zlib.pub

Tags: финансы государственные финансы финансы государственного сектора банковское дело деньги математика экономика экономические науки

ISBN: 978-5-392-12271-4

Similar

Корпоративные финансы и учет: понятия, алгоритмы, показатели

Методы процентных вычислений. Учебное пособие

Количественные методы в финансах

Введение в финансовый менеджмент

Text

В. В. Ковалев, В. А. Уланов

КУРС
ФИНАНСОВЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ

4-е издание

О©

Электронные версии книг на сайте
www.prospekt.org

•ПРОСПЕКТ-

Москва
2014
Электронные версии книг
на сайте www.prospekt.org

УДК 336 6:51 (075.8)

ББК 65.26я73

К56

Ковалев В. В., Уланов В. А.

Курс финансовых вычислений. — 4-е изд. — Москва . Про-
К56 спект, 2014 — 560 с.

ISBN 978-5-392-12271-4

В издании представлен обзор основных алгоритмов, используемых
при проведении коммерческих и финансовых вычислений. Рассмотрена
логика операций дисконтирования и наращения, подробно изложены схе-
мы и алгоритмы оценки денежных потоков, показана эволюция количе-
ственных методов оценки финансовых операций В четвертое издание (1-е
изд. — 1999 г.) внесены дополнения в ряд глав, а также существенно рас-
ширен библиографический список. Издание подготовлено по состоянию
законодательства на июнь 2010 г

Для преподавателей и студентов экономических вузов, научных и
практических работников, специализирующихся в области управления
финансами и бухгалтерского учета.

УДК 336.6-51 <075 8)
ББК 65.26я73

КУРС ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

www.o-maket га, тел - (495) 726-18-84

Г* 77 99.60 953Д 004173 04.09 от 17 04 2009 г

ООО «Проспект»

ISBN 978-5-392-12271-4

©В В Ковалев,В. А. Уланов,2014

© ООО «Проспект», 2014
Не будет преувеличением сказать:
с вычислением коммерсант выступает
на жизненное поприще и с вычислением

сходит в могилу.

Г. Н. Мокеев

Введение

Мы начали книгу словами Григория Николаевича Мокеева — пре-
подавателя одних из лучших в дореволюционной России Высших
коммерческих курсов М. В. Победи некого. Эти слова, возможно, в
гротескной форме, но по сути весьма выпукло и точно подчеркивают
значимость методов количественной оценки для успешного ведения
бизнеса. Мокеев был не одинок — в начале XX в. многие российские
ученые и предприниматели рассматривали меры по совершенствова-
нию финансово-аналитической подготовки будущих коммерсантов
как один из факторов, способствующих осуществлению экономи-
ческих реформ в стране. Профессор Р. Я. Вейцман, один из автори-
тетнейших теоретиков счетоведения, писал: «Вопрос о постановке
преподавания коммерческой арифметики в современной профес-
сиональной школе может считаться вполне актуальным: его следует
поставить на очередь и так или иначе разрешить» [I, Вейцман, 1923,
с. 3|. Как это ни покажется странным, мысль, высказанная Вейцма-
ном, актуальна и по сей день. Новое издание дополнено тестовыми
вопросами для контроля знаний студентов (слушателей). Справедли-
вости ради скажем, что еще в конце 1980-х гг. его слова вряд ли нашли
бы отклик не только среди практиков, но и в академической среде; к
счастью, в последние годы произошли серьезные изменения в эконо-
мике, на которые не могла не прореагировать система образования и
подготовки экономических кадров.

Становление рыночных отношений в нашей стране сопровож-
дается появлением относительно новых, по крайней мере для боль-
шинства начинающих предпринимателей, навыков и методов, ко-
торыми приходится с неизбежностью овладевать при профессио-
нальном занятии бизнесом К их числу относятся так называемые
коммерческие и финансовые вычисления. Суть таких вычислений
достаточно очевидна: любая сделка предполагает выполнение рас-
четов, дающих основание принять решение по поводу целесообраз-
ности и эффективности ее проведения. Сложность расчетов может
предопределяться различными обстоятельствами, в том числе и
уровнем подготовленности участников операции. Многие начи-
нающие бизнесмены, образно говоря, «ощутили на собственной
шкуре» последствия необоснованно принятых, непросчитанных
решений.

То же самое относится и к обычным гражданам. Финансовая и
юридическая безграмотность, правовой нигилизм, незнание ба-
зовых законов развития экономики и финансов, неумение и/или
нежелание сделать элементарные вычисления, бесцеремонная и,
естественно, не всегда корректная реклама, жажда получения сию-
минутного «бесплатного» дохода — вот далеко не полный перечень
факторов, которые в совокупности могут приводить к весьма пе-
чальным последствиям человека, принявшего опрометчивое реше-
ние поучаствовать в некоторой операции.

Оказывается, в финансовых вычислениях есть множество вещей,
которые только для неискушенного человека очевидны. Например,
в финансовом контракте может быть указана некоторая ставка за
пользование кредитом, однако фактические расходы по обслужива-
нию долга могут оказаться существенно выше. Расхожее мнение о
том, что схема начисления сложных процентов выгоднее, чем схема
начисления простых процентов, справедливо не всегда. Несложно
привести и другие примеры подобного рода.

Коммерческие и финансовые вычисления сопровождают нас по-
стоянно; практически нет ни одного человека, который хотя бы раз
в жизни не столкнулся с необходимостью сделать какие-то расчеты
финансового характера. В последние годы в связи с развитием част-
ного предпринимательства, появлением сети коммерческих банков,
свободным ценообразованием, появлением новых финансовых ин-
струментов и инвестиционных возможностей, угрозой инфляции
необходимость проведения подобных расчетов становится рутин-
ным делом практически для всех. Из-за финансовой нестабильно-
сти в стране даже пенсионеры, никогда прежде не сталкивавшиеся с
расчетами рыночного характера, более сложными, нежели расчеты
на колхозном рынке, пытаются понять — не лучше ли хранить свои
«гробовые» дома в наличной валюте, а не в виде рублевого вклада в
каком-то банке.

Как профессиональная область деятельности финансовые расчеты
достаточно бурно развиваются в последние десятилетия в связи с по-
явлением новых финансовых инструментов (опционов, фьючерсов,
свопов и др.) и, более того, новых направлений деятельности, среди ко-
торых следует выделить прежде всего финансовый менеджент и финан-
совый анализ. Профессия финансового менеджера как специалиста
по управлению финансами хозяйствующего субъекта становится все
более популярной и востребованной со стороны руководителей ком-
паний. Логика здесь достаточно очевидна, поскольку финансовые по-
токи в компании представляют собой по сути ее кровеносную систему.
Насколько хорошо функционирует эта система, настолько и жизнеспо-
собна компания. Весьма широк и круг, если так можно выразиться, по-
тенциальных соискателей этого звания, в том числе и среди действую-
щих работников аппарата управления предприятий, к которым прежде
всего можно отнести значительную часть работников планово-эконо-
мической службы, финансового отдела, бухгалтерии.

Относительно экзотичной на современном этапе развития эко-
номики России представляется профессия финансового аналитика
как специалиста по рынкам капитала. Эта экзотичность, естествен-
но, носит временный характер и обусловливается относительной не-
развитостью рынка ценных бумаг и финансовых институтов. Вместе
с тем усилия, предпринимаемые органами власти по развитию это-
го сектора экономики, безусловно, следует оценить положительно;
иными словами, все говорит о том. что в недалеком будущем эта про-
фессия будет в ряду наиболее престижных.

Все эти профессии, равно как и традиционные профессии бух-
галтера, финансиста, экономиста, объединяет, в частности, необхо-
димость владения методами финансовых и коммерческих вычисле-
ний. Как будет показано в последующих разделах книги, эти методы
достаточно прошы и не требуют углубленных матема1ических по-
знаний. тем не менее владение ими может иметь далеко идущие по-
следствия для участников сделки. У тех, кто знаком с курсом только
по названию, может сложиться впечатление, что описываемые ме-
тоды нужны лишь банкирам и финансистам, однако это не так, по-
скольку любая сделка по сути имеет финансовую природу, а значит,
должна основываться на некоторых расчетах; кто лучше владеет по-
добными расчетами, тот и сможет заключить контракт, который по
крайней мере не будет ущемлять его интересы.

Приведем несколько вопросов, ответы на которые невозможно дать,
не владея некоторыми навыками финансовых вычислений. Предполо-
жим, что вы нуждаетесь в банковской ссуде. Б одном банке вам пред-
лагают кредит на условиях ежеквартального начисления процентов по
ставке а% годовых, в другом — проценты будут начисляться ежегодно,
но по ставке р%. Какой вариант предпочтителен? Вы хотите предоста-
вить деньги в долг на девять месяцев своему клиенту. Спрашивается,
какую схему начисления процентов целесообразно предусмотреть в
договоре? Вы получили долгосрочную ссуду в банке, которую будете
гасить частями в течение нескольких лет. Каковы будут ваши расхо-
ды по погашению долга, например через два года, и какая часть долга
останется к этому времени непогашенной? Вы — держатель векселя и
намереваетесь учесть его в банке. Будет ли эта операция доходной или
убыточной для вас и можно ли количественно оценить соответствую-
щий доход или убыток? Подобные вопросы можно формулировать де-
сятками. и все они не имеют очевидного ответа, основанного на интуи-
ции. Мы полагаем, что на эти и другие, как более, так и менее сложные
вопросы читатель сможет научиться давать ответы после ознакомления
с материалами данного пособия

Книга состоит из шести глав. Первая глава посвяшена поясне-
нию логики финансовых операций, введению в терминологию, в
том числе и традиционно использовавшуюся в отечественной науке
и практике еще в дореволюционное время. Вторая глава посвяшена
простым процентам и описанию ситуаций, в которых целесообраз-
но их применение. В третьей главе рассмотрены сложные проценты,
а также некоторые смежные вопросы, в частности непрерывное на-
ращение, конвертация валюты и др. В четвертой главе рассмотрены
денежные потоки, показано, каким образом схемы начисления про-
центов используются для их оценки. Пятая глава посвящена неко-
торым приложениям финансовых вычислений. В ней изложены за-
дачи, возникающие при погашении долгосрочной задолженности,
при принятии решений по инвестиционным проектам, при оценке
акций и облигаций. Методы количественного анализа финансовых
операций недетерминированного характера обсуждены на примере
страхования. Последняя, шестая, глава представляет собой краткий
экскурс в историю становления коммерческих и финансовых вы-
числений в России, подготовленный в результате обзора доступной
литературы XVII — начала XX в.

Следует подчеркнуть особо, что в области финансовых и коммер-
ческих расчетов в нашей стране имеются весьма солидные наработки
ученых и практиков, работавших в этой области в дореволюционной
России. К сожалению, имена многих из них практически неизвест-
ны современному читателю. Отдавая должное этим специалистам,
мы сочли возможным привести достаточно полный библиографиче-
ский список, включающий по существу все наиболее значимые рабо-
ты по данной тематике. Любопытный читатель может ознакомиться
с некоторыми из этих работ (см. список литературных источников в
библиографии в конце книги) и убедиться в том, насколько большое
внимание уделялось этой дисциплине в России накануне револю-
ции. Часть монографий и пособий по финансовым вычислениям,
появившихся в последние годы в нашей стране, также приведена в
библиографии. Читатели, заинтересованные в более подробной ин-
формации исторического характера, в частности в отношении роли
отдельных ученых в становлении данной науки, в оценке взаимосвя-
зи коммерческих вычислений и бухгалтерского учета и т. д., смогут
сделать это по первоисточникам из приведенного списка.

Для того чтобы сделать более наглядной приведенную в кон-
це книги библиографию, авторы сочли возможным представить ее
в виде двух списков. В первый (синеок I) включены монографии и
учебно-методические пособия, изданные (главным образом) в Рос-
сии и СССР до середины 30-х годов, когда по сути завершается про-
цесс централизации управления бухгалтерским учетом, финансами,
банковскими операциями. Во второй (список II) включена литера-
тура, вышедшая в нашей стране и за рубежом в послевоенные годы
(естественно, в этом списке приведены далеко не все работы, опу-
бликованные по дан ной тематике) Что касается зарубежной литера-
туры, приведенной в библиографическом списке, то авторы решили
ограничиться лишь наиболее доступными российскому читателю
изданиями. При ссылке в тексте книги на соответствующий источ-
ник номер списка указан римской цифрой перед фамилией автора
или названием книги.

В этой книге мы не только попытались обобщить и системати-
зировать известные методы финансового анализа, но и приводим
некоторые расчеты и результаты, либо мало или вообще не освещав-
шиеся ранее, либо встречавшиеся в других работах в иной интерпре-
тации. В частности, процентная и учетная ставки, дисконт-фактор
определяются за период времени, в течение которого осуществляет-
ся простейшая финансовая операция, и этот период необязательно
равен году. Подробно обсуждаются соотношения между этими по-
казателями, производится качественный анализ процентной став-
ки. Приведены определения широко применявшихся в довоенной
российской (советской) практике таких понятий, как проценты «со
100», «на 100», «во 100». Устанавливается связь величины дохода с
введенными понятиями, часто используемыми в тексте для харак-
теристик и пояснений различных способов наращения и дисконти-
рования. Представлен факторный анализ учета векселя. Тщательно
обсуждаются задачи замены платежей и их консолидация при ис-
пользовании простых ставок, при этом в явном виде приводится ряд
формул для решения частных случаев такого рода задач. При анали-
зе процесса наращения сложными процентами за период, отличаю-
щийся от целого числа лет, кроме традиционно освещаемых в лите-
ратуре двух схем (сложных процентов и смешанной) предлагаются и
другие способы начисления процентов.

Несмотря на кажущуюся простоту рассматриваемых методов, ов-
ладение ими потребует от читателя определенных усилий, поскольку
в большинстве случаев в книге приведены выводы и доказательства
основных формул. Сделано это не ради собственно доказательств —
мы убеждены в том, что лишь понимая сущность той или иной рас-
четной формулы, читатель сможет эффективно пользоваться ею.
К тому же доказательства фактически часто предоставляют методы,
позволяющие самостоятельно выводить многочисленные соотно-
шения при решении задач финансового xapaKiepa, не отраженных в
книге. Дело в том, что все разнообразные ситуации, возникающие на
практике, невозможно рассмотреть и проанализировать, да в этом и
нет необходимости. Поэтому полезно знать не только основные фор-
мулы, но и ю, как они получены. Однако, чтобы не усложнять из-
ложения курса, авторы опускают доказательства ряда соотношений,
поскольку они предполагают достаточно свободное владение мате-
матикой (например, доказательства неравенств между множителями
наращения простыми и сложными процентами; соотношения между
наращенными суммами при применении только сложных процентов
и смешанной схемы и т. п.). Тем не менее авторы предлагают читателю
выполнить самостоятельно строгое обоснование просто приведен-
ных результатов для лучшего усвоения материала.

Нередко формулы в этой книге приводятся в общем виде (напри-
мер, для наращения при конвертации, для составления уравнений
эквивалентности), что позволяет затем легко получить большое ко-
личество соотношений для любых конкретных ситуаций. Причем,
несмотря на общность, эти формулы имеют простой и наглядный
смысл. При необходимости корректность новой интерпретации тех
или иных формул подтверждается соответствующими выводами.

Авторы стремились сделать книгу полезной прежде всего в прак-
тическом плане — именно поэтому в ней приведено достаточно
много примеров (около 200), позволяющих, с одной стороны, луч-
ше почувствовать логику и смысл предлагаемых методов, а с другой
стороны, помочь читателю овладеть навыками в применении тех
или иных вычислительных процедур. При этом необходимо иметь
в виду следующее предостережение: знак равенства, встречающийся
в решении числовых примеров, не надо понимать буквально. В ряде
случаев этот знак действительно отражает равенство, но во многих
случаях вместо него, строго следуя правилам математики, необходи-
мо было бы писать знак приближенного равенства. Однако в финан-
совых вычислениях излишняя точность далеко не всегда приносит
фактическую пользу, да и точность вычисления часто зависит от ис-
пользуемых таблиц. Как это обычно принято в аналогичных посо-
биях, мы, как правило, будем писать знак равенства, хотя, возможно,
в том или ином случае строгого равенства (с математической точки
зрения) и нет. Знак приближенного равенства будет применяться
только в тех случаях, когда необходимо специально указать на при-
ближенный характер вычислений или вид формул. В примерах час го
использованы условные данные, так как цель авторов — продемон-
стрировать технику и методы финансовых вычислений Заметим,
что приведенные расчеты не зависят ни от выбора денежной едини-
цы, ни от выбора ставки.

Мы сознательно не приводим примеров выполнения финансовых
вычислений с помощью компьютерных технологий. Хотя исполь-
зование компьютерных программ расчета основных финансовых
показателей позволяет без особых размышлении быстро получить
искомый результат, главное при этом — не ошибаться в синтаксисе.
Однако в этом случае теряется финансовый смысл применяемых
формул и решение более сложных задач, не охваченных компьютер-
ными программами, вызывает подчас немалые трудности. Для того
чтобы осознанно использовать пакеты многочисленных электрон-
ных таблиц, необходимо, по нашему мнению, вначале основатель-
но ознакомиться с основополагающими понятиями и алгоритмами
в финансовых вычислениях и овладеть простейшими расчетными
схемами. Без этого нельзя правильно и эффективно применять фор-
мулы при расчетах (пусть и компьютерных) и грамотно освоить на-
выки в использовании сравнительно простых, но многочисленных
вычислительных процедур.

В последнее время широкое распространение при проведении
финансово-экономических расчетов получил табличный процессор
Excel. Существует много книг, подробно излагающих как основы ра-
боты в Excel, так и осуществление с его помощью всевозможных рас-
четов, в частности и финансового характера. Среди таких книг мы
рекомендуем следующую |П, Пикузо и dp.].

При осуществлении финансовых расчетов необходимо активно
использовать все средства в равной степени, будь то финансовые
таблицы, финансовый калькулятор или персональный компьютер.
Многие расчеты можно провести быстро и эффективно с использо-
ванием только финансовых таблиц. При решении ряда задач (напри-
мер. определения внутренней нормы прибыли) несомненную по-
мощь оказывает именно компьютер

Второе издание книги, которое стало основой для третьего, су-
щественно отличалось от предыдущего. Во-первых, книга реструк-
турирована. а все ее разделы переработаны и дополнены новыми
материалами. Во-вторых, авторы попытались по возможности осво-
бодиться О1 излишней математизации некоторых разделов, иногда
пугающей отдельных практиков. Значительно большее внимание
уделено финансово-экономическому наполнению излагаемых ма-
териалов. В-третьих, для удобства пользователей авторы ввели раз-
дел, описывающий минимум формул, достаточный для выполнения
многих финансово-аналитических расчетов. В-четвертых, введена
новая глава, в которой систематизированы наиболее важные сферы
приложения финансовых вычислений. В-пятых, авторы значитель-
но расширили и реструктурировали исторический раздел, имея в
виду дать читателю хотя бы самое общее представление об эволюции
той теоретической базы, на которой зиждятся современные финан-
совые вычисления. В настоящем издании приведены как перерабо-
танные, так и новые приложения. В пособие включены также тесто-
вые вопросы для контроля знаний студентов (слушателей). Кроме
вопросов качественного характера тесты могут содержать и задачи.
Поэтому при составлении тестов приведенные в книге вопросы ре-
комендуется дополнять несложными в расчетах тестовыми задача-
ми, в качестве которых можно, в частности, использовать задачи из
книги [II, Уланов]

В заключение отметим, что значимость рассматриваемых в кни-
ге материалов для подготовки экономистов высшей квалификации
уже не оспаривается ведущими учеными и практиками. Тем не ме-
нее рецидивы скептического отношения к финансовым вычислени-
ям еще встречаются, в частности, в высказываниях либо некоторых
«чистых» математиков, пытающихся «прислониться» к прикладным
экономическим разработкам путем бездумной их математизации,
когда в угоду красоте математических выкладок выхолащивается
экономическая природа изучаемого явления, либо отдельных спе-
циалистов. работающих в смежных с бухгалтерско-финансовым
блоком дисциплинах (автоматизированные системы управления,
математическое моделирование экономических процессов и т. и.).
Выдвигаемый ими в качестве аргумента тезис, как «заезженная пла-
стинка», повторяет уже не раз слышанное: «В финансовых и ком-
мерческих вычислениях пользуются простым инструментарием, до-
ступным даже школьнику, а потому в университетах следует читать
не финансовые вычисления, а финансовую математику»'.

В этой связи прежде всего хочется напомнить, что любые самые
сложные вычислительные операции сводятся в известном смысле
к четырем элементарным арифметическим действиям. (Вспомним
слова Мирабо о том, что «зная только четыре правила арифметики,
можно вполне содержать финансы в порядке».) Кроме того, с пози-
ции бухгалтеров и финансистов, не абстрактная финансовая мате-
матика, а именно финансовые вычисления предсгавляют практи-

1 Мы нс считаем целесообразным вдаваться в схоластические рассуждения, в част-
ности по поводу содержательного наполнения терминов «финансовая математика»,
«финансовые вычисления», «коммерческие расчеты» и др Назвав свою книгу «Курс
финансовых вычислений», мы руководствовались не только своим видением се со-
держательного наполнения, но и желанием отдать должное усилиям представителей
дореволюционной российской финансовой школы, в частности и в области формули-
рования понятийного аппарата этого научно-практического направлен ия
ческий интерес Финансовые стохастические модели, безусловно,
можно, а для некоторых узких специалистов и следует, рассматри-
вать в спецкурсах, что же касается базового математико-аналитиче-
ского аппарата, к которому с очевидностью относятся методы, об-
суждаемые в курсе финансовых вычислений, то им должен владеть
любой экономист высшей квалификации.

По мнению авторов, научность и значимость любой универси-
тетской дисциплины в области прикладной экономики отнюдь не
определяются одной лишь сложностью используемого в ней мате-
матического инструментария, а пробелы в базовом экономическом
образовании, да и в математическом тоже, нигде не проявляются
так явно, как в необоснованной математизации процесса принятия
управленческого решения. Именно поэтому хочется подчеркнуть,
что, обосновывая базовые методы финансовой аналитики, во главу
угла нужно ставить экономическую, финансовую природу опера-
ции; что касается используемого математического аппарата, то он
и меет лишь вспомогател ьное значен ие.

Иными словами, для менеджера приоритетом является ответ-
ственность за возможные последствия принятого им решения. Так,
непродуманно составленный договор о некоторой финансовой опе-
рации (ставка, частота и схема начисления, поправка на инфляцию
и т. п.) может привести к существенным финансовым потерям не-
зависимо от того, какой сложности модель была использована, на-
пример, для прогнозирования денежного потока. Какими метода-
ми обосновано решение — это уже другой вопрос; ясно только одно:
обоснование с помощью хитроумной математической модели далеко
не всегда минимизирует негативные последствия.

Хо1я выполняемые расчеты выглядят несложными, методы фи-
нансовых вычислений исключительно важны именно в практиче-
ской плоскости, и, кроме того, они не приходят к специалисту ав-
томатически вместе с дипломом о высшем или специальном обра-
зовании. Невозможно стать финансовым менеджером, лишь читая
общетеоретические монографии, учебники и руководства, — нужны
рутинная вычислительная практика, умение ориентироваться в ме-
тодах, привлекаемых для получения ряда оценок, которые можно
использовать как формализованное обоснование принимаемого ре-
шения в области кредитования и финансирования. Именно этому и
посвящено данное пособие — в нем не только объяснена логика ко-
личественного обоснования финансовых операций, но и приведено
множество примеров и задач, решая которые можно, образно говоря,
«набить руку» на исчислении подобных оценок. Большое количе-
ство подробно разобранных примеров и задач для самостоятельного
решения можно найти в сборнике задач [II, Уланов], который тесно
связан с данным пособием и в котором, в частности, поэтому ис-
пользуются такие же обозначения.

Авторы надеются, что книга будет полезна как начинающим фи-
нансистам и бухгалтерам, так и опытным специалистам. Наконец,
уместно упомянуть о том, что любая конструктивная критика будет
воспринята авторами с благодарностью.
Глава 1
Логика финансовых
операций в рыночной экономике

1.1. Временная ценность денег

Переход к рыночной экономике сопровождается появлением не-
которых видов деятельности, имеющих для финансового менеджера
предприятия принципиально новый характер. К их числу относится
задача эффективного вложен ия денежных средств. В условиях центра-
лизован но планируемой экономики на уровне обычного предприятия
такой задачи практически не существовало. Причин было несколько.

Прежде всего ни юридические, ни физические лица официально,
как правило, не располагали крупными свободными денежными сред-
ствами. В частности, денежные ресурсы предприятия жестко лимити-
ровались прямыми или косвенными методами. Так. наличные деньги
лимитировались путем установления Государственным банком макси-
мального размера денежных средств, который мог находиться в кассе
на конец рабочего дня. Сумма средств на расчетном счете ограничива-
лась косвенными методами, главным образом, путем изъятия средств
в бюджет в конце отчетного периода, а также путем введения довольно
жестких нормативов собственных оборотных средств.

Еще одна причина состояла в том, что практически единственный
путь использования свободных денег был связан с размещением их
под проценты в сберегательном банке. Стабильность экономического
развития, оказавшаяся, как теперь принято говорить, застоем, гаран-
тировала в этом случае не только сохранность денежных средств, но и
их небольшой рост.

Ситуация резко изменилась в последние годы. Можно выделить
как минимум шесгь основных моментов. Во-первых, были упразд-
нены многие ограничения, в частности нормирование оборотных
средств, что автоматически исключило один из основных регулято-
ров величины финансовых ресурсов на предприятии.
Во-вторых, кардинально изменился порядок исчисления финан-
совых результатов и распределения прибыли. С введением новых
форм собственности стало невозможным изъятие прибыли в бюджет
волевым методом, как это делалось в отношении государственных
предприятий, благодаря чему у предприятий появились свободные
денежные средства.

В-третьих, как уже упоминалось выше, произошла существенная
переоценка роли финансовых ресурсов, т. е. появилась необходимость
грамотного управления ими, причем в различных аспектах — по ви-
дам, по назначению, во времени и т. д.

В-четвертых, появились принципиально новые виды финансо-
вых ресурсов, в частности возросла роль денежных эквивалентов, в
управлении которыми временной аспект имеет решающее значение.

В-пятых, произошли принципиальные изменения в вариантах
инвестиционных политики. Переход к рынку открывает новые воз-
можности приложения капитала: вложения в коммерческие банки,
участие в различного рода рисковых предприятиях и проектах, при-
обретение ценных бумаг, недвижимости и т. д. Размещая капитал в
одном из выбранных проектов, финансовый менеджер планирует не
только со временем вернуть вложенную сумму, но и получить желае-
мый экономический эффект.

В-шестых, в условиях свойственной переходному периоду финан-
совой нестабильности, проявляющейся в устойчиво высоких темпах
инфляции и снижении объемов производства, стало невыгодным хра-
нить свои деньги даже в государственном банке. Многие предприятия
на своем опыте познали простую истину: в условиях инфляции де-
нежные ресурсы, как и любой другой вид активов, должны обращать-
ся и, по возможности, быстрее.

Таким образом, деньги приобретают еще одну характеристику, до-
селе неведомую широкому кругу людей, но объективно существую-
щую, а именно — временную ценность (time-value of money). Этот пара-
метр можно рассматривать в двух аспектах.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с те-
чением времени. Представим, что предприятие имеет свободные де-
нежные средства в размере 15 млн руб., а инфляция, т. е. обесценение
денег, составляет 206е в год. Это означает, что уже в следующем году,
если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупатель-
ной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 млн руб.
Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств).
Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.

Пример

Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой деловой
операции, которая принесет доход в размере 10 млн руб. по истечении
двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по
5 млн руб. по истечении каждого года, либо единовременное получе-
ние всей суммы в конце двухлетнего периода.

Даже на житейском уровне очевидно, что второй вариант получе-
ния доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это проистекает
из того, что сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь
пушена в оборот и, таким образом, принести дополнительные доходы.
На первый взгляд, такой вывод очевиден и не требует каких-то специ-
альных знании. Однако проблема выбора моментально усложнится,
если немного изменить условие задачи; например, доходы таковы: в
первый год — 4 млн руб., а во второй — 5 млн руб. В этом случае уже
не очевидно, какой вариант предпочтительнее. Приведенный пример
можно усложнять и дальше, вводя дополнительные условия: инфля-
ция, стохастичность величины доходов, выплачиваемых единовре-
менно и периодически, оказание дополнительных услуг и т. п.

Проблема «деньги — время» не нова, поэтому уже разработаны
удобные модели и алгоритмы, позволяющие ориентироваться в ис-
тинной цене будущих доходов с позиции текущего момента и сравни-
вать разновременные денежные суммы. Коротко охарактеризуем их в
теоретическом и практическом аспектах.

1.2. Операции наращения и дисконтирования

Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и ос-
нована на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки
является однократное предоставление в долг некоторой суммы Р V
с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая
сумма FV. Результативность подобной сделки может быть охарак-
теризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя — при-
роста (FV-PV), либо путем расчета некоторого относительно-
го показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для
подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-
временном аспекте. Поэтому пользуются специальным показате-
лем — ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением прира-
щения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой мож-
но брать либо Р V, либо F V. Таким образом, ставка за время t рас-
считывается по одной из двух формул:

FV-PV

FV-PV
d, =----------- (1-2)

В финансовых вычислениях первый показатель имеет названия
«процентная ставка», «ставка процента» (interest rate, rate of interest),
«процент», «рост», «норма прибыли» (rate of return), «доходность», а вто-
рой — «учетная ставка» (discount rate), «дисконтная ставка», «дисконт».
Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т. е. зная один показатель,
можно рассчитать другой:

О' Г

rt — 7 ~7 или d/ = 7“ - О-3)

1 - О, 1 + Г,

Оба показателя могут выражаться либо в десятичных дробях, ли-
бо (как правило, на практике) в процентах. Различие в этих формулах
состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле
(1.1) — исходная сумма, в формуле (1.2) — возвращаемая (ожидаемая)
сумма. Из определения показателей следует, что г, >0 и 0< J, < 1
Случай г£ =0 и dt =0 не рассматривается, так как тогда FV — PV
(сколько дают в долг, столько и получают назад) и можно считать, что
финансовой сделки как таковой просто нет. Случаю же d: = 1 соот-
ветствует Р V— 0, т. е. не предоставляя никакой суммы в долг, через
некоторое время t получаем FV, тем самым фактически осущест-
вляя грабеж.

Как же соотносятся между собой эти показатели? Очевидно,
что всегда dt <rt , но поскольку также dt <1 , то d£

Последнее неравенство позволяет по процентной ставке г£ лучше
оценить учетную ставку d£, чем это можно сделать, например, ис-
пользуя неравенство dt <1 Так при rt =0,08 (т. е. г£ =8%) из
dt < min( 0.08:1 1 следует dt < 0,08. что является существенно бо-
лее точной оценкой dt, чем dt < 1 .

Степень расхождения между г( и dt (ависит от уровня процент-
ных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если
г( = 7%, то dt — 6,54%, т. е. расхождение сравнительно невелико:
если г, = 70%, то d, = 41,18%, т. е. ставки существенно различа-
ются по величине.

Такой вывод легко обосновать, используя следующие соображе-
ния. В силу того что 0 < d{ < 1. справедливо

—— = l+d,+J2+rf3+...

Поэтому

г. = = d + J; + J3 + d* +...

' 1 - d, ' ‘

Если величина dt достаточно мала, то, пренебрегая в правой ча-
сти равенств всеми членами, начиная со второю, получим rt ~ dt.
В частности, если dt — 0,074 (что равносильно dt = 7,4*%), то прене-
брегаем членами = 0,005476, d* = 0,0004052 и т. д.

В прогнозных расчетах, например при оценке инвестиционных
проектов, как правило, имеют дело с процентной ставкой, хотя обыч-
но это не оговаривается. Объяснение этому может быть, например,
таким. Во-первых, анализ инвестиционных проектов, основанный
на формализованных алгоритмах, может выполняться лишь в отно-
сительно стабильной экономике, когда уровни процентных ставок не-
велики и сравнительно предсказуемы в том смысле, что их значения
не могут измениться в несколько раз или на порядок, как это имело
место в России в переходный период от централизованно планируе-
мой экономики к рыночной экономике. Если вероятна значительная
вариабельность процентных ставок, должны применяться другие ме-
тоды анализа и принятия решений, основанные, главным образом,
на неформализованных критериях При разумных значениях ставок
расхождения между процентной и дисконтной ставками, как мы ви-
дели, относительно невелики и потому в прогнозных расчетах вполне
может быть использована любая из них. Во-вторых, прогнозные рас-
четы не требуют какой-то повышенной точности, поскольку резуль-
татами таких расчетов являются ориентиры, а не «точные» оценки.
Поэтому, исходя из логики подобных расчетов, предполагающих их
многовариантность, а также использование вероятностных оценок и
имитационных моделей, излишняя точность не требуется.

Кроме введенных показателей часто используют величину, назы-
ваемую дисконт-фактором (discount-factor):

i- = 1 - d, -

(1-4)

Дисконт-фактор показывает, какую часть сумма р V составляет
в сумме FV. Очевидно, что 0< vf < 1 и между тремя показателями
справедливо соотношение . Дисконт-фактор может выра-

жаться и в процентах.

Удобной и наглядной характеристикой (особенно при оценке
вклада) является индекс роста Bt суммы Р\ за время t:

(1-5)

Как и прочие введенные показатели, величина Bt выражается ли-
бо в десятичных дробях, либо в процентах. Индекс роста показывает,
во сколько раз увеличилась первоначальная сумма за время t. Зная
Bt, можно вычислить и другие показатели. В частности, из (1.5) сле-
дует, что г, — Bt — 1.

Пример

Сумма Р\ = 2 тыс. руб. за полтора года возросла до /7У=4,6
тыс. руб. Полагая t — 1.5 года, получим

д = д5=^ = 2,3 и г, =7^ =2,3-1 = 1,3

(или 13О*2>) Таким образом, первоначальная сумма за полтора года
возросла в 2,3 раза или, что то же самое, увеличилась на Под-

индекс роста за данный период показывает, во сколько раз вы-
росла величина капитала по отношению к величине капитала в кон-
це предыдущего периода. Поэтому, если известны индексы роста
Д, -&>. >' &tt за соответственно периоды времени и

эти периоды расположены последовательно друг за другом, то индекс
роста за время /= + t2+...+tk будет равен величине:

В, = вч В, ... вч = f] В,

(1-6)

Следовательно, если в первый год капитал вырос в 1,2 раза, во вто-
рой год общий капитал вырос в 1,7 раза и в третий год вся сумма уве-
личилась в 1,3 раза, то индекс роста капитала за 3 года составит:

В3 = 1,2 1,7 1,3 = 2,652

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутству-
ют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финан-
совых вычислениях называется наращением (accumulation, accretion),
искомая величина — наращенной суммой (accumulated value, amount), а
ставка — ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая
в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется
процессом дисконтирования (discounting), искомая величина — приве-
денной суммой, а ставка — ставкой дисконтирования. В первом случае
речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему,
во втором — о движении от будуще! о к насюящему (рис. 1.1).

НАСТОЯЩЕЕ

БУДУЩЕЕ

Приведенная сумма

Рис. 1.1. Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой форму-
лой (1.1), состоит в определении величины той суммы, которой будет
или желает располагать инвестор по окончании этой операции. По-
скольку из формулы (1.1):
FV=PV (! + /;)

(1-7)

то FV > PV (так как 1 + rt > 1), т. е. время генерирует деньги.

Естественно, такой же вывод можно сделать, используя формулу
(L2), так как из нее следует, что

PV=FV-Q-d,)

(1.8)

и справедливо неравенство 1 — dt < 1 .

Разность I — FV— PV называется процентом (interest), или про-
центными деньгами. Это — величина дохода от предоставления в долг
денежной суммы Р V. (В математике процентом называют сотую до-
лю некоторого числа, что, естественно, отличается от экономического
понятия «процент».)

Используя равенство FV— PV+ I. формулу (1.7) можно проил-
люстрировать таким образом (рис. 1.2):

РУ

Рис. 1.2. Образование нарашснной суммы

В качестве ставки наращения может выступать как процентная,
так и учетная ставка. Если наращенная сумма FV находится по
формуле (1.7), то ставкой наращения является процентная ставка.
С другой стороны, из (1.8) следует, что наращенную сумму можно

. PV

определять по формуле ру=-----, поэтому в этом случае ставкой

1-4

наращения является учетная ставка (В качестве примера, когда
учетная ставка используется для наращения, является учет векселя
в банке, рассматриваемый с позиции банка.)

Аналогичные суждения можно высказать и в связи со ставкой дис-
контирования. Если приведенная сумма PV находится по формуле
(1.8), то в качестве ставки дисконтирования выступает учетная ставка.
С другой стороны, из (1.7) следует, что приведенная сумма определя-

ла

ется также и по формуле PV = ---, т. е. в качестве ставки дискон-

1 + г,

тирования выступает процентная ставка. Ниже будут подробно рас-
смотрены процессы наращения и дисконтирования, а из полученных
формул или из контекста будет ясно, какая ставка и в каком качестве
используется в конкретном процессе.

На практике доходность — величина непостоянная, зависящая
главным образом от степени риска, ассоциируемого с данным видом
бизнеса, в который сделано инвестирование капитала. Связь здесь
прямо пропорциональная — чем рисковее бизнес, тем выше значение
доходности. Наименее рисковы вложения в государственные ценные
бумаги или в государственный банк, однако доходность операции в
этом случае относительно невысока.

Величина FV, определяемая по формуле (1.7), показывает как
бы будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном
уровне доходности rt

Экономический смысл дисконтирования заключается во времен-
ном упорядочении денежных потоков различных временных перио-
дов Одна из интерпретаций коэффициента дисконтирования 1 —
в формуле (1.8) показывает, какой ежегодный процент возврата хочет
(или можег) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В эюм
случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегод-
няшнюю» стоимость будущей величины FV

Обозначение PV является общепринятым сокращением термина
present value (текущая, современная стоимость). Аналогичным обра-
зом FV представляет собой сокращение для future value (будущая сто-
имость).

Пример

Предприятие получило кредит на срок /=1 год в размере PV=
~ 50 тыс. долл, с условием возврата FV=80 тыс. долл. В этом случае
процентная ставка ^—0,6 или, что равносильно, 60%; учетная
ставка ^=0,375 или, что равносильно, ^=37,5%.; а дисконт-фактор
if =100% — 37,5%=62,5%. Если предприятие за взятый кредит через год
должно вернуть FV=90 тыс. долл., то при учетной ставке 40% по фор-
муле (1.8) можно найти величину кредита PV=90-(l —0,4) = 54
тыс. долл.

В общем виде процентная ставка rt может быть представлена
как сумма четырех основных компонент, которые определяют ве-
личину rt:

r,=i+ f+Ep + £t}

где: J — норма процента, отражающая компенсацию кредитору за

отказ использовать в других целях предоставленную сумму в течение
времени t (пока не вернут долг);

f — так называемый фактор риска (эффект Фишера), пред-
ставляющий собой для кредитора компенсацию за неопределенность
(риск) неполучения процентов или всей суммы вообще при наступле-
нии срока возврата долга:

Ер — инфляционная добавка, т. е. компенсация за возможное
изменение в уровне цен, за уменьшение покупательной способности
денег вследствие инфляции;

t) — компенсация, зависящая от продолжительности срока
t, на который ссужены деньги, и тем большая, чем длительнее этот
срок.

Несколько упрощая для наглядности ситуацию, можно сказать,
что процентная ставка представляет собой в определенной степени
резулы ат взаимодействия хозяйствующих aieniOB на рынке ссудною
капитала.

Пусть DD является кривой спроса на ссудный капитал, отража-
ющей зависимость между востребуем ым объемом денежных средств
и величиной процентной ставки (см. рис. 1.3). Естественно, с ростом
процентной ставки падает спрос на ссудный капитал. Аналогично
пусть S'S' является кривой предложения ссудного капитала, показы-
вающей, что с ростом процентной ставки растет и объем предлагае-
мых денежных средств. Величина процентной ставки г* определяет-
ся точкой пересечения кривых DD и S'S', так называемой равновес-
ной точкой, в которой объем спроса равен объему предложения.
Рис. 1.3. Кривые спросим предложения

Таким образом, как и на рынке продуктов или ресурсов, пересе-
чение кривых спроса на деньги и предложения денег определяет цену
равновесия, которая в данном случае является равновесной процент-
ной ставкой. Иными словами, процентная ставка представляет собой
цену, уплачиваемую за использование денег.

1.3. Проценты «со 100», «на 100», «во 100»

Приведем ряд задач, часто возникающих в коммерческих расчетах, а
также ряд понятий, связанных с этими задачами, которые ранее широко
использовались в российской и советской (до начала 50-х годов) практи-
ке, да и в настоящее время представляют определенный интерес.

Пример

Предприятию перечислили сумму, составляющую Р°Ь от Q руб.
Найти эту сумму.

Обозначая искомую сумму через R, получим

(1-9)
где (т.е., в отличие от р, выраженного в процентах, р' вы-

1 100

ражено десятичной дробью).

Формула (1.9) называется формулой вычисления процентов «со 100»,
а проценты (R), определяемые по формуле (1.9), называются процен-
тами «со 100» (по отношению к числу Q), т.е. проценты определяются
по отношению к самому числу. Процентная ставка Р (или, что эк-
вивалентно, Р ) по отношению к числу Q называется процентной
ставкой «со 100».

Если сумма, перечисленная предприятию, составляет 60% от
150 тыс. руб., то, вычисляя проценты «со 100» величины 150тыс. руб.,
получим R = 150 - 0.6 = 90 тыс. руб.

Пример

Фирма реализовала партию товара за S руб., получив при этом
р% прибыли. Найти эту прибыль.

Обозначим себестоимость товара через х, тогда S представля-
ет собой сумму себестоимости товара (х) и полученной прибыли
/ \ Хр S

I ХР I. Поэтому S= х ч—— , откуда X — . И следовательно,

11007 100 I + —

100

прибыль равна величине

хр S р Sp'

Л — --- ~-------------------- (110)

100 1+_^ W0
100

Формула (1.10) называется формулой вычисления процентов «на 100»,
а проценты ( S'). определяемые по формуле (1.10), называются про-
центами «на 100» (по отношению к числу S). В этом случае процент-
ная ставка Р (или, что эквивалентно, ff ) по отношению к числу S
называется процентной ставкой «на 100».

Л 120-0,2

Если р - 20% и S = 120 тыс. руб., то S' = ——— — 20 тыс. руб.

Очевидно, в частности, себестоимость товара определяется из соот-
ношения х— S— S' — 120 — 20 = 100 тыс.руб.

Проценты «на 100» находят в задачах следующего типа: даны став-

ка процента и сумма двух слагаемых, одно из которых представляет
собой проценты «со 100» другого; требуется найти одно из слагаемых.
Так, в предыдущем примере данная величина S была равна сумме
себестоимости товара и процентов «со 100» (прибыли).

Запишем (1.7) в виде FV = PV+ PV-г, и выразим второе слагае-
мое (проценты I), используя FV. Выполняя преобразования, пол-
ностью аналогичные тем. которые совершались при решении преды-

FVr,
дущего примера, получим / =----. Таким образом, величина дохо-

1 + <

да (проценты) от предоставления в долг некоторой денежной суммы
является процентами «на 100» по отношению к FV и процентами «со
100» по отношению к Р V согласно ставке f,'.

Пример

Фирма реализовала партию товара за К руб., получив при этом
р°с убытка. Найти этот убыток.

Обозначим себестоимость товара через х, тогда К представля-
ет собой разность между себестоимостью товара ( х ) и полученного

( ХР к

убытка ‘ J . Поэтому л — X — ~, откуда X—-----------. И следо-

VlUO/ 1UU р

1 - Too

вательно, убыток равен величине

а.,,)

100 р 100 1 - р'
”100

Формула (1.11) называется формулой вычисления процентов «во 100»,
а проценты (К' ), определяемые по формуле (1-11), называются про-
центами «во 100» (по отношению к числу К ). В этом случае процент-
ная ставка р (или р’) по отношению к числу К называется про-
центной ставкой «во 100».

1 Способы, по которым определялись проценты «со 100» и «на 100-, назывались
также соответственно коммерческим и математическим способами Как писали всво-
их учебниках Н П Васильев-Яковлев, А В.Прокофьев и др, в коммерческих делах, как
правило, использовались проценты «со 100-
Если Р= 20% и К - 80 1ЫС. руб., то К' =--— = 20 ТЫС. руб.

0,8

Очевидно, в частности, себестоимость товара определяется из соот-
ношения х — К + К' -80 + 20-100 тыс. руб.

Проценты «во 100» находят в задачах следующего типа: даны
ставка процента и разность двух слагаемых, одно из коюрых (вы-
читаемое) представляет собой проценты «со 100» другого; требует-
ся найти одно из слагаемых. В последнем примере данная величина
К была равна разности себестоимости и процентов «со 100» (убытка).

Запишем (1.8) в виде Р V = FV — FV d, и выразим второе сла-

РМ/,

гаемое (проценты / ). используя Р I : / = ~-~. Таким образом.

1 - а,

величина дохода (проценты) от предоставления в долг некоторой
денежной суммы Р V является процентами «во 100» по отноше-
нию к PV и процентами «со 100» по отношению к FV согласно
ставке dt

Из самих определений ясно, что проценты «со 100» вычисляют в
так называемых прямых задачах, а проценты «на 100» или «во 100» — в
обратных задачах, примеры которых мы еше приведем в дальнейшем1.

Любопытно отметить, что в начале XX в. с помощью формул (1.10)
и (1.11) (в отсутствие вычислительных машин и всевозможных каль-
куляторов) получали правила для составления дробей, упрощающих
вычисления процентов.

Если е. р<100%.то вычисление процентов «на 100» и

«во 100» в определенном смысле сводится к вычислению процентов
«со 100»

Действительно, поскольку в этом случае

—Ц=1-р'+(р')2-(//)л+-.

1 + р

то из формулы (1.10) вычисления процентов «на 100» следует

1 Термины, аналогичные российским процентам «со 100», «на 100», «во 100», ис-

пользовались и в зарубежной практике коммерческих вычислений 11. Neutnann\
, , - Sp' - S(p')2 + S(p'Y - S( рГ +- - -

1 + P

Рассматривая правую часть равенства, делаем вывод, что Sp' —
это проценты «со 100» величины S'; S(p')~ — Sp' р' — проценты
«со 100» полученной величины Sp'; S( р') — S( р') р' — процен-
ты «со 100» величины S( р'У и т. д.

Аналогичный вывод можно сделать, пользуясь соотношением

—Ц-=1+р'+(₽)’+( р‘ >’+...
1-р

и преобразуя формулу <1.11) вычисления процентов «во 100»

К!'\-Кр'I К<р'у +К(р'У +К(РТ +...
1-р

В заключение сделаем еше одно замечание в связи с различны-
ми видами определенными выше процентов. Очевидно, для любого
р'

п' > 0 справедливо-----< р', а если к тому же р' < I, то справед-

1 + />'

Р' . Р'

ливо двойное неравенство ~--~< р <~-----г. Таким образом, при

11/’ 1-р

0 < р' < 1, т. е. при 0% < р< 100%, по отношению к одному числу
проценты «на 100» меньше процентов «со 100», которые в свою очередь
меньше процентов «во 100».

1.4. Арифметическая
и геометрическая прогрессии

Для того чтобы надлежащим образом понимать принципы и ме-
тоды вычислений, используемых в финансовой математике, необхо-
димо знание таких понятий, как арифметическая и геометрическая
прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность чи-
сел, в которой каждый член получается из предыдущего путем при-
бавления к нему одного и того же числа z, называемого разностью
этой арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическую
прогрессию можно записать в виде:

a, a + z, a + 2z; a+3z,

Если z> 0 , то арифметическая прогрессия называется возраста-
ющей, если z< 0, — убывающей. Число членов арифметической про-
грессии может быть ограниченным или неограниченным.

Приведем без доказательства две общие формулы при использова-
нии арифметической прогрессии:

• формула для определения л-го члена арифметической прогрес-
сии

ап — а+(п— l)z.

(1.12)

• формула для нахождения суммы п первых членов арифметиче-
ской прогрессии

Характеристическим свойством арифметической прогрессии явля-
ется тот факт, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему
арифметическому его соседних членов, i.e. при и >2 справедливо

й,,, 1 а«+]

(1.14)

Проиллюстрируем введенное понятие.

Пример

Господин N старае г ся спланирова гь должным образом приближаю-
щийся выход на пенсию. Брокер по инвестиционным ценным бума-
гам предложил схему, согласно которой господин N платит крупную
сумму фирме, а в обмен получает гарантированный ежемесячный до-
ход в 300 руб. Более того, каждый месяц доход будет увеличиваться на
40 руб. Какова будет ситуация через 5 лет?
В этих условиях (выражая деньги в тыс. руб.) а, = а = О,3, ^—0,04,
л—60 (умножаем 5 лет на 12 месяцев). По формуле (1.12) находим ве-
личину дохода. который через 5 лет господин N получит за месяц:

або ~ + 59'0,04 = 2,66 тыс. руб.

Используя формулу (1.13), находим общий доход за 5 лет:

0,3 + 2,66

~ 88,К тыс. руб.

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел,
в которой каждый член получается из предыдущего путем умножения
его на одно и то же число 9^ 0. называемое знаменателем этой геоме-
трической прогрессии. Таким образом, геометрическую прогрессию
можно записать в виде:

а, я<}, а<},

Число членов геометрической npoi рессии может быть ограничен-
ным или неограниченным. Также приведем без доказательства две
общие формулы при использовании геометрической прогрессии:

• формула для определения л-го члена геометрической прогрессии

= (1.15)

• формула для нахождения суммы п первых членов геометриче-
ской прогрессии

НЮ
9-1

Характеристическим свойством геометрической прогрессии с по-
ложительными членами является тот факт, что каждый ее член, начи-
ная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов,
т. е. при п> 2 справедливо

аг_, - а,

(1-17)
Если то при неограниченном возрастании числа п сумма
Sn стремится к пределу

<118>

Это число S называется суммой бесконечно убывающей геоме-
трической прогрессии.

Пример

Господин N, обдумывающий свой выход на пенсию, обратился к
другому брокеру и тот предложил схему, по которой за ту же самую
крупную инвестиционную сумму обеспечивается гарантированный
ежемесячный доход в 300 руб. вместе с увеличением каждый месяц
этого дохода на 4®с. Какова будет ситуация через 5 лет?

В этих условиях й] = а = 0,3, q= 1,04, п— 60- По формулам (1.15).
(1.16) получим

=0,3-(1,04)” =3,035 тыс. руб.,

(1,04)“-I

$«, = 0,3 1041 = 71-397 тыс. руб.

На первый взгляд предложенная брокером схема менее предпочти-
тельна для господина N. чем в предыдущем примере. Однако, все за-
висит от срока. Так, уже через 7 и 8 лет общий доход господина N будет
рвен: 5^ = 194,738 тыс. руб. и S96 =316,289 тыс. руб. В то время
как. придерживаясь первоначальной схемы, он получит через 7 и 8 лет
соответственно 164,64 тыс. руб. и 211.2 тыс. руб., что гораздо хуже.
И чем дальше, тем больше будет ощущаться разница в доходах, до-
ставляемых разными предложенными схемами.

Приведенные формулы нашли широкое применение в финансо-
вой математике, страховом деле и финансовом менеджменте, в част-
ности при оценке акций, облигаций, пенсионных контрактов и др.
Глава 2
Простые проценты

2.1. Наращение простыми процентами

Ссуло-заемные операции, составляющие основ) коммерческих
вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и
проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности
денег Несмотря на то что в основе расчетов при анализе эффектив-
ности ссудо-заемных операций заложены простейшие, на первый
взгляд, схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны
ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении
частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и
погашения ссуд.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получа-
ет определенный доход в виде процентов, начисляемых по некш орому
алгоритму в течение определенного промежутка времени. При этом
выделяется некоторый основной интервал времени, который назы-
вается базовым. Поскольку стандартным временным интервалом в
финансовых операциях является один год, наиболее распространен
вариант, когда этот год берется в качестве базового интервала и про-
центная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумева-
ющей однократное начисление процентов по истечении года после
получения ссуды. В этом случае будем опускать индекс у процентной
ставки г} (как в дальнейшем и у d}, ц) и писать просто г (соответ-
ственно — d, V). Известны две основные схемы дискретного начисле-
ния, т. е. начисления процентов за фиксированные в договоре интер-
валы времени:

• схема простых процентов (simple interest);

• схема сложных процентов (compound interest).

Схема простых процентов предполагает неизменность величины,
с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый
капитал равен Р ; требуемая доходность — г (в десятичных дробях).
Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента.
если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину
Р' г. Таким образом, размер инвестированного капитала F через п
лет будет равен:

F= Р + Р-Г+...+ Р- r= Р+ Рпг=Р(1 + nff (2.1)
т. е. проценты начисляются на одну и туже величину капитала в тече-
ние всего срока.

Выражение (2.1) называется формулой наращения по простым про-
центам, или формулой наращения простыми процентами, а множи-
тель (1 + пг) — множителем наращения (accumulation factor), или ко-
эффициентом наращения простых процентов. Очевидно, множитель
наращения равен индексу роста капитала Р за п лет.

Легко видеть, что приращение капитала

1=Рпг (2.2)

пропорционально сроку ссуды и ставке процента, т. е., в частности,
можно сделать вывод, что доход инвестора растет линейно вместе с
п. Величина дохода I. как отмечалось в разделе 1.2.. называется про-
центом или, часто, процентным платежом.

На практике процентная ставка г может зависеть от величины
исходного капитала Р: с увеличением капитала Р увеличивается и
устанавливаемая ставка г. Например, если инвестируется капитал
до 20 тыс. руб., то устанавливается одна ставка процента, если более
20 тыс. руб. — то другая (превышающая предыдущую).

Если ставка г дана в процентах, то при использовании формулы
(2.1) ставку нужно выразить в десятичных дробях.

Пример

Найти величину процента и наращенную сумму за трехлетний
кредит в 20 тыс. долл., взятый под 9*£ годовых.

Здесь Р — 20 тыс. долл., я—3 года, г— 0,09. Тогда

1 = 20 • 3 • 0,09 = 5,4 тыс. долл.,

F = Р +1 = 20 + 5,4 = 25,4 тыс. долл.

Обратим внимание на размерности величин, определяющих про-
центный платеж (2.2). Так как Р измеряется в денежных единицах
(например, рублях), п — в единицах времени (годах), то размерностью
г является 1/(единица времени) (1/(год)). Иначе говоря, размерно-
сти лиг всегда должны быть согласованы. Таким образом, либо п
должно измеряться в годах, либо с изменением размерности п (на-
пример, не годы, а кварталы), ставка процента должна отражать рост
за новую единицу времени (за квартал).

С этих позиций наращение по простым процентам в случае, когда
продолжительность п финансовой операции не равна целому числу
лет (например, меньше года), определяется по формуле

(2-3)

где: t — продолжительность финансовой операции в днях;
Т — количество дней в году.

Тогда t’ = — — продолжительность финансовой операции, уже

измеряемая в годах (т. е. в данной ситуации п=,

Для наглядности формулу (2.3) можно записать следующим обра-

зом: F — Р(1 +I —) , т. е. дробь — представляет собой дневную став-

ку, а произведение г---ставку за t дней.

Следует отметить, что в наших обозначениях rt = t' • г является
процентной ставкой за время 7' и тогда (2,3), естественно, примет вид,
аналогичный (1.7):

/=Р(1 + гг).

Так как 1= Р-ге , то наращение по формуле (2.3), и, конечно, по
(2.1), происходит процентами «со 100».

Сравнивая (2.1) и (2.3). можно сделать вывод, что формула (2.1)
носит общий характер, поскольку в качестве п можно рассматри-
вать любое положительное число, необязательно целое (напомним,
что при этом условии формула (2.1) получена). Таким образом, (2.1)
представляет собой зависимость наращенной суммы от времени,
знание которой, в частности, позволяет на практике установить
правила досрочного расторжения договора. Эта зависимость яв-
ляется линейной, и ее график имеет вид прямой линии с танген-
сом угла наклона, численно равным процентам Р- г за один год
(см. рис. 2.1).

Рис. 2.1. Наращение по простым процентам

Обратим внимание, что предыдущие рассуждения не доказыва-
ют справедливость формулы (2.1) для любого положительного п,
они лишь показывают естественность применений этой формулы в
финансовых расчетах и при нецелых п. По сути, мы соглашаемся со
следующим утверждением: поскольку простые проценты начисляют-
ся на один и тот же исходный капитал, то логично считать величину
начисленных процентов пропорциональной числу периодов, за кото-
рые эти проценты начисляются (формула (2.2)) и в том случае, когда
число п не является целым. А тогда наращенная сумма определяется
по формуле (2.1).

Наращение по простым процен>ам применявши при обслужива-
нии сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и
вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме
долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты
применяют и при выдаче широко распространенных краткосрочных
ссуд, т.е. ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократным
начислением процентов.
Пример

Клиент поместил в банк вклад в сумме 3,5 тыс. руб. под 24% годо-
вых с ежемесячной выплатой процентов. Какую сумму клиент будет
получать каждый месяц?

_ 1

Так как в этих условиях Р — 3,5 тыс. руб., л— — года, г = 0,24, то

по формуле (2.2)

1 = 3,5 -- 0,24 = 0,07 тыс. руб.

Заметим, что если бы клиент не брал деньги, то к его вкладу каж-
дый месяц прибавлялась бы сумма в 0,07 тыс. руб., поскольку на-
числение происходит по простым процентам. Если обозначить че-
рез Fk наращенную сумму через к месяцев, то последовательность
Fx,F2,...,Fk,... образует арифметическую прогрессию с первым
членом ах — 3,5 и разностью d = 0,07 . Естественно, аналогичный
результат можно доказать и в общем случае.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято
день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависи-
мости от того, чему берется равной продолжительность года (кварта-
ла, месяца), получают два варианта процентов:

• точные проценты (exact interests), определяемые исходя из точно-
го числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от
28 до 31);

• обыкновенные проценты (ordinary interests), определяемые исхо-
дя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответ-
ственно 360,90, 30).

При определении продолжительности периода, на который выда-
на ссуда, также возможны два варианта:

• принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется
по дням);

• принимался в расчет приблизительное число дней ссуды (ис-
ходя из продолжительности месяца в 30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются
специальными таблицами (одна для обычного года, вторая для висо-
косного), в которых все дни в юду последовательно пронумерованы.
Продолжительность финансовой операции определяется вычитани-
ем номера первого дня из номера последнего дня (см. приложение 2).
В том случае, когда в расчетах используются точные проценты, бе-
рется и точная величина продолжительности финансовой операции;
при использовании обыкновенных процентов может применяться
как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом,
расчет может выполняться одним из трех способов:

• обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обо-
значаемые как 360/360 (применяется в Германии, Дании, Швеции);

• обыкновенные проценты с точным числом дней, обозначаемые
как 365/360 или ЛС7/360 (Бельгия, Франция);

• точные проценты с точным числом дней, обозначаемые как
365/365 или АСТ/АСТ (Великобритания, США)1.

В российской практике можно встретиться с различными схема-
ми начисления процентов. Например, обыкновенные проценты, как
правило, применяются в операциях с векселями. Точные проценты
используются в официальных методиках Центрального банка и Ми-
нистерства финансов Российской Федерации для расчета доходности
по государственным обязательствам. Эффект же от выбора того или
иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в
процессе финансовой операции. Но и так ясно, что использование
обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды дает больший
результат, чем применение точных процентов с точным числом дней
ссуды.

Пример

Ссуда в размере 60 тыс. руб. предоставлена 12 марта с погашением
15 августа того же года пол процентную ставку 32% годовых. Рассчи-
тайте различными возможными способами сумму к погашению, если
начисляются простые проценты и год високосный.

Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит
от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определя-
ется, например, по табл. 2 в приложении 2: 228—72 = 156 дн. Прибли-
женное число дней ссуды равно. 18 дней марта (30—12) + 120 дней (по
30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль) + 15 дней авгус-
та — 153дн.

Возможные варианты возврата долга (через F обозначена сумма
к погашению):

1 Выражение ACT представляет собой начало слова actual- АСТ/360— actual over360,
АСТ/АСТ — actual over аешаЦЧ, Уотшем, Поррвмоу, с 29)
1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней
ссуды:

F = 60(1 + — 0,32) = 68,184 тыс. руб
366

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число
дней:

F = 6U(1+• 0.32) = 68.320 тыс. руб.

360

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближен-
ное число дней:

153

F = 60(1 + — 0,32) = 68,16 тыс. руб.

Вообще, как правило, число точных и число приближенных
дней ссуды либо очень близки, либо совпадают, что позволяет в
банковских расчетах часто пользоваться приближенным числом
дней ссуды1.

Пример

Найти величину процентного платежа за 60-дневный кредит в 200 тыс.
руб., взятый под 6% годовых, если расчет ведется способом 360/360.

По формуле (2.2) получим

I = 200 —— - 0,06 = 2 тыс. руб.

360

Этот пример показывает, как надо применять так называемое
правило 6% — 60дней (6% — 60 day rule), которое значительно упро-
щает вычисление процента. Согласно этому правилу процентный
платеж (процент) может быть найден просто делением исходного ка-
питала Р на 100.

1 В некоторых случаях при подсчете приближенного числа дней в каждом не-
полном месяце берут фактическое число дней. С этих позиций для рассмотренно-
го примера приближенное число дней составит J54* 19 дней марта (31—12) + 120 дней
{по 30 дней четырех месяцев) + 15 дней августа.
«Правило 6% — 60дней» в определенном смысле можно применять
и при произвольных значениях run, если предварительно преоб-
разовать формулу (2.2), домножая и деля процентный платеж на соот-
ветствующие числа следующим образом:

60 360 г Р г

360 60 ' 0,06' 100 0,06

В мировой финансовой практике при расчете процента использу-

ют и другие величины. Пусть n=~j- в обозначениях формулы (2.3).

Тогда (2.2) можно записать в виде I — Р — г . Поделив в правой части

равенства числитель и знаменатель дроби на г, получим

t Pt Pt

т-(2-4>

где произведение Pt называется процентным числом, ъ В' = —

процентным ключом, постоянным делителем или дивизором. Очевидно,
что при одной и той же ставке г, но при различном принимаемом ко-
личестве дней в году ( Т = 360 или Т=365) будет разным и дивизор.
Т

Дивизор — численно равен такому количеству рублей (или лю-
г

бых других денежных единиц), с которого при ставке процента г
получается 1 руб. дохода в день. Это можно пояснить таким образом:
груб, получается с 1 руб. за Тдней, поэтому 1 руб. за то же время по-

лучается с капитала —, а чтобы иметь 1 руб. дохода каждый день не-

обходимо взять в Т раз больше капитала, т е. —.
Пример

Вычислить процент с капитала 2,4 тыс. долл., отданного в долг по
ставке 20е? годовых на сроке 5 марта по 21 сентября того же года, если
расчет ведется способом 365/365.

Обозначим Р— 2,4 тыс. долл. Число дней находим либо прямым
подсчетом, либо по табл ице: t — 200 дней. Так как Т = 365 иг— 0,2 ,
365

то D' — — 1825 и по формуле (2.4) получим

2,4-200

/—— — = 0,263 тыс. долл., т. е. / — 263 долл.

1825

Если ставка г выражается в процентах, то, очевидно, дивизор
100 Г

определяется выражением------. Именно в таком виде он, как пра-

вило, встречается в литературе по коммерческим вычислениям XIX и
начала XX в. и называется постоянным делителем.

При вычислении процентного платежа не всегда известна величи-
на капитала Р. Возможны такие ситуации (например, в залоговых
операциях), что известна либо только величина капитала, увеличен-
ного на процентный платеж (т. е. Р + / ), либо уменьшенного на про-
центный платеж (т. е. Р — 1).

Пусть известна величина F — Р + I, годовая ставка г (в виде де-
сятичной дроби) и длительность I (выраженная в годах, необязатель-
но натуральным числом) финансовой операции. Тогда rf=br будет
процентной ставкой за время I и для нахождения процентного плате-
жа 1 пользуемся формулой (1.10) вычисления процентов «на 100»

F/; Fir

1+^~ 1+/г

(2.5)

Если же известна величина К — Р — /, то для нахождения про-
центною платежа / пользуемся формулой (1.11) вычисления процен-
тов «во 100»

1 Кг, _ Kir

~ 1-г. “ l-lr

(2.6)
Пример

Найти величину дохода кредитора, если за предоставление в долг
на полгода некоторой суммы денег он получил от заемщика в сово-
купности 6,3 тыс. руб. При этом применялась простая процентная
ставка в 10% годовых.

Обозначая Л = 6,3 тыс. руб.; 7 = 0,5 года; г=0,1; по формуле
(2.5) получим:

6,3-0,5-0,1
------------= 03 тыс. руб.

1 + 0,5-0,1 ’

В случае когда срок финансовой операции выражен в днях и обо-
значен через I, формулы (2.5), (2.6) после простых алгебраических
преобразований соответственно примут вид

(2.7)

(2.8)

Пример

При обращении 6 июля в банк для получения кредита предприни-
матель получил 10 тыс. долл. Найти, какую сумму должен будет воз-
вратить предприниматель, если долг необходимо вернуть 14 сентября
того же года и начисленные простые проценты по ставке 12% годовых
были удержаны банком в момент предоставления кредита. Использу-
ется способ 365/360

Вначале воспользуемся формулой (2.8) для определения про-
центов, удержанных банком. Так как 70 дней, Т =360 дней,
360

г=0,12 D' =-----= 3000, А -10 тыс. долл., то

0,12

10-70

I —---------— 0,239 тыс. долл.

3000-70
Следовательно, предприниматель обязан возвратить долг в размере

Р= К+ I = 10 + 0,239 = 10,239 тыс. долл.

В банках при обслуживании текущих счетов для начисления про-
Pt

центов часто используют величины , которые (также, как и Pt)

называются процентными числами. В этом случае формула для вы-

числения дивизора остается прежней D" — —, но ставка г в ней вы-
г

ражена в процентах.

Обычно сумма на счете часто меняется в результате поступлений
или изъятий денежных сумм. Для того чтобы найти общую величину
начисленных процентов за некоторый срок, вначале определяют про-
центные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете
не менялась. Затем все процентные числа складываются и получен-
ное значение делится на D"

Пример

Сберегательный сче1 был открыт 15 февраля и на него была по-
ложена сумма в 5 тыс. руб. В следующем квартале 10 апреля на счет
поступили 3 тыс. руб Затем 20 мая со счета было снято 2 тыс. руб.,
1 сентября добавлена сумма в 1 тыс. руб. и 4 декабря счет был закрыт.
Все операции осуществлялись в течение невисокосного года. Опреде-
лить сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка
равнялась П'й годовых и применялся способ 365/360.

Вначале определяем суммы, которые последовательно фиксирова-
лись на счете: 5 тыс. руб., 8 (5 + 3) тыс. руб., 6 (8—2) тыс. руб., 7 (6 + 1)
тыс. руб. Затем находим сроки хранения этих сумм. Они соответ-
ственно равны: 54 дня, 40 дней, 104 дня, 94 дня. Сумма процентных
чисел составит:

5-54+8-40+6-104+7-94

100

-18,72.
„ 360

Дивизор в этом случае равен: О" =-= 30 - Следовательно, общая

18,72

величина начисленных процентов составит: = 0,624 тыс. руб..

а владелец счета получит 7 + 0,624 = 7,624 тыс. руб.

Заметим, что процентные числа можно было вычислять и с не-
сколько иным образом найденными сроками, а именно: для каждого
поступления срок хранения определяется исходя из даты поступле-
ния и даты закрытия счета. Если происходило изъятие денег, то со-
ответствующее процентное число берется со знаком минус. Тогда:
для 5 тыс. руб. — 292 дня. для 3 тыс. руб. — 238 дней, для 2 тыс. руб. —
198 дней и для 1 тыс. руб. — 94 дня. Находим (учитывая знаки) сумму
процентных чисел:

5-292 + 3-238-2-198 + 1-94

т. е. получили такую же величину, каки способом, изложенным ранее.

2.2. Переменные ставки и реинвестирование

Финансовое соглашение может предусматривать не только по-
стоянную процентную ставку на весь период, но и устанавливать из-
меняющуюся во времени (переменную) ставку. Например, наличие
инфляции вынуждает периодически варьировать процентной став-
кой. В частности, в соглашении может быть оговорена так называемая
плавающая процентная ставка (floating interest rate), когда фиксируется
не сама ставка, а изменяющаяся во времени ее база и маржа (margin) —
величина надбавки к базе. Величина маржи в течение срока сделки
бывает как постоянной, так и переменной, что определяется услови-
ями контракта.

Пусть на период пк установлена процентная ставка ik (ис-
пользуем обозначение ik , а не rk, так как последнее означает став-
ку за время к. что может привести к путанице). Тогда прираше-
ние капитала за этот период равно величине Pnkik. Если таких
периодов т (т. е. к — 1, 2,...,zn), то наращенная сумма за время
п — fij + л, +.. -+ят = У, пк (считая, что все периоды и, следова-
тельно, процентные ставки измеряются в одних и тех же соответству-
ющих единицах) определяется по формуле

F - Р + Рч,1, + Р/у2 + - + Ря„С =

(2.9)

= P(l + n,i, + п2/2 +... + n.i„) = РП + Х"Л )
*=|

-. Рл 1

Обозначим / = -^-------=—У, тогда (2.9) примет вид

л“

F — /’(It /77 ) , т. е. на весь период длительностью п можно устано-
вить процентную ставку доставляющую такой же результат, как и
данные переменные ставки, а для определения наращенной суммы
можно воспользоваться формулой (2.1). Записывая i в виде

замечаем, что ставка 1 равна так называемой взвешенной сумме про-
центных ставок, где весом для каждой ставки ik служит доля дли-
тельности периода пк, которую он составляет от обшей суммы дли-
тельностей периодов У , причем очевидно, что сумма всех весов
Г I

равна единице

Если j] — i2 =... = im — /, т. е. на весь период соглашения установ-
лена постоянная ставка, то

Z"<'< =(Х/,*)’'=л'.
и мы, естественно, из (2.9) получаем первоначальную формулу (2.1)
наращения по простым процентам.

Кстати, если = л, =... = пт = ri, т. е. все периоды равны между

собой,то

ЕчЛ =л'(£л)=л’т.

А=1 Х=1

и опять получаем (2.1), заменяя все процентные ставки их суммой 1

Конечно, формулой (2.9) можно пользоваться и в тех случаях, когда
периоды выражены в различных единицах времени. Главное, чтобы
размерность каждого периода пк была согласована с размерностью
процентной ставки ik. Таким образом, если пк выражен в годах, то
ik — годовая процентная ставка, если пк — в днях, то ik - процент-
ная ставка за один день и т. п.

Пример

Вкладчик поместил в банк 15 тыс. руб. на следующих условиях: в
первый год процентная ставка равна 2()г?' годовых, каждые последу-
ющие полгода ставка повышается на 3%. Наити наращенную сумму
за два года, если проценты начисляются только на первоначальную
сумму вклада.

Поскольку jP= 15, -Ц — 1, Л, — = — (периоды начисления из-

меряем в годах), 4 = 0,2, д = 0,23, — 0,26, то по формуле (2.9)

1 1

F = 15(1 + 1 0,2 + - 0,23 + - 0,26) = 21,675 тыс. руб.

Такую же наращенную сумму можно получить, если простые про-
центы начисляются за два года (п — 2 ) по ставке

;= 2. (1 0,2 + 2 0,23 + 2 0,26) = 0,2225. или /= 22,25% го.

довых.

Рассматривая 1 как взвешенную сумму ставок, делаем вывод, что
для ставки 20^ весом является дробь 1 /2 (так как год составляет поло-
вину от двух лет), для каждой последующей ставки весом будет дробь
1 /4 (так как половина года составляет четвертую часть от двух лет).
Пусть опять на период пк установлена процентная ставка 1к , но
при изменении (или без изменения) ставки наращенная к этому мо-
менту сумма вкладывается вновь под новый простой процент. Такая
финансовая операция называется реинвестированием (reinvestment)
или капитализацией полученных на каждом этапе наращения средств.

Предположим для определенности, что период предшествует
периоду п2. который предшествует периоду /?, и т. д., что не прин-
ципиально, так как в противном случае можно надлежащим образом
периоды переобозначить. Тогда через время пх наращенная сумма
станет равной величине F} — Р(1 + , после чего будет пере-

оформлена на следующий срок (длительностью п2 ). Через время п2
наращенная сумма станет равной величине

Л =Л(1+'14) = /’(1+ 'ИХ' + 'И)

и т. д. Рассуждая аналогичным образом, получим формулу для нахож-
дения наращен ной суммы за время п — nt при реинвестировании:

/ I

Т = ;) = Л1+«,;,)(1+па)----(1+«Д.,) =

= РП(1+иЛ)- <2“”

*=|

Очевидно, более строго формулу (2.10) можно доказать, исполь-
зуя метод математической индукции. Заметим также, что множитель
| | (1 + nkik) представляет собой по существу индекс роста суммы
*=i

Р за время п. Естественно, этот множитель можно определить по
формуле (1.6), т. е. как произведение индексов роста за соответствую-
щие периоды.

Если периоды начисления процентов равны другдругу и ставка про-
цента не изменяется стечением времени (т. е. ц — п2 =- - - = лт — п' и
4 — i2 =... = im = j), то из (2.10) следует

F = P(l+n'tYn. (2.11)
Пример

По данным предыдущего примера найти наращенную сумму за
два года, если одновременно с изменением ставки происходит и капи-
тализация процентного дохода.

В тех же обозначениях из формулы (2.10) следует:

I 1

15(1 + 0,2)(1 + --0,23)(1 + --0,26) = 22,6791 тыс. руб.

Получили большую наращенную сумму, чем в предыдущем при-
мере. так как после каждого периода начисления осуществлялась опе-
рация реинвестирования.

2.3. Потребительский кредит

Потребительским (или личным) кредитом (consumer loan) называется
кредит, который предоставляет банк, финансовая компания или роз-
ничный торговец отдельному индивидууму на потребительские пели
(например, для покупки предметов личного потребления). Наиболее
часто встречающимися формами потребительского кредита являю icm
использование кредитов по открытому счету в универсальных магази-
нах и продажа в рассрочку таких товаров, которые население не может
приобрести только на зарплату (автомобили, высокого качества быто-
вая техника и т. д.), что, естественно, стимулирует спрос на эти товары.

Существуют различные способы погашения потребительского
кредита. Рассмотрим некоторые из них.

Один из способов предусматривает начисление процентов на всю
сумму кредита и присоединение их к основному долгу в момент от-
крытия кредита, причем погашение долга с процентами (наращен-
ной суммы) происходит равными величинами в течение всего срока
кредита. Таким образом, если размер кредита равен Р, процентная
ставка — г и срок кредита — п (в годах, необязательно целых), то на-
ращенная сумма долга ( F) определяется по формуле (2.1) наращения
по простым процентам

F = P(l + nr)

и величина ( q) разового погасительного платежа будет зависеть от
числа ( т) погасительных платежей в году. В этих условиях
F

пт

(2.12)

При таком способе погашения кредита фактическая процентная
ставка оказывается больше ставки г, предусмотренной при оформ-
лении кредита, поскольку величина долга с течением времени (с каж-
дым платежом) уменьшается, а проценты уже начислены на первона-
чальную величину кредита Р

Пример

Товар ценой в 3 тыс. евро продается в кредит на 2 года под 12% годо-
вых с ежеквартальными равными погасительными платежами, при-
чем начисляются простые проценты. Определить долг с процентами,
проценты и величину разового погасительного платежа.

Так как Р — 3. п =2. г = 0,12. по формуле нарашения по про-
стым процентам

F - 3 (1 + 2 0,12) - 3,72 тыс. евро,

/ = 3 2 • 0,12 = 0,72 тыс. евро.

и так как т= 4 (число кварталов в году), то

При погашении потребительского кредита равными платежами
может возникнуть задача определения доли каждой выплаты, идущей
на погашение основного долга, и доли этой же выплаты, идущей на
погашение начисленных процентов. Для составления такого подроб-
ного плана выплат можно воспользоваться «правилом 78», заключаю-
щимся в следующем.

Находим сумму порядковых номеров всех платежей. Например, пусть
таких платежей будет двенадцать, тогда 1 + 2+3+... + 12=78 (что, кстати,
и послужило названием правила, поскольку в году 12 месяцев и платежи
часто осуществляются ежемесячно). Согласно «правилу 78» часть перво-

12 я -

го погасительного платежа пойдет на выплату — от оощеи начислен-

78
z 12 ч

нои величины процентов (т. е. — /), а оставшаяся часть погасительного
78

платежа ( q— — /) пойдет в счет выплаты основного долга. Часть второ-
78

го погасительного платежа пойдет на вы плату — от общей начисленной

величины процентов (т. е. — I), а оставшаяся часть платежа ( q--/)

7Я 78

пойдет в счет выплаты основного долга. Для третьего платежа надо взять

_ Ю
дробь---ит.д.

Если в общем случае будет к запланированных платежей, то, обо-
значая

1 + £

Л = 1 + 2+...+1 =----к.

при использовании «правила 78» необходимо последовательно брать
к к-1 к-2 1

дроби — ------- ----- и т. д. до — включительно. Очевидно, что

К’ К ’ К К

сумма всех этих дробей равна единице, т. е. , — = 1.

।

Схема с убывающей величиной процентного платежа играет двоя-
кую роль. Во-первых, она соответствует логике ссудо-заемных опера-
ций: поскольку с течением времени происходит погашение основной
суммы долга, поэтому и сумма процентов, начисленных на уменьша-
емый остаток непогашенного долга, должна снижаться. Во-вторых,
она в определенной степени страхует кредитора на случай досрочного
погашения долга, если возможность этого предусмотрена кредитным
договором. При досрочном погашении заемщик понесет определенный
убыток, поскольку большую часть процентов он уже заплатит в начале
срока кредитования. Предельным случаем такой политики является
ситуация, когда заемщик может получить кредит за минусом предус-
мотренных договором процентов. Очевидно, что в кредитном договоре
могут предусматриваться любые схемы весовых коэффициентов в рас-
пределении обшей суммы процентов в течение периода кредитования.
Формально говоря, при составлении плана погашения кредита можно
использовать вообще любую последовательность дробей (в частности,
возрастающую), лишь бы сумма этих дробей была равна единице.

Составим план погашения кредита в условиях предыдущего приме-

1 + 8
ра. Так как запланировано к— 2-4 = 8 платежей,то К= 8 = 36

Поэтому из первого погасительного платежа в счет уплаты процентов
8 ,

пойдет — от общей суммы начисленных процентов, что составляет
36

0,72 • — = 0.16 тыс. евро. Следовательно, в первом квартале часть ос-
новного долга погашается в размере 0,465 — 0,16 = 0,305 тыс. евро. На
начало следующего квартала получим остаток основного долга, рав-
ный 3 — 0,305 = 2,695 тыс. евро.

Во втором квартале в счет уплаты процентов пойдет — от общей
36

7
суммыначисленныхпроцентов,чтосоставляет()72-----=0,14 тыс.ев-

ро, а часть основного долга погашается в размере 0,465 — 0,14 = 0,325
тыс. евро. На начало третьего квартала получим остаток основного
долга, равный 2.695 — 0,325 = 2,37 тыс. евро, и т. д. Для наглядности
результаты всех расчетов представим в виде табл. 2.1.

Последняя строка табл. 2.1 служит для контроля произведенных
расчетов: сумма всех чисел, стоящих в строчках третьего столбца
должна равняться общей величине начисленных процентов, а ана-
логичная сумма для пятого столбца — основному долгу. Кроме того,
для каждого квартала сумма соответствующих строчек четвертого и
пятого столбцов постоянна и равна величине погасительного платежа
0,465 тыс. евро.

С помощью «правила 78» заемщик также може! приблизительно уз-
нать, какую сумму в счет оплаты процентов ему не придется отдавать в
случае возврата кредита раньше срока (если, конечно, такая ситуация
предусмотрена в договоре). Пусть в нашем примере после трех погаси-
тельных платежей было принят решение возвратить кредит. Начиная
с единицы нумеруем оставшиеся пять планируемых платежей и нахо-
План погашения кредита

Таблица 2.1

(тыс. евро)

Номер квартала Остаток основного долга на начало квартала Дроби Погашение общей величины начисленных процентов Погашение основного долга
1 3 8/36 0.16 0,305
2 2.695 7/36 0.14 0,325
3 2.37 6/36 0.12 0,345
4 2,025 5/36 0,1 0,365
5 1,66 4/36 0,08 0,385
6 1,275 3/36 0.06 0,405
7 0.87 2/36 0.04 0.425
8 0,445 1/36 0,02 0,445
I 0,72 3

дим сумму их новых порядковых номеров: 1+ 2+ 3+ 4+ 5 = 15. Тогда —
36

обшей величины начисленных процентов не придется выплачивать,
15

что в данном примере составит 0,72---- 0,3 тыс. евро.

Если в общем случае было запланировано к платежей, а после
т-то платежа было принято решение возвратить кредит, то не при-
М

дется выплачивать сумму, равную —— I, где М — 1 + 2+...+(к — гп) .

При другом способе погашения кредита учитывается, что долг не
является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается и
процентные платежи за пользование потребительским кредитом рас-
счи тыватотся каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же долг вы-
плачивается равными суммами.
Пу сть погасительные платежи вносятся каждые / месяцев, т. е.

каждый год — раз и всего должно быть платежей за время кредита

, 12

в количестве к ——п. Тогда за первые / месяцев начисляются про-

центы в размере

Ph Рпг

За следующие I месяцев начисляются проценты на остаток долга
(т. е. учитывается уже выплаченная часть):

к 12 12 к к

Аналогичным образом для последующих / месяцев получим:

к 12 12 к

к-2

и т- д. Очевидно, справедливо соотношение

k-s + \

1 к

s = 1,2,..., к

Отсюда, в частности, следует, что последний раз проценты начис-
ляются в размере:

Общая величина процентных выплат за пользование предостав-
ленным кредитом равна сумме этих процентных платежей:

/=₽-

к-2 I

----+...+-)

к к

Замечая, что в скобках получена арифметическая прогрессия с

первым членом, равным 1 и разностью ( — —). окончательно получаем

2 2 2к

(2.13)

здесь —(к +1) называется процентным коэффициентом, он отража-
2к

ет соотношение величины процентного платежа и кредита.

Таким образом, в 5-м периоде величина погасительного платежа

составит:

Ь =—+ /,,3 = 1,2,...,*
к

(2.14)

Пример

В условиях предыдущего примера составить план погашения кре-
дита вторым способом.

Как и раньше ежеквартальные погасительные платежи представ-
ляют собой сумму выплаты части основного долга и процентного пла-
тежа для данного квартала.

Каждый квартал выплачивается часть основного долга, равная

Р 3
/? = — = — = 0,375 тыс. евро или 375 евро.

Процентные платежи для каждого квартала найдем по формулам,
полученным с учетом постепенного уменьшения величины долга:

Р1г 3-3-0,12

/, =-----=----------------= 0,09 тыс. евро или 90 евро;

Р1г 1 7 7

= —-(1 = 90 • -= 78,75 евро;

2 12 v 87 1 8 8 ’ Р

Р1г 2 6

L =-----(1 - -) = 90 • - = 67,5 евро.

i 12 87 8
и т.д. Фактически при вычислении процентных платежей мы ве-
личину первого процентного платежа умножаем последователь-

7 6 5 т _ 5

но надроби —------и I. д. Таким образом. /. =90- —= 5625 евро,

8’8’8 а 8

/5 = 90 — = 45 евро, Ц = 90 —= 33.75 евро, У, =90- —= 22.5 евро.

Is = 90= 11,25 евро. Следовательно, общая величина процентного
8

платежа:

1 = 90 + 78,75 + 67,5 + 56,25 + 45 + 33,75 + 22,5 +11,25 = 405 евро.

что можно получить и пользуясь формулой (2.13).

Для наглядности представим план погашения кредита в таблич-
ном виде.

Заметим, что как и в предыдущей таблице, последняя строка слу-
жит для контроля правильности расчетов.

Таблица 2.2

План погашения кредита
(евро)

Номер квартала Остаток основного долга на начало квартала Процентный платеж Ежеквар- тальная выплата основного долга Величина ежекварталь- ного пога- сительного платежа
1 3000 90 375 465
2 2625 78,75 375 453,75
3 2250 67,5 375 442,5
4 1875 56,25 375 431,25
5 1500 45 375 420
6 1125 53.75 375 408,75
7 750 22,5 375 397,5
8 575 11.25 375 386,25
Г 405 3000 3405
Видно, что при данной схеме погасительных платежей общая ве-
личина выплат меньше на 315 евро по сравнению со способом погаше-
ния кредита, изложенным ранее.

Очевидно, что при изложенном способе погашения кредита мож-
но считать, что первоначальная величина долга остается постоян-
ной, но каждый квартал меняется процентная ставка. Так, если в
первый квартал она равнялась 12% годовых, то во втором квартале —
7 6

12%-— = 10,5% , втретьем — 12%-— =9% ит.д
8 8

У рассмотренного способа пот гниения кредита положительным
свойством является простота расчетов. Однако срочные уплаты при
этом методе в начале срока погашения выше, чем в конце срока, что
часто является нежелательным для должника.

В соответствии с условиями займа может быть предусмотрен не-
который льготный период, в течение которого основной долг не вы-
плачивается, а проценты либо выплачиваются, либо присоединяются
к основной сумме долга.

Вообще-то долг необязательно выплачивать равными суммами,
а согласно заключенному договору между кредитором и должником
проценты же начисляются на непогашенный остаток долга. План по-
гашения кредита и в этом случае составляется способом, который по-
добен методу, изложенному выше.

Пример

Товар, цена которого 7 тыс. евро, продается в кредит под 16% го-
довых, причем погасительные платежи основной суммы долга осу-
ществляются раз в пол года и соответственно равны: 2500,2000, 1000,
800 и 700 евро. Составить план погашения кредита, если простые
проценты га пользование кредитом начисляются на оставшуюся
часть долга.

За первые пол года величина начисленных процентов составит*

=7000-0,5-0,16 = 560 евро.

После выплаты 2500 евро останется долг в размере 7000—2500 —
— 4500 евро, поэтому за следующие пол года будут начислены про-

центы:
/, -4500-0,5-0,16 — 360 евро.

и т д. В итоге получим следующий план погашения кредита (табл. 2.3).

Таблица 2.3

План погашения кредита

(евро)

Номер полугодия Остаток основного долга на начало полугодия Процент- платеж Полугодовая выплата основного долга Величина полугодового погаситель- ллатежа
1 7000 560 2500 5060
2 4500 360 2000 2360
3 2500 200 1000 1200
4 1500 120 800 920
5 700 56 700 756
Г 1296 7000 8296

Заметим, что нетрудно получить в явном виде формулы, когда пе-
ременные выплаты при погашении основного долга подчинены како-
му либо закону, например образуют арифметическую или геометри-
ческую прогрессию

2.4. Ломбардный кредит

Ломбардный кредит является одной из форм залоговых операций
и представляет собой краткосрочный кредит под залог ценных бумаг,
товаров и другого имущества. Как правило, срок ломбардного креди-
та не превышает трех месяцев.

По залоговому договору заложенное имущество с согласия креди-
тора и заемщика передается кредитору, хотя заемщик все же остается
собственником заложенного имущества. Однако, если кредит по тем
или иным причинам не будет погашен, право собственности перехо-
дит к кредитору, который постарается реализовать имущество, чтобы
по крайней мере вернуть сумму долга вместе с начисленными процен-
тами

На практике величина выданного ломбардного кредита, как пра-
вило, не превышает 75—80% номинальной стоимости залога. Часто в
качестве залога фигурируют ценные бумаги, обычно депонируемые в
банке и обладающие достаточно высокой степенью ликвидности. При
определении величины кредита исходят из текущей курсовой стои-
мости ценных бумаг

Существуют различные варианты выплаты долга, оговариваемые
контрактом. Например, в случае невыплаты заемщиком вовремя
всего долга может быть предусмотрена возможность частичного по-
гашения долга и продления срока кредита. Если превышен срок пога-
шения кредита, то устанавливается так называемая штрафная (более
высокая) процентная ставка, по которой заемщик и рассчитывается с
кредитором за весь период просрочки.

При расчетах используют способ 365/360. т.е. учитывают точное
количество дней, составляющих срок ломбардного кредита, и пола-
гают, что в году 360 дней.

Пример

Клиент обратился в банк 12 апреля с целью получения кредита
под залог трехсот пенных бумаг, причем курсовая стоимость каждой
ценной бумаги на этот день составляет 100 руб. Банк предоставляет
кредит под 10% годовых на 3 месяца в размере 80% курсовой стоимо-
сти ценных бумаг. В контракте с клиентом оговаривается, что затра-
ты банка на обслуживание долга составляют 1% номинальной суммы
кредита и удерживаются вместе с процентным платежом в момент
предос 1авления кредита. В случае просрочки выплат долt а клиент
рассчитывается с банком за каждый лишний день по ставке 12% годо-
вых. Найти величину кредита, который получит клиент.

Определяем курсовую стоимость всех ценных бумаг:

100-300 = 30000 руб.

Теперь можно найти номинальную величину кредита:
30000-0,8 = 24000 руб.

Так как с 12.04 по 12.07 — 91 день, то по формуле (2.2) вычисляем
процентный платеж за кредит
24000-0,1-91

-607 руб..

который, естественно, можно было найти и пользуясь (2.4), опреде-
360

лив вначале значение дивизора D' = — 3600. Затраты банка на

обслуживай недолга составят:

24000-0,01 = 240 руб.

Банк предварительно взыскивает процентный платеж и оплату за
обслуживание долга, поэтому клиент получит кредит в размере:

24 000 - 607 - 240 = 23153 руб.

Предположим, клиент не сумел возвратить долг вовремя и собира-
ется рассчитаться с банком 1 августа. Тогда процентный платеж за 20
просроченных дней по штрафной ставке составит:

Таким образом, без учета затрат на обслуживание долга, которые
были удержаны в начале операции, клиент должен будет отдать банку*

24 000 +160 = 24160 руб.

Видно, что клиент получает «на руки» меньшую сумму, чем номи-
нальная величина кредита. Естественно, возникает и задача такого
типа: при заданной сумме кредита определить, какой величины дол-
жен быть залог.

Пример

Предпринимателю необходима сумма в 40 тыс. руб. на 3 месяца.
Банк предоставит ему кредит в размере 75% стоимости залога под 12%
годовых и за обслуживание долга взыщет 400 руб. Определить вели-
чину залога, если кредит взят 15 мая.

Номинальная величина кредита Р за вычетом процентного пла-
тежа и платы за обслуживание долга равна 40 тыс. руб. Следовательно,
Р равняется сумме 40 400 руб. (40 000 руб. + 400 руб.) и процентного
платежа. Кредит выдается на 92 дня.
Величину процентного платежа можно получить, вычисляя по
формуле (2.6.) проценты «во 100». Так как в данном случае срок фи-
нансовом операции выражен в днях, то удобнее воспользоваться (2.8).

360

Последовательно определяем дивизор D' = = 3000 и процент-

ный платеж

40400-92

3000 - 92

= 1278 руб.

Следовательно, Р = 40 400 + 1278 = 41 678 руб. Поэтому стоимость
материальных ценностей, отдаваемых в залог должна быть равна ве-
личине:

—^— = 55571 руб.

0,75

Заметим, что данный пример (как, впрочем, и другие) можно ре-
шить с помощью линейного алгебраического уравнения Обозначим
через х стоимость залога,тогда 0,75 х — номинальная величина кре-
дита. Пользуясь условием примера, составляем уравнение:

0,75 а-

0,75х-92-0,12

360

-400-40 000

решая которое находим х = 55 571 руб.

2.5. Дисконтирование по простым процентам

При заключении финансовых соглашений часто приходится ре-
шать задачу, обратную к задаче нахождения наращенной суммы. На-
пример, по заданной сумме F, которую предполагают получить (или
уплатить) через время t, требуется определить величину капитала Р,
который необходимо инвестировать в данный момент, чтобы через
время t при постоянной процентной ставке получить сумму F. Ана-
логичная задача (нахождение Р по F) возникает и в том случае, ког-
да проценты удерживаются непосредственно при выдаче ссуды (Р).

Как уже упоминалось, такое движение денежных средств от бу-
дущею к настоящему носит название дисконтирования. Говорят,
что капитал F дисконтируется (или учитывается); величина удер-
жанных процентов часто называется дисконтом (discount) Заметим,
кстати, что также иногда называют и учетную ставку. Капитал Р,
найденный с помощью процесса дисконтирования суммы F, в зави-
симости от контекста называется приведенной (современной, текущей,
капитализированной) стоимостью. Понятие приведеной стоимости
является одним из важнейших в количественном анализе финансо-
вых операций.

Рассмотрим вначале математическое дисконтирование, являюще-
еся процессом, обратным к наращению первоначального капитала.
При математическом дисконтировании решается задача нахождения
такой величины капитала Р, которая через п лет при наращении по
простым процентам по ставке г будет равна F- Решая (2.1) относи-
тельно Р, получим:

Р=-------. (2.15)

1 + яг

Таким образом, величина Р является приведенной стоимостью

величины F. Дисконт-фактор (дисконтный множитель) к =-------

1+ пг

показывает долю капитала Р в F Дисконтный множитель также
называется коэффициентом дисконтирования и представляет со-
бой величину, обратную множителю наращения простых процентов
в (2.1). В качестве ставки дисконтирования используется процентная
ставка г. Разность Dr между Fn Р называется дисконтом'. В

В дореволюционной российской практике величину De называ-
ли также учетом или математическим учетом (см., например, работы
Н. С. Лунского).

Формула (2.16) представляет собой вычисление процентов «на 100»
величины F, следовательно, такими процентами по формуле (2.15)
учитывается капитал Т7. Дисконт Dr не пропорционален ни времени
п, ни ставке процента г.

1 г

При F— 1, п= 1 из формулы (2.16) следует, что ---= 1 — -----
Таким образом, если в качестве денежной единицы рассматривать,
например, рубль, то дисконтный множитель представляет собой раз-
ность между рублем и его процентами за один год «на 100».

Пример

Из какого капитала можно получить 3,4 млн руб. через три года на-
ращением по простым процентам при ставке 12^?

Пользуясь формулой (2.15), где F — 3,4; п— 3; г=0,12; получим

3,4

Р = ПЗД12=2-5 "ЛНРУ6-

Очевидно, что Z?r — F — Р — 3,4 — 2,5 = 0,9 млн руб.

Пример

Через полгода после заключения финансового соглашения о полу-
чении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. долл. Какова пер-
воначальная величина кредита, если он выдан под 145о годовых и на-
числяются обыкновенные проценты с приближенным числом дней?

Используя (2.15), получим В

В этом случае Dt — 2,14 — 2 — 0,14 тыс. долл.

В приведенных двух примерах величина дисконта равна вели-
чине начисленных процентов, т. е. дисконт определяется через про-
центную ставку. Однако дисконт, понимаемый как скидка с конеч-
ной суммы долга, может быть установлен сразу в виде некоторой
суммы (вообще говоря, не связанной с процентной ставкой) на все
время сделки.

Банковское дисконтирование, или банковский учет (bank discounting/,
применяется при операции по так называемому учету векселей бан-
ком или другим финансовым учреждением.

Согласно международному вексельному законодательству вексель
(bill) является письменным безусловным обязательством или ука-
занием векселедателя (заемщика) выплатить в установленный срок
определенную сумму предъявителю векселя или лицу, указанному
в векселе. Существуют различные виды векселей: простые, перево-
дные, коммерческие, казначейские и т. д.

Векселя можно оформлять по-разному, однако чаще всего банку при-
ходится иметь дело с суммой к погашению. Рассмотрим наиболее рас-
пространенную ситуацию, когда владелец векселя на сумму F (сумма
к погашению) предлагает банку раньше срока оплаты векселя купить
его. Такая покупка векселя у владельца до наступления срока оплаты
по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по век-
селю в конце срока, называется дисконтированием векселя. Сама опе-
рация дисконтирования векселя часто называется учетом векселя (bill
discounting). Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном
учете векселя, называется дисконтированной величиной вексегя.

Таким образом, векселедержателю досрочно выплачивается обозна-
ченная в векселе сумма за вычетом определенных процентов, удержи-
ваемых банком в свою пользу и нередко называемых дисконтом. Дис-
конт (обозначаемый Dd} в этом случае представляет собой проценты,
начисленные за время (п) от дня дисконтирования до дня погашения
векселя на сумму (У7). подлежащую уплате в конце срока. Если объ-
явленная банком ставкадисконтирования равна d (учетная ставка), то

Dd = Fnd (2.17)

и владелец векселя получит

P=F-Fnd- F(\ - nd}, (2.18)

где множитель 1 — nd называется дисконтным множителем или ко-
эффициентом дисконтирования.

Из (2.17) видно, что величина дисконта £)d пропорциональна и
времени, и ставке, а дисконтирование по формуле (2.18), часто назы-
ваемое банковским (коммерческим) дисконтированием, осуществляет-
ся процентами «со 100».

Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем боль-
шую сумму удерживает банк в свою пользу. Учет векселя чаше всего
осуществляется способом 365/360.

Пример

Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс.
руб. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г.
Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Опре-
делить сумму, которую векселедержатель получит от банка.

Величина этой суммы рассчитывается по формуле (2.18) и при
15

F— 50 тыс. руб., п—----года, d — 0,3 составит:

360

15
7^ 50 (1-------0,3) - 49,375 тыс. руб.

360

Разность между F (номинальной величиной векселя) и Р (дис-
контированной величиной векселя), равная Da, представляет собой
комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставлен-
ную услугу; в данном примере Da = 625 руб.

По смыслу правая часть равенства (2.18) должна быть всегда не-
отрицательной. Следовательно, должно выполняться неравенство
1

1 — nd> 0, что равносильно (так как d> 0 ) неравенству п< —. Ta-
О’

ким образом, если при достаточно большой учетной ставке d попы-
таться учесть вексель задолго до срока платежа, то можно вообще ни-

1 1

чего не получить (при /7= —). При п> — сумма Р, которую должен
d d

получить при учете векселя его владелец, становится отрицательной,
что лишено смысла. Например, если d= 0,5 (учетная ставка в 50%),
то должно быть п< 2, т. е. учитывать вексель можно не более чем за
два года до срока платежа: есл и d— 2 (ставка в 200%), то должно быть
п < 0,5 (учет не более чем за полгода до срока).

Заметим, что при математическом дисконтировании таких ситуа-
ций не возникает': при любой ставке г и любом сроке п всегда Р > 0.
Так что учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем
ставка г.

Сравним между собой математическое и банковское дисконтиро-
вание в случае, когда процентная и учетная ставки одинаковы по ве-
личине (г = d— i). Обозначим

1 В дореволюционной литературе математический учет векселя иногда называли
правильным, а коммерческий учет — неправильным [1, Светлов, 1912, с 56, I. Брун,
/' =— = —— Р„ = F(l-nd) = F(l-nf).

1 + nr 1 + ni

Можно убедиться, что при 0 < п< - справедливо неравенство
/

----->1— ni и, следовательно, Р > Р.. Геометрически последнее
1 + ni

неравенство можно показать таким образом:

Рис. 2.2. Математическое и банковское дисконтирование

Нетрудно видеть, что геометрически Рг представляет собой ветвь
гиперболы, a Pd - прямую линию, которая является касательной к
кривой Pt при п— О

Время содня дисконтирования до дня погашения векселя обычно
выражается в днях. Обозначая это количество дней через t и исполь-
зуя дивизор ZX , формулу (2.17) можно записать в виде

(2.19)
Если известна дисконтированная величина {К) векселя, то дис-
конт можно определить путем вычисления процентов «во 100» по
формуле (2.8).

Пример

Банк 12.04.97 учел два векселя со сроками погашения соответ-
ственно 20.05.97 и 11.06.97. При этом в результате применения учетной
ставки 18^0 годовых банком были удержаны комиссионные в размере
885 руб. Найти номинальную стоимость второго векселя, если пер-
вый вексель предъявлен на сумму 15 тыс. руб Используется способ
365/360.

Первый вексель учтен за 38 дней до срока погашения, второй — за

60 дней. Обозначая У7 =15 тыс. руб., л = года, г/=0,18, по
360

формуле (2.17) определим комиссионные, удержанные банком за со-
гласие учесть первый вексель:

£*," = 15—- 0,18 = 0,285 тыс.руб.,т.е £*," =285 руб

Таким образом, дисконт от учета второго векселя составит:
£*/’ =885-285 = 600 руб.

Из формулы (2.17) следует, что F ——т. Поэтому, обозначая
60 nd

Dd = 600 руб., л= года’ 0,18, получим:

F = ,,6(1(1— = 20 000 руб
^-•0.18
360

Следовательно, номинальная стоимость второго векселя равна
20 тыс. руб.

Возможна ситуация, когда вексель предусматривает начисление
простых процентов на сумму по обязательству по процентной ставке.
В этом случае при учете векселя исходят из наращенной ко сроку по-
гашения векселя суммы.
Пример

Вексель на сумму 10 тыс. руб. выдан на 150 дней, при этом предус-
матривалось начисление на указанную сумму простых процентов по
ставке 16 е? годовых способом АСТ/АСТ(в году 365 дней). За 80 дней до
срока погашения вексель был учтен банком по учетной ставке 12*% го-
довых способом ЛСГ/360. Определить дисконт, полученный банком.

Поскольку на 10 тыс. руб. будут начислены простые проценты за
150 дней, то вначале по формуле (2.3) находим сумму, которая должна
быть выплачена предъявителю векселя при его погашении:

F = 10(1 + — - 0.16) = 10.658 тыс. руб.

365

И следовательно, по формуле (2.17) дисконт, полученный банком в
качестве комиссионных, составит:

80
Dj = 10,658 ——— • 0,12 = 0,284 тыс. руб.

360

В принципе при учете денежных обязательств (и, в частности, век-
селей) банк может использовать процентную ставку и математическое
дисконтирование. В этом случае владелец денежного обязательства
получит сумму, определяемую формулой (2.15). а комиссионные бан-
ка находятся по формуле (2.16).

Пример

Вексель на сумму 15 тыс. руб. предъявлен в банк за 91) дней до сро-
ка его погашения. Банк учитывает вексель по простой процентной
ставке 22*% юдовых. Определить сумму, полученную предъявителем
векселя и величину дисконта банка, если при учете использовался
способ АСТ/АСТи год невисокосный.

„ 90

Полагая г = 15,/?=---,г = 0,22, по формулам (2.15) и (2.16) на-

365

ХОДИМ:

Р=-----~-------= 14,228 тыс. руб.;
Dr — 15 — 14,228 - 0,772 тыс, руб.

Если бы банк использовал простую учетную ставку d — 22% го-
довых и способ 365/360, то по формулам (2.17) и (2.18) можно получить:

Da = 15 • - 0,22 = 0,825 тыс. руб.;

360

Р= 15 - 0.825= 14.175 тыс. руб.

Естественно, математическое дисконтирование выгоднее для век-
селедержателя. а банковское дисконтирование — для банка'.

2.6. Наращение по учетной ставке

Можно рассмо греть задачу, обратную к банковскому дисконтиро-
ванию. Пусть от учета капитала F по учетной ставке d за время п
была получена сумма Р Требуется определить величину F. Из фор-
мулы (2.18) получим

F=------; (2.20)

1 - nd

Задачи такого типа возникают, например, при определении сум-
мы, которую надо написать в векселе, если задана текущая величина
долга.

Пример

За вексель, учтенный за полтора года до срока по дисконтной став-
ке в заплачено 2,2 млн руб. Определить номинальную величину
векселя.

Поскольку/? = 2Д; и =1,5; d— 0,08; то из (2.20) получим

1 A.B Прокофьев, поясняя использование именно коммерческого учета, в своей
работе 1877 г (позднее неоднократно переиздававшейся) писал, что «учет считается
всегда со 100, хотя правитьнсс было бы считать на 100». Однако при использовании
учетной ставки порядка годовых лучше использовать учет «со 100», поскольку «при
вычислениях на 100 за дни, самый ход вычислений очень усложняется, разницы же
значительной нс бывает» И хотя разница увеличивается с увеличением срока, но бан-
кам вте времена разрешалось «принимать к учету торговые всксели, которым до срока
осталось не более 9 месяцев» (См Прокофьев А В. Коммерческая арифметика и торго-
вые операции. 1877. С. 144—145).
2,2
1-1,5-0,08

— 2,5 млн руб.

Так как------ > Р, то (2.20) отражает наращение капитала на ос-

1 - па

нове простой учетной ставки d и приращение капитала вычисля-
ется по формуле

Р Pnd
------Р=------,

1- nd I- nd

(2.21)

что, конечно, представляет собой вычисление процентов «во 100» вели-
чины Р, т. е. по формуле (2.20) капитал наращивается процентами «во
100». Приращение 1а не пропорционально ни времени л. ни ставке d

Величина ------ — множитель наращения, который равен индек-

1 — nd

су роста капитала Р за время п и является обратной величиной ко-
эффициента дисконтирования.

При Р— 1, п — 1 из формулы (2.21) следyei, что

1 d
l-d~l+ \-d'

т. е. множитель наращения ------ представляет собой сумму, на при-

1 — 0

мер, рубля и его процентов за один год «во 100»

При наращении капитала на основе простой процентной ставки г
капитал Р ежегодно увеличиваема на одну и ту же величину Р- г.
При применении наращения на основе простой учетной ставки d
величина начисляемых процентов с каждым годом увеличивается
Пользуясь формулой (2.21), выпишем в явном виде приращение капи-
тала Р за каждый год.

За первый год (л — 1) капитал увеличится на величину

Pd
За два года (л= 2) капитал увеличится на величину
следовательно, его приращение за второй год составит:

2Pd
---- и,
1 2d

2Pd Pd Pd

]-2<ГТ^?Г (i-d)(l-2d)

3Pd

За три года капитал увеличится на величину -—— , и следова-

1 — 3d

тельно, его приращение за третий год составит:

3Pd 2Pd_________Pd

I l-2d~ (1-20(1—30 "Т Л'

Вообще за к -й год (1 < к< л) капитал увеличится на величину:

_ Pkd P(k-Y)d ______Pd_____

d ~kd~\-{k-\)d~ kd)

Из написанных равенств следует, что /?’ = Z?1-----

1 -2di

i d те /,и = . 1 2>‘7 2<Т<Л

" " 1-3J......... “ " 1-W ’

тл 1 — (А — 2)d . А и*-1)

И поскольку-----—---> 1,ТО Z, > Р

кд

Очевидно, что 1а — Jd} +

Пример

На капитал в 3 млн руб. в течение 5 лет осуществляется наращение
простыми процентами по учетной ставке 12$. Найти приращение пер-
воначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.

Общая наращенная сумма определяется по формуле (2.20):
3

5 0 12 ~ млнРУб' ПриРашение капитала за пять лет
составит величину: ld — 7,5 — 3 — 4,5 млн руб.
Приращения за каждый год равны:

3-0,12

1 ~ 1—0Т2 ~ ^409091 млн руб.;

3-0,12

(1—0,12)(1 —2-0,12)

= 0,538277 млн руб.;

3-0,12
(1-2-0,12X1 — 3-0,12)

= 0,740132 млн руб.;

3-0,12

--------------------—1,081731 млн руб.;

(1-3-0,12)(1-4-0,12)

3-0,12
(1 — 4 - 0,12)(1 — 5 - 0,12)

= 1,730769 млн руб.

Для проверки просуммируем полученные величины: а d
+ + /j4’ 4- =4,5 млн руб, т.е, как и должно быть, получим 1а.

Формулы (2.20) и (2.1) показывают, что простая учетная ставка d
дает более быстрый рост, чем такая же по величине простая процент-
ная ставка г.

Это легко обосновать математически. Пусть d = г— 1. Обозначим

/; = Р(1 + nf) = Р(1 + ni)

1 — nd 1 — ni

При п< - справедливо неравенство ------.>!+/?/. а тогда и

Графически взаимосвязь между Ft и выглядит таким образом

(см. рис. 2.3).
Рис. 2.3. Наращение простыми процентами
по учетной и процентной ставкам

Нетрудно заметить, что прямая Fr является касательной к ветви
гиперболы Fd при /7=0.

Если nd < 0,06, то ----- ~ 1 + nd с точностью до 0,01 Таким

1 -nd

образом, если г = d = i и ni< 0,06, то наращение за время п по про-
стой учетной ставке практически эквивалентно наращению по про-
стой процентной ставке. Например, если в течение трех месяцев на не-
который капитал осуществлялось наращение простыми процентами
по ставкам г = d = 6% годовых1, то

______1_____«1 0152 и 1 + 0,25-0,06=1,015.

1-0,25 0,06

Следовательно, значения соответствующих наращенных сумм бу-
дут незначительно отличаться друг от друга.

Анало1ичный вывод можно сделать и для дисконтирования, за-
писав

1 Заметим, что ставки 4—6Я годовых были достаточно распространенными в бан-

ковской практике России XIX в.
1

Формулу (2.20) можно применять только при п< —, так как при
d

п> — она приводит к абсурду. Так, при d— 0,1 и л — 10 (лет) поду-
ст

чим F = со, а при п > 10 получим F < 0 , что не имеет смысла.

Найдем соотношение между юдовыми ставками г и d, обеспе-
чивающими через период времени п получение одной и той же на-
ращенной величины F из начального капитала Р

Поскольку F — P(J + пг) и F =----.то из равенства Р(1 + »/) =

1 - nd

~------путем несложных алгебраических преобразований получим

1 - nd

d(l + nr) = г (2.22)

Пусть п— 1, тогда из (2.22) следует

</(14-

Таким образом, ставка г численно равна наращенной сумме, по-
лучаемой через год из капитала величиною d, инвестированного под
простые проценты г. В свою очередь d является приведенной стои-
мостью величины г, соотнесенной к началу года.

Записав d=-----, можно сказать, что d является процентами «на

1+ г

100» одной денежной единицы согласно ставке г. Аналогичным об-
d

разом, так как г—----, то г является процентами «во 100» одной

1 - d

денежной единицы согласно ставке d

Рассмотрим с этих позиций показатели, введенные в первом раз-
деле первой главы, смысл которых можно объяснить аналогичным
образом, как для г и d.
Умножая обе части равенства (2.22) на п и обозначая dt — nd,
rt — nr, получим

<4(1 + ^) = ^.

откуда следуют равенства (1.3). Иначе говоря, г, является наращен-
ной за время t величиной для dt,a d{ представляет собой современ-
ное значение величины г,, приведенной к начальному моменту

Ставки d и г, связанные между собой соотношением (2.22), назы-
ваются эквивалентными, так как они приводят к одинаковому финан-
совому результату (выполнение этого требования и позволило полу-
чить (2.22)). Согласно (2.22) соотношения между процентной ставкой
г и эквивалентной ей учетной ставкой d имеют вид:

d г

г=------- и d------------

1 — nd 1 + nr

Пример

Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной став-
ке 19% при наращении капитала за год.

0,19

Поскольку п= 1, г = 0,19,то d— । + ~0,15966или т/к 16%.

Таким образом, учет за год по учетной ставке 16% приносит такой же
доход, как наращение простыми процентами по ставке 19%.

Когда время измеряется в днях (t), то п— —, где Т — временная

база, равная количеству дней в году (360,365 или 366). Если для ставок
г и d используется одна и та же временная база Т, то (2.22) примет

вид d(l ч—г) = г, откуда

Td Тг

г=-----и d=----

Т- td Т+ tr

Если при начислении процентов по ставке г используется времен-
ная база Тг, а при учете по ставке d — временная база Td, то из ра-

венства
t Р

Р<У + —Г) =--------—

' 1------zf

следует d(T + tr) = T,r. Отсюда, в частности, при Те =365 и
Та — 360 получим

365</ 360г

г = —------ и d =--------

360- td 365+ йг

Пример

Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по учетной ставке
12%, используя временную базу в 360дней. Определить доходность та-
кой операции по процентной ставке при временной базе, равной 365.

365 0,12

Согласно последним формулам: г=-----------------«0,13082

360-210-0,12

или Г« 13%.

Учетная ставка может иногда меняться во времени. Пусть на период
пк установлена у четная ставка dk (заметим, что индекс к в обозначе-
нии ставки dk означает в данной ситуации просто номер ставки, а не
время, согласно ранее принятым нами соглашениям). Тогда дисконт
за этот период равен величине Fntdi Если таких периодов /п (т. е.
к = 1,2,..., ш), то дисконт Dd за время п— ц + п2 +. - .+лт = У, лк

(считая, что все периоды и, следовательно, ставки измеряются в одних
и тех же соответствующих единицах) определяется по формуле

Г}.' = Тл, Ц + Тл, +.. -1 / „ //, = Т(£ п, dk ) ,

*=1

и поэтому

P—F — F^F nkdk — /(I — У nkdk) >

k=t k=\

откуда получаем
F =----ш------ <2-23)

1-2X4

*=i

Если dt — dy = .. = dm = d, т. e. на весь период соглашения уста-
новлена постоянная ставка, то

Xn‘dl =(xn‘)'d=nd-

Л = 1 А-1

и мы, естественно, из (2.23) получаем формулу (2.20) Если же
nt — п2 =... = пт — п', т. е. все периоды равны между собой, то

Ё"<'1 - -<t_di>-п',г •

и опять получаем (2.20), заменяя все учетные ставки их суммой d'

Сделаем некоторые заключения о способах наращения капитала
и способах его учета, соотнеся их с методами вычисления процентов.

Возможны два способа наращения капитала: наращение процен-
тами «со 100» (формулы (2.1), (2.2)) и наращение процентами «во 100»
(формулы (2.20), (2.21)).

В первом случае происходит суммирование первоначального капи-
тала и процентного дохода (в соответствии с процентной ставкой г),
причем начисление процентов осуществляется в конце расчетного пе-
риода. Такой способ начисления процентов по процентной ставке г
называется Рекурсивным (последующим), а саму ставку г иногда на-
зывают ссудным процентом.

Во втором случае проценты начисляются в начале расчетного пе-
риода на сумму погашения долга в соответствии с учетной ставкой d.
Такой способ начисления процентов называется антисипативным
(предварительным). Вообще нарашение процентами «во 100» (анти-
си пати вное) используется, как правило, при учете долговых обяза-
тельств и при выдаче ссуд, а также в периоды высокой инфляции.

Если, например, внести в банк 4 тыс. руб. на полгода под 10%
годовых, то через пол года можно получить свои 4 тыс. руб вме-
сте с 0,2 тыс. руб., являющимися процентами «со 100», т. е. всего —
4,2 тыс. руб. (декурсивное начисление). Если же обратиться в банк за
ссудой в 4 тыс. руб. на полгода под 10%, то банк удержит проценты за
весь срок ссуды (0,2 тыс. руб.) сразу, т. е. будет выдано на самом деле
3,8 тыс. руб., а через полгода банк получит 4 тыс. руб. Следовательно,
банк получит 3,8 тыс. руб. с процентами на эту сумму «во 100» (анти-
си пативное начисление).

Итак, возможны два способа учета капитала: учет из процентов
«со 100» (формулы (2.17), (2.18)) и учет из процентов «на 100» (форму-
лы (2.15), (2.16)).

Таким образом, можно сказать, что г является ставкой наращения
процентами «со 100» и ставкой учета процентами «на 100», a d явля-
ется ставкой учета процентами «со 100» и ставкой наращения процен-
тами «во 100».

Как мы видели, проценты «со 100» находят в прямых задачах, а
проценты «на 100» и «во 100» — в обратных задачах.

2.7. Факторный анализ учета векселя

Для лучшего понимания сущности процесса учета векселей вы-
полним более глубокий анализ этого процесса — факторный анализ.
Дело в том. что доход банка при учете векселей складывается из двух
частей — проценты по векселю, причитающиеся за время, оставше-
еся до момента погашения векселя, и собственно комиссионные за
предоставленную услугу. Как уже упоминалось выше, теоретическая
дисконтная ставка меньше процентной. Однако на практике, уста-
навливая дисконтную ставку, банк, как правило, повышает ее в за-
висимости от условий, на которых выдан вексель, риска, связанного
с его погашением, комиссионных, которые банк считает целесообраз-
ным получить за оказанную услугу, и т. д. Поскольку величина про-
центов по векселю за период с момента учета до момента погашения
предопределена, банк может варьировать лишь размером комиссион-
ных путем изменения учетной ставки. Прежде чем рассмотреть про-
стейший пример, изложим логику факторного анализа дохода банка
в этом случае.

Введем следующие обозначения:

Р — стоимость векселя в момент его оформления;

Pt — теоретическая стоимость векселя в момент учета;
— предлагаемая банком сумма в обмен на вексель;

F — стоимость векселя к погашению;

△„ — общий доход банка от операции.

Из формул (2.1) и (2.18) видно, что функции F = F(n) и Р — Р(п)
являются линейными относительно п. т. е. процессы перехода
Р —> F и F —> Р. а также структура факторного разложения при
учете векселей могут быть представлены графически следующим об-
разом (см. рис. 2.4).

Скорость наращения стоимости векселя, т. е. крутизна наклона
прямой PF зависит от уровня процентной ставки г. согласованной
между векселедателем и векселедержателем. По мере приближения
срока погашения векселя его теоретическая стоимость постоянно
возрастает на сумму причитающихся за истекший период процентов.
Таким образом, в момент учета векселя она составит величину Р,
которую можно рассчитать по формуле (2.1). Следовательно, учиты-
вая вексель в банке, его владелец теоретически мог бы рассчитывать
на сумму Р, а факт ее получения означал бы, что с момента учета
векселя кредитором векселедателя фактически становится банк
Вряд ли такое положение устраивает менеджеров банка, поскольку
не очевидно, что заложенная в векселе доходность в размере ставки
г будет привлекательна для банка. Именно поэтому предлагаемая
банком сумма Р2 , которая рассчитывается по формуле (2.18) исходя

Рис. 2.4. Логика факторного разложения дохода банка

при учете векселя
из стоимости векселя к погашению и предлагаемой банком дисконт-
ной ставки, в принципе не связанной со ставкой г, в подавляющем
большинстве случаев меньше теоретической стоимости векселя. Раз-
ность Дг = Рх — Р2 представляет собой сумму комиссионных, полу-
чаемых банком за услугу, оказываемую векселедержателю. С позиции
последнего эта сумма представляет собой затраты, т. е. плату за воз-
можность более быстрого получения наличных. Помимо комиссион-
ных банк получает также проценты за период с момента учета до мо-
мента погашения векселя, сумма которых рассчитывается по формуле
Д р — F — Рх. Таким образом, общий доход банка от операции соста-
вит До — Д^ + Дс — Т7 Р2. Отметим, что реальные потери векселе-
держателя составляют величину Д f = Р, — Р2, а не сумму (F — Р2),
как это кажется на первый взгляд. Дело в том, что с момента учета век-
селя кредитором становится банк, поэтому ему и «передаются» про-
центы за оставшийся период.

Пример

Предприятие продало товар на условиях потребительского креди-
та с оформлением простого векселя: номинальная стоимость 150 тыс.
руб., срок векселя — 60 дней, ставка процента за предоставленный
кредит — 15% годовых. Через 45 дней с момента оформления векселя
предприятие решило учесть вексель в банке; предложенная банком
дисконтная ставка составляет: а) 20%; 6) 25%. Рассчитать суммы, по-
лучаемые предприятием и банком, если используется способ 365/360.

Будущая стоимость векселя к моменту его погашения составит:

Z7-150(1 +------0,15)-153,75 тыс. руб

360

Срочная стоимость векселя в момент учета его банком составит:

Рх = 150(1 +---0,15) -152,813 тыс. руб

360

Предлагаемая банком сумма рассчитывается по формуле (2.18):

а) Рг = 153,75(1 -^0,2) = 152,469 тыс. руб.;
6) Р, = 153,75(1 ---0,25) = 152,148 тыс. руб.

360

Таким образом, банк получает от операции проценты по векселю
за оставшиеся 15 дней в размере 937 руб. (153,75—152,813), величина ко-
торых не зависит от уровня дисконтной ставки, и комиссионные за
оказанную услугу в размере:

для случая (а) - 344 руб. (152,813-152,469);

для случая (б) - 665 руб. (152,813-152,148).

В связи с предыдущими рассуждениями возникает естествен-
ный вопрос: какова же должна быть годовая учетная ставка d , чтобы
предлагаемая банком сумма (Р2) была меньше теоретической сто-
имости векселя в момент учета ( )? Иными словами, по сути, речь
идет о целесообразности для банка операции учета векселя.

Итак, пусть п — срок, на который выписан вексель, п, — величина
периода с момента учета до момента погашения векселя (п} < п, п} 0).
Стоимость векселя к погашению: F — Р(1 + п ) Тогда:

Р =Р(1 + (И-Л1)г);

Р2 = F(l —ntd)= Р(1 + иг)(1-/?1т/).

Банк должен выбрать ставку d так, чтобы выполнялось Р2 < Pt,a
это равносильно неравенству

(1 + лг)(1 - п, d) < 1 + (л- л, )г,

из ко । opoi о после прос ых преобразований получим d>-------

1 + nr

Последнее неравенство в соответствии с (2.22), очевидно, утверж-
дает, что банку необходимо установить годовую учетную ставку по
величине большую, чем простая учетная ставка, эквивалентная про-
центной ставке за период времени п

пг

Умножая обе части неравенства на п , получим nd >-------, т. е.

1 + пг

> i + r , где dti =nd,rn =nr . Пользуясь (1.3), делаем вывод, что
банк должен так выбрать <7, (а следовательно, и d ), чтобы обеспечить
для себя большую, чем гя, доходность за период п . Такой вывод с фи-
нансовой точки зрения вполне очевиден.

Можно бы. отталкиваясь от последнего неравенства, путем рав-
носильных математических преобразований прийти к неравенству
Р, < Ру. Вообще при изучении финансовых вычислений сплошь и
рядом сталкиваемся с ситуациями, когда финансово естественные
утверждения подтверждаются строгими математическими доказа-
тельствами (между прочим, далеко не всегда простыми). На такого
рода ситуации при изложении материала мы периодически будем об-
ращать внимание.

Кстати, из неравенства d >----следует, ч i о совсем необязат ель-

14- пг

но должно быть d> г (как, в частности, в предыдущем примере). Мо-
жет быть, и d < г, но тогда будет меньше и величина комиссионных,
получаемых банком. В условиях последнего примера находим, чтодис-
контную ставку можно выбрать из условия d >-у-----= 0,1463.

l+-^-0J5
360

то есть d > 14,63%. Если, в частности, d — 14,8% (следовательно,
d < г), то Р2 = 153.75(1 - ^-0.148) = 152.802 тыс. руб., т. е. комис-
360

сионные составят всего 11 руб

Обратим внимание, что ставка d связана с периодом только огра-
ничивающим ее сверху неравенством d < —, а величина комиссионных
л.

при фиксированной дисконтной ставке прямо пропорциональна п,.

2.8. Определение срока ссуды и величины ставки

При заключении финансовых договоров приходится решать не
только задачи определения наращенной суммы или приведенной сто-
имости. Может возникнуть необходимость в нахождении других па-
раметров: процентных и учетных ставок, срока ссуды. Формула для
вычисления того или иного параметра получается из соответствую-
гцего равенства, рассматриваемого как алгебраическое уравнение с
одним неизвестным.

Если даны начальный капитал Р, наращенная сумма F, про-
центная ставка г или учетная ставка d, то срок ссуды п находится
по формулам, получаемым соответственно из (2.1) и (2.20):

(2.24)

F-P

(2.25)

В этих формулах срок п измеряется в годах, которые при необхо-
димости легко перевести в другие единицы времени. Можно сразу по-
лучить значение срока в днях (что часто бывает при использовании
t
простых процентов), если в формулах (2.24), (2.25) положить п- —.

Тогда эти формулы примут соответственно вид:

где: t — срок ссуды в днях,
Т — количество дней в году.

Пример

Определить время, за которое первоначальный капитал в 3 тыс.
руб. при простых процентах возрастет до 3,6 тыс. руб., если использу-
ется: а) процентная ставка в 10%; б) учетная ставка в 15%.

Используя для случаев а) и б) последовательно формулы (2.24),
(2.25), получим

бом количестве дней в году).
Пример

На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 4 тыс.
руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возвращаемой
суммы не превышала 4,2 тыс. руб., если процентная ставка равна 12^
и в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней (год
невисокосный)?

Так как применяя формулы для расчета срока в днях, получим

4,2-4

"-4-<l,l2‘365'152 '""1'

то срок кредита не должен превышать 152 дня.

Процентные ставки определяют, например, при оценке финансо-
вой эффективности сделки или при сравнении различных сделок по
их доходности в тех случаях, когда ставки не даны в явном виде. Рас-
сматривая (2.1) и (2.20) как уравнения и разрешая их относительно г
и d, получим:

----- или г=-------J",

d=------ или -------f .

F-n Ft

(2.26)

(2.27)

Пример

В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погаше-
ние долга в размере 5,3 тыс. руб. через 90 дней при взятом кредите в
5 тыс. руб. Определить доходность такой сделки для банка в виде годо-
вых процентной и учетной ставок. При начислении банк использует
обыкновенные проценты.

Подставляя значения известных параметров в (2.26) и (2.27), нахо-
дим:

г = 5,3 5 - 360 - 0,24 или г = 24% ;
5-90

5,3-5

J з од • 360 = 0,226 или d — 22,6%.
Таким образом, в частности, инвестируя 5 тыс. руб под простую
процентную ставку 24% годовых, через 90 дней при использовании
обыкновенных процентов можно получить 5,3 тыс. руб. Действи-
тельно:

5-(1 +---0,24)-5,3 тыс. руб.

360

Пример

Вкладчик хочет положить на депозит 8 тыс. руб. и за 10 месяцев на-
копить не менее 9 тыс. руб. Определить требуемую простую процент-
ную ставку, на основании коюрой вкладчик должен выбрать банк для
размещения своих средств, если в расчете принимаются обыкновен-
ные проценты и приближенное число дней.

По формуле (2.26) получим:

9-8

г=______-360-0,15.

8-300

т. е. процентная ставка должна быть не менее 15% годовых.

Отметим, что значения денежных сумм в этом примере не столь
существенны. Можно было просю сказа 1ь, что вкладчик хочет за
10 месяцев увеличить свои средства не менее чем в 1,125 раза.

2.9. Вычисление средних значений

На практике периодически возникают задачи, связанные с пере-
оформлением финансовых соглашений на новых условиях или с заме-
ной нескольких финансовых сделок на одну. Одним из методов реше-
ния такого сорта задач является вычисление средних значений.

Пусть, например, заемщик должен выплатить одному и тому же
кредитору суммы /J, погашаемые соответственно через

периоды (выраженные в годах) , причем годовые про-

центные ставки, под которые взяты эти суммы, соответственно рав-
ны /j,..., 1т и все сроки измеряются от одного момента времени.
Предположим, заемщик захочет выплатить дол г единовременно. Кре-
дитор может согласиться на это, если при такой операции для него не
будет никакого ущерба.
Обозначим через п и/ соответственно время, через которое мож-
но выплатить все долги и процентную ставку, установленную на это
время. Период и называется средним сроком погашения ссуды, a i -
средней процентной ставкой.

Предположим, что кредитор в силу своей малой инициативности
не собирается инвестировать куда-либо полученные от заемщика
суммы и для нею важно юлько получить назад свои деньги вместе
с процентами. Тогда кредитор будет согласен на изменение условий
финансовой сделки, если сумма капиталов Pl,P2i...,Pm и дохода,
который он должен получить с нескольких капиталов, отданных за-
емщику под различные процентные ставки, будет равна сумме капи-
тала и дохода с него согласно новым условиям. Таким образом, если
обозначить через S величину нового капитала, на который будут на-
числяться проценты по средней ставке, то должно выполняться ра-
венство:

5(1 + л-,) = ХЛ(1 + л,7л).

*=1

преобразуя которое получим

5+ п-/= х Л + Z

Если, в частности, S — Рк , то из этой формул ы следует:

л-- рад

Ел

*=|

Из равенства (2.28) можно найти п, если извесше / и наоборот.
Пусть, например.
Ёла

Ел

А=1

(2.29)

т. е. ставка 1 равна взвешенном сумме процентных ставок, где весом
для каждой ставки 1к служит доля капитала Рк , которую он состав-

ляет от общей суммы капиталов Рк , причем, конечно, сумма всех

весов равна единице. Тогда

ЁЛ"<л

ЁЛ4

*=|

=Е

ЕЛ4

(2.30)

т. е. средний срок равен взвешенной сумме (естественно, с другими
весами, чем в (2.29)) исходных сроков.

Если = i2 im — 1 (все процентные ставки равны между со-

бой), то из (2.29), (2.30) получаем

Ел л „

Ел “

Ел

<2 311

а если к тому же Р} — Р-, = Рт — Р (все капиталы равны между

- 1 V

собой), то п— — / , п, . что представляет собой среднее арифмети-
ки А=1

ческое исходных сроков.

Из формулы (2.30) видно, что если каждый исходный срок умно-
жить (или разделить) на одно и тоже число, не равное нулю, то сред-
ний срок умножится (или разделится) на тоже число.

Пусть каждый исходный срок изменится на время /. Тогда, ис-
пользуя (2.30), найдем новый средний срок

п =

т. е. средний ерик платежа |акже измени юя на величину I. Пользуясь
этим свойством, можно значительно упростить определение среднего
срока, так как его можно находить начиная с первого платежа Таким
образом, если первый плановый платеж осуществляется по капиталу
Р , ю в формуле (2.30) будет п = 0

Ясно, что при выводе формулы (2.30) периоды пк можно измерять в
любых единицах времени (годы, кварталы, месяцы, дни и т. д.), главное,
чтобы было их согласование с размерностями соответствующих про-
центных ставок ik (годовые, квартальные, месячные, дневные и т. д.).
Однако вид формул ы (2.30) позволяет определять средний срок, не осо-
бенно заботясь о согласовании размерностей исходных сроков и про-
центных ставок. Так, если, например, сроки пк даны в днях (вообще в
любых, но единых для всех сроков единицах времени), a ik представ-
ляют собой годовые процентные ставки, то не занимаясь переводом пк
в годы, по формуле (2.30) сразу получаем средний срок п в днях.

Пример

Заемщик взял у одного кредитора под одну и ту же годовую про-
центную ставку в 10% суммы в 2, 1,5, 5 и 4 тыс. руб. со сроками по-
гашения соответственно 7 марта. 24 апреля. 5 июля и 30 июля. Когда
заемщик может выплатить весь долг, если кредитор хочет получить
назад свои деньги вместе с процентами?

Всего заемщик взял у кредитора сумму в 12,5 тыс. руб. Счи-
тая, что на эту сумму сразу начисляются проценты и так как

= 0,1, можно воспользоваться соотношениями (2.31),

согласно которым, в частности, /=0,1.

Несмотря на то что процентные ставки являются го-

довыми. в соответствии с сделанными выше замечаниями средний
срок погашения всех ссуд будем измерять в днях и отсчитывать от дня
первого планового платежа, т. е. д =0, л, =48, = 120, п4 — 145.

Взятые суммы измеряем в тыс. руб.: Pt = 2,Р2 — 1,5, Р2 = 5,РЛ = 4.
Следовательно, по формуле (2.31) получаем:
2-0 + 1,5-48 + 5-120 + 4-145

«100,16 дней.

2 + 1,5 + 5 + 4

Отсчитывая от 7 марта 100 дней, получим 15 июня — когда заемщик
может отдать единовременно весь долг.

Если же сроки погашения каждой ссуды измерять в годах, считая,
что в году 365 дней, то д =0, л, =0,1315, п3 =0.3288, л4 =0,3973,
- 2-0 +1,5-0,1315 + 5-0,3288 + 4-0,3973 йЛ

и п—---------------------------------------= 0,2744 года, т. е.

2 +1,5+ 5+ 4
л ~ 100 дней.

Естественно, получили тот же самый результат, но пришлось вы-
полнить большее количество вычислений.

Заметим, что саму величину всего долга нельзя указать, поскольку
неизвестна дата, когда кредитор выдал заемщику деньги. В случае вы-
дачи кредитором сумм, например, I января этого же года найдем, что
15 июня заемщик должен отдать долг в размере

166

12,5(1 +----0,1)= 13,068 тыс. руб.

В качестве средней процентной ставки можно рассматривать и

взвешенную сумму вида

(2-32)

Тогда можно показать, что средний срок ссуды будет равен вели-
чине
Впрочем, это следует из симметричностивхождения п и / в фор-
мулу (2.28). Поэтому, если i вида (2.32), то п будет обязательно вида
(2.33) (ранее уже доказали аналогичное для (2.29) и (2.30)). Для раз-
мерностей сроков пк, п справедливы замечания, аналогичные сде-
ланным для формулы (2.30).

В частности, если /j - Р2 =...= Рт = Р, то из (2.32) и (2.33) сле-

Пример

Предприятие получило несколько кредитов: 30 тыс. руб. на 2 ме-
сяца под 8% годовых, 60 тыс. руб. на 10 месяцев под 12% годовых и
20 тыс. руб. на 4 месяца под 10% годовых. Найти средние показатели.

Будем измерять кредиты в тысячах рублей, а сроки, на которые они
взяты, — в годах. Воспользовавшись формулами (2.32), (2.33), получим

30- — -0,08 + 60 — 0,12 + 20 — -0,1

12 12 12

= 0,1146 или i = 11,46%,

30- —+ 60- —+ 20 —

12 12 12

30 + 60 + 20

= 0,5606 года или п = 6,727 месяца

Как уже отмечалось, хотя в условии примера даны годовые про-
центные ставки, периоды начисления необязательно было измерять в
годах, а можно было просто брать их значения в месяцах (или в любых
других единицах времени, так как используемые формулы позволяют
это делать) и тогда ответ для среднего срока п сразу получать в меся-
цах. Так, полагая л, — 2,п2 — 10,л3 =4, из (2.33) получим:

30-2 + 60-10 + 20-4

----Z~-------------= 6 727 месяца.

30 + 60 + 20
Средние значения (средняя процентная ставка, средний срок кре-
дита) могут характеризовать в определенном смысле и работу банка в
целом. Речь идет о следующем. Банк дает клиентам кредиты на раз-
личных условиях (ставки и сроки кредитов не одинаковы) да и сами
величины кредитов, естественно, отличаются друг от друга. Возника-
ет, например, задача определения средней процентной ставки, кото-
рая, кстати, по кредитам должна быть больше, чем по депозитам, что
является одним из основных источников прибыли банка.

Средняя процентная ставка при среднем сроке кредита должна
обеспечивать от суммы всех кредитов такую же доходность, как и
вся совокупность кредитов. Таким образом, если i — средняя про-
центная ставка, п — средний срок кредита, Рх, Р,,..., Рт — величи-
ны кредитов, выданные соответственно на сроки ц, п,,..., пт под
ставки, равные соответственно ilt i2,.., то получаем соотноше-
ние (2.28). В этом случае обычно i и и рассчитывают по форму-
лам (2.29) и (2.30), т. е. время учитывается только при нахождении
среднего срока кредита.

Сравним между собой сроки, определяемые формулами (2.30)
и (2.33). Справедливо следующее утверждение (его можно доказать
строго математически): если для любых k,s — 1,2,...,»? (к Ф я) спра-
ведливо: из > пх следует > ix (т. е. большему сроку соответству-
ет большая процентная ставка), то

Так, пользуясь формулой (2.30) при нахождении среднего срока в
последнем примере, находим:

- 30-2.0,08+60-10-0,12+20-4-0,1

и =-------------------------------= 7,31 месяца.

30-0,08+ 60-0,12+ 20-0,1

Действительно, получили срок, превышающий 6,727 месяца более
чем на половину месяца.

Предположим теперь, что клиент обратился в банк за ссудами в
Fi,F2,...,Fnt (каких-либо денежных единиц, например рублей) на
сроки (измеряемые в годах) соответственно п} пт. Банк со-
гласен осуществить выдачу ссуд соответственно под годовые ставки
</„</„...,<4.причем проценты удерживаются сразу, т. е. фактиче-

ски банк выдаст сумму Ft (1 — пк dt) Пусть клиент хочет изме-

*=i

нить соглашение и получить ссуду /? на единый срок Ti под ставку
d. Если банк интересует только доход от финансовой сделки и воз-
врат долга, не используя его для инвестиций, то банк согласится на
изменение условий при выполнении равенства

R- п d = -

В частности, если /, .то

(2.34)

Отсюда, полагая

получим:
Естественно, при использовании формулы (2.36) сроки пк, п из-
меряются не обязательно в годах, а в удобных при решении конкрет-
ного примера единицах времени (аналогично, как для формул (2.30),
(2.33)).

Если же d} — d2 =...= dm = d, то из (2.35), (2.36) следует

(2.37)

Пример

Банк удовлетворил просьбу клиента о выдаче ссуд в 2, 3 и 1 тыс.
руб. на сроки 1,4 и 6 месяцев под учетные ставки 12, 16 и 18^ (антиси-
пативное начисление). Под какую учетную ставку и на какой срок со-
гласится банк выдать ссуду в 6 тыс. руб., если он намерен взыскать ту
же величину процентов, как в первоначальном контракте с клиентом’

Измеряя ссуды в тыс. руб., а сроки — в месяцах, полагаем
Ft = 2,Л = 3,F3 = 1, п} = 1,л2 = 4, л3 - 6, d} = 0,12,d, - 0,16,
d3 —0,18 и воспользуемся формулами (2.35) и (2.36):

_ 2-0,12 + 3-0,15+1-0,18

d =-----------~г-------— = 0.145,

2-0,12-1 + 3-0,15-4 + 1-0,18-6

2-0,12+3-0,15+1-0,18

= 3.586 месяца.

Если среднюю ставку выбрать таким образом:

(2.38)

то можно показать, что средний срок ссуды будет равен величине
(2-39)

В частности, если Ft = Рг =...= Fm = F .тошз (2.38) и (2.39) следу-

ет, что

- 1

< и П = —>Пк
гпк~}

Нетрудно убедиться, что формулу (2.34) можно получить и просто
преобразуя формулу (2.28), предварительно выразив в ней процент-
ные ставки через соответствующие эквивалентные им простые учет-
ные ставки и записывая величину каждого капитала Рк с помощью

операции коммерческого дисконтирования. Полагая £ =--------.

'— nkdk

i —---= и Р = F, (1 — nkdA, из (2.28) получим:

1 - и - d

- d
п----=

1- nd

£рл

к=]__

1 - пкdk

или

£р>

n-d

I- n-d

Отсюда n-d- - у

Преобразуем выражение в круглых скобках:

Ё Р, +£рлЛ = Ё Л(1 - W +£ Рл< = £гк

Таким образом, n-d-У Fk = У Fkntdk , откуда и следует (2.34).
Ясно, что, например, формула (2.36) получается из формулы (2.30),

если заменить в (2.30) 4

= -----, Рк — /•,.(! — n,d,) и т. п

I — лка.

2.10. Операции с девизами

Термин «девизы» в широком смысле слова означает все выражен-
ные в иностранной валюте платежные средства (векселя, чеки, банк-
ноты и т. д.). В процессе взаимного обмена национальных вал ют уста-
навливается их курс, называемый в зависимости от формы его выра-
жения обменным, или девизным. Заметим, что в конце XIX — начале
XX в. в России девизами называли только «переводные векселя, слу-
жащие для расчета во внешней торговле» [ I, Боболович, 1902, с. 125|

Обменный курс показывает, сколько единиц отечественной валюты
можно получить в обмен на единицу иностранной, т. е. это цена ино-
странной валюты, выраженная в единицах отечественной валюты.

Девизный курс, будучи обратной величиной к обменному, показы-
вает, сколько единиц иностранной валюты можно получить за едини-
цу отечественной, т. е. это цена отечественной валюты, выраженная в
единицах иностранной валюты.

Девизы называются конвертируемыми, если есть возможность их
свободного обмена (конверсии) на валюту других стран по действую-
щему курсу.

Если есть возможность обмена рублевых средств на свободно
конвертируемую валюту (СКВ), то возникает, в частности, задача
правильного размещения на депозиты денежных средств. Остав-
лять ли имеющиеся денежные средства в валюте и получать доход
при нарашении процентами согласно процентной ставке для кон-
кретного вида СКВ? Или же конвертировать валюту, чтобы ис-
пользовать ожидаемое изменение валютного курса и различие про-
центных ставок?

Рассмотрим финансовую операцию следующего типа: обмен СКВ
в количестве Р' на рубли, наращение на полученную сумму Р про-
стых процентов по ставке г и конвертирование наращенной суммы
Рв исходную валюту, получая окончательно при этом сумму Р'.
Схематично это можно изобразить таким образом:
Р' (СКВ) Р (Руб.)---------* Р (Руб.) Р' (СКВ)

Обозначим через п срок депозита, через К{) — курс покупки СКВ
в начале финансовой операции, через Кп — курс продажи СКВ в
конце финансовой операции. Поскольку Р — Р', F = Р(1 + лг),

р-хды-ло (2 40)

л;

Определим доходность (результативность) Г такой операции в ви-
де годовой ставки простых процентов:

» К°

где кп = ~К

Из (2.41) следует: если кп < 1, го г > г; если кп — I, то Т — г; если
кп >1,то Т<г.

Используя (2.41), можно наити такое значение кп, называемое
критическим, при котором г — 0. Для этого (2.41) надо решить как
уравнение. В результате получим .

к*п=\ + ПГ, (2.42)

что определяет и критическое значение Кп курса продажи:
Кп — Лу(1 + пг). Обратим попутно внимание на тот факт, что везде
пишем индекс п, так как все рассуждения справедливы именно дли
данного периода длительностью п

Очевидно, что в начале описываемой финансовой операции ве-
личина Кп неизвестна, поэтому полезно знать то ее значение, при
котором двойное конвертирование не дает никакой выгоды Пусть
г1 — простая процентная ставка по депозитам в данном виде СКВ.
Тогда F' — Р'(\ + пг') и, сравнивая это равенство с (2.40), получим
Кй

1 + пР = -^-(1 + пг) - откуда:

пг _ Кг
пг' 1 + пг’

(2-43)

Итак, если перед началом финансовой операции предполагают,
К'

что курс Кп валюты в рублях будет меньше___£ , то целесообразно

1 + пг'

_ к'

эту операцию проводить; если же курс валюты будет больше---"—,

1 + пг’

то лучше воспользоваться просто депозитом в СКВ. Отметим, что
здесь для простоты не учтены расходы по конвертации.

Пример

Клиент собирается поместить в банке 2000 долл, на рублевом депо-
зите сроком на пол года под 14% годовых. Курс покупки долларов на
начало срока 28 руб. 12 коп., ожидаемый курс продажи через полго-
да — 28 руб. 20 коп. Процентная ставка при долларовом депозите —
12^. При любом депозите начисляются простые проценты. Найти на-
ращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на
валютном депозите. Выяснить максимальное значение курса, выше
которою нет смысла в конвертировании при помещении денежных
средств на депозит.

Конвертируя валюту, по (2 40) получим за Л- 0,5 года:

w 2000-28,12 (1 + 0,5-0,14) {С

29,2

Если же воспользоваться валютным депозитом, т.е. при прямом
наращении исходной суммы по долларовой процентной ставке, то

Fs' =2000-(1 + 0.5-0.12) = 2120 долл.»

т. е. при ожидаемом курсе продажи в 29 руб. 20 коп. валюту не име-
ет смысла конвертировать. Максимально допустимое значение курса
найдем по формуле (2.43):
-7S17 1 + O’5°’I4-?S3O s

— Zo, 1Z •-----— Zo.jV dv6

1+0,50,12

Все остальные варианты финансовых операций, связанных с кон-
вертацией и наращением процентов, получаются фактически из опе-
рации. описанной выше, если в качестве СКВ рассматривать любую
валюту (в частности, рубли), а вместо рублей также рассматривать лю-
бую валюту (в частности, опять-1аки рубли).

Например, если финансовая операция имеет вид

Р (Руб.) Р' (СКВ)----------------* F' (СКВ) -> F (Руб.),

Кь и Кп — соответственно курсы продажи и покупки СКВ в на-
чале и в конце финансовой операции, то из (2.40). переобозначив над-
лежащим образом величины, или непосредственно получим

РХД1 + Л/)

(2.44)

Из сравнения (2.40) и (2.44) следует, что для данной финансовой

операции

(конечно, эти формулы легко получить и непосредственно).

Пример

Клиент, имея сумму в 30 тыс. руб., предполагает поместить ее на
валютном депозите на 9 месяцев под 8е? годовых. Выяснить целесо-
образность этой финансовой сделки с банком, если в начале срока
доллары можно купить по курсу 29 руб. 35 коп. и ожидается, что через
9 месяцев доллары можно будет продать по курсу 29 руб. 50 коп. Годо-
вая процентная ставка на рублевом депозите — 20*$>.

При конвертировании в конце срока (через п — 0,75 года) будет
получена наращенная сумма:

30 29,5-(1 + 0,75-0,о8)

29,35

— 31,963 ТЫс. руб.
При рублевом депозите наращенная сумма составит

F2 = 30 (I + 0,75 • 0,13) = 32,925 тыс. руб.

Поскольку F2 > Г., то не имеет смысла помещать 30 тыс. руб. на
валютном депозите.

Формула (2.40) справедлива (с соответствующими переобозначе-
ниями) и для финансовой операции, при которой происходит двой-
ная конвертация с участием двух видов валют, ни одна из которых не
является рублями. Отметим также, что (2.40) справедлива и в частном
случае (естественно, на практике не применяющимся в силу совпа-
дающих «крайних» действий), когда финансовая операция имеет вид

Р' (Руб.) Р (Руб.)-------* F (руб.) -» F' (Руб.).

В этом случае К, = Кп =1, Р' — Р, F' — F и (2.40) совпадает с
(2.1), что и следовало ожидать.

Рассмотрим теперь наращение по простой учетной ставке d и ис-
пользование схемы

Р' (СКВ) Р (Руб.) —F (Руб.) -> F' (СКВ).

Так как в этом случае F —-----. то

I—nd

Доходность d этой финансовой операции в виде простой годовой
учетной ставки составляет величину

F’-P \-k„{\-nd)
d =------—-----------

(2-46)

Из (2.46) находим критическое значение ка, при котором d — 0:

I-nd

(2.47)
Эта величина определяет и критическое значение Кв курса про-
дажи: К —--------.

" \-nd

Если d' — простая учетная ставка наращения вклада в данном виде

1 к

СКВ, то из равенства ---— —---—-----— определяем значение Л„,

1 — nd' Kn(\.—nd)

при котором двойная конвертация не доставляет никакой выгоды:

,2-48'

1 — nd

Обратим внимание, что формулы (2.45) — (2.48) вполне аналогич-
ны соответственно формулам (2.40) — <2.43)

Пример

Предприниматель собирается свободную сумму 5000 долл, поме-
стить на рублевый или долларовый депозит на три месяца, причем
и в том и другом случае проценты начисляются по простой учетной
ставке. Курс покупки долларов на начало срока 29,14 руб., ожидаемый
курс продажи через три месяца — 29,27 руб. Определить наращенную
сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на валютном
депозите, если учетные ставки при рублевом и долларовом депозитах
соответственно равны 12% и 9%.

а) При конвертации валюты по (2.45) получим за п — 0,25 года:

5000-29,14

29.27-(1—0.25-0.12)

5131,745

долл

б) При использовании только валютного депозита наращенная
сумма составит величину:

5000
1-0,25-0,09

— 5115,09 долл.

Таким образом, при ожидаемом курсе продажи 29.27 руб. конвер-
тация валюты целесообразна. По формуле (2.48) найдем максималь-
но допустимое значение курса, при превышении которого не имеет
смысла конвертировать валюту:
*0.25

= 29,14

1 0,25-0,09
1-0,25-0,12

= 29,37 руб.

Формулы (2.43) и (2.48) были получены в предположении, что на-
ращение осуществляется либо только по процентной, либо только по
учетной ставкам. Понятно, что аналогичным образом можно рассмо-
треть ситуации, когда на одном депозите наращение происходит по
процентной с 1авке, а на другом — пи учетной ставке. Например, пусть
используется самая первая рассмотренная схема и d' — простая учет-
ная ставка, по которой происходит наращение на валютном депозите,
1 а;

тогда из равенства -----=-----(1 + пг) получим формулу, подоб-

ную (2.43) и (2.48):

В общем виде финансовую операцию типа «конвертация — нара-
щение — конвертация» можно представить таким образом:

Р' (СКВ1) Р (СКВ2)-----------* F <СКВ2) -> F' (СКВ1).

Обозначим через Д и А> множители наращения на валютных
депозитах, на которых помешены суммы соответственно в СКВа и в
СКВ3, через и К.г — курсы покупки и продажи CKBf в единицах
СКВ} в начале и в конце (через время п) финансовой операции (ве-
личина , как правило, отражает известный курс, а А, — ожида-
емый), тогда

(2-49)

Эта формула позволяет узнать такое значение Ап, начиная с
которого двойное конвертирование лишено смысла. Подставляя в
(2.49) вместо Д и Д соответствующие множители наращения, по-
лучаем значения для различных конкретных ситуаций. Напри-
мер. если при наращении используются только процентные ставки,
то из (2.49) получим (2.43); если только учетные ставки, то из (2.49)
получим (2.48) и т. п.
2.11. Налоги и инфляция

В этом разделе мы рассмотрим влияние налогов и инфляционных
процессов на финансовые расчеты.

Налогообложение играет большую роль в экономике любой стра-
ны. В развитых странах со стабильной экономикой налоги обеспечи-
вают подавляющую часть государственных доходов. В частности, в
ряде стран облагают налогом и проценты, получаемые при помеще-
нии некоторой денежной суммы в рост, что, естественно, уменьшает
реальную наращенную сумму.

Пусть на сумму Р в течение времени л начислялись простые про-
центы в соответствии со ставкой г. Тогда до выплаты налогов процен-
ты составляют величину I — Рпг. Если ставка налога на проценты
равна q, то надо будет выплатить государству величину lq= Pnrq,
и, следовательно, наращенная сумма с учетом уплаты налога составит:

F, — F—lq—P + Рпг- Pnrq— Р[1 + /и(1 - q)]. (2.S0)

Таким образом, налог на проценты, по существу, уменьшает став-
ку наращения: начисление процентов фактически происходит не по
ставке г, а по ставке /(1 — д) , которая, конечно, меньше г

Пример

На депозит была помешена сумма в 30 тыс. руб. под 16% годовых на
полтора года, по истечении которых на сумму были начислены про-
стые проценты. Определить наращенную сумму с учетом уплаты на-
лога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%.

В соответствии с (2.50) получим

Fq = 30-[1 +1,5 0,16-(1—0,12)] = 36,336 тыс. руб.

Если на сумму Р за период времени п начислялись простые
проценты по годовой учетной ставке d, то при ставке налога на
проценты, равной q, необходимо выплатить государству величину
Pud

lq—~-----и следовательно, наращенная сумма F после уплаты

1- nd

налога составит:
Р Pnd Р

F, = F-lq = ----------------,q = -.--(2.51)

v 1 - nd 1 - nd 1 — nd ' '

t. e. государство как бы учитывает наращенную сумму F за время п
поставке dq.

Заметим, что формула (2.51) следует из формулы (2.50) при замене
процентной ставки г на эквивалентную учетную ставку т/ .Деистви-
d

тельно, полагая в (2.51) г — ---, находим:

Fq = /’ll + п —(1 - q)] = —^-[1 - nd + nd - ndq] =
l—nd I—nd

= , P (l-ndq).

I—nd

Пример

Если в условиях предыдущего примера наращение осуществля-
лось по годовой учетной ставке 14% то какова будет наращенная сум-
ма после уплаты налога на проценты?

Используя (2.51). получим

л = , 15 0|4(1 -1,5-0,14-0,12) = 37,018 тыс.руб.

Рассмотрим теперь влияние инфляции. Для этого вначале необхо-
димо немного подробнее обсудить некоторые относящиеся к ней по-
нятия.

Инфляция (inflation) — это процесс, характеризующийся повышени-
ем общего уровня цен в экономике или, что практически эквивалент-
но, снижением покупательной способности денег. При этом инфля-
ция может проявляться двояко: во-первых, в переполнении сферы
обращения бумажными деньгами в следствие их чрезмерного выпу-
ска; во-вторых, в сокращении товарной массы в обращении при не-
изменном количестве выпущенных денег. Во время инфляции цены
на потребительские товары растут быстрее, чем увеличиваются но-
минальная заработная плата и доходы членов общества, что приводит
к негативным последствиям (падение реальных доходов населения и
его обнищание, анархия производства и т. д.).

Основополагающий сущностный признак инфляции — рост цен в
среднем: не увеличение пены какого-то отдельного товара или даже
группы товаров, а увеличение усредненной цены всей номенклату-
ры (корзины) товаров и услуг, выбранных в качестве базы выявления
уровня инфляции. Понятно, что в зависимости от состава выбранных
товаров количественное выражение ее уровня будет различным.

Темпы инфляции определяются с помощью системы индексов
цен — относительных показателей, характеризующих среднее из-
менение уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и
услуг за выбранный период времени

Пусть выбран определенный набор товаров и услуг и пусть за вре-
мя t его стоимость изменилась от суммы /J до суммы Р,. Индексом
цен (price index} за время t называется величина

Индекс пен (ei о также называю! индексом инфляции) показывает, во
сколько раз выросли цены за рассматриваемый период. Индекс цен яв-
ляется безразмерной величиной и измеряется либо в десятичных дро-
бях, либо в процентах. Наиболее широко используемым индексом цен
являе! ся индекс потребительских цен (consumerprice index), Oi ражаюший
рост цен на некоторый постоянный потребительский набор товаров и
услуг (такой набор часто называют потребительской корзиной)

Темпом инфляции (inflation rate) за время t называется величина

Л - Р,

А=---------- (2.53)

Темп инфляции Д (умноженный на KMJ) показывает, на сколько
процентов выросли цены за период времени t. Интересно, коаги,
отметить, что формально определение темпа инфляции совпадает с
определением процентной ставки, а определение индекса цен напо-
минает определение индекса роста суммы (см. раздел 1.2).

Из (2.52), (2.53) следует соотношение между индексом цен и темпом
инфляции за время t:
Г‘} = 1 + Д

(2.54)

Например, если /р * = 2,4 , то Д = 1,4, т. е. цены за рассматривае-
мый период выросли в 2.4 раза или. что эквивалентно, на 140%.

Индекс цен за данный период показывает, во сколько раз выросли
цены по отношению к уровню цен предыдущего периода. Поэтому,
если известны индексы цен 1'р', /р- ‘1 (или темпы инфляции

Д . Д.....Д ) за соответственно периоды времени , t,..... tk и эти

периоды расположены последовательно друг за другом, то индекс цен
за время t = + t2+...+ti будет равен величине:

I'" = <"’ т,"’ =Г1 //’ = П<1+Л„). (2.55)

В частности, если Д, = Д =...= Д^ = /?,то =(1+Л)А.

Пример

Определить годовой индекс инфляции, если известен среднеме-
сячный темп инфляции.

Будем измерять время в годах и воспользуемся форму-

лой (2.55). Полагая t — 1-Д — Д =...= tl2 = получим:

Iр = /рп =(/р12 )12 = (1 + Л( )и . Результаты вычислений для He-
ll

которых значений среднемесячного темпа инфляции h t приведем

в табличном виде (см. табл. 2.4).

Из табл. 2.4 видно, что, например, при темпе инфляции 10% в ме-
сяц цены за год увеличатся более чем в 3,1 раза.

Таблица 2.4

Л, 1% 3% 5% 8% 10% 15% 20% 28%
4 1.1268 1.4258 1-7959 2.5182 3,1384 5.3503 8.9161 19.343
Зная годовом индекс инфляции 1 р и используя (2.54), можно най-
ти годовой темп инфляции Д из равенства Д = 1 — 1. Так, если
Л, = 8%.то 7р=2.5182 и 11, = 2.5182- 1 = |.5|(Д или, что то же

самое, Д = 151,82%.

При расчете индекса инфляции 1р темп инфляции перево-

Тг

дился в десятичные дроби, что. конечно, необязательно, если хотим
получить результаты вычислений сразу в процентах.

Полезно обратить внимание на формальное совпадение формул
(2.54), (2.55) с формулами (1.5), (1.6), хотя это и не удивительно в силу
определения понятий, используемых в этих формулах.

С помощью так называемого правила 70 можно быстро оценить
инфляцию количественно. Это правило заключается в следующем,
если h — темп инфляции, выраженный в процентах, за некоторый
период, то п=10)1 h представляет собой число периодов, за которое
исходный уровень цен приблизительно удвоится. Например, если
h — 5% в месяц, то и = 70/5 = 14 месяцев; если Л — 10% в год, ю
n=1QI 10 = 7 лет.

Если за время /была получена некоторая наращенная сумма F,
а индекс цен составил величину 1, то эта сумма с учетом ее обе-
сценения составит:

- F

F- (2-56)

Например, при годовой инфляции в 20*? сумма в 3 тыс. руб. через
год по своей покупательной способности в ценах текущего дня (так
как 7=1, Д =0,2, 1р = 1,2 ) составит величину

_ 3

F= — = 2,5 тыс. руб

1,2

Пусть на капитал Р происходит начисление простых процентов
поставке г в течение времени п и индекс цен за это время равен 1'"',
тогда, учитывая обесценение денег за это время, получим

- Л1 + Я2-)

(2.57)
где —представляет собой множитель наращения простых про-

центов с учетом инфляции.

Из (2.57) следует, что реальное наращение первоначального капи-
тала с учетом покупательной способности денег будет только в том
случае, если 1 + пг > . Если 1 + пг= , то наращение только
компенсирует действие инфляции. Из этого равенства найдем:

(2.58)

Ставка г* является мини мал ьно допустимой процентной ставкой,
при которой не происходит реального уменьшения капитала (эрозии
капитала, как называют такое явление в финансовой литературе), не-
смотря на начисление процентов. Ставка, превышающая г , называ-
ется положительной процентной ставкой, так как только в этом слу-
чае будет происходить реальное увеличение капитала.

Пример

На сумму в 5 тыс. руб. в течение грех месяцев начислялись про-
стые проценты по ставке 40% годовых. За каждый месяц цены росли
соответственно на 15, 12 и 10%. Найти наращенную сумму с учетом
инфляции и величину положительной процентной ставки.

Так как индексы цен по месяцам последовательно равны 1,15; 1,12;
1,1; то индекс цен за квартал (0,25 часть года) найдем по (2.55):

=1,15-1,12-1,1 = 1,4168

Тогда по (2.57):

5-(1 + 0,25-0,4)

1,4168

= 3,882 тыс. руб..

и в соответствии с (2.58)

1,4168-1

0,25

-1,6672.
Следовательно, при данном росте цен реальное наращение капи-
тала будет происходить только при ставке, превышающей 166,72%.

Для того чтобы в условиях инфляции стоимость первоначально-
го капитала на самом деле росла, исходную процентную ставку уве-
личивают: происходит индексация ставки. Такую новую ставку г
с поправкой на инфляцию можно условно назвать брутто-ставкой.
В этом контексте исходную процентную ставку иногда называют
нетто-ставкой. Величина г определяется в зависимости от целей.

Для обеспечения полной компенсации негативного действия ин-
фляции и получения доходности согласно первоначальной ставке г
размер брутто-ставки г определяется из равенства

1-г пг

(2.59)

т. е.

(1 + лг) -//’ -1

(2.60)

ставка 223,4% годовых при наращении простыми процентами обеспе-
чивает реальную доходность 40% головых

Используя (2.58), формулу (2.60) можно записать таким образом:

Последнее равенство дает более наглядное структурное пред-
ставление ставки г . Можно сделать вывод, что эта брутто-ставка г
представляет собой сумму двух компонент, одна из которых является
ставкой, в /,я1 раз большей, чем исходная ставка г, а вторая — только
компенсирует обесценение денег, сохраняя их покупательную спо-
собность. В частности, для только что разобранного примера можно
написать: г — 0,4-1,4168 + 1,6672 — 2,234. Представляя г иным
равносильным образом, можно дать иное ее толкование Например,
нетрудно показать, что f — г+г (1 + иг).

С помощью равенства (2.60) можно также получить и неравенство
для определения простой положительной процентной ставки. Пола-
гая в (2.60) / — 0, находим величину процентной ставки, только ней-

трализующей действие инфляции: г —------= г*, а любая положи-

тельная процентная ставка г определяется из неравенства г > г*

Пусть теперь задана номинальная процентная ставка г, т. е. объяв-
лена норма доходности. Тогда для определения реальной процентной
ставки г га( (доходности с учетом инфляции при начислении простых
процентов) можно воспользовагься равенством, аналогичным (2.59):

Выражая из этого соотношения гпа1, находим:

(2-61)

Пример

Определить реальную ставку простых процентов за год, если но-
минальная процентная ставка равна 60% при годовой инфляции в
30%.

Полагая п— 1, =/р =1,3, г = 0,6 в формуле (2.61), получим

= 1 | 1 - О.иоя или гт, =23,08% годовых.

Из (2.61) следует, что реальная процентная ставка может быть и
отрицательной, если инфляция в известном смысле обгоняет номи-
нальную процентную ставку (и даже брутто-ставку). И такая возмож-
ность не является теоретической: отрицательной реальная процент-
ная ставка была в России во время реформ 1992—1993 гг.
Притер

В 1993 г. в России можно было поместить деньги на рублевый де-
позит под 500% годовых. Инфляция в этом году составляла примерно
900%. Выяснить выгодность депозита.

Поскольку п - 1, 7(1* — I -1 + 9 = 10, г=5, то по (2.61) нахо-
дим реальную процентную ставку: геа, = ——— 1 — —0,4. Таким об-
разом, инфляция за год «съест» 40% реальной стоимости вклада и к
концу года фактически останется 60% от первоначальной стоимости
вклада.

Притер

В ситуации предыдущего примера можно было поместить деньги
на долларовый депозит под 35% годовых. Определить привлекатель-
ность такого депозита, если курс продажи долларов в начале года был
450 руб., а курс покупки в конце года — 1250 руб.

Пусть в начале года имелась сумма в рублях, равная Р Тогда после
операций конвертирования и наращения в конце года эта сумма (в ру-

блях) составит: F= (1 + 0.35) • 1250 = 3.75Р итак как — 10.

_ 3,75/’

то F — ——— — 0,375Р Следовательно, долларовый депозит еше
хуже, чем рублевый депозит, поскольку потери вкладчика будут боль-
ше (62,5% против 40% реальной стоимости вклада).

Таким образом, при инфляции различают следующие виды про-
центных ставок. Номинальная процентная ставка — это исходная
базовая (как правило, годовая) процентная ставка, указываемая в до-
говорах. Доходность, выражаемая этой ставкой, не скорректирована
на инфляцию. Реальная процентная ставка показывает доходность
с учетом инфляции, характеризующейся снижением покупательной
способности денег. Реальная процентная ставка в условиях инфляции
всегда меньше номинальной и может быть даже отрицательной. Поло-
жительная процентная ставка — это любая ставка, при которой будет
происходить реальное увеличение стоимости капитала при данном
индексе инфляции. Брутто-ставка процента — это по существу любая
процентная ставка, превышающая номинальную. Но, как правило,
брутто-ставка является положительной процентной ставкой
Например, если номинальная годовая процентная ставка равна
30%, годовой индекс инфляции / = 1,2, то реальная процентная
ставка согласно (2.61) составит 8,33% годовых. В соответствии с (2.58)
положительной процентной ставкой является любая ставка, превы-
шающая 20% годовых. Брутто-ставка превышает 30% и для обеспече-
ния доходности 30% годовых при наращении простыми процентами
должна равняться (формула (2.60)) 56%.

Если же годовой индекс инфляции 1р = 1,8, то реальная процент-
ная ставка становится отрицательной (—27,78%), а положительная
процентная ставка больше 80%. Если брутто-ставка будет превышать
30%, но оставаться меньше 80%, то доставляемая ею реальная доход-
ность будет отрицательной (всю прибавку поглощает инфляция). Для
реального увеличения стоимости капитала брутто-ставка должна
быть больше 80%. А чтобы была реальная доходность 30%. годовых
брутто-ставка должна быть равной 134%.

В условиях галопирующей инфляции (15—20% в год) используется
и плавающая процентная ставка. При начислении простых процентов
на вклады и кредиты сроком до года применяется формула (2.9). кото-
рую можно записать в виде

^=-Р(1 + Ёу4),

где. tf. — продолжительное гь в днях периода, на ко орый установлена
процентная ставка ik,

Т — количество дней в году, обычно принимаемое равным 360

При очень высокой инфляции (гиперинфляции) самой эффек-
тивной является только бартерная сделка, так как любая финансо-
вая сделка из-за чрезвычайного обесценения денег лишена смысла.
Например, вследствие войны и экономической блокады в Сербии и
Черногории, находившихся в составе Югославской Федерации, ин-
фляция в 1993 г. составила 313000000%. Фактически такая ситуация
означала, что деньги в течение полумесяца теряли половину своей по-
купательной способности. В этих условиях происходит разрушение
кредитных механизмов.

Пусть наращение капитала Р происходит на основе простои учет-
ной ставки d в течение времени п и индекс цен за это время равен
/J,”*. Тогда величина учетной ставки d, компенсирующей инфля-
ционные потери и обеспечивающей получение доходности согласно
ставке d, определяется из равенства, аналогичного равенству (2.59):

I-nd I - nd I'

(2-62)

После несложных преобразований получим:

(2.63)

Учетная ставка (f , только компенсирующая действие инфляции,
находится из соотношения

(l-nrf)//’

преобразуя которое, получим:

//-i

Следовательно, формулу (2.63) можно записать в виде, дающем бо-
лее ясное представление о структуре d

d d

л/"’ Г> '

Таким образом, брутто-ставка d представляет собой сумму двух
компонент, одна из которых является ставкой, в раз меньшей,
чем исходная ставка d , а вторая — только компенсирует обесценение
денег, сохраняя их покупательную способность. Но из такого пред-
ставления d не совсем очевидно, какая из ставок больше, d или d.
Однако, записав d в виде d — d + d (1 — nd), легко сделать вывод,
что, как и должно быть, d > d.

Если задана номинальная ставка d, то из равенства, аналогично-
го (2.62). можно определить реальную учетную ставку, позволяющую
оценить соответствующим образом доходность при инфляции:
1

=r;’(d-d')_

(2.64)

Пример

Банк выдает клиенту кредит на 2 месяца, в течение которых по
оценкам экспертов ежемесячный индекс инфляции составит 1,01.
Найти значение учетной ставки, полностью компенсирующей поте-
ри от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность,
определяемую простой учетной ставкой в 25% годовых.

Индекс инфляции за два месяца (— часть года) найдем по

(2.55): = 1,01 • 1,01 -1,0201.

Поскольку л = —, d— 0,25, то по формуле (2.63) получим

. 1---0.25

d=-----(1-—---------) = 0,3633 или </=36,33%

1/6V 1,0201 7

Кстати, нискольку в условиях примера —1 = 0,1182. । о

1 1,0201
6

- — 0,25

d можно найти и из равенства d = 3-0,1182 = 0,3633 .

Равенство (2.63) можно получить, используя (2.60) и формулу эк-
вивалентности простых ставок. Действительно:

(1 + иг)Л”-1

d = ”--П----= -(1------"—7Т> ’

1 + пг (1 + яг)-/ -1 п (1 + яг)-/‘

1 + п-----------

п
А так как для эквивалентных г и d справедливо 1 + пг=->

1- nd

Пример

Вексель учитывается в банке за 4 месяца до срока его погашения.
Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при
ежемесячном темпе инфляции в 3,5% обеспечить реальную доход-
ность операции учета в виде простой процентной ставки 42% годовых?

По формуле (2.55) определяем индекс инфляции за 4 месяца
(1/3 года):

if = (1 + 0,035)4 -1,1475

Изложим два подхода к решению примера. Согласно первому под-
ходу вначале определяем по формуле (2.60) процентную ставку, обе-
спечивающую приданной инфляции реальную доходность 42% годо-
вых:

г = 3 [(! +1-0.42) 1.1475 -1] = 0,9245-т- =- «MS'* годовых.

Поскольку реальная доходность операции учета должна соответ-
ствовать реальной доходности, доставляемой реальной процентной
ставкой 42% годовых, то искомая учетная ставка находится по форму-
ле эквивалентности простых ставок. Таким образом:

-у 0,9245

d =-------------= 0,7067 , т. е. 70,67% годовых.

1 + --0,9245

При другом подходе вначале находим значение простой учетной
ставки, эквивалентной процентной ставке 42%:
0 42

d = —— - 0,3684 - 36,84%.

1 + 1-0,42

Затем по формуле (2.63) находим учетную ставку, обеспечиваю-
щую в условиях существующей инфляции реальную доходность со-
гласно учетной ставке 36,84%:

I 1 0,3684
3 = 3(1-------3--------) = 0,7067

1,1475

Получили тот же результат.

Кроме вышеизложенных методов компенсацию инфляции мож-
но также осуществлять периодической индексацией первоначальной
суммы Р, как это делается, например, в Великобритании.

В заключение отметим, что индекс цен. вычисляемый за время t,
может оказаться и меньше единицы. Это произойдет в случае сни-
жения общего уровня цен в экономике, чем характеризуется про-
цесс дефляции (deflation). Вместо 1емпа инфляции можно определить
аналогичным образом темп дефляции и в связи с этим выигрыш при
определении наращенных сумм с учетом дефляции и прочие величи-
ны, как это делалось выше.

2.12. Замена платежей и их консолидация

Как уже отмечалось, на практике часто возникают ситуации,
вынуждающие участников сделки к изменению условий ранее за-
ключенного финансового соглашения. В частности, это касается и
платежей. Например, изменение сроков платежей (обычно на более
отдаленные, а иногда и в сторону уменьшения, т.е. досрочное пога-
шение задолженности), объединение нескольких платежей в один
(консолидация платежей) с установлением срока его погашения и т.д.
Естественно, в результате любых изменений ни один из участников
не должен терпеть убыток. Поэтому в такого рода ситуациях руко-
водствуются принципом финансовой эквивалентности, устанавлива-
ющим неизменность финансовых отношений участников до и после
изменения финансового соглашения. На практике при изменении
условий выплат денежных сумм этот принцип реализуется путем со-
ставления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма за-
меняемых платежей, приведенных к одному моменту времени, при-
равнивается сумме платежей по новому соглашению, приведенных к
тому же моменту времени.

Для краткосрочных контрактов процесс приведения осуществля-
ется, как правило, на основе простых ставок. Для каждой конкретной
ситуации получается свое уравнение эквивалентности, а в некоторых
простых случаях можно обойтись и без него.

Рассмотрим вначале ситуацию, когда платеж /} со сроком на-
до заменить платежом Pv со сроком п0, причем сроки измеряются от
одного момента времени и простая процентная ставка равна г Урав-

нение эквивалентности имеет вид:

Р, (1 + (л0 - )г), если п0 > и,,

р,
! + («,

если п(1 = лр
если пл <н,.

(2.65)

Пример

Согласно новому финансовому соглашению платеж в 80 тыс. руб.
со сроком уплаты 6 месяцев заменяется платежом со сроком уплаты:
а) 3 месяца; б) 9 месяцев. Найти величину нового платежа, если ис-
пользуется простая процентная ставка 40% годовых

Пусть Pt = 80 тыс. руб.. г = 0.4 Считая, что год содержит 360
дней и каждый месяц — 30 дней, полагаем л, =0,5 года.

а) Полагая Z70 = 0,25 года и учитывая, что nv < я,, по формуле
(2.65) получим:

------------------ 72.727
1 + (0,5 -0,25) -0,4

тыс. руб.

Этот же результат можно получить и не пользуясь формулой (2.65),
а составив для данной конкретной ситуации уравнение эквивалент-
нести, руководствуясь принципом финансовой эквивалентности
В соответствии с этим принципом величина платежа Р{} должна быть
такой, что, получив через 3 месяца ( = 0,25 года) и инвести-
ровав эту сумму под простую процентную ставку г = 0,4 , кредитор
через время nt — п0 мог бы получить сумму Pt — 80 тыс. руб. Таким
образом, получим уравнение

в котором неизвестной величиной будет .

Обратим внимание на следующий факт. Если не применять прин-
цип финансовой эквивалентности, а просто воспользоваться равен-
ством приведенных стоимостей (на начальный момент времени) этих
платежей, т. е. соотношением

1 + л„г 1 + л.г'

то платеж будет равен:

1 + д.г „ 1 + 0,25-0,4

I, „.л-8'1- I, охи -73-™ть,с руб

Эта сумма больше, чем IIJTl тыс. руб. Инвестировав 73,333 тыс.
руб. под 40^ годовых, кредитор через 3 месяца (лг, — nt} =0,25 года)
получил бы 73,333 (1 + 0.25 • 0,4) = 80,666 тыс. руб..т. е. на 666 руб.
больше, чем было предусмотрено первым финансовым соглашением.

б) Поскольку в этом случае пс — 0,75 и щ , то по формуле
(2.65) получим:

Pv = 80 (1 + (0,75 — 0,5) 0,4) = 88 тыс. руб.

Согласно принципу финансовой эквивалентности в этом случае
величина платежа должна бытьтакой, что получив через 6 месяцев
(— 0,5 года) сумму Рк — 80 тыс. руб. и инвестировав эту сумму под
простую процентную ставку г — 0,4 , кредитор через время пс — п}
мог бы получить сумму Pv. Следовательно, находится из уравне-
ния fj — 2^(1+(и0 —л,)г), совпадающего по виду с примененной
формулой.

Если же просто воспользоваться равенством приведенных стоимо-
стей, то:

1 + 0,75-0,4

Р — 80---------------- 86,667 тыс. руб.,

0 1+0,5-0,4

что меньше, чем 88 тыс. руб. То есть, кредитору не имеет смысла ме-
нять условия соглашения, так как по первому контракту он может по-
лучить больше.

Укажем на некоторые частные случаи. Если л, — 0, то (2.65) при-
мет вид 2J = РА (1 + п^г) , т. е. получили фактически формулу нара-
щения по простым процентам (2.1). Таким образом, (2.1) представляет
собой один из простейших случаев замены платежей: платеж /J «сей-
час»? (пх —0) можно заменить платежом 2^ через время пи, если этот
платеж определяется по формуле (2.1). Итак при п, = 0 (2.65) примет
вид (2.1). Аналогично, если п0 — 0. то (2.65) примет вид (2.15) — по-
лучили еще один простейший случай замены платежей, являющийся
математическим дисконтированием.

Получим теперь в общем виде формулу для вычисления п^.
Пусть PQ>P}. тогда должно быть > ц и (2.65) примет вид
Ро =Pt (1 + (/},- Ц )г), откуда

-D-

(2.66)

Формуле (2.66) можно дать такое объяснение. Величина

—--------- представляет собой рост капитала Р} за некоторое

время if, и так как годовая ставка г известна, то —-— 1 — if г, и сле-

довательно, — (----1) — п'. Таким образом.

= ц + if,
где д' — время, за которое капитал Р} вырастет до величины Рь при
наращении простыми процентами по ставке г.

Пусть Ро < Рх, тогда должно быть ц, < ц и (2.65) примет вид
Р

Р —------------.откуда

° 1 + (л,-Ч.У

Мп

= —(--!) = «,-я .

F Ро

(2.67)

где п" — время, за которое капитал РХ1 вырастет до величины Рх при
наращении простыми процентами по ставке г.

В отличие от формулы (2.66), где можно взять любое значение Р,,
превышающее Рх, в формуле (2.67) нельзя взять любое значение
Pv, меньшее Р,. По смыслу /J, не может быть меньше приведенной к

Рх

начальному моменту величины капитала Рх, т. е. РХ1 >- Впро-

чем, это неравенство легко получить и формально из (2.67), используя
естественное условие ц, > 0 и решая равносильное этому условию

неравенство пх —

— 1) > 0. Объединим (2.66), (2.67) и тривиаль-

ный случай Ро= Рх в единую формулу:

«I + -(^--1), если Р„ > Рх,

и0=- И,, если P,=Pt, (2.68)

1 Р Р

п. —(——1), если —!—<Р < Р.

| r Р0 1 +

Формула (2.68) представляет собой решение уравнения (2.65) от-
носительно ц,.

Пример

Определить величину нового срока, если платеж в 20 тыс. руб. с
уплатой через 250 дней предполагается заменить пл a i ежом в 18 тыс.
руб Используется простая процентная ставка 35% годовых и расчет-
ное число дней в году равно 360.

Очевидно, что так как 18 тыс. руб. меньше 20 тыс. руб., то новый
срок должен быть меньше 250 дней. Полагая Д — 20 тыс. руб.,
ц — 250/ 360 года, Ри — 18 тыс. руб., г— 0,35, по формуле (2.68)
для случая Рй< Р получим:

250 1 20

"о = °’377 года или я" ~ 135 дней-

Зои U, j J 1 о

Проверим этот результат. Пусть через 135 дней кредитор полу-
чит 18 тыс. руб., тогда, инвестировав эту сумму на 115 дней (0,319 го-
да) под простую процентную ставку 35% годовых, он получит
18 -(1+0319 -0.35) - 20.0097 ~20 тыс. руб. Таким образом, с из-
менением финансового соглашения кредитор убытка не понесет, по-
скольку через общий срок, равный 250 дням (135 + 115). он получит
20 тыс. руб., как и в первоначальном варианте контракта.

Обратим внимание, что платеж в 20 тыс. руб. нельзя заменить любым
платежом , меньшим этой суммы (что и отражено в формуле (2.68)).
В условиях разобранного примера:

>----250-----= 16,089 тыс. руб.

1+—-0,35

360

Рассмотрим теперь задачу замены платежей Р}, Р,,..., Рт, выпла-
чиваемые соответственно через время ц, п,,..., пт, одним платежом
Рс с выплатой через время г\,. Как уже указывалось, при решении
задач такого типа пользуются уравнением эквивалентности, соглас-
но которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному
моменту времени, приравнивается платежу по новому соглашению,
приведенному к той же дате. Причем приведение осуществляется
путем дисконтирования к более ранней лате, или путем нарашения
величины соответствующего платежа, если эта дата относится к бу-
дущему. Обычно величину платежа определяют путем приведения
всех платежей к дате погашения платежа Pv. Рассуждая как и выше,
можно получить уравнение эквивалентности, в правой части которого
платежу Pt будет соответствовать слагаемое Р/1 + (/^ — nt)f) , если
Pj

п, > л платежу Р будет соответствовать слагаемое -—----— ,

1+(л,-ч,)г

если и0 > . Таким образом, уравнение имеет вид:

Ц = 2/: < I I К + 2/', (1 ' (2,ед

Правая часть уравнения (2.69) представляет собой сумму плате-
жей, приведенных к моменту времени, наступающему через период от
начального момента времени. Поэтому в первой сумме в правой части
этого уравнения происходит суммирование по тем i, для которых вы-
полнено п(| > п,, а во второй сумме — по тем j, для которых по — -

Очевидно, (2.65) является частным случаем (2.69) при т = 1

Пример

Платежи в 6,4 и 10 тыс. руб. должны быть погашены соответственно
через 90,165 и 270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три
платежа одним через 120 дней. Найдите величину консолидированно-
го платежа, если используется простая процентная ставка 38% годовых
и в расчет принимаются обыкновенные проценты.

В качестве момента приведения возьмем дату погашения консоли-
дированного платежа.

Так как срок погашения платежа в 6 тыс. руб. меньше 120 дней, то
процесс приведения для этого платежа будет осуществляться в виде
процесса наращения в течение 30 дней (120—90) по простой процент-
ной ставке 38% годовых.

Так как срок погашения платежа в 4 тыс. руб. больше 120 дней, то
процесс приведения для этого платежа будет осуществляться в виде
процесса дисконтирования по простой процентной ставке 38% годо-
вых за 45 дней (165—120). По той же причине сумма 10 тыс. руб. дис-
контируется за 150 дней (270—120).

Складывая приведенные суммы платежей, получим величину
консолидированного платежа %:

/' = 6-(1 + —-о ,38)+------+----11?---=18,642 тыс. руб.

1 + ^-0,38 1 + 1^-038
360 360
Если бы за дату приведения выбрали, например, время выплаты
платежа в 6 тыс. руб., то, рассуждая как и выше, получили бы такое
уравнение:

с z_______________2____.

30 75 180

1 +----0,38 1+----0,38 1 +------0,38

360 360 360

откуда — 18,683 тыс. руб.

При выборе в качестве даты приведения момента отсчета всех сро-
ков получим уравнение-

4 10

120

1 +----0,38

360

90 165 270

1 +----0,38 1 +------0,38 1 +-----0,38

360 360 360

из которого находим, что 7^ =18,780 тыс. руб.

Отличие результатов из-за выбора даты приведения обусловлено
правилами наращения и дисконтирования по простым процентам.
Поэтому при изменении финансового соглашения необходимо ого-
ворить дату, на которую будет осуществляться приведение всех сумм.

Если при замене платежей задана величина консолидированного
платежа Р{). то. вообще говоря, его срок можно найти из (2.691, ре-
шая соответствующее уравнение относительно пи. Однако непо-
средственное решение этого уравнения при большом количестве за-
меняемых платежей с различными сроками их погашения не всегда
представляет собой простую задачу, поскольку практически во всех
случаях необходимо предварительно проводить некоторое качествен-
ное исследование задачи, да и само уравнение можно часто решить
только с привлечением вычислительных машин. Покажем возникаю-
щие здесь сложности на примере с двумя платежами.

Пример

Платежи в 2 и 3 тыс. руб. должны быть погашены соответствен-
но через 45 и 90 дней. Кредитор и должник согласились заменить два
платежа одним в 5 тыс. руб. Найти срок оплаты консолидированного
платежа, если используется простая процентная ставка 12^ и способ
360/360.
Полагаем Ро — 5 ,Р. —2 ,Р2 —3 ,п =-= 0,125,п, =---= 0,25,

0 1 2 1 360 2 360

г— 0,12 и запишем в данных условиях уравнение (2.69). Для этого не-
обходимо знать предварительно примерное расположение относи-
тельно /7( и пу.

Величина не может быть меньше nt, так как Ю|да в правой ча-
сти (2.69) получили бы сумму дисконтированных величин 2 и 3, кото-
рая была бы, конечно, меньше 5. Очевидно также, что Ф nt. По ана-
логичным соображениям не может быть > п2. Если ц <ц) <п2,
то в правой части (2.69) получим сумму наращенной величины 2 и
дисконтированной величины 3, т. е. сумма может равняться 5.

Итак возможна только ситуация, когда nt < nv< п2. В этом случае
уравнение (2.69) принимает вид:

5 = 2.(1 + (^-О,125)-О,12) + 1 + (о25^)о|2. <2.70>

Решая это уравнение, находим два корня: 7^°= 21,0085 года,
fljf1 = 0,1998 года или « 72 дня. По смыслу задачи и в силу
ограничения nt <Ц0 <п2 значение о”1 = 21,0085 не подходит. Сле-
довательно, г\ = 72 дня.

Ясно, насколько возрастет сложность качественного исследования,
если платежей будет гораздо больше, чем два. Кстати, заметим, что и
величина нового платежа Pt должна удовлетворять некоторым огра-
ничениям. иначе исследуемая ситуация просто не будет иметь смысла.
Так, если в последнем примере Ро = 4, то проводя предварительные
рассуждения и выяснив, что возможно только соотношение д, < ,
в результате решения уравнения получим: nJ,1* = 8,509 года —
что невозможно, так как не удовлетворяет неравенству п^< пх, и
т?',1' = —1,884 — что невозможно из-за отрицательности значения.

На практике срок консолидированного платежа определяют из
равенства приведенных стоимостей соответствующих платежей:

(2.71)

откуда
(2.72)

причем этой формулой можно воспользоваться, если справедливо

неравенство Р > -----—-

1 п г

Для последнего примера равенство (2.71) примет вид:

5 2 3

I + 0,12ц ~ 1 + 0,125 - 0,12 + I + 0,25 - 0,12 ’

и следовательно.

1 5

Л°~(Ц2 2 । 3

. 1 + ОД 25 - ОД 2 + 1 + 0,25 - ОД 2

= 0,1996 года.

или п0 ~ 72 дня.

т. е. получили такой же результат. Обратим внимание, что в условиях
примера формулой (2.72) можно воспользоваться, если Ро >4,8831
тыс. руб.

Пусть nvr < 1 и пкг<Л для всех А", тогда разлагая (1 + псг) и
(1 + пкг) в ряд и ограничиваясь в каждом разложении только двумя
слагаемыми из (2.71) получим:

и если Л = Е Л • т° А,

Т,рл „ „

и---=£ Л

Ел *" Ёл
Таким образом, это приближенное равенство совпадает с (2.31) или
(2.33) для определения среднего срока и в отличие от (2.72) в прибли-
женном равенстве срок щ не зависит от процентной ставки. Поль-
зуясь приближенным равенством, для последнего примера получим:
2-0,125+3-0,25

пи *------------------= 0,2 года или пи ~ 72 дня

Видим, что для данного конкретного примера и приближенное ра-
венство, и формулы (2.72). (2.69) доставляют практически один и тот
же результат. Причину этого можно выявить, основываясь на строгих
математических выкладках. Мы же далее с помощью только рассуж-
дений качественного характера на простейшей ситуации покажем, в
силу каких условий возможен такой результат.

При гп— 1 равенство (2.72) после преобразований примет вид:

Р 1

Сравним (2.73) с (2.68). Если Pv > Pt. то срок определяемый
по (2.73), больше срока п^, определяемого по (2.68) на величину
fj-p, , ..

———/г,. Этой величиной в случае малых и малых различии

между суммами платежей часто можно пренебречь, и тогда формулы
(2.68) и (2.73) дают практически один и тот же результат. Однако если,
например, платеж Plt значительно превышает платеж Р}, то полу-
ченные сроки могут отличаться значимо, но всегда (2.73) доставляет
большее значение.

Пример

Платеж в 3 тыс. руб. со сроком уплаты 30 дней заменяется платежом
в 3,5 тыс. руб. Найти продолжительность новою срока, если исполь-
зуется простая процентная ставка 20^ и считают, что в году 360 дней.

Применяя формулу (2.68), получим-

30 1 3,5

-— +-----(---— 1) = 0,9167 года,

360 0,2v 3 f '
а при использовании формулы (2.73):

3,5 30 1 3,5

/2, - — ----+-----(— -1) - 0,9306 года,

0 3 360 0,2V 3 7

т. е. получили срок, превышающий на 5 дней (0,0139 года) срок, полу-
ченный по формуле (2.68). Если бы новый плаз еж равнялся 4 тыс. руб..

то превышение было бы на 10 дней.

Если Ри < Р}, то после преобразований по формуле (2.68)

получим:

1 Р-Р

--!--ч, а по

р г

формуле (2.73):

1 .г. — г,.

п0 = —(Pont-----------) - Таким образом, срок п0, определяемый

по формуле (2.68), будет больше срока пи, определяемого по формуле

Р,

(2.73) в — раз, но не больше, чем в (! + «]/) раз.

При замене платежей применяются и учетные ставки. Рассмотрим
вначале простейшую ситуацию, когда платеж Рх со сроком ц за-
меняется платежом Рг со сроком п0, причем используется простая
учетная ставка d и сроки измеряются от одного момента времени.
Составляя уравнение эквивалентности, получим:

Р{
1-(«о ~«1W’

если л0 > и,,
если пь =л„

(2.74)

7^(1 - (л, - n0)d), если п0 < л,.

Пример

Требуется заменить платеж в 200тыс. руб. со сроком уплаты 45 дней
платежом со сроком уплаты: а) 70 дней; б) 15 дней. В расчетах приме-
няется простая учетная ставка в 16 °о и в году 365 дней.
45

Полагаем Р, — 200 тыс. руб., d — 0,16, и, —-года.

1 365

а) Так как ------и и0 > nt, то согласно формуле (2.74):

365

--„ 2°в---------=202,216 тыс. руб.

365 365

6) В этом случае —--- и л0 < и(, поэтому по формуле (2.74):

365

45 15

Р = 200 (1 - (—---) 0,16) = 197,37 тыс. руб.

° 365 365

Пусть теперь требуется определить новый срок по установлен-
ному новому платежу Pv

Если Ро

Рх

Р., то из Р — -— ---— следует, что

l-(4-q)rf

1 рх

^=л>+^-д)=ч + ”-

Через п обозначено время, за которое капитал Рх вырастет до
величины Р^ при наращении простыми процентами по учетной
ставке d.

Если Ро < , то из Pv = /'(I — (nt — nv)d) следует, что

Ч. = Д-

где я обозначено время, за которое капитал Д вырастет до величи-
ны Ру при наращении простыми процентами по учетной ставке d,
и поскольку должно быть Zjj > 0, то величина капитала Ро должна
удовлетворять неравенству Л г P,(l-Hd).

Таким образом, срок пС1 определяется из формулы:
1 Р

п. + —(1 —L). если Р.. > Р..

1 d Р„

я0 = - я„ еслиР0=^, (2.75)

и, - —(1 - ^), если Р(1 -n.d) <Р.<Р..

1 d Р 11 01

Заметим, что в связи с определением срока д, из уравнения (2.74)
с использованием учетной ставки d можно сделать замечания, ана-
логичные таковым при определении из уравнения (2.65) с исполь-
зованием процентной ставки г. Приведем и частные случаи двух по-
следних формул. При = 0 формула (2.74) примет вид (2.20), а (2.75)
будет совпадать с (2.25). А при пи =0 формула (2.74) примет вид (2.18).
Таким образом, (2.18), (2.20) представляют собой простейшие случаи
замены платежей.

Пример

Найти величину нового срока, если платеж из предыдущего при-
мера предполагается заменить платежом в 210 тыс. руб.

Поскольку новый платеж превышает 200 тыс. руб., то по (2.75) по-
лучим:

45 [ 1 Г 200 000 А
365 0,161. 210000J

= 0,4209 года, или Цу —154 дня.

Задача консолидации платежей Pt, Р,,..., Рт, выплачиваемых
соответственно через время ц, гъ,..., с применением учетной
ставки dрешается аналогичным образом, как и с применением про-
центной ставки г. Выбираем за дату приведения момент уплаты кон-
солидированного платежа Ро. В правой части составляемого уравне-
ния эквивалентности платежу Pt будет соответствовать слагаемое
Р.

-------------, если и. > п , платежу/* будет соответствовать ела-

гаемое Р (1 —{я — n^jd) , если Цу < л . Следовательно, уравнение

имеет вид:
+ '+£^0 + (л7-Ч,)О (2.76)

‘ J

В правой части этого уравнения в первой сумме происходит сумми-
рован ие по тем 7, для которых выполнено ц, > nt, а во второй сумме—
по тем _/, для которых < п. Конечно, (2.74) является частным
случаем (2.76) при т— 1. Учетная ставка чаще всего используется при
консолидации векселей.

Пример

Владелец векселей (кредитор) со сроками уплаты 11.06.97
(1 тыс. руб.) и 15.08.97 (3 тыс. руб.) согласился с предложением долж-
ника об объединении двух векселей в один со сроком погашения
01.07.97. Какую сумму необходимо проставить в консолидированном
векселе, если используется учетная ставка 10% и способ 365/360?

Используя учетную ставку 10% годовых, осуществим приведение
всех сумм на 01.07.97 — дату погашения консолидированного векселя.

Так как срок погашения первого векселя мен ьше даты приведения,
то на сумму 1 тыс. руб. происходит наращение простыми процентами
по учетной ставке в течение 20 (182—162) дней. Вексель на сумму 3 тыс.
руб. учитывается за 45 (227—182) дней.

Складывая приведенные суммы, получим величину консоли-
дированного векселя:

1 45

Л =-----'-----+ 3(1---— - 0,1) = 3,969 тыс. руб

1-31-01 360 7

360 ’ ’

Для определения срока консолидированного платежа составляет-
ся равенство, аналогичное (2.71):

Р»(1-Чс') = ЁРЛ|-л1с'). (2.77)

откуда
! Ёла -м>

(2.78)

где /J, > £ Рк (1 - пк d}.

Если Ро — 22 . то из (2.78) следует, что П„ — 22

2л

это равенство совпадает с (2.37) или (2.39)

Пример

По финансовому соглашению фирма должна выплатить одному
кредитору суммы в размерах 3, 8 и 5 млн руб. через 30. 50 и 120 дней
после 1 марта. Однако позже было принято совместное решение по-
гасить все суммы единым платежом в 16,1 млн руб. Найти срок уплаты
консолидированного платежа, если используется учетная ставка 8% и
считают, что в году 360 дней

Воспользуемся формулой (2.78), полагая jP0 = 16,2 , Рх = 3, = 8 ,

Л =5’ пх

360 ’Пу

360

—. <7-0,08-
360

3-(1-----0,08)4-8(1------ 0,08)4-5 (1---- 0,08)

360 360 360

16,1

года, или ~ 96 дней.

Рассмотренные выше формулы для определения консолидирован-
ного платежа Рк и срока . конечно, не охватывают все возможные
случаи. Например, пять погасительных платежей объединяются в два
noracuiельных шдпежа; или изменяю!ся сроки платежей без изме-
нения их числа и т. п. Как правило, в каждой конкретной ситуации
составляется соответствующее уравнение эквивалентности, отража-
ющее содержание контракта. Причем необходимо оговаривать и не-
которые нюансы, возникающие при составлении этого уравнения.
Так при использовании приведенных значений платежей необходимо
согласовать дату (ее называют базовой), на которую производят при-
ведение. Ведь от изменения базовой даты в случае простых процентов
меняются (когда в меньшей, а когда в большей степени) значения но-
вых искомых характеристик

Пример

По условию контракта суммы вЗ,1 и 2,5 тыс. руб. должны быть вы-
плачены соответственно 5 мая, 15 июня и 25 октября. Стороны реши-
ли пересмотреть порядок выплат: 3,5 тыс. руб. выплачивается I июня,
1,5 тыс. руб. — 1 июля и остаток долга погашается 10 сентября. Опре-
делить величину третьего платежа, если пересчет осуществляется по
простой процентной ставке, равной 15*?, по способу 365/365. Все опе-
рации производятся в пределах одного года.

За дату приведения (базовую дату) примем, например. 15 июня —
время выплаты 1 тыс. руб. Для лучшего понимания вида уравнения
эквивалентности в данном случае укажем явным образом порядковые
номера в году представленных в контракте дат: 5 мая — 125; 15 июня —
166; 25 октября — 298:1 июня — 152:1 июля — 182:10 сентября — 253. Обо-
значая остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности:

166-125

2,5

298-166

365-О-15

166-152 1,5 Р

= 3,5 • (1 + ——--ОД 5) +-- ----------+----

365 182 —166 253—166

" 365 " 365

решая которое относительно Р, найдем Р= 1,462 тыс. руб

Если взять в качестве базовой даты 25 октября, то уравнение будет
иметь такой вид:
298-125

298 -166

3.(l + ——.O,|5) + |.(| + —— 0,15)4.2,5.

откуда Р= 1.459 тыс. руб., т. е. наблюдаем небольшое отличие от пре-

дыдущего результата.

Пример

В условиях предыдущего примера решено осуществить в новые
сроки три одинаковых платежа. Найти их величину

Обозначим каждый платеж через Р и запишем уравнение эквива-
лентности, выбрав в качестве базовой даты 15 июня:

166-125

3(1+^6^°’15>+1

2,5

298-166

—77-----Ш 5

365

166-152

182-166

—77------0,15

365

253 -166

—77------0,15

365

Поэтому Р= 2,166 тыс. руб.
Глава 3
Сложные проценты

3.1. Наращение сложными процентами

Для пояснения принципиальной разницы между простыми и
сложными процентами рассмотрим такую ситуацию. Клиент поло-
жил в банк на несколько лет сумму, равную Р, под простые проценты
по ставке г, причем счет можно закрыть в любое время и происходит
ежегодное декурсивное начисление процентов. Если клиент через два
года закроет счет, то он получит на руки Fi^ — /’(!+- 2 г).

Но он может поступить и таким образом: через год закрыть счет,
получив сумму Р(1 + г) . а затем положить эту сумму еще на гол. осу-
ществив тем самым операцию реинвестирования. Такое действие по-
зволит ему в конце второго года получить

= Р(1 + г)(1 + г) - Р(1 + г)2 - Р(1 + 2г + г) - F™ + Р- г2

Величина F^ больше F^ на величину Р 'Г = (/*• г)* г, кото-
рая представляет собой проценты, начисленные на проценты Р - г,
полученные за первый год. Еще значительнее будет разница между
суммой, полученной через 3 года при закрытии счета, и суммой, по-
лученной в результате переоформления счета каждый год.

Ясно, что клиенту выгодно ежегодное переоформление счеш. По-
этому с целью предотвращения такого рода действий и поощрения
долгосрочных вкладов в коммерческой практике применяют слож-
ные проценты.

Считается, что инвестция сделана на условиях сложного про-
цента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной ве-
личины инвестированного капитала Р (как для простых процентов),
а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невос-
требованные инвестором проценты. В этом случае происходит капи-
тализация процентов, т. е. присоединение начисленных процентов к
их базе, и, следовательно, база, с которой начисляются проценты, все
время возрастает Таким образом, размер инвестированного капитала
будет равен:

— к концу первого года: Fx = Р + Р - Г= Р{1 + г);

— к концу второго года. Р2 = Ft + Ft г— Д (1 + г) = Р(1 + г)2,

— к концу /7-го года:

Fn=P(l + rY.

(3.1)

Равенство (3.1) называется формулой наращения по сложным про-
центом, или формулой наращения сложными процентами', множитель
(1 + г)” — множителем наращения (accumulation factor) сложных про-
центов, или мультиплицирующим множителем; 1 + г — коэффициен-
том наращения, или сложным декурсивным коэффиииентом.

Из (3.1) видно, что множитель наращения равен индексу роста сум-
мы Р за п лет.

Согласно формуле (3.1) наращение капитала происходит сложны-
ми процентами «со 100». Действительно, F} является суммой капита-
ла Р и процентов Р - г «со 100». Величина F2 является суммой ка-
питала Fx (наращенною за один год из первоначального капитала Р)
и процентов «со 100» по отношению к ит. д.

Очевидно, последовательность F}, F,,..., Fn представляет собой
геометрическую прогрессию со знаменателем 1 + г

В отличие от схемы простых процентов в данном случае прираще-
ние капитала

I = Fn-Р=р[(1 + г)"-1]

(3.2)

не пропорционально ни сроку ссуды, ни ставке процента (естествен-
но, если пФ I)

Заметим, что поскольку при начислении сложных процентов осу-
ществляется реинвестирование, ю формула (3.1) следует и из форму-
лы (2.11), когда каждый период начисления процентов равен одному
году (т. е. в формуле (2.11) полагаем п' — 1).

Пример

Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15*% годовых. Най-

ти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.
Применяя формулу (3.1), получим

Fa - 20(1 000-(1 + 0,15)’ - 349 Я01,24 руб.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократ-
ного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал,
генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении про-
стого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать
для потребления или использования в других инвестиционных про-
ектах или текущей деятельности.

Формула наращения по сложным процентам — одна из базовых
формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользо-
вания значения множителя /ТИЦд п) — (1 + г) ". обеспечивающего
наращение стоимости, табулированы для различных значений г и п
(см. табл. 1 приложения 3). Тогда формула алгоритма наращения по
схеме сложных процентов переписывается следующим образом*

F„ -Р

(3.3)

Экономический смысл множителя РМЦг, ri) состоит в следую-
щем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один
рубль, один доллар, одна иена и т. п.1 через п периодов при заданной
сложной процентной ставке г. Множитель FM\fjr, ri) иногда назы-
вают фактором будущей стоимости текущего капитала или первой
функцией сложного процента. При выводе формулы (3.1) предпола-
галось, что п измеряется в годах, а г — годовая процентная ставка.
Однако эту формулу можно применять и при других периодах начис-
ления. Необходимо только следить за соответствием длины периода
и процентной ставки. Сказанное должно быть учтено и при пользо-
вании финансовыми таблицами. Так, если базовым периодом начис-
ления процентов является квартал (месяц), то в расчетах должна ис-
пользоваться кваргальная (месячная) ставка1.

Обратим внимание на то, что в табл. 1 приложения 3 значения
процентной ставки г даны в процентах (как на практике обыч-

1 В XIX в при вычислении сложных процентов использовались также логарифмы
[I. ГМ, 1875] Любопытен и рекурсивный метод, позволяющий с помощью бинома
Ньютона определять наращенную сумму |1, Брун, с 4]. При этом вычислялись не все
члены бинома Ньютона, поскольку начиная с некоторого они (в силу существующих в
то время малых ставок) становились пренебрежимо маты
но и делается), хотя в выводах различных соотношений и в самой
записи множителя FM\(r,n) процентная ставка г используется
в виде десятичной дроби. Ставка, выраженная в процентах, вос-
принимается естественнее. Поэтому мы несколько будем нару-
шать математическую строгость при записи множителя FMl(r, ri).
Так, при решении предыдущего примера с помощью табл. 1 мы
записали бы /7171(15%,4), а не /7171(0,15, 4), как следовало бы.
Аналогичное замечание справедливо и для остальных таблиц
приложения 3.

Как и в случае начисления простых процентов, финансовое согла-
шение может предусматривать плавающие процентные ставки и при
наращении по сложным процентам. Пусть п1,п2,...,пп1 — следую-
щие друг за другом периоды и на период пк установлена процентная
ставка ik. Тогда, учитывая капитализацию начисленных процентов
при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за
время и = У.пк (считая, что все периоды и, следовательно, процент-
*=i

ные ставки измеряются в одних и тех же соответствующих единицах)
определяется по формуле

Л, - PI1+4)’(1 + /2)” (I • Т1г = лП(1 + 4)" - (3-4)

*=|

Обратим вниман ие, что в формуле (3.4) каждый период пк измеря-
ется в периодах начисления, т. е. равен количеству периодов начисле-
ния сложных процентов по ставке ik.

Обозначим 1 =| + —1- тогда (3.4) примет вид

Fn = + Таким образом, в течение всего периода длительно-

стью п можно установить сложную ставку i, доставляющую такой
же результат, как и переменные ставки, при этом для нахождения на-
ращенной суммы можно пользоваться формулой (3.1).

Если /’ — /2 =...= im — i, т. е. на весь период соглашения установ-
лена постоянная ставка, то из (3.4) получаем (3.1).

Естественно, формулой (3.4) можно пользоваться и в тех случаях,
когда периоды выражены в различных единицах времени. Необходи-
мо только, чтобы размерность каждого периода была согласована
с размерностью процентной ставки ik , а при определении длительно-
сти п общего периода все пк, естественно, должны быть выражены с
помощью единицы времени, одинаковой для всех периодов.

Пример

Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 млн руб.
сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная
ставка равна 10% годовых, на следующие два года устанавливается
маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Най-
ти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окон-
чании срока ссуды, если начислялись сложные проценты.

Так как Р= 25, пх — 1, л, = 2, л3 = 3,

i\ = 0,1; 4 = 0,104; i3 = 0,107; то по формуле (3.4):

Д -25(1 + 0.|)(| + 0.104)Т1 + 0.107)1 =45.469 млн руб.

Такая же величина наращенной суммы получается, ес-
ли в течение 6 лет начисляются сложные проценты по ставке
7 = ^/(1 + 0,1)(1 + 0,104)2(1 + 0,107)3 -1 = 0,10483 или

7 = 10,483%.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, за-
ключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом слу-
чае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

• по схеме сложных процентов:

7;,=Р(1 + г)в+' (3.5)

• по смешанной схеме (используется схема сложных процентов
для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части
года).

Г„=Р(14/Г(1+ (3.6)

где ги= [л] — целое число лет (квадратной скобкой обозначена целая
часть числа); f — дробная часть года {f=n — [л]) ; п— w + f.

Очевидно, что при / = 0 формулы (3.5) и (3.6) совпадают между
собой и с формулой (3.1).
Притер

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. евро на 30 месяцев под
30^ годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую
сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

В данном случае п— 2,5, w— 2, f— 0,5.

По формуле (3.5): F2 5 = 10(1 + 0,3)2+°’5 = 19,269 тыс. евро

По формуле (3.6): F2 s = 10(1 + 0,3)2 (1 + 0,5 • 0,3) —19,435 тыс.
евро.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления
процентов более выгодна для банка.

Как же соотносятся величины наращенных сумм при начислениях
по схеме простых и по схеме сложных процентов4 Это чрезвычайно
важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от
величины п. Сравним множители наращения по простым и сложным
процентам, т. е. сравним 1 + пг и (1 + г)”. Очевидно, что при п= 1
эти множители совпадают и равны 1 + г. Можно доказать, что при
любом г справедливы неравенства:

1 + nr > (1 + г)”, если 0< п< 1;

1 + пг<(1 + г)п, если п>1-

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для
лица, предоставляющего кредит:

• более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее
одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

• более выгодна схема сложных процентов, если срок ссуды пре-
вышает один год (проценты начисляются ежегодно!:

• обе схемы дают одинаковые резул ьтаты при продолжится ьности
периода I год и однократном начислении процентов.

Отсюда, в частности, следует, что наращенная сумма будет боль-
ше при использовании смешанной схемы (формула (3.6)), чем при
использовании схемы сложных процентов (формула (3.5)), что и на-
блюдали в предыдущем примере. Можно показать (используя ряды),
что при малых г наибольшая величина разности между (3.6) и (3.5)
достигается при f~ 0,5
Графически взаимосвязь между 7^<s> = Р(1 + лг) и

F„ = Р(1+г)" можно представить следующим образом (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Простая и сложная схемы наращения капитала

Пример

Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн руб.
при размещении ее в банке на условиях начисления простых и схе-
мы сложных процентов, если: а) годовая ставка 20%; б) периоды на-
ращения: 30 дней. 90 дней. 180 дней. 1 год. 5 лет. 10 лет. Полагать год
равным 360 дней.

Результаты расчетов можно свести в таблицу (табл. 3.1).

Таблица 3.1

(млн руб.)

Схема начис- ления 30 дней (л = 1/12) 90 дней (л = 1/4) 180 дней (л = 1/2) <л = 1) (л =5) 10 лет (л = 10)
Простые про- центы 1,0167 1.05 1,10 1.20 2,0 3.0
Сложные проценты 1,0153 1,0466 1,0954 1.20 2.4883 6,1917

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок
90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при исполь-
зовании схемы простых процентов — 1,05 млн руб.; при использовании
схемысложныхпроцентов— 1,0466млнруб.Следовательно,более выгод-
на первая схема (разница — 3,4 тыс. руб.). Если срок размещения денеж-
ных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально —
более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом
случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 2(Г'г годовых
при использовании схемы простых процентов за 5 лет происходит удво-
ение исходной суммы, а при использовании схемы сложных процентов
за 5 лет исходная сумма увеличивается почти в 2,5 раза. Еще большую
разницу между наращенными суммами мы видим через 10 лет.

Найдем в общем виде время, необходимое для увеличения перво-
начальной суммы Р в к раз при начислении простых и сложных про-
центов. Так как в обоих случаях множители наращения равны к, то
для простых процентов из равенства 1 + пг= к получаем

(3.7)

а для сложных процентов из равенства (1 + г)п — к получаем

1п£

1й(1 + г)

(3.8)

Из этих формул можно найти период, за который происходит уд-
воение первоначальной суммы при одинаковой ставке г простых и
сложных процентов. Полагая в (3.7) и (3.8) к— 2 , соответственно по-
лучим

п— — (для простых процентов),

In 2

п =----------(для сложных процентов).

in(l + r)

В практических расчетах для наглядной и быстрой оцен-
ки эффективности предлагаемой ставки наращения при ре-
ализации схемы сложных процентов пользуются приблизи-
тельным расчетом времени, необходимого для удвоения инве-
стированной суммы, известным как «правило 72». Это прави-
ло заключается в следующем: если г — процентная ставка за
период, выраженная в процентах, го п — 72/г представляет
собой число периодов, за которое исходная сумма приблизи-
тельно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для неболь-
ших значений г (3—18^). Так, если годовая ставка г = 12% то
п = 6 годам. Подчеркнем, что здесь речь идет о периодах начис-
ления процентов и соответствующей данному периоду ставке, а
именно: если базовым периодом, т. е. периодом наращения, напри-
мер, является половина года, то в расчете должна использоваться
полугодовая ставка. Следует также обратить внимание на то об-
стоятельство, что, хотя в большинстве финансовых расчетов про-
центная ставка берется в десятичных дробях, в формуле алгоритма
«правила 72» ставка взята в процентах.

Существуют и другие правила, с помощью которых быстро рас-
считывают срок удвоения первоначального капитала для конкретной

ставки. В литературе можно встретить «правило 70»: п=— и ана-

логичное «правило 71»‘. Отметим также «правило 69»: п —-Р 0,35.

Например, при годовой ставке г— 12% по правилам «70», «71» и «69»
<п 70 (2, 71

соответственно получим: л* = — ® 5,83 года, п = у^-®5,92 го-

<3) 69

да, п = — + 0,35 = 6,1 года. Так как все перечисленные правила

дают приблизительные значения, то, естественно, получаем расхож-
дение в сроках. Если же воспользоваться точной формулой, то полу-
1п2

ч,“ In 1,12 * ’ ,ода-

В случае нецелого числа лет кроме схемы сложных процентов и сме-
шанной схемы (формулы (3.5) и (3.6)) возможны и другие методы на-
числения процентов. Приведем эти методы и сравним их между собой.

1 Очевидно совпадение «правила 72* с аналогичным правилом оценки инфляции,

изложенным в одиннадцатом разделе второй главы. И это понятно: сама формула
определения индекса цен (2.55) за несколько периодов при одинаковом темпе инфля-
ции в каждом периоде формально совпадает с формулой нахождения множителя на-
ращения сложных процентов в (3.1).
Можно использовать схему сложных процентов для целого числа
лет, взяв это число с избытком, и затем полученную сумму учесть «на
100» из простых процентов за лишнее время, добавленное для дости-
жения целого числа лет. Таким образом, если п — w+ f (0< f< 1),
то добавляем время 1 — f и получаем целое число лет w + 1. Нара-
щенная сумма находится по формуле

1 + (1- f)r

(3.9)

Если же сумму Р(1 + г) учесть простыми процентами «со 100»

за лишнее время, то наращенная сумма определяется формулой

(3.10)

Можно использовать схему сложных процентов для целого числа
лет и затем полученную сумму нарастить простыми процентами «во
100» за дробную часть года, т. е. применить формулу

Р(1 + г)”

Л —;—т—

1-#

(3.11)

Конечно, (3.11) можно применить, если 1— #> 0 Поскольку
1

в этом случае --— > 1 + fr, то наращение по формуле (3.11, дает

1— ir

больший результат, чем по смешанной схеме (3.6).

Так как 0<1—/'<1. то справедливо неравенство
1 + (1 — f)r > (1 + г) , которое равносильно при умножении обе-
их его частей на (1+г) неравенству (1 + (1 — /)г)(1 + г) >1 + г,
f I + г

т.е. справедливо (1+г) >------—-------. Таким образом, нараще-

ние по формуле (3.9) дает меньший результат, чем по схеме сложных

процентов (3.5). А поскольку

1 —(1— f)r , то (3.10) до-

1+(1-/у

ставляет меньшую сумму, чем (3.9).
Следовательно, наращенные суммы расположатся в порядке убы-
вания, если их вычислять последовательно по формулам (3.11), (3.6),
(3.5), (3.9), (3.10).

Пример

Кредит в размере 2 млн руб. выдан на 33 месяца по ставке 16 °Ь годо-
вых. Определить сумму долга на конец срока.

Если вычислять наращенные суммы последовательно по форму-
лам, номера которых приведены перед формулировкой примера, то
получим следующие результаты (« = 2,75; и»=2;/ = 0,75; I—/ = 0,25):

(2,=

2(1+ 0,1 б)2
1-0,75-0,16

-3,058 млн руб.;

Рг „ = 2(1 +0,1612(1 +0,75-0,16)-3,014 млн руб.
(смешанная схема);

Fw, =2(1 + 0,16)2” =3,008 млн руб

(схема сложных процентов):

2(1+0,16/

1 + 0.25-0,16

= 3,002 млн руб.;

F2"75 = 2(1 + 0,16/(1 - 0,25 - 0,16) = 2,997 млн руб.

Действительно наблюдаем убывание величин наращенных сумм.

3.2. Внутригодовые процентные начисления

На практике капитализация процентов часто происходит несколь-
ко раз в году - по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже
ежедневно. Например, такие ситуации нередко предусматриваются
условиями в депозитных договорах, в соглашениях на получение кре-
дита, в контрактах, оговаривающих выплату дивидендов и т. п.

При начислении сложных процентов несколько раз в году пользу-
ются формулой (3.1), понимая под п число периодов начисления, а
под г — процентную ставку за период. Однако в финансовых согла-
шениях, как правило, указывается не ставка за период, а годовая про-
центная ставка и одновременно определяется количество периодов
начисления. С этих позиций преобразуем формулу (3.1).

Итак пусть заданы количество т начислений в году и годовая
процентная ставка, которую обозначим через г("“ (с помощью верх-
него индекса туказываем, сколько раз в течение года происходит на-
1
ращение). В этом случае длительность периода наращения равна —
т

года. Годовая процентная ставка г(лв называется номинальной (nominal
1

rate), если соответствующая процентная ставка it за период — на-

ходится из равенства . Заметим, что такое, с нашем точки

зрения, удачное обозначение номинальной ставки придумано не на-
ми. Аналогичное, только с индексом внизу, использовал, например,
Н. С. Лунский [I, Лунский, 1916 (б), с. 21].

В этих обозначениях формула (3.1) для нахождения наращенного
капитала за п лет при m-кратном начислении процентов в год при-
мет вид

/; = ni+;1)v = /i+—I

- k mJ

(3.12)

где 2V— тп — количество периодов начисления процентов за п лет.

Конечно, (3.1) можно рассматривать в качестве частного случая
(3.12) при т— 1.

Заметим, что при использовании множителя наращения
FMl(r,ri) — (1 + г)” формула (3.12) записывается в виде

Fn = Р- FM\(-. тп}.

Следовательно, в ряде случаев значения множителя 1 +-

k mJ

можно найти по таблице значений множителя FMl(r,ri), полагая в
качестве г и п соответственно---- и тп (конечно, если таблица

достаточно подробна и позволяет сделать это).

С целью упрощения записи в дальнейшем, если не возникает не-
доразумений, индекс т у номинальной процентной ставки будем
периодически опускать и писать просто г, однако при этом помня о
количестве начислений процентов за базовый период

Пример

В банк вложены деньги в сумме 5 млн руб. на два года с полугодо-
вым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начис-
ление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20%: 2), а
схема возрастания капитала будет иметь вид

с. умма, ,, , , к-умма

_ _ Коэффициент

Период с которой к концу

наращения
идет начисление периода

6 месяцев 5,0 * 1,10 - 5,5

12 месяцев 5,5 * 1,10 • 6,115

1S месяцев 6.05 * 1.10 - 6.655

24 месяца 6,655 * 1,10 7,3205

Если пользоваться формулой (3.12), то

Р — 5,л= 2, т— 2.г’"!| — /2) = 0.2. следовательно

0,2 „

Д = 5(1 + -у) 2 = 7,3205 млн руб.

Пример

В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится
ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы процен-
ты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз (т= 4)
по ставке 5% (20%: 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит:
F, = 5(1 + 0,05)’ = 7,3875 мл„ ру6

Таким образом, можно сделать несколько простых практических
выводов:

• при начислении сложных процентов: 12% годовых не эквива-
лентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начина-
ющих бизнесменов);

• чем чаше идет начисление по схеме сложных процентов, тем
больше итоговая накопленная сумма.

Заметим, что для простых процентов такие выводы не имеют
места. Покажем это. В формуле наращения по простым процентам
F— Р(1 + пг) уменьшим период начисления в т раз. Тогда вместо
г надо взять процентную ставку —, а вместо п — количество пе-

риодов начисления процентов, равное тп. Вычисляем наращенную
сумму

F - /’(I + тп—) - Р(1 + пг)

и убеждаемся, что она не изменяется. Приведенное свойство являет-
ся одним из характерных свойств наращения по простым процентам.
Например, наращение простыми процентами ежегодно по ставке
10% годовых дает тот же результат, что и ежеквартальное наращение
простыми процентами по ставке 2,5% за квартал. При наращении по
сложным процентам ежеквартальное начисление доставляет боль-
ший результат, чем ежегодное.

Из формулы (3.12) можно найти период п, за который сумма Р
(т)
при /я-кратном начислении процентов в год по ставке г возрастет
до величины Fa. Решая (3.12) как уравнение относительно неизвест-
ного л, получим формулу

mln(l + —)

(3.13)
которая при л?=1и?” =г примет вид

1П(1 + /-)’

(3.14)

что нетрудно получить и из равенства (3.1).

Аналогичным образом, решая (3.12) относительно r(ni>, получим:

и при т = 1:

Пример

На вклад начисляются ежемесячно сложные проценты по номи-
нальной годовой процентной ставке 16%. За какой срок первоначаль-
ный капитал утроится? Как изменится результат, если сложные про-
центы начисляются ежегодно?

Полагая Fn — ЗР,т — 12,г*12* =0,16 и используя (3.13), получим:

1пЗ

0,16
121п(1 + -^-)

-6,912 года

При ежегодном начислении процентов применяем формулу (3.14)
или (3.13) при /77 — 1:

1пЗ

———г = 7,402 года.

1п(1 + 0,16) ’
Пример

Вкладчик хотел бы за 5 лет удвоить сумму, помещаемую в банк на
депозит. Какую годовую номинальную процентную ставку должен
предложить банк при начислении сложных процентов каждые пол-
года?

Так как п— 57FS — 2Р,т = 2 , то

/!| = 2(2"-1) = 0,1435,

т. е. ставка должна быть не менее 14.35%.

Заметим, что применяя в данном случае «правило 72» в определен-
ном смысле наоборот—для нахождения процентной ставки, получим
72

= 14,4, что не сильно отличается от 14,35%.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление про-
центов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжи-
тельность общего периода действия контракта не равна целому числу
под периодов. В этом случае возможно использование схем:

а) схема сложных процентов.

1 (1+—1 =р(1+—1 (3.15)

т J mJ mJ ' '

б) смешанная схема:

где т — количество начислений в году;

г — годовая ставка;

w — целое число под периодов в п годах (Tv— [/TZfirJ, напом-
ним. что в данном случае квадратные скобки обозначают целую часть
числа);

й-+ f

f — дробная часть под периода ( f — тп — [тти] ); п =-

Формулы (3.5) и (3.6) являются частными случаями соответ-
ственно формул (3.15) и (3.16) при т = 1 . Обратим внимание так-
же, что при f —0 формулы (3-15) и (3.16) совпадают между собой и с
формулой (3.12).

Конечно, кроме схем (3.15) и (3.16) в принципе возможно и исполь-
зование схем, аналогичных (3.9) — (3.11).

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 121) тыс. руб. на 27 месяцев (т. е.
9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовремен-
ного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Про-
анализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных
вариантах и схемах начисления процентов: а) годовом; б) полугодо-
вом; в) к вар i альним.

а) Годовое начисление процентов.

В этом случае продолжительность ссуды не является кратной про-
должительности базового периода, т. е. года. Поэтому возможно при-
менение любой из схем, характеризуемых формулами (3.5) и (3.6) и
значениями соответствующих параметров: п — 2,25, w= 2; f = 0,25;
г = 0,16.

При реализации схемы сложных процентов:

Г.,, = /Ц ' =12(1(1 ! 0,16)=25 =167,58 тыс. руб.

При реализации смешанной схемы.

ли=Р(1+г)-(1+А)-

= 120(1+0, •)= (1+0,25 0,16) = 167,93 тыс. руб.

Конечно, здесь можно было воспользоваться и формулами (3.15),
(3.16), полагая т — 1.

б) Полугодовое начисление процентов.

В згом случае мы имеем место с ситуацией, когда начисление про-
центов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжи-
тельность общего периода действия контракта не равна целому чис-
лу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами
(3.15) и (3.16), когда параметры формул имеют следующие значения:
л1=2;и = [2 -2,25] = [4,5] = 4, / -4,5 4 - 0,5; /- 0,16.

При реализации схемы сложных процентов:
„<»"> _

F, ,5 = Р(1 +--)“ '7 = 120(1 + 0,08)4 5 = 169,66 тыс. руб.

При реализации смешанной схемы.

Г22! =Р(1+-—-ffl-t-/-—)_ 120(1 +0,08)“ (1 + 0.5-0,08) = 169,79 ТЫС. руб.
m т

в) Квартальное начисление процентов.

В этом случае т— 4, lv— [4 • 2,25] = [9] — 9; f — 0, т. е. про-
должительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому
формулы (3.15) и (3.16) дают один и тот же результат:

Г2 „ = 120(1 +0,04)В 9 = 170,8 тыс. руб.

Фактически пользуемся обычной формулой наращения сложны-
0,16

ми процентами (3.3), в которой п = 9, а г = —— 0,04 .

Обозначим через гп процентную ставку за время п. Тогда при ис-
пользовании схемы сложных процентов (формула (3.15)):

а при использовании смешанной схемы (формула (3.16):

„(«> _ _„<>«)

= (1 +--)"(!+/----)-1-

т т

В этих обозначениях формулы (3.15) и (3.16) (и их частные случаи —

(3.5) и (3.6)) примут вид, аналогичный (1.7): = /’(l +гп).
3.3. Эффективная годовая процентная ставка

Различными видами финансовых контрактов могут предусматри-
ваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих
контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно
годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности
сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.
Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности
таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который
был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показа-
телем является эффективная годовая процентная ставка (effective rate)
ref, обеспечивающая переход от Р к Fn при заданных значениях
этих показателей и начислении процентов раз в год.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следую-
щим образом. Задана исходная сумма Р, годовая процентная ставка
(номинальная) г<т) = г, число начислений сложных процентов т.
Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует
вполне определенное значение наращенной величины Ft. Требуется
найти такую годовую ставку геГ, которая обеспечила бы точно такое
же наращение, как и исходная схема, но при однократном начисле-
нии процентов, т. е. т = 1. Иными словами, схемы Р—---->Fl и

Р—-—>FX должны быть равносильными, т. е. эффективная годовая
процентная ставка геГ дает возможность увидеть, какая сложная го-
довая процентная ставка позволяет достичь такого же финансового
результата, как и при /77-кратном начислении сложных процентов в

год по процентной ставке---.

777

Из формулы (3.12) следует, что в рамках одного года:

Из определения эффективной годовой процентной ставки следует,
что:

Л -/'I /' г-, = Л1 I
отсюда:

(3.17)

Из формулы (3.17) следует, что эффективная ставка зависит от ко-
личества внутригодовых начислений, причем с ростом т она увели-
чивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти
соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают
лишь при т = 1. Именно ставка ref является критерием эффектив-
ности финансовой сделки и может быть использована для простран-
ственно-временных сопоставлени й.

Формулу (3.17) можно получить и определяя норму прибыли за год
при начислении сложных процентов по номинальной процентной
ставке г**”5:

Таким образом геГ показывает, какой относительный годовой до-
ход будет получен от начисления сложных процентов по данной но-
минальной процентной ставке.

Пример

Предприниматель может получить ссуду а) либо на условиях еже-
месячного начисления процентов из расчета 26% годовых, б) либо на
условиях полугодового начисления процентов из расчета 27% годо-
вых. Какой вариант более предпочтителен?

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссу-
ды могут быть определены с помощью расчета эффективной юдовой
процентной ставки — чем она выше, тем больше уровень расходов. По
формуле (3.17):

вариант (а):

-1 = 0,2933;
вариант (б):

Таким образом, вариант (б) более предпочтителен для предприни-
мателя. Принятие решения не зависит от величины кредита, посколь-
ку критерием является относительный показатель — эффективная
ставка, а она, как следует из формулы (3.17), зависит лишь от номи-
нальной ставки и количества начислений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно
важно для финансового менеджера. Дело в том, принятие решения о
привлечении средств, например, банковской ссуды на тех или иных
условиях делается чаше всего исходя из приемлемости предлагаемой
процентной ставки, которая в этом случае характеризует относитель-
ные расходы заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно или
умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируется,
хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке,
которая может весьма существенно отличаться от эффективной став-
ки. Рассмотрим простейший пример.

Пример

Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при раз-
личной частоте начисления процентов, если номинальная ставка рав-
на 10%. По формуле (3.17) для некоторых значений т получим:

т 1 2 4 12 365
r.f 0,10 0,1025 U,10381 и.10471 0,10516

Различие между двумя С|авками может быть гораздо более рази-
тельным при заключении некоторых специальных кредитных дого-
воров, например при оформлении кредита на условиях добавленного
процента.

Математически можно показать, что при т> 1 справедливо не-
равенство ref > , которое, очевидно, следует и из финансовых со-

ображений.
В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок
указывать — эффективную или номинальную, поскольку использо-
вание как одной, так и другой дает одну и ту же (с любой точностью
приближения) наращенную сумму. В США в практических расчетах
применяют номинальную ставку (и, следовательно, формулу (3.12)).
В европейских странах, как правило, вначале определяют эффектив-
ную ставку геГ и затем пользуются формулой Fn — /’(I + геГ)п

Из формулы (3.17) следует, в частности, соотношение для опреде-
ления номинальной ставки, если в контракте указаны эффективная
годовая процентная ставка геГ и число начислений сложных процен-
тов т:

г<л° ="?[(!+ г/)'"-1].

(3.18)

Пример

Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна
18% и сложные проценты начисляются ежемесячно.

Поскольку геГ = 0,18 и т— 12 , то по (3.18)

/'”=12[(1 + 0,18)и-1]=0,1667 или /‘” = 16,67%

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по
ставке 18% годовых дает тот же результат, что и ежемесячное начисле-
ние сложных процентов по ставке 16,67%.

Если две номинальные головые процентные ставки определяют
одну и ту же эффективную ставку, то они называются эквивалентны-
ми. Из этого определения следует, что эквивалентные номинальные
процентные ставки г<т) и ril> удовлетворяют равенствам:

Пример

Каковы будут эквивалентные номинальные годовые процентные
ставки с начислениям по полугодиям и ежеквартально, если соответ-
ствующая им эффективная ставка равна 20%?
Пользуясь (3.18), получим:

/2’ = 2[(1 + 0,2)* -1] = 0,1909, /4> = 4[(1 + 0,2)* -1] = 0,1865.

Таким образом номинальные ставки г*2> = 19,09% и
г*4* = 18,65% являются эквивалентными, причем видно, что

Указанное в примере неравенство справедливо и в общем случае,
а именно: пусть г*”1* и г*Л — эквивалентные номинальные годовые
процентные ставки и т> /, тогда /*”’ <1>,}.

Мы рассмотрели наиболее стандартный и широко распространен-
ный подход к понятию эффективной ставки. В принципе возможны и
другие подходы, естественно вытекающие из разнообразия финансо-
вых соглашений. Например, вполне реальна ситуация, когда условия
начисления процентов меняются: в частности, после схемы сложных
процентов начиная с какого-то момента времени начинают исполь-
зовать схему простых процентов, при этом контракт не прерывается.
Для анализа эффективности такого типа контрактов формула (3.17)
не срабатывает и можно предложить следующий подход к нахожде-
нию эффективной процентной ставки, не использующим явным об-
разом номинальную ставку. Пусть известна первоначальная сумма
Р и наращенная (каким-либо образом) за время п сумма Fn, то по
определению ref.z Fn = Р(1 + геГУ и поэтому

(3.19)

Пример

В долг на 2,5 года предоставлена сумма в 30 тыс. руб. с условием
возврата 40 тыс. руб. Найти эффективную ставку в этой финансовой
сделке.

По формуле (3.19):

( 40\Н

гг = — I — 1 = 0,12196 или г г = 12,196%.

еГ 1зо/
Проверим полученный ответ. Пусть в банк помещен вклад в разме-
ре 30 тыс. руб. на 2,5 года под 12,196% годовых и начисляются сложные
проценты. Тогда наращенная сумма будет равна:

F,, = 30(1 + 0,12196)’5 » 40,0004 = 40 тыс. руб.

Кстати, если взять более грубое приближение эффективной став-
ки: геГ = 12,2%, то получим все равно достаточно удовлетворитель-
ный результат:

F15 = 30(1 + 0.122)1'5 « 40.004 » 40 тыс. руб.

Полученной эффективной ставке соответствует, например, номи-
нальная годовая процентная ставка с начислением процентов по по-
лугодиям, определяемая по формуле (3.18):

/2> =2[(1 +0^2196)= — 1] — 0.1185 „„„ /!| =11,85%.

3.4. Дисконтирование по сложной
процентной ставке

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной
вид бизнеса, исходят из того, является это вложение более прибыль-
ным (при допустимом уровне риска), чем вложения в государственные
ценные бумаги, или нет. Используя несложные методы, пытаются
проанализировать будущие доходы при минимальном, «безопасном»
уровне доходности.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих по-
ступлений Fn (например, в виде прибыли, процентов, дивидендов) с
позиции текущею момента. При этом, сделав финансовые вложения,
инвестор обычно руководствуется тремя посылками: а) происходит
перманентное обесценение денег (инфляция); б) темп изменения цен
на сырье, материалы и основные средства, используемые предприяти-
ем, может существенно отличаться от темпа инфляции; в) желательно
периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в раз-
мере, не ниже определенного минимума. Базируясь на этих посылках.
инвестор должен оценить, какими будут его доходы в будущем, какую
максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело ис-
ходя из прогнозируемой его рентабельности.

Базовая расчетная формула для такого анализа является следстви-
ем формулы (3.3):

Р=

Л,

FM\(r,n)

-^—=Fn-FM2(r,n),

(3.20)

где: Fn — доход, планируемый к получению через п лет;

Р — текущая (встречающиеся синонимы: приведенная, совре-
менная, сегодняшняя) стоимость (present value), т. е. оценка величины
Fn с позиции текущего момента;

г — процентная ставка.

Экономический смысл такого представления заключается в следу-
ющем: прогнозируемая величина денежных поступлений через п лет
( Fn) с позиции текущего момента будет меньше и равна Р (посколь-
ку знаменатель дроби больше единицы). Это означает также, что для
инвестора сумма Р в данный момент времени и сумма Fn через л лет
одинаковы по своей ценности.

Аналогично случаю простых процентов процесс нахождения Р
по Fn по формуле (3.20) называется математическим дисконтирова-
нием. То есть решается задача нахождения такой величины капитала
Р, которая через п лет при наращении по сложным процентам по
ставке г будет равна F„. Как и ранее разность D, между F„n Р на-
зы вается дисконтом:

О,- р,-р= ^-^7^7= Д(1-(1 + г)") (3.21)

Множитель FM2(r,ri) — -----— = г"называется множителем

дисконтирования или дисконтным множителем (discount factor), его

1
значения табулированы (см. табл. 2 приложения 3). Величина-

1 + г

представляет собой коэффициент дисконтирования. Экономиче-
ский смысл дисконтного множителя FM2{^r,ii) заключается в еле-
дующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной еди-
ницы будущего, т. е. чему с позиции текущего момента равна одна
денежная единица (например, один рубль), циркулирующая в сфере
бизнеса п периодов спустя от момента расчета, при заданной про-
центной ставке (доходности) г. Множитель FM2(r, п) также на-
зывают фактором текущей стоимости будущего капитала или четвер-
той функцией сложного процента. По поводу соблюдения строгости
при записи множителя FM2(r, ri) справедливо замечание, анало-
гичное сделанному в связи с множителем FM](r, ri). Поскольку
FM2{r,ri) =------———, то для определения значений FM2(i\ ri)

FMl{r,n)

можно использовать таблицу значений FMl(f\И).

Очевидно, что значение дисконтного множителя убывает с ростом
п. Увеличение процентной ставки г также уменьшает величи ну дис-
контного множителя. Следовательно, при такого рода изменениях п
и г приведенная стоимость уменьшается

По формуле (3.20) происходит учет (математический) капитала из
сложных процентов «на 100». Поясним это подробнее. Учет за один
год равен

т. е. представляет собой разность между Fn и процентами «на 100» по
отношению к F„. Учет за два года равен

т. е. представляет собой разносгь между Fn_x и процентами «на 100»
по отношению к Fn_x ит.д.

При т -кратном начислении процентов в год из (3.12) получим
(обозначая г(т> = г):
и соответственно

(3.22)

(3.23)

Еслииспользоватьобозначениедисконтногомножителя FM2(r,ri),
^.(mi
формулу (3.22) можно записать в виде Р = Fn- FM1(-----,тп).

Поэтому в некоторых ситуациях значения множителя

можно найти по достаточно подробной таблице значений множителя

FM2{г, ri) , полагая в качестве г и п соответственно-и тп.

Пример

Из какого капитала можно получить 4 тыс. евро через 5 лет нара-
щением сложными процентами по ставке 12*?, если наращение осу-
ществлять: а) ежегодно; б) ежеквартально?

В данном случае л=5, F5 = 4, /"=0,12.

а) При ежегодном наращении пользуемся формулой (3.20):

Р=----------т- = 2,2696 тыс. евро.

(1 + 0.12)5

По формуле (3.21):

Dr = 4—2,2696 = 1,7304 тыс. евро.

6) При ежеквартальном наращении пользуемся формулой (3.22) и
также можно воспользоваться приложением 3, определяя значение

12%
дисконтного множителя при-----= 3% и числе периодов 4 - 5 — 20:
4

Р— ~7~.—X—= 2,2148 тыс. евро.

(1 + 0,03)щ

По формуле (3.23): Dr = 4 — 2,2148 = 1,7852 тыс. евро.

Обратим внимание, что если не пользоваться в случае б) непосред-
ственно формулами (3.20), (3.22), а проводить вычисления с помощью
таблиц приложения 3, то, конечно, получим иные значения, что объ-
ясняется точностью таблиц. Если значения дисконтного множителя в
таблице будет с большим количеством знаков после запятой, то. есте-
ственно, и точность вычислении увеличится.

Используя формулы (3.20) и (3.22), можно приводить в сопостави-
мый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению
в течение ряда лет. В этом случае процентная ставка в дисконтном
множителе устанавливается инвестором и равна тому относительно-
му размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на
инвестируемый им капитал.

Определяя процентную ставку в дисконтном множителе, обычно
исходят из так называемого безопасного или гарантированного уров-
ня доходности финансовых инвестиций, который обеспечивается
государственным банком по вкладам или при операциях с ценными
бумагами. При этом может даваться надбавка за риск, причем чем бо-
лее рисковым считается рассматриваемый проект или финансовый
контракт, тем больше размер премии за риск. Иными словами, про-
центная ставка rd, используемая в дисконтном множителе, будет в
этом случае иметь следующий вид:

где: rf — безрисковая доходность:
гг — премия за риск.

Пример

На вашем счете в банке 20 млн руб. Банк платит 18*% годовых. Вам
предлагают войти всем вашим капиталом в организацию венчурного
предприятия. Представленные экономические расчеты показывают,
что через шесть лет ваш капитал утроится. Стоит ли принимать это
предложение?
Оценка данной ситуации может быть сделана либо с позиции буду-
щего, либо с позиции настоящего. В первом случае анализ основан на
сравнении двух сумм, получаемых от вложения в рисковое предпри-
ятие и в банковское учреждение с гарантированным доходом. Первая
сумма равна 60 млн руб., вторая находится по формуле (3.1):

Л; - 2(1(1+ 0,18)''-53,992 млн руб.

Приведенный расчет свидетельствует об экономической выгоде
сделанного вам предложения. Однако при принятии окончательного
решения необходимо по возможности учесть фактор риска.

Второй вариант анализа основан на дисконтированных оценках.
Допустим, что финансовый консультант рекомендует оценить риск
участия в венчурном предприятии путем введения премии в размере
5%. Таким образом, используемая в коэффициенте дисконтирования
ставка будет равна 23%. Тогда по формуле (3.20) можно рассчитать
приведенную стоимость Р ожидаемого поступления при участии в
венчурном предприятии:

p=6o q+o 23)6 =17,327 млн руб

При таких исходных посылках предложение об участии в венчур-
ном предприятии становится невыгодным. Однако следует иметь в
виду, что такой вывод сделан в результате оценки риска путем введе-
ния премии в размере 5%. Если же. например, считать достаточной
премию в размере 2%, то по формуле (3.20) получим:

Р = 60-----?—г = 20,094 млн руб.,

(1 + 0,2)6

т. е. предложение об участии в венчурном предприятии становится
уже в определенной степени привлекательным.

Заметим, что при математическом учете можно использовать и ра-
венства (3.4), (3.6), (3.9) — (3.11), разрешенные относительно Р. На-
пример, из (3.6) получим:
Р=-----------

(i + r)”(i+ г-)

т. е. за иелое число лет осуществляется сложный учет «на 100», а затем
полученная сумма учитывается из простых процентов «на 100». Анало-
гичным образом преобразуются и формулы (3.4), (3.9) — (3.11). В частно-
сти, определяя Р из (3.4). мы фактически осуществляем дисконтиро-
вание по сложной плавающей (переменной) процентной ставке

Будущие поступления, являющиеся разновременными суммами,
можно оценивать с позиции любого момента времени. Например, ес-
ли через время и п2 ожидаются выплаты сумм и F^, но мы
хотим их оценить, когда пройдет время, равное п, то выплаты с по-
зиции Лою момента эквивалентны соотвеютвенно суммам

Л Л, О+

Суммы Fx(n) и 2^ (я) рассматриваются в один и тот же момент
времени и,следовательно, их можно сравнивать между собой. Очевид-
но, если ЖйрТО Fx (я) является приведенной стоимостью суммы
Fn , а если п > я,, го Fx (л) является наращенной суммой. То же са-
мое можно сказать и про Fn .

Можно доказать, что для случая сложных процентов и постоянной
процентной ставки справедливо утверждение: если Fl(n)> F(ri) для
некоторого значения п, то это неравенство справедливо и для любого
я. Поэтому л ля сравнения Fn и Fn можно найти, например, их при-
веденные стоимости на текущий («сегодняшний») момент времени.

Пример

Что выгоднее: получить 2,8 тыс. руб. через 3 года или 2,9 тыс. руб
через 4 года, если можно поместить деньги на депозит под сложную
ставку 10% годовых?

Так как с позиции текущего момента:

2,8 2,9

~ (1+о 1)3 ~ 2,104 тыс’руб” = (|+о 1)4 ~1,981 тыс’Руб’’

то выгоднее получить 2,8 тыс. руб. через 3 года.
Конечно, можно было проводить все сравнения с позиции будуще-

го: через 4 года. Тогда определяем наращенную сумму за один год ка-
питала 2,8 тыс. руб.: F} = 2,8 • (1 + 0,1) — 3,08 тыс. руб. и, сравнивая
с 2,9 тыс. руб., приходим к тому же выводу.

Сравним результаты математического дисконтирования по про-

стой и сложной ставкам, обозначив

(1 + г)'

Учитывая известные соотношения между 1 + пг и (1 + г)1* (см. раз-
дел З.1.), можно написать:

, если 0 < п < 1;

гп ,если

7^*’ > /^,<7’,если Л>1

3.5. Сложная учетная ставка

Рассмотрим ситуацию предварительного начисления сложного
процента, т. е. когда сложный процент (например, за кредит или за
продажу некоторого финансового документа до срока его погашения)
начисляется в момент заключения финансового соглашения. В этом
случае осуществляется операция дисконтирования (учета) и приме-
няется сложная учетная ставка (compound dlscound rate).

Предположим, что некоторое долговое обязательство на сумму
Fn и сроком по1ашения через п лет продается (учитываеюя) рань-
ше срока с дисконтом по сложной годовой учетной ставке d. Если
осуществить продажу за год до срока, то начисляются проценты Fnd
и продавец получит сумму Fn — Fnd= F„(I — d). Если осуществить
продажу за два года до срока погашения, го за один юд проценты
начисляются на Fn, а за второй год — уже на сумму 7^(1 — d) , дис-
контированную на предыдущем шаге, т.е. продавец получит сумму
7^,(1 — d] — 7^(1 — d)d — 7^(1 — d)2 иг. д. Если долговое обязатель-
ство продается за п лет до срока, то продавец получит сумму
P=F„(l -d)"_ (3.24)

где множитель (1 — d)” называется дисконтным множителем. Таким
образом, Р представляет собой текущую (современную) стоимость
будущего платежа /^.Дисконт Dd равен величине:

о„ = F. - Р= F„ - <(1 - di" - 7Д1 - (1 - </)") (3.25)

По формуле (3.24) (как следует из пояснений этой формулы) сумма
Fn учитывается из сложных процентов «со 100».

Пример

Долговое обязательство на выплату 20 тыс. руб. со сроком погаше-
ния через 4 года учтено за 2 года до срока с дисконтом по сложной
учетной ставке 8°с. Найти величину дисконта.

Поскольку Р = 20 • (1 — 0,08)? = 16,928 тыс. руб., то

Da — 20 —16,928 — 3,072 тыс. руб.

Если срок п, за который осуществляется дисконтирование, не яв-
ляется целым числом лет, то возможны следующие методы определе-
ния стоимости учтенного за п лет капитала:

• использование сложной учетной ставки (применяется формула
(3.24)):

d," (3.26)

• использование смешанной схемы (применяется сложная учет-
ная ставка для целого числа лет и простая учетная ставка — для дроб-
ной части года):

P=r„(l-rf)-(l- fd). (3.27)

где: и = [л] — целое число лет; f — дробная часть года, f=n—[л];
п- им- f.

Конечно, при f = 0 формулы (3.26) и (3.27) совпадают между со-
бой и с формулой (3.24).
Пример

В условиях предыдущего примера долговое обязательство учтено
за 27 месяцев до срока. Наити величину дисконта.

Обозначим п — 2,25; и — 2; f = 0,25; 25 = 20 По формуле
(3.26) получим:

Р= 20-(1 —О,О8)2+0’25 = 16,579 тыс. руб. и, следовательно,

Dd = 20 — 16,579 = 3,421 тыс. руб.

Используя формулу (3.27), получим

Р= 20 (I - 0,08)2 (1 - 0,25 • 0,08) = 16,589 тыс. руб.,

Dd — 20 —16,589 = 3,411 тыс. руб.

Сравним дисконтирование по простой и сложной учетной ставке.
Для этого достаточно сравнить множители дисконтирования 1 — nd
и (1— </)", которые, очевидно, при п— 1 совпадают и равны 1 — d.

Можно доказать, что при d, удовлетворяющих неравенству d< —,
п

справедливы неравенства:

а) 1 — nd> (I — d)", если 0 < п< 1;

б) 1 — л«7<(1 — d)n, если п> 1.

Таким образом, для лица, осуществляющего предварительное (ан-
тисипативное) начисление процентов, а, следовательно, и дисконти-
рование:

• более выгодным является дисконтирование по сложной учет-
ной ставке, если срок учета менее одного года;

• более выгодным является дисконтирование по простой учетной
ставке, если срок учета превышает один год;

• дисконтирование в обоих случаях дает один и тот же результат,
если срок учета равен одному году.

Полезно представлять себе, что с практической точки зрения ус-

ловие d < — на самом деле не является таким уж сильным ограни-
п

чением. Так как для учетной ставки if справедливо d < I, то при
0< п< 1 условие d <— автоматически выполняется. А если п> 1,
1

то неравенство б) формально справедливо и при d>~ , поскольку
п

тогда 1 — nd < 0, но всегда (1 — <7)” >0. Однако на практике, как
уже отмечалось, при дисконтировании по простым процентам случай
1 — nd < 0 приводит к абсурду.

Графически соотношение между = Fa(\ — nd) и

Р'е} = 7^(1 — d)n вы глядит следующим образом (рис. 3.2):

Рис. 3.2. Дисконтирование пи простой
и сложной учетным ставкам

Пример

Определитьдисконтированную сумму при учете 1 млн руб. по про-
стой и сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна
14*? и учет происходит за 30 дней. 90 дней. 180 дней. 1 год, 5 лет. 7 лет.
Полагать год равным 360 дней.

Получим следующие результаты расчетов (см. табл. 3.2):

Заметим, что дисконтирование по простой учетной ставке за срок
более чем 7,15 года приводит к недопустимым на практике величинам
(будем получать отрицательные значения дисконтированных сумм).
Однако учет по сложной учетной ставке всегда дает положительные
дисконтированные величины. Например, при учете за 10 лет полу-
чим: 7^=1 •(! — 0,14)10 =0,2213 млн руб
Таблица 3.2

(млн руб.)

Способ дисконтирования 30 дней (п=1/12) 90 дней (п=1/4) 180 дней <п=1/2) (п=1) (п=5) (п=7)
Простая учетная ставка 0,988 0,965 0,93 0.86 0.3 0.02
Сложная учетная ставка 0.9875 0.9630 0.9274 0.86 0.4704 0.3479

Пусть дисконтирование происходит т раз в году и задана слож-
ная годовая учетная ставка d'ni> (аналогичным образом как и ранее
для процентной ставки с помощью верхнего индекса ш указываем,
сколько раз в течение года происходит дисконтирование). Годовая
учетная ставка dtrn} называется номинальной (norminal discount ratej, ес-

ли в начале каждого периода длительностью — осуществляется дис-
т

d,m''
контирование поставке-----

В этих обозначениях формула (3.24) для определения стоимости
капитала, учтенного за п лет при m-кратном дисконтировании в те-
чение года, примет вид

(3.28)

Поскольку

то с ростом числа дискон-

тирования в году величина учтен ного капитала возрастает.

Пример

Долговое обязательство на выплату 3 млн руб. со сроком погаше-
ния через 5 лет учтено за два года до срока. Определить полученную
сумму, если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное дискон-
тирование по номинальной учетной ставке 12'К

В данном случае п = 2, /^ — /^ = 3.
а) Так как тп- 2, c/<m) — с/<2> — 0,12, то по формуле (3.28)

б) Так как т= 4, = <f,4) = 0,12 , то по формуле (3.28):

= 2.351 млн руб.

Пусть в (3.28) тп не является пелым числом. Это возможно тогда,
когда антисипативное начисление процентов (или дисконтирование)
осущесшляегся по внугриюдовым под периодам, но общий период п
не равен целому числу подпериодов. В этом случае можно использо-
вать либо формулу

либо формулу:

(3.30)

_ - и + f

где: и-' — [тип], f— пт- [zzzn], п —----. Конечно, (3.29), по су-

ти

щес!ву, является иной записью (3.28).

Пример

Определить современное значение суммы в 4 тыс. руб., если она
будет выплачена через 2 года и 3 месяца и дисконтирование произво-
дилось по полугодиям по номинальной годовой учетной ставке 10%.

Полагаем п= 2,25 года, т— 2. Тогда w= [2-2,25] — [4,5] = 4,
/'-4,5 4-0,5; „ = 4, =0,1.

Если использовать формулу (3.29), то
( о,Г|4+0,5

/*= ^1 —-) = 0,79388 тыс. руб., что равно 793 руб. 88 коп

А если использовать формулу (3.30), то

Р=

1---— I I 1 — 0.5—— 1 = 0.79414 тыс. руб., что равно 794 руб.

14 коп.

Из равенства (3.28) определяется период п, если известны значе-
ния всех остальных параметров:

mln(l------)

(3.31)

Отсюда при /и = 1, = d получим формулу

которую, конечно, можно вывести и из (3.24).

Пример

За долговое обязательство в 300 тыс. руб. банком было выплаче-
но 200 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это
обязательство, если банком использовалась годовая сложная учетная
ставка S'??

Полагая Р— 200, — 300, d = 0,08, по формуле (3.32) получим:

200
In—-

Из равенства (3.28) можно наити величину номинальной учетной
ставки (если известны значения остальных параметров):
а при т= 1, dtm> = d эта формула примет вид:

Пример

Вексель был учтен за полтора года до срока, при этом владелец век-
селя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной
годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

Поскольку Р = 0.87^, п — 1.5. то <7=1—0.815 = 0.1382. г. е.

<7= 13,82%

Как и в случае процентной ставки можно определить эффектив-
ную годовую учетную ставку der, обеспечивающую переход от Fn к
Р при заданных значениях этих параметров и однократном дискон-
тировании. Поскольку согласно определению в рамках одного года:

г;(1-д,)=т,

то после простых преобразований получим:

Из (3.33) следует, что del- уменьшается с ростом т (так как второе
слагаемое в правой части равенства увеличивается). Вообще можно
показать, что при т> 1 справедливо неравенство def <dini>, кото-
рое, естественно, объяснимо и из финансовых соображений.
Формулу (3.33) можно получить и определяя относительный дис-
конт за год при дисконтировании по номинальной учетной ставке d1 т>:

Иными словами, эффективная годовая учетная ставка дает воз-
можность увидеть, какая годовая простая учетная ставка позволяет
достичь такого же финансового результата, как и при /и-кратном дис-

контировании в год по учетной ставке-.

Пример

Рассчитать эффективную годовую учетную ставку при различ-
ной частоте начисления дисконта и номинальной учетной ставке,
равной 10%.

Используя формулу (3.33), для некоторых значений т результаты
запишем в табличном виде:

Из формулы 13.33) можно найти соотношение для определения но-
минальной учетной ставки, если известна der и число /п-дисконти-
рования в год:

/и. 1 2 4 12 365
deC 0,10 0,0975 0.0963 0,0955 0,0952

d,a =л(1-(1-<,)"]

Пример

Определить номинальную ставку, если эффективная учетная
ставка равна 9% и дисконтирование по сложной учетной ставке осу-
ществляется ежемесячно.

Вданном случае def — 0,09 и т— 12, поэтому по (3.34):
d"2'=12-[l-(l-0,09)iq=0,0939 или ,/121 = 9,39%.

Используя эффективную учетную ставку, можно определить эк-
вивалентные номинальные учетные ставки d(ni> и (fr> как ставки,
удовлетворяющие равенствам:

При этом можно показать, что при т > I справедливо неравенство
> d'}.

Эффективную годовую учетную ставку можно найти и не зная но-
минальной учетной ставки, а зная величину Fn и ее дисконтирован-
ную (каким-либо образом) за время п сумму Р. Поскольку согласно
определению def можно записать Р — Fn(l — der)n ,то

(3.35)

Пример

Долговое обязательство, равное 5 тыс. долл, со сроком погашения
через 4 года, было сразу же учтено в банке и владелец обязательства по-
лучил 4.2 тыс. долл. Найти эффективную учетную ставку в этой сделке.

По формуле (3.35):

der = 1 - = 0,0427, или der = 4,27%.

Сложная учетная ставка применяется не только для осуществле-
ния процесса дисконтирования. Разрешим равенство (3.24) относи-
тельно Fn:

(3.36)

Равенство (3.36) называется формулой наращения сложными процен-

теми по учетной ставке', множитель —-- — множителем нара-

щения при начислении сложных антисипативных процентов; -——

коэффициентом наращения или сложным антисипативным коэффи-
циентом. Естественно, множитель наращения равен индексу роста
капитала Р за п лет.

Формула (3.36) представляет собой формулу наращения сложны-
ми процентами «во 100». Действительно:

\-d

т. е. Ff является суммой первоначального капитала Р и процентов
«во 100» по отношению к Р. Поскольку

Р Е F.d

F7 =----Т = —— = F. +——,

2 (l-d)2 l-d l-d

то E, является суммой капитала Fl (наращенного за год из капитала
Р) и процентов «во 100» по отношению к Ft и т. д.

Формулу (3.36) можно пояснить и таким образом. Если при выдаче
кредита величиной F на п лет удерживаются сложные проценты по
ставке d (за каждый год удерживается доля d от предыдущей сум-
мы), то кредитор выдает «на руки» должнику сумму Р= F(l~d)n.

Должник через п лет обязан возвратить сумму р= ——а это и

есть наращение сложными процентами по учетной ставке d.

Очевидно, что приращение капитала

J=F- Р = Р[\-1

(3.37)

не пропорционально ни сроку л, ни ставке d.
Заметим, что Fl,F1,...,Fn, определяемые по формуле (3.36), об-

разуют геометрическую прогрессию со знаменателем----.

1 — d

Так как при d— г — i справедливо неравенство ---;> 1 + i (ес-

ли, конечно, /< 1, а для учетной ставки это всегда выполнено), то
наращение по учетной ставке (3.36) происходит быстрее (что выгодно
для кредитора), чем нарашение по процентной ставке (3.1) (что выгод-
но для заемщика). Геометрически сказанное можно представить сле-
дующим образом (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Нарашение сложными процентами

Покажем, каке помошью декурсивного и антисипативного спосо-
бов начисления процентов можно пояснить, почему наращение про-
центами «во 100» (используя учетную С1авку)дос1авляет существенно
больший результат, чем наращение процентами «со 100» (используя
процентную ставку).

Пусть на исходный инвестируемый капитал Р начисляются
процентыnociaBKe г.Придекурсивномснособевконцеюдаинвестор
получит сумму Р и проценты Р‘ г «со 100», т. е. F' — Р+ Р-г При
антисипативном способе проценты Р- г начисляются вначале года и
пусть они сразу выдаются инвестору, который тут же их инвестирует
На величину Р- г начисляются проценты /*• г2 и сразу выдаются
инвестору, который немедленно их инвестирует и т. д. Предположим
(конечно, только теоретически), что эти действия повторяются
неограниченное число раз, тогда инвестор получит величину:

р" = Р+ Р-г + Р-г+...+Рг"+.

представляющую собой сумму членов геометрической прогрессии с
неограниченным числом членов и знаменателем г Таким образом,

F" —-----, а это и есть наращение процентами «во 100».

1 —г

Если наращение сложными процентами по учетной ставке
происходит т раз в год, то формулу для определения наращенной
суммы получим из равенства (3.28), разрешая его относительно

(3.38)

причем в отличие от (3.12) с ростом частоты т начисления сложных
процентов накопленная сумма Рп уменьшается.

Пример

По условиям финансового контракта на депозит в 400 тыс. руб.,
положенный в банк на 3 года, начисляются проценты по сложной
учетной ставке годовых. Определить наращенную сумму, если
начисление процентов производится: а) ежегодно; б) по полугодиям;
в) ежемесячно.

Пусть Р = 400 000, п= 3. d- dm = d,m = 0,09.

а) По формуле (3.36):

400000
(1—0,09)3

= 530806 руб.

б) Поскольку т— 2, то используем (3.38):
400000

' 0,09?3

2 J

= 527 278 руб.

в) Полагая т— 12, по (3.38) получим:

400000

Л 0,09?

I 12 J

= 524519 руб.

В случаях б) и в) можно было, естественно, воспользоваться
формулой (3.36), полагая число периодов равным соответственно
6 и 36. а учетные ставки — 4,5^ (9%: 2) и 0,75% (9%: 12). Если бы
наращение сложными процентами осуществлялось с помощью
процентной ставки, то для вариантов а), б), в) получили бы по
формулам (3.1), (3.12) соответственно, значения: 518 012 руб.,
520904руб., 523 458 руб.,т. е. с увеличением числа начислений процентов
за год величина наращенной суммы возрастает. В противоположность
этому с увеличением числа начислений процентов за год по сложной
учетной ставке величина наращенной суммы убывает. Видно, что чем
больше число наращений в течение года, тем меньше разница между
итоговыми суммами, полученными декурсивным и антисипативным
способами начисления процентов. Это и объяснимо, поскольку чем
меньше период начисления, тем меньше отличие между понятиями
предварительный и последующий. Так, если т= 365 (каждый
день идет начисление сложных процентов), то применение учетной
ставки дает 524 003 руб., а такой же величины процентной ставки —
523 968 руб. и разница между этими суммами равна всего 35 руб.

Сопоставим результаты наращения по простой и сложной
учетным ставкам, обозначив их соответственно через =———
" l-nd

и F^c> = (1 ' ^чить,вая Ранее приведенные соотношения между

1 — nd и (1 — d)”, можно написать:
< если g <. п< j

= ^\если /7—1

^>^‘,если л>1

В некоторых ситуациях по условиям контракта предусматриваются
плавающие учетные ставки. Пусть на периоды л,, п2 ,..., пт установлены
учетные ставки, соответственно d,. d2_dm. Тогда при наращении

сложными процентами итоговая сумма за время п = У, пк (измеряя все
А=1

периоды в одних единицах времени) определяется по формуле

Р Р

F =------------------------------=------------- (3 39»

' (1 -dt)М1-<дг- -Xi

Обозначим J = 1 - J | J (1 — dk)”* | , тогда (3.39) примет вид
Р

Fn =———. Таким образом, на все время й можно установить

вместо плавающих учетных ставок учетную ставку d, которая
обеспечивает такой же результат и при определении Fn можно
использовать формулу (3.36).

Если dx = d2 —...— dm = d, т. e. на весь период соглашения
установлена постоянная ставка, то из (3.39) получаем (3.36).

Очевидно, формулой (3.39) можно пользоваться и в случае, когда
периоды выражены в различных единицах времени при условии
согласования их размерностей с размерностями соответствующих
учетных ставок.

Пример

Вклад в размере 1000 евро, положен в банк сроком на 7 лет, причем
предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов
по плавающей учетной ставке: в первые два года — 8% в последующие
четыре года — 12% и в оставшийся год — 15%. Найти наращенную
сумму.

Полагаем Р— 1000 п{ - 2,л2 -4,л3 =1 (таким образом, п= 7),
<7; = 0,08, <4=0,12, <4 = 0,15, и воспользуемся формулой (3.39):

1000

Р =---------,----------7--------= 2318 евро.

7 (I (>,(>8)(| (>,|2)‘(| 0,15) р

Такой же величины наращенная сумма получается и
при использовании в течение 7 лет сложной учетной ставки
d = 0,08)’(1 - 0,12)*(1 - 0,15) = 0,1132 или <7=11,32%.

Из (3.39) следует, что

27=T.(i-d,)"'(i-rfJF-...(i-rf.)"-.

Это равенство представляет собой формулу дисконтирования по
сложной переменной учетной ставке.

Обсуждая операции наращения и дисконтирования, всегда
убеждаемся, что использование различных ставок приводит в одних
и тех же операциях к разным результатам, для сопоставления которых
достаточно сравнить между собой соответствующие множители
наращения. Сводя воедино приведенные ранее неравенства между
этими множителями, можно написать:

1. (1 + 1)" <1 + Ш <—-— <-------.если 0 < п < 1;

1-я/ (1-1)"

2. 1 |- i <-, если п — 1;

1-1

3. 1 + Ш < (1 +1)” <---< —-—, если я > 1.

(1-0" 1-ш

Таким образом, в частности, если срок менее года ( 0 < я < 1),
то наращение по сложной учетной ставке i предпочтительнее
наращения по простой учетной ставке i, которое в свою очередь
предпочтительнее наращения по простой и сложной процентной
ставке i.

Пример

На капитал 10 тыс. руб. в течение трех лет происходит начисление
процентов поставке 25% годовых. Определ ить возможные наращенные
суммы, рассматривая различные основные способы наращения.

Используем ставку 25^0 последовательно следующим образом:

а) простая процентная ставка; по (2.1):

F = 10(1 + 3 0,25) = 17,5 тыс. руб.;

б) сложная процентная ставка; по (3.1):

К = 10(1 + 0,25)3 =19,531 тыс. руб.;

в) сложная учетная ставка; по (3.36):

F = (1-0 25)3 = 23’704 Т“с'руб ’

г) простая учетная ставка; по (2.20):

F =-----—---= 40 тыс. руб.

1-3-0,25

Видно, что наращенные суммы увеличиваются в соответствии с
приведенными выше неравенствами.

Из неравенств для множителей наращения очевидным образом
следуют неравенства для множителей дисконтирования:

1. (1—7)" <1-Ш<—-—<-----------.если 0<«<1;

’ 1 + ш (1 + 0"

2- 1 — i <-, если н — 1;

1+7
3- 1 — П1 < (1 — IY <-------< —-— , если п > 1.

(1 + /)" 1 + ™

3.6. Непрерывное наращение и дисконтирование

Все рассмотренные ранее начисляемые проценты называются
дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фикси-
рованный промежуток времени (год. квартал, месяц, день, даже час).
Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая часто-
ту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым
непрерывным процентам.

Уже отмечалось, что в зависимости от частоты начисления про-
центов наращение суммы осуществляется различными темпами,
причем с возрастанием частоты накопленная сумма при использо-
вании одной и той же по величине номинальной процентной ставки
увеличивается. Пусть г*"0 = г — годовая номинальная процентная
ставка. Оставляем неизменной величину этой ставки и увеличиваем
число начислений сложных процентов т . Максимально возможное
нарашение осуществляется при бесконечном дроблении годового ин-
тервала. Из формулы (3.12) при т—> +оо следует:

Так как согласно второму замечательному пределу lim (1Ч-— е.

где трансцендентное число е ~ 2,718281 является одной из важней-
ших постоянных математического анализа.

Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной),
вводят специальное обозначение непрерывной ставки — г(> = 8 и
называют ее силой роста (force of interest). Можно сказать, что пред-
ставляет собой номинальную годовую ставку при непрерывном на-
числении процентов. Таким образом, формула (3.40) для нахождения
наращенной суммы за п лет при непрерывном начислении процентов
принимает вид:
Ft=p.es\ (3.41)

где — множитель наращения, причем этой формулой пользуются
и в тех случаях, когда п не является целым числом. Очевидно, что
Fi,F1,...,Fn, определяемые по формуле (3.41), образуют геометриче-
скую прогрессию со знаменателем ее. Аналогично другим множите-
лям наращения ея" равен индексу роста суммы Р за п лет. Заметим,
что когда говорят о непрерывных процентах, то имеют в виду непре-
рывное начисление и капитализацию процентов.

Пример

Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начис-
ления процентов за один год. если исходная сумма Р — 1000 руб. и
номинальная годовая процентная ставка г = 10*%.

Результаты, полученные для некоторых вариантов, приведем в
виде табл. 3.3, причем в предпоследнем столбце вычислены разности
между наращениями сданным числом начисления процентов и базо-
вым, а в последнем столбце указаны разности между наращенными
суммами двух соседних строчек.

Таблица 3.3

р Частота начисления F} Наращение
базовое цепное
1000 Ежегодное (гл = 1) 1100,00
1000 Полугодовое (т • 2) 1102,50 +2.50 +2.50
1000 Квартальное (т = 4) 1103,81 +3,81 +1,31
1000 Ежемесячное (т - 12) 1104.71 +4,71 +0,90
1000 Ежедневное (т = 365) 1105,16 +5,16 +0,45
1000 Непрерывное (т = <») 1105.17 +5,17 +0,01

Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают на-
личие прямой зависимости между частотой начисления процентов и
накопленной суммой; последний столбец таблицы показывает, что с
увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы
уменьшается.
Графически изменение накапливаемой суммы в зависимости от
частоты начисления имеет следующий вид (см. рис. 3.4).

б) Полугодовое
начисление

в) Непрерывное
начисление

Рис. 3.4. Различные варианты начисления процентов

Сравнительная характеристика и интерпретация приведенных
графиков достаточно очевидны. Вместе с тем эти графики позволяют
наглядно представить влияние частоты начисления процентов. При
дискретном наращении каждая «ступенька» характеризует прирост
основной суммы в результате очередного начисления, причем вели-
чина «ступеньки» все время возрастает. В рамках одного года одной
«ступеньке» на левом графике соответствуют две «ступеньки» на
среднем графике меньшего размера, однако в сумме они превышают
эту «ступеньку» однократного начисления. Таким образом, ордина-
та точки, соответствующей концу трехлетнего периода на среднем
графике, будет выше, чем на левом. Еще более быстрым темпом идет
наращение при непрерывном начислении, что и показывает график
справа.

Сила роста 8 характеризует интенсивность наращения за год при
непрерывном начислении процентов. Можно сказать, что 8 показы-
вает скорость относительною pocia накапливаемой суммы. Поясним
это. Пусть в течение времени t на сумму Р начисляются непрерыв-
ные проценты по ставке 8 Тогда за время t первоначальная сумма

увеличится на относительную величину
и, следовательно, в единицу времени относительный рост равен
ев'-1

-------. что является средней скоростью относительного роста на-
t

капливаемой суммы за время Г. Ну а поскольку при 6t« 1 справед-

6 Z'-l

ЛИБО е ' — 1 ~ 8t, ТО ----Ж ё -

Приравнивая накопленные суммы в формулах (3.41) и (3.1), по-

лучим связь между силой роста и годовой процентной ставкой г.

Из Ре8” — Р-(1 + г)" следует, что

r = es — 1 или = 1п(1 + г).

(3.42)

Аналогичным образом, приравнивая накопленные суммы в фор-
мулах (3.41) и (3.36). получим связь между силой роста и годовой учет-
ной ставкой:

d = 1 - е 8 или ё = - ln(l - d) .

(3.43)

Для малых х справедливо

с точностью до членов третьего порядка малости, пренебрегая кото-
рыми и используя (3.42), (3.43), получим для ё, г и <7, не превыша-
ющих 20%:

ё2

~ё +— и ё~
2

ё^

ё*ё- — и ё^ё

А при ставках до 10% сила роста и годовая ставка совпадают с точ-
ностью до 0,01, т. е. можно в этих пределах использовать приближен-
ные равенства ё ' г и ё ж d
Пример

На сумму в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты по
ставке <5= 8^. Определить наращенную сумму через 5 лет.

По формуле (3.41), полагая <5 = 0,08, сразу получим
Fs — 2 - е° 085 = 2,984 тыс. руб. Если в данном случае применить фор-
мулу (3.1), т. е. осуществлять начисление обычных сложных процен-
тов по ставке г — 0,08, то получим сумму, не сильно отличающуюся
от вычисленной: F* — 2 -1,4693 — 2,9386 тыс. руб.

Если наращение сложными процентами осуществляется по номи-
нальной годовой учетной ставке dln1>, то при /п—> но из (3.38) сле-
дует:

Полученная формула при dlxi = rtai =5 совпадаете (3.40), т. е.
исчезает различие между антисипативным идекурсивным способами
начисления процентов, если использовать непрерывное начисление и
капитализацию. Эти и естественно, так как в такой ситуации начали и
конец периода перестают отличаться.

Из формулы (3.40) можно определить современную стоимость Р
величины FB'.

p=FneSn.

(3.44)

Аналогичное равенство, естественно, получается и из форму-
лы для определения стоимости капитала, учтенного за п лет при
m-кратном дисконтировании в течение года (формула (3.28)) при
/77—> +ос. В этом случае S называется силой учета (force of discount) и
показывает скорость относительного уменьшения учитываемой (при
непрерывном дисконтировании) суммы. Таким образом, сила роста
равна силе учета.

Пример

Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, что-
бы через 3 года получи 1ь 5 тыс. руб., если происходит непрерывное
начисление процентов по ставке S — 10% ?
Используем формулу (3.44)’

Р= 5 - е-0,15 = 3,70401 тыс. руб.

Из равенства (3.41) или равносильного ему (3.44) можно определить
срок п или силу роста ё соответственно по формулам:

(3.45)

Пример

За какой срок сумма в 400тыс. руб. достигнет величины 1 млн руб.
при непрерывном начислении процентов и силе роста 10%?

In —

Полагая Fn — 1; Р — 0,4; ё — 0,1, получ им п = = 9,1629

года. т.е. срок равен девяти годам и двум месяцам (точнее. 59.46 дней,
если в году 365 дней).

Непрерывное начисление процентов используется при анализе
сложных финансовых задач (например, обоснование и выбор инве-
стиционных решений). Оценивая работу финансового учреждения
за период, в котором платежи поступают многократно, бывает це-
лесообразно предполагать, что накапливаемые суммы непрерывно
меняются во времени, и применять непрерывное начисление про-
центов.

Бывают ситуации, когда непрерывное начисление процентов
применяется и непосредственно при работе с клиентами. Так, в на-
чале 1975 г. в США |11, Шарп, Александер, Бэйли, с. 140] ставка про-
центных выплат по займам и депозитам сроком от шести до десяти
лет была ограничена величиной 7.75% годовых, однако не лимитиро-
валось число начислений процентов в течение года, чем и восполь-
зовались компании в целях привлечения вкладчиков. Причем одна
из компаний предлагала непрерывное начисление процентов при
годовой ставке 7.75%, которая в этих условиях стала непрерывной
и представляла собой силу роста. Обозначая ё = 0,0775, получим
Г = е0,0775 — 1 » 0,0806, т.е. компания, по сути, установила процент-
ную годовую ставку г— 8,06%.

Предположим теперь, что сила роста меняется и в следующих
друг за другом периодах, длительностями (измеряемыми в годах)
л,,п2 сила роста равна соответственно <5, ,<5, ,...,<5^. По
формуле (3.41) для наращенной суммы Fn за период л, получим:

Л, = р F" ;

далее наращение суммы Fn непрерывными процентами за период
л2 составит величину:

р — р . е£1п1 — р.

и т. д. Окончательно за период п = пк наращенная сумма со-

ставит:

F, = - Р . (3.46)

- 8{пк + 82п2 +--+81Ппт пк

Обозначая 8 —-----------------------= / — > получим

И Л=1 "

Fn = Р- eSn. Таким образом, если за силу роста принять взвешенную
сумму 8 сил роста 8к , то наращенную сумму в этом случае можно
находить не по формуле (3.46), а по формуле (3.41). Обратим вни мание,
что похожая ситуация была и в аналогичном случае для простых про-
центов.

Пример

На вклад в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Наити
наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим
образом: в первые два года равна 8*%, в следующие три года — 10*%, и в
каждый оставшийся год увеличивается на 0,5*%.

Так как Р— 2, л, = 2, л, — З,л3 — л4 — 1,

— 0,08; = О,1;<5>3 = 0,105;<% —0,11; то по формуле (3.46):
/; = 2 - e<,-082+0JJ+<,’,<,5,+0JU = 3,928 тыс. руб.

Такую же наращенную сумму получим, если непрерыв-
ные проценты начисляются за п—1 лет при силе роста
- 0,08-2 + 0,1-3 + 0,105-1 + 0,11-1

8 —-------------------------------= 0,09643 или, другими слова-

ми, 8 — 9,643%.

В общем виде силу роста, изменяющуюся во времени, можно обо-
значить как 8(f) (будем время, как это принято часто в высшей ма-
тематике, обозначать через t, а не через л). Через F(t) обозначим
накопленную сумму в момент времени f, a jF(O) = Р представля-
ет собой первоначальный капитал, например положенный на депо-
зит при t — 0. Можно показать, что в случае интегрируемости 8(f)
справедливо равенство

P<r)rfr

F(t)=Pe°

из которого следует, что современная стоимость определяется по фор-

муле Р= F(f)e '

Задавая конкретный вид 8(f), можно получить формулы для
определения наращенных сумм в момент времени t при использова-
нии различных ставок. Например, полагая 8(f) = 1п( 1 + г) , получим
формулу наращения сложными процентами по процентной ставке г.
Подобным образом можно получить все известные формулы. Рассмо-
трим некоторые другие варианты.

1. Сила роста является кусочно-постоянной функцией:

St,

8т, < t.

Найдем вид I 8(r)dz при различных значениях t.
Пусть О < t < t\, тогда

jtf(r)<fr = = <?/.

(I о

Пусть < t < t2, тогда

|г(г)л=|г1л+р2*=г/1 । <\(/ /,)

О О 4

Рассма|ривая аналогичным образом остальные промежутки вре-
мени для последнего из них ( t> tm_1), получим

p(r)*=<v, + eI(t1 -г,)+...+г^(г„ -^2)+<?m(r-^,)
о

Таким образом.

В частности, если то, обозначая п, = /1,л2 =

= (С - = (tm — ) , получим формулу (3.46), г. е. если

сила роста — кусочно-постоянна, го в любой момент времени t на-
ращенная сумма, по существу, определяется по (3.46).

Пример

Определить величину наращенной суммы в любой момент време-
ни в течение 7 лет, если начальный капитал равен 3 тыс. руб., а поведе-
ние силы роста <5(f) прогнозируется следующим образом:
{0,08, 0<f<2;

0,12, 2</<4;

0,1, 4<f<7.

Поскольку

P=3,tl = 2,/2 =4,Г3 =7,^, =0,08;^2 =0,12,^ =0,1,то

Л0 =

Зе0™', 0<г<2;

3^0 16+0.12(1-2) 2 < t < 4-
^0 4+0,1(4-4). 4<?<7ч

где F(t) измеряется в тыс. руб.

2. Сила роста является линейной функцией: 8(f) = 8Г +<5,Г, где
£0 — начальное значение силы роста.

Так как J 8(f)dv = J (2>0 + 31 т)(1т — 8nt+ ‘ , то

0 0 Z

аг

Л.1+^-

F(t) = Pe 2 .

Пример

Найти множитель наращения, если начальное значение силы ро-
ста составляет 9°с и затем сила роста изменяется непрерывным и ли-
нейным образом на 1% в год.

Так как 80 = 0,09; 8t = 0,01, то 8( t) - 0,09 + 0,01/, и следователь-
„0 09Г+0.005Г
но, множитель наращения имеет вид: е

При решении мы предполагали, что 8t =0,01 характеризует уве-
личение силы роста. Если же 8t определяет уменьшение силы роста,
с, л лл л л Л. „О.О94-О.ОО5Г ,,

то 6(f) = 0,09 — 0,0 И и множитель наращения равен с . На-

пример, для t= 4 при увеличении и уменьшении силы роста соот-
0(194+0,<Ю54* ч rr'yi ОЗИМ—0 U05-4- j 1

ветствен но получим: е =1,Ээ2/ и е =1,3231.

3. Сила роста является показательной функцией: 8(f) = 8иа
(а > 0, а э6 1) , где <50 — начальное значение силы роста.
„ fxz ТЛ fjT г. S<Aa‘ -О

Так как J о(т)ат — J оаа ат = 1, то

F(f)=Pe '

Пример

Найти величину множителя наращения за 4 года, если сила роста
изменяется непрерывным образом с годовым приростом в 1% и на-
чальное значение силы роста составляет Ч°Ь.

В данном случае SQ — 0,09 и за год ставка увеличивается в

„ л 0,09(1,01"-I)

я = 1,01 раза. Поскольку t=4, и ---------------= 0,36726, то

ini,01

0 36726 I л л о о

множитель наращения равен величине е = 1,443о

3.7. Конвертация валюты и наращение
сложными или непрерывными процентами

Рассмотрим вначале наращение сложными процентами и ограни-
чимся только финансовой операцией следующего вида, обмен СКВ в
количестве Р' на рубли, наращение в течение времени п на полу-
ченную сумму Р сложных процентов m раз в год по годовой номи-
нальной ставке г</И> и конвертирование наращенной суммы Fn в ис-
ходную валюту, получая оконча1ельно при этом сумму F' . Таким
образом, используется схема:

Р' (СКВ) -> Р (Руб.) —> F„ (Руб.) -> F' (СКВ).

Как уже отмечалось, при обсуждении простых процентов такая
финансовая операция по существу описывает любой случай двойной
конвертации с участием любых двух видов валют.

Обозначим через Ко курс покупки СКВ в начале финансовой опе-
рации, через Кп — курс продажи СКВ в конце (через время я) финан-
что доходность г такой операции в виде годовой ставки сложных
процентов равна величине

(3.48)

Если т— 1, то г|т) = г(1) = г и из равенства (3.48), получим:

(3-49)

Ясно, что доходность г превышает или нет ставку г в зависимо-
сти от того, превышает кп единицу или нет. Нулевая доходность будет
в том случае, если 4 = (1+4".

Пусть на валютном депозите происходит начисление слож-

I - - дл

ных процентов I раз в год по годовой номинальной ставке г

Тогда двойное конвертирование не дает никакой выгоды, если
(3.50)

По формуле (3.50) определяется такое значение кп, при котором
доходность от всей рассматриваемой финансовой операции совпада-
ет с доходностью от непосредственного инвестирования валютных
г Л

средств по номинальной ставке г , и следовательно, конвертирова-
ние не целесообразно. Финансовую операцию имеет смысл проводить
лишь в том случае, когда значение кп меньше величины, получаемой
по формуле (3.50).

Полезно отметить и приближенный вариант формулы (3.50).

и из формулы (3.50)

следует, что кп

е., получили

формулу для определения целесообразности финансовой операции,
совпадающей с аналогичной (формула (2.43)) для случая простых про-
центов.

Пример

Господин N может свои свободные денежные средства в долларах
на один год поместить в одном банке на валютном депозите под 14%
годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов или в
другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под 13%
годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Как ему
лучше поступить, если курс покупки долларов на начало срока 28 руб.
25 коп., а ожидаемый курс продажи через год — 29 руб. 41 коп.?
Полагая л= 1, т— 12 , г1121 = 0,13, 1— 4, г<4) = 0,14, по фор-
муле (3.50) находим

29,41

Поскольку ки — —1,0411 > 0,9917 , то денежные средства

выгоднее поместить на валютном депозите.

Если же в рассмотренной схеме применяется наращение по слож-
ной учетной ставке г/”4

и доходность d такой операции в виде годовой учетной ставки слож-
ных процентов равна

откуда при т— 1и <7ll> — d получим d — 1 — ^/^„(1 — d).

Обозначая через d{l> сложную учетную ставку наращения вклада
в данном виде СКВ, получим формулу для определения такого отно-
шения курсов валют, выше которого двойная конвертация (и, сле-
довательно, сама рассматриваемая финансовая операция) не имеет
смысла:

(3.51)
J’"'1 d^

Для достаточно малых------- и -- приближенным вариант этой

гп I

l-ndfl> l-nd(l>

формулы имеет вид кг « , откуда следует Л„ » »

что совпадаете аналогичной формулой (2.48) для случая простых про-
центов.

Пусть теперь начисляются непрерывные проценты, причем 8' —
сила роста по валютному депозиту, а 8 — сила роста по рублевому де-
позиту. Тогда максимально допустимое для проведения финансовой
операции отношение курсов валюты определяется формулой:

(3.52)

При выводе формул мы предполагали, что наращение первона-
чального капитала и в валюте, и в рублях происходит одним и тем же
способом. Нетрудно вывести формулы, когда проценты начисляются
различными способами на суммы, представленные разными вида-
ми валют. Речь, естественно, идет о формуле, позволяющей сделать
вывод о выгодности совершения финансовом операции, связанной с
конвертированием валюты. Как и в случае начисления простых про-
центов, рассматривая общую схему

Р' (СКВ1) Р (СКВ2) ------------* Р (СКВ2) F' (СКВ1),

можно получить формулу

(3.53)

где Д и А, — множители наращения на валютных депозитах, на ко-
торых помещены суммы соответственно в СКВ, и в СКВ,.

Таким образом, целесообразность конвертирования определяет-

ся отношением множителей наращения: если кп то выгодно

вначале конвер ировать исходную валюту, а затем полученную сумму
инвестировать; если же кп > ~~, то лучше непосредственно инве-

стировать сумму в исходной валюте.

Полагая Д и Д конкретным множителям наращения, можно по-

лучить формулы для определения «пограничного» значения Д = —

в каждой конкретной ситуации. Например, если A- —eSn, A2 — eSn

то из (3.53) следует (3.52). Если Д = еВп,

то

и т.д. Поступая подобным образом, легко напи-

сать формулу для любого возможного случая. Конечно, в частности,
в качестве Д или Д могут быть множители наращения по простым
процентам.

Пример

На валютном (долларовом) депозите наращение осуществляется
ежеквартально сложными процентами по годовой процентной ставке
16%. На рублевом депозите нарашение осуществляется ежеквартально
сложными процентами по годовой учетной ставке 12%. Курс покупки
составляет 29 руб. 10 коп. за 1 долл. Какой может быть курс продажи
валюты, чтобы доходность за два года финансовой операции «конвер-
тирование — наращение — конвертирование» была больше доходно-
сти при непосредственном инвестировании валютных средств?

( оДбА42

В данном случае Д = ^14—J = 1,3686,

1 Д

А, ——---------tv = 1,6405, поэтому — 1,1987. Следовательно,

' 4

должно быть к„ < 1,1987 , т. е. Кп < 29,1 -1,1987 = 34,88. Таким
образом, Кп < 34 руб. 88 коп.
3.8. Налоги, инфляция и наращение
сложными процентами

Ситуации, связанные с налогообложением и инфляцией, уже ча-
стично обсуждались для простых процентов. Рассмотрим теперь слу-
чай сложных и непрерывных процентов.

Пусть на капитал Р по истечении п лет начислены сложные про-
центы по годовой номинальной ставке г (т. е. исходя из начисле-
ния л? раз в год). Величина наращенной за п лет суммы находится по
формуле

=Ра"’ (з-54>

В этом случае налог начисляется на все полученные проценты
один раз за весь срок Если ставка налога равна q, то сумма налога
составит:

Q=(F„-P)q=P(a"-Цд, (3.55)

и, следовательно, после уплаты налога наращенная сумма уменьшит-
ся и станет равна величине:

F.=F.~ (F. - P->q= Ля”(1 -¥) + ?]. (з.56)

При начислении процентов по истечении каждого года и налог
начисляется за каждый год. Предположим, что налог за каждый год
выплачивается не из капитала Р, на который осуществляется на-
ращение, а из других денежных источников. Поскольку величина
начисленных процентов растет, то и величина налога будет увели-
чиваться.

Налог за первый год составит:

<?"=(Л-P)q=P{a-l)q;
ЗЛ. Налоги, тфляция и наращрние сложными процентами
за второй год:

«2121 =(F1-Fl)q= Pa{a-V)q=a(}"-

за третий год:

<?”’ = (F, - F = Ра' (а - |)9= а (Я;

и вообще за к-И год (2 < к< п) величину налога можно найти, ис-
пользуя рекуррентное равенство:

<2к} = (3.57)

Очевидно, что (?и + +...+@п> = (JFn — P)q= Q, т. е. размер

налога численно равен (3.55).

Пример

На вклад в 2 млн руб. по истечении четырех лет были начислены
сложные проценты по головой номинальной проиентной ставке 12%
исходя из полугодовой схемы начисления. Определить наращенную
сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога на про-
центы равна 8%.

( 0,12V

Поско л ьку т— 2, г 2 * = 0,12, то а = 1 Ч——J = 1,1236 и нара-
щенная сумма без уплаты налогов: = 2-(1.1236)4 =3.1877 млн руб.

Величину налога на проценты находим по (3.55):

ф= (3,1877 — 2)•0,08 = 0,095 млн руб.,

и следовательно, по (3.56) наращенная сумма с учетом уплаты налогов
составит:

Л = 3,1877 - 0,095 = 3,0927 млн руб

Если проценты начисляются в конце каждого года и налог за каж-
дый год выплачивается из отличных от вклада денежных средств, то
по формулам (3.55), (3.57) можно определить размеры налогов за каж-
дый год:

0" = 2- (1,1236-1)0,08 = 0,019776 млн руб., т. е.

Qm = 19 776 руб.;

е«> =19776-1,1236 = 22220 руб.,

е"' = 22 220 1,1236 = 24 966 руб.;

С141 =24966 1.1236 = 28052 руб.

Суммируя найденные величины, убедимся, что получим, с извест-
ной степенью точности, Q:

е,,>+е'!,+е,1>+е,1,=95013руб..что приблизительно равно
<?

Конечно, размеры налогов за каждый год и наращенной суммы бу-
дут меняться в зависимости от условий. Например, предположим, что
налог за каждый год выплачивается из наращенной суммы. Тогда на-
ращенная сумма после уплаты налога за первый год составит:

F, = /7 - = /г - (Т, - р[а - (а - !)<?]

За второй год сложные проценты будут начисляться уже на сумму
Ft и, следовательно, налог и наращенная сумма с учетом уплаты на-
лога за второй год соответственно составят:

<?2>=(Aa-A)9=fla-l)9[a-(a-lW] = [a-(a-l)9j<2',>

Л = fa - <?2> = faa - (я - 1)9] = Р[а - (а - 1)<7]!.

За третий год:

<?” = ( fa - Л )9= Р(а - 1)ф>-(а -1)?]= = [а - (а -1)9]<?21,

А = fa - <?” = Aja - (а -1)9] = fla - (а - l)rf,
и т. д. Таким образом, для 2 < к< п справедливо

<?*’ = Да - № -(а -1)?]*-1 = [а -(я -1)9]<?‘-" .

А = Л-, [а - (а -1)?] = Да - (а - I )</|'.

Пример

Как изменятся определяемые величины в условиях предыдущего
примера, если налог на проценты уплачивается каждый год путем вы-
деления средств из накапливаемой суммы?

В этом случае:

Л = 2-[1,1236 —(1,1236—1)-0,08]4 -3,077 млн руб.,

Q'" =19776 руб., С” =22025 ру6., Qm =24530 ру6.,

е"" =27319 руб.

Формулами (3.54) — (3.57) и, конечно, их обобщениями можно
пользоваться и в случаях наращения сложными процентами по учет-
ной ставке и наращения непрерывными процентами, только под-
ставляя соответствующий коэффициент а. Если наращение слож-
происходит т раз в год,
(

то а = | 1-----1 . Если начисляются непрерывные проценты по

\ т )

ставке <5, то а = е6.

Безусловно, представленные примеры и задачи, относящиеся к
ситуациям, связанным с налогообложением, носят иллюстративный
характер. Налогообложение представляет собой достаточно сложную
и обширную тему, изучению которой должна быть посвящена от-
дельная работа. В данном пособии при приведении соответствующих
примеров и задач ставилась лишь цель показать влияние взимания
налогов на доходность финансовых операций и каким образом это

влияние можно оценить.
Пусть на капитал Р в течение п лет начисляются сложные или
непрерывные проценты и индекс цен за это время равен Р" . По фор-
муле (3.54): Рп — Ра ", но с учетом инфляции по (2.56) получим.

(3.58)

Отсюда ясно: для того чтобы не было эрозии капитала, должно вы-
полняться неравенство а” > Рр\ что равносильно

причем если а = ^Р^* — я .то наращение капитала лишь нейтра-
лизует действие инфляции. Ставка, для которой соответствующий
коэффициент а превышает а (т.е. в (3.59) выполняется строгое не-
равенство а > а ), называется положительной ставкой. В случае не-
прерывных процентов говорят о положительной силе роста.

1 Н----, то положительная процентная

т J

ставка определяется из неравенства

следует

В частности, если в течение п лет ожидаемый ежегодный ин-
декс инфляции равен 1р, то /р — 1 + А. Ррп} = (/р)" — (1 + А)",
где h — ожидаемый ежегодный темп инфляции и (3.60) примет вид

I I). А если сложные проценты начисляются один
раз в год, то должно быть г<п = г> h,i. е. процентная ставка должна
превышать темп инфляции.
( d{'n>)

Полагая а — 1---------

\ т )

, находим, что положительная учет-

ная ставка удовлетворяет неравенству d1"1 > т(1—, а при

т— 1 и — (1 + А)” получим dm = Если же я= eS,

положительная сила роста удовлетворяет неравенству 3 > — In ,
п р

в частности 8 > Inf I + Л).

Сразу обратим внимание, что в формулах (3.58) — (3.60) в качестве
базовой единицы измерения необязательно брать год. Если в качестве
базовой единицы выбрать, например, месяц, то индекс инфляции,
темп инфляции и прочие характеристики нужно рассматривать за
месяц.

Пример

На вклад в 30 тыс. руб. ежемесячно начисляются сложные процен-
ты по номинальной годовой процентной ставке 40%. Оценить сумму
вклада через 1,5 года с точки зрения покупательной способности, если
ожидаемый темп инфляции 2% в месяц. Какова должна быть величи-
на положительной процентной ставки? Как изменится ситуация, если
темп инфляции будет 4% в месяц?

По формуле (3.12) за л =1,5 года сумма вклада составит

Индекс инфляции за 1,5 года при темпе инфляции 2% в месяц на-
ходим по формуле (2.55):

Г/’ = (1 + 0,02)'* -1,4282.

Применяя (3.58), находим величину вклада с точки зрения ее по-
купательной способности:
_ FiS 54,131

А 5 = уйг = = 37,902 тыс. руб.

Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем
реальный доход владельца вклада:

Fi 5 - Р= 37,902 - 30= 7,902 тыс. руб.

Положительная процентная ставка г<12> должна удовлетворять
неравенству (3.60):

rm > 12-(^/р1Я -1) = 12-(У1,4282 -1) = 0,24

Таким образом, при темпе инфляции 2% в месяц и ежемесячном
начислении сложных процентов реальное наращение капитала будет
происходить только при процентной ставке, превышающей 24%.

При темпе инфляции 4% в месяц: =(1 + 0,04) =2,0258,

- 54,131 n п

Ft 5 = Q25g = ^6-721 тыс. руб. и реальный доход вкладчика соста-

вит 26,721—30 = — 3.279 тыс. руб., г. е. в этом случае вкладчик с точки
зрения покупательной способности потерпит убытки. В данных ус-
ловиях для положительной процентной ставки должно выполняться
неравенство г"2' > I2-CW258-|) = 0,48, т. е. г1121 >48%.

Обратим внимание, что в данном примере величину положи-
тельной процентной ставки можно определить проще, не используя
(3.60). Поскольку известен ежемесячный юмп инфляции h —4%,
а сложные проценты начисляются также ежемесячно, то ставка за

месяц должна превышать темп инфляции, т. е. ----->4%, отку-

да г’121 > 48% . Аналогично при h = 2% получим --> 2% . или

г'2' > 24%.

Как мы видели, для обеспечения реального роста стоимости пер-
воначального капитала необходимо исходную ставку увеличивать
(индексировать). Выбор величины такой индексированной ставки,
называемой брутто-ставкой. определяется поставленными целями
Для обеспечения реальной доходности согласно коэффициенту нара-

щения а необходимо так индексировать исходную ставку (увеличить
на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент наращения
а полностью компенсировал потери из-за инфляции Таким обра-

зом, а определяется из равенства:—Ра , и, следовательно,

а = а^“1

(3.61)

Используя соответствующий коэффициент а и формулу (3.61),
можно найти брутто-ставки rim , (Р‘п , ё , обеспечивающие полу-
чение доходности согласно соответствующей объявленной ставке:

( т I __

г'-‘ = т[(1 +-НГ^-1],

1)1 Т

S = ё+ —In/"1.
п р

(3.62)

(3.63)

(3.64)

В условиях последнего примера при темпе инфляции 2% в месяц
по формуле (3.62) находим*

г"21 =12[(1+— ) 1,02-1] = 0,648,

т. е. ставка 64,8% годовых при ежемесячном начислении сложными
процентами и данном темпе инфляции обеспечивает реальную до-
ходность в 40% годовых. Аналогичным образом при темпе инфляции
4% в месяц получим г*1"* — 89,6%.

Очевидно, из формул (3.62) — (3.64) можно легко получить не-
равенства для определения положительных ставок. Покажем, на-
пример, как с помощью равенства (3.62) можно получить неравен-
ство (3.60). Поли|йи в (3.62) = О, находим величину процентной

ставки, только компенсирующей негативное действие инфляции:

= ти["^/рИ1 — 1] - Отсюда и следует неравенство (3.60) для опре-

деления значений положительных процентных ставок. Аналогичные
суждения можно высказать и о равенствах (3.63), (3.64).

При = (1 + А)я и л? — 1 из (3.62) для = г получаем (обо-

значая у* ° = г)‘-

r = r+/i+rh.

(3.65)

Равенство (3.65) называется формулой И. Фишера, а величина
h + rh — инфляционной премией, которую необходимо прибавить
к исходной ставке доходности для компенсации инфляционных по-
терь. В практических расчетах при малом значении rh пользуются
приближенной формулой: г~г+ /1. Это можно сделать при малом
темпе инфляции и невысокой процентной ставке (такая ситуация
является обычной в странах с развитой рыночной экономикой). На-
пример, если h — 0,3% иг-4%, то г « 4,3% ; точный же расчет
по формуле (3.65) дает г — 4,312% . Конечно, для владельца вклада
желательно использовать формулу (3.65), а для банка, где этот вклад
сделан, выгоднее применять приближенную формулу.

ления реального (т. е. с учетом инфляции) коэффициента наращения:

Из этой формулы, задавая соответствующую номинальную ставку
(устанавливая норму доходности), можно получить значение реаль-
ной ставки (доходности с учетом инфляции при начислении сложных
или непрерывных процентов):

<-,'=М(1+—1].
т mJ/’"»

(3.66)
л(">) .---

т v

(3.67)

Л„., Л-' In/J"1-
п

(3.68)

Пример

Банк предлагает клиентам помешать деньги на депозит на один год
под 32% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов.
Найти реальную доходность такого предложения для клиентов банка,
если ежемесячный индекс инфляции прогнозируется равным 1,02.

Найдем индекс инфляции за п— 1 год: 1р = 1.02 =1.2682. По-
лагая в формуле (3.66) т = 4, ' 0,32, получим:

0,32 1

= 4[(1 +--) . -1] = 0,0709.

4 {(1,2682

Таким образом, реальная доходность (в виде реальной номиналь-
ной процентной ставки) при помещении денег на депозит будет со-
ставлять примерно 7,09% годовых.

Если же реальную доходность такого предложения определять в
виде годовой эффективной процентной ставки, то по формуле (3.17)
находим:

(1 + 0,0709)4

-1 = 0,0728,

т. е. 7,28% годовых. В случае отсутствия инфляции было бы:

_ (1+5^3)'-1 = 0,3605,

что существенно больше, чем реальная доходность.
3.9. Эквивалентность ставок

Как уже не раз убеждались, один и тот же финансовым результат
можно получить различными способами, используя различные став-
ки, методы наращения и дисконтирования. И это неудивительно, так
как любая ставка (процентная, учетная или сила роста) характеризует
доходность финансовой операции.

Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной
ставки на другую финансовые отношения сторон не меняются. Таким
образом, участникам финансового соглашения безразлично, какая
ставка будет фигурировать в контракте.

Соотношения между эквивалентными ставками уже приводились в
первой главе (основные равенства (1.3)) и в главе, посвященной простым
процентам (формула (2.22) и следствия из нее). Аналогичные соотно-
шения получены при обсуждении эффективных процентной и учетной
ставок (формулы (3.17), (3.18), (3.33), (3.34)), а также при сравнении силы
роста и годовых ставок (формулы (3.42), (3.43)). Укажем и другие зависи-
мости между ставками, отражающие эквивалентность ставок

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, ис-
пользуется следующая идея, если из капитала PV наращением за
время п необходимо получить капитал F V, то будут эквивалентны-
ми все ставки, обеспечивающие один и тот же множитель наращения.
Поэтому, приравнивая друг другу множители наращения, получим
соотношения между эквивалентными ставками. Точно также при пе-
реходе от FV к PV с помощью дисконтирования приравниваются
множители дисконтирования.

Обозначим через r,d соответственно процентную и учетную
простые ставки; через г1пЛ (г*Л), ) соответственно про-

центную и учетную годовые номинальные ставки; через 8 силу ро-
ста, а через п длительность финансовой сделки. Приравнивая соот-
ветствующие множители, получим ряд равенств, которые для нагляд-
ности разобьем на группы.

1) Эквивалентность простых и сложных ставок

(3.69)
г*'"’ = тСф + nr -1]

d™ = m(\-n^l-nd}

(3.70)

(3.71)

(3.72)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

Обратим внимание, что при n — 1 формулы (3.69) и (3.70) совпада-
ют с (3.17) и (3.18), а формулы (3.71) и (3.72) — с (3.33) и (3.34).

Пример

Предлагается поместить капитал на 4 года либо под сложную про-
центную ставку 20% с полугодовым начислением процентов, либо под
простую процентную ставку 26% годовых. Выяснить, как выгоднее
поступить.

Чтобы сделать правильный выбор, необходимо найти для данной
сложной процентной ставки 20% эквивалентную простую процент-
ную ставку и сравнить ее с предлагаемой простой процентной ставкой
26%. Используем формулу (3.69):
Так как у = 28,59% превышает 26%, то выгоднее поместить капи-
тал под сложную процентную ставку.

Конечно, можно было найти эквивалентную «ложную про-
центную ставку для простой ставки 26% по формуле (3.70):
г'2’ = 2(^1+ 4-0,26—1) = 0,1864 и поскольку г* <20%, прихо-

дим, естественно, к такому же выводу.

Пример

Банком выдан кредит на пол года под 15% годовых с ежемесячным
начислением сложных процентов. Определить величину простой
учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных
процентов.

По формуле (3.75) получим:

= 0,1437 или е/=14,37%

Для проверки результата воспользуемся формулой (3.76):

- ^-1 =0,15,
.^1-0,5-0,1437 i

т. е. получили исходную сложную процентную ставку.

Пример

Банк начисляет ежемесячно сложные проценты на вклады по но-
минальной годовой процентной ставке 30%. Определите в виде про-
стой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств
для банка при их размещении на 8 месяцев.
Стоимость привлеченных средств можно найти, в частности,
по формуле (2.26), где через Р обозначена использованная сумма
средств; через F—P — проценты, выплаченные за использование
суммы Р в течение времени п,а F определяется с помощью форму-

лы (3.12), где и =— = —, Ж = 12, г<|2* =0 3 - Итак:
12 3

3 -F = 0,2184P

— 0,3276 или, что эквивалентно, 32,76% годовых

А можно было и сразу применить формулу (3.69), устанавливаю-
щую эквивалентность простой ставки г и сложной ставки г!пч:

= 0,3276

По сути, в изложенном предыдущем решении приведена схема вы-
вода этой формулы.

2) Эквивалентность сложных ставок.

(3.77)

rf'"’ =/и[1-

(3.7«)
(3.79)

(3.80)

При т= / из (3.79) и (3.80) получим соответственно равенства

которые, по сути, являются иной записью равенств (1.3).

Пример

Для сложной процентной ставки 32% годовых с полугодовым на-
числением процентов найти эквивалентную ей годовую сложную
процентную ставку с ежеквартальным начислением процентов.

Полагая в формуле (3.77) т—4, 1 = 2 и г’-’ =0,32, получим:

-1] = 0,3081, г. е. г<4) =30,81%.

Для проверки убедимся, что эффективные ставки для г*21 =0,32 и
г,4) =0,3081 равны между собой:

0,3456;

0,3081

0,3456-
Значение ставки г,4> можно найти, просто приравняв друг другу
годовые множители наращения, а именно воспользовавшись соотно-
шением:

Пример

Определить сложную учетную ставку, эквивалентную годовой но-
минальной процентной ставке 18% с ежеквартальным начислением
сложных процентов.

Применяем формулу (3.80) при /я = 1,/ = 4, г = 0,18:

... ( 0,18^ 1

</" ] = 0,1614

Проверим полученный ответ по формуле (3.79), где уже ftl — 4,1 — 1

т“' _4|fl-°’1^14J ‘ -1]»0,17995 = 0,18

Естественно, при решении данного примера можно было восполь-
зоваться формулами (3.75), (3.76).

Эквивалентность ставок можно использовать при выводе всевоз-
можных соотношений. Например, покажем, как формулу (3.63) мож-
но получить из (3.62), используя эквивалентность сложных ставок.
Выше отмечалось, что для эквивалентных г/*’"1 и г<'”> справедливо

Подставляя вместо ставки г*"1 ее выражение из формулы (3.62),

получим:
А поскольку для эквивалентных ставок и выполняется

т. е. вывели соотношение (3.63).

3) Эквивалентность силы роста и простых ставок.

eSn— 1

1п(1 + пг)
п

\-е^п
п

ln(l — nd)
п

(3.81)

13.82)

(3.83)

(3.84)

4) Эквивалентность силы роста и сложных ставок.

8 — mln(l +--)

г1"1 =т(г" -1)
6 - -raln(l -----)

(3.87)

(3.88)

При т— 1 (3.85) и (3.86) совпадают с (3.42), а (3.87) и (3.88) — с (3.43).

Пример

Банк предоставил кредит на 4 года под непрерывную ставку 30% за
год. Найти доходность такой финансовой операции для банка в виде
эффективной годовой процентной ставки.

Используя формулу (3.81) при я — 1 или (3.86) при и? = 1, получим:

г* = е0-3 -1 = 0,3499 = 34,99%

Естественно, можно применить и формулу (3.19). Если Р величи-
на кредита, то через п — 4 года наращенная сумма, которую заемщик
должен будет возвратить, составит:

Г4=Ре’)’м = Ре'2.

Поэтому:

А?'-2)4

—— I I - с | - 0,3499 - 34,99%

Пример

Определить величину силы роста при начислении непрерывных
процентов в течение года, которая эквивалентна процентной ставке
16% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов.

0,16

По формуле (3.85): «5= 121п(1 + —j^-) = 0,1589. Проверку по-

лученного ответа можно осуществить, применяя формулу (3.86):

/1!| = 12(<Г“~ I) = 0,15996 » 0,16 -
Можно показать, что эквивалентные ставки Г , а и о при лю-
бых натуральных жи I удовлетворяют неравенствам:

Действительно, разлагая е1" вряд и пользуясь формулой (3.86), по-
лучим:

- Л

-1'"’ =m(e" — 1) = т(1 + —+
т

2/и

Следовательно, ё < г1"0 .Аналогичным образом устанавливается,
что d'n < ё.

Кстати, из приведенного двойного неравенства следует, что для
эквивалентных ставок г1'”5 и при любых tn и I справедливо не-
равенство dUi < г(т>. Более того:

limr/',, = limr‘r” = ё.

Последние две группы формул, связанные с непрерывным начис-
лением процентов, позволяют упростить анализ многих сложных фи-
нансовых задач с помощью перехода от дискретных ставок к соответ-
ствующим эквивалентным непрерывным ставкам. Осуществив уже
менее сложные математические выкладки, полученные результаты
можно представить опять в любых удобных эквивалентных дискрет-
ных ставках, более привычных.

Проблему эквивалентности ставок можно рассматривать и с бо-
лее общих позиций, например, эквивалентность одной ставки не-
скольким ставкам или эквивалентность двух наборов ставок. По-
ясним сказанное. Пусть в течение времени п используется сложная
(т)

процентная ставка г , но при начислении процентов применяет-
ся смешанная схема. Тогда по формуле (3.16) множитель наращения
Jm) -(»»)

имеет вид (1 +----) и (1 + f--), где w— [тпд], f — гпп — [тп],

т т

й>+ ?

п =------, а эквивалентная простая ставка находится по формуле

т
П

(3.89)

Таким образом, процентная ставка г эквивалентна, по сути, двум
процентным ставкам: сложной ставке г<пй, применяемой за время,
равное целому числу подпериодов, и простой ставке г{т\ приме-
няемой за время, равное дробной части подпериода. При этом, если
дробная часть подпериода равна нулю ( f — 0), то и — [тип] — тп и
(3.89) совпадает с (3.69), а если целое число подпериодов равно нулю
_ f ( .

( и = 0), то — = п и (3.89) примет вид: г = г’”4. Аналогичные соот-
т

ношения можно получить и для других ставок, а также при исполь-
зовании иных схем начисления процентов (например, по формулам
(3.9)-(3.1 П).

Пример

Банк предоставляет ссуду на 27 месяцев под 16*5 годовых с полу-
годовым начислением процентов по смешанной схеме. Определить
эквивалентную простую процентную ставку.

Полагая п— 2,25 года, т= 2,ги) = 0,16,

w= [2- 2,25] — [4,5]- 4, 7—4,5—4 —0,5 по формуле (3.89)
получим:

т. е. эквивалентная простая процентная ставка равна 18.44*$

Если бы начислялись только сложные проценты, то воспользова-
лись бы формулой (3.69):
В указанном выше смысле ставки /, d,8 , определяемые для ра-
венств (2.9), (3.4), (3.39), (3.46), являются эквивалентными набору пе-
ременных ставок, фигурирующих в соответствующем равенстве.

3.10. Замена платежей и сроков их выплат

Как и в случае простых процентов при любой замене платежей
должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, со-
блюдение которого обосновывается составлением соответствующего
уравнения. Если платеж Р, со сроком п, надо заменить платежом Pt,
со сроком пи при использовании сложной процентной ставки г (л(
и nv измеряются от одного момента времени), то уравнение эквива-
лентности имеет вид:

а) Ро = /{(1 + г)Пс'~'1‘, если Ц, > Ц;

б) - Pt. если ли = п,;

Р.

в) Д =-----------, если п., < п..

° (1 + г)д-''-

Легко видеть, что все три вида уравнения можно объединить в
один: для любых сроков п, и п„ должно выполняться

Ро = />(1 + г) (3.90)

Записав (3.90) равносильным образом

Р Р

---« = 1-, (3.91)
(1+г)'--------------------------------(1+г)'

делаем вывод: для эквивалентной (согласно сложной процентной
ставке г) замены платежей необходимо, чтобы их приведенные сто-
имости совпадали. Причем расчет приведенных стоимостей можно
осуществлять на любой момент времени. Это следует из того, что
(3.91) равносильно равенству
р„ _ р,
(I I г)” ' (! + /)’-'

(3.92)

где t — произвольное вещественное число.

Таким образом, при сравнении платежей можно выбирать любой
удобный и интересующий момент времени.

Пример

Платеж в о тыс. руб. и сроком уплаты через 4 года заменить плате-
жом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 5 лет. Применяется сложная
процентная ставка 12% годовых.

а) Полагая в (3.90) = З.л, = 4. л0 — 2. г — 0.12. получим:

R = 6 - (1 + 0,12)2’ =----—т - 4,783 тыс. руб

€ (1 + 0,12)2

б) Так как в этом случае nt, = 5, то

Рь = 6 (1 + 0,12)s* = 6 (1 + 0,12) = 6,72 тыс. руб.

Пример

Предлагается выплатить за использование некоторого имущества
либо 20 тыс. руб. через пять лет, либо 30 тыс. руб. через десять лет. Оце-
нить, какое предложение лучше, если есть возможность инвестирова-
ния денежных средств под сложную процентную ставку 15% годовых.

Согласно формуле (3.92) можно найти приведенные стоимости
платежей на любой момент времени. Если выбрать конец десято-
го года, то при наращении 20 тыс. руб. сложными процентами за
пять лет получим: 20 - (1 + 0,15)3 = 40,227 тыс. руб., т.е. первое
предложение выгоднее. Если осуществить приведение платежей,
например, к исходному моменту времени, то при учете 20 тыс. руб.
за пять лет и 30 тыс. руб. за десять лет соответственно получим:

------—-- = 9 944 тыс. руб. и -— = 7 416 тыс. руб. Следо-
(1 + 0,15)’ (1 + 0,15)”
вательно, опять делаем вывод о выгодности первого предложения
Подобный вывод будет при выборе любого момента времени для
расчета приведенных или наращенных стоимостей платежей при
использовании сложной процентной ставки.

Однако если использовать простую процентную ставку и та-
кой же метод опенки предложений, можно прийти к противоре-
чивым выводам Так. выбирая коней десятого года и сравнивая
20 - (1 + 5 - 0,15) — 35 тыс. руб. и 30 тыс. руб., получаем, что первое
предложение лучше. Но выбирая исходный момент времени и срав-
20 30

нивая----------= 11,429 тыс. руб. и--------=12 тыс. руб., полу-

1 + 5-0,15 1 + 10 0,15

чаем, что лучше второе предложение.

Очевидно, при й, = 0 из (3.90) следует (3.1) — наращение сложны-
ми процентами, а при — 0 из (3.90) следует (3.20) — дисконтирова-
ние по сложной процентной ставке. Таким образом, (3.1) и (3.20) пред-
ставляют собой одни из простейших случаев замены платежей.

Из равенства (3.90) следует, что при известном платеже Ро новый
срок ц определяется по формуле:

111—-

1п(1 + г)

(3.93)

Пример

Определить величину нового срока, если платеж в 2 тыс. руб. через
пять лет заменяется платежом в 3 тыс. руб. и используется сложная
процентная ставка 15^.

Обозначая Рх = 2,ц = 5,PV — 3,г = 0,15 по формуле (3.93) полу-
чим:

= 5 +------?----= 7,901

1п(1 + 0.15)

года.

Рассмотрим более общую ситуацию, когда платежи Р1,Р2,..., Рт,

выплачиваемые соответственно через время ц, ц,..., пт, заменяют-
ся одним платежом Plt с выплатой через время т$(. В составляемом
уравнении эквивалентности, аналогичном (3.90), платежу Р, будет
соответствовать слагаемое Рк (1 + , т. е. при л() > будет на-

ращение сложных процентов на капитал Pf , а при < п* капитал
Рк будет учитываться. Таким образом, уравнение эквивалентности
имеет вид:

р„ЛО 1 г)'’• <з.94>

или, что то же самое:

Заметим, что если стоит задача сравнения (с точки зрения сложной
процентной ставки г) платежа Pt, с заменяемыми платежами, то за
момент оценки можно выбрать произвольный момент времени.

Разрешая (3.94)или (3.95) относительно /^.получим:

кД-1пХЛ(1+гр

л„=---------м----------- (3.96)

" 1п(1+г)

Пример

Три платежа в 3,1 и 1,5 тыс. руб. со сроками выплат соответствен-
но через 1, 2,5 и 4 года заменяются одним платежом, выплачиваемым
через 3 года, при этом используется сложная процентная ставка W?
годовых. Найти величину консолидированного платежа. Какой будет
срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме
исходных платежей?

Полагаем

Р.=3,Р2 = !,/> =l,5,n( =1,л2=2,5,л3 = 4,^, =3,г-0,14

и воспользуемся формулой (3.94):
Р„ = 3 (1 + 0,14)и +1 (1 + 0,14)М! +

+1,5 • (1 + 0,14)3 4 = 6,282 тыс. руб

Если же Р{: — 3 + I + 1,5 — 5,5 тыс. руб., то по формуле (3.96):

1п5,5-1п[3 (1,14)-' +1-(1,14)-215 +1,5 (1,14) 4]
In 1,14

— 1,985 года.

Обратим вн иман ие. что для упрощен ия вычисления можно бы-
ло воспользоваться уже полученным результатом, считая, что платеж
6,282 тыс. руб. через три года заменяется платежом в 5,5 тыс. руб. и
тогда по формуле (3.93):

Л = 3 + 6,282 « 1,985 года.

и In 1,14

Если несколько платежей заменяются одним и при атом исполь-
зуется номинальная годовая процентная ставка г<Л (т. е. сложные
проценты начисляются I раз в год), то уравнение эквивалентности
примет вид

откуда

" ( г(/) А ' "*

1пР„-1пр>11+— I
"«=-------—з>---------

/1п(1+—>

Очевидно, при I — 1 из (3.97) следует (3.94), а из (3.98) - (3.96).
Пример

В условиях предыдущего примера начисление процентов осущест-
вляется ежеквартально. Наити величину консолидированного пла-
тежа и новый срок выплаты, если консолидированный платеж будет
равен 5,5 тыс. руб.

Так как в этом случае I = 4,г(4> = 0,14. то по (3.97)

= 6.329 тыс. руб.

Если Ри — 5,5 тыс. руб., то по формуле (3.98):

In 5,5 - 1п[3 (1,035р +1 (1,035) 10 +1,5 (1,035)1ь]
41п1,035
= 1,980 года.

При т= I формула (3.98) после простых преобразований примет

In/’-In/?
види0-л,+------, х

Zin 1+----

I I I

(кстати, из которого при / — 1 следует соотношение (3.93)). Если в этой
формуле перенести /7( в левую часть равенства и обозначить Р} = Р,

= — 7?! = п, то получим формулу (3.13).

Перепишем формулу (3.97) в равносильном виде
г(/)

и при —— < 1 каждый знаменатель в этом равенстве раскладываем в

ряд. Ограничившись везде двумя слагаемыми, можно записать:

т. е. получим формулу (2.71), в которой вместо точного равенст-
ва — приближенное. Следовательно, срок приблизительно можно

найти по формуле (2.72) и. в частности, когда — по форму-

*=i

ле определения среднего срока.

Конечно, сущеешую| различные возможное!и изменения усло-
вий финансового соглашения и поэтому имеется большое многооб-
разие уравнений эквивалентности. Врядли можноохватить готовыми
формулами все случаи, да и в этом нет необходимости, поскольку в
каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение экви-
валентности составляется похожим образом, как это было видно из
примеров при рассмотрении простых процентов. Однако при исполь-
зовании сложной процентной ставки не возникает проблем с опреде-
лением даты, на которую рассчитывают приведенные значения плате-
жей: она может быть любой, так как значения новых характеристик от
изменения даты не меняются.

Пример

В соответствии с контрактом предприниматель обязан выпла-
тить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через год —
15 тыс. руб и еще через 1,5 года — 18 тыс. руб. Предприниматель
предлагает выплатить долг равными платежами через два гола и еше
через два года после первой выплаты. Какой величины должна быть
каждая выплата, чтобы эти контракты были эквивалентными, если
есть возможность помещения денег в банк под номинальную про-
центную ставку 32*? годовых с начислением сложных процентов по
полугодиям?

Два контракта считаю гея эквивалентными, если приведенные
стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. Обо-
значим через х величину каждого нового платежа и в качестве даты
приведения примем дату, от которой измеряются все сроки.

Сроки выплат по первому контракту соответственно равны 0,75 го-
да (9 месяцев), 1,75 года (9 месяцев + 1 год), 3,25 года (9 месяцев + 1 год
+ 1,5 года). Для второго контракта — 2 и 4 года. Приравниваем сум-
мы приведенных стоимостей потоков платежей по первому и второму
контрактам:

12 15 18

Откуда

( 12 15 18 ( 1 1 )

Ц,16’-5 +1,1635 +1,166-5 J\1,164 + 1,16s J

= 29,612 тыс. руб

Обратим внимание, что такой же результат получим, выбрав в ка-
честве момента приведения любой другой момент времени. Пусть, на-
пример, в качестве момента приведения выбрано начало пятого года
(т. е. конец четвертого года). В этом случае уравнение эквивалентно-
сти примет вид:

12 i,16w+151,16M+— , =Jt i * 4

1,16"5 1,164

Поделив обе части уравнения на 1.164, получим такое же уравне-
ние, что и раньше.

Задача замены платежей при использовании учетной ставки или
непрерывных процентов рассматривается аналогичным образом, как
и при использовании процентной ставки, поэтому приведем основ-
ные формулы, не останавливаясь подробно на их обсуждении.
Если платежи Рх, Р-,,..., Рт, вы плачиваемые соответствен но через
время ц, п2,...,лт, консолидируются в один платеж Рь с выплатой
через время и используется номинальная годовая учетная ставка
d'}, то в правой части соответствующего уравнения эквивалентно-
z

сти платежу Рк будет соответствовать слагаемое Рг 11-— I

т. е. при > пк будет осуществляться наращение сложных процен-
тов на капитал /у а при <пк будет осуществляться учет капитала
Рк. Следовательно, уравнение эквивалентности имеет вид:

(3.99)

откуда получаем:

Равенство (3.99) равносильно равенству

Раскладывая при

каждый множитель наращения в

ряд и оставляя в каждом разложении два слагаемых, получим
— nkd''’). Сравнивая это приближенное
равенство с (2.77), делаем вывод, что срок /70 приблизительно можно
определять по (2.78).

Если при замене платежей используется сила роста 8, то уравне-
ние эквивалентности будет выглядеть таким образом

(3.10В

и следовательно.

(3.102)

Можно показать, что при / —> <х равенство (3.101) получается из
(3.97) или (3.99), а равенство (3.102) - из (3.98) или (3.100).

Можно заметить, что все уравнения эквивалентности (3.97), (3.99),
(3.101) и формулы (3.98), (3.100). (3.102) для определения срока записы-
ваются единообразно в виде

. <3.103)

i=l

In/’ — ln\l/’a

«о =--------, (3.104)

та

учетной ставки rf1'1; а=<^для силы роста 8.

Подобным образом, как для формулы (3.98), можно высказать суж-
дения о связи формулы (3.100) с (3.31) и (3.102) с (3.45).
Пример

Платеж в 24 тыс. руб. со сроком уплаты через пять лет предпола-
гается заменить платежом 15 тыс. руб. Определите величину нового
срока, если применяется: а) процентная ставка 34% годовых с полуго-
довым начислением сложных процентов; б) учетная ставка 34% годо-
вых с полугодовым начислением сложных процентов; б) непрерывная
ставка 34% за год.

Во всех случаях можно воспользоваться формулой (3.1С4), кото-
. In Я. — 1п Ла"1 п п

рая при tn — 1 примет вид п( =---у----!----- Полагаем /< = 15,

In Я

7? =24, И| =5.

а) В этом случае а = 1 + —— I = 1.172 и поэтому

I 2 J

1п15-1п(24-1,17-'°)

И,, =-----------г-------= 3,51)3 года.

° 1п1,17~

б) Так как применяется сложная учетная ставка, то

С, 0,34V1

а — I 1--—— I — и,оЗ , и следовательно.

lnl5-ln(24 l),S3 '")
In 0,83 ?

= 3,739 года.

в) Поскольку в этой ситуации С1 = е°’34, то

1п15-1п(24-е 117)
0,34

= 3,618 года.

Заметим, что если в пунктах а) и б) увеличивать число начислений
процентов в году, то величина нового срока в случае а) будет увели-
чиваться, приближаясь к 3,618 года, а в случае б) — уменьшаться, при-
ближаясь также к 3,618 года.
Глава 4
Денежные потоки

4.1. Виды денежных потоков

Одним из основных элементов финансового анализа является
оценка денежного потока (cashflow, flow of payments) C\, C2,..., Ся,
генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реа-
лизации какого-либо проекта или функционирования того или иного
вида активов. Элементы С, потока moi ут быть либо независимыми,
либо связанными между собой определенным алгоритмом. Для про-
стоты изложения материала в этой главе предполагается, что элемен-
ты денежного потока однонаправленные, т.е. нет чередования отто-
ков и приз оков денежных средств. Также считае! ся (если не оговорено
специально), что генерируемые в рамках одного временного периода
поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е.
они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной
из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумеран-
до, или авансовым, во втором — потоком постнумерандо. Если первый
временной период длится от момента времени до момента времени
Г], второй — от Г, до t2. л-й — от tn} до tn, то денежные пото-

ки пренумерандо и постнумерандо можно изобразить таким образом
(см. рис. 4.1):

Временные периоды часто предполагаются равными (т. е.
t} — t0 — t2 — tj tr — tn} ). На практике большее распростра-
нение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток
лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некото-
рые объяснения этому можно дать, исходя из общих принципов учета,
согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый
результаттого или иного действия по окончании очередного отчетного
периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты,
то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно
Рис. 4.1. Виды денежных потоков

и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода.
Благодаря этому соглашению формируются равные временны'е
периоды, что позволяет разработать удобные формализованные
алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе
различных схем накопления денежных средств для последующего их
инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения
двух задач: а) прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего
(реализуется схема наращения); б) обратной, т.е. проводится оценка
с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).
В результате решения каждой из этих задач денежный поток
заменяется одним-елинственным платежом Поскольку отдельные
элементы денежного потока генерируются в различные временные
интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное
их суммирование невозможно. Поэтому осуществляется приведение
денежного потока к одному моменту времени Используемые при
этом расчетные формулы различны в зависимости от вида потока —
постнумерандо или пренумерандо.

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного
денежного потока (amount of cash flow), т.е. в ее основе лежит
будущая стоимость (future value). В частности, если денежный поток
предс1авляет собой регулярные начисления процент ов на вложенный
капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной
оценки наращенного денежного потока лежит формула (3.3).

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтиро-
еанногоденежного потока, т. е. в ее основе лежит приведенная (текущая)
стоимость (present value of cash flow). Такая оценка осуществляется с
помощью формулы (3.20).
Ключевым моментом в рассмотренных схемах является молчали-
вая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции «разумного
инвестора», т.е. инвестора, не накапливающего полученные денежные
средства в каком-нибудь сундуке, подобно небезызвестному Плюш-
кину, а немедленно инвестирующего их с целью получения
дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что
при оценке потоков в обоих случаях, т.е. и при наращении, и при
дисконтировании, предполагается капитализация обычно по схеме
сложных процентов

Обратим внимание, что фактически некоторые ситуации, связан-
ные с денежными потоками, уже были рассмотрены ранее в разделах
2.9 и 2.12 (в условиях применения простых ставок) и в разделе 3.10
(при использовании сложных ставок).

4.2. Оценка аннуитета

Одним из ключе вых понятий в финансовых и коммерческих расче-
тах является понятие аннуитета (annuity). Логика, заложенная в схему
аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и
долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также
анализе аренды.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного по-
тока, а именно это поток, в котором длительности всех периодов
равны между собой (напомним, что мы предполагаем либо толь-
ко притоки, либо только оттоки денежных средств). Исторически
вначале рассматривались ежегодные (период равен одному году)
денежные поступления, что и послужило основой для названия
«аннуитет» (так как год на латинском языке — anno). В дальней-
шем в качестве периода стал выступать любой промежуток време-
ни при сохранении прежнего названия. Аннуитет еще называют
финансовой рентой, или просто рентой. Любое денежное посту-
пление называется членом аннуитета (членом ренты), а величина
постоянного временного интервала между двумя последователь-
ными денежными поступлениями называется периодом аннуите-
та (периодом ренты). Если число равных временных интервалов
ограничено, аннуитет называется срочным. Интервал времени от
начала первого периода аннуитета до конца последнего периода
называется сроком аннуитета. Таким образом, срок аннуитета
можно определить, умножая его период на количество денежных
поступлении.

Если в течение каждого базового периода начисления процентов
денежные поступления происходят р раз. го аннуитет часто называ-
ют р-срочным. Часто в качестве такого базового периода выступает
календарный год1.

Как и в общем случае, выделяют два типа аннуитетов: постнуме-
рандо (ordinary annuity) и пренумерандо (annuity due). Аннуитет пост-
нумерандо также называют обычным аннуитетом, а пренумерандо —
авансовым аннуитетом.

Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить ре-
гулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в
аренду земельным участком в случае, если договором предусматри-
вается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода.
В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например,
схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале
каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной
покупки.

Началом аннуитета является начало первого его периода. Поэто-
му начало аннуитета пренумерандо совпадает с моментом первого
денежного поступления. А момент начала аннуитета постнумерандо
предшествует моменту первого денежного поступления на интервал
времени, равный периоду аннуитета.

Если известно точное число членов аннуитета, то он называется
верным, или безусловным (annuity certain). Если же количество членов
аннуитета зависит от наступления некоторого события, то аннуитет
называется условным (contingent annuity). Характерным примером тако-
го аннуитета является пенсия, выплата которой прекращается после
смерти пенсионера. В условном аннуитете может быть неизвестна и
дата первого денежного поступления. Такая ситуация типична для
выплат, которые производятся только при наступлении сграхови-
го события. Анализ условных аннуитетов — одна из основных задач
страховой (актуарной) математики.

1 Например, если сложные проценты начисляются по годовой номинальной про-
центной ставке Г"", то базовым периодом будет год, в течение которого сложные про-
центы начисляются т раз. Таким образом, базовый период начисления процентов со-
впадаете периодом, за который установлена номинальная ставка
Ситуация, когда денежные поступления по периодам варьируют,
является наиболее распространенной. В этом случае аннуитет назы-
вается переменным (variable annuity) и общая постановка задачи такова.

Пусть fj, С2С„ — аннуитет, период которого совпадает с ба-
зовым периодом начисления процентов по ставке г Требуется найти
стоимость данного аннуитета с позиции будущего и с позиции насто-
ящего.

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на
конец периода п, когда реализуется схема наращения, которую для
аннуитета постнумерандо можно представить следующим образом
(см. рис. 4.2).

Рис. 4.2. Логика решения прямой задачи

для аннуитета постнумерандо

Таким образом, на первое денежное поступление начисля-
ются сложные проценты за п— 1 период, и оно в конце л-го пери-
ода станет равным 6^(1 +г)” . На второе денежное поступление
С, начисляются сложные проценты за л — 2 периода, и оно станет
равным С2(1 + г)"-2 и т. д. На предпоследнее денежное поступле-
ние Св_1 проценты начисляются за один период и оно будет в конце
п-го периода равно 6^(1 +г). Естественно, на Сп проценты не
начисляются.

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного пото-
ка постнумерандо имеет вид:
С, (1 + г)"-', С, (I + г)-=..... С,., (1 + г), Q.

и будущая стоимость FV^,, исходного денежного потока (аннуитета)
постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных посту-
плений, т.е. получаем формулу:

РГ,"=ЁС.<1«к

или. используя обозначение множителя наращения:

rvj, = Xq™i(r,«-o. («)

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего
момента, т.е. на конец периода 0 (или. что то же самое, на момент
начала первого периода). В этом случае реализуется схема дискон-
тирования. а расчеты необходимо вести по приведенному потоку,
все элементы которого с помощью дисконтных множителей приве-
дены к одному моменту времени, а именно — к настоящему момен-
ту времени. Элементы приведенного денежного потока уже можно
суммировать, их сумма харам еризует приведенную, или текущую,
стоимость аннуитета, которую при необходимости можно сравни-
вать с величиной первоначальной инвестиции. Схема дисконтиро-
вания для исходного потока постнумерандо имеет следующий вид
(см. рис. 4.3).

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного по-
тока постнумерандо имеет вид:

С. С, с,

1+г’(1 + г)!”’(1 + Л".

Приведенная стоимость денежного потока (аннуитета) постнуме-
рандо Р в общем случае может быть рассчитана по формуле:
" N

=V_2Ц_.

Р S(l + r)‘

(4-3)

С,/(1+г)

С2/(1+г)2

С3/(1+тЯ

C„/(l+r)n

Рис. 4.3. Логика решения обратной задачи
для аннуитета постнумерандо

Если использовать дисконтный множитель, то формулу (4.3) мож-
но переписать в следующем виде:

. (4.4)

В литературе по финансовым ивестиниям опенка с позиции на-
стоящего потока будущих доходов носит также название капитализа-
ции доходов'.

1 Заметим, что в общем случае термин «капитализация» имеет различные интер-
претации В данном разделе речь идет о капитализации ожидаемых доходов, трактуе-
мой в традиционном для финансовой литературы ключе (см , например, [1, Лунский,
1916 (б), с. 77], |11. Шарп, Александер, Бэйли, с 420|). В литературе по бухгалтерскому
учету можно встретить термин капитализация расходов, понимаемый как отражение
расходов в виде некоторой статьи в активе баланса (альтернатива — списание расходов
на затраты отчетного периода).
Пример

Рассчитать приведенную стоимость аннуитета постнумерандо
(тыс. руб.): 12,15,9,25, если дана процентная ставка г = 12% и период
равен одному году.

Год Денежный поток (тыс. руб) Дисконтный множитель при г = 12*5 Приведенный поток (тыс. руб.)
1 12 0,8929 10.71
2 15 0,7972 11,96
3 9 0,7118 6.41
4 25 0.6355 15,89
61 44.97

Заметим, что формула (4.1) является частным случаем уравнения
эквивалентности (3.94) при т = п, пк = к,Рк = Ck,Pi = FV"a ,п0=п.
Следовательно, оценку будущей стоимости аннуитета постнуме-
рандо можно рассматривать с точки зрения ситуации, когда плате-
жи С(, С2... Сп, выплачиваемые соответственно в конце перво-

го, второго,..., л-го периода, заменяются одним платежом FV^ с
выплатой в конпе л-го периода. Аналогичным образом в указан-
ных обозначениях только при щ = 0 из (3.94) получается формула
(4.3), т. е. исходный поток платежей заменяется одним платежом
pv^, с выплатой в конце нулевого периода. Согласно формуле
(3.94) опенку денежного потока (и. в частности, аннуитета) можно
осуществить с позиции любого момента времени и назвать полу-
ченную величину сюимостью денежного потока в соо1вегствую-
щий момент времени.

Формулу (4.3) можно получить и не указывая явным образом при-
веденный денежный поток, а осуществляя приведение величины
FV^sl к настоящему моменту времени. Действительно,

FV" " ' N

ру- =-----+ Л (]+,)-* =У------------------*—

(1 + гУ h * S(l + r)‘

Логика оценки аннуитета пренумерандо аналогична вышеописан-
ной; некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняет-
ся сдвигом элементов потока к началу соответствующих подынтерва-
лов. Для прямой задачи схема наращения будет выглядеть следующим
образом (см. рис. 4.4).

Рис. 4.4. Логика решения прямой задачи
для аннуитета пренумерандо

Следовательно, наращенный денежный поток имеет вид

qd + rr.Gd + r)"-'

CJ1 + D

и будущая стоимость исходного денежного потока (аннуитета) пре-
нумерандо F V‘re в общем виде может быть рассчитана по формуле:

л>ЁС(1+'Г"

Очевидно, что FV*re = /zl^5Z(l + г).

Для обратной задачи схема дисконтирования представлена на
рис. 4.5.
Рис. 4.5. Логика решения обратной задачи
для аннуитета пренумерандо

Приведенный денежный поток для исходного потока пренумеран-
до имеет вид:

С2 с3 сп

с,’ТТ7’(1 + г)2’‘"’(1 + г)'"1’

Следовательно, приведенная стоимость потока пренумерандо
Р 1Р.е может быть рассчитана по формуле:

Z‘C =Ё,,Л. , =<1 + '>Ё< ДЛ'2^-О. (4.6)

*=i v + r) *=i

Как и в случае с будущей стоимос|ЬЮ, очевидно, что
PVpre — PV^fl +/•) . Так, если в предыдущей задаче предположить,
что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, то его
приведенная стоимость будет равна:

P\Qe = Pl£.,(l + г) = 44,97 1,12 = 50,37 тыс. руб.

Безусловно, изложенный метод оценки аннуитета справедлив и в
случае произвольного денежного потока, когда временные периоды
между поступлениями денежных средств не равны друг другу. Ведь,
по сути, при этом решается задача замены платежей с составлением
соответствующего уравнения эквивалентности.

Пример

Необходимо произвести платежи 120, 80, 100, 50 и 200 тыс. руб. со-
ответственно через два, четыре года, пять, шесть и девять лет. Опре-
делить будущую и приведенную стоимость денежного потока при ис-
пользовании сложной процентной ставки 20% годовых.

С позиции конца девятого года на 120 тыс. руб. начисляются сложные
прсценты за семь (9—2) лет, на 80 тыс. руб.—за пять (9—4) лет и т. д. Поэтому:

FV = 120 • (1+0,2)7 + 80 • (1 + 0,2)’ +100 • (1 + 0,2)4 +
+50 (1 + 0.2)3 + 200 = 1122.80 тыс. руб.

Аналогично:

120 80 + 100

- (1 + 0.2)’ (1+0.2)4 (1 + 0.2)5

50 200

+---------+---------=217,607 тыс. руб.

(1 + 0,2) (1+0,2)’

Для проверки дисконтируем FV за девять лет:

FV
(1 + 0,2)’

1122,80

---------- = 217,607 тыс. руб.
(1 + 0,2)’

4.3. Оценка постоянного аннуитета постнумерандо

Аннуитет называется постоянным (fixed annuity), если все денеж-
ные поступления равны между собой (рис. 4.6). В этом случае:

с, = с, =...=<?. = +

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно
пользоваться рассмотренными в предыдущем разделе вычислитель-
Рис. 4.6. Виды постоянных аннуитетов

ними формулами, вместе с тем благодаря специфике постоянных
аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти фор-
мулы могут быть существенно упрощены. При выводе всех формул
этого раздела предполагаем, что денежные поступления происходят
в течение п периодов, которые являются базовыми для начисления
процентов по ставке г.

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величи-
нах регулярного поступления (А} и процентной ставке (г] предпо-
лагает оценку будущей стоимости аннуитета ( FV^ )- Как следует из
логики, присущей схеме аннуитета, записанный в порядке поступле-
ния платежей наращенный денежный поток (в аннуитете постнуме-
рандо) имеет вид:

4(1 + г)" ', Л(1 + г)"2 г), А,

а формула (4.1) трансформируется следующим образом.

fv;* =^E(i+ry А =^£(1 + гу 1 =

*=1 ZT (4.7)

=А-РМЗ(г,п)

Входящий в формулу множитель FM3(r, п) называется коэффи-
циентом наращения аннуитета (ренты) и представляет собой сумму л
первых членов геометрической прогрессии, начинающейся (в обозна-
чениях раздела 1.4 главы) с a — 1 и знаменателем q = 1 + г.
Таким образом,

FA73(r, п) = ------- - (4.8)

Из (4.8) следует, что

, (l + v)"-l ™1(г,л)-1 г'-1

FM3( г, п) —---------=-------———- =--------------

В финансовой практике для коэффициента наращения ренты
постнумерандо принято и такое обозначение FM3(r,n)= S-|

Экономический смысл множителя FM3(r^ п) заключается в сле-
дующем. он показывает, чему будет равна суммарная величина сроч-
ного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к
концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь
начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по
окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r,n) чао о
используется в финансовых вычислениях. Его значения зависят лишь
от процентной ставки ( г) и срока (п) действия аннуитета, причем с
увеличением каждого из этих параметров величина FM3(r, л) воз-
растает. Значения множителя для различных сочетании г и л можно
табулировать (см. таблицу 3 приложения 3). Заметим, что при выводе
формулы (4.7) использовали выражение процентной ставки г в деся-
тичных дробях, однако в приложении 3 значения г даны в процентах.

Из (4.7) следует, что FM3(r,ti) показывает, восколько раз наращен-
ная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А.
В связи с этим множитель FM3(i\ ri) называют также коэффициен-
том аккумуляции вкладов. Иногда множитель FM3(r,ri) называют
фактором будущей стоимости обычного аннуитета или второй функ-
цией сложного процента. В этом случае обратную величину множите-
1
ля --------- называют фактором фонда обычного возмещения или

FM3(r, ri)

третьей функцией сложного процента. Из формулы (4.7) следует, что
фактор фонда обычного возмещения равен величине платежа, кото-
рый необходимо вкладывать (депонировать) в конце каждого перио-
да, чтобы при заданной процентной ставке г в конце последнего пе-
риода получить на счете сумму, равную единице.
Заметим, что формула (4.7) охватывает и «пограничные» случаи
Так, при одном денежном поступлении (п — 1) FM 3(г, 1) = 1 и FV^t = А.
А при г= 0 (не происходит никаких начислений) из (4.7) получаем
FV°S, — nA, т.е. денежные поступления просто суммируются. Есте-
ственно, эти результаты следуют и просто из здравого смысла. Иногда
для удобства написания формул рассматривают и случай п= 0 (де-
нежные поступления отсутствуют) и полагают FM3{r,0) = 0

Пример

Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из
двух вариантов оплаты аренды: а) 10 тыс. евро в конце каждого года;
б) 35 тыс. евро в конце трехлетнего периода. Какой вариант более
предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет
постнумерандо при п = 3 и А = 10 тыс. евро. В этом случае имеется
возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестиро-
вания полученных сумм как минимум на условиях 2()'т годовых (на-
пример, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная
сумма может быть рассчитана в соответствии со схемой, аналогичной
схеме, представленной на рис. 4.2, или сразу по формуле (4.7):

FVapsl = А ™3(20%3) = 10 - 3,640 = 36.4 тыс. евро.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

В формуле (4.7) переменная п означает число периодов, а г пред-
ставляет собой ставку за период. И период, конечно, не обязательно
должен быть равен одному году. Так. если в качестве периода пони-
мать один квартал, то г является сложной ставкой за один квартал.

Коэффициент наращения ренты FM3(r,n) обладает рядом
свойств, которые можно получить математически и которые имеют
содержательную финансовую интерпретацию. Например, для любого
целого к> 0 справедливо равенство

FM3(r,n+k) = v"FM3(r,k) + FM3{r,n) - (4-9)

Это соотношение нетрудно доказать алгебраически, но оно так-
же следует и из финансовых соображении. Действительно, величину
срочного аннуитета в одну денежную единицу со сроком действия
п+ к можно найти путем сложения наращенной сложными процен-
тами за время п величины аннуитета за первые к периодов и вели-
чины аннуитета за оставшиеся п (п= п+ к— к) периодов. Если же
в качестве первых взять п периодов, а оставшиеся будут к периодов,
то из такого же финансового смысла следует:

FA/3(r,n + к) = v *FAY3(r,n) +FM3(r,k) , <4.10)

что математически достаточно очевидно в силу симметричности
вхождения параметров п и к в формулу (4.9k

Очевидно, формулы (4.9), (4.10) можно записать с использованием
множителя FM\(r,n), поскольку v-" = FMl(r,n). Эти формулы,
в частности, дают возможность определить те значения коэффици-
ента нарашения аннуитета, которых нет в имеющейся таблице. На-
пример, для вычисления FAY 3(3%, 60) достаточно воспользоваться
одним из равенств.

FAY 3(2%, 30) - FAY3(2%, 12 + 18) =

= /AY1(2%, 18) FM 3(2%, 12) + FAY3(2%, 18) =

= 1,428-13,412 + 21,412 = 40,564;

FM 3(2%,30) = FAY3(2%, 10+20) =

= FAY 1(2%, 20) - FAY 3(2%, 10) + FAY3(2%, 20) =

= 1,486-10,950 + 24,297 = 40,569

Небольшая разница в ответах объясняется, естественно, прибли-
женным вычислением самих используемых табличных значений из
приложения 2 (см. табл. 1 и 3).

Также из формулы (4.8) следует равенство

(1 + г)” = l + T-FM3(r,n),

которое позволяет высказать следующую интерпретацию результа-
та наращения сложными процентами. Наращенная сложными про-
центами поставке г од на денежная единица через п периодов чис-
ленно равна сумме этой денежной единицы и будущей стоимости
аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями, равными
г (величина процента от одной денежной единицы за период). То
есть будущая стоимость этого аннуитета совпадает с величиной
сложных процентов, начисленных на одну денежную единицу. За-
метим, что указанное выше равенство можно, очевидно, записать
и в виде:

FMl(r.n) = 1 + Г• FMMr.rii.

Поскольку оценка срочных аннуитетов важна при анализе финан-
совых операций, получим формулы, аналогичные (4.7), для различ-
ных видов аннуитетов. При этом убедимся, что при выводе этих фор-
мул соответствующие рассуждения принципиально не отличаются
друг от друга. К тому же умение проводить такие рассуждения весьма
полезно при решении задач.

Если Г — процентная ставка (в десятичных дробях) за базовый пе-
риод, а начисление сложных процентов происходит т раз в течение
этого периода (не пишем г,пй, поскольку период в принципе может
отличаться от года), то наращенный денежный поток начиная с по-
следнего денежного поступления имеет вид

Л, Д1 + —Д1 + Д1 + ')1" 1

т т т

То есть получили геометрическую прогрессию, первый член ко-

торой равен А и знаменатель — (1 + —)’”. Следовательно, сумма п
т

первых членов этой прогрессии равна

(1 + —1

(I + — 1 ----------- РМЗ(—,пш)

FV'1: = А----—------= А-------------= А------—------М.1П

(! + —)"-! (! + —)"-! ™3(— ,1л)

т т т

г/т

Ситуацию, когда в течение базового периода начисления процен-
тов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты
начисляются один раз в конце периода, можно рассматривать с двух
точек зрения. Изложим первую из них.

Пусть в течение базового периода денежные поступления проис-
ходят р раз и один раз в конце периода начисляются проценты в со-
ответствии со ставкой г.

Определим сумму, которая накопится к концу любого периода, ес-
ли на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляют-
ся сложные проценты.

На последнее (р — е) поступление проценты не начисляются и
оно остается равным А. На предпоследнее ((р— 1) — е) поступление

1
начисляются сложные проценты за —ю часть периода, и оно будет

, Р

равно >1(1+ /•)''- На (р— 2)-е поступление начисляются сложные

2 -

проценты за —-ю часть периода и оно будет равно 21(1 + г) р и т. д.

до первого включительно, которое будет равно Л(1 + г) Р - Получен-
ная последовательность величин представляет собой геометрическую

прогрессию с первым членом А, знаменателем (1 + г)р и числом
членов, равным р, поэтому сумма этих величин равна

(1 + г)₽-1 (1 + г)Л_1

Таким образом, можно считать, что имеем аннуитет, в котором

денежные поступления равны величине А-----—---- и происходят

(1 + г)р-1

в конце каждого базового периода начисления процентов. Поэтому,
пользуясь (4.7), получим
FV^ = А-------t--FM3( г, п).

(1+ /)'-!

А, учитывая (4.8), можно написать

РМЗ(цп)

FV‘psl=A---------— <4.12)

FM3{r,~)
р

1 1

Заметим, что, поскольку — < ], значения FM3{r, —) в приложе-
Р Р

нии 3 не указаны. Однако непосредственно по формуле (4.8) эти зна-
чения нетрудно вычислить с помощью микрокалькулятора. Кстати,

из того, что 1ч—>(1 + г)₽ при р>1 следует справедливость нера-
Р

венства FM3{r,—) < —
Р Р

Теперь изложим другую точку зрения, полагающую, что на отдель-
ные взносы, поступающие в течение периода, начисляю |СЯ простые
проценты. Определим в этом случае сумму, которая накопится к кон-
цу любого периода.

Естественно, последнее (р — е) поступление останется равным А.
На предпоследнее ((/?— 1) -е) поступление начисляются простые
1 г

проценты за —ю часть периода, и оно будет равно ,4(1 -I—) - Анало-
Р Р

2г
гичным образом (/?—2)-е поступление станет равным /1(1-1-) и

(р-1)г
т. д. Наконец, первое поступление станет равным А(1 4-----).
Полученные величины образуют арифметическую прогрессию (раз-

ум-

ность равна---; число членов — р), следовательно, их сумма равна

(р- 1)г
Л+Л(1 + ———)

‘ Р= А(р+

Полагая, что имеем аннуитет, в котором денежные поступления
в каждом периоде равны величине Л(/Я------) и пользуясь (4.7),

получим

(р- 1)г

= ЛР + -

(4.13)

Формулы (4.12) и (4.13) отличаются друг от друга, так как при на-
числении процентов использовали два подхода и (4.13) доставля-
ет большее значение, чем (4.12). поскольку внутри базового периода
осуществляется начисление по простым процентам. При р= 1 как из
(4.12) так и из (4.13) следует (4.7).

Аналогичным образом можно рассмотреть и самую общую ситу-
ацию. когда в течение базового периода денежные поступления про-
исходят р раз и проценты начисляются т раз за период. Например,
если начисляются только сложные проценты, то, как и ранее, опре-
деляем вначале сумму, образовавшуюся в конце любого периода.
Последнее ( р-е) поступление в периоде остается равным А Пред-
последнее Цр— 1 ) — е) поступление после начисления сложных ПрО-
лэ 2г»

центов составит Л(1 -I-) р Лр— 2)-е поступление - Л( 1 + —) р и

(p-l)m

т. д. до первог о, которое станет равным А( 1 ч-) р . Находим сум-

му полученных величин:
т

FM3(—,m)
т
।--------

г т

т р

Считая, что есть аннуитет с денежными поступлениями, равными
полученной сумме, воспользуемся формулой (4.11)

РМЦ—, ni) FM\—, тп) FM3(—, тп)

/I"—Л------—------—---— А----—---. (4.141

** rm г rm

FM3(—) FM3(— ,m) FM3(—,—)

m pm m p

Заметим, что при начислении на отдельные поступления внутри
периода простых процентов (согласно их свойству) для FV^ и в этом
случае получим опять формулу (4.13).

Пример

Пусть в условиях предыдущего примера о сдаче участка в аренду
предлагается оплата по 5 тыс. руб. в конце каждого полугодия. При
этом возможно начисление процентов: 1) ежегодное; 2) полугодовое;
3) ежеквартальное. Оценить, что выгоднее.

В первой ситуации возможны два варианта. Если начисляются
только сложные проценты, то по (4.12) при п — 3, г— 20%, р=>2.
получим

FA/3(2O%,3)

Г
/71/3(20%,-)

3,640

--------- 38,155 тыс. руб.

0,477

Так как значения /71/3(20%, —) в таблице нет. то его вычисляем не-

посредственно по формуле (4.8). Если в течение года происходит на-
числение простых процентов, то по (4.13)
' (2-1)0,2

St - 5(2 + -—-^-) - J7W3(20%,3) - 10,5 - 3,640 = 38,22 тыс. руб.

Во второ» ситуации можно воспользоваться (4.7), считая базо-

вым периодом начисления процентов полугодие. Тогда п— 3 -2 = 6,

20%

= 10% и

S2 = 5 • FM3( 10%.6) = 5 • 7,7156 = 38.578 тыс. руб.

И в третьей ситуации, пользуясь (4.14), при п=3, г = 20% , П1= 4,
р=2, получим

77M3(5%J2)

FAC(5%,2)

15,9171

5 ------= 38,822 тыс. руб

2,05

Очевидно, что при решении этой задачи (в случае начисления
только сложных процентов) можно было пользоваться только обшей
формулой (4.14), выбирая соответствующие значения параметров.
Например, для второй ситуации, применяя (4.14). полагаем п— 3.
г = 20% т = 2, р = 2.

Если обозначить S"o =36,4 тыс. руб. (часть ответа предыду-
щего примера) и сравнить полученные результаты, то увидим, что
S, < SJ < S, < S3, т.е. будущие стоимости увеличиваются при дан-
ных изменениях вариантов начисления процентов. Естественно, эти
неравенства полезно иметь в виду при заключении контракта. Соот-
ношение S'] < SJ отражает тот факт, что начисление по простым про-
центам внутри периода эффективнее, чем по сложным.

Преобразуем формулу (4.14), предполагая, что длительность базо-
вого периода начисления пропенгов равна одному юду и используя
понятие эффективной годовой процентной ставки геГ. Так как по

(3.17)4г = (1 + — У”-!, то

г Ш птге,

тп) = —[(I + геГ)П -1] =--FM\ref,п).

т г г
Аналогичным образом:

г т тге/ 1

FM\—, —) =-----FM% геГ, -)

т р г р '

Пользуясь этими соотношениями, получим:

РМЦгг,п}

F\%, = А-------р- (4.15)

FM3(rel,-)
Р

Равенство (4.15) совпадает по виду с (4.12), что и естественно в силу
определения эффективной ставки. Поскольку > Г при tn > 1, то
из полученных соотношений, кстати, следуют неравенства:

FM\rd ,n) < ;

’mm

pm m p

Предложенный способ преобразования формулы (4.14) в (4.15)
фактически является способом нахождения будущей стоимости ан-
нуите1а с помощью эквивалентной (в данном случае эффективной)
ставки. Проиллюстрируем это утверждение.

Пример

Предприниматель в результате инвестирования в некоторый про-
ект будет в течение пяти лет получать в конце каждого года 30 тыс. руб.
Определить сумму, которой может через пять лет обладать предприни-
матель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную
ставку 28% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Находим вначале эффективную годовую процентную ставку для
Г<4) =0,28 по формуле (3.17):

=(1 + 2^)4-1 = 0,3108-
А затем применяем формулу (4.7) при А = 20 тыс. руб., п — 5,

г = 0,3108:

F17, = 3 0 FM3(31,08%, 5) =

= 30.(1 + 0,ЗЮ8Г-1 _ m
0,3108

Если же просто воспользоваться формулой (4.11), то, полагая
т — 4, Г = 0.28 . получим;

FV- -30.™3(7%-20)-
д;у7%,4)

40 9955

= 30 ----= 277,002 тыс. руб.

4,4399

Естественно, ответы совпадают.

Формула (4.14) сводится к основной и более простой по ви-
ду формуле (4.7), если воспользоваться соотношением между эк-
вивалентным и сложными процентными ставками. Пусть г ° —
ставка за период, который равен периоду p-срочного постоян-
ного аннуитета. Тогда из формулы (3.77) при г*™* = г получаем
г(т> г -

г" —-----= (1Ч---)₽ — 1. Поэтому согласно формуле (4.14):

р т

= A-FM3(r°,pn).

Таким образом, при определении будущей стоимости р-срочного
постоянно! о анну иге г а достаточно перейти ксоогветсгвуюшей экви-
валентной ставке га и воспользоваться формулой (4.7).
Пример

На ежеквартальные взносы в банк в размере 10 тыс. руб. по схеме
постнумерандо банк начисляет ежемесячно сложные прошиты по
номинальной процентной ставке 24% годовых. Какая сумма будет на
счете через два года?

Поскольку период аннуитета с членом А = 10 тыс. руб. равен квар-
талу, то находим ставку за квартал, эквивалентную ставке 24% годо-
вых с ежемесячным начислением процентов:

0 24 —

ra + -1 = 0,0612.

Учитывая, что рп = 4 • 2 = 8, по формуле (4.7) находим:

ГКД = 10-F7W3(6,12%,8) =

= 10 1,0612 =99,402 тыс. руб.

0,0612

Если применять непосредственно формулу (4.14). то расчеты вы-
глядят следующим образом:

_[0 ЯИЗ(2%,24)_

psl FM3(2%,3)

30 4219
= 10- ’ = 99,405 тыс. руб.

3,0604

Из-за приближенных вычислений получили небольшое отличие
в ответах (3 руб.). Отметим, что квартальная ставка г“ найдена, по
сути, из равенства множителей наращения за год, т.е. из соотноше-
ния:

Общая постановка обратной задачи оценки постоянного
срочного аннуитета постнумерандо также достаточно наглядна.
Как уже упоминалось, в этом случае производится оценка будущих
денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым
в данном случае понимается момент времени, начиная с которого
отсчитываются равные временные интервалы, входящие в аннуитет.
Схема дисконтирования денежного потока, построенная по аналогии
со схемой на рис. 4.3. представлена на рис. 4.7 с использованием
данных приведенного первого примера об аренде участка (оплата
10 тыс. руб. в конце каждого года).

8,3333 = 10 1Д
6,9444=10 1,44
5,7870=10 1,728

21,0647 (тыс. руб.)

Рис. 4.7. Дисконтирование срочного аннуитета

Экономический смысл сделанных расчетов состоит в следующем:
с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета
может быть оценена в 21,0647 тыс. руб. или, округляя до целого числа,
в 21,065 тыс. руб.

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного
аннуитета постнумерандо PV^SI выводится из основной формулы
(4.3) и имеет вид:

= А 2 р--уГ = А ™4(г,л)

(4.16)

Множитель JFM4(jr,ri) называется коэффициентом дисконти-
рования ренты (аннуитета) и как сумма членов геометрической
прогрессии равен величине:

" 1 1 —(1 + г) л

FM4(r, п) = У ---г- = — --— = И ЛИЗ(г. п). (4.17)

ы(1 + г)‘ г
В финансовой практике для коэффициента дисконтирования
ренты постнумерандо принято и такое обозначение FM4(r,n)= а .

Экономический смысл дисконтного множителя FM4[r. п\
заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции
текущего момента стоимость аннуитета с регулярными денежными
поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один
рубль), продолжающегося п равных периодов с заданной процентной
ставкой г. Значен ия этого множителя также табулирован ы (см. табл. 4
приложения 3), и как для других множителей, ставка г в таблице дана
в процентах.

Легко убедиться, что при одном денежном поступлении

1 « А

FM4(r,l) =-----, и, следовательно, PV =--------. А так как

1 + г I + г

FM4(0,/i) = п , то при г — 0 справедливо PV^ — FVpS, Кстати,
отсюда следует очевидное и с финансовой точки зрения утверждение:
PV"^ — PV^st при г — О. В случае отсутствия денежных поступлений
(«-()) полагают FM4(r. 0) = 0 -

Иногда множитель FM4(r,n) называю! фактором текущей
стоимости обычного аннуитета или пятой функцией сложного
процента, или фактором Инвуда, по имени английского
экономиста Уильяма Инвуда. В этом случае обратную величину

1
множителя ---------- называют фактором обычной амортизации,

FM4(r, п)

или шестой функцией сложного процента. Из формулы (4.17)
следует, что фактор фонда обычной амортизации равен величине
периодического платежа, погашающего за п лет при «а дан ной
процентной ставке г основную сумму кредита в одну единицу и
проценты за невозмещенную сумму (кредита). Причем платежи
осуществляются в конце каждого года.

Дисконтный множитель FM4(r,ri) полезно интерпретировать
и как величину капитала, поместив который в банк пол сложную
процентную ставку г, можно обеспечить регулярные выплаты в
размере одной денежной единицы в течение п периодов (выплаты
производятся в конце каждого периода). Действительно, к концу
первого периода величина FM4(r, ri) станет равной
FM4(,-,n)(l+r) = J^r(l + ,) =

В конце первого периода одна денежная единица будет выплачена и
останется капитал FM4(r,n— 1), который в конце второго периода
станет равным

FM4(r, п - 1) (1 + г) = 1 + Ш/4(г, п-2).

После выплаты денежной единицы останется капитал
FM4(r,n— 2). Продолжая рассуждения аналогичным образом,
убеждаемся, что в конце (п — 1)-го периода будем иметь капитал,
равный

FM4(r, п - (я - 2)) • (14- г) =

= 1 + 4(г, л - (я -1)) = 1+FM4(r, 1).

После выплаты одной денежной единицы капитал

—------, очевидно, обеспечит выплату последней денеж-

ной единицы в конце тг-го периода.

Например, поскольку FM4( 15%,7) = 4.16U4 , то поместив 4 руб.
16 коп. под сложную процентную ставку 15*?, можно обеспечить
выплаты по I рублю в конце каждого года в течение семи лет.

Таким образом, в соответствии с выводом формулы (4.16) можно
сделать вывод, что. поместив капитал PV^S, под сложную процентную
ставку г, можно обеспечить регулярные выплаты в размере А в
течение п периодов. В частности, так как FAf4(20%,5) — 2,9906,
то, поместив 299,06 руб. под 20% годовых, можно обеспечить выплаты
по 100 руб. в конце каждого года в течение пяти лет. Представим план
выплат (в руб.) в виде табл. 4.1.
Таблица 4.1

План выплат

Номер года Величина капитала в начале года Величина наращенного капитала в конце года Величина выплаты в кон це года Остаток капитала после выплаты
1 299,06 358,83 100 258,87
2 258.87 310.64 100 210,64
3 210.64 252.'”’ 100 152,71
4 152.77 183,32 100 83,22
5 83,32 99.98 100 0

Тот факт, что в конце пятого года получили не 100 руб., а 99 руб.
98 коп., объясняется, как обычно, округлением значений в ходе
вычислений. Впрочем, отличие в 2 коп. весьма незначительно (2 коп.
от 100 руб. составляют 0,02%).

Пояснение вышеприведенной интерпретации коэффициента
дисконтирования ренты FM4(r, ri) можно сделать и таким образом.
Чтобы получить в конце первого периода одну денежную единицу,
надо в начале этого периода поместить в банк сумму --— (1 + г) 1

под процентную ставку г. Чтобы получить в конце второго периода
одну денежную единицу, надо в начале первого периода поместить в
банк сумму (1 + г)- и т. д. Чтобы получить в конце л -го периода
одну денежную единицу, надо в начале первого периода поместить
в банк сумму (1 + гГя. Суммируя эти величины, как раз и получим
согласно (4.17) коэффициент дисконтирования ренты FM4(r,ri),
равный такой сумме, которую нужно поместить в банк в начале
первого периода, чтобы затем в конце каждого периода получать по
одной денежной единице в течение п периодов.

Из вида выражения (4.17) следует, что при возрастании процентной
ставки г величина дисконтного множителя FM4(r1ri) уменьшается
и, таким образом, уменьшается величина приведенной (текущей)
стоимости.

В формуле (4.16), как и в формуле (4.7), переменная п означает
число периодов, которые необязательно равны году, что позволяет при
соответствующем понимании ставки г пользоваться этой формулой
в различных ситуациях.

Коэффициент дисконтирования ренты FM4(r, п) удовлетворяет
соотношениям, подобным (4.9) и (4.10). Равенства для FM4(r,ri)
можно вывести аналогичным образом, как и для FM3(r, ri) Укажем
еще один на первый взгляд формальный математический прием, тем
не менее отражающий финансовый подход. Из (4.17) следует, что
FM3(r,ri) = V~"FM4(r,ri). Подставляя это выражение в (4.9) и
(4.10), получим:

FM4(r,n + к) = FM4(r,k) + S FM4(r,ri). (4.18)

FM4(r,n + к) = FM4(r,n) + ^FM4(r, к). (4.19)

Эти соотношения, как и (4.9), (4.10), имеют простой финансовый
смысл. Например, равенство (4.18) означает, что приведенную
стоимость срочного аннуитета в одну денежную единицу со сроком
действия п + к можно найти путем сложения при веден ной стоимости
аннуитета за первые к периодов и учтенной за время к приведенной
стоимости (на момент начала к +1 -го периода) аннуитета за
оставшиеся п периодов.

Из формулы (4.17) следует, что

или, используя обозначение множителя дисконтирования,

1 = г- FM4{r,n} + FM2(r,n)

Это равенство можно пояснить, например, таким образом: долг
в одну денежную единицу можно погасить за и периодов равными
платежами в г денежных единиц в конце периодов от 1 до п— I -го, а
в конце п -го периода необходимо выплатить 1 + г денежных единиц.

В случае рассмотрения только сложных процентов выводы
формул для нахождения приведенных стоимостей аннуитетов
аналогичны выводам формул для нахождения наращенных сумм.
Получающиеся при рассуждениях денежные потоки будут представлять
собой геометрические прогрессии, знаменателями которых будут
соответствующие дисконтные множители. Так, например, для по-
стоянного аннуитета постнумерандо с начислением сложных процентов
т раз за базовый период приведенный денежный поток имеет внд

А А А

(! + —)” (1 + —)”" (I + —)”

т т т

и, следовательно, сумма этих величин (приведенная стоимость анну-
итета) равна

Для р-срочных аннуитетов с начислением сложных процентов
соответственно оди н раз за базовый период и т раз за базовы й период
можно получить

FM3(r,-)
Р

(4.21)

, ли)

(4.22)

FM3(—)

Как видно, формулы (4.20) — (4.22) похожи соответственно на
формулы (4.11), (4.12), (4.14).
Применяя эффективную годовую процентную ставку ГеГ,
получим:

г 1-(1+4гГ"

FM4(—, тп) =---— = —- FM4(r f, ri).

т г г

Поэтому из (4.22) следует, что

FM4{ref,ri)

FM\rer—)
Р

(4.23)

Соотношение (4.23) по виду совпадает с (4.21). что объясняется
содержанием понятия эффективной ставки. Ну а так как > г при
т > 1, то:

FM4(r,jt) < — FM4(— ,tnn).
tn tn

Формулу (4.21) можно интерпретировать таким образом. Чтобы

получить в конце первой —-й части первого периода .А денежных
Р

единиц, надо в начале этой части периода поместить в банк сумму

А —

_______= А(1 + г) р под сложную процентную ставку г. Чтобы

(! + ,)'

получить в конце второй — -й части первого периода А денежных
Р

единиц, надо в начале первого периода поместить в банк сумму
— р-1

А(1 + г) р и т-д- Чтобы получить в конце--й части последнего

периода А денежных единиц, надо в начале первого периода

поместить в банк сумму >1(1 +г) ₽ . И наконец, чтобы получить
в конце последнего периода А денежных единиц, надо в начале
первого периода поместить в банк сумму А(1 + г) "р. Суммируя эти
величины, как раз и получим правую часть формулы (4.21), равной
такой сумме, которую нужно поместить в банк в начале первого
1

периода, чтобы затем в конце каждой —-й части любого периода
Р

получать по А денежных единиц в течение п периодов. Аналогич-
ную интерпретацию можно высказать и для (4.22).

При определении PVpir дляр-срочного аннуитета необязательно
пользоваться общей формулой (4.22). Можно вначале определить
для исходной ставки г эквивалентную ставку гл за период, равный
периоду аннуитета, и затем воспользоваться основной формулой
(4.16).

Пример

Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой
фирмой, получает от нее страховые взносы по 20 тыс. руб. в конце
каждого полугодия. Эти взносы компания помешает в банк под
12*% годовых. Найти приведенную стоимость суммы, которую
получит страховая компания по данному контракту, если проценты
начисляются: 1) раз в полгода. 2) ежемесячно

Будем пользоваться только формулой (4.22). В первом случае п— 4 ,
Г -- 12% , 1П— 2, р=2 . Поэтому

/'!". = 20™4(6%,8) _2() FMA(W. g) =

-20-6,2098 = 124,196 тыс.руб.

Во втором случае л=4, г—12%, т- 12, р-2, и
следовательно.

/71/4(1%,48)

° /71/3(1%,6)

37,9740

“ 20‘ «icon ~123’453 тыс. руб.
о,1

Этот пример можно решить, определяя вначале ставку га за
полгода (период аннуитета). В первом случае г" = 6%, поскольку
период аннуитета совпадает с периодом начисления сложных
процентов по ставке 12% годовых. Поэтому расчеты аналогичны
приведенным в примере. Во втором случае находим:

0,12 И

г = (1 +---У -1=0,0615.

И так как число периодов равно 2 - 4 = 8 . то по формуле (4.16):

о 1-1,0615 к

PV = 20 • FM4(6,15%,8) = 20------------= 123,461 тыс. руб.

ря 0,0615

Отличие на 8 руб. от полученного ранее ответа (123.453 тыс. руб.)
как обычно объясняется приближенным характером вычислений.

Найдем зависимость между будущей и приведенной стоимостями
р-срочного аннуитета постнумерандо с начислением сложных
процентов т раз за период. Из формул (4.14) и (4.22) имеем

РМЪ{—, тп) FM3(—, тп)

FV' = А----—----= Р V,-----—-----

р г т ps‘ г

FM3(—, —) FM4(—, mri)

т р т

Поскольку из формулы (4.17) следует, что

/Л-/4(—,пт)
т

FM3{—,тп).
т

после простых алгебраических преобразований получим

FV3 = PV3 Д1 + —
р р т

(4.24)

Из этой формулы следует, что, положив в банк сумму Р V"t! под
г процентов годовых с начислением процентов т раз за год, через
п лет мы получим величину FV?sl, равную наращенной сумме
соответствующего аннуитета. В частности, из последнего примера
согласно (4.24) следует, что, положив в банк 123,453 тыс. руб. под 12%
процентов годовых с ежемесячным начислением процентов, страховая
компания получит через 4 года такую же сумму, какую она получит по
контракту.

В связи с последней формулой полезно высказать следующие
соображения. Формула (4.24) по существу представляет собой
следствие формулы (3.22) и вообще совпадает с (3.12). Поэтому
зависимость (4.24) между будущей и приведенной стоимостями
аннуитета можно было написать сразу без вывода и, следовательно, в
частности, не использовать (4.22). А это позволяет получить формулу
(4.22), не проводя предварительно необходимые рассуждения
финансового характера. Надо только (4.24) подставить в (4.14) и из
полученного равенства выразить Р V*sl'.

Укажем и на тот факт, что в ряде книг формулы оценки
постоянного р-срочного аннуитета имеют несколько отличный вид
от соответствующих формул, приведенных в этом издании, поскольку
в них вместо величины А каждого денежного поступления взята за
основу суммарная величина А денежных поступлений за базовый
период начисления процентов (обычно за год). Таким образом,
в формулах (4.12) - (4.14) и им подобным вместо множителя А

появляется множитель —. Безусловно, такое отличие незначительно
Р

изменяет общий вид формул оценки р — срочного аннуитета.

FMH—,тп)

В частности, формула (4.14) примет вид: ру1 * 3 =_—--J.

р3’ Г) Л г П1
р FM\-—)

т р

Рассмотрим коротко некоторое обобщение аннуитета, когда
первый из потока платежей начинает поступать через h периодов.
Такой аннуитет называется отсроченным (deferred annuity). Для
аннуитета постнумерандо отсроченный на h периодов аннуитет
означает, что первое денежное поступление осуществляется в конце

1 Формулу для определения приведенной стоимости — срочного аннуитета постну-

мерандо в случае, когда на отдельные взносы, поступающие в течение базового перио-
да, начисляются простые проценты, можно найти, например, в |1, Брун, с 30]

3 В отечественной специальной литературе, как, впрочем, и в переводных книгах,
не существует единства в обозначении финансовых множителей (подробнее см При-
ложение 4)
h +1 -го периода. Пусть, например, платежи поступают в течение
п периодов и сложные проценты по ставке г начисляются один
раз в конце базового периода, совпадающего с периодом аннуитета
(рис. 4.8.).

Рис. 4.8. Отсроченный аннуитет постнумерандо

Стоимость этого аннуитета на начало периода, когда
поступает первый платеж, можно найти по формуле (4.16) и
затем, осуществляя учет полученной величины за h периодов,
определяем приведенную стоимость отсроченного аннуитета на
начальный момент времени:

ЛЧ" = A-FA'№r,n)= А- FMUrM-FMAir.n}. <4.2S>

Что касается будущей стоимости отсроченного аннуитета, то
определяется просто по формуле (4.7), то есть число h в этом
случае явным образом в формуле не фигурирует.

В формуле (4.25) h не обязательно должно быть целым числом.
А вот если оно целое, то из (4.18) при к— h следует:

/М4(г, л) = FM4(r, п+А) - FMA(r, А)

и (4.25) примет вид

Р^, = A- FM4(r,n+ h) - A- FM4(r,h) t (4.26)
т. е. приведенная стоимость отсроченного аннуитета представляет со-
бой разность приведенных стоимостей аннуитетов с платежами, на-
чиная с первого периода.
Очевидно при й=0 из формулы (4.25) следует (4.16). Сам же
аннуитет в этом случае называется немедленным.

Пример

Банк предлагаетренту постнумерандо на 10 лете ежеквартальной
выплатой $ 100. Годовая процентная ставка в течение всего периода
остается постоянной. По какой цене можно приобрести такую
ренту, если выплаты начнут осущесгвляться. а) немедленно, б)
через 2 года; в) через 3,5 года, а процентная ставка равна 2%, 4%,
12% годовых9

Определим приведенную стоимость ренты во всех случаях.
Считаем, что число периодов п— 10 - 4 — 40. Тогда ставка за период
будет соответственно 0,5, 1, 3%. Поскольку в случае а) первая
выплата произойдет через три месяца (в конце первого квартала), то
пользуемся формулой (4.16), определяя jFM4(r,ri) , непосредствен-
но по (4.17). В случаях б) и в) полагаем h — 2 • 4 = 8 (первая выплата
произойдет через 2 года 3 месяца) и h— 3,5 -4 = 14 (первая выплата
произойдет через 3 года 9 месяцев) и пользуемся (4.25) или (4.26).
Например, по (4.25):

= 30,3223

Если же воспользоваться формулой (4.26), то:

FA(1 01)* = FM 4<1%’ 48> “ FM 4(1%’ 8>=

= 37,9740- 7,6517 = 30,3223.

Результаты расчетов vh FM4( г. п) для наглядности представим в
виде табл. 4.2.

Из табл. 4.2 видно, что с ростом процентной ставки и срока, после
которого начнутся выплаты, приведенная стоимость уменьшается.
В частности, если выплаты начнутся через 3.5 года и процентная
ставка составит 12% годовых, то ренту можно приобрести за $ 1528,15
(или, конечно, дешевле).

/71/4(1%,40)
(1,01)"
Таблица 4.2

h Г
0.54 1% 34
0 36.1722 32,8347 23,1148
8 34,7573 30,3223 18.2470
14 33,7326 28,5650 15,2815

Вывод формулы (4.25) указывает общий способ определения
приведенной стоимости отсроченного произвольного р-срочного
аннуитета.

Пример

Расчеты показывают, что инвестиция в некоторый проект обеспе-
чит получение в будущем в конце каждого полугодия дохода 50 тыс.
руб. в течение 8 лет, причем первый платеж ожидается через 4,5 года.
Какую сумму можно вложить в проект, если существует также воз-
можность помещения дене1 на депозит под сложную процентную
ставку 24годовых с ежеквартальным начислением процентов?

Для определения величины инвестиции достаточно найти при-
веденную стоимость ожидаемого отсроченного аннуитета. В данном
случае имеем отсроченный на 4 года (или на 8 полугодий, т.е. на 8 пе-
риодов аннуитета) аннуитет постнумерандо. Полагая А 50, п = 8 ,
г — 24%, № - 4 и р = 2, по формуле (4.22) найдем, что приведен-
ная стоимость аннуитета на начало пятого года составит:

FM 4(6%,32)
/М3(6%,2)

= 341,845 тыс. руб.

А теперь нужно дисконтировать эту величину за 4 года. В резуль-
тате получим:

PV°„ = 341,845 • FM2(6%, 16) = 134,566 тыс. руб.

Для проверки по формуле (4.14) найдем будущую стоимость анну-

итета:
FM 3(6%, 32)

FV = 50-------------—- = 2206,063 тыс. руб.

р РЛ/3(6%,2)

Дисконтируя FV“„ за 12 (8+4) лет, находим:

РР", = 2206.063 • FM 2(6%. 48) = 134.566 тыс. руб.

Формулы (4.14) и (4.22) позволяют оценить ренту постнумерандо
при декурсивном начислении процентов. При антисипативном на-
числении процентов по сложной учетной ставке d наращенный де-
нежный поток (при т= 1, р = 1) начиная с последнего денежного по-
ступления примет вид:

А А А

Л1-J’(l-J)2 ’"’(l-d)"

и, следовательно,

\ । _ .) 1 \ d

FV'f' = Л-!—е----------= д-------[(!-</)- - 1]. (4.27)

I d

Отсюда следует, что

РV, '' = FV«‘'(l - df = -(I - </)"].

(4.28)

Формулы, отражающие другие виды рент при антисипативном на-
числении процентов, получаются аналогичным образом. Впрочем (4.27),
d
(4.28) можно получить и соответственно из (4.7), (4.8), полагая г —-.

1 -d

Пример

Оценить стоимость трехгодичной ренты с ежемесячной выплатой
30 долл., если также ежемесячно начисляются антисипативные про-
центы по сложной учетной ставке 6% годовых.
Полагая А= 30, п — 12 3 — 36, d — ’ — 0,005, по (4.28) полу-

чим:

Риу> = зо1 0,005 [1 - (1 -0,005)361 = 985,69 долл.
0,005 L v ’ ’ J

Если начисляются непрерывные проценты, то для получения
формул определения будущей или приведенной стоимости аннуите-
та необходимо перейти к пределу при т—> со, например, в формулах
(4.14), (4.22). Так, ил (4.14) следует, что для непрерывных процентов

е£л 1

(4.29)

ер -1

где 8 — сила роста.

Эту формулу можно получить и подставив в (4.12) вме-
сто ставки г эквивалентную ей силу роста 8 (г-d’ 1).
Используя (4.29), можно найти приведенную стоимость аннуитета:

I - е~ёп
p\/a(S) _ ptrstf) _ -&j _ j____________

Y л * pst с £

ер -1

(4.30)

Пример

Какую сумму необходимо поместить в банк под непрерывную
ставку 30годовых, чтобы в течение 8 лет иметь возможность еже-
годно получать 12 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые
3 месяца, и в конце восьмого года исчерпать счет полностью?

Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить при-
веденную стоимость р-срочного аннуитета постнумерандо при
р= 4, А = — = 3 тыс. руб., п— 8. Так как начисление процентов
происходит непрерывно, то, полагая = 0,3 и пользуясь формулой
(4.30), находим:

1-е- 8 0,9093

РК, = 3 —---------= з —----= 35,018 тыс. руб.

ps' "2 0,0779

е4 -1

Как было отмечено (см. формулу (4.14)), для нахождения будущей
стоимости FV^ аннуитета самого общего вида необходимо знание
значений пяти параметров- А,г,п,т,р. Однако при заключении не-
которого контракта FV^ может быть уже задана, а надо определить,
например, величину А разовых денежных поступлений. В этом слу-
чае из (4.14) при заданных значениях остальных параметров легко по-
лучить:

FM3(—,тп)

Если же извесша приведенная стоимос1ь PV^, то из (4.22) следу-
ет, что

FM4(—, тп)

Например, если известны будущая стоимость FV^ аннуитета,
величина А разового годового платежа и процентная ставка г, из
(4.7), учитывая (4.8), путем преобразований получим формулу для
расчета срока аннуитета

л —

1П(1 + Г)
Аналогияным образом можно получить формулы для определения
сроков постоянных аннуитетов других видов. Естественно, при опре-
делении срока аннуитета, как правило, получаются нецелые числа.
В таких ситуациях результаты округляются до целого числа периодов
аннуитета. При этом, чтобы сохранить неизменной заданную буду-
щую или приведенную стоимость аннуитета, необходимо изменить
величину каждого платежа.

Пример

Некоторое предприятие хочет создать фонд в размере 200 тыс.
руб. С этой целью в конце каждого года предприятие предполагает
вносить по 50 тыс. руб. в банк под 18% годовых. Найти срок, необ-
ходимый для создания фонда в условиях сложных процентов. Как
изменится результат, если вносить в банк по 15 тыс. руб. в конце каж-
дого квартала?

Используя последнюю формулу этого раздела, получим

200

1п(—0,18 + 1)

п=

1п(1 + 0,18)

1п(1,72)

1п(1,18)

= 3,2766 года.

Округлим срок до целого числа лет, т.е. пусть п — 3. Тогда, преоб-
разуя (4.7), определяем величину ежегодного взноса

200
-----------= 55,985 тыс. руб.
7Л/3(18%,3)

Следовательно, внося ежегодно по 55,985 тыс. руб., можно за
3 года создать фонд в размере 200 тыс. руб. Конечно, можно было
сразу внести сумму 200-FA/2(18%,3) = 121,729 тыс. руб., которая
обеспечила бы через 3 года создание фонда необходимого разме-
ра. Однако одновременное изъятие из хозяйственного оборота
121,729 тыс. руб. менее целесообразно, чем ежегодные отчисления
по 55,985 тыс. руб.

Если же вносить в банк по 15 тыс. руб. в конце каждого квартала, то
из (4.12) при р — 4 находим:
1п(---(1,18ои-1) + 1)

п =-----—----------------= 2,699 года.

1п(1,18)

Округлим этот срок до ближайшего целого числа кварталов, т.е.
и = 2,75 года. Тогда величина ежеквартального взноса составит:

3(18%, 0,25) 1,18° 25 -1

А = 200----------——- = 200------------

/•71/3(18%, 2,75) 1,18“ 5-1

= 14,658 тыс. руб.

Пример

Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в слу-
чае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 65 лет)
фирма обязуется перечислять в конце каждого года в течение 20 лет на
счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работ-
нику после выхода на пенсию ежегодные дополнительные выплаты в
6000 руб. в течение 15 лет. Какую сумму каждый год должна перечис-
лять фирма, если работнику 45 лет и предпола! ается, что банк 1аран-
тирует годовую процентную ставку 10%?

Считая, что работник дополнительные выплаты будет получать в
конце года, вначале по формуле (4.16) определяем приведенную стои-
мость аннуите! а длительностью 15 лет и членом 6000 руб. на момент
выхода работника на пенсию:

PV^ = 6000- FM4(10%,15) = 45636,6 руб.

Полученная величина представляет собой необходимую будущую
стоимость ежегодных вкладов фирмы на счет работника. Поэтому раз-
мер каждого вклада можно найти из (4.7), полагая FV^S, — 45636,6 руб.:

45636,6

Л= ч = 796,79 руб.

FA/3(10%,20)

Таким образом, каждый год фирма должна переч ислять на счет ра-
ботника 797 руб.
Расчет процентной ставки при известных остальных параметрах
аннуитета требует применения интерполяционных формул или
средств вычислительной техники. Однако использование таблиц по-
зволяет во многих случаях достаточно хорошо оценить применяемую
процентную ставку.

Пример

Необходимо в течение семи лет накопить 300 тыс. руб. Банк пред-
лагает по вкладам сложную процентную ставку 22% годовых. Можно
ли воспользоваться услугами банка, если осуществлять в конце каж-
дого года взносы по 25 тыс. руб.

Согласно условию имеем аннуитет постнумерандо с = 300,

А = 25 , п = 7 , причем требуемая процентная ставка г неизвестна.

Поэтому: 300 = 25-FAf 3(г,7), откуда FAf3(r,7) = ——— = 12.

В табл. 3 (приложение 3) в строке для числа периодов, равного се-
ми. находим два ближайших значения коэффициента наращения
аннуитета. Так как в данном случае F/W3(16%,7) = 11,414 и
FM3(18%,7) = 12,142, то 16%<г<18%. Таким образом, не-
обходимая для накопления ставка г удовлетворяет неравенству
F < 22% и предлагаемая банком ставка вполне приемлема. Более
точное значение ставки Г = 17,62% при решении данного примера
знать было необязательно.

4.4. Оценка постоянного аннуитета
пренумерандо

Если на денежные поступления начисляются только сложные
проценты, то соответствующие расчетные формулы для наращенных
сумм FV‘te аннуитета пренумерандо можно легко вывести из формул
(4.7), (4.11), (4.12), (4.14). Поскольку денежные поступления в аннуите-
те пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот анну-
итет отличается от аннуитета постнумерандо количеством периодов
начисления процентов.
Так, например, для срочного аннуитета пренумерандо с регуляр-
ными денежными поступлениями, равными А, и процентной став-
кой г наращенный денежный поток имеет вид

/1(1 + г)", /4(1 + г)"’1/4(1 +г)2, /4(1 + г),

и, следова1ельно, учитывая (4.7),

FKr, = А рлал л) (1+г) = (1+г), (4.31)

т. е. наращенная сумма (будущая стоимость) аннуитета пренумерандо
больше в (1 + г) раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Иногда множитель 3(г, п) • (1+г) = — 1 называют

фактором будущей стоимости авансового аннуитета (также второй
функцией сложного процента). В этом случае обратную величину
1

этого множителя ----------------- называют фактором фонда

ЛЛ73(г,я)-(1 + г)

авансового возмещения (также третьей функцией сложного процен-
та). Из формулы (4.31) следует, что фактор фонда авансового возмеще-
ния равен величине платежа, который необходимо вкладывать (депо-
нировать) в начале каждого периода, чтобы при заданной процентной
ставке г в конце последнего периода получить на счете сумму, рав-
ную единице.

Аналогичным образом для аннуитета пренумерандо с начисле-
нием процентов т раз в течение базового периода, используя (4.11).
получим

FVBpre = FVps, - (1 + £)". (4.32)

Для р-срочных аннуитетов с учетом (4.12), (4.14) можно написать

FV*re = FVpS, С1 + rY. (433)
F т

(4.34)

Конечно, (4.31) — (4.33) — частные случаи (4.34). Из формулы (4.34)
следует, что F\Arc> F\Aa. Финансовый смысл этого неравенства
очевиден: для получателя денежные поступления пренумерандо вы-
годнее, так как они начинаются на период раньше, чем постнумеран-
до, т. е. подтверждается временная ценность денег: деньги «сейчас»
предпочтительнее, чем «потом».

Несколько иной будет ситуация в р-срочном аннуитете прену-
мерандо, кшда на взносы, поступающие в течение базового периода,
начисляются простые проценты. В отличие от аннуитета постнуме-
рандо, в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос «действует»
1

еще —ю часть периода, тем самым доставляя к концу периода допол-
Р

Аг

нительную вел ич и н у — И, следовател ьно, к концу каждого периода
Р

Аг
взносы, число которых равно р, доставят величину__р= дг.

После таких рассуждений качественного характера выведем ана-
литически формулу для будущей стоимости FV^rc.

На последнее р-е поступление начисляются простые проценты

1 г

за —ю часть периода и оно будет равно А(1 ч—) , предпоследнее
Р Р

2г

(р— 1) -е поступление станет равным /1(1 + —) и т. д. до первого по-

ступления, которое станет равным /1(1 + г). Следовательно, сумма
этих величин, образующих арифметическую прогрессию, равна

Д1 + -) + Л|+г)

р (р-Рл .

-----------р=Ар+—j—) + Аг.
Таким образом, используя (4.13), получим

FVapie = FVasl + Ar FM3(r, ri)

(4.35)

С финансовой точки зрения эта формула следует из приведен-
ных качественных рассуждений. Поскольку к концу каждого перио-
да взносы доставляют дополнительную величину Аг. то к будущей
стоимости исходного аннуитета постнумерандо нужно прибавить
еще будущую стоимость аннуитета постнумерандо с денежными по-
ступлениями, равными Аг, а это и есть второе слагаемое в формуле
(4.35). Естественно, и в этом случае Р1А.е > -

В случае начисления только сложных процентов формулы для рас-
четов приведенных стоимостей аннуитетов пренумерандо имени вид,
аналогичный формулам (4.31) — (4.34), т. е. находится приведенная сто-
имость соответствующего аннуитета постнумерандо и затем получен-
ное значение умножается на соответствующий множитель наращения.
Таким образом, рассматривая различные аннуитеты, можно написать.

Р К-с = Р К*' • (1 + г) = А‘ FM^r- Л) - (1 + г), (4.36)

pVa=PVs, (! + —)'”

(4-37)

PVapre = PVBpil (1 + г)р!

(4.38)

PV^ = PHz.(l + — у

(4.39)

Ясно, что PV^e > PVpsl Из приведенных формул видно, почему
в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается
в финансовой сделке — постнумерандо или пренумерандо; содержа-
ние финансовой таблицы инвариантно к лому фак юру. Однако при
применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо
строго следить за схемой поступления денежных платежей .

да, начисляются простые проценты, можно найти, например, в |1, Брун, с 33|
Пример

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере
10 тыс. руб. Банк устанавливает годовую номинальную процентную
ставку 20%. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет, если
начисление сложных процентов происходит: а) ежегодно; б) ежеквар-
тально?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, буду-
щую стоимость которого и предлагается оценить. При ежегодном на-
числении процентов искомую сумму можно найти по формуле (4.31):

FV°re = 10 • (1 + 0,2) • FM 3(20%, 3) =
= 10-1,2 •3,640 = 43,68 тыс. руб.

При ежеквартальном начислении процентов в соответствии с фор-
мулой (4.32)

ГГ ^10.(1 + 0,05Г-™3(5%Д2) =

pre ИИЗ(5%,4)

15,9171

-10-1,2155- ’ = 44,888 тыс. руб

4,3101

т-а+г)4"’1’

И ногда м ножитель FM4( г, п) - (1 + г) ---Ь1 назы-

вают фактором текущей стоимости авансового аннуитета (также пя-
той функцией сложного процента). В этом случае обратную величину
1

этого множителя ------------- называют фактором авансовой

FM4(r,n)-(l + r)

амортизации (также шестой функцией сложного процента). Из фор-
мулы (4.36) следует, что фактор фонда авансовой амортизации равен
величине периодического платежа, погашающего за п лет при задан-
ной процентной ставке г основную сумму кредита в одну единицу и
проценты за невозмещенную сумму (кредита). Причем платежи осу-

ществляются в начале каждого года.
Многие практические задачи могут быть решены различными
способами в зависимости от того, какой денежный поток выделен
аналитиком. Рассмотрим простейший пример.

Пример

Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок пять лет при
условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По
истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в
размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно «без-
опасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две
суммы. При депонировании денег в банк к концу пятилетнего перио-
да на счете будет сумма:

F, - Р- (1 + г)5 -100 - (1 + 0.12)5 -176.23 тыс. руб.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего воз-
мещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные
поступления в размере 20 тыс. руб. можно немедленно пускать в оборот,
получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эф-
фективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк.
Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с А= 20, п— 5, г= 12%
и единовременное получение суммы в 30 тыс. руб.;

б) каксрочный аннуитет пренумерандо с А= 20, п = 4, г— 12%
и единовременное получение сумм в 20 и 30 тыс. руб.

В первом случае на основании формулы (4.7) имеем:

S- 20 - FM3( 12%,5) + 30 = 20 • 6,3528 + 30 = 157,056 тыс. руб.

Во втором случае на основании формулы (4.3В имеем:

S = 20 • FM 3(12%, 4) • 1,12 + 50 =

-20-4,7793 • 1,12 + 50 = 157,056 тыс. руб.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Та-
ким образом, обшая сумма капитала к концу пяти летнего периода бу-
дет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,056
тыс. руб.), возврата доли от участия в венчурном проекте за последний
год (20 тыс. руб.) и единовременного вознаграждения (30 тыс. руб.).
Общая сумма составит, следовательно, 157,056 тыс. руб. Предложение
экономически нецелесообразно.

При решении примера можно было сравнить 100 тыс. руб. с при-
веденной стоимостью денежного потока, которая составит величину:

Р = PV^t +3Q-FM2(\ 2%, 5) =

= 20 FM4(12%, 5) + 30 FM2(12%, 5) = 89,118 тыс. руб

Поскольку 89.118 тыс. руб. меньше 100 тыс. руб., то также приходим
к выводу об экономической нецелесообразности инвестирования.

В случае антисипативного начисления процентов формулы для
оценки аннуитета пренумерандо получаются таким же образом, как
и приведенные выше формулы. Величины FV^f', Р будут ум-
ножаться на соответствующий множитель. Например, формулы типа
(4.31), (4.36) будут иметь вид:

PSI Y

(4.40)

(4.41)

Если начисляются непрерывные проценты, то для получения фор-
мул определения будущей или приведенной стоимости аннуитета пре-
нумерандо необходимо перейти к пределу при т—> со, например в фор-
мулах (4.34). (4.39). Так, из (4.34) следует, что для непрерывных процентов

FVf„ = FV‘a-e^

где ё — сила роста.
4.5. Метод депозитной книжки

Дадим интерпретацию расчета текущей стоимости аннуитета с
помощью метода «депозитной книжки», логика которого фактически
была изложена в разд. 4.3. Суть метода: сумма, положенная на депозит,
приносит доход в виде процентов: при снятии с депозита некоторой
суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, умень-
шается. Как раз эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом.
Уточним ряд небезынтересных и полезных деталей. Текущая стои-
мость аннуитета — это величина депозита с обшей суммой причита-
ющихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Эта
сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной
период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга.
Таким образом, погашение исходного долга осуществляется посте-
пенно в течение всего срока действия аннуитета. Структура годового
платежа постоянно меняется, — в начальные периоды в нем преобла-
дают начисленные за очередной период проценты; с течением време-
ни доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается
доля погашаемой части основного дол га. Логику и счетные процедуры
метода рассмотрим на простейшем примере.

Пример

В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20 000 долл, под 13% го-
довых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный
остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года.
Требуется определить величину годового платежа.

Если обозначить за А величину искомого годового платежа, то
данный финансовый контракт можно представить в виде следующей
схемы (см. рис. 4.9).

Для лучшего понимания логики метода депозитной книжки целе-
сообразно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный кон-
тракт представляет собой инвестицию в размере 20 000 дол л., т. е. отток
денежных средств, что и показано на схеме. В дальнейшем в течение
пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем
каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и
часть основной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года за-
емщик пользовался ссудой в размере 20 000 долл., го платеж, который
будет сделан в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за
Рис. 4.9. Схема к методу депозитной книжки

год в сумме 2600 долл. (13^ от 20 000) долл, и погашаемой части дол-
га в сумме ( А — 2600) долл. В следующем году расчет будет повторен
при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, со-
ставит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно:
(20 000 — А + 2600) долл. Отсюда видно, что с течением времени сумма
уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения
долга возрастает. Из схемы на рис. 4.9 видно, что мы имеем дело с ан-
нуитетом постнумерандо, о котором известна его текущая стоимость,
процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для на-
хождения величины годового платежа А можно воспользоваться фор-
мулой (4.16):

20000= /ГЛ/4(13%,5)-/4= 3,5172- А, т.е. /4=5686долл.

Динамика платежей показана в табл 4.3. При составлении плана
погашения ссуды предполагалось, что остаток долга на начало года
равен его значению на конец предыдущего года. Отметим, что данные
в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в по-
следней строке найдена балансовым методом

Приведенная табл. 4.3 позволяет О1ве1ить на целый ряд дополни-
тельных вопросов, представляющих определенный интерес для про-
гнозирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать об-
щую сумму процентных платежей, величину процентного платежа в
к -м периоде, долю кредита, погашенную в первые к лет, и т. д

Рассуждения, аналогичные используемым при решении примера,
можно провести и в общем виде, что позволит дать более строго ин-
Таблица 4.3

Метод депозитной книжки

(долл.)

Год Остаток ссуды на начало года Величина годового платежа В том числе Остаток ссуды
проценты погашен- ная часть долга на конец года
1 20000 5686 2600 3086 16914
2 16914 5686 2199 3487 13427
3 13427 5686 1746 3940 9487
4 9487 5686 1233 4453 5034
5 5034 5686 652 5034 0

терпретацию приведенной стоимости аннуитета с помощью метода
депозитной книжки и попутно выявить полезные с финансовой точ-
ки зрения закономерности, позволяющие ответить на многие вопро-
сы, связанные с денежными потоками.

Итак, пусть получена ссуда в сумме Dt = S на л лет под процент-
ную ставку г. причем сложные проценты начисляются на непога-
шенный остаток. Определим величину годового платежа при возврате
долга равными суммами в конце каждого года.

Обозначим через А годовой платеж. В конце первого года
часть его. /j = Sr. идет на уплату процентов. Оставшаяся же часть
Н\ = A- Sr — на уплату части долга. Таким образом, на начало вто-
рого года величина непогашенно) о остатка составит:

D2 = S—(A—Sr) = S(\+r)—A = Dt(l+r)—A.

Аналогичным образом остаток долга на начало к -го года связан
с остатком долга на начало предыдущего года следующим соотноше-
нием:

Dt=Dk_t (1+г)-Л.

(4.42)
Записывая эту формулу в виде А = Dk}r+(Dk_} — Dk ), получаем
наглядное представление каждого годового платежа в виде двух сла-
гаемых: процентов, начисляемых на текущий долг, и суммы, идущей
на погашение основного долга.

Из (4.42) нетрудно получить, что

Г), =Sa + r}‘ '-AFMXr.k-tt.

что подтверждается и финансовыми соображениями. Поскольку долг
должен быть выплачен через п лет, то Z)i+I = 0, т. е. справедливо ра-
венство 5(1 + г)" — A- FM3(r,n) - 0, откуда

™3(г,л)

5= .1- (1 + гГ = л' FMVr.n)

Следовательно, S является приведенной стоимостью постоянно-
го аннуитета постнумерандо с членом, равным <4, т. е.

S= PV3 и А =---------.

FM4(r,n)

Величина процентов за к -и год, очевидно, определяется формулой
7Л = Dkr .Умножая обе части (4.42) на г, получим

= Dk (1 + r)r — Ar, т. е.:

/Л =/А_1(1+г)-Лг,

(4-43)

где # = 2,3..... л.

Разность Нк = А — 1к определяет погашенную часть долга в А-ом
платеже. Согласно (4.43)

Нк= A- Ik_{ (1 + г) + Аг = (Л - )(1+г)

Таким образом:
Я,=Я,_,а + г). (4.44)

где к = 2,3,...,п.

Из формулы (4.44) видно, что с течением времени суммы, идушие
на погашение основного долга, увеличиваются.

Формулы (4.42) — (4.44) по существу показывают, как можно запол-
нить таблицу, отражающую план погашения задолженности. В част-
ности, для табл. 4.3 приведенного выше примера из соотношений для

, Hf. и Df. соответственно следует:

а) каждый последующий элемент четверю! о сюлбца (проценты за
год) получается путем умножения предыдущего элемента на (1+г) и
вычитания из полученного произведения Аг;

б) каждый последующий элемент пятого столбца (погашенная
часть дол!а) получаеюя путем умножения предыдущего элемента на
(1+0;

в) каждый последующий элемент второго столбца (остаток ссуды
на начало года) и шестого столбца (остаток ссуды на конец года) полу-
чается путем умножения предыдущего элемента на (1 + г) и вычита-
ния из полученного произведения А.

Например, для третьего элемента четвертого, пятого и шестого
столбцов таблицы соответственно имеем (учитывая приближенность
вычислений):

2199 (1 +0,13)-5686-0,13= 1745;

3487 (1 + 0,13) = 3940 (в таблице - 3942);

13427 - (1 + 0,13) - 5686 = 9487 (в таблице - 9483).

Полученные выше соотношения можно легко распространить и
на более общие случаи, например, когда при возврате долга платежи
одинаковой величины вносятся р раз за срок п (в конце каждого пе-
п

риода, длительностью —), или когда используется сложная учетная

ставка или сила роста. Кстати, в нашей ситуации р — п
Используя формулы (4.42) — (4,44), можно различным образом ха-
рактеризовать денежные потоки. Например, найти сумму процент-
ных платежей за пзлет (ш- 1,2,...,/з):

£/, = ^Dtr = mA-(A-Sr}FM3tr,m).

*=1 /: I

откуда, в частности, следует, что доля кредита, погашенная в первые
взлет, составит: ( A— Sr).FM3(r,rn), что, конечно, можно получить
и непосредственно с помощью (4.44).

Проверим некоторые вычисления приведенного выше примера.
Поскольку для него PV^t — 20000, л = 5, А— 5686. то, например,
величина процентного платежа в четвертом периоде составит:

1А = D4 •0.13 = (20000 -(1 + 0.13)’-

-5686 -FM3(13%,3)) -0,13 = 1233 долл.,

что совпадаете соответствующим значением в табл. 4.3

4.6. Бессрочный аннуитет

Аннуитет называется бессрочным (perpetuity), если денежные посту-
пления продолжаются достаточно длительное время. Математически
это означает, что тз—> со. Характерным примером бессрочного анну-
итета являются консоли — выпускаемые правительствами некоторых
стран облигации, по которым производят регулярные купонные вы-
платы, но которые не имеют фиксированного срока. В западной прак-
тике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более
лет. Бессрочный аннуитет также называют и вечной рентой.

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости
аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение
приведенной стоимости аннуитета) имеет решение. Поток платежей
в постоянном бессрочном аннуитете при одном денежном поступле-
нии А за период, являющийся базовым для начисления процентов
по ставке г, представляет собой бесконечно убывающую геомет-
рическую прогрессию с первым членом а = ----- и знаменателем

Для бессрочного аннуитета постнумерандо, используя

(4.16) при л—>сг- и (1.18), получим:

pv‘,=л-У—Ц-=—

(4.45)

= — -

где FM4(r, сс) = —.

Используют и такое обозначение коэффициента дисконтирования
бессрочного аннуитета постнумерандо:

Соотношение (4.45) можно получить и из (4.17), вычисляя предел
при п—> со. Формула (4.45) показывает, что поток даже с неограни-
ченным числом платежей имеет все же конечную приведенную сто-
имость. С финансовой точки зрения это понятно, поскольку день-
ги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при
высокой инфляции практически ничего не стоят). Эта же ситуация
проявляется и при сравнении коэффициентов дисконтирования бес-
срочного аннуитета и аннуитетов с большим сроком. Рассмотрим
значения FM4(r.n) при г - 10% (см. табл. 4.4).

Таблица 4.4

Коэффициенты дисконтирования аннуитета

Срок (л)аннуитета 40 50 60 70 90 с
ГЛ/4(10%,й) 9.7791 9.9148 9.9672 9,9873 9,9981 10
Из табл 4.4 видно, что при сроке аннуитета, превышающем
50 лет, коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно
отличаются друг от друга. С ростом процентной ставки г величи-
на срока, начиная с которого коэффициенты jFA/4(r,zi) переста-
ют сильно отличаться друг от друга, уменьшается (например, при
г= 15% такой срок равен 40 годам). Таким образом, при больших
сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для опре-
деления приведенной стоимости срочного аннуитета можно вос-
пользоваться формулой для определения приведенной стоимости
бессрочного аннуитета, при этом полученный приблизительный
результат будет не слишком отличаться отточного значения.

Записав (4.45) в виде А— Р • г, можно сделать вывод, что член
бессрочного аннуитета равен процентам «со 100» от приведенной сто-
имости этого аннуитета.

Формула (4.45) используется для оценки целесообразности при-
обретения бессрочного аннуитета, если известен размер денежного
поступления за период. В качестве г обычно принимается гаранти-
рованная процентная ставка (например, процент, предлагаемый го-
сударственным банком).

Пример

Определить текущую (приведенную) стоимость бессрочного ан-
нуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. руб., если
предлагаемый государственным банком процент по срочным вкла-
дам равен 14*? годовых.

По формуле (4.45):

4,2

= 014 = 30 ™с руб-

Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не превыша-
ющей 30 тыс. руб., он представляет собой выгодную инвестицию.

Пример

У вас есть возможность инвестировать одинаковой суммой денег
один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессроч-
ную ренту постнумерандо с ежегодными выплатами 15 тыс. руб. Вто-
рой проект в течение двух лет принесет соответственно 30 тыс. руб. и
80 тыс. руб. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка
составляет 24% годовых?

Для сравнения проектов определим приведенные стоимости пото-
ков доходов, доставляемых проектами

По формуле (4.45) получаем оценку первого проекта:

рг;,.=^=б2>5™сруб.

Для оценки второго проекта пользуемся формулой (4.4) при п = 2.
С, = 30 тыс. руб-, с, =80 тыс. руб. и г = 25%:

= 30 -FM 2(24%, 1) + 80 • FM 2(24%, 2) =

= 30 • 0,8065+80 • 0,6504 = 76,227 тыс. руб.

Следовательно, второй проект предпочтительнее. Заметим, что
при использовании процентной ставки менее 18,13% предпочтитель-
нее уже будет первый проект.

Из формулы (4.17) следует, что

1111

ЯИ4(лл)--- --- >”-•

и следовательно, пользуясь обозначением в (4.45), получим:

FM4{r, п) - FM4(r,<x>) — i^FM4( г,оо). (4.46)

Таким образом, приведенная стоимость аннуитета с платежами
в одну денежную единицу в течение п периодов при заданной про-
центной ставке г равна разности приведенных стоимостей двух бес-
срочных аннуитетов, один из которых немедленный, а второй — от-
сроченный на п периодов.

Переходя в (4.22) к пределу при л—» оо. для бессрочного аннуи-
тета постнумерандо с денежными поступлениями р раз за базовый
период и начислением сложных процентов т раз за базовый период
получим:
PV = A------—----=------------=----------.<4.47)

p r m r rm r ™

FM3(-,-) — FM*-,-) +

m p m m p '

В частности, при p= 1 из (4.47) следует А= f’V^(/[(14-)m — 1] ,

р т

т.е. член аннуитета равен начисленным т раз сложным процентам
на приведенную стоимость аннуитета. При р= т— I формула (4.47)
совпадает с (4.45).

Для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета
с денежными поступлениями р раз за период и непрерывным начис-
лением процентов по ставке 8 перейдем к пределу при п—> со в фор-
муле (4.30). В результате получим:

(4.48)

Пример

Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) вы-
платы пособий своим работникам. Определить сумму, которую фир-
ма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение
неограниченно долго в конце каждого года 8 тыс. руб., если банк на-
числяет: а) ежегодно сложные проценты по ставке 16%; б) ежеквар-
тально сложные проценты но ставке 16%; в) непрерывные проценты
с силой роста 16%.

Денежный поток во всех случаях является бессрочным аннуите-
том постнумерандо, причем А— 8 тыс. руб. Необходимо найти при-
веденную стоимость этого аннуитета.

а) Так как г — 0,16, то по формуле (4.45) (или по формуле (4.47) при
р— т— 1) получим:

Р V”, =-----— 50 тыс. руб.

р” 0,16
б) Полагая в (4.47) г— 0,16, т— 4, р — 1, находим:

PV8 =-----—

0,16

(1+4

- — - = 47,098 тыс. руб.

)4-1

в) Поскольку р— 1, д — 0,16,то из(4.48) следует:

PK'f' =-»|?-----= 46,107 тыс.руб.

е — 1

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо
в общем виде определяется с помощью приведенной стоимости
бессрочного аннуитета постнумерандо по формуле (4.39). В част-
ности, при р— 1,т= 1 из (4.39) или, что то же самое, из (4.36) сле-
дует:

р У pre = Р VpS, • (1 + f) = А • FM4{r, 00) • (1 + г) =

= Р + pppS, r=p + А ’

т. е. получено очевидное финансовое утверждение: приведенная сто-
имость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой
для постнумерандо на величину первого платежа.

Аналогично выводятся формулы для опенки бессрочного аннуи-
тета при антисипативном начислении процентов. Например, из (4.28)
при п—>00 получим:

РИ1,"1 = А—
d

а из (4.41):

pira(d) ______

рГе d

(4.49)

(4.50)
Пример

Определить приведенную стоимость бессрочного аннуитета с пла-

тежами в 3 тыс. руб., выплачиваемыми в начале каждого квартала, ес-
ли применяется сложная годовая учетная ставка 16^.

В данном случае имеем аннуитет пренумерандо, поэтому, полагая

Л-3, d=

0,16

----= 0,04 , по формуле (4.50):

р = _2_ = 75 тыс руб.
рге 0,04

4.7. Постоянный непрерывный аннуитет

Предположим, что в течение каждого периода денежные посту-
пления происходят очень часто, так что промежутки между после-
довательными поступлениями предс! являем собой бесконечно ма-
лые величины. Например, страховые выплаты (в результате смерти
застрахованных) происходят так часто, что можно считать, что они
осуществляются непрерывно в течение каждого года страхования.
Или выручка от продаж в крупном торговом предприятии посту-
пает практически в любой момент времени. В этом случае можно
говорить о непрерывном поступлении доходов и определить непре-
рывный аннуитет. Рассмотрим самую простую ситуацию, когда де-
нежные поступления происходят непрерывно с постоянной интен-
сивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу
времени. Такой непрерывный аннуитет называется постоянным и
характеризующие его соотношения можно вывести из формул для
р-срочного аннуитета, переходя в них к пределу при р—^са и
несколько модифицируя величину А члена аннуитета. Ясно, что
непрерывно не может поступать величина А, так как через любой
малый промежуток времени накопится бесконечно большая сумма
денег. Формально это видно, например, из (4.12). Если в этом равен-
стве р—» со, то будущая стоимость аннуитета будет неограничен-
но возрастать. Пусть в конце каждого базового периода р-сроч-
ного аннуитета суммарная величина денежных поступлений равна
- А

А, тогда каждое поступление будет равно — и формула (4.12) за-

пишется в виде:

A FM3(r,n)

FM3(r,~)

Отсюда получим формулу оценки будущей стоимости постоянно-
го непрерывного аннуитета:

я , A FM3(r,n) Аг

FV - lim----------- ----------FM3{ г,л).

(4.51)

Такую же формулу получили бы и воспользовавшись соотношени-
ем (4.33), так как в непрерывном случае исчезает разница между анну-
итетами постнумерандо и пренумерандо.

Приведенная стоимость этого непрерывного аннуитета составит:

Ar FM3(rn) Аг

Р Vs = ---------- ------------flW4(r, п)

1п(1 + г) (1 + г)п 1п(1 + г)

(4.52)

Для небольших значений г можно пользоваться приближенной

формулой ---------»1+— и тогда формулы (4.51) и (4.52) соответ-

1п(1 + г) 2

ственно примут вид:

FV° « A(l + ^)FM3(r,n), PV“ «Л(1+^)ЕМ4(г,и).

Пример

В течение шести лет на счет в банке ежедневно будут поступать
одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 40 тыс. руб.
Определить сумму, накопленную к концу шестого года при использо-
вании процентной ставки 12% годовых.

Считая, что платежи поступают непрерывным образом, восполь-
зуемся формулой (4.51):

„ 40 0,12

FV = ------------8,1152 = 343,7167 тыс. руб.

ln(l + 0,12)

Сравним этот результат со значением, полученным по формуле

(4.12), полагая в году 360 дней. Так как р= 360, А=-, получим:

360

40 8,1152

FV£sl =-------------j---= 343,6626 тыс. руб.

360 (1 + 0,12)“®-1

012

Видим, что полученные величины отличаются незначительно.

Пример

Некоторое месторождение полезных ископаемых будет разраба-
тываться в течение 8 лет, при эюм ожидается, что доходы от экс-
плуатации месторождения составят в среднем 300 млн руб. в год.
Оценить приведенную стоимость ожидаемого дохода при исполь-
зовании сложной процентной ставки 20% годовых и в предполо-
жении, что опрузка и реализация продукции буду непрерывны и
равномерны.

В качестве первого приближения можно рассматривать получа-
емый денежный поток как постоянный аннуитет постнумерандо с
А =300. сроком и = 8 и периодом, равным году. Тогда по формуле
(4.16) при г = 20%:

= 300 - FA/4(20%,8) = 1151,16 млн руб

Однако в соответствии с условием задачи более точный результат
получим, считая, что в течение года каждый квартал доход составит
----= 75 млн руб. Поэтому, полагая в формуле (4.21) А = 75, р = 4,
4

п = 8 и г = 20%, находим:

РИД =75-™4(20%’^ =1234,221 млн руб.
FM3(20%,-b)

Поскольку реализация предполагается равномерной, то лучше
считать, что доход поступает ежедневно. Проще всего не разбивать год
на равные временные периоды, а считать поток доходов постоянным
непрерывным аннуитетом с интенсивностью А =300 млн руб. в год
и воспользоваться формулой (4.32):

/'!" = 3<Ю'0’2 7Л/4(20%,К) = |262,77 млнруб.

In 1,2

Из приведенных расчетов наглядно видно, как увеличивается зна-
чение приведенной стоимости при сокращении периода между де-
нежными поступлениями*.

Если проценты начисляются дпраз за период, то. пользуясь (4.14).
получим:

FV" =----—-----FM3(—, пт) -

ПТ 1п(1 + —) m

(4.53)

В соответствии с формулой (3.22) из (4.53):

= f р" . FM2(—,mu) =---—-----FM4(—,mu). (4.54)

m -1 /1 ' \ m

m ln(l + —)

1 При уменьшении интервала между денежными поступтениями (и неизменной
годовой суммой) для определения приведенной стоимости мы пользовались формулой
(4 21) Существует и другой подход, при котором в такой ситуации применяется форму-
ла (4 22) п ри m =/> 111, Воронцовский, с 164].
Вычисляя в правой части равенства (4.53) предел при т—> оо, на-
ходим будущую стоимость постоянного непрерывного аннуитета

(4.55)

где 8 — сила роста при непрерывном начислении процентов.

Формулу (4.55) можно было получить из (4.14), определяя вначале
предел при т—> ос (т.е. переходя к непрерывному начислению про-
центов), а затем определяя предел при р—> со (т.е. переходя к непре-
рывным денежным поступлениям). Умножая на е-'5”, полу-
чим приведенную стоимость постоянно! о непрерывною аннуитета с
непрерывным начислением процентов:

(4.56)

Приведенная стоимость отсроченного на h периодов непрерывно-
го аннуитета составит:

= AeSb-——

Нетрудно видеть, что

поэтому приведенная стоимость отсроченного аннуитета равна раз-
ности приведенных стоимостей немедленных аннуитетов.

Используя эквивалентные ставки, можно получить и другие со-
отношения и показать связь формул между собой. Например, по-
лагая <5 —1п(1 + г), из (4.55) получим (4.51) и т. д. Обозначая
----- 1—

FM4(o,n) =--------, нетрудно доказать, что для эквивалентных

ставок rcf,r,8 (г — номинальная ставка с начислением сложных
процентов т раз за период) справедливы неравенства:
FM4(r.,п)<—FM4(—,mn) < FM4(8,ri).

'mm

Если непрерывный аннуитет является бессрочным, то из (4.54) и
(4.56) при п—> со (естественно, учитывая, что *5"> 0) соответственно
получим:

, р <4.57)

mln(l+—)

Рассмотрим теперь непрерывный аннуитет сроком в один год. В

соогветствии с (4.55) для него FVai^ = А —- Представляя ее

в виде ряда и ограничиваясь первыми тремя членами, устанавли-
ваем, что

FV°^ к\\ + 8+—+—-\)=А{\+-+—).
8* 2 6 2 6

С другой стороны, используя разложение в ряд е2 , можно напи-
сать:

Ае1 »Л(1 + -+—).

2 8

Таким образом

Величина в правой части этого приближенного равенства пред-
ставляет собой наращенную непрерывными процентами сумму за
полгода, если первоначальный капитал составлял А . Поэтому не-
прерывное поступление А денежных единиц втечение года прибли-
зительно эквивалентно разовому поступлению этой суммы в середи-
не года. Легко показать, что и PVa^ ~Ае2

Полагая Z>=ln(l+r), получим, естественно, аналогичные ре-
зультаты при применении сложной годовой процентной ставки

FV“ »Л(1 + г)2 PVa «Л(1 + г) 2

Пример

Фирма ожидает получить при реализации своей продукции за год
100 тыс. руб. Предполагается, что продукция в течение года будет про-
даваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные
поступления, если применяется непрерывная ставка 15^ за год.

Поскольку в условии говорится о более или менее равномерном
распределении продаж в течение года, то логично предполагать, что
интенсивность потока выручки будет в какой-то мере постоянной ве-
личиной, равной 100 тыс. руб. за год. Считая, что денежные поступле-
ния происходят непрерывно, воспользуемся формулами (4.55) и (4.56),
определяющими соответственно будущую и приведенную стоимости
непрерывного аннуитета. Полагая А = 100 тыс. руб., п — 1, ё = 0,15-
получим:

р0Д5-1

FVo{S} --100------i = 107,889 тыс. руб.;

0,15

। _ -0,15

рГ«(<5) = i СЮ 1 ---= 92 861 тыс. руб.

0,15

Конечно, при определении РУ**' можно было воспользовать-
ся уже найденным значением ру“1{,} и формулой (3.44), из которой
следует:

PVM =Fyin.e~s — 107,889-е-0’15—92,861 тыс.ру6.

Если же воспользоваться приближенными формулами, то:
0,15

’ =107,789 тыс. руб.,

0,15

РГ"(г|»100е~ =92.774 тыс. руб.

4.8. Оценка аннуитета с изменяющейся
величиной платежа

На практике возможны ситуации, когда величина платежа ме-
няется со временем в сторону увеличения или уменьшения. Напри-
мер. при заключении договоров аренды в условиях инфляции может
предусматриваться периодическое увеличение платежа, компенсиру-
ющее негативное влияние изменения цен. Величина амортизацион-
ных отчислений может меняться в связи с изменением количества и
стоимости основных фондов. Договор стандартного возрастающего
страхования жизни предполагает ежегодный рост страховой суммы
на величину страховой суммы первого года страхования. Для гаран-
тии возврата взятого страхователем кредита (в случае его смерти) ис-
пользуется стандартное убывающее страхование жизни. В такого ро-
да случаях поток платежей представляет собой переменный аннуитет
(переменную ренту) и для определения будущей или приведенной
стоимости аннуитета надо пользоваться формулами (4.1) — (4.4). Од-
нако, когда члены аннуитета изменяются в соответствии с некоторы-
ми законами, эти формулы упрощаются.

Предположим, что имеется аннуитет постнумерандо, плашжи ко-
торого образуют арифметическую прогрессию с первым членом А и
разностью z. В этом случае говорят о переменном аннуитете с посто-
янным абсолютным изменением его членов. Если число периодов равно
п, г является процентной ставкой за базовый период, в соответствии
с которой один раз в конце периода начисляются сложные проценты и
период аннуитета совпадает с базовым, то наращенный денежный по-
ток (записанный в порядке поступления платежей) имеет вид:

Д1 + г)"', ( А + z)(l + г)-2, (А + 2z)(l + г)",..., 1 + (п -I) z
Если z>0, то члены аннуитета возрастают. Если z< 0, то чле-
ны аннуитета убывают и число этих членов (равное числу периодов п)

, А

должно удовлетворять неравенству л<|---, иначе можно по лу-

чить отрицательные платежи, что лишено смысла.

Сложив наращенные члены аннуитета и сгруппировав отдельно
слагаемые, содержащие множители А и z, получим:

FV‘„ = А FM3(r, п) + z[(l + г)"-2 +

+2(1 + >)" ’ +... + («- 2)(1 + >) + л -1]

Умножим обе части этого равенства на (1 + г) и затем это равен-
ство вычтем из равенства, полученною после умножения на (1 + Г).
В результате получим.

FV"st г = A-FM+ z[(l + г)"-'
+(1 + г)"-2 +...+(1 + г) +1 - л] =
= А -FM3(r,n)-r+ z-FM^r.nj-zn,

откуда

F\Ast = ( А+ -) - FM3(r, п)-—. (4.58)

Поделив (4.58) на (1 + г)'’ и воспользовавшись (4.17), получим
приведенную стой мость аннуитета:

Р\^, = (Л+-)- ЯИ4(ЛЯ)- . (4.59)

г /(1+г)

Очевидно, при z— 0 из (4.58) следует (4.7), а из (4.59) следует (4.16).

Пример

Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в те-
чение шести лет в конце года будут поступать денежные суммы, пер-
вая из которых равна 5 млн руб., а каждая следующая будет увеличи-
ваться на 0.4 млн руб. Оценить этот аннуитет, если банк применяет
процентную ставку 10% годовых и сложные проценты начисляются
один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денеж-
ные суммы будут уменьшаться на 0,4 млн руб.?

По условиям соглашения А= 5,п= б.г = 0,1, и если суммы воз-
растают, то Z— 0,4. Тогда по (4.58), (4.59) соответственно получим

, 0,4 0,4 6

= (5+-^-1 • 6)- = 45,4404 млн руб.;

PV" = (5 + _2_). fm 4(10%, 6)

Р 0,1

0,4-6

-----------— = 25,6497 млн руб.

0,1 (1 + 0,1)

Если суммы будут уменьшаться, то Z-— 0.4 и

0,4 0,4-6

FF“ =(5-—)-FA/3(10%,6) + ------= 31,7156 млнруб.;

р 0,1 0,1 ю

0,4 0,4-6

РУ" =(5——)-FA/4(10%,6) +------------ = 17,9033 млнруб.

” 0,1 0,1-(1 + 0,1)е

Оценки аннуитета пренумерандо нетрудно получить, используя
соотношения F\Are — FV^.,(1 + г), PVpre = + г)

Аналогично можно получить оценки аннуитета для других ситу-
аций, только формулы приобретают несколько громоздкий вид. На-
пример, если в указанных выше условиях начисление сложных про-
центов происходит т раз за период, то можно показать, что

FV^ = Л 2 FM3(—,mti) tn
— FM3{—,т) tn т FM3(—,m) ni

(4.60)

ni т
Так, если в условиях предыдущего примера начисление слож-
ных процентов происходит в конце каждого полугодия(лз= 2), то

— = 0,05 и Для z=0,4

FV“,,

5 ] 0,4 1 ЕЛ/3(5%, 12)

+ 0,05 FM3(5%, 2)ЕЛ/3(5%, 2)

0,4-6
0,()5-ЕЛ-/3(5%,2)

= 45,7078 тыс. руб.

Из формул (4.58), (4.59) можно, естественно, определить значение
любого параметра при известных значениях всех остальных параме-
тров. В частности, из (4.58) следует, что

FM\r,n) г

FMS(r. ri) — п

(4-61)

(4.62)

Однако в явном виде формулы для нахождения г или п написать
нельзя. При определении значений этих параметров используются
приближенные методы.

Пример

За 10 лет необходимо накопить 60 тыс. долл. Какой величины дол-
жен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать
величину денежного поступления на 300 долл, и процентная ставка
равна 15*? годовых? Денежные поступления и начисление сложных
процентов осуществляются в конце года. Определить, на какую ве-
личину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление,
если первый вклад будет равен 2,5 тыс. долл.

Полагая в (4.61) п = 10,FV\ = 60,2"— 0,3 и г = 0,15, находим
размер первого вклада:
0,3-10

60 + —-----

0,15

/W3(15%,10)

—— = 1,9402 тыс. долл.
0,15

Если же известна величина первого вклада А= 2,5 тыс. долл., то
по (4.62) получим:

0,15(60-2,5- ГЛД(15%,10))

ЛИЗ(15%,10)-10

— 0,1345 тыс. долл.

Переходя к пределу при п—>со в (4.59), находим приведенную

стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо

z 1
ррд =(Л+-)—.

(4.63)

Эта формула имеет смысл для z>0 и при z—О совпадаете (4.45).

Пусть теперь платежи в аннуитете постнумерандо образуют геоме-
трическую прогрессию с первым членом А и знаменателем д. В этом
случае говорят о переменном аннуитете с постоянным относитель-
ным изменением его членов. Если г является процентной ставкой за
базовый период, совпадающий с периодом аннуитета, п равно числу
периодов и в конце каждого периода начисляются сложные проценты,
то наращенный денежный поток имеет вид:

/1(1 + г)"',Ад(1 + г)-2,..., Лч-\1 + г), Ад-'

т.е. представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом
21(1 + г)" 1 и знаменателем Поэтому сумма членов этой про-

грессии равна:

М'-'

FV = Д1 + г)мЭ±Т------— А—---<1 + Г) - (4-«4>

" ? , ?-(!+/•)

1 + г
Отсюда следует, что:

pvps,

А дп-(\ + г)п
(1 + гГ ?-(1 + г)

(4.65)

Используя (4.64) и (4.65) легко пап исать формулы для оценки анну-
итета пренумерандо.

Пример

По условиям контракта на счет в банке поступают в течение пя-
ти лет в конце года платежи. Первый платеж равен 3 тыс. евро, а каж-
дый следующий по отношению к предыдущему увеличивается на
15%. Оценить этот аннуитет, если банк начисляет в конце каждого
года сложные проценты из расчета 12% годовых.

Увеличение платежа на 15% означает его рост в 1.15 раза. т.е. по-
ток платежей образует геометрическую прогрессию со знаменате-
лем д= 1,15 . Полагая п=5,А= 3,г= 0,12 из (4.63) и (4.64) полу-
чим:

1,155—(1+0,12)

= 3----------,—L

pst 1,15—(1+0.12)

= 24,902 тыс. евро.

3 1,155 — (1 + 0Д2)5

РI , = ————т———————----= 14,130 тыс. евро.

psf (1 + 0Д2)5 1,15-(1 + 0,12) ’ F

С помощью аналогичных вышеприведенным рассуждений можно
получить оценки такого рода аннуитета и для других случаев посту-
пления платежей и начисления процентов.

Обратим внимание, что, используя (4.64) и (4.65). формулу в явном
виде можно написать только для определения параметра А. Параме-
тры д,г и п определяются приближенными методами.

Если 1 + г> </, то при л —> оо из (4.65) следует формула для опре-
деления приведенной стоимости бессрочного аннуитета:

(! + +)-</

(4.66)
которая при Q— 1 (т. е. все платежи равны между собой) совпадает
с (4.45).

Пример

Компания предлагает купить бессрочный аннуитет постнумеран-
до, выплаты по которому начиная с 2 тыс. долл, будут расти на 3% еже-
годно. По какой цене имеет смысл приобрести такой аннуитет, если
можно поместить деньги на депозит под 15 °о годовых?

Обозначая А = 2; q = 1,03 и г = 0,15, по формуле (4.66) найдем
приведенную стоимость аннуитета:

=----------------= 16,667 тыс. долл.

р,‘ (1 + 0,15)-1,03

Таким образом, приемлемая цена не должна превышать 16,667 тыс.
долл.

Если даже члены переменного аннуитета не образуют арифме-
тическую или геометрическую прогрессию, то все равно во многих
случаях оценка аннуитета может выполняться путем несложных рас-
четов (с помощью финансовых таблиц, если таковые под рукой). Тех-
нику вычислений рассмотрим на простейшем примере.

Пример

Сдан участок в аренду на десять леь Арендная плащ будет осу-
ществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих усло-
виях: в первые шесть лет по 10 тыс. руб., в оставшиеся четыре года по
11 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого догово-
ра, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15*%.

Решать данную задачу можно различными способами в зависи-
мости от того, какие аннуитеты будут выделены аналитиком. Общая
схема денежного потока представлена на рис. 4.10.

Естественно, приведенная стоимость денежного потока должна
оцениваться с позиции начала первого временного интервала. Рас-
смотрим лишь два варианта решения из нескольких возможных. Все
эти варианты основываются на свойстве аддитивности рассмотрен-
ных алгоритмов в отношении величины аннуитетного платежа.

а) Исходный поток можно представить себе как сумму двух ан-
нуитетов: первый имеет А = 10 и продолжается 10 лет; второй (от-
сроченный на 6 лет) имеет А = 1 и продолжается 4 года. По формуле
(4.16) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета.
Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции на-
чала седьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дис-
контировать с помощью формулы (3.20) к началу первого года.
В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному мо-
менту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости ис-
ходного денежного потока

Рис. 4.10. Аннуитете изменяющейся величиной платежа

РИД = 10 FM 4(15%, 10) +1 FM4(15%,4) FM 2(15%, 6) =
= 10 • 5,0188 +1 2,8550 0,4323 = 51,422 тыс. руб.

б) Исходный поток можно представить себе как разность двух ан-
нуитетов: первый имеет А = 11 и продолжается десять лет; второй
имеет А — 1 и, начавшись в первом году, заканчивается в шестом.
В этом случае расчет выглядит так:

РИД =11- F7W 4(15%, 10) -1 - FM4(15%, 6) =

= 11 • 5,0188 -1 3,7845 = 51,422 тыс. руб.
4.9. Аннуитеты с периодом большим,
чем базовый

В предыдущих разделах были рассмотрены аннуитеты, периоды
которых не превосходили базовые периоды начисления процентов.
В частности, если базовый период был равен году, то период ан-
нуитета не превышал одного года. С целью представления различ-
ных случаев рассмотрим и не так часто встречающуюся ситуацию,
связанную со срочным аннуитетом, когда его период больше года.
Например, постоянный десятилетний аннуитет постнумерандо с
денежными поступлениями каждые два года имеет вид, представ-
ленный на рис. 4.11.

А А А А А

Рис. 4.11. Аннуитет постнумерандо

Обсудим коротко несколько более обший случай, когда базовый
период начисления процентов необязательно равен году и меньше
периода аннуитета. Итак, пусть есть постоянный аннуитет пост-
нумерандо, денежные поступления которого (каждое в размере А)
происходят в течение п периодов, являющимися базовыми для на-
числения процентов по ставке г. Причем денежные поступления
осуществляются каждые и (и > 1) периодов, а начисление слож-
ных процентов — в конце каждого периода.

Предположим для простоты, что п делится нацело на и, тогда

число поступлений денежных сумм равно —. Оценим будущую стои-

мость аннуитета.
" л

Последнее (--е) поступление остается равным А. На предпо-

п 1

следнее (---1 )-е поступление начисляются сложные проценты за

и периодов и оно будет равно /4(1 + г)". На (— — 2 )-е поступление
и

начисляются сложные проценты за 2 ц периодов, и оно будет равно
т4(1 + г)2“ и т. д. до первого включительно, которое станет равным
(—11»

/4(1 + г) “ = /4(1 +г)" " Полученные величины образуют геоме-

трическую прогрессию с первым членом Л, знаменателем (1 -и г)° и
п

числом членов, равным —. Поэтому сумма этих величин равна:

(1 + г) “-1 (1 + /-Г-1 ™3(г,л)

г------------- Л1----------- А-------(4.67)

(1 + г)" - 1 (1 + г)“- 1 FM3(r,и)

Пример

Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 10 лет, со-
гласно кот орому на счет работника в банке в конце каждого двухлет-
него периода будет поступать 1,4 тыс. руб. Требуется определить на-
ращенную сумму к концу действия контракта, если на поступающие
суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты
по ставке 12% годовых.

В соответствии с контрактом денежные суммы образуют аннуи-
тет длительностью 10 лет и с периодом 2 года (см. рис. 4.11). Таким об-
разом, период аннуитета больше базового периода начисления про-
центов, равного году. Полагая .<4=1,4, п = 10. и—2, г =12% по
формуле (4.67) получим:

_ ЯИЗ(12%Д0)_ 17,5487

ps'~ ' ' /71/3(12%,2) ~ ’ 2,12

= 11,589

тыс. руб.
Пусть теперь г процентная ставка за базовый период, но начисление
сложных процентов происходит т раз в течение этого периода (не пи-
шем , поскольку период может отличаться от года). Можно анало-

гичным образом, как при выводе формулы (4.67), получить наращенный
денежный поток. Мы же покажем, как непосредственно воспользовать-
ся формулой (4.67), считая, что есть новый базовый период, равный т-й
части исходного базового периода, и есть новая процентная ставка —.
т

Тогда всего новых периодов будет уже inn, а денежные поступления
осуществляются каждые ши этих периодов. Таким образом, заменяя в

(4.67) г на —, п - на ,!,п и U — на ™, получим:
т

FM3(—,mn)

FV^ = А--------7---- (4.6S)

FM\—,ти)
т

Нетрудно показать, что при начислении непрерывных процентов с
силой роста А будущая стоимость аннуитета составит:

Z” -1

FK.,= A-^~Ti <4®>

Пример

Фирма решила образовать фонд для обеспечения будущих расхо-
дов. С этой целью в конце каждых трех лет фирма перечисляет в банк
8 тыс. руб Какая сумма будет на счете фирмы через 15 лет, если на
поступающие суммы будут начисляться: а) ежеквартально сложные
проценты по номинальной годовой процентной ставке 16%; б) непре-
рывные проценты с силой роста 16%?

Денежные поступления образуют постоянный аннуитет с
А = 8 тыс. руб., сроком п— 15 лет и периодом и — 3 года.

а) В этом случае г = 16%, т= 4 и по (4.68):

Л И.,

FM3(4%,60) 237,9907

/Л/3(4%,12)“8 ’ 15,0258

—126,710 тыс. руб.
б) Полагая <5 — 0,16, по формуле (4.69) находим:

FVp„ = 8 3„,tl * = 130,155 ™с. руб.

Если начисление сложных процентов происходит т раз за базовый
период, то для определения приведенной стоимости будущих посту-
плении можно воспользоваться формулой (4.24), из которой следует:

Р^ = /И(1 + -)-“.

р р' т

Поэтому, пользуясь этим соотношением, (4.17) и (4.68), получим-

FM\—,mn) FM4(—,mri)

РУря = Л-----------О = А------------—----’ (4-70)

РМЦ— ,ти) ™ РМЦ— ,ти)

т т

откуда, в частности, при т= 1 (однократном начислении процентов)
следует, что:

= FM4(r,n)

psr FM3(r,u)

(4.71)

В случае начисления непрерывных процентов, применяя формул ы
(430) и (4.69), получим:

е‘5л-1 1-е д л

РИ, = А ,-------Ь1" = А ,--------. (4.72)

с" | с"' I

Пример

Определить сумму, которую необходимо поместить на счет в бан-
ке, чтобы в течение восьми лет в конце каждого двухлетнего периода
иметь возможность снимать со счета 3 тыс. руб., причем к концу срока
полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся на счету
денежные суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты
по ставке 12%; б) каждые полгода сложные проценты по ставке 12%;
в) непрерывные проценты с силой роста 12%.

Во всех случаях надо определить приведенную стоимость посто-
янного аннуитета с А— 3 тыс. руб., периодом и— 2 года и сроком
п— 8 лет.

а) Так как г— 12%, то применяя (4.71), в этой ситуации получим:

_ /7И4(12%,8)

ps: /71/3(12%,2)

4,9676 „ _
-------= 7,030 тыс. руб

2,12

Конечно, можно было воспользоваться и (4.70), полагая ги = 1.

б) В этом случае т =2, Г= 12% и поэтому из (4.70) следует, что:

/71/4(6%,16) о 10,1059

/71/3(6%,4) 4.3746

= 6.930 тыс. руб.

в) Поскольку начисляются непрерывные проценты с силой роста

8 = 0,12, то по (4.72):

1-е^128

f’1'.”3' с"”_| ”6,825 ™с-руб-

Формулы для опенок аннуитета пренумерандо получаются из соот-
ветствующих формул для оценок аннуитета постнумерандо с исполь-
зованием того факта, как уже ранее упоминалось, что денежные посту-
пления пренумерандо начинаются на период (аннуитета) раньше, чем
постнумерандо. Поэтому при начислении сложных процентов т раз за
базовый период с учетом формул (4.68) и (4.70) можно написать:

Fl^ = FV;sf.(l + -)ma,

(4-73)

Р1^ = рв^-(1+-Г.

' т

(4.74)

А при непрерывном начислении процентов, используя (4.69) и
(4.72), получим:

(4.75)

= jP^t‘eS U

(4.76)

В частности, если в примере, который иллюстрирует рис. 4.11, де-
нежные поступления будут происходить в начале каждого двухлетне-
го периода, то, используя ответ примера и формулу (4.73) при /л= 1,
получим:

FV£e = 11,589-(1 + ОД 2)2 - 14,537 тыс. руб.

Естественно, можно получить большое количество соотношений
для различных ситуаций, связанных с аннуитетами, обсуждаемыми
в этом разделе. В заключение мы упомянем лишь бессрочные анну-
итеты, формулы для определения приведенных стоимостей которых
нетрудно получить подобным образом, как эго делалось в разд. 4.6.

Так, переходя к пределу при п—>оо в формуле (4.70), получим
приведенную стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с на-
числением сложных процентов тп раз за базовый период:

PV3pst =---7--------= 7-------—г------• <4-77>

(1 + __ 1 _. ,ти)

т т т

Если же проценты начисляются непрерывно, то из (4.72) при

п—> со следует, что:

(4.78)

4.10. Конверсия аннуитетов

На практике нередко возникают ситуации, когда ранее заключен-
ное финансовое соглашение заменяется другим. Если договор связан,
в частности, с аннуитетом, то тогда происходит изменение условий ан-
нуитета, и в этом случае говорят о конверсии аннуитетов. Вариантов
изменения условий аннуитета очень много. Например, уменьшение
(или увеличение) срока погашения кредита посредством ряда плате-
жей; изменение величины члена постоянного аннуитета; вообще за-
мена аннуитета с одними характеристиками на аннуитет с другими
характеристиками и т. 1. Безусловно, конверсия аннуитетов не может
осуществляться произвольным образом. Во всех случаях необходимо,
как обычно, соблюдать принцип финансовой эквивалентности, со-
гласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному
моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому согла-
шению, приведенных к тому же моменту времени.

Рассмотрим некоторые примеры конверсии аннуитетов. Пусть ан-
нуитет постнумерандо с платежами Сх, СгСп и с периодом, со-
впадающим с базовым периодом начисления процентов по ставке г.
заменяется одним платежом S(f) с выплатой в конце ./-го периода.
В соответствии с формулой (3.94) при т — п,пк = к,Pk — Сk,nv = j
получим:

Я/) = Ёс,(1 + Гу-‘. (4.79)

Естественно, если j>k, то будет происходить наращение на пла-
теж Ск , если / <к . то платеж Ск будет учитываться. Очевидно.
S'(O) — . S(ri) = FV“sl и. кроме того.

FV"

50> = ^-^7 = РС(1 + '-)' <4-80)

(1 + г)

Нетрудно получить аналогичные формулы и в случае начисления
сложных процентов т раз за период, для постоянного р-срочного
аннуитета и т. д. Например, при замене постоянного аннуитета пост-
нумерандо на один платеж, используя (4.7) и (4.16), можно написать.

S(j) = AFM^r,n)FM2(r,n-j), (4.81)

S(j) = А FM4(r, и) FM l(r, /).

(4-82)
Пример

Господин N, заняв деньги под 25% годовых, обязался рассчитать-
ся с долгом в течение пяти лет, выплачивая по 15 тыс. руб. в конце
каждого года. Если бы заимодавец согласился получить долг одним
платежом в конце третьего года, то какова была бы его величина в ус-
ловиях начисления сложных процентов? Какая сумма была получена
взаймы господином 7V?

Полагая в формуле (4.79) С( = 15, i = 1,2,...,5, п - 5 , ; = 3,
г = 0,25 или сразу воспользовавшись формулой (4.82), находим ве-
личину искомого платежа:

5(3) = £15(1+0,25)3’* =

= 15-FM4(25%,5) • FM 1(25%,3) = 78,787 тыс. руб.

Взятая в долг сумма равна приведенной стоимости аннуитета
постнумерандо и по формуле (4.16) составит:

РУ°рЛ = 15-FM4(25%,5) =40,340 тыс. руб.

Замену аннуитета одним платежом называют выкупом аннуите-
та. Часю решается и обратная задача — замена единовременного пла-
тежа аннуитетом, например, погашение задолженности в рассрочку
(т.е. в виде выплат ряда сумм, а не всего долга сразу), создание фонда
или накопление необходимой суммы на сберегательном счете к опре-
деленному сроку. По сути, в такого рода задачах находится один из
параметров аннуитета при известных всех остальных. Похожие ситу-
ации в случае постоянного /J-срочного аннуитета рассматривались в
разделе 4.3. Обратная задача для предыдущего примера может иметь
такой вид. Господин N, заняв деньги под 25% годовых, через три года
должен возвратить 78,787 тыс. руб.

Пример

Однако в начале первого года господин N и заимодавец пришли к
соглашению о выплате долга постоянными частями в конце каждого
года в течение пяти лет. Какой величины должна быть каждая выплата?

В этих условиях в уравнении (4.82) будут известны все величины,
кроме параметра А , который и определяем.
FM 4(25%, 5) • FM 1(25%, 3)

Если необходимо перенести начало выплат в соответствии с кон-
трактом на более поздний срок, чем был ранее установлен, то воз-
никает задача замены немедленного аннуитета на отсроченный. На-
пример, постоянный аннуитет постнумерандо с параметрами А1Уп}
требуется заменить на отсроченный на h периодов постоянный ан-
нуитет постнумерандо с параметрами А2,п2, причем периоды ан-
нуитетов совпадают между собой и с базовым периодом начисления
процентов по сложной процентной ставке г. Приравнивая приведен-
ные на начальный момент стоимости этих аннуитетов, получим оче-
видное соотношение:

A, FM4(r, п,)-FM2(r,h) = Д • FM4(r,л() (4.83)

В случае л, = л, член отсроченного аннуитета согласно (4.83) со-
ставит величину:

Л2 =--------= А, FM 1(г,Л). (4.84)

FM2(r,h

Друшми словами, в этой ситуации каждая выпла|а должна рав-
няться наращенной за h периодов выплате по исходному контракту.
Это вполне очевидно и из обычных финансовых соображений. Ес-
ли бы сложные проценты начислялись т раз за период, то формула
(4.84) приняла бы вид.

Аг = Д FMl(—,mh). (4.85)

Пример

При покупке объекта недвижимости был согласован вариант
оплаты постоянными платежами по 50 тыс. руб., осуществляемыми
в течение шести лет в конце каждого года. Какова будет величина
ежегодного платежа, если начало выплат отложат на три года: а) при
сохранении времени выплат; б) при уменьшении времени выплат до
четырех лет? При всех вариантах применяемая сложная процентная
ставка остается неизменной и составляет 18% годовых.

Первоначальный вариант оплаты представляет собой постоян-
ный (немедленный) аннуитет постнумерандо с Л, =50 гыс. руб. и
п, = 6 лет. В случае а) имеем отсроченный на h — 3 года постоянный ан-
нуитет постнумерандо сроком п2 — 6 лети поэтому по формуле (4.84):

А, = 50 /М1(18%.3) = 82.15 тыс. руб.

Для случая б) по формуле (4.83) при и, = 4 получим соотношение

А2 РМЦ\ 8%, 4) • FM 2(1 8%,3) = 50 FM4(18%, 6).

из которого находим А-, —106,817 тыс. руб.

Пусть теперь постоянный аннуитет заменяется на отсрочен-
ный при сохранении неизменным члена аннуитета, т.е. А2 = At.
В этой ситуации надо определить срок нового аннуитета, формулу
для нахождения которого можно получить, в частности, из (4.83):

ln[l-(l + r)*(l-(l + r)' )]

«2 =-------------------------. (4.86)

1п(1 + г)

Очевидно, п2 — я, при h = О. Часто бывает удобнее и не пользо-
ваться этой формулой, а просто подставить в (4.83) значения всех из-
вестных параметров и решить полученное уравнение относительно и,.

Надо иметь в виду, что конверсия аннуитета не всегда возможна на
интересующих стороны условиях. Например, предыдущая ситуация
осуществима только в случае выполнения неравенства

(1+,)-*+(1+г) >1,
т. е. число периодов, на которое допустимо отсрочить первоначаль-
ный аннуитет, должно удовлетворять соотношению.

, 1П(1 —(1 + /)'"1)

h <--------i. (4.87)

ln(l+r)
Пример

Постоянный аннуитет постнумерандо сроком 4 года откладыва-
ется на два года без изменения величины ежегодной выплаты. Опре-
делите новый срок аннуитета в условиях сложной процентной ставки
20°о годовых.

Ответ можно получить, полагая в формуле (4.86) —4,

h — 2, г = 0,2. Мы же подставим значения этих параметров в
(4.83), учитывая, что А-, = А, и коэффициенты FM2(20%,2) и
FM4(20%,4) можно найти по таблицам приложения 3. В результате
получим:

1-1 2"-'

--------0,694 = 2,589

0,2

Таким образом,

HI-0-2'2-589)

Получили нецелое ч исло лет. Чтобы срок нового аннуитета состав-
лял целое число лет, необходимо произвести изменения, устраиваю-
щие обе стороны финансового соглашения. В частности, если в этом
примере член первоначального аннуитета составляет 30 тыс. руб., и
срок нового аннуитета принять равным семи годам, то приведенная
(современная) стоимость отсроченного аннуитета согласно формуле
(4.25) составит

РУ“я = 30-FA/2(20%,2)-FA/4(20%,7) = 75,091 тыс. руб.

Приведенная стоимость исходного аннуитета равна величине

РУ“„ = 30- FM 4(20%, 4) = 77,661 тыс. руб..

т. е. больше, чем 75,091 тыс. руб. Разницу (77,661 — 75,091 = 2,57 тыс.
руб.) по согласованию с участниками контракта можно выплатить
в любой момент времени (естественно, учитывая начисленные на
2,57 тыс. руб. к этому времени сложные проценты).
Заметим, что число лет, на которое возможно отложить исходный
аннуитет из примера не изменяя величину платежа, должно удовлет-
ворять неравенству (4.87), а именно:

h< 1п(1 —(1 + 0,2) 4)

1п(1 + 0.2)

Вычисляя правую часть неравенства, получим h < 3,61 года. Сле-
довательно, отсрочить осуществление аннуитета на четыре года и
больше в условиях примера нельзя.

По всей видимости, не имеет смысла выписывать формулы для
всевозможных случаев конверсии аннуитетов, гак как они могут
иметь весьма громоздкий вид и не столь полезны для применения.
Достаточно в каждой конкретной ситуации составлять соответствую-
щее уравнение эквивалентности. И из него определять значения ин-
тересующих параметров.

Пример

В банк под номинальную процентную ставку 24% годовых с еже-
квартальным начислением сложных прсцентов была помешена такая
сумма, чтобы в течение четырех лет иметь возможность снимать в конце
каждого полугодия 8 тыс. руб. и в конце четвертого года исчерпать счет
полностью. Какую сумму можно будет снимать со счета в конце каждого
квартала, если банк станет начислять сложные проценты ежемесячно,
однако намерение исчерпать счет полностью за четыре года остается?

Для ответа на вопрос приравняем приведенные стоимости р-сроч-
ных аннуитетов постнумерандо: исходного с параметрами pt — 2,
А, = 8, и, — 4 и нового с параметрами р2 — 4, п2 — 4 и неизвест-
ным членом А2. Причем в первом случае в формуле (4.22) т = 4,
а во втором т = 12 при одинаковой номинальной ставке г = 24% .
Получим уравнение эквивалентности:

g ЯИ4(6%,16) _А FA/4(2%, 48)

FM 3(6%, 2) 2 FM3(2%,3) ’

откуда А, — 3,916 тыс. руб. Заметим, что при ежеквартальном на-
числении сложных процентов в конце каждого квартала можно было
бы снимать со счета меньшую сумму 3,883 тыс. руб.
В заключение рассмотрим еще задачу консолидации аннуитетов,
т. е. замену нескольких аннуитетов на один. Не выписывая формулы,
в соответствии с принципом финансовой эквивалентности можно
сформулировать следующее правило: определяется сумма приведен-
ных стоимостей консолидированных аннуитетов, а затем подбирает-
ся с необходимыми параметрами аннуитет, приведенная стоимость
которого равна полученной сумме.

Пример

Предприятие получило в банке кредит на пять лет в размере 3 млн
руб. под 18% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на
непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в кон-
це каждого года. Через два года в этом же банке предприятие полу-
чило еще один кредит на шесть лет в размере 4 млн руб. под 20% го-
довых. Этот долг нужно было возвращать равными суммами в конце
каждого полугодия, причем на непогашенный остаток было предус-
мотрено ежеквартальное начисление сложных процентов Через три
года банк и предприятие договорились объединить оба долга в один
на следующих условиях: консолидированный долг погашается в те-
чение семи лет равными суммами в конце каждого квартала, причем
на непогашенный остаток будут начисляться ежеквартально сложные
проценты по номинальной процентной ставке 24% годовых. Какова
будет величина каждого погасающего платежа?

Такого рода изменение условий погашения кредитов называют
конверсией займа. Определим вначале непогашенные части каждого
долга, суммируя которые получим объединенный долг.

Пусть — величина каждой годовой уплаты при погашении перво-
го кредита. Поскольку последовательность ушиц представляет собой по-
стоянный аннуитет постнумерандо и 3 млн руб. являются его приведен-
ной стоимостью, то из (4.22) при р-т- 1, л = 5 и г = 18% получим

ГМ4(18%,5)

Определяем приведенную на момент конверсии стоимость посто-
янного аннуитета постнумерандо с членом Д и сроком 2 (5—3) года.
Находим непогашенный остаток первого долга:
РУ. = A. ЯИ4(18%,2) = 3. FM4<18/°’2> = 1,501919 млнруб
ЯИ4(18%,5)

Аналогично, если А2 — величина каждой полугодовой уплаты
при погашении второго кредита, то из (4.22) при РУ"„ = 4 млн руб.,
р — 2, т = 4, л = 6 и г = 20% получим

FM3(5%,2)

FM4(5%, 24) ’

и следовательно, остаток долга на момент конверсии составит:

л НИ 4(5%, 20) . НИ 4(5%, 20) .

Pl' = А------------—- = 4----------—- = 3.612598 млн руб.

FM3(5%, 2) /Л/4(5%, 24)

Таким образом, можно определить величину непогашенных дол-
гов на момент конверсии:

РУ -Р1\+ РУг = 1,501919 + 3,612598 = 5,114517 млн руб.

Искомую величину находим, подставляя в (4.22) РУ", = РУ ,
р = т = 4,п = 7 и г = 24% :

РУ

А =-----------= 0,381504

FM 4(6%, 28)

млн руб.

4.11. Непрерывный денежный поток

При изучении денежных потоков в главе 4, как правило, предпо-
лагалось, что денежные поступления сконцентрированы на одной из
границ временного периода. Таким образом, например, считалось,
что ожидаемый в течение i-го временного периода доход С, по-
ступал одномоментно в конце этого периода Если же денежные по-
ступления на самом деле происходят более часто в разные моменты
периода, а величина Ct является их суммой, то формулы, в частно-
сти, оценки аннуитета (4.1) и (4.3) оказываются в таком случае при-
ближенными. Иногда получающимися при таком применении фор-
мул погрешностями можно пренебречь, например, при небольшой
процентной ставке за период. Однако в ряде ситуаций погрешности
становятся значимо большими.

Другой способ оценки частых денежных поступлений — оценка их
как непрерывного денежного потока. Случай, когда денежные посту-
пления происходят с постоянной интенсивностью, рассматривался в
разд. 4.7. Обсудим более общую ситуацию.

Рассмотрим интервал времени [0,и] и обозначим через C(t) де-
нежное поступление, происходящее в момент времени t из интервала
[О,л]. Тогда за время Д/ прирост денежных поступлений составит
величину С(1 + Д/) — C(t) , а средняя скорость изменения величины
с(1+д>)-с(0
денежных поступлении за время Дг будет равна--------------

Д/

Эту величину назовем также средней интенсивностью денежных по-
ступлений (денежного потока) на промежутке Д/. Мгновенную ин-
тенсивность потока в момент времени t можно определить как пре-
дел средней интенсивности, когда продолжительность интервала At
стремится к нулю:

С(/+до-С(п

С (f) = lim — -------—. (4.88)

Д?

Величину С (/) будем также называть просто интенсивностью
денежного потока в момент времени t ia некоторую базовую еди-
ницу времени. Если Л/ измеряется, например, в годах, то в каче-
стве базовой единицы времени выступает один год. Понятно, что с
помощью формулы (4.88) мы фактически определили производную
функции C(t)

Пусть интенсивность C'(t') денежного потока известна. Разо-
бьем точками t0 <tt <...<tN (tu =0,tN = ri) весь период [0,w] де-
нежных поступлений на большое число N интервалов. Обозначим
Д/ —ti — i = 1,2,..., TV Пренебрегая разновременностью денеж-
ных поступлений в течение короткого промежутка времени Д/ , мож-
но считать, что сумма денежных поступлений на этом интервале при-
близительноравна C\tl . Если используется сложная процентная
ставка г, то приближенное значение приведенной стоимости (на на-
чальный момент t = 0) денежного потока составит величину:

PV = £ С'(г )Д/.(1 + г) ' . (4.89)

Чем меньше каждый из интервалов Л/ , тем получим более точное
значение приведенной стоимости. Как известно, (4.89) представляет
собой интегральную сумму и поэтому, переходя соответствующим
образом к пределу, можно написать:

PV = f С + ') ' <* - (4.90)

Аналогично сумму 5 всех денежн ых поступлений на отрезке вре-
мени ] можно определить, вычисляя интеграл

5р’(/)Л

Если вместо процентной ставки г применяется сила роста 8, ю,
полагая в (4.90) г = — 1, получим представление (4.90) в равносиль-
ном виде:

PV = jc'(t)e~s'dt. (4.91)

Как уже упоминалось в разд. 3.6, непрерывное представление де-
нежных потоков и использование непрерывной ставки дос1аючно
естественно и эффективно при решении некоторых задач практики.

Нетрудно убедиться, что будущая стоимость непрерывного денеж-
ного потока при применении ставок г и 8 соответственно равна:

FV = |С'(0(1 + > <4-92>
Fl = jc'(lle‘“ "Л (4.93)

Функцию С (?), характеризующую денежный поток в каждый
момент времени t. иногда называют профилем дохода (II. Воронцов-
ский. с. 1671. Если интенсивность денежного потока постоянна, т.е.
C'(t) — А , то согласно формуле (4.90)

PV = f 1(1 + г) dt =--------((1 + /) "' -

i -ln(l + r)

-(1 + >') °) = ———FM4(r,n).

In(l + r)

Таким образом, формула (4.52) является частным случаем форму-
лы (4.90). То же самое можно сказать о формулах (4.51) и (4.92) и им
подобных, поскольку постоянный непрерывный аннуитет является
частным случаем непрерывного денежного потока.

На практике при оценке фактически непрерывно (очень часто)
происходящих денежных поступлений их аппроксимируют некото-
рыми, как правило, непрерывными функциями. В качестве профи-
ля доходов нередко удается использовать линейные и показательные
(экспоненциальные) функции.

Если доходы с течением времени имеют одинаковое абсолютное
изменение (прирост или уменьшение), то профиль доходов представ-
ляется линейной функцией

C'(t) = C'0 + at. (4.94)

Если же доходы имеют постоянное относительное изменение, то
профиль дохода рекомендуется записывать в виде

<"(/) С’р" (4.95)

В формулах (4.94) и (4.95) С' — С'(0), т. е. величина С' равна ин-
тенсивности денежного потока (доходов) в начальный момент време-
ни / = О - Коэффициенты а и q характеризуют соответственно абсо-
лютное и относительное изменение доходов. Подставляя C'(t) вида
(4.94) и (4.95) в формулы (4.90) — (4.93), нетрудно получить (в основном
путем интегрирования по частям) общие формулы для определения
приведенной и будущей стоимости непрерывного аннуитета.

Пример

Расчеты показывают, что в результате инвестиционных затрат бу-
дет обеспечен в течение шести лет непрерывный поток доходов, ли-
нейно возрастающий по времени и ежегодно увеличивающийся на
60 млн руб. Оценить возможную величину инвестиций в условиях
применения сложной процентной ставки 20*$ годовых.

Чтобы определиться в размере инвестиционных затрат, можно
найти приведенную стоимость потока доходов. Поскольку интенсив-
ность потока выражаеюя линейной функцией, то C'(t) — 60? млн
руб. в год, t G [0,6]. Поэтому по формуле (4.90):

РУ = j*60?(l + 0,2) ' dt млнруб.
t

Полагая и — t и dv = 1,2 ', методом интегрирования по частям в
определенном интеграле находим, что

60 _6

РУ =—------[1-1,2 (1 + 6 In 1,2)1 = 539,236 млнруб.

In" 1,2

Таким образом, если инвестиционные затраты составляют вели-
чину, меньшую 539,236 млн руб., то участие в проекте возможно.

Очевидно, зная РУ, можно, не используя (4.92), определить буду-
щую стоимость протока доходов:

РУ = 539,236 • 1,26 = 1610,15 млн руб.

Формулами (4.90) — (4.95) можно пользоваться и в случае, когда
интенсивность денежного потока выражается кусочно-непрерывной
функцией с разрывами первого рода. В частности, если интенсив-
ность потока в 1ечение каждого I -ю юда постоянна и равна 1,, ю
по формуле (4.90):

РУ = У Г Л.(1 + > ) ' dt =-- У A FM2{r,i)

ind+r)-^

Пример

Проанализировать предложение о вложении средств в некоторый
пятилетнии инвестиционный финансовый проект, в котором доход
будет поступать практически ежедневно, составляя в сумме по годам
150,180,200,300 и 400 тыс. руб. Эффективная процентная ставка про-
гнозируется на это время в размере 25*4> годовых.

Для оценки целесообразности инвестиций в проект определим
приведенную стоимость потока доходов. В соответствии с последней
формулой:

0,25

PV = —-----(150 FM2(25%,1) + 180- FM2(25%,2) +

In 1,25

+200 • ЛИ2(25%. 3) + 300 /4/2(25%. 4)+

+400 • ЯИ2(25%,5)) = 662,757 тыс. руб.

Следовательно, если предлагается вложить менее 662.757 тыс. руб.,
то имеет смысл участвовать в проекте.

В общем случае денежный поток на временном отрезке [0,#?]
может иметь смешанный вид. Например, некоторые аннуитетные
платежи по существу поступают одномоментно (дискретно), а на не-
которых интервалах времени поступления платежей можно считать
непрерывным. Соответственно приведенная стоимость такою сме-
шанного денежного потока определяется комбинацией формул (4.3)
и (4.90), или (4.30) и (4.91) и т. д.
Глава 5
Некоторые приложения
финансовых вычислений

5.1. Погашение долгосрочной задолженности

В этом и последующих разделах данной главы будут приведены
примеры некоторых приложений методов финансовых вычислений.
Сказанное не означает, что только сейчас начнется применение тех
методов, которые излагались в предыдущих главах. Фактически при-
меры применения финансовых вычислений к практическим задачам
встречаю 1ся в книге повсюду. Чтобы в этом убедиться, достаточно за-
глянуть в любой ее раздел. В этой главе мы просто несколько расш ирим
область приложений финансово-аналитических расчетов и начнем с
рассмотрения ситуаций, связанных с долгосрочной задолженностью,
а именно — с ее по1ашением. Естественно, условия и схемы погашения
долга весьма разнообразны. В этом разделе будут представлены лишь
некоторые из них, правда, являющиеся наиболее распространенными

В общем случае погашение долга с начисленными на него про-
центами осуществляется в виде ряда платежей (называемых срочны-
ми), каждый из которых состоит из двух частей. Часть платежа идет
на погашение основного долга, а часть — на погашение начисленных
процентов. Срочные платежи представляют собой расходы по об-
служиванию долга. Погашение долга в рассрочку, посредством ряда
платежей часто называют амортизацией долга. Некоторые способы
выплаты долга периодическими платежами уже были рассмотрены
в разделах, посвященных потребительскому кредиту и методу депо-
зитной книжки (это разд. 2.3 и 4.5). Заметим, что, строго говоря, та
или иная формула наращения (например, (2.1), (3.1) и т. д.) также пред-
ставляет собой метод погашения долга. Этот метод заключается в по-
гашении долга только одним (равным наращенной сумме) платежом
по окончании срока предоставления займа.

Основной долг может погашаться одним платежом в конце срока,
а периодически выплачиваются только проценты. Пусть заем величи-
ной 5 выдан на срок п лет под сложную процентную ставку i. При
указанном способе погашения долга каждый год, кроме последнего,
выплачиваются начисленные за год проценты Si. В конце и -го, по-
следнего года выплата будет состоять из суммы начисленных за год
процентов и основного долга S’i+S’. Например, если 100 тыс. руб.
взяты на пять лет под 186?? годовых, то. согласно изложенному способу
погашения долга, в течение четырех лет выплач и ваются ежегодно про-
центы 100 - 0,18 = 18 тыс. руб., а в конце пятого года платеж составит
18+ 100= 118 тыс. руб.

При способе погашения основного долга одним платежом в кон-
це срока заемщиком часто создается так называемый погасительный
фонд. Этот фонд можно образовать, например, путем взносов на счет
в банке. Сумма взносов вместе с начисленными на них процентами в
конце срока предоставления займа, естественно, должна быть равна
величине основного долга. Создание погасительного фонда позволя-
ет гарантирован но обеспечить возврат займа.

Итак, пусть за заем У ежегодно выплачиваются проценты Si. Од-
новременно с выплатами процентов ежегодно делается взнос величи-
ной А в погасительный фонд. На взносы начисляются сложные про-
центы по ставке г. Возникает задача определения суммарных ежегод-
ных затрат должника, т. е. нахождение величины срочной уплаты R .
Очевидно, R = Si + А Величина А — член постоянного аннуи-
тета постнумерандо сроком п, причем будущая стоимость аннуи-
тета равна S'. Таким образом, пола]ан в формуле (4.7) FV"^ = S ,

получим А =---------. В итоге:

FM3(r,n)

R=Si +------------ (5-1)

FM3(r,n)

Если проценты Si не выплачиваются, а присоединяются к основ-
ному долгу, то:

R= S(l+Q" _SFM1M (52)

FM3(r,n) FM3(r,n)

Безусловно, создание погасительного фонда особенно выгодно
должнику, когда г > i.
Пример

Предприниматель получил на пять лет ссуду в размере 40U тыс.
руб., причем ежегодно он должен выплачивать кредитору проценты
по ставке 20%. Одновременно с получением ссуды предприниматель
(для ее погашения) создает страховой фонд, в который в конце каж-
дого года будет делать одинаковые взносы, чтобы к моменту возврата
долга накопить400тыс. руб. Определите суммарные ежегодные затра-
ты предпринимателя, если на деньги, находящиеся в фонде, начисля-
ются сложные проценты по ставке 24% годовых.

Обозначим через А ежегодный взнос в страховой фонд, через R -
ежегодные суммарные затраты предпринимателя. Так как упла-
чиваемые за долг проценты составляют 400-0,2 = 80 тыс. руб.,
то К = 80 +Л. Величину А можно найти из формулы (4.7), полагая

= 400 тыс. руб., п— 5. г= 24%:

400

FM 3(24%, 5)

------= 49,699 тыс. руб.

8,0484

Таким образом. R = 80 + 49.699 = 129.699 тыс. руб.

Если проценты не выплачивать, то по формуле (5.2):

FM 1(20%, 5)

R = 400----------

0/3(24%, 5)

2,4883

=400--------= 123,667

8,0484

тыс. руб.

Конечно, формирование погасительного фонда может происхо-
дить различным образом и в каждом случае нетрудно получить со-
отношения. аналогичные формулам (5.1), (5.2). Например, если фонд
создается только в последние к лет. а проценты уплачиваются еже-
годно, то первые к — к лет срочная уплата равна Si , а последние к

лет R = Si ч---------. В частности, если в рассмотренном при-

ШЗ(гД)

мере фонд создается в последние три года, то первые два года срочные
уплаты будут по 80 тыс. руб., а в последующие годы:

400 400

R = 80 +------------= 80 +------= 185,887 тыс. руб.

FM 3(24%, 3) 3,7776
В разд 2.3 изложен метод погашения основного долга равными
суммами, а процентные платежи рассчитываются на оставшуюся
часть долга. Недостатком этого метода является тот факт, что расходы
по обслуживанию долга (срочные платежи) в начале срока погаше-
ния выше, чем в конце срока. Такое обстоятельство не всегда может
устроить должника. Поэтому на практике нередко используют метод
погашения долга одинаковыми срочными платежами, образующими
постоянный аннуитет (метод депозитной книжки). Как показано в
разд. 4.5, с течением времени в каждом срочном платеже доля погаша-
емой части долга увеличивается и соответственно уменьшается доля,
идущая на выплату процентов.

Идею метода депозитной книжки можно использовать при пога-
шении долга и в том случае, когда выплаты осуществляются в течение
года несколько раз или. наоборот, раз в несколько лет.

Пример

Получена ссуда I млн 300 тыс. руб. на 15 лет под годовых, на-
числяемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток.
Возвращать нужно равными суммами в конце каждого трехлетнего
периода. Требуется определить величину каждого платежа и соста-
вить план погашения долга.

Обозначим через А величину искомого каждого платежа. Поток
этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, период
которого (три года) превышает базовый период начисления процен-
тов. Полагая PV“KI = 1300 000 руб., г = 6% , п = 15 , и = 3 , для на-
хождения величины А воспользуемся формулой (4.71). из которой
следует:

PF" 0/3(6%,3) 1300000-3,1836

А =-----------------=----------------= 426 132 руб.

9,7122

Теперь поясним составление плана погашения долга. Поскольку
в течение первых трех лет заемщик пользовался кредитом в размере
1 300 000 руб., то платеж, который равен 426 132 руб. и будет сделан в
конце третьего года, состоит из сложных процентов затри года в сумме
248 321 руб. (1 300 000 -1(1 + 0,06)! 1] руб.) и погашаемой части долга в
сумме 426 132—248 321 = 177 811 руб. В следующем трехлетии заемщик
пользуется кредитом величиной 1 300 000—177 811 = 1 122 189 руб. Та-
ким образом, сложные проценты за три года будут равны 214 356 руб
(1 122 189 - [(1 + 0,06)J — 1] руб.), а погашаемая часть долга будет равна
426 132—214 356 = 211 776 руб. и т. д. Ясно, что с течением времени сум-
ма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет пога-
шения долга возрастает. План погашения долга можно представить в
следующем виде (табл. 5.1).

Таблица 5.1

План погашения долга

(руб.)

,О1 £ S * 8. 5 Ос 1аток долга на начало трехлетия Величина платежа В том числе Остаток долга на конец трехлетия
процен- три года погашен- ная часть долга
1 1 300 000 426 132 248 321 177 811 1 122 189
2 1 122 189 426 132 214 356 211 776 910413
3 910413 426 132 173 903 252229 658 184
4 658 184 426 132 125 724 300408 357776
5 357 776 426 132 68 356 357 776 0

Данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина про-
центов в последней строке найдена балансовым методом, т. е. вначале
записываем погашенную часть долга 357 776 руб., а затем определя-
ем величину процентов за три гола 426 132—357 776 = 68 356 руб. Ес-
ли же непосредственно найти сложные проценты за три года от суммы
357 776 руб. исходя из процентной ставки (Pt, то получим 68 341 руб.
Суммируя величины в пятом столбце, в который заносились дан-
ные о ежегодной погашенной части долга, получим размер кредита:
1 ЗОООООруб.

При обсуждении условий по|ашения до.иа могут быть уже изна-
чально установлены величины годовых (ежеквартальных, ежемесяч-
ных и т. п.) платежей. В этом случае возникает задача определения
срока погашения долга, которая сводится к определению срока соот-
ветствующего аннуитета. И поскольку в результате получаются, как
правило, нецелые числа, то при их округлении исходные условия кон-
тракта должны быть скорректированы.
Притер

Предприниматель получил ссуду в сумме 400 тыс. руб. под 8% го-
довых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный
остаток. В соответствии с финансовым соглашением предпринима-
тель будет возвращать долг равными суммами по 150 тыс. руб. в конце
каждого года. Составить план погашения долга.

Так как поток годовых платежей представляет собой аннуитет
постнумерандо, то срок п погашения долга можно определить, пре-
образовав формулу (4.16):

PV’

1п(1 + г)

Таким образом при РИ"(=400 тыс. руб., /1 — 150 тыс. руб.,
г = 0,08 , находим:

. 400

1п(1---0.08)

п =---------------= 3,118 года.

1п(1 + 0,08)

Получили нецелое количество лет. Поэтому первые три года ве-
личина годового платежа будет 150 тыс. руб., а в последнем (четвер-
том) году величина платежа будет меньше: она будет равна сумме
остатка долга на начало четвертого года и начисленных на этот оста-
ток процентов. В результате получаем такой план погашения долга
(см. табл. 5.2).

Величина платежа в четвертом году (18 279 руб.) получена следую-
щим образом. Поскольку остаток долга на начало пятого года равен
16 925 руб., то начисленные на него проценты равны 1354 руб. (8% от
16 925 руб.) и поэтому платеж составит 16 925 + 1354 = 18 279 руб.

Если бы в финансовом соглашении был указан срок, на который
выдана ссуда, а именно 4 года, то ежегодные равные срочные выплаты
были бы меньше 150 тыс. руб.:

400000 400000

----------------------120 769 руб.
FM 4(8%, 4) 3,3121
Таблица 5.2

План погашения долга

(руб.)

Год Остаток долгана начало года Величина годового платежа В том числе Остаток долга
проценты погашенная часть долга на конец года
1 400000 150000 32 000 118 000 282000
2 282000 150 000 22 560 127440 154560
3 154560 150000 12 365 137 635 16925
4 16 925 18 279 1354 16925 0

В некоторых ситуациях долгосрочные кредиты выдаются на льгот-
ных для заемщика условиях. В частности, кредит может предостав-
ляться по ставке меньшей, чем обычно используемая ставка на рынке
кредитов. В таком случае заемщик по существу получает субсидию.
Эта субсидия называется абсолютным грант-элементом и определя-
ется в виде разности номинальной величины кредита и современной
стоимостью платежей, погашающих заем.

Пусть кредит, равный сумме S . выдан на срок и под сложную
процентную ставку I. причем обычно подобные по сроку и величи-
не кредиты выдаются под ставку г и r>i. Кредит погашается еже-
годными одинаковыми срочными платежами, каждый из которых
равен А . Поток погасительных платежей является постоянным ан-

S
нуитетом постнумерандо и $ = А FM4(г, л) , откуда А =---.

FM 4(i,n)

Приведен ная (современная) стоимость всех погасительных платежей
по обычной ставке г составит A- FM4(r,ri) . В результате получаем
формулу нахождения величины И абсолютного грант-элемента:

FM4(r,n)

W =S-A- FM 4(г, и) = 5(1----7). (5.3)

FM4(i,n)
FAf4(r,«)

Множитель 1—----------- называется относительным грант-

FM 4(цл)

элементом. Он показывает долю, которую абсолютный грант-элемент
составляет от номинальной величины кредита.

Пример

На восемь лет выдается кредит в сумме 500 тыс. долл, под 10% го-
довых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный
остаток. Долг будет погашаться одинаковыми суммами в конце каж-
дого года. Обычная рыночная ставка для такого кредита равна 16%.
Определить относительный и абсолютный грант-элементы.

Полагая п = 8, г = 16%, i = 10% , находим величину относитель-
ного грант-элемента:

FM4(16%,8) 4,3436

1-----------— = 1 — ------= 0,1858

FM4(10%,8) 5,3349

Следовательно, абсолютный грант-элемент составляет 18,58% суммы
кредита. Так как 5 = 500 тыс. долл., то по формуле (5.3) находим:

W =500-0,1858 = 92,9 тыс. долл.

Таким образом, условные потери кредитора равны 92,9 тыс. долл.

Естественно, возможны различные варианты предоставления
льготных кредитов Например, в течение некоторого периода (его
называют льготным) могут выплачиваться только проценты, а затем
долг начинает погашаться равными срочными уплатами. Или в льгот-
ном периоде проценты начисляются, но не выплачиваются и т. д.

Если при взятом кредите 5 в течение к лет выплачиваются
только проценты, то современная (приведенная к началу перво-
го года) стоимость процентных платежей составит Si-FMA(r,k).
Приведенная стоимость срочных уплат в оставшиеся ( п — к ) лет рав-
на A FM4(r,n — k) Но поскольку эта оценка осуществлена с пози-
ции конца к -го года, то полученную приведенную стоимость необхо-
димо дисконтировать к началу первого года, т. е. получаем величину
A-FMA(r,n —k)-FM2(r,k). В итоге современная стоимость плате-
жей, погашающих заем, составит
Si FM4(r, к) +A-FM4(r,n-k)- FM 2(r, A) -

А так как в данном случае А =--------, то формула опреде-

FM4(i,n-k)

ления абсолютного грант-элемента принимает следующий вид:

FM 4(г,п — к)

W = S[1 - а FM4(r. к)+--—------- FM2(r. А))] (5.4)

FM4(i,n-k)

Очевидно, при к = 0 формула (5.4) совпадает с (5.3).

Пусть в соответствии с контрактом в рассмотренном примере
льготный период составляет первые три года, т. е. к = 3 .тогда по фор-
муле (5.4):

W = 500 [1 - (0.1 • FM 4(1 6%. 3)+

АЛ/4(16%, 5)

+---------— FM2(16%,3))] = 111,003 тыс, долл.

АМ4(10%,5)

Видно, что условные потери кредитора при наличии льготного пе-
риода возрастают.

Типичным примером долгосрочного финансирования являет-
ся ипотека (mortgage) — ссуда под залог недвижимого имущества
Для многих предприятий этот залог нередко — практически един-
ственный способ получить долгосрочную ссуду в банке. Привлека-
тельность ипотечных ссуд заключается в длительном сроке их по-
гашения (10—30 лет) и разнообразных способах погашения, учиты-
вающих интересы как кредитора (залогодержателя), таки заемщика
(залогодателя)

Стандартная ипотечная ссуда погашается равными ежемесячными
выплатами (постнумерандо или пренумерандо), на которые ежемесяч-
но начисляются сложные проценты. При любом способе погашения
типичной является задача определения величины остатка задолжен-
ности на любой момент времени, когда происходит погашение ссуды.

Если стандартная ссуда S выдана на срок л под номинальную го-
довую процентную ставку г с ежемесячным начислением процентов,
то величина А погасительного ежемесячного платежа постнумеран-
до определяется из соотношения (4.22) при т — р — 12.
S

А=--------------. (5.5)

FM 4( — ,12л)

Как показано при изложении метода депозитной книжки (разд.

4.5.), остаток долга на начло А - го месяца можно найти по формуле:

D=SFM\{— ,к l)-AFM3(—,k 1) (56)

12 12 ’

Пользуясь рекуррентными соотношениями (4.42) - (4.44), не-
трудно выразить и иным образом, в частности через погашенную
часть долга /7, в первом платеже:

Df = S-H,FM3(—,7-1). (5.7)

Пример

Ссуда 20 млн руб. выдана под залог недвижимости на 15 лет. По-
гашение осуществляется ежемесячными платежами (постнумерандо).
На непогашенный остаток начисляются ежемесячно сложные про-
центы по процентной ставке 12% годовых. Определить ежемесячные
расходы заемщика.

Так как S = 20000 тыс. долл., г = 12%, п = 15 , то по формуле
(5.5) величина каждого погасительного платежа равна:

20000

FM 4(1 %, 180)

20000

(1-1,0Г,80)/0,01

-240,033 тыс. долл.

За первый месяц проценты начисляются в размере 200(1 - 0,01 = 200
тыс. долл., и поэтому погашенная часть ссуды равна 240,033 — 200 —
= 40,033 тыс. долл. На начало второю месяца долг cociaBHT 20 000 —
40,033 = 19 959,967 тыс. долл. Продолжая расчеты, в итоге получим
план погашения ссуды.

Найдем, в частности, остаток долга после восьми и десяти лет вы-
плат, т. е. остаток долга на начало 97-го и 121-го месяца. Воспользуем-
ся формулой (5.7). Так как Н, = 40,033 тыс. долл., то:
1,оГ-1

£>„_ = 200(10 - 40,033----------- 13597,63 тыс. долл.;

0,01

-1

£).„ = 20000 - 40,033 • -----= 10790,86 тыс. долл.

0,01

5.2. Амортизационные отчисления

Амортизация представляет собой (а) постепенное снижение ценно-
сти амортизируемого актива вследствие его изнашивания; (6) процесс
перенесения единовременных расходов, связанных с приобретением
долгосрочного актива, на затраты отчетных периодов в течение рассчи-
танного срока полезной службы этого актива. Суммы, периодически пе-
реносимые на затраты, называются амортизационными отчислениями

В практической деятельности устанавливают нормативные сроки
службы и единые нормы амортизации. Они корректируются с учетом
фактических условий работы, естественных условий, влияния агрес-
сивной среды. С помощью выбора способа расчета амортизационных
отчислений можно управлять размером прибыли по голам, а следо-
вательно, и размером налогов на прибыль. Приведем возможные раз-
личные схемы амортизационных отчислений.

Согласно схеме равномерной (линейной) амортизации сумма годо-
вых амортизационных отчислений определяется делением перво-
начальной стоимости, уменьшенной на величину предполагаемой
ликвидационной стоимости, на экономически обоснованную про-
должительность (в годах) периода эксплуатации данного актива. Те-
оретически при расчете амортизационных отчислений можно пола-
гать ликвидационную стоимость отличной от нуля.

Пример

Предприятие приобрело грузовой автомобиль за 820 тыс. руб. Срок
службы автомобиля — 6 лет, после чего предприятие намеревается ре-
ализовать его по остаточной стоимости 100 тыс. руб. Составить табли-
цу уменьшения стоимости грузового автомобиля по годам при равно-
мерной амортизации.
Обозначим через Р первоначальную стоимость автомобиля, Рп
остаточную стоимость автомобиля через п лет и Р = Р~ Рг . По-
лагая /' = 820 тыс. руб., л =6, Pit = Р(> = 100 тыс. руб., получим
Р = 820 —100 = 720 тыс. руб. При осуществлении схемы равномер-
ной амортизации стоимость уменьшается ежегодно на одну и ту же
Р 720

величину — =------= 120 тыс. руб., и искомая таблица примет вид

я 6

(табл. 5.3):

Таблица 5.3

Схема равномерной амортизации

(тыс. руб.)

Год службы Амортизационные отчисления за год Стоимость на конец года
0 0 820
1 120 700
2 120 580
3 120 460
4 120 340
5 120 220
6 120 100

Легко видеть, что остаточные стоимости, представленные в та-
блице, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 820
и разностью —120.

Расчет ежегодных амортизационных отчислений в случае равно-
мерной амортизации соответствует простому начислению процентов
по постоянной годовой процентной ставке с величины Р В приме-

ре 31 а сщвка равна —=0,1667 =16,67% • Таким образом, каждый год
6

стоимость грузового автомобиля уменьшается на 16,67% от 720 тыс. руб.

Равномерная схема амортизации в большей степени отражает
динамику физического износа актива и в меньшей степени — его
моральное устаревание. Однако и последний фактор существен-
ным образом определяет цену актива на рынке. Поэтому во многих
ситуациях, например, стимулируя замену стареющего оборудова-
ния (а также в условиях высокой инфляции) целесообразно при-
менять ускоренную схему амортизации. В России метод ускоренной
амортизации разрешен к использованию уже в течение нескольких
лет и заключается в увеличении линейной нормы амортизацион-
ных отчислений. По сути, в этом случае лишь сокращается срок
списания. Например, линейная норма равна 10%, т. е. актив будет
списан в течение 10 лет; при увеличении нормы в два раза сохра-
нится принцип равномерной амортизации, но период списания со-
кратится до пяти лет.

Положение по бухгалтерскому учету «Учет основных средств»
ПБУ 6/01 предусматривает возможность качественно иного под-
хода: во-первых, бухгалтеру предоставлен выбор, по какой схеме
списывать амортизируемое имущество, и, во-вторых, разрешены
к применению специальные методы ускоренной амортизации, ис-
пользуемые во многих экономически развитых странах. В основе
этих методов лежит идея перераспределения суммы амортизацион-
ных отчислений по годам таким образом, чтобы было обеспечено
списание на издержки производства (обращения) около 2/3 стои-
мости основных средств в первую половину нормативного срока
службы. Положением рекомендованы два таких метода: метод спи-
сания стоимости по сумме числа лет срока полезного использования
и метод уменьшаемого остатка. Правда, в положении лишь упоми-
нается об этих методах, но не приводятся алгоритмы расчета, что,
в принципе, естественно для документа, имеющего методологи-
ческий характер. Рассмотрим логику заложенных в этих методах
счетных процедур.

Первый из упомянутых методов по существу предполагает такой
способ расчета уменьшения стоимости актива, который использует
дроби, получающиеся в результате применения «правила 78». Для по-
яснения сути этого метода обозначим через S сумму числа лет сро-

С1.О, . 1+п

ка полезного использования актива, т. е. л — i + z + ... + и —-п .

Тогда в конце первого года стоимость имущества уменьшается на
п Zi l

ю часть величины Р ; в конце второго года — на ю часть
S-------------------------------------------------S

величины Р; в конце третьего года — на--ю часть величины Р
и т. д. до л-го года, в конце которого стоимость имущества уменыпа-
1

ется на —-ю часть величины Р.

Для условий предыдущего примера составим таблицу умень-
шения стоимости грузового автомобиля по годам при ускоренной
амортизации, когда используется метод списания стоимости по сум-
ме числа лет срока полезного использования автомобиля.

1 + 6

Поскольку 1 + 2+... + 6 =---6 = 21, то для составления та-

блицы необходимо величину Р последовательно умножать на
6 5 4 1

21 ’ 21 ’ 21 21*

720----= 205,714 тыс. руб.,

720-----=171,429 тыс. руб.,

720------- 137,143 тыс. руб.

и т. д. Поэтому стоимость автомобиля, например, на конец перво-
го года составит: 820—205,714 = 614,286 тыс. руб.; на конец второго
года — 614,286—171.429 = 442,857 тыс. руб. Продолжая вычисления
аналогичным образом, получим табл. 5.4.

Очевидно, амортизационные отчисления, представленные в та-
блице, образуют арифметическую прогрессию с первым членом
6 1

720----= 205.714 и разностью —720----= -34,286. Относительно

21 21

значений остаточных стоимостей такого вывода, конечно, сделать
нельзя

Определение значений амортизационных отчислений при уско-
ренной амортизации по методу списания стоимости по сумме чис-
ла лет срока полезного использования аналогично начислению
Таблица 5.4

Схема ускоренной амортизации по сумме чисел
лет полезного использования

(тыс. руб.)

Год службы Амортизацией н ые отчисления за год Стоимость на конец года
0 0 820
1 205.714 614.286
2 171.429 442.857
3 137.143 305,714
4 102.857 202.857
5 68,571 134.286
6 34,286 100

простых процентов с величины Р по переменной (убывающей)
процентной ставке. В данном случае эта ставка в первый год рав-
6

на — = 0.2857 = 28.57%. а затем каждый год уменьшается на
21

— = 4,76%

Теперь рассмотрим расчет амортизационных отчислений методом
уменьшаемого остатка'. В соответствии с ним стоимость актива сни-
жается к концу каждого года на одно и то же число процентов d от его
стоимости на начало года. Обозначим через Р первоначальную стои-
мость актива, Рп — остаточную стоимость актива через п лет и полу-
чим формулу для определения стоимости актива на конец А-го года.

В конце первого года первоначальная стоимость актива Р бу-
дет уменьшена на величину Pd и станет равна Р— Pd= Р{\ — d).
В конце второго года стоимость Р( 1 — d) будет уменьшена на величи-
ну /fl — d)d и станет равна Р(\-d) —PQ.-d)d = Р(\—d)1 Про-
должая аналогичным образом рассуждения, найдем, что в конце А-го
года стоимость актива будет равна /fl — d) (т. е. расчет остаточной

1 В литературе этот метод встречается и под следующими названиями* метод фик-
сированного проиента или метод геометрической дегрессии [II, Вебер, с. 31| Мыв данном
случае руководствуемся нормативным документом ПБУ 6/01.
стоимости осуществляется фактически по формуле (3.24), отражаю-
щей учет суммы Р за к лет по сложной учетной ставке t/)_

Например, если бы грузовой автомобиль стоимостью 820 тыс. руб.
списывался методом уменьшаемого остатка по ставке 25%, то его оста-
точная стоимость через 6 лет составляла бы:

/> = 820 (1 — 0,25)6 = 145,942 тыс. руб.

Когда известна остаточная стоимость Рп актива в конце л-го го-
да, то из равенства Рп — Р(1 — d)" можно определить фиксированный

Гр"

процент d снижения стоимости актива d — 1 — (очевидно, эта

формула неслучайно напоминает формулу (3.35) определения эффек-
тивной годовой учетной ставки).

Пример

Фирма приобрела оборудование за 950 тыс. руб. Срок службы обо-
рудования — 10 лет, после чего фирма намеревается реализовать из-
ношенное оборудование за 100 тыс. руб. Используя способ фиксиро-
ванного процента, составить таблицу уменьшения стоимости обору-
дования по годам.

В данном случае срок службы оборудования составляет п = 1U лет,
Р =950 тыс. руб., P =Piu= 100 тыс. руб., поэтому.

d = I - J— = 0,2016 = 20,16% .
у 950

Далее последовательно находим амортизационные отчисления за
год и стоимость оборудования на конец этого года:

а) в конце первого года:

Pd =950 0,2016 = 191,52 тыс. руб.,

Р - Pd = 950 191,52 = 758,48 тыс. руб.;

б) в конце второго года:

P(l—d)d = 758,48-0,2016 = 152,910 тыс.руб..
=758,48-152,910 = 605,57 тыс. руб.

Продолжая аналогичным образом, получим табл. 5.5.

Таблица 5.5

Расчет амортизации методом уменьшаемого остатка
(тыс. руб.)

Год службы Амортизацией н ые отчисления за год Стоимость на конец года
0-й 0 950
1-й 191,52 758.48
2-й 152,91 605,57
3-й 122.083 483,487
4-й 97.471 386,016
5-й 77,821 308,195
6-й 62,132 246.063
7-й 49,606 196,457
8-й 39,606 156.851
9-й 31.621 125,23
10-й 25,246 99.984

Небольшое отличие остаточной стоимости от 100 тыс. руб. (полу-
чили 99.984 тыс. руб.) связано с погрешностью приближенных вычис-
лений.

Важно подчеркнуть, что при использовании подобных меюдов
ускоренной амортизации выигрыш заключается в том, что в первые
годы эксплуатации и списания актива сумма годовых амортизацион-
н ых отчислени й относительно завышена, что приводит к уменьшению
прибыли и, соо|ве|С|венно, налша на прибыль. Однако в последние
годы списания актива картина меняется на прямо противоположную—
величина годовых амортизационных отчислений уже становится
меньшей, чем могла бы быть при равномерной амортизации, т. е. воз-
растает прибыль, увеличивается на налог Таким образом, в итоге
коммерческая организация уплатит ту же самую сумму налога, но она
будет перераспределена во времени, т. е. в первые годы коммерческая
организация как бы получает бесплатный кредит от государства. Что-
бы получить выгоду от ускоренной амортизации, коммерческая орга-
низация должна стояком воспользоваться полученным кредитом; ча-
ще всего его используют для интенсификации процесса обновления
основных средств. Легко видеть, что однозначной оценки того, какой
метод более целесообразен к применению, дать нельзя: при составле-
нии отчетности для предоставления ее акционерам выгоднее исполь-
зовать метод равномерной амортизации, поскольку выше прибыль,
при составлении отчетности для налоговых органов — выгоднее уско-
ренная амортизация. Неслучайно нередки случаи, когда в компаниях
одновременно используется несколько методов списания. Существу-
ет еще и замедленная амортизация, при которой большая часть амор-
тизационных отчислений приходится на конец периода эксплуатации
актива. Суммы амортизационных отчислений в разные годы могут
зависеть от конкретной ситуации, в которой оказалось предприятие.

Изложенный выше метод уменьшаемого остатка не позволяет сни-
зить стоимость актива до нуля (поскольку Р(1 — d)* > 0 для любого
года с номером к при естественном условии 0 < d < 1). К тому же с те-
чением времени амортизационные отчисления становятся значитель-
но меньше, что увеличивает налогооблагаемую базу. Если предпри-
ятие заинтересовано в постоянно высоких нормах амортизации, то
можно вначале осуществлять амортизационные отчисления метолом
уменьшаемого остатка, а затем перейти к равномерной амортизации.
Такой переход с одного метода на другой имеет смысл сделать в тот
момент, когда равномерная амортизация с фактической балансовой
стоимости актива начинает обеспечивать большие по величине амор-
тизационные отчисления, чем метод уменьшаемого остатка. Причем
на практике начисление амортизации на начальном этапе происходит
методом двойного процента, при котором фиксированный процент
снижения стоимости (в методе уменьшаемого остатка) принимается
равным удвоенному проценту снижения стоимости при равномерной
амортизации.

Пример

Оборудование стоимостью 800 тыс. руб. должно быть списано за
10 лет. Составить таблицу полного списания стоимости оборудова-
ния, обеспечивая постоянно высокие амортизационные отчисления.
Воспользуемся вначале методом двойного процента. Так как
при равномерной амортизации стоимость оборудования каждый
год снижалась бы на 10%, то фиксированный процент будет в два
раза большим, т.е. 20%. Таким образом, по истечении первого го-
да списывается 800 - 0,2 = 160 тыс. руб., по истечении второго года —
(800 — 160) - 0,2 = 128 тыс. руб. Остаточная стоимость на начало тре-
тьего года равна 512 тыс. руб. Если теперь применять равномерную
амортизацию, то каждый год амортизационные отчисления составят
512

—— = 64 тыс. руб. А при методе двойного процента по истечении тре-

тьего года амортизационные отчисления будут равны 102,4 тыс. руб.,
т. е. больше, чем 64 тыс. руб. Поэтому амортизация осуществляется
методом двойного процента.

Продолжая расчеты, убеждаемся, что за шестой год амортизаци-
онные отчисления по методу двойного процента (262,144 - 0,2 = 52,429
262,144

тыс. руб.) и по методу равномерной амортизации (-----= 52,429

тыс. руб.) совпадают, и остаточная стоимость равна 262,144—52,429 =
= 209,715 тыс. руб. Далее за седьмой год по этим двум методам соответ-
209,715

ственно получаем 209.715 - 0.2 = 41.943 тыс. руб. и -= 52.429

тыс. руб. То есть начиная с седьмого года целесообразно исполь-
зовагь схему равномерной амортизации. Представим все расчеты в
виде табл. 5.6.

Заметим, что за десятый год амортизационные отчисления можно
записать балансовым способом, т. е. равными 52,428 тыс. руб., чтобы
стоимость на конец этого года была равна 0, а не отрицательной вели-
чине (—1 руб.), как получается из-за погрешности приближенных вы-
числений. Кстати, поскольку остаточная стоимость на начало шестого
года составит 262,144 тыс. руб., то к середине полезного срока службы
оборудования методом двойного процента будет списано фактически
67% его стоимости (при равномерной схеме списали бы 50%).

Поскольку детальные рекомендации по применению специальных
методов ускоренной амортизации в нашей стране еще не разработаны,
расе мотрим чуть подробнее схему амортизац ионных отчислений, осно-
ванную на системе ускоренного возмещения затрат на приобретение и
использование основных средств в США и называемую MACRS (Modi-
Таблица 5.6

Амортизация с использованием метода двойного процента

(тыс. руб.)

Год службы Амортизационные отчисления за год Стой мость на конец года
0 0 800
] 160 640
2 128 512
3 102.4 409,6
4 81,92 327.68
5 65.536 262,144
6 52.429 209,715
7 52.429 157,286
8 52.429 104.857
9 52.429 52,428
10 52.429 »0 (-0,001)

fied Accelerated Cost Recovery System). Эта система была введена в США в
1981 г., а в 1986 г. она была существенно модернизирована. Основные
положения MACRS таковы. Все основные средства разбиты на восемь
классов, различающихся продолжительностью срока списания и нор-
мами амортизационных отчислений. Выделены следующие классы по
сроку списания: 3 года, 5,7,10,15,20 лет, 27,5,31,5 года. В первые классы
входят различные типы машин и оборудования, в последние — лифты,
эскалаторы, здания, сооружения. В двух последних классах применя-
ется линейная амортизация. Ликвидационная стоимость актива не
отрицается, но принимался равной нулю. Действует условное прави-
ло «актив приобретается точно в середине года», т. е. активы, приоб-
ретенные в январе и декабре одного и того же года, будут списываться
одинаково, причем считается, что в первый год актив эксплуатировал-
ся лишь шесть месяцев. В связи с этим период списания увеличен на
единицу по сравнению с продолжительностью периода класса. Нормы
амортизации табулированы в процентах к первоначальной стоимости
объекта. При расчете норм начиная с некоторого момента переходят
на равномерную амортизацию — для того чтобы избежать появления
несписанного остатка (аналога ликвидационной стоимости); переход
осуществляется тогда, когда норма равномерной амортизации оказы-
вается больше, чем норма ускоренной амортизации*. Важно отметить,
что, во-первых, период списания и периоды эксплуатации объекта —
не одно и то же. и во-вторых, в системе приведены лишь рекоменда-
ции по отнесению объекта в тот или иной класс; собственно отнесение
делается компанией самостоятельно. Начисление амортизационных
отчислений выполняется однократно по истечении года (это условие,
естественно, не обязательное).

Пример

Актив стоимостью 800 тыс. руб. отнесен в класс с десятилетним
сроком списания. Составить таблицу амортизационных отчислений
по системе MACRS.

Мы намеренно взяли стоимость актива из предыдущего примера,
чтобы увидеть различие в способах ускоренной амортизации. Расчет-
ная табл. 5.7 примет следующий вид:

Амортизация по системе MACRS

Таблица 5.7

Год службы Табулированная норма ускоренной амортизации, % Амортизационные отчисления за год, тыс. руб. Стоимость на конец года, тыс руб.
0-й 0 800
1-й 10 80 720
2-й 18 144 576
3-й 14,40 115,2 460,8
4-й И,52 92,16 368,64
5-й 9,22 73,76 294,88
6-й 7,37 58,96 235,92
7-й 6.55 52,4 183,52
8-й 6.55 52,4 131,12
9-й 6.55 52,4 78,72
10-й 6.55 52,4 26,32
Ц-й 3.29 26,32 0
100 800

1 Принципы формирования норм амортизации по системе MACRS можно найти в

|11, Бригхем, Гапенски, т I, с 245-249]; таблица норм MACRSприведена в |П, Ковалев,
2001, с 508|
В заключение заметим, что методы ускоренной амортизации ис-
пользуются в той или иной модификации во многих странах. Так, в
Великобритании машины и оборудование амортизируются по мето-
ду 25%-ного снижения остаточной стоимости. Метод уменьшаемого
остатка разрешен к применению в Германии, Японии, Нидерландах
и ряде других стран. Опыт экономически развитых стран показыва-
ет, что эти методы обладают очевидными достоинствами.

5.3. Анализ доступности ресурсов к потреблению
в условиях рынка

Одна из типовых задач, решаемых на практике с помощью методов
дисконтирования. — прогнозный анализ фондов, доступных к потре-
блению, в условиях, когда аналитик (физическое или юридическое
лицо) оценивает свои возможные доходы, а также целесообразность
проведения операций на рынке ссудных капиталов, подразумевающих
предоставление или. наоборот, получение кредитов. Общая постанов-
ка базовой задачи такова.

Анализ проводится в условиях свободного равновесного рынка, пред-
полагающего существование возможности размещения временно свобод-
ных средств путем предоставление кредита или депонирования средств в
банке, а также получения финансовых ресурсов в требуемых объемах; для
простоты предполагается, чти ставки процента при получении кредита
и при размещении временно свободных средств одинаковы. Исходными
данными для анализа являются прогнозные оценки: а) планируемых
к получению доходов в разрезе анализируемых периодов (чаще всего —
лет); б) процентные ставки по кредитам, коюрые в требуемом объеме
могут быть предоставлены или получены. Требуется проанализировать
альтернативы поведения в отношении объема ресурсов, доступных к
потреблению. Рассмотрим постановку базовой задачи на примере.

Пример

Предположим, что инвестор планирует получить доход в текущем
году в размере 12 тыс. руб., в следующем году — 15 тыс. руб. Прогно-
зируемая ставка процента по ссудам в течение этого периода — 15%.
Какова же возможная политика инвестора в отношении потребления
полученного дохода? Возможны несколько вариантов действия.
а) Инвестор потребляет доход в том периоде, в котором он был ге-
нерирован, т. е. общая сумма потребленных средств равна 27 тыс. руб.
Это самая простая политика, не требующая какого-то дополнитель-
ного анализа.

б) Инвестор отказывается от потребления (использования) средств
в течение первого года или. по крайней мере, максимально сокращает
это потребление, предпочитая разместить эти средства на год в банке
с тем, чтобы, получив в дальнейшем депонированную сумму и соот-
ветствующий процент, увеличить сумму средств, доступных к по-
треблению во втором году. Таким образом, если инвестор полностью
отказывается от потребления в первом году, он сможет разместить в
банке 12 тыс. руб., а через год получить 12 -1,15 = 13,8 тыс. руб. Общая
сумма средств, доступных к потреблению за два года, составит в этом
случае 28,8 тыс. руб. Это — политика экономного инвестора, предпо-
читающего сначала пожить в стесненных, а затем — в более комфорт-
ных условиях.

в) Инвестор может пойти диаметрально противоположным путем,
максимально увеличив потребление первого года за счет сокращения
потребления второго года. Реализовать этот подход можно путем по-
лучения в первом году ссуды в банке с условием возврата ее вместе
с начисленными процентами в следующем году, при этом инвестор
исходит из условия, что максимальная сумма средств, которой он бу-
дет располагать во втором году и которую можно использовать для
расчетов с банком по полученной ссуде, равна 15 тыс. руб. Очевидно,
что максимально возможная ссуда для инвестора равна 13,04 тыс. руб.
(15: 1,15 «= 13,04). Эту сумму кредита, а также начисленные проценты в
размере 1,96 тыс. руб. инвестор сможет погасить за счет планируемого
к получению во втором году дохода в размере 15 тыс. руб. Это полити-
ка инвестора, предпочитающего получить удовольствие от жизни как
можно быстрее, хотя бы и с некоторыми затратами.

Рассмотренные варианты можно представить графически (рис. 5.1).
Линия АВ, пересекающая оси в iочках (0, 28,8) и (25,04; 0). как раз и
описывает возможные варианты поведения. Из приведенного графи-
ка видно, что, варьируя суммой получаемого или предоставляемого
кредита, инвестор может выбрать различные стратегии поведения,
каждой из которых соответствует некоторая точка на графике.

Допустим, что инвестор решил несколько урезать свои потребно-
сти первого года, снизив их на 2 тыс. руб. от максимально возможного.
В этом случае: потребление первого года составит 10 тыс. руб.; потре-
бление второго года составит 17,3 тыс. руб. (15 + 2 -1,15 = 17,3). Общая
сумма потребления равна 27,3 тыс. руб. Этому варианту соответствует
точка М на линии АВ с координатами (10; 17,3).

Допустим, что инвестору по некоторым причинам понадоби-
лось увеличить на 2 тыс. руб. максимально возможное потребление
первого года. В этом случае понадобится банковская ссуда, по кото-
рой придется рассчитаться из доходов второго года. Итак, потребле-
ние первого года равно 14 тыс. руб.; потребление второго года равно
12,7 тыс. руб. (15 — 2 -1.15 — 12.7). Общая сумма потребления составит
26,7 тыс. руб. Этому варианту также соответствует некоторая точка
L на линии АВ.

Точка О на графике центральная и соответствует варианту (а),
когда в пределах каждого периода суммы потребления и дохода со-
впадают. Отклонение от точки О означает появление операций по
получению или предоставлению кредита: движение по прямой от О
в сторону А означает предоставление кредита; движение от О в сторо-
ну В означает получение кредита.

Нетрудно видеть, что представленная зависимость описывается
формулой:

у= МС- (1 + г) • л.

Рис. 5.1. Графики линии доступности ресурсов к потреблению
где: у — сумма к потреблению во втором году;

х — сумма к потреблению в первом году;

МС — максимально доступная к потреблению во втором го-
ду сумма;

г — процентная ставка (в десятичных дробях).

Очевидно,

МС= Рх(1 + г)+ Р2,

где РХ,Р2 — доходы инвестора соответственно в первом и втором го-
дах.

Ясно, что с ростом г угол наклона меняется, при этом наибольшая
сумма средств, доступных к потреблению, растет, а политика в отноше-
нии потребления может изменяться в сторону максимально возможного
откладывания момента потребления — при достижении некоторого зна-
чения процентной ставки инвестор, предпочитавший ранее по возмож-
ности ускорять потребление, может диаметрально изменить свою поли-
тику. Так, при ставке процента, равной 25% объему потребления первого
года в размере 10 тыс. руб. соответствует точка N на новом графике CD,
показывающая, что при выборе такой политики объем средств, доступ-
ных к потреблению, во втором году увеличится с 17,3 до 17,5 тыс. руб.

Линия возможностей потребления зависит и от других факторов.
В частности, появление новых инвестиционных возможностей может
существенно изменить положение прямой.

Допустим, что в условиях предыдущей ситуации с планируемыми
годовыми доходами в 12 и 15 тыс. руб. появилась возможность при-
нять участие в краткосрочном инвестиционном проекте. Для этого
необходимо в конце текущего года вложить 10 тыс. руб., при этом га-
рантированный доход через год составит 30%. Рассмотрим возможные
варианты действия в этом случае.

Поскольку проект несомненно выгоден, речь идет о том, как рас-
пределить по годам доступные к потреблению ресурсы. Если инве-
стор хочет максимизировать общую сумму средств к потреблению, он
полностью откажется от потребления в текущем году, инвестировав
получаемый им доход, т. е. его оптимальная политика будет такова:
участие в проекте (10 тыс. руб.) и депонирование в банке оставшейся
суммы (2 тыс руб.) под 15*% годовых. Максимально доступная к по-
треблению сумма средств за два года составит: 13 тыс. руб. от участия
в инвестиционном проекте (10 - 1,3); 2,3 тыс. руб. от депонирования
средств в банке (2 - 1,15); 15 тыс. руб. — текущий доход второго года;
итого — 30,3 тыс. руб.

Если инвестор хочет максимизировать объем потребления те-
кущего года, то он откажется от потребления в следующем году, а
его оптимальная политика будет такова: 12 тыс. руб. текущий доход
первого года; инвестирование 10 тыс. руб. в предлагаемый проект;
11,3 тыс. руб. — получение ссуды в банке под доход от участия в проек-
те (13:1,15); 13,04 тыс. руб. — получение ссуды под текущий доход сле-
дующего года (15:1,15); итого — 26,34 тыс. руб.

Таким образом, линия возможностей потребления сдвигается впра-
во (линия EF); меняется и угол ее наклона, поскольку рентабельность
инвестиционного проекта отличается от базовой процентной ставки.

Рассмотренная ситуация, когда линия возможностей потребления
представлена в виде прямой, в определенном смысле условна и исполь-
зуется лишь для иллюстрации обшей идеи оптимизации финансовой
политики в условиях рынка ссудных капиталов. В реальной жизни бо-
лее распространена ситуация, когда процентные ставки при получении
и размещении кредитов не совпадают, а именно, ставка при получении
кредита будет несколько выше ставки при размещении временно сво-
бодных средств путем предоставления их в долг. В этом случае прямая
возможностей потребления при движении по ней отточки Е начнет ис-
кривляться и трансформируется в выпуклую вверх кривую.

Существуют и другие факторы, влияющие на вид линии возмож-
ностей потребления: налоги, текущие расходы по реализации того или
иного инвестиционного проекта, цена новой информации о возмож-
ных проектах и тенденциях на рынке капиталов, неравное положение
различных кредиторов и инвесторов, неодинаковая доступность фи-
нансовых ресурсов для различных категорий инвесторов и др.

5.4. Принятие решений
по инвестиционным проектам

Инвестирование представляет собой один из наиболее важных
аспектов деятельности любой динамично развивающейся коммерче-
ской организации, руководство которой отдает приоритет рентабель-
ности с позиции долгосрочной, а не краткосрочной перспективы.
В принципе все коммерческие организации в той или инои степе-
ни связаны с инвестиционной деятельностью. Принятие такого ро-
да решений осложняется различными факторами: вид инвестиции;
стоимость инвестиционного проекта; множественность доступных
проектов; ограниченность финансовых ресурсов, доступных для
инвестирования; риск, связанный с принятием того или иного ре-
шения и т. П-

Нередко решения должны приниматься в условиях, когда имеется
ряд альтернативных или взаимно независимых проектов, т. е. возни-
кает необходимость сделать выбор одного или нескольких проектов,
основываясь на каких-то формализованных критериях. Очевидно,
что таких критериев может быть несколько, а вероятность того, что
какой-то один проект будет предпочтительнее других по всем крите-
риям, как правило, значительно меньше единицы. В этом случае при-
ходится отдавать приоритет какому-то одному критерию, устанавли-
вать их иерархию или использовать дополнительные неформализо-
ванные методы оценки.

В условиях рыночной экономики возможностей для инвестирова-
ния довольно много. Вместе с тем любая коммерческая организация
имеет ограниченную величину свободных финансовых ресурсов, до-
ступных для инвестирования. Поэтому всегда актуальна задача опти-
мизации инвестиционного портфеля.

Принятие решений инвестиционного характера, как и любой дру-
гой вид управленческой деятельности, основывается на использова-
нии различных формализованных и неформализованных методов и
критериев. Степень их сочетания определяется разными обсюятель-
ствами, в том числе и тем из них, насколько менеджер знаком с имею-
щимся аппаратом, применимым в том или ином конкретном случае
В отечественной и зарубежной практике известен целый ряд форма-
лизованных методов, расчеты с помощью которых могут служить ос-
новой для принятия решений в области инвестиционной политики.
Какого-то универсального метода, пригодного для всех случаев жиз-
ни, не существует. Вероятно, управление все же в большей степени яв-
ляется искусством, чем наукой. Тем не менее, имея некоторые оценки,
полученные формализованными методами, пусть даже в известной
степени условные, легче принимать окончательные решения.
В основе процесса принятия управленческих решений инвестици-
онного характера лежит оценка и сравнение объема предполагаемых
инвестиций и будущих денежных поступлений. Общая логика анал и-
за с использованием формализованных критериев в принципе доста-
точно очевидна — необходимо некоторым образом сравнить величи-
ну требуемых инвестиций с прогнозируемыми доходами. Поскольку
сравниваемые показатели относятся к различным моментам времени,
ключевой проблемой здесь является проблема их сопоставимости.
Относиться к ней можно по-разному в зависимости от существующих
объективных и субъективных условий: темпа инфляции, размера ин-
вестиций и генерируемых поступлений, горизонта прогнозирования,
уровня квалификации аналитика и т. д.

Что касается оценки притока денежных средств по годам, то ос-
новная проблема возникает в отношении последних лет реализации
проекта, поскольку чем дальше горизонт планирования, т.е. чем бо-
лее протяжен во времени проект, тем более неопределенными и ри-
скованными рассматриваются притоки денежных средств отдален-
ных лет. Поэтому могут выполняться несколько расчетов, в которых
в отношении значений поступлений последних лет реализации про-
екта могут вводится понижающие коэффициенты либо эти поступле-
ния ввиду существенной неопределенности могут вообще исключать-
ся из анализа.

Весьма наглядным инструментом в анализе инвестиционных про-
ектов является графическое представление соответствующего денеж-
ного потока (см. рис. 5.2).

Стрелка, направленная вверх, характеризует приток денежных
средств; стрелка, направленная вниз, - их отток. С формальной

IC IC

Рис. 5.2. Графическое представление типового
инвестиционного проекта
точки зрения любой инвестиционный проект зависит от ряда пара-
метров, которые в процессе анализа подлежат оценке и нередко за-
даются в виде дискретного распределения, что позволяет проводить
этот анализ в режиме имитационного моделирования. В наиболее
общем виде инвестиционный проект Р представляет собой следу-
ющую модель:

Р = {/С,С„и,г}, (5.8)

где: ZC — инвестиция в i -м году, i = 1,2 /и (чаше всего счита-

ется, что т = 1);

Ск — приток (отток) денежных средств в к -м году,
Л = 1,2,...,и;

п — продолжительность проекта:
г — ставка дисконтирования.

Инвестиционные проекты, анализируемые в процессе составле-
ния бюджета капиталовложений, имеют определенную логику.

С каждым инвестиционным проектом принято связывать де-
нежный поток, элементы которого представляю] собой либо чистые
оттоки, либо чистые притоки денежных средств; в данном случае под
чистым оттоком денежных средств в к-м году понимается превыше-
ние текущих денежных расходов по проекту над текущими денеж-
ными поступлениями (соответственно, при обратном соотношении
имеет место чистый приток); иногда в анализе используется не денеж-
ный поток, а последовательность прогнозных значений чистой годо-
вой прибыли, генерируемой проектом.

Чаше всего анализ ведется по годам, хотя это ограничение не яв-
ляется безусловным или обязательным; иными словами, анализ мож-
но проводить по равным базовым периодам любой продолжительно-
сти (месяц, квартал, год. пятилетка и др.), необходимо лишь помнить
об увязке величин элементов денежного потока, процентной ставки и
длины этого периода.

Предполагается что весь объем инвестиций совершается в конце
года, предшествующего первому году генерируемого проектом прито-
ка денежных средств, хотя в принципе инвестиции могут делаться в
течение ряда последовательных лет.
Приток (отток) денежных средств имеет место в конце очеред-
ного года (подобная логика вполне понятна и оправданна, поскольку,
например, именно так считается прибыль — нарастающим итогом на
конец отчетного периода).

Ставка дисконтирования, используемая для оценки проектов с
помощью методов, основанных на дисконтированных оценках, долж-
на соответствовать длине периода, заложенного в основу инвестици-
онного проекта (например, годовая ставка берется только в том слу-
чае, если длина периода — год).

Необходимо особо подчеркнуть, что при менен ие методов оцен кии
анализа проектов предполагает множественность используемых про-
гнозных оценок и расчетов. Эта множественность определяется как
возможностью применения ряда критериев, так и безусловной целе-
сообразностью варьирования основными параметрами.

Критерии, используемые в анализе инвестиционной деятельности,
можно подразделить на две группы в зависимости от того, учитывает-
ся или нет временной параметр: а) основанные на дисконтированных
оценках: б) основанные на учетных опенках. К первой группе отно-
сятся критерии: чистая приведенная стоимость (Net Present Value, NPV);
чистая терминальная стоимость (Net Terminal Value, NTV)\ индекс рен-
табельности инвестиции (Profitability Index, PI); внутренняя норма при-
были (Internal Rafe of Return. I RR); дисконтированный срок окупаемости
инвестиции (Discounted Payback Period, DPP). Ко второй группе относят-
ся критерии: срок окупаемости инвестиции (Payback Period, РР)\ коэф-
фициент эффективности инвестиции (Accounting Rafe of Return, ARR).

Рассмотрим ключевые идеи, лежащие в основе методов оценки ин-
вестиционных проектов, использующих данные критерии.

• Метод расчета чистой приведенной стоимости основан на сопо-
ставлении величины исходной инвестиции (IC ) с общей суммой дис-
контированных чистых денежных поступлений, генерируемых ею в
течение прогнозируемого срока. Поскольку приток денежных средств
распределен во времени, он дисконтируется с помощью ставки г,
устанавливаемой аналитиком (инвестором) самостоятельно исходя
из ежегодного процента возврата, который он хочет или может иметь
на инвестируемый им капитал. Например, при анализе инвестиций в
производственные предприятия в качестве ставок дисконтирования
используются среднеотраслевые показатели доходности предприятий

аналогичного класса.
Пусть делается прогноз, что инвестиция (IC ) будет генерировать
в течение п лет годовые доходы в размере . Обшая на-

копленная величина дисконтированных доходов {Present Value, PV) и
чистая приведенная стоимость соответственно рассчитываются по
формулам:

С,
РГ = У-----к— , (5,9)

7Г(1+0*

Л С,
ЛТГ = У------- IC . (5.10)

ft (1 + 0

Очевидно, что если- NPV >0, то проект следует принять;
NPV < 0, то проект следует отвергнуть; NPV = О, то проект ни
прибыльный, ни убыточный.

Следует особо прокомментировать ситуацию, когда NPV — 0.
В этом случае действительно благосостояние владельцев компании
не меняется, однако инвестиционные проекты нередко принима-
ются управленческим персоналом самостоятельно, при этом менед-
жеры могут руководствоваться и своими предпочтениями. Проект с
NPV — 0 имеет все же дополнительный аргумент в свою пользу — в
случае реализации проекта объемы производства возрастут, т. е. ком-
пания увеличится в масштабах. Поскольку нередко увеличение раз-
меров компании рассматривается как положительная тенденция (на-
пример, с позиции менеджеров аргументация такова: в крупной ком-
пании более престижно работать, кроме того, и жалование нередко
выше), проект все же принимается.

Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последова-
тельное инвестирование финансовых ресурсов в течение /плет, то
формула для расчета NP V модифицируется следующим образом:

ЛУГ =У С' t -У 1С‘ . . (5-11)

7Г (1+г)* £(1+О'

При расчете NPV, как правило, используется постоянная ставка
дисконтирования, однако при некоторых обстоятельствах, например,
ожидается изменение уровня учетных ставок, могут использоваться
индивидуализированные по годам значения ставки. Если входе ими-
тационных расчетов приходится применять различные ставки дис-
контирования, то, во-первых, формулы (5.10), (5.11) не применимы и,
во-вторых, проект, приемлемый при постоянной дисконтной ставке,
может стать неприемлемым.

Пример

Требуется проанализировать проект со следующими характери-
стиками (млн руб.): - 140, 30, 60, 60, 40. Рассмотреть два случая: а)
ставка дисконтирования 12%; б) ставка дисконтирования меняется по
годам следующим образом: 12, 14, 14,15%.

а) Воспользуемся формулой (5.10):

30 60 60 40

NPV =-------г------ +--+-----—140 = 2,745 млн руб.,

1,12 1,12 1,12’ 1,12*

т. е. проект приемлем.

б) Так как ставка дисконтирования меняется по годам, то здесь
NPV следующим образом:

30 60 60

NPV =------+---------+---------+

1,12 1.12-1.14 1.12-1.14’

-------------------140 = -1,104 млн руб.
1,12-1,14'-1,15

В этом случае проект неприемлем

Показатель АР I7 отражает прогнозную оценку изменения эконо-
мического потенциала коммерческой организации в случае принятия
рассматриваемого проекта, причем оценка делается на момент окон-
чания проекта, но с позиции текущего момента времени, т.е. начала
проекта. Этот показатель аддитивен в пространственно-временном
аспекте, т.е. NPV различных проектов можно суммировать. Это
очень важное свойство, выделяющее этот критерий из всех остальных
и позволяющее использовать его в качестве основного при анализе
оптимальности инвестиционного портфеля.

• Критерий NPV основан на приведении денежного потока к
началу действия проекта, т. е. в его основу заложена операция дис-
контирования. Очевидно, что можно воспользоваться и обратной,
но родственной операцией — наращением. В этом случае элементы
денежного потока будут приводиться к моменту окончания проекта;
соответствующий критерий получил название чистой терминальной
стоимости, NTV.

Очевидно, что формула расчета NTV имеет вид:

npv = +О”’* - У /с,0+ГУ'~‘ <5-12)

»=1 1-0

Условия принятия проекта на основе критерия NTV такие же,
как и в случае с NPV . Если: NTV > 0, то проект следует принять;
NTV < 0 , то проект следует отвергнуть; NTV = 0, то проект ни
прибыльный, ни убыточный.

Легко заметить из алгоритмов расчета, что критерии NTV и
NPV взаимообратны:

NTV = NPV FMl(r.n) или NPV = NTV FM2(r,n). 15.13)

Иными словами, эти критерии дублируют друг друга, т.е. отбор
проекта по одному из них дает в точности такой же результат при ис-
пользовании другого критерия.

В условиях предыдущего примера (при г = 12%) по формулам
(5.12) и (5.13) имеем:

W7V =30-1,12’ 1-60-1,122 + 60 1,12 + 40-140-1,124 =4,319 млнруб.,

NTV = NPV -FM 1(12%,4) = 2,745 -1,5735 = 4,319 млн руб-

• Метод расчета индекса рентабельности (PI) инвестиции являет-
ся по сути следствием метода расчета NPV :

PI = * 0 + 0 (5 J4)

Очевидно, что если: PI > 1, то проект следует принять; PI < 1.
то проект следует отвергнуть; Pl = 1, то проект ни прибыльный, ни
убыточный.
В отличие от чистой приведенной стоимости, индекс рентабель-
ности является относительным показателем: он характеризует уро-
вень доходов на единицу затрат, т. е. эффективность вложении — чем
больше значение этого показателя, тем выше отдача каждого рубля,
инвестированного в данный проект. Благодаря этому критерий PI
очень удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных,
имеющих примерно одинаковые значения NPV (в частности, если
два проекта имеют одинаковые значения NPV, но разные объемы
требуемых инвестиций, то очевидно, что выгоднее тот из них, ко-
торый обеспечивает большую эффективность вложений), либо при
комплектовании портфеля инвестиции с целью максимизации сум-
марного значения NPV

Величина NPV зависит от ставки дисконтирования, т. е. NPV
является функцией г. Эта функция NPV(r) обладает рядом
примечательных свойств. В частности, в случае разовой инвестиции и
при Г = 0 в соответствии с (5.10): NPI ' =fc.-ic.

Таким образом, NPV(G) равна сумме всех элементов исходно-
го денежного потока Иными словами, график функция NPV(r\
пересекает ось ординат в точке, равной сумме всех элементов неди-
сконтированного денежного потока, включая величину исходных
инвестиций.

• Из формулы (5.10) видно, что для проекта, денежный поток ко-
торого с позиции логики инвестирования и с определенной долей ус-
ловности можно назвать классическим в том смысле, что отток (ин-
вестиция) сменяется притоками, в сумме превосходящими этот от-
ток, соответствующая функция NPVfr) является убывающей, т.е.
с ростом г график функции стремится коси абсцисс и пересекает ее в
некоторой точке (см. рис. 5.3). Значение ставки г. при котором

NPV(r) = 0. (5.15)

называется внутренней нормой прибыли IRR (синонимы: внутренняя
доходность, внутренняя окупаемость). Другими словами, при начис-
лении сложных процентов на величину инвестиции /Спо ставке
IRR можно обеспечить распределенный по времени поток доходов
Рис. 5.3. Графическое представление классического
инвестиционного проекта

Ввиду нелинейности функции NPI (г), а также возможных в
принципе различных комбинаций знаков элементов денежного по-
тока график функции может иметь несколько точек пересечения с
осью абсцисс. Однако если денежный поток имеет ровно одну переме-
ну знака, то график функции NPV(/') пересекается с осью абсцисс
только в одной точке, т. е. уравнение (5.15) имеет единственный по-
ложительный корень.

Смысл расчета внутренней нормы прибыли при анализе эффек-
тивности планируемых инвестиций, как правило, заключается в сле-
дующем: IRR показывает ожидаемую доходность проекта, и. следова-
тельно, максимально допустимый относительный уровень расходов,
которые могут быть ассоциированы с данным проектом. Например,
если проект полностью финансируется за счет ссуды коммерческого
банка, то значение IRR показывает верхнюю границу допустимого
уровня банковской процентной ставки, превышение которого делает
проект убыточным.

Независимо оттого, с чем сравнивается IRR, очевидно одно: проект
принимается, если его IRR больше некоторой пороговой величины:
поэтому при прочих равных условиях, как правило, большее значение
IRR считается предпочтительным. Практическое применение данно-

го метода осложнено, если в распоряжении аналитика нетспециализи-
рованного финансового калькулятора или компьютера с программой,
позволяющей решать нелинейные уравнения. В этом случае применя-
ется метод последовательных итераций (линеинои интерполяции).

Пример

Рассчитать значение показателя IRR для проекта, рассчитанно-
го на четыре года, требующего инвестиций в размере 20 млн руб. и
имеющего предполагаемые денежные поступления в размере 5, 7, 10,
6 млн руб.

Внутренняя норма прибыли данного проекта является корнем
уравнения:

5 7

(1 + Н3

+--------20 = 0

(1 + /-)4

Решая его, находим г = 0,1417 . Таким образом, IRR = 14,17% -
Если требуемая норма доходности выше значения 16,23*%, то проект
следует отвергнуть.

Определение IRR обобщает данное в разд. 3.3. определение эф-
фективной процентной ставки по формуле (3.19). Действительно,
пусть инвестиция IC генерирует через п лет один доход в размере Са
(в частности, кредит в размере IC предоставлен с условием возврата
долга всумме С ), тогда уравнение (5.15) примет вид — ZC = 0 .

(1 + 0"

( /с¥

откуда г = I — I -1, что совпадает с формулой (3.19)

• Метод определения срока окупаемости (РР ) инвестиций, явля-
ющийся одним из самых простых и широко распространенных в ми-
ровой учетно-аналитической практике, не предполагает временной
упорядоченности денежных поступлений. Алгоритм расчета срока
окупаемости зависит от равномерности распределения прогнозируе-
мых доходов от инвестиции. Если доход распределен по годам равно-
мерно, то срок окупаемости рассчитывается делением единовремен-
ных затрат на величину годового дохода, обусловленного ими. Напри-
мер, если инвестиции равны 300 тыс. руб., а ежегодный доход 80 тыс

300

руб., то срок окупаемости составит: РР =---= 3,75 года.

Если прибыль распределена неравномерно, то срок окупаемости
(целое число) определяется прямым подсчетом числа лет. в течение
которых инвестиция будет погашена кумулятивным доходом. Общая
формула расчета показателя РР имеет вид:

РР = пип и , При котором С, >1С. (5.16)

Пример

Рассчитать срок окупаемости инвестиции для проекта с денеж-
ным потоком (млн руб.): — 100, 20,60,50, 30, 10.

Если учитывать целое число лет, то РР = 3, поскольку
20 + 60 + 50>100.

Если учитывать дробную часть года, то рассуждать можно следую-
щим образом. К концу второго года окупится 80тыс. руб. и оставшиеся
20

20тыс. руб. окупятся за часть третьего года, которая равна — = 0,4 го-
50

да. Поэтому РР = 2,4 года.

• Некоторые специалисты при расчете срока окупаемости инве-
стиций все же рекомендуют учитывать временной аспект. В этом
случае в расчет принимаются дисконтированные денежные потоки,
а соответствующая формула для расчета показателя, называемого
дисконтированным сроком окупаемости инвестиции, имеет вид:

DPP = min п , при котором V —— > /с (5.17)

ГГ(1+г)'

Очевидно, что в случае дисконтирования срок окупаемости уве-
личивается. т. е. всегда DPP > РР Иными словами, проект, приемле-
мый по критерию РР может оказаться неприемлемым по критерию
DPP В оценке инвестиционных проектов критерии РР и DPP
могут использоваться двояко: а) проект принимается, если оку пае-
мосты имеет место; б) проект принимается только в том случае, если
срок окупаемости не превышает установленного в компании некото-
рого лимита.

Пример

Компания рассматривает целесообразность принятия проекта с
денежным потоком (млн руб.): 150,40,50, 50,60, 30. Как правило, про-
екты со сроком окупаемости, превышающим 4 года, не принимаются.
Сделать анализ с помощью критериев обыкновенного и дисконтиро-
ванного сроков окупаемости при ставке дисконтирования 16%.

Расчеты представим в виде табл. 5.8.

Из приведенных в табл 5.8 расчетов видно, что РР = 4 года (при
точном расчете РР ~ 3,167 года), a DPP = 5 лет (при точном расчете
DPP~ 4.923 года). Таким образом, если решение принимается на ос-
нове обыкновенного срока окупаемости, то проект приемлем, если
используется критерий дисконтированного срока окупаемости, то
проект, скорее всего, будет отвергнут.

Существует ряд ситуаций, при которых применение метода, осно-
ванного на расчете срока окупаемости затрат, является целесообраз-
ным. В частности, это ситуация, когда руководство коммерческой
организации в большей степени озабочено решением проблемы лик-
видности. а не прибыльности проекта — главное, чтобы инвестиции

Таблица 5.8

Опенка приемлемости проекта по критериям РРп DPP

Год Денежный поток (млн руб.) М ножитель дисконти- рования при Г = 16°ё Дисконтиро- ванный денежный поток (млн руб.) Кумулятивное возме- щение инвестиции для потока (млн руб.):
исходного дисконтиро- ванного
0-й -150 1 -150 -150 -150
1-й 40 0,8621 34,484 -ПО -115,516
2-й 50 0,7432 37,16 -60 -78.356
3-й 50 0,6407 32,035 -10 -46,321
4-й 60 0,5523 33,138 50 -13,183
5-й 30 0.4761 14.283 80 1,1
окупились, и как можно скорее. Метод также хорош в ситуации, ког-
да инвестиции сопряжены с высокой степенью риска, поэтому чем
короче срок окупаемости, тем менее рискованным является проект.
Такая ситуация характерна для отраслей или видов деятельности, ко-
торым присуща большая вероятность достаточно быстрых технологи-
ческих изменений. Таким образом, в отличие от критериев NPV, IRR
и PI, критерий РР позволяет получить оценки, хотя и грубые, о лик-
видности и рисковости проекта. Понятие ликвидности проекта здесь
условно: считается, что из двух проектов более ликвиден тот, у кото-
рого меньше срок окупаемости. Что касается сравнительной оценки
рисковости проектов с помощью критерия РР, то логика рассуждений
такова: денежные поступления удаленных от начала реализации про-
екта лет трудно прогнозируемы, т. е. более рискованны по сравнению
с поступлениями первых лет; поэтому из двух проектов менее риско-
ван тот, у которого меньше срок окупаемости.

• Метод расчета коэффициента эффективности инвестиции (ARR)
имеет две характерные черты: во-первых, он не предполагает дискон-
тирования показателей дохода: во-вторых, доход характеризуется по-
казателем среднегодовой чистой прибыли PN (прибыль за минусом
отчислений в бюджет). Формула расчета исключительно проста, что и
предопределяет широкое использование этого показателя на практике:

ARR---------------, (5.18)

(IC + RV)I2

где RV — величина остаточной или ликвидационной стоимости.

Данный показатель (также называемый учетной нормой прибыли}
чаще Bcei о сравнивается с коэффициентом рентабельности авансиро-
ванного капитала, рассчитываемого делением общей чистой прибыли
коммерческой организации на общую сумму средств, авансирован-
ных в ее деятельность (итог среднего баланса-нетто). В принципе воз-
можно и установление специального порогового значения, с которым
будет сравниваться ARR, или даже их системы, дифференцированной
по видам проектов, степени риска, центрам ответственности и др.

Метод, основанный на коэффициенте эффективности инвести-
ции. также имеет ряд существенных недостатков, обусловленных в
основном тем, что он не учитывает временной компоненты денежных
потоков. В частности, метод не делает различия между проектами с
одинаковой суммой среднегодовой прибыли, но варьирующей сум-
мой прибыли по годам, а также между проектами, имеющими одина-
ковую среднегодовую прибыль, но генерируемую в течение различно-
го количества лет. и т. д.

Приведем пример использования описанных критериев.

Пример

Коммерческая организация рассматривает целесообразность при-
обретения новой технологической линии. Стоимость линии состав-
ляет 10 млн долл.; срок эксплуатации — 5 лет; износ на оборудование
начисляется по методу равномерной амортизации, ликвидационная
стоимость оборудования будет достаточна для покрытия расходов,
связанных с демонтажем линии. Выручка от реализации продукции
прогнозируется по годам в следующих объемах (в тыс. долл.): 6800,
7400, 8200, 8000, 6000. Текущие расходы по годам оцениваются сле-
дующим образом: 3400 тыс. долл, в первый год эксплуатации линии с
последующим ежегодным ростом их на 3%. Ставка налога на прибыль
составляет 30%. Сложившееся финансово-хозяйственное положение
коммерческой организации таково, что коэффициент рентабельности
авансированного капитала составлял 21—22%. В соответствии со сло-
жившейся практикой принятия решений в области инвестиционной
политики руководство организации не считает целесообразным уча-
ствовать в проектах со сроком окупаемости более четырех лет. Целе-
сообразен ли данный проект к реализации, если при анализе исполь-
зуется ставка дисконтирования 19%?

Оценка выполняется в три этапа: 1) расчет исходных показателей
по годам; 2) расчет аналитических коэффициентов, 3) анализ коэф-
фициентов.

Этап I. Расчет исходных показателей по годам (см. табл. 5.9).

Для наглядности значения всех рассчитываемых исходных показа-
телей округлялись до тыс. долл. Поясним расчеты, сделанные для вто-
рого года. Поскольку теку щиерасходы растутежегоднона 3% и в первом
году составляют 3400тыс. долл., то для второго года они составят вели-
чину 3400 - (1 +0.03) = 3502тыс. долл. При использовании равномерной
амортизации ежегодные отчисления равны £2229. — 20(10 ТЬ1С- Д°лл-
5
Таблица 5.9

Годы
1-й 2-й 3-й 4-й 5-й
Объем реализации 6800 7400 8200 8000 6000
Текущие расходы 3400 3502 3607 3715 3827
Амортизация 2000 2000 2000 2000 2000
Налогооблагаемая прибыль 1400 1898 2593 2285 173
Налог на прибыль 420 569 '”’8 686 52
Чистая прибыль 980 1329 1815 1599 121
Чистые денежные поступления 2980 3329 3815 3599 2121

Следовательно, налогооблагаемая прибыль: 7400 — 3502 — 2000 = 1898
и налог на прибыль: 1898 - 0,3 = 569 тыс. долл. Поэтому чистая при-
быль равна 1898 — 569 = 1329 тыс. долл. В итоге чистые денежные по-
ступления за второй год: 2000 + 1329 = 3329 тыс. долл.

Этап 2. Расчет аналитических коэффициентов:

а) расчет чистой приведенной стоимости по формуле (5.10),
г = 19%:

NPV = 2980 • 0,8403 + 3329 • 0.7062 + 3815 • 0,5934 +
+3599 • 0,4987 + 2121 • 0,4190 -

-10000 = -198 тыс. долл.

б) расчет индекса рентабельности инвестиции по формуле (5.14):

в) расчет внутренней нормы прибыли (IRR) данного проекта как
корня уравнения (5.15):

2980 । 3329 t 3815 । 3599 t 2121 10Q0Q_0

I , г ' (I ! ,)’ '(!>,)' +(1 + г)4 +(l + ,)!
В результате решения уравнения находи м JRR = 18,1 % -

г) расчет срока окупаемости проекта по формуле (5.16):

JRR = 18,1% = 3 года, поскольку кумулятивная сумма чистых
денежных поступлений за этот период (10 124 тыс. долл.) превышает
объем капитальных вложений (более точно РР = 2,97 );

д) расчет коэффициента эффективности проекта по формуле (5.18):
среднегодовая чистая прибыль

980 + 1329 + 1815 + 1599 + 121

PN =-------------------------

= 1168,8 тыс. долл.,

и поскольку RV = О, то ARR ------— - 0,234, т. е.

5000

ARR =23,4%.

Этап 3. Анализ коэффициентов.

Выполненные расчеты показывают, что в зависимости от того,
какой критерий эффективности выбран за основу в данной коммер-
ческой организации, могут быть сделаны диаметрально противопо-
ложные выводы. Действительно, согласно критериям NPV, Р1 и IRR
проект нужно отвергнуть; согласно двум другим критериям — при-
нять. В данном случае можно ориентироваться на какой-то один или
несколько критериев, наиболее важных по мнению руководства ком-
мерческой организации, либо принять во внимание дополнительные
объективные и субъективные факторы.

Приведенный выше пример показывает, что даже в отношении
единичного проекта решение о его принятии не всегда очевидно, по-
скольку выбор нужного критерия может при определенных условиях
помочь «обосновать» то или иное решение. Очевидно, что ситуация
резко усложнится, если приходится оценивать несколько проектов,
причем находящихся в различных отношениях взаимозависимости
В примере показано, что противоречия возникли между критериями
различных групп — основанных на дисконтированных и недискон-
тированных оценках, однако даже на интуитивном уровне можно
предположить, что такие расхождения могут возникнуть и внутри
группы однородных критериев.

Действительно, что касается критериев РРи ARR, то они абсолют-
но независимы друг от друга, и поскольку в компании могут уста-
навливаться различные пороговые значения для данных критериев,
возможность возникновения противоречия между данными крите-
риями совершенно не исключена. Например, если бы в предыдущем
примере рентабельность авансированного капитала в последние годы
в компании составляла не менее 25*£, то проект был бы отвергнут и по
критерию ARR.

Взаимосвязи между критериями, основанными на дисконтиро-
ванных оценках, несколько более сложны. В частности, существен-
ную роль играетто обстоятельство, идет ли речь о единичном проекте
или инвестиционном портфеле, в котором могут быть как независи-
мые, таки взаимоисключающие проекты. Единичный проект являет-
ся частным случаем портфеля независимых проектов. В этом случае
критерии NPV, PI и IRR дают одинаковые рекомендации по поводу
принятия или игнорирования проекта. Иными словами, проект, при-
емлемый по одному из этих критериев, будет приемлем и по другим.
Однако независимыми проектами не исчерпывается все многообра-
зие доступ ных вариантов инвестирования средств.

Некоторые аргументы в пользу того или иного критерия приводи-
лись выше. Прежде всего необходимо еще раз подчеркнуть, что ме-
тоды, основанные на дисконтированных оценках, с теоретической
точки зрения являются более обоснованными, поскольку учитывают
временную компоненту денежных потоков. Вместе с тем они относи-
тельно более трудоемки в вычислительном плане.

Таким образом, основной вывод состоит в том, что из всех рас-
смотренных критериев наиболее приемлемы для принятия решений
инвестиционного характера критерии NPV, IRRu Pl. Несмотря на от-
меченную взаимосвязь между этими показателями, при оценке аль-
тернативных инвестиционных проектов проблема выбора критерия
все же остается. Основная причина кроется в том, что NPV — это абсо-
лютный показатель, айи IRR — относительные

Исследования, проведенные крупнейшими специалистами в об-
ласти финансового менеджмента, показали, что в случае противоре-
чия более предпочтительно использование критерия NPV. Основных
аргументов в пользу этого критерия два:

• Л^РЕдает вероятностную оценку прироста стоимости коммер-
ческой организации в случае принятия проекта; критерии в полной
мере отвечает основной цели деятельности управленческого персона-
ла, которой, как отмечалось ранее, является наращивание экономи-
ческого потенциала компании, точнее, рыночной оценки капитала
собственны ков;

• NPVобладает свойством аддитивности, что позволяет склады-
вать значения показателя NPl'no различным проектам и использо-
вать агрегированную величину для оптимизации инвестиционного
портфеля.

Рекомендация о предпочтительности критерия NPV высказыва-
ется в основном учеными, которые, формируя такое мнение, исходят
из основной целевой установки, стоящей перед любой компанией, —
максимизация благосостояния ее владельцев. Тем не менее на прак-
тике данная рекомендация не является доминирующей. Так, согласно
данным Бригхема и Гапенски, менеджеры американских компаний
предпочитают критерий IRR критерию NPVb соотношении 3: 1 [II,
Бригхем. Гапенски. т. I. с. 226]. Высказывается и предположение, объ-
ясняющее эту ситуацию, — решения в области инвестиции легче при-
нимать, основываясь на относительных, не абсолютных оценках.

В Великобритании также было выполнено несколько исследова-
ний на предмет предпочтительности использования фирмами того
или иного критерия. В 1976 г. Б. Карсберг и А. Хоуп опубликовали
результаты обследования 325 фирм, входящих в первую тысячу круп-
нейших британских компаний. Используемые критерии по степени
приоритетности расположились следующим образом: качественные
(неформальные) критерии, 1RR, РР, NPV, ARR'. В 1982 г. Р. Пайк об-
следовал 150 крупнейших британских компаний и получил весьма
схожие результаты. В частности, 63^ респондентов указали на важ-
ность применения качественных критериев, что касается формализо-
ванных критериев, то, согласно Пайку, они ранжируются следующим
образом: РР, IRR, ARR, NPV2.

На практике в большинстве компаний рассчитывается несколько
критериев, при этом их значения используются в качестве лишь од-
ного из формализованных аргументов при принятий решений в от-
ношении инвесшционных проектов.

1 Carsberg В V., Hope A Business Investments Decisions Under Inflation/ —
Institute of Chartered Accountants of England and Wales, 1976.

- Pike R H A Review of Recent Trends in Capital Budgeting Process // Accounting and
Business Research, Summer, 1983.
5.5. Базовая модель оценки
финансовых активов

Любой вид товара имеет множество характеристик: цена, степень
соответствия моде, потребительские качества, наличие потенциаль-
ной способности приносить доход своему владельцу и др. Финансо-
вый актив, являясь в принципе обычным товаром на рынке капитала,
также может быть охарактеризован с различных позиций. Этот товар
имеет меньшее количество характеристик по сравнению с потреби-
тельскими товарами, и мы остановимся подробнее на таких трех ос-
новных характеристиках: цене, стоимости и доходности'. Их суще-
ственность определяется тем, что любой инвестор, принимая реше-
ние, например, о целесообразности приобретения того или иного фи-
нансового актива, пытается оценить экономическую эффективность
планируемой операции. Совершенно очевидно, что он может при
этом ориентироваться либо на абсолюшые, либо на относительные
показатели. В первом случае речь может идти о цене и/или стоимости
актива, во втором — о его доходности.

Логика рассуждений инвестора, например, в первом случае та-
кова. Финансовый актив имеет две взаимосвязанные абсолютные
характеристики: во-первых, объявленную текущую рыночную цену
( РП1), по которой его можно приобрести на рынке, и во-вторых, тео-
ретическую, или внутреннюю, стоимость ( Vt). Разница между этими
характеристиками достаточно очевидна даже на житейском уровне.
Так, для любого коллекционера некоторая вещица, найденная им на
рынке и относящаяся к сфере его интересов, может быть практически
бесценной, тогда как для человека, не интересующегося этим, она не
стоит и ломаного гроша.

Очевидно, что обе абсолютные характеристики не только меняют-
ся в динамике, но с позиции конкретного инвестора нередко могут
не совпадать. Дело в том. что по сравнению с ценой, которая реально
существует и объективна по крайней мере в том смысле, что она объ-
явлена и товар по ней равнодоступен любому участнику рынка, вну-
тренняя стоимость гораздо более неопределенна и субъективна. Под
субъективностью в данном случае понимается то обстоятельство, что

' Необходимо упомянуть и о такой важной характеристике финансового актива,
как риск Однако ее обсуждение в рамках нашего изложения нс представляется воз-
можным.
каждый инвестор имеет свой взгляд на внутреннюю стоимость акти-
ва, полагаясь в ее опенке на результаты собственного, т. е. субъектив-
ного анализа. Возможны три ситуации:

Первое соотношение юворито юн, что, с позиции конкретного
инвестора, данный актив продается в настоящий момент времени
по завышенной цене, поэтому инвестору нет смысла приобретать
его на рынке. Второе соотношение говорит об обратном: цена ак-
тива занижена, есть смысл ею купить. Согласно третьему соотно-
шению текущая цена полностью отражает внутреннюю стоимость
актива, поэтому спекулятивные операции по его скупке/продаже
вряд ли целесообразны. Таким образом, если в каждый момент вре-
мени рыночная цена конкретного актива существует в единствен-
ном числе, то внутренняя его стоимость множественна; в принципе
каждый финансовый актив имеет столько оценок значений этого
показателя, сколько имеется инвесторов на рынке, заинтересован-
ных в данном активе

Каким же образом рассчитывается внутренняя стоимость фи-
нансового актива, имеющего в некоторый момент времени /() те-
кущую цену Рт ? В зависимости от того, что является методологи-
ческим п информационным обеспечением процесса оценивания,
существует три основные теории оценки фундаменталистская,
технократическая и теория «ходьбы наугад». Опуская обсуждение
двух последних теорий, остановимся в соответствии с задачами
курса на первой из них.

Последователи первой теории считают, что любая ценная бу-
мага имеет внутренне присущую ей ценность, которая может быть
количественно оценена как дисконтированная стоимость будущих
поступлений, генерируемых этой бумагой, т.е. нужно двигаться от
будущего к настоящему. Все дело лишь в том, насколько точно уда-
ется предсказать эти поступления, а это можно сделать, анализируя
общую ситуацию на рынке, инвестиционную и дивидендную поли-
тику компании, инвестиционные возможности и т. д. Данный под-
ход к анализу на фондовом рынке известен как «фундаментальный

анализ».
Можно сказать, что фундаменталистская теория является наи-
более распространенной. Согласно этой теории текущая внутренняя
стоимость ( У,) любой ценной бумаги в общем виде может быть рас-
считана по формуле1:

г; = У С| ,, <5.19)

ГО+И*

где: Ск — ожидаемое денежное поступление в к -м периоде

(обычно, год);

г — приемлемая (ожидаемая или требуемая) доходность.

Таким образом, подставляя в эту формулу значения предполага-
емых поступлений, доходности и продолжительности периода про-
гнозирования. можно рассчитать текущую внутреннюю стоимость
любого финансового актива. Именно такой подход чаше всего и ис-
пользуют потенциальные инвесторы.

Как видно из формулы (5.19), оценка теоретической стоимости
зависит от трех параметров: ожидаемые денежные поступления, го-
ризонт прогнозирования и норма прибыли, причем последний па-
раметр, вероятно, наиболее существенен. Дело в том, что первые два
параметра тесно привязаны непосредственно к базисному активу и
потому обладают большей степенью объективности Приемлемая
норма прибыли, закладываемая инвестором в анализ, в этом случае в
принципе не имеет отношения к базисному активу — она лишь oipa-
жает доходность альтернативных вариантов вложения капитала, до-
ступных, возможно, лишь данному инвестору что и предопределяет
вариабельность этого параметра. Вот почему именно нормой прибыли
обычно варьируют инвесторы в процессе имитационного моделиро-
вания. В частности, приемлемая норма прибыли может устанавли-
ваться инвестором такими же способами, как и при определении про-
центной ставки в множителе дисконтирования (см. разд. 3.4).

Именно ввиду различия в оценках базовых показателей рынок
ценных бумаг существует. Оценивая текущую внутреннюю стоимость
ценной бумаги, инвестор, в частности, варьирует значениями нормы

работе- Williams J В The Theory of Investment Value, Harvard University Press, Cambridge,
Mass., 1938.
прибыли и ожидаемых поступлений, которые могут значительно от-
личаться у различных инвесторов.

Как же соотносятся между собой текущие значения рыночной це-
ны и теоретической стоимости финансового актива?

Приведенная формула может использоваться для решения раз-
личных типовых задач. В частности, первая задача предполагает
собственно расчет текущей внутренней стоимости. Эта задача может
возникать в следующей ситуации. Инвестор, например, планирует
приобрести финансовый актив, имея одновременно альтернативный
вариант возможного размещения капитала. Задавая приемлемую
норму прибыли (например, из альтернативного варианта), он может
рассчитать устраивающую его текущую цену актива, которая и будет
внутренней стоимостью актива с позиции данного инвестора, и срав-
н ить ее с рыночной. Вторая типовая задача заключается в расчете нор-
мы прибыли и сравнении ее с приемлемым для инвестора вариантом.
В этом случае предполагается известной стоимость актива, в качестве
которой берут его текущую рыночную цену.

5.6. Оценка облигаций

Облигации /bonds) являются долговыми пенными бумагами Они
могут выпускаться в обращение государством или корпорациями; в
последнем случае облигации называются долговыми частными цен-
ными бумагами. Как правило, облигации приносят их владельцам
доход в виде фиксированного процента к нарицательной стоимости
Вместе с тем существуют облигации с плавающей ставкой, меняю-
щейся по некоторому вполне определенному алгоритму.

По сроку действия облигации подразделяются на краткосрочные
(до 1 года), среднесрочные (от 1 года до 5 лет), долгосрочные (от 5 до
30 лет) и бессрочные (выплата процентов осуществляется неопреде-
леннодолго).

Периодическая выплата процентов по облигациям осуществляет-
ся по купонам — вырезным талонам с напечатанной на них цифрой
купонной ставки. Факт оплаты дохода сопровождается изъятием ку-
пона из прилагаемой к облигации карты. Периодичность выплаты
процента по облигации определяется условиями займа и может быть
квартальной, полугодовой или годовой. При прочих равных услови-
ях чем чаще начисляется доход, тем облигация выгоднее, тем выше ее
рыночная цена

Облигации различают по способам выплаты дохода, например об-
лигации с фиксированной или плавающей купонной ставкой; обли-
гации с нулевым купоном (в этом случае эмиссионный курс облига-
ции устанавливается ниже номинального; разница между ними пред-
ставляет собой доход инвестора, выплачиваемый в момент погашения
облигации; процент по облигации не выплачивается) и др.

Отличаются облигации и по способу обеспечения, например об-
лигации с имущественным залогом (в частности, «золотые» облига-
ции обеспечены золотовалютными активами), облигации с залогом в
форме будущих залоговых поступлений (облигации благотворитель-
ных и общественных фондов, муниципальные облигации) и т. д.

По характеру обращения облигации подразделяются на обычные и
конвертируемые. Последние являются переходной формой между соб-
ственным и заемным капиталом, поскольку дают их владельцам право
обменять их на определенных условиях на акции того же эмитента.

Суммарная доходность акций, зависящая от величины дивиден-
да и роста курсовой стоимости, безусловно, как правило, превышает
доходность облигаций, именно поэтому акции являются основным
объектом инвестиций. Вместе с тем доходность облигаций значитель-
но менее подвержена колебаниям рыночной конъюнктуры. Поэтому
в условиях нестабильной экономической ситуации приоритетность
в выборе финансовых активов как объектов инвестирования может
быть совершенно другой — в частности, облигации в этом случае мо-
гут являться основным объектом инвестиций коммерческих банков,
заботящихся не только и не столько о доходности, сколько о надеж-
ности своих вкладов. Степень надежности здесь предпочитается ве-
личине доходности. В экономически развитых странах существуют
частные коммерческие агентства, снимающиеся классификацией
корпоративных облигаций по степени их надежности и периодически
публикующие эги сведения.

Облигации могут быть охарактеризованы различными стои-
мостными показателями, основными из которых являются нари-
цательная (или номинальная) и конверсионная стоимости, а также
выкупная и рыночная цены. Нарицательная стоимость напечатана
на самой облигации и используется чаше всего в качестве базы для
начисления процентов. Этот показатель имеет значение только в
двух случаях: в момент выпуска облигации при установлении цены
размещения, а также в моменты начисления процентов, если по-
следние привязаны к номиналу. В период размещения облигаци-
онного займа цена облигации, как правило, совпадает с ее нарица-
тельной стоимостью.

Конверсионная стоимость — это расчетный показатель, характери-
зующий стоимость облигации, проспектом эмиссии которой предус-
мотрена возможность конвертации ее при определенных условиях в
обыкновенные акции фирмы-эмитента.

Выкупная цена (синонимы: цена досрочного погашения, отзывная
цена) — это цена, по которой производится выкуп облигации эми-
тентом по истечении срока облигационного займа или до этого мо-
мента. если такая возможность предусмотрена условиями займа. Эта
цена совпадает с нарицательной стоимостью, как правило, в том слу-
чае, если заем не предполагает досрочного его погашения. С позиции
оценки поэтому разделяют два вида займов: без права и с правом до-
срочного погашения. В первом случае облигации погашаются по ис-
течении периода, на который они были выпушены. Во втором случае
возможно досрочное погашение, т. е. отзыв облигаций с рынка. Как
правило, инициатива такого отзыва принадлежит эмитенту, когда ему
выгоднее досрочно погасить старый заем и затем разместить новый с
более низкой процентной ставкой.

Вполне естественно, что инвесторы также хотели бы подстрахо-
ваться от возможности досрочного погашения займа, чтобы он не
превратился в краткосрочный (напомним, что главное достоинство
долгосрочного заемного источника средств с позиции инвестора —
стабильность получаемой им процентной ставки, которая, не исклю-
чено, в отдельные периоды может быть ниже, чем по краткосрочным
кредитам). Поэтому в случае с отзывными облигациями нередко
предусматривается защита в виде запрета на досрочное погашение
облигаций в первые к лет с момента эмиссии. По истечении этого пе-
риода эмитент вправе объявить о досрочном пшашении в тот момент,
когда он сочтет нужным. Условия досрочного погашения, включая
продолжительность периода защиты, объем отзываемых облигаций
(все облигации или какая-то их часть), график погашения и т. д.,
определяются в проспекте эмиссии.

Рыночная (курсовая) цена облигации определяется конъюнктурой
рынка. Значение рыночной цены облигации ( Рт) в процентах к номи-
налу ( М ) называется курсом облигации. Как уже отмечалось выше, эта
цена может не совпадать с текущей внутренней стоимостью облигации.

Так как курс облигации определяется из выражения —— -100%,
М

то, если облигация, например, номиналом 500 руб. продается по цене
465 руб., ее курс составит 93%.

Оценка облигаций с нулевым купоном представляет собой самый
простой случай. Поскольку денежные поступления пи годам за ис-
ключением последнего года равны нулю, формула (5.19) принимает
вид (3.20):

= ——— = С FM 2(г, п) , (5.20)

(1 + г)"

где С — сумма, выплачиваемая при погашении обл и га ци и; п — число
лет, через которое произойдет погашение облигации.

Пример

Облигации с нулевым купоном нарицательной стоимостью 1000 руб.
и сроком погашения через пять лет продаются за 560.35 руб. Проанали-
зировать целесообразность приобретения этих облигаций, если имеется
возможность альтернативного инвестирования с нормой прибыли 14%.

Анализ можно выполнять несколькими способами. Во-первых,
можно рассчитать теоретическую стоимость облигации и сравнить ее
с текущей ценой. Из формулы (5.20):

V, =1000- FM2(14%,5) = 1000• 0,5194 = 519,4 руб.

Расчет показывает, что приобретение облигаций является невы-
годным вложением капитала, поскольку стоимость каждой облига-
ции с позиции инвестора (519,4 руб.) меньше, чем цена, по которой
продается облигация (560.35 руб.).

Во-вторых, можно исчислить доходность данной облигации в виде
эффективной годовой процентной ставки. Пользуясь формулой (3.19),
находим:

I 1000

г, = И--------1 =0,1228 или 12,28%.

\ 560,35
Приходим опять к выводу о нецелесообразности приобретения об-
лигаций. так как доходность данной облигации (12,28*%) меньше аль-
тернативной (14%).

Бессрочная облигация предусматривает неопределенно долгую
выплату дохода (Ск) в установленном размере или по плавающей
процентной ставке. В первом случае имеем постоянный бессрочный
аннуитет постнумерандо (Ck = А для любого к ), и формула (5.19)
принимает вид:

V,=-, (5.21)

что совпадает с (4.45).

Пример

Определить теоретическую стоимость бессрочной облигации, ес-
ли выплачиваемый по ней годовой доход составляет 1 тыс. руб., а ры-
ночная (приемлемая) норма прибыли — 16%.

По формуле (5.21):

V, =----= 6,25 । ыс. руб.

' 0,16

Таким образом, в условиях равновесного рынка в данный момент
времени облигации такого типа будут продаваться по цене, равной
6.25 тыс. руб. По мере изменения рыночной нормы прибыли иена об-
лигации будет меняться.

Денежный поток при оценке безотзывных облигаций с постоян-
ным доходом складывается из одинаковых по годам поступлений (А )
и нарицательной стоимости облигации (М ), выплачиваемой в мо-
мент погашения. Так как поступления по купонам образуют постоян-
ный аннуитет постнумерандо (с членом, равным А ), тосучетом (4.16)
и (3.20) формула (5.19) трансформируется в следующую:

А М

J; = У--------- +-------= А FM4(r, п) + М FM2(r,и). (5.22)

*-!(!+г) (1+г)"
Пользуясь формулой (4.46), формулу (5.22) можно также записать
в виде:

(5.23)

Если обозначить через g купонную ставку (в десятичных дробях),
то А = Wg.

Пример

Номинал облигации, до погашения которой остается 5 лет, равен
1000 руб., купон 20% выплачивается один раз в год. Определить цену
облигации, чтобы она обеспечила покупателю доходность до погаше-
ния в размере 25% годовых.

Доходность до погашения (доходность к погашению) — это доход-
ность в расчете на год, которую обеспечит себе инвестор, если, купив
облигацию, продержит ее до погашения. Так как в конце каждого года
инвестор будет получать 200 руб., то по формуле (5.22) курсовая цена
облигации составит:

V, = 200• FW4(25%,5) +1000 ГЛ/2(25%,5) = 865,56 руб.

Полученный результат можно интерпретировать следующим об-
разом: начисление сложных процентов поставке 25% годовых на цену
облигации (865,56 руб.) полностью обеспечит выплаты купонного до-
хода (ежегодно по 200 руб.) и сумму (1000 руб.) для погашения облига-
ции в конце срока.

Если при решении примера воспользоваться формулой (5.23), то
расчеты выглядят таким образом:

' 0,25

200 1

1000---------- FM 2(25%, 5) = 865,54 руб.

0.25 J

В пределах точности вычислений получили такой же результат.

При определении курсовой цены облигации можно пользоваться
не величинами в денежном выражении, а в процентах. Действитель-
но, из формулы (5.22) следует:
У Л

— -100% ----FM4(r, п) 100% + FM 2(г, п) -100% -

м м

В частности, для предыдущего примера получим:

0,2 • 4(25%, 5) • 100% + / Л/2(25%, 5) • 100% = 86,56% .

В экономически развитых странах весьма распространенными
являются облигационные займы с полугодовой выплатой процен-
тов Такие займы более привлекательны, поскольку инвестор в этом
случае в большей степени защищен от инфляции и, кроме того, имеет
возможность получения дополнительною дохода от реинвестирова-
ния получаемых процентов. Это же касается и облигаций с поквар-
тальной выплатой процентов.

Поскольку выплаты по купонам представляют собой /7-срочный

Л/g

аннуитет постнумерандо с членом - (р — 2 или /? = 4), то, ис-

пользуя (4.21), можно написать:

Me FM4ir,n)

У, = —------ + М FM2{r,п).

р FM3(r,—)

Однако на практике при оценке облигаций с полугодовыми и квар-
тальными выплатами текущего дохода исходят из годовой номиналь-
ной ставки с начислением сложных процентов, равным числу выплат
купонного дохода. То есть при расчете Vr применяют формулы (4.22)
и (3.22) для тп = р

Me г г

У, = --FM4(—,pn) + M FM2(—,pri). (5.24)

Р Р Р

Пример

Рассчитать рыночную пену облигации нарицательной стоимостью
1000 руб., купонной ставкой 16% годовых и сроком погашения через
шесть лет, если рыночная норма прибыли по финансовым инструмен-
там такого класса равна 12%. Процент по облигации выплачивается
дважды в год.

Логика рассуждении в данном случае такова. В условиях равновес-
ного рынка текущая рыночная цена облигации совпадает с ее теку-
щей теоретической стоимостью, т. е. Рт — Vt и может быть найдена по
формуле (5.24). Денежный поток в данном случае можно представить
следующим образом: имеется двенадцать периодов (рп = 2-6 = 12);
в каждый из первых одиннадцати периодов денежные поступления

Mg 1000-0,16

составляют 80 руб. (-=----------= 80); в последнем периоде по-

Р 2

мимо 80 руб. инвестору причитается еще нарицательная стоимость
облигации. Поскольку рыночная норма прибыли составляет 12%,
ставка дисконтирования в расчете на полугодовой период составит
6%. Таким образом, из формулы (5.24):

Р = F, = 80 • FM 4(6%, 12) +1000 • /Л-/2(6%, 12) = 1167,70 руб.

Именно по такой цене данные облигации стали бы продаваться на
рынке ценных бумаг. Легко заметить, чти текущая стоимость облигации
в значительной степени зависит от рыночной нормы прибыли (т. е. сред-
ней доходности альтернативных инвестиций в ценные бумаги такого же
класса). Так, если в нашем примере рыночная норма прибыли составля-
ла бы 20%, то текущая рыночная цена облигации составила бы:

V_ = 80 • ГД/4(10%, 12) +1000 • ГЛ/2(10%, 12) = 863,70 руб.

Рассмо1ренная задача позволяв сделать следующие выводы отно-
сительно поведения цены облигации на рынке ценных бумаг:

• если рыночная норма прибыли превосходит фиксированную
купонную ставку, облигация продается со скидкой (дисконтом), т. е.
по цене ниже номинала;

• если рыночная норма прибыли меньше фиксированной купонной
ставки, облигация продается с премией, т.е. по цене выше номинала
(разница между рыночной ценой и номиналом носит название «ажио»);

• если рыночная норма прибыли совпадает с фиксированной ку-
понной ставкой, облигация продается по своей нарицательной стои-
мости;
• рыночная норма прибыли и текущая цена облигации с фикси-
рован ной купонной ставкой находятся в обратно пропорциональной
зависимости — с ростом (убыванием) рыночной нормы прибыли теку-
щая цена такой облигации убывает (возрастает).

На практике приходится сравнивать купонные и бескупонные
облигации. В таких ситуациях руководствуются следующим пра-
вилом: если по купонным облигациям процент выплачивается р
раз в год, то формулу (5.20) надо скорректировать на р , а именно

Vt = С (l-i—У , чтобы иметь единую частоту начисления сложных
Р

процентов во всех финансовых расчетах.

Отзывная облигация отличается от безотзывной наличием двух
дополнительных характеристик: выкупной цены и срока защиты от
досрочного погашения. Оценка подобных облигаций осуществляется
также с использованием формул (5.22) и (5.24), в которых нарицатель-
ная стоимость М заменена выкупной ценой Р. Интересно отме-
тить. что в период, когда облигация защищена от досрочного погаше-
ния, оценка ее текущей внутренней стоимости может варьировать не
только в зависимости от закладываемой в расчет приемлемой нормы
прибыли, но и от того, с какой вероятностью оценивает аналитик воз-
можность досрочного погашения

Пример

Отзывная облигация номиналом 1000 долл., с купонной ставкой
12% и ежегодной выплатой процентов будет погашена через 10 лет. На
момент анализа облигация имеет защиту от досрочного погашения в
течение пяти лет. В случае досрочною отзыва выкупная цена в пер-
вый год, когда отзыв становится возможным, будет равна номиналу
плюс сумма процентов за год; в дальнейшем сумма премии уменьша-
ется пропорционально числу истекших лет. Стоит ли приобрести эту
облигацию, если ее текущая рыночная цена составляет 920 долл., а
приемлемая норма прибыли равна 14%?

Решение зависит от позиции аналитика в отношении возможности
досрочного погашения, поэтому рассмотрим две ситуации.

а) Оценка с позиции инвестора, который полагает, что вероят-
ность досрочного погашения очень мала. В этом случае денежный по-
ток можно представить следующим образом: ежегодно инвестор будет
получать проценты в сумме 120 долл., а по истечении десяти лет он
получит номинал облигации. По формуле (5.22):

V, = 120-FM4(14%.10)+1000 FM2(14%.10) = 895.63 долл.

С позиции данного инвестора текущая цена облигации завышена,
поэтому ее покупка нецелесообразна (Ptn > Vt).

б) Оценка с позиции инвестора, который полагает, что вероятность
досрочного погашения достаточно велика. В этом случае инвестор
должен использовать в расчетах пену отзыва (Рс — 1000 +120 = 1120
долл.) и пятилетний горизонт прогноза будущих поступлений

= 120-ЛИ4(14%, 5) +112U ЛИ2(14%,5) = 993,7 долл.

С позиции данного инвестора текущая цена облигации занижена,
поэтому ее покупка целесообразна ( Рт < Vt). Заметим, что в случае
отзыва облигации и даже за два года до срока погашения ее покупка с
позиции инвестора все еще имеет смысл, так как

V, = 120• FA/4(14%,8) +1048-FW 2(14%,8) = 924,10 долл.

Упомянем еще об определении курсовой цены (стоимости) госу-
дарственных краткосрочных облигаций (ГКО). Это облигации с ну-
левым купоном, которые выпускаются на сроки 3,6 и 12 месяцев. Для
ГКО используют формулу математического дисконтирования (2.15)
по простой процентной ставке, записанную в виде:

1 + -—г
365

где: М — номинал ГКО,

г — доходность до погашения,

/ — количество дней от момента сделки до погашения ГКО
Пример

Определить цену ГКО, чтобы она обеспечила покупателю доход-
ность до погашения в размере 20^ годовых. Номинал ГКО 1 млн руб.
и до погашения ГКО остается 60 дней.

Полагая в (5.25) М — 1, г — 0,2 и t = 60 , находим:

Г, =- —- - = 0,96817 млнруб.

1+——0,2

365

Выше были рассмотрены абсолютные показатели и возможности их
использования в ситуациях, когда необходимо принять решение о целе-
сообразности приобретения облигаций. Другими важными критерия-
ми, применяемыми с той же пелью. являются показатели доходности.

В анализе речь может идти о двух видах доходности — фактической
и ожидаемой. Первая рассчитывается post factum и имеет значение
лишь для ретроспективного анализа. Гораздо больший интерес пред-
ставляет ожидаемая доходность, которая рассчитывается на основе
прогнозных данных в рамках имитационного перспективного анали-
за и используется для принятия решения о целесообразности приоб-
ретения тех или иных финансовых активов. Мы остановимся кратко
именно на расчете ожидаемой доходности

Если предположить, что рынок ценных бумаг является аффектив-
ным и находится в сосюянии равновесия, то в отношении конкрет-
ного финансового актива в любой момент времени известны его теку-
щая цена (левая часть формулы (5.19)) и доходы, которые, как ожида-
ется, этот актив будет генерировать в будущем (входят в правую часть
формулы (5.19)). Зная эти оценки, можно разрешить уравнение (5.19)
относительно параметра г, полученное значение которого и можно
трактовать как общую доходность данного актива

Рассмотрим облигации без права досрочного погашения. Оценка
стоимости подобной облигации выполняется по формуле (5.22); эта
же формула может использоваться для оценки доходности отзывной
облигации. Предполагается, что в этой формуле известны все показа-
тели, кроме г (отметим, что в левой части (5.22) в этом случае берется
текущая рыночная ценаактива). Разрешая уравнение относительно г,
определяем общую доходность данной облигации, которая является
доходностью к погашению и обозначается YTM по аналогии с англо-
язычной терминологией (yield to maturity). Именно этот показатель
публикуется обычно в отечественной финансовой прессе, например
в газете «Финансовые известия». Отметим, что в условиях эффектив-
ного рынка все облигации одного класса теоретически должны иметь
примерно одинаковую доходность.

Очевидно, что в общем случае разрешить уравнение (5.22) относи-
тельно гможно с помощью компьютера либо специализированного фи-
нансового калькулятора. Кроме того, известна формула, позволяющая
получать приблизительную оценку доходности купонной облигации
без права досрочного погашения с помощью обычного калькулятора.
Этот показатель рассчитывается отношением среднегодового дохода
(годовой процент плюс часть разницы между нарицательной стоимо-
стью и ценой покупки облигации) к средней величине инвестиции и
дает приблизительную оценку показателя г в формуле (5.22):

Л/-Р

А +----

YTM =------—

М + Рт

(5.26)

где: А — купонный доход,

к — число лет, оставшихся до погашения облигации.

Достоинством показателя YTM, как и любого другого показателя
эффективности, является возможность использования его в срав-
нительном анализе при выборе вариантов инвестирования в те или
иные облигации

Пример

Рассчитать доходность облигации нарицательной стоимостью
1000 руб., с годовой купонной ставкой 12%, имеющей текущую ры-
ночную цену 860 руб.; облигация будет приниматься к погашению
через шесть лет.

Купив облигацию за 860 руб., в последующие шесть лет держатель
облигации будет получать в конце очередного года купонный доход
в сумме 120 руб., кроме того, при погашении облигации он получит
1000 руб.

Подставляя эти данные в уравнение (5.22), получим:
860 = 120 • FM 4(г. 6) +1 000 • FM 20. 6) .

или, расписывая подробно множители дисконтирования:

860 = 120

!-(! + /) 6 1000

г +(1 + г)6

Воспользовавшись компьютером или финансовым калькулято-
ром, находим искомую доходность г = 15,78% - Если же применить
приближенную формулу (5.26), то:

YTM

1000-860

120 +---------

_________6

1000 + 860

= 0,1541

Таким образом, доходность дан ной облигации составляет прибли-
зительно 15,41 %. Видно, что формула (5.26) обеспечивает достаточ-
ную точность расчетов.

В некоторых отечественных пособиях по финансовому анализу
для оценки эффективности инвестирования в облигации рекоменду-
ют ориентироваться на показатель текущей, или дивидендной, доход-
ности ( г, 1. под которым понимается отношение дохода, получаемого
ежегодно по купонной ставке (g ), к фактическим затратам на приоб-
ретение облигации:

(5.27)

Так, в условиях предыдущего примера текущая доходность обли-
гации составляет (ставка g может выражаться в процентах):

1000-12%

860

13.95%.

Из формулы (5.27) видно, что показатель текущей доходности не
может использоваться в качестве обобщенной характеристики и кри-
терия при анализе целесооборазности инвестирования в данные об-
лигации. Он дает искаженную оценку реальной (т. е. обшей) доходно-
сти облигации, поскольку в этом случае не учтен доход ее держателя,
полученный от приобретения облигации с дисконтом. Поэтому более
правильным является ориентация на показатель YTM.

5.7. Оценка акций

Акция (stock) представляет собой долевую ценную бумагу, свиде-
тельствующую об участии ее владельца в собственном капитале ком-
пании. Акции выпускают только негосударственные предприятия и
организации и, в отличие от облигаций и других долговых ценных
бумаг, не имеют установленных сроков обращения. Покупка акций
сопровождается для инвестора приобретением ряда имуществен-
ных и иных прав, в частности, право владельца акции участвовать в
управлении обществом (обычно за исключением привилегированных
акций), в распределении прибыли общества и в получении доли иму-
щества. пропорциональной его вкладу в уставный капитал, в случае
ликвидации данного общества. Выделяют две категории акций: обык-
новенные (common stocks) и привилегированные (preferred stocks).

Обыкновенная акция дает право на получение плавающего дохо-
да, т. е. дохода, зависящего от результатов деятельности общества, а
также право на участие в управлении (одна акция — один голос). Рас-
пределение чистой прибыли среди держателей обыкновенных акций
осуществляется после выплаты дивидендов по привилегированным
акциям и пополнения резервов, предусмотренных учредительными
документами и решением собрания акционеров. Иными словами, вы-
плата дивидендов по обыкновенным акциям ничем не Еарантирована
и зависит исключительно от результатов текущей деятельности и ре-
шения собрания акционеров.

Владелец привилегированной акции, как правило, имеет преимуще-
ственное право по сравнению с владельцем обыкновенной акции на
получение дивидендов в форме гарантированного фиксированного
процента, а также на долю в остатке активов при ликвидации обще-
ства. Дивиденды по таким акциям в большинстве случаев должны вы-
плачиваться независимо от результатов деятельности общества и до их
распределения между держателями обыкновенных акций. Тем самым
обусловливается относительно меньшая рисковость привилегирован-
ных акций; одновременно это отражается и на величине дивидендов,
уровень которых в среднем, как правило, более низок по сравнению с
уровнем дивидендов, выплачиваемых по обыкновенным акциям. Кро-
ме того, привилегированная акция не дает права на участие в управле-
нии обществом, если иное не предусмотрено уставными документами.

Подобно ситуации с облигациями различают несколько количе-
ственных характеристик, используемых для оценки акции: внутрен-
нюю, номинальную, балансовую, конверсионную и ликвидационную
стоимости, а также эмиссионную и курсовую цены.

Как и в случае с облигациями внутренняя стоимость представля-
ет собой расчетный показатель, исчисляемый, например, по формуле
(5.19). Конверсионную стоимость можно рассчитывать для привиле-
гированных акций, в условиях эмиссии которых предусмотрена воз-
можность их конвертации в обыкновенные акции.

Номинальная стоимость акции — это стоимость, указанная на
бланке акции. В отличие от облигации, для которой номинальная
стоимость имеет существенное значение, поскольку проценты по об-
лигациям устанавливаются по отношению к номиналу независимо
от курсовой цены, для акции этот показатель практически не имеет
значения и несет лишь информационную нагрузку, характеризуя до-
лю уставного капитала, которая приходилась на одну акцию в момент
учреждения компании.

Эмиссионная иена представляет собой цену, по которой акция эми-
тируется, т. е. продается на первичном рынке. Эта цена может отли-
чаться от номинальной стоимости, поскольку чаще всего размещение
акций производится через посредническую фирму, являющуюся про-
фессиональным участником фондового рынка. В этом случае посред-
ническая фирма скупает весь выпуск акций по согласованной цене и в
дальнейшем реализует их на рынке по цене, которая определяется уже
этой фирмой и естественно превышает номинал

С началом операций компании доля капитала, приходящаяся на
одну акцию, немедленно меняегся. С этой ючки зрения акция харак-
теризуется балансовой стоимостью, которая может быть рассчитана
по балансу как отношение стоимости «чистых» активов (общая сто-
имость активов по балансу за минусом задолженности кредиторам) к
общему числу выпушенных акций.

Ликвидационная стоимость акции может быть определена лишь в
момент ликвидации общества. Она показывает, какая часть стоимо-
сти активов по ценам возможной реализации, оставшаяся после рас-
четов с кредиторами, приходится на одну акцию. Поскольку учетные
цены активов могут значительно отличаться от их рыночных цен в
зависимости от инфляции и конъюнктуры рынка, ликвидационная
стоимость не равна балансовой.

Для учета и анализа наибольшее значение имеет курсовая (текущая
рыночная) цена. Именно по этой цене акция котируется (оценивается)
на вторичном рынке ценных бумаг. Курсовая цена зависит от разных
факторов: конъюнктуры рынка, рыночной нормы прибыли, величи-
ны и динамики дивиденда, выплачиваемого по акции, и др. Она мо-
жет определяться различными способами, однако в основе их лежит
один и тот же принцип — сопоставление дохода, приносимого данной
акцией, с рыночной нормой прибыли. В качестве показателя дохода
можно использовать либо дивиденд, либо величину чистой прибыли,
приходящейся на акцию. Более оправданно использование дивиден-
да. Однако в некоторых случаях — например, компания находится в
стадии становления или крупной реорганизации, когда значительная
часть чистой прибыли реинвестируется. — использование показателя
чистой прибыли на акцию позволяет получить более реальную оцен-
ку экономической ситуации.

Оценка целесообразности приобретения акций, как и в случае с
облигациями, предполагает расчет теоретической стоимости акции и
сравнения ее с текущей рыночной ценой.

Привилегированные акции, как и бессрочные облигации, генери-
руют доход неопределенно долго, поэтому их текущая теоретическая
стоимость определяется по формуле (5.211 Таким образом, наиболее
простым вариантом оценки привилегированной акции является от-
ношение величины дивиденда крыночной норме прибыли по акциям
данного класса риска (например, ставке банковского процента по де-
позитам с поправкой на риск).

В некоторых странах привилегированные акции нередко эми-
тируются на условиях, позволяющих эмитенту выкупить их в опре-
деленный момент времени по соответствующей цене, называемой
ценой выкупа (call price). В этом случае текущая теоретическая стои-
мость таких акций определяется по формуле (5.22). где Л/заменяется
ценой выкупа. Дело в том, что эмиссия бессрочных привилегиро-
ванных акций, предусматривающих выплату дивиденда по посто-
янной ставке, является довольно рисковым мероприятием, посколь-
ку невозможно спрогнозировать процентные ставки на длительную
перспективу. Именно поэтому условиями выпуска привилегирован-
ных акций нередко предусматривается их конверсия в обыкновен-
ные акции.

Что касается обыкновенных акций, то известны различные мето-
ды их оценки; наиболее распространен из них метод, основанный на
оценке их будущих поступлении, т. е. на применении формулы (5.19).
В зависимости от предполагаемой динамики дивидендов конкретное
представление формулы (5.19) меняется. Базовыми являются три ва-
рианта динамики прогнозных значений дивидендов:

• дивиденды не меняются (ситуация аналогична ситуации с при-
вилегированными акциями, т. е. применяется формула (5.21);

• дивиденды возрастают с постоянным темпом прироста;

• дивиденды возрастают с изменяющимся темпом прироста.

Вариант с неизменными дивидендами аналогичен ситуации с
привилегированными акциями, т. е. применяется формула (5.21). Ес-
ли выплачиваются одинаковые дивиденды в течение всего времени,
темп прироста дивидендов равен нулю и соответствующая модель на-
зывается моделью нулевого роста (zero-growth model).

Пример

Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 6 тыс. руб.
на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого вре-
мени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по цене 35 тыс.
руб., если можно поместить деньги на депозит под 15*% годовых?

Поскольку из (5.21) следует, что истинная стоимость акции состав-
6

ляет в is = 40 тыс. руб., то акции можно приобретать.

Во втором варианте прогнозных значений дивидендов предпола-
гается, что выплачиваемые дивиденды растут от периода к периоду в
одной пропорции и соответствующая модель называется моделью по-
стоянного роста (constant-growth model). Пусть базовая величина диви-
денда (т. е. последнего выплаченного дивиденда) равна D и ежегод-
но она увеличивается с темпом прироста g. По окончании первого
года периода прогнозирования будет выплачен дивиденд в размере
£>(1+g), по окончании второго года — Z)(l + g)~ и т. д. Тогда фор-
мула (5.19) имеет вид:
Y^' + S)'
h (i+o*

Фактически необходимо определить приведенную стоимость ан-
нуитета постнумерандо с постоянным относительным изменением
его членов. Пользуясь, например, формулой (4.66), находим:

r~g

(5.28)

Данная формула называется также моделью Гордона и имеет смысл
при г > g. Очевидно, что числитель формулы (5.28) представляет со-
бой первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста.

Пример

Компания за предыдущий год выплатила 2,7 тыс. руб. на акцию.
Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут ра-
сти на 4% ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сде-
лать вывод о целесообразности покупки акций компании по цене
20 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 14% годовых.

Обозначая D = 2,7; q = 0,04 и г — 0,14, по формуле (5.28) найдем
теоретическую стоимость акпии:

Так как стоимость акции с позиции инвестора превышает ее цену,
то имеет смысл приобрести акцию.

При оценке акций, дивиденды которых возрастают с изменя-
ющимся темпом прироста, используется модель переменного роста
(multiple-growth model). Согласно формуле (5.28) текущая цена обыкно-
венной акции очень чувствительна к параметру g — даже незначи-
тельное его изменение может существенно повлиять на цену. Поэтому
в расчетах иногда пытаются разбить интервал прогнозирования на
подынтервалы, каждый из которых характеризуется собственным
темпом прироста g. Так, если выделить два подынтервала с темпами
прироста g и q соответственно, то формула (5.28) принимает вид:
т;=о„.£<1±4+ц.£<1±С <5.вд

tai+r)* лШ1+')

где: D, — дивиденд, выплаченный в базисный момент времени;

D — прогноз дивиденда в 5-м периоде;

g — прогноз темпа прироста дивиденда в первые 5 периодов;
q — прогноз темпа прироста дивидендов в последующие пе-
риоды.

Главная сложность этой модели состоит в выделении подынтер-
валов, прогнозировании темпов прироста (как правило, в прогнозах
темпы прироста в динамике снижаются) и значений ставки дискон-
тирования для каждого подынтервала. При выделении нескольких
подынтервалов модель становится более громоздкой в представлении,
однако вычислительные процедуры достаточно просты. Безусловно,
модель должна рассматриваться в динамике и постоянно уточнять-
ся по мере получения новой информации, в частности, по истечении
очередного подынтервала.

В теории и практике оценки акций описана и получила достаточно
широкое распространение ситуация, когда темп прироста дивидендов
в течение нескольких лет прогнозного периода меняется (фаза непо-
стоянного роста), однако по истечении этих лет он устанавливается на
некотором постоянном уровне. Считается, что такое развитие событий
характерно компаниям, находящимся в стадии становления, либо уже
зрелым компаниям, осваивающим новые виды продукции или пер-
спективные рынки сбыта. Тогда в течение непродолжительного подын-
тервала темп прироста может быть сравнительно высоким, причем не
обязательно одинаковым, а затем он снижается и становится постоян-
ным. Наиболее общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть продолжительность фазы непостоянного роста составляет s
лет, дивиденды в этот период по годам равны Ск,к —1,2,...,s; СЛ+| —
первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста с темпом g ;
г — приемлемая норма прибыли. Схематично данная ситуация вы-
глядит следующим образом (см. рис. 5.4).

Из приведенной схемы видно, что в первые s лет прогнозируется
бессистемное изменение величины годового дивиденда, а начиная с
момента (5 + 1) эта величина будет равномерно увеличивается, т. е.
Рис. 5.4. Динамика дивидендов при выделении
двух фаз изменения

с„. =c, (l+g); С„2 =С„, (l+g) = C, (1 + g)! ит.л.

В этом случае формулу (5.19) можно записать в виде:

у с, , V r.fl 'Я)* ’
Й(1 + О* (! + <)*

(5.30)

На основании формулы (5.28) преобразуем второе слагаемое в пра-
вой части равенства:

у C.(l+g)‘~' 1 yC.(l + g)*_C.(l + g) 1

h. (1 + 0* (1+r)‘h (1 + 0* r-g (l + ')‘

Таким образом, формула (5.30), позволяющая рассчитать теорети-
ческую стоимость акции на конец года 0, может быть трансформиро-
вана следующим образом:

s- с. С (1 + я) I

Г = У-------------------------- (5 31)

ft(l + r)‘ r-g (1+0'
Притер

В течение последующих четырех лет компания планирует выпла-
чивать дивиденды соответственно 1,2; 1,8; 2; 2,4 долл, на акцию. Ожи-
дается, что в дальнейшем дивиденд будет увеличиваться равномерно
с темпом 5°о в год. Рассчитать теоретическую стоимость акции, если
рыночная норма прибыли 14*^.

В данном случае у — 4 и по формуле (5.31):

1,2 1,8 2 2,4

V = — -----+-----------++----------г+----------г+

1 + 0,14 (1 + 0,14)2 (1 + 0,14) (1 + 0,14)4

2,4(1+ 0,05)
0,14-0.05

-----------= 21,79 долл.

(1 + 0.14)

Таким образом, в условиях эффективного рынка акции данной
компании на момент оценки должны продаваться по цене, примерно
равной 21,79 долл.

Доходность г бессрочной привилегированной акции, равно каки
обыкновенной акции с неизменным дивидендом, находится по фор-
муле:

Г = ^-, (5-32)

где: D — ожидаемый дивиденд,

Рт — текущая рыночная цена акции.

Например, D = 60 руб., Р =1000 руб., тогда г=-----= 0,06,

1000
или г = 6%.

При принятии решения о целесообразности покупки акции на ос-
нове формулы (5.32) неявно предполагается, что после покупки акции
инвестор не предполагает продать ее в ближайшем будущем.

Если инвестор приобретает акцию в спекулятивных целях, наме-
реваясь продать ее через некоторое время, то доходность операции с
акцией можно ориентировочно определить по формуле:
(5.33)

где: — рыночная цена акции на момент принятия решения о

покупке;

Р} — ожидаемая цена акции на момент предполагаемой ее
продажи;

п — ожидаемое число лет владения акцией:

D — средний дивиденд за п лет (он рассчитывается как сред-
нее арифметическое).

Пример

Инвестор приобрел акцию за 5 тыс. руб. и продал через три года
за 8 тыс. руб. За первый год инвестору выплатили дивиденд в размере
300 руб., за второй — 450 руб., за третий — 600 руб. Определить доход-
ность операции.

Средний дивиденд затри года:

300+450+600 руб

Полагая в (5.33) Р^ =5000 руб., Р} =8000 руб., я = 3, находим:

450 (8000 - 5000) / 3 _

5000 5000

т. е. доходность операции с акцией составила 29% годовых.

Для оценки значений ожидаемой общей доходности обыкновенных
акций с равномерно возрастающими дивидендами можно воспользо-
ваться формулой, полученной на основании модели Гордона (5.28):

,, = A(i^)+g=Q

р р

(5.34)

где: Dv — последний полученный к моменту оценки дивиденд по

акции;
D, — ожидаемый дивиденд;

Ре — цена акции на момент оценки;
g —темп прироста дивиденда.

5.8. Введение в страховые расчеты

Во всем предыдущем изложении рассматривались разнообразные
вычисления при анализе финансовых операций детерминированно-
го характера. На практике нередко возникают ситуации, когда осу-
ществление тех или иных выплат зависит от наступления события,
носящего случайный характер. Методы количественного анализа фи-
нансовых операций в этом случае обсудим на примере страхования.
Вначале коротко поясним используемые в дальнейшем термины.

Страхование /insurance) — финансовое обеспечение от возможного
ущерба путем взносов (единовременных или периодических) специ-
альному учреждению, которое выплачивает денежное возмещение в
случае такого ущерба. Само специальное учреждение, проводящее
страхование, называется страховщиком (insurer). Страхователь (insur-
ant) — это тот, кто страхуется. Страхователем может быть как физи-
ческое, так и юридическое лицо. Сумма, которую страхователь упла-
чивает (вперед) страховщику в соответствии с договором, называется
премией или страховым взносом (premium, insurance premium) Сумма,
выплачиваемая страховщиком страхователю при наступлении стра-
хового случая, называется страховым возмещением (компенсацией).
Денежная сумма, на которую фактически застраховано имущество,
жизнь, здоровье страхователя, называется страховой суммой Она
определяется по согласованию сторон, участвующих в страховании,
и представляет собой максимальную величину выплаты страхового
возмещения по убыткам страхователя. Чем больше уровень страховой
суммы, тем больше и страховой взнос.

Сделка страхования оформляется в виде специального доку-
мента — страхового полиса (insurance policy), удостоверяющего факт
страхования и дающего право на получение страхового возмещения
в результате наступления страхового случая. В типовом страховом
полисе оговариваются следующие условия страхования: наименова-
ние страховщика, наименование страхователя, объект страхования,
перечень страховых случаев, страховая сумма, страховая премия.
начало и коней страхования, срок выплаты страховой компенсации,
особые условия.

При страховании все расчеты принято производить для страховой
суммы, равной единице. Величину страхового взноса с единицы стра-
ховой суммы называют тарифной ставкой, или тарифом. Тариф пред-
ставляет собой брутто-ставку (grosspremium), состоящую из нетто-
ставки (netpremium), предназначенной для выплаты страховых сумм,
и так называемой нагрузки к нетто-ставке, служащей для покрытия
всех расходов страховщика, связанных с осуществлением страхова-
ния, и обеспечения рентабельности его работы. Расчеты, производи-
мые в финансовой операции по страхованию, называются страховы-
ми, или актуарными.

Для любой конкретной страховой суммы величину страхового
взноса можно получить путем умножения этой суммы на тарифную
ставку. Определяя нетто-ставку, мы фактически находим нетто-пре-
мию—теоретическую стоимость страхования. Однако премия, посту-
пающая страховщику, превышает величину нетто-премии, поскольку
в расчетах используется брутто-ставка. В дальнейшем изложении мы
покажем принцип определения нетто-премии (что, естественно, эк-
вивалентно определению нетто-ставки). Величина брутто-премии
зависит от структуры нагрузки и находится путем увеличения нетто-
премии.

Рассмотрим финансовые расчеты, связанные с основными типами
контрактов в личном страховании: страхование на дожитие, страхова-
ние аннуитета (ренты), страхование жизни.

В основе страхования жизни (как, впрочем, и любого другого ви-
да страхования) заложена идея распределения убытков одного лица, с
которым в данный момент произошел страховой случай, на большое
число участников, с которыми в это время такой случай не произошел
(так называемый принцип солидарной ответственности страховате-
лей). Страховые суммы выплачиваются из страхового фонда, образо-
ванного взносами всех участников шрахования. При згом приведенная
(текущая) стоимость страховых взносов, уплачиваемых страхователем
единовременно или в рассрочку, должна быть равна приведенной сто-
имости ожидаемых страховых выплат за весь срок действия договора.
Указанное условие обеспечивает сбалансированность взаимных обяза-
тельств страховщика и страхователя. Обратим внимание, что здесь речь
идет о страховых взносах, соответствующих нетто-премиям.
При осуществлении финансовых операций по страхованию жизни
опираются на статистические данные дожития до того или иного воз-
раста. Эти данные представлены в так называемых таблицах смерт-
ности (mortality tables), показывающих процесс вымирания с увеличе-
нием возраста некоторой абстрактной совокупности людей. Таблицы
смертности составляются на основании данных демографической
статистики населения.

Стандартная таблица смертности представляет собой набор столб-
цов, соответствующих различным демографическим показателям,
значения которых для определенного возрастного интервала приве-
дены в строках таблицы. Полные таблицы смертности содержат пока-
затели для каждого возраста с интервалом в 1 год; в кратких таблицах
интервал составляет 5 лет. В табл. 5.10 в качестве иллюстрации при-
веден фрагмент полной таблицы смертности для мужчин.

Таблица 5.10

Фрагмент таблицы смертности

Возраст Мужчины
X /д dx <7,
0 100000 2047 0.02047
1 97953 200 0.002042
2 95153 113 0.001156
3 97640 85 0.000871

30 91419 597 0.00653
31 90822 639 0.007036
32 90183 695 0.007707
33 89488 757 0.008459

50 70354 2001 0.028442

60 50246 2127 0,042332

98 95 32 0,336842
99 63 22 0,349206
100 41 41 1
Основной показатель таблицы смертности - число людей 7,.
доживающих до возраста х из первоначальной совокупности Iv.
Величина /0 называется корнем таблицы смертности, значение кото-
рого обычно равно 100 тыс. человек. В приведенном фрагменте табли-
цы в качестве /0 взято число родившихся (х — 0 к Однако выбор на-
чального возраста (как и значение корня, т. е. первоначального коли-
чества людей) не влияет на результаты страховых расчетов. Например,
в качестве корня таблицы смертности можно взять /|В и положить его
равным 100 тыс. человек.

Последняя строка таблицы смертности соответствует так назы-
ваемому предельному возрасту, обозначаемому через со. В предс! де-
ленном фрагменте со — 1 00 лет. Предполагается, что = 0, т. е. ко-
личество людей, доживающих до возраста, превышающего со, равно
нулю.

Величина dx показывает число умерших в возрасте х:

dx = lx-lx+l

(5.35)

В последнем столбце таблицы приведены вероятности умереть

в течен ие года, дожив до возраста х:

(5.36)

Из (5.35) и (5.36) следует, что вероятность прожить еще год для че-
ловека в возрасте х (т. е. дожить до возраста х +1) равна:

Ря= =у!

(5.37)

Аналогично, как в (5.37), нетрудно определить вероятность nps
для человека в возрасте х прожить еше п лет:

(5.38)
Таким образом, вероятность умереть в течение следующих и лет
для человека в возрасте х составит:

л =

(5.39)

Пример

Определите для мужчины в возрасте ЗОлет вероятность: а) умереть
в течение года; б) прожить еще три года: в) дожить до 98 лет.

а) Величина <?!0 уже дана в представленном фрагменте таблицы
смертности. Проверим ее значение по формуле (5.36):

d3U

fto — .

=------= 0,00653.

91419

б) Используя (5.38) при х = 30 и н = 3, находим:

89488
------= 0,9789-

91419

в) Опять применяем формулу (5.38), полагая п = 68(98 — 30):

I 95
= -^ =------= 0,0010-

91419

Заметим, что в ряде развитых стран используется единая таблица
смертности для мужчин и женщин и соответственно единая система
тарифных ставок. Однако в России в настоящее время средняя про-
должительность жизни для мужчин и женщин различается значи-
тельно. Поэтому страховые компании используют различные табли-
цы смертности для мужчин и женщин и устанавливают для них раз-
личные тарифные ставки.

Широко распространены следующие два варианта классиче-
ского страхования жизни: страхование сумм и страхование анну-
итетов. Страховым событием при этом является либо дожитие
до определенного срока, либо смерть в период действия договора.
В первом варианте в результате наступления страхового события
страхователь получает единовременно указанную в договоре сумму
денег. Во втором варианте страхования жизни выплаты страхова-
телю осуществляются в течение некоторого периода времени (или
пожизненно).

Страхование на чистое дожитие (pure endowment) является про-
стейшим случаем личного страхования и представляет собой страхо-
вание определенной суммы денег на определенный срок. Страховая
сумма выплачивается лишь в том случае, если страхователь во время
действия договора не умирает

Определим величину Р нетто-премии в случае, когда страхова-
тель в возрасте х лет заключает со страховой организацией договор
страхования на чистое дожитие сроком на и лет. Это означает, что до-
жив до возраста х+п лет. страхователь получит оговоренную стра-
ховую сумму S. Пусть страхователи в количестве 1Х (то есть все, до-
жившие до возраста х) заключили такой договор страхования. Тогда
страховщик по окончании срока договора должен будет выплатить
сумму S каждому из доживших до возраста х + п . Поскольку таких
людей будет /я+я , то суммарная выплата составит lx+„S .Дисконтируя
эту величину на момент заключения договора, находим ее приведен-
ную стоимость

где v —---- иг— приемлемая годовая норма доходности (сложная

1+г

процентная ставка). Поделив полученную величину на число всех

страхователей, получаем значение нетто-премии.

p = ,pxv"S.

(5.40)

Когда речь идет о норме доходности г , то имеется в виду следую-
щее. Взносы, которые аккумулирует страховщик, могут быть им ин-
вестированы каким-либо способом (например, просто помешены в
банк). То есть страховщик может использовать взносы страхователей
(страховой фонд) в качестве кредитных ресурсов.
Формулу (5 40) нетрудно получить и из следующих соображений
Так как каждый страхователь в момент заключения договора вносит
величину Р, то общая величина взносов составит 1хР, а соответству-
ющая наращенная сумма за п лет — ZXP(1 + г)" - Эта величина долж-
на быть равна сумме всех страховых выплат в момент окончания до-
говора, т. е. lxP(\ + r)n — lx+„S . Поделив это равенство на 1Х (1+г)" ,
и получим формулу (5.40).

С позиции теории вероятностей величина Р в (5.40) представля-
ет собой математическое ожидание величины страховой суммы, дис-
контированной на момент заключения договора. Поэтому Р также
называют ожидаемой текущей стоимостью страховой суммы или ак-
туарной текущей стоимостью.

Пример

Определить стоимость страхового договора на дожитие на сумму
100 тыс. руб. сроком на 20 лет для мужчин в возрасте ЗОлет. В расчетах
использовать годовую норму доходности 9°t>.

Поскольку 5 = 100 тыс. руб., .г = 30. я = 20. г = 0,09 и
v20 = 7-71/2(9%, 20), то, используя табл. 5.2, по формуле (5.40) полу-
чим:

Р = /71/2(9%, 20)—100 = 0,17843-70354 -100 = 13,732 тыс. руб.
4о 91419

Для иллюстрации полученных результатов (да и лучшего их усво-
ения) предположим, что число страхователей, заключивших договор
на дожитие, равно 1000 человек (мужчин). Поскольку нетто-премия
от одного застрахованного составляет 13,732 тыс. руб., то общая сум-
ма премии 13,732 тыс. руб. Сумма с процентами за 20 лет (наращен-
ная сумма) составит 13 732-FM 1(9%.20) = 76960 тыс. руб. Из 1000
70354

человек до 50 лет доживет-------1000 = 769,58 » 770 человек. По-

91419

76960 ,лл

этому каждый из них должен получить--------= 100 тыс. руб.

769,58

Стоимость договора на дожитие, как в этом примере, только для
женщин будет отличаться от найденной выше. Используя таблицу
смертности [см.: Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой мате-
матики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и
страховых схем. — М.: Дело, 1998. С. 290—291), находим:

89672

Р = FA/2(9%, 20)—100 = 0,17843-------100 = 16,623 тыс. руб.

4о 96253

Полученная величина больше, чем 13,732 тыс. руб., из-за различия
средней продолжительности жизни женщин и мужчин

Обратим внимание, что величина

FM 2(9%, 20) — = 0,13732 = 13,732% является нетто-ставкой
4с

при осуществлении страхования на дожитие для мужчин, так как
она определена в условиях обеспечения сбалансированности (экви-
валентности) взаимных обязательств страховщика и страхователя.
Безусловно, брутто-ставка, представляющая собой тарифную ставку,
должна быть больше 13,732% (для женщин больше 16,623%).

Сравнивая формулу (5.40) с формулой (3.20), делаем вывод, что они
отличаются наличием в (5.40) множителя я рх. который всегда мень-
ше единицы. Следовательно, нетто-премия (страховой взнос) каждого
страхователя будет меньше приведенной (текущей) стоимости страховой
суммы Такая ситуация объясняется тем, что согласно принципу соли-
дарной ответственности страхователей, застрахованный, доживший до
50 лет, получит часть денег за счет тех страхователей, которые уплатили
взносы, но не дожили до конца срока сграхования и полому их взносы
распределяются между оставшимися в живых. В приведенном примере
из каждой 1000 застрахованных не доживут до 50 лет (в соответствии с
таблицей смертности) в среднем 230 (1000—770) человек. Если бы нетто-
премию страхователь обеспечивал сам (то есть не было бы солидарной
ответственности), то по формуле (3.20) его страховой взнос составил бы:

Р = 100-FM2(9%,20) = 17,843 тыс. руб.,

который превышает 13,732 тыс. руб.

Тот факт, что часть застрахованных не доживет до срока оконча-
ния договора, и их страховые взносы распределятся среди доживших
страхователей, позволяет говорить о так называемой годовой норме
доходности с учетом прибыли (как ни странно это говорить) отсмерт-
нести. Поясним это утверждение. Если число всех застрахованных
(пусть, для определенности, в начале года) составит /т, то величина
страхового фонда — 1ХР. Страховой взнос Р можно трактовать как
индивидуальный страховой фонд. В конце года величина страхового
фонда составит 1КР(1 +г), а величина индивидуального страхового
ZxP(l + r)

фонда — ----------, поскольку число застрахованных уменьшится.

Поэтому можно определить! одовую норму доходности для возраста X.

1,Р(\ + г)

(5.41)

Иногда г, называютактуарнойнормойдоходности.Таккак рх < 1.
то г, > qx + г и величина гх может значимо превышать ставку г,
особенно если эта ставка является небольшой (в странах с развитой
экономикой ставка г равна 4—5'?).

Величину гх можно рассматривать как плавающую (переменную)
сложную процентную ставку. В частности, для приведенного выше
примера:

аю+г 0,00653 + 0,09

= -----= —----------— = 0,09716

рм 1-0.00653

0,007036 + 0,09

1-0,007036

= 0,09772 ит.д.

Естественным образом можно ввести годовой актуарный коэффи-
циент наращения и соответственно актуарный коэффициент дис-
контирования vx (для возраста х ):

= = + (5.42)

Р, Р, Р,
(5.43)

Очевидно, формулу (5.40) можно получить, дисконтируя величину
S по актуарной норме доходности гх:

(5.44)

При таком подходе Vя являеюя актуарным множи|елем дис-
контирования за и лет и обозначается через А . Другими словами
А* = v" представляет собой приведенную стоимость единич-

ной суммы при страховании на дожитие и, естественно, величину
нетто-ставки1.

Как уже указывалось, при втором варианте классического стра-
хования жизни выплаты страхователю осуществляются в течение
определенного периода времени, что нередко является более предпо-
чтительным для страхователя, чем получение суммы денег единов-
ременно. Поток выплат представляет собой аннуитет (его называют
еще страховым), при этом выплаты происходят только при условии,
что их получатель жив. Таким образом, страховой аннуитет является
условным, поскольку количество его членов зависит от наступления
случайного события (смерти страхователя).

Один из видов страхового аннуитета — пожизненный аннуитет (life
annuity) постнумерандо, когда в течение всей жизни страхователь по-
лучает регулярный доход в конце каждого юда дожития. Определим
ожидаемую приведенную стоимость этого аннуитета (с членом, рав-

1 Заметим, что для обеспечения единого подхода в решении задач страхования в
актуарных расчетах используются своеобразные (однако унифицированные на меж-
дународном уровне) обозначения, содержащие большое количество индексов у пере-
менных. По сути, эти обозначения не претерпели изменений с 1898 г. когда они быти
приняты на втором Международном конгрессе актуариев в Лондоне.
ным одной денежной единице) на момент заключения страхового до-
говора.

Если такой договор заключили страхователи в количестве 1Х, то в
конце первого года страховщик должен будет выплатить сумму /л+1,
в конце второго года - 11+2 и т. д. Естественно, последняя сумма в
размере будет выплачена через ю—х лет (напомним, что согласно
предельному возрасту /Л1+] — 0 ). Приведенная стоимость этого пото-
ка выплат составит:

44+v2Z„!+...+ v"-'Z,=gl'*Z„1.

*=t

Поделив полученную величину на число всех страхователей /л,
находим ожидаемую приведенную стоимость пожизненного аннуи-
тета (пожизненной ренты) с единичными выплатами:

°, = у- Е К С* = Е >'* * Л <5.45)

*х *=1 *=|

Таким образом, формула (5.45) определяет величину нетто-премии
для страхователя в возрасте х. При выводе формулы (5.45) исполь-
зовался тот факт, что страховые взносы собираются со всех страхо-
вателей, а выплаты производятся только дожившим (т.е. реализуется
принцип консолидированной ответственности). Поэтому ожидаемая
приведенная стоимость страхового аннуитета всегда меньше приве-
денной стоимости обычного аннуитета с членами, как у страхового
Формально это следует из того, что все множители ; рх меньше еди-
ницы. И|ак, а < FM4{r,w—x). Если каждая из выплат равна 5 , то,
очевидно, нетто-премия составит величину atS .

Полезно видеть, что формула (5.45) получается и из следующих
соображений. Представим договор по страхованию пожизненного
аннуитета с единичными выплатами в виде страховых договоров на
дожитие с единичными страховыми суммами и со сроками соответ-
ственно I, 2,..., О)—х лет. Тогда ожидаемая приведенная стоимость
аннуитета равна сумме ожидаемых приведенных стоимостей стра-
ховых сумм всех договоров на дожитие. Отсюда сразу получаем:
“х=2Хй.

Л=1

т. е. формулу (5.45). Приведенные рассуждения показывают, что стра-
хование аннуитетов — это один из видов страхования на дожитие.

Нередко используется и авансированный пожизненный аннуитет,
когда выплаты осуществляются в начале каждого года (аннуитет пре-
нумерандо). Очевидно, ожидаемая приведенная стоимость такого ан-
нуитета определяется формулой:

т=о

и справедливо равенство:

а>. = а +1

С целью упрощения актуарных расчетов применяют так называе-
мые коммутационные функции (их также называют коммутационными
числами), для которых составлены специальные таблицы Комму-
тационные функции условно делятся на две группы. Первая группа
функций определяется числом доживающих до конкретного возрас-
та. вторая группа — числом умерших. Основными коммутационными
функциями первой группы являются:

Г =vx/x,

(5.48)

Nx . (5.49)

Смысл функции D можно интерпретировать таким образом: ес-
ли все родившиеся в количестве lv застрахованы на чистое дожитие
сроком на х лет с условием выплаты единичной суммы каждому из
доживших (до возраста х ). то величина Dx представляет собой ожи-
даемую приведенную (текущую) стоимость суммы всех страховых вы-
плат, то есть является суммарной страховой премией. Легко убедить-
ся, что:
(5.50)

и поэтому функция D, применяется в страховании на чистое дожи-
тие.

Похожим образом интерпретируется и функция Nx. Пусть все
родившиеся в количестве /0 застрахованы на следующих условиях,
начиная с возраста х пожизненно в начале каждого года выплачи-
вается одна денежная единица каждому страхователю. Тогда вели-
чина Nx представляет собой ожидаемую приведенную стоимость
суммы всех страховых выплат, т.е. сумму всех страховых взносов.
Поскольку:

(5.51)

.. N

(5-52)

то функция Nx находит свое применение в расчетах по страхованию
аннуитетов.

Используя таблицы смертности, для заданной процентной став-
ки (т. е. принятой в страховых организациях нормы доходности) со-
ставлялись таблицы коммутационных функций. Затем в страховых
расчетах применялись, главным образом, только эти таблицы, чем
и объяснялось широкое использование коммутационных функций.
Однако в настоящее время их роль значительно снизилась в связи с
повсеместным распространением компьютеров, позволяющих очень
быстро производить всевозможные расчеты. Впрочем, в отдельных
случаях применение коммутационных функций в актуарных рас-
четах все еще представляет интерес. В табл. 5.11 приведен фрагмент
таблицы коммутационных функций (чисел) для мужчин и годовой
процентной ставки 5^.
Таблица 5.11

Фрагмент таблицы коммутационных функций

Возраст, X D, сх М,
30 21152.29 324373,2 131,5546 5705.952
31 20013,49 303220,9 134,1045 5574,397

34 16890.37 246394,9 144,4884 5157.283

50 6135,131 68188,5 166,1854 2888.06

60 2689,946 24439,09 108,44'”’ 1526,18

70 940.1039 6645.254 60,50505 623,6632

Пример

Определить размер нетто-ставки при страховании на дожитие до
60 лет мужчины в возрасте 50 лет в условиях применения сложной
процентной ставки 5% годовых.

Полагая х = 50 , п = 60 — 50 = 10. по формуле (5.50) имеем:

Воспользуемся табл. 5.3: Dso = 6135,131, D(o = 2689.946 и по-
этому Aorioi = 0.4385 , т е величина нетто-ставки составляет поч-

ти 44% страховой суммы. В частности, если страховая сумма равна
50 тыс. руб., то размер страхового взноса (нетто-премии) составит:
50 - 0,4385=21,925 тыс. руб. Для проверки полученного результата вос-
пользуемся табл. 5.10 и формулой (5.40):

Z.. 50246

Р = FM2(5%,10)-'-50 = 0,6139 ---- 50 = 21,922 тыс. руб.

70354
В пределах точности вычислений опять получили туже величину
(отличие составляет 3 руб.).

Пример

Определить для мужчины в возрасте 65 лет стоимость пожизнен-
ного аннуитета с выплатой по 10 тыс. руб.: а) в конце каждого года, б)
в начале каждого года. В расчетах использовать сложную процентную
ставку 5°i> годовых.

Так как х = 65 , то для первого случая по таблице коммутаци-
онных функций находим N6t = 11 649, и D6S — 1624,294 [II, Кутуков,
с. 295]. Затем пользуемся формулой (5.51):

я.,
с = — = 7,1720.

А,

Следовательно, стоимость пожизненного аннуитета постнумеран-
до составит:

10 • с65 = 10 • 7,1720 = 71,72 тыс. руб.

Во втором случае имеем пожизненный аннуитет пренумерандо, и
поэтому по формуле (5.52):

Поэтому стоимость пожизненною аннуитета пренумерандо со-
ставит:

10-я65 = 10-8,1720 = 81,72 тыс.руб

Значение а6. при известном значении а65 можно было получить и
воспользовавшись формулой (5.47):

at. = а65 +1 = 7,1720 + 1 = 8,1720 .
Аналогичным образом, как при выводе формулы (5.45), определя-
ется ожидаемая приведенная стоимость срочного страхового аннуи-
тета постнумерандо с единичными выплатами. Если выплаты про-
исходят в течение п лет, то, используя обозначение этой стоимости,
принятое в страховом деле, можно записать:

S Л=1 *=1

(5.53)

где, безусловно, по смыслу должно быть х+и < а).

Естественно, <2 —( также выражается через коммутационные
функции. В качестве иллюстрации покажем, как это можно сделать.
Очевидно:

Пользуясь формулой (5.45) и меняя во второй сумме индекс сумми-
рования, запишем предыдущее равенство в виде:

ci„ = а — А • О'
'+" X д- „| Х+Л.

Окончательно с помощью формул (5.49) и (5.50) получим:

Точно так же легко убедиться, что стоимость срочного аннуитета
пренумерандо с единичными выплатами определяется формулой:

(5.55)

Поскольку согласно определению коммутационных функций
справедливо рекуррентное равенство {N„=d„>,
то, как и следовало ожидать, соотношение (5.47) справедливо и для
срочных страховых аннуитетов

Подобным образом, как и выше, выводятся формулы для дру-
гих видов аннуитетов. Часть этих формул (многие из которых непо-
средственно получены) приведена в |П, Четыркин, 2005]. В работе
Е. М. Четыркина, в частности, приведена таблица коммутационных
чисел для процентной ставки 9%.

Пример

Мужчина в возрасте 30 лет заключает страховой договор, соглас-
но которому в течение трех лет в конце каждого года, начиная с мо-
мента страхования, страховщик обязуется выплачивать страхователю
15 тыс. руб. Определить величину нетто-премии, если страховщик
инвестирует страховые взносы под 5% годовых (сложных).

В данном случае имеем страховой аннуитет постнумерандо. По-
скольку х = 30 и я — 3 , то по табл. 5.3 находим D. = 21 152,29,
Л'и = 303 220,9, Nu = 246 394,9- Поэтому по формуле (5.54) получаем:

= 2,687.

Следовательно, нетто-премия составит:

15 • 2,687 = 40.305 тыс. руб.

Если обратиться непосредственно к формуле (5.53) (т. е. не исполь-
зова|ь комму ।анионные числа), ю в соответствии с таблицей смерт-
ности 5.10:

1 (90822 90183 89488А
------ -----+-----+-----г- = 2,687 -

91419\ 1,05 1.05- 1,05 )

Видно, что без коммутационных чисел вычисления носят более
громоздкий характер.

Схему осуществления страхового аннуитета из примера можно
представить себе таким образом. В возрасте ЗОлет страхователь упла-
чивает страховщику премию 40,305 тыс. руб. За год происходит уве-
личение этой суммы (поскольку начисляются проценты по ставке 5%
и умирает часть застрахованных) и осуществляется первая выплата
15 тыс. руб. страхователю, достигшему возраста 31 год. За следующий
год по тем же причинам происходит увеличение оставшейся после
выплаты суммы и в возрасте 32 года производится вторая выплата
15 тыс. руб. И наконец, в 33 года страхователь получает третью выпла-
ту 15 тыс. руб., которая полностью исчерпывает остающиеся денеж-
ные средства у страховщика. Аналогичные рассуждения легко прове-
сти и для общего случая.

Если по оси абсцисс откладывать возраст страхователя (начиная с
30 лет), а по оси ординат — величину нетто-премии и уменьшение ин-
дивидуального страхового фонда по годам, то графически можно так
изобразить изложенную выше схему страхового аннуитета (см. рис. 5.5).

Рис. 5.5. Графическая иллюстрация страхового аннуитета
постнумерандо

Выше были рассмо|рены различные варианты страхования на
дожитие, в которых страховым событием, являющимся основанием
для выплаты страховых сумм, являлось именно дожитие (например,
до времени окончания страхового договора или до конца срока стра-
хового аннуитета). Наряду с этими вариантами страхования широко
распространено страхование жизни (life insurance), когда страховым
событием является смерть страхователя. Как будет ясно из дальней-
шего, этот вид страхования (называемый также страхованием на слу-
чай смерти) более дешевый, чем страхование на дожитие.

Рассмотрим один из основных вариантов страхования жизни — по-
жизненное страхование, когда страховая сумма выплачивается в слу-
чае смерти застрахованного. Пусть такой договор страховщик заклю-
чил со страхователями в количестве 1х, причем в случае смерти каж-
дому застрахованному будет выплачена одна денежная единица. Для
простоты будем считать, что выплата страховой суммы производится
в конце того года, в котором умер страхователь. Определим единовре-
менную нетто-премию, руководствуясь, как обычно, эквивалентно-
стью взаимных обязательств страховщика и страхователя.

В конце первого года (начиная с момента заключения договора)
страховщик должен будет выплатить сумму dx (так как до возраста
х + 1 не доживут dx лиц), в конце второго — dx+l и т. д. Последняя
сумма, равная dia , будет выплачена через (i)—х+1 лет. Приведенная
(на дату заключения договора) стоимость всех страховых выплат равна:

vdx + v2 J,+| + ... 4-v" 1+1 dt = ^v*+1 d1+k .

*=e

Эта величина, деленная на число всех страхователей 1х , и дает зна-
чение нетто-премии:

(5.56)

Выполним простые преобразования над отношением

<+А

l..„ I,

.Г.-Ч..-,-

т. е. это отношение равно вероятности для человека в возрасте х про-
жить еще к лет и за|ем умереть в |ечение года. Поэтому формулу
(5.56) можно записать в равносильном виде:

| О1-Х

Ax=Y‘^M‘kPx‘4x^

(5.57)

На практике пожизненное страхование встречается достаточ-
но редко. Как правило, заключаются договоры страхования жизни
на срок и страховая сумма выплачивается лишь в случае смерти за-
страхованного до срока окончания договора. Если этот срок равен п
(причем, очевидно, и < со—х) и страховые суммы равны единице, то
нетто-премия определяется формулой:

(5-58> *зг « =•>

которая с помощью формул (5.48) и (5.56) приводится к виду

A -^^-A^. (5-59) - D

Чтобы упростить расчеты, связанные сострахованием жизни, вво-
дят коммутационные функции (второй группы):

С = vx+1 d> , (5.60)

M,=YC> <5-61>

*=J

Нетрудно убедиться, что эти функции удовлетворяют соотноше-
нию Мх — Л/л+1 + С (Mw = CW ) и:

A (5.62)
(5.63) D

Естественно, между коммутационными функциями первой и вто-
рой групп существуют зависимости. Например:

С = vD. - Dtt, ( C„ = vDM). (5.64)

M, = vNx - Nitl ( = vNa). (5.65)
В частности, если л = 30 и процентная ставка равна 5%, то

324373 2

М = vN - N =---------------303220,4 = 5705,95

1,05

Получили значение. отличаюшееся на 0.002 от приведенного в
табл. 5.11.

Пример

Мужчина в возрасте 50 лет заключает: а) договор на пожизненное
страхование; б) договор страхования жизни на 20 лет. В соответствии
с договором в случае смерти застрахованною его наследникам будет
выплачено 100 тыс. руб. Определить стоимость такого контракта при
норме доходности 5°Ь.

Полагая х = 50 , по табл. 5.11 и формуле (5.62) определяем:

М.п 2888,06

А.. = =---------= 0,4707

D№ 6135,131

Следовательно, стоимость договора на пожизненное страхование
составит:

100-0,4707 = 47,07 тыс.руб.

При страховании жизни на срок по формуле (5.63) получаем:

. М.в - Мт 2888,06 - 623,6632

Л - =—5-------- =-------------------= 0,3691

50 20 О50 6135,131

и поэтому стоимость договора равна

100 0,3691 = 36,91 тыс. руб.

При выводе формулы (5.56) предполагалось, что единичные сум-
мы выплачиваются в конце года смерти страхователей. Однако на
практике такие выплаты производятся, как правило, сразу после
установления факта смерти. Поэтому при определении величины
нетто-премии можно рассуждать и таким образом. Количество смер-
тей внутри года распределяется равномерно. То есть если разбить
к + 1-й год страхования (к > 0 ) на р равных интервалов, то число
’ <+*

смертей за любую-----ю часть года составит--. Осуществляя вы-

Р Р

платы в конце той части года, в которой произошли страховые случаи,
получаем /7-срочный аннуитет постнумерандо. Определяем ожидае-
мую приведенную стоимость всех страховых выплат. Далее считаем,
что выплаты в течение каждого года происходят часто и переходим к
пределу при /? —> со. В результате получим величину нетто-премии в
предположении непрерывно осуществляющихся выплат:

А, =--------А,.. (5.66)

1п(1 + г)

В предположении практически непрерывных единичных страхо-
вых выплат в течение каждого года страхования аналогичным обра-
зом показывается, что стоимость договора страхования жизни на срок
п лет составит:

Используя формулы (5.66) и (5.67), в условиях последнею примера
получим следующие значения стоимостей контрактов:

Л 0,05 0,05

100-Л =100— -------Л =100— ----------0,4707 = 48,24 тыс. руб..

In 1,05 In 1,05

0,05 , 0,05

100-А — =100 —-----------а' — =100—------------0,3691 = 37,83тыс.руб.

50'201 > г. г 50:201 . , у -ч

In 1,05 In 1,05

Если же воспользоваться (так как значение ставки 5% достаточно

0,05 0,05

мало) приближен ной формулой------» 1 +-----= 1,025, то соответ-

1п1,05 2

ственно получим практически те же значения:
100- ASB * 100 • 1,025 • 0,4707 = 48,25 тыс. руб.,

100-А' — *100-1.025-0.3691 = 37.83 тыс. руб.

50 201

Срочное страхование жизни и страхование на дожитие на тот же
срок могут объединяться в одном договоре. Такой вариант страхова-
ния называется смешанным страхованием жизни. Страховая сумма
выплачивается либо страхователю в случае его дожития до окончания
срока договора, либо наследникам страхователя в случае его смерти
раньше срока договора. Величина единовременной нетто-премии при
смешанном страховании (и единичной страховой суммой) равна:

А - =А*—+А

(5.68)

т. е. надо сложить нетто-премии при страховании на случай смерти и
на дожитие. Из (5.50) и (5.63), очевидно, следует, что:

(5.69)

Пример

Определить размер нетто-премии при смешанном страховании
жизни на 10 лет мужчины в возрасте 60 лет, есл и страховая сумма рав-
на 20 тыс. руб. и страховшик инвестирует собранные суммы пол 5%
годовых (сложных).

Воспользовавшись таблицей коммутационных функций при
х: = 60, п = 10 и формулой (5.69), получим:

А _ М№-М7П + Г»7и _ 1526,18 - 623,6632 + 940,1039

6и 'С1 - Dlls ~ 2689,946

Поэтому нетто-премия составит 20 - 0,685 = 13,7 тыс. руб.

До сих пор величина нетто-премии, равная стоимости страхового
договора, определялась нами в виде единовременного взноса. Однако
на практике страховая премия часто выплачивается в рассрочку пу-
тем нескольких взносов, что, безусловно, предпочтительней для стра-
хователя. Совокупность периодически уплачиваемых взносов пред-
ставляет собой аннуитет. При определении величины членов этого
аннуитета надо учитывать не только возможность их инвестирова-
ния, но и тот факт, что часть страхователей из-за наступления смерти
не уплатят все оговоренные в страховом договоре взносы.

Поскольку договор страхования начинает действовать с момента
поступления первого взноса, то страховые платежи образуют аннуи-
тет пренумерандо, являющийся часто постоянным. Для нахождения
величины каждого страхового взноса используется, как всегда, идея
эквивалентности обязательств страхователя и страховщика на мо-
мент заключения страхового контракта. В данном случае это значит,
что ожидаемая приведенная стоимость страховых взносов должна
быть равной ожидаемой приведенной стоимости страховых выплат,
т.е. стоимости контракта. Таким образом, если Р — стоимость дого-
вора. заключенного страхователем в возрасте лив договоре предус-
мотрены страховые взносы в течение п лет, то величина А каждого
взноса находится из равенства Р — А- й^— . Следовательно:

А =-------. (5.70)

Величина а* - показывает, во сколько раз ежегодный страховой
взнос меньше величины разового взноса, и поэтому й* — называется
коэффициентом рассрочки. Заметим, что срок уплаты страховых взно-
сов может совпадать со сроком действия страхового договора, а может
быть и меньше этого срока.

Если заключается договор страхования на чистое дожитие сроком
на п лети S — величина страховой суммы, то:

а А

А =-^-5. (5.71)

й -

Эту формулу с помощью формул (5.50) и (5.55) нетрудно преобра-
зовать к виду:

А = °'™----S'- (5-72)
Пример

Какова величина каждого ежегодного страхового взноса при стра-
ховании на чистое дожитие, если такой договор заключает мужчина
в возрасте 50 лет на сумму 100 тыс. руб. и сроком на 10 лет? Предпо-
лагается выплачивать страховые взносы в течение 10 лет и в расчетах
использовать годовую норму доходности 5°о.

Так как л = 50, л = 10 и S — 100 тыс. руб., то по формуле (5.72)
величина каждого страхового взноса составит:

А =--------100=------2689-946----100=6,149 тыс. руб.

Nso ~ Na> 68188,5 -24439,09

Здесь коэффициент рассрочки равен:

Nso - Neo _ 68188,5 - 24439,09

Dj0 " 6135,131

И следовательно, каждый взнос 6,149 тыс. руб. в 7,131 раза меньше
стоимости страхового договора, равного 6,149 - 7,131 = 43,849 тыс. руб.
Такую же величину (в пределах точности вычислений) получим, вос-
пользовавшись формулой:

Р = А 2 -100 = —^100
so io I р.

При страховании жизни на срок и лет и рассрочке платежей в те-

чение t лет величина каждого страхового взноса составит:

А =

A^is mx-mx+„s
a- Ns -Nx+I

или

„ Г М -М + „

'1,1 5 =_______-» 5

a-, ln(l + r) N-Nx+I

(5.73)

(5.74)
в зависимости оттого, какая из формул, (5.63) или (5.67), использует-
ся. Аналогичным образом в случае пожизненного страхования и рас-
срочке платежей в течение t лет:

(5.75)

Если же страхователь уплачивает взносы, пока жив, то при таком
варианте пожизненного страхования:

A=^S=^S.

(5-76)

Естественно, в последних формулах появится множитель--------

1п(1 + г)

в предположении непрерывно происходящих страховых выплат. По-
добным образом можно рассмотреть и другие виды страхования.

Пример

Страхователь в возрасте 50 лет заключил договор пожизненного
страхования с уплатой премии в виде ежегодных страховых взносов:
а) в течение первых 10 лет; б) в течение всей жизни. Определить ве-
личину страховых взносов, если страховая сумма равна 80 тыс. руб. и
годовая норма доходности составляет 5*5.

В первом случае, полагая х = 50 , I = 10 , S = 80 тыс. руб., по фор-
муле (5.75) получим-

2888,06

• 80 =---------------80 = 5,281 тыс. руб.

68188.5-24439.09

^0-^

При уплате взносов в течение всей жизни по формуле (5.76) нахо-
дим:

М 2888,06

А = — 80 =-----------80 = 3,388 тыс. руб.

N , 68188,5
Очевидно, если в первом случае увеличивать время t рассрочки
платежей, то величина каждого платежа будет уменьшаться и все не-
значительней отличаться от пожизненных ежегодных взносов по 3,388
тыс. руб. Так при t = 20

М,п 2888,06

А =----------80 =---------------------80 = 3,754 тыс. руб.

Nso-Nm 68188,5 6645,254

5.9. О необходимом минимуме формул

В предыдущих разделах книги подробно рассмотрены логика и
методы количественной опенки финансовых операций, перечисле-
ны и проиллюстрированы примерами основные области применения
методов. На практике востребованность приведенных формул, есте-
ственно, различна; кроме того, они взаимозаменяемы, что позволяет
при необходимости пользоваться ограниченным их набором.

Дело в том, что как научно-практическое направление финансо-
вые вычисления находятся на стыке математики и экономики. Имен-
но близость к математике объясняет тот факт, что книга насыщена
формулами И это понятно, поскольку любые вычисления требуют
использования формул. Для читателей, которые по роду деятель-
ности в гой или иной степени постоянно занимаются математикой,
этот факт привычен и очевиден. Однако для тех, кто курс математи-
ки прослушал много лет назад, обилие формул (да еще их выводов)
может если не напугать, то основательно огорчить. В частности, курс
финансовых вычислений может показаться целиком состоящим из
одних формул, которые, из-за их количества, невозможно запомнить.
Это, конечно, не так. Все приведенные соотношения (как мы пыта-
лись показать в книге) чрезвычайно взаимосвязаны друг с другом.
Обладая элементарными (с точки зрения математики) навыками в
математических преобразованиях, нетрудно из одной формулы полу-
чить другую. Кроме того, если подобные преобразования поддаются
содержательной финансовой интерпретации, то правильность полу-
ченной формулы или соотношения бывает почти очевидной. Тем не
менее определенные знания в области математики и предрасположе-
ние к ней необходимы.
Следует упомянуть и о том, что задача финансового характера ча-
сто допускает более одного способа решения, и эта возможность не
только позволяет проверить правильность ответа, но и лучше прояс-
няет сущность задачи и используемых при ее решении формул. Иной
способ решения одной и той же задачи требует также и других фор-
мул. Кроме того, формулу нельзя применить, если не знать хотя бы
приблизительно ее вид, чтобы затем наити ее в соответствующем раз-
деле книги.

Однако невозможно понять и осмыслить любой раздел финансо-
вых вычислений, не зная наизусть основных, базовых формул, вы-
воды и доказательства которых в большинстве случаев приведены в
книге. Отметим, что проведение доказательств не было самоцелью
(хотя с позиции математики выводы формул весьма поучительны),
а сделано для того, чтобы читатель смог осознанно и с пониманием
пользоваться той или иной формулой. Попробуем указать тот набор
формул, который, по нашему мнению, составляет необходимый базо-
вый минимум. Безусловно, это не означает, что мы призываем проиг-
норировать другие формулы. Минимум — он и есть минимум, но и он
может служить немалым подспорьем при изучении курса финансовых
вычислений. Чтобы сохранить единообразие в нумерации формул и
для удобства чтения, в этом параграфе мы приводим формулы с теми
номерами, с которыми они встречались ранее в тексте.

Вначале обратим внимание на формулы

FV-PV

(1.1)

(1-2)

которые определяют процентную и учетную ставки и с помощью
которых можно оценить результативность простейшей финансовой
сделки. Для уяснения принципов и методов финансовых вычислений
полезно знать, что такое арифметическая и геометрическая прогрес-
сии и соответственно формулы
„ а, + а 2а + (п — l)z

s. ~2" =-------------\" <|13>

5 = я^—1. (116)

" ч-i

по которым находятся суммы п первых их членов. В частности, фор-
мула (1.16) и ее предельный вариант

a
s-^

(1-18)

(сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии) посто-
янно используются для вывода соотношений при оценке различных
видов аннуитета.

О расчетах, связанных с простыми процентами. Во-первых, это
основная формула наращения простыми процентами

F = Р(1 + пг)

и ее вариант записи

Т=Р(1 + уг).

позволяющий охарактеризовать три способа расчета простых процентов.

Из (2.1) легко следует формула математического дисконтирования

1+ пг

(2-15)

Во-вторых, это формула коммерческого дисконтирования

P = F(l—nd),

(2.18)

из которой сразу получается формула наращения простыми процен-
тами по учетной ставке
Р

1 - nd

(2-20)

Из этих формул путем несложных преобразований получаются со-
отношения для определения сроков и величин ставок. Для решения
задач с заменой платежей запоминать формулы нет необходимости,
поскольку они все получаются автоматически при составлении урав-
нений эквивалентности (то же самое справедливо и для случая слож-
ных процентов).

В главе, посвященной сложным процентам, базовыми формулами
являются формулы наращения сложными процентами

F =Р(1 + г)" = PFM\(r,n) (3.1)

(3.12)

из которых сразу получаются формулы расчета приведенных стоимо-

стей Р =------— = F FM2(r.ril (3.20) и (3.22) (конечно. (3.1) является

(1 + 0" *

частным случаем (3.12)). Как и в ситуации с простыми процентами,
знание формул наращения фактически одновременно означает и зна-
ние формул дисконтирования. Формула начисления процентов по
смешанной схеме

Л,=Р(1+—Г (1+7—)

т т

(3.16)

всего лишь вариант совместного использования сложных и простых
процентов.

Очень важно знать формулы определения годовой эффективной
процентной ставки:

(3.17)
(3-19)

И не только потому, что доходность какой-либо финансовой опе-
рации часто находят в виде такой ставки. Огромное количество задач
финансового характера допускают более простые решения с исполь-
зованием минимума формул, если перейти к эффективной ставке.

В расчетах, связанных со сложной учетной ставкой, основной фор-
мулой является

P—Fn(l—d}'’ (3.24)

дисконтирование по сложной учетной ставке. Чтобы иметь представ-
ление о непрерывных процентах и силе роста, необходимо знать фор-
мулу наращения непрерывными процентами

F„=P-ec' (3.41)

Многочисленные формулы, отражающие соотношения между
эквивалентными ставками, естественно, запоминать не нужно, по-
скольку они в случае необходимости легко получаются приравнива-
нием друг другу соответствующих множителей наращения или дис-
контирования.

Отдельно скажем об инфляции. Здесь, безусловно, важно понимать
суть инфляции и знать формулы определения индекса инфляции

1"' = (2.52)

и темпа инфляции

А Р

-----» (2-53)

из которых следует их соотношение
<2.541

Необходимо уметь находить индекс инфляции за весь период, если
известны индексы инфляции за отдельные под периоды. И далее надо
знать формулу определения наращенной (простыми или сложными
процентами) суммы с учетом обесценения:

<2-56>

1 р

Из этих формул можно уже определить формулы для нахождения
всех ставок, различаемых в условиях инфляции. Формулу Фишера

r = r+h+rh (3.65)

полезно знать не только в связи с финансовыми вычислениями.

При оценке произвольного денежного по ока (в частности, пере-
менного аннуитета) нет надобности в знании формул, а необходимо
помнить только о приведении всех денежных сумм к одному моменту
времени, что реализуется с помощью операции наращения (оценка с
позиции будущего) и дисконтирования (оценка с позиции настояще-
го). Однако знание основных формул оценки постоянного аннуитета
постнумерандо (определение будущей и приведенной стоимости ан-
нуитета) позволяет существенно сократить и упростить вычисления

= А (1+Г) = А FM3(p. n't (4.7)

РГ°, = А |~(1 + г) = A FM4(r,n) (4.16)

Расчеты же, связанные с более общими видами аннуитетов, можно
свести к использованию этих формул путем перехода эквивалентной
(и, в частности, эффективной) ставке.

Формула

=гг",-(1 + г)

(4.31)
и не случайно весьма похожая на нее

=/>Г“.(1 + г)

(4.36)

устанавливают связь между оценками потоков пренумерандо и пост-
нумерандо. Для задач с бессрочным аннуитетом основная формула —

РУ,=—- (4.45)

₽ г

Не так часто, но все-таки бывают полезными формулы оценки по-
стоянного непрерывного аннуитета

FF" = АГ FM3(r.n) (4.51)

ln(l + r)

Аг

PV° =-------FA/4(r,«)- (4-52)

ln(l +г)

Впрочем, зная одну из них, легко, как обычно, получить и другую.

Знание базовой формулы позволяет определить значение любо-
го содержащегося в ней параметра при известных всех остальных.
Например, формула для расчета срока аннуитета имеет достаточ-
но громоздкий вид и запоминать ее нет никакой необходимости.
Можно просто в формулу определения будущей (или, в соответ-
ствии с условием, приведенной) стоимости аннуитета подставить
все известные значения и решить полученное уравнение относи-
тельно неизвестного срока п . Аналогично можно поступать и при
использовании других базовых формул. Правда, в ряде случаев
приходится иметь дело со степенными уравнениями, имеющими
высокую степень, или с трансцендентными уравнениями. Но тако-
го рода уравнения легко решаются с помощью пакета многочислен-
ных электронных табл ин. в частности Excel.

Перечисленные формулы позволяют решить большое количество
задач. Ну а если это технически невозможно сделать, то, по крайней
мере, будет ясен принцип решения задач, что также немаловажно.
Глава 6
Финансовые и коммерческие
вычисления в исторической
ретроспективе

Рассмотренные в книге методы и приемы, естественно, не явля-
ются чем-то принципиально новым для отечественных специали-
стов. хотя относительно широкое распространение в нашей стране
они получили лишь в последние годы в связи с появлением реально
самостоятельных предприятий, либерализацией банковского дела,
становлением рынка капитала. Безусловно, за последние десятилетия
математический аппарат методов оценки эффективности финансо-
вых операций усовершенствовался, однако базовые методы не пре-
терпели сколько-нибудь сушественного изменения, их логика и воз-
можности применения остались такими же, как и в начале XX в. Для
того чтобы убедиться в этом и, кроме того, оценить, какое место ранее
занимали эти методы в системе экономического образования и бизне-
се, сделаем краткий экскурс в историю становления количественных
методов оценки финансовых операций в России1.

Финансовые вычисления появились с возникновением капита-
лизма. но стали складываться в отдельную отрасль знаний лишь в
XIX в. В то время они были известны как «коммерческие вычисле-
ния», или «коммерческая арифметика». Быстрый экономический рост
ряда стран в конце XIX в. связывают в немалой степени с образцовой
постановкой и поддержанием системы распространения коммерче-
ских знаний. В Западной Европе XIX в. коммерческое образование
стало предметом особенных забот не только купечества, но и город-
ских и общинных управлений и достигло значительного развития.

1 Часть фактов, не представленных в этой гааве, см в следующих работах*
Умное В.А У истоков финансовых вычислений в России // Вестник Санкт-
Петербургского ун-та. Сер экономика Вып 1(№5) 2002. Ковалев В. В.. Умнов В А Из
истории финансовых вычислений // Вклад ленинградских - петербургских учсных в
развитие экономической науки Сб. научи трудов / Санкт-Петербургский научный
иентр Российской академии наук. СПб., 2003
Даже правительственные органы принимали в деле распространения
коммерческого образования деятельное участие, которое с каждым
годом заметно возрастало [I, Коммерческая энциклопедия, 1899. С. 5].
В частности, в Германии в те годы существовало 24 высших коммерче-
ских училища, призванных культивировать эти знания.

Актуальность и важность коммерческого образования понимали,
конечно, и государственные деятели России. Любопытно отметить,
что Россия стояла у истоков создания системы коммерческого образо-
вания, т. е. системы подготовки будущих коммерсантов — первое ком-
мерческое учебное заведение появилось в России в 1772 г. «в то время,
когда в Западной Европе почти не существовало ни одной школы с
такой специальностью» [I, Кечеджи-Шаповамв. С. 256]. Дворянин
П. А. Демидов пожертвовал 205 тыс. руб. на открытие в Москве Ком-
мерческого воспитательного училища, в котором могли бы обучаться
сто мальчиков из купеческих семей. Имея целью поставлять образо-
ванных людей для работы в промышленности и торговле, училище, к
сожалению, вплоть до 1800 г. не вполне выполняло свое предназначе-
ние, — за прошедшие к тому времени три десятилетия существования
училища лишь 20% принятых в него воспитанников впоследствии
стали заниматься коммерческой деятельностью. Велик был и отсев
воспитанников. Например, из поступивших в 1782 г. ни один воспи-
танник не закончил училища.

К сожалению, людей, подобных Демидову, в России было не так
уж и много, и купеческое сословие в то время довольно равнодуш-
но относилось к коммерческому образованию. Не было надлежащей
поддержки и со стороны правительства: более того, вплоть до сере-
дины XIX в., по сути, отсутствовала государственная политика в об-
ласти развития коммерческих знаний. В конце 1850-х гг. ситуация
начинает постепенно меняться, и в крупных центрах стали откры-
ваться коммерческие училища, которых, однако, было явно недоста-
точно.

В конце XIX в. процесс распространения коммерческих знаний
ускорился, чему в немалой степени способствовал ряд действий,
предпринятых российским правительством. В частности, высочайше
утвержденным 15 апреля 1896 г. Положением о коммерческих учебных
заведениях заботы о распространении в России столь необходимого
коммерческого образования перешли в ведение Министерства фи-
нансов (о чем годом ранее высказал мнение Государственный Совет),
которое с этого же времени приняло все меры к возможно широкому
осуществлению предназначенных задач.

Согласно Положению 1896 г. предполагалось создать коммерче-
ские учебные заведения следующих разрядов: торговые классы, тор-
говые школы, коммерческие училища, курсы коммерческих знаний.
Все они имели «специальной целью дать делу развития коммерче-
ского образования широкий простор» [1, Бахчисараицев, 1900. С. 1].
Страна, на три четверти безграмотная, со скудным бюджетом на на-
родное просвещение, в течение десятилетнего периода (1896—1906 гг.)
обогатилась более чем на 150 дорогостоящих коммерческих школ (за-
метим, что еще в 1898 г. во всей России насчитывалось около десят-
ка коммерческих школ и ни одного низшего коммерческого учебного
заведения). Многие из них были созданы за счет частной инициа-
тивы. поскольку годовой бюджет такой школы составлял в среднем
50 тыс. руб., из которых лишь 1,5*6 была доля государства. И это сви-
детельствует о том, что российские предприниматели также оцени-
ли перспективность нового направления, а общество в целом проде-
монстрировало «полное признание целесообразности таких школ» [I.
Кечедзки-Шшюеалов. С. 257]. Вспоминая то время, С. Ю. Витте писал:
«Промышленники и коммерсанты стали принимать активное участие
в учреждении коммерческих школ и в их управлении, давая средства
на устройство и поддержание своих коммерческих училищ»1.

К этому подталкивала и сама жизнь. Например, с проведением
Великого Сибирского пути в Сибири начинают быстро развиваться
торговля и промышленность. Рост товарооборота требовал и зна-
чительного числа профессионально подготовленных лиц, которых
в то время не было в Сибири. А приглашение таковых из Европей-
ской части обходилось весьма недешево. В 1896 i. iомское купече-
ство начинает всерьез думать о местном коммерческом училище.
И вот в 1901 г. первое коммерческое сибирское училище было тор-
жественно открыто.

В Иркуюке в 1908 г. были шкрыти втрое коммерческое училище
(планировалось это осуществить в 1906 г.), причем инициаторами его
открытия являлись Иркутское купеческое общество и городской го-
лова (кстати, это училище стало первым коммерческим училищем в
Восточной Сибири). Хотя основную часть финансовых затрат за обу-

1 Витте С Ю Воспоминания Т 2 М , 1960 С 255
чение должны были нести родители учащихся, коммерческое образо-
вание в училище получали не только дети зажиточных родителей: в те
времена Иркутск славился своей благотворительностью. Известные
купцы и золотопромышленники жертвовали солидные суммы на раз-
витие культуры и образование. Из этих средств оплачивалось обуче-
ние, питание, квартирные и прогоны (проезд). Учащимся, имевшим
особые успехи в учебе, назначалась городская стипендия, стипендия
генерал-губернатора Н. Н. Муравьева-Амурского; были еще и россий-
ские именные стипендии: «Память Отечественной войны» и «300 лет
Дома Романовых». Кроме того, в самом училище были две именные
стипендии.

Основу коммерческих наук составляла коммерческая арифметика
как наука, применение которой не только всегда сопровождает, но и
большей частью обусловливает каждый торговый акт. каждую финан-
совую операцию. Что же входило в курс коммерческой арифметики?
С позиции сегодняшнего дня процедурная сторона новой науки даже
в период ее расцвета накануне революции кажется относительно не-
сложной — она включала технику процентных вычислений (простой
и сложный проценты), технику вексельных вычислений (дисконт и
методы дисконтирования), технику вексельно-курсовых вычисле-
ний, технику монетных вычислений (в денежных единицах разных
государств), технику товарных вычислений (калькуляция товарных
цен, скидки и пр.), технику вычислений по процентным бумагам и
акциям, технику банковых вычислений (текущие счета, кратко- и
долгосрочные вклады и ссуды, комиссионные операции). Однако со-
держательная сторона коммерческой арифметики не потеряла акту-
альности и в наше время.

В курс коммерческой арифметики, как правило, входила еще iex-
ника сокращенных (упрощенных) и приближенных вычислений,
поскольку «при решении практических задач прежде всего требу-
ется быстрота» [I, Боболович, 1902. С. III] и «для коммерсанта бы-
ло бы совершенно бесполезно вычислить, например, вес товара до
миллионных частей фунта или стоимость его до миллионных ча-
стей копеек, так как практическая жизнь не дает никаких средств
для осуществления таких частей на деле» [I, Мокеев, 1908 (а). С. 6].
Однако просто умение считать быстро и с разумной точностью не-
посредственного отношения к коммерческой арифметике не имеет.
Как справедливо писал А.Л. Гольдин: «Можно быть превосходным
вычислителем, можно обладать способностью в одну секунду пере-
множать и делить в уме любые числа, и все-таки не суметь учесть са-
мый простой вексель, если не знать, как это делается. Коммерческая
арифметика учит именно этому последнему» [I, Гольдин. С. 4].

Исторически финансовые вычисления естественным образом яв-
лялись частью коммерческих расчетов, проводившихся при осущест-
влении торговых операций. Такого рода расчеты дали основу коммер-
ческой арифметике, некоторые элементы которой встречаются даже в
древнейших египетских манускриптах. А возникновение коммерче-
ской арифметики как науки относят к «заре новой истории» и связы-
вают с Венецией, бывшей одним из самых крупных торговых центров
и Италии, и всей средневековой Европы. По мере смешения торговых
центров в Голландию и Германию в этих странах получает дальней-
шее развитие и коммерческая арифметика. Неслучайно Н.С. Лунский
отмечает, что основной вклад в развитие теории финансовых и ком-
мерческих вычислений сделан английскими, немецкими, француз-
скими и голландскими учеными [I, Лунский, 1912. С. 3]. Постепенно
систематизируется материал, доставляемый практикой, разрабатыва-
ются и выделяются наиболее целесообразные методы, используемые
в коммерческих расчетах.

Посмотрим на Россию того времени. Известно, что татаро-мон-
гольское нашествие тяжело отразилось на ее экономическом разви-
тии. Однако со второй половины XIV в. начинается подъем хозяйства
и страны. Крупными центрами производства и торговли становят-
ся Москва, Новгород, Тверь, Нижний Новгород. Складываются все
экономические предпосылки, определяющие процесс объединения
русских земель в единое централизованное государство. Развивается
внуфенняя и внешняя юрговля. Как ответ на требования практики
в математических рукописях появляются расчеты, связанные с веде-
нием торгового дела1.

На рубеже XVI—XVII вв. была составлена «Торговая книга», в кото-
рой, в частности, в форме «советов» рассказывалось, как продавать в

1 Даже в древнейшем русском юридическом сборнике, известном под названи-
ем «Русская правда», есть статьи, содержащие подсчет процентов, которые следу-
ет получить за приплод ссуженного скота (овец, баранов, свиней) и пчел Впрочем,
статьи с хозяйственными расчетами могти быть вставлены позже переписчиками
В списках ранее XV в. эти статьи не встречаются
Западной Европе товары из Руси1. При этом решались задачи опреде-
ления дохода от продажи товара (при известной себестоимости и цене
на рынке), стоимость провоза товара и т. д. Кроме того, эта книга со-
держала описание единиц веса, мер и денежного счета, а также опи-
сание всех привозимых на Русь иностранных товаров с указанием их
стоимости.

В XVII в. наблюдается рост товарно-денежных отношении в Рос-
сии. Усиливаются торговые связи не только внутри России, но и со
странами Запада и Востока. Растет количество и сложность задач при
осуществлении торговых операций. Методы и способы решения этих
задач можно наити в математических рукописях XVII в.

Все эти рукописи содержат правила действий с целыми числами
и дробями. Далее излагается тройное правило, которому уделяется
особое внимание, поскольку оно являлось основой многих других
правил, применяемых при решении всякого рода задач, включая ком-
мерческие2. Затем следовало большое число статей, названия которых
связаны с методами решения задач и их содержанием. Большинство
названий этих статей отвечает потребностям торговли того времени.
Например, «Статья торговая» посвящена вычислению цены товара,
прибыли от продажи и пр. В этой же статье, а также в «Статье росто-
вой, убыточной и прибыльной» помещены следующие задачи на про-
центы: по известному проценту определить процентные деньги и по
известным процентным деньгам найти ту сумму, на которую они на-
числяются. В «Статье о нечести во всяких овощах и товарах» реша-
лись задачи на вычисление цены смеси. Эта статья соответствовала
так называемому правилу смешения, в соответствии с которым по
данным количествам смешиваемых товаров и их ценам определялись
характеристики смеси (например, иена единицы смеси). В статье гак-
же приводились расчеты, связанные со сплавами драгоценных метал-
лов «Статья меновая в торгу» показывала, каким образом находить
количество товара данной стоимости, которое необходимо отдать при
обмене на друi ой товар (при известных ei и с j оимисти и количестве).

Как видим, указанные рукописи в известном смысле отражали
простейшие варианты будущих книг по коммерческой арифметике.

1 Полное название книги «Книжка описательная, како молодым людям торг вести
и знати всему цену, и отчасти в ней описаны всяких земель товары различные, их же
привозят на Русь немцы и иных земель люди торговые»

’ В немецкихсредневековыхучебникахтройное правило представлялось как <ключ
купцов», во французских называлось «золотым правилом»
Статьи в рукописях носили чисто практический характер и излага-
лись в виде правил, даваемых в форме предписаний или рецептов.
Каждое правило сопровождается большим количеством подробно ра-
зобранных примеров (что, кстати, было ценной особенностью руко-
писей). К рукописям прилагались таблицы сложения и умножения1.
Математические русские рукописи XVII в. отличались своеобразием
изложения материала. При их составлении авторы учитывали именно
требования русской действительности. «Большинство задач, содер-
жащихся в русских рукописях, является творчеством русских авторов
и не встречаются в иностранных источниках. Даже задачи, сходные с
задачами, включенными в иностранные пособия, представлены в но-
вых вариантах»2 3. Эти рукописи по своему содержанию и изложению
были на уровне учебных руководств по арифметике и геометрии За-
падной Европы конца XV—XVII в.’

В 1703 г. была издана «Арифметика» Леонтия Филипповича Маг-
ницкого. Полстолетия эта книга не имела себе равных в русской учеб-
ной математической литературе. По существу, «Арифметика» была
не просто учебником, а энциклопедией математических знаний и, по
образному выражению М. В. Ломоносова, — «вратами учености». Зна-
чительная часть книги была посвяшена объяснению методов исполь-
зования теоретического материала в вопросах деятельности, «потреб-
ных гражданству». Купечество было одним из основных потенциаль-
ных потребителей арифметических познаний, и в книге немало места
отведено практическим сведениям о коммерческих расчетах.

Учебник состоял из двух книг (и дополнения), первая из которых
была посвящена как раз именно арифметике. Магницкий делит ее
на «арифметику политику» и «арифметику логистику». Давая опре-
деление «арифметике политике», он пишет, что она предоставляет
возможность «исчислити всякое исчисление, великое и малое, в про-
дажах и куплях, в мерахже и весах, и во всякой цене, и во всяких день-
гах, во все царства всего мира». Таким образом, подчеркивается безус-
ловная важность знания арифметики для успешною осуществления

1 Таблицы выпускались даже отдельно. И в названиях таблиц также указывалось,
что они предназначены главным образом для торгового тюда.

2 История отечественной математики* в 4 т Т I. Киев* Наукова думка, 1966

3 Любопытна математическая терминология рукописей В частности, некоторые
названия слагаемых носят коммерческий оттенок Так, уменьшаемое называется за-
емным перечнем, вычитаемое — платежным перечнем
коммерческой деятельности1 Порядок изложения материала первой
книги напоминает план изложения в русских математических руко-
писях XVII в., из которых Магницкий заимствовал и большое коли-
чество задач. Поскольку среди тех, кому предназначалась «Арифмети-
ка». Магницкий указал купцов, экономов, то значительное число за-
дач, помешенных в третьей части первой книги, носит коммерческий
характер. Более того, отдельная глава посвящена описанию древних
монет и весов и сравнению их с существующими в начале восемнад-
цатого столетия.

В большинстве издаваемых в дальнейшем учебниках по элемен-
тарной математике включались целые разделы из коммерческой ариф-
метики: учет векселей, вычисление процентов, исчисление дискон-
та и др. И это неудивительно, поскольку коммерческая арифметика
«представляет обширный материал для упражнений, и материал тем
более ценный, что он не является плодом воображения... а заимство-
ван непосредственно из жизни и практики» [1, Вейцман, 1913. С. 3].
А одной из целей обучения арифметике является следующая: «научить
учащегося производить вычисления, которые может от него потребо-
вать его будущая практическая деятельность» [Там же. С. 4].

Однако с развитием торговли и промышленности практика вы-
двигала все больше разнообразных задач, которые носили явно спе-
цифический характер и не укладывались в рамки обшей арифмети-
ки. Например, вексельно-курсовые и товарные вычисления, расчеты,
связанные с арбитражем. В коммерческих расчетах немаловажное
значение играло также владение упрошенными (приближенными)
приемами вычислений, так как почти каждое коммерческое вычисле-
ние по существу являлось приближенным. И конечно, при осущест-
влении коммерческих расчетов необходимо было легко ориентиро-
ваться в понятиях, широко используемых в коммерческой практике и
совсем необязательных в изучении обычной арифметики

В России в восемнадцатом столетии не было сочинения, посвя-
щенною вопросам и проблемам именно коммерческой арифметики.
Первую попытку издания систематического руководства по коммер-
ческой арифметике на русском языке осуществил Василий Степа-

1 Кроме изложения собственно математики в учебнике м него общих рассуждений,
приведенных в стихотворной форме Одно из стихотворений описывает герб книги,
где наряду с Георгием Победоносцем и Архимедом присутствует Пифагор с весами, то-
варами, мешком денег и цифрами
нович Кряжев, опубликовав в 1811 г. книгу «Купеческая арифметика
для банкиров, купцов, заводчиков, фабрикантов и воспитанников
их»1. Автор, обращаясь к «Почтенному Сословию Московского купе-
чества», так пояснил мотивы, побудившие его взяться за эту работу:
«...Почитая Арифметику главнейшею для торгового человека наукою,
и находя, что у нас еще на Российском языке нет собственно Коммер-
ческой Арифметики, я употребил от должности моей остающееся сво-
бодное время на составления сей книги» [1, Кряжев, ч. 1. С. Ill j2.

«Купеческая арифметика...» Кряжева, опубликованная в двух ча-
стях (общим объемом более 610 страниц), составляющих первый курс,
была предназначена главным образом для использования в Москов-
ском коммерческом училище, где автор занимал должность директо-
ра3. Предполагается, что при написании сочинения Кряжев использо-
вал немецкие источники. Однако содержание книги не очень сильно
отразилось в ее назван ии.

Начинается курс в соответствии с тем порядком, который был об-
щепринят в большинстве учебников арифметики того времени. Вся
первая часть сочинения посвящена изложению действия над целыми
числами и дробями. Особенное внимание Кряжев обращает на крат-
чайшие способы вычислений (по терминологии автора «выгоды»). Во
второй части представлен ряд правил: пропорций, тройное, пятер-

1 Справедливости ради следует упомянуть о сочинении И Новикова, опублико-

ванном в 1794 г Однако эта работа была посвящена лишь частным вопросам, отражен-
ным в названии книги* «Ключ к выкладкам курсов, или ныне изобретенный, самый
кратчайший способ верно выкладывать Английский и Голландский курс с помощью
особливых таблиц, с ясным описанием того, что под словом курс разумеется, и от че-
го оной по большей части повышается и упадает». Непосредственно само изложение
материала (в форме вопросов и ответов на них) было элементарным и достаточно ко-
ротким Большую часть книги составляти таблицы и указания (с примерами), как
ими пользоваться В 1804 г. Новиков переиздал эту книжку под другим названием; в
основном, автор сохранит текст, однако нс включил в книгу таблицы, что привело к
уменьшению объема работы примерно в четыре раза

3 Поскольку в дальнейшем коммерческие и финансовые вычисления вместе с бух-
галтерским учетом будут рассматриваться как базовые дисциплины в системе ком-
мерческого образования, напомним, что первая книга по бухгалтерскому учету «Ключ
коммерции иди торгов ш, т е. наука бухгалтерии, являющая содержание книг и произво-
ждение щетов купеческих», представлявшая собой перевод с английского, была опу-
бликована в России в 1783 г.

3 Заметим, что Василий Степанович Кряжев также переводил литературные про-
изведения с французского языка, выпустил несколько книг для детского чтения (как
переводных, так и составленных им самим). В начале XIX в. Кряжев был совладельцем
типографии, которая, впрочем, закрылась через несколько лет из-за плохого состоя-
ния дел В Московском коммерческом учи лише В.С Кряжев прошел путь от учителя
до директора.
ное, цепное и товарищества; последняя глава второй части (разделы
«Нижняя практика» и «Высшая практика») в основном посвяшена
изложению «выгод». Поясняя, что слово практика позаимствовано с
греческого языка и означает «искусство в исправлении дела». Кряжев
трактует практику в арифметическом смысле слова как «навык вы-
числять встречающиеся задачи самым кратчайшим и выгоднейшим
образом» [I, Кряжев. Ч. II. С. 131]. Формулируя ключевую идею своего
сочинения, автор пишет: «Как практика во всех своих действиях име-
ет предметом выгоднейшую краткость, то особенно препоручается
купцу, который в кругу дел своих преимущественно имеет нужду в
кратком способе вычисления» (Там же. С. 131] Таким образом. Кря-
жев выделяет характерную, по его мнению, черту купеческой арифме-
тики, заключающуюся в краткости вычислений.

Однако эта идея (спустя и десятилетия) поддерживалась далеко не
всеми, поскольку справедливо считалось, что краткость вычислений
одинаково желательна для всех (а не только для купцов), и в любой
практической арифметике на это необходимо обращать внимание.
Книга весьма насыщена примерами и задачами для самостоятельного
решения, причем в конце книги даны ответы к задачам, содержащим-
ся в обеих частях сочинения. Вместе с тем большинство примеров но-
сили достаточно общий характер и были мало связаны (или совсем не
связаны) с торговой практикой, тогда как именно торговые расчеты
встречаются в основном при изложении цепного правила’.

Второй курс купеческой арифметики так и не был опубликован,
хотя о таком намерении Кряжев определенно заявлял в опублико-
ванном первом курсе. Так. обсуждая применение тройного правила
в купеческих расчетах, автор обещал, что «преподано будет нужное
наставление во втором курсе» по таким вопросам, как, «например,
вычисление промена, вексельные приведения, счисление тары, вы-

1 Любопытно, что в своем сочинении Кряжев нередко отвлекается от сухой ариф-
метики и приводит суждения назидательного характера, очевидно рассчитанные на
воспитанников Например: «При немногом размышлении можно избежать много тру-
да . Вообще во всяком деле человеческом размышление и суждение доставляет вели-
кие пользы . Один рубль, трудом и прилежанием приобретенный, доставляет гораздо
более истинного удовольствия, нежели многие сотни, полученные таким образом, что
и похвалиться стыдно» [Кряжев, ч II. С. 231 Приведенное выражение не только от-
ражает этику бизнеса, но и поясняет, почему в дореволюционной России понятие «ку-
печеское слово» было символом порядочности вбизнсс-отношениях. Было бы весьма
неплохо для становления российского предпринимательства, если бы «новые русские»
не формально, а по существу поразмышляли над таким, казалось бы. некоммерческим
понятием, как этика.
кладки товарные и проч.» [Там же. С. 23]. Этой же причиной он объ-
ясняет сознательное ограничение числа предложенных им примеров
купеческих вычислений, связанных с правилом товарищества [Там
же. С. 123]. Или вот что мы читаем в самом конце главы XVII: «По на-
стоящему должно быть теперь по согласующимся с правилом товари-
щества свойствам следовать вычислению золота и серебра, правилам
смешения и фальшивому; но чтобы поместить сии выкладки в самых
приличных в купеческой Арифметике местах, то должен я отложить
их во второй курс». Нет никаких сомнений в том, что автор ясно со-
знавал безусловную необходимость второго курса, в котором намере-
вался изложить большую часть разделов коммерческой арифметики,
и можно только сожалеть, что какие-то причины не позволили Кря-
жеву осуществить задуманное. Тем не менее вряд ли можно оспари-
вать тот факт, что работа Кряжева была исключительно значимой и
своевременной — ведь это был первый труд такого рода на русском
языке, а каждому понятно, что значит первым начинать новое дело.

После опубликования книги Кряжева в течение почти сорока лет
не было опубликовано ни одной работы, в которой ставилась бы задача
систематического изложения коммерческой арифметики1. Перечис-
лим произведения, в которых так или иначе все-таки затрагивались
вопросы, составляющие коммерческую арифметику. В 1833 г. вышел
на русском языке перевод книги И. Детенгофа. посвященной обшим
торговым вопросам. Автор ставил себе целью «расположить ясно и
без лишних подробностей основания науки о торговле» [I, Детенгоф.
С. VI]. Детенгоф писал, что все излагаемые в книге предметы доста-
точно известны в торговом мире, однако новым является «соединение
оных в одно целое» [Там же. С. VII]. В книге можно найти некоторые
коммерческие расчеты; есть, например, сгатьи о вычислении цены зо-
лота и серебра, вексельного пари, аварии.

При практически полном отсутствии подобной литературы на рус-
ском языке в обществе положительно была встречена изданная в 1840 г.
книга К. Кларка «Биржевые расчеты для сравнения С.-Пе1ербургских
цен с ан гл ийскими на привози ые товары по всякому вексельному кур-
су». Эта книга представляла собой хорошо составленное руководство

1 Тем не менее начинает ощущаться необходимость {правда нс ярко вырокенная)
в такого рода пособиях. Заметим, что в 30-х годах XIX в курс купеческой арифмети-
ки (наряду с бухгалтерией, наукой о торговле) читался в Петербургском коммерческом
училище
для проведения коммерческих расчетов, связанных с конкретными
товарами. К подобного рода сочинениям можно в известном смысле
отнести и работу анонимного автора «О лесной торговле с Англией, с
приложением правил для вычисления кубического содержания леса»,
вышедшую в том же году и приписываемую также Кларку. Пособие
«Собрание хозяйственных расчетов» (1845) содержало решения неко-
торых коммерческих задач.

В 1848 г. появилась переведенная с французского языка небольшая
брошюра И. Ванье «Уроки коммерческой арифметики, или простые
способы вычисления процентов и барышей для знающих четыре пра-
вила арифметики». Это сочинение содержало шесть уроков и касалось
вопросов чаше всего встречающихся, по мнению автора, в торговых
оборотах. Несмотря на то что эта книжка в то время уже неоднократно
переиздавалась во Франции и была принята там «за руководство во
многих коммерческих училищах» [I, Ванье. С. 5], по объему материала
и уровню его подачи она безусловно не могла претендовать на полно-
ценный курс коммерческой арифметики.

Годом позже вышло руководство для занимающихся торговлей
«О вексельных оборотах», составленное И. Петерсом. Фактически
это был перевод (с большими пропусками из оригинального текста)
одной из книг Ж. Гарнье1. Как писали в то время, и само сочинение
Гарнье было достаточно посредственным, и его перевод повторил все
недостатки подлинника. В брошюре небольшого объема, в частности,
«помешены некоторые вексельные вычисления, составленные во-
обще весьма поверхностно» (Сын отечества, 1850. Кн. II. Т. 6. Отд. 6.
С. 6] и «во многих местах встречается неясность и неверность от не-
знакомства с техническими терминами, от пропусков и непонимания
оригинала» [Современник, 1849. Т. XVI. Отд. III. С. 26]. Существен-
ным недочетом работы Петерса было и отсутствие материала о рус-
ском вексельном деле, так как «у него, как у Гарнье, только и речи,
что о Париже; но ведь русский торгующий не станет же делать своих
соображений по французским данным» [Там же. С. 28|.

И вот наступил 1850-й год — рубежный год в становлении отече-
ственной финансовой науки; именно в этом году была издана работа
А. Штейнгауза «Купеческая арифметика». Как писал автор, побуди-

1 Жозеф Гарнье — французский ученый XJX в в области политической экономии
Многократно переиздавалась его книга «Элементы политической экономии». Гарнье
был основателем и редактором Journal des economises
тельным мотивом написания сочинения являлся «совершенный не-
достаток в Купеческой Арифметике, которая бы могла служить по-
лезным руководством для купцов в их разнообразных вычислениях
и пособием для коммерческих и реальных училищ» [I, Штейнгауз.
С. III]. Книга Штейнгауза в течение последующего десятилетия и ста-
ла по сути единственным таким учебным пособием и практическим
руководством1.

Для того чтобы оценить широту круга рассматриваемых вопросов
и представить, что автор понимал под термином «купеческая ариф-
метика». перечислим кратко темы, составляющие содержание кни-
ги. Примерно на девяноста страницах (при общем объеме книги 212
страниц) излагаются действия над простыми и именованными чис-
лами и дробями (обыкновенными и десятичными), тройное правило
(простое и сложное). Далее начинается собственно купеческая ариф-
метика. Автор последовательно рассматривает темы: правило смеше-
ния, цепное правило, правило товарищества, исчисление процентов
(со «100», на «100», во «100», расчеты прибыли и убытка), исчисление
интересов (простых и интересов на интересы), исчисление дисконта,
особенные случаи при исчислении интересов и нахождение среднего
срока, вексельное исчисление (прямое, непрямое и арбитражное), то-
варное исчисление. И в качестве краткого «прибавления»—обозрение
главнейших монет, мер и весов.

Достаточно большая часть книги (43% ее объема) посвящена
обычной арифметике. В общем это соответствует и логике изло-
жения и, видимо, Штейнгауз стремился сделать свой учебник до-
вольно полным по объему и широте охвата включенного материала
Несмотря на то что в то время в России было достаточно учебников
по арифметике, эта часть книги выделялась по богатству и хороше-
му выбору задач, которые могли быть использованы при изучении
обычной арифметики.

Изучение разделов, непосредственно касающихся купеческой
арифметики, позволяет сделать вывод о том, что достаточно подробно
излагаются ситуации, связанные напрямую с торговым делом. Полно
и детально представлены исчисления процента, дисконта и вексель-
ное исчисление. Вычисления, которые не имеют собственно торгово-

1 За четыре года до выхода книги Штейнгауза купец И Вавилов намеревался (о чем
и заявлял в печати) опубликовать сочинение по коммерческой арифметике, но, по не-
известным причинам, так и не осуществил своей задумки
практического значения (например, расчеты пробы монет, их веще-
ственной и нарицательной ценности и т. д.), в сочинении Штейнгауза
опушены. В будущем во многих книгах по коммерческой арифметике
появится самостоятельный раздел под названием «монетные вычис-
ления». Сравнительно мало места уделено вычислениям интересов на
интересы (то, что мы называем сейчас сложными процентами). Автор
говорит, что такого рода вычисления редко употребляются в торговых
делах. Поэтому он только на трех примерах показывает, как находить
«возросший капитал» и как решать обратную задачу, т. е. определять
исходный капитал. Поскольку метрологическая часть книги Штейн-
гауза также не отличается объемностью, то в качестве дополнения к
его «Купеческой арифметике» рекомендовалась известная тогда «Об-
щая метрология» Ф. Петрушевского*. Все это мы отмечаем не с целью
выявления недостатков работы А. Штейнгауза, а лишь с намерением
отметить ее своеобразие как, по сути, первого систематизированного
труда по коммерческой арифметике, ее отличие от последовавших в
будущем книг других авторов.

Термин «купеческая» (арифметика) не был единственно употреби-
мым в России в середине XIX в.; наряду с ним использовались и такие,
как «торговая», «коммерческая»; тем не менее предпочтение отдава-
лось именно первому названию.

Появление книги Штейнгауза не осталось незамеченным в рос-
сийском обществе. Как писали, например, в журнале «Сын Отече-
ства», эта работа заслуживала во многих отношениях внимание и
одобрение, поскольку она «у нас единственное и для первоначально-
го употребления весьма хорошее руководство к изучению торговой
арифметики» и желающие ознакомиться с основами торговых рас-
четов найдут в книге «указания верные, отчетливые, примененные к
значительному числу случаев, и, за немногими исключениями, изло-
женными ясно, просто и для каждого понятно» [Сын Отечества, 1850
Кн. 11. Т. 6. С. 7, 10].

Штейнгауз не указал источники, которыми он пользовался при на-
писании книги. Однако его современники полагали, что за образец был
взят изданный в 1842 г. очень популярный в Германии учебник Феллера

1 Книга Ф.И. Петрушевского «Общая метрология» (общим объемом 819 страниц)
была опубликована в 1849 г. и содержала две части Первая часть бы та посвящена опи-
санию мер, весов, монет и исчислению времени разных народов. Во второй части со-
держались таблицы, метрологический словарь, указатель географических названий и
примечания к тексту первой части.
(Feller) и Одерманна (Odermann) Das Ganze der kauftnbntnschen Anthmefik,
который был составлен для коммерческого училища в Лейпциге. Об
этом свидетельствовали и метод изложения, и порядок расположения
статей, и ряд приведенных примеров (напомним, что и В. Кряжев в свое
время, также, вероятно, использовал литературу немецких авторов).
Сама же книга Феллера и Одерманна спустя и четверть века после опу-
бликования не затерялась среди учебной литературы по коммерческой
арифметике. Их сочинение, ставшее классическим, оказало большое
влияние на многих авторов последующих учебников.

Несмотря на то что значительная часть «Купеческой арифметики»
Штеингауза была посвящена обычной арифметике, предварительное
и неплохое знакомство с арифметическими вычислениями содер-
жание книги все-таки предполагало. Автор не приводит подробных
доказательств различных предложений и правил, он просто указыва-
ет, как нужно поступать в конкретном случае, не объясняя, почему
нужно делать так, а не иначе. Для того чтобы убедиться в законности
используемого метода, оценить его значение и эффективность при-
менения, безусловно, необходимо знание обычной арифметики, вла-
дение ее приемами и доказательствами. Однако к каждому правилу в
книге прилагается большое количество хорошо подобранных задач и
под руководством преподавателя изучение курса «Купеческая ариф-
метика» по работе Штейнгауза могло быть весьма успешным. Таким
образом, сочинение Штейнгауза вполне соответствовало качеству
учебной книги для коммерческих и реальных училищ, что и отвечало
одной из целей автора. Тем не менее книга явно не стала своего рода
самоучителем и как руководство для купцов, видимо, была не очень
полезной. В России середины девятнадцатого столетия было не так
мною купцов, хорошо знавших обычную арифметику, т. е. знакомых
не только с первыми четырьмя действиями над числами, но и с теори-
ей отношений и пропорций и т. п. Кроме того, вряд ли большинство
представителей купеческого сословия хорошо владели разнообразны-
ми методами решения арифметических задач1.

1 Отмстим и любопытный, в некотором смысле курьезный момент Во введении
А. Штейнгауз утверждает, что «из опыта известно, что. тс, которые хорошо писали,
были большею частью и лучшие счетчики» и поэтому «должно стараться с умением
считать - соединять искусство писать цифры чисто и ясно» |1, Штейнгауз. С 1|. Жаль,
что такая довольно странная зависимость между арифметикой и хорошим почерком не
была подробно объяснена автором.
Купеческим расчетам было посвящено первое отделение книги
(практически ее четвертая часть) К. М. Клинге «Руководство контор-
ского знания», опубликованной в 1857 г. (второе издание — 1863 г.). По
словам автора, конторское знание составляло часть науки о торгов-
ле и подразделялось на три отдела: (а) купеческие расчеты и торговое
письмоводство; (б) корреспонденция; (в) бухгалтерия. Работа Клинге,
писал А. М. Галаган, «явилась одной из капитальнейших работ по сче-
товодству первой половины XIX столетия». Поскольку сам автор был
преподавателем счетных знаний в коммерческом училище, то «его
труд имел существенное значение в деле распространения знаний
бухгалтерии среди торгово-промышленных деятелей того времени»1.

Во втором отделении книги излагались вопросы бухгалтерии,
причем автор заявлял, что в его работе «теория и практика будут из-
ложены в тесной связи» [1, Клинге. 1857. С. 2]. Общая арифметика как
таковая в книге отсутствовала, поскольку она считалась известной
читателю (работа предназначалась в основном для преподавания в
коммерческом училище, где автор работал старшим учителем). Ку-
печеские расчеты (во втором издании книги они называются «купе-
ческие счисления») рассматривались как часть конторского знания
и состояли «в систематическом изложении различных видов счетов в
области торговли, как денежные — товарные — вексельные и спекуля-
ционные счеты» [I. Клинге, 1863. С. Ill)

В 1864 г. появилась работа М. Цветкова «Руководство к коммерче-
ской арифметике», написанная в «катехизаторской» форме (прием,
использовавшийся ранее и Иваном Новиковым) и излагавшая ком-
мерческую арифметику начиная с самых элементарных понятий2 3. Эта
книга была одобрена Учебным комитетом народного образования
России и переиздана в 1872 г.

В 1865 г. было опубликовано руководство по коммерческим и фи-
нансовым вычислениям П.И. Рейнбота, затем переизданное в 1882 г
Укажем еще на вышедшую в 1866 г. книгу А. Фон-дер-Зее, посвящен-
ную двойной итальянской 6ух1алтерии и коммерческим вычислени-
ям; ее второе издание, дополненное и исправленное, было осущест-
влено в 1872 г. В отношении коммерческих вычислений автор ограни-

1 Галаган А.М. Счетоводство в его историческом развитии. М., Л Госиздат, 1927

С 149

3 Катехизис (от греч katechesis — поучение) — изложение основ какого-либо учения
в форме вопросов и ответов.
чивался «объяснениями практической части их» и, если местами при-
водил арифметические правила, «то лишь по необходимости доказать
отношения теории к практике, при которой, как известно, вычисле-
ния должны делаться сокращенными способами, быстро и верно»
|1, Фон-дер-Зее, 1866. С. VII]. Чтобы облегчить и сократить решения
задач Фон-дер-Зее старался, чтобы эти решения были «подведены по
возможности под одно цепное правило» [I, Фон-дер-Зее, 1872. С. III].

Поскольку одной из насущных задач тех лет было овладение тех-
никой быстрых расчетов, вполне естественным выглядит разработка
и публикация таблиц, позволяющих облегчить коммерческие расчеты
и устранить возможность появления ошибок при вычислениях. Еще
в 1796 г. были опубликованы таблицы М. Савинова специально в ви-
де книжки небольшого формата (по терминологии автора «в осьмуху»)
«для того, чтобы способно было поместить ее в карман и чрез то во вся-
кое время и везде иметь при себе способ счесть, что потребно будет»
(I, Савинов. С. XII]* 1. Приведем полностью довольно длинное название
этого сочинения, поскольку Савинов в названии, как это было часто
принято в те годы, старается пояснить содержание своей книжки и
цель ее создания: «Арифметик без пера и карандаша и без поверки или
удобнейший способ скоро и без ошибки сделать всякий шет в прода-
жах, покупках, мерах и весах, и узнавать цену сколько за все заплатить
или получить должно денег, и как всякую вешь разделить на равные
части, не употребляя обыкновенных щетов и Арифметики с приобще-
нием наставления, каким образом употреблять сию книжку»

Автор все-таки полагал, что его «наставление» некоторым может
показаться «темновато». Вместе с тем он считал, что для большинства
потенциальных пользователей его таблицам и пояснений вполне доста-
точно, а для «разумеющих больше автора» он не является учителем.

В 1802 г. были опубликованы составленные П. Хазовым таблицы,
не содержавшие никаких пояснений и показывавшие, согласно на-
званию. «на всякую сумму следуемый перечень процентов». Таблицы
состояли из двух отделений, первое из которых было посвящено «Век-

1 В 1682 г в Москве была напечатаны одни из первых таблиц под названием «Счи-
тание удобное, которым всякий человек купуюший или продающий, зело удобно изы-
скали может число всякие вещи» и содержавшие произведения всех целых чисел от

I до 100. Кстати, это бы то единственное математическое сочинение, изданное в России
в XVJJ в. В предисловии («К читателю») объяснялось, как пользоваться таблицами и, в
частности, отмечалось, что «если мера или цена прсвзойдетчисло счета, который поло-
жен всей книжке и тому возможно посему же счету, меру и цену умножая, хотя многие
тысячи счести». Таблицы были переизданы в 1714 г.
сельным, Указным и казенным процентам», а второе — «по Государ-
ственному Вспомогательному Банку для Дворянства». Хазов в самом
названии таблиц указал, что они составлены «в пользу господ Дворян
и Купечества». В 1815 г. в Москве были изданы (а затем в 1820 г. с воз-
росшим количеством примеров переизданы) таблицы С. Сазонова,
составленные для коммерческих и хозяйственных расчетов.

В то время в России плата за использование денежных средств со-
ставляла 5—6% годовых, и поэтому С. Усовым в 1827 г. были изданы
таблицы «для скорейшего и удобнейшего исчисления или нахожде-
ния оных процентов, не употребляя никаких арифметических пра-
вил, кроме простого сложения» 11, Усов. С. 1]; при этом год полагался
равным 360 дням. Эти таблицы (как и у М. Савинова) были изданы в
виде книжки «карманного» формата и содержали «проценты на ка-
питал от одного до миллиона рублей, следующие за время от одного
дня до одного года» [Там же. С. 1]. При составлении таблиц в качестве
единицы Усов принимал полушку (медную монету достоинством в
четверть копейки), «дроби же выходившие более половины этой еди-
ницы считались за целую полушку» [Там же. С. II]. Усов тщательным
образом подошел к работе над таблицами и утверждал, что может
поручиться за верность вычислений и отсутствие типографических
ошибок и «что в цифрах сих таблиц нет ни одной ошибки, которая
превосходила бы копейки» [Там же. С. IV)1. В дальнейшем таблицы
дополнялись и переиздавались.

В 1837 г. С. Селивановский издал пособие, озаглавленное как «Но-
вый способ делать расчеты без ошибок и скорее нежели на счетах»,
которое не содержало никакой теории, а имело целью показать ис-
пользование таблиц на практике. В пособии было приведено шесть
примеров разного рода и их решение с помощью 1аблиц, включая рас-
чет процентов.

Для иллюстрации приведем один из них: «Некто занимает 1569 руб.
по 5 процентов в год; спрашивается, сколько он должен в год процен-
тов платить?» Таблицы построены таким образом, что с их помощью
можно было решать любые задачи, аналогичные приведенным в по-
собии типовым примерам.

1 Впрочем, избавиться от ошибок и опечаток или по крайней мерс свести их к ми-
нимуму, естественно, стреми тись практически и вес будущие составители таблиц, а
некоторые из них даже подробно рассказывали, как они осуществляли это стремле-
ние, или, более того, гарантию верности вычисленныхзначений выносили в заголовок
публикуемого издания, (см , например, |1, Поднебесный', Постников', ТаяаяайУ)
Интересно отметить, что «желая сделать книжку общеполезною,
издатель назначил самую дешевую цену, а именно 4 рубля, не требуя
за пересылку» [I, Новый... С. 2]. Кстати, такое стремление и в дальней-
шем прослеживается для многих изданий по проблематике коммерче-
ских вычислений.

С каждым годом возрастало количество и качество публикуемых
таблиц, поскольку в них постоянно ощущалась крайняя необходи-
мость. Вычисление процентов представляло собой обычную опера-
цию в коммерческих сделках, но и в начале 1840-х гг., по словам со-
временников, такого рода расчеты производились или посредством
простого умножения, или с помощью логарифмов. Это все осущест-
влялось очень медленно, сложно и с неизбежными в таких случа-
ях ошибками. Таблицы А. Ер-Енца, опубликованные в 1844 г., были
средством упрощения и облегчения вычислений. Непосредственно
таблицы занимали 53 страницы, и сверх того на 15 страницах приво-
дились объяснения самих таблиц, несколько подробно изложенных
примеров их использования, а также автор «счел нужным прибавить
правила о капиталах, вносимых в Банки, и о выдаче на таковые про-
центов» [I, Ер-Енц. С. 6]. Как писали в то время, работа Ер-Енца — это
«книга, вся состоящая из одних цифр, но за которую купечество по-
благодарит автора», так как она позволяет «сберечь время, столь дра-
гоценное для деловых людей» (Отечественные записки. 1844. Т. 40.
№ 5. Отд. 6. С. 35]. В другом издании отмечали, что таблицы Ер-Енца
представляют собой «руководство чрезвычайно полезное и до такой
степени легкое, что все дело можно кончить при помощи русских сче-
тов» [Современник. 1845. Т. XXXVIII. С. 394]. Таблицы были дополне-
ны и повторно изданы в 1853 г

В 1844 I. была издана «Книга об исчислении процен юв по биле-
там банков и сохранной казны, или подробные расчеты по 4 процен-
та в таблицах» М Поднебесного. Автор утверждал, что «эта книга, за-
ключающая в себе подробные расчеты со всеми нужными правилами,
может дать читателю ясное понятие о капиталах, билетах и процен-
тах» [I, Поднебесный. 1844. С. 3]. М. Поднебесный не понаслышке был
знаком с трудностями расчетов процентов: он, работая бухгалтером,
более 15 лет занимался «исчислением процентов по Банковым биле-
там, поступающим в Казну в большом количестве и узнал на опыте,
как приспособить расчеты процентов к народному употреблению»
]Там же. С. 3]. Производство подобных расчетов было весьма акту-
альным, так как в народном обращении находилось «великое множе-
ство» Банковых билетов и, в частности, при их передаче участники
сделки теряли «несколько часов на исчисление процентов по одному
билету» (Там же. С. 2]. Поднебесный включил в свою книгу и ряд ста-
тей законодательного характера (по терминологии автора «правила
и узаконения о капиталах, билетах и процентах»). Работа была про-
делана значительная, и издание книги потребовало от автора «много
времени и трудов, и опытности и корректуры самой строгой» (Там же.
С. 3], что позволяло ему смело уверять своих читателей в верности всех
расчетов*. На следующий год Поднебесный опубликовал «Расчеты по
5 и 6 процентов в таблицах, с узаконениями о векселях, заемных пись-
мах и закладных», которые в определенном смысле представляли собой
продолжение книги 1844 г. Вместе с тем было и одно весьма примеча-
тельное изменение: если в первой книге 85^ ее объема составляли та-
блицы. то в книге 1845 года более половины ее содержания составляли
статьи из Свода Законов. Появление книг М. Поднебесного (общим ли-
стажом 288 с.) не прошло незамеченным. Указывая на их практическую
значимость и необходимость, современники автора отмечали, что «со-
брание подобных таблиц, облегчая денежные расчеты, весьма полезно»
(Отечественные записки. 1845. Т. 42. № 5. Отд. 6. С. 14|.

В дальнейшем число авторов, публиковавших счетные таблицы,
увеличилось, начала усложняться и структура, и содержимое этих та-
блиц. В 1851 г. служащий Коммерческого банка В. Владыкин опубли-
ковал таблицы, по которым можно «скоро и безошибочно вычислить...
проценты на какой угодно капитал и за какое угодно время от 1-го
дня до 30-ти лет» (I, Владыкин. С. 3]. Автор составил и усовершенство-
вал «мало по малу» изданные таблицы для облегчения своей работы и
не в теорешческих изысканиях, а «собственным продолжительным
опытом убедился в их пользе и верности» (Там же. С. 3|. В следующем
году еще один работник банка В. Моллериус издает таблицы «по вы-
числении процентов по векселям», демонстрируя на примерах «сколь
удобно применение сих таблиц, и как значительно они облегчают вы-
числение процентов, так и поверку оных» [ I, Моллериус. С. Ill |. Автор
также считает необходимым «напечатать некоторые правила, наблю-
даемые при приеме векселей в учет» (Там же. С. III|. «Таблицы про-

1 В рекламе своей книги Поднебесный обращал внимание и на шрифт, используе-
мый при се издании «Таблицы напечатаны цифрами крупными, четкими и красивы-
ми. под особенным смотрением самого издателя» |1, Поднебесный, 1844 С 3]
центов и правила исчисления оных» М. Яцевича были опубликованы
в 1858 г. В 1866 г. были изданы «Вспомогательные таблицы...» В. Се-
нигова, в предисловии к которым автор утверждал, что многие ранее
изданные таблицы (в частности, М. Яцевича) «неудовлетворитель-
ны во многих отношениях» [I, Сенигов. С. 1]. Автор в своем издании,
с одной стороны, стремился улучшить расположение самих таблиц,
а с другой — «пополнить пробелы, встречающиеся в существующих
до настоящего времени руководствах относительно их неполноты»
(Там же. С. 1]. Видимо, с этой целью в книге приводятся сведения о
коммерческом учете и краткая теория вычисления процентов. В ра-
боте также были помещены порядковые номера дней не только для
года в 365 дней, но и для коммерческого года — 360 дней. Опублико-
ванные в 1868 г. «Таблицы для сокращения купеческих вычислений»
И. Гольдзберга были составлены «в пользу купцов северо-западного
края, имеющих всегда тесные сношения с Пруссией по торговле» |1,
Гольдзберг. С. II], и находили свое применение при осуществлении не-
которых торговых операций.

Во всех публикуемых таблицах в том или ином виде давались пра-
вила счета и примеры их использования. Однако изданных таблиц
даже в начале 1870-х гг. все еще не хватало. Так, в газете «Биржевые
ведомости» за 1873 г. (№ 177) можно прочитать, что «в Англии счетчик
не затрудняется в вычислениях настолько, насколько затрудняется
наш счетчик ... и дело вот в чем: в Англии под рукою счетчика есть
всевозможные вспомогательные вычисления, а у нас их вовсе нет».
Поэтому в газете приветствовалось появление работы А.М. Евдоки-
мова «Таблицы для коммерческих вычислений» и, более того, утверж-
далось, что в обществе «давно ждали подобного труда». Естественно, и
в последующие годы продолжалось издание различного рода таблиц.
В частности, публиковались брошюры, содержащие только таблицы
для определения числа дней финансовой операции, курсовые табли-
цы для перевода иностранной валюты в русскую и обратно (см., на-
пример, [I, Тайнов, Воеводин]).

В 1870-е гг. число издаваемых книг по коммерческой арифметике
резко увеличилось. Прежде всего следует отметить работы И. Хруще-
ва, значительно расширившего в содержательном плане курс коммер-
ческих вычислений. Кстати, именно Хрущев в предисловии к своей
работе «Купеческая арифметика. Отдел первый» ссылается на работу
Штейнгауза как «на единственно существующее руководство по это-
му предмету на русском языке», которое «в настоящее время очень
редко и по давности своего издания не может вполне соответствовать
современным требованиям» |1, Хрущев, 1871. С. I].

В 1873—1874 гг. появились работы Ф. Гросскурта, ориентирован-
ные на учителей арифметики в коммерческих училищах и реальных
гимназиях. В дополнение и развитие достаточно объемных по охва-
ту материала пособии публиковались также и небольшие брошюры,
объяснявшие решения конкретных задач, связанных, например, с
простыми и сложными процентами [I, Капустин]1

В 1873 г. автор, скрывшийся под инициалами Г. М., опубликовал
(и в следующем году, дополнив, переиздал) правила для вычисления
простых и сложных процентов, ориентированных на всех, «кто же-
лает ... сделать заем, с погашением капитала в более или менее про-
должительный срок» [I. Г. М.. 1874. С. 3]. При этом автор утверждает,
что на русском языке нет ни одного аналогичного сочинения и это по-
будило его «составить настоящие правила, чтобы восполнить пробел
в наших отечественных изданиях» [Там же С. 3). В книге изложены
правила (с соответствующими формулами) и привезены примеры вы-
числений простых и сложных процентов, учета векселей, вычисле-
ний срочных взносов и срочных уплат для погашения капитала при
сложных процентах. В 1875 г. этот же автор издал небольшую книжку,
посвященную логарифмам, поскольку пользоваться ими. по мнению
Г. М., должен уметь каждый образованный человек и «употребление
обыкновенных логарифмов неизбежно также при сколько-нибудь
значительных финансовых операциях или коммерческих предпри-
ятиях для определения величины займов, способов их погашения и
т. д.» [I, Г. М.. 1875. С. 1]. В книжке приведены и правила применения
логарифмов к вычислению сложных процентов.

Практика публикации подобных небольших пособий, особенно
связанных с быстротой осуществления вычислений, продолжалась и
в дальнейшем такими, например, авторами, как Н.С. Лунский (кни-
ги, изданные в 1895,1900,1903 годах), П. М. Гончаров (издание 1903 г.),
А.Л. Цытович, В.А. Циммерман, Р.Я. Вейцман (издание 1911 г.) и др.
По сути, такого рода брошюры имели «конечною своей целью так или

1 Интересно отмстить, что у П.И Капустина есть работы, посвященные как мате-
матическим вопросам, так и религиозной тематике Сам он был протоиреем Москов-
ской Никитской и Басманной церкви и также действительным членом Общества лю-
бителей естествознания при Императорском Московском университете.
иначе облегчить трудные подрывающие здоровье и силу работы сче-
товодов, конторщиков, бухгалтеров, железнодорожных служащих;
словом всех, имеющих прямое или косвенное отношение к цифровым
работам» [I, Быков. С. II].

В 1877 г. была опубликована работа А. В. Прокофьева «Коммерче-
ская арифметика и торговые операции», выдержавшая к 1910 г. десять
изданий. В 1878—1879 гг. появился и законченный курс коммерческой
арифметики Н.П Васильева-Яковлева, издававшийся в виде двух
книг — собственно теоретического курса и сборника задач к нему. Эта
работа многократно переиздавалась (в частности, двенадцатое из-
дание теоретического курса было опубликовано в 1912 г., а сборника
задач — в 1915 г.), что свидетельствовало о ее добротности и востребо-
ванности. Большинство задач, предлагаемых авторами для решения,
были взяты, как правило, из реальной практики, а некоторые авторы
заявляли в предисловии к своим задачникам по коммерческим вы-
числениям, что у них «нет ни одной искусственно составленной за-
дачи» (см., напр., [I, Рейнбот, 1887. С. II]).

Что касается собственно финансовых вычислений (финансовой
математики), то они изначально существовали под именем «полити-
ческой арифметики»; этот термин был введен в обиход родоначальни-
ком классической буржуазной политической экономии знаменитым
английским экономистом, Ульямом Петти (1623—1687). Сочинение с
таким названием, написанное им в 1676 г., было опубликовано позже
(уже после его смерти) из-за сложностей политических отношений
между Англией и Францией1. Сын Петти лорд Шелберн писал в 1690 г.
в предисловии к посмертному изданию книги: «Если бы положения
этого исследования не оскорбляли Францию, они бы давно уже уви-
дели свет и нашли бы последователей, равным образом как сделаны
были бы уже до сего времени усовершенствования с пользой, быть мо-

1 Изначально книга распространяюсь в рукописях, а в 1683 г. она была опублико-
вана анонимно без ведома Петти и под другим загтавием Полностью «Политическая
арифметика» под именем автора была опубликована сыном Петти лордом Шелберном
(см Репу W The Economic Writings Ed By CH. Hull, vol I -Cambridge, 1899) Пол-
ное заглавие указанного сочинения быто следующим «Политическая арифметика,
рассуждение о величине и ценности земель, населения, строений, земледелия, ману-
фактур, торговли, рыболовства, ремесленников, матросов, солдат, государственных
доходов, процентов, налогов, ростовщичества, кораблей, банков, об оценке людей,
увеличение числа матросов, о милиции, гаванях, позициях, мореплавании, морском
могуществе и т. д, насколько все это относится ко всем странам вообще, а в особенно-
сти к территориям его величества короля Великобритании и его соседей — Голландии,
Зеландии и Франции»
жет, для всего человечества»1 Используя в качестве математического
аппарата фактически только четыре арифметических действия. Пет-
ти тем не менее постарался изложить материал с наиболее возможной
математической строгостью. В частности, даже главы «Политической
арифметики» по форме напоминают теоремы

В своей работе Петти, в частности, впервые разработал и реа-
лизовал обоснованные (в определенном смысле) количественные
оценки национального богатства и национального дохода Англии
и Уэльса, торговли страны. Например, для подсчета национально-
го богатства Петти суммировал денежные оценки домов, кораблей,
скота, монет из драгоценных металлов, движимого имущества, а
также оценку земли, рассчитанную в виде капитализированной
ренты за 18 лет. Любопытна идея денежной оценки населения, не-
обходимая, по мнению Петти, для расчета действительного нацио-
нального богатства.

Термин «политическая арифметика» в разное время трактовался
по-разному. В словаре Брокгауза и Ефрона указывается, что перво-
начально этим термином обозначалось всякое вообще теоретическое
исследование социальных явлений в количественном отношении, а к
числу наиболее видных «политических арифметиков» в этом смысле
относились, в частности, британцы Уильям Петти и Джон Граунт, а
также немец Зюсмильх. Впоследствии термин «политическая ариф-
метика» стали применять лишь к специальным работам, имевшим
своим предметом изучение статистики населения, главным обра-
зом смертности, с помощью теории вероятности (построение таблиц
смертности), преимущественно для практических целей — для орга-
низации страхования жизни и устройства вдовьих и пенсионных касс.
В конце XIX в. термин «политическая арифметика» пракгически вы-
шел из употребления, а лица, ранее именовавшиеся «политическими
арифметиками», стали называться «техниками страхования жизни»,
«актуариями» или «математическими статистиками»2. Таким обра-
зом, политическая арифметика явилась в значительной степени пред-
течей такой науки, как статистика.

В XVIII в политическая арифметика распространяется по всей
Европе, включая Россию, в которой, правда, в основном переводят

' Цит по: Аникин А. В., Аникин В А Уильям Петти М." Экономика, 1986 С 63—64

3 См.* Энциклопедический словарь. Брокгауз 1 и Ефрона. Т XXIV СПб.* Типо-ли-
тография И А. Ефрона, 1898 С 304
немецких авторов Однако широкому распространению и разработ-
ке вопросов политической арифметики в России в это время препят-
ствовали ряд причин, основными из которых считаются, во-первых,
недостаточность развития производительных сил и, во-вторых, нали-
чие государственной тайны в отношении цифровых сведений (лишь
в начале XIX в. большая часть таких сведений была опубликована).

Согласно исследованиям М.В. Птухи, первые сведения по поли-
тической арифметике на русском языке впервые появились в 1762 I.
в переводе письма секретаря Берлинской академии Формея к немец-
кому статистику Зюсмильху', опубликованного вместе с переводами
лучших произведении с иностранных языков «о разных Физических,
Экономических, такоже до Манифактур и до Коммерции принадле-
жащих вещах» [Собрание лучших сочинений...]. Точнее, в конце это-
го письма говорилось о «политическом счислении» в связи с изуче-
нием роста населения («о размножении народа») и было упомянуто
имя Петти2. В 1768 г. был опубликован перевод с французского книги
Ж.ф. Мелона «Политический опыт о коммерции». В этом сочине-
нии была глава с названием «О политической арифметике» (объемом
24 страницы), содержание которой, в основном, было направлено
против расчетов и высказываний Петти3

Первым достаточно фундаментальным сочинением по политиче-
ской арифметике на русском языке была работа члена Прусской ака-
демии наук И.Ф. Бильфельда, опубликованная в двух частях (в 1768 г.
и в 1775 г.) под названием «Наставления политические барона Биль-
фельда». Во второй части своего труда Бильфельд пишет: «...Полити-
ческая арифметика есть наука, с помощью цифр и выкладок, делать
заключения о предметах до правительства касающихся» [I. Наставле-
ния.... С. 398]. Автор далее выделяет и подробно рассматривает, приме-
няя политическую арифметику, четыре предмета, относящиеся к пра-
вительству: население (ему отводится первое место), государственные

1 См: Птуха МВ. Очерки по истории статистики в СССР T.I Статистическая
мысль в России (до конца (до конца XVIII в.) М. Изд-во АН СССР, 1955 С 423

- Интересно заметить, что эти переводы осуществлялись студентами Московского
университета под руководством профессора И Г Рсидспя, кстати, издавшего на русском
языке первый университетский курс статистики — государствовсдения. Переведенные
работы были опубликованы в 1762 г. в четырех частях, а в 1787 г были переизданы.

1 Мслон считал, что «Политическая арифметика» Петти основана наложных пред-
посылках и написана главным образом для того, чтобы доказать, что Англия стоит вы-
ше Франции в экономическом отношении
налоги, народное богатство и доход, войско и флот’. Отмечая значи-
тельность влияния идей Петти, Бильфельд тем не менее указывает,
что не все то, о чем писал Петти, подтвердилось опытом. По мнению
Бильфельда, политическая арифметика подобно компасу указывает
лишь общее направление мероприятий при государственном управ-
лении, поэтому строгая математическая точность в исчислении не-
обязательна. Обосновывая значение политической арифметики для
нужд государственного управления, Бильфельд, в частности, пишет:
«Арифметика политическая имеет в себе сию выгоду для государ-
ственного человека, что чрез ее действия доходит он до истинных на-
чал, которые служат основанием в делаемых им всякого рода учреж-
дениях; но ему нет нужды ввязываться всегда в подробности самого
исчисления, ниже каждое размышление свое поверять карандашом»
(I, Наставления... С. 417]. Кстати. Бильфельд считается первым исто-
риком политической арифметики.

Известный специалист в области финансов, денег и кредита про-
фессор Санкт-Петербургского университета И. И. Кауфман в 1891 г.
писал, что одним из существенных мотивов разработки именно в
Англии политической арифметики как специальной отрасли зна-
ния являлся государственный долг, в связи с чем возникали вопро-
сы налогообложения населения и «исчисления населения разными
политико-арифметическими приемами» [I. Кауфман. С. 316]. Кроме
того, разнообразные формы, в которых заключались новые займы
(особенно на длительные сроки в виде срочных аннуитетов, прода-
жи пожизненных пенсий или выигрышных займов), придали «до-
вольно сильный толчок возникновению и развитию той ветви поли-
тической арифметики, которая касается публичных долгов» [Там же.
С. 316] В дальнейшем, по мере обновления финансовой науки, ла
ветвь постепенно обособилась в самостоятельное научно-практиче-
ское направление, существовавшее в разные годы под такими назва-
ниями, как долгосрочные финансовые операции, финансовые вы-
числения и др.

Первой фундаментальной книгой именно по финансовым вычис-
лениям, написанной российским автором, является, вероятно, ра-
бота доктора философии и математики, профессора Ришельевского
лицея в Одессе Г. Бруна «Руководство к политической арифметике»

1 Об идеях, высказанных Бильфельдом в «Наставлениях .писал и Формей в
письме Зюсмитьху.
(1845 г.)1. Основные материалы этой книги впоследствии нашли отра-
жение в работах Н.С. Лунского, А.Н. Глаголева, Б.Ф. Малешевского
и других авторов по высшим финансовым вычислениям. Работы этих
авторов отличались достаточной сложностью и предполагали нали-
чие определенной математической подготовки у слушателей курса.
Так, в предисловии к книге Бруна указано, что слушатели должны
быть знакомы с начальной алгеброй, теорией переложений и сочета-
ний, биномом Ньютона и первоначальными основами теории веро-
ятностей. Отмечая важность политической арифметики среди наук
политических, автор включал в ее область «все предметы и стороны
государственной жизни, доступные математическому анализу»2. Пе-
речисление глав работы Г Бруна демонстрирует вопросы, которые ав-
тор считал наиболее важными в политической арифметике: правила
сложных процентов, правила учета, о доходах вообще и о временных
доходах в особенности, о смертности и продолжительности жизни, о
народонаселении, пожизненные доходы, страхование жизни, о пога-
шении долгов, о лотереях, о выборах и решении дел по большинству
голосов3. В качестве дополнения к основному содержанию книги ав-
тор предложил решение некоторых задач, относящихся к летосчисле-
нию. В конце книги приведены таблицы, используемые при решении
ряда задач политической арифметики. О качестве опубликованного
«Руководства...» говорит тот факт, что Императорская Академия наук
присудила этой работе половину Демидовской премии (семью годами
ранее Почетным отзывом Академии была отмечена чисто математи-
ческая работа Бруна). Эта премия, учрежденная Павлом Николаеви-
чем Демидовым, присуждалась с 1832 г. за выдающиеся сочинения, на

1 Подчеркнем, что это первая книга по политической арифметике, написанная рос-
сийским автором, в которой нс делалось акцента на изучение статистики населения
Подробнее см.: Умнов В А Генрих Брун и его «Руководство к Политической Арифме-
тике» // Финансовый мир. Выл I/под рев В В. Иванова и В. В Ковалева М.2002.

2 В этой связи заметим, что автор одного из первых стандартных учебников по ста-
тистике профессор Санкт-Петербургского университета И И Ивановский определял
политическую арифметику как «применение арифметических правит к решению за-
дач из области политической экономии и статистики» |], Учебные руководства .С 13]
По этому учебнику в 1850-х гг учились вес воспитанники средних военных учебных
учреждений и студенты высших школ В военных учебных заведениях статистика счи-
талась основной наукой, поскольку непосредственно была связана с практикой.

3 В начале сороковых годов XIX в. страховое дело в России едва начинало зарож-
даться. Среди первых и весьма энергичных пропагандистов этого направления был
В Я Буняковский
которые отзывы писали, например, по математике такие знаменитые
ученые, как М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев1

Остановимся подробнее на содержании глав. В первой главе пред-
ставлена теория сложных процентов. Определяются такие фунда-
ментальные понятия, как эффективная годовая процентная ставка
(правда, в книге она так явно не называется) и приведенная стои-
мость vнастоящая цена капитала»). Во второй главе рассмотрены воз-
можные варианты дисконтирования в условиях простых и сложных
процентов, а также задача консолидации платежей, что фактически
предполагает составление уравнений эквивалентности. В третьей
главе достаточно подробно представлена теория аннуитета (в терми-
нологии автора — теория доходов). Выводятся формулы оценки посто-
янного срочного аннуитета постнумерандо и пренумерандо (в книге
они называются временными доходами первого и второго рода). При-
чем рассматриваются подробно переменный аннуитет (естественно,
в изучаемом варианте использования арифметической и геометриче-
ской прогрессий), отсроченный и бессрочный («вечный») аннуитеты.
Изложенный материал иллюстрируется примерами (к сожалению, в
небольшом количестве), часть из которых являются по существу за-
дачами с параметрами. В конце книги приводятся соответствующие
этим главам финансовые таблицы: множителей наращения и дискон-
тирования. коэффициентов нарашения и дисконтирования аннуите-
та (названия таблиц здесь указаны в современной терминологии).

Как видим, в этих главах излагаются фундаментальные понятия
и методы, на которых основываются многочисленные приложения
специального характера и которые с той или иной степенью общно-
сти представлены в современных стандартных курсах по финансовой
математике (финансовым вычислениям). Существенно меньше места
уделено простым процентам и краткосрочным финансовым операци-
ям. Брун поясняет, что он не рассматривает простые проценты, по-
скольку они вычисляются с помощью тройного правила. Тем не менее

1 Однако, к сожалению, не все современники оценивати «Руководство .» так вы-
соко, книга быта встречена весьма неоднозначно. В «Отечественных записках» 1846 г
работу Бруна представили как просто «собрание различных задач из теории вероятно-
стей и арифметики, обыкновенной не политической, составленное без всякой систе-
мы» (см'Отечественные записки, 1846 Т 44 Отд 6 С 75), правда все же допуская, что
книга может быть полезной для воспитанников одесского лицея, где преподавал автор
В другой публикации утверждали, что поскольку в книге Бруна «систематической на-
уки нет, то и справедливее было бы издать ее под именем практических занятий по
политической арифметике» (см.' Современник, 1846 Т XVI С 489).
в первых трех главах простые проценты используются при изложении
такого материала, как смешанная схема наращения, консолидация
платежей, операция учета, определение будущей и настоящей цены
дохода. Вместе с тем в работе не нашли отражения такие фундамен-
тальные исходные понятия, как сложная учетная ставка и непрерыв-
ные проценты, что объясняется, видимо, пристрастием автора к опре-
деленному отбору материала для книги.

После трех глав идут приложения финансовых вычислений специ-
ального характера. В частности, одна из глав (восьмая) посвящена про-
блеме погашения долгов. Безусловно, все варианты погашения долгов
в книге небольшого объема (всего 152 страницы, причем на 16 из них
представлены таблицы) изложить невозможно, и поэтому автор приво-
дит пример (естественно, не числовой) «для объяснения всех могущих
при этом встретиться вычислений» [1, Bpvn. С. 102]. Это характерно для
Бруна: пояснение общих методов на конкретных (но с буквенными дан-
ными) примерах, чтобы читатели в дальнейшем при решении других за-
дач могли аналогичным образом провести рассуждения

Немало места в сочинении Бруна посвящено вопросам страхова-
ния. В четвертой главе подробно рассказывается о таблицах смерт-
ности (с указанием тех, кто их составлял в разных странах). Излага-
ются основные принципы, которыми следует руководствоваться при
составлении таблицы смертности, впервые опубликованной в России
в 1832 г. (несколькими годами ранее сведения о числе умерших по-
являлись в «Материалах для Русской Статистики» и в «Месяцеслове
Санкт-Петербургской Академии»). Показания в такой таблице приво-
дились с интервалом в пять лет и только для мужского пола и право-
славного вероисповедания. Используя данные таблицы смертности,
помещенной в работе Н.И. Зернова1. Брун с помощью интерполиро-
вания «дополнил эту табл и цу с возможною точностью на каждый год»
[Там же. С. 49]. Здесь автор по сути единственный раз указывает явно
на собственные результаты, включенные в сочинение, однако форму-
лы, по которым проводились расчеты, не приводятся.

Брун отдает себе отчет в том, что не все выводы, относящиеся к
смертности и «размножению народонаселения», заслуживают дове-

1 Полное название этой работы (точнее речи, подготовленной в 1843 г. к торже-
ственному собранию Московского университета) таково. «Теория вероятностей с при-
ложением преимуществен но ксмертности и страхованию» Н иколай Ефимович Зернов
являлся заслуженным профессором «чистой» математики Московского университета
рия. Однако работу в этом направлении следует продолжать, ведь, как
он пишет в пятой главе, все это «важно как для науки, так и для усо-
вершенствования гражданского быта» и к тому же «собравши более
верные данные, может исправить и выводы» (Там же. С. 74]

Шестая глава посвящена оценке пожизненных доходов (в совре-
менной терминологии — оценке условного аннуитета). Также рассмо-
трены условия пользования пожизненным доходом двух и более лиц.

В седьмой главе Брун, говоря о двух видах страхования (страхова-
ние жизни и страхование собственности), рассматривает только пер-
вый. Впрочем, доводы, по которым вопросы страхования собственно-
сти в сочинении опущены, кажутся неубедительными. Тем не менее,
по словам автора, он рассматривает все случаи страхования, предла-
гаемые основанным в 1835 г. «Российским обществом для застрахова-
ния пожизненных и других срочных и денежных капиталов».

Несколько обиняком, с современной точки зрения на финансовые
вычисления, стоят последние две главы. В главе, посвященной лоте-
реям, Брун делает вывод о их вредности для народа, особенно для низ-
ших сословий в том смысле, что лотерея приносит огромную прибыль
ее устроителям. Попутно он замечает, что лотереи, «которые были до-
зволены нашим правительством, имели совершенно иные условия»
(Там же. С. 126] Этот тезис Брун подкрепляет примером Польской
лотереи, главные условия которой он и излагает. Как редкое исклю-
чение для книги в §102 этой главы предложена связанная с лотереей
специфическая задача без подробного решения и не имеющая к тому
же практической пользы, хотя с математической точки зрения пред-
ставляющая интерес. В последней главе предлагаются способы «оты-
скивания относительного достоинства кандидатов» [Там же. С. 130] и
рассматриваются вероятности справедливого решения

Основное содержание книги заключается дополнением, назван-
ным автором «прибавлением», в котором предлагаются решения не-
которых задач, относящихся к летосчислению. Эти хронологические
задачи были гак тщательно подобраны и любопытны, что. по мнению
академиков В. Я. Буняковского и П. Н. Фусса, «число их могло бы быть
значительнее, и книга чрез то выиграла бы еще более»1

Использованная в «Руководстве...» последовательность изложения
материала сохранилась (с той или иной степенью общности; и в анало-

1 Пятнадцатое присуждение учрежденных П Н Демидовым наград СПб'Типогра-

фия Императорской Академии наук. 1846. С. 36.
гичных по тематике книгах спустя многие десятилетия (не исключая и
наше время). Изменения, конечно, есть в связи с развитием как самой об-
ласти финансовых вычислений, так и компьютерной техники. Поэтому
некоторые методы и приемы, используемые в то время в количественном
финансовом анализе, в современных учебниках не представлены1. Одна-
ко исходные, базовые посылы остались прежние, и по-прежнему важен
строгий аналитический подход к решению задач финансового характе-
ра, который продемонстрировал Брун в своей книге.

Стиль изложения материала, строгость и четкость свидетельству-
ют о математическом образовании Бруна. В своем сочинении он то
и дело использует результаты, полученные в работах именно матема-
тиков. Что касается области финансовых операций, то можно выска-
зать предположение, что Брун глубоко осмыслил и систематизировал
результаты большинства исследований по политической арифметике,
долгосрочным финансовым операциям, страхованию, опубликован-
ные к сороковым годам XIX в. в зарубежных книгах. К сожалению,
отсутствие библиографии не позволяет сделать более точное утверж-
дение. Брун в предисловии упоминает только фамилии авторов (без
инициалов, да егце и в варианте написания на русском языке) ис-
пользуемых сочинений. Названия самих сочинений отсутствуют. Ис-
ключение составляет лишь работа Н.Е. Зернова, называемая Бруном
«Отеории вероятностей».

Отсутствие ссылок в книгах тех времен, по-видимому, было харак-
терно для многих сочинений (вероятно, представление только фамилии
автора было достаточно для однозначной идентификации написанного
им сочинения). Поэтому указать явным образом используемые Бруном
сочинения не всегда представляется возможным. Однако к середине
XIX в. кни! по политической арифметике (понимаемой как высшие
финансовые вычисления) было сравнительно немного, а стран, где они
в основном публиковались, и того меньше. Это позволяет определить
названия хотя бы некоторых работ. К тому же Брун долгое время жил
и занимался научными изысканиями в Германии и. несомненно, был
знаком со всеми работами, изданными в этой стране.

' Например, Брун дли определения наращенной суммы при применении сложных
процентов предлагает три способа: с помощью логарифмов, бинома Ньютона и финан-
совой таблицы (для множителя наращения сложными процентами) В настоящее вре-
мя используется (наряду с вычислениями на компьютере), безусловно, только послед-
ний способ. Хотя с математической точки зрения первые два способа и естественны, и
любопытны
Во-первых, можно определить работы ряда авторов, на которых
Брун указал непосредственно. С большой долей уверенности можно
утверждать, что он использовал сочинение Тетенса (I. Tetens), опубли-
кованное в 1785—1786 гг. и посвященное основам оценки ренты. То же
самое можно сказать и о книге Грунерта (I. Grunert), изданной в 18411.
под названием Politisehe Arithtnetik. При составлении «Руководства...»
источниками материала служили работы по теории вероятностей и
статистике Д. Бернулли и А. Кетле. В главе о лотереях разобрана за-
дача, решенная Эйлером и Лапласом. О работе российского автора
Н. Е. Зернова было сказано выше.

Во-вторых, Брун, безусловно, был знаком с работами таких ав-
торов, как Т. Simpson (1742), R. Price (1774), Chassot de Florencourt C.
(1781), Duvillard de Durand E (1787), Bayly (1808), Lang (1816), P. Hardi
(1839), и др. Изложенный в десятой главе способ избрания кандидата
при баллотировании предложен математиком Борда.

Здесь интересно привести мнение И. И. Кауфмана об опублико-
ванных в то время работах по такому разделу политической арифме-
тики, который касался публичных займов (долгосрочных финансо-
вых операций). Он полагал, что самостоятельных исследований по
этому вопросу во всей Европе «было весьма немного, а какие были
исследователи далеко не принадлежат к первоклассным» и в основ-
ном «континентально-европейские сочинения представляют собой
компиляции английских книг» |1, Кауфман. С. 317]. Это высказыва-
ние Кауфмана относится к 1891 г. Понятно, что в 1845 г. положение
с такого рода литературой, как и вообще с литературой, содержащей
различные разделы политической арифметики, было, по крайней ме-
ре, не лучше. В России лишь в середине сороковых годов XIX в. по-
явилось первое сочинение по обсуждаемой тема! ике, но и за рубежом,
видимо, дела обстояли не блестяще — как отмечалось в то время в из-
даниях Академии наук, «даже иностранные литературы очень бедны
в этом отношении»1

На полезное! ь и значимость книги Бруна указывает и тотфак!, что
ею пользовались не только в Ришельевском лицее. Уже в академиче-
ской рецензии 1846 г. на «Руководство.. » отмечались своевременность
и необходимость такой книги, особен но для воспитанников, которые
«посвящают себя гражданской или дипломатической службе, или го-

1 Пятнадцатое присуждение учрежденных П Н Демидовым наград СПб Типогра-

фия Императорской Академии наук, 1846. С. 36.
товятся идти по законоведению или финансам» [Там же. С. 32]. Ут-
верждалось также, что пособие Бруна окажет весомую поддержку и
большинству преподавателей математики, «не исключая даже мно-
гих, сведущих в своем деле», которые «очень бы затруднились, если
б возложено было на них преподавание Политической Арифметики»
(Там же. С. 32]. Мнение ведущих академиков-математиков однознач-
но: сочинение Бруна «имеет неоспоримое достоинство и может при-
нести большую пользу» [Там же. С. 36].

Сочинение Бруна насыщено разнообразным материалом. Для того
чтобы убедиться в законности используемых методов, оценить их зна-
чение и эффективность применения, автор практически во всех слу-
чаях приводит математическое обоснование методов. Если к каждой
теме присовокупить достаточное количество хорошо подобранных за-
дач (и обязательно с числовыми данными), то под руководством пре-
подавателя изучение политической арифметики по книге Бруна мог-
ло быть весьма успешным. Таким образом, сочинение Бруна вполне
соответствовало качеству учебной книги, что и отвечало главной цели
автора. Возможно, автор ограничил объем материала, ориентируясь и
на количество часов, выделенных на изучение политической арифме-
тики. Все, что знает преподаватель любого предмета, невозможно (да
и не нужно) втиснуть в одно пособие (каких бы размеров оно не было).

В течение почти десяти лет проходила апробация «Руководства...»,
были выявлены его положительные и отрицательные стороны, и нет
сомнения, что новое издание (которое, по словам современников,
Брун готовил с многочисленными дополнениями) [Москвитянин.
1854. Т. IV. № 13. Отд. V. С. 51] стало бы следующим качественным ша-
гом в развитии отечественных финансовых вычислений. Но прежде-
временная смерть авюра не позволила осуществить это.

Коротко приведем основные вехи научной биографии Генриха
Карловича Бруна. Родился он в 1806 г. в семье видного коммерсанта.
Рано лишился родителей и воспитывался у своего дяди. В девяти-
летием возрасте Брун был помещен в один из лучших поербургских
пансионов и в 1821 г. поступил в Санкт-Петербургский университет.
В университете Брун проучился лишь один год и затем перешел в ме-
дико-хирургическую академию, где был студентом также около года,
после чего поступил на философский факультет Дерптского универ-
ситета. Выдержав в 1825 г. экзамен на степень кандидата философии,
Брун отправился в Германию, где слушал лекции по естественным
и философским наукам. После защиты диссертации в Геттингене в
1828 г. он получил степень доктора философии и магистра свободных
наук. В 1831 г. Брун занимает кафедру физики в Ришельевском лицее,
но вскоре переходит на кафедру чистой математики, на которой оста-
ется (с перерывом в один год) до конца жизни (умер в 1854 г.)1. Боль-
шое количество его научных работ, опубликованных в России и за
рубежом, касались всех разделов математики.

После опубликования руководства Г. Бруна более четырех десяти-
летий не появлялись книги на русском языке, посвященные именно
политической арифметике. (Кстати, согласно распоряжению министра
народного просвещения в 1862 г. политическая арифметика была ис-
ключена из предметов преподавания в Ришельевском лицее, который
был преобразован в 1864 г. в Новороссийский университет.) Однако
некоторые авторы (например. П.И. Рейнбот. Н.П. Васильев-Яковлев)
включали в свои пособия по коммерческой арифметике (коммерческим
вычислениям) частично разделы, традиционно относящиеся к поли-
тической арифметике (например, вычисление срочных уплат, страхо-
вание жизни и пожизненных доходов). При этом в обычных курсах по
коммерческой арифметике часто не были представлены даже сложные
проценты. С некоторой долей условности можно сказать, что в даль-
нейшем финансовые вычисления как бы разделились на две ветви: в
упрошенном варианте они были представлены в курсах коммерческой
арифметики; в более сложном виде они излагались в курсе высш их фи-
нансовых вычислений.

В России новое направление достигло пика своего развития как
раз накануне революции. Расцвет в развитии теории и практики фи-
нансовых и коммерческих вычислений в дореволюционной России
связан прежде всего с трудами замечательного русского математика,
финансиста и бухгалтера Н. С. Лунского, плодотворно работавшего в
этой области в конце XIX — первой четверти XX в. Его по праву можно
считать одним из родоначальников финансового менеджмента в Рос-
сии. Н. С. Лунекий существенно обогатил и системагизиривал финан-
совые вычисления; ему принадлежит и одно из примечательных опре-
делений финансовой математики: «Высшие финансовые вычисле-
ния — отрасль прикладной математики, посвященная исследова-
нию доступных математическому анализу вопросов финансовой на-

1 Заметим, что в Ришельевском лицее читал политическую экономию и коммер-
цию брат Г Бруна — профессор Филипп Карлович Брун
уки, статистики и политической экономии» [I, Лунский, 1912. С. 3].
Хотя в те годы в России в области коммерческих и финансовых вы-
числений работал целый ряд ученых, публиковавших монографии
и учебные пособия по данной тематике, например, Б. Ф. Малешев-
ский. П. М. Гончаров, И. И. Кауфман, А. В. Прокофьев. Р. Я. Вейцман,
К. Светлов и др., именно труды Лунского являлись наиболее завер-
шенными и полными.

Первые книги по коммерческим и финансовым вычислениям но-
сили сугубо прикладной характер; их авторы постоянно подчеркива-
ли важность выполнения быстрых и правильных расчетов в торговой
практике. В то время не было компьютеров и калькуляторов, и это
предопределяло значимость методик коммерческих расчетов вообще
и быстрого счета в том числе. Эта проблема особенно остро ощуща-
лась бухгалтерами, — неслучайно многие ведущие специалисты в об-
ласти бухгалтерского учета внесли существенный вклад и в развитие
коммерческих вычислений. В частности, известный теоретик бухгал-
терского учета начала XX в. Р.Я. Вейцман, отмечая, что «почти каждое
коммерческое вычисление по существу является приближенным», по-
мимо книг по теории счетоведения издал и ряд пособий по коммерче-
ской арифметике.

Многие авторы успешно совмещали научную и писательскую ра-
боту с преподавательской деятельностью в области бухгалтерского
учета и финансов, а некоторые имели кроме того математическое об-
разование и ученые степени и звания, в их числе: Н.С. Лунский, про-
фессор Московского коммерческого института, А. П Чахмахсазянц,
кандидат математических наук, преподаватель бухгалтерских курсов,
состоявших в ведении Министерства торговли и промышленности,
ф.А. Боболович, преподаватель Topi овой школы, окончивший курс
математических наук Императорского Московского университета,
Л Ф. Беркевич, профессор университета и преподаватель коммерче-
ской арифметики в Одесском коммерческом училище. И.Я Чулков,
преподаватель коммерческих наук и учредитель курсов бухгалтерии в
Москве, А. В. Прокофьев, преподаватель бухгалтерии и коммерческой
арифметики в Московской практической академии коммерческих
наук1, Б.Ф. Малешевский, магистр физико-математических наук,
М.С. Плотников, кандидат математических наук и др.

1 А.М. Галаган видел заслугу А В Прокофьева в деле распространения счетных
знаний в том, что он «был первым автором, показавшим русским читателям истинную
Большинство разработанных ими пособий было рекомендовано к
использованию Министерством народного образования (просвеще-
ния) и другими министерствами. В коммерческих отделениях реаль-
ных училищ в качестве руководств использовались книги Л. Ф. Берке-
вича, ф.А. Боболовича, Н.П. Васильева-Яковлева, А.В. Прокофьева
и др.; в торговых школах — книги П. М. Гончарова, Н.С. Лунского (в
частности, его «Коммерческая арифметика», выдержавшая к 1913 г.
семь изданий, была рекомендована Учебным комитетом Министер-
ства финансов) и др.; в коммерческих учебных заведениях — книги
Р.Я. Вейцмана, М.Т. Теорина (рекомендована Учебным комитетом
при Министерстве торговли и промышленности), М. Цветкова и др.

Отдельные работы по коммерческим и финансовым вычисле-
ниям печатались в профессиональных бухгалтерских журналах.
Можно упомянуть о первом в России бухгалтерском журнале «Сче-
товодство» (1888—1904 гг.), журналах «Коммерсант» (1901—1906 гг.),
«Коммерческое образование» (1908—1916 гг.), «Коммерческая Шко-
ла и Жизнь» (1912—1917 гг.), «Вестник счетоводства» (1923—1926 гг.),
«Вестник И. Г. Б. Э.» (1928—1930 гг.) и др. Отметим, что в последнем из
перечисленных журналов, издававшемся Институтом государствен-
ных бухгалтеров-экспертов, была выделена отдельная рубрика «Фи-
нансовый отдел», полностью посвященная финансовым и коммерче-
ским аспектам. С этими журналами сотрудничали многие ученые и
практики, внесшие значительный вклад в развитие коммерческих и
финансовых вычислений, в частности Н.С. Лунский* 1, Г. А. Бахчиса-
рай цев, Н.П. Васильев-Яковлев, Р.Я. Вейцман и др.

Каковы же были причины появления новой дисциплины в системе
образования? Выше отмечалось, что в начале XX в. одной из наиболее
острых проблем на прО1яжении многих лет была проблема точности
и быстроты расчетов — к сожалению, практикам тех лет оставалось
только мечтать о прогрессе в информационных технологиях, который
будет иметь место к концу века.

Обосновывая предмет дисциплины «Коммерческая арифметика»
как «совокупности упрощенных приемов, которые дают возможность

итальянскую форму счетоводства» (см Галаган А М Счетоводство в его историче-
ском развитии М ; Л : Государственное изд-во. 1927 С 152), и поэтому, в частности,
его труд «Курс двойной бухгалтерии» выдержал двадцать изданий.

1 Заметим, что одновременно Н С Лунский публиковал и фундаментальные рабо-
ты по бухгалтерии Например, в сочинении 1900 г была изложена новая теория счето-
ведения, называемая «балансовой теорией счетоводства».
скоро, легко и целесообразно применять правила простой арифме-
тики к коммерческим вычислениям», З.П. Евзлин пишет: «Руковод-
ствуясь всегда принципом время-деньги ему <т. е. коммерсанту, или, в
терминологии автора, «коммерческому деятелю». — В. К., В. У) необхо-
димо уметь вычислять скоро и верно и не только с пером или на счетах
наедине в своей конторе, но и в уме, без книг, без пера, даже на улице
во время разговоров, так чтобы быть в состоянии сразу объять пред-
ложенное дело, оценить все его подробности и дать ответ в несколько
минут» [I, Евзлин. С. 1]. Именно поэтому «коммерческая арифметика
имеет целью решать задачи с наименьшими затратами времени и тру-
да» [I, Степанов. С. 5].

Умение «быстро и правильно производить коммерческие выклад-
ки» с помошью предлагаемых методов поэтому являлось одной из ос-
новных целевых установок курса коммерческой арифметики. Более
того, в некоторых учебных пособиях специально подчеркивалось,
что в процессе обучения «...задачи нужно делать точно и по возмож-
ности быстро, на это последнее обстоятельство необходимо обратить
особенное внимание» [1. Васильев-Яковлев. 1915. С. 1V|. Необходимо,
однако, помнить, что в отличие от обычных арифметических боль-
шинство коммерческих вычислений требуют не только умения обра-
щаться с числами, но еше и специальных знаний и навыков, состав-
ляющих главным образом предмет коммерческой арифметики. И не
очень важно, «будет ли счетовод производить вычисления на счетах,
или пользоваться счетной линейкой, арифмометром, готовыми та-
блицами, или просто карандашом и бумагой» [I, Гольдин. С. 5|.

Желание повысить оперативность заключения коммерческих сде-
лок было лишь одной из причин, по которым столь серьезное внима-
ние уделялось методам быстро! о счета. В лшературе тех ле| отмеча-
лись и другие причины, в частности упрощение расчетов с целью по-
лучения искомого результата без больших затрат труда и времен и. Эта
проблема отмечается практически во всех пособиях по коммерческим
вычислениям, вышедших в России и в последующие годы. Так, Вейц-
ман писал: «...Эволюция в области коммерческих вычислений прежде
всего сказывается в упрощении расчетов: все сложное, все требующее
значительного умственного напряжения или большой затраты време-
ни, постепенно вытесняется. Под влиянием этого стремления изме-
няются даже обычаи: купцы соглашаются в своих расчетах произво-
дить вычисления менее точно, но проще и скорее» [1, Вейцман, 1913
С. 4).

Здесь важен был и контрольный момент. Так, обосновывая целе-
сообразность упрощений в коммерческих вычислениях. Вейцман пи-
сал: «...С одной стороны, при несложных вычислениях вероятность
ошибиться меньше, а с другой, сокращенные приемы действий часто
служат средством для проверки результатов, найденных обыкновен-
ным путем» [1, Вейцман, 1911. С. 1|.

Две другие целевые установки — помощь в овладении бухгалтерским
учетом и оценка эффективности заключения различных финансовых
сделок — в акцентированном виде сформировались позднее, к началу
XX в., но также стали общепризнанными; в частности, Васильев-Яков-
лев формулировал их таким образом: «Коммерческая арифметика для
всякого торгующего лица, а в особенности для ведущего дела с загра-
ницей, — предмет чрезвычайно важный: кроме того, что она служит
подспорьем к изучению Бухгалтерии, она дает возможность разумно
пользоваться курсами, выбирать наивыгоднейшие пути для уплаты
или получения по заграничным векселям, делать различные операции
с процентными бумагами, пользоваться разницею в цене товаров на
различных рынках и т. п.» [1, Васильев-Яковлев, 1915. С. Ill |.

Один из крупнейших русских ученых в области бухгалтерского
учета XIX в. А. В. Прокофьев в своем докладе, «читанном 2 января
1890 г. в отделении съезда русских деятелей по техническому и про-
фессиональному обучению», обосновывая значимость коммерческих
вычислений вообще и используя бухгалтерские счеты в частности,
приводил следующие аргументы: «...Этим вычислениям в коммер-
ческой арифметике я придаю большое значение по следующим сооб-
ражениям: во-первых, многие вычисления на счетах ведутся гораздо
скорее, чем те же вычисления на бумаге; во-вторых, открывая собою
новый способ проверки коммерческих вычислений, они дают учени-
ку возможность самостоятельно, а не по справке с задачником, убе-
диться в верности полученных результатов и, в-третьих, самое поло-
жение ученика во время производства вычислений на счетах дает ему
возможность на несколько минут переменить позу и выпустить перо
из рук, нисколько не задерживая, а часто ускоряя дело» (Цит.: [1, По-
пов. С. 22-23]).

Известный представитель московской школы бухгалтерского уче-
та Г. А. Бахчисарайцев утверждал, что без коммерческой арифметики
знание бухгалтерии неполно Отмечая имевшее место к концу XIX в.
«лихорадочное увеличение пределов распространения коммерческих
знаний», он ратовал за более широкое издание специальной литерату-
ры, в том числе и различного рода самоучителей. Более того, впервые в
России (если не считать аналогичной переводной работы Ротшильда)
Бахчисарайцев вознамерился издать «Энциклопедию коммерческих
наук» в виде десяти выпусков по взаимосвязанным дисциплинам:

Выпуск 1-й: Коммерческая арифметика и вычисление торговых
операций в связи с необходимыми статьями из теоретической ариф-
метики и с приложением задач.

Выпуск 2-й: Бухгалтерия (полный курс).

Выпуск 3-й: Коммерческая корреспонденция

Выпуск 4-й: Торговое законодательство.

Выпуск 5-й: История всемирной торговли.

Выпуск 6-й: Торговая география земного шара.

Выпуск 7-й: Политическая и коммерческая экономия.

Выпуск 8-й: Конторская практика и торговлеведение.

Выпуск 9-й: Товароведение-

Выпуск 10-й: Таблицы, документы, монеты, сборник задач с отве-
тами и полный коммерческий словарь

Приведенная структура энциклопедии любопытна прежде всего в
том смысле, что позволяет нам понять логику рассуждений одного из
ведущих специалистов в области бухгалтерского учета в отношении
базового объема знаний, которым должен владеть квалифицирован-
ный коммерсант. Идеи Бахчисарайцева не разделялись безоговороч-
но в среде ведущих специалистов тех лет; в частности, наиболее оже-
сточенной критике он подвергался со стороны представителей школы
Ф. В. Езерскою (см., например, |1, Библиография])

Как же определялись суть и предназначение коммерческих вычис-
лений в то время? Первые российские авторы пособий по системати-
зированной коммерческой арифметике чаще подчеркивали ее вспо-
мо1ательную и прикладную функции. Так, Боболович в предисловии
к первому изданию своего учебника писал: «Коммерческая арифмети-
ка не есть самостоятельная наука. Она составляет лишь приложение
к простой арифметике и рассматривает специальные торговые опе-
рации, т. е. операции покупки и продажи товаров, встречающиеся в
торговой практике, причем под словом «товар» здесь следует разуметь
не только товар в тесном смысле слова, принятом в общежитии, но
также драгоценный металл, деньги (банкирский товар), процентные
бумаги, векселя (биржевой товар) и т. п., вообще все то, что подлежит
покупке и продаже. Коммерческая арифметика — чисто практическая
наука.» [I, Бобомвич, 1902. С. III).

Такое представление о вспомогательной роли коммерческой ариф-
метики было довольно устойчивым. В частности, даже в конце 20-х
годов А.Ф. Ломовисский рассматривал коммерческие вычисления
как прикладную часть обшей арифметики, обособившуюся в отдель-
ную дисциплину исходя из стремления к рационализации труда пу-
тем ускорения, упрощения и механизации расчетов [I, Ломовисский,
1928. С. 3-5].

Тем не менее некоторые авторы, напротив, считали коммерче-
скую арифметику одной из основных дисциплин по крайней мере в
системе подготовки квалифицированных коммерсантов. В частно-
сти, 3. П. Евзлин писал: «Между всеми предметами коммерческого
образования арифметике (имеется ввиду коммерческой арифмети-
ке. — В. К., В. У) принадлежит бесспорно первое место. Ведь все опера-
ции коммерческого деятеля, начиная с торговли мелкого розничного
торговца до сложного арбитража банкира, составляют непрерывный
ряд вычислений» (I, Евзлин. С. 1].

Р. Я Вейцман сделал попытку определить место этого направле-
ния в системе учетно-аналитических наук: в связи с этим он выделил
три счетных функции, направляющих и освещающих хозяйствен-
ные акты: это — запись хозяйственных оборотов в книги, производ-
ство вычислений, связанных с этими оборотами, и хозяйственная
статистика |1, Вейцман, 1913. С. I] Первая функция изучается бух-
галтерией, вторая — коммерческой арифметикой, третья — статисти-
кой, коюрая как наука, по мнению Вейцмана, также зарождалась в
начале XX в.

Все вычисления, входившие в состав коммерческой арифметики,
Вейцман делил на три отдела:

— элементарные коммерческие вычисления (сокращенные при-
емы вычислений, метрология как раздел арифметики, посвященный
соотношению и пересчетам мер, принятых в различных государствах,
вычисление процентов и интересов и др.)

— товарные вычисления (калькуляционные расчеты, вычисление
сметных и продажных цен, расчет доходности, паритеты, арбитражи,
т. е. методы вычислений, позволяющие «определить наивыгодней-
ший способ совершения той или иной операции»)

— банковые вычисления (учет векселей, ссудные операции, по-
купка и продажа ценных бумаг, операции с девизами и др.)

Из приведенного содержания дисциплины видно, что в части так
называемых товарных вычислений коммерческая арифметика вбира-
ла в себя и элементы управленческой бухгалтерии, по крайней мере, с
позиции ее количественных методов, поскольку все больший интерес
стали приобретать составление смет, т. е. предварительное исчисле-
ние ожидаемых расходов и доходов, и приближенная калькуляция,
когда производитель, получив оферту по телеграфу или телефону,
должен максимально быстро дать ответ, основываясь тем не менее
на некоторых сокращенных приемах вычислений. В дальнейшем эта
часть коммерческих вычислений естественным образом будет инкор-
порирована в систему управленческого учета, обособление которого
в относительно самостоятельное направление в академической на-
уке произойдет значительно позднее — в 1950-е гг. — главным обра-
зом благодаря усилиям представителей англо-американской школы
бухгалтерского учета [II, Drury. С. 798]. (Справедливости ради следует
отметить, что по мнению крупнейших теоретиков управленческого
учета Т. Джонсона и Р. Каплана, первые аналоги систем управленче-
ского учета стали использоваться в ряде компаний американской тек-
стильной промышленности начиная с 1812 г., а основные процедуры и
аппарат количественной оценки и анализа в современном их понима-
нии сформировались уже к 1925 г. [11, Johnson, Kaplan. С. 21, 125].) Хотя
в дореволюционной России проблемы управленческого учета в явном
виде не обсуждались, что, впрочем, характерно и для других стран,
поскольку обособление направления, известного ныне как «Управ-
ленческий учет», произойдет значительно позднее, многие россий-
ские авторы первых учебников по коммерческой арифметике пыта-
лись совместить содержание и направленность этой дисциплины с
бухгалтерским учетом и коммерцией и обосновывали необходимость
параллельного преподавания этих дисциплин в едином блоке. В этой
связи можно упомянуть о публикациях учебных пособий, в которых
совместно излагались основы бухгалтерского учета и коммерческой
арифметики (см., например, [1, Арбатский; Бельмер]).

На тесную взаимосвязь бухгалтерского учета и коммерческих вы-
числений указывали не только ученые, но и практики. Так, в рабо-
те, опубликованной в 1910 г., Н.У. Полов писал: «...Было время, когда
многим казалось, что две счетные науки, арифметика и бухгалтерия,
должны стоять совершенно особняком, т. к. одна действительно учит
счету вообще, а другая ... имеет предметом только капитал с его ба-
рышами и убытками... Но и тогда уже бухгалтеры-практики инстин-
ктивно сознавали близкое родство этих наук» [1, Попов. С. 4].

Вероятно, имеет смысл коротко прокомментировать эволюцию
названия курса. Первые книги Кряжева, Штейнгауза и Хрущева на
русском языке вышли под титулом «Купеческая арифметика», однако
начиная уже с 1870-х гг. в обиход прочно входит название «Коммер-
ческая арифметика». По сути, оба названия указывают на очевидную
тесную взаимосвязь дисциплины с коммерческими операциями, под
которыми понимается торговля. В те годы коммерческое образова-
ние, т. е. подготовка специалистов по торговле, было поставлено срав-
нительно неплохо (см. табл. 6.1)

Несмотря на внушительность абсолютных цифр, относительные
показатели были не столь радужными: одно коммерческое заведение
приходилось в Швейцарии на 24 тыс. чел., в Германии — на 50 тыс.
чел., в России — на 340 тыс. чел. Тем не менее имелись и очевидные
достоинства отечественной системы образования: по свидетельству
С. Мохова, «ни одна высшая коммерческая школа Запада не может,

Таблица 6.1

Русское коммерческое образование к началу 1913 г.

Тип учебного заведения Количество
Высшие учебные заведения 2
Учебные заведения высшего типа 3
Ком мерческие учили ша 224
Торговые школы 135
Торговые классы 22
Курсы коммерческой специал ьности 100
Итого 486

Источник: Мохов С На Лейпцигской выставке. Отдел коммерческого образова-

ния Казань:Типография B.O. Иванова, 1915. С. 23
напр., поспорить широтой и богатством программы с программой
Московского коммерческого института* (см.: Мохов С. На Лейпциг-
ской выставке. Отдел коммерческого образования. Казань: Типо-
графия В. О. Иванова, 1915. С. 23). Кстати, как раз в этом институте
(ныне это Российская экономическая академия) вел курс «Высшие
финансовые вычисления» профессор Н.С. Лунским1.

Именно купцы, коммерсанты в первую очередь нуждались в спе-
циальных методах вычислений. Неслучайно поэтому систематизиро-
ванная коммерческая арифметика возникла на стыке «обыкновенной
элементарной» арифметики и коммерческих операций. Объясняя
причины появления новой дисциплины, Г.Н. Мокеев писал: «...Эле-
ментарная арифметика, преследуя цель общности даваемых ею пра-
вил, т. е. заботясь о том, чтобы правила эти распространялись на все-
возможные случаи вычислений, очевидно не может задаваться целью
достижения той быстроты, какая желательна коммерческому челове-
ку. С другой стороны, коммерческая деятельность встречается иногда
с задачами, требующими для разрешения своего некоторых специ-
альных сведений и притом таких, которые отнюдь не могут считаться
необходимыми для общего образования, входящего в цели элемен-
тарной арифметики. Эти причины и вызвали создание того курса, ко-
торый носит название коммерческих вычислений или коммерческой
арифметики* [1. Мокеев. 1908 (а). С. 7].

За шестьдесят лет. прошедшие с момента выхода книги Штейн-
гауза, были уточнены не только целевые установки курса коммерче-
ских вычислений, но и его содержание. Если в работах Штейнгауза и
Хрущева упор делался на технику сокращенных вычислений, т. е. эти
пособия были ближе к арифметике, нежели к экономике, то в книгах
Васильева-Яковлева, Гончарова, Сиверс, Чахмахсазянца и других ав-
торов приоритеты меняются — выделяются самостоятельные разделы
по метрологии, монетным, товарным, вексельным, курсовым и бан-
ковым вычислениям, дается характеристика и принципы организа-
ции и функционирования учреждений финансово-кредитной систе-
мы, бирж, таможен.

1 Знакомясь с организацией преподавания коммерческих наук в высших коммер-
ческих школах западной Европы, Н С Лунек и й отмечал, что многие «учебные заве-
дения, хотя и именующие себя «высшими школами» или «академиями», относятся к
разряду средних школ» 11, Лукский, 1909. С 51, а в некоторых, например, в Лейпцигской
Высшей Коммерческой Школе, «преподавай ис коммерческих наук поставлено доволь-
но заурядно» (Там же С 681
Отмечая безусловную важность овладения специальными навы-
ками сокращенного и быстрого счета, Гольдин указывал, что они, тем
не менее, не имеют непосредственного отношения к коммерческим
вычислениям: «Можно быть превосходным вычислителем, можно
обладать способностью в одну секунду перемножать и делить в уме
любые числа, и все-таки не суметь учесть самый простой вексель, ес-
ли не знать, как это делается; коммерческая арифметика учит именно
этому последнему» [1, Гольдин. С. 5—6].

К концу XIX в. специализация книг по теории и технике расче-
тов усиливается — появляются книги, в которых акцент смешает-
ся с коммерческих вычислении к финансовым. Авторами работ по
финансовым вычислениям являются, как правило, специалисты,
имеющие хорошую математическую подготовку. Предпринимаются
попытки формализовать некоторые базовые понятия. Например, в
1880 г. А. Старков опубликовал брошюру, половина которой посвя-
щена изложению сложных и непрерывных процентов, а в другой
половине показывается, что исчисление текущих счетов при ряде
предположений «выражается математически обыкновенным линей-
ным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициен-
тами» [1, Старков. С. 10].

В 1890—1891 гг. В России появляются работы, либо отражающие
ключевые разделы политической арифметики, либо содержащие еше
более обширный материал. Среди авторов следует отметить А. И. Тол-
винекого, опубликовавшего в 1890 г. книгу под названием «Капитали-
зация доходов», в которой он попытался дать теоретическое обосно-
вание способов опенки имущества при различных видах доходов. По-
добного рода задачи постоянно возникали на практике «при развитии
кредитных учреждений, оперирующих под залог имущее!в, при раз-
витии страхования имуществ, при стремлении к обложению налогом
доходов и капиталов» [I, Толеинский С. III]. И поэтому автор считал
весьма полезной теорию капитализации дохода, в которой изучались
различные виды аннуитета и частично рассма1ривался вообще поток
платежей, поскольку эта теория раскрывала «целую картину пред-
мета» и приспосабливала «ум к правильному и для большого круга
доступному взгляду» [Там же. С. 111—IV]. Таким образом, излагаемая
теория не носила отвлеченного характера и Толвинскии обоснованно
полагал, что она может служить «руководством для критики при все-
возможных случаях оценки» [Там же. С. III].
Особо следует выделить сочинение профессора Б.Ф. Малешевско-
го, вклад которого в становление и развитие финансовых вычислений
в России был весьма значителен. Как ответ на запросы практики в
1890 г. им была опубликована работа «Теория и практика пенсионных
касс», посвященная математической теории оценки долгосрочных
финансовых операций, математической статистике и теории страхо-
вания1. Основательный и весьма объемный труд Малешевского (три
книги с общим листажом 1750 с.) включал еще и приложение (объ-
емом 272 с.), в котором излагались необходимые для понимания ра-
боты специальные разделы высшей математики. Предполагалось,
что действовавшие в то время на российских железных дорогах пен-
сионные кассы в будущем станут обладать солидными капиталами и
возникнет задача приобретения ими процентных бумаг, приносящих
наибольший доход. В Министерстве путей сообщения (по поруче-
нию которого и была написана Б.Ф. Малешевским книга) придавали
большое значение решению этой задачи. Малешевский излагал мате-
матическую теорию финансовых операций, имеющих именно долго-
срочный характер, поскольку, по его мнению, «теория рент должна...
составлять естественное введение в теорию пенсий, формулы которой
представляют значительную аналогию с формулами первой» [I, Ма-
лешевскии. Т. 1. С. III]. Автор своим трудом надеялся принести пользу
новому в то время пенсионному делу на железных дорогах.

Содержание книг было высоко оценено специалистами. Так, ха-
рактеризуя первый из томов, носящий название «Математическая
теория оценки долгосрочных финансовых операций» и содержащий
вспомогательные таблицы для финансовых вычислений, И. И. Кауф-
ман писал: «Как по полноте этих таблиц, так и по полноте, с которою
в тексте сведены все результаты математических исследований, ста-
рых и новых, труд г. Малешевского в настоящее время (1891 г. — В. К.,
В У) далеко оставляет позади себя однородные сочинения других
литератур, особенно французские и немецкие» [I, Кауфман. С. 319].
По мнению Кауфмана, до издания основного сочинения Малешев-
ского в русской литературе по долгосрочным финансовым операциям
практически ничего не было (он упоминает лишь книги 3. Пинето2,

1 Е.М Чстыркин считает сочинение Малешевского «ранней фундаментальной пу-
бликацией на русском языке, содержащей методы финансовой математики» 111, Кочо-

- Уяанов В. А Роль петербургских ученых в становлении финансовых и коммерче-
ских вычислений в России // Финансы и бизнес. 2009 №1
представляющие собой специальные таблицы для их практического
использования и математическое обоснование составленных таблиц,
изданные в 1871—1872 гг. и посвященные одной полезной, но узкой
теме, связанной, по сути, с вычислением процентной ставки в анну-
итете при известных остальных параметрах)1 Однако после 1890 I.
«русская литература, обогатившись трудом г. Малешевского ... несо-
мненно этим сразу поднята на большую высоту» [Там же. С. 319]. Что
касается исследований Малешевского в целом, то один из его совре-
менников, посвятивший свою книгу аналогичным проблемам, пи-
сал, что эта работа по богатству материала превосходит лучшие и при-
знанные зарубежные книги и «представляет полную энциклопедию
теории страхования жизни» [1, Савич. С. XIV]2 3.

Фундаментальный труд Малешевского отличается высоким уров-
нем математизации; неслучайно поэтому, давая в целом высокую
оценку этой работе, И. И. Кауфман все же считал, что материалы
«Теории и практики пенсионных касс» (в частности, вычисления по
публичным долгам) доступны лишь читателям с сильной математи-
ческой подготовкой (правда, указывалось еше и на высокую пену со-
чинения Малешевского, что также ограничивало число возможных
читателей). В связи с этим Центральный статистический комитет по-
считал «полезным издание такого изложения приемов вычислений,
применяемых к публичным долгам, которые будучи по возможности
кратким, охватывало бы все существенные части предмета и в то же
время предполагало бы лишь элементарные познания в математике»
[I, Кауфман. С. IX—X], что и было осуществлено Кауфманом в 1891 г.
Такой труд был необходим, поскольку разработка статистики публич-
ных долгов в то время отставала, главным образом, из-за сложности
вычислений, от разработки других статистических материалов, а ли-

1 См/ Почему-то Кауфман совсем не упоминастработу А И Толвинского, опубли-
кованную в 1890 г, и «Руководство. .» Г К Бруна 1845 г Несомненно, Кауфман был
знаком со всей имеющейся литературой, так или иначе касающейся темы долгосроч-
ных финансовых операций, тем более изданной на русском языке, поскольку подобн ые
работы вообще были чрезвычайно редки. Тем нс менее он оставил лишь достаточно

негативный отзыв на опубликованную в 1891 г книгу А.Н Глаголева, но о Толвинском
и Бруне — ни слова.

3 Подробнее о сочинении Б Ф. Малешевского и некоторые сведения биографиче-
ского характера см в статье* Уланов В. А Б Ф Малсшсвский как один из основателей
теории и практики финансовых вычислений в России // Экономическая история Рос-
сии проблемы, поиски, решения сжсгодник/под ред д-ра экон, наук, проф. М М За-
горулько; ВЭО России, ВолГУ, НИИПЭИР XX в. ВолГУ Вып 7 Волгоград: Изд-во
ВолГУ, 2005
ца занимающиеся этими вопросами, обладали, как правило, лишь
элементарными знаниями в математике. При написании книги Ка-
уфман видел свою задачу в том. чтобы «разъяснить приемы вычисле-
ний, применяемые к публичным долгам, в видах содействия успеш-
ной разработки статистических материалов о сих долгах» [Там же.
С. ХП|. Причем автором в качестве точки отправления был «взят не
интерес капиталиста в доходе от процентных бумаг, а интерес долж-
ника, главным образом государства, заключающийся в бремени рас-
ходов, соединенных с лежащими на нем обязательствами по заклю-
ченным долгосрочным займам» [Там же. С. XII]. Кауфман подчерки-
вал, что он — не математик, что его специальностью является «наука
финансовая, приемы же вычислений имеют лишь вспомогательное и
служебное значение» [Там же. С. XII]'. Впрочем, несмотря на утверж-
дение Кауфмана, что в его работе приемы вычислений носят вспомо-
гательный характер, он широко использует математические выкладки
при выводе формул. И это неслучайно: сложность рассматриваемых
задач требует повсеместного использования математики.

В 1891 г. была опубликована еше одна примечательная работа -
книга А. Н. Глаголева «Элементарная теория долгосрочных финансо-
вых операций», в которой автор ставил своей целью «дать элементар-
ное изложение теории сложных процентов, теории рент, способов со-
ставления планов погашения различного рода долгосрочных займов,
способов оценки доходности процентных бумаг и т. п. финансовых
вычислений» [I, Глаголев. С. 1|’. За рубежом в то время уже существо-

1 Напомним, что доктор политической экономики и статистики Итларион Игна-

тьевич Кауфман бы т весьма разносторонней личностью и успешно совмсшат научную
и практическую деятельность Будучи профессором Санкт-Петербургского универси-
тета, он занимался изучением финансов России и иностранных государств, истории
финансов, финансовой статистики, финансового права Кроме того, в течение мно-
гих тст Кауфман работал в ряде ключевых финансовых институтов дореволюционной
России (Министерство финансов России, Центральный статистический комитет.
Государственный контроль. Государственный банк и др) В конце XIX в. он по пра-
ву считался одним из крупнейших специалистов в области финансов, денег и кредита
и был, по мнению М И Туган-Барановского, идейным вдохновителем денежной ре-
формы 1895—98 гг в России Болес подробную информацию о жизни и деятельности
Кауфмана можно найти в книге: История финансовой политики в России* Сб. статей
Научное издание СПб., 2000

3 К работе Глаголева по нс совсем понятным причинам бы то достаточно негатив-
ное отношение у Кауфмана. Любопытно, что через двадцать лет после опубликования
книги А.Н Глаголева некоторые специалисты говорили о ней (возможно, несколько
преувеличенно) как о единственном обстоятельном сочинении по теории долгосроч-
ных финансовыхопераций, которое стало библиографической редкостью (Коммерче-
ское образование, 1911 №8 С 430).
вала обширная литература по этому предмету и это обстоятельство
давало повод Глаголеву делать вывод, что знакомство с разнообраз-
ными финансовыми вычислениями считалось «там нужным не для
одних только лиц, специально занимающихся финансовыми опера-
циями» [Там же. С. I). В силу указанных причин автор полагал, что
«такого рода издание и у нас не будет излишним» [Там же. С. I]. Хотя
в названии книги есть слово «элементарная», тем не менее чтение ра-
боты Глаголева (как и труда Малешевского) предполагало достаточно
неплохую математическую подготовку у читателя1.

Сам Александр Николаевич Глаголев был тесно связан с системой
коммерческого образования. В частности, принимал активное уча-
стие в работе по организации торговых классов. В 1897 г. он был во
главе образовавшегося Московского общества распространения ком-
мерческого образования (М.О. Р. К. О.). В начале XX в. А. Н. Глаголев
был первым директором мужского и женского коммерческих училищ,
учрежденных М.О. Р. К.О. Он являлся автором многочисленных
учебников по математике2 3.

В России в конце XIX в. начинает развиваться страховое дело, по-
являются публикации, посвященные этому вопросу и содержащие
разделы политической арифметики (такие, как долгосрочные фи-
нансовые операции, современные стоимости платежей). Упомянем в
этой связи работу преподавателя физико-математического факульте-
та Санкт-Петербургского университета С. Е. Савича «Элементарная
теория страхования жизни и трудоспособности», опубликованную
вторым изданием в 1909 г. По словам автора, в работе он обращает
особое внимание на разъяснение основных понятий страхования, не-
сколько оставляя в стороне технику расчетов страховых учреждений.
Главная же цель сочинения — «дагь возможность лицам, деятельное 1ь
которых связана с жизнью страховых учреждений, усвоить основные

1 Подобное требование нс было каким-то сверхъестественным, поскольку весьма
динамичное и стремительное развитие России, начавшееся примерно в 1880-е годы и
особенно усилившееся в 1890-е гг,с неизбежностью затрагивало и сферу образования

Например, всего за 17 лет (с 1880 по 1897 г) число учащихся в гимназиях (годовое) воз-
росло почти в три раза (с 75 до 220 тысяч) К концу века в России было более миллиона
людей с гимназическим образованием. Причем дети дворян даже и в 1880-е годы со-
ставляли значительно мснсс половины и гимназистов и студентов (см * Лейкина-Свир-
ская В Р. Интеллигенция в России во второй половине XIX века. М * «Мысль», 1971

3 Болес подробно см Уланов В. А. Из истории коммерческого образования в России*
А.Н Глаголев (к 150-летию со дня рождения) // Пятые Петровские чтения Сб науч
тр. СПб, 2004.
понятия страхования настолько, чтобы они ясно себе представляли
значение тех операций, которые они выполняют, и были в состоянии
дать правильные объяснения во всех случаях и вопросах, могущих
возникнуть» [I, Савич. С. XV]1. Кстати, для изучения теории страхо-
вания Савич рекомендовал в числе прочих и работу Малешевского,
считая, что она по богатству материала превосходит лучшие и при-
знанные зарубежные книги и «представляет полную энциклопедию
теории страхования жизни» [Там же. С. XIVJ.

По мере становления финансовых вычислений наблюдается оче-
редной этап трансформации наименования соответствующей отрас-
ли знании (политическая арифметика долгосрочные финансовые
операции => высшие финансовые вычисления), спецификации ее со-
держания, разграничения ее разделов. Так. в 1898 г. в Энциклопеди-
ческом словаре Брокгауза и Эфрона в статье, посвященной полити-
ческой арифметике, утверждалось, что этот термин «можно считать
почти совершенно вышедшим из употребления». Тем не менее в на-
чале XX в. продолжали издаваться научные и учебно-методические
работы по политической арифметике и долгосрочным финансовым
операциям Н.С. Лунского, П. М. Гончарова, Н.Т. Синопийского-Тро-
фимова, И.П Бабенко. Попытку разграничить коммерческие и фи-
нансовые вычисления делали и другие авторы. В частности, И.П. Ба-
бенко определил коммерческую арифметику как отрасл ьтехнической
прикладной математики, прилагающей правила низшей арифметики
к численным вопросам торгово-промышленных операций и отлича-
ющейся от низшей арифметики своими упрошенными приемами и
способами вычислений, сокращающими производство арифметиче-
ских действий. Политическая арифметика, по определению Бабенко,
есть отрасль гехнически прикладной математики, имеющая своим
предметом в узком смысле — вычисления долгосрочных финансовых
операций, а в широком смысле — исследование законов и фактов го-
сударственной и общественной экономической жизни. Первую науку

1 Сергей Евгеньевич Савич плодотворно работал и в области чистой математики
Будучи еще студентом четвертого курса университета он быт удостоен медали за со-
чинение по методам вычислений определенных интегралов. Его магистерская диссер-
тация, защищенная в 1892 г, быта одним из первых значительных трудов по аналити-
ческой теории дифференциальныхуравнений на русском языке Кроме преподавания
в университете, С Е. Савич впоследствии был профессором Петербургского Электро-
технического института и Высших женских курсов.
он относил к коммерческим наукам, а вторую — к социальным и ад-
министративным [I, Бабенко. С. 6|.

В отличие от книг по коммерческой арифметике, литература на
русском языке по теории долгосрочных финансовых операций бы-
ла совсем немногочисленна и в начале XX в. Поэтому, как писали в
журнале «Коммерческое образование», сущность таких операций и
осуществляемые в них расчеты оставались малоизвестными даже
среди людей коммерческих профессий. Однако в связи с развитием, в
частности, крупных предприятий все больше начинает быть востре-
бован долгосрочный кредит и. следовательно, растет необходимость
освоения расчетов долгосрочных операции. В 1903 г. по политиче-
ской арифметике переиздается небольшая, но весьма содержательная
книжка Н. С. Лунского. О качестве книги свидетельствует и тот факт,
что она была включена в список руководств, составленный Учебным
комитетом Министерства финансов для лиц. готовящихся к экзамену
на право преподавания коммерческой арифметики.

Следует отметить и опубликованный П.М. Гончаровым элемен-
тарный курс долгосрочных финансовых операций, содержавший
«учения о сложных процентах, рентах и применении их к составле-
нию планов погашения разнообразных долгосрочных займов, типы
которых преимущественно встречаются у нас в России» |1. Гончаров.
1910. С. III]. Содержание сочинения П.М. Гончарова «Долгосрочные
финансовые операции: Курс элементарный» по существу совпадает с
содержанием книги Глаголева (каки некоторые фразы предисловий).
Однако у Гончарова изложение материала все же на самом деле ближе
к элементарному, чем у Глаголева (хотя есть и выводы некоторых со-
отношений, и даже сформулированы теоремы). Это объясняется тем,
что Гончаров предназначал свою книгу не только в качестве пособия
для желающих изучить долгосрочные финансовые операции, но и как
справочник для практиков. Хотя надо сказать, что в книге все-таки в
большей степени изложена именно математическая теория финансо-
вых операций, практических же сведений не так много1.

Представляется, что во многих моментах бывает трудно указать чет-
ко, что данные финансовые вычисления относятся именно к коммер-
ческой арифметике (коммерческим вычислениям), а не к политической
арифметике (высшим финансовым вычислениям), поскольку и те и

1 Павел Максимович Гончаров был также автором неоднократно переиздававших-
ся учебников и сборников задач по коммерческой арифметике
другие занимаются количественным анализом финансовых операций.
Только в политической арифметике количественный анализ, как пра-
вило. сложнее, чем в коммерческой арифметике, и первая занимается
помимо прочего долгосрочными финансовыми операциями, а вторая,
в основном, операциями краткосрочного характера. Однако понятие
«сложнее» достаточно неопределенно и зависит от того, с какой точки
зрения его рассматривать, да и финансовые операции различной про-
должительности нередко тесно связаны между собой. Поэтому в ком-
мерческой арифметике встречаются разделы, по сути, относящиеся к
политической арифметике. В свою очередь, отдельные разделы поли-
тической арифметики (высших финансовых вычислений) обособились
в самостоятельные дисциплины (например, статистика, страхование)1.

При написании своих работ Брун, Глаголев, Малешевский, Лун-
ский и другие пользовались сочинениями зарубежных авторов, у
многих из которых книги носили название «Политическая арифме-
тика», «Теория сложных процентов и теория аннуитета» и т. п. Одна-
ко всегда ключевым разделом была теория долгосрочных финансовых
операций, которая, видимо, поэтому и воспринималась как полити-
ческая арифметика в узком смысле слова2. В Германии XIX в., судя по
опубликованным работам, политическая арифметика отождествля-
лась с теорией долгосрочных финансовых операций (Коммерческое
образование. 1911. № 8. С. 430)

Безусловно, наиболее плодотворно в области финансовых вы-
числений в начале XX в. работал Николай Севастьянович Лунский.
Именно он ввел в обиход понятие «высшие финансовые вычисления»,
разработал университетский курс по этой дисциплине и, обосновы-
вая его значимость, писал: «Высшие финансовые вычисления входят
как обязательный предмет в учебные планы всех высших коммерче-
ских школ Западной Европы, и можно заметить, что этому предмету
дается тем большее развитие, чем выше уровень школы в научном от-
ношении» [I. Лунскии, 1912. ч. I. С. 3]

1 В начале XX в. в самой коммерческой арифметике иногда выделяли низшие и
высшие вычисления, причем последние подраздели тись на три ступени: сложные про-
центы, рентные вычисления, страховые вычисления. Таким образом, две последние
ступени фактически представляют политическую арифметику

- Это отражалось и в названии работ Так, в 1903 г. вторым изданием вышла уже
упоминавшаяся ранее книга Н С Лунского «Политическая арифметика Краткий
элементарный курс долгосрочных финансовых операций».
В 1912 г. профессор Н.С. Лунским издал в трех частях «Лекции по
высшим финансовым вычислениям». Эти лекции он читал на Эконо-
мическом отделении Московского коммерческого института для бан-
ковой, страховой и педагогической групп коммерческо-финансового
цикла. Лунский считал, что излагаемые в «Лекциях» финансовые вы-
числения относятся именно к «высшим научным дисциплинам», по-
скольку областью исследования таких вычислении являются «финан-
сы, статистика и политическая экономия, а орудием — методы и вы-
воды элементарной математики, высшего анализа, теории конечных
разностей и исчисления вероятностей» [Там же. С. 3]. Через 22 года по-
сле выхода фундаментальной работы Малешевского впервые появи-
лось сочинение аналогичного уровня. Вместе с тем есть и существен-
ное различие между ними — «Лекции» предназначались студентам.
Учебно-методический характер работы учитывал то обстоятельство,
что в ней было нецелесообразно рассказывать обо всех возможных си-
туациях, материал следовало тщательно отбирать и структурировать,
а его объем должен был соответствовать учебным часам, отведенным
для изучения. И здесь уже. кроме глубокого знания излагаемого пред-
мета, необходимы были педагогический талант и опыт, которыми, не-
сомненно, обладал Лунский1.

В первой части сочинения Лунского рассмотрены простые (очень
коротко) и сложные проценты, теория рент, сформулирован общий
принцип высших финансовых вычислений. С целью знакомства всех
студентов коммерческо-финансового цикла со страховыми вычисле-
ниями в эту же часть автор включил и простейшие операции страхо-
вания жизни (в терминологии Лунского — страхование, понимаемое в
узком смысле).

Вторая и третья части «Лекций» посвящены специальным курсам,
соответственно, долгосрочных займов и страховых вычислений. Курс
долгосрочных займов предназначался студентам банковой и педа-
гогической групп и содержал подробную теорию займов: погашение
долгосрочных займов (в один срок, в несколько сроков, npoipeccHB-
ным способом), замена одного займа другим, оценка займов, лоте-
рейные займы и т. д. Специальный курс страховых вычислений был

1 Учебные пособия Лунского по коммерческой арифметике (коммерческим вычис-
лениям) и бухгалтерскому учету переиздавались многократно. Согласно проведенным
опросам, они были среди самых востребованных учебников в коммерческих училищах
и торговых школах России (см., напр.* Техническое образование. 1910 № 6; Бюллетени
Общества разработки и распространения счетоводных знаний. 1912 № 26/5).
ориентирован на студентов страховой группы и содержал кроме неко-
торых уже известных из первой части вопросов более сложные случаи
вычисления премии и резервов по страхованию, страхование трудо-
способности, расчеты пенсионных касс, теорию математического ри-
ска в страховании жизни. Для лучшего понимания представленного
курса предварительно излагались такие разделы высшей математики,
как теория конечных разностей, теория вероятностей и математиче-
ская статистика.

Конечно, Лунский постоянно занимался усовершенствованием
курса высших финансовых вычислений, переработанная часть ко-
торого (объемом 512 страниц) была опубликована в 1916 г. Изданная
книга имела подзаголовок «отдел первый», что свидетельствовало о
планах автора опубликовать как минимум «отдел второй» (или боль-
ше). Однако вскоре наступил 1917 г., перевернувший всю жизнь в Рос-
сии, и намерениям Лунского не суждено было осуществиться.

Укажем еше на одно вышедшее до революции издание, большая
часть которого посвящена долгосрочным финансовым вычислениям.
В 1915 г. Н.Т. Синопийский-Трофимов опубликовал «Руководство к
применению таблиц сложных процентов, срочных взносов и уплат с
приложением краткой теории долгосрочных финансовых операций».
Примерно 30% объема этой книги было отведено примерам исполь-
зования таблиц «сложных процентов, срочных взносов и уплат в так
называемых долгосрочных финансовых операциях» 11, Синопиискии-
Трофимов, 1915. С. III], а 70% — изложению соответствующей теории
с выводом формул и приведением поясняющих теорию примеров. И
хотя, по утверждению автора, книга может быть полезна любому, ин-
тересующемуся долгосрочными операциями и «затрудняющемуся в
логарифмических вычислениях», но «для уяснения теории необходи-
мо знание элементарной алгебры» [Там же. С. III].

Несмотря на отмеченные попытки вытеснения курса коммер-
ческой арифметики финансовыми вычислениями, окончательного
размежевания так и не произошло. Более того, названия «коммер-
ческая арифметика» или «коммерческие вычисления» доминируют
в специальной литературе вплоть до 1930-х гг., в частности, одними
из последних книг этой серии стали опубликованные в 1931 г. рабо-
ты А.Ф. Ломовисского и Е. В. Сиверс (последняя представляла со-
бой переработанное и дополненное восьмое издание «Коммерческой
арифметики с задачами», впервые опубликованной в 1909 г.)1 *. Содер-
жание книг, отражающих эту тему и опубликованных до 1930 г., по
существу не отличается от содержания аналогичных работ, издан-
ных до революци и.

Так, в 1917 г. без всяких изменений были переизданы работы
Е-В. Сиверс (четвертым изданием) и П.М. Гончарова (шестым изда-
нием). который в предисловии объяснил, что никаких дополнений и
изменений, по сути, нельзя было сделать «вследствие переживаемых в
настоящее время событий, вызвавших нарушение нормального хода
всей экономической, промышленной и торговой жизни нашего оте-
чества» [I, Гончаров, 1917. С. III]. В начале 1920-х гг. шестым издани-
ем выходит книга Р.Я. Вейцмана по коммерческим вычислениям, в
которой для приведения примеров из торговой и биржевой практики
автор прибегает к помощи дореволюционного прошлого, поскольку к
этому времени, по мнению автора, еще не закончился процесс орга-
низации торговли в новых условиях, еще не стала устойчивой валюта,
не наладилась торговля с другими государствами и т. д.’

В течение первых десяти послереволюционных лет содержание
курсов коммерческой арифметики и финансовых вычислений не пре-
терпевает значительных изменений по сравнению с дореволюцион-
ными курсами.

Во втором издании этой книги (2002 г.) в приложении 4 приведена
программа курса финансовых вычислений, читавшегося профессо-
ром В. И. Зазерским в Петроградском университете в 1920-е гг.3 Как

1 Любопытно отмстить, что Елизавета Владимировна Сиверс, кстати, жена одного

из ведущих представителей петербургской школы бухгалтеров Евстафия Евстафисви-
ча Сиверса, была, вероятно, единственной женщиной, работавшей в области теории и
практики коммерческих вычислений

3 Болес того, в силу тяжелого экономического положения в России после Октябрь-
ской революции (отразившимся, естественно, и на издательском деле) большинству
авторов (мы уже упоминали Н С Лунского), по-видимому, не удалось опубликовать
планируемые работы или же они выходили в несколько усеченном виде Так, напри-
мер, П. М Гончаров был вынужден объединить (сокращая материал) ранее опублико-
ванные и пользующиеся спросом курсы по коммерческой арифметике и в 1918 г издать
в виде одной книги.

’ Напомним, что в университетах дореволюционной России нс быто специальных
программ подготовки экономистов и финансистов — эти специалисты готовились на
юридических факультетах университетов. Сам факт того, что будущие экономисты при
обучении на юридическом факультете по определению получали достаточно основа-
тельную подготовку в области права, можно только приветствовать В годы Советской
власти именно этот раздел университетских программ подготовки экономистов был, ве-
роятно, наиболее слабым Внастояшес время этот пробел устраняется (в учебные траны
экономических факультетов вводятся дисциплины по различным разделам права), что
несложно заметить, в содержательном плане эта программа действи-
тельно отвечала своему названию и была ориентирована на биржевой
рынок и банковское дело.

При изложении многих разделов в учебных пособиях и читавших-
ся курсах авторам «приходилось ссылаться и на старые дореволюци-
онные обычаи и на них базировать вычисления» [1, Богословский, 1925.
С. 3]. Основная причина, видимо, состояла в том, что к середине 20-х
годов еще не было полной ясности в отношении некоторых сегментов
финансового рынка, биржевой торговли, возможностей операций с
девизами и др.

Авторы тех лет полагали абсурдным простое отбрасывание старых
приемов и методов, поскольку искренне считали, что России и после
революции придется взаимодействовать с другими государствами, «в
которых господствуют еще старые формы жизни» и «если новое поко-
ление хочет (а оно должно) создать новые формы, оно может это сде-
лать, лишь старательно изучив старые» [1, Абезгуз. С. 1], из которых
наиболее жизненные и устойчивые (как многие надеялись) восстано-
вятся.

В 1930-е гг. по сути завершается процесс централизации управле-
ния бухгалтерским учетом, финансами, банковскими операциями,
еше ранее умирает биржевая торговля. Надобность в финансовых и
коммерческих вычислениях отпадает на долгие десятилетия, вплоть
до 1990-х гг. Можно предположить, что не произойди в России рево-

позволяет говорить о возврате к основополагающим принципам подготовки экономи-
ческих кадров высшей квалификации Что касается истории, то в 1919 г юридические
факультеты во всех университетах страны были упразднены, а вместо них были обра-
зованы факультеты общественных наук, в которые наряду с другими входило социаль-
но-экономическое отделение Преподавание блока финансовых дисциплин на нем было
обязательным Любопытно отметить, что в Петроградском университете при создании
экономического отделения его руководителями были назначены известные учсныс-
финансисты* возглавил отделение М И Боголепов <1879—1945), его заместителем был
А. И. Буковсцкий (1881—1972), а секретарем — А.А. Вознесенский <1898—1950). Профес-
соре И Зазсрский. начавший преподавание курсов бухгалтерского учета и финансовых
вычислений на вновь созданном факультете университета, быт весьма известным уче-
ным. получившим образование в Петербургском Петровском училище и Берлинском
университете и неоднократно проходившим стажировки в университетах Германии.
Англии, Франции, Италии В частности, в 1903—1904 гг Зазерский был командирован за
границу, где занимался в знаменитом Гейдельбергском университете (у проф. Кантора
по математической теории долгосрочных финансовых вычислений) и в Пюрихском уни-
верситете (у проф И Шсрра по организации техники торговли). В 1895 г. Зазсрский сдал
вособой комиссии, образованной Министерством народного просвещения и финансов,
экзамен на право преподавания финансовых вычислений и учета (счетоведения) в учеб-
ных заведениях всех разрядов.
люция, развитие этого раздела экономики осуществлялось бы в том
же направлении, что и за рубежом: часть коммерческих вычислений,
имеющая отношение к калькуляционным расчетам, полностью ото-
шла бы в курс, известный ныне как «Управленческий учет», собствен-
но финансовые вычисления трансформировались бы в один из клю-
чевых разделов дисциплины «Финансовый менеджмент».

Тем не менее подобной трансформации не произошло; и в этой об-
ласти был выбран свой путьразвития, отличный оттого, который сло-
жился в экономически развитых странах Запада. В начале 1930-х п.
в СССР начинает формироваться новое направление, получившее
название «Хозяйственные расчеты (вычисления)». Основной вклад
в его развитие сделали П.П. Андреев и Н.С. Беленький. По мнению
Андреева, использовавшиеся в первые годы советской власти доре-
волюционные учебники профессоров Лунского. Вейцмана. Филимо-
нова и др. не могли удовлетворить запросы советского социалистиче-
ского хозяйства, что и послужило причиной создания нового курса в
1929—1934 гг. [II, Андреев, 1954. С. 4]. Основными целевыми установ-
ками нового курса, определявшимися необходимостью дальнейшего
усиления контрольной функции учета, стали своевременность и пре-
словутая точность расчетов: «Каждый счетный работник должен со-
знавать, что он призван охранять социалистическую собственность, а
потому все результаты его расчетов должны даваться своевременно и
быть безошибочными» [Там же. С. 4|.

В те же годы начинается процесс специализации системы высше-
го и профессионального образования, смысл которого состоял в том,
чтобы каждый наркомат готовил кадры для своей системы. Появля-
ется отраслевая специализация в бухгалтерском учете, коммерческих
вычислениях, экономике. Эта тенденция противоречила подходу к
экономическому образованию, исповедовавшемуся в странах Запада,
и в определенном смысле прервалась лишь совсем недавно — с начала
90-х годов начинается постепенный отход от жесткой отраслевой спе-
циализации в базовых дисциплинах, меняются акценты в типовых
планах в системе высшего образования.

Если первые пособия по курсу «Хозяйственные вычисления» еще
в значительной степени корреспондировали в содержательной части
с книгами по коммерческим вычислениям (так, работа Беленького,
опубликованная в 1934 г., включала такие разделы, как процентные
и товарные вычисления, торговая калькуляция, вычисления по кон-
токоррентам, расчетным, ссудным и текущим счетам и др.; примерно
таким же было содержание книги Андреева и Беленького, изданной
в 1938 г.), то уже в послевоенные годы содержание курса существенно
меняется. Финансовые аспекты вычислительных операций полно-
стью выхолащиваются, а собственно курс был сведен к трем разделам:
сведения поэлементарней математике, необходимые для хозяйствен-
ных вычислений; методы и приемы, упрощающие вычислительный
процесс; механизация вычислительных работ. Делалась, правда,
оговорка, что в зависимости от профиля выпускаемого учебным за-
ведением специалиста специфика материалов курса могла несколько
видоизменяться и в учебные планы он мог включаться под титула-
ми «Торгово-финансовые вычисления», «Финансовые вычисления»,
«Техника вычислений применительно к сельскохозяйственному уче-
ту» и др. На самом деле менялось только наименование; значимых
различий в содержании не было.

Появление курса «Хозяйственные вычисления» являло собой оче-
видный откат от тех рубежей, которые были достигнуты накануне
революции благодаря усилиям Лунского. Светлова. Малешевского и
др. Достаточно сравнить оглавления учебных пособии, чтобы осоз-
нать глубину происшедших изменений. Так, одна из наиболее ранних
работ в области финансовых и коммерческих вычислений — пособие
Рейнбота. будучи весьма объемной как по листажу (около 300 стра-
ниц), так и в содержательном плане, включала следующие разделы:
монетные вычисления, вычисление процентов в текущих счетах, век-
сельные вычисления, вычисления золота и серебра, вычисление фон-
дов и акций, товарные вычисления, вычисления аварии, вычисления
по займам, вычисления по застрахованию жизни и пожизненных до-
ходов |1, Рейнбот, 1882]

Книга Светлова (1912 г.) включала такие разделы, как формулы
для вычисления интересов, способ приведенного капитала, сконто,
о простом и переводном векселях, математический и коммерческий
учет векселей, вычисления по займам и вкладам, чеки, сложное кур-
совое вычисление, погашение долга одного срока векселями других
сроков, иностранные курсовые системы, простой вексельный и слож-
ный арбитражи, акции и облигации, арбитраж процентных бумаг,
биржевые операции и др.

Пособие Андреева (1954 г.) состояло из девяти разделов: метриче-
ская система мер, упрощенные арифметические действия, конторские
счеты, вычислительные таблицы, суммирующие и вычислительные
машины, приближенные вычисления, процентные вычисления, про-
порциональное деление, средняя арифметическая в хозяйственных
вычислениях. Приведенная рубрикация вероятно была достаточно
типовой для системы профессионального образования; по крайней
мере она почти полностью соответствует программе по торгово-фи-
нансовым вычислениям для Центросоюза, опубликованной в 1943 г.1
Интересно отметить, что по сравнению с более ранними послевоен-
ными работами Андреева и Беленького (1948 г., 1950 г.) пособие, из-
данное в 1954 г., ухудшилось в содержательной части — изъяты бан-
ковские вычисления, методы расчетов по долгосрочным финансовым
вычислениям, международные расчеты и др.

Что касается сложности материала и его полезности для будущих
экономистов, финансистов, коммерсантов, то и здесь сравнение, есте-
ственно, не в пользу курса «Хозяйственные вычисления». Без особой
натяжки можно утверждать, что если исключить разделы, посвя-
щенные средствам механизации, го пособие Андреева в известной
степени будет представлять собой возврат к книгам авторов XIX в.,
основная цель которых, напомним, состояла в изложении методов
упрощенных и быстрых вычислений. То же самое можно сказать и о
книгах других авторов по этому направлению; так, в книге Гурвица,
изданной в 1960 г., излагаются вопросы сложения, вычитания, умно-
жения и деления на конторских счетах, упрощенные и приближенные
вычисления, вычислительные таблицы, сведения об арифмометре и
др. [II, Гурвиц].

Определенная идеологизация курса коммерческих и финансовых
вычислений и выхолащивание его финансовых аспектов продолжи-
лось и в шестидесятые юды. Коммерческие вычисления стали одно-
значно трактоваться как система специальных вычислений, призван-
ная обслуживать нужды капиталистов. Считалось, что ее целью было
«исчисление результатов торговых и финансово-спекулятивных опе-
раций, производимых конкурирующими капиталистами и целыми
капиталистическими объединениями (синдикатами, картелями, тре-
стами) с целью наибольшего обогащения», а объектом — «денежные
суммы различных видов нетрудовых доходов, присваиваемые капи-

1 Программа по торгово-финансовым вычислениям для школ по подготовке и кур-
сов по усовершенствованию инструкторов райпотребсоюзов М Ти пография Центро-
союза, 27 сентября 1943 г
талистами в сфере обращения товаров» [II, Исаков, Лившиц, Рожнов.
С. 5].

Поскольку термин «финансовые вычисления», естественно, не
мог быть полностью изъят из отечественной науки и практики, его
заменили на «советские финансовые вычисления» и рассматрива-
ли как подраздел хозяйственных вычислений и самостоятельный
учебный курс, предназначенный для подготовки специалистов
для финансовых органов и кредитных учреждений СССР [Там же.
С. 5]. В содержательном плане этот курс не слишком отличался
от послевоенных пособий Андреева и Беленького по хозяйствен-
ным вычислениям. Так, в упомянутом пособии Исакова, Лившица
и Рожнова более половины книги посвящено счетным машинам и
их использованию в вычислительных работах; что касается раздела
«Финансовые вычисления», то он включал такие главы, как упро-
щение арифметических действий, приближенные числа, конторские
счеты, вычислительные таблицы, процентные вычисления, вычис-
ление процентных денег, налогов, пени, аннуитетов, т. е., по сути,
вновь акцент делался на техническую сторону вычислительного
процесса. Определенная приниженность курса проявлялась и в том,
что подобные пособия писались в основном для финансовых и фи-
нансово-кредитных техникумов. Вероятно, считалось, что среднего
специального образования достаточно для того, чтобы заниматься
финансовыми операциями в СССР. В начале 1960-х гг. из программ
вузов изымается и курс хозяйственных вычислений.

Начавшееся в 1960-е гг. смешение акцента в сторону механиза-
ции учета и вычислительных работ по сути свидетельствовало не о
преемственности курса финансовых и коммерческих вычислений,
а, скорее, о его фактическом кончине и окончательном формирова-
нии нового направления, возможно и важного, но принципиально
иного, поскольку главным в курсе финансовых расчетов была мето-
дология количественного обоснования финансовых операций, тогда
как в курсах хозяйственных вычислений iex лет превалировал чисто
утилитарный аспект — какие средства механизации (а позднее и ав-
томатизации) лучше использовать при производстве вычислительных
работ на предприятии. Работы по этому направлению были начаты
еше в середине 1920-х гг. Н.Р. Вейцманом и продолжены в 1930-е гг.
И. Н. Янжулом. Пособия по хозяйственным вычислениям как раз и
пропагандировали это направление, что и привело в конце концов
к замене дисциплины «Хозяйственные вычисления» на дисциплину
«Автоматизированные системы обработки экономической информа-
ции».

В последующие годы вплоть до начала 1990-х гг. положение с дис-
циплинами, имеющими отношение к финансовым и коммерческим
расчетам, практически не менялось. Возрождение финансовых вы-
числений в России связано с появлением работ проф. Е. М. Четырки-
на. В последнее время круг авторов по данной проблематике посто-
янно расширяется; такая тенденция вполне объяснима и оправданна.
Курс финансовых вычислений (финансовой математики) вновь вклю-
чен в университетские программы для экономистов.

Современные российские ученые, разрабатывающие теорию и
практику финансовых вычислений в общепринятой в экономически
развитых странах их интерпретации, работают не на пустом месте —
традиции и достижения дореволюционных российских специалистов
служат одновременно хорошим подспорьем и стимулом в работе. Не-
сомненно, значимость этого раздела экономических знаний по мере
упрочения рыночной экономики в России будет только усиливаться.

Именно поэтому закончить краткий экскурс в историю становле-
ния и развития финансовых вычислений в России хочется словами
А. Штейнгауза, автора одного из первых русскоязычных системати-
зированных трудов по коммерческой арифметике, который, объясняя
важность и перспективность этой дисциплины, еще в 1850 г. писал:
«Если я успею в моем намерении привлечь внимание на важность этого
предмета, то труд мой будет вознагражден» 11, Штейнгауз. С. II 1|. Спу-
стя полтора века нам нечего добавить к этим словам — мы полностью
разделяем его мысль и именно ею руководствовались, приступая к ра-
боте над этой книюй. Мы полагаем, что дисциплина «Финансовые (и
коммерческие) вычисления» отныне и навсегда займет достойное ме-
сто в блоке базовых дисциплин университетской подготовки специ-
алистов в области бухгалтерского учета, финансового менеджмента,
банковского дела. Учитывая все усиливающуюся значимое|ь доброт-
ной подготовки выпускников высшей школы в области бухгалтерского
учета и финансового менеджмента, возврат (а точнее, движение вперед)
к идеям, исповедовавшимся Николаем Севастьяновичем Лунским на-
кануне революции, их творческое развитие и пропаганда несомненно
представляют собой один из ключевых моментов совершенствования
системы высшего экономического образования в России.
Глоссарий

Акция (stock) — долевая ценная бумага, подтверждающая право ее
владельца участвовать в управлении обществом (обычно, за исклю-
чением привилегированных акций), в распределении прибыли обще-
ства и в получении доли имущества, пропорциональной его вкладу в
уставный капитал, в случае ликвидации данного общества.

Амортизация (amortization, depreciation) - (а) постепенное сниже-
ние ценности амортизируемого актива вследствие его изнашивания;
(6) процесс перенесения единовременных расходов, связанных с при-
обретением долгосрочного актива, на затраты отчетных периодов в
течение рассчитанного срока полезной службы этого актива.

Аннуитет (финансовая рента) (annuity) — однонаправленный де-
нежный поток с равными временными интервалами. Любой элемент
денежного потока называется членом аннуитета (членом ренты), а
величина постоянного временного интервала между двумя его по-
следовательными элементами называется периодом аннуитета (пе-
риодом ренты).

Аннуитет бессрочный (perpetuity) — аннуитет, число элементов ко-
торого может быть неограниченно большим (в том числе, достаточно
большим).

Аннуитет непрерывный — аннуитет, в котором платежи произво-
дятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные.

Аннуитет отсроченный (deferredannuity) — аннуитет, начало первого
периода которого сдвинуто вправо по временной оси от момента вре-
мени, на который происходит анализ.

Аннуитет переменный (variableannuity) — аннуитете неравными эле-
ментами.

Аннуитет постнумерандо (ordinary annuity) — аннуитет, каждый эле-
мент которого имеет место в конце соответствующего периода.

Аннуитет постоянный (fixedannuity)—аннуитет, все элементы кото-
рого равны между собой.
Аннуитет пренумерандо (annuity due) — аннуитет, каждый элемент
которого имеет место в начале соответствующего периода.

Аннуитет срочный — аннуитет, число периодов которого ограни-
чено.

Аннуитет условный (contingent annuity) — аннуитет, выплата которо-
го стави1ся в зависимость oi наступления некоторою события (на-
пример, платежи поличному страхованию).

Антисипативное начисление процентов начисление процентного
платежа, осуществляемое в начале каждого расчетного периода

Банк (bank) — учреждение, имеющее лицензию на проведение опе-
раций с финансовыми активами, включая прием вкладов, проведение
расчетов, кредитование, эмиссию денег, операции с золотом, ино-
странной валютой и др

Брутто-ставка процента любая процентная ставка, превышаю-
щая номинальную. Как правило, брутто-ставка является положи-
тельной процентной ставкой.

Будущая стоимость (future value) — стоимость в некоторый момент
времени, рассматриваемая с позиции будущего, при условии ее нара-
щения по некоторой ставке.

Будущая стоимость денежного потока (future value oj cashflow) — сум-
ма всех наращенных элементов этою потока.

Валюта (currency) — (а) денежная единица страны; (б) средства на
счетах, бумажные деньги, монеты, векселя, чеки, используемые в
международных расчетах.

Валюта свободно конвертируемая (convertible currency) — валюта, без
ограничений обмениваемая на любую другую иностранную валюту и
свободно переводимая в любые другие страны.

Вексель (bill, draft, note) — письменное долговое обязательство стро-
го установленной законом формы, выдаваемое заемщиком векселе-
дателем) кредитору (векселедержателю), предоставляющее последне-
му право требовать с заемщика уплаты к определенному сроку суммы
денег, указанной в векселе

Внутренняя норма прибыли (Internal Rate of Return. IRR) — значение
ставки дисконтирования, при котором чистая приведенная стоимость
проекта равна нулю. Синонимы: внутренняя доходность, внутренняя
окупаемость.
Девальвация (devaluation) — официальное снижение курса нацио-
нальной валюты

Девизы (ед. число девиза) (foreign currency) — платежные средства
(чаще в иностранной валюте), при помощи которых осуществляются
международные расчеты; к девизам относятся: переводы, чеки, аккре-
дитивы, векселя, иностранные банкноты и иностранные монеты.

Декурсивное начисление процентов - начисление процентного пла-
тежа, осуществляемое в конце каждого расчетного периода.

Денежный поток (cash flow) — множество распределенных во време-
ни выплат (оттоков) и поступлений (притоков), понимаемых в широ-
ком смысле. В качестве элемента денежного потока могут выступать
доход, расход, прибыль, платеж и др.

Депозит (deposit) — (а) материальная ценность (обычно деньги или
ценные бумаги), вносимая в государственное учреждение (банк, сбере-
гательную кассу, нотариальную контору и др.) и подлежащая возврату
внесшему ее лицу (или кому-либо по его указанию) при наступлении
определенных условии; (б) вклады в банках и сберегательных кассах.

Депозитный сертификат (certificate of deposit) — письменное свиде-
тельсшо кредитного учреждения (банка-эмитента) о депонировании
денежных средств, удостоверяющее право владельца на получение по
истечении установленного срока суммы депозита и процентов по нему

Дефляция (deflation) — процесс, характеризующийся снижением
общего уровня иен в экономике

Дивиденд (dividend)— часть распределяемой среди акционеров при-
были компании, приходящаяся на одну акцию.

Дивизор (процентный ключ, постоянный делитель) (interest divisor) —
отношение принятого числа дней в году к процентной ставке; числен-
но равен такому количеству рублей, с которого при данной процент-
ной ставке получается 1 руб. дохода вдень.

Дисконт (discount) — а) доход, полученный по учетной ставке;
б) процент, взимаемый банком при учете векселей; в) собственно
учетная ставка; г) скидка (например, с цены товара, с конечной сум-
мы долга и т. п.).

Дисконт-фактор (discount-factor) — отношение первоначальной де-
нежной суммы к сумме, полученной в результате финансовой опера-
ции с первоначальной денежной суммой.
Дисконтирование (discounting) — процесс, обратный наращению, в
котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая)
сумма и ставка.

Дисконтирование банковское (bank discounting) — дисконтирование,
осуществляемое по учетной ставке.

Дисконтирование математическое - дисконтирование, осущест-
вляемое по процентной ставке.

Доходность финансового актива относительный показатель, рас-
считываемый соотнесением некоторого дохода, генерируемого дан-
ным активом, с величиной исходной инвестицией в него.

Инвестиция (investment) — вложение капитала в экономику на дол-
госрочной основе.

Инвестор (investor) — юридическое или физическое лицо, делающее
инвестицию с целью получения дохода в будущем

Инвестиционный проект (investmentproject) — совокупность инве-
стиций и генерируемых ими доходов.

Индекс (index) — относительная величина, характеризующая соотно-
шение двух значений показателя, описывающего одно и то же явление.

Индекс цен (price index) — отношение стоимости определенного на-
бора товаров и услуг в данный период времени к стоимости того же
набора в некотором базовом периоде

Индекс потребительских цен (consumerprice index) — отношение сто-
имости потребительской корзины в данный период времени к стои-
мости той же корзины в некотором базовом периоде.

Индекс рентабельности (profitability index, РР) — критерий оценки
инвестиционного проекта, определяемый как частное от деления
приведенной стоимости связанных с его реализацией будущих чи-
стых денежных поступлений на приведенную стоимость первона-
чальных инвестиций. Является относительным показателем и харак-
теризует уровень доходов на единицу затрат.

Инфляция (inflation) — процесс, характеризующийся повышением
общего уровня иен в экономике или. что эквивалентно, снижением
покупательной способности денег.

Ипотека (mortgage) — залог предприятия, строения, здания, соору-
жения, иного объекта, непосредственно связанного с землей, вместе
с земельным участком или правом пользования им. Под залог недви-
жимости банк выдает ипотечную ссуду, которая часто называется
также ипотекой.

Конверсия валюты обмен одной валюты на другую по действую-
щему валютному курсу.

Купон (coupon) — часть ценной бумаги в виде отрезного талона, со-
держащая право на получение суммы процентов по наступлении сро-
ка, указанного в талоне.

Курс валюты — цена, по которой одна валюта обменивается на
другую.

Ликвидность (liquidity) — способность какого-либо актива транс-
формироваться в денежные средства в ходе предусмотренного произ-
водственно-технологического процесса. Степень ликвидности опре-
деляется продолжительностью временного периода, в течение кото-
рого эта естественная (т. е. невынужденная) трансформация может
быть осуществлена.

Маржа (margin) — величина, выражающая разность между двумя
определенными показателями (например, между ценой покупателя
и продавца). В частности, с помощью маржи можно характеризовать
плавающую процентную ставку, когда фиксируем» не сама ciaBKa, а
изменяющаяся во времени ее база и маржа — величина (постоянная
или переменная) надбавки к базе

Множитель дисконтирования (discountfactor) — величина, показыва-
ющая, во сколько раз уменьшается капитал при его дисконтировании.

Множитель наращения (accumulationfactor) — величина, показываю-
щая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Модель нулевого роста (zero-growth model) — модель оценки финан-
сового актива исходя из предположения о неизменности генерируе-
мого им дохода.

Модель переменного роста (multiple-growth model) — модель оценки
финансового актива исходя из предположения о неравномерности ро-
ста генерируемого им дохода в различные периоды времени (обычно
применяется в приложении к акциям)

Модель постоянного роста (constant-growth model) — модель опенки
финансового актива исходя из предположения о постоянстве темпа
прирос!а генерируемою им дохода (чаще всею применяется в прило-
жении к акциям).
Наращение (accumulation, accretion) — процесс увеличения суммы
первоначального капитала за счет присоединения начисленных про-
центов.

Наращенная сумма (accumulated value, amount) — сумма первона-
чального капитала и начисленного на него процентов; получается в
результате осуществления процесса наращения.

Номинальная процентная ставка - исходная базовая (как правило,
годовая) процентная ставка, указываемая в договорах. Доходность,
выражаемая этой ставкой, не скорректирована на инфляцию.

Норма прибыли (rate of return) — отношение прибыли к исходному
капиталу, являющемуся источником генерирования этой прибыли
(чаще всего измеряется в процентах). В финансовых вычислениях
норму прибыли нередко называют доходностью.

Облигация (bond) — долговая ценная бумага, которая подтверждает
отношение займа между ее владельцем и эмитентом, выпустившим
эту ценную бумагу. Как правило, облигация приносит ее владельцу
доход в виде фиксированного процента к нарицательной стоимости.
Через оговоренный срок облигация погашается (иногда такой срок не
уста на вл ивается).

Плавающая процентная ставка (floating interest rate) — процентная
ставка, величина которой пересматривается в течение времени на-
числения процентов.

Положительная процентная ставка — любая ставка, при которой бу-
дет происходить реальное увеличение стоимости капитала при дан-
ном индексе инфляции.

Потребительский кредит (consumer loan) — кредит, который предо-
ставляет банк, финансовая компания или розничный торговец от-
дельному индивидууму на потребительские цели.

Прибыль чистая (netprofit) — прибыль, доступная к распределению
среди собственников.

Приведенная стоимость (present value) — величина, найденная в ре-
зультате процесса дисконтирования. Оценивает величину, ожидаемую к
получению в будущем, с позиции момента, к которому осуществляется
приведение (дисконтирование). Если строго придерживаться введенных
операций наращения и дисконтирования, правильнее говорить лишь
о дисконтированной стоимости. В данной книге использован термин
«приведение» часто как синоним термина «дисконтирование», руковод-
ствуясь тем обстоятельством, что понятие «приведенная стоимость» уже
достаточно широко используется в отечественной литературе. Однако
следует понимать, что приведение — это определение стоимостной вели-
чины на любой момент времени (как в прошлом, так и в будущем).

Приведенная стоимость денежного потока (present value ofcash flow) —
сумма всех дисконтированных элементов этого потока.

Процент (процентные деньги) (interest) — величина дохода от предо-
ставления в долг некоторой денежной суммы.

Процентное число (interest number) — произведение величины капи-
тала на продолжительность финансовой операции (в днях).

Проценты обыкновенные (ordinary interests) — проценты, определя-
емые исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце
(соответственно 360,90, 30).

Проценты точные (exact interests) — проценты, определяемые исходя
из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в
месяце (от 28 до 31).

Реальная процентная ставка — процентная ставка, исчисляемая в
условиях элиминирования влияния инфляции. Реальная процентная
ставка всегда меньше номинальной за счет негативного влияния ин-
фляции.

Реинвестирование (reinvestment) — вложения доходов в некоторый
проект производственного или финансового характера с намерением
получить на них в дальнейшем дополнительный доход.

Ставка (rate) — отношение процентных денег, уплаченных (полу-
ченных) за единицу времени (обычно за год), к некоторому базовому
капиталу, выраженное в десятичных дробях или в процентах.

Ставка дисконтирования (discount rate) — ставка, используемая для
расчета приведенной стоимости. В качестве ставки дисконтирования
может использоваться как учетная, так и процентная ставка.

Ставка инвестирования (инвестиционная доходность) (investment
rate) — процентная ставка, характеризующая эффективность инве-
стирования. т. е. отдачу на вложенный капитал

Ставка купонная (coupon rate) — процентная ставка, определяющая
периодический доход по облигации и объявляемая при эмиссии.
Ставка наращения - ставка, используемая для расчета будущей
стоимости. В качестве ставки наращения может использоваться как
учетная, так и процентная ставка.

Ставка процентная (interest rate) — отношение процентных денег,
уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к ве-
личине исходного капитала.

Ставка учетная, или дисконтная (discount rate) — отношение про-
центных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обыч-
но за год), к ожидаемой к получению (возвращаемой) сумме денежных
средств.

Ставка эффективная (effective rate) — годовая ставка сложных про-
центов, обеспечивающая тот же финансовый результат, что и начис-
ление процентов несколько раз в год по номинальной ставке, делен-
ной на число периодов начисления

Стоимость (value)—денежная оценка ценности данного объекта.

Стоимость внутренняя, или теоретическая (intrinsic value) — стои-
мость финансового актива, рассчитанная путем дисконтирования
по приемлемой ставке ожидаемых поступлений, генерируемых этим
активом.

Стоимость ликвидационная (liquidation value) — стоимость, по кото-
рой можно продать некоторый актив. Термин нередко используется в
приложении к активам ликвидируемой фирмы. Операция по вынуж-
денной ликвидации актива, т. е. его продажа по ликвидационной сто-
имости, обычно сопряжена с убытком.

Стоимость остаточная (residual value) — разница между первона-
чальной (восстановительной) стоимостью основного средства и сум-
мой накопленной амортизации (это оставшаяся к списанию на затра-
ты стоимость актива)

Стоимость первоначальная стоимость строительства или ве-
личина расходов на приобретение, доставку и установку основного
средства.

Стоимость чистая приведенная (net present value. NPV) — приведен-
ная стоимость связанных с реализацией проекта будущих чистых
денежных поступлений за вычетом приведенной стоимости первона-
чальных инвестиций.
Глоссарий

Стоимость чистая терминальная (net terminal value, NTV) — будущая
стоимость связанных с реализацией проекта будущих чистых денеж-
ных поступлений за вычетом будущей стоимости первоначальных
инвестиций. Выбор проекта по критерию NTV дает в точности такой
же результат, как и при использовании NPVкритерия.

Страхование (insurence) — система финансовых компенсаций в слу-
чае возникновения неблагоприятных обстоятельств (страхового слу-
чая) в обмен на регулярную уплату определенных сумм (страховой
премии), из которых образуется компенсационный фонд; размеры
премии рассчитываются на основе данных о вероятности наступле-
ния страхового случая.

Ставки эквивалентные — ставки, приводящие к одному финансо-
вому результату при едином первоначальном капитале и сроке инве-
стирования.

Схема начисления простых процентов (simple interest) — процесс на-
числения процентов, пред ползающий неизменность базы, с которой
эти проценты начисляются.

Схема начисления сложных процентов (compound interest) — процесс
начисления процентов, предполагающий их капитализацию.

Учет векселя (bill discounting) — покупка векселя у владельца до на-
ступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая долж-
на быть выплачена по векселю в конце срока.

Финансовый актив (financial asset) — документ, подтверждающий
право владельца на часть собственности или прибыли фирмы, выпу-
стившей документ; денежные средства.
Контрольные (тестовые) вопросы

Процентная ставка — это отношение

(а)

(6)

(в)

(г)

Процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени
(обычно за год), к величине исходного капитала

Процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени
(обычно за год), к ожидаемой к получению (возврашаемой) сумме
денежных средств

Ожидаемой к получению суммы к величине исходного капитала

Величины исходного капитала к сумме процентных денег, уплачен-
ных (полученных) за единицу времени

Ставка учетная, или дисконтная это отношение.

(а)

(б)

(в)

(г)

Наращенной суммы к величине исходного капитала

Величины исходного капитала к сумме процентных денег, уплачен-
ных (полученных) за единицу времени

Процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени
(обычно за год), к величине исходного капитала

Процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени
(обычно за год), дожидаемой к получению (возврашаемой) сумме
денежных средств

Соотношение процентной и учетной ставок.

(а)

(б)

(в)

Первая всегда больше второй

Вторая всегда больше первой

Между ними может быть любое соотношение

Могут ли совпадать будущая (FV) и дисконтированная (PV) стоимости
некоторой исходной величины (CF)’

(а)

(б)

(в)
(г)

Да

Да, если коэффициент дисконтирования не превышает тем па ин-
фляции

Да, если ставка наращения не превышает темпа инфляции
Нет

Соотношение между ожидаемой величиной (FV) и соответствующей
дисконтированной стоимостью (PV)

(a) FV > PV
(б) FV>PV
(в) FV < PV
(г) FV<PV

Соотношение между некоторой исходной величиной (CF) и соответству-
ющими ей ожидаемой величиной (FV) и дисконтированной стоимостью
(PV)-
(а)

(б)

(в)

(г)

FV > CF > PV

FV>CF> PV
FV>CF> PV

Может ли величина исходного капитала (PV) быть больше соответствую-
щей ей наращенной стоимости (FV).

(а)
(б)
(в)
(г)

Нет, ни при каких обстоятельствах

Да, если коэффициент наращения равен нулю

Да. если коэффициент наращения ниже темпа инфляции

Да, если коэффициент наращения выше темпа инфляции

Может ли величина исходного капитала (PV) быть равной соответствую-
щей ей наращенной стоимости (FV).

(а)
(б)
(в)

(г)

Да, если коэффициент наращения выше темпа инфляции
Да, если коэффициент наращения ниже темпа инфляции
Да, если коэффициент наращения равен нулю
Нет. ни при каких обстоятельствах

Может ли ожидаемая величина (FV) Быть меньше соответствующей ей
дисконтированной стоимости (PV)

10.

(а)
(б)

(в)
(О

Нет, ни при каких обстоятельствах

Да, если коэффициент дисконтирования равен нулю

Да, если коэффициент дисконтирования равен темпу инфляции

Да, если коэффициент дисконтирования ниже темпа инфляции

Может ли ожидаемая величина (FV) быть равной соответствующей ей
дисконтированной стоимости (PV)'

(а)
(б)
(в)

(г)

Да, если коэффициент дисконтирования равен темпу инфляции

Да, если коэффициент дисконтирования ниже темпа инфляции

Да, если коэффициент дисконтирования равен нулю

Нет, ни при каких обстоятельствах

(а)

Н (б)

(в)

(Г)

(а)
(б)
(в)

(г)

Схема простых процентов'

Предполагает капитализацию процентов

Предполагает капитализацию процентов л ишь для краткосрочных
финансовых операций

Предполагает капитализацию процентов лишь для долгосрочных
фи нансовых операций

Не предполагает капитализации процентов

12. Схема сложных процентов

Предполагает капитализацию процентов

Не предполагает капитализации процентов

Предполагает капитализацию процентов только для долгосрочных
фи нансовых операций

Предполагает капитализацию процентов тол ько для краткосрочных
финансовых операций
14

16.

17.

18.

Схема простых процентов в сравнении со схемой сложных процентов.

(а)

(б)

(В>

(г)

Всегда выгоднее для кредитора

Ьолее выгодна для кредитора в случае долгосрочной финансовой
операции

Более выгодна для кредитора в случае краткосрочной финансовой
операции

Более выгодна для получателя средств в случае краткосрочной
финансовой операции

Схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов.

(а)

(б)

(в)

(г)

Всегда выгоднее для кредитора

Более выгодна для кредитора в случае долгосрочной финансовой
операции

Более выгодна для кредитора в случае краткосрочной финансовой
операции

Более выгодна для получателя средств в случае долгосрочной фи-
нансовой операции

Если договором предусматриваются внутригодовые начисления процен-

(а)

(б)

(в)

(г)

Эффективная ставка всегда меньше номинальной ставки, указан-
ной в договоре

Эффективная ставка всегда больше номинальной ставки, указан-
ной в договоре

Возможен любой из вариантов lai или (61

Эффективная ставка как правило больше номинальной ставки,
указанной в договоре

Увеличение частоты внутригодовых начислении процентов.

(а)
(б)
(в)
(г)

Вызывает уменьшение значения эффективной ставки

Вызывает увеличение значения эффективной ставки

Не сказывается на значении эффективной ставки

Как правило, сказывается в сторону увеличения значения эффек-
тивной ставки

Значения соответствующих друг другу номинальной и эффективной
ставок.

(а)

(б)

(в)

(г)

Никогда не совпадают

Могут совпадать

Могут совпадать, если это предусматривается финансовым догово-

Могут совпадать в случае непрерывного начисления процентов

Сравнительная эффективность финансовых операций может быть вы-
явлена с помощью

(а)
(б)

(в)
(г)

Эффективных ставок

Номинальн ых ставок

Любых из упомянутых в (а) и (6) ставок

Номинальных ставок, если речь идет о краткосрочных операциях
19

В случае применения схемы простых процентов более частое начисление

процентов.

(а)

(6)

(в)

(г)

Выгодно

Выгодно для краткосрочных операций

Не выгодно

Безразлично

В случае применения схемы сложных процентов более частое начисление

процентов.

(а) Выгодно

(б) Невыгодно

(г) Безразлично

21 Связь множителей FM 1 (г, п) и FM2 (г, п) для одного и того же набора (п. г)’

(а)

Произведение равно 1

(б) Сумма равна!

(в) Отношение FM1 (г, п) к FM2 (г, п) равно 1

(г) Отношение FM1 (г. п) к FM2 (г. п) равно (1+rt

При m-кратном начислении процентов в рамках одно го года величина
Fn, ожидаемая к получению через п лет, может быть найдена по формуле
(г — годовая процентная ставка):

(а)

(6)
(в)
(г)

(1+ г/т)”1'"

Если продолжительность финансовой операции длится более п базисных
периодов, но менее (п+1) базисных периодов, то для кредитора более вы-
годным является применение.

(а)

(б)

(в)
(г)

Сложных процентов для целого числа базисных периодов и простых
процентов для дробной части базисного периода

Сложных процентов для дробной части базисного периода и про-
стых процентов для целого числа базисных периодов

Сложных процентов для всей операции

Простых процентов для всей операции

Деньги размещены в банке на 27 месяцев на условиях единовременного
возврата долга и начисленных процентов В случае годового начисления
процентов для вкладчика более выгодна.

(а)

(6)
(в>

(г)

Схема простых процентов

Схема сложных процентов

Схема простых процентов для целого числа лет и схема сложных
процентов для дробной части года

Существуют более выгодные схемы по сравнению с вариантами (а),
(б)И(в)
25

Деньги размещены в банке на 27 месяцев на условиях единовременного
возврата долга и начисленных процентов В случае годового начисления
процентов для банка более выгодна

26.

(а)
(б)
(в)

(г)

Схема простых процентов

Схема сложных процентов

Схема простых процентов для целого числа лет и схема сложных
процентов для дробной части года

Схема сложных процентов для целого числа базисных периодов и
схема простых процентов для дробной части базисного периода

Деньги размещены в банке на 27 месяцев на условиях единовременно-
го возврата основной суммы долга и начисленных процентов. В случае
квартального начисления процентов для вкладчика более выгодна (вы-
брать наиболее правильный ответ);

27.

(а)

(б)

(в)

(Г)

Схема сложных процентов

Схема простых процентов для целого числа лет и схема сложных
процентов для дробной части года

Схема сложных процентов для целого числа базисных периодов и
схема простых процентов для дробной части базисного периода
Любой из вариантов (а) или (в)

28.

(а)

(6)

(в)

(г)

Схема простых процентов, в которой используется эффективная
процентная ставка

Схема сложных процентов для целого числа базисных периодов и
схема простых процентов для дробной части базисного периода
Схема простых процентов для целого числа лет и схема сложных
процентов для дробной части года

Схема простых процентов

Деньги размещены в банке на 27 месяцев на условиях единовременно-
го возврата основной суммы долга и начисленных процентов. В случае
квартального начисления процентов для банка более выгодна

29.

(а)

(б)

(в)

(г)

Схема сложных процентов

Схема сложных процентов для целого числа базисных периодов и
схема простых процентов для дробной части базисного периода
Схема простых процентов, в которой используется эффективная
процентная ставка

Схема простых процентов для целого числа лет и схема сложных
процентов для дробной части года

Эффективная годовая процентная ставка находится по формуле (г — но-
минальная годовая процентная ставка, ш — число начислений процентов
в году).

(а) г(, + г/m - 1
30.

(б) ге= 1 — (1—г/ш),/п'

(в) г=(1-г/тр-1

(г) гс = (1+г/т)” 1

Номинальная (г) и эффективная (ге) голевые процентные ставки связаны
следующим образом (гл — число начислений процентов в году).

(а) r=m-iaft + r. -П

(б) г= (1+rc/m)l/m — 1

(в) г=(1-г/т)''™-1

(г) г=(1 + г</шГ-1

Могут ли совпадать значения номинальной и эффективной ставок:

32.

(а)

(6)

(в)

(г)

Да

Да. если речь идет о краткосрочной финансовой сделке
Да, если речь идет о долгосрочной финансовой сделке
Нет, ни при каких обстоятельствах

Дисконтированная стоимость — это сумма.

(а)

(б)

(в)

Инвестированная в данный момент времени под некоторую про-
центную ставку

Ожидаемая к получению (выплате) в будущем и уменьшенная на
величи ну трансакцион ных расходов

Ожидаемая к получению (выплате) в будущем, но оцененная с по-
зиции текущего момента времени

Ожидаемая к получению (выплате) в будущем, но оцененная с по-
зиции некоторого предшествующего этому получению момента
времени

ростом ставки дисконтирования величина дисконтированной стоимо-

(а)

(6)

(в)

(г)

34.

Увеличивается

Уменьшается

Увеличивается в случае долгосрочной финансовой операции и
уменьшается в случае краткосрочной финансовой операции
Может измениться в любую сторону в зависимости от вида ставки
дисконтирован ия

Денежный поток, каждый элемент которого относится к концу соответ-
ствующего базисного периода, называется’

35.

(а)

(6)

(в)

(г)

Потоком пренумерандо

Потоком постнумерандо

Потоком авансовым

Аннуитетом

Денежный поток, каждый элемент которого относится к началу соответ-
ствующего базисного периода, называется

(а) Потоком пренумерандо

(б) Потоком постнумерандо
36.

(в) Потоком авансовым

(г) Аннуитетом

Сравнение дисконтированных стоимостей потоков постнумерандо и
пренумерандо одинаковой продолжительности и с одинаковыми элемен-
тами (г — процентная ставка)

37.

(а)
(б)
(в)
(Г)

Первая больше второй на множитель (1 + г)
Первая больше второй на множитель (1 — г)
Первая меньше второй на множитель (1 + г)
Первая меньше второй на множитель (1 — г)

Сравнение будущих стоимостей потоков постнумерандо и пренумерандо
одинаковой продолжительности и с одинаковыми элементами (г — про-
центная ставка).

38.

(а)
(б)
(в)

(г)

Первая больше второй на множитель (1 — г)
Первая больше второй на множитель (1 + г)
Первая меньше второй на множитель (1 — г)
Первая меньше второй на множитель (1 + г)

Дисконтированная стоимость потока постнумерандо превосходит
дисконтированную стоимость аналогичного потока пренумерандо на
множитель

39.

(а)
(б)
(в)

(г)

Все вышеприведенные ответы не верны

40.

Дисконтированная стоимость потока пренумерандо превосходит дис-
контированную стоимость аналогичного потока постнумерандо на
множитель
(а) г
(б) (1-т)
(В) (1+г)
(г) (1+г)/г

Будущая (наращенная) стоимость потока постнумерандо превосходит
дисконтированную стоимость аналогичного потока пренумерандо на
множитель'

(а)
(б)
(в)
(Г)

Все вышеприведенные ответы не верны

Дисконтированная стоимость потока пренумерандо превосходит дис-
контированную стоимость аналогичного потока постнумерандо на
множитель
(а) г
(б) (1+г)
(в) <1 - г)
(Г) гч
42.

В методе депозитной книжки величина годового платежа находится с
помощью факторного множителя

43.

(а)

(6)

(в)

(г)

FM1 (г.п)
FM2(r, п)
FM3 (г, п)
FM4 (г. п)

В методе депозитной книжки остаток ссуды на конец года находится по
формуле (где SHr и SK — соответственно остатки ссуды на начало и конец
года, А — годовой аннуитетный платеж. In — сумма процентов за год, D
погашенная за год часть основной суммы долга).

44.

(а)
(б)

(в)
(г)

s.r=s«-A 1 In

S.r=SHr-In

Все вышеприведенные ответы не верны

В методе депозитной книжки остаток ссуды на конец года находится по
формуле (где S и S — соответственно остатки ссуды на начало и конец
года, А — годовой аннуитетный платеж. In — сумма процентов за год, D -
погашенная за год часть основной суммы долга).

45.

(а)
(б)
(в)
(г)

46.

47.

В методе депозитной книжки величина погашенной за год части основ-
ной су м м ы долга ( D) находится по формуле (где S и S — соответствен но
остатки ссуды на начало и конец года, А — годовой аннуитетный платеж.
In — сумма процентов за год, г — процентная ставка)
(a) D = A—I

(б) D = Sm-A

(в) D = SBr(l-r)

(г) D = S„4

В методе депозитной книжки величина погашенной за год части основ-
ной суммы долга (D) находится по формуле (где SH и Str — соответственно
остатки ссуды на начало и конец года, А — годовой аннуитетный платеж.
In — сумма процентов за год, г — процентная ставка)

(a) D = SKr-SKr(l-r)

(б) D = S„-A

(в) D = S„4

(Г) D = A-S„4

Дисконтированная (приведенная) стоимость бессрочного аннуитета
постнумерандо находится по формуле (где А — годовой аннуитетный
платеж, г — процентная ставка)

(a) PVAps,=A/r

(б) PVA =АЧ
48.

(в) PVAps, = A/(l + г)

(г) PVApH АЧ

Дисконтированная (приведенная) стоимость бессрочного аннуитета пре-
нумерандо находится по формуле (где А — годовой аннуитетный платеж.

’ — процентная ставка)’

49.

(а)

(6)
(в)
(г)

PVApje = A/r
PVApie = A4
PVAple = (A4
PVApie = (A/r)4

Дисконтированные (приведенные) стоимости соответствующих друг
другу бессрочных аннуитетов пренумерандо и постнумерандо связаны

(а)

(6)

(в)

(г)

50.

Первая больше второй на множитель (1 + г)
Первая больше второй на множитель г/(1 + г)
Первая меньше второй на множитель (I + г)

Первая меньше второй на множитель г/(1 + г)

Будущие (наращенные) стоимости соответствующих друг другу бессроч-
ных аннуитетов пренумерандо и постнумерандо связаны зависимостью’

(а)
(б)
(в>
(г)

Первая больше второй на множитель (1 + г)
Первая больше второй на множитель r/(l + i
Первая меньше второй на множитель (1 + г)
Все вышеприведенные ответы не верны

Оценка облигации с нулевым купоном осуществляется с помощью фак-

торного множителя.
55.

56.

57.

При оценке акции с изменяющимся темпом роста дивидендов может
применяться факторный множитель.

(а> FMl(r. п)

(6) FM2(r, п)

(в) FM3 (г, п)

(г) FM4 (г. п)

Соотношение между индексом инфляции (1п) и темпом инфляции (1гг)

(а)
(6)
(в)
(Г)

Являются синонимами

Сумма равна единице

Произведение равно единице

Разница между индексом и темпом равна единице

Соотношение между индексом инфляции (1р) и темпом инфляции (1р,)’

(а)
(б)

(в)
(г)

I = 100%

1р + 1р1 = 100%

Все вышеприведенные ответы не верны

Чему равен индекс инфляции, если темп инфляции составил 432%:

(а) 32%

(б) 332%

(в) 432%

(г) 532%

Чему равен темп инфляции, если индекс инфляции составил 432%'

(а)
(6)

(в)
(г)

332%

432%

532%

Чему равен темп инфляции, если цены выросли за год в 3.3 раза’

(а) 30%

(б) 130%

(в) 230%

(г) 330%

Чему равен темп инфляции, если цены выросли за год в 4,35 раза

(а) 35%

(6) 435%

(в) 535%

(г)

Все вышеприведенные ответы не верны
Приложение 1

СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ

Часто используемые в формулах обозначения: г (J) — годовая
процентная (учетная) ставка (в десятичных дробях), г’"° ( ) — но-
минальная годовая процентная (учетная) ставка (в десятичных дро-
бях, индекс т указывает, сколько раз в течение года происходит нара-
щение или дисконтирование); п,/ — продолжительность финансовой
операции в годах; t — продолжительность финансовой операции в
днях; Т —количество дней в году; Р — первоначальный капитал; F —
наращенный капитал; F„ — наращенный капитал за п лет.

FV—PV

• Процентная ставка rt = ——,

где PV — предоставляемая в долг сумма,
FV — возвращаемая сумма.

FV-PV

• Учетная ставка d. =---

Соотношение между ставками г =------ или <7

1 — d '

• Дисконт-фактор v. =-

• Индекс роста капитала В, —-

Формула вычисления процентов «со 100» Q' = Qr

• Формула вычисления процентов «на 100» S' =-

1+г

• Формула вычисления процентов «во 100» К' =

1-г

• Формула наращения простыми процентами F = /*(! + пг)

• Формула простых процентов в случае нецелого числа лет
F = F(1+—г)

Возможны три варианта начисления:

а) точные проценты и точная продолжительность периода

(Т = 365 или 366 дней, t — точное);

б) обыкновенные проценты и точная продолжительность периода

(Т = 360, t — точное),

в) обыкновенные проценты и приблизительная продолжитель-
ность периода (Т = 360, t — приблизительное, koi да считается. что в
месяце 30 дней).

• Дивизор D' — —
г

• Формулы для вычисления процентного платежа (при использо-
вании простой ставки):

а) если известна величина капитала ( Р): I — Р/г:

б) если известна величина капитала, увеличенного на процентный
платеж (Р +I):

(Г, 1)1, (P + f)t

1 =--------или I —--------,

1 + fr ЕГ + t

в) если известна величина капитала, уменьшенного на процент-
ный платеж ( Р — I):

(P-I)lr (P-P)t

I =------ или 1 =------------

1 Ir D'-t

• Формула наращения простыми процентами по переменной про-
центной ставке

Р=Р<1+Ё

где на период пк установлена процентная ставка ik и таких перио-
дов ш.
• Формула определения простой процентной ставки, доставляю-
щей при наращении такой же результат, как и несколько простых про-
центных ставок

Ё». ’

где на период пк установлена процентная ставка 4 и таких перио-
дов т.

• Формула определения величины начисленных процентов за поль-
зование кредитом с учетом уменьшения долга стечением времени

где к — число погасительных платежей в год, л — срок кредита.

• Формула приведенной стоимости (при использовании простой
F

ставки) Р =-----

1 + пг

• Формула дисконтирования по простой учетной ставке

• Формула наращения по простой учетной ставке F =-

l-nd

• Формулы для определения срока ссуды (при использовании про-
стой ставки):
п— ----- или

Формулы для определения простой ставки:

•=-----или г=---------У-

d--------или d-----------Т -

Эквивалентность простых ставок:

1 -nd

• Эквивалентность простых ставок при разных временных базах:

Tfd

Г= T„-td’

где Тг, Та — временные базы, равные количеству дней в году при ис-
пользовании соответственно процентной и учетной ставок.

• Формулы для определения средних значений:
а) простой процентной ставки

Ёл ’

*=|
б)срока

tl.

1.РЛ

' tv ’

*=1

А=1.

*=1

где — простые процентные ставки, под которые взяты со-

ответственно суммы Р1,Р21...>Рт на сроки

• Формулы для определения средних значений:

а) простой учетной ставки
б) срока

где dt, d2,..., dm — простые учетные ставки, по которым соответствен -
носуммы Fl,F2,....Fm учитываются за сроки nt,n,.....пт.

• Формула наращения простыми процентами с учетом уплаты на-
лога

F =Р[1 + иг(1-9)],

где q — ставка налога на проценты.

• Формула наращения по простой учетной ставке с учетом уплаты
налога

1 nd

где q — ставка налога на проценты.

• Индекс цен (индекс инфляции) ,

где — стоимости потребительской корзины в начале и в конце
периода, длительностью t
Л -рх

• Темп инфляции Д ———--,

где Pv, Р, — стоимости потребительской корзины в начале и в конце
периода, длительностью г

• Соотношение между индексом инфляции и темпом инфляции

С=1+д

• Формула определения индекса инфляции за период при извест-
ных индексах инфляции за составляющие его подпериоды

C=rU''=n<i+4.).

где Д'-* ( А( ) — индекс инфляции (темп инфляции) за подпериод вре-
мени tt, подпериоды расположены последовательно друг за другом и
t=ty + +...+(*.

• Формула наращения простыми процентами с учетом инфляции

- Р(\ + т)

где Д'" — индекс инфляции за период времени п.

• Формулы определения простой годовой процентной ставки, обе-
спечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно
первоначальной ставке г:

- (1 + лг)Л”-1

п
где hn — темп инфляции за период времени п. — индекс инфля-
ции за период времени п.

• Формула определения реальной годовой процентной ставки при
объявленной номинальной процентной ставке в условиях инфляции:

• Формула определения простой годовой учетной ставки, обеспе-
чивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно пер-
воначальной ставке d'.

• Формула определения реальной годовой учетной ставки при
объявленной номинальной учетной ставке в условиях инфляции:

• Формула для вычисления величины нового платежа при исполь-
зовании простой процентной ставки

^(1 + (л0 — п,)г), если л0

Р{,
Р{

если п0

1+ («,-«„ )г

если пс

где: Pt и nt — первоначальный платеж и срок его выплаты,

пс — срок нового пла1 ежа.

• Формула для вычисления срока нового платежа при использова-
нии простой процентной ставки
1

1), айёёР0 >/^,

и0 = л,, айёё Рс = Pt,

1 Р. Р

п,----(—-1), апёё -------—< Р < Р,

г Ре 1 + л.г

где. У’ и nt — первоначальный платеж и срок его выплаты,
Рв — величина нового платежа.

• Формула определения срока консолидированного платежа при
использовании простои процентной ставки

где платежи Pt, Р2,..., Рп1, уплачиваемые соответствен но через время
ц, п,,..., , заменяются одним платежом Ро.

• Формула для вычисления величины нового платежа при исполь-

зовании простой учетной ставки

айёё л0 > .

апёё л0 = п(,

/^(1 — (л1 — nB)d). апёё л0 < ир

где: /’и — первоначальный платеж и срок его выплаты,

п0 — срок нового пла । ежа.

• Формула для вычисления срока нового платежа при использова-
нии простой учетной ставки
1 Р

п, +—(1 —L), апёё Р > Р,
d р,

пе=- л|5 апёё /' = Pt,

1 Р

п,---(1 ——), апёё Р(1 -п,d) < Р, < /?,

d 7J

где: Рх и п} — первоначальный платеж и срок его выплаты,

Ро — величина нового платежа.

• Формула определения срока консолидированного платежа при
использовании простои учетной ставки

р. '

где платежи Р1,Р2,.-.,Р1П, уплачиваемые соответственно через время
ц, п,,. -,пт, заменяются одним платежом />

• Формула наращения сложными процентами

F = Р(1 +гГ = Р- FMl(r, п),

где п — число периодов начисления сложных процентов.

• Формула наращения сложными процентами по переменной про-
центной ставке

с^По+о".

где: — количество периодов начисления сложных процентов по

процентной ставке ik,

п — общий срок наращения.

• Формула наращения по смешанной схеме
Л =Р(1 + ,)-(!+/,).

где: w — целое число периодов начисления сложных процентов,

f — дробная часть периода, п= w + f

• Формула наращения сложными процентами при начислении
процентов несколько раз в год

где: л — число лет, т — количество начислений в год.

• Формула наращения по смешанной схеме при начислении про-
центов несколько раз в год

где: п — число лет,

w - целое число периодов начисления сложных процентов в
п годах,

й> + ?

f — дробная часть периода, п =---.

Формула для определения срока ссуды (при использовании слож-
ной процентной ставки)

• Формулы для определения номинальной годовой процентной
ставки:
г("”=л![(1+ЪГ-1],

где теГ — эффекшвная годовая процентная ставка.

• Формулы определения эффективной годовой процентной ставки:

• Формула приведенной стоимости (при использовании сложной
ставки)

= F FM2(r,n)

• Формула приведенной стоимости (при /л-кратном начислении
процентов в год)

• Формула дисконтирования по сложной учетной ставке

P = F(l-d)'

где п — число периодов дисконтирования.

• Формула дисконтирован ия по смешанной схеме

P=F(l-d) (i-Jd),
где: я- — целое число периодов дисконтирования по сложной

учетной ставке.

f — дробная часть периода, п= и + f.

• Формула дисконтирования по сложной учетной ставке, осущест-
вляемого несколько раз в год

где: п - число лет, т - количество осуществлений операции дис-
контирования в год

• Формула дисконтирования по смешанной схеме при дисконти-
ровании несколько раз в год

где: п — число лет,

1Г — целое число периодов дисконтирования в п годах:

w+ f

f — дробная часть периода, п =--

• Формула для определения срока ссуды (при использовании
сложной учетной ставки)

• Формулы для определения номинальной годовой учетной ставки:

где: def — эффективная годовая учетная ставка.

Формулы определения эффективной головой учетной ставки:

Формула наращения сложными процентами по учетной ставке

где: п — число периодов начисления сложных процентов.

• Формула наращения сложными процентами по учетной ставке
при начислении процентов несколько раз в год

где: п — число лет,

гп — количество начислений в год.

• Формула наращения непрерывными процентами

где: д — сила роста.
• Формула для определения срока ссуды (при непрерывном начис-
лении процентов)

F
1п —!-
. с Р

• Формула для определения силы роста о =——

• Эквивалентность простых и сложных ставок:

г1'"’ = m('5(/l + nr-l),

= /м(1 -"yh-nd).
где: г, d — простые ставки.

• Эквивалентность сложных ставок:

, . ( d{,> г

d =/и[1-1 1-— I ]t

d‘"’ = m[l—I 1

• Эквивалентность силы роста и простых ставок:

е —1

1п(1 + лг)

ln(l — nd)

где r,d — простые ставки.
Эквивалентность силы роста и сложных ставок:

8 = т 1п(1 +------)

= т(е'

8 = -/л 1п(1------).

d*"' = >и(1-е

• Формулы наращения сложными процентами с учетом уплаты
налога:

а) если налог на все полученные проценты выплачивается один раз
в конце срока

A =P[a(\-q) + (j\.

б) если налог на полученные проценты выплачивается каждый год

F =Р[Й-(О-1)9Г;

где. q — ставка нало1а на проценты, а — коэффициент наращения,
( Y ( d™ Y“

равный либо 1 ч---, либо I 1----, либо d’

I tn J I, mJ

• Формулы для вычисления величины налога за каждый год при
наращении сложными процентами, если налог на полученные про-
центы выплачивается каждый год
'<7 -,

где: к — номер года, за который взимается налог.

• Формула наращения сложными или непрерывными процентами
с учетом инфляции

где — индекс инфляции за период времени п, а равно либо

/ </*"’V"

1ч----I , либо I 1----I , либо .

т ) \ 1,1 )

• Формула определения номинальной годовой процентной став-
ки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность со-
гласно первоначальной номинальной годовой ставке rim:

• Формула определения реальной номинальной юдовой процент-
- .. .. ..

нои ставки при объявленной исходной процентной ставке г в усло-
виях инфляции:

• Формула определения номинальной годовой учетной ставки,
обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность соглас-
но первоначальной номинальной годовой ставке
• Формула определения реальной номинальной годовой учетной
ставки при объявленной исходной учетной ставке в условиях ин-
фляции:

• Формула определения силы роста, обеспечивающей в условиях ин-
фляции реальную доходность согласно первоначальной силе роста 6:

S = <? + —In/’"

• Формула определения реальной силы роста при объявленной ис-
ходной силе роста S в условиях инфляции:

5я„ = 5--1п/'"
п 11

• Формула Фишера г = г + h+rh,
где: Л — годовой темп инфляции.

• Формула для вычислен ия величины нового платежа при исполь-
зовании сложных ставок

Ре = Pfi' '

где. /’ll п, —первоначальный платеж и срок его выплаты,

л0 — срок нового платежа, а равно либо ]+—— , либо

[ d""> Y"

1----1 , либо е*

• Формула для вычисления срока нового платежа при использова-

нии сложных ставок
InP.-lnP
«0=«i +—;-----------

Ina

где: P{ и r\ — первоначальный платеж и срок его выплаты,

Ро — величина нового платежа.

• Формула для определения величины консолидированного пла-
тежа при использовании сложных ставок

где: Pl,P2,...,Р, — платежи, выплачиваемые соответственно через

время п1,л2,...,л1,
— срок консолидированного платежа.

• Формула для определения срока консолидированного платежа
при использовании сложных ставок

lnP0-ln£PlO-

'"=------г-------•

Ina

где: F’,P2,...,P/ — платежи, выплачиваемые соответственно через

время п17п2,—,л2,

Ра — величина консолидированного платежа.

• Будущая стоимость переменного аннуитета постнумерандо

FV^ = S 0 + г)"’* = 2Х ГЛ/1(г, п - к)

• Приведенная стоимость переменного аннуитета постнумерандо

PV“ = У ”* , = У • FM 2(г, к)

" ГГ(1 + г)‘ S'
• Будущая стоимость переменного аннуитета пренумерандо

- Ё С. О + = Fl"; + ' )

• Приведенная стоимость переменного аннуитета пренумерандо

pr —Гхтт=/>Г,<1+Г)

• Будущая стоимость постоянного срочного аннуитета постнуме-
рандо

=Л'Ё(1 + ''" ‘ =Л-(1 + |)

• Приведенная стоимость постоянного срочного аннуитета пост-
нумерандо

РУ= А-У---------= А--------— = A-FM4(t ,п)

*“ 7ТП + гУ г

• Оценка постоянного р -срочного аннуитета постнумерандо:

РЛ/3(—,/ия)

а) будущая стоимость аннуитета: FV° = А-—---;

г tn

FM3(—,—)
tn р

FM4(—,mn)

б) приведенная стоимость аннуитета: РУ°и =А-—---;

FM3(—)
tn р

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
где: А — величина каждого денежного поступления;

г — ставка за базовый период начисления процентов;

т — количество начислений сложных процентов в периоде;

р — количество денежных поступлений в периоде;

п — количество периодов.

• Приведенная стоимость постоянного отсроченного аннуитета
постнумерандо

PV“„ = A-v'FM4(r,n) = A-FM2(r,h)-FM4(r,n),

где: v=----; А — число периодов, через которое начинает поступать

1 + г

первый из потока платежей.

• Оценка постоянного p-срочного аннуитета пренумерандо:

а) будущая стоимость аннуитета:

FV‘re = FV"n • (1 + — Г = FV\ • FM1(—;

pr‘ p m tn p

б) приведенная стоимость аннуитета:

РГ =РГ„ .(1 + — у = PV“a -РЛ/1(—,—):

₽ге р т *” т р

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

+ А;

где: FV^, PV^„ — будущая и приведенная стоимости соответствую-
щих аннуитетов постнумерандо.

• Будущая стоимость постоянного р — срочного аннуитета пост-
нумерандо с начислением простых процентов в течение периода

РРД = А(р + • FM 3(г, л)
• Будущая стоимость постоянного р — срочного аннуитета пре-
нумерандо с начислением простых процентов в течение периода

= FV“, + Ar FM3(r. я)

• Оценка постоянного аннуитета постнумерандо в случае начис-
ления непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета: FV°^"y — А—-;

ер —1

б) приведенная стоимость аннуитета: PV"*Sl = А —--•

ер —1

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

где: А — величина каждого денежного поступления;

ё — сила роста за базовый период начисления процентов;

р — количество денежных поступлений в периоде;

п — количество периодов.

• Оценка постоянного непрерывного аннуитета:
а) будущая стоимость аннуитета:

FVa =-----—— FM3(—,mn)-

m'ln(l + —)
tn

б) приведенная стоимость аннуитета:

PV =------—------FM4(— ,mti)-

2 - ,, г . m
tn ln(14--)

tn
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

PV° =----------

т 1п(14—)
т

где: А — суммарная величина денежных поступлений за базовый пе-
риод начисления процентов.

• Оценка постоянного непрерывного аннуитета в случае начисле-
ния непрерывных процентов:

___е‘‘ —1

а) будущая стоимость аннуитета: Fk'“ = А--;

„ — 1 — е

б) приведенная стоимость аннуитета: РГ“ = А----;

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

где: А — суммарная величина денежных поступлений за базовый

период начисления процентов;

8 — сила роста за базовый период начисления процентов.

• Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи кото-
рого образуют арифметическую прогрессию:

а) Будущая стоимость аннуитета:

= ( А + -) FM3(r, п)-—;

б) Приведенная стоимость аннуитета:

PV“ = (A + -)-FM4(r,n)---—----

г г(1 + г)"’
в) Приведенная стоимость бессрочного аннуитета

PV‘, = (Л+—)• — (^>0);

где А — первый член прогрессии, z — разность прогрессии.

• Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи кото-
рого образуют геометрическую прогрессию

а) Будущая стоимость аннуитета:

FV“ = А

б) Приведенная стоимость аннуитета:

А +

РУ‘

(1 + >У -(1 + г)

в) Приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

РУ‘

А
------(1 + г><7);

А — первый член прогрессии,

q — знаменатель прогрессии.

• Оценка постоянного аннуитета постнумерандо, период которо-
го больше базового периода начисления процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

FM3(—,тп)

FV°s:=A----:

FM3(—,mu)
tn

б) приведенная стоимость аннуитета.
FM4{— ,тп)

PVra = Л-----;

/•7ИЗ(—,tm)
т

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

рг;„ =------------;

(1+—

где: А — велич ина каждого денежного поступления;

г — ставка за базовый период начисления процентов;

т — количество начислений сложных процентов в периоде;

и — количество периодов, через которое осуществляются де-
нежные поступления;

п — количество периодов.

• Оценка постоянного аннуитета постнумерандо, период которо-
го больше базового периода начисления процентов, в случае начисле-
ния непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

FVa^=A^—-

б) приведенная стоимость аннуитета:

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

РГо‘г>=Л

где: А — величина каждого денежного поступления;

8 — сила роста за базовый период начисления процентов;
и — количество периодов, через которое осуществляются де-
нежные поступления:

и — количество периодов.

• Оценка постоянного аннуитета пренумерандо, период которого
больше базового периода начисления процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

FV°re = FV\ (\+— = FV°S,-FMM—.mu):

pre ps т ps т

б) приведенная стой мое 1ь аннуитета.

РУ = ру .(1 + = РУ, .

р“ т F" т

• Оценка постоянного аннуитета пренумерандо, период которого
больше базового периода начислен ия процентов, в случае начисления
непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

б) приведенная стоимость аннуитета:

PV^ = PV^-e6"1.
Таблица 1

Порядковые номера дней в обычном году

1 1 32 60 91 121

2 2 33 61 92 122

3 3 34 62 93 123

4 4 35 63 94 124

5 5 36 64 95 125

6 6 37 65 96 126

7 7 38 66 97 127

8 8 39 67 98 128

9 9 40 68 99 129

10 10 41 69 100 130

11 11 42 70 101 131

12 12 43 71 102 132

13 13 44 72 103 133

14 14 45 73 104 134

15 15 46 74 105 135

16 16 47 75 106 136

17 17 48 76 107 137

18 18 49 77 108 138

19 19 50 78 109 139

20 20 5) 79 ПО 140

21 21 52 80 111 141

22 22 53 81 112 142

23 23 54 82 ИЗ 143

24 24 55 83 114 144

25 25 56 84 115 145

26 26 57 85 116 146

27 27 58 86 117 147

28 28 59 87 118 148

29 29 - 88 119 149

30 30 — 89 120 150

31 31 90 — 151

152 182 213 244 274 305 335

153 183 214 245 275 306 336

154 184 215 246 276 307 337

155 185 216 247 277 308 338

156 186 217 248 278 309 339

157 187 218 249 279 310 340

158 188 219 250 280 311 341

159 189 220 251 281 312 342

160 190 221 252 282 313 343

161 191 222 253 283 314 344

162 192 223 254 284 315 345

163 193 224 255 285 316 346

164 194 225 256 286 317 347

165 195 226 257 287 318 348

166 196 227 258 288 319 349

167 197 228 259 289 320 350

168 198 229 260 290 321 351

169 199 230 261 291 322 352

170 200 231 262 292 323 353

171 201 232 263 293 324 354

172 202 233 264 294 325 355

173 203 234 265 295 326 356

174 204 235 266 296 327 357

175 205 236 267 297 328 358

176 206 237 268 298 329 359

177 207 238 269 299 330 360

178 208 239 270 300 331 361

179 209 240 271 301 332 362

180 210 241 272 302 333 363

181 211 242 273 303 334 364

— 212 243 - 304 - 365
Порядковые номера дней в високосном году

Таблица 2

День I месяца | | •& я | 1 2 i В сентябрь '1 ё декабрь |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 и 12
32 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
2 2 33 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
3 3 34 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
4 4 35 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
5 5 36 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
6 6 37 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
7 7 38 67 98 128 159 (89 220 251 281 312 342
8 8 39 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
9 9 40 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
10 10 41 70 101 131 162 192 223 254 284 3(5 345
II 11 42 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
12 12 43 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
13 13 44 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
14 14 45 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
15 15 46 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
16 16 47 76 (07 137 168 198 229 260 290 321 351
17 17 48 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
18 18 49 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
19 19 50 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
20 20 51 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
21 21 52 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
22 22 53 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
23 23 54 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
24 24 55 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
25 25 56 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
26 26 57 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
27 27 58 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
28 28 59 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
29 29 60 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
30 30 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365
3] 31 - 91 - 152 - 213 244 - 305 - 366
Финансовые таблицы

Таблица I

Множитель наращения
сложными процентами для единичного платежа
FA/l(r, «) = (! +О"

Характеризует будущую стоимость одной денежной единицы, на-
ращенную по сложной процентной ставке г на коней периода п.

п/г 2% 4« 12*7 14% 16% 18% 2««
1 1.020 1.040 1.060 1.080 1.100 1.120 1.140 1.160 1.180 1.200
2 1,040 1,082 1,124 1.166 1,210 1,254 1,300 1,346 1,392 1,440
3 1,061 1,125 1,191 1,260 1,331 1.405 1,482 1.561 1.643 1,728
4 1,082 1,170 1.262 1,360 1,464 1,574 1,689 1,811 1,939 2,074
5 1.104 1.217 1.338 1.469 1.611 1.762 1.925 2.100 2.288 2.488
6 1.126 1,265 1,419 1,587 1,772 1,974 2,195 2,436 2,700 2,986
7 1,149 1,316 1,504 1,714 1,949 2,211 2,502 2,826 3,185 3,583
8 1,172 1,369 1.594 1,851 2,144 2,476 2,853 3,278 3,759 4,300
9 1,195 1,423 1,689 1.999 2,358 2,773 3,252 3,803 4.435 5,160
10 1,219 1,480 1,791 2,159 2,594 3,106 3.707 4.411 5.234 6,192
11 1.243 1,539 1,898 2,332 2,853 3,479 4,226 5,117 6,176 7,430
12 1,268 1,601 2,012 2,518 3,138 3,896 4,818 5.936 7,288 8,916
13 1,294 1,665 2,133 2,720 3,452 4,363 5,492 6,886 8,599 10,699
14 1,319 1,732 2.261 2,937 3,797 4,887 6,261 7,988 10,147 12,839
15 1,346 1.801 2,397 3,172 4,177 5,474 7,138 9,266 11,974 15,407
16 1,373 1,873 2,540 3,426 4,595 6,130 8,137 10,748 14.129 18,488
17 1,400 1,948 2,693 3,700 5.054 6,866 9,276 12,468 16,672 22,186
18 1,428 2,026 2,854 3,996 5,560 7,690 10,575 14,463 19,673 26,623
19 1,457 2,107 3,026 4,316 6,116 8,613 12,056 16,777 23,214 31,948
20 1,486 2,191 3,207 4,661 6,727 9,646 13.743 19,461 27,393 38,338
Интерпретация: один рубль, вложенный в банк на 11 базисных пе-
риодов (например, лет) под 12% процентов (годовых), к концу операции
превратится в 3,479 руб. Подразумевается, что процентная ставка в этой
и последующих финансовых таблицах соответствует длине базисного
периода: так, если в первой графе таблицы пронумерованы кварталы,
то процентная ставка — квартальная, если годы — годовая, и др.

Таблица 2

Множитель дисконтирования

1
для единичного платежа FM2(r,п) =--------

(1 + г)"

Характеризует дисконтированную по сложной процентной ставке
г стоимость одной денежной единицы, ожидаемой к получению через
и периодов.

2% 6Й 8% 10% 14% 16% 18% 20%
0,980 0,962 0,943 0,926 0,909 0,893 0,877 0,862 0,847 0,833
0,961 0,925 0,890 0,857 0,826 0,797 0,769 0,743 0,718 0,694
0,942 0,889 0,840 0,794 0,751 0,712 0,675 0,641 0,609 0,579
0,924 0,855 0,792 0,735 0,683 0,636 0,592 0.552 0,516 0,482
0,906 0,822 0,747 0,681 0.621 0,567 0,519 0,476 0,437 0,402
0,888 0,790 0,705 0,630 0,564 0,507 0,456 0,410 0,370 0,335
0,871 0,760 0,665 0,583 0,513 0,452 0.400 0,354 0,314 0,279
0.853 0,731 0,627 0,540 0,467 0,404 0,351 0,305 0,266 0,233
0,837 0,703 0,592 0,500 0,424 0,361 0,308 0,263 0,225 0,194
0,820 0.676 0,558 0,463 0,386 0,322 0,270 0,227 0,191 0.162
0,804 0,650 0,527 0,429 0,350 0,287 0,237 0,195 0,162 0,135
0,788 0,625 0,497 0,397 0.319 0,257 0,208 0.168 0.137 0,112
0,773 0,601 0,469 0,368 0,290 0,229 0.182 0,145 0,116 0,093
0,758 0,577 0,442 0,340 0,263 0,205 0.160 0,125 0,099 0,078
0,743 0,555 0,417 0,315 0,239 0,183 0,140 0,108 0,084 0,065
0,728 0,534 0,394 0,292 0,218 0,163 0,123 0,093 0,071 0,054
Продолжение

17 0.714 0.513 0.371 0.270 0.198 0.146 0.108 0.080 0.060 0,045
18 0,700 0,494 0,350 0,250 0,180 0,130 0,095 0,069 0,051 0,038
19 0,686 0,475 0,331 0,232 0,164 0,116 0,083 0,060 0,043 0,03]
20 0,673 0,456 0,312 0,215 0,149 0,104 0,073 0,051 0,037 0,026

Интерпретация: один рубль, обещаемы й к получению через шесть
базисных периодов (например, лет), с позиции текущего момента (т. е.
момента, на который делается дисконтирование) оценивается по сво-
ей ценности в 0,564 руб. при условии, что устраивающая аналитика
ставка дисконтирования равна 10% (годовых). Иными словами, инве-
стор готов отдать 0.564 руб. «сегодня», чтобы «завтра» (т. е. через шесть
базисных периодов) получить 1 руб. Повышение процентной ставки,
т. е. значения коэффициента дисконтирования, например до 14% при-
водит к уменьшению ценности «будущего» 1 рубля до 0,456 руб. Это
означает, по сути, что инвестор более осторожно оценивает значи-
мость «будущего» рубля как результата инвестиции.

Таблица 3

Коэффициент наращения
(1+? )л-1
для постоянного аннуитета /зИЗ(г,л) = '_-_

Характеризует будущую стоимость срочного постоянного анну-
итета постнумерандо с платежом, равным одной денежной единице,
продолжительностью п периодов.

п/г 2S 4% 6% 8% | 10% 12% 14% 16% 20%
1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 2.020 2,040 2,060 2,080 2,100 2,120 2,140 2,160 2,180 2,200
3 3,060 3.122 3,184 3.246 3,310 3,374 3.440 3.506 3,572 3,640
4 4,] 22 4,246 4,375 4,506 4,641 4,779 4,921 5.066 5,215 5,368
5 5,204 5,416 5,637 5,867 6,105 6,353 6,610 6,877 7,154 7,442
6 6,308 6,633 6,975 7,336 7,716 8,115 8,536 8,977 9.442 9,930
Продолжение

7 7.434 7.898 8.394 8,923 9,487 10,089 10,730 11,414 12,142 12.916
8 8.583 9.214 9.897 10.637 11.436 12.300 13.233 14.240 15.327 16.499
9 9,755 10,583 11,491 12.488 13,579 14.776 16.085 17,519 19,086 20,799
10 10,950 12,006 13,181 14.487 15,937 17,549 19,337 21,321 23.521 25.959
И 12,169 13,486 14.972 16,645 18.531 20.655 23,045 25.733 28,755 32,150
12 13.412 15.026 16.870 18.977 21.384 24.133 27.271 30.850 34.931 39.581
13 14,680 16.627 18,882 21,495 24,523 28.029 32,089 36.786 42.219 48,497
14 15.974 18.292 21,015 24.215 27,975 32,393 37,581 43,672 50,818 59.196
15 17,293 20,024 23.276 27,152 31,772 37.280 43.842 51,660 60,965 72,035
16 18.639 21.825 25.673 30.324 35.950 42.753 50.980 60.925 72.939 87.442
17 20,012 23,698 28.213 33,750 40,545 48,884 59.118 71,673 87,068 105,931
18 21.412 25,645 30,906 37.450 45,599 55,750 68,394 84,141 103,740 128,117
19 22,841 27,671 33,760 41,446 51,159 63,440 78,969 98,603 123,414 154,740
20 24,297 29,778 36.786 45.762 57,275 72,052 91,025 115.380146,628186.688

Интерпретация: если ежегодно в течение пяти лет в конце года
вносить в банк по одному рублю и не делать изъятий со счета, то к кон-
цу операции (т. е. к началу шестого года) на счете накопится 5,867 руб.
при условии, что банк начисляет и капитализирует проценты по став-
ке 8*$ годовых: полученная величина представляет собой будущую
стоимость единичного аннуитета. Если запросы инвестора в отноше-
нии доходное! и более существенны (например, егоусграивае! шавка
в 10 е? годовых), то к концу операции на его счете будет 6,105 руб. За-
метим, что интерпретация не меняется, если от года перейти к базис-
ному периоду любой продолжительности; единственное, о чем нужно
помнить, это об условии соответствия процентной ставки продол-
жительности базисного периода (например, если базисный период —
квартал, то и процентная ставка — квартальная).
Таблица 4

Коэффициент дисконтирования

1~(1+гГ

для постоянного аннуитета FMA(r,n) =

Характеризует дисконтированную стоимость срочного постоянно-
го аннуитета постнумерандо с регулярным платежом, равным одной
денежной единице, продолжительностью п периодов

п/г

2% | 4% | 6% | 8% | 10*0 | 12% | 14% | 16% | 18% | 20%

10
И

0,980 0,962 0,943 0,926 0,909
1,942 1,886 1,833 1,783 1,736
2,884 2,775 2,673 2,577 2,487
3,808 3,630 3,465 3,312 3,170
4,713 4,452 4,212 3,993 3,791
5,601 5,242 4,917 4,623 4,355
6,472 6,002 5,582 5,206 4,868
7,325 6,733 6.210 5,747 5,335
8.162 7,435 6,802 6,247 5,759
8.983 8,111 7,360 6,710 6,145
9,787 8,760 7,887 7,139 6.495
10,575 9,385 8,384 7,536 6,814
11,348 9.986 8,853 7,904 7,103
12,(06 10.563 9,295 8,244 7.367
12,849 И,И8 9.712 8,559 7,606
13,578 11,652 10,106 8,851 7,824
14.292 12,166 10,477 9,122 8,022
14,992 12,659 10,828 9,372 8,201
15,678 13,134 11.158 9,604 8,365
16,351 13,590 11,470 9,818 8,514

0,893 0.877 0,862 0,847 0,833

1,690 1,647 1,605 1.566 1,528

2,402 2,322 2,246 2.174 2,106

3,037 2,914 2,798 2,690 2,589

3,605 3.433 3,274 3,127 2,991

4,111 3,889 3,685 3,498 3,326

4.564 4.288 4,039 3,812 3,605

4,968 4,639 4.344 4,078 3,837

5,328 4.946 4,607 4,303 4,031

5,650 5.216 4,833 4,494 4,192

5,938 5.453 5,029 4,656 4.327

6.194 5,660 5,197 4,793 4,439

6,424 5,842 5,342 4.910 4,533

6,628 6,002 5,468 5,008 4,61]

6,811 6,142 5,575 5,092 4,675

6,974 6,265 5.668 5,162 4,730

7,120 6,373 5.749 5,222 4,775

7,250 6,467 5,818 5,273 4,812

7,366 6,550 5,877 5,316 4,843

7,469 6,623 5,929 5,353 4,870

г
Интерпретация: представим ситуацию’ инвесторам предлагает-
ся купить контракт, согласно которому в течение шести лет в конце
очередного года покупатель контракта сможет получать сумму в один
рубль. Если устраивающая инвестора А А процентная ставка равна
14% годовых, то справедливая стоимость контракта равна 3,889 руб.
Именно эту сумму инвестор Л Л должен заплатить единовременно за
возможность в течение шести лет получать по одному рублю по окон-
чании очередного года. Если инвестор ВВ более осторожен и устраи-
вающая его доходность равна 18% годовых, то справедливая (с точки
зрения уже этого инвестора) стоимость контракта будет ниже и соста-
вит 3,498 руб. Иными словами, для инвестора ВВ текущая ценность
контракта (т. е. ценность на момент инвестирования) ниже, нежели
для инвестора АА. Как и в предыдущей финансовой таблице, суть ин-
терпретации не меняется при переходе от года к базисному интервалу
любой продолжительности.
Некоторые замечания по поводу обозначений
и названий множителей

Приводимые в книге обозначения множителей

FMl(r,«) = (l + r)B.

FM2(r, п) =--!---,

(1 + /У

л (1 + Н'-1

FM3(r, п) =------------,

1-(1+г) '

FM4(r, п) =------—

являются условными. Например, в англоязычной и переводной лите-
ратуре широко распространены следующие обозначения (в порядке
соответствия), представляющие собой аббревиатуры соответствую-
щих англоязычных наименований этих множителей.

a) FV7F(r.,ri) - future value Merest factor; PVlF(r^n) — present
value interest factor; FFlFA(r.ri) — future value Merest factor of annuity;
PFIFA[r, и) — present value interest factor of annuity;

6) CIF — compound interest factor; PVDF — present value discount fac-
tor; CIF", — compound interest factor of annuity-immediate for fl periods;
PFDF", — present value discount factor of annuity-immediate for n periods;

в) CVlFr,n; PVIFr,n; CVlFAr,n; CVIFAr,n.

В работах некоторых российских авторов коэффициент, аналогич-
ный коэффициенту наращения аннуитета FM3{r,n) , обозначается
через 5(л,г) или Snr , а коэффициент дисконтирования аннуитета
FM4(r,n) -через а(л,г) или апг.
В литературе по оценке недвижимости могут использоваться сле-
дующие специфические названия множителей и функций, в которых
эти множители представлены:

• Первой функцией сложного процента называют функцию
F = Р(1+г)", или только множитель наращения (1 + г)", трактуемый
еше как фактор будущей стоимости текущего капитала;

• Второй функцией сложного процента называют функцию

. (1 + г)"-1

= Л----------, или только коэффициент наращения аннуите-

та ---------, который еше именуется фактором будущей стоимости

обычного аннуитета;

• Третьей функцией сложного процента называют функцию
г г

А = FV------------или только множитель---------------, извест-

(1 + г)"-1 (1 + г)'-1

ный в оценке недвижимости и как фактор фонда обычного возмеще-
ния. Фактор фонда обычного возмещения равен величине платежа,
который необходимо вкладывать (депонировать) в конце каждого пе-
риода, чтобы при заданной процентной ставке г в конце последнего
периода получить на счете сумму, равную единице;

• Четвертой функцией сложного процента называют функцию
„ ! 1

Р =------—, или только множитель дисконтирования ----, трак-

(1 + /-Г (1+/•)'

туемый еще как фактор текущей стоимости будущего капитала;

• Пятой функцией сложного процента называют функцию

1-(1 + г)”

РУ°а = А----------, или только коэффициент дисконтирования

аннуитета

, известный в оценке недвижимости и как фак-

тор текущей стоимости обычного аннуитета:

• Шестой функцией сложного процента называют функцию

А = PV‘

, или только множитель -——--—, который

еще называют фактором обычной амортизации. Фактор фонда обыч-
ной амортизации равен величине периодического платежа, погаша-
ющего за п лет при заданной процентной ставке г основную сумму
кредита в одну единицу и проценты за невозмешенную сумму (креди-
та). Причем платежи осуществляются в конце каждого года. Значения
этих функций в работах по оценке недвижимости были представле-
ны шестью таблицами для различных значений гни (естественно,
каждая таблица занимала немало страниц в книге).

Приведенная терминология, применяемая к упомянутым шести
функциям, безусловно, тяжеловесна, запутанна и вряд ли удобна к
использованию. Более того, количество используемых множителей
(и соответственно, финансовых таблиц) можно сократить до двух.

1 ч FM3(r,n)

Поскольку FM2(r,ri) =--------- и FM4(r,n) =-----------, то до-

FM\(r,n) FMl(r,ri)

статочно знать только множитель наращения или дисконтирования и
коэффициент наращения или коэффициент дисконтирования аннуи-
тета. Например, FMl(r,ri) и FM3(r,n), или FMl(r,ri) и FM4(r,n)
мт.д.
Библиография

I. Литература XVIII в. - 30-е годы XX в.

Абезгуз М. М. Лекции по коммерческой арифметике. Вып. 1, 2.
2-е изд., пересмотр, и доп. Баку: Гостипография № 2 Азполиграфтре-
ста Н. К. П. Т, 1924.

Алексеев В. Обшие коммерческие сведения и вычисления. М.: Ти-
пография А. П. Поплавского. 1908. 2-е изд.. 1914.

Андреев П. П., Беленький И. С. Курс хозяйственных вычислений 4-е
изд., перераб. и доп. М.: Госфиниздат, 1938.

Арбатский Д. А. Краткое руководство коммерческой арифметики
и двойной бухгалтерии для средних технических училищ. М.: Типо-
литография М. Г. Грамакова, 1904.

Бабенко И. П. Курс коммерческой и политической арифмети-
ки в связи с коммерцией (торговлеведением) и с приложением кра-
ткой арифметической терминологии 2-е изд., шачит. доп Пг.:
Изд. В. И. Губинского, 1916.

Бальг Г. Учебн ик ком мерческой арифметики для реа л ън ых, ком мер-
ческих и промышленных училищ. Ч. 1—6. Ревель; Издание Ф. Клюге,
1892-1899

Банковая энциклопедия / под. ред. Л. Н. Яснопольского. Киев: Изд-
во Банковой энциклопедии. Т. 1. 1914; Т. 2.1916.

Бахчисарайцев Г. А. Коммерческая арифметика и вычисление тор-
говых операций в связи с необходимыми статьями из теоретической
арифметики и с приложением задач. 2-е изд. М.: Университетская ти-
пография, 1900.

Бахчисарайцев Г. А. Арифметика. Пособие при изучении арифме-
тики — теоретической и коммерческой — в объеме программ счетовод-
ных курсов. 3-е изд.. Вып. 1. М.: Книгоизд. «Гермес», 1906.
Бахчисарайцев Г А. Коммерческая арифметика. Лекции-корре-
спонденции для самостоятельного изучения предмета. М.: Типо-ли-
тография И. Ф. Щетинкина и Е. А. Мартынова, 1911.

Беленький Н. С. Хозяйственные вычисления: Практическое посо-
бие. 2-е ивд., перераб. и доп. М.-Л.: Всесоюзное кооперативное объ-
единенное изд-во, 1934.

Бельмер Ф. И. Элементарный курс коммерческой арифметики и
двойной бухгалтерии. М.: Т-во типо-литографии «Владимир Чиге-
рин», 1899.

Беркевич Л. Ф. Коммерческая арифметика. 2-е изд. СПб..- Типогра-
фия М. М. Стасюлевича, 1896.

Библиография. «Энциклопедия коммерческих наук» Г. А Бахчи-
сарайцева. «Двойная итальянская бухгалтерия». Анализ, составлен-
ный учениками Ф. В. Езерского. СПб.; М.: Т-во типо-литографии
И. М. Машистова, 1906.

Боболович Ф. Полный учебник коммерческой арифметики. 2-е изд.,
испр. и доп. М.: Типография Г. Лисснера и А Гешеля, 1902.

Боболович Ф. Учебник коммерческой арифметики. 4-е изд. М.: Из-
дание книжного магазина В. Спиридонова и А. Михайлова. 1908.

Боболович Ф Сборник задач по коммерческой арифметике. 4-е изд.
М.: Издание книжного магазина В. Спиридонова и А Михайлова, 1908.

Боболович Ф. Коммерческая арифметика. 5-е изд., испр. и доп.
М.-П г.: Издание Т-ва «В. В. Думнов, наследи. Бр. Салаевых», 1916.

Богос ювскии И. Н. Теория финансовых операций. Саратов: Изд-е
Саратовского ин. нар. хоз., 1922.

Богос ювскии И. Н. Коммерческая арифметика. Л.: Государствен-
ное изд-во, 1925.

Богосювский И. Н. Вычисление процентов и процентных денег.
(Практические способы) — Л.: Изд-во книжного сектора ГУ БОН0,1925.

Богос ювскии И. Н. Коммерческие вычисления. Л.: Рабочее изд-во
«Прибой», 1927.

Богос ювскии И. И. Финансовые и банковые вычисления. 2-е изд.,
испр. и доп. М.: Госуд. фин. Изд-во СССР, 1929.

Бондарев С. И. Краткий курс коммерческой арифметики. 2-е изд.,
перараб. и доп. М.: Издание Центросоюза, 1924.
Бондарев С. И. Торговые вычисления. М • Изд-во «Экономическая
жизнь», 1925.

Бражников С. Карманная книжка для расчетов, служащая для всех
классов и состояния людей. М.: Типография Решетникова, 1820.

Бревдо И. 3. Как начисляются проценты по текущим счетам и кон-
токоррентам. М.: 5-я Типо-лиюграфия МСНХ«Мосполи1раф», 1922.

Брун Г. Руководство к политической арифметике. Одесса. Город-
ская типография, 1845.

Быков В. П. Спутник счетовода: упрощенные способы различных
вычислений на бумаге и на простых русских счетах. М.. Т-во «Печат-
ня С. П. Яковлева», 1901.

Быстров 3. Новейшие программы и правила коммерческих учеб-
ных заведений (коммерческих училищ, торговых школ и классов, а
также курсов коммерческих знаний). СПб.: Типография В. Я. Миль-
штейна, 1908.

Ванье И. Уроки коммерческой арифметики, или простые способы
вычисления процентов и барышей для знающих четыре правила ариф-
метики: пер. с фр. Одесса: Типография Т. Неймана и К°, 1848.

Васильев М. И. Элементарный курс коммерческих вычислений.
2-е изд., перераб. и доп. Пг.: Екатерининская типография, 1915.

Васильев М. И. Сборник задач по коммерческим вычислениям.
2-е изд. Пг.: Типография В. Д. Смирнова, 1916.

Васильев-Яковлев Н. П. Коммерческая арифметика в связи с ком-
мерческою экономею. 12-е изд. Киев: Типография акц. об-ва «Петр
Барский в Киеве». 1912.

Васильев-Яковлев Н. П. Сборник задач по коммерческой арифмети-
ке. 12-е изд. Киев: Типография акц. об-ва «Петр Барский в Киеве», 1915.

В. В. Таблицы для исчисления процентов на капиталы, до милли-
она рублей и свыше онаго простирающиеся по 3,4, 5,6 и 9 процентов.
М.: Типография Тимофея Хавского, 1840.

Вспомогательные таблицы для исчисления процентов по 3 рубля
на 100. Труды воспитанников училища глухо-немых. СПб: Типогра-
фия Опекунского Совета. 1857

Вейцман Р. Я. Сокращенные приемы вычислений. Одесса: Типо-
графия «Порядок» С. К. Цессарского, 1911.
Вейцман Р. Я. О преподавании коммерческой арифметики. Одесса:
Типография Л. Бржозека, 1913.

Вейцман Р. Я. Коммерческая арифметика. Руководство и сборник
задач. 2-е изд. Одесса.: Книгоиздательство «Библиотека Коммерче-
ских знаний», типография «Порядок» С. К. Цесарского, 1915.

Вейцман Р. Я. Сборни к задач по коммерческой арифметике. Одесса:
Книгоиздательство «Библиотека Коммерческих знаний», типография
«Порядок» С. К. Цесарского, 1915.

Вейцман Р. Я. Коммерческая арифметика. 5-е изд. М.: Изд-е юри-
дического книжного магазина «Проведение» И. К. Голубева, 1918

Вейцман Р. Я. Сборник задач по коммерческим вычислениям. 5-е
изд. М.: Издание Всероссийского Центрального Союза Потребитель-
ских обществ, 1927.

Вейиман Р. Я. Коммерческие вычисления. 6-е изд. М.- Издание Все-
рос. Центр. Союза Потреб, обществ, 1923.

Вестерман Г. Э. Коммерческая арифметика. Рига: Изд-е Н. Ким-
меля, 1909.

Владыкин В. Вспомогательные таблицы для исчисления процентов
по 4 рубля на 100. СПб.: Типография М. Эттингера, 1851.

Воеводин И. И. Курсовые таблицы для перевода иностранной ва-
люты в русскую и обратно. Пермь: Типо-литография губ. правд., 1913.

Войников И Сборник задач по коммерческой арифметике. Вып.
1—5. М.: Типография Н. Е. Романова и К. И. Мешковского, 1900—1902.

Вольченок С. Г. Курс коммерческой арифметики. Составлено спе-
циально для самообучения. М.: Изд-во «Книгопечатник», 1922.

Г. М. Правила для вычисления простых и сложных процентов,
срочных уплат для погашения капитала и для учета векселей, по-
средством четырех арифметических действий. 2-е изд., значит, доп.
СПб.: Военная типография, 1874.

Г М. Практические правила для действия над обыкновенны ми ло-
гарифмами с приложением четырехзначных логарифмическихтаблип
и с применением логарифмов к вычислению сложных процентов.
СПб.: Военная типография, 1875.

Галузьев В. Вексельно-курсовые вычисления и арбитраж. Изд. Ве-
ге. СПб.: Типография С. В. Волпянского, 1893.
Гальперин Э. С. Самоучитель коммерческой арифметики. Одесса:
Типография «Молдпечать» Болта, 1927.

Георгиади А. Текущие процентные счета. Полное руководство, с 6-ю
приложениями таблиц, служащих для вычисления простых и слож-
ных процентов, срочных платежей и погашения. Одесса: Изд. А. Геор-
гиади, 1893.

Глаголев А. Н. Элементарная теория долгосрочных финансовых опера-
ций. М.: Издание А. С. Вишнякова; Университетская Типография, 1891.

Глаголев А. И. Арифметика с коммерческими вычислениями и
сборник задач. 3-е изд. М.: Типография Т-ва И. Д. Сытина, 1905.

Гольдзберг И. Таблицы для сокращения купеческих вычислений.
Вильна: Типография Лейзера Дворжеца, 1868.

Гольдин А. Л. Коммерческие вычисления. Л.: Типография газеты
«Вестник Ленинградского Совета», 1926.

Гончаров П.М. Приближенные вычисления. СПб.: Типогра-
фия И. Н. Скороходова, 1903.

Гончаров П. М. Долгосрочные финансовые операции: Курс элемен-
тарный. СПб.: Типография В. Д. Смирнова, 1910.

Гончаров П. М. Коммерческая арифметика. 4-е изд., испр. и доп.
СПб.: Типография В. Д. Смирнова, 1912.

Гончаров П. М. Элементарный курс коммерческой арифметики. 2-е
изд., испр. и доп. Пг.: Типография В. Д. Смирнова, 1915.

Гончаров П М. Сборник задач по коммерческой арифметике. 6-е
изд., испр. и доп. Пг.: Типография В. Д. Смирнова, 1917.

Гончаров П. М. Коммерческая арифметика Ч. 1.6-е изд. Пг.: Типо-
графия С. В. Смирнова, 1918.

Гросскурт Ф. Собрание арифметических преимущественно ком-
мерческих задач. Курс первый. М.: Книжный магазин А. Ланг, 1873

Гросскурт Ф. Решения коммерческих задач. Курс первый. М..
Книжный магазин А. Ланг, 1874.

Гросскурт Ф. Руководство коммерческой арифметики с разными
таблицами. Курс первый. М.: Книжный магазин А. Ланг, 1874.

Гуляев А. И. Краткий курс коммерческой арифметики. М„ Изд-е
К. Тихомирова, 1906.
Гуляев А. И. Сборник задач по коммерческой арифметике. М Изд-е
К. Тихомирова, 1906.

Гуляев А И. Коммерческая арифметика. 2-е изд., доп. и перераб.
М.: Типография В. М. Саблина, 1913.

Дементьев И., Киселев К. Краткий курс коммерческой арифмети-
ки и двойной итальянской бухгалтерии (теория и практика). 2-е изд.
Елец: Паровая типография И. М. Кочергина, 1908.

Детенгоф И. Обший состав торговли или теоретико-практическое
руководство к познаниюторговых наук. СПб.: Типография 111 Отделе-
ния е. и. в. Канцелярии, 1833.

Евдокимов А. М. Таблицы для коммерческих вычислений. СПб.:
Tiinoi рафия Товарищества «Общественная польза», 1873

Евзлин 3. П. Коммерческие вычисления. СПб.: Книгоиздатель-
ство В. О. Пастор, 1905.

Евзлин 3. П Коммерческая арифметика. СПб.: Книгоиздатель-
ство Ф. И. Митюрникова, 1909.

Евзлин 3. П. Банковые вычисления. М.: Финансовое издательство.
1927.

Ер-Енц А. Легчайшее вычисление процентов и неустойки по вексе-
лям и заемным письмам. СПб.: Типография И. Иогансона, 1842

Ер-Енц А. Русская нумизматика, или вспомогательные таблицы,
для счисления денег: а) Серебро на Ассигнации и Золото; Ь) Ассигна-
ции на Серебро и Золою, и с) Золото на Ассигнации и Серебро. СПб.:
Типография Эдуарда Праца, 1840.

Ер-Енц А. Таблицы для вычисления процентов как по банковым
билетам по 4% и 5°i> от одного дня до ста лет и от одной копейки до не-
скольких сот миллионов рублей, так и по частным долгам по 6°о. СПб.:
Французская типография, 1844.

Ершов Д. Таблицы для исчисления процентов по 3 на 100 от 1 дня до
ЗОлет. СПб.: Типография М. О. Вольфа. 1857.

Зарнов В. Ф. Таблицы для вычисления процентов по банковым би-
летам до 10 лет и 179 дней. СПб.: Типография Карла Крайя. 1849

Игнатюк А. Ф. Сборник задач по коммерческой арифметике. Для
коммерческих учебных заведений. СПб.: Изд-е А. Э. Винеке, 1905
Игнатюк А. Ф Коммерческая арифметика. Для коммерческих учеб-
ных заведений. 2-е изд. СПб.: Типо-литография А. Э. Винеке, 1910

Каменский А. П. Краткое руководство по торговой арифметике.
Вып. 1. Л.: Издательский кооперативный союз «Кооперация», 1926.

Каменский А. П. Сборник задач и упражнении по торговым вычис-
лениям потребительской кооперации. Л.: Изд-во «Экономическое об-
разование», 1927

Каменский А. П. Торговые вычисления. 2-е изд., испр. и доп. Л.: Ти-
пография ЛСПО, 1930.

Канеп Н. К. Коммерческая арифметика. Издание А Э. Винеке. -
СПб.: Книгоиздательство Книжный склад и Типо-литография, 1913.

Капустин П Процентные таблицы для скорого и легкого решения
задач, относящихся к простым и сложным процентам. М.: Типогра-
фия Т. Рис, 1871.

Кауфман И. И. Основания расчетов по публичным займам / Вре-
менник Центрального Статистического Комитета № 21. СПб.: Типо-
графия В. Безобразова и К°. 1891.

Кечеджи-Шаповалов М. В. Коммерческое образование, его значе-
ние, задачи, методы и организация (в России и за границей). СПб.:
Книжный склад Т-ва «Улей», 1911.

Кларк К., Немчинов. Счетная наука в двух частях. Нарва: Типогра-
фия И. В. Шульца, 1831-1832.

Кларк К. Биржевые расчеты для сравнения С.-Петербургских цен
с английскими на привозные товары по всякому вексельному курсу.
СПб.: Типография Императорской Академии Наук. 1840.

Кларк К. Денежные таблицы для расчета серебра на ассигнации
или ассигнаций на серебро, также для расчета по курсам на иностран-
ные вексельные деньги. СПб.: Типография Императорской Академии
наук,1839

Клинге К. М. Руководство конторского знания. 2-е изд. СПб.: Типо-
графия Ф. Персона, 1863.

Кобылинский П Вспомогательные расчеты при исчислении про-
центов по банковым билетам. СПб.: Типография Экспедиции заготов-
ления Государственных бумаг, 1831.

Коммерческая арифметика (для самообучения). Вып. 1. СПб.: Ти-
пография Т-ва «Благо», [1914].
Коммерческая энциклопедия. Полтава: Изд-во «Коммерческое об-
разование», 1914.

Коммерческая энциклопедия М. Ротшильда, в полной переделке
сообразно потребностям русских предпринимателей и с добавлением
6 новых русских отделов: Настольная справочная книга по всем от-
раслям коммерческих знаний / под ред. С. С. Григорьева. СПб.: Изд-е
В. Э. Форселлеса. Т. 1.1899; Т. 2,1899; Т. 3.1900; Т. 4, 1901.

Конспект по коммерческой арифметике. Составлен применитель-
но к задачам, предлагаемым на экзамене в Киевском Коммерческом
Институте. Киев: Изд. М. Е. Бабаева, 1915.

Конспект по коммерческой арифметике для высших и средних
учебных заведений. (Составлен по Сиверсу, Гончарову, Лунскому и
друг.) Составил А. Г. Киев: Типография А. М. Пономарева, 1913.

Копылов Ф. Вычисление процентов от до Ю'Ъ с таблицами про-
стых и сложных процентов. М.. Типография В. Готье, 1852.

Корытин С. И. Систематический курс коммерческой арифметики.
Ч. 1—2. СПб.: Типография А. А. Пороховщикова, 1897.

Корытин С. И. Сборник примеров и задач по коммерческой ариф-
метике. Ч. 1. СПб.: Паровая скоропечатня Я. И. Либермана, 1899.

Корытин С. И. Коммерческая арифметика. СПб.: Изд-е «Петер-
бургского Учебного Магазина», 1909.

Крушинин И. Сокращенные вычисления Проценты со ста, на сю
и во сто. Интересы, учет и другие вычисления. СПб.: Изд-е книжного
склада П. Г. Кузнецова, 1910.

Кряжев В. Купеческая арифметика для банкиров, купцов, завод-
чиков. фабрикантов и воспитанников их, изданная для употребления
в Московском коммерческом училище. Первый курс в двух частях. М.:
Типография Н. С. Всеволожскою, 1811.

Кудрявцев М. Н. Арифметика на счетах и коммерческие вычисле-
ния. 7-е изд., испр. и доп. М.: Т-во «Печатня С П. Яковлева», 1905

Купцов И. А. Коммерческие вычисления. Оренбург. Типогра-
фия М. И. Пинес, 1926.

Ломовисский А. Ф. Курс коммерческих вычислений, связанных с
учебником счетоводства Ф. В. Езерского. Отдел процентных и век-
сельных вычислений. СПб.; М.: Изд-е Общества Счетоводов, 1903.
Ломовисский А. Ф. Курс коммерческих вычислений, связанных с
учебником счетоводства Ф. В. Езерского. Отдел вычислений по про-
центным бумагам. СПб.-M.: Изд-е Общества Счетоводов, 1904.

Ломовисский А. Ф. Курс коммерческих вычислений, связанных с
учебником счетоводства Ф. В. Езерского. Отдел вычислений по теку-
щим счетам. 2-е изд. СПб.-M.: Изд-е Общества Счетоводов, 1905.

Ломовисский А. Ф. Курс коммерческих вычислений. Отдел основ-
ных финансовых вычислений (элементарных). СПб.-M.: Изд-е Обще-
ства Счетоводов, 1906.

Ломовисский А. Ф. Ключ крещению задач по коммерческой ариф-
метике, в связи с методическими указаниями и объяснениями реше-
ний. М.: Типография П. П. Рябушинского, 1912.

Ломовисский А. Ф. Коммерческая арифметика. 2-е изд. М.: Типо-
графия п/ф «Ломоносов». 1914.

Ломовисский А. Ф. Сборник задач по коммерческой арифметике.
3-е изд., доп. М.: Скл. изд. у авт., 1914.

Ломовисскии А. Ф. Коммерческая арифметика. Отдел товарных вы-
числнений. 3-е изд., доп. М.: Скл. изд. у авт., 1918.

Ломовисский А. Ф. Курс коммерческих вычислений (теория и прак-
тика). 5-е изд., испр. и доп. М.-Л.: Снабкоопгиз, 1931.

Лунский Н С. Вычисление процентов, интересов, дисконта. Одес-
са: Типография Е. И. Фесенко, 1895

Лунский Н. С. Товарные вычисления. Одесса: Типография Е. И. Фе-
сенко, 1895.

Лунский Н. С. Курсовые вычисления. Одесса: Типография Е. И. Фе-
сенко, 1895.

Лунский И. С. Монетные вычисления. Одесса: Типография Е. И. Фе-
сенко, 1895.

Лунский Н. С. Сокращенное вычисление суммы, разности, произ-
ведения и частного. 2-е изд, испр. и доп. Одесса: Типография Г. М. Ле-
винсона, 1900.

Лунский Н. С Краткий учебник коммерческой арифметики. 2-е
изд., испр. и доп. Одесса: Типография Г. М. Левинсона. 1901.

Лунский Н. С. Задачи на тройные правила. Одесса: Типография
Торг. Дома Г. М. Левинсон, 1903.
Лунский И. С Тройные правила Одесса’ Типография Торг. До-
ма Г. М. Левинсон, 1903

Лунскии Н. С. Политическая арифметика. Краткий элементарный
курс долгосрочных финансовых операции. 2-е изд., испр. и доп. Одес-
са: Типография Торг. Дома Г. М. Левинсон, 1903.

Лунский Н. С. Краткий сборник задач по коммерческой арифметике.
2-е изд., испр. Одесса: Типография Торг. Дома Г. М. Левинсон, 1903.

Лунский Н. С. Организация преподавания коммерческих наук ино-
вых языков в главнейших высших коммерческих школах западной Ев-
ропы. М.: Изд-е Московского коммерческого института М. О. Р. К. О.
типография Т-ва И. Д. Сытина, 1909.

Лунский Н. С. Лекции по высшим финансовым вычислениям. Ча-
сти 1—3. М.: Т-во «Печагня С. П. Яковлева», 1912.

Лунский И. С Коммерческая арифметика. 7-е изд., испр. и доп.
Одесса: Издание книжного магазина Е. П. Распопова, 1913

Лунский Н. С. Сборник задач по коммерческой арифметике. 6-е
изд., испр. и доп. М.: Типография Г. Лисснера и Д. Совко, 1916 (а).

Лунский Н. С. Высшие финансовые вычисления. Отдел первый. М.:
Типография Г. Лисснера и Д. Совко, 1916 (б).

Лунский Н. С. Введение в коммерческие вычисления. 4-е изд. М..
Изд-во «Экономическая жизнь», 1926 (а).

Лунский Н. С. Коммерческие вычисления. 4-е изд. М_: Изд-во «Эко-
номическая жизнь», 1926(6).

Лунский Н. С Курс коммерческой арифметики. М.-Л.: Государ-
ственное издательство, 1927.

Любомудров. Тетрадь бухгалтерских арифметических примеров.
Иркутск: Типография «Иркутского Т-ва Печатного Дела», 1907.

Магницкий Л. Ф. Арифметика, сиречь наука числительная. С раз-
ных диалектов на славенский язык преведенная, и во едино собрана,
и на две книги разделена... М., 1703.

Малешевский Б. Ф. Теория и практика пенсионных касс. Т. 1, 2.
СПб.: Типография Министерства путей сообщения (А. Бенке), 1890.

Мансфе гьд А. Курс коммерческой арифметики и торговых опера-
ций. М.: Типо-литография торг, дома А. С. Клименков и К°, 1900.
Меншиков М. Л. Подробные расчеты по 3 процента на капиталы от
1 руб. до 1000000 руб. М.: Университетская типография, 1858.

Минервин В. Коммерческая арифметика. Практ. курс М.: Типогра-
фия Вильде, 1913.

Мокеев Г. Н. Коммерческие вычисления. СПб.: Типография
В. Д. Смирнова, 1908 (а).

Мокеев Г. Н. Сборник задач по коммерческим вычислениям. СПб.:
Типография В. Д. Смирнова, 1908 (б).

Мол зериуе В. Вспомогательные таблицы по вычислении процентов
по векселям, принимаемым в учет в государственном коммерческом
банке и в конторах онаго. СПб.: Типография М Эттингера. 1852

Мордвинов А. Таблицы для исчисления процентов по 4 на 100 от
1 дня до 50 лет. СПб: Лит. у И. Беггрова, 1851.

Назаров И. Я. Коммерческая арифметика (с объяснениями про-
стых и десятичных дробей) в двадцати пяти уроках. СПб.: Типогра-
фия А. С. Суворина, 1911-

Наставления политические барона Бильфельда. Часть вторая. М.:
Печатаны при И. Московском университете, 1775.

Немиров А Таблица процентов на капиталы, обращающихся в го-
сударственных кредитных учреждениях. СПб.; Типография Импера-
торской Академии наук, 1853.

Новиков И. Ключ к выкладкам курсов, или ныне изобретенный са-
мый кратчайший способ верно выкладывать Английской и Голланд-
ской курс с помощью особливых таблиц, с ясным описанием о том,
что под словом курс разумеется и от чего оной по большей части повы-
шается и упадает. М.: Типография Селивановского и тов., 1794.

Новиков И. Вы кладчик без пера и карандаша или удобнейший
способ скоро и без ошибки выкладывать по ценам разные в торговле
при покупке и продаже происходящие товары, по особенным при сей
книжке помешенным таблицам и с кратким наставлением каким об-
разом употребить сию книжку. М.: Сенатская типография. 1800.

Новиков И. Подробное описание о вексельном курсе, переводах и
монетах иностранных. М.: Типография Ф Гиппиуса, 1804.

Новиков П. Е. Примеры из практики коммерческих вычислений
(руководство для практических счешых работников). Саратов. Изд-е
Пром. Экон. Курсов Саргубпрофобра, 1926.
Новый способ делать расчеты без ошибок и скорее нежели на сче-
тах. М.: Типография С. Селивановского, 1837

Общие указания для прохождения курса коммерческих вычисле-
ний. М.: Изд-е Пром.-Эконом, инет. им. А. И. Рыкова, 1928.

Окунев С. Таблицы о четырех процентах. Тетрадь первая. СПб: Во-
енная типография Главного Штаба, 1832.

Пау флер С. Е. Руководство к изучению коммерческой арифметики.
М.: Типография Т-ва И. Д. Сытина, 1914.

Пендорф Б. Методика коммерческой арифметики. СПб.: «Физика».
1914.

Петерс И. О вексельных оборотах. СПб.: Типография Штаба От-
дельного Корпуса Внутренней Стражи, 1849.

Пинето 3. Новые таблицы для быстрого вычисления размера про-
центов (роста). Практическая часть. СПб.: Типография Император-
ской Академии наук, 1871.

Пинето 3. Новые таблицы для быстрого вычисления размера про-
центов (роста). Теоретическая часть. СПб.: Типография Император-
ской Академии наук, 1872.

Плотников М. С. Повторительный курс коммерческой арифметики
применительно к требованиям фабрично-заводской практики и для
техников при технических конторах и бюро. СПб.: Центральная Ти-
по-литография М. Я. Минкова, 1902.

Поднебесный М. Денежный альбом для прекрасных лам и кава-
леров. или золотые таблицы о переложении денег по курсу 3 р. 50 к.
мед. за 1 руб. сер. Весьма удобные для домашних и торговых расчетов.
СПб.: Типография К. Вингебера, 1839.

Поднебесный М. Книга об исчислении процентов по билетам бан-
ков и сохранной казны, или подробные расчеты по 4 процента в та-
блицах. СПб.: Типография К. Вингебера. 1844.

Поднебесный М. Расчеты по 5 и 6 процентов в таблицах, с узако-
нениями о векселях, заемных письмах и закладных. СПб.: Типогра-
фия К. Вингебера, 1845.

Поднебесный М. Руководство по займам из государственных кре-
дитных установлений под залог недвижимых имений или подробные
расчеты процентов и капитала, в таблицах, по ссудам на 15,26 и 37 лет,
с узаконениями о ссудах из Государственного Заемного Банка и Со-
хранной Казны Императорского Воспитательного Дома, под залог
недвижимых имений, и с прибавлением. СПб: Типография К. Винге-
бера, 1847

Попов Н. У Конторские способы решения арифметических задач.
Красноярск: Типо-литография М. Я. Кохановской, 1910.

Постников И. Новые таблицы для дисконтеров, банкиров, капи-
талистов и бухгалтеров, или новые таблицы интересов на все годовые
цены. М.: Типография Т. Волкова и Комп., 1862.

Правила для вычисления простых и сложных процентов, срочных
взносов, срочных уплат для погашения капитала и для учета вексе-
лей, посредством четырех арифметических действий. 2-е изд. 2, зна-
чит. доп. СПб.: Военная типография, 1874.

Практическая энциклопедия. Т. 5. Коммерческие сведения. М.:
Книгоиздательство «Польза», 1906.

Прокофьев А. В. Коммерческая арифметика и торговые операции.
Изд. 8, испр. и доп. М.: Т-во типографии А И. Мамонтова, 1900.

Резвый. Таблицы для исчисления на серии процентов. СПб.: Типо-
графия Морского Министерства, 1863.

Рейнбот П. И. Руководство коммерческих и финансовых вычисле-
ний. 2-е изд., испр. и доп. СПб.-M.: Издание книгопродавца — типо-
графа М. О. Вольфа, 1882.

Рейнбот П. И. Задачник по коммерческим вычислениям. СП6.-М.:
Издание т-ва М. О. Вольфа, 1887.

Рэе Р. Упрощенное счисление. Перевел с X немецкою издания
инженер-технолог Л. Филлер. СПб.: Типо-литография Н. Л. Нырки-
на, 1913.

Савинов М. Арифметик без пера и карандаша и без поверки или
удобнейший способ скоро и без ошибки сделать всякий шет в прода-
жах. покупках, мерах и весах, и узнавать цену сколько за все заплатить
или получить должно денег, и как всякую вещь разделить на равные
части, не употребляя обыкновенных щетов и Арифметики с приобще-
нием наставления, каким образом употреблять сию книжку. М.: Ти-
пография И. Зеленикова, 1796.
Савич С. Е. Элементарная теория страхования жизни и трудоспо-
собности. 2-е изд. СПб.: Издание Железнодорожного Пенсионного
Комитета, 1909.

С — в А. Вспомогательные таблицы для расчетов. М.: Университет-
ская типография, 1858.

Светлов К. Учебная книга коммерческой арифметики. Научный и
практический курс. Могилев на Днепре: Типо-литография Я. Н. Под-
земского, 1912.

Селезнев И. И. Начальный курс коммерческих вычислений в свя-
зи с общими сведениями о торговле. С приложением задач. 2-е изд.,
испр. и доп. М.: Типография Т-ва И. Д. Сытина, 1915.

Сенигов В. Вспомогательные таблицы при вычислении процентов
по векселям, купонам и дру>им процентным бумагам с присовоку-
плением теории вычисления процентов. СПб.: Типография А. Тран-
шеля, 1866.

Сиверс Е. В. Конспект лекций по коммерческой арифметике, чи-
танных на счетоводных курсах. СПб.: Скл. изд. при типо-литографии
А. Э Винеке, 1906.

Сиверс Е. В. Коммерческая арифметика. СПб.: Типо-литография
А. Э. Винеке, 1909.

Сиверс Е. В. Сборник задач по коммерческой арифметике. 2-е изд.
Пг.: Типо-литография А. Э. Винеке, 1917.

Сиверс Е. В. Коммерческая арифметика с задачами. 8-е изд., пере-
раб. и доп. Л.-М.: Государственное торговое издательство, 1931

Сиверс Е. В. Банковые и торговые вычисления. М.: Госуд. фин. Изд-
во СССР, 1932.

Синопийекий-Трофимов Н. Т Записки по коммерческой арифметике
с примерами для решения. Общая часть. Киев: Типография И. И. Чо-
колова, 1914.

Синопийский-Трофимов Н. Т. Руководство к применению таблиц
сложных процентов, срочных взносов и уплат с приложением кра-
ткой теории долгосрочных финансовых операций Киев: Типогра-
фия И. И. Чоколова, 1915.

Синопийекий-Трофимов Н. Т. Основания политической арифмети-
ки с примерами для решения и приложением таблиц сложных про-
центов, уплат, срочных взносов и др. Пг -Киев’ Книгоиздательство
«Сотрудник», 1919.

Собрание лучших сочинений к распространению знания и к про-
изведению удовольствия или смешанная библиотека. О разных Фи-
зических, Экономических, гакоже до Манифактур и до Коммерции
принадлежащих вещах: в 4 ч. М.: Типография Компании Типограф-
ской, 1787.

Собрание хозяйственных расчетов, или практические задачи, по
части Сельского Хозяйства, Бухгалтерии, Горного и Соляного произ-
водства и Практической Механики. С таблицами и чертежами. СПб:
Привилегированная типография Фишера, 1845.

Соколов Н. И. Систематизация арифметических типичных задач.
М.: Издание книжного магазина «В.С. Спиридонов и А.М Михай-
лов», 1907

Старков А. О сложных процентах и текущих счетах. Одесса: Типо-
графия Г. Ульриха, 1880.

Сумилов Н.Б. Коммерческие вычисления (для самообучения).
Вып. 1—3. Л.: Книгоиздательство «Благо», 1926—1927

Таблицы для исчисления процентов на капиталы от 1 руб. до 50000
руб. и более СПб: Типография В Веллинга, 1860.

Таблицы, составленные для коммерческих и хозяйственных расче-
тов. по коим можно со скоростию и верностию выложить разные ис-
комые суммы и производство весом и мерою на шетах, не употребляя
при том арифметических вычислений, издаваемые Сергеем Сазоно-
вым. Ч. 1. М.: Университетская типография, 1820.

Таблицы процентов с процентами на проценты, в дни, месяцы идо
10 лет, по 4, 5,6, и 7 процентов. М.: Типография В Готье, 1853.

Тайнов И. Таблицы для определения числа дней при исчислении %
по текущим счетам, при покупке и продаже % бумаг, учете векселей и
т. д. СПб.: Типография И. Гольдберга. 1895.

Талалой А. А. Полные таблицы процентов с гарантией верности.
М.: Типография «Общественная польза», 1909.

Теории М. Т. Элементарный курс коммерческих вычислений и тер-
минологии с задачами и ответами. 5-е изд. М.: Типе-литография Т-ва
И. Н, Кушнереви К°, 1914.
Терлецкий Н. Расчисление процентов по билетам Государственного
Казначейства. СПб: Типография Карла Крайя, 1831.

Тер-Степанов И. 3 Коммерческая арифметика. Ч. 1. Тифлис: Ти-
пография «Эсперанто», 1913.

Толвинский А. И. Капитализация доходов Бильна: Типогра-
фия М. Б. Жирмунского, 1890.

Усов С. Таблицы для вычисления процентов на денежные капита-
лы. СПб.: Типография Департамента Внешней Торговли, 1827.

Усов С. Таблицы для вычисления процентов как по займам по за-
логу имений, так и по внесенным капиталам, в Банках, в Сохранных
Казнах Опекунскою Совета, Комиссии Погашения Долгов, и по част-
ным расчетам. СПб: Издание книгопродавца Полякова, 1839.

Учебные руководства для военно-учебных заведений Руковод-
ство статистики европейских государств. Составлено ординарным
профессором С.-Петербургского университета и Александровского
лицея, наставником-наблюдателем в Пажеском корпусе и в школе
гвардейских подпрапорщиков и юнкеров, док юром прав Игнатием
Ивановским. СПб., 1856.

Филимонов Н. Г. Арифметика. (Введение в курс коммерческой ариф-
метики.) 3-е изд. М.: Типо-литография Центросоюза, 1929.

Филимонов Н. Г. Общее счетоводство и коммерческая арифметика.
М.-Л.: Государственное изд-во, 1929.

Филимонов Н. Г. Коммерческая арифметика для кооператоров. 4-е
изд. М.. Изд-е Центросоюза, 1930.

Филоян Т. М. Руководство коммерческих вычислений. Тифлис: Ти-
пография «Эпоха», 1911.

Филоян Т. М. Таблицы вычислений процентов на все капиталы по
всем таксам от 1—366 дней. Тифлис: Типография «Эсперанто», 1914.

Фон-дер-Зее А. Руководство к изучению двойной итальянской бух-
галтерии, коммерческих вычислений и учетов сокращенными спосо-
бами. 2-е изд., доп. и испр. М.: Типография В. Готье. 1872

Хазов П. Выкладчикбез пера и карандаша, или таблица, показыва-
ющая на всякую сумму следуемый перечень процентов, в двух отделе-
ниях Первое, Вексельным Указным и казенным процентам; второе,
по Государственному Вспомогательному Банку для Дворянства, со-
чиненная в пользу господ Дворян и Купечества. М.: Университетская
типография, 1802.

Хрущев И. Купеческая арифметика. Отдел первый. М_: Типогра-
фия А. И. Мамонтова и К°, 1871

Хрущев И. Купеческая арифметика. Отдел второй. М.: Типогра-
фия А. И. Мамонтова и К°, 1874

Цветков М. Руководство к коммерческой арифметике. 2-е изд. М.:
Типография Грачёва И. К., 1872.

Циммерман В. А. Десятичные приближения чисел и способы при-
ближенного вычисления суммы, разности, произведения и частно-
го. Одесса: Типография Г. М. Левинсона, 1901.

Цытович А. Л. К учению о постоянных множителях. Киев: Типо-
графия И. И. Горбунова, 1898.

Чахмахсазянц А. П. Коммерческая арифметика. Курс элементар-
ный. Тифлис: Типография Е. А. Либермана, 1908.

Чекалов Н. Таблицы для вычисления процентов на капиталы от
1 дня до 25 лет и от 1 рубля до 10000000 рублей посредством простого
сложения на счетах по 4, 5, и 6 процентов. СПб.: Типография Опекун-
скою Сове 1 а, 1853.

Чекалов Н. Расчетная таблица капиталов с процентами на 25 лет.
2-е изд. СПб.: Типография Опекунского Совета, 1853.

Чулков Ц. Я. Общедоступный курс коммерческой арифметики в
связи с объяснением простых и десятичных дробей. М.: Т-во Скоро-
печ. А. А. Левенсон, 1902.

Шапошников Д. В Коммерческая арифметика. М.: Типография
А. А. Шовского, 1910.

Шелков П. И. Учебник по коммерческой арифметике для коммер-
ческих учебных заведений. 2-е изд., испр. и доп. М_: Типография Рус-
ского т-ва, 1913.

Штейнгауз А. Купеческая арифметика. Руководство для купцов и
учебная книга для коммерческих и реальных училищ. М_: Универси-
тетская типография, 1850.

Щуров И. Таблицы для вычисления четырех-процентного прира-
щения капиталов, от одной копейки до девяти биллионов рублей, на
100 лет. М.: Типография В. Готье, 1850.
Янжул И. Н. Техника и организация машинизированного учета.
М.-Л.: Госпланиздат, 1939.

Яцевич М. Таблицы процентов и правила исчисления оных. СПб.:
Типография Я. Ионсона, 1858.

FelterF.E., Odennann. С. G.DasGanzederkaufmtinniscbenArithmetik, 1842.

Neumann I. Durchfuhrung von Zinseszinsen-. Renten- und Amorti —
sations-Rechungen auf gewohnlichem Rechungswege durch ganz nene
Anwerdung der Zahlen aus den Zinseszinsen-Tabellen. - Wien: Druck und
Verlag von Carl Gerold’s Sohn, 1895.

II. Литература послевоенных лет

Андреев П. П. Хозяйственные вычисления. М.: Государственное
статистическое изд-во. 1954.

Андреев П П. Беленький Н. С. Курс хозяйственных вычислений.
М.: Госторгиздат, 1948.

Андреев П. П., Беленький Н. С Торгово-финансовые вычисления.
М.: Госторгиздат, 1950.

Андреев П. П., Беленький Н. С. Техника вычислений в сельском
хозяйстве. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Государственное статистическое
изд-во, 1954.

Башарин Г. П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М,
1997.

Беленький Н. С. Техника вычислений и механизация учета. Изд.
4-е, перераб. идол. М.: Изд-во «Недра», 1973.

Бочаров П. П., Касимов Ю. Ф. Финансовая математика: Учебник.
М.: Гардарики, 2002.

Брейли Р., Майерс С. Принципы корпорашвных финансов / пер. с
англ. М.: ЗАО «Олимп — Бизнес», 1997.

Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: в
2 т./ пер. с англ.; под. ред. В. В. Ковалева. СПб.: Экономическая школа,
1997.

Вебер М. Коммерческие расчеты от А до Я. Формулы, примеры
расчетов и практические советы / пер. с нем. М.: Дело и Сервис,
1999.
Воронцовский А. В Инвестирование и финансирование: Методы
оценки и обоснования. СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2003.

Гурвиц Л. Е. Хозяйственные вычисления. М.: Госстатиздат, 1960.

Исаков В. И., Лившиц Ф.Д.. Рожнов В. С. Финансовые вычисления.
3-е изд., перераб. М.: Финансы, 1964.

Ковалев В. В. Финансовый менеджмент: теория и практика. 2-е
изд., перераб. и доп. М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2009.

Ковалев В. В. Финансовый анализ, меюды и процедуры. М..
Финансы и статистика, 2001.

Ковалев В. В., Ковалев Вит. В. Корпоративные финансы и учет:
понятия, алгоритмы, показатели: учеб, пособие. 2-е изд., переработ. и
доп. М.: Проспект, КНОРУС, 2011.

Конович Е. Финансовая математика: с задачами и решениями:
Учеб.-метод. пособие. 2-е изд., доп. и перераб. М_: Финансы и
статистика, 2004.

Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. Неоклассические
основы теории финансов / пер. с нем. под обшей ред. В. В. Ковалева и
3. А. Сабова. СПб.: Изд-во «Питер», 2000

Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты / пер. с нем. под обшей ред
В. В. Ковалева и 3. А. Сабова. СПб.: Изд-во «Питер», 2001

Кучма Д. П. Торговые вычисления. М.: Изд-во Центросоюза. 1951.

Мур Дж., Уздерфорд Л., и др. Экономическое моделирование в Mi-
crosoft Excel, 6-е изд. Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильямс»,
2004.

Пикуза В., Гаращенко А Экономические и финансовые расчеты в
Excel. Самоучитель. СПб.: Питер; К., Издательская группа BHV, 2002.

Уланов В. А. Сборн ик задач по курсу финансовых вычислений / под
ред. проф. В. В. Ковалева. М.: Финансы и статистика, 2003.

Чевелев И. И. Финансовые вычисления. М.: Госфиниздат, 1949

Цымбаленко С. В., Цымбаленко Т Т Финансовые вычисления: Учеб,
пособие. М.: Финансы и статистика, 2004.

Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник. 5-е изд., испр.
М.: Дело, 2005.

Шарп У, Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: пер. с англ. М.:
ИНФРА-М, 1997.
Boissonnade М., Fredon D. Mathematiques financidres. 3-e edition. DU-
NOD, Paris, 2007

Brigham E. Fundamentals of financial managment. 3-rd ed. Dryden
Press, 1983.

Drury C. Management and Cost Accounting, 3-rd ed. Chapman & Hal],
1992.

Johnson T., Kaplan R. Relevance Lost: The Rise and Fall of Management
Accounting. Harvard Business Schoo] Press, 1991.

Jones H. The mathematics of money. London, 1965.

Khoury Sarkis J, Parsons Torrence D. Mathematical methods in finance
and economics. North-Holland, 1981.

Me Cutheon J. J., Scott W. F. An introduction to the mathematics of fi-
nance. Oxford: Heineman, 1986.

Pollard A H An introduction to the mathematics of finance. Pergamon
Press, 1977.

Stately R. The Economist guide to business numeracy. New York, John
Willey & Sons, Inc., 1993.

Van Horn J. C. Fundamentals of financial managment. 7-th ed. Study
Guide, New Jersey, 1989-

Stately R The Economist guide to business numeracy. New York, John
Willey & Sons, Inc., 1993.

Van Horn J C. Fundamentals of financial managment. 7-th ed. — Study
Guide, New Jersey, 1989.
Оглавление

Введение ..3

Глава 1. Логика финансовых операций
в РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКЕ

1.1. Временная ценность денег...... .. 14

1.2. Операции наращения и дисконтирования ... .. 16

1.3. Проценты «со 100», «на 100», «во 100*. . .24

1.4. Арифметическая и геометрическая прогрессии .. . .28

Глава 2. Простые проценты

2.1. Нарашение простыми процентами... . .32

2.2. Переменные ставки и реинвестирование... . .43

2.3. Потребительский кредит__ . .47

2.4. Ломбардный кредит... . .56

2.5. Дисконтирование по простым процентам ... . .59

2.6. Наращение по учетной ставке .... . .67

2.7. Факторный анализ учета векселя .... . .76

2.8. Определение срока ссуды и величины ставки .. . .80

2.9. Вычисление средних значений ... . .83

2.10. Операции с девизами. . .93

2.11. Налоги и инфляция ........ .. .100

2.12. Замена платежей и их консолидация ... .... 113

Глава 3. Сложные проценты

3.1. Нарашение сложными процентами .. .... 131

3.2. Внутригодовые процентные начисления........141
3.3. Эффективная годовая процентная ставка... . 149

3.4. Дисконтирование по сложной процентной ставке.154

3.5. Сложная учетная ставка . .................. 161

3.6. Непрерывное нарашение и дисконтирование .. ... 178

3.7. Конвертация валюты и нарашение сложными
или непрерывными процентами ...... . 188

3.8. Налоги, инфляция и нарашение
сложными процентами........................ .... 194

3.9. Эквивалентность ставок .... .... .204

3.10. Замена платежей и сроков их выплат ... .... 214

Глава 4. Денежные потоки

4.1. Виды денежных потоков.. ... .225

4.2. Оценка аннуитета. ...................... ... .227

4.3. Оценка постоянного аннуитета постнумерандо.. ... .235

4.4. Оценка постоянного аннуитета пренумерандо...267

4.5. Метод депозитной книжки..... .. ... .274

4.6. Бессрочный аннуитет..................... ... .279

4.7. Постоянный непрерывный аннуитет... ... .285

4.8. Оценка аннуитета с изменяющейся величиной платежа . .292

4.9. Аннуитеты с периодом больш им, чем базовы и . 300

4.10. Конверсия аннуитетов... ... .305

4.11. Непрерывный денежный поток.. ..... 313

Глава 5. Некоторые приложения

ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

5.1. Погашение долгосрочной задолженности. ..... 319

5.2. Амортизационные отчисления ... ... .329

5.3. Анализ доступности ресурсов
к потреблению в условиях рынка... .... .340

5.4. Принятие решений по инвестиционным проектам..344
5.5. Базовая модель оценки финансовых активов. . 363

5.6. Оценка облигации ... ... .366

5.7. Оценка акции.. ... .379

5.8. Введение в страховые расчеты .... ... 388

5.9. О необходимом минимуме формул... .... 414

Глава 6. Финансовые и коммерческие
ВЫЧИСЛЕНИЯ В ИСТОРИЧЕСКОЙ РЕТРОСПЕКТИВЕ......421

Глоссарий................................ ...481

Контрольные (тестовые) вопросы. . ... 490

Приложение 1 ... 500

Приложение 2 .... 527

Приложение 3 .. .... 529

Приложение 4 535

Библиография.................................538