2 + е-2<5)В4] • (А.28)
После простых преобразований найдем из (А.26) и (А.28) четыре
уравнения для постоянных Стокса аь а2, Д2:
1 + а2Д = - е-2<5; cq + а2(аф\ + е~2<5) = 0;
& + А(«2& ~е-2<5) = 0; (А.29)
«1£2 + («1^1 + е~2<5)(а2Д2 + е-2<5) = - е~2<5.
Из уравнений (А.29) лишь три являются независимыми, общее реше-
ние можно записать в виде
а\—а2 = а, = Д2 = Д, -«/?=! + е-2<5. (А.ЗО)
Для нахождения коэффициента прохождения через барьер вос-
пользуемся, как в лекции 7, общими свойствами матрицы перехода.
Задача А-2. Показать, что если х » b (см. рис. А-4), решение содержит волны,
распространяющиеся вправо и влево, с амплитудами соответственно Л] и 5], а при
х «а амплитуды равны А и В, то связь решений дается матрицей М
Л) pH (р q\(Ai
= Л/ =
В) \Bi) \г з] (В]
(А.31)
причем в силу инвариантности относительно отражения времени s — р , г - <? , а из
сохранения тока det М= 1, т. е.
М = (Pt |2 -\q |2 = 1. (А.32)
\Ч Р /
Решение. Легко показать (см. (А.26')), что в нашем случае роль коэффициентов А
и В играют —iB4 и — iA4, т. е.
И4/ 1 (Р = г * 1 W 4 ) * 1 р ) И
С другой стороны, из (А.26) и (А.ЗО) следует, что
[(Зе6 (Al
«еб) Ui. 1 »
откуда М = - аей) ,е<5( р 1
(А.ЗЗ)
(А.331)
(А.34)
Видно, что условие (А.ЗО) эквивалентно det М= 1, а а. и /3 должны быть связаны соот-
Чошением « = — /? или, с учетом (А.ЗО),
480
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
а = iez*,7>+ е~2д, /3 = + е~2д.
(А.35)
где <р — некоторая фаза, остающаяся неопределенной (можно потребовать, чтобь
случае д » 1 решение переходило в найденное ранее для изолированной особой т 8
где все постоянные Стокса равны i, поэтому <р (д -* °°) -» 0). И'
Пусть теперь на барьер падает волна слева. Тогда очевидно что
справа нет отраженной волны, В\ = 0. Зная матрицу связи М
находим коэффициент отражения
сразу
в 2 Я 2 1 1
л. — А Р |/?|2 l+e-2d 1+е26
и коэффициент прохождения
т 4 2 1 1 1
1 — А |р|2 |/Зе6|2 1 + е2д
(А.37)
Конечно, автоматически в силу (А.32) R + Т = 1. Формулы (А.36) и
(А.37) справедливы при любой ширине барьера. Для удаленных точек
поворота д » 1, и мы возвращаемся к результату (7.51), Т -» е~2<5.
Подробное исследование метода обхода в комплексной плоскости
и применение его ко многим задачам содержится в [51]; несколько дру-
гая формулировка, построенная целиком на использовании матриц свя-
зи, предлагается в [50].
Приложение Б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Закон, сопоставляющий одному вектору пространства некоторый
другой вектор, есть оператор, действующий в этом пространстве. Нас
будут интересовать обычно линейные операторы в пространстве со-
стояний квантовой системы, т. е. операторы Q, действие которых на
векторы Ф подчиняется условию
0(С]Ф1 + с2Ф2) = С1£?Ф1 + с2£Ф2, (Б. 1)
где сь с2 — произвольные комплексные числа.
Если вектор Ф удовлетворяет соотношению
£>Ф = <?Ф, (Б.2)
ще q — комплексное число, то он является собственным вектором
оператора Q, отвечающим собственному значению q. Вся совокупность
собственных значений оператора Q образует его спектр. Каждый собст-
венный вектор принадлежит одному собственному значению, но дан-
ному собственному значению может отвечать несколько линейно неза-
висимых собственных векторов, тогда это собственное значение вы-
рождено. Для линейного оператора все векторы, принадлежащие об-
щему собственному значению, образуют подпространство (любая их
линейная комбинация принадлежит этому пространству); размерность
подпространства называется кратностью (степенью) вырождения.
Пусть Ф j = | i) — полная ортонормированная система, т. е. набор
векторов, удовлетворяющих условиям (см. лекцию 10)
«|Лз(Ф„Ф>)=4«Л (Б.З)
2l-X'l = l (В-4)
i
Произвольный вектор Ф может быть разложен по этой полной системе:
Ф = S с(Фь (Б.5)
482
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
где коэффициенты разложения (коэффициенты Фурье) в силу (Б-ц
равны '
с‘ = <Ф-. (Б.5-)
Согласно свойству (Б.1), действие линейного оператора на Ф Пол
ностью определяется его действием на базисные векторы Ф,:
&¥ = S с-Сф-
Результат действия Q на базисный вектор снова может быть представ-
лен суперпозицией базисных векторов
= S Слф7- (Б.6)
J
(Б.7)
Соотношение (Б.6) можно интерпретировать двояким образом:
1) преобразование пространства „поворачивает" базис, повернутые ба-
зисные векторы раскладываются по старым; 2) каждому оператору Q
сопоставляется (в старом базисе) матрица Q с матричными элементами
Qji. Аналогично (Б.5')> из (Б.6) имеем
е77 = (ф7,еФ,) = 01С1^
В другом базисе данному оператору будет уже отвечать другая мат-
рица.
Произведение операторов S = QR — оператор, заключающийся в
последовательном действии сначала R, а затем S1; ему отвечает матрич-
ный элемент (/' I i). Из (Б.1), (Б.6) и (Б.7) получаем
Sj. = (QR)ji = (/• \QR | i) - {j \Q • ^RmJ n) = ^QjnRnl, (Б.8)
n n
It. e. произведению операторов соответствует обычное матричное умно-
жение матриц, отвечающих операторам-сомножителям. При этом необ-
ходимо строго следить за порядком сомножителей.
Операторные соотношения, в отличие от матричных, имеют уни-
версальный вид, не требующий конкретизации базиса (соотношения
между величинами, не зависящие от выбора системы координат).
Оператор R = назовем обратным по отношению к Q, если
RQ = 1 (единичный оператор, которому в любом базисе отвечает еди-
ничная матрица). Обратные операторы существуют лишь для несин-
гулярных операторов Q, т. е. для таких, детерминант матрицы которых
для конечномерных пространств) не обращается в нуль (этот детерми-
Приложение Б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 483
----- " “
яант инвариантен относительно перехода к другому базису). Если Q и
§ несингулярны, то
(0$)-’ = (Б.9)
Если нуль принадлежит спектру оператора Q, т. е. существует ненуле-
вой вектор Ф, для которого 0Ф = 0, то Q сингулярен.
Комплексно-сопряженным по отношению к оператору Q назовем
оператор Q*, для которого
(Q*)ij = Q^ (Б. Ю)
Для произведения операторов
Л л Л. Л j, л j,
(QR) = QR- (Б. 11)
Оператор Q1 является транспонированным по отношению к Q,
если
(2Т)У = Qji, (Б.12)
тогда
(lW = ЯТ£?Т- (Б. 13)
Наконец, назовем оператор R эрмитово сопряженным к Q, если
для любых векторов Ф, Ф'
(Q, Ф, Ф') = (Ф, ЯФ'). (Б. 14)
Такой оператор обозначим R = Q+. Очевидно, что R+ — (Q+)+ = Q.
Применяя равенство (Б. 14) к базисным векторам Ф,, Ф7 и пользуясь
(10.13), найдем
(Ф„ с+Ф,) = сеФ„ ф7) = (Ф7, ёФ,)*, (Б 15)
(ё+)<, = Qji-
Используя (Б. 10) и (Б.12), видим, что
q+ = (ёт)* = (ё*)т. (б.15’)
Из (Б.Ц) и (Б.13)
(QR)+ = R+Q+. (Б. 16)
Если оператор Q = Q+, т. е. совпадает со своим эрмитово сопря-
женным, назовем его эрмитовым (самосопряженным). Согласно (Б.15),
Матричные элементы эрмитова оператора удовлетворяют соотношению
464
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Qij ~ Qji> (Б. 17)
в частности, диагональные (f = j) матричные элементы вещественнь
Простым примером эрмитова оператора является Q + Q, где 0Пе
ратор Q произволен. Легко видеть, что для любого вектора ф
(Ф,с+ёФ)>о. (БЛ8)
Произведение двух эрмитовых операторов является эрмитовым опера-
тором только в том случае, если эти операторы коммутируют:
(QR)+ = R+Q+ = RQ* QR.
Однако всегда можно составить две эрмитовых комбинации: антиком-
мутатор QR + RQ и (с множителем /) коммутатор i (QR — RQ) =
= i [ Q, Я] •
Задача Б-1. Доказать, что все собственные значения эрмитова оператора вещест-
венны, а собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям
ортогональны. (См. лекцию 6.)
Будем решать задачу на собственные значения эрмитова оператора
Q в «-мерном пространстве
£Ф = «уф. (Б. 19)
Ищем собственный вектор Ф в виде линейной комбинации базисных
векторов
Ф = с/Ф.- (Б-20)
i
Отсюда
2с<(ф/> бФ») = = q Хс<(Ф/> Ф») = q
i I i i (Б.21)
Х(Сд _ о =0, 7 = 1,..., л.
i
Мы получили систему л линейных однородных алгебраических урав-
нений относительно коэффициентов с, искомой суперпозиции (Б.20)-
Система (Б.21) имеет ненулевое решение при условии
det|e7,. - | = 0, (Б-22)
что дает алгебраическое уравнение л-й степени (характеристическое
уравнение), корни которого суть л собственных значений q\, —, 'п
теореме задачи Б-1 они вещественны). Соответственно мы получаем
Приложение Б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
485
собственных векторов Фь...,Ф„. Векторы, отвечающие разным зна-
чениям qi, уже ортогональны. Векторы, принадлежащие одному и тому
же (вырожденному) собственному значению q, могут быть сделаны ор-
тогональными с помощью известного процесса ортогонализации. Кро-
ме того, все п собственных векторов можно нормировать на единицу.
Таким образом, мы получаем набор п ортонормированных векто-
ров в «-мерном пространстве, который можно выбрать за базис. В этом
(собственном) базисе матрица оператора Q диагональна и состоит из
его собственных значений qr Любой вектор можно разложить по векто-
рам базиса, т. е. собственные векторы эрмитова оператора образуют
полную ортонормированную систему.
С известными математическими предосторожностями рассмотрен-
ные свойства эрмитовых операторов переносятся на случай бесконеч-
номерных пространств, обоснованием чего мы не будем заниматься.
Отметим только, что в гильбертовом пространстве комплексных функ-
ций, квадратично интегрируемых в некоторой области, обычно прихо-
дится иметь дело с дифференциальными операторами типа (4.7),
свойства эрмитовости которых подразумевают, как в (4.28), класс функ-
ций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям. В пространст-
ве функций рассмотренный выше ((Б. 19)-(Б.22)), процесс приведения
эрмитова оператора к диагональному виду сводится к решению диффе-
ренциального (или эквивалентного интегрального) уравнения.
Оператор U называется унитарным, если
U + U = 1, т. е. О-1 = 0+, (Б.23)
или, в матричных элементах,
= bj- (Б.23‘)
/ /
в силу (Б.9) и (Б. 16) произведение унитарных операторов снова уни-
тарно. Если подвергнуть пространство унитарному преобразованию
Ф -> Ф' = ОФ,
то все скалярные произведения не изменятся:
(Ф', Ф’) = (ОФ, ОФ) = (Ф, О+ ОФ) = (Ф, Ф), (Б.24)
т- е. унитарное преобразование сохраняет углы и длины векторов.
Сделаем теперь произвольное линейное преобразование прост-
ранства
Ф -> Ф' = ГФ.
(Б.25)
486
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Пусть между непреобразованными векторами существует соотношение
Ф = £Ф.
Тогда
Ф' = f Ф = ?рф = тдт~1тФ = tqt~ ’ф',
т. е. после преобразования роль оператора Q играет
<2 = TQf-\ (Б.25.)
Найдем условия, при которых любой эрмитов оператор остается при
преобразовании Т эрмитовым. Пусть Q -— эрмитов оператор, тогда мы
хотим, чтобы Q+ = Q, т. е.
(f^f-l)+ = (f-1)+0+f+ = (f+)-‘2f+ = Tigf-1, (Б.26)
или, умножая обе части последнего равенства в (Б.26) слева на Г+ и
справа на Т,
QT+T = T+TQ. (Б.27)
Значит, оператор Т+Т должен коммутировать с произвольным эрмито-
вым оператором. Такой оператор может быть лишь оператором умно-
жения на число, которое можно положить равным единице: t+t = 1.
Итак, только при унитарных преобразованиях свойства эрмитовости
операторов сохраняются.
Любой унитарный оператор можно представить в виде
U = е*, (Б.28)
где S — эрмитов оператор. (Функцию от оператора следует понимать
в смысле соответствующего степенного ряда.) Из (Б.28) следует, что
унитарный оператор приводится к диагональному виду, причем его
собственные значения равны е'а, где о — вещественные собственные
значения оператора S.
Рассмотрим бесконечно малое (инфинитезимальное) унитарное
преобразование U. Это значит, что оно бесконечно мало отличается от
единичного, т. е. может быть представлено в виде
и = 1 + /А (Б-29)
где бесконечно малый оператор F эрмитов (он называется генератором
преобразования О). Действительно, обратный по отношению к (Б.2У^
оператор есть
= (Б-29)
Приложение Б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
487
так как с точностью до членов порядка А2 имеем (1 + jF)(1 — iF) =» 1.
Цо оператор U~} (Б.29') совпадает с 0+ (в силу эрмитовости F), значит,
условие унитарности (Б.23) выполняется^ Такой же результат можно
получить, если в (Б.28) принять оператор S равным бесконечно малому
оператору F и разложить экспоненту в ряд, оставляя лишь первые
члены.
Выразим изменение векторов Ф и операторов Q при бесконечно
малом преобразовании О. Имеем:
дФ = ОФ - Ф = z/Ф. (Б.30)
В силу (Б.25)
6Q = Q - Q = UQU-' - Q.
Подставляя операторы О, 0~х в виде (Б.29), (Б.29')> получаем
&Q = (1 + iF) Q(1 — iF) — Q ~ i (FQ ~ QF) = i IF, QJ. (Б.31)
Разделим векторное пространство на две части: подпространство
Л/ и его ортогональное дополнение М. Тогда любой вектор однозначно
представляется в виде суперпозиции
Ф = ФМ + Ф^, Фм= ^Ф;(Ф„Ф). (Б.32)
। е м
Определим проекционный оператор Ад/, проектирующий произволь-
ный вектор на подпространство М:
ЬМФ = ФМ, Ад/+ А^ = 1. (Б.ЗЗ)
Из (Б.32) и (Б.ЗЗ) очевидно, что проекционный оператор может быть
записан как
Ад/ = SlOGI. (Б.34)
i е м
если же М совпадает со всем пространством, то А д / = 1 (это не что
иное, как условие (Б.4) полноты базиса | i )).
Основное свойство проекционного оператора заключается в том,
что любая его степень равна ему самому:
(Ад/)" = Ад/ (Б.35)
(проекция вектора уже целиком лежит в подпространстве М). Отсюда
следует, что собственные значения Ад/ равны либо 1 (собственный
488 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
вектор — любой Ф м), либо 0 (собственный вектор — любой
Поэтому проекционные операторы сингулярны и не имеют обратных.
Задача Б-2. Доказать, что проекционные операторы линейны и эрмитовы.
Установить, при каких условиях произведение Ад/Адг, сумма Ад/ + A.N, разность
Ад/ - Лдг двух проекционных операторов Ад/, Ад/ сами являются проекционными
операторами и на какие множества они проектируют.
Доказательства и примеры приложения ряда высказанных здесь ут-
верждений можно найти в [37] (на уровне физической строгости).
Приложение В. О ПЛОСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛНАХ
Рассмотрим уравнение Шредингера для свободного движения час-
тицы с энергией Е = к2 к2/(2т). Разделение переменных в сферических
координатах дает для парциальных волн с орбитальным моментом I
(см. лекцию 8) уравнения
= ----- Ylm
(B.l)
d2w
dr2
к2 —
1(1 + 1)
r2
w = 0.
(B.2)
Два линейно независимых решения радиального уравнения (В.2) отли-
чаются поведением в начале координат. Для свободной частицы мы
должны отобрать регулярное решение w(0) = 0. Однако в задаче рас-
сеяния на центральном потенциале уравнение Шредингера имеет вид
(В.2) лишь в асимптотической области. Здесь нужна определенная ли-
нейная комбинация регулярного и сингулярного решений уравнения
(В.2), которая будет плавно сшита с регулярным решением истинного
уравнения Шредингера в области взаимодействия.
Введя безразмерную переменную р = кг, перепишем (В.2) в виде
d2v. .
Ф2
1 _ + 0
* 2
Р .
w - 0.
(В.21)
Мы видели (8.40), что при малых р регулярное f и сингулярное gi
решения (В.21) ведут себя как
fl ~ ClPl + !,
gl ~ Dip Р 0-
(В.З)
В асимптотике (р -»оо) оба решения представляются линейными
комбинациями расходящейся (е‘р) и сходящейся волн. Нормируем регу-
лярное решение так, чтобы асимптотически оно имело вид
fl ~ sin (р + Д/), р -> оо.
(В.4)
Это определяет выбор константы С/, фаза Д/ будет найдена ниже.
490 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Для исследования решений уравнения (В.2) удобен метод факто-
ризации. Легко проверить, что (В.2) можно записать в двух факторизо-
ванных формах
+ Q, + ^1 1 1 + 11 1 w — — W, р / (В.5)
(-f _ 1 d ,
\Ф Pi Введем набор функций — + \Ф — W = — W. р) (В.5')
^-1=4-+-//, / = 1,2,..., (в.6)
\ф р)
VA&fi — регулярное решение (В.2'), (В.5), (В.5') с асимптотиками (В.З),
(В.4). Используя (В.5'), получим
(i" Wi -1 = fe ~ fe+ _ fi- <в-7>
\Ф Р) \Ф р) \ф р)
Заменим здесь Z Z + 1:
( d
т--------”/ = -// + ! (В.7)
и подействуем на обе части (В.7') оператором — -I----:
\Ф р )
(d , I + А (d i + А fd , / + A f zoRx
— + ----- ----------w, = - — +--------- fi + , = - Wi (B.8)
\dp p j \dp p ) \dp p )
по определению (В.6). Сравнивая (B.8) с (В.5), видим, что функции wi
a fi удовлетворяют одному и тому же уравнению.
При малых р имеем из (В.6) и (В.З)
wl = [~Т + j fl + 1 ~ [~Т + —С1 + 1 Р1 + 1 ~ (В.9)
\Ф Р / \Ф Р / v
= (2/ + 3) С, + j р1 + «,
г. е. wi, как и fi, является регулярным решением. Поскольку регулярное
мешение единственно, w/ и fi пропорциональны; коэффициент пропор-
1иональности определяется из (В.З) и (В.9):
Приложение В. О ПЛОСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛНАХ
491
Wi = (2Z + 3) //. (В. 10)
С/
Мы получили рекуррентную формулу
f Id 1 + О □. тч С/ + 1 (d 1 + ‘1 f min
fi + 1 = “ --------vvz = - (2/ + 3) —— - — fi, (B.ll)
\dp p ) Ci \dp p )
позволяющую последовательно построить все f.
При I = 0 единственное регулярное при р = 0 решение (В.2) есть
Со sin р, согласно асимптотике (В.4) Со = 1, т. е.
/0 = sinp, = 0. (В. 12)
Далее согласно (В. 11) и (В. 12) имеем
/1 = - за
Со
cos р —
sin р
Р .
(В. 13)
в асимптотике (р -» °°)
г -> Ci ЗС1 . [ л
/1 -> 3 — cos р = — sin р - -
Со Со \
(В.13’)
т. е. из сравнения (В.13') с (В.4) С\ = (1/3)Со = 1/3,
/1 = ^-cosp, ^ = -~. (В.14)
Р Ъ
Легко получить общую формулу
С, = —1--------—
2/4-1 21 - 1
1 1
5 3
1 _ 2ZZ!
(21 + 1)!! (2/4- 1)1’
/?1 = -/|.(В.15)
Таким образом, регулярное решение (В.2) имеем асимптотики
fi~
(21 + 1)!
( 1л\
sin p--------,
\ 2/
p -> 0;
p -> co.
(B.16)
В противоположность регулярному решению, главный член ряда,
представляющего при малых р нерегулярное решение gi, не определяет
однозначно функцию gi, так как добавление к gi слагаемого вида af f,
где а — произвольная константа, не изменит главного члена при р -* 0,
492
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
но приведет к иной асимптотике при р -» оо Определим gi требовани-
ем, что на больших расстояниях
g, ~ cos (р - / . (В.17)
Здесь фаза при р -» °о выбрана так, что отвечает определенному значе-
нию а. Условиями (В.З) и (В. 17) функция gi фиксируется уже одно-
значно.
Легко видеть, что в силу уравнения (В.2') вронскиан
dp dp
не зависит от р, поэтому его можно вычислить в асимптотике:
W = cos2 \р — / — | + sin2 [р — —) = L
V 2/ V 2/
(В. 18)
(В-19)
Вычисляя W при р О, найдем амплитуду D/ (В.З):
W = 1 = (/ + 1) CitfDip4 - ClPl + l(-Z)p~z - 'D, = (21 + 1)£»ZCZ,
отсюда
Di =--------1-----
Cl (21 + 1)
(B.20)
Для gi справедливы такие же рекуррентные соотношения, что и для ft.
I d 1 + 1 | { d , l\ ZD on
~--------g/ = -g/ + b — + ~ gl = “ gi-\- (B-21)
\dp P ) \dp pj
Функции fi и gi выражаются через функции Бесселя:
fl(p) — Л + 1/2(P), gi(p) = (“ 1/ ^-(i + 1/2)(P) (В-22)
или через сферические функции Бесселя и Неймана
,,(₽)=«. = (В.23)
р р
Любая линейная комбинация f и gi удовлетворяет уравнению (В-2).
В частности,
Л/ = fl + igi, hi = ft- igi (B.24)
в асимптотике отвечают сходящейся и расходящейся сферическим
волнам
Приложение В. О ПЛОСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛНАХ
493
hi ~ ie-'tP-1*12), h* ~ iei^>-bl,2\ р * °о. (В.25)
Функции (В.1)
— У/т й , р = кг (В.26)
р \г/
образуют полный набор регулярных решений уравнения Шредингера
для свободной частицы с энергией Е. Поэтому любое регулярное реше-
ние может быть по ним разложено. Так, плоская волна
е'*' = 2 Clm(k) Ylm М Ш . (В.27'
/т Р
Для нахождения коэффициентов Cim разложения (В.27) выберем осг
так, что к = kz, eikr = eilc = e,/)COse (ось z квантования момента в сфе-
рических функциях Y/m совмещена с направлением к). Тогда лева}
часть (В.27) не зависит от <р, т. е. в разложение войдут лиш1
I21 + 1
Yio = J----- Р/ (cos 0), и оно будет иметь вид (cos 0 = ?])
V 4л
00
eW= —, (В.271
/ = о Р
или, из ортогональности полиномов Лежандра,
f dr] е^Р^Г]) = at .
(В.27
Соотношение (В.27") должно выполняться тождественно по р, поэтом;
сц можно найти, вычислив левую часть для какого-то р. Интегрируя п<
частям, находим
1 1
f dr] eMPity) = ~ S dr] + -1 [e'P - (-l/e"^] . (B.28
-1 P -1 ‘P
Второй член правой части (В.28) равен — / sin Ip — I ~ I , а первьи
p \ 2/
имеет порядок величины 1/p2 при больших р. Приравнивая (В.28
асимптотике (В. 16) правой части (В.27"), получаем
2 i‘ sin(p - /л/2) = - — a, Sin(P , ai = il(2l + 1),
p H 21+ \ p
94 ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ггкуда
— = А(В.29)
, Р 21 -1
Таким образом, искомое разложение плоской волны по сферичес-
ким координатам имеет вид
e/fc = = z-7(2Z + 1) Pfa]) , (В.ЗО)
/ = о Р
ши в произвольной системе координат
I 00 г
tikr = У /7(2/ + I) pz(cos кг) . (В.ЗО*)
7 = 0 Р
еорема сложения (8.33) позволяет переписать (В.ЗО') в виде (В.27),
[ричем С/т(Л) = 4mfY*,n(klk),
eiir = 4тг 2 i‘Yim (|) Ylm й . (В.ЗО")
/т 'г' кг
Возвращаясь к (В.28), (В.29), запишем асимптотическую форму
разложения (В.ЗО')
I е*? ------~ 2 (2/ + D /’/(cos £?)[е*> - (- l/e-*] =
2^/ = о (В.31)
v-i sin(p — 1л I 2)
= /, il(21 + 1) P/(cos kr)-----.
Однако полнота совокупности полиномов Лежандра дает выра-
жения
У (2/4-1) Р, (п, п') = 4лд (й - if), (В.32)
I
У (2Z + 1)(- 1)'Р, (п, it') = 4лд (й + й'), (В.321)
1
ре использовано, что Р/(х) = (— х). Отсюда
I?*’’* («^ ~ Иг) ~ (пк + «г)], (В.ЗЗ)
Приложение В. О ПЛОСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛНАХ
495
где iik и пг — единичные векторы по направлениям к и г соответствен-
но. Таким образом, в асимптотике плоская волна выглядит как супер-
позиция потоков — расходящегося от центра в направлении к и сходя-
щегося в направлении —к.
Пользуясь теоремой сложения (В.ЗО"), получим еще одну полез-
ную формулу. Имеем
f{kr)fi'(kr')
кг • кг’
J Joj е'*^ г ) = (4л)2 ^(“'У
1ml'т'
X f (|) г,„. (|) = (4^ £ X (В.34)
* \к/ \к/ кг • кг’
х Ylm й С (-) = 4л £ (2Z + 1) P/(cos YP)•
\г/ \г7 I кг • кг'
С другой стороны, простое вычисление дает
/ 7г- sin ttlr — f' I) „
dor е,кГ-') = 4л-------—-------- . (B.35)
* A I?-7 |
Сравнивая (В.34) и (B.35), находим
sln (t |f - y.l> = У (2/ + 1) PXcosi?). (B.36)
к | r — r' | t kr kr’
В частности, при | f | = 17 | = г имеем | г — 7 | = 2г sin , 0 = (гг'),
так что
= У (2Z + 1) pi(-cos б)> ? = sin ~ • (В-37)
gr I (hr 2
Докажем здесь же формулу (17.16) разложения произведения
К/т(й)Кгт’(й) по сферическим функциям Ylm(h). Произведение содер-
жит зависимость от <р в виде е'^т + тУР ~ eiMP, т. е. М = т + т\
присоединенный полином Лежандра Рцл не может иметь степень выше
(Z + /'). Поэтому ясно, что „векторы" Т,Г и L связаны условием треу-
гольника, а, значит, как всегда при сложении моментов (лекция 16),
искомая формула будет иметь вид
Ylm{n)Yrm{n)= ^YLC^LMin), (В.38)
LM
или, вследствие ортогональности (16.16), коэффициенты Клебша — Гор-
дана
496
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
YLYLM{n)=^C^.mYlm{n)Yrm{n).
тт'
(В.З 8')
Последнее равенство должно выполняться для всех л. Но при векторе
п, направленном вдоль полярной оси (в = 0), отлична от нуля лишь
функция У/о (движение вдоль оси не создает момента относительно
этой оси),
111 + 1
У/п,(0) = дп,0Г/о(0) = дт0 J—- P/(cos0 - 1) = дт0
V 4л
2/ + 1
—- (В.39)
4л
Отсюда
у£^Г+Т = с$0
(2/ + 1)(2Г + 1)
4л
(В.40)
Подставляя yL из (В.40) и (В.38) и переходя к Зу-символам (16.28), по-
лучим (17.16).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алеусъя М. Я. Атомный фотоэффект. М.: Наука, 1987. 272 с.
2. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981.
432 с.
3. Ахиезер А. И., Померанчук И Я. Некоторые вопросы теории ядра. М.-Л.: Гос-
техиздат, 1950. 416 с.
4. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады
в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971. 544 с.
5. Бенедетти С. де. Ядерные взаимодействия. М.: Агомиздат, 1968. 475 с.
6. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М„ Питаевский Л. П. Квантовая электродина-
мика//Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т. 4. М.: Наука, 1989. 723 с.
7. Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965. 333 с.
8. Бете Г., Моррисон Ф. Элементарная теория ядра. М.: Изд-во иностр, лит-ры,
1958 356 с.
9. Бете Г.. Солпитер П. Квантовая механика атомов с одним и двумя электро-
нами. М.: Физматгиз, 1960. 562 с.
10. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976. 664 с.
11. Бор А., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Т. 1. М.: Мир, 1971. 456 с.
12. Бор Н. Избранные научные труды. Т. 1. М.; Наука, 1970. 583 с.
13. Вигнер Е. Теория групп и ее приложения в квантовомеханической теории
атомных спектров. М.: Изд-во иностр, лит-ры, 1961. 443 с.
14. Газиорович С. Физика элементарных частиц. М.: Наука, 1969. 742 с.
15. Галицкий В. М., Коган В. И.. Карнаков Б. М. Задачи по квантовой механике.
М.: Наука, 1992. 379 с.
16 Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975. 416 с.
17. Гольдман И. И.. Кривченков В. Д. Сборник задач по квантовой механике. М.:
ГИТТЛ, 1957. 275 с.
18. Гольдхабер М.. Ватсон К. М. Теория столкновений. М.: Мир, 1967. 823 с.
19. Грин X. Матричная квантовая механика. М.: Мир, 1968. 163 с.
20. Гуревич И. И.. Тарасов Л. В. Физика нейтронов низких энергий. М.: Наука,
1965. 607 с.
21. Давыдов А. С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. 703 с.
22. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979. 480 с.
23. Жен П. де. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М.: Мир, 1968.
24 Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М. Мир, 1974. 472 с.
25. Заславский Г. М., Мейтлис. В П„ Филоненко Н Н Взаимодействие волн в
неоднородных средах. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982. 177 с.
26. Зелевинский В. Г. Дополнительные главы квантовой механики. Операторные
методы. Новосибирск: НГУ, 1983. 82 с.
27. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. М., 1956. Т. 1. — 591 с. Т. .
694 с.
498
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
28. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970. 428 с.
29. Клоуз Ф. Кварки и партоны. М.: Мир, 1982. 438 с.
30. Клышко Д. Н. Фотоны и нелинейная оптика. М.: Наука, 1980. 256 с.
31. Кондон Е„ Шортли Г. Теория атомных спектров. М.: Изд-во иностр, лит-ры,
1949. 440 с.
32. Ландау Л. Д„ Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. М.: Наука, а) Т. 1: Меха-
ника. 1988. 215 с. б) Т. 2: Теория поля. 1988. 509 с. в) Т. 3: Квантовая механика. 1989.
767 с. г) Т. 5: Статистическая физика. 1976. 584 с. д') Т. 8: Электродинамика сплошных
сред. 1992. 661 с.
33. Ландау Л. Д„ Смородинский Я. А. Лекции по теории атомного ядра. М.-Л.:
Гостехиздат, 1955. 140 с.
34. Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976. 926 с.
35. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. 1963.
36. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. Ч. 2 // Л. Д. Ландау,
Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т. 9. М.: Наука, 1978. 448 с.
37. Ли Цзун-Дао. Математические методы в физике. М.: Мир, 1965. 296 с.
38. Локк У. Ядерная физика частиц высоких энергий. М.: Изд-во иностр, лит-ры,
1962. 232 с.
39. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975. 335 с.
40. Мотт Н„ Месси Г. Теория атомных столкновений. М.: Мир, 1969. 756 с.
41. Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. М.: Наука,
1964. 367 с.
42. Okvhh Л. Б. Слабые взаимодействия элементарных частиц. М.: Физматгиз,
1963. 248 с.
43. Пайне Д., Нозьер Ф. Теория квантовых жидкостей. М.: Мир, 1967. 382 с.
44. Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий. М.: Мир, 1975. 416 с.
45. Ситенко А. И. Теория ядерных реакций. М.: Энсргоатомиздат, 1983. 352 с.
46. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.:
Мир, 1968. 382 с.
47. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6, 8-9. М.: Мир, 1978.
48. Ферми Э. Ядерная физика. М.: Изд-во иностр, лнт-ры, 1951. 344 с.
49. Ферми Э. Лекции о л-мезоиах и нуклонах. М.: Изд-во иностр, лит-ры, 1956.
109 с.
50. Фреман И, Фреман П. У. ВКБ-приблпжение. М.: Мнр, 1967. 168 с.
51. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов. М.: Мир, 1965 . 238 с.
52. Хриплович И. Б. Несохранение четноетн в атомных явлениях. М.: Наука, 1988.
286 с.
53. Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. М.: Наука, 1980. 727 с.
54. Шпольский Э. В. Атомная физика. М.: Наука, 1984. Т. 1 — 552 с. Т. 2 — 438 с.
Учебное издание
Зелевинский Владимир Григорьевич
ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Редактор Л. М. Берзина
Художник С. Л. Ярославцев
Технический редактор В. Н. Морошкин
Корректор Л. А. Федотова
Компьютерная верстка Т. В. Велигжанина
ЛР№ 000349 от 22.10.99
Гигиенический сертификат № 54.НЦ.02.953.П.134 11.01 от 20.11.2001
Подписано в печать 25.09.02. Формат 60 х 90/16. Бумага газетная. Гарнитура Таймс.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 31,2. Уч.-изд. л. 33,65. Тираж 2000 экз. Заказ № ЗОЮ.
Сибирское университетское издательство
630058, г. Новосибирск, ул. Русская, 39
ГИПП «Советская Сибирь»
630048, г. Новосибирск-48, ул. Немировича-Данченко, 104
ГДЕ ПРИОБРЕСТИ КНИГИ
СИБИРСКОГО УНИВЕРСИТЕТСКОГО ИЗДАТЕЛЬСТВА
<ДеЛи»* (нижные киоски <ДеПи» ст. м. «Красносельская» ст. м. «Сокол» ст. м. «Волгоградский пр-т» ул. Гаврикова, 7/9, оф. 26 Волоколамское шоссе, 11, МГУПП ул. Талалихина, 33, МГУПБ 264-99-47
Инфра-М» ст. м. «Петровско- Разумовская» Димитровское шоссе. 107, ВИСХОМ 485-71-77, 485-76-18
«Книготорг» ст. м. «Семеновская» ул. М. Семеновская, 16 964-42-00, 964-49-00
«Кнорус» ст. м. «Рижская» ул. Б. Переяславская, 46 280-02-07, 280-72-54
«ЦКНБ» ст. м. «Калужская» ул. Бутлерова, 17 330-00-78, 330-32-35
<ЦПЛ» ст. м. «Авиамоторная» ул. Авиамоторная. 50 273-06-33, 273-78-75
«Библиоглобус» ст. м. «Лубянка» ул. Мясницкая, 6 928-35-67, 924-46-80
Дом деловой книги» ст. м. «Пролетарская» ул. Марксистская, 6 270-52-17, 270-52-18
Дом технической книги» ст. м. «Ленинский пр-т» Ленинский пр., 40 137-68-88, 137-06-33
«Московский ДОМ книги» ст. м. «Арбатская» ул. Н. Арбат, 8 290-35-80, 290-45-07
НОВОСИБИРСК
Сибирское университетское издательство Академгородок ул. Арбузова, 1/1 32-52-32, 32-99-30
«Топ-книга» Академгородок ул. Арбузова, 1/1 36-10-28
«Академкнига № 1» ст. м. «Красный проспект» Красный пр., 51 21-15-60
«Академкнига № 2» Академгородок Морской пр., 22 30-09-22
«Книги на Ватутина» ст. м. «Пр. К. Маркса» ул. Ватутина, 19 46-50-52
«Книжная долина» Академгородок ул. Ильича, 6 39-99-89
«Книжная ярмарка» ст. м. «Гагаринская» подземный переход 90-81-21
«Книжный мир» ст. м. «Студенческая» пр. Маркса, 51 46-19-67
«Книжный пассаж» ст. м. «Пл. Ленина» ул. Ленина, 10а 29-50-30
Полужирным шрифтом выделены фирмы, ведущие оптовую торговлю
«Кругозор» Первомайский район ул. М. Ульяновой, 7 37-17-97
«Лига» ст. м. «Октябрьская» ул. Кирова, 80 66-28-07
«Мир книги» Дзержинский район пр. Дзержинского, 34 77-07-38
«Сибирский дом КНИГИ» ст. м. «Заельцовская» Красный пр., 153 26-62-39
Центр учебной литературы Ленинский район ул. Станиславского, 2/1 40-36-25
Центр учебной литературы 2 ст. м. «Гарина- Михайловского» ул. Красноярская, 34 20-13-18
ДРУГИЕ ГОРОДА РОССИИ
Барнаул «Книжный мир» пр. Социалистический, 117а 36-57-84, 38-18-72
Белгород «Книгомир» ул Чернышевского, 6 32-12-49
Бердск ТД «Мир» ул. Горького, 6 3-19-33, 3-19-22
Бийск «Книжный двор» ул. Васильева, 36 33-23-87
Екатеринбург «Мир книги» уп. 8 Марта 71-18-87
Златоуст «Фолиант» ул. 40 лет Победы, 11 33-466
Ижевск «Книжный мир» ул. Горького, 51 51-33-38
Иркутск «Книги» пр. Маркса, 17 25-82-75
«Книги на Чехова» ул. Чехова, 19 27-54-72
Кемерово «Книгомир» пр. Октябрьский, 53/2 35-08-76, 35-15-43
«КузбассКнига» ул. Ноградская, 5 25-36-15
Киров «Золотой век» ул. Ленина, 65 69-20-38
Краснодар «Книжный мир» ул. Будённого, 147 55-18-14
Красноярск «Книжный причал» пр. Красноярский рабочий, 53 34-56-25
«Книжный причал» ул. Николаева, 15 24-46-07
«Книжный причал» ул. Сурикова, 12 59-08-06, 27-53-89
Нижний Новгород «Книжный мир» ул. Ленина, 72 58-01-11
«Книжный мир на Варварке» ул. Варварская, 10/25 19-65-01, 19-80-89
«Книжный мир на Покровке» ул. Звездинка, 8/15; ул. Б. Покровская, 54 78-04-55
Новокузнецк «Планета» ул. Кирова, 94 78-82-79
Озёрск «Эрудит» ул. Набережная, 59 2-05-80
Омск «Книжный мир» пр. Мира, 28 69-33-04
«Книжный мир» уп. Масленникова, 2 30-47-92
Омск «Книжный мир» ул. Ленина. 17/19 24-32-54
Орел «Книгомир» пл. Поликарпова, 10
Пенза «Книгомир» ул. Московская 55-14-85
Пермь «Книгомир- ул. Сибирская, 25
«Мир книги» ул. Пенина, 47 12-46-44
Ростов-на-Дону «Империя книг» ул. Шеболдаева. 97/2 95-35-59
«Книгомир» пр. Будёновский, 7 62-40-78
«Мир книги» пр. Ворошиловский, 33 62-54-61
Самара «Мир книги» ул. Куйбышевская, 126а 32-98-14, 70-86-37
Санкт- Петербург «Грас» Железнодорожный пр., 40 327-92-20
««Санкт-Петербург- ский дом книги» Невский пр., 28 219-43-15
«Техническая книга» ул. Пушкинская, 2 325-35-89
Саратов -Книжный мир» пр. Кирова. 32 27-91-84
«Книгомир» уп. Аткарская, 66а 50-66-83
«Книгомир» ул. Московская, 66
Сочи «Книгомир» 60-91-59
Ставрополь «Книжный мир» ул. Мира, 337 35-47-90, 26-43-41
Сургут «Книгомир» ул. Республики, 74 24-23-71
Томск «Книги» ул. Смирнова, 36 72-51-01
«Книги» Иркутский тракт, 80/1 76-85-74
«Книги на Ушайке» Набережная р. Ушайки, 12 21-19-82, 22-22-33
«Книжный мир» ул. Ленина, 141 51-07-16, 51-07-17
«Книжный мир» ул. Нахимова, 15 42-53-89
«Книжный мир» ул. Пенина. 97а 54-13-32
Тюмень «Книгомир» ул. Тульская, 4 31-11-60
«Книжная столица» ул. Республики, 58 46-29-23
Улан-Удэ «Книжная планета» ул. Бабушкина, 15 33-09-08
Ульяновск «Книгомир» ул. Толстого, 38 41-29-47
Челябинск «Книжная поляна» пр Ленина, 62 33-02-72
«Книжная столица» ул. Молодогвардейцев, 53 42-46-11
«Книжная столица» ул. Свободы, 66 65-96-14
«Книжный на Гагарина» ул. Гагарина, 40 51-26-86
«Книжный экспресс» ул. Васенко, 2 33-82-76
«Мир книги» ул. Кирова, 90 33-19-58, 33-23-59
БЕЛАРУСЬ
Минск ИП «Чебаков С. В.» ул. Кольцова, 20-25 261-77-35, ф. 231-80-13
ИП «Юзвук Н. Н.» ул. 3. Бедули, 6-59 236-54-65. ф. 219-09-08
УКРАИНА
Киев ИКТФ «А.С.К.» «Cbit знань ИКТФ -А. С. К.» ул. Желябова, 2 ул. Желябова, 2 456-20-65, 441-77-70
Фирма «ИНКОС уп. маршала Рыбалко, 10/8 211-83-77
ИНТЕРНЕТ-МАГАЗИНЫ
www.biblio-globus.ru Москва — курьерская доставка, Россия — почтовая доставка
www.top-kniga.ru Доставка почтой по всему миру
КНИГА —ПОЧТОЙ
Сибирское университетское издательство 630058, г. Новосибирск, ул. Русская, 35, ВКИ НГУ, комн. 414; тел./факс 32-52-32, 32-99-30; e-mail: info_sup@mail.ru
«Топ-книга» 630117, г. Новосибирск, а/я 117
УЧЕБНАЯ, МЕТОДИЧЕСКАЯ, СПРАВОЧНАЯ,
НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ, ДЕЛОВАЯ
И ДРУГАЯ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ
ЛИТЕРАТУРА ПО ВСЕМ ОТРАСЛЯМ ЗНАНИЯ
► Студентам, аспирантам и педагогам высших учебных
заведений
► Педагогам и учащимся общеобразовательных школ,
гимназий и колледжей
► Руководителям и специалистам органов управления
образованием
► Руководителям и специалистам различных отраслей
хозяйства
► Научным работникам
► Широкому кругу читателей
НАШИ ИЗДАНИЯ СПРАШИВАЙТЕ
В МАГАЗИНАХ
«ТОП-КНИГИ»: