Text
                    И. М. Игдалов, Л. Д. Кучма,
Н. В. Поляков, Ю. Д. Шептун
РАКЕТА
КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ
2004


И. М. Игдалов, Л. Д. Кучма, Н. В. Поляков, Ю. Д. Шептун РАКЕТА КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ Под редакцией академика С. Н. Конюхова Допущено Министерством образования и науки Украины как учебник для студентов высших учебных заведений Днепропетровск АРТ-ПРЕСС 2004
УДК 629.76 (075.8) ББК 39.62я73 И26 Допущено Министерством образования и науки Украины 27.01.2004 № 1/11-295 Научные рецензенты: акад. НАН Украины В. С. Будник; д-р техн, наук, проф. Н. Д. Коваленко (ИТМ НАН Украины) Книга посвящена вопросам теории и практики динамического проектирования в ОКБ-586 (ГКБ «Южное») МБР и PH КА, построенных по нетрадиционным схемам или с оригинальными техническими решениями («глобальная» ракета с орбитальной ГЧ, пер- вая РГЧ, PH на базе боевых ракет I и II поколений и др.). По результатам анализа военно-политической обстановки 60-х годов XX века показа- на необходимость создания III поколения ракетных комплексов на основе решений, принципиально отличных от «классических» (минометный старт жидкостных ракет, в т. ч. тяжелого класса, РГЧ ИН, БЦВМ, ПУ высокой защищенности и др.). Аналогично - середина 70-80-х годов - необходимость создания ракет IV поколения в т. ч. твердотопливных РТ-23 среднего класса, управляемых путем отклонения ГО (ДУ II и Ш ступеней со стационарными соплами без «рулевых» органов). Ракеты РТ-23 эксплуа- тируются как в шахтном, так и в уникальном железнодорожном вариантах базирования. Книга предназначена для студентов вузов и специалистов в области ракетно- космической техники. Игдалов И. М., Кучма Л. Д., Поляков Н. В., Шептун Ю. Д. И26 Ракета как объект управления: Учебник /Под ред. акад. С. Н. Ко- нюхова. - Д.: АРТ-ПРЕСС, 2004. - 544 с. ISBN 966-7985-81-4 Книга присвячена питаниям Teopii i практики динам!чного проектування в ОКБ-586 (ДКБ «П!вденне») МБР i PH КА, побудованих за нетрадицшними схемами чи з оригшаль- ними техшчними р!шеннями («глобальна» ракета з орбпальною ГЧ, перша РГЧ, PH на баз! бойових ракет I i II поколшь та ш.). За результатами анал!зу вмськово-полпично! обстановки 60-х poxis XX стол!ття по- казана необхщшсть створення III поколшня ракетних комплексе на основ! р!шень, прин- ципов© вщмшних вщ «класичних» (мшометний старт рщинних ракет, у т. ч. важкого кла- су, РГЧ IH, БЦОМ, ПУ високо! захищеност! та ш.). Аналопчно - середина 70-80-х роюв - необхщшсть створення ракет IV поколшня, в т. ч. твердопаливних РТ-23 середнього класу, керованих шляхом вщхилення ГО (ДУ II i III ступешв з! стацюнарними соплами без «кермових» оргашв). Ракети РТ-23 експлуа- туються як у шахтному, так i в ушкальному зал!зничному вар!антах базування. Книга призначена для студент!в вуз!в i фах!вщв в облает! ракетно-косм!чно! техшки. УДК 629.76 (075.8) ББК 39.62я73 ISBN 966-7985-81-4 © Игдалов И. М., Кучма Л. Д, Поляков Н. В., Шептун Ю. Д., 2004 © АРТ-ПРЕСС, 2004
СПИСОК СОКРАЩЕНИИ АН ББ БД БЖРК БО БРДД БЦВК БЦВМ Вд(Вб) ГКБЮ Академия наук Боевой блок Боевое дежурство Боевой железнодорожный ракетный комплекс Боевое оснащение Баллистическая ракета дальнего действия Бортовой цифровой вычислительный комплекс Бортовая цифровая вычислительная машина Вероятное (срединное) отклонение по дальности (направлению) Государственное конструкторское бюро «Южное» им. академика М. К. Янгеля (новое название ОКБ-586) Головная часть Днепропетровский государственный (национальный) университет ГЧ ДГУ (ДНУ) AT (I, L, Z и др.) Предельное (2.7 СКО) отклонение соответствующего параметра ЖРД КА КВ КВО КП КСП ПРО лки МБР мпд огч ОКБ ОС ПАД ПРО ПУ ПФ яв РГЧ РК PH СКО СУ СУРТ тз ТПК ттт ттх ФТФ (ФТИ) цвк ШПУ яв Жидкостный ракетный двигатель Космический аппарат Контакт выхода ракеты из ТПК Круговое вероятное отклонение Командный пункт Комплекс средств противодействия ПРО Летно-конструкторские испытания Межконтинентальная баллистическая ракета Максимальная прицельная дальность Орбитальная головная часть Особое конструкторское бюро Одиночный старт Пороховой аккумулятор давления Противоракетная оборона Пусковая установка Поражающие факторы ядерного взрыва Разделяющаяся головная часть Ракетный комплекс Ракета-носитель Среднее квадратическое отклонение Система управления Система управления расходом топлива Техническое задание Транспортно-пусковой контейнер Тактико-технические требования Тактико-технические характеристики Физико-технический факультет (институт) Цифровой вычислительный комплекс Шахтная пусковая установка Ядерный взрыв 3
Посвящается 85-летию Днепропетровского национального университета и 50-летию Государственного конструкторского бюро «Южное» им. академика М. К. Янгеля ПРЕДИСЛОВИЕ Работам по развитию реактивной техники в СССР в середине 1946 г. был официально присвоен статус важнейшей государственной задачи. Решение практической части этой задачи было возложено на вновь созданные в Москве и Подмосковье специализированные научно- исследовательские и опытно-конструкторские организации, а научное со- провождение работ - на головные НИИ Министерства вооружения и Ми- нистерства обороны с широким привлечением институтов Академии наук (академики А. Ю. Ишлинский, М. В. Келдыш, Н. Н. Моисеев, Д. Е. Охо- цимский, Б. Н. Петров, В. А. Трапезников и др). Все организации были укомплектованы квалифицированными специа- листами и видными учеными с предприятий смежных отраслей науки и техники. Руководили разработками - каждый по своему профилю - ставшие в дальнейшем Героями и дважды Героями Социалистического Труда и академиками: В. П. Бармин, В. П. Глушко, В. И. Кузнецов, Н. А. Пи- люгин и М. С. Рязанский. Они все входили в первый Совет Главных кон- структоров, созданный и возглавляемый академиком С. П. Королевым - руководителем головного предприятия по созданию ракетных комплек- сов-ОКБ-1 МВ. В результате уже в процессе создания первых советских жидкостных ракет дальнего (для тех лет) действия Pl, Р2, Р5М и особенно первой межконтинентальной - легендарной Р7 - был накоплен научный потенци- ал в виде проектов, отчетов, диссертаций и т. п. по динамике ракет и их динамическому проектированию. В связи с проведением всех работ в режиме строжайшей секретности открытые публикации некоторых результатов научных исследований в области динамики ракет стали появляться только в середине пятидесятых годов в виде статей в изданиях Академии наук. Это были труды Н. Н. Мои- сеева [110 - 1953 г.], Г. С. Нариманова [114 - 1956 г.], [115 - 1957 г.], Д. Е. Охоцимского [119 - 1956 г.], Б. И. Рабиновича [127 - 1956 г.] и др. В эти же годы и в зарубежных журналах публикуются научные статьи по отдельным вопросам динамики тел с полостями, заполненными жидко- 4
стью (авторы Abramson Н. N., Ransleben G. Е.» Chu W. Н.» Garza L. R., Bauer H. F. и др.). В конце пятидесятых годов появились первые несекретные книги, со- держащие некоторые материалы о ракете как объекте управления - рабо- ты А. С. Локка [101] и В. И. Феодосьева, Г. Б. Синярева [153]. Обе работы носили общетехнический характер. Создание в Украине, на Урале и в Москве новых центров по разработке ракетных комплексов с жидкостными ракетами дальнего действия, а также потребность в учебно-методическом материале для подготовки специа- листов данного профиля в ряде вузов страны вызвали в середине 60-х - на- чале 70-х годов большой поток фундаментальных работ по динамике ра- кет как объектов управления. Это монографии К. С. Колесникова [87], Н. Н. Моисеева и В. В. Румянцева [111], Г. Н. Микишева и Б. И. Рабино- вича [106], [107], К. А. Абгаряна и И. М. Рапопорта [1], А. А. Лебедева и Л. С. Чернобровкина [96], а также труды по баллистике ракет - Р. Ф. Ап- пазова, С. С. Лаврова и В. П. Мишина [14], А. А. Лебедева и Н. Ф. Герасю- ты [95] и ряд других работ. Краткий обзор литературы приводится ниже во «Введении», а библиография - в «Списке использованной литературы». Упомянутые основополагающие труды безусловно являлись теорети- ческой базой для решения практически всех задач динамики ракет, но по- строенных по «классическим» схемам, принятым в мировой практике ра- кетостроения в 50-60-е годы. В то же время академиками В. С. Будником и М. К. Янгелем, начиная с первых разработок, бы- ло выбрано направление на создание ракетных ком- плексов по нетривиальным схемам. Так, в 1953 г. еще коллективом отдела Главного конструктора за- вода № 586 во главе с В. С. Будником был разрабо- тан первоначальный эскизный проект ракеты стра- тегического назначения с ЖРД, работающим на вы- сококипящих компонентах топлива. Ракета Р-12, при дальности стрельбы в ~2 раза большей, чем у Р-5М, управлялась автономной инерциальной системой без радиоуправления и радиокоррекции. Будник Василий Сергеевич (1913) Учитывая перспективность выбранного направления создания боевых ракетных комплексов, для его реализации 10 апреля 1954 года было при- нято решение о преобразовании ОГК завода в Особое конструкторское бюро № 586. Под руководством Главного конструктора - начальника ОКБ-586 М. К. Янгеля и его первого заместителя В. С. Будника в период до 1969 г. были созданы два поколения оригинальных комплексов боевых ракет дальнего действия, в том числе «глобальной» (дальность стрельбы 5
до 40 000 км) ракеты с орбитальной ГЧ - 8К69 и ракеты 8К67П с первой трехблочной РГЧ. Наряду со сданными на вооружение шестью РК перво- го поколения и тремя - второго были разработаны и доведены до ЛКИ комплекс МБР среднего класса 8К66 и до завершения летных испытаний - мобильный грунтовый комплекс комбинированной МБР сверхлегкого класса 8К99 (стартовый вес 30 тс). Одновременно было закончено проек- тирование и начаты ЛКИ четырех ракетно-космических комплексов, по- строенных на базе созданных боевых ракет. В 1968-1969 гт. М. К. Янгель разработал, обосновал и начал реализа- цию принципиально новой концепции вооружения ракетных войск стра- тегического назначения (РВСН). Цель - при минимизации затрат повышение в десятки раз защищенно- сти РК от ЯВ и в несколько раз - боевой эффективности ракет в условиях активной ПРО. Средства - минометный старт из ТПК, РГЧ, ЦВК, мощный КСП ПРО и т. д. Результат - до конца жизни М. К. Янгеля (октябрь 1971 г.) - заверше- ние в полном объеме проектно-конструкторской разработки и начало экс- периментальной отработки третьего поколения РК - жидкостных ракет: тяжелого класса - 15А14 (Р-36М) и легкого класса - 15А15 (МР-УР100). Генеральным конструктором КБ «Южное» (с 1971 г.) академиком. В. Ф. Уткиным была успешно завершена разработка и сдача на вооруже- ние комплексов ракет 15А14 и 15А15, а также созданы по принятой док- трине РК того же поколения, но с улучшенными ТТХ - соответственно ракеты 15А18 и 15А16. В восьмидесятые годы были созданы непревзойденные по своим ТТХ боевые комплексы IV поколения с жидкостной ракетой тяжелого класса 15А18М («Сатана») и с трехступенчатой твердотопливной ракетой сред- него класса 15Ж60, а также не имеющего аналогов в мировой практике БЖРК с ракетой 15Ж61. Обе твердотопливные ракеты управлялись принципиально новым способом - путем отклонения головного отсека при стационарных без органов управления соплах двигателей II и III сту- пеней. Одновременно был создан полностью автоматизированный с уникаль- ными эксплуатационными и тактико-техническими характеристиками ра- кетно-космический комплекс PH среднего класса 11К77 («Зенит-2»). Ос- новными отличиями этой PH как объекта управления являлись тандемная схема с большим удлинением (отношение длины ракеты к ее диаметру со- ставляло 14,6) и управление I ступенью путем отклонения камер марше- вого двигателя (тяга, создаваемая каждой камерой около 200 тс). 6
Герасюта Николай Федорович (1919-1987) Влияние далеко не полного перечня оригинальных технических ре- шений на облик и ТТХ ракеты как объекта управления рассмотрены на конкретном примере во «Введении» книги. Очевидно, что динамическое проектирование таких ракет потребова- ло существенного дополнения и преобразования основополагающей на- учно-теоретической базы применительно к практике работы КБ. Проблемы, возникавшие при создании всех РК, успешно решались коллективом, возглавляемым профессором Н. Ф. Герасютой. За 10-15 лет им была создана научная школа, насчитывающая 5 докторов и более 40 кандидатов наук, в том числе более 20 канд. техн, наук по динамике ракет как объек- тов управления: Н. Н. Андреев, Н. Г. Белецкая, В. В. Брикер, А. И. Баулин, В. В. Горбунцов, Н. Е. Зыков, В. А. Ларин, Г. Л. Мадатов, А. А. Ма- нойленко, В. М. Морозов, Н. М. Полякова, Е. А. Серый, Г. М. Резник, М. А. Якушкин и др. Большинство ученых школы Н. Ф. Герасюты обеспечивали учебный про- цесс либо на правах штатного совместительства, либо являясь штатными сотрудниками, в т. ч. заведующими кафедрами САУ и РТС Физико- технического института ДНУ [135], а также были основой при создании соответствующего подразделения в Институте технической механики (ИТМ) НАНУ. В результате оба института активно участвовали в решении насущных задач динамики ракет, возникавших в процессе создания пер- спективных РК. Весь процесс создания РК, а также сопровождающее и обеспечиваю- щее этот процесс динамическое проектирование проходили в самом тес- ном контакте с головными институтами отрасли (ЦНИИмаш - НИИ-88) и заказчика (НИИ-4 МО), а также со смежными специализированными НИИ и КБ, без участия которых вообще немыслимо выполнение таких работ. Кроме вышеназванных ученых, головных институтов и создателей теоретической основы динамики ракет [14, 106, 107, НО, ИЗ, 114, 115, 116, 119, 127], необходимо отметить неоценимую помощь и поддержку КБЮ, оказываемые в течение многих лет директором ЦНИИмаш про- фессором Ю. А. Мозжориным. Реализация в СУ нетрадиционных технических решений коллективом НИИ автоматики и приборостроения обеспечивалась благодаря Гене- ральному конструктору системы управления, руководителю института - академику Н. А. Пилюгину и его заместителю - профессору М. С. Хит- рику. Яркими примерами являются: отказ от систем радиоуправления 7
и радиокоррекции в СУ БРДД стратегического назначения, создание СУ ракет, управляемых путем отклонения головного отсека; реализация в СУ МБР легкого класса минимальной прицельной дальности 1000 км, для че- го II ступень ракеты должна была совершать эволюции, близкие к фигу- рам высшего пилотажа [19]; создание систем управления с уникальными ТТХ на базе многомашинного вычислительного комплекса для ракет- носителей «Зенит-2» и, особенно, «Зенит-З SL» программы «Морской старт» и др. Аналогично решались проблемы динамики ракет в ОКБ-692 (КБ Электро- приборостроения) во главе с академиком НАНУ В. Г. Сергеевым и его за- местителем в то время профессором Я. Е. Айзенбергом (впоследствии - руководителем НПО «Хартрон»). Здесь примерами могут служить созда- ние СУ ракеты с первой РГЧ за 8 месяцев от начала разработки до пуска, а также реализация минометного старта жидкостной ракеты тяжелого клас- са, создание СУ PH, построенных на базе боевых ракет, и многое другое. Отдельные специфические задачи и используемый математический аппарат для их решения, в полной мере изложенные в вышеуказанных фундаментальных трудах, помещены в соответствующих главах настоя- щей книги для придания ей цельности и для избавления читателя от необ- ходимости обращения к этим источникам многолетней давности. Книга предназначена для студентов старших курсов «ракетных» фа- культетов вузов и для инженеров и научных работников соответствующих специальностей, а «Введение» и отдельные главы (например, 3, 5, 6, 11, 12, 13 и др.) могут представлять интерес для широкого круга технической интеллигенции. Для изучения специальных глав настоящей книги необходимо обла- дать знаниями в объеме вузовских программ по курсам: высшая матема- тика, теоретическая механика, теория автоматического регулирования, основы ракетной техники и аэрогидродинамики. Авторы выражают глубокую благодарность: Е. А. Джуру - за большую помощь и активную поддержку, которые обеспечили написание и издание книги; В. М. Морозову - за помощь в редактировании и предоставление мате- риала для главы 14; Б. В. Дмитриеву, написавшему по просьбе авторов главу 15; М. И. Галасю - за высказанные замечания по рукописи книги; А. А. Манойленко - за предоставленные материалы для раздела 13.5; В. Л. Тихонову, В. В. Швалевой, С. Г. Безгубой - за помощь при ком- пьютерном оформлении рукописи. 8
ВВЕДЕНИЕ Задачей современных МБР или РКН является доставка ББ или КА в заданную точку на поверхности Земли или космического пространства соответственно. Для решения этой научно-технической проблемы даже в общей постановке требуются, как минимум, энергетическая установка мощностью миллионы киловатт и устройства прецизионного управления с относительными погрешностями 10’5-ь10’6 измеряемой величины (ско- рости, времени и др.). Задача существенно усложняется за счет целого ряда ограничений, условий и требований, во многих случаях противоре- чивых. Сведение воедино всех накладываемых условий, ограничений и тре- бований осуществлялось в процессе проведения головными институтами Министерства обороны военно-технической научно-исследовательской работы, исходными позициями которой являлись прогноз стратегической обстановки в мире и состояния систем вооружений на 10-20 лет вперед. Результаты такой НИР представлялись в форме достаточно объемного документа, называемого «Тактико-технические требования МО» к созда- ваемому конкретному ракетному или ракетно-космическому комплексу в целом и его основным частям, одной из которых является МБР или PH КА соответственно. ТТТ утверждались и согласовывались министрами обороны и воен- но-промышленного комплекса, а также головными разработчиками. Та- ким образом, ТТТ являлись документом государственного уровня, тем более, что главные характеристики комплекса вводились в соответст- вующее постановление правительства, подписывавшееся первым лицом государства. Очевидно, что невыполнение отдельных требований этого документа приводило к весьма нежелательным последствиям. Основными ТТТ МО, определяющими облик и характеристики боево- го ракетного комплекса и ракеты как объекта управления, являлись (пе- 9
речень в порядке и объеме, приведенным в книге «Ракеты и космические аппараты конструкторского бюро «Южное» [131]): • тип ракетного комплекса; • тип пусковой установки; • способ старта ракеты; • класс и тип ракеты; • вид боевого оснащения; • тип системы управления; • максимальная прицельная дальность стрельбы; • точность стрельбы; • обобщенный показатель надежности и его составляющие; • время пуска из полной боевой готовности; • стойкость ракеты к поражающим факторам ЯВ в полете; • гарантийный срок нахождения на БД; • условия боевого дежурства ракеты; • условия боевого применения. Примечание*, аналогичные по своему существу требования содер- жались в ТТТ, предъявляемых к космическому ракетному комплексу и ракете-носителю космических аппаратов. Например, вместо требований к виду боевого оснащения и величине МПД задавался: «Вес космических аппаратов, выводимых на круговую орбиту высотой 200 км и наклонением 90°- 12 тс» (для КРК К11К77). Вместо требования по точности стрельбы задавалось: «КРК должен обеспечивать точность выведения КА, характеризующуюся следую- щими ошибками выведения на круговую орбиту высотой 200 км - по высоте орбиты ДН^±3,5 км; по периоду обращения ДТ^±2,5 с; по углу наклонения плоскости орбиты Л1^±2угл. мин.» и т. п. Рассмотрение и анализ ТТТ проведем на примере созданного в конце семидесятых годов прошлого столетия и долгие годы лучшего в мире бое- вого комплекса межконтинентальной баллистической ракеты, как наибо- лее сложного. Этот ракетный комплекс так называемого III поколения имел индекс 15ПО18 с ракетой 15А18 или РС-20Б и явился базой для соз- дания ракеты-носителя «Днепр», успешно эксплуатируемого в междуна- родных коммерческих программах. Степень влияния на облик и параметры ракеты как объекта управления перечисленных основных ITT проводится раздельно для каждого из них. 1. Ракетный комплекс - стационарный, с высокозащищенными (до 100 кг/см2) от наземного ЯВ одиночными шахтными автоматизи- рованными пусковыми установками (типа «ОС»). При этом пусковые 10
установки располагаются удаленными на несколько километров от командного пункта и между собой. Заданный тип старта отличается: • от наземного, т. е. с пускового стола, устанавливаемого в определен- ной точке на поверхности Земли; • от шахтного защищенного (~2 кг/м2), с расположением в непосредст- венной близости трех ПУ и одного КП; • от мобильного старта - грунтового, железнодорожного и др. Для удовлетворения предъявленному требованию необходимо, чтобы комплекс ракеты, устанавливаемой в ШПУ типа «ОС», обеспечивал в про- цессе БД - возможность проведения дистанционного контроля: • параметров температурно-влажностного режима; • степени загазованности окружающей ракету среды парами ком- понентов топлива; • готовности ракеты и ее систем к проведению пуска в заданное время путем периодических (с допустимым интервалом) проверок соответствующих параметров комплекса; - прием зашифрованной команды на проведение пуска ракеты (при этом должна быть обеспечена практически абсолютная невозмож- ность проведения несанкционированного пуска - степень «защиты» 10’8-109.); - проведение пуска ракеты через заданное время с момента получения на ПУ боевой кодограммы. Для осуществления пуска необходимо проведение ряда операций в строго определенной последовательно- сти, не допускающей никаких отклонений от заданной циклограммы. 2. Способ старта ракеты - минометный, из ТПК с помощью ПАД'а. Такой тип старта жидкостной МБР тяжелого класса был реализован впервые в мировой практике ракетостроения. Это одно из радикальных тех- нических решений по ракетному комплексу, определивших возможность выполнения весьма жестких ТТТ и, в частности, требования по п. 1, путем уменьшения размеров ПУ за счет исключения оголовка шахты, внутреннего стакана, газоходов, газоповоротных решеток и др. Ракета как объект управления в этом случае превращалась в комплекс ракеты, поскольку он представлял единое целое: - двухступенчатая ракета со ступенью разведения, установленная в ТПК, на котором закреплены «наземная» проверочно-пусковая ап- паратура СУ, аппаратура «нижнего» звена системы боевого управле- ния, приборы системы прицеливания, источники питания, подстыко- ваны ПАД’ы, проложены и подстыкованы к ракете заправоч- но-сливные магистрали и соответствующая кабельная сеть. 11
Сборка комплекса ракеты без головной части осуществлялась на заво- де-изготовителе ракет с проведением всего цикла контроль- но-проверочных испытаний. Готовый комплекс ракеты поставлялся непо- средственно на стартовую позицию для установки в ШПУ, минуя мон- тажно-испытательный корпус. Специфика минометного старта предъявила к объекту управления це- лый ряд особых требований: • полная автоматизация процесса подготовки и проведения пуска; • обеспечение безударного отделения, сброса и увода поддона, буге- лей и др. элементов в строго определенной последовательности; • запуск маршевого ЖРД в условиях невесомости с проведением по- следовательности операций по запуску с погрешностью по време- ни - сотые доли с; • необходимость выработки высоконадежной команды, фиксирую- щей момент выхода из ТПК; эта команда являлась началом полет- ной циклограммы. Введение дополнительно к традиционной команде, соответствующей фиксации момента начала полета ракеты - «контакт подъема (КП)» (по которой начинала работать система наведения), еще одной - «контакт вы- хода (КВ)» (от которой начинался отсчет циклограммы) вызвано острым дефицитом времени на проведение целого ряда пусковых операций, воз- никающим в результате существенного разброса параметров ПАД'ов, а также необходимостью обеспечения безопасности (исключения катаст- рофических последствий) в случае неисправности ПАД’ов, приводящей к невыходу ракеты из ТПК (запуск маршевого двигателя внутри ТПК). На начальном этапе реализации этого «революционного» способа старта тя- желой жидкостной МБР команда «КВ» вырабатывалась с помощью элек- тромеханического устройства, срабатывающего в момент прохождения основанием ракеты верхнего среза ТПК. Решение вызывало определенные трудности при изготовлении и было, по существу, местом ослабленного контроля (отсутствие возможности прямой, непосредственной проверки функционирования механизма за весь многолетний период нахождения ракеты на боевом дежурстве). В дальнейшем команда «КВ» вырабатыва- лась в результате решения навигационной задачи - вычислением «прой- денного» ракетой пути с соответствующей подстраховкой. 3. Тип и класс ракеты - межконтинентальная баллистическая, жидкостная, полностью ампулизированная. Для обеспечения возможности удовлетворения этому и нижеследую- щим тактико-техническим требованиям, вес головной части (ГЧ) этой ра- кеты составлял ~8500 кгс и, соответственно, ее стартовый вес - ~210000 кгс, т. е., ракета принадлежит к тяжелому классу. В действитель- 12
ности, это самая мощная и совершенная боевая ракета, до настоящего времени непревзойденная в практике мирового ракетостроения по своей эффективности. Как объект управления МБР этого класса представляет собой доста- точно большую и весьма сложную техническую систему, при создании которой было необходимо найти решение целого ряда науч- но-технических проблем. Основными факторами, определяющими сложность задачи, являлись: • необходимость сохранения (не превышения) габаритов - длины и диаметра модернизируемой ракеты 15А14, стоящей на боевом де- журстве в ракетных войсках; • наличие в баках ракеты более 188 тс жидкого топлива, колебания которого вызывали значительные возмущения параметров движе- ния ракеты (см. гл. 3); • необходимость обеспечения весьма высокого уровня энерговесово- го совершенства, характеризуемого коэффициентом Кв. с. =Gnr/Go, кгс/тс. Для данной ракеты этот коэффициент превышал 40 ед. У базовой ракеты тяжелого класса (8К67) с газодинамическим спосо- бом старта из ШПУ (комплекс второго поколения), созданной в середине шестидесятых годов прошлого столетия, т. е., за пятнадцать лет до сдачи на вооружение рассматриваемого комплекса МБР, этот коэффициент был равен 31,8 кгс/тс при разнице в длине ракеты около двух метров, том же диаметре (3 м) и весе топлива 167 тс. У ракеты 15А14 коэффициент Кв.с был равен 36,7 при том же GT. Высокий уровень энерговесового совер- шенства был достигнут, в том числе, за счет исключения внутрибаковых механических устройств, демпфирующих колебания компонентов топлива при полете ракеты. • Использование в качестве органов управления I ступени четырех поворотных маршевых двигателей. При отсутствии радиальных продольных перегородок (см. выше) эффективность таких органов управления в канале крена была существенно больше традицион- ных значений за счет малого присоединенного момента инерции относительно продольной оси ракеты. • Организация разделения ступеней по «горячей» схеме, при которой запуск рулевого двигателя II ступени проводился за ~1,5 с до вы- ключения ДУ I ступени, почти за 4 с до разделения ступеней и за более 7 с до команды на запуск маршевого двигателя II ступени. 4. Вид боевого оснащения - разделяющаяся головная часть (РГЧ) с десятью боевыми блоками (ББ) мощностью 0,5 Мт и эффективным 13
комплексом средств противодействия противоракетной обороне (КСП ПРО). Созданная РГЧ обеспечивала поражение одной ракетой до десяти це- лей, включая высокопрочные малоразмерные и особо крупные площадные цели, расположенные на местности 300000 км2, в условиях эффективного противодействия средств ПРО вероятного противника. Для разработчиков эта РГЧ представляла собой принципиально новый объект управления и потребовала решения целого ряда специфических задач динамики ракет, в частности: • выбор параметров универсальной высокоэнергетической жидкост- ной ступени наведения с двигательной установкой, выполненной по «тянущей» схеме, обеспечивающей оптимальное распределение по целям десяти ББ на всех вероятных театрах военных действий; • обеспечение возможности минимизации динамической «ошибки» движения РГЧ в условиях изменяющейся конфигурации и, соответ- ственно, положения центра масс объекта стабилизации; • обеспечение практически полного отсутствия возмущений при от- делении ББ как за счет выбора направления движения ГЧ при «сбросе» блока, так и за счет создания безымпульсных устройств отделения; • создание ББ с оптимальными параметрами по баллистическому ко- эффициенту, центровке, закрутке и т. д., обеспечивающими мини- мальное рассеивание за счет возмущений на нисходящем атмо- сферном участке траектории; • создание КСП ПРО с ложными целями, имитирующими характери- стики боевых блоков практически по всем селектирующим призна- кам на внеатмосферном участке траектории и значительной части ат- мосферного. На нисходящем атмосферном участке траектории дви- жение ББ имитируется благодаря применению специального твердо- топливного двигателя «разгона», не имеющего аналога в мировой практике, прогрессивно (в 20 раз) возрастающая тяга которого ком- пенсирует силы аэродинамического торможения ложной цели [149]. 5. Тип системы управления - автономная, инерциальная, на базе бортовой цифровой вычислительной машины (БЦВМ) и высокоточ- ного комплекса командных приборов (ККП). БЦВМ, в сочетании с цифровой «наземной» аппаратурой, размещае- мой на ТПК, является центральным блоком управления, решающим все математические и логические задачи с высокой точностью, надежностью и быстродействием. Применение цифрового вычислительного комплекса позволило обес- печить: 14
• решение в процессе полета ракеты полной навигационной задачи (терминальное наведение) и, соответственно, минимизацию методи- ческой ошибки управления; • обеспечение стабилизации ракеты на всем активном участке траек- тории движения при «естественном» демпфировании колебаний то- плива в баках (без ребер-перегородок); • возможность повышения точности стрельбы за счет определения и учета систематических инструментальных погрешностей ККП; • оперативное дистанционное переприцеливание ракет в период бое- вого дежурства, в том числе в процессе предстартовой подготовки, по любой из заранее запланированных целей; • повышение надежности комплекса за счет оперативного получения информации о боевом состоянии ракеты, систем ТПК и пусковой установки и, соответственно, обеспечения возможности своевре- менного выявления и устранения неисправностей; • полную автоматизацию управления всеми системами пусковой ус- тановки, ТПК и ракеты при нахождении комплекса на боевом де- журстве и пуске ракеты из заданной готовности. 6. Максимальная прицельная дальность стрельбы (МПД) -11000 км. В самой общей постановке под МПД понимается наибольшее расстоя- ние на «невращающейся» Земле от точки старта до точки цели, на которое «полезный груз» доставляется ракетой с заданной вероятностью (напри- мер, 0,997) при безусловном выполнении всех требований, оговоренных ТТТ (в частности, по условиям эксплуатации, точности стрельбы, надеж- ности и др.). Классической схемой разработки «с нуля» ракетного комплекса и, в частности, ракеты как объекта управления является: - аванпроект, - эскизный проект, - разработка конструкции (КД), - экспериментальная отработка (лабораторные, стендовые, статиче- ские, динамические, функциональные и др. испытания), - корректировка рабочей конструкторской и схемной документации, - изготовление опытных образцов для огневых стендовых и летных испытаний). При этом в процессе динамического проектирования ракеты оценивае- мое и рассчитываемое на соответствующем этапе разработки значение МПД представляется критерием приемлемости исследуемого варианта со- четания технических характеристик всех систем и агрегатов ракеты для со- здания комплекса, полностью удовлетворяющего заданным требованиям. 15
В рассматриваемом случае, при модернизации стоявшего на БД ракет- ного комплекса, МПД являлась инструментом определения технических характеристик в основном модернизируемой части ракеты - ступени раз- ведения и боевого оснащения (в пределах, заданных ТТТ), а также систе- мы управления с новым программно-математическим обеспечением (ПМО). Применительно к ракете, оснащенной РГЧ, максимальная прицельная дальность задавалась до середины условного прямоугольника разведения. Площадь прямоугольника, с соотношением сторон (дальность - бок), равном 2:1, при заданном составе и условном порядке разведения боевых блоков и элементов комплекса средств противодействия по вершинам этого прямоугольника (например, «цепочками» 3-3-2-2), однозначно оп- ределяет параметры РГЧ (компоновку, конструкцию, энергетику и т. д.). Таким образом, МПД, безусловно, одна из основных характеристик ракеты, поскольку ее соответствие заданному значению интегрально под- тверждало удовлетворение целому ряду требований к параметрам ракеты (прочность, теплозащита, устойчивость и управляемость, точность стрельбы, работоспособность спецзарядов и т. д.). 7. Точность стрельбы - ±0,65 км. Точность стрельбы, так же как МПД, - основной параметр ракетного комплекса в целом и ракеты в частности, поскольку характеризует сте- пень их совершенства и является базовым для определения боевой эффек- тивности комплекса. Таким образом, точность стрельбы - одна из составляющих критерия сравнительного анализа различных боевых комплексов и поэтому должна приводиться к одинаковым условиям и в единой терминологии, основны- ми из которых являются: • «точность стрельбы» - полусумма предельных отклонений точки падения от точки прицеливания по дальности и боковому направ- лению в условной системе координат, начало которой расположено в точке цели 2 • за предельное отклонение AL (AZ) обычно принимают такое значе- ние, при котором вероятность получения больших по абсолютной величине отклонений достаточно мала. Обычно вероятность при- нимается равной 0,007. Это означает, что все случайные отклоне- ния точек падения от соответствующих точек прицеливания с ве- роятностью 0,993 не будут превышать заданных значений; • отклонения от цели суть случайные величины, подчиненные дву- мерному нормальному закону распределения и характеризуемые 16
средними квадратическими отклонениями ctl и ctz при нулевых средних значениях. Предельное отклонение с уровнем вероятности 0,993 равно 2,7 ст. Отклонения от точки прицеливания, или иначе рассеивание точек па- дения боевых блоков, могут также характеризоваться вероятным (сред- ним) отклонением В, связанным со средним квадратическим отклонением соотношением В = 0,6745 ст или AL (AZ) = 4ВД (4Вб). • Еще одним критерием является: круговое вероятное отклонение (КВО) - величина, равная радиусу круга, в котором находится по- ловина всех точек падения испытываемой совокупности ББ. Использование этого критерия стало возможным в результате: - совершенствования законов управления по дальности стрельбы и существенного уменьшения методической ошибки (в частности, при ис- пользовании в системе управления БЦВМ); - резкого улучшения параметров ББ и его характеристик, определяю- щих рассеивание точек падения за счет возмущений, действующих на ат- мосферном участке пассивного полета; - повышение в несколько раз точности системы прицеливания; - значительного уменьшения инструментальных погрешностей как за счет качества приборов, так и за счет исключения влияния систематиче- ских составляющих ошибок и т. п. Реализация этих мероприятий не только повысила суммарную «точ- ность стрельбы», но и приблизила эллипс рассеивания по форме к кругу, т. е. AL ~ AZ ~ А. КВО связано с СКО и вероятными отклонениями, как А ~ 2,7 ст ~ 4В ~ 2,3 КВО. Для оценки «точности стрельбы» в единых условиях расчет рассеива- ния точек падения ББ производится для случая пуска ракет на контроль- ную дальность - 10 000 км. Для наглядного представления сложности удовлетворения требованию по точности стрельбы ±0,65 км предположим, что величина отклонения точки падения ББ от точки прицеливания вызвана одним-единственным фактором - ошибкой определения продольной составляющей вектора скорости в момент выработки «главной команды» на отделение ББ. Ориентировочное значение этой составляющей при пуске на L = 10000 км будет Vx «6500 м/с, а величина частной производной — при этом будет со- dVx ставлять «5000-^7 = 5000 с. Учитывая, что предельное отклонение /с 17
Д=—— AVx=650 m, dvx допустимая ошибка определения значения Vx будет составлять AVX = 0,13 м/с или 210"5 от измеряемой величины. Поскольку эта ошибка далеко не единственная, допустимая относительная погрешность определения составляющей скорости на момент отделения ББ не должна превышать 1-Ю"5 во всех условиях эксплуатации объекта управления! 8. Обобщенный показатель надежности - 0,93. В самом общем виде требование к надежности ракетного комплекса, предъявленное в количественной форме, определяется как вероятность доставки без повреждений кондиционного «полезного груза» в установ- ленное время в заданный «квадрат» района цели, удаленного от старта на расстояние, не превышающее максимальную прицельную дальность. Надежность ракетного комплекса определяется вероятностью безот- казной работы всех его агрегатов и систем при предстартовой подготовке, при запуске и полете ракеты и ее головной части, а также надежностью боевого оснащения при движении на нисходящем атмосферном участке траектории. Величина обобщенного показателя надежности является произведени- ем значений показателей надежности выполнения указанных операций, которые, в свою очередь, являются произведением вероятностей выпол- нения своих функций элементами, от которых зависит безотказная работа на соответствующем этапе. Так, в укрупненном виде Роб. =Рб. Г. *Рст* Рпр* Ррг* Рбб* Рд, где РОб. - обобщенный показатель надежности - 0,93, Рб. г. - вероятность выполнения требования по боеготовности, т. е. стар- та через установленное время от момента получения команды - -0,997, Рет - вероятность безотказной работы всех наземных и бортовых сис- тем и агрегатов в процессе старта - -0,993, Рпр - полетная надежность ракеты от запуска двигательной установки I ступени до отделения головной части - -0,96, Ррг - надежность работы головной части на безатмосферном участке разведения элементов боевого оснащения - -0,99, Рбб - вероятность преодоления ПРО и достижения работоспособными боевыми блоками района цели - -0,997, Рд - вероятность выполнения требования по точности стрельбы - -0,993. Значение одной из составляющих Роб., например, полетной надежности ракеты является произведением вероятностей безотказной работы пнев- 18
могидравлической системы и двигательной установки I ступени (РдуО, в целом системы управления (РСу), системы разделения ступеней (Ррс), ПГС и двигательной установки II ступени (Рдуц), отделения головной час- ти (Рог) и др. Для достижения столь высоких показателей надежности ракеты как объекта управления принимается по всем агрегатам и системам специаль- ный комплекс проектных, конструктивных, технологических, экспери- ментальных и производственных мер, определяемых планом обеспечения надежности (ПОН). Например, для обеспечения задаваемого техническим заданием на разработку системы управления показателя ее надежности, реализация такого комплекса мероприятий приводит к увеличению ее стоимости более чем на порядок, а габаритно-весовых характеристик в 2-3 раза. Такое положение определяется: применением нескольких де- сятков тысяч электрорадиоэлементов специальной серии, проходящих при изготовлении тройной контроль, тренировку и отбор; троированием каналов вычислительного комплекса с применением программно- алгоритмических мер защиты от сбоев путем формирования результатов вычисления по схеме «2 из 3» в каждом такте; дублированием электриче- ских цепей и элементов в приборах и системе; троированием элементов электроавтоматики (реле); проведением нескольких циклов лабораторно- отработочных и стендовых испытаний с имитацией возможных неисправ- ностей в крайних режимах эксплуатации и др. Все это приводит к созданию системы управления, работоспособной при возникновении в ней любой возможной неисправности! 9. Время пуска из полной боевой готовности - 62 с. Боеготовность - весьма важная характеристика ракетного комплекса и ракеты как объекта управления для обеспечения возможности проведе- ния ответного пуска во время установленного системой раннего преду- преждения факта полета боевых блоков противника в район стартовых позиций. В ТТТ, предъявленных к рассматриваемому комплексу, количественно боеготовность была задана ~ в два раза хуже достигнутого в США ракет- ными комплексами «Минитмен-Ш». Но это комплексы твердотопливной ракеты, не требующей проведения предстартовой подготовки пневмогидравлической системы, а главное, с непрерывно работающей командной частью системы управления в про- цессе всего времени нахождения ракеты на боевом дежурстве - с выте- кающими отсюда последствиями (расходование ресурса командных при- боров с их периодической заменой, повышенной опасностью несанкцио- нированного пуска, расходом электроэнергии и т. д.). 19
Ракетный комплекс 15П018 находился в полной боевой готовности с обесточенной системой управления. Это принципиально другое качест- во комплекса было достигнуто благодаря применению уникального по своим характеристикам комплекса командных приборов с форсированным разгоном гироскопов, выводимых на тепловой (суть - точностный) режим за несколько десятков секунд. При этом обеспечивалась прецизионная стабильность определенных заранее систематических погрешностей, учи- тываемых в установочных данных на пуск, т. е. не вызывающих отклоне- ний точек падения боевых блоков от цели. Высокая боеготовность комплекса при «холодном боевом дежурстве» определялась также использованием: • порохового аккумулятора давления для открытия за несколько се- кунд многотонного защитного устройства («крыши») шахтной пус- ковой установки; • способа предварительного наддува баков путем впрыска основных компонентов топлива на зеркало жидкости в баках ракеты. 10. Стойкость ракеты к поражающим факторам ЯВ в полете - I уровень. На ракету как объект управления требования полетной стойкости к ПФ ЯВ I уровня в первую очередь относятся к системе управления. Удов- летворение этому требованию было осуществлено путем использования в приборах системы управления электрорадиоэлементов соответствующей стойкости к рентгеновскому и гамма-нейтронному излучению, а также программно-алгоритмической защиты бортового вычислительного ком- плекса от сбоев в работе. 11. Гарантийный срок нахождения на боевом дежурстве - 10 лет при регламенте один раз в три года. 12. Условие боевого дежурства ракеты - нахождение в полной бое- вой готовности в ПУ. Эти требования, предъявленные к ракете как объекту управления оп- ределяют, в основном, необходимость: • создания конструкции исполнительных элементов системы управ- ления - рулевых приводов, электропневмоклапанов и т. д. - с ис- пользованием рабочих элементов, деталей и уплотнений, гаранти- рованно сохраняющих работоспособность заведомо больше задан- ного срока; • проведения с установленной периодичностью дистанционных пе- риодических проверок, обеспечивающих контроль исправности раздельно каждого из дублированных или троированных каналов, а также их совместную работу в соответствии с заданным алго- ритмом. 20
Первое обстоятельство определяется практической невозможностью замены большинства исполнительных элементов на ракете, находящейся в транспортно-пусковом контейнере в условиях ШПУ. 13. Боевое применение - в любых метеоусловиях при температуре воздуха от -50 до +50°С и скорости ветра у поверхности Земли 25 м/с до и после ядерного воздействия по боевому ракетному комплексу. Это требование в большой степени определяет компоновку и конст- рукцию ракеты в целом и ее ступеней, характеристики управляющих ор- ганов и их приводов, управляемость ступеней и многие другие основные характеристики ракеты как объекта управления (см. главу 3). Такое положение объясняется в первую очередь тем, что ветровое воз- действие на полет ракеты в плотных слоях атмосферы (I ступень - начало II ступени) является основным возмущающим фактором (см. главу 2). За- данное максимальное значение скорости ветра у поверхности Земли, рав- ное 90 км/час, - однозначно, в соответствии с принятой методикой, уста- навливает максимальное значение (2,7 о) случайной составляющей вели- чины скорости ветра и закон ее изменения по высоте полета ракеты [104]. По этой методике на территории бывшего СССР максимальное значе- ние («огибающая») скорости ветра на высотах 6-12 км, т. е. в районе мак- симального скоростного напора, может достигать 70 м/с для большинства районов Союза, и до 100 м/с - для районов «повышенных» ветров (на- пример, Дальнего Востока). * * * Из приведенного выше экспресс-анализа примерного состава основных тактико-технических требований, оказывающих радикальное влияние на облик и параметры ракеты как объекта управления, видно, что создание в семидесятые-восьмидесятые годы прошлого столетия ракетных боевого или космического комплексов, отвечающих уровню требований, предъяв- ляемых к перспективной на десятки лет технике, представляло весьма сложную научно-техническую проблему. Такое положение усугублялось, как указывалось в «Предисловии», от- сутствием в то время теории и практики динамического проектирования оригинальных ракетных и ракетно-космических комплексов. Таких, как МБР с РГЧ группового и индивидуального наведения боевых блоков; гло- бальной ракеты с высокой боевой эффективностью, оснащенной орби- тальной головной частью; ракет-носителей, создаваемых на базе боевых ракет средней и межконтинентальной дальности, для решения научных (в том числе по программе «Интеркосмос») и военных задач, а также мно- го других объектов управления, отличных по схеме построения от ранее созданных. 21
Решение проблем, возникших при динамическом проектировании ра- кет с «нетрадиционной схемой» построения, базировалось на фундамен- тальных трудах по динамике «классических» ракет. К таким работам относятся монографии (в порядке хронологии издания): • [112] - Авторами рассмотрен целый ряд общих вопросов динами- ки ракеты как твердого тела, с полостями, частично заполненны- ми жидкостью. Это одна из первых несекретных книг, изданных в СССР, - и в этом также ее особая ценность. • [14] - В книге излагаются теоретические основы и важнейшие практические методы исследования и расчета движения центра масс управляемых БРДД. • [106] - Проведенные авторами теоретические и эксперименталь- ные исследования доведены до результатов, которые могут быть использованы в качестве справочных материалов в инженерной практике динамического проектирования жидкостных ракет. • [1] - Книга является учебным пособием, в котором в отличие от более ранней учебной литературы значительное внимание уделено учету упругости корпуса ракеты. • [87] - В книге изложены методы исследования и проведен анализ динамических свойств жидкостной ракеты как объекта регулиро- вания. Рассмотрены поперечные колебания ракеты как замкнутой системы, определены силы и моменты, действующие на ракету при колебаниях жидкости в баках, приведен метод определения динамических характеристик системы стабилизации. • [95] - Монография является дальнейшим развитием и дополнени- ем базовой книги [14]. Содержит разделы баллистики, которые в [14] изложены кратко или вообще отсутствуют. Особое внима- ние уделено взаимообусловленному решению задач баллистики, динамики, управления и стрельбы. • [Ю7] - Книга является основополагающей для практики динами- ческого проектирования ракет-носителей и космических ступеней с ЖРД, поскольку содержит приведенные к форме, удобной для инженерных расчетов, уравнения возмущенного движения, учи- тывающие все специфические особенности конструкции объектов. Особое внимание уделено экспериментальным методам определе- ния коэффициентов этих уравнений на конструктивно-подобных моделях. • [54] - Авторами рассмотрены динамические свойства ракеты как объекта управления, структура дискретного автомата стабилиза- ции, особенности построения бортовых цифровых вычислитель- 22
ных машин, согласующих и исполнительных устройств, входящих в состав дискретных систем управления. • [116] - Монография является обобщением целого ряда трудов, опубликованных в пятидесятые-семидесятые годы в изданиях АН СССР и АН УССР, издательстве «Наукова думка» и др., содержит результаты теоретических исследований нелинейной динамики лета- тельных аппаратов с жидкостью. Приведен вывод уравнений дви- жения, учитывающих как немалые перемещения корпуса аппарата, так и немалую деформацию свободной поверхности жидкости. • [88] - Учебник для студентов высших технических учебных заве- дений. Является развитием и дополнением [87], особенно в части исследования продольных колебаний замкнутой системы, состоя- щей из упругого корпуса с жидкостью в баках, системы подачи то- плива и ЖРД. Это далеко не полный перечень литературы, в которой изложено со- стояние в начале семидесятых годов теории динамики ракет. Подробные обзоры литературы по данному вопросу и обширная библиография име- ются в работах [87], [106], [116] и, особенно, более четырехсот наимено- ваний, в [107]. ♦ * * Настоящая книга состоит из семи частей со структурой, обычно приня- той для книг по динамике ракет: • Часть I. Динамика ракеты как твердого тела. • Часть 2. Управление ракетой путем отклонения головного отсека. • Часть 3. Динамика жесткой ракеты с учетом колебаний жидкости в баках. • Часть 4. Динамика ракеты с учетом упругости ее конструкции и т. д. (см. «Оглавление»). При этом в каждой части приводятся соответствующие основопола- гающие материалы, описывающие физическую суть, без ранее опублико- ванных выводов уравнений движения, но с добавлением в необходимом объеме теоретического обоснования принятых оригинальных решений. Например, в части 1 книги приведено обоснование вероятностного под- хода к определению возмущающего воздействия на полет ракеты. Метод расчета был доведен до межведомственной инструкции, необходимость которой возникла при создании ракет-носителей на базе одноступенчатых боевых ракет без увеличения эффективности их органов управления. В части 1 книги отражены также вопросы обеспечения устойчивости ракет с относительно большой степенью статический неустойчивости. Там же проведен анализ технической устойчивости ракеты как стохасти- 23
ческой системы с разработкой вероятностной математической модели ра- кеты [113]. Аналогично построены другие части книги, поскольку в каждой из них есть решения проблем, возникших при динамическом проектировании ра- кет как объектов управления, построенных по схеме, существенно отлич- ной от «классической». Так, в части 2, на базе анализа военно-политической обстановки, дает- ся обоснование необходимости создания боевых ракетных комплексов IV поколения и вынужденного поиска принципиально нового способа управ- ления (глава 6). Глава 7 этой части содержит достаточно подробные материалы, вклю- чая математическую модель движения ракеты с учетом аэроупругих коле- баний конструкции, при управлении в каналах тангажа и рыскания путем отклонения головного отсека. В части 3 приведена в качестве примера динамическая схема (матема- тическая модель) «абсолютно жесткой» ракеты с баками, частично запол- ненными компонентами топлива. В приложении даны численные значе- ния коэффициентов динамической схемы конкретной трехступенчатой ракеты-носителя 11К68 («Циклон-3»), созданной с использованием двух- ступенчатой базовой ракеты тяжелого класса Р-36-«О» с автоматом ста- билизации аналогового типа. Часть 4 содержит материалы по динамике PH с учетом упругих свойств ее корпуса, т. е. приведена «полная» динамическая схема (система дифференциальных уравнений -50-го порядка). С целью придания цель- ности этой главе, вывод уравнений с учетом упругости приведен в редак- ции, принятой в [1]. Это избавит читателя от необходимости обращения к источникам многолетней давности. В части 5 изложены вопросы динамики таких космических объектов, как боевая орбитальная часть и ступень разведения боевых блоков разде- ляющейся головной части МБР, решение которых практически отсутству- ет в открытой литературе. Приведены материалы по исследованию дви- жения объектов с работающим и неработающим маршевым двигателем как вне атмосферным, так и на участке спуска. В части 6 приведены конкретные примеры использования возможно- стей дискретных, цифровых систем управления, построенных на базе БЦВМ, а также данные по конструкции и динамике РГЧ ракет II-IV поко- лений. Часть 7 книги посвящена вопросам работы систем и агрегатов ракеты как объекта управления. В частности, приведены материалы по системе управления расходования топлива, системе регулирования режима работы ЖРД 11Д520идр. 24
Часть 1 ДИНАМИКА РАКЕТЫ КАК ТВЕРДОГО ТЕЛА Настоящая часть книги содержит краткое изложение основополагаю- щих материалов по динамике ракет. Таковыми материалами в основном являются: уравнения невозмущенного и возмущенного движения; исполь- зуемые системы координат; силы и моменты, действующие на ракету; управляемость ракеты и устойчивость ее движения и др. Все основные понятия проводятся применительно к исследованию динамики ракеты как твердого тела. Математическая модель, т. е. адекватная система обыкно- венных дифференциальных уравнений, описывающих движение «твер- дой» ракеты, является базовой для изучения влияния жидкого наполнения баков и упругости корпуса на динамику реальных МБР и PH КА. Наряду с этим в части 1 излагаются результаты исследования управ- ляемости и устойчивости ракет вероятностными методами. Необходимость проведения подобных исследований возникла в про- цессе динамического проектирования космических PH, построенных путем установки дополнительных ступеней на штатные боевые ракеты, без их доработки в части повышения эффективности их управляющих органов. Разработка вероятностного метода учета влияния возмущений, дейст- вующих на ракету, а также построение ее вероятностной математической модели, обеспечили возможность проведения пусков PH без существен- ных ограничений условий эксплуатации. 25
Глава 1 УРАВНЕНИЯ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ 1.1. Системы координат Для описания движения ракеты используем, как это обычно принято разработчиками системы управления [54], стартовую, скоростную (поточ- ную) и связанную системы координат*^ Стартовая система координат (рис. 1.1) используется для определе- ния положения ракеты как твердого тела в пространстве. Начало старто- вой системы координат совпадает с точкой старта О; ось Ох0 направлена по касательной к дуге, соединяющей точку старта с целью; ось Оуо - по нормали к поверхности Земли в точке старта; ось Ozo перпендикулярна плоскости Ох0уо, называемой плоскостью стрельбы. За положительное направление оси Оуо принято направление вверх от поверхности Земли; положительное направление оси Ozo выбрано так, чтобы система коорди- нат была правой. Рис. 1.1 Поскольку стартовая система координат неподвижна относительно Земли, ее в ряде случаев называют земной системой. Вследствие вращения Земли траектория полета ракеты представляет собой пространственную кривую, и для того, чтобы обеспечить попадание ракеты в цель, прицеливание производят в плоскости, повернутой относи- тельно плоскости стрельбы на некоторый угол. Величина этого угла опре- В последующих главах, при описании специфических вопросов динамики ракет, используются системы координат (СК), обеспечивающие возможность решения конкрет- ных задач наиболее рациональным методом (в частности - инерциальные начальная стар- товая и гироскопическая СК). 26
деляется из условия, чтобы в момент падения боевой блок (ББ) оказался в плоскости стрельбы, и зависит от положения точки старта на Земле, на- правления на цель и продолжительности полета ракеты. Если пренебречь вращением Земли, то траекторию полета ракеты можно считать плоской, а плоскость прицеливания - совпадающей с плоскостью стрельбы. Система координат OxiyiZi, связанная с ракетой (рис. 1.2), имеет нача- ло в центре масс ракеты; ось Oxi совпадает с продольной осью ракеты; ось Oyi располагается в плоскости симметрии ракеты I—III, которая в момент запуска при отсутствии послестартового разворота («прицеливание раке- той») совпадает с плоскостью стрельбы; ось Ozi перпендикулярна плоско- сти Oxiyi и направлена так, чтобы система координат была правой. Рис. 1.2 Начало О скоростной системы координат Oxyz (см. рис. 1.2) располо- жено в центре масс ракеты. Система координат называется скоростной, так как ось Ох совпадает с направлением вектора скорости ракеты V от- носительно воздушной среды. Поэтому эту систему координат называют также поточной. Ось Ох является касательной к траектории полета раке- ты; ось Оу направлена по нормали; ось Oz перпендикулярна плоскости Оху. Положительное направление оси Оу совпадает с положительным на- правлением оси Oyi связанной системы координат; положительное на- правление оси Oz выбрано так, чтобы система координат была правой. Для описания движения ракеты как твердого тела введем также угло- вые координаты, характеризующие положение ракеты и вектора скорости относительно стартовой системы координат. Угол между проекцией оси Oxi на плоскость Охоуо и осью Ох0, или, что то же самое, угол наклона продольной оси ракеты к горизонту точки старта называют углом тангажа -3 (рис. 1.3). Угол между проекцией век- тора скорости на плоскость Ох0уо и осью Ох0 обозначим через 0. За поло- жительное направление отсчета углов 3 и 0 принимается направление от оси Ох0 против часовой стрелки. Угол между вектором скорости и продольной осью ракеты называется углом атаки а: а = £-0 (1.1) 27
За положительное направление отсчета угла а принимается направ- ление от вектора скорости к продольной оси ракеты против часовой стрелки. Угол между вектором скорости и плоскостью Ох0уо обозначим через о (рис. 1.4). Угол между продольной осью ракеты и плоскостью Ох0уо назы- вается углом рыскания \|/. За положительное направление отсчета углов о и \|/ принимается направление от оси Ох0 против часовой стрелки. Рис. 1.4 28
Угол между проекцией вектора скорости на плоскость OxoZo и осью Oxi называется углом скольжения 0: 0 = V-a (1.2) Поворот ракеты относительно продольной оси задается углом крена (вращения) ф между плоскостями Охоуо и Oxiyi при нулевом угле рыска- ния. При этом за положительное принимается направление против часо- вой стрелки, если смотреть с носка ракеты. 1.2. Силы, действующие на ракету Основными силами, действующими на ракету в полете, являются: • сила тяжести, • тяга двигателя, • аэродинамические силы, • управляющие силы. Схема действия сил в проекциях на плоскостях Охоуо и OxoZo показана на рис. 1.3 и 1.4. • При составлении уравнений движения ракеты как твердого тела бу- дем рассматривать равнодействующую силы тяжести, приложенную к центру масс ракеты и направленную по местной вертикали, G(t) = m(t)g(h), где m(t) - масса ракеты, изменяющаяся во времени; g(h) - ускорение силы тяжести, зависящее от высоты полета. Изменение массы происходит за счет выгорания топлива и значение ее в каждый момент времени определяется выражением m(t) = т0- (1.3) о где то - начальная масса ракеты; m(t) - массовый расход топлива, кото- рый может быть переменным. При постоянном расходе • Направление силы тяги Р в расчетном случае совпадает с направле- нием продольной оси ракеты. Величина ее определяется зависимостью Р = Ро + ^(РО“А) (15) где Ро - тяга двигателя у Земли; 8СОпл - площадь сопла в сечении среза; рои р- атмосферное давление у поверхности Земли и на высоте Н. Из формулы (1.5) видно, что по мере увеличения высоты полета и уменьшения атмосферного давления тяга двигателя нарастает, достигая максимального значения в пустоте. 29
• Аэродинамические силы возникают в результате обтекания корпуса ракеты воздухом. Равнодействующая распределенных по поверхности корпуса аэродинамических сил приложена в точке, называемой центром давления. Вследствие симметрии ракеты относительно плоскостей Oxiyi и OxiZi можно считать, что центр давления расположен на продольной оси и характер перемещения его во время полета зависит от формы ракеты и закона ее движения. Равнодействующая аэродинамических сил обычно раскладывается по осям скоростной системы координат, и ее составляю- щие обозначаются соответственно через X, Y, Z: составляющая X направ- лена против вектора скорости ракеты и называется силой лобового сопро- тивления', составляющая Y перпендикулярна вектору скорости и называ- ется подъемной силой', составляющая Z перпендикулярна плоскости стрельбы и называется боковой силой. Величины составляющих аэродинамической силы подсчитываются по формулам: X = cx(M,a)qSM; Y = cy(M,a)qSM', Z = cz(M,P)qSM, (1.6) где <7 = ~-скоростной напор; р - плотность воздуха; V - скорость раке- ты; SM - площадь миделева сечения корпуса ракеты; М - число Маха. Безразмерные коэффициенты лобового сопротивления сх, подъемной силы Су и боковой силы cz являются функциями числа М, угла атаки а и формы ракеты. В силу симметрии ракеты су = cz. Для баллистических ракет, полет которых происходит при малых углах атаки, можно считать Из (1.6) следует, что аэродинамические силы существенно зависят от параметров атмосферы - плотности, давления и температуры воздуха. Эти параметры, в свою очередь, зависят от высоты полета, географической широты места, времени года, суток и ряда других факторов, например от степени активности Солнца. Для определения конструктивных параметров ракеты, расчета траекто- рий и других исследований, проводимых при динамическом проектирова- нии, обычно используются таблицы стандартной атмосферы (СА), кото- рые дают некоторые средние значения параметров спокойной атмосферы в зависимости от высоты. Отклонения параметров атмосферы от стан- дартных значений, а также ветер представляют собой атмосферные воз- мущения, которые влияют на полет ракеты. 30
В СССР была принята стандартная атмосфера СА-64 для высот до +200000 м (ГОСТ 4401-64). Для высот 200000-300000 м в этом же ГОСТе приведены характеристики атмосферы, рекомендуемые координационной комиссией при АН СССР по составлению ГОСТа на стандартную атмо- сферу. Для решения задач динамического проектирования, кроме стандарт- ных значений параметров атмосферы, нужно знать также диапазоны воз- можных отклонений этих параметров, соответствующие определенному уровню вероятности, причем для различных условий как без учета време- ни года и мест на земном шаре, так и с их учетом. Кроме того, для более точных исследований требуется знание статистических зависимостей ме- жду случайными отклонениями каждого параметра на разных высотах, между отклонениями различных параметров на данной высоте и т. п. Возможны различные методы описания возмущений параметров атмо- сферы. Рассмотрим один из них. Температура Т и плотность атмосферы р могут быть представлены в виде T(h)=TCT(h)+AT(h) (1.8) p(h)=PcT(h)[l+Ap/PcT(h)], (1.9) где Tcr(h) и рст(Ь) - стандартные значения температуры и плотности; AT(h) - отклонение температуры от стандартной; Ap/pCT(h) - относительное отклонение плотности воздуха от стандартной. Для задания случайных функций АТ и Ар/рст можно использовать ме- тод канонических разложений. Применительно к рассматриваемому случаю параметры атмосферы как случайные функции высоты точки над поверхностью Земли представля- ются в виде канонического разложения следующим образом: ДТ = ДТ(Л) + £ ДТДЛ)*,; (1.10) *=1 Рст Рст «=1 Р ст где ДГ(Л), —(Л) - средние отклонения от значений С А, соответствующие Рат рассматриваемой точке; А7](А), —(Л) - некоторые неслучайные отклонения от средних откло- Рст нений, bi, Ci - случайные коэффициенты. Такая запись параметров «случайной атмосферы» соответствует пред- ставлению ее в виде суммы некоторого количества «атмосфер» со случай- ными коэффициентами bi и сь Эти коэффициенты и координатные функ- 31
ции АТ;(А) и —(А) определяются на основе накопленных статистических Рст данных, характеризующих состояние атмосферы. Достаточно точное представление случайных параметров атмосферы дает разложение, вклю- чающее 10-11 членов. Использование метода канонических разложений случайных парамет- ров атмосферы позволяет решать различные задачи, возникающие при проектировании ракет. Одной из наиболее часто встречающихся задач яв- ляется задача оценки статистических характеристик параметров атмосфе- ры с учетом случайного характера изменения координат и времени полета ракеты (географические координаты движения ракеты и время полета за- ранее неизвестны). Типичным примером такого рода задач является зада- ча о рассеивании ракет. Построение канонического разложения в этом случае сводится к определению неизвестных случайных величин и коор- динатных функций для достаточно обширной области по данным метео- зондирования атмосферы. При проектировании ракет встречается и другая группа расчетов (на- пример, при оценке управляемости или прочности аппарата), целью кото- рых является изучение характеристик объекта для наихудших (крайних) условий полета и оценка влияния предельных отклонений. Наиболее важ- ными из расчетов этого типа являются расчеты в точках, соответствую- щих наибольшим по величине отклонениям термодинамических парамет- ров. Поскольку могут быть различные сочетания больших отклонений, можно рекомендовать две системы функций: одна соответствует типич- ным неблагоприятным зимним условиям, а вторая - летним. Зимней не- благоприятной точке свойственны самые низкие температуры и самые большие плотности у Земли и наименьшие плотности на больших высо- тах. Летней неблагоприятной точке свойственны самые высокие темпера- туры и малые плотности у Земли и большие плотности в стратосфере. В некоторых случаях с целью упрощения расчетов вместо использова- ния канонических разложений для крайних условий можно использовать предельные значения температуры атмосферы по высоте. В качестве пре- дельных распределений температуры при этом принимаются температуры для так называемых стандартных дней - максимальные температуры теп- лого дня и минимальные температуры холодного дня. Соответствующие предельные значения относительной плотности воз- духа определяются из уравнения состояния и дифференциального уравне- ния равновесия. При изучении движения ракеты'нужно определять момент Ма аэроди- намических сил Y и X относительно поперечной оси, проходящей через точку О - центр масс ракеты (рис. 1.3): 32
Ma =y(xrf -xc)cosa + X(xd-xc)sin«. Для малых углов атаки cosa«l, sina«a, и Ч =?»<«> <=ii7i(c"+c-)> <112) где / - длина корпуса ракеты. Момент Ма зависит, следовательно, как от аэродинамических характе- ристик, так и от распределения масс ракеты, которое изменяется по мере выгорания топлива. Взаимное расположение центра давления и центра масс важно для стабилизации ракеты в полете. Различаются: • статически устойчивая ракета, когда xd>Xc, с^>0; • статически неустойчивая ракета при xd<xc, с*<0; • нейтральная ракета при ха= хс, С„ = 0. Если центр давления находится впереди центра тяжести (С^<0), то при отклонении оси ракеты от направления полета аэродинамические силы создадут момент, отклоняющий ось ракеты на еще больший угол. Такая ракета без автомата стабилизации летать не может. Для обеспечения статической устойчивости или уменьшения степени статической неустойчивости применяются специальные конструктивно- компоновочные меры. Простейшей мерой является снабжение ракеты хвостовым оперением. Однако для случая старта ракеты из ТПК такое решение является практически неприемлемым (в крайнем случае исполь- зуются складывающиеся стабилизаторы различных конструкций). Одним из способов уменьшения статической неустойчивости является ввод в бак окислителя промежуточного днища (см. главу 3). Запас статической устойчивости определяется величиной f^i.iooV/0- I I ) Кроме момента Ма, который при С*>0 называется стабилизирующим моментом, при вращении корпуса ракеты относительно поперечной оси Ozi с угловой скоростью t9 возникает демпфирующий момент. Этот мо- мент складывается из аэродинамического демпфирующего момента, обу- словленного появлением дополнительных углов атаки \а = —----- V 33
и момента от кориолисовых сил. Координата х для произвольного попе- речного сечения отсчитывается от вершины корпуса. Аэродинамический демпфирующий момент всегда направлен в сторо- ну, противоположную вращению корпуса ракеты: К = ](х~хс)^-^ = ^12С^’ (1ЛЗ) О сх к где С&- вращательная производная от коэффициента аэродинамического демпфирующего момента. Демпфирующий момент от кориолисовых сил возникает при повороте потока жидкости, движущейся в баках и трубопроводах ракеты, и потока газов, движущихся по камере и соплу двигателя. Этот момент можно оп- ределить, если принять, что указанные потоки вращаются так же, как и корпус ракеты. Величина и направление кориолисова ускорения определяются век- торным произведением ak=2$xVr, где Vr - относительная скорость движущегося в ракете потока. Если, на- пример, масса элемента движущегося по трубопроводу потока жидкости равна pSndx, где Sn - площадь проходного сечения трубопровода, р - плотность жидкости, то при sin ^<9 Л Vr) = 1 кориолисова сила будет равна dYk=2pSnWrdx и направлена в сторону, противоположную ускорению. При полете ракеты в плотных слоях атмосферы момент от кориолисо- вых сил Мк значительно меньше демпфирующего момента Мд от аэроди- намических сил. За пределами атмосферы момент кориолисовых сил ста- новится преобладающим. Таким образом, Мп =МД+Мк. (1.14) • Управляющие силы и моменты создаются органами управления ра- кеты по командам системы управления. Управление полетом практически осуществляется только изменением величины и направления равнодейст- вующей N сил тяги двигателей и аэродинамических сил. Равнодействую- щую N можно разложить на две составляющие Nt и Nn, направленные соответственно вдоль вектора скорости V и перпендикулярно к нему. Тангенциальная составляющая Nt, равная по величине Nt=Pt-X, (1.15) 34
может служить для регулирования скорости полета. Изменение тангенциаль- ной составляющей Nt у баллистических ракет достигается изменением тяги основных двигателей (например, регулированием секундного расхода топли- ва, если двигатель жидкостной) и включением или выключением различных двигателей. Ту часть силы тяги ДР, которую можно использовать для регули- рования скорости ракеты, назовем тангенциальной управляющей силой. Нормальная сила Nn равна сумме проекций полной аэродинамической силы и сил тяги на плоскость, нормальную к траектории: Nn = R + Rn = R + F + Z. (1.16) n n n n v 7 Ее составляющую в плоскости стрельбы N будем называть нормаль- ной управляющей силой. По аналогии с нормальной управляющей силой введем понятие боко- вой управляющей силы дг, представляющей собой проекцию силы Nn на перпендикуляр к плоскости полета. Создавая требуемые по величине и направлению тангенциальную, нормальную и боковую управляющие силы, можно обеспечить заданную траекторию полета ракеты. Возможны различные способы создания нормальной и боковой управ- ляющих сил. У баллистических ракет, чтобы получить нормальную силу различной величины, необходимо изменять угол атаки в плоскости поле- та ау, поворачивая ракету вокруг центра масс. Когда ракета имеет угол атаки ау, нормальная сила равна (рис. 1.5) Ny=Psinay + Y*(P + cyqs)ay. Рис. 1.5 35
Чтобы получить боковую управляющую силу, необходимо придать ра- кете угол атаки az в плоскости, перпендикулярной к плоскости стрельбы. Как было сказано выше, для получения требуемой по величине и на- правлению нормальной силы необходимо определенным образом регули- ровать ориентацию ракеты относительно вектора скорости. Эта задача решается созданием управляющих моментов, которые вращают ракету вокруг ее осей Охь Oyi и Ozi. Соответствующие движения обычно назы- ваются движениями крена, рыскания и тангажа. Для образования управ- ляющих моментов на ракете имеются органы управления. Последние соз- дают сравнительно небольшие аэродинамические или реактивные силы, моменты которых относительно центра масс ракеты являются достаточ- ными для управления угловыми движениями ракеты. Для изменения нормальной и боковой силы используется вращение ракеты вокруг осей Oyi и Ozi с помощью органов управления рысканием и тангажом. Эти же органы управления необходимы для стабилизации требуемой ориентации ракеты в пространстве. Для стабилизации ракеты по крену необходимы еще органы управления креном, создающие управ- ляющий момент относительно продольной оси Охь И, наконец, необхо- дим орган управления для изменения силы тяги основных двигателей, ес- ли требуется регулировать величину скорости ракеты. Используются следующие основные*) типы органов управления балли- стическими ракетами: 1) воздушные рули; 2) газовые рули; 3) поворотные камеры сгорания основных двигателей (одна или не- сколько); 4) поворотные сопла основных двигателей; 5) специальные насадки на срезе сопла (сферические, цилиндриче- ские с косым срезом и др.); 6) разрезные сопла; 7) выдвижные щитки, работающие в струе двигателя перпендику- лярно потоку; 8) вдув генераторного газа или впрыск жидкости в сверхзвуковую часть сопла основного двигателя; 9) основной многокамерный двигатель, работающий в режиме фор- сирования - дросселирования; 10) управляющие двигатели (неподвижные и поворотные); 11) управляющие сопла (поворотные и неподвижные); *) Управление ракетой относительно поперечных осей (по углам i9 и I//) путем от- клонения головного отсека рассматривается в главах 6 и 7 части 2. 36
12) комбинированные управляющие органы (например, воздушные и газовые рули или воздушные рули с основными камерами, работающи- ми в режиме форсирования - дросселирования). Все перечисленные органы управления могут создавать управляющие моменты рыскания и тангажа, однако не все из них пригодны для созда- ния момента крена. Нельзя получить момент крена, если для управления тангажом и рысканием используется, например, один поворотный двига- тель или, если силы, создающие моменты тангажа и рыскания, направле- ны вдоль продольной оси ракеты. В этих случаях для управления креном приходится применять специ- альные управляющие двигатели, тяга которых действует в поперечной плоскости. Во всех других случаях, когда имеется не меньше двух пар органов управления тангажом и рысканием, создающих поперечные силы на неко- тором расстоянии от продольной оси, для образования момента крена ис- пользуется дифференциальное управление органами управления. Послед- ние могут действовать симметрично (синхронно и синфазно), создавая момент тангажа или рыскания, или асимметрично, создавая момент крена. При сочетании указанных действий могут создаваться одновременно и момент тангажа (рыскания) и момент крена. Величина сил, создаваемых органами управления, зависит от переме- щения этих органов (чаще всего углового) или от секундного расхода то- плива, если для управления используется рассогласование тяг основных двигателей. Рассмотрим определение сил, создаваемых органами управления, и уп- равляющих моментов на примере управления движением ракеты с помо- щью четырех управляющих двигателей. У многих современных ракет управление движением ракеты на актив- ном участке осуществляется четырьмя управляющими двигателями. Распо- ложение этих двигателей и направления их отклонения, принятые за поло- жительные, показаны на рис. 1.6. Положительным отклонением управляю- щего двигателя будем считать поворот его против часовой стрелки, если смотреть со стороны соответствующей оси, т. е. на рис. 1.6 положительны- ми будут отклонения двигателей II-IV вниз, а двигателей I-III вправо. Принимая тяги Т всех четырех управляющих двигателей равными, запи- шем проекции их равнодействующей на связанные оси координат в виде: Txl =r(cos^ d-cost^ H-cos^, H-COSf^) Tyl =7’(sin<52+sin<54) Тг1 = —T (sin $ + sin ) (117) 37
где 5], 5г, 5з, 84 - соответственно углы отклонения управляющих камер I, II, III и IV. Очевидно, управляющие моменты в этом случае будут равны: = Try (sin + sin 82 + sin 83 + sin 6^) = -Tly (sin 8X + sin 83) = -Tly (sin 82 + sin ) (1-18) где гу - расстояние от продольной оси ракеты до продольных осей управ- ляющих камер; 1У = Хс-Хда - расстояние от центра масс ракеты до оси вращения управ- ляющих двигателей. В этих выражениях сила тяги управляющего двигателя определяется в зависимости от его параметров формулой (1.5). Поскольку в жидкостных ракетах, созданных в конце пятидесятых го- дов, применялись в качестве органов управления газоструйные рули, а эти боевые ракеты затем использовались как база (I ступень) ракет-носителей (см. главу 3), рассмотрим определение сил, создаваемых рулями такого типа. Подъемная сила воздушных и газоструйных рулей приложена к центру давления плоскости руля: для воздушного руля подъемная сила Ув.р. пер- пендикулярна вектору скорости потока воздуха, набегающего на руль, для газоструйного руля подъемная сила Уг.р. перпендикулярна вектору скоро- сти потока, истекающего из сопла двигателя: YB.p = cy,p.(M,8)qSB.p.; (1.19) УГф = ^.(5)^. (1.20) 38
Здесь Су в.р. - коэффициент подъемной силы воздушного руля; су г.р. - коэффициент подъемной силы газоструйного руля; qr - скоростной напор газовой струи двигателя; SB.P. - площадь воздушного руля; Sr p. - площадь газоструйного руля; 8 - угол отклонения руля. Если под SB.P. и Sr.p. понимать суммарную площадь воздушных и газо- струйных рулей, то соответственно Yrp. и YB.P. определят суммарную подъемную силу. В случае, когда на ракете используются одновременно различные по своему характеру управляющие органы, суммарная управляющая сила определяется по формуле (1.21) где под Yi понимают управляющую силу каждого из используемых видов органов управления. Аналогичным образом определяется и суммарный управляющий момент Мр относительно центра масс: Мр=£мр (1.22) где под Mj подразумевается управляющий момент от каждого из исполь- зуемых видов органов управления: МВ.Р.=¥в.р.(хв.р. ~ хс); (1-23) Мг.р. = \.р.(хг.р. ~ хс)> (1-24) МУ«. = Yy.«.(xy.«.-xe)- (1.25) Обозначения характерных размеров показаны на рис. 1.7: d — центр давления; с - центр масс; хр - расстояние от носка до оси вращения управляющего органа; хср - расстояние от носка до плоскости среза сопла. 1.3. Уравнения невозмущенного движения ракеты При полете ракеты с работающим двигателем происходит отбрасы- вание продуктов горения и ее состав непрерывно изменяется. Рассмат- 39
ривая движение ракеты, удобно в каждый момент времени включать в ее состав только те материальные частицы, которые в этот момент на- ходятся внутри определенного объема, занимаемого ракетой. При такой постановке задачи ракета с работающим двигателем представляет собой систему переменного состава, к которой непосредственно нельзя при- менить теоремы динамики твердого тела. Однако, основываясь на этих классических теоремах, можно доказать аналогичные теоремы для сис- темы переменного состава и установить принцип составления уравне- ний движения ракеты [95]. Уравнения движения реактивного летательного аппарата в произволь- ный момент t можно записать в виде уравнений движения твердого тела, получающегося в результате «затвердевания» реактивного аппарата в этот момент времени, если в число внешних сил, приложенных к такому фик- тивному твердому телу, включить реактивные силы. Следовательно, векторное уравнение движения центра масс ракеты можно записать в виде Здесь m = m(t) - масса ракеты в момент времени t; dV —s- - ускорение центра масс в инерциальнои системе координат; dt_ ^F\ - сумма внешних сил, приложенных к ракете; ^Р. - сумма реактивных сил. Под внешними силами, действующими на ракету, подразумевают та- кие силы, как сила притяжения (7Г, полная аэродинамическая сила R, си- ла взаимодействия ракеты с пусковой установкой или отбрасываемой сту- пенью. Как видно, составление уравнений движения тела переменного состава сводится к определению реактивных сил, что является достаточно слож- ной задачей. Основной из этих сил является реактивная сила w, которую не удается непосредственно измерить. Поэтому принято определять силу тяги ракетного двигателя по формуле (1.5), в которую входит сила, вы- званная атмосферным давлением и давлением газа на срезе сопла (pa-p)Sa. Хотя эта сила является внешней, ее объединяют с собственно реактивной силой ш, поскольку при испытании двигателя на стенде измеряется си- ла, действующая на опоры стенда. Соответственно сила (pa-p)Sa исключа- ется из числа внешних сил ^Fr Кроме силы тяги Р, определяемой формулой (1.5), в состав реактивных сил входят: 40
1) силы, вызванные нестационарностью движения топлива и продук- тов горения относительно корпуса ракеты; 2) кориолисовы силы, обусловленные движением топлива и продуктов горения в ракете, вращающейся относительно инерциальной системы ко- ординат; 3) силы, обусловленные перемещением центра масс ракеты относи- тельно ее корпуса. Перечисленные силы очень малы по сравнению с тягой, определяемой формулой (1.5), причем непосредственное измерение их невозможно. В зависимости от принятых допущений разные авторы получают для них различные теоретические выражения. В баллистике обычно пренебрегают указанными малыми реактивными силами. Аналогичным образом составляется векторное уравнение вращатель- ного движения ракеты относительно центра масс: (L26) Здесь к - главный момент (относительно центра масс ракеты) коли- честв движения частиц «затвердевшей» ракеты относи- тельно осей, проходящих через центр масс ракеты и дви- жущихся поступательно со скоростью va относительно инерциальной системы; ^MF - главный момент (относительно центра масс ракеты) всех внешних сил, действующих на ракету, за исключением сил атмосферного давления и давления газов в выходном сече- нии сопла; ?МР - главный момент (относительно центра масс ракеты) силы тя- ги ракетного двигателя, а также сил, вызванных движением топлива и газов внутри вращающейся ракеты, нестационар- ностью этого движения и перемещением центра масс ракеты относительно ее корпуса. В дальнейшем для упрощения уравнений вращательного движения ра- кеты относительно ее центра масс будем пренебрегать моментами сил, обусловленными нестационарностью движения топлива и газов внутри ракеты и перемещением центра масс ракеты относительно ее корпуса, по- скольку эти моменты достаточно малы. Следует заметить, что обычно имеют место значительные по величине моменты, обусловленные колебаниями жидкости в баках ракеты при на- личии свободной поверхности. Однако при соответствующем выборе па- раметров системы стабилизации колебания ракеты вследствие подвижно- 41
ста жидкости в баках оказываются малыми и их влияние на траекторию ракеты несущественно. Пространственное движение ракеты как твердого тела полностью оп- ределяется шестью уравнениями: тремя уравнениями проекций сил на оси ортогональной системы координат и тремя уравнениями моментов сил, характеризующих движение относительно центра масс в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Для определения положения ракеты в пространстве примем стартовую систему координат. В качестве угловых координат используем введенные ранее углы 9, у, ф. Обычно продольное и боковое движения ракеты, а также движение ра- кеты вокруг продольной оси в первом приближении можно рассматривать как независимые одно от другого. Продольное движение ракеты, т. е. движение в плоскости стрельбы Ох0уо, полностью определяется уравнениями проекций сил на оси Ох и Оу скоростной системы координат и уравнениями моментов относительно оси Oz. На основании рис. 1.3 эти уравнения имеют следующий вид: уравнение проекций сил на ось Ох ш— = Pcosa-X-mgsin0 + Fv(t); (1.27) dt уравнение проекций сил на ось Оу mv-^ = Psina + Y-mgcos0 + Yp cosa + Fe(t); (1-28) уравнение моментов относительно оси Oz d24 Jz = Y(xd - хс) cos a - X sin a(xd - xc) - Mp& + Ma(t). (1.29) Боковое движение ракеты, т. е. движение в плоскости Ox0zo, описыва- ется: уравнением проекций сил на ось Oz m ^- = -Р sin р - Z - Zp + Fz (t); (1.30) уравнением моментов относительно оси Оу Jy = -Z cos P(xd - хс) - X sin P(xd - хс) - MPV (t) + Mv (t). (1.31) Движение ракеты относительно оси Ох описывается уравнением 1хФ = МИ)(0 + Мф(0. (1.32) В приведенных выше уравнениях через Fv(t), Fe(t), Fz(t), M&(t) обозна- чены возмущающие силы и моменты, через Md$(t), Mpv(t), Mp^t), Yp, Zp — управляющие силы и моменты, создаваемые рулевыми органами, через Jx, Jy, Jz - моменты инерции. 42
Управляющими силами в уравнении (1.27) можно пренебречь ввиду их малости. Значения Ур и Мр в каждом конкретном случае определяются со- ставом управляющих органов по формулам (1.21) и (1.22). Для определе- ния координат центра масс ракеты при движении ее по траектории доба- вим к уравнениям (1.27), (1.28), (1.29) два кинематических уравнения: xo=vcos0; yo=vsin0 (1.33) и, используя соотношение (1.1), получим совокупность уравнений, харак- теризующих движение ракеты в плоскости стрельбы. Эти шесть уравне- ний связывают семь координат: х0, уо, У, 0, а, 8Р. Для замыкания системы необходимо добавить уравнения, связываю- щие координаты, определяющие движение ракеты, с координатами, опре- деляющими положение управляющих органов. Зависимости эти доста- точно сложны и будут рассмотрены ниже. Здесь же примем их упрощенно в виде: 5.р, = f. р. (3); 5r.p. = fr р. (3); §у = fy О). (134) Вследствие того, что движение ракеты принято плоским, параметры бокового движения и движения вокруг продольной оси на невозмущенной траектории имеют нулевые значения: vz=0 = CT = y = \j/ = (p = (p = O. (1.35) 1.4. Расчетная траектория полета ракеты Траектория полета ракеты от места пуска до цели разбивается на ак- тивный участок (полет с работающим двигателем) и пассивный участок (двигатель не работает). На активном участке ракета выводится в заданную точку пространства с заданной по величине и направлению скоростью. Конечные значения координат и скорости выбираются так, чтобы после выключения двигате- ля головная часть ракеты или отделившийся от нее боевой блок, совершая свободный полет, достигли цели. Пассивный участок для ракет среднего и большого радиуса действия находится на большей своей части в сильно разреженных слоях атмосферы, и только вблизи точки падения ракета вновь входит в плотные слои атмосферы. После определения дальности стрельбы, тяги двигателя и массы раке- ты производится выбор программы разворота вектора скорости при дви- жении ракеты на активном участке траектории. Программа угла тангажа должна быть выбрана так, чтобы к моменту выключения двигателя обес- печить заданные значения координат и скорости. В книгах [14], [95] по баллистике ракет рассмотрены требования к программе угла тангажа, ме- тоды ее выбора и оптимизации, а также значимость формы программы 43
при определении основных тактико-технических характеристик ракет в процессе их динамического проектирования. В результате выбора ос- новных характеристик ракеты (тяги двигателя и веса) и программы угла тангажа определяется невозмущенное движение ракеты, т. е. движение по номинальной расчетной траектории. При стрельбе на большие дальности влияние вращения Земли на дви- жение ракеты на активном участке траектории значительно и расчетная траектория имеет характер пространственной кривой. Поскольку для ана- лиза вопросов динамики регулирования это изменение траектории не име- ет существенного значения, далее будем считать номинальное (невозму- щенное) движение плоским. Невозмущенное движение ракеты по расчет- ной траектории описано ранее системой уравнений (1.27), (1.28), (1.29). Боковое движение и движение вокруг продольной оси на расчетной тра- ектории характеризуется нулевыми значениями параметров (1.35). 44
Глава 2 УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ 2.1. Возмущения, действующие на ракету Параметры номинальной траектории полета ракеты определяются рас- четом в предположении, что ракета обладает номинальными тяговыми, весовыми и аэродинамическими характеристиками и движется в атмосфе- ре, характеризующейся расчетным распределением плотности и давления. Фактическое движение ракеты происходит, как правило, при характе- ристиках ракеты и атмосферных условиях, несколько отличных от номи- нальных. Так как эти отклонения не могут быть предусмотрены и учтены заранее, то следует считать, что ракета в полете находится под действием возмущающих сил, искажающих расчетную траекторию. Для того, чтобы оценить величину рассеивания точек падения ракеты, т. е. точность стрельбы, и иметь возможность принять меры к ее повы- шению, необходимо знать, как связаны отклонения фактических пара- метров ракеты от номинальных и максимальные значения возможных отклонений с возмущающими силами и моментами, действующими на ракету в полете. Возмущающие силы, действующие на ракету в полете, можно разбить на группы, обусловленные: 1) воздействием внешней среды; 2) неточностью изготовления и монтажа ракеты и двигательной уста- новки; 3) неточностью работы элементов и приборов системы управления. К возмущениям первой группы следует отнести аэродинамическую силу и момент от воздействия ветра. Если вектор скорости ветра W, обте- кающего ракету в произвольном направлении, разложить на составляю- щие по осям скоростной системы координат, то составляющая их изменит величину модуля вектора скорости ракеты V, а составляющие Wy и изменят его направление. В продольной плоскости появится допол- нительный угол атаки CCW, который приближенно определится формулой и; w aw - —, в боковой плоскости соответственно pw = —. Пренебрегая изменением скоростного напора, возмущающие силы, обусловленные действием ветра, определим по формулам (1.6) с учетом зависимостей (1.7): 45
Y = caqSK,a : w ynM w’ Z =c“qSMP (21) w y4 ^Mrw, а соответствующие им возмущающие моменты: Mwy=Yw(xd-xc);l Мте =Zw(xd-xc).j (2’2) Ко второй группе возмущений относятся возмущения, связанные с неточностью установки двигателя на ракете, газодинамическим эксцен- триситетом тяги двигателя и отклонением положения центра масс от расчетного. Параллельное смещение ц линии действия тяги относительно про- дольной оси эквивалентно смещению pyi в направлении оси yi и смеще- нию pzi в направлении оси zj: Смещение вектора тяги относительно каждой из осей создает возму- щающие моменты относительно центра тяжести: Mu =P|ivl;l у1 (2.3) ч., =М Аналогично перекос линии действия тяги относительно продольной оси на угол е приводит к появлению сил и моментов в продольной и боко- вой плоскостях: Fs,=ps.; MSi=Psyl(x,.-xc); F£ji =Рег1; Мс =Pe,.(x^-xY Смещение положения центра масс от расчетного значения эквивалент- но параллельному переносу линии действия тяги. Возмущающий момент сил относительно продольной оси может воз- никнуть за счет косой обдувки и неточности установки стабилизаторов. Этот момент определяется формулой Map = ca₽qSMap, где сар - аэродинамический коэффициент, зависящий от формы ракеты и числа М. Момент относительно продольной оси может появиться также за счет взаимного перекоса в установке камер в случае, когда двигатель имеет не одну, а несколько камер сгорания. Так, например, если четыре камеры сгорания двигателя установлены с перекосом на угол е, то момент от пе- рекоса будет 46
M=4reP, ф ф ’ где гф - расстояние от оси камеры до продольной оси ракеты. К числу возмущений, определяющих вариацию модуля скорости и значительно влияющих на ее направление, относятся отклонения пара- метров двигателя Руд и т, а также массы ракеты и аэродинамического со- противления от их расчетных значений. Поскольку система управления использует в качестве регулируемого параметра величину секундного расхода массы топлива (и, как следствие, вариацию массы т), то в качестве возмущений, наряду с Руд, следует рас- сматривать лишь начальные отклонения параметров m и т. 2.2. Уравнения возмущенного движения ракеты Под действием возмущающих сил и моментов ракета движется не по номинальной, а по возмущенной траектории. Основной задачей системы управления является обеспечение устойчивого полета ракеты и получения управляющих воздействий, удерживающих ракету вблизи номинальной траектории. Поскольку система управления удерживает ракету вблизи расчетной траектории, чувствительные элементы системы должны реагировать на отклонения регулируемых параметров движения ракеты от их расчетных значений. Отсюда следует, что и теоретические исследования возмущен- ного движения целесообразно производить по уравнениям, записанным в отклонениях. Выше указывалось, что уравнения возмущенного движения кроме чле- нов, характеризующих действие расчетных сил, содержат члены, обуслов- ленные действием возмущений. Параметры, характеризующие движение ракеты, также будут возмущенными. Если обозначить через iB параметр движения ракеты на возмущенной траектории, iH - на номинальной, i - отклонение параметра от номиналь- ного значения, то связь между ними определится соотношением iB = iH + i. Для получения уравнений первого приближения, характеризующих возмущенное движение ракеты, придадим приращение каждому парамет- ру, входящему в уравнения движения. Исключим из полученных уравне- ний члены, характеризующие номинальное движение, и пренебрежем членами второго и высшего порядка малости. Это допустимо, так как от- клонения возмущенных параметров движения от их номинальных значе- ний при наличии системы управления достаточно малы. К числу основных варьируемых параметров отнесем И, Оу а, х0, т, ihy Ру G. Для возмущенной траектории будем полагать 47
v, =vB+v; x0>=x0_+x0; 0,=0B+0; m, =m„+m; G,=G„+G; a, = aB+a; P, =P„+P; Уо.=Уо.+У»; m,=mB+ih. (2.5) (2.6) Для определения возмущений, связанных с отклонениями параметров дви- гателя и ракеты, введем вариации параметров Руд и то, полагая р =р +р ; уд.в уд.н уд.’ iHq. = т0. 4- т0. Вариациями остальных параметров, входящих в уравнения движения, как, например, р, g, р, Суа, сД пренебрежем ввиду того, что влияние их на измене- ние расчетной траектории невелико. Преобразуем для примера уравнение (1.27) проекций сил на номинальное направление вектора скорости ракеты. Используя формулы (1.5), (1.6), (1.27) и соотношения (2.5), получим (m„ +m)(v„ + v) = [-(Рув, +Pyl.)(G, +G)-SCOBp,(h,)]cos(aH + a)- -(т, + m)g„ sin(0„ + 0) - c„ b-SM (v, + v)2 - Y,, sin(a, + a). Если преобразовать это уравнение, полагая дополнительно, что а и 0 малы, т. е. при sin(a)»a, sin(0)«0, cos(a)»l, cos(0)«l, а также ¥р.нан»К8ан»0, и исключить из уравнения а, то, используя соотношение (1.1), получим + ^-(V, +gBsin0.) Jihdt = — CxhPhV.SM к/ I Л РН§1Пан1л lPHSinaHln I 1 т» I- !Lj± V+ gHcos8H —*------8+ —--------3+ —Pv_HgHcosaH m+ I I 11 I I уд.н w и H I j v л1„ ) V л1„ j л1н J rhH \ F (t) —g.cosa, PyB+-*—. m„ ) Произведя аналогичные преобразования уравнения проекций сил на ось Оу (1.28) и уравнения моментов относительно центра масс (1.29), по- лучим ®4^^c°"p^N4^p"OT^+^c°-p"v-sM-v8"sine"')e+ кЧ ч J Ч ) —^соба^+с^ яД,) Э+|—— |5+|—!—Pysina, |m+|—+^*C°S^“| fmdt= Л ' J I W J ЧЧ JoJ (2.8) ^-4&sinaB]p).+. F,(t). ЧЧ’ 48
t* 1 ^(xp.H-x«) 8= H ®+t[c“"P"V"Sm(x* -x«)cosaH +c™pHY,SMsinaH(x4, -X, JH +t[“cyHq"SM -^J-c^ASm cos“h(x* -x„)]o Jh +7-[c;HqHSM(x(h -Xjcosa,, +c„,q11SM cosajx^, -x„)]»4 H ^M8(t) Jh В последнем уравнении члены, содержащие вариации m, т0 и Руд, (2.9) отсутствуют, так как изменение массы и тяги влияет только на модуль скорости и не создает моментов относительно центра массы. Величины Fv(t), Fe(t) и Mg(t) характеризуют проекции суммарных возмущающих сил на соответствующие оси и возмущающий момент относительно цен- тра тяжести. Уравнения (1.33), характеризующие изменение координат центра масс ракеты, после варьирования имеют вид: х0 = Vcos0H-уОн0;1 Уо = V sin 0Н + хОн0. J Система уравнений (2.7) - (2.10) составляет полную систему уравне- ний продольного движения ракеты в вариациях относительно параметров V, 0, 3, Хо, Уо. Для удобства проведения дальнейших исследований системы стабили- зации продольного движения ракеты преобразуем эти уравнения, введя в качестве независимых переменных вместо 0 и V составляющие Vx и zy вектора скорости по осям Ох и Оу. Проекции скорости V на оси Ох и Оу определяются по формулам: Vy в = VB sin0; Vx в = VB cos0 Принимая во внимание, что на невозмущенной траектории Уун = 0, бу- дем иметь Vy > = Vy и + Vy = Vy = V.sin0 = (V„ + V)0« VH0; V,,=(V,+V)co8esV,+V; V, =V. ' (2-11) Дифференцируя выражение для Vy, получаем Vy=V,e+V,ft (2.12) Используя уравнение (1.27) проекций сил на ось Ох в виде V, =—cosa, -g.sme, -i., mH mH 49
получаем v,e=vy-^-ecosa,+ie+g,esme,. (2.13) шн ГПН Подставляя соотношения (2.11) - (2.13) в уравнения (2.7) - (2.9), при- водим их к виду: V, +cv.v.V« +cv,v,Vy +Cv,»9 + Cv.88 + Cv.*ril + „ МО (2.14) +cv,m Jmdt =cv,ra€m0+СуЛдРуд. ; 0 mn vy +cv,v,Vx +cv,v,Vy +су,Л+Су/+су>йт+ •f.A Fv,(t) (2.15) +cVm Jmdt ; О 9+cs Vx+c« Vv+cs«9+css5 = ^^ (2.16) <#v x <>v У «ю <x> т w/ У Значения коэффициентов, входящих в уравнения (2.14)—(2.16), приве- дены в табл. 2.1. Для преобразования кинематических уравнений используем соотно- шения между параметрами х0, уо, х и у. Так как скоростная система ко- ординат повернута относительно стартовой в плоскости стрельбы на угол 0Н, то х = х0 cos0H +у0 sin0H; у = -yosin0H+xocos0H. Дифференцируя эти выражения, получаем х = Ч+0ну;1 y = Vy + 0Hx;j (2.17) Система уравнений (2.14)—(2.16) представляет собой систему уравне- ний первого приближения для продольного движения в параметрах 9, Vx,Vy, х и у. Перейдем теперь к выводу уравнений возмущенного движения в бо- ковой плоскости. В разделе 1.3 было оговорено, что боковое движение при полете ракеты по расчетной траектории отсутствует и параметры его имеют нулевые значения (1.35). Поэтому боковое движение ракеты вы- зывается только действием возмущающих сил и моментов, и уравнения первого приближения, написанные для возмущенного движения ракеты, имеют вид: mV2 =-Psin0-Z-Zp; JV = -Z cos 0(xd - хс) - X sin 0(xd - хс) - Mpv. 50
Таблица 2.1 Коэффициенты уравнения (2.14) Коэффициенты уравнения (2.15) Коэффициенты уравнения (2.16) СхнР У М CVyVx А fl ун • h h м С9УЖ (сунам с о s а н + с х sin а н )х J. х P.y.S и (ха, - хсн ) J. CV„Vy ^sinc>0 „ &а»0, ГЛ Ч J СУуУу (< +с„)рЛ.^м 2m, CSVy (<+C»)gAM(x*-x»)°°S4 jyH CV„9 ^sino; СУу9 PH cosaH+cyHqHSM СЭЭ <^+cJ^lJxA-Xa)C№Of, J. CV,6 0 СУу6 m. C9S Л CV„m P^g. cos а. СУут ^g.sina. С 9m 0 CVtm v.+g, sing, тн CVym У.е* + g„ COS0, СЭт 0 CVxm^ P»+g«sinfl, тн СУуЪ cos^ C9mv 0 СУХР^ mHgH cosaH т« CyyPyi mHgM sin^ С9РуЛ 0
Считая, что Т и 0 малы, ст = Т-р и что для малых ст Vz = -Vct, уравне- ния бокового движения в вариациях можно переписать в виде: или * v V Ч + CVzvY + CVZVZ Vz + Су65 = — z г г г тн е МП) щ + с v V +с ш + сх5 = —-— т yVz z уб -г Ju Если учесть, что ан мало (cosaH«l) и cf =с®, то коэффициенты уравне- ний бокового движения могут быть выражены через коэффициенты урав- нений продольного движения следующим образом: CVZVZ =CVyVy; CVVZ =“ C3Vyi ^vzy ~~ ^vy3’ Cyy — C$9, ► (2 19) CVZ8 = “CVy8> Cv8 = СЭ8* * Принимая во внимание, что возмущающие силы и моменты с равной вероятностью могут действовать как в продольной, так и в боковой плос- костях, их можно считать одинаковыми для обоих видов движения. С уче- том знаков они удовлетворяют следующим соотношениям: F = -F • М = М rvz FVy’ 1V1V lvla- (2.20) При этом предполагается, что ветровые возмущения, а также возмуще- ния, связанные с неточностью изготовления ракеты и двигателя, одинако- вы как для продольного, так и для бокового движений. Аналогия, полу- ченная в записи уравнений продольного и бокового движения, весьма удобна при проведении исследований. 52
Возмущенное движение ракеты вокруг оси Oxi описывается уравнени- ем моментов сил, действующих на ракету относительно этой оси: R®r мт ф + ——5 = —t j J W Y Y (2.21) В заключение выразим через коэффициенты уравнений возмущенного движения приложенные к ракете силу и момент от действия ветра. Для этого, сопоставляя выражения (2.1) и (2.2) для силы и момента с табл. 2.1 коэффициентов, замечаем, что если пренебречь значением коэффициентов лобового сопротивления Сх, приведенные силу и момент от действия ветра можно представить в виде: М Ywy ~cVyvywy; -yL = c,VyWy. 2.3. Методы упрощения системы уравнений движения ракеты Система уравнений, описывающих возмущенное движение ракеты, даже в предположении независимости трех плоских движений достаточно сложна. Для упрощения исследований и выяснения физической сущности процессов регулирования тех или иных параметров движения стараются расчленить сложное движение на несколько простых, пренебрегая в каж- дом отдельном случае теми факторами, которые не оказывают существен- ного влияния на рассматриваемый вид движения. При упрощении исполь- зуют обычно значительную разницу в частотах, которые характерны для того или иного вида движения, специфические свойства траекторий бал- листических ракет, различие в средствах, используемых для регулирова- ния того или иного параметра. Коэффициенты уравнений возмущенного движения ракеты зависят от весовых, геометрических и тяговых характеристик ракеты, вида ее траек- тории и параметров атмосферы. Они являются, таким образом, функция- ми времени, определяемыми значениями всех этих характеристик на рас- четной траектории. Если в уравнениях сил (2.14) и (2.15) все их члены от- несены к массе ракеты, а в уравнении моментов (2.16) - к моменту инер- ции, то уравнения оказываются записанными непосредственно в ускорениях и каждый коэффициент определяет ускорение, которое при- обретает ракета при единичном значении вариации. При такой форме за- писи становится очевидным влияние вариации каждого параметра на ха- рактеристики движения. 53
Физическая природа и закон изменения коэффициентов уравнений возмущенного движения ракеты во времени наиболее наглядно выявляет- ся при варьировании в отдельности каждым параметром. При этом анализируется, под действием каких сил и по какому закону меняются ускорения К , V , 19. В качестве примера рассмотрим влияние вариации &. Вариация угла тангажа есть результат отклонения оси ракеты от рас- четного положения. При появлении вариации угла тангажа такое же при- ращение получает угол атаки, так что а = Э. При этом появляется аэроди- намическая сила и, как следствие, аэродинамический момент относитель- но центра масс ракеты. Кроме того, из-за изменения направления оси ра- кеты изменяются проекции силы тяги на оси Ох и Оу, что вызывает появление ускорений в направлении этих осей. Таким образом, при появлении вариации угла Э возникают ускорения, определяемые в соответствии с уравнениями (2.14)-(2.16) и табл. 2.1 сле- дующими формулами: Vx = -cv 9Э = _P"Sina»,9 « 0; ' (2.22) i9 = -c99& = (< + CXH ) C0S aHQHSM (Xdn - Xcn ) Членом Cv && в уравнении проекций сил на ось Ох можно пренебречь, так как из-за малости угла атаки на расчетной траектории он по существу является членом второго порядка малости. Коэффициент Су & складывается из двух составляющих. Основной яв- Р cos а ляется составляющая, определяемая величиной —-------которая ха- растеризует перегрузку п, испытываемую ракетой при полете по расчет- ной траектории: Пн = GH 54
В момент отрыва ракеты от стартового стола Р = G и n = 1. Однако уже за достаточно малый промежуток времени двигатель набирает расчетное значение тяги и в дальнейшем за счет выгорания топлива перегрузка не- прерывно растет. Составляющая, которая определяет величину ускорения за счет подъемной силы, пропорциональна скоростному напору q и пото- му от нулевого значения на Земле (при V = 0) она растет до тех пор, пока приращение скоростного напора за счет увеличения скорости полета больше, чем падение скоростного напора вследствие уменьшения плотно- сти атмосферы. С того момента, когда падение плотности становится пре- валирующим {q < 0), аэродинамическая сила начинает убывать, обраща- ясь в нуль в пустоте. Величина коэффициента так же, как и коэффициента Cv&9 про- порциональна скоростному напору. Однако характер его изменения в зна- чительной степени зависит от закона изменения расстояния (ха-Хс), опре- деляющего плечо этой силы относительно центра тяжести. Здесь следует повторить, что если центр тяжести ракеты расположен впереди центра давления, то при появлении вариации i9 возникает момент кото- рый стремится повернуть ось ракеты к расчетному положению. Такая ра- кета называется статически устойчивой. Если центр тяжести расположен позади центра давления, то в этом случае возникает дестабилизирующий момент. Такая ракета называется статически неустойчивой. При Хс = Xd коэффициент = 0, ракета нейтральна, и при появлении вариации i9 момента не возникает. Необходимо отметить, что знак разности (Xd-Xc) может меняться по траектории. Аналогично можно проследить влияние остальных параметров (Vy, Vx, 8, m, т, Руд) на изменения ускорений Vx9V На основании проведенного анализа и выяснения относительного влияния того или иного члена уравнений на характер возмущенного дви- жения ракеты система уравнений (2.14)-(2.16) упрощается и приводится к виду: Г . Fv Vx + CVxVx^x + СУхт^ + CVxm — CVxmJnQ + CVxPydFyd ~ (2.23) 0 тн Fv (0 Vy cvyvx Vx + cvyvy Vy + cvy&$ + cyys^ ~ ~ (2.24) 55
<9 + C9V И + C99& + CagS = . (2.25) err У у crcr его j 4 z * H Уравнение (2.23), характеризующее движение ракеты вдоль траекто- рии, может быть решено независимо от уравнений (2.24) и (2.25). Это зна- чит, что возмущенное движение ракеты относительно центра масс и по нормали к траектории практически не влияет на движение ракеты вдоль траектории. Стабилизация движения ракеты вдоль траектории осуществляется сис- темой программного регулирования кажущейся скорости (РКС). Регули- рование производится путем изменения тяги двигателя, которое осущест- вляется изменением секундного расхода топлива или давления в камере сгорания двигателя (см. часть 7). Движение ракеты в плоскости стрельбы по нормали к траектории и от- носительно оси Oz описывается системой уравнений (2.24) и (2.25). При этом предполагается, что в случае анализа уравнений движения жидкост- ной ракеты членом CvvVr в уравнении (2.24) можно пренебречь, так как коэффициент Cvv мал, а значение вариации Vx сводится к минимуму системой РКС. Для более аккуратной оценки влияния этого члена на дви- жение ракеты по нормали к траектории следует учесть его в уравнении (2.24) в виде возмущения, определив предварительно значение Vx в функ- ции времени из уравнения (2.23). Анализируя далее систему уравнений (2.24) и (2.25) в виде: Vy + cvyvy Vy + + 9 (2.26) м <9 + C&v^ Vy + + с ^8 — —• , (2.27) J н отметим, что инерционность ракеты по отношению к управляющим воз- действиям, изменяющим положение центра тяжести, значительно больше, чем по отношению к управляющим воздействиям, вызывающим ее угло- вые перемещения, т. е. уравнение (2.27) характеризует быстрые угловые движения ракеты относительно центра масс, а уравнение (2.26) - относи- тельно медленное изменение положения центра масс. Влияние движения центра масс ракеты на угловое движение проявляется через член С&у Уу, который является медленно меняющейся компонентой. Поэтому при ис- 56
следовании динамики углового движения им можно пренебречь и рас- сматривать угловое движение независимо, в виде: & + c99& + c9S8 = (2.28) При рассмотрении стабилизации движения центра масс следует отме- тить, что при наличии возмущающих сил необходимо поддерживать от- личные от нуля углы отклонения ракеты, чтобы создавать составляющую силы тяги, компенсирующую действие возмущений. Поэтому следует также учитывать и уравнение моментов, в котором, однако, можно пре- небречь членом <9, так как он характеризует быстрые изменения углового положения оси ракеты и мало сказывается на движении центра масс. По- этому движение центра масс можно описать следующими уравнениями: Ру Ру + CVyVy Vy + СУу9& + СУу8$ ~ С9Уу Vy + СЭ9& + С98$ = ~~у~ ‘ (2.29) 57
Глава 3 УПРАВЛЯЕМОСТЬ РАКЕТЫ Обеспечение управляемости ракеты является одной из важнейших за- дач динамического проектирования, которая сводится к выбору типа и эффективности органов управления. Эффективность органов управления оценивается максимальным управляющим моментом создавае- мым органами управления при соответствующем их максимальном от- клонении 3mav. Эффективность органов управления характеризуется коэффициентами усиления С^, и максимальными моментами. В плоскости тангажа или рыскания коэффициенты соответственно равны: I I I ^zp(Xp~XJ гИ - т J У в канале крена I I J X Максимальный момент, который способны создать органы управления в плоскости тангажа и рыскания, соответственно равен (А/ )тях = (Хп ~ Хг )Зтях , х z/max yp х р cJ max’ ~^п(Хп х у/max zp\ р cJ max в плоскости крена (^)max =^i^nax- х х/тах хр max Момент, создаваемый органами управления, условно можно разделить на три части А/ „ = М„п + + м.. упр пр воз сто Здесь Мпр - программный управляющий момент, необходимый для веде- ния ракеты по программной траектории. Если i9np(t9H) и i9np(i9H) малы, то Мпр также невелик; Мвоз - момент для парирования возмущений от вет- ра, несоосности камеры двигателя, аэродинамической несимметрии и т. д. Этот момент может быть значительным; М^ - момент, развиваемый ор- 58
ганами управления в процессе стабилизации, который определяется с уче- том обеспечения требуемых качеств по быстродействию, точности, коле- бательности переходных процессов. В любой момент времени полета максимальный момент, который мо- жет быть создан системой управления, должен быть больше потребного момента управления > (К1)+1м->1+1м-«1)-' <ЗЛ) Например, для плоскости тангажа Ryp(Xp > (\МпР\) + |Чо,| + |Ктб|)тах- Так как правая часть неравенства может быть известна из анализа воз- можных траекторий, условий полета, величин возмущений и т. д., а угол <5тах определяется конструкцией устройств, ограничивающих поворот ор- ганов управления, то из последнего неравенства можно определить мини- мальный градиент управляющей силы Л (l^nb + l^l + lK^bmax v пР у I 8031 I c/ио |7 max Kyp >------я—;--------------• max x p c7 Это неравенство должно выполняться в любой момент полета. Так как сигнал управления обычно «засорен» шумами, то на полезное отклонение органов управления накладываются случайные отклонения. Левая часть неравенства должна быть больше правой настолько, чтобы по- ворот органов управления не доходил до уровня ограничения угла (5тах. Таким образом, эффективность органов управления должна обеспечи- вать парирование всех возмущений, а система стабилизации должна обес- печить устойчивость движения ракеты относительно центра масс и стаби- лизацию центра масс относительно заданной траектории. При разработке первых боевых ракет дальнего действия вопрос об оп- тимизации их удельных характеристик вообще не ставился, поскольку ос- новной задачей была организация производства этих ракет в кратчайшие сроки. Для обеспечения «абсолютно» надежной управляемости руководство- вались выражением (3.1). В дальнейшем при динамическом проектировании ракет выбор типа и эффективности органов управления производился с учетом возможно- сти конструктивной реализации при условии минимальных энергетиче- ских потерь. Потери энергетики при любом типе органов управления обу- словлены соответствующим уменьшением удельной тяги двигательной установки и увеличением «сухих» весов ступеней ракеты за счет весов ор- 59
ганов управления и конструкции их крепления, весов приводов и источ- ников их питания. Необходимость рассмотрения вопросов управляемости возникает не только при проектировании и летных испытаниях ракет. Практика пока- зывает, что динамические характеристики уже изготовленных ракет могут претерпевать существенные изменения, вызываемые установкой дополни- тельных ступеней, изменением весов, габаритов головных частей, спутни- ков и т. д. В этом случае также возникает необходимость детального рас- смотрения возмущений, с целью решения вопроса о рациональном ис- пользовании готовых ракет без существенной их доработки. Принятый в начале 60-х годов метод выбора потребной эффективности управляющих органов не учитывал в полной мере случайный характер возмущающих сил и моментов, и вероятность одновременной реализации таких событий, как: - действие на ракету максимальных возмущающих сил и моментов; - максимальное отклонение конструктивных параметров ракеты, ав- томата стабилизации и плотности атмосферы в худшую с точки зрения управляемости сторону; - максимальные начальные возмущения параметров движения на участках разделения ступеней. При определении начальных возмущений и возмущающих сил и мо- ментов, обусловленных действием ветра, использовалась предельная оги- бающая скорости ветра. Указанный метод не учитывал случайного харак- тера изменения ветра и, естественно, давал оценку сверху. В ходе решения вопросов оценки управляемости ряда ракет возникла прямая необходимость пересмотра ранее принятого метода. Результаты летных испытаний многих ракет показали, что при проведении расчетов может и должен учитываться случайный характер возмущений, началь- ных условий, разбросов параметров ракеты, автомата стабилизации и ха- рактеристик атмосферы. В такой постановке задача может быть решена методом Монте-Карло, получившим широкое применение при решении задач, связанных с расче- том кучности стрельбы. Однако этот метод в применении к задаче управ- ляемости является довольно громоздким и требует для своего решения больших затрат машинного времени. В связи с этим ставилась задача раз- вития существующего метода при условии, что его практическое приме- нение не будет слишком громоздким. Эта задача сводится к решению двух вопросов: - учет влияния случайных возмущений и начальных условий на управляемость; 60
- оценка влияния случайного характера переменного оператора, опи- сывающего систему «ракета — автомат стабилизации». При решении первого вопроса использовалась методика задания вет- ровых воздействий [104]. Воздействия, приложенные к ракете в полете, представлялись в виде одной систематической и N случайных независи- мых составляющих с нормальным законом распределения. Принималось, что случайное воздействие является элементарной случайной функцией. В результате была получена простая зависимость, которая дает возмож- ность определить суммарную реакцию системы на случайные воздейст- вия. Содержание второго вопроса сводится к следующему. При проектиро- вании ракет определяется потребная эффективность управляющих органов для всей совокупности ракет данного типа. Производственные допуски на изготовление и сборку ракеты и автомата стабилизации приводят к тому, что параметры системы «ракета — автомат стабилизации» отличаются от номинальных значений и носят случайный характер. Таким образом, опе- ратор системы следует рассматривать как случайный. В математической постановке задача может быть сформулирована сле- дующим образом: случайная функция преобразовывается случайным не- стационарным оператором; необходимо определить выходные переменные. Решение такой задачи в общем виде является затруднительным. Для приближенного решения вводилось предположение, что величины на вы- ходе системы приобретают дополнительные отклонения, распределенные по нормальному закону за счет случайности оператора. Получена простая формула, дающая возможность в первом приближении определить влияние случайных разбросов параметров системы на величину загрузки управ- ляющих органов. Рассматриваемая формула дает оценку сверху, но даже в этом случае проведенный анализ показывает, что с точки зрения загрузки управляющих органов влияние разбросов параметров системы и атмосферы является пренебрежимо малым. 3.1. Вероятностный метод учета влияния возмущений, действующих на ракету Определение потребной эффективности управляющих органов, обеспечи- вающей надежную управляемость ступеней ракеты, связано с необходимо- стью объективной оценки влияния возмущений, действующих на ракету в по- лете. В настоящей главе проводится анализ возмущений, а также метод опре- деления параметров стабилизации и величин загрузки управляющих органов, обусловленных как совокупным влиянием возмущений от целого ряда фак- 61
торов, так и разбросами параметров системы. При этом учитывается слу- чайный характер всех факторов, влияющих на управляемость ракеты. Ракета с автоматом стабилизации представляет собой сложную замк- нутую систему, динамика которой в общем случае может быть описана нелинейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффи- циентами (см. части 3 и 4). Эти уравнения должны учитывать наличие на борту жидкого топлива и упругие колебания корпуса ракеты. Анализ та- кой системы затруднителен. Однако практический опыт показал, что оценка управляемости ракеты может быть произведена по упрощенной системе, описывающей поведение ракеты как абсолютно твердого жест- кого тела. В этом случае проведение анализа значительно упрощается, а получаемые результаты дают достаточно точную количественную оцен- ку. Поскольку наибольшее возмущающее воздействие от ветра на полет I - начала II ступеней оказывается в канале рыскания, запишем выражения (2.26)-(2.27) в упрощенном виде для этого канала z = аа (t)z + (tty + azS (tty + Fz (t), V = avz(t)z + (tty + avS (tty + My (t), (3-2) 8 = Nty)+Q(z). В канале вращения уравнения будут иметь вид (33) 8V = R(<P\ Здесь (0 “ Функции независимой переменной t, выражающие закон изме- нения параметров ракеты; -/ ч -/ч M(t) F(t) = ——, М (t) — —— - приведенные возмущающие силы и т J моменты в функции времени; N(у<), С(^)> /?(ф) “ операторы, характеризующие идеальный ав- томат стабилизации; z - координата, характеризующая перемещение центра масс ракеты; ф, у - координаты, характеризующие вращение ракеты вокруг центра масс; 8 - угол поворота управляющих органов. Коэффициенты ay (t) рассчитываются по следующим формулам: 62
CanqS mV P + C“qS C°qS(xa-xc) vz JV <№(xa-xe) vv J _ nxR{l-xc) avs - T где ni - число управляющих органов, отрабатывающих возмущения. Каждая система уравнений (3.2) и (3.3) может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Вид этого уравнения зависит от того, относительно какой переменной система разрешена. Для дальнейшего упрощения формы записи используем понятие опе- ратора. С математической точки зрения не имеет значения физическая природа той системы, при помощи которой осуществляется рассматри- ваемое преобразование приложенного к системе воздействия. Имеет зна- чение лишь тот закон, та совокупность математических операций, при помощи которых данная система ставит в соответствие функциям на вхо- де системы определенные функции на выходе системы. Таким образом, при проведении анализа выражения (3.2) и (3.3) в опе- раторном виде можно представить так: l2 [P,t)z = 4 (p,t)F (t)+B2 (p,t)M(t), Li(p,t)3 = A3(p,t)F(t) + B3(p,t)M(t), (34) где Lm(p,t), An(p,t), Bm(p,t) - переменные линейные операторы, в которых р = — - символ дифференцирования. dt Выражение для каждого из приведенных выше переменных операто- ров, вообще говоря, может быть определено, однако это в дальнейшем не потребуется, так как предполагается, что установление соответствия меж- ду входом и выходом системы осуществляется с помощью численного ин- 63
тегрирования на ЭВЦМ или моделированием на машинах непрерывного действия. Для удобства рассмотрения материала данной главы еще раз отметим, что возмущенное движение ракеты на активном участке траектории вы- зывается целым рядом факторов. Основные из них следующие: - возмущения, обусловленные наличием ветра; - возмущения за счет технологических погрешностей изготовления и монтажа ракеты и двигательной установки; - аэродинамические возмущения, действующие на ракету при нали- чии программного угла атаки; - начальные возмущения на участке после разделения ступеней. Проведенные многочисленные расчеты показывают, что для участка полета ракеты, проходящего в плотных слоях атмосферы, аэродинами- ческие возмущения являются основными. При полете вторых ступеней ветер, как правило, оказывает существенное влияние только на началь- ном участке, так как в дальнейшем полет проходит практически вне ат- мосферы. Возмущающие силы и моменты, вызванные наличием ветра, для плос- костей рыскания и тангажа могут быть определены по формулам: - qSCan (иЛ =----—arctg\ - ; т \У ) = qSC° (мЛ . / п \ F»y =----—arctg\ - Sin(5 ); - qSC“(xd-xc\ (иЛ Мт =--------------arctg\ — , J W ^ = ~ g SC" Xc); q'=±p(r2+*'2)- В настоящее время накоплен большой статистический материал, ха- рактеризующий ветровое поле Земли. Проведена обработка статистиче- ских данных, включающих в себя около 95000 зондирований атмосферы в различных точках Земли. Показано, что вектор скорости ветра w можно рассматривать как векторную случайную величину с ненулевым средним. Систематическая составляющая скорости ветра w0 над территорией бывшего СССР направлена с Запада на Восток. Величина случайной со- 64
ставляющей скорости ветра, направление которой равновероятно, подчи- няется нормальному закону распределения. Разработана методика задания ветровых воздействий для различных классов задач. Характеристика случайной составляющей скорости ветра достаточно полно описывается каноническим разложением. Систематиче- ская составляющая скорости ветра и составляющие канонического разло- жения приведены в методике [104]. Огибающая случайной составляющей скорости ветра не дает полной характеристики влияния ветра на движение ракеты, так как не в полной мере учитывает вертикальный сдвиг скорости ветра. Известно, что на ха- рактер переходного процесса в системе автоматического управления влияет не только величина приложенного возмущения, но и скорость его изменения (градиент). Поэтому для задач управляемости дополнительно должно быть рассмотрено влияние ветра с градиентами, задаваемыми в соответствии с методикой [104]. Сравнение расчетных величин возмущающих сил и моментов показы- вает, что для ступеней ракеты, проходящих плотные слои атмосферы, возмущения, обусловленные технологическими погрешностями, играют несущественную роль по сравнению с аэродинамическими возмущения- ми. Таким образом, возмущения за счет технологических погрешностей в основном оказывают влияние на динамику II ступеней ракет. Эти воз- мущения определяются целым рядом факторов. Основные из них сле- дующие: - смещение и перекос стыкующихся отсеков; - смещение и перекос оси сопла относительно установочной базы; - смещение и перекос установочной базы двигателя относительно ба- зовой оси ракеты; - упругая деформация рамы двигательной установки и т. д. Возмущения, обусловленные технологическими погрешностями, мож- но представить как сумму большого числа сравнительно малых слагае- мых, каждое из которых связано с действием отдельной незначительной причины, не зависящей от остальных, и играет относительно малую роль в общей сумме. Каким бы законам распределения не были подчинены от- дельные элементарные возмущения, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируется, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Таким образом, можно принять, что суммарные возмущения будут случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону. Кроме того, на ракетах проявля- ется весовая асимметрия, которая носит систематический характер. Все технологические возмущения, вообще говоря, могут быть сведены к двум группам: 65
- возмущения, сводящиеся к силе и моменту, - возмущения, сводящиеся только к моменту или только к силе. Суммарная величина возмущения для каждой группы определяется как геометрическая сумма случайных составляющих. При выборе программы угла тангажа может оказаться, что на отдель- ных участках траектории ракета летит с ненулевыми программными уг- лами атаки. В этом случае на ракету действуют дополнительные аэроди- намические возмущения, которые являются систематическими. Приве- денные значения их могут быть определены по следующим формулам: “ т пр =-------— О,- пр Кроме рассмотренных выше возмущений, на начальном участке полета второй и последующих ступеней возникают начальные возмущения, ко- торые вызваны двумя группами факторов: - ошибками стабилизации в конце предыдущей ступени (^о> АЛ - процессом разделения ступеней ^0). Каждой группе возмущений, действующих на предыдущей ступени, соответствуют начальные возмущения последующей ступени с таким же вероятностным законом распределения. Начальные возмущения за счет процесса разделения ступеней можно считать случайными с нормальным законом распределения. Интегрирование системы уравнений возмущенного движения ракеты удобно проводить, если правые части являются функциями времени. К та- ким функциям могут быть сведены возмущения, обусловленные действи- ем ветра и технологическими погрешностями. Случайная составляющая скорости ветра является случайной функци- ей координат точки пространства и времени. По сравнению с временем полета ракеты, зависимостью скорости ветра от времени в данной точке пространства можно пренебречь. Для ракет координаты точки простран- ства можно считать однозначными функциями времени. Все остальные характеристики, используемые при расчете возмущений, вызванных вет- ром, также можно представить в функции времени полета ракеты. Фактические положения центра масс относительно вектора тяги, опре- деляющие возмущения за счет технологических погрешностей, также яв- ляются функциями времени полета ракеты. Таким образом, правые части 66
системы уравнений могут быть представлены в виде случайных функций времени полета ракеты. При действии возмущений ракета получает случайные линейные и уг- ловые ускорения. При этом все параметры движения ракеты оказываются случайными функциями времени. Ракета и ее система управления в дан- ном случае образуют динамическую систему, осуществляющую преобра- зование случайной функции и дающую в результате другие случайные функции: величину и скорость поперечного смещения центра масс; угол и угловую скорость вращения ракеты вокруг центра масс; величину загруз- ки управляющих органов. Ставится задача определения вероятностных характеристик всех перечисленных параметров движения ракеты по дан- ным вероятностным характеристикам возмущений. Действие ветра вызывает одновременное появление возмущающих си- лы и момента, которые связаны между собой соотношением M(/) = F(Z)J(Z), 40=М')-*с(')]т^у- За счет технологических погрешностей могут появляться возмущаю- щие силы и моменты, как связанные между собой функциональной зави- симостью, так и независимые. Система (3.2) располагает двумя входами, так как возмущающие силы и моменты преобразуются различными операторами. На систему дейст- вуют следующие возмущения: ^W=^W+E^7,(<)+Ev,(z), _ л (3.5) У С где_ _ Fq (f), MQ (/) - систематические составляющие; - некоррелированные случайные коэффициенты с равны- ми нулю математическими ожиданиями, обусловленные случайными со- ставляющими скорости ветра и технологических погрешностей; Л (О’ Л (О’ (0 ” неслучайные функции. Рассматриваемая система «ракета — автомат стабилизации» может быть представлена как многомерная система. При прохождении возмуще- 67
ний (3.5) через линейные операторы, на выходе системы получим парамет- ры движения \|/, z, 5. Обозначим любой из них через Y(t). Тогда получим: У 7 _ = (3.6) у s 7 у C На основании теории линейных преобразований случайных функций, если входное случайное возмущение задано каноническим разложением (3.5), выходная переменная выразится каноническим разложением: y(')=y.(')+Z^W+L^(')+L^W. <37> у 7 < Y(t) является решением выражения (3.6). Математическое ожидание выходной величины равно: ту=м[г0(/)]+^^[кХ(')+1^ИуЛ')+2мИг<(')- У 7 < Все величины Vj центрированные, следовательно ту ~ Ш Дисперсия случайной функции Y(t) будет (38> У 7 < Среднее квадратическое отклонение определится по формуле: = frrfr? (0+(0+(О • (3-9) V у 7 4 < Принимая, что максимальное отклонение случайной величины, подчи- ненной нормальному закону, не превосходит За, получаем, что максималь- ное возможное значение выходной величины не превосходит значения 68
j'(')=n (')±,Ен.!-л2 (<)+XO;2 (<) <310’ У v 7 < Полученная формула (3.10) дает возможность определить любой из параметров стабилизации системы и загрузку управляющих органов с учетом вероятностных характеристик входных сигналов. В инженерной практике часто приходится рассматривать преобразова- ние случайных функций случайными операторами. В совокупности оди- наковых автоматических систем характеристики и значения параметров отдельных систем всегда будут несколько различаться вследствие допус- ков производства и неоднородности деталей, из которых системы соби- раются. В результате операторы однотипных систем всегда получаются в некоторых пределах различными. Оператор системы рассматриваемого типа является случайным при рассмотрении всей совокупности данного типа. Оператор конкретной системы этого типа является реализацией слу- чайного оператора системы. В применении к ракетам это выражается в том, что параметры ракеты, автомата стабилизации и атмосферы в каждом конкретном случае отли- чаются от их номинальных значений. Это приводит к отличию парамет- ров движения и загрузки управляющих органов от значений, полученных при номинальных параметрах системы. Таким образом, возникает целе- сообразность рассмотрения влияния возмущений на линейную случай- ную систему, какой в данном случае является система «ракета — автомат стабилизации». При оценке управляемости особенно важным является определение запасов по загрузке управляющих органов. Опыт разработки ракет пока- зывает, что для первых ступеней минимальные запасы соответствуют району прохождения ракетой максимальных скоростных напоров; для вторых ступеней таким участком является начальный участок после раз- деления ступеней. Именно на этих участках и желательно определить возможную максимальную загрузку управляющих органов, с учетом воз- можных разбросов характеристик системы. К системе приложена совокупность возмущений /=1 Загрузка управляющих органов определяется как <312) 1=1 69
Отклонения параметров системы приводят к тому, что оператор стано- вится случайным, поэтому 80(t) и 8i(t) становятся случайными функциями. Математическое ожидание выходной величины 8 равно и соответствует номинальным параметрам системы. Дисперсия выходной величины 8 равна °. <314) /=1 а среднеквадратическое отклонение + +<т2[3]}. (3.15) V /=1 Случайная величина 8 вызвана совокупным влиянием большого числа независимых случайных факторов, поэтому для нее можно принять нор- мальный закон распределения. В этом случае диапазон возможных откло- нений будет Зсг^ и максимальное возможное значение загрузки управ- ляющих органов не превзойдет величины / п Ъ ± 3 <т‘ [<?,]+£<7г [Г-]{S,1 + <Г! [й. ]}. V /=1 Среднеквадратическое отклонение a[VJ принимаем равным 3 Определение величин a[8j] и а[8о] может быть проведено следующим образом. Интегрируется система (3.2) при отклонении всех параметров в худшую, с точки зрения управляемости, сторону на величину полного допуска при действии возмущения Xj(t). Определяется разность Д£ = 8 -8. обусловленная отклонением параметров от номинальных значений. Сред- неквадратическое отклонение принимается равным 4^1=^- 70
Значение q[8o] определяется аналогично. Вопрос выбора худшего со- четания параметров ракеты и автомата стабилизации в настоящей главе не рассматривается. Расчетная формула для определения максимальной возможной загруз- ки управляющих органов с учетом разбросов параметров динамической схемы имеет вид £ = £±/(Д£ )2 + Ук* и 41 \ и max / I max г max з J (3.16) Здесь ^o(^max^i) ” загрузка управляющих органов при действии системати- ческого (случайного) возмущения и номинальных параметрах динамиче- ской схемы; / Д {У А Азотах I ^/тах —1 - увеличение загрузки управляющих органов за счет отклонений параметров динамической схемы от номинальных значе- ний при действии систематического (случайного) возмущения. Эта формула является оценкой сверху для загрузки управляющих ор- ганов, т. к. при определении c[8i] и с[8о] принимается одновременное максимальное отклонение всех параметров от расчетных значений, веро- ятность которого ничтожно мала. Ниже приводится некоторый численный анализ формулы (3.16). Оги- бающая скорости ветра, используемая при оценке управляемости, состоит из систематической (-33%) и случайной (-67%) составляющих [104]. Возмущения за счет технологических погрешностей в основном являются случайными функциями. Таким образом, можно принять, что выполняет- ся следующее соотношение между систематической (8о) и суммарной случайной (8С) составляющими загрузки управляющих органов Jc>2J0. Наибольшим из рассматриваемых случайных разбросов параметров ракеты, автомата стабилизации и плотности атмосферы для ракет со зна- чительной статической неустойчивостью является разброс плотности ат- мосферы, который может достигать 70 %. Все остальные возможные раз- бросы значительно меньше в процентном отношении и играют меньшую роль при оценке загрузки управляющих органов. Проведенные неодно- кратные расчеты показывают, что можно принять <<5,с, Д<50<^0. 71
Рассмотрим наиболее неблагоприятный случай, если 8С=^ ^8С = 3Г = 80. С учетом разбросов параметров и приведенных выше соотношений 8 = 8. + ^02+4302+^02 = 3.34 (3.17) Без учета разбросов параметров 3 = 380. Погрешность определения загрузки управляющих органов без учета случайных отклонений параметров ракеты, автомата стабилизации и плотности атмосферы в этом случае составляет -10 %. Так как в действи- тельности 8С >230, Ь8С<5С, Ь80<8й, то учет отклонений параметров динамической схемы приведет к увеличе- нию номинальной загрузки управляющих органов менее чем на 10 %. Для ракет, близких к нейтральным, существенное влияние оказывает разброс координат центра давления и центра тяжести. Это может привес- ти к значениям A8j в несколько раз превосходящим 8i. В этом случае так- же по формуле (3.16) может быть проведена оценка ожидаемого увеличе- ния загрузки управляющих органов. 3.2. Оценка управляемости Проведенные многократные расчеты показали, что максимальная за- грузка управляющих органов получается при учете градиентов скорости ветра по высоте. Таким образом, для оценки максимально возможной за- грузки управляющих органов одноступенчатых ракет и I ступеней много- ступенчатых ракет достаточно определить их загрузку в районе макси- мального скоростного напора, за счет действия ветра, с учетом возмож- ных градиентов скорости ветра, в соответствии с методикой [104]. Полу- ченные значения следует геометрически суммировать с загрузкой* управляющих органов, вызванной технологическими погрешностями. При необходимости определения максимально возможных параметров стабилизации в конце полета I ступени ракеты следует провести интегри- рование системы (3.2) при условии действия систематических возмуще- ний и каждого случайного независимого возмущения в отдельности. Суммарные значения могут быть получены по формуле: 72
r(')=U0±J2J’(0- <ЗЛ8> V у Y(t)-z, z, ит. д. С точки зрения максимально возможной загрузки управляющих орга- нов на II ступени наиболее опасным является участок разделения ступе- ней. Для определения параметров стабилизации и загрузки управляющих органов на этом участке можно предложить следующий метод. 1) Интегрированием системы уравнений возмущенного движения I ступени определяются начальные условия для II ступени у0,...уп за счет систематической и каждой из случайных составляющих возмущающих воздействий. 2) Интегрированием системы уравнений возмущенного движения II ступени определяются параметры стабилизации и загрузка управляю- щих органов: - от действия систематической составляющей возмущающих сил и моментов при систематических составляющих начальных воз- мущений - y0(t); - от действия каждой случайной составляющей возмущающих сил и моментов при нулевых начальных условиях - yi(t); - при отработке каждой группы начальных условий и нулевых правых частях - yjn. Суммарные возможные максимальные значения параметров стабили- зации и загрузки управляющих органов II ступени могут определяться по формуле V /=1 7=1 Определенная таким образом загрузка управляющих органов не учи- тывает возможные случайные разбросы параметров ракеты, автомата ста- билизации и плотности атмосферы. Как показано выше, ожидаемое уве- личение загрузки управляющих органов за счет этих факторов может быть определено по формуле (3.16). Предлагаемый метод может быть использован при оценке управляемо- сти с помощью интегрирования системы уравнений возмущенного дви- жения на цифровой вычислительной машине или моделирующей установ- ке непрерывного действия. Полученные результаты разработки вероятностного способа учета влияния возмущающих факторов при оценке управляемости ракет яви- лись базой для создания соответствующего межведомственного руково- 73
дящего документа. «Методика...» содержит алгоритм определения по- требной эффективности управляющих органов всех ступеней ракет на ха- рактерных этапах их полета (старт, участок максимальных скоростных напоров, разделение ступеней, отделение ГЧ и др.). При этом автомат стабилизации описывается приближенным уравне- нием, достаточно точно соответствующим амплитудно-фазовой характе- ристике АС в области низких частот. В «Методике...» изложен следующий порядок проведения расчетов. I ступень 1. Определяются параметры стабилизации и загрузка управляющих орга- нов от действия суммарного ветра с градиентами, задаваемыми по ме- тодике [104]. Строятся огибающие полученных решений - R .Где / w град 0 = f(v,faz,z,8,8,<р,ф,8^,8^). 2. Определяются параметры стабилизации и загрузка управляющих орга- нов от действия систематической составляющей скорости ветра В . 3. Определяются параметры стабилизации и загрузка управляющих орга- нов, обусловленные действием случайной составляющей скорости вет- ра с градиентами, по формуле: В = В -В . 4. Определяются параметры стабилизации и загрузка управляющих орга- нов от действия возмущающих сил и моментов, обусловленных: - весовой асимметрией ракеты - (5ас; - технологическими погрешностями изготовления и монтажа ракеты и двигательной установки - /Зп. 5. Суммарные максимальные значения параметров стабилизации и за- грузки управляющих органов определяются по формуле: ^=|^+Л|+|7<9-.+Л 6. С учетом возможных случайных отклонений параметров ракеты, авто- мата стабилизации и плотности атмосферы максимальные значения па- раметров стабилизации и загрузки управляющих органов могут быть определены по приближенной формуле: । । Г~> "> '> /<=|А, +A.I+ fa. • 74
где ДД = Д - Д. Д’(Д) - значения параметров стабилизации и загрузки управляющих органов при отклонении всех параметров изделия, автомата стабилиза- ции и плотности атмосферы в худшую с точки зрения управляемости сторону на величину полного допуска (при номинальных параметрах динамической схемы). II и последующие ступени ракеты 1. Составляющие начальных возмущений, определяемые как ошибки ста- билизации в конце I ступени, следующие: - систематическая Я? = Вк + Вк, r'O Iwq г'ас^ - случайная BQ = Вк , BQ = Вк, где Д*о? Д*с, Д* , ft* - ошибки стабилизации в конце I ступени, обусловленные действием систематической составляющей ветра, мо- мента от весовой асимметрии изделия, случайной составляющей скоро- сти ветра с градиентами и возмущающих сил и моментов от техноло- гических погрешностей соответственно. Дополнительно учитываются случайные возмущения за счет процесса « /эО разделения ступеней - р. 2. Определяются составляющие параметров стабилизации и загрузки управляющих органов: До - от действия алгебраической суммы возмущающих сил и момен- тов за счет систематической составляющей скорости ветра и весовой асимметрии изделия при начальных возмущениях Д^; Pw - от действия случайной составляющей скорости ветра при нуле- вых начальных возмущениях; Рп - от действия возмущающих сил и моментов, обусловленных тех- нологическими погрешностями, при нулевых начальных возму- щениях; Ди» п > Рпп <>Рр ~ за счет начальных возмущений Д ° , Д °, Д °. 3. Суммарные максимальные значения параметров стабилизации и за- грузки управляющих органов определяются по формуле: а=|А| + #;.+а:"С-+А+А;. 75
4. С учетом возможных случайных отклонений параметров изделия, ав- томата стабилизации и плотности атмосферы составляющие началь- ных возмущений II ступени следующие: - систематическая /3% = /3^ + - случайные ДД° = Д/?*о + Д/?*с /□00 _ nkQ лОО __ nkQ rwa Р5 Рп Рп ’ где - ошибки стабилизации в конце I ступени, обусловлен- ные действием систематической составляющей скорости ветра и мо- мента от весовой асимметрии изделия при номинальных параметрах I ступени; Д/?*о, Д/7*с - увеличение pk^pkac за счет отклонений параметров I сту- пени; ” ошибки стабилизации в конце I ступени, обусловленные действием случайной составляющей скорости ветра с градиентами и возмущающими силами и моментами от технологических погрешно- стей при неблагоприятном сочетании параметров I ступени. 5. Суммарные максимальные значения параметров стабилизации и за- грузки управляющих органов могут быть определены по приближен- ной формуле: Здесь: Д, Д, , Д, Д “ с°ставляющие параметров стабилизации и загрузки управляющих органов при номинальных параметрах II ступени; ДД,ДД ,&/3n,&/3in - увеличение составляющих параметров стаби- лизации и загрузки управляющих органов за счет неблагоприятного сочетания параметров II ступени; Рт— пъРпп^Ррп ~ составляющие параметров стабилизации и загрузки управляющих органов за счет начальных возмущений * * ♦ 76
Необходимость разработки и выпуска соответствующего документа по вероятностному способу учета влияния возмущающих факторов при оценке управляемости ракет в начале шестидесятых годов прошлого сто- летия определялась целым рядом обстоятельств, которые могут иллюст- рироваться двумя примерами: 1. На базе боевой одноступенчатой баллистической ракеты среднего радиуса действия (8К63) создавалась PH легкого класса 11К63 для за- пусков КА на околоземные орбиты в интересах Академии наук - для решения научных и Министерства обороны - прикладных задач. Целесообразность выбора такого направления создания PH представ- лялась очевидной как с экономической, так и с организационной позиций, но только при условии использования боевой ракеты практически без из- менений ее конструкции. Более того, первые несколько десятков пусков PH должны были производиться из существующих ШПУ боевой ракеты. Способ старта из шахты - свободный газодинамический, из пускового стакана, на собственном двигателе. Диаметр пускового стакана был выбран из условия обеспечения без- ударного выхода боевой ракеты при действии на нее приземного ветра со скоростью до 25 м/с. Соответственно зазор между «опасной» точкой, ко- торой являлась наиболее удаленная от продольной оси ракеты точка кор- пуса хвостовой части, и радиусом внутреннего стакана шахты составлял 1,4 м. Длина PH 11К63 на 8,5 м (на 38 %) больше, чем длина ракеты и боль- ше глубины ШПУ, т. е. воздействие приземного ветра на PH было уже с нулевой секунды с соответственно большим возмущающим моментом. Кроме того, продолжительность движения носителя в шахте (т. е. время воздействия), из-за увеличения на ~ 20 % стартового веса, стала сущест- венно больше времени выхода из шахты боевой ракеты. В результате определенная по действовавшей методике допустимая скорость приземного ветра сократилась практически вдвое, что не позво- ляло обеспечить нормальную эксплуатацию. При вероятностном подходе к решению данной задачи величина допустимого приземного ветра прак- тически осталась на уровне, заданном для условий эксплуатации боевой ракеты [131]. 2. Для создания мобильного грунтового старта межконтинентальной баллистической ракеты было необходимо разработать ракету сверх- легкого класса со стартовым весом не более 30 тс. При этом конст- рукция ракеты должна быть достаточно прочной при действии дли- тельных вибрационных и ударных перегрузок, возникающих в процессе транспортировки. 77
Очевидно, что оптимальным решением такой задачи являлось бы соз- дание твердотопливной ракеты на высокоэнергетическом (Руд > 320 с) смесевом топливе и легком композитном высокопрочном конструкцион- ном материале. Но в то время ни того, ни другого в СССР и даже в мире не было [51], [52]! В связи с этим была разработана ракета по оригинальной схеме: I сту- пень - твердотопливная, II - жидкостная, ампулизированная, с «задемп- фированными» высококипящими компонентами топлива. Поскольку реально в тот период был определенный задел только по ТТРД со стальным корпусом и практическим удельным импульсом (без учета потерь на управление) на Земле/в пустоте - 231/265 с, было необхо- димо создание ЖРД с предельно высокими (для высококипящих компо- нентов) удельными характеристиками как по импульсу, так и по весогаба- ритным параметрам. Реально создание ЖРД с предельно высокими удельными характери- стиками было возможно только при минимально потребной эффективно- сти управляющих органов, не требующих существенных весовых затрат на их приводы, а также крепление и питание последних. Такой двигатель был создан с тягой 14 тс, удельным пустотным им- пульсом 327,5 с, с управлением по осям Т и Р путем вдува газогенератор- ного газа в закритическую часть сопла, при максимальной потребной управляющей силе < 300 кгс. Потери Руд на управление были менее 1 с. ♦ ♦ ♦ 78
Глава 4 СИСТЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ Задачей системы стабилизации (СС) ракеты является обеспечение устойчивого углового движения относительно ее центра масс, а также управление движением центра масс в боковом и нормальном направ- лениях. В соответствии с этим, система стабилизации состоит из автомата уг- ловой стабилизации (АУС) и автоматов боковой (БС) и нормальной (НС) стабилизации. В связи с малостью углов отклонения ракеты относительно их про- граммных значений движения вокруг трех осей связанной системы коор- динат принимаются независимыми - каналы тангажа (<9), рыскания (Iff) и вращения (ф). Ракета совместно с системой стабилизации образует замкнутую систе- му автоматического регулирования. Динамические свойства этой системы зависят как от свойств ракеты, так и от характеристик системы стабилиза- ции. Главной частью замкнутой системы является ракета как объект управления. Система стабилизации должна обеспечивать устойчивость движения ракеты, поэтому свойства СС зависят от динамических свойств объекта управления. 4.1. Требования к параметрам системы стабилизации Задачи, решаемые системой управления в целом и системой стабили- зации в частности, а также способы и методы их решения, из-за ограни- ченности объема книги приводятся в минимальном объеме. Для преемственности со специальной литературой по СУ и с ранее опубликованными трудами, материалы по существу вопроса в основном изложим в редакции [87], [88], апробированной многолетней практикой со- ответствующего вузовского курса. Рассмотрим частотные характеристики абсолютно твердой ракеты и требования, которые предъявляются к автоматам стабилизации, чтобы замкнутая система была устойчива. Проанализируем уравнения возмущенного движения в плоскости рыс- кания. Вместо уравнений (2.26) рассмотрим уравнения движения, полу- ченные в неподвижной системе координат. В силу симметрии ракеты они будут такими же, как уравнения (2.27) для плоскости тангажа: 79
где К + CVZVZ К + CVZ^ + CVZ8$ ~~ V + + cV4,y/ + V2 + с^З = О, cvv = 1 PV* S(c^+cx), гл mVH 2 ' 2 x> cv =-—fp ’ 2 2 J’ cv,s= г m = 7 ^sllct+2Hmcj ](х~хм)<* > * & r \ / . =-^-Slcfi, ¥¥ i 2 m (4.1) *0? ^¥¥ (4.2) r H c4>s =yRt(xp~xu)- Боковое движение центра масс относительно номинальной траектории более медленное, чем угловое движение относительно центра масс. По- этому при исследовании углового движения в первом приближении мож- но пренебречь смещениями центра масс, а при исследовании бокового движения центра масс - пренебречь угловым ускорением у/ и угловой скоростью \jf. Тогда вместо (4.1) получим две упрощенные независимые системы уравнений: уравнение углового движения относительно центра масс ¥ + Суу¥ + Суу¥ + cvs8 = °> <4-3) и уравнения бокового движения центра масс + Сугуг Vz + + cvz8$ = СууУ + СууУг+С^З^. Передаточная функция по углу рыскания на основании упрощенного уравнения (4.3) будет 80
к ~С^ Л ’ 8 рг + рс^+с„ (4.5) Положив р = io, получим комплексное передаточное число K(i(o) =---------------7 = U((o\ + iV(a>\ (4.6) с + icoc — со Знак коэффициента с определяется знаком коэффициента . Для статически устойчивой ракеты С^>0, для статически неустойчивой < 0, для нейтральной = 0. Какими свойствами должен обладать автомат стабилизации, чтобы уг- ловое движение относительно центра масс замкнутой системы было ус- тойчивым? Чтобы ответить на этот вопрос, проведем анализ свойств ком- плексного передаточного числа (ю) регулируемого объекта, опреде- ленного уравнением (4.6). Для простоты рассуждений пренебрежем демпфированием, т. е. примем С^- 0. Рассмотрим три разных случая. 1. Статически неустойчивая ракета, С& < 0. Годограф комплексного передаточного числа К (ио) на плоскости Z = U(a>)+iV(o>) показан на рис. 4.1. Это отрезок положительной вещест- С X венной полуоси 0, , причем, как следует из сравнения коэффициен- тов C^g и с на некоторых участках траектории, может быть С s!c <\9 81
Знаменатель комплексного передаточного числа K^ypj имеет один положительный корень р = , поэтому согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф комплексного передаточного числа всей разомкнутой цепи К(1ш) = К„ (,ш)КАС(/ш) = А, (а)ААС = A(a)elr<‘> делал один положительный полупереход оси OU правее точки С(1ДО). С учетом запаздывания автомата стабилизации на больших частотах такой годограф представлен на рис. 4.2. Рис. 4.2 Для обеспечения устойчивости движения амплитудно-фазовые ха- рактеристики автомата стабилизации должны обладать следующими свойствами. Во-первых, на малых частотах, в том числе обязательно и при со = О, автомат стабилизации должен усиливать сигнал, т. е. обладать коэффици- ентом усиления k > 1. Это необходимо для того, чтобы точка А на оси U была расположена правее точки С( 1 ДО). Во-вторых, автомат стабилизации на малых частотах должен выраба- тывать опережение по фазе, чтобы фаза разомкнутой цепи на малых частотах была положительной. Это опережение по фазе должно обеспечиваться корректирующим контуром АС. В-третьих, для того чтобы годограф K(ico) делал один положительный полупереход оси U правее точки С(1ДО), необходимо опережение по фазе 82
в диапазоне частот [0, со0]. Здесь со0 - частота, при которой опережение по фазе автомата стабилизации переходит в запаздывание, флс(®о) = 0. Чем больше коэффициент усиления к, тем до больших частот должно осуще- ствляться опережение по фазе, чтобы точка В на оси U всегда была распо- ложена левее точки С. Следовательно, коэффициент усиления к должен быть не менее неко- торой определенной величины (обозначим ее kmin), чтобы точка А (со = 0) на оси U была правее точки С и не более кщах, чтобы точка В (со = ©о) была левее точки С. Другими словами, коэффициент усиления должен быть ог- раничен сверху и снизу кmin < к < ктях . (4.7) Если точка В будет совпадать с точкой С, то замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, малые возмущения будут вызывать в системе незатухающие колебания. Так как фдс(й>о) = 0, то 8 = к((о0)ф и для этого случая <4-8> -со Из этого выражения можно найти частоту собственных колебаний замкнутой системы й) = А/Л(й)0)с^ + с(^. Для устойчивости замкнутой системы точка В должна располагаться левее точки С, поэтому автомат стабилизации должен обеспечивать опе- режение по фазе до частот > ^{(O^g+c^. (4.9) При рассмотрении устойчивости замкнутых систем используются та- кие условные понятия, как запас устойчивости по фазе, запас устойчиво- сти по амплитуде, или, что то же самое, запас устойчивости по коэффици- енту усиления. Запас устойчивости по фазе характеризуется углом опере- жения ф*(со) при А(со) = 1, запас устойчивости по амплитуде - отношением длины отрезка ВС (так же, как и длины отрезка АС) к длине отрезка ОС равной единице. Чем больше отрезок ВС (АС), тем больше запас устойчи- вости по амплитуде. Запас устойчивости дает возможность судить о до- пустимых пределах изменения параметров системы без нарушения ее ус- тойчивости. Для того, чтобы замкнутая система имела запас устойчивости по ам- плитуде, на основании соотношений (4.7) и (4.8) для статически неустой- чивой ракеты (cvv<0) необходимо, чтобы выполнялись следующие нера- венства: 83
CW8 (4.Ю) Для того, чтобы замкнутая система имела запас устойчивости по фазе, необходимо, чтобы автомат стабилизации по каналу у имел опережение по фазе в диапазоне частот [0, соо]- 2. Статически устойчивая ракета, с > 0. Годограф комплексного передаточного числа регулируемого объекта показан на рис. 4.3. Он расположен на вещественной оси комплексной плоскости Z. Там же пунктиром показан годограф с учетом коэффициента демпфирования^. При с^=0 знаменатель комплексного передаточного числа в (4.5) имеет два чисто мнимых корня, регулируемый объект нахо- дится на границе устойчивости; при > 0 объект устойчив, но с малым запасом устойчивости по фазе. Присоединение к регулируемому объекту автомата стабилизации, обладающего запаздыванием на больших часто- тах, приводит к появлению точки В (на рис. часть годографа разомкнутой цепи изображена кривой а). Для того, чтобы замкнутая система имела запас устойчивости по фазе, необходимо, чтобы автомат стабилизации обладал опережением по фазе до частот соо, определяемых неравенством (4.9). Величина соо является важной характеристикой автомата стабилизации. Как будет показано дальше, эта величина используется при оценке устойчивости движения ракеты с учетом колебаний жидкости в баках. Замкнутая система будет иметь запас устойчивости по амплитуде, если коэффициент усиления автомата стабилизации будет ограничен сверху, т. е. 84
c^s Ограничение коэффициента усиления снизу в рассматриваемом при- мере не имеет места. 3. Нейтральная ракета, с =0. Годограф комплексного передаточного числа объекта регулирования при с = 0 совпадает с вещественной полуосью (рис. 4.4), знаменатель комплексного передаточного числа в (4.5) имеет два нулевых корня. Рис. 4.4 Если на малых частотах пренебречь динамическими свойствами авто- мата стабилизации и принять 8 = ку, то уравнение замкнутой системы будет иметь вид p2y+kcvSy = 0. При наличии возмущений замкнутая система будет совершать незату- хающие колебания с собственной частотой Эти колебания свидетельствуют о том, что замкнутая система нахо- дится на границе устойчивости О) Годограф разомкнутой цепи на рис. 4.4 изображен кривой а. Вслед- ствие запаздывания, обусловленного автоматом стабилизации на больших частотах, появляется отрицательное пересечение вещественной оси - точ- ка В. Для того чтобы замкнутая система обладала запасом устойчивости 85
по амплитуде, необходимо, чтобы автомат стабилизации обеспечивал опережение по фазе в диапазоне частот [0, со0], где Следовательно, коэффициент усиления здесь должен быть ограничен только сверху, т. е. г *гаи(‘»о)<—• Су8 Присоединение к нейтральной ракете автомата стабилизации, обла- дающего указанными свойствами, приводит к тому, что замкнутая систе- ма становится колебательным звеном с демпфированием. Величина коэффициента с зависит от скоростного напора q, момен- та инерции ракеты, взаимного расположения центра масс и центра давле- ния, которые во время полета изменяются. Поэтому даже для одной и той же ракеты в разные моменты времени могут иметь место ситуации, когда > 0, с < 0, = 0. Во всех этих случаях автомат стабилизации дол- жен обеспечить устойчивость движения. Подводя итог, можно сформулировать два следующих основных тре- бования к автомату угловой стабилизации: 1) автомат стабилизации должен обеспечивать опережение по фазе в диапазоне частот [0, соо]; 2) коэффициент усиления автомата стабилизации должен быть ог- раничен и сверху и снизу. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики автомата стабилизации, отвечающие перечисленным требованиям и приведенной ниже структуре, показаны на рис. 4.5. Увеличение коэффициента к(а>) = Адс(со) по сравнению со статическим в некотором диапазоне частот обу- словлено наличием в цепи АС корректирующего контура. 86
Чтобы решить, каким должен быть диапазон частот [0, соо] и какие ог- раничения должны быть наложены на коэффициент усиления кпшх(<»о), kmin, надо провести анализ комплексных передаточных чисел регулируе- мого объекта и всей разомкнутой цепи для всех возможных моментов времени полета. Для примера на рис. 4.6 приведены типичные амплитудно-частотные характеристики статически устойчивой ракеты для трех характерных мо- ментов времени - непосредственно после старта, при малом и при боль- шом скоростном напоре q. Для построения характеристик было использо- вано комплексное передаточное число к.W = , г г1 = 4, 1й)\ С +l<D\Cvl, 4- С • | — О) |_ VV 1 / J (4 11) — Cvl5 &L ~ СУгУг СрУг 9 соответствующее полной системе уравнений (4.1) с учетом, что Рис. 4.6 Характеристики построены в логарифмическом масштабе, что очень удобно при практическом расчете автоматических систем. Такие характе- ристики называются логарифмическими амплитудно-частотными харак- теристиками (ЛАХ). По оси ординат откладывается величина Zr(o) = 201g4,(a>), 87
которая измеряется в децибелах (дб). Увеличение Lv(co) на каждые 20 дб соответствует возрастанию амплитуды в 10 раз. Нулевая точка на оси ординат соответствует усилению амплитуды А0(о>) = 1. Ослаб- лению амплитуды А0(а>)<1 соответствуют отрицательные значения ор- динаты Lv(a>). По оси абсцисс откладываются значения со в логарифмическом мас- штабе. Единицами масштаба для оси абсцисс служат октава и декада. Ка- ждой октаве соответствует увеличение частоты со в 2 раза, каждой дека- де - в 10 раз. Частота, при которой логарифмическая характеристика пе- ресекает ось абсцисс, называется частотой среза а>с- При большом q на низких частотах логарифмическая характеристика имеет такой же вид, как и характеристика интегрирующего звена; наклон характеристики составляет - 20 дб/дек; наклон уменьшается до 0 дб/дек при частоте cdl. При имеет место резонансный пик, величина ко- торого зависит от общего демпфирования (сии +с^). Демпфирование создастся угловым движением ракеты, а демпфирование cvv - попереч- ным движением центра масс. При логарифмическая характери- стика имеет такой же вид, как характеристика колебательного звена; на- клон характеристики равен -40 дб/дек. На начальном участке траектории и на больших высотах скорост- ной напор уменьшается и амплитудно-частотная характеристика будет такой, какая имеет место при малом q. Величины <dc, cdl здесь значительно меньше, а резонансная амплитуда немного больше по сравнению с соответствующими величинами при большом q. За время полета в обычных условиях резонансная частота мо- жет изменяться примерно от 0,2 до 10 1/с. Резонансная амплитуда мо- жет изменяться в 3—4 раза при большом q и примерно в 100 раз при малом q. В момент непосредственно после старта ракеты аэродинамические си- лы практически отсутствуют, поэтому на амплитудно-частотной характе- ристике нельзя указать ни резонансной частоты, ни частоты <пь. Единст- венной поперечной силой в этом случае является сила от управляющих органов, и частота среза зависит от момента этой силы. На основании (4.10) частота среза Наклон амплитудно-частотной характеристики непосредственно после запуска равен —40 дб/дек. В этом нетрудно убедиться, так как 88
Л И) Л (10<ц) 201g Д, («ц)-201g Д, (10<ц ) = 201g Су8 = 201g—— = 201gl00 = 40 дб/дек. Су8 (10<ц)2 Более полную информацию для выбора коэффициентов усиления ав- томата стабилизации можно получить путем построения областей устой- чивости [87]. На основе рассмотрения семейства характеристик (см. рис. 4.6) и по- строения соответствующей (например, в плоскости параметров К^-К^) области устойчивости можно установить более конкретный диапазон час- тот [0, <х>о] и верхнюю и нижнюю границы для коэффициента усиления ав- томата стабилизации. Однако выбрать эти величины окончательно и назна- чить запасы устойчивости по коэффициенту усиления (по амплитуде) и по фазе на основании таких характеристик еще нельзя. Выбор запасов устой- чивости - задача более сложная. Здесь нужно принимать во внимание воз- можные разбросы параметров ракеты, отклонения параметров и характери- стик автомата стабилизации, зависимость характеристик от температуры, вибраций и других факторов. Величины этих параметров можно опреде- лить на основе опыта эксплуатации ракет и систем их стабилизации. В практике динамического проектирования ракет как объектов управ- ления используют способ построения АФЧХ и областей устойчивости для так называемых «крайних режимов», т. е. наихудшего сочетания парамет- ров системы. Рассмотрим теперь динамические свойства автономной системы стаби- лизации бокового движения центра масс относительно заданной траектории. Уравнения бокового движения центра масс (4.4) запишем с правой частью + Cv,v, К + СУл№ + CV.8$ ~ ’ m (4.12) M c vV + c w + c s8 = — 4fVz z y/8 у Здесь ZB и Мув - длительно действующие возмущающие факторы, обу- словленные ветром, несовпадением вектора силы тяги двигателей с про- дольной осью корпуса и т. д. Система стабилизации центра масс должна компенсировать действие возмущающих факторов. Пусть, например, сила ZB и момент Мув возникли в результате действия на ракету ветра. Тогда автомат угловой стабилиза- 89
ции повернет рули на некоторый угол 8, чтобы уравновесить возмущаю- щий момент и держать корпус ракеты параллельно плоскости стрельбы (\|/ = 0). Кроме поперечной силы, на корпус ракеты будет действовать еще и поперечная управляющая сила Zp, причем в случае статически устойчи- вой ракеты (сгг >0) силы ZB и Zp будут направлены в разные стороны, а в случае статически неустойчивой ракеты эти силы будут направлены в одну сторону. Под действием сил ZB и Zp центр масс ракеты будет пере- мещаться в боковом направлении. Чтобы компенсировать действие сил ZB и Zp, автомат стабилизации центра масс должен повернуть корпус ракеты (вектор силы тяги двигате- лей) так, чтобы сумма проекций на ось z сил ZB, Zp и Рэ была равна нулю, или точнее, чтобы скорость Vz центра масс была равна нулю. Для стати- чески неустойчивой ракеты угол поворота должен быть больше, чем для статически устойчивой. Таким образом, система угловой стабилизации стремится держать ось ракеты в плоскости стрельбы, а система стабили- зации центра масс должна выводить эту ось из плоскости стрельбы. Одним из возможных законов формирования сигнала в канале стаби- лизации центра масс [87] будет S = ky/-k{Vz -k2z9 (4.13) где z - координата смещения центра масс. Так как стабилизация центра масс и угловая стабилизация осуществляются одними и теми же исполни- тельными органами, то структурная блок-схема автомата стабилизации в плоскости рыскания будет иметь вид, показанный на рис. 4.7. Рис. 4.7 Определим некоторые требования к выбору коэффициентов усиления ki и кг, для чего из уравнений (4.12) и (4.13) установим зависимость меж- ду координатой z смещения центра масс и возмущающей силой ZB. При- няв Vz= pz, Мув= 0, получим 90
{p2(cw +kcvS)+ р[суЛ +Ц,« ) C¥Vz + kcv6 ) + +^1 (CVzyCy8 ” C^CVZ8 )] + ^2 (CV^Cy5 — CYYCVZ6 )}^ = ~ +^5 При соответствующем выборе коэффициентов ki и кг можно обеспечить хорошее качество переходного процесса. Чем больше коэффициент к2, тем меньше статическое смещение центра масс, т. е. „ _ + fays т ^2 (CVzpCy8 ~~ CyyCVz8 ) и тем выше частота собственных колебаний центра масс J^2 (CVzyCy8 ~ СугуСУг8 ) cw + kc^s Но с увеличением коэффициента к2 может несколько уменьшиться за- пас устойчивости по каналу \|/. Как видно из уравнения смещения центра масс, коэффициент ki опре- деляет затухание системы. Чем больше ki, тем быстрее затухают колеба- ния центра масс. Выбор значений коэффициентов усиления ki и к2 канала стабилизации центра масс можно производить следующим образом: задаваясь возмуще- ниями Zb и Мув, решить уравнения (4.11) и (4.13) для разных фиксирован- ных моментов времени полета и найти зависимости Vz и z от коэффици- ентов ki и к2, причем, если значения ki и к2 будут большйми, то в уравне- нии моментов следует учитывать и ф. Руководствуясь требованиями к точности полета, на основании полученных зависимостей можно выб- рать приемлемые значения коэффициентов ki и к2. Анализ уравнений с постоянными коэффициентами дает лишь качест- венное представление о том, как будет осуществляться стабилизация цен- тра масс. В реальных условиях коэффициенты уравнений и возмущающие силы во время полета изменяются, и получить представление о макси- мальной скорости Vz и максимальной накопленной ошибке в отклонении координаты z можно из решения уравнений с переменными коэффициен- тами на ЭЦВМ или на электронной моделирующей установке. Только по- сле этого можно сделать окончательный выбор коэффициентов ki и к2. Структура уравнений возмущенного движения в плоскости тангажа такая же, как и в плоскости рыскания, поэтому требования к автоматам угловой стабилизации и стабилизации центра масс практически такие же, как и к автоматам стабилизации движения в плоскости рыскания. 91
Более простым является уравнение возмущенного движения относи- тельно продольной оси Ф + с^ф+с^б^О. (4.14) Коэффициент обусловлен аэродинамическими силами, коэффици- ент - управляющими силами. Комплексное передаточное число по углу крена Примеры амплитудных частотных характеристик в логарифмическом масштабе приведены на рис. 4.8. При большом q на низких частотах на- клон характеристики равен -20 дб/дек с изменением наклона до -40дб/дек при частоте со = с^. Точка пересечения этой характеристики с осью частот определяет частоту среза сос- С уменьшением q на больших высотах амплитудная частотная характеристика изменяется в соответст- вии с характеристикой для малого q. Характеристика «Старт» соответст- вует условиям непосредственно после пуска ракеты: когда с^ = 09 а не зависит от скоростного напора q и полностью определяется эффектив- ностью рулевых органов. Структура уравнения (4.14) аналогична структуре уравнения моментов в плоскости рыскания при с^= 0. Поэтому и требования к автомату ста- билизации по каналу крена аналогичны требованиям к каналу угловой стабилизации при с = 0. Частота собственных колебаний ракеты с авто- матом стабилизации относительно продольной оси й> = ^(й>)с^, (4.15) 92
где к(со) - коэффициент усиления автомата стабилизации; <ро хр X Динамическая схема жидкостной ракеты в виде абсолютно твердого тела является схемой первого приближения. На основании этой схемы можно произвести расчет траектории полета и сформулировать основные требования к системе управления и стабилизации. В некоторых случаях такая схема является достаточной. Однако с увеличением удлинения раке- ты допущение о жестком корпусе становится все более условным. При поперечных возмущениях длинный корпус перемещается не как твердое тело, а как гибкий стержень. Учет упругости корпуса позволяет выявить дополнительные динамические свойства, которые существенны, напри- мер, для угловой стабилизации ракеты. Кроме того, содержащиеся в баках ракеты значительные массы жидкого топлива могут перемещаться отно- сительно стенок и создавать дополнительные силы (см. части III и IV). 4.2. Структурная схема системы стабилизации Типовая структурная схема аналоговой (непрерывной) системы стаби- лизации показана на рис. 4.9. Отличия структуры дискретной системы стабилизации, построенной на базе бортовой цифровой вычислительной машины (БЦВМ), приведены в [7], [54] и в части 6 книги. На схеме обозначено: ОУ Ракета как объект управления ККП Комплекс командных приборов. 1. Измеряет углы отклонения ракеты относительно трех взаимно перпендикулярных осей связанной системы ко- ординат с началом в центре масс ракеты. 2. Интегрирует поперечные ускорения центра масс ракеты в боковом (z) и нормальном (у Направлениях. В качестве ККП в современных автономных инерциальных системах управления, как правило, используется трехосный гиростабилизатор с чувствительными элементами, установ- ленными на его «неподвижной», не зависящей от вращения Земли и эволюций ракеты, гиростабилизированной конст- руктивной части («платформе»). ДК Д$ Датчик команд, вырабатывающий электрические сигналы, про- порциональные отклонению угла тангажа от его программного значения ($лр), задаваемого системой управления в соответст- вии с параметрами номинальной траектории полета ракеты. 93
ДК ф, ДК ф Датчики команд углов вращения (крена) и рыскания соот- ветственно. ДК у, Датчики команд, вырабатывающие электрические сигналы, про- ДК z порциональные величинам нормальной и боковой скоростей. )z Усилители сигналов у и z. УП кк Z- )l-IV PMj.iv POi.iv flOCi.iv ОС i-iv Интегрирующие звенья, вырабатывающие электрические сигналы, пропорциональные отклонению центра масс раке- ты в нормальном и боковом направлениях. Прибор усилитель-преобразователь (УПАС) или счетно- решающий прибор (СРП-АС), выполняющий все логические преобразования поступающих в него сигналов. Корректирующие контуры, обеспечивающие коррекцию ди- намических свойств системы стабилизации в каналах танга- жа, рыскания и вращения (крена). Входные каскады суммирования (без гальванической связи) и усиления сигналов, сформированных корректирующими контурами каналов тангажа и вращения, усилителями сигна- лов >у и >у9 а также сигналов отрицательной обратной связи II и IV рулевых машинок. В качестве усилителей- сумматоров нашли широкое применение магнитные модуля- торы или магнитные усилители, в которых каждый «слагае- мый» сигнал подается на свою первичную обмотку. Аналогично для каналов рыскания и вращения, >у и >у, а также сигналов ОС каналов I и III рулевых машинок. Выходные каскады усиления и формирования командных сигналов в рулевые машинки. Рулевые машинки (рулевые приводы), являющиеся испол- нительными элементами системы стабилизации ракеты как объекта управления. Рулевые органы, в качестве которых условно показан способ управления путем отклонения камер двигателей, являющиеся исполнительными элементами объекта управления - ракеты. Датчики отрицательной обратной связи. В отличии от потенциометрических датчиков (ПОС'ов), приме- няемых в системах управления ракет первого поколения, в на- стоящее время, как правило, используются индукционные дат- чики (ИДОС’ы) существенно более надежные в условиях воз- действия значительных по величине вибрационных перегрузок. Цепи жесткой обратной связи, охватывающие РМ и оба кас- када усиления, образуя сервопривод. 94
Рис. 4.9
Назначение практически всех звеньев системы стабилизации и выпол- няемые ими функции представляются очевидными из структурной схемы рис. 4.9. Считаем необходимым более подробно рассмотреть возможные вариан- ты построения корректирующих контуров и цепей обратной связи, учиты- вая их определяющее влияние на динамические свойства системы в целом. 4.2.1. Корректирующий контур В качестве корректирующего контура (КК) можно использовать диф- ференцирующие контуры первого или второго порядка с индукционной и омическими нагрузками (обмотка усилителя). На рис. 4.10 показан дифференцирующий контур первого порядка. За- висимость выходного тока ii от входного напряжения uv выражается дифференциальным уравнением (а2р2 + ахр +1)^ = кд (Тдр + (4.16) где а2 =ЬТдкд, = кд \Тд (К + г) + ’ Тд=ДС, R, г - омическое сопротивление, С - емкость, L - индуктивность. R Рис. 4.10 На рис. 4.11 показан дифференцирующий контур второго порядка или иначе - двухзвенный контур. Рис. 4.11 96
Уравнения такого двухзвенного контура в общем виде могут быть за- писаны как ?кк*\ + ^^kkh + А ~ &кк [Ткк\ + ^‘У/ккТкк^^ + ) или в упрощенном виде (для установившегося режима) А = &кк (TkkUp + 'tykkfkkUyf + и¥ )• С целью создания АС повышенной надежности, обеспечивающего не- обходимые запасы устойчивости на всем активном участке траектории полета ракеты, могут применяться различные варианты коррекции дина- мических свойств системы стабилизации. Например: - использование в качестве КК пассивного дифференцирующего кон- тура второго порядка в сочетании с охватом жесткой отрицательной об- ратной связью контура сервопривода с большим (близким к критическо- му) круговым коэффициентом усиления; - использование дифференцирующего контура второго порядка в со- четании с вводом гибкой внешней отрицательной обратной связи в контур сервопривода; - использование корректирующего контура первого порядка в сочетании с форсированным электронным усилителем каналов угловой стабилизации. Возможно использование этого варианта при настройке параметров АС по одной из границ области устойчивости. Форсирование усилителя обеспечивается вводом в его цепь обратной связи корректирующего контура в виде Ri R2 С; -0 UBx Cl * Q * U вых 0------X——-1—0 Передаточная функция корректирующего контура имеет вид +Зтр+Г Передаточную функцию всего тракта можно записать в виде V ' l + /?r2T r2+3rTx ^ + 7^ \+ри \+р \+р Использование последнего варианта коррекции динамических свойств системы стабилизации позволили создать АС, обеспечивающий (в сочета- нии с плавным изменением коэффициента усиления Ку) стабилизацию ра- кеты, имеющей значение степени статической неустойчивости - коэффи- циент с - равное-12 1/с2! 97
Глава 5 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ Исследование устойчивости движения современных баллистических ракет относительно программной траектории представляет сложную тех- ническую задачу. Сложность задачи обусловлена тем, что, как показано в главе III, возмущенное движение ракеты описывается системой диффе- ренциальных уравнений высокого порядка с переменными коэффициен- тами, а возмущающие воздействия являются нестационарными случай- ными функциями. Существуют два подхода к исследованию устойчивости движения. По- становка задачи, сформулированная А. М. Ляпуновым [103], характеризу- ется следующими особенностями: - рассматривается бесконечный интервал времени, - устойчивость рассматривается только по отношению к начальным возмущениям, - начальные и последующие возмущения считаются малыми. В ракетной технике широкое применение нашло понятие технической устойчивости движения, разработанное и введенное Н. Д. Моисеевым [108], а именно: - рассмотрение устойчивости на конечном интервале времени, - устойчивость рассматривается по отношению к начальным возму- щениям и постоянно действующим возмущающим силам и моментам. Рассматривая в качестве критерия обеспечение движения ракеты по траектории, близкой к программной, можно сказать, что устойчивость в смысле Ляпунова не является ни необходимым, ни достаточным услови- ем, а только техническая устойчивость дает необходимые и достаточные условия выполнения задачи. Следует, однако, подчеркнуть, что если сис- тема устойчива в смысле Ляпунова, то надлежащим выбором величины управляющих воздействий ее всегда можно сделать технически устойчи- вой по отношению к произвольным возмущающим воздействиям. В силу этого существующий метод проектирования системы управления ракет предусматривает обеспечение локальной динамической устойчивости движения в смысле Ляпунова. Таким образом, деление задачи на управляемость, стабилизацию и ус- тойчивость является весьма условным, поскольку проблема обеспечения динамической устойчивости современных баллистических ракет нераз- рывно связана, и более того, включает в себя рассмотренные в предыду- щих главах задачи: 98
- определение характеристик автомата стабилизации и связанные с ним расчеты локальной динамической устойчивости движения в смысле Ляпунова, - определение потребной эффективности управляющих органов и связанные с ним расчеты технической устойчивости движения с учетом возмущающих воздействий. Устойчивость в смысле Ляпунова определяется внутренними свойст- вами системы, поэтому при ее исследовании стремятся как можно полнее математически описать как ракету, так и автомат стабилизации, при этом учитываются высокочастотные осцилляторы, определяемые колебаниями жидкого наполнения топливных баков, упругими колебаниями корпуса и их взаимным влиянием. Наиболее полная система дифференциальных уравнений, описывающих возмущенное движение ракет, получена в рабо- тах [106], [107] и обобщена в [143]. Методы исследования устойчивости возмущенного движения очень многообразны, наибольшее распространение получили частотные и ал- гебраические методы. Окончательная проверка динамической устойчиво- сти движения ракеты проводится путем моделирования возмущенного движения по полной динамической схеме с реальной аппаратурой автома- та стабилизации. При проектировании автомата стабилизации стремятся к тому, чтобы надлежащим выбором его характеристик исключить из спектра собствен- ных движений замкнутой системы составляющие, соответствующие коле- баниям жидкости и упругим колебаниям корпуса. Благодаря этому, замк- нутая система в возмущенном движении ведет себя как система «твердое тело+автомат стабилизации», и для расчетов по определению потребной эффективности управляющих органов можно пользоваться упрощенной системой уравнений возмущенного движения, описывающей ракету как абсолютно жесткое твердое тело, уделяя главное внимание вопросу пол- ного учета возмущающих воздействий. Одним из важных вопросов динамического проектирования является определение и назначение запасов устойчивости движения, гарантирую- щих работоспособность системы во всех эксплуатационных режимах. Следует отметить, что обеспечение запасов устойчивости в смысле Ляпу- нова во многих случаях может быть достигнуто без усложнения и утяже- ления системы стабилизации. Что же касается запасов технической устой- чивости, то они могут быть получены только за счет увеличения эффек- тивности управляющих органов, что накладывает более жесткие требова- ния к техническому обоснованию применяемых методов расчета. Эта сторона менее всего освещена в специальной литературе. 99
Сложность задачи обусловлена тем, что, как показано в главе III, ха- рактеристики ракеты и возмущающие воздействия описываются случай- ными функциями. Наиболее корректным является вероятностный подход к решению этой задачи, поскольку при создании совершенных по удель- ным характеристикам ракетных систем недопустимы избыточность и «за- пасы», приводящие к потере энергетики. Известным способом решения сложных вероятностных задач является метод статистических испытаний. Препятствием для его использования в задачах исследования технической устойчивости движения ракет в шес- тидесятые годы являлись большие затраты машинного времени, связан- ные с численным интегрированием уравнений возмущенного движения. Рассмотрим инженерные методы исследования технической устойчи- вости ракет применительно к задаче динамического проектирования. Основное внимание будет уделено рассмотрению приближенных ре- шений, требующих минимальных затрат труда и времени и дающих в то же время достаточно надежные оценки технической устойчивости движе- ния. Анализ технической устойчивости ракеты как стохастической систе- мы рассмотрим на примере решения задачи определения потребной эф- фективности управляющих органов ракеты, описываемой нестационар- ным случайным линейным оператором, находящейся под воздействием случайных нестационарных возмущающих факторов. 5.1. Вероятностная математическая модель ракеты. Постановка статистического эксперимента Исходной системой уравнений при анализе технической устойчивости ракет является система уравнений возмущённого движения (5.1), которая в матричной форме имеет вид: х = Ax + Bx + Q, (5.1) где х - обобщенная координата системы, А, В - матрицы коэффициентов, Q - столбец возмущающих воздействий. Элементы матриц А, В и столбца Q являются функциями параметров атмосферы, движения ракеты и автомата стабилизации и с учетом воз- можных эксплуатационных отклонений последних от номинальных зна- чений должны рассматриваться как случайные функции времени. Задача анализа динамики стохастической системы (5.1) частично рас- смотрена в предыдущих главах. При этом был следующий подход: веро- ятностный анализ устойчивости системы в смысле Ляпунова и независимо от этой задачи рассмотрение вероятностных способов задания возму- щающих воздействий. 100
Такой подход является недостаточно корректным, так как вероятност- ные характеристики оператора системы (исследование устойчивости в смысле Ляпунова) взаимосвязаны с вероятностными характеристиками возмущающих воздействий (исследование технический устойчивости). Неполный совместный учет вероятностных характеристик как оператора системы, так и возмущающих воздействий проведен в главе III, в резуль- тате получены оценки сверху управляемости ракет. Наиболее общим методом решения сложных вероятностных задач яв- ляется метод статистических испытаний, позволяющий учесть вероятно- стные характеристики большого числа случайных величин. Однако такой метод с использованием применяемого в настоящее вре- мя численного интегрирования системы уравнений возмущенного движе- ния был бы связан с большими затратами машинного времени (от 2 до 5 часов времени работы ЭВМ в зависимости от полноты постановки зада- чи)*), что, безусловно, затрудняло его использование в практике проект- ных организаций. Затраты машинного времени можно сократить во много раз, если при постановке статистического эксперимента воспользоваться приближен- ным решением. При постановке статистического эксперимента необходи- мо учитывать следующие вопросы: - вероятностное описание случайных функций, определяющих мат- рицы А, В и столбец Q; - количество опытов, необходимое для надежного определения ста- тистических характеристик загрузки управляющих органов; - необходимая точность аппроксимации возмущающих воздействий; - степень влияния отклонений отдельных параметров на статистиче- ские характеристики загрузки управляющих органов. Параметры, характеризующие ракету как стохастическую систему, можно разбить на две группы: параметры, определяемые состоянием ат- мосферы (плотность воздуха и скорость ветра), и параметры, определяе- мые ракетой и автоматом стабилизации (массовые, инерционные, центро- вочные, аэродинамические характеристики ракеты, тяга основных и управляющих двигателей, коэффициенты усиления автомата стабилиза- ции и т. д.). Частичный анализ ветрового поля атмосферы проведен в главе I. Там показано, что скорость ветра является случайной величиной с ненулевой средней. Предложено несколько вариантов описания скорости ветра как случайной функции высоты для различных задач проектирования ракет: ) Оценка соответствует состоянию вычислительной техники в шестидесятые годы прошлого столетия. 101
огибающая предельных ветров, каноническое разложение, градиентное задание скорости ветра. Задача анализа технической устойчивости ракет относится к классу за- дач, в которых существенную роль играет не только величина скорости ветра в данный момент времени, но и вся предыстория изменения профи- ля ветра по высоте. Этому требованию лучше всего отвечает задание ско- рости ветра в виде канонического разложения. Но каноническое разложе- ние в работе [104] составлено для узловых высот с шагом 3 км и в силу этого не отражает свойства ветрового поля в слоях Ah < 3 км. Кроме того, методика [104] рекомендует при оценке управляемости ракет задавать скорость ветра по огибающей предельных скоростей ветра, скорректированной градиентом скорости ветра. Однако такой способ не учитывает высотную корреляцию ветра и исходит из условия одновре- менной реализации максимальной скорости ветра, что ужесточает резуль- таты. Рассматриваемый ниже способ задания ветровых воздействий при ана- лизе технической устойчивости ракет исходит из представления профиля ветра в виде канонического разложения [104]: W(h) = W0(h) + Y^(h), (5.2) i где Wo(h) - систематическая составляющая скорости ветра; Wj(h) - неслучайные функции; Vj - случайные числа, M[VJ = 0, avi = 1. Задаваясь произвольным набором чисел Vj, независимых и распре- деленных по нормальному закону, можно получать реализации профиля ветра с учетом высотной корреляции его значений. Полученный таким образом профиль ветра правильно отражает закономерности ветрового поля атмосферы на узловых высотах с шагом 3 км. В интервалах между узловыми высотами закон изменения скорости ветра принят линейным. Такая модель ветра пригодна для задач динамики, в которых проявляет- ся интегральный эффект влияния ветра, например, для оценки кучности стрельбы. При анализе технической устойчивости ракет такая детализация про- филя ветра недостаточна. Процессы стабилизации ракеты в существенной степени определяются характером изменения ветра в слое 3 км, зачастую ракета критична к резкому изменению скорости ветра в слое до 0,5 км. За- кономерности ветрового поля атмосферы в толщине слоя 0,5 км отража- ются данными по вертикальному сдвигу ветра (градиенту скорости ветра). В методике НИИ-88, разработанной в 1969 г., приведены значения гра- диента скорости ветра для слоя Ah = 0,5; 1; 2; 3 км. Распространим эти данные на произвольный слой действия градиента, аппроксимируя зави- 102
симость ломаной линией. На рис. 5.1 приведена полученная зависимость вертикального сдвига ветра (AW) в функции толщины слоя (Ah) для раз- личных высот полета (h). Рис. 5.1 Скорректируем профиль ветра, полученный по каноническому разло- жению (5.2) следующим образом. На высоте h^, соответствующей макси- мальной скорости ветра, сформируем сдвиг ветра, выбрав толщину слоя действия по равновероятному закону в диапазоне Ah = 0...3 км. Величину сдвига ветра AW определим по формуле: (5.3) где к - случайное число, М[к] = 0, Зак= 1, AWQixp, Ah) - величина сдвига ветра, определяемая по графикам рис. 5.1. В зависимости от знака AW профиль ветра (5.2) корректируется в рай- оне hxp либо вправо, если AW>0, либо влево, если AW<0 (см. рис. 5.2), при этом максимальная величина скорости ветра увеличивается на величину сдвига ветра и сдвигается по высоте на величину Ah. В случае, если полу- ченное максимальное значение превышает огибающую предельных вет- ров АУогиб, в качестве максимального значения скорости ветра принимает- ся значение огибающей. Сформированный профиль ветра полностью согласуется с данными работы [104] и соответствует требованиям задачи анализа технической устойчивости ракет. юз
W, м/с В настоящее время при анализе технической устойчивости ракет от- клонения плотности воздуха от номинальных значений задаются по оги- бающей максимальных значений в соответствии с ВСА-60. Это не обес- печивает расчет в запас, так как не учитывается высотная корреляция из- менения плотности воздуха, приводящая к градиентным нагрузкам. Наи- более полно вероятностный характер изменения плотности воздуха описывается каноническим разложением: = (S.4) L pAh) < a(a)J где pH(h) - номинальное значение плотности; Ар(й) „ „ —7^7 - среднее значение канонического разложения в случайной А(Л) точке; Дд(й) . —- координатные функции канонического разложения в случаи- а(л) ной точке; Xi - случайные числа, M[Xi] = 0, axi = 1, Отклонения параметров ракеты от номинальных значений, обуслов- ленные рядом независимых факторов, можно считать распределенными по нормальному закону, а их реализации определять по формулам: 104
5(/) = 5Д/) 1 + Jts AS’(z) W. S = C^,Cay,Xd,Xm,P,P^,Jz, (5.5) "’W=w-.(z)+^Aw’(0)> где SH - номинальное значение, Д5 —------максимальное случайное относительное отклонение, тн - номинальная масса, Дт(0) - максимальное случайное отклонение стартовой массы, ks, km - случайные числа, M[ks, km] = 0,3<iks,km = 1. При этом не представляет труда коррелированный учет отклонений массы, центра масс и момента инерции. Параметры AC к 9Т 9kt являются случайными величинами, подчинен- ными нормальному закону распределения, их реализации можно опреде- лять по формуле: 1 г, I а = ан \ + ка— , аи ) (5.6) где a = k¥,Tq,ki9 ан - номинальное значение параметра, Да - максимальное случайное отклонение параметра; ка - случайные числа. M[kJ = O,3cika= 1 • Еще одну группу случайных величин составляют погрешности изго- товления и монтажа ракеты и двигательной установки. В главе I показано, что случайные составляющие являются независи- мыми между собой и подчинены нормальному закону распределения. Реализация составляющей перекоса (смещения) может быть определе- на по формуле: 7 = Моих > (5-7) Лтах - максимальное значение составляющей перекоса (смещения); кл - случайное число, М[кл] = 0,ЗакЛ = 1. Уравнения (5.2)-(5.7) позволяют в рамках статистического экспери- мента сформировать реализации элементов матриц А, В и столбца Q. Применив приближенное решение для загрузки управляющих органов, можно определить реализацию последней. После проведения N опытов статистические характеристики загрузки управляющих органов рассчиты- ваются по формулам: 105
8k(t) - реализация загрузки управляющих органов в k-м опыте. Таким образом, решается задача определения потребной эффективно- сти управляющих органов ракеты как стохастической системы. Потреб- ный управляющий момент определяется по формуле: упр Рупр^тах. > При решении задачи исходили из того, что управляющее усилие Рупр задано, и требовалось определить угол отклонения управляющих органов. Пересчет на другое Рупр очевиден. Выбор рационального соотношения между тягой управляющих органов и углом их поворота проводится из более общих условий проектирования ракеты. Таким образом, рассмотренный метод статистических испытаний мо- жет быть рекомендован как расчетный способ определения потребной эффективности управляющих органов ракет. В этом случае при малых затратах машинного времени (~ 15 мин.) можно получить расчетные значения статистических характеристик за- грузки управляющих органов ракеты с учетом случайного характера па- раметров динамической схемы. 106
Часть 2 УПРАВЛЕНИЕ РАКЕТОЙ ПУТЕМ ОТКЛОНЕНИЯ ГОЛОВНОГО ОТСЕКА До изложения теоретических основ и описания конструктивно- компоновочного решения нетрадиционного способа управления твердо- топливной ракетой представляется целесообразным некоторое отступле- ние («исторический экскурс») для обоснования необходимости ввода в систему вооружения в восьмидесятые годы прошлого столетия еще од- ной модели твердотопливной МБР наземного базирования. Кроме того, необходим показ объективных причин поиска и реализа- ции на этой модели нового способа управления в дополнение к многочис- ленному ряду ранее созданных органов управления (глава 1), апробиро- ванных при эксплуатации на ракетах США и СССР. 107
Глава 6 ПРИЧИНЫ СОЗДАНИЯ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ НОВОГО СПОСОБА УПРАВЛЕНИЯ 6.1. Предыстория разработки IV поколения МБР Во второй половине семидесятых годов XX века противостояние двух великих ядерных держав и их «соревнование» в области создания меж- континентальных баллистических ракет стратегического назначения на- земного базирования можно характеризовать как патовую, или точнее, цугцванговую шахматную позицию. Такое положение определялось следующими обстоятельствами. В США - завершено создание системы вооружения на базе твердотоп- ливных МБР легкого класса типа «Минитмен» двух моделей: • с моноблочной головной частью «Минитмен-П» - 450 МБР второ- го поколения; • с трехблочной РГЧ индивидуального наведения (РГЧ ИН) «Ми- нитмен-Ш» - 550 МБР III поколения. Все ракеты обладали достаточно высокой точностью попадания в цель и располагались в одиночных рассредоточенных шахтных пусковых уста- новках высокой прочности. Уровень стойкости ракет к ПФ ЯВ не допускал проведения ответно- встречного удара в условиях ядерного воздействия по БРК. В СССР - завершено создание системы вооружения РВСН в основном на базе жидкостных МБР III поколения [131], в том числе: • модернизированных ракет Р-36 тяжелого класса типа 15А14 и 15А18, оснащенных десятиблочной РГЧ ИН при высокой точности попадания. Более 300 ракет этого типа располагались в одиночных ШПУ высокой степени защищенности, • модернизированных ракет УР-100 легкого класса, включая: - 15АЗО и 15А35 - всего 240 МБР, оснащенных шестиблочной РГЧ индивидуального высокоточного наведения. Стартовый вес этой модели -105 т (вес базовой модели -50 т), т. е. ра- кета «переведена в средний класс». - 15А15и15А16 - всего 150 МБР, оснащенных четырехблочной РГЧ высокоточного индивидуального наведения. Стартовый вес -72 т. Кроме указанных ракетных комплексов III поколения в составе сис- темы вооружения РВСН в этот период находились ракетные комплексы II поколения с модернизированными ракетами УР-100К и УР-100У. Все- 108
го ~400 МБР этого типа могли оснащаться трехблочной кассет- ной РГЧ. Наряду с жидкостными ракетами в составе РВСН имелось по несколь- ко десятков РК с моноблочными твердотопливными ракетами РТ-2П II поколения и «Темп-2С» III поколения. Подробнее о ракетах этого типа см. ниже. В целом к концу семидесятых - началу восьмидесятых годов МБР на- земного базирования были оснащены более чем 600(Р ядерных боезаря- дов, но ни один из указанных типов ракет не допускал возможности про- ведения ответно-встречного пуска в условиях ядерного воздействия про- тивника по району боевого ракетного комплекса и даже по позиционному району. Таким образом, ни одна из сверхдержав, обладая колоссальным ядерным потенциалом, исчисляемым миллиардами тонн тротилового эквивалента и имея соответствующие средства их доставки на межкон- тинентальные дальности, в здравом уме не могла рассчитывать на дос- тижение каких-либо преимуществ ни в каком варианте применения это- го вооружения. Но в то же время, ни одна из стран не была застрахована от решения какого-нибудь властного авантюриста-параноика нанести упреждающий массированный удар всеми силами «ядерной триады» (МБР + БРПЛ + МБ) по всей совокупности ракет противника с целью выведения их из строя либо в ШПУ - действием ударной волны ЯВ, либо - в случае встречного старта ракет - на начальном участке траектории под воздейст- вием всех поражающих факторов ЯВ. Именно эти два обстоятельства стали важнейшей причиной, во-пер- вых, переговорного процесса об ограничении СНВ и, во-вторых, развер- тывания работ по созданию еще более совершенных ракетных комплексов МБР, обеспечивающих эффективный ответно-встречный удар в условиях ядерного воздействия противника по боевому ракетному комплексу. Такими ракетными комплексами четвертого поколения явились: • В США - «Минитмен-Х» («МХ») с ТТРД и шахтным способом ба- зирования; • В СССР - 15А18М («Сатана») с ЖРД и шахтным способом базирования; РТ-23УТТХ с ТТРД с шахтным (15Ж60) и железнодорожным (15Ж61) способами базирования; > Разница в количестве боезарядов -4000 ББ, установленных на ракетах наземного базирования США и СССР, компенсировалась соответствующим числом боеголовок БРПЛ. 109
- РК «Тополь» с МБР РТ-2ПМ (15Ж58) - подвижный грунтовой РК с твердотопливной ракетой. Ракета 15А18М как объект управления практически не отличалась от ра- кеты 15А18 (см. Введение), эффективность органов управления которой не вызывала никаких нареканий за весь двадцатилетний срок ее эксплуатации. Вместе с тем, ракета 15А18М должна удовлетворять дополнительному требованию, вытекающему из ее основного назначения - обеспечение от- ветно-встречного пуска в условиях ЯВ по району БРК. Применительно к объекту управления решение такой задачи накладывает соответствую- щее ужесточение требований к эффективности исполнительных органов ракеты: обеспечение управляемости в условиях воздействия ударной вол- ны (УВ) ядерного взрыва. Характеристики этого дополнительного возму- щающего фактора задавались Заказчиком в виде документа «Модель ЯВ» (по образу и подобию «Методики...» [104]). Экспресс-анализ соответствия органов управления ракеты 15А18М ус- ловиям эксплуатации при совместном воздействии ветра и УВ с парамет- рами, задаваемыми указанными документами, в детерминированной по- становке задачи дал отрицательные результаты. Однако вероятностный подход к ее решению (метод Монте-Карло) подтвердил допустимость эксплуатации ракеты с имеющимися органами управления с достаточным уровнем надежности. На ракете РТ-2ПМ были использованы традиционные типы органов управления, исследование которых достаточно подробно проведено в мо- нографии Н. Д. Коваленко [86]. Поэтому ниже остановимся только на особенностях процесса создания и достигнутых тактико-технических характеристиках оригинальных твер- дотопливных ракет СССР и США. 6.2. Исходные положения и ход работ по созданию МБР IV поколения 6.2.1. США - МБР «Минитмен-Х» В США с 1962 года после принятия на вооружение двухступенчатой МБР «Титан-П», имевшей стартовую массу —148 т при массе моноблочной полезной нагрузки ~3,2 т (Квс. = 21,6 кг/т) работы по созданию боевых межконтинентальных ракет с ЖРД на высококипящих компонентах топ- лива были прекращены. Еще в 1956 году в США были начаты широкомасштабные исследова- ния по использованию в этих целях ТТРД, как для ВВС - МБР наземного базирования, так и для ВМФ - БРПЛ. Выбор этого направления опреде- по
лялся высоким удельным импульсом смесевого топлива и технологией его заливки в корпуса. Существенную роль сыграло подтверждение отрасля- ми промышленности возможности достижения в ближайшей перспективе существенного улучшения удельных характеристик ББ, СУ, конструкци- онных материалов и других составляющих ракет. В результате уже в 1960 году были завершены работы по созданию БРПЛ «Поларис А1», а в 1962 году - МБР «Минитмен-I». Эта трехступен- чатая МБР легкого класса имела стартовую массу ~32 т при массе полез- ной нагрузки -0,7 т, коэффициент весового совершенства Кв.с. ~ 21,8 кг/т, т. е. практически равный достигнутому в то же время Квх. двухступенчатой жидкостной ракеты среднего класса. К моменту начала работ над программой «МХ» в США имели бога- тейший опыт боевой эксплуатации трех поколений МБР типа «Минит- мен»: MI - с 1962 года; МП - с 1965 года; Mill - с 1970 года. Только в период с июня 1963 года по сентябрь 1983 года с базы ВВС Ванденберг было проведено 453 пуска ракет типа «Минитмен» (не считая пусков, проведенных в рамках ЛКИ). Управление вектором тяги обеспечивалось: • на ракетах «Минитмен-П» - на I и III ступенях - четырьмя качающимися соплами; - на II ступени - впрыском жидкости в закритическую часть не- подвижного сопла; • на ракетах «Минитмен-Ш» - на I ступени - четырьмя качающимися соплами с углом откло- нения до ±7,5°; - на II ступени - впрыском жидкости в закритическую часть не- подвижного сопла; - на III ступени - по тангажу и рысканию - впрыском жидкости в закритическую часть сопла; управление по крену - реактив- ными соплами, работающими на горячем газе. Кроме опыта, накопленного США в процессе создания и эксплуатации МБР «Минитмен», к моменту начала полномасштабной разработки ракет «МХ» использовался в полной мере научно-технический потенциал, по- лученный в результате работ по созданию и эксплуатации ТТРД трех по- колений БРПЛ: • I поколение - 1956-1962 гг. - «Поларис А1» и «Поларис А2» - бо- лее 50 ракет с моноблочной ГЧ; • II поколение - 1961-1964 гг. - «Поларис АЗ», 1965-1971 гг. - «Посейдон СЗ», всего -650 ракет в основном с моноблочной ГЧ, 111
• III поколение - 1971-1979 гг. - «Трайдент С4», 1981-1990 гг. - «Трайдент С5», -650 ракет с РГЧ ИН (-5000 ББ). * * * Целевая программа MX предусматривала создание МБР, которая по своим энергетическим возможностям и точности стрельбы превзойдет МБР «Минитмен» и позволит поражать малоразмерные и защищенные цели. Работы по программе MX были начаты в середине 1973 г. Этап перспек- тивных исследований продолжался около шести лет - до октября 1979 г. На этом этапе в период до марта 1976 г. было изучено около полутора де- сятков альтернативных вариантов ракеты со стартовой массой от 27 до 143 т. Окончательно был выбран вариант со стартовой массой 88,4 т. Период времени с 1976 г. по 1979 г. характеризовался эксперименталь- ными исследованиями и разработками как по ракете, так и по способам ее базирования. Полномасштабная разработка началась в октябре 1979 г. Фактически предварительное проектирование ракеты и ее главных подсистем было начато еще на этапе демонстрации и подтверждения кон- цепции, что позволило уже в апреле 1982 г. приступить к стендовым ис- пытаниям РДТТI ступени. Как известно, военно-политическое руководство и конгресс США мно- гократно рассматривали вопрос о базировании МБР MX, и в 1983 г. было принято решение о размещении первых пятидесяти ракет в модернизиро- ванных шахтных пусковых установках МБР «Минитмен». Летно-конструкторские испытания МБР MX начались в 1983 г. и должны были закончиться в 1987 г. Однако в связи с задержкой поставок инерциальных измерительных блоков (ИИБ) AIRS, ВВС США отложили проведение трех последних испытаний МБР MX до 1988 г. К середине 1988 г. было проведено 17 испытательных пусков. Всего программой ЛКИ было предусмотрено проведение 20 пусков с АБ Ванден- берг в сторону атолла Кваджелейн (Западный испытательный полигон). По завершении ЛКИ планировалось начать контрольно-испытательные пуски. В соответствии с нормами контрольно-испытательных пусков, оп- ределенными из расчета 15-летнего периода пребывания МБР MX на бое- вом дежурстве, для этих целей были предусмотрены 123 ракеты. В декабре 1988 г. проводились работы по установке 50 МБР MX в пе- реоборудованные шахты МБР «Минитмен» на базе ВВС США Уоррен (шт. Вайоминг). К декабрю 1989 г. они были переданы в ведение коман- дования материально-технического обеспечения ВВС США. 112
МБР «Минитмен-Х» как объект управления представляла собой трехступенчатую баллистическую ракету среднего класса с тандемной схемой построения, твердотопливными маршевыми двигателями и с раз- деляющейся десятиблочной головной частью. РГЧ состояла из боевого отсека и ступени разведения с жидкостной двигательной установкой. Пуск МБР проводился из пускового контейнера с использованием ПАД’а («холодный пуск»), при этом включение РДТТ I ступени происхо- дило на высоте 15-20 м. Основные характеристики «МХ»: • Стартовая масса - 88400 кг, масса полезного груза - 3430 кг. • Коэффициент весового совершенства ~38,8 кг/т. • Удлинение (отношение общей длины к диаметру) 21,6/2,34 - 9,23. • Точность стрельбы (предельное отклонение - 2,3 КВО) - 300 м. • Конструкция двигателей всех трех маршевых ступеней выполнена в виде моноблока с одиночным центральным отклоняемым (пово- ротным) соплом. Рабочий угол - ±6 градусов (I и II ступени) и ±3 градуса (III ступень). Такой орган управления вектором тяги обес- печивал создание круговой диаграммы Рупр. Скорость отклонения сопла - 40 градусов/с. • Тяга осевого двигателя РГЧ - 1360 кгс. • Угол отклонения вектора тяги осевого двигателя - ±15 градусов. • Система ориентации и стабилизации (СУОС) РГЧ - 8 двигателей с тягой 30 кгс. 6.2.2. СССР - МБР РТ-23 (РТ-23 УТТХ) Созданию окончательного варианта ракет РТ-23УТТХ предшествовал многолетний этап проведения научно-исследовательских, проектно- конструкторских и экспериментальных работ во многих специализиро- ванных предприятиях бывшего Советского Союза. Работы велись широким фронтом, в том числе с частичным дублиро- ванием, в направлениях: • разработки перспективных рецептур высокоэнергетического смесе- вого топлива и технологии его заливки в корпуса двигателей [52]; • разработки конструкционных материалов корпусов двигателей и формы зарядов с оптимальными удельными характеристиками [51]; • разработки наиболее эффективных органов управления, вызываю- щих наименьшую потерю удельной тяги при приемлемой стоимо- сти, технологичности, эрозионной стойкости и др.; • создания энергетически наивыгоднейших конструкций двигателей; • разработки оптимальных компоновочных схем МБР в целом, их конструкции и способов базирования. из
Первой опытно-конструкторской работой по созданию со сдачей на вооружение была разработка РК 15П098 с ракетой РТ-2 [84]. Официально разработка была задана соответствующим постановлени- ем в апреле 1961 года. Работы проводились кооперацией предприятий, общее руководство которыми возлагалось на ОКБ-1, возглавляемое академиком С. П. Коро- левым. Заместителем Главного конструктора, непосредственно руково- дившим работами по созданию МБР РТ-2, являлся И. Н. Садовский. Межконтинентальная баллистическая ракета РТ-2 как объект управле- ния представляла собой трехступенчатую твердотопливную МБР легкого класса, построенную по тандемной схеме с моноблочной ГЧ. Пуск РТ-2 производился за счет собственного двигателя I ступени из глухого пускового стакана ШПУ типа «ОС» - «горячий» тип старта - с частичным отводом газов через решетчатые окна в стакане. Все РДТТ серийной ракеты РТ-2 снаряжались смесевым топливом, в отличие от ее «предшественницы» - ракеты среднего радиуса действия РТ-1, разработанной и испытанной под руководством И. Н. Садовского. Первый успешный пуск ракеты РТ-2 состоялся в феврале 1966 года с Государственного центрального полигона (ГЦП-4). Из-за невозможно- сти пуска ракет на полную дальность, с этого полигона было проведено только семь испытаний из 32, выделенных на ЛКИ. Дальнейшие испыта- ния ракеты проводились с «северного» полигона - НИИП-53 в течение двух лет - с ноября 1966 года по октябрь 1968 года. В декабре 1968 года РК первой отечественной МБР с ТТРД, снаряжен- ными смесевым топливом, был принят на вооружение. К 1971 году было развернуто 60 ШПУ с РТ-2. С 1972 года ракеты РТ-2 стали заменяться усовершенствованным ва- риантом РТ-2П (процесс, аналогичный описанному выше, по замене «Ми- нитмен-I» на «Минитмен-П»). Основные характеристики ракеты РТ-2 как объекта управления: • Стартовый вес -48 т. Вес «легкой» головной части -550 кг. • Коэффициент весового совершенства -11,5 (при дальности стрель- бы 9600 км). • Органы управления - разрезные сопла двигателей всех ступеней. • Стабилизаторы - решетчатые аэродинамические на I ступени. • Длина полная - 21,27 м, максимальный диаметр корпуса - 1,84 м, с «юбкой» - 2,0 м и размахом стабилизаторов -3,6 м. • Точность стрельбы (предельное отклонение - 2,3 КВО) —5 км. • Система управления - второе поколение (аналоговая с ГСП). • Азимут прицеливания - ±45 градусов. 114
Дальнейшее развитие ракеты РТ-2 было проведено во исполнение по- становления от декабря 1968 года, которым РК этой ракеты был принят на вооружение. Основными отличиями ракеты РТ-2П от базового варианта были: применение более совершенной ГЧ с весом, уменьшенным на 70 кг, но большей мощности; комплектация новым двигателем III ступени с двухслойным корпусом и модернизированным двигателем II ступени; перевод всех трех ТТРД на однотипное смесевое пластичное твердое топ- ливо; расширение сектора прицеливания до ±120 градусов; увеличение максимальной прицельной дальности на 400 км и уменьшение минималь- ной дальности до 1000 км. * * * Вторым, по времени начала работ, отечественным ракетным комплек- сом с твердотопливной межконтинентальной ракетой был РК «Темп-2С» с МБР 15Ж42. Разработка комплекса МБР официально была задана НИИ-1 (МИТ) на конкурсной основе с КБ «Южное» постановлением от марта 1966 года. Предэскизные проработки РК в НИИ-1 были выполнены еще в 1965 году под индексом «Темп-С2», имея в виду дальнейшее развитие ранее разработанной ракеты среднего радиуса действия комплекса «Темп-С». В период 1965-1969 гг. был проработан ряд вариантов базирования комплекса (ШПУ, грунтовой, ж/д) и, соответственно, ракет под эти вари- анты. Стартовый вес МБР в процессе разработки изменялся от 37 до 44 т в зависимости от базирования, комплектации полезной нагрузки и моде- лей подвижных грунтовых средств (гусеничных, колесных). Разработка комплекса «Темп-2С» конкретно с подвижной грунтовой ПУ была задана НИИ-1 в июле 1969 года. Летные испытания 35 ракет 15Ж42 начались в марте 1972 года и про- должались до декабря 1974 года. Первые два ракетных полка стали на боевое дежурство в феврале 1976 года. Всего было развернуто 7 ракетных полков (по данным, опубли- кованным в США, в 1978-1985 гг. было развернуто под Плесецком от 50 до 100 МБР «Темп-2С»). Основные характеристики ракеты 15Ж42 как объекта управления: • Тип комплекса - подвижный грунтовой РК стратегического назна- чения с твердотопливной трехступенчатой МБР III поколения (мо- ноблочная боевая ступень; СУ с БЦВМ). • Точность стрельбы (2,3 КВО) —3,5 км. • Стартовый вес - ~44 т; вес головной части - 940 кг. Коэффициент весового совершенства —21,4 кг/т (как указывалось выше, РТ-2П - ~11,5 кг/т, «Минитмен» —21,8 кг/т). 115
• Тип старта - минометный из ТПК с помощью ПАД. • Длина -18,5 м, максимальный диаметр корпуса 1,79 м; решетчатые стабилизаторы на I ступени. • Органы управления - I ступень - газовые из тугоплавкого вольфра- ма и аэродинамические решетчатые рули; II и III ступени - по крену - газовые сопла с газогенератором; по тангажу и рысканию - вдув в закритическую часть сопла горячих газов. • Боевая ступень - четыре РДТТ малой тяги. • Особенность - при разделении I и II ступеней введена пауза на за- пуск двигателя в 10 с, что обеспечило, при соответствующей потере энергетики (дальности стрельбы), управляемость II ступени мало- мощными органами управления. * * * При создании ракетного комплекса с МБР РТ-23 (РТ-23 УТТХ) безус- ловно учитывался также опыт разработки, испытаний и эксплуатации РСРД 15Ж45 грунтового РК «Пионер». Двухступенчатая ракета, осна- щаемая трехблочной РГЧ, создавалась на базе I и II ступеней ракеты 15Ж42. Разработка комплекса была задана постановлением от апреля 1973 года. ЛКИ с пуском 21 ракеты проводились в период с сентября 1974 года по март 1976 года. Комплекс сдан на вооружение в марте 1976 года. Первый ракетный полк заступил на БД в августе 1976 года. Массовое раз- вертывание комплекса началось с 1978 года. К 1986 году были разверну- ты 441 ПУ. На базе ракеты 15Ж45 в 1980 году был создан модернизированный ва- риант с улучшенными ТТХ - ракета 15Ж53. Дальнейшее совершенствова- ние ракеты в направлении увеличения «квадрата» разведения и повыше- ния точности стрельбы проводилось в рамках работы «Пионер-3». Ракетные комплексы «Пионер» ликвидированы по договору РСМД в конце восьмидесятых годов прошлого века. * * * По аналогии с процессом создания в США комплекса ракеты «МХ», в бывшем Советском Союзе разработка РТ-23 (РТ-23 УТТХ) велась с уче- том опыта проектирования, изготовления и эксплуатации твердотоплив- ных ракет для ПЛ. Значительным успехом в решении проблемы создания морских твер- дотопливных ракет явилась разработка ГРЦ «КБ им. академика В. П. Ма- кеева» ракеты РСМ-52 [18]. Разработка ТТРД I ступени ракеты РСМ-52 была осуществлена в пол- ном объеме силами ГКБ «Южное» им. академика М. К. Янгеля. Более то- го, I ступень ракеты РСМ-52 унифицирована с ТТРД I ступени ракеты 116
PT-23 (PT-23 УТТХ)! Характеристики этого двигателя приводятся в раз- деле «ОХ РТ-23». Разработка комплекса БРПЛ РСМ-52 велась в период 1973-1983 гг. Ряд прогрессивных технических решений, реализованных в конструк- ции ракеты РСМ-52, обеспечил впервые в бывшем СССР создание твер- дотопливного РК для подводного флота, превосходящего по многим па- раметрам зарубежный аналог III поколения БРПЛ. Разработанный ранее - 1971-1980 гг. - в КБ Ленинградского произ- водственного объединения «Арсенал» морской комплекс с твердотоплив- ной ракетой РСМ-45 был доведен лишь до опытной эксплуатации, но опыт создания этой БРПЛ также являлся определенной отправной базой при разработке РТ-23. * * * Работы по твердотопливной тематике, т. е. по исследованию возмож- ности создания ракетных комплексов с МБР на базе ТТРД были начаты в КБ «Южное» в начале шестидесятых годов XX века. В течение 1961-1962 гг. проводилась НИР, результаты которой пока- зали, что разработка в ближайшие годы «чисто твердой» малогабаритной МБР с требуемыми перспективными характеристиками нереальна. Альтернатива была найдена в виде двухступенчатой комбинированной ракеты легкого класса РТ-20П (8К99) с твердотопливной первой и ампу- лизированной жидкостной II ступенями. МБР предназначалась для созда- ния грунтового подвижного комплекса на конкурсной основе с НИИ-1 (см. «Темп-2С»). В проектном плане в течение 1966-1974 гг. был выпущен целый ряд соответствующих документов по ракетным комплексам с ракетами РТ-21 (15Ж41), РТ-22 (15Ж43) с различными типами старта. По результатам проведенных работ были сформулированы достижи- мые в то время характеристики комплекса с ракетой РТ-23 стационарного базирования (15Ж44), предшествующей созданию РТ-23УТТХ. Полномасштабная разработка комплекса ракеты 15Ж44 с моноблочной ГЧ была задана в июне 1976 года. К моменту выхода постановления у разработчиков комплекса имелся вполне достаточный задел для создания как ТТРД, так и ракет на их базе. На модельных и опытных двигателях отрабатывались новые топлива, спо- собы снаряжения, формы зарядов, конструкционные, теплозащитные и эрозионностойкие материалы, способы управления вектором тяги и др. В составе ракеты 8К99 прошел летные испытания двадцатитонный ТТРД. Полномасштабная разработка боевого железнодорожного ракетного комплекса с ракетой 15Ж52 была задана в июне 1979 г. Этим же постанов- лением моноблочная ГЧ на обоих вариантах ракет была заменена на РГЧ. 117
6.2.3. Управляемость PT-23 Как уже указывалось выше, исходя из технических, экономических и организационных соображений на I ступени ракеты РТ-23 должен и мог быть использован ТТРД разработки КБЮ для БРПЛ типа РСМ-52, созда- ваемой в этот период времени Государственным ракетным центром «КБ имени академика В. П. Макеева». Для II и III ступеней на подходе были двигатели разработки КБЮ и КБ ПО «Искра». Но ракета не версталась. Дело в том, что для реализации энергетически оптимальной траекто- рии, обеспечивающей выведение требуемого полезного груза, необходимо было осуществить разделение I и II ступеней при значениях скоростного напора, на порядок превышающих традиционные. Положение усугубля- лось тем, что твердотопливный двигатель I ступени, работавший до выго- рания, имел продолжительный участок спада тяги, на части которого управляющие усилия, пропорциональные текущей тяге, недостаточны для парирования ветровых воздействий. В результате отклонения I ступени в каналах тангажа и рыскания могли достичь значительных величин, что само по себе осложняло процесс разделения ступеней и исключало при этом возможность введения паузы по аналогии с БР «Темп-2С». Но глав- ная трудность заключалась в том, что для парирования этих отклонений на участке полета II ступени потребные управляющие усилия составляли >10 % от тяги двигателя, что принципиально недостижимо для исполь- зуемого в создаваемом двигателе II ступени способа управления вектором тяги путем вдува газа в закритическую часть сопла. Такие управляющие усилия можно было получить на поворотном со- пле, [92], [86] аналогичном используемому в «МХ», но технология пово- ротного управляющего сопла ещё не была отработана, хотя американцы однозначно приняли решение о внедрении такого органа управления. КБ НПО «Искра» на двигателе III ступени меньшей размерности решило применить аналог поворотного сопла, но испытывало принципиальные затруднения в связи с повышенными упругими деформациями конструк- ции, тем более опасными на большом сопле ДУ II ступени ракеты РТ-23. Необходимо было найти такой способ управления ракетой [93], кото- рый бы исключил неуправляемые участки полета при разделении ступеней. Одним из таких способов является управление по схеме «утка», когда управляющие органы - это может быть двигатель или аэродинамические по- верхности - расположены в передней части ракеты. Однако проведенные оценки показали, что управление по схеме «утка» недопустимо снижает энер- гетические характеристики ракеты в случае использования двигателя и явля- ется проблематичным для аэродинамических рулей по условиям минометно- го старта и действия ударной волны от ЯВ на активном участке полета. 118
В 1967 г. группой проектантов КБ был запатентован принципиально новый способ управления путем поворота головного отсека в двухстепен- ном кардановом шарнире [69]. Этот способ использует две составляющие возникающего управляющего усилия: аэродинамическую - в плотных слоях атмосферы и массовую - на всём участке полета. В этом случае го- ловной отсек задействовался на управление на конечном участке полета I ступени, как раз там, где управляющих усилий от двигателя недостаточ- но, исключался неуправляемый участок полёта при разделении ступеней, дальнейшее управление II и III ступенями обеспечивалось за счет голов- ного отсека, маршевые двигатели II и III ступеней были выполнены со стационарными соплами без органов управления, что позволяло снизить их вес, обеспечить оптимальную высотность и исключить потери Руд. В декабре 1976 г. научно-технический Совет предприятия, проведен- ный с привлечением ведущих специалистов отрасли, рекомендовал этот вариант ракеты для эскизного проектирования, как единственно возмож- ный в тех условиях. Через год был разработан совместный отчет всех заинтересованных ор- ганизаций: разработчиков ракеты, ТТРД, СУ и заряда с детальным сравне- нием принятого варианта с классическим на основе твердотопливных дви- гателей с перспективными поворотными соплами. Основной вывод: при- нятый вариант имеет существенно лучшие технико-экономические показа- тели по сравнению как с традиционными, так и с перспективными: • упрощается конструкция двигателей, сокращаются объем и сроки их отработки, повышается энергетика; • исключаются неуправляемые переходные участки; • могут быть использованы энергетически оптимальные траектории; • ожидаемая экономия составляла 135 млн руб. Основными проблемными вопросами при реализации этого варианта были: адекватность динамической схемы; создание СУ при параметрах ракеты, существенно отличных от традиционных, моделирование системы стабилизации и ряд других. КБЮ в сотрудничестве с ведущими специалистами страны - ЦНИИМаш, днепропетровского Института технической механики АН УССР и Днепро- петровского национального университета была разработана динамическая схема (система дифференциальных уравнений) двухмассовой системы с пе- ременными массами и конфигурацией (в том числе скачкообразно изме- няющимися), с учетом упругости корпуса и карданного узла (см. главу 7). Сложность создания системы управления вызвана тем, что масса и мо- менты инерции управляющего органа - головного отсека, были несоизме- римы с традиционными, что в сочетании с реально достижимой жест- костью карданного узла обусловило его низкую собственную частоту 119
(~6 Гц). Это привело к усложнению структуры алгоритмов управления и аппаратного состава: кроме обычного датчика обратной связи для орга- низации контура сервопривода, был введен датчик угловой скорости на корпусе ракеты и датчик угла в карданном шарнире. Принимая во внимание сложность динамической схемы ракеты и сис- темы стабилизации, был создан моделирующий комплекс, максимально адекватный реальному полёту. С этой целью был спроектирован, изготов- лен и поставлен разработчику СУ уникальный нагрузочный стенд [70], [121], в котором был установлен штатный карданный узел с массово- инерционным имитатором поворотного отсека, штатными рулевыми ма- шинами и газодинамическим задатчиком нагрузочных шарнирных момен- тов. В сочетании с аналого-цифровым комплексом и реальной аппарату- рой системы стабилизации это обеспечило почти натурное моделирование полёта с точностью до знания динамической схемы, которая могла быть подтверждена только лётными испытаниями. В связи с критичностью системы стабилизации к собственной частоте подвески головного отсека в технологический процесс изготовления и сборки ракеты была введена операция контроля этого параметра, для чего была разработана методология и оборудовано рабочее место с аппарату- рой контроля [57]. По мере набора статистики была подтверждена ста- бильность собственной частоты, что позволило эту операцию исключить. Предусмотренные методическим планом работы были завершены в полном объёме и в заданные сроки. 26 октября 1982 года состоялся первый пуск ракеты РТ-23 с новым способом управления. Его результаты не остав- ляли сомнений: ракета с принятым способом управления будет летать. А ещё через 7 лет уже модернизированная ракета с улучшенными так- тико-техническими характеристиками РТ-23УТТХ была принята на воо- ружение, внося свою лепту в обеспечение ракетно-ядерного паритета ме- жду СССР и США. ♦ ♦ ♦ МБР «РТ-23 УТТХ» стационарного базирования - ракета 15Ж60 - как объект управления представляла собой трехступенчатую баллистиче- скую ракету среднего класса с тандемной схемой построения, твердотоп- ливными маршевыми двигателями и с разделяющейся десятиблочной го- ловной частью (РГЧ ИН), состоящей из боевого отсека и ступени разведе- ния с жидкостной двигательной установкой. Пуск МБР проводился из пускового контейнера с использованием ПАД’а. Включение РДТТI ступени происходило на высоте ~25 м. Основные характеристики ракеты 15Ж60 (в порядке перечисления ТТХ «Минитмен-Х» (см. 6.2.1). 120
• Стартовая масса - 104,8 т, масса полезного груза - 4050 кг. • Коэффициент весового совершенства - 38,65 кг/т. • Удлинение (отношение общей длины к диаметру) 23 м/2,4 м - 9,58. • Точность стрельбы (предельное отклонение - 2,3 КВО) - 500 м. • Конструкция двигателей: - I ступени - моноблочная, с частично утопленным в камеру сго- рания поворотным управляющим соплом. Рабочий угол - ±6 градусов с круговой диаграммой Рупр.; - II и III ступеней - моноблочная с частично утопленным в камеру сгорания неподвижным соплом с выдвижным телескопическим насадком; - боевой ступени - маршевый двигатель большой тяги, установ- ленный в кардановом подвесе, и 16 двигателей малой тяги с многократными запусками в полете. 6.3. Физические основы управления путем отклонения головного отсека Моменты сил вокруг центра масс ракеты от аэродинамических и реак- тивных сил, возникающие в результате относительного поворота отсеков ракеты, обуславливаются несимметричным обтеканием ракеты воздуш- ным потоком и смещением центра масс ракеты по перпендикуляру от ли- нии действия силы тяги двигателя (рис. 6.1). а) Рис. 6.1 б) 121
Если осесимметричная ракета движется с нулевым углом атаки, то можно принять, что вектор Fa равнодействующей аэродинамических сил, распределенных по поверхности ракеты, приложен в центре давления и направлен по продольной оси ракеты в сторону, противоположную на- правлению вектора V скорости ракеты. На рис. 6.1а) показана плоскость AXZ (плоскость рыскания) инерци- альной системы координат AXYZ и схема действия на ракету с соосно расположенными головным и двигательным отсеками (/ = 0) аэродинами- ческой Fa и реактивной Р сил при движении ракеты в плоскости с нуле- выми углами атаки а и рыскания \у; а - угол между вектором скорости и продольной осью головного отсека. Предполагается, что командные приборы расположены в головном отсеке ракеты. Линия действия сил аэродинамической Fa и реактивной Р проходят через центр масс ракеты. Поэтому силы Fa, Р не создают момента сил относительно центра масс ракеты. На рис. 6.16) приведена схема действия сил на ракету с отсеками, по- вернутыми друг относительно друга в шарнире Ш на угол у. На рисунке показано положение ракеты, соответствующее значению у/ = 0. При / # 0 аэродинамическая сила Fa не проходит через центр масс ракеты и создает вокруг центра масс ракеты момент сил, равный Ма = Fa*ha, где ha - плечо действия силы Fa относительно центра масс (на рисунке ha не показано). Сила тяги Р создает вокруг центра масс ракеты момент силы, равный Мт = P*hm, где hm - плечо действия силы Р относительно центра масс ра- кеты. Значение hm зависит от соотношения масс головного и двигательно- го отсеков и может быть определено по формуле = к г т + т Здесь hm,h^ - расстояния от центра масс ракеты, центра масс голов- ного отсека до линии действия силы тяги маршевого двигателя соответ- ственно; тг,тк - масса головного и двигательного отсеков соответ- ственно. Очень важно, что моменты Ма,Мр всегда направлены в одну сторо- ну, зависят от угла у и потому могут использоваться для управления уг- ловым положением ракеты в пространстве. Градиент дМа/ду момента Ма аэродинамических сил зависит от скоростного напора q и на участке разделения I и II ступеней ракеты монотонно уменьшается от некоторого 122
значения (в начале участка) до нуля в связи с уменьшением q от некото- рого значения до нуля. Градиент дМр1ду момента Мр от реактивной си- лы Р на участке разделения ступеней монотонно возрастает в связи с уве- личением плеча Лш, обусловленного уменьшением массы тпк вследствие выгорания топлива. Таким образом, при малых значениях Мр значитель- ным является Ма, при малых значениях Ма значительным является Мр. Особенности изменения моментов Ма,Мр по времени полёта способст- вуют обеспечению управляемости ракеты. 6.4. Общая характеристика ракеты Твердотопливная ракета, управляемая относительным поворотом отсе- ков, выполнена по тандемной схеме расположения ступеней (рис. 6.2). Состоит из головного и двигательного отсеков (I, II и III ступеней), соеди- ненных между собой с помощью цилиндрических шарниров, допускаю- щих относительный поворот отсеков в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (см. раздел 6.2). Управление движением ракеты по тангажу и рысканию осуществляется относительным поворотом отсеков с помо- щью гидравлических приводов рулевого агрегата: при несоосном распо- ложении отсеков действующие на ракету аэродинамические и реактивные силы создают момент сил вокруг центра масс ракеты, который использу- ется как управляющий момент. Управление движением ракеты по крену реализуется с помощью обычных управляющих органов, реактивных со- пел, двигателей и т. п. Сравнение массово-инерционных, аэродинамических характеристик, параметров приводов рулевых агрегатов ракеты, управляемой относи- 123
тельным поворотом отсеков, и ракеты с обычными управляющими орга- нами (поворотными соплами, управляющими двигателями и т. п.) показы- вает следующее. 1. Массы и одноименные моменты инерции головного и двигатель- ного отсеков ракеты, управляемой относительным поворотом отсеков, могут иметь близкие по величине значения, тогда как у ракеты с обыч- ными органами управления масса и моменты инерции управляющих ор- ганов намного меньше массы и соответствующих моментов инерции корпуса ракеты. В табл. 6.1 в качестве примера приведены типичные для ракеты, управляемой поворотом отсеков, значения масс (т) и моментов инерции (I) головного и двигательного отсеков. Моменты инерции отсеков опреде- лены относительно оси шарнира, соединяющего отсеки, перпендикуляр- ной продольным осям симметрии отсеков. В табл. 6.2 приведены массы и моменты инерции поворотного управляющего сопла (ПУС) и корпуса ракеты, управляемой обычным способом. Моменты инерции корпуса ра- кеты и поворотного сопла определены относительно оси их взаимного вращения, перпендикулярной продольным осям симметрии корпуса и ПУС. Значения приведенных инерционных характеристик соответству- ют моментам времени начала (/0) и конца (^) движения. Таблица 6.1 Головной отсек Двигательный отсек тго ^ГО I ступень II ступень III ступень тдо 1до тдо 1до тдо 1до кг кг-м2 кг кг-м2 кг кг-м2 кг кг-м2 *0 5-Ю3 0.24 105 105-103 28-105 55-103 4,8-105 18-Ю3 0,45-105 4 5-Ю3 0,24-105 55Ю3 9105 20-103 1,2105 6103 0.1105 Таблица 6.2 Поворотное управляющее сопло I ступень II ступень III ступень mi m2(3i 1| Ъо) m I m I m I кг кг кг-м2 кг-м2 кг кг-м2 кг кг-м2 кг кг-м2 ^0 850 500 70 60 105-103 28-105 48-103 4,2-Ю5 19-103 0,46-105 4 850 500 70 60 55-Ю3 9-Ю5 24-103 1,4-105 5,5-103 0,12-Ю5 В табл, приняты обозначения: тцг, з) - масса управляющего сопла I ступени (II, III ступеней); 1ц2, з) - момент инерции управляющего сопла I ступени (II, III ступеней). 124
Анализ таблиц показывает следующее: - диапазон изменения параметра ц, равного отношению массы голов- ного отсека к массе двигательного отсека, есть ц = 0,05+0,83; - диапазон изменения параметра i, равного отношению момента инерции головного отсека к моменту инерции двигательного отсека, есть i = 0,9*10'2+2,4. Значения ц = 0,83, i = 2,4 имеют место в момент времени tk\ - диапазоны изменения отношений массы и момента инерции пово- ротного управляющего сопла (ПУС) к массе и моменту инерции корпуса ракеты, управляемой с помощью ПУС, соответственно: ц = 0,008+0,09; i = 0,00018+0,04. Значения ц и i, близкие к единице, свидетельствуют о соизмеримости в течение некоторых отрезков времени полета масс и моментов инерции отсеков ракеты, управляемой относительным поворотом отсеков. 2. Аэродинамические характеристики ракеты с шарнирно соединен- ными отсеками существенно зависят от угла у относительного поворота головного и двигательного отсеков, тогда как аэродинамические характе- ристики ракеты с обычными управляющими органами практически не за- висят от угла 8 поворота управляющих органов относительно корпуса ракеты. Запишем коэффициенты осевой и нормальной аэродинамических сил, действующих на ракету, через их составляющие следующим образом: Ст = сто + АСТ 4" ДСТ» С — С 0 4- АС 4- АС_. п пи л л Здесь Сх, Сп, Схо, Спо - коэффициенты осевой и нормальной аэродина- мических сил, при значениях у # 0, 5#0иу = 5 = 0 соответственно. АСХ, АСп - приращения коэффициентов, обусловленные приращениями углов у и 8 по отношению к нулевым значениям этих углов. АСТ, АСП - приращения коэффициентов, обусловленные изменением высоты полета и некоторыми другими неучтенными факторами. В табл. 6.3 представлены значения составляющих аэродинамических коэффициентов для ракеты, управляемой относительным поворотом отсе- ков и ракеты, управляемой ПУС. Значения соответствуют величинам пло- щади миделя Sm = 4,5 м2, числу Маха М = 2,5, у = = 10°, 8 = 5^ = 7°. 125
Таблица 6.3 Ракета с поворотными отсеками Ракета с ПУС сг0 ДСГ (/=10°) С.0 АС„о (Г = ю°) Сг0 дсг (£ = 7°) С„о АС„о £ = 7° I ступень 0,3 0,2 0,8 0,4 0,3 0,05 0,8 0,04 II ступень 0,4 0,1 0,9 о,1 0,3 0,05 0,8 0,04 Анализ таблицы показывает следующее: - для I ступени ракеты с поворотными отсеками приращения ДСГ, ДС„ составляют 66 % и 50 %; для II ступени - 25 % и ~10 % от соответст- вующих значений Сг0, Сл0; - для I и II ступеней ракеты с ПУС приращения ДСГ и ДС„ составля- ют соответственно ~15 % и 5 % от Сг0, Сл0. Таким образом, поворот отсеков на максимальный угол /, вызывает в четыре раза большее относительное изменение ДСГ и в десять раз боль- шее относительное изменение ДС„, чем при максимальном отклонении управляющего сопла. 3. Распределение аэродинамической нагрузки по поверхности ракеты с поворотными отсеками изменяется в процессе управления ракетой, что влияет на упругие колебания ракеты. 6. 5. Конструктивное исполнение Головной отсек крепится к ракете с помощью узла качания, представ- ляющего собой карданный подвес с силовыми опорными переходниками. Рулевой агрегат, расположенный внутри узла качания, отклоняя ГО от продольной оси ракеты, обеспечивает управление полетом в каналах тан- гажа и рыскания. Управление полетом ракеты по каналу вращения на ат- мосферном участке траектории осуществляется аэродинамическими ру- лями, установленными на головном обтекателе, а после сброса обтекателя - жидкостными ракетными микродвигателями, входящими в состав дви- гательной установки ступени разведения боевых блоков. Двигательная ус- тановка ступени разведения жидкостная, работающая на двухкомпонент- ном топливе. Один из компонентов этого топлива, а именно - горючее, как менее агрессивный продукт, используется в качестве рабочей жидко- сти рулевого агрегата отклоняемого ГО. 126
Узел качания ГО на основе карданного узла с центральным шарни- ром показан на рис. 6.3. Он выполнен в виде большого конуса, уста- новленного на переходнике 1 III ступени, и перевернутой усеченной пирамиды 4, соединяющейся с отклоняемым ГО. Между ними в опорах скольжения смонтирована крестовина центрального шарнира карда- на 10. Особенностью такой схемы узла качания является наличие об- щих баз крепления рулевых приводов 2 обеих плоскостей качания. Для более равномерного распределения усилий на несущие элементы пере- ходников в каждой плоскости качания установлено по два рулевых привода. 5 1 - переходник III ступени; 2 - рулевой привод; 3 - пироклапан нагнетания; 4 -пирамида; 5 -пироклапоч слабо; 6 -термокомпенсатор; 7 -уравнительной трубопровод; 8 -метоллорукаб; 9 -дречажний клапан; Ю - каодон; 11 -цечтральный узел подбода; 12 -зспрабочной клапан. Рис. 6.3 Конструктивная схема карданного узла с центральным шарниром вы- годно отличается от других схем карданных подвесов тем, что в ней ши- роко используются в качестве силовых элементов тонкостенные оболоч- ки, обладающие высокой жесткостью при минимальном весе. Расположе- ние четырех РП по осям симметрии создает симметрию силовой схемы карданного узла. Оси РП проходят через узлы, представляющие собой пе- ресечение оболочек. При этом обеспечиваются благоприятные условия для передачи усилий от рулевых приводов на силовые элементы узла ка- чания. Существенно снижаются паразитные оболочечные моменты и из- гибно-крутильные деформации элементов конструкции. Тем самым по- вышается их жесткость. 127
Для задачи управления ракетой отклонением ГО, имеющего большой момент инерции, предпочтительней непрерывный (аналоговый) принцип управления РП по следующим причинам: • он позволяет свести к минимуму перерегулирование в переходных режимах и снизить тем самым колебательность процесса регулиро- вания; • реализуется аппаратно с минимальным числом связей с СУ; • алгоритмы управления аналоговым приводом решаются с мини- мальными затратами машинного времени БЦВМ; • элементная база мощных аналоговых РП освоена в производстве, а теория и практика их проектирования наиболее отработаны. Требуемый коэффициент усиления по мощности РП порядка 2104 был реализован двухкаскадным гидроусилителем, в первом каскаде которого применен плоский золотниковый распределитель, а во втором - цилинд- рический золотник. Для повышения надежности и улучшения стабильно- сти характеристик РП в электрогидравлическом усилителе (ЭГУ) была применена отрицательная механическая позиционная обратная связь меж- ду каскадами. Проблемным вопросом при проектировании РП отклоняемого ГО яв- лялся выбор простых и надежных средств демпфирования колебаний инерционной массы на упругом подвесе при большой жесткости нагру- зочной характеристики рулевых приводов. Известно много различных ме- тодов демпфирования, основанных: • на разных принципах рассеивания энергии колебаний (вязкое или сухое трение); • введении в контур сервопривода обратных связей по ускорению или производной от ускорения нагрузки (по перепаду давления в полостях цилиндра или по динамическому давлению); • организации перетечек рабочей жидкости между исполнительными гидролиниями, соединяющими золотник ЭГУ с гидродвигателем. Наиболее рациональным, требующим минимальных энергетических затрат и наиболее просто реализуемым, является метод демпфирования за счет организации перетечек рабочей жидкости между рабочими полостя- ми гидроцилиндра с помощью небольших несимметричных начальных отрицательных перекрытий по напорным и сливным кромкам цилиндри- ческого золотника выходного каскада ЭГУ рулевого привода. При таком методе демпфирующие качества рулевого привода наиболее полно реализуются при малых открытиях окон золотника, т. е. именно в том диапазоне рабочих перемещений золотника, в котором малого скольжения механической характеристики рулевого привода не хватало 128
для демпфирования колебаний ГО. При больших открытиях золотник ве- дет себя, как обычный отсечной, обеспечивая рулевому приводу высокое быстродействие и приемистость. При этом максимальное развиваемое усилие РП не уменьшается. При наличии на ступени разведения ЖДУ создаются технические предпосылки для применения системы питания рулевого агрегата гид- равлической энергией от централизованного источника питания (ЦИП) двигателя. Такая система является более совершенной в весовом и энер- гетическом отношении, чем автономный бортовой источник мощности РА. Пневмогидравлическая схема РА с питанием от ЦИП приведена на рис. 6.4. Рис. 6.4 ЦИП был выполнен в виде комбинации попеременно работающих вы- теснительной и турбонасосной систем подачи компонентов топлива в ка- меру сгорания ЖДУ. Он включал в себя питатели окислителя ПитОк и го- рючего ПитГ, каждый из которых содержит дифференциальный поршень, обеспечивающий вытеснение компонентов топлива, и блок управляющих клапанов БУК, обеспечивающих подачу и сброс управляющего давления на клапаны запуска газогенераторов ГГО и ГГГ турбонасосных агрегатов ТНА Ок и ТНА Г. Питатели окислителя и горючего устроены и работают аналогичным образом. Вытеснение компонентов топлива из питателей при работе ЦИП обеспечивалось сжатым газом, поступающим из шаро- баллона ШБ. После опорожнения питателей срабатывали клапаны БУК, задействующие соответствующий ТНА для зарядки питателя, после чего цикл вытеснения повторялся. 129
Подача питания от питателя горючего к РА в полете обеспечивалась после срабатывания нормально закрытых пироклапанов ПКС и ПКН, со- единяющих гидравлические магистрали РА с ЦИП. Отработанная жид- кость после рулевого агрегата сливается в бак ЖДУ. Перед этим имев- шаяся в рулевом агрегате консервирующая жидкость - минеральное мас- ло марки РМ - предварительно сливается за борт ракеты через нормально открытый пиропереключатель ППК. После завершения работы РДТТ III ступени и перед отделением от нее ступени разведения срабатывают открытые до этого пироклапаны разъемные ПКР1, ПКР2, которые отсе- кают гидромагистрали РА от ЖДУ гидравлически и механически. Заряд- ный клапан ЗК и дренажный клапан ДК служат для заправки РА консер- вирующей жидкостью и подсоединения к нему технологической насосной станции при наземных испытаниях. Температурные изменения объема консервирующей жидкости при хранении РА в составе ракеты компенси- руются термокомпенсатором ТК. Такой схеме питания РА свойственна высокая экономичность, по- скольку горючее после РА возвращается в бак. Безвозвратно расходует- ся только та часть компонентов топлива, которая обеспечивает работу ТНА в моменты подзарядки питателей. Безусловно, такое решение тре- бует некоторого усложнения ПГС РА (введение дополнительных клапа- нов ПКР и пиропереключателя ППК). Кроме того, для подвода рабочей жидкости от ЖДУ, расположенной на головном отсеке, к рулевому аг- регату, размещенному в переходнике III ступени ракеты, через цен- тральный шарнир карданного подвеса требуется специальный узел под- вода, состоящий из двух расположенных один в другом сильфонов (см. рис. 6.3 поз. И). Однако вес рулевого агрегата получается меньше по сравнению с вариантом питания РА от собственного бортового ис- точника мощности. Проблема исключения взаимовлияния рулевых приводов, установ- ленных в одной плоскости качания, и влияния одной плоскости качания на другую, обусловленные кинематическими особенностями узла кача- ния с центральным шарниром, были решены введением уравнительных трубопроводов между функционально идентичными полостями сило- вых цилиндров. 130
Глава 7 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАКЕТЫ С ШАРНИРНО СОЕДИНЕННЫМИ ОТСЕКАМИ 7.1. Постановка задачи При создании ракеты с шарнирно соединенными корпусом (двигатель- ной установкой) и головным отсеком (ГО) в среде разработчиков возник и стал привычным термин «управление ракетой путем отклонения голов- ного отсека» (см. главу 6). Управление угловым движением ракеты предполагает поддержание на активном участке траектории полета нулевых значений возмущений программных величин углов тангажа, рыскания и вращения. Эти отклоне- ния определяются относительно начальной стартовой инерциальной сис- темы координат AXoYoZo (раздел 1.1), направления осей которой в полете на борту ракеты формируется комплексом командных приборов (ККП). Если ККП расположен в корпусе ракеты, то возмущения параметров угло- вого движения ракеты определяются угловыми отклонениями корпуса ракеты относительно системы координат AXoYoZo; система управления осуществля- ет стабилизацию углового положения корпуса ракеты относительно этой сис- темы координат путем отклонения ГО относительно корпуса ракеты. Если ККП установлен в головном отсеке, то система управления ра- кеты для стабилизации углового движения ГО осуществляет поворот кор- пуса ракеты относительно ГО. В этой связи термин «управление ракетой путем относительного по- ворота отсеков», как обладающий большей общностью, особенно с уче- том изменения в полете соотношения инерционных параметров системы «корпус - ГО», представляется более удачным. В данной главе будем ис- пользовать уточненный термин. Ракета, управляемая относительным поворотом отсеков, - это шар- нирная связка двух тел, движущаяся в поле массовых гравитационных сил под действием поверхностных аэродинамических и сосредоточенных ре- активных сил. Поскольку в нашем случае (РТ-23) ККП установлен в ГО, то будем считать, что ГО совершает переносное движение, а корпус раке- ты - относительное. Математическая модель ракеты РТ-23 как объекта управления, имеющей шарнирно соединенные отсеки, к началу проектных работ по ее созданию разработана не была, хотя динамические особенности, присущие похожим динамическим системам (ракетам с поворотным маршевым двигателем, со- ставным космическим аппаратам и т. п.) изучались А. Ю. Ишлинским [77], 131
К. С. Колесниковым, В. Н. Суховым [87], [89], [90], Н. Ф. Герасютой, И. М. Игдаловым, В. М. Морозовым, Н. Е. Зыковым [38], Г. А. Кононыхи- ным, М. П. Харламовым, М. Е. Лесиной [91], [157], [158], М. Е. Литвином- Седым [99], [100], Л. К. Лиловым, В. А. Чириковым [98], В. А. Сарычевым [136], Л. Н. Рогачевой, Н. П. Степаненко [133], Ю. Н. Федосеевым [151] и др. Анализ перечисленных работ показывает следующее. Соотношения массово-инерционных характеристик корпуса и органа управления, условия работы рулевого агрегата и характер аэродинамиче- ского воздействия на корпус и ГО ракеты с шарнирно соединенными от- секами существенно отличаются от соответствующих параметров бли- жайшего аналога - ракеты, управляемой поворотом маршевого двигателя. Поэтому исходные положения, упрощающие допущения, и, следова- тельно, конечные результаты - математические модели динамики этих ра- кет - априори нельзя принимать совпадающими. С целью создания наиболее достоверной математической модели раке- ты с шарнирно соединенными отсеками ее разработку проводили незави- симо несколько организаций с последующим согласованием окончатель- ного варианта как исходных данных на разработку системы управления. Ниже излагаются результаты, полученные в Днепропетровском нацио- нальном университете. Рассмотрим возмущенное движение ракеты, управляемой относитель- ным поворотом отсеков, с учетом ее динамических особенностей: - соизмеримость массово-инерционных характеристик головного и двигательного отсеков; - конечная жесткость конструкции головного и двигательного отсеков; - конечная жесткость элементов шарнирных кинематических связей между отсеками; - характер аэродинамического воздействия на ракету как шарнирную связку двух тел. Существуют разные методы вывода уравнений движения динамиче- ских систем. В дальнейшем используются положения о движении свобод- ной системы тел, изложенные А. И. Лурье [102]. Принимается, что факти- ческое движение несущего тела неизвестно; оно определяется с учетом влияния движения переносимого тела. Для описания движения ракеты ис- пользовались следующие правые ортогональные системы координат. AXoYqZo - инерциальная начальная стартовая система координат, точка «А» которой совмещена с центром Земли. Оси координат этой систе- мы колинеарны осям стартовой системы координат (раздел 1.1) и в дальнейшем не изменяют своего положения в пространстве. OXrYrZr - связанная система координат I. Начало отсчета совмещено с центром масс ракеты. Оси параллельны главным централь- 132
ным осям инерции головного отсека. Ось ОХГ направлена к носку ракеты. LuxkYkZk - связанная система координат II. Начало отсчета совмещено с точкой Ш (геометрическим центром шарнира). Оси парал- лельны главным центральным осям инерции корпуса. Ось ШХК совпадает с продольной осью симметрии корпуса и на- правлена к носку ракеты. UIXrYrZr - связанная система координат III. Начало отсчета совмещено с точкой Ш. Оси параллельны соответствующим осям системы координат I. Ось ШХГ направлена к носку ракеты. Оси систем координат III и II совпадают при соосном расположении про- дольных осей симметрии корпуса и головного отсека. L(rXrYrZr - связанная система координат IV. Начало отсчета совмещено с центром масс головного отсека. Оси параллельны соответст- вующим осям системы координат I. CXrYrZr - связанная система координат V. Начало отсчета помещено в точку на продольной оси симметрии головного отсека, в ко- торую проецируется центр масс ракеты. Оси параллельны и сонаправлены соответствующим осям системы координат I. Системы координат показаны на рис. 7.1 в). На этом рисунке точки Цг, Цк, О - центры масс ГО, корпуса и ракеты в целом соответственно; точка Ш - геометрический центр шарнира; точка С - проекция точки О на продольную ось ГО. -к Рис. 7.1 133
Ориентацию ракеты как системы двух тел в инерциальном пространстве характеризует положение головного отсека относительно системы координат AXoYoZo и положение двигательного отсека (корпуса) относительно системы координат IIIXrYrZr. Принимается, что движение ракеты характеризуется следующим: - полет ракеты происходит в атмосфере, в гравитационном поле Земли под действием силы тяги маршевого реактивного двигателя; - угол у между осями продольной симметрии головного и двигательного отсеков мал в том смысле, что sin у ~у и cos у ~ 1; - аэродинамические нагрузки на ракету соответствуют гипотезе стацио- нарности; - поперечные упругие колебания ракеты таковы, что выполняются ги- потеза о малости упругих деформаций и закон плоских сечений Навье [152]. 7.2. Уравнения движения в векторной форме 7.2.1. Уравнение поступательного движения Используя теорему о движении центра масс твердого тела, запишем для головного отсека и корпуса (7.D at j=i mK^-=iF*, (7.2) dt v=i где тг,mK - масса головного отсека и корпуса соответственно; -г -к го ,го - радиус-вектор центра масс головного отсека и корпуса относи- тельно инерциальной системы координат соответственно; XFp XFv ~ сумма внешних сил и сил в шарнире, действующих со- У=1 v=l ответственно на головной отсек и корпус, приведенные к их центрам масс. Учитывая, что -к _-г -г -к г0 г0 +Рцц> Рцц Р цш ' Р шц 9 где рцц - радиус-вектор центра масс корпуса относительно центра масс головного отсека (рис. 7.1 а, б); —г рцш - радиус-вектор шарнира относительно центра масс головного от- сека; —к ршц - радиус-вектор центра масс корпуса относительно шарнира, 134
просуммируем выражения (7.1), (7.2) и получим d2r[ dt2 л-т d2р dt2 (7.3) т J где m - масса ракеты. Принимая, что головной отсек движется относительно инерциальной системы координат с угловой скоростью йу , а корпус относительно головно- го отсека с угловой скоростью , выражение (7.3) запишем в виде: J2ro к\3ш - dais К _ / к \ _ ( (7.4) m~dtr+m ^xp*’+_/x^+£asx(^x^J+‘ax(^x^J+a'x('ux/’'<’)J=^F> 4 7 где — - оператор локальной производной в системе координат ЦГХГУГ2Г. dt Принимая во внимание, что (рис. 7.1 в) _ —Г — к Рцц РцЪ + Р$ц ’ где - - радиус-вектор центра масс ракеты относительно центра масс головного отсека, - ~р^ц - радиус-вектор центра масс корпуса относительно центра масс ракеты, запишем тГ РцП=тК Роц- (7.5) Подставим выражение (7.5) в (7.4) и, произведя преобразования, получим т + (7.6) л-т х Ршу + <>$ х (<BS X р^)+ co X (©j X р^)+ co X (о X pw ) = Проектируя вектор р^она оси системы координат ЦГХГУГ2Г (рис. 7.1 в) и учитывая, что: _г _ т _к _ Рсо~~ Ри^ где у - вектор угла поворота корпуса относительно головного отсека, пре- образуем соотношение (7.6) к виду: d2ro da) г . л — т ^dP~^li~XXyo1 +т~^хР. л-т da)s _к ~dTXpua> Kdo к _ • —хй xv + dt Риа< Г + <os х X + о X X + ФХ (ox рт ) = £Fj (7.7) к 135
Выражение d2ro ! da) dt2 dt ЦО представляет собой линейное ускоре- ние относительно инерциальной системы координат AXqYqZo проекции центра масс ракеты на ось ЦГХГ; обозначая его Ус, запишем: mV'+mK ^xp^xy+^xp^+®sx(cosxp^)+<ox(cosxp^)+®x(ffixp ) = £F’-(7.8) at at j Уравнение (7.8) является векторным уравнением движения проекции центра масс ракеты с шарнирно соединенными отсеками, относительно инерциальной системы координат AXoYoZo. 7.2.2. Уравнение углового движения Для получения векторного уравнения углового движения ракеты вос- пользуемся теоремой об изменении кинетического момента динамической системы. Для множества точек корпуса запишем: (7.9) at v=i где Мк - главный вектор момента внешних сил и сил в шарнире, дейст- вующих на корпус ракеты, относительно начала инерциальной системы координат; Fv - радиус-вектор v-й элементарной частицы корпуса относительно на- чала инерциальной системы координат; т* - масса v-й элементарной частицы корпуса; Kv - вектор линейной скорости v-й элементарной час- тицы корпуса относительно начала инерциальной системы координат. Принимая во внимание, что Fv = >о + Р*» где 'о ” радиус вектор точки О относительно начала инерциальной системы координат; р* - радиус вектор v-й элементарной частицы корпуса относительно точки О, запи- шем выражение (7.9) в следующем виде: iroxm‘^+itfxm*^ = MK. (7.10) v=i at v=i at На основании теоремы об изменении количества движения динами- ческой системы имеем: — = FK> гДе FK - главный вектор внеш- dt v=i них сил и сил в шарнире, действующих на корпус ракеты. Принимая во внимание, что 136
— _ - _ — - do K — MK -rQxFK = Мо, Vv = к0 + Pv , где Ко - линейная скорость полюса О, dt Мо - момент внешних сил и сил в шарнире, действующих на корпус ра- кеты относительно полюса О, запишем: у —К' К * dVp . у — К К у Ру _ Г7К П 1 11 zL Р v 1^1 v X , q . у /. 11) v=i dt „=1 dr Для головного отсека: “ d2 -г <7Л2> где м о - главный вектор момента внешних сил и сил в шарнире, дейст- вующих на головной отсек относительно полюса О. Сложив (7.11) и (7.12), получим [ЬХ + Ztfx^+ ipjx<^ = ^o. (7.13) (v=i y=i ) dt v=i dt y=i dt Здесь Mo - момент внешних сил относительно полюса О. Совмес- тим О с центром масс системы «корпус - головной отсек». Тогда ^Pvmv =0 как статический момент масс тк, тг относительно v=l У=1 j J центра масс ракеты и (7.13) принимает вид . 2 — К j 2 —Г щ —if v d р.. л __р г* Р / — Хр*хт*—^+£ргхтг—J- = M0. (7.14) V=1 dr j=i J dt1 Учтем, что р/ = рош +р^,, р/ = рош +pQ, где pmi,p^Vi prMj ~ радиусы- векторы шарнира относительно точки О, элементарных масс корпуса и ГО t/2p* d2 ру относительно шарнира соответственно. Вычислим - 2 - , 2 . = + = ^L = ^£ + ®sXp^ + ®Xpv’^Ti = =—+ <в х+ .^ffixp“q) + cox(©sxp^,) + ^a*xpv) + ох(шхру). dr dt dt dt 137
^=^+5хр;. ^=^+5хр;. dt dt J dt dt J d2pr, d2o -do ^(®xpf) _ —=—Vй + <°x Pout +-----—+®х(шхpf). dt2 dt2 dt dt Kj „ d d Здесь —, —------символы локальных производных в системах коорди- нат OXrYrZr, IIIXrYrZr соответственно. Теперь можно записать + pv х /и, ----------J- v d2P0UI , -к„...к хй (Ру 2 + Pv Xwv , = i dt dt2 dt + р* xm^x(fi)5 xp*v)]+ p*xm* ^(0}*Ру') + p*mf х [в х (® xp*)]}+ at + t{pj^^ ^ Р°ш + р^хт‘ ,=1 J dt2 J d(<oxpr) + p . xm‘----— 4 Pj J dt + Pjt»j xbx(®xPy)]} = Mo- dt (7.15) Отметим, что V Ту % „.К V Ту^ Р°ш — к Pv ™v X P / X 0, lv=i j=i dt так как X pf ” статический момент масс относительно цен- v=l ;=1 7 тра масс системы и преобразуем отдельные слагаемые выражения (7.15) ^Xpf) = ^^хСРош + Ршу)] = ^ХРОМ) + ^ХРш? = ^(№ХРоц) + dt dt dt dt dt do —r — d Рш] _______ —Г\ d(coxp ) d(£) —p — z_________ —Г\ —X pQ + co X (-^ + cos X p [.) =-+ —- X p Q + (0 X ( (OS X P;y), 138
d(jj>*py) = </[<»х(рош + р^)] = </(<вхрош) + d(a>xp*) = J((oxpo[u) + dt dt dt dt dt d(ii _/f — d d(®ХРОШ) t/tt) — % — d p — + ^-хр„ + шх^« = ^-^ + -хриу + шх(-^*т5хр_„). = jkXp* + Xp^), так как ^-^= = 0. ^S = 0. at at at at ^xp^)_^ -K - dPw-dtos xnK +m X dt ~ dt *p™ + <°s* dt ~ dt Х^<*Х dt d PlUV I Tx yX/f Л +(%XPbv t/COc _// — .— _ jz ч = -^TXP£v + C0SX(®SXPu/v)- at Учитывая результаты преобразований, перепишем (7.15) в виде f Р*х m* {^-х Ршг +“7“х + % х fe х Ршг)+ йх (®x ру)} + (7.16) v=i at at я —Г р d ду у р _у у + Zpy xmf{—хр*+<ох(й)хрр} + 2£р*хт* j=\ at v=l *$ХРшу о- Введем обозначения: i = v(Jj, m.=m^\Jmj, РШ1=Ршу^Р^’ Pt =Ру\)рГг Pj = рош + ршу, Ру = рош + р*у, что позволяет записать Рош х(^х2Хрш,) + рош х[®х(®х2ОТ(рш/)] + рош х(^-х Ът^р^у) + dt i i dt v=i + Po»x[fflsx(casX Хт^р^)] + рошх[®х(й5х 1™*^)] + V = 1 V=1 + Ep^vxmv {~~xp^v + cosX(cosXp^v) + 2©x(©sxp^v)}+ (7.17) v=i dt .5?o _ _ z_ _X1 _ + 2Рш, xm, {—X рш1. + (OX (ox p,)} = Mo. i at Учитывая, что Sm.p^ =трш0, lrnypKm=mKp^, где рш0 - радиус- i v вектор центра масс ракеты относительно шарнира, (ршо=”Рош)» _ радиус-вектор центра масс корпуса ракеты относительно шарнира, запишем векторное уравнение углового движения ракеты относительно системы координат AXoYqZq 139
Рош Х(^ХтРош) + Рош х[й)х(йхтрои)] + рош х(^-хткр^ ) + at at + Рош X[й5 X (Й5 X тк р*ч)] + рош X[йх (©sх тк р^)]+ + fp^vxm5r{^7£xp^v + ©sx(c5sxp^v) + 2®x(©sxp^v)}+ (7.18) v=l at + Z Рш, xm, {^7 X рИ1. + й x (й x P,.)} = J70. 7.2.3. Уравнение углового движения корпуса относительно головного отсека Используя выражение (7.9) и учитывая, что г у = rQ + рош + p*v, (7.19) найдем 2Ххт<^=^> <7-20> v at где Мш - главный вектор момента внешних сил и сил в шарнире относи- тельно точки Ш. Скорость v -й точки корпуса: Vy = ^o+^%H!- + ®x(polu+p*v)+®5xpJfv. (7.21) Дифференцируя (7.21), подставляя результат в (7.20) получим вектор- ное уравнение углового движения корпуса ракеты относительно головно- го отсека: ~2- тК Р^ х Го + * Ршц Х х Рош) + 2 Wv {pL X [(^ + й5) X р^]} + + v=i dt + Zwiv Р^хСй^йхр^ + Х^р^хЕйх^х V=1 V=1 xP^v)]-— Хю*Р^х[йх(й5хр^)]-— 1т5гр^,х[йх(йхр^)] = л7ш. m V=1 m V=1 (7.22) + тКРшц* юх d Рош dt 7.3. Уравнения движения в скалярной форме Сравнивая линейные и нелинейные составляющие в уравнениях дви- жения отметим, что нелинейные функции угловых скоростей, намного меньше линейных и ими можно пренебречь как величинами второго по- рядка малости. В результате уравнения движения можно записать в сле- дующем виде: 140
wtV do)s y. -K __ v 7И r c 4"/И X Ршц j at j (7.23) Рош do)c k—k X —±xmKp* dt ц Рош da) - x ~^~ХтРош at + ЕРшу V к dtOg —к x™v ~^-хршу ткРшЧх^о + тКР^х(ахРош)+ f mv {P*v*№ +й)5)хР^В + ~2- V=‘ ( 7- \ (7-25) _i_ X ~ X у d Р ош _|_>и^л^х О) X Р ош — -tr + т Ршцх dt2 +т Рищ тх dt При выводе дифференциальных уравнений возмущенного движения ракеты в качестве невозмущенного будем рассматривать программное движение системы (у = (р = 0). Связь между проекциями на оси системы координат OXrYrZr вектора угловой скорости ш устанавливается соот- ношениями: а)х = ф-ib Sira/f, й)у =ф Costp + ihCosv Sirup, (7.26) a)z = Sirup+ & Cosy Costp. На основе (7.26), получим с точностью до величин второго порядка малости: а* = a,'**?- = (7.27) dt у dt dt v ' где со',, шу, со'» - проекции угловой скорости, соответствующие возму- щенному движению, на возмущенные направления осей системы коорди- нат OXrYrZr; At>, Дф, Дуг - возмущения параметров движения. Дифференцируем (7.27) d(o'x’ _ J2Ay . da)'y’ _ J2Ayr da)'z' _ d2& d2k& dt dt2 ’ dt dt1 ’ dt ~ dt2 + dt2 Для проекций возмущенной скорости точки С продольной оси голов- ного отсека на оси системы ОХ^^Г с точностью до малых второго по- рядка имеем Vcx^ = ^сх+^х^ Vcy' = -Vex+ Vy ; V^ = Vcx^ + Vcz + ДVz, (7.29) 141
где V^., КсГ, VCY, Vcz — проекции возмущенного и невозму- щенного векторов скорости точки С на оси системы OXrYrZr соответст- венно; АКС — возмущение вектора скорости Vc. Из равенств, дифферен- цируя, находим: <&СХ =<&СХ t dt dt dt = ^. + ^CL + ^Lt (7.30) dt dt сл dt dt dt ' dVCZ' = dVCX д ! r d^ j dVCZ ! d^VZ dt dt * Cx dt dt dt Длят, mr, Yy, y&> можно записать: m' = m + Am, m,r =mr +&mr, (о$у = (D$y + Aco^y = Aco^y, (7.31) coiz=cosz+A(Dsz»A(Dsz, Yv=Yv+AYv=AYv, 7э=7э + а7э«а7э- Учитывая (7.29-5-7.31), запишем уравнение (7.23) в проекциях на оси системы координат OXrYrZr. -согГст) + ^(^^ -^-УД) = ХГЯ. (7.32) dt dt dt j т^- + ^Усх+ =ZFly , (7.33) dt dt j m(^ + (SixVCY-(S>rVcx) + mK^-X^=T.FiZ, (7.34) dt dt j так как Хк » -lK YK = -lK v ZK = -lK v л ищ 1щц ’ * щц 1щц «3 » ^ЩЦ 11ЦЦ 'V ’ где — расстояние от центра масс корпуса ракеты до шарнира. Принимая во внимание выражения (7.274-7.31), проводя линеариза- цию уравнений (7.32-5-7.34) и отбрасывая члены второго порядка малости, получим линеаризованные уравнения поступательного движения. dNYX К tK f А d^SZ А \ AVP т—^ + т 1шц(--------T^AYv-------V^-AYa) = AZ<x> dt dt dt j m^~mK (735> 142
X X 3A<°Sy =_^F дг + д^р dt dt JX Ч’ Jz' где YFjX, XZFjX, у ’ aXf z — суммы проекций и проекций J J J J J J приращений внешних сил на оси системы координат OXrYrZr соответст- венно. Записывая уравнение углового движения (7.24) в проекциях на оси связанной системы координат OXrYrZr, принимая во внимание выраже- ния (7.27-ь7.31), получим: Уравнение в проекциях на ось ОХГ ,2 .72 \^Х у у у v ^zl . ОШ ОШ J rft ЛОШ1ОШ dt ^ОШЛОШ dt -т , К + т d®sx yk d®SY dt Yuiy dt YK |у d(OSZ л шц £ош vK — dt Лшч d®sx yk dt £шц + £»», . ^2 \d<ox v daz “r Z Ш1/ л Uli1 Uli dt ^uii^uii (7.36) к Z ШЦ ^ош + у К (у*2.| YK1\^SX VK VK d®SY YK VK ^SZ 7" ТП v V MV T Z WV / . л ШУ I UlV . Zu/vAwV . v dt dt dt Уравнение в проекциях на ось ОУГ \ d(Hy da)y — __ dtHy ~~М (Хош + Zoui) ХоиХош 3 ZouXoui + dt dt dt . к (d&SY ^sz VK X7 d®sx YK ^sy yk a r ~ v dt dt 1 шц)^ош dt 1 ШЧ dt л^*ц'лош т~» /2 2 \ df^Y tr тг >~y tz d(i)z + X (X1Ш + Zwi) . ~7 ^uiXuii 1 *" i I dt dt dt ( Yk2 + 7k2 VK VK 7K VK - ' £^ГПу \Л wv Z щу J dt Л. щу I щу dt Zjiuyluiy dt Уравнение в проекциях на ось OZr d<t>z у z ^X__7 v i dt ОШ ОШ dt ош ОШ dt J + mK YK 7^\v (^ST 7K d<°SZ VK . ' \ dt Л-ШЧ dt dt dt * ШЧ' * 0,0 ' = МоХ; + (7.37) (738) — ^ОГ’ -т (TL + 143
ж-« z 9 ? \ dta? ry dtHy „ dtHy + 2mi (Xuii + YШ|) ~~T ^ua^uii ~~7 ^uti^iui . i dt dt dt + (XKL ^SZ YK 7K d®SX VK 7K ^SY A.un£un j IunZ^un , dt dt dt = MqZ Введем обозначения инерционных характеристик ^ШХ (Zuri + Yud)f шху ^^i^uii^tui 9 ox ~~ ua ~ ош 4" Zoiu) 9 i i Iшу (^u + Zuii)f ^uua S’ ^oy ” шу ^^Xош Zow') * =Zw/(X< + y<), ^=Z'”IYU,ZU,> Ц=/иа-т(Х2ош + У2ош), jK уГ2 • 7Г2\ 1 ШХ ~ Z^ITlj \I iuj т£ш] /> f _T ________my Y oxy 1шху "t'*'OX1OUli X^Yb, I шу ~^1Пу (X UN +Ziuy)f V llL = 2mf(Y£+Y£), V ..._ mX'Z'...« иоа ош ош 1 rK -уКуК YK uxyz Z^frlv ZjIUV 1 UN » т _т _______mY 7 1 oyz 1uiyz ni 1 our*1 ОШ 1 7* - V 7K YK 1 uaz — £4iflv Zjiuv Л шу • Запишем матрицу направляющих косинусов между осями систем ко- ординат IIIXKYKZK и IIIXrYrZr. Взаимное положение осей координат ха- рактеризуется углами yv, уд: Cosy^Cosy^ -Sinye + Sitr^Cos^ + Co^Sirq^ - Sirr(v Cosrft 0 Siny4Sinyt Cosy^ (7.39) Матричное уравнение перехода от системы координат IUXrYrZr к сис- теме координат I1IXKYKZK имеет вид: (7.40) где - матрица-столбец, элементами которой являются со- ставляющие вектора p£v в системе координат IIIXKYKZK; 144
хк ШУ л YK ШУ / ZK ^ШУ - матрица-столбец, элементами которой являются состав- ляющие вектора p£v в системе координат IIIXrYrZr. С учетом вышесказанного запишем выражение (7.40) в виде: (7.41) Здесь принято cosy^ « cosy^ «1, sin/у, « у^, sin/0 ® Уу, • у# = 0. Учиты- вая (7.41), получим формулы для расчета осевых моментов инерции: ^шх = ^mi + Yuri )= SWV (%un Yun 1"*" f 1= ' v k J j \ J (7.42) = I^+ILx+ ткХ^ц2 (yv2 +7^), 1шу = ZwiU«+zii) = Im? + Y%2v) + (xtf + Y^j) = ‘ V „ „ J « (7.43) =1шу + Ituy + ^Wv (/фУшУ +YyZtuV +YwXuV )> V lux = 1ггц(х1, + Уш.) = lmf(x£ + y^v2) + (X^j + У^/) = ' V .. .. J „ <7-44> = Ituz lua (’'iftYuiv YyZuiv YfyXiuv)> IL = Zmf (У^ + ZS2), =Z<(y^ + Z^2), (7.45) j V 1Гшу = T.mrj (x£ + z£), I^y = + Z«v2), где 1^' - осевые моменты инерции динамической системы «корпус - головной отсек» относительно осей системы координат mxrYrzr. При выводе формул (7.42)+(7.45) принято во внимание, что X unY ШУ ~ ^1Иу XunZuN = ^ТПу YunZuN = V V V 145
как центробежные моменты инерции относительно осей, параллельных главным центральным осям корпуса ракеты. Формулы для расчета центробежных моментов инерции имеют вид: /^ = Zт>Уш, = Zmv XLУ^ + XmjXQY^j = -(ly~I*)Ye-mKl£Ye, (7.46) I = XmiX^='ZnhXLzL+llmjX^Z^=-(Ix-/z)rl,+mKl^ry . (7-47) i V j +Xm^Z^=-(mrr2 -1<Х;'2)ГЛ. (7.48) где Z ^цш, Z - центробежные моменты инерции системы «корпус - головной отсек» относительно осей системы координат IIIXrYrZr; /*, If “ осевые моменты инерции корпуса ракеты относительно главных центральных осей корпуса. При получении выражений (7.46)+(7.48) учитывалось следующее: 1щху = I uixz ~ Iutyz = ®> Хщу = Хцу +Хшц„ Ущу = Yyy , Zwv = » (7.49) р* =Хцу i +YKyj + Z^ к - радиус-вектор v-й точки корпуса ракеты в проекциях на главные центральные оси корпуса, параллельные осям системы координат IIIXrYrZr 2. Выражения Imv X$'y%' = Zmv X$'z%' = Ъп* Y%'Z%' = О V V V как центробежные моменты инерции относительно главных центральных осей корпуса ракеты. 3. Члены, содержащие 1*ц равны нулю, так как V V Emv Zgv - статические моменты масс относительно центра масс корпуса v ракеты; Z , Z^, Z - центробежные моменты инерции системы «корпус - го- ловной отсек» относительно осей системы координат OXrYrZr. Принимая во внимание соотношения (7.42)+(7.49), перепишем фор- мулы (7.36) + (7.38) для случая, когда = 0 (отсутствует прокручивание корпуса относительно головного отсека вокруг продольной оси отсека), в виде: 146
т Я®* J J (тК >тКуКу лох лоху лохх Vuay~rm лшц1ош/ -^+mKX^Z<>u^-=Mm, d(tiY т d(tix d(toz ( х +mK(zK Z + XK X £oy dt 1 oxy dt оуг dt ^Viay14'1 шц^ ош т л шц^ ош // ' Записывая векторные уравнения относительного движения корпуса (7.25) в проекциях на оси связанной системы координат OXrYrZr, прини- мая во внимание выражения (7.424-7.49) и считая скорость перемещения центра масс системы относительно шарнира малой, получим: jK d(OSY к dCQsz , к + К ZKZ +m*XKX dt w dt +\шу m шц£ош ™ X^X^) Л v 5^ (7.50) ’5У '* (7.51) ^SZ dt (7.52) rK d®SZ rK d(aSY . (тК . -KyK v .mKYKY \d<S>Z (rK , mK YK 7 V 1ua dt lu,yz dt ~r\UiZ~rm ЛЩЛошГГП 1шц1ош/ dt гшхг m ^шц^ош/^ d(^Y x— dt -hK vuiyz ~Y^V0X\nK Мщг» (7.54) Используя выражения (7.27+7.31) и записывая их для возмущенного и программного движений ракеты, отбросив члены второго порядка мало- сти, получим линеаризованные уравнения углового движения в отклоне- ниях. 147
л <*2д& 'л’““ ( „к к лК2\ т ™ ^шц1 dt Z ) ДУу = A4>x> (7.55) ОШ (7.56) оу> К,*)]. 32Л<р ош / \ЛХ *Z }рУу/ 2 at (7.57) , З^Дг [г .к (.к оу j 2 + Р* ил/ г ил/ at 32Л& Lx,x (fK лог 2 i" шц у шц at 4-\тк -ткек у PAa>sz _ лiz + |/шг т ^шц^ош] (ft —&М< Уравнения относительного углового движения корпуса ( „КлК2\ ! . шц 1 + к г “Лг) Ду» at at \ т J (7.58) /'+1U/J-/f К^“ at at \ m ) - ^oy + Vo^nVK = Mua- (7.59) 7.4. Силы и моменты, действующие на ракету Рассмотрим движение ракеты вне атмосферы под действием силы тяже- сти G, силы тяги Р, кориолисовой силы Fk9 возмущающих силы Fe и момента Мв. При получении структуры правых частей уравнений движения (7.35), (7.55) -е- (7.59), величины кориолисовых сил определим для ракеты с твердо- топливным двигателем. Кориолисовы силы, действующие на ракету с ЖРД, рассматривались К. С. Колесниковым и К. А. Абгаряном, И. М. Рапопортом [88], [1]. Упрощенная схема твердотопливного двигательного отсека приведена на рис. 7.2. 148
Запишем выражения, определяющие величины проекций Fxr, F/, F/ кориолисовой силы FK на оси системы координат OXKYKZK (рис. 7.1). FK = F*iK + Fy]K +F£kk , где iK, jK, кк - орты системы координат OXKYKZK. Примем выполняющимися следующие допущения. 1. Течение частиц в канале А (рис. 7.2) имеет осевую симметрию и суммар- ная радиальная скорость частиц равна нулю. 2. Относительные скорости частиц V? в направлении продольной оси корпу- са ракеты в сечениях X = 0 (сечение В - плоскость верхнего днища твер- дотопливной двигательной установки), X = 1Ш (сечение С - плоскость сре- за сопла двигательной установки), равна соответственно: Q =0, V I ГХ\*=1Ш 3. Давление во всех точках любого поперечного сечения канала А сече- ния, соответствующего xe[0,Zw] одинаковое, хотя по времени может меняться. 4. Секундный расход массы топлива т через любое поперечное сечение ка- нала А от верхнего днища до среза сопла, величина постоянная, изме- няющаяся от сечения к сечению pSV^ = т(х) - const. (7.60) Здесь р - плотность продуктов сгорания; S - площадь поперечного сечения канала А. 5. Образование движущихся в канале А частиц происходит равномерно по поверхности канала и только на участке 0 < х < 1Ш. 149
6. Кориолисово ускорение равно: ак = 2ф'хКг, где (О - угловая скорость поворота канала А: со' = ш + c5s. На основе принятых допущений найдем, что секундное образование дви- жущейся массы на длине х канала А равно где----секундное образование массы на единице длины канала А. 1ш Если 5ш(0)ЛИг) = 1, то проекции элементарной кориолисовой силы на оси связанной системы координат ЦКХКУК2К равны: на участке длины корпуса 0 < х < 1Ш d Fy = 2pSvrx[#-ya]dx; dF^ = -2pSvrx[4'~Yv]dx; (7.62) на участке длины корпуса 1Ш< х <1п d Fy = 2pSyrx[&-ya]dx, d Fy = -2pSyrx[iif-Yv]dx. (7.63) Используя (7.60), (7.61) перепишем выражения (7.62), (7.63) в виде: при 0 < х < 1Ш drf = 2тх[0 - Ye]dx = 2—[i? - y„]dx, 1ш dpz = -2mxW - Yjdx = -2р[у< - yF]dx; (7.64) при /ш < X < ln dFr =2mI[^-Ye\dx, dFz=-2mx\\i-yjdr. (7.65) Интегрируя выражения (7.64), (7.65) по x, получим: Fy = [m[ij - Ya] 1ш + 2/й[0 - уД/„ - /ш)] = m(2 ln - Zj(tf - уД (7.66) Проекции сил P, FB на оси системы координат OXKYKZK записыва- ются следующим образом: P = PIK\ FB =F*iK +Fy]k +FbzKk; G = -GJk. (7.67) Моменты сил F*, P (рис. 7.2) равны: Mp=RoaxP, —к _ M =-2jrx(a)Xy r)dm. (7.68) Запишем проекции радиус-векторов Rqa и г на оси системы коорди- нат OXKYKZK, учитывая, ч?о Roa = рош — XTiк, г = рош - (ХТ -ln+ X)iк, 150
Roa = -ХТ1К + + mKl^IK ( (7 69) m m r = ~(XT -ln+ X)iK + mKl^JK + mKl^rv^K m m Здесь XT— координата точки Ш, отсчитанная от плоскости С, X — координата поперечного сечения корпуса, отсчитанная от плоскости верхнего днища двигателя (рис. 7.2). Получим Мр = j* +>»К1^,РУ9 , (7 70) тп тп _ (ji _ / \тк 1к г • 1- Мк =-"» \ ~+(.4'-r4f)Ys\'iK-’Щу'-Гу)* \ Z J ТП / (^Т ~^п Л llfl _/ ~^П +А “I 2 3 I 1" ш) 2 jK +2т(д-/а)х (7.71) * 1Ш +У+(/„ - 1ш)2Хт 1п+1ш 2 3) 2 Кк. Проведя линеаризацию выражений сил и моментов, действующих на ракету с шарнирно соединенными отсеками, получим их линеаризованные выражения в приращениях: <?/ -1 А • XLF'jy = Fy + m -a—Hi- Ь~Т»), j \ 2 J ^FjZ=Fl-ni^^y^-Yv), (7.72) м'ох= [(6> - у9 )yv +(щ-у¥ )у9 ]+ Мх + мупр.<р, m m ‘ 12п+1ш ^-Г^у, (7.73) (7-74) (Хт-1„ Гэ~^ Ц-у-2- (7.75) X yF+2w 1ш\ т^шц? где — суммы проекций приращений внешних сил на оси системы координат UIXKYKZK; 151
у 9 У&ч Y^ Yy, «9, \j/—возмущения параметров движения; Л/оу, M'oz — проекции момента внешних сил на оси системы ко- ординат OXKYKZK; Мх, Му, Mz — проекции момента возмущающих сил на оси системы координат OXKYKZK; Мупр^ — проекции момента пары управляющих сил на ось систе- мы координат OXKYKZK. Запишем вектор F = Y.FjXiK + &£FjYjK + &^FjZKK в проекциях на j j программные направления осей системы координат СxrYrZr, вектор М = MoxiK + MOYjK + MOZKK — в проекциях на оси системы координат OXYZ. Оси систем координат OXKYKZK, OXrYrZr параллельны соответствую- щим осям системы координат LLIXKYKZK, LLIXrYrZr. Поэтому, воспользовавшись выражением (7.39), получим Frx 1 Yu Yy j ZFX + AZFr ys - A£FZ у J J j Fr = -Yu 1 0 ^Fjr = “ SFjX Yd + Fr rz Yy 0 1 £FjX Yy + ^FjZ Mrox 1 Ys Yt ^ox ^OX + MqyId “ ^ozl4* MrOY = “Ys 1 0 ' MOY = - ^oxld + MOY Mroz Yt 0 1 MOZ Mqx7 T + Moz = Р+ Проекции внешних сил на оси системы координат OXrYrZr Frr = -Ру3 + F# +^2/”2 F/ = Лт + Fz ~ " Y<? )• (7.77) (7.78) т Проекции момента сил М на оси системы координат OXrYrZr. 152
М0Х “ 2 I ~гп г+ н \2ХТ 1п +1Ш 2 3 I ' 2 х[(4*-ГтЬ+(^-ъК1+^ +л/УЯЛф- ШК1К иГ 1 1ШЦ Mqy ---- m -2 Ц (7.79) Р?ч + 2m 1Ш 2Хт-1п^1ш I 2 3 П х 2 X (7.80) г _m 1щц р .• . (Хт-1п 1Ш А /. . \2ХТ-1п + 1Ш Moz -------РУ«> -2m /ш —-—+— -(/„ -1Ш)—‘—— -------- х m L I 3 ) 2 х(->-гЛ«?. (7'81) Получим формулы для определения правых частей уравнения относи- тельного движения. Движение корпуса относительно головного отсека проходит под действием инерционных сил: -mK -mKYi9 -mKZx и т разностей управляющих сил (Р2-Л), (^1“^з)в шарнирном узле. Схема действия инерционных сил, обуславливающих движение корпуса ракеты относительно головного отсека в плоскости тангажа, показана на рис. 7.3. Рис. 7.3 Здесь У] = Y -—0, Zj = Z - — у (7.82) т т в рамках принятых допущений составляющие ускорения системы «головной отсек - корпус» в направлении осей OY, OZ соответственно. Принимая во внимание (7.82), найдем проекции момента сил в шарнире. 153
Проекции момента сил в шарнире на оси системы координат IIIXrYrZr М'шГ =-l^mK(Z+-Y)+—mKl^ yv - (Р2 - Pt)fj+, (7.83) m m M'uZ=l^mK(Y--^ + -тк1*цГа -(P4 -P3)r] + I&y,. (7.84) m m Здесь e - коэффициент демпфирования, ту - плечо управляющей силы в шарнирном узле. d(OKY do)?? d(Dcv Принимая во внимание, что = -yz, = 0 и используя выражения (7.35), (7.55X7-59), (7.71) (7.79Ж7.81), (7.83), окончательно запишем уравнения движения ракеты, управляемой относи- тельным поворотом отсеков. Уравнения движения ракеты вне атмосферы 1. Уравнения поступательного движения mZ = mKl^Yv -mfa- jv\11п -1Ш)-Р^~7у,)+ F”, (7.85) mY = -тк1^7б + ~ To)&„ - /ш)+ P(t> - )+ Frn. (7.86) 2. Уравнения углового движения -хм -ixV xY^-[(lr -Iх)+тк1шЦ2 1-— 1ûÄ ~[mKl^2 m X Го - 4^ln2 /a< К + - г До ] - 2т[/ш ^Г2 ln + у j- _(/л -/ш)x2Хт ~^п + /ш][(у-+(^-7^]-(.т^ут + тк1^)х x{Z~Y)-(mb.ZT + tnKl^Yv)(Y ~&) + Мпх +МупР^ (7.87) 154
= ~Хош)+^г + -mKl*4Xoa]Yv + тк г (Хт-l I А / ЛХт-1 +1 +—Р1*цГу +2т[/шр—-(/„-/ш) г ш]х (7.88) m 2 3 J 2 ^~Yv)+my> 1о2^ = \тК1шц^шц-X0lu)+(lz ~Ix\w? + U*Y-тК1шЦХ0Ш1и + +—Р1шЦГ6 -2^/Л^Р^+У-(/л-/№)2^Г ~/л +/ш]х (7-88) m у 2 3 ) 2 x(ij-r„)+^. 3. Уравнения углового движения корпуса относительно ГО / к '.М, = to -»to^> + [-"to’ > ~ + (if - lx ir«» + "I ton + — V * Ml- ify^t,, I m I m Y Y (7.90) toT.-fo-»to-f~)»-i”-to1fi+— I m I k 7 (7-91) - тК1шц\У + ]-—Р1шЧУь + MZ - \ m ) m Уравнения движения ракеты в атмосфере 1. Уравнения поступательного движения mZ = mKl^ -m(v-Yv)(2Z„-^-(P-Xa^-J^+Fz , (7.92) mY = -mKl^yb +m^-uX2l„ -lM)+(P-Xa)(b-n)+FYn. (7.93) 155
2. Уравнения углового движения х Wh fe - )+ (/f к \ / - m . _ KiK 2 m 1-----lYoYv-|> — ТП 1оХ<Р = 1тк1^ц-Хош)+{^ XYeij-[^y-7х)+т^2 /OJ 1 \К}К . к т -т\ х 2АГГ-Л+А«][(у _ )ув + (ft- ] _ (ОТД уТ + mKl^ Ye)(Z V) + -(т^т+тЧ^У-^-^+М^ +MynPV+Maynf<f+Max. (7.94) IoyW = -LmKl^ -xj+ftf -I$)№ + V»y+?-(P-xa)* m xZ* YV +2^/шр^ + ^-(/я -/ц)2уГг~2/л+/ц](¥--У¥)+А/? +M°y, (7.95) IoZb=[mKl^-X^+tl*-I$\w + [I£y ~>”К1шЦХ0Ш]уь+— {P-Xa)* m X/* Ye -2^/шр^ + ^-(/я -U2Xr~2"+4M<>)+^ +M‘Z. (7.96) 3. Уравнения углового движения корпуса относительно ГО I*Yiv = fc - )ч> + [тК1шц2 1 - ~ j+ (^ " ЬоФ + + mKl^4(z+P~Xa^}-—(P-Xatf^y + Ml- I&iy + BaKlKdut, { m I m ^Кф- m m ik2 ^шц ' A mK -тЧЦ Y+—^0---------(Р-Ха)1шЦЪ+М^-^^ + Вак1^ l m ) m (7.97) (7.98) 156
В уравнениях (7.92-?7.98) приняты следующие обозначения: Ха - колинеарная продольной оси корпуса составляющая равнодей- ствующей аэродинамических сил, действующих на ракету; 1аш “ расстояние от центра давления корпуса до оси вращения шар- нира; Вак, №к - боковая и нормальная составляющие равнодействующей аэродинамических сил, действующих на корпус ракеты; Fr", Fz" - возмущающие силы, действующие на ракету в плоскостях тангажа и рыскания; М ш» М ш - моменты сил, создаваемые вокруг осей шарнира гидравли- ческими приводами; Мах, Му , Maz - моменты равнодействующей аэродинамических сил вокруг главных центральных осей ракеты; упР.(р “ моменты управляющих аэродинамических и реактив- ных сил; МХУ Му, Mnz - возмущающие моменты сил, действующие в соответ- ствующих плоскостях; ДУГ, AZr - составляющие весовой асимметрии ракеты. Методы и формулы для определения перечисленных аэродинамиче- ских и управляющих сил и моментов изложены в работах многих авторов (см. часть 1). 7.5. Уравнение крутильных колебаний Возмущенное относительное движение корпуса ракеты и головного от- сека по координате обусловлено: - переносным вращательным движением головного отсека ракеты от- носительно продольной оси; - демпфирующим моментом, обусловленным переносной угловой ско- ростью головного отсека мл = mxiq^m£ (ф-Ту); - моментом от управляющих сил, создаваемых аэродинамическими рулями, используемыми для управления по крену МА.у =4qSpCy_p_(M,34,)rpCoS89-, 157
- моментами сил в двухстепенном карданном соединении головного отсека и корпуса Мш = [(с4 $4 Cos ц4 - с2 S2 Cosn2 )у13 + (Сз 5з Cos[i3 - -CiSiCosiL^^-r^,. Таким образом, движение корпуса ракеты по обобщенной координате уф описывается следующим дифференциальным уравнением: Г, = ф - // + C,r,Coj^ + ****** У» + +[(C4S4Cos/i4 — CjSjCos Д2)/13 + (C3S3Cosfl3 — C1StCosfll )/14]_rLrJJJ. + D + mx4SJ ф-С'Г, + м;г}. T,-(Yt+Y')sws*. Здесь 5 , - упругие деформации конструкции в местах крепления приводов, С, - коэффициенты жесткости, Д - углы наклона линий действия приводов к продольной оси голов- ного отсека, (/ = 1-4); b - расстояние между корпусом и головным отсеком ракеты при их со- осном расположении; Ьш ~ расстояние от днища головного отсека до соответствующей оси вращения карданного шарнира; АПх » С ~ аэР°Динамические коэффициенты. 7.6. Исходные данные на разработку системы управления Для обеспечения максимальной достоверности разработка математи- ческой модели ракеты, управляемой путем отклонения головного отсека (в терминологии ДНУ - «с шарнирно соединенными отсеками»), прово- дилась также специалистами (см. главу 6) ЦНИИмаш, ИТМ АН Украины иГКБЮ. После рассмотрения и анализа всех полученных результатов была соз- дана и согласована, в т. ч. с НИИ АП, динамическая схема как исходные данные на проектирование СУ, в виде следующих основных систем диф- ференциальных уравнений движения ракеты. 158
г Рис. 7.4 Рис. 7.5 Системы координат 0oXoyoZo - программная система координат. Начало расположено в точке, в которой в данный момент времени находился бы центр масс из- делия при движении его по программной траектории. Ось 0ОХО совпадает с программным направлением продольной оси корпуса изделия. Оси 0ОУО и 0OZO лежат в плоскости, нормальной к оси OQXQ. Ось 0ОУО расположена при этом в вертикальной плоскости, проходящей через ось OQXQ, и на- правлена в общем случае вверх от поверхности Земли. Ось 0OZO дополня- ет систему до правой. OjXjZjZj - связанная с «прямым» изделием, т. е. с изделием при неот- клоненном головном отсеке (ГО), система координат. Начало расположено 159
в центре масс «прямого» изделия. Ось - совпадает с продольной осью корпуса и направлена в сторону носка головного отсека. Оси OtYt и OtZt при программном движении изделия совпадают по направлению с соответствующими осями O0Y0 и O0Z0 программной системы координат. O2A\y2Z2 - связанная с ГО система координат. Начало расположено в центре шарнирного соединения, связывающего корпус и головной отсек. Оси О2Х2, O2Y2, О2%2 ПРИ заарретированном относительно корпуса го- ловном отсеке параллельны соответствующим осям ОхХх, OXYX, (\ZX свя- занной с «прямым» изделием системы координат. O10A\0yi0Z10 - строительная система координат. Начало расположено в геометрической вершине «прямого» изделия. Оси О10У10, О10У10, O29Z^ направлены параллельно соответствующим осям ОхХх, OXYX, OXZX свя- занной с «прямым» изделием системы координат. Направления отсчета углов между осями координат указаны на рис. 7.4, 7.5. OXYZ - поточная система координат. Начало расположено в центре масс «прямого» изделия. Ось ОХ совпадает с продольной осью корпуса и направлена в сторону носка головного отсека. Оси OY и OZ лежат в плоскости, нормальной к оси ОХ. Ось OY расположена при этом в плоскости пространственного угла атаки и направлена в сторону обдува корпуса. Ось OZ дополняет систему до правой. Массово-инерционные и центровочные характеристики изделия т - масса изделия; тг, тк - масса головного отсека, корпуса изделия; т - секундный расход топлива через сопла реактивной двигательной установки (ДУ); 7^, 7а - осевые моменты инерции «прямого» изделия относи- тельно связанных осей O2X^Y2Z2; - момент инерции изделия при отклоненном ГО относительно оси ОхХх; /£, 7£, /д - осевые моменты инерции ГО относительно связанных осей O2X2Y2Z2; ХТ (ЛГ*) - расстояние от плоскости среза сопел ДУ (от носка) до цен- тра тяжести «прямого» изделия; Ст - расстояние от носка до центра тяжести «прямого» изделия, отне- сенное к длине ступени; 160
&yT, bzT - поперечные смещения центра тяжести «прямого» изделия от продольной оси, обусловленные технологическими погрешностями из- готовления изделия; ДУгпп ^тш ~ поперечные смещения центра тяжести головного отсека относительно центра шарнирного соединения, обусловленные технологи- ческими погрешностями изготовления ступени; Душ, Дгш - поперечные смещения центра шарнирного соединения относительно продольной оси головного отсека; х*г, стг - расстояние от носка до центра тяжести головного отсека и то же расстояние, отнесенное к длине корпуса ГО. Геометрические характеристики изделия lK, RK - длина «прямого» изделия и радиус поперечного сечения из- делия; SM, - площади миделевых сечений изделия и ГО; Хр - расстояние от плоскости среза сопел ДУ до точек приложения реактивных управляющих и возмущающих воздействий; Хщ ~ расстояние от плоскости среза сопел ДУ до оси вращения аэро- динамических рулей при неотклоненном головном отсеке; rF, гщ - расстояния от продольной оси «прямого» изделия до точек приложения реактивных и аэродинамических управляющих усилий по крену; 8Щ - площадь, к которой приведены аэродинамические характеристи- ки руля; 1Г - длина корпуса головного отсека; хш - расстояние от плоскости среза сопел ДУ до осей вращения голов- ного отсека в плоскостях тангажа и рыскания; - расстояние от центра тяжести головного отсека до тех же осей вращения ГО; Zdm - расстояние от центра давления головного отсека до тех же осей вращения ГО; Zgm - расстояние от точки установки датчиков системы управления до тех же осей вращения ГО; (Хкс /2) - расстояние от плоскости среза сопел ДУ до точки приложе- ния кориолисовых сил, обусловленных движением продуктов сгорания внутри корпуса ДУ, 161
Дур, &zP - смещения оси соплового блока ДУ относительно продоль- ной оси корпуса изделия, ^га^ка ~ характерные размеры изделия, к которым приведены аэродинамические характеристики. Параметры движения изделия t - текущее время; Н - высота полета изделия над поверхностью Земли; V, Vw - модули скоростей центра масс «прямого» изделия относи- тельно Земли и относительно воздушного потока; а, М - скорость звука, число Маха; у, z - боковые отклонения центра касс «прямого» изделия от про- граммной траектории в проекциях на оси программной системы координат; ур z’i - проекции ускорений центра масс «прямого» изделия на свя- занные оси OjXjKjZj ; п*9 пгу9 nf - составляющие поперечной перегрузки в центре масс ГО; Z^, У^, Zd9 Yd - параметры движения в боковых направлениях свя- занной с ГО точки, в которой установлены датчики системы управления (СУ); Уа9 za - информация о движений изделия в боковых направлениях, используемая для формирования алгоритмов управления; уг9 <р - углы, определяющие ориентацию связанных с «прямым» изделием осей относительно программной системы координат (углы рыс- кания, тангажа и крена соответственно); индексы параметров изделия в каналах Р, Т, В соответственно; &д9 <рд - углы, определяющие ориентацию связанных с головным отсеком осей относительно программной системы координат; уа9 Фа ~ вычисленные на основе информации с датчиков СУ па- раметры углового движения изделия, используемые для формирования алгоритмов управления; а9 ft - углы атаки и скольжения «прямого» изделия; Oj. - пространственный угол атаки «прямого» изделия; 162
аг, fir - углы атаки и скольжения головного отсека; алр, рнр - программные углы атаки и тангажа; Фв - угол между плоскостью I-Ш и плоскостью угла атаки; фг - угол между плоскостью I-Ш и плоскостью, в которой происходит поворот головного отсека; <ре - угол между плоскостью угла атаки и плоскостью, в которой про- исходит поворот головного отсека. Параметры управляющих органов, рулевых приводов и автомата стабилизации 8?, 8^ 8у, Uy - координаты, характеризующие значения реактив- ных управляющих усилий в каналах рыскания, тангажа и крена соот- ветственно; Руу9 Му - эффективность реактивных управляющих органов в каналах тангажа (рыскания) и крена; 3* - угол поворота аэродинамических рулей от номинального положения; ащо> ащ - местные углы атаки на поверхности аэродинамических (/ = 1,2,3,4) рулей при Оу =0 и а* #0; - коэффициенты нормальных аэродинамических сил, дейст- (/ = 1,2,3,4) вующих на аэродинамические рули; с„щ - производная коэффициентов нормальных аэродинамических сил, действующих на аэродинамические рули; Т/9 Т?9 Ту - постоянные времени приводов реактивных управ- ляющих органов и аэродинамических рулей; Т3, Т4 - постоянная времени автомата стабилизации в канале крена; _ коэффициенты АС в каналах рыскания (тангажа) К,, К.) при управлении изделием с помощью реактивных управляющих органов; 163
b*, Ьф, Кф (аф, аф) - коэффициенты АС в канале крена при управлении изделием с помощью реактивных (аэродинамических) управ- ляющих органов; а<ч’ % “ коэффициенты АС в канале крена, соответствующие тариро- вочному скоростному напору qQ; - углы отклонения головного отсека от номинального поло- Г24, Г13 жения в плоскостях рыскании и тангажа и в плоскостях установки руле- вых приводов; у - пространственный угол отклонения ГО от номинального поло- жения; R. (i = 1,2,3,4) - усилия, развиваемые рулевыми приводами; М ~ моменты, развиваемые рулевым агрегатом поворотов го- ловного отсека относительно поперечных осей O2Y2 и O2Z2 связанной с ГО системы координат; Kv - коэффициент, характеризующий крутизну скоростной характе- ристики рулевого привода (РП) при холостом ходе; Кн - коэффициент линеаризации механической характеристики РП; См - механическая жесткость силовой цепи РП; - коэффициент обратной связи РП; Ьш, b - номинальные расстояния от точки крепления РП на III ступе- ни до поперечных плоскостей, проходящих через шарнирное соединение и через точку крепления РП на ГО соответственно; гА - плечо силы, создаваемой РП относительно центра шарнирного со- единения; - угол установки штока РП относительно продольной оси корпуса, изделия; - коэффициенты демпфирования колебаний головного отсека относительно корпуса изделия конструктивными элементами шарнирного соединения и демпфирующими устройствами; аг9 ai - коэффициенты АС в каналах рыскания (танга- аЬ ау> ау} жа) при управлении изделием с помощью поворотного отсека; 164
Гоф ^,огр Догр Догр С огр у ’ /д ’ UVP ’ VP ’ U6P ’ - предельные значения координат, харак- ёогр Догр Догр Догр Догр теризующих значения управляющих усилий и их производных по вре- мени; R^\ , R“p, Rf - предельные значения усилий, развиваемых ру- левым агрегатом, и их производных; - расстояния от продольной оси ГО до точек крепления штоков РП к головному отсеку; х, (/ = 1,2,3,4) - линейные перемещения штоков РП относительно корпуса изделия. Внешние силы и моменты. Коэффициенты аэродинамических сил и моментов g - ускорение силы земного притяжения (9,81 м/с2); Р - сила тяги реактивной двигательной установки; Г, ТГ - осевые аэродинамические силы, действующие на изделие и на головной отсек соответственно; wx - продольное кажущееся ускорение изделия; В, N - боковая и нормальная составляющие главного вектора аэроди- намических сил, действующих на изделие; No - нормальная аэродинамическая сила при а = апр, Р = = 0; Вг, Nr - боковая и нормальная составляющие главного вектора аэроди- намических сил, действующих на головной отсек; ММ™р - проекций главного момента аэродинамических сил отно- сительно осей OtYt и O1Z1 связанной с «прямым» изделием системы ко- ординат; т®, т*, т® - коэффициенты аэродинамического демпфирования из- делия; m®r, m®r, т°^ - коэффициенты аэродинамического демпфирования головного отсека; ~ коэффициенты аэродинамических моментов относительно строительных осей О10У10 и O10Zi0; mJ, тТг - то же относительно связанных с «прямым» изделием осей и OlZl; 165
Сп, Св, С*) С% - коэффициенты нормальной и боковой состав- ляющих аэродинамических сил, действующих на изделие, и их произ- водные; Ст, Стг - коэффициенты осевых аэродинамических сил, действующих на изделие и на ГО соответственно; С* , Св - коэффициенты нормальной и боковой составляющих аэро- динамических сил, действующих на головной отсек; CJ, СТ - расстояние от носка до центра давления «прямого» из- делия и головного отсека, отнесенные к длине изделия и ГО соответст- венно; X*, X* - расстояние от плоскости среза сопел ДУ до центра давления «прямого» изделия в плоскостях Р, Т; А» р(Н) - плотность атмосферы на уровне земной поверхности и на произвольной высоте; q - скоростной напор; wy, wz - составляющие скорости ветра относительно Земли в продоль- ной и боковой плоскостях; w - модуль скорости ветра относительно Земли; (А^-я/2) - угол между вектором скорости ветра и плоскостью стрельбы изделия; - составляющие перекоса вектора тяги ДУ в плоскостях танга- жа и рыскания; F”, М”, М”, М* - возмущающие силы и моменты, обуслов- ленные технологическими погрешностями изготовления изделия Ду,, Az,, Дуг, Дгг, vr, v„; Л/"г, Mnv - возмущающие моменты, обусловленные технологиче- скими погрешностями изготовления головного отсека и шарнирного со- единения; тх0 - коэффициент аэродинамической неосесимметричности «прямо- го» изделия; Л - поправочный коэффициент, учитывающий случайный характер действующих на изделие возмущающих факторов; 166
c*x9 c'zv myi> m*zi ~ коэффициенты аэродинамических сил и моментов, действующих на изделие, без учета влияния кабельных желобов в проек- циях на связанные оси; са =са ср =с? ж я*» и* _ коэффициенты дополнительных аэродинамиче- ских сил и моментов, обусловленных влиянием кабельных желобов, в проекциях на связанные оси; су9 сг9 ту9 тг - коэффициенты аэродинамических сил и моментов, действующих на изделие, без учета кабельных желобов в проекциях на по- точные оси OXYZ; шх0, ~ коэффициенты аэродинамических моментов изделия и управляющих органов по крену; So. So. ту0< тг0< Sr. "IxZ. Cy0< mz0> m*>0 ~ КОЭффи- циенты аппроксимации зависимости аэродинамических сил и моментов от параметров движения изделия. Параметры упругой подвески ГО /и. (/ = 1,2,3,4) - массы штоков РП совместно с присоединенными к ним массами поршней, цапф и конструктивных элементов креп- ления PH; 5. (i = 1,2,3,4) - упругие деформации подвески ГО в районах поса- дочных мест РП; ct (i = 1,2,3,4) - жесткости подвески ГО в районах посадочных мест РП; - частота изгибных колебаний ГО относительно корпуса ступени при «замороженном» рабочем теле РП; £ - коэффициент демпфирования колебаний штоков РП совместно с присоединенными к ним массами; уф - угол поворотов головного отсека относительно корпуса за счет крутильных колебаний ГО; Д - частота крутильных колебаний ГО относительно корпуса ступени; - крутильная жесткость карданного узла ГО; 167
- декремент крутильных колебаний ГО; % - продольные перемещения ГО относительно корпуса изделия за счет податливости поворотного узла; сх - осевая составляющая жесткости подвески ГО; £х - коэффициент демпфирования продольных колебаний ГО; fa - частота колебаний штоков РП с присоединенными к ним массами относительно головного отсека без учета жесткости РМ; Л» Ло - частота продольных колебаний ГО относительно ступени при «замороженном» рабочем теле РП и при отсутствии РП соответст- венно. Параметры упругих колебаний корпуса Р„ - обобщенные координаты для первых гармоник поперечных (Л = 1,2) колебаний корпуса изделия в плоскостях II-IV и I-III; ая - приведенная масса поперечных колебаний корпуса изделия при возбуждении n-й, гармоники; ” форма упругой линии корпуса изделия и ее производ- ной при возбуждении n-й гармоники поперечных колебаний; / , fpn ~ частота n-й гармоники упругих поперечных колебаний кор- пуса; £?л, £рп ~ логарифмический декремент n-й гармоники упругих попе- речных колебаний корпуса. 1. Уравнения движения системы «корпус и головной отсек» в исход- ной координатной форме Канал рыскания В нМтшУу (тДут Z’=(^) ~XT)‘1SM V+F“ 168
MyP -Pyv(XT -xp)5v -mJ WX1 + ^% hnnYy + +1 Jyy + тг1тш(хш XT)JVy I Jyy JXx+mr1Trn(xrn хт)|т9Ф ’> ®r^dm + mr Wxi + Yv- 1 Jr \ yyj -m, уу4‘1Пр1тш(хш X. , (7.99) Z = Z1-Wxly> 20Д =Zj - WX1 +^Xk M* =(c2S2-C4S4 + CjSi -c3S3)rAsin45°- k Hl J Jyy^yY у Канал тангажа N + + т^пцУ з + (mAzT + тг1^цу )ф 4- 2mxkc- 3 + F° M^p-P^(xT-xp)8^-m '^®г^тш(хш хт) _ m“qSml^ +rilXkc(2x Jxx +тг^тш (хш x -xkc) + 3 = V 169
Nrldnj+mr^Wxi + m Xj^TrnYd+[jzz+ тг^тш(хш xt)J^*"Мш *" +тг11шу| -(jTa - Jr„)rv<p+ (&-y9)+M^ (7.100) |y9|^y7, y = y1+wx19-^o, m Yog=Y1+[wxl+^x]o-^( 6 V m ) m мш =(C2S2 “C4S4 ~C1S1 + c3S3)rAsin45o - J^e3ys. Канал крена -2Р^Гриф -Ч8ЩГЩCOS5“£cShh-У-хЧ^каф + Mn _4M8p5p + 1Д +JixY<p-(mAyT-mrlTniYd)z1+(mAzT + mrlTOIYv)y1- “[jyy ~ JXX _^тг^тш(хш ~~ XT)jYaV ~ Jxx +тг(хш “xt)]yvS + +(jyy ~ Jxx)y»Yv “(^zz “ Jxx)y«pY3 + mxoQSmRk +MX Уравнения упругой подвески ГО Y<p=9-YaV + Yv3 + Ч5щгщсо85“Х С'шц+ +2Р£рГиф + тхгЧ5мКкаф_ + (c4S4cosp4 “C2S2 cospi2)Yi3 + + х +(c3S3cosp3 -CjSjCospJy^ x^S-rr +Mn Л b 1 кр 1V1 XT 713 =(Ys “ YN,)sin45°, Y24 =(y® + Yv)sin45°, 170
= -M^Z- WX1 I Tr + cosgAf CjSj + Bryv -Nryэ m n ymr mr mr^ " "^TiuYv ? V ) ” " V » ) s2 =-(?v "V + Ys —S)rAsin45°-fwxl +^-Aosha«F^2 - 4 ' \ m ) л у m2 ——(c2s2-R2), m2 s4 = -(?<!, -У + У» -9)rAsin45° -fwxl +^x'|cosnA ~~ .F^4- ' ' V m ) п у -—(c4s4-R4), Шд Si =-(yv -V-Ys + &)rAsin45°-fwx] +^- jflcosgA<p-Sl - XT ' V m ) п у mj —~_(C1S1-R1)’ ml S3 =-(yv -W-Y& + 9)rAsin45° -fwxl +^-x1cosha ~~<F^S3 - v ' \ m ) п у m3 ——(C3S3-R3)- 2. Кинематические соотношения Y13 =(y»-Yv)sm45o, Y24=(-Y& + Yv)sin45°, Wy =-WsinAwsin9np, ww=A/v2 + wz2+wy2, H1=Ha + Y13. H3=Ma-Y13> z-W P = y + arctg—^-Z-, a У-Wy a = & - arctg v + ctnp, Wz = WcosAw> V M=— a H2 = Ha-Y24> M4 = Ha+Y24. 171
3. Аэродинамические силы и моменты МГ -qSMlkaniy, mJ = myl-CTCB^^ B = qSMCB, No=qSMCn(a = anp)Yv=Y3=P = o), Br=qs;x, Tr=qSj.C?, M«P=qSMlkBmL Г i mZ=mzl+CTCn ~“ Vka 7 n=qSMcn, • T = qSMCx, Nr=qSrMCrn, Mx-XqSMRkamx = ^dm(^гУу + BpYa) тх^(аУу РУз)* 4. Вспомогательные соотношения q = (|W, р = р0 V" ’ U7 < Ро ) 4=(1-c3f)1k. фс^м), ^=(1-C?)lk, Cd»=Cd»(a,M), хт =(1-Ст)1к =1к-х*, С5 = С5(аг,м) = С5(рг,м), ^тш = -^тг’ ^dm — “ хш — ^d^ra» 172
mk = m-mr, x =C 1 Атг '‘"гг1 г» C|J2,ly.)3-(iM.2.3,4). <„ = (2rf.p)\,. 2tIa сх=(2я^х) mr 2 Sci =(^я^хо) mr> COS |1A j m,= Ci .(i = 1,2,3,4), (2Ttfs)2V r^p=—------(b-bffl)tgnA. P cosh A [(c4s4cosg4-c2s2cosh2)yi3 +(C3S3COSH3-CjSjCOSgj^J^rJp =(m»yv-mXyv)^- 5. Возмущающие силы и моменты F“=-Pv¥, Fyn=-Pvs, M“ =-Pv>v (хт - xp)-mWxiAzT + PAZp, M z = -p° 3 ( x T - x P ) + mWx 1 Ay T + PAy p, Мур — Шг§ПхА2тш ТгА2ш, Mzr — — ^гб^хАУтш + ТгАуш, Mx=-P(vvAyp + udAZp), M XT ~ ТШ ~ А уА^тш j + NfAy пт В Г Az in 6. Учет упругих свойств корпуса Для учета упругих свойств корпуса представленная выше система до- полняется следующими уравнениями относительно обобщенных коорди- нат qn, Рп(п = 1,2) для первых двух гармоник поперечных колебаний кор- пуса изделия: Qn +eqnQn *-a)qnQn =aqByv^v +ачву¥Уу (7.101) Pn +epnPn +coqnPn =apnyeY3 +aPBY»7& +aPB59$3’ (7.102) 173
а уравнения (7.99), (7.100) записываются следующим образом: 2 +a3iZi +а32У+ a39x = b3 + ^(a’Mqn +a^qqn), (7.103) n=l 2 ?э + аб4У1+аб5» + а69Х = Ьб + £(аГ.рЛп + аГ.Р.Рп)> <7104) П=1 2 'И8=¥ + УэФ-Уч,-£п'п(хш)Чп> П=1 2 Zg =^og “(^gm + хт ~ xin)v — ^Лп(хш)Чп’ п=1 2 &8=Э-Уч,Ф-Т9 + £Пп(хш)Рп> П=1 2 У g “Yog (igui + хт“хш)^~ Igm (y \|/Ф ~~ Yd) + Л П (х in )Рп • п=1 Коэффициенты дополнительных уравнений (7.101), (7.102) и дополни- тельных членов в уравнениях (7.103), (7.104) в соответствии с (7.99, 7.100, 7.101, 7.102) имеют при этом следующую структуру: aqnyv аРпУэ Jyy(zz)Tl(xm)j, аявУ¥ = —арпУэ ~^"а ^х^тшП (хщ), ayvqn аУэРв г Г ^тшЛп (Хш) + Л (хш) » j yy(zz) O)qB=27tfqB’ (CDa Eq = — kq . Чв П J Чв PyVTln(xp) ачА - - ап 174
Часть 3 ДИНАМИКА ЖЕСТКОЙ РАКЕТЫ С БАКАМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ КОМПОНЕНТАМИ ТОПЛИВА Исследование вопросов динамики ракеты, проведенное в части 1 на- стоящего учебника, в представлении объекта управления как твердого те- ла, является совершенно недостаточным и не отражает всей совокупности проблем обеспечения устойчивости возмущенного движения жидкостной ракеты. Такое положение определяется значительным влиянием на устойчи- вость ракеты как движения больших масс жидкости в баках, так и возник- новением при этом сил, действующих на корпус объекта управления. Задача изучения взаимодействия движущегося тела с жидкостью, целиком заполняющей его полости, была рассмотрена еще в 1885 г. Н. Е. Жуковским. Показано, что при исследованиях динамики реальное тело с идеальной жидкостью в поле потенциальных сил можно заменить эквивалентным телом с измененным тензором инерции. Таким образом, хотя поведение жидкости в полости описывается уравнениями в частных производных для сплошной среды, рассматриваемая механическая систе- ма имеет то же число степеней свободы, что и твердое тело. Совсем иная картина получается при отсутствии потенциальности течения жидкости. Так, в случае однородного вихревого течения жидкости внутри полости тела, совершающего ротационное движение, у системы «твердое тело с полостью, полностью заполненной жидкостью» появляется бесконечное число степеней свободы. Наличие свободной поверхности жидкости при частичном заполнении полости существенно осложняет задачу составления и исследования урав- нений движения, поскольку также появляется еще бесконечное число до- полнительных степеней свободы, связанных с волновыми движениями жидкости. 175
Возрастающие потребности техники вызвали большой поток работ, посвященных разработке линейной теории динамики тела с полостями, частично заполненными жидкостью, находящегося в потенциальном поле сил. Впервые линейные уравнения, вполне строго описывающие общий случай возмущенного движения тела с цилиндрической полостью, час- тично заполненной жидкостью, при заданной системе внешних сил были получены Г. С. Наримановым в 1955 г. [115]. Затем независимо аналогич- ные результаты получают Д. Е. Охоцимский, Б. И. Рабинович, Н. Н. Мои- сеев [119], [127, [110]. Современное состояние линейной теории изложено в ряде монографий Н. Н. Моисеева и В. В. Румянцева, Г. Н. Микишева и Б. П. Рабиновича, К. С. Колесникова и др. [113], [106], [107], [87]. Краткий обзор литературы по этому вопросу приведен в разделе «Введение». Сложность вопросов, относящихся к изучению движения твердого те- ла и жидкости, частично заполняющей его полость, требовала значительных упрощений при формулировке условий задачи. Одним из существенных ус- ловий, используемых при разработке указанной проблемы, является предпо- ложение о малости параметров движения, позволяющее линеаризовать урав- нения движения по величинам этих параметров. Движение можно считать малым, если все параметры, его характеризующие, столь малы, что можно пренебречь их произведениями, квадратами и более высокими степенями по сравнению с членами, линейно зависящими от величин этих параметров. В разработанной линейной теории эффект вязкости жидкости учиты- вается лишь введением соответствующих диссипативных членов. При этом предполагается, что рассеивание энергии колебаний в системе явля- ется достаточно малым. Для полостей с гладкими стенками это предполо- жение соответствует случаю движения жидкости относительно малой вязкости. Таким образом, все гидродинамические коэффициенты уравне- ний возмущенного движения, за исключением коэффициентов демпфиро- вания, целиком определяются из решений задач гидродинамики, основан- ных на концепции малых волновых движений идеальной жидкости. Ре- зультаты сравнения многочисленных теоретических и экспериментальных данных, полученных для различных форм полостей, полностью подтвер- дили достоверность уравнений возмущенного движения при устойчивых процессах, а следовательно, и правомерность сделанных при их выводе допущений. Обеспечение устойчивого полета и требуемой точности управления современных жидкостных ракет тяжелого класса и ракет-носителей КА, т. е. объектов управления с радиусом баков около одного метра и более, невозможно без правильного описания динамических процессов, проис- ходящих в деформируемой системе, которую представляет собой корпус ракеты с большими массами жидкого топлива. 176
Глава 8 УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ Разработка адекватной динамической схемы жидкостной ракеты, т. е. составление системы дифференциальных уравнений, описывающих воз- мущенное движение системы «тело — жидкость», а также выбор формы записи коэффициентов этих уравнений, с доведением результатов иссле- дований до возможности их использования в инженерной практике конст- рукторских бюро в качестве справочных материалов, проведены Г. Н. Ми- кишевым и Б. И. Рабиновичем [106]. В этой книге в наибольшей степени уделяется внимание прикладным методам решения задач динамики, в частности, получению обозримых механических аналогов и численных данных с достаточно обоснованной оценкой точности. Полученные результаты проверены несколькими неза- висимыми расчетными и экспериментальными методами. Для всех боевых ракет стратегического назначения I и II поколений, а также ракет-носителей на их базе (11К63, 11К65, «Циклон-2», «Цик- лон-3»), созданных ОКБ-586 (ГКБ «Южное»), динамические схемы были разработаны на базе и при непосредственном участии авторов труда [106]. Книга содержит вывод линеаризованных уравнений возмущенного дви- жения жидкостной ракеты как в случае идеальной, так и в случае вязкой жидкости и их приведение к канонической форме. Последнее сделано в результате специального выбора обобщенных координат, характери- зующих волны на свободной поверхности, и центра приведения системы внешних сил, действующих на ракету. Основными положениями созданной динамической схемы с позиций разработчиков систем стабилизации являются следующие [54]. При полете жидкостной ракеты по возмущенной траектории ее баки вместе с корпусом совершают малые колебания относительно как номи- нальной траектории, так и приведенного центра масс. Из-за движения стенок баков на свободных поверхностях находящихся в них компонентов возникают волны, колебания которых описываются рядом функций Бес- селя. Каждому члену ряда, который назван тоном колебаний, соответству- ет своя обобщенная координата и своя собственная частота. Наибольшую скорость имеют частицы жидкости, находящиеся в верх- них слоях компонентов. С увеличением глубины скорость быстро умень- шается. Поэтому приведенная масса жидкости, участвующая в колебани- ях, меньше общей массы жидкости в баке, и она резко убывает с увеличе- нием номера тона колебаний. Так, для первого тона колебаний приведен- ная масса численно равна массе жидкости в объеме цилиндра высотой 177
0,45 радиуса бака, а для второго тона, по оценке, сделанной в [87], масса в 30 раз меньше. Поэтому, как правило, учитывают лишь первый тон ко- лебаний жидкости. Благодаря этим колебаниям возникают дополнитель- ные силы и моменты, которые сказываются на движении ракеты. В качестве характерного примера приведем динамическую схему штатной трехступенчатой жидкостной ракеты-носителя 11К68 («Цик- лон-3») с космическим аппаратом «Целина-Д». Общий вид PH и ее основ- ные характеристики приведены на рис. 8.1 и в табл. 8.1. Динамическая схема приводится по форме и с обозначениями, исполь- зуемыми ОКБ-586 в семидесятых годах прошлого века при выдаче исход- ных данных на разработку СУ в составе: - системы уравнений возмущенного движения ступеней изделия в ка- налах рыскания (тангажа) и крена; - структуры коэффициентов и свободных членов этих уравнений (их численные значения приведены в Приложении). 8.1. Уравнения возмущенного движения I ступени в плоскости рыскания и структура коэффициентов Система уравнений возмущенного движения I ступени в плоскости рыскания составлена с учетом первой гармоники колебаний компонентов топлива в баках и имеет вид: 4 _ z = aai + + а^у + azS3¥ + + Fz Л=1 4 _ У = aVzz + а^у + а^у + avS8v + ^avr fn + Му, Л=1 г + emrn + (oLrn = a 7z 4- arvw, n m n m n гл z ’ где z - боковое отклонение центра масс изделия, п (номер бака)=1, 2, 3, 4; i (номер ступени) = 1, 2; у, - угол рыскания; - угол отклонения управляющих органов по рысканию; r„ (rn(s)) - обобщенная координата, соответствующая колебаниям жид- кости в канале рыскания по первому тону на I и II ступенях (s-му тону на III ступени); Fz, М^, М™с - возмущающая сила и моменты на активных и пассивных участках; 178
penrvtiKSi Рис. 8.1 Основные технические характеристики PH 11К68 Таблица 8.1 Масса полезного груза, выводимого на круговые и эллиптические орбиты, кг До 4000 Тип старта Наземный, автоматизированный Уровень автоматизации предстартовой подготовки и пуска PH 100% Стартовый вес PH, тс 187 Количество ступеней 3 Общая длина, м 39,3 Диаметр, м: - I и II ступеней 3 - ГО 2,7 Топливо на всех ступенях Жидкое, самовоспламеняющееся с высоко- кипящими компонентами (АТ и НДМГ) Характеристики ДУ I и II ступеней: I ступень - тяга (на земле/в пустоте), тс 270,3/303,2 - удельный импульс (на земле/в пустоте), с 267,8/300,3 II ступень - тяга (на земле/в пустоте), тс -/101,5 - удельный импульс (на земле/в пустоте), с -/315,3 Характеристики ДУ III ступени: - тяга, тс 7,96 - удельный импульс, с 344,4 - соотношение компонентов 2,1
Окончание табл. 8.1 Время работы, с: - при однократном запуске 118 - при двукратном запуске 116 Система управления Автономная, инерциальная Исполнительные органы СУ: на I и II ступенях Четырехкамерный ЖРД с отклоняемыми камерами сгорания (КС) на III ступени: - во время работы основного ЖРД 8 неподвижных рулевых газовых сопел - после отделения III ступени до запуска основ- ного двигателя и во время полета перед его по- вторным запуском ЖРД малой тяги (8 камер) СУОС и 2 ка- меры для создания осевой перегрузки (все камеры неподвижные) Точность выведения КА: на круговую орбиту высотой 600 км: - по высоте орбиты, км +15 - по периоду обращения, с ±5 на круговую орбиту высотой 1500 км: - по высоте орбиты, км ±25 - по периоду обращения, с ±12
По сравнению с уравнениями жесткой ракеты здесь дополнительно присутствует п уравнений относительно обобщенных координат гь г2, ...гп, характеризующих колебания жидкости в соответствующих баках. В этих уравнениях присутствуют члены az и ar^yi, характеризующие воздей- ствия движений корпуса ракеты на колебания жидкости в баках. Коэффи- циенты arz и arw характеризуют динамическое влияние линейных и угло- вых ускорений корпуса ракеты на поведение жидкости. В свою очередь влияние ускорений частиц жидкости на ускорение центра масс ракеты и угловые ускорения ракеты вокруг центра масс ха- рактеризуются величинами а г»и awrrn. 8.1.1. Формулы для расчета коэффициентов и свободных членов 1. Коэффициенты, характеризующие абсолютно жесткое «отвердевшее» изделие в канале рыскания: CaqS а —----пЧ т . а mV aw~ mV^a^G + т^Х(} Xd^ _ C°qSm+P т 2Р? «а =--- т а — ('*с ~ r‘ ICV 11 (xG -xd)2 (x„ +hn-x0)\ IV I 4 I 1GV 1G n=l *G a — ~ ) . j ’ *G _ 2P„ (XG “ Xd ) . Z ’ 2G где C“, Cy - производные коэффициентов нормальной и подъемной сил; q - скоростной напор; St - площадь миделя; Р - тяга двигательной установки; V, т, wx - скорость, масса, кажущееся ускорение изделия; 181
xG - координата метацентра; xd - координата центра давления; Р& - градиент управляющей силы по рысканию, крену на I и II ступенях; IG - момент инерции «жидконаполненного» изделия относительно оси, проходящей через метацентр; I - полная длина изделия; /2, /1т - массовый суммарный секундный расход и расход из m-го бака; - уровень компонентов топлива в m-й полости; 7?л, хт - характерный размер и координата точки m-й полости; т™ - производная коэффициента аэродинамического демпфирующего момента; хр - координата точки приложения управляющей силы. 2. Коэффициенты, учитывающие влияние жидкого наполнения топлив- ных полостей: а, -_Pj&LXn т " А, ar z =-- ” Дл <Ьг, = -^-[яДл - (Лл. - хс ) Д, ], 1g ЗГ"[^лА)л “ (Хт ~ XG Ч ]» Рп 2 И', -2 (О, = —<?,, er я где рп - массовая плотность компонента в n-м баке; А>«’ Д«» А>л*> ДУ*> ~ безразмерные гидродинами- ческие коэффициенты, характеризующие движение жидкости в n-й полос- ти в канале рыскания, соответствующие первому тону на I и II ступенях (s-му тону на III ступени); R^n - радиус свободной поверхности в n-й полости; 182
£=1.8412 - первый корень уравнения = где А(Л) “ функция Бесселя первого рода первого порядка; 5Л ) - логарифмический декремент колебаний жидкости в канале рыскания (крена). 3. Свободные члены _ F - M„ m Io 8.2. Система уравнений возмущенного движения I ступени в канале крена и структура коэффициентов Л=1 Р„ +£„ Рп +(Ор Р, +ф = 0, где n = 1, 2 - номер бака; Р (ри)) - обобщенная координата, соответствующая колебаниям жидко- сти в канале крена по первому тону на I и П ступенях (s-му тону на Ш ступени); ш* - экспериментальная частота n-го колебательного звена в канале крена. Формулы для расчета коэффициентов и свободного члена: I р. * атР 4=Л + УЛ> т ’ 2. X П ’ Л=1 (Dp 2 2 Ер =—-—(Dp = (Dn р* л Р” п 4Pnsr _ Ма ----К>=—, где 7Л, 1Рн - присоединенный и приведенный моменты инерции; 1Х - момент инерции «сухого» изделия относительно оси симметрии; 8* - логарифмический декремент вращательных колебаний в n-м баке (экспериментальный); (ор - собственная частота дополнительного n-го колебательного звена в канале крена; 183
г* - расстояние от продольной оси изделия до точки приложения управ- ляющей силы. 8.3. Уравнения возмущенного движения II ступени и структура коэффициентов Система уравнений возмущенного движения II ступени в канале рыс- кания, составленная с учетом первой гармоники колебаний компонентов топлива в баках, имеет вид: z = azzz + azvyr + агм,у/ + azS8„ + £ azr rn + Fz; п = 1 2 _ V = a¥zi + + a^sSv + У, + М * ; п = 1 = a^z + аг^\ Система уравнений возмущенного движения в канале крена имеет вид: <Р + е^ф + а9^Р„ = a,s8, + М~ , ; лгф = лгу + м~:р Р + ерР + а> 2рР+ф'= 0 \ П = 1 , - возмущающий момент, обусловленный действием ветра; М? - возмущающий момент от погрешностей изготовления и монтажа Формулы для расчета коэффициентов и свободных членов уравнений для II ступени аналогичны соответствующим формулам для I ступени. 8.4. Уравнения возмущенного движения III ступени и структура коэффициентов С использованием носителя 11К68 реализуются две схемы выведения кос- мических аппаратов (КА): с однократным и двукратным включением двигателя Ш ступени. Исследованию динамики космических ступеней на активном (с работаю- щим маршевым двигателем) и пассивном (работа СУОС) участках движения посвящены главы 12 и 11 соответственно. Результаты расчета численных значений коэффициентов уравнений дви- жения в характерные** «моменты» активных участков применительно к схеме ) Характерными «моментами» полета являются: старт, достижение числа Маха М=1, район максимальных скоростных напоров, выключение ДУ-I, разделение ступеней, запуск ДУ-П, сброс обтекателя и тому подобные «нестационарные» участки траектории. 184
выведения носителя с однократным включением двигателя III ступени приведены в Приложении. Для носителя с двукратным включением двигателя III ступени значе- ния этих коэффициентов могут быть заимствованы из приведенных таб- лиц для схемы с однократным включением. Например, на первом актив- ном участке III ступени значения коэффициентов соответствуют приве- денным в таблицах от момента включения двигателя (t^n.= 0) до его вы- ключения (tjaa,. = tna). После первого выключения двигателя следует участок охлаждения ТНА длительностью —12,1 с, начиная с момента подачи команды ГК1. На этом участке движения основные характеристики III ступени практически постоянны, за исключением параметров, изменяющихся при выключении двигателя: тяги маршевого двигателя P(t), разнотяговости управляющих сопел AP(t), массового секундного расхода />(/) и ускорения wx(7), кото- рые уменьшаются от номинальных значений до нуля, обуславливая суще- ственное изменение коэффициентов уравнений движения. Для определения этих коэффициентов их конечные значения на момент выключения двигателя (^бл. = tnci) перемножаются на соотношения, харак- теризующие изменения параметров движения ступени при охлаждении: az8 дрЛК”! ’ azp(j) v) .ГК\ » a (t^a™ Р^- а (/) = д'*1 • av\‘) aw р > art\‘) ays лрпа ’ ГГК\ На пассивном участке движения, следующем после первого выключе- ния двигателя, характеристики III ступени изменяются менее чем на 1 %. Поэтому в начальный момент второго активного участка (t = tBKii) коэф- фициенты уравнений движения равны нулю по аналогии с первым запус- ком двигателя, а через 1,1с после подачи команды ВКП на второе включе- 185
ние двигателя (набор ~60 % тяги) эти коэффициенты равны их конечным значениям на первом активном участке (tBKii + 1,1 с = tnci). Последующие значения коэффициентов на втором активном участке принимаются в соответствии с приведенными таблицами от = tnci до tK = tnci+xz. Здесь приняты обозначения: ВК5 - команда на первое включение маршевого двигателя III ступени (соответствует времени t = 0 в таблицах коэффициентов); tnci - время подачи команды на первое выключение двигателя, отсчи- танное от команды ВК5; Ibkii - время подачи команды на второе включение двигателя; Т2 - длительность второго активного участка от момента появления тя- ги двигателя (t = tBKii + 1,1 с) до его выключения. 8.4.1. Система уравнений возмущенного движения III ступени 1. Для активного участка - в канале рыскания (тангажа): 3 2 _ z = + azS8y + 5=2 л=1 3 2 _ + Ч з=2 л=1 r„M + = <f'z + л гп п г„ п rH гпФ' и = 1, 2; 5 = 2,3. - в канале крена: ф + ajp + У У <£>’ Ря(,) = а „А + М~ * ФФ* 4>г„ п <рд <р др 5=1 л=1 и=1>2; j=i>2- 2. Для пассивного участка в канале рыскания (тангажа, крена): ^пас Q । W ~~ • 8.4.2. Структура коэффициентов систем уравнений d а. =—sin 35°, zo е* ’ о¥т 186
• Z>(xc~xJ2 ЛА(хи+А,-хе)2 T т 9 1G л=1 lG a„s =-^[sin350(xc-xc)+r₽cos350], ~ pl _ _ 1 (s) r’n ft—L-M;’ -к -^)л<',1 чад=2MW, Lt^ *- ' G / л J ’ n R Pn g(,) = " Л 0 (J) _(J) _ n QPnV Kn д(^) ’ Ig +1 n CO °n n rn Pn 4 Pe П 9 " " " Л где - разнотяговость управляющих сопел по рысканию (крену) на III ступени; Р™ - управляющая сила по тангажу, рысканию и крену на пассивных участках траектории; - плечо управляющей силы по тангажу, рысканию, крену на пас- сивных участках траектории; /7^ “ безразмерные гидродинамические коэффициенты в канале крена III ступени; vx* VJ > - кинематические параметры траектории на момент испол- X, у, z J нения главной команды на выключение двигателя III ступени (ГК1) в стартовой системе координат. 187
Глава 9 КОЭФФИЦИЕНТЫ УРАВНЕНИЙ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ЖИДКОЕ НАПОЛНЕНИЕ ТОПЛИВНЫХ ПОЛОСТЕЙ При исследовании динамики жидкостных ракет, топливо, частично за- полняющее баки, отождествляется с механической системой, характери- зующейся конечным числом степеней свободы. В случае плоского движе- ния ракеты с баками цилиндрической формы - с одной степенью свободы, а при наличии в баках радиальных перегородок (как в PH 11К68) - с двумя. В нашем случае практический интерес представляет определение ко- нечного числа коэффициентов уравнений возмущенного движения, соот- ветствующих первым тонам колебаний жидкости. Определяемые гидродинамические коэффициенты условно делятся на три группы: 1. Коэффициенты при обобщенных координатах, описывающих волно- вое движение топлива - квадраты частот собственных колебаний жидкости. 2. Коэффициенты при вторых производных тех же обобщенных коорди- нат - присоединенные массы и присоединенные моменты инерции жидкости. 3. Коэффициенты при первых производных обобщенных координат - ко- эффициенты демпфирования. Определение гидродинамических коэффициентов производится в двух, взаимно дополняющих друг друга, направлениях: расчетно-теоретическом и экспериментальном. Первое направление обеспечивает возможность определения коэффици- ентов для баков относительно простой геометрической формы, а второе - позволяет проверить корректность результатов теоретических расчетов и дает возможность определять гидродинамические коэффициенты для полостей любой конфигурации, не поддающейся теоретическому анализу. Используемые в обоих направлениях методы исследования являются в большей или меньшей мере приближенными. В каждом конкретном случае используется тот метод, который дает результаты с необходимой точностью при минимальных затратах времени и средств. Требуемая в инженерной практике точность определения гидродина- мических коэффициентов различных групп существенно отличается. Так, допустимая погрешность определения частоты колебаний не превышает 2 %, а присоединенных масс и моментов инерции - 10 %. Коэффициенты демпфирования могут определяться с еще меньшей точностью. 188
9.1. Расчетные методы определения гидродинамических коэффициентов Для получения достоверных результатов с требуемой точностью были проведены многочисленные расчеты различными независимыми метода- ми. При сравнительной оценке различных методов используются безраз- мерные коэффициенты шп2, ш2, тп, тх, J, Z , обладающие по сво- ему механическому смыслу инвариантностью относительно метода их оп- ределения. Информация о коэффициентах Лп, ЛЛл, Дл, ДХп как не ин- вариантных должна считаться промежуточной. Один из первых расчетных способов определения гидродинамических коэффициентов уравнений возмущенного движения ракет с баками ци- линдрической формы (случай 11К68) основывался на решениях краевых задач методом разделения переменных. Полные решения краевых задач и выражения для всех гидродинамических коэффициентов для полостей в форме прямого кругового цилиндра со сплошными радиальными пере- городками и без них были получены Г. С. Наримановым в середине пяти- десятых годов. В те же годы краевые задачи для полости, образованной соосными круговыми цилиндрами (труба окислителя в баке горючего I ступени PH 11К77 при отсутствии в нем перегородок) были решены Д. Е. Охоцимским. В начале шестидесятых годов Л. В. Докучаев получил решения крае- вых задач для расчета гидродинамических коэффициентов методом раз- деления переменных для соосных круговых цилиндров со сплошными и разрывными ребрами (задачи, возникшие при проектировании PH 11К68). В монографии [106] расчет гидродинамических коэффициентов мето- дом разделения переменных проводится путем сведения краевых задач для цилиндрических полостей к плоским задачам и преобразования выра- жений для определяемых коэффициентов. В результате получены основ- ные формулы для вычисления с дальнейшим их упрощением на основе симметрии контура. Наряду с основными формулами, полученными решением краевых за- дач методом разделения переменных, в труде [106] приведен ряд прибли- женных методов расчета гидродинамических коэффициентов для полос- тей в форме тел вращения. Наиболее распространенным в инженерной практике является вариа- ционный метод решения краевых задач о колебаниях жидкости в полос- тях, который считается классическим, поскольку обеспечивает получение всей совокупности гидродинамических коэффициентов с необходимой 189
точностью. При массовых расчетах этот метод используется с двумя раз- личными системами координатных функций - сферическими и цилиндри- ческими, что обеспечивает получение достаточно надежных численных результатов. Остальные приближенные методы расчета коэффициентов использу- ются, в основном, как средство независимого контроля и предварительной оценки ожидаемых численных результатов. Ценность этих методов за- ключается в том, что они позволяют при незначительной потере точности рассчитать коэффициенты уравнений возмущенного движения со значи- тельно меньшей затратой машинного времени, чем вариационный метод. Одним из известных «грубых» приближенных методов решения крае- вых задач является метод, основанный на приведении задач теории волно- вых движений жидкости к интегральным уравнениям. Другим известным методом является применение теории длинных волн для решения однородной краевой задачи. При этом предполагается, что длина волны велика по сравнению с глубиной жидкости и что ско- рость частиц жидкости на свободной поверхности в направлении градиен- та поля массовых сил невозмущенного движения мала по сравнению со скоростью в перпендикулярном направлении. Таким образом, эта теория дает положительные результаты, когда глубина жидкости относительно мала (например, для баков в форме тора большого диаметра). К этой категории относится также приближенный метод построения собственных функций <ря однородной краевой задачи по известным зна- чениям й)я. Предполагается, что каким-то образом, например, применени- ем одного из расчетных приближенных методов или экспериментально, найдены собственные значения шя, т. е. частоты собственных колебаний жидкости в неподвижной полости. Определить во всех случаях значи- тельно проще, чем собственные функции, в частности, применением ва- риационного метода. Следует указать также разработанный Л. И. Алексеевым, Г. А. Мои- сеевым и В. И. Столбцовым метод достаточно простой оценки значений собственных частот и присоединенных масс, соответствующих основному тону колебания жидкости. Этот метод позволяет получить оценки инвари- антных безразмерных коэффициентов, а также присоединенного момента инерции при минимальной исходной информации. Кроме перечисленных выше методов приближенного расчета гидроди- намических коэффициентов в конце шестидесятых - начале семидесятых годов рядом авторов были предложены достаточно оригинальные спосо- бы получения достоверных результатов при минимизации затрат машин- ного времени (например, «маятниковая» модель [87], [88] и др.). 190
9.2. Экспериментальные методы определения гидродинамических коэффициентов Наряду с теоретическими методами определения гидродинамических ко- эффициентов уравнений возмущенного движения широко используются экс- периментальные методы, основанные на измерении различных параметров при свободных или вынужденных колебаниях системы «тело-жидкость»: частот колебаний, амплитуд колебаний полости и жидкости, сил и момен- тов, действующих на полость, и т. д. В отличие от теоретических методов, которые дают возможность охватить класс полостей сравнительно простой геометрической конфигурации, использование экспериментальных методов позволяет определять гидродинамические коэффициенты для самых слож- ных форм полостей, не поддающихся теоретическому анализу. Кроме того, экспериментальные методы играют важную роль при оценке надежности теоретических результатов, полученных приближенными методами расчета. Вопросам экспериментального определения гидродинамических коэф- фициентов посвящен ряд работ, в большинстве которых рассматривается только частная задача - определение собственных частот колебаний жид- кости и коэффициентов демпфирования. Экспериментальная методика, позволяющая определять все гидродинамические коэффициенты уравне- ний возмущенного движения, основанная на измерении главным образом собственных частот парциальных систем, впервые в 1968 г. изложена в работе [106]. Значения искомых коэффициентов для цилиндра, сферы, тора и цилиндра с радиальными ребрами, полученные по этой методике, приведены в работах [106], [107]. В этих работах для наиболее важного в практическом отношении слу- чая, когда тело и полость обладают двумя плоскостями симметрии, линия пересечения которых совпадает с продольной осью полости, рассмотрены экспериментальные методы определения всех гидродинамических коэф- фициентов. Основное внимание уделено определению собственных час- тот, коэффициентов инерционных связей и присоединенных моментов инерции, играющих главную роль в динамических исследованиях. Дана оценка точности экспериментальных методов. Сформулированы требова- ния к испытательному оборудованию. Приведены некоторые сведения о возбудителях колебаний и датчиках для измерении колебаний жидкости. В качестве основных методов определения собственных частот и форм колебаний свободной поверхности жидкости рассматриваются методы вынужденных и свободных колебаний. Результаты аналогичных экспериментальных исследований колебаний жидкости в баке ракеты, проведенных К. С. Колесниковым с целью опре- деления всех гидродинамических коэффициентов, изложены в [87]. 191
Экспериментальные исследования колебаний жидкости в полостях различных форм остаются актуальными по сей день: результаты таких ра- бот, проведенных Институтом технической механики АН УССР, опубли- кованы в 2002 г. [26]. Ниже описывается методика и испытательное оборудование, исполь- зуемые при экспериментальном определении всех гидродинамических ко- эффициентов, по материалам [106]. Это представляется целесообразным, поскольку при создании в ОКБ-586 (ГКБ «Южное») ракет первых поколе- ний авторы труда [106] являлись соисполнителями по научному сопрово- ждению разработок и, в частности, непосредственными участниками ди- намического проектирования ракет, в том числе, по определению коэф- фициентов динамической схемы указанными методами. Более того, примененные в ОКБ методы и оборудование при разработ- ке ракет и ракет-носителей последующих поколений были в принципе аналогичны описываемым. 9.2.1. Определение коэффициентов инерционных связей Определение коэффициентов инерционных связей проводится не- сколькими методами. Путем измерения собственных частот парциальных систем, соответст- вующих поступательному движению тела и его вращению относительно поперечной оси для случая, когда рассчитывается один первый тон коле- баний жидкости, а также, когда учитываются два первых тона. • Путем измерения параметров колебаний полости, возникающих под действием гармонических сил или моментов. Этот метод рассматрива- ется для случая поступательного движения полости. Механическая система, к исследованию которой сводится задача, показана на рис. 9.1. 192
Вынужденные колебания этой системы описываются уравнениями (9.1): (т" + ти)(и + Рий + = Р; Л=1 (9.1) [и = 1, 2,... Й В этих уравнениях необходимо положить P(/) = 7^cos<ar. Интересую- щее частное решение системы уравнений (9.1) определяется в виде и = мое,а*, sn = sQne,M, полагая при этом Р = PQe,03t. • Путем измерения сил, действующих на полость в режиме гармони- ческих колебаний для случая поступательного движения полости. Система, к исследованию которой сводится задача, показана на рис. 9.2. Дополнительная пружина введена для измерения силы, дейст- вующей на полость, т. е. она является чувствительным элементом. Жест- кость этой пружины cz подбирается с таким расчетом, чтобы собственная частота колебаний полости была намного больше собственной частоты колебаний жидкости. Колебания полости создаются заданием перемеще- ния конца пружины по гармоническому закону. Рис. 9.2 193
9.2.2. Определение присоединенного момента инерции через суммарный момент инерции Определение присоединенного момента инерции через суммарный момент инерции производится, исходя из следующей зависимости: Здесь - собственная частота системы; с¥ - угловая жесткость пружины, введенной в систему для создания восстанавливающего момента, причем аг<бц, с¥-(т° + m)jxG>0. Если ось вращения совпадает с метацентром системы, то <т2[<Ц2-ст2(1-/01)]' (93) Жесткость следует подбирать таким образом, чтобы частота сгг бы- ла бы много меньше частоты . При выполнении условия «: а\ выра- жения (9.2) и (9.3) существенно упрощаются: сш + т]хг J° + J= Л г--------(9.4) J‘ + J = ^-. (9.5) Если параметры бц, /01, су и xG, входящие в формулы (9.2)-(9.5), за- даны, то определение суммарного момента инерции сводится к определе- нию собственной частоты системы . 9.2.3. Результаты исследований Полученные результаты экспериментального определения гидродина- мических коэффициентов для интересующего нас случая PH 11К68, при- веденного в качестве конкретного примера в Приложении, показаны для полостей в форме прямого кругового цилиндра с радиальными ребрами. При условии, что К равноотстоящих ребер расположены на стенках до глубины . Ширина каждого ребра равна Б. В данном случае интерес представляли гидродинамические коэффици- енты, соответствующие как движению цилиндра в плоскости Oxz, так и вращению относительно продольной оси Ох. Так же, как в предыдущем 194
случае, за характерный линейный размер принят радиус цилиндра г0, а за характерную точку - центр днища (рис. 9.3). Искомые величины зависят от четырех безразмерных параметров: г h -г . г b h=—, hQ=—, kub=~. го го го Для случая движения цилиндра в плоскости Oxz искомые коэффици- енты представлены в виде графических зависимостей от глубины жидко- сти на рис. 9.4, 9.5. Эти коэффициенты получены экспериментально для основного тона колебаний жидкости при различном числе и ширине ребер с высотой =1.3г0 для уровней жидкости, расположенных как выше, так и ниже верхнего края ребер. На рис. 9.4 приведены значения квадрата собственной частоты коле- баний жидкости <ц2. Каждая кривая соответствует определенной ширине и определенному числу ребер. Как видно из графика, собственные часто- ты первого тона колебаний жидкости в цилиндре с ребрами сильно зави- сят от ширины и числа ребер. Так, например, для уровня h = г0 квадраты 3 собственных частот при b = 0 и при Z> = — r0, £ = 8 отличаются более чем 4 в два раза. 195
Рис. 9.5. Экспериментальная зависимость коэффициентов инерционных связей гщ, mQl и присоединенного момента инерции J от глубины жидкости (= 1 .Зг0) Зависимость частоты от ширины и числа ребер особенно сильно сказы- вается при уровнях жидкости ниже верхнего края ребер. При уровнях, рас- положенных выше ребер, зависимость частоты от их числа и ширины осла- бевает и при h = 2г0 практически исчезает. При b = ~го собственная частота колебаний жидкости близка к частоте колебаний в цилиндре без ребер. На рис. 9.5 приведены величины т19 ти01, J в зависимости от глубины жидкости, ширины и числа ребер. Как видно из графика, эти величины изменяются значительно сильнее, чем собственные частоты. Так, при к = 8, Ь =—га, 3 0 й = О.8го коэффициенты и w01 уменьшаются примерно на 30 %, а присоединенный момент инерции увеличивается в 1,5 раза, в то время как квадрат собственной частоты изменяется всего на 12 %. При вращении цилиндра с радиальными ребрами вокруг продольной оси Ох часть жидкости вовлекается в движение вместе с полостью. Кроме того, для достаточно широких ребер при вращательном движе- нии цилиндра вокруг продольной оси возбуждаются также колебания жидкости в незамкнутых полостях, образованных стенкой цилиндра и ребрами. Эти колебания практически совпадают с колебаниями жидко- сти в цилиндрических секторах. 196
9.2.4. Рассеяние энергии при колебаниях жидкости В основу всех исследований [104], [106] была положена концепция идеальной жидкости. Реальные жидкости обладают в той или иной степе- ни вязкостью. Учет вязкости жидкости приводит к чрезвычайно сложным задачам гидродинамики, решение которых в настоящее время наталкива- ется на серьезные трудности. Однако для больших чисел Рейнольдса задача значительно упрощает- ся, так как в этом случае учет вязкости жидкости по существу сводится к учету рассеяния энергии в системе при колебаниях жидкости или, дру- гими словами, к учету демпфирующих свойств системы. При этом вслед- ствие слабого рассеяния энергии колебаний жидкости в большинстве практических задач демпфирующие свойства системы достаточно учесть интегрально путем определения таких характеристик демпфирования, как логарифмический декремент колебаний. Различают два вида демпфирования: линейное (или вязкое) и нелинейное. Линейное демпфирование обусловлено в основном рассеянием энер- гии колебаний жидкости в тонком пограничном слое у стенок полости и характерно для полостей с гладкими стенками. Соответствующие коэф- фициенты демпфирования существенно зависят от числа Рейнольдса. Нелинейное демпфирование возникает при колебаниях жидкости в полос- тях, имеющих различные конструктивные элементы или устройства (стрин- геры, шпангоуты, перегородки, сетки и т. д.; такие элементы имеются в баках реальной PH, в том числе 11К68). Оно зависит от амплитуды колебаний и по величине может значительно превосходить линейное демпфирование. Число Рейнольдса в данном случае не играет существенной роли в достаточно ши- роком диапазоне его изменения. Это обстоятельство имеет большое практи- ческое значение, так как позволяет использовать для определения искомых коэффициентов демпфирования сравнительно небольшие геометрически по- добные модели полостей с соответствующими конструктивными элементами. На практике обычно приходится иметь дело со слабым нелинейным демпфированием, т. е. когда эффективная площадь конструктивных эле- ментов невелика и амплитуды колебаний жидкости малы. В этом случае нелинейное демпфирование можно в первом приближе- нии учитывать так же, как и линейное, т. е. введением соответствующих диссипативных сил в уравнения для обобщенных координат sn. Таким образом, учет демпфирующих свойств реальной системы при слабом демпфировании сводится к определению соответствующих коэф- фициентов демпфирования. Демпфирование колебаний жидкости является важным фактором в за- дачах динамики твердого тела с жидким заполнением. Оно не только ог- раничивает амплитуды колебаний, но и, как правило, расширяет границы 197
областей устойчивости. На практике для ограничения амплитуд колеба- ний и расширения областей устойчивости нашли применение специаль- ные демпферы колебаний жидкости, создающие дополнительное интен- сивное рассеяние энергии колебаний. Демпфирование колебаний облегча- ет постановку некоторых динамических задач на электронных модели- рующих установках и ЭЦВМ. Однако в ряде случаев демпфирование колебаний жидкости может оказывать отрицательное влияние на динамические свойства системы и должно быть по возможности уменьшено. Характерным примером может служить процесс определения опти- мальных значений коэффициентов демпфирования колебаний жидкости в баках ракеты Р-36: баллистического варианта (8К67) и построенных на ее базе ракет 8К67П (РГЧ), 8К69 (Р-36 орб) и ракет-носителей КА - «Ци- клон-2» (11К69), «Циклон-3» (11К68). На первом этапе разработки этой ракеты получение необходимых за- пасов устойчивости во всех режимах эксплуатации обеспечивалось, в ча- стности, установкой в баках II ступени демпферов колебаний жидкости по схеме и с размерами, показанными на рис. 9.6. При этом выбором соответствующих параметров автомата стабилиза- ции была получена область устойчивости, показанная на рис. 9.8 сплош- ными линиями. В последующем, на этапе «борьбы за вес» была проведена оптимиза- ция параметров АС с вводом их коммутации на 95 с полета, что позволило уменьшить допустимую величину логарифмического декремента колеба- ний жидкости и существенно снизить вес демпфирующих перегородок (рис. 9.7). Полученная при этом область устойчивости показана на рис. 9.8 пунктирной линией. Границы области устойчивости после коммутации параметров АС по- казаны на рис. 9.9. Несмотря на важность вопросов рассеяния энергии при колебаниях жидкости исследования в этой области носят ограниченный характер. Имеющиеся работы в основном посвящены определению коэффициентов демпфирования. В качестве одной из основных характеристик рассеяния энергии колеба- ний наиболее часто употребляется логарифмический декремент колебаний. Как известно, логарифмическим декрементом называют величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд сво- бодных затухающих колебаний системы с одной степенью свободы <5 = 1п-^=- (9.6) ^т+1 и характеризующую темп затухания колебаний. 198
Рис. 9.7 199
Рис. 9.9 Определение логарифмического декремента (9.6) допускает его при- менение как для линейных систем, описываемых уравнением d s п ds 2 _ —ч -T2- + ^ + <aS = 0> <9’7) at at так и для систем с нелинейными диссипативными силами, описываемых, в частности, уравнением d2s „(ds\ds 2 Л /лох —г + Г— — + <s = 0. (9.8) dt2 \dt)dt 0 k ’ 200
В линейном случае логарифмический декремент является постоянной величиной и связан с коэффициентом демпфирования Р и собственной частотой й?0 соотношением 8 = -^—, (9.9) или при слабом демпфировании (/7 «с й?0) соотношением 8=^-. (9.10) В случае нелинейного демпфирования логарифмический декремент, как правило, уже не является постоянной величиной для всего затухающе- го процесса, а зависит от амплитуды колебаний. Логарифмический декремент определяется по кривой процесса затуха- ния свободных колебаний (рис. 9.10). При этом кривую обычно разбивают на отдельные участки с практически допустимым числом периодов и пользуются формулой (9.П) ' ^+i где i - число периодов, sm, sm+l - амплитуды начала и конца выбранного участка. Рис. 9.10 Вместо логарифмического декремента иногда используется безразмер- ный коэффициент g = A (9.12) ч Рассеяние энергии колебаний можно также характеризовать коэффи- циентом поглощения, который равен отношению энергии, рассеянной за период ДЕ, к максимальному значению энергии £, накопленной систе- мой в начале рассматриваемого периода: ^0=^. (9.13) Е 201
По существу этот коэффициент представляет собой относительное рассеяние энергии колебаний. При слабом демпфировании коэффициент поглощения связан с логарифмическим декрементом соотношением ^0=2^. (9.14) Непосредственно коэффициент 'Pg можно определить при установив- шихся вынужденных колебаниях системы путем прямого или косвенного измерения энергии рассеяния ЛЕ и максимальной энергии Е. Достаточно полную информацию о рассеянии энергии колебаний со- держит так называемая петля гистерезиса, которая представляет собой за- висимость между силой N, равной сумме диссипативной и восстанавли- вающей сил, и перемещением s в режиме установившихся вынужденных колебаний (рис. 9.11). Форма этой петли соответствует закону изменения диссипативной силы, ее площадь равна энергии рассеяния за период ДЕ, а площадь заштрихованного треугольника - максимальной энергии сис- темы Е, Следовательно, петля гистерезиса может служить как для уста- новления действительного закона диссипативных сил, так и для непосред- ственного определения коэффициента поглощения. Для линейного демп- фирования петлей гистерезиса является эллипс. Рис. 9.11 Так же, как в предыдущем случае, экспериментальное определение ко- эффициентов демпфирования проводится методами свободных и вынуж- денных колебаний. ♦ ♦ ♦ Приведенные в Приложении в качестве характерного примера числен- ные значения коэффициентов динамической схемы PH 11К68 определены вышеописанными методами. Из таблиц видна тенденция изменения вели- чин коэффициентов по времени полета и другие зависимости. 202
Часть 4 ДИНАМИКА РАКЕТЫ С УЧЕТОМ УПРУГОСТИ ЕЕ КОНСТРУКЦИИ Система дифференциальных уравнений возмущенного движения (адек- ватная динамическая схема) ракеты, в представлении ее как твердого, абсо- лютно жесткого тела, не отражает всех свойств ракеты как объекта управле- ния. Это положение справедливо применительно как к твердотопливным ра- кетам (или жидкостным - с «отвердевшей» жидкостью - см. часть 1), так и к жидкостным ракетам, в т. ч. при учете подвижности компонентов топлива, частично заполняющей баки (см. часть 2). Неадекватность приведенных выше динамических схем объясняется тем, что в процессе полета ракета под действием внешних сил подвергается уп- ругим деформациям, которые необходимо учитывать при создании систем стабилизации. Исследования движения ракеты как упругого тела и расчет деформаций различных элементов ее конструкции, возникающих под действием задан- ных нагрузок, в общей постановке представляют собой весьма сложную за- дачу механики. В связи с этим при составлении уравнений движения ракеты, учиты- вающих упругость ее конструкции, корпус ракеты обычно заменяют пря- мым неоднородным упругим стержнем, с двумя плоскостями симметрии, имеющим достаточное удлинение в направлении оси, лежащей на пересе- чении плоскостей, т. е. длина I значительно больше г0 - характерного раз- мера поперечного сечения. Стержень, работающий в основном на изгиб, часто называют балкой [152]. Отсюда и упрощенную расчетную механи- ческую модель именуют стержневой или балочной. Под изгибным пони- мается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стерж- ня возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные нормальные си- лы в данном сечении отсутствуют, изгиб называют чистым. В этом слу- чае при выводе уравнений движения ракеты в любой плоскости симмет- 203
рии (рыскания или тангажа) пренебрегают взаимным влиянием деформаций изгиба, сжатия, сдвига и кручения. Исследования динамики ракеты с учетом упругости ее конструкции, в частности, решение задачи об изгибных колебаниях корпуса ракеты, ба- зируются на соответствующих уравнениях деформации стержня при чис- том изгибе [152]. 1. Зависимость величины поперечной силы от изгибающего момента. Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распре- деленной нагрузкой интенсивности q = /(х). Принятое направление для q считается положительным. Q=f(x) Из стержня выделяется элемент длиной dx и в проведенных сечениях прилагаются моменты М и M+dM, а также поперечные силы Q и Q+dQ. Направления для этих силовых факторов приняты положительными в со- ответствии с обусловленным правилом знаков. В пределах малого отрезка dx нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравнивая к нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов относительно поперечной оси С, имеем: Q + qdx-Q —dQ = 0, М +Qdx+qdx~M-dM =0. Производя упрощения и отбрасывая величину высшего порядка мало- сти, получим: dQ dM „ ---— Q, = V- dx-dx 204
Таким образом, поперечная сила представляет собой производную от изгибающего момента по координате х, направленной по длине стержня. Производная же по х от поперечной силы дает интенсивность внешней распределенной нагрузки q. Из соотношений для q и Q можно сделать некоторые общие выводы о характере изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня. Если стержень нагружен только равномерно распределенной нагруз- кой интенсивности q = const, очевидно, функция Q будет линейной, а М - квадратичной. Если стержень нагружен только сосредоточенными силами или мо- ментами, то в промежутках между точками их приложения q = 0. Следо- вательно Q = const, а М является линейной функцией х. 2. Напряжения в плоских сечениях. Для тех участков стержня, где соблюдается условие чистого изгиба, из- . dM а гибающии момент, согласно выражению -^— = 0, остается постоянным (М = const). Условия чистого изгиба могут возникать при различных внеш- них нагрузках. Некоторые характерные примеры показаны на рис. а-е: б) Чистый.* изгиб 205
Отвлекаясь от особенностей приложения внешних сил и условий закрепления бруса в целом, рассмотрим только тот его участок, где М = const и Q = 0. На границах этого участка действуют только моменты М (рис. а). Под воздействием моментов М стержень изогнется. Так как в любом сечении возникает один и тот же изгибающий момент, то в случае одно- родного стержня изменение кривизны для всех участков будет одним и тем же. Следовательно, при чистом изгибе ось однородного стержня при- нимает форму дуги окружности. Легко обнаружить, что совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости поперечного сечения стержня, после изгиба также образует плоскость, но переместившуюся в пространстве. Действительно, рассмот- рим среднее поперечное сечение АА (рис. г). Точки этого сечения по ус- ловиям симметрии не могут получить преимущественных смещений ни вправо, ни влево, поскольку и та и другая стороны полностью равноправ- ны. Следовательно, это сечение остается плоским. Разрезая стержень на две равные части сечением АА, получаем участ- ки вдвое меньшие, находящиеся точно в тех же условиях, что и целый участок (рис. д). Для каждой из полученных половин приведенные рассу- ждения могут быть повторены (рис. е). Следовательно, средние сечения этих половин остаются плоскими. Этот процесс деления можно продолжать дальше. Тем самым будет доказано, что в неограниченной близости от любого наперед заданного сечения есть сколь угодно много таких сечений, для которых соблюдается условие плоских сечений, т. е. все сечения однородного стержня при чис- том изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются. В общем случае из- гиба это положение является приближенным и именуется гипотезой пло- ских сечений. Образование деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга. Применительно к ракете эта гипотеза исключает возможность волно- образования на свободных поверхностях жидких компонентов топлива, а также реальных деформаций элементов конструкции [1]. 206
Глава 10 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ 10.1. Уравнения поперечных колебаний Вывод уравнений поперечных колебаний упругого стержня, с которым отожествляется конструкция ракеты, базируется на указанных выше урав- нениях деформации чистого изгиба. При этом в общем случае рассматри- ваются стержни с меняющимися по длине площадью поперечного сече- ния F, экваториальным моментом инерции сечения J и модулем упругости при растяжении (сжатии) Е. Массовая плотность материала стержня обо- значена через Q [107]. Используя известное соотношение элементарной теории изгиба, яв- ляющееся следствием закона Гука для растяжения и гипотезы плоских се- чений, устанавливающее связь между кривизной упругой линии и изги- бающим моментом, получают основные уравнения изгиба стержня: d2v EJ^ = My. (10.1) dx d ( d2v\ dv „ — EJ—7 l = 7V----m-Q. aJrl dx J dx y d2 ( d2v\ d ( dv\ dm dx I dx I dx) dx (Ю.2) (Ю.З) где N - продольная сила; Q - поперечная сила; M - изгибающий момент; qz - погонная сила; ту - погонный момент. На рис. 10.1 показаны форма деформированного стержня и величина его прогиба v(l) в системе координат Oxyz, ось Ох которой совпадает с недеформированной осью стержня, а оси Оу и Oz параллельны главным осям инерции недеформированного стержня. Начало координат находится в плоскости левого среза стержня. С помощью уравнения (10.3) легко получить уравнения поперечных колебаний упругих стержней, выделив из внешних нагрузок в правой час- ти силы инерции, а с помощью (10.1), (10.2) - динамические граничные условия. 207
В соответствии с порядком уравнений должно быть по два граничных ус- ловия на концах стержня. Дополнительно необходимо задать начальные ус- ловия, заключающиеся в распределении перемещений и скоростей по длине стержня при t = 0. В результате получают уравнение поперечных колебаний (10.4), основные варианты граничных условий и начальные условия (табл. 10.1). |+pF^ = ^(x,0-^-m (х,Г). (10.4) I Эг Эх Таблица 10.1 Эх2^ Эх2 J Эх[ Эх J Эх^ ЭхЭг2 Характер закрепления конца x = Xj(xj = O, x2=Z) Граничное условие при X = X, Свободен только в отношении поперечных перемещений (скользящая заделка) _^| =0; AIe/Mi = Эх|х=х' Эх[ Эх2 J |х=" ( dv d’v \ = Р^ +PJ-, ДЛ Эх ЭхЭг j ' Здесь qz(x,t), my(x,t) представляют собой погонные внешние нагрузки за вычетом сил инерции, связанных с возмущенным движением, описываемым введенными обобщенными координатами. Предпоследний член в левой части (10.4) учитывает инерцию поворота сечений стержня. Через Р1 обозначены сосредоточенные продольные силы. Приложенные к концам стержня, растягивающие, если Р1>0 и Р2>0, и сжимающие, если Р1<0 и Р2<0, где: P2 = Pi-jqx(x^dx. О Функция N(x,t) определяется (уравнение равновесия стержня в проек- ции на ось Ох) следующим образом: 208
N{x,t) = Px-]qi{x,t)dx. (10.5) о В дальнейшем используются следующие дополнительные ограни- чения: /?=Р2=0; J(O) = J(Z) = O; m/0,0 = ^(/,0 = 0. (10.6) Для практики представляет интерес случай, когда внешние нагрузки включают как сосредоточенные силы, так и сосредоточенные пары (попе- речные колебания). В заключение приводят упрощенное уравнение поперечных колебаний, которое получено из (10.4), если пренебречь продольными силами и инерцией поворота поперечных сечений стержня и, кроме того, считать ту = 0: ^EJ^\ + pF^ = qz{x,t). (10.7) cbc2^ дх2) dt2 Чг 10.2. Уравнения сил и моментов При заданных нагрузках qz и шу и при заданном движении подвижной системы координат х, у, z определение прогиба корпуса v(x, t) сводится к решению дифференциального уравнения изгибных колебаний (10.7) с краевыми условиями (10.6). Уравнения движения, совершаемого подвижной системой координат х, у, z в начальной стартовой координатной системе Хо, уо, Zo, можно построить, воспользовавшись теоремой о движении центра масс материальной системы и теоремой об изменении момента количества движения, так как оси коор- динат х, у, z совмещены с главными центральными осями инерции ракеты [1]. Если к внешним силам, действующим на ракету, присоединить реактив- ные силы и обозначить через Q главный вектор полученной системы сил и через М - главный момент этих сил относительно начала подвижной систе- мы координат х, у, z, имеют место равенства: d где Jy - момент инерции ракеты относительно оси у (вращение ракеты предполагается медленным). При рассмотрении изгиба корпуса ракеты в плоскости рыскания обо- значают через qz погонную поперечную силу, действующую на ракету, и через ту - погонный момент внешних сил. Таким образом, внешние си- лы, действующие в плоскости рыскания на участок ракеты, заключенный 209
между ее поперечными сечениями, имеющими абсциссы х и x+dx, будут приводиться к силе qzdx и моменту mydx. Момент этой системы сил отно- сительно оси у будет равен (qzx+my)dx. В соответствии с этим проекцию главного вектора внешних сил Qz и проекцию главного момента Му опре- деляют по формулам: Q2 = м, = f(?z+т№- (10-9) О о Согласно (10.9) уравнениям (10.8) можно придать вид: / 0 (10.10) Jy~T= \^гХ + ту)^ dt 0 Уравнения сил и моментов (10.10) совместно с дифференциальным уравнением изгибных колебаний (10.7) и краевыми условиями (10.6) оп- ределяют движение подвижной координатной системы в плоскости рыс- кания и изгибные колебания корпуса, возникающие в этой плоскости в процессе движения ракеты. В соответствии с уравнениями (10.10), определяющими ускорения WOz da> и —-, функция v(x,t), найденная из дифференциального уравнения (10.7) dt с краевыми условиями (10.6), всегда будет удовлетворять интегральным условиям: f '<( Ov \ jvpdx = 0, + —J l(& = 0, (10.11) 0 0\ J где: p=£pds; Jy = ^z2pds. (10.12) Эти соотношения играют важную роль при исследовании изгибных колебаний корпуса ракеты. 10.3. Дифференциальные уравнения движения ракеты в плоскости рыскания, учитывающие упругость корпуса ракеты Для построения развернутых выражений погонной поперечной си- лы qz и погонного момента ту, которые входят в уравнения сил и момен- тов (10.10) и в уравнения изгибных колебаний в частных производных 210
(10.7), рассмотрим эти функции, порождаемые силой тяжести, аэроди- намическими силами, реактивными силами и управляющими силами и моментами. 1. Сила тяжести. В соответствии с первой из формул (10.12) функция ц(х) представляет собой массу ракеты, приходящуюся на единицу ее длины в по- перечном сечении S, имеющем абсциссу х. В связи с этим функцию ц(х) принято называть погонной массой ракеты. Вектор погонной силы q, поро- ждаемый силой тяжести, будет равен где g - вектор ускорения силы тяжести. Проектируя вектор q на ось у, получим зависимость $г=о. (Ю.13) Центр масс любого поперечного сечения ракеты будет лежать на ее про- дольной оси, так как ракета предполагается нами симметричной относитель- но плоскостей у = 0 и z = 0. Таким образом, погонных моментов сила тяже- сти порождать не может и в данном случае будет иметь место равенство т=ГПу=^ (10.14) 2. Аэродинамические силы. В данном случае поперечную погонную силу будем считать пропорциональной местному углу скольжения в соот- ветствии с исходными предпосылками, сформулированными выше. Обо- значая коэффициент пропорциональности через c(x,t), получим равенство qz=cp\ (10.15) где р* местный угол скольжения. Угол, на который поворачивается попе- речное сечение ракеты в процессе изгиба, при малых изгибных колебани- ~ Эу ях можно считать равным производной Эх В этом случае местный угол скольжения /Г будет определяться равенством Эу /Г=д+^, (10.16) Эх где р - угол скольжения, соответствующий недеформированному состоя- нию корпуса ракеты, т. е. угол между направлением вектора скорости центра масс ракеты и положительным направлением оси х. Подставляя (10.16) в (10.15), получим соотношение ( Эу А (ЮЛ?) В рассматриваемом случае можно положить Шу=0, (10.18) так как при исследовании устойчивости движения погонными аэродина- мическими моментами практически можно пренебрегать. 211
3. Реактивные силы. Погонную поперечную силу qz, соответствующую действию на упругий стержень сосредоточенной силы Qz, приложенной в сечении стержня с абсциссой х=£, в сопротивлении материалов рассмат- ривают, как предел, к которому стремится при е—>0 погонная поперечная сила q*(x)9 определяемая равенствами: при (10.19) Е 2 2 * ЕЕ <?*(*) = ПРИ И ПР11 £ + “<*</• Формулам (10.19) можно придать вид £(*)=Q,f(10.20) где f(x,£) - функция, определяемая в интервале 0<х</ соотношениями f(x^)=-upn^-^<x<^+^-, (10.21) Е 2 2 /(х,£) = 0 при 0<х<£--| ипри £ + -|<х<7. В случае действия на упругий стержень сосредоточенного момента Му, приложенного в сечении стержня с абсциссой х = £, соответствующий по- гонный момент шу(х) может быть выражен равенством т/х) = Л//(х,£), (10.22) где 8(х,£) - дельта-функция (предел f(x,£) при е->0). Обозначим через хт абсциссу сечения ракеты, в котором к несущему корпусу крепится двигательная установка. Суммарная сила тяги Р будет иметь линию действия, показанную на рис. 10.2. Проекции вектора Р на координатные оси х и z будут определяться равенствами: Рх = Pcos0>, Pz = Psin0>, (10.23) где ф - угол между направлением вектора Р и положительным направле- нием оси х. В соответствии с приближенными равенствами, установленными для угла ф, формулам (10.23) можно придать вид ( Р=Р, Р2=Р — • (10.24) Как видно на рис. 10.2, реактивные силы, действующие на корпус ра- кеты в его сечении, имеющем абсциссу х = хт, будут приводиться к попе- речной сосредоточенной силе Qz и к сосредоточенному моменту Му, кото- рые согласно (10.24) могут быть найдены по формулам: 212
(10.25) Для погонной поперечной силы qz и погонного момента ту в рассмат- риваемом случае будут иметь место соотношения: \дх)х-хт OT.=-p(vU/(x’xr) (10.26) В процессе вывода формул (10.26) в качестве точки приведения реак- тивных сил пользовались точкой х = хт недеформированной оси ракеты в соответствии с тем смыслом, который вкладывается обычно в погонную силу qz и погонный момент ту в исходных уравнениях равновесия. Учет влияния, которое оказывают на изгибные колебания корпуса ракеты из- менения линии действия суммарной силы тяги Р посредством формул (10.26), является весьма приближенным. Однако в задаче об устойчивости изгибных колебаний данный эффект играет сравнительно несуществен- ную роль и в связи с этим приближенный учет его посредством формул (10.26) практически является вполне достаточным. 4. Управляющие силы и моменты. Обозначим через xz абсциссу по- перечного сечения ракеты, в котором на ее корпус действуют управ- ляющая сила, или управляющий момент. Если для движения ракеты в плоскости рыскания система управления создает управляющую силу Fzynp., соответствующая погонная поперечная сила qz может быть опре- делена выражением 42=F^8{x,xy). (10.27) 213
Если система управления формирует сосредоточенный управляющий момент Муупр (случай управления рассогласованием тяг), соответствующий погонный момент ту может быть представлен соотношением ту=М^8(х,ху). (10.28) Для того, чтобы в дальнейшем не расчленять всякий раз указанные вы- ше два случая управления движением ракеты, будем предполагать ниже, что система управления порождает одновременно погонную поперечную силу qz и погонный момент ту, выражаемые равенствами: = F^Six.x^ ту = М™р8(х,ху). (10.29) Условившись считать, что М(^р = 0 в том случае, когда система управ- ления формирует управляющую силу, и полагая Fzynp =0, для того случая, когда исполнительные органы системы управления создают сосредоточенный управляющий момент. Объединяя погонные поперечные силы, определяемые формулами (10.17), (10.26) и (10.29), получим для поперечной погонной силы qz вы- ражение + + 8{x,xT) + F 8(х,х). (10.30) V дх) \дх) 4 Z X Z Х-ХТ Полный погонный момент ту в общем случае может быть выражен со- отношением =_p(vLxr (10-31) Подставляя (10.30) и (10.31) в уравнения сил и моментов, получим уравнения: thw0 = if Р + — \dx + р(—1 + F Oz ov дх/ [дхЦ Jv—^= f(p + — + 1 fj(x,xr)x<&- (10.32) dt Д дх) \дх)х=Хт1 -P(v) +Р™,п \xdx + \ /Х=ХГ zy”P- J \ ’ У} zynP- 0 (координата центра тяжести ракеты Хс всегда остается равной нулю). Для любой функции f(x), заданной в интервале 0<х<7, при сколь угодно малом положительном е соблюдается равенство 214
\8(x,^f{x)dx = /(£) + p(x,^)[/(x) - = 0 (+e 0 ° (10.33) = /(^)+ p(x^)[/(x)-/(^)]A. Если функция f(x) непрерывна в точке х = £, при любом сколь угодно малом т| можно отыскать такое достаточно малое е. Уравнениям (10.32) можно придать вид mW0! = fl P + (Д <7 69 У J^ = 0V + - +х F +М™ у zynp. уупр. zynp. dv дх (10.34) Введя обозначения i i F= В \cdx + F n; M = В [cxdx + xvFB + M z 'J гУпР-1 z ' J У гУпР- УУпР-, о 0 можно привести уравнения (10.34) к виду (10.35) mW°2 г$дх‘ da)„ 't (10.36) -V Уравнения (10.36) представляют собой уравнения сил и моментов, учитывающие упругость корпуса ракеты. В этих уравнениях согласно (10.35) сила Fz представляет собой проекцию на ось z главного вектора аэродинамических и управляющих сил, действующих на ракету при от- сутствии изгибных колебаний ее корпуса, момент Му представляет собой проекцию на ось у главного момента этих сил. Непосредственная подстановка погонной силы qz и погонного момента ту, в уравнение изгибных колебаний приводит к необходимости диффе- ренцирования дельта-функции. Чтобы избежать этой операции, заменим уравнение (10.7) системой двух дифференциальных уравнений в частных производных для прогиба и(х, t) и перерезывающей силы 2(х, t). Получим систему двух уравнений 215
d2v dQ dco AfB AlL dx I 2 dx1 J . 3’v _ . da> (10.37) Краевые условия представляются в следующем виде d2v В2—f — 0, 0 = 0 при х = 0 иприх = /. дх (10.8) Подставляя qz и ту из (10.30) и (10.31) в (10.37), получим систему уравнений: d2v dQ dco ( dvA и—г + ——= uwn — их—- + с р +----- + Р dt2 дх М Oz М dt Г дх) 8{x,xT) + Fzynp8{x,xy), (10.39) ох ох ) oxot at -M^S^x,). уупр. V ’ у/ Объединяя уравнения сил и моментов, дифференциальные уравнения в частных производных и краевые условия, получим уравнения: + J 0 -V о d2v dQ dco dt дх dt ( dv\ (dv\ +c \p + — +P — 8{x,xT) + F8{x,xv), V dx) {dx),^ T w y d (n 3^ . 3’v _ dm 77 \~Jy-^2~Q = Jy^+ ch^ dx ) y dxdt y dt +P(y\^S{x,xT)-M^8{x,xy\ d2v В—r = 0, 0 = 0 при x = 0 и при x = l. дх (10.40) 216
Уравнения (10.40) представляют собой уравнения движения ракеты в плоскости рыскания, учитывающие упругость корпуса ракеты. Уравне- ния определяют движение, совершаемое в этой плоскости подвижной сис- темой координат х, у, z, и функции u(x,t), Q(x,t), характеризующие изгиб- ные колебания корпуса ракеты. В систему уравнений (10.40) входят дифференциальные уравнения в частных производных. Уравнения движения ракеты в плоскости рыс- кания можно преобразовать в бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Это преобразование основывается на исследовании так называемых собственных изгибных колебаний корпу- са ракеты. 10.4. Собственные изгибные колебания корпуса ракеты в плоскости рыскания Изгибные колебания корпуса ракеты в плоскости рыскания, происхо- дящие при отсутствии погонных поперечных сил qz и погонных моментов ту, называют собственными колебаниями корпуса в плоскости рыскания. dco Согласно (10.10) в рассматриваемом случае ускорения woz и —- отсутст- dt вуют и, таким образом, дифференциальное уравнение изгибных колеба- ний в данном случае принимает вид д2 ( d2v^ д Г . d3v d2v дх2 z дх2 J дх (У' dxdt2 J dt2 (10.41) Краевые условия переходят при этом в краевые условия: ^-0 А(в -О dxl z дх2 J у dxdt2 при х = 0 и при х = 7. (10.42) При рассмотрении дифференциального уравнения (10.41) с краевыми условиями (10.42) предполагают, что функции ц и jy зависят от одной лишь переменной х, пренебрегая медленным изменением вида этих функ- ций, возникающим в рассматриваемом интервале времени за счет выгора- ния топлива. Однородное дифференциальное уравнение (10.41) с однородными краевыми условиями (10.42) обладает очевидным решением u(x,t) = 0, ко- торое принято называть тривиальным решением этой краевой задачи. Не- 217
тривиальные решения дифференциального уравнения (10.41), удовлетво- ряющие краевым условиям (10.42), находят в виде произведения двух функций [1] v(x,0 = K(x)g(0, (10.43) применяя в рассматриваемом случае метод, называемый методом Фурье, или методом разделения переменных. Подставляя (10.43) в (10.41), полу- чают равенство, приведенное к виду z dx2) d ( . d?} .. -~T \jy^F +/zK dxV dx J d2g dt2 g (10.44) Левая часть этого равенства не зависит от переменной t, а правая - не зависит от переменной х. Таким образом, отношения, фигурирующие в левой и в правой частях равенства (10.44), должны представлять собой некоторую константу, которую обозначают через X. В соответствии с этим функция V(x) должна удовлетворять дифференциальному уравнению (10.45) а функция g(t) - дифференциальному уравнению d^g ^- + 2g = 0. (10.46) При этом выполняются краевые условия: d(„d2v\..dV . — В,—г +л/,-- £ = 0. z dx1 } Jz dx при X = 0 и при X = I. Для того, чтобы условия (10.47) выполнялись в любой момент време- ни t, функция V(x) должна удовлетворять краевым условиям: d ( d2Vy , dV — л2—г +A/„—=o, tfcl dx I y dx при X = 0 и при X = I. (10.48) 218
Дифференциальное уравнение (10.45) с краевыми условиями (10.48) при любом значении числового параметра X имеет тривиальное решение V(x) = 0. Те значения параметра X, при которых краевая задача, образуе- мая дифференциальным уравнением (10.45) и краевыми условиями (10.48), имеет нетривиальные решения, называют собственными значе- ниями этой краевой задачи. Нетривиальные решения дифференциального уравнения (10.45) с краевыми условиями (10.48), соответствующие собст- венным значениям данной краевой задачи, называют ее собственными функциями. Собственные значения краевой задачи, образуемые диффе- ренциальным уравнением (10.45) и краевыми условиями (10.48) являются вещественными и неотрицательными. Собственные функции рассматриваемой краевой задачи V(x) и V*(x), соответствующие различным ее собственным значениям X и X*, всегда удовлетворяют условию '/ . dV dV' .^.."1 , Л у dx dx J (10.49) Свойство собственных функций, выражаемое этим интегральным со- отношением, принято называть свойством их ортогональности. При X = 0 дифференциальное уравнение (10.45) вырождается в урав- нение dx21 dx2 J (10.50) а краевые условия при X = 0 принимают вид d2V d ( d2v\ В2^-г = 0, — =0 при x = 0 и при x =/. (10.51) dx dx\ dx ) Согласно (10.50) имеет место равенство d2V Bz^ = Cx+C2x, (10.52) dx где Ci и С2 - произвольные постоянные. В соответствии с краевыми усло- виями (10.51) обе постоянные Ci и С2 равны нулю. Получим дифференци- альное уравнение, имеющее два линейно независимых решения: V=1hV = x. (10.53) Оба эти решения удовлетворяют краевым условиям и, таким образом, краевая задача, образуемая дифференциальным уравнением (10.45) и 219
краевыми условиями (10.48), имеет собственное значение X, равное нулю. Этому собственному значению соответствуют две собственные функции краевой задачи, определяемые формулами (10.53), все остальные собствен- ные значения рассматриваемой краевой задачи должны быть положитель- ными. Эти положительные собственные значения обозначают через X,, j = 1, 2,..., условились нумеровать их в порядке возрастания, а соответствующие им собственные функции - через Uj(x), j = 1,2,... Первой из собственных функций соответствуют одинаковые перемеще- ния поперечных сечений корпуса, второй из этих собственных функций - перемещения, пропорциональные абсциссе поперечного сечения х. В первом случае функция u(x,t) определяет поступательные перемещения корпуса ракеты в плоскости рыскания, второму случаю соответствует вра- щение корпуса вокруг оси у. Оба эти движения не сопровождаются дефор- мациями корпуса и, таким образом, собственное значение рассматриваемой краевой задачи, равное нулю, изгибных собственных колебаний корпуса ра- кеты не определяет. Положительному собственному значению краевой задачи X, будет соот- ветствовать функция u(x,t), определяемая формулой v(x,0 = K.(x)g.(0, (Ю.54) где gj(t) - решение дифференциального уравнения б/2р-. -J^ + 2.g.=0. (10.55) Полагая ^j=^j9 (10.56) можно привести уравнение (10.55) к виду -^ + ^£.=0. (10.57) Общее решение дифференциального уравнения (10.57) может быть представлено в виде gy(Z) = Cycos(a>/ + pJ, (10.58) где Cj и <pj - произвольные постоянные. Подставляя, получают для прогиба корпуса ракеты u(x,t) выражение v(x,Z) = CyKy(x)cos(fiy + (10.59) Согласно (10.59) в рассматриваемом случае в любой момент времени t перемещения поперечных сечений корпуса пропорциональны соответст- 220
вующим значениям функции Vj(x). Таким образом, функции Vj(x), j = 1, 2,... определяют формы изгибных собственных колебаний корпуса ракеты, а числа j = 1, 2,... - определяют частоты этих собственных колебаний. Дифференциальное уравнение (10.57) принято называть диф- ференциальным уравнением собственных колебаний. При выводе дифференциального уравнения изгибных колебаний корпуса ракеты не учитывалось рассеяние энергии, неизбежно сопровождающее всякий реальный колебательный процесс. В соответствии с этим полученное дифференциальное уравнение собственных колебаний (10.57) предопределя- ет гармонический характер рассматриваемых собственных колебаний корпу- са ракеты. Для того, чтобы учесть затухание собственных колебаний, надо заменить это уравнение дифференциальным уравнением . dg , Л + (1°-60) Неоднократно проводившиеся натурные динамические испытания раз- личных ракет, а также динамические испытания конструктивно подобных ракетных моделей [107], свидетельствуют о том, что для упругих колебаний корпуса ракеты логарифмический декремент собственных колебаний прак- тически не зависит от номера их тона, обозначенного в уравнении (10.60) через j. Логарифмический декремент собственных колебаний пропорциона- лен отношению коэффициента демпфирования е, к частоте колебаний со j. Таким образом, можно приближенно положить Е (10.61) где Т| - безразмерный коэффициент, не зависящий от номера тона j. Ко- эффициент Т| обычно лежит в пределах от 0,01 до 0,02. Согласно (10.61) дифференциальному уравнению (10.60) можно придать вид d2g dg. 0 «L+w «L + fl,2 0. (10.62) at at В заключение этого раздела необходимо отметить, что дифференци- альное уравнение (10.45) с краевыми условиями (10.48) определяет функ- ции Vj(x), j = 1, 2,... с точностью до произвольных постоянных множите- лей. Для устранения этой неопределенности функции Vj(x), j = 1, 2,... подчиняют всегда некоторому дополнительному условию. В качестве та- кого дополнительного условия пользуются обычно начальным условием Vj(x) = 1 при х = 0. 221
10.5. Дифференциальные уравнения возмущенного движения упругой ракеты Для получения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения упругой ракеты в виде, наиболее пригодном для использования в инженерной практике, уравнения в частных производных (10.40) преоб- разовываются в бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений [1]. Используя свойство полноты последовательности собственных функ- ций I, х, Vi(x), V2(x)..., выраженное в том, что любая функция f(x), непре- рывная в интервале 0<х</, может быть разложена в ряд f(x) = Cx +C2x + ^gkVk(x), сходящийся в любой точке интервала 0-ь/ к со- к=\ ответствующему частному решению. Вследствие выгорания топлива функции Ц и jy меняют свой вид, т. е. различным моментам времени полета ракеты t будут соответствовать раз- личные формы изгибных собственных колебаний корпуса ракеты. Последовательность функций I, х, Vi(x,t), V2(x,t)... также обладает свойством полноты, в результате прогиб корпуса V(x,t) может быть пред- ставлен рядом v(x,0 = C1(r) + C2(0x + ^gjk(0Vt(x,r), сходящимся к соот- *=1 ветствующему значению прогиба о. Коэффициенты Ci(t) и C2(t) всегда будут тождественно равны нулю, поскольку mCi = 0, JyC2 = 0. Отсюда прогиб надо искать в виде ряда: vUr) = £^(OVt(x,r). (10.63) к=\ Подставляя этот ряд в первые два уравнения (10.8), получим: t=l_ (10.64) J^ + lC^S=My. Затем ряд (10.63) подставляется в уравнения в частных производных, содержащиеся в (10.40). Учитывая медленные изменения формы изгиб- ных собственных колебаний, пренебрегают зависимостью от времени t функций Vk(x,t), k = 1, 2,... После ряда последовательных преобразований, полученных таким об- разом соотношений, получают дифференциальное уравнение вынужден- ных колебаний корпуса ракеты, вызываемых аэродинамическими силами, 222
а также управляющими силами и нагрузками, возникающими вследствие влияния изгиба корпуса на аэродинамические и реактивные силы. С учетом рассеяния энергии, возникающего в процессе колебаний, пу- тем замены уравнения собственных колебаний (10.57) дифференциальным уравнением (10.62), получим т, (1= pfycdx ~^Cjtgt + dt > » (10.65) pv. А +(У) Р + -------2.1 Мт '\rjJx=xy л г упр. I у упр. \ )х-Ху Объединяя уравнения (10.65) вынужденных колебаний корпуса ракеты, соответствующие различным тонам этих колебаний, и присоединяя к этой бесконечной системе дифференциальных уравнений уравнения сил и моментов (10.64), получают систему уравнений, которая определяет движе- ние координатной системы х, у, z, и бесконечную последовательность функ- ций pi(t), p2(t).... Прогиб корпуса ракеты v(x,t), возникающий в процессе изгибных колебаний в плоскости рыскания, определяют по функ- циям pj(t), j = 1, 2,..., суммируя ряд (10.63). Запишем уравнения возмущенного движения ракеты в плоскос- ти рыскания в форме и с обозначениями, приведенными в части 3 (глава 8.1). Для I ступени ракеты-носителя 11К68 с учетом первой гармоники коле- баний компонентов топлива и первых двух тонов колебаний упругого корпу- са (без учета их взаимного влияния - см. раздел 10.6) система уравнений бу- дет иметь вид: i = aui. + + azS3y + +Fz Л=1 4 _ V = a^z++ a^gS^ + Xv/’+ n=l r+En.r+c^r^a^z + a^ . 2 ” (Ю.66) q; + £„sQi + Qs - a„A ’ll qi'h q^i qfi yr 2 1=1 n = 1,2,3,4; i = l,2. Формулы для расчета коэффициентов и свободных членов, характери- зующих абсолютно жесткую «отвердевшую» ракету и принятые при этом обозначения, приведены в разделе 8.1.1а; соответственно коэффициенты, 223
учитывающие влияния жидкого наполнения - в разделе 8.1.16; свободные члены - в разделе 8.1.1с. Коэффициенты, учитывающие упругие свойства корпуса ракеты 2Р5П.(хп) ? / \2 В а>. = ~~~ \ а8qi = П (ХГП )» 71 где: Vm ~ уг°л рыскания, замеренный гироприборами; qi - обобщенная координата, соответствующая i-му тону упругих коле- баний корпуса; Хщ - координата места установки чувствительных элементов гиропри- боров; Т|(х), Т|'(х) - форма и производная формы в сечении х, соответствую- щие i-му тону колебаний корпуса в плоскости рыскания; Pi - логарифмический декремент упругих колебаний корпуса i-ro тона; ai - приведенная масса упругих колебаний i-ro тона; fqi - собственная частота упругих колебаний i-ro тона. Численные значения этих коэффициентов динамической схемы PH 11К68 приведены в табл. 19 и 20 Приложения. 10.6. Дифференциальные уравнения возмущенного движения ракеты с учетом взаимного влияния колебаний жидкости и упругости корпуса Решение задачи учета взаимного влияния упругости корпуса ракеты и колебаний компонентов жидкого топлива в ее баках проводится в рам- ках исследований динамики тонкостенных конструкций с отсеками, со- держащими жидкость. В книге рассмотрен класс задач динамики упругих тел, содержащих жидкость, выявлена общая структура уравнений возмущенного движения и обоснована схема расчетов параметров конструкций ракет. В монографии [107], содержащей список более четырехсот наименова- ний использованной литературы, для решения прикладных задач, имею- щих место в инженерной практике разработчиков ракетной техники, как средство применяются методы исследования динамики деформируемых систем и математической физики. 224
При выводе уравнений возмущенного движения упругой ракеты с ба- ками, частично заполненными компонентами топлива, с учетом взаимного влияния упругих колебаний корпуса и колебаний жидкого топлива в ба- ках, вводятся практически все допущения и упрощения, принятые при ис- следованиях, освещенных в предыдущих главах. Так, для учета влияния жидкости на движение ракеты (часть вторая) рассматриваются малые гравитационные волны в потенциальном поле массовых сил, градиент j которого коллинеарен продольной оси ракеты. Движение жидкости безвихревое. Жидкость идеальная и несжимаемая, поверхностным натяжением пренебрегают. Возмущенное движение носит характер малых колебаний, т. е. применяется линейная теория колебаний систем - теория малых волновых движений. В приведенном в разделах 10.3 + 10.5 (в качестве примера на базе [1]) выводе уравнений возмущенного движения упругой ракеты, сделанные упрощения и принятые допущения также остаются в силе при иссле- довании взаимного влияния колебаний жидкости и упругих колебаний корпуса. В основу исследований поперечных колебаний одномерных систем с цилиндрическими отсеками принимают расчетную модель в виде упру- гого стержня с отсеком, частично заполненным жидкостью, образованным цилиндрической обечайкой и днищами в форме пологих сферических оболочек. Цилиндрическая оболочка, образующая обечайку отсека, в свя- зи с наличием силового набора обеспечивает геометрическую неизмен- ность и нерастяжимость контура. Днища отсека при поперечных колеба- ниях представляются абсолютно жесткими. Все деформации предполага- ются упругими. Начальным статическим напряженным состоянием, свя- занным с внутренним сжатием отсека и т. п., пренебрегают. При решении гидродинамических задач пологую оболочку, образующую днище, отожде- ствляют с плоской пластинкой. Сделанные допущения позволяют в качестве объекта исследования рассматривать механическую систему, в которой исключены «оболочеч- ные» деформации с числом волн в окружном направлении, отличным от единицы. Используемая расчетная схема стержня с соответствующим отсеком и основные обозначения приведены на рис. 10.3. Система координат O*x*y*z* совершает некоторое невозмущенное движение в направлении оси О*х* (или покоится); система координат Oxyz связана с недеформиро- ванным стержнем - ее движение относительно O*x*y*z* описывает возму- щенное движение стержня как жесткого тела. Начала координат обеих систем расположены в плоскости нижнего торца стержня. 225
Поверхностная сила Р, приложенная в сечении х = хр, сохраняет при коле- баниях стержня неизменное направление, будучи коллинеарна оси О*х*. Эту силу можно считать аналогом силы тяги реактивного двигателя; основное от- личие заключается в том, что последняя сила является следящей. Координаты нижнего и верхнего днищ отсека обозначают через Хо и хк, глубину жидкости - h, внутренний радиус цилиндра - г0, поверхность нижнего днища - Sb боковую поверхность, смоченную жидкостью, - S2. В дальнейшем предполагается, что колебания происходят в плоскости O*x*z*. Не повторяя математическое описание процесса вывода уравнений возмущенного движения, приведем лишь основную канву исследований. 10.6.1. Определение усилий, действующих на стенки со стороны жидкости, при поперечных колебаниях упругого отсека с жестким днищем Предполагается, что известна функция u(x,t), характеризующая конфи- гурацию упругой оси стержня в произвольный момент t. Определяют по- тенциал смещений частиц жидкости. Начальные условия для потенциала смещений заключаются в задании формы свободной поверхности жидкости и распределения скоростей на ней при t = 0. Граничные условия показывают, что в рассматриваемой за- даче динамического взаимодействия колеблющейся жидкости и деформи- рующегося отсека с геометрически неизменяемым контуром имеют зна- 226
чение только антисимметричные формы собственных колебаний жидко- сти вида p„(x,r,0) = £,(x,r)sin0. Краевая задача для функции у, соответствующей изгибной деформа- ции отсека при невозмущенной свободной поверхности жидкости, совпа- дающей с поверхностью Z (рис. 10.3), сводится к двум более простым за- дачам: - найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее неоднород- ным граничным условиям при х = хо и х = xo+h и однородному ус- ловию при г = г0; - найти решение уравнения Пуассона, удовлетворяющее однородным граничным условиям. Затем переходят непосредственно к определению сил, действующих со стороны жидкости на стенки отсека при его колебаниях. Эти силы можно разделить на гидростатические, зависящие только от деформаций отсека и его поворота как жесткого тела, и гидродинамические, определяемые ускорениями стенок отсека в процессе его возмущенного движения. Те и другие силы можно найти, если известно поле давлений в жидкости. Для этого используют обозначение разности между давлением в некоторой точке жидкости и давлением газа над свободной поверхностью. Послед- нее определяется интегралом Лагранжа-Коши. Гидростатические и гид- родинамические силы рассматриваются раздельно. 10.6.2. Составление уравнений возмущенного движения рассматриваемой механической системы По аналогии с процедурой, приведенной в разделе 10.4, выводят общие уравнения поперечных колебаний с решением основной краевой задачи. Рассматривается задача о колебаниях стержня со свободными концами в потенциальном поле массовых сил с градиентом j, коллинеарным неде- формированной продольной оси стержня, при наличии продольной си- лы Р, антипараллельной j, приложенной в точке х = хр. Уравнение возмущенного движения системы «стержень-жидкость» получают, введя в правую часть уравнения (10.4) силы, действующие на стенки отсека со стороны жидкости, и присоединив к нему уравнения волновых движений жидкости, вытекающие из динамического граничного условия на свободной поверхности. Получают замкнутую систему интегро-дифференциальных уравне- ний, определяющих полностью вместе с граничными и начальными ус- ловиями поперечные колебания упругого стержня с цилиндрическим отсеком, частично заполненным жидкостью. Эту сложную систему при- водят к более удобному для приложений виду, построением некоторой 227
системы функций, удовлетворяющих граничным условиям на концах стержня, а затем разложением функции прогибов u(x,t) и внешних на- грузок в ряды по этим функциям. В качестве такой системы функций в рассматриваемой задаче принимают формы собственных колебаний стержня при отсутствии каких-либо внешних сил, кроме гидродинами- ческих, а также связей между колебаниями стержня и волновыми дви- жениями жидкости. 10.6.3. Приведение уравнений поперечных колебаний стержня к системе обыкновенных дифференциальных уравнений Преобразование общих интегро-дифференциальных уравнений попе- речных колебаний стержня с отсеком, частично заполненным жидкостью, начинают с приведения их к бесконечной системе обыкновенных диффе- ренциальных уравнений при помощи метода Галеркина. В результате система уравнений возмущенного движения (10.66) с учетом всех факторов преобразуется к следующему виду. Первые два и пятое уравнения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения ракеты в плоскости рыскания (10.66) остаются неизменными. В третье и четвертое уравнения системы (10.66) добавляются члены, характеризующие взаимное влияние упругих колебаний корпуса ракеты и колебаний компонентов топлива в ее баках. В результате эти уравнения принимают вид: 2 'L + £rj + rfr,, = аг,Л ~ »=1 4 й+w+Еад 1=1 Структура коэффициентов, учитывающих взаимное влияние колебаний жидкости в баках ракеты и упругих колебаний корпуса, имеет следующий вид (численные значения этих коэффициентов динамической схемы PH 11К68 в качестве примера приведены в табл. 21 Приложения). 1. Для уровня компонентов в n-м баке hn<0,8^.H.n (радиус нижнего сферического днища n-го бака): о R3 а -С? -fto. (I я ( X ) - ГR I - (X. „ - Хшп )IЪ; (Хшп )}, qtrn I п *i \ шп / I сф.н.п on у сф.н.п шп у п I »t \ шп / i ’ ai а =—— R.Mln-(AT. - AT )Alnf'(AT )| гяд{ — I n •I \ tun f I сф.н.п on у сф.н.п tun J n J •I \ ШП /1 r*n 2. Для уровня hn>0.8^.H.n: 228
a - ?PXR . a - *th^R . 4iTn £-1 gin’ rn4i £3-l ?'"’ ^qin ’ ^=£7\(x> ^Ол x„ sh^hn) ^ + S^„)’ где Хшп - координата шпангоута, к которому крепится нижнее днище бака; Лл, Дл, ал - безразмерные гидродинамические коэффициенты, соответствующие первому тону колебаний в n-м баке (см. часть 3); ^сф.н.п ~ координата центра нижнего сферического днища n-го бака; 7^л - радиус свободной поверхности в n-м баке; £ = 1,8412 - первый корень уравнения ^- = 0, где А(^) ” функция Бесселя I рода I порядка. Остальные обозначения сохранены из раздела 8.1.1 и системы диффе- ренциальных уравнений (10.66). 10.7. Определение основных динамических характеристик ракеты как объекта управления При создании современных конструкций ракет, в связи с резким увели- чением их веса и размеров, значительным снижением относительной жест- кости, существенным отличием компоновочных схем новых образцов от разработанных ранее и рядом других факторов, становятся все более акту- альными и занимают все больший удельный вес исследования динамиче- ских свойств разрабатываемых конструкций. В результате исследований должны быть определены с необходимой степенью точности их основные динамические характеристики, в частности, собственные частоты, собст- венные формы и коэффициенты демпфирования упругих колебаний [107]. Определение собственных частот, форм и коэффициентов демпфиро- вания упругих колебаний в ряде случаев является наиболее трудным эта- пом динамических исследований, так как рассматриваемые конструкции представляют собой чрезвычайно сложные механические системы с большим числом степеней свободы в узком частотном диапазоне. Для каждой принципиально новой компоновки тяжелой ракеты этот этап исследований, как правило, выливается в проведение обширных как теоретических, так и экспериментальных работ. Определение основных динамических характеристик чисто теоретиче- ским путем возможно далеко не всегда. Даже использование сложных 229
расчетных схем, существенно отличных от обычной балочной идеализа- ции, часто без дополнительного экспериментального обоснования не дает уверенности в правильности полученных результатов. Кроме того, суще- ствующие теоретические методы исследования, особенно в тех случаях, когда необходимо учитывать эффекты тонкостенности конструкции, яв- ляются ненадежными и требуют дальнейшего совершенствования. Коэф- фициенты демпфирования могут быть определены только эксперимен- тальным путем. 10.7.1. Теоретические методы определения форм и частот изгибных собственных колебаний Определение частот и форм собственных колебаний соответствующих парциальных механических систем является центральным вопросом в со- ставлении (раздел 10.6) удобных для инженерной практики уравнений возмущенного движения эквивалентных упругих стержней в форме обык- новенных дифференциальных уравнений. Аналитические методы определения форм и частот собственных коле- баний в полной мере являются приемлемыми только в случае однородно- го стержня, т. е. когда EI(X) = const, т(Х) = const. В противном случае используются различные приближенные методы расчета. В настоящее время разработан целый ряд таких методов [1], [88], [107], различающихся наглядностью физического процесса, экономичностью вычислительных работ на ЭВМ, точностью расчетов и др. Одним из наиболее распространенных методов является метод после- довательных приближений, позволяющий решать задачу наиболее про- стыми вычислительными средствами. Процедура расчета этим методом подробно описана в монографии [1] и с некоторым отличием в учебнике [88]. Для иллюстрации объема работы приведем основные этапы вычис- лений. Сущность метода заключается в построении процесса последователь- ных приближений следующим образом. В качестве нулевого приближения формы колебаний первого тона принимают произвольную функцию /ю(х), причем /ю(0) = 1. Для быстроты сходимости процесса вычислений эту функцию выбирают наиболее близ- кой к искомой, например, принимают форму изгибных колебаний стержня постоянного сечения. Нулевое приближение/ю(х) удовлетворяет равенствам: / _ / _ Jm(x)fn (x)dx=0; Jm(x)fn (x)(x - xc )dx = 0, 0 0 230
где: f (х) = Для удовлетворения граничным условиям при х = I нулевое приближе- ние выбирают в виде Л О)=f' W+4о(* - *<)+До. где: /*(х) - форма собственных колебаний свободного стержня постоянно- го поперечного сечения; Аю, В ю - постоянные коэффициенты (константы интегрирования) равные: Jm(x)/*(x)(x-xc)A jm(x)ft'(x)dx А 0_____________________• » 0___________ Л10 “ / ’ "10 — / ри(х)(х - хс )2 dx о о Используя уравнения поперечных колебаний n-го тона свободного стержня и граничные условия для концов стержня, дважды его проинтег- рировав по х и учитывая граничные условия при х = 0, получают выра- жение EJ(x)/„'(x) = со2 jdc jm(x)/„ (x)dx. о о Разделив это уравнение на EJ(x) и дважды проинтегрировав по х, по- лучают выражение для fn(x) в виде интегро-дифференциального уравне- ния. Подставив в полученное соотношение значения EJ(x), m(x), fio(x) и проинтегрировав, находят первое приближение fn(x). Поскольку /1(х) = //х)^2, первое приближение для собственной частоты колебаний 6уде1<,'=ж После ряда преобразований вычисляют частоту и форму собственных колебаний m-го приближения и в результате решения получают последо- вательность собственных функций fim(x) и собственных частот a>im: fio(x), fn(x), fi2(x).... fim(x); (Oil, (012,(013.(01m- Обе эти последовательности являются сходящимися и их пределы есть собственная функция и собственная частота упругих поперечных колеба- ний первого тона. 231
Для получения форм и частот собственных колебаний высших тонов процесс последовательных приближений должен сопровождаться выпол- нением условий ортогональности по всем низшим гармоникам, поэтому метод последовательных приближений наиболее приемлем для определе- ния первых двух тонов. Расчет частот и форм собственных колебаний методом начальных па- раметров, приведенный в [107], представляется весьма привлекательным для реализации на ЭВМ, поскольку соответствующий алгоритм сводится к решению задач линейной алгебры. Метод начальных параметров, использованный А. Н. Крыловым для расчета балок на упругом основании, получил широкое применение в за- дачах статики и динамики сооружений. В последнее время в связи с раз- витием машинных методов счета он успешно применяется для расчёта частот и форм собственных колебаний упругих систем, в том числе и сис- тем с параметрами, меняющимися по длине. Этот метод оказался удобным для расчетов на ЭВМ и в случае боль- шого количества присоединенных осцилляторов. Идея метода заключает- ся в последовательном построении матриц переноса Н., связывающих вектор перемещений и усилий Z. в конце i-ro участка стержня с анало- гичным вектором Z._j в начале этого участка, так что Z. выражается в виде произведения матрицы Ht на вектор Zt_x справа: (i=l, 2,...Л), где к - число участков, на которые разбит стержень (длина этих участков, вообще говоря, совершенно произвольна). Для вектора Zn последовательное применение соотношений для i = 1, 2,..., п приводит к равенству Z. = »Z., я= П н. i=n, л-1,... С помощью матрицы перехода Н вектор Zm , соответствующий сече- нию стержня х = I, выразим через вектор Zo, соответствующий сечению х = 0. Наиболее целесообразно разбить стержень по длине на участки, на которых погонные массовые и жесткостные характеристики можно счи- тать постоянными; кроме того, присоединенные осцилляторы должны по- падать на границы между участками. В этом случае можно получить ана- литическое выражение матрицы Н. 232
Рассматривается задача о поперечных колебаниях упругого стержня, разделенного на к участков, удовлетворяющих сформулированным выше условиям. В качестве методического примера рассмотрена конструкция с двумя несущими цилиндрическими (как бы первая ступень) и двумя подвесными сферическими отсеками с жидкостью. Стенки несущих баков считают уп- ругими, а подвесных - абсолютно жесткими. Расчет параметров собственных колебаний методом прогонки, изло- женный в [88], по своей физической сути близок к предыдущему, по- скольку используется тот же прием разбиения стержня на К участков, для каждого из которых изгибную жесткость и погонную массу принимают постоянными. Преимуществом метода является возможность рассчитать форму и частоту собственных колебаний любого тона, не определяя форму преды- дущих тонов. Расчет форм и частот собственных поперечных колебаний упругого стержня методом прогонки в матричной форме, приведенный в [88], до- веден до примера определения низших форм и частот собственных попе- речных колебаний корпуса ракеты большого удлинения, схематизирован- ного тонким неоднородным стержнем. В этом случае явлением сдвига и инерцией вращения поперечных сечений пренебрегают. По своей физической сути и по используемому математическому аппа- рату метод весьма близок к методу начальных параметров. 10.7.2. Экспериментальные методы определения основных динамических характеристик Как уже указывалось выше (см. часть 3), экспериментальные исследо- вания динамических свойств первых поколений ракет и ракет-носителей, созданных ОКБ-586 в кооперации со специализированными предпри- ятиями - разработчиками отдельных частей ракетных комплексов, прово- дились силами НИИ-88 (ЦНИИМаш) под непосредственным научным ру- ководством Г. Н. Микишева. В книге [107], автором соответствующих разделов которой он являет- ся, достаточно подробно освещены все аспекты проводимых исследова- ний. Проведем изложение существа вопроса. При определении основных динамических характеристик рассматри- ваемых конструкций важную роль играют экспериментальные методы. В основе этих методов лежат динамические испытания натурных конст- 233
рукций или специальных конструктивно подобных моделей, которые яв- ляются почти точными уменьшенными копиями натурных конструкций. В книге излагаются наиболее известные экспериментальные методы. При этом главное внимание уделяется теоретическим основам этих ме- тодов. Содержание отдельной главы составляют методические материалы по динамическим испытаниям натурных конструкций или их конструктивно подобных моделей, в том числе описание типового вибрационного обору- дования и измерительной аппаратуры. Далее рассматриваются вопросы моделирования динамических свойств тонкостенных конструкций, проектирования и изготовления конструктивно подобных моделей, нашедших широкое практическое применение. При экспериментальном определении основных динамических харак- теристик тонкостенных конструкций - собственных частот, форм коле- баний и коэффициентов демпфирования - применяются различные мето- ды. Наиболее известный и простой из них - резонансный - использовал- ся при частотных испытаниях самолетов еще до Второй мировой войны. В последующие годы он получил дальнейшее развитие и широкое рас- пространение. В резонансном методе собственные частоты колебаний определяются по резонансным пикам амплитудных характеристик, а формы колебаний - по соотношению амплитуд резонансных пиков в различных точках конст- рукции. Таким образом, предполагается, что в окрестности того или иного резонанса система ведет себя как система с одной степенью свободы, т. е. влияние нерезонансных тонов колебаний не учитывается. Для конструкций со слабым демпфированием и достаточно разнесен- ными собственными частотами резонансный метод дает вполне удовле- творительные результаты. Однако существуют такие конструкции, для которых его применение наталкивается на серьезные трудности принци- пиального характера. Эти трудности обусловлены рядом факторов: нали- чием в системе близких собственных частот, сильного демпфирования, а также демпфирования, связывающего главные колебания, т. е. во всех тех случаях, когда реальная конструкция не может быть представлена в окрестности рассматриваемого резонанса достаточно точно идеализиро- ванной системой с одной степенью свободы. Авторы Кеннеди и Пэнку предложили другой экспериментальный ме- тод, основанный на использовании амплитудно-фазовых характеристик системы, позволяющий определять собственные частоты, формы колеба- 234
ний и коэффициенты демпфирования даже в тех случаях, когда резонанс- ный метод неприменим вообще из-за отсутствия явно выраженных резо- нансных пиков. Однако метод Кеннеди-Пэнку также не лишен принципи- альных недостатков и является громоздким. В дальнейшем, по мере совершенствования испытательного вибраци- онного оборудования и аппаратуры, предлагались различные эксперимен- тальные методы. Экспериментальные методы можно разделить на два принципиально различных класса. К первому классу относятся методы, в которых возбу- ждение колебаний конструкции производится простейшим способом, на- пример, при помощи одного вибратора, а искомые величины находятся путем анализа (иногда достаточно сложного) экспериментальных частот- ных характеристик (или кривых свободных затухающих колебаний), по- лученных для различных точек конструкции. Эти методы принято назы- вать методами анализа. В частности, резонансный метод и метод Кенне- ди-Пэнку являются методами анализа. Ко второму классу относятся методы многоточечного возбуждения колебаний. Конструкция возбуждается при помощи специальной многока- нальной вибрационной установки, включающей целую систему вибрато- ров, так, чтобы ее колебания происходили лишь по собственной форме одного тона колебаний, представляющего интерес. В этом случае не тре- буется больших усилий на анализ результатов, так как все необходимые динамические характеристики определяются как для системы с одной степенью свободы. В книге [107] рассматриваются наиболее известные эксперименталь- ные методы, нашедшие практическое применение. Главное внимание уделяется теоретическим основам экспериментальных методов. Все ме- тоды изложены применительно к упругой конструкции. Однако в прин- ципе они могут использоваться для механической системы любой при- роды, в частности, для определения гидродинамических коэффициентов уравнений возмущенного движения объектов, идеализируемых как абсо- лютно жесткое тело с полостями, частично заполненными жидкостью [см. часть 3]. Во всех экспериментальных методах относительно физических свойств испытываемой конструкции делаются определенные допущения. Обычно предполагают, что конструкция является линейной, демпфирование сла- бым, выполняется гипотеза Базиля, параметры конструкции не изменяют- ся с течением времени, любая точка конструкции доступна для возбужде- ния и измерения колебаний (последнее допущение практически не выпол- няется, что несущественно). 235
10.8. Устойчивость движения упругой ракеты Исследования влияния колебаний корпуса на устойчивость движения, проводимые на ранних стадиях проектирования как ракет, так и систем стабилизации, ведутся в рамках экспресс-анализа. Для обеспечения этого необходимо максимально допустимое, с точки зрения достоверности по- лучаемых результатов, упрощение математической модели при сохране- нии наглядности физической сути задачи. Учитывая, что спектры собственных частот упругих колебаний корпу- са ракеты и колебаний компонентов топлива в ее баках в объектах управ- ления с «приемлемыми» динамическими характеристиками не перекры- ваются, исследование их влияния на движение ракеты проводится раз- дельно и независимо. Так, например, у ракеты-носителя 11К68 («Циклон-3») максимальное значение частоты основного тона колебаний жидкости при движении I ступени (96-я секунда полета) не превышает 1,3 гц (табл. 2 Приложе- ния), а соответствующая минимальная частота упругих колебаний кор- пуса не менее 3 гц (см. там же табл. 19). Принятая в многолетней практике ГКБ «Южное» процедура исследо- вания достаточности достигнутых динамических свойств ракет на ранней стадии их проектирования, аналогична используемой КБ «Электропри- бор» («Хартрон») - головным разработчиком систем управления этих ра- кет [7] и сводится к следующему. Для существенного упрощения выкладок используется простая модель, учитывающая только первый тон упругих колебаний. Полагают, что в некоторый момент времени за счет упругих колебаний датчик команд кроме углового отклонения носителя как твердого тела (у) замерит еще некоторый дополнительный угол, вызванный изгибом корпу- са (Д\|/у). Иными словами, сигнал, снимаемый с датчика команд, равен WK. = V+AVy- Кроме того, за счет деформации корпуса появляются силы и моменты, обусловленные изменением вектора тяги. Однако эти силы и моменты для носителей настолько малы, что их влиянием можно пренебречь. Для про- стоты пренебрегают также демпфирующим членом в уравнении упру- гой линии. Учитывая, что система стабилизации движения центра масс работает на низких частотах, а упругие колебания корпуса имеют, как правило, частоты (0>Ю с1, при анализе влияния упругости корпуса на устойчивость ракеты влиянием системы стабилизации центра масс пренебрегают. Таким образом, исследованию подлежит следующая система: 236
у/ = а^у/ + а^5, Ч = a<<sS + a44q, Ч'>.к=¥ + Ьуг, (10.67) А^=<М’ а = -<ог. ЯЯ У В соответствии с системой (10.67) передаточная функция упругого но- сителя может быть представлена в виде ^/7») = ^ = -^—+4^-- (Ю.68) о р -а^ р -а r W г ЯЯ Характеристическое уравнение этой системы (р2 ~а^)(р2 -а^) = 0 распадается на два уравнения р2-агг = 0, Р2 “ ааа ~ 0* Т' яя Первое из них было подробно исследовано в части 1. Второе, если учесть, что всегда aqq < 0, имеет два чисто мнимых корня. Это означает, что полученные требования можно распространить и на рассматриваемый случай. Однако наличие второго слагаемого в выражении (10.68) накла- дывает некоторые дополнительные требования на систему стабилизации в районе собственных частот упругих колебаний. Поскольку в этом рай- оне значение частотного годографа, построенного по (10.68), практически полностью определяется вторым слагаемым, рассмотрим частотный годо- граф только этого слагаемого или, учитывая, что aqq = -о2, получим = (10.69) Рассмотрим два случая. !• а,Л,>°- aaSttSa При о = 0, FKW(O)= , . Затем при увеличении со годограф смещает- а> У ся по вещественной оси вправо. При со = С0у устремляется к +оо и полуок- ружностью радиуса R-юо переходит по направлению часовой стрелки к -оо. При со—>оо годограф вдоль вещественной оси стремится к нулю (рис. 10.4 а). 237
Рис. 10.4. Частотный годограф упругой линии > 0: а - объект; б - устойчивый случай; в - неустойчивый. (10.70) Поскольку для обеспечения устойчивости носителя как твердого тела (первое слагаемое в (10.68) необходимо реализовать систему стабилиза- ции с передаточной функцией ка + Т-Р) Wy с (Р) = —Y, усл 1+Т,Р + Т2Р2 исследуем устойчивость системы «упругая линия плюс АС». Передаточная функция этой разомкнутой системы может быть записа- на в виде (10.71) к (1 + 7\р) aaSaSa иг (п\— V______ч° °ч рУГ)— 1 2 2 Л 1 + 71Р+Т2р р -аяя Частотный годограф, построенный по (10.71), представляет собой произ- ведение двух частотных годографов, построенных по (10.70) и на рис. 10.4 а. По этим годографам строим годограф системы (10.71) (рис. 10.4 б). Харак- теристическое уравнение (10.71) не имеет положительных корней, поэтому необходимо, чтобы годограф рис. 10.4 б не охватывал точку (0j, +1). Аналитически это условие можно записать Wp((d0)<1- После подста- Т т т новки в (10.71) значения а>1 = —---- и Re[FFK(fi?0)J = К* — - амплитуда Тд • Т2 т\ АС на ©о, получим условие устойчивости по верхней границе: 238
2 _ ач^авч^тдТ1 < j (10.72) Рассмотрен случай, когда на частотах со—>соу система стабилизации имеет фазовый сдвиг 2кл > уАС > -п, откуда следует соо < (Оу. Если это ус- ловие не выполняется, то годограф, построенный по (10.71), будет иметь вид, показанный на рис. 10.4 в, что свидетельствует о неустойчивости замкнутой системы. Таким образом, помимо условия (10.72) необходимо выполнение фазового условия устойчивости, изложенного выше. 2- <°- В этом случае годограф (10.69) имеет вид, представленный на рис. 10.5 а. Анализ этого годографа показывает, что для выполнения фазового условия устойчивости необходимо, чтобы при со—>С0у 0 < уАС < п. Это условие озна- чает, что соо > С0у. Если условие выполнено, то годограф разомкнутой систе- мы (10.71) имеет вид, представленный на рис. 10.5 б. Условие устойчивости (10.72) полностью распространяется на рассматриваемый случай, поскольку при выполнении фазового условия знаменатель (10.72) отрицательный. Рис. 10.5. Частотный годограф упругой линии, aqSaSq < 0: а - объект; б - устойчивый случай; в - неустойчивый. Годограф, представленный на рис. 10.5 в, соответствует случаю, когда фазовое условие устойчивости не выполнено. Как видно из рисунка, ус- тойчивость при этом нарушается. 239
10.9. Динамическая устойчивость упругой ракеты с баками, частично заполненными компонен- тами топлива Методика исследований устойчивости движения ракеты с учетом вза- имного влияния упругих колебаний корпуса и колебаний жидкости в ба- ках путем построения и анализа АФЧХ (частотных годографов) достаточ- но подробно изложена рядом авторов [1], [87], [107] и др. В нашем случае ограничимся анализом членов системы дифференци- альных уравнений, учитывающих взаимное влияние асцилляторов дина- мической схемы ракеты-носителя 11К68. Из табл. 21 Приложения следует, что коэффициенты, учитывающие взаимное влияние, на один-два порядка меньше соответствующих величин, характеризующих раздельное воздей- ствие упругих колебаний корпуса PH и колебаний компонентов в баках носителя. Очевидно, что в этом случае их взаимным влиянием можно пренебречь. 240
Часть 5 ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКИХ СТУПЕНЕЙ РАКЕТ В 1960-1970 гг. в КБ «Южное» были созданы новые типы боевых ра- кет и ракет-носителей космических аппаратов. К числу новых боевых от- носился класс ракет с орбитальными головными частями; среди ракет- носителей существенную часть составляли комплексы, созданные на ос- нове баллистических ракет путем установки вместо головных частей спе- циальных доразгонных блоков. Орбитальные головные части (ОГЧ) и до- разгонные блоки представляли собой управляемые объекты, снабженные реактивными двигательными установками. Конструктивно и по условиям движения они имеют много общего, являются космическими летательны- ми аппаратами и могут быть объединены общим названием - космические ступени ракет. Характерным для космических ступеней ракет является наличие уча- стков движения двух типов: - участков полета с работающим маршевым двигателем; - участков управляемого полета с неработающим маршевым двигателем. Значительная часть свободного полета космических ступеней прохо- дит на высотах h > 80 км (на заключительном этапе возможно движение ОГЧ в плотных слоях атмосферы). При движении с работающим двигате- лем стабилизация осуществляется реактивными силами, создаваемыми непрерывно; при движении с неработающим двигателем на больших вы- сотах - с использованием релейной реактивной системы, исполнительны- ми органами которой являлись реактивные двигатели малой тяги. При больших отклонениях ступени от заданного направления двигатели работают непрерывно. При малых отклонениях управление состоит в сле- дующем: если величина отклонения не превышает допустимого значе- ния, то управляющий сигнал находится в пределах зоны нечувст- вительности системы стабилизации и исполнительные органы не вклю- чаются; на границе зоны нечувствительности двигатели создают 241
одиночные управляющие импульсы постоянной величины и обеспечива- ют автоколебательное движение ступени вокруг центра масс (автоколеба- тельный режим стабилизации является наиболее экономичным). Такие ре- активные системы получили название систем успокоения, ориентации, стабилизации (СУОС); они способны создать большой управляющий мо- мент вокруг центра масс, быстро устранить возмущения параметров угло- вого движения ступени, произвести ее переориентацию. Наличие длительных участков полета с неработающим двигателем (участков свободного полета) является первой важной особенностью кос- мических ступеней ракет. Характерна сложность программы движения: предусматривается многократное включение и выключение маршевого двигателя, выполнение программных поворотов вокруг центра масс, обеспечение стабилизации в режиме автоколебаний, изменение точности ориентации в заданные моменты времени полета, осуществление управ- ления в плотных слоях атмосферы. Важная особенность космических сту- пеней обуславливается их небольшим удлинением: как объекты регулиро- вания они обладают значительной собственной и структурной неустойчи- востью на участках полета с работающим маршевым двигателем. В связи с указанными особенностями при проектировании космических ступеней ракет возникла необходимость решения ряда научных и технических про- блем, основные из которых следующие: - проблема обеспечения стабилизации при минимальных затратах энергии, точной ориентации и программного движения на участках сво- бодного полета; - проблема управления полетом ОГЧ с гиперзвуковыми скоростями в условиях резко меняющихся скоростных напоров; - проблема обеспечения устойчивости движения ОГЧ и доразгонных ступеней на участках полета с работающим маршевым двигателем. Ряд вопросов динамики летательных аппаратов рассматриваемого типа к началу проектирования первых образцов таких аппаратов разработан не был. В литературе отсутствовало сколько-нибудь достаточное освещение автоколебательного движения космических ступеней ракет, их движения после выключения двигателя, при выполнении программных поворотов и обеспечении точной ориентации в заданные моменты времени полета. Проблемы динамики космических аппаратов (КА) и ориентируемых спутников Земли (ИСЗ) рассматривались. Основополагающие исследова- ния были выполнены Б. В. Раушенбахом, К. Б. Алексеевым, Г. Г. Бебени- ным [3], [9], [10]. Изучению колебательных движений КА посвящены ра- боты [20], [33], [36], [37]. Возможность сложных периодических движе- ний аппарата с релейной реактивной системой ориентации была отмечена Э. В. Гаушусом [34]. Им же развиты теоретические вопросы исследования 242
таких движений, рассмотрена задача отыскания и исследования устойчи- вости инвариантных точек преобразования отрезка, проведены исследо- вания автоколебаний КА вне атмосферы, доказан ряд общих теорем суще- ствования простых и кратных точек [35]. Колебания ИСЗ с пассивными системами ориентации изучались В. В. Белецким [23]. В книге М. А. Пав- ловского, В. П. Горбулина, О. М. Клименко [120] систематизированы во- просы теории и практики исследования и синтеза систем ориентации КА; методы расчета и анализа таких систем; анализируются энергозатраты системы управления при использовании различных алгоритмов управле- ния в переходных режимах движения и прецезионной ориентации. Характерным для всех перечисленных исследований является рас- смотрение задач динамики и управления КА длительного существования, искусственных спутников Земли. При этом специфические особенности, присущие космическим ступеням ракет и обусловленные принципами по- строения систем управления ступеней, ограниченными углами прокачки командных приборов, нюансами программного движения и т. д., не учи- тывались. Решение ряда инженерных задач проводилось на основе весьма приближенного представления о характере движения космических ступе- ней в условиях орбитального полета, работа систем ориентации и стаби- лизации предполагалась идеальной, влияние атмосферы и отклонений па- раметров системы от их номинальных значений не учитывалось. Все это приводило иногда к получению противоречивых рекомендаций, неблаго- приятно отражалось на весовых и энергетических характеристиках кос- мических ступеней. Результаты эксплуатации первых ракет с космиче- скими ступенями поставили под сомнение правильность представлений об их колебаниях в условиях невесомости. Данные телеметрии, получен- ные при летных испытаниях, систематически указывали на наличие слож- ных движений, не совпадающих с расчетными. Одной из существенных технических проблем, возникающих при соз- дании некоторых типов космических летательных аппаратов, является обеспечение управляемого полета аппаратов при движении в плотных слоях атмосферы с гиперзвуковыми скоростями. Трудности управления обуславливаются большими скоростными напорами (q > 45 105 н/м2), действующими на летательный аппарат, высокими температурами (t > 3000°С), возникающими на поверхности летящего аппарата, сущест- венными изменениями весовых, центровочных и аэродинамических ха- рактеристик вследствие уноса массы и изменения скорости полета (чис- ло М уменьшается от М = 25+20 до М = 1+0,7). Большие скоростные на- поры и высокая температура чрезвычайно затрудняют использование обычных управляющих органов - аэродинамических рулей, щитков, за- крылков и т. п. Эти исполнительные органы без специальной термозащи- 243
ты (существенно увеличивающей вес конструкции) разрушаются при вхо- де аппарата в плотные слои атмосферы. Использование в качестве управ- ляющих органов реактивных двигателей также не всегда целесообразно: из-за больших потребных тяг масса управляющих органов с системами питания оказывается чрезмерно большой. Задача оптимизации весовых и энергетических характеристик имеет для ОГЧ и ступеней решающее значение. Решение этой задачи во многом оп- ределяется полнотой исследования вопросов динамики и управления. Воз- можности экспериментального исследования ограничены, так как проведе- ние летных испытаний в необходимом объеме сопряжено со значительны- ми трудностями из-за сложности постановки эксперимента, требует боль- ших материальных затрат и т. д. В связи с этим проведение полного теоретического анализа указанных вопросов приобретает особое значение. Глава 11 книги посвящена оптимизации проектных параметров косми- ческих ступеней ракет. В ней изложены методы выбора рациональной эффективности управляющих органов СУОС с учетом случайного харак- тера возмущений параметров движения и зависимости периода автоколе- баний ступени от разности тяг диаметрально противоположных сопел; улучшенной оценки необходимого запаса рабочего тела СУОС на основе уточнения длительности скользящих режимов и изменений фазовых ко- ординат по времени программных поворотов; изложены оригинальные способы точной ориентации и управления ступенью при движении в плотных слоях атмосферы с гиперзвуковой скоростью. В главе обобще- ны материалы исследований, выполненных в Государственном конструк- торском бюро «Южное» и Днепропетровском национальном университете в течение ряда лет. Направления исследований подсказаны развитием ра- кетной техники и уточнялись в ходе проектно-конструкторской разработ- ки космических ступеней. Исследования проводились по инициативе, под руководством и при не- посредственном участии члена-корреспондента АН УССР Н. Ф. Герасюты. 244
Глава 11 ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКИХ СТУПЕНЕЙ С НЕРАБОТАЮЩИМ МАРШЕВЫМ ДВИГАТЕЛЕМ 11.1. Задачи динамики свободного полета При рассмотрении углового движения космических ступеней с нерабо- тающим маршевым двигателем используются следующие правые ортого- нальные системы координат (раздел 1.1): 1. Гироскопическая система координат OX1Y1Z1 (система, начало ко- торой точка О совпадает с центром масс летательного аппарата, а оси за- даются гироскопическими приборами на борту аппарата). 2. Связанная система координат OX1Y1Z1 (точка О совпадает с центром масс аппарата, а оси направлены по его главным центральным осям инерции). 3. Программная связанная система координат OXYZ (точка О совпада- ет с центром масс аппарата, а оси системы - с программными положения- ми осей 0X1, OYi, OZi). 4. Скоростная система координат OXcYcZc (точка О совпадает с цен- тром масс аппарата, ось ОХс направлена по вектору скорости V , ось OYC расположена в плоскости угла атаки и направлена в сторону внешней нормали к траектории, ось OZc дополняет систему до правой). Положение программной связанной системы координат относительно гироскопической системы определим программными значениями углов тангажа, рыскания и крена Х)пр, флр, флр; положение связанной системы - углами о, ф, ф. Углы о, ф, ф при достаточно малых их значениях можно считать расположенными в плоскостях тангажа, рыскания и крена. Движение ступеней рассматриваемого вида на высотах h > 80 км обычно происходит с небольшими угловыми скоростями при небольших значениях угловых отклонений. Поэтому запишем уравнения движения космической ступени вокруг центра масс в плоскости тангажа следующим образом [40,178] (см. также, например, раздел 2.3, уравнение 2.28): Ъ=ам8+ама+тг, (11.1) di - 8Х при j > Д или при тх А < j < Д и — < 0; О при -т2Д < j' < тх&; 5 = | di di (И.2) при mxA<j<&H или ПРИ _ А < j< ~т2^ и di + 82 при j < —Д или при - Д < j < -т2 Д и — > 0. dt 245
; = ТдО+Д а = алр +0. Здесь а (апр.) - угол атаки (программный угол атаки) в плоскости тан- гажа; 8 - управляющий параметр; а^, - коэффициенты управляю- щих и аэродинамических моментов соответственно; mz- коэффициент возмущающего момента; тх,т2 - параметры, определяющие величины единичных управляющих импульсов, создаваемых диаметрально проти- воположными управляющими двигателями малой тяги; А - параметр, оп- ределяющий амплитуду автоколебаний ступени вокруг заданного направ- ления продольной оси. Уравнения в плоскостях рыскания и крена записываются аналогично. С целью упрощения приведем уравнения к безразмерной форме. Вве- дем новые переменные х и у следующим образом: t = xx О = Ду. Тогда при апр = 0 получим \|/ = 8+Ал|/ + 1, 8 = di - при i > 1 или при mx<i<\ и — < 0; dr 0 при -m2<i<mx; . , di . . di Л при тх <i < 1 и — >0 или при -1 <i <-т2 и — <0; dr dr _ . 1 i . di' + £2 при/<-1 или при -1<i<-w2 и —>0. dr т7 . I к, ——, i = — = T\U4-w. (11.3) переменных (И.4) Здесь Х = Т = Тд Преобразуем уравнения (11.3), осуществив замену I . . „ у = \|/z--; у = У/. После подстановки получим X \j>z = 8 + Ал|Х/» 8 = < е . I I Л I djx ~ — 81 при jj >1-F— или при тх+ — <у1<1 + — и—L<0; X X X dx I I О при -m2+-<ji <mj+-; Л л I . , I dj, л , / при ml+—< Ji<l+— и -^->0 или при -1 + — X X dx X + 32 при у1^-1 + — или при -1 + — <j\ « Л Л I dh л т? +— и — <0; 2 X dx и — > 0. X dx 246
J\=i + y = tVi + V/- Уравнения (11.4) по форме записи совпадают с уравнениями (11.3), ес- ли в последних I = 0. Две проблемы неизменно привлекают внимание при проектировании систем ориентации, стабилизации - проблема минимизации энергии, за- трачиваемой при управлении летательным аппаратом, и проблема повы- шения точности ориентации. Количество энергии, затрачиваемой на ста- билизацию аппарата, существенно зависит от формы, амплитуды и часто- ты его колебаний. Колебания аппарата в большинстве случаев являются сложными, что обусловлено следующими причинами: 1. Наличием возмущающих моментов. 2. Влиянием атмосферы. 3. Неидеальностью элементов системы ориентации. 4. Неравенством импульсов управляющих моментов, формируемых отдельными микродвигателями. Неравенство импульсов управляющих моментов имеет место, если различны эффективность отдельных двигателей или длительность их еди- ничных включений. Оно может явиться следствием погрешности изготов- ления исполнительных органов или системы управления в целом, а также создаваться преднамеренно. В этом случае модули изменений угловых скоростей летательного аппарата при включении диаметрально противо- положных микродвигателей coj и со2 не равны между собой ((Oj й>2, А® = ©! - ©2 * 0) • Математически неравенство импульсов выра- зим, приняв, что в уравнениях движения (11.3), (11.4) ЪхфЪ2,тх*т2. Для определенности будем считать, что соответствует отрицательному уг- ловому ускорению ступени, 0)2 _ положительному. Точность ориентации характеризуется углом отклонения летательно- го аппарата от программного направления и зависит от амплитуды ко- лебаний аппарата вокруг центра масс. Для уменьшения стабилизацион- ной ошибки ориентации амплитуду колебаний желательно выбрать возможно меньшей, но уменьшение амплитуды сопровождается увели- чением количества энергии, затрачиваемой на ориентацию (требования точности и экономичности противоречивы). Уменьшение амплитуды особенно нецелесообразно, если высокая точность ориентации требует- ся не на всем протяжении полета, а только на отдельных незначитель- ных по длительности участках. Важной задачей при проектировании релейных реактивных систем ориентации и стабилизации является за- дача выбора эффективности управляющих органов. Тяга управляющих двигателей должна быть достаточно большой для того, чтобы отклоне- 247
ния ступени или космического аппарата от программного направления, обусловленные начальными возмущениями, не превышали допустимых значений. С другой стороны, желательно, чтобы тяга двигателей была по возможности меньшей, так как в этом случае предъявляются менее жесткие требования ко времени запаздывания в системе управления, уменьшается импульс последствия, уменьшается расход энергии. На- чальные возмущения летательного аппарата по углу (О0, Vo, Фо) и угло- вой скорости (<>о, ф0, ф0) могут быть представлены как сумма система- тической и случайной составляющих (см. главу 3). Наибольшие значе- ния случайных составляющих обычно не менее чем на порядок превы- шают систематические, что позволяет рассматривать начальные возмущения как чисто случайные величины. В свете изложенного представляется важным решение следующих задач: 1. Исследование динамики колебаний и определение энергетических затрат в случае движения аппарата вне атмосферы при действии возму- щающего момента Мв и * со2, (Дсо= -со2 * 0). 2. Исследование динами