/
Text
основы
ТЕОРИИ
КОЛЕБАНИИ
Н. Н. МАЛОВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ
Пособие для учителей
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ», МОСКВА, 1971
530.1(07)
М 19
Малов Н. Н.
М 19 Основы теории колебаний. Пособие для учителей.
М.> «Просвещение», 1971.
198 с с илл.
В книге рассматриваются разнообразные колебательные явления
и методы их изучения. Основное внимание уделяется общности ко-
лебательных процессов различной физической природы.
6-5
87-71
530.1(07)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................. .................. 5
Глава первая. Собственные колебания линейных систем с одной
степенью свободы
§1.1. Кинематика гармонического движения..................... 7
§ 1.2. Способы графического представления гармонического движения 8
§1.3. Динамика и энергетика гармонического движения......... 12
§ 1.4. Простейшие пружинные маятники......................... 14
§ 1.5. Крутильные маятники ......................................... 19
§1.6. Физические маятники................................... 23
§1.7. Дополнительные примеры................................ 26
§1.8. Электромеханическое подобие и электрические колебания .... 36
§ 1.9. Затухающие собственные движения....................... 44
§ 1.10. Плоские и фазовые диаграммы и спектры затухающих движений 50
§ 1.11. Сложение одинаково направленных (скалярных) гармонических
движений............................................................ 55
§ 1.12. Сложение взаимно перпендикулярных (векторных) гармонических
движений............................................................ 62
§ 1.13. Гармонический анализ периодических движений (ряд Фурье) . . 66
§ 1.14. Гармонический анализ непериодических движений (интеграл
Фурье)................................................_............. 68
§ 1.15. О двух странных результатах, связанных с рассмотренным ма-
териалом ........................................................... 73
§ 1.16. Некоторые акустические приложения гармонического анализа 74
Глава вторая. Вынужденные движения линейных колебательных
систем с одной степенью свободы
§2.1 . Движение под действием внешней постоянной силы............... 77
§2.2 . Движение под действием внешней гармонической силы (вынуж-
денные колебания)................................................. 78
§2.3 . Некоторые особенности вынужденных колебаний............... 85
§ 2.4. Вынужденные колебания параллельного электрического контура 88
§2.5 . Вынужденные колебания систем, не имеющих собственной ча-
стоты ............................................................ 91
3
§ 2.6. Вынужденные колебания в механике.......................... 92
§ 2.7. Вынужденные колебания в акустике.......................... 99
§28 Вынужденные колебания в радиотехнике . . ................... 103
§2.9 . Вынужденные колебания электронов и распространение радиоволн 108
§2.10 . Колебания электронов в магнитном поле...................... ИЗ
§2. И. Влияние одиночного толчка на линейную систему........... 122
§ 2.12. Влияние периодических толчков на линейную систему....... 124
§ 2.13. Влияние беспорядочных толчков на линейную систему...... 128
§ 2.14. Параметрические колебания.............................. 129
§ 2.15. Усилители............................................... 137
Глава третья. Колебания в нелинейных системах
§3.1 . Понятие нелинейности системы............................ 140
§3.2 . Собственные колебания нелинейных систем....................... 141
§ 3.3. Вынужденные колебания нелинейных систем: выпрямитель и умно-
житель амплитуды 147
§3.4 . Вынужденные колебания: перемножение мгновенных значений
напряжений....................................................... 150
§ 3.5. Вынужденные колебания: модуляция . :................. . 151
§3.6 . Вынужденные колебания: смещение спектра (гетеродинирование);
спектроанализатор.......................................... 156
§3.7 . Вынужденные колебания: детектирование......................... 158
§3.8 . Электромеханические автоколебательные системы.................... 161
§3.9 . Механические автоколебательные системы........................ 163
§ 3.10. Электрические автоколебательные системы...................... 172
§3.11 . Разрывные автоколебания...................................... 177
Глава четвертая. Линейные системы с несколькими степенями
свободы
§4.1 . Свободные колебания системы с двумя степенями свободы . . . 179
§ 4.2. Успокоители механических колебаний ...................... 186
§4.3 . Электрические успокоители и разделители сигналов........... 190
§ 4.4. Колебания движущегося автомобиля......................... 191
§4.5 . Системы со многими степенями свободы....................... 195
Рекомендуемая литература....................................... . . 198
ПРЕДИСЛОВИЕ
Колебательные и волновые процессы весьма часто встречаются
в окружающей нас природе и технике. Значительная часть меха-
нических движений, движение периодически работающих машин,
почти все акустические явления, переменный ток, применяющийся
в быту и в разнообразных технических устройствах, радиотехника
и часть электроники, вся волновая оптика, волновые свойства
частиц — вот далеко не полный перечень явлений и технических
приложений, описываемых на языке колебательных и волновых
процессов.
К сожалению, в обычных вузовских и школьных курсах физики
эта общность широкого класса явлений и методов их исследования
не находит достаточного отражения. Прекрасная монография по-
койного проф. Г. С. Горелика «Колебания и волны» (изд. 2. АГ,
Физматгиз, 1959) в своей основной части посвящена изучению
волновых процессов—колебательные явления изложены в ней очень
кратко. Большое число специальных руководств по теории коле-
баний требует владения солидным математическим аппаратом или
же перегружено техническими вопросами.
Настоящее пособие написано для преподавателей физики, же-
лающих углубить и расширить знания, получаемые в обязательных
удобных курсах, и взглянуть " на колебательные явления с более
общей точки зрения.
Автор старался прежде всего выяснить физическую сущность
явлений и подчеркнуть общность математических методов, при-
меняемых для описания весьма различных по своей природе (или
кажущихся нам таковыми) физических процессов. Применяемый
в книге математический аппарат не выходит за рамки основных
тем из курсов аналитической геометрии' и математйческого~2нализа.
В книге сознательно не применялись более мощные (по и более
трудные) методы исследования движений? в частности уравнения
Лагранжа. Многолётниенаблюдения автора показывают, что слу-
шатели педагогических вузов недостаточно владеют этим методом
5
и, естественно, быстро его забывают. По той же причине не изла-
гаются метопы решения нелинейных уравнений, хотя нелинейные
явления освешены довольно подробно ~~ злоупотребление математи-
кой моглб~~отвл^чъ~чйтателя от физической стороны "дела. Важней-
шие результаты нелинейной теории формулируются и ее выводы
В обсуждаются,"но путь получения этих результатов не освещается.
Не желая увеличивать объем книги и отвлекать"внимание чита-
теля, автор сознательно ограничивался только чисто колебатель-
ными вопросами, опуская детали технической реализации рассматри-
ваемых идей. В книге приводятся лишь немногие простейшие
технические применения, необходимые для иллюстрации-описывае-
мых явлений и допускающие сравнительно простое объяснение.
Волновые процессы, хотя и имеющие колебательный характер,
обладают своими особенностями и требуют специальных методов
рассмотрения. Поэтому в данной книге они не изучаются, и лишь
изредка приходится ссылаться на общеизвестные явления для
пояснения отдельных мыслей.
Автор весьма признателен доцентам Ю. Н. Пашину и Ю. Л. Хо-
тунцеву, прочита^шимгрукописк' и обсудившим’ с автором ряд спор-
ных вопросов, а также кандидату педагогических наук А. Н. Коз-
ловой за получение и фотографирование многочисленных осцилло-
грамм и спектрограмм, помещенных в тексте и значительно
облегчающих его понимание.
Автор заранее благодарит всех читателей, которые пожелают
сообщить ему о недочетах, замеченных ими в книге.
Автор
Кафедра экспериментальной физики
Московского государственного педаго-
гического института имени В. И, Ле-
нина
Глава первая. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 1.1. КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Среди разнообразных периодических движений особое место
занимает гармоническое колебательное (или просто гармоническое)
движение; по определению, это есть движение, происходящее по
закону:
х = Хт cos (со/ + фо), (1.1)
где х — мгновенное смещение в момент времени /; Хт — ампли-
туда, т. е. наибольшее отклонение от положения равновесия
(х = 0); со — угловая частота (измеряется в радианах в секунду);
угловая частота связана с частотой f (гц) и периодом колебаний
Т (сек.) соотношениями:
' и = 2л/ = -у-.
Начальная фаза ср0 определяет смещение в момент t = 0. Если
начало отсчета времени произвольно, то удобно выбирать его так,
чтобы в момент t = 0 смещение было максимальным (<р0 = 0) или
нулевым (фо = — -у). Тогда выражение (1.1) принимает более
простой вид:
= Хт cos w /; х2 — Хт sin соЛ
Очевидно, синусоидальное движение также является гармони-
ческим и свойства косинусоидального и синусоидального движений
совершенно одинаковы.
Особое внимание, уделяемое в физике и технике гармоническому
движению, объясняется прежде всего тем, что существует громад-
ное число физических систем, совершающих гармоническое движе-
ние (с очень большой степенью точности). Кроме того, как будет
выяснено в § 1.13, периодическое негармоническое движение можно
свести к сумме гармонических движений, причем эти составные
движения доступны непосредственному наблюдению при помощи
современной аппаратуры. Более того, существует аппаратура, позво-
7
ляющая складывать заданные гармонические движения и получать
таким образом периодические движения сложного характера.
В процессе развития науки создан мощный и удобный матема-
тический. аппарат для описания и исследования указанных движений.
Согласно выражению (1.1), гармоническое движение должно
быть бесконечно во времени. Действительные процессы, конечно,
имеют начало и конец. Но, как мы увидим позже (§ 1.13), если
система совершает достаточно большое число колебаний, то их
свойства весьма близки к свойствам гармонического движения.
Понятие «гармоническое движение» используется здесь очень
широко. По гармоническому закону могут изменяться линейное
или угловое смещение тела, деформация упругого тела, давление
воздуха около электроакустического прибора, напряжение и ток
в электрической цепи, напряженность электрической или магнитной
составляющей электромагнитного поля при радиопередаче или
в световой волне и т. д.
Зная закон смещения (1.1), легко найти скорость и ускорение
гармонического движения:
х = &Хт cos (at + Фо + (1.2)
х = ®2Хт (cos со/ + фо + л) == —
Обе эти величины также оказываются гармоническими.
§ 1.2. СПОСОБЫ ГРАФИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГАРМОНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Рис. 1.1
Кроме аналитического спо-
соба задания гармонического
движения, существует несколь-
ко способов его графического
представления.
а) Возможно использование
«плоских диаграмм», где по
горизонтальной оси отложено
время, а по вертикальной —
смещение, скорость или уско-
рение. Такие диаграммы (для
электрических процессов) легко
получаются на экране электрон-
ного осциллографа (основы ра-
боты последнего предполагаются
известными читателю). На рис.
1.1 изображено несколько плос-
ких диаграмм смещения для
гармонических движений с раз-
личными параметрами.
8
Графики скоростей и ускорений
внешне ничем не отличаются от гра-
фиков смешений.
б) Если фазовые соотношения не
представляют интереса, то весьма
удобен спектральный метод представ- ---------------Е--------*-
ления гармонического движения. При г
этом по горизонтали откладывается Рис j 9
частота, а по вертикали —- амплитуда
(или энергия, пропорциональная квад-
рату амплитуды и частоты, см. § 1.3). В случае чисто гармони-
ческого движения спектр состоял бы из единственной вертикальной
линии (рис. 1.2).
В действительности чисто гармонических движений не суще-
ствует (§ 1.13). Поэтому реальный спектр всегда более сложен.
Но если движение очень близко к гармоническому, то спектр
представляет узкую полосу конечной ширины, охватывающую
группу частот от f — Af до f + А/, где А/ может составлять мил-
лионные доли / (и даже меньше), но не может обращаться в нуль
(см. § 1.13). Иногда шириной полосы можно пренебречь.
На рис. 1.3 изображены плоская диаграмма, записанная на
экране осциллографа (а), и соответствующая ей спектрограмма,
записанная на экране специального электронного прибора — спектро-
анализатора (б) (§ 3.6). Примеры более сложных спектров встре-
тятся нам на рис. 3.12—3.14 и др.
в) Удобный условный способ графического изображения гармо-
нического движения (способ векторных диаграмм) заключается
в следующем.
а
б
Рис. 1.3
На плоскости (рис. 1.4)
выбирают произвольное
начало координат О и про-
извольную ось О А. Изуча-
емая гармоническая вели-
чина (смещение) представ-
ляется вектором, имеющим
длину, пропорциональную
амплитуде, и составляю-
щим с осью угол, равный
начальной фазе.
Тогда проекция вектора на ось определяет мгновенное смещение
в момент, равный нулю. Если теперь вообразить, что вектор
равномерно вращается вокруг начала координат с периодом изу-
чаемого движения Т, то в любой момент его проекция на ось дает
мгновенное значение исследуемого смещения (мы условимся считать
положительным вращение вектора против часовой стрелки).
Ценность этого условного метода выяснится при суммировании
нескольких движений равной частоты (§ 1.11).
На рис. 1.4 изображены векторы смещения, скорости и уско-
рения для одного и того же гармонического движения:
Х = Хт COS (®/ + ф0),
а также вектор смещения для движения:
х, — 0,75Х,„ cos (<о/
\ о /
Способ векторных диаграмм тесно связан с удобным (для реше-
ния сложных задач) аналитическим способом представления гармо-
нической величины комплексным числом; сравнительно простые
задачи, рассматриваемые в этой книге, не потребуют применения
этого ценного метода.
г) Метод фазовых диаграмм, удобный для качественного анализа
движений (и не только гармонических!), заключается в следующем.
На плоскости (фазовая плоскость) выбирают прямоугольную
систему координат. По оси абсцисс откладывают смещение, по
оси ординат — скорость х (а при гармоническом движении — «при-
веденную скорость» х/со).
Состояние движения в каждый момент времени изображается
точкой с координатами (х, х), соответствующими данному моменту
(изображающая точка). С течением времени изображающая точка
описывает на плоскости кривую f (х, х) = 0, называемую фазовой
траекторией. Анализ траектории позволяет судить об особенностях
движения.
Фазовые траектории могут быть получены на экране осцилло-
графа (см., например, рис. 1.34).
ю
Для периодического движе-
ния фазовая траектория — зам-
кнутая кривая. В частности,
для гармонического движения,
заданного уравнениями (1.1) и
(1.2), получим:
/ х V / ; \2
_L_ _l _2L_ _ 1
\Хт) 1 \ьХгп) - Ь
Это — уравнение окружности ра-
диуса Хт с центром в начале
координат. Изображающая точка
(рис. 1.5, в) равномерно движется
по окружности по часовой стрел-
ке (на рисунке цифрами обозна-
чены последовательные мгновен-
ные положения изображающей
точки).
При равных амплитудах сме-
щения фазовые траектории гар-
монического движения отлича-
ются друг от друга начальным
положением изображающей точ-
ки и скоростью ее движения по
траектории. При различных ам-
плитудах траектории отличаются
и величиной радиусов.
Для того чтобы читатель
лучше усвоил метод фазовых
диаграмм, рекомендуется рас-
смотреть рисунки 1.5, а, б и 1.6.
На рис. 1.5, а изображена фазо-
вая траектория равномерного
прямолинейного движения:
X = VI', X = V = const.
На рис. 1.5,6 представлено
равноускоренное прямолинейное
движение с начальной скоро-
стью = 10 м/сек и отрицатель-
ным ускорением а ~ — 2 м/сек2.
Фазовая траектория является
параболой.
На рис. 1.6 траектория /
представляет движение, описы-
ваемое законом:
Рис. 1.6
х, = X + exp (- kt), k, VL > 0.
К
и
Такое движение происходит при жидком трении, например если
выключить двигатель моторной лодки в момент t = 0, когда она
удалена от начала координат (пристани) на расстояние х >
В начальный момент лодка имеет отрицательную скорость: xY =— Vv
Движение прекращается при х{ =
Если при том же начальном удалении начальная скорость по
модулю превышает предыдущую (Г2 > Vi), то лодка остановится
левее начала координат (отрезок Х2 < 0, прямая //); нужно очень
тщательно выбирать начальную скорость и момент выключения
двигателя, чтобы причалить точно к пристани. Необходимую ско-
рость легко найти из фазовой диаграммы, проведя через начало
координат прямую, параллельную предыдущим прямым (fe = const).
§ 1.3. ДИНАМИКА И ЭНЕРГЕТИКА ГАРМОНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Уравнение (1.2) свидетельствует о наличии ускорения при
гармоническом движении. Предполагая, что материальная точка
массы т, прикрепленная к концу невесомой пружины, совершает
колебания, применим второй закон Ньютона и найдем силу, разви-
вающуюся при гармоническом движении:
f = тх = пг^2Хт cos (со/ Д ср0 + л) = — kx, (1.3)
где величина
£ = то)2 = _!£!_ (1.4)
численно равная силе, создающей единичную деформацию, назы-
вается «жесткостью». Как видно из выражения (1.3), сила про-
порциональна смещению и всегда направлена к положению равно-
весия; ее называют упругой силой. Эта сила возникает, в частности,
при небольших деформациях упругих тел (закон Гука), чем
и объясняется широкое распространение механических колебаний
в физике и технике.
Если сила подчиняется закону (1.3), но не является упругой
по своей природе (например, составляющая силы тяжести, застав-
ляющая колебаться маятник, § 1.6), то ее называют квазиупругой
(как бы упругой); при этом можно формально сохранить и термин
«жесткость».
Очевидно, жесткость численно равна силе, возникающей при
смещении, равном единице.
Так как уравнение (1.3) является линейным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами, не зависящими от
смещения и его производных, то и описываемую этим уравнением
систему называют линейной.
При больших деформациях закон Гука нарушается, жесткость
делается зависящей от смещения, уравнение теряет линейность.
Движение при этом сильно усложняется (см. третью главу).
12
Важной характеристикой линейной колебательной системы слу-
жит ее волновое сопротивление, определяющееся отношением
амплитуды силы к амплитуде скорости:
Разделив обе части уравнения (1.3) на массу, получим:
х+Ж|о; <о2 = 4- (1'6)
Таково дифференциальное уравнение гармонического движения
(без учета сил трения).
Если при изучении какого-либо процесса получится уравне-
ние (1.3) или (1.6), то можно утверждать, что его решением будет
гармоническое движение:
х = Х/п cos (со/ + ср0).
Так как сила (1.3) определяется свойствами самой системы, то
и частота колебаний
"ШЧг (1-7)
также зависит только от свойств системы. Ее называют частотой
свободных колебаний.
Амплитуда Хт и начальная фаза ср0 остаются неопределенными,
пока не заданы два «начальных условия», характеризующих со-
стояние системы. Часто задают смещение и скорость в начальный
момент времени. Например, если при / = 0 задано:
х = А\ х ~ О,
то получается:
Фо = 0» Хт А,
и решение принимает вид:
х = A cos со/.
Можно было бы задать смещение и скорость, отличные от нуля,
или два смещения в разные моменты времени. Но если задать
смещение и скорость, одновременно равные нулю, то получится
физически возможный, но тривиальный результат:
х = 0,
что означает отсутствие всякого движения (при этом нет внешних
сил, способных вывести систему из положения равновесия).
Кинетическая энергия колеблющейся системы равна:
Ц7К = — тх2 = 4- sin2 (со/ + <р0)- (1 -8)
13
Потенциальная энергия равна работе против квазиупругой силы:
X
lFn = — J (~kx) dx = 4г k*2 = rn^2X2m cos2 (со/ + ф0). (1.9)
о 2
Легко убедиться, что полная энергия системы постоянна:
117 = WK -j- Wn == m(i)2Xtn = — kXm = Ftn.
Здесь Гт — амплитуда квазиупругой силы.
Работа квазиупругой силы за период равна пулю. Это видно
из выражения (1.9), где верхний и нижний пределы нужно взять
равными (через период смещение принимает первоначальное значе-
ние). Физический смысл этого результата ясен: работа квазиупругой
силы положительна при ускоренном движении к положению равно-
весия и отрицательна при замедленном движении от положения
равновесия. В силу симметрии движения работы, совершаемые
в равные промежутки времени (пока сила и скорость сохраняют
знак), должны быть равными по величине; знак работы изменяется
каждые четверть периода.
Результаты, описываемые уравнениями (1.8) и (1.9), важны
в следующих отношениях.
а) Период колебаний кинетической и потенциальной энергий
вдвое меньше периода колебаний самого движения; при этом в мо-
мент обращения в нуль одной из энергий другая проходит через
максимум. Эта зависимость иллюстрируется рис. 1.7; именно эта
особенность и обеспечивает возможность колебаний системы.
б) Полная энергия системы, пропорциональная квадрату частоты
и амплитуды смещения, сохраняется
во времени.
Последний результат получен по-
тому, что мы пренебрегли неизбежным
затуханием, обусловленным трением.
Строгий учет трения будет сделан
позже (§ 1.9). Но при небольшом тре-
нии и не слишком длительном наблю-
дении за системой влияние трения
будет сказываться незначительно, что
и позволяет не учитывать его в целом
ряде рассматриваемых ниже случаев.
'Ш
§ 1,4. ПРОСТЕЙШИЕ ПРУЖИННЫЕ
МАЯТНИКИ
а) Простейшим примером колеба-
тельной системы с одной степенью
свободы (для характеристики положе-
ния достаточно одной координаты)
14
является материальная точка
массы т, прикрепленная к <>
концу упругой пружины (дру-
гой конец пружины жестко
закреплен) и способная дви- <
гаться поступательно и пря-
молинейно.
Точкой можно заменить
и тело конечных размеров,
если наложить требование
одной степени свободы и пре- а
небречь деформацией тела.
Подобная идеализация оправ-
дывается, если длина пружи-
ны мала, так что можно считать, что
временно (время распространения деформации должно быть много
меньше периода колебаний). Энергия упругой деформации тела
должна быть много меньше его кинетической энергии. Для пру-
жины же, наоборот, энергия деформации должна быть много больше
ее кинетической энергии (именно в этом смысле и говорят о не-
весомой пружине и абсолютно твердом, недеформируемом теле).
Наконец, пружина должна подчиняться закону Гука, т. е. ампли-
туда колебаний должна быть мала.
В случае горизонтального расположения пружины (горизонталь-
ный пружинный маятник) сила тяжести в колебательном движении
не будет играть никакой роли. Если же пружинный маятник верти-
кален, то, как будет показано ниже (§ 1.4, г), влияние силы
тяжести скажется лишь в том, что положение равновесия, отно-
сительно которого происходят колебания, несколько сместится. По-
этому характер колебаний от расположения пружины не зависит.
Итак, пусть уравновешенное на пружине тело (рис. 1.8, а)
оттянуто от положения равновесия на расстояние х, а затем предо-
ставлено самому себе. Под действием пружины движение будет
происходить по закону:
тх = — /гх,
что совпадает с (1.3).
Следовательно, возникнут гармонические колебания с частотой
(О
= У—.
г tn
б) Система, содержащая две пружины, разделенные массивным
телом (рис. 1.8, б), также обладает одной степенью свободы: дефор-
мации обеих пружин по величине одинаковы. При отклонении тела
по вертикали па расстояние х получаем:
тх = — kLx — k2x — (fei + k2) x = — k\\xf
15
так как обе силы направлены к положению равновесия. Эквива-
лентная жесткость таких «параллельно соединенных» пружин равна:
k\] == + ^2
и частота колебаний:
= у (i.io)
а при равенстве жесткостей — k2 = /г):
1/2Й
““ - и
Так как деформации обеих пружин одинаковы, то потенциаль-
ная энергия распределяется между ними пропорционально их жест-
кости.
Система, изображенная на рис. 1.8, в, если kx = k, и возможны
только вертикальные перемещения, равнозначна системе, показанной
на рис. 1.8, б, так как различие в знаке деформации второй пру-
жины не изменяет характера сил, действующих на тело.
в) Несколько сложнее на первый взгляд система, изображен-
ная на рис. 1.8, а. При смещении тела на отрезок х пружины могут
растянуться различно; однако деформации пружин не являются
произвольными: их сумма всегда равна смещению тела:
х = Xi + х2.
Кроме того, упругие силы пружин
^Хр == — /г2х2
при сделанных выше предположениях о безынерционное™ пружин
должны быть равны:
А = А = Ь
Поэтому получаем:
и жесткость эквивалентной пружины, способной заменить две
реальные пружины, соединенные последовательно, равняется:
, _ ktk2
1 ' kt + k2 •
Поэтому частота системы равна:
<L11>
При ky = /?2 = k получаем:
16
Таким образом
(0j_ < СО < (Oil,
где под со понимается частота при наличии одной пружины. Для
последовательно соединенных пружин энергия распределяется
между ними обратно пропорционально жесткостям, так как силы,
развиваемые пружинами, равны.
Смысл этих результатов легко понять: при параллельном соеди-
нении пружин смещение тела на отрезок х приводит к деформации
(на такой же отрезок) обеих пружин. Поэтому сила, развивающаяся
при этом, больше, чем в случае одной пружины, значит, и экви-
валентная жесткость системы больше. При последовательном же
соединении деформация каждой пружины меньше, чем смещение
тела; поэтому развивается меньшая сила, т. е. эквивалентная
жесткость уменьшается.
г) Учтем теперь действие силы тяжести для системы, изобра-
женной на рис. 1.8, а. Пусть начальное положение равновесия
соответствует ненагруженной пружине (под груз поставлена опора).
Потенциальную энергию системы в этом положении примем равной
нулю. Ось абсцисс направим вертикально вниз. Если убрать опору
(без толчка), то пружина под действием силы тяжести груза будет
растягиваться. Когда растяжение достигнет величины
у — ГЦё
то груз, обладающий кинетической энергией, будет опускаться
дальше, но это движение будет замедленным. Когда же он оста-
новится, сместившись на расстояние х2, то его потенциальная
энергия уменьшится на величину mgx2 и на столько же возрастет
потенциальная энергия деформированной пружины. Таким образом,
получится:
UZn = mgx2 = 4" kx2'
Максимальное смещение груза окажется равным:
и максимальная упругая сила пружины составит:
F — — 2т &
Эта сила компенсирует силу тяжести и, кроме того, сообщает
грузу направленное вверх ускорение. В результате груз будет со-
вершать колебания около нового положения равновесия с коорди-
натой
у ___ 1 у
zyct 2
Действительно, вводя в уравнение движения
тх — —kx + mg (1-12)
2 Зак. 1072
17
новую переменную:
mg
* У=*х------
получим оощее решение:
х = Yт cos (со/ + ср0) +
mg I k
+ К
О = Ym cos ф0 +
следовательно:
при начальных условиях: для
/ = 0:
х = 0; х =0.
Поэтому получается:
0 = Ут ® sin <р0>
К
ст>
тяжести.
(1.13)
положения
определяе-
<ро = 0; Ym = -
где Хст — статическое смещение под действием силы
Окончательно находим:
х = Хст(1 — cosco/).
Итак, колебания происходят не около начального
равновесия (х = 0), а вокруг смещенного положения,
мого статическим проявлением силы тяжести. Фазовая диаграмма
такого движения построена на рис. 1.9.
д) Пусть дала струна длины Z, сечения s, плотности р, за-
крепленная на концах. Для грубой оценки частоты ее свободных
колебаний идеализируем задачу, полагая, что масса струны т =
= pls сосредоточена в ее середине и что натяжение струны можно
считать постоянным. Тогда при смещении массы на небольшой
отрезок х (рис. 1.10) возникает возвращающая сила:
—• kx.
f= -27’sina^-27’tgr= —4Т4- =
V
Поэтому собственная частота идеализированной струны составит:
(О
ml
Рис. 1.10
18
Очевидно, наш приближенный результат преуменьшен. Действитель-
но, натяжение при деформации растет, следовательно, мы взяли
уменьшенное значение жесткости. Далее, мы приписали макси-
мальную скорость всей массе струны, в действительности же боль-
шая часть массы будет двигаться с меньшей скоростью. Значит,
в выражение для частоты должна войти меньшая масса. Обе эти
причины ведут к заниженному значению частоты.
Истинную частоту можно найти, зная, что на струне должна
уложиться половина длины волны: I = Х/2. Так как скорость рас-
пространения деформации по струне
V == 1/А = 1/ZLZ,
где G — модуль сдвига, а частота связана с длиной волны соот-
ношением:
(0 = 2л 4-,
то правильное значение частоты оказывается равным:
со0 = л ]/ —= 1,57 со.
Таким образом, при нашем грубом рассмотрении мы все же пра-
вильно оценили порядок величины частоты струны.
§ 1.5. КРУТИЛЬНЫЕ МАЯТНИКИ
а) Крутильные колеоапия можно получить, используя спираль-
ную пружину, соединенную со стержнем. Центр тяжести стержня
лежит на его оси вращения (вертикальной), связанной с одним из
концов пружины (рис. 1.11). При повороте стержня на угол а за-
кручивающаяся пружина создаст
вращающий момент, возвращаю-
щий стержень в положение
равновесия. При малых углах
закручивания момент можно счи-
тать пропорциональным углу:
М = — Da,
*
где D —- постоянная кручения
пружины.
Если момент инерции стерж-
ня есть /, то по второму закону
Ньютона получим:
/ а = — Da.
Это уравнение по форме совпа-
Рис. 1.11
2*
19
Рис. 1.12
дает с выражением (1.3). Следовательно, решение может быть
записано в виде:
а = a,„cos((o/ + <р0); со = ]/-у- U-14)
б) Другой способ получения крутильных колебаний — подве-
шивание тела (например, диска) на вертикальной упругой нити,
служащей осью вращения и проходящей через центр тяжести те-
ла (рис. 1.12).
При повороте тела на угол а возникает возвращающий момент
М— —Da,
и движение тела снова будет описываться уравнением типа (1.13)
и решением (1.14).
Если нить является круговым цилиндром радиуса р и длины L,
а материал нити характеризуется модулем сдвига G, то постоян-
ная кручения
л _ ЛР4 °
и ~ 2 L '
Поэтому при малом радиусе и большой длине заметное кру-
чение возникает при очень малых закручивающих моментах — на
этой идее и были созданы в XVIII в. крутильные весы, позво-
лившие Кавендишу измерить постоянную тяготения, а Кулону
установить закон взаимодействия электрических зарядов.
в) Напротив, если круговой цилиндр (вал) используется для
передачи вращающего момента, например от корабельной машины
к гребному винту, то для уменьшения закручивания вала прихо-
дится выбирать большой радиус (длина вала обычно определяется
размерами судна и бывает велика).
На рис. 1.13 вращающаяся часть машины уподоблена махови-
ку с моментом инерции /ь а гребной винт (в воде) — маховику
с моментом инерции /2.
20
Рис. 1.14
Машина, сообщая валу вращение, закручивает его. Гребной
винт, испытывающий сопротивление движению со стороны воды,
закручивает свой конец вала в противоположном направлении.
При установившейся скорости вращения вала с маховиками, оче-
видно, одно из сечений вала (ЛД) окажется недсформированным.
Если бы можно было предоставить вращающуюся систему са-
мой себе, мгновенно сняв движущую силу и силу сопротивления,
то оба маховика стали бы колебаться вокруг недеформированного
сечения с одинаковой частотой, но в противоположных фазах.
Это соображение позволяет найти положение недеформирован-
ного сечения. Уподобляя маховики крутильным маятникам с дли-
нами и а2, запишем условие равенства частот и учтем, что
постоянные кручения обратно пропорциональны длинам маятников:
—= ~ I'zPb
поэтому получается:
, L j L
01 ~ 2 -Н2 ’ а'2 ~ 1 Л + Л ’
т. е. недеформированное сечение располагается ближе к махови-
ку с большим моментом инерции.
Конечно, при стационарной работе машины деформированный
вал и оба маховика вращаются в одну и ту же сторону.
г) В рассмотренных примерах сила тяжести не играла никакой
роли. Она очень важна при колебаниях маятника с идеальным
двойным подвесом (рис. 1.14, а), состоящим из двух невесомых
и нерастяжимых гибких нитей длины L, расположенных на рас-
стоянии р от оси 00, проходящей через центр тяжести симметрично-
го тела массы tn. Такой маятник также совершает крутильные
колебания, если его вывести из положения равновесия и предо-
ставить самому себе.
21
Действительно, если нить нерастяжима, то при повороте тела
на угол а, который мы примем малым, каждая нить перемещает-
ся по поверхности цилиндра радиуса р; следовательно, она накло-
няется к вертикали на угол р, а центр тяжести тела при этом
немного поднимается (на высоту h, рис. 1.14, б).
Горизонтальная составляющая натяжения каждой нити равна:
mg ар
2 L '
f = sin р -
Обе нити создадут общий вращающий момент вокруг оси, про-
ходящей через центр тяжести тела:
Л1 = — 2/ р = — D а,
так что эквивалентная постоянная кручения будет равна:
JLZ ". • - I
и частота колебаний тела с моментом инерции / окажется равной
Покажем, что этот результат можно обосновать и энергети-
чески, постулировав гармонический характер движения и считая
потенциальную энергию в положении равновесия равной нулю.
При повороте тела конец нити описывает на цилиндре дугу ар.
При очень малых углах поворота дуга не отличается от хорды АВ.
Но, как видно на рис. 1.14, б:
(ЛВ)2 = (ар)2 = h (2L - Л) ~ 2Lh.
Поэтому наибольшая потенциальная энергия равна:
Wn = mgli = mg-^-f-,
где am —максимальный угол поворота. После отпускания тело
движется ускоренно. В положении равновесия каждая точка его
имеет максимальную скорость:
= ®атг,
где со — частота колебаний, г — радиус вращения точки.
Полная кинетическая энергия тела есть
=4 Tj vln=4 ®8а*1
(I — момент инерции тела).
Но эта энергия должна равняться потенциальной энергии.
Поэтому для частоты получаем:
что совпадает с найденным выше результатом.
22
При сближении нитей частота уменьшается. Если бы нс было
закручивания нитей, то при р = 0 тело находилось бы в состоя-
нии безразличного (к поворотам) равновесия.
§ 1.6. ФИЗИЧЕСКИЕ МАЯТНИКИ
Твердое тело, имеющее неподвижную горизонтальную ось и
совершающее колебания под действием силы тяжести, как извест-
но, называется физическим маятником. В частности, последний
пример предыдущего параграфа — один из типов физического ма-
ятника. Пусть ось вращения, перпендикулярная чертежу, прохо-
дит через точку О (рис. 1.15); центр тяжести находится в точке S.
При отклонении маятника на угол а возникает вращающий мо-
мент:
М — mgl sin а.
Запишем для этого случая уравнение движения:
/а = —mgl sin а (1-15)
(т — масса маятника, I — момент инерции относительно оси вра-
щения).
Уравнение (1.15) нелинейно. Его анализ мы проведем позже
(§ 3.2, д). Здесь же придется ограничиться линейным приближе-
нием, считая углы отклонения настолько малыми, что можно при-
нять
sin а а.
Тогда уравнение (1.15) принимает знакомый вид:
= — mgl а. (1-16)
Следовательно, в этом случае маятник совершает гармониче-
ские колебания с частотой
и = У (1.17)
Если ось вращения проходит через центр
тяжести, то частота обращается в нуль —случай
безразличного равновесия. При увеличении рас-
стояния / частота растет, принимая наибольшее
значение при
где /0 — момент инерции относительно центра
тяжести (напомним, что / = /04- т/2), а затем
снова уменьшается — последнее обстоятельство
часто остается незамеченным. Если маятник
выполнен в виде однородного стержня длины
Z., то
Рис. 1.15
23
I0 = -^mL*, /о = 0,29Л.
На рис. 1.16 показана зависимость
квадрата относительной частоты от поло-
жения оси вращения для стержневого ма-
ятника.
Если массу маятника можно считать
точечной (тяжелый маленький шарик на
длинной нити), а нить невесомой, то
/ = ml2,
и для такого математического маятника
получается
<о = (1.18)
Для больших углов отклонения дви-
жение будет периодическим, но негармо-
ническим. Так как при этом
sin а < а,
то, пользуясь уравнением (1.16), мы несколько завышаем величи-
ну вращающего момента. Следовательно, и частота, вычисленная
по формуле (1.17) или (1.18), несколько завышена.
Строгое решение уравнения (1.15) показывает, что движение
является периодическим (но негармоническим), причем период за-
висит от амплитуды смещения ат:
где То — период, вычисленный для малых колебаний по уравне-
нию (1.18).
В этом случае маятник уже не является линейной системой.
Начинающему часто кажется вполне естественным увеличение
периода с ростом амплитуды; скорее, его даже удивляет незави-
симость периода от амплитуды при малых колебаниях.
В связи с этим заслуживает внимания циклоидальный маятник.
Напомним, что циклоида — это кривая, описываемая некоторой
точкой окружности, катящейся без трения по плоскости. На
рис. 1.17 кривые О А изображают две ветви циклоид, образованных
точкой окружности радиуса р. Нить подвеса (ее длина ОМ = 4р)
математического маятника, закрепленная в точке О, касается (при
колебаниях маятника) одной из циклоид. Поэтому его длина умень-
шается при росте амплитуды колебаний. Можно показать*, что
* См., например: А. Аппель,
матгиз, 1960, стр. 387.
Теоретическая механика, т. 1. М., Физ-
24
Т
Pirc. 1.17
сам маятник при этом движется по такой же циклоиде /ИД, при-
чем период его движения совершенно строго независим от ампли-
туды. Эта замечательная особенность была открыта старшим со-
временником Ньютона — Гюйгенсом.
На том же рисунке построены две дуги окружности радиуса
2р (дуги ОВ). Прежний математический маятник, касающийся при
колебаниях одной из этих дуг, как видно на рисунке, укорачи-
вается больше, чем циклоидальный. Поэтому его период должен
оказаться меньше. Действительно, опыт показывает, что при росте
амплитуды период такого маятника уменьшается.
Наконец, дуга МС определяет траекторию свободно движуще-
гося математического маятника ОМ; его период, как мы видели,
растет вместе с амплитудой.
Для демонстрации этих выводов можно
сивные металлические полосы, изогнутые
укрепленные на массивной доске, либо
металлические тела нужной формы. Для
уменьшения влияния трения маятник дол-
жен быть достаточно массивен.
Любопытен также дуговой маятник,
представляющий часть кругового обруча
(рис. 1.18), толщина которого весьма мала
по сравнению с его радиусом В- Горизон-
тальная ось вращения О проходит через
середину дуги. Масса маятника равна т.
Центр тяжести такого маятника лежит
где-то на вертикали между осью и гео-
метрическим центром С; пусть он совпа-
взять достаточно мас-
должным образом и
Рис. 1.18
25
дает с точкой S. Отклоним маятник на малый угол а. При этом
возникает вращающий момент:
М = — mg (R — у) sin а — — mg (R — у) а,
и второй закон Ньютона дает:
/а= —mg(R — y)a, (1.19)
где / — момент инерции относительно оси вращения. По теореме
Штейнера
/ = /f + т [(R — # — уг] = 1с + т (R2 — 2Ry).
Но момент инерции относительно геометрического центра
Л = mR'2.
Поэтому получается:
1 = 2mR (R — y).
Подставляя это выражение в уравнение (1.19), получаем замеча-
тельный результат:
2Ra — — ga.
Следовательно, маятник совершает колебания с частотой
не зависящей от длины дуги и от положения центра тяжести.
Любые дуги (в том числе и круговой обруч) колеблются с одина-
ковой частотой, определяемой лишь радиусом; в этом легко убе-
диться на опыте.
§ 1.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ
а) Маятник, изображенный на рис. 1.19, подобен пружинному
маятнику, рассмотренному в § 1.4, г. Блок D (радиуса р) может
вращаться вокруг горизонтальной оси О. С ним жестко связан стер-
жень L с грузом F1 (или без него). На блок навернута нить, не-
Рис. 1.19
сущая гирю массы т, опирающуюся сначала на
не показанную па рисунке подставку; при
этом стержень расположен вертикально. Если
убрать подставку, то гиря будет опускаться.
Движение системы описывается уравнением:
/ а = (mg — m ра) р — /И si п а,
где / — момент инерции диска со стержнем,
М — момент силы тяжести стержня при его
горизонтальном положении. Полагая углы откло-
нения небольшими, получаем:
а (/ 4- тр2) = — /Иа + mgp.
26
Рис. 1.20
Сравнивая это выражение с уравнением (1.12), можем сразу
написать решение:
a==2^P_(l_C0SG)n; <0=1/
М 4 7 г / + тр2 т М
Таким образом, гармоническое колебание происходит вокруг ново-
го положения равновесия, определяемого углом:
_ _Wp_
“о — М •
Если бы оказалось, что
mgp > М -J-’
то возникло бы непрерывное вращение и монотонное опускание
гири. В случае пружинного маятника этому отвечает пластическая
деформация пружины.
б) Корабль, плавающий в спокойной воде, также представля-
ет колебательную систему (рис. 1.20). В состоянии равновесия
центр тяжести корабля лежит в точке С, центр тяжести вытес-
ненного объема воды — в точке А. Пусть при случайном наклоне
корабля объем погруженной части сохранится. Но центр тяжести,
конечно, сместится (в точку 4Х). Образующаяся пара сил создает
вращающий момент:
М — — tngh sin ср (/i = ВС),
стремящийся вернуть корабль в положение равновесия, если мета-
центр В лежит выше центра тяжести корабля. Уравнение движе-
ния корабля (если пренебречь движением воды) таково:
/ср = — tngh. sin ф cv — tngh ф.
Последнее равенство верно лишь при малых углах наклона.
Возникшие колебания (бортовая качка) происходят с частотой
CD
27
о
Рис. 1.21
спокойными будут каюты,
где I — момент инерции корабля от-
носительно его продольной оси.
Если же наклоняется продольная
ось, то возникает килевая качка,
анализируемая подобным же образом.
Частота колебаний при качке сос-
тавляет доли герца, причем часто-
та бортовой качки обычно бывает
выше.
Изменение объема погруженной
части создает дополнительную верти-
кальную силу и вертикальную качку.
Так как амплитуда колебаний во
всех трех случаях тем меньше, чем
ближе к центру тяжести находится
колеблющийся предмет, то наиболее
расположенные в средней части кор-
пуса корабля.
в) Найдем движение шарика массы т и радиуса р, катящего-
ся без скольжения по желобку радиуса R + р, причем R > р
(рис. 1.21). При подъеме на высоту h шарик приобретает потен-
циальную энергию:
Wn = mgh.
Заменив дугу хордой АВ, проведя ВС — а и построив треуголь-
ник с катетом АВ и гипотенузой 2R, получим:
a2 = (2R — h)h^ 2Rh.
Поэтому
~R'
Но а —амплитуда колебаний. Поэтому амплитуда скорости
центра тяжести (ю — частота колебаний шарика) есть
v = а>а = Пр,
где Q — угловая скорость вращения шарика вокруг мгновенной
оси, проходящей через его центр тяжести. Кинетическая энергия
шарика в самом низком положении равна вычисленной выше по-
тенциальной энергии:
WK = 4- mv2 + ± 1Q2 = 4- а2 о2 + Д- £ «2 =
Следовательно, частота колебаний шарика равна
“ Ут" ПГ = °>84(00’
2Ь
где coo — частота колебаний маятника,
который получится, если подвесить
шарик па нити длиной R и убрать
желобок.
Независимость частоты от радиуса
шарика объясняется тем, что чем мень-
ше радиус шарика, тем больше угловая
скорость Q.
г) Рассмотрим колебания столба
жидкости, заполняющей изогнутую труб-
ку, заканчивающуюся большими резер-
вуарами объема Vo (рис. 1.22), содержа-
щими идеальный газ при давлении р0.
При смещении жидкости из положения
ного пунктиром 00, возникает сила
Fx — — 2s^p — 2gp sx,
где s — сечение трубки, р — плотность жидкости.
Так как колебания довольно медленны, то процесс сжатия га-
за можно считать изотермическим:
pV = const; Д р = —~ Д V ~ -j
равновесия, указан-
— sv
Vo SA-
Поэтому получается:
Рх = — 2sx + pg = — kx.
Эта сила действует на массу жидкости т = lsp, где I — длина
столба жидкости (массой газа можно пренебречь).
Уравнение движения таково:
Isp'x — — kx.
Колебания оказываются
гармоническими с частотой
“ ~ р/
Пусть g = 10 м/сек2 у р = 1000 кг/м3, р0 = Юб“т»
Ро = 10“3 л?, /= 1 м. Тогда получится
(о=11 сек- Ч
(1.20)
$=5-.10~4м2,
При открытых концах трубки или соединении объемов вспо-
могательной трубкой (достаточно широкой, чтобы можно было не
считаться с трением газа о стенки трубки) первое слагаемое в
выражении для силы отсутствует, а потому частота уменьшается
до величины:
Ох = |/ -у- === 4,5 сек~ L
29
Рис. 1.23
средоточена в достаточно малом
такого маятника при малых углах
Коэффициент жесткости сис-
темы также уменьшается до
значения
К = 2яр,
так что амплитуда колебаний
увеличивается (при заданной
энергии колебаний).
д) Пусть значительная
масса т находится па конце
тонкого стержня длины / и
ничтожно малой массы
(рис. 1.23, а), Если масса со-
объеме, то частота колебаний
отклонения равна
«О = |/“Г-
Прикрепим к маятнику дополнительную пружину жесткости k
(рис. 1.23, б). Для нахождения частоты получившегося маятника
удобно применить закон сохранения энергии. Наибольшая потен-
циальная энергия
= mgl (I - cos <рот) + ~ kd2^ cp,2„ + kdrfm
переходит в наибольшую кинетическую
Приравнивая эти величины, получаем:
“1 = “о V 1 + ~mgT > “о-
Но для маятника, изображенного на рис. 1.23, в, потенциаль-
ная энергия при отклонении от вертикального положения умень-
шается. Поэтому его частота равняется
. Г
= L
Кроме того, если
kd2 < mgi,
то частота становится мнимой. В этом случае (недостаточно жест-
кая пружина) маятник падает влево.
е) Крутильный маятник, нечувствительный к тангенциальным
ускорениям. Маятник (см. рис. 1.11), рассмотренный в § 1.5, а,
можно сделать нечувствительным к тангенциальным ускорениям.
Поместим маятник (масса его tri) на столик, вращающийся во-
30
круг оси О (на рис. 1.24 дан вид
сверху), расположим стержень маят-
ника вдоль радиуса и сместим центр
масс стержня Sj к центру вращения,
так что между и осью маятника Ох
образуется расстояние s.
Если сообщить столику тангенци-
альное ускорение, то на ось маятника
будет действовать некоторая сила F.
Приложим мысленно к центру масс
маятника равные и противоположные
силы
|Л| = п = |Р|.
Под действием силы Fx центр
масс испытывает угловое ускорение
Рис. 1.24
г|ь определяемое условием:
= Fl,
Под действием пары сил (F, F2) центр масс стремится вра
щаться вокруг оси маятника с угловым ускорением г|2, причем:
/г]2 = Fs,
где I — момент инерции маятника. Из рисунка видно, что знаки
угловых ускорений противоположны. Если модули ускорений бу-
дут равны, то стержень не должен отклоняться от радиального
направления. Для этого, очевидно, необходимо соблюсти условие:
Так как при sr < s маятник испытывает ускорение одного зна-
ка, а при s2 > s — противоположного, то, найдя на опыте два по-
ложения, для которых ускорения имеют разные знаки, постепен-
но уменьшают расстояние между ними и легко находят нужную
величину s.
Роль пружины в этом опыте совершенно второстепенна: она
гасит случайные боковые колебания, обусловленные несовершен-
ством эксперимента.
ж) Изученная ранее система пружин (см. рис. 1.8, а) приме-
няется на практике для устранения возможных вредных или опас-
ных перегрузок.
Так, если кабина лифта прикреплена непосредственно к сталь-
ному канату, то при внезапной остановке его верхнего конца
возникает значительная перегрузка каната.
Пусть жесткость каната равна k, масса кабины т, массой ка-
ната для простоты расчета пренебрежем. При опускании кабины
с постоянной скоростью v нагрузка каната равна весу кабины:
Л) = /ng-
31
При внезапной остановке верхнего конца каната кабина про-
должает двигаться, пока вся ее кинетическая энергия не перей-
дет в энергию деформации каната, после чего возникнут колеба-
ния системы канат—кабина. Поэтому
W =-L тиг =F = vVkin,
где F — амплитуда дополнительной силы натяжения каната. При
этом ___
= (1.21)
Fo g > V
Если же между канатом и кабиной включить пружину жест-
кости kt, то кинетическая энергия кабины разделится между ка-
натом и пружиной, причем (см. § 1.5):
Упр __ k
^кав
Откуда следует, что
1^кан .Fi 1/~ ki i Z1
W ~ k + ky' F ~ V k + ki ъ
В этом случае, очевидно, уменьшится и частота колебаний
кабины. Так, при массе кабины т — 500 кг, жесткости каната
k = 2 10° скорости и=2 м/сек нагрузка каната (см. уравне-
ние 1.21) возрастет в
— 12,6 раза.
Такая нагрузка, конечно, опасна. Включение пружины жесткости
kl — 105-^-, лишь незначительно увеличивающей стоимость кон-
струкции, уменьшит дополнительную нагрузку каната до величины
Fl = 0.22F,
не представляющей никакой опасности, так как статическая на-
грузка будет при этом превзойдена всего лишь в 12,6-0,22 =
= 2,8 раза.
з) Акустической аналогией пружинного маятника может слу-
жить резонатор Гельмгольца (рис. 1.25),
представляющий собой металлическую по-
лую сферу объема Ео, снабженную труб-
кой 1 длины h и сечения s (объем трубки
во много раз меньше объема сферы) и
маленьким отростком 2, служащим для
контроля за колебаниями газа в полости
сферы (при помощи уха или легкой мель-
нички, помещаемых у конца отростка);
влияние отростка на режим колебаний
очень мало, и учитывать его мы не будем.
Рис. 1.25
32
С хорошим приближением можно допустить, что газ в трубке
1 движется как одно целое без заметной деформации (подобно
грузу, подвешенному на пружине). Газ же в полости резонатора
не приобретает заметной скорости, а только деформируется (ана-
логия с пружиной) под действием движущейся массы газа tn =
-- (р — плотность газа). При смещении столба газа в трубке 1
на отрезок х возникает сила
ДЛ = зДр,
где Др — адиабатное изменение давления в полости. Применяя
уравнение адиабаты, получаем:
рГ1 = const; т = A; =
Поэтому на воздух в полости действует сила:
Д77 = — у$2 х = — kx;
izo
как видим, она является квазиупругой. Поэтому собственная ча-
стота резонатора равна:
где
с = 1/лК = 1/Ж
г р г М
есть скорость звука в газе, заполняющем резонатор, М — масса
моля газа, R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура.
ж) Задача о жуке. Пусть на колеблющийся маятник массы М
садится без толчка жук массы гп, соизмеримой с массой маятника.
Найдем влияние жука на режим колебаний. Это влияние сущест-
венно зависит от типа маятника и момента посадки.
Во всех случаях отсчет времени будем вести от момента посад-
ки жука.
В случае математического маятника никаких изменений в ха-
рактере колебаний не произойдет (мы полагаем,’ что жук не ме-
няет практически точечного характера массы системы), так как
в этом случае масса не влияет на условия колебаний, а посадка
без толчка автоматически обеспечивает внесение в систему допол-
нительной энергии, необходимой для движения дополнительной
массы.
Если маятник пружинный, горизонтальный (при этом сила тя-
жести не влияет на движение системы), то увеличение массы вы-
зовет уменьшение первоначальной частоты
3 Зак. 1072
33
до величины
“1 = М 4- т •
При посадке жука в момент наибольшего отклонения энергия
системы не меняется, а потому не должна меняться и амплитуда;
в этом легко убедиться, приравняв друг другу наибольшие значе-
ния потенциальной и кинетической энергии обоих маятников:
-L kX2m = -j- = 4- (М + от) со2!Х| = -Ь kXl
Если же жук садится в момент прохождения маятника через
положение равновесия, то он вносит дополнительную кинетиче-
скую энергию.
Тогда
-I Л1о?Х,2„ + 4- = 4- (М + т) ®\Х\.
Поэтому и амплитуда возрастет до величины
Посадка жука в промежуточные моменты даст меньшее возра-
стание амплитуды.
Если маятник пружинный, вертикальный, то задача несколько
усложняется. Конечно, частота снова изменится в отношении:
Если жук садится в начальном положении равновесия (нерас-
тянутая пружина), то в уравнении (1.12) нужно заменить т на
(Л4 4- т), но начальные условия остаются прежними. Поэтому
сохраняется и решение (1.13), только статическое смещение (а сле-
довательно, и амплитуда) возрастает до величины:
Х2 = Х2ст = (М + т) Я-.
При посадке жука в нижней точке траектории маятника на-
чальные условия таковы:
при t = 0 х — ; х — 0.
Кг
Поэтому вид решения меняется; получается:
х = (Л4 + tri)~ (Л4 — т) ~ cos ацЛ
к к
Следовательно, статическое смещение (вокруг него происходят
колебания маятника с жуком) снова становится равным:
^Зст = ^2ст = (М + т)
34
но амплитуда колебаний оказывается меньше, чем в предыдущем
случае; она равна:
х3 = (М - т) < Х3ст.
Физически это понятно, так как жук, садящийся в более вы-
соких точках, приносит большую потенциальную энергию тяготе-
ния. Отметим, что при т = Л4 колебания прекращаются, так как
мгновенное значение упругой силы пружины делается равным весу
образовавшегося маятника, а скорость в этот момент равна нулю.
Далее, при посадке жука в момент, когда маятник имеет наи-
большую скорость, начальные условия таковы:
при 1 = 0 х = х = со.
К R
Решением уравнения (1.12) в этом случае является довольно
сложное выражение:
X — —т g -L- JL у cos
/и К
. V М2 + тМ л I / Д'
tg ф0 =--------------;-----> ср> — л, coi = !/ -г-.-------.
tn ' 2 1 ’ 1 г М т
Из него видно, что смещенное положение равновесия и частота
остаются такими же, как и раньше, а амплитуда колебаний равна;
= -f- У /И2 + т2 + тЛ1.
К
Как и следовало ожидать, получается:
Эти результаты понятны и с энергетической точки зрения.
Условимся отсчитывать потенциальную энергию тяготения от по-
ложения х = 0. Тогда жук, садящийся в верхней точке (х = О,
х — 0), не вносит ни кинетической, ни потенциальной энергии; но
благодаря смещению положения равновесия часть энергии системы
дополнительно переходит в колебательную; кроме того, из-за
уменьшения частоты растет амплитуда. Оба эти условия (одина-
ковые во всех рассматриваемых случаях) приводят к увеличению
амплитуды колебаний.
Совершая посадку
х = 0), жук приносит
Q О / 2Mg
в самой нижнеи точке траектории х == —
«отрицательную» энергию тяготения
ДГ = — 2^-р2.
поэтому амплитуда колебаний уменьшается по сравнению с пре-
дыдущим случаем.
3* 35
Если же жук садится при начальных условиях х =
х = то вносимая им энергия
А/
ATV/ mMg2 ,1 2 ( Mg \2_ 1 Л а2
AIV =------Ф -тг пю2 ) =-------------я- тМ
k 1 2 \ л / k
менее отрицательна, и получается амплитуда, промежуточная между
двумя ранее рассмотренными.
В случае физического маятника, размеры которого обязательно
должны приниматься во внимание, задача еще более усложняется,
так как при посадке жука не только растет момент инерции си-
стемы, но меняется и расстояние между осью подвеса и центром
тяжести. Поэтому без специального сложного анализа нельзя иметь
суждения даже о характере изменения частоты системы, не говоря
уже об амплитуде.
§ 1.8. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Выше мы уже видели, что при вращательном движении и в
случае акустического резонатора получаются уравнения движения,
по своему виду подобные уравнению поступательного движения
пружинного маятника. Это подобие позволило сразу писать гото-
вые решения для этих новых задач.
Такое же подобие получается и может быть плодотворно ис-
пользовано при описании ряда электромагнитных явлений. Так,
например, если конденсатор емкости С, имеющий заряд qQ, замк-
нуть на катушку с индуктивностью А, то, как известно, благо-
даря явлению самоиндукции ток будет нарастать постепенно, и
достигнет наибольшего значения в момент исчезновения заряда.
При этом вся энергия первоначального электрического поля кон-
денсатора перейдет в энергию магнитного поля катушки (потерями
на нагревание контура пока пренебрежем). При постепенном исчез-
новении тока конденсатор перезарядится, после чего процесс раз-
ряда возобновится, но ток изменит направление. В контуре воз-
никнут незатухающие электрические (точнее, электромагнитные)
колебания. В любой момент конденсатор имеет заряд и разность
потенциалов
ч = 4-;
и
ток в этот момент равен:
z = —q,
и э. д. с. самоиндукции катушки:
е- L dt -qL.
86
По второму закону Кирхгоффа получаем:
и = — е; Lq + q= 0.
(1.23)
Сравнивая это выражение с уравнением (1.3), убеждаемся, что
уравнения внешне тождественны. Поэтому сразу можно написать
решение уравнения (1.23):
q = <2 cos (со/ + фо); ® = ~уьё' ’
(1.24)
где Q и <р0 определяются начальными условиями. Таким образом,
в электрических явлениях заряд играет ту же роль, что смещение
в механике; индуктивность соответствует массе, жесткость — об-
ратной величине емкости. Продолжая развивать это подобие, най-
дем, что ток соответствует скорости, напряжение — силе. Суще-
ствует соответствие и между энергиями.
Магнитная энергия соответствует кинетической:
= ^к = -гтх'2-
Электрическая энергия соответствует энергии деформации:
Волновое сопротивление контура, соответствующее волновому
сопротивлению в механике, получается равным
р=/4- и-25)
В таблице сопоставлены подобные понятия, встречающиеся при
изучении поступательного и вращательного движения, а также
электромагнитных процессов.
Конечно, внешнее подобие уравнений, описывающих механиче-
ские, электрические и гравитационные процессы, связано с внут-
ренней общностью свойств, присущих этим видам взаимодейст-
вий, хотя их природа и представляется нам различной (на сов-
ременном уровне развития физических знаний).
Установленное выше внешнее подобие между электрическими
и механическими процессами позволяет переносить результаты
исследования одних систем на другие. Мы будем этим пользоваться.
Так, механическим системам на рис. 1.8 отвечают электрические
системы, изображенные на рис. 1.26. Действительно, в схемах б, в
пружины испытывают одинаковую деформацию, чему соответ-
ствуют равные заряды обоих конденсаторов. В схеме г пружины
испытывают одинаковую силу; этому соответствует равенство на-
пряжений на конденсаторах.
Механической задаче, где учитывалось действие силы тяжести
(§ 1.4, г), в электрическом случае соответствует схема на рис. 1.27:
37
Рис. 1.26
к цепи, содержащей индуктивность L и емкость С, последова-
тельно подключается источник постоянной э. д. с. EQ. В момент
t = 0 заряд на конденсаторе равен нулю и происходит замыкание
ключа К. Пользуясь уравнением (1.13), сразу пишем решение:
q = CEq (1 — cos со/); со = -
Рис. 1.27
Таблица
Поступательное движение Вращательное движение Электрические явления
Масса т Жесткость при растяже- нии k Смещение х Скорость X Ускорение х Сила / Коэффициент жидкого трения г Частота свободных ко- лебаний (00 = 1/ — г т Волновое сопротивление р = V km Работа dA = fxdt Мощность Р — jx Кинетическая энергия Т Потенциальная энергия ~2~kxi Момент инерции / Жесткость при круче- нии k Угловое смещение а Угловая скорость а Угловое ускорение а Момент силы М = f • 1 То же, г То же, ©о = ]/А То же, р = Vkl То же, dA — Mcc dt То же, Р = /На То же, -^-/а2 То же, kaz Индуктивность L (Емкость)"”1 С""1 Заряд q Ток q Скорость изменения то- ка q Напряженке и Сопротивление R Т 1 То же, аж — /£С То же, р = j А То же, dА — uqdt То же, Р = uq Магнитная энергия 1 . V LCI2 Электрическая энергия 1 q2
38
В действительности
цепь обладает еще сопро-
тивлением; но оно, как и
трение в механической за-
даче, пока не учитывается.
Установленное подобие
применимо, конечно, не
только при колебательных,
но при произвольных про-
цессах. Рассмотрим пекото-
Рис. 1.28
рые примеры.
а) Если к источнику постоянной э. д. с. Е приключить после-
довательно соединенные сопротивление R и индуктивность L, то
благодаря индуктивности ток будет устанавливаться постепенно.
В любой момент э. д. с. источника уравновешивает э. д. с. само-
индукции:
г di
u1 = —e = L~^r
и поддерживает разность потенциалов на сопротивлении:
и2 = IR.
Поэтому закон Кирхгоффа запишется так:
E = iR+L^-, (1.26)
при начальном условии в момент t = 0 ток i = 0. Решение этого
уравнения имеет вид:
График его изображен па рис. 1.28. Величину т = называют
«временем релаксации» контура RL, а также «постоянной вре-
мени контура»; опа определяет быстроту установления процесса
(в данном примере — тока).
Эта электрическая задача подобна механической: найти скорость
корабля массы т, начинающего двигаться в момент t = 0 под
действием постоянной $илы F. При этом сопротивление движению
принимается пропорциональным скорости: f =• — ид Уравнение Нью-
тона принимает вид:
т6= — rv+F, (1.27)
что полностью совпадает с уравнением (1.26). Поэтому решение
можно написать по подобию:
V = 1/Г1—ехр( — 4-)1; ^ = 4: т = -7-’ (1-28)
39
Следует отметить, что установившаяся скорость V не зависит
от массы, а зависит только" от силы. Время же установления этой
конечной’ скорости растет при увеличении массы (сравни с уста-
новлением тока).
Попутно отметим, что, умножив выражение (1.27) на vdt, по-
лучим:
Fvdt = rv2dt + d
Первый член определяет элементарную работу движущей силы;
второй определяет работу против силы трения, третий — прирост
кинетической энергии корабля. В электрическом случае получим
соответственно: элементарную работу источника, энергию, затра-
чиваемую на нагрев проводника, и прирост магнитной энергии ка-
тушки.
Найдем к. п. д. процесса установления, считая, что скорость
устанавливается, когда она достигает величины
VK = 0,99 V,
что происходит за время — пт, удовлетворяющее условию:
exp f= exp( —п) = 0,01; п~7.
При этом полезная работа будет равна кинетической энергии
Ц7К = 0,49 ml/2,
а работа против сил трения определится выражением:
6 п
А = J rv2dt = rv2T J [1—2 exp ( — z) + exp ( — 2z)] dz
о о
I * t \
здесь введено ооозначение — — z .
\ V /
Интегрируя, получим:
A = mV2(n - 1,5 + 0,02) = 5,5mV2.
Поэтому к. п. д. процесса составляет только:
Любопытно, что результат не зависит ни от массы, ни от
коэффициента трения; эти величины влияют лишь на время дости-
жения предельной скорости.
б) Рассмотрим процесс зарядки конденсатора емкости С через
сопротивление R от источника постоянной э. д. с. Е, подключае-
мого в момент t = 0. Мгновенный заряд и напряжение на конден-
саторе связаны условием:
д = Си.
40
Ток в цепи равен приросту заряда в единицу времени:
i = q,
на сопротивлении R происходит падение напряжения:
= i R == Rq.
По закону Кирхгоффа получаем:
= (1.29)
что совпадает с уравнением (1.27). Поэтому сразу пишем решение:
q — СЕ 1 — ехр
т = RC.
(1.30)
Для тока получим:
г = ? =ехр(-4-} (1-31)
Найдем теперь к. п. д. процесса зарядки. Так как конденсатор
приобретает заряд q и разность потенциалов Е, то запасенная в
нем энергия составляет
W = -±qE.
Источник, обеспечивший перемещение заряда q, совершает ра-
боту:
WQ = qE.
Таким образом, к. п. д. процесса составляет только 50%. Этот
результат не зависит от величин R и С. Даже если бы в цепи
была еще индуктивность, к. п. д. остался бы прежним, но ток
менялся бы при этом по закону затухающих колебаний (§ 1.9).
Конечно, величину к. п. д. можно было бы получить и инте-
грируя уравнение (1.31) по времени.
в) Рассмотрим теперь процесс разрядки конденсатора емкости С
через сопротивление R; цепь замыкается в момент t = 0; началь-
ный заряд конденсатора равен Q.
Мгновенный заряд есть q; его убыль определяет разрядный
ток:
q = Си\ i — —q.
Мгновенное напряжение и на конденсаторе равно напряжению
на сопротивлении:
и = = iR = — Rq.
о
Поэтому получается:
da dt I t \
4=Q ехр(
(1.32)
41
Механическое подобие этих примеров очень непривычно. В пер-
вом случае это пружина, растягиваемая до некоторого предельного
значения деформации; растяжение происходит в сопротивляющейся
среде, кинетическая энергия пружины не учитывается. Во втором
случае — растянутая пружина, находящаяся в сопротивляющейся
среде и возвращающаяся в равновесное состояние (снова без учета
кинетической энергии пружины).
Постановка задачи кажется необычной — в механике мы при-
выкли всегда считаться с массой. Но при изучении электричества
понятие индуктивности вводится не сразу; поэтому электрический
пример не кажется нам таким странным, как механический, хотя
по существу они ничем не отличаются друг от друга.
Хорошим примером плодотворности электромеханического по-
добия является рассмотрение электрических и механических пре-
образователей.
г) Рычаг первого рода (рис. 1.29, а) преобразует силы, ско-
рости и перемещения. Пока углы поворота малы, мо^но писать:
Если существует сопротивление движению, пропорциональное
скорости:
F 2 =
42
то оно преодолевается силой, приложен-
ной к противоположному концу рычага и
равной
Рис. 1.30
2
р __ р V2
Таким образом, рычаг преобразует коэф-
фициент сопротивления по закону:
г\ = г2п2. (1.34)
Но ряд механических величин при работе
рычага сохраняется: это угловые скорости.
моменты сил, мощности и работы.
Электрическое подобие рычага первого рода — трансформатор
(рис. 1.29, б). Для идеального трансформатора с числом витков
в обмотках Л\ и Л-2 справедливы соотношения:
<71 _ Л» _ 'Vi _ „
Л “ е'
убеждаемся, что коэффициенту транс-
Сопоставляя с (1.33),
формации в механике
/о
соответствует электрический коэффициент трансформации
П -----—
е iV2 ’
В трансформаторе, как и в рычаге, сохраняется мощность и
работа. Если в нагрузке Т?2 вторичной цепи выделяется мощность
Р2 z=z поступающая из первичной сети, то ее можно охарак-
теризовать введением эквивалентного сопротивления первичной
цепи:
р / J \2
^ = 4- = ^ 4ч
Ч \ 1 /
что совпадает с (1.34).
В механическом случае направления скоростей обоих концов
рычага взаимно противоположны. В электричестве этому отвечает
противоположность фаз токов в обеих обмотках трансформатора.
Рычагу второго рода (рис. 1.29, в) подобен однообмоточный
трансформатор (автотрансформатор, рис. 1.29, г), в чем читатель
может убедиться самостоятельно.
д) Рассмотрим зубчатую передачу. Пусть колеса имеют ради-
усы Pi и р2 (рис. 1.30); между числом зубьев /\\ и N2 на коле-
сах существует связь
Л\ = Л-'2
Pi
Р2 ’
43
При вращении колес сохраняются линейные скорости на окруж-
ности колес:
= co1pJ = СО2Р2 — V2
и мощность:
= FjpiCOi ==. F 2р2®2 == Л42со2.
Следовательно, сохраняются и силы, действующие на зубья:
Л = Ft.
Преобразуются угловые скорости (они подобны токам) и моменты
сил:
cot __ Л/2 _
о2 ' pi 4
Последние подобны напряжениям в электрической цепи. Таким
образом, зубчатые колеса также являются подобием электрических
трансформаторов.
§ 1.9. ЗАТУХАЮЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ
До сих пор мы идеализировали колебательные системы, прене-
брегая трением (в механике) и сопротивлением (в электричестве).
Теперь учтем эти обстоятельства.
Во многих практических случаях (жидкое трение при неболь-
ших скоростях) силу механического сопротивления можно считать
пропорциональной скорости: <
f.p=-rx, (1.35) 1
где г — коэффициент сопротивления. Таково же выражение закона
Ома в электрических цепях:
и = iR = — qR.
При этом предполагаем, что цепи состоят из металлических
проводников (для тока в жидкости и тока в газе закон Ома не
вполне точен).
Учитывая сопротивление, вместо выражения (1.3) получаем
следующее уравнение движения:
тх — -— kx — гх. (1.36)
Перенося все члены в левую часть, деля на массу и вводя
обозначения
— = 2а; — = (»о, (1.37)
tn гп 4 '
* •• л
получаем:
х 4- 2ах 4- = 0. (1.38)
44
J
lCO'^0
2. ct~(0q
Рис. 1.31
Решение этого уравнения можно найти в любом учебнике физики.
Приведем готовые результаты.
Если трение очень велико (а > соо), то система, выведенная из
положения равновесия, возвращается в него, не совершая колеба-
ний («ползет»); такое движение (см. рис. 1.31, а) называют апе-
риодическим.
Если а = соо, то система также не переходит положения рав-
новесия; но время практического приближения к нему оказывается
меньше, чем в предыдущем случае. Именно к такому режиму стре-
мятся при использовании различных измерительных приборов (для
быстрейшего отсчета показаний).
Если же в начальный момент система (с большим трением) на-
ходится в положении равновесия и ей сообщается некоторая на-
чальная скорость х0, то достигается наибольшее отклонение, после
чего смещение асимптотически стремится к нулю (рис. 1.31,6).
Нас будет интересовать только случай малого трения (а <; <оо),
когда колебательный характер движения сохраняется.
Так как при трении энергия системы будет постепенно расхо-
доваться на нагревание окружающей среды (и самой системы), то
амплитуда колебаний должна убывать с течением времени. С дру-
гой стороны, трение тормозит систему, а потому следует ожидать
и некоторого уменьшения частоты колебаний.
Оценку изменения амплитуды можно сделать, допустив, что
уменьшение ее за малый промежуток времени dl пропорцио-
нально мгновенному значению амплитуды и этому промежутку
времени:
— dXt = aXtdt.
Интегрируя, находим изменение амплитуды за конечный проме-
жуток времени:
X/ t
f \ ссЛ; Xt == Хт ехр( — а/), (1.39)
где X, — значение амплитуды в момент /. Можно показать, что
введенный здесь коэффициент пропорциональности а равен коэф-
фициенту затухания а в уравнении (1.38).
45
Влияние затухания на частоту колебаний сравнительно неве-
лико: частота затухающих колебаний определяется соотношением:
О)2 = (Do — а2. (1.40)
Полное решение уравнения (1.38) при а < соо имеет вид:
х = Хт exp ( — at) cos (<о/ + <р0), (1.41)
где Хт и ср0 зависят от начальных условий. Это колебание уже
нс является гармоническим, и о частоте здесь можно говорить
несколько условно, как и об амплитуде.
Действительно, приняв для простоты ср0 = 0, находим, что ну-
левые смещения получаются в моменты:
G ~ о 7Г — 0, 1,2,.. .).
W
а наибольшие (по модулю) смещения получаются в моменты:
Таким образом, хотя последовательные минимумы (как и мак-
симумы) смещений сдвинуты во времени на половину периода,
равного
/р 2л
но максимумы смещены относительно предшествующих минимумов
на время
у у _ « . Г Т
как должно было бы быть при гармонических колебаниях. Правда,
первое слагаемое гораздо меньше второго, и с этим сдвигом часто
можно не считаться.
Во многих случаях влияние затухания на частоту также можно
не принимать во внимание, считая, что
СО ~ (О0.
Время, входящее в показательный множитель амплитуды, удоб-
но выразить через число колебаний:
t = пТ,
тогда получаем:
exp ( — а/) = ехр( — бп),
где величина
б = аТ aTQ
называется логарифмическим декрементом. Логарифмический декре-
мент определяет отношение двух любых последовательных смеще-
ний, разделенных во времени одним периодом:
xt: х^т = exp б
46
и, следовательно:
6 = In- х— = const.
Xt+T
Эта замечательная особенность — постоянство отношения — су-
ществует только при жидком трении.
Выясним теперь, какова энергетическая сторона процесса. Пол-
ный запас энергии системы в одном из положений наибольшего
отклонения равен:
«7 = J-^exp(-26n).
£
Работа против силы трения за период равна:
т т
А = —J fxdt = rX~m exp ( — 26лг) cooj sin2 (со/ + q>0)^>
о о
где показательная функция, мало меняющаяся за период, выне-
сена за знак интеграла (конечно, это допустимо только при малом
трении). Выполняя интегрирование, получаем:
А == лсо0 гХш ехр ( — 26и).
Введем теперь добротность системы:
q = 2j-t.4 = —= -^=-£-=4 = ^. (1.42)
х A r<j)Q г г 6 2а v
i. Она определяет относительную убыль энергии колебаний за пе-
риод, подобно тому как декремент — относительную убыль ампли-
туды.
Обычно принято считать, что колебания практически прекра-
тились, если их энергия уменьшилась в 100 раз, т. е. амплитуда —
в 10 раз. Приняв это определение и пользуясь формулой (1.41),
получаем выражение для нахождения числа заметных колебаний
системы:
10 = exp (6n) = ехр ( п |,
которое можно представить в удобном для запоминания виде:
| "=TV‘W4e' (L43)
Рассмотрим несколько примеров.
а) Добротность камертона, имеющего собственную частоту /0 =
= 640 гц, равна Q = 3000. Найти время его звучания.
Пользуясь формулой (1.43), находим: п = 2200 колебаний и
время звучания
t = ~3.4 сек.
М
Фактически камертон слышен гораздо дольше, так как ухо
способно воспринимать колебания, отличающиеся по амплитуде не
в десятки, а в тысячи раз. Кстати, отметим, что коэффициент за-
тухания камертона
а = = 0,67 сек~'
41 о
так мал, что его влияние на частоту совершенно неощутимо. Дей-
ствительно, из формул (1.40) и (1.42) получаем:
W 4Q2— (1-44)
Таким образом, заметное влияние затухания на частоту наступает
лишь при добротностях, не превышающих десяти.
б) Для демонстрации опыта Фуко взят маятник длиной I — 10 м
с добротностью Q = 500. При опыте допускается уменьшение ам-
плитуды вдвое. Найти угол поворота плоскости колебаний маят-
ника за время опыта.
Из условия
0,5Хот = Хт exp ( — «)
получаем п = 67 колебаний. Длительность опыта равна:
t = пТ0 = 67 • 2л 1/== 425 сек.
Угол поворота плоскости колебаний (па полюсе) составил бы:
ф== Г.8, i
что вполне доступно наблюдению. Следует отметить, что при хо-
рошей постановке опыта добротность маятника бывает больше,
чем указанная в данном примере.
в) Контур с индуктивностью L = 0,01 гн, емкостью С = 1 мкф
и сопротивлением R — 0,25 ом получает короткие электрические
толчки. С какой частотой нужно их подавать, чтобы возникающие <<
колебания не накладывались друг на друга?
Добротность контура равна:
<2=4- /4=40°-
Число заметных колебаний:
п= 0,74 300.
Время существования заметных колебаний:
t = 300 То = 300 • 2л VLC =0,19 сек.
Поэтому допустимая частота посылки электрических толчков (им-
пульсов) равна:
Г . 1 ,
I “7“ 5 щ.
!
48
Очевидно, чем больше добротность контура, тем дольше суще-
ствует в нем затухающий процесс. Иногда это оказывается прак-
тически вредным, например в телеграфии.
г) Кузов автомобиля покоится на рессорах с общей жесткостью
k = 6-Ю4 н/л.
Масса кузова иг = 300 кг. Возникающие при езде вертикальные
колебания должны длиться не более 5 сек. Найти допустимую доб-
ротность системы.
Так как время существования колебаний:
t = 0,74 QT0 = 5 сек,
то добротность Q должна быть < 15.
д) Для электромагнитных колебаний сверхвысокой частоты
(f = 1010 гц) удается сконструировать резонаторы с исключительно
высокой добротностью (Q = 5-104). Найти время существования
электромагнитного процесса в таком резонаторе.
Уравнение (1.43) позволяет найти число заметных колебаний:
п = 3,7 -104,
поэтому время их существования равно:
/ = ~ = 3,7-10-6 сек.
е) При классическом рассмотрении процесса излучения света
атомами принято считать, что время «высвечивания» атома
т = 10~8 сек.
При частоте колебаний f — 5 • 1014 гц (желтый свет) добротность
атомного излучателя составляет:
Q = 7-10e,
что значительно превосходит добротности, достигнутые в технике.
Если затухание мало, то система успевает совершить более или
менее значительное число колебаний без заметного изменения
амплитуды. Как уже говорилось в § 1.3, за этот промежуток
времени вполне допустимо считать колебания незатухающими. Те-
перь эту мысль можно оформить количественно.
Условимся считать колебания незатухающими, пока амплитуда
не упадет до 0,8 начального значения. Применяя уравнение (1.41),
получаем:
0,8 = ехр (---
Вычисляя, находим:
п — 0,072 Q.
Время существования «незатухающих»
колебаний
где f — их частота. Оно примерно в 10 раз меньше времени
существования заметных колебаний.
4 Зак. 1072
49
Для примеров, рассмотренных в этом параграфе, получается:
а) п==216 колебаний, I — 0,34 сек;
б) п = 36 колебаний, t = 230 сек;
в) п = 29 колебаний, t = 0,018 сек;
г) колебания нельзя считать незатухающими;
д) п = 3600 колебаний, / = 0,36 мксек;
е) лг = 5-105 колебаний, / = Ю~9 сек.
§ 1.10. ПЛОСКИЕ И ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ И СПЕКТРЫ
ЗАТУХАЮЩИХ ДВИЖЕНИЙ
Некоторые частные случаи затухающих непериодических дви-
жений были рассмотрены выше (§ 1.8, а, б, в).
Плоские диаграммы затухающих колебаний при различных доб-
ротностях системы изображены на рис. 1.32.
Фазовые диаграммы таких движений представляют собой спи-
рали, скручивающиеся к началу координат тем быстрее, чем мень-
ше добротность системы.
Действительно, если затухание достаточно мало (а < <оо), то
Рис. 1.32
50
для смещения и скорости затуха-
ющего колебания имеем такие вы-
ражения:
х == Хт exp ( — at) cos cooZ;
х ~ exp ( — ос/) sin соо/.
Исключив тригонометрические фун-
кции, получим:
/ • \2
। Хт ехР ( 2а0-
\ /
Рис. 1.33
абсцисс через период
Но это и есть уравнение спи-
рали, скручивающейся к центру
(рис. 1.33). При этом изображающая
точка пересекает положительную полуось
Поэтому
х0 = Х1Н; хг = Хт ехр ( - аТ0) = Хт ехр
Т.
Легко определяемая разность
Хт-Х1 = Хт
позволяет найти добротность системы. При больших добротностях
можно принять:
ехр —
и тогда сама добротность равна:
Таким образом, для определения добротности достаточно знать
отношение смещений, но не их абсолютные значения.
Способ возбуждения периодически повторяющихся затухающих
колебаний и снятия фазовых диаграмм описан, например, в книге
Г. Д. Поляниной «Лекционные демонстрации по электротехнике
и радиотехнике» (М., Учпедгиз, 1963).
На рис. 1.34 приводятся плоские (а, в) и фазовые (б, г)
диаграммы затухающих колебаний при двух разных значениях
добротности.
На рис. 1.35 приведены осциллограммы и спектрограммы двух
затухающих колебаний.
При фотографировании процесс периодически повторялся. Для
кривых (а, б) период повторения процесса превосходил время
практического существования колебаний примерно в два раза;
для кривых (в, г) — приблизительно в десять раз. В последнем
4«
51
Рис. 1.34
Рис. 1.35
случае (из-за ограниченной разрешающей способности спектроана-
лизатора) отдельные спектральные линии сделались неразличимыми
(рис. 1.35, г). В идеальных условиях сплошной спектр имел бы
только однократный процесс (см. § 1.14).
Весьма существенная негармоничность затухающего процесса
выступает на этих спектрограммах вполне отчетливо.
Введем теперь уточнения в рассмотренные ранее примеры.
В § 1.4, г было показано, что вертикальная пружина, нагру-
женная телом массы т, совершает незатухающие колебания около
положения равновесия:
X =
ст k »
где k — жесткость пружины. Фазовая диаграмма (см. рис. 1.9)
представляла окружность, смещенную относительно начала коор-
динат, совпадающего с концом ненагруженной пружины.
В действительности из-за трения колебания будут затухаю-
щими, и окружность заменится спиралью, свертывающейся
к центру окружности. Когда колебания прекратятся, окончатель-
ная деформация пружины будет равна статической:
Хк = Хст.
Следует отметить, что при этом груз (сначала находившийся
в положении х — 0) потеряет потенциальную энергию тяготения
W = тёХ„,
а пружина приобретет энергию деформации:
= 0,5117,
т. е. половина энергии, потерянной грузом, будет израсходована
на нагревание пружины и окружающей среды.
Такой же результат мы получили ранее, рассматривая аперио-
. дический заряд конденсатора через сопротивление (см. § 1.8).
Оказывается, он верен и для колебательного заряда конденсатора
(через индуктивность), так как этот процесс является электри-
ческим подобием рассмотренного здесь удлинения пружины.
Подобная же картина создается и при включении рамки чув-
ствительного гальванометра в цепь с постоянным напряжением.
Действительно, рамка, подвешенная на тонкой нити и находя-
щаяся в поле постоянного магнита (индукция В), испытывает
действие следующих моментов.
а) Амперова сила создает вращающий момент:
М2 = k.BI = k.2l,
где В — индукция магнитного поля; / — ток, текущий по рамке;
klt k2 — коэффициенты пропорциональности.
53
б) Закручивающаяся нить создает тормозящий момент:
где ср — угол поворота; /?3 — коэффициент пропорциональности.
в) По закону Ленца в рамке наводится индукционный ток,
пропорциональный индукции и угловой скорости движения рамки ф
и обратно пропорциональный полному сопротивлению цепи
этот ток испытывает амперову силу, в результате чего- возникает
тормозящий момент:
М, = — --- — Л4ф, (1.45)
где и k4 — коэффициенты пропорциональности.
Пусть момент инерции рамки равен J. Тогда уравнение ее
движения таково:
/ф = kJ — £3ф — й4ф.
Деля на J и вводя обозначения:
J • 2а = /е4; Jcoo = k3\ JK — k2,
получаем окончательное уравнение:
Ф + 2аф + <ооф = KI. (1.46)
Это уравнение отличается от уравнения (1.38) лишь постоян-
ным слагаемым в правой части. Поэтому его полное решение
складывается из известного уже решения уравнения с нулевой
правой частью, сложенного с частным решением полного уравне-
ния. Но это частное решение легко получить, приняв ф = О,
Ф — 0, т. е. рассматривая рамку, достигшую своего нового поло-
жения равновесия:
Полагая, что со0 > а, и принимая, что в момент включения (/ = 0)
рамка покоится (ф0 = 0; ф0 = 0)', получим полное решение:
Ф = Фо —Фоехр(—аОсо$со0/, (1.47)
графически показанное на рис. 1.36 (кривая слева).
Если после успокоения гальванометра снять приложенное
напряжение, не разрывая цепи (это можно осуществить, питая
цепь от потенциометра), то возникнут затухающие колебания
около нулевого положения равновесия (кривая справа). Так как
затухание зависит от сопротивления цепи (уравнение 1.37), то
можно подобрать «критическое сопротивление», при котором
получится:
а = (оо,
54
Рис. 1.36
и время установления равновесия становится наименьшим. К этому
и стремятся, работая с чувствительными гальванометрами, где
трение в основном «электромагнитное» (трением о воздух мы
пренебрегли, так как его учет лишь очень незначительно увели-
чил бы затухание, но не изменил бы 'характера движения).
В стрелочных измерительных приборах основную роль играет
сухое трение оси, несущей рамку, в ее подпятниках. Чтобы
избежать возможности «застоя» рамки (при малом вращающем
моменте), у этих приборов всегда делают
о)о > а,
что не вредит делу, так как рамка все равно устанавливается
достаточно быстро. Влияние электромагнитного трепня в стрелоч-
ных приборах невелико, и для них обычно не требуется согласо-
вывать сопротивление цепи с критическим сопротивлением при-
бора.
§ 1.11. СЛОЖЕНИЕ ОДИНАКОВО НАПРАВЛЕННЫХ (СКАЛЯРНЫХ)
ГАРМОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
В ряде практических случаев может происходить сложение
нескольких колебаний. Например, тело может колебаться вдоль
некоторой прямой, которая сама колеблется вдоль оси, параллель-
ной этой прямой; нас может при этом интересовать движение тела
относительно этой оси; либо мы можем интересоваться суммарным
давлением (например, звуковым), возникающим при возбуждении
воздушного объема одновременно двумя источниками звука
(напомним, что давление — величина скалярная).
Начнем с простейшего (по очень важного) случая, когда ча-
стоты обоих движений равны. Тогда движения могут разли-
чаться лишь амплитудами и начальными фазами; зададим движе-
ния уравнениями
cos со/; х2 = Х2 cos (со/ + ср0)
55
Рис. 1.37
и изобразим условно при помощи
векторов Xi и Х2 (рис. 1.37), Их
геометрическая сумма изобразится
вектором Хт. Так как проекция сум-
мы нескольких векторов равна сумме
проекций этих векторов, то можно
утверждать, что вектор Хт представ-
ляет суммарное колебание (конечно,
его частота равна со), происходящее по закону:
X Х± 4- *2 = C0S + Ф)>
^|X2+X2+2XiX2COS(p05.
= . (1.48)
& Y Х1 + Х2 cos Фо
Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то
можно написать:
W = -Т Ж2 + 2 cos <p0.
Весьма существенно, что полная энергия зависит от разности
начальных фаз и может быть как больше, так и меньше суммы
энергий слагаемых колебаний. Подобный случай называют интер-
ференцией, а колебания, удовлетворяющие условию постоянства
начальных фаз во времени, — когерентными.
Вопрос о том, откуда же берется дополнительная энергия
(при cos <р0 > 0) или куда девается недостающая энергия (при
cos ср0 < 0), довольно сложен. В общих чертах дело сводится
к тому, что благодаря изменению скорости силы, вызывающие
сложное движение, развивают при совместном действии не ту
мощность, какую они развивали, действуя порознь. Возникающая
здесь сложность связана с тем, что силы, смещения и скорости
подчиняются принципу наложения (в линейных системах, рассмат-
риваемых здесь), а энергии, пропорциональные квадрату смещения
или скорости, этому принципу не подчиняются. Не обсуждая
этого более глубоко, отметим только, что подобная трудность
встречается и при сложении неколебательных движений.
В справедливости полученного результата можно убедиться на
простом опыте: расположив камертон вблизи уха вертикально,
медленно вращайте его вокруг вертикальной оси. Так как ножки
камертона колеблются, попеременно сближаясь и расходясь, то,
в зависимости от ориентации ножек относительно уха, громкость
звука, пропорциональная квадрату амплитуды суммарного давле-
ния, будет заметно меняться.
Установив камертон так, чтобы громкость была наименьшей,
наденьте на одну из ножек футляр с малоупругими стенками
(например, бумажный цилиндр). Тогда колебания давления вблизи
ушйой раковины будут определяться движением лишь одной
56
(открытой) пожки камертона,
и громкость звука увеличится.
Конечно' футляр не должен
касаться ножки.
В рассмотренном примере
энергия колебаний, создаваемых
в воздухе ножками камертона,
перераспределяется в простран-
стве в зависимости от разности
фаз, получающейся в той или
иной точке пространства. Но
можно показать, что полная
энергия, отдаваемая камертоном,
равна сумме энергий, отдава-
емых его ножками (для этого
приходится интегрировать плот-
ность энергии по пространству, где существуют звуковые колеба-
ния). Мы имеем здесь дело с наложением в пространстве звуковых
волн. Детальное изучение этого вопроса выходит за рамки на
стоящей книги.
Представляет интерес сложение многих колебаний с равной
амплитудой и линейно меняющейся начальной фазой:
я
Л-= 2 X,Kcos(w/+ фо'О>
П=1
где ф0 = ; р — целое число. Эти колебания условно изоб-
разятся векторами (рис. 1.38), образующими стороны правильного
многоугольника. Около него можно описать окружность радиуса
R = ОА, причем:
Xm = 2/?sin-^.
Амплитуда результирующего колебания изобразится вектором
Хо == ОВ. Очевидно,
Хо = 2/? sin-^
Полученная сумма интересна тем, что она обращается в нуль
N
при целочисленных значениях отношения — и достигает макси-
мума, когда это отношение равно полуцелому числу:
р
fe = 0, 1, 2, ...
57
При обсуждении уравнения (1.48) мы предполагали, что коле-
бания когерентны. В действительности, это требование не всегда
выполняется, причем следует различать два случая.
а) Если разность начальных фаз складываемых колебаний
меняется быстро и беспорядочно, то средняя энергия суммарного
колебания равна:
г = + W2 + 2 vww2 cos <p0,
где усреднение делается по времени реакции приемника колеба-
ний.'Если за это время начальная фаза успевает измениться много
раз, то среднее значение косинуса обращается в нуль и в этом
случае получается:
W = F, + Г2.
Именно такое положение складывается при освещении двумя
некогерентными источниками света. Световое ощущение в глазу
существует примерно 0,1 сек, а время существования излучения
от отдельного атома составляет не более 10-8 сек. Таким образом,
за время наблюдения усредняется не менее 107 значений беспоря-
дочно меняющейся фазы.
Когда техника окажется способной регистрировать световые
импульсы продолжительностью 10~9— 10-10 сек (что уже довольно
близко к современным возможностям), то можно будет экспери-
ментально обнаружить быстрые колебания суммарной интенсив-
ности освещения при работе двух источников.
Пока же в оптике для получения интерференции приходится
пользоваться искусственным приемом — созданием мнимых коге-
рентных источников путем искусственного разделения светового
импульса на две части и последующего наложения этих частей после
прохождения ими неодинаковых путей. Впрочем, новые источники
света — квантовые генераторы — дают настолько когерентное излу-
чение, что позволяют наблюдать интерференцию непосредствен-
ными методами.
б) Если разность фаз складываемых колебаний линейно меня-
ется со временем, причем скорость ее изменения значительно
меньше скорости изменения фазы каждого из складываемых
колебаний, то получается своеобразное явление «биений», легко
наблюдаемое, в частности, в акустике. Если заставить звучать
одновременно два слегка расстроенных камертона (они могут иметь
одинаковую номинальную частоту, но на ножку одного из камерто-
нов надевается небольшой грузик, слегка меняющий его частоту —
она уменьшается тем сильнее, чем ближе грузик расположен
к концу ножки), то ухо воспринимает звук с периодически изме-
няющейся громкостью.
В этом случае колебания давления, создаваемые камертонами
в точке наблюдения, описываются уравнениями:
x1 = Xmcosw/; х2 = Xmcos[(co + Д«)/], (1-49)
58
причем
Aw < to.
Но второе уравнение можно представить и так:
^2 — т cos (w/ Aw/) — Хт cos [w/ -J- <p (/)] (1.50)
и рассматривать как колебание частоты w с медленно меняющейся
начальной фазой.
Физический смысл результата таков: если в некоторый момент
начальные фазы совпали, то суммарная амплитуда велика. Посте-
пенно фазы все больше расходятся, и наконец, разность фаз
достигает 180°, тогда амплитуда делается минимальной. Но затем
следует дальнейшее расхождение фаз, приводящее к разности,
равной 360°, т. е. к совпадению по фазе, и т. д.
Пользуясь уравнением (1.48), найдем мгновенное значение
энергии суммарного колебания, считая амплитуды обоих колебаний
равными и пользуясь представлением (1.50):
X2 = 2Х^т+ 2X2, cos (Aw/) — 4X2jcos2(-^-). (1.51)
Но можно непосредственно сложить два колебания слегка раз-
личной частоты (1.49) и получить:
х = хг х2 = 2Хпг cos
COS (0 +
(1.52)
т. е. одно колебание частоты I w Н-%—) с медленно меняющейся
амплитудой. Его энергия пропорциональна величине:
X2 = 4X2 C0S2
пг
совпадающей с ранее найденной величиной.
Какое же из представлений — (1.49) или (1.52) — является
«более правильным»? Вопрос поставлен неверно и ответить на него
невозможно. Физически верны оба представления, и выбор того
или другого из них определяется характеристиками приемника
колебаний.
Так, per истри ру я су мма р ное
колебание па осциллографе (к нему
подается напряжение от цепи, пи-
тающейся двумя последовательно
соединенными генераторами с не-
много различными частотами), мы
получим картину, показанную на
рис. 1.39. Здесь складывались
колебания с частотами 19 и 20 гц.
В этом случае разумно пользоваться
представлением (1,52).
Рис. 1.39
59
Но если изучать этот же процесс на спектроанализаторе, спо-
собном разделить две столь близкие частоты, так что на его
экране получатся два всплеска, подобных всплеску на рис. 1.3,
то, конечно, разумнее пользоваться представлением (1.49).
Если же частоты и со2 разнятся относительно сильно (напри-
мер, = бсоД, то представление (1.52) будет отвечать колебанию
частоты 3(ot с «быстромепяющейся амплитудой», что является
довольно бессодержательным, так как при этом гармоничность
процесса делается малозаметной, осооенно, если амплитуды коле-
баний неодинаковы (см., например, верхнюю кривую на рис. 1.40).
Спектральное же представление (1.49) сохраняет при этом свою
наглядность.
Наконец, если приемник фазочувствителен (пример этого
приводится в § 1.12), то наиболее разумным будет представле-
ние (1.50).
Эту важную мысль о возможности равноценных, но физически
различных представлений физических процессов поясним следую-
щим примером: происходит детское футбольное состязание; сколько
игроков участвует в нем?
С точки зрения зрителей (или повара, который готовит для
них обед) —22.
С точки зрения транспортного диспетчера, обеспечивающего
доставку ребят на стадион, их 11 + И (обычно команды живут
раздельно).
С точки зрения хозяйственника, снабжающего их спортивной
одеждой, их 2 + К) + 10 (два вратаря в черных футболках и по
десять ребят в цветных футболках двух разных цветов).
Все эти весьма различные представления дают, однако, один
общий результат: полное число игроков всегда одно и то же
(подобно энергии колебаний в рассмотренной выше задаче).
У читателя может возникнуть вопрос: так как два камертона
не могут быть совершенно одинаковы, то почему же мы не вос-
принимаем биений при их одновременном звучании?
Дело в том, что это звучание просто недостаточно длительно.
Действительно, звук камертона слышен примерно 10 сек.
Пусть частоты камертонов составляют = 256 гц и /2 =
= 256,1 гц.
Тогда частота биений составит всего 0,05 гц, и за время одного
цикла биений камертоны практически затухнут.
Указанная точность изготовления камертонов не преувеличена,
так как экспериментально установлено, что опытный наблюдатель
с совершенным слухом способен различить (при поочередном
прослушивании) два тона, отличающиеся на 0,2—0,3 гц. Точность
изготовления камертонов, разумеется, должна быть больше указан-
ной величины.
Но при длительном одновременном звучании двух громкогово-
рителей, питаемых разными источниками, очень медленные биения
60
всегда могут быть обнаружены, так как невозможно построить
два генератора, имеющих абсолютно одинаковую частоту, если
только эти генераторы независимы друг от друга.
Наконец, при сложении двух или нескольких колебаний
произвольной частоты, если эти частоты достаточно постоянны
во времени, получается устойчивое суммарное колебание, весьма
далекое от гармоничности, но обладающее периодичностью во
времени. Легко понять, что его период является общим наимень-
шим кратным периодов складываемых колебаний. Форма колеба-
ния существенно зависит от начальных фаз. На рис. 1.40 слева
показаны результаты суммирования двух гармонических колеба-
ний; спектры их изображены справа.
Следует отметить, что гармонические изменения давления вос-
принимаются как чистый музыкальный тон. При более сложном
законе изменений давления звук приобретает определенный отте-
нок (тембр), зависящий только от спектрального состава звука,
но не от начальных фаз составляющих колебаний.
Частный случай подобного суммирования представляют так
называемые «шумы» — совокупность большого числа колебаний
с беспорядочно меняющимися частотами, амплитудами и пачаль*
ными фазами. При записи шума, например, на осциллографе по-
лучается быстро и беспорядочно меняющаяся картина. О спектраль-
ном составе шума можно говорить лишь очень условно, так как
и запись на спектроанализаторе не дает четкой картины.
Здесь уместно вспомнить высказывание известного английского
физика Рэлея: «Несколько гармонических тонов (пот) могут иногда
создать впечатление шума. Но шум никогда не сможет дать
подобных нот».
61
§ 1.12. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ (ВЕКТОРНЫХ)
ГАРМОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний
одной частоты
x = XOTcosa>Z; у ~ Yщ cos (ai + ф) (1.53)
суммарная энергия всегда равна сумме энергий слагаемых движе-
ний и совершенно не зависит от разности начальных фаз.
Действительно, если масса движущейся точки т, а жесткость
системы k (она одинакова для обоих колебаний, так как в про-
тивном случае частоты их не могли бы быть одинаковы), то
кинетические энергии таковы:
^=4-^2- о-54)
Потенциальные энергии соответственно равны:
г; = 4-^; = О-55)
Но полное смещение
Т=Д +Д/,
где / и / —- единичные векторы вдоль осей координат, совпадаю-
щих с направлением движений.
Суммарная скорость есть
i=tx+~fy.
При этом (так как система координат прямоугольная):
/2 = х2 4- у2-, I2 = х2 + у2.
Отсюда сразу видно, что в любой момент полные энергии
W = Wx + Wy, W' = W'x + W'y (1.56)
равны сумме мгновенных энергий, и никакой зависимости полной
энергии от разности начальных фаз не существует. Поэтому
иногда говорят, что взаимно перпендикулярные колебания не
интерферируют.
Практический интерес представляет изучение траектории дви-
жения при сложении колебаний, описываемых уравнениями (1.53).
Исключая время, получаем уравнение траектории в явном виде:
(-у—) + (-/—}---------------cos q> = sin2 <р. (1.57)
Пользуясь методами аналитической геометрии, легко показать,
что траектория в общем случае является эллипсом, главные оси
которого не совпадают с координатными осями. Эллипс вписан
62
в прямоугольник со сторонами
2Xm, 2Yni (кривая 1 на
рис. 1.41).
Фазовый угол для эллип-
са 1 лежит в пределах:
— эллипс обегается движу-
щейся точкой по часовой
стрелке.
При ср = Д- главные оси
эллипса совпадают с осями
координат (кривая 2), на-
правление обхода эллипса со-
храняется. Если в этом случае
вырождается в окружность.
и амплитуды равны, то эллипс
При фазовых углах < ф < л эллипс еще больше поворачи-
вается по часовой стрелке (точки его касания с прямоугольником
попадают во второй и четвертый квадранты — такой эллипс на
рисунке не показан).
По мере роста фазового угла эллипс все больше суживается,
а при ф = л вырождается в прямую 5, по которой точка дви-
жется взад и вперед. При дальнейшем росте фазового угла
I Зл >
л<Ф<—снова появляются эллипсы, все более расширяю-
Ззт
щиеся и обегаемые точкой против часовой стрелки. При ф = —н—
получается опять эллипс 2; но он обегается теперь против часовой
стрелки. Рост фазового угла до величины 2л приводит к посте-
пенному суживанию эллипсов, расположенных подобно эллипсу /,
но обегаемых против стрелки часов. Наконец, при ф == 2л эллипс
вырождается в прямую 4.
Все эти выводы можно проверить на маятнике, сообщая ему
взаимно перпендикулярные движения. Но еще лучше воспользо-
ваться электронным осциллографом. При этом его временная раз-
вертка отключается, а складываемые 'напряжения подаются на
вертикальный и горизонтальный входы осциллографа. Для полу-
чения неподвижных картин (постоянство фазового угла) оба
напряжения должны создаваться одним генератором. На рис. 1.42
показана простая схема, позволяющая плавно регулировать раз-
ность фаз. Тут же изображена и векторная диаграмма, поясняю-
щая работу схемы (такие схемы называют фазовращателями).
Питающее напряжение представлено вектором U. Ток и на-
пряжения в цепи показаны в верхнем полукруге (ток совпадает
63
по фазе с напряжением на сопротивлении и опережает напряже-
ние на конденсаторе на л/2). Соответствующие величины для
цепи RiCi ложатся в нижний полукруг. Разность потенциалов
между точками А и В определяется вектором ВА, сдвинутым
по фазе относительно питающего напряжения на угол <р. Увели-
чение сопротивления R (при неизменности остальных параметров
цепи) приводит к разности потенциалов сдвинутой относи-
тельно питающего напряжения на угол фх. Очевидно, такая схема
позволяет менять разность фаз от нуля до 180°.
Отметим попутно, что кривые на рис. 1.41 пересекают оси
координат одинаковое число раз — два раза за период. Эти кри-
вые являются частным случаем кривых Лиссажу, получающихся
при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний различ-
ной частоты. На рис. 1.43 представлен ряд кривых Лиссажу —
около каждой указаны отношения частот и разности началь-
ных фаз.
Практически интересны случаи, когда отношение частот равно
отношению небольших целых чисел. В этих случаях по виду
кривых можно определить отношение частот. Оно равно обратному
отношению числа пересечений с осями координат.
Широко применяется метод сравнения частот, при котором
частоту градуированного генератора меняют до тех пор, пока не
получится кривая Лиссажу известного вида.
При когерентных колебаниях, например, получаемых от фазо-
вращателя и питающей его сети, неподвижные кривые Лиссажу
можно использовать для измерения фазовых сдвигов. Если же
напряжения подаются от разных генераторов, то по причинам,
изложенным в § 1.11, наблюдается медленное изменение траекто-
рии электронного пучка, постепенно проходящей через все рас-
смотренные формы. Таким образом, метод кривых Лиссажу
является фазочувствительным методом. Чем меньше разность
частот слагаемых напряжений, тем медленнее изменяется форма
Рис. 1.42
64
кривой Лиссажу. Таким образом удается сравнивать частоты
с весьма высокой степенью точности, превосходящей возможности
современных спектроанализаторов.
В заключение отметим, что так как вращательное движение
равнозначно двум взаимно перпендикулярным колебаниям, то этой
равнозначностью широко пользуются (например, в упрощенной
модели атома, где круговое движение электрона вокруг ядра
трактуется как колебания электрона).
С другой стороны, гармоническое колебание
х = 2X,?Icoso)/
можно рассматривать как результат двух вращений по окруж-
ности, описываемых уравнениями:
5 Зак. 1072
55
Рис. 1.43
и
л-2 = Хт cos со/; у2 = Хт sin (со/ 4- л)
и происходящих во взаимно противоположных направлениях. Такое
представление оказывается плодотворным, в частности, в кристал-
лооптике.
§ 1.13 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
(РЯД ФУРЬЕ)
В § 1.11 было выяснено, что сложение ряда гармонических
движений одного направления и различных частот дает периоди-
ческое негармоническое движение. В прошлом веке Фурье доказал,
что справедливо и обратное утверждение: периодическая функция
/(/) (на свойства которой наложены небольшие ограничения,
почти всегда несущественные для физики и здесь не рассматри-
ваемые), имеющая период Т, может быть представлена рядом
тригонометрических функций:
оо
/ Отт \
f (О = 4 + 2^ А<cos V : z (1 -59)
С=!
Этот ряд называют рядом Фурье. Разработаны методы и приспо-
собления для нахождения амплитуд и фазовых углов для этого
ряда. Практически число членов ряда, подлежащих учету, часто
бывает невелико, так как амплитуды быстро убывают при увели-
чении номера члена ряда. Слагаемое, отвечающее /= 1, называют
основным колебанием или тоном, остальные — гармоническими
обертонами (вторым, третьим и т. д.).
Сразу же отметим, что разложение периодической функции
в ряд Фурье — не единственно возможное разложение. Так,
функция
f(t)— COS СО/
может быть представлена таким рядом:
f (/) = -L COS со/ + 1 cos со/ 4- cos 2со/1 —
Подобное разложение не представляет практического интереса
и приводится только для примера. Но в ряде задач теоретичес-
кой физики применяются разложения по различным специальным
функциям.
Разложение в ряд Фурье применяется особенно часто. Это
объясняется чисто практическими обстоятельствами: существует
большое число приемников, способных выделять из слож-
66
а б
Рис. 1.44
кого периодического процесса его Фурье-составляющие (например,
акустические резонаторы, описанные в § 1.6, резонансные кон-
туры в физике электромагнитных колебаний и др.).
В этой книге мы ограничимся только разложением Фурье.
На рис. 1.44, а представлено пилообразное напряжение. Его
разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:
и(/)=2(/
sin со/--------к- sin 2со/ +
Zu
г (— I)"-14" sin 4
2т
Здесь со = -у-, где Т — период функции и (/). На том же рисунке
приведен спектр той же функции, полученный на спектроанали-
заторе (рис. 1.44, б). Так как амплитуды гармоник обратно про-
порциональны их номерам, то уже небольшое число гармоник
дает хорошее приближение. Так, сумма первых пяти гармоник
(сплошная линия па рис. 1.45) почти соответствует заданной
функции (пунктирная линия).
S*
67
Рис. 1.46
Полуперйодный выпрямитель (см. § 3.3) дает напряжение,
описываемое уравнением:
и = Um sin со/ при 0 < at < п,
и — 0 при л С at 2л.
Разложение этой функции в ряд Фурье дает:
и = 0,326/т[1 — 1,57cos со/ ф- 0,67cos2®/ ф- ...].
Это напряжение и его спектр представлены на рис. 1.46.
Следует отметить, что в рассмотренных примерах время неогра-
ничено, т. е. процесс мыслится начавшимся бесконечно давно
(/ -j— ос) и длящимся до бесконечности (/ -> ос). Всякий реаль-
ный процесс ограничен во времени. Поэтому возникает вопрос
о практической ценности разложения Фурье.
В следующем параграфе будет показано, что при достаточно
большом числе повторений процесса его спектр практически не
отличается от спектра бесконечно длительного процесса и, следо-
вательно, разложение Фурье сохраняет свое значение и в реаль-
ных задачах.
§ 1.14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
(ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ)
Рассмотрим теперь разложение в ряд Фурье прямоугольных
импульсов с различной длительностью пауз между ними. -На
рис. 1.47 вверху изображен прямоугольный импульс со сле-
дующими характеристиками:
длительность импульса — т сек,
длительность паузы — Tj = т сек,
периодичность процесса — Т = 2т сек,
амплитуда импульса — 4=1.
68
Рис. 1.47
Рядом показан спектр этого импульса при неограниченно
долгом его повторении. Существенно, что наименьшая частота
определяется периодичностью процесса:
2л
®т= —
Все гармоники, для которых выполняется условие:
со =. 2k k = 1, 2, ... ,
исчезают. Для воспроизведения такого импульса достаточно
небольшого числа гармоник.
На рис. 1.48 сплошная кри-
вая представляет сумму че-
тырех гармоник — она уже
весьма близка к истинному
значению импульса.
Вернемся, однако, к
рис. 1.47. Если увеличить пау-
зу между импульсами вдвое,
сохранив длительность им-
пульса, то период процесса
станет равен Зг. Теперь
спектр разложения изменится:
уменьшится наименьшая час-
тота, и на отрезке частот от
Рис. 1,48
69
Рис. 1.49
нуля до о) = — уложится теперь две составляющих; частоты,
кратные Зют, исчезают. Такая же закономерность сохраняется и
для дальнейшего увеличения пауз: вид и спектр импульса, имею-
щего Т= 5т, также даны на рис. 1.47.
Наконец, при безграничном увеличении периода (Т > оо, т. е.
при единичном импульсе) основная частота разложения
стремится к нулю, спектр становится сплошным, ряд Фурье (1.59)
переходит в интеграл Фурье
«(/) = — ( S (®j: sin [®/+ ф (®)] cZ®, (1.60)
к ( ' '
о
где функция распределения S(®) характеризует распределение
амплитуд по спектру. Здесь уже. нельзя говорить об определенных
частотах, имеющих определенные амплитуды, так как спектр оказы-
вается сплошным. Его можно характеризовать лишь средним зна-
чением амплитуды в некотором узком интервале частот (®, и + Дсо);
это значение равно ординате кривой распределения в точке с абс-
циссой ®, умноженной на ширину частотного интервала А®. Для
интервала нулевой ширины (А® — 0) амплитуда равна пулю, сле-
довательно, равна нулю и энергия. О невозможности существова-
ния чисто монохроматического колебания уже говорилось выше
(см. § 1.2).
70
Рис, 1.50
Рис. 1.51
На рис. 1.49 изображены (в одинаковом временном масштабе)
осциллограммы двух прямоугольных импульсов, а также их
спектрограммы; на последних начало координат соответствует
нулевой частоте.
Важно отметить, что в случае прямоугольного импульса абсо-
лютный максимум амплитуды (или максимум кривой распределения
при одиночном импульсе) получается при со = 0. Функция распре-
деления S(co) обращается в нуль при <о = &—. В промежутках
между нулями функция распределения проходит через вторичные
максимумы, убывающие по мере роста их номера.
Большой интерес представляет также спектральное разложение
импульса, заполненного незатухающими колебаниями, период кото-
рых меньше продолжительности импульса. Такой импульс можно
назвать «обрывком косинусоиды».
При периодическом повторении такого импульса получаются
осциллограммы и спектрограммы, представленные на рис. 1.50
и 1.51. В отличие от спектра прямоугольных импульсов абсолютный
максимум амплитуды получается теперь при частоте, характеризую-
щей косинусоиду. Заметные дополнительные частоты представлены
в спектре тем богаче, чем меньше периодов косинусоиды охваты-
вает импульс. В случае единичного импульса получается снова
непрерывный спектр с наибольшей амплитудой при частоте косину-
соиды и тем менее размытый, чем большее число периодов уложи-
лось в обрывке косинусоиды.
71
При достаточно большом числе периодов практически прихо-
дится считаться только с узкой областью частот вблизи главного
максимума (см. рис. 1.3).
Как правило, в технических приложениях число колебаний
в импульсе бывает велико, а промежутки между импульсами зна-
чительно превышают их длительность. Так, при радиолокации
частота используемых колебаний может составлять, например,
1010 а^. Продолжительность импульсов — порядка микросекунды,
так что в импульсе укладывается до десяти тысяч колебаний.
Паузы между импульсами бывают порядка миллисекунды, т. е.
в тысячу раз превышают длительность импульсов. В этих условиях
импульсы можно рассматривать как одиночные и пользоваться
спектральным разложением, даваемым интегралом Фурье.
Рассмотренные выше примеры еще раз подтверждают важное
утверждение, что чисто монохроматические колебания реально не
существуют. Спектральные линии, иногда рассматриваемые как
монохроматические, в действительности всегда охватывают неко-
торый интервал частот. Обычно для оценки степени монохрома-
тичности вводят понятие о ширине спектральной линии, понимая
под этим интервал частот 2Д<о, на границах которого функция
распределения, входящая в уравнение (1.60), падает до 0,7 своего
наибольшего значения (в середине интервала). Такой выбор обус-
ловлен тем, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды
и, следовательно, на границах интервала падает вдвое.
Между шириной линии и длительностью излучения всегда су-
ществует соотношение:
До)-Д/ > 2л,
т. е. большая монохроматичность требует большей длительности.
Практический интерес имеет не столько абсолютная, сколько
относительная ширина спектральной линии:
Д(о
8 = —.
со
Относительная ширина линий в радиотехнике составляет при-
мерно
ер^ 10~7 -ь 10“5.
В оптике она обычно больше:
8О~ 10-5ч- 10“4.
Но в отдельных случаях (излучение современных квантовых
генераторов, называемых лазерами, а также рентгеновское излуче-
ние атомных ядер в специальных условиях—-так называемый эффект
Мессбауера) ширина спектральных линий уменьшается на 7—9
порядков.
В акустике ширина спектральных линий в лучших случаях
имеет тот же порядок, что и в оптике; обычно же она больше.
72
Именно эта относительная узость спектральных линий и дает воз-
можность иногда (в первом приближении) считать колебания чисто
гармоническими, т. е. строго монохроматическими.
§ 1.15. О ДВУХ СТРАННЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ, СВЯЗАННЫХ
С РАССМОТРЕННЫМ МАТЕРИАЛОМ
1. В § 1.14 мы показали, что любой реальный сигнал, имеющий
начало и конец во времени, может быть представлен как сово-
купность бесконечного числа гармонических процессов (1.60), для-
щихся неопределенно долго. Сумма этих процессов отлична от
нуля только во время существования сигнала.
Если подобный сигнал попадает на вход приемного устройства,
подчиняющегося линейным дифференциальным уравнениям, то на
выходе приемника спектр сигнала сохраняется, но амплитудные
и фазовые соотношения могут существенно меняться в зависимости
от свойств приемника (подробнее этот вопрос освещен в § 2.2
и 2.3). Зная характеристику приемника и спектр сигнала, можно
рассчитать сигнал на выходе приемника.
Здесь возникает такой вопрос: не может ли случиться, что
сигнал на выходе приемника (вычисленный) будет существовать
до прихода реального сигнала на вход приемника или после
исчезновения реального сигнала?
Первая возможность — появление сигнала на выходе (следствие)
до прихода реального сигнала на вход (причина) — явно противо-
речит закону причинности.
Однако строгий расчет этого процесса, имеющийся, в статье
одного из учеников академика Мандельштама — члена-корреспон-
дента Академии наук СССР С. М. Рытова, приводит к следующим
интересным результатам («Успехи физических наук», т. 29, 1946,
стр. 147).
а) Если приемник описывается линейными уравнениями, то он
обязательно обладает некоторым положительным затуханием. При
этом (независимо от всех прочих свойств приемника) сигнал на
выходе оказывается равным нулю до момента прихода реального
сигнала на вход приемника. Это происходит потому, что в прием-
нике одновременно с изменением амплитуд будет происходить
и изменение фазовых соотношений, так как у всякого приемника
сложной форме амплитудной зависимости (от частоты) обязательно
отвечает и сложная зависимость фазовых соотношений (от частоты).
Таким образом, никакого противоречия с законом причинности не
возникает.
б) После исчезновения реального сигнала на входе возможно
существование сигнала на выходе; этот сигнал оказывается зату-
хающим. В таком результате нет ничего странного — энергия,
полученная приемником, может, конечно, расходоваться более или
73
менее долго (приемник «звенит» подобно колоколу — после удара
по последнему).
в) Если приемник описывается нелинейными уравнениями (см.
главу третью), то указанный 'в пункте «а» вывод теряет силу. Физи-
чески это вполне понятно; как мы увидим позже, нелинейные
системы способны сами генерировать колебания, называемые
автоколебаниями (§ 3.10). Разумеется, эта возможность никак не
связана со временем прихода реального сигнала из внешнего мира,
и напряжение автоколебаний может существовать в приемнике
в любое время.
2. Второй странный результат связан с материалом, изложенным
в конце § 1.12. Там мы показали, что движение по окружности
равносильно двум взаимно перпендикулярным колебаниям, проис-
ходящим под действием квазиупругой силы, пропорциональной
смещению.
Как известно, Земля обращается вокруг Солнца под действием
силы ньютоновского тяготения, обратно пропорциональной квадрату
смещения.
Нет ли здесь противоречия?
Конечно, нет. Если бы Земля не имела скорости, касательной
к ее траектории, то сила тяготения заставила бы Землю двигаться
по прямой, направленной к центру Солнца, причем эта прямая не
перемещалась бы в пространстве относительного Солнца.
Более того, для устойчивого вращения требуется не только
наличие касательной составляющей скорости, но и вполне опреде-
ленная величина этой скорости:
v = toR, (1-61)
где со — угловая скорость вращения Земли, R — расстояние ее от
Солнца. Поэтому сила тяготения при заданной частоте вращения
должна обеспечить центростремительное ускорение:
а = со2/?.
Иначе говоря, сила должна быть пропорциональна смещению. При
этом направление силы вращается в пространстве с угловой час-
тотой со. Если условие (1.61) не соблюдено, то движение по окруж-
ности происходить не может.
§ 1.18. НЕКОТОРЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
После первых более или менее удачных попыток записи кривой
звукового давления р = f (t), возникающего при человеческой речи,
и изучения частотного состава гласных при помощи резонаторов
(§ 1.6) делались попытки синтезировать речь, и прежде всего —
гласные звуки.
При этом исследователи старались воспроизвести кривую звуко-
74
вого давления. Однако эти попытки
не дали результата — синтезирован-
ные звуки не соответствовали образ-
цам.
Причина этого лежала в недопо-
нимании свойств уха, установленных
в начале XIX в. Омом. Акустический
закон Ома гласит, что ухо реагирует
на частоты и амплитуды гармоничес-
ких составляющих сложного звука,
но не на фазовые соотношения.
В справедливости закона убеждает
простой факт: меняя место в театре,
мы продолжаем слышать мелодию
без искажений. Между тем очевидно,
что изменение положения слушателя
относительно оркестра приводит к
изменению фазовых соотношений ме-
жду составляющими сложного звука,
Рис. 1.52
достигающими уха наблюдателя; ра-
зумеется, изменение фазовых соотно-
шений очень сильно изменяет форму
кривой звукового давления.
На рис. 1.52 показаны осцилло-
граммы и спектрограмма двух коле-
баний одинакового спектрального
состава. Изменение формы кривой
давления достигнуто только изме-
нением начальных фаз. Звучание в
обоих случаях совершенно одинаково.
С другой стороны, можно создать два сложных звука различ-
ного спектрального состава, но имеющих похожие кривые звуко-
вого давления — это достигается подбором амплитуд и фаз. Пони-
мание рассмотренной закономерности пришло только в 20-х годах
нашего века, после создания анализаторов спектра.
Попутно поясним, каким образом певец может петь различные
гласные на одной и той же частоте, а также каким образом данная
гласная может быть спета на различных частотах.
Анализ спектра гласных показал, что для каждой из них
существует определенная группа частот (формант), почти не изме-
няющихся при изменении высоты тона. При данной же высоте
тона те или иные форманты определяют появление различных
гласных.
На рис. 1.53 представлены схематические спектры гласной «и»,
пропетой на частотах, указанных на рисунке. Сохранение формант
(они начерчены более жирно) видно довольно отчетливо.
В этой связи стоит упомянуть о поучительном опыте: если при
75
1 .
128 г и
256 гц
125 250
500 103 2-10 3 ^103
1
f
Рис. 1.53
проигрывателе немного изменить ско-
(например, вместо 33 об/мин создать
воспроизведении пения на
рость вращения пластинки
45 об/мин), то разборчивость речи сохраняется, но голос кажется
более высоким. При этом в одно и то же число раз увеличивается
высота основного тона и всех формант. Так как это изменение
не очень велико, то характер звучания гласных сохраняется.
Если же значительно изменить скорость (например, до 16 или
78 об/мин), то, кроме резкого изменения частоты звучания, наблю-
дается очень сильно ухудшение разборчивости речи — форманты
одних гласных смещаются в области, соответствующие другим
гласным.
Глава вторая. ВЫНУЖДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 2.1. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ
Вынужденным движением называют движение под действием
внешней силы. Опираясь на закон независимости движений, можно
утверждать, что при этом система будет совершать не только
движение, определяемое действием внешней силы, но и собственное
движение, поскольку система выводится из положения равновесия.
Если затухание системы настолько велико, что ее собственное
движение апериодично (а > соо), то под действием постоянной
внешней силы, выводящей систему из положения равновесия, си-
стема будет двигаться в направлении внешней силы, причем сме-
щение будет нарастать, стремясь к некоторому предельному зна-
чению; скорость же сначала будет увеличиваться, достигнет
наибольшего значения и затем будет стремиться к нулю, не меняя,
однако, своего направления.
Если же система обладает собственной частотой (а <; соо), то
положение равновесия сместится и система будет совершать зату-
хающие колебания около этого нового положения равновесия.
Примеры таких движений были рассмотрены в § 1.10. Там мы
видели, что под действием силы тяжести подвешенного тела пру-
жинный маятник растягивается до статического удлинения; вокруг
этого нового положения равновесия происходят затухающие коле-
бания. Подобным же образом ведет себя измерительная система
гальванометра при его включении в цепь с постоянным напряже-
нием. Таким же образом нарастает заряд на конденсаторе, под-
ключенном через индуктивность и сопротивление к источнику
постоянной э. д. с.
Если система характеризуется не тремя параметрами (m, k, г —
в механических и соответственно L, С, R — в электрических про-
цессах), а меньшим их числом, то получающееся движение яв-
ляется частным случаем указанного выше общего решения. При
этом характер движения может измениться, что соответствует
некоторому предельному переходу (при математическом рассмотре-
нии задачи). Подобные примеры также встречались ранее. Так,
если система не обладает упругостью (и, следовательно, не имеет
77
положения равновесия), то при действии постоянной силы проис-
ходит постоянное нарастание смещения, а скорость растет до не-
которого предельного значения; так же растет и ток в цепи
с индуктивностью и сопротивлением (§ 1.8).
Напряжение на конденсаторе, заряжаемом через сопротивление
от источника постоянной э. Д. с., растет по такому же закону
(§ 1.8). Механическое подобие этого случая — растягивание пру-
жины в сопротивляющейся среде, причем кинетическую энергию
пружины можно не учитывать (по сравнению с энергией дефор-
мации), кажется искусственным, так как мы привыкли в механике
считать массу обязательной характеристикой системы.
Приложение постоянной силы к свободной точке вызовет, со-
гласно второму закону Ньютона, равноускоренное движение.
В электрическом случае этому соответствует пропорциональное
времени нарастание тока в катушке, практически лишенной сопро-
тивления. Приложение постоянного напряжения к конденсатору
вызовет его мгновенную зарядку (если сопротивление цепи не
принимать во внимание). В механике этому соответствует момен-
тальная деформация пружины.
Наконец, при учете только сопротивления в электрическом
случае получаем постоянный ток. В механике ему отвечает равно-
мерное движение в сопротивляющейся среде.
§ 2.2. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ СИЛЫ
(ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ)
Предположим теперь, что колебательная система (с затуханием)
подвергается длительному (по сравнению со временем существо-
вания собственных колебаний) воздействию гармонической внеш-
ней силы:
/ = Fm cos оз/, (2.1)
приложенной к телу массы т; один конец пружины, как и раньше,
прикреплен к телу, а другой жестко закреплен.
Для исследования движения мы должны в уравнении (1.38)
приписать справа внешнюю силу. Вводя приведенную амплитуду
силы
получим уравнение движения:
х 2ах + аох = A cos at. (2.3)
В любом курсе физики можно найти доказательство того, что
полное решение этого уравнения имеет вид:
х = Хо exp (— at) cos (со,/ Д <р0) -f- Хт cos (со/ — ф). (2.4)
78
Первое слагаемое представляет
собственные затухающие коле-
бания (их амплитуда и фаза
зависят от начальных условий);
они раньше или позже затухнут.
Второе слагаемое определяет
установившееся движение, про-
исходящее с частотой внешней
силы. Амплитуда и фазовый
угол от начальных условий не
зависят и определяются только Рис. 2.1
параметрами системы и силой.
Если внешняя периодическая сила (2.1) длительно действует
на систему с большим затуханием (а > соо), то полное решение
уравнения (2.3) также состоит из двух частей: но первая часть
описывает собственное апериодическое движение, практически
исчезающее через достаточно большой промежуток времени; вторая
часть, описывающая вынужденное движение, совпадает со вторым
слагаемым уравнения (2.4).
Так как во многих случаях наиболее интересно установив-
шееся движение, то в дальнейшем мы ограничимся только коле-
бательными системами.
На рис. 2.1 изображен процесс установления колебаний при
со со0. Если же частота свободных колебаний совпадает с частотой
внешней силы (со = соо), то нарастание амплитуды происходит
гладко. На рис. 2.2, а, б этот процесс показан для систем с раз-
личными величинами добротности (Q($ > QJ.
Физический смысл процесса установления можно пояснить,
пренебрегая затуханием. Тогда решением уравнения (2.3) будет
выражение:
х = Хо cos (соо/ + ф0) + Xni cos (со/ — ф).
(2.5)
Пусть при t = 0 система покоится, а внешняя сила имеет наи-
большую величину. Тогда можно положить ф — л и написать
начальные условия:
а
Рис. 2.2
б
79
при t = О Хо cos <р0 — Хт = 0; <в0Х0 s'n <Ро = 0> откуда находим
Фо = 0; Хо = Хт.
Подставляя эти значения в уравнение движения, получим:
х. = У4-; х = 2Х„ <2-®
(0q — CD4 \ / \ /
что соответствует рис. 2.1 (без затухания биения продолжились
бы неопределенно долго; на осциллограмме реального процесса
они затухают).
При приближении частот друг к другу уравнение (2.6) следует
переписать так:
х =—--------1 sin(00Z —-Д—sincooZ = -^-7 sin®,/, (2.7)
(Do + (0 u 2(00 zp
где p = ]/km — волновое сопротивление, определенное раньше
(уравнение 1.5).
Итак, в этом случае амплитуда колебаний росла бы пропор-
ционально времени. При учете затухания, разумеется, рост ампли-
туды должен замедлиться. Он прекратится, когда работа внешней
силы за период * будет полностью расходоваться на преодоление
силы трения. Тогда алгебраическая сумма этих сил должна в любой
момент времени равняться нулю. Конечно, при расчете этого случая
уравнение (2.7) не годится. Мы должны обратиться к уравнению
(2.3) и принять:
• F
2ах = —^--cos ®of. 1
т и
Поэтому:
• F
X = -COSCO,/ = COSCO,/.
2am и и и
Но а = так что для амплитуды установившегося смещения
при со = (оо (случай резонанса) получается:
Следовательно, амплитуда установившегося смещения при резо-
нансе будет равна:
XOm = XCTQ. (2.9)
Она превышает статическое смещение ХС1 в число раз, равное
добротности системы.
Вернемся теперь к уравнению (2.3) и займемся нахождением
его частного установившегося решения:
х = Хт cos (со/ — ф). (2.10)
80
Рис. 2.3
2а.шХт
Подстановка (2.10) в (2.3) должна обращать последнее в тож
дество. Поэтому получаем:
(со2 — со2) cos (со/ — ф) + 2acoX,„ cos ^со/ — ф -|- = A cos со/.
Весьма существенно, что разыскиваемое решение зависит от
соотношения частот со и соо. Для анализа удобно воспользоваться
методом векторных диаграмм. На векторе А построим окружность
(рис. 2.3). Тогда любой треугольник, имеющий гипотенузу, рав-
ную А, и вершину, лежащую на окружности, дает одно из реше-
ний. Прежде чем искать решение в общем виде, рассмотрим
частные случаи.
a) со<со0. Здесь можно пренебречь трением и считать cog—
— со2 —cog. Тогда получится:
X”__? = T!L = X'” *, = о'
т. е. амплитуда практически равна статическому смещению, а фа-
зовый сдвиг фг (между силой и смещением) очень мал.
б) со < соо. При росте частоты внешней силы начинает прояв-
ляться трение. Фазовый угол (0 <; ф., < л/2) растет вместе с час-
тотой. Векторы для этих случаев лежат в верхнем полукруге.
в) При равенстве частот (со = соо, резонанс) первое слагаемое
исчезает. Остается:
2aw0Xm cos [со/ — ф3 4- ~ == A cosat
\ £ ]
и получается:
Х„ = Хо = XCTQ,
6 Зак. 1072
81
фазовый угол возрастает:
где Q — добротность систе-
мы. Амплитуда резко воз-
растает. Сдвиг фаз между
силой и смещением дости-
гает 90°. Физически важ-
нее, что при этом сдвиг
фаз между силой и ско-
ростью оказывается нуле-
вым. Все эти результаты
были уже получены рань-
ше.
г) со > соо. Снова появ-
ляется первое слагаемое,
но оно изменило знак. На
диаграмме это учтено пе-
реносом изображающего
вектора в нижний полукруг. Амплитуда колебаний уменьшается,
я.
Так как на чертеже был изменен знак у вектора, изображаю-
щего первое слагаемое, то вместо угла ф4 на чертеже теперь
должен учитываться угол
= л — ф4.
д) со > соо. Снова решающую роль играет первое слагаемое:
амплитуда резко падает с ростом частоты (сказывается инерция
системы):
Хт->0; ф5->л (05 -> 0).
Для полного анализа явления применим в общем случае тео-
рему Пифагора. Получим:
= 1 (2.12)
т V (2асо)2 4- (со2 — (1)2)2 соо- со2
На рис. 2.4 изображены резонансные кривые смещения. По
оси ординат отложен квадрат отношения амплитуды Хт к ампли-
туде Хо, получающейся при f = fQ. По оси абсцисс отложены
отклонения А/ частоты вынуждающей силы от частоты свободных
колебаний системы, выраженные в процентах.
Следует отметить, что амплитуда смещения отлична от нуля
при нулевой частоте (т. е. при действии постоянной силы) и до-
стигает максимума не при равенстве частот со и соо, а при не-
сколько меньшей частоте:
со2 = со2 - 2а2 < со2.
82
При малых затуханиях это различие совершенно несущественно,
и мы, как правило, его учитывать в дальнейшем не будем.
Часто (а в электрических явлениях почти всегда) больший
интерес представляет резонансная кривая для скорости (тока). Так
как скорость определяется уравнением:
х = cos — Ф + т) = COS ~ Т
то легко получается:
и для фазового угла:
k
та — —-
tg ср = — ctg гр =--------- (2.14)
Эта резонансная кривая изображена на рис. 2.5. По оси ординат
отложена величина:
где Vm — амплитуда скорости (тока) при некоторой частоте, Уо —
амплитуда при резонансной частоте (со = со0). Читатель должен
обратить внимание на различие масштабов относительного откло-
нения частоты на рис. 2.4 и 2.5.
Для резонансных кривых скорости (тока) максимум наступает
в точности при со = <о0, причем, как уже указывалось, фазовый
угол между силой и ско-
ростью обращается в нуль.
Очевидно, при этом
сила производит наиболь-
шую работу, система рас-
качивается наиболее силь-
но.
По резонансной кривой
для скорости легко опре-
делить добротность систе-
мы. Действительно, при
резонансе получаем:
F~
1/2 _
“ “4aW ’•
Для ординаты, равной по-
ловине У;-, получится:
6*
83
0’5l/° " m2 ((о2 - (Oq)2-f; 4а2ш2
Отношение этих величин равно:
О _ 1 , <°2 - °о)2
z “ 1 -г 4а2со2 ’
Но при больших добротностях:
со = <оо ±1 До) и Дсо < соо.
Преобразуя и извлекая корень,
находим:
2асо = | со2 — со21 2соДсо.
Таким образом, оказывается, что а = Дсо, а добротность
Г) _ ^0 ___ «о ______
2а 2Дсо h '
где h — «относительная ширина резонансной кривой» или «отно-
сительная полоса пропускания» системы. Здесь подразумевается,
что колебания, лежащие вне полосы пропускания (возникающие
при той же амплитуде силы), можно считать несущественными.
Величина 2Дсо называется абсолютной шириной полосы пропу-
скания.
Электрическим подобием рассмотренной механической системы
является последовательный колебательный контур (рис. 2.6),
питаемый напряжением:
и = Um coscot
Действительно, в механическом случае деформация пружины
и смещение тела одинаковы, следовательно, одинаковы и их ско-
рости. В электрическом случае этому отвечает один и тот же
ток в катушке и конденсаторе.
В этом случае уравнения (2.13) и (2.14) заменяются выраже-
ниями:
При резонансе:
(2.15)
(О2 = со2 =
и получается наибольший ток:
84
Для напряжений на конденсаторе
и на катушке имеем:
= = -
= U mQ ~ Л) ^0^- — ^0L*
Фазы этих напряжений отличаются
на 180е. Мощность, развиваемая при
резонансе
7
= -у J' i udt = у = у /о /?,
о
оказывается наибольшей; она, как всегда, расходуется на нагре-
вание сопротивления R.
Максимальный запас энергии конденсатора (при резонансе)
равен максимальному запасу энергии катушки:
we=4- си20С =4- /2°L=
Но во времени изменения этих энергий сдвинуты по фазе на
четверть периода, так что конденсатор и катушка «обмениваются»
энергиями.
Существенно важно (как это выяснится в дальнейшем), что
при действии на контур гармонической силы имеется только один
единственный резонанс, осуществляющийся при условии:
со = соо.
Фазовая диаграмма для резонансного случая (с учетом процесса
установления колебаний) представляет развертывающуюся спираль;
ее витки постепенно сближаются и имеют предельный радиус
(«предельный цикл», изображаемый окружностью, — рис. 2.7).
При изучении последовательного контура иногда можно пре-
небречь затуханием, что существенно упрощает анализ явления.
Конечно, это можно делать только вдали от резонанса.
Мы пренебрегали внутренним сопротивлением источника пита-
ния. Оно, очевидно, должно быть прибавлено к сопротивлению
контура. Если внутреннее сопротивление чисто активное, то оно
лишь уменьшит остроту резонансной кривой и увеличит ширину
полосы пропускания контура.
Эти же соображения справедливы и для механического случая.
§ 2.3. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Следует сказать несколько слов о физических условиях,
обеспечивающих устойчивость возникающих колебаний. При
действии внешней силы
f = Frn cos со Z,
85
AL как мы видели, устанавли-
д ваются вынужденные коле-
U y бания, причем скорость ме-
/ , няется по закону:
х = а>Хт cos (о)/ — ср +
А При этом работа внешней
6 силы за период есть:
т
_ --------Ав = f f х dt = лXmFm cos ср,
Х/п Хт °
рис 28 а работа против силы трения
равна:
АТ = [ rx- dt = ягХ2т ®.
о
График зависимости обеих работ от амплитуды изображен на
рис. 2.8. Работа внешней силы показана для двух различных
значений фазового угла, причем большему значению созф соот-
ветствует приближение к резонансу.
Так как работа против силы трения пропорциональна квад-
рату амплитуды, а работа внешней силы — первой степени ампли-
туды, то существует точка пересечения обеих кривых, отвечаю-
щая равенству работ. При этом установившаяся амплитуда
X = cos ф
т шг т
тем больше, чем ближе к резонансу (со = со0) возбуждается
система, так как растет косинус
Очень важно, что установившееся состояние обладает устой-
чивостью. Действительно, если амплитуда по случайным причи-
нам возрастет, то внешняя сила не сможет совершить нужной
работы против силы трения, и система вернется в первоначаль-
ное состояние. При случайном уменьшении амплитуды работа
внешней силы, превосходящая работу против силы трения, вы-
зовет прирост энергии системы и возвращение ее к первоначаль-
ной амплитуде.
Резонансные кривые (их называют также частотными харак-
теристиками) могут быть получены непосредственно на экране
осциллографа при помощи приборов, называемых измерителями
частотных характеристик. Принцип работы измерителей таков:
на вход исследуемого контура подается напряжение постоянной
амплитуды с частотой, периодически меняющейся во времени
(в некоторых пределах) по линейному закону.
Напряжение с конденсатора контура (пропорциональное заряду)
или с сопротивления (пропорциональное току) подается на вер-
86
тикально отклоняющие пластины
электронного осциллографа; горизон-
тальная развертка осуществляется
пилообразным напряжением, расту-
щим пропорционально времени и
синхронно с напряжением, питающим
контур. Таким образом, отклонение
электронного пучка по горизонтали
пропорционально изменению частоты.
Полоса изменений частоты подбира-
ется так, чтобы частота свободных
Рис. 2.9
колебаний контура оказалась внутри этой полосы. На рис. 2.9
воспроизведена подобная частотная характеристика (по току)
для последовательного контура.
Если на контур действует сумма нескольких гармонических
сил, то возникающие смещения и скорости будут (для линейных
систем) суммой соответствующих гармонических смещений и ско-
ростей. Так как амплитуды смещений и скоростей и их фазовые
сдвиги зависят от соотношения частот —, то форма суммарного
смещения (скорости) может очень сильно отличаться от формы
суммарной внешней силы. Но, поскольку действует принцип
наложения, никакие дополнительные частоты при этом возникнуть
не могут.
Если совместить спектр внешней силы f с частотной характе-
ристикой контура /< и перемножить ординаты, отвечающие оди-
наковым частотам, то полученные произведения определят спектр
вынужденных колебаний на выходе контура (рис. 2.10).
Если одна из частот близка к резонансной, а другие заметно
от нее отличаются, то контур сыграет роль резонансного филь-
тра—он откликнется только на одну из большого числа частот
внешней силы; именно этот принцип лежит в основе радиоприема
(хотя последовательный контур применяется редко).
Рис. 2.10
87
§ 2.4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО КОНТУРА
Наряду с последовательным контуром (часто говорят о по-
следовательном резонансе) большую роль играет параллельный
контур (параллельный резонанс). Соответствующая электриче-
ская схема показана на рис. 2.11. Не проводя полного ана-
лиза, обратим внимание на наиболее существенные особенности
процесса, предполагая, что напряжение на контуре имеет посто-
янную амплитуду (или что внутреннее сопротивление источника
питания ничтожно мало).
При очень малой частоте ток через емкость 1С будет гораздо
меньше тока через индуктивность IL, и полный ток (в неразвет-
в лен ной части цепи) будет относительно велик (рис. 2.12, а).
По мере роста частоты (при неизменной амплитуде напряже-
ния на контуре) ток 1с увеличивается, ток II уменьшается,,
фазовый угол катушки (с со-
противлением) растет. Рост тока
через емкость происходит быстрее,
чем падение тока через катушку
(она имеет сопротивление). Поэто-
му суммарный ток уменьшается
и приближается по фазе к на-
пряжению. При некоторой частоте
полный ток и напряжение сов-
падут по фазе (рис. 2.12,6). При
этом полный ток будет не велик,
а сопротивление контура
становится большим и чисто ак-
тивным; этот случай и называют
параллельным резонансом.
88
i
Рис. 2.13
Рис. 2.14
Из векторной диаграммы видно следующее:
4 -г С 7
tg <Pl = - = ~Г = юр CZP‘
Поэтому резонансное сопротивление контура есть:
2р = CR = (2.16)
При дальнейшем росте частоты получается диаграмма
рис. 2.12, в: полный ток растет и начинает опережать напряже-
ние по фазе.
Более строгий анализ показывает, что резонансная частота
определяется уравнением:
(Ор ^ 0)о(, 1 Z^~) ~ Ю0 (уГ) — % U Q2"у-
Но во всех случаях, когда добротность велика (Q > 10),
можно пользоваться более простым соотношением:
й)р = соо, (2.17)
что мы и будем делать в дальнейшем.
При резонансе токи в катушке и конденсаторе почти равны
по модулю и почти противоположны по фазе, поэтому полный
ток делается очень малым. Так как изменения энергии конден-
сатора сдвинуты по времени относительно изменений энергии
в катушке на 90°, а по величине обе энергии практически равны,
то и в параллельном контуре происходит обмен энергиями между
катушкой и конденсатором, а внешний источник лишь компенси-
рует незначительную потерю энергии в активном сопротивлении
(так же, как в последовательном контуре).
Между током в катушке и полным током существует при
резонансе простая связь:
/22р = llR, lL = IQ.
Полный ход резонансной кривой (рис. 2.1'3) в известном
89
Рис. 2.15
смысле противоположен ходу
резонансной кривой последова-
тельного контура.
Практическое использование
резонансных контуров очень
широко.
Если включить контур в
цепь, содержащую сопротивле-
ния, не зависящие от частоты
F (рис. 2.14), или если этим свой-
ством обладает внутреннее со-
противление источника питания,
то при резонансе падение на-
пряжения на контуре резко воз-
растет. Таким образом, и парал-
лельный контур может выполнять роль резонансного фильтра.
Полоса пропускания (лучше было бы называть ее полосой
выделения) параллельного контура приближенно определяется
изменениями частоты, при которых сопротивление контура падает
до величины
Z = 0,7Zp.
В радиотехнике параллельный контур применяется чаще по-
следовательного. Одна из причин этого заключается в следую-
щем: по цепи, содержащей контур, часто необходимо пропускать
постоянный ток, нужный для установления режима работы всей
цепи в целом.
Каково же механическое подобие параллельного контура? Для
его уяснения рассмотрим уравнения, описывающие поведение
параллельного контура (рис. 2.11):
и = -Q- — J icdt, и ~ L —---------Rij\ -j- = I,
Применяя метод электромеханического подобия, находим:
f = kxA = mx2 + Rx2\ x2 4- Xj = x,
где / — внешняя сила. Очевидно, эти уравнения описывают
систему, изображенную на рис 2.15. Внешняя сила приложена
к правому концу пружины; левый конец жестко прикреплен
к телу массы т, двигающемуся с трением, поэтому его смеще-
ние не равно деформации пружины (рис. 2.15, б). Равновесное
состояние системы показано па рис. 2.15, а.
90
§ 2.5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ, НЕ ИМЕЮЩИХ
СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ
Прежде чем рассматривать многочисленные приложения резо-
нанса, остановимся на системах, не имеющих собственной частоты
и подвергающихся действию гармонической внешней силы. Основ-
ным отличием их поведения от поведения систем с собственной
частотой является отсутствие резонансных явлений, хотя частот-
ная зависимость и сохраняется.
а ) Система без пружин (/? — 0) или емкости (С->-оо). Урав-
нение движения имеет вид:
тх 4- rx — Fm cos го t.
Его решение для установившегося движения:
х — Хт cos (го t — <р),
причем постоянные автоматически определяются из уравне-
ния (2.12):
Х„г = tgФ = tg(х, П =
у 4аг + ttP w
При со —0 получим:
lim х = lim = -^-t,
ш_>0 г и г
т. е. устанавливается движение с постоянной скоростью:
изученное уже в § 1.8. При росте частоты как смещение, так
и скорость убывают, что физически понятно — сказывается инер-
ция системы.
Читатель легко переведет эти результаты на «электрический
язык».
б ) Случай без массы (или индуктивности). Допущение т — 0
кажется бессмысленным, хотя оно так же обосновано физически,
как и пренебрежение индуктивностью (L = 0): все дело в при-
вычке. В электрическом случае получим для установившегося
режима:
7 = <?,лсО5(го/-ф), qm~ tg^ = roCfl.
При нулевой частоте получается наибольший заряд конден-
сатора:
<7о — CU т*
При со =^= 0 заряд меньше, так как сопротивление тормозит про-
цесс зарядки, ограничивая зарядный ток. При очень высоких
91
частотах ток велик, но заряд минимален, так как конденсатор
просто «не успевает» заряжаться.
Механическое подобие этого случая (для нулевой частоты)
было рассмотрено в § 2.1.
в) Случай чистого трения (т = О, k = 0 или L = 0, С->оо).
В электрическом случае это цепь, содержащая только актив-
ное сопротивление. В ней нет фазового сдвига между током
и напряжением:
I = /„, cos <01; Ij> = 0; Um = lmR.
Механическое подобие — преодоление трения колеблющимся
телом, лишенным массы и упругости, — представить себе довольно
трудно, хотя электрический случай кажется нам вполне ясным.
Приложения теории вынужденных колебаний весьма обширны.
Иногда явление резонанса желательно — например, при радио-
приеме, где благодаря ему удается выделить нужный сигнал из
множества одновременно существующих и мешающих сигналов.
Иногда оно вредно, например при работе нестрого уравновешен-
ной машины.
Ниже приводится ряд примеров из самых различных областей
физики (и отчасти техники).
§ 2.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИКЕ
а) Роль маховика. Как известно, для создания более равно-
мерного вращения машины при незначительных колебаниях на-
грузки и движущей силы вал машины снабжают маховиком —
диском с большим моментом инерции. Выясним его роль.
Пусть 2 — нормальная рабочая угловая скорость вращения
вала. Пусть эта скорость испытывает колебания в пределах
0)! > 2 > (о2- Оценим неравномерность вращения коэффициентом
неравномерности:
С01 + (02
Назовем момент инерции вращающейся части /. Пусть
А — модуль алгебраической суммы работ движущей силы и силы
сопротивления за время изменения нормальной рабочей частоты.
Тогда при ускорении вращения получим:
’ Ц = 1/2ЧЛ1.
Если же движение замедляется, то
4-4=4- /2г - Л-
Разумно положить 22 = (ох -ф со2. Тогда найдем:
п - + А 1
Г 2Q2 * / *
92
Таким образом, при задан-
ной сумме работ и рабочей
частоте неравномерность хода
будет тем меньше, чем боль-
ше момент инерции вращаю-
щейся части; добавление ма-
ховика увеличивает момент
инерции.
б) Неуравновешенный вал.
Если на валу машины укреп-
лен, например, маховик, и б
центр масс его расположен ис‘ *
точно на оси вала, то ника-
ких осложнений не будет. Если же центр масс маховика Л1 смещен
относительно оси вала на небольшое расстояние h (рис. 2.16),
то при вращении с частотой со возникнет деформация вала;
геометрическая ось деформированной части отойдет от оси враще-
ния в среднем на расстояние р; на такое же расстояние сместится
и центр масс С деформированной части, имеющей массу m </И.
Пусть эквивалентная жесткость деформированной части равна /г.
Тогда (при установившемся вращении) упругая сила обеспечивает
массам М и m необходимые центростремительные ускорения, а
потому можно написать:
kp = Мео2 (р + h) + т о)2р.
Отсюда деформация вала:
/ Мео2 _ , М со2
Р fe-w2(M + m) П М.+ т
где ю0 — собственная частота поперечных колебаний вала, со—ча-
стота его вращения.
Если со < ©о, то получается:
, ( со \2 ,
---< п,
что, конечно, благоприятно для работы машины. С этой точки
зрения тихоходные машины предпочтительнее. Но и у быстро-
ходных машин, если только удается сделать со > соо, получается
р~ h, что не особенно опасно: Однако в случае резонанса де-
формация может угрожающе возрасти, что приведет к поломке
вала. При этом оказывается, что центр тяжести (во втором из
рассмотренных случаев) располагается не снаружи (относи-
тельно 00), а внутри — ближе к оси вращения.
в) Регуляторы. Маховик ограничивает изменение угловой ско-
рости при случайных колебаниях режима машины. Регуляторы
позволяют машине приспособиться к изменяющейся нагрузке
путем соответствующего изменения движущей силы.
93
Один из старейших (но сохра-
нивший еще практическое значе-
ние) — регулятор Уатта. Он со-
стоит из четырех стержней, наса-
женных на вал и несущих два
массивных шара (рис. 2.17). Верх-
ние концы стержней могут вра-
щаться вокруг оси А (перпенди-
кулярной чертежу), а муфта G
может скользить по валу. При
увеличении угловой скорости вра-
щения вала (например, из-за умень-
шения преодолеваемого сопротив-
ления) шары отходят от вала и
поднимают муфту. Перемещение
муфты сопровождается перемеще-
нием заслонки, регулирующей по-
дачу горючей смеси в двигателе
внутреннего сгорания, или пере-
мещением движка реостата, регу-
лирующего режим электродвигателя. Благодаря этому мощность,
развиваемая машиной, автоматически изменяется, и угловая ско-
рость остается более или менее постоянной.
г) Амортизаторы. Эти приспособления работают в режиме
вынужденных колебаний. Вообразим машину с горизонтальным
валом, жестко связанную с фундаментом. Если вал плохо цен-
трирован, то возникает периодическая вертикальная сила
f = Fm cos со t,
где со — частота вращения вала; эта сила передается на фунда-
мент и может повредить крепление машины.
Если же машину расположить на пружинах общей жест-
кости /?, то закон ее движения будет таков:
т х + kx == FOTcosco£
(здесь т — масса машины).
Пусть собственная частота колебаний системы есть о)2 = —Ф
- о т
Затуханием пренебрежем. Деформация пружин будет происхо-
дить по закону:
х = Xmcosco/.
При этом:
94
амплитуда колебаний пружины равна:
V ___ 1
rn tn CDg — CO2
Сила, передаваемая на фундамент, будет теперь иметь модуль:
р /> х — F j________ 2 = —
1 1 - - 1 * * * У т |1 -Й2| ’ (Оо ’
Если (00 < Сй, то
Л ~
т. е. получится хорошая амортизация колебаний. Однако если
частоты будут близки, то передаваемая фундаменту сила может
оказаться даже больше, чем в отсутствие пружин: плохой амор-
тизатор может только ухудшить дело.
Помимо амортизаторов, применяются более сложные успокои-
тели (см. § 4.2).
д) Простейший механический частотомер состоит из набора
плоских пружин, способных совершать колебания изгиба и за-
жатых с одного конца в подставке, соединяемой с колеблющимся
телом. Движение происходит вдоль узкой стороны h прямоуголь-
ного сечения пружины (Л, Ь). При длине пружины / и массе
единицы объема р наименьшая собственная частота пружины
равна:
1 где Е — модуль упругости.
Пружины различаются длиной и сечением и имеют разные
собственные частоты. Так, при b — 2 см, h = 0,3 см, I = 23 см,
£ = 2-10п н/м2, плотности стали р = 7800 кг/м3 получается
f = 47 гц.
i Для укорочения пружин их свободные концы иногда нагру-
жают сосредоточенной массой, что снижает собственную частоту.
При вынужденных колебаниях одна из пружин может оказаться
в резонансе, тогда ее амплитуда резко возрастет.
Такие же частотомеры применяются для измерения частоты
переменного тока; но здесь возбуждение производится не меха-
ническими силами, а электромагнитными: пружины (или их опора)
находятся в поле электромагнита, питаемого переменным током.
У электрических частотомеров собственные частоты соседних
* пружин отличаются обычно на 1 гц (или даже на 0,5 гц).
Интересно оценить, какова должна быть добротность пружин
(примем их собственные частоты равными = 49 гц и /2 = 50 гц),
чтобы обеспечить измерение частоты с точностью до 0,5 гц.
Выбираем ширину полосы пропускания:
2Д/ = 1 гц.
95
Рис. 2.18
Тогда добротности пружин будут равны соот-
ветственно 49 и 50 единицам. При f < 49,5 гц
первая пружина будет колебаться сильнее
второй. При f > 49,5 гц начнется более
сильное колебание второй пружины. При
/ = 49,5 гц обе пружины будут колебать-
ся практически одинаково. Наконец, при
/ = 49 гц или 50 гц заметные колебания
будет совершать только одна из пружин.
е) Вибрографы. Приборы, служащие для
регистрации колебаний земной поверхнос-
ти, называются вибрографами или сейсмо-
графами. Некоторые из них построены следующим образом
(рис. 2.18): к массивной опоре, жестко связанной с землей, под-
вешено на вертикальной пружине тело довольно большой массы т.
Перо, связанное с телом, записывает смещение тела относительно
опоры.
Направим ось абсцисс вертикально и свяжем ее с неподвиж-
ным центром Земли. Пусть при вертикальных колебаниях земной
коры точка закрепления пружины движется по закону:
х. = cos co/,
где со — частота вынужденных колебаний опоры. В колебания
придет и масса tn. Если она сместится на расстояние х, то
удлинение пружины будет равно
У = х ~ хл
и на массу будет действовать сила:
f = — k(x — хл) = — mco;-(x —хд),
где k — жесткость пружины, со0 — частота свободных колебаний
груза.
Уравнение движения груза (относительно центра Земли)
таково:
тх + rx + kx = kXA cos со/.
Так как вибрографы всегда работают вдали от резонанса, то
можно пренебречь трением. Тогда уравнение движения упростится:
тх + kx — kXA costal.
Полагая
получаем:
л\= Хт cos со t,
— т со2 Хт + т со* Хт = т со* ХА.
96
Амплитуда колебаний груза равна:
V V
У
Рис. 2.19
а интересующее нас смещение отно-
сительно опоры имеет амплитуду:
Ут = хт-хА = хл
«0 — (О2
Если собственная частота оэ0 « со,
то получается:
Ут—Хл,
и виброграф регистрирует амплитуду
колебаний поверхности Земли (пружина не успевает деформиро-
ваться!).
Если же сделать со0 > со, то получаем:
т. е. будет регистрироваться амплитуда ускорения точек земной
поверхности, что в ряде случаев представляет практический
интерес.
ж) Горизонтальный маятник. Иногда при регистрации земле-
трясений требуется записывать очень медленные колебания
(со 0,5 се/с*1). Так как частота записывающей системы должна
быть еще меньше, то вертикальный маятник оказался бы не-
осуществимо длинным. Выход из положения найден в изменении
плоскости качаний маятника, что равносильно уменьшению дейст-
вия силы тяжести. Ось вращения маятника ZZ располагается
почти вертикально (на рис. 2.19 истинной вертикалью является
прямая ZH). Маятник (для простоты расчета мы будем считать
его точечным) удален от оси на
расстояние I (в направлении
оси у) и имеет массу т.
При повороте вокруг оси
Z на малый угол ф маят-
ник сместится (рис. 2.20)
по оси у на отрезок:
Ду — /(1 —cos ф).
При этом он поднимется
на высоту:
Д/7 — Ду sin а.
Полагая углы ф и а ма-
лыми, получаем:
Д/У == — /аф2.
Рис. 2.20
7 Зак. 1072
97
Пусть cp„? — наибольший угол поворота маятника. Прирост
потенциальной энергии при этом равен:
AW7d = tng ДПЯ = 4"1
После поворота маятник будет колебаться с частотой соо, его
потенциальная энергия перейдет в кинетическую (когда он будет
проходить через положение равновесия):
= 4“ тСР^2“о-
Приравнивая эти энергии, находим частоту свободных колебаний
маятника:
О)о = V
При малых а (отсюда и название — горизонтальный) частота
колебаний получается очень малой.
з) Кинематическое возбуждение. Возбуждение, при котором
внешняя сила действует не на тело, а на точку подвеса (или на
опору), часто встречается на практике и называется кинемати-
ческим. Мы уже встречались с ним в § 2.6, е. В частности, оно
наблюдается в различных движущихся экипажах, сотрясающихся
от работы двигателя или от толчков, вызываемых неровностями
дороги. Так, периодические толчки, испытываемые железнодорож-
ным вагоном на стыках рельсов, кинематически возбуждают
колебания различных тел внутри вагона. При резонансе эти коле-
бания могут оказаться интенсивными, если затухание системы
мало. Например, таковыми являются колебания жидкости в ста-
кане. Колебания можно уменьшить, если в стакан опустить
ложку. Впрочем, не совсем ясно, обусловлено успокоение жид-
кости ростом затухания (трение о ложку) или же просто измене-
нием собственной частоты системы стакан — жидкость при внесе-
нии ложки. Успех другого способа успокоения — пассажир берет
стакан в руки — с физической точки зрения более понятен
(особенно в мягком вагоне): благодаря упругости человеческое
тело и сидение служат успокоителями колебаний, кроме того,
при этом создается дополнительное (и довольно значительное)
затухание.
и) Своеобразный механический резонанс открыт недавно в
движении Меркурия. Вопреки прежнему мнению, что период т
вращения Меркурия вокруг собственной оси равен периоду
обращения его вокруг Солнца (Т = 88 дней), новейшими радио-
астрономическими методами установлено, что т = 59 дней, т. е.
составляет лишь 2/3 Т, Кроме того, известно, что оба вращения
происходят в одну и ту же сторону, что орбита характеризуется
некоторой эллиптичностью, а форма Меркурия заметно отличается
от шаровой — на нем имеются относительно высокие горы.
98
Все это приводит к тому, что при движении Меркурия вокруг
Солнца образуется заметный дополнительный вращающий момент,
влияющий на скорость его собственного вращения. Действительно,
предположим, что раньше Меркурий вращался с периодом Tj < т,
и рассмотрим, что происходит при наибольшем сближении планеты
с Солнцем, когда сила тяготения наиболее велика.
Если, например, в один из таких моментов ось симметрии
планеты совпадала с направлением на Солнце, то через три пе-
риода т-t, когда снова наступит наибольшее сближение с Солнцем,
ось симметрии планеты несколько сместится вперед (в направле-
нии вращения), и Солнце создаст вращающий момент, тормозящий
собственное вращение Меркурия. Напротив, при т2 > т через
каждые три периода собственного вращения возникал бы момент,
ускоряющий собственное вращение. В течение миллионов лет
этот эффект (наряду с возможным приливным трением) должен
был привести к современному значению периода собственного
вращения.
§ 2.7. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В АКУСТИКЕ
а) В § 1.7 был рассмотрен акустический резонатор Гельм-
гольца. При помещении его в звуковое поле он резонирует, если
в изучаемом сложном звуке имеется колебание с собственной
частотой резонатора.
Впрочем, в настоящее время пользуются более удобным
электрическим методом, изучая кривую тока в цепи микрофона,
воспринимающего изучаемый звук.
б) Пусть два камертона с частотами сох и <о2 создают в окру-
жающем воздухе биения, воспринимаемые прямо на слух. Третий
камертон, имеющий частоту сох, возбудится в этом звуковом поле
и будет совершать вынужденные колебания с частотой со1} в чем
легко убедиться, заглушив первый камертон. Так как добротность
камертона велика, то частота со2 окажется вне его полосы про-
пускания и не сможет его возбудить. Поэтому из различных
представлений биений, рассмотренных в § 1.11, в этом случае
наиболее приемлемым оказывается первое (уравнение 1.49).
в) Пьезоэлектрические излучатели и приемники ультразвука.
При деформации плоской пластины, определенным образом
вырезанной из кристалла кварца, на ее гранях, подвергающихся
давлению, возникает разность потенциалов, пропорциональная
давлению р и толщине пластины h:
и = 6000 ph (в),
где р измерено в атм, h — в см.
Этот «прямой» пьезоэлектрический эффект объясняется пере-
распределением ионов кремния и кислорода, образующих кристал-
лическую решетку кварца.
7*
99
При периодическом изменении давления могут возникнуть
интенсивные вынужденные колебания кварца и соответственно
колебания напряжения на пластине. Собственная частота колеба-
ний пластины в простейшем случае (когда грань колеблется, как
целое) равна:
f = (кгц),
где h выражено в см.
Так как изготовление пластин толщиной от долей миллиметра
до 1—2 см сравнительно просто, то кварц может служить удоб-
ным приемником переменных давлений с частотами от 100 до
10 000 кгц. Переменные напряжения, возникающие на пластине,
легко усиливаются, благодаря чему возможна регистрация очень
малых давлений. 1
Существует также обратный пьезоэффект: если на пластину i
подать разность потенциалов, то возникнет деформация пластины.
Поэтому кварцевая пластина может служить превосходным излу-
чателем механических волн с указанными выше частотами. При
этом деформация х пропорциональна приложенному напряжению:
х = 2,3-10-10 U (см),
где U измерено в в. При подаче на пластину переменной разности
потенциалов и использовании резонанса амплитуда колебаний
растет пропорционально добротности. Для успешной передачи
энергии колебаний в окружающую среду акустические свойства
среды (произведение плотности на скорость звука) должны быть ,
близки к свойствам кварца. Поэтому излучение пластины в газ
ничтожно мало, но оно вполне ощутимо при помещении пластины
в жидкость. В этих условиях добротность составляет несколько
десятков. При напряжении в несколько киловольт деформация
может достигать 10-7->- Ю-5 см.
Так как частота ультразвуковых колебаний велика, то в колеб-
лющейся среде возникают громадные ускорения. Так, при
f — 10*3 гц ускорение может превышать ускорение тяжести в ты-
сячи раз. При этом развиваются громадные силы и получаются
различные интересные эффекты, недостижимые другими методами.
/Чалое поглощение ультразвука в жидкости и твердом теле
позволяет применить его для целей связи и для «просвечивания»
крупных тел без нарушения их механической прочности, причем 1
могут быть обнаружены внутренние дефекты. 1
г) Ферромагнитные излучатели и приемники ультразвука. Для
низких частот пьезоэлектрические излучатели изготовлять трудно,
так как крупные высококачественные кристаллы встречаются
редко. Поэтому в области низких частот применяют ферромагнит- -1
ные излучатели и приемники ультразвука. В них используется
явление магнитострикции — изменение длины ферромагнитного
100
стержня при намагничении (для создания ультразвука) — и обрат-
ный эффект — изменение намагничения при деформации (для
приема ультразвука).
Так как для никелевого стержня собственная частота про-
дольных колебаний
? _ 240
' ~ h
где h — выражено в см, то ферромагнитные излучатели и прием-
ники легко изготовлять для частот 50 кгц . и ниже.
Относительная деформация (укорочение) никелевого стержня
сложным образом (рис. 2.21) зависит от намагничивающего поля
(создается катушкой с током, охватывающей стержень).
Для возбуждения колебаний стержень подвергается постоян-
ному намагничению в поле Яо. На это поле накладывается пере-
менное поле амплитуды Нт. Получаемая при этом временная
зависимость деформации графически определена на рис. 2.21
(справа).
Если стержень, находящийся в постоянном магнитном поле,
попадает во внешнее звуковое поле, то он деформируется, причем
меняется его намагниченность. В катушке, надетой на стержень,
возникает э. д. с. индукции; ее легко усилить и зарегистрировать.
Разумеется, стержни работают в условиях резонанса.
д) Динамический громкоговоритель. В этом приборе имеется
подвижная катушка, обтекаемая током звуковой частоты г, катуш-
ка помещена в радиальное магнитное поле, его линии индук-
ции В лежат в плоскости, перпендикулярной оси катушки.
Амперова сила f ~ Bi действует вдоль оси катушки и приводит
катушку в вынужденные колебания. Катушка механически свя-
зана с диффузором громкоговорителя, также приходящим в вы-
нужденные колебания. Диффузор можно уподобить большой
мембране. Он имеет несколько собственных частот, так как
может совершать различные довольно сложные колебания.
Но громкоговоритель должен работать в широком диапазоне
звуковых частот и воспроизводить их без искажения. Поэтому
101
возникновение резко выраженных резонансных колебаний недопу-
стимо. Так как убрать все частоты громкоговорителя из.области зву-
ковых частот не удается, то приходится искусственно увеличивать
затухание громкоговорителя. Для оценки затухания поучительно
сравнить время звучания камертона (после его возбуждения)
и время звучания громкоговорителя (после выключения тока).
Камертон звучит несколько секунд, громкоговоритель замолкает
практически мгновенно. У камертона добротность измеряется тыся-
чами, у громкоговорителя — не превышает десяти.
е) Электромагнитный телефон. Он широко используется при
обычной (невысококачественной) связи. Телефон состоит из сталь-
ной мембраны, возбуждаемой переменным магнитным полем;
иногда мембрана неферромагнитна и жестко связана со стальным
стерженьком, взаимодействующим с магнитным полем катушки:
/г = cos соЛ Кроме переменного поля, имеется постоянное,
создаваемое постоянным магнитом. Его напряженность Но пре-
вышает амплитуду переменного поля. Сила, действующая на
мембрану (или стерженек), равна:
Н2
f ~ (До + № = Но Н- 2НйНт cos + (1 + cos 2 о/).
Таким образом, возникают постоянная составляющая, не пред-
ставляющая интереса, переменная составляющая частоты со, вос-
производящая передаваемый звук, и наконец, составляющая
удвоенной частоты, искажающая передачу. Однако искажение не
очень существенно, так как Нт < HQ. На практике гораздо за-
метнее искажения, вносимые резонансными колебаниями мембраны
на некоторых из ее собственных частот, если затухание мембраны
недостаточно велико.
Следует отметить, что при отсутствии постоянного поля вы-
нужденные колебания мембраны происходили бы с двойной часто-
той и искажения были бы недопустимо велики.
Сделанные выше замечания о вредности резонанса мембраны
относятся, конечно, и к мембранам микрофонов, поэтому во всех
подобных электроакустических приборах стараются по возмож-
ности ослабить резонансные явления.
остроумном методе оценки
амплитуды колебаний мем-
бран, предложенном акаде-
миком Н. Н. Андреевым.
К покоящейся мембране
М прикасается острие О,
укрепленное на пружине П
(рис. 2.22). Острие имеет
массу т, пружина характе-
ризуется жесткостью k. Пру-
жина смещена из положения
заключение упомянем
Рис. 2.22
102
равновесия на расстояние Хо (его можно регулировать специаль-
ным винтом). При гармонических колебаниях мембраны
х = Хт cos at
получаем уравнение движения острия (без учета трения):
x + ®o(*o4-x) = -^-> F=F0cosat,
где w0 — собственная частота острия, F — сила, действующая на
острие со стороны мембраны (она положительна, если направлена
вверх). Эта сила может обратиться в нуль, если острие оторвется
от мембраны. Условием этого является (при cos со/= 1):
-Хт^ = -<%(Хо + Хт),
т. е.
v ®0 *0
Регулируя Хо и определяя момент начала дребезжания острия
по звуку в телефоне Т, можно очень точно измерять малые
амплитуды колебаний. Так, при ю0 = 0,01 со и Хо = 1 мм получаем:
Хт — 10-4 мм.
Если заменить острие песчинками, лежащими на мембране,
то они начнут подскакивать, когда ускорение мембраны станет
(по модулю) больше ускорения тяжести, т. е. при условии:
Отсюда следует, что
При со = 10’ сек.-' получается Хт = 10~4 мм.
§ 2.8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РАДИОТЕХНИКЕ
Вынужденные колебания играют в радиотехнике огромную
роль. Здесь будет дано лишь несколько примеров их исполь-
зования.
а) Электрические фильтры. Фильтрами называют устройства,
позволяющие выделить токи (напряжения) нужной частоты из
разнообразных по частоте токов (напряжений), 'имеющихся в элек-
трической цепи. Полосовые фильтры позволяют выделить целую
полосу частот.
Предположим, что источник питания электрической цепи
имеет ничтожное внутреннее сопротивление и подает на вход
юз
схем (рис. 2.23 а, б, в, г) напряжения и различной частоты.
Выходное напряжение ивых снимается с правой части схем и по-
дается на потребитель — очень большое активное сопротивление,
практически не влияющее на режим работы фильтра. Потребитель
нуждается в той или иной полосе частот.
Назовем коэффициентом передачи отношение амплитуд
____________________________ ^вых
А, — и .
В схемах а, в коэффициент передачи низких частот мал.
Действительно, для этих схем получается:
k____________ft ъ =
а~ ’ T'ft2 + W '
г с г vsev
С ростом частоты /г возрастает, стремясь к единице.
При замене емкости индуктивностью и наоборот (схемы б, г)
характеристика фильтра меняется — теперь потребитель предохра-
нен от высоких частот. Коэффициенты передачи в этих случаях
определяются так:
k = ft k =______________________1______
5 //?2 + (ш£)г ’ г У1 + (соС/?)2
б) Электрическое дифференцирование и интегрирование. Схема
рис. 2.23, а может быть использована для дифференцирования
напряжений. Баланс напряжений в схеме таков:
« = Ri-\- (2.18)
Если емкость достаточно мала (и сопротивление невелико),
104
б
Рис. 2.24
то первым слагаемым правой части можно пренебречь. Поэтому
ток равен:
I == Си.
Тогда малое (ио не равное пулю) напряжение, снимаемое
с сопротивления R, равно:
uR = iR = CRu,
т. е. пропорционально производной по времени от входного на-
пряжения. Очевидно, указанное условие выполняется для всех
гармонических составляющих, периоды которых удовлетворяют
неравенству
Т > т = CR.
Схема г того же рисунка может быть применена для интегри-
рования напряжения. Действительно, из уравнения баланса на-
пряжений, справедливого и для этой схемы, следует, что при
достаточно больших R и С можно пренебречь вторым слагаемым
правой части, тогда ток равен:
и выходное напряжение
1 с
и с -- I udt
оказывается пропорциональным интегралу от входного напряже-
ния по времени. Очевидно, и это условие выполняется только
для малых коэффициентов передачи.
На рис. 2.24, а, б приводятся осциллограммы несколько
искаженных прямоугольных импульсов и результаты их диффе-
ренцирования (а) и интегрирования (б). Следует иметь в виду,
что идеально прямоугольных импульсов не бывает: нарастание
и спад напряжения всегда происходят в течение конечных (хотя
105
Рис. 2.25
и малых по сравнению с длительностью самого импульса) проме-
жутков времени.
в) Фильтры с колебательным контуром. Использование
в фильтрах колебательных контуров открывает новые возмож-
ности. Так, если последовательно с нагрузкой включить парал-
лельный контур, настроенный на частоту соо (рис. 2.25, а) и име-
ющий наибольшее сопротивление при резонансе, то такой фильтр
«вырежет» область частот, близкую к частоте ®0. Наоборот,
включение последовательного контура (рис. 2.25, б) ослабит все
частоты, далекие от собственной частоты контура.
Если в цепь источника с большим внутренним сопротивле-
нием г включить параллельный контур (рис. 2.26) и снимать
напряжение с этого контура, то, очевидно, характеристика такого
фильтра будет представлена резонансной кривой тем более узкой,
чем выше добротность контура. Именно такая операция и осуще-
ствляется при радиоприеме. Однако простейшее представление,
что при радиоприеме нужно по
возможности увеличивать доб-
ротность контура, так как при
этом растет напряжение на
конденсаторе (т. е. чувствитель-
ность приемника) и устраняется
влияние соседних станций, так
как резонансная кривая сужи-
вается (т. е. растет избира-
тельность приемника), оказы-
вается ошибочным. Дело в том,
106
что с ростом добротности увеличивается и время установле-
ния стационарного состояния, а его нельзя увеличивать чрез-
мерно, оно должно быть во всяком случае меньше длительности
сигнала. Кроме того, сигнал никогда не бывает строго монохро-
матическим. Если кривая резонанса чрезмерно узка, то часть
спектральных составляющих сигнала может оказаться вне полосы
пропускания контура (§ 3.5), что приведет к нежелательным
(а иногда — недопустимым) искажениям сигнала. Например, в те-
левидении при передаче сигналов изображения используется
широкая полоса частот 2Д/ = 106 гц. Если передача происходит
на частоте /о = 5-1О7 гц, то добротность контура не должна быть
больше величины:
«"Т5- = 50-
Другой пример. Пусть радиовещание происходит на частоте
f0 = 105 гц. Годится ли контур с добротностью Q — 200 для
высококачественных передач, требующих полосы шириной 16 кгц?
Так как
2Д/о 1
' - - — • — ——
/о <2 ’
то находим:
2Д/ = 0,5 кгц.
Контур не годится — он слишком добротен. Нужно либо
понизить его добротность, либо перейти на более высокую
частоту передачи (если при перестройке контура считать его
добротность неизменной, что не вполне верно).
Еще пример. Контур с постоянной индуктивностью и сопро-
тивлением имеет емкость, меняющуюся от С до 2 С. Как изме-
нится полоса пропускания при переходе от наименьшей емкости
к наибольшей?
При увеличении емкости вдвое частота уменьшится в ]/ 2
раза. Во столько же раз изменится волновое сопротивление
контура и его добротность. Относительная ширина полосы -~-
увеличится, хотя абсолютная ширина 2Д/ останется неизменной.
г) Одно из интересных применений параллельного контура —
использование его для согласования сопротивлений.
Пусть источник переменной э. д. с. частоты со с внутренним
сопротивлением г питает нагрузку R £ г, где желательно выде-
лить большую мощность. Известно, что для выделения наиболь-
шей мощности необходимо сопротивление нагрузки сделать рав-
ным внутреннему сопротивлению источника питания.
Включим R в параллельный контур с собственной частотой
йо = 4г = й)2 (2.19)
107
и волновым сопротивлением
р = (2.20)
Тогда резонансное сопротивление контура
будет удовлетворять требованию выделения наибольшей мощ-
ности.
Уравнения (2.19) и (2.20) позволяют найти нужные значения
индуктивности и емкости.
Не останавливаясь на других типах фильтров, отметим, что
при последовательном включении нескольких параллельных кон-
туров, настроенных на различные частоты (рис. 2.27), на каждом
из них при резонансе будет получаться наибольшее напряжение:
таким образом можно разделять сигналы различных частот.
Если же в цепь включить параллельно несколько последова-
тельных контуров (рис. 2.28), также настроенных на различные
частоты, то в каждом из них при резонансе получится наиболь-
ший ток. Поэтому и такая схема позволяет разделять сигналы,
имеющие неодинаковую частоту. На этих идеях базируется
система многоканальной телеграфной и телефонной связи, исполь-
зующая одну линию для одновременной передачи большого числа
независимых сигналов в разные адреса (см. также § 4.3).
§ 2.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ
РАДИОВОЛН
а) Ионосфера. Как известно, существование в атмосфере слоев
со значительной ионизацией (ионосфера) оказывает сильное влия-
ние на условия распространения электромагнитных волн, в част-
ности при радиосвязи.
В первом приближении можно пренебречь взаимодействием
электронов друг с другом и с положительными ионами, тогда их
108
поведение в электрическом поле радиосигнала сведется к вынуж-
денным колебаниям. Для простоты мы рассмотрим монохромати-
ческий радиосигнал. Он создает в некоторой области пространства
электрическое поле:
Е = Е,., cosat.
Hl
Пусть в нейтральном газе с электрической проницаемостью
е~е0 имеются свободные заряды в с массой tn, концентрация
зарядов — п. Движение их в электрическом поле волны можно
описать уравнением:
dv „
гп = еЕ — amv,
где, v — скорость движения заряда, а — коэффициент, учитываю-
щий потерю колебательного импульса благодаря столкновению
заряженных частиц с незаряженными молекулами газа. Вспоми-
ная результаты, изложенные в § 2.5, а, легко находим:
v = V cos (со/ — ср),
где
|/ _ (^т 1®
т
Подставляя значение
кости тока:
у а2 ^2 а
скорости в выражение для полной плот-
, еЕ .
J = е0 — + nev,
и sin (со/— ср), группируя члены, содер-
помия, что
развертывая cos (со/ — ср)
жащие cose.)/ и sin со/, и
-^Г= -co£msincoZ,
приводим предыдущее выражение к виду:
. _ . пе2 1 dE , пе2 а р _
1 8° со2 + a2 dt ‘ т со2 а2 "
= еое-|г + ?5, (2.21)
где 8 — относительная электрическая проницаемость среды, у — ее
электропроводность.
У поверхности Земли п мало, а велико (так как велика кон-
центрация нейтральных молекул); поэтому 8=1, у = 0, т. е.
воздух практически не оказывает влияния на распространение
волны.
Но на больших высотах имеются области, где п велико, а а
мало (воздух сильно разрежен). Из уравнения (2.21) видно, что
в этом случае основную роль играют свободные электроны, так
109
как масса их в тысячи раз меньше массы ионов. В этих слоях
получается:
T = J?L
/ле0 со3 ’ ' m соа
(2.22)
Ограничимся нормальным падением волны на ионизированный
слой, границу которого будем считать резко выраженной и плос-
кой (в действительности концентрация нарастает постепенно,
да и предположение о плоской границе не вполне точно). Для
такого случая коэффициент отражения энергии волны:
готр / 2V-1 у
И'иад ”UV4-1 Г
где N У 8 — показатель преломления слоя. При Л;->0 возни-
кает полное отражение — волна не проникает в слой. Так как п
ограничено, то достаточно высокие частоты проникают сквозь
ионосферу, именно поэтому и возможна радиосвязь с косми-
ческими кораблями в диапазоне дециметровых и сантиметровых
волн. При переходе к миллиметровым волнам поглощение
в атмосфере сильно возрастает за счет возникновения резонанс-
ных колебаний связанных электронов (в атомах и молекулах
газов, образующих атмосферу); это поглощение рассмотрено
в следующем пункте настоящего параграфа.
С другой стороны, изучая условия отражения волн различной
частоты, можно судить о концентрации электронов в ионосфере.
Действительно, при больших частотах (е > 0) волна проникает
в ионосферу, отражение ее невелико. При уменьшении частоты
отражение возрастает и делается вполне заметным, когда показа-
тель преломления обратится в нуль, т. е. при так называемой
критической частоте:
f _ 1 / пе2
' КР ~ 2Л \ /728О /
Опыт показывает, что значение /кр зависит от времени дня
и года, что вполне понятно, так как важный источник иониза-
ции — Солнце — проявляет себя в разное время различно. Известно,
что ионосфера состоит из нескольких слоев с разной концентра-
цией зарядов. Наибольшие критические частоты достигают
10—15 Мгц, чему соответствуют электронные концентрации
п ~ 1012 лг-3.
При f < /кр показатель преломления становится мнимым, что
означает возникновение дополнительного поглощения волн.
Из уравнения для показателя преломления видно, что он
зависит от частоты. Следовательно, фазовая скорость распростра-
нения также зависит от частоты. Поэтому в сложном сигнале,
распространяющемся в ионизированном газе, составляющие более
высокой частоты отстают от низкочастотных. Сигнал при этом
но
деформируется, а время его прохождения через некоторое сечение
в пространстве увеличивается. Этот эффект сильно сказывается
при изучении радиоизлучения небесных объектов.
б) Дисперсия в диэлектриках. В диэлектриках электроны
можно считать упруго связанными внутри атомов; поэтому,
в отличие от свободных электронов ионосферы, они обладают
собственными частотами. Рассмотрим сначала влияние электронов,
имеющих одинаковую собственную частоту со0.
Распространение волны в диэлектрике можно толковать сле-
дующим образом: падающая волна
Е = Ет cos со/
н г
вызывает вынужденные колебания электронов; они становятся
вторичными излучателями; вторичные волны интерферируют
с первичной волной —этим определяются условия распростране-
ния волны в диэлектрике. Колеблющиеся электроны создают
электрическую поляризацию диэлектрика, т. е. изменяют его
проницаемость, а это влечет за собой изменение показателя
преломления /V — такова формальная трактовка процесса распро-
странения волны.
Уравнение движения упруго связанного электрона
тх + гх kx = еЕт cos со/
совпадает с уравнением (2.3). Поэтому можно сразу же исполь-
зовать полученное ранее решение (2.12):
х = X cos (со/ — ф); tg ф =
со0-со2
1
__ еЕт
П1 — т
/(2асо)2 + (cog - со2)3
k
cog =—------собственную
где а = определяет
частоту колебаний электронов. При этом возникает поляризация:
р = пех = Рт cos (со/ — ф)
и электрическая индукция с амплитудой:
пе2______________________________________________I_________1 '
"is,J V(2асо)3 -|- ((Oq — со3)2
Dm = е0£,„ + Рт = е0Е
!П
затухание,
Знак + соответствует фазовому углу ф < 90° (соо > со);
знак — берется при ф > 90° (соо < со).
Поэтому проницаемость диэлектрика оказывается равной:
"!6« V (2аю)2 4- (и20 — со2)2
111
Рис. 2.30
Вдали от резонанса можно пренебречь поглощением. Тогда:
В случае ионосферы электроны были свободны (со0 = 0),
и вместо уравнения (2.23) получилось уравнение (2.22).
При учете затухания, что вблизи резонанса сделать необхо-
димо, разрыв в ходе проницаемости (при со = со0) заменяется ее
непрерывным быстрым изменением (рис. 2.29). Кроме того,
вблизи резонанса сильно возрастает поглощение. Физически это
вполне понятно, так как здесь электроны возбуждаются наиболее
сильно, а потому и доля энергии внешнего поля, необратимо
расходуемой на нагревание среды, становится относительно более
значительной.
Последнее утверждение, относящееся не только к молеку-
лярному поглощению, но имеющее гораздо более общий характер,
можно подтвердить на опыте, заставляя электромагнитные волны,
длина которых периодически изменяется в небольших пределах,
проходить через плоскую решетку, сделанную из проволочных
диполей, имеющих длину, равную половине длины волны Хо
(в средней части полосы изменения длин волн). Принимаемый
сигнал, прошедший через решетку, поступает на осциллограф,
причем смещение пучка по горизонтали делается пропорциональ-
ным мгновенному значению длины волны. Получающаяся осцил-
лограмма воспроизводит зависимость поглощения от длины волны;
наибольшее поглощение происходит вблизи волны Ло (рис. 2.30).
В опыте, проводившемся при 2,5 с.и<Х<3,5 см, колебания
были модулированы низкой частотой (10 кгц), которая и отобра-
жается на осциллограмме после детектирования принятого
сигнала. Нулевая линия проходит горизонтально посередине
осциллограммы. Поэтому на осциллограмме получается полоса
поглощения (сверху) и ее зеркальное изображение (снизу).
112
Если электроны имеют разные собственные частоты <оог, то
в уравнении (2.23) второе слагаемое заменяется суммой членов
подобного же вида. Соответственно усложняется и ход полосы
поглощения.
Рассмотренная упрощенная теория дисперсии (зависимости
показателя преломления и поглощения от частоты) применима
лишь в тех случаях, когда можно пренебречь квантовыми свой-
ствами излучения, т. е. когда средняя энергия беспорядочного
движения частиц удовлетворяет неравенству:
kT > hf,
где k= 1,4-К)-23 дж/град— постоянная Больцмана, /г = 6,3 X
X Ю-34 дж-сек — постоянная Планка, f—частота колебаний,
Т — абсолютная температура. При комнатной температуре теория
приложима вплоть до частот порядка
f < - 1013
т. е. до длинных инфракрасных лучей.
в) Колебания плазмы. В плазме (сильно ионизированном газе
с практически одинаковой концентрацией зарядов обоих знаков)
возможны собственные колебания зарядов. Действительно, пусть
в некотором сечении плазменного столба электроны случайно
сместились на расстояние х. Тогда образуется и слой с избыт-
ком положительных зарядов; оба слоя подобны плоскому кон-
денсатору. При концентрации зарядов, равной п, между слоями
создается электрическое поле с напряженностью
г. ~ пех
и на каждый электрон действует сила:
Поэтому электроны придут в колебание с так называемой плаз-
менной частотой:
=V ~60 у Hr (сек~1'>>
г Шос-р ’ с>
причем е близко к единице.
При создании в плазме внешнего поля такой частоты возни-
кает своеобразный резонанс, сопровождаемый сильным поглоще-
нием энергии внешнего поля.
§ 2.10. КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
а) Эффект Зеемана. В конце XIX в. голландский физик Зееман
обнаружил влияние постоянного магнитного поля (с индукцией 8)
на излучение атомов. Это влияние безуспешно искал еще Фара-
8 Зак. 1072 ИЗ
Рис. 2.31
дей, не располагавший достаточно совершенной аппаратурой.
Явление Зеемана заключается в следующем: если атомы какого-
либо газообразного вещества излучают неполяризованный свет
частоты со, то при создании в этом веществе сильного магнит-
ного поля характер излучения изменяется. Именно при
наблюдении вдоль магнитного поля видны уже две спектраль-
ные линии с частотами со ±: Асо, поляризованные по кругу
(во взаимопротивоположных направлениях). При наблюдении же
перпендикулярно полю видна линия с частотой со, причем ее
электрический вектор параллелен полю, и две линии с частотами
со ±1 Асо, имеющие электрический вектор, перпендикулярный полю
(рис. 2.31).
Изменение частоты относительно невелико:
4® = ^-В. (2.24)
Так, при со — 1015 секгху В — 1 тл (сильное поле!) получаем:
ю-4.
(О
В первом приближении эффект Зеемана может быть истол-
кован с классической точки зрения.
Рассмотрим электрон, вращающийся в плоскости XOY по
окружности радиуса угловая частота его вращения ztco опре-
деляет частоту излучаемого им света со. Если теперь появится
магнитное поле, направленное вдоль оси Z, индукция которого
114
нарастает от нуля до величины В, то по окружности радиуса R.
будет действовать э.д. с., Э определяемая скоростью изменения
магнитного потока:
3 = -"Л*Т-
Поэтому мгновенная напряженность индуцированного электри-
ческого поля, направленная в каждой точке окружности по
касательной, будет равна:
Е ~ Э
2nR
R dB
2 dt ‘
На электрон с зарядом е будет действовать дополнительный
вращающий момент, численно равный
М = eER = -%-е ~. (2.25)
Одновременно будет возникать и сила Лоренца, перпендику-
лярная мгновенной скорости электрона и магнитному полю. Так
как время нарастания поля весьма велико по сравнению с перио-
дом вращения электрона, то можно считать, что сила Лоренца
в каждый момент обеспечивает необходимое изменение центро-
стремительной силы; поэтому радиус орбиты электрона не
меняется, хотя угловая скорость претерпевает изменение Дсо;
для нахождения его учтем, что скорость меняется благодаря
действию момента М\
Л4 = / —
dt ’
где I — mR2— момент инерции электрона, т— его масса. Исполь-
зуя выражение (2.25), получаем:
1 е
wvM — -s— dB.
2т
Производя интегрирование, находим:
Д<о В
dB = -4- В,
2т '
= rfCO =: ----
J 2/7* J
О О
что соответствует уравнению (2.24). Изменение угловой скорости
сохраняется до тех пор, пока магнитное поле не будет снова
обращено в нуль. При этом возникает индукционный процесс,
протекающий в направлении, противоположном первому процессу,
и угловая скорость снова примет первоначальное значение.
При наблюдении вдоль поля будут видны две линии с раз-
ными частотами и правой и левой круговой поляризациями.
Действительно, вращение электрона по окружности равносильно
двум взаимно перпендикулярным колебаниям в направлениях X
и Y. Поэтому можно говорить о колебаниях диполей вдоль этих
8*
115
осей. Так как диполь не дает излучения только вдоль собствен-
ной оси, то в направлении поля (ось Z) излучение этих диполей
будет доступно наблюдению.
При наблюдении же в направлении Y (или X) должно быть
видно лишь линейно поляризованное излучение с электрическим
вектором, параллельным оси X (или У) и с частотами oz±A<o.
Кроме того, следует учесть излучение электронов, колеблющихся
вдоль оси Z. Их движение под влиянием поля не изменяется.
Поэтому они дадут линейно поляризованное излучение частоты со
с электрическим вектором Е, параллельным магнитному полю,
видимое лишь при наблюдении вдоль осей Y и X.
В реальных условиях часто наблюдается более сложный
эффект — его полное истолкование в рамках классической теории
невозможно.
б) Диамагнетизм. Вычисленное в пункте «а» изменение частоты
вращения электрона по орбите влечет за собой изменение орби-
тального магнитного момента, причем, по правилу Ленца, это
изменение всегда направлено антипараллельно нарастающему
внешнему магнитному полю. Если бы все электроны в атомах
вещества с атомным номером Z лежали в плоскостях, перпенди-
кулярных внешнему полю В, то (при концентрации атомов л)
добавочный магнитный момент единицы объема (намагничение)
был бы равен:
</ — в = — nZe
Ио
л2
где 7? —радиус орбиты, А/ =
ного движущемуся электрону,
е— изменение тока, эквивалент-
но — проницаемость вакуума.
Поэтому отрицательная магнитная восприимчивость диамагнетика
не может превышать (по модулю) величины:
z>2
= Но -4^-
Принимая н0 = 4л-10~7 гн)м, n= 1029 л~3, Z = 30, e=l,6X
X Ю-19 к, R — 10~10 м, т — 10~30 кг, получаем:
ю-5,
что отвечает действительности.
в) Циклотрон. Для ускорения заряженных частиц применяется
циклотрон. Как известно, он состоит из двух низких круговых
полых металлических полуцилиндров Ц, разделенных узкой
щелью и находящихся под переменным напряжением (рис. 2.32):
“ав = sin со/.
Перпендикулярно основаниям полуцилиндров направлено одно-
родное магнитное поле В. Если в момент / прохождения раз-
ности потенциалов через наибольшее значение в центральной
116
части щели окажется ион с
зарядом е и массой т, то он
будет ускоряться электричес-
ким полем и приобретет энер-
гию:
= eUm.
Войдя внутрь полуцилин-
дра, где электрическое поле
практически отсутствует, ион
опишет под действием маг-
нитного поля полуокруж-
ность радиуса р, причем
лорепцова сила обеспечит
центростремительное ускоре-
ние:
evB = (2.26)
где v — скорость иона. На
прохождение полуокружнос-
ти иону требуется время:
не зависящее от радиуса,
пока скорость иона не на-
столько велика, чтобы нужно
было считаться с зависи-
мостью массы от скорости,
переменного напряжения:
Рис. 2.32
Если это время равно полупериоду
Т __ л
2“ “ 'оР
(2.28)
то ион снова подойдет к щели в момент существования наиболь-
шей разности потенциалов, испытает дополнительное ускорение,
и т. д.
По мере роста скорости иона будет расти и радиус полуок-
ружностей, так что ион будет двигаться по раскручивающейся
спирали 1,2,3. После /V оборотов он приобретет кинетическую
энергию:
W = 2NeUfn,
т. е. большая энергия получается благодаря многократному дей-
ствию небольшой разности потенциалов. Однако для этого необ-
ходимо соблюдение условия, следующего из выражений (2.27) и
(2.28): частота изменений ускоряющего напряжения должна рав-
няться:
со = (2.29)
117
Рис. 2.33
Ее называют циклотронной
частотой. Циклотронная частота
вдвое больше частоты, определя-
емой из уравнения (2.24) и часто
называемой частотой Лармора.
Практические циклотроны при
амплитудах напряжения, равных
десяткам киловольт, позволяют
получать энергии до десятков
мегаэлектронвольт.
Пусть теперь в момент 4, когда потенциал полуцилиндра В
выше, чем потенциал полуцилиндра А, к щели подлетает извне
положительный ион, имеющий скорость и; он испытает в щели
некоторое торможение. Если оставшаяся у него скорость удов-
летворит уравнению (2.27), то такой ион будет двигаться по
скручивающейся спирали 4, 5, 6, 7, периодически отдавая свою
энергию полю, т. е. поддерживая его существование.
Этот принцип периодического торможения потока заряженных
частиц находит практическое применение в магнетронах — лампах
с магнитным управлением, способных за счет такого торможения
не только усиливать имеющиеся колебания, но и генерировать
автоколебания сверхвысокой частоты, так как магнетрон являет-
ся нелинейной системой (см. § 3.10). Однако распределение по-
лей и траекторий электронов в магнетронах сильно отличается
от рассмотренных выше.
г) Циклотронный резонанс. Это явление наблюдается в метал-
лах и полупроводниках, например при создании в них постоян-
ного магнитного поля В, параллельного поверхности образца, и
переменного электрического поля, также параллельного поверх-
ности образца, но перпендикулярного магнитному полю (рис. 2.33):
Е = Ет cos со t.
Если электрон (или дырка — в полупроводнике) имел начальную
скорость, перпендикулярную магнитному полю, то он начинает
вращаться с циклотронной частотой (2.29). Так как электрическое
переменное поле проникает в металл лишь на малую глубину
(поверхностный эффект!), то только часть пути электрон будет про-
ходить вдоль поля В, взаимодействуя с ним и поглощая его
энергию. Если частота поля равна частоте вращения электрона
(и обе достаточно велики для того, чтобы электрон успел со-
вершить достаточное число оборотов до взаимодействия с кри-
сталлической решеткой), то будет наблюдаться заметное погло-
щение энергии переменного электрического поля. Меняя магнит-
ное поле (при заданной частоте электрического поля) или меняя
частоту (при заданной величине магнитного поля), можно на-
блюдать максимумы поглощения и получать ценные сведения об
118
эффективных массах носителей заряда и условиях их взаимодей-
ствия с решеткой.
При магнитных полях порядка 0,01—0,1 тл циклотронная
частота для электрона составляет около 10° сек,~]. Переменное
поле такой частоты проникает в металл на глубину, не превы-
шающую 10"9 м.
Циклотронный резонанс может проявляться и в газовой плаз-
ме, находящейся в магнитном поле. В частности, существование
магнитного поля Земли вызывает циклотронный резонанс заря-
женных частиц в ионосфере, являющийся причиной дополнитель-
ного поглощения радиоволн. Эта причина и ряд других эффек-
тов, связанных с существованием магнитного поля Земли, силь-
но усложняют условия распространения радиоволн, что особенно
сильно проявляется при сверхнизких частотах (порядка килогерц).
д) Парамагнитный и ядерный магнитный резонансы. Если
атом вещества обладает орбитальным магнитным моментом (вы-
званным вращением электронов вокруг ядра), то при помещении
вещества в магнитное поле с индукцией В ось магнитного мо-
мента начинает прецессировать (описывать конус) вокруг направ-
ления поля с ларморовой частотой; подобным же образом ведет
себя вращающийся вокруг вертикальной оси волчок, находящий-
ся в поле тяжести.
Если создать переменное магнитное поле, перпендикуляр-
ное В, то оно будет влиять на условия прецессии, причем особен-
но сильное влияние, сопровождаемое поглощением энергии пере-
менного поля, снова получится при резонансе, т. е. совпаде-
нии частоты поля с ларморовой частотой. В ряде случаев этот
эффект выражен очень резко и позволяет получить ценные све-
дения о свойствах парамагнитных тел. Эффект получил название
парамагнитного резонанса; он был открыт в 1941 г. советским
физиком Завойским.
Аналогичные соображения могут быть развиты и для фер-
ромагнетиков, где наблюдается «ферромагнитный резонанс», даю-
щий ценные сведения о свойствах атомов (и их групп) ферромаг-
нетика.
Наконец, поскольку ядро атома также обладает магнитным
моментом, возможно наблюдение ядерного магнитного резонанса.
е) Колебания заряженных частиц в неоднородных магнитных
полях. Мы видели, что заряженная частица, влетающая в одно-
родное магнитное поле, постоянное во времени, направленное
перпендикулярно скорости частицы, движется по круговой траек-
тории. Если скорость частицы имеет составляющую, направленную
вдоль поля, то движение будет происходить по винтовой линии.
При этом собственное магнитное поле кругового тока, равносиль-
ного частице, направлено против внешнего поля.
Если постоянное поле неоднородно и частица движется к об-
ласти более сильного поля, то возникает тормозящая сила, и
119
составляющая скорости,
параллельная полю, по-
степенно уменьшается.
Но так как в постоян-
ном магнитном поле
энергия частицы изме-
ниться не может, то
составляющая скорости,
перпендикулярная по-
лю, будет при этом
увеличиваться и траекто-
рия может деформиро-
ваться. Однако магнит-
ной поток Ф внешнего
поля, охватываемый тра-
екторией, изменяться не
будет. Действительно,
пусть плоскость орбиты
перпендикулярна оси Z.
Возможная э. д. с. электромагнитной индукции
F dz __ ___ d&
dt dz dt dz ^7'
(vz — скорость вдоль оси Z) должна равняться нулю, так как
постоянное поле не может совершать работу над частицей. Но
по предположению, #= 0. Следовательно, магнитный поток не
зависит от координаты z. Траектория частицы оказывается слож-
ной: с увеличением поля радиус орбиты, описываемой частицей,
уменьшается, период вращения также уменьшается (см. уравне-
ние 2.24), витки спиральной траектории сближаются друг с дру-
гом. Если поле достаточно сильно, то оно может даже изменить
знак скорости vz. Можно показать, что для этого должно вы-
полняться условие:
где В — индукция поля, вызывающего «отражение» частицы,
Во — индукция в месте входа частицы в поле, а0 —- угол между
направлениями индукции Во и начальной скорости частицы у.
Так как внешнее магнитное поле Земли можно уподобить
полю магнитного диполя, то заряженная частица, попавшая в
это поле под подходящим углом, может оказаться захваченной
полем: ей придется совершать вынужденные колебания между
областями, где поле достаточно сильно. Примерная траектория
такой частицы показана на рис. 2.34, где дано сечение Земли
по одному из ее магнитных меридианов. Жирные линии огра-
ничивают трубку индукции и указывают направление вектора
индукции В. На рисунке изображена только часть траектории —
120
Магнитная ось
Рис, 2.35
от момента входа частицы
в поле до момента первого
отражения; позже такое
же отражение произойдет
в нижней части трубки
индукции.
Наблюдения, выполнен-
ные на спутниках, показа-
ли, что Земля действитель-
но окружена областями с
повышенной концентраци-
ей заряженных частиц — радиационными поясами. На рис. 2.35
области наиболее сильной концентрации частиц заштрихованы.
Пояса получатся при вращении чертежа вокруг магнитной
оси Земли; расстояния на этом рисунке даны в земных ради-
усах.
Так как внутри поясов частицы взаимодействуют друг с дру-
гом и с нейтральными молекулами, то время пребывания частиц
в поясе ограничено — они могут либо рекомбинировать, либо вы-
летать за пределы пояса. Однако это время велико (во внутрен-
нем поясе до 109 сек) по сравнению с периодом колебания части-
цы между отражающими областями (0,1 — 1 сек) и периодом вра-
щения частицы (10 ”3 ч- 10" 1 сек)', таким образом, частица мо-
жет испытать до 109 отражений и совершить до 10п оборотов.
Кроме того, траектория частицы медленно вращается вокруг Зем-
ли (период вращения — несколько часов).
Во внешнем радиационном поясе картина примерно такая же,
но существование частиц менее длительно (10G—107 сек).
Источником заряженных частиц для внутреннего пояса, види-
мо, служат нейтроны, выбиваемые из атомов атмосферных газов
космическими лучами и летящие от Земли. Нейтрон, как извест-
но, радиоактивен и распадается на протон и электрон (период
полураспада— 1500 сек). Некоторую роль играют и заряженные
частицы, выбрасываемые Солнцем.
Внешний пояс в основном пополняется за счет частиц, летя-
щих от Солнца. Доказательством этого служит сильное измене-
ние состояния внешнего пояса при магнитных бурях, связанных с
вспышками на Солнце; на состояние внутреннего пояса магнит-
ные бури влияют гораздо слабее.
Энергия захватываемых частиц составляет десятки мегаэлект-
ронвольт (для протонов) и доли мегаэлектронвольта (для электро-
нов). Во внешнем поясе энергия захватываемых частиц несколь-
ко меньше.
Разумеется, магнитное поле Земли усложняет процесс рас-
пространения электромагнитных волн в ионосфере, приближенно
рассмотренный в § 2.9, а.
Такое же «запирание» частиц осуществляется и в установ-
121
ках, служащих для изучения свойств плазмы и создания управ-
ляемых термоядерных реакций, по здесь необходимые магнитные
поля создаются искусственно.
§ 2.11. ВЛИЯНИЕ ОДИНОЧНОГО ТОЛЧКА НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ
Толчком принято называть кратковременное воздействие на
систему быстроменяющейся силой F (О, возрастающей от нуля до
максимума и снова спадающей до нуля. В результате система, поч-
ти не смещаясь во время толчка, приобретает дополнительный
импульс:
Др = A (mv) = J F (/) dt = Ft, (2.30).
о
здесь т—время действия силы,/п — масса, v— скорость. Толчок,
действующий на покоящуюся массу, сообщает ей скорость:
г (2-31)
Уравнение (2.31) справедливо и для массы, имеющей положе-
ние равновесия, если она находится в этом положении, а дли-
тельность толчка значительно меньше периода свободных коле-
баний массы, так что ее смещением за время действия толчка
можно пренебречь.
Пусть жесткость системы равна k. Тогда через четверть
периода То свободных колебаний системы вся кинетическая энер-
гия перейдет в потенциальную, а отклонение от положения рав-
новесия достигнет наибольшей величины:
l-mv20 ^±kX2m. (2.32)
Потерями на трение за четверть периода обычно можно пренеб-
речь. Измерив Хт, находим начальную скорость
= Хт /4 = ^0Хт (2.33)
или прирост импульса:
Ар = Хт У km.
Эта элементарная теория дает хорошие результаты уже при
т < 0,01 То. Она применяется при рассмотрении баллистических
приборов.
а) Баллистический маятник. Он используется, например, для
определения скорости ружейных пуль. Пуля массы т, движу-
щаяся со скоростью v, неупруго ударяет в маятник массы /пх.
Закон сохранения импульса дает:
(m + mj)v0 — mv.
122
Наблюдая первое наибольшее отклонение маятника, находим
скорость пули:
б) Баллистический гальванометр. Конденсатор неизвестной
емкости С заряжается до разности потенциалов U и затем раз-
ряжается через гальванометр. При малом сопротивлении цепи R
время разряда можно сделать много меньше периода колебаний
рамки гальванометра. Сила, действующая на рамку гальваномет-
ра, пропорциональна току I, и импульс, приобретаемый рамкой,
равен:
р — j fdt — Л f idt = Aq,
'о о
где А — постоянная величина, q — протекший по цепи заряд,
очевидно, равный первоначальному заряду конденсатора:
q = CU,
определяемому по первому наибольшему отклонению рамки (цена
деления шкалы гальванометра определяется заранее).
Для надежности измерений нужно, чтобы время релаксации
т = RC было много меньше периода колебаний гальванометра.
Так как периоды зеркальных гальванометров бывают порядка
1 — 10 сек, а сопротивления порядка 100— 1000 ом, то, беря
средние величины Т = 3 сек, R — 300 ом и требуя, чтобы время
релаксации не превышало 0,01 Т, находим, что вполне надежно
можно измерять емкости
С <0,01--= 10-40.
Это довольно большие емкости. Измерение слишком малых емко-
стей затруднено их малым зарядом.
в) Измерение магнитной индукции. Для измерения магнит-
ной индукции В, созданной, например, в зазоре электромагнита,
в этот зазор помещают небольшую катушку, содержащую п
витков сечения s, пронизываемую магнитным потоком
Ф = Bns
(при малом сечении поле считаем однородным). Катушка замы-
кается на баллистический гальванометр и быстро вытаскивается
из области существования поля. При этом по цепи проходит,
как известно, заряд
0 ф
d<P = -^.
ф
123
Он вызывает, как и в предыдущем примере, отклонение рамки,
пропорциональное заряду. Можно не вытаскивать катушку, а
выключить (или переключить — от этого эффект удвоится) ма-
гнитное поле. Но при этом время релаксации электромагнита
должно быть много меньше периода гальванометра.
В рассмотренных примерах практический интерес представ-
ляет первое наибольшее отклонение. В дальнейшем система со-
вершает затухающие собственные колебания. Фазовая диаграмма
движения изображена на рис. 2.36, причем угол, характеризую-
щий длительность толчка, сильно преувеличен: он должен быть
меньше 3°.
§ 2.12. ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОЛЧКОВ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ
Допустим, что на колебательную систему с периодом
действуют периодические толчки (их длительность т < 7%) одно-
го направления; период повторения толчков обозначим Т. Между
толчками система совершает затухающие колебания, но мы снача-
ла пренебрежем затуханием. Первый толчок выводит систему из
положения равновесия. Так как периоды Т и TQ различны, то
одни толчки могут раскачивать систему, другие — тормозить ее.
Так, если Т = 1,25 То, то, как показывает график зависимости
смещения и скорости от времени (рис. 2.37), два первых толчка
раскачивают систему, а после двух последующих она совсем
останавливается. При пятом толчке все начинается сначала. По-
добная же картина получается и при Т< То. На рис. 2.38 при-
водится фазовая диаграмма для случая Т = 0,75То. Читателю
рекомендуется самостоятельно построить фазовую диаграмму для
первого случая и плоскую — для второго.
Если же толчки имеют период, равный или кратный периоду
системы:
Т = mTQi m = 1,2,3 ...
124
и происходят в момент прохождения системой положения равно-
весия, то система будет раскачиваться весьма энергично. На
рис. 2.39 приведены два примера (цифрами отмечены толчки). Здесь
уже следует учесть затухание, ограничивающее скорость нараста-
ния амплитуды. При этом существенно важно, что установление
колебаний (как и при действии гармонической силы) длится тем
дольше, чем выше добротность системы.
Рассмотрим этот важный вопрос с количественной стороны.
Пусть толчки происходят один раз за период колебаний системы.
Примем для простоты, что они дают каждый раз одинаковый
прирост скорости, равный V. Тогда получаются такие соотноше-
ния: перед вторым толчком:
Ц2 = I/ ехр / — -Q-);
сразу после второго толчка:
= v2 + V\
перед третьим толчком:
у3 = v2exp I — к
сразу после третьего толчка:
Ц3 = у' + у = V 1 ехр ( - -А) + ехр ( - 2-J-j
Рассуждая таким же образом, найдем, что сразу после (k-\- 1)-го
толчка получится скорость:
1 — ехр I — -Q- k
125
Рис. 2.40
При достаточно большом k вторым
слагаемым в числителе можно прене-
бречь, и для установившейся скорости
получится:
yvcr = ------•
1 п \
1 _еХр I — -QJ
При большой добротности можно
принять:
(Л \ 1 л
QJ ~ Q ’
тогда установившаяся скорость выра-
зится совсем просто:
Ууст — ПГ
Итак, раскачка получается тем сильнее, чем добротнее систе-
ма. Но зато и время установления процесса (точнее, число толч-
ков) растет вместе с добротностью. Так, примем, что движение
можно считать установившимся, если после (k ~ 1)-го толчка
скорость составляет 0,99 с>уст. Тогда для определения числа толч-
ков, приводящих систему в это состояние, получим из выраже-
ния для vk + \\
«»(—
Если толчки следуют через целое число периодов т, то, очевид-
но, это приведет к уменьшению установившейся скорости, так
как вырастут потери между толчками. Но время установле-
ния окажется прежним.
Итак, при возбуждении толчками одного направления (в мо-
менты прохождения через положение равновесия) сильная рас-
качка происходит при соблюдении условия:
Т — тТ0.
Важно отметить, что толчки влияют только на амплитуду,
но не на период колебаний системы.
Фазовая диаграмма устанавливающихся колебаний показана
на рис. 2.40.
Если чередовать направление толчков, то они обеспечат силь-
ную раскачку при условии:
Т = (т—О,5)Го,
где т — целое число.
Если для сильной раскачки сохранить название «резонанс»,
то приходится заключить, что при возбуждении толчками воз-
можны «кратные резонансы».
126
Рис. 2.41
Рис. 2.42
Если толчки происходят вне положения равновесия системы,
то также возможна сильная раскачка системы, ио при этом бу-
дет изменяться и период. Так, если вывести маятник (стальной
шарик) из положения равновесия вправо (рис. 2.41), а слева по-
местить массивную стальную плиту, то, испытывая упругий
удар, маятник будет получать «толчок», причем период движе-
ния станет меньше, чем в отсутствие плиты. Фазовая диаграмма
для этого случая показана на рис. 2.42. Очевидно, период тако-
го движения То связан с периодом маятника условием:
т-Ъ%<т9.
Конечно, такое движение не будет гармоническим (даже в от-
сутствие трения). Так, если угол а составляет 1,5 л, то закон
движения таков:
M=Xcos^~);
127
Рис. 2.44
Плоская и фазовая диаграм-
мы этого движения изображены
на рис. 2.43, а на рис. 2.44
представлен спектр этого дви-
жения, причем принято
«1 ===
1 т
При действии периодических
толчков между амплитудой Vm
установившейся скорости и величиной толчка V существует про-
стая связь (см. рис. 2.42):
= 2 sin
Vm
^(То-Т) .
= —-
2 sin
При заданном толчке амплитуда скорости равна:
V
^(То-Т)
Если периоды близки, то получаем приближенно:
m — ( Т '\
2л | 1 — "777“ I
\ °!
и амплитуда резко возрастает.
С другой стороны, если колебания должны иметь заданную
амплитуду скорости, то для ее поддержания нужен тем более
слабый толчок, чем ближе Т к То. Следует иметь в виду, что
при этих рассуждениях мы не учитывали затухания и толчок
менял только знак скорости, не меняя кинетической энергии
системы.
Можно считать для общности, что рассмотренные в § 2.2
вынужденные колебания являются предельным случаем возбужде-
ния системы бесчисленным количеством толчков, направление
и интенсивность которых меняются надлежащим образом.
§ 2.13. ВЛИЯНИЕ БЕСПОРЯДОЧНЫХ ТОЛЧКОВ НА ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ
При действии на колебательную систему хаотических слу-
чайных толчков, имеющих малую продолжительность (по сравне-
нию с периодом системы), система может сама прийти в хаоти-
ческие колебания. Как и в случае сложения колебаний с беспо-
рядочно меняющимися фазами (§ 1.11), средняя энергия возника-
ющего движения оказывается пропорциональной среднему числу
толчков в единицу времени, среднему квадрату амплитуды, сооб-
щаемому каждым толчком и, что особенно интересно, доброт-
ности системы.
128
Поэтому очень легкая высокодобротная система (зеркальце
на весьма тонкой нити) может совершать заметное броуновское
движение за счет толчков, получаемых от беспорядочно движу-
щихся молекул окружающего газа: зеркальце беспорядочно ко-
леблется около положения равновесия, что удается обнаружить
при достаточно быстрой и частой регистрации его положения и
скорости.
Случайные беспорядочные изменения плотности электронов
в объеме проводника создают на концах последнего беспорядоч-
ные изменения разности потенциалов (около нулевого значения);
их называют электрическими шумами. Средняя хмощность таких
шумов на сопротивлении 7? характеризуется средним квадратом
шумовой э. д. с.:
где k— постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура,
Д/— полоса частот, принимаемая приемником (формула верна
при f < 1013 гц).
Существуют и другие виды шумов, например шумы от флук-
туаций плотности электронного потока в лампах, от сотрясения
деталей аппаратуры и пр.
Эти шумы присутствуют всегда и ограничивают возможности
приема слабых сигналов: если не применять особые меры (в этой
книге мы их не рассматриваем), то слабый сигнал «тонет» в
шуме и выделить его не удается.
§ 2.14. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Совершенно особым типом колебаний являются колебания,
возникающие в системе (предварительно приведенной в движение)
при периодическом изменении ее параметров.
Простым примером может служить железный
шарик, подвешенный на длинной нити (мате-
матический маятник) и способный колебаться
над вертикальным электромагнитом (рис. 2.45),
создающим заметное магнитное поле только
вблизи положения равновесия маятника. Элек-
тромагнит включается при прохождении шари-
ком участков траектории 1,2 и 3,4. Таким
образом, маятник испытывает дополнительное
ускорение на участках (1,0 и 3,0), более длин-
ных, чем участки (0,2 и 0,4), где возникает
дополнительное торможение. Поэтому поло-
жительная работа ускорения, производимая
магнитными силами, больше отрицательной ра-
боты торможения этими силами, и при каждом
Рис. 2.45
9 Зак. 1072
129
включении электромагнита энер-
гия маятника возрастает, и он
постепенно раскачивается.
Так как период колебаний
математического маятника ра-
вен:
то влияние магнитных сил рав-
ноценно изменению g, т. е.
одного из параметров маятника.
Расчет этого примера сложен
и требует знания пространст-
венного распределения магнит-
ного поля.
С количественными характеристиками параметрического воз-
буждения удобнее познакомиться на классическом примере каче-
лей, но и эту задачу мы рассмотрим несколько упрощенно.
Хорошо известно, что для увеличения амплитуды колебаний
качающихся качелей следует приседать (опускать центр тяжести
тела) при нахождении качелей в крайних точках траектории;
когда же качели проходят положение равновесия, нужно быстро
выпрямляться, т. е. поднимать центр тяжести тела. Качели
являются, конечно, физическим маятником; их изменяемый пара-
метр— длина. Мы рассмотрим более простой случай — математи-
ческий маятник с переменной длиной (рис. 2.46).
Итак, пусть маятник массы т и длины I отклонен на угол а0
(положение /) и начинает двигаться. Через положение равно-
весия 2 он проходит со скоростью о0; в этот момент укоротим
маятник на А/, подняв его в положение 3\ на скорости это не
отразится. Поэтому, двигаясь дальше по дуге меньшего радиуса,
маятник остановится в положении 4, поднявшись па прежнюю
высоту Zz0 относительно положения 5, но отклонившись на угол
а > а0. В этот момент следует быстро восстановить первоначаль-
ную длину маятника; он займет положение 5. При этом он
окажется над положением равновесия на высоте h > й0, т. е.
будет обладать избытком энергии по сравнению с положением 1.
Возвращаясь в положение равновесия, маятник пройдет его
со скоростью vx > (положение 6, совпадающее пространственно
с положением 2).
Рассмотренную операцию можно совершать дважды за период
колебаний маятника; при этом он будет раскачиваться все
сильнее. Так как существует неизбежное трение, то раскачка
будет происходить до тех пор, пока энергия, сообщаемая маят-
нику за половину периода, не сравняется с потерями на трение
за это же время.
130
Этот процесс называют «параметрическим резонансом», чем
подчеркивается связь между собственной частотой системы
и частотой «накачки» (сообщения энергии маятнику). Физическая
суть процесса заключается в том, что энергия, сообщаемая маят-
нику при его подъеме, больше энергии, теряемой маятником при
опускании его на меньшую высоту:
А/х = А/ cos а.
Обратимся теперь к энергетике процесса. Так как в положе-
нии 2 натяжение нити определяется суммой веса маятника и силы
2
реакции шарика -у-, то работа, совершаемая при укорочении
нити, равна:
2
пик
ДЛг = mg\l ----у- Ы.
Работа же при удлинении маятника есть:
ЛЛ2 == — mg&l coscc = — mgM (1---у).
Поэтому увеличение энергии маятника за половину периода его
движения составляет:
дг = ДА + ДЛ2 = 2 г0 (14- -nJ-W 3 --- г0)
так как
ио = 2g/z0, го = -Л muo, h h0.
Наличие затухания приводит к уменьшению энергии до величины:
Г^Гоехр
При больших добротностях убыль энергии составляет:
ДГ0 = Го - Гх —Го
Для раскачки маятника необходимо выполнение неравенства:
ДГ> ДГ0) т. е.
где IVZO — энергия системы в начале каждого полупериода. Вели-
чина р = —— называется глубиной модуляции параметра (в дан-
ном случае длины маятника).
Если бы жук, рассматривавшийся в § 1.7, и, периодически
садился на горизонтальный пружинный маятник в моменты про-
9*
131
Рис. 2.47
Рис. 2.48
хождения последним через положение равновесия, а взлетал
в моменты остановки маятника в положениях наибольшего откло-
нения, то он мог бы осуществить параметрическое возбуждение
маятника. В этом случае изменяемым параметром являлась бы
масса маятника, «накачиваемой» энергией была бы кинетическая
энергия жука.
Другой пример параметрических колебаний — движение со-
средоточенной массы /п, укрепленной посередине нити, натяжение
которой можно периодически изменять (рис. 2.47) по закону:
Т = То 4- 7\ cosco/.
Если увеличивать натяжение при приближении массы к поло-
жению равновесия и уменьшать при удалении от него, то можно
сильно раскачать систему. Здесь частота накачки, так же как
и в случае качелей, вдвое больше, чем частота системы. Пара-
метрические колебания могут возникать и тогда, когда вращаю-
щаяся часть машины имеет несимметричную форму. Так, ротор
электрической машины, снабженный канавками для укладки про-
водов обмотки (рис. 2.48), обладает различной жесткостью в на-
правлениях АА и ВВ.
Если частота вращения будет вдвое превышать его собст-
венную частоту (ротор колеблется в плоскости чертежа), то могут
возникнуть параметрические колебания.
Красивым опытом, хорошо поясняющим различие между
обычным и параметрическим резонансом, является опыт Мельде.
Строго говоря, он производится с системой, имеющей много сте-
пеней свободы — длинной нитью (см. четвертую главу). Но
в условиях опыта возбуждаются только колебания, отвечающие
132
Рис. 2.49
одной степени свободы, что и позволяет рассматривать этот
опыт здесь.
К ножке горизонтально расположенного камертона, возбуж-
даемого электромагнитным способом, прикреплен конец упругой
нити; другой ее конец переброшен через блок и несет чашку
с гирями, создающими статическое натяжение нити: подобрав его
величину, можно добиться резонанса. При этом в нити возникнет
отчетливая стоячая волна; благодаря частым колебаниям изобра-
жение нити при наблюдении невооруженным глазом расплы-
вается (рис. 2.49, а). Так как горизонтально расположенный
камертон просто раскачивает нить, сообщая ей кинетическую
энергию для покрытия потерь на трение, то резонанс будет
иметь место, когда частота нити совпадет с частотой камертона.
Отрегулируем натяжение так, чтобы нить возбуждалась на
втором обертоне, т. е. на ее длине укладывалась бы целая стоя-
чая волна. Если теперь камертон расположить вертикально
(рис. 2.49, б), то колеблющаяся ножка камертона создаст периоди-
ческие изменения натяжения нити (параметрическое возбуждение),
причем частота возникших колебаний нити будет вдвое меньше,
и на нити уложится только одна полуволна, хотя частота камер-
тона, конечно, останется прежней. Действительно, наибольшее
отклонение нити (любого знака) достигается только при смещении
ножки камертона в направлении стрелки, так что переход нити
из состояния /1 в состояние В (половина периода колебаний нити)
требует полного периода изменений состояний камертона.
Если в этих опытах воспользоваться стробоскопическим
освещением и подобрать частоту вспышек равной частоте камер-
тона, так что ножка последнего будет видна в одном поло-
жении, то в опыте а нить будет видна также в одном положении,
например А. В опыте б нить видна при этом в двух положениях
10 Зак. 1072
133
(например, А и В). Поэтому стробоскопическое освещение делает
вполне отчетливым различие между вынужденными и параметри-
ческими колебаниями струны.
Механические параметрические колебания не нашли широкого
применения. Гораздо более интересны (в практическом отношении)
параметрические колебания в высокочастотных электрических
цепях.
Вообразим электрический контур, содержащий постоянную
индуктивность L и конденсатор переменной емкости. Для про-
стоты будем считать конденсатор плоским, так что его емкость
можно рассчитывать по формуле:
С — е —
где S — площадь пластин, е0 — электрическая проницаемость
вакуума, h — расстояние между пластинами. Пусть в момент t = О
на пластинах случайно возник заряд qQ и соответствующая раз-
ность потенциалов Uo = ~. Раздвинем пластины на отрезок Дй.
При этом придется совершить работу против электрических сил
и энергия конденсатора увеличится на величину:
2 2 2 Г п
Д^ = 177 - =^о^- = и7оИ-
Теперь конденсатор разряжается через катушку. Через чет-
верть периода, когда заряд его исчезнет, снова сдвинем плас-
тины (работа не совершается). Еще через четверть периода кон-
денсатор перезарядится током самоиндукции, и процесс можно
начать снова. Таким образом, меняя параметр (емкость), мы на-
качиваем энергию в систему и увеличиваем интенсивность ее
колебаний. Так как за половину периода колебаний контура его
энергия (вследствие затухания) уменьшается на величину:
Д^о = w0
то для раскачки требуется выполнение неравенства:
ДГ > ДГ0)
т. е. И > -А.
Итак, глубина модуляции параметра может быть тем меньше,
чем выше добротность системы (как и в механическом примере).
В реальных физических устройствах емкость меняется при-
мерно по гармоническому закону:
С = Со(1 + р. sin to,/),
где ц, —- частота накачки, обычно равная удвоенной частоте сво-
бодных колебаний контура. Конечно, вместо емкости можно
было бы менять и индуктивность.
134
Л 5
Рис. 2.50
частоте
глубины
Точки,
Так как в таких системах
параметры зависят от времени,
то решение уравнения движения
системы сильно усложняется.
Это уравнение остается линей-
ным, но его коэффициенты ста-
новятся функциями времени. Не
вдаваясь в подробности, рас-
смотрим результаты решения
таких уравнений. Они иллюстри-
руются рис. 2.50. По оси абс-
цисс отложено отношение час-
тоты контура о) к
накачки сон. По оси ординат
отложены значения
модуляции параметра,
лежащие внутри острых углов
с пунктирными сторонами, определяют те значения относительной
частоты и глубины модуляции, при которых способна рас-
качаться система, лишенная трения. Из рисунка видно, что
„ со 1
строгое соблюдение требования — — -у- не является обяза-
тельным, но при его выполнении требуется наименьшая глубина
модуляции, что вполне понятно, так как при этом энергия
накачки используется наилучшим образом. Для нашей схемы
это значит, что можно раздвигать пластины не в точности при
максимальном заряде (и сближать их не в точности при нулевом
заряде); нужно лишь, чтобы работа раздвигания была больше
работы сближения, совершаемой системой.
При отсутствии затухания и — = -4- колебания могли бы
(0н 2
возникнуть при сколь угодно малой глубине модуляции. Но при
существовании затухания вносимая энергия не должна быть
слишком малой, а
более жесткими.
Область значений
потому условия возбуждения становятся
(о
— и и, при которых возможна раскачка
сон
системы с затуханием, сужается (на рисунке она показана
штрихованной площадью). Разумеется, при росте затухания эта
область еще более сократится, а при больших затуханиях воз-
буждение может оказаться невозможным.
При относительных частотах, равных
<0 1 по
— =п— п = 2, 3... ,
возбуждение также возможно, но осуществить его труднее, так
как накачка энергии происходит при этом реже, чем при п == 1.
Справедливость этих рассуждений была экспериментально
135
доказана академиками Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси
в 30-х годах. Они создали низкочастотные параметрические
машины, где изменение емкости достигалось вращением пластин
переменного конденсатора, а изменение индуктивности — периоди-
ческим введением в зазор между двумя катушками металли-
ческого диска. В диске возникали сильные вихревые токи; магнит-
ное поле этих токов накладывалось на магнитное поле токов
катушек и меняло его, что равносильно изменению индуктив-
ности. Возбуждаемые таким образом колебания с частотой
в несколько килогерц не нашли практического применения.
В конце 50-х годов нашего века идея параметрического воз-
буждения нашла выход в практику. В эти годы были созданы
полупроводниковые приборы, представляющие комбинацию двух
разнородных веществ, на границе между которыми происходит
перераспределение носителей зарядов и возникает скачок потен-
циала. Границу раздела (р — n-переход) можно уподобить конден-
сатору, имеющему емкость:
С — —
° - и ’
где U — скачок потенциала, q — перераспределившийся заряд.
Если приложить к прибору переменную разность потенциалов,
то она изменит электрическое состояние на границе раздела,
и это можно уподобить изменению емкости. Таким образом, при
наложении переменной разности потенциалов емкость перехода
будет периодически изменяться. Напряжение, меняющее емкость
по заданному закону, является напряжением накачки. Если
одновременно к прибору, включенному в колебательный контур,
подводить еще и напряжение вдвое более низкой частоты, то
можно добиться параметрического усиления этих более медлен-
ных колебаний — на этом принципе работают параметрические
усилители.
Возможно также и самовозбуждение колебаний — генерация.
Она имеет меньшее практическое значение, и на ней мы останав-
ливаться не будем. Отметим только, что при возникновении
генерации напряжение накачки становится зависящим от гене-
рируемого напряжения; уравнение, описывающее в этом случае
поведение системы, делается нелинейным (см. § 3.10).
При вынужденных же параметрических колебаниях уравнение
сохраняет свой линейный характер, и при обращении внешней
силы в нуль колебания прекращаются.
Если происходит параметрическое усиление колебаний, то это
означает, что добротность контура растет с увеличением напря-
жения накачки; действительно, при том же входном напряжении
колебания становятся более интенсивными.
На рис. 2.51, а, б показаны частотные характеристики контура
без параметрического усиления (а) и при значительном пара-
136
a
б
Рис. 2.51
метрическом усилении (б) — возрастание добротности видно
вполне отчетливо.
Преимущество параметрических усилителей заключается в их
компактности, способности работать на очень высоких частотах
и в малой величине собственных шумов — именно в этом отно-
шении они и превосходят другие системы высокочастотных
усилителей.
§ 2.15. УСИЛИТЕЛИ
Своеобразным классом систем, совершающих вынужденные
колебания (но не обязательно обладающих собственной частотой),
являются усилители. В этих системах слабый сигнал управляет
источником постоянной силы, отдающим мощность в систему. За
счет энергии4 этого источника на выходе системы получаются
усиленные колебания, воспроизводящие форму входного сигнала.
Таковы струйные усилители, нашедшие в последнее время
применение в ряде областей техники. Модель простейшего
струйного усилителя изображена на рис. 2.52. Источник питания
подает струю газа (жидкости) при постоянном давлении через
левую горизонтальную трубку. Струя частично попадает в прием-
ную трубку (правая горизон-
тальная). Давление подобрано
так, чтобы течение было слоис-
тым, но довольно близким к
турбулентному. Давление р в
приемнике постоянно. Если же
из управляющей (вертикальной)
трубки, расположенной ближе
к питающей, подать управляю-
щую струю под некоторым
небольшим давлением то в
главной- струе возникает турбу-
лентность и давление в прием-
ной трубке падает,
Рис. 2.52
137
Рис. 2.53
Если управляющее давление переменно, то в приемной трубке
возникают колебания давления. Их амплитуду можно сделать
больше амплитуды колебаний управляющего давления. В неко-
тором интервале изменений давления величины р и pY оказы-
ваются пропорциональными друг другу; таким образом осуще-
ствляется усиление в технических газовых и жидкостных системах.
Следует иметь в виду, что зависимость между р и plf вообще
говоря, нелинейна, но нелинейная система может работать подобно
линейной в ограниченном интервале изменений давления; это,
кстати, подчеркивает относительность разделения систем на
линейные и нелинейные — свойства системы могут меняться
в зависимости от условий ее работы.
Идея, четко вырисовывающаяся на модели струйного усили-
теля, реализуется и в электрических усилителях. Так, в ламповом
усилителе используется трехэлектродная лампа, имеющая две
взаимозависимые цепи: цепь сетка — катод, (рис. 2.53), куда
подается усиливаемый (управляющий) сигнал пс, и цепь анод —
катод, где ток является функцией напряжения на сетке (послед-
нее, конечно, влияет на режим электронного потока в лампе).
Характеристика лампы имеет вид, также показанный на
рис. 2.53 — лампа не является линейным сопротивлением. Однако,
подав на сетку вспомогательное напряжение UCi можно исполь-
зовать прямолинейный участок характеристики, и для перемен-
ного управляющего сигнала ис система окажется линейной. На
рисунке графически определен анодный ток. Протекая по
достаточно большому сопротивлению, включенному в анодную
цепь, содержащую источник энергии — батарею с э. д. с. Еа, ток
создает на сопротивлении падение напряжения, воспроизводящее
форму управляющего напряжения, но с увеличенной амплитудой.
138
Конечно, усиление без искажений возможно только для сигналов,
не выходящих за пределы прямолинейного участка характеристики,
т. е. для не слишком сильных сигналов/
Интересные (и практически важные) эффекты, возникающие
при работе лампы на криволинейных участках, рассматриваются
в третьей главе.
Усилитель, изображенный на рис. 2.53, может работать без
искажений в широкой области частот усиливаемых сигналов, так
как сам он не имеет собственной частоты. Но в анодную цепь
вместо активного сопротивления можно включить параллельный
колебательный контур с большой добротностью (и, следовательно,
узкой полосой пропускания). Так как он включен последовательно
с лампой, тоже представляющей некоторое (довольно большое)
сопротивление, то усиленное напряжение будет распределяться
между контуром и лампой, и значительное усиление (напряже-
ние иа) получится только в полосе пропускания контура; такие
усилители называются резонансными.
Оба рассмотренных типа усилителей (и многие другие типы)
находят широкое применение, так как в разных условиях при-
ходится либо расширять полосу усиливаемых частот, либо стре-
миться к возможному ее сжатию.
В полупроводниковых усилителях применяются полупроводни-
ковые триоды — системы, содержащие два р — п-перехода
и соответственно две взаимосвязанные электрические цепи.
Изменение напряжения в одной из них может вызывать усилен-
ные изменения напряжения в другой цепи.
В современной технике ламповые и полупроводниковые усили-
тели не противостоят друг другу, но успешно дополняют друг
друга, так как каждый из типов усилителей в известных усло-
виях оказывается наиболее удобным и экономичным.
Глава третья. КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
§ 3.1. ПОНЯТИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ СИСТЕМЫ
Все системы и силы, изученные в предшествующих главах,
характеризовались параметрами, которые либо были постоян-
ными, либо менялись со временем, но не зависели от координат
и скоростей. Дифференциальные уравнения, описывающие поведе-
ние этих систем, являются линейными, и потому такое же на-
звание присвоено и этим системам.
Для линейных систем характерны два качества:
1. Если на систему с постоянными параметрами действует
внешняя гармоническая сила частоты со,, то возникает устано-
вившееся вынужденное движение с той же частотой.
2. В любой линейной системе строго выполняется принцип
наложения: если на систему действуют две силы, зависящие от
времени и создающие (каждая в отдельности) смещения и х2,
то при одновременном действии этих сил смещение равно сумме
смещений.
Однако имеется большое число важных в практическом
отношении систем, где либо параметры системы, либо действую-
щие на нее силы сложным образом зависят от смещения или
скорости. Так как дифференциальные уравнения, описывающие
поведение подобных систем, уже не остаются линейными, то
и сами системы называют нелинейными. Им присущ ряд практи-
чески важных свойств, резко отличающих эти системы от линей-
ных. Прежде всего в этих системах не выполняется принцип
наложения: при воздействии внешней гармонической силы
появляются смещения и скорости, не только имеющие частоту
этой силы, но и меняющиеся с иными частотами. Сумма сил дает
результат, не совпадающий с суммой результатов, даваемых
каждой силой в отдельности.
Нелинейность весьма осложняет математическое исследо-
вание движения. Поэтому здесь будут рассмотрены только
отдельные примеры, причем обсуждение их часто будет лишь
качественным.
140
§ 3.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Нелинейная система, выведенная из положения равновесия
и предоставленная самой себе, совершает затухающее движение.
Изучение его связано с большими трудностями. В частности,
знание частных решений еще не определяет полного решения,
так как система не подчиняется принципу наложения.
Действительно, пусть дана нелинейная система, описываемая
уравнением:
тх + &х3 = 0. (3.1)
Пусть известны два частных решения этого уравнения:
Х1 = Л(0; ха = /2(/).
Подставим их по очереди в уравнение (3.1) и сложим результаты:
т (xv + х2) + k (xf + хо) = 0.
Но если подставить в уравнение (3.1) сумму решений, то
полученное выражение не обратится в нуль, так как будут
присутствовать «лишние» слагаемые — (3xix2 + Зххх|). Волее
того, даже частное решение, умноженное на произвольную
константу, не может удовлетворить нелинейному уравнению,
в чем легко убедиться на примере уравнения (3.1).
Поэтому нам придется ограничиться разбором частных
решений.
а) На рис. 3.1, а, б изображены две механические системы
с переменной жесткостью, графики зависимости упругой силы от
отклонения из положения равновесия и фазовые диаграммы
свободных колебаний этих систем. В случае а упругая сила
равна нулю для смещений массы, меньших а (по модулю),
и пропорциональна |х — |а при больших смещениях.
Пусть у = х — а есть деформация правой пружины, имеющей
жесткость /г. Тогда при движении массы от х — Хт до х = а
система ведет себя как линейная. Опа имеет частоту
Время этого перемещения равно:
z _ Tj _ л -1/”7Г
- Т - Г V’
а скорость в точке х = а равна:
ха=-(Хп-а)}/
• 1/ I'
141
Эта скорость сохраняется до достижения положения равно-
весия (х = 0), что происходит за время:
f а а I f п I
2 Ха г k ‘
Рассмотренный процесс охватывает четверть периода свобод-
ных колебаний системы (трением мы пренебрегли). Поэтому
период движения (оно, конечно, негармонично) равен:
При малых зазорах их влияние сказывается мало, и .система
приближается по своим свойствам к линейной.
В случае б меняется длина движущейся части упругой
пружины, так как пружина плотно прилегает к неподвижным
J42
опорам. Расчет этого случая труден. Очевидно,, колебания не
будут гармоническими. Как и в примере ау частота их зависит
от величины отклонения от положения равновесия и будет
больше, чем у системы с постоянной длиной пружины.
Заметим, что негармоническими и нелинейными были и не-
которые системы, рассмотренные в главе первой (например,
рис. 1.17).
Электрическим подобием систем с переменной жесткостью
служит цепь с постоянной индуктивностью и конденсатором,
заполненным сегнетоэлектриком; емкость такого конденсатора
зависит от приложенного напряжения. Эта зависимость непроста
и усложняется существованием гистерезиса (поведение диэлектрика
при нарастании и спадании напряжения оказывается неодина-
ковым). В механике гистерезис, как правило, появляется только
в области значительных (неупругих) деформаций.
б) Механические системы с переменной массой встречаются
редко. Их электрическим подобием служит цепь с катушкой
индуктивности, снабженной стальным сердечником. Так как
магнитная проницаемость стали, а следовательно, и индуктив-
ность катушки сложным образом зависят от тока,- то система
оказывается нелинейной. Эта нелинейность особенно .сильно
заметна при больших токах, когда сталь намагничивается почти
до насыщения. Поэтому если конденсатор колебательного кон-
тура, содержащего такую катушку, зарядить до высокой раз-
ности потенциалов, а затем дать ему возможность разряжаться
через эту катушку, то осциллограмма затухающих собственных
колебаний такой нелинейной системы (рис. 3.2,6) будет отличаться
от обычной осциллограммы для линейных систем (например,
изображенной на рис. 1.35). Осциллограмма на рис. 3.2, а соот-
ветствует малому начальному заряду конденсатора — здесь нели-
нейность заметна мало. Но при большом заряде (рис. 3.2,6) не-
линейность выявлена вполне отчетливо.
в) Нелинейность затухания, если оно невелико, мало влияет
на частоту колебаний, но сильно сказывается на законе убывания
амплитуды колебаний со временем. Рассмотрим случай сухого
143
трения, когда сила, постоянная по модулю, направлена против
скорости. При малом трении движение за полупериод можно
считать гармоническим.
Итак, пусть при 0<со/<л смещение подчиняется закону:
х = Хт cos О)/.
Работа против постоянной силы трения F за половину периода
равна:
т
2 -
А = — \ Fxdt = j FXm sin со/ -d(at) == 2FXm.
о о
Потеря энергии за это время может быть выражена так:
АГ = 4- --------4 - ДМ2 = kX^X’
где АХ — убыль амплитуды. Приравнивая это выражение работе
против силы трения, получаем:
где k— жесткость системы. Таким образом, амплитуда убывает
со временем не ио показательному, а по линейному закону:
х, 4Z Л 4F АЛ
V kXm ")>
здесь N — число периодов, протекших с момента начала движе-
ния. Очевидно, оно не может превышать величины:
Л'м =
Фактически же оно еще меньше, так как при очень малой
скорости обычно наблюдается явление застоя — колеблющееся
тело останавливается в положении наибольшего отклонения или
где-то в Другом месте, но не достигает положения равновесия.
г) Интересным примером нелинейной системы является усечен-
ный круговой цилиндр (рис. 3.3), имеющий в нижней части
небольшой вырез. Цилиндр стоит на гладкой поверхности. Если
вывести его из положения равновесия, наклонив, например,
вправо, то он начнет колебаться слож-
ным образом: сначала (при больших
отклонениях) движение происходит во-
круг мгновенных осей А, затем вокруг
оси, проходящей через правый край
выреза. После этого ось скачком пере-
ходит на левый край выреза, а затем
снова появляются мгновенные оси (на-
пример, В). Конечно, эти колебания
негармоничны; по мере уменьшения
144
Рис. 3.4
направлении (перпендикулярно на-
амплитуды их частота уве-
личивается очень резко, как
это видно из осциллограммы,
изображенной на рис. 3.4.
Для получения этой ос-
циллограммы в нижней части
цилиндра было укреплено
небольшое зеркальце $. Пу-
чок света, падавший на зер-
кальце и отражавшийся им,
совершал (при движении ци-
линдра) вертикальные коле-
бания и попадал па свето-
чувствительную бумагу, пе-
ремещавшуюся с постоянной
скоростью в горизонтальном
правлению движения светового пучка).
д) В§ 1.6 движение физического маятника изучалось главным
образом при малых углах отклонения, когда уравнение движения
маятника (1.16) было линейным. Рассмотрим теперь общий
случай произвольных углов отклонения. Тогда для описания
движения нужно пользоваться нелинейным уравнением (1.15):
/а = — tngl since.
Не приводя строгого решения, выражающегося в специальных
(эллиптических) функциях, воспользуемся методом фазовых,
диаграмм. Он позволит получить ряд ценных сведений о движе-
нии маятника.
Пусть маятнику, находящемуся в положении равновесия,
толчком сообщается кинетическая энергия:
Го = 4- ^о.
В любом положении потенциальная энергия маятника будет
равна:
Wn = mgl(l — cos а),
а его кинетическая энергия уменьшится до величины:
4- /а2 = Wo - Wn.
Отсюда для мгновенной угловой скорости получаем:
1
а Wo — mgl (1 —• cos а) j . (3.2)
Фазовые траектории, описываемые на плоскости (а, а), изобра-
145
Рис. 3.5
жены на рис. 3.5. При малых начальных скоростях движение
оказывается практически гармоничным (кривая 1 — эллипс). При
увеличении скорости возникают искажения фазовой диаграммы,
т. е. отклонения от гармоничности (кривая 2).
При большой начальной скорости, когда
происходит вращение маятника вокруг оси в одну сторону.
Угловая скорость непрерывно испытывает периодические изме-
нения только по величине, но не по знаку (кривая 4).
Особенно интересны кривые 3, отвечающие случаю:
При этом маятник приходит в верхнее положение (а = л) с нуле-
вой скоростью; далее, имеются три возможности:
остаться на некоторое время в состоянии неустойчивого
равновесия;
продолжить движение в прежнем направлении;
изменить направление движения на противоположное.
В точках а == л-п фазовые траектории пересекаются; эти точки
являются особыми точками.
Для оценки периода колебаний перепишем уравнение (3.2)
в таком виде:
di =
9 2
— [IFO —mg/(l — cos а)]
и проинтегрируем в пределах от а = 0 (наибольшая кинети-
ческая энергия) до сс = а.м (наибольшая потенциальная энергия).
Полученное при этом время, очевидно, равно четверти периода
движения маятника:
0 [U% — mgl (1 — cos а)]2
146
Этот интеграл не берется прос-
тыми методами. Но и без вы-
числений видно, что период
зависит от начальной энергии,
т. е. от амплитуды колебаний,
если углы отклонения велики.
Частота колебаний уменьшается
при росте амплитуды, о чем
уже говорилось в первой главе.
е) Как известно, частицы
твердого тела (ионы, атомы,
молекулы), находящегося в
кристаллическом состоянии,
совершают беспорядочные ко-
лебания вокруг своих поло-
жений равновесия — узлов
кристаллической решетки.
Рис. 3.6
между соседними
Расстояние р0
узлами определяется равенством сил притяжения и отталки-
вания, действующих между частицами, т. е. отвечает минимуму
потенциальной энергии. Так как силы отталкивания зависят от
расстояния гораздо сильнее, чем силы притяжения (именно
поэтому они проявляются только на малых расстояниях),
кривая, характеризующая изменение потенциальной энергии
частицы с расстоянием (за нуль принимается потенциальная
энергия бесконечно удаленных частиц), оказывается резко асси-
метричной (рис. 3.6), а колебания частиц являются негармони-
ческими. Эта негармоничность объясняет, в частности, расшире-
ние тел при нагревании. По мере роста кинетической (и полной)
энергии частицы последняя получает возможность двигаться
со все увеличивающимся размахом. На рис. 3.6 полная энергия
охарактеризована прямыми Тх и Т2 (для двух температур). Так
как колебания негармоничны, то при росте размаха растет
и среднее расстояние между каждыми двумя частицами; следо-
вательно, тело в целом будет расширяться.
§ 3.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ:
ВЫПРЯМИТЕЛЬ И УМНОЖИТЕЛЬ АМПЛИТУДЫ
Нелинейные системы особенно широко применяются в элек-
трических цепях, поэтому рассматриваемые примеры будут
главным образом электрическими; но позже мы рассмотрим
и несколько механических примеров.
У обычного металлического проводника, находящегося при
постоянной температуре, сопротивление не зависит ни от направ-
ления тока, ни от его величины. Нелинейные сопротивления
(лампа газового разряда, электронная лампа, полупроводник)
такой зависимостью обладают. Мы не будем обсуждать интерес-
147
ные физические причины, вызывающие появление нелинейности,
так как эти вопросы относятся не столько к колебательным
явлениям, сколько к физике твердого и газообразного состояний.
Независимо от физической природы нелинейности мы будем обо-
значать нелинейное сопротивление с резковыраженной одно-
сторонней проводимостью символом V (вентиль), изображенным
на рис. 3.7; условное направление пропускания тока вентилем
указано стрелкой. Там же показана идеализированная вольт-ампер-
ная характеристика вентиля. При больших напряжениях вос-
ходящую ветвь можно считать прямолинейной, что и сделано
ниже. Такой вентиль часто используется для преобразования
переменного напряжения в постоянное. Соответствующие схемы
называются выпрямительными (или просто выпрямителями). Как
видно из диаграмм левой части рис. 3.7, ток в нагрузке R
существует только в отдельные полупериоды, разделенные
паузами такой же продолжительности.
Осциллограмма и спектрограмма выпрямленного напряжения
были представлены на рис. 1.46.
Если два подобных вентиля соединить по правой схеме
рис. 3.7, то ток в нагрузке будет существовать все время.
148
L.
Рис. 3.8
Аналитическое выражение напряжения на нагрузке в этом случае
таково:
(2 о
1 4- -q- cos 2<о/-cos 4®Z -h ...
<5’0
Оно
ния со.
Для
совсем не содержит частоты питающего напряже-
достаточно больших
практически постоян-
фильтр, рассчитанный
сглаживания пульсаций между точками а и б можно
включить (рис. 3.8) простейший фильтр 1.С. Пусть величина
нагрузки — /?. Роль конденсатора такова: при росте напряжения он
заряжается, при уменьшении напряжения питания он разряжается
на нагрузку (через вентиль благодаря его нелинейности разряд
невозможен). Если постоянная времени RC достаточно велика
(больше периода питающего напряжения), то напряжение на
нагрузке меняется медленно, не по пунктирной кривой, соот-
ветствующей отсутствию емкости, а по более гладкой сплошной
кривой. Это напряжение можно представить суммой постоянной
слагающей и ряда Фурье-гармоник. Для более высоких частот
. индуктивность L, включенная последовательно с нагрузкой,
представляет большое сопротивление, и потому напряжение на
нагрузке еще более сглаживается. При
L и С напряжение на нагрузке получается
ным. Следует, однако, иметь в виду,
на определенную нагрузку, будет
хорошо (и даже лучше) работать на
большие нагрузки, тогда как при
малых нагрузках его работа может
оказаться неудовлетворительной.
В более сложных схемах вентили
позволяют умножать амплитуду
напряжения. На рис. 3.9 изображена
схема удвоителя амплитуды. Пусть
ключ К сначала разомкнут. В пер-
вый полупериод после включения
схемы конденсатор (Д заряжается
до амплитудного значения напряже-
ния Um (второй конденсатор при этом
не работает, так как потенциал
что
11 Зак. 1072
149
точки А выше, чем потенциал точки В). В следующий полупе-
риод конденсатор С] сохраняет свой заряд, а конденсатор С2
заряжается также до величины Um. Таким образом, между
точками Л, D устанавливается разность потенциалов
U = Ыт-
Если подключить к ним нагрузку R, выбрав ее так, чтобы
постоянная времени -Др была много больше периода питающего
напряжения, то ток через нагрузку и напряжение на ней будут
сохранять постоянную величину.
§ 3.4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ: ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МГНОВЕННЫХ
ЗНАЧЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ
Подадим на цепь, собранную из обычных линейных провод-
ников, сумму двух напряжений:
= U± coscoj/; =• i/acosco./, (3.3)
тогда на каждом из сопротивлений (вследствие принципа наложе-
ния) получится сумма двух напряжений таких же частот. На
рис. 3.10 показан результат суммирования двух напряжений,
частоты которых отличаются примерно в десять раз.
Пусть теперь цепь состоит из нелинейного сопротивления,
включенного’ последовательно с линейным; в этом случае прин-
цип наложения не приложим к цепи и спектр получаемого тока
обогащается кратными частотами
поз,., i = 1,2; п — 2,3 ... ,
а также комбинационными частотами
т(о)! + оз2), m = 2,3 ... .
Так, если характеристика нелинейного сопротивления задана
уравнением:
i = а + Ьи + си2 (3.4)
(линейное сопротивление может быть учтено вторым слагаемым
характеристики), то, подставляя
Рис. з.ю
сюда сумму (3.3) и ограничиваясь
членами второй степени, получим:
i = а 4“ “j- *4~
+ си\ -г + 2cuiua.
Таким образом, кроме частот
озА и со2, возникает нулевая частота
(постоянный ток) и составляющие
с частотами 20ц и 2<о2 (так как
квадрат косинуса заменяется пос-
150
тоянным слагаемым и косинусом двойной частоты), а также
составляющая, пропорциональная произведению мгновенных зна-
чений приложенных напряжений. Этот замечательный эффект
находит ряд важных применений; часть из них рассматривается
ниже.
§ 3.5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ: МОДУЛЯЦИЯ
^При передаче сообщений по радио одной из основных опера-
ций является модуляция, т. е. то или иное воздействие сигнала
на колебания, служащие для его передачи (несущие колебания).
Легко понять, что подобное воздействие совершенно необхо-
димо. Непрерывно работающая станция, излучающая незатухаю-
щие волны, столь же мало пригодна для передачи сообщений,
как и постоянно выключенная. Так, воображаемый житель
воображаемой планеты, все время обращенной к Солнцу одной
стороной (и не имеющий возможности проникнуть на другую
сторону), не знал бы о возможности смены света тенью.
Если бы Земля не двигалась вокруг Солнца, а только вра-
щалась вокруг собственной оси, то в каждой точке земного
шара продолжительность дня была бы постоянной. Так как
векторы угловых скоростей собственного вращения Земли и ее
вращения вокруг Солнца не параллельны, а угловые смещения
не подчиняются принципу наложения, то происходит своеобраз-
ная «модуляция» продолжительности дня, причем период моду-
ляции — время движения вокруг Солнца — значительно (в 365 раз)
превосходит период собственного вращения Земли; последнее
можно сопоставить с несущими колебаниями.
Способы воздействия на несущие колебания разнообразны.
Например, при передаче условных телеграфных сигналов (точки
и черточки азбуки Морзе) передатчик включается на промежутки
времени различной длительности, разделенные паузами; таким
образом, амплитуда несущих колебаний меняется от нуля до
максимума.
Но при радиовещании (передача речи или музыки) и теле-
видении (передача движущихся изображений) задача более
трудна, так как требуется передать неискаженный сигнал
сложной формы, а не условный знак.
В этих случаях модуляция заключается в изменении одного
из параметров колебаний несущей частоты:
= i/i cos otf (3.5)
в соответствии с изменениями передаваемого сигнала.
Несущая частота должна быть достаточно высока, так как
практически невозможно создать заметное излучение колебаний
низкой частоты (обычно несущая частота превышает 10& гц).
Кроме того, как выяснится ниже, несущая частота должна
И* 151
Рис. 3.11
Рис. 3.12
во много раз превышать частоту сигнала (при радиотелефонии —
это частоты от десятков герц до десятка килогерц; при теле-
видении—до нескольких мегагерц).
Можно указать три возможных типа модуляции:
амплитудная, когда воздействию подвергается амплитуда
несущих колебаний;
частотная, когда оказывается воздействие на частоту не-
сущих колебаний;
фазовая, при которой воздействию подвергается начальная
фаза несущих колебаний.
Для простоты будем считать передаваемый сигнал гармони-
ческим колебанием низкой частоты (по сравнению с несущей):
h2 = (Acos2/; 2 «со. (3.6)
а) Амплитудная модуляция. Подавая напряжения (3.5) и (3.6)
на последовательно соединенные нелинейное сопротивление
и линейный параллельный колебательный контур, настроенный на
несущую частоту (рис. 3.11), мы получим на контуре (его
сопротивление велико лишь при несущей частоте со и близких
к ней частотам) напряжение:
и == buY + = bUL (1 + tn cos 2Z) cos со/ =
— UMcosat, (3.7)
2c
где m = — U2 — глубина модуляции, обычно выбираемая так,
чтобы она Пе превышала значений 0,4 —0,6. Величина UM
меняется гораздо медленнее, чем cosco/, и может условно рас-
сматриваться как «медленно меняющаяся амплитуда». Пределы ее
изменения таковы:
bUy (1 — т)^, VM <0)UX( \ + tn).
Модулированное по амплитуде колебание изображено на
рис. 3.12; полезно сопоставить его с рис. 3.10.
Однако выражение (3.7) можно представить и в таком виде:
и = bUv I cosco/ 4- ~ cos [(со 2){(со — 2)/) (3.8)
152
а б
Рис. 3.13
т. е. рассматривать как сумму трех гармонических составляю-
щих: несущей частоты со и двух симметрично расположенных
«боковых» частот coztzQ; амплитуда последних зависит от глубины
модуляции. Нужно подчеркнуть, что сам сигнал (3.6) в этОхМ
напряжении отсутствует.
В дополнение к осциллограмме модулированного напря-
жения (3.7) приводим и его спектрограмму (рис. 3.13, а); она
вполне соответствует уравнению (3.8).
Если контур не очень точно настроен на несущую частоту,
то спектр напряжения на нем несколько изменится — нарушится
симметрия боковых частот. Максимум, соответствующий несущей
частоте, не будет совпадать с максимумом частотной характери-
стики контура; на спектрограмме рис. 3.13, б последний смещен
немного вправо.
Если бы передаваемый сигнал содержал несколько частот Qif
то соответственно увеличилось бы и число боковых частот;
в спектре они заняли бы целую полосу частот шириной 2Qm,
где — наибольшая из модулирующих частот.
Представления модулирующего напряжения (3.7) и (3.8)
одинаково содержательны в физическом отношении. Выбор того
или другого представления определяется свойствами аппаратуры,
через которую проходит сигнал. Это обстоятельство уже обсужда-
лось в § 1.11.
К сказанному там можно прибавить еще пример, приведенный
академиком Л. И. Мандельштамом. Пусть в ящике находятся
шарики разных размеров, сделанные из меди и из стали. Если
сортировать их, пользуясь ситами с разными размерами ячеек,
то мы изучим распределение шариков по размерам (независимо
от материала).
Если же воспользоваться сильным электромагнитом, то про-
изойдет сортировка по материалу, но не по размерам. Оба способа
сортировки вполне законны, и выбор того или другого зависит
от наших потребностей.
153
б
а
Рис. 3.14
Подводя итоги, отметим, что при амплитудной модуляции
спектр модулирующего сигнала переносится на спектр высоких
частот. Кроме "того, амплитуда боковых частот не превышает
-части амплитуды несущей частоты, что энергетически не-
выгодно, так как несущая частота никакого сообщения не
содержит.
б) Частотная модуляция. Прежде чем рассматривать частотную
и фазовую модуляцию, уточним понятие частоты. Пусть коле-
бание задано уравнением:
“ = Um cos[F(/)],
где F (t)— некоторая функция времени. Под мгновенным зна-
чением частоты следует понимать величину
„ _ dFV
~ dt •
В обычных условиях бывает:
F (t) = at + <р0,
(3.9)
и потому частота
со, = О)
оказывается постоянной величиной.
При частотной модуляции добиваются изменения частоты
в соответствии с модулирующим сигналом, а амплитуду искус-
ственно поддерживают постоянной. Тогда результат модуляции
можно представить уравнением:
Д со
и = Uo cos at + sin QZ ,
(3.10)
причем До.) делается прямо пропорциональным амплитуде U2
модулирующего сигнала. Плоская диаграмма и спектр такого
сигнала показаны на рис. 3.14, а, б.
154
Так как мгновенное значение частоты напряжения (3.1(Р
равно:
соф- AcocosS/, (3.11)
то спектр оказывается сложным: он содержит частоты (cozt/eQ),
где k— целые числа. Количество заметных боковых частот за-
висит от амплитуды модулирующего сигнала, увеличиваясь
вместе с ней. При этом амплитуда боковых частот может быть
как меньше, так и больше амплитуды несущей частоты, что
выгодно отличает частотную модуляцию от амплитудной. На
рис. 3.14 несущая частота как раз имеет амплитуду меньшую,
чем расположенные по обе стороны от нее боковые частоты.
Непостоянство амплитуды на осциллограмме объясняется несо-
вершенством модуляционного устройства.
в) Фазовая модуляция. При фазовой модуляции сигнал воз-
действует на фазу, так что получаемое напряжение описывается
уравнением:
и (70cos |coZ -|- ф0(1 + m sin Qt)]\ — (3.12)
Используя данное выше определение мгновенной частоты,
получаем: х
со, = (о + cp0/nQ cos Qt.
Сравнивая с уравнением (3.11), видим, что, положив
(р0/г/2 = Дсо,
мы получим выражения, отличающиеся только несущественным
постоянным слагаемым. Это свидетельствует о тесной связи двух
последних типов модуляции. Их существенным недостатком
является расширение полосы частот сигнала (по сравнению
с амплитудной модуляцией), что иногда нежелательно; достоин-
ством же является возможность относительного уменьшения
амплитуды несущей частоты; это повышает к. п. д. модули-
руемых устройств. Распределение модуляции на ряд боковых
полос (даже при монохроматическом модулирующем сигнале)
делает частотную и фазовую модуляции более помехоустойчи-
выми, чем амплитудная модуляция, при которой в этих условиях
будет только две боковые частоты.
Действительно, если при приеме сигнала возникнет помеха
на частоте со — Q, то эта боковая частота при детектировании
(см. § 3.7) будет воспроизведена с искажением; следовательно,
при амплитудной модуляции помеха вдвое уменьшит амплитуду
принимаемого полезного сигнала, содержащего передаваемое со-
общение.
Такая же помеха при частотной модуляции скажется лишь
на одной из нескольких боковых частот, и ее вредное влияние
будет менее заметным.
155
В заключение отметим, что контур, с которого в передатчике
снимается модулированное напряжение, должен иметь доста-
точно широкую полосу пропускания, так как он должен про-
пустить и несущую, и все боковые частоты. Но так как чрез-
мерная относительная ширина полосы нежелательна по ряду
причин, то несущую частоту приходится делать во много раз
больше модулирующей; в частности, именно поэтому телевиде-
ние возможно только на весьма высоких частотах (десятки
мегагерц),
§ 3.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ: СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА
(ГЕТЕРОДИНИРОВАНИЕ); СПЕКТРОАНАЛИЗАТОР
Если с помощью нелинейного сопротивления перемножить два
напряжения:
щ = Ux cosoV, w2 = COS(i)2/,
где — постоянная, a Um = U2 (1 + т cos Q/) — медленно меняю-
щаяся амплитуда модулированного колебания, то среди много-
численных высокочастотных составляющих появятся и такие:
kU\Uм { cos [(оц -|- g)2)/| + cos ((coj. — co2) d }
(/г — коэффициент пропорциональности).
Назовем величину
| сох— <x>21 = coIip
промежуточной частотой. Если выбрать
<о2 > |(0j — (02| > Й,
то, включив в цепь нелинейного сопротивления параллельный
контур, настроенный на промежуточную частоту, можно выде-
лить па нем напряжение:
а — Um cos (сопр/).
Таким образом, сохранив модуляцию неизменной, можно
сместить ее с одной несущей частоты (со2) на другую (юпр).
Конечно, в качестве промежуточной частоты можно использовать
и (о)1 + так как различие между этой частотой и другими
частотами, имеющимися в составе тока в нелинейной цепи,
достаточно велико, чтобы выделялась только эта частота.
Схемы, выполняющие эту операцию, называются смеситель-
ными (или смесителями). Термин «гетеродинирование» произошел
от псевдогреческого названия «гетеродин» (отдельная сила), при-
своенного генератору частоты (Ор такой генератор имеется
в приемнике, работающем по рассматриваемому принципу.
Кроме приемных схем, гетеродинирование применяется и в ряде
измерительных схем, в частности в спектроанализаторах, чьими
результатами работы мы неоднократно пользовались.
156
Действие многих спектроанализаторов основано на следую-
щей идее. Пусть изучаемое напряжение описывается уравнением:
«1 = 2 UK cos (<ок/ + фк).
К
Перемножим его в нелинейной цепи с напряжением
и2 = (72cosQ/,
частота которого периодически сравнительно медленно увеличи-
вается, а затем быстро возвращается к первоначальному значе-
нию (качающаяся частота). При этом будут поочередно полу-
чаться комбинационные частоты:
и ~U.2 2 UK { cos Ц(0к + 2) I 4- <рк] + cos [(<ок — Q)t + cpj };
К
интервал изменений частоты Q подбирают так, чтобы разностные
(или суммарные) частоты поочередно совпадали с собственной
частотой резонансного параллельного контура, включенного
в цепь прибора. Напряжение с этого контура подается на верти-
кальные пластины электронного осциллографа. Одновременно на
его горизонтальные пластины подается пилообразное напряже-
ние, меняющееся в соответствии с изменениями частоты Q. Тогда-
по положению резонансных максимумов на осциллограмме можно
судить о частотах сок, а по высоте максимумов — об относи-
тельных амплитудах UK.
Конечно, при реализации этой остроумной идеи возникает ряд
технических трудностей, вызванных, в частности, противоречи-
востью требований: для разделения близких гармоник выгодно
иметь контур с большой добротностью, а для быстрого установ-
ления процесса добротность не должна быть слишком велика.
Не обсуждая всей
этой сложной проблемы,
ограничимся приведени-
ем наглядной диаграм-
мы (рис. 3.15), заим-
ствованной из книги
А. А. Харкевича «Спек-
тры и анализ» (М.,Связь-
издат, 1952).
На диаграмме по
горизонтальной оси от-
ложено относительное
изменение частоты Дсо
комб и н a 11 ион но го тона
(относительно собствен-
ной частоты контура а)0).
По оси, уходящей за
Рис. 3.15
плоскость чертежа, от-
157
ложен параметр m, обратно про-
порциональный скорости изменения
частоты. По вертикальной оси отло-
жены относительные амплитуды ко-
лебаний контура. Кривая, соответ-
ствующая т->оо (статическая),
имеет резкий максимум при о) = <оо
(процесс полностью успевает уста-
новиться). При увеличении скорости
изменения частоты максимум посте-
Рис. 3.16 пенно становится все менее отчетли-
вым и смещается в сторону больших
частот, что может привести к крупным ошибкам при работе
анализатора. Диаграмма построена для контура малой доброт-
ности (порядка десяти).
Спектрограммы, сфотографированные с экрана спектроанализа-
тора, были приведены на рис. 1.3, 1.46, 3.14, б и др.
Так как электрические спектроанализаторы работают быстро
и надежно, то ими пользуются и при анализе неэлектрических
процессов, превращая то или иное явление в электрический
сигнал. В частности, этим широко пользуются в акустике, где
имеются удобные и надежные преобразователи (микрофоны).
Впрочем, существуют и механические спектроанализаторы;
простейшим из них является язычковый частотомер, рассмо-
тренный в § 2.6, д.
На рис. 3.16 представлен спектр тока в цепи, где осуще-
ствлено смещение спектра. Справа виден спектр сигнала гетеро-
дина, дающего гармоническое колебание. Посередине — спектр
сигнала (несущая и две боковые частоты). Слева — ослабленный
спектр того же сигнала на пониженной промежуточной частоте.
Высокочастотные составляющие (удвоенные частоты) не уклады-
ваются в интервале частот, доступных данному прибору. Если бы
напряжение снималось с контура, настроенного на промежуточ-
ную частоту, то левый сигнал был бы выделен из остальных
сигналов.
§ 3.7. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ: ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Выделение модулирующего сигнала из принятого модулиро-
ванного колебания называется обнаружением (детектированием,
или демодуляцией). Для осуществления этого процесса также
необходима нелинейная цепь. Мы рассмотрим только электри-
ческие устройства и ограничимся двумя крайними случаями.
а) При сильных сигналах характеристика нелинейной цепи
может быть задана уравнениями:
при и О I — 0; при и > 0 i = Ьи.
158
Рис. 3.17
Такой детектор условно называют линейным. Если на него
поступает амплитудно-модулированный сигнал:
и = UY (1 + т cos Й/) cos со/ = Um cos со/, (3.13)
то в результате получается ток:
при-----С со/ < -~+ i — bUм cos со/;
Л £
при <. со/ <. -g- / = 0.
Но раньше мы видели (§ 1.13), что в этом случае разложение
в ряд дает:
i = bUм (1 — 1,57 cos со/ 4- 0,47 cos 2со/ + ...). (3.14)
Следовательно, ток содержит модулирующий сигнал, несущий
передаваемое сообщение:
1м ~ m cos Й/,
и резко отличающийся по своей частоте от других токов,
имеющих высокие частоты (feco, ^(со±зй), ...).
На рис. 3.17 показана спектрограмма тока в цепи детектора.
Справа видна несущая частота и две группы боковых частот.
Слева виден спектр сигнала сообщения, содержащий только две
низкие частоты, имевшиеся в модулирующем сигнале. Детекти-
рование произошло с некоторыми искажениями, так как амплитуда
сигнала большей низкой частоты оказалась уменьшенной
(сравните с соотношением амплитуд боковых частот в модулиро-
ванном сигнале). Двойные высокие и комбинационные высокие
частоты, также появляющиеся при детектировании, оказались за
пределами шкалы анализатора.
Для выделения низкочастотного модулирующего сигнала
можно воспользоваться схемой рис. 3.18. Действительно, если
выбрать постоянную времени контура RC так, чтобы выполнялось
неравенство:
Тм > т = RC >ТН,
159
где Ты — период модулирую-
щего сигнала, — период не-
сущего колебания, т. е. если
будет соблюдено требование:
QC Л (оС ’
то заметное падение напряже-
ния на контуре, даст только
модулирующий сигнал.
При слишком малой посто-
янной времени напряжение на
контуре содержало бы и высо-
кие частоты, так как конден-
сатор успевал бы разряжаться
за период высокой частоты.
Напротив, при слишком боль-
шой постоянной времени (t>7\)
на контуре получилось бы
практически постоянное напря-
жение, так как конденсатор не
успевал бы разряжаться и за
период модуляции. Это подтвер-
ждается рис. 3.19, где верхняя
Рйс 31д осциллограмма представляет
входное модулированное напря-
жение, средняя получается при
слишком малом т, нижняя — при правильно подобранном т. В
последнем случае выделяется только модулирующий сигнал.
б) Если сигнал слаб, то нельзя пренебрегать искривлением
характеристики вблизи начала координат. Тогда рабочий участок
характеристики описывается уравнением (3.4), а детектирование
называют квадратичным. Подставляя в уравнение характеристики
выражение для модулированного напряжении (3.13), получим:
/ — /0 -Т /в. ч 4
CU\m cosfi/—^-cos2<>/ ,
где /в.ч —сумма токов высоких частот. Ток, описываемый послед-
ними слагаемыми, является низкочастотным, и соответствующее
напряжение выделяется, как и раньше. Очевидно, при квадратич-
ном детектировании появляется искажение — сигнал двойной
частоты. Однако при малых коэффициентах модуляции оно
меньше основного сигнала — по амплитуде раз в шесть, а по
энергии —раз в тридцать.
Для выделения сигнала сообщения из частотно-модулирован-
пого колебания производятся более сложные операции: сначала
частотно-модулированный сигнал превращается в амплитудно-моду-
160 х
лировднный, а затем последний обрабатывается описанным выше
способом. Здесь не место углубляться в эти специально радио-
технические вопросы.
Примеры, приведенные в § 3.3 — 3.7, достаточно ярко показы-
вают богатые возможности, открываемые применением вынужден-
ных колебаний нелинейных систем.
§ 3.8. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Кроме рассмотренных выше нелинейных систем, совершающих
вынужденные колебания, существует не менее важный класс
систем, способных создавать незатухающие колебания под
действием постоянной (а не периодической) силы. Источник
питает систему не постоянно, а лишь в определенные промежутки
- времени; управление источником определяется конструкцией си-
стемы (обратная связь). Такие системы, также обязательно нелиней-
ные, называются автоколебательными и играют важную роль
в различных областях науки и техники.
Один из простейших примеров автоколебательной системы —
проволочная спираль, расположенная вертикально. Один ее конец
закреплен, а другой чуть-чуть погружен в чашечку со ртутью
(рис. 3.20, а). Спираль подключается к источнику постоянной
э. д. с. Амперовы силы, возникающие между витками при про-
текании тока, заставляют спираль сжаться, причем ртутный кон-
такт разрывается, ток прекращается, спираль снова растягивается,
замыкает контакт, и все начинается снова.
Получаются устойчивые колебания; их частота определяется
свойствами спирали. Внешний источник э. д. с. работает лишь в
течение небольшой доли периода колебаний, зависящей от конст-
рукции прибора — в этом и проявляется нелинейность системы.
В начальный момент система может покоиться, но ртутный кон-
такт должен быть замкнут. При «неправильном выборе обратной
связи» (влияния тока на спираль) система колебаться не может.
Так, если каждые два соседних
витка спирали намотать в про-
тивоположных направлениях
(рис. 3.20, б), то при замыкании
цепи спираль удлинится, цепь
не будет разрываться и никаких
колебаний не возникнет.
Еще отчетливее механизм
автоколебаний выявляется в при-
боре, изображенном на рис. 3.21.
Этот прибор сконструирован по
предложению проф. В. С. Эт-
кина. Неподвижный электро-
магнит Эг, питаемый постоянным
Рис. 3.20
161
током, создает вертикальное магнит-
ное поле с индукцией В. Над элек-
тромагнитом расположен второй элек-
тромагнит Э2, способный колебаться
в вертикальном направлении. В цепи
питания этого электромагнита имеет-
ся контакт К, разрывающийся при
опускании электромагнита Э2. Пусть
электромагниты обращены друг к
• ДРУгу разноименными полюсами. Тог-
да второй электромагнит совершает
автоколебания с постепенно увеличи-
вающейся амплитудой. Нелинейность
проявляется в зависимости силы
притяжения электромагнитов от по-
ложения и скорости второго элек-
тромагнита. Обратная связь в этом
приборе подобна обратной связи в
предыдущем приборе: разрыв цепи под действием тока, текущего
в той же цепи.
Если повернуть электромагнит на 180° (или изменить на-
правление тока в нем), то возникнет взаимное отталкивание элек-
тромагнитов, контакт К оказывается длительно замкнутым (невер-
ный выбор знака обратной связи) — колебания не происходят.
Автоколебательной системой является и электрический звонок
с молоточковым прерывателем. При нажиме на кнопку, замыкаю-
щую цепь электромагнита, имеющегося в звонке, ток медленно
нарастает (из-за заметной индуктивности катушки) и притягива-
ет молоточек, разрывающий цепь тока, после чего упругая пру-
жина возвращает молоточек в исходное положение и процесс во-
зобновляется. Сила, действующая на молоточек, снова нелинейна.
Интересную электромеханическую колебательную систему соз-
дал сотрудник Софийского университета (Болгария) Христо Костов.
Она состоит из стального камертона, поставленного на резонан-
сный ящик (колебательная система). Вблизи отверстия ящика рас-
положен угольный микрофон (нелинейный элемент, управляющий
током), включенный в цепь, содержащую последовательно вклю-
ченные источник постоянного напряжения и электромагнитный
телефон. У последнего удалена мембрана, и он расположен вер-
тикально вблизи верхнего конца одной из ножек камертона (сис-
тема обратной связи).
Если ударом возбудить камертон, то под влиянием перемен-
ного звукового давления меняется сопротивление микрофона; воз-
никающая при этом переменная составляющая тока вызывает из-
менения магнитного поля телефона, поэтому ножка камертона ис-
пытывает действие переменной магнитной силы. При правильном
подборе режима камертон совершает незатухающие колебания, что
162
легко проверяется на слух. Нелинейность системы (обусловлен-
ная главным образом нелинейностью микрофона) может быть об-
наружена наблюдением формы кривой тока при помощи осцилло-
графа.
§ 3.9. МЕХАНИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
В рассмотренных примерах автоколебания были механически-
ми, но возникали благодаря действию электромагнитных сил. При-
мером чисто механической автоколебательной системы служат ча-
сы с маятником, получающие энергию от гири, опускающейся в
поле тяжести.
Существенные части таких часов (ходиков): маятник, колеб-
лющийся вокруг горизонтальной оси О и жестко связанный с
пластиной /, оканчивающейся двумя дугами и D2 (рис. 3.22);
зубчатое колесо 2, вращающееся вокруг горизонтальной оси Ор,
колесо имеет шкив с навернутой на него цепью <3, несущей на
одном конце гирю.
При колебаниях маятника дуги то прижимаются к внутренней
поверхности зубьев, то выходят наружу, испытывая при этом
кратковременные толчки от торцов зубьев. Профиль зубьев и дуг
выбран таким, что при касании дуги с внутренней стороной зу-
ба направление силы, действующей на дугу, проходит через ось
О, а потому маятник не испытывает в это время никакого вра-
щательного момента. Но при взаимодействии торца дуги с тор-
цом зуба возникает кратковременный вращательный момент — маят-
ник испытывает «толчок»; это случается как раз во время прохож-
дения маятника через положение равновесия. За счет работы этого
толчка энергия маятника возрастает; одновремеин
ется, теряя потенциальную энергию тяготения.
Механизм рассчитан так, что при нормальных
размахах маятника прирост его энергии как раз
соответствует потерям энергии па трение за по-
ловину периода колебаний маятника. Поэтому
маятник может совершать незатухающие колеба-
ния до тех пор, пока не израсходуется вся энер-
гия гири.
Так как вращающий момент, действующий на
маятник, сложным образом зависит от угла откло-
нения маятника 0 и его угловой скорости 0, то
уравнение движения маятника
/0 + р0 + К@'=7И(0, 0) (3.15)
нелинейно. Здесь / — момент инерции маятника,
рб —момент сил трения, /<0 — момент квазиупру-
гой силы, М — вращающий момент, созданный рас-
смотренным механизмом. Закон изменения момента
гиря опуска-
Рис. 3.22
163
/И довольно сложен. Можно упростить задачу, считая момент
постоянным но величине, в узком интервале времени т и равным
нулю во все остальное время движения. Таким образом получаем:
Т т 1
т <' < т +т>
зт . зт .
-г- < < —л—F т;
4 4 1 ’
/И = /Ио
при
при
М -= — Л40
во все остальное время (в пределах каждого периода) момент ра-
вен нулю. Начало счета времени выбрано так, что при t = 0 ма-
ятник находится в положении максимального отклонения. Это
первоначальное отклонение должно быть создано какой-либо внеш-
ней причиной — часы не могут прийти в движение самопроизволь-
но, так как при отсутствии скорости отсутствует и вращающий
момент.
Теперь наша задача свелась к уже знакомой: о возбуждении
системы периодическими толчками (§ 2.12). В данном случае тол-
чки происходят дважды за период и создаются механизмом самих
часов.
Как мы видели раньше, если начальная амплитуда колебаний
мала, то энергия, получаемая при толчке, превышает потери на
трение и маятник раскачивается. Если начальная амплитуда ве-
лика, то маятник уменьшает амплитуду, пока потери на трение
не сравняются с энергией, сообщаемой при толчке. На рис. 3.23
изображена фазовая диаграмма для обоих случаев, причем вели-
чина толчков и затухание показаны преувеличенно большими.
Кроме того, диаграмма пос-
Рис. 3.23
троена для одного толчка за
период. Стационарное движе-
ние маятника (установив-
шийся цикл) изображено на
рисунке жирной замкнутой
линией.
Весьма похожий процесс
происходит и в маятниковых
часах, получающих энергию
от постепенно раскручиваю-
щейся пружины,— они также
являются автоколебательной
системой.
Итак, независимо от на-
чальных условий автоколе-
бательная система, сама уп-
равляющая подведением к
ней энергии от источника по-
стоянной силы, приходит в
конце концов во вполне опре-
164
Рис. 3.25
деленное установившееся движение — это и есть важнейший при-
? знак автоколебательной системы.
Механизм, управляющий поступлением энергии — обратная
связь, — считается положительным, если он позволяет раскачать
систему. Он включается лишь на малые промежутки времени,
а все остальное время маятник движется свободно. Поэтому пе-
риод системы равен периоду собственных колебаний маятника,
рассмотренных в§ 1.6. Установившаяся амплитуда пропорциональ-
на добротности системы и величине толчка.
Небольшое искажение гармоничности колебаний, происходящее
во время работы механизма обратной связи, обычно может не при-
ниматься во внимание.
Отметим, наконец, что иногда обратная связь применяется
для успокоения системы, возбуждаемой внешними силами. В этом
случае связь называется отрицательной и препятствует возмож-
ному возникновению автоколебаний, если они нежелательны (та-
кой случай встречается, например, в усилителях).
Автоколебания могут происходить и в системах с сухим (не-
пропорциональным скорости) трением. Зависимость сухого трения
от скорости изображена на рис. 3.24. Наибольшее трение покоя
Fq несколько больше трения движения F; последнее в некотором
интервале скоростей можно считать постоянным; конечно, оно ан-
типараллельно скорости. Поэтому поведение системы, изображен-
ной на рис. 3.25, довольно своеобразно. Тело веса Р = mg ле-
жит на бесконечной ленте. К телу прикреплены две пружины;
их другие концы жестко закреплены.
При вращении шкивов лента под телом движется поступа-
тельно со скоростью v и увлекает тело за собой (сухое трение
покоя велико!). При этом пружина 1 растягивается, пружина 2
сжимается. Когда сила пружин превзойдет силу трения покоя,
$ тело отрывается и начинает колебаться (относительно неподвиж-
ной системы координат); колебания постепенно затухают, если
скорость тела при движении вправо не сравнивается со скоростью
165
ленты. Если считать трение движения постоянным (не зависящим
от скорости), то такое же движение получилось бы и при оста-
новке ленты. Обсудим этот случай подробнее. Итак, что про-
изойдет, если лента остановится в момент, когда отклонение те-
ла от положения равновесия равно Хо? Считая для простоты обе
пружины одинаковыми (общая жесткость k), а трение — постоян-
ным и пропорциональным весу тела, получаем:
при х < 0 тх + kx = pmg;
при х > 0 тх + kx = — pmg (3.16)
(здесь р — коэффициент трения). С таким уравнением мы уже
встречались в § 1.4, г. Деля первое уравнение на массу, получим:
х <о2х = pg.
Вводя новую переменную:
приходим к знакомому уравнению:
У + со2// = О,
имеющему решение:
У = Ym cos (со/ + <р).
Поэтому смещение тела таково:
x=Ym cos (о/ + (р) +
Зададим начальные условия:
при I = 0 х — Хо, х — О,
тогда находим:
<р = 0, Уда = Х-_^- = Х0-Х1(
и окончательно:
х — Ху + (Хо — Х\) cos tiit (при О «S со/ «S л). (3.17)
Итак, тело совершает гармоническое колебание около смещен-
ного положения равновесия х = Xt. Амплитуда колебания равна
Х0-Хх.
Решение годится только в течение половины периода. Затем
мы должны обратиться ко второму из уравнений (3.16), причем
начальные условия таковы:
при со/ = л х = 0, х = — Хо + 2Xj.
Решая его тем же методом, находим решение, справедливое
для второго полупериода колебаний:
х——Х1-\-(Х0 — SXJcosco/, л^о)/«^2л. (3.18)
166
Это означает, что во
втором полупериоде тело
колеблется вокруг поло-
жения равновесия х= —
с амплитудой x=XQ—4ХР
К концу полупериода сме-
щение будет равно х =
= Хо — 4Хх (относительно
неподвижного начала ко-
ординат). Таким же обра-
зом амплитуда будет убы-
вать и в дальнейшем.
Ход процесса графи-
чески изображен на рис.
3.26. Относительно истин-
ного положения равновесия
(х=О, педеформироваиные
пружины) тело совершает
затухающие негармонические колеба-
ния. Когда амплитуда станет меньше величины:
со2 k
дальнейшее движение прекратится; в этом и заключается явле-
ние застоя, характерное для сухого трения.
Напомним читателю, что такие же результаты мы получили,,
рассматривая подобную же задачу с несколько иной точки зре-
ния (§ 3.2, в).
Если же при первом колебании тела его скорость в некото-
рый момент сравнивается со скоростью ленты, то оно захватыва-
ется ею, снова увлекается до первоначального отклонения, от-
рывается, и подобный процесс устойчиво повторяется, так как
теперь во время состояния относительного покоя тела и ленты
последняя передает телу энергию, компенсирующую последую-
щие потери на трение.
Обсудим механизм передачи энергии при сухом трении по-
дробнее. Выберем неподвижную систему координат (рис. 3.25), по-
местив начало координат в центре тяжести покоящегося тела при
неподвижной ленте. Пусть в момент t — 0 лента начинает дви-
гаться вправо. Она увлекает тело до положения х = Xf, здесь
трение покоя не может преодолеть сопротивление, создаваемое
деформированными пружинами — тело отрывается и движется вле-
во до положения х = х2. При этом |х2|<*1> так как энергия
пружин расходовалась на преодоление трения движения. После
остановки (относительно системы координат, но не ленты) тело
движется вправо до положения х = х8, где его скорость относи-
тельно ленты и обращается в нуль. Вновь возникает трение по-
коя, тело увлекается лентой до положения хх (пружины при этом
167
течение цикла. Конечно, по/
получают новый запас энергии),
отрывается от ленты, и процесс
возобновляется. Очевидно, ко-
лебания периодичны, но негар-
моничны.
На рис. 3.27 изображены в
функции времени: смещение
тела х, его абсолютная скорость
х и скорость относительно лен-
ты и.
На рис. 3.28 показана зави-
симость силы трения от поло-
жения и условий движения тела;
отрезок 3, 0, 1 соответствует
накоплению пружинами потен-
циальной энергии, когда тело
увлекается движущейся лентой.
Отмеченный стрелками цикл 3,
1,2,3 характеризует установив-
шиеся колебания тела. Равнове-
ликие площади фигур, обходимых
изображающей точкой в противо-
положных направлениях, опре-
деляют работу, совершаемую в
работа равна пулю, так как
движение предполагается устойчивым: работа, совершаемая дви-
жущейся лентой, расходуется при преодолении телом трения
движения.
Рассмотренный выше механизм возникновения автоколебаний
работает и при возбуждении колебаний струн в смычковых ин-
струментах. Упругая струна увлекается смычком; при достаточ-
ном натяжении она отрывается от смычка и совершает автоколе-
бания за счет энергии, сообщаемой ей смычком.
Нелинейные автоколебания могут возникать и при жидком
трении, когда сопротивление движению оказывается непропорцио-
нальным скорости. Это может быть и при больших скоростях и
при турбулентном движении жидкости. Так, если поместить в
поток воздуха симметричное тело, например пластинку прямо-
угольного сечения (рис. 3.29), то с ее краев могут срываться вих-
ри; обычно они срываются неодновременно, но в среднем одина-
ково часто. Изменение давления при срыве вихря создает знако-
переменный вращающий момент, перпендикулярный чертежу, и
пластинка приходит в автоколебания. Теория показывает, что для
кругового цилиндра частота возникающей силы, связанная, ко-
нечно, с частотой срыва вихрей, равна приблизительно
/= (0,18-5-0,27)-^-.
168
Рис. 3.28
Рис. 3.29
где v — скорость невозмущенного потока, D -— диаметр цилиндра.
Это соотношение довольно хорошо оправдывается на опыте.
При действии устойчивого ветра на телефонные провода, име-
ющие небольшой диаметр, возникают автоколебания проводов —
они «гудят». Более массивные провода линий мощных электропе-
редач не дают заметного звука, вероятно, потому, что энергия
ветра недостаточна для приведения их в сильные колебания. Кро-
ме того, частота таких колебаний будет в десятки раз ниже, чем
в случае телефонных проводов, и может попасть в область, где
чувствительность уха значительно понижена.
Иногда при обледенении сечение провода может принять не-
правильную форму (рис. 3.30). Если ветер дует, например, сле-
ва со скоростью V, то может возникнуть сила, слегка наклонен-
ная книзу, и провод начнет опускаться. Но, двигаясь вниз со
скоростью V, он попадает под
«суммарный ветер», дующий со
скоростью:
т. е. немного снизу. При этом
может случиться, что сила еще
больше наклонится, хотя бы за
счет более интенсивного срыва
вихрей с острого ребра сечения.
При таких условиях провод мо-
жет получить дополнительное
ускорение вниз и будет двигаться
до тех пор, пока упругие силы,
возникающие благодаря дефор-
мации провода, не заставят его
изменить направление скорости.
Но тогда изменится и относитель-
ное направление «суммарного вет-
Рнс. з.зо
12 Зак, 1072
169
ра» — on станет дуть немного сверху.
Благодаря этому снова может возник-
нуть сила, способствующая движению
провода. Таким образом, провод будет
раскачиваться за счет энергии ветра.
Справедливость этого несколько рас-
плывчатого объяснения подтверждается
следующими обстоятельствами: 1) такой
эффект наблюдается очень редко и
только при обледеневших проводах;
2) он может возникнуть и при порывис-
том ветре и существует в течение мно-
гих часов, так что его нельзя связать
с вынужденными колебаниями (порывы
ветра не могут быть достаточно зако-
номерными в течение столь большого
времени). Раскачка проводов (при дли-
не провода около 100 м) достигает
иногда 1—2 лг, период колебаний — нес-
колько секунд.
Полощущиеся на ветру флаги также представляют пример
автоколебательной системы.
Любопытным примером автоколебаний является также возник-
новение колебаний давления в большом объеме, куда воздух на-
гнетается вентилятором и откуда он выходит через сравнительно
малое отверстие (рис. 3.31). Такие условия встречаются, напри-
мер, в котельных.
Если вентилятор работает в открытом пространстве, подавая
ежесекундно объем воздуха и, то никакого изменения давления
не возникает (точка А на характеристике вентилятора). Если же
воздух будет нагнетаться в совсем закрытое помещение, то дав-
ление возрастет до некоторого максимума В, после чего подача
воздуха прекратится. При промежуточных диаметрах выходной
трубы, как показывает опыт, получается сложная зависимость;
ее особенностью является участок с «падающей характеристикой»
(CD). Если нормальный режим работы определяется рабочей точ-
кой Л\ то система устойчива: при случайном возрастании давле-
ния до значения, соответствующего точке Л\, подача воздуха
уменьшится, и все войдет в норму. То же самое получится, ес-
ли давление случайно упадет — оно восстановится ускоренной по-
дачей воздуха. Но если режим соответствует точке К, то слу-
чайный рост давления вызовет ускорение подачи воздуха, и дав-
ление вырастет еще больше. Такая же картина будет наблюдать-
ся и при случайном уменьшении давления. Поэтому давление бу-
дет колебаться между значениями, отвечающими точкам D и С.
Давление может меняться довольно значительно: наблюдались
170
Pe?
Рис. 3.32’
колебания с амплитудой порядка десятых долей атмосферы и пе-
риодом в несколько секунд.
Полного объяснения этого явления пока не предложено. Док-
тор технических наук Л. Б. Кроль указал, что колебания давле-
ния могут быть вызваны интенсивным выделением газообразных
продуктов сгорания сразу после подачи в топку очередной пор-
ции твердого топлива. Если это верно, то при использовании
жидкого топлива, поступающего в топку равномерно, этого яв-
ления быть не должно.
Есть известное родство между указанным явлением и явле-
ниями, происходящими при возбуждении звуков органами речи.
Легкие, подобно вентилятору, подают воздух через голосовые связ-
ки. Полость рта и гортани соответствует объему котельной, от-
верстие рта — выходной трубе. Так как положение связок, фор-
ма рта и форма и объем полостей изменяются, то человек спосо-
бен произносить звуки различной частоты и различного тембра.
Автоколебательную систему представляет и органная труба;
ее разрез схематически показан на рис. 3.32. Струя воздуха под
постоянным давлением поступает слева. На ребре Р, постав-
ленном на пути струи, возникает возмущение слоистого потока,
создаются завихрения и сопровождающие их колебания давления.
Поэтому возникают и колебания давления в правой части трубы,
являющейся резонатором Рез\ резонатор имеет собственную часто-
ту, которую и выделяет из сложного импульса давления; возникшие
в резонаторе колебания в свою очередь влияют на режим давле-
ния у ребра (обратная связь). В результате возникает устойчи-
вый автоколебательный процесс — труба звучит. Щель Щ служит
для частичного выравнивания давлений и в тоже время является из-
лучателем звука. Органная труба создана (без ясного понимания
механизма ее действия) много столетий назад. В наши дни подоб-
ные (но, конечно, более совершенные) струйные генераторы авто-
колебаний успешно применяются в ряде отраслей промышленности.
Звучанию органной трубы родственно и звучание, возникаю-
щее при сильном продувании воздуха вдоль сечения горлышка
бутылки; края горлышка играют при этом роль ребер, а полость
бутылки является возбуждаемым резонатором. Частичное запол-
нение бутылки жидкостью изменяет размеры резонирующей полос-
ти и приводит к увеличению частоты автоколебаний. При высо-
ких частотах возбуждение звучания обычно затрудняется.
12*
171
§ 3.10 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Идею автогенератора электри-
ческих колебаний можно уяснить
при помощи схемы рис. 3.33.
Колебательный контур содержит
большую емкость С (десятки ми-
крофарад) и большую индуктив-
ность L (десятки генри). В кон-
тур включен гальванометр G; ле-
вый конец подвижной катушки
гальванометра К металлически
соединен со стрелкой-указателем.
Нижний конец стрелки имеет
проволочное разветвление. Один
конец разветвления погружен в
чашечку со ртутью /?, но выходит из ртути при отклонении
стрелки влево. Допустим для определенности, что такое откло-
нение происходит при токе, текущем по гальванометру также
влево. В цепь гальванометра включен источник постоянной э. д. с.
При показанной на рисунке полярности источника и замкнутом
ртутном контакте зарядный ток конденсатора /3 вызовет откло-
нение стрелки влево и разрыв цепи источника. Ток iLy текущий
в это время через катушку L, проходит по соединению S, минуя
катушку гальванометра и не влияя на показания.
После разрыва ртутного контакта конденсатор начинает раз-
ряжаться на индуктивность, причем разрядный ток /р, вслед-
ствие разрыва ртутного контакта, потечет по катушке гальвано-
метра и вызовет отклонение стрелки вправо, снова замыкая кон-
такт, процесс зарядки возобновляется и т. д. В цепи возникают
устойчивые незатухающие автоколебания, причем источник пе-
риодически включается один раз за период на время, малое по
сравнению с периодом, так как сопротивление при заряде мало.
При перемене полярности батареи зарядный ток отклонит
стрелку гальванометра вправо, цепь останется замкнутой на дли-
тельное время и автоколебания возникнуть не смогут — знак об-
ратной связи (направление отклонений стрелки) выбран неверно.
При всей своей наглядности такая схема, конечно, техничес-
ки весьма несовершенна — прежде всего из-за значительной инер-
ции стрелки гальванометра.
Одна из практически ценных схем лампового генератора не-
затухающих автоколебаний изображена на рис. 3.34. Колебатель-
ный контур включен в цепь сетки триода и индуктивно связан
с катушкой La, имеющейся в анодной цепи лампы. Специальная
батарея Ес подает на сетку отрицательный потенциал (все потен-
172
Рис. 3.34
циалы принято считать относительно катода), поэтому при от-
сутствии колебаний рабочая точка находится в положении А
(вольт-амперная характеристика лампы изображена на том же
рисунке справа), и анодный ток возникает лишь при достаточ-
ном увеличении сеточного потенциала.
При включении анодной батареи Еа создается случайный им-
пульс сеточного напряжения, способный вызвать появление анод-
ного тока.
Если бы не было обратной связи (между цепями сетки и ано-
да), то возникший импульс был бы затухающим. Но благодаря
обратной связи (взаимной индукции между цепями сетки и ано-
да) меняющийся анодный ток создает на сетке э. д. с. взаимной
индукции
ео = -М-^-,
с at
где М — коэффициент взаимной индукции. При правильном вы-
боре знака взаимной индукции эта э. д. с. будет поддерживать
первоначальный импульс, и могут установиться автоколебания
с постоянной амплитудой, что и наблюдается в действительности.
На рис. 3.35 приведены осциллограммы импульсов анодного
тока /а (слева), э. д. с. индукции на сетке ес (производная от
/а, взятая с обратным знаком) (посередине) и напряжения на сет-
ке ис (справа). Импульсы ес регистрировались при гораздо боль-
шем усилении осциллографа, чем колебания «с, поэтому на кри-
вой ис импульсы ес практически незаметны.
Таким образом, здесь имеется возбуждение «толчками», по-
добное тому, что существует в часах с гирей (§ 3.9.). Поэтому
173
Рис, 3.35
фазовая диаграмма рис. 3.23 приложима и к данному случаю.
На рис. 3.36 приводится осциллограмма нарастания и спада ко-
лебаний при включении и выключении генератора (внизу), а так-
же фазовая диаграмма, для получения которой на пластины го-
ризонтального отклонения осциллографа подавалось напряжение?
Рис. 3.36
с конденсатора, пропорциональ-
ное заряду, а на пластины-
вертикального отклонения —
напряжение с небольшого соп-
ротивления, включенного пос-
ледовательно с конденсатором,
пропорциональное току. Схема
генератора несколько отлича-
лась от рассмотренной схемы: в
пей толчки были относительно
велики; на фазовой диаграмме
видны и толчки, и предельный
цикл, устанавливавшийся перед
выключением генератора.
Элементарная теория рас-
смотренного процесса такова:
режим в цепи сетки описывает-
ся уравнением:
где q — заряд конденсатора. Но
так как переменное напряжение
на сетке равно:
174
а изменения анодного тока определяются
уравнением:
-%- =
dt
где S' — крутизна характеристики, то полу-
чаем
“с + WC [ £ I 1_с + ДС Мс — О’
Введем прежние (см. уравнение 1.38)
обозначения, тогда получится:
ис -|- 2аис -j- ®о«с = 0.
Следует учесть, что крутизна S = ~~
является, как видно из рис. 3.37, нелиней-
ной функцией напряжения на сетке «с,
а знак М может быть любым (для его изменения достаточно
переменить местами концы катушки в цепи анода). При М < 0
и выполнении условия
|М|>М0-=
RC
S
получаем «отрицательное затухание»: а < 0. Если бы крутизна
не менялась, то мы бы получили:
uc = Uт exp (|3г) cos at,
где
р = — а > 0; со = j/"®о — ос2-
Это уравнение описывает неограниченно нарастающие коле-
бания. В действительности же крутизна непостоянна, и потери
в системе растут быстрее, чем вносимая источником энергия.
Поэтому колебания могут нарастать лишь до определенного
предела. Можно показать, что установившаяся амплитуда коле-
баний растет при увеличении крутизны и взаимной индукции,
а частота практически равна частоте свободных колебаний сеточ-
ного контура:
1
“ “о = уус '
Ламповые генераторы позволяют получать колебания от очень
низких частот до частот порядка 109 гц.
При еще более высоких частотах сказывается время пролета
электронов через лампу и создается ряд трудностей, препят-
ствующих возникновению колебаний.
Поэтому в области более высоких частот используются иные
175
принципы. Например, в отра-
жательном клистроне (рис.
3.38) накаливаемый катод К .
создает электронный пучок,
ускоряемый батареей и про-
летающий через две близкие
друг к другу сетки, затяги-
вающие отверстие резонатора
Р. Если на сетках существу-
ет переменное, напряжение
и = Um cos erf,
а»
то электроны покидают резонатор с несколько различными скоро-
стями. Когда переменный потенциал правой сетки положителен
и имеет наибольшую величину, электроны имеют наибольшую
скорость и пролетают наибольший путь в пространстве отра-
жателя О, находящегося под значительным отрицательным
потенциалом Ur. Не долетев до отражателя, электроны останавли-
ваются и возвращаются снова к резонатору. Электроны, про-
ходящие через сетку позже, когда потенциал ее уменьшится,
летят с меньшими скоростями и проходят меньший путь в про-
странстве отражателя. Клистрон рассчитывается таким образом,
чтобы все электроны, покинувшие резонатор в течение полу-
периода изменений напряжения на сетках (от Uni до — t//M), одно-
временно вернулись в резонатор. Импульсы тока, получающиеся
при концентрации возвращающихся электронов, наводят в резо-
наторе электромагнитное поле. По закону Ленца оно тормозит
электроны, т. е. отбирает у них часть энергии. При этом удается
не только покрыть потери, возникающие в стенках резонатора,
но и обеспечить отдачу энергии колебаний резонатора во внеш-
нюю цепь, для чего применяется отрезок двухпроводной линии
или металлическая трубка (если клистрон служит для питания
волноводного тракта).
Частота получаемых колебаний определяется геометрией резо-
натора и может достигать 100 Ггц.
Более сложен процесс автоколебаний, возникающих в лампах
с магнитным управлением — магнетронах, также применяющихся
в области сверхвысоких частот, о чем говорилось в § 2.10.
Имеются и другие автоколебательные системы для сверх-
высоких частот (лампы обратной волны и пр.), где электронный
пучок взаимодействует с переменным электромагнитным полем
не в узкой области (как в клистроне), а на участке, имеющем
протяженность, сравнимую с длиной волны. Электронный пучок,
получивший кинетическую энергию в ускоряющем его электри-
ческом поле, отдает часть энергии переменному электромагнит-
ному полю.
176
§ 3.11. РАЗРЫВНЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ
Особый практически важный случай автоколебаний пред-
ставляют разрывные колебания (их называют также релакса-
ционными).
Механическим примером является полый, открытый сверху
цилиндр В (рис. 3.39), способный вращаться вокруг оси О.
У пустого цилиндра центр тяжести лежит ниже оси, и поло-
жение равновесия устойчиво. Когда же цилиндр наполняется
водой (через трубку Т), то положение центра тяжести посте-
пенно повышается, равновесие делается неустойчивым, и ци-
линдр опрокидывается, быстро опорожняясь и возвращаясь
в исходное положение. После этого процесс повторяется, причем
периодичность его, конечно, зависит от емкости цилиндра и ско-
рости подачи воды.
Электрической аналогией может служить схема рисунка 3.40.
Конденсатор С заряжается от источника постоянной э. д. с. Е
через сопротивление R. Параллельно конденсатору подключен
тиратрон — лампа газового разряда с тремя электродами. Особен-
ностью тиратрона является его вольт-амперная характеристика:
пока потенциал анода меньше некоторого критического значе-
ния (зависящего от потенциала сетки), ток через тиратрон
отсутствует. При достижении этого потенциала (потенциала
зажигания (73) возникает значительный ток, уже не управляемый
в дальнейшем потенциалом сетки. Для гашения разряда необ-
ходимо снизить анодный потенциал до величины, называемой
потенциалом погасания Un, причем (7П < (/3. Сопротивление г
служит для ограничения тока через тиратрон и не играет суще-
ствен ной роли в колебательном процессе (оно всегда значи-
тельно меньше /?). Таким образом, конденсатор медленно
(У? велико) заряжается через сопротивление R, а потом быстро
(г мало) разряжается через тиратрон. Затем процесс повторяется.
При установившемся режиме (т. е. после первой зарядки,
17 7
Рис. 3.41
Рис. 3.42
идущей от нулевого потенциала) последующие зарядки описы-
ваются уравнением:
и — Е 1 — ехр
(-т-Ж
\ * /
Процесс же разрядки происходит по закону:
и = U3ехр (--—); тх = rC, U3^>u^ Un.
Поэтому период разрывных колебаний (рис. 3.41) равен:
Т = (t2 - Q = RC { In 4- -J- In }.
Его можно регулировать, меняя Е, R, С и потенциал сетки,
что влияет на U3. Легко получить t2 — t*, а нарастание
напряжения можно сделать линейно меняющимся со временем.
Тогда получаются пилообразные колебания (рис. 3.42), приме-
няемые для развертки электронного луча в осциллографах, теле-
визорах и других устройствах.
В генераторе разрывных колебаний происходит автоколеба-
тельный процесс; линейный накопитель энергии (в нашем при-
мере— конденсатор) то запасает энергию, то отдает ее. Свойства
нелинейного регулятора определяют амплитуду и частоту про-
цесса. Форма получаемых колебаний существенно зависит от
свойств самой системы. Поэтому, усложняя схему, можно значи-
тельно ослабить все гармоники, кроме одной, и получить от
усложненного генератора разрывных колебаний практически чисто
гармонические колебания.
Такие генераторы называются 7?С-генераторами. Они неза-
менимы при сверхнизких частотах, где обычный ТС-генератор
потребовал бы трудноосуществимых на практике громадных
индуктивностей и емкостей. Между тем /?С-генератору требуются
емкости вполне доступной величины и большие сопротивления,
создание которых не представляет особых технических трудностей-
178
Глава четвертая. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 4.1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
До сих пор мы рассматривали системы с одной степенью
свободы, имевшие одну собственную частоту. При усложнений
конструкции системы она может совершать более сложное дви-
жение. Во многих случаях (при отсутствии внешних сил) оно
может быть сведено к сумме двух колебаний с различными
частотами, зависящими от свойств системы. Такая система имеет
две степени свободы.
Простейшим примером служит обычный пружинный маятник,
если более детально изучить характер его движения. На рис. 4.1
показан пружинный маятник, нагруженный телом, допускающим
изменение его момента инерции. Тело может вращаться вокруг
оси, совпадающей с осью пружины. При вертикальных колеба-
ниях пружина слегка закручивается, и тело постепенно накапли-
вает энергию вращательного движения. При вращении тела
пружина в свою очередь слегка деформируется в продольном
направлении, приобретая энергию деформации. Таким образом,
существует связь между продольными колебаниями пружины
и крутильными колебаниями -тела. Если периоды этих колебаний
сильно отличаются друг от друга, то обычно
присутствует какой-либо один вид колебаний,
а второй не заметен. Если же периоды
сблизить, то можно наблюдать постепенную,
почти полную передачу энергии одного вида
движения другому виду движения и обратно:
тело то вращается, то успокаивается, а пру-
жина соответственно то успокаивается, то
раскачивается.
Этот же эффект можно наблюдать при
помощи спиральной вертикальной пружины,
к концу которой (несколько смещенному
относительно оси пружины) прикреплен
груз, имеющий, например, форму конуса.
При правильном подборе параметров верти-
Рис. 4.1
179
кальные колебания пружины постепенно
переходят в маятникообразные — пружина
колеблется в вертикальной плоскости почти
не деформируясь, но отклоняясь от верти-
кали на заметные углы, после чего эти
колебания снова переходят в вертикальные,
и т. д. Ив этом случае для успеха опыта
нужно сблизить частоты обоих колебаний.
Если они не вполне одинаковы, то начальная
фаза маятникообразных колебаний при их
повторном появлении меняется, что приво-
дит к повороту плоскости этих колебаний.
Наглядным и удобным для наблюдения
примером системы с двумя степенями сво-
боды является система из двух одинаковых
маятников, имеющих некоторую связь друг с другом (например,
нить с грузом JV, рис. 4.2). Маятники могут колебаться, скажем,
перпендикулярно плоскости чертежа. Если вывести один из них
из положения равновесия и затем предоставить систему самой
себе, то маятник постепенно успокаивается, а его сосед рас-
качивается все сильнее. Через определенное число периодов,
зависящее от степени связи, т. е. от положения нити с грузом,
первый маятник останавливается, а второй качается наиболее
сильно. Затем второй маятник начинает успокаиваться, зато
раскачивается первый. Если затухание системы невелико, то
первый маятник достигает первоначального размаха, второй же
останавливается и т. д.
Такая же картина наблюдается и при произвольном начальном
смещении обоих маятников. И только в двух случаях не проис-
ходит обмена энергиями между маятниками:
а) если два одинаковых маятника отводятся па один и тот же
угол в одну и ту же сторону (или если они одновременно
получают равные и одинаково направленные скорости, что
гораздо труднее осуществить на опыте);
б) если маятники отводятся на равные углы в противополож-
ные стороны (или получают равные, но противоположные по
знаку скорости).
Когда связь не слишком мала, то при внимательном наблю-
дении можно заметить, что частоты обоих этих колебаний не
одинаковы: в первом случае частота меньше.
Эти колебания, называемые главными колебаниями, очень
удобны для описания любого движения системы.
Для наглядности математического анализа этого явления за-
меним физические маятники системой из двух пружинных маят-
ников, связанных общей пружиной. Пусть массы равны: =
= т2 = т\ пусть жесткость главных пружин одинакова: kL = k2 =
= k, а жесткость пружины связи равна kQ. Маятники изобра-
180
<жены на рис. 4.3, а в поло-
жении равновесия, на рис.
4.3,6 — в движении. Смеще-
ния масс и х2 опреде-
ляют деформации главных
пружин; пружина связи де-
формируется на величину
— ^(подразумеваются ал-
гебраические величины сме-
щений).
Очевидно, главные коле-
бания получатся, если:
а) х1~х2, так что пру-
жина связи вообще не дефор-
мируется, и ее можно совсем
отбросить. Частота этого главного колебания равна частоте
колебаний каждого маятника в отдельности (<оо):
б) если обе массы смещаются на равные отрезки во взаимно-
противоположных направлениях, так что = — х2. При этом
середина пружины связи остается неподвижной, и ее можно за-
крепить. Тогда каждый маятник колеблется под действием пру-
жин с жесткостью k и 2kCf соединенных параллельно (см. урав-
нение 1.10). Поэтому частота второго главного колебания равна:
-1/ 6
“2= У—
Напишем теперь уравнения движения системы для произвольных
отклонений, пренебрегая трением:
+ kxx + kc (х, — х2) = mxj + (fe 4- kJ xr — kcx2 = 0; (4.1)
tnx2 + (k + kJ x2 — kc хг = 0. (4.2)
Найдем x, из (4.2) и подставим в (4.1). Получим:
х2 4* 2Лх2 4* (Л2 — В2) х2 — 0,
где
Будем искать решение в виде:
х2 = X cos (at 4- ср).
Подставляя, находим:
со4 - 24со2 4- (Л2 - В2) = 0.
181
Решение этого биквадратного уравнения таково:
со2 = А dz }/'А2 - (А2 - В2) = А~В.
Итак, имеются два значения частоты:
а = /Т=в = /А; а==/лТв = ]/
Это и есть как раз частоты тех главных колебаний, которые
мы нашли раньше.
Итак, движение второго маятника описывается уравнением:
х2 == cos ((0х/ + epi) + Х2 cos (б)2/ 4- ср2).
Подставляя найденное х2 в (4.2), получим закон движения
первого маятника:
Хх = Хх COS ((Dx/ + ф1) — X2 cos (<d2/ + ф-з)-
Четыре константы интегрирования (Хх, Х2, фх, ф2) определяются
начальными условиями: смещениями и скоростями маятников в
начальный момент.
Пусть, например, начальные скорости обоих маятников равны
нулю. Тогда, как легко проверить, получается:
Ф1 = Ф2 = О
и решения записываются более просто:
Xi = Хх cos сох/ — Х2 COS (02/,
х2 = Xi cos (Di/ + ^2 cos (D2/. (4.3)
Из этого решения получаются, конечно, и главные колебания:
первое — при Х2 — 0, второе — при Хх = 0.
Следует упомянуть также о так называемых частных (пар-
циальных) колебаниях, присущих связанным системам. Эти коле-
бания получаются, если жестко закрепить один из маятников,
а второй вывести из положения равновесия и предоставить само-
му себе (не уничтожая связи).
Очевидно, частная частота будет превышать частоту уединен-
ного маятника. В симметричной системе обе частные частоты
равны друг другу, причем это общее значение частной частоты
заключено между значениями двух главных частот.
Частные частоты удобны для изучения некоторых движений
связанной системы, но в наших простых примерах они не пона-
добятся.
Установленное выше изменение частоты при возникновении
дополнительных связей между маятниками имеет подобие не только
в электрических явлениях (см. ниже), но и в атомной физике.
Именно при объединении атомов в молекулы (или при образова-
нии гигантской молекулы — монокристалла) значения допустимых
для системы энергий изменяются (энергетические уровни рас-
182
щепляются). Это приводит к увеличению числа возможных ча-
стот излучаемого света:
hf = Wi-Wk
Здесь h — постоянная Планка, встречавшаяся уже раньше (§ 2.9, б).
Иначе говоря, спектр излучения молекул (и в особенности, твер-
дого тела) оказывается гораздо сложнее, чем спектр уединенных
атомов.
Результат (4.3) получает особенно наглядный смысл, если по-
ложить в (4.3) дополнительно:
= Х2 = X.
Тогда движения будут таковы:
= 2Х sin sin (-(°1 + °2 г1'),
V / Wt Wo j \ / W] 4~ Wo 1 \
х2 = 2л cos ——2- / cos ——9—-1 .
Оба маятника совершают биения, причем частота биений, т. е.
частота обмена энергиями Q тем меньше, чем слабее связь.
Если kQ < k, то можно принять:
о ____ Wg (01 .
------2 — 1 2/е ’
оь 4- Wo ,
о ~
Полученный результат кажется сомнительным: он означает,
что как бы ни мала была связь, рано или поздно должна прои-
зойти полная перекачка энергии от одного маятника к другому
(даже если они находятся в разных комнатах). Фактически, как
известно, заметить взаимодействие слишком слабо связанных
маятников не удается. Дело здесь в том, что не было учтено
затухание: при наличии затухания и очень малой связи маятни-
ков один из них просто перестанет колебаться прежде, чем пе-
редаст другому доступное наблюдению количество энергии.
Даже, если колебания одного из маятников поддерживаются
незатухающими (за счет действия внешней силы), второй маят-
ник, очень слабо связанный с первым, не сможет раскачаться
сколь-нибудь заметно, так как мощность, получаемая им при
слабой связи, очень мала и будет израсходована на преодоление
трения уже при весьма малой амплитуде, порой недоступной не-
посредственному наблюдению.
По этой же причине радиоприем дальних станций невозможен
без значительного усиления принимаемых сигналов.
Все сказанное выше приложимо и к несимметричной системе
(различные массы и жесткости). Она так же обладает двумя сте-
пенями свободы и двумя главными колебаниями. Но расчет такой
системы более сложен. Существенное отличие ее от симметричной
системы состоит в том, что при переходе одного колебания в дру-
183
Рис. 4.4
скольких сантиметров,
осях. Маятники будут
гое передача энергии происходит не пол-
ностью, а частично.
Так как наличие связи означает лишь
существование некоторого взаимодействия
между частями колебательной системы, то
природа сил связи может быть любой. В
частности, можно взять два физических
маятника в виде топких диэлектрических
пластин, способных колебаться в собст-
венной плоскости, и расположить их па-
раллельно друг другу на расстоянии не-
подвесив на отдельных горизонтальных
колебаться практически независимо, так
как связь через воздух очень мала. Но, если пластины наэлек-
тризовать, то за счет электрического взаимодействия связь возрас-
тает, и пластины станут колебаться подобно связанным маят-
никам (см. рис. 4.2), попеременно обмениваясь энергией.
Такой же результат можно получить и на катушках, обте-
каемых током. Оси широких плоских катушек располагают гори-
зонтально по одной прямой; оси вращения параллельны осям ка-
тушек. В частности, удобно закрепить катушки на легких плос-
ких пластинах. В этом случае легко наглядно показать, что
изменение тока через катушки (измеряемого амперметром) влияет
на величину связи. Возможны и другие способы электромагнит-
ной связи.
Для дальнейшего интересна система, состоящая из паралле-
лепипеда массы т и длины 2/ (рис. 4.4), опирающегося на четыре
пружины общей жесткостью k\ параллелепипед способен двигаться
только в вертикальной плоскости.
Два главных колебания таковы:
а) перемещение параллелепипеда параллельно самому себе вниз
и вверх, причем все пружины деформируются одинаково;
б) вращение вокруг горизонтальной оси, проходящей через
центр масс параллелепипеда перпендикулярно чертежу. При этом
правые и левые пружины испытывают равные, но противополож-
ные по знаку деформации.
Частота первого колебания равна:
второе колебание характеризуется частотой:
где I — момент инерции параллелепипеда относительно оси вра-
щения.
В этой модели не легко выделить «пружину связи». Но су-
ществование связи между этими движениями очевидно: при произ-
184
Рис. 4.5
вольном смещении параллелепипеда
пружины деформируются различно, и
одновременно происходит и поступа-
тельное и вращательное движение па-
раллелепипеда.
Учет затухания в системе с двумя
степенями свободы очень труден, так
как, вообще говоря, затухания двух главных колебаний неодина-
ковы.
Электрическим подобием рассмотренных пружинных маятни-
ков являются связанные электрические контуры с общей емкостью
Сс(рис. 4.5). Главные колебания здесь происходят раздельно в
двух случаях:
а) Токи в катушках совпадают по фазе (см. рис. 4.5); тогда
ток через емкость отсутствует, она не играет роли, и ее можно
закоротить (Сс->оо). Частота колебаний каждого контура будет
первой главной частотой:
1
Заметим попутно, что можно было бы совсем отбросить ем-
кость связи (Сс->0). Тогда получился бы единый контур с пара-
метрами 2L и С/2, обтекаемый единым током и имеющий частоту:
совпадающую с первой главной частотой.
Конечно, можно указать и механическое подобие такого пред-
ставления: маятник массы 2m, подвешенный на двух пружинах
с жесткостью k, что равносильно одной пружине с жесткостью
2/е. Маятник имел бы частоту
1 / 2/е
<0==К‘2^ = С°ь .
совпадающую с первой главной частотой.
б) Токи в катушках находятся в противоположных фазах. По
емкости связи течет двойной ток, и она влияет на частоту коле-
баний, так что получается:
Действительно, можно считать, что токи ir и 12 текут каждый
по емкости Сс/2; тогда напряжение в цепи связи будет такое же,
как при протекании тока (z\ -Г /2) = по емкости Сс.
Так как система с двумя степенями свободы обладает двумя
частотами, то ее частотная характеристика должна отличаться
13 Зак. 1072
185
п
б
Рис. 4.6
в
от характеристики отдельного контура. Для практики здесь от-
крываются весьма интересные возможности.
В § 2.8 было установлено, что для неискаженного приема мо-
дулированного сигнала необходимо, чтобы полоса пропускания
контура была не меньше общей ширины боковых полос сигнала:
Дсо = 2QMf
где S „ — наибольшая частота модуляции. Но частотная характе-
ристика одиночного контура имеет колоколообразную форму
(рис. 4.6, а\ и на краях полосы коэффициент передачи снижается
до 0,7 своего значения в середине полосы, поэтому более высо-
кие частоты модуляции относительно ослабляются.
В случае связанных контуров частотная характеристика де-
лается более ровной, приближаясь к идеальной для приема П-об-
разной характеристике (рис. 4.6, б). Но при чрезмерно большой
связи характеристика деформируется — в ее средней части обра-
зуется провал и отчетливо выступают два резонансных максимума
(рис. 4.6, в).
Поэтому, применяя связанные контуры и подбирая нужную
связь между ними, удается весьма значительно улучшать ча-
стотные характеристики радиосхем.
§ 4.2. УСПОКОИТЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
При работе различных машин возникают периодические силы;
действие их может оказаться вредным, особенно
при возникновении резонансных явлений. Для умень-
шения этого вредного действия применяются раз-
личные успокоители. Пусть, например, машина массы
М испытывает действие периодической силы F час-
тоты со (рис. 4.7). Такая сила может возникнуть
из-за несовершенного центрирования вращающейся
части машины. Пусть амортизаторы (пружины с же-
сткостью /() по тем или иным причинам не создают
достаточного успокоения машины. Оказывается, что
186
добавление к машине успокоителя, состоящего из тела массы
т < М, опирающегося на пружину с жесткостью /г, позволяет
достичь цели, если частота успокоителя (оо равна частоте внеш-
ней силы.
Докажем это. Пусть массы Мит смещены из положения
равновесия на отрезки X и х. Тогда уравнения движения систе-
мы будут таковы (см. § 4.1):
MX + (К + k) X — kx = FQ cos co/;
mx + k (x — X) = 0.
Вынужденные колебания могут характеризоваться выраже-
ниями:
X = A cos со/; х = a cos со/.
Подставив их в уравнения движения, получим алгебраические
уравнения:
А [ __ Мео2 4- (/( + k)] -ka = Fo; (4.4)
— Ak + (k — ma2) a = 0.
Из последнего уравнения следует, что при
2 k о
соо = — = а*
т
амплитуда А обращается в нуль; масса успокоителя при этом
движется по закону:
Р
X = COS (со/ 4- л).
/V
Сила, действующая со стороны пружины успокоителя на глав-
ную машину, равна:
f == kx = — cos со/.
Она оказывается равной по величине и противоположной по фазе
вынуждающей силе, а потому, естественно, машина перестает
колебаться.
Более подробный анализ показывает, что этот вывод справед-
лив для любых значений частоты, без каких-либо ограничений.
Может показаться странным, что успокоение наступает даже при
со = т. е. в случае резонанса главной машины. Однако,
такое представление ошибочно: дело в том, что присоединение
успокоителя создает систему с двумя степенями свободы. Ее
главные колебания имеют частоты, отличные от собственных ча-
стот ее частей: ___ -_______
с/т"/-£-)
так что о резонансе в этом случае говорить нельзя.
13* 187
Можно показать, что при выполнении условия
главные колебания имеют частоты:
т ____ k
11 = 7Г ~
где
Учет затухания вносит изменения в полученные нами резуль-
таты; однако главный вывод — возможность успокоения массив-
ной машины небольшим успокоителем — остается в силе.
Правильность этих выводов подтверждают два простых опыта:
а) Один конец ленточной пружины 1 (вроде пружины обыч-
ного частотомера) зажимают в держателе, прикрепленном к неслиш-
ком массивному столику (рис. 4.8, а). К другому концу пружины
прикрепляют при помощи винтов небольшой зажим; его масса на
единицу длины должна превышать массу па единицу длины пру-
жины 1. Зажим является сосредоточенной нагрузкой конца пру-
жины и несколько уменьшает ее собственную частоту. На стол
ставят не вполне строго центрированный электрический двигатель,
допускающий плавную регулировку угловой скорости его враще-
ния. Меняя число оборотов двигателя в секунду или длину пру-
жины, получают сильные резонансные колебания последней. Пру-
Рис. 4.8
жина с зажимом представляет
модель машины, требующей
успокоения.
Теперь укрепляют в зажиме
конец второй пружины — успо-
коителя 2, имеющей меньшее
поперечное сечение и меньшую
массу на единицу длины. Соб-
ственная частота успокоителя
подбирается близкой к собствен-
ной частоте главной пружины.
При вращении двигателя глав-
ная пружина почти не возбуж-
дается, а пружина успокоителя
при некоторой частоте начи-
нает колебаться очень сильно.
б) На двойном подвесе
(рис. 4.8,6) укрепляют массивный
шар 1 (300 — 600 а), получая та-
ким образом маятник, имеющий
188
небольшую свободную частоту
(около 1 г£{). К шару на таком же
подвесе прикрепляют шарик 2
малой массы (20 — 40 а); получив- ____
шийся второй маятник должен 2—EZ
иметь ту же собственную частоту, —~
что и массивный маятник.
Шару 1 сообщают некоторую----------
кинетическую (толчком) или по- ZZZL
тенциальную (отведя в сторону)--------
энергию. Система предоставляется
сама себе; сначала массивный
шар колеблется более или менее
заметно, но вскоре он успокаивается, а малый шар начинает
сильно раскачиваться. Такое же движение наблюдается при при-
ведении в вынужденные колебания опоры, несущей маятники.
Подобные успокоители нашли неожиданное применение в ма-
шинках для стрижки волос. В этих машинках имеется рычаг,
прикрепленный к корпусу машинки. Один конец его притягивается
к электромагниту, питаемому переменным током, и приводит
в движение режущий нож. По закону сохранения момента им-
пульса корпус машинки приходит в колебания, передающиеся
руке парикмахера и вызывающие у него неприятное ощущение.
Введение успокоителя, помещенного внутри корпуса, позволило
значительно ослабить колебания последнего.
Тот же принцип реализуется отчасти в водяном поглотителе
колебаний, уменьшающем бортовую качку корабля.
В § 1.7, г было выяснено, что изменение давления над поверх-
ностью жидкости, находящейся в U-образной трубке, сильно из-
меняет условия колебаний водяного столба.
На рис. 4.9 поперечное сечение корабля представлено доской,
подвешенной выше центра тяжести и способной колебаться около
оси подвеса. Успокоитель состоит из двух резервуаров, частично
заполненных жидкостью и соединенных двумя трубопроводами;
верхний трубопровод, заполненный воздухом, имеет кран V.
Если при закрытом кране вывести систему из положения рав-
новесия, то жидкость почти не колеблется, затухание системы
мало, колебания доски продолжаются долго. При периодическом
подталкивании (имитация качки) доска может раскачаться доволь-
но сильно.
Если же кран немного открыть, то жидкость начинает коле-
баться и при правильном выборе частот колебаний доски и жид-
кости, которые должны быть близки друг к другу, система успо-
каивается очень быстро, а при подталкивании — не раскачивается.
Успокоение всей системы в целом происходит потому, что трение
при движении жидкости велико. Режим системы отчасти можно
регулировать степенью открытия крана.
189
§ 4.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ УСПОКОИТЕЛИ И РАЗДЕЛИТЕЛИ СИГНАЛОВ
Схема электрического успокоителя, до известной степени по-
добного механическому, показана на рис. 4.10. Последователь-
ный контур представляет успокаиваемую систему, параллельный
является успокоителем. Так как сопротивление параллельного
контура при резонансе очень велико, то ток в общей цепи ослаб-
ляется, даже если последовательный контур настроен в резонанс.
Предполагается, что взаимная связь контуров отсутствует, а ча-
стоты их свободных колебаний одинаковы.
Таким же образом можно из суммы гармонических сигналов
выделить один, на который резонирует параллельный контур.
Другой способ разделения сигналов показан на рис. 4.11.
Цепь состоит из двух приемников, представляющих активные со-
противления R (по 20 ом каждое). Цепь питается сложным на-
пряжением:
ui + «г — ЮО cos 10 V 4- 100 cos 10s/.
Требуется обеспечить выделение в каждом из сопротивлений
R сигнала только одной частоты. Задача решается подключе-
нием (параллельно каждому из сопротивлений) контура LC, на-
строенного в резонанс с одной из частот. Так как сопротивле-
ние последовательного контура при резонансе очень мало, то
ток резонансной частоты пройдет по цепочке LC, практически
минуя R. В то же время ток нерезонансной частоты, для которого
цепочка LC представляет большое сопротивление, практически
полностью пройдет через сопротивление R.
Пусть, например, = 10~2 гн и цепочка ЬгСг настроена на
частоту сох. Необходимая для резонанса емкость равна:
С! = 10-6 ф.
Для тока частоты сог эта цепочка почти не представляет со-
противления (активное сопротивление цепочек может быть очень
малым), а для тока частоты <в2 она представит сопротивление
Рис. 4.10
190
имеющее индуктивный характер. 0 _________________'я г, -->»
Строя векторную диаграмму (рис. Г ---------------
4.12), находим, что между током и на- —*______
пряжением создается фазовый сдвиг
ср2 = arc tg 0,02 0,02 рад 1°9'; Рис- 4-12
и полный ток (частоты ю2) во всей цепи равен:
'r
= cos <р2 C0S — фг) = 5 COS (й)2/ — (р2),
так как падением напряжения частоты со2 на втором контуре,
настроенном на эту частоту, можно пренебречь.
Если второй контур, настроенный на частоту со2, имеет ин-
дуктивность L2 = 10~3 гн, то емкость будет равна С2 = 10~7 ф,
и для частоты coj он представит сопротивление Z2 = — 103 ом,
имеющее емкостный характер. Векторная диаграмма отличается
от диаграммы рис. 4.12 только знаком фазового угла, числовые
же результаты остаются прежними, так что ток частоты со1( те-
кущий по сопротивлению R, равен:
= 5 cos(oV + Ф1)-
§ 4.4. КОЛЕБАНИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ АВТОМОБИЛЯ
В качестве примера системы с несколькими степенями свободы
рассмотрим идеализированный автомобиль. Пусть кузов опирается
на рессоры, жестко связанные с осями, которые в свою очередь
опираются на пневматические шины (под термином «оси» пони-
маются также колеса и мосты). Наконец, шины опираются на
дорожное покрытие, по которому едет автомобиль. Для простоты
примем массу переднего и заднего моста одинаковой. Такая си-
. стема имеет много степеней свободы. Однако, так как на прак-
тике собственные частоты верхней и нижней части автомобиля
резко отличаются друг от друга, то можно получить прибли-
женное представление об особенностях движения, рассматривая
каждую часть автомобиля в отдельности.
Конечно, такое рассмотрение может дать лишь очень грубое
приближение к истине, но оно не лишено интереса.
Роль шин сводится прежде всего к предохранению осей и
полотна дороги от больших нагрузок. Если автомобиль движется
по гладкой горизонтальной дороге, то он давит на нее с постоян-
ной силой, практически равной его весу. Если же (хотя бы из-за
неравномерности работы двигателя) возникает дополнительная
вертикальная периодическая сила, действующая на ось
F = Fo cos a>t,
то при жестких колесах она полностью передается на полотно
дороги.
191
Но эту дополнительную нагрузку можно снизить, используя
шины, т. е. «пружины» с некоторой жесткостью /г, зависящей,
между прочим, от давления воздуха в камерах шин.
Если масса осей равна т, то собственная частота их колеба-
ний на шинах (без учета затухания) есть:
»»=/1-
Из теории вынужденных колебаний (§ 2.6, г) известно, что
амплитуда деформации пружины при действии силы F будет равна:
у ____। о w f
т~ k 1-Q3 ’ « - Wo - }о '
Поэтому амплитуда силы, испытываемой пружиной и переда-
ваемой покрытию дороги, окажется равной:
р _ ЬУ — F°
L т — j__Q2 •
Если 2 1, то Fm < Fo.
Итак, шины нужно рассчитывать так, чтобы собственная ча-
стота была возможно меньшей. Даже при малой скорости дви-
жения (около 10 км/час) частота возмущающей силы равна, при-
мерно, 12 гц. Поэтому собственная частота не должна превышать
5 — 6 гц, что и осуществляется на практике.
Из нашего рассуждения, между прочим, следует, что увели-
чение жесткости шин (превышение нормального давления воздуха
в них) нецелесообразно.
Далее, шины необходимы и для уменьшения влияния, оказы-
ваемого на оси толчками, обусловленными неровностями дороги.
Действительно, пусть на дороге имеется неровность, заданная
уравнением y = f(x). Положим, что горизонтальная скорость ав-
томобиля постоянна:
х = v = const.
Тогда вертикальная составляющая скорости на неровности
дороги равна:
и вертикальное ускорение:
У = у2
d2y
dx2
Поэтому сила взаимодействия между жестким (без шин) ко-
лесом (массы т) и покрытием дороги была бы равна:
Гж — mv2
dly
dx2
192
Она пропорциональна квад-
рату горизонтальной скорос-
ти автомобиля; при значи-
тельных скоростях совре-
менного транспорта эта сила
имеет недопустимо большие
значения. Шины же, играю-
щие роль пружин, могут зна-
чительно снизить нагрузку
на полотно дороги, тем бо-
лее, что при их поперечных
деформациях неровности’дороги в известной степени сглажива-
ются, что также уменьшает силу взаимодействия (мы не будем
учитывать этот эффект).
Допуская для простоты расчета, что неровности периодиче-
ски распределены вдоль дороги (рис. 4.13), можно задать изме-
нения высоты дорожного профиля выражением:
f/=^Kmcos cos /j. (4.5)
В § 2.6, e рассматривалась задача о движении тела, связан-
ного с пружиной, другой конец которой периодически колеблется
по закону (4.5). Было установлено, что амплитуда смещения те-
ла относительно горизонтальной плоскости (у = 0) определяется
выражением:
у___у . о___0) ____ / ___ v
° <оо - /0 -
При езде по бетонной дороге, плиты которой соединены шва-
ми, создающими периодические толчки (у — 72 км/час = 20 м/сек\
L == 12 м), получаем:
a = -i^- = 0,28; Уо = 1,1 Y т.
Смещение же тела относительно поверхности дороги есть:
Y1 = Yo-Ym = O,lYm,
и сила, действующая на дорогу, имеет амплитуду:
Л = т-0,1У/л(о2 = 0,1Дж.
Таким образом, она в десять раз меньше силы, которая раз-
вилась бы при жестких колесах.
Однако при езде по булыжнику (у = 3 м/сек, L = 0,45 м) по-
лучается:
о — 3 . = 1 j • уЛ = 8 У
----0,45-6 1 0 ° Y т'
т. е. колебания значительно усиливаются. При очень неблаго-
приятных условиях автомобиль даже подпрыгивает. Увеличение
193
скорости движения устранило
бы эти колебания; по оно
опасно из-за возможности
внезапного появления выбоин
или других препятствий.
Переходим к роли рессор.
Они служат для создания
удобств для пассажиров.
Следует иметь в виду, что
человеческий организм при-
вык к частоте колебаний,
близкой к 1 гц (примерно та-
кова частота колебаний цен-
тра тяжести человеческого
тела при ходьбе). Поэтому
стремятся к
надрессорная
собственную
кую к 1 гц.
осевой части;
надрессорной частей
тому, чтобы
часть имела
частоту, близ-
при этих усло-
можно
Это в 5—6 раз меньше частоты
виях взаимодействием осевой и
(в первом приближении) пренебречь.
Кроме того, следует учесть, что на постоянную скорость и
постоянное небольшое горизонтальное ускорение человек не
реагирует. Обычно при нормальной езде горизонтальные ускоре-
ния невелики, и о них можно не думать.
К вертикальным же ускорениям человек гораздо чувствитель-
нее, что знает каждый, поднимавшийся в скоростном лифте.
К колебательным вертикальным ускорениям чувствительность
человека также значительна. На рис. 4.14 в системе координат
«частота — амплитуда вертикального смещения» кривая 1 ограни-
чивает снизу область амплитуд и частот, при которых у чело-
века возникают вполне заметные неприятные ощущения. Конеч-
но, на практике допустимы только значения этих величин, ле-
жащие ниже кривой /. Кривая 2 ограничивает сверху область
амплитуд и частот, практически не замечаемых человеком. Оче-
видно, нет смысла стремиться к величинам, лежащим ниже этой
кривой (особенно, если это сопряжено с техническими или эко-
номическими трудностями)..
Как правило, рессоры и мягкие сиденья (т. е. дополнитель-
ные пружины) обеспечивают достаточные удобства (по крайней
мере, в пассажирских автомобилях).
В технике для характеристики качества экипажа часто поль-
зуются «коэффициентом неудобств», пропорциональным произ-
водной от вертикального ускорения (т. е. характеризующим не-
ожиданные изменения ускорения). Он должен быть, конечно,
возможно меньше.
194
При профиле, заданном уравнением (4.5), получим:
у = — и3/,,, sin at, со = 2л
Обычно частота со невелика, и производная незначительна.
Но при быстрой езде по «гребенке» или по булыжнику производ-
ная может оказаться значительной — этим и объясняется неприят-
ное ощущение, испытываемое пассажирами при такой езде.
В нашем упрощенном рассмотрении мы не учитывали затуха-
ния: оно, во-первых, уменьшает амплитуду получающихся ко-
лебаний и, во-вторых, способствует быстрому успокоению систе-
мы при переходе на гладкую дорогу, что, может быть, наиболее
важно. Эта же цель достигается и постановкой специальных
гидравлических успокоителей, поглощающих энергию возникаю-
щих колебаний и ограничивающих их амлитуду.
§ 4,5. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Колебания систем со многими степенями свободы, как пра-
вило, довольно сложны. Рассмотрим, например, собственные ко-
лебания камертона (рис. 4.15), изобретенного в 1711 г. и сохра-
нившего свое значение до нашего времени.
Мы уже видели, что ножки Н камертона совершают попереч-
ные колебания изгиба, попеременно сближаясь и удаляясь; при
этом на линии АА, расположенной ниже середины ножек, созда-
ются узлы смещения (§1.11).
При сближении ножек в области К возникает деформация ра-
стяжения, и стержень С несколько приподнимается. При взаим-
ном удалении ножек в области К создается деформация сжатия,
стержень С опускается, но одновременно приподнимается участок
D, так что центр масс камертона всегда
остается в покое.
Таким образом стержень С совершает
продольные колебания с частотой, равной
частоте колебаний ножек Н.
Если этот стержень прикреплен к верхней
крышке резонансного ящика R, то крышка
приходит в вынужденные поперечные коле-
бания и вызывает изменения объема воздуш-
ного столба внутри ящика, сопровождаю-
щиеся продольными колебаниями этого
столба.
Открытый конец ящика служит излуча-
телем с относительно большой поверхнос-
тью, поэтому возрастает интенсивность излу-
чения звука, а также затухание системы.
Последнее настолько значительно, что об-
Рнс. 4.15
Рис. 4.16
ратная перекачка энергии из столба к камертону практически
отсутствует. В то же время связь между камертоном и ящиком
настолько мала, что не возникает заметного изменения частоты
колебаний.
Отметим также, что камертон (особенно, если ножки его не
слишком тонки) дает почти чистый гармонический тон — чище,
чем любой другой музыкальный инструмент, чем и объясняется ши-
рокое применение его при настройке таких инструментов и при
пении.
В общем случае систему со многими степенями свободы мож-
но рассматривать, как комбинацию многих чередующихся масс и
пружин (рис. 4.16). Число звеньев цепочки, т. е. число степе-
ней свободы, может быть велико, а сами звенья могут иметь
различные массы и жесткости. В предельном случае (однородной
системы) мы приходим к представлению о системе с бесконечным
числом степеней свободы, где массы и жесткости не сосредото-
чены в отдельных частях системы, а равномерно распределены
по всей ее длине. Примером такой одномерной системы в меха-
нике может служить струна или столб жидкости в трубе с мас-
сивными стенками; .электрическая система такого рода — длинная
телеграфная линия, где сопротивление, емкость и индуктивность
равномерно распределены по всей длине системы, а также теле-
фонный или телевизионный кабель.
Мембрана телефона, диск литавр или диффузор громкоговори-
теля являются двумерными механическими колебательными систе-
мами с равномерно распределенными параметрами. Объем воздуха
в деке скрипки служит примером трехмерной (объемной) системы.
Электрические двумерные системы встречаются редко. К трех-
мерным электрическим системам относятся полые (или заполнен-
ные диэлектриком) металлические резонаторы.
При анализе подобных систем необходимо считаться со време-
нем распространения в системе механических (или электрических)
процессов, так как это время сравнимо с периодом распространяю-
щегося процесса, а часто бывает даже больше его. При этом
характеристики процесса (смещение, ток и т. д.) оказываются
зависящими не только от времени, но и от координат точек
системы.
Поэтому дифференциальные уравнения, описывающие поведение
таких систем, оказываются уравнениями в частных производных;
колебательные решения заменяются волновыми. У систем появля-
196
ется ряд новых свойств, отсутствующих у колебательных систем
с сосредоточенными параметрами.
Эти новые представления, как и отвечающий им математичес-
кий аппарат, значительно сложнее представлений и аппарата,
развивавшихся и применявшихся в этой книге, хотя между ко-
лебательными и волновыми явлениями имеется и много общего.
Отдельные простые системы со многими степенями свободы
рассматривались и в этой книге (громкоговоритель, § 2.7, д;
струна, рис. 2.49), но при этом они исследовались далеко не пол-
ностью, а лишь в той степени, какая определялась задачей, по-
ставленной в тексте.
Волновые представления находят применение во многих раз-
делах физики: механике, акустике, электромагнетизме, оптике,
атомной и ядерной физике (где отчетливо проявляются волновые
свойства частиц вещества).
Весьма содержательное рассмотрение физики различных вол-
новых процессов (при использовании весьма несложного математи-
ческого аппарата) читатель найдет в превосходной книге покойного
профессора Г. С. Горелика «Колебания и волны» (М., Физматгиз,
1959) и в книге «Лекции по колебаниям» академика Л. И. Ман-
дельштама, но последняя книга рассчитана на более подготов-
ленного читателя.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Г С. Горелик. Колебания и волны, изд. 2. М., Физматгиз, 1959.
2. Р. Поль. Механика, акустика и учение о теплоте М., ГТТИ, 1957.
3. Р. Поль. Учение об электричестве. М., Физматгиз, 1962.
4. Л. И. Мандельштам. Лекции по колебаниям. М., Изд-во АН СССР,
1955.
5. Дж. Ден Гартог. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1963.
6. Р. Бишоп. Колебания. М., «Наука», 1968.
7. С. П. Стрелков. Введение в теорию колебаний. М., ГТТИ, 1950.
8. С. Г ольдман. Гармонический анализ, модуляция и шумы. М., Изд-во
иностр, лит., 1951.
9. А. А. X а р к е в и ч. Спектры и анализ. М., ГТТИ, 1952.
10. А. А. Харкевич. Автоколебания. М., ГИТТЛ, 1954.
11. Г О л ь с о н Динамические аналогии. М., Изд-во иностр, лит. 1947.
12. В. Смирнов. Курс высшей математики, т. I—V. М., ГТТИ., 1959.
13. Статьи в Физическом энциклопедическом словаре. М., «Советская
энциклопедия», 1960.
14. Е. М. Г е р ш е н з о н, Н. Н. Малов, Г. Д. Полян и н а, В. С. Э т-
кин. Радиотехника М., «Просвещение», 1971.
15. Брошюры серии «Массовая радиобиблиотека».
Николай Николаевич Малов
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
Редактор В. А. Обменина
Художник Б. Л. Николаев
Художественный редактор Л. Ф. Малышева
Технический редактор Л. Я. Медведев
Корректор Р. Б. Штутман
Сдано в набор 5/V1II 1970 г. Подписано к печати 27/Х1
1970 г. 60Х90»/1в. Бумага типографская №3* Печ. л. 12,5.
Уч.-изд. л. 11,29. Тираж 40 000 экз. (План 1971 г. №87).
А-03859.
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Со-
вете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Типография издательства ЦК КП Белоруссии
Минск, Ленинский пр., 79. Зак. 1072.
Цена без переплета 30 коп, переплет 10 коп.