^
Α. Η. ХОВАНСКИЙ
ПРИЛОЖЕНИЕ
_
ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
И ИХ ОБОБЩЕНИЙ
К, ВОПРОСАМ
ПРИБЛИЖЕННОГО
АНАЛИЗА

БИБЛИОТЕКА ПРИКЛАДНОГО АНАЛИЗА
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
А. Н. ХОВАНСКИЙ
ПРИЛОЖЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
И ИХ ОБОБЩЕНИЙ К ВОПРОСАМ
ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИЗА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956

11-5-4
Библиотека выпускается под общим
руководством кафедры вычислительной
математики Московского государственного
университета.
Ховаяашй Алексей Николаевич.
Приложение цепных дробей и их обобщений
к вопросам приближенного анализа.
Режатстор А. Ф. Лапко.
Техн. редактор Н. А. Тумаркина. Корректор 3. В. Моисеева.
Сдавав набор 5/Х 1956 г. Подписано к печати 20/ХП 1956 г. Бумага 84хЮ8/з,.
Физ. печ. л. 6,38. Условн. печ. л. 10,45. Уч.-изд. л. 10,52. Тираж 8 000 экз.
Τ 12202. Цена книги 5 р. 25 к. Заказ № 1617.
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва, В-71, Б. Калужская, 15
Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической
промышленности. 4-я тип. им. Евг. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Некоторые вопросы из теории цепных дробей ... 7
§ 1. Подходящие дроби 7
§ 2. Преобразование цепных дробей 14
§ 3. Преобразование рядов в цепные дроби 27
§ 4. Общее понятие о сходимости цепных дробей .... 34
§ 5. Признаки сходимости цепных дробей с
положительными членами звеньев 46
§ 6. Признаки сходимости цепных дробей с любыми
членами звеньев 49
§ 7. Признаки сходимости предельно-периодических
цепных дробей 61
Глава II. Разложение в цепные дроби некоторых функций . 79
§ 1. Решение одного уравнения Риккати с помощью
цепных дробей 79
§ 2. Разложение степенной функции в цепную дробь . . 101
хг—
§ 3. Разложение"}/ж в цепную дробь 108
§ 4. Разложение натурального логарифма в цепную дробь 109
§ 5. Разложение ех в цепную дробь 111
§ 6. Разложение обратных тригонометрических и
обратных гиперболических функций в цепные дроби ... 113
§ 7. Разложение tg χ и th χ в цепную дробь 120
χ
Jdx
£- в цепную дробь . 122
о
§ 9. Решение уравнений Буля и Риккати с помощью
цепных дробей 127
§ 10. Цепные дроби и гипергеометрический ряд 130
§ 11. Разложение функции Прима в цепную дробь .... 138
§ 12. Разложение неполной гамма-функции в цепную дробь 144
Глава III. Другие способы получения дробно-рациональных
приближений функций 147
§ 1. Формула Обрешкова 147
§ 2. Получение дробно-рациональных приближений
некоторых функций с помощью формулы Обрешкова . . 151
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Решение некоторых разностных уравнений с помощью
цепных дробей 155
- § 4. Получение дробно-рациональных приближений с
помощью итерации 158
§ 5. Таблица приближенных значений ех 160
§ 6. Таблица приближенных значений 1η χ 161
§ 7. Таблица приближенных значений \g χ и th χ . . . . 162
§ 8. Дробно-рациональные приближения для sh χ и sin x 162
§ 9. Дробно-рациональные приближения для ch χ и cos x 166
§ 10. Дробно-рациональные приближения для интеграла
вероятностей 168
§ 11. Обращение ряда Стирлинга в цепную дробь .... 170
§ 12. Дробно-рациональные приближения для Г (1 -|- х) . . 171
Глава IV. Обобщения цепных дробей 176
§ 1. Извлечение квадратного корня с помощью матриц
второго порядка 176
§ 2. Решение квадратных уравнений с помощью матриц
второго порядка 182
§ 3. Извлечение корня третьей степени с помощью
матриц 188
§ 4. Извлечение корня четвертой степени с помощью
матриц 190
§ 5. Извлечение корня любой рациональной степени с
помощью матриц 192
§ 6. Решение уравнений третьей степени с помощью
матриц 194
§ 7. Решение уравнений высших степеней с помощью
матриц 195
Литература по общей теории цепных дробей
на русском языке 197
Цитированная литература 198

ПРЕДИСЛОВИЕ
В современной математике приближенное представление
функций обычно разыскивается в виде многочленов от
независимых переменных. В тех же случаях, когда нахождение
таких многочленов затруднительно, применяются различные
численные методы.
При этом сравнительно редко пользуются приближениями,
являющимися дробно-рациональными функциями от
независимых переменных.
Между тем дробно-рациональные приближения иногда
могут успешно заменять данную функцию в тех областях
изменения аргумента, где разложение этой функции в
степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения
в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы.
Кроме того, при помощи дробно-рациональных
приближений удобно находить нули и полюсы данной функции,
так как при этом приходится решать алгебраические
уравнения более низкой степени, чем при пользовании
приближениями в виде многочленов.
Наконец, при пользовании дробно-рациональными
приближениями отпадает необходимость вычислять высокие
степени аргумента.
Таким образом, применение дробно-рациональных
приближений позволяет сильно упростить многие расчетные
формулы.
Небольшое распространение дробно-рациональных
приближений объясняется тем, что непосредственное
получение их связано с длинными вычислениями. Кроме того,
переход от одного дробно-рационального приближения к другому
связан с пересчетом всех коэффициентов, входящих в
числитель и знаменатель этого приближения.
Но существуют методы, позволяющие получать сколь
угодно много дробно-рациональных приближений данной функ-

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
ции и не требующие сложных выкладок. Наиболее
распространенным из таких методов является метод цепных дробей.
В первой главе настоящей работы дается краткое
изложение аналитической теории цепных дробей. Вопросы
арифметической теории цепных дробей в этой книге не
рассматриваются.
Вторая глава посвящена разложению различных функций
в цепные дроби по методу Лагранжа. Все разложения,
имеющиеся в этой главе, являются частными случаями некоторых
общих разложений, полученных в начале этой главы.
В третьей главе кратко рассмотрены другие способы
получения дробно-рациональных приближений функций и
приведен ряд приближенных формул для вычисления
некоторых распространенных функций.
В четвертой главе рассмотрено обобщение цепных
дробей, предложенное Эйлером. Приведены примеры,
указывающие на возможность дальнейшего обобщения цепных
дробей, позволяющего приближенно решать алгебраические
уравнения любой степени.
Автор выражает глубокую благодарность
члену-корреспонденту Академии наук СССР Л. А. Люстернику.
Автор крайне признателен редактору Государственного
издательства технико-теоретической литературы А. Ф. Лапко,
который очень внимательно прочел рукопись книги и внес
в нее ряд существенных исправлений.
Йошкар-Ола
Сентябрь 1956 г.

ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
§ 1. Подходящие дроби
1. Бесконечной цепной, или непрерывной, дробью
называют разложение
V
ч
Ъу
а2
Ь2 +
Ьп +
Вследствие громоздкости такого рода записи различные
авторы предлагали другие виды записи цепной дроби,
например:
и ι gi I. ι ай 1 \
Jl 1 "2
1 аП\ _|_
4? 4-··
+ ьп + ..
. (Прингсгейм [76] О);
. (Мюллер [56]);
(Роджерс [81]).
(1
1
1
•1)
"0+^ +62 + ·
Мы будем пользоваться последним обозначением. Иногда
для краткости будем также пользоваться следующим
οδοί) Цифры в квадратных скобках указывают на номер, под
которым данная работа помещена в списке «Цитированная литература»
В конце книги,

8 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. Г
значением, предложенным Прингсгеймом [76]: \b0; ~ -Это
обозначение относится к записи (1.1) приблизительно так же,
оо
как обозначение 2 ап относится к а1-\-а2-\- . . . ~{-ап-\- - · .
Часто бывает, что в цепной дроби (1Л)а1 и Ьг следуют
иному закону, чем остальные ап и Ьп. В этом случае Прингс-
гейм [76] пользовался обозначением \bQ; ίγ,ίγΙ ·
L "1 ^vJ2
Дробь j~ называют п-м звеном цепной дроби (1.1); ап
и Ьп — членами п-го звена цепной дроби; ait а2, #3, . . .
называют частными числителями ее; Ьх, Ь2, Ь0, . . .—ее
частными знаменателями.
Мы будем считать все члены звеньев цепной дроби
конечными. Все частные знаменатели цепной дроби мы будем
считать не равными нулю.
Конечную цепную дробь
и | #1 £2 аП ^^ ΡП
0_1" b2 +b2 + ...+bn~~Qn
называют п-й подходящей дробью (reduite) цепной дроби (1.1).
2. Выведем соотношения, связывающие числители и
знаменатели трех соседних подходящих дробей. Из
определения цепной дроби имеем:
02
Р0.
Qo
= *оЧ
ЬФА
Ь0 Pi
~ 1 ' Οι ~
^- ==*о
°2
\ + Мг + ахЬ2 _
b±b2 -f- #2
Ml + «1
61 '
"" Ьф2-\-а2~
b2Pt + «2^0 .
b2Qi + a2Q0'
Предположим, что
Тогда
^n ' bnPn-X-\- anPn-2
§ц bnQn-l~{- anQn-2
nPV>-\^anPn-^ 1 ,< o\
nQn^l + ^nQn-2- J

§ i]
ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ
* 9
Докажем, что соотношения (1.2) имеют место при замене η
ρ
на я-f-l. Для этого заметим, что для перехода от тг
к -~^ надо заменить Ьп через £„+-^r1±i· Тогда
ρ bnPn-t~\--Z Pn-l + апРп-Ъ и ρ ι η , D
Qn+1 h Π ι an-rl г\ ι η η bn + lQn-l· an+lQn~l'
°nWn-l -Γ ~Τ Vn-1 "Τ" anWn-2
°η+1
Следовательно, равенства (1.2) справедливы для всех целых
л>2.
Соотношения (1.2) были впервые установлены Валли-
сом [104] и подробнее были рассмотрены Эйлером [14].
В этой работе Эйлер впервые ввел термин «непрерывная
дробь» (fractio continua).
Чтобы соотношения (1.2) имели место и для л=1,
положим, следуя Эйлеру, P_1=l, Q_1=0.
3. Для последовательного вычисления подходящих
дробей мы будем пользоваться следующей схемой:
0_+~ ьх + ь2 + ...+ ьп + ...'
Ih. Ει Ει Etl
οι Qt Q2 ■" Qn '"
Например, для γ2 имеем следующее разложение и
подходящие дроби:
У"2= 1 -Ь(1^2—1) = 1 +
1
1 + У2
— ι -4-1 1 JL _L J_ _L
"+"2+2 + 2+ 2 + 2 + 2 -f ...
_1_ _3 7 J7 £ _99_ 239_
1 2 5 12 29 70 169
1 1,5 1,4 1,417 1,4138 1,41429 1,41420...
4. Для изучения характера изменения подходящей дроби
рассмотрим разность между двумя соседними подходящими
Ρ Ρ
дробями —— и -—^^ Имеем;
°и ' Ρ η—Л. PnQn-1 — QnPn — \
Qn Qn-ι Яц-хЯц

10 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Заменяя Рп и Qn с помощью равенств (1.2), получим:
*П *П —1
Qn Qn—i
1
KWi + *tJPn-2)Qn-i·
Qn-iQn
iPnQn-l~\~anQn- 2)^η-ΐ] — an η Π ·
Vn—lvn
Применяя то же преобразование к Pn_xQn_2 — Qn-i^V-2»
получим:
Ρ Π Ρη-1 / 1 \2 r, r, "n-2Vn-3 — Qn-2^n-3
V—L) anan-X'
On Qn-i Qn-iQn
Повторяя подобные преобразования, имеем:
Рп Pfl-l / 1 \3 л л η п~ ВУП-4 VW-b"w-4
... = (- 1УЧА.-1.. .β^οΡ-Ι^ΟοΛ-ι _
= (—l)nanan_l...a1
Qn-iQn
— 1
Qn-iQn
Итак, для любого натурального η имеет место
равенство 1)
Рп Рп-1 __/ l)n+1 а^ ' ' ' ап л о\
On On-i Qn-iQn
т. е.
PnQn-x — QnPn-i =(— 1)"+1 βι«2 ■■■an- (1.4)
В частности, из (1.3) имеем:
Οι Οο ΟοΟι '
j^ Pi ata2
02 Οι 0ι02 '
Рп Рп-1 _ / ι \W+1 #1#2 " - αη
On On-i Qn-iQn
l) Строгое доказательство формулы (1.3) читатель легко
получит, применив метод математической индукции,

§ 1] ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ 11
ρ
Сложив эти равенства и помня, что -тг-=^о» получим:
V0
Рп и 1 а\ #1#2 I [ / 1\η+1 αία2- · -аП /ι с\
Qn ~ °~^ QoQi Q1Q2 "*" ''' -1" ^ ' Οη-ι<?η ' к }
5. Изучим глубже характер изменения подходящей дроби.
С этой целью рассмотрим разность между двумя
подходящими дробями, разность индексов которых равна двум.
Заменив в (1.3) η на я+1, получим:
Pn+t _ Рп ___ / ι \п а1аъ - · · αηαη+ι (16)
Qn+ι Qn QnQn+i
так как (— If +2 = (— If.
Сложив (1.3) и (1.6), имеем:
Рп+1 Рп-1 / 1 чп fli#2 · » · ап ( ап + \ 1
t_ __./ ι \п а>\а2 ·»· ап I ап+\
1 On \0п-Ы
Qn+ι Qn-i Qn VOn-ы Qn-i
(η П
Qn-lQnQn + l
— ( Ч "л .η η ~~\an+iQn-i Qn+ι)·
Заменив Qn+i в числителе правой части этого
соотношения с помощью равенства (1.2), получим:
Рп + 1 Рп-1 / \\η+1 αχα>2 ' ' ' αη^η + Χ /ι γ\
QnA-ι Qn-i Qn-iQn+ι
6. В этом пункте мы сравним между собой подходящие
дроби нечетного порядка. Заменив в (1.7) й на 2k, имеем:
Р2к + \ Рък-1 ага2 · . . ^2khk + l
Qik + l
В частности,
Л,
Qs
^5
Qt
^afc+i
Qzk+i
Qik-ι
Pi
Ol
Ps
Q9 ~
Pik-l _
Qw-t
Q^k-lQzk + l
а^афъ
QiOs '
а\а2аЪаФъ
Оз05 '
axa2 ... a2kb2k+t
Qzk-iQ2h+t

12 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Сложив эти равенства и помня, что -—- = Ь0-\- -А-, по-
лучим:
^2fc+t и \_Jh_ аха2^н а\а2а?>аФъ ata2' - «^fc^fc+t
Q2k+t ~ 0_t~ bt QtQ3 QzQs ' ' ' Q2k-iQ2k+i '
(1.8)
7. Произведем аналогичные выкладки для подходящих
дробей четного порядка. Для этого заменим в (1.7) η на
2k— 1. Имеем:
P2fc
Qilc
В частности,
С>2
Pi
Qi
Pzk
Qm
P2JC-2
Q2S-2
Po
ρ*
Q2
Ρ2k-2
Q2/C-2
^1^2 · · · а2к-\Ь2к
O2/C-2Q2C
at62
Q0Q2 '
αχα2αφ±
Q2Q± '
#1#2 · · · #2fc- A/C
Q2/C-2Q2/C
Сложив эти равенства и помня, что тг"— ^о» получим:
vo
Р2к l ι #1^2 { а\а2аФ± ι . fl^ · · · ^2к-\Ь2к /ι Q4
Оал — 0_t" Q0Q2 ~Г Q2Q4 ^"•••"t~ Qa^-sQsfe * U '
8. Пусть все члены звеньев цепной дроби положительны.
В таком случае и знаменатели всех ее подхрдящих дробей
положительны. Тогда из (1.9) вытекает, что подходящие
дроби четного порядка образуют монотонно возрастающую
последовательность. При этом из вида цепной дроби (1.1)
ясно, что все ее подходящие дроби четного порядка меньше
Ь0-\-~-. Следовательно, подходящие дроби четного порядка
образуют при положительных членах звеньев монотонно
возрастающую, ограниченную сверху числом Ь0-\--~-
последовательность. Такая последовательность имеет предел. Сле-
1- Р2к
довательно, lim -~- существует.
~ fc-»oo V2/C , - — .

§ И
ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ
13
Далее, из (1.8) вытекает, что при положительных
членах звеньев подходящие дроби нечетного порядка образуют
монотонно убывающую последовательность. При этом из
вида цепной дроби (1.1) ясно, что все ее подходящие дроби
нечетного порядка больше Ь0. Следовательно, подходящие
дроби нечетного порядка образуют при положительных
членах звеньев монотонно убывающую, ограниченную снизу
числом Ь0 последовательность. Такая последовательность
имеет предел. Следовательно, lim J^"1 существует.
&-»оо V2&-1
При этом для любого натурального k выполняются
неравенства 1)
-g* < lim £*-< lim g^i.<g^L. (1.10)
ρ ,
Отсюда еще не следует, что lim -—- = lim
Р*к-
1
Q%k &-»оо Qtik-l
Б общем случае имеет место следующее расположение:
.£ А ^Um^ Um5-_ ^ А А .
Применяя ' эти замечания к разложению \1 в цепную
дробь, видим, например, что
\<У*<\. £</ϊ<». .,.,.
• Тем самым цепные дроби оказываются средством для
приближения иррациональных чисел обыкновенными дробями.
9. Если
lim .£i* = lim ^zi^oo,
т. е. если
к -> оо ζ?2& &-»οοζ?2&-
lim %-
П-»оо Vn
Р<Ж Ρ 2k-ι
i) В силу (1.6) для любого k имеем -^ „ <0 (если
У Qik Qzk-t
все члены звеньев цепной дроби положительны), а тогда
lim (—2fe. sfc^M^o. Отсюда и следует средняя часть нера-
-»ooW2fc Qzk-ll
венства (1.10).

14 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ.
существует и конечен, то цепная дробь называется
сходящейся. В этом случае при положительных членах звеньев ее
ρ
значение К= lim -^- больше любой ее подходящей дроби
четного ^порядка и меньше любой ее подходящей дроби
нечетного порядка. Из (1.3) вытекает при этом, что
К-
<а^'"ап ^ (1Л1)
Qn
причем в этом случае справедливо тождество (см. (1.5))
°°~τ~ bt +b2 +...+ ьп+..-
Ряд и цепную дробь, удовлетворяющие равенству (1.12),
Зейдель [88] назвал равноценными.
§ 2. Преобразование цепных дробей
1. Умножим ат, Ьш и аш+1 на любое конечное число
рш(т= 1, 2, . . ., п, . ..), отличное от нуля. Ясно, что при
этом значение цепной дроби не изменится.. Поэтому
справедливо следующее тождество:
°°~i~b1+b2 + ...+bn+...~
и ι Plal ΡίΡ2α2 Ρη-\Ρηαη /9 ι\
При этом Pj и Ql заменяются соответственно на р1Р1 и
PiQv Р2 и <?2 — на AP2P2 и p1p2Q2 Рп и Q„—на
Priori
Этим преобразованием всегда можно добиться того, чтобы
все частные знаменатели bl9 b2i... дроби (1.1) были
положительны.
2. Приведем с помощью преобразования (2.1) цепную
дробь (1.1) к такой, у которой все частные числители
равны 1. Для этого выберем р1, /?2,... так, чтобы имели

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 15
место равенства Ρη-ιΡ^η— 1 (л = 2, 3,...). Тогда
ΑΒί'
А =
а2 '
Ζ7 = -&-
Afc-l —
ахаг
У2к—
-^2fc-i.
α2#4·. .а$к
следовательно,
(AA)(ftPj---(A*-iA*)s
А(АА)(АА>)· · -(P2kP2k+i)-·
Дробь (1.1) примет вид
К = ос0 -| . — ,
1
#1#3· · *a2k + l
1
1
+ a2fc-l+ a2k +
(2.2)
где
a2fe-l
a0 = b0,
.a2fc-2^2fc-t
Л2&"
0!%. ..flfcfc-l
a2a4.. .a2fe
(Λ=1, 2,...)· (2.3)
При
P2fc
a2a4..
и
.^2&
Q2fc+1
ЭТОМ
и
2ft
02fe
И Q.
2ft
a2a4.. .a2fc
заменяются соответственно на
P2k+1
2ft+l
и Q.
2k+l
на
«Л· ..Д2Л+1
Дроби вида (2.2) называют обыкновенными цепными
дробями. В большинстве курсов рассматриваются только обык~
новенные цепные дроби. Лагранж [42] даже утверждал, что
все остальные цепные дроби являются почти что чистым
курьезом, так как их легко привести к обыкновенным
цепным дробям. Но такое приведение во многих случаях сильно
усложняет дробь, и поэтому высказывание Лагранжа нельзя
считать правильным.
Числа αί9 α2,... называют неполными частными
обыкновенной цепной дроби.
Обыкновенную цепную дробь с положительными целыми
неполными частными называют' правильной (regelma(3ig)
(Перрон [73]).

Го некоторые вопросы из теории цепных дробей [гл. ι
Для обыкновенной цепной дроби разложение (1.8) при
мет вид
χ = а _i_J ^з Ч__ g2fr4-i
. 0_1"0ι QiQs О3О5 '" Ο2Λ-1Ο2Λ+1 ""
а разложение (1.9) примет вид
A -α0^ Q^t- Q2Q4-t- · · · "J" 0л_а0ал-^ · ' ·
3. Приведем с помощью преобразования (2.1) цепную
дробь (1.1) к такой, у которой все частные знаменатели
равны 1. Для этого положим рп = — (я=1, 2,...).
Дробь (1.1) примет вид при bQ = 0
СЛ. СЛ cJk
1 + 1 +...+ 1 + ...'
где
(2.4)
Сх^а-ё> сп-Т^Г (л=2,3,..-.). (2.5)
°Х °П-1°п
ρ
При этом Рп и Qn заменяются соответственно на , , п
и и и и' (см· п· 1 настоящего параграфа). Из строения
дроби (2.4) вытекает (см. (2.3)), что
. *ι = 7· С* = 1Г^Г ("=2,3,...)· (2.6)
а1 ап-1ап
4. Даниил Бернулли [10] поставил и разрешил следую*
щую задачу: найти цепную дробь, подходящие дроби
которой имеют наперед заданные значения /С0> Klt K2>- ·.» причем
любые три соседние подходящие дроби не равны между
собой. Можно считать, что Кп—числитель η-Ρι подходящей
дроби, так что знаменатель последней равен единице. Этим
члены звеньев искомой цепной дроби определяются
однозначно.
Пусть искомая цепная дробь имеет вид (1.1). Тогда
равенства (1.2) запишутся следующим образом:
^о = ^о>
b0bl-±-a1 = K1, bt=l,
ЬпКп-1 + апКп-2 = Кп> bn+an=\ {η = 2, 3,...).

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 17
Отсюда
п is is n Кп-\ % h Кп Кп-2
а1 — л1 л0» ап — Ί? ΖΖΊ? » °п— Ί? J? ·
An-1 An-2 l\n-l~-i\n-2
Поэтому искомая дробь запишется следующим образом:
К\ — К% К% — К% Кп-\ — Кп
К\ — /Со К\ — Ко К% — К± Кп-\ — Кп -2
Ко
^ _. а^2 — Кр . К% — К± , , Кп — Кп-2
+ Кх~Ко + К2-Кг +и~ + Кп-1-Кп-2'
= (я=аО, 1,...)· Имеем:
т. е.
К \ ^* — ^° ^1 — %2 (^t — ^о) (^2 ~" ^з)
Л°~^ 1 +Κ*-Κο+ Кг-Кх +...
(Кп-2 — Кп-г) (Κη-ι — Кп) ,су 7ч
Построим, например, цепную дробь, у которой Кп =
_1_
1_! ±_± (1 Л(1.__1\
„ , , 2 _ 2 3_ V2 УУЗ 4J
f_l L_V1 l_\
\n—\ я — 2 Д я n + l)
, _i L_ +
■••^ n + l n—1 ^
1 1 1
—.i_A 1>2>3 1-2-3-4
~~1 1 2 2_ _
+ ЬЗ 2-4
1 1
(η — 2) (η — 1) η (n+l) (η —Ι) η (n+l) (n+ 2)
~~2 ' "" " —2
η (η+ 2)
(Л-1)(Л + 1)
ι_1 1 1
1 2 — 2 — 2 —..
1111
12 3 4
/
1 1
.— 2 — 2 —
Полученная дробь удфвлетворяет уравнению К = 1 — ТлГТ? >
2 Зак. 1617. А. Н. Хованский

18 Некоторые вопрооы из теории Цепные Дробей [гл. ι
т. е. /С= л , „ » откуда /( = ()♦ С другой стороны, и
1 "Г А
Нт ^ = 0.
б. Если за К0, Kv /С2,... взять некоторую
подпоследовательность подходящих дробей дроби (1.1), то говорят,
что дробь (2.7) получилась путем сжатия (Kontraktion)
дроби (1.1).
Если же за К0, Kv /С2,... взять последовательность,
включающую в себя, в частности, все подходящие дроби
разложения (1.1), то говорят, что дробь (2.7) получилась
путем растяжения (Extension) дроби (1.1).
Операции сжатия и растяжения были введены Зейде-
лем [88], хотя частные случаи их встречаются уже у Ла-
гранжа [42], [43].
6. Положим, в частности,
is Ρ 2 η
На основании (1.2) имеем:
^2п== Ь2пР2п_1 \ а2п^2п-2*
Рт-1 === ^2п-1^2п-2 ~Т" a2n-V2n-3>
r*2n-2 ==s ^2W-2°2W-3"T a2w-2^2w-4·
Умножив эти равенства соответственно на b2n_2i b2nb2n_2,
— α2η-ι&2η и сложив полученные произведения, имеем:
ϊ>2η-ϊΡ2η === \а2гр2п-2 "Τ~ Ь2пЬ2п_1Ь2п_2 ~Γ а2п-1^2п) ^2п-2
а2п-1а2п-2^2пР2п-4: (n=z2, О,...)
Такие же соотношения связывают Q2n, Q2n_2> Q2W-4·
Полученные соотношения связывают числители и знаменатели трех
соседних подходящих дробей сжатой дроби. Поэтому
(см. (1.2)) коэффициент при Р2п-2> деленный на Ь2п_2, есть
частный знаменатель n-το звена сжатой дроби, а коэффициент
при P2w-4» Деленный на b2n_2i есть частный числитель п-то
звена сжатой дроби. Кроме того,
а±Ь,
2
Q2 — bo-T~ blb2 + a2'

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 19
Отсюда частные числители сжатой дроби имеют вид
п h #2%^4 а±аФъ а2п-2а2п-1^2п
&2 "4 "2w-2
а ее частные знаменатели имеют вид
(6а68 + Дз) *4 + Μ* (Мб + ль) Ьв + Мб
(^2η-2^2η-1 4~ α2η-ί) Ηη -\г &2η-2α2η
• · · » 7. » · · ·
^2тг-2
Применяя к сжатой дроби преобразование (2.1),
получим:
ах а2
h JL.-1 -2 —%■
°^rb1 + b2+...+bn +
t I αφ2 <32α3^4
— о -г Ьф2 + а2 — (Ь2Ьг + од) Ъ± + Ъ2а± —
α>*βΦΦ*
— (Ьфь + аь) Ь6 + Ъ&ъ — ...
а2п-2а2тг- 1^2тг-4"2п - /О Q\
• · · — (^2w-2^2w-l + #2w-l) ^2w + ^2w-2#2tt —
Пусть, в частности, bn== χ (η = 1, 2,...). Тогда
равенство (2.8) примет вид
α ι α2 #η а\Х а2аъх
~x-\- lc-\- ... + x + ·. · я2 + *2 — (я3 + α4 + λ:2) λ: —
а^х2 α2η-2α2η-ιχ2
— (% + аб + х2)х — · · · — («2я-ι + Лап + -*2)χ — · · · '
т. е.
#ι α2 αη а\Х й2й%
~χ + χ -}- ... +~ΐϊ + ... α2-\- χ2 — аг-\- 0,4 + χ* —
^Aab a2n-2a2n-l /<2 Q\
— аь + α6 + χ2 — ... — α2η-± + α2η + χ2 — ... *
На этом примере мы убеждаемся, что при сжатии не
всегда имеет место тождественное равенство. Действительно,
при х = 0 левая часть равенства (2.9) не имеет смысла,
а правая часть его равна нулю.
2*

20 некоторые вопросы из теории цепных Дробей [гл. ι
В частности, для У 2 равенство (2.9) примет вид
1/2—1-4-- -L -
-+4.
1 7
1 5
М ТРПРПЬ
1
— 6 -
41
29
К
1
- 6 —..
239
169
F-...' (2Л0)
П2Г*+1. На основании (1.2)
V2W+1
имеем:
"2w+l === ^2w+l"2w ~Т~ β2τι+ΐ"2№-1»
^2w == ^2гРгп-\ I а2п^2п-2>
Рш-1 ===: ^2п-1^2п-2 ~Ь a2w-1^2w-3*
Умножив эти равенства соответственно Ha£2w-i> ^2n+i^2w-i»
— a2np2n+i и сложив полученные произведения, имеем:
*2fl~l°2w+X === (a2rr^l^2w-l ~Ь ^2w-1^2w^2rH-l I a2n^2n+l) ^2п-1
а2п-\.а2гр2ГЬ-\-\^2П-Ъ (/1 = 2, О, . . .).
Такие же соотношения связывают Q2w+i, Q2W-1» Q2W-3· Кроме
того,
Pi _ Mi + gi
Οι _ *i e
Отсюда частные числители сжатой дроби имеют вид,
Согласно равенству (1.2),
#1#2^3 ага^Ъ α271-Ια2η&2η+1
'2П-1
*Ί "з 0!
а ее частные знаменатели имеют вид, согласно
равенству (1.2),
. (bib2 + a2)bs + bLaz (b3b4c+ a4)A + Ьъаъ
и ——— - - , - — ■ * , . . .
h h
(рЩ-ФъпЛ: ЯЪп) hn + l-l· &2η-1α2η + 1
• · · » -"""" ""■*"" й ■" » · · ·
°2п-1

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 21
Применяя к сжатой дроби преобразование (2.1), получим:
отГь± + ь2+... + ьп+...~- ь1 -
Αΐ#2^3 НаФФъ
~ (hh + *2> *S + Мз — (*В*4 + Л4) ^5 + НаЪ ~ · · ·
#2 W - 1а2п^2п-В^2тг+1
• (^2n-1^2w + а2п) hn + l~\- hn-la%n + l —
(2.11)
* л 1 Μι + #ι
причем ее подходящими дробями будут -^ , V—- и т. д.
На основании последнего замечания видим, что всякую
цепную дробь вида (1.1), -у которой £0=0, можно
рассматривать двояко: как имеющую подходящую дробь нулевого
порядка, равную -у- , или как имеющую подходящую дробь
1
нулевого порядка, равную -гг.
Пусть, в частности, Ьп = х (п_= О, 1, . . .). Тогда
равенство (2.11) примет вид
л~1г χ + χ + ...+ χ +...
at -f- χ2 аха^х аъа±х2
χ — (а2 + Ч + χ2>) х — (а* + аъ + х2) х — · · ·
а2п-1а2пХ
... — (а2п + аш+1 + х2) х —- · · ·
т. е.
ХЧг χ + χ +...+ χ +...*-
а± -\- х2 а^2 аФ±
χ — а2 + as + χ2 — α4 + α5 + χ2
а2гс-1#2?г
... — α2„ + Д2п+1 + -*2 ~ · · · "
В частности, для У2 равенство (2.12) примет вид
14-1^2=! ! J- J- 1
*^к 2 — б— б — б—...— 6—...
J_^ 29 169 985
0 2 12 70 408
(2.12)

22 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Если бы мы не знали, что правая часть этого равенства
получена путем сжатия левой, то получили бы подходящие
дроби:
Alii Ι Γ2 13Ϊ
2_б— б — б—...— б* Κ*·ι°)
_0_j5_ 30 175 1020
1 2 11 64 373
Найдем значение последней цепной дроби. Для этого
выразим дробь 2 — ~ά _~а _ _"r"_ разложения (2.10):
/2—1 1_ J_ _1_ ±
2 ~"3 + 2—6 — б—...— 6 —...,
° -3 = 2-1 I
У 2 — 1 б — б —
Тогда значение дроби (2.13) есть
5 5 5
-3
2(У2 + 1) — 3 2/2-1
Ϋ2— 1
= А(2 /2 4-l)«0J14286· 3,82843 «2,73459.
Подходящая дробь четвертого порядка дроби (2.13) есть
1020 07Q/I,Q
•373"^ 2,73458.
Назовем значение К цепной дроби -А ^ тг~ \ ι г1»
01 + ь2 + · · · -г ьп
которое получается при предположении γγ- = у ,
обыкновенным значением цепной дроби. Соответственно будем
говорить об обыкновенных подходящих дробях.
Назовем значение К той же цепной дроби, которое по-
Р 1
лучается- при предположении -^-==---, особым значением
νο о
цепной дроби. Соответственно будем говорить об особых
подходящих дробях.
Будем пользоваться записями
А~ h + b2 +...+ bn +...
и
Λ~~ h + ь2 + ...+ *, +...·

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 23
т(2^+0=4_£_£
Например,
б — ... '
'+V^-f_I_-|__I_ .
В соотношениях (2.11) и (2.12) знак равенства следует
теперь заменить знаком =.
8. Произведем сжатие дроби (2.2). Для нее
преобразования (2.8) и (2.11) соответственно примут вид
, _1_ J_ _1_ __
a°~t4 + «2 + ...+ *„+.·.-
*2<*6
° · «1^2 + 1— (a2a3+l)a4+a2— (a4a5+l)a6 + a4-
"2η~η2η , _ (2.14)
11 1
... — (α2η-2α2Π-1 + 1) a2W + a2W-2
И
al + a2 + · · · + an + · · ·
* aoai + ! аз αια5
— (аЛ + 1) a3 -f a± — (a3a4 + 1) a5 + a3 -
g2n-3g2n+t
• · — (а2п-1а2П + 1) a2tt + l + a2fl-l — · · ·
(2.15)
9. Произведем сжатие дроби (2.4), где £0 = 0. Для нее
преобразования (2.8) и (2.11) соответственно дадут
*1 С2
1 + 1 +..
и
сг с2
1 + 1 +.
сп _ сх с2<?8
,.+ 1 +··· 1+С2—1 + с3 + сА —
С4С5 с2п-2с2П-\
— 1 + Ч + сб — · · · — 1 + c2n-i + Чп
Сп * Сг С±С2
.. + 1 + ... 1 — 1 + с2 + сг —
С3С4 с2П-1с2п
(2.16)
111 II. * (2Л7)
— 1 + с4 + сь — ... — 1 + с2п -г с2п+± — ...
10. Рассмотрим теперь другое тождественное
преобразование цепной дроби (1.1). Напишем тождество
*=.&„ + ·£,£, =*?-,£ Л , (2.18)
Ьх + Ь% -\~.,, 1 + dy + d2 + ...

24 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
и выясним, какие соотношения существуют между членами
звеньев этих цепных дробей. Для этого обозначим К через
%г. Тогда
1+*ι
^—^o-l-1+/Ci —^o — ^o l+Kl-
и b0 __ и Vlrf2
Vc\ л ^0
Но согласно (2.8)
C±d2 ^2С3^4 с4с5*Мб
*1 =
^1^2 + с2 — (d2d3 + сз) rf4 + d2ci — (dAdb + cb) dQ + d4.c6 ~
c2n - 2c2n - td2ll - 4"2n
... — (d2n-2d2n-l + c2n-l) d2n + d2n-2c2n —
Следовательно,
Vlrf2
K=b0
(d1 + c1)d2 + c2 —
C2c3d4 c4?bd2dQ
— (d2d3 + сз) di + d2Ci — (d±db + cb) dQ + d±4
c2n - 2c2n - ld2n - 4^2тг
(2.19)
... — (d2n-2d2n-l + c2n-l) d2n + d2n-2c2fl —
Но, с другой стороны, К удовлетворяет равенству (2.8).
Отсюда, считая, что путем преобразования (2.1)
соответствующие члены звеньев дробей (2.8) и (2.19) сделаны
равными, имеем:
— b0cld2 = a1b2, |
c2cdd^ = a2adb4ii > (2.20)
С2п-2С2п-1С*2п-4:С*2п==* a2n-2a2n-lb2n-4:b2n (tl = 2, О, . . .) J
И
ctd2 -f- dtd2 -\-c2^= bxb2 -f- a2i I
\^2n-2^2n-l\ C2n-l)^2n~\(^2n-2C2n=:i | V^U
~(b2n_2b2n__i~\-a2n_l)b2n-{-b2n_2a2n (n = 2, 3, ...). J
Ясно, что в общем случае из равенств (2.20) и (2.21) нельзя
выразить сп и dn {η = 1, 2, . ..) через αί9 α2, .. ., bu b2, ...
или, обратно, ап> Ьп (я=1, 2, . ..) через cv cv . .♦

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 25
. . ., dv d2, . .. Но это можно сделать при помощи
дополнительных предположений.
11. Применим преобразование (2.18) к одному частному
случаю дроби (1.1). Пусть
£0=1, Cl== — al9 dn = bn,
C2n+l — a2n> C2n — a2fH-l (/1=1, 2, . . .).
Тогда равенства (2.20) обратятся в тождества, а
равенства (2.21) примут вид
а2п-Ф2п~Г а2п+1^2п-2 === а2п-1^2п~Г a2rfi2n^2 (П — 2, 3, . . .).
Отсюда
п аЪ— а2 а2П~1 — а2п-2 а2П + 1 — а2п
а1 ——U ' » " U
°2 °2П-2
Следовательно, при условии
_ as — a>2 _ ^5 — ^4 _
αι ~ ь2 ~ —ь, · ·
имеет место тождество
• 1 ""Ml
Ь2П
- α2η+1 —
&2П
(« =
а2П
2,
3, ...).
. (2.22)
(2.23)
ι _i_£l £2. ап
"·" h + b2 + ---+bn +...~
_ J_ £L* f?§ £2 **2п + 1 a2n
1 — h + Ь2 "+ ^3 + · · · + 62n + ^2П + 1 + ·
Преобразование (2.23) будет использовано нами во
второй главе при изучении разложений элементарных функций
в цепные дроби.
12. Рассмотрим частный случай преобразования (2.18).
Пусть
0О=1, сп— ап, а2п = b2n, d2n_x==z\nb2n_x
(я=1, 2, ...; ληφ 1).
Тогда равенства (2.20) обратятся в тождества, а
равенства (2.21) примут вид
— ах&2 + КЬ\Ь2 — а2 = й^а + ^2»
V"np2n-2^2n-l a2w-l) *2η *2η-2β2η —
= (^2w-2^2n-l"T"a2n~j)^2n"T"^2n-2a2^ (ft = 2, 3, ...).

26 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Отсюда
ι h — αА + hh + 2а2
\ и Ъъп-Фъп-Фъп -f· 2а2п-ф2п ~l· 2^2η^2η-2
Αηυ2η-1 — ι τ
02η-2"2η
Тем самым равенство (2.18) примет вид
1
а±
а2
1 __ аф2 + Ъф2 + 2а2 __ 62
*2
α4 а5
b2b^b4c + 2anb4_ + 2a^b2 b± Ьфф6-{-2аф^ + 2аеЬ4: b6
Ь*Ь.
2ui
Ьф
б
α2η-ί
а2п
Ь2п-Фъп-\Ь2п -f- 2a2n-t^2n ~l· 2^2n^2n-2 b2n
Ьш-Фъп
т. е.
~^ь1 + ь2 + ...-
1
^1^2
a2
аф±
1 — at62 + Ьф2 4- 2α2 — 1 — &263^4 + 2α3#4 + 2α^2
fl^2 α5^6 α6^4
— 1 — We+2a5*e + 2^4- 1 — ·.·
^2П-1^2П #2n^2n-2
1
— ^2n-2^2ft-1^2n ~l· 2θ2η-1^2η + 2α2η62η_2 -
В частности, из (2.24) следует, что
К Ζ А ^ 2 + 2 + 2 + · · · ~
1 1 А 1 λ 1
— 8 — 1 —16— 1 —16— 1 —,
£ 1 1 1 1 1 _
—8—1—8—1—8—1
2.1 ^ 7_ 4А 41 Ш 2№
11 6 5 34 29 198 169
(2.24)

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЯДОВ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 27
Для дроби (2.2) (при ос0=1) тождество (2.24) примет
вид
11 1 _ 1 <х2 1
1 +
Ч + а2 + · · · + ап + · · · 1 — αια2 + α2 + 2 — 1
α2α3α4 + 2α2 + 2α4 — 1 — наьЧ + 2α4 + 2«6
2^=-2_ . (2.25)
— 1 —···—α2η-2α2η-ια2η + 2α2η-2"Ι~ 2α2η— 1
Для дроби (2.4) тождество (2.24) примет вид
ι ι_ £ι_ ££ £п
^ 1 + 1 +...+ 1 +..."
— i_ gi £2 g3 £4 ^5
1 — ct + 2c2 + 1 — 1 — 2c8 + 2c4 + 1 — 1 — 2c5 + 2c6 + 1 —
C6 С2П~1 С2П /9 Ofi\
_!_..._ 2c2n^+2c2n+l - 1 -...· V'M>
§ 3. Преобразование рядов в цепные дроби
1. Мы можем различным образом преобразовать данный
степенной или числовой ряд в цепную дробь. В § 1 мы
указали на равноценные друг другу числовой ряд и цепную
дробь. Примером преобразования степенного ряда в
равноценную цепную дробь может служить следующее тождество
Эйлера [15], [16], [19]:
Со+Ч* + Ч*2 + · · · +Сп*п+ · · · =
Эту формулу ι
оо
П=0
спхп=Щ
Ч „
— X
с0 с0
Ч „
— X
Ч
~1+^х-
Ч
ч *.
—- X
Ч
-l + Cfx-
Ч
можно записать и так:
Ч *■
— X
Ч
ч г
— X
Ч
■ X
Cfl
-χ
Сп.— Л
1 с0 ct с2 сп-х

28 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Применяя преобразование (2.1) к правой части этих двух
тождеств, придадим им вид
п = 0
СпхП — С0~~\ j~~ _
сп — 2,спх
сп-1 ~Г спх · ·
с2х схсгх
- сг + с2х — с2 + съх — ...
С0 С^Х С0С2Х CiC^X
. 1 — с0-f-сгх — сг-\-с2х — с2-f-с%х — · · ·
сп — 2спх /о ι \
vn-l
+ спх-
Так как при этом ряд преобразуется в равноценную
цепную дробь, то п-я подходящая дробь цепной дроби,
стоящей в правой части тождества (3.1), тождественно равна
сумме η-f-l первых членов ряда, стоящего в левой части
тождества (3.1).
2. Например,
2"-1,а
arctg χ =
т. е.
arctg χ =
х-
X
X
: Ύ
хь . хъ
X*
3
+ i-f+i
X*
χ7
5 *
5 *
9αγ2
; _ я ι-2 _
+
u
2η + Γ
4-1-2-^^^.
+ 1 2η + 1Χ+···
(2η — 1)2*2
(3.2)
(3.3)
... + 2η + 1 — (2η — 1) χ* -f .
Отсюда при χ = 1 имеем:
ΐ. —1 1 §! 51 Ζ! (2/ζ —1)2
4~~1+2 + 2 + 2+2+···+ 2 +■
0__1_ 2 13 76 789
11 3 15 105 945
Разложение (3.3) впервые получил Брункер (Валлис [104],
[105]), преобразуя бесконечное произведение, в которое Вал-
лис разложил π. Это соотношение считается первым по
времени разложением трансцендентного числа в цепную дробь.

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЯДОВ В ЦЁПЙЫЁ ДРОБИ 29
Применяя к (3.2) тождество (2.24), получим:
arctgx 1 χ2 9л:2
1 +3 — лг2 + 5 — 3*2 + ,
= 1
лг2(5 — Злг2)
(5 — 3*2) лг2 + (3 — лг2) (5 — Злг2) 4-18*2 -
9лг2 _ 5*2 — Зл:* 9лг2
— 1 — ... 15 + 9*2 — 1 — ,
т. е.
5л:3 — 3*5 9л:2
£ 15л: + 4л:3 + Зл:5 15л: — 5л:3 + Зл*
1 15 + 9л:2 15
Тем самым мы получили дробно-рациональное приближение
для arctgA;, исходя из преобразования степенного ряда
в равноценную цепную дробь. Мы не будем приводить
общий член полученного нами разложения вследствие его
сложности. Но для разложения (3.3) мы приведем результат
полностью:
π -1-+-2 + 2+...+ 2 +...-
1 · 2-1 9 2-25
2 +
— 2
2-1
-f 4+18
2-81
2
9
1 -
1 —2 + 4+18— 1 —8 + 4.25 + 4-49
'49 2.81 2 (4n —1)2
— 1 — 8 + 4.81 + 4.121 —... — 1
2 (4n + 1)2
— 8 + 4 (4/г + 1 )2 + 4 (4/г + 3)2 -
Отсюда
JIL— 1 —1 i. -?i 1? —
4 24— 1 — 152 — 1 — 408 -
^ .22 13 1426 789
1 24 15 1680 945
(4ft — 1)2 (4/2 + 1)2
..— 1 _8(8ft2 + 8ft + 3)—...·
3. Для степенного ряда
A0 -+ Axx -+ A2x2 -+ ...

SO НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [гЛ. I
можно найти цепную дробь такую, что разложение п-й
подходящей ее дроби в степенной ряд будет совпадать с
исходным степенным рядом до члена с хп включительно. Такую
цепную дробь называют соответствующей (korrespondierende)
(Перрон [73}) данному ряду. Ее обычно ищут в одном из
следующих видов:
Произведя сжатие соответствующей цепной дроби,
получим цепную дробь, разложение η-Ρι подходящей дроби
которой в степенной ряд совпадает с исходным рядом до
члена с х2п включительно. Такую дробь называют
присоединенной (assoziierte) (Перрон [73]) к данному ряду.
Взаимосвязь между соответствующей и присоединенной дробями
была рассмотрена Хейлерманном [30].
4. Чрезвычайно важным является то обстоятельство, что
в отношении сходимости степенной или числовой ряд и
соответствующая ему цепная дробь могут вести себя по-разному.
Они могут оба сходиться, оба расходиться, или же один из
них может сходиться, а другой — расходиться. Перрон [73]
приводит пример цепной дроби, у которой в различных
промежутках изменения аргумента встречаются все эти
четыре случая. При этом Перрон считает в общем случае
неразрешенным вопрос, всегда ли соответствующие друг
другу ряд и дробь сходятся к одному и тому же значению,
если они оба сходятся.
Важно отметить, что даже степенные ряды с радиусом
сходимости, равным нулю, можно иногда преобразовать
в соответствующую цепную дробь, сходящуюся в
некоторой области. Примеры таких преобразований приведены
в гл. II.
5. Члены звеньев соответствующей и присоединенной
дробей можно выразить через коэффициенты членов
исходного степенного ряда, но в полученные при этом
соотношения входят определители высоких порядков (Хейлерманн [28],
[29], Мюир [54], [55], Фробениус [23]; Стильтьес [92], Ган-
кель [27]). Это делает такие соотношения практически
непригодными в большинстве случаев. Поэтому мы не будем
останавливаться на этих формулах, отсылая интересующихся

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЯДОВ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 31
к книге Перрона [73], и перейдем к изложению метода
непосредственного преобразования данного степенного ряда
в соответствующую цепную дробь. Этот способ был в
принципе предложен В. Висковатовым [103]; нам принадлежит
лишь более удобная запись встречающихся при применении
этого способа выкладок.
6. Пусть
f(x) ^ gio + gii* + «12-*2 + «is-*3 + · · ·
К α00 + α01* + α02*2 + α03*3 + · ■ . ■
Тогда
/(*) =
1
^00
α00 + apt* + gQ2-*2 + · · -
α10 + gll* + α12*2 + · ·
g10
аоо + *
αοο + -^
(gl0g0t — g00gll) + (g10g02 — g00g12) X + · · ·
α10+α11-*+α12-*2+···
«20 + g21* + g22*2 + · · ·
^20
α I ^ (g20gll — g10g2l) + (g20g12 ~ gtQg22) x + · --
10 «20 + «21* + g22*2 + · · ·
^10 g2Q·* g30·*
g00 + g10 + g20 + · · · '
Вычисления удобно располагать по следующей схеме:
^оо αοι αο2 · · ·
а10 а11 а12 · · ·
α20 α21 α22 · · *
30 "31 "32
Здесь
ι Qt<m—1 Λ&
W-l,0uW-2, n+1 "

32 некоторые вопросы Из теории цепных Дробей [гл. ί
7. Рассмотрим, например, разложение в цепную дробь
выражения 1_k7JlRv2 \х < з~)· Имеем:
1— Ьх + 6х*
1-х
1 — Ъх + 6*2"
1 —5 б
1 —1
--4 б
— 2
—12
4л: 2л: 12л:
— ι 4 2:
4л: χ
- Τ + 2 -
1 2 + л:
Зл:
1 #
2 —2л:
1 —4л: 2 — 7х 2 — 10* + 12**
8. Рассмотрим разложение в цепную дробь выражения
(х < 1). Имеем:
1—Зл: + Зл:2 —л:3
1
1
—3
—3
—б
3
9
-3 3
3 —1
1
3
-1
μ
1 Зл:
Зл:
6л:
Зл: 9л:
х
1
б
(1—л:)3~~ 1— 1 3 ЗН 6+ 3
1 Зл: х< 2х χ
-Т — Т+ Τ — Τ + "2"
_0_2_ 1 1+* 3 + -У б + Зл: + х2
11 1 —Зл: 1—2л: 3— 8л:+6л:2 б— 15л:+10л:2 б— 18л:+18л:2—6л*
9. Пусть а20=0. Тогда
/(*) = ·
Дробь
аоо
+ Х*:
gl0
α21 + g22·* + - ·
α10 + «11* + α12*2 + · ·
g2! + α22-* + - -
αιο + αΐι* + αΐ2-*2 +

§3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЯДОВ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
33
разлагаем, как в п. 6, и таким образом приходим к
тождеству
/(*) =
α21·
Х2
«10
α00 + α10 +
α3ίχ
4ιχ
*21 + α31 + · · ·
Вычисления располагаем по следующей схеме:
Здесь
"00
«10
0
«21
«31
«41
"01
«11
«21
«22
Г
«32
Г
«42
«02
а12 ...
«22
«23
азз ...
«43 . . .
«31 = «21а11 «Юа22»
Г
«32 = «21«12 «10«23>
«41 = «31«22 «32«21»
Таким образом, если а20 = 0, то четвертая строка схемы
получается путем сдвига третьей строки на одно место
влево, пятая строка получается комбинацией четвертой и
второй строк по общему правилу, шестая строка —
комбинацией пятой и четвертой, и т. д.
Точно так же, если аЛО = 0, то (& + 2)-я строка схемы
получается путем сдвига (&-|-1)-й строки на одно место
влево; (& + 3)-я строка получается комбинацией (k-\-2)-ft
и k-ft по общему правилу, (&-|-4)-я строка — комбинацией
(&-|-3)-й и (k-\-2)-ft, и т. д. Разложение в этом случае
имеет вид
f(X):
а20лг
"30-*
) + α10 + α20 +
V-ι,ο*
+ V-2,0 +V-1,0+ «fc.l +4 + 1,1+···
3 Зак. 1617. Α. Η. Хованский

34 некоторые вопросы из теории цепных дробей [гл. 1
10. Рассмотрим разложение в цепную дробь выражения
1— Зл:3 / , . ΥΪ7—1\ т,
\х < δ · Имеем:
1 — л:2 — 4д:4
1 0—10—4
1 0 0—3
0—1 3—4
—1 3 —4
—3 4 3
—5 15
25 —15
300
—300. 15
1 — Зл:3 _ 1 л^ _3£_ J3x_ 25^_ 300л: 15л: _
1 — х* — 4*4-~ 1 — 1 1 ЗН 5+ 25 — 1 —
— λ £i Ё£ 5л: .
^1-1+1 - 3 +
£_1_ 1 1+ 3-Г 3 + 4*
1 1 1— х* 1+Зл: — х2 3 + 4лг—3*2 + 5*3
5л: 12л: Зл:
+ Τ — "ΊΓ — Т'
3 + 9л: + 15л:2 15 + 9л: + 27л:2 15 — 45л:3
3 + 9л: + 12л:2 15 + 9л: + 12л:2 + 36л:3 — 60л:* 15 — 15л:2 — 60л:*
Другие способы превращения дробно-рациональных
выражений в цепные дроби были предложены Кауслером [35], [36]
и Шубертом [85].
§ 4. Общее понятие о сходимости цепных дробей
1. Мы уже указывали, что цепную дробь, у которой
ρ
lim -—■ существует и конечен, называют сходящейся. Зна-
?г->оо Цп
чение цепной дроби тогда принимается равным этому
пределу. Но из сходимости цепной дроби еще не следует, что
lim -τγ- равен той величине, которую мы разложили в цеп-
ную дробь.
Ρ Ρ
2. Если lim ~^-=со или lim γτ-=—°о> то цепную
П -» ОО Цп п -> со ^сП
дробь называют несущественно расходящейся. Если же

§ 4] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 35
ρ
lim γ~ не существует, то цепную дробь называют суще-
П -> оо ч П
ственно расходящейся. Понятия существенной и
несущественной расходимости введены Перроном [73].
3. Сходимость рядов или бесконечных произведений не
зависит от отбрасывания конечного числа их первых членов.
Но у цепных дробей такое отбрасывание (исключая
отбрасывание Ь0) может превратить сходящуюся дробь в
несущественно расходящуюся. Поэтому приходится ввести
следующее понятие (Прингсгейм [76]): цепную дробь -~
называют безусловно сходящейся, если для всех т^ 1 дробь
[^Ч сходится. Если же хотя бы для одного значения т
Mm
последняя дробь расходится, то дробь -~Ч называют условно
сходящейся. Указание на различие между безусловной и
условной сходимостью было дано еще Штерном [91].
4. Отсюда вытекает, что для цепных дробей, вообще
говоря, нельзя давать признаки сходимости в предельно
форме, как это делается для рядов. Условие сходимости,
связывающее, например, ап и Ьп, должно выполняться для
всех натуральных п.
5. При сходимости дроби |~- дробь ■— может
расходиться лишь в том смысле, что обратные величины ее
подходящих дробей стремятся к нулю с возрастанием v.
Следовательно, при сходимости дроби -г2 может быть лишь
два случая: все дроби U-ч сходятся (безусловная сходи-
L°vJm
мость) или некоторые из дробей ~ несущественно рас-
ходятся (условная сходимость). Следует отметить, что Сле-
шинский [5], [6], [7] понимал под сходящейся дробью также
и несущественно расходящуюся. Поэтому Прингсгейм [76],
не будучи знаком с самими работами Слешинского,
несправедливо упрекал его за смешение понятий условной и
безусловной сходимости.
3*

36 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ (ГЛ. I
6. Выясним, какое ограничение необходимо наложить на
члены звеньев дроби I— , чтобы последняя сходилась.
Для этого докажем следующую теорему (Кох [37], [38]).
оо
Сходимость ряда 2 Ι αη Ι достаточна для конечности
η=ι
пределов lim Р2п = Р, lim Р2п+\ = P'> lim Qm = Q»
W->00 П->00 П->00
lim Q2n+i ==Q' и для выполнения соотношения P'Q—PQ' = 1.
П-»00
Для доказательства заметим, что согласно равенствам (1.2)
™2п == α2η° 2п-1 "Т" ™2η-2 =
= a2wP2w_1 + a2w_2P2w_3+ · · · +α2Ρι + Λ)· (4.1)
Не ограничивая общности, можно считать, что Р0=1.
Кроме того, как мы знаем, Р_1 = 1. Поэтому
/Μ<ΚΙΙΛ)Ι + Ι^-ιΙ=-ι+Κ!>
я2!<Ы|/М-НЛ)1<
<Ι«2 IO + KD + К 0+|αιΙ)0 + |α,|).
ΛιΚο + Κίχι+κη...
...(1 + |αΛ|)ΐ)<β'"ι + ^ι + - + |βηι.
оо
Но по предположению ряд Σ I аи I сходится. Следовательно,
η=ι
оо
и Ц(1 + |ап1) сходится. Поэтому
η=ι
оо
1^»1<11(1 + 1ап|)^с>оо. (4.2)
Согласно теореме Больцано — Коши (Фихтенгольц [8],
т. 1, стр. 100) для конечности предела Р2п необходимо и
достаточно, чтобы для каждого ε > 0 существовал такой
1) Эта оценка получается методом математической индукции.

§ 4] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 37
номер Л/", чтобы неравенство \ Р2п+2т— ^2ηΙ<ε
выполнялось при η > N и т > 0. Согласно (4.1), имеем:
I ^2n+2w Ρ%η I = I <x2n+2mP2n+2m-l ~T"
H~a2rH-2w-2^2rH-2w-3~T" · · · ~Г a2n+2^2?H-l | "*С
^ I a2rc+2w | I °2η+2?»-1 I
"ΤΙ" I а2п+2т-2 I I ^2п+2т-3 I 1 - - - J | &2П+2 | Ь°2и+1 Г
Отсюда вследствие (4.2)
I Р2п+2т ^2гг I < с ( | а2п+2т | I" I a2n+2w-2 I I · - - ) 1 «гти-г I )
оо
Но по предположению ряд 2 lanl сходится. Следовательно,
оо
и ряд 2 |а2гг1 сходится. Но тогда согласно теореме Боль-
П = 1
цано — Коши
*2п+2т\+\*2п+2т-2\+- -·+|α2τΗ-2 К S (" > ΛΛ /И >0).
Следовательно, Ρ — предел Р2п— конечен. Точно так же
доказываем конечность Р', Q, Q'. Но из (1.4) имеем:
P2n+lQ2n P2nQ2n+l ~ 1 (Λ = 1 , 2, . . . ).
Переходя к пределу, получим:
P'Q —PQ'=1.
Тем самым -—- имеет два различных предела: -^ и —,.
Следовательно, дробь (2.2) расходится.
оо
Отсюда расходимость ряда 2 |α™| необходима для схо-
димости дроби (2.2).
Заметим, что в силу неравенства
η
η η 2 I "к I
ι+ΣΚΙ<Π(ΐ + ΚΙΧ**=1 (4·3)
οο
сходимость бесконечного произведения JJ(l+|ar&I) необ-
η = 1 .
оо
ходима и достаточна для сходимости ряда 2 ΙαηΙ· Поэтому

38 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
в условии только что доказанной теоремы можно заменить
оо оо
2 KI через Πθ-f KD·
П=1 П=1
7. Крайне важное значение имеет понятие равномерной
сходимости цепной дроби. Его можно формулировать
следующим образом.
Если члены звеньев цепной дроби являются функциями
конечного или бесконечного числа переменных, то эту дробь
называют равномерно сходящейся на множестве Ε измене-
р
ния этих переменных, когда ее подходящие дроби ~-и Б
Чп
равномерно стремятся к пределу, т. е. когда можно для
любого ε > 0 найти такое число Λ/, что для п^> N на всем
множестве Ε Qn Φ 0, и имеет место неравенство
Qn λ-»οοΟλ
< ε. (4.4)
Из такого определения следует, что при этом ряд (см. (1.3))
f*-L V (Р* ^
Qn, A \Qx Qx !
Qn ^J v Qx-iQx
Ρ Ρ
равномерно сходится в Ε κ lim ^ , так как —^
ρ
частной суммой, a lim -~ есть его сумма. Обратно, из равно-
П-»оо Qn
мерной сходимости этого ряда следует условие (4.4), т. е.
'равномерная сходимость цепной дроби. Из этого
определения вытекает также, что значения цепной дроби и ряда (4.5)
совпадают между собой для любого χζΕ, τ. е. что цепная
дробь и ряд (4.5) тождественно равны друг другу на
множестве Е.
8. Понятие равномерной сходимости цепной дроби
помогает выяснить вопрос, сходится ли данная цепная дробь
именно к той функции, которую мы разложили в эту
цепную дробь. Здесь можно прежде всего доказать следующую
теорему, которая является уточнением теоремы, имеющейся
у Прингсгейма [79],

§ 4] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 39
Равномерная сходимость дроби
T + £f+...+Cjf+.·. {СпФ0; »=1.2, ...) (4-6)
на множестве Ε достаточна для того, чтобы эта дробь
сходилась на множестве Ε к той функции К(х),
которую мы разложили в эту цепную дробь.
Так как дробь (4.6), полученная путем разложения функ-
Р (х)
ции К(х), сходится на множестве Е, то lim J1 суще-
n-»oo Vn \х)
ствует и конечен для любого χζ,Ε. Так как дробь (4.6)
равномерно сходится на множестве Е, то по определению
ρ (х\ ρ (х\
п (п^ Ν) равномерно стремится к lim пп , : для всех
х£Е. Это означает, что lim п ^ * для всех χζΕ является
суммой равномерно сходящегося ряда (4.5), который
тождественно равен на множестве Ε дроби (4.6) и в данном
случае имеет вид
ρν(χ) , γ* , 14λ-ι cic2 •••«λ
Υ (—if-1 W»···* xx-x (4.7)
Так как ряд (4.7) тождественно равен дроби (4.6), а дробь
(4.6), (4.7) получена путем разложения функции К{х), то и
ряд (4.7) получен путем разложения функции К{х). Но ряд
(4.7) равномерно сходится на множестве Е. Следовательно,
он сходится на множестве Ε именно к К(х), откуда
lim п \х\ = К(х) для всех χζΕ.
9. Так как по предположению дробь (4.6) равномерно
сходится на Е, то лишь конечное число величин Qn(x) имеет
нули на Е. Пусть множество Ε является связным и пусть
точка х = 0 является его внутренней точкой. Qn(0)=; 1 для
любого п, так как тг4т==Т· Поэтому на Ε существует
некоторый круг |jc|<p, внутри которого ни один из Qn(x)
не имеет нулей. Этот круг является открытым связным
множеством, т. е. является областью. Внутри этой области
ряд (4.7) равномерно сходится, и его члены являются
регулярными (т. е. не имеющими особенностей) дробно-рацио»
нальными функциями от χ при η = 1, 2, ,,. Тем самым

40 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
члены этого ряда являются аналитическими функциями от χ
при |jc|<p. Но согласно первой теореме Вейерштрасса
(Маркушевич [2], стр. 201), если члены ряда, равномерно
сходящегося внутри области |л;|<р, являются
аналитическими внутри этой области, то и сумма этого ряда также
является аналитической внутри этой области. Но сумма ряда
(4.7) есть К(х). Поэтому К(х)—регулярная однозначная
аналитическая функция при |л;|<р.
Кроме того, так как при |jt|<p ни один из Qn(x) не
имеет нулей, то внутри этого круга все п) '—регуляр-
ные аналитические функции, т. е. ряды
^-ΣΛ'-1 (« = 2,3,...) (4.8)
равномерно сходятся при |лг|<р. Кроме того, - п \ :■ =
Qn v")
с[п) с. (п)
= ±-=-±, т. е. сТ = С1 (л = 2, 3, ...).
10. По условию при |л;|<р ни один из Qn(x) не имеет
нулей. Поэтому при F| jc | << ρ функцию ~ . для
Qn-i К·*) Qn \x)
любого η можно разложить в сходящийся ряд Rn(x)y причем
/?η(°)=7ϊ т\ η т\ = 1 · ТогДа из (4.7) вытекает, что
Qn-t \У) νη \υ)
Рп(х) Ρη-χ(χ) _ , i чп-ι ctc2 ... сп п-\
QnM Qn-iW К } Qn-t(x)Qn(x)
= (—\)n'1c1c2...cnRn(x)xn'\ (4.9)
Но согласно (4.8)
оо
ν = 1
Согласно равенству (4.9) разложение (4.10) начинается
с члена, содержащего хп"1. Поэтому ciw) = c?l"1) при
\= 1, 2, . . ., η— 1. Заменив здесь η на η— 1, имеем: ·
Jn-l) Jn-2)
при ч=1, 2? . . .? п-

§ 41 ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 41
Окончательно получим:
(П) __ (П-1) _ __ (1)
С\ С\ ... С\ ,
Jn)_ (п-1)_ __ (2)
Сч Сч ... С2 ,
(п) _ (п-1)
Ln—ι — Ln—i ·
Отсюда ряд (4.8) примет вид
П — 1 оо
^Σ^^"1· (4Л1)
v=l v=n
Но из (4.7) следует, что при
оо
*<*>-£$+ Σ (-ц'^Л^ь:;*)*'"1 (4Л2)
ν = η+1
(л=1, 2, ...).
Сопоставляя разложения (4.11) и (4.12), видим, что
разложение К(х) в степенной ряд совпадает до члена c^~i)xn~2
включительно с разложением пп- ■ в степенной ряд. Заме-
тим, что (4.12) не является степенным рядом, так как
Qv-\(X)QAX) сами являются степенными функциями от х.
Но, устремляя η к бесконечности, получим, что при |χ|<ρ
оо
*(*)= 2 4V-1,
ν = 1
оо
где 2 с?1 χ*~ι есть ряд, соответствующий цепной дроби (4.6).
Тем самым мы доказали, что если дробь (4.6) равномерно
сходится при |л;|<р, то она сходится при |л;|<р к
регулярной однозначной аналитической функции, которую мы раз*
ложили в эту цепную дробь и которая разлагается в
сходящийся при | χ | < ρ к той же функции степенной ряд,
соответствующий дроби (4.6). Таким образом, мы получили
условие, при котором соответствующие друг другу цепная
дробь и степенной ряд сходятся к одной и той же функции,
Заметим, что область | χ | < ρ можно заменить любой
рОладтью 7\ содержащей внутри себя нулевую точку,

42 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
11. Если же нулевая точка является граничной точкой
множества Е, то р = 0, т. е. степенной ряд,
соответствующий дроби (4.6), расходится всюду, кррме нулевой точки.
Но дробь (4.6), равномерно сходящаяся на множестве Е,
тем не менее сходится на этом множестве к функции,
которую мы разложили £ эту цепную дробь. Эта функция в
данном случае разлагается в окрестности нулевой точки в
расходящийся степенной ряд, т. е. не является аналитической.
Тем самым подходящие дроби цепной дроби (4.6) являются
приближенными выражениями неаналитической функции, что
до известной степени разрешает проблему приближенного
вычисления неаналитических функций.
12. Мы выяснили вопрос об условии сходимости цепной
дроби к той регулярной однозначной аналитической функции,
которая была разложена в эту цепную дробь. Теперь
уместно поставить вопрос об условиях тождественного
равенства двух равномерно сходящихся цепных дробей. На этот
вопрос дает ответ следующая теорема (Прингсгейм [79]).
Если значения двух цепных дробей, равномерно
сходящихся внутри области Г, которая содержит внутри
себя нулевую точку, совпадают между собой в области S,
которая целиком содержится внутри Т, то эти дроби
тождественно равны между собой внутри области Т.
В силу теоремы п. 8 эти дроби сходятся в Г к
регулярным однозначным аналитическим функциям. Но
аналитические функции, тождественно равные между собой в сколь
угодно малой области, всюду тождественно равны между
собой. Поэтому цепные дроби К(х) = у ; €-ψ\ и /С1(х) =
[г г тоо
у ; -у равны (но неизвестно, тождественно ли равны)
внутри Т. Из тождественности аналитических функций, к
которым они сходятся, вытекает, что ci = ci. Учитывая это,
из равенства К(х)= Ki(x) имеем, что
Г та
L~rj2
при всех значениях х, для которых эти дроби сходятся. Они
могут при некоторых значениях χ не сходиться, лак как
cjc
(4.13)

§ 4] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 43
в условиях теоремы не сказано, безусловно или условно
сходятся дроби К(х) и Κι(χ). Но если у дробей, входящих
в равенство (4.13), имеются точки расходимости, то они
могут быть лишь нулями К{х) или Ki(x)y т. е. их может
быть лишь конечное число внутри Т. Но так как /С(0)
и /Ci(0) не равны нулю, то К{х) и К1(х) не равны нулю
в некоторой окрестности точки χ = 0. В этой окрестности
равенство (4.13) выполняется для всех точек, причем, так как
то
и;
К (χ) ■
~г
■KiW
Kit*)
Г
СХ
1
сходятся в Г к аналитическим функ-
2
циям. Поэтому с'2~ с . Продолжая этот процесс, видим, что
Отсюда вытекает, что при соблюдении условий,
указанных в начале этого пункта, обе дроби К(х) и Кх(х) должны
быть бесконечными.
13· Выясним теперь связь формальных разложений
функций в цепные дроби с вышеизложенными теоремами. Разлагая
отношение двух степенных рядов Fx(x) и F2(x) в цепную
дробь, имеем:
AW
[τ·τΓ· <4Л4>
Если цепная дробь, стоящая в правой части этого
равенства, сходится для какого-нибудь значения х, то отсюда
еще не следует, что значение этой цепной дроби совпадает
со значением ^ , [. Между тем в работах XVIII и XIX вв.
в большинстве случаев ограничивались такими формальными
разложениями.
Но из теоремы п. 8 вытекает, что если цепная дробь,
входящая в формальное равенство (4.14), равномерно сходится
в некоторой окрестности точки χ = 0, то в этой окрестности
Ft(x)
ее значения совпадают со значениями ' .
Ясно, что это замечание сохраняет силу, когда один
ИЗ рядоа Fx(x) и Fz(x) равен единице,

44 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Если же Рх(х) и F2(x)—многочлены, то цепная дробь
(4.14) должна быть конечной. Поэтому в теореме п. 8 функция
К(х) должна быть нерациональной, иначе цепная дробь (4.6)
будет конечной, что противоречит условиям теоремы.
[с χ~\°°
-~- равномерно сходится
1 Jw+i
внутри области 7\ содержащей внутри себя нулевую точку.
Тогда согласно теореме п. 8 Кт(х) сходится внутри Τ
к регулярной однозначной аналитической функции.
Обозначим подходящие дроби цепной дроби Кт(х) через
Ρ (χ)
-т' п х } . Тогда, в частности,
Qm, n \х)
Ργη,Ο (χ) _£_ Ρ my 1 (χ) cm + \x
Qm,o(x) ~ 1 ' Qm,l(x) ~ 1
Следовательно,
Qm (x) Qm, 0 (■*) Qm (x) ~\~ Pm, 0
Далее, согласно (1.2)
Pm+\(x) 1 * Pm(x) + Ст + 1Х г т — \
(X)
Qm + l(x) 1 · Qm (x) + cm+lx Qm-i (x)
_ Qmy\ (x) Pm (x) + Pm,\ (x) Pm-\ (x)
(x) Qm (x) +
r m, l
Пусть
Pm±k \x) ___ Qm,k \x) Рщ \x) ~r Pm,k \x) Рщ-\ \х) /л ι c\
wm + k (x) Qm,k(x) Qm(x) + Pm,k(x) Qw-lW '
(& = 0, 1, .. ., п). Тогда .
Pm+n + t(a?) = Pm + nW + cm±n+\ хРтл-п-\(<х) =
®т±п+1{х) ^т+п(а?) + ст + п + 1ж^т+п-1(а?)
Qm,n№Pm№+Pm,nMPm-t№+cm±n^
Но в силу (1.2)
Qm,n\x)~T~ cm+n-{-ix Qm, n-i \x) ==' Qm, п-Ы v^)»
Pm, n(x)~icm+n+ixPm, n-x(x) == "w, η+ι (·*0*

§ 4] ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 45
Следовательно, равенство (4.15) верно и для k = п-{-\.
Отсюда в силу принципа математической индукции оно верно
для всех натуральных значений к. Таким образом,
Ρ (γ\ Ρ*η(χ) + 7Т-2 ΓΖλ Pm-l(x)
г т + п \л) Wm,n У·*-)
Но
Qm \χ) -Γ ~τ\ Ήλ Vwi-1 \χ)
wm,n \л)
П -»οο VW, П Κ*)
так как по обозначению т>пУ '—подходящая дробь п-го
Vm, η \χ)
порядка цепной дроби Кт(х). Поэтому
1i*rn m + n ("*) ==z т *"*' ' ^т *·*' **» —1 \х) /α ι с\
n->ooQm+n(x) Qm (х) ~г Km (х) Qm-i (х)
Выражение, стоящее в правой части равенства (4.16), теряет
смысл при
Q«»(*)+Q»-i (*)*»(*) = 0. (4.17)
Но так как правая часть равенства (4.16) является
аналитической функцией, то равенство (4.17) может иметь место
лишь в конечном числе точек области Т. В противном
случае Кт(х) = —Jfm \\ , т. е. К{х) — конечная цепная дробь.
Qm-l\x)
В точках, удовлетворяющих равенству (4.17), не может
выполняться соотношение
так как в противном случае из равенства (4.17) вытекало бы,
Ρ (χλ Ρ (χ}
что гГ) \ = г?71'1) \ » чт0 невозможно согласно условиям
Qm \х) Qm-l \х)
теоремы. Поэтому корни уравнения (4.16) могут быть лишь
Ρ (χ)
полюсами аналитической функции ^пк j т> е> точками
vm,n \х)
несущественной расходимости дроби К{х). Тем самым мы
доказали следующую теорему (Прингсгейм
ίο (χ)
1 Jm+ι
ласта 7\ содержащей внутри себя нулевую точку,
достаточна для равномерной сходимости внутри Τ дроби
[79]).
внутри об-

46 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
K(x)=z ii; ^-\ , за возможным исключением конечного
числа точек х' несущественной расходимости. Дробь
ι . ,ν \χ)\ сходится при этом внутри Τ к однозначной
аналитической функции К(х), регулярной внутри Т, кроме
точек хг, являющихся полюсами этой функции.
§ 5. Признаки сходимости цепных дробей
с положительными членами звеньев
1. В предыдущем параграфе мы видели, что
расходное»
мость ряда 2 \ап\ необходима для сходимости дроби (2.2).
Зейдель [87] и независимо от него Штерн [90] доказали,
что при положительных <хп (я = 1, 2, . . .) расходимость ряда
оо
2j &n необходима и достаточна для сходимости дроби (2.2).
Необходимость этого условия уже доказана. Докажем
его достаточность. В данном случае
Qi = av
Q2 = α^2 -f-1,
Qlk aZkQ2k-l ~\~ Q2k-2>
Q2k+l = a2k+lQ2k~\~ Q2k-l>
αη>0 (л=1, 2, ...).
Следовательно,
<?2 > 1 > <?4 > l > · · · > Q2k > l > Qs > ai> <?5 > al» · · · > Q2fe+l>^l
Поэтому
*?2fc> Q2fc-2 + aia2fc> ^Wl > Q2fe-l+a2fe+l-
Отсюда
Q2k > ai (a2 + 4 + · · · +a2fe),
η ^ ι ι ι I <5Л)
Таким образом, lim Q2kQ2k+i=== °° ПРИ расходимости хотя бы
&-» оо
оо оо
одного из рядов 2 a2fc> 2 a2fe-i» τ· е· ПРИ расходимости
Λ = 1 fe=l

§ 5] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 47
с»
ряда 2 ап· Тем самым признак Зейделя доказан, если при-
нять во внимание равенство (1.3).
2. Опперманн [63] доказал, что расходимость произве-
оо
дения Д(1 +αη) необходима и достаточна для сходимости
цепной дроби (2.2) с положительными членами звеньев.
В силу неравенства (4.3) этот признак совпадает с
признаком Зейделя.
3. Разложение
ν Δ ~~ ι ^ 2 + 2 + ... + 2 + ...
сходится по признаку Зейделя, так как ряд 2 —j— 2. . .
расходится.
Цепная дробь
1 JL 1 1
χ _|_ Х2 _|_ Х3 _|_ . . . _|_ ХП _|_ . . .
сходится при х^> 1 и расходится при 0<х<1, потому
оо
что ряд 2 χΤΙ расходится при χ ^ 1 и сходится при 0 < χ < 1.
4. При at, a2, ... целых положительных дробь (2.2)
сходится, так как ряд, члены которого являются целыми
положительными числами, расходится.
Точно так же при at > 0, ос2 > 0, . . . и liman> 0 дробь
(2.2) сходится.
Заметим, что сходимость цепной дроби с положительными
членами звеньев зависит от расходимости некоторого ряда,
т. е. от поведения всей совокупности членов звеньев, а
не от каждого из них. Поэтому сходящаяся цепная дробь
с положительными членами звеньев сходится безусловно.
б. Пользуясь соотношениями (2.3), приходим к
следующей формулировке признака Зейделя (Штерн [90]).
Расходимость по крайней мере одного из рядов
оо со
у ЪОъ...аъ-ι ь у а2а,...а2п
jU а2а4...а2п 2n' jU axab.. .a2n+i 2n+l v }
n=l n=l

..48 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
необходима и достаточна для сходимости дроби (1.1)
с положительными членами звеньев.
6. Из соотношения ]/ unvn ^ п~\ п вытекает, что расхо-
оо
димость ряда 2 Yanvn достаточна для расходимости по край-
оо оо
ней мере одного из рядов 2 ап> 2 νη> так как
оо оо оо
П=1 П = 1 П=1
Положив u2n = a2nJ v2n = oc2n+ij имеем на основании
равенств (2.3):
u2nv2n — ~~Z >
а2П+1
оо оо оо
Σ V "+Υ < Τ i α2» + 2" 2ι β»«+ι·
η=ι n=l η=ΐ
Положив ti2n_l = a2ny v2n_l = <x2n_lJ имеем на основании
равенств (2.3)
„ „% Κη-ιΗη
u2n-lu2n-l „ у
а2п
n=i Jn η=ι η=ι
Таким образом,
оо оо оо оо
V ,ГК~К ^ У , . У_ а1_У„ αι
η = 2
Следовательно (Прингсгейм [77]), расходимость ряда
оо
\ τ/ η-1 η достаточна для сходимости дроби (1.1) с по-
η» 2
ложительными членами звеньев.

§ 6] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 49
Например, разложение
У"3= 1+1/3*— 1 = 1-+
1+^3
1 + 2 + 2 + ...+ 2+,
по этому признаку сходится.
7. Заметим, что если
то
-K=—b0-
- h + — ^2 + · · · + — ^n + · · ·'
Поэтому все признаки сходимости цепных дробей с
положительными членами звеньев легко распространить на
цепные дроби, у которых все частные числители положительны,
а все частные знаменатели отрицательны.
8. Тождество (2.24) нередко позволяет преобразовать
цепную дробь в такую, у которой все члены звеньев
являются положительными. Это позволяет иногда применить
признаки сходимости цепных дробей с положительными
членами звеньев к цепным дробям с любыми членами звеньев.
§ 6. Признаки сходимости цепных дробей
с любыми членами звеньев
1. Пусть числа rv r2, ... удовлетворяют следующим
условиям:
1)»ч|1 + *2|:>Ы. ]
2)r2|l + c2 + c8|>|c8|, I
3) гп|1 + с„ + П-2|Сп l + K+il (»>3),
4)r„>0 (n>3). J
Скотт и Уолл [86] предполагают вдобавок, что числа г1
и г2 неотрицательны, но их неотрицательность вытекает уже
из первых двух условий (6.1).
Под £2, £3> · · · мы будем понимать частные числители
дроби
IS g2 СЪ СП /с о\
/с==т+т+т + ... + т+...· (6·2)
4 Зак. 1617. А. Н. Хованский

50 некоторые вопросы из теории цепных Дробей [гл· ι
Равенство гп = 0 возможно на основании условия 3) (6.1)
лишь при сп+1 = 0, т. е. когда цепная цробь (6.2) конечна.
Поэтому для бесконечных цепных дробей из условия 3) (6.1)
следует, что
' П-2
<
J_+fn+fnfl
0<гп_2<
1 + сп + сп+1
Налагая различные ограничения на числа rv r2, . . . и
cv с2, . . ., можно получить ряд достаточных признаков
сходимости дроби (6.2).
2. Докажем следующую теорему (Скотт и Уолл [86]).
Если числа гг, г2, ... удовлетворяют условиям (6.1)
оо
и ряд 2 rir2 · · · гп сходится, то дробь (6.2) сходится,
причем выполняется неравенство
П=1
Из условия (6.1) вытекает, что
Q2=l+c2^0, Q3= ΙΗ-^Ч-^з ^= 0·
Положим c"+*Q»-i = d Тогда
Vn + l
(6.3)
!<Ί|
1+^2
Οι.
1 + c2 + c8
<>2
Но из равенств (1.2) имеем для дроби (6.2)
Qfl+2 S== Уп+l ~Т~ Сп+2^П*
Qn+l == Уп ι ^n+lVn-1»
Qn ==s Уп- 1 I" CnQn- 2*
Умножив третье из этих равенств на —cw+1 и затем сложив
его с первыми двумя, получим:
Qfl+2 ( * ~Т~ СП+1 I Cn+2) Qfl CnCn+lQn-2'
(6.4)

§ 6] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 51
Тогда при ск+2 φ О
1
dh-\
QkA
>
1 +CJc -H + gfe + 2
ck+2
скл-1
CkCk±lQk-2
ck + 2Qk
ck+2
lk-\ |
Ck+2Qk
1 +ck + l + ck + 2
Ck+2
Пусть Qn+1 Φ О, |rfn|<rn при л=1, 2, ..., й (й>2).
Тогда
1
I*
+ 11
>
1 +gfe + l + ^ + 2
^Л + 2
gft + l
скл-2
Гк-V
Так как мы предполагаем, что дробь (6.2) бесконечна,
то гп+1 > 0. Но согласно условию 3) (6.1)
rk+l\ I -\~ Ck+l~h Ск+2\^ Гк+1Гк-1 I СЛ+1 1+1 СЛ+2 |-
Поэтому
I*
+ 11
>^-1
*Л + 1
^ + 2
гЛ + 1
gft+i
ск+2
'к+1
Следовательно, Qk+2 =£ 0 и | */Л+11 ^ гЛ+1. Таким образом,
для всех натуральных η имеют место неравенства Qn Φ 0
и ΚΙΟη-
По определению t/w имеем:
<*!■■
^Q<
2V0
С?2
OiOs
, так как Q0 = Qj = 1,
ww - с2 .cbQi — С2С?
1 2~"Οι02'^Γ~Ό2θ3 '
WW// — C2C3 g4Q2 _ g2c8g4
«iW*- Q2QS Q, - Q3Q4 ·
WW W — g2 ggQl g4Q2 CnQn-2 ^n+lQn-t __g2g!
Ln + 1
Но тогда согласно (1.6)
ι*ι<1&1+1&--
+
...+
W + l
Ow+i On
ggg3 . . . gn + i
QnQn+i
Qi
+ ••• = 1 +
Оз Q2
c2
Ql<?2
+
<?2CS
Q2Q8
QwOw+i
+.··
+ ... = 1 + ^1+1^1+...
oo
+ 1^2·••^nl+ ··· <i+ Σ >v*2 ··· v
4*

52 некоторые вопросы из теории Цепных Дробей (гл· ι
оо
Поэтому, если ряд 2 г\гг · · · гп сходится, то и ряд (1.5)
п= ι
сходится, что и доказывает сходимость дроби (6.2) и
выполнение неравенства (6.3).
3. Если ск+2 = 0, то Qk+2 = Qk+l φ 0 и dk+l = 0, т. е.
| dk+l | < rk+l. Следовательно,
\K\<£l + \d1\ + \d1d2\+ .. .+\dxd2 ... dk\,
т. е. дробь (6.2) сходится. Поэтому мы имеем следующую
теорему (Скотт и Уолл [86]).
Если числа г1У г2, ... удовлетворяют условиям (6.1)
и по крайней мере один из сп равен нулю, то дробь (6.2)
сходится.
4. Пусть теперь с2, с3> ... — функции некоторых
переменных. Тогда члены ряда
£+(£-£)+·■·+(-&-£)+··· <6·δ>
будут по-прежнему удовлетворять соотношениям
02 Οι
Οι Ι '
rfi|<rlt ..., Ι^±1-
Но известен следующий признак Вейерштрасса.
оо
Если члены функционального ряда 2 ип(х) удовлетво-
ряют на множестве Ε неравенствам | ип(х) \-^qn (я=1,2,...),
где qn—члены некоторого сходящегося числового ряда
оо оо
2 Яп> то Ряд Σ ип(х) сходится на Ε равномерно.
Следовательно, ряд (6.5) сходится на Ε равномерно. Но
тогда по определению и дробь (6.2) сходится на Ε
равномерно.
Поэтому мы имеем следующую теорему (Скотт и
Уолл [86]).
Если числа rl9 r2, ... удовлетворяют условиям (6.1)
оо
и ряд 2 rir2 · · · гп сходится на множестве Е, то
дробь (6.2) равномерно сходится на Е, причем
выполняется неравенство (6.3).

§ 6] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 53
б. В частности, множество Б мы можем выбрать на
основании следующей теоремы (Скотт и Уолл [86]).
Совокупность условий
Pi>l. knl< ίη~1 (л = 2, 3, ...), (6-6)
Pn-iPn
где р1У р2у ... — члены некоторой числовой
последовательности, достаточна для равномерной сходимости дроби (6.2)
и для выполнения неравенства
№<ϊ£τΓ·
1
1+ 2 </>ι-1)(/>2-1)···</'»-1)
• (6.7)
Из неравенств (6.6) вытекает, что в случае
бесконечной цепной дроби (6.2) имеют место соотношения
рп>1 (л = 2, 3, ...).
Неравенство (6.7) переходит в равенство, если сп = —
Pn-iPn
(η = 2, 3, ...). Для доказательства теоремы положим
-^ — tn и рассмотрим дробь
Ρη-ιΡη
ι А А
Τ— ι — ι — ...·
Обозначим ее п-ю подходящую дробь через -^ и положим
рхрг . . . рпНп = Н'п (п= 1, 2, . . .); #£ = 1. Тогда
соотношение (1.2) Hn=zHn_l — tnHn_2 примет вид
(л = 2, 3, ...),
откуда
=(pn-DO»».!-ΐ).·.(ρ2-ΐ)("ί-/φ =
=*(/>» — 1)(Ρ„-ι — 1)...(ρ2— ΙΧΑ/Α— 1)=;
= (/>» — 0(Ρη-ι— 0 · · · (Ρ2— 1)(Ρι— Ο.
(η=1, 2, ...).
так как Ях = 1. Следовательно, Нп > //η_ι > ... > /fq =^ 1
и #W>Q для /ι==1,2,,..

54 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
J ТТ
Положим теперь в теореме п. 2 rn= nt/ n~* (/1=1, 2,. . .).
Нп + 1
Равенствам (6,4) можно придать вид
#3 = 1 —t2 — ts, Н2 = 1 — ί2.
Умножив эти равенства на J*+t , имеем:
т. е.
rw (1 *w *w+l) == rnrn-2*n ~T~ Ы+l \n <^ **)>
r2(l — *2 — ts)=zt3, ^(1 —t2) = t2.
Но согласно условию (6.6) |£η|<!^· Поэтому
/Ί I 1 + £21 > Ί(1 — 1*21) > Ί (1 — k) = h> 1*21>
/·211+ £2+£3|>^ОЧ^I-Ч^зI)>'20-^2—*3)=Чз>Ы>
'"ηI 1 ι cn\ cn+i [^ rn\i '\cn\ " I cn+i 1)^ rn\^ *п Ы+ι) ===
— гпгп-2*п\^п+1 ^ rnrn-2 \cn\\\ cn+i I \n^ 3).
Таким образом, числа rv r2, ... удовлетворяют условиям (6.1).
Далее,
r r r h · · · ^+1 .
rlA2 ' ' ' rn — И И
— (Α—1)(Ρ3—1) ··· (Pi+t-1) = Pi (Pi—1) (/>2 — !)■ · -(Ρη + ΐ-1) =
P1P2P3 ' ' ' P2nPn±lHnHn+l (Pi — !) HnH'n + l
Hn.±i — H„ рл / 1 1
Pi "η+ι — Ηη ρ
Pi—1 ΗηΜη+ι Ρι~-1\Ηή Яп+1
Следовательно, ряд 2rir2 · · · rn сходится. Поэтому на осно-
w=i
вании теоремы п. 4 дробь (6.2) равномерно сходится.
Для оценки величины этой дроби К заметим, что

§ 6] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 55
Отсюда, так как
^ = ^-ι + (/Ί-1)(Ρ2-1)···(Ρ„-1) =
= ι + Σ(/ί— ΐ)(/>2—ΐ) ■··(/>»— О.
получим, что
" 1 1
*<1 +
/>1
Pi
Ι + Σ^ι-1)^-!)...^-!)
»=ι
Pi
Pi-1
ι + ΣΟί-1)^-1)···^»-1)
w=i
При cn = ^- последнее соотношение переходит в равен-
Ρη-ιΡη
ство, т. е. при
Р2— 1 Рз — 1 Аг — 1
(ря> 1, л=1, 2, 3, ...)
имеем:
А — Ръ
К
Рз
Рп
Pi
Ρί~\
1
1
ι + Σ (/ι— i) (л— i) - - - (,ρλ— i)
w=i
. (6.8)
Перрон [73] доказал этот признак без оценки К и при
более жестком требовании расходимости ряда
оо
Σ(Λ — ΐ)0>2—1)...(р«—1).
w=i
6. Рассмотрим теперь случай, когда pl=tl. Ясно, что
в этом случае оценка (6.7) становится неопределенной. Но
прир1=1 из равенства Я; —Я;_1 = (/?1—1) ... (рп—1)
(/г=1, 2, . . .) имеем:
Н'п = Н>п_х^..,=Щ=1 („=,!, 2,..,),

56 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Отсюда
Η у, ==
п ' Р1Р2 ---Рп
Проверим равенство
Ηn+i === (1 *п Ы+г)**п-1 *п-\Ы"п-з \п <^ **)·
Здесь оно примет вид
J . _(1 Рп—\ __ Рп+\— 1\ L
ΡιΡ2 · · · Pn+i \ Ρη-ιΡη PnPn+i J Pi-·- Ρη-ι
(Ρη-ύ(Ρη-Ι) {η>4
Рп-гР\-\РпР\Рг--Рп-ъ
т. е.
^-iV«+r''n+i(^-1)"''n-i(/'«+i 2)~
Ρηρη+1 ρη-ιρηρη+1
Далее, проверим равенства Н3— l—t2 — td и //2 =: 1—12.
Имеем:
1 = j />2—1 А—1
AAA Ρ1Ρ2 А/>з
lsEAAA(ft—О—А(Р8—О (А= О.
_Lsi_fc_2 (A=i).
РгР2 PiP2 Kyi J
Таким образом, все эти равенства удовлетворяются. Далее,
при Яп = имеем;
v n Р\Р2 ---Рп
гп = ^п+1 7, „ Pi · · · /Wi === tfi+iPnPn+i ~ /Vfi * *
Pi- - - Pn-i
00
Поэтому сходимость ряда 2 'Ί^ · * * rn равносильна сходи-
n=l
мости ряда
оо
Σ(Α—1)(А—0 ··· (Ан-ι — О,
Отсюда мы имеем, следующую теорему,

§ 6] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 57
Совокупность условий:
1) Ρι=1.
2)КК-£^- (л = 2, 3, ...).
Рп - iPn
оо
3) ряд 2(^2— 0(Рз— О · · · (Рп+1— О сходится
w = i
— достаточна для равномерной сходимости дроби (2.4) #
для выполнения неравенства
оо
|*|<1 + Σ(Λ—1)(Л—1) ··· (Ан-2—О-
При сп== — последнее соотношение переходит в ра-
Ρη-ιΡη
венство, т. е. при
Ръ~ 1 Ръ— 1 Рп~ 1
/Г ! />2 />2Рз Pn-iPn
(ря>1; * = 2, 3, ...)
имеем:
/С — i_ ^2~ 1 А*— 1 Аг~ 1 __
1 — Р2 — Рг — ... — Рп — · · ·
оо
= 1+^](Р2— 1)(Р«—О ···(/>„+! — О·
w = l
7. Положим рп = —-~г-. На основании условия | ся | <С
<; Рп~^~ имеем 2п-\- 1 > n-\-k, т. е. £ < 3. Далее,
Рп— 1 _
Pn-iPn
2п + 1
n + k
2п—\ 2п + \
(n+l—k)(n+k—\)
"^ 4я2 _ 1
п2— (Л—1)2
4п2 — 1
л+ £— 1 я + £
Отсюда условие
КК"а7/Л1)а (« = 2,3,...) (6.9)

58 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
достаточно для равномерной сходимости дроби (2.4), причем
при ft φ 2
\к\<
1 — k
1
+Σ
-k 3-
n + l
η=ι
l + k 2 + k
n + k
(6.10)
так как
Pi ^ 3_
Λ"1 (1 + */ 3
l+k
Pn~
n + l
n + k ·
Из (6.9) следует, что ft должно удовлетворять неравенству
4 — (^ — I)2 > 0, т. е. (3 —ft) (l-fft)>0, —1 < ft < 3.
8. Обозначим общий член ряда
л + 1
w = i
l+k 2 + k '" n + k
через ип. Тогда
ln+l
n+l + k
n + 2 — k
l+k
1 Ι η * n2 I ' ' ' '
где
ai + 2 —ft= 1-f-ft, cc1 = 2ft— 1.
По признаку Гаусса ряд 2 ип сходится при 2ft—1 > 1 и
η=ι
расходится при 2ft— 1^1, т. е. сходится при ft > 1 и
расходится при ft<; 1.
Поэтому оценка (6.10) при — 1 < ft<^ 1 имеет вид
1*1<о
(6.11)
и лишь при 1 <ft<3 сохраняет вид (6.10).
л гт *_ о 2п+ 1
9. При ft = 2 имеем рп = —-~^ , откуда, в частности,
/?г == 1. В этом случае условие (6.9) примет вид
ki<t&eV ^2· 3····)·

§ 6] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 59
причем (см. п. 6)
оо
W = 2
оо
==1 + 6Ση(η+1)(η+2)=1 + 6(?~^) = 4·
η = 2
1—П2
В частности, при en ~ ___γ имеем:
3 8 15
А —1 3-5 5-7 7-9
2 1 — 1 — 1 — 1 — ..
т. е.
1 1 3 8 15
/г2—1
(2л — 1) (2п
1
/22— 1
+ 1)
2 3 — 5 — 7 — 9— ...— 2/2+1
2
10. При k=-y имеем рп~2. В этом случае условие
(6.9) примет вид
|'»1<7 (" = 2> 3, ...). (6.12)
причем согласно оценке (6.11) |/С|<2. Условие (6.12) было
дано Ворпицким [107], Слешинским [7] и Прингсгеймом [78],
но без оценки. В частности, при сп = — —
_1_ ±
9-1 11
z ~ ι — ι — ι +...'
т. е.
1=4-Т-...-¥-...· <6ЛЗ>
Заметим, что при выполнении условия (6.12) можно
уточнить оценку цепной дроби. Действительно, дробь К можно
представить в виде
*-_■_.
где
w l+1 + i +··.·

60 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Дробь
W
4^2
J_ £l СА-
1 + i + ι +
удовлетворяет условию (6.12), и поэтому
W
4сп
^2, откуда
1
\w I^C 8 \с21. Но согласно условию (6.12) | с2 |<!-j ·
Следовательно, |ό>|^2. Поэтому из равенства 1-(-—- = — имеем
<т. Пусть К=х-\-1у*
Oil = 4
К-\
К
Тогда неравенство
откуда
АГ— 1
К
К
^ -ψ примет вид
X'
{х— 1)2Ч-^2< *\^ . З*2 —8* + 4 + 3.у2<0,
8 I 4 I 9 ^ (\ ( 4\2 I 2 I 4 1б ^(\
(*-4)2+^<4·
Следовательно, неравенство
венству
/С-1
К
^ -у равносильно нера-
*-т
<
3 *
(6.14)
Следовательно, если члены звеньев дроби (6.2) удовлетворяют
условию (6.12), то эта дробь удовлетворяет условию (6.14).
11. Из условия (6.12) вытекает следующая теорема (Ван
Флек [102], Прингсгейм [79]).
Условие
0<cn<g (л = 2, 3, ...) (6.15)
-[т'Ч
схо-
досташочно для того, чтобы дробь К
далась в круге | ζ | < τ- κ регулярной аналитической
нерациональной функции, которая также равна ряду, соот-
К-
<
3 *
ветствующему этой дроби, причем
В самом деле, для этой дроби условие (6.12) примет вид
К*Кт («==2,з,...).

§ 7] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 61
Но согласно условию теоремы |сп|<!£. Поэтому условие
(6.12) имеет здесь место лишь для тех значений ζ, которые
определяются неравенством \gz\<.~r, т. е. | ζ \ < τ- , что
и доказывает теорему.
§ 7. Признаки сходимости предельно-периодических
цепных дробей
га ι°°
1. Цепную дробь \-~ , у которой αν=£0, lim αν = α,
lim Ън — Ъ, называют предельно-периодической. Такие дроби
v-»oo
имеют большое прикладное значение.
2. Теорема. Условие lim sup | cv | ^ g достаточно
v-»oo
для того, чтобы дробь
сходилась в круге |^|<т- {исключая могущие там быть
полюсы) к регулярной аналитической нерациональной
функции, причем полюсы последней являются точками
несущественной расходимости дроби (7.1). В окрестности
нулевой точки эта функция равна ряду,
соответствующему цепной дроби (7.1) (Ван Флек [102], Прингсгейм [79]).
Доказательство. Так как по условию lim sup | £v |<Cg\
v-»oo
то существует такое w, что при ί^ η имеет место
неравенство |£ν|<^+ε· Поэтому согласно теореме п. 11 § б
tc ζ~]°° Ι
-f- при Ι ζ Ι < Af , γ сходится к регулярной
аналитической нерациональной функции, которая при \ζ\ <
< 4( |ч равна ряду, соответствующему этой дроби. Но
тогда согласно теореме п. 14 § 4 дробь (7.1) равномерно
сходится в круге \ζ\ < -τ-—-ц-г- (а, следовательно, и в круге
|<ζ|<τ-, так как ε можно сделать сколь угодно малым),
за возможным исключением конечного числа точек несуще-

62 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [гЛ. I
ственной расходимости, к однозначной аналитической
функции, регулярной в круге |г|<т—, за исключением
конечного числа точек, являющихся полюсами этой функции.
3. Выбрав в теореме п. 2 в качестве g любое сколь
угодно малое положительное число, приходим к следующей
теореме (Прингсгейм [79]).
Условие lim εΊ = 0 достаточно для того, чтобы дробь
ν-»οο
(7.1) равномерно сходилась в любой конечной области, за
исключением конечного числа точек несущественной
расходимости, к аналитической функции, которая регулярна
в окрестности нулевой точки, а в остальной части
области регулярна, за исключением вышеуказанных точек
несущественной расходимости дроби (7.1), которые
являются полюсами функции. Точка 2 = оо является
существенно особой точкой этой функции,
4. Пусть теперь lim Сч — сфО. При изложении этого
v-»oo
случая мы будем следовать работе Прингсгейма [79].
Рассмотрим сначала сходимости дроби
cz cz cz
Т + Т + Т+...
(7.2)
Для этой дроби формулы (1.2) примут вид
Р0 = 0, Px = cz, Pn+i^Pn+czP^ (я>1),
Qo=b Qx=l, Qn+i=Qn + czQn-l (л>1).
Следовательно, при п^> 1 Pn+i и Qn+ι удовлетворяют одному
и тому же соотношению
Аг+i — Dn — cz Dn_r = 0. (7.3)
Обозначим через и и и' корни квадратного уравнения
у2 — у — с2 = 0, причем предположим, что | и' |<I | и |. Тогда
u-{-u'=i, uu' = — cz. (7.4)
Поэтому соотношение (7.3) примет вид
Dn+1 — (и + и') Dn + uu' Dn-i = 0,
т. е.
Dn+i — uDn — и' (Dn — uDn-i).

§ 7] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 63
Отсюда
Dn_x — uDn_2 = и'п~2 (Dt - uD0),
Оп-г — "Дг-з = ^/П~3 (Οι - "Do)>
Dt — aD0 = Dl — uD0.
Умножив первое из этих равенств на 1, второе на ау
третье на и2 и т. д. и затем сложив эти равенства, получим^
Dn—a-D0 =
= (и'п~1 + и'п~2а + . . . + и'ип-2 + ип~г) · (D, — aD0)\
если здесь ифи'У то это выражение можно записать в виде
пп __ ит
Dn - «»D0 = ~~г (D, - uD0).
В частности, учитывая, что Р0 = О, Рх = с^гг, Q0 ^ Qi == 1»
получим:
Р„ = — —cz = γ-uu ,
n a — w a — w
an_am un-u'n , ип+1-и'п+1
Q =zan-\ — (1 — и)=*ип-\ — «' = . 7—.
^n ' a — w v ' ' и — а' и — и!
Следовательно,
Qn ип+1 — и'п+1 /*Αη+1
Ε.)
αα =s— --и .
Отсюда при |й'|<|и| имеем lim γ~ = — #'.
При I # I = [ #' | из и-^и' =\ следует, что или и~и' =
s=a -^ , или они — комплексно сопряженные числа.
В случае и = а —ίϊ имеем:

64 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
lim -~- = lim
n-»oo *
Qn „-»ooV 2(n+l>; 2
p
т. е. lim γγ1 = — и', как и ранее.
n-»oo Vn
В случае комплексно сопряженных и и и' lim ^— не
существует, т. е. дробь (7.2) расходится. Случай | иг | > | и
невозможен, так как по обозначению | и'| <! | и |.
б. Так как и и и,' — корни квадратного уравнения у2—
—у—cz = 0, то
и==—!—^—FrJ , а = —к-■ .
При |й/| = |й| имеет место равенство | 1-}-У 1+4сг| =
t= | 1—|/Ί-|-4£2|. Оно возможно или при 1 —f- 4г2г = 0, или
при 1 -\-\cz < 0, так как в последнем случае и и иг являются
сопряженными комплексными величинами.
Таким образом, в случае несуществования предела
ρ
lim -^- cz есть вещественное отрицательное число, удовле-
творяющее неравенству cz < — -j- . Следовательно, дробь
(7.2) сходится на плоскости комплексного переменного ζ,
разрезанной вдоль вещественной оси от бесконечно удаленной
точки до точки (— —, 0), причем разрез не проходит через
нулевую точку. При этом дробь (7.2) равномерно сходится
внутри любой конечной области, целиком лежащей внутри ее
области сходимости.
6. Докажем, что дробь (7.1) при lim с^ = сф0 сходится
v-»oo
при тех же условиях, что и дробь (7.2). Для дроби (7.1)
формулы (1.2) примут вид
Р0 = 0, Рх= cv Рп.п = Рп + cn+1zPn_, (я > 1),
Следовательно, при п^\ Ρη+ί и Qn+1 удовлетворяют
одному и тому же соотношению
Dn+i — Dn— cn+lzDn_x = 0. (7.5)

§ 7] признаки сходимости 65
Рассмотрим последовательность чисел #v, «', где ч^>
>-д0>0, определяемую равенствами
"v-f- < = «V + 1-+- < + 1 ^"^ Л< + 1=—*v + l*· С7'6)
При этом будем считать, что при всех ν имеет место
неравенство |«'|·^|#ν|· Воспользовавшись равенствами (7.6),
придадим соотношению (7.5) вид
η + ί ν η+1 ' η+1' η ' η η + 1 η-1
т. е.
D л—а П =u'AD —и D A (7J)
n + l n+l η n+lv η η n-17 v 7
7. Докажем, что при надлежащем выборе числа п0
последовательности чисел tfv и и' определяются однозначно, причем и^
и й\ при неограниченном возрастании ν равномерно сходятся
в области равномерной сходимости дроби (7.2). Для этого
предположим, что lim av и lim и' существуют, и введем
v-»oo v-»oo
обозначения lim #ν = #, lim a^ = ur. Тогда согласно равен-
v-»oo v-»oo
ствам (7.6) и и иг удовлетворяют равенствам (7.4).
. Из (7,6) следует, что
т. е.
Отсюда при учете равенств (7.4) вытекают следующие
преобразования:
αΊ (и — 1) — οΊ + 1ζ — ιιΊιι' -f- uuf -f- cz — οΊ + 1ζ
« —«v+i— - - —
a' (a — ttv) + C~Cv+1c<r u'(u — uJ — ?—^uu'
и — (и — av) и — (и — tfv)
Mv g·— gy + t
tt
,1_(1_^
5 Зак. 1617. Α. Η. Хованский

■66
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОВЕЙ [ГЛ. ι
Обозначим через Τ область равномерной сходимости
дроби (7.2). Согласно определению для всех ζ£Τ имеет
" и''
и
, имеем для всех ζ£Τ неравенство 0<Л1<1.
Следовательно, для всех ζ£Τ имеет место неравенство
место неравенство
К
max —
и
< 1. Поэтому, обозначая через Μ
«v4t
<м
1-
и 1
1 —
+
1
1-ί
и I
ν 4-1
С
(7.8)
8. Пусть для некоторого ί и для всех ζ£Τ справедливо
неравенство
1—-
< 1—W,
(7.9)
.где под N пока понимаем некоторое число,
удовлетворяющее неравенству 0<Л/<1. Тогда 1
(7.8) примет вид
1
1
Цу-И
1 —
а,.
+
1
\>Ν, и
(7.10)
9. Выберем так возрастающую последовательность
натуральных ч*исел ηλ (λ = 0, 1, 2, . . .), что при ч>-ях
1
£ι±ι
с
<Νλ"1(1— Ν)2.
Это всегда возможно сделать, так как lim £v
ν-»οο
: с. Тогда
(7.10) примет вид
1
Цу4-1
и
<
1
τλ-2
-{-ΜΝ*-'(\ — Ν)2. (7.11)
10. До сих пор мы еще не выбрали znQ и не установили
связь между Μ и ΛΛ Определим ζηύ равенством гПо = Νζ и
положим М = №. Тогда неравенство (7.9), в частности,
примет вид
1 —
1
щ
а
= 1 — N. Поэтому из (7.11) следует:
ищ±} | < N2(1 _ дг) + А^(1 _ дг)2 = дг(1 _ ДГ),
откуда, так как Q < N < 1, 1
я 4-1
^|<·-
Λ/.

§7]
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
67
Полагая в (7.11) ν=/ι0-|-1, п0-\-2, ..., пг—1,
получим точно так же неравенства
1
*га0 + 2
*га,+3
<Ν(1—Ν),
<Л/(1—Л/),
1 —Zlh
<Л/(1— N).
Но тогда из (7.11) следует (так как в этом случае λ = 1):
*Щ-\-1
</V8(l — A/) + N2(l— N)2 = N2(\— N)
и, тем более,
Точно так же
гщ+1
<Ν(\—Ν).
и,
щ + 2
и
<Ν*(\—Ν),
1
*га, + 3
<ЛР(1—Л7),
и
<Л72(1—Л/).
Но тогда из (7.11) следует:
и.
1
*иа + 1
< дгз(1_дг)
и т. д. В конечном счете получим:
1
Ή+f·
А+1
<Νκ+ι(1—Ν) (μ=1, 2 ях+1 — Λλ).
Отсюда, обозначив тах|г| через # в области Г, имеем при
для всех точек области 7. Следовательно, в Τ lim #v = #,
ν -» оо
причем #ν стремится к й равномерно.
5*

68 некоторые вопросы из теории Цепных Дробей [гл. ι
11. Остается доказать то же самое для и' и —. Но
ν и
«' — <=(1— а) — (1— «,)=— (a — «v)f
откуда в Τ lim u^ = u't причем и'ч стремится к и равно-
V -> СО
мерно. Далее,
а
а
и,
1-й 1 — м
Но из соотношения
— — 1
и
<1
следует, что
Поэтому
—1<1, т. е.
<2 и
и»
<2.
г
ι "ν tt
<4|й — «ν|, откуда в 7 lim —
V -» ОО WV
/
U
а
причем — стремится к — равномерно.
12. Пользуясь формулой #ν(1—αΊ+1)=^ — οΊ+1ζ,
вытекающей из (7.6), можно определить αΊ и при ν < п0, пока
величина 1—αΊ+1 не обратится в нуль. Тем самым мы доказали
однозначность иг Но тогда с помощью соотношения и' =
= 1—#ν доказана и однозначность и\
13. Вернемся теперь к равенству (7.7). Заменив в нем η
на ν, придав ν значения т, т -\- Ι, ..., η— 1 и перемножив
получившиеся равенства, получим:
п-1
п-1
п-1
П(Д+1 — «ν+1Α) = Π«ν+1 Π(0* —«A-l).
т. е.
^п ап^п-1 ===
Будем считать, что п0^т<^п—1.
. -JL. (7.12)

§ 7] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 69
Заменив в (7.12) η на η— 1, η — 2, . . ., т-\~ 1, получим
ряд равенств:
Аг-1 Un-l^n-2==:z f f f
{П r-v ч ит + 1 ит + 2 ип-1
— ^m+l^m+2 · · · ^n^-lK^m "т*Л»-1/
ит + 1 ит + 2 ип-1
ttm + l ага + 2 αη-2
um+lum+2 · * · Un-2 \Um amum-2) Ζ 77
m + 2
U„
Умножив эти равенства соответственно на ип, ип_хип, . ..
.. ., um+2am+z . . . ип и сложив их с (7.12), получим:
где
Отсюда
11 11 11 III/ I \ III/ III/ III/ L/ IIVII/ \ /
um±lum-h2 · · · un
Это — решение разностного уравнения (7 J).
14. Напомним, что под Dn мы понимаем как Рп, так
и Qn. Поэтому из (7.13) получим:
*п *т ~т \*m Um'm — V amn
г
ит+1
Dn
Г Г
ит + 1 ит + 2 ι
— П -Х-(Г
ι итЛЛит + 2 '
итл-1атЛ-2 ·
) —и Г) An
г
.. ип
- .
Qn Qm Η" (Qm ~~ umQm-i) атп
(7.14)
Но ряд
Σ <W (7.15)
сходится в Τ по признаку Даламбера, ибо lim
η -» оо
<М<1.
"-га ι
г г
ип и
Докажем, что в силу равномерной сходимости — к —■ этот
ип и
ряд сходится в Τ равномерно. В силу неравенства Μ <^ 1

70 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
всегда можно выбрать такое δ > 0, что Λί + δ<1. Тогда
г г
и и
вследствие равномерной сходимости — к — можно выбрать
ип и
такое т, что при ч^ т
<
-f-S<; Ai-f-δ,
откуда
г г г
ит + 1 ип + 1 , , ит-\-1
га + 1 ' ' ит + 1 ип+Р I
(М+Ь)п-т+1
<
1 — (Λί + δ)
При надлежащем выборе η правая часть этого неравенства
становится сколь угодно малой для всей области 7\
независимо от р. Тем самым равномерная сходимость ряда (7.15)
в Τ доказана.
15. Обозначив через от сумму ряда (7.15), имеем из (7.14):
1i*m =. \*т — ит^т — У σηι
Следовательно, дробь (7.1) равномерно сходится в любой
области, целиком лежащей в Г и в которой Qm~\~
16. Заметим, что система уравнений
Рт~Т~\Рт am"m-l)°m = 0»
несовместна. В самом деле, из нее следует при от=0, что
Pm=Qm = Q> а при отф0, что %± = %*=±. Но такие
vm Vffl-1
равенства невозможны из-за строения дроби (7.1).
17. Далее равенство Qm-\-(Qm—umQm_1)am = 0 не может
тождественно выполняться в любой конечной области, лежащей
в 7\ так как Qw-f-(Qm — umQm-i)°m—аналитическая
функция от zy и поэтому она имеет в Τ лишь конечное число нулей,
Таким образом, мы доказали следующую теорему,

§ 7] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 71
Условие lim £v = с Φ О достаточно для равномерной
V -> ОО
сходимости дроби (7.1), за исключением конечного числа
точек несущественной расходимости в любой области
ТсТ, где Τ есть плоскость комплексного переменного ζ
с разрезом по вещественной оси от точки (— j-, 0] до
бесконечно удаленной точки, не проходящим через
нулевую точку.
18. Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда
дробь (7.1) расходится на всей отрицательной части
вещественной оси. Предварительно докажем следующую лемму
(Ван Флек [101], Иенсен [34]).
[1 1°°
— обозначение αν = |α, \elv>. Тогда
совокупность условий
1) —|+ e<X<7f —ε (ε>0' *=1. 2> ···)>
2) α1? α3, α6, ... не все равны нулю
достаточна для существования пределов lim γ~^, lim 2n+1 .
Обозначим через Qn число, комплексно сопряженное с Qn.
Тогда из равенства (1.2)
Qn = anQn -1 I Qn- 2
имеем:
QnQn-l = an\ Qn-l I ~r~Qrj-lQn-2»
т. е.
Re(QwQn„1)=|Qn-il2Re(an) + Re(Qn.1Qw„2). (7.16)
Отсюда
Re(Q^Qn_i) =
= |Q0|2Re(a1) + |Qil2Re(a2)+...+|Qn-il2Re(aJ. (7.17)
Пусть a2v+1 — первое из чисел alf a3, ..., не равное
нулю. Согласно условию 1) такое число существует. Тогда
Q0 = Q2=...=Q2v=l,
Qi = Q8= ...=Q2v.i = 0,
Qgv+i = а2лч-;·

72
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Согласно условию 1) Re(av)> 0 (v= 1, 2, . . .), если αν=£θ.
Тогда из (7.16) имеем:
-Re(QwQn-i)>Re(Qn^Qw_2)> . . . > Re (Q2v+1Q2v) =
= Re(a2v+1)>0.
Поэтому подходящие дроби, начиная, с 2v-ft, имеют смысл.
Следовательно, при π^2ί~\-\ имеем согласно (1.7):
Но
W+1
Рп-
п-1
Qn+t Qn-i
аП+1
Qn-iQn+i
I *n I = 11 *n I cos vn + /1 an | sin vn | < | an | cos vn +1 an | sin г>п <
< Re (aj.(l +| tg*/J).
Из условия 1) имеем:
|tg*U<|tg(|- — e)J=ctge.
Значит,
|aJ<(l+ctge)Re(aJ. (7.18)
Отсюда согласно (7.16)
Pn+t Pn-\
Qn±i Qn-i
< 10nl2(l + ctgs)Re(an+t)
I Qn+iQn\ I QnQn-il
^ Re (Qn+x~Qn) — Re (Qr&n-t) ^ , . ,,
^ ReiOn+tO^ReiOnQn-i)
1 1 Vl+ctge)<
<
Re(QwQn-i) Re(On+iOn)-
1 1
Re (QnQw-i) Re (On+20^+i)
=—)(l+ctge).
iVn+t V
Таким образом, разности n
V2ra + 1
2^-2
Q2n-i Оггг Огп-2
являются членами абсолютно сходящихся рядов.
Следовательно, lim 2n+1 и lim -~^- существуют.
19. Оценим теперь Re(QnQn-1) снизу. При η — 2;>2ν
имеем:
On
Qn-
a7iQn-l~l· Qn-2
Qri~2
<i +
anQn-tQn-l

§ 7]
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
73
Отсюда, пользуясь (7.18), получим:
Qn-
<1
Qw-il2(l + ctg£)Re(ara)
Re(Q„-iQ„-2)
Учитывая (7.16) и помня, что Re(Qre_1Q„_2)>· Re(Q2v+1Q2v),
придадим последнему неравенству вид
Qn
Qn-i
<" 1 -L- ^е (QnQn-ύ— ^е (Qn-tQn-ъ) /ι ι cfe е\
^ "^ Re(Q2> + 1Q2v) ^ ~^ * h
Но так как по предположению Q2v=l, Q2v+i=a2v+i» T0
с помощью (7.18) получим:
1
1
<
1 + ctgs
Re (Qav+iQav) Re (aa*+i) Ι α2> + ι
Следовательно,
О-
iy^f[Re(QnQn_1)-Re(Qn_1Qn_2)]
Qn-
O'^ + i1
Отсюда
0» 1
o,.-J
I Qn-2
\ Qn~i
...l)<e|a2,+ l
^^{|Κβ(ς.Λ_1)-Εβ(ρ„_Λ_2)ΐ + ...}
HO
[Re «?nQn_,) — Re (<?„_ Д^2)1 +
+ lRe(Q„-2Q„_3)— Re(Q„_3Q»-4)]+ · · · =
= Re (Q„Qn-i) — [Re (<?„_ ,θ"„_2) — Re (Qre_2Qre_3)l -
— [Re(Qn_8Q„_4) —Йе(<гя_4"ёп_в)]+ .. ;
в силу (7.16) разности, стоящие в квадратных скобках, ^ 0;
последнее слагаемое есть — Re(Q2v+2Q2v+1) или — Re (<?2v+iQ2v)»
которое (также в силу (7.16)) не положительно, поэтому
[Re (Q„Q«-1) — Re (Qn-iOn-z)! + [Re (Qn-iQn-s) —
— Re(Q„_8Qre_4)]+ . . .< Re(QnQn_x).
l) В случае четного п последний множитель в данном произве
дении будет
,@2ν + 2
:Q2v
,в случае нечетного —
Qgv+3
Qi>
+ι

74 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Следовательно,
Qn
<?»-
l<?«
(l + Ot!?S)»
*><«„«»_,)
...<*!«*+1" nn~V^kn
Qn-21
Таким образом,
I Qn |< I <?2v Ιλ» (» — четное),
iQnKlQzml*»» (« — нечетное).
Но так как Q2,= I» Q24+1 — α2ν+1, то для любого η^-2ν-|-2
|<?»1<(1 + |«2ν+ι|)λη· (7.19)
Заметим, что
I Qam I = Ι «2ν+ι К (1 +1 «2v+i De*+«>*·>*,
откуда (7.19) верно и при n = 2v-(-l.
Имеем далее согласно (7.16), (7.18) и (7.19)
^(QnQn-i)— ^(Qn-iQn-2) =
= |<?,-1|'Re(^=IQ^j;,Re(a-')>
> tRe(Q№Q„-t)PRe(a№) [Re (Q2,+1Q2,)P| "η Ι =
^ (1 + Ια2ν+ι1)2λ« ^ (1 + ctg ·) (1 + Ι β2,+1|)2λ*
[Re(«2v+1)]2|«,
>
4, + ΐΙ%Ι
(1 + Ctg ε) (1 + | a2v+1|)^ ' (1 +Ctge)J (1 + | <*2v+11)^
(l + Ctgs)3(l + |a2v + 1|)2
Отсюда, так как e?>^ — e00*^Χι — x2 ПРИ χι > x2>
еВ* ЙА-1» _ eRe <«n-l«n-2> >
2(l + ot<?s)J
Re №„<?„_,)
>
(l + Ctge)3(l + |a2, + 1|)2 «
Умножив обе части этого неравенства на
(rt>2v+l).
2(1 + 0^»)'
е '^ti1
κ°«2Λ-ι>

§7]
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
75
получим:
г1+*£-**] ReW? ς■ j
α?.., , Ι α
(l+Ctge)3(l+|a2v + 1|)2
°&+lle„l
ι (l +
ctgs)3(i-перекладывая такие неравенства при η = 2ν—(— 1, 2v-f- 2, . . .,
получим:
^regfl-цд^ -u. ν κι
^-(l+ctg£)3(l + |a2v+1|)2 2л |aft|·
Отсюда
Re(QnQn-i)> I a2, + 1| +22^1 +ctg£)2><
Χ ίϊη /1 I , U^llT, ^2+1П У l«ftll
74 L (1 +Ctge)»(l + |aa, + tl)2 ] *U ' felJ
(«>2v+l).
oo
Таким образом, расходимость ряда 2 Ι α& Ι достаточна для
_ Λ==1
неограниченного возрастания Re(QrlQrl_1) при я —► оо.
20. Докажем теперь, что при выполнении условий леммы
оо
п. 18 дробь — сходится (расходится), если ряд Vafc
к = 1
расходится (сходится) (Ван Флек [101], Иенсен [34], Штольц
и Гмейнер [94]).
оо
Мы знаем из п. 6 § 4, что сходимость ряда 2 ак
всегда достаточна для расходимости дроби — . Пусть ряд
LafcJi
оо
2 afc расходится. Из (1.3) имеем:
к = 1
*п * п —1
■ = —±— <■
IQnOn-il IQnOn-il Re(Q„Q„-i)

76 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. I
Но мы только что видели, что расходимость ряда 2 ак
достаточна для неограниченного возрастания Rz(QnQn-i)
при п^оо. Следовательно, она достаточна и для сходимости
дроби [±]~
Если все ак положительны, то все vk равны нулю, и мы
вновь получаем признак Зейделя.
21. Пусть <χν α2, ... являются функциями любого числа
переменных в некоторой области 5. Тогда при выполнении
условий леммы п. 18, причем 0 < А < | α2ν+11 < В во всей
оо
области 5, равномерная расходимость ряда 2 ак в ЭТ0Й °б-
к=1
ласти достаточна для равномерной сходимости дроби —
в этой области (Перрон [73]).
Заметим, что из леммы п. 18 следует:
^w-l r ^η-ί + 2μ. ^1 *η-1 + 2μ. rn + 1+2\
Qn-ί μ.-»οο 0η-1 + 2μ. Ι ^1 Qw-l + 2i* Qn-hl-h2\
οο
< (ι + ctg ε) V Γ L L·, 1:
TTq »-Re (Qn^tyQn-l + ty) ^e (0n + 2 + 2^0n + l + 2p.) J
= (l+ctgs)i L lim L 1.
LRe (QnQn-i) μ·-»α> Re(Qn+2!J.Qn-i+2p.)J
Отсюда в случае сходимости дроби —
Рп-1 л. Р\>.
О llm о"
Vn-l ^_>.ooV(i
1+Ctge
^> 1
Re (Q„Q«-i)
Ho
Re(Q„Q„-i)>
> 2(l+ctgs)2-fβ [In(l-f-ctg£)3(l + B)2 + ln 2^ la*'J
Jf = 2v + 1

§ 7] пРйзнлки сходимости 77
Если ряд 2 I аи I расходится равномерно в области 5, то
для любого сколь угодно большого положительного числа Μ
можно подобрать такой индекс т, что для всех η > т во
т
всей области 5 имеет место неравенство ^\ак\^> М. Таким
k = l
Г 1 ι°°
образом, дробь — равномерно сходится в области 5.
LafcJi
22. Отсюда вытекает следующий признак сходимости
(Стильтьес [92]).
Совокупность условий
1) а1? а2, ... вещественны и неотрицательны,
2) alf а3, . . ., а2п+1, . . . не все равны нулю,
оо ·
3) ряд 2 ак расходится
к = 1
достаточна для равномерной сходимости дроби
в любой области U вида 0 </·<;/?, —π-|~ε^φ^π — ε
(ε > 0).
Для доказательства представим эту дробь в равноценном
виде
Υ?βΎ ι ι
*ю ΐφ гш_ (7.20)
у г у г у г
Так как 0
со
<г<^/?, то ряд V ~/— равномерно расхо-
дится в U. Дробь (7.20), деленная на Υ re2 , удовлетворяет
условиям теоремы п. 21 и поэтому равномерно сходится. Но
I - — I
так как \Y~re2 | <С/?, то этот множитель не может нарушить
равномерной сходимости. Следовательно, признак Стильтьеса
доказан.
Этот признак можно формулировать следующим
образом:

78 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [гЛ. Ϊ
Совокупность условий
1) а1У а2, ... вещественны и неотрицательны,
2) alf a3, . . ., a2w41, ... не все равны нулю,
оо
3) ряд 2 afc расходится
достаточна для равномерной сходимости дроби —
в любой конечной области, лежащей внутри плоскости
комплексного переменного ζ, разрезанной по
отрицательной части вещественной оси.

ГЛАВА II
РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Решение одного уравнения Риккати
с помощью цепных дробей
1. Лагранж [43] предложил следующий способ решения
дифференциальных уравнений с помощью цепных дробей.
Пусть дано дифференциальное уравнение, связывающее у
с х. Пусть y^t0 при малых \х\. Положим у = у-£— и
подставим это соотношение в исходное уравнение. Получим
дифференциальное уравнение, связывающее у1 с х. Пусть
^^^ при малых |л:|. Положим у1 = —±— и повторим тот
же процесс. В итоге мы придем к решению исходного
уравнения в виде цепной дроби Uj4 . ξν удобнее искать в виде
av*\ где αν>0.
2. При решении дифференциальных уравнений по методу
Лагранжа далеко не всегда удается найти общий
член-цепной дроби, являющейся решением уравнения. Поэтому
представляет интерес рассмотреть такое дифференциальное
уравнение, решение которого по методу Лагранжа выражается
цепной дробью с известным общим членом и из которого
получаются разложения в цепные дроби многих
употребительных функций. В качестве такого уравнения мы возьмем
уравнение, решенное Санилевичи [82] по методу Лагранжа,
у а + Ьх ^
4-flj е* ι у-1—]у it π η
^\х ^ a + bx ~ c + fx )y x(a + bx)(c+Jx)' ^l·1'

SO РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЁПНЫЁ ДРОБЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
где а, Ъ, с, /, g, /, λ, μ, ν—постоянные, причем λ + μ-f-
+ ν=1.
Заметим, что почти все уравнения, решения которых были
разложены в цепные дроби Лагранжем и Эйлером, являются
частным случаем уравнения
(а-1га/х)ху/-{-ф-]г$гх)у-]гЧУ2 = ЪхУ (1.2)
где а, α', β, β', γ, δ — постоянные.
3. Выясним связь между уравнениями (1.1) и (1.2). Для
этого исключим из уравнения (1.1) параметр μ и освободимся
в этом уравнении от знаменателей, считая, что а Φ О, с φ 0.
Имеем:
(а + Ьх) (с + fx) xyr =
= [X(a + £jt)(c+/jt)-Hl— λ — v)bx(c+fx)-\-vfx(a-\-bx)]y—
Разделив правую и левую части на ас Φ 0, получим после
небольших преобразований
('+4*)(ι+ί*)"'-[ι+Κ+7-Ί+'ί)*+
+2*>+£>,~г*(1+4*)·
Введем обозначения
Α_=η', Ζ=η, λ = -β, (λ + ν)η + (1-ν)η' = -β',
ас '' а
Тогда предыдущее уравнение примет вид
(1+η00(1+η*)*/ + (β + β'* — ηη^+Τ,ν2-
= 8а: (1-f-ηχ). (1.3)
При η = 0 получаем уравнение (1,2), в. котором положено
α=1, α/ = η/. Будем пока считать, что η/ =£ η.
4. Санилевичи [82] переводит уравнение (1.1) в
уравнение типа (1.3), но в котором η' = 0, η = —1. Положим
для этого
At __ Υ
1 + Βξ ' У— \+Βς '

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЙ РИ&КАТИ 81
Тогда
Л А (1 + Щ У — BY ,,
dx = jr+wdl dy=== о + ^)а— l
Уравнение (1.3) примет вид
η'Λξ у, , ηΛξ \ Αζ (1 + Βζ)Υ' — βΥ ,
(ΐ ι V^ Vi ι ^ξ ^ ^
л
. Γ, β'Λξ ηη'Λ9> Ι Υ ■
"^[Ρ^ι+βξ (ΐ+βξρ] ι + βξ π-
| ΊΥ* _. Μξ Λ , ηΛξ \
~τ" (ΐ +βι)2 ~ ι+βξ νχ "t-1+βξ .;·
Приведем уравнение к общему знаменателю и отбросим этот
знаменатель:
[1+(β+η'Λ)ξ].[1+(Β + ηΛ)8ξ(1+Βζ)Γ +
+ { — Ιΐ4-(β4-η'^)ί1·[ΐ+(β + η^)ξ]β$+β(ΐ4-β02 +
+ β'Λξ(1 + βξ)— ηηΜ*?} Κ+Τ(1+βξ)^2-=
= Μξ[ΐ+(θ+η^)ί1·(ΐ+Β6)
Положив
S-fV^ = 0, Β + η<4 = —1,
будем иметь:
— [ l'-h (θ -h ηΜ) ξ] [ 1 + (β +- VI) ξΐ βξ — WΑψ =
=—(ΐ — ξ)βξ+η£^2 =—£ξ[ΐ —ε(ΐ+ηΛ)1 =
=—βξ(ΐ+βξ)·
Уравнение после сокращения на 1-|-βξ примет вид -
(1— Е)£Г-И— βξ-|-β(1+^) + β^]^+Τ^ = δ^(1— 6).
или
(ΐ·_ξ)ξΓ + [β(ΐ_ ξ)+(β— β + βθ+βΜ)ί]^4-·ί^2==
==8Λξ(1—ξ).
Но .
(см. п. 3).
6 Зак. 1617. Α. Η. Хованский

82 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [гЛ. ΐί
Введя обозначение
δ _
V —η-m'
придадим предыдущему уравнению вид
5. Положим в (L4)
к^-А+^ + ШрЗ, (1.5)
где постоянная s пока является произвольной. Уравнение (1.4)
примет вид
s+ii-2i>-5<i-i)2'+({+^)(-{+^+i4dj)+
т. е.
S2a + (1 _2ξ)* —ξ(1 _ ξ)/ +(1-f--i-.) Χ
x[(-T + s^+^1-i)]2+i(rh)[(-7+sS)%2 +
+ 2(— γ+5ξ)ζ(1— ξ)* + ξ2(ι_ 9*] = ш*.
Соберем в этом выражении члены, содержащие одинаковые
степени ζ:
_ξ(1 — ξ)^+[ΐ-2ξ + β(1-ξ) + νί + 2γ(—£ + *?)]* +
это можно записать и так:
— ξ (1 — ξ) 2Г' И- [(1 — β) С1 — ξ) -Ь (— 1 — 2β -μ ν -h 2Ts) ξ] 2r -h
+ γ(1-ξ) l-sjz +ΎςΠ δ) U
|]ζ2 + τξ(1_ξ)==3,

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЙ РИККАТЙ 83
ИЛИ
— ξ(1 — ξ) г'-Н(1-. β)(1— ξ) + (— 1 _2β +ν+ 2^)6]* +
+ [—т-Н*(1-|-р —ν) —Ts*-+-^—^(TfNs —νβ-Η
+ T2S2_2pTs + p«)]z2H-T?(l—ξ) = 0.
Разделив это выражение на —ξ(1 —ζ), получим:
, , /ρ-1 ■ 1 -μ2β — ν — 2Ts\ __j ί
+ ί(1+β_ν)_γί2+_1_[Ν(τί_ρ)_|_(τί_β)ϊ]|2,2=τ>
ИЛИ
^+(^+1+2ρ1-νΓ2ϊ5)2+
+^)[,,-J(i+p-vm^-(T5^!lisf-H,)]^T· (1-6)
6. Чтобы уравнение (1.6) имело такой же вид, что и
уравнение (1.4), достаточно положить γ$ = β или γ$="β — v.
Рассмотрим сначала случай γ^ = β. Тогда подстановка (1.5)
примет вид
7 = _Ι(1_ξ) + ^^, (1.50
а уравнение (1.6) запишется так:
г' + С^ + ЙНщЫ—-^-»]^·
или окончательно
^(ΗΑ)ι+πΡό=,,μ (L7)
где введены обозначения
р! = Р—1, ν1=1—ν, /»1 = γ, Tl = /?t &-(1 —ν).
Заметим, что
ΤΥι = ^Τ — β(1— ν)·
6*

84 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ.'П
Повторяя многократно подстановку вида (1.5'), получим:
а/1 еч ι TTie (1 — ξ) TiTuSO—S)
- pu ν~τ~ —ptd—ξ) ч—Pad —e> +...
ТГ2п-1ТГап^(1—S) TanTan+tS(l—S)
•••H P»(i-6) +-P»+i(i-6)+·.·'
т. e.
γΚ = — 8(1—ξ) +
I TTflS TflTaS * T2«-lf2w^ f2wf2«+lS
Ρι+-Ρ2θ-«) + ···+-ΡίηΟ-6)+ -Pw+i +··
• (1.8)
Здесь постоянные βη определяются следующими
соотношениями:
Ρι = Ρ—Ι. β2 = β —2 β„ = β — »,
т. е.
— Рп = л — В.
Постоянные vn через ν выражаются так:
vt = l—ν, ν2 = ν, ν8 = 1—ν, ...,ν2η = ν, ν2η+1=1—v.
Наконец,
γΤι==ηίγ_ Β(1 — ν),
ΤιΪ2 = miTi — Pi О — vi) = TTi —(P — 0 ^ =
= /?ιγ— β + βν— βν-j-v = /?ιγ — β+ν,
Τ2Ϊ8 = ϊιΪ2 —Ρ2(1— ν2) = /ηγ — Β + ν — (β — 2)(1— ν) =
= /κγ — 2β — ν + 2-}-βν=/ηγ + 2(1 — β) — ν(1— 8) =
= «γ + (1—Β)(2-γ),
Τ3Ϊ4=Ϊ2Ϊ3 — Ρ»(1 —^) = »Τ + 0—Ρ)(2 —^) —(Ρ —3)ν =
= /«γ + 2 —28 —ν + βν —β^ + 3ν =
= 7„τ_|_2 — 2β + 2ν = /«τ + 2(1— Β + ν).
Предположим, что
T2n_iT2n = "*T + re(re— 1 — β + \>> 1 (1 9)
Τ2»Ϊ2η+1 = «Τ + (» — β) (Λ + * — V
:,)

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 85
Тогда
Τ2η+ΐΪ2η+2 — mZn+l"{2n+l Р2П+1 (* V2n+l) ===
= Ϊ2ηΐ2»+1 — (β — 2Л — 1) Ν =
= /rcT + i(ra-T-l) — β(»-Η) — ην -}- βν — βν +
= ι»τ-Ηη+ΐ)(»—β-И),
Ϊ2η+2Ϊ2η+3 == m2n+2~i2n+2 Ρ2ίί+2 Ο ν2ίί+2) ==
== Ϊ27Η-ιΪ2»+2 — (β — 2re — 2) (1 — ν) =
= «τ_|_(„_|_1)Λ_(η_|_1)Ρ + („4-1)ν — β-+-
+ 2η + 2 + βν—(2η + 2)ν =
= ί»γΗ-(»+ !)(» +2)—(»4-2)? + Ρν—(«+1)4 =
= ι»γ+(» + 2)(Λ+1 —β) —(Я-+-1—Ρ)4 =
= «τ + (λ4-1— β)(« + 2 — ν).
Тем самым соотношение (1.9) доказано. Отсюда
разложение (1.8) примет вид
„у.. , а/1 η ι [«T-P(1-»)I6 (my-p + v)S
Ύ Pl S;i~ 1-p + (2-β)(1-ξ) +
[mT+(l-P)(2-v)I6 [mT + 2(l —β + ν)]ξ
+ 3-p + (4-p)(l-g) +...
[1вТ + я(я-1-р + у)]6 [mT + (B-p)(B+i-y)]g
...+ (2л-p) (1-6) + 2л+1-р +...·
(1.10)
Но (см. п. 4)
x= η'-ν = 6 κ ^ (Υ-η) κ
η' — η η' — η
Отсюда
(η' —η)χ = (1+η'*)ξ, ξ = ±-JL χ,
1 + η'-* — t\rx + ν ι + η·* ν ^
ι t 1ΤΊΛ Ί Λ Τ ΊΛ Α Π^ 4·* γ
L ·» 1 ι ..г.. -ι ι г.. у ■*
ΐ + η'* ΐ+η'-κ ' *(η'—η) ΐ+η'*"

86 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Подставляя значения \ и Υ в (1.10), получим:
ТУ _ й'+У ι
1 + tfx ~ р 1 + -П'х ~Г
[/ηγ + (1 - β) (2 - ν)] J^ * [/ηγ + 2 (1-fS+v)] J^ χ
+ з=| (4__в)1 + ^ + ...
И + "(»-1-Н')]щ^^
[/ηγ + (η _ ρ) (η +1 _ v)] J5Lz-l· Λ
τ^ = — β(ΐ + η*)+
I [«Ϊ-Ρ(1 —Ν)](η'-Τ)·« («Τ —Ρ + »)(Υ —Ч)*
i- ι_ρ + (2-β)(1+η*) +
[/ηγ + (1-β)(2-^)](η'-η)^ [ΜΤ+2(1-Ρ+ν)](η'-η)^
+ 3-Ρ + (4-Ρ)(1 + η*) +...
[/ηγ + η (η — 1 — β + ^)] (η' ^- η) *
...+ (2η-β)(1+η*) +
[/ηγ + (» — Ρ) (" + 1 — ^)] (η' — η) * (л ιη
+ 2Я+1-Р +...· Κί·ί1)
7. Заменим в уравнении (1.3) χ через jcft. Тогда у'
перейдет в ^_t и уравнение примет вид
(1 + η'**) (1 -И**) ηρ + (β + β'** — ηη'*2*) .У + Τ^2 =
= δχ*(1-|-η**). (1.12)

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 87
Его решение, получающееся из разложения (1.11), имеет
вид
■ [m-j — Р(1 — ν)](η' — η)** (mi — β + ν)(η'— n)xk
"Γ 1-β + (2-ρ)(1 + η**) +
[/ηΤ + (1_β)(2-,)](η'-Υ|)^ [,η·Η-2(1-Ν-ν)](ν-η)Λ*
+ 3-Ρ + (4-Ρ)(1+η**) + ...
[ζηγ + я (я — 1 — Ρ + -ν)] (η' — η) λ*
...+ (2η-ρ)(1+ηΛ*) +
[m-j + (η — Ρ) (η + 1 — ν)] (η' — η)лгй π ,„
+ 2η + 1-ρ + ...' <Md'
β
Положим j/ = #— —. Уравнение (1.12) при этом примет
вид
(1+ηνθ(1+η**)·^ + (β + β'** — ηη'^^ + γί/2 —
_Ι(ρ + ρ^_ηγ^) + 2τ(—Ι)β+£ = δ^(1+η^)·
т. е.
лги
(1 + ч\'хк) (1 -4- η**) =£- + (— β + Р'хк — ηη'·*2*) и + γκ2 =
= (-Ε1 + δ)^+-(δη-1ηη')Λ (Μ4)
Решением этого уравнения является разложение (1.13),
в котором отброшено первое слагаемое —β в правой части.
8. Пусть η = 0. Уравнение (1.12) примет вид
(l+V**)^ + (P + P'**).y+T^=S*ft. (1.15)
Согласно (1.13) решение уравнения (1.15) есть
,Mf_ о ι [/ηγ-β(1-ν)]η^ (/ηγ-βΗΗΚ·**
[mT + (l-P)(2-v)]i)r*fc Ηϊ + 2(1-β + ν)]η^
+ 3-β + 4-β +...
[^1+ j? (g—Jr~ft+v)I ΐ·*? [*ит+(и—Ρ) (Η-ΐ—^)] η'**
..· + ~ 2/ζ —β ~~ " " 4- 2η + 1 — β +...·

(1.16)
88 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I]
Но здесь (см. конец п, 4)
1 η η' η' '
Следовательно,
~0 , (γ"ο + ΡΡ')** (τ*-Ρη' + ρ·+η')**
ТУ — Ρ-h j_p + 2 —ρ +
[τ»+ 0-Ρ) (η'-?')]** <τ» + 2[(2-ρ)η' + ΡΊ>·«*
+ 3-ρ + 4-ρ + ···
{Τ> + Β[(Β-Ρ)η' + ΡΊ>-«*
...+ 2η-β +
fr6 + (B —β)(Βη' —p')]**
+ 2n + l-p +··
В этом случае уравнение (1.14) примет вид
·' = (§+-f)**. (>=»-})· ί'·17)
Оно получается из уравнения (1.15) заменой β на —β и
SB'
заменой δ на δ-^-ί-ί—. Поэтому на основании (1.16) его
решение есть
о , -(тУ+рр'-рР')**·' (■Г° + РР' + РУ + Р'4-У)-*й
(Τ» + РР'+У+РУ^Р'-РР7)'·»*- '(&4-ΡΡ'-Ηη/+2βη'+2Ρ')**
+ з + р + ■ 4 + ρ +...
(γ8 + ρβ' + ηΥ + »ΡΥ + »Ρ0 **.
···+ 2n+p +
(γο + gp' + nV + прУ — яр' ^--PPO *»
+ 2n+l+p ' —+...·
Ho γκ·== γ_ν4~β> r^e J,—решение уравнения (1.15).
Поэтому решение уравнения (1.15), обращающееся в нуль
при χ = 0, есть
ν = JfL [yS + O + PXY+PQ]^ (tS-H' + Ph'-P')**
^ 1+Р+ - . 2 + р- ■ " + ' ■ З+Р- +
[т» + (2 4гР)(2У + Р')]л* № + (я + Р)(яц', + Р')]**
+ 4+Ρ +:··+ 2/Ι+-0 —; jrJ-
^а + я'ч' + ярт!' —"Ρ')** '
+ ■- -2n+l + P ~ +··-·■ ; (1Л8)

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 89
9. Разделим обе части уравнения (1.15) на η' и
обозначим (не смешивать с обозначениями β^ γχ в п. 6)
η'- Ρ1' η' Pi' η' Ъ' η'-0l*
Уравнение (1.15) при этом примет вид
(γ + **) *£ + ^ + Ρί**> ^ + Ti-V8 = 8ι **· (! ·19>
В уравнении (1.19) величины η', (^, β[, γ , δχ можно
рассматривать как независимые друг от друга параметры.
Устремив в этом уравнении η' к оо, придадим ему вид
£^1 + (β1 + βί^)^ + γ1^2 = δ1^. (1.20)
Дробь (1.16) для уравнения (1.19) примет вид
ТО7 — Pi π i о
7-fc ■ + γ-Ь +
[ϊι»ι + (^г - Pi) О - Pi )] ** [τι»ι + 2 (|· - Pi + ^) 1 **
[τι»ι+«(γ~Ρ1+^-)]** [τι«ι + (^~ PiXn-Pi)]
• J- 2" й , ~ 2"+l I ,
···+ -^r-Pi + —-. Pi +··
Устремив в этом разложении η' к оо, получим решение
уравнения (1.20)
_ . (ТА + ΡιΡ[) х* (ΐΑ-Ρι)^
ЪУ Pi £ + h +
[ϊ Α - Pi (1 - Ρί)1 ** <ϊι*ι - 2pi) **
+ Pi + Pi + · · ·
(Τι»ι-"Ρι)** [ΤΛ-Ρι("-Ρί)1'^
···+ Pi '"""l· Pi +····
(1.21)

90 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Дробь (1.18) для уравнения (1.19) примет вид
[ϊΑ+(-^ + βι)(1+βί)]**
У =
Ьгх*
ϊι»ι + γ + Ρι--^-)** [ϊΑ + (-|τ + β1)(2 + βί)]
[τι»ι + (-^ + Ρι)(η + Ρί)]
(τΛ + γ + ηΡι-^-)*
ω'
~2 МП. \
fe
+ W+h +.
Устремив в этом разложении -ц' к со, получим решение
уравнения (1.20), обращающееся в нуль при л: = 0,
в»1** ΙϊΑ + Μ1+&!■**
Pi + Pi +
(τΛ + pt) xk [τΛ + Μ2+Κ)ΐ**
+ Pi + Pi +
[тЛ+Мя + Ρί)]** (T.^ + wPj)·»*
··+ Pi + Pi +·
(1.22)
10. Рассмотрим теперь случай γ$=β — ν (см.
уравнение (1.6)). Подстановка (1.5) примет вид
Ty = _p + (P-N)6 + 1f6V6) ' (L5"}
а уравнение (1.6) запишется как
'+(^+£г)«+

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ " 91
т. е.
*+(tr-+4if)'+nnnr(«+:Tt>-i·
или окончательно
2'+lJr + T^r)2+T7r^r=m1.
!'Н\
ι —ξ Γ ' ξ(ΐ —6)
где введены обозначения
Отсюда
Повторяя многократно подстановку вида (1.5"), получим:
ту—>+«»—)|+4У^5,),+
Ыг6(1-6) Tn-t1fn6(l-6)
+ -β2 + (β2-ν2)ξ +... + _pl,-f-(pn_4n)5+...·
Здесь
Ρ2=Ρι~ 1 = β —2, ..., β„=β —я;
42=1+^=2+4 Vft=n + V,
νλ— Р„=2я + 4 — β;
ΤιΪ2 = «ιΤι +*ι — Ρι = Ύΐι-l· 2 + ^ — Ρ =
= /ηγ + 2(1+ν —β),
7г7з = ^272 + \ — Рг = Ϊ1Ϊ2 + 4 + ч — Ρ .=
= ι»Τ + 6 + 3(ν —β) = ι»γ + 3(2 + Ν —β),
Ϊ3Ϊ4 = m3T3 + Ν3 — Рз = Ϊ2Ϊ3 + 6 + Ν — β =
= /ηγ+12 + 4(ν— β) = /ηγ + 4(3 + ν — β).
Пусть
7η-ι7η = «7 + »(«—1 + ^ —Ρ)·
Тогда
TnTfM-i = «ηΤη + *»— р„ = Τη-ιΤη Η- 2η + ν — Ρ =
= /гет + и2 —« + 2« + («+1)(ν —β) =
= ffiT + n(n+l) + («+l)(v—Ρ) =
= /Κγ + («+1)(η + ν —β).

92 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Следовательно,
[тт + 2(1+у —β)]Ε(1—6) [/ηγ + 3(2+ν-Ρ)]ξ(1-ξ)
+ 2-β-(4+Ν-β)ξ + 3-ρ —(6 + ν —{»)ξ +...
[<Βγ + η(Β-1 + »-β)Ι6(1-6)
···+ л-р-(2п + ч_р)£ +...·
Но из п. 6 мы знаем, что
Z~l + tl'x' ζ~ 1 + η'ΑΓ ' 1 + η'^ '
Отсюда
ЛУ й I (Ρ —ν) (η' —η)
* +
1+η'ΛΓ r ·^ l-f-η'ΛΓ
, ( ϊ+ Ρ) (1+η'*)»
1-ρ-<2+4-»τ¥ττ·* +
+ 2-P-(4 + v-p)1l=i.JC +...
[»T+n(»-l + v-P)] ^7+U^
···+ n-p-(2n + v-p) ^,^ λ: +...
т. е.
W = — Β(1+η'*) + (Β — „)(η'_η)* +
ι (m-i + ч — p) (Y — η)Λ:(1+η^)
Ι (1-Ρ)(1 + η'^)-(2 + ν-Ρ)(η'-η)^ +
[ιητ + 2(1+ν-β)](η'—η)*(1 + η*)
+ (2-ρ)(1 + η'^)-(4 + ν-[))(ϊ)'-η)ΛΓ +...
ΐmi + в (η - 1 + ν — Ρ)] (η' — η) * (1 + η·*)
...+ (η_|,)(1.+ η\*)-(2η + Ν-[0(η -η)ΛΓ +...'

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЙ РИККАТИ 93
Но так как
(Я —Ρ)η' —(2« + ν —Ρ)(η'—η) =
= (2« + ν —Ρ)η —(« + ν)η',
— Ρη' Η- (Ρ —0 W — η) = (ν — β) η —«|\
ΤΟ
V = —Ρ+[(ν —Ρ)η —V]* +
(^ + ν-β)(ν-η)ΛΓ(1 + ηΛΓ)
~Γΐ-β + [(2 + Ν-β)η-(1+ν)η']^ +
[,ΒΤ + 2(1+ν-β)](η'-η)*(1 + η*)
+ 2-ρ + [(4 + Μ-Ρ)η-(2 + -»)η']* + ...
[,вТ + я(я —ι + Ν-Β)](η' —η).τ(ΐ+ν)
...+ η_ρ + [(2η + ν-ρ)η-(η + Μ)η']Λ + ..
(1.23)
Заменив х на л:^, получим из (1.23) решение
уравнения (1.12):
ХУ = —Р + К*—β)η—Ч)** +
(/ηγ + ν-β)(η'-η)^(1+ηΛΓ»)
1 1_ρ + [(2 + Ν-ρ)η-(1+ν)η']Λ* +
[яп + 2(1 + >—Ρ)](η'-η)**(ΐ+η**)
+ 2-β + [(4 + Ν-β)η-(2 + >»)η'].«* +.
[тТ + я(я—1+Ν — β)](η'-η)**(1+η**)
..+ л_р_|_[(2я + м —Ρ)η —(η+ν)η']·«* +··
(1.24)
Отбросив в (1.24) первое слагаемое —β в правой части,
получим решение уравнения (1.14).
При η = 0 из (1.24) получим решение уравнения (1.15):
Ύν==_Β—уу/** 4- (mt + ^-PW**
^ Р ^^ ^ 1-β —(1+ν)η'^ +
+ 2-ρ-(2+ν)η^ +...
[/ηγ -f η (η — 1 -f ν — β)] η^Λ
Здесь (см. конец п. 4)
ϊδ β' I 1
/ют = -Ц-, ν = J1r +1.

94 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЁПНЫЁ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНкЦИЙ [ГЛ. II
Следовательно,
| W + P' + Ч'-Р11)')** [у5+2(р'+2у)'-ру)]л:й
1_Ρ_(ρ/ + 2η')^ + 2-β-(β'+ 3η')** +...
[τ8 + Β(β' + Βη'-βη')].«* j 25)
Решение уравнения (1.15), обращающееся в нуль при
# = 0, получается из (1.25), согласно п. 8, путем
отбрасывания первого слагаемого — β в правой части, заменой β
РР'
на —β и заменой Ь на δ-}--5-*-—. Поэтому оно имеет вид
, (т» + РР' + Р' + У + Рч')·** (ΐβ+ρρ'+4η'+2ρ'+2ρν) хк
"Τ" 1+ρ-(β'+2η')** + 2 + p-(p' + 3V)^ft +.·.
(γδ + ΡΡ' + "Ч + яр' + »Ρη') **
···+ " + P-[P + (« + i)V)*ft +···'
т. е.
τ-ν =—(Ρ' 4- V) ** -Ь
■ [Т» + (1+.Р)(ч' + Р')]** [ΐ* + (2 + Ρ)(2η' + Ρ')Ι**
"·" 1 + ρ-(Ρ'+2η')^ + 2 + ρ-(Ρ'+3η')** +...
[Τ5 + (Β + Ρ)(«η'+Ρ')]Λ*
··· + η + Ρ-№'+(η+1)η']Λ* +
Поступая, как в п. 9, получим из (1.25) решение
уравнения (1.20):
т « = _β _(β'4-1)** (Τι»ι-Ρι)**
,ьУ Kl ^^ р1 + (р1' + 2)^ +
(ΐι4-2Ρι)** (7ι*ι-«Ρι)** п 2Л
+ p1 + (Pi + 3)jc* Ч- h Pi + (PiЧ-пЧ-1)Jf* +...'
а из (1.26) — решение уравнения (1.20), обращающееся
в нуль при χ = 0:
h/ Ψ!-Г Τ" Ρι_(ρί+2)Λ* +
[τΛ+Ρι(2+Ρί)].«* [ta + PiC+pI)]** 28
+ Ρχ-ίΡί+3)** +...+ ?1-<ρί + η4·ΐ).** +·..'
* , · (1-26)

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТЙ 95
11. Положим в уравнении (1.12) δ = 0; тогда и т = 0.
Уравнение (1.12) примет при этом вид
(1 + η'**)(1 +4ΧΗ)η£^№'**^Χ^+Ί? = °· С1·29)
Его решение, получающееся из (1.13) (при γ$ = β), есть
Т.У— PU+η*) !_ρ +(2-Ρ)(ΐ+η**)+
(1 —Ρ) (2-ν) (Υ-η) χ* 2(1-β + ν)<Υ-η)χ"
+ 3-ρ + (4-ρ)(ΐ + η**) + ··· +
n (η — 1 — ρ + Ό (η'—η) ·** (и — β) (» + 1 — ч) (η'—η) ■**
+ (2η-β)(1+η**) + 2η + 1-β +...·
(1.30)
Но в уравнение (1.29) η и η' входят равноправно. Поэтому
из (1.30) можно получить другое разложение решения
уравнения (1.29):
ТУ- а Π Ι τ/,ΐ^ β(1-μ)(η-η')** (μ - β) (η - η') *»
Τ^— Ρ(Ι-Γ-η^) !_β + (2-β)(1+η'*Κ) +
(1-Ρ) (2-μ) (η-Υ)** 2(1-Ρ + μ)(η-η')**
+ 3-ρ + (4-Ρ)(ΐ + η'**) +··· +
η(η-ι-ρ + μ)(ϊ)-Υ)χ6 (η-ρ)(η + ΐ-μ)(η-η')^
+ (2η — ρχΐ + η'**) + 2η+1 —ρ +···'
(1.31)
где μ имеет тот же смысл, что и в начале этого параграфа
и получается из \> заменой η на η' и η/ на η:
Кроме того, решение уравнения (1.29) имеет также
разложение, получающееся из (1.24) (т. е. при γ$=β — \>):
γ^-3+Κ—β)η-V] *» | (^~ Р)(ч' ~ϊ° ** (1 + ^ , ,
ι-Ρ + [(2+ν-ρ)η-(ΐ+^)η,]** +
2(1 + »-0)(η'-η)**(1 + η**)
+ 2-β + [(4 + .-ρ)η-(2 + ,)η']Λ:ί£ + ···
Β(«-1 + Ν-Ρ)(η/-η)^(1 + η·**) (1 32)
•••+n-p + l(2» + N-p)4-(n + N)4']jc* + ····

§6 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [гл. Π
Меняя в (1.32) η и η' местами, получим еще одно
разложение решения уравнения (1.29):
Т-У=НЖ(|^_?) η'-μη] **+ <^~ ^~ V)-f (1+ η'-**)
„fc\
(1.33
+ 2-β+'[(4 + μ_β)η,-(2 + μ)η]Λ:Ζ: +···
»(я- ι + μ-β) (η- V) **О + η'**)
••·+Β-β + [(2η + μ-Ρ)η'-<η + μ)η].** +
12. Выясним, какой вид имеет решение уравнения (1.29),
если это решение выразить при помощи определенного
интеграла. Для этого положим в уравнении (1.29) xk = t, тогда
к
£ dy_ V_t_ dy h-τ dy _ irfy
k dx~ к k__ — v ι — at ·
dY t tk dt
и уравнение (1.29) примет вид
(1+Ч^)(1+^)*/ + (Р + ^ —ηη,/ί)^+Τ^ = 0,
β + β7-ηη72 ТУ2
■У (1 + η'*) (1 + rlt)ty (1 + ηϊ) (1 + ηί) Г
Положим — = 2. Уравнение примет вид
Разложим первое слагаемое правой части на простые дроби.
Имеем:
β + β7~ηη72 β νη μη'
(1+η7)(1+η*)* * 1+η* 1 + η'Γ
Решение уравнения без правой части находится следующим
образом:
,±= С(1
= β1η^ — vln(l -f-ηθ — μ1η(1 -f-YO»
откуда
* = af<i+4<r'(i + VO~'· ■'
« = /(1-^-1^)*=

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 97
Для решения уравнения с правой частью имеем:
^0Η-ηθ-1,(ΐ + η/0-^/(1 + η0τ(1 + η.0,
ί/ = ΤΓρ-Ι(ΐ + ηί),'"1(ΐΗ-η'<Γ1.
Отсюда
t
О
следовательно,
*= ^. (1 +т^Г (1 -И'*Г" J Г""1 (1 Η-ηίΓ^Ι+η'ίΓ1
о
и
ί-ΡΟ + η^Ο + η'Ο»1
Л
τ^
|Γβ-ι(1 + ηΓι(1 + η^-^
dt
о
Заменив £ через xkt имеем окончательно:
jc-ft? (1 + η**)ν(1+η/**)ρ'
Т.У =
J ^-Λβ-Λ (1 + T|^*)v-i (1 + ,' xk)V-lkxk~ldx
т. е.
Ύ>._ ^(ΐ + η^(ΐ + η^ (L34)
fc fx-W-1 (1 + η**)"-1 (1+η' Χ*)*-1 dx
О
13. Разложения решения уравнения (1.12) были получены
в предположении, что η'^η. Предположим теперь, что η/ = η.
Тогда, так как тч — —г—, ν=-——г —. имеем:
lim [/иТ + л(л — ΐ_ i3 + v)](V — η)=τδ + ΑΖ(β/4-η — βη),
lim Ит _μ(/ι—β)(/t+1 -ν)] (V—η) = γδ—(λ—β)(β'+η~?η).
7 Зак. 1617. Α. Η. Хованский

98 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Поэтому при η' = η уравнение (1.12) и его решение (1.13)
(при γ$ = (3) примут вид
(1 -f r\xk)2?£-+(?+$'хк—rfx2k) у-+-чу2=Ъхк (1+η*Λ) (1-35)
и
т_у = _Э(1+1дс*) +
I [т* + Р(Р' + ч-еч)]·** (тЬ + ^ + η-ίη)^
1—Ρ + (2 — β) (1-1 -ч\хк) +
ΓΑ-α-ΡΗΡ' + η-βη)]** Γτ» + 2 (^ + η — Ρη)] ■«*
+ 3 —ρ + (4_β)(ΐ+ηΛΛ) -)_...
[Τ& + я (β" + Ч — Ρη)]-ж* Γ^-(«-β)(β' + η-βη)1**
···+ (2η— β)(1+η**) + 2η+1—β +····
(1.36)
Кроме двух уже найденных пределов, рассмотрим еще два:
Нт [(ν —Ρ)η —vV] = —β' —η + ?η —?η = —(β' + η).
η'-» η
lim [(2/i-f ν —β)η —(Λ + ν)^] =
= Λη_β'_η+βη_?η = (Λ_1)η_β'.
Поэтому из (1.24) (при γ$=β—ν) получим следующее
разложение решения уравнения (1.35):
т,--Р-у+,)*+*+''-+'+-м#'+^> +
[τ4-2(β' + η-βη)].χ*(ΐ + η**)
+ 2-β + (η-β")ΛΓ'£ +···
···+ я—ρ+ϊ(η—ΐ)η —P'J-"f* +····
14. Положим в уравнении (1.35) δ = 0. Уравнение
примет вид
.. ... (1+η^>2-^·--τ-(|·4-β'^ — η2Λ:2*)^+γ^2 = 0, (1.38)

§ 1] РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 99
а (1.36) и (1.37) перейдут в следующие разложения
решения уравнения (1.38):
tj = — ?0+η**)+
■ Ρ(Ρ' + η-Ρη)·** (β' + η-βη)** (ΐ-β)(Ρ' + η-βη)·**
"*" 1-β , + (2_ρ)(1+η**)- 3-p +
2(β/ + η-Ρη)^ пф' + г,-^)хк
+ (4_ρ)(1 + η**) -.··+ (2η-ρ)(1+η**)-
(Β-Ρ)(ρ'+η-Ρη).** ,, oqx
— 2n+l—β . +··· ( }
и
ТрУ==_Р_(Р'4-11)**+ ·
(ρ, + η-βη)^(ΐ+η^) 2(ρ' + η-βη)**(ΐ + 4**)
"·" ι — β — β' jc* + 2— ρ + (η — β')** +···
Β(Ρ' + η-βη)**(ΐ + η**) π 40)
...+ n_p+[(n-l)4-p,]jc* +····
15. Выясним, какой вид имеет решение уравнения (1.38)
при т,=£0, если это решение представить при помощи
определенного интеграла. Для этого положим в уравнении (1.38)
x*=.t. Тогда (см. п. 12) уравнение примет вид
(I+V)2 i/+(p+p'f—iftz)y-l· чу2 = о,
т. е.
_ | + β4-η^ _ ТУ2
^ О+ЧО** ~(ΐ+η*)2*"
Положим — = £. Уравнение примет вид
β + β^-η2^ | τ
Разложим первое слагаемое правой части на простые дроби.
Имеем: - - -- -- - ~
P + P''-fo_P ή<Ρ + ί) ι Ρ' + η-βη
(1+η02' * 1+V ^ (1+ηΟ2 e
7*

100 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Решение уравнения без правой части находится
следующим образом:
С ,} \_t 1 + ι\έ ' (l + ηθ2 J
= μηί_φ+ΐ)ΐη(ι + η0_Ε±ι=1\
следовательно,
_β'+η-βη
z=Cfi(l-+-fif)-*-1e ηα+η*).
Для решения уравнения с правой частью имеем:
β'+η-βη
^β(1+η0-β-^ η(ΐ+η«β_1_;
β'+η-βη
Отсюда
/ί β'+η-βη
а поэтому
β'+η-βη * β'+η-βη
^==τ^β(1_|_ηί)-β-1^ η(1+ηί) Ji-P-l(l-|- ηί)β-1βη(1 + ηί) fitf
ο
и
β+η-βη
ft-t-Ul + rt*-1*1**1^ dt
о
Заменив t через xfc, имеем окончательно:
β'+η-βη

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ 101
т. е.
β'+η-Ρη
k f χ-*Ρ-1(1+η^*)ρ-1βΐ(ι+^ dx
§ 2. Разложение степенной функции в цепную дробь
1. Положим в (1.34) ft=l, β= — 1, η' = 0, η=1.
Тогда
х(\+хУ ^х(\+хУ * , Q
[■(Ι+^-Ι^
υ
откуда
ι-ΊΧ
ТУ
Разложение (1.30) даст:
n-J-r* —± VJC Π-*)* ОНИ)·* 2(2-У)л:
U-1-*; — ! __ 1 + JC __ 2 —3(1 +λγ)~ 4 —...
η (η — ч) χ п(п-\-ч)х
...— 2η — (2η+\)(\+χ) — ... '
т. е.
/ι-!-*—± ^ (1 — ^)* (1 + ϊ)* (2-ν) .τ
U-f^; — ! _ ι+χ _ 2 —3(1+λ:)— 2 — ...
(я — ^)* (" + ^)* /ο η
...— 2 — (2/ι+1)(1 + *) — ...· ^ ;
Разложение (1.31) даст:
')λγ (1 — ν) л: (2 + ν) jc
+ 3 + 2
. (2.2)
U-l-^;— 1—1+ 2 + 3 + 2 +
(2 — ν) λ: (/г + у)дг (η — ч) χ
+ 5 +...+ 2 + 2/2 + 1 +...
Здесь (см. формулы (2.5) и (7.1) гл. I)
й™го2(2п-1) - Τ ' Дтм2 (2п + 1) ~ 4 *

102 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Поэтому согласно теореме п. 17 § 7 гл. I дробь (2.2)
сходится на плоскости комплексного переменного х,
разрезанной по вещественной оси от х =— оо до х =—1.
Разложение (1.32) даст:
/ι ι V-Y» —J- ΊΧ (1 + ^)■*(! + *)
и_1~ ; ~~ 1 — 1 +(1 + v)jc— 2 + (3 + ν)* —
2(2 + У)лг(1 + лг) п(п + ч)х(1 + х)
— 3 + (5 + ν) χ — ... — η + I + (2п 4- I + ^) * — ·->· · '
Разложение (1.33) даст:
п . *>_! ΊΧ (1 —ν)*
U-Г^ — j _ι + Ίχ + 2_(1_v)jc+ „
2 (2 — ί)χ η (η — ί)χ
+ 3 —(2 —ν)χ+ ...+ η + 1 — (η — Ί)χ + ...*
Заменив ν на —ν, получим из (2.1), (2.2):
ίχ (\ + *)х (1 — ^)χ (2 + ν) *
(2.3)
(2.4)
(1+*у»=1 +
χ~γλ — * — ^ νΑ ~τ -*; — * ~
(2.5)
1 + χ — 2 —3(1+χ)— 2
(ΐΙ-\-Ί)χ (Π Ί)Χ
- 2 — (2η + 1) (1 + *) — ...'
Π-1^-1ΧΪί Π — ^)* (1 + \U (2 —ν)*
U~t"x;~"t"l+ 2 + 3 + 2 +...
(п — ч)х (п + ^)х ί9 η,
...+ 2 + 2η + 1 +... ^Ζ·0;
V2" V2«-M
(Лагранж [43]). Область сходимости дроби (2.6) совпадает
с областью сходимости дроби (2.2). Точно так же из (2.3),
(2.4) получим:
U-t--^; — 1-t-i + (l—v)x— 2 + (3_— ν) χ — ...,,.
η (η — ν)^: (1 + λγ)
... — λ
(1 + *У = М
... — η -f- 1 + (2η -f 1 — ν) α: — .
2 (2 + ») χ п(п + ч)х
+ 3-(2 + ν)*+...+ η+ΐ-(η"+Ν)* 4".
(2.7)
(2.8)

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ 103
2. Рассмотрим, например, разложения γ 2 в цепную
дробь. Для этого положим в разложениях (2.1)—(2.8) д: = 1,
1
Ί— з ·
0 1
1 1
2) V2 = у _
0 1
1 1
3/— 1
3) V2=j_
1
— 1 —
σ ι
1 1
4)f2 = l_
0 1
1 Г
5) Ϋ2= 1 +-
1
1
12 4 5 .
. 6 — 2 — 18 — 2 — ...
6 10 156 262
5 8 124 208
1,2 1,25 1,258 1,2596
3/г — 1 3η + 1
...— 2 — 6(2/г + 1) — ...
1 4-2 7 5
- 3 + 2 + 9 + 2+15 + ,-..
3 ίθ 96 262
2 8 76 208
1,5 1,25 1,263 1,2596
3η + 1 Зп — 1
...+~2~+ 3(2/ι + 1) +...
1 24 . 84 180
. 7 — 16 — 25 — 34 — ...
6η (3η +1)
...— 9η+ 7 — ... —
1 12 42 90
■ 7 -- 8 — 25 —17—...
7 44 806
6 36 648
1,17 1,22 1,244
1 6 30 3η (3η— 1)
- 4 + 4 + 4 +... + 4 + ... ;
4 22 208
3 18 162
1,33 1,22 1,284
14 2 7 5
6 — 2— 18— 2 —30—...
7 10 166 262
6 8 132 208
1,17 1,25 1,258 1,2596
3η + 1 3η — 1
— 6 (2η + 1) — ...

104 РАЗЛОЖЕНИЕ В.ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
6) /2 = 1+ 4-
li.-i.JL зк —ι
3 + 2 + 9 + 2 + ...+ 2 +
Зп+1
+ 3(2п+1) +
J_ _4 10 106 262
1 3 8 84 208
1,33 1,25 1,262 1,2596
7\ fro — ι _l 1 12 60 6п фп — 1)
О γ ι— i-t--g-_ Ώ — ~23~ -...- 9л 4-5 —.
J_ J>_ 72 1296
1 5 58 1034
1,2 1,241 1,253
Κ\ fro— ία.1 12 42 3n(3/t + l)
J_ _3_ 18 162
1 2 16 116
1,5 1,125 1,528
3. Займемся сжатием разложения (2.6). Для этого к
разложению (2.6) надо применить формулу (2.8) гл. I и
использовать затем тождество (2.1). Но проще повторить здесь
непосредственно все выкладки, необходимые для вывода
формулы (2.8) гл. I. На основании (1.2) имеем равенства
Ргп = 2Ρ2η-ι + (п — <*)хР2п_2,
г2Ю-Ы
= (2я + 1) Р2П + (я + ·*) хР2п-1.
Р2п+2 = 2Р2й+1 + (я -4- 1 — ν) χΡΖη.
Умножив первое из этих равенств на —(п~\-ч)х, второе —
на 2 и сложив их с третьим, получим:
Р2«+2 = [(" + ^-М+1— *)*-+- 2(2я+1)]Р9и —
— (я« — ^)хаР2п_9,
т. е.
/>2Я+2 = (2л+1)(2 + ^)Яая — (л2 — v*)*2P2w„2.
Такое же соотношение связывает Q2w-2> ζ?2η> @2η+2·
Следовательно (Эйлер [21]),
n-4-jtv = n 2чх α—2)-*2
(4 — ^)jca (П2_ у2)^2
- 5(2 + дг) _..._(2л + 1)(2 + х)-...· ^ · ^

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ 105
4. Из (2.9) получим:
2v*
:2 + (1—*)* +
(ΐ+χγ-ι
(v2— 1)д:2 (ν2_4)*2 (ν2_Λ2)^
τ- 3(2 + *) + 5(2 + *) + ...+(2η+1)(2 + *)+...
и далее
(1 + *У+1 о , .
**(1 + *)νΙΐ=2 + * +
(Ί2 _ J) ^2 (Ί2 _ 4) *2 (ν2 _ η2) χ2
1 3(2 + *) + 5(2 + *) +...+(2η + 1)(2 + *)+...·
Положив в этом выражении -γ-τ-— = ζ, т. е. положив
οι 2-г ! . 1 + ζ
χ = 2ζ-\-χζ, χ = χ_ζ , ι-\-χ = ϊζζ^>
2 + *= 2
1—г '
получим некоторую цепную дробь. После того как эта
цепная дробь получена, будем вместо ζ снова писать *. Тогда
цепная дробь примет вид
.jr(l+^ + d-^_
(1 + *У — (1— ху
(у2-1)*2 (v2-4)*2 (у2_п2)д;2
-1"1" 3 + 5 +.·.+ 2п+\ +...· ^'1UJ
v2 ^2
Здесь (см. формулы (2.5) и (7.1) гл. I) сп = 2_ 1 ,
поэтому
^2 #2 Ι
lim ся= lim ^-ϊ_τ=_τ.
Следовательно, согласно теореме п. 17 § 7 гл. I дробь (2.10)
сходится на всей плоскости комплексного переменного *2,
за исключением отрезка вещественной оси,
удовлетворяющего неравенству 1<^л;2^оо. Следовательно, дробь (2.10)
сходится на всей плоскости комплексного переменного х, за
исключением отрезков вещественной оси, удовлетворяющих
неравенствам —оо^*^—1 и 1^*^оо.

106 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
5. Дробь (2.10) можно переписать так:
(l+*)v — (1 — хУ _
(1+*)ν-Η1-*)ν —
__ V£ (v2— \)Х* (у2_4)д:2 (у2 — П2) д;2
~~ 1 + 3 -f 5 +·..+ 2п+1 +...' (Л)
Заменив в (2.10) χ на — , получим:
(х+\у + {х-\у
(х + \у — (х — \у
·ν2 1 ^2 — 4 ч2 /г2
= *+~а^ + ~ТГ"+... + (2п +1) χ + ... * (2Л2)
Отсюда последовательно получим следующие цепные дроби:
о... J*-1* =
(х+\у — (х— \у
v2 _ 1 v2 _ 4 ч2 — /г2
= л: — ν-
Зх + 5л: + ... + (2/г + 1) * +
(х-\-\у — {х—\у_
(х-\У ~
2v v2__l v2_4 v2_n2
(ЙуГ-'+ϊ
* — v+ 3x + 5л: + ... + (2n + 1) χ +
2v ^2 — 1 v2 _ 4
+ Зх + 5* + ...
v2 — n?
+ (2/1 + 1) * + ...*
(2.13)
Разложение (2.13) получил Лагерр [47].
6. При I х\ > 1 имеем:
ι 1 ι Ж+1
х — 1
е
(lX+\\™ 2v<trcctg —
ι \ —. ^ χ ^
заменив л:, ν соответственно на /л:, Ь, получим:
/Ог+1\ь_
Следовательно, из (2.13) имеем:
^ χ — ν + 3λγ+ 5λγ + ...
.. + (2п+1)л: + ...
(2.14)

§ 2]- РАЗЛОЖЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ , 107
Для ч = -9" эт° разложение получил Лагерр [47], для
любого ί оно было получено Перроном [73]. Так как
„2v arcctg: χ ι
lim ъ = arcdgx,
ν -» 0 ΖΊ
то из (2.14) при ч = 0 получается разложение
114 Φ
arcctg*=- , τ- , —
χ + Зх + Ъх + ... + (2η + 1) χ + ...
(см. § 6 этой главы).
7. Эйлер [21] заменил в (2.11) χ через itgy. Тогда
, « _+_ . (COS φ + / Sin φ)ν COS νφ + / Sin νφ
^ ' COS^ φ COSv φ
(1+хУ — (1—хУ _ 21 sin νφ __ .;
.(l+xV + O— xy~ 2cos^ — ltS™
и (2.11) примет вид
tg vcd = —g-*- (^2 -Ц^Т <^-4)tgay
(2.15)
1 — 3 — 5 — ...
.,.— 2/z + l — ..
В частности,
tg2c&c= 2tgy
1 ilKl 9tgy (9 —3tg2y)tgy
1 1 3 — 8tg2cp 3_9tg2?
_3_1tg2cL
1 — 3tg2cp l^^'
8. Укажем в заключение на элементарный способ
разложения квадратичных иррациональностей в цепные дроби.
χ— а2
Пусть Ухт^а. Тогда Υχ~ α-\-(γχ — α)=α~μ
α+γχ'
Следовательно,
-,/— . λ: — α2 χ — α2 /0 1£?4

1U8 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Этой дроби можно придать вид
х — а2 х~а* х — а2
2а 4а2 4а2
Υχ=
αχ + 1 + ...+ 1 +
χ д2
Обозначим 2 =ζ. Тогда согласно п. 4 § 7 гл. I дробь(2.16)
сходится на плоскости комплексного переменного г, кроме
части вещественной оси, удовлетворяющей неравенству
— оо<г<^——. Следовательно, дробь (2.16) сходится на
плоскости комплексного переменного х, кроме части
вещественной оси, удовлетворяющей неравенству —оо <
< *~ф < — -j , т. е. —со <# — а2<—а2; —оо <#<0.
Положив в (2.16) а= 1, имеем:
χ—1 х—\ χ—1 χ—1
К*=1 +
2 + 2 + 2 +2 +...*
1 x+i Злг+1 х* + 6х+1 5λγ2+10λ:4-1
1 2 х + 3 4аг + 4 лг24-10лг + 5
§ 3. Разложение Ylc в цепную дробь
η
1. Выражение у η часто встречается в теории рядов,
причем η обычно считается целым положительным числом.
® _
Мы рассмотрим выражение Ух, считая х^1.
Заменив в (2.6) 1-f- χ через χ и положив ν = —, имеем:
Х ~~ L~t~ x + 2 + Зх +
_1_ 2х — 1 х2 + 2х — 1 5х* + 5х2 — 5х+\
1 χ χ*-\-\ 4лгЗ + 2лг
(2х— !)(* — 1) (пх— 1)(х — 1) (л*+*)(*— 1)
+ 2 +.·.+ 2 + (2/1+1)* +...·
(3.1)
2х* + 11-уЗ + 3*2 — 5* + 1
2х* + б*3 + 3*2 + х + 1

§ 4] РАЗЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ЛОГАРИФМА 109
Отсюда
1 ^х2 + 2х-\ 2**+Π*8 + &*2-5*+1 ^\ΤΖ^
1 ^> jca+1 ^ 2лг4 + 5лг3 + Зл:2 + л: + 1 ^>-■-^ К *^· · ·
. 5*3 + 5л:2 — 5х + 1 ^ 2л: — 1 ,« ~
• · ·< 4^з + 2х <~~Γ~· (ό·Ζ)
2. Заменив в (2.9) l-+jt через χ и положив ν=—; ,
имеем:
*/т _ t , 2(jg — 1) (*a—!)(*—1)2 (4*2 — !)(* — l)2
x2+l — 3*(*+l) — 5x (x + 1) — ...
' (η2*2 — 1) (jc — l)2
...- (2n+l)(x+l) -...·
Это — сжатая дробь дроби (3.1).
§ 4. Разложение натурального логарифма
в цепную дробь
1. Положим в (1.34) k=l, β = — 1, η'= 0, η == 1 и
устремим ν к нулю. Тогда
W= llm a, = 1ΐΙΉ (1 + λ^-1 =
I (1+xy-i-dx
0
— lim * (1 + -*)v + ^ (1 + *У In (1 + x) = x
v-»o (l + xy\n(l+x) ln(l+*)"
Разложение (1.30) при тех же предположениях даст
разложение натурального логарифма в цепную дробь:
[ην^χ> = Τ+χ~Ί~- 3(1 +х) — Т — 5(1 + *)—·..
ПХ ПХ ίλ Л\
Т —(2л + 1) (1+*)—...' ^ ^
Разложение (1.31) при дополнительном условии μ = 0
даст для того же натурального логарифма другое
разложение:
ш(1-г-^ = Т + Т + "з+T + T+ ...+Т+2Л+1+... ^ '

ПО РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
(Лагранж [43]). Здесь
И η _ .. η __ 1
nl™m 2 (2/1—1) - Д^2(2я + 1)— 4·
Поэтому согласно теореме п. 17 § 7 гл. I дробь (4.2)
сходится на плоскости комплексного переменного х,
разрезанной по вещественной оси от х= — оо до х=—1.
Разложение (1.32) даст:
, /II \ х х(1 -\-х) 4х(1 +х)
mu-h^;— ι + χ_ 2 + Зх - 3 + 5* —...
В разложении (1.33), так же как и в разложении (1.31),
дополнительно будем считать [а:=0, тогда будем иметь:
1п(1+х) = у+^Т+з^Г+.;.+ в+"'1я^+.,.. (4-4)
Дробь (4.4)—равноценная дробь для ln(l+-x).
2. Сжимая дробь (4.2) по формуле (2.8) гл. I, получим:
11Ц1+.Г)— 2 + х —' (6 + х)2 + 4х — (2-5 + 2лг)2 + 2. 3jc — ..
4/г2д:2
... — [2 (2п + 1) + я*] 2 + 2 (/г + 1) χ
т. е.
2х χ2 4*2
ln(l+jc):
^ -у-л — υ^ΤΛ7 — ^ ν^-г■*; — · · ·
. . (4.5)
2 + χ — 3 (2 + *) — 5 (2 + χ) —
/22*2
1η χ
...-(2/г + 1)(2 + *)-...·
Заменив в (4.5) 1+-x на л:, имеем (Эйлер [21]):
2 (jc — 1) (х—1)2 4(лт—1)2
х+1 — 3(лг + 1) — . 5(*+1)
0 2(jc-1) 6(*8—1) 2 (ΛΓ—1) (11x2 + 38^+11)
- 1 . Jtr+Ι 2*а + &* + 2 6(λγ+1)(λ:2 + 8λ: + 1)
' 9(х~ 1)2 /ι2(λγ— 1)а ■-
- 7(*+1) ~..._(2/ι + 1)(* + 1)-...
. 20 (*2 ~ 1) (5*2 + 32л: + 5)
. (4.6)
24 (*4 + J 6*3 + 36**+ 16* + 1)

§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ ех В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ 1 1 1
Подходящие дроби разложения (4.6) получены из
подходящих дробей четного порядка разложения (4.2) (если
в последнем заменить \-\-x на х). Следовательно, при
х^ 1 имеем цепь неравенств
ι ^ ^ 5 (л:2 — 1) (5*а + 32л: + 5) ^
1пх^>. . · <^ 6 (χ4 +ι6χ3 _|-36*2+16*+1)^
^ (л:~1)(1Ь:2 + 38л: + 11) 3(*«-1) ^ο-*-! и1Л
^ з(х + 1)(х? + 8х + 1) ^ х* + \х + 1 ^ χ + 1 * ^и1)
Например,
In 2 > ... > 0,6931464 > 0,69312 > 0,6923 > 0,67
(In 2 = 0,6931472).
§ 5. Разложение ех в цепную дробь
1. Заменим в разложениях (2.1)—(2.8) χ на — и
устремим ν к бесконечности.
Тогда разложения (2.1) и (2.2) дадут одно и то же
разложение
х 1 χ χ_ χ_ χ
е ~Т' — Τ + ~2~ — ΊΓ + Υ —
_L 1 2 + л: 6 + 2-у \2 + 6х + х^
1 1— χ 2-х 6 — 4лг + лг2 12 — 6х + х*
X XX
5 +... + 2— 2п + 1 + ,
60 + 24х + 3*2
(5.1)
60 —36λγ + 9λγ2_λ:3
Здесь
лш» 5^=ΐ)=лг 2ΐ^ττ)=°-
Поэтому согласно теореме п. 3 § 7 гл. I дробь (5.1)
сходится на всей плоскости комплексного переменного х.
Разложения (2.3) и (2.4) также превращаются в
одинаковые разложения
1 _1_|-л: — 2 + х — З + х —...— п+\+х— ...* к }
Это — равноценная дробь для ех.

112 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Разложения (2.5) и (2.6) после указанного преобразования
сливаются в следующее:
Рх ι _L- ϋ — — —
6?"-1^1~2— 3 — 2 +
1 1_+* 2 + х 6 + 4л: + jfl 12 + 6л: + χ*
(5.3)
1 1 2 — χ 6—2л: 12 — блг + лгз
л: л: л:
+ 5 —... — 2+2/1+1 — ···'
60 + 36л: + 9*2 + л*
60 — 24л: + Зл:2
Здесь
Поэтому согласно теореме п. 3 § 7 гл. I дробь (5.3)
сходится на всей плоскости комплексного переменного х.
Разложение (5.3) имеется у Лагранжа [43].
Из разложений (2.7) и (2.8) получим следующее:
*»—1-J £__ * 2* — .Г5.4)
е 1^1-λ: + 2--λ: + 3— λ: + ...+ η + 1 — χ + ...ч ;
Правая часть этой дроби получается из (5.2) заменой χ на
— х. Поэтому обратная величина дроби (5.4) является равно-
ценной дробью для е~х.
2. Сжимая (5.3) по формуле (2.8) гл. I, имеем:
т _ 1 2л: 2л:2 \хъ \хъ
6 ~~ [ — 2 + л: —6-2+10-2+...+ 4(2л:+1) + ...
(Эйлер [21]), т. е.
^ _ ι ■ 2л: jfl х*_
~ ~Т~ 2-х + 6 + 10 +
1 2 + х 12 + 6л: + jfi 120 + 60л: + 12л:2 + х*
1 2 — χ 12 — 6л: + л:2 120 — 60л: + 12л:2 — х*
+ 14 +
1680 + 840л: + 180л:2 + 20л* + х*
1680 — 840л: + 180л:2 — 20л* + х*
х*_
+ ' 18 +...
30 240+15 120л: + 3360л:2 + 420л* + 30л:* + Хь
30 240 — 15 120л: + 3360л:2 _ 420л* + ЗОл:* _ хъ
х*
...+ 2(2/ι + 1) + ..Ζ
(5.5)

§ б) РАЗЛОЖЕНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 113
Заменив в (5.5) χ на —х, получим:
x — JL 2х — — χ2
6 ~~ 1 — 2 + х + 6 +10+ ...+2(2п + \) + ...'
Это разложение имеет те же подходящие дроби, что и (5.5).
§ 6. Разложение обратных тригонометрических
и обратных гиперболических функций в цепные дроби
1. Напомним следующие соотношения:
arcsin χ = — г In [ix -+ Υ 1 — χ2), ]
arccos χ — — i In (χ -+ i Υ 1 — χ*),
Ι Ι+ίχ
arctgx =
\--ix1
arcctg* = +|ln^,
Arsh χ = In (χ + Vx2+\),
Arch χ = In (χ -+ Υ χ2— ΐ),
Arth χ = γ In _^^ ,
Arcth χ = ττ 1η —^^.
2 λ:— 1
(6.1)
Отсюда
Arsh jt = i arcsin у , Arth χ = i arctg у ,
χ
Arch jc = г arccos χ, Arcth л: = — i arcctg у
1
Arch л:
arccos χ
(6.2)
У"л:2— 1 У~1 — jc2 *
2. Дифференциальное уравнение для 3; = arctg л: имеет вид
У
ι
1+*2»
j,(0) = 0.
Положим j/ =
1+г
, тогда уравнение перейдет в
\+z — xzr
(1 + г)а
1
: 1 + *а '
8 Зак. 1617. А. Н. Хованский

114 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЁПНЫЁ ДРОЁИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
*2+(1+^2)2_(14-*2)*2' = 22 + 22>
или
(\-{-χ2)χζ'-\-(\— χ2)ζ-\-ζ2 = χ2. (6.3)
Сравнивая уравнение (6.3) с уравнением (1.15), видим, что
здесь k=2, η'=1, β = γ = δ = — , β' =— —. Поэтому
(1.18) дает для (6.3) следующее разложение:
z~ 3 + ί + ι +
2 ' 2 2
ί+ff)* fl+^+T-"]^
+ f +■·.+ -f- +
Ι +...Ч- 4^±'
Τ + " + Τ + τ)"
+ *φ +
*2 4*2 9*2 16*2 4/г?*2 (2/г + 1)2л:2
'""3+5 +7 +9+...+ 4/2+1+ 4/2 + 3 +..
Отсюда (Ламберт [48])
* χ2 4*2 9*2
arctg*=r + τ + Τ" + "Γ" +
0 χ 3*_ 15* + 4*3 105* + 55л:3 __
χ*
(6.4)
1 1 3 + *2 15 + 9*2 105 + 90*2 + 9*4
16*2 Λ2*2
+ 9 +... + 2/2 + 1 +...*
945* + 735*3 + 64*5
945+1050*2 + 225*4
η2 1
Здесь lim. 2__ . = χ- Поэтому согласно теореме п. 17 § 7
гл. I дробь (6.4) сходится на всей плоскости комплексного
переменного *2, исключая отрезок вещественной оси
(—оо, —1]. Следовательно, дробь (6.4) сходится на всей
плоскости комплексного переменного *, исключая отрезки
мнимой оси (—/оо, —г], [г, i оо).

§ 6] РАЗЛОЖЕНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 115
Так как при вещественном χ все члены звеньев
дроби (6.4) положительны, то имеем цепь неравенств при
вещественном х:
3* 105*+ 55*3
3 + *2^ 105 + 90*2+9*4^ * · * <.arctg*<. · · ·
945* + 735*3 + 64*5 15* +4л:3 ^ _ -.
• · · "^ 945+1050*2-f-225*4 <■ 15 + 9*2 ^ х ' ^'ύ>
χ
Из (6.4) с помощью (6.2) имеем, заменяя * на — :
α^* = τ-?^γ-...-ι£τγ-...· <6·6>
Зная область сходимости дроби (6.4), видим, что дробь (6.6)
сходится на всей плоскости комплексного переменного *,
исключая отрезки вещественной оси (—со, —1], [1, со).
3. Заметим, что
[(2л + I)2—4я2]*2(4я—3)=з[(2л— I)2—(2п — 2)2]*2(4/г + 1),
следовательно,
9*2—4*2 __ 16*2-^9*2 __ __ (2П +1)2*2—4^2^2 __
X' =
4п + 1
т. е. условие (2.22) гл. I выполнено, а поэтому на
основании тождества (2.23) гл. I дроби (6.4) можно придать вид
arctg *:
9*2 4*2
+ 5 +7 +
15*+ 4*з 105*+ 40*3 —4*5
15 + 9*2 105 + 75*2
(2ft + 1)2*2 4ft2.y2
+ 9 +...+ 4n + l +4n + 3+...'
*
*
1
3*
25*2
*з
" 3
— *з
3
Отсюда
Arth* = *-+
*з 9*2 4*2 25*2 (2п+1)2*2 4п2*2
3— 5 —■ 7 — 9 —...— 4п + 1 — 4п + 3-
(6.7)
(6.8)
Области сходимости дробей (6.7) и (6.8) соответственно
совпадают с областями сходимости дробей (6.4) и (6.6).

116 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. it
X
4. Заметив, что arctg —= = arcsin χ, из (6.4)
получим разложение для arc sin л;, заменив в (6.4) χ на
χ .
X X*
arcsin л;
Yl—jfl 1-х*
1 + 3 +
4*2 Λ2*3
1 — х* 1-х*
+ 5 +... + 2Л + 1 +..
т. е.
arcsin χ χ χ2 4л:2
У"Г=Г^2 ~~ 1 — х2 + з" + 5(1— х*) +
Ох Зх 15.*: — 11л:3
1 \^.х2 з — 2*2 15 —21лг2 + 6л:4
9^2 4n2X2 (2/1 + I)2-*2
+ 7 +...+ (4л+1)(1-*а) + 4п + 3 +
105* — 50х3
(6.9)
105 — 120x2+ 24*4
Согласно (6.4) разложение в цепную дробь функции
X
arcsin χ = arctg—г сходится на всей плоскости ком-
ь γι—χ*
плексного переменного х, кроме части вещественной оси,
Х2
удовлетворяющей неравенству —оо < .·■__ 2<^— 1. Это
неравенство равносильно неравенству 1 <^ х2 < оо . Поэтому
дробь (6.9) сходится на всей плоскости комплексного
переменного х, исключая отрезки вещественной оси (—оо, —1]
и [1, оо).
Из (6.9) с помощью (6.2) имеем:
krshx χ χ* 4*2 9*2
у 14-*2 i_|_jc3-3-5(1+·^2)- 7
4η2χ2 (2 л +1)2*2
...— (4η+ 1) (1 + *2) — 4/ί + 3 -
(6.10)

§ 6] РАЗЛОЖЕНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 117
X
б. Заменив в (6.7) χ на , получим другое
разложение для arcsin χ, а именно:
*з 9*2 4*2
arcsin χ —
(1 — χψ> 1— χ2 1— χ2
ΥΓ^χ2 з + 5 + 7 + ...
(2ft + 1)2*2 4ft2*2
1 — *2 1 — Χ2
... + 4ft -f 1 + 4ft 4- 3 + ... '
*з 9*2 4*2
т. е.
У 1 — χ2 arcsin * = χ
1 \9 «Λί /Ι *»9. «Λ>.
(6.11)
3(1 — χ*) + 5 + 7(1— χ2) +
(2П + 1)2 Χ2 4ft2*2
...+ 4η + 1 + (4/1 + 3) (Ι-**) + ...'
λ:
Τ
Заменяя в (6.11) л: на — и умножая на /, получим:
Υ 1 + χ2 Arsh λ: = χ ■
9*2 4*2
3(1 + **) — 5 — 7(1 + *2) — ...
{2η+\)2χ2 4ft2*2
..._ 4η+1 — (4η + 3)(1 + *2) _...* ^υ* >
λΓ\ χ2
6. Заметив, что arccos;c = arctg- , заменяем в (6.4)
τ/"ΐ х2
χ на — . Тогда получим:
Yl — χ2 1 — χ2 , 1 — *2
Χ Χ2 * Χ2
агссо-λ— χ + 3 + 5
9^
У *2
+ 7
т. е.
arccos* 1 1-х2 4(1—χ2)
У Ι —χ2 χ + 3χ + Ъх +
0 1 3χ 4+И*2
1 χ 1+2*2 9*+ 6*3
+
*2 Ι _ χ2
— η2 —
χ2
+ ...+ 2η+1
9(1— χ2)
7χ + .
55λγ + 50*3
9 _|- 72*2 4- 24*4
η2(1 —*2)
,..+(2»+1),+...· (6ЛЗ)

118 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Отсюда, пользуясь тождеством (6.2), получим:
Arch л: _ 1 л:2—! п2(л:2 — 1)
У"*2—1 ~~~ jc — Зл: — ... — (2п + 1) χ — ...
(6.14)
7. Получим еще другие разложения тех же функций.
Для этого положим:
л: arcsin χ
Тогда
т. е.
γ\ — χ* '
г у ι χ , х2 arcsin x
х \ — х* х (1 — л:2)3/а
л:
ИЛИ
^ ~~ χ 1 1 — л:2 · 1 — л:2
(1—jc2)jc/—^ = JC2, j;(0) = 0. (6.15)
Сравнивая это уравнение с (1.15), видим, что здесь
й = 2, η' = — 1, β = —1, β' = γ = 0, δ = -i . Поэтому из
(1.18) получаем разложение решения (6.15), обращающееся
в нуль при χ = О,
_ х2 L х2 L х2
2 2 2
2 -f- 2 -f- 2 i- ...
-h 2 + . 2 +··'
т. e.
arcsin χ χ 1 · 2л:2 1 · 2л:2
Υ\—χ2 ι _ з _ 5 _...
(2/1 — 1) 2пл:2 (2п—1)2пл:2
... — 4η — 1 — 4η + 1 —
(6.16)
Отсюда
Arsh x
У1+л:2
χ 1. 2л:2 1. 2л:2
1+3 + 5 +...
(2η — 1) 2пл:2 (2η — 1) 2пл:2
,,.+ 4η —1 + 4n-j-1
(6.17)

§ 6} РАЗЛОЖЕНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 119
Положив в (6.16) χ = —= получим:
t
arcsin
Ϋ\ + Ρ^γχ +i2arctgi =
1-20 1-2*2 (2n—l)2nP (2n—\)2n&
ν
1+^2 1 + ^2 \ + fl \ + fl l+^2
1 — 3 — 5 —...— 4/1—1 — 4/z + l
т. e.
dlLlg Λ
Отсюда
Arth* =
χ 1
1 + *2 _
·2λ2 1
3 — 5(1
(2/2 — 1) 2/2*2
... — 4/z—l — ~
χ 1
1 —*2 +
(2/2-
. 2*2 1.
3 +5(1-
- 1) 2/2*2
• 2*2
~M2) ~ ...
(2/2 — 1) 2/2*2
(4/2+1) (1+^2)
2*2
-*2) +...
(2/2— 1)2/2*2
...+ 4/2—1 + (4/2+1) (1 — *2) _|_ ..
Заменив в (6.16) * через У 1 — л:"2, получим:
arccos* _____ _*_ 1-2(1 — *2) Ь2(1 —*2)
ΥΤ^Γχΐ ~ 1 — 3 — 5 — ...
(2п — 1)2/2(1— *2) (2/2— 1)2/2(1 —*2)
..,— 4/2—1 — 4/2 + 1 — ..
откуда
Arch с___ х_ Ь2(*2_ 1) Ь2(*2— 1)
У"*з~< Ϊ _ 1 + 3 + 5 + ...
(2ц — 1)2/2 (*2_ 1) (2/2—1)2/2 (*2—1)
,.. + 4/2—1 + 4/2 + 1 + .
(6.18)
(6.19)
(6.20)
(6,21)

120 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
§ 7. Разложение igx и thx в цепную дробь
1. Дифференциальное уравнение для y = tgx имеет вид
/=1+.У2. У(0)=0.
X
Положим )/=. . Уравнение перейдет в
1+2 — xzr = 1+2г + 22 + л;2,
т. е.
лгг' + 2 + 22 = — х2, 2(0)=0.
Сравнив это уравнение с (1.15), видим, что здесь k — 2,
η' = β' = 0, β = γ = — , 8 = — -х-. Поэтому, пользуясь
разложением (1.18) при указанных значениях параметров,
получим разложение для ζ:
X*
2
ζ— з
2
т. е.
+ * х
*g*=—.
0 л:
ТТ
ЛГ2 X*
4 4
5 7
2 2
*2
- 3 —
Зл:
г^х*
945л:
л:2
4
2л+ 1 —
2
ЛГ2 ЛГ2 *2
~~ 3 — 5 — ... — 2п+1
ЛГ2 ЛГ2
5 - ч 7 -
15л: — *з 105л:— Юл:3
15 —6л:2 105—45л:2 + л:4
л:2 х*
9 — 2/1+1 —...
— 105л* + х^
(7.1)
945—420л:2+15л:4
Это разложение было впервые получено Ламбертом [48]
и вновь было получено Лагранжем [43] и Эйлером [21].
Здесь
lim -то 7TT?i—, 1ч = 0.
n^oo (2n—l) (2n+l)
Поэтому согласно теореме п. 3 § 7 гл. I дробь (7.1)
сходится на всей плоскости комплексного переменного χ, за
исключением точек несущественной расходимости

§ 7] РАЗЛОЖЕНИЕ tgX И th ΛΤ В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ 121
X
2. Заменив в (7.1) χ через —- и умножив (7.1) на г,
получим 1): ■
X X2 X2 X2
th* = T+~3+~5 + ... + 2п + 1 + ... * (7*2)
Область сходимости дроби (7.2) совпадает с областью
сходимости дроби (7.1). При вещественных χ получаем из (7.2)
цепь неравенств
Зх . 105л: + Юл*
3 + χ2 ^ 105 + 45*2 + л:4'
945л:+Ю5л:3 + л:5 15л: + *3 ^ ,- оч
^945 + 420л:2+15л:4^ 15 + 6-^2 ^"Г* ( '
3. Шлемильх [84] предложил следующий непосредственный
вывод разложения tgx в цепную дробь.
Обозначим y = co§Yx. Тогда
2γ~χ/ = — sin Vx, -y=r + 2V~xy"-
Vx^ Y ·* ~ 2γχ'
4*/ + 2/ + j/ = 0,
4луЛ + 6/' + / = 0,
4xy&+*) + (4я + 2)/я+1> +/n) = 0.
Обозначим Cm) =gm+i- Тогда
«1 = _Jlj£*., 4^^ + 4/1+2= 1
2 У л: ttn+1
2
^w.-i-1
*n+i - 2п+1+2л:ап+2·
Следовательно,
_JL
tg γ χ 2 χ χ
2 Υ χ 1 — 3 — 5— ...— 2n + l — ...
откуда вновь приходим к (7.1).
i) tb* = /tgi.

122 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
4. Применим к (7.2) преобразование (2.24) гл. I:
th*
= 1
5*2
5^ + 3-5 + 2x2
5*2
— 1
f2
- 1
9*2
— 5 · 7 · 9 + 2 (5 + 9) *2
13*2
- 9-11-13+ 2 (9+13) *2
(4л + 1) *2
(4л—3)*2
... — (4л—3) (4л—1) (4л+1)+2 (4л-
Отсюда
5*з
th *= х-
χ
Τ
15 + 7*2 _
15*+ 2*з
*2
1
15* + *з
-3+4л+1)*2— 1
9*2
15 + 7*2 15 + 6*2
5*2
1
4725* + 525*з + 5*5
4725 + 2100*2 + 75*4
945* +1Q5*3+ *5
945 + 420*2 + 15*4
(4л + 1)*2
315 + 28*2
4725* + 600*3 + 10*5
4725 + 2175*2+105*4
945 + 120*3 + 2*5
945 + 435*2 + 21*4
13*2
— 1287 — 44*2 — ...
(4л—3) *2
... — (4л—3) (4л—1) (4«+1)+4 (4л—1) *2 — 1 — .
Заменяя в этом выражении * на ίχ и деля на /,
tgx =
, 5*з *2 9*2 5*2 13*2
..· (7·4)
получим
15 — 7*2 + 1 +315-
(4л + 1) *2
,.. + (4л—3) (4л—1) (4л+1)—4 (4л—1) *2 + 1
28*2+ ι + 1287 — 44*2 +
(4л—3) *2
+ .·
(7.5)
05
§ 8. Разложение интеграла .х к в цепную дробь
о
1. Дифференцируя этот интеграл, получим уравнение
(1+**)/=1, j;(0)=0. (8.1)
Пусть уя&ах. Тогда, подставляя это значение в (8.1), по-
*
лучим а = 1. Затем положим у = . Уравнение примет вид

uX
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА J 1 , fe В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ
х fix
ах 123
ι ι νκ
т. е.
(\-\-xk)xz'-{-(\ — xk)z + z*
2.
Это — частный вид уравнения (1.15), где полажено η/=1,
β = γ = δ = у , β/ = — — Поэтому для данного случая(1.18)
да
ζ -
+
ет:
k x
~~ k + ]
(i+
\#'
1-+
2£ + 1
k
4k +
k
, ^+1 k-
^~k
2&4-1
^y
1
?ν (i
+ ··
+
a-
■ +
+-+w
3fc + l
n& 4~ 1 n& -
1 £ F
2nfc4-l
■)**
+
ii)„
+
т. e.
__ x* №χ* (k+l)*xk 4№хк
^ ^ + 1+2^ + 1+ 3^ + 1 4- 4Λ 4- 1 4- ...
nWxb (nk + l)2x*
... 4- 2nk + 1 + (2/i 4-1) Λ 4-1 4- ...'
Отсюда (Лагранж [43])
dx __x χ* №хк (k + ΐγχκ
) ι + χ* ι 4- k 4-1 + 2& +1 4- 3& +1 4- ·
/ι2#** (nk + l)*xk
(8.2)
... 4- 2nk + 1 + (2л 4-1) Λ 4-1 + ..
Здесь
Д^ [(2/ι-1)*+1](2/ι*+1) - 4*
Поэтому на основании теоремы п. 17 § 7 гл. I дробь (8.2)
сходится на плоскости комплексного переменного хк, раз:
резанной по вещественной оси от —оо до —1.
При k=\ и k = 2 (8.2) переходит соответственнее
в (4.2) и (6,4),

124 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
ω
2. Положим в интеграле ? к переменное x = tp+l,
тогда интеграл примет вид
t
flat
(Р+О J
l+tk(P + i) ·
Заменим в нем t через χ и обозначим k(p-{-l) = q. Тогда
k = - д_ 1. Поэтому разложение (8.2), в котором также
заменим χ на χΡ+1, примет вид
χ
J-
x*dx _ χΡ+1 (p+lfx* q2x*
o 1+x* P + 1+ g+l+P + 2q + \+p+...
п*д2х<* (nq+l+pfx*
...+2nq+l+p +(2n + l)q + \+p + ...·
Например,
ι
Г x*dx __ j_ 9_ 16_ j*9
Jl + ^"" 3 + 7 + 11 + 15 + ...
2. 1 JL -2L· 1738
1 3 30 378 7140
0,3 0,233 0,2460 0,2434
16n2 (4n + 3)2
(8.3)
...+ 8n + 3+ 8n + 7 +
Точное значение этого интеграла есть 0,243748...
3. Заметим, что в (8.3) имеют место соотношения
р + 1+2пд -Р+1 (л-1. 2, ...),
следовательно, если (8.3) представить в виде
1 =1 , (p+lUq q2xq
g+l+p + 2q+\+p +
р+ 1 ( xpdx
.+ γ*
-J. Γ xpdx
+ 1 J l + jfl
n*q2x* (nq+l+pfxq
^^2пд + 1+р +(2n + \)q + l+p +

35 //ν·
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА J - , fe В ЦЕПНУЮ ДРОЁЬ 125
то для него выполняется условие (2.22) гл. I. Поэтому
дробь (8.3) можно переписать следующим образом на
основании равенства (2.23) гл. I:
X
\
0
В
χΡ dx
1 + r<*
χΡ+
~р + '
··
=
· +
частности,
1
J
0
xp+i+a (^_j-l+p)2.
"?+1+Р+ 2^ + 1+р
2nq + l+p
х* dx 1 1
1 + х* ~ 3 7
1 4
3 21
+ (2,
+
τι'
К* 09**
+ 3? + 1+р
V**
n+\)q + \+p +...
49
И
93
378
16
+ 15 +...
1459
6006
(8.4)
0,190 0,2460 0,2429
ι
Г χΡ'1
4. Положим в интеграле dx величину xQ=:t.
о ~т~
ι —3
Тогда ox*-1 dx = dt, dx = — t Q dt, и следовательно,
Ч
! ! £-| l_-q ! ρ__χ
Г ■ЖУ-1^ _ 1 [ t * t* <tf _ 1 Г _£« .
J 1+jea -^ J 1+f 9 J 1+/ at-
0 ' 0 0
Чтобы этот интеграл разложить в цепную дробь, мы должны
в (8.3) положить предел интеграции л;=1 и заменить ρ

126 РАЗЛОЖЕНИЕ 8 ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
на ρ—1; тогда (8.3) примет вид
,1 --1
1? м — L Ρ2 42 (Я+Pf
J \+tUl p +q+p + 2q+p +3q+p +...
ηψ (nq+pf _
...+2nq+p+ (2n + \)q+p +...~
p№_ (χ „\s
1 q* 1
+fT
...+ 2/i + £ +2n+l+£-+..
Обозначив — = χ, имеем:
Я
ι
*L±Ht — L χ2 1 (1 + -*)2
П2 (Π + *)2
i.
ί
... + 2η + χ + 2η+\+χ +...*
Положим £ = е~2и, тогда
ι о
Γ Φ"1 j j. of *-2tt(a?-l)*-2tt
ϊ-τ-τ dt = — 2 —— da =
0 oo
CO OO
f e-2uxeu f £(1-2a?) и
= 2 ——i —du= —г du.
(8.5)
о о
1 _L χ
Поэтому, заменив в (8.5) χ на —~— , получим:
(l + x\2 fZ + x
е-** JM 1 V 2 J 1
■dt =
J ch^ 1 + x . 3 + ·* , 5 + * 7 + ·* ,
о 2"'2"'2'+'2"t",,
/ 2ft + 1 + jg \a
n* V 2
4n -f 1 + χ 4П+2 + .Л: ,
2+2 +···

§ 9] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ БУЛЯ И РЙкКАТЙ 127
т. е.
1
*-"* dt= 2 (* + *)2 4 (з + *)2
ch* 1 + * + 3 + * +5 + х + 7 + х + ..
о
4к2 (2/1 + 1 + *)2
(8.6)
... + 4л + 1 + .* + 4/г + 2 + л: + ..
оо
Известно, что "~hT==f"· поэтому из (8.6), в частности,
о
следует:
π 1 12 22 Φ'
4 1 + 3+5+···+ 2/1 + 1+...*
Это же равенство вытекает из (6.4).
§ 9. Решение уравнений Буля и Риккати
с помощью цепных дробей
1. Рассмотрим уравнение Буля
аху'-\-$у-+-ЧУ2 = Ъхк. (9.1)
Это— частный случай уравнения (1.15), в котором η/ = β' = 0,
а β, γ, δ заменены соответственно на ^-, ~- , η—. Поэтому
(1.18) для уравнения (9.1) принимает вид
t, _ Ъхк ^Ьхк 1Ьхк ^Ьхк f Q 9\
У — ka + β + 2k* + β + 3ka + β + . . . + nka + β + . .. ' ^ * >
a (1.16) дает:
ν- -А4--^ 1Ьхк **** (9 3)
У~ γ ^ Ы — β+ 2£α —β + ... + η£α — β+ ... Ч ;
При ос = 0 дроби (9.2) и (9.3) переходят в разложения
корня квадратного уравнения чу* ■+·$)! — §Хк = 0.
Эйлер [22] с помощью метода Лагранжа нашел
разложение (9.3) для случая γ = δ=1.
2. Положим в (9.1) y = zx. Тогда (9.1) примет- вид
αχ (ζ'χ -+ ζ) -+ p^rjc +- γ^2*2 = δ**,
т. е., заменяя ζ на .у,
ау' + 1±1у+чуъ = 8лг*-а. (9.4)

128 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОЁИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. Π
При β = — α, δ=1 получим уравнение Риккати
«У-f ХУ9 = **"~а. (9.5)
Для (9.4) разложения (9.2) и (9.3) соответственно
примут вид
J7 — ka + β + 2£α + β + 3£α + β + · · · + nka + β + . . . * ^У иЬ>
И
^ γ* ·"*« —β + 2*« — β+ ... +ηΛα — β + ... ^ }
В частности, для (9.5) получим:
-^ ~ (Λ — 1)α+ (2Л —l)a + (3*—l)a + ...
И
JV —
a
Ϊ*
... + (nk— l)a +
Ι (Λ+1)α + (2Λ + 1)α +...
+ (ΛΛ + 1)α +
(9.8)
(9.9)
Связь цепных дробей с уравнением Риккати была
рассмотрена также в более ранней работе Эйлера [20].
3. Напомним связь между линейным дифференциальным
уравнением второго порядка и обобщенным уравнением
Риккати
У = <?о(х)+У ?ι (*)+У?2 (*)·
Положив в уравнении
\ydx
z = eJ , имеем:
z'=yz, z" = (y'-{-y*)z,
следовательно,
/2(*)СуЧ-Л4-Л(^+/о(*) = о,
т. е.
./ /о(-у) /iW υ9
^ ~ Л(*) /jW^ У '

§ 9] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ БУЛЯ И РИККАТИ 129
Таким образом, подстановка z = e*y х, т. е. у = — ,
сводит линейное дифференциальное уравнение второго порядка
к обобщенному уравнению Риккати.
4. Выясним, какое линейное уравнение второго порядка
сводится к уравнению^'=— хк~2 ~^.У— .У9»
получающемуся из (9.4) при γ = α. Здесь
/о(£)= _A*ft-2 /iW = tt + P
f2(x) α ' /2(λ:) ал:
Положив f2(x) = 1, имеем:
Итак, искомое уравнение есть
s"-f-SL+£s' *-**-а* = 0. (9.10)
1 ал: α ν '
Сравним это уравнение с уравнением для Zp(ix) (где Ζ^(/χ)—
цилиндрическая функция от мнимого аргумента):
*-+£-(>+5)»-о.
Эти уравнения совпадают при β = /7 = 0, /5 = 2, δ=α,
откуда, в частности, (9,7) принимает вид
К (**> η -* fi fi fi /qin
У0(**) 2 + 4+6 +...+2П + ...' ^·11;
где JQ(ix)— функция Бесселя нулевого порядка от
аргумента ix. Отсюда
KW _ Ji(x) _ ·* х*_ х*_ х*_ q 12.
J0(x) — J0(x) ~ 2 — 4 — 6 —...—2/г—...' ^'^
где ^(х) — функция Бесселя первого порядка.
б. Приведем здесь же разложение т ,\ в цепную
Jm-ί \Х)
дробь, где Jm(x)—функция Бесселя т-го порядка. Это
разложение указано Бесселем [11].
Известному соотношению между функциями Бесселя
9 Зак. 1617. А. Н. Хованский

130 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
можно придать
т. е.
Отсюда
Jm \х)
Jm-1 (x)
1 —
Следовательно,
Jm (X)
Jm-1 (X)
Χ
~~2m-
вид
V1W_2m
Λη (x) . x
Jm \X)
Jm^l(x) 2m
X
χ χ
2m 2 m
x Jm+t(x) ~ 1
2m Jm (x)
X* X*
- 2m + 2 — 2m + 4
Jm+1(x)
J m \X)
1
Jm+i (x) *
Jm (x)
X*
2m (2m + 2)
— 1 —...
X*
(2m + 2n) (2m + 2n -
1
X*
— ... — 2m + 2n —
= 22
... <9·13)
При #t=l вновь приходим к разложению (9.12).
Разложению (9.13) и сходным с ним посвящено несколько
работ различных математиков (Шлемильх [83], Ломмель [52],
Гюнтер [26], Герц [32], Граф [25], Перрон [71], Нильсен [61]).
§ 10. Цепные дроби и гипергеометрический ряд
1. Ряд
f(«.».«.«)-i+fe*+'(*a+.i;y„+"^+
, a(a + l)(a + 2)b(b+l(b + 2) a
"^ 3!с(с+1)(^ + 2) "^ '*' ( }
называют гипергеометрическим. Он сходится при \х | < 1
и расходится при |х|>1. При χ = 1 он сходится, если
£>а-|-£, при л: = — 1 он сходится, если с-\- 1 > а-\-Ь.
Из определения ряда видно, что/7 (а, Ъ, с, x) = F(p,a> с, х).
2. Заметим, что
F(a+l, *. с+1, х) =
_ι , (* + !)* у | (g+l)(g + 2)^(^+l) о ,
~" 1_t~ 1!(ί + 1)λ~^ 2!(с + 1)(с + 2) χ-1-···

§ 10] ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 131
Тогда
F(a-{-l, b, c-\-\,x) — F{a,b, с, х) =
_ (с —я)» , (а-\-\)Ь(Ь+\)(а + 2 а\ 9 ,
~ 11 с (с+ 1) "^ 2!(с+1) U + 2 с У _г
■ (д4-1)(д + 2Ж» + П(* + 2)/а + 3 а\гп , =
~*~ 3!(с + 1)(с+2) \« + 3 с;л_,~···
(с-д)> Г, , (д +!)(»+!) г ,
с(с+1) L""1" 1!(с + 2) *^
1)(д + 2)(»+1)|
2!(с + 2)(с + 3)
(д+1)(д + 2)(»+1)(» + 2) χ2+ 1
т. е.
F(a-\-l, b, c+1, *) — F(a, b, с, x) =
= W$WxF(a+1' b+l> c+2· *)·
Отсюда
F^+l, a, c-\-\,x) — F (b, a, c, x) —
И
F(a9 6+1, ^+1. x) — F{at b, c, x) =
=7&ψ$χΡ(α+ι> *-И· '+2' *)· (10·2)
3. Обозначим
F(ab + l c+l,x)_Q{
t (a, b, c, x) \ » » » /
Тогда
Разделив (10.2) на Ζ7(α, 6+1, £+l,x), получим:
1 — — — iLIiLziJ. xO(ft+ ι a, c-4- 1, jc).
G(a,btc,x) c(c + l) v ' ' '
Отсюда
G (a, 6, £, *) = -7-—7Г
i-;(; + 1^g(hi,m+u)
9*

132 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Далее,
0(й+1, а, с+1, х)-
'-<>fci;<tV'°''+i->+i-,+it*)
Следовательно1),
^ (а, 6, с, х)
а{с — Ь)х (Ъ + 1) (с + 1 — а) (а+1)(с+1—Ь)
_1 <?('+!) (g+l)(g4-2) Х (с + 2)(с + 3) Х
— 1— 1 — 1 — 1 —..
(6 +ft) (g — а + п) (a + n)(c — b + n)
(с + 2п — \)(с + 2п) Х (c + 2n)(c + 2n + l) X
т. е.
F(a, b, с, χ) __
Ρ (а, Ь + 1,с+1, х)'~
λ Т{С~0)Х {Ь + 1)(с — а+1)х
~-~ с + 1 — с + 2
(Ь-\-п)(с — а-\- ή) χ (а-\-п)(с — b-\- η) χ
- с + 2п — с + 2п + \
(10.3)
Здесь
цт Г (Ь + п){с-а+п)Л__
„TooL (c + 2n-l)(c + 2n)\-
1,ш |-^ + ^Τ*+Λ\]=-|.
П-> оо
'(e + 2n)(c + 2n + l)J
Поэтому согласно теореме п. 17 § 7 гл. I дробь (10.3)
сходится на плоскости комплексного переменного х,
разрезанной по вещественной оси от χ = 1 до χ = оо.
Разложение (10.3) было получено Гауссом [24].
Сходимость его была впервые исследована Риманом [80] и
независимо от него Томе [96], [97].
I) Строго формулу можно доказать методом математической
индукции.

§ 10] ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 133
Если а или Ь — целое отрицательное число, то F(ay b, с, χ)
и F(a, £+1, с-f-l, х) являются многочленами от χ, т. е.
дробь (10.3) в этом случае конечна.
4. Докажем, что разложение (10.3) есть частный случай
разложения (1.16). Для этого перепишем (1.16) так:
£ + ·)-
, у ι (τ»-Ρη' + Ρ' + η')**
_ 1- l_p + 2-р +
[T> + (1-P)(Y-PQ].«* {т» + я[(я-р)^ + рн>.дс*
+ 3-р +.··+ 2п-р +
[т6 + (я-Р)(яч'-Е')].у*
+ 2л + 1 —β +...·
Сравнивая эту дробь с (10.3), имеем:
k— 1, β = — с, γ== с.
Далее,
η'ι2 + (β' — η'β)/ι·+·γδ = — re2 — (ft + c — а)и — 6(c — α),
η'η2 —(р'-Н'Юя-Нр' + Т^
Отсюда
η =—1, β =^=α — £, ο = —4
Само уравнение (1.15) в этом случае примет вид
(1— я)*/+[— с-{-(а — Ь)х]у-{-суг = Ь(а~с)х, \
5. Если Ь — 0, то (10.4) примет вид
(1— *)*/ + (— с-\-ах)у + су* = 0, У(0)= 1,
а разложение (10.3) перейдет в
1 . ял: (c-fl + i)^
} (Ю.4)
F(a, 1, с + 1, лг) с+1— с+ 2 — ...
п (с — д-f" п) х (а-\- п) {с-\-п)х
...— с + 2п — с + 2я + 1

134 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
Отсюда, обозначив F(a, 1, с, х) через ψ (α, с, х), получим
(предварительно заменив с+1 на с):
, , ч 1 ах (с — а) х
ψ (α, с, х)=т ν '
(10.5)
1 __ с — с + 1 — ...
η (с — а + п — Ι) χ (а + п)(с-\- п — \)х
... — с + 2п — 1 — с + 2я —,
Из (10.1) вытекает, что
ψ(α, с, х) =
= 1^^^Н-^^^^аЧ-д$д±й5д±^^"Ь-- (Ю.6)
1 с ' с (с+1) ' с(с+1)(с + 2) ' v y
Разложение (10.5) было применено А. А. Марковым [3]
к решению одной задачи из теории вероятностей.
χ
6. Заменив в (ЮЛ) х через -—, имеем:
F(a. Ь. с, £)al+^* + V я% + 1) *2 +
ι " 7 V а ' д.3 ! %
^ 31с(с+1)(с + 2)
Отсюда
lim Τ7 (α, £, с, ~) = Ф(£, с, х) =
а->оо
«
1 . Ь χ . Ь(Ь+1) *з ,
"+" с 1! ~Г"с(с+1)# 2!"+" *
. Ь{Ь+1) ... (b + η) χ*+ι
^с(с+\) ... (с + п) (л+ 1)1
(10.7)
Тогда разложение (10.3) примет вид
Φ (ft, с, χ) - с * '
Ф(£+1, с + 1, х) ~~ с~+Л +
(6+1)* (с — 6 + 1)* (6 + /ι) .у (с — 6 + η) χ
+ с+2 — с + 3 +...+ с + 2п — с + 2п + 1 +...*
(10.8)
Здесь
.. Ь-\- η у с — Ъ-\-п ~
n[foo(c + 2n-l)(c + 2n)- ЛШсо(с + 2п)(с + 2п + 1)-и'

§ 10] ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 135
Поэтому согласно теореме п. 3 § 7 гл. I дробь (10.8)
сходится на всей плоскости комплексного переменного х, за
исключением точек несущественной расходимости.
Соответствующее преобразование уравнения (10.4) дает
(при замене χ на — произведение ху' остается без
изменения):
т. е. при а —► оо
*/ + (— c + x)y + cf = jx, уф)=\. (10.9)
7. Если Ь — 0, то (10.9) примет вид
*/ + (— c + x)y + cf = 09 j/(0)=l, (10.10)
а разложение (10.8) перейдет в
1 J χ
Ф(1, с+1, х) с+1 +
χ (с+1)х пх {с-\- ή) χ
+ 7+2— с + 3 + ... + с + 2п —с + 2п+1 +
Отсюда
Ф(1, с, *)=!-{ * ■ *2 '
с ^ с (с+1) ' ' "
χη , 1 χ
1 с(с4-1) ... (с+n—l) 1 "■■ 1 — с +
сх 2х пх (с — 1 + η) χ
4- с + 1 — С + 2+С + 3— ... + с + 2п — 1— c-f 2п +·..'
(10.11)
χ
8. Заменив в (10.1) χ через -г, имеем:
/ *\ β a(e+l)(l + j)^
a(a+l)(a + 2)(l+I)(l + !-)*3
~" 3! с (с + 1) (с + 2) I" "·

136 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Отсюда
lim F(a, b, с, у)^
-Φ(α,Μ)=1+^+^+... (Ю.12)
Тогда разложение (10.3) примет вид
а
— χ
Φ (а, с, х) . , с (с — а-\-\)х
Ф(а,с+1х) ■ с+1— с + 2 +
(с — а + п) х (а + η) χ
(10.13)
...— с-\-2п 4- с + 2л + 1 — · · · '
Здесь
-. с — а-\- η у α + η п
nToo^ + ^-l)(c + 2n)-n[fO0(c + 2n)(c + 2n+l)--O'
Поэтому согласно теореме п. 3 § 7 гл. I дробь (10.13)
сходится на всей плоскости комплексного переменного х, за
исключением точек несущественной расходимости.
Соответствующее преобразование уравнения (Ю.4) дает:
(}— т)*у'+(— с+а^ х)у+сУ2 = а-^гх>
т. е. при Ь-±со
xy' — (c + x)y + cy*==a-^xf у(0)=1. (10.14)
χ
9. Заменив в (10.12) χ через —, имеем:
ton ф(«, с. £)-*(,. *)=! + £ +
а->оо
~^2\с(с+1)~~^~ ' ' ' ~^~п\с(с+1) ... (с + п— 1)"+" * * ' (10Л5)
Тогда из (10.13) получим для любого конечного л:
л:
V(c, *) _ , с_ χ χ (ΊΟ.16)
Ψ(^+1, jc) rc+l + c + 2+...+c+n+...'
Соответствующее преобразование уравнения (10.14) дает:
x/ — cy+cf = ±9y(0)=;L (10.17)

§ 10] ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 137
10. Заменив в (10.1) χ через — сх, получим:
lim F(a, b, с, —cx)=Q(a) b, л;) =
C->oo
= 1— flft^ + a(a+l)ft(ft+l)f _βββ· (Ю.18)
Тогда (10.3) примет вид
Ω (α, b, χ) . , ax {b -\-\) χ {α + 1) x
Q{a,b+1, x)~~ +T+ ϊ + Ϊ +...
(b + n)x (a + n)x
...+ 1 + 1 +...* ^ίυ·ιυ>
Согласно § 7 гл. I дробь (10.19) сходится на всей плоскости
комплексного переменного х, исключая интервал (—оо, 0)
вещественной оси.
Соответствующее преобразование уравнения (10.4) дает:
(1 -\-сх)хуг — с\\ -\-{а — Ь) х]у + су2 = — Ь(а — с)ху
т. е. при с-* со
х2/ — [1+(а — b)x]y-+-y2 = bx, j/(0)=l. (10.20)
П. Если й = 0, то (10.20) примет вид
jc2y —(1 -f- ал:)j; +j;2 = 0, J/(0)=1, (10.21)
а разложение (10.19) перейдет в
1 1 , αχ χ (α-\- Ι) χ
Q (а, 1, jc) — +Т + Т+ ϊ +
2х η* (α -(- η) χ
+ Т + ...+Т+ ϊ + ...·
Отсюда
Q(a,l,jc)=l— ах-{-а(а-\-\)х2—α(α+1)(α+2)*3 + . . .=
1 αχ χ (α -\- \) χ ηχ {α -\- η) χ
~Τ+Τ+Τ+ ϊ +...+Τ+ ϊ +...·
(10.22)
Это разложение было получено Эйлером [18] и затем
исследовано Трембли [98] и Зольднером [89].

138 РАЗЛОЖЕНИЕ 3 ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1\
Из (10.21) вытекает, что Ω (α, 1, х) удовлетворяет
уравнению 1)
х*у'-{-(\-{-ах)у=\.
Степенной ряд, в который раскладывается Ω (α, 1, х), всюду
расходится, кроме точки #=0. Между тем цепная дробь
(10.22), в которую раскладывается Ω (α, 1, х), равномерно
сходится в любой конечной области комплексного
переменного х, не содержащей ни одной точки отрицательной части
вещественной оси.
§ 11. Разложение функции Прима в цепную дробь
1. Гамма-функцией называется следующее выражение
оо
Γ(α)= Γ xa-ie-*dx (a > 0).
о
Одним из обобщений гамма-функции является функция Прима
со
Г xa-1e-xdx. Введем функцию
X
ОО
у = х!-аех С xa-ie-xdx, (П-1)
χ
разложением которой в цепную дробь впервые занялся Ле-
жандр [50J. Будем считать х > 0, а — вещественным числом.
Дифференцируя (11.1) по х, имеем:
/ 1 Q> ι 1
у = ——у+у—^
т. е.
ху' — (\—а-\-х)у = — х. (П.2)
2. Лежандр [50] рассмотрел более общее уравнение,
которому легко придать вид
*/ — (I — а + х)у — 81шу2 = — х, у(оо)=\. (11.3)
*) Чтобы в этом убедиться, надо в (10.21) положить у = —,
а затем ζ снова обозначить через у.

§11] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРИМА В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ 139
Чтобы привести это уравнение к виду (1.20), положим
χ = -г . Тогда имеем:
χ dy _ 1 dy _ f dy
dx t . 1 dt '
Поэтому уравнение (11.3) примет вид
— ty — (ΐ—α + Ι)^ —8^= —7-
т. е.
'У + П + 0 — a)t]y + btt^= 1, j/(0) = 1.
Положив в этом уравнении у = — , имеем:
-ΐ + [ΐ+(ΐ-*)Ί7+ϊ=ι.
т. е.
fV — [1 + (1— а)*]г+г8 = М· О1·4)
Сравнивая (11.4) с (1.20), видим, что здесь £= 1, ^ = —1,
βι = — (1 —α), γ! = 1. Поэтому разложение (1.21)
примет вид
, (h+i-a)( <ht+l)t fo + 2-д)*
Z~l -1 + -1 + -1 +...
(>1 + я)< (St+/i + l-a)*
...+ -1 + -1 +...'
т. е.
-.._ι ι (»1+1-Д)< (Ц+1)< (>1 + 2-д)<
г_1-| j + j + j + _
°ι+Λ (^ι + Λ + 1 — λ) £
...+~ΊΓ~+ ϊ +...·
Отсюда
^~* + 1 + χ + 1 +...
St + л 5t -f- η -f-1 — α
- ...+~f~ + ϊ +...·

140 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
В частности,
оо
(*
х\-аех χα-ΐβ-χ(ΐχ==ζ
X
х 1 — а 1 2 — а
~ χ + 1 + χ + 1 + .,
η η -f- 1 -
.. + *+ ι
- а
+ ...
Следовательно (χ > 0, а — вещественно),
оо
ех xa-ie-^dx =
χ
ха 1 — а 1 2 — а п п-\-\ — а
х+ 1 +х+ 1 +■·■ + *+ 1 +..
. (11.5)
Произведя сжатие дроби (11.5) с помощью соотношения (2.8)
гл. I, имеем:
со
е* \xa-xe-*dx = —^ \~а
J x-j-l—а — .*:-j-3 — а —
χ
2 (2 — а) п(п — а) n 1 ~
— χ+ 5 — а— ...— χ + 2η+\ — а— ... * 1°;
Разложение (11.6) было получено Таннери [95] для х= 1,
а Лагерром [47]—для любого л: > 0. Разложения (11.5) и
(при #=1) (11.6) имеются у Нильсена [59]. Более
подробное изложение имеется у Нильсена [60].
3. Положив в разложениях (11.5) и (11.6) а=0,
соответственно получим:
J χ \χ + ι + χ
χ
2_
+ 1 + * + ...+ 1 " + *" + ..
+
2 2 η η
) (11.7)
со
[•^dx-e-i-U -±
J x \x+ 1 — x-\
+3- - - ,
4 П2 \ /ιι оч
ν-* + 5·—* χ + 2η + \ — .. J" 111·^

§ 11] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРИМА В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ 141
χ
Г ех
Интеграл — dx называют интегральной показатель*
—оо
ной функцией и обозначают через Ei(#). Поэтому дроби
(11.7) и (11.8) являются разложениями функции Ei(#).
Следовательно, заменив в (11.7) х через — χ и изменив знаки
обеих частей разложения на обратные, получим при х < 0:
BW—(i_ | _ i _..._τ_7_...)·<"·9>
0 1 1 χ—Ι
Ι χ χ — 1 λ:2 — 2χ
4. Функцию
]Ρ Χ
Ε
-оо О
_ f J_ ^L — f rf*
J In* £ J In л:
о о
называют интегральным логарифмом и обозначают через
Η л:. Следовательно, из (11.9) получим:
ι· X \ 1 11 П /ill л\
1ιλ:= -- - -. — . (11.10)
\wx — 1 — \xvx — ... — 1 — In λ: — ... v '
5. Положив в (11.5) а — ~к, имеем при χ > 0:
J Υ χ λγ+2 + λ:+2 + λ:+...
2n^ 2n-f-l
... + χ + 1 + ..."
Положив в (11.5) a — —1, имеем при χ > 0:
χ \ е~хи —λ ?£ 1 Α 1
£ /2 + 2
... +λ:+ 1 + ···'
(11.11)
(11.12)

142 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Разложение (11.12) было в несколько другом виде получено
Лапласом [49].
6. Заменив в (11.5) х через х2, получим при χ > 0:
со
X2a-l
ех* X2a-le-x* fa _
χ
—£ϊ 2^~ а\ 1 2~а λ JL n + l—a
2jc2+ 1 + *2 + 1 +-*2+··.+*2+ 1 +...'
(11.13)
В частности, при а — -к разложение (11.13) примет вид
e-**dx =
— JL 1 1 i 1 *L 2η + ι m 14ч
~~2x* + 1 +2*2+ 1 + 2*2-f ... 4-2*2 _f- 1 + ... ' ^11·1^
Разложение (11.14) было в несколько другом виде
получено Лапласом [49]. Им занимались также Якоби [33] и
Зейдель [87].
7. Покажем, что из (11.5) можно получить разложение
в цепную дробь другого интеграла. Для этого рассмотрим
двойной интеграл
оо со
^=w Л/вч I e-u-v-xuvuV-lv«-ldudv
1 («)1 (Р) J J
о о
(α > 0, β > 0, χ > 0).
Имеем, интегрируя по и,
оо
г— : έ-^*-1 •/<£/ е-и-хши?~"х du-
Γ(α)Γ(β) J * * ** J * и аи.
ос
О О
0 0+W

§ 11] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРИМА В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ 143
Интегрируя по ν, получим:
оо
Г (а) Г (β) J )
о
оо
1 Г g-У"1 du
Г (Ρ) J (14-JCtt)a
Следовательно
о
du
оо оо
1 Г е~ии*-1 du = 1 f g-V-^t; Π115Ϊ
Α1 (β) J (1 + *α)« Γ (α) J (1 + jw)P
(α > 0, β > О, л: > 0).
Законность этих преобразований доказывается в любом
курсе математического анализа, где рассматриваются двойные
интегралы с несобственными пределами.
Положим, в частности, β= 1, х = — . Тогда (11.15)
примет вид
оо ос
« Г e~uda _ z Γ
Z J (z+u)*~ Γ (α) J
(г -|- α)7 Γ (a) J г + г/
т. е., полагая £-[-« = £,
ufo,
га-хе*
оо оо
Г g~*fltt _ 1 Г g-^a-1
J t* "Г (a) J * + г/ Λν"
2 О
Таким образом, разложению (11.5) можно придать следующий
вид, положив в нем #= 1 —a (a > 0, χ > 0):
υυ
1 Γ e-vva-ldv
Г (a) J * + *>
0

144 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Это разложение было получено и исследовано Стиль-
тьесом [92]. Отсюда с помощью (11.6) получим:
оо
1 Г e-vv°-i ,
Г (α) J x + v
0
__ 1 α 2(β + 1) 3(α+2)
ΛΓ+α— ΛΓ + οί + 2 — лг + а + 4 — лг + а + б
η (a + η — 1)
... — дг + а + 2п — ...'
(11.17)
Это разложение было получено для a = 1 Чебышевым
[100], а затем Лагерром [45]. Для любого а> 1 его получил
Перрон [73].
§ 12. Разложение неполной гамма-функции
в цепную дробь
χ
1. Выражение J ха-1е~х dx (a > 0) называют неполной
о
гамма-функцией.
Введем функцию (х > 0)
χ
у= Х~аех С xa-le-xdx. (12-1)
О
Дифференцируя (12.1) по х, получим:
/ а ι ι 1
у =—1у+у+т.
Итак, у удовлетворяет дифференциальному уравнению
х/ + (а — х)у—1=0, у<0)=^· О2·2)
Положим у = —-—. Уравнение (12.2) примет вид
— xy[ + (a—x)(a~\-y1) — (a+y1)2=0i
или, раскрывая скобки,
— ХУ[ + аУ\ — ах — хУг — 2aJVi —У\ = 0;

§ 12] РАЗЛОЖЕНИЙ НЕПОЛНОЙ ГАММА-ФУНКЦЙЙ 145
окончательно запишем его так:
ху[ + (а + х)У1+)Р1=* — ах· (12-3)
Сравнивая это уравнение с (1.15)* видим, что здесь £=^1,
Y = 0, β = α, β' — 1, γ= 1» δ = -—α. Поэтому (1Л 8) при*
мет вид
— ал* (— я -J" 1 4"а)х (—*д~* 1)-у (—: д 4~ 2 4~а)х
Λ—1 + α+ 2 + я + 3 + я + 4 + я +··»
(— а-\-п-\-а)х (—-α — ή) χ
... + 2я + я + 2л + 1 + Д + · · *'
Отсюда
< _„ » 1 αχ je (1 + а)лг их
ле~хах v—-----
х~аех ха~1
(12.4)
а —l + a + 2 + α — 3 + а + 4+а+..
пх {а 4- η) χ
... + 2п + а — 2п+1 + а+ ...
2. Разложим у в ряд. Положим:
^ = Л0 + Л1х+^2 + ^3+ ··· +Апхп+ ...
Подставим это разложение в (12.2). Получим:
2 пАпхп-\- а 2 Апхп — 2 Лг-i*"— 1 = О,
Отсюда
А 1
w a(l + a)...(n + a)'
т. е.
-^ ~~ α "" а(1+л) ~^α(1 + α)(2 + α) '
1 α (1 -f- #) · · · (n + #)
10 Зак. 1617. Α. Η. Хованский
Ч-

ί46 РАЗЛОЖЕНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ [гЛ· П
Пользуясь тождеством (3.1) гл. I, составим цепную дробь,
равноценную этому ряду. Имеем:
1 χ χ χ
а^ 1 -\- а 2-\- а п~\- а
•У 1 ν у ν
- i + rnh - i + ^-r-···- ι-
1 + α ' 2~\- а '" ' п~\- а
Т. е.
ί
лг-0£ж ха"1е"'х dx =^
о
—lj_ αΛΓ (* -\- а)х (п — \-\- а)х
а — \-\-а-\-х —2~\-а-\-х — ...— η + α-}-.*:
.(12.5)
Это разложение получили Нахрейнер [58], Лерх [51] и
Перрон [72], причем последний (Перрон [73]) не указывает,
что это — равноценная, а не присоединенная дробь.

г лав; а ш
ДРУГИЕ СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ
§ 1. Формула Обрешкова
1. Знание общего вида звеньев цепной дроби, в которую
разложена данная функция, недостаточно для определения
общего вида подходящей дроби этого разложения. Все же
в некоторых случаях общий вид подходящей дроби возможно
определить. Наиболее общий подход к этому вопросу
достигается с помощью формулы Обрешкова [62], которая
является одним из обобщений формулы Тэйлора. Займемся
выводом этой формулы.
2. Пусть функция f(x) m-{-k-\-\ раз дифференцируема
на отрезке [л:0, х]. Введем следующие обозначения:
^ = /(х0)+^^Г(Хо)+ ..· +(-^^/«(а:о),
о(1) о(0) _|_ о(0) , , Q(0)
qW _ o(fc-l) ι o(A:-l)_I_ _, ~(k-l)
om — oq —|— oi —f- . . . —f- ow
Тогда
Sm == Ст+2/(х0)-^-Ст+1 —γ—/ (Xq)~\-
10*

148 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОВНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ (ГЛ. III
Предположим, что
$т m+kf \Хо)~Т~ Ст+к-1 j"j / (#ο)""Ί~" · · *
+ (х-^оГ/(т){ХоУ (1Л)
Тогда
Ш W-1
$т = ^ Cw+ft-v/(#0) H~ J^Cm+fc-l-v f[-^f'(Xo)-\-
w-2
+ Σ^*-2-,£~^Α*ο>+ · · · *
v = 0
+ <£+Λ-ι <^V'(*o) + · · · +^fW·
Тем самым формула (1.1) доказана для всех целых
неотрицательных тик.
3. С помощью наших обозначений формулу Тэйлора
с остаточным членом в виде определенного интеграла
/(*) = /(*о) + £^2/'(*о)+. · · · +(*~f°)TO/(m) (*о) +
+ -L ](*_/)~/<»+ι>(0Λ (1.2)
можно переписать в виде
Sff = /(*)—Ж j {x — trf(m+1){t)dt. (1.3)
Докажем справедливость следующей формулы Обрешкова:
X
) (x — t)™(x0 — tff(™+*+V(t)dt. (1.4)
v = 0
1_
k\m\
Χο

§ 1] ФОРМУЛА ОБРЕШКОВА 149
При k = О эта формула справедлива, так как при k = О
она переходит в (1.3).
Введем функцию
т
- 2(- 1/С-+*., £=^/м (*).
v = 0
Тогда
v = l
v = 0
A;
-Sc-ir^i^i^^/ww-
W-l
_(£-^ /(W,+1) (χο)_ 2 (_ , }, ^^ («oV /(v+1, (x) =
m
Srk-i {x — XqY /(у+1)/ч, ч
v = 0
v^O
Но согласно (1.3)
χ

150 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. Ш
Тогда
X
g0(x0, /0 = — 1· J (X — trf(m+*)(t)dt,
Хо
т. е.
X
&(*о. /) = ~Ш J (*~ Om(*o — t)fM{t)dt.
Продолжая этот процесс, получим:
χ
gk(4> /) = —ш J (*—t)m(*o—0*/(га+й+1)(0<#·
Xq
Таким образом, формула (1.4) доказана.
Обобщение формулы Тэйлора, сходное с формулой Обре-
шкова, было предложено еще Эрмитом [31]. Ковалевский [40]
вывел формулу Обрешкова с помощью обобщенного
суммирования по Чезаро, а также из полученных Ковалевским
[40] общих интерполяционных формул. Чакалов [99]
применил формулу Обрешкова для получения формул
приближенного интегрирования, а Пфланц [74]—для решения
некоторых дифференциальных уравнений. Мы применим эту
формулу для получения различных рациональных приближений
некоторых функций.
4. Придадим другой вид формуле (1.4). Для этого
разделим обе ее части на Сш+к'-
v=o ^т + к
■-к
v==0 ^m+k V1
χ
+ ,ΤΤ-7, f (* — ^т (*о — 0* /(~+*+1) (0 dt.
Xj
Ho
^т+к-ч ' ^к
^т+к ^mhk
(1.5)

§ 2] ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО ОБРЕШКОВУ 151
так как это соотношение равносильно тождеству
(m + k — 4){m + k — 4 — l)...(k — 4+l) _
k{k—\) ... (k — v+1)
(m + k)(m + k—l)...(m + k — v + \y
Левая часть этого тождества получается из правой путем
умножения числителя и знаменателя правой части на
(m + ft —ν).(/» + Λ —ν—1) . .. (fe+1)·
Меняя в (1.5) т и k местами, получим:
"к г*к
'm + k — v ^m+k — v
г>к /~чт r>v
Поэтому формуле Обрешкова можно придать следующий
вид, употреблявшийся Бекком [9]:
Σ
(— 1Ут^-—^/(ν)(*) =
, с* — *0У
с*
^т+к
=Σ
0^т + к
/w(*o) +
Χ
+ (jqWi J(*—0-(*o—i)*/(,"+*+l)(0«· (ΐ·6)
В таком виде формула Обрешкова позволяет получить общий
вид подходящих дробей разложений некоторых функций
в цепную дробь.
§ 2. Получение дробно-рациональных приближений
некоторых функций с помощью формулы Обрешкова
1. Положим в (1.6) Jt0=0, f(x) = ex. Тогда
X
е. = _^о——_, о—^_—_ (2Л)
г* К Г; ^
S'-W Σ<->·

152 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. III
В этом соотношении заключены все подходящие дроби
разложения (5.1) и (5.3) гл. II, причем наличие остаточного
члена позволяет дать оценку каждого из этих приближений.
В частности, при т = к
к r»v ν
V к
1 J ί χ _L k χ2 _L J k yk
^ 2k ^2k(2k—\) ^ '·· ^2£(2&—l)...(k+ 1)
cl cl , ck
Ji χ J k χ2 __ I f^\\k k xk
2^ ^^2^(2^— 1) ^ -"^ l> 2k(2k—\)...(k+\)
т. e.
2ft (2ft-1).. .(ft-Hl) + c\ (2Ar —1) (2ft-2)... (ft+1) *+... +xk
ex « =-ί =-r- . (2.2)
2ft (2ft-l).. .(Ar-t-1)— C^. (2ft-1) (2ft-2).. .(ft+1) *+... + (-1)Λ*Α:
В этом соотношении заключены все подходящие дроби
разложения (5.5) гл. И.
Дробно-рациональными приближениями для ех впервые
занялся Дарбу [12], но систематически этот вопрос был
рассмотрен Паде [64]—[70], которому принадлежит целая
серия статей о связи дробно-рациональных приближений
с цепными дробями.
2. Из соотношения
е2х— 1
е2х+\
и из (2.2) имеем:
С\ (2ft-l) (2ft-2).. .(ft+l) 2х+ с\ (2Λ-3) (2ft-4).. .(ft+1) 8*3+ ...
~ 2Лг(2Л-1)... (Αϊ+1)+ c|(2/fe-2)(27c-3)...(Ar4-l)4Jc24-C^(2A:-4)(2A;-5)...(7c+l)16^+... '
т. е.
th лгя^
c£(2ft-l)(2ft-2)... (ft+l)*-c|(2ft-3)(2ft-4) ... (ft+1) 4лг3+...
~ ft (2ft-1)... (ft+l)+ C|(2ft-2)(2ft~3).. .(ft+l)2*2+ c£(2ft-4)(2ft-5)...(ft+l)8x*+... *
(2.3)
Это — общее выражение для всех подходящих дробей
разложения (7.2) гл. II. Заменяя в (2.3) χ на ix и разделив

§ 2] ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО ОБРЕШКОВУ 153
правую и левую части на г, получим общее выражение для
всех подходящих дробей разложения (7.1) гл. 11.
Заметим, что получающиеся из (2.1) и (2.2)
приближенные соотношения для cos л:, ch χ, sin x, sh χ обладают
невысокой точностью. Поэтому мы не будем их выписывать.
3. Положим в (1.6) л;0=1, f(x) = xn, где η — любое
вещественное число. Тогда
к ^-,ν
Σ<—^Т^Т^С1 —1} · · · (η—^+ΐ)χη-"^
v_0 ^т+к
откуда
V4 ^тУп
<*-1Г
Лиг
qc;u-iy
(2.4)
При m = k равенство (2.4) примет вид
*"~ ftv=0 2k · (2-5)
Vi С\Сп {х-\У
2^(-ιγ к п
v = 0
с:
2к
В частности, при k=\
~ η χ — 1 « + (2 — η) χ
~2~~~х~
Например, при х — 2, я = -о- имеем:
^2-«&^lil^ = "« 1.273.
3^3
Точное значениеf"2 = 1,259921-0. . .

154 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. III
При к
Х /ж jc—1 /ж (/ж — 1) (jc—1>а —
. 2 χ + 12 д:2
_ 12 + 6л (х — 1) + η (η — 1) (χ — Ι)2 2
~~ 12*2 — 6/гл: (л: — 1) + η (η — 1) (χ — 1)2 * '
Например, при х =2, /г=^ имеем:
f2~ (12 + 2-^-jg~ 1.2589.
12.4-2.2—-g- l
Этих приближений нет среди тех, которые получаются
из разложений (2.1) —(2.8) гл. II.
4. Положим в (1.6) Jt0=l, f(x) = In x. Тогда
Λ CI (x-iy (-l)v_1
откуда
'n*«2i^ —(—!) + 2^—^—· (2·6)
При т = k это соотношение примет вид
1η*~Σ·*Κ<-1>'~1+έ](*-°'· (2·7>
У _ j 2/C
Л, ПрИ &=: 1
m*«i-(i +1)(*_ΐ)=^.(*_1).
ν = 1 '^2к
В частности, при & == 1
При & = 2
.у2 —1 (jgg— 1) (jc— 1)
2л: 12*2

§ 3] РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 155
т. е.
In*=:^r(8* — х2 —1). (2.8)
Приближение (2.8) не содержится среди тех, которые
получены в § 4 гл. II.
§ 3. Решение некоторых разностных уравнений
с помощью цепных дробей
1. Мы уже встретились в п. 5 § 9 гл. II с решением
разностного уравнения с помощью цепной дроби.
Рассмотрим теперь примеры более сложных разностных уравнений
и получим из них разложения в цепные дроби некоторых
интегралов от эллиптических функций. Рассмотрим
эллиптические функции Якоби, которые определяются следующими
формулами:
у
х— -_ V=sn(x, &) = snx,
У(1 — ^)(1— №&У
х= _ , y=cn(x, &)=cnx,
J Yd —p) a — w + km
о
1
χ = . — , ν = dn (χ, k) = dn x.
Эти функции удовлетворяют следующим соотношениям,
которыми мы будем пользоваться в дальнейшем:
sn2 χ-|-сп2 χ = 1, (sn χ)' = сп χ dn χ, \
dn2x=l—k2sn2x, (cnx)' — — snxdnx, \ (3.1)
(dn x)r = — k2 sn χ en x. J
Отметим, что snO = 0, en 0 = 1 и dnO=l.
При й= 1
snx = thx, en x= dn x = ——. (3.2)
При й = 0
snx = sinx, cnx = cosx, dnx=l. (3.3)

156 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. III
2. Пусть
оо
ап= { e-xtsnntdt.
о
Тогда при η > 2 получим интегрированием по частям (при
*>0):
оо оо
о о
Но согласно (3.1)
_- Snn t = η snn~4 en / dn t,
at
(β
~2snnt==n(n--\)snn-2tcn2tdn2t—nsnntdn2t--k2nsnntcn2t=z
= n(n— l)sn"-2*(l — sn20(l — k2sn2t) —
— nsnnt(\—k2sn2x-{-k2—<k*sn2t) =
= n(n— \)snn-2t— n(k2n — k2-{-n — l + l + £2)snn* +
4- (k2n2 — k2n -f 2k2n) snn+2.
Следовательно, имеет место разностное уравнение
х2ап=п(п— \)ип_2—n2{\+k2)an + n{ti-\-\)k2an+2. (3.4)
3. При п= 1
оо оо
а1=—\ e~xt —sntdt—— e~xt cntdntdt =
о о
oo
-f·-^- J [—sntdn2t — k^sntcn2t]e-xtdt =
о
CO
= ~2— ^"J sn t (\ -{- k2—2k2 sn21) е-** dt =
о

§ 3] РЕШЕНИЕ НИКОТОРЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 157
Отсюда
«, = L
Х2+ 14-ЛЗ —2Л2Й
Но Из (3.4) имеем:
"п-2 ^2 (1 _|_ ^2) _μ лгЗ — /2 (/2 + 1) & ^±1
Следовательно (Роджерс [81]),
1 1.22. 3*2 3 < 42. 5#
J
в 00tsntdt— j + jp + ^ _ 32(1 + ^2) + *2 — # '(1 + #)+.*2 — . >
(2/г —1)4/г2(2/г+1)&
• ·. — (2л + I)2 (1 + £2) + д;2 —
В частности, при &= 1 на основании (3.2)
(3.5)
<_*_
ι
w*u^^ I 1-22.3 3-42.5
2 + χ* — 2 · 32 + χ* — 2 · 52 + χ* — ...
(2/ι—1)4/ι2(2/ι + 1)
...— 2(2/г + 1)2 + л:2 —
4. Заметим, что (3.6) можно переписать так:
(3.6)
х\е-
...... * 1 · 22.3 3 · 42.5
xt th / di
1 . 2+лг2 — 2 · 3+3 · 4+χ2 _4.5 + 5·6+λ:2-
(2/ι—1)4/ι8(2/ι + 1)
... — 2/ι (2/ι + 1) + (2/ι + 1) (2/ι + 2) + χ* + ... '
Отсюда, пользуясь соотношением (2.9) гл. I, получим
растянутую цепную дробь, приведенную без вывода у Стиль-
тьеса [93]:
xl·"
ί
-*tthidt=L h2Jil »UL±J> . (3.7)
X + X + X +...+ X +..·
ό
Интегрируя левую часть равенства (3.7) по частям, получим
соотношение
е-** ., 1 1-22-3 я (/1 + 1) ,„ ft.
5?7tfi = T + T"+ "+...+ ί + ...' (ό,6)
о
также приведенное без вывода у Стильтьеса [93].

tSS ПОЛУЧЕНИЕ ДРОВНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРЙЁЛЙЖЁНИЙ [ГЛ. Ш
5. При п= 2 имеем:
оо
Τ
Χ"
. е.
оо
(Роджерс
-*tsn2tdt
ibUn
[3D)
2Ц\ + &) +
2
— 22(1 + ^2)+ΛΓ2 _
н9
2. 32 · 4#
-42(1 + ^2)4-^2
2η (2η + 1)2 (2η +2) £2
.. — (2η + 2)2 (1 + Щ + χ2 +
В частности, при k= 1 на основании (3.2)
(3.9)
* e-^th2ictf =
0
2 2 · 32 · 4
"-~ 2 · 22 + χ2 — 2 · 42 + χ* — ..
2η (2η+ 1)2 (2η+ 2)
. — 2 (2η + 2)2 + χ2
(3.10)
Из (3.8) при помощи равенства -—=1— th2t получим:
оо
J л: + λ: + λ: + ... + x +···
(3.11)
§ 4. Получение дробно-рациональных приближений
с помощью итерации
1. Известно1), что при χ > 0
1 = ι_.ηχ+1^-^+...-+-(-ΐ)»^+...,
χ χ2 χ^ χΜ
1) Получаются из ряда е» = \ + χΤ + 5Γ + зГ + "'+1ύ+'"
заменой л: на In л: и — In x соответственно.

§ 4} ПОЛУЧЕНИЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ИТЕРАЦИЙ 159
Отсюда
1 X '
. 1п4 χ . In» χ
*" 12 ~г~ 360
+
2 In*»*
л: = 2 \x\x-
X
1 20160 ' · ·
In8 χ , In5 л:
+
Следовательно,
3 т
1П7ДГ
60
2520
(2л)!
2 lnaw-ijc
'(2/1 — 1)!
(4.1)
*+ϊ-(*-ΐ)¥-ί+!^+(»-ά)ι·,*+ ·-
т. е.
#1п2л;-
J^2— 1
In x
2 1пд:^2(л:2— 2*+1),
2 (λ:—1)2
**—1
(4.2)
-λ: 1η λ:
Подставляя в (4.2) одно из приближений (4.7) гл. II, имеем:
2(х — 1)2
In jc ί
.у2_1 3jc (jc3 — l)
2 +^24-4^—1
т. е.
]nx^A(x-l)(x* + 4x + D
~(х+1) (χ* + Юх + 1) *
(4.3)
Приближение (4.3) пригодно в более широком интервале
изменения х, чем приближения (4.7) гл. II (см. § 6 этой
главы).
2. Из разложений (4.1) имеем:
i'+i)
1 Μη jf
1 χ
-In x
In5 д: , 1п7д:
90
1890
(*+τ)-(«4)¥-ή
1η2 * In* χ
\n*x
720 20 160
+ ■

160 Получение дРоёНо-Рациональных приближений [гл. Ш
Отсюда
1 ι о , о , 1п2лг , In8 л: ,
^_ 1П2Х + 2Н =- + ■
б ^-у-^-р- 2 -г бо 480
(*+4-*)^-!(*Ч)-+*+Ь2=
InSjC
~60480 ~· · *
Как видим, с большой степенью точности можно положить:
(х2 — 8x+l)ln2x — 9 (χ2 — l)ln*-+24(* — 1)2^0.
Отсюда
1η χ ~ 24 (х — I)2 ,, ..
9 (х* — \) — (х* — 8х + Ι) \η χ ' ^ ;
Подставив в (4.4) приближение (4.3), имеем:
1 ^ 24 (л:—1)
П<* I П 4(χ2_8χ+1)(^ + 4χ + 1) '
ν ^ ; (λ: + 1) (jca + ίο* + 1)
т. е.
ι _ 24(λ:2 — 1) (λ:2+ 10λγ + 1)
1η * ~ 5л:* _f_ 124λγ3 + 318λ:2 + 124л: + 5 '
Разложив знаменатель на множители, имеем окончательно:
24 (*»-!)(*»+10* +1) 4-
л ~ (*а н- 22л: + 1) (5л:2 _^ 14л: + 5)' У }
Приближение (4.5) пригодно еще в более широком
интервале изменения х, чем (4.3) (см. § 6 этой главы).
§ б. Таблица приближенных значений ех
1. Пользуясь разложениями (5.1), (5.3) и (5.5) гл. II, мы
получили следующие приближения для ех:
' 2-х ' } б — 2х ' ^ 12 — 6* + **'
4. 60 + 36лг + 9л:2 + л:3 120 + 60лг+12лг2 + лгЗ
' 60 —24лг + 3лг2 ' Ь> 120 —60*+12*2 —*з»
fi 1680 + 840л: + 180*2 + 20*3 + xi
' 1680 — 840л: + 180*2 — 20*з + χ* '
~ 30 240 + 15 120л: + 3360*2 + 420л* + 30л:* + х*
' 30 240 — 15 120л: + 3360*2 — 420*з _j- 30** — х*'

§ 6J ТАБЛИЦА ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ In X
Отсюда получим следующую таблицу:
2,71828
7,38906
20,08554
3,0
Таблица 1
1) 2)
3)
4)
5)
2,75 2,714 2,71795 2,71831
9,0 7,00 7,33 7,400
13,00 18,4 20,7
6) 7)
2,7182818285
7,389056
20,08554
54,59815
148,41316
2,71828172
7,38889
20,065
53,73
2,7182818287
7,3890578
20,08597
54,63
149,7
§ 6. Таблица приближенных значений In л;
1. Из соотношений (4.7) гл. II и (4.3) и (4.5) гл. II
имеем следующие, приближения* для In л::
1)
4)
6)
,χ— ι
2)
3(χ2— 1)
χ + 1 ' "> χ* + 4х + 1
5(*а—1)(5*а + 32* + 5)
6 (*4 + 16*3 + 36*2 + .16* + 1)
24(лг2— l)(*a-f-10;c + l)
3)
(x—l)(Ujfl + 38x + U)
3(x+l)(jfi + 8x + l) '
4(χ-1)(χ2 + 4χ+1)
°) (x + l)(jfl+10x + \y
(х* + Т1х + 1) (5*2 + и* + 5) *
Отсюда получим следующую таблицу:
X
2
4
6
8
10
12
14
In*
0,6931472
1,38629
1,79176
2,07944
2,30259
2,48491
2,63906
1)
0,67
1,20
1,43
2)
1,6923
1,364
1,72
1,99
3)
0,69312
1,3837
1,779
2,008
2,25
4)
0,6931464
1,3860
1,7894
2,072
2,287
5)
0,69333
1,389
1,797
2,081
2,296
2,465
6)
0,69311
1,3860
1,7923
2,082
2,307
2,490
2,644
11 Зам. 1617. А. Н. Хованский

162
ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. III
§ 7. Таблица приближенных значений tgx и thx
1. Из разложения (7.1) гл. II имеем следующие
приближения для tgx:
1)
Зх
3 — Я*'
2)
4)
15* — х*
3)
105л: —ΙΟχδ
15 — 6x2' "' 105 —45χ2 + χ4'
945.x — 105χ3 + χ5
945 —420χ2+15χ4*
«Отсюда получим следующую таблицу:
Таблица 3
tgx 1) 2) 3)
4)
1,5574077
—2,1850
—0,143
1,50
1,555
—2,44
—0,46
1,55738
—2,203
1,5574074
—2,1859
—0,150
На основании (7.3) гл. II имеем следующие
приближения для th x:
1)
Зх
2)
4)
15χ + χ3
3)
105χ + 10χ3
3 + χ2' "' 15 + 6x2' νΜ05 + 45χ2 + χ4'
945χ + 105χ3 + *5
945 + 420x2+15x4 *
Отсюда получим следующую таблицу:
Таблица 4
thx l) 2) 3) 4)
0,76159416 0,750 0,7619
0,96403 0,86 0,974
0,9951 1,04
0,999
0,761589 0,76159420
0,9635 0,96405
0,990 0,9955
0,981 1,002
§ 8. Дробно-рациональные приближения
для sh χ и sin χ
1# В этом и следующих параграфах этой главы мы дадим
по нескольку дробно-рациональных приближений тех
функций, для которых общий вид разложения в цепную дробь

§ 8] дробно-рациональные приближения для sh χ и sin χ 1 63
неизвестен. Для разложения таких функций в цепные дроби
мы будем пользоваться методом Висковатова (п. 6 § 3 гл. I).
2. Применив метод Висковатова к разложению
sh* = * + f + £ + £ +
получим
1111
6 120 5040 9!
1
1
__\_ 1_ 1_ __1_
б 120 5040 9!
Т_ 1_ _П
" 360 840 9!
11 13
720 · 420 30 · 9!
551
1017-1080
Итак,
х* 7 п И Λ 551*3
;*3
χ 6 360 720-420 1017.1080
sh χ = —
6 360 ^ 720-420^
__*_ *2 7*2 П*а
1 — 6 + 10 — 98 +
_0 *_ 6* 60* + Тхг 5880* + 620*з
11 6 — *а 60 — 3*2 5880 — 360*2 + 11**
551*2
+ 198 + ...'
1 164 240* + 155 820*з + 3857*5
1 164 240 — 38 220*2 + 525*4
166 320* + 22 260*з + 551*5
166 320 — 5460*2 + 75*4
3. Применим теперь метод Висковатова к разложению
11*

164 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ^ПРИБЛИЖЕНИЙ ^ |ГЛ- III
Имеем:
1
1
• 6
1
120
11
60-71
1
4! · 9! · 42
χ3 Х2
6 120
1 1
6
1
120
1
5040
13
30-9!
Их2
60-7!
1
120
= X
1L
1
5040
1
91
χ2
9!· 42
11
60 · 7!
+?_
1
9!
:+..."
χ2 11x2
20. 60
1 . 42
Итак,
shx = х-\-~- ^ψ-
ЗООх2
■11-72+ ...
Окончательно,
, £в 3£2 Πχ2 ? _ 25х_2
snx — х+- б __ 10 + 42;j __ бб _ ·
£ 6х + х3 60х + 7χ3 2520χ+360χ3+1 \хъ
1 6 60 —3χ2 2520 — 60x2
4. Таким образом, мы имеем следующие приближения
для sh x:
п 6х ол 60х + 7хз 5880χ + 620χ3
6 —χ2' *) 60—3χ2 ' U) 5880 —360χ2+11χ* '
4ν 2520χ + 360χ3+11χ5 166 320χ + 22 260χ3 + 551χ6
' 2520 — 60x2 > DJ 166 320 — 5460x3+75x4 '
Отсюда получим следующую таблицу:
Таблица 5
shx 1) 2) 3) 4) 5)
1
2
3
4
5
1,17520119
3,62686
10,018
27,3
1 74
1,20
6,0
1,1754
3,66
11,2
1,175194
3,622
9J
1,175203
3,6281
10,08
1,17520117
3,62680
10,011
27,04
70

§ 8] дробно-рациональные приближения для sh χ и sin χ 165
б. Е<:ли в разложениях для sh χ, данных в пп. 2 и 3,
заменим χ на ix и поделим правую и левую части на i,
то получим два разложения для sin x:
χ χ* 7*2 II*2 551*2
sin χ = -г
sin χ -
1+6—10+98—198
*з 3*2 11*2 25*3
6 + 10 — 42 + 66 +...'
Следовательно, для sin χ мы будем иметь следующие
приближения:
\\ 6х 9\ 60·* —7х* о\ 5880* —620*3
^ K_Lv2' ^ fin_L_3v2 ' ύ^
6 + *2 ' "' 60 + 3*2 ' ' 5880 + 360*2 + 11*4 '
4 2520* —360*3+11*5 166 320* — 22 260*3 + 551**
' 2520 + 60*2 ' ^ 166 320 + 5460*2 + 75^ '
Отсюда получим следующую таблицу:
Таблица 6
I sin* l) 2) 3) 4) 5)
0,84147098 0,857 0,84127 0,841465 0,841473 0,8414710k
0,90930 0.889 0,9071 0,9102 0,90934 'j
0,141 0,09 0,168 0,144
-0,76 —0,72
-0,96 —0,65,
Разложения
= 1 +
*a 7*2 ll*a 551 x%
sin * ' 6 — 10 + 98 — 198 + ...
и
_£_ = ! £?. i£i ll-^a 25*2
sin *— 1 — 6 + 10 — 42 + 66 — ...
имеются в книге Корноухова J1J.
Приближение
_> 60л: — 7л*
sin*~ 60 + 3*а
указано в работе Дешмана [13)«
]2 Зак. 1617. А. Н. Хованский

166 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. III
§ 9. Дробно-рациональные приближения для сЬд: и cos л:
1. Применив метод Висковатова к разложению
. 1 , *2 , *4 . *6
сЬх=1 + -5г + 1Г + -ёГ+···.
имеем:
-L ±_ 1 1
2 24 720 8!
Итак,
1_ 1_ 1_ 1__
2 24 720 8!
5^ 7_ __27_
._24 360 8!
_J_ П_
960 б. 8!
313
720.8!
*2 5*2 х* - 313x2
__1_ 2 24 960 720.8! __
спх_1_ 1 ___2.__i_A ι L 4- ~~
2 24 + 960 "^ " *
__1_ х^ _5*2_ _3£^
1—2 +6 — 50 +
£_1_ 2 12 + 5*2 600 + 244*2
11 2 —*2 12 —*2 600 — 56*2 4.3*4
313*2
+ 126 — ...:
75 600 + 34 500*2 + 5 · 313*4
75 600 —3300*2-f 65*4
15120 + 6900*2+313*4
15120 — 660*2+13*4
Применим теперь метод Висковатова к разложению

§ 9] дробно-рациональные приближения для ch χ и cos χ 167
Имеем:
1
1
2
1
24
1
960
1
24
1 ;
720
11
6-8!
1 1
720 81
1
8!
Итак,
24
\*а
13
•30
•8!
Ж
ch л:;
■+4
24
2
_*Z^
960
24
13**-
24-30.81
-ι+·ν
2 — 6 + 10
2+*2 12+5*2 120+56*2+3*4
2 12 —*2 120—4*2-
960 ^ e e *
13*2
126 —Ι..'
15 120+6900*2+313*^
15 120—660*2+13*4
3. Таким образом, инеем следующие , приближения
для ch *:
Or
4)
2 —*2'
120 + 56*2 + 3*4
оч 12 + 5*2
2) ί2-*2
3)
60Q + 244*2
5)
120 — 4*2
Отсюда получим следующую та&л-ицу:
600 — 56*2 + 3*4'
15120 + 6900*2 + 313*4
15120 — 660*2+13*4 *
ch *
Таблица 7
1) 2) 3)
4)
5)
1
2
3
4
5
1,5430806
3,7622
10,07
27
74
2 1,545 1,54296^
4,0 · 3,72·
8,2
1,543103
3,769
10,3
32
! 1,5430802
1 3,7617
10,02
26,1
57
12*

168 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. III
4. Заменив χ на ix в вышеприведенных разложениях
для chjc, получим соответствующие разложения для cos л:,
который будет иметь следующие приближения:
п 2 . 9. 12 — 5*2 „. 600 — 244x2
2 + **' *' 12 + лгЗ ' ^600 + 56^-4-3^'
4v 120 —56*2-j-Злг* 15120 —6900*2-f 313л:*
' 120 + 4*2 ' ь> 15120 +660*2+13*4 ·
Получим таблицу:
Таблица 8
cos* 1) 2) 3) 4) 5)
0,5403023 0,67 0,5385 0,54021 0,540323 0,5403027
—0,4161 —0,50 —0,431 —0.412 —0,4159
—0,990 —0,90 —0,978
—0,65 —0,52
/Разложение
cos X — 1 2 + 6 — 10 + 126 — ...
имеется в книге Корноухова [1].
Приближение
12 — 5*2
С0§*~ТТ+Ж .
указано в работе Дешмана [13].
§ 10. Дробно-рациональные приближения
для интеграла вероятностей
1. Применяя к разложению

§ 10] ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ ИНТЕГРАЛА ВЕРОЯТНОСТЕЙ 169
метод Висковатова, имеем:
1
1
Ι λ _1 _L
3 10 42 216
2_ _! J_ 1_
3 10 42 216
_J_ J_ 5_
90 105 1512
13 19
" 6300 22 680
739
71442 000
Отсюда
1 , 1 9 13 „ 739
у 2 у-2 - у-2 v-2
х 3 90 6300 71442 000
^ 3 ^ 90 ^ 6300 ^ * *'
£ j*L jfi 39*2 739*2
1 + 3 — 10 + 7 — 18.13—... '
_ £.2 » * -^ X
ах~Т + з — Ίό* +
2.£ Зх 30х ~~χΒ
* 11 3 + *2 30 + 9*2
39*2 739*2
+ 7 — 234 — ..
210* +ПО·*3 49 140* + 3570*з + 739*5
210 + 180*2 _|_ здхА 49 140 + 19 950*2 + 2475*4
Отсюда получим следующие приближения для erf*;
χ
еэ-?= [e-^dx:
о
п 2 30* —*3 2 2 210*+110*з
>ЛГ 30 + 9*2 ' Υπ 210 + 180*2 + 39*4'
«ν 2 49 140* + 3570*з + 739*5
Υπ 49 140 + 19 950*2 + 2475*4 '
13 Зак. 1617. А. Н. Хованский

170 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНОРАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [гЛ. Ш
Имеем таблицу (—— я^ 1,12838Υ
0,5
1,0
2,0
Таблица 9
erf л: 1) 2) 3)
0,52050 0,52045 0,52050 0,52050
0,84270 0,83905 0,84168 0,84274
0,99582 0,89 0,95 1,008
§ 11. Обращение ряда Стирлинга в цепную дробь
1. Известен следующий ряд Стирлинга:
1пГ(*) = (* + -^)1пл;— jc +-i In 2π +У (jc).
#1 ι #2 ι ι §η
Здесь
J(X^'~1^2x~T~T^4xZ-r · · · τ- (2η — \)2ηχ^-ί^~ · · ·
{Βν Β2, . . . —числа Бернулли).
Стильтьес [93] разложил J(x) в цепную дробь, не указав
общий закон для изменения членов ее звеньев. Мы получим
результат Стильтьеса, пользуясь методом Висковатова.
Известно, что Bx^j9B2= — ^9 Вг = ^ . #4 = —go >
Я - 5
Следовательно,
J^==:'Y2x{1 _ 30^ + Ш5Б — Шхб+993^— * * ·)'
Применив к этому ряду метод Висковатова, получим:
1
1 _ JL _L _^1L _L
30 105 140 99
J_ 1_ J_ 1_
30 105 140 99
53 43 1367
6300 140-45 99-1400
13 391
6300 -14 99 · 700 . 21
22 999
6300. 99 · 700 . 42

§ 12] дрОбно-раЦйональнЫе приближения для Г(1 -\-х) 171
Отсюда
J(x)-.
1
12л:
1
' +
1
30*2
1
1
12
53
6300*2 6
+ ± +
^ 30 ^
1
30
53
210
13
300.14*
53
6300
195
7
2 6300.
+
22 999
99 ·700 ·
13
14.6300
22 999
11.3-13
42*2
+ ·
χ + χ + χ + 53х + χ +··-■
Следовательно,
_1_ JL_ 53^ 195 22 999
л >>_ϋ i2. 211 ILL 22737
J{<X>— д; + * + χ _f χ -J- χ +...·
В таком виде разложение было получено Стильтьесом, причем
он утверждал, что «эта цепная дробь заменяет с большой
выгодой ряд Стирлинга». Эту дробь можно переписать так:
]( λ 1_ J2_ _53_ 1170 22 999
J W ~ 12* + 5* + 42* + 53* + 429* + ... *
Таким образом,
In Г(*) = (χ + -χ-)lnx — х + γ 1η 2π +
. 1 12 153 1170 [22 999
' 12* + 5* + 42* + 53* + 429* + ...#
§ 12. Дробно-рациональные приближения для Г(1 + лг)
1. Известно (Рыжик и Градштейн [4]), что
r(i+^)=i/,
где
η
Co=l> Cn~~n JL·^ ^ Cn-kSk>
& = 1
оо
5Л= V—£(&>-2), ^i = С ?^ 0,57722 (постоянная Эйлера).
т=1
13*

172 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОЁНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. Ill
В частности,
сг=* — С,
2
°2τ=Λ~2 ^( *) C2-kSk — ~2'\ ClC~\~Q~)~
k = i
»-i(0,577222 + 1,64493)» 0,98906,
3
*β = Τ Σ"(— 1)*с*-*?к = ъ(-с*С+с1 · 1.64493+1,20206)»
« — ■g- · 2,72245»— 0,90748,
4
ft = l
===_^(__с3С + с2. 1,64493+ C· 1,20206+1,08232)»
»1. 3,92692=0,98173.
Итак,
Γ(1+λγ)»1 — 0,57722a: + 0,98906jc2 —
— 0,90748λ;3 + 0,98173л:4. (12.1)
2. Применив к приближению (12.1) метод Висковатова*
получим:
1
1 —0,57722 0,98906 —0,90748 0,98173
0,57722 —0,98906 0,90748 —0,98173
0,65588 —0,33708 0,45791
—0,45413 0,33088
—0,063939
Следовательно,
Vi\-L· \~λ 0,57722л: 0,65588л: 0,45413л: 0,063939л:^}
1(1-+*)~ 1 + χ + 0,57722 — 0,65588 + 0,45413 ~
1 0,57722л: 1,13627л: 1,19953л:
— ι -f- ι -f- ι — ι +
iLJ_ 1 1 + 1,13627л: 1 — 0,06326л:
11 1 + 0,57722л: 1 + 1,71349л: 1 + 0,51396л: — 0,69239л*
0,21467л:
+ 1
1 + 0.15141*+ 0,24392л?
1 + 0,72863л:—0,32456л:2

§ 12] ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ Г (1 —j— JC) 173
Отсюда, в частности,
ГП , ^,1+0,15141*+ 0,24392*2
Имеем таблицу.
Таблица 10
Г(1+*) (12.2) * |г(1+*) (12.2)
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
1,7725
1,4892
1,29806
1,16423
1,06863
1
1,7767
1,4902
1,29823
1,16425
1,06863
1
ОД
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1
0,95135
0,91817
0,89747
0,88726
0,8862
0,8935
0,9086 '
1
0,95135
0,91816
0,89743
0,88711
0,8858
0,8927
0,9071
0,994
3. Из разложения (Рыжик и Градштейн [4])
оо
inro+x)--c*+2bi|^v
оо
где sns=2i ~^п > имеем:
(12.3)
п=2
1пГ(1+*)«
^ — 0,57722*-+- 0,82247*2 — 0,40068*8 + 0,27058*4. (12.4)
Применив к разложению (12.4) метод Висковатова, получим:
1
—0,57722 0,82247 —0,40068 0,27058
—0,82247 0,40068 —0,27058
—0,44518 0,17336
—0,035791
Следовательно,
, — 0,57722* 0,82247* 0,44518* 0,035791*
1пГ(1+*):
1
-0,57722* 1,42488*
- 0,57722 -
- 0,82247 —
0,93772*
-0,44518
ι + ι - —ϊ—
0 — 0,57722* — 0,57722* —0,57722* + 0,54127*?
1 1 1 + 1,42488* 1+0,48716*
0,09775*
1
— 0,57722* + 0,59769*2
1 + 0,38941* —0,13928*2

174 ПОЛУЧЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. III
Отсюда, в частности,
1 vr\-i- ^~ — 0,57722л: + 0,59769*3
in 1 ( -+- X) ~ 1 + 0)38941 х + 0,13928*2 ·
Следовательно,
1 ГП-4- ч ^, — 0,25068* + 0,25957*2
lg 1 U -h χ) ~ ! + 0,38941* — 0,13928*2"
Имеем таблицу.
Таблица 11
(12.5)
*
—0,5
-0,4
—0,3
-0,2
-0,1
0
lgT(l+*)
0,2486
0,1730
0,11329
0,066039
0,0288268
0
(12.5)
0,2469
0,1725
0,11321
0,066029
0,0288266
0
*
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
lgr(l + *)
1,97834
1,96292
1,95302
1,94806
1,9475
(12.5)
Г,97834
1,96293
1,95305
1,94818
1,9479
4. Рассмотрим функцию Ψ(*) = — 1ηΓ(1 + #).
Согласно (12.3) она имеет разложение
Ψ(*) = — C+s2x — s3x*+ .. . +(— \)η+1$η+ιχη+ ...,
откуда
Ψ(λ:)^ — 0,57722-f 1,64493л; — 1,20206л;2-4- 1,08232*».
(12.6)
Применив к разложению (12.6) метод Висковатова, получим:
1
—0,57722 1,64493 —1,20206 1,08232
—1,64493 1,20206 —1,08232
—2,01194 1,35257
—0,19359
Следовательно,
-0,57722 1,64493* 2,01194* 0,19359*
Ψ(χ):
1 0,57722 — -
• 0,57722 2,84975*
1 + 1
- 0,57722 — 0,57722
1
1 + 2,84975*
1,64493 2,01194
2,11897*
1 —
— 0,57722 + 1,22311*
1 + 0,73078*
0,058495*
— 1
— 0,57722+ 1,25687*
I + 0,67228* — 0,16670*2

§ 12] дробно-рациональные приближения для Г (1-+~-хО 175
Отсюда, в частности,
ψ(*)ί
— 0,57722+ 1,25687л:
1 + 0,67228л: — 0,16670л:2 ·
Имеем таблицу.
(12.7)
X
—0,5
-0,4
—0,3
-0,2
~0,1
0
Ψ(χ)
—1,964
—1,541
—1,220
—0,9650
—0,7549
—0,57722
Таблица
(12.7)
— 1,938
—1,538
—1,218
—0,9647
—0,7549
—0,57722
12
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Ψ(χ)
—0,4238
—0,2889
—0,1692
—0,0614
0,0365
(12.7)
—0,4237
—0,2890
—0,1687
—0,0600
0,0396

ГЛАВА IV
ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Среди многочисленных обобщений цепных дробей особое
внимание обращает метод, сводящийся к последовательному
применению некоторого матричного оператора к данному
вектору. В простейшей форме этот способ был дан еще
Эйлером [17], который применил его к приближенному
нахождению нескольких средних пропорциональных между двумя
числами, относящимися, как \:х. Это позволяет прибли-
женно вычислить выражения χ ν (ρ и q—любые целые числа),
зная х. Способ Эйлера почти забыт, если не считать
заметок Лори [53] и Краффта [41], а также далекой от
вычислительных вопросов работы Мюллера [57]. Во всех этих
работах не указывается на возможность практического
использования этого метода.
В настоящей главе мы кратко изложим те обобщения
цепных дробей, которые легко применить к приближенным
вычислениям. Особое внимание мы уделим методу,
связанному с матрицами.
§ 1. Извлечение квадратного корня с помощью
матриц второго порядка
1. Получение дробно-рациональных приближений с
помощью цепных дробей сводится к вычислению величин Рп
и Qn (я —0, 1, 2, ...), связанных друг с другом
соотношениями
Рп= anPn_2-\-bnPn_v )
Qn= anQn-2~т~bnQn_i J

§ 1] ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ 177
При этом ап и Ьп (п=\9 2, ...) подбираются так, чтобы
ρ
lim -~- существовал и был конечен.
n->oo Vw
Возникает вопрос, нельзя ли использовать соотношения,
аналогичные (1.1), для определения Рп и Qn. В частности,
можно рассмотреть соотношения вида
_ J («=1, 2, ...)· (1-2)
Qn ==s 7w^w-i г °nQn-i>
С помощью матриц эти равенства можно записать так:
2. Положим αη = β, βη= #, γ„= 1, 5W = β (я = 1, 2, . ..).
Тогда соотношения (1.2) и (1.3) соответственно примут вид
Pn = *Pn-i + *Qn~i> ] , л п
(п= 1, 2,
Qn = -Pn-i + flQi
w-i
(£)-(?")(£:;) (β:
1, 2,
)
)·
(1.4)
(1.5)
— Τ'
Ρ О
При β = 0 из (1.4) следует, что -ρ=Γ==τ')
νο А
Я2 О О ,л ,ч π
-7^- = — = т"> т· е· процесс (1.4) расходится. Поэтому
будем считать, что афО.
Мы будем пользоваться следующей записью:
ι Qi O2 '" On '"
Аналогичную запись мы будем применять и при
пользовании более общей матрицей (1.3).
3. Из равенств (1.4) вытекает, что
Рп _ aPn-t + uQn-t
Qn Pn-i~l· aQn-i
т. е.
/ а и\
U а)
Рп Qn — l /1 С\
Чп *η-ι ι

178 ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. IV
Пусть lim —- существует и конечен. Обозначим его
П -> ОО ЧП
через х. Тогда из (1.6) получим:
ах-Х-и 9 - -■/—-·
х — j— т. е. х2=и, χ =±у и .
х~\-а ' ν '
Ρ
Таким образом, если lim —^ существует, то он может
равняться либо У и , либо —Υ а . Следовательно, при и<0
процесс (1.4) расходится.
Обозначим —У~и—х19 Υ и — х2.
4. Из (1.6) имеем:
^_п . ν- = Vn-t vn-1
Qn "η —1
0»-ι
Qn-1
X П ( Ρη~ί
Qn-1\&^ xr
Qn \ Qn-i
(a — -*:)2Qn-iQn-2 ( pn-2
QnQn-l \ Qn-2
')-■■■
Окончательно, полагая -?£- = —,
Pn л='<д-*>*+*. (1.7)
Qw Qn
ρ
Отсюда при а > x2 имеем -—■ > x2, так как при β > 0 из
(1.4) вытекает Qw>0. В самом деле, в этом случае
Яо=а>0, Q0=1, Λ==Ρο + β·<?ο>0 и Τ· Д·
б. Выясним, при каком условии величины -^~- монотон-
но убывают при возрастании п. Для этого вычислим
^ге "п — 1
Qn Qn-1

§ 1] ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ 179
Из (1.6) следует, что
О Р2 D Р2
pn-i + и _ ^"-ι __ а Рп-1. „ Ип-1
Рп Pn-t ^ Q^ Qn-i Q»-i _ Ql-i
Qn Qn-ι Qn Qn
Qn-i Qn-i
τ, e.
P»-l „\ ( Pn
Pn-\ V Qn-\ I \ Qn-i
Qn Qn—i Qn
Qn-1
(1.8)
Из (1.8) и (1.7) вытекает, что при а > х2 имеет место
неравенство -γ~ < пп~1 . Сопоставляя это неравенство с вы-
Qn Qn-i
текающим из (1.7), получим, что при а > х2
2 ^ 77~ ^ ~п ·
VW VW-1
ρ
Следовательно, при α > х2 величины -—- монотонно убы-
Qn
вают, оставаясь больше х2. Поэтому при а > х2 имеем
ρ
lim TS^ = x2.
6. При 0 < а < х2 из (1.7) следует, что -^ < χ
Рщ
ρ ^
и -^££1 > χ2, так как по-прежнему Qn > 0. Выясним, как
V2W+1
ρ ρ
ведут себя -γ^- и 2η+1 при 0 < а < jc2. Для этого вы-
V2n V2W + 1
числим fsL — J^=L·.
Qn Qn-2
Чтобы вычислить это выражение, заметим, что
ία α\ ία а\ la2-\-a 2au \
\1 α/\ΐ α/ \ 2а а2-\-и)'
Следовательно, из (1.5) вытекает равенство
\Qn) \ 2а a2 + u}\Qn_J'

180
ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. IV
откуда
Рп-2
Рп = (Ф + и) Рп-2 + 2auQn„2 = (Ф + и) (£_а + 2аи
Qn 2aPn_2 + (a2+tt)Qw_2 2д Рп"2 ] я* | а
Vn-2
Оп-2
(βί + в)-^+ 2«α-2α(-^Υ-<««+«)-£*=*
Vn-2 \ УП-2 / VW-2
ζ/^
Qfl-2
°-(fe)!
*aQn-2 Q
Pfb-2
= —2eQ
n-2
<?»-
•2
'^Xfei-*3)
В частности,
pffl._§2=2. β_2α%=&(§β=ϊ —*,V^2=a —jc2) (1.9)
!W V2W-2 ЧЧП \V2n-2 /W2W-2 /
и
§a±l _ §2=1 = _ 2a 2l2=l (§u=l _ χ У Jfci _ Хг) .(i. 10)
V2W + 1 V2W-1 V2W+1 \V2W-1 /\V2w-l /
На основании (1.7) при 0 < a < x2 имеет место
неравенство
0<£ηζ1<χ^ (д==ь 2> >>>)β
ρ ρ
Поэтому из (1.9) при 0 < а < х2 вытекает, что -γ—- > 2η~2.
V2W V2W- 2
Ръп
lim W^ = *2-
Следовательно, ^г^- монотонно возрастают с возрастанием /г,
V2n
оставаясь меньше л:2. Поэтому при 0 < а < лг2 будем иметь
*2П
... ^
На основании (1.7) при 0 < а < х2 имеет место
неравенство

§ 1] ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ 1S1
Ρ Ρ
Поэтому из (1.10) вытекает, что 2η+1 < г}п~1. Следова-
V2n+1 V2W-1
тельно, 2η-ί монотонно убывают с возрастанием я, оста-
V2W-1
ваясь больше #2. Поэтому при 0 < а < х2 и в этом случае
lim §2=1 =χ2.
П-»оо V2W-1
7. Заменим в уравнении χ2 = и χ на — л:. Тогда χλ
перейдет в —х2, х2 перейдет в —χν так как — х1 станет
большим корнем. Заменим также а на — а. Теперь члены
последовательности, определяемой соотношениями (1.4), могут
стремиться лишь к —xt или к —х2, откуда ■— заменятся
Qn
Мы знаем, что при а > х2 имеет место неравенство
Ρ Ρ -ι
Χ2 < γγ1 < J1 ИЛИ, В ДруГОЙ ЗаПИСИ,
Qn Qn—i
Pfi-1 ^ Ρ
Qn-i Qn
n-1 v. УП ^ ν
Отсюда заключаем, что при —α> —хг имеет место
неравенство
"n-i v. Рп_ ^
Qn-i> Qn> Xv
т. е. при а < хг имеет место неравенство
уп-1 ^ "п ^ у
О « ^ О ^ *'
Vn—1 Wn
ρ
Таким образом, при а < χί ~ монотонно возрастают с воз-
Qn
растанием п, оставаясь меньше xv Следовательно, при а < х^
ρ
будем иметь \\mj^- = x1.
n->oo Qn
Мы знаем, что при 0 < а < х2 имеют место неравенства
^2П-2 ^ Р%П <^ д- <f P^n + l <^ P^n-l
Q2U-2 Q%n 02П+1 02П-1
Отсюда заключаем, что при 0<—а<—хг имеют место
неравенства
^2П~2 ^ Р%П ^ χ ^ ^2п+1 ^ Р2П-1
(?2n-2 Q2n 1 (?2n+l (?2п-1 '

182 обоёщения цепных дробей [гл. iv
т. е. при хг < а < 0 имеют место неравенства
<- п <- χι <* гГ~ <-
02W-1 Q2U + 1 Яш 02W-2
ρ
Следовательно, при хх < а < 0 имеем lim -γ. = jq.
8. Примеры:
1) a> x2.
/5 22\
V 4
5_ 47 455_ 4409
1 10 97 940
5 4,7 4,6907 4,69043
/22 < 4,69043 .
2) 0 < a < Jt2
'5 27
1 5
5^ 52__26 265 2702
1 10— 5 51 520
5 5,2 5,19607 5,19616
5,19607 <V"27< 5,19616.
(-1J)
3) xx < a < 0.
— 1 3 —7 17 —41
1—2 5 —12 29
—1,5 —1,4 —1,416 —1,4137
— 1,416 <—У"2< — 1,4138.
4) a < xv
_2 Зч —2 7 —26 97
1—4 15 —56
1 .—V —1,75 —1,734 —1,73214
— 1,73214 <—"|/"3.
§ 2. Решение квадратных уравнений с помощью
матриц второго порядка
1. Положим в (1.3) αη=α, |3W = — q, γ„= 1, Ьп=а + р.
Тогда соотношения (1.2) и (1.3) примут вид
Рп = aPn_l QQn-v I /on

§ 2] РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ 183
-я γΡη-ι
1 a-\~p)\Qn-i
(2.2)
2. Из равенств (2.1) вытекает, что
Рп αΡη-ι — qQn-i
т. е.
Рп
Qn
Ρ п-
Pn-l
a 74—— #
vw-1
^W-l ι „ ι
π—- + <*+/>
(2.3)
ρ
Пусть lim —*· существует и конечен. Обозначим его
w-»oo ^п
через л:. Тогда из (2.3) получим:
т. е.
Обоз]
*2 +
начим:
рх
-р-
+ д =
2
А, —
= 0,
-iq_
χ -\- α~\-ρ
Х1, 2~ ~~
, х2 = -
)
-Р±УР*-
2
2
•4g
-4g
Таким образом, если lim ~ существует, то он может
п-»оо Цп
равняться либо xv либо х2. При р2 — 4# < 0 процесс (2.1)
расходится, так как в этом случае хг и х2 — комплексные
числа, а последовательность с вещественными членами не может
иметь комплексный предел.
При а = Χι "ζ *2 = — ^ имеем:
2 "" 2
2 * 1 "" 2 4 * " 2 U —ί/; "" 2
о Ч \ о а ч °\4
ι 4г λ
Следовательно, при α = Χι[. 2 процесс (2.1) расходится.

184 ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [гл. IV
3. Из (2.3) имеем:
ρ а7) -~4 — хп — (а + Р)х
Qn Qn
Qn-i
~t~ x2 — ил ~ ~
n-i ' a —x
ρ
(a — x)nnl -\- x2 — ax
Qn-i
_(a — x)* Qn-iQn-2 (Pn-2
QnQn-i \Qn-2
-_ Qn_! (Ρη~χ jA =
Qn Qn n \Qn-i J
(a — x)n
Qn
*($-*)·
Окончательно, полагая 7^- = -—у будем иметь:
Ρ η х=(а-хГ+1т (2.4)
Qn Qn
ρ
Отсюда при а > х2 имеем -~- > χν так как Qn всегда можно
Qn
сделать положительным, умножая в случае надобности
числитель и знаменатель ~ на — 1.
Qn
ρ
4. Выясним, при каком условии величины ~ монотонно
Qn
Ρ Ρ -ι
убывают при возрастании п. Для этого вычислим ~ — пп .
Qn Qn-i
Из (2.3) следует, что
w-l.
aQn-Zrq--\Qn^J ~<α + ^0^
Qn-i Qn
т. е.
Qn
Pfi-l
Qn Q
n-i = Qn-ifPn-i χ \(Pn-i χ \ (2.5)
w-i On \Qn-i /\Qn-i 1
Из (2.5) и (2.4) вытекает, что при а > х2 имеет место не-
Р Ρ
равенство ^ < J1'1 . Сопоставляя это неравенство с выте-
Qn Qn-i

§ 2 J РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ 185
кающим из (2.4), получим, что при и > х2
vw Vw-l
ρ
Следовательно, при а > х2 величины -—■ монотонно убывают
Qn
с возрастанием я, оставаясь больше х2. Поэтому при а > х2
ρ
имеем lim —^ = х2.
При Xl + X* < а < х2 из (2.4) следует, что ^ < х2 и
ρ
/Ί2η+1 > л:2, так как по-прежнему можно считать, что Qn > 0.
V2n+i
Ρ Ρ γ __! «-
Выясним, как ведут себя -^ и 2η+1 при 1~L 2 < α < х2\
W2n V2W+1 ^
ι γ» ШГ Yl О
для этого вычислим тг^— ' .
Qn vn-2
Чтобы вычислить это выражение, заметим, что
ι — q —2aq—pq
ι + ρ (a+pf — q
a —q \/a —q \ fa2-
1 a+p)\l a+p) \2a-
ьно, из (2.2) вытекае
Λ (a2 — q —2aq—pq\/Pn_2\
J~\2a + p (a-\-pY — q)\Qn_2)>
Следовательно, из (2.2) вытекает равенство
откуда
Рп_^ {д2-д)Рп_ъ-(2а+р)ддп_3
Qn (2а+р)Рп-2+[(а+р)^-д]Оп^'
{2a + p)?*-\+(a + py*-q
γη-3
следовательно,
Ρ η Ρη-2 Q
νη νη-2 vw L Vw-2
Vn-2

186
ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[гл. iy
т. е.
g»_g^ = _^±P.Qn_2(§i±2_ XlVga=Si-xX (2.6)
Vw Vw-2 Vn l VVn^-2 / Wn-2 /
Но •У1 + ЛГаь=— -£, откуда—|·< α, 0<2я + р.
Следовательно, при Xl"ll*2 < α < л;2 имеют место неравенства
/*2П ^^2η-2 ^2η+1 ^ ^2%-1
,. (- , Q2W 02^1-2* 02W+1 Qbn-l
Так#м, образом, при*1"*!*2 < а < χ2 -^ монотонно возра-
стают с возрастанием tit оставаясь меньше х2\ -?\η+1 моно-
тонно убывают с возрастанием &,. оставаясь больше х2.
Следовательно, при Xl\** < а < х2
• . ρ
lim — = л*2.
Б. Для исследования 'оставшихся случаев заменим в
уравнении x2-\-px-{-q=0 χ на —х и ρ на —р. Заменим
также а на — а. Тогда уравнение сохранит свой вид, но х2
перейдет в Л—%ν а jq-—в —х2, так что теперь большим
корнем букет —xt. При этом члены последовательности,
определяемой соотношениями (2.1), могут стремиться только
Ρ Ρ
к —χί или к —х2, откуда -^ заменится на — -^-.
Мы знаем\ что при а > х2 имеет место неравенство
Отсюда при — #>—Χι имеет место неравенство
Ρ η ^ Ρ п-1
-^1<-гГ<
On Qn-1
т. е. при а < χί имеет место неравенство
Ρ п-1 ^ Р_п_ ^ Y
Qn-ι ^Qn^ v
ρ
Таким образом, при а < х1 -~ монотонно возрастают с воз-
Qn
растанием п, оставаясь меньше jcv Следовательно, при а < хг
\ ,, р„
имеем lim -^ = χν
П-»оо Vn

§ 2] РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ 187
Мы знаем, что при Χχ\** < а < х2 имеют место
неравенства
<^ 7Г~ <- х2 \ п. <*
02П-2 02П 02W+1 02П-1
Отсюда при —х\~т^х% ^ —α ^—^ имеют место нера-
2
венства
^2П-2 ^ Pin ^ ν ^ ^2П+1 ^ Рщ-1
^ д an ^ у ^ ж иго-и <^
02П-2 @2п 02П+1 02П-1 '
т. е. при х1 < α < "** ~^ "*2· имеют место неравенства
^2n-t ^ ^2п-И <^ ν <^ ^2п <^ 2п-2
П—2
Следовательно, при х1 < α < ** "ζ·*^ имеем lim -^- = л^.
6. Примеры. Рассмотрим уравнение х2-{-2х—1=0.
У него хи 2= —\±У2; х1ж — 2,414, л:2^0,414.
1) а>х2.
1 1\ 12 1 3 10 _ 5
1 3
2) ίφ^2- < а <х2
1 4 ~~ 2 7 24 12
0,5 0,43 0,417
0 1\ °_ J_ 2 А
12/ 1 2 5 12
' 0,5 0,40 0,417
3) jc1<a<ii±u.
Л_2 1\ -2 5-12 29
ι о J ""ι -2 5 -12
— 2,0 —2,5—2,40—2,416
4) a<*r
Г?-!)
10 5 17 —58 29
1 —4 2 —7 24 12
— 2,5 —2,428 —2,416

188 ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. IV
§ 3. Извлечение корня третьей степени
с помощью матриц
1. До сих пор мы рассматривали две последовательности
{Рп} и {Qn}y члены которых связаны друг с другом
определенными соотношениями. Рассмотрим теперь три
последовательности {Pn}, {Qw}> {Rn}> члены которых связаны друг
с другом соотношениями
^n=fl^fi-i4-aQn-i + a^w_1, )
Qn*=Pn~i +aQn-i + *fln-i. } (*=1.2,...). (3.1)
Rn=Pn-i +Qn-i + aRn-i J
С помощью матриц эти соотношения запишутся так:
α α α
1 а α
1 1 а
Рп-1 , Qn-
Qn _= Rn-i Rn—
^п Pn-i ι Qn
Rn-l Rn-
»+«
(3.2)
(3.3)
2. Пусть lim ^ и lim —^ существуют и конечны. Обо-
значим их соответственно через χ и у. Тогда из (3.3)
получим:
х = а* + *У + а х + ау + а
х-{-у-\-а ' У х-\-у-\-а
Перепишем эту систему в виде
*2+*у = аО>+1), Л
ху-\-у2—д: = а, J ^ * '
умножим второе из полученных уравнений на у-\~ 1 и вычтем
его из первого. Имеем:
х*-\-ху = ху~-\-у*—ху-{-ху-{-у* — ·*>
т. е.
У(У2~ х) + *(У* — *) + 0>9 — *) = 0
или

§5} ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 189
Бри х-{-у-{-1 =*0 система (3.4) примет вид
— х = а(у-\-1)9
1=а,
т. е. эта система сводится к неопределенному уравнению
*+.у 4-1=0.
В дальнейшем будем считать, что х-\-у-\- 1 =^0. Тогда
x = jy2 и СИстема (3,4) примет вид
У + У> = а(у+1),
J>3 = а,
т. е. она сводится к уравнениям y^=^at x=zy2, откуда
Λ L
jy=sa3, χ = α3.
Следовательно, алгоритм (3.3) в случае его сходимости
сходится к fa2 и fa.
В данной работе мы ограничимся только записью
нескольких первых приближений, получающихся из этого алгоритма,
и числовыми примерами.
Полагая P0==a2, Q0 = a, R0= 1, имеем:
a2 a3-f(a-f l)a ...
a 2a2-fa
1 a2H-2a
Отсюда
>/- 202-j-a у— a3_|_(a_J-l)a y~
Например, при α=1, α = 2
1 5 19 73 281 1081 _
14 15 58 223 858 :
1 3 12 46 177 681
Ϋ4 (прибл.) 1,67 1,583 1,5870 1,58757 1,58737
Ϋ1 (прибл.) 1,33 1,250 1,2609 1,25989 1,259912
Известно, что f*2 ж 1,2599210, fl» 1,5874011.
14 Зак. 1617. А. Н. Хованский

190 ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. IV
Пользуясь квадратом, кубом или более высокими
степенями основной матрицы, можем сколь угодно усилить
сходимость процесса.
§ 4. Извлечение корня четвертой ^степени
с помощью матриц
1· Обобщая соотношения (3.1), рассмотрим следующие
зависимости:
Рп = aPn-i + *Qn-i + α#η-ι + «Sn-i.
Rn = Pn-i +Qn-i 4-^η-ι + α5η_1,
Sn — Pn-i v~Qn-i -{-Rn-i "Γα*^η-ι·
С помощью матриц эти соотношения запишутся так:
(4.1)
α α α α\ //V-i\
1 α α al/Qn.!
1 1 α α ΙΙλ„_!
Ilia/ \.Sn_r
(4.2)
Поступая, как в предыдущем параграфе, можем показать, что
\lm%L=*V~oP, limQ =*\ГаР = У"а, litn|2- = ^a,
Λ-^ΟΟ
П->ОС>
tt>00
5η
если эти пределы существуют и конечны. Доказательство
этого утверждения проведем лишь для а = 1. В этом случае,
обозначая рассматриваемые пределы через х, у, ζ, получим
из (4.1): ,
х + ау + ьг+а
х+У+z+l '
„_-* + у + д* + д
^ tx + y + *+l '
-_ -* + y + *+g
х + у + ^+Г

§ 4] ИЗВЛЕЧЕНИЕ кОРНЯ ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕНИ 191
Отсюда
υ— ~ I (а—1)г _ ~ x + y+z + a
У~ Ζ~*~ x + y + z + l —Z х + у + г+\
г— ir I (* —!)У _ „ ■* +У+**+,* __
л у-γ- , 1-11 У ν _L ι. X г _L 1
= 2!
-3
x + y+z+l —s x + y + z + \
Окончательно,
ζ=%Χ%ΧζζΧ\> *4==α' ζ=ν~*> y=v*> *=ул
Положим Р0 = Q0 = /?0 = 50 = 1, имеем:
d α α α\ 1 1+3α 1+12α+3α2 1+31α+31α2 + «3
1 1 α α] 1 2 + 2α 3+12α + α2 4 + 40α+20α2
1 1 1 α] 1 3 + α 6+10α 10+44α+10α2
α 1 1 1/ 1 4 10 + 6α 20 + 40α+4α2.
Рассмотрим получающееся отсюда, в частности, неравенство
ν av ^ ба + 10 ·
Так как обе части его положительны, то оно равносильно
неравенству
36aS+120a2+100a\/a4 + 24aS+150a2 + 72a+9,
т. е.
α4— 12α3+30α2 —28α+9 Λ 0.
Убедившись, что левая часть этого неравенства обращается
в нуль при a = 9, можем придать ему вид
(α_1)3(α_9)Λ0.
Поэтому
,/— ^ сг2+12сг + 3 , ^ ^п
У"> ба + 10 ПРИ 1<а<9^
V«< Ja + lJ при a>9.
Отсюда
а2+12« + 3 <V~< 6α3 + 10„ Π<α<9)
6α2+10° /- α»+12α + 3 Q
α2+12α + 3<1/ α< 6α+10 («>«)·
14*

192 обобщения цепных дробей [гл. ι ν
Область применимости этих приближений ясна из
следующей таблицы:
α 6α -f- 10 " α «2 + 12α +3
1 1,000 1,000 1,000
2 1,409 1,414 1,419
3 1,714 1,732 1,750
4 1,971 2,000 2,030
5 2,200 2,236 2,273
6 2,413 2,449 2,486
7 2,615 2,646 2,676
8 2,810 2,828 2,847
9 3,000 3,000 3,000
10 3,186 3,162 3,139
11 3,368 3,317 3,266
12 3,549 3,464 3,381
13 3,727 3,606 3,488
§ 5. Извлечение корня любой рациональной степени
с помощью матриц
1. Обобщая метод, изложенный в предыдущих
параграфах, видим, что квадратная матрица п-го порядка
/α α α ...
1 α α ...
в частности
\1 1 1
Л а си
1 1 α
Л 1 1 ... Ь
позволяет получить приближенные значения для
η η η
У α, У α*,..., 1/V-i.

§ 5) ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ЛЮБОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ 193
В самом деле, эта матрица приводит к системе уравнений
χ -f- ay -J- аг -f- ... -f- at -f- α
* =
У =
x + y + z+...+t+\
X -f- у + a? + · · · -\- at -\- a
Х + У+Z+...+t+l
Х + У+2+ ··· +* + <*
откуда
α —1
x + y+--.+t+i
,. . ., y = tn~*, x = t»-1.
Положив P0 = Q0 = . . . = 1, имеем:
Ί α α
1 1 α
Л 1 1
1 1+(я-
1 2 + (Λ-
1 я
-1)а
-2) а
Например, чтобы приближенно вычислить у 4, достаточно
проделать выкладки:
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
Г
1
г~ 104
В частности, |/ 4^-gg- = 1,223 или ]/ 4;
ное значение этого корня есть 1,219..,
13
12
11
10
9
8
7
85 _
127
115
104
94
85
77
70
1,21

194 ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. IV
§ 6. Решение уравнений третьей степени
с помощью матриц
1. Рассмотрим матрицу
гп а12 а13\
α21 β22 β23 J . (б·1)
г31 α32 α33/
Она приводит к уравнениям
аъ1х + а32у + а33'
__ а21·* + ^22У + ^23
а31дг + а32у + а33 *
Исключая у из этих уравнений, приходим к уравнению
третьей степени относительно х. Следовательно, матрица
(6.1) в случае сходимости соответствующего процесса может
служить для приближенного вычисления одного из корней
некоторого уравнения третьей степени. Не вдаваясь в
подробности, рассмотрим лишь матрицу
(6.2)
Она приводит к уравнениям
__ x—py — q t,__х + У
х~ у + 1 ' ^-у + Г
Преобразуя эти уравнения*, имеем:
у*=х,
уЪ + уЪ^уЪ — ру — д,
Следовательно, матрица (6.2) в случае сходимости
соответствующего процесса может служить для приближенного
вычисления одного из корней уравнения ,y8-f- py-f- q — 0.

§ 7.J РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ 195
Например, для уравнения л:3 — 3jc —|— 1 == 0 имеем:
Ί 3 —1\ 1 3 7 (18) 6 15 38 (96) 32 81
11 О J 12 5 (12) 4 10 25 (63) 21 53
U) 1 1/ 1 2 4 (9) 3 7 17 (42) 14 35
1 1 1,25 1,33 1,43 1,47 1,50 1,51
Точное значение корня есть 1,532... Для усиления
сходимости можно было бы пользоваться квадратом матрицы
§ 7. Решение уравнений высших степеней
с помощью матриц
1. Проверим, что матрица (Ι φ 0)
k lan 0 ... 0 0 0 0 О
О k lan... О О О О О
О 0 0 ... 1ап О О О О
О 0 0 ... & 1ап О О О
О 0 0 ... О k lan О О
О 0 0 ... О 0 k О 1ап
—1а0 —iat —la% · · · —1ап-ь —1ап-± —/#п-з k—lan-x —/αη_2
О 0 0 ... О О О lan k
в случае сходимости соответствующего процесса может
служить для приближенного вычисления одного из корней
уравнения
В самом деле, эта матрица приводит к уравнениям
, __ kt+lans __ kz+lany __ ky + lan
l~ lanx + k> ' # # ' 4"~ lanx + k ' y ~ lanx + k '
— la0t — la^s — ...— lan-±z — lan-^y -\-(k — tan-i) x — 1а>п-ъ
X~ lanx-\-k

196 ОБОБЩЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. IV
откуда
апх2 + ап_хх + ап-2 + ап-гУ + an-4z ~h · · · +<V + aQt =» О,
xy=\, xz = у,..., λ;/ = s;
следовательно,
2. В частности, для уравнения
Х4 — 8х*-\-х2 — л:+1 =0
(положим & = /=1) имеем:
110 0\ 1 (2) 1 2 4 11 58 455
0 10 1
-1 1 9 —1
1 (2) 1 2 7 47 397 3500
1 (8) 4 35 310 2753 24463 217403
0 0 1 1/ 1 (2) 1 5 40 350 3103 27566
1 4 7 7,75 7,866 7,8837 7,8866
Точное значение этого корня есть 7,8873...

ЛИТЕРАТУРА ПО ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
1. Арнольд И. В., Теория чисел, М„ Учпедгиз, 1939.
.2. Бертран Ж., Алгебра, ч. II, СПб., 1901.
3. Виноградов И. М., Основы теории чисел, М.—Л., Гостехиз-
дат, 1949.
4. Воробьев Н. Н., Числа Фибоначчи, М., Гостехиздат, 1951.
5. К о ш и О., Курс алгебраического анализа, Лейпциг, 1864.
16. Лобачевский Н. И., Алгебра или вычисление конечных,
т. IV полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского, М.—Л.,
Гостехиздат, 1948.
7. Ма раку ев Н. Н., Элементарная алгебра, т. I, Теория, М.,
1903.
8. Марков Α. Α., Лекции о непрерывных дробях (см.
Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций,
наименее уклоняющихся от нуля)г М.—Л., Гостехиздат, 1948.
- 9. Мешков Α., Курс высшей алгебры, Отдел первый, СПб.,
1862.
10. |0 с τ ρ о г ρ а д с к и й М. В., Лекции алгебраического и
трансцендентного анализа, Первый год, СПб., 1837.
11. Рощин П., Записки по дифференциальному и интегральному
исчислениям, Первая часть, СПб., 1888.
12. С е г а л Б И., Непрерывные дроби, Матем. просвещ., вып. 7,
(1936).
13. С у ш к е в и ч А. К., Теория чисел, Харьков, Изд. Харьковского
университета, 1954.
14. Ф*е ρ б е ρ К., Арифметика, М., 1914.
15. Хинчин А. Я., Цепные дроби, М.—Л., Гостехиздат, 1949.
16. Хинчин А. Я., Элементы теории чисел, Энциклопедия
элементарной математики, Книга первая, М.—Л., Гостехиздат, 1951.
17. Чеботарев Н. Г., Теория непрерывных дробей, Казань,
1938.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Корноухов Н. В., Прочность устойчивых стержневых систем,
М., 1949.
2. Μ а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, М. — Л.,
Гостехиздат, 1950.
3. Марков Α. Α., Приложение непрерывных дробей к вычислению
вероятностей, Изв. Казанск. физ. матем. о-ва (2) 9 (1902), 30.
4. Рыжик И. М. и Градштейн И. С, Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, изд. 3-е, перераб., М. — Л.,
Гостехиздат, 1951.
5. С л е ш и н с к и й И. В., К вопросу о сходимости непрерывных
дробей, Матем. сб. 14 (1888), 337—343.
6. Слешинский И. В., Дополнение к заметке о сходимости
непрерывных дробей, Матем. сб. 14 (1888), 436—438.
7. Слешинский И. В., О сходимости непрерывных дробей, Зап.
матем. отд. Новоросс. о-ва естествоисп. 10 (1889), 201—255.
8. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и
интегрального исчисления, М. — Л., Гостехиздат, 1948.
9. Beck Ε., Zwei Anwendungen der Obreschkoffschen Formel, Zeit-
schr. fiir angew. Math, und Mech. 30:3 (1950), 84—93.
10. Bernoulli D., Disquisitiones ulteriores de indola fractionum
continuarum, Novi comm. Acad. sci. Imper. Petropol. 20 (1775).
11. В ess el F. W., Untersuchung des Theils der planetarischen Sto-
rungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht, Abhandl.
der Konigl. Akad. Wissensch. Berlin. Math. cl. (1824).
12. Darboux G., Journ. de math, pures et appl. (1876).
13. Deschmann Α., Auflosung von transcendenten Gleichungfen und
Anwendung derselben auf einige geometrische Beispiele, Program-
mabhandlung Cilli, 1877.
14. Euler L., De fractionibus continuis, Comm. Acad. Sci. Imper.
Petropol. 9 (1737).
15. Euler L., De fractionibus continuis observatione, Comm. Acad.
Sci. Imper. Petropol. 11 (1739), 32—81.
16. Euler L., Introductio in analysis infinitorum, I, Lausanne, 1748;
русский перевод, 1936.
17. Euler L., De inventione quotcunque mediarum proportionalium
citra radicum extractionem, Novi Comm. Acad. Petropol. 14:1 (1771),
188f|перепечатки: 1) Euler L., Opuscula Analytica (1785);
2) Ε u 1 e r L., Commentationes Arithmeticae collectae, τ. Ι, стр.
401—403, Petropoli, 1849,

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
199
18. Ε u 1 е г L., De transformatione seriei divergentis 1 — mx -f- m (m +
+ n) x2 — m (m + n) {m-{- 2n) x%-\- m(m^- n) (m-{- 2n) (m +
+ Зя) x±-\- ... in fractionem continuam, Nova Acta Acad. Sci. Imper.
Peiropol. pro annum (1784).
19. Ε u 1 e r L., De transformatione serierum in fractiones continuas;
ubi simul hac theoria non mediocriter complebatur, Opuscula ana-
lytica, II, стр. 138—177, Petropoli (1785).
20. Ε u 1 e r L., Summatio fractionis continuare, cuijs indices progressio-
nem arithmeticam constitunt dum numeratores omnes sunt unitates,
ubi simul resolutio aequationes Riccatianae per huiusmodi fractiones
ducetur, Opuscula analytica, II, стр. 217—239, Petropoli (1785).
21. Euler L., Commentatio in fractionem continuam qua illustris La
Orange potestates binomiales expressit, Memoires Acad, imper. Sci
Petersb. 6 (1813—1814), 3—11.
22. Euler L., Analysis facilis aequationem Riccatianam per fractionem
continuam resolvendi, Memoires Acad, imper. Sci. Petersb. 6
. (1813—1814), 12—29.
23. F г о b e η i u s Q., Ueb.er Relationen zwischen der Naherungbruchen
von Potenzreihen, Journ. fur die reine und angew. Math. 90:1
(1881), 1—17.
24. Q a u β С. F., Disquisitiones generales circa seriem infinitam
1 ■ *P r , *(«+l)P(N-l)rr | «(«+!) («+2)Ρ(β+1)(β+2) ,.
1^1.1Х^ 1 . 2 . γ (γ + 1) χχ ^ 1 - 2 - 3 - γ (γ + 1) (γ + 2) Χ +
+ etc, Werke, т. III, стр. 123.
25. Graf J. Η., Relation entre la fonction Besselienne de 1-re espece
et une fraction continue, Ann. matem. pura ed appl. (2), 23 (1895),
45—65.
26. Gunther S., Bemerkungen iiber Cylinderfunktionen, Archiv fur
Math, und Physik 56 (1874), 292—297.
27. Η a n к e 1 Η., Ueber die Transformation von Reihen in Ketten-
• bruch, Berichte der konigl. Sachs. Gessellsch. der Wissensch. Math.
Phys. Class. Sitzung am 15, III (1862).
28. Heilermann J. В. Н., De transformatione serierum in fractiones
continuas, Diss. Munster (1845).
29. Heilermann J. В. Н., Ueber Verwandlung der Reihen in Ket-
tenbruche, Journ. fur die reine und angew. Math. 33 (1846),
174—188.
30. Heilermann J. B. H., Zusammenhang unter den Koeffizienten
zweier gleichen Kettenbruche von verschiedener Form, Zeits. fur
Math, und Physik 5 (1860).
31. Her mite Ch., Sur la for mule d'interpolation de Lagrange, Journ.
fur die reine und angew. Math. 84 (1878), 70.
32. Her ζ Ν., Astronomische Nachrichten 107, 17.
33. J а с о b i С I. J., De fractione continua, in quam integrale
s
χ
e~x* dx evolvere licet, Journ. fur die reine und angew. Math.
12 (1834), 346—347.
34. J e η s e η J. L. W. V., Bidrag til Kjaedebrokers Theori, Festschrift
till H, G. Zeutheq, 1909f

200
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
35. К a u s 1 е г С. F., Die Lehre von den continuirlichen Brtichen,
Stuttgart, 1803.
36. К a u s 1 e г С F., Expositio methodi series quascunque datas in
fractiones continuas convertendi, Memoires Acad. Imper. Sci. Petersb.
1 (1803—1806), 156—174.
37. Koch, Helge von, Quelques theoremes concernant la theorie
generale des fractions continues, Ofversigt of Kongl., Vetenskaps-
Akad. Forhandl. 52 (1895).
38. Koch, Helge von, Sur un theoreme de Stieltjes et sur fonctions
definies par des fractions continues, Bull. Soc. math, de France 23
(1895), 33—49.
39. Kowalewski G., Interpolation und genaherte Quadratur, Leipzig,
1932.
40. К о w a 1 e w s к i G., Ueber das neue Theorem von Obreschkoff,
Deutsche Math. 6 (1942), 349—351.
41. К r a f f t M., Ueber ein Eulersches Verfahren zur Wurzelberechnung,
Monatshefte fur Math, und Physik, Leipzig und Wien, Akad. Ver-
lagsgesellschaft 49 (1941), 312—315.
42. Lagrange J. L., Complement chez Elements d'algebre etc. par
M. L. Euler, τ. Η, 1774, стр. 380 и 391.
43. Lagrange J. L., Sur l'usage des fractions continues dans le cal-
cul integrate, Nouv. Acad. Royale Sci. Belle-Lettres de Berlin (1776);
Oeuvres, τ. IV, стр. 301—332.
44. L a g u e r r e Ε., Oeuvres, т. I.
oo
Λ β— Χ
45. L a g u e r r e Ε., Sur f integrale I dx, Bull. Soc. Math, de France
7 (1879); Oeuvres, т. I. x
46. Laguerre E., Sur la fonction ί—— J , Bull. Soc. Math, de France
8 (1879); Oeuvres, т. I. '
47. Laguerre E., Sur la reduction en fractions continues d'une fraction
que satisfait a une equation differentielle lineaire du premier ordre
dont les coefficients sont rationelles, Journ. math, pures et appl.
(4), 1 (1885); Oeuvres, т. II.
48. L a m b e r t J. H., Beitrage zum Gebrauch der Mathematik und
deren Anwendung, r. II, т. 1, 1770.
49. Laplace P. S., Traite de mecanique celeste, kh. 10; гл. I;
Oeuvres, IV.
50. L e g e η d r e A. M., Traite des fonctions elliptiques et des
integrates Euleriennes, r. II, гл. 17, Paris, 1826.
51. Lerch M., Ueber einige Punkte der Theorie der Eulerschen
Integral, Monatshefte fur Math, und Phys. 19 (1908).
52. L о m m e 1 E. С I. von, Studien uber die Bessef schen Funktionen,
Leipzig, 1868.
53. Lore у W., Ueber ein Eulersches Verfahren zur Wurzelberechnung,
Monatshefte fur Math, und Phys., Leipzig und Wien, Akad. Verlag-
gesellschaft 48 (1939), 190—197.
54. Muir Th., On the Transformation of Gauss' Hypergeometric series
into a Continued Fraction, Proc. London Math. Soc. 7 (1875—1876).
μ^—118.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
201
55. Μ u i r Th„ New General Formulae for the Transformation of
Infinite Series into Continued Fraction, Trans. Roy. Soc. Edinbourgh
27:4 (1875—1876), 467—471.
56. Μ u 11 e r J. H. Т., Lehrbuch der Mathematik, erster Teil die gesam-
mte Arithmetik enthaltend, Halle, 1838.
57. Μ tiller M., Verfahren zur Wurzelberechnung, Math. Zeits. 51:4
(1948), 474—496.
58. Nachreiner V., Beziehungen zwischen Determinanten und
Kettenbruchen, Preisschrift, Munchen, 1872.
59. Nielsen N„ Handbuch der Theorie der Qammafunktion, Leipzig,
1906.
60. Nielsen N., Theorie des integrallogarithmus und verwandten
Transzendenten, Leipzig, 1906.
61. N i e 1 s e η Ν., Ueber den Legendre — Bessel'schen Kettenbruch,
Munchner Sitzungsberichte 38 (1908), 85—88.
62. О b r e s с h к о f f N., Neue Quadraturformeln, Abhandlungen preup.
Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Klasse, № 4, 5 (1940), 1—20.
63. Oppermann, Tijdskrift for Math., Zeuthen 5 (i883).
64. Pade H., Sur la representation approchee d'une fonction par des
fractions rationelles, Ann. Sci., Ecole Normale Super. (3) 9 (1892),
1—93 (приложение).
65. Pade H., Sur les series entieres convergentes ou divergentes et les
fractions continues rationelles, Acta Math. 18 (1894), 97—112.
66. Pade H., Sur la generalisation des fractions continues algebriques,
Journ. Math, pures et appl. (4), 10 (1894).
67. Pade H., Memoire sur les developpements en fractions continues
de la fonction exponentielle, pouvant servir d'intrpduction a la
theorie des fractions continues algebriques, Ann. Sci. Ecole Normale
Super. (3), 16 (1899), 394—426.
68. Pade H., Sur la distribution des reduites anormales d'une
fonction, Compt. Rend, hebdomadaires des seances Acad. Sci. 132
(1900).
69. Pade H., Sur l'expression generate de la fonction rationelle
approchee de (1 -f- x)nt Compt, Rend, hebdomadaires des seances Acad.
Sci. 132 (1901).
70. Pade H., Recherches sur la convergence de developpements en
fractions continues d'une certaine categorie de fonctions, Ann. Sci.
Ecole Normale Super. (3), 24 (1907).
71. Perron O., Ueber die Kettenbruchentwickelung des Quotien-
ten zweier Bessel'schen Funktionen, Sitzungsber. der math-phys.
Klasse der Kgl. Bayer. Akad. Wiss., Munchen 37 (1907),
423—504.
72. Perron O., Ueber eine spezielle Klasse von Kettenbruchen,
Rend. circ. matem. Palermo 29 (1910).
73. Perron O., Die Lehre von den Kettenbruchen, Leipzig und
Berlin, Teubner, 1913, 520 (есть второе немецк. изд., 1924).
74. Pflans E., Bemerkungen tiber die Methode von Q. Duffing zur
Integration von Differentialgleichungen, Zeits. angew. Math, und
Mech. 28:6 (1948), 167—172.
75. Poin care H., Notice sur Halphen, Journ. Ecole Polytech, 60
(1890), 137—161.

UOU
цитированная Литература
76. Ρ r.i n g s h e i m Α., Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrtiche,
Sitzungsber. der math.-phys. Klasse der Kgl. Bayer. Akad. Wiss.,
Munchen 28 (1898), 295—324.
77. Pri ngs h ei m Α., Ueber ein Convergenz-Kriterium fur die
Kettenbrtiche mit positiven Oliedern, Sitzungsber. der math.-phys.
Klasse der Kgl. Bayer. Akad. Wiss., Munchen 29 (1899), 261—268.
78. Pringsheim Α., Ueber einige Konvergenzkriterien fur
Kettenbrtiche mit komplexen Oliedern, Sitzungsber. der math.-phys. Klasse
der Kgl. Bayer. Akad. Wiss., Munchen 35 (1905), 359—380.
79. Ρ r i η g s h e i m Α., Ueber Konvergenz und funktionen-theoreti-
schen Charakter gewisser limitar-periodischer Kettenbrtiche,
Sitzungsber. der math.-phys. Klasse der Kgl. Bayer. Akad, Wiss., Munchen
6 (1910), 1—52.
80. Riemann В., Sullo svolgimento del quoziente di due serie iper-
geometriche in frazione continua infinita, Oesammelte Werke (есть
русский перевод).
81. Rogers L. J., On the representation of certain asymptotic series
as convergent continued fractions, Proc. London Math. Soc. (2), 4
(1907), 72—89; Supplementary note, Ibidem, стр. 393—395.
82. S a n i e 1 e ν i с i S., Sur Integration des equations differentielles
par les fractions continues, Ann. Sci. de l'Universite de Jassy 18
(1933), 197—214.
83. S с h 1 о m i 1 с h O., Ueber die Bessel'schen Funktionen; Zeitschr.
Math. u. Phys. 2 (1857), 137—165.
84. Sch 16 milch O., Ueber den Kettenbruch fur tgx, Zeits. Math,
u. Phys. 16 (1876), 259—260.
85. S с h u b e r t F. Т., De transformatione seriei in fractionem conti-
nuam, Memoires Acad. Imper. Sci. Petersb. 7 (1815—1816),
139—158.
86. S с о 11 W. T. and W a 11 H. S., A convergence theorem for
continued fractions, Trans. Amer. Math. Soc. 47 (1940), 155—172.
87. Seidel, Untersuchung tiber die Convergenz und Divergenz
Kettenbrtiche, Doktor. Diss., Munchen, 1846.
88. Seidel, Bemerkungen fiber den Zusammenhang zwischen dem
Bildungsgesetze eines Kettenbruches und der Art des Fortgangs
seiner Naherungsbrtiche. См. Abhandlungen der Kgl. Bayer Akad.
Wiss., Munchen, zweite Klasse 7:3 (1855), 582.
89. S о 1 d η e r J., Theorie et tables d'une nouvelle fonction transcen-
dante, Munic, 1809.
90. Stern, Ueber die Kennzeichen der Convergenz eines
Kettenbruches, Journ. reine und angew. Math. 37 (1848), 255—272.
91. Stern, Lehrbuch der algebraischen Analysis, Leipzig, 1860.
92. Stieltjes T. J., Recherches sur les fractions continues, Ann.
faculte des sci. Toulouse pour les sci. math, et les sci. phys. 8
(1894); 9 (1895).
93. Stieltjes T. J., Correspondance d'Hermite et Stieltjes, т. 1—II,
Paris, 1905.
94. Stolz O. u. Omeiner Α., Einleitung in die Funktionentheorie,
Leipzig, 1905.
95. Tannery J., Sur les integrates euleriennes, Compt. Rend, heb-
domadaires des seances de l'Akad. Sci. 94 (1882).

ЦйтиРованйАя ЛитеРатуМ
203
96. Τ h о m έ L. W., Ueber die Kettenbruchentwickelung der Gaufi'-
schen Funktion F(a, 1, γ; н), Journ. reine und angew. Math. 66
(1866).
97. Thome L. W., Ueber die Kettenbruchentwickelung des Gaufi'-
schen Quotienten J, ' —*—Ц- , Journ. reine und angew.
Math. 67 (1867).
98. Trembley J., Recherches sur les fractions continues, Memoires
Acad. Royale des sciences et belles-lettres en Berlin (1794—1795),
109—142.
99. Τ s с h а к a 1 о f f L., Eine Integraldarstellung des Newton'schen
Differenzquotienten und ihre Anwendungen, Ann. Univ. Sofia.
Tac. Phys.-Math. 34 (1938), 353—394.
100. Tschebyscheff P., Sur le developpement des fonctions кune
seule variable, Bull. Acad. Imper. Sci. Petersb. 1 (I860).
101. Van VI ее к Е. В., On the convergence of continued fractions
with complex elements, Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1901), 215—233.
102. Van Vleck E. В., On the convergence and character of the
continued fraction pp + ry^ + pp + ..., Trans. Amer. Math.
Soc. 2 (1901), 476—483.
103. V i s с о ν a t о f f В., De la methode generate pour reduir toutes
series des quantites en fractions continues, Memoires Acad. Imper.
Sci. Petersb. 1 (1803—1806), 226—247.
104. W a 11 i s J., Arithmetica infinitorum, 1655.
105. W a 11 i s J., Tractatus de algebra, 1685.
106. Wolffing E., Wer hat uber Kettenbruche gearbeitet? Math.-
naturwiss. Mitteil., begrundet von Dr. O. Boklin (2), 10 (1908).
107. Wor pi tzky J., Untersuchungen uber die Entwickelung der
monodromen und monogenen Funktionen durch. Kettenbruche,
Jahresber. Friedrichgymnasium und Realschule, Berlin, 1865,
3—39.