О ТЕОРИИ ДИСПЕРСИИ

Составил Н.С. Четвериков

«СТАТИСТИКА»

Москва 1968
1—8—3

58-68
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

В предлагаемой читателю книге собраны впервые публикуемые
на русском языке и поэтому ранее малоизвестные теоретические труды
по теории дисперсии. Книга дает возможность читателю самому не-
посредственно познакомиться с исторически исходными работами по
теории дисперсии, отдельные идеи которых при соответствующем
критическом подходе не потеряли значения для математической
статистики и нашего времени.

Статистика, встречаясь со случайными величинами в качестве
характеристики интенсивности причинных комплексов, обуславли-
вающих их случайность, и следуя теории вероятностей, применяет
среднее квадратическое отклонение (о), а самому явлению случайной
колеблемости присваивает наименование дисперсии.

Методы сравнительного измерения дисперсий в целях определения
стабильности рядов были впервые предложены Вильгельмом Лекси-
сом в 70-х годах прошлого века. В этом заключается его научная за-
слуга, хотя в дальнейшем конкретные измерительные приемы Лек-
сиса и его теория были подвергнуты справедливой критике.

В. Лексис во второй половине XIX в. был профессором Страсбург-
ского, Дерптского, а затем Геттингенского университетов. Ему при-
надлежит ряд трудов по политической экономии. Ф. Энгельс в пре-
дисловии к третьему тому «Капитала» и в письмах дал резкую
критическую оценку его позиции в этой области*.

Работа В. Лексиса «О стабильности статистических рядов» вместе
с работами его последователей — В. Борткевича и А. А. Чупрова —
составляет содержание предлагаемой книги. В. Борткевич дал логи-
ческий комментарий концепции Лексиса и распространил ее с относи-
тельных чисел на средние величины; А. А. Чупров после многолетней
работы параллельно с А. А. Марковым привел эти представления
к математически строгой форме. Тем самым завершилась разработка
основного ядра построений Лексиса. Работа Р. К. Бауера вводит чи-
тателя в круг некоторых сложных современных проблем, в основе
которых можно узнать мысли В. Лексиса.

* К. Маркс, Ф. Энгельс, Собр. соч., изд. 2, т. 25, ч. I, стр. 12—14;
т. 39, стр. 353—354.
Общая идея сравнения дисперсии применяется современной мате-
матической статистикой для решения задач разного рода. Однако в ра-
ботах самого Лексиса мы наталкиваемся на слабые места, на отказ от
теоретической строгости, которые, не взирая на оговорки и условные
допущения автора, могли приводить и действительно приводили к ло-
гически несостоятельным построениям, обусловленным этими ошиб-
ками. Концепция Лексиса о стабильности статистических рядов до
сих пор составляет предмет научных споров. В частности, с разбором
и критикой положений Лексиса выступил в свое время профессор
Б. С. Ястремский, с работами которого, посвященными рассматри-
ваемому вопросу, можно познакомиться по его книге «Избранные
труды», Госстатиздат, 1964 (особенно стр. 140—145). Этого вопроса
касаются и другие авторы в своих книгах и статьях, опубликованных
в «Вестнике статистики».

В работах Чупрова и Бауера, вошедших в этот сборник, наряду
с развитием мыслей Лексиса можно увидеть и критику его отдельных
положений (особенно в работе Бауера). Статья Н. С. Четверикова —
одного из учеников А. А. Чупрова, которая прилагается к работе
Лексиса, давая анализ и комментируя эту сложную для понимания ра-
боту, облегчает читателю его задачу при ознакомлении с трудами, во-
шедшими в состав сборника, хотя его комментарии не всегда бес-
спорны.

Разработка теории дисперсии имеет большое значение для целесо-
образной организации выборочных исследований, для естествознания
и других областей науки; теория дисперсии составляет одно из серь-
езных средств статистического анализа.

Книга дает материал научным работникам, занимающимся теоре-
тико-статистическими исследованиями, а также преподавателям
вузов и аспирантам многих профилей: экономистам, математикам,
социологам, биологам и др.
В. ЛЕКСИС

О ТЕОРИИ СТАБИЛЬНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ

1.	Массовые явления в общественной жизни могут до известной
степени найти свое отражение в статистических абсолютных и отно-
сительных числах. Если расположить эти числовые характеристики-
симптомы в ряды наблюдений за последовательные периоды времени,
то их изменения окажутся параллельными динамике самих массовых
явлений. Среди этих изменений намечается несколько основных ти-
пов. В некоторых случаях в статистическом ряду, несмотря на бес-
порядочные колебания по отдельным годам, в общем проступает тен-
денция к изменению в определенном направлении, в таких рядах на-
мечается как бы историческое развитие и поэтому их можно назвать
«эволюторными». В других рядах мы хотя и находим некоторую со-
гласованность направлений изменения соседних членов ряда, но в об-
щем эти ряды обнаруживают лишь подъемы и снижения, которые
графически выражаются нерегулярными волнами, почему ряды такого
рода можно назвать «ундуляторными».

Если же эти движения в отношении длины и амплитуды волн по-
вторяются регулярно, то мы имеем «периодические ряды».

Если же отдельные члены ряда скачут вверх и вниз без всякой свя-
зи между собой, оставаясь лишь в пределах некоторого диапазона,
то такой ряд можно было бы обозначить как «осциллаторный». Ука-
зать какую-либо точную границу между рядами этого типа и ундуля-
торными так же невозможно, как невозможно точно отграничить
эти последние от эволюторных.

Но под общее понятие осциллаторных рядов подходит класс, ко-
торый можно было бы противопоставить всем остальным вследствие
его совсем особого характера. Это класс «типических» рядов, своеоб-
разие которого состоит в том, что его отдельные члены представляют
собой неточные воспроизведения некоторой постоянной, лежащей в ос-
нове всего ряда величины, которая в них проявляется с чисто случай-
ными отклонениями.

2.	Во всех перечисленных классах рядов колебания отдельных
значений могут лежать в столь тесных пределах, что таким рядам по
субъективной оценке можно приписать относительное постоянство.
Однако мы сразу можем усмотреть, что и в таких относительно по-
стоянных рядах их стабильность или адекватная обратная характери-
стика, т. е. их дисперсия, может быть весьма различной. Поэтому
нам и надо иметь меру стабильности или дисперсии и притом такую,
которая сделает сравнимыми даже ряды, различные по своей природе.
Стабильны ли одни ряды относительных чисел больше или меньше по
сравнению со стабильностью других рядов? Вот вопрос, очень часто
встающий перед нами в исследованиях по демографии или моральной
статистике. Так, А. Эттинген (A. Ottingen) считает стабильность от-
носительных чисел, определяющих из года в год гражданское состоя-
ние лиц, вступающих в брак, очень большой, а В. Штида1, напротив,
полагает, по крайней мере для Эльзас-Лотарингии, что эту стабиль-
ность нельзя оценивать столь высоко. Как тут найти объективное ре-
шение вопроса? Колеблется ли процент браков между холостыми жени-
хами и невестами-девицами в Эльзас-Лотарингии слабее, чем во
Франции или в Англии? Эти колебания более сильны или более слабы,
чем колебания каких-либо иных демографических величин, например
общего процента вступающих в брак.

Уже давно делались попытки дать количественный ответ. Проще
всего было принять среднее отклонение членов ряда от их общего
среднего уровня в качестве показателя и меры колеблемости. Таким
приемом пользовался Ад. Вагнер (Ad. Wagner) в его статистике само-
убийств, Георг Майр (G.Mayr)2 и А. Эттинген (A. Ottingen). Но этот
метод чисто эмпирический, и лишь общее теоретическое рассмотрение
вопроса может показать, в каких пределах он правомерен.

3.	Прежде всего надо различать статистические ряды абсолютных
величин и ряды таких относительных величин, которые имеют форму
математических вероятностей или же функций от таких вероятностей.
Относительные величины иного типа должны приравниваться к аб-
солютным числам.

В рядах абсолютных чисел среднее отклонение вышеуказанного
типа3 * 5 вполне пригодная мера колебаний*. Если эти ряды эволютор-

1 W. Stieda, Die Eheschliessungen in ElsaB-Lotaringen, Dorpat, 1878

2 Ср. также его кн. Die Gesetzmassigkeit im Gesellschaftsleben, S. 57. (Есть

русский перевод: Г. Майр, Закономерность в общественной жизни, М,

1899. — Прим перев.)

5 Отклонения от средней берутся всегда с положительным знаком, безот-
носительно к их действительному знаку.

* Необходимо информировать читателя относительно терминологии В. Лек-
сиса. В те времена, когда его работа увидела свет, в математической литературе
была в ходу мера колеблемости — «модуль», равный 1/2. о. Для относительных
чисел модуль имел вид 1/ %РР_ . Обратная величина 1/ 2L называлась «ме-

V п	г 2pq

рой точности». Модуль, умноженный на 0,4769, носит название «вероятной
ошибки». В распределении по закону ошибок (Гаусса) она делит все множество
отклонений от математического ожидания на две равные половины: одну, со-
стоящую из отклонений, меньших вероятной ошибки, и другую — ее превы-
шающих.
ные или ундуляторные, то вообще для них можно построить только
эмпирически оправданную характеристику их изменений и в качестве
такой характеристики в первую очередь напрашивается среднее откло-
нение. Если же ряд типический, в котором между отдельными членами
ряда и средним значением их имеется соотношение, основанное на
положениях теории вероятностей, а именно если первые представляют-
ся случайно отклоняющимися значениями некоторой основной типи-
ческой величины, то согласно теории наилучшей характеристикой
дисперсии служит вероятное отклонение. Так называется то отклоне-
ние от истинной величины, которое (при очень большом числе наблю-
дений) отдельные отклонения так же часто превышают, как и не до-
стигают. Это вероятное отклонение можно определять и при сравни-
тельно небольшом числе наблюдений, хотя мы получим при этом его
не строго точное, но все же наивероятнейшее значение и лишь весьма
приближенную величину, которую можно вычислить с помощью
среднего отклонения. Дело в том, что существует приближенное ра-
венство, согласно которому вероятное отклонение 7? = 0,8435 D,
где D означает среднее отклонение. Вследствие этой приближенной
пропорциональности между R и D можно пользоваться последней как
мерой колеблемости и для типических рядов абсолютных чисел. Как
/?, так и D обратно пропорциональны мере точности, с которой при
данных обстоятельствах отдельные члены ряда отражают основную
типическую величину; мера же точности, в свою очередь, может рас-
сматриваться, как показатель стабильности.

4.	Будем ли мы для характеристики стабильности или динамики
ряда пользоваться средним отклонением вместо вероятного отклонения,
рекомендуемого теорией, все равно нет основания, чтобы отклонение
D выражать в процентах к средней величине. В эволюторных или ун-
дуляторных рядах еще допустимо применять такой относительный по-
казатель, так как в этих случаях D вообще имеет значение лишь эмпи-
рического и весьма несовершенного показателя изменчивости исследуе-
мых абсолютных величин. Если же отдельные члены ряда представ-
ляют собой случайно искаженные значения некоторой основной вели-
чины, то, вообще говоря, нет никакого основания предполагать, что
среднее (а также и вероятное) отклонение как-либо зависит от абсолют-
ного значения основной величины. Если, скажем, проводят много-
кратные измерения одного и того же угла, искаженные случайными
ошибками, то степень согласованности отдельных измерений, а вместе
с тем средняя или вероятная ошибка их не зависит от величины изме-
ряемого угла, а лишь от качества инструмента и умелости наблюда-
теля, а также от внешних обстоятельств, и поэтому два ряда измерений
при одних и тех же условиях и точности дадут одну и ту же меру колеб-
лемости, хотя бы в одном случае измерялся угол, равный, например,

Лексис пользуется и другой мерой колеблемости, называя ее «средней ошиб-
кой». Она вычисляется как средняя величина, всех отклонений безотносительно

S | xt — х01	„

к их знаку, т. е. D = -----------.— Прим, перев.
30°, а в другом — 60°. В данном примере, следовательно, мерой колеб-
лемости служит значение/) или 2? абсолютное, а не выраженное в про-
центах к средней измеряемой величине. То же самое мы имеем в типи-
ческих рядах абсолютных величин, если нет особых оснований пред-
полагать определенное соотношение между мерой точности и основной
величиной. Допустим, что мы измерили рост или объем груди у неко-
торого числа десятилетних мальчиков и у такого же числа взрослых
мужчин. Первый ряд величин, вероятно, даст большее среднее откло-
нение от средней величины, чем второй, и эта разница, естественно,
соответствует различию в стабильности обеих антропометрических вели-
чин. Если же взять отношения отклонений к соответственным сильно
различающимся основным величинам, то расхождение между относи-
тельными мерами колеблемости будет значительно большим, чем между
их абсолютными значениями; но средние отклонения; выраженные
в процентах, между собой несопоставимы, тогда как абсолютные зна-
чения тех же показателей пропорциональны мерам точности. Поэтому
их можно рассматривать как прямые и сопоставимые показатели дис-
персии.

Коротко говоря, для рядов, состоящих из абсолютных чисел, имеет
место следующее положение: лучшей мерой колеблемости для типи-
ческих рядов служит вероятное отклонение, но для той же цели можно
пользоваться и средним отклонением. Однако как та, так и другая
мера должна браться по своей абсолютной величине, а не в процентах
к средней из всего ряда.

Для нетипических рядов среднюю меру колеблемости вообще нель-
зя обосновать теоретически; эмпирически все же можно интенсивность
колебаний охарактеризовать средней величиной отклонений и взять
последнюю, где это покажется целесообразным, в процентном отно-
шении к общей средней ряда.

5.	Теперь мы перейдем к исследованию колебаний относительных
чисел и именно тех, которые представляют собой эмпирические прибли-
женные значения математических вероятностей или таких величин,
которые можно рассматривать как некоторые функции последних.
Первые мы имеем в том случае, когда перед нами большое число
(а+b) отдельных наблюдений, из которых каждое могло бы зарегистри-
ровать некоторый определенный результат, но из них действительно
дало этот результат лишь некоторое число (а). Если этот результат
можно рассматривать как некоторое событие, имеющее вероятность v,
то дробь (с известной вероятностью) тем сильнее сближается с ве-
личиной о, чем больше общее число наблюдений (а + &), которое мы
и называем «основным числом». Но будет ли данный ряд наблюдений
действительно подчиняться тем законам, которые существуют для при-
ближенных значений постоянной вероятности, можно установить,
лишь анализируя опытные данные.

Для статистических относительных чисел всего лучше применять
форму простой вероятностной дроби, которую, при желании, можно
умножить на 100 или на 1000. Однако иногда избирают такие отно-
сительные числа, которые не имеют формы вероятности, но представ-
ляют собой некоторую функцию от вероятностей, потому что относи*
тельные числа такого вида в практической работе кажутся более удоб-
ными. В особенности часто пользуются формой у, т. е. отношением
числа случаев, в которых наблюдался интересующий нас результат,
к числу тех случаев, в которых его не было. Если в основе события
лежит постоянная вероятность, то такая дробь будет приближенным
значением выражения

6.	Ряды, состоящие из относительных чисел, также могут быть,
подразделены на эволюторные, ундуляторные, периодические и типи-
ческие. В основе последних, а их мы и будем главным образом рас-
сматривать, могут лежать либо постоянные вероятности, значения
которых с большим или меньшим приближением проступают в част-
ных совокупностях, соответствующих отдельным периодам наблюде-
ний, либо вероятности непостоянные, изменения которых, поскольку
ряд все же остаётся типическим, должны носить характер случайно
осциллаторных колебаний около некоторого среднего значения. В пер-
вом случае отдельные значения основной вероятности соответствуют
исходам серии извлечений из одной и той же урны с черными и белыми
шарами в некотором неизменном соотношении, когда в каждой серии
заключено столько же испытаний, сколько наблюдений приходится
на отдельный период времени, т. е. число наблюдений и испытаний
равняется «основному числу», лежащему в основании каждого при-
ближенного значения вероятности4. Стабильность исследуемого ряда
определяется a priori этой полной аналогией правильно поставленной
азартной игре с постоянными шансами выигрыша. При этом вероятная
ошибка5 вычисляется непосредственно согласно этой аналогии по
формуле теории вероятностей

где р — некоторая постоянная, равная 0,4769; и — возможно более
точное значение вероятности, лежащей в основании совокупности^
поскольку точная величина ее неизвестна; g — «основное число».
Если «основные числа» неодинаковы для всех частных относительных
чисел и если различия между ними не очень велики, то в ранее при-
веденную формулу можно вставить их среднюю величину.

Однако же вероятную ошибку можно вычислить и прямо из дан-
ных отдельных относительных чисел, полагая, что последние достаточ-

4 О последующем см. мою работу «Zur Theorie der Massenerscheinungen in
der menschlichen Gesellschaft» (Freiburg, 1877) и статью о половом составе ново-
рожденных (Das Geschlechtsverhaltnis der Geborenen und die Wahrscheinlich-
keitsrechnung, Hildebrand's und Conrad's Jahrbiicher fur Nationalokonomie und
Statistik, Bd. XXVII, 1876, S. 209, а также в Abhandlungen, 1903, Jena, SS. 130—
169.—Прим, nepee.).

5 Вместо вероятной ошибки можно было бы, конечно, в дальнейшем пользо-
ваться средней ошибкой, легче вычисляемой, но менее наглядной.
но многочисленны, и беря непосредственно их отклонения от общей сред-
ней. Но уже и при сравнительно небольшом числе отдельных значений
мы получим все же наивероятнейшее значение вероятного отклонения
€ помощью формулы

-

где [62] означает сумму квадратов отклонений данных отдельных
значений от средней величины, а п — общее число этих отдельных
значений6.

Если полученные из наблюдений отдельные значения относитель-
ных чисел действительно представляют собой лишь случайно искажен-
ные значения некоторой постоянной вероятности и, то хотя бы приб-
лиженно должно осуществляться равенство R = г.

Чем меньше «основное число» g, тем большим должно быть вероят-
ное отклонение. При сравнительно небольшом g, когда оно, например,
не превышает тысячи наблюдений, могут встречаться очень большие
отдельные отклонения от общей средней величины; и все же при вы-
полнении указанного равенства можно считать, что вероятность, ле-
жащая в основании ряда, а вместе с ней и комплекс общих условий
исследуемого явления остаются для всего ряда постоянными. Как бы,
следовательно, ни были велики колебания наблюденных относитель-
ных чисел, все же они представляются несущественными, поскольку
они соответствуют колебаниям результатов испытаний над урной,
наполненной шарами в определенном составе, и для их объяснения нет
необходимости предполагать существенные изменения условий, ле-
жащих в основе явления.

7.	Иначе обстоит дело во втором из указанных в п. 6 различных
случаев. Ему соответствует допущение, согласно которому состав ша-
ров в урне остается постоянным лишь для серии из g извлечений, ле-
жащих в основе отдельного значения вероятности v; от серии к серии
этот состав меняется случайным образом, но так, что сохраняется тен-
денция приближенно выражать собой некоторый точно определенный
состав шаров. Таким образом, каждая отдельная серия дает прибли-
женное значение соответствующей ей вероятности v, но это значение
само будет лишь неточным отражением общего среднего значения v,
около которого и колеблются те частные вероятности, которые лежат
в основании частных серий наблюдений.

Общая колеблемость наблюденных относительных чисел складыва-
вается, таким образом, из двух компонент; одну из них можно назвать
несущественной, потому что она соответствует такой системе колебаний,
которая возникает и при постоянной вероятности; другая же вызы-
вается физическими изменениями основной вероятности, происходя-
щими от серии к серии, и поэтому может быть названа физической
компонентой.

6 Менее достоверно вероятное отклонение представляется выражением
0,84532), где D означает среднее отклонение.
Мерой общей колеблемости служит вероятное отклонение, вычис-
ляемое непосредственно из наблюденных отклонений по формуле для
/?, а мера несущественной колеблемости вычисляется по формуле
для г, в которой для v принимается общая средняя; если мы через р
обозначим вероятное отклонение п частных значений от общего
среднего и, то согласно теории вероятностей получим соотношение

. R^yr2 + p2^

Несущественная и физическая компоненты колеблемости сумми-
руются в наблюдаемой общей колеблемости так же, как две взаимно
перпендикулярно направленные силы складываются в равнодейст-
вующую.

8.	Если физическое слагаемое р = 0, т. е. если основная вероят-
ность во всем ряду остается постоянной, то предыдущее равенство сно-
ва приводится к R = г. Если существенная компонента р существует,
то всегда R^>r.

Напротив, при сделанных здесь допущениях неравенство R<j
представляется невозможным, ибо для этого нужно было бы, чтобы р
было мнимой величиной, а это доказывает невозможность.

Отсюда следует, что стабильность типического ряда имеет мак-
симум, превышение которого возможно только в случае существования
в массовом явлении каких-то особых связей и соотношений. Если
в каком-либо статистическом исследовании с достоверностью было
бы установлено, что R<j, если бы, следовательно, выведенная из
наблюдений мера колеблемости оказалась бы меньшей, чем вычислен-
ная из аналогии с азартной игрой при постоянстве шансов, то мы имели
бы перед собой явление, аналогичное осуществлению в игре некоторого
результата с правильностью и постоянством, недопустимым с точки
зрения теории вероятностей7. В таком случае надо было бы допустить,

7 В одной диссертации — F. Stark, Ueber das Geschlechtsverhaltnis
der Totgeburten und der unehelichen Geturten (Freiburg, 1877) — упоминается
(на стр. 47) удивительное постоянство отношения мальчиков и девочек среди
мертворожденных во Франции за 1831 —1840 гг., которое автор считает необыкно-
венной аномалией случайности. Это относительное число колеблется лишь между
1,4480 и 1,4481! Абсолютные числа взяты из таблицы,которую Легуа (Legoу) офи-
циально присоединил к издаваемой Кетле (Quetelet) и Гойшлингом (Heuschling)
«Statistique internationale» (р. 225). Так как французская государственная ста-
тистика дает сведения о мертворожденных лишь частично с 1836 г., а более регу-
лярные (хотя вначале все еще малодостоверные) — лишь с 1846 г., то первое, что
следует предположить, это то, что данные таблиц Легуа задним числом были вы-
браны из первичных ведомостей. Я проследил соотношение полов за годы, пред-
шествовавшие 1830 и вплоть до начала столетия, и всюду находил то же самое
число 1,448. Но помимо этого, и отношение числа мертворожденных к общему
числу всех родившихся, начиная с 1840 г., и за все предшествующее время, если
исходить из данных этой таблицы, остается все время неизменным, равным
0,03246. И именно это число будет также средним для рассматриваемого от-
ношения за первое пятилетие, когда велась общая регистрация мертворожден-
ных, т. е. за 1841 —1845 гг., а с другой стороны, за то же пятилетие и сред-
нее соотношение полов также составляло 1,448. При таких обстоятельствах
позволительно утверждать с достоверностью, бесконечно близкой к единице, что
соответственные числа упомянутой таблицы, относящиеся ко времени до 1841 г.,
что отдельные события, кажущиеся обособленными, не обладают той
независимостью одно от другого и от конечного итога, которая присуща
отдельным испытаниям с урной или с рулеткой. Другими словами,
стабильность относительных чисел, перешагнувшая свою верхнюю
границу, указывает, что исследуемое массовое явление обладает внут-
ренней связностью или что оно подчинено каким-то регулирующим
мероприятиям или нормированию. Подобные явления могли бы скорее
возникать при плановом общественном строе или в качестве следствия
принудительного законодательства. Ряды такого рода, которые можно
назвать «связными», образуют особый класс, не поддающийся чисто
статистическому исследованию, так как в них главным вопросом пред-
ставляется выяснение их отношения к регулирующей силе или к при-
нудительному действию закона, причем задача исследователя и со-
стоит в том, чтобы выяснить, в какой мере требования закона вы-
полняются. Следовательно, в данном случае предметом исследования
будут не статистические числа сами по себе, а закон и его выполнение.
Так, например, отношение числа детей, посещающих школу, к общему
числу детей школьного возраста можно было бы формально рассмат-
ривать как эмпирическое выражение вероятности для ребенка попасть
в школу. Если нет обязательного обучения или выполнение такого за-
кона плохо контролируется, так что указанное отношение далеко по
своей величине от единицы, то возможно, что отдельные его значения
в течение ряда лет обнаружат колебания, совместимые с допущением
постоянства лежащей в их основе вероятности, и, может быть, окажутся
даже еще менее стабильными. Если же мы допустим, что закон от года
к году выполняется все строже и строже, то наблюдаемые относитель-
ные числа все сильнее будут приближаться к единице. Однако едини-
ца здесь не играет роли теоретической средней, так как отклонения
в сторону превышения совершенно невозможны; она служит лишь
верхним пределом, который как бы обладает притягательной силой.
При достаточной строгости выполнения закона обязательного обуче-
ния колебания около отношения, уже достаточно приблизившегося
к единице, могут оказаться гораздо меньше тех, которые присущи
несвязному ряду с постоянной основной вероятностью, поскольку
теперь могут возникать такие соотношения между соседними годами,
когда последующий год исправляет отклонение предыдущего, потому
что при активной настойчивости в соблюдении закона некоторая
недостача, замеченная в одном году, поведет к усилению строгости
в следующем.

Нечто весьма сходное мы имеем, например, в наблюдениях над ве-
роятностью наказания за преступления, т. е. для относительного чис-
ла преступлений, за которые преступник понес наказание, к общему

покоятся не на действительных наблюдениях, а вычислены впоследствии с по-
мощью числа 0,03272 для определения количества мертворожденных по обще-
му количеству родившихся. Полученные же таким образом числа разбивались
на количества мальчиков и девочек соответственно показателю 1,448! Все же,
если таким путем «пополняется» таблица наблюдений, не мешало бы это откры-
то оговорить.
числу преступлений, совершенных за определенный период времени.
И такие статистические числа могут иметь дисперсию несвязных ря-
дов, пока эти относительные числа из-за недостатков полицейского и
судебного надзора более или менее далеки от единицы. Если же это
отношение благодаря энергичному воздействию государственной вла-
сти приближается к своему пределу, то для его колебаний норма, уста-
навливаемая при соотношении R = г, уже недействительна.

Не столь решительно, как государственное законодательство,
действуют предписания церкви, хотя все же во многих местностях
и без государственного принуждения относительное число крещеных
младенцев ко всем новорожденным среди лиц данного вероисповеда-
ния может так приблизиться к своему абсолютному пределу — к еди-
нице, что норма стабильности несвязных рядов может оказаться прев-
зойденной.

Здесь следует еще заметить, что выражение для г становится неу-
довлетворительным, когда v подходит очень близко к 1, но и без фор-
мул легко понять, что максимум стабильности, определяющийся по
аналогии с азартными играми с постоянными шансами, не может дать
ту меру достоверности, которая определяет собой нормативный закон,
подчиняющий себе все отдельные случаи, составляющие совокупность.
Верхним пределом достоверности в таких случаях, очевидно, будет
служить непреклонное выполнение закона во всех случаях.

9.	Непонятным было бы превышение максимума стабильности,
определяемого равенством R = г, в том случае, когда это произошло
бы в массовом явлении, составленном из отдельных конкретных слу-
чаев, между собой не связанных ни взаимной компенсацией одних слу-
чаев другими, ни нормирующей силой закона. Такое положение имеет
место для отдельных рождений мальчиков и девочек в какой-либо
стране, и поэтому равенство R = г указывает на наличие максималь-
ной стабильности относительно числа младенцев мужского пола к об-
щему числу новорожденных, на тот ее предел, который в действитель-
ности здесь и достигается.

К связным рядам следует причислить и такие, в которых члены
ряда претерпевают внешние изменения соответственно известному или
нам неизвестному нормирующему закону, например правильные перио-
дические подъемы и спады. Такое движение уже нельзя считать коле-
баниями в прежнем смысле слова, так как они подчиняются заранее
установленной для них норме. Но все же с обычно случающимися от-
клонениями от строго закономерной формы надо обращаться как со
случайными колебаниями и, по возможности, их измерять. Могут встре-
чаться эти отклонения любых размеров в зависимости от силы гос-
подствующего закона. Если, например, в какой-либо стране законом
установлено, что 2% мужского населения должны служить в дейст-
вующей армии, но что в определенное время года четверть всей армии
получает отпуска, а в другое время происходит призыв резервистов
в количестве, равном четверти всей армии, тогда в статистическом ряду,
который из месяца в месяц показывает относительное число лиц, со-
стоящих в армии, к численности мужского населения страны, четко
проявится периодичность с правильным чередованием подъемов и па-
дений. В законе точно определено, каким должны быть эти относитель-
ные числа в максимуме, в минимуме и в равновесном состоянии, но
в действительности всегда окажутся отклонения — то большие, то
меньшие в зависимости от той строгости и точности, с которой прово-
дится закон в жизнь. Во всяком случае и здесь в неукоснительном вы-
полнении требований закона надо искать верхнюю грань стабилиза-
ции. Что же касается распределения по месяцам частости браков, то
оно проступает с менее отчетливо выраженной периодичностью. Это
распределение зависит от обычаев и известного рода экономических
условий, а в католических странах — от церковных запрещений
заключать браки во время постов. Эти запреты действуют всего ин-
тенсивнее, так как оказывают свое нормирующее воздействие на от-
дельные случаи. Однако эти предписания все же не имеют принудитель-
ной силы государственного закона и фактически соблюдаются лишь не-
которой частью населения. Еще менее устойчиво проявляется перио-
дичность в смертности, если ее прослеживать по временам года. Ряды
этого рода уже нельзя относить в класс связных рядов, так как весьма
нечетко проступающая периодичность обусловливается не каким-либо
доминирующим правилом, а лишь периодическими изменениями
внешних факторов, не обладающих строгой принудительной силой.
Во всяком случае периодичность таких рядов должна приниматься во
внимание, поскольку исследование колеблемости должно проводиться
раздельно по фазам периода.

10.	Предметом самодовлеющего статистического исследования по
самому существу его являются несвязные конкретные массовые яв-
ления. В них не имеют подавляющего значения ни нормирующие за-
коны, ни взаимно компенсирующие внутренние соотношения; конечно,
каждый отдельный случай со всей строгостью определяется цепью при-
чин, все равно состоит она из внешних факторов или внутренних моти-
вов поведения, но совпадение отдельных случаев и обусловленные
этим численные свойства массовых явлений покоятся лишь на зако-
нах теории вероятностей, которые не имеют принудительной силы,
а лишь отображают общие условия, определяющие возможные формы
осуществления отдельных случаев. Этот класс рядов существенно от-
личается, следовательно, от связных массовых явлений, в которых гос-
подствующий над всеми закон требует осуществления непосредствен-
но определяемых им численных соотношений. В качестве примера
явлений подобного рода, уже ранее нами использованного, укажем
количество призванных в армию, выраженное в процентах к общему
населению, когда этот процент определенно предписывается государст-
вом; примером противоположного рода рядов может служить коли-
чество войска в отношении к населению, если бы солдаты вербовались
на определенных условиях. Совершенно несомненно, что последнее
относительное число за несколько лет показало бы гораздо более силь-
ную колеблемость, чем первое, и статистическое исследование этих
колебаний представляло бы во всяком случае гораздо больший ин-
терес, чем колебаний в рядах первого рода.
11.	Теперь мы приступим к более обстоятельному рассмотрению
несвязных типических рядов, члены которых имеют форму вероятно-
стей либо простых функций от вероятностей. Для такого рода стати-
стических рядов несомненно имеется высший предел стабильности
или — что то же — низшая граница дисперсии, устанавливаемая ус-
ловием 7? = г. Если за наблюдаемую величину принять эмпирическое
значение не вероятности v, а отношения	» то формула Для 7?

остается прежн ей8, тогда как вместо г надо поставить выражение^_^^2>
которое мы обозначим через (г). Конечно, это выражение дает только

приближенное значение, которое притом будет тем менее точным,
чем больше величина г.

Если мы обозначим частное от деления R на г, т. е. —, через Q, то
условие максимальной стабильности примет вид Q = 1. Это условие
соответствует наименьшей дисперсии, названной в моей , указанной
работе «нормальной»; может быть, лучше было бы назвать ее «нормаль-
но-случайной». Она возникает в силу того, что постоянная основная
вероятность проявляется в наблюдаемых относительных числах не
точно, а с отклонениями чисто случайного характера, аналогично
тому, что мы видим в азартных играх.

Условие Q>1 соответствует сверхнормальной дисперсии, которая
возникает в тех случаях, когда несущественная или нормально-слу-
чайная дисперсия сочетается с физическими колебаниями основной
вероятности.

Поднормальную дисперсию, соответствующую условию Q<4, мы
здесь не рассматриваем, потому что она возможна только в связных
рядах.

Если мы хотим ёравнить различные ряды по их стабильности или
по их дисперсиям, то речь, по существу, будет идти о физических ком-
понентах их колеблемости. Если для всех сравниваемых рядов справед-
ливо равенство Q = 1, то в этом смысле их следует считать обладающи-
ми одинаковой стабильностью или дисперсией, как бы различны ни
были их непосредственно вычисленные меры колеблемости 7?, потому
что у всех рядов физическая компонента равна нулю, а различия в ве-
личине 7? обусловлены различиями в величинах g и v и притом согласно
определенной теоретической формуле. В основе каждого из сравни-
ваемых рядов лежит постоянная вероятность — вот, что имеет решаю-
щее существенное значение.

Согласно этому при сравнении рядов со сверхнормальной дис-
персией, для которых мы имеем Q>>1, можно из значений 7?, представ-
ляющих общую колеблемость, исключить нормально-случайную ком-
поненту и выделить для исследования физическую компоненту колеб-

* 8 Само собой разумеется, она должна вычисляться из отдельных значений
и тех средних величин, которые получаются из принятой нами величины наблюде-
ний.
лемости (р), освободив ее от «основных величин» (g). Из ранее установ-
ленного соотношения между Z?, г и р можно вывести, что

и эту величину следует взять как теоретически обоснованную для
характеристики дисперсий при сопоставлении дисперсий различных
рядов.

12.	В случае применения указанных формул к конкретным ста-
тистическим данным приходится все же мириться с некоторыми не-
точностями. Нельзя ожидать, чтобы условие Q = 1 было когда-либо
математически точно выполнено, а если бы это и произошло, то это
следовало бы приписать случайности, ибо величина R, стоящая в чис-
лителе Q, представляет собой лишь наивероятнейшее значение вероят-
ного отклонения и ее собственная вероятная ошибка не столь уж мала
при обычно небольшом количестве членов ряда. Так, например, при
количестве и от 16 до 25 эта вероятная ошибка наивероятнейшего зна-
чения R лежит между 0,1192 и 0,0954, а в отдельных случаях действи-
тельная ошибка может быть значительно большей. Если мы теперь
будем считать каждое значение г совершенно точным, что на практике
отнюдь не является правилом, то в случае, если бы истинная величи-
на Q действительно равнялась единице, мы в условиях обычно встре-
чающихся количеств п все же нашли бы для эмпирической величины Q
стохастически недостоверное значение где-либо в пределах между 0,9
и 1,1, а в отдельных случаях можно было бы ожидать гораздо боль-
шие отклонения. * В частности, можно ожидать, что в иных случаях
вычисленное по наблюдениям R окажется меньше, чем г, и, следова-
тельно, Q<1. Но так как поднормальная дисперсия при сделанных
нами предположениях в действительности не может иметь места, то
подобные случаи покажут нам, как Q иногда может отклоняться в сто-
рону снижения вследствие случайных ошибок R, и тогда в других
сходных исследованиях мы вправе будем рассматривать подобные же по
величине отклонения Q от единицы в положительном направлении как
случайные и не исключающие возможности для данной дисперсии быть
в действительности нормальной. В моей работе о половом составе но-
ворожденных можно, например, найти сводку мер точности для 34 ря-
дов, состоящих каждый из 24 отдельных членов — значений соотно-
шения полов по округам. Мы увидим при этом, что величина Q в одном
исключительном случае падает до 0,723. Так как истинная величина Q
не может быть меньше единицы, то здесь мы имеем исключительно
большую ошибку в сторону снижения, доходящую до 0,277. С дру-
гой стороны, в тех же 34 рядах встречается единичный случай, когда
Q = 1,324, и все же, учитывая только что приведенную ошибку в от-
рицательном направлении, мы можем считать, что и это сильное поло-
жительное отклонение, по крайней мере в значительной части, пред-
ставляет собой случайную ошибку и что истинная величина Q весьма
близка к единице.

13.	Поэтому, вообще говоря, мы не имеем возможности с достаточ-
ной достоверностью устанавливать нормальность дисперсии, если
16
имеем в своем распоряжении только один-единственный ряд чисел —
ряд частостей рождения мальчика. Надо располагать более значитель-
ным числом рядов одного рода, чтобы на их основании иметь возмож-
ность показать, что отдельные значения Q колеблются около единицы
в тесных пределах, хотя в отдельных случаях могут встретиться и
весьма сильные отклонения. Однородность рядов не исключает, впро-
чем, возможность различий соответствующих им общих условий; мож-
но принять, что максимальная стабильность, т. е. постоянство усло-
вий, определяющих возможность явления, имеет физическое значение,
которое может проявляться при самых разнообразных внешних об-
стоятельствах.

Согласно сказанному на практике приходится довольствоваться
тем, чтобы показать существование, рядов относительных чисел, ко-
торые по крайней мере приближенно удовлетворяют критерию Q = 1.
Этого достаточно, чтобы с большей или меньшей достоверностью (что
зависит от количества п членов ряда) утверждать, что исследуемое
относительное число в основном имеет характер математической ве-
роятности и что его эмпирические значения приближенно группируют-
ся именно так, как это можно теоретически вывести, пользуясь ана-
логией с азартными играми. Всякая, хотя бы приближенная, зако-
номерность подобного рода уже представляется в любом случае науч-
но интересной и представляет собой положительный вклад в сокровищ-
ницу знания, показывая, как ряд несвязных чисел, различных по
величине, подчиняется не какой-либо эмпирически установленной
формуле, а закономерности, выведенной a priori из теории сочетаний.
Кроме того, из факта, что в основе различных эмпирических частных
обстоятельств лежит все же, хотя бы и приближенно, одна й та же
вероятность, можно умозаключать о внутреннем строении исследуе-
мого явления. Затем нам становится понятным, как могут возникать
сильные отклонения некоторых значений относительных чисел от
наиболее вероятного значения, не вынуждая нас допустить сущест-
венные изменения общих причин, обусловливающих явление. Если
нет бросающегося в глаза внешнего фактора, нарушающего условия
существования явления, то нам для объяснения необычайных отклоне-
ний не нужно строить рискованных гипотез о возникновении особен-
ных обстоятельств. Так, мы видим, например, среди 36 помесячных
оценок полового состава новорожденных в округе Штральзунд за
годы 1870 по 1872 не менее семи случаев, когда девочек рождалось
больше, чем мальчиков, и даже среди них в одном исключительном
случае на 1000 девочек пришлось всего лишь 930 мальчиков. Но
в противовес ему мы имеем другой крайний случай, когда на 1000 де-
вочек оказалось 1292 мальчика. Однако оба огромных отклонения от
нормы не требуют какого-либо особого объяснения: они не противо-
речат постоянству условий возможности рождения младенцев . муж-
ского пола; дисперсия 36 отдельных значений нормально-случайная,
и крупные отклонения вполне возможны при малом числе основных
наблюдений —• 630 (среднее помесячное число рождений). Если мы

2

О теории дисперсии

17
вычислим R (для относительного числа 1О^Оа ), то получим 56,4, а для
(г) — 57,1, что дает почти полное согласие между вероятными откло-
нениями, вычисленными: одно — непосредственно из чисел, составляю-
щих ряд, а другое — согласно комбинаторной формуле.

Далее отсюда следует, что из сравнения отдельных относительных
чисел даже в тех случаях, когда они опираются на близкие по числен-
ности совокупности наблюдений, нельзя делать никаких сколько-
нибудь достоверных выводов. С некоторой достоверностью можно со-
поставлять лишь типические средние значения. И если можно показать,
что дисперсия вокруг средней нормальна, то сопоставление даже при
умеренном числе наблюдений обретает под собой прочную почву.

14.	Даже такие ряды, в которых критерий Q = 1 осуществляется
лишь приближенно, занимают, следовательно, особое место. Возмож-
но, что превышение Q над единицей, которое в таких случаях имеет
место, возникает в силу случайных колебаний 7?, так что в действи-
тельности стабильность достигает своей наибольшей величины. Од-
нако заранее предполагать математически строгое постоянство основ-
ной вероятности вряд ли правильно; никогда не исключается возмож-
ность существования физической компоненты колеблемости, которая,
однако, в наиболее стабильных рядах по сравнению с несущественной
или нормально-случайной компонентой отходит на задний план. Но
здесь надо заметить, что критерий Q = 1 может оказаться выполнен-
ным в практически приемлемых границах и без того, чтобы физиче-
ская компонента была очень мала, и, следовательно, без достижения
стабильностью своего максимума с достаточным приближением. Это
можно усмотреть из равенства р = гУQ2 — 1, которое можно прибли-
зительно заменить равенством р = гу/2<р, если под ф понимать ма-
ленькую дробь, скажем не больше 0,2, и положить Q = 1 + ф.

Если, например, мы имеем Q = 1,1, то, предполагая эти значения
Q строго истинными, мы бы получили для р все еще 0,4447 г; следо-
вательно, лишь немногим меньше половины случайной колеблемости.
В действительности значение Q будет несомненно неточным и его пре-
вышение над единицей (ф) поэтому будет обусловлено главным об-
разом именно этой неточностью; однако в отдельных конкретных слу-
чаях мы этого с полной достоверностью знать не можем.

Рассмотрим теперь ряд, в котором физическая компонента колеб-
лемости имеет некоторую величину р. Эта компонента остается неиз-
менной, какова бы ни была величина нормально-случайной компонен-
ты г, которая со своей стороны изменяется обратно пропорционально
корню из числа наблюдений в сериях. Мы можем, следовательно,
всюду взять число наблюдений настолько большим, чтобы величиной г
по сравнению с 7? можно было бы пренебречь и в силу этого выражение
Для общей колеблемости 7? = У г2 + р2 преобразовать в 7? = р.

Обратное мы имеем, когда постоянное значение р само по себе лишь
умеренно велико. В этом случае, уменьшая число наблюдений (g), мы
можем создать такое положение, при котором нормально-случайная
компонента значительно превысит физическую, вследствие чего мы
приблизимся к равенству R = г\ впрочем «основное число», т. е. чис-
ло наблюдений в каждой серии, должно все же не снижаться ниже
нескольких сотен, так как иначе формула для г становится слишком
недостоверной.

15.	Из изложенного можно сделать тот вывод, что если условие
R = г более или менее удовлетворяется при очень большом числе на-
блюдений, скажем 100 000 или даже еще большем, то физическая ком-
понента р во всяком случае всегда мала и основную вероятность прак-
тически можно считать постоянной. Если при очень большом
числе наблюдений общая колеблемость не очень мала, то мера общей
колеблемости практически приближенно представляет собой физи-
ческую компоненту и притом с тем большим приближением, чем боль-
ше значение R.

Если величина р невелика, то при сравнительно небольших «ос-
новных числах» (от нескольких сотен и даже выше) отношение Q до-
вольно близко подойдет к единице; поэтому и обратно, если Q лишь
немного превышает единицу, то не исключена возможность того, что
существует значительная компонента р, сравнимая по величине с г.
Как дело обстоит в действительности, это можно выяснить лишь ис-
следованием того же относительного числа в ряде с очень большим
числом наблюдений в каждой серии, так как при этом физическая ком-
понента колеблемости с достаточной достоверностью выяснилась бы
непосредственно через R.

Итак, чем больше наблюдений в каждой серии, тем ближе мы мо-
жем подойти к наибольшей стабильности, что проявится как прибли-
жение найденного для ряда критерия Q к единице.

Однако при умеренно большом числе наблюдений — таком, с ка-
ким на практике чаще всего приходится сталкиваться, — остается все
еще довольно большой простор для возможного приближения стабиль-
ности к максимуму.

16.	Так как абсолютно постоянных вероятностей в массовых яв-
лениях человеческого общества наверное не встречается, то критерий
нормальной дисперсии или максимальной стабильности при очень
большом числе наблюдений в лучшем случае выполняется лишь не
полностью, хотя для тех же относительных чисел тот же критерий в ря-
дах с умеренно большим числом наблюдений оказывается выполнен-
ным удовлетворительно. В работе о половом составе новорожденных
я, например, показал, что для всех 45 графств Англии по наблюдениям
за годы 1859—1871 условие R = (г) приближенно удовлетворяется.
Если же исследовать значения этого относительного числа для Анг-
лии в целом, то эти значения для 13 указанных лет колеблются между
1035 и 1047 при среднем числе 1042 мальчика на 1000 девочек, но R ока-
зывается равным 2,6, тогда как (г) = 1,6, так что отношение R : (г)
получается равным 1,625 и дисперсию приходится считать все же сверх-
нормальной, хотя и в умеренной степени. Однако «основное число» на-
блюдений здесь равно среднему количеству рождений во всей Англии
за год, что составляет свыше 730 000, и в силу этого (г) становится
настолько малым, что физическая компонента р, которая вычислена
по формуле (r)]AQ2—1 и равна 2,0, берет верх над нормально-слу-
чайной. Последняя по своей абсолютной величине ничтожно мала по
сравнению со значительно большими нормально-случайными колеба-
ниями (г), получающимися для отдельных графств с их сравнительно
небольшим числом наблюдений. Благодаря этому показатель Q для
«отдельных графств может заметно и не отклоняться от единицы.

17,	Если мы хотим найти такие статистические условия, при кото-
рых равенство Q = 1 оказывается приближенно справедливым, то их
надо искать преимущественно среди рядов с не слишком большими
«основными числами» в сериях наблюдений. Возможно, что в них неко-
торая физическая компонента окажется перекрытой и стабильность
таких рядов до известной степени будет приближаться к своему мак-
симуму, так как если превышение Q над единицей, т. е. величина ф, и
окажется заметным, то оно будет незначительным. И все же, несмотря
на некоторую недостоверность нашей оценки, мы кое-что выиграем,
если сможем сказать, что вероятное отклонение, найденное непосред-
ственно из наблюдений при сравнительно небольших «основных чис-
лах» (g), приближенно оказывается именно таким, каким оно должно
быть согласно a priori построенной оценке. Ведь это же вновь подтвер-
дит теорию, согласно которой ряд относительных чисел при не очень
большом числе наблюдений в сериях приводит к приближенному ра-
венству Q = 1, тогда как при очень большом g этот показатель оказы-
вается равным 2 или еще большему числу. Когда критерий отвечает
требованию приближенно нормальной дисперсии, то это на практике
будет достаточным доказательством того, что исследуемый ряд
в основном имеет вид типического и что все то, что мы раньше говорили
относительно отдельных сильных отклонений и сравнимости относи-
тельных чисел, — все это применимо к рядам этого рода.

Для того чтобы определить компоненту р, скрытую вследствие ма-
лого числа наблюдений в сериях, мы можем, как ранее указано, вос-
пользоваться исследованием такого ряда того же относительного чис-
ла, в котором члены ряда опираются на очень большое число наблю-
дений. Если, как это можно доказать, на рассматриваемое относи-
тельное число не влияют времена года, то можно, например, первый
ряд составить из помесячных наблюдений, образуя его из помесяч-
ных данных по последовательным месяцам за 15—20 лет. Если при этом
критерий (Q = 1) окажется приближенно выполненным, то надо вы-
числить как 7?, так и г для относительных чисел, построенных на на-
блюдениях за целые года9, и из них получить показатель Q. Если он
и в этом случае лишь незначительно превысит единицу, то можно счи-
тать физическую компоненту ничтожно малой, если же Q окажется
значительно большим единицы, то компоненту р можно вычислить
с достаточной точностью по формуле р = r^Q2—1.

9 Если бы число наблюдений за целый год’оказалось'недостаточно большим,
то отдельные относительные числа можно было бы исчислить для двух-или трех-
летних периодов наблюдений.
В других случаях может оказаться целесообразным составлять
ряды относительных чисел с большими и малыми сериями наблюде-
ний путем пространственных группировок. Сперва вычисляем рассмат-
риваемые относительные числа за ряд лет из наблюдений по всей стра-
не, а затем по данным для групп мелких округов, распределенных по
всей стране, взяв, скажем, в каждой административной единице Прус-
сии по одному району. Большие города с их своеобразной средой мож-
но, если это представляется необходимым, исключить из рассмотре-
ния. В остальном же все вычисления и выводы будут такими же, как и
приведенные ранее10.

18.	Возвращаясь к применению на практике выражения
р = г]/Q2—1 в качестве меры дисперсии, можно при Q > 4 без вся-
ких сомнений вместо вычисленного значения р пользоваться непосред-
ственно вычисляемым вероятным отклонением /?, потому что ошибка
от пренебрежения единицей под знаком корня меньше, как правило,
чем недостоверность величины Q. Если Q лежит между 4 и, положим,
1,5, то приведенная формула дает величину физической компоненты
колеблемости, которую мы и принимаем за рационально обоснован-
ную меру дисперсии, хотя, конечно, не следует при этом забывать
о приближенном характере всего расчета из-за неполной достоверно-
сти значения Q; однако возможность пользоваться таким расчетом
существенно от этого не умаляется. Но эта недостоверность становит-
ся препятствием, когда Q оказывается меньшим 1,5, т. е. когда требова-
ние к критерию максимальной стабильности почти выполняется. Число-
вое значение корня в этом случае может оказаться величиной прибли-
зительно того же порядка, что и ошибка Q, и поэтому почти вся вели-
чина ф (превышения Q над единицей) окажется созданной этой ошибкой^
В таком случае из формулы для Q можно сделать лишь тот вывод, что
стабильность ряда близка к максимуму; решить же вопрос, действи-
тельно ли физическая компонента столь мала, что ею можно пренеб-
речь, можно было бы лишь сравнительно изучив многие подобные ряды
или же ряды, составленные из таких же относительных чисел, но с весь-
ма различными количествами наблюдений, на которые опирается каж-
дый из членов ряда. Целесообразно, учитывая природу исследуемого
относительного числа, назначить некоторую нижнюю границу для р
и для значений, лежащих ниже этой границы, считать физическую ком-
поненту (р) равной нулю.

19.	До сих пор мы принимали, что физические колебания основных
вероятностей носят характер случайных отклонений от общей средней
вероятности. В действительности это бывает лишь тогда, когда отдель-
ные числа в их последовательности во времени не обнаруживают ника-
кой связи или взаимозависимости. Строго говоря, такой самостоя-
тельности последовательных значений никогда не бывает. Если, на-

10 Если, следуя указанному методу, мы станем образовывать ряды путем
группировки во времени или в пространстве для тех же относительных чисел, но
е существенно различными «основными» числами наблюдений и при этом получим
сверхнормальную дисперсию, то, если верна теория, мы должны при различных
величинах R и г получать приблизительно одинаковые значения р.
пример, нет оснований предполагать, что сильное преобладание маль-
чиков среди новорожденных в каком-либо году само по себе не сказы-
вается на частости мальчиков в следующем году, если, следователь-
но, нет никакой внутренней взаимной связи между последовательными
вероятностями, то все-таки эти вероятности могут находиться под об-
щим внешним влиянием, которым вызываются медленные и постепен-
ные изменения общих условий появления на свет младенцев того или
другого пола. Во многих случаях этими эволюторными или ундулятор-
ными изменениями основной вероятности можно пренебречь из-за их
ничтожной величины или же, не вдаваясь в подробности, обращаться
с ними как со случайными колебаниями. Последнее возможно, когда
последовательные наблюдения над единичными случаями по внешнему
виду не обнаруживают закономерных изменений, но представляются
совершенно беспорядочно разбросанными около некоторой средней.

Во многих случаях, однако, эти взаимосвязи проступают так от-
четливо, что нельзя не принять их во внимание. Как мы уже отмечали,
эти взаимосвязи обусловлены отчасти взаимным влиянием последова-
тельно сменяющихся основных вероятностей, отчасти же постепенным
развитием комплексов тех возможностей, которые регулируют эволю-
цию явления. Новое состояние вытекает из предыдущего, а вместе с тем
и новая основная вероятность представляет собой изменение предшест-
вующей в сторону увеличения или в сторону уменьшения. Обозначим
различные значения основных вероятностей через и2, ... и будем
рассматривать их как ординаты некоторой кривой, абсциссами кото-
рой служит время /; тогда эта кривая на протяжении некоторого более
или менее длительного промежутка времени образует сцепленные меж-
ду собой подъемы и снижения, в то время как при случайных колеба-
ниях ординаты v образуются зигзаги, беспорядочными скачками колеб-
лющиеся то вверх, то вниз от некоторой горизонтальной средней
линии.

Но под отдельными значениями v здесь подразумеваются не на-
блюдения над отдельными членами ряда, для которых мы введем обоз-
начения (t/J, (и2), ..., а именно самые вероятности, лежащие в основа-
нии наблюдений и проявляющиеся в них лишь приближенно. Если
бы ординаты vlf v2, ... этой кривой были бы известны, то отклонения
(^i)—^i, (^2)—v2 и так далее должны были бы иметь характер нор-
мально-случайных колебаний, поскольку значения v действительно
представляют собой математические вероятности. Поэтому было бы
совершенно ошибочно выводить уравнение такой кривой (что сделать
всегда возможно), которая для данных значений t воспроизводила бы
с полной точностью соответствующие им наблюдения. Кривую основ-
ных вероятностей можно установить лишь предположительно; если
при этом окажется, что вероятное отклонение разностей между вычис-
ленными и наблюденными значениями не будет значительно большим,
но также не будет и значительно меньшим, чем то, которое мы вправе
ожидать на основании теории вероятностей, то нашу гипотезу можно
считать оправданной. Тогда можно считать, что принятая нами кривая
приближенно улавливает действительные изменения основной вероят-
ности за истекшее время. Но распространение этой кривой на будущее
столь же неправомерно, как применение закона за время, предшест-
вовавшее его установлению. Наша кривая представляет собой только
облеченный в геометрическую форму отчет о том, что произошло.

20.	Действительное вычисление таких кривых, вообще говоря, не
окупит затраченного на это труда. В лучшем случае можно'иногда
сделать интересную попытку с наиболее простой гипотезой относитель-
но хода изменений основной вероятности. Можно было бы еще до не-
которой степени объяснить себе исходя из обстоятельств внешней
среды, каким образом некоторые относительные числа в общем и це-
лом на протяжении длительных периодов показывают непрерывное
движение вверх или вниз. Такие изменения соответствовали бы пря-
мой, наклоненной к оси абсцисс, для которой уравнение имеет вид11:
v = а ± bt. В таком случае следует из п эмпирических величин (у),
полученных наблюдениями, вычислить наиболее вероятное значение
коэффициентов а и b и затем определить, соответствуют ли разности
между вычисленными значениями v и наблюденными (у) требованиям
теории вероятностей. Для решения этого вопроса уже было бы недоста-
точно одного лишь сопоставления выражений 7? и г в том виде, как они
были даны ранее, поскольку основная вероятность на протяжении
всего периода наблюдений изменилась на весьма значительную вели-
чину. Это происходит потому, что величина г — вероятная ошибка,
с которой основная вероятность v отражается в своих эмпирических
значениях, зависит от величины самой вероятности v, так что при од-
ном и том же «основном числе» наблюдений g меры точности наблюден-
ных величин (v) для различных v обратно пропорциональны корню
квадратному из произведения v (1 — и). С целью избежать громоздких
вычислений можно посоветовать при некоторых исследованиях так
ограничивать ряды наблюдений, чтобы различия между величинами
основных вероятностей внутри исследуемого промежутка времени не
могли вызывать сильных расхождений в вычисляемом показателе г.
Впрочем, влияние это весьма незначительно, если величина v не слиш-
ком сильно отличается от 0,5. Так, например, если основная вероят-
ность возрастает от 0,350 до 0,500, то вероятная ошибка г увеличивает-
ся всего лишь в отношении 1 : 1,048, а при дальнейшем росте v (выше
0,500) величина г снова уменьшается, пока при v = 0,650 снова до-
стигает 1. Такими и даже большими различиями в мере точности от-
дельных значений в исследовательской работе можно пренебречь,
тем более если мы пренебрегаем различиями в числах наблюдений g, ко-
торые еще сильнее сказываются на вычислении мер точности отдель-

11 Подобным же образом можно было бы исследовать, не изменяются ли
величины v пропорционально каким-либо другим переменным величинам, кроме
времени, например численности населения, хлебным ценам, или еще каким-либо
факторам, с которыми исследуемое v по самой природе своей может быть связано.
Если речь идет о связном ряде, в котором выражается прогрессивная тенденция
строго выполняемого предписания закона, то остаточные отклонения наблюда-
емых величин от наклонной прямой будут, возможно, выявлять поднормальную
дисперсию.
ных v. При таких предположениях мы будем теоретическую вероятную
ошибку рассчитывать просто с помощью среднего значения v и срав-
нивать ее с вероятной ошибкой /?, найденной из суммы квадратов от-
клонений (гч) — Vi, (^2) — v2 и так далее. Последний несомненно
отличается от ранее установленного нами 7? тем, что отклонения берут-
ся не от единой твердо определенной средней, а от изменяющихся со-
гласно рассчитанному уравнению основных вероятностей vif v2 и так
далее. Правильнее в этом случае (из-за двух параметров уравнения)
делить сумму квадратов под знаком корня не на п — 1, а на п — 2,
хотя практически это исправление мало что дает. Если в результате
мы найдем, что R = г, то наше предположение, что изменения v про-
порциональны t окажется в достаточной мере оправданным.

21.	Выяснив уравнение, связывающее vet, мы получили бы не-
посредственное выражение для физических изменений основной ве-
роятности, и мера колеблемости в прежнем смысле была бы излишней.
Однако поиски такого уравнения даже в последнем рассмотренном про-
стом случае представляют собой трудоемкую работу, а польза ее сом-
нительна. Для практики целесообразнее другая методика. Если эво-
люторное или ундуляторное изменение основной вероятности не вы-
ходит за пределы, в диапазоне которых формула для г, вычисленная
по средней величине v, не теряет свою пригодность, то можно, оставив
без внимания особенный характер этой динамики, обрабатывать ма-
териал, так, как если бы он состоял из колеблющихся членов типичес-
кого ряда. Как и в ранее рассмотренном случае, вычисляем, следова-
тельно, R и г, пользуясь арифметическим средним из наблюдений
(у). R не может оказаться здесь меньше, чем г, так как мы имели бы
тогда связный ряд, члены которого в силу особых воздействий еще сла-
бее колеблются, чем в случае постоянной и нормальной дисперсий.
Если бы приближенно оказалось, что R = г, то наблюдаемые колеба-
ния были бы близкими к тем, которые получаются в предположении
постоянства основной вероятности, и физическая изменчивость по-
следней (все равно эволюторного или ундуляторного вида) во всяком
случае была бы столь ничтожной, что ею можно было бы пренебречь.
Таким образом, когда R значительно превосходит г, все же остается
еще под вопросом, сохраняет ли мера для физической дисперсии свое
значение, которое она имела в типических рядах, также и в рядах эво-
люторных или ундуляторных при соблюдении указанных ранее гра-
ниц, а также будет ли она и здесь пригодна и даст ли сравнимые ве-
личины?

22.	Речь здесь идет о выражении, согласно которому

р = у _ Г2 = г )/ Q2 — 1.

Здесь и р, и R уже не имеют, как раньше, значения вероятной ошибки,
потому что физические изменения по своей природе уже не случайны,
но состоят в некоторого рода связных отношениях и соответствуют
взаимосвязанным фазам общего для них развития, а что касается R,
то эта характеристика колеблемости складывается из физических из-
менений и случайных отклонений эмпирических значений (у) от лежа-
щих в их основе и неизвестных нам основных вероятностей v. Послед-
него рода отклонения должны удовлетворять критерию нормально-
случайной дисперсии, который приближенно дается условием

где под [т2] понимается сумма квадратов разностей (гч) — vif (v2) —
—V2 И т. д.

Но в таком случае R непосредственно по своей форме пригодно к то-
му, чтобы характеризовать общую колеблемость около средней из
всех наблюдений, так как это выражение почти точно пропорционально
корню квадратному из среднего квадрата этих общих отклонений.
Таким образом, приведенная формула р может считаться справедли-
вой уже в силу аналогии прежней формуле случайных физических
колебаний, причем мы просто путем определения устанавливаем, что
излишек квадрата 7? над квадратом г служит квадратом меры физи-
ческих колебаний. Но соотношение R2 = р2 + г2 может быть, кроме
того, выведено и непосредственно, причем р надо представлять себе
в той же самой форме, в какой мыслится образование физической ком-
поненты колеблемости в ранее рассмотренном случае12.

12 Всегда можно себе представить, что основные вероятности и2> ••• суть
ординаты некоторой кривой, уравнение которой имеет вид:

v = aJ+ ЬТ\+ сТ" + dTf" -4- ... ,

где Т, Т", Т'", ...—представляют собой какие-либо функции от t (степени, триго-
нометрические или иные, кажущиеся подходящими), a a, b,c, dt ...— подлежа-
щие определению коэффициенты, число которых мы полагаем небольшим по
сравнению с числами наблюдений. От уравнения мы потребуем, чтобы разности
(у) — у или т между наблюдениями и вычисленными с помощью наиболее вероят-
ных значений коэффициентов a, b, с, d, ... ординатами кривой приближенно
удовлетворяли бы условию, установленному для г. Можно доказать в общем виде,
что

2 [(v) _ У]2 = 2 (V - У)2 + 2 [(£,} _ v]2,

если символом 2 обозначить сумму стоящих за ним квадратов, (у) и v — последо-
вательные значения наблюденных величин и ординат кривой, вычисленных из
уравнения с наивероятнейшими коэффициентами, а-через V—.арифметическую
среднюю из всех наблюдений (у). Если обе стороны равенства умножим на 2р2
и разделим на п — 1, то слева от знака равенства окажется точное выражение
для 7?2, а первая сумма справа по своей форме окажется сходной с вероятным от-
клонением физической колеблемости в прежде рассмотренном случае, вторая же
сумма справа будет приближенно равняться г2. Мы сохраняем здесь форму дели-
теля п — 1, приноравливая его к форме 7?, хотя теоретически это не совсем пра-
вильно. Такое положение остается справедливым и при любых различиях в мерах
точности для отдельных членов ряда, только вместо простой арифметической
средней V надо брать среднюю, учитывающую различия в весах отдельных слага-
ющих, т. е. «взвешенную среднюю», как ее можно было бы назвать.

Добавление (1902 г.). Предыдущее положение может быть доказано
следующим образом.

Примем для Т', Т", ... простые степени /, t2, t3, ... (обобщение на функции
иного вида легко осуществимо), тогда по способу наименьших квадратов мы
получим для а, Ь, с, ... нормальные уравнения:
Вместе с тем из этого соотношения мы видим, что средняя арифме-
тическая занимает еще в некотором отношении особое место, даже если
она уже не обладает характером типической центральной величины
в подлинном смысле слова.

Поэтому мы вправе для всех рядов относительных чисел, которые
имеют форму эмпирических вероятностей, судить об их стабильности
или дисперсии путем сравнения величин 7? и г и считать р = г)/ Q2 — 1
мерой физических изменений основных вероятностей все равно носят
ли эти изменения характер случайных колебаний, или неправильных
волн, или последовательных эволюторных сдвигов. Но только край-
ние пределы, в которых заключены изменения v, не должны расхо-
диться слишком далеко, чтобы значения г с достаточной для практи-
ческих целей точностью можно было вычислить на основании одного
лишь среднего его значения.

23.	Теперь мы рассмотрим половой состав умерших в различных
возрастах в качестве нового примера применения изложенной теории
дисперсии статистических рядов.

Совершенно несомненно, что мы вправе спросить, какова вероят-
ность того, что взятое на удачу любое лицо, умершее в данном возрасте,
окажется лицом мужского пола. Это — относительная вероятность,
зависящая от абсолютных вероятностей умереть в определенном воз-
расте для лиц мужского и для лиц женского пола и от числа мужчин

[(y)] = [l]a + [/]Z> + [*2k+ ... ,
[(у)/] = [/] а+[/2]^+[/з]б?+... ,
[(f) /2] = р]а + [/з]/, + [/4]с+... ,

где прямые скобки означают суммирование величин, соответствующих отдельным
значениям t. Символы (v) выражают полученные непосредственно из наблюдений
значения вероятностей. Когда же значения а, Ь, с,... найдены из нормальных
уравнений, то величины у, выведенные из уравнения

v = а + bt Д- ct2 4- ...

и соответствующие срокам наблюдений t, должны удовлетворять равенствам

H =	[€Л/] = [(^)/], [^2] = [(0/2] И Т. д.

Из уравнения для v без труда получаются следующие уравнения:

[(v) ц] = [(0] а -4 [(ц) /] b + [(ц) /2] с 4- ... ,
[у2] = [у] а 4- [ttf] b 4- [vt2] с 4- ... .

Учитывая прежние равенства, имеем [(и)и] = [и2]. Отсюда, возведя в квадрат
разности (у) — v = т, получаем [(и)2] — [а2] = [т2] (1). Если далее [у] — V= Д,
то [(у)2] — nV2 = [А2] (2) и если положить v — V = £>, то [у2] — nV2 = [Z>2]. (3)

Равенства (2) и (3), получаются вследствие того, что как 2[(и)] V, так и 2[и] V
равны 2n V2, потому что [(ц)] — [ц] = nV.

Складывая (2) и (3), мы, наконец, получим:

[(у)2] = nV2 = [Т2] 4- [О2] = [ Д 2] ,

т. е. получаем доказываемое уравнение. Впрочем, эта теорема справедлива не
только в пределах теории, вероятностей, но и для любых измеримых величин.
и женщин, доживших до данного возраста. Однако эту производную
вероятность можно исследовать как всякую самостоятельную вероят-
ность согласно методике нашей теории. Если в течение календарного

*	1	а

года в определенном возрасте умерло а мужчин и о женщин, то
представляет собой эмпирическое приближенное значение этой отно-
сительной вероятности смерти мужчин. Теперь возникает вопрос: если
мы имеем длинный ряд таких относительных чисел, опирающихся на
более или менее одинаковое число наблюдений, то будет ли вероятное
отклонение от средней иметь такую же величину, какую мы встречаем
в азартных играх с постоянными шансами, или, говоря иными словами,
проявит ли ряд максимальную стабильность или же он имеет достаточ-
но заметную физическую компоненту колеблемости?

Числовой материал мы заимствуем прежде всего из «Statistique
internationale» (р. 117), где сопоставлены данные о смертных случаях
в Бельгии за годы 1841—186013. Вместо отношения v = —f-r мы и
.	а + b

1000 a	g,

здесь оперируем отношением z = ——, поэтому вместо г, как об
этом уже говорилось, берем в качестве критерия стабильности
юоо	, ч

71--12 г или v)-

(1—у)2	4 '

Таким образом, z означает число умерших мужчин на 1000 умер-
ших женщин. Природа колебаний этого числа за данный 20-летний
период весьма различна, смотря по тому, к какому возрастному классу
принадлежали умершие: к детям, юношам, людям среднего возраста или
более пожилого или же к глубоким старикам. Так, например, для пер-
вых месяцев после рождения и для трех последних пятилетий, т. е.
для 45—60 лет, z принимает следующие значения:

Год	0—1 месяц	1—2 месяца	2—3 месяца	45—50 лет	50—55 лет	55—60 лет
1841	1 384	1 250	1 232	853	837	1 004
1842	1 337	1 296	1 214	973	898	961 -
1843	1 342	1 317	1 236	992	869	937
1844	1 383	1403	1 239	998	888	860
1845	1 376	1 375	1 278	1 083	934	960
1846	1 353	1 280	1 318	1 253	1 078	1 054
1847	1 357	1 315	1 221	1 468	1353	1 138
1848	1 330	1 439	1 310	1 116	1 077	860
1849	1 340	1 341	1 245	1 107	1 138	873
1850	1 316	1 335	1 183	1 100	1 110	850
1851	1 410	1 247	1 264	1 070	1 172	1 028
1852	1364	1 237	1 255	1 113	1 165	1 035
1853	1 385	1 445	1 253	1 188	1 206	1 067
1854	1 417	1 308	1 158	1 176	1 170	1 171
1855	1 360	1 316	1 182	1 206	1 245	1 278
1856	1 341	1 278	1 244	1 174	1252	1 197
1857	1 356	1 344	1 256	1 106	1 124	1 081
1858	1 355	1 408	1 318	1 212	1 238	1 211
1859	1 319	1 250	1 282	1 218	1 290	1 116
1860	1 375	1 348	1 390	1 291	1 276	1 305

13 С некоторыми исправлениями по первоисточникам.
В трех первых возрастных классах колебания z не обнаруживают
никакой заметной связности и никакого общего движения в каком-либо
направлении. Ни годы острой нужды, ни холерные эпидемии ничем
не выделились; незаметно также какой-либо согласованности в коле-
баниях чисел этих трех рядов. Словом, сразу видно, что колебания
здесь имеют такой вид, что в них можно предполагать случайно иска-
женные значения типической вероятности и далее мы действительно
увидим, что, несмотря на некоторые значительные отклонения, стабиль-
ность этих рядов можно считать максимальной, и, следовательно, мы
вправе предполагать здесь вероятность, близкую к постоянной.

Совсем по-другому ведут себя отдельные числа в трех последних
столбцах. Колебания в возрастных классах в 45—50 и в 50—55 лет
обнаруживают некоторую согласованность и, кроме того, в каждом
отдельном столбце выказывают довольно ясно выраженную эволютор-
ную тенденцию. Вначале относительные числа z меньше 1000, как бы
благоприятствуя мужскому полу. Однако в 1846 г., отмеченному ос-
трой нуждаемостью населения, число z сильно возрастает и в следую-
щем очень неблагоприятном году оно во всех трех столбцах достигает
максимальной высоты. Но затем — несомненно вследствие удаления
многих наиболее слабых индивидов мужского пола — наступает на
короткий срок некоторая реакция в пользу мужчин, вслед за которой
вскоре и уже до конца всего рассматриваемого периода устанавливает-
ся для z тенденция к повышению. Во всяком случае первое десятилетие,
если исключить аномальный 1847 г., имеет иной характер, чем второе
десятилетие: относительная смертность мужчин возросла, и нам пред-
ставляется, таким образом, что в Бельгии, по-видимому, накопилось
немало причин, которые неблагоприятно отозвались на жизнеспособ-
ности именно мужчин более старых возрастов. Не связано ли это с раз-
витием промышленности в этот период?

24.	Приступим теперь к исследованию теоретических критериев
дисперсии для различных возрастных групп. В следующей таблице
графы z, 7? и (г) не требуют особых пояснений; все же надо отметить,
что значения z и вошедшие в исчисление величин 7? и (г) значения у,
которые должны быть наивероятнейшими для каждой особой возраст-
ной группы, взяты как средние из всех количеств умерших мужского
и женского пола за весь исследованный период14 15. В качестве основного
количества g при вычислении (г) принималось ежегодное среднее число
всех умерших данного возрастного класса16. В графе Q приведены от-
ношения 7? : (г). Графа О содержит в себе крайние значения z, которые
в течение 20-летнего периода встречались в каждом из возрастных клас-
сов. Из них мы снова видим, какими значительными при сравнительно
небольшом числе наблюдений могут быть отклонения, все же возни-

14 Впрочем, в случае, когда количества наблюдений не слишком сильно варь-
ируют по годам, можно, не рискуя сколько-нибудь значительно ошибиться, в ка-
честве наивероятнейшего значения принять арифметическую среднюю из v или г.
Та средняя, которая упомянута в тексте, есть «средняя взвешенная».

15 О допускаемой при этом ошибке можно судить, если вычислить г сперва

с самым большим, а затем с самым малым числом наблюдений.
кающие при нормальной дисперсии и приближенно постоянном ком-
плексе общих условий, под влиянием которых протекает явление.

Под символом L показано для ряда возрастных групп, сколько
мальчиков приходится на 1000 девочек среди младенцев, вступающих
в данный возрастной класс, с целью убедить читателя, что этот избы-
ток мальчиков не проясняет возникновения большого превышения от-
носительной смертности мальчиков.

Для более поздних возрастов в той же графе помещены величины
cxD, где а = 0,8453, a D — средняя абсолютная величина отклонений
от средней. Это, следовательно, тот самый показатель, который ранее
приведен наряду с 7? — как менее достоверное выражение для вероят-
ной ошибки. Сопоставляя эти числа с рядом стоящими значениями
мы хотим показать, в какой мере первые пригодны служить показате-
лем дисперсии.

Возраст		Z	О	L	R	(Г)	Q
Мертворожденные		1 348	(1281 — 1410)	1064	23,4	23,6	0,99
0—1 месяц		1 359	(1316—1417)	1052	18,5	22,1	0,84
1—2 месяца		1 323	(1 237—1 445)	1038	42,4	37,1	1,15
2—3	»	1 253	(1 158—1 390)	1033	36,2	40,8	0,91
3—4	»	1 224	(1 099—1 394)	1030	49,1	42,9	1,14
4—5 месяцев		1 284	(1 174—1 429)	1028	52,7	50,6	1,04
5—6	»	1 257	(1 117—1 422)	1026	56,2	52,9	1,06
6—9	»	1 179	(1 109—1 257)	1024	34,3	30,4	1,13
9-12	»	1 085	(1 014—1 182)	1020	31,1	27,8	1,12
1—2 года		1 028	(966—1 087)	1019	23,9	15,6	1,53
2-3	»	990	(926—1 065)	1018	23,5	22,1	1,06
3— 5 дет		947	(879—1 019)	1019	23,7	20,1	1,10
5—10	»	878	(821— 945)	1022	28,7	17,4	1,66
				aD		-	
10—15	»	713	(620— 847)	46,0	45,5	18,4	2,5
15—20	»	770	(685— 919)	36,4	37,9	18,3	2,1
20—25	»	1 095	(965—1 234)	38,0	40,2	23,9	1,7
25—30	»	905	(804—1 027)	30,2	32,8	21,3	1,5
30—40	»	826	(766— 909)	33,2	29,7	13,9	2,1
40—45	»	943	(812—1 115)	48,3	50,3	21,6	2,3
45—50	»	1 143	(853—1 468)	83,0	88,9	25,8	3,4
50—55	»	1 124	(837—1 353)	103,2	104,4	24,2	4,3
55—60	»	1 055	(850—1 305)	95,2	93,9	21,8	4,3
60—65	»	962	(848—1 140)	63,4	64,8	18,5	3,5
65—70	»	913	(789—1 151)	71,8	71,7	16,6	4,3
70—75	»	906	(766—1 150)	60,3	65,9	15,9	4,1
75—80	»	903	(811 — 1 019)	31,1	36,0	16,8	2,1
80—85	»	866	(781— 940)	21,7	24,5	19,5	1,26
85—90	»	800	(721— 904)	34,5	33,9	26,3	1,29
свыше 90	»	693	(638— 831)	25,0	28,7	38,1	0,75
25.	В различных возрастных классах за годы от 0 до 5 лет (за ис-
ключением, вероятнее всего случайным, возрастной группы 1—2 лет)
Q всюду близко к единице, что служит указанием на приближенно ти-
пический характер данных значений z и на то, что стабильность рядов
близка к своему максимуму. Для более поздних юношеских лет и за
период взрослых возрастов значения Q изменяются от 1,5 до 2,5; для
более зрелых и старших возрастов между 45 и 75 годами значительно
увеличивается Q, так что его значения достигают 4,3, но затем мы ви-
дим быстрое падение, а для последних старческих возрастов стабиль-
ность снова приближается к своему максимуму. Показатель Q, конеч-
но, не служит подлинной мерой дивергенции и только в тех случаях,
когда (г) остается неизменным или уменьшается, возрастание Q дей-
ствительно свидетельствует об увеличении дисперсии. Для действи-
тельного измерения последней служит, согласно изложенному, только
физическая дисперсия, которую мы получаем как остаток общей колеб-
лемости после исключения из нее нормально-случайной компоненты.
Однако формула р = (г) / Q2 — 1 дает для детских возрастов значе-
ния р частью мнимые, частью же сравнительно малые, хотя и дейст-
вительные. Так как мнимые величины (соответствующие Q<4) В03‘
пикают несомненно вследствие неточности величины Q и так как со-
ответственные ряды можно считать по существу однородными, то мы
вправе те небольшие превышения Q над единицей, которые дают дей-
ствительные, а не мнимые значения р, также вменять подобной же неточ-
ности Q. Так, среди первых девяти значений Q мы находим самое силь-
ное отклонение в отрицательном направлении от единицы, равное
—0,16, а с другой — самое большое отклонение в положительном на-
правлении, равное +0,15, и мы имеем все основания приписывать и то
и другое отклонение одному общему источнику. Средняя же величина
из этих девяти значений составляет 1,04. Поэтому мы имеем полное пра-
во полагать, что истинное значение Q для этих рядов очень близко
к единице, так что это значение, будучи вставлено в формулу для р, при-
водит к очень малой величине, настолько малой, что ею можно прене-
бречь. Вообще же эмпирически найденное Q может (как об этом уже
говорилось ранее) до известного предела превысить единицу даже в том
случае, когда физические колебания в действительности совсем ничтож-
ны. Где расположить эти пределы? Этого, конечно, сказать нельзя,
но такая неопределенность не исключает возможности провест^раз-
личие между физическими дисперсиями, которые меньше связанной
с ними нормально-случайной компоненты, и теми, которые ей равны
или ее превышают. За такую границу можно было бы принять Q .=
= ]/2 = 1,41. Если Q лежит внутри этого диапазона, то возможно,
что стабильность данного ряда близка к своему максимуму или даже
настолько мало от него отличается, насколько мы вправе этого ожи-
дать в конкретном случае. Но, с другой стороны, при сравнительно
небольшом числе наблюдений в серии (g) величина р, даже если она
меньше, чем (г), все же может оказаться довольно значительной.

26.	Если мы по формуле р = (r))/Q2— 1 вычислим физическую
дисперсию для тех возрастных групп, в которых она превышает (г),
то получим следующую таблицу:

Возраст (лет)	р	Возраст (лет)	р	Возраст (лет)	р
1—2	18,8	25—30	23,8	55—60	91,2
5—10	23,1	30—40	25,7	60—65	62,0
10—15	42,2	40 -45	44,7	65—70	69,4
15—20	33,8	45—50	83,8	70—75	63,2
20—25	32,8	50—55	101,2	75—80	31,0

Эти числа также приходится принимать с некоторым недоверием,
однако их неточность по сравнению с общей величиной можно считать
не столь уж значительной или даже совсем небольшой. По существу
их можно признать сравнимыми между собой. Можно, например, ут-
верждать, что физическая дисперсия относительного числа z в возраст-
ной группе 50—55 лет примерно втрое превышает физическую диспер-
сию группы 15—20 лет и вчетверо — группы 25—30 лет. Для детей от
1 года до 2 лет р имеет наименьшую величину, притом вполне возможно,
что в нашем примере из-за случайной аномалии она оказалась преуве-
личенной, так как аналогия с другими наблюдениями в той же воз-
растной группе и меньшее значение Q в обеих соседних возрастных
группах говорят за то, что и в детском возрасте стабильность прибли-
женно достигает своего максимума.

Значения р согласно формуле очень близко подходят к 7?, как
только Q становится достаточно большим. С другой стороны, /? более
или менее сходится и с aD, так что для более значительных Q физи-
ческая дисперсия оказывается приблизительно пропорциональной
среднему отклонению в ранее указанном смысле этого термина.

Для юношей дисперсия D, таким образом, нормально-случайна,
и физической компонентой можно пренебречь, а лежащую в основа-
нии относительную вероятность рассматривать как постоянную. Это
значит, что для младенцев существует такой постоянный комплекс
условий, в силу которого мальчиков умирает больше, чем девочек.
Относительное число живущих мальчиков и девочек в этом комплексе
условий не может иметь заметного значения, так как число L даже
в своей наибольшей величине мало отличается от 1000 и его изменения
не обнаруживают ни малейшей согласованности с изменениями ве-
личины z. Последняя, например, возрастает с 1224 до 1284, тогда как
L падает с 1030 до 1028, а падение z с 947 до 878 сопровождается воз-
растанием L от 1019 до 1022. Наиболее простой гипотезой во всяком
случае будет та, согласно которой это различие в жизнеспособности
обосновывают физиологической конституцией мужского и женского
организмов на первых этапах их жизненного пути. Во всяком случае
почти максимальная стабильность z указывает на то, что в этом воз-
расте отсутствуют заметные влияния факторов, иногда искажающих
разницу в жизнеспособности того и другого пола. Если бы подобные
влияния возникали как временные или как закономерно развиваю-
щиеся, то основная вероятность не оставалась бы неизменной. Мы не
можем составить себе иного представления кроме того, что жизнеспо-
ссбность мальчиков по органическим причинам в определенном по-
стоянном отношении ниже жизнеспособности девочек16.

27.	Совсем иначе ведет себя дисперсия относительного числа для
старших возрастных классов. Нормально-случайная компонента все
более отступает на задний план, и мы должны, следовательно, пред-
полагать энергично действующие и изменчивые внешние факторы, ко-
торые по-разному воздействуют на лиц того и другого пола. На самом
деле условия и опасности, сопряженные с самостоятельным существо-
ванием, для обоих полов настолько различны, что и изменчивость
в них может принимать своеобразную для каждого пола форму.

Для глубоких стариков вновь восстанавливается большее однооб-
разие причин смерти у мужчин и женщин. Основная вероятность снова
приближается к постоянству, но только в этих возрастах, по-видимому,
не так, как у детей; не существует значительной разницы в средней
жизнеспособности мужчин и женщин. Можно, пожалуй, даже приз-
нать, что сила смертности почти одинакова для лиц обоих полов, зна-
чения же z определяются главным образом половым составом дожив-
ших до данного возраста. Так, согласно бельгийской переписи 15 ок-
тября 1846 г. на 1ССО женщин в возрасте от 80 до 85 лет приходится
850 мужчин, в Есзрасте 85—90 лет — 801, в возрасте 90 лет — 720
мужчин, а по переписи 31 декабря 1856 г. соответственные числа были:
766, 777 и 729 мужчин на 1000 женщин. Числа 1846 г. очень хорошо
сходятся, да и оба последних числа 1856 г. еще достаточно близко, от-
ражают значения z для соответственных возрастов.

28.	Можно привести еще другие примеры, подтверждающие, что
относительная смертность детей обоих полов обнаруживает типическую
стабильность. Сперва мы исследуем непосредственно выраженную
в форме —относительную вероятность смерти v мальчиков в воз-
расте 0—5 лет (исключая мертворожденных) в некоторых австрийских

16 Интересно отметить, что относительная смертность мальчиков в первые два
месяца жизни близка к столь же постоянному соотношению полов среди мертво-
рожденных. Увеличенная доля мальчиков среди последних не может, следова-
тельно, объясняться более трудными родами младенцев мужского пола. Примерно
те же пропорции отмечены, согласно наблюдениям в Париже, и в половом составе
абортированных эмбрионов. К выводам относительно причин, определяющих
половой состав новорожденных, к которым ведут эти факты, я намерен вернуться
в другом месте. (Такой работы В. Лексис не опубликовал. Но тема о половом со-
ставе новорожденных, по-видимому, с позиций Лексиса, была освещена
А. А. Чупровым (А 1. А. Tschupfow, Zur Frage des sinkenden Knabenuber-
schusses unter den ehelich Geborenen. Institut internationale de Statistique, XIV
session, 1913. Rapports № 22.) Изложение содержания этой работы см.:
Н. С. Ч е т в е р и к о в, А. А. Чупров как демограф (К вопросу об изменениях
доли мальчиков среди рождающихся). В сб.: «Проблемы демографической стати-
стики», М., 1959, стр. 378—3£5. См. также: Ингвар Ведерванг, Половой
состав родившихся, его уровень и колебания (Ingwar Wederwang, On
seksualproporsjonen ved Fodselen, dens typer og dieses variasjoner med saerlig
henblikk pa foster dpdeligheiten, Oslo, 1924.) Подробный разбор этого труда см.:
А. А. Чупров. Половой состав родившихся как предмет статистического
исследования. В сб.: А. А. Чупров. Вопросы статистики, М., 1960.— Прим,
перев.)
коронных землях по данным за 13 лет (1862—1874 гг.). С теми же
обозначениями, как и ранее, мы имеем здесь17 следующие данные:

	10 000и	о	Я	г	Q
Нижняя Австрия . . .	. .	5 374	(5 335—5 410)	15,8	18,7	0,84
Верхняя Австрия . . .	. . 5 447	(5 327—5 555)	42,8	37,0	1,16
Зальцбург 		. . 5511	(5 374—5 825)	78,4	82,2	0,95
Штейермарк		. . 5 461	(5 359—5 536)	32,2	30,1	1,07

Соответствующие четыре значения z равны 1162, 1196, 1228, 1203.

Отрицательные отклонения Q от единицы вызываются такими же
причинами, что и положительные, и поэтому без колебаний можно при-
нять, что исследованные ряды обладают максимальной стабильностью
и что основные вероятности v за 13-летний период, несмотря на коле-
бания их эмпирических значений, оставались приблизительно неиз-
менными.

Еще некоторые примеры мы заимствуем из баварской статистики,
в них мы среди умерших будем различать законнорожденных и вне-
брачных. Пусть величина, которую мы наблюдаем, будет г, как и в при-
мере по Бельгии. Материал наблюдений взят из «Statistique Interna-
tionale» и относится к 25 годам (1835/36 — 1859/60 гг.).

Мертворожденные
Законнорожденные ..............

Внебрачные............	. . .

Умершие в возрасте 0—1 года18
Законнорожленные ..............

Внебрачные ................

Умершие в возрасте 1—2 лет
Законнорожденные ..............

Внебрачные ................

Z	О		(г)	Q
1 438	(1 367—1 544)	34,1	32,5	1,05
1 158	(956—1 273)	49,2	47,1	1,04
1 276	(1 245—1 310)	9,5	8,9	1,07
1 169	(1 121 — 1 234)	18,9	14,3	1,32
1 046	(965—1 105)	24,2	20,9	1,16
970	(888—1 039)	29,0	38,8	0,75

17 В этих примерах пользуемся несколько упрощенным подсчетом, который,»
однако, достаточно точен для практических целей. Вместо взвешенной средней
взята простая арифметическая средняя из отдельных величин v по каждому году»
а в качестве числа наблюдений для отдельного члена ряда применялось не сред-
нее число из всех отдельных «основных чисел» серий, а простая средняя из наи-
большего и наименьшего числа наблюдений. Этот последний прием по существу
столь же правомерен, как и первый, который также не вполне точен. Если дис-
персия близка к нормально-случайной (и только в этом случае), то меры точности
отдельных членов ряда приблизительно пропорциональны квадратным корням из
числа наблюдений и строго' правильное исчисление состояло бы в том, чтобы от-
дельные значения членов ряда приводить к общей мере точности. Так, например,
для Нижней Австрии наивероятнейшее значение на 1000 v взвешенной средней
определяется в 5373 (вместо 5374) для всех 13 лет, наименьшее /? из погодовых
чисел наблюдений (26 633 за 1868 г.) получается равным 17,4; а для г с тем же чи-
слом наблюдений составляет 20,6. Эти же величины, рассчитанные по наиболь-
шему числу наблюдений (37 912 за 1873 г.), оказываются следующими: R = 14,6
и г = 17,3. Числа, приведенные в таблице, лежат между этими крайними значе-
ниями, и максимальная стабильность в них отражается столь же отчетливо, как
и в этих последних.

18 Включая мертворожденных.
Учитывая значительное отрицательное отклонение Q у внебрачных
детей в возрасте 1 года — 2 лет, можно и положительное отклонение
у внебрачных детей в возрасте 0—1 год отнести за счет неточности R и
в соответствии с этим признать стабильность частости 6 рассматривае-
мых рядов по 25 членов как близкую к максимальной. В особенности
следует отметить ничтожное отклонение от единицы, обнаруживаю-
щееся у Q для законнорожденных детей в возрасте 0—1 год, так
как число наблюдений в ней настолько велико (свыше 38 000), что
даже небольшая сама по себе физическая колеблемость уже могла бы
стать заметной.

29.	Так как вышеприведенные значения z обладают постоянством
типического ряда, то различия, замечаемые между законнорожден-
ными и внебрачными, указывают на специфичные и постоянные раз-
личия в комплексах условий, определяющих смертность детей того и
другого пола в обеих категориях новорожденных. Этот вывод следует
признать доказанным лишь теперь, когда значения z не только вы-
числены по данным за весь период, но когда установлено, что каждое
значение z служит центром нормально-случайной дисперсии. Насколь-
ко рискованно было бы делать выводы из разрозненных наблюдений
над соотношением полов среди умерших, видно из того, что среди
детей в возрасте 1 года — 2 лет максимальная величина вне-
брачных (1039) намного превышает минимальную (965) законно-
рожденных.

Таким образом, мы видим, что превышение мальчиков над девоч-
ками среди мертворожденных, как и среди умерших в первые годы
жизни, меньше у внебрачных, чем у законнорожденных, и эта разница
поддерживается на неизменном уровне некоторым комплексом усло-
вий. Но из этого отнюдь не следует, что внебрачное происхождение
благоприятствует младенцам мужского пола, скорее следует искать
причину указанной разницы в том, что рождающиеся девочки стра-
дают сильнее мальчиков, когда рождаются вне брака. Если от рас-
смотрения законнорожденных перейти к внебрачным, то вероятность
мертворождения возрастает для обоих полов, но это увеличение от-
носительно больше для девочек, которые не могут сохранить за собой
свое более благоприятное положение прд-отрицательным воздействием
своего внебрачного происхождения.

Так, в Баварии мы видим за 25-летний промежуток времени, что
на 10 000 детей приходится мертворожденных: мальчиков законно-
рожденных — 341 ( = 1), внебрачных — 353 ( = 1,035) и девочек
законнорожденных — 254 ( = 1), внебрачных — 317 ( = 1,250).

То же самое можно сказать и об относительной смертности в пер-
вый год жизни после рождения. Внебрачность усиливает смертность
обоих полов, но девочки теряют часть своих преимуществ и сильнее
мальчиков страдают от своего внебрачного происхождения. В ранее
названных баварских материалах на каждые 10 000 приходится умер-
ших в возрасте от 0 до 1 года (включая мертворожденных) мальчиков
законнорожденных 3375 ( = 1), внебрачных — 3919 (= 1,16), де-
вочек законнорожденных — 2828 ( = 1), внебрачных — 3485 ( = 1,23).
Приведенные примеры ясно показывают ту пользу, которую при
массовых физиологических исследованиях можно извлечь из определе-
ния стабильности. Относительное число, для которого можно показать,
что оно представляет собой центральное значение для нормально-
случайной дисперсии, тем самым получает некоторое устойчивое зна-
чение, свидетельствующее о сравнительном постоянстве комплекса
причин, так что различие между величинами такого рода также при-
обретает свойство типичности. Вообще сопоставление статистических
относительных чисел и попытки выяснить их взаимоотношения всегда
страдают недостоверностью, если остается неустановленной дисперсия
сопоставляемых чисел.

30.	Относительные числа с приближенной нормально-случайной
дисперсией на первый взгляд лишь редко встречаются в области де*
мографии и нравственной статистики. На самом же деле их можно было
бы открыть во многих случаях, если только направить поиски в со^
ответствии с указанными ранее принципами, а именно: искать среди
рядов с небольшим числом наблюдений, лежащих в основе отдельных
членов ряда.

Можно указать еще второе правило для поисков подобного рода
относительных чисел: чем в большей степени такое число ик^рет харак-
тер относительной вероятности, тем скорее можно ожидать от него
нормально-случайную дисперсию. Опыт нас учит, что, вообще говоря,
для вероятностей такого рода в качестве физической дисперсии мы
принимаем изменения под воздействием внешних влияний. Наше не-
знание, конечно, не служит еще доказательством, что таких воздействий
нет, но все же подобное предположение делается, хотя бы субъектив-
но, более правдоподобным, а субъективная вероятность, по нашему
опыту, часто подтверждается объективной. Так, например, отношение
числа мальчиков и девочек, умерших в возрасте от Одо 1 года, к числу
живорожденных того же пола будет приближенным значением вероят-
ности смерти. Если же мы станем исследовать эмпирические данные
за ряд лет, то как для мальчиков, так и для девочек найдем сверхнор-
мальную дисперсию. Такой результат можно было предвидеть, по-
скольку мы имеем возможность указать конкретные внешние причины
(холера, хозяйственные затруднения и т. п.), вызвавшие резкие нару-
шения нормальных условий смертности. Напротив, мы не видим, ос-
нований к тому, чтобы эти воздействия сказывались по-разному на
младенцах мужского и женского пола, пока образ жизни для тех и для
других, как это имеет место в детском возрасте, совершенно одинаков.
Поэтому можно думать, что относительная вероятность смерти для
обоих полов в детском возрасте, несмотря на изменения абсолютной
вероятности, остается неизменной, и ранее мы видели подтверждение
этому в том, что дисперсия таких относительных вероятностей оказы-
вается нормально-случайной.

31.	Если желательны еще некоторые примеры, то заметим, что при
сравнительно небольших «основных числах» отношение ежегодных
рождений к численности населения в какой-либо стране иногда про-
являет стабильность, близкую к максимальной. Это относительное
число можно рассматривать как сложную общую вероятность, которую
можно представить себе в виде системы урн, часть которых содержит
шары только того цвета, который'соответствует условно отрицатель-
ному исходу испытания. Ошибкой, вызванной неточным знанием чис7
ленности населения, можно пренебречь. Если это относительное число
брать для целых стран с населением, исчисляемым миллионами, то
вследствие очень большого «основного числа» наблюдений нормально-
случайная компонента колеблемости станет почти исчезающе малой,
так что Q окажется довольно большим, даже если физическая колеб-
лемость сама по себе будет лишь незначительной. Зато в небольших
областях нормально-случайная компонента получает преобладающее
значение, и Q в согласии с теорией приблизится к единице. Так, в анг-
лийском графстве Ратлендшир по данным за 11 лет (с 1865 по 1875 г.)
R 10,1 и г = 7,5 со средней величиной рассматриваемого отноше-
ния, равной 299 на 10 000. В Уэстморленде за тот же период средняя
составляла 303 на 10 000, R = 6,6 и г = 4,6. Точно так же в Ратленд-
шире за те же годы общая вероятность вступления в брак для лиц
того или другого пола (причем «основное число» равнялось примерно
половине населения) оказалась почти постоянной, поскольку от сред-
ней величины v, равной 130 на 10 000, значения R = 7,2, а для г была
найдена величина 7,1. В Уэстморленде, напротив, дисперсия была
сверхнормальной: средняя величина равна 135 на 10 000, R = 8,4,
а г = 4,419.

Рассмотрим теперь часто вызывающую удивление стабильность
относительного участия в заключаемых браках лиц различных граж-
данских состояний. Так как здесь речь идет об относительной ве-
роятности, то с тем большим правом можно ожидать в рядах этих чи-
сел стабильность, близкую к максимальной. Однако на деле это не
так. Если мы обратимся к весьма ценным сравнительным статистиче-
ским таблицам Бодио20 (Bodio) и сопоставим интересующие нас отно-
сительные числа по многим странам, по которым они даны большей
частью за 11 лет, то уже простая оценка на глаз показывает, что в боль-
шинстве государств имеется очень ясно выраженная сверхнормальная
дисперсия, тогда как только в двух странах — в Англии и в Шве-
ции — дисперсия отклоняется от нормальной не слишком уж сильно..
В Англии за 11 лет (с 1865 по 1875 г.) бракосочетаний холостых с де-
вицами приходится в среднем 8168 на 10 000 общего числа браков,
причем эти числа колеблются от 8125 до 8194. Колебания сами по себе
невелики, но все же больше тех, какие можно было бы ожидать в ис-
пытаниях над урной, если каждая серия содержала бы число извле-
чений, равное ежегодному числу всех браков (которое превосходит
190 000). Ибо в таком опыте с урной вероятное отклонение г = 6,0,

19 В. Борткевич (L. Bortkiewitsch) показал, что при больших числах*наблюде-
ний, но при очень малых количествах событий влияние изменчивости вероятности
снижается до минимума и может возникнуть дисперсия, близкая к нормальной.
См.: Das Gesetz der kleinen Zahlen, Leipzig, 1898.

20 Movimento dello stato civile, RomeK 1875, Introduzione, pp. XVIII—
XXIV.
тогда как непосредственный подсчет квадратов отклонений для чисел
статистического ряда дает 7? = 13,5. Из этих чисел получается р =
= 12,1, что, правда, указывает на сравнительно умеренную величину
физической дисперсии21. Если эта физическая компонента останется
такой же и только нормально-случайная компонента вследствие умень-
шения «основного числа» (числа бракосочетаний) будет возрастать,
то уже при «основном числе» в 16 000 случаев R окажется равным
23,9, а г = 20,6; следовательно, Q довольно близко подойдет к едини-
це. Если взять соответственные «основные числа» наблюдений помесяч-
но, вследствие чего они снизились бы примерно до указанного уровня,
то можно было бы прикинуть, не снизится ли Q примерно до величины,
предписываемой теорией для случайно-нормальной дисперсии.

Что касается Швеции, то соответствующая средняя за те же 11 лет
достигает численности 8497 браков с наибольшими отклонениями от
8418 до 8555. Для R мы находим 33,8, а г = 14,6; следовательно,
Q = 2,315. В соответствии с этим физическая дисперсия составляет
30,5. Это число, непосредственно сравнимое с полученными для Англии,
доказывает, таким образом, что в Англии стабильность исследуемого
относительного числа значительно выше, чем в Швеции.

32.	От изложения здесь дальнейших применений нашей теории
приходится отказаться. Но и приведенных примеров достаточно,
чтобы выяснить, какую пользу можно извлечь из этого метода исследо-
вания. Он ведет к познанию тех числовых соотношений, которые мож-
но до известной степени рассматривать как массовые физиологические
постоянные характеристики. Конечно, они не могут оставаться со-
вершенно неизменными во времени, но тем важнее точно следить
за вековыми изменениями этих наиболее устойчивых демографических
элементов. Даже если какая-либо физическая компонента дисперсии
остается в скрытом состоянии, то нормально-случайная дисперсия ка-
кого-либо относительного числа все же представляет собой доказа-
тельство того, что теоретический закон колебаний, хотя и не обладает
обязательной силой, а опирается лишь на комбинации шансов, пред-
ставляется все же в данных числовых соотношениях господствующим
правилом. С другой стороны, мы видим, что закономерность числовых
рядов в демографии и нравственной статистике, которая обычно вызы-
вает такое изумление, никогда не преступает тот предел стабильности,
который можно ожидать в азартных играх с постоянными шансами
выигрыша; можно даже утверждать, что эта степень стабильности при
всех до сих пор исследованных условиях никогда с полной строгостью
не достигается. В качестве дисперсии статистических рядов, которую
следует вычислять и сравнивать, мы признаем только физическую ком-
поненту, которая остается от общей колеблемости после исключения
из нее нормально-случайной колеблемости, зависящей от числа наблю-
дений, лежащих в основании отдельных членов ряда. Эту физическую

21 При сопоставлении разных рядов следует, конечно, сравнивать компо-
ненты колеблемости самой вероятности v (в приведенном случае она равна
0,00121) или одинаковые функции от этой вероятности.
дисперсию мы просто считаем равной нулю, если выполняется с до-
статочной достоверностью и точностью критерий нормально-случай-
ной дисперсии, в противном же случае формула для р дает общее и
сравнимое выражение для физических дисперсий. В какой мере сред-
нее отклонение может служить той же цели, также выяснено в нашем
исследовании22.

W. Lexis. Ueber die Theorie der
Stabilitat statistischer Reihen, «Con-
rad’ s Jahrbiichern», Bd. XXXII, 1879,
SS. 60 ff.

Перевод с немецкого H. С. Чет-

верикова

22 За исключением полового состава новорожденных, а также умерших
в пределах определенных возрастных групп, я первоначально не мог найти веро-
ятностных соотношений, обладающих нормальной дисперсией, которую можно
было бы доказать. Вероятное отклонение, найденное для вероятности смерти
мальчиков и девочек на первом году жизни, во много раз превышает теоретически
вычисленное. Это я показал в работе «Theorie der Massenerscheinung» на примере,
взятом из бельгийской статистики. Однако по более новым исследованиям при-
ближенно нормальная дисперсия встречается гораздо чаще, чем я предполагал.
Так, Пиик (Peek. Das Problem vom Risiko in der Lebensversicherung,
Baumgarten's Zeitschrift fiir Versicherungsrecht und Wissenschaft, Bd. V, 1899,
S. 168ff.) доказал на основании голландской статистики смертности за годы 1880—
1889, что дисперсия вероятности умереть на первом и втором году жизни во всяком
случае в очень большой мере, а в следующих возрастах весьма заметно, оказыва-
ется сверхнормальной; но начиная с возраста в 8 лет становится в удовлетвори-
тельной степени нормальной. К сходным же результатам привели и дальнейшие
исследования. Также и в книге Вестергорда (Westergaard, Lehre von
der Mortalitat und Morbilitat, 2-te Aufl., 1901) показаны разнообразные случаи
согласия теории со статистическими наблюдениями. Критику воззрений на ста-
тистическую «закономерность» мы находим у К. Вагнера (К. W a g n е г, Das Pro-
blem vom Risiko in der Lebensversicherung, Jena, 1898, ср. также: L. Bortke-
w i t s c h, Kritische Betrachtungen zur theoretischen Statistik, Conrad's Jahr-
bilchern, III, Folge, Bd. VIII, S. 64Iff; Bd. X, S. 321ff; Bd. XI, S. 67Iff, 1894—1896).
Н. С. ЧЕТВЕРИКОВ

ЗАМЕЧАНИЯ К РАБОТЕ В. ЛЕКСИСА

1. Устойчивость статистических чисел во времени издавна привле-
кала к себе внимание статистиков, но подлинную сенсацию эта устой-
чивость вызвала тогда, когда трудами Герри и в особенности Кетле
подобная устойчивость была показана на материалах нравственной
статистики. Относительные числа, вскрывающие распространенность
среди населения таких явлений, как преступность, самоубийства, осуж-
дения на казнь, и тому подобных дали повод Кетле утверждать: «Есть
бюджет, который выплачивается с ужасающей правильностью, —
это бюджет, платимый тюрьмам, каторге и эшафотам. Мы можем на-
перед исчислить, сколько индивидуумов запятнает свои руки кровью
своих близких, сколько сделается подделывателями, отравителями,
точно так же, как заранее'можно сказать, сколько родится или умрет»1.

Нравственная статистика рассматривает действия, определяемые
волей человека. Это дало последователям Кетле повод к тому, чтобы
попытаться в отрицательном смысле решить метафизическую проблему
«свободы воли» в духе наивного материализма. Введенное Кетле поня-
тие «склонности к преступлению» («1е penchant au crime») было по-
нято как свойство, в равной мере присущее каждому человеку и осу-
ществляющееся под давлением обстоятельств окружающей среды.
Это свидетельствовало о незнании теории вероятностей, в частности
закона больших чисел в формулировке Пуассона (1837 г.).

Неправомерные выводы кетлетистов повлекли за собой не менее
неправомерную аргументацию их противников, которые, минуя ста-
тистическую сущность спора, пытались либо субъективной оценкой
«на глаз» степени устойчивости статистических рядов снизить произ-
водимое ими впечатление, либо с пафосом апеллировали к оскорблен-
ному чувству человеческого достоинства2.

1 А. Кетле, Социальная физика или опыт развития человеческих способ-
ностей, т. 1—2, Киев, 1911 —1912.

2 Обстоятельную характеристику этих споров см.: А. А. Чупров «Очер-
ки по теории статистики», изд. 3, Госстатиздат, 1959, стр. 207—226 и (подробнее)
Энциклопедический словарь Брокгауза и Эфрона, т. 41, СПб., 1897, статья «Нрав-
ственная статистика», стр. 403—408 и след.
А. А. Чупров3, говоря о роли Лексиса в эпоху реакции против кет-
летистов, когда обществоведение противопоставлялось естествознанию,
а статистика, лишенная теоретического фундамента, сводилась к тех-
ническим задачам учета, указывает, что одиноким борцом за необхо-
димость и плодотворность статистической теории выступил профессор
Геттингенского университета В. Лексис, положивший в основу ее ма-
тематическую дисциплину — исчисление вероятностей; в согласии
с ее требованиями он принял в качестве измерителя колеблемости ста-
тистического ряда меру «модуль» (среднее квадратическое отклонение,
умноженное на корень из двух, т. е. о]/2). Но этим еще не решалась
задача сделать статистические ряды сравнимыми в их колеблемости,
так как модуль (равно как и среднее квадратическое отклонение) за-
висит от материального содержания явлений и тех мер, которыми
измеряется величина этих явлений. Свою теорию Лексис построил
применительно к статистическим относительным числам и базировал
ее на следующих положениях:

1.	Он разграничил основные типы динамики статистических ря-
дов:

эволюторный — плавное течение основных тенденций ряда;

ундуляторный — волнообразный ход развития явления во вре-
мени;

периодический — правильное повторение волн;

осциллаторный — беспорядочные колебания чисел, чередующихся
либо неправильными мелкими волнами, либо бессвязными зубцами
отклонений от плавного уровня. В качестве частного случая беспоря-
дочной колеблемости Лексис выделил типические ряды, в которых
отдельные числа отклоняются от некоторого уровня подобно тому, как
неточные измерения отклоняются от истинной величины измеряе-
мого объекта.

2.	Разделил оценку изменяемости уровня статистического ряда,
т. е. его плавно меняющихся тенденций {устойчивость ряда), от оцен-
ки беспорядочной колеблемости членов ряда около постоянного или
изменяющегося уровня (стабильность ряда), что было особенно важно.

3.	Указал меру для оценки стабильности ряда, делающую ряды
сравнимыми по их колеблемости, а также построил методику измере-
ния дисперсии членов ряда около их уровня.

Эти идеи Лексиса были обобщены и разработаны последующим
поколением статистиков-теоретиков и математиков (В. Борткевич,
А. А. Марков, Г. Больман, А. А. Чупров), но они оказались шире и
плодотворнее, чем это мог предвидеть их автор: они не только легли
в основу теоретических построений континентальной школы статисти-
ков-математиков, но, возникнув частью независимо от Лексиса на
английской почве, привели к созданию и дисперсионного анализа, и
корреляционного отношения, и метода %2, и др. Вот почему элементар-
ное, но вместе с тем критическое ознакомление с этими идеями по пер-

3 См.: А. А. Чупров, Вопросы статистики, М., Госстатиздат, 1960,
стр. 90.
воисточникам может при всех успехах теории статистики послужить
хорошим введением в изучение современной статистической методоло-
гии, несмотря на то что применение приемов Лексиса вряд ли следует
считать целесообразным на достигнутом ныне уровне развития ста-
тистической теории.

Начатки своей теории Лексис изложил в работе «К теории мас-
совых явлений в человеческом обществе»4 5, но подробнее и систематич-
ное в статье «О теории стабильности статистических рядов»6 *.

Свою теорию Лексис изложил применительно к статистическим
рядам, представляющим динамику относительных чисел (частостей).
Такие числа образуются в результате счета, регистрирующего осущест-
вление некоторого события А в общем числе испытаний или наблюде-
ний, т. е. случаев возможного его появления; поэтому частость выра-
жается дробью в которой все единицы числителя (т) входят в со-
став знаменателя (и), причем появление единицы в числителе (т, е. осу-
ществление события Л) стоит в зависимости от «случайности», обуслов-
ленной комплексом «общих условий», ограничивающих и направля-
ющих действие «случая». Поскольку регистрация события прибавляет
к его счету одну единицу, мы вправе рассматривать эту единицу как
меру (величину) события, принимая неосуществление события за нуль.
Исходя из такого понимания счета можно рассматривать относитель-
ное число (частость) как среднее значение случайной переменной с за-
коном распределения, состоящим всего лишь из двух вариантов: 1 и О,
так как в числителе мы имеем сумму величин всех наблюдений, состоя-
щих из нулей и единиц, а в знаменателе — их общее число. Таким об-
разом, конкретное относительное число — член статистического ряда —
можно представить себе как случайно искаженное значение р' (= -^)
некоторой вероятности р, адекватной данному комплексу «общих
условий».

Исходя из такого представления о частости и тем самым пред-
варяя сделанное В. Борткевичем обобщение построений Лексиса
на средние величины вообще, мы без труда определим для частости
среднее квадратическое отклонение:

1[(1 -р’ут + (0 —р')2 (п—т)] = (1 -р')2^ + (О-Р')2" =

= (1 - р')2 р' + (0 - р')2 (1 - р') = р' - 2р'2 + р'3 + р'2 -р'8 =

= р' —р'2 = р'р' (где q'=\—p’),

4 W. Lexis, Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen
Gesellschaft, Tubingen, 1877.

5 «Ober die Theorie der Stabilitat statistischer Reihen» первоначально в

Conrad's Jahrbucher, Bd. 32, 1879, затем в «Abhandlungen zur Theorie der Bevolke-

rungs-und Moralstatistik», Jena, 1903, SS. 170—212. Русский перевод помещен

в этом сборнике.
где п — общее число наблюдений; т— число зарегистрированных
осуществлений события А.

Зная дисперсию отдельных наблюдений, можно определить дис-
персию средней величины, в данном случае частости, найдя предва-
рительно дисперсию суммы всех наблюдений и разделив найденную
величину на число наблюдений. Дисперсию же суммы наблюдений
определяют согласно известной теореме исчисления вероятностей:

суммы = "Koj + &2 + ••• + Gn •

В нашем случае это дает:

О'суммы = Vpq + pq + ... +pq = У/ipq.

После же деления на п получим:

^частости = ~ У npq = У pq/n.

Все дело, однако, в том, что это правило предполагает взаимонеза-
висимость отдельных наблюдений, из которых выводится частость.
Такое же допущение взаимонезависимости отдельных наблюдений
делается и в тех случаях, когда, определив о2 для отдельных наблюде-
ний над измеренными величинами (не частостями), мы делим ее на и,
чтобы найти дисперсию средней величины, выведенной из этих п наб-
людений.

Предположим, как это делает Лексис, что всему ряду в целом при-
суща одна неизменная вероятность, иначе говоря, один неизменный
уровень. Если в конкретном ряду это условие не соблюдено, то его
нужно создать искусственно, исключив из ряда все неслучайные ком-
поненты динамики с помощью соответствующих цели методов (спо-
собом наименьших квадратов, механическим выравниванием, тригоно-
метрическими рядами и т. п.), что и даст нам ряд чисел, колеблющихся
около неизменного уровня, к которым мы вправе применять понятия
и правила теории вероятностей. Тогда среднее квадратическое откло-
нение членов ряда можно найти двумя способами: либо непосредствен-
но, беря отклоненья отдельных членов ряда, суммируя их квадраты
ит. д., либо же пользуясь выведенной нами формулой Среднее
квадратическое отклонение членов ряда Лексис назвал «физическим»,
и оно должно совпадать со средним квадратическим отклонением,
вычисленным по второму способу, по терминологии Лексиса «комби-
наторным», если соблюдено условие взаимонезависимости отдельных
наблюдений (испытаний), составляющих серию, т. е. ту совокупность,
из которой были получены отдельные частости или средние величины
как члены статистического ряда. Если же условие взаимонезависимости
не соблюдено, то нарушается и равенство средних квадратических
отклонений, вычисленных двумя указанными способами. Случай их
равенства Лексис назвал случаем «нормально-случайной» дивергенции
(оср = ак). Если Оср><зк, то мы имеем сверхнормальную дивергенцию.
Если же аср<(5к —то имеет место поднормальная дивергенция.

Сопоставление <зср = (1^2(Р* — Р)2!^} с °к = Лексис пред-

ложил осуществлять в форме отношения Q. Но это не единствен-
ен

ная возможная форма сопоставления: числитель6 Q2 может быть раз-
бит на две части, из которых одна представляет собой ту часть колебле-
мости, которая может быть названа нормально-случайной и по своей
величине равна знаменателю Q2, вторая же слагаемая числителя ха-
рактеризует отклонение фактической дисперсии от нормально-слу-
чайной и имеет либо положительный знак (в случае сверхнормальной
дисперсии), либо отрицательный (в случае поднормальной дисперсии).
Эту вторую часть Лексис предложил назвать «существенной» частью,
поскольку ее величина позволяет судить об особенностях внутренних
свойств наблюдений, лежащих в основании членов ряда и, следова-
тельно, его самого7.

Некоторые авторы (например, Эджворт; см. полемику с ним В. Борт-
кевича, стр. 132—136 данного сборника) противопоставляли способы
расчета оср и ок как априорный апостериорному, но с этим нельзя
согласиться, поскольку ок вычисляется также на основании найденных
из опыта величин р' и п. Правильнее было бы обозначить дисперсии,
рассчитанные этими двумя способами, как фактическую дисперсию и
как условную, или гипотетическую.

Указание на то, что <зк, вычисляемая по формуле j/“, может не
соответстствовать фактической дисперсии, предостерегает против того,
чтобы прибегать к этому упрощенному способу расчета надежности
частости, данной изолированно, если нет полной уверенности в том,
что лежащие в ее основе отдельные наблюдения удовлетворяют усло-
виям теорем Я. Бернулли — С. Д. Пуассона (см. варианты 1 и 2).

2.	Как может быть нарушено или соблюдено условие взаимоне-
зависимости отдельных наблюдений? Возьмем конкретный пример:
пусть исследуется смертность новорожденных младенцев на первом

6 По предложению В. Борткевича, поддержанному А. А. Чупровым, в тео-
ретических выкладках принято пользоваться именно квадратом Q, а не первой
степенью, потому что, как удалось строго доказать, математическое ожидание
Q2 равно единице, тогда как математическое ожидание Q единице не равно и точ-
ной формулой не выражается.

7 В случае ряда, состоящего из частостей, числитель Q2 может быть представ-
1	1 п

лен в такой форме: _ pq + _- S S — PiPj), где рц — вероятность того,
П	П2 i=\

что событие А регистрируется и в i-м, и в /-м наблюдениях. Эта формула вы-
ведена впервые Г. Вольманом. (См.: G. В о h 1 m a n n, Die Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitsrechnug in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung.
Atti del IV congresso internazionale dei Matematici, Roma. Vol. Ill, Sezione
III—B, Roma, 1909.) В случае взаимонезависимости вероятность совместного
осуществления событий равна произведению их отдельно взятых вероятностей
и второе слагаемое становится равным нулю.

Более общий вид формулы (для средних величин) дан А. А. Чупровым (См.:
«К теории стабильности статистических рядов» в данном сборнике).
году жизни. Относительным числом служит дробь, знаменатель кото-
рой равен числу живорожденных в течение, скажем, одного года,
а числитель — числу тех из них, которые умерли, не достигнув воз-

СХЕМЫ ИСПЫТАНИЙ НАД ИЗВЛЕЧЕНИЕМ ШАРОВ ИЗ УРИ ' .

Вариант 1

Я. Бернулли

I I. I

Серия первая I Серия вторая .! Серия ^третья ип.й

Вариант 2
' С. I (УАССОНа

Вариант 3
ОБОБЩЕННЫЙ
Bi Лексиса

Вариант 3°

Bi Лексиса

Вариант 4

СРЕДНЕЙ ВЕРОЯТ-
НОСТИ

ПОСТОЯННОГО
СОСТАВА

Вариант 5

БЕСПОВТОРНЫЙ I

Рис. 1

раста одного года. Если в течение времени наблюдений были вспышки
эпидемий и санитарные меры недостаточно энергично предотвращали
распространение заразы, то смерть выхватывала свои жертвы пачками,
а это увеличивало колебания относительных чисел, ежегодно подыто-
живавших наблюдения над смертностью в течение ряда лет. В этом
случае оср>ок вследствие солидарности причин, вызывавших смерть
отдельных младенцев и, таким образом, связывавших между собой
отдельные наблюдения в составе серии.
Перейдем к теоретическим, но все же наглядным построениям
в форме опытов с урнами, содержащими белые и черные шары. Рис. 1
дает наглядное изображение вариантов, указываемых в тексте. На
каждой диаграмме показана пунктиром средняя вероятность, предпо-
лагаемая постоянной для всего ряда. Короткими черточками при круж-
ках указаны частные вероятности, меняющиеся в течение серии
испытаний. Кружки означают выход шара того или другого цвета.
Чем выше над средней вероятностью расположена вероятность част-
ная, тем больше шансов извлечь при испытании белый шар. Резуль-
тат серии испытаний определяется подсчетом относительного числа
белых шаров безотносительно к высоте частных вероятностей.

Допустим, что имеется ряд урн С2, ...» Cs, содержащих белые и
черные шары в пропорциях pi : qc, р2 : ?21 • ••; Ps • qs-

Вариант 1. Берем одну какую-нибудь урну С и производим из
нее и извлечений, каждый раз возвращая вынутый шар обратно в урну;
для серии из и извлечений составляем относительное число (частость)
появления белого шара р' и повторяем подобные серии испытаний г раз,
получая соответственно р", pzzz, ..., рг. Условия, в которых протекает
весь опыт, соответствуют условиям теоремы Я. Бернулли — постоян-
ство основной вероятности и взаимонезависимость отдельных испыта-
ний (наблюдений). Дисперсия частостей (число г) около основной ве-
роятности в этом случае нормально-случайная.

Вариант 2. Урны для опытов назначаются по жребию, случайно,
причем вероятность быть отобранной для урны8 равна gt. Из отоб-
ранной урны делается одно извлечение, результат которого записывает-
ся, шар возвращается в урну, а урна— на свое место в первоначаль-
ном ряду. Для следующего испытания урна вновь назначается по жре-
бию и т. д. После п извлечений, составляющих серию, определяется
частость белого шара pz; серии повторяются г раз, давая г частостей,*
образующих ряд. Средняя вероятность в этом случае равна:

Р = Plgl + Pig2 + ••• + psgs>

и одинакова для всех извлечений.

Эта схема соответствует закону больших чисел С. Д. Пуассона и
удовлетворяет тем же условиям постоянства основной вероятности и
взаимонезависимости отдельных испытаний, поэтому и дает дисперсию
нормально-случайную.

Вариант 3. При этом варианте из назначенной урны делается ряд
извлечений, после которых заново назначается (по жребию) урна.
Этот случай соответствует вышеприведенному примеру детской смерт-
ности и дает сверхнормальную дисперсию.

Вариант За. Этот вариант отличается от предыдущего только тем,
что каждой назначенной по жребию урной пользуются в течение
всей серии, т. е. п раз, после чего определяется способом жеребьевки
новая урна для следующей серии извлечений. О таком варианте го-

• Эту вероятность (gfi Пуассон называет «шансом», в отличие от «вероятности»
Pl извлечения из данной урны белого шара.
ворил В. Лексис как о возможном источнике возникновения сверх-
нормальной дисперсии. Конкретным примером могут служить ряды
годовых (среднемесячных) величин для явлений, зависящих, скажем,
от урожая хлебов.

Вариант 4, Назначается ряд урн, между которыми по установлен-
ной пропорции распределяются п извлечений, составляющих серию.
Те же урны и с тем же распределением извлечений повторяются неиз-
менно во всех сериях, образующих ряд. Средняя вероятность для ре-
зультатов каждой серии (т. е. для членов ряда) равна:

Р =	(Р1	+ Р2/П2 + ••• + Рк tnK) = ix + p2g2+... +pKgK,

k

где тк— число извлечений из f-й урны и ^тк = п, а — =gK\
i-\	п

р — величина постоянная для всех серий; k — число участвующих
в опыте урн.

В. Борткевич назвал этот тип вероятности средней вероятностью
постоянного состава и показал, что дисперсия для получаемых при
этом частостей оказывается поднормальной и притом тем меньшей,
чем сильнее различаются взятые урны по вероятностям извлечения из
них белых шаров9.

Вариант 5. Возвращаемся к варианту 1, но с тем различием, что
вынутый из урны шар обратно не возвращается, пока не будет набрана
вся серия из п испытаний; затем все вынутые шары кладутся обратно
в урну и перемешиваются, после чего приступают к набору новой
серии, который производится тем же порядком. Каждый вынутый и
невозвращенный шар уменьшает в урне число шаров своего цвета и
тем самым.увеличивает вероятность появления шара противоположно-
го цвета при следующих извлечениях. Таким образом, каждое извлече-
ние способствует возникновению компенсации вызванного им отклоне-
ния среднего результата серии от основной вероятности. Этот вариант
приводит, следовательно, к поднормальной дисперсии. Он имеет место
во всех тех случаях, когда однажды зарегистрированная единица вто-
ричной регистрации подвергнуться не может. Однако доказать под-
нормальный характер дисперсии в этом варианте можно лишь в том
случае, когда величина основной вероятности точно известна до
опыта10.

3.	Перечисленные здесь варианты, конечно, не исчерпывают все
возможные постановки подобных опытов и все же имеют значение не
только иллюстраций; они непосредственно помогают разобраться
в различных формах выборочного обследования.

Разные установки, определяющие порядок набора единиц, со-
ставляющих выборочную совокупность, имеют точную аналогию

9 См.: L. Bortkiewicz, Homogeneitat und Stabilitat in der Statistik.
Skandinavisk Aktuarietidskrift, Heft 1—2, 1918, S. 5.

10 См.: А. А. Ч у n p о в, Вопросы статистики, M., Госстатиздат, 1960,
стр. 239—257.
в перечисленных урновых схемах, и эта аналогия может оказаться
весьма полезной при оценке приемов выборки с точки зрения точности
и достоверности ее результатов, а также может предостеречь от при-
менения приемов, хотя технически более легких и дешевых, но при-
водящих к сомнительным результатам. Последнее относится особенно
к выборкам, в которых исследуются единицы, образующие компакт-
ные агрегаты, находящиеся под влиянием многих условий, солидарно
действующих на объекты изучения. Так, скажем, исследование приз-
наков и свойств отдельных рабочих не должно включать в выборку
целые цехи; в сельскохозяйственном производстве вряд ли оправдала
бы себя выборка, составленная из целых районов, хотя* бы и равно-
мерно распределенных по территории Советского Союза. Такого рода
выборка соответствовала бы варианту 3 и вела бы к получению не-
достаточно точных и достоверных результатов.

Напротив, вариант 4 (средней постоянного состава) подсказывает
целесообразность сочетания сплошного обследования по краткой
программе, цель которой установить точные численности главных ка-
тегорий обследуемых объектов по наиболее действенным и легко уста-
навливаемым признакам, с выборочным — по подробной программе —
исследованием указанных категорий, каждой в отдельности, с тем
чтобы частные результаты по категориям объединить затем в общую
среднюю характеристику с помощью точных весов этих категорий,
установленных сплошным обследованием. Получаемый результат
обладает повышенной стабильностью: если бы произвести новые вы-
борки по категориям и объединить их результаты с помощью тех же
точных весов, то их общий результат оказался бы близким к
прежнему.

К такому же типу приближается также выборка «каждой десятой
единицы» (слово «десятой» надо, конечно, понимать условно). Но
здесь успех зависит от составления списков, по которым производится
отсчет и отбор «десятых единиц». В списке объекты должны распола-
гаться плотными последовательностями,' объединяющими единицы,
подчиненные воздействию одинаковых «общих условий»; тогда числен-
ности этих категорий окажутся представленными в выборке в стро-
гом точном соответствии с их численностями в генеральной совокуп-
ности.

Если, становясь на более общую точку зрения (гносеологическую),
рассматривать конкретную «генеральную совокупность» как осущест-
вленную выборку определяющих ее «общих условий» из общей сово-
купности возможных их вариантов, то этим отнимается право распро-
странять выводы, полученные из нашей выборки для данной конкрет-
ной «генеральной совокупности», на другие генеральные совокупно-
сти, аналогичные с точки зрения «общих условий» с обследованной.
В системе урновых схем такая смена точек зрения — с конкретной
на обобщенную — соответствует переходу от варианта 4 (средней ве-
роятности постоянного состава) к варианту 3 (в котором вероятность
частично или полностью изменяется случайно при переходе от серии
к серии, т. е. от выборки к выборке).
Для выборочного исследования не частостей, а средних величин
(«именованных», как их называет В. Борткевич) перечисленные урно-
вые схемы сохраняют свою значимость; нужно только шары в урнах
заменить билетами с написанными на них величинами исследуемого
признака, причем их количества должны быть пропорциональны час-
тостям этих величин в генеральной совокупности. Для характеристи-
ки состава урн потребуется вместо одного (доли белых шаров) два
числа: средняя величина признака и среднее квадратическое отклоне-
ние значений признака от его средней величины для данной урны.
Это усложняет и числовые, и теоретические расчеты, но основная идея
Лексиса — сравнение фактической дисперсии членов ряда с гипоте-
тической (условной) в условиях теорем Я. Бернулли — Пуассона —
остается полностью применимой, как это и показал В. Борткевич
(см. в особенности его полемику с Эджвортом).

Подробная, математически строгая и полная разработка идей
Лексиса дана в работе А. А. Чупрова «К теории стабильности стати-
стических рядов» (1918—1919 гг.), стимулированной долголетней пере-
пиской между А. А. Чупровым и А. А. Марковым (перевод ее дан в этом
сборнике).

II

4.	В работе Лексиса следует отчетливо различать две разные по
своему характеру, целям и значимости формулы, как это делает и сам
их автор. Первая рассматривает стабильность ряда, опирающегося на
постоянный уровень (т. е. вероятность, неизменную на протяжении
всего ряда); вторая формула рассматривает ряд, в котором имеется
эволюторная тенденция, не выделенная из общей изменчивости ряда
и рассматриваемая совместно с беспорядочной компонентой динамики
ряда. В этой второй фазе своего исследования Лексис покидает теоре-
тически строгую базу, что и приводит его к тяжким ошибкам.

Лексис ограничивает свое рассмотрение случаями, в которых эво-
люторная компонента динамики выражена слабо; его смущают трудно-
сти и ненадежность применения способа наименьших квадратов, ре-
зультаты которого, по его мнению, не окупают затраченного труда, но
решающее значение для Лексиса имеет (мнимая) необходимость при
вычислении знаменателя Q пользоваться единым средним для всего
ряда значением вероятности р. На такие слабо эволюционирующие
ряды Лексис счел возможным перенести арифметические вычисления,
связанные с его основной формулой для Q, где они применяются к чис-
то случайным отклонениям членов ряда от средней вероятности (при
условии постоянства уровня или его исключения, когда основные ве-
роятности переменны, но известны). Совершенно ясно, что такое при-
менение алгоритма, разработанного для случайных величин, к откло-
нениям, в которых к чисто случайной их части примешаны эволютор-
ные элементы, представляется теоретически неправомерным. И сам
Лексис подчеркивает, что в таком случае средний квадрат отклонений
уже не имеет смысла среднего квадратического отклонения (о), рас-
сматриваемого в исчислении вероятностей, и, следовательно, не под-
чиняется ни понятиям, ни правилам теории вероятностей. Свою вто-
рую формулу Лексис считает построенной лишь по аналогии с .первой
основной формулой и притом по аналогии формальноарифметической;
а для «среднего квадрата отклонений» эволюторной кривой от гори-
зонтального среднего уровня требуется специальное (аксиоматическое)
определение, чтобы иметь право воспользоваться им в качестве меры
«существенной компоненты» общей изменчивости ряда. Однако в дей-
ствительности даже такое «определение» не может здесь спасти полог

жения, так как оказывается в противоречии с основными логическими
требованиями научного исследования. Лексис совершает здесь не-
простительную ошибку, не замечая, по-видимому, что такая «сущест-
венная компонента», не являющаяся, по его же признанию, подлин-
ным средним квадратическим отклонением (в смысле теории вероят-
ностей), не может служить ни объективной характеристикой, ни тем
более мерой эволюторной компоненты динамики ряда, так как в рав-
ной степени зависит как от интенсивности эволюции, так и от усмот-
рения исследователя. Это легко показать несложными примерами.

В большинстве случаев (а в экономических статистических рядах
как правило) кривая, описывающая эволюцию явления, имеет форму
монотонной или близкой к тому кривой (см. рис. 2). Поэтому всякое
добавление к длине ряда в начале или в его конце прибавляет к сумме
квадратов отклонений новые слагаемые, неизменно превышающие
средний квадрат отклонений, а следовательно, этот средний квадрат
отклонений от таких добавлений необходимо возрастает. Отсюда
ясно, что средний квадрат отклонений эволюторной кривой от постоян-
ного (горизонтального) уровня непосредственно и чисто арифмети-
чески зависит от продолжительности того периода времени, границы
которого устанавливаются исследователем по соображениям (наличие

3 О теории дисперсии	49
материала, качество сведений, катастрофические события, прерываю-
щие течение эволюции, и т. п.), не имеющим отношения к характеру
эволюторной компоненты динамики явления. Такая непосредственная
зависимость присуща только эволюторной компоненте; ее нет ни для
беспорядочных (случайных) колебаний, ни для периодических волн
(при условии, что изменение периода заключает в себе кратное пов-
торение волны). Для двух последних форм динамики ряда его удлине-
ние означает повышение точности и достоверности характеристик, но
не изменение их величин.

Несомненно, что статистические исследования, особенно в области
обществоведения, связаны с конкретными рамками времени и места,
но этими рамками определяются те «общие условия», в которых суще-
ствует и развивается изучаемое явление. Эти рамки сами по себе, как
всякому ясно, непосредственно своими числовыми размерами не могут
служить характеристикой динамики, ибо с точки зрения изучаемого
объекта эти рамки (но не условия эволюции явления) устанавливаются
по усмотрению исследователя и, следовательно, субъективны по
своему происхождению. Этот субъективизм правомерен, поскольку он
связан с выбором объекта исследования, но никак нельзя признать
правильной такую методику исследования, при которой характерис-
тика явления попадает в прямую арифметическую зависимость от
величин, формально ограничивающих поле исследования.

Поэтому мы не только вправе сказать, что средний квадрат откло-
нений эволюторного стержня от постоянного уровня нельзя называть
«существенной» частью изменчивости ряда, но можно утверждать нечто
большее: средний квадра. вообще лишен научного значения. Сам
Лексис сознавал шаткость и фиктивность проводимых им аналогий и
открыто признавал, что слабовыраженную эволюторную компоненту
динамики считает возможным «рассматривать» (т. е. фиктивно прини-
мать за) как случайную колеблемость (см. стр. 22, 25).

Средний квадрат отклонений эволюторной кривой от горизонталь-
ного (постоянного) уровня не только не может служить «мерой» чего-
либо, но, даже находясь в сочетании со случайными колебаниями,
лишает эту смесь двух логически столь разнородных частей изменчиво-
сти права называться «дисперсией», хотя бы даже с добавлением эпи-
тета «анормальной» (как предлагал В. Борткевич — см. стр. 97).
Для подобной смеси теряют свой смысл понятия и теоремы исчисления
вероятностей, и название «дисперсия» может лишь создать соблазн при-
менять стохастические методы исследования там, где им не должно
быть места.

5.	Другая неясность, допущенная Лексисом, также ведет к оши-
бочным выводам, если не учесть всех оговорок, сделанных автором.

Речь идет об утверждении, что при полном охвате эволюторным
стержнем всех изменений основной вероятности остаточные части из-
менчивости ряда должны носить характер нормально-случайной дис-
персии. В такой общей форме это утверждение неправильно, так как
отклонения от эволюторного уровня могут зависеть в своей колебле-
мости от наличия взаимозависимости между отдельными наблюде-
ниями, образующими серии, служащие для вычисления средних или
относительных чисел — членов ряда. Среди этих отдельных наблю-
дений могут быть своеобразные изменения вероятностей (внутри серий),
могут иметься взаимосвязи того или другого знака (см. варианты
3—5). Лексис и сам отметил такую возможность (см. стр. 10), так
же как и случай связных рядов (см. стр. 23, примечание). Если
бы все эти оговорки, разбросанные намеками в разных местах, были
бы автором объединены и предпосланы утверждению о нормально-
случайном характере дисперсии в остаточных отклонениях членов*
ряда после исключения эволюторной компоненты, то указанное ут-
верждение было бы обосновано и не претендовало бы на роль критерия
полноты охвата эволюторной или ундуляторной компонентой дина-
мики в общем случае выравнивания статистических рядов.

6.	Хотя теория дисперсии Лексиса попервоначалу разрабатыва-
лась преимущественно русскими учеными (В. Борткевич, А. А. Мар-
ков, А. А. Чупров), но все же общедоступного достаточно полного и
критически освещенного изложения ее на русском языке, не было.
Правда, А. А. Чупров в «Очерках по теории статистики» посвятил
этой теории очерк (IV), но он был написан до 1909 г. и его автор в то
время еще не мог полностью оценить всю глубину основной идеи
Лексиса и поэтому вопрос о взаимозависимости наблюдений и о ха-
рактере изменений вероятностей в пределах серий был разработан
недостаточно; не было развито и сделанное В. Борткевичем обобщение
построений Лексиса с относительных чисел на средние величины.
Неудовлетворенность содержанием IV очерка, как нам кажется, была
основной причиной, почему автор при своей жизни не соглашался на
новое переиздание своей книги. В настоящее время недостаточное из-
ложение IV очерка может быть с пользой для читателя дополнено лек-
цией, прочитанной А. А. Чупровым много позднее в Стокгольме и
воспроизведенной (посмертно) в номере Nordisk Statistisk Tidskrift,
Bd. V, 1926, посвященном памяти А. А. Чупрова. (В.переводе лекция
напечатана в кн.: А. А. Ч у п р о в, «Вопросы статистики», М., 1960).

Большинство молодого поколения советских статистиков свое зна-
ние о Лексисе черпает из трудов Б. G. Ястремского и из учебников,
на них опирающихся. Настоящий сборник позволяет читателям са-
мим познакомиться с работой Лексиса. Критическое изучение ее дает
возможность предостеречь читателя от наиболее существенных оши-
бок^ допущенных в толковании Лексиса.

1.	Б. С. Ястремский все свое внимание сосредоточил на второй
формуле11 Лексиса, полагая в ней найти истинное ядро его метода.

11 Первую (основную) формулу Лексиса Б. С. Ястремский рассматривал
(1914 г.) в работе «Теория дисперсии как теория изменяемости статистических
рядов» (См.: «Избранные труды», М., Госстатиздат, 1964, стр. 33—35), где показа-
тель Q истолковывается как сравнение фактического среднего квадратического
отклонения, исчисленного из взвешенных отклонений, с вычисленным на основа-
нии закона ошибок (Гаусса). За веса были приняты «комбинаторные меры точ-
ности», причем автор не заметил, что, производя такое взвешивание, он уже осу-
ществил показатель Лексиса, так что последующее сопоставление с кривой Гаус-
са было излишни^.
В этой формуле отклонения отсчитывались от постоянного среднего
уровня, несмотря на присутствие эволюторной компоненты, и откло-
нение показателя Q от единицы объяснялось тем добавком к сумме
квадратов отклонений, который происходил от присутствия эволютор-
ной компоненты динамики. Лексис видел в этом трудноустранимую
помеху к пользованию методом Q. Б. G. Ястремский принял эту «су-
щественную компоненту» как наиболее ценное ядро метода исследо-
вания динамики рядов. При этом были оставлены в стороне все ого-
ворки и допущения Лексиса (о незначительности эволюторного
движения, о логическом различии между обеими формулами, о необ-
ходимости особого определения «существенной компоненты» и т. д.)
и в качестве измерителя эволюторной части динамики был принят
показатель, логически связанный с беспорядочной колеблемостью и
непригодный для характеристики эволюции.

Средний квадрат отклонений эволюторного стержня от общей сред-
ней (постоянной для всего ряда), как мы видели выше (стр. 49), почти
всегда арифметически зависит от длины рассматриваемого периода вре-
мени, и это отражается на всех относящихся к нему формулах, не
исключая и тех, в которых главной составной частью является А(у\
так как здесь конечные разности не имеют своего обычного значения
разностей между соседними ординатами, а представляют собой раз-
ности между ординатами, отстоящими одна от другой на некоторую
часть общего протяжения ряда, зависящую от порядка интерполируе-
мой параболы12. Нельзя не отметить и то, что формулы, опирающиеся
на Д[Л), требуют знания уровня — его максимума и минимума, ко-
торые не могут быть заменены наибольшим и наименьшим членами
(или первым и последним) ряда без внесения в расчет подчас весьма
грубых неточностей, а это делает практическую простоту формулы
иллюзорной.

2.	Если присутствие в ряде эволюторной компоненты считать
единственной возможной причиной сверхнормальной дисперсии, то
естественно напрашивается вывод, что после исключения из ряда
правильно и полно учтенной эволюторной тенденции остаточные коле-
бания должны обладать нормально-случайной дисперсией. В дейст-
вительности дисперсия остаточной колеблемости может быть и анор-
мальной в зависимости от условий, не стоящих ни в каком отношении
к эволюторной компоненте общей изменчивости ряда. Поэтому безого-
ворочное признание нормальной дисперсии остаточных колебаний
в качестве критерия полного выявления эволюции безусловно оши-
бочно13.

Несмотря на признание необходимости различать изменчивость
уровня и стабильность ряда около уровня14, вычисление отклонений
эволюционирующего ряда от единого среднего уровня приводит к слия-
нию логически разнородных частей и тем самым ведет к ошибкам в вы-

12 См.: Б. С. Ястремский, «Избранные труды», М., «Статистика»,
1964, стр. 38—39, 56—57, 63.

13 Т а м же, стр. 37—39, 64—65.

14 Там же, стр. 142.
водах. Старания В. Лексиса избежать указанного смешения путем
подбора рядов, в которых эволюторный компонент отсутствует или
настолько мал, что не затемняет собой чисто беспорядочных колебаний,
оказывались неудачными, т. е. среди фактического материала, к ко-
торому применялись расчеты Q, таких рядов почти не оказалось; все
же это навлекло на Лексиса обвинение в желании доказать устойчи-
вость «среднего» уровня и вместе с ним прочность социально-экономи-
ческого строя, характеризуемого этими «устойчивыми» уровнями.
В какой мере подобные обвинения неправильны, видно хотя бы из тех'
прямых высказываний Лексиса, одно из которых, взятое из его работы
«Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellscha-
ft», Tubingen, 1877, S. 92 (см. также стр. 33), мы и приводим: «Однако
устойчивость в жизни человечества составляет лишь исключение,
тогда как правилом является эволюция возрастающая или убывающая;
человеческое общество постоянно стремится общими собственными
силами и под свою ответственность изменить основы своего состоя-
ния, которое, впрочем, если даже остается постоянным, не имеет для
индивида принудительной силы закона, а представляет собой лишь
условие его деятельности». В другой работе «О причинах малой измен-
чивости статистических относительных чисел» (вошла в сборник «АЬ-
handlungen zur Bevolkerungs-und Moralstatistik», iena, 1903, S. 98)
мы читаем: «В числах нравственной статистики и в ее частостях,
вообще, интересует не их стабильность, а их изменчивость».

Выводы

1.	Необходимо строго различать разнородные части общей измен-
чивости статистических рядов, разделяя динамику (и именно дина-
мику, а не самые явления!) на части, обладающие различными свой-
ствами, зависящими от причин различных типов и поэтому требующих
различных методов исследования.

Особенно важно не смешивать устойчивость уровня ряда со ста-
бильностью колебаний членов ряда около уровня.

2.	Случайные колебания, отделенные от эволюторного стержня,
могут обладать дисперсией как нормально-случайной, так и сверх-
нормальной или поднормальной в зависимости от наличия взаимоза-
висимости наблюдений, составляющих серии. Кажущаяся нормальной
дисперсия не может служить критерием того, что выравнивающая ряд
кривая точно выражает изменения вероятности, лежащей в основе
ряда.

3.	Формула среднего квадратического отклонения как для относи-
тельных чисел (J/pq/ri), так и для средних величин (<зср2 = —) предпо-
лагает взаимонезависимость тех наблюдений, из которых они выведе-
ны. Первая формула требует знания лишь двух величин: р (вероятно-
сти-частости) и п (числа наблюдений, из которых частость выведе-
на). Это создает соблазн ее применения к относительным числам,
данным изолированно, а не в составе ряда; но такое применение право-
мерно лишь тогда, когда есть обоснованная уверенность во взаимоне-
зависимости наблюдений.

4.	Надо тщательно избегать применения методов и построений,
вносящих в исследование субъективные моменты, ставящие результа-
ты обработки в зависимость от усмотрения или даже произвола иссле-
дователя. Именно этим грешит применение в качестве характеристики
эволюторного компонента динамики среднего квадрата отклонений
эволюторного стержня от общего среднего уровня ряда.

Необходимо ясно и полно указывать все делаемые допущения и
оговорки, принимаемые ради упрощения приемов исследования.

5.	Величины, в состав динамики которых входят разнородные компо-
ненты, могут иметь значение не сами по себе, а лишь как промежуточ-
ные этапы в процессе расчетов. Поэтому таким величинам нельзя при-
сваивать наименования и функции показателей и характеристик дина-
мики. Так, например, нельзя средний квадрат отклонений от общей
средней величины статистического ряда, обнаруживающего в своей
динамике эволюторную тенденцию, называть дисперсией. G другой
стороны, в выделенной части динамики можно открыть присущую ей
динамику иного типа: можно изучать эволюцию колеблемости (ска-
жем, урожаев) или эволюцию сезонной волны (экспорта хлеба), се-
зонность колебаний (цен на хлебной бирже) и т. п.

6.	Углубленная разработка теории стабильности средних и отно-
сительных величин имеет большое практическое значение для целесо-
образной организации выборочных исследований.
В. БОРТКЕВИЧ

КРИТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВОПРОСОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ*

ПЕРВАЯ ЧАСТЬ

В данной работе мы ставим своей задачей исследовать условия при-
менения исчисления вероятностей к учению о социальных массовых
явлениях и притом более углубленно, чем это обычно делается. Кроме
того, мы стремимся показать, что границы стохастической разработки
в некоторых отношениях были намечены слишком узко, хотя в то же
время практическое значение теории вероятностей для статистики
нередко переоценивалось.

Мои исследования, кроме классиков теории вероятностей, опира-
ются на работы В. Лексиса, И. Криса, на которые я здесь делаю об-
щую ссылку* 1, чтобы заранее предотвратить какие-либо недоразумения,
потому что последние легко могут возникнуть в тех случаях, где я,
опираясь на чужое мнение, считаю излишним излагать подлинные
мнения авторов, которыми так богаты их труды.

* Перевод 1-й и 2-й частей сделан с экземпляра, принадлежавшего А. А. Чуп-
рову, который оставил на его полях карандашные заметки. Они воспроизведены
в настоящем издании, так как многие из них дают ценные ссылки и критические
указания, подчеркивающие особо важные положения автора и возбуждающие
критическую мысль читателя. (Замечания А. А. Чупрова были, по-видимому,
сделаны в ранний период чего научной деятельности — около 1901 г.). В этом же
экземпляре имеются собственноручные исправления, сделанные самим В. Борт-
кевичем. (Подлинник хранится в личной библиотеке преподавателя статистики
Ленинградского политехнического института Б. И. Карпенко, которому пере-
водчик и издательство обязаны благодарностью за предоставление этого ценного
экземпляра.) — Прим, перев.

1 Из работ Лексиса в первую очередь я отмечаю «Zur Theorie der Massener-
scheinungen in der menschlichen Gesellschaft». Кроме того, надо иметь в виду за-
ключительную главу работы «Einleitung in die Theorie der Bevolkerungsstatistik»,
далее статьи «Gesetz», «Geschlechtsverhaltnis bei Geborenen und Gestorbenen»,
«Anthropologie und Anthropometrie» в Handworterbuch der Staatswissenschaften.
В книжках журнала Jahrbilchern filr N ationalokonomie und Statistik (cm.
«Das Geschlechtsverhaltnis der Geborenen und die Wahrscheinlichkeitsrechung»
(1876), «Ueber die Theorie der Stabilitat statistischer Reihen» (1879), «Ueber
die Wahrscheinlichkeitsrechnung und deren Anwendung auf die Statistik» (1886).

Johannes Kries, Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
eine logische Untersuchung, 1886.
Первый вопрос, который мы здесь поставим, таков: что следует
для стохастической разработки статистических относительных чисел
из того, что мы их будем рассматривать как средние вероятности?

Чтобы выяснить понятие средней вероятности и его сущность,
представим себе, что совокупность из z равновозможных2 случаев,
в которой вероятность наступления некоторого определенного собы-
тия равна р, состоит из ряда частных совокупностей по z±, z2, z3, ...
случаев в каждой и что при этом вероятность наступления события,
нас интересующего, в первой частной совокупности равна рь во
второй — р2, в третьей — р3 и т. д.

Тогда мы получим очевидное равенство

Р = у Pi + 7Р2 + уРз + ••• •

В таком виде вероятность р называется общей вероятностью в про-
тивопоставлении слагаемым (суммандам) -у ръ р2, уРз> •••, назы-
ваемым слагаемыми вероятностями.

Однако наша терминология недостаточна, чтобы охарактеризо-
вать отношение вероятности рк вероятностям рь р2, р3, .... Назовем
первую вероятность общей вероятностью, последние — частными
вероятностями.

Прежде всего ясно, что разложение общей совокупности г на не-
которое количество частных совокупностей может осуществляться весь-
ма различными способами, а не только таким путем, когда принадлеж-
ность каждого отдельного случая к той или иной частной совокупно-
сти решается жребием, но распределение может проходить и плано-
мерно, т. е. на основании определенных признаков, присущих отдель-
ным случаям.

Затем ясно, что вероятности рь р2, р3, ..., получаемые в результате
разложения основной совокупности, в свою очередь во многих случаях
могут быть приняты за общие вероятности и подвергнуться дальней-
шему разложению. Такая операция может повторяться и далее.

Порядок составления общей вероятности из частных вероятностей
представляется поэтому не объективно установленным фактом, а ско-
рее результатом некоторой операции или ряда операций, в которых
не исключена возможность произвола.

2 Крис в гл. III (особенно в § 6) своей книги «Prinzipien» показал, что обыч-
ное предположение равновозможности всех случаев, число которых составляет
знаменатель вероятности, не представляется необходимым ни для установления
понятия вероятности, ни для вывода теорем исчисления вероятностей, а также
непригодно для определения математических ожиданий в играх. Я, со своей
стороны, хочу лишь в полной мере согласиться с его высказываниями по этому
вопросу — остроумными и в высшей степени важными. И если я в тексте все же
придерживаюсь традиционного предположения о равновозможности рассматри-
ваемых случаев, то только для того, чтобы не затруднять изложения введением
нового и несколько усложненного подхода.
Очень простое соображение подсказывает, что некоторые видоиз-
менения в таких разложениях оказываются безрезультатными, а имен-
но в тех случаях, когда среди р2, Рз, ••• встречаются вероятности
одинаковые. Так, например, при pi = р2 имеем наряду с

Р = yPi 7Р2 4-уРз + •••
также

р = ^1±£1Р1 + |Рз+....

Обе эти формы безразличны для дальнейшего исследования, так как
первое равенство не дает по сравнению со вторым ничего такого, что
могло бы обогатить исследование новыми результатами.

В высшей степени важен тот случай, когда все рь р2, р3, ... равны
между собой. Этот случай мы охарактеризуем таким образом: вероят-
ность представляется индифферентной по отношению к данному раз-
ложению. Но это отнюдь не означает, что при ином разложении мы
получим такой же результат. Любая вероятность, как это можно пред-
положить, будет безразлично относиться к весьма многим разложе-
ниям, но на другие будет реагировать.

В том случае, когда вероятность р индифферентна ко всем мысли-
мым разложениям, мы будем вместе с Крисом3 называть ее «дефини-
тивной вероятностью»* *.

Если мы имеем дело с подобной вероятностью, то ясно, что любое
разложение основной совокупности бесцельно, так как его результат
заранее известен.

' Однако можно спросить: каким путем прийти к выводу, что дан-
ной вероятности присуще окончательное значение?

При априорных вероятностях это происходит путем разложения
до возможного предела, который достигается, когда образуется столь-
ко частных совокупностей, сколько имеется отдельных случаев, дру-
гими словами, когда вся общая совокупность распадается на отдель-
ные случаи. Если при этом окажется, что всем отдельным случаям сле-
дует приписать одинаковую вероятность, то этим осуществляется ус-
ловие неизменности общей вероятности совокупности, так как тогда
можно быть уверенным в том, что при любом объединении отдельных
случаев в частные совокупности последние всегда будут обладать оди-
наковыми вероятностями. Отсюда вытекает, что общая вероятность
тогда будет дефинитивной, когда имеет место «равенство шансов для
отдельных случаев» (Крис)**.

3 «Prinzipien», SS. ПО—112.

* Невозможный случай.—г Л. А. Чупров. (Замечание, сделанное А. А. Чупро-
вым'на полях книги В. Борткевича. В дальнейшем такие замечания подписаны:
А. А. Ч.— Прим, перев.).

** При вычислении вероятности a priori мы не имеем дела ни с общей вероят-
ностью (Totalgesamtheit), ни с отдельными случаями (Einzelfallen), а с некоторы-
ми общими условиями, которые могут быть так или иначе дополняемы. Случай

ЗВ.

О теории дисперсии

57
Если же речь идет об апостериорной вероятности, то этот простой и
достоверный критерий неприменим. Если р' представляет собой по-
лученное из опыта (скажем, в результате и наблюдений) приближен-
ное значение рассматриваемой вероятности р и если общая совокуп-
ность п наблюдений распадается на частные совокупности из п2,
Из, каждая, подобно тому как раньше общая совокупность из г все-
возможных случаев распадалась на частные совокупности z2>
г3, ..., то в рассматриваемом случае мы будем иметь равенство

где pi, р2, рз, ... представляют собой значения вероятностей рь р2>
Рз, ..., полученные из наблюдений. Если произведено разложение, по
отношению к которому вероятность индифферентна, то из этого еще не
следует, что величины pi, р2, рз, ... окажутся между собой одинако-
выми. Однако теория вероятностей дает правила, по которым соотно-
шения между pi, р2, рз, ... дают возможность умозаключать, указы-
вают ли отклонения этих величин от р' на существование каких-либо
различий между рь р2, р3,_... или же наблюденные отклонения могут
быть приписаны действию «случайных причин». Но упомянутые пра-
вила требуют, чтобы числа nit п2, п3, ... были «достаточно большими»;
если же эти числа сведены к единичным случаям, то правила становятся
совершенно неприменимыми. При этом следует учесть, что в общей
массе п наблюдений могут оказаться представленными не все возмож-
ные случаи, входящие в множество г. Вот почему для апостериорных
вероятностей нельзя пользоваться тем приемом разложения общей
совокупности на отдельные случаи, при помощи которого для априор-
ной вероятности можно убедиться с полной достоверностью в дефини-
тивном значении общей вероятности р. Остается лишь возможность
разбивать общую совокупность на частные по разнообразным направ-
лениям и каждый раз исследовать, не превышают ли расхождения
между pi, р2, рз, ... и р' те пределы, которые теория вероятностей
указывает для игры случайных причин. Но при всей трудоемкости
такого метода он все же никогда не дает полной уверенности, что испы-
танные разложения доказали равенство шансов для единичных испы-
таний, поскольку он не может гарантировать, что при новой разбивке
единичных наблюдений по какому-нибудь новому принципу — число
таких возможных принципов ограничивается лишь числом возможных
классификационных признаков — не получатся такие расхождения
между вероятностями частных совокупностей и общей вероятностью
р', которые уже нельзя будет отнести за счет действия случайностей* 4.

дефинитивного значения имел бы место лишь, если бы при таких дополнениях р
всегда оставалось неизменным, что невозможно, ибо, когда условия допускают
некоторое поле изменчивости (Spielraum), всегда возможно, во-первых, такое объ-
единение их, что р становится равным 1, а во вторых, такое, что р = 0.— А. А.Ч.

4 Относительно исследования равенства шансов для апостериорных вероят-
ностей см.: К г i es, Prinzipien, VI, § 6; также Lexis, Einleitung in die Theorie,
§ 79.
И именно в статистике, которая по самому своему методу никогда
не бывает в состоянии «полагать» вероятности, но всегда должна на-
ходить их a posteriori, лишь в виде исключений будут встречаться
вероятности, которым присущи дефинитивные значения, — назовем
их элементарными вероятностями*5.

Напротив того, можно утверждать, что как нормальный случай
в статистике встречаются именно такие вероятности, значения кото-
рых нельзя считать окончательно определенными**6. В дальнейшем
я буду называть такие вероятности средними вероятностями. Весьма
возможно, что в основе многих событий в области социальных массовых
явлений лежат элементарные вероятности. Я лишь полагаю, что ста-
тистика в своих методах должна иметь в виду средние вероятности,
ибо если даже допустить, что когда-либо ей встретится совокупность,
в которой было бы выполнено условие равенства шансов среди отдель-
ных случаев (абсолютно однородная совокупность), то согласно выше-
сказанному мы вряд ли были бы в состоянии (вернее сказать, никогда
бы не были) твердо в этом убедиться.

Наиболее обычное применение теории вероятностей в статистике
сводится к вычислению так называемой меры точности статисти-
ческого относительного числа, рассматриваемого в качестве эмпири-
ческого значения некоторой вероятности.

Под мерой точности понимается постоянная величина Л, которая,
будучи умноженной на постоянный множитель а, может служить
аргументом для вхождения в таблицу значений функций7 FU) показы-
вающей вероятность для апостериорного значения р' вероятности р
лежать в пределах между р — а и р + а.

Величина h находится с так называемой средней ошибкой*** /, т. е.
квадратным корнем из математического ожидания квадратов откло-
нений а, в соотношении8:

f =___

Т hV 2 ‘

* Относительно понятия элементарной вероятности см. замечание А. А. Чуп-
рова на стр. 57—58, а также А. А. Чупров, Очерки по теории статистики,
изд. 3, М., 1959, стр. 267—270.— Прим, перев.

6 Lexis, Ebenda, § 93 и 94. Лексис вводит термин «элементарные совокуп-
ности» для таких совокупностей, где случаи имеют равные шансы.

** Совершенно верно.— Д. А. Ч.

6 Ср.: A. Cournot, Grundlehren... Нем. пер. Schnuse, 1849, S. 152.
и

2 Г _/2
Числовые значения функции fu = —7= \ е dt можно найти в большин-

V* J
о
стве учебников по теории вероятностей.

*** Относительно термина «средняя ошибка» следует заметить, что В. Борт-
кевич употребляет его (в отличие от Лексиса) вместо громоздкого «среднее квад-
ратическое отклонение» (т. е. о).

Мерой точности В. Борткевич называет величину, обратную а, т. е. —
Прим, перев.

8 Среднюю ошибку в том смысле, как она входит в текст, следует отличать
от «еггеиг шоуеппе» Лапласа и других авторов. Лаплас понимает под этим мазва-
Если значение р' вероятности р получено из п наблюдений и число п
достаточно велико, то справедливы равенства:

h = и 'соответственно f = j/"у

где q = 1 —р.

Вычисление меры точности или средней ошибки имеет целью опре-
делить размах действия случайных причин.

Если, например, в статистической совокупности из п наблюдений
регистрировалось т раз наступление некоторого события, причем-^=р'
определено как эмпирическое значение некоторой вероятности
р, в другой же совокупности из п' наблюдений то же событие наступи-
ло т' раз и таким образом было найдено = р" в качестве второго
эмпирического значения вероятности наступления того же события,
т т'

то возникает вопрос: можно ли полученную разность--------7 считать

следствием действия случайных причин или нет? В первом случае мож-
но принять, что в основе обоих эмпирических относительных чисел
лежит одна и та же теоретическая вероятность р. Во втором случае
предполагать в обеих совокупностях одну и ту же вероятность было
бы недопустимо и следовало бы принять для каждого ряда наблюдений
свою особую вероятность наступления рассматриваемого события.

Вычисление показывает, что в тех случаях, когда в основе как
первой, так и второй совокупности лежит одна и та же теоретическая
вероятность р, существует определенная вероятность Fu того, что раз-
т т'	,

ность ----содержится в границах от — а до + а, т. е. не выходит

за эти пределы. При этом мы должны положить и = h”a, где постоян-
ная h", которую по аналогии следует называть мерой точности разно-
сти р — р”, вычисляется по формуле

h" = —

]/йа + Л'2

Здесь h и h' — меры точности для р' и р".

Когда пип' велики, то допустимо пользоваться приближением:

нием математическое ожидание 8 положительных отклонений рг — р (матема-
тическое ожидание отрицательных отклонений рг — р равно —е. Величина е =

4	1 .

“ж^’по"°"у
Таким образом, мы, в конце концов, приходим к формуле

ПП'^ПП'

П = —	—	.

у 2 {tn (п — tn) пг3 + т' (пг — tn') п3}

После этого с помощью таблиц значений Fu легко определить, с какой
tn т'

вероятностью можно приписать разности — — действию случай-
ных причин9.

Если же вместо двух относительных чисел у нас имеется целый ряд
чисел р', р", р"х, которые подлежат сравнению и опираются на со-
ответственный ряд совокупностей наблюдений, разложенных нами
по какому-либо признаку, например по данным годам, содержащим все
наблюдения каждой из совокупностей, то и здесь возникает та же необ-
ходимость решить: возможно или невозможно объяснять расхождения
в значениях найденных чисел действием случайных причин? Если для
некоторых серий наблюдений — по п наблюдений в каждой — теорети-
ческая вероятность р остается одной и той же, то, как мы видели, сле-
дует ожидать, что полученные из серий эмпирические значения вероят-
ности, если их расположить в порядке их же величин, сгруппируются
вокруг р определенным образом, так как существует определенная
вероятность Fu, что эмпирические значения вероятности будут лежать
внутри пределов р — а и р + а, ив соответствии с этим произведение
KFU покажет число случаев, когда эмпирические значения вероятно-
сти р, как можно ожидать, не выйдут за пределы указанных границ.
Для определения ожидаемого распределения эмпирических вероятно-
стей около теоретической вероятности р нужно знать величину р и
меру точности Л, которая сама зависит от р. При этом приходится при-
бегать к приближению, состоящему в том, что неизвестное точное зна-
чение р заменяется средней р0, вычисленной из полученных значений10
Р', р", р'", ••• • Найденное таким путем распределение надлежит сопо-
ставить с фактическим, полученным для ряда величин р', р", р'", ... .
Это имеет смысл только в случае, когда % не слишком мала. Если при
этом фактическое распределение окажется в хорошем согласии с ожи-
даемым, то это указывает на постоянство теоретической вероятности
и на возможность отнести колебания ее эмпирических значений на
счет действия случайных причин.

Этот случай согласно Лексису и есть случай нормальной дис-
персии.

Далее Лексис из всех возможных видов соотношений между р',
р", р'", ... отбирает два наиболее существенных, которые он обозна-
чает как поднормальную и сверхнормальную дисперсии.

Поднормальная дисперсия имеет место тогда, когда числовые
величины р', р", р'", ... хотя и группируются около ро согласно функ-

9 Подробнее с этим можно ознакомиться в книге: Lexis, Einleitung in
die Theorie der Bevolkerungsstatistik (в последней главе), а также в книге: Wes-
tergaard, Grundztige der Theorie der Statistik.

10 Подробнее об этом см. далее.
ции Fu, но при этом мера точности функции Fu уже не равняется, а пре-

вышает ожидаемую меру точности

или

, где «/с = 1— р0.

При сверхнормальной дисперсии дело обстоит наоборот: ряд
р', р", р'", ... также подчиняется функции Fu, но и для h вместо ожи-

V	1 / /I

даемои меры точности |/ получается меньшая величина.

Если поднормальная дисперсия служит указанием на существова-
ние такого комплекса причин, который выравнивает колебания эмпи-
рических значений вероятности, то сверхнормальная дисперсия, ве-
роятнее всего, объясняется тем, что отдельным сериям наблюдений

соответствуют различные теоретические вероятности, которые, однако,
ведут себя так, как будто сами представляют собой случайно искажен-
ные выражения одной общей им всем теоретической вероятности*.

Всю же совокупность таких случаев, которых нельзя подвести
под категорию ни нормальной, ни поднормальной, ни сверхнормаль-
ной дисперсии, я буду называть случаями иррегулярной дисперсии.
Последние можно себе представить только в предположении, что ле-
жащие в основе р', р”, р"\ ... теоретические вероятности изменяются
от серии к серии уже не «случайно», как это имеет место при сверхнор-
мальной дисперсии, а образуют основу «симтоматического ряда»,
по терминологии Лексиса11.

Таким образом, если мы хотим выяснить, в какой степени найден-
ные расхождения или колебания между р', р", р'", ... можно отнести
за счет случая, то при сопоставлении двух относительных чисел или
целого ряда их всегда приходится вычислять ожидаемую меру точ-
ности. Последствия неправильного расчета** будут различны в зави-
симости от того, завысили мы или занизили меру точности. В первом
случае мы будем склонны видеть в разнице между двумя эмпирически
найденными вероятностями или же в колебаниях ряда таких величин
неодинаковость теоретических вероятностей, лежащих в основе от-
дельных серий, тогда как эти различия и колеблемость при пра-
вильном расчете меры точности еще представлялись бы как действие
случайных причин. Напротив того, во втором случае может явиться
соблазн принять за случайные различия и колебания такие, которые
при правильном расчете меры точности послужили бы указанием на
неодинаковость теоретических вероятностей, лежащих в основании
сопоставляемых статистических совокупностей. Мы видим, что постав-
ленный нами вначале вопрос11 12 может теперь получить более точную

* Это не объяснение.— А. А. Ч.

11 Для понимания дальнейшего изложения см.: Lexis, Zur Theorie der Ma-
ssenerscheinungen...

** Под «правильным расчетом» В. Борткевич подразумевает пользование
формулой 1/ -2L в тех случаях, когда условия ее правомерности (постоянст-
во вероятности и отсутствие связи между отдельными наблюдениями) соблюдены.
— Прим, перев.

12 См. стр. 55—56.
формулировку: не могут ли в статистике возникнуть ошибки при
определении размаха действия случайных причин вследствие того,
что при вычислении меры точности мы не обратили внимания на
тот факт, что исследуемые вероятности представляют собой средние
величины?

Возвратимся к прежним обозначениям, согласно которым величи-
не вероятности, находимой из п наблюдений,

р'=?р;+п-2р2+>+...

соответствует теоретическая вероятность

Р = 7р1+ур2+7Рз+---•

Однако нам заранее еще не известно, в каком соотношении сово-
купность наблюдений п в своем разложении на частные совокупности
п2, п3, ... находится к тому, как общая совокупность всех возмож-
ных случаев z разбивается на z2, z3, ••• • Нужно принять во внима-
ние, производились ли наши п наблюдений с учетом или без учета того
обстоятельства, что общая совокупность z разбивается на части г2,
г3, ... с неодинаковыми частными вероятностями рь р2, рз, ••• *•

Такой учет неоднородности исследуемой совокупности мы имеем,
например, тогда, когда заранее определено, что по каждой из отдель-
ных возможных частных совокупностей z2, г3, ... будет произведе-
но столько наблюдений, сколько их получается согласно следующим
пропорциям:

П1 = £1	«2 = £2 «з = £з

п Z ’ п Z 9 п z 1

Таким путем выясняются приближенные значения для частных
вероятностей рь р2, р3, ... и выражение

у Pi + у Р2 + у Рз + •. • = р'

окажется эмпирическим значением общей вероятности р. Если
положить

7 = £р 7 = ^2, 7=^з>-->

то мы получим:

P' = glPl +^2Р2 +^зРз +••• •

* Вносимую понятием Riicksicht (с учетом) субъективную точку зрения
можно бы похерить.— А. А. Ч.
При втором и третьем ряде испытаний (наблюдений), состоящих
каждый из п наблюдений, мы получим, повторяя те же операции,
эмпирические частные вероятности рь р2, рз, ... и pf, р2, рз, ...
и таким путем дойдем до эмпирического значения общей вероятности:

р" = S1P1 + ёъ р2 + ёз Рз + ••.

и

р'" = Я1РГ +ё2р7 + ёзр'з" + ....

Как мы видим, отдельные эмпирические значения общей вероятно-
сти р отличаются одно от другого благодаря тому, что они вычислены
из эмпирических частных вероятностей, от которых они зависят и
варьируют от одного ряда наблюдений к другому под влиянием слу-
чайных причин. Коэффициенты git g2t gs, ••• во всех сериях остаются
неизменными, и так как этот ряд коэффициентов показывает, как общая
совокупность составляется из частных, то вероятность р данного
вида, в связи с тем как она возникает из частных вероятностей, я назы-
ваю средней вероятностью постоянного состава.

Если же приближенное значение р определяется эмпирически без
учета того, как общая совокупность z всех возможных разложений
складывается из частных совокупностей z2, г3, ..., так что наши и
наблюдений проводятся непосредственно над общей совокупностью
всех возможных случаев г, то мы наперед не знаем, к какой частной
совокупности относится каждое наше отдельное испытание, и распре-
деление нашей общей совокупности из п наблюдений по частным сово-
купностям Hi, и2, Лз, ••• может быть выяснено лишь по окончании всей
операции.

На тех же основаниях и общее число т наступления условий, бла-
гоприятствующих какому-либо событию, может быть распределено
на частные совокупности тъ /и2, /п3, ....Пользуясь обозначениями, ана-
логичными прежним, мы запишем:

т	' т2 ' т3

~^ = Р> ’7T = Pif 1Г~р2’ 7^""
П	/&2	^3

Здесь также справедливо равенство

Однако равенства

п± Jzq П2  z2 п3 £з
п	zv п	z ' п	z '

осуществляются, очевидно, лишь приближенно и при том тем точнее,
чем многочисленнее наши наблюдения, приходящиеся на каждую
частную совокупность. Можно считать, что относительные числа

/li	г Пп	’ Па	'

^=g2,	^ = g3,...
в этом случае представляют собой эмпирические значения вероятно-
стей, соответствующих теоретическим вероятностям

Zi	Zo	Zq

= £з = у,-.

При повторных сериях наблюдений по п наблюдений в каждой
мы получим вместо g\ , g2, £з, ••• иные, отличные от них величины
gi, £2, £з,.«. И /1', g2\ g3',..., а вместо

Р' = §1 Pl + S2 р2 + g3pZ + •••
новое значение

р" — £1 Pi +Я2Р2 + йзРз + •••
либо

р"' = g\ Pl +g2 р2 +g3 Рз + ...

В этом случае расхождения между значениями общей вероятности р
в разных рядах наблюдений вызываются как случайными колебания-
ми эмпирических значений частных вероятностей рь р2, Рз, ...» так
и такого же рода колебаниями значений, стоящих при них коэф-
фициентов, соответствующих теоретическим коэффициентам gl9 g2r
g3, ... Общую вероятность, апостериорное определение которой про-
ходит указанным путем, я называю средней вероятностью в собствен-
ном смысле слова.

Такое разделение средних вероятностей на два вида нельзя считать
исчерпывающим. Основанием для деления служило здесь то обстоя-
тельство, что в одном случае принимался во внимание состав общей
совокупности г из частных совокупностей z2, ?з, ••• с различными
частными вероятностями рь р2, р3, ..., а в другом — нет. Но учет
этого обстоятельства не должен обязательно принимать ту форму,
которая приводит к понятию средней вероятности постоянного соста-
ва. Напротив, можно представить себе много разных способов, с по-
мощью которых осуществим такой учет13, о которых я здесь не стану
распространяться. Но об одном случае все же следует упомянуть.
Представим себе, что при каждом наблюдении частные совокупности
z4, z2, z3, ... находятся в нашем распоряжении каждая в отдельности,
и мы, прежде чем проводить наблюдения, определим по жребию, па
какой частной совокупности провести очередное испытание. В основе
жеребьевки лежат вероятности g2, g3, ,... того, что испытание бу-
дет проводиться из соответственной частной совокупности zb или
z2, или z3. Едва ли надо доказывать, что (см. далее) в этом случае
конечный результат получается таким же, как если бы наблюдения
проводились непосредственно над общей совокупностью всех возмож-
ных случаев, и мы можем сказать, что учет неоднородности общей со-

13 К г i е s, Prinzipien, § 105 ff.
вокупности здесь лишь кажущийся. Поэтому указанный способ полу-
чения апостериорной величины общей вероятности не изменяет ее
характера средней вероятности в собственном смысле*.

Теперь надо показать, как следует вычислять меру точности, как
среднюю ошибку, для каждого из указанных видов средней вероятно-
сти. Существу поставленной задачи соответствует допущение, по ко-
торому частные вероятности р2, Рз, ••• представляются вместе с тем
и элементарными вероятностями. И приведенные формулы средней
ошибки мы будем также предварительно считать применимыми лишь
к элементарным вероятностям.

Если через fit f2, fz, ••• обозначать средние ошибки значений ве-
роятностей рь р2, Рз, •••, полученных из серий впь и2, ^з, ••• наблю-
дений, и положить 1 — Pi = qit 1 — р2 = q2, 1 — рз = Рз, •••, то
мы будем иметь:

Обозначим через f0 среднюю ошибку средней вероятности постоянного
состава:

Р = Ё1Р1 + g2p2 + gzPs + •••

Коэффициенты g2, g3, ... здесь должны рассматриваться как по-
стоянные величины, и для этого случая в теории вероятностей выве-
дена формула

. /о — gl fl + gl fl + gl fl + ••• ,

которая превращается в

gi Pi <71 Ч~ g2 Рг <72 Ч~ £з Рз <7з Ч~ • •
п

и, наконец, в

Вывод последней формулы предполагает, что не только число л,
но и числа Hi, п2, и3, ... достаточно велики. Однако в изложении Пуас-
сона эта же формула оказывается свободной от указанного ограничения
вследствие того, что Пуассон исходит из рассмотрения случая, когда
каждая частная совокупность (rii, п2, п3, ...) состоит из одного наблю-
дения, так что при первом испытании имеет место элементарная вероят-
ность Ci, при втором — с2, при третьем — с3 и при и-м — сп. Пуас-

* Случай, имеющий очень большое значение.— А. А. Ч. (А. А. Чупров,
очевидно, имеет здесь в виду применение теоремы Пуассона в споре против кетле-
тизма. См.: «Очерки по теории статистики» изд. 3, стр. 226—227. Подробнее
см. статью. «Нравственная статистика» в Энциклопедическом словаре Брокгауза
и Эфрона, т. 41 стр. 407 и след.— Прим, перев.)
сон выводит формулу

f __ 1/ с1(1 - С1) + ^2 0 -С2)+---+Сл(1 сп)

'о - V ------------------’

из которой предыдущая наша формула непосредственно вытекает14 *.

Если среднюю ошибку р вычислять безотносительно к тому, что
речь идет о средней вероятности постоянного состава, то получим:
f-Vl-

Теперь надо сравнить между собой fQ и f.

Прежде всего нетрудно убедиться в справедливости следующих
равенств:

Pi <71 = рр + (р — <?) (р — Pi) — (р — Pi)2;

р2 <7г = р? + (р — <?) (р—р2)~(р -р2)2;

Рз <7з = Р<7 + (Р — Ч) (Р - Рз) — (Р — Рз)2-

Если первое равенство умножить на git второе на g2, третье на g3 и
т. д. и суммировать как левые части всех равенств, так и правые, то
мы получим:

SiPi ?i + §2р2 42 + ёзРз 4з + ••• =

= Р4 - {£1 (Р — Pi)2 + §2 (р— Р2)2 + ёз(р — Рз)2 +...).

Выражение в фигурных скобках безусловно положительно, исключая
лишь случай, когда pi = р2 = р3 = ••• = Р и когда оно превращает-
ся в нуль. Но в последнем случае р уже было бы не средней вероятно-
стью, а вероятностью элементарной. Отсюда вытекает совершенно
общее соотношение:

giPi 4i + S2P2 42 + ёзРз 4з +	< Р4

и, следовательно*,

/о<Л

У средней постоянного состава средняя ошибка меньше, а мера
точности соответственно больше, чем у элементарной вероятности
той же величины и при таком же числе наблюдений.

Ряд эмпирических значений средней вероятности постоянного со-
става проявил бы дисперсию поднормальную, если в основании каж-
дого отдельного значения лежала бы одна и та же теоретическая ве-
роятность16.

14 Poisson, Recherches sur la probabilite des jugements, формула fi;
Lexis, Einleitung in die Theorie der Bevolkerungsstatistik, §80, 1837, № 94—95;

* С о u r n 0 t, SS. 138—140.— A. A. 4.

16 Cournot, Die Grundlehren der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kapitel
VII, § 77—78; К r i es, Prinzipien, SS. 108—109
Перейдем теперь к случаю средней вероятности в собственном смыс-
ле. Пуассону принадлежит честь доказательства, что в этом случае
формула меры точности имеет тот же вид, как и в случае элементарной
вероятности. В этом и состоит его обобщение теоремы Бернулли.
В таком обобщенном виде Пуассон и назвал ее законом больших чисел.
Этот закон можно формулировать следующим образом: «Если собы-
тие Е наступает с вероятностью р, то при п испытаниях (наблюдениях)
отношение благоприятных событию случаев т к общему числу всех
испытаний (наблюдений), т. е. отношение как можно ожидать, тем
меньше отклоняется от величины р, чем больше число и, причем имеет-

ся определенная вероятность Fu того, что — содержится в пределах

и 2 pq . и у 2 pq ТЛ
от р-----до р + — И

V п	у п

притом это положение справедливо

как в том случае, когда р — средняя вероятность в собственном смысле,
так и в том, когда она есть вероятность элементарная16.

Вряд ли существует другая теорема, которая подвергалась бы
стольким возражениям, как закон больших чисел, именно в его обоб-
щении на случай средней вероятности в собственном смысле, которым
мы обязаны Пуассону. И все же эти нападки основаны большей частью

на недоразумениях и неправильных толкованиях, которые неизбеж-
но рассеиваются как только, руководствуясь изложением Пауссона,
сам выяснишь себе истинный смысл рассматриваемой теоремы и свя-
занных с нею понятий.

Прежде всего надо выяснить термины «шансы» и «причины»,
которыми Пуассон постоянно пользуется, говоря о средней вероят-
ности в собственном смысле. Для начала достаточно сказать, что под
«шансом» следует понимать то, что я назвал элементарной вероят-
ностью. Если бы заранее было известно, к какой частной совокуп-
ности всех возможных случаев относится каждое данное испытание,
то шанс был бы единственным фактором, определяющим ожида-
ние наступления события Е. Если же считать неопределенным и лишь
сопряженным с большей или меньшей вероятностью факт, что данное
наблюдение принадлежит к той или иной частной совокупности из
числа всех возможных, то эта причастность к отдельным частным со-
вокупностям, шансы которых неодинаковы, приобретает значение
второго фактора, определяющего наши ожидания, и его в этом именно
смысле называют «причиной»* *.

16 Это положение доказано в главе IV «Recherches sur la probabilite des juge-
ments» именно в № 109. Формула меры точности для случая средней вероятно-
сти приведена на стр. 297 (и она сходится с указанной в № 82—83, стр. 209, ко-
торая имеет в виду элементарную вероятность). См. также: Lexis, Einleitung...,
S. 81. Числа испытаний в случае средней вероятности в собственном смысле,
приходящиеся на частные совокупности, могут, так же как и в случае средней
вероятности постоянного состава, не быть большими, но могут снижаться до 1
и до 0. Ср.: Cournot, Grundlehren..., S. 115.

* Истолкование в основе верное, его только надо освободить от представле-
ния Elementarwahrscheinlichkeiten (элементарных вероятностей).— А. А. Ч.

Ср.: К г i е s, Prinzipien, S. 93, а также «Prinzipien», SS. 95—96.— А. А. Ч.
Схема испытаний, приводящая к средней вероятности в собствен-
ном смысле, может быть описана в терминах Пуассона так: событие Е
возникает в силу одной из причин Сь С2, С3, т. е. при каждом ис-
пытании действует одна и только одна из этих причин. Пусть при на-
личии причины Сх шанс наступления события равен рх, и подобным
же образом обстоит дело с причинами С2, С3,..., которым соответствуют
шансы р2, р3,... Однако вступит ли в действие при данном испытании
та или иная причина? Это наперед неизвестно и может быть принято
только с известной вероятностью. Если£ь g2, £3, • ••, означают вероят-
ности вступления в действие причин Clf С2, С3, ..., то мы получим

Р = Si Pi + ёг Рг + ёз Рз + • • •

в качестве выражения для исследуемой средней вероятности.

Ряд значений gly g2, g3, ... выражает согласно Пуассону «вероят-
ностный закон причин» («1а loi de probabilite des causes») и прини-
мается как неизвестный для всего ряда из п испытаний (также и соот-
ветствующие причинам шансы мыслятся постоянными)** 17.

Это особенно следует подчеркнуть для тех, кто полагает, что по
Пуассону изменение шансов от испытания к испытанию происхо-
дит совершенно бессистемно или что вступающие в действие причины
следуют одна за другой в ничем не регулируемом беспорядке. Кажу-
щуюся опору такому толкованию дают некоторые утверждения, встре-
чающиеся в «Recherches» и говорящие об «отсутствии правильности»
в том порядке, в котором причины вступают в действие18. Однако в
этих высказываниях выражается лишь то, что этой последователь-
ностью управляет случай, и, таким образом, подчеркивается различие
данной схемы от той, где либо последовательность шансов, т. е. при-
чин, либо число испытаний, проводимых под воздействием отдельных
причин, устанавливается наперед (в указанном случае средней ве-
роятности постоянного состава).

То, что толкование закона больших чисел точно соответствует его
пониманию самим Пуассоном, вытекает из двух у него же взятых при-
меров19.

* «Я полагаю между словами «шанс» (chance) и «вероятность» (probabili-
te) то же различие, как и Вы, и сильно настаивал на этом различении» (Письмо
Пуассона к Курно, Cournot, р. VI). Ср.: Cournot, рр. 22—37. Следует при
сравнении иметь в виду это замечание в Preface, р. V. Ср.: Stumpf, SS. 41—
43.— А. А. Ч. (Имеется ввиду К- S t u mp f, Ueber den Begriff der mathemati-
schen Wahrscheinlichkeit.— Berichte der Philosoph.— philolog.u.histor. Classe
der Kg. Bayer. Ac. der W issenschaften, zu Munchen, Jahrgang 1892. Miinchen, 1893.—
Прим, перев.)

17 См. № 54, стр. 134—144, а также стр. 139 и 314, где приведенные в тексте
условия указываются явно. Для правильного понимания закона больших чисел
чрезвычайно важна последняя часть II главы (№ 51—65), чтение которой не
вызывает затруднений даже у читателей-нематематиков.

18 На стр. 13 Пуассон утверждает, что его закон больших чисел применим
к таким вещам, которые, вообще говоря, имеют шансы непрерывно меняющиеся,
чаще всего без всякого порядка; сходное высказывание имеется на стр. 7: «при-
чины, меняющиеся беспорядочно» или еще на стр. 147: «эти шансы изменяются от
испытания к испытанию и чаще всего тоже совершенно беспорядочно».

к № 55—56.
' В первом примере рассматривается ряд урн Сь С2, С3, ..., С\>, на-
полненных белыми и черными шарами. Пусть означает шанс при
одном извлечении из урны С появиться белому шару, точно так же
с2 — шанс появления белого шара при извлечении из урны С2, на-
конец, — шанс вынуть белый шар при извлечении из урны Cv.
Из ряда урн мы берем на удачу одну урну и заменяем ее новой, сход-
ной со взятой, т. е. с таким же шансом при извлечении вынуть из нее
белый шар. Затем мы в том же порядке берем вторую урну, заменяя
ее новой, с ней сходной, потом — третью урну и т. д. При такой по-
становке опыта вся система урн остается все время неизменной (это
соответствует условию постоянства закона вероятности причин).
Таким путем создается неопределенно длинный ряд взятых урн
В2, В3, .., в котором содержатся лишь данные урны Сг, С2, С3, ..,
повторенные то или другое число раз. Пусть Ьг означает шанс вынуть
белый шар из урны В19 Ь2 — из урны В2, Ь3 — из урны В3 и т. д.
В таком случае неопределенно продолженный ряд ftb ft2, Ь3, ... будет
состоять только из шансов с19 с2, с3,.., причем числа последнего ряда
могут встречаться в ряде b19 b2, Ь3, ... с любой повторностью. Будем
извлекать по одному шару из урны В19 затем из урны В2 и т. д.,
продолжая извлечения до урны В^ включительно. Если введем два
обозначения

— (Ь1 + ь2 + ь3 +... + ftp.) = 0

и

4 (С1 + сг + сз + ••• + Су) = у

и положим, что белые шары появились т раз, то при очень большом
ц мы получим с большим приближением

(1)

а также

• (2)

Однако степень приближения для равенств (1) и (2) будет различ-
нои, и даже без каких-либо выкладок достаточно ясно, что -, как
можно ожидать, будет меньше отклоняться от 0, чем от у (все время
предполагается, что шансы между собой не равны). Степень этой раз-
ницы указывают мерй точности, которые равняются для 0:

V2 (1 - ^1) + b2 (1 - Ь2) + ...}
а для у:

= hr
г 27 (1— 7)	‘

Нетрудно было бы показать, сославшись на ранее указанные теоремы,
что верхнее выражение дает основание ожидать большую величину,
чем нижнее.
Вероятности 0 с мерой точности ftp, с одной стороны, и вероятно-
сти у с мерой точности Ат— с другой, соответствуют двум разным
системам опытов. Для того чтобы в ряде опытов, состоящих каждый
из серии в (х извлечений, причем в сериях появлялось m, m', т", ...
белых шаров, можно было бы ожидать, что отношения р	...

группируются около р и притом с дисперсией, соответствующей мере
точности ftp, нужно, чтобы во всех опытах участвовал один и тот же
набор урн Bi, В2, В3, ... и из каждой урны извлекалось бы по одному
шару. Если же для ожидаемых результатов определяющими постоян-
ными должны служить у и Ат, то весь опыт надо было бы построить
иначе, а именно так, чтобы второй ряд серий образовывался бы из
иного набора урн В2, Вз, ..., отличного от набора первого опыта
Bi, В2, В3,..., хотя и полученного тем же способом из первоначальной
системы Ci, С2, С3,... При третьем опыте мы пользовались бы опять
аналогичным набором В], В2, В3..., отличающимся от набора первых
двух опытов.^

Лишь вторая постановка опыта пригодна для иллюстрации за-
кона больших чисел в том его обобщении, какое ему придал Пуассон,
тогда как первая постановка соответствует случаю средней вероят-
ности постоянного состава. Едва ли нужно добавлять, что в приведен-
ном примере Пуассона для каждой отдельной урны имеется одна и
1

та же вероятность - участвовать в очередном испытании, и в случае
нарушения этого условия выражение для у будет иным.

Во втором примере Пуассона речь идет об очень большом числе
пятифранковых монет — назовем их Alt Л2, Л3, ..., А, которые под-
брасываются и падают затем на землю либо орлом, либо решкой.
Пусть у любой взятой монеты Ai шанс выпасть орлом равняется а/..
Подлежащий рассмотрению средний шанс равен:

я = — (#i + въ -+ #з + ••• +#v),

и при очень большом числе подбрасываний а с большой вероят-
ностью определяется как

где т — число выпадений орла. «Если подбрасывать, — говорит Пуас-
сон, — те же пятифранковики или, общее говоря, у/ других пятифран-
ковых монет, но одинаковой чеканки, изготовленных на том же заводе,
то с очень большой вероятностью мы должны получить:

т'__т

Р'' ~ И

Здесь т' — число случаев, когда при втором опыте монеты выпали
орлом. Однако эти относительные числа (— и ^7), вообще говоря, не^
н и
будут совершенно одинаковыми, если монеты, которыми пользова-
лись в обоих опытах, были различного вида или были изготовлены на
разных заводах. Если даже признать, что в этом примере те условия,
с которыми связано применение закона больших чисел, не были сфор-
мулированы с полной строгостью, то все же в данном случае нельзя
упрекнуть Пуассона в том, что он нарушил должные границы, потому
что теоретико-вероятностное истолкование для условия «той же че-
канки» совершенно ясно. Дело сводится к тому, что по числовым ве-
личинам шансов а/, присущих отдельным монетам, можно разбить
пятифранковые монеты на ряд различающихся между собой классов
и для каждой подлежащей изготовлению или уже изготовленной мо-
неты можно с определенной вероятностью ожидать, что она окажется
принадлежащей к тому или иному классу. Ряд таких вероятностей
выражает здесь тот «закон вероятностей причин», который нам необ-
ходим при рассмотрении примера, и «одинаковую чеканку» мы должны
принимать как условие неизменности числовых значений, образую-
щих упомянутый ряд.

Таким 'образом, и этот второй пример может быть подведен под
общую схему и, вообще говоря, должен быть ясным тот смысл, кото-
рый Пуассон вкладывает в закон больших чисел.

Между тем закон больших чисел в трудах даже выдающихся, под-
час весьма компетентных в математике авторов, не говоря уже о
«рядовых статистиках», слишком часто подвергался . кривотолкам,
компрометируя тем самым научное имя Пуассона.

Против всякого ожидания даже, например, у Кетле в ответствен-
ном месте его книги20 дается такое изложение закона больших чисел,
которое, по-видимому, следует признать ограничительным толкова-
нием теоремы. Пуассона.

Пользуясь вторым примёром Пуассона, Кетле пытается так разъ-
яснить закон больших чисел: «Если мы, — полагает он, — подбро-
сим одну и ту же монету 1000 раз и при этом число выпадений орла
к числу выпадений решки окажется в пропорции 3 : 2, то, опираясь
на теорему Бернулли, мы при дальнейших опытах с той же монетой
будем вправе ожидать то же сочетание». По теореме Пуассона это было
бы справедливо и в том случае, если бы испытания производились не
с одной, а с различными монетами; при этом, однако, присущие от-
дельным монетам вероятности ложиться орлом или решкой могли бы
слегка колебаться около средней вероятности — в данном случае
3	2

-у и -g— будучи обусловлены изготовлением и физическими особен-
ностями монет. То, что принцип Бернулли и здесь применим, дока-
зал Пуассон с помощью научного анализа. «К счастью, — продол-
жает Кетле, — можно и без помощи математики понять, что неболь-
шие изменения, которые наблюдаются при смене одной монеты дру-
гой, могут быть приписаны действию случайных причин, которые

20 Q u е t е 1 е t, Lettres sur la theorie des probabilites appliques aux sciences
morales et politiques. Bruxelles, 1846 (30-е письмо, стр. 213—215).
в ходе опыта при достаточно большом числе испытаний взаимно пога-
шаются, так что окончательный результат оказывается близким к то-
му, который получается, если те же испытания проделывать с одной
и той же монетой. В интересующем нас случае число испытаний не-
обходимо взять очень большим: вот почему Пуассон и назвал обоб-
щение теоремы Бернулли законом больших чисел»*.

В то время как у Пуассона и в общем рассуждении и в примере
с пятифранковыми монетами «закон вероятности причин» может иметь
любой вид, Кетле подчинил его определенному требованию: рассмат-
риваемые шансы должны тяготеть к данной средней величине, не вы-
ходя за пределы некоторых границ (такое ограничение теоремы Пуас-
сона, не оправдываемое действительным положением вещей, привело
к тому, что теорема эта была применена Кетле к рассмотрению таких
примеров действия случайных причин, где ей совсем не место)**.

Но еще и в другом направлении Кетле провинился в неправильном
понимании закона больших чисел. Он полагал, что при тех условиях
игры или опыта, которые предполагает обобщающая теория Пуас-
сона, колеблемость должна усиливаться, а стабильность ослабевать
в получаемых результатах, т. е. в тех эмпирических соотношениях,
которые отражают искомую теоретическую вероятность, если сравни-
вать их с результатами, получающимися при условиях теоремы Бер-
нулли. Но это не так, потому что мера точности зависит только от
числа испытаний и от значения искомой теоретической вероятности —
безразлично, будет ли эта вероятность элементарной или же средней21.

Кетле, толкование которого суживает теорему Пуассона, можно
считать стоящим особняком от других. Большей же частью преобла-
дает тенденция к преувеличению применимости закона больших чисел
по сравнению с тем, как его понимал сам автор.

Например, у Бертрана22 можно прочесть следующее: «Так как
вероятность события изменяется от испытания к испытанию, то
теорема Бернулли оказывается неприменимой. Обобщению, пред-
ложенному Пуассоном, под названием закона больших чисел недо-
стает не только строгости, но и точности. Условия теоремы в его из-

* Ср.: Cournot, SS. 202—205.— А. А. Ч.

** В экземпляре подлинника, с которого делался этот перевод и который
принадлежал А. А. Чупрову, фраза, взятая в скобки, вычеркнута автором
(Вл. Борткевичем) с пометкой на полях инициалов «L. В.».— Прим, перев.

21 Ор. сП, р. 213. «Мелкие изменения, касающиеся какой-либо одной при-
чины, не выходящие за очень узкие пределы, можно рассматривать как следствия
случайных причин, которые могут влиять на конечный результат. Таким образом,
в конечном счете можно изменчивую причину рассматривать как постоянную,
к которой присоединяются причины случайные, увеличивающие собой ряд слу-
чайных причин и разнообразящих их действие, отчего колебания конечного ре-
зультата расширяют свои границы». Кетле здесь, по-видимому, усматривает слу-
чай сверхнормальной дисперсии. Но этому случаю соответствовал бы не пример
с пятифранковыми монетами, который приводит Пуассон с указанными для него
условиями опыта, а следующий: проводят, например, 1000 подбрасываний мо-
неты Aj, а затем 1000 подбрасываний монеты Л2, 1000 подбрасываний монеты А3 и
т. д. Можно было бы ожидать сверхнормальную дисперсию, если бы шансы а2,
а3, ... подчинить закону ошибок Гаусса (ср. стр. 62).

22 J. Bertrand, Calcul des Probabilites, 1889, p. 94.
ложении лишены определенности и не поддаются материальному
оформлению».

Возражение, приводимое Бертраном, оказывается несостоятель-
ным, если выяснить, что вопреки его утверждению рассматриваемая
вероятность у Пуассона от испытания к испытанию не изменяется.
Изменяются только шансы, которые возникают при каждом отдельном
испытании, тогда как вероятность, с которой перед каждым испыта-
нием ожидается появление интересующего нас события, все время ос-
тается неизменной.

И тем более странным представляется приведенное возражение
Бертрана, что сам Пуассон во многих местах по разным поводам объ-
яснял свою позицию23.

Не уместнее ли спросить: представляет теория Пуассона просто
обобщение теории Бернулли или же случай средней вероятности в соб-
ственном смысле требует действительно своего особого доказатель-
ства24 25?

Автор закона больших чисел и сам предвидел это возражение и
полагал, что он его устранил. Имея в виду приведенный пример с урна-
ми, Пуассон утверждает, что раньше чем образовалась система урн
Bi, ВВ3, ... вероятность появления белого шара при каком-либо
извлечении равна у и для всех испытаний остается неизменной. «Но,
хотя она остается той же самой для всех извлечений и число р послед-
них может быть сделано сколь угодно большим, все равно это не дает
еще права на основании одного лишь правила в §49 (теорема Бернулли)
заключать, что число белых шаров, извлекаемых из урн Вlf В2, В3, ...,
должно с большой вероятностью отклоняться сколь угодно мало от
произведения ру, ибо нельзя терять из виду, что это правило основано
на шансе, непосредственно присущем событию, а не на его вероятно-
сти или на разумном основании для нашей уверенности, что событие
произойдет26».

Не входя в более подробный разбор последней фразы, мы лишь
напомним, что это различение между «объективной» и «субъективной»
вероятностями, по общему признанию, лишено основания*, и каждая
данная вероятность предполагает определенное знание или незна-
ние и в этом смысле должна быть признана субъективной26. Выраже-

23 На стр. 139—140 своего исследования «Recherches» Пуассон согласует
свой закон больших чисел с теоремой Бернулли. Ср. также стр. 146—147.

24 Бертран (Op. cit., Preface, S. XXXI—XXXII) приводит данную Пуассоном
формулировку закона больших чисел и добавляет: «Таков вывод, сделанный
самим Пуассоном относительно открытия, которое весьма мало чем отличается
от уже известных законов случайного и которому, пожалуй, только он сам придал
столь большую важность».

25 Recherches, S. 147.

* Разница все же есть, и немалая. А. А. Ч.

26 К г i е s, Prinzipien (гл. IV, § 7 и гл. V, в особенности § 6 «Логическая
однородность всех численных вероятностей»). Ср. также стр. 275: «Нередко воп-
реки общему принципу (такие же или подобные) вероятности признавались при-
сущими соответствующим событиям как таковым, безотносительно к состоянию
нашего знания. В качестве свидетельства может послужить следующее место из
«Recherches» Пуассона, в котором устанавливается — и притом, можно сказать
нием «шанс» Пуассон, очевидно, хотел обозначить понятие, которое
Крис определил более строго, — понятие вероятности, имеющей оп-
ределенное, неизменное значение, т. е. элементарной вероятности. Вся-
кая элементарная вероятность связана с некоторым состоянием нашего
знания, которое при данных условиях игры или опыта не может быть
расширено и вследствие этого приобретает свойство общеобязатель-
ности, а отсюда возникает и видимость объективного события, тогда
как при средней вероятности мы имеем обратное. Последняя, или,
лучше сказать, общая, вероятность по необходимости .относится к дру-
гому состоянию нашего знания, чем частные вероятности, из которых
она составлена. Так, в первом примере Пуассона ожидание появления
белого шара зависит от вероятности которая имеет решающее зна-
чение для того,,кто знает систему урн Ci, С2, С3, ..., но не знает или
пока еще не знает, из какой урны будет сделано извлечение. Но как
только он это узнал, так у должна уступить место одной из вероятно-
стей cif с2, с3, .... Совершенно так же обстоит дело и во втором примере
Пуассона и вообще во всех тех случаях, где речь идет об общей вероят-
ности или средней вероятности. В этих случаях субъективность ве-
роятности прямо-таки бросается в глаза.

Это достаточно для объяснения первой нашей выдержки из Пуас-
сона. Согласно изложенному было бы в корне неправильно предпола-
гать вместе с Пуассоном будто теорему, относившуюся лишь к «объ-
ективным» вероятностям он обобщил на «субъективные» вероятности.
Неправильность такого понимания я покажу еще яснее на новом при-
мере, который сейчас изложу. Этот же пример приведет нас, как
я думаю, к удовлетворительному ответу на вопрос, в чем собственно
заключается сущность того обобщения, которое Пуассон произвел по
отношению к теореме Бернулли27?

Урна U наполнена s черными, г красными, Ь синими шарами.
Пусть

z = s + r + b + -«-

выражает всю’совокупность шаров в урне U. Далее, среди s черных
шаров имеется 6 массивных из — 6 полых шаров, среди г красных —

самым удивительным образом различие между «шансом» и «вероятностью». Это
место гласит: «В повседневной речи слова «шанс» и «вероятность» почти синони-
мы. Чаще всего мы пользуемся безразлично тем и другим, но если становится
необходимым вскрыть разницу между их употреблением, то в настоящей работе
мы будем относить слово «шанс» к самим событиям, независимо qt наших о них
знаниях, тогда как за словом «вероятность» мы сохраним приведенное ранее опре-
деление. Таким образом, событие по самой природе своей имеет шанс, больший
или менЫний, известный нам или неизвестный, а его вероятность будет связана
с нашими знаниями, еп/касающимися». («Recherches», р. 31). Еще см.: К г i е s,
Ueber Poisson, S. 261.

27 Противопоставляя здесь и в других местах закон больших чисел теореме
Бернулли, я совершенноЛэтвлекаюсь от того, что у Бернулли зависимость верх-
ней границы отклонений эмпирически найденных значений вероятности от апри-
орного ее значения и от величины той вероятности, с которой указанный предел
не нарушается, выражается не через Fu (см. стр. 59, прим. 7), а совсем иным
путем — через несколько сложных неравенств (ср. прим. 16 на стр. 68).
р массивных иг — р полых шаров, среди b синих — 0 массивных
и b — 0 полых шаров и так далее, так что в общем имеется £ массив-
ных иг — £ полых шаров. Если мы извлекаем из урны шар, причем
появление любого шара мыслится как равновозможное, то'вероятно-
стью появления массивного шара служит дробь -j = р. С другой
стороны, имеем

s	г	ь

Si — у » Ё2 — —>	— —

в качестве вероятностей появления шаров черных, красных, синих...
В соответствии с этим результаты п извлечений можно рассматривать
в двух разных направлениях, а именно: с одной стороны, можно ин-
тересоваться числом массивных и полых шаров, а с другой — распре-
делением извлеченных шаров по их окраске.

По первому вопросу при большом п следует ожидать, что отноше-
ние извлеченных массивных шаров к общему числу извлеченных шаров
будет иметь величину, мало чем отличающуюся от р. При этом мы
вполне можем не обращать внимания на то, что среди извлеченных
шаров будут и черные, и красные, и синие..., хотя вероятность р легко
может быть представлена в форме средней вероятности. Если мы вве-
дем обозначения

а	р	₽

Г =	7 = Р2, f=p3,	то

Pi, Рг, Рз, ••• покажут вероятность того, что извлеченный шар, о ко-
тором известно какого он цвета — черный, красный, синий и т. д.,
вместе с тем окажется массивным. Поэтому мы имеем:

P = giPi +ёгР2 + йзРз + •••

Сходным образом, по второму вопросу мы не должны были бы ожи-
дать какого-либо влияния со стороны свойства быть массивным или
полым, хотя и здесь вероятности gi, g2, g3, ••• можно рассмат-
ривать как средние вероятности.

В отличие от обоих примеров Пуассона в моем примере то обстоя-
тельство, что исследуемая вероятность является средней, представ-
ляется скрытым, как бы латентным, хотя его можно выявить следую-
щим образом.

В отношении р представим себе, что рядом с наблюдателем Л, ко-
торый извлекает шары из урны и каждый раз одновременно узнает,
вынул ли он шар массивный или полый и какого он цвета, находится
другой наблюдатель В, который лишь со стороны следит за игрой
и узнает цвет шара раньше, чем А сообщит ему или даст ему самому
определить, массивный ли вынулся шар или полый. Ожидание мас-
сивного или полого шара для В сложится, очевидно, по-разному,
когда он еще не видел цвета шара и после этого. В первом случае
вероятность определится величиной р, а во втором — одной из величин
Pi, Рг, Рз, •••• Для вероятностей giy g2t g3, ... весь процесс надо было
бы представить себе так, что наблюдатель А вынимает шар. с закры-
тыми глазами и раньше всего узнает, полый ли он или массивный,
и лишь после этого определяет его цвет.

Несмотря на то чтоъ моем примере речь идет, несомненно, о сред-
них вероятностях, все же мы можем подвести его под общий случай,
соответствующий теореме Бернулли, не нуждаясь для этого в каком-
либо особом доказательстве, потому что, как уже указывалось, можно
отвлечься от всего, что сообщает рассматриваемой вероятности ха-
рактер средней вероятности, т. е. отвлечься от неоднородности общей
совокупности, охватывающей все возможные случаи.

Для того чтобы как можно нагляднее показать, в чем заключается
разница между примерами Пуассона и моим, я видоизменю последний
так, чтобы сделать его сходным с первыми.

Для этого я возьму вторую урну, наполненную разноцветными ша-
рами, массивными и полыми, в тех же соотношениях, как в первой
урне, и распределю содержащиеся в ней шары между урнами
S, R, В, ... (по числу разных окрасок), наполняя каждую из них ша-
рами соответствующего цвета: урну S — черными, урну 7? — красны-
ми, урну В — синими. В таком случае величины рь р2, Рз, ••• будут
вероятностями вынуть массивный шар при извлечении из урны S,
7?, В, ... Теперь мы вынимаем наугад шар из урны U. В зависимости от
цвета вынутого шара (а разным цветам соответствуют вероятности gi,
ёъ £з, •••) мы проводим одно извлечение из соответствующей урны
S, 7?, В, ... и замечаем, оказался ли шар массивным или полым. Если
такие испытания, состоящие из двух извлечений с возвращением шара
обратно в урну, повторить п раз, то может возникнуть сомнение, до-
пустимо ли судить об ожидаемом отношении появления массивного
шара к общему числу испытаний на основании одной лишь теоремы
Бернулли. Однако в этом примере с полной строгостью выполняются
условия, которые соответствуют теореме Пуассона в присущей ей
обобщенной форме, и тем самым обосновывается утверждение: при
большом п можно ожидать, что отношение ~ окажется близким к ве-

тл

личине р, и отклонения — — р в этом случае следует ожидать с той же
вероятностью, как равновеликие им отклонения в моем опыте первона-
чальной формы.

Говоря вообще, своеобразие моего видоизмененного примера (а так-
же и обоих примеров Пуассона), в отличие от первоначального при-
мера, состоит в том, что в первоначальной форме каждое испытание про-
водилось непосредственно над общей совокупностью всех возможных
случаев, тогда как в видоизмененном опыте частные совокупности с их
различными частными вероятностями предстают пред нами в разроз-
ненном виде, благодаря чему неоднородность общей совокупности
(конечно, лишь по видимости) особенно бьет в глаза.

Из двух в указанном смысле различаемых видов средней вероятно-
сти в собственном смысле лишь последний как бы требует особого рас-
смотрения, насколько к нему применима теорема Бернулли, тогда как
для другой формы средней вероятности в собственном смысле это по-
нятно само по себе28.

Если до сих пор предполагалось, что частные вероятности рь
р2, Рз, •••, из которых составляется средняя вероятность

glPl+g2Pi+ ёзРз+  .

представляют собой элементарные вероятности, то теперь мы можем
отказаться от этой предпосылки и принять, что р2, Рз, ...» в свою
очередь, суть средние вероятности в собственном смысле. Таким пу-
тем можно было бы различать средние вероятности в зависимости от их
порядка. Средними вероятностями первого порядка считать те, в ос-
новании которых непосредственно лежат элементарные вероятности;
в качестве средних вероятностей второго порядка — те, которые со-
ставлены из средних вероятностей первого порядка, и т. д.*29 30.

В любом случае тот факт, что данная вероятность должна рас-
сматриваться как средняя вероятность в собственном смысле незави-
симо от ее порядка, не может служить основанием для каких-либо раз-
личий в вычислении мер точности или средних ошибок для эмпирически
найденных значений вероятности^,

28 Ср. стр. 65.

* Вместе с представлением Element. Wahrsch. (элементарных вероятностей)
устраняется и это представление о средних вероятностях разных порядков.—
А. А. Ч.

29 Если р представляет собой среднюю вероятность n-го порядка, то ее, ко-
нечно, МОЖНО быЛО бы Привести К ВИДУ р = У1Я1 + у2я;2+ТзПз+ •••’, ГДе Я1>Я2» лз---»
элементарные вероятности, зато коэффициенты у1,у2,Уз» ••• представляли бы собой
вероятности сложных событий, составленных из п простых событий, т. е. вероят-
ностями совпадений п различных признаков. Когда говорят про среднюю вероят-
ность, что она непосредственно составлена из данных частных вероятностей, то
этим выражается лишь то, что коэффициенты, стоящие при частных вероятностях,
означают вероятности простых событий или признаков.

30 Обозначение обобщенной теоремы Бернулли термином «закон больших
чисел» оспаривалось с двух различных точек зрения.

Прежде всего необычное использование слова «закон» для обозначения того,
что, по меткому замечанию Криса, «в сущности представляет собой теорему ком-
бинаторики», легко может привести к нежелательному непониманию математи-
ческой (не эмпирической) природы теоремы и к представлению о том, что речь
идет о действительном поведении вещей (очень хорошо говорит об этом Крис
(«Prinzipien») в гл. IV, § 5, а также в примечании на стр. 91, сравни еще стр. 293,
направленную против Виндельбанда (Windelband) и стр. 168—169). В таком
«физическом» истолковании закона больших чисел повинен отчасти и сам Пуас-
сон, что объясняется его недостаточно ясным пониманием теоретико-познава-
тельной стороны вопроса (Resherches, SS. 7, 144—145).

Затем затруднения состоят, в особенности для статистиков, в том, чтобы при-
знать в качестве закона то, что имеет силу только в случае больших чисел и не-
применимо ни к единичным случаям, ни к малым числам. Если статистики видят в
этом противоречие с самым существом понятия «закон» и если они с особой охотой
подчеркивают именно это противоречие, то они, по-видимому, впадают в ошибку,
понимая закон больших чисел в смысле закона природы. Если же рассматривать
теорему Пуассона как выражение некоторого принципа ожидания, существую-
щего наряду с принципом причинности (согласно Крису «принцип поля возмож-
ностей»— «Spielraum»), то нельзя отрицать, что, хотя число случаев не может
вызывать каких-либо принципиальных различий в образовании ожиданий, все
же указанный принцип получает особое значение там, где ожидание направлено
Теперь надо показать, как можно применить в статистике описан-
ные и разъясненные теоремы о дисперсии; с одной стороны, в случае
средней вероятности постоянного состава, а с другой — в случае
средней вероятности в собственном смысле.

Коэффициенты	..., встречающиеся в формуле эмпири-

ческой средней вероятности, выражают собой относительные доли тех
различных частных совокупностей, из которых складывается общая
совокупность; так, например, это могут быть дроби, которые представ-
ляют разные категории людей, составляющих все население. Для
того чтобы можно было статистическое относительное число рассматри-
вать как среднюю вероятность постоянного состава, нужно, чтобы
подобные дроби были не эмпирическими значениями некоторых вероят-
ностей, а заранее твердо установленными числами.

Представим себе, что в каком-либо государстве установлено за-
коном, что набор в армию производится в определенном проценте
к общему населению. Если определять в таком государстве частость
самоубийств, которые, как известно, гораздо чаще происходят среди
военных, чем среди гражданского населения, то частное от деления
на всех жителей числа самоубийств, совершенных в течение года, мож-
но рассматривать как эмпирическое значение средней вероятности
постоянного состава*. Вследствие этого относительное число само-
убийств будет иметь повышенную меру точности по сравнению с той,
которая имела бы место в случае одинаковой частости самоубийств в
обеих частях населения. Если бы процент военных ко всему населению
оставался постоянным для ряда лет и если бы теоретические вероятно-
сти самоубийств также оставались постоянными как для гражданского
населения, так и для военных, то можно было бы ожидать для стати-
стического ряда этого показателя поднормальную дисперсию.

на общий результат очень многих случаев, потому что лишь при этом условии
вероятности получают очень большую величину, близкую к достоверности (См.:
К г i е s, SS. 264—266, 155).

Кроме того, требование большого числа случаев или испытаний (п) с точки
зрения вывода оправдывается тем, что встречающееся у Пуассона в оформлении
закона больших чисел (стр. 62) аналитическое соотношение между данными пре-
делами ошибок и соответствующими им вероятностями опирается на применение
приближенной формулы Стирлинга (Stirling), предполагающей для значения
входящих в нее констант большие числа.

Но сам Пуассон, давая своей теореме ее название, руководствовался совсем
иными соображениями, о учем говорит, малоубедительное впрочем, место в его
«Recherches» (стр. 146—147). Дело в том, что Пуассон, противопоставляя свой
«loi des grands nombres» теореме Бернулли, хотел этим названием связать его со
случаем переменных шансов (случаем средней вероятности в собственном смысле).
Если это название понять именно так, то его нельзя одобрить уже потому, что
оно может навести на ложную мысль, будто случай переменных шансов в противо-
положность случаю постоянного шанса (элементарной вероятности) нуждается
в большем числе испытаний для того, чтобы в обоих случаях с одинаковой ве-
роятностью ожидать расхождения эмпирического и теоретического значений ве-
роятности в одинаковых пределах (ср. стр. 72—73, текст и примечание
о Кетле).

* Совершенно точно! — А. А. Ч,
Однако надо полагать, что, вообще говоря, такие неизменные со-
отношения между частными совокупностями в действительности вряд
ли где-нибудь можно встретить, разве только там, где они устанавли-
ваются и поддерживаются законом или административным распоря-
жением*.

Если такое исключительное положение и встретится статистику
в изучаемой им совокупности, то, наверное, он об этом будет осведом-
лен** и поэтому такого рода обстоятельства вряд ли могут повести
к неправильному расчету меры точности.

Если же относительные числа, показывающие долю частных со-
вокупностей в общей совокупности, представляются сами эмпири-
ческими значениями вероятностей 31’32, то для средних вероятностей
или их эмпирических значений в качестве относительных чисел, слу-
жащих коэффициентами при эмпирических значениях элементарных
вероятностей или средних вероятностей более низкого порядка, можно
указать как раз те же диапазоны действия случайных причин, как
в случае элементарных вероятностей той же величины. Говоря другими
словами, мы вправе при определении меры дисперсии не обращать
внимания на то, что рассматриваемые вероятности, по существу,
будут средними вероятностями. Исследование дисперсий в статисти-
ческих рядах следует проводить совершенно одинаково, опираются ли
члены ряда на элементарные вероятности или на средние вероятности
любого порядка33 * * * * 38.

В особенности же надо остерегаться из проявления слабой колебле-
мости какого-либо ряда делать вывод о том, что исследуемое относи-
тельное число представляет собой элементарную вероятность. Так,
единственный известный до сих пор случай такого рода статистической
величины — полового состава новорожденных — вполне совместим

* Это верно! — А. А, Ч.

** Навряд ли! — А. А. Ч.

31 См.: Lexis, Zur Theorie... (S. 29, Anmerkung)

32 Здесь и в дальнейшем с применением понятий теории вероятностей к ста-

тистическим относительным числам не должно связываться представление о том,

что речь идет о постоянных — неизменных во времени — вероятностях. Лежа-

щую в основании статистического относительного числа теоретическую вероят-

ность следует, как этому учит опыт, скорее считать данной в большинстве случаев

исторически или «индивидуально» (не вполне в том смысле, какой этому выраже-
нию придает Крис в его «Prinzipien», S. 129). Если Лексис, не возражая против
логического обоснования этого взгляда, все же утверждает, что с «таким введе-
нием понятий теории вероятностей мало что выгадывается» («Zur Theorie...»,
S. 91), и если Крис, примыкая к Лексису, полагает, что в области массовых явле-
ний человеческого общества почти нигде нельзя обоснованно указать числовые
значения вероятностей («Prinzipien», S.239), то приведенные высказывания следу-
ет понимать в том смысле, что единичная вероятность не допускает, чтобы ее
применяли к ненаблюденным еще случаям, и поэтому не может быть использована
для предсказываний.

38 «Оправдают ли полученные из многих рядов испытаний коэффициенты
принятие общей вероятности за постоянную или мы предполагаем, что имеем
дело с простыми вероятностями,— все равно разработка эмпирического материа-
ла для выяснения этого вопроса должна осуществляться одинаковым способом;
таким же способом в обоих случаях находятся и критерии, служащие для класси-
фикации массовых явлений» (L е х i's, Zur Theorie ..., 5.29).
с фактами и мнениями исследователей относительно вероятности рож-
дения мальчика у населения разных категорий. Пусть р — вероят-
ность рождения мальчика во всей совокупности новорожденных, а р4и
р2 — среди законнорожденных и внебрачных младенцев. Если, далее,
мы обозначим через gi вероятность рождения ребенка в браке, а че-
рез g2 — вероятность рождения ребенка вне брака, тогда мы получим
соотношение

Р = glPl+gtPf

Допустим теперь, что эмпирические значения р, взятые за ряд лет,
дают нормальную дисперсию; для этого совсем не требуется, чтобы
было pi = р2, но если бы дисперсии рА и р2 были также нормальными,
то нужно предполагать то же самое и относительно gi и g2*34.

Если сосредоточить внимание на одних законнорожденных и если
среди этих семей выделить категории с различными значениями
Рь р2, Рз, ••-вероятностей рождения мальчика, то для всей сово-
купности этих семей существовала бы вероятность

Р = giPi +gtPi + g3Pa + ••• ,

где gi, g2, gs, •••—вероятности для новорожденного родиться
в семье определенной категории. Если здесь, так же как в преды-
дущем случае, эмпирические значения р, как и р4, р2, р3, ..., имели
бы нормальную дисперсию, то и для gif g2, g3, ... можно было ожи-
дать, что дисперсия окажется нормальной36.

Операция, намеченная в приведенных примерах, которая в общем
и целом состоит в разложении средних вероятностей более высоких * 34 35 *

* g2 = 1 — £1- Приблизительно нормальная дисперсия может, по-видимому,
в случае нормальных дисперсий рх и р2 устанавливаться и при ненормальности
дисперсии g2.— А. А. Ч.

34 Вполне возможно, что в действительности как у р, так и у pt и р2 обна-
ружится дисперсия, очень близкая к нормальной, и, несмотря на это, эмпириче-
ские значения g± (относительное число внебрачных рождений) дадут сверхнор-
мальную или даже иррегулярную дисперсию. Тогда следовало бы признать, что
последняя вследствие незначительности разности рх — р2, а также и величины g2
не повлияла сколько-нибудь заметно на поведение эмпирических значений рх.
По вопросу о половом составе новорожденных наследуемых именно с этой сторо-
ны, смотрите статью Лексиса (Handworterbuch der Staatswissenschaften, особенно
S. 819, Koi. 2) и сравните ее с более ранними работами того же автора, в которых
он с еще большей настойчивостью защищает (по крайней мере приближенное)
равенство шансов рождений или, точнее, зачатий относительно ожидаемого пола
новорожденного.

35 Но здесь не имеет значения, по крайней мере в первом приближении, то,
что числовыми соотношениями семей различных категорий к общей совокупности
представляются не (теоретические) вероятности у2, у3, ..., как это, по-видимо-
му, принимает.Лексис (op. cit.), а именно эмпирические значения glt g2, g3, ....
Если мы обозначим через wlt w2, w3i ... вероятности для семей различных катего-
рий рождения, скажем за год, одного ребенка, то мы имели бы

=_____________ь wi____________

ё‘ 71 №1 + 7г “Ч + 7з + ... ’

откуда при = а>2 = «’з = ••• получается gt = у i-
порядков на средние вероятности более низких порядков, в особен-
ности пригодна для того, чтобы вскрывать статистические связи, и это
ее назначение нисколько не умаляется тем, что средние вероятности
более высоких порядков, из которых мы исходили в своем анализе,
имеют в своих эмпирических значениях нормальную дисперсию. По-
этому я никак не могу согласиться с мнением проф. Вестергорда, кото-
рый полагает, что разложение статистических данных достигает пре-
дела, когда оно доходит до относительных чисел с нормальной диспер-
сией. «Если мы, — пишет названный исследователь, — нашли ту
твердую точку, около которой числа колеблются аналогично тому, что
наблюдается в азартных играх, хто дальнейшие поиски причин хотя и
могут дать новые результаты, например, переработку материала в но-
вом направлении, все же и без такой переработки можно удовлетво-
риться достигнутыми результатами. Если же отклонения окажутся
большими тех, какие мы наблюдаем в азартных играх, то это указы-
вает на недостаточную еще разработку данных, — на то, что, прежде
чем браться за предсказания, надо еще подвергнуть причины явлений
дальнейшему анализу»36.

Впрочем, я думаю, что высказанная в, конце выдержки надежда
на то, что последовательным разложением статистических данных
можно дойти до таких относительных чисел, колебания которых во
времени не выйдут за пределы, положенные для случайных причин,—
такая надежда не осуществима для большинства массовых социальных
явлений. В статистике всякое разложение данных выражается в обра-
зовании все более ограниченных групп людей или поступков, или собы-
тий. Две такие группы, определяемые комплексом признаков, но отно-
сящиеся к двум различным моментам времени, лишь в крайне редких
случаях допускают такое сравнение, как, скажем, два ряда извлече-
ний шаров из одной урны, так как в последнем случае общие условия
игры остаются неизменными, в первом же случае общие условия ка-
жутся большей частью* * аналогичными лишь потому, что описываются
для обеих групп одинаковым образом. Совершенно ошибочно было
бы видеть в большой точности подобного описания, т. е. в перечислении
очень большого числа признаков, вполне определенное указание общих
условий, и мы постоянно будем наталкиваться на случаи, когда оди-
наковые описания, какими бы детальными они ни были, окажутся
совмещенными с различным по существу содержанием.

Сказанное проф. Вестергордом относительно цели разложения и
того результата, который можно ждать от исследования дисперсии
статистических рядов, все же имеет некоторое ограниченное значение,
и я предполагаю это показать на одном интересном примере, где в эм-
пирических значениях средней вероятности высокого порядка гос-
подствует иррегулярная дисперсия.

36 Westergaard, Grundziige der Theorie der Statistik, S. 55.

* В тексте, с которого делался перевод, слово «hochstens» (самое большое)
заменено словом «meistens» (по большей части).

Судя по почерку, поправка внесена автором — Вл. Борткевичем.— Прим,
перев.
Но, прежде чем обратиться к этому примеру, я хочу- дать краткие
объяснения по поводу остальных случаев.

Вернемся еще раз к-случаю нормальной дисперсии. Появление нор-
мальной дисперсии у эмпирических значений средней вероятности р
можно объяснить не только описанными способами. Можно предста-
вить себе дело и так, что эмпирические значения вероятностей рь р2,
Рз, ... обладают поднормальной дисперсией, тогда как эмпирические
значения вероятностей gif g2, g$, ••• — сверхнормальной или же наобо-
рот. Но осуществление какой-либо из этих возможностей может быть
делом только случая.

От поднормальной или же сверхнормальной дисперсии эмпирических
значений можно было бы умозаключить к поднормальной или сверх-
нормальной дисперсии эмпирических вероятностей ръ р2, р3, ...
или вероятностей g±, g2, gs, • ••> причем в первом случае эмпирические
значения gif g2t g3, ..., а во втором случае эмпирические значения
pi, Р2, Рз • ••, могли бы иметь либо поднормальную, либо нормальную,
либо сверхнормальную дисперсию.

Наконец, практически наиболее важный случай иррегулярной дис-
персии эмпирических явлений р указывает на наличие нерегулярной
дисперсии либо в эмпирических значениях вероятностей ръ р2, р3, ...
при любой, дисперсии значений gi, g2, g3, ..., либо на наличие иррегу-
лярной дисперсии у эмпирических значений glf g2, g3, ... при любой
дисперсии значений37 pi, р2, р3, ...

В огромном большинстве случаев наблюдение дает иррегулярную
дисперсию эмпирических значений как вероятностей рь р2, р3, ...,
так и вероятностей glf g2, g3, ... Тем больший интерес должен возбу-
дить такой случай, когда для значения р дисперсия оказывается ир-
регулярной, в лучшем случае сверхнормальной, тогда как после раз-
ложения материала на две группы для значения pi и р2 или по край-
ней мере для одной из этих вероятностей мы получаем нормальную

дисперсию.

Теперь обратимся к примеру. Входящие в него абсолютные числа
и большую часть расчетов я заимствую у Вестергорда38.

Речь идет о самоубийствах в Дании за период с 1861 по 1881 г.

и именно о доле повесившихся среди всех самоубийц. Обозначим число

самоубийц за один год через п, а через т — число повесившихся. Если

сложить все числа за все 21 год, то мы получим ^п — число всех про-
изошедших за это время самоубийств и ^jn — число повесившихся

за тот же промежуток времени. Если существует неизменная вероят-

ность р самоубийств через повешение, то =р' следует рассмат-

ривать как наиболее точное (какое позволяет сделать наш материал)
приближение к величине р39. Теперь дело за тем, чтобы исследовать,

37 Ср. Cournot, Grundlehren der Wahrscheinlichkeitsrechnung, S. 152.

88 «Grundziige der Theorie der Statistik», SS. 44—46.

39 Ср. стр. 61; более подробный разбор примененного здесь расчета будет
дан во второй части.
. можно ли колебания относительных чисел - от года к году объяс-

нить действием одних лишь случайных причин. Для этого мы вычис-
ляем ряд чисел /и' = пр', являющихся ожидаемыми числами повесив-
шихся за отдельные годы, находим разности ± т' ± т = а и, на-

конец вычисляем отношение у, где а всегда берется со знаком плюс,

a f означает среднюю ошибку, равную]/пр' (1 — р'). Средняя ошибка
будет для каждого года своя, потому что числа п для всех лет различ-
ны. Тогда теория покажет, какая доля этих отношений должна содер-
жаться в определенных пределах, если отклонения а по своей природе
случайны40. Результаты расчетов сведены в следующую таблицу* *:

а ~Т	Соответствующее число лет	
	теоретически	по наблюдениям
1	2	3
До 0,3	6	3
0,5	10	5
0,7	13	9
1,1	18	15
1,5	22	19
2,1	25	24

Из этой вычисленной мною таблицы можно сразу же усмотреть;
что данные наблюдений весьма заметно отклоняются от полученных
теоретически, и поэтому можно с почти полной достоверностью сделать
тот вывод, что колебания относительных чисел — не могут быть объяс-
нены одной лишь игрой случая, но вызываются также и тем, что лежа-
щая в их основе вероятность изменяется во времени. Имеется ли здесь
иррегулярная или сверхнормальная дисперсия? Этот вопрос можно
оставить пока открытым.

Дальнейшим шагом должно быть детальное обследование статисти-
ческого материала и раздельное исследование самоубийц в зависимости
от их пола.

Пусть gi будет вероятностью того, что самоубийство было совер-
шено мужчиной, a g2f что оно было совершено женщиной, и пусть pt
означает вероятность того, что мужчина покончил с собой, повесив-
шись, а р2 — такую же вероятность для женщины.

Отсюда мы получаем:

P = giPi +'gzPf

40 В книге Вестергорда (Westergaard, Grundziige der Theorie der
Statistik, S. 64) приведен ряд значений функции (см. S. 645, Anm. 3), которые она
а	*

принимает для х =	(т. е. то, что мы обозначаем через f, Вестергорд называет

И)-

* У Вестергорда не совсем так.— А. А. Ч.
Теперь нам надо исследовать стабильность как значений величин
gi и g2, так и значений величин и р2, рассматривая каждую из них
в отдельности41. То и другое сделал проф. Вестергорд ц результаты
его вычислений сведены в следующую таблицу:

а ~Г	Соответствующее число лет			
	теоретически	по наблюдениям при		
			£2		Pi	Рг
1	2	3	4	5
До 0,3	6	3	4	6
0,5	10	6	8	11
0,7	13	10	12	12
1,1	18	15	17	18
1,5	22	21	20	23
2,1	25	24	24	24

Если сопоставить числа третьей колонки с . числами второй, то
мы заметим немалое расхождение между теорией и наблюдениями42.
Напротив того, четвертая колонка и в еще большей степени пятая
согласуются со второй колонкой достаточно хорошо.

Найденная раньше иррегулярная дисперсия, свойственная отно-
шению числа повесившихся к общему числу самоубийц, может быть
довольно правдоподобно объяснена предположением, что в основе это-
го относительного числа лежат две различные, но постоянные вероят-
ности, относящиеся одна к лицам мужского, а другая — к лицам
женского пола43, тогда как распределение самоубийц по полу показы-

41 Приближенные значения этих вероятностей, полученные по данным за
все 26 лет, следующие: р = 0,769; р± = 0,829; р2 = 0,560; g± = 0,777; g2 = 0,223.

42 Проф. Вестергорд, по-видимому, не предъявляет к результатам своих
расчетов столь строгих требований, если он о численных рядах колонок 2 и 3 го-
ворит: «Действительные и рассчитанные числа довольно хорошо согласится
между собой» (S. 44). Ср. также Лексис в статье «Gesetz» в Handworterbuch der
Staatswissenschaften, Bd. Ill, S. 848, Koi. 2.

43 Собственно говоря, я склонен к тому, чтобы только для женщин (колон-
ка 5) признать нормальную дисперсию, тогда как числа (колонка 4), относящиеся
к мужчинам, меня не вполне удовлетворяют. Впрочем, эта оценка субъективна,
поскольку число рядов испытаний, как в данном случае, весьма незначительно.
К тому же известное значение имеет и то, как мы ограничиваем диапазон от-
клонений. Так, небольшое изменение в этом отношении могло бы привести к тому,
что числа, указанные в таблице на стр. 84, еще сильнее подчеркнули бы неудов-
летворительность гипотезы о постоянстве вероятности р. А именно, если в колон-
ке 1 вместо 1,1 поставить 1,0 и вместо 2,1 поставить 2,0, то число в колонке 2 от
этого не изменилось бы, тогда как в колонке 3 число 15 заменилось бы числом 13,
а число 24 — числом 23. Поэтому надо самым настоятельным образом рекомендо-
вать при подобных исследованиях применять прием, указанный Лексисом: сперва
рассчитать дисперсию по «комбинаторной», а затем по «физической» методике и
сравнить результаты между собой. Тогда мы получим единую числовую характе-
ристику, измеряющую расхождение между действительной дисперсией и нор-
мальной. Правда, метод Лексиса не может заменить тот метод, которым повсюду
пользуется Вестергорд, вследствие своей суммарности, и поэтому в еще меньшей
степени Лексис способен выяснить, с какой дисперсией в каждом данном случае
вает такие колебания от года к году, которые несовместимы с предпо-
ложением, что в основе и этих чисел лежит неизменяющаяся вероят-
ность, тем более что такое предположение не позволило бы объяснить
тот характер дисперсии, какой мы находим для относительных чисел,
охватывающих самоубийц обоих полов.

Из приведенного примера ясно видно, что разложение статисти-
ческой совокупности на частные совокупности может оказать сущест-
венную помощь при исследовании стабильности статистических от-
носительных чисел44-.

мы имеем дело — сверхнормальной или иррегулярной, так как решающая ха-
рактеристика в обоих случаях одна и та же. Поэтому можно посоветовать в до-
полнение к такой табличной сводке, как она встречается у Вестергорда, а также
и в других работах, вычислять отношение одной меры точности к другой или
одной средней ошибки («эффективной», т. е. по наблюденным отклонениям)
к другой («комбинаторный» прием, примененный Лексисом в § 43 его работы «Zur
Theorie...»). Если же при построении таблицы учтем изменяющееся число наблю-
дений, из которых выводится каждое число ряда, и тем самым возьмем за ос-
нову для каждого года его особую, ему присущую среднюю ошибку, то общую
среднюю ошибку по «комбинаторной» методике можно и не вычислять и тогда
весь расчет примет такую форму: вычислим квадраты отклонений, поделенных
на соответствующие им средние ошибки, т. е. найдем * сложим эти вели-
чины и их сумму разделим на число серий испытаний (в нашем случае на 26).
Из полученного частного извлечем корень квадратный. В конечном счете мы по-
лучили бы единицу или число, мало отличающееся от единицы, если дисперсия
была нормальной. При вероятности р (таблица на стр. 84) мы получим непра-
вильную дробь 1,25. Следовательно, эффективная средняя ошибка превышает
1	ж

ожидаемую на , иначе говоря, мера точности, исчисленная по «физической»

методике, относится к мере точности, исчисленной по «комбинаторной» методике,
как 5 : 4. Несмотря на то что разница между обеими мерами точности невелика,
едва ли допустимо признать дисперсию нормальной, потому что при уменьшении

а

отклонений j- в отношении 5 : 4 в таблице на стр. 84 мы получим для колон-
ки 3 числовой ряд: 8, 10, 16, 23, 26, из которогр можно заключить, что очень
большие отклонения, превышающие среднюю ошибку в 1х/2—2 раза, встречают-
ся действительно очень редко, зато для отклонений, меньших полуторной сред-
ней ошибки, нет желательного соотношения их частостей. Это можно выяснить

еще и следующим сопоставлением. Первая строка приведенной таблицы показы-
вает границы отклонений, поделенные на среднюю ошибку. Остальные строки
дают число лет, в которых фактическое отклонение не выходит за указанные
пределы. Вторая строка содержит числа, ожидаемые согласно теории, а числа
в строках третьей и четвертой — результаты наблюдений, причем в основу
третьей строки положены средние ошибки, вычисленные по «комбинаторной»
методике, а в четвертой строке — по «физической»:

1	0,0—0,4	0,4—0,8	0,8—1,2	1,2—1,6

2	8	7	5	3

3	4	5	7	6

4	5	7	6	5

1,6—2,0

1

3

1

44 Правда, основная задача разложения состоит не в этом: такой анализ
имеет гораздо более общее значение и здесь я должен защититься от направленных
против меня замечаний проф. Вестергорда (см. Jahrbiichern fur Nationaldkonomie
und Statistik, 3 Folge, Bd. VI, Heft 3, SS. 328—329), ибо никогда я не отрицал
важности операции разложения. Конечно, тематика моей работы «Mitt ere
Все же я полагаю, что дробление материала не представляет собой
такую универсальную операцию, как это утверждает проф. Вестер-
горд45, о чем уже говорилось выше.

В другом месте книги «Crundziige...» я наталкиваюсь на разбор
того же вопроса с таких позиций, которые, как мне кажется, стоят
в неразрешимом противоречии с только что изложенными мнениями
автора.

Вестергорд хочет приписать дроблению материала самым общим
образом то,свойство, что «оно несколько суживает действие случай-
ных причин»46, и разъясняет эту мысль на ряде примеров, из которых
я приведу один. Он в несколько видоизмененной форме воспроизводит
все тот же только что рассмотренный материал о самоубийствах через
повешение. «Среди 500 самоубийц, — пишет Вестергорд, — в среднем
имеется 100 женщин на 400 мужчин. Среди самоубийц мужского пола
вешаются обычно -g, среди женщин же следовательно, среднее число
повесившихся равно 380. Как велика вероятность того, что это чис-
ло в действительности окажется между 360 и 400?»47. Для того чтобы
решить этот вопрос, надо вычислить среднюю ошибку f и именно для
произведения пр, где

• P = glPl + giPi

И

4	12	3

— 5 ; gi — 5 > Pi — 5 • Pi — 5 >

а число наблюдений л = 500. Мы имеем / = )/пр(1—р) или
f = КбОО-^|.^ = ]/91,2. Но Вестергорд избрал иной путь: он вы-
числяет среднюю ошибку для мужчин, которым предстоит по-
веситься, и такой же показатель /2 для женщин по формулам:

]Лоо44=Г64 и /2=/10044 =/й.

Lebensdauer» давала мало поводов к тому, чтобы подчеркивать значение проблемы
разложения совокупностей. Однако см. Bericht fiber die Tatigkeit des statisti-
schen Seminars an der konigliche Universitat Wien im Wintersemester 1892—1893,
SS. 13—17.

46 Cp.: Westergaard, S. 46: «Если бы соотношение между самоубий-
цами мужского и женского пола не было из года в год почти неизменным, то мы
имели бы здесь весьма четкий пример, какую пользу можно извлечь из подроб-
ной разработки материала». В действительности об этом примере следовало бы
говорить не в сослагательном или условном наклонении, а в изъявительном,
именно вследствие или хотя бы отчасти вследствие того, что колебания относи-
тельных чисел между самоубийцами мужского и женского пола больше, чем те,
какие можно было бы ожидать от чисто случайных причин.

46 «Grundziige...», S. 78.

47 Etenda, SS. 80—81.
Для средней же ошибки повесившихся того и другого пола он, в кон-
це концов, вычисляет величину /' = К/? + /! = ]Л88. Но-разве та-
кой способ расчета, который всегда дает меньшую величину для сред-
ней ошибки48, соответствует поставленному вопросу? Это соответствие
было бы только в том случае, если бы gi и g2 были не вероятностями,
а постоянными числами. В действительности эти чиёла^ и g2 не только
не постоянны, но даже не имеют той стабильности, которая соответ-
ствует предположению неизменной вероятности. При формулировке
задачи Вестергорд сам называет данное соотношение «средним». По-
этому средняя ошибка /' = ]/88 присуща не действительному числу
повесившихся среди 500 самоубийц, а некоторому их числу, искусст-
венно рассчитанному для каждого года из соответствующих данному
году значений и р2 и из постоянных величин gi и g2*9.

Если, таким образом, статистическое относительное число возни-
кает в некоторой (общей) совокупности, которая допускает разложе-
ние на частные совокупности с различными относительными числами,
то Вестергорд усматривает в этом основание того, что соответствующее
относительное число общей совокупности обладает большей стабиль-
ностью, т. е. меньшей зависимостью от случайных причин, чем отно-
сительное число, не реагирующее на дробление совокупности.

Такое мнение, не вполне четко им выраженное и даже сталкиваю-
щееся с прямо ему противоположным, у других авторов встречается
в ясной формулировке.

Бертран50 высказывается, например, в том смысле, что в статисти-
ке вычисление мер точности неправомерно потому, что статистические
массовые явления можно приравнять к опытам со многими урнами,
которым соответствуют различные шансы появления белого шара,
но этот опыт он представляет себе в том виде, когда число извлечений
из отдельных урн устанавливается заранее. Но почему именно такая
схема представляется прообразом статистических явлений — это ос-
тается необоснованным.

48 В силу теоремы, приведенной на стр. 67.

49 Возможно, что Вестергорд в приведенном и в других схожих с ним при-
мерах брал не действительные числа событий, а на самом деле пользовался ис-
кусственно составленными числами. Однако я не нахожу в «Grundziige» явно
высказанного утверждения, что при вычислении средней ошибки можно не об-
ращать внимания на то, что рассматриваемая вероятность представляет собой
среднюю вероятность, в чем, как мы показали, и состоит то обобщение теоремы
Бернулли, которым мы обязаны Пуассону. В той части «Grundziige», в которой
излагается история статистики, Вестергорд (S. 253) замечает, что «теорема Бер-
нулли была обобщена Пуассоном на тот случай, когда две или несколько вероят-
ностей господствуют над другими», и ссылается при этом на S. 77 и след. Однако
на этой странице я нахожу лишь изложение примеров, которые, правда, соответ-
ствуют теореме, также доказанной Пуассоном («Recherches», № 112,7°, доказа-
на в № 94—95), но, однако, не той, которая есть обобщение теоремы Бернулли.
Строгое различение этих двух теорем, из которых последняя относится к сред-
ней вероятности в собственном смысле, а первая — к вероятности постоянного
состава, казалось, должно было бы быть обязательным в учебнике, предназна-
ченном для читателей, не обладающих большой математической подготовкой.

60 Bertrand, Calcul des probabilites, Chap. XII: les lois de la statistique.
Крис пытался дать такой точке зрения более глубокое обоснование51.

По его мнению, вычисление дисперсий имеет ту цель, что они дают
нам масштаб для оценки степени достоверности умозаключений, ко-
торые исходя из изменений в относительных числах делаются о по-
ведении «общих условий», от которых зависит исследуемое массовое
явление. При всем этом редко руководствуются представлением, что
эти «общие условия», если они остаются неизменными, обусловливают
всегда нормальную дисперсию. Однако это, как полагает Крис, совер-
шенно произвольное и во многих случаях абсолютно неправильное
предположение, как это можно усмотреть из следующего примера.

Если речь идет об общей преступности какого-либо населения и
если преступность измеряется отношением числа ежегодно совершае-
мых преступлений или закононарушений к общему числу подлежащего
уголовной ответственности населения (р), то, как думает Крис, при
неизменных во времени «общих условиях», определяющих преступ-
ность, колебания числовых значений вероятности р, как можно ожи-
дать, от года к году будут меньше тех, какие наблюдаются в сериях
извлечений из урны, наполненной белыми и черными шарами в от-
ношении р к (1 — р), если каждая такая серия состоит из п извлече-
ний. Такое ожидание Крис обосновывает тем, что преступность в раз-
ных слоях населения держится на одной и той же высоте, но разли-
чается в зависимости от пола, возраста, профессии и т. д. Те числовые
значения долей, которые эти группы по полу, возрасту, профессии и
так далее составляют во всем населении, подходят согласно Крису под
понятие «общие условия», о которых здесь идет речь, причем следует
рассматривать как их изменение те случаи, когда численность какой-
нибудь категории населения, составлявшей в одном году 10% насе-
ления, в следующем году упадет до 9,99% или поднимется до 10,01%.
Аналогичные представления Крис развивает и относительно смерт-
ности.

Таким образом, Крис совершенно так же, как Бертран, пытается
рассматривать статистические относительные числа по схеме средней
вероятности постоянного состава, и поэтому ожидаемая при постоян-
стве «общих условий» дисперсия ряда должна быть поднормальной.

И так как, с одной стороны, как Крис это правильно понимает, всем
статистическим относительным числам присущ характер средних
вероятностей, а с другой стороны, мы никогда точно не знаем, как скла-
дывается статистическая средняя вероятность из образующих ее
элементарных вероятностей, то согласно воззрениям Криса адекват-
ное определение дисперсии невозможно. Как необходимое следствие
из такого рассуждения вытекает и «общий отказ» от таких применений
теории вероятностей к статистическому материалу, которые ставят
себе целью намечать диапазон действия «случайных причин».

Единственное, что можно было бы противопоставить изложенным
суждениям, — это следующее: если мы предположим, что удалось
среднюю вероятность представить в таком виде: * 4

51 «Prinzipien», Кар. VI, § 8; Кар. IX, § 6—9.

4В о теории дисперсии

89
р = Т1Л1 + Тгя2 + ТзЛз- .

где	л2, л3, ... представляют собой элементарные вероятности,

то предположение, что для величин у2, у3, ... у некоторых рядов
наблюдений, например за некоторое число лет, числовые значения
окажутся неизменными — а в этом согласно Крису и выражается не-
изменность «общих условий», — такое допущение будет таким же'не-
вероятным и противоречащим имеющемуся опыту, как, например,
предположение, что эмпирические значения ль л2, л3, ... от одного
ряда наблюдений к другому остаются постоянными. Ибо разложение
средних вероятностей более высоких порядков на средние вероятности
более низких порядков до сих пор не приводило к подобным резуль-
татам относительно gi, g2, g^ ••• Вместе с этим и вопрос о постоянстве
«общих условий» был бы раз навсегда решен в отрицательном смысле,
и всякое, с точки зрения Криса, исследование колеблемости, которой
подлежат статистические относительные числа во времени, сделалось
бы не только невозможным, как утверждает и Крис, но и бес-
предметным.

Другое, что можно противопоставить этому воззрению, это то,
что такая точка зрения совершенно неприменима к одной многочислен-
ной группе статистических относительных чисел. Я имею в виду числа,
выражающие не интенсивность возникновения определенных явле-
ний, а частости, с которыми встречаются определенные признаки, на-
блюдаемые у единиц, составляющих статистическую совокупность,
например относительное число мертворожденных среди всех рождаю-
щихся, относительное число умерших от определенной причины среди
общего числа умерших, относительное число преступлений какого-
либо вида к общему числу всех преступлений и т. д. Отсутствие равно-
возможности отдельных случаев в приведенных и им подобных при-
мерах выражается в том, что дробления одной и той же совокупности
в различных направлениях оказываются взаимно влияющими на уро-
вень относительных чисел; например, при разделении новорожден-
ных, с одной стороны, на живо- и мертворожденных, а с другой сто-
роны, на законнорожденных и внебрачных показывают, что среди
внебрачных сравнительно больше мертворожденных, чем среди закон-
норожденных*. Мы в полном праве рассматривать большую или мень-
шую долю внебрачных рождений как одно из «общих условий», влияю-
щих на распределение новорожденных на живо- и мертворожденных,
или, говоря общее, из двух разложений основной совокупности мы
можем одно принять за условие, воздействующее на другое. Если мы
хотим найти числовую характеристику для разложения по признаку,
отнесенному к «общим условиям», то нельзя, как это делает Крис, этой
количественной характеристикой считать числа, непосредственно
данные наблюдением, тогда как аналогичные числа другого разложе-
ния (обусловленные) рассматривать как подверженные случайным
искажениям. Это оказалось бы в высшей степени непоследовательным

* Ср.: Cournot, S. 287.— А. А. Ч.
вследствие связи тех причинных комплексов, которые положены
в основу обоих разложений. Примеры таких взаимных* связей при-
чинных комплексов привести было бы нетрудно.

Если при рассмотрении статистических относительных чисел толь-
ко что описанного нами вида те положения, которые в воззрениях
Криса представляются натяжкой, становятся более отчетливыми, чем
в примерах с показателем преступности или смертности или какого-
либо иного показателя интенсивности наступления явления, то это,
как нам кажется, основано на том побочном различии, что там оба
рассматриваемых отношения вытекают из двух параллельных, может
быть, даже перекрещивающихся рядов явлений, осуществляющихся
как бы в одних и тех же случаях, тогда как здесь совокупность живу-
щих людей дается нам в определенном расчленении раньше, чем ряд
преступных деяний, или смертей, или каких-либо иных событий нач-
нет осуществляться.

Некоторую аналогию к этому виду статистических явлений дает
нам уже приводившийся пример Пуассона с урнами (стр. 70 и сл.),
где сперва из системы урн С2, С3, ... образуется система В4, В2,
B3l ..., а затем производятся извлечения. Урновые системы Blf В2,
В3, ..., Bi, В2, В3, ..., Вь В2, В3, ..., которыми пользуются для от-
дельных рядов'извлечений, соответствуют совокупностям живых лю-
дей, существующих в отдельные годы или иные отрезки времени.
Но таким сравнением я затрагиваю одно обстоятельство, которое сле-
дует считать весьма существенным для всего вопроса. Если в примере
Пуассона отдельные системы В урн в отношении их набора из С урн
совсем независимы друг от друга, то этого нельзя сказать о совокуп-
ностях живущих людей, которые относятся к двум соседним годам,
так как обе эти совокупности состоят в большей своей части из одних
и тех же лиц* 52. Поэтому массовый объект статистического исследова-
ния можно было бы скорее приравнять к такой постановке опыта,
когда система Вн В2, В3, ... набирается не непосредственно и целиком
из системы Ci, С2, С3, ..., а из предшествующей системы Вь В2, В3, ...
и притом таким образом, что путем жеребьевки часть урн из пред-
шествующей системы (Вь В2, В3, ...) удаляется и заменяется таким же
числом заново взятых наугад урн из системы С2, С3, .... Таким же
путем составляются и дальнейшие урновые наборы В\, В'2, В3, ... из
урновой системы Вь В2, В3, ... и т. д.

Ясно, что опыт, поставленный по описанным правилам, приведет
к поднормальной дисперсии. Для того чтобы и в интересующей нас
статистической совокупности дисперсия оказалась меньше нормальной,
нужно, конечно, чтобы соблюдались некоторые условия относительно
людей, вступающих и выбывающих за известный промежуток времени
в данную и из данной совокупности живущих, но я не хочу здесь оста-
навливаться на более подробном рассмотрении этих условий. Все же

* Ср.: Cournot, 207.— А. А. Ч.

52 Lexis, Zur Theorie..., § 22.
эти условия с полным правом можно было бы отнести к «общим усло-
виям» изучаемого явления. В одном только отношении наша схема
не вполне аналогична реальным событиям: в ней не находит отражения,
что одно и то же лицо в разные годы может переходить из одной груп-
пы в другую или, другими словами, что присущий данному лицу шанс
может измениться. Всего яснее это обстоятельство сказывается на
группировке по возрасту.

Несмотря на это, надо признать, что частичное совпадение ста-
тистических совокупностей в разные годы- в отношении их состава
может затруднить исследование дисперсии и занизить ожидаемую ве-
личину ее.

С другой стороны, ясно, что отсутствие независимости отдельных
членов статистического ряда, или, выражаясь языком теории вероят-
ностей, отсутствие независимости в сериях испытаний, не имеет
значения там, где исследуемая вероятность элементарна. Ибо если бы
шанс совершить преступление был для всех людей одинаковым, то
было бы совершенно безразлично, из каких лиц составлены рассмат-
риваемые совокупности в отдельные годы.

Так, я окольным путем прихожу к частичному согласию с Крисом,
который при отсутствии равенства шансов полагает, что следует ожи-
дать поднормальную дисперсию, т. е. более высокую меру точности.
Я же утверждаю:

1)	влияние, оказываемое неодинаковостью шансов на то, как скла-
дывается ожидаемая дисперсия, не непосредственно, но проявляется
лишь в предположении отсутствия независимости рядов испытаний*63;

2)	на основании сказанного в пункте 1 указанное влияние не имеет
места для значительного класса статистических относительных чисел;

3)	по тем же соображениям отсутствие равенства шансов для от-
дельных случаев никаких осложнений не вносит там, где мера диспер-
сии вычисляется для ориентировки при сравнениях одной страны с дру-
гой или одной группы населения с другой, ей современной;

4)	тот путь, которым Крис пытается обосновать частично призна-
ваемое мною соотношение между отсутствием равенства шансов и под-
нормальной дисперсией, по моему мнению, ошибочен, так как имеются
все основания считать, что характеризующие распределение коэф-
фициенты (gi, g2, £з, ••• или у1, у2> Тз, •••) не могут быть ничем иным,
как только приближенными значениями вероятностей.

Во-первых, по-видимому, и сам Крис допускает возможность мне-
ний, противоположных тем, которых он сам придерживается. Но он
отвергает их, потому что «едва ли возможно назвать постоянными» те * * * §

* Это-то, в сущности, признает и Крис.— А. А. Ч.

68 Сходным образом отсутствие равенства шансов для отдельных случаев
или тот факт, что рассматриваемая вероятность представляет собой среднюю веро-
ятность, затрудняет, как всем известно, вычисление вероятностей сложных собы-
тий известного рода. Это было правильно понято Пуассоном (Recherches, SS 149—

150), хотя в специальной части его книги это не было принято во внимание
в должной мере. См.: Laplace, Theorie analytique des probabilites. Livre II,
Chap. VII, SS. 186—187. Ср.: К г i e s, Prinzipien, Кар. IV, § 8 und Кар. IX,

§ 8, SS. 242—244.
«более далекие «общие условия», постоянство которых в только что ука-
занных коэффициентах распределения «еще может претерпеть случай-
ные отклонения»64.

В противовес этому следует указать на то, что во многих случаях
теоретические вероятности соответствующих коэффициентов распреде-
ления — а их-то Крис и не признает — могут быть представлены как
аналитические функции других вероятностей, роль которых Крис сам
не видит оснований не признавать.

Во-вторых, «определенное перечисление описанных «общих усло-
вий», лежащих в основе какой-либо вероятности, в статистике вообще
невозможно. Здесь всегда приходится считаться с гипотетическими и
по большей части смутными представлениями, и в этом отношении
между отдельными случаями имеются лишь относительные различия.
Признавая это, я отнюдь не хочу отрицать, что для коэффициентов
распределения (gi, g2, £з, •••) и для соответствующих им теоретических
вероятностей (уь у2, Тз» •••), вообще говоря, обстоятельства склады-
ваются менее благоприятно, чем для относительных чисел другого
вида.

Впрочем, мы поддаемся самообману, если полагаем, что от поведе-
ния статистических чисел можно непосредственно умозаключать к по-
ведению относящихся к ним «общих условий». В действительности
выводы делаются относительно соответствующих теоретических ве-
роятностей. Однако ясно, что поведение последних отнюдь не должно
всегда совпадать с поведением лежащих в их основании «общих усло-
вий»: последние могут претерпеть существенные изменения, которые
могут совершенно не отразиться на числовых значениях первых.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ

Другое обстоятельство, которому наряду с отсутствием равенства
шансов для отдельных случаев приписывают искажающее влияние на
отклонение стабильности от нормальной, состоит в отсутствии неза-
висимости между отдельными случаями. Это обстоятельство мы разъ-
ясним лишь кратко* *.

В соответствии с основной точкой зрения теории вероятностей для
осуществления или неосуществления какого-либо события, о вероят-
ности которого идет речь, решающими признаются некоторые обстоя-
тельства в качестве «основных», другие же — в качестве «случайных
причин».

Допустим, что случаи, образующие серию испытаний, следуют один
за другим; условие взаимной их независимости будет нарушено тогда,
когда исход предшествующего испытания войдет в состав «общих

64 «Prinzipien», S. 238, ср., однако, 234 (внизу) и 235 (наверху).

* Надо помнить, что цель вычислений коэффициентов дивергенции (Praci-
sionsberechnungen) в большинстве случаев именно в доказательстве отсутствия
независимости (mangelnde Unabhangigkeit). — A. A. V.J(=существование взаимо-
зависимости. — Прим, перев.)
условий», от которых зависит исход последующего испытания*.
Если,'например, имеется в виду ряд извлечений из урны, первоначаль-
но (т. е. до всяких испытаний) наполненной белыми и черными шарами
в известной пропорции, и если вынутый шар обратно в урну не воз-
вращается, то, очевидно, пропорции хйаров в урне будут изменяться
от испытания к испытанию в зависимости от исхода всех предшество-
вавших испытаний. Ясно, что к результатам так поставленного опыта
формула стабилизации Пуассона не применима, потому что соответст-
вующие вероятности, представляющиеся нам как характеристики со-
става шаров в урне, претерпевают изменения.

Массовые явления, составляющие предмет статистического ис-
следования, вряд ли могут рассматриваться по аналогии с таким не-
посредственным воздействием на общие условия, от которых зависят
исходы испытаний. Гораздо интереснее и важнее для вероятностного
исследования статистических явлений тот случай, когда отсутствие
независимости отдельных испытаний выражается в том, что существуют
конкретные обстоятельства или совокупности обстоятельств, яв-
ляющиеся общими для тех комплексов случайных причин, которыми
определяются исходы отдельных испытаний.

Вспомним опыт с урнами, принадлежащий Пуассону. В нем пред-
полагается система, состоящая из урн СЛ, С2, С3, ..., С\>, наполнен-
ных в разных пропорциях белыми и черными шарами, так что вероят-
ность извлечь белый шар из урны С\ равна из урны С2 равна с2, ...,
из урны Cv равна cv. Если опыт поставить так, чтобы при каждом
испытании намечалась по жребию урна, из которой надлежит сделать
извлечение, причем для каждой урны вероятность оказаться отобран-

1

нои для испытания равна —, то величина

С1 + С2 + ••• +

дает наиболее вероятную величину отношения числа белых шаров
к общему числу извлеченных; и при некотором числе серий следует
для них ожидать нормальную дисперсию. Отношение общего числа
белых шаров к общему числу всех шаров, находящихся во всех урнах,
входит при этом в состав «общих условий» опыта, тогда как то обстоя-
тельство, что для каждого отдельного извлечения пользуются той или
иной определенной урной, должно быть включено в комплекс случай-
ных причин. А так как при каждом отдельном испытании урна для
него назначается заново и притом независимо от того, какими урнами
мы пользовались для предшествующих извлечений, то тем самым в дан-
ном варианте опыта, соответствующем схеме Пуассона, обеспечивается
взаимонезависимость отдельных испытаний.

Если изменить эту установку в том, например, отношении, что
взятая при первом испытании по жребию урна сохраняется для всех

* Надо иначе формулировать, чтобы не связывалось представление об
общих условиях единичного случая с примыкающей к нему концепцией равенства
шансов (Chancengleichheit).— Л. Л. Ч.
испытаний, составляющих серию, то в таком случае это обстоятельство
(т. е. извлечение шара из одной определенной урны) еще может счи-
таться случайным, однако все извлечения, входящие в одну серию,
уже не будут взаимно независимыми, так как в число факторов, опре-
деляющих исходы отдельных испытаний, составляющих серию, вклю-
чается конкретно определенное обстоятельство, состоящее в том, что
испытания проводятся из одной и той же урны, назначенной по жре-
бию. Отсюда ясно, что ожидаемая дисперсия в первую очередь будет
зависеть от того, каким образом средняя вероятность у составлена из
частных вероятностей clf c2i с3, ..., cv. Ибо если отвлечься от действия
других случайных причин или — что этому равносильно — если пред-
ставить себе, что каждая серия состоит из бесчисленного числа испы-
таний, то полученные величины у', у", у'", ..., выражающие отноше-
ние извлеченных белых шаров к общему числу извлеченных во всем
ряде серий, будут зависеть лишь от значений с2, с3, ..., cv, повторяю-
щихся согласно ожиданию одинаково часто (поскольку мы положили,
что вероятность быть назначенной по жребию для всех урн одинакова
ь

и равна - .

От примера с урнами перейдем теперь к общим рассуждениям,
в которых речь пойдет о вероятности наступления некоторого собы-
тия Е. Общие условия опять предполагаются такими, что они обуслов-
ливают величину этой вероятности р (соответствующей величине у
в случае с урнами).

Среди факторов, действие которых на осуществление события Е
представляется нам как действие случайных причин, я различаю два
вида: с одной стороны, факторы, действующие раздельно в каждом
случае или в каждом отдельном испытании, ведут себя так, как если
бы они были взаимно независимыми, а с другой — факторы, дейст-
вующие солидарно, захватывают каждый раз целый ряд отдельных ис-
пытаний*, осуществляющихся одновременно**.

Если отдельные случаи расположены в их последовательности
во времени, так что члены статистического ряда, рассеяние которых
исследуется, соответствуют последовательно расположенным отрез-
кам времени, то я принимаю для простоты, что солидарно действующие
факторы ограничены в своем действии одним отрезком времени, ина-
че сказать, ограничены пределами одной серии испытаний (наблюде-
ний), так что действие этих факторов меняется лишь от серии к серии.
Кроме того, я предполагаю взаимную независимость серий одной от
другой: комплексы причин, определяющие конкретно действие фак-
торов в пределах каждой серии, не должны иметь общих элементов,
т. е. действие какого-либо фактора в пределах одной серии наблюдений
не должно влиять на действие другого подобного же фактора (а также
и остальных факторов) в последующих сериях наблюдений. Этим огра-
ничительным условием я исключаю из рассмотрения факторы, изме-
няющиеся периодически.

* Эти термины могут вызывать некоторое недоразумение.— А. А. Ч.

** К чему так суживать (?).— А. А. Ч.
Каждый из описанных факторов того или другого рода может
проявляться по-разному и каждый вид его проявления имеет опреде-
ленную вероятность. Совокупность этих вероятностей образует ве-
роятностный закон причин.

Влияние, оказываемое каким-либо фактором на вероятность на-
ступления некоторого события Е, зависит от того, как сочетаются част-
ные вероятности разных видов проявления фактора в общую вероят-
ность события Е. Условимся называть действием какого-либо способа
проявления фактора ту разность, на которую значение частной вероят-
ности данного вида проявления фактора отклоняется от величины об-
щей вероятности события Е. Тогда, расположив эти разности в поряд-
ке их величины, мы получим вероятностный закон действий фактора.

И для нескольких совместно действующих факторов можно по-
строить такой закон действия, который обобщит законы, присущие раз-
ным факторам, и покажет вероятности количественно определенных
действий, из которых каждое соответствует определенному сочетанию
способов проявления всех охваченных исследованием факторов. Осо-
бенное значение для нас имеют те законы действия, которые возни-
кают, когда все факторы действуют солидарно** 55.

Такой закон, если только участвующие факторы действуют солидар-
но, становится, по существу, господствующим над ожидаемой диспер-
сией, т. е. такой дисперсией, которая установилась бы, если бы «основ-
ные условия» явления сделались постоянными. Дисперсия даже с пол-
ной точностью пришла бы в соответствие с указанным вероятностным
законом, если бы каждая серия состояла из бесконечного числа испы-
таний. Если же последнего нет, то количества отдельных испытаний,
составляющих серию, участвуют в установлении ожидаемой дисперсии.
С одной стороны, чем многочисленнее испытания, лежащие в основе
каждого члена исследуемого статистического ряда, а с другой стороны,
чем сильнее действия, измеряемые величиной отклонений частных ве-
роятностей от общей вероятности, комплекса солидарно действующих
факторов, тем точнее общая ожидаемая дисперсия отразит в себе вероят-
ностный закон действия этих факторов.

Таким образом, если при вероятности р этот закон показывает, что
отклонениям аь а2, а3, ... присущи вероятности Рь Р2, Рз, •••» причем

* Ср.: Cournot, стр. 188—190, 207.— А. А. Ч.

55 Если объединить все без исключения факторы, как согласно, так и разоб-
щенно действующие, то мы пришли бы к общему вероятностному закону действий,
который совпал бы с исследуемой вероятностью р. Ибо такой закон утверждал бы,
что отклонение (действие) 1 — р (соответствующее осуществлению события Е)
следует ожидать с вероятностью р, а отклонение 0 — р (соответствующее не осу-
ществлению события Е) — с вероятностью 1 — р. Правда, такое утверждение
справедливо лишь в том случае, если принять, что определенная комбинация
способов действия всех данных факторов с необходимостью вызывает или осущест-
вление, или не осуществление события Е. Ср.: К г. i е s, Ueber den Begriff
der objektiven Moglichkeit und einige Anwendungen desselben.— Vierteljahrsschrift
fur wissenschaftliche Philosophic, Bd. 12, S. 180. Другого мнения держится Дж. Вен
(John Venn, The Logic of Chance, 2. ed., London, 1876, Chap. IX, § 15, § 20,
S. 475, Anmerkung).
Л+^2+Рз + ... = 1

И

Р1а1 + Р2а2 + Р3а3 +... =0, .

то можно ожидать, что исследуемый статистический ряд примет такой
вид: при ограниченном, но не слишком малом числе испытаний в каж-
дой серии числовые величины р + р + а2, р + а3, ... или такие,
которые от них незначительно отличаются, будут повторяться в бес-
порядочной последовательности, но каждая из них с частостью, близ-
кой к соответствующим вероятностям Р2, Рз, •••

Здесь мы должны отказаться от более обстоятельной математи-
ческой разработки этой проблемы: речь идет о том, чтобы показать,,
как своеобразно сочетается действие солидарных факторов с действием
разобщенных факторов и как это сочетание приводит к определенному
виду дисперсии, соответствующему постоянству «общих условий»
явления.

Именно этой стороне проблемы Лексис в своей работе «О теории-
стабильности статистических рядов» посвятил интересный разбор,
к которому я и могу отослать читателя*. Здесь следует подчеркнуть
лишь то, что понятно почти без доказательств, а именно, что в тех слу-
чаях, где участвуют согласно действующие факторы, никогда не сле-
дует ожидать нормальной дисперсии — дисперсия всегда окажется
иррегулярной или сверхнормальной, причем последняя бывает тогда,
когда вероятностный закон действия, присущий комплексу солидарно
действующих факторов, имеет форму так называемого математического
закона ошибок (закона Гаусса) в предположении, что способ действия
этих факторов меняется лишь от серии к серии.

Если мы назвали иррегулярной такую дисперсию, которая не яв-
ляется ни нормальной, ни поднормальной, ни сверхнормальной, то
теперь нам следует различить, с одной стороны, те случаи, когда дис-
персия иррегулярна в абсолютном смысле, т. е. ее нельзя подвести
ни под какую норму, отражающую какой-либо вероятностный закон,
а с другой стороны, такие случаи, когда в иррегулярной дисперсии про-
является если не закон Гаусса, то все же какой-нибудь иной определен-
ный вероятностный закон. Случаи первого рода следовало бы назвать
абсолютно иррегулярной (аномальной) дисперсией, тогда как случаи
второй категории — относительно иррегулярной (но все же не аномаль-
ной) дисперсией. В случаях последней категории можно было бы раз-
личать симметричные и асимметричные дисперсии, смотря по тому,
содержит ли вероятностный закон, которому соответствует комплекс
солидарно действующих факторов, всюду одинаковые вероятности
для положительных и отрицательных действий, по абсолютному зна-
чению, или же это условие не соблюдено56. Само собой разумеется, что»

* Указанная статья включена в данный сборник.— Прим, перев.

>6 Сравните положение Лексиса (Zur Theorie der Massenerscheinungen, S. 31):
«Впрочем, нужно иметь в виду, что во многих, пожалуй, даже в большинстве
случаев такие относительные числа, которые можно считать приближенными
значениями абсолютных или относительных вероятностей, при пристальном рас-
ожидаемая, т. е. соответствующая постоянству «общих условий»,
дисперсия всегда окажется иррегулярной в относительном, а отнюдь
не в абсолютном смысле.

Было бы нетрудно придумать примеры на иррегулярную диспер-
сию. Труднее, однако, в каком-либо данном случае показать, что в нем
действительно проявляется иррегулярная дисперсия, и именно отно-
сительно иррегулярная, а не какая-нибудь аномальная. Для этого
нужно прежде всего убедиться в том, что отдельным числам, образую-
щим статистический ряд, не присуща тенденция к повышению или сни-
жению. Если такую тенденцию удалось выявить способом наимень-
ших квадратов или, проще, методом разбивки всего ряда на части —
с тем, однако, чтобы каждая часть содержала в себе не слишком малое
число членов ряда, — то этого еще недостаточно для того, чтобы при-
знать наличие некоторой лежащей в основе всего ряда вероятности.
Необходимо еще выяснить тот закон распределения (норму), которому
следуют отклонения: если такого закона не существует, тот факт,
что исследуемое относительное число в течение нескольких лет дер-
жится на одном и том же примерно уровне, следует рассматривать как
дело случая и поэтому в особенности нельзя опираться на накопленный
опыт для предсказаний на будущее время.

Правда, можно представить себе и такие случаи, когда комплексу
солидарно действующих факторов присущ такой вероятностный закон,
который сравнительно легко может быть установлен на имеющемся
материале. Это произошло бы, например, в том случае, если бы мы
имели один-единственный фактор такого рода, обладающий проявле-
ниями немногих, положим лишь двух, видов, каждый из которых
производил бы достаточно большое, легко доступное наблюдению
действие. Представим себе гипотетический случай смертности, вели-
чина которой сильно возрастает в те годы, когда свирепствует холера,
а затем сильно снижается в годы без эпидемий. Все остальные влияю-
щие на смертность факторы, действие которых проявляется в виде
случайных причин, мыг будем представлять себе как действующие раз-
розненно. В таком случае надо было бы разбить весь ряд на две части:
одну, состоящую из холерных лет, и другую — из тех лет, когда эпи-
демий не было. После этого надо было бы для каждого частного ряда
вычислить его специфическую вероятность, а с помощью последней
также и его специфическую ожидаемую дисперсию, которую и сравни-

-смотрении не могут претендовать на подобное свойство. Если, например, за до-
статочно длинный ряд лет такое соотношение показывает лишь незначительные
колебания, то все же нельзя считать себя вправе сводить все эти числа к матема-
тической вероятности, обусловленной общими обстоятельствами и возможностя-
ми, если более значительные отклонения от средней преобладают над меньшими
отклонениями — в таких случаях мы имеем только чисто эмпирическое постоян-
ство наблюденных относительных чисел, которое не имеет к исчислению вероят-
ностей никакого определенного отношения»; Это положение, по-моему, нельзя
признать безусловно правильным, потому что в случаях относительно иррегу-
лярной дисперси-и легко может оказаться, что отклонения большей величины
будут встречаться чаще отклонений меньшей величины. И несмотря на это, в ос-
нове членов статистического ряда могли бы лежать общие им всем вероятности, и
отношение этих чисел к исчислению вероятностей было бы вполне определенным.
вать с фактической дисперсией. Наконец, надо было бы также исследо-

вать, не возрастает ли или не снижается ли частость вспышек эпиде-
мий. Если бы последнего не оказалось и если бы, кроме того, для обоих
частных рядов выявилась бы нормальная дисперсия, то можно было
бы сделать вывод о постоянстве «общих условий» изменчивости.

Но обычно имеем мы значительное число солидарно действующих
факторов, проявляющихся совместно и допускающих по несколько ва-

риантов своего проявления, вследствие чего все построение значительно
усложняется. Остается лишь разбить весь статистический ряд на от-
дельные части, но так, чтобы каждый частный ряд все же охватывал
достаточно большое число лет, и посмотреть достаточно ли сходно меж-
ду собой складываются условия дисперсии в отдельных частях и по
сравнению с дисперсией всего ряда в целом, настолько ли все сходно,
чтобы можно было умозаключить о существовании одной определен-
ной нормы колеблемости. Но для такого исследования нужны столь
длинные ряды наблюдений, какие редко встречаются в реальном мате-

риале опытов.

Более простая задача возникает тогда, когда требуется установить
наличие сверхнормальной дисперсии. При этом обычно идут таким
путем: сперва вычисляют разности между членами ряда и средней,
рассчитанной по всему ряду; затем складывают квадраты этих разно-

стей, получая сумму, которую мы обозначим через 2г- Если ряд со-

стоит из X членов, то составим

и, подставляя Ло

вместо h в формулу57 Fu, получим определенную теоретическую
дисперсию, которая сопоставляется с эмпирической дисперсией. Если
при этом окажется удовлетворительное согласие обеих диспе сий и
если выполняется условие58 й0<А, то говорят, что дисперсия сверх-

нормальная, и принимают, что в основании всего ряда лежит одна оп-
ределенная вероятность, другими словами — постоянный комплекс
«общих условий».

С первого взгляда представляется недопустимым, что исследуемый
ряд не разбивается предварительно на частные ряды и что соответст-
вующая последним и вытекающая из’опыта дисперсия не сопоставляют-
ся с теоретической дисперсией, устанавливаемой для всего ряда в це-
лом. Можно было бы подкрепить это возражение следующим соображе-
нием: ведь отдельные члены ряда всегда должны как-то группировать-
ся около средней, и это имело бы место даже в том случае, если бы дис-
персия была, вообще говоря, аномальной (абсолютно иррегулярной).
Допустимо ли, имея это в виду, на основании того факта, что найден-
ная группировка отклонений имеет вид закона ошибок Гаусса (а боль-
шего статистические числа сказать не могут), утверждать без даль-
нейшего исследования, что в данном случае этот результат возник под
действием разрозненных и солидарно действующих причин при по-
стоянстве «общих условий»?

57 См. часть первую, стр. 59.

58 См. часть первую, стр. 62.
Объяснить описанную и лишь по видимости недопустимую методи-
ку можно тем, что a priori имеется высокая (хотя численно и неопреде-
лимая) вероятность, что вероятностный закон, соответствующий ком-
плексу солидарно действующих факторов (а следовательно, и норма
отклонений, вызываемых совместным действием солидарно и разроз-
ненно действующих факторов)69, должен подчиняться формуле Гаусса*.

Представим себе .следующее:

1)	в состав общего причинного комплекса входит значительное
число солидарно действующих факторов, причем каждому из них со-
ответствует симметричный закон действия;

2)	эти факторы воздействуют на явления независимо друг от друга,
т. е. так, что шансы на определенный образ действия какого-либо
одного фактора не зависит от одновременного поведения остальных
факторов; кроме этого, мы предполагаем, что действия различных
факторов аддитивны;

3)	действия отдельных факторов не слишком сильно разнятся меж-
ду собой, иными словами — ни один определенный фактор не господ-
ствует над остальными.

При таких предположениях общий результат действий всех комп-
лексов солидарных факторов выразится в вероятностном законе дейст-
вий, который, хотя бы приближенно, подчинится формуле Гаусса неза-
висимо от того, будут ли частные вероятностные законы, обусловлен-
ные отдельными факторами, со своей стороны, подчиняться закону
Гаусса60.

До сих пор мы исходили из предположения, что солидарно дейст-
вующие факторы изменяются лишь при переходе от серии к серии и,
кроме того, что последующие серии ведут себя независимо в отношении
образа действия указанных факторов. Но статистические наблюдения
обычно отклоняются от этой схемы как в том, так и в другом
отношении.

И тогда легко усмотреть, что при невыполнении первого предполо-
жения, когда солидарно действующие факторы уже внутри серии из-
меняют образ своего поведения, можно ожидать, что дисперсия будет
еще ближе соответствовать закону Гаусса. Если бы, например, серия
состояла из п наблюдений, а поведение солидарно действующих фак-
торов оставалось постоянным не для всех п наблюдений, а лишь для k,
то при условии, что j достаточно велико, ожидаемая дисперсия все же * * * * §

69 Строго говоря, надо допустить, что число случаев в каждой серии наблю-
дений одинаково.

* О подобных случаях, в которых еще до реализации событий в опыте су-

ществующее относительно них ожидание влияет на их осуществление. Ср.: Co-

urnot, Exposition de la theorie des chances et des probabilites, Paris, 1843,

§ 102, НО и след.— A. A. 4.

60 Аналогичные взгляды высказывает Кетле в его «Lettres sur la theorie
des probabilites». Cp.: Lexis, Anthropologie und Anthropometrie, § 9, Hand-
worterbuch der Staatswissenschaften, Bd. I (данные касательно литературы у Weins-
tein’a.— A. A. 4.).
была бы сверхнормальной, если даже ни одного из указанных в пунк-
тах 1, 2 и 3 предположений не осуществлялось.

Что касается невыполнения второго предположения, а именно взаи-
монезависимости серий наблюдений, то это действительно сильно ме-
шает осуществлению нормального распределения; однако его влияние
можно значительно ослабить целесообразным выбором тех отрезков
времени, к которым относятся отдельные члены статистического ряда61.

Случай, когда статистический ряд показывает сверхнормальную
дисперсию, еще тем интересен, что он дает простую применимую к мас-
совым явлениям меру для измерения степени солидарности, характе-
ризуя проявление в ней случайных причин. Если каждый член стати-
стического ряда получается из п наблюдений, и выяснена для всего ряда
мера точности й0, то можно поставить вопрос, как велико должно быть
число отдельных наблюдений, чтобы полученную колеблемость можно
было бы принять за вызванную одними взаимонезависимыми факто-
рами, или, говоря другими словами, при каком числе наблюдений фак-
тически полученную дисперсию можно было бы признать нормальной.
Пусть это предположительное число наблюдений будет х, а р — вероят-
ность, лежащая в основании ряда. Кроме того, положим q = 1 — р.
Тогда получается Ло = д/Но так как существует соотношение62
j/"= Л, то мы приходим, в конце концов, к формуле

п _му

X ~ ^о/

Отношение же-^- = s должно рассматриваться как мера солидарности,
так как оно показывает, что с точки зрения солидарности действия
случайных причин s факторов ведут себя так, как в условиях полной
независимости отдельных наблюдений повел бы себя один фактор63.
Таким образом, степень солидарности выражалась бы квадратом от-
ношений двух мер точности, из которых одна вычислена по «комбина-
торной» методике, а другая — по «физической»64.

61 См.: Cournot, op. cit., стр. 204—205. Этот автор вообще превосходно
разработал вопрос о солидарности отдельных случаев (в особенности в гл. IX,
§ 100 и 117—119) и также сделал из этого правильные выводы для статистики.

62 См. первую часть, стр. 60.

63 Однако при этом, если принять предпосылку, что в каждых k наблюдениях

солидарно действующие факторы остаются постоянными, должно иметь место
неравенство s < k. Равенство s = k было бы справедливым только в том случае,
если бы результаты k наблюдений, находящихся под действием всех факторов

(следовательно, и тех, которые действуют изолированно на отдельные наблюде-
ния), совпадали бы, или, говоря другими словами, если бы наряду с солидарными
факторами не было бы никаких разрозненно действующих факторов, влияние ко-
торых сказывалось бы по-разному на отдельных случаях.

h

64 Отношение Дормуа (Dormoy) назвал «коэффициентом дивергенции».

Согласно Лексису («О теории стабильности статистических рядов») этому отноше-
нию придан более широкий смысл, чем тот, на который обращено внимание в на-
Согласно сказанному поведение массового явления в отношении
взаимонезависимости случаев, лежащих в основании каждого члена
ряда, оказывается важной характеристикой при исследовании стати-
стических данных с позиций теории вероятностей.

Но, как мне кажется, мы зашли бы слишком далеко, если бы, сле-
дуя за Крисом, из этой правильной мысли сделали тот вывод, что при
отсутствии независимости отдельных случаев в статистике вообще нель-
зя определить меру точности65.

К этому скептическому суждению Крис пришел исходя из того со-
ображения, что в том именно случае, когда нет взаимонезависимости
между отдельными наблюдениями, становится произвольным понима-
ние «общих условий», а поэтому и заключение об их постоянстве или
изменчивости будут лишены всякой определенности.

Конечно, это зависит от нашего усмотрения, включать ли определен-
ный образ действия солидарных факторов в «общие условия» явления
или не включать, так, например, в приведенном на стр. 98 примере
рассматривать ли факт, что в данном году разразилась эпидемия хо-
леры или что ее не было, как относящийся к «общим условиям», ко-
торые надо учитывать при изучении смертности. Если такое понима-
ние распространить на все солидарно действующие факторы, т. е.,
говоря иными словами, если понятие «случайные причины» ограничить
так, чтобы под ними понимать лишь осуществление действия одних
разрозненно действующих факторов, то из любого расхождения между
эмпирической и вычисленной по «комбинаторной» методике ожидае-
мой дисперсиями всегда можно делать вывод об изменении «общих
условий». Так, охарактеризованная точка зрения представляется хотя
с формальной стороны и неуязвимой, но по существу дела мало пло-
дотворной. Таким образом, мы видим, что в тех случаях, где опираются
на теорию вероятностей, для выяснения возможности умозаключить
по колебаниям статистических чисел относительно постоянства или

изменчивости «общих условий» обычно понимают последние в более
широком смысле, т. е. в соответствии с представлением, что среди фак-
торов, действие которых осуществляется в форме случайных причин,
могут оказываться и солидарно действующие факторы. Так, например,

при исследовании массовых явлений, зависящих от погоды, вряд ли
станут каждую перемену погоды рассматривать как изменение «об-

щих условий», в зависимости от которых находятся изучаемые явления.
Согласно такому пониманию «точности» измерений комбинаторный

метод

уже не будет давать правильную меру поведения

«общих условий», и желательно было бы для этой цели обратиться к не-

шем тексте. В высшей степени интересный пример сверхнормальной дисперсии
представляет собой поведение чисел общей смертности и относительных чисел
мертворожденных в пределах Германии за период 1841 —1885 гг. См.: Lehr,
Zur Frage der Veranderlichkeit statistischer Reihen, in der Vierteljahrsschrift fiir
Volkswirtschaft, Politik und Kulturgeschichte, von Karl Braun, Bd. CI, 1888, S. 129—
143.

66 К r i es, Prinzipien, SS. 103, 151 — 153, 156, 238—239.
сколько более сложным показателям, которые мы ранее указывали.

Согласно этому нельзя отрицать, что на методику исследования и на
результаты ее применения влияет смещение границ между «общими ус-
ловиями» и случайными. Но это обстоятельство не приводит к противо-
речиям, и оно лишь тогда влечет за собой неясности, когда определение
«общих условий» сводится к одному лишь указанию на их состав, по-
тому что вопрос о том, что именно следует считать «общими условиями»
и что случайностью, представляется в высшей степени субъективным и
произвольным. В действительности же дело обстоит так, что «общие
условия» не только не должны быть указаны по их содержанию, но
одновременно с таким указанием или даже без него должны быть опре-
делены, по их теоретико-вероятностному выражению. Мне кажется,
что это последнее было недостаточно принято во внимание Крисом,
и я не могу удержаться, чтобы вновь не повторить сказанное мной ра-
нее — в конце первой части, а именно, что те выводы, которые мы
делаем на основании статистических материалов, имеют своей непосред-
ственной задачей собственно не «общие условия», а всегда лишь неко-
торые вероятности, определяемые в зависимости от примененных прие-
мов эмпирического исследования.

Если согласно предыдущему теория располагает средствами при
исследовании стабильности статистических рядов учитывать отсутствие
независимости между отдельными наблюдениями, то при сопоставле-
нии двух значений какого-либо относительного числа, когда ставится
вопрос о том, можно ли разницу между ними приписать действию слу-
чайных причин, на подобный вопрос ответить уже нельзя*. В этом
случае нужно пользоваться одним только методом вычисления меры
точности и надо осознать, что при этом определенные воздействия со-
лидарно действующих факторов, если таковые действительно прини-
мают участие, всегда причисляются к «общим условиям». Вынужден-
ность такого понимания надо, конечно, причислить к недостаткам ме-
тода, но здесь приходится соглашаться с Крисом, что определение
меры точности отдельных наблюдений, которые проводятся в стати-
стических работах, в значительной мере теряет ценность и интерес,
поскольку солидарность действия факторов представляет собой широ-
ко распространенное явление.

Все же иногда, в немногих случаях, мы в состоянии элиминиро-
вать проявляющуюся в определенном направлении солидарность фак-
торов, изменяя определение того, что мы принимаем за единицу счета.
Таковы, например, несчастные случаи с людьми при обвалах в шах-
тах, при крушении поездов и других подобных катастрофах и иных
сходных явлениях, где для многих людей одновременно наступает
одна и та же судьба, так что отдельные случаи возникают как бы пач-
ками**. Здесь солидарность отдельных случаев проявляется как бы
в обостренной форме. Справиться с этим затруднением можно тем, что
вместо вычисления отношений погибших к общему числу подвергав-

* Отчасти верно.— А. А. Ч.

** Westergaard, 19.— А. А. Ч.
шихся риску и построения на основе этого отношения меры точности
мы возьмем за единицу счета каждый отдельный несчастный случай,
вычислим отношение числа катастроф к так или иначе, рассчитанным
возможностям наступления катастроф и будем в дальнейшем рассмат-
ривать именно так построенные относительные числа*.

Величины, с помощью которых статистик характеризует совокуп-
ности индивидов, действий или событий, представляют по своей форме
либо отношения, показывающие интенсивность определенных явле-
ний, — частость, с которой они встречаются в совокупности, либо
именованные числа, назначение которых в том, чтобы выражать в сред-
них числах определенные свойства, наблюдаемые в единицах, состав-
ляющих совокупность* 66.

В тех разделах статистических исследований, которые занимаются
применением теории вероятностей, указанным двум родам величин
уделяется внимание в весьма различной степени: авторы, занимаю-
щиеся такими исследованиями, интересуются почти исключительно
относительными числами, тогда как к средним числам, как правило,
теория вероятностей не применяется.

Эти замечания могут иному читателю показаться неожиданными,
если припомнить, что сделано Кетле и другими в антропометрии,
а также в применении тех же принципов к продолжительности жизни
{Лексис), к возрастам вступающих в брак (Пероццо — Perozzo) и ко
многому другому. Но это не возражение, потому что, хотя здесь и при-
меняются формулы теории вероятностей и способ наименьших квад-
ратов, все же задача, решаемая этими приемами в антропометрических
и сходных с ними исследованиях, существенно отличается от той,
•которая обычно ставится при вероятностном рассмотрении статисти-
ческих относительных чисел.

В этом последнем случае речь идет о выяснении, является ли най-
денная разница между двумя значениями определенного отношения или
между колебаниями ряда таких чисел результатом воздействия случай-
ных причин или же она свидетельствует о разнице между вероятностя-
ми, лежащими в основании сопоставляемых явлений, т. е. различия-
ми в их «общих условиях». При антропометрических и сходных с ними
средних величинах применение теории вероятностей состоит в том,
чтобы группировку единичных измерений или отдельных величин во-
круг их среднего значения сопоставлять с математическим законом оши-
бок (Гаусса), причем пытаются определить, насколько точно закон
распределения отдельных значений какой-либо величины описывается
формулой Гаусса. Следовательно, вероятностная обработка указанных
средних величин имеет своей целью не сравнение двух или нескольких
числовых значений одной и той же средней величины, удовлетворяющей

* Жалко, что упущено различие между исследованиями номологического
и онтологического характера, которое является maBgebend (имеющим определя-
ющее значение) при решении вопроса о значении исследования дисперсии.—
Л. Л. Ч.

66 Наряду с определенными свойствами предметом наблюдения может слу-
жить и какое-либо отношение между двумя случаями, так, например, промежуток
времени между двумя последовательными родами у одной и той же матери.
одному и тому же определению, а выяснение аналитического соотноше-
ния отдельных численных значений одной и той же величины с соот-
ветствующими частостями их возникновения*.

Но именно из тех подходов, которые применяются в антропометрии
и в подобных исследованиях, можно почерпнуть оправдание тому, что-
бы тот вид вероятностной обработки, который обычно применяется
лишь к статистическим относительным числам, распространить и на
средние величины.

Эмпирически найденные частости различных значений какой-либо
величины всегда рассматриваются как приближенные значения
вероятностей, с которыми рассматриваемая величина принимает те
или иные численные значения. В силу этого и сама найденная средняя,
зависящая от полученных частостей, представляется приближенным
значением некоторой теоретической или абстрактной средней, возни-
кающей из эмпирической средней, если в ней эмпирические частости
заменить соответствующими им вероятностями. И совершенно так же
как эмпирическая частость может под влиянием случайных причин
отклоняться в большей или меньшей степени от лежащей в ее основа-
нии вероятности, так и эмпирическая средняя, как правило, при
разных сочетаниях таких же случайных причин может отклоняться от
соответствующей теоретической средней.

Если, например, в двух различных по времени или по какому-
нибудь другому основанию совокупностях определены эмпирические
средние X' и X" какой-нибудь величины, скажем продолжительности
жизни, то и в этом случае, как и для относительных чисел, возникает
вопрос: можно ли приписать разницу X' — X" действию случайных
причин или же она вызывается разницей теоретических средних, при-
сущих данной величине в двух взятых нами совокупностях? Если имеет-
ся несколько чисел Xit Х2, Х3, ..., то уместно поставить вопрос:
совместимы ли колебания значений в данном ряду с допущением одной
общей для всего ряда теоретической средней величины или нет? •

Такие исследования относительно средних величин, подобные ранее
описанным и направленные на определение той колеблемости, кото-
рая может возникнуть под действием случайных причин, не только ло-
гически оправданы, но могут быть реально выполнены путем соответ-
ствующих расчетов. В дальнейшем мы покажем, как выполнять такие
вычисления.

То понятие, которым пользуются в теории вероятностей и под ко-
торое может быть подведена любая именованная статистическая сред-
няя, называется «математическим ожиданием». Его определяют как
сумму всех значений, которые может принять данная величина, умно-
женных на соответствующие им вероятности. Если § есть математи-
ческое ожидание величины А и если р2, рз, ••• — вероятности того,
что в отдельном испытании А получает значения xit х2, х3, ..., то имеет
место соотношение

* Неудачно формулировано.— А. А, Ч, (Примечание относится ко всему
абзацу.— Прим, перев.)
1 = Р1^1+ р2Х2 + р^х3 + ...

Если А подчиняется тому условию, что оно может принимать любые
значения в пределах от а до 6, то вероятность какого-либо значения
jb пределах х и х + dx будет, очевидно, бесконечно малой величиной;
пусть это будет ф(х) dx.

Тогда мы имеем:

ь
g = J ср (х) xdxf
а

причем

ь

J Ф (х) dx = 1.
а

Движение функции ф(х) от х = а до х = b выражает собой так
называемый закон вероятностей величины А.

Хорошо известной формой вероятностного закона является закон
ошибок Гаусса. Под ошибкой (z) здесь понимают отклонение отдель-
ного значения (х) величины А от ее математического ожидания (£), так
что z = х — Тогда закон Гаусса принимает вид:

<pa+z)dz = ^e-22ft2^.

Постоянная k означает точность отдельного эмпирического значе-
ния величины Л, и определение числового значения этой постоянной
производится с большой точностью по формуле

1 __ s2
2k2 ~~ п ’

где п — число испытаний или измерений величины А и

s2 = (а1 — х0)2 + (а2 — х0)2 + (а3 - х0)2 + ... + (ап — х0)2.

I

Здесь а2, а3, ..., ап означают величины Л, полученные при от-
дельных измерениях, а х0 — арифметическую среднюю из этих ве-
личин.

Теперь нетрудно показать, что точность h средней величины х0
получается путем умножения k на квадратный корень из числа измере-
ний, так что

h= k^n .

Отклонения х0 — £ = у следует поэтому ожидать с вероятностью

-^=e-y‘h!dy.

V п
Если это выражение проинтегрировать в пределах от у = —а
до у = а, то, полагая ah = и, получим

и

О

для вероятности, что разность х0 — | содержится в пределах
от — а до а.

Из предыдущего мы легко приходим к формуле

Л =
7/^ 2s2

Пока определение точности найденной средней какой-либо величи-
ны А было связано с определенной формой вероятностного закона этой
величины, формула (А) была малопригодна для практического исполь-
зования в статистике, потому что статистические средние лишь край-
не редко подчиняются закону ошибок Гаусса.

Однако Лаплас67 доказал, что эта формула (А) совершенно не за-
висит от вида соответствующего закона вероятностей, а Пуассон68,
со своей стороны, показал, что вероятности plf р2, р3, ... в выражении

В=Р1*1 + Р2*2+Рз*з+ •••
и соответственно вероятности ср (х) dx в выражении
ь

£ = J ф (х) х dx
а

могут быть также и средними вероятностями.

Если последнее имеет место, то

Pi = giPi, 1 +g2Pi,2 +ёзР1,з + ...»	(1)

р2 = gl Р2, 1 + gzP2, 2 + gbp2, 3 + ••• ,	(2)

Рз “ glP3, 1 4" g2p3, 2 + gsPb, 3 + ••• ИТ. Д.,

при ЭТОМ

£1 + £2 + £з + ••• = 1

67 Laplace, Theorie analytique des probabilites, Paris, 1820, Livre II,
Chap. IV und Supplement a la Theorie analytique des probabilites: sur l’application
du calcul des probabilites a la philosophic naturelie. См. в особенности SS. 5—7.
Ср.: Poisson, SS. 521—522 (немецкого издания Schnuse), где подчеркивается
великая заслуга Лапласа, заключающаяся в том, что он показал независимость
вычисления меры точности или «веса» найденной средней от формы закона ве-
роятностей исследуемых величин. Важное значение имеют также письма Бра-
ве (Bravais) к Кетле (1845), опубликованные' в сочинении последнего «Lettres
sur la 'theorie des probabilites», Notes, SS. 412—424

68 P о i s s о n, Recherches sur la probabilite des jugenments, № 101 und № 53.
и

Pl, 1 + р2, 1 + рз,	1	+	•••	=

= Pl, 2 + р2, 2 + РЗ,	2	4“	•••	=

= Р1, 3 4“Р2, 3 + Рз,	3	4“	•••	=

И т. д.	=	1.

Если равенство (1) умножить на равенство (2) на х2, равенство
(3) на х3 и так далее и положить затем

Р1, 1 Х1 + р2, 1 Х2 + Рз, 1 *з + ••• == £1,

Pl.2-^1 4" Р2,2%2 + Р2,3%3 + ... = ^2,
£1,3*1 4“ £2,3*2 4~ р3,3х3 4" ••• = £з

И Т. Д.,
то окончательно получим:

£ = gl £1 4" §2 ^2 4f §3	4" •••

Таким образом, если величины рь р2, Рз» ••• в первоначальном вы-
ражении для g представляют собой средние вероятности, то и само !•
может быть приведено к виду, аналогичному средней вероятности.
Отсюда вытекает, что и среди математических ожиданий можно раз-
личать элементарные и средние математические ожидания69.

69 Статистики обычно пользуются термином «среднее ожидание» безотноси-
тельно к тому особому смыслу, который в тексте вкладывается в термин «среднее
математическое ожидание», следовательно, имея в виду вообще какое-нибудь
«ожидание». Но тем самым выражение «среднее ожидание» становится бессо-
держательным, так как представляет собой тавтологию: каждое математическое
ожидание является некоторым средним из различных значений, которые может
принимать любая величина.

Добавление «математическое» имеет целью подчеркнуть отличие от так назы-
ваемого «нравственного ожидания». Последнее понятие было образовано Даниэ-
лем Бернулли (Daniel Bernoulli) в связи с исследованием одной задачи
теории вероятностей, общеизвестной под названием «петербургской проблемы».
«Нравственное ожидание», или «нравственная надежда», опирается на допуще-
ние, что субъективная оценка, или «значительность» (Wichtigkeit) какой-либо
суммы денег, стоит в прямом соотношении с ее суммой, но возрастает медленнее,
а именно: пропорционально логарифму этой величины. Если оставить в стороне
спорный вопрос о математическом оформлении, то идея сама по себе верна
(ср. исходное положение теории предельной полезности), но она не адекватна ре-
шаемой проблеме («петербургской проблеме») и следует удивляться, что такой уче-
ный, как Лаплас, отнесся к предложению Даниэля Бернулли доброжелательно
(Laplace, Theorie, S. 187 und Livre II, Chap. X, speziell № 42; P о i s s о n,
Recherches, №24, 25. Cournot, § 61. Moser, Gesetze der Lebensdauer;
F. A. L a n g e, Logische Studien, Leipzig, 1894, S. 113—114; F. Wieser, Der
naturliche Wert, in einrer Anmerkung zur Vorrede. («Термином «нравственное ожи-
дание» назвали это относительное значение шансов и предлагали различные пра-
вила для его исчисления, совершенно произвольные и непригодные к действитель-
ному применению. Не следует злоупотреблять исчислением, если рискуем дискре-
дитировать логические выводы (по отношению к которым исчисление является
лишь одной из их ветвей), когда выводим его за пределы логических по-
строений» ’(Cour no t, 93). — А. А. Ч.)
И здесь сохраняется та же формула для искомой меры точности
ь _ п

Между тем, как указывалось, эта формула приближенная. Точным
выражением было бы

v Ztg

где е2 — математическое ожидание квадрата ошибки. Под ошибкой
здесь понимается отклонение отдельного значения измеряемой вели-
чины А от ее математического ожидания.

Соответственно этому имеем

е2 = (*i — Ю2 Pi + (х2 + £)2 р2 + (х3 — |)2 рз + ...

или в случае непрерывности изменений

ь

62 = J (X — В)2 <р (х) dx.

Сразу же видно, что рассматриваемая приближенная формула покоит-
ся на равенстве

р _
е2“ п

Нахождение численного значения е2 невозможно уже потому, что
ни величина ни ряд величин Pi, р2, р3, ••• нам неизвестны. Опыт нам
дает только то, что при п испытаниях в пц случаях мы получили хь
в т2 случаях — х2, 6 т3 случаях — х3... и в формулу для е2 мы вместо
Pi, Р2, Рз,  подставляем относительные величины

т* ' т2 ’ т*

— = Рь — = Р2, — = рз,-.-,
п г п г ’ п г

а | заменяем средней

*1 р\ + х2р2 + *зрз + ... = х0.

Лаплас, как и Пуассон, удовлетворялись этим приближением.
Общеизвестная поправка, предложенная Гауссом, состоит в том, что
мы полагаем70

е2 =

п — 1

70 Поправка выводится следующим образом. Вместо подлежащего исправ-
лению равенства	*

е2 а (Х1 Хо)2 ~Г (%2 Xq)2 Р2 (Я2 — *о)2 Рз ®е*
состарим второе, по предположению более точное

Ч = (*1 - £)3 р\ + (X, - 5)2 Р2 + (х3 - g)2 Р3 + ...
Исправленное выражение для h получает вид:

'--l/Че21

Чтобы вывести формулу Лапласа h =	в общем случае

любого закона вероятностей исследуемой величины Л, приходится при-
бегать к такому аппарату математических формул и выводов, которые
здесь не могут быть приведены. Но далее мы приведем в качестве при-
мера приложение теоремы Лапласа к одному частному случаю, кото-
рый допускает вполне элементарное доказательство и все же, кажется,
дает возможность вникнуть в проблему.

Пусть £ — математическое ожидание некоторой величины, кото-
рая имеет такой состав:

l = ap + bq,

где а и b — произвольные величины, а р и соответственно q = Г— р
представляют собой вероятности их осуществления. При п испыта-
ниях или измерениях (можно, скажем, представить себе урну, содер-
жащую а и b в отношении р и q, тогда п будет числом извлечений) мы
получаем mi раз величину а и т2 раза — величину Ь, так что средняя
оказывается равной:

х0 = ар' 4- bq',

, m-i , т»

где Р а ? =~Г-

Мера точности р' пусть будет h'. Согласно изложенному имеем71:

Г 2р?

Так как величины р и q нам неизвестны, то для вычисления А' можно
или, как это обычно делается, просто заменить р и q на р' и q', или же

Вычитая второе равенство из точного равенства
$2	/	_ г	f

— = (Xl — x0)2 px + (*2 — *o)2P2 + (*з — *o)2P3 + •••»

мы приходим к соотношению

~ — е2 = — (х0—О8-

Теперь введем вместо неизвестной величины (х0 — S)2 математическое ожида-
ние, равное -Д— = -I2 и получаем окончательно
2А2 п

$2
£2~ п-1

71 См. часть первая, стр. 60.
и здесь ввести поправку, аналогичную Гауссовой, которая приводит
к выражению72 73

' 2р q

Вероятность отклонения р' — р = а равна поэтому:

е-«!Л'2 da.

у 7С

При р' — р = а мы имеем:

х0 = а (р + а) + b (q — а) = g + а (а — Ь).

Отклонение а соответствует, следовательно, отклонению

Xq — Z = а (а — Ь).

Введем теперь обозначение

а2 (а— &)2 = р2.

Тогда вероятность, с которой следует ожидать отклонение х0 —
= ± Р, можно представить в виде

у 7С

<	А' * 73

где ^ = 77=^	*

Тем самым мера точности средней хо, найденной из п наблюдений:
(испытаний), оказывается равной:

у 1 л Г п	,	1	~ Г п — 1

п = п----гу I/ 6—, соответственно h = п----гг 1/ -n z , •

\ a — b\ У 2pq	\а — Ь\ у 2р'д'

72 Пусть отклонение вычисленного a posteriori р от истинной величины
р равно а = р' — р; соответственно q' — q = —а. Отсюда следует, что

p’q’ = pq — <*(Р — <7) — «2-

Математическое ожидание а равно 0, а математическое ожидание а2 равно,

—1— . Отсюда
2Л'2

1 п 1 п — 1
р q =pq— 2Д,г = 2Д,2 — 2h,i = 2Д.а •

и, наконец,
h'=V n.--L.

V 2p’q'

* Вертикальные черточки || означают, что разность а — b берется по своей,
абсолютной величине. — Прим, перев.

73	da = ---- е	(а — A) da = —Л’ 40..

(а-Ь)Уп	v 7	у я	н
В изложенном случае можно непосредственно применить формулу
h _ п(п — \)

V

Согласно нашему допущению значение а получено было пр' раз,
а значение b — nq' раз. Поэтому можно записать:

«2 = rip' (а — *о)2 + riqf (b — х0)2.

Если в правую часть этого равенства подставить значение раз-
ности а — xQ и b — х0, полученное из равенства

х0 = ар' + bq'f

а именно а — xQ = q'(a — b) и Ь — х0 = —р'(а—Ь), то получим:

s2 = пр' q' (а — Ь)2.

Отсюда следует, что

П-\а-Ь\ V 2p'q' ’

т. е. результат, полностью совпадающий с ранее полученным.

Уже из изложенного особого случая видно, что при вычислении
меры точности, с одной стороны, и исходя из вероятностей, а с другой
стороны, из математических ожиданий или из средних, мы идем путя-
ми, которые принципиально не разнятся между собой; как в том, так
и в другом случае мы применяем по существу один и тот же метод.
Т Т	1 Г п	1 Г п— 1

И на самом деле выражение у или соответственно у для
меры точности значения вероятности р, полученного из п испытаний,
можно было бы непосредственно получить из общей формулы

ИЛ» Л = 1/^Н1>.

Г Ztg	г	^02

В ней надо измеряемую величину определить как число событий,
благоприятных появлению при отдельном испытании интересующего
нас результата, вероятность которого равна р. Измеряемая величина,
очевидно, может принимать одно из двух значений: либо 1, либо 0.
В первом случае отклонение (ошибка) составляет 1 — р или соответст-
венно 1 — р', а во втором случае 0 — р или 0 — р', в соответствии
с чем имеем:

82 = (Г —р)2р + р2(1—р) = (1—р)р

И

s2 = п(1—р')2р' + Пр'2(1 — р') = и(1 — р')р'.
Своеобразие при вычислении меры точности величины вероятности
состоит лишь в том, что при этом сумма квадратов ошибок (а в этом
случае под «ошибкой» подразумевается отклонение исхода каждого
отдельного испытания от средней, получаемой из результатов всех ис-
пытаний) превращается в произведение пр' q', однако это не может
служить основанием, чтобы видеть какое-либо принципиальное раз-
личие между операциями вычисления меры точности для значений
вероятности и для величины математического ожидания.

В силу этого можно определить диапазон действия случайных при-
чин для таких статистических величин, как, например, средняя дол-
говечность, средний возраст вступающих в брак, средняя длитель-
ность работоспособного возраста, среднее число дней болезни за год
и многих подобных им величин, вычисляя меру точности совершенно
так же74, как ранее мы вычисляли ее для вероятностей или относитель-
ных чисел. Если мы определили численное значение какой-либо из
указанных величин для совокупности из п человек как X', а для дру-
гой совокупности из ri человек какХ", то сперва надо вычислить меры
точности h и ri для X' и X" на основании численности наблюдений
(т. е. п и ri) и из суммы квадратов ошибок, а затем надо полученными
мерами точности hn ri пользоваться так же, как если бы они были ме-
рами точности вероятностей. Правда, для решения задачи надо знать,
как средние числа X' и X" возникали из соответственных совокупностей
единичных наблюдений, так как без этого нельзя определить квадрат
ошибок. Знанием же того, как составлялись средние величины, мы
не всегда располагаем. Так, например, бывает, когда нам дано общее
число лиц, получавших в течение года пособия из сумм общественного
призрения, а с другой стороны, известна общая сумма пособия в де-
нежных единицах. Путем деления общей суммы пособий на число полу-
чивших их лиц мы узнаем средний размер пособия, приходящегося на
одного получателя. Если мы для двух учреждений по пособиям бедным
получим два различных результата, то вопрос: в какой мере эту раз-
ницу можно отнести за счет действия случайных причин? — не может
быть разрешен в том направлении, какое нами было намечено. Для
того чтобы можно было применить описанный нами метод, нужно
чтобы статистика предоставляла данные о выданных пособиях, распре-
деленными на классы по их величине, и указывала бы, сколько лиц
содержит в себе каждый класс. На таком основании, особенно в хо-
зяйственной и в финансовой статистике, часто бывает невозможно де-
лать выводы о действии случайных причин. Напротив, статистика насе-
ления и моральная статистика находятся в гораздо более благополуч-
ном положении, так как эти данные почти всегда, без исключения, име-
ются у них как основа для расчетов.

Если речь идет не о разнице между двумя значениями какой-либо
определенной по своему содержанию статистической средней, а о коле-
баниях на протяжении более или менее длительного промежутка вре-
мени, то и здесь аналогично способу расчета, примененному Лексисом

74 Часть первая, стр. 60—61.
к вероятностям или статистическим относительным числам, мы долж-
ны вычислять меру точности двумя различными способами и сопостав-
лять полученные результаты76.

Допустим, что мы имеем % средних величин Хи Х2, Х2, ... Х\,
каждое из которых опирается на и наблюдений. Вычислим выражение

|(Х1+Х2 + Х3 + ...+Хх) = Х0.

Величину Хо можно рассматривать, очевидно, с двух разных точек
зрения, а имеуно:

1)	как среднюю, выведенную из п К наблюдений или измерений.

Пусть а 1, а2, а3, ..., апк — полученные в этих измерениях величины.
Введем далее обозначение

(а2 - Х0)2 + (а2 - Х0)2 + (аз - Х0)2 + • •• +	Х0)2 = S2.

В таком случае меру точности И для величины Хо получим из
формулы Н = "2L • или, точнее, Н = "l/	;

у 2S2	.

2)	или же как общую среднюю, выведенную из % средних Xlt

Х2, Х3....Хх, и в этом случае мера точности Но выразится фор-

„ ц	„	_/к (к— 1)

мулои л о = —2' -- или, точнее, Н0 = V	ov,—- , где

У 2 2^2	* *

Ь = (X.- Х0)2 + (Х2 - Х0)2 + (Х3 - Х0)2 + ... + (Хх - Х0)2.

Когда удовлетворялось, хотя бы и не с полной строгостью,
равенство

то это указывало бы на то, что колебания ряда Хь Х2, Х3, ... Хх
вызваны игрой случайных причин? В этом случае мы имели бы нор-
мальную дисперсию.

Напротив того, неравенство Н^Н или НЬ<^Н указывало бы на то,
что дисперсия сверхнормальная или поднормальная, или аномальная*.

Те формулы, которыми пользовался Лексис, легко выводятся из
приведенных. Если интересующая нас величина представляет собой
относительное число, в основании которого лежит вероятность р,
и если р0 — ее приближенное значение, найденное нами из и % испы-
таний, то сумма S2 превращается в пкр^ (как было показано выше),
где qQ = 1 — р0, и мы приходим, учитывая поправки, к формулам:

75 Часть первая, стр. 58 и 85 прим. 43

* Ср.: Cournot, стр. 224— А. А, Ч.
Если оба выражения разделить на "К К то величины, подлежащие
сопоставлению, принимают вид:

h = V и Л° = V W •

~ , 1

Эти формулы, за исключением поправки у в числителе, совпадают
с формулами Лексиса. Поправка практически несущественная, если
число и, как это обычно бывает, велико; но она все же помогает яснее
представить себе параллелизм между обоими способами расчета меры
точности76.

Все сказанное имеет целью показать, что именованные статисти-
чески средние числа в такой же мере, как и статистические относитель-
ные числа, допускают вычисление мер точности и определение диспер-
сии. Если при этом было особенно подчеркнуто тожество связанных
с этим вычислений, которые применяются в одном случае к относитель-
ным числам, а в другом — к средним величинам, то это было вызвано
той поразительной неясностью взглядов, которая господствует даже
среди исследователей, более пристально изучавших эту проблему.

Прежде всего это относится к проф. Эджворт (Edgeworth), у кото-
рого изложение проблемы оставляет желать лучшего. Далее я кратко
изложу основную часть его важнейшей статьи77.

Эджворт совершенно прав, говоря, что возможность определять
меру точности какой-либо средней не требует того, чтобы единичные
измерения, из которых вычисляется средняя, подчинялись статисти-
ческому закону ошибок (стр. 186—187, 190—191)78. Однако тот способ,

76 Так как здесь речь идет лишь о принципиальной стороне вопроса, то нет
надобности отвлекать внимание на усложненный случай, когда число испытаний,
лежащих в основании величин Xlt Х2, Х3, Хх, неодинаково. Впрочем
см. часть первую, стр. 86, примечание, и у Лексиса («Zur Theorie...»).

77 «On Methods of Statistics» (Jubilee Volume ofj the Royal Statistical
Society, 1885).

78 Различие между двумя случаями, в одном из которых ^отдельные наблюде-
ния подчиняются закону Гаусса, а в другом — нет, имеет значение при вычисле-
нии меры точности лишь в одном отношении. (Но подчиняется ли какая-либо
величина закону Гаусса — это само по себе в высшей степени важно и интересно,
однако Эджворт, по-видимому, упустил это из виду.) Дело в том, что если отдель-
ные наблюдения над интересующими нас величинами подчиняются закону ошибок
Гаусса, то можно определить вероятность что отдельные наблюдения не от-
клоняются от математического ожидания больше чем на ±а. Величину и можно
представить в виде ka и k = Л/ — (см. стр. 107) или k = П/	где п —

г 2s2	v 2s2

число наблюдений, a s2 — уже известная нам сумма квадратов ошибок. Вместе

п

с тем k= г— , где
Si У л

под подразумевается арифметическая сумма всех ошибок

(т. е. отрицательные отклонения также берутся со знаком «плюс»). Эта формула
которым он пытается доказать или, по крайней мере, иллюстрировать
это положение, совершенно неверен*. Он предполагает большой ряд
наблюдений, которые не подчиняются закону ошибок Гаусса. Из них,
как он предполагает, составляются случайно набранные серии по 100
или по 1000 случаев в каждой, для них вычисляются средние отдельно
по каждой серии. Полученные таким путем средние будут распреде-
ляться, приближенно следуя вероятностной кривой — закону ошибок
Гаусса (стр. 186—187). «Наблюдения показывают, что один и тот же
принцип... либо дает нам закон ошибок в законченном виде, либо дает
нам возможность создать его искусственно (описанным способом).
Вследствие недостаточного внимания к этому принципу многие статис-
тики не отдают себе ясного отчета, в какой мере закон ошибок непо-
средственно проявляется в природе и в какой мере он может быть вос-
полнен искусственным путем» (стр. 187). После таких вступительных
замечаний Эджворт приступает к вопросу об определении дисперсии.
Нужно тщательно различать два случая:

1)	когда данные наблюдения выражаются в единицах времени
или пространства или представляют собой отвлеченные числа и

2)	когда мы имеем отношение (Ratio), т. е. относительные числа.

1)	«В первом случае никогда не возникало сомнения в том, что
модуль79 должен быть найден вычислением из наблюдений (не может
быть предугадан из знания одного их количества)».

выводится очень просто. Пусть 8i — математическое ожидание ошибки в положи-
тельную сторону. Тогда

откуда имеем

.=-4=-,
2гх у л

Вместо 2ех можно приближенно взять арифметическую среднюю из абсолютных
значений всех наличных отклонений отдельных значений от средней и таким
п

путем прийти к формуле k = —(Ср.: Lexi s, Zur Theorie..., S. 71.) А так
Sij/ я

как мера точности k отдельных значений находится к мере точности h средней,
полученной из этих значений, в отношении h = kYл, то для h мы получим выраже-
п

ние h = —, Таким образом, в том случае, когда единичные измерения инте-
S j у л

ресующей нас величины подчиняются Гауссову закону ошибок, можно применять
более короткий путь вычисления меры точности. Для рассмотренного на стр. 114
случая, когда ряд Хх, Х2, Х3..Хх показывает нормальную, поднормальную

или сверхнормальную дисперсии, мы можем воспользоваться формулой Но =

= —гггде равна арифметической средней разностей Х± — Хо, Х2 — Хо,
SiJ/ л

Хз-Хо, ..., Хх — Хо.

* Нет, в мыслях Эджворта есть кое-что ценное. — А. А. Ч.

79 Под «модулем» Эджворт понимает величину, обратную мере точности,
и квадрат модуля называет «колеблемостью» (Fluctuation).
Внутри этого первого случая Эджворт различает два дальнейших
вида в зависимости от поведения наблюдений: .

а) закон ошибок выполняют «без добавочной обработки» («without
manipulation») или же

0) закону ошибок не подчиняются, как, например, это происходит
с данными о возрасте умерших в стационарном населении.

«Здесь (т. е. в случае р. — В. Б.) не может быть и речи о нахождении
модуля для отдельных наблюдений (правильно. — В. Б.), Однако вы-
ше было показано (? . — В, Б.), что если мы возьмем среднюю ариф-
метическую из случайно выхваченных из общей совокупности наблю-
дений, то полученные таким путем средние подчиняются закону ошибок,
модуль которого мы и должны определить... В этом случае колебле-
мость средних находится по формуле —(здесь S означает суммиро-
вание, е — отклонение отдельной средней от общей средней для всей
совокупности и п — число серий, составленных случайным набором
наблюдений80). «Так, для того чтобы подтвердить выводы Ги (Guy)
относительно влияния на здоровье различных профессий, основанные
на разнице примерно в два года в среднем возрасте умерших среди не-
скольких сотен врачей и духовных лиц, надо было получить вероятность
дожития для лиц мужского пола в возрасте 20 лет (или более поздних
возрастов, указанных в сведениях); затем взять разность между этим
арифметическим средним и каждым числом в столбце dx (так принято
у англичан обозначать согласно таблице смертности число умерших
в возрасте от х до х + 1 лет), начиная с 20 лет и кончая 100; вычислить
сумму квадратов этих разностей, умножить на 2 и разделить на общее
число наблюдений, т. е. на число доживших до 20 лет. Полученное та-
ким путем число надо разделить на число священников или на число
врачей, средний возраст смерти которых нами был найден. Потому
что в случае 0 так же, как и в случае а, действует правило, что колеба-
ния средней обратно пропорциональны числу наблюдений, из которых
выведена каждая из этих средних».

2)	«Все это относится к измерениям времени и пространства, а так-
же к измерениям, выражающимся отвлеченными числами. Согласно
весьма распространенному мнению к статистическим относительным
числам применим более короткий способ определения модуля... Пред-
полагалось, что эти числа колеблются так же, как исходы азартных
игр... Но заранее нельзя решить, насколько оправдано такое уподоб-
ление... И колеблемость должна быть установлена не по аналогии
с азартными играми, а тем же методом, которым пользуются при из-
мерении времени и пространства: «физической» в отличие от «комби-

80 Ср. формулу (без поправки) для Яо на стр. И4. Яо дает меру точности для
общего среднего Хо- У Эджворта же речь идет о точности для различных зна-
чений Хъ Х3, ..., для которой, если воспользоваться моими символами,

/д,	1	2S

—-, а отсюда получили бы — = —А .

22 2	h% *
наторной» методики, согласно важному различию, установленному и
подчеркнутому Лексисом» (стр. 191).

По поводу взглядов, изложенных Эджвортом, нужно заметить сле-
дующее:

1. Рекомендованный им в качестве «искусственного», как он его
назвал, метод вычисления меры точности для величин, не подчиняю-
щихся закону ошибок, сам по себе правилен. Но, для того чтобы быть
в состоянии применять его к статистическим данным, надо иметь в ру-
ках исходный материал или заново выбрать его из данных, уже сведен-
ных в таблицы. Непосредственно полученные или восстановленные ин-
дивидуальные карточки надо затем положить в урну и делать из нее
извлечения, чтобы образовать «случайно составленные» серии. Какое
трудоемкое и технически примитивное занятие! Когда же Эджворт
в дальнейшем изложении хочет свой процесс расчета иллюстрировать
на примере «исследований доктора Ги», то он вычисляет меру точности
хотя, по-видимому, правильно (по формуле Лапласа), но совсем не
в согласии с ранее описанной им методикой. Ибо если выражение
2 Se2

—— должно соответствовать смыслу этой методики, то е не может озна-
чать ничего другого, как лишь то или иное отклонение определенного
для серии среднего долголетия от общей средней. Далее, упомянутые
серии Должны были бы составляться как случайные выборки и, на-
конец, под и следовало бы понимать число образованных таким путем
серий. Но Эджворт производит операции совершенно другого рода.
Если согласно таблице /20 есть число доживших до двадцатилетнего
возраста, d20, d2i, d22, ... согласно таблице смертности — число умер-
ших в возрастах в 20—21, 21—22, 22—23 лет и так далее и Е20 — ожи-
даемая долговечность для 20-летних, то согласно формуле Лапласа
получается мера точности h среднего возраста умерших, найденная
для р врачей в предположении, что все врачи начинают заниматься
своей профессией с 20-летнего возраста и что последующие одно за
другим поколения врачей равночисленны:

h = д/~(см. стр. 109),
г ^^2

где

р _ ^20 f J_р V I ^21 f 1 1 р V | I ^99 (7Q J_____р V

ь2 —	^2	Г/ 20у I j \ 2	ч • • • I у* 2	20у •

Или же мы обозначим через S сумму

/1	\2	/	1	\2	/1	\2

— £20) + ^21 (у ~2-^гоу + ... + ^9Ц79 у—£*2оу »

и тогда получим

h = V~2S~
и соответствующую колеблемость (Fluktuation)

1	_ 2S

/20 Р*

Именно на эту-то операцию Эджворт и хотел указать в своем, прав-
да не совсем точном, описании ее (ср. выражение: «разность между
этой арифметической средней и каждым числом (? . —В. Б.) в столбце
dx»). Однако каким образом понимаемое так определение меры точ-

2	Se2
ности можно подвести под формулу —— или соответственно под «ис-
кусственную методику» Эджворта? Это для читателей его статьи может
показаться настоящей загадкой.

2.	Гораздо важнее, что Эджворт различает два основных случая
в зависимости от того, имеем ли мы дело с величинами, измеряемыми
единицами времени и пространства, или же с относительными числами,
усматривая возможность лишь во втором случае вычислять меры точ-
ности двумя различными методами. Но ранее мы доказали противное.
В силу этого указанное Эджвортом, по его мнению, существенное раз-
личие в вычислении меры точности в том и в другом случае само собой
отпадает81.

Эджворт, очевидно, был введен в заблуждение терминологией Лек-
сиса. Дело в том, что Лексис одну методику определения меры точности
(соответствующую выражению h на стр. 114—115) назвал ^комбинатор-
ной'», а другую (соответствующую выражению ho на стр. 114—115)
назвал «физической», и вот Эджворт, по-видимому, решил, что сущест-
во последней состоит в том, чтобы возводить ошибки в квадрат и затем
суммировать, тогда как для «комбинаторной» методики характерно
образование произведения из двух комплементарных вероятностей.
В действительности же как в одном, так и в другом случае происходит
процесс суммирования квадратов ошибок с той лишь разницей, что
при «комбинаторной» методике под ошибкой понимается разность
между единичным значением исследуемой величины и соответству-
ющим значением общей средней, тогда как «физическая» методика под
ошибкой понимает отклонение частной средней от общей средней. А то,
что в случае применения «комбинаторной» методики к величинам ве-
роятностного типа сумма квадратов ошибок превращается в произве-
дение прд, для существа дела совершенно неважно*.

81 Правда, при вычислении меры точности для какой-либо именованной сред-
ней недостаточно знать ее величину или ее приближенное значение, надо еще
знать, как она составляется из единичных случаев (см. стр. 113). Однако и при
относительных числах знание «одного лишь числа наблюдений» также недоста-
точно для вычисления меры точности. Для числового определения по формуле
Л=1/ — надо, кроме того, знать еще и точное либо приближенное значение р.

Т 2pq

(Разница ведь все-таки есть: в первом случае надо знать и Naherungswert (при-
ближенное значение) и number of observation (число наблюдений), да еще и Zu-
sammengesetzung (закон распределения).— А. А. Ч.

* Нет, это весьма существенно.—А. А. Ч.
3.	Наконец, то явное предпочтение, которое Эджворт в конце ци-
тированных строк отдает «физической» методике, совершенно необос-
нованно. Но нет необходимости отдельно опровергать тот взгляд, когда
вычисление меры точности по «комбинаторной» методике считается
вообще излишним, так как ранее был выяснен смысл каждого из вы-
числений *и то большое значение, какое имеет согласно Лексису сопос-
тавление получаемых с их помощью результатов82. Но, независимо от
всего этого, нерасположение Эджворта к «комбинаторной» методике
стоит в странном противоречии с тем способом, которым он сам вычис-
ляет меру точности в случае «исследований доктора Ги». Уж не думает
ли он, что Лексис признал бы методику, примененную в этом примере,
за «физическую»? Если Эджворт так думает, то и смысл, и цель про-
водимого Лексисом различения и его терминология, по-видимому,
ускользнули от его понимания.

Сказанного достаточно, чтобы охарактеризовать тот прием, ко-
торый теория Лексиса встретила в Англии.

Проф. Вестергорд подобно Эджворту — убежденный сторонник
применения теории вероятностей к статистике, по-видимому, также
упускает из виду, что вычисление мер точности допустимо и осущест-
вимо не только для относительных чисел? но также и для именованных
средних.

В своей книге «Grundziige der Theorie der Statistik» он ни разу не
вычислил меру точности для величин последнего рода83, но всюду
ограничился лишь частостями, т. е. числами вероятностного типа, а в
более поздней статье он с полной ясностью высказал для читателей свои
сомнения по этому поводу84 *. Конкретно речь идет о средней долговеч-
ности.

В специально направленном против меня разделе указанной статьи
Вестергорд пытается представить метод измерения смертности, опи-
рающийся на среднюю долговечность, соответственно на порядок выми-
рания как такой, при котором вычисление меры точности или совсем
невозможно, или сопряжено с большими трудностями. Мне кажется
целесообразным различать здесь два случая.

1)	Средняя долговечность определена эмпирически путем просле-
живания вымирания действительно существовавшего поколения. Этот
случай лучше всего соответствует сущности средней долговечности,
потому что только в нем долговечность — средняя величина для опре-
деленных, взятых из действительности отдельных величин. Поэтому
такой случай должен иметь решающее значение для ответа на вопрос:
в какой мере средняя долговечность может служить объектом примене-
ния теории вероятностей? И на этот вопрос следует ответить, что нет
ни малейших препятствий к тому, чтобы вычислять среднюю ошибку

82 Ср. то, что Лексис пишет об Эджворте в Jahrbuchern fur Nationaldkonomie
und Statistik, 1886, S. 444.

83 Краткие намеки на стр. 76—77 в «Grundziige» я нахожу неясными и недо-
статочными.

84 Neue und alte Messungsvorschlage in der Statistik, Dritte Folge, Bd. VI,

Heft 3 (Sept. 1893).
или меру точности для средней долговечности, определенной таким
путем. Нужно лишь знать число родившихся, на которое опирается эм-
пирический материал и, кроме того, числа умерших в каждом возраст-
ном классе. И тогда можно решить задачу с большим или меньшим
приближением, смотря по тому, насколько детально распределены
умершие по возрастам. Сам Лаплас86 воспользовался средней долго-
вечностью, чтобы дать пример методики вычисления меры точности
ожидаемой величины. Но и для остальных величин, применяемых в таб-
лицах смертности, можно беспрепятственно вычислять соответствую-
щие меры точности86. Описанный случай Вестергорд оставляет, одна-
ко, без внимания, а все дело он представляет себе таким образом.

2)	Найденные величины средней долговечности относятся к неко-
торому фиктивному поколению, причем в их основе лежат вероятности
умереть, полученные из соотношения между умершими в различных
возрастных группах и соответствующими им числами доживших.
Пусть wx — вероятность для доживших до х лет умереть в течение
года и 1Х — вероятность для новорожденного дожить до х лет. Тогда
имеет место соотношение87

1Х = (1 — йУ0) (1 — ^i)(l —-^2) ••• (1 — йУх-i).

Так как известно, из скольких наблюдений вычислены значения до0,
Ш1, и так далее, то легко найти и приближенные значения, присущие
этим величинам мер точности или средних ошибок. А о том, по каким
формулам при упомянутых условиях следует вычислять эти средние
ошибки или меры точности найденных значений, об этом можно полу-
чить полные сведения из работы Лексиса «Einleitung in die Theorie
der Bevolkerungsstatistik», §§ 88—89, опасения Вестергорда в этом
отношении представляются мне необоснованными88.

86 Theorie analytique des probabilites, Paris, 1820, S. 408—411.

86 Lexis, Einleitung in die Theorie der Bev.— Statistik, § 89 (окончание).

87 На стр. 327 указанной статьи Вестергорда эта формула содержит вместо
вероятности прожить (1 — ау0), (1 — wx), ... вероятности умереть оуо, и т. д.

88 Вестергорд буквально говорит следующее: «Среднюю ошибку для wx,
вычислить легко, но с 1х+п дело обстоит иначе; к тому же еще
возникает вопрос, подчиняются ли эти величины вооб-
ще закону ошибок» (S. 327). Последнее положение, напечатанное и
у Вестергорда в разрядку, мне совершенно не ясно: что именно должно под-
чиняться или не подчиняться закону ошибок? В таблицах смертности послед-
ний вопрос может относиться к ряду разностей 1Х—G+i = но эти ряды,
как показал Лексис, в определенных возрастных пределах приближенно сле-
дуют формуле Гаусса. Однако даже и для вычисления средней ошибки такой
величины, как средняя долговечность, нет необходимости обращать внимание
на то, в какой мере эмпирические значения соответствуют теории Лапласа
(теории нормальной долговечности), поскольку Лаплас доказал, что вычисление
меры точности для ожидаемых величин не зависит от закона распределения
отдельных значений, из которых данная величина получена. Но так как
в цитированном отрывке речь идет, по-видимому, о средней ошибке не средней
долговечности, а вероятности дожития (/х), то тем труднее понять подлинный
смысл замечания Вестергорда. Столь же непонятным представляются и те
сомнения в применимости формулы для меры точности, которые Вестергорд
высказывает в своей книге: «Grundziige», S. 77 (oben), S. 236 (oben).

5B о теории дисперсии	i^l
Далеко не так прост вопрос об определении средней ошибки для
ожидаемой долговечности Ех лиц, достигших возраста х лет. Мы имеем
приближенную формулу

' _ 1	|	+ 1	।	1х+2	।	. Zcd—1

х ~ 2 1Х "Г 1Х	G

и на первый взгляд может показаться, что среднюю ошибку можно здесь
рассчитать по формуле, согласно которой средняя ошибка суммы равна
квадратному корню из суммы квадратов средних ошибок, соответст-
вующих отдельным слагаемым. Но при ближайшем рассмотрении вы-

ясняется, что это правило в данном случае неприменимо, так как оно

опирается на предпосылку, что эмпирическое определение каждого

из значений	и так далее производится независимо от опре-

•'Х 1х

деления других величин этого ряда*. Если же мы исходили из вели-
чин Шх+1, как это принято ранее, то условие это здесь не соб-
людается. Поэтому я не стану и пытаться отрицать, что вычисление
средней ошибки значений средней долговечности или — в более общем

случае — ожидаемого дожития оказывается очень сложной, численно,
пожалуй, даже невыполнимой задачей в том случае, когда вопрос ста-
вится о фиктивном поколении и когда даваемые непосредственным
наблюдением величины представляются при этом ^вероятностями
умереть89.

Но Вестергорд, по моему мнению, все же неправ, когда он только
что разобранный случай рассматривает как единственный, имеющий

* Вопрос хорошо анализированный у Эри (Airy)—А. А, Ч.

89 Легко разрешимая задача возникает там, где исследование ведется с по-
мощью таблицы смертности, опирающейся на столь большое число наблюдений,
что ее можно считать свободной от случайных ошибок, и где задача состоит в том,
чтобы для определенного значения ожидаемой продолжительности жизни, полу-
ченного из наблюдений над индивидами, определить, будет ли оно чисто «случай-
ным» или «неслучайным» в своем отклонении от соответственного значения дол-
говечности, взятого из таблицы смертности. Ср. стр. 118—119.

Замечание, сделанное Вестергордом относительно этого случая, само по себе
правильно, только в приведенную формулу необходимо ввести четыре поправки.
Формула дана в таком виде:

оо

™2 = -Ц \lx Кг (я — e.r)2 dx,
п

причем т должно означать вычисленную среднюю ошибку найденного значения
долговечности х-летнего лица, k — число лиц, долговечность которых была уста-
новлена наблюдением, 1Х — вероятность дожития до возраста х лет, |iv — сила
смертности в возрасте х и ех — ожидание жизни для х-летнего лица. Все три
последние величины берутся из таблицы смертности. Правильное же выраже-
ние должно иметь вид:

оо

= IxV-xix—n — en^dx.

п
значение для проблемы вычисления меры точности. Все же и при фик-
тивном поколении можно определить без затруднений, например, сред-
нюю ошибку средней долговечности, если только непосредственно по
наблюдениям найдены значения величин /А, 12, 1з' и так далее, найдены
притом делением числа доживших до различных возрастов в определен-
ный промежуток времени на число родившихся, из которых произош-
ли эти дожившие. Этот в остальном очень несовершенный метод по-
строения таблицы смертности оказался бы весьма целесообразным по
той легкости, с которой здесь вычисляется мера точности средней дол-
говечности, потому что слагаемые, входящие в правую часть равенства.

Eq =	+ /1 + 12 + + ••• + 7со - 1,

могут рассматриваться как взаимонезависимые в отношении их полу-
чения из наблюдений, и поэтому может быть применена упомянутая
теорема о средней ошибке суммы. Если речь идет об ожидаемой продол-
жительности жизни не новорожденного, а в общем случае — для до-
стигшего возраста х, следовательно, о величине Ех, то вместо числа
родившихся следует поставить число доживших до возраста х в раз-
личные годы, подвергшиеся наблюдению.

Таким образом, вычисление меры точности наталкивается на за-
труднения не из-за существа средней долговечности или ожидаемой
продолжительности жизни как характеристики условной смертности
какого-либо населения, а в связи с теми методами расчета этих вели-
чин, на которые Вестергорд исключительно направил свое внимание.

Мне кажется даже, что направленные против меня замечания Ве-
стергорда в основном покоятся на недопонимании моей работы «Die
mittlere Lebensdauer. Die Methoden ihrer Bestimmung und ihr Ver-
haltnis zur Sterblichkeitsmessung», в которой я пытался доказать, что
при измерении смертности возникают две различные проблемы, ко-
торые не следует смешивать. Первая имеет в виду интенсивность вы-
мирания, а вторая — определение долговечности, или порядка выми-
рания. Последнюю я назвал «биометрической». При этом, согласно моей
концепции биометрическая проблема ни в коем случае не исчерпывает-
ся одной-единственной числовой характеристикой — средней долго-
вечностью, а предполагает, что будет принято во внимание, как
средняя долговечность складывается из образующих ее отдельных
значений долговечности. При таком понимании вычисление средней
долговечности совпадает с построением таблицы смертности. Биометри-
ческую проблему можно решать различными путями. Если нас интере-
сует точность результатов, то мы вправе выбрать тот путь решения,
при котором определение точности происходит легко или хотя бы во-
обще оказывается возможным — так, например, облюбованный Вес-
тергордом путь через нахождение ш0, ом, w2 и так далее или через /х,
Z2, /3 и т. д. Вестергорд, очевидно, полагает, что я признаю единствен-
но правильным идти через вычисление Ео, Е2 и т. д. И даже больше
того: дело выглядит так, как будто Вестергорд считает, что для меня
вся задача измерения смертности сводится к определению значения
средней долговечности, следовательно, одного-единственного числа Ео.
Иначе я не могу понять его высказывания, что мной «рекомендованное»
й «основанное на вычислении по средней долговечности измерение смерт-
ности» представляет собой почти вышедшую из употребления методи-
ку90. И на самом деле методика, которая довольствуется числовым зна-
чением средней долговечности, не заботясь о том, каким образом она
слагается из отдельных значений долговечности для разных возраст-
ных групп, или — что то же самое — из порядка вымирания, —такая
методика характерна для статистики прошлого времени и ныне забро-
шена. В действительности же для меня, как я уже сказал, проблема
средней долговечности тождественна с проблемой порядка вымирания.
Но в таком случае способ измерения не только не вышел из употребле-
ния, но грозит из области измерения смертности распространиться,
назло Вестергорду, и на другие области статистики. Для биометри-
ческого подхода характерно, что единичный случай, с которого и на-
чинается статистическое исследование, здесь представлен жизненным
путем отдельного человека, притом прослеживаемым до возраста его
смерти. Но на жизненном пути индивида могут встречаться и другие
события, кроме смерти, которые могут быть объектами наблюдения,
а путем объединения наблюдений за многими индивидами эти события
могут стать объектами статистического наблюдения и статистического
исследования. Эту мысль и развивал Лексис, распространяя ее на всю
область демографических явлений, в докладе, зачитанном на Венской
сессии Международного статистического института (1876 г.). Недавно
Отто Кёбнер (Otto Kobner) сделал попытку применить тот же научный
подход к явлениям, изучаемым уголовной статистикой. Тот материал,
который, по мнению Кёбнера, должен быть действительным предметом
статистической регистрации и вместе с тем той единицей, из которой
составляются статистические совокупности, — это «уголовный жизнен-
ный путь» («1а carriere criminelle») отдельного человека91. Указанными
применениями не исчерпываются те области, в которых можно поль-
зоваться и несомненно будут пользоваться подходами, аналогичными
биометрическому, или, скорее, подходами более общими, охватываю-
щими и биометрический. Я имею в виду, например, статистику школ
и в особенности университетов в связи со статистикой служащих.
Обобщенная биометрическая точка зрения пригодна не только для
расширения наших знаний о явлениях, часто вскрывая в них новые
стороны, но она, как оказывается, имеет и большое практическое зна-
чение. Представим себе хотя бы огромную область социального страхо-
вания. При расчетах на будущее, которые здесь требуются, результа-
ты наблюдений над смертностью, над инвалидностью, браками, вдов-
ством, сиротством, оставлением профессий и тому подобным должны

90 Op. cit., S. 326.

91 Die Methode einer wissenschaftlichen Ruckfallstatistik als Grundlage einer
Reform der Kriminalstatistik in der 7.eitschrift fUr die gesamte Strafrechtswissen-
schaft, Bd. XIII, Heft 5, Berlin, 1893. Ср. о Кебнере в статье Майра («Ztir Reform
der Ruckfallstatistik» in Allgemeinesstatistisches Archiv III. Jahrgang, Tubingen,
1894).
быть представлены в таком разрезе, который соответствовал бы точке
зрения биометрической или обобщенно-биометрической. Коэффициент
интенсивности был бы здесь недостаточен. Нужны таблицы, которые
давали бы ясное представление обо всех интересующих нас состояниях,
переживаемых каким-либо поколением в процессе его постепенного
вымирания.

Но как бы высоко я ни ценил научное и практическое значение
биометрического или обобщенно-биометрического подхода и сколь
много ни ждал бы от применения его в различных отраслях статистики,
все же я далек как сейчас, так и тогда, когда писал «Die mittlere Le-
bensdauer», от того, чтобы считать эту точку зрения единственно пра-
вомерной92. Значение противоположного взгляда, согласно которому
поведение отдельного человека в отношении к какому-либо обстоятель-
ству в пределах некоторого отрезка времени образует исходную точку
всей концепции, не вызывает у меня никакого сомнения93.

То, в чем я не могу согласиться с методологическими взглядами
Вестергорда, — это не направление в измерении смертности, которое
базируется на понятии интенсивности вымирания, а исключительно
1) одностороннее подчеркивание указанного направления (отстранение
биометрического направления) и 2) тот облик, который этому направ-
лению придал Вестергорд в своем труде «Lehre von der Mortalitat und
Morbilitat». Я имею в виду метод «ожидаемого коэффициента смертно-
сти». Доводы, выдвинутые мной против его метода, Вестергорд так и не
подверг более обстоятельному рассмотрению94. Но для защиты своего
подхода он в одной из более поздних работ обращает внимание на ту
легкость, с которой вычисляются меры точности величин, получаемых
в результате применения рассматриваемого метода, а кроме того, за-
мечает, что эти величины отличаются сравнительно более высокой точ-
ностью95. Допустим и то и другое; все же лишь в том случае я согласил-

92 См. по этому вопросу «Die mittlere Lebensdauer», SS. 47—48, SS. 107—113.

93 На стр. 329 указанного сочинения Вестергорд утверждает, что многие
проблемы статистики смертности не могут быть разрешены методом средней долго-
вечности уже в силу характера самого материала; таков, например, вопрос о
смертности в связи с профессией. Если это утверждение по замыслу служит вы-
падом против меня, то последний, очевидно, направлен не по адресу. С другой
стороны, воззрение Вестергорда, согласно которому средняя долговечность
в состоянии лишь служить иллюстрацией к проявлению смертности, а в отноше-
нии методики может быть поставлена наравне со значением пожизненных рент,
которые также зависят от силы смертности, —эти высказывания полностью про-
тиворечат позиции, занимаемой мной в работе «Die mittlere Lebensdauer». Ведь
при биометрическом подходе долговечность представляется непосредственным
объектом исследования. В том-то и состоит односторонность понимания Вестер-
гордом задач измерения смертности, что он не хочет допустить самостоятельного
значения биометрической постановки проблемы.

94 Это обстоятельство могло бы снять с меня обязанность вновь возвращаться
к обсуждению данного метода. Однако я вновь возвращусь к этой теме еще раз
позднее. См.: Jahrbuchern fur Nationalokonomie und Statistik, Dritte Folge, Bd.
XI, 1896 (Dritter Artikel).

95 Потому что эти величины суть средние вероятности постоянного состава,
или средние математические ожидания постоянного состава.
ся бы с оценкой, даваемой Вестергордом методу «ожидаемого числа
умерших», или «ожидаемого коэффициента смертности», если бы этот
метод не страдал теми недостатками, которые указывались мной и
другими. Ибо точность статистической величины должна всегда рас-
сматриваться как нечто второстепенное, и поэтому при обсуждении
методологического значения какого-либо статистического измеритель-
ного метода следует на вычисление меры точности обращать внимание
лишь во вторую очередь. Правда, ничего нельзя возразить против
такого высказывания Вестергорда: «При прочих равных условиях
следует отдавать предпочтение тому виду статистического показателя,
который допускает наиболее четкое измерение достоверности, присущей
всякому статистическому измерению». Но, как мне кажется, практи-
чески мы редко будем пользоваться этим критерием как раз именно
из-за обязательного требования: «при прочих равных условиях».
Неужели мы вправе считать требование прочих равных условий вы-
полнимым, когда речь идет о сравнении метода средней долговечности,
т. е. порядка вымирания, с методом ожидаемого числа умерших, т. е.
ожидаемого коэффициента смертности? В том-то, как мне кажетсяч и
ошибается Вестергорд, что он при неодинаковых прочих условиях
придает такой большой вес вычислению меры точности. Наше расхож-
дение с Вестергордом в немалой степени основано на том, что мы по-
разному расцениваем значение обработки статистических данных с точ-
ки зрения теории вероятностей. Для него она имеет большой практи-
ческий интерес и притом, в двух отношениях. Во-первых, учет меры
точности препятствует обратному заключению от значений статисти-
ческих относительных чисел к соответственным «общим условиям»,
когда малое число наблюдений, положенных в основание относитель-
ных чисел, делает подобное заключение необоснованным. Во-вторых,
мера точности позволяет оценивать точность предсказаний на будущее,
опирающихся на наблюдения над прошлым.

Что касается первого пункта, то мне кажется, что среди много-
численных источников ложных выводов умозаключения указанного
рода, основанные на недостаточном числе данных, не играют значи-
тельной роли. Опытный статистик, хотя бы даже совершенно незна-
комый с теорией вероятностей, в данном отношении, как правило,
почти безошибочно руководствуется своего рода «статистическим
чутьем» («unmethodical wisdom», по выражению Эджворта). Несом-
ненно лучше, если к этому добавляется некоторый навык в пользова-
нии исчислением вероятностей, который может существенно отточить
это чутье. Напротив, величина меры точности в каждом отдельном
конкретном случае представляется как слабо обоснованная роскошь
в работе статистика. Стоит только принять во внимание, что в таких
случаях гораздо реже интересуются значением той вероятности, с ко-
торой мы вправе делать выводы относительно «общих условий» явле-
ния, чем оценкой того, настолько ли близка эта вероятность к единице,
что практически может быть сочтена за достоверность, или же она та-
кой близостью не обладает. Несомненно, что мнение Вестергорда сле-
дует считать преувеличенным, поскольку он склонен считать статисти-
126
ческое исследование дилетантским, если в нем не была принята во
внимание мера точности96.

Что касается предсказаний, то и относительно них закрадываются
такие же сомнения. В наиболее благоприятном и вместе с тем редком
случае, когда за достаточно долгий срок значения какого-либо стати-
стического относительного числа обнаруживают нормальную диспер-
сию, предсказанию скорее можно приписать определенную достовер-
ность, чем в случае сверхнормальной дисперсии. Но при этом предпо-
лагается, что действующие в данном случае «общие условия», о кото-
рых известно, что в течение исследуемого периода они не изменяются
также и в будущем. Поэтому недостоверность предсказания вызывает-
ся не только ошибками вследствие ограниченного числа наблюдений,
которые можно численно оценить, но также и второй указанной при-
чиной. Последняя, однако, не может быть учтена количественно97.
Но может оказаться психологически трудным рассматривать недосто-
верность, определенную по формуле дисперсии, не более как гипотети-
ческую, покоящуюся лишь на допущении правильности умозаключения
по эмпирической аналогии, вследствие чего будем склонны принимать
найденное числовое значение непосредственно за меру недостоверно-
сти предсказаний. Поэтому мы, пожалуй, не ошибемся, сказав, что
в известных случаях вычисление меры точности может вводить в за-
блуждение. Это соображение приобретает тем большее значение, чем
многочисленнее наблюдения, лежащие в основе вычисленных или под-
лежащих вычислению относительных чисел.

Если теперь обратиться к той области, в которой предвидение воз-
буждает к себе величайший практический интерес, а именно к страхо-
вому делу во всех его формах и отраслях, то мы убедимся, что в этой
области нигде не руководствуются правилами исчисления вероятно-
стей, чтобы определить ожидаемые отклонения от предполагаемых (со-
гласно средним, найденным из предшествующего опыта) результатов98.
«Прибавки на верность», добавляемые иной раз к страховым премиям
при их расчете, никогда не назначаются по правилам теории вероятно-
стей, а просто по произвольным оценкам. И такие действия имеют свои
основания в том, что среди причин, обусловливающих отклонения,
игра случайных и притом разрозненно действующих причин имеет
столь малое значение, что их влиянием согласно общей методике мож-
но пренебречь, поскольку недостоверность, вызываемую действием
прочих, более важных причин, численно установить невозможно99.

К статистике, нарушающей правила методики, хорошо подошли

96 Grundziige der Theorie der Statistik, S. 7.

97 См.: К r ies, Prinzipien, Кар. VII, § 8; ср. также § 9.

98 Ebenda, SS. 239—240.

99 Приведенные здесь объяснения имеют значение лишь при очень большом
числе наблюдений. Более благоприятные для вычисления меры точности обстоя-
тельства мы встречаем там, где имеется сравнительно небольшое число наблюде-
ний. Об этом см.: Лексис. О теории стабильности статистических рядов
стр. 35. В связи с этим расчеты «рисков», вообще говоря, в более мелких
страховых обществах точнее, чем в крупных.
бы слова, приписываемые Тьеру: «La statistique est 1’art de preciser
ce qu’on ignore». («Статистика — это искусство утверждать то, чего не
знаешь»).

И вот я полагаю, что вычисления, касающиеся меры точности при
выборе между различными, но нацеленными на определение одного и
того же массового явления методами, должны стоять на последнем
месте. Еще менее рационально отдавать предпочтение таким величинам,
эмпирические значения которых, расположенные в ряд, показывают
почти нормальную дисперсию. Не лишне отметить даже нечто вроде
антиномии, выражающейся в том, что те статистические величины,
которые лучше других укладываются в схему теории вероятностей,
вместе с тем оказываются большей частью лишенными материально-
статистического интереса, тогда как, наоборот, статистические вели-
чины, по своему существу наиболее интересные, обычно не поддаются
углубленной статистической обработке.

В противоположность Вестергорду я утверждаю, что ценное зна-
чение теории вероятностей для статистики по самой природе своей
не практическое, а теоретическое. Для того чтобы выяснить мою точку
зрения, да будет мне позволено начать с краткого изложения основных
методологических воззрений тех, кто, совершенно не заботясь ни о
принципах, ни о формулах теории вероятностей, идут в статистике
своими путями в области как теории, так и практики.

Статистик, вооруженный формулами теории вероятностей, в погоне
за возможно более устойчивыми относительными числами чувствует
себя удовлетворенным не ранее, как выявив подобные устойчивые во
времени соотношения, подверженные лишь действию случайных при-
чин в предписанных им границах.

И статистик-практик не так уж неправ, когда он выдвигает в про-
тивовес этому свою точку зрения, считая наиболее содержательным и
интересным в статистических числах не их устойчивое однообразие,
а как раз наоборот — их изменчивость во времени. На самом деле,
что можно извлечь из числовых значений статистической величины,
каждое из которых соответствует некоторому отрезку времени, если
эти числа ведут себя подобно приближенным значениям одной, общей
им всем теоретической вероятности или общего математического ожи-
дания? Во-первых, из этого следует нечто положительное: довольно
твердо обоснованная уверенность в постоянстве некоторого, в большин-
стве случаев точнее неопределимого комплекса «общих условий»,
имеющих решающее значение для исследуемого массового явления100.
Во-вторых, мы можем извлечь несколько отрицательных выводов, об-
щий смысл которых сводится к тому, что рассматриваемое массовое яв-
ление не зависит от таких факторов,’ которые за время наблюдений
обнаружили бы явные изменения. Если же мы рассматриваем случай
«симптоматического» ряда, члены которого не укладываются ни в ка-
кую общую для всего ряда вероятностную схему, то для него может
оказаться весьма плодотворной обработка иными средствами, не опи-

100 Ср.: часть первая, стр. 93, последний абзац.
рающимися на теорию вероятностей. Если данный статистический ряд
сопоставить с другими статистическими рядами, изменчивость которых
не поддается статистической характеристике и требует иного подхода,
то в известных условиях-могут выявиться параллелизмы или антаго-
низмы, которые позволят сделать положительные выводы о влиянии
и связях самого разного рода.

Со стороны современной статистики вполне последовательно ви-
деть свою работу в том, чтобы выявлять и устанавливать соотношения и
сосредоточивать свое внимание главным образом на изменчивых и по-
тому чутко отзывающихся на всякое влияние показателях и числовых
измерителях. В этом проявляется ее расширившийся кругозор по
сравнению с так называемой математической школой (политические
арифметики, а отчасти также и Кетле), исследования которой, если
только они не преследовали чисто практические цели, ставили себе
лишь ту задачу, чтобы доказать принцип закономерности в области
социальных явлений путем обнаружения постоянства числовых рядов.

Но не зайдем ли мы слишком далеко, если будем огульно отрицать
ту устойчивость статистических наблюдений, которую столь же огуль-
но раньше утверждали, потому что она удерживалась в установленных
для нее границах лишь в немногих случаях, а в этих немногих случаях
казалась чем-то само собой разумеющимся? Говорят так: «Все называе-
мое вероятностным выводом исходит из того, что нечто наблюдавшееся
при известных обстоятельствах, если последние остаются неизменными,
вероятнее всего будет повторяться снова. Если явления возникают как
следствие определенной, хотя доподлинно нам и неизвестной комбина-
ции воздействий, то при неизменности этих обстоятельств можно ожи-
дать с большой вероятностью, что они повторятся, а не будут заменены
иными. Этот ход мыслей полностью опирается на понятие причинности.
Обстоятельства составляют фундамент, который остается неизменным,
а поэтому и вызывает неизменные следствия»101. Если объяснение ста-
тистической устойчивости на основе принципа причинности было бы
правильным, то фактически часто наблюдаемое постоянство статисти-
ческих чисел не имело бы особой значимости, так как принцип причин-
ности всеми признается как необходимая предпосылка научного, а сле-
довательно, и статистического мышления и для своего обоснования не
нуждается в эмпирических доказательствах. Но как быть, если рас-
сматриваемое здесь гипотетическое постоянство статистических на-
блюдений, т. е. постоянство, которое осуществляется в действитель-
ности лишь в предположении постоянства условий, не может быть по-
нято на основе лишь принципа причинности? Всякий непредубежден-
ный человек должен допустить, что, строго говоря, нельзя противопо-
ставлять, с одной стороны, «обстоятельства» или «общие условия»,
определяющие массовое явление как некую причину, а с другой сто-
роны, наблюдаемые статистические числа в качестве их следствия.
Прежде всего представляется непримиримым с самой природой причин-
ности, что при строго определенном состоянии причины все еще остает-

101 А. М е i t z е п, Geschichte, Theorie und Technik der Statistik, S. 113.
ся некоторый простор для изменчивости следствия (ведь статистиче-
ские наблюдения лишь приблизительно устойчивы, тогда как «обстоя-
тельства» остаются неизменными). Надо принять во внимание также и
следующее: если разложить рассматриваемую статистическую сово-
купность на отдельные случаи, ее образующие, то поведение каждого
отдельного случая диктуется некоторой определенной цепочкой при-
чиннозависимостей. Таким образом, и вся статистическая совокупность
с каузальной точки зрения могла бы быть сведена на всю сеть этих
причиннозависимостей. Но в таком случае, что же остается для не-
посредственной причинной связи между «общими условиями» и общим
следствием?

Но если недостаточно сослаться на необходимое соотношение между
определенным поведением причин и столь же определенным поведе-
нием следствия для того, чтобы сделать понятным условное постоянство
статистических наблюдений, то для этого непригодно и положение:
«сходные причины вызывают сходные следствия». Правда, это положе-
ние не влечет за собой необходимость допустить особую непосредствен-
ную причинную связь между «общими условиями» и статистическими
наблюдениями. Скорее можно было бы говорить о сопоставлении не-
которой суммы причин с суммой следствий. Но при такой точке зрения
теряется всякое основание для ожидания определенной степени прибли-
жения к постоянству, которая проявляется в статистических числах 102

102 Зигварт (Ch. Sigwart, Logik, Bd. II, Die Methodenlehre, 1878, § 101,
S. 14) высказывается в том смысле, что закономерности в статистике по своей
природе не коренятся в причинности. В том-то и состоит трудность и вместе с тем
одна из важнейших задач теории, чтобы выяснить, как примирить принцип при-
чинности в том виде, как он применим при рассмотрении каждого единичного
явления, с принципом закономерности, как он проявляется в совокупностях,
образованных из подобных отдельных случаев, и найти правильное соотношение
между ними. И эта проблема одинаково касается и таких явлений, которые или
совсем не зависят от человеческой воли, или зависят лишь в слабой степени, и тех
которые зависят главным образом от человеческой воли. Последователи Кетле
впали в ошибку, признав, до известной степени, приоритет статистической зако-
номерности над принципом причинности, господствующим в отдельных явлениях,
и утверждая подчинение второго принципа первому. Эта исходная точка одинако-
во применима и к миру физических, и к миру психических явлений. По странному
непониманию сущности проблемы — непониманию, которое можно объяснить
лишь исторической обстановкой, только одна последняя область — область
нравственной статистики — стала ареной борьбы против направления кетлетиз-
ма, хотя и с гносеологической, и с логической точек зрения было бы последова-
тельнее вести борьбу против одностороннего подчеркивания значения законо-
мерности. Своеобразная окраска, которую в силу этого получил спор, приводила
подчас к большим неясностям, так, например, Шмоллер (Schmoller) и другие ав-
торы того же (этического) направления, которые считали уместным даже к воп-
росам теоретической статистики подходить со стороны возбуждаемых ими мораль-
ных эмоций. При изъяснении выдвинутого Кетле понятия «penchant au crime»
(«склонность к преступлению») Шмоллер говорит: «Это психологически чудовищ-
но говорить в лицо каждому представителю нации, даже самому благородному,
что его склонность к преступлению математически точно характеризуется дробью
21/100 ООО». «Когда статистик мне говорит,— восклицает Рюмелин (Riimelin) —
что я в течение года должен умереть с вероятностью 1/19 (у Рюмелина стоит
1/49) и с еще большей вероятностью должен буду пережить утраты среди близких
мне людей, то я должен в смирении склониться перед горечью этой истины, но
Насколько принцип причинности, взятый сам по себе, недостаточен
для объяснения статистической закономерности, лучше всего выясняет-
ся тем, что даже теоретики того направления, которое представляет,
например, Мейтцен (Meitzen), не могут обойтись в своих общих рас-
суждениях без ссылок на действие «случайных причин», на «нарушение
закономерности как исключения», на требование «большого числа»
наблюдений и тому подобное; все это суть представления и понятия,
чуждые логическому соотношению между причиной и следствием.
При этом удивительно, с какой легкостью эти теоретики скользят мимо
назойливых вопросов, в частности вопроса об игре случайных при-
чин103.

Но если дело обстоит так, то возникает законная потребность
в каком-то принципе, который уже нетожествен принципу причин-
ности и дает более удовлетворительное объяснение условной устойчи-
вости статистических явлений. Это было осознано тем направлением
теоретико-статистического исследования, которое признало, что мас-
совые явления человеческого общества можно понять, лишь исходя из
принципов теории вероятностей. Мне кажется, что значение теории
вероятностей для статистики заключается именно в том, что путем све-
дения статистических данных к известным схемам теории вероятностей
мы открываем путь для правильного понимания сущности статисти-
ческой закономерности. Мысль о том, что статистические числа суть
приближенные значения определенной вероятности и математических
ожиданий, означает, по-моему, углубление научного понимания в этой
области. Таким образом, исчисление вероятностей можно считать в не-
котором смысле пропедевтикой теоретической статистики, причем центр

если они, опираясь на сходные средние величины, вздумают мне объявить, что
я с вероятностью в 1, деленную на столько-то или столько-то, совершу поступок,
который станет предметом уголовного преследования, то я без малейшего колеба-
ния отвечу: «Ne sutor ultra crepidam» («Не суди выше сапога»). Таким образом,
понятие и сущность индивидуальности оказываются защищенными от покушения
со стороны статистического детерминизма, которому хотелось бы всех людей
остричь под одну гребенку» (Die neueren Ansichten fiber Bevolkerungs- und Moral-
statistik.— In dem Sammelwerk «Zur Literaturgeschichte der Staats- und Sozial-
wissenschaften», 1888, S. 196)* *. Утверждаемое в цитированном отрывке противо-
поставление во всех отношениях неправильно, ибо то, что составляет существо
дела, одинаково затрагивает и числа смертности, и уголовную статистику. Ведь
относительные числа статистики смертей столь же мало обладают способностью
вызывать смерть человека, как подобные же числа нравственной статистики при-
нуждать человека к совершению преступления. И разве самый жизнеспособный
и здравый человек данной национальности не вправе восстать против физиологи-
ческой «чудовищности» навязываемого ему статистикой предсказания смерти
с вероятностью, соответствующей численному значению средней смертности?

* (R u mel in, Ueber den Begriff des eines socialen Gesetzes, 1867, S. 25;
S igwart, II, S. 537. — А. А. 4.).

103 M e i t z e n, op. cit., S. 117. В резком противоречии с такими высказыва-
ниями, которые представляют статистические закономерности как нечто само
собой разумеющееся, стоит утверждение Лексиса о том, что в области статистики
населения и нравственной статистики «выявляется своеобразие закономерности
в числовых соотношениях некоторых массовых явлений, которые пока не находят
себе дальнейшего объяснения, но которые приходится признавать просто как нечто
фактическое» (Lexis, «Statistik». Im: Handworterbuch der Staatswissenschaf-
ten, Bd. VI. S. 2).
тяжести переносится здесь на теоретико-познавательную и логическую
стороны теории вероятностей, тогда как «алгоритм» последней будет
по сравнению с этим уже делом второстепенным104.

Говоря совершенно искренне, я не представляю себе лучшего введе-
ния в изучение статистики, чем чтение уже столь часто цитированной
мной книги Криса об основах теории вероятностей. Если в этой книге
применение формул теории вероятностей к статистическим данным и
ограничивается по некоторым специальным основаниям, с которыми я
не могу согласиться, и если поэтому для вычисления меры точности и
дисперсии в статистике ставятся слишком узкие границы, то эти не-
значительные промахи ни в каком случае не лишают силы конечные вы-
воды, к которым приходит автор книги, означении стохастической раз-
работки статистических наблюдений. «При том весьма важном предпо-
ложении, что мы не строим себе никаких иллюзий относительно не-
посредственного смысла числовых вероятностей, привлечение исчис-
ления вероятностей следует признать и полезным и плодотворным, а
некоторое знание его даже совершенно необходимым. Однако, тем не
менее, понятно и оправдано реальной действительностью, что такие
расчеты в литературе большой роли не играют и можно предполагать,
что такое положение сохранится и в будущем»105 106.

ДОПОЛНЕНИЕ

Во второй части этой работы я пытался критически осветить неко-
торые вопросы вычисления меры точности для ожидаемых величин
и для именованных средних величин в статистике, затронутых в одной
уже не новой работе проф. Эджворта. ,

Проф. Эджворт* ответил на мои замечания. По некоторым вопросам
он со мной согласился, но эти пункты он считает второстепенными,
касающимися лишь формы его изложения, а не содержания. В осталь-
ном же он остается на прежних позициях, отличных от моих, вследст-
вие чего вновь встает передо мной задача попытаться достичь взаимо-
понимания.

104 «Как раз основные математические принципы теории вероятностей ха-

рактеризуют вместе с тем и природу ее, и если мы вообще считаем возможным
проводить различие между теорией вероятностей и общим учением об исчислении
вероятностей, то это различение покоится не на различии в принципах, а на даль-
нейшем их развитии. Исчисление занимается точным решением определенных
задач, логическое же учение исследует возможность применения этих принципов
вообще и пытается вскрыть характер и логическую сущность математических
методов». Fr. Lange. Logische Stuaien, Leipzig, 1894, S. 113.

106 Стр. 253. В цитате говорится, собственно, о применении статистических
методов в медицине, но это применение можно, не нарушая общего строя мыслей
автора, распространить и на всю область статистики. Ср.: Lexis, Statistik.
Im: Handworterbuch der Staatswissenschaften, Bd. VI, S. 2. Краткая характеристика
целей теоретико-вероятностной обработки статистических наблюдений дополня-
ется следующим замечанием: «Эта вторичная разработка статистических наблю-
дений образует высший раздел теории статистики, но не следует переоценивать
значение, которое оно имеет в общей массе статистических разработок».

* Jahrbilchern fur N'ationaldkonomie und Statistik, 1896, Bd. XI, Heft 2.—
Прим, перев.
I (1) Речь идет об определении меры точности для значения средней
долговечности —вопрос, который в более ранней статье проф. Эджвор-
та был изложен в не вполне ясной и, как я, кроме того, утверждаю,
несвободной от противоречий форме. Все то, что проф. Эджворт в своей
последней статье говорит (стр. 274—275) по этому поводу само по себе
совершенно правильно, но ни в каком отношении не затрагивает мою
критику.

Из объяснений проф. Эджворта, по-видимому, вытекает (стр. 275
вверху), что он считает неправильным предложенное мной во второй
части (стр. 117 вверху (в скобках) и стр. 118 вверху) толкование приво-
да	2Se2 гл

димои у него формулы -----. Он приписывал символам е и и другие

значения, чем я. По его толкованию е — это отклонение одного единич-
ного значения продолжительности жизни от средней долговечности
целой группы, а п соответствует моему /20 (вторая часть, стр. 118).

При таком разъяснении указанное мной противоречие до некоторой
степени смягчалось бы, но возникает вопрос: допускает ли контекст,
содержащий эту формулу (на стр. 190 в «Methods of Statistics»), такое,
отличное от моего, толкование? Я полагаю, что на последний вопрос
следует ответить отрицательно по двум основаниям: 1) на. стр. 190

2Se2

«Methods of Statistics» ясно указано, что-- есть «отклонение сред-

них» (в отличие от «отклонений единичных наблюдений»). Если бы при
этом, е и п имели бы значение, которое утверждает за ними Эджворт,
то в знаменателе не было бы числа врачей (ср. вторая часть, стр. 118).
Или здесь возникла новая словесная ошибка? 2) при таком толковании
побочное положение, непосредственно примыкающее к формуле, ста-
новится совершенно непонятным, более того — бессмысленным. «В
этом случае, — читаем мы на стр. 190 в «Methods», — колеблемость
.	- 2Se2

средних дается формулой-----, которая теперь не только теоретически

предпочтительнее, но и практически отличается от других формул,
которые могли применяться в предыдущем случае». «Предыдущий слу-
чай» же соответствует тому, в котором отдельные значения подчиняются
закону ошибок Гаусса. Для последнего случая проф. Эджворт вывел
такую же формулу, где весть не что иное, как отклонение единичного
случая от средней, и п — число отдельных наблюдений. Но как же
тогда быть с различением обеих формул, которое так подчеркивалось
в побочной теореме? Так как обе формулы по своему виду тожественны,
то следовало бы ожидать, что различие могло бы корениться в том, что
одним и тем. же буквам-символам приписывается различный смысл.

Тщательный разбор толкований спорного места приводит меня
к допущению, что проф. Эджворт, когда писал 11 лет тому назад («Met-
2Se2

hods...,» S. 190) формулу——, придавал символам е и п не те значения,
которые он вкладывает в них теперь. Но в таком случае мое утвержде-
ние о противоречивости остается в полной силе.

Для того чтобы осмыслить и упорядочить изложение, нужно было
бы переход от формулы—— и дополняющих ее объяснений к предпри-
нимаемому расчету вместо краткого «итак» выразить примерно сле-
дующим образом: «Мы должны поэтому образовать п групп, для каж-
дой сперва найти среднюю — частную среднюю, а затем вычислить
соответствующие отклонения каждой частной средней от общей
средней. Сумму квадратов этих отклонений умножить на 2 и разделить
на п (число групп); тогда мы и получим искомую «колеблемость»
(«Fluktuation»). Однако теория вероятностей указывает, что ту же цель
можно достигнуть более кратким путем, который состоит просто в том,
чтобы проделать с отдельными значениями совершенно такой же расчет,
какой мы только что изложили, имея в виду тот случай, когда эти от-
дельные значения подчиняются закону ошибок Гаусса». И лишь после
таких или сходных с ними объяснений могло бы последовать воспроиз-
веденное мной во второй части (стр. 117) изложение. А в том виде, как
это место выглядит сейчас, то понятие, в особенности количественный
смысл ей и, в ходе изложения претерпевает внезапное превращение,
которое никакими ссылками на Лапласа и на Тодхунтера (Todhunter)
не оправдывается.

(2)	. Я сделал проф. Эджворту упрек в том, что он признает возмож-
ность вычисления меры точности двумя различными методами лишь
для величин типа вероятностей, но не типа математических ожиданий.
И теперь он повторяет с еще большей решительностью, что для мате-
матических ожиданий, к каким, например, относится средняя долговеч-
ность, применим только один способ вычисления. Однако истинным
будет противоположное утверждение.

Пусть мы знаем для некоторого периода лет X (скажем, для 40 или
50 лет) числа ежегодно рождающихся младенцев, следовательно, знаем
численности X поколений, которые мы для простоты будем считать рав-
ночисленными, т. е. состощими из п новорожденных, и которые мы на-
блюдаем в их постепенном вымирании; так мы найдем для поколения
первого года значение Х4 для средней долговечности, для поколения
второго года — Х2 и так далее до Хх. Для долговечности отдельных
людей мы имеем х2, х3, ..., х\п- Согласно этому имеем:

*1+ х2+ ... + х)п	Хх + Х2 + ... + Хх

й =	X	= А°’

где Хо — общая средняя долговечность. Теперь нам надо найти ее
меру точности. Для этого мы можем в одном случае пользоваться
формулой

Н = --—	-	,.--пХ	----- ----- (метод А)106,

V* {(*1 - Хо)2 + (*2 - Х0)2 + ... + (хХп - Х0)2}

106 Легко понять, что при этом способе мы сперва, пользуясь всеми наблюде-
ниями, строим таблицу смертности и вычисляем из определенных ее элементов
нужную нам меру точности так, как об этом сказано во второй части (стр. 118).
а во втором случае — формулой

° V 2{(Х1-Х0)2+(Х2-Х0)2+... + (Хх-Х0)2}

(метод В)

Как Н, так и HQ можно рассматривать в качестве значений искомой
меры точности; можно ожидать совпадения обоих значений в том слу-
чае, если группы, соответствующие частным средним Х4, Х2, ...»
были составлены случайно.

В противном случае сравнение между Н и HQ будет иметь совер-
шенно тот же смысл, какой имеет для статистических относительных

чисел сравнение двух значений меры точности, из которых одно вычис-
лено по «комбинаторной», а другое по «физической» методике. Выраже-

ние для Н не только аналогично выражению	дающему меру точ-

ности эмпирического значения вероятности р, в основе которого ле-
жит л отдельных наблюдений, но последнее выражение представляет
собой лишь частный случай первого, как это показано во второй части
моей работы (стр. 112 и 114).

Если же проф. Эджворт в его ответной статье (стр. 276) утверждает,
что для чисел типа вероятности (для относительных чисел) мера точ-
ности вычисляется один раз априори, а другой раз апостериори, тогда
как для математических ожиданий оба вычисления ведутся апосте-
риори, то на это я отвечу, что вычисление по формуле "|/~в стати-
стике никогда не производится априори, потому что вместо р вводится
значение, получаемое эмпирически, так что в указанном отношении
этот метод не отличается от метода А для математического ожидания. С
другой стороны, как только мы сойдем с почвы статистики, тотчас пред-
ставится возможность и для значений'математических ожиданий облечь
условия опыта в такую форму, при которой вычисление Н представ-
ляется априорным. Пример такого рода я привел во второй части моей
работы (стр. 110). Проф. Эджворт в своей статье (Some recent Contri-
butions to the Theory of Statistics. — Journal of the Royal Statistical
Society of London, 1895, S. 507) и сам ссылается на пример такого рода.

В отношении вычисления меры точности согласно сказанному во-
обще нет разницы между значениями вероятностей, или статистически-
ми относительными числами, с одной стороны, и значениями математи-
ческих ожиданий, или именованными средними величинами в стати-
стике, с другой стороны, которую сконструировал проф. Эджворт107.

Меня очень удивило бы, если бы проф. Эджворт в дальнейшем не
признал этой истины, так как я ни на минуту не сомневаюсь в том, что
всякий знающий дело со мной согласится.

(3)	Если проф. Эджворт пытается оправдать свою оценку «комби-
наторной» методики тем, что она неприменима, когда между отдельными
случаями имеется взаимозависимость, то я могу отказаться от нового

107 Более подробный разбором.: Вторая часть, стр. 110 и стр. 111.
рассмотрения этого вопроса, сославшись на мои прежние разъяснения
(вторая часть, стр. 101—102, в особенности стр. 103). Мне хотелось бы

вновь подчеркнуь следующее: сравнение двух мер точности, из кото-
рых одна вычислена по «комбинаторной», а другая но «физической»
методике, особенно пригодно для оценки степени взаимосвязности
(солидарности) отдельных случаев, которые, по мнению проф. Эдж-
ворта, исключают применение «комбинаторной» методики (см. вторая
часть, стр. 93—104). В одном месте проф. Эджворт говорит: «Весьма
трудно оценить относительную пригодность этой методики — «ком-
бинаторной» в отличие от «физической», если пользоваться терминами
проф. Лексиса. Может быть, будет правильнее сказать, что первый
подтверждает второй, когда в результате с ним совпадает, но не опро-
вергает его, расходясь с ним. И наше отношение к априорному методу
подобно тому, о котором в «Punch» литератор говорит своему критику:
«Мне наплевать на ваше мнение, но если меня вы похвалите, то мне
это будет приятно»108. Такое сравнение мне кажется более остроум-

ным, чем верным.

II. Конечно, это вопрос чисто терминологический — применять ли
термин «комбинаторная» методика в более узком или в более широком
смысле и, присоединяясь к проведенному различению между методи-
ками А и В, называть «комбинаторной» методику А в том случае, когда
она применяется к относительным числам (безразлично как к значе-
ниям вероятностей, так и к значениям математических ожиданий).

Напротив того, важно понимать, что методика h = представ-
ляет собой частный случай методики Л. Именно этот-то взгляд проф.
Эджворт и отвергает, так как, в противном случае, чем же объяснить,
что для средней долговечности он не считает нужным сделать по от-
ношению к методике А для вычисления меры точности (см. вторая часть,
стр. 118—119, где я правильно, как это удостоверил сам проф. Эдж-
ворт, изложил примененный им расчет) то же предостережение, кото-
рое он сделал относительно применения формулы h = при поль-
зовании ею в случае относительных чисел? Можно с полной уверен-
ностью утверждать, что в случае средней долговечности для Н мы
получим более высокое значение, чем для Но. Если, говоря иначе, мы
имеем ряд поколений, то соответствующие им значения средней дол-
говечности окажутся колеблющимися гораздо сильнее, чем те, кото-
рые можно было бы согласно теории ожидать от случайно составлен-
ных групп, то по численности одинаковых с численностями поколений.
Поэтому проф. Эджворт, если бы он захотел быть последовательным,
должен был бы считать методику В единственно правильной. Вместо
этого ему кажется, что мера точности для средней долговечности, най-
денная с помощью методики Л, аналогична той же мере точности, ко-

108 On the Methods of ascertaining Variations in the Rate of Births, Deaths
and Marriages.— Journal of the Royal Statistical Society, 1885, p. 633—644.
торая вычисляется для статистических относительных чисел с помощью
«физической» методики.

Из сказанного ранее можно заключить, что наша полемика не пред-
ставляется спором о словах, а свидетельствует о наших расхождениях
во взглядах, которые не лишены практического значения, так как речь,
идет об основополагающих вопросах, относительно которых необхо-
димо прийти к полной ясности.

L. Bortkewitsch, Kritische
Betrachtungen zur theoretischen Sta-
tistik.

Jahrbilchern filr Nationaldkono-
mie und Statistik, Dritte Folge, Bd.
VIII, 1894, SS. 641—680, Bd. X, 1895,
SS. 321—360 und Bd. XI, 1896, SS.
701—705.

Перевод с немецкого H. С. Четвери-
кова
А. А. ЧУПРОВ

К ТЕОРИИ СТАБИЛЬНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ*

ВВЕДЕНИЕ

I

Чем можно объяснить бросающуюся в глаза закономерность стати-
стических чисел, опирающихся на массовые наблюдения? Какое науч-
ное объяснение можно дать их колебаниям? Эти вопросы образуют
ядро всякой теории статистики, которая хочет стать чем-то большим,
чем пестрая смесь технических правил регистрации и сводки массовых
наблюдений.

Указание правильных путей к решению этих вопросов — заслу-
га тех, кто предложил рассматривать статистические закономерности
с точки зрения «стохастики», если воспользоваться метким термином,
созданным Бернулли и воскрешенным к новой жизни
проф. Борткевичем.

Два столетия прошли с тех пор, как Якоб Бернулли вскрыл основ-
ные соотношения между статистически установленными частостями
каких-либо событий и лежащими в их основании вероятностями. Ге-
ниальная мысль упала на добрую почву, но семени пришлось долго
прорастать, прежде чем то, что из нее выросло, сделалось опорой науч-
ного мировоззрения, ибо именно так — чем далее, тем более — мы
привыкаем его расценивать. Первыми его подхватили математики'.
Муавр (De Moivre) и Лаплас возвели на этом фундаменте грандиозное
здание, оставаясь в первоначальных рамках построения Бернулли.
«Исследование вероятности суждения» Пуассона внесло новую идею:
начали приходить к убеждению, что характер взаимоотношений между
частостями и лежащими в их основании вероятностями не должен
предполагаться неизменным. Это чреватое последствиями воззрение
было подхвачено Курно и разработано главным образом Бьенэмэ
(Bienayme) в формах, послуживших образцами и для ученых последую-

* Оттиск работы А. А. Чупрова, по которому был выполнен перевод, со-
держит ряд исправлений формул, внесенных рукой автора и принятых во внима-
ние при переводе.— Прим, перев.
щих поколений. Но все же не сразу выяснилось, насколько далеко про-
стирается сила этих выводов. Если, например, проследить захватив-
ший даже 70-е годы XIX в. литературный крестовый поход против так
называемых «кетлетистов», чьи преувеличения ничего не стоило отра-
зить с помощью построений Пуассона, применение этих построений
можно найти лишь в одной статье Льюиса (Kornwall Lewis), появив-
шейся в Edinburgh Review за 1858 г. Между тем такие ученые, как
Шмоллер и даже Рюмелин, выступали с доводами, свидетельствовав^
шими о благородстве их мысли, но отнюдь не о понимании существа
дела. Всего удивительнее, что Бьенэмэ, лучше других схвативший
отвлеченную суть проблемы, обнаружил полную беспомощность перед
конкретными задачами; так, он предполагал, что стабильность многих
числовых рядов в судебной статистике много выше, чем стабильность
соотношения полов среди рождающихся.

Переброска моста между построениями математиков и задачами
статистиков составляет заслугу, с одной стороны, французского стати-
стика-страховика Дормуа, а с другой — В. Лексиса, который почти
одновременно с первым наметил тот же путь. Приоритет по времени
все же бесспорно принадлежит Дормуа. Но так как соответствующие
идеи систематически были развиты впервые Лексисом и им введены
в научный обиход1, то нельзя видеть слишком большую несправедли-
вость в том, что в настоящее время говорят о лексисовой теории рас-
сеяния, вместо того чтобы говорить — как было бы правильнее —
о теории Лексиса — Дормуа.

На созданной Лексисом основе велось дальнейшее построение.
Особые заслуги в деле строительства начатого Лексисом здания принад-
лежат проф. В. Борткевичу: теория дисперсии Лексиса обязана ему
существенным усовершенствованием математического аппарата, так же
как важным обобщением в постановке самой проблемы.

Величественное здание, открытое сейчас взору компетентного зри-
теля, несет, однако, в себе ясные следы своего постепенного возникно-
вения. Смотря по настроению последовательных участников стройки,
то возводились пристройки, то делались перестройки. Не было единого
архитектурного плана, никто не позаботился о целостном, закончен-
ном фасаде. Здесь вновь приходит на помощь исчисление вероятности;
основы для завершения строительства можно заимствовать из работ
А. А. Маркова и из прекрасной работы проф. Вольмана, представлен-
ной им на Международном конгрессе статистиков в Риме.

Воспользоваться этими завоеваниями чисто математических иссле-
дований для построения статистической теории дисперсии — такова
главная задача первого из предлагаемых очерков. В третьем очерке
дается обобщенное изложение основной для теории Лексиса идеи сверх-

1 Насколько мне известно, никто, кроме Бертрана (J. Bertrand), не воспри-
нял основную идею непосредственно от Дормуа, а не от Лексиса. Показательно
то, что при разборе сочинения. Дормуа в Archivio di Statistica за 1878 г. его
«theorie des ecarts», которая представляет собой вывод из теории вероятностей
(«Laquale ё un seguito del calcolo di probabilita»), правда, упоминается, но ее
значение для статистики совершенно не раскрыто.
нормальной дисперсии и делается попытка установить более тесную
связь между направлениями Лексиса и К. Пирсона (К. Pearson)
в математической статистике. Что же касается второго очерка, то
в нем рассматриваются существенные специальные проблемы теории
коэффициента дисперсии, решение которых до сего времени либо
отсутствовало, либо давалось в такой форме, которая не удовлетворя-
ла в полной мере более строгим требованиям математического дока-
зательства. Систематическое применение метода математических ожи-
даний, который с таким предпочтением разрабатывался П. Л. Чебы-
шевым и его школой, позволило облечь математические доказательства
в элементарную форму, не поступаясь при этом строгостью матема-
тических рассуждений.

II

Если величина х может принимать s различных значений —
Bi, Вг, • и значению h присуща вероятность значению g2 —
вероятность р2 и т. д., причем pi + р2 + ... + ps = 1, то совокуп-
ность значений £i, £2, ..., и сопоставленных с ними вероятностей
Pi, Рг, •••> Ps я называю «законом распределения случайной перемен-
ной х». В дальнейшем математическое ожидание будет обозначаться
через Ех или соответственно Е{х}, так что

Ех = Е {%} = р1 + р2+ ... + ps ls.

Я называю случайную переменную у независимой от х, если закон
распределения у остается неизменным безотносительно к тому, какие
из возможных для нее значений принимает переменная2 х. Можно до-
казать, что в случае, когда у не зависит от х, то и х также должен быть
независим от у.

Если переменные не независимы, то я обозначаю через Е^у «ус-
ловное математическое ожидание» у в предположении, что х принял
значение Отсюда, очевидно, вытекает, что

Еу=ЪркЕ™у.

h=l

Математическое ожидание суммы двух (или многих) случайных
переменных, как известно, равно сумме математических ожиданий от-
дельных переменных, притом как тогда, когда переменные взаимно

2 Это определение довольно существенно отличается от обычного, в котором
удовлетворяются требованием, чтобы Еу оставалось неизменным, какие бы значе-
ния ни принимал х. Для того чтобы удовлетворить приведенному в тексте опре-
делению, математическое ожидание Егу для г = 1, 2, 3, ...» оо должно сохранять
неизменную величину при всех значениях х. Две переменные могут быть неза-
висимы в обычном смысле слова и все же быть взаимно зависимы в указанном
смысле. Однако я не хочу оправдывать здесь предпочтение, оказанное мной более
строгому определению, так как это отвекло бы нас от темы этого очерка.
независимы, так и тогда, когда между ними имеется какая-либо
зависимость

Е {хх + х2 + ... + хп}, всегда равна сумме Ех± + Ех2 + ... + Ехп.

Если отдельные переменные взаимно независимы, то мы также

имеем

г s' , ,
Extx2 = Ех± Ех2 - - 2 Рл
_Л=1

 S „

2 рлВл

,Л=1

Ехгх2 ... хп = Ех1Ех2 ... Ехп.

Если же переменные Xj и х2 взаимно зависимы, то эти соот-
ношения перестают быть справедливыми. Вместо них имеем:

Ехх х2 = 2 PhihEWx2.
Л=1

Первый очерк

О СРЕДНЕЙ* ОШИБКЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
ВЗАИМНО НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

Первая глава

I

Над п случайными переменными Xi, х2, ..., хп проводится п испыта-
ний — по одному над каждым из них. Переменные могут подчиняться
любым законам распределения и находиться между собой в зависимости
любой формы. Если обозначим через хА то значение, которое перемен-
ная хА принимает при выполненном испытании, то всегда имеем3:

Е (xi 4" х2 4" ••• 4* хп) = Ехг 4~ Ех2 4- ... Ехп,

Е [(xi 4- х'2+...+хп) — (Ех1 + Ех2 4- ... 4-£*п)]2 =

Гп,12	Гл	"12 п	.,2	т

= Е 2 хА — 2 Ехн = ^E{xh — (Exft)2] 4-

La=i J	[л=1	J	л=1

Л	Г ,	,

+ 22 Ех^ Xh* ~ (ExhJ (EXh^

ht=\ h2^ht L

8 Ср.: А. А. Марков, Распространение закона больших чисел на за-
висимые между собой величины, Казань, 1907 (сообщения Физико-математиче-
ского общества). Марков обозначает разность x-L — ExL через z; и рассматривает
сумму

Ezf 4-Яг|4- ... +Ez2n + 2EZJZ2 4- 2£?i г3 4- ... 4-2£zn_, zn.

Для целей нашего исследования принятая в тексте символика представляется
более удобной.
или

1	"	,	1 П

E~n^i Xh== ~п^ Ех^
h=l	h=l

Е

। п	"12 1 п

х'ь—-2 Ех^	2£^ — (£х»)2]+

Л=1	J	Л=1

+Л У У	=i2	Е t**2-^)8] +

/1	^ВВ	jBM

л1=1 h2^ht	h=l

-t--^2 2 \.Exh*Xh>—(Ех,л(Ех>^ = ^iiE^x'h2—(Ex^ +

Ax=l A2=Ai+l	h=l

4“ ~^2 2 2 [^"ХлХл+/	(^xh) (^Л+/)]’

Л=1 /=1

Если ввести обозначения

Exh = m\h);

Ex2h = т{2}\

Е [Xh - т^]2 =	- И>]2 =

1 п

1 V	т

—гп^»п^

h=\

1 VI у' у
— 2j — ^(л),

А=1

то приведенные соотношения принимают вид:
Ех{п} = /пС1, пз;	(1)

1	п	п

Е[х{п} — т[1>п]]2 = IX + iSE \ExhlXh2 — m(x1} m\h>Y] =
h=l	Ai=l	A2¥=AX	,

1	n	n-\ n	n

=	11"+4 2 2 [е4а.-'»1*','»Н=^2^’ +

А=1	Л1=1 A2=Ai+l	ft=l

n— 1 n—h

+ i2 2	<2)

h=l /=1
Далее мы находим:

1 п	< п	Г 1 п

E442"?’4 2 2 £*‘Л-= 7 2"“'

Л=1	Л1=1 h2*hx	L А=1

2

+

' п	1 п

+^2>*“+^2 2	(3)

Л=1	Ai=l h2^=h1

[x;-M2 = ^Tj;^2-nxd = ^2 тр-

h=\	|_Л=1	J	Л=1

1 п	п

—т 2 2 Exh^ = 2	— mti-Л2 +

ht=\ h2^hi	Л=1

+	21*“ —г 2 2 [£« -т< ’! 	<4>

Л=1	ht=\ h2±ht

В том случае, когда закон распределения для всех п переменных
один и тот же, так что можно положить m\h) = /пх, т{2}= т2>
Н2Л) = Нг, то мы получим:

Ех{п) = тг\

Е [х(п) —	|х2 +	2 2 [£х**х*« — т>1;	<5>

Aj=l h2*hi

Ex2w = -г7”2 + i 2 2 Ех^ = "11 + V +
^мнв

ft1=l h2^ht

1 п

+ ^2 2 [Ех^х^ — т2,];	(6)

/ii=l h2^hi

£2 [%Л—X(n)]2 = (n—l)ma—4- 2 2 Ех'кЛ’ =
h=\	hx= \ h2^hx

1 п

= (п— l)|i2— — 2 2 1Ех'кЛ, — mil- (7)

&!=! h2^=hi

II

Если все п переменных взаимно независимы, то для любых значе-
ний hr и h2 мы будем иметь:

Ex'hlXh2 = (Exftx)(Exft2) =
И отсюда

1
Е [*(/1)	1, П] 12 = ~^2 Fl2 •

Л=1

Средняя ошибка Х(П) с возрастанием п стремится, таким образом,
п

к пределу 0, если Н2° ПРИ сколь угодно большом п остается ко-
h—\

нечной,т.е. средняя из величин переменных, установленных испытания-
ми, отражает в себе величину средней из их математических ожиданий
с тем меньшими ошибками, чем больше число наблюдений. Увеличе-
нием числа наблюдений при указанных условиях можно насколько
угодно сократить диапазон случайных колебаний и повысить точность
установления путем испытаний значений

Если отдельные переменные связаны между собой так, что для
любых значений /ц и h2 удовлетворяется неравенство

тогда

1 n

E [x(n) — tri[ 1, n]]2 <	2 H21’-

A=l.

Средняя ошибка Х(Л) в этом случае оказывается меньшей, чем
она была бы при взаимной независимости переменных в предполо-
жении одного и того же закона распределения в обоих сравниваемых
случаях. При увеличении п средняя ошибка в этих условиях также
стремится к пределу 0, если р,2° не превосходит некоторой конечной
верхней границы.

Если же при любых значениях hi и h2 мы имеем

Ex'hixha > m\hl}
то

1 п

Е [х(п) — m[t, п]]2>	Н2Л)-

Л=1

Средняя ошибка хп оказывается при этом большей, чем в случае
взаимной независимости переменных в предположении тех же законов
распределения. Если при этом разность Exhl xh2—	никогда

не снижается ниже некоторой, хотя бы сколь угодно малой величины
б2, то средняя ошибка х(П) при растущем п стремится к некоторому пре-
делу, отличному от 0 и большему по величине, чем б2. В этом случае
нельзя увеличивать до бесконечности точность средней, увеличивая
число испытаний: закон больших чисел в таких условиях оказывается
неприменимым.

Если некоторые из разностей Ех^х^— m\hl} положитель-
ны, а другие отрицательны, то сумма

"S Е \Ex'hlxh2 - m\h,) м*’’]

л1=1 Л2=Л1Ч-1
может быть как больше 0 так и меньше 0; при случае она может и
равняться 0. Средняя ошибка хп при таких обстоятельствах может
быть либо большей, либо меньшей, чем в случае взаимной независимо-
сти всех переменных; может даже так случиться, что она будет иметь
как раз такую величину, как если бы переменные были между собой
независимы4 * *. Если, таким образом, средняя ошибка некоторой сред-
ней имеет как раз ту величину, которую она должна была бы иметь
в предположении, взаимной независимости отдельных испытаний, то
все же нельзя безоговорочно принимать это за достоверное доказатель-
ство того, что испытания и на самом деле не стоят ни в какой зависимо-
сти между собой, ибо и в этом случае еще не исключена возможность,
что здесь имеется взаимная зависимость того особенного рода, при
котором оказывается

5' 2	= 0.

' л1==1

Особый интерес представляет тот случай, когда величина раз-
ности Ex'hxh+j — /П1А) зависит не от Л, а лишь от где, сле-
довательно, можно положить

Exhx'h+! — m\h} m\h+!) = гг

В этом случае имеем:

1 П	9 П~~1

£[х(п)-/п[1>п]]2 = ^-2

Л=1	/=1

Средняя ошибка х(п) при п = оо может лишь тогда равняться
0, когда между ч г,- и / существует соотношение такого рода, что
। п—\

— 2 (п — i) rj ПРИ растущем п стремится к 0, как к своему пре-
п f=i

делу. Этот случай имеет, например, место, когда г}- убывает в гео-
метрической прогрессии. Если мы положим r/+i’= то получим:

п~ *	г -	1 -,П -I

2 (п - П Г, = Г, [t^y - ttzV] ;

Л=1	L

1 0—1

в случае у< 1 исчезает и величина 2	— ПРИ я = °°-

4 Ср.: А. А. М а р к о в. О случае испытаний, которые образуют сложную

связную цепь (Бюллетень Академии наук), Пб., 1911.

6

О теории дисперсии
Другим поучительным примером служит тот, в котором раз-
ность Exh%h+j — m\h) становится равной 0, когда / превы-
шает определенное значение5 /. В этом случае мы имеем:

h=l	h=l /=/Ж

Если I не зависит от п, то средняя ошибка х(л) исчезает при6
п = оо.

III

Предположим же теперь, что случайные переменные х2» •••> *п
могут принимать лишь значения 1 и 0 и что они так связаны с событием
Л, что последнее наступает тогда, когда одна из переменных получает
значение 1 и не наступает, если эта переменная получает значение 0.
Если обозначить через Н частость наступления события А при п ис-
пытаниях, через ри и qu = 1 — Ph — вероятность значений 1 и 0 при * 6

6 Ср.: А. А. М а р к о в. О связных величинах, которые не образуют истин-
ную цепь (Бюллетень Академии наук), Пб., 1911.	~

6 Важный вопрос относительно условий, при которых закон распределения
при п = оо принимает форму закона Лапласа — Гаусса, я в этой связи рас-
сматривать не предполагаю. В том случае, когда отдельные переменные взаимно
независимы, легко можно показать, что условия для закона Лапласа — Гаусса
выполнены, если

[п “12

2 №
h=l _______

п -1г

h=\

при г = 3, 4, 5, ... и при возрастающем п стремится к 0 как своему пределу (при-
чем = E(xh— т^уус большими трудностями сопряжено доказательство,
впервые данное Ляпуновым, что в предположении взаимной независимости пере-
менных оказывается достаточным условие, что

’ п 32

2 rfW

при каком-либо, хотя бы самом малом значении 6, с возрастанием п стремится
к 0, причем (№ означает математическое ожидание степени (2+ В) взятых с по-
ложительным знаком разностей xh — m\h\ (L j а р о и и о f f, С. R., Paris,
vol. 132, р. 184; обстоятельно изложено в Memoires de Г Academie imperiale
des Sciences, de St. Petersburg, Serie VIII, vol. 12. Ср. также: A. A. M a p к о в,
Исчисление вероятностей, изд. 3, где положение Ляпунова доказывается другим,
но также очень сложным путем)
h-м испытании, через р0 — арифметическое среднее из значений
1 п

Ри(Ро= n^Ph) и через phth, — вероятность наступления А как при hit
h= 1

так и при h2 -испытании, то из формулы (2) получаем:

1	1

Е[Н — Ро12= Ph4h + У,	(Рь^ — р/цРь,).	(8)

h=l	hi=l h^hj.

Это известная формула Вольмана7, которая содержится как част-
ный случай в общей формуле (2).

Вторая глава

Над s случайными переменными, каждая из которых следует свое -
му закону распределения, проводится т серий испытаний по k испы
таний в каждой. Все испытания одной серии проводятся над одной и
той же переменной, которая каждый раз для этого назначается по
жребию; вероятность того, что жребий выпадает на переменную Хн
равна причем pi + р2 + ... + ps = 1. Величина ph в течение
всего опыта остается постоянной, и отдельные испытания в пределах
каждой серии независимы одно от другого.

Положим

mk = п;

2 PhExn = mi>
/1=1

2 Ph Exh =
h=l

Ex2h - (Extf =	;

тогда мы имеем тожества8:

= 2 Р>АЕхнУ — а2;

Л=1

/и2 — т? = 2 Ph И2Л) + а2-

Л=1

7 Ср.: G. В oh 1 mann, Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung, Satz XIII* (Atti del IV. Congresso
internazionale dei matematici, vol. Ill, p. 262, Roma, 1909). Вольман выводит
формулу непосредственно, но довольно сложным путем, пользуясь производя-
щими функциями. Если же воспользоваться общей формулой (2), то все доказа-
тельство может быть построено элементарно и просто.

8 Ср.: Bortkiewicz, Ober die Zeitfolge zufalliger Ereignisse, S. 98
(Bull. Inst. Int. Stat.y t. XX, Livr 2).
Далее, легко убедиться в том, что при любом i

Exj = тг;

Ех] = т2.

Если мы обозначим через х(/ то значение,'которое принимает выб-
ранная по жребию для j-й серии определенная переменная при /-м
испытании в этой серии, и через х(п; арифметическое среднее всех п
эмпирических значений переменных, причем также

1 т k	ч

Х(п) т 2 2

Z=1 /=1

то мы получим:

ЕХ(п) = tn-p,

Ехцх'м — (Ехг/) (Ехы) = 0, при h=^i

и

Ех’цхн — (Ехц) (Ехц) =

^р^Ех^-

Л=1

s	"12

5 Ph Exh = аг,
L*=i	J

откуда на основании формулы (2) получаем:

Е [х(л) — mJ2 =

О
m2 — т у
mk

k—1
mk

az =-------------------

п

Л=1

(9)

Если величины ^ph р/^и а2 конечны, то средняя ошибка х(п)
h = \ .

с возрастанием числа серий т стремится к пределу 0, безотносительно
к тому, как велико число k. Напротив, при конечном т и безгранично
растущем k средняя ошибка х(п) стремится к отличному от нуля.пре-

дельному значению а2.

В том случае, когда переменные s могут принимать лишь одно из
двух значений 1 или 0 и вероятность для хд, принимающая значение I,
равна мы находим, полагая

™i= 2 Рлсл = со.

Л=1

что

т1 = с0;
а2= 2 Рлкл — Со]2;

Л=1

е [«.,> - ..г -	i р. - P.I-.

Л=1

Таким образом, мы приходим этим путем к известной формуле
Бьенэмэ — Борткевича8 9 как особому случаю общей формулы (9).

В том случае, когда число испытаний в разных сериях различно и
равно ki для первой серии, k2 — для второй и так далее, причем &, +
+ k2 + ... + km = п, то мы из формулы (2) получим:

Е[Х(П)— /пх]2 =

О

m2 —ту

П

।	— 1) + (А?2— 1) + ... + ^(^-1)„2

[*i + *2+... +km]*

= 42	а*.	(10)

Л=1

При постоянных пит средняя ошибка х(п) оказывается тем мень-
шей, чем равномернее все числа испытаний распределены по отдель-
ным сериям.

Если k = 1, то все испытания взаимно независимы. Если общее
число испытаний остается по прежнему равным п, то из формулы (9)
получим:

2

„	/По — /ПТ

Е [-^(л)	1Щ\ = =	—	.

L п

При т = 1 все п испытаний производятся над одной и той же слу-
чайной переменной, которая выбирается по жребию. В этом случае из
формулы (9) мы получим:

2
tTln — /72 1 л _ 1

£[х(п)-=	L+^--а2.	(11)

Величина

«2 = 2 Рп lExh — «hl2
Л=1

измеряет рассеяние математических ожиданий случайных перемен-
ных, над которыми проводится опыт; эта величина есть то, что на-
зывается «существенной компонентой колебаний». Средняя ошибка
средней эмпирических значений переменной в данных условиях
опыта состоит, следовательно, из двух частей: из упомянутой «суще-
ственной компоненты», умноженной на п \ и из «случайной ком-

8 Ср.: «Очерки по теории статистики», изд. 2., стр. 393—395 (см. то же,

изд. 3, М., 1959, стр. 281—282.—Прим, перев.).
поненты колебаний», безгранично убывающей при возрастании и.
Итак, мы получаем в обобщенном виде формулу Лексиса — Бортке-
вича, которая лежит в основании10 теории дисперсии Лексиса.

Примем, далее, что п испытаний, как и ранее, распадаются на т
серий и что все испытания одной серии проводятся над одной и той же
переменной, но что переменные теперь уже не назначаются жеребьев-
кой, но берутся одна за другой в заранее определенном порядке:
%1, х2» При таких условиях, которые соответствуют «схеме сред-
ней постоянного состава»11, отдельные испытания взаимно независимы.
Если принять, что первая серия состоит из испытаний, вторая —
из k2 испытаний и так далее, и если затем положить = gh, то из
формулы (2) получим:

Л=1
m	т

E[XW - /72^ =42^	- (£х*)21 = — 2	(12)

Л=1	П h=l

Если бы над теми же т переменными были проведены п испытаний
таким образом, чтобы переменная для каждого отдельного испытания
выбиралась всякий раз по жребию, причем вероятность получить по
жребию переменную хь оставалась равной gh, то мы имели бы
ср. выше стр. 149):

Ехм = 2 ghExh^tnv
h=\

2	/и

=	(13)

/ fr	9 fr	/ V

h=l

Сравнивая формулы (12) и (13), мы убеждаемся, что организация
опыта по схеме «средней постоянного состава» сокращает среднюю
ошибку х(П) тем полнее, чем больше величина а2, т. е. чем больше рас-
сеяние математических ожиданий испытываемых переменных.

10 Лексис ввел эту формулу лишь для особого случая эмпирических часто-
п—1

стей в теоретически не вполне точном виде, положив —-— равным 1. Борткевич
впоследствии ввел необходимую поправку. Ср. мои «Очерки по теории статисти-
ки», изд. 2, стр. 335 (см. то же, изд. 3, стр. 241.— Прим, перев.). Шарлье (Char-
lier, Theorems of Poisson and Lexis, p. 15. Arkiv f. Mat., Astr. och Fysik, 1911)
вычислил для стохастической схемы Лексиса также и математическое ожидание
[х(п) — mil3 и [x(n) — mJ4.

11 Ср. мои «Очерки по теории статистики», изд. 2, стр. 318—321 (см. то же,
изд. 3, М., 1959, стр. 229—231).— Прим, перев,
Третья глава

Закрытая урна содержит лц жребиев, помеченных номерами Bi,
п2 — помеченных номерами g2 и т. д. пк жребьев с номерами £А.
Общее число всех жребиев равно + n2+... + nk = N. Из урны из-
влекают v жребиев, не возвращая каждый раз вынутого жребия об-
ратно в урну. Требуется найти математическое ожидание средней ве-
личины извлеченных жребиев и их среднее отклонение.

Обозначим через xL номер того жребия, который выпал при i-м
извлечении, и введем следующие обозначения:

и •

Ехг =	=

/=1

/=1

m2 — /п 1 = |12.

Легко показать, что

ЕХ} = Ех± = tn1.

Мы имеем:

______ П1 (Л1 — О $1 + П2 ?2 + ••• + nk I
LXi “ ~N~	H

i n2 ni 5i + (^2—1) 5г + ••• ~\~nk^k ।	। nk v

ф N	N—l	+ ••• + N x

ni 5i + ^2 5a +	+ (^k —	__ Mi $i + ^a I2 + ••• + nk Ik _

X	~	N	-

Пусть рн — вероятность того, что после первых 1 извлечений
оставшиеся в урне N — i + 1 жребии распределены между отдельными
номерами определенным образом и пусть E<h> х1—математическое ожи-
дание xz, полученное из соответствующего распределения. Если все
число любых возможных распределений обозначим через t, то по-
лучим:

Ext= ^lphE^xi.
h=l

Обозначив через EW x/_|_i условное математическое ожидание x/+i
в предположении, что распределение N — i + 1 жребиев, оставшихся
после первых i — 1 извлечений, оказалось /i-м из числа t возможных,
мы получим:

£х/+1 = PhE{h}xi+i-
h=l
Но перед этим мы нашли, что

E^Xi+i =E^xl.

Отсюда следует, что

= Ext = Ехг =	(14)

Таким же путем находим, что

Ех2= Ex2 = т2	(15)

и для любого I

Exli= Ех{.

С другой стороны, имеем

ру у ___ П1 t (Л1— 0 £1 + П2 ^2 + ••• + nk I

х2 — —	_ j------------Г

I П2 t	tl •+ (Л2 ~~ * ) %2 + • • • +	I

jV Ь2	jv— i	"!"•••

I nk t nl Ь + fl2 ^2 +   + (nk — *) Sfe =

••• • N Sa

-NW^T) l(Mi + M2 + -+Mft)2-

— (tii li + ti2 0 + ••• + nh£2)} == ^N__ J m2 — m2
и

Exrx2 — Exr Ex2 = — jy / i Ра-

сходным образом нетрудно установить, что

Ех2 х3 = Ехх х2.

Если теперь обозначить через Е<Л)хгх,-+1 и через Е^ xi+\ xi+2
условные математические ожидания xtxt+i и х/+1 х/+2 в предполо-
жении, что после первых i извлечений составилось /г-е из t воз-
можных распределений по номерам оставшихся в урне жребиев, то
получим:

EW Xi+1 xi+2 = E^Xi xi+1;
t	t

Exi+l xi+2 = s PhE(h) Xi+l xl+2 = 2 phEW Xixl+i =

Л=1	Л=1

= EXjXi+i = Ex± x2.
Если, далее, обозначить через Е(^ xt и через	условные

математические ожидания xt и в предположении, что при пер-
вом извлечении вынимается жребий, помеченный номером g., то
найдем:

д •

/=1
k п-

Ех\ х/_|_ 1 = -jy- Е^ xZ-|-i = Ex^ X} — Exr x2.
i=i

Таким же путем найдем, наконец, что

Ext Xj = Ехг х2.

Итак, следовательно, при возможных значениях ht и h2

Exhlxhl — (Exhl) (Exh,) = —	p,2.	(16)

Если подставить в формулу (1) и в (2) значения из соотношений
(14), (15) и (16), то получим:

Ех(п) = mi;

2ИХ(П)-md2 =	=-^2 {1

V — 1 )

=	(17)

N — 1 у	'	7

Если бы опыт был поставлен в ином порядке и извлеченный
жребий каждый раз возвращался перед следующим извлечением
обратно в урну, то, как известно, мы бы имели:

Ех(П} = т\',
Е[Х(П) — ^i]2 = v^2-

Тем, что полученный жребий в урну не возвращается, средняя
ошибка средней величины извлеченных номеров снижается в отно-

- S' щ

шении у : 1 — результат, имеющий существенное значение при
практическом применении выборочного метода12.

12 Ср.: Ст. К о н, О применении выборочного метода при подготовке сельско-
хозяйственной переписи. Пг., 1917 (один из моих учеников, которому я сообщил
приведенную формулу, представил служебную записку в министерство сельского
хозяйства).

6В О теории дисперсии

153
Если теперь положим &=2, ^=1, g2=0,-y=P, 1—Р = то
Х(П) становится частостью появления жребия, помеченного цифрой
1, и из формулы (17) получается известная формула 13
[£[%(„,— р]2 = ^^- ^pq.

Если обозреть рассмотренные случаи в их совокупности, то можно
убедиться в том, что формула (2) содержит в себе зародыши всех стати-
стических схем, которые привлекались к теоретическому освещению
стабильности статистических чисел или могли бы быть привлечены.
Дело в том, что лежащая в основе формулы (2) схема представляется
наиболее общей из всех мыслимых: в ней предполагается лишь то,
что проводятся испытания над случайными переменными, не указы-
ваются более определенно, как именно эти испытания проводятся и
каковы законы распределения, которым эти переменные подчинены.
Соответственными дальнейшими предположениями можно преобразо-
вать без труда эту формулу так, чтобы в ней учитывались условия
любых специальных схем. Схема Вольмана обладает общностью в той
же мере, поскольку речь идет о способе испытаний, но она ограничи-
вается одним определенным законом распределения. Поэтому формула
Вольмана представляет собой, как мы видели, особый случай форму-
лы (2).

Второй очерк

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ И СРЕДНЕЙ ОШИБКЕ
КОЭФФИЦИЕНТА ДИВЕРГЕНЦИИ

Первая глава

I

Над случайной переменной х производятся г серий испытаний
по и испытаний в каждой; закон распределения для х в течение всего
опыта остается неизменным; отдельные испытания взаимно независи-
мы. Обозначим через xif значение, принимаемое переменной при /-м
испытании в i-й серии, и положим

1 п
XiAn) = —

/=1 * В

13 Ср.: К. Р е а г s о п, On certain properties of the hypergeometrical Series
(Phil. Magazine, XLVII, 1899). Если идти окольным путем через обобщенную
формулу, то решение более частной задачи получается вполне элементарное

В книге Э. Чубер (Е. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung, 2. Aufl., Bd. 1,
S. 163—164) величина средней ошибки в случае невозвращенного шара дана не
вполне точно, как J/^— р</(1 вместо j/'— pq (1 	j; он, кроме

того, неправильно истолковывает формулу. См. мои «Очерки по теории ста-
тистики», изд. 2, стр. 3f6, примечание (см. то же, изд. 3, стр. 228, примеча-
ние.— Прим, перев.).
_ 1 V V _ 1 V
x(nr) — —	xtJ— r xi.W-

i=\ /=1	Z=1

Можно X(nr) определить еще иначе

nr

X(nr) = — 2
h=\

полагая, что все испытания обозначены номерами по порядку, бла-
годаря чему двойное суммирование заменяется простой суммой.

Кроме того, вводим обозначения:

Exk — mk,
Е^х — т^ =

Если рассматривать все пг испытаний как одну серию, то, как
известно, мы будем иметь:

пг

Н2 — nr_ i Е 2 (xh -Чпг))2*

Л=1

С другой стороны, если исходить из средних для отдельных
серий, то для |i2 получим выражение:

Р-2 = г__ । Е ^’(Л)	Х(пг)12'

i=l

Отсюда получаем:
г	пг

Е г___1 2 !.ХМл) х(пг)]2 = Е п(пг__ 1)	[%Л — Х(ПГ)]2.

Величина

которую обычно обозначают через Q, называется, как известно,, коэф*
фициентом дивергенции (Divergenzkoeffizient, coefficient de diverge-
nce). Как Дормуа, так и Лексис принимали, что численное значение Q,
если отвлечься от случайных отклонений, должно равняться 1. Проф.
В. Борткевич обратил внимание на то, что EQ и EQ2 не могут одно-
временно равняться 1 и что EQ должно быть меньше 1, если мы поло-
жим EQ2 равным 1. Однако то, что EQ2 = 1 до недавнего времени ос-
тавалось недоказанным, ибо из того, что математическое ожидание
числителя равно математическому ожиданию знаменателя, нельзя
сделать тот вывод, что и математическое ожидание всей дроби равно 1.
Если бы такой вывод был справедлив, то из равенства Ех = Еу мож-
но было бы заключить, что как = 1, так и Е^ = 1; однако Е^ не
может равняться 1, если Е^ = 1, так как из у + £ = 2 +	)2

следует, что

Е- + Е?->2,
У ’ X

если х и у оба положительны, как это и имеет место в коэффициенте
дивергенции. Разность между Еу и может быть как положительной,
так и отрицательной и притом любой по величине.

То, что для коэффициента дивергенции выполняются те же условия,
при которых	и что вследствие этого EQ2 действительно рав-

но 1, было доказано впервые мной для того особого случая х, когда

мы имеем г серий по п испытаний, в которых эмпирически уста-
навливается частость какого-либо события с постоянной вероятностью.

Ход моего первоначального доказательства опирается на лемму, со-

держание которой состоит в том, что Е^ = 1, если Exyk = Eyk+'
для k = 0, 1, 2, 3, ..., и этот ход довольно сложен14 *. А. А. Марков,
которому я сообщил этот результат, дал более прямое и более простое
доказательство, охватывающее также и тот случай, когда числа испы-
таний в отдельных сериях различны16. Впоследствии мне удалось най-
ти совершенно общее и очень простое доказательство16, которое я,
чтобы не прерывать связного изложения, кратко излагаю в параграфе
II. Недавно также и проф. Борткевич сообщил о новом доказательстве,
не давая более подробных данных о его ходе17.

II

Положим

г_______ 1 2	(°)	-^(иг)]2

7 = 1

14 Ср. мое исследование «О математических основаниях теории устойчивости

статистических рядов», второй очерк (Известия Политехнического института
в Петрограде — печатается). (В печати не появилось: рукопись в редакции «Из-
вестий» пропала.— Прим, перев.)

16 А. А. Марков, О коэффициенте расходимости. Бюллетень Академии
наук, Пг., 1916.

16 А. А. Ч у п р о в, О математическом ожидании коэффициента дисперсии,
Известия Академии наук, Пг., 1916.

17 L. В о г t k i е w i с z, Die Iterationen, Berlin, 1917, S. 195.
nr

n(nr-l) 2 [*л ~ ^и]2 = У

и будем приписывать отношению значение 1, тогда как z, так и у
оказываются равными 0. Легко можно показать, что Ezt/* — Еук+1
как в том случае, когда &>0, так и в том, когда &<0.

Так, мы имеем:

пг	пг

2 [А —х(П1.)]2= 2 [хл —/nJ2 —nr [x(nr) —mJ2.
h= 1	h— 1

И следовательно,

£у*+1----1	£

7 п(пг— 1)

пг

Л=1

n(nJ-l) {nrEyk [xh — mJ2 — nrEyk [x(nr) — m, ]2}.

Ho,

так как

Еук\Х(ПГ)— mj2 = -^E

nr	“|2

2 [хй —/Oil

_/l=l

= Eyk [хл — mJ2 +	Eyk [xh — mJ [x — mJ,

то, в конце концов, получим:

£yA+1 = 4 <Еу* [х" ~ mi]2 ~	— Ш11 [х/ — т^'

С другой стороны, имеем:

S [%l, (n)	X(nr)]"= S [Xi,(n) ПТ]]2 Г [X(nr) mJ2,

Z=1	Z=1

откуда

Ezyk =   1 Е |уЛ 2	(n)	X(nr)]2[

k Z=1	J

= ~г[{гЕук lxii(n)—mj2 — rEyk [x(nr)—mt]2} =

={4 £yft [x* ~	+n~^ Eyk tx* ~ tx>——

— Eyk [xh — mJ2 — Eyk [xh — mJ [xy— mJ j =

= ^{Eyk [xh — mJ" — Еук [хЛ — mJ [xy — mJ} = Ey*+>.
Если теперь положим k= —1, то получим18:

£| = EQ2= 1.

Ill

Описанное доказательство можно, соответственно изменив его,
применить и к тому случаю, когда числа испытаний в разных се-
риях различны.

Пусть st — число испытаний в i-й серии, причем s1+s2 + ...+
+ S, == S.

Положим:

r si	s

x(s) — у 2 2 хч ~ Т
х=1 /=1	Л=1

si
— 2 xiJ = г1>
‘ /=1

г

Z=1

s

—ztt2 to —x<s)]2 = y;

h=\

r

yzrr si tzi — хю ]2 -

Z=1

*	r

~T ----------2 1г' — ги1" =

2т‘=1

18 Приведенное доказательство исходит из того, что
Еук [хн — mJ2 = Eyk [Xj—mt]*
И

Eyk [xh — mJ [x, — mJ = Eyk [xf — mJ [xg — т^.

При тех предположениях, которые мы приняли, эти соотношения в доказа-
ть
тельстве не нуждаются. Что же касается математического ожидания —, то его
нельзя определить тем же путем, так как Ezk [xh —— mJ имеет разные
значения в том случае, когда xh и Xj принадлежат одной серии испытаний, и
в том, когда они берутся из разных серий.
У [2i —x(s)]a = V, _
i=\

r

-2 SZ[ZZ —z(r)]2=L

В предположении неизменности закона распределения х и взаим-
ной независимости всех отдельных испытаний мы получим:

Еу = Ew = Ей = Ev = Et = р2.

Если теперь положить, что

Q2 = — , Q'a = JL
у	v

У ’	У

то можно аналогичным описанному способом показать19, что

EQ2 = EQ'2 = EQ"2 = EQ"’2 = 1.

IV

Когда закон распределения для х определен в том смысле, что эта
переменная может принимать только значения 1 и 0 с вероятностями р
и 1 — р = q\ и если, как ранее (первый очерк, стр. 146), с х связано
событие А таким образом, что оно наступает, когда х = 1, и не на-
ступает, когда х = 0, то через z-t выражается частость наступления
события А для i-й серии испытаний через x(S) общая частость А для
всех г серий.

Так как при таком законе распределения хн всегда равно х^,
то имеем:

lxh x(s)Р = ^2 xh 5X(S) = Xh SX(s) = SX(s) [ 1	X(S)].

/1=1	/1=1	h=l

И следовательно,

r 2 si [2i~~X(s)l2
Q2 = --f^-----------------;

S — 1 X(S) I1 “X(s)]

19 Ср. мою уже названную работу «О математическом ожидании коэффици-
ента дисперсии». Вариант Q"2 там не упоминается, но его можно рассмотреть
таким же образом.
Q'2

S _ 1 x(s) I1 X(s)l

s_ 1 x(s) I1 ~x(s)]

Q'"* =

1

—x(s) [1 — X(s)]

Если положим

s2 = s2 = ... = sr = n,

то все четыре варианта приводятся к одному виду:

-Ц 2 к -w3
Q2=- r , i=X-------:---- •

i~x(nr) I1 — X(nr)]

n~T

Как было показано ранее, мы имеем:

EQ2 = EQ’2 = EQ”2 = EQ,’”2 = 1.

Вторая глава

I

Заслуга постановки вопроса о средней ошибке коэффициента дивер-
генции принадлежит проф. Борткевичу20. Ему же мы обязаны первой
попыткой определить величину средней ошибки. Борткевич приходит
к тому, что если коэффициент дивергенции вычисляется для г серий по
п испытаний в каждой, то его среднюю ошибку можно оценить как

приближенно равную Несмотря на то что выводу недостает жела-

20 L. Bortkiewicz, Uber den Pracisionsgrad des Divergenzcoeffizi-
enten (Mitt. d. Verbandes der ost.u. ung. Vers.-Techn.; Wien, 1906).
тельной строгости21 и это не дает возможности составить достоверное
суждение о степени приближенности (нельзя даже установить, представ-
ляет ли полученное приближенное значение верхнюю или же нижнюю
границу определяемой средней ошибки), все же нельзя переоценивать
это достижение, и формула Борткевича долгое время служила единст-
венной основой для оценки диапазона случайных колебаний коэффи-
циента дивергенции. Впоследствии проф. Борткевич изменил свою пер-
воначальную формулу, положив среднюю ошибку коэффициента дивер-
генции равной	В уже цитированной работе А. А. Маркова

«О коэффициенте дисперсии» проблема, поставленная Борткевичем,
разрешена безупречно; Маркову удалось показать, что

г,	2г2 п (п — 1)	т — 1 пг — т — 1

Е fQ2 1 ]2 = ' (г - 1) (пг _ 2) (пг — 3) т * пг — т

т= 1

1.2. 3... (пг)

1. 2 ... т. 1. 2 ... (пг — т)

pm qnr — tn

откуда следует, что

E[Q2-ip<

2r2 п (п — 1)

(г — 1)(пг— 2)(пг— 3)

Из этой формулы Марков сделал то заключение, что, при г >5
2

—представляет собой верхнюю границу £[Q2—I]2, к которой

Е [Q2—I]2 с возрастанием пг беспредельно приближается. * 1

21 Примененный Борткевичем способ вывода покоится на пренебрежении
в числителе и знаменателе дроби, математическое ожидание которой надлежит
вычислить, теми членами, которые содержат множитель —. Поскольку в стати-

стической практике мы большей частью имеем дело с малыми г, но со сравнительно
крупным п, то, конечно, такой прием можно признать допустимым, если только
поступать сугубо осторожно и с некоторой достаточной точностью оценить раз-
меры допускаемой ошибки, установив хотя бы ее знак. Представители английской
школы, которые особенно охотно пользуются подобными приближенными спосо-
бами и систематически такие способы разрабатывают в их применении к стати-
стико-математическим проблемам, но временами пользовались ими без должной

критики, за последнее время сделались осторожнее и больше внимания уделяют
оценке достигнутого приближения.

К тем членам, которыми Борткевич пренебрег, относятся и такие, которые

1	to — Р)2

имеют форму —— соответственно —	. Если р или q весьма малы, то эти члены

ibrjJLf	ПгГрц

могут иметь величину того же порядка, как и сохраненные в расчетах.

При таких обстоятельствах вывод становится совершенно несостоятельным.
Такое именно положение мы имеем в области, где применяется так называемый
«закон малых чисел», когда придается последнему, по моему мнению, не очень
удачно выбранному термину тот смысл, который в него вложен Борткевичем в
работе «La legge dei piccoli numeri», p. 12, 13 (Giornale Degli Economisti, 1908).
Он этим названием обозначил известный закон распределения Пуассона, выведен-
ный последним для предельного случая, когда п = оо и (пр) п = оо = т. Ср. мои
«Очерки по теории статистики» (изд. 2), стр. 398—400. (См. то же, изд. 3, стр.
284—286. — Прим, перев.)
Если в приведенной формуле заменить

m—1 nr — т — 1	В1 nr—1

т ’ пг — т	через | m — /и) ’

то легко убедиться в том, что

р Г/92  112	_ 2 п пг — 2

22 14	J	г — 1 п — 1 ' пг — 3 ’

п2 г2

так как т(пг— т)<^—j— . Средняя ошибка Q2, следовательно,

меньше, чем 1/ у—р когда г>1 + —, т. е. во всех практически
встречающихся случаях, так как из одной-единственной серии
испытаний, так же как и из двух серий, коэффициент дивергенции
вычислить нельзя.

Что же касается утверждения, что Е [Q2 — I]2 с возрастанием стре-
2

мится к пределу то его Марков обосновывает указанием на то,
что при больших величинах пг те значения т, для которых выражение

1.2. 3 ... (пг)

1.2. т. 1.2. ... (пг — т)

рГП дПГ—т

не представляется исчезающе малым, тем сильнее приближают ве-
личину

т — 1 пг — т — 1
т * пг — т

к 1, чем больше пг. Этот довод, очевидно, только тогда становится дока-
зательным, когда ни р, ни q не малы в той мере, чтобы пр (соответствен-
но п q) с возрастанием п не стремилось бы к конечному пределу. В слу-
чае же «закона малых чисел» (ср. примечание на стр. 161) приведенная
аргументация становится неприменимой22.

22 Шарлье показывает в Contributions to the mathematical theory of
statistics (№ 4. The statistical series in homograd statistics, p. 23, Anmerkung:
Arkiv f. Mat. Astr. och Fysik, Bd. VIII, 1912) среднюю ошибку Q, равную
Q 1/ , , (Po~ <7о)2™

ZT/= у 1 H----и---- — Q, где р0 означает среднюю частость события; автор,

у 2г ~	Цо

однако, не сообщает, каким путем он вывел формулу.

Точно так же, без доказательства, Борткевич сообщает в своем вышедшем в
1917 г. исследовании об итерациях (на стр. 195) формулу, которая в принятых
мной символах выглядит так:

Р гпа _ 112 - ^гс-1)»2'2 [пг-т-Щт-lJ

J п (г — 1) (пг —2) (пг — 3) (пг — т) т '

где т означает число повторений события в пг испытаниях. Эта формула соот-
ветствует, как мне сообщил проф. Борткевич, измененной постановке проблемы,
которая в существенном совпадает с первой стадией доказательства Маркова.
162
Примененный к расчету EQ2 метод позволяет в столь же общем,
сколь и простом виде установить границы, в пределах которых заклю-
чена средняя ошибка Q2, а также составить себе представление о фор-
ме закона распределения для значений Q2.

II

Сохраняя в силе предпосылки и обозначения параграфов I и II
первой главы, мы легко получим следующие справедливые при всех
значениях k соотношения:

Ez2yk = -^з- {ЕУк (*i — ™i)4 — 4£у* (хх — mJ3 (х2 — тх) —

— ЗЕук (хх — mJ2 (х2 — т^2 + 12Еук (хх — тх)2 (х2 — mJ (х3 — mJ —
— 6£>* (хх — mJ (х2 — mJ (х3 —	(х4 — mJ) +

+ (7 -Ь1)п« {Eyk (xi — т1У — mi)2 — 2£У* (xi ~ т1У	— mi) х

X (х3 — mJ + Еук (хх — mJ (х2 — mJ (х3 — mJ (х4 — mJ};	(1)

ЕУ*+2 = 7^- {ЕУк (^—tnj*— 4Еук fa—mJ3 (х2 —mJ —

— ЗЕук (хх — mJ2 (х2 — mJ2 + 12Еу* (хх — mJ2 (х2 — mJ (х3 — mJ —
— 6Еук (хх — mJ (х2 — mJ (х3 — mJ (х4 — mJ} +

+ («7-^1 и» (Eyk ~ mJ2 <Хг~~2Еук ~ Ш1)2 х

X (х2 — mJ (х3 — mJ 4- Еук (хх — mJ (х2 — mJ (х3 — mJ (х4 — mJ}. (2)
Если введем обозначения

J_ р (х± — /TZj)2 (х2 — mJ2 — 2(х1 —	(х2 — тА) (х3 — mJ +

п*

_____+ (*i — mJ (х2 — mJ (х3 — mJ (х4 — mJ__

У2

1 р (Xi — mJ4 — 4(х1 — mJ3 (х2 — mJ — 3 (хх — mJ2 (х2 — mJ2 +

п2 L	у*

+12 (x^mj2 (x2—mj (x3—mJ—6 (x^mj (x2 — mJ (Xs—mJ^—mJ _

У2

и положим затем в равенствах (1) и (2) k = — 2, тогда мы получим:

E-^r = EQi = — В +	1=—В + ^Цд,

у* х пг ' г— 1	пг пг—1

откуда следует

EQ'-l+T^i ^94>1=1+4Lt47Tt[1-»TB]' (3>
Если, далее, положим

1 р (хх —	— 4 (xt — mtf (х2 — тх) + 3 (хд — /^i)a (ха — тг)* _ q

П2	У2

то получим:

2 г (п — 1) пг	Г.______1_ р

г — 1 (пг — 2) (пг — 3) [	пг

(4)

Задача поэтому сводится к определению значения одной из
величин Л, В или С, которые могут быть представлены также и
в следующем виде:

А = (пг— 1)2£

xf X2 — 2*2 Х2 Х3 + X! Х2 Х3 Х4

~ пг	12

(5)

2 (Xh Х(пг))2
h=\	J

— ЗЯ* %2 + 12Х? Х2 *3 ~ 6*1 *2 *3 *4

S (Xh Х(пг))2
h=\

С = (пг— 1)2Е

Xj — 4xJ Х2 + 3xf X?J

В = С — 6 А

2 (xh хпг)2

h=\

Точные величины Л, В и С, а следовательно, и реличина EQ*
зависят от закона распределения х. Но для Л, В и С можно указать
известные границы независимо от закона распределения х.

Чтобы найти верхнюю границу EQ1 или, соответственно, Е [Q2 — 1 ]2,
удобно применить величину С.

непосредственно следует, что
Величина С, следовательно, всегда положительна и поэтому
согласно формуле (4) имеем:

EQ*< 1 +r-Jrr

г (п — 1) пг

(пг — 2) (пг — 3) *

2
При г>5 получаем, таким образом, что EQ4<4+737] и
Е1ф-\\*<^ (Ср. стр. 161).

2)	Из
пг	пг—	1	пг

2	2	2(%i	~V

/1=1	/=1	/=/+1

следует, что

А так как

пг—\ пг

то

(«1 — -Ч)2

пг—1 пг

2 2 ' *+

9	.	. ~	J

_______________ р *=1 /=*4-1_________
nr(nr— 1) лг—1 пг

I2	2 2 (*/-^)г

2

пг (пг — 1) ’

Е

Вместе с тем получаем из формулы (4), что

EQ4<1 +	—4

1 г — 1 пг — 3

из чего при г>>3 следует, что

£$4<1++г и £[Q2-1]2<t^i •

3)	Из
следует, что

С = (пг~ 1)2Е

Согласно с этим получаем:

пЧЦпг _	+	+	+

4	7	Гпг—1 пг	12

2 2 с*/-*/)1
_/=1 /=/+1 j

= 2 (пг — 1) С + (пг — 1) (пг — 2) С = пг(пг — 1) С.

Но так как

_ [(*1— Х2)2 + (*1 — Хз)2 + ... + (*! — Х(пг))2]2
b	nr^i пг	12

2 X (х1~х^

L*=l /=«Ч-1

'	(*1 - Х^ + (Хх - хзу + ... + (Хг- Х(пг))2 -] 2

ПГ—1	пг	д2 ^-2 >

2 2 ^х'1 х^2

L	»=i /=ж

то имеем:

С>4

пг — 1
пг

и 1—-С
пг

(пг—2)2
п2г2

Отсюда следует, что

£Q4<l+r-Jrr

п — 1 пг — 2

п ’ пг — 3

(6)

И



ИЛИ

Е [Q2 — I]2 < —, если г > 1 + - .
lx.	j \r__ j »	\ п

А так как ни п, ни г не могут быть меньше 2, то отсюда вытекает,
что (ср. стр. 162) средняя ошибка коэффициента дивергенции, в том
случае когда число испытаний во всех сериях одно и то же, всегда
меньше, чем ^/~.
IV

1)	Установить нижнюю границу для EQ\ которая не зависела бы
от закона распределения х, не удается, если не считать за таковую не-
равенство EQ4j>l, которое непосредственно получается H3EQ4>[EQ1 2]2,
а также из легкодоказуемого соотношения

Л>'0; .

’^<1.

пг л

В случае, если переменная х может принимать лишь значения 1 и О
с вероятностями р и 1 — р = q, легко устанавливается нижняя гра-
ница для EQ4, которая в случае р = q = ~ дает хорошее приближен-
ное значение.

Из

г х2 х2 — 2х2 Х2 Х3 + Xt х2 х3 х4 _ 1 (хг — ха)а (х3 — х4)2

b Г пг	12	” 4 f Гиг	T2

I 2 (ХЛ— х(пг))2	S Х(пг))2

[Л=1 -	J	L/i=i	J

следует при любом законе распределения, что

П2Га (пг— 1)2
4

(*1 — ха)а (х3 — х4)а
"nr—1 пг	“12 *

zEj (xl xj)2

L /=1 7=H-1	J

Так как (xz— может равняться лишь 1 или 0, если х должен
иметь только одно из значений 1 или 0, следовательно,

пг—1 пг

1 = 1 /=£4-1

Отсюда вытекает, что

А > 4(П^ Е (х, - х2)’ (х8"~ х^

ИЛИ

(пг-1)2
пага

16р2^2,

а также

EQ*> 1 +	16pV-	(7>
„ 1

Если р = q = у, то

д /пг — 1\2

I пг I
и

EQ*> 1 + -Ц —	.	(8)

1 г— \ п nr	' 7

Так как, с другой стороны,

EQ*< 1 Ч____— ,п — 1.,пг —

то оба неравенства замыкают величину EQ* в достаточно тесные гра-
ницы.

Напротив, в том случае, когда р и q сильно разнятся от то по
формуле (7) получаем несообразно низкую нижнюю границу: диапазон,
в котором замыкается значение EQ4, оказывается для практических
целей недостаточно узким.

2)	Нижняя граница для EQ4, зависящая от закона распределения
х, может быть в совершенно общем виде установлена следующим об-
разом.

Исходя из тожества

1	  1	а— Ь

a	b	ab ’

мы для любой случайной переменной получаем тожественное соот-
ношение23

р а _ Еа 1 р а [₽ — £?] _
Р ~ £Р ЕР р

= Ёр [Ёр]2 £а + [Ёрр р и т‘ д‘ (9)

В том случае, когда значения, принимаемые переменными а и Р,
о	а

имеют всегда одинаковый знак, так что никогда не может делаться
меньше нуля, из формулы (9) вытекает, что

£ Йр <£а0-[£а11£0»’	(10)

ИЛИ

£ р >	[£р]2 <£ 1а £“110 £01 ~

- (Е [а -£а])(Е [р -£р])},

23 Ср. мое цитированное исследование «О математических основах теории
устойчивости статистических рядов», второй очерк.
или также24

р а Еа (,	Е [а —Еа] [0 — £0] |

J	1WW1 )'

Из этих неравенств следует, что в случае осуществления указанных
предпосылок E j > если Еар— ЕаЕр<0. Но и в том случае, когда
Еоф — ЕаЕ0>О, все же эти неравенства дают средство установить ни-
жнюю границу для Ej.

Если то приближение, которое дает применение формулы (10),
кажется недостаточным, то нужно лишь снова повторить те выкладки,
которые привели к формуле (10).

3) Чтобы применять формулу (10) к случаю EQ4, нужно положить

a — z2 — (г— I)2

г	"12

S (XL (Л)	х(«п)2

/= I

откуда получается:

Еа = Н2 + „а (/-J) Н2 + ^7 [щ —Зр-i];

£0 = Н2 + ла(пг2^1) н! + -^7 [н*—ЗН22];

Несравненно больше затруднений представляет расчет Еа0.

Его можно упростить тем, что по формуле (10) установить нижнюю
границу А и полученную величину вносить в формулу (3), вместо того
чтобы вычислять нижнюю границу EQ4 непосредственно из фор-
мулы (10).

24 Эти неравенства имеют преимущество перед известной приближенной
формулой К. Пирсона, которая в моих обозначениях имела бы вид

а Еа ( Ер Е [а — Еа] [0 — £0] |

Е 7 = Ёр | [Ж “	[£«] •[£₽] I

(Ср.: Pearson, On a form of spurious correlation which may arise when indices
are used in the measurement of organs.—Proceedings of the Royal Society, vol. LX,
1897), заключающееся в возможности с достоверностью утверждать, что получен-

а

ное приближенное значение представляет собой нижнюю границу Е Если в при-

ближенной формуле Пирсона положить хг = 1, то как ее особый случай полу-
чится та формула, которую проф. Борткевич вывел (на стр. 38—39) в своем ис-
следовании об итерациях,— очевидно, не зная работы Пирсона.
Если положить

4 (х2 — х2)2 (х3 — х4)2 = а',
Г nr— 1 пг	12

то получим:

Л-- •
₽' ’

Еа' = |л|;

Е0' =	Н2 +	— ЗИг);

‘ Еа'

_________1
2
пг — 1 +

— 3

Величину Еа'Р' можно рассчитать
например, исходить из тождества

• 4

разными способами. Можно

1Г— 1 пг

2 2 (Х‘~Х/У

'пг—

1 2
|2

пг

2 (*/-Х/)2 +

_Z = Z

пг

2 (*/ —*/)2

пг— 1

пг— 1

2

L 4 = 5 / = х'4-1
пг	"12

2 (xz — X/)2 ,

пг

2 (Х/-Х/)2 +

2

4

_/=5

из которого после скучной 2Б, но не представляющей затруднений
выкладки мы получим:

Еа' Р,= n2~r2(nr-l)2 V2 (пг ~ Не На — 8 (пг — 1) р6 Из +

+ 2 (п2 г2 — 2пг + 3) р4 + (5п3 г3 — 20 п2 г2 + 53пг — 50) р4 pi —
— 4(4п2г2 — 18пг+ 29)рзр2+ (п«г« — 7п3г3+27п2г2—71пг+98)р1};
Еа'Р' — Еа'Ер'= п2г2(пГ-1)2 12(пг~ О2 Не Рг — 8 (пг—!) р5 р3 +

+ 2 (п2 г2 — 2пг + 3) р 4 + (4п3 г3 — 18п2 г2 + 52пг — 50) р4 р2 —

26 В приложении дана сводка некоторых формул, которые оказываются
полезными как в данном случае, так и во многих других расчетах; эти формулы
значительно облегчают вычисление.
— 4 (4n* 2 г2 — 18nr -+• 29) рз На — (4n3 г3 — 22n2 г2 68nr — 98) Цг};

Ez' Р' — Еа' £0' _

[£₽Т	"

2 (nr — I)2 [л, р.г — 8 (пг — 1) [х5 |л3 + 2 (п2 г2 — 2пг+3) ц2 +

“	[(«/• — 1)Н* +

+(4ns * * Вr3—18n2r2+52nr—50)(14[л|—4(4п2г2—18пг+29)|л|ца—(4п3г3—22n2r2+68nr—98)^2
+ (п2 г2 —2пг + 3)р.2]2	‘

Исходя из этого получим:

(п4 г* + п3 г3 — 17п2 г2 + 65пг — 98) р.|+4 (4п2 г2—18пг+29) р.2 —

>	[(nr-l)^+(n2r2-

—(3 п3г3— 16п2г24- 51 пг—50) |л4 [Xg —2 (n2r2—2nr+3) р-2 +8(nr— 1 )pspa—2 (nr— 1 )2 pe p2

— 2nr + 3) fi|]2

(И)

Если значения nr не слишком малы, то эти неравенства дают доста-
точно высокую нижнюю границу для EQ4. Диапазон, в котором замы-
кается EQ4, зависит в этом случае от закона распределения х. В том
случае, когда х следует закону распределения Гаусса, мы получим:

j п4 г4 — 8п3 г3 — 17п2 г2 + 8пг — 32

п* г2 (пг + 1)а

и

2 п — 1 пг —2
г — 1	п пг — 3

>^>1+г4т~х

п4 г4 — 8п3 г3 — 17п2 г2 + 8пг — 32 .

(пг + I)2 пг (пг — 1)	’

(12)

при пг = 10 отсюда получаем:

, ,	2 n — 1 / . , 1 \ .	11	2 П — 1 /.	10 542 \

1 +	(1+ у) >^> 1 + 7ZTT~ 10890") ’

но уже при пг = 100 будем иметь:

1 I 2	. п~ 1 (1	I —ЕО4	1	I 2	.п ~ * (1_ 9 150 132 \

г—	1 п 97^ 4	1 г—	1 п	100 989 900 у*

В случае, когда х принимает значения Г и 0 с одинаковыми вероят-
ностями, рз = рб = 0, р4 = pi, Ре = Н2 и в силу этого (ср. стр. 168)

п4 г4 — 2п3 г3 — 5п2 г2 4- 22 пг — 56
[п2 г2 — пг + 2]а
9

Еф> 1 +

п — 1 пг п4 г4 — 2п3 г3 — 5п2 га 4“ 22пг — 56 ,
п~ * nr — 1	[п2 г2 — пг + 2]а	’

при пг = 10 отсюда находим:

1+ ^1 — (1+ у) >Е<2‘> 1 + 7^1-V (’

800 \

8464у *

В том случае,

когда

1 Р-4	1 Цв 1^3

величины -	4- , -у и

nr Р-2 п г И2 п г Р*2

ПрИ Возрастающем п стремятся к пределу 0, величина
Н*2
Eaf ft' — Еа' ЕВ'	л г. а'

----н ft,ia—-— также стремится к пределу 0, а Е — к пределу
1-Ср	Р

/Еа'\	__ -

При этих предпосылках верхняя и нижняя границы £Q4 при
2
п = оо сливаются; EQ4 становится при п = оо равным 1 +

2
и E[Q2-1]2=_£_t.

Если же указанные предпосылки не осуществлены, то и этот
вывод оказывается несправедливым. Рассмотрим, например, случай,
когда р,2 = Н* = PQ [Qk~x + (—1)*Pk~{]• Положим р = и пред-
положим, что п беспредельно возрастает; при этих условиях
^•4- стремится к пределу -L, а — к Пределу ^2;чтока-
р-2	1а2

сается нижней границы Л, то ее можно получить из формулы (11),
полагая п — оо:

5

или же 1 — тг _д_ д , но не 1. Таким образом в этом случае
при п = оо имеем:

7AI>£№-1P>7A_(J-S^FT

В том случае, когда действует закон малых чисел и этот метод ста-
новится неприменим (ср. стр. 162), с его помощью нельзя в точности
определить среднюю ошибку Q2 даже в случае п = оо и вопрос о том,
стремится ли она с возрастанием п к пределу |/- или к какому-
либо иному, более низкому предельному значению, остается нере-
шенным. При том допущении, которое само по себе представляется
правдоподобным, хотя и не поддается доказательству описанным спосо-
z1 2 Fza

бом, т. е. при допущении, что, при п — оо, £Q4 = Е-* — мы полу-

чили бы при п = со

£ [Q* — 1]2 = _2_ ...гт
J r — 1 rm 1

V

Тем же путем, как и ранее, величину £Q4 можно определить и в том
случае, когда числа испытаний меняются от серии к серии. Не подвер-
гая исследованию все мыслимые варианты коэффициента дивергенции
(ср. первая глава, III), я хочу подробнее остановиться лишь на том
из них, который обозначен символом Q2. Если придерживаться обоз-
начений параграфа III первой главы, то можно тем же путем, как это
сделано было в параграфе II настоящей главы, сохраняя символы А,
В и С, получить

ЕО* — £ — = —____

у2 - (Г_ 1)2

Г

S

в +

г — 1

1 =-В + ^±-1 А

S S — 1

и отсюда

1 г2

Если величины S; равны между собой, то >---------= 0 и мы

St S
i= 1

возвращаемся к формуле (3). Если величины sx различны, то
г 1 г8

~ > 0; следовательно, знак разности между средними ошиб-
/=1

ками для Q2, вычисленными по формуле (14) и по формуле (3),
зависит от знака разности	^сли — 1 < 0, то

средняя ошибка Q2 оказывается тем больше, чем неравномернее
распределены испытания между сериями. Если А—1>0, то
мы имеем обратное: средняя ошибка Q2 от неравномерности в рас-
пределении испытаний по сериям уменьшается. Наконец, ее величина
становится независимой от распределения испытаний по сериям,
если

1 = о.

S — 1
В том случае, когда переменная х с одинаковыми вероятностями
может принимать значения 1 и 0, мы получаем из формулы (13), при
s-M

s > 5, А — 1>0. В этом случае, таким образом, средняя ошибка
коэффициента дивергенции становится тем меньшей, чем неравномер-
нее распределены испытания по отдельным сериям. В случае распре-
деления по закону Гаусса установленные границы для А не позволя-
ют с достоверностью умозаключить относительно знака разности

Л - 1.

Если при возрастающем s все величины увеличиваются таким
образом, что -у- при s=oo становятся {равными конечной величи-
2

не yif то Е [Q2— I]2 стремится |к ‘пределу если А при s—оо

становится равным 1. Если же А при s= оо принимает значение,
отличное от 1, то E[Q2—I]2 стремится с возрастанием s к предель-

ному значению, отличному от - Если, например, А при s= оо

становится равным j (ср. стр. 173), то вместе с этим

9

rm j । ।	1	1 X1 1

rm 4- 1 I ' 2rm -г — 1 -ц

Средняя ошибка Q2 при таких предположениях оказывается тем
больше, чем неравномернее распределены испытания между сериями.

Г г	"I

В зависимости от того, имеем ли мы j — — г2 >2, =2

/ 2

или <2, и средняя ошибка окажется либо меньшей, чем у —।
1 / 2	1Г 2

либо равной у либо же большей, чем у Zrzn •

Третья глава

I

Вопрос о законе распределения значений Q2 в статистической лите-
ратуре не разрабатывался. Как правило, пользовались формулой Борт-
кевича (Е [Q2 — I]2 = -|) и применяли ее так, как если бы закон рас-
пределения был Гауссовым, ничем не обосновывая этого допущения.
Правда, недавно проф. Борткевич как бы в подкрепление такого взгля-
да, указал на то, что Q2 «представляет собой арифметическое среднее»26,

26 Bortkiewicz, Realismus und Formalismus in der mathematischen
Statistik, S. 234 (Allg. Stat. Archiv, Bd. IX, Munchen, 1915); cp.: Bortkie-
wicz, Die Iterationen, Berlin, 1917, S. 196.
но такое указание все же недостаточно. Даже в том случае, когда ве-
личины xlf х2, ...» xs, арифметическую среднюю которых мы рассмат-
риваем, не связаны между собой, то, как правило, закон распределения
для X(S) с возрастанием s стремится к форме Лапласа — Гаусса лишь
при определенных предпосылках.Что же касается Q2, то здесь есть
то привходящее и усложняющее обстоятельство, что Q2 представляет
собой арифметическую среднюю из величин, взаимно зависимых.
При таких обстоятельствах не только в отношении закона распределе-
ния суммируемых величин, но и в отношении того рода взаимной связи,
которая существует между ними, должны выполняться, определенные
условия для того, чтобы закон распределения' x(s) с возрастанием s
приближался бы к Гауссову.

Если величина ——-1-/о при любых целочисленных положитель-

ных значениях h с возрастанием п стремится к пределу 0, то воп-
рос о распределении при п=оо без труда разрешается тем, что мы
можем по формуле (10) установить нижнюю границу для EQ2k =
zk

= Е—£ (£=3, 4, 5, ...). Если мы примем во внимание, ч^о, в слу-

чае, когда а=/(Р) + у, где у не связана с р, мы имеем Еар —
— Eafp = Ef (Р) Р — Е/(Р)£'Р, то, как в этом легко убедиться,
Ezk yk—Ezk Eyk	a

с возрастанием n,----—— стремится к пределу 0 и, следо-

вательно, согласно формуле (10) при п=оо получим:

£Q2*>

или

nk (nr — 1/
(r-1)*

EQ2^>

Однако, как известно, в случае, когда переменная г следует
Гауссову закону распределения, имеем:

где означает ту величину, которую z принимает в /-м испыта-
нии, Z(S) — арифметическую среднюю всех s эмпирически найденных
/ s \

величин z 1т. е. z<$)= — 2	) • а va означает величину Е [г —

\ s /=1 /
— Ez]2. Так как закон распределения xit(n) в указанных условиях
с возрастанием п приближается к Гауссовой форме, получаем:

(X 2 (Xi.W- *(ПГ))2Г)П ^ = (/--1) (г + 1)(г + 3)...

\	|_Z=1	J /П=ос

...(г + 26-3) -4

и

(дА r	k\

Е (г_1\Л	2 (^Z.(rt)	-^(nr))3 I =

V Ч [/=1	J / n=oc

=+++) (i+ .+)•• (+++) 4

Так как, с другой стороны, мы имеем

(Гпг

Е Ь?1(ХА-Х<ЯГ))1 Л=о=И*’

то, следовательно, при п=оо

EQ2*>(i + JL_) +	+	(15)

При 6=3 и 6=4 по формуле (15) получаем:

EV> 1+ + - (т+ут;	(16)

ВДЯ+у+Дг + Л-	<17>

Эти неравенства ясно показывают, что закон распределения для
Q® при растущем п стремится к такой форме, которая существенно
отличается от Гауссовой. Если закон распределения Q2 был бы
симметричным, то из Е [Q2—1]3 = 0 мы получили бы EQe = 1 +
+ ^г~—1 вместо EQa^> 1 +^j—^2- Если бы закон распределе-
ния Q2 был бы Гауссовым, то мы должны были бы иметь EQ8 =»

1 ^(г— I)2’

При умеренно больших значениях г, какие обычно встречаются
в статистической практике27, закон распределения величины Q2 даже

27 В указанной работе Борткевича (Realismus und Formalismus, S. 234) рас-
сматриваются, например, случаи, в которых г = 9 и г = 14; величина г ни в одном
из случаев не принимается выше 25.
при п = оо и в предположении, что —^2) = 0, обнаруживает
заметную асимметрию28; наиболее часто встречающееся значение Q2
(мода), так же как и медиана, есть<4; отрицательные величины Q2 — 1
встречаются чаще положительных; средняя же величина их соответст-
венно меньше единицы.

II

1)	Вопрос о величине EQ интересен с чисто математической точки
зрения, но не представляет значительного интереса для статистика,
поскольку выяснилось, что вычисление Q2 как по принципиальным
теоретическим соображениям, так и из-за способа вычисления следует
предпочесть бывшему ранее, более обычному вычислению Q, И этот
вопрос, как и большинство проблем, касающихся построения матема-
тической теории коэффициента дивергенции, был впервые выдвинут
проф. Борткевичем29, и ему же принадлежит первое решение его:
EQ = 1 — Однако ход доказательства, который приводит к этому
решению, все же недостаточно строг. Борткевич исходит из допущения,
что EQ2 = Пи что EQ4 = 1 + -. Первое из этих допущений, как это
следует из моих доказательств, справедливо при всех обстоятельствах,
при любых величинах миги при всяком законе распределения х.
Что же касается второго допущения, то оно не доказано и высказан-
ное в общем виде — неверно (последнее можно доказать). Если при-
держиваться предельного случая п = оо , то второе допущение при
выше не раз сформулированных предположениях (ср. стр. 172) сле-

2

довало бы заменить другим: EQ4 = 1 + —у.

Принятые значения EQ2 и EQ4 были введены Борткевичем в со-
отношение, которое по его мнению, должно считаться приближенно
справедливым:

EQ = 1-1£[Q2-1E
о

откуда и получается EQ = 1 — ~ (соответственно EQ = 1 — 4(rJ-i) .
Однако вывод этого соотношения также не может считаться бесспор-
ным. Положим z = Ez2 — А и обозначим ЕА через а. Тогда легко
найдем, что z2 = [Ez2]2 — 2AEz2 + Л2, откуда следует:

28 Утверждение проф. Борткевича, что можно потребовать, «чтобы при зна-
чительном числе рядов наблюдений q и п приблизительно в одинаковом числе слу-
чаев принимали положительные и отрицательные значения» (Realismus und
Formalismus, S. 231), основывается на предположении Гауссова распределения
значений Q2, и это его первое утверждение рушится вместе с последним.

29 L. В о г t k i е w i с z, Der wahrscheinlichkeitstheoretische Standpunkt
im Lebensversicherungswesen (Oesterreichische Revue, Wien, 1906).

7

О теории дисперсии

177
ЕА2 = (1 + 2a)Ez2 —[Ez2]2.

Тем же путем находим, что

Ez4 = [Ez2]4 — 4 [Ez2]3a + 6 [Е?2]2хЕЛ2 — 4Ег2-ЕЛ3 + ЕД4.

Если здесь заменить ЕЛ2 через (/ + 2a) Ez2 — [Ez2]2 и выбросить
члены, содержащие ЕД3 и ЕД4, то получается уравнение первой сте-
пени, из которого можно определить а. При Ez2 = 1 это уравнение
дает а = ± Е [z2 — I]2.
о

Пригодность предложенного Борткевичем вывода для определения
Ez, когда известны величины Ez2 и Ez4, зависит от того, в какой мере
можно пренебречь величинами ЕД3 и ЕД4. Но, когда имеешь дело с ко-
эффициентами дивергенции, это допущение возбуждает большие сом-
нения. При Ez2 = 1 имеем ЕД2 = 2a. Так как ЕД4> [ЕД2]2, то ЕД4>
>4а2, или же, если исходить из EQ =1 —	ЕД4>1^. В уравнен

нии EQ* = 1 + 8a — 4 ЕД3 + ЕД4 последний член, которым при-
ходится пренебрегать, вряд ли можно считать исчезающе малым по
сравнению с а. Чтобы оправдать такую методику, следовало бы дока-
зать, что ЕД4 — 4 ЕД3 исчезающе мало по сравнению с 8 а. Однако та-
кое доказательство вряд ли может быть построено. С достоверностью
нельзя установить даже знак разности ЕД4 — 4 ЕД3.

Таким образом, если EQ мы вычисляем по формуле EQ = 1 —
^-Е [Q2—I]2, то допускаем ошибку, о размерах которой ничего
не известно, и получаем такое значение EQ, которое может быть как
больше, так и меньше истинного.

2)	Твердой опорой тому, чтобы получить представление о величине
EQ на основании величины значений EQ2 и EQ4, служит известная
лемма Ляпунова: если х не может быть отрицательным и если
I > т > п > 0, то30

[Exm]l~n < [Ехп]1~т [Ех1]т~п.

Из (EQ) (EQ3) > [EQ2]2 получается, что EQ>-g^-, и из (EQ2) х

X (EQ4) > [EQ3]2 находим, что EQ3	откуда следует, что

Так как, с другой стороны, EQ2>[EQ]2,
то

30 Можно также исходить из неравенств Стильтьеса (Stieltjes), которые рав-
нозначны лемме Ляпунова; ср.: Stieltjes. Recherches sur les fractions con-
tinues, p. 49 (Annales de la facultede Toulouse, vol. VII).
Эти неравенства справедливы при всех обстоятельствах, при любом
г и любом и, так же как и при каких угодно законах распределения х.
Если же принять какую-либо определенную форму для закона рас-
пределения Q2, то, само собой разумеется, можно было бы определить
EQ с большей точностью.

Полученные математические результаты дают право на некоторые
выводы, имеющие значение для статистической практики.

Теоретическая величина E[Q2—1 ]2 в статистической практике
имеет троякое применение: '

1)	средней ошибкой Q2 измеряются отклонения эмпирически най-
денной величины Q2 с той целью, чтобы судить о вероятности, что дан-
ное отклонение лежит в пределах случайных колебаний;

2)	средняя ошибка ряда найденных из наблюдений значений Q2
может быть сопоставлена с ее математическим ожиданием;

3)	исходя из предположения Гауссова закона распределения фак-
тическое распределение ряда установленных наблюдением значений
Q2 сравнивают с теоретически ожидаемым.

Допущение закона распределения по Гауссу, как мы видели, ни в ка-
ком случае не может считаться оправданным. Даже при п = оо и при
наиболее благоприятной для этого предпосылке, что | /д |	= О,

все же распределение значений Q2 обнаруживает явную асимметрию.
Правда, по мере возрастания г асимметрия ослабляется, и форма кри-
вой распределения до некоторой степени приближается к Гауссовой
кривой; однако при тех величинах г, которые обычно встречаются,
распределение заметно разнится от Гауссова, так что сопоставление
фактического распределения с Гауссовым не дает больших результатов.
Напротив того, большой интерес могло бы представить сопоставление
с той из эмпирических кривых Пирсона, которая имеет моменты, сход-
ные с моментами, получающимися из формулы (15) (ср. третий очерк,
вторая глава, § III). По тем же основаниям надо посоветовать быть
осторожным при оценке вероятности, что наблюденное отклонение
эмпирического значения Q2 от 1 не выходит за пределы случайного.
Если в основании такой оценки положить допущение закона распреде-
ления Гаусса — Лапласа, то отрицательные отклонения, в особен-
ности более значительные, окажутся недооцененными, положительные
же, наоборот, переоцененными. Все же при не слишком малых вели-
чинах г ошибка в оценке может оказаться настолько большой, что всю
оценку придется признать лишенной значения; как правило, можно
все же руководствоваться таблицей Крампа (Кгашр) для Лапласова
интеграла, чтобы получить приблизительное представление о порядке
величин соответствующих вероятностей в каждом отдельном случае.

Что же касается величины средней ошибки Q2, которой следует
придерживаться, то на практике в том случае, когда/'——тт» )	=

J п=ос
2

= 0, можно без больших сомнений принимать, что E[Q2 — 1 ]2= —у!
ошибка, при этом совершаемая, обычно будет незначительна; с по-
мощью выведенных неравенств ее можно в случае необходимости грубо
приближенно оценить. Когда числа испытаний в отдельных сериях
между собой равны, то средняя ошибка Q2 всегда получается завышен-
ной, если полагать Е [Q2 — 1 ]2 Если же эти числа между собой
сильно разнятся, то не исключена возможность, что ошибка иной раз
окажется недооцененной.

2

Из соотношения E[Q2— I]2 = можно, как правило, в пред-
положении, что (—= 0, исходить и при непосредствен-
ном сопоставлении установленных наблюдением значений средней
ошибки Q2 с ее ожидаемой величиной. Лишь не надо при этом
упускать из виду, что средняя ошибка эмпирического определения
средней ошибки Q2 сама очень велика. Если, к примеру, принять
что

£C.= i+_±T + i_l1F

И что

£Л8_ J _L 12 I 44	_1_	48

” 1 фг-1 +(г—1)2 +(/—1)з ’

то получается, что

(9 >2

__	8	,	48

~ (Г- 1)2 + (Г- 1)3 ’

В предположении, что	= 0’ можно считать допусти-

мой и обычную статистическую практику; следует лишь воздержи-
ваться от сопоставлений фактического распределения величин Q2 с
распределением по закону Гаусса. Однако в тех случаях, где указан-
ное условие не выполняется, т. е. главным образом в области, где
действует «закон малых чисел», относительно величины средней ошиб-
ки коэффициента дивергенции, можно лишь утверждать, что EIQ2 —
— 1 ]2 < р когда числа испытаний в отдельных сериях равны
между собой.

2

Величину разности Е [Q2 — 1 ]2 — —у в настоящее время нет еще
возможности оценить, остается даже под вопросом, стремится ли она
к 0 при возрастании п\ скорее следует признать, что она при п = оо
оказывается отрицательной.
Еще меньше можно сказать о величине средней ошибки коэффициен-
та дивергенции, когда она вычисляется в такой области, где дейст-
вует «закон малых чисел», и на основе серий с очень различными чис-
лами испытаний: в таких условиях средняя ошибка Q2 может оказать-
ся и больше и меньше j/ причем разница в числе испытаний по
сериям может, по-видимому, и не быть особенно большой для того,
чтобы было Е [Q2 — 1 ]2 >

В области действия «закона малых чисел» все заключения, опираю-
щиеся на соотношение Е [Q2 — 1 ]2 = —р должны до поры до времени
считаться неосновательными. Собственно говоря, лучше было бы в этих
случаях вообще отказываться от вычисления коэффициента диверген-
ции, пока не будут преодолены математические затруднения, связан-
ные с этой проблемой. Такая жертва не была бы очень тягостной, так
как у нас имеется возможность вычислять «существенную составляю-
щую» (ср. третий очерк), которая представляет собой более целесо-
образный и более содержательный метод исследования, несомненно
призванный постепенно вообще вытеснить из статистической практики
расчет коэффициента дивергенции.

Приложение

Е(хг —Ху)2 = 2р2;

Е (Xi — Ху)4 = 2р4 + 6pi;

Е (xf — х7)« = 2р.6 + 30|л4 р2 — 20|Лз;

Е (xi ~ Xj)6 =	+ 56рв — 112р5 рз + 70р2;

£ (хг Ху)2 (хг xh)2 = р4 т Зр2>

Е (х,- — Ху)4 (хг — хЛ)2 = р6 + 9р4 щ — 4рз +6р2;

Е (хг — Ху)2 (хг — xft)2 (хг — Ху)2 = |Л6 + Зр4 р2 + 4р2;

Е (хг — Ху)2 (хг — хЛ)2 (Ху — хл)2 = 4р4 р2 — 2рз+4р1;

Е (хг — Ху)2 (х{ — хл)2 (Ху — хл)2 = 6щ р2 — бнз — 6р2;

Е (*i — XjY (хг — Ху)2 (Ху — хл)2 = 4р6р2 — 8р5р3 4- 6р4 4-

4- 16р4|12 — 8рз р2 4- 6р2;

Е (*i — xjY (xt — Ху)2 (Ху — хл)2 = 2р6 ц2 — 2р5 рз 4- 2р4 4-

4~22р4 р2 — 12рз р2 4- 6р2;
£ (х{ — ху)2 (х{ — Ху)2 (xf — хл)2 (ху — xg)2 = 2ц6 р2 — 2|Х5 Р-з +

+ |14 + 8|Л4 |Л2 — 4|Аз р2 Н~ б|Л2 ;

Е (х4 — Ху)2 (хг — ху)2 (хг — xft)2 (Ху — Ху)2 = 2ц6 р2 — 4р6 р3 +

4~ 2р4 + 2р4 |x2 — 4(Аз р2 — 6ц2 ’

Е (xt — Ху)2 (х4 — Ху)2 (Ху — хл)2 (Ху — хг)2= р4+ Wi Р2 — 4р| Рг+брг;

£ (хг — Ху)2 (хг— Ху)2 (Ху— хл)2 (хл— xg)2= ц24 + 10И4 Р2 — 4pj p2+5f4;

Е (xt — Ху)2 (хг— Ху)2 (xz— хл)2 (xg— х^= 2|xe р2 + 6р4 pi + 8р2;

Е (xz — Ху)2 (xz — Ху)2 (хл — xg)2 (xz — xr)2 = 4|Х4 pi + 12pi;

£(xz —Ху)2(хг —xy)2(Xy —xft)2(xy —хй)2 = 2pi + 12p4p2 + 18pL

Третий очерк

О СРЕДНЕЙ ОШИБКЕ
«СУЩЕСТВЕННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ КОЛЕБЛЕМОСТИ»

Первая глава

I

Над N случайными переменными хь х2, xw, следующими про-
извольному закону распределения, проводятся N испытаний: первое
испытание — над первой переменной хь второе — над х2 и т. д. По-
ложим:

Ext = mi0; Ех2 = /пг0; Exki = т{^\

Е [х. — /и<*>]2=	~ Нг0! Е [xz — /«<'>]* = р£>;

N	N	N

N	т2 — m[2,N]’ N тк ~m[k,Ny

4=1	4=1	4=1

N	N

2 Р2 )= P[2,V]’ "дГ 2 Р* )= Р[*,АТ

4=1	4=1

Обозначим далее через х\ то значение, которое переменная при-
нимает при соответственном испытании, и положим, что

"дГ2 xt = x(^)»

4=1

Ех^) = nik, (W)*,
Так как /л1 (7V)=Ex(/V) = -^-Е 2 xt= jy" 2 mi * = т\\,ыу T0
Z=1	Z=1

можно представить в таком виде:

Н-А.(ЛГ) = Е [X(WJ m[l, W]]A ~ mk.(N)Jr

+ 2(—	tn{\, N}tnk—h, (ЛГ) + (—1)* ' (&— 1) W[1,W]'

/1=1

С другой стороны, мы имеем:

N	N

^г.п=-Л	И’]! =

Z=1	Z= 1

Л/

= W[2,Af]—ГП[\, 2V]--JT'jS

Z=1

P'[4,W]=^’2	(— 1)ЛС* [mi0]* ntk-h = tn[k,N] +

Z=1 /1=0

k—2	N	Л/

/1=1	Z=1	Z=1

Так как испытания взаимно независимы, то мы имеем далее:

т2 N = Ex2iN)=^- (Sm[>”+2 5 2 mV'W2’! =

;v k	zt=i z2=zt-H	J

2	.1

== m[i,Ar]4--^p,[2>w];

m3, (,v) = £х(дг)= /И[1,м] + m[i, v]	H[3, w] 5

fn4,(N) — EX(jV) = ntfi, JV]-b-у- т[1>дг|р.[2,ЛГ]+	{4/П[ 1,2V] H[3.N] +

+ Зр.[2,ЛГ])+	22 [p-40— 3 (|*2 ’)2] I ;

I Z=1	/

P2,(W)~	[X(W)	m[l, ЛГ]]2 ~ ~N~ ^[2, AT

^3, (N) =	[X(W)	m[l, ^Vj]3 =	^[3, N]'
Н4, (#)“£ [Х(У)	т[\, N2 H[2,	4" ДГЗ *

{W

тЖ-зМ')'] 
4=1	J	.

II

Если положить

N

-у 2 [x'i — m^]k=pik,N},

4 = 1

[**—m[i,tf]]*= И[*.Аф

4= 1

то мы получим:

e №,w]=

Ep[£,Aq = "X; 2 2 [mV — m[\, ^]]Л=
n i=l л=о

N

— Н[4, Л] + k -jf |1V21 [/n(i° —/И[1,ЛГ]] + ... +
4=1

+ 2Й___LL JL^ p2° [/n(0 — m[l,W]]*~2+	—mEl.AT]]*.

4=1	4=1

Математическое ожидание |^[л,л/] можно представить еще в другом
виде:

k~2

Е^[к,^= m[k,N] + S(— 1) Ck ^[1,N] tn[k-h, N] +
A=1

+ (-l)ft-I(^-l)«[l .NY

Когда все величины m(i° одинаковы, то Р[*,лг]=Р[£,лг] незави-
симо от того, каковы законы распределения остальных отношений.
Если же, напротив, не все величины т{Р равны между собой, то,
вообще говоря, ¥= Н[*,аф а также и y=Ep[V/v].

При k=2 мы имеем:

— ^[1,2V] = H[2, N]+	2 1™^— ml 1. ^]] 2?
откуда следует, что

2 [т^— ГП[1 ,7V]]2 = Е {f1[2,W]— Н[2,ЛГ)) =

4 = 1





=£U2 [*;—m[>.w]]2—^2 к*'—™(i°]2-

ш

Если положить

IE [*4—= V[A>,2V];	£V[£tw] = V[£, /V],

то мы получим:

v[i, лг] =V[i, лг] = 0;

w

V[2, W] = Е ¥ 2 [** - х<")]2 =

4=1

ЛГ

=	2	1 R2, ЛГ]!	(1)

4 = 1

V[3, W] у 2 [х<‘ — Х(ЛГ)]3 =	2 I771*0 ~ ^[l.Af]]3 +

4=1	4=1

(jV-l)(tf_2) „	, 3(Л4 —2)

п-------ууа-----Н[3. W] Н----Ц---

1	.1

jy Zj Н2 ^1 —М-[2,ЛГ] W[1,W]

4 = 1

• (2)

После некоторых кропотливых вычислений мы далее найдем:
£v[2,N] =^ 2 [т1° — /П[1, ЛГ]]21 +(У\з1) Н[4, дч +

Л^2  2^ + 3

4(2V — 1)
ДГ2

fN	)

у 2 [т<1’> —^[1, JV]]2} +

4=1	J

' N

2 ИЗ0 m<l(>—Н[3. NJ^th N]
k i= 1

N

+^2 и!0 [wi0—/пр, W]]
4= 1
и

f N

£.[v[2, W] — v(2. JV]] 2 = E 2 [*»' — *w] 2 —

_ J-V-2P 2 [(*?’ -3(^>n+^ f W’]!-
— W0 — Н[2.Л1]2+^ 2 Hs’ [m'l° —rail.W]]2 +

N

№

4(W-1) 1 V ,.U) „(П
------- N Zi H3 mi —

i = 1

H[3, W] ГП[1, M]

В том случае, когда все переменные следуют одному и тому же
закону распределения, мы получим из формулы (4):

{N	12

jy 1	^(ЛГ)] Haj = _j Из Ч- jy- [ш Зрг] •

(5)

Вторая глава

I

1) Если N переменных сгруппированы по г сериям, в каждой из
которых имеются п переменных, подчиненных одному и тому же за-
кону распределения, то из формулы (1) получим:

пг	г

Iх'—х<п')]2 = 7 2	т[1>и]2 +^^н[2, и, (6)

i = 1	i = 1

где /П[1,Г] и р[2, г] означают арифметические средние из величин т\,у
и характеризующих г различных законов распределения, так
Г	г

что можно написать /Иц, г] = — 2 /7г<1<>’ Н[2,г] = — 2 Нг '•

1 = 1	4 = 1

Если затем обозначить через Xit h то значение, которое соот-
ветственная переменная принимает в /-м испытании i-й серии, и
п

положить Zf = — 2 h то получим:

Л /= 1
г	г п

у zi = уг 2 2 Хг- / =

4=1	4 = 1 /= 1
EZi = Ext = m\‘};	2 Ezi = mU. r]5

i = 1

Ezj = 1 Exl + [ЗД = 114'> + H>]2;

Ег?-[ад=4н2°;

у 2 [EzI-(ад] = yr 2 H2° = у №. r],
i = 1	4=1

Г	Г

E у 2 — X('>'-)12 = у 2 lm<1°—^tbd]2+ ~^ H[2,rj- (7)
4=1	i= 1

Из формул (6) и (7) получим:

J-1 м’-чигЦ-^р 4 j>,-w -

~ r(n —1) ’ nr .2 lx‘ ~	•

Из

е4п214,-ч]!=^.

/=1

(8)

с другой стороны, мы имеем:

Н[2, г] = Е г\п — 1) 2 2 [Х/’ /	•	($)

После подстановки этого значения в формуле (7) получим:

J- 2	— тП.']]2 = Е {у 2 tZi ~х(пг)]2 —

( i=1

>— 1
г(п-1)

(10)

Однако этот ход решения не представляет собой новый независимый

путь вычисления из наблюдений

величины

7 S [/п</> — ГП[Х ,н I2»

Г 4=1

так как не только математические ожидания правых частей в равенст-

вах (8) и (10) равны друг другу, но самые выражения эти тожественно
равны, как в этом нетрудно убедиться.

2) Если положим, что
7 2 [гг —X(nr)]2 = Л4',
i = 1

r(n —1)  nr^ 2 [X‘./“ZJ2 =M"’

то получим:

£ЛГ' = М + ^|х[2,и;

M = E{M' — M"}.

Далее мы легко найдем:

Е[М'-—ЕМ']г = 1^-. 1 2 [и<г)-3(ИР)2] +
4 = 1

+2-%^Ч 2	2 М'1

4=1	4=1

+ гЛ7 2^“['»'.'’-™I1.dl2 +

4 = 1

+ --7ГД0 7 2 Нз0 /n(i° — Н[з.г]т[1гГ] ;

L * = 1	J

Е[М”-ЕМГ=(-^--у 2 [^° -ЗЫ°)2] +

4= 1

2 (г — I)2
г3 п2 (п — 1)

После некоторых затруднительных выкладок имеем:

Е[М'~ ЕМ'] • ]М" - ЕМ"] =	1 2 [ fiV’ - 3 (|4‘>)2]

20—1)
па г2

Y 2 Из0 т{1) -|Х[3,Г]/П[1,г]
Но так как

Е {[Л1' — М"] — М}2 = Е [М' — ЕМ']2 + Е[М"~ ЕМ"]2 —

2Е ЦМ' — ЕМ'] • ]М" — ЕМ"]},

то, в конце концов, получим:

£{[м'-м']-м>’=2(;~,1^"~11- i j; мт-

-Л--т 1 M'’-w2+„v7 2ч.,,j2- но
i = 1	i=l

п

1)	Примем теперь, что над переменной хх проведено пг испыта-
ний, над переменной х2 проведено п2 испытаний и так далее, и
положим пг + п2 + ... + пг — s. Будем рассматривать всю совокуп-
ность s испытаний как единую серию. Тогда:

ГП[1, s] =	7 2 ni т^' i= 1
ГП[2, s] =	У 2 nim2K,
Н[2, s] =	i = 1
£x(s)	= ^[i, «j;

= /П[1, S] + у |Х[2, s]l

^7 2	~x(s)]2 = 7 2 ni t"1*0 —	. s]]2 +	Н[2. sj. (12)

i=l	i= 1

Если, с другой стороны, положим

1 П/
Zi = П1 Xi‘ Ь

Г.

2(г) = у 2 zi>

i= 1
то получим^

пггг=х(5);

Ezt = m\4;, у 2 Ezt = W[i,r]; у 2 ntm^ = /«[i.s]>
i = 1	i = 1

Ег? = W‘4! +1 gV; e4 - 1Ег,г _ 1 g?'
rii	*4

и при пг>2

£^7=7 2 [x'i- /-zJ2 = M2.);
r	nt

e	т 2	2	lxi	f-^2-T 2	ъ	HP = PI2. s];	(13)

£	7-2 7~7 2	lX/-	j — ziV = 7 2	H20 = H[2, rj;

Z = 1	1	j=l	i=l

r	n.	r

£ 7 2 nz(n,—1) 2	I — zi]2 = 7 2 ni и2°’

i=\ 1X1	' j=l	i=l 1

Далее без труда находим:

Е 2 lzr~z(r)l2 =2H° —'П[1,Г]]2+^ 27^2°;	(14)

/=1	/=1	1=1	1

£2пИ27—-V(s)]2= 2 пЛт11) —"i[i,sl]2 +2^2°“42 ««Нг0. (15)
Z=1	Z=I	.	Z=1	Z=1

E 2 1гг — w = 2	+

Z=1	Z=1	Z=1 1

— 7 2 H20 +42 ni Нг’+З/тип, S] lm[t, s] —m[i,rj]; (16)
Z=1	Z=1

E S «г[гг —z<r)]2= S nt [mV* — m[Iirj]2 +
Z=1	Z=1

+£72i/“’+^i+"’’	<i7>
а из формул (13) и (14) получим:

у 2 l^i0—Uj izi—г«)12—

ni

i v

ri

а также из (12) и (13) имеем:

(18)

S

T^int W0 —

— x(s)]2 —

п.

S— 1
~s*~

(19)

2

или также из (15) и (13) найдем:

у2 ni [/”1° — mn.d2 = Е у 2 nt^i— х<»

п

S— nz
rt/ — 1

(20)

Формула (18) показывает, что средняя ошибка математического

ожидания величины zt всегда меньше, чем математическое ожидание
средней величины zL. В отношении формул (19) и (20) легко пока-
зать, что для выражений, стоящих в правых частях этих равенств,

не только равны их математические ожидания, но и самые выра-
жения тожественно равны друг другу; тем самым-оба пути для

определения по наблюдениям величины —	как

s/=i
оказывается, совпадают между собой.

2)	Если положить

у 2 М'*— ^[i.r]]2 =м,

i— 1

г

72^-w=m'.

4=1

Г	П1

Г~^ 2 nz(n!-i)2 к / -г«]2=

(21)
то получим:

£«' = 4^2 ^"’+42 Н’-^.и]2;
4=1	1	i=\

™- = ^i

1=1	*

M = E[M' — M"].

Далее найдем:

E [M’ - EM’]2 =	2 4	- 3 H’)2] +

>	4 = 1 ni

>’)4i

1=1 ,i	j=l

I 4 yi 1	(,•) !• (,•)	12 I 4(r— 1)

+ 72^ ^7^2 [mi — /n[i,r]J H--------------------------7—

X |2 Анз0/^0—/П[1,г]2
(i=l	i=l

1 II (/) •

j’

(2Г)

E [M" - EM"]2 =	2 -3 [f4° - 3 (цР)2] +

4=1 ni

+^-’2^М''12;

Z=1 ni \ni

r

E [Mf - EM'} [M- - EM"] = -^=^2 2 4	- 3 (hP)]2 +

i=l ni

 2(r-l) /v 1 ..(O_(Z)	V 1

H-----^3----“2 P-3 ^1 —“2 P'S p

U = 1 ni	4=1 n4 J

И отсюда получаем:

£{(М'-ЛГ]-Л1}* = -Ц=-1).2 4[н2г)]2 +
i—1

2(r-l)»v	1 r (012	2 V 1 ..(О IV 1 ,.(/)12 ,

+ —-----^пДнг-lj ^2 J -7»2(рН2 -72i^H2 J +

+ ^2	(22)
Ill

1)	В том случае, когда величины т\1) между собой равны, мы
из формул (21) и (22) найдем:

Л1=у_2 W0— "41.и]2 = 0;

z=i

Е[М' — М"\ = 0;

е \м' -мг = -(г~-^2 ~2 [н2°]2 + 2(гг71)- X
i=l ni

г	г Г	г	12

[^-^2^] 	<23>

Если же, кроме того, и числа nt также все одинаковы, то мы
имеем:

Е |М- _ М-) = ± Е [g [г, - х(„„Р -	х

х 2 2 1''Ь -х г! -0;

7=1 7=1

Е[М'—М”р =	42 И2-

~4^f2 [h21> — Pis,г]]2-	(24>

1=1

Если, кроме величин т[1), равны между собой также и вели-
чины т21) и, следовательно, также и рг0. то мы получим:

Е\М' — М"\ = 0,

Е !М'-M-f =	м^=Т) -

Если, кроме того, все величины nt одинаковы, то мы имеем:

Е [М' - ЛГ]2 = 2 ^гз~ 4^7° и2-	(26>

1	J г3п2(п— 1)	v 7
2)	В том случае, когда все переменные следуют одному и тому
же закону распределения, можно разработать вопрос еще и другим
путем, имеющим значительные преимущества перед изложенным.

Положим:

Г

nt^i— W = P2;

i = l

г

2 П1 Г** “ Х<®>12 = H2-

i=l

Имеем:

Epi = Epi = p2>

и следовательно,

Е [pi — Рг] = 0.

Далее легко вывести, что

+ (тёт? [i i - 2' Г 'I X [И. - Зй.

£нГ=Йн? + 4[н.-М1-

После несколько кропотливых выкладок получим:

ЕЦ2Рг = р! +	[р4 — pi] —	[р* — Зрг],

откуда вытекает, что

^[P2-Pi]2 = r4y-|E{H1 +

1 I у J_______zi

(г —1)2 щ s
 * — 1

X [щ — Зрг].

(27)

1	г2

Если числа между собой одинаковы, то 2--------------------= 0,

4=1 Л/	s

и мы

получаем;

г? Г *	"12	2 S — Г 2

£[Р2 —р2] =73Г1ТГ7Н2-

(28)

Если переменные х следуют закону распределения Гаусса, то
|х4 — 3pJ = 0 и мы получаем то же самое равенство

е Гр2-р;г= Sp1.

(29)
В этом случае, следовательно, средняя ошибка разности
pi— Рг не зависит от распределения испытаний по отдельным
сериям.

1 га

Так как ------------— >0, то знак ВТ0Р0Г0 члена б правой части

соотношения (27) определяется знаком разности р4—3pi; если
р4>3р2, то Е [р2— pi]2 увеличивается от неравномерности распре-
деления испытаний по отдельным сериям. Если р4<3р2, то
Е [pi—р2]2, напротив, от этого уменьшается.

3)	В том случае, когда все переменные следуют одному и тому
же закону распределения и когда числа между собой равны,
форма закона распределения разности pi—для п=оо и в пред-
положении, что [ —= 0 при сколь угодно большом Л,
вычисляется без особых затруднений.

Закон распределения величин при указанных предпосылках
приближается в случае возрастания и к закону Гаусса, поэтому
мы имеем:

+ г41)(1 +

k	/	2 \

(£ [Ц2 -ц2]*)„=ос = А 2 (-	1 + х

/=о	\	/

х (i + г4-1)-(1 + 2(\~1!Г1))-	(3°)

С другой стороны, получаем:

(£Ы*)п=зо = Ц2;

(Е [р2 На] )п=ос — 0.

Тем же путем, как и ранее (второй очерк, стр. 175), можно
легко убедиться в том, что при любых целых положительных h и
j имеем:

(Е [р2	Н2] * [Н2	Р'2]0л=эо = 0.

И следовательно,

(Е [р2	Н2] )л=ос ==	[н2 щ] )п=ос*	(31)

Закон распределения для pi—р2 при п=оо оказывается, таким
образом, тем же самым, что и для [pi — р2], т. е- он представляет
собой асимптотический закон распределения Пирсона, при котором
пирсоновский критерий31 принимает значение оо и уравнение кото-

31 Ср. хотя бы W. Palin Elderton, Frequency curves and correlation,
p. 47, 68.
рого можно привести к виду у = kx 2 е х, если начало коор-
динат поместить в ту точку, в которой у принимает значение 0.

Г 2

Тогда при этом мода имеет величину р2 1— 7ZTT

IV*

Определение приближенных значений — Т [/n(i°— ^[i,ri]2 вьь
Г 4=1

двигает непосредственно примыкающий к изложенному вопрос о мо-
ментах более высоких порядков для величин m(i°- Не пытаясь
решать эту сложную проблему в полном ее объеме, я хочу лишь
вкратце показать, как можно приближенно рассчитать в простей-
шем случае, когда числа испытаний в сериях одинаковы, величину
— 2 [w(i°— т[ии]3 на основании наблюденных значений %/, /
Г 4 = 1

И Zp

Если пользоваться обозначениями параграфа 1 этой главы, то
из равенства (2) можно, рассматривая все пг испытаний как нечто
целое, получить:

пг	г

Е 77 2 к’ — х("')]3 = Т 2	— т[1, г]]3 +

4=1	4=1

(пг — 1) (пг — 2)
п2 г2

Н[3, г] +

3(пг — 2) 1 у (/) (<)
пг Т.^Н2 mi

4=1

Н[2, г] ^[1, г]

(32)

Если применить формулу (2) к величинам zz, принимая во внима-
ние, что

E[zt — Ezt]2 = -77 Р-2,

Е [Z( — Ezt]3 = рз,

то найдем:

е 4- i и, -	-4-2 и1- т„. н]3+№. „ +

4=1	4=1

* В экземпляре, бывшем в распоряжении переводчика, имеется ряд исправ-
лений, сделанных рукой автора, которые и приняты во внимание при переводе
данного параграфа.— Прим, перев.
। 3(r —2)
nr

Исходя из

1 V1 (/)	(i)

— 21^2 Mi — H[2, г] ^[1, г]

(33)

п

мы, в конце концов, получим:

г п

Е Г(П_1)(„_2) .2 2 (*»'./— zi\ = Н[3, Г]-

(34)

Таким образом, мы располагаем тремя линейными уравнениями,
содержащими не более трех неизвестных. Из формул (32) и (33)
получаем:

пг	г

Е пг (пг — 2) 2 [*' — Х<лг)] ~Е Г (Г — 2) t,2 Х -«(пг)]3 =

» НЕЗ. н-	Т 2 ~mii. и]з .	(35)

Если в формулу (35) внести значения Щз.г] из формулы (34),
то мы, наконец, получим:

г	Г	г п

± s н’ - «ч..	2 2 w. z - г,]з+

i = \	I	1 v i=l /=1

Г	ПГ	1

+ Г2(П_ 1) 2	х(пг)]3 Г2П(Л__ 1) 2 Iх* Х(лг)] J* (36)

Третья глава

I

1) Допустим, как это обычно делается (ср. первый очерк,
стр. 146), что переменные х19 х2, ..., хг могут принимать лишь зна-
чения 1 или 0, и обозначим через pt вероятность, что переменная
Xi примет значение 1, и через 1—pj вероятность значения 0.
В таком случае означает частость наступления события Л, свя-
занного с xt уже известным нам образом, на протяжении f-й серии
и X(S) — частость события А во всех г сериях. Если далее положить

г

— ^Pi = Р(г) >

Z=1
s

— 2 niPi ~ Pis')’
i = l

то получим:

ml\ = P(i)‘,	= p(r>; /^[1, s] = P(s>;

№ = Ptqi’
s	s

s IX—x{s)]2 * = 2 xf—sx(t) =
i s= 1	t=l

s

= Jj Xt — SX(S) = SX(s) [ 1 — x(s)]
i=l

и отсюда32
s

£ -у-	[х/	*^(s)] = ^(s) [ 1	X(s)] =

i = 1
r	r

= т 2 MPi - P(S)F + ^thPi <h-	(37)

Z=1	:=1

r	r	 r

2^-w = T2[p.-P'nii+r-x22ip^ <38)
f=l	i = l	i=l 1

r	r

E~T^inilzi— x(s)]2 = т^п‘[Р*~ P<s>]2 +
/=1 /=1
r	r

+ v 2 Pi^i —i 2raiPi9i!	(39)

/ = 1	i = l

г	r	r

E~r 2 [г/ —X(S)12 = T- 2(Pi —PwP + y- 24-Рг^ —

Z = 1	: = 1	1=1	1

r	r

— -77 2 Pt Qi + та- 2 nt Pt ‘Ji + 2p<s> rp<s>—Pwi; (4°)
i=l	i=l

32 Если П[ одинаковы для всех серий, то из формулы (38) мы получаем форму-

лу (36), выведенную проф. Борткевичем в его работе (L. Bortkiewicz,

Homogenitat und Stabilitat in der Statistik. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1918>

S. 11). Тем же путем из формулы (2Г) соответственно (10’) как особый случай по-
лучается построенная Борткевичем формула (60) (ibidem, S. 20) или, вернее ска-
зать, находим ту более точную формулу, которую Борткевич получил бы, если
бы в формулах (54), (55) и других не откинул члены, содержащие-^ и соответст-
1
венно
£ 4~ 2 nt i2t—w=4" 2	—p(r) i2 +

Z=1	Z=I

г	г

Н 2 Pi Qi "I" 7^2 "л7
/ = 1	Z=l

Так как, с другой стороны,
„ г«	2	1	ni —1

Ezt[l — zt] = Pl—Pi— — Pi qt = —— Pi qt,
r4	III

то получаем:
r	r

E 2 щ— 1 Z> 4	= 2 Pi ^i'

E 2 Й7ГТ zi I1 — zil = 2niPi <h-

i=i 1	Z = 1

И следовательно,

у 2iPi-p,i2=E 42

Z = 1	I Z = 1	J=1 1

42 ni\p—p(s>]2=£ Gw!—

r 2

x(s)l ~2~ 2 nz — 1 Z> ' 1	2(1

(41)

(42)

; (43)

(44)

2) Если положить, как ранее (стр. 191),

-42tPi-P(d2=M,

Z = 1

7- 2 [гг —z(r)l2 = Al',

Z=1

2 nz— iz* 2>i =	>

Z=1

то получим:

и согласно формуле (22)

£ KM' _ мя\ - м}2 = 2(г~1} 2 4? q‘ +
2 (г — I)2
г4

1	2 „2	2	1	„

tit (nz—1) Р‘	Pi

12

+ тг 2 -^Pi^ilPi— /W* 2 *-	(45)

Если все nt одинаковы между собой, то получаем33:

33 М' в указанных формулах соответствуют величине, которую проф. Борт-
кевич обозначил как о2 (В о г t k i е w i с z, Homogenitat und Stabilitat in
der Statistik. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1918), M" соответствует u2, a M —
— w2 по Борткевичу. Разность M' — M", таким образом, равна v2 по Борткевичу
и Е {[Л4'— Л4"] — М)2 = 3R2(t>2). Что касается расхождения между формулой
(46) и формулой (103) Борткевича («Homogenitat und Stabilitat», S. 27), то оно,
с одной стороны, происходит вследствие того, что Борткевич не считает нужным
точный расчет соответственных математических ожиданий (ср. примечание к
стр. 20), ас другой стороны, вследствие того, что входящее в определение V2
(Ibidem, S. 26) эмпирическое значение и2 при расчете 9Л2(и2) заменяется априорной
величиной. Если принять во внимание тожества:

4 2	= 4) “?(% + I1 - & *Р(Г) М + 2 Р(Г) - ?(Г)1 £3 + *4-

— S Pi Qi = P(r) <7(r) “ £2>
r i=l

j '•

V 2 Pi [Pi ~ P(r)V = P(r) Q(r) e2 - [P(r)“ <7(r)] £3- £4>
r i=I

] r

в которых e^ =— 2 iPi—Р(Г)1к <cp- Bortkiewicz, Homogenitat und
r i=l

Stabilitat, S. 21; cp.: Charlier, Theorems of Poisson and Lexis, p. 14.
Arkiv fur Mat., Astr. och fysik, (1911), то получим из формулы (46) после вы-

2	и

черкивания членов, содержащих ез и е4> с тои степенью точности, кото-
рой удовлетворяется Борткевич,

ЯП2 (с-2) = -^2 {(Г~ (ге(—1)~ ° Р2 + 2 ?Г=Л (пг — г+5) РЯ е2 +

п	12

-ф- 7—1 (г — 2) ej = -J-2 {(г — 1) р2 д2 + 2 (nr+5) pq е2 + (г — 2) е2}
вместо

2

ЗЛ2 (^2) = 72^2 {(г - 1) Р2 я2 + 2nrpq е2),

как гласит формула (103). Приближенная формула (103) может считаться
правильной, поскольку е2 имеет величину того же порядка, что и —
Г	(Г

А 2 lPi — P(r)l2 = М = Е U- lzi — М2 —

4 = 1	I 4=1

L	-I i = 1

(46)

-~th 2[pi^-42ри>
4=1 L	/=1

Г

+ А 2 pi h ipt—р<г)]г-
Z=1

Если, с другой стороны, все pt равны между собой, то по-

лучаем:

М = 0;

E[M'-M'T=-P2q2\2{r^i} V А +
(	4 = 1 Л/

. 2 (г— I)2 у 1	2 yjj______Lyl

Г4	1) Г3	П/ Г П;

4=1	4 = 1 L	/=1

(47)

Если, наконец, как все pv так и все nf между собой равны, то

получим:

М = 0;

Е[ЛГ-ЛГр =	’ (48)

II

Если все pi равны друг другу, то можно исходить также из
формулы (2) параграфа III второй главы. Тогда найдем:

Нг = Т-Ц S ni[Zi -x(s)]2;

Т “ 1 4 = 1

На = s____j X(S) [1 X(S)J;

(49)

Е [|12 — Нг] = 0;

Е [Нг — Цг] = TZZT Р2 +
1 V 1 Г2
(r->)2[^nz s

р<?[1 — 6pq].

(50)

При p = q = — мы поэтому имеем:

Е [р-2 — И2]2

1
8(г-1)

Следовательно, средняя ошибка р-2 — Р2 при Р = тем мень-
ше, чем неравномернее распределяются числа испытаний по отдель-
ным сериям.

Неравномерность распределения испытаний действует умеряю-
щим образом на Е[р2—р.2]2 до тех пор, пока 1—иначе
(1\2	1	1	г *	"12

р — у <"ПГ При РЯ = -q на величину Е [р2—р-2]
не оказывает влияния распределение испытаний между отдельными
сериями. При pq<^^- величина Е [рз — р2]2 становится тем боль-
ше, чем распределение испытаний неравномернее.

Если числа nt все одинаковы, то из формул (49) и (50) по-
лучим:

г

Р2 = г______ । 2 [^г	Я(лг)]2;

(51)

"	Г 1	1

Н2 — nr_ 1 x(nr) [1	*(пг)1;

Е [иг -1*2]2 = 7^1 Г Р2 Л

И из формулы (31) при р и q не слишком малых имеем:

А	/	9	\

(£[И2-и;]а)л=эо=р^^ 2 (-1/СИ1 + -47 х
/=о	\	' Ч

х(1 + ^)-(1 + 2-Й^2)-

Закон распределения значений рг — Рг ПРИ п = 00 и (^)	= ®

имеет, следовательно, форму (ср. стр. 195—196):

у = kx 2 е 2р<1 х.
in

G точки зрения вычислений часто бывает целесообразно опираться
не на частости, а на частоту повторений события А. Если через
обозначим число повторений события А в щ испытаниях i-й серии и
через ws — число повторенйй (частоту) событий А в течение всех s
испытаний, то мы будем иметь:

wt — ni

Ws= 2 Wi = SX(s).

i=l

Если nt все одинаковы, то из формул (43) и (44) получим:

т 2 iPi —= £ Ц; 2ki —т-и^гТ —

4=1	I 4=1L	J

Г— 1
л2 г2(л — 1)

1

wnr [пг — wnr] —

пг — 1
л2 г2 (л — 1)

С другой стороны, когда все pt равны между собой, мы имеем:

S2

'	2	I

——(s— 1) 2 Wi M = 0

(55)

и из формулы (49) получаем:

£ г V —	---— w/Г------п ws [s — wjl = 0. (56)

]r— 1 Л/ 1 S 5 s (s—1)	51 Jj|	'	'

I 4=1 L	J	J

Если же одинаковы все а также и все то мы, с одной сто-
роны, имеем

г? [ 1 V^T I I2 Г------- I I VI Г 1

Е 7	--Г7Г=Г1 2

2(г-1)(лг-1)	\

=----гз(п-1)---(пр)2 <7а>

(57)
а с другой стороны,

Е? f 1 Г 1 I2 1 г	11 Л

=0,

I Z=1 L	J	J

{г	\ 2

,4т 2 h ~ ШпгТ _ Wnr [nr ~Wnr])= (58)

=	. r(n~1) (np)2 qi.

r — 1 nr — 1	'	4

Особый интерес представляет тот случай, когда р так мало, что wnr
по сравнению с пг можно пренебречь. Если положить р = и дать
п беспредельно увеличиваться, то как из формулы (57), так и из фор-
мулы (58) мы одинаково получим34

В этом случае, т. е. когда мы находимся в области «закона малых
чисел», мы подчас получаем такие соотношения, которые число п во-
обще в себе не содержат. Все выкладки можно провести, не зная точ-
ной величины и: для применения формул (59) и (60) нужно лишь иметь
основания к тому, чтобы полагать все числа п одинаковыми и знать, что
п очень велико по сравнению с наибольшим из чисел wi.

IV

При практическом пользовании выведенными формулами придется,
как общее правило, вместо входящих в них априорных величин под-
ставить значения, установленные наблюдениями. Самым естественным
представляется, конечно, всюду подставить попросту вместо р/ его
значение ziy вместо qL его значение (1 — zz), как это обычно и делается.
На практике, как правило, этого способа и будут придерживаться.
Однако с теоретической точки зрения допустимость такой замены не
бесспорна. Ведь мы же имеем:

Л; — 1

Ezi[\—zi] = ——piqi,
ni
откуда

34 Ср.: Bortkiewicz, Ueber die Zeitfolge zufalliger Ereignisse, S. 62
(Bull. Inst. Intern, de Stat., t. XX, Livr. 2).
следовательно, pt qt =f= Ezt [ 1 — zj; при малых значения nt замена
Pi qt через £zz [1 — z;] может оказаться сопряженной с довольно
заметной ошибкой.

тл Е- 2Г1	,,	(«/ —О2	.

Из Ezi [ 1 — zj2 =-------з— pt qt +

ni

(nz — 1) (nz — 2) (nz — 3)	2 2

-------------3-------------Pi Qi

мы найдем таким же способом при zz=/=-^-, что
дЗ	Z	д. _ |	X

Pi qi = (И/ — l)(nz — 2)(nz — 3) Ч	— J ’

Если бы мы, исходя из pL qt = zt [1—zj, приравняли бы

2 2	nx?2-[l— Z/]2

pi qi выражению —, то мы преувеличили бы величи-
ну р/ qf. При р q = — относительная ошибка в случае не слиш-
ком малого nz не имела бы большого значения, но когда величины
р и q сильно отклоняются от -у, относительная ошибка даже при
весьма большом могла бы оказаться очень значительной.

Встречающемуся в формуле (45) выражению

Г 2d П/ Pl Qi r п Pj Уj
/=i L	/=1

можно дать эмпирическую оценку, если исходить из того, что

2	1	1

г jL nL pi(li п;

i = \ j=i+\

и для ^-piqi
ni

^—jZill—Zl]

подставить в качестве приближенного значения

1	2	2

так же как для рх- qi принять величину

_2) (nz-3)

П/— 1
~~п~~
Так как далее

i j-?, «< !/>< - ₽<«!= -	i	гр< -

'	Jim	;

4=1	4=1

2 (г — 1)	V1 1 ~2 „ ~	1 V7 V1 1 ~ Z, «2 |

7— 2 2 7-Р‘ Ч‘Р>'+ 7* 2	+

Z=1	j	4=1	/7^4

+^2 2 2 ^-p^iPfPh,
4=1 j=£i h^i^= j

здесь достаточно лишь подставить qi = 1—pi и затем заменить р
через г, р2— через z2—	—z] и так далее, чтобы получить

в случае надобности адекватное эмпирическое значение и для дан-
ного выражения.

V

К установлению приближенного значения для V [pi— Р(г)]2
i= 1
примыкает так же, как это было ранее (§ IV второй главы), проб-
лема значений моментов более высоких порядков величин pi. /Согда
числа испытаний п, во всех сериях одинаковы, то мы из (36) по-
лучаем:

2 2 И’ _ Е	2 и и-2*] +

4=1	4=1

+ Г2 (п _ 1) 2	х(пг)]3 г _ р х(пг) [1	Х(ПГ)][1	2 Х(ПГ)] |, (61)

ибо

2	/ — 2‘13 = rtZi[ 1 — Зг/ + 2г •] = nzi [ 1 — Zi\ [ 1 — 2zi\

/=i

и
пг [ '	13

2	=ЯГх(пг)[1 ^(nr)l [1	2Х(пг)]>

4=1

Четвертая глава

Определение «существенной составляющей колеблемости» Лексиса
(ср. первый очерк, стр. 149), обозначенной буквой М (см. стр. 188,
191, 199), представляется для статистика интересным в разных отно-
шениях.
1)	Представляя собой квадратическую среднюю ошибку тех априор-
ных величин т\ и pi, которые лежат в основании чисел, устанавли-
ваемых наблюдением, величина М сама по себе непосредственно пред-
ставляет значительную научную ценность. Определение М позволяет
составить суждение о том, в какой мере на величины mi и р/ влияют
признаки, на которых основывается образование серии. Возьмем в ка-
честве примера так часто исследовавшийся й все еще не решенный
вопрос о влиянии возрастного соотношения между родителями на по-
ловой состав потомков. С каким рвением старались вслед за Гофаке-
ром (Hofacker) и Садлером (Sadler) установить закономерную связь
между пропорцией полов среди рождающихся и возрастом родителей и
как безрезультатны оказались до сего времени подобные исследова-
ния! Едва одному исследователю начинало казаться, что он уловил
какую-то закономерность, как появлялся другой и на новом эмпири-
ческом материале убедительно показывал, что нет даже и следа только
что открытой закономерности. И снова и снова в вечном круговороте
повторялась та же история35.

В этих неудачах не последнюю роль играло то обстоятельство,
что не было подходящих средств для обработки материалов наблюде-
ний и что торопились закрепить картину, просвечивавшую сквозь
дымку случайных колебаний, не убедившись заранее в том, что наблю-
денные различия статистических частостей выходят за пределы чисто
случайных расхождений. Первым всегда следует ставить вопрос: дей-
ствительно ли имеются значительные различия в вероятностях родить-
ся мальчику в тех или иных группах родителей. И только в том случае,
когда имеются основания ответить на этот вопрос утвердительно, мож-
но с надеждой на успех поставить следующий вопрос: для каких групп
можно предполагать эту вероятность более высокой, а для каких более
низкой. Если задача расчленена таким образом, то всегда можно с по-
мощью выведенных формул разрешить предварительный вопрос в том
смысле, чтобы установить, достаточно ли велики различия между
вероятностями, чтобы можно было их считать превышающими диапа-
зон случайных расхождений, устанавливаемый с помощью средней
ошибки величины М.

Тот же способ можно, далее, применить, чтобы сравнивать между
собой группировки материала, установленные по различным призна-
кам, чтобы этим путем решать, где интересующие исследователя раз-
личия между вероятностями выражены сильнее. Если бы, например,
удалось таким путем установить, что влияет сильнее на вероятность
рождения мальчика — различия ли в возрасте отцов или в возрасте
матерей или разница в возрасте обоих родителей, тогда наши знания
в области загадочных явлений в установлении пола рождающихся
значительно продвинулись бы вперед. Весьма поучительным могло

35 Ср. хотя бы литературный обзор у Е. R о 1 с k е, Einfluss des Alters
der Eltern auf das Geschlecht der Kinder, S. 49—52 (Allg. Stat. Archiv, Bd. IX„
1915).
1 Г

бы оказаться и сопоставление величин -^Ipi—Р(Г) Р для живорожден-
r

ных, с одной стороны, и для общей совокупности всех новорожденных
(т. е. как живорожденных, так и мертворожденных) — с другой.
Практическая возможность применения этого исследовательского
приема в его простейшем виде, когда предполагается во всех сериях
одинаковое число наблюдений, сравнительно ничтожна, так как лишь

в исключительных случаях приходится иметь дело с материалом, не
приходящим в резкое противоречие с этой предпосылкой. Это методо-
логическое препятствие устраняется выведенными ранее обобщенными
формулами, и теперь ничто не препятствует практическому применению
этого многообещающего исследовательского приема, кроме только
требующего времени большого объема вычислительной работы —
настолько, правда, большого, что для индивидуального исследовате-
ля, не располагающего штатом вычислителей, она представляется в
своем полном объеме едва ли одолимой36.

36 В статистических таблицах по Берлину, например, для законнорожден-
ных публикуются с 1878 г. из года в год числа рождающихся мальчиков и девочек
по более чем 1500 группам родителей. Это такой материал, который, конечно, сам
по себе при целесообразной разработке был бы достаточен для решения вопроса
о существовании связи между половыми соотношениями рождающихся и воз-
растом родителей, и все же он лежит неиспользованным и пролежит так еще пол-
века, если за это время не возникнут статистические исследовательские институ-
ты, которые были бы технически достаточно оснащены, чтобы их не отпугивали
значительные трудности вычислительных работ. Я хочу предостеречь исследова-
телей, интересующихся проблемой полового состава рождающихся, от привлече-
ния к делу статистики Парижа. Числа, содержащиеся в парижских таблицах,
по-видимому, в некоторой своей части оказываются результатом не наблюдений,
а просто измышляются более или менее произвольно. Доля мальчиков колеблется
в такой мере, которая противоречит всему, что до сих пор наблюдалось; колеба-
ния то необычайно велики, то становятся невероятно малы. Так, например, в
1898 г. мы встречаем группы, в которых не было ни одной новорожденной де-
вочки, и в то же время 11, 13, 17 (дважды), 26, 30 и даже 32 мальчика, одну группу
с 25 родившимися одними девочками без единого мальчика и множество групп,
в которых несоответствие не столь резко бросается в глаза, но все же представ-
ляется едва ли вероятным, например, 558 мальчиков на 268 девочек, 60 мальчиков
на 155 девочек, 99 мальчиков на 205 девочек и т. д. (ср. Annuaire Statistique de
la Ville de Paris, 1898). Если же,с другой стороны, мы обратимся к восьмилетию
(1890—1897), то там в соответственных таблицах мы найдем 147 групп, содержа-
щих по 3 рождения в каждой, но среди них не встретим ни одной, в которой име-
лись бы лишь одни девочки, и лишь 8 таких, которые содержат трех мальчиков,
среди групп с 4 и с 5 новорожденными; крайние случаи также почти отсутствуют.
Если же внимательнее присмотреться к совокупности таблиц в целом, то не оста-
ется ни малейших сомнений в том, что содержащиеся в них числа — по крайней
мере в некоторой своей части — с действительностью не имеют ничего общего, но
создаются какими-то произвольными и, насколько я могу судить, нигде не ука-
занными манипуляциями. Эти «интерполяции», вероятно, производятся по соб-
ственной инициативе и притом без всякого плана низшим служебным персона-
лом, которому поручено составление таблиц, причем, очевидно, существуют
две «школы» — одна склонна к равномерному распределению . мальчиков и
девочек между рождающимися, тогда как другая предпочитает создавать край-
ние случаи. Конечно, возможно и даже вероятно, что не все числа обязаны своим
происхождением таковому неконтролируемому источнику и что отдельные годо-
вые выпуски вообще не страдают подобным небрежением. Однако пока действи-
2)	"Вычислением М можно с выгодой воспользоваться при вырав-
ниваниях.

• Если, например, имеется невыравненная таблица смертности в виде
эмпирических значений для вероятности умереть в следующие один
за другим годовые промежутки pi, р2, ..., p<t, то задача выравнивания
состоит в том, чтобы заменить первоначальный, беспорядочно колеблю-
щийся ряд значений р' другим, «сглаженным» рядом в предположении,
что беспорядочные колебания эмпирических частостей рь р'2, ..., pi
имеют чисто случайный характер, тогда как ряд математических ве-
роятностей, лежащих в их основании, имеет плавное течение, свобод-
ное от скачков, и выражает собой лишь влияние возраста на
смертность.

Фактическое определение значений р проводится, как правило,
либо графически, либо путем «механического выравнивания» при мол-
чаливо подразумевающемся допущении некоторой закономерной свя-
зи между обеими переменными, либо, наконец, более или менее правдо-
подобным аналитическим выражением этого допущения. Во всех трех
случаях методика в значительной степени произвольна и приходится
лавировать между Сциллой слишком далеко заходящего упрощения
ряда, когда своеобразное волнистое течение эмпирических чисел сгла-
живается слишком простой кривой, и Харибдой чрезмерно подробного
повторения первоначальных чисел, при котором сохраняются несгла-
женными случайные колебания. Против опасности слишком далеко
заходящего выравнивания пытаются иногда — а именно при графи-
ческом выравнивании — защищаться тем, что с помощью средней ошиб-
ки единичных значений р' намечают по ту и по другую сторону эмпи-
рической кривой некоторую зону, в пределах которой и должна уло-
житься выравненная кривая значений р. Установление границ для до-
пустимых отклонений отдельных значений р от соответствующих им
значений р’ можно дополнить еще тем, что подобным же образом наме-
тить тот размах расхождений, за пределы которого не должны выходить

некоторые функции разностей р' — р (например, 2(Р*—Р/)2)- Та-
z=i

кими приемами можно создать существенные объективные точки опоры,
оберегающие нас как от излишнего выравнивания, так и от недостаточ-
г ,

ного сглаживания: если, скажем, 2 (Р* — А')2 окажется много ниже
t=1

своего ожидаемого значения, которое получено из средней ошибки, то
это покажет, что случайные отклонения еще недостаточно сглажены37.

тельное положение вещей не будет разъяснено в полной мере Парижским стати-
стическим бюро — для чего потребовался бы новый тщательный пересмотр ма-
териала,— эти таблицы следует считать как бы потерянными для научной работы.

Впрочем, некоторое подозрение вызывают и соответственные берлинские таб-
лицы за 1884, 1886 и 1891 гг.— в особенности в группах с молодыми отцами (ср.
цитированную работу Рольке (s. 59 и 68); и здесь было бы желательно провести
дополнительное исследование.

8 О теории дисперсии

209
Вычисление М, выполненное как для всей совокупности величин р,
так в особенности для отдельных участков кривой для величины р,
может дать подобные же опорные точки нашего стремления по возмож-
ности связать произвол при выравнивании с применением объективно
установленных критериев. Если, например, определенный участок
кривой величин р будет волнообразным, в силу того что соответствую-
щие величины р' обнаруживают большую колеблемость, то можно из
сравнения М со средней ошибкой М установить, не кроется ли при-
чина в том, что мы принимаем за «случайную» и сглаживаем реальную
волну на кривой истинных значений р, выбрав непригодный в данном
случае прием выравнивания. Если, например, мы не находим в вырав-
ненной таблице смертности того уменьшения смертности, которое обыч-
но ясно проступает в возрастах, следующих за отбытием военной служ-
бы, то вычислением М для соответствующего возрастного интервала
можно было бы установить, не представляется ли это следствием уж
слишком жесткого сглаживания. Правда, при этом было бы необходи-
мо располагать цепью настолько близко следующих одно за другим
значений р', чтобы средняя ошибка М для выбранных возрастных
групп оказалась достаточно малой по сравнению со стоящими под во-
просом различиями в силе смертности.

II

1) Как известно, теория дисперсии Лексиса завершается разли-
чением нормальной, поднормальной и сверхнормальной дисперсий
(или соответственно стабильностей). Нормально устойчивыми назы-
ваются такие статистические ряды, в которых колебания составляю-
щих их чисел около средней соответствуют тем, которые можно ожи-
дать в стохастической схеме с постоянной вероятностью (соответствен-
но с неизменным законом распределения при взаимной независимости
всех испытаний). Сверхнормальная дисперсия признается в том случае,
когда колебания сильнее, чем им полагалось бы быть по схеме нормаль-
ной дисперсии. Если же колебания слабее, то дисперсия называется
поднормальной (соответственно стабильность будет выше нормальной}.

Средством же различения характера дисперсии служит для предста-
вителей направления Дормуа — Лексиса величина коэффициента ди-
вергенции: дисперсия признается нормальной, когда [Q2 = 1] (или,
вернее сказать, когда разность [Q2 — 1] содержится в пределах слу-

87 Этот способ иногда применяется и в таком виде, когда при выравнивании
поставлены условия, чтобы величина S [р'. — р^2 в точности равнялась матема-’
тическому ожиданию 2 (р*. — р^2, вычисленному в предположении взаимной
независимости испытаний. При этом правильная идея, что сумма квадратов рас-
хождений между р1 и pit когда эти расхождения чисто случайны, не должна пе-
реходить за известные верхнюю и нижнюю границы, применяется с такой
чрезмерной требовательностью, которую в свете теории вероятностей нельзя
оправдать.
чайных отклонений); если Q2—1, то дисперсия сверхнормальная, если
же Q2>1, то дисперсия поднормальная.

Мы видели, что в случае выполнения предпосылок нормальной
дисперсии EQ2 действительно равно 1 (второй очерк, первая глава).
Но этого еще недостаточно для того, чтобы полностью оправдать поль-
зование величиной Q2 как критерием. Для этого необходимо было бы,
чтобы условие EQ2 = 1 было не только необходимым, но и достаточ-
ным для нормальной дисперсии, т. е. чтобы оно могло выполняться
только в том случае, если существовали налицо все предпосылки нор-
мальной дисперсии. То, что в действительности дело обстоит иначе,
мы уже видели (первый очерк, стр. 145). Не только случайные эмпири-
ческие значения Q2, но и EQ2 могут равняться 1, хотя отдельные испы-
тания не являются независимыми одно от другого. Рассмотрим хотя бы

следующую стохастическую схему.

Из г урн, содержащих черные и белые шары, извлекаются

s шаров, причем из f-й урны делается щ извлечений и 2 Щ = s*
I	i=l

Вынутые шары в урну не возвращаются. Число черных шаров
в Z-й урне, находившихся в ней до опыта, пусть будет аь число
белых — Ьг Обозначим через гг- долю черных шаров среди всех nt
шаров, извлеченных из i-й урны, через X(S) — общую долю черных

шаров среди всех s вынутых шаров и положим = Pi> 1.— Pi = q^

Если мы будем рассматривать все s извлечений в целом и поло-
жим в формулах параграфа 1 первой главы первого очерка

т\1) = pt, m(2l) =	№ = Pt qt,

Ехн, Xh2—	m\hl) = 0, когда и Ла означают извлечения из раз-

ных урн,

Exhi xhl — m\hi>	t Р/ <7г,

когда и Л2 означают извлечения из одной и той же i-й урны
(ср. формулу (16) первого очерка), то мы получим:

Ех^ = т2 niPi=P(s>;

Z=1

= pfs) + Дг 2 щ	Pi qi,	(62)

Е *(s) [ 1 - *U) 1 = т 2 ni Pi	2	Pi qi +

+ т^-т2пИа-Р(»)]2-	(63)
Если все Pi между собой одинаковы, то получим:

^41W И [1 + i V, } > (64)

* Если же, с другой стороны, в формулу параграфа 1 первой
главы первого очерка мы подставим

_ р2 _ п „AJ) _ /7-2 __ _____Q/ (Д< — 1)	I

/П1 LZt pit т2 — £Z, — (ai + bi)(ai + bi — 1) +

1	1	_______bj_______.

^nt'iai + briiai+bi — X)’

ii<‘> — n n 1 a‘ + bi ~ n‘
P’ У1 nt ‘ at + bi— 1 ’

то найдем

E 7~i 2 [zt —	]2 = Г=П 2 № ~	]2+

1 = 1	/=1

+zip^4 -		(65)

Если все pi между собой равны, то отсюда следует:

=	"-V2	(66>

Z=1	I Z=1 1	i = \	1 b \ I )

Таким же способом получим:

r__ | n>i I?i X(S) ]2 = r_ J 2 EZi r____ 1 £*(s) =

z = l	z = l

= т4п i (P, - №> И + 7^ i Ч21' P‘ <67)

В случае, когда все pf одинаковы, мы имеем:

Е 2 ni Izi — x<s> 12=Р? ' 1—	2 ai + bi—\ (68)

z=l	Z=1	z L )

Если, следовательно, вероятность извлечения черного шара для
всех урн перед началом опыта была одинаковой, то
,<ь

Е s-zry x{s) [ 1 — xis) ]> pq> 2 «i [zf — X(s) P,
E S-Z7i W1 — »wl >РЧ >Е------------- V [г, — г,„р.

<'~ ') 2 <=<

Поэтому коэффициент дивергенции должен быть < 1 и дис-
персия считаться поднормальной.

Если же вероятности pt между собой не равны, то всегда мо-
жет случиться так, что Е yzr] X(S)[1—X(S)] окажется равным лйбо

г

е 2 ni tzi—x(s) i2; либ°E-----------r-—г- S [zi ~ z^ i2- в слу-

чае, когда все числа одинакбвы, то, например, нужно лишь,
чтобы было

г	г

V 2 ' а(. -г 6; — f Pi =	2 lA- — Р(г) ]2-

Коэффициент дивергенции при этом оказался бы равным 1, и на
этом основании дисперсию следовало бы признать нормальной, хотя
ни одна из существенных предпосылок нормальной дисперсии не вы-
полняется: вероятности pi различны и отдельные извлечения не неза-
висимы одно от другого. Следовательно, то обстоятельство, что Q2 = 1,
само по себе еще не служит ручательством за то, что предпосылки
нормальной дисперсии действительно осуществлены.

Помимо этого принципиального возражения можно привести как
довод против выбора коэффициента дивергенции критерием распозна-
вания характера дисперсий ту шаткость, которая присуща определению
средней ошибки Q2, что, однако, как правило, не имеет столь сущест-
венного значения, поскольку выяснено, что —j- представляет собой ту
границу, к которой стремится E[Q2 — I]2 даже в случае неравномер-
ного распределения испытаний по сериям при возрастающем числе
испытаний и при таких предпосылках, осуществление которых легко
контролируется (ср. второй очерк, вторую главу, § V).

2)	Взамен отношения тех выражений, которые стоят в числителе и
знаменателе коэффициента дивергенции, можно было бы с таким же
успехом применять в качестве критерия стабильности разность между
ними и называть дисперсию нормальной в том случае, когда эта раз-
ность равна 0, сверхнормальной, когда разность>0, и поднормаль-
ной, когда она<^0.

Если мы попытаемся восстановить те основания, которые могли
побудить как Дормуа, так и Лексиса отдать предпочтение первому из
двух одинаково естественных приемов сравнения, то, вероятнее всего,
они оба исходили главным образом из того, что в случае приближен-
ной тожественности обоих выражений (числителя и знаменателя коэф-
фициента дивергенции) отклонение величины отношения от 1 проявля-
лось более резко, чем отклонение разности от 0, — выгода, которая
должна была казаться немаловажной в эпоху 70-х годов прошлого века
представителям стохастических идей в статистике ввиду отголосков
едва завершившейся ожесточенной войны против перегибов кетлети-
стов. Менее важным побочным соображением служило, вероятно, жела-
ние получить в коэффициенте дивергенции не только качественный кри-
терий, но и рациональную меру для оценки отклонения дисперсии от
«нормы».

В настоящее время ни за одним из этих доводов нельзя признать
большого значения. Стохастическая точка зрения в теории статистики
уже не нуждается в искусственных подпорках, и, кроме того, между
обоими приемами в отношении наглядности уже нет больше разницы
с тех пор, как убедились в необходимости в обоих случаях делить от-
клонение на соответствующую среднюю ошибку. Что же касается
замысла применить коэффициент дивергенции как меру отклонения
дисперсии от «нормы», то уже сам Лексис убедительно показал, что
для этого величина Q2 совершенно непригодна и что в случае сверх-
нормального рассеяния следует заменять его вычислением «существен-
ной слагающей колеблемости».

Поэтому вычисление Q2 в настоящее время представляется устаре-
лым приемом, которым позволительно пользоваться лишь из снисхож-
дения к укоренившейся привычке или, когда представляется случай,
в целях популяризации изложения. Для исследовательских целей
целесообразнее руководствоваться другой методикой. Лучше с по-
мощью формулы (2) параграфа III второй главы (соответственно па-
раграфа II третьей главы) выяснять, в какой мере представляются вы-
полненными предпосылки нормальной дисперсии. Если при этом дис-
персия окажется явно сверхнормальной, то надо вычислить с помощью
формул (21) и (22) [соответственно формулы (45)] величину М и ее
вероятную ошибку38.

Если же дисперсия явно меньше нормальной, то от измерения ее
приходится отказываться, так как для случая поднормальной диспер-
сии мы не располагаем никакой рационально построенной мерой, ко-
торая могла бы претендовать на общепризнанность. Если, наконец,
дисперсия имеет вид нормальной, то всегда имеется возможность по-
пытаться выяснить, в какой мере от кажущейся нормальной дис-
персии можно заключить к наличию предпосылок нормальности
(ср. далее § IV).

38 Так как общие формулы (21) и (22) охватывают также и случай нормальной
дисперсии, то можно, конечно, идти и тем путем, что сразу же вычислять ве-
личину М и умозаключать о нормальном рассеянии, если ее величина окажется
достаточно малой по сравнению со средней ошибкой. Однако окольный путь
через формулу (2) параграфа III второй главы и в особенности параграфа II
третьей главы имеет то преимущество, что вычисления складываются проще и
что можно включать в них даже те группы, которые представлены всего лишь
одним наблюдением (испытанием).
Ill

1)	Оживленная полемика, разгоревшаяся по поводу исследования
Борткевича о «законе малых чисел», придает особый интерес вопросу,
в какой мере или также при каких предположениях можно умозаклю-
чать о характере дисперсии, если располагать лишь сведениями о чис-
ле повторений какого-либо события в ряде серий испытаний, не зная
числа самих испытаний в каждой отдельной серии.

Согласуются ли предположения о нормальной дисперсии и равно-
мерном числе испытаний по всем сериям с опытными данными, в этом
можно удостовериться следующим образом. Обозначим, как ранее
(стр. 203), число повторений события в i-й серии через wh неизвестную
вероятность события через р, неизвестное, но для всех случаев одина-

1 г

ковое число испытаний через п и положим = u\r). В предполо-
r i = l

жении, что дисперсия нормальна, получим из

Ewi = пр; Ew]= npq + п2 р2

точно

пр = Ew^r),

п/?<7 = £у2	— "Pl2 = Е/тгт2 [“’i —“’(г)!2

Z=1	i=l

и приближенно

пр = W(r) ,

г

npq = ттгп 2	— “’«и 12;

i=l

отсюда следует39, что

88 Поскольку при ранее приведенных расчетах величин р, q и п мы исходим
из предположения нормальной дисперсии, постольку мы получаем как тожество
_L_ д [№/-®(Г)Р

(?2=-------------------= 1. Это тожество остается справедливым и в том

случае, если предположим, что п беспредельно возрастает, но что (Лр)п=0О
принимает конечное значение т. При этом Q2 все время остается тожественно
равным 1, тогда как q стремится к 1 как пределу, так что при п = оо, q = 1 = Q2;
но пока q этого предела не достигло, оно остается < 1, а вместе с тем и Q2 > q.
Внутреннее противоречие такого рода, которое проф. Борткевич ставит в упрек
изложенной методике (Realismus und Formalismus in der Statistik. S. 230), со-
вершенно не связано с сущностью этой методики).
(69)

Если найденные таким способом значения для р, q или п оказыва-
ются по тем или иным основаниям невозможными, то это вынуждает
нас отказаться от исходных предпосылок. Это, например, имеет место
в том случае, когда одно из значений окажется отрицательным и от-
клонение от 0 слишком велико, чтобы его можно было отнести за счет
случайных колебаний.

Эта методика, предложенная К. Пирсоном и его ученицей Л. Уитэ-
кер40, может быть систематически развита. В предположении нормаль-
ной дисперсии и одинакового числа испытаний в сериях можно при
определении неизвестных величин рип исходить не только из ожидае-
мых значений первой и второй степеней wi, но опереться и на анало-
гичные соотношения с более высокими степенями wi, а именно:

Е — 2	= п3 р3 + Зп2 р2 q2 + npq (q — р);

Г i = l

E — 2 w*i = я4р4 + 6n3p3 q+ n2p2 q (7 — llp)+ npq (1 — 6pg) и т. д.

Г 4 = 1

Таким путем можно построить любое количество уравнений с дву-
мя лишь неизвестными р и п. Если мы при этом не наткнемся ни на
какие противоречия, которые выходили бы за пределы случайного,
то можно считать, что исходные предпосылки нормальной дисперсии
подтверждаются опытом. В противном случае от них приходится отка-
зываться как от не подтвердившихся на опыте.

Если имеется основание принять вероятность р такой незначитель-
ной, что величиной wt по сравнению с п можно, не делая большой ошиб-
ки, пренебречь, то реальность предпосылок можно проверить еще и
другим более простым способом. Можно применить обычный критерий
Дормуа — Лексиса, опираясь на формулы (59) и (60), т. е. вычислить
значение коэффициента дивергенции, который можно в этом случае
получить, не зная числа п. Это та методика, которую Борткевич пред-

40 Ср.: L. W h i t а к е г, On the Poisson’s law of small numbers, (Biometrika,
vol. X); K. Pearson, Skew variations in homogenous material, p. 347 (Phil.
Trans., A. vol. 186).
почитает в области действия «закона малых чисел». Эта методика
имеет неоспоримое преимущество большей простоты. Однако нельзя
упускать из виду, что она на практике всегда будет приближенным
приемом, в основе которого лежит допущение, что величина неизвест-
ного числа испытаний приближается к бесконечности. Методика же
Пирсона — Уитэкер имеет, в свою очередь, то преимущество, что
она не связана ни с какими предположениями относительно величин
неизвестных р и п и поэтому представляется и более общей и теорети-
чески более строгой. В тех случаях, когда заранее нельзя быть
уверенным в том, что число п очень велико, представляется отнюдь
не лишним дополнительное исследование полученных на основе фор-
мул (59) и (60) результатов по методике Пирсона — Уитэкер: если при
этом убеждаешься, что п не может быть большим, то лучше не поль-
зоваться формулами (59) и (60).

2)	Если исследование по той или другой методике показывает, что
лежащие в их основании предпосылки противоречат (в данном случае)
действительности, то возникает вопрос, которая же из предпосылок не
соответствует реальному положению вещей, в особенности же важно
установить не возникают ли неувязки просто лишь оттого, что числа
наблюдений неодинаковы в различных сериях.

Если обозначить через ni число испытаний в r-й серии, то при вы-
полнении условий нормальной дисперсии мы будем иметь:

Ewt = рпр,

Ew2i = р2п2 + pqtii.

Если теперь в первую формулу (1) первой главы внести

N=r,y У Wi = w{r},	2 "г = У =п0’

4=1	/=1

т\1) = рпр, т{21)= р2п2 + pqnt; ц!,0 = pqnit

^[i,r]=7-2d pni = pV 2d ^ = Py = P^
i=l	i= 1

Н(2, и = 7- 2 pqtli = pqT = pqT = pqn<"
i=\

то получим точные равенства

1 1

£ку(Г) = Е у wi = Рпо= ~ (ps),

Е У [а»г —	]2 = p<7«o+ ттп Р2 у 2 [”г — п°^ =

4=1	f=l
i=l L	J

(70)

и приближенные

pn0 = w(r),

J r	, r

pqrio + TZTi P2 Y 2 ["f — ”°12 =	2 [Wi ~ “,<r>J2,

/=1	i=l

В нашем распоряжении, следовательно, имеются два уравнения
1 г

с тремя неизвестными р, и0 и — 2	12J привлечением моментов

’ 4=1

более высоких порядков дело поправить нельзя, так как число вновь
добавляемых уравнений возрастает не быстрее числа неизвестных.

Но если р настолько мало, что для s = оо можно положить

Ру=т и q = l, то приближенно мы будем иметь:

! г
= т,	(71)

4=1

г-т5гг2[Wi-W)]2= m+m2^2	1]2> (72)

4=1	4 = 1 I’ J

откуда следует, что

± S ГЛ - ,12

г *—1 n° J	*

В области действия «закона малых чисел» можно этим путем соста-
вить себе приблизительное понятие о том, как велики должны быть
различия между числами испытаний в разных сериях для того, чтобы
саму дисперсию можно было считать нормальной41.

41 По формулам (71) и (72) получается:

(Л)



Подобным же путем по формуле (54) находим, что когда п очень велико и величи-
ной Wi по сравнению с п можно пренебречь, то

7 2 w - W - i 21"< - “in I’ - W •	”«
3)	Если число серий г достаточно велико, то при желании можно
получить глубже идущее представление об условиях дисперсии таким
способом: мы составляем серии случайным путем в пары (соответствен-
но в тройки и т. д.). Если мы обозначим через wj число повторений
события для /-й из числа новых ~ серий и через и) число соответ-
ственных испытаний, то будем иметь

г/2	г

2 [ П] — По]2 = Е 2 [П( — п0]2
/=1	1=1

и тем самым получим третье приближенное уравнение, которое не со-
держит никаких новых неизвестных, а именно

г/2 Г	г/2	“|2	г

“'/—7’2^ *+^*72 [п‘~ "0,1!-

/=1|_	1=1	J	1=1

IV

Особенно поучительным при исследовании дисперсии может оказа-
ться привлечение более высоких степеней чисел ш/ в том случае, когда
числа испытаний известны.

Если при этом исходить из стохастической схемы, изложенной в
в третьей главе, то таким путем можно глубже проникнуть в распре-

В том случае, когда дисперсия нормальна, т. е. когда все pz между собой равны
и отдельные испытания независимы одно от другого, и когда, кроме того, числа п.

1 г г

одинаковы, математическое ожидание разности S — w(r)l — w(r)

равно 0; путем деления этого ожидания на его среднюю ошибку, которая счи-
1 / 1/" 2

тается равной т I/ или соответственно у г_____________у , мы измерим вероят-

ность, что отклонение указанной разности от 0 выходит за пределы случайных
колебаний. Формулы (Л) и (В) показывают, что в том случае, когда значения
Pi и числа П/ между собой не равны, то это отношение становится тем меньшим,
чем меньше т и соответственно wyy При пользовании обычными исследователь-
скими приемами получается, таким образом, что отклонение в поведении ис-

следуемых числовых рядов от того, что ожидается на основании доступных конт-
ролю допущений, тем сильнее перекрывается, чем меньше средние числа повто-

Pi

рений события. Равнозначные различия между значениями требуют тем
большего числа серий г, чтобы сделаться заметными, чем меньше &(Гу Быть
может, это и представляет собой главную причину того, что в области господ-

ства «закона малых чисел» сравнительно часто встречаются дисперсии, которые
при испытании их обычными исследовательскими методами неотличимы от
нормальной.
деление значений pz-, если, кроме приближенных значений - 2 IPz —
r Z = 1

— р(г) ]2, вычислить также приближенные величины моментов более
высоких порядков для априорных значений pi.

Таким путем можно исследовать также и всякую иную стохасти-

ческую схему.

Если при этом удается составить ряд уравнений, число которых
превышает число характеризующих схему неизвестных параметров,
то открывается возможность не только определить значения констант,

которые устанавливают соответствие между эмпирическим материа-
лом и соответствующей схемой, но и исследовать, в какой степени мате-
риал может быть без неувязок уложен в рамки данной схемы. Проще
всего складывается такое исследование в случае нормальной дисперсии,

так как мы имеем тогда лишь одну неизвестную величину — вероят-

ность р, лежащую в основании всех чисел wi. В таких условиях часто
г	-	-1 2

1 1

— Wi У Wi
ni ‘ s '

1
бывает достаточно вычислить —

, чтобы до-

казать непригодность данной схемы, а именно если окажется, что

разница между

(иначе говоря, разница Q2 — 1) больше, чем это допускается" ее сред-
ней ошибкой, то приходится отказаться от предположения, что пред-
посылки нормальной дисперсии фактически выполнены. Здесь, сле-
довательно, мы получаем определенно отрицательный ответ на вопрос:
можно ли привлечь схему нормальной дисперсии, чтобы объяснить
поведение наблюденных чисел?

Если же ответ получается утвердительный, то его нельзя, как мы
видели (стр. 213 и сл.), безоговорочно считать окончательным: всегда
остается возможность свести поведение наблюдаемых чисел к другим
стохастическим построениям. Если требуется большая достоверность
вывода, то не остается иного пути, как привлечь к делу моменты более
высоких порядков, поскольку мы желаем придерживаться стохасти-
ческой обработки эмпирических числовых рядов. Правда, вступать на
этот путь имеет смысл только тогда, когда число серий г достаточно
велико.

V

Стохастическая обработка статистического числового ряда имеет
своей целью от эмпирически «случайных» чисел добраться до лежащих
в их основании «априорных предпосылок» и по возможности их выя-
вить. Следующая задача, которая при этом выдвигается, состоит в том,
чтобы выяснить общий вид стохастической схемы, к которой можно
привести поведение эмпирических чисел. К этой «качественной» зада-
че примыкает соответственная «количественная», состоящая в том,
чтобы более или менее точно определить величину постоянных, харак-
теризующих соответственную схему.

В первоначальной постановке вопроса у Дормуа и у Лексиса, сво-
дящейся к различению нормальной, сверхнормальной и поднормаль-
ной дисперсий, главное ударение делается на «качественной» стороне
проблемы. «Количественная» же сторона ее остается сперва как бы
незамеченной. Причину этого легко понять. В случае нормальной дис-
персии «количественная» задача сводится к определению основной ве-
роятности р, если числа испытаний, как это всегда встречается у Лек-
сиса, считаются известными; следовательно, сводится к тому, что со-
ставляет, так сказать, статистические «будни», и разрешается попутно,
не привлекая внимания к особенностям своего существа. В случаях
же сверхнормальной, так же как и поднормальной, дисперсии в те
времена еще не располагали соответственными стохастическими схе-
мами, «количественная» характеристика которых могла бы составить
особую задачу.

В более поздней работе Лексиса «количественное» направление
исследования вступает в свои права. Его теория «добавочной ошибки»
исходит при исследовании сверхнормальной дисперсии из определен-
ной стохастической схемы (той схемы, которая составляет тему треть-
ей главы этого очерка) и выдвигает на первый план определение «су-
щественной составляющей колеблемости» как важнейшей «количест-
венной» характеристики выбранной схемы—средней ошибки вероят-
ностей pi наряду со средней величиной (р(Г)) вероятностей. Совершенно
так же можно было бы исходить из более общей формы той же стоха-
стической схемы, лежащей в основании расчетов второй главы этого
очерка, и попытаться найти приближенное значение как m[i>r],
так и [mf0 — m[i,r]l2.

В этом направлении можно пойти далее и попытаться вычислить мо-
менты более высоких порядков для величин pL (соответственно m\L})
на основании наблюденных значений чтобы этим путем получить
более глубокие сведения о величинах pL (соответственно Задача
по своему существу та же самая, какая возникает и при вычислении
«существенной составляющей колеблемости» Лексиса.

Не иначе обстоит дело и тогда, когда мы рассматриваем числа на-
блюдений как неизвестные и стараемся их определить, опираясь на
известную стохастическую схему, т. е. допуская наличие нормальной
дисперсии. Эта задача также по своей природе стохастическая и поста-
новка вопроса, хотя и исходит от школы К. Пирсона, ни в коем случае
не выпадает из рамок исследования дисперсии в том направлении,
которое намечено Лексисом42.

42 В этом отношении я не могу согласиться с проф. Борткевичем, когда он
говорит о «непримиримом разногласии» между методом Пирсона — Уитэкер
(ср. стр. 216 и след.) и тем, который выдвигается им самим (Realismus und Forma-
lismus, S. 227); более того, о «новом, прямо-таки революционном принципе
схематического определения основной величины» (Ibidem, S. 239).
Если выбранная стохастическая схема заполняется в своем содер-
жании определенными приближенными значениями характеризующих
ее постоянных величин, то стохастическая обработка статистического
числового материала достигла своей цели: этим исчерпаны ее возмож-
ности и ее задача выполнена. При выборе стохастически определяе-

мых параметров можно руководствоваться различными точками зре-
ния. Если, скажем, исходить из схемы второй главы данного очерка

в предположении, что числа ni известны, то стохастическую задачу
можно видеть в том, чтобы по величинам zt получить приближенные
значения отдельных величин т\1). С другой стороны, можно пытаться
найти приближенные значения некоторых из функций (средней ошиб-
ки, моментов более высоких порядков) на том основании, что диапазон
случайных колебаний для отдельных величин т\1) слишком велик.
Далее можно включить в исходную стохастическую схему допущение
некоторой определенной формы закона распределения для величин tn\i}
и усматривать подлинную задачу стохастической разработки статисти-
ческого числового материала в том, чтобы определить приближенные
значения констант этого закона. Полагаемый в основу закон может
при этом принимать либо форму «закона распределения» в виде кривой
частостей, т. е. быть аналитическим выражением зависимости относи-
тельного количества /п)0 от их величины, или же ’принимать вид
аналитического выражения связи между величинами и порядко-
вым числом i, как это имеет место в большинстве случаев интерпо-

ляции по методу наименьших квадратов.

При такой постановке вопроса стохастические и интерполяционные
задачи тесно сплетаются и «закон», которому следуют величины т\‘},
появляется как готовый результат стохастической обработки числово-
го материала. В этом и заключается отличительная черта, которая объ-

единяет интерполяцию по методу наименьших квадратов, интерполя-
ционную методику Коши, методы К. Пирсона для расчета кривых рас-
пределения частостей и т. д.

Однако из стохастической обработки числового материала можно
полностью устранить побочные интерполяционные задачи, не делая
в основополагающей стохастической схеме никаких предположений
относительно формы «закона» для значений т\1\ Тогда стохастические
и интерполяционные задачи отчетливо разделяются. В таком случае
конечной целью стохастической обработки служит установление прибли-

женных значений гп[ i ,rj от ^-2 tm<i

— и так далее и в качестве

отдельной задачи можно при желании выдвинуть определение за-
кона распределения для т}1' на основании стохастически вычислен-
ных приближенных значений ряда моментов этого распределения.
Эта «проблема моментов», как ее можно было бы назвать по Стиль-
тьесу43, сама по себе не имеет со стохастикой ничего общего: пути,

48 Ср.: Stieltjes, Recherches sur les fractions continues (Annales de la
faculte de Toulouse, 1894).
ведущие здесь к цели, проходят вдали от исчисления вероятностей.
Но результаты, которые достигают в этой своеобразной области ин-
терполяционного исчисления, обходящегося без произвольных пред-
посылок, имеют величайшее значение для построения стохастической
теории статистики: здесь следует напомнить хотя бы об основополагаю-
щих неравенствах Чебышева44.

Отказ от интерполяционных расчетов представляет собой отличи-
тельную черту направления Лексиса, ориентированного на общество-
ведение. Живой интерес к определению «законов» характерен для шко-
лы Пирсона, ориентированной на естествознание. Оба направления не-
сомненно сильно расходятся, в оценке познавательной ценности резуль-
татов, получаемых с помощью интерполяций. Однако, поскольку ра-
боты школы Пирсона не сходят с почвы стохастики, нельзя, по моему
мнению, говорить о глубоком ее расхождении с направлением Лексиса.
Конечно, расхождения — и частью очень глубокие — несомненно
существуют. Представители английской школы с самого начала выд-
винули на первое место решение «количественных» задач, не заботясь
в должной мере о «качественных» предпосылках проводимых измерений.
Много бед натворило присущее английским исследователям нежелание
иметь дела с понятиями вероятности и математического ожидания:
отказ от пользования этими основными понятиями чрезвычайно повре-
дил ясности стохастических постановок задач, и даже наводил на лож-
ный путь при попытке их решения. Если же сбросить этот наряд, столь
непривлекательный для глаза континентального исследователя, и до-

44 См.: П. Л. Чебышев, Труды, т. II, стр. 478. Если функция остается
всегда положительной и

+р°
j f (х) dx = 1,
—оо

j x2l~* l * * * У f(x)dx = Q для i=l, 2,,.., m,

f x24(x)dx=^ 3’ 5... (2/---О для j, 2t ,,,r (m—1),

J	q21

—00
V
to J f (x) dx содержится в пределах

v

1 Г	3/3[т2 — 2/n + 3]3/2 I?2 v2 + l]e

v; £ ‘ dx±-------------2[m_31>/i=r------------

С возрастанием m обе-границы стремятся к одному предельному значению
V

1

—— С е X*dx, и распределение, таким образом, при т = оо не отличается

У к J

—00
от Гауссова.
полнить упущенное там, где это необходимо, то станет ясно, что и Пир-
сон и Лексис предлагают для решения родственных по существу сто-
хастических задач методы, хотя часто различные по форме, но в основе
родственные между собой. В качестве одной из важнейших задач рас-
цветающей стохастической теории статистики представляется ныне
объединение, устраняющее противоречия тех целей, к которым направ-
лены усилия представителей обоих направлений. Не «Лексис против
Пирсона», а «Пирсон в свете Лексиса, Лексис, обогащенный Пирсо-
ном», — так должен был бы гласить лозунг тех, кто неудовлетворен
бездушным эмпиризмом статистики после Кетле и стремится к построе-
нию рациональной теории статистики45.

Al. A. Tschuprow, Zur Theorie

der Stabilitat statistischer Reihen,
Skandinavisk Aktuarietidskrift,
1918—1919. Uppsala, 1919.

Перевод с немецкого H. С. Четве-

рикова

45 Эти взгляды я сформулировал, имея в виду резкие выпады проф. Бортке-
вича против пирсоновского направления в его работе «Realismus und Formalis-
mus in der mathematische Statistik». Что касается «глубокой противоположности
между обоими (т. е. реалистическим и формалистическим) направлениями», то я
отнюдь не хочу отрицать ее, поскольку под формализмом понимается «то направ-
ление в математической статистике, которое главную цель науки видит в откры
тии описательных формул» (Realismus u. Formalismus ..., S. 245), и ничто мне так
не чуждо, как брать под свою защиту подобный формализм. Но мне думается, что
мы отходим отэтогб определения, когда, например, без всяких оговорок противо-
поставляем «схематический» метод Пирсона — Уитэкер для определения числа
испытаний как формалистический тому методу, которому отдает предпочтение
Борткевич как «реалистическому» (S. 252). Борткевич неправ по отношению к
Л. Уитэкер, когда клеймит ее исследование как сплошь «формалистическое»
в указанном ранее смысле (S. 245): работа Л. Уитэкер содержит в себе здоровое
«реалистическое» ядро и представляется крупным вкладом в теорию дисперсии.
Что же касается самого Пирсона, то было бы полностью несправедливо причи-
слить его к «формалистам» только за то, что в его богатых по содержанию трудах
имеются, между прочим, и ценные достижения в области решения «формалисти-
ческих» интерполяционных задач.
Р. К. БАУЕР

ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ ЛЕКСИСА В ЕЕ ОТНОШЕНИЯХ
К НОВЫМ ТЕЧЕНИЯМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕТОДОЛОГИИ,

В ОСОБЕННОСТИ К АНАЛИЗУ РАССЕЯНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Под анализом рассеяния мы будем понимать совокупность всех ме-
тодов, направленных на рассмотрение рассеяния (variance), а в особен-
ности на сопоставление двух оценок дисперсии с целью сделать выводы
о внутренней однородности статистического ряда, составленного из
частостей — в гомоградной теории — или же из результатов серий
испытаний над одной или несколькими статистическими перемен-
ными — в гетероградной теории. В пределах анализа рассеяния мож-
но, таким образом, исследовать влияние одной отдельной причины
рассеяния или же многих таких причин на произвольно взятое число
данных экспериментов или наблюдений или же планировать ряды
испытаний над объектами экспериментов или наблюдений, имея в ви-
ду один какой-либо фактор рассеяния. В первом случае мы прежде
всего пользуемся как-либо и где-либо полученными наблюдениями
(следовательно, непланомерными) с помощью методов анализа рас-
сеяния. Во втором случае эти методы предстают перед нами как «ме-
тоды выбора» для постановки и использования запланированных испы-
таний и поэтому образуют расчетно-математический фундамент новей-
шей статистической отрасли, которую развили Р. А. Фишер (R. A. Fi-
sher) и его ученики, — отрасли планирования опытов (design of experi-
ments).

Из обзора относящихся к этой проблеме высказываний О. Н. Андер-
сона, Г. Бретшнейдера (H.-I. Bretschneider), Р. А. Фишера, Г. Ге-
белейна (Н. Hebelein). М. Г. Кендэлла, Дж. М. Кейнса. С. Коллера,
Е. Вебера в их лекциях, а также в учебниках и научных трудах давно
известно, что основная идея всех методов анализа рассеяния, начиная
с классического уже метода Пирсона до самоновейшего так называе-
мого дисперсионного анализа К. Р. Рао (analysis of despersion by
C. R. Rao), восходит к теории дисперсии Лексиса.

Эту теорию создали еще в 70-х годах прошлого столетия Дормуа
и Лексис независимо друг от друга и благодаря трудам В. Бортке-
вича, А. А. Маркова, А. А. Чупрова и О. Н. Андерсона она развилась
в законченную теорию анализа дисперсии. Однако до сих пор еще не
подвергались исследованию те соотношения, которые существуют меж-

9 О теории дисперсии

225
ду методами анализа дисперсии континентальной и английской школ,
их преимущества и недостатки, целесообразность и действенность их
критериев, а также возможность их обобщения в смысле независимости
от параметров (non-parametricity) и многомерности переменных
(multivariate analysis).

Важнейшие результаты такого исследования, проведенного по
инициативе О. Н. Андерсона, здесь в сокращенном виде и воспроизво-
дятся. Более подробное изложение, логически неизбежно приведшее
к «Тезисам оптимального непараметрического анализа рассеяния»,
готовится к опубликованию.

ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ ЛЕКСИСА

В своей работе, появившейся в 1879 г. под названием «Uber
die Theorie der Stabilitat statistischer Reihen», В. Лексис сосредоточи-
вает внимание на одном из многих разных видов статистических ря-
дов, который он назвал «типическим» и «своеобразие которого состоит
в том, что отдельные члены ряда представляют собой неточные значе-
ния постоянной основной величины, проявляющейся всегда со слу-
чайными отклонениями». Если ограничиться, как это сделал Лексис,
рассмотрением частостей альтернативных событий, то окажется, что
такого рода типические ряды могут возникать различными путями.
Это можно иллюстрировать с помощью урновых схем Пуассона, как
было впервые выяснено В. Борткевичем. При этом мы будем исходить
из следующего.

Основная модель. Над урной, содержащей белые и черные шары
в постоянной, пропорции р : q (р + q = 1), проводят г испытаний,
состоящих каждое из п извлечений, причем каждый вынутый шар воз-
вращается перед следующим извлечением обратно в урну (испытания
с возвращенным шаром).

Будем рассматривать (не так, как это делал Лексис, пользовавший-
ся ныне не употребительной средней ошибкой) среднее квадратическое
отклонение результатов отдельных серий извлечений согласно основ-
ной схеме опыта. С одной стороны, мы, принимая во внимание основную
вероятность р (скажем, вероятность извлечения белого шара), получим
априорную характеристику (согласно Бернулли) колеблемости —
«комбинаторную колеблемость», величина которой по символике
А. А. Чупрова выразится в форме

k-=V4-
т п

С другой стороны, среднюю квадратическую ошибку мы можем
найти из суммы квадратов отклонений результатов испытаний от основ-
ной вероятности, т. е. тех частостей р£-, которые получаются в резуль-
тате г отдельных серий, состоящих из п извлечений; следовательно,
апостериорное выражение есть

/2 (р/—р)*

.	(2)
Это выражение характеристики колеблемости называется «наблю-
денной» или «эмпирической колеблемостью». (Если р и q—основные
вероятности — неизвестны, то на их место ставят pi и т. е. средние
значения частости, вычисленные из отдельных pt и qL по всем г испыта-
ниям, причем «число свобод» надо уменьшить на единицу, так как при-
равниванием p^Pi теряется одна степень свободы. Если в отдельных
сериях количества извлечений nL неодинаковы, но все же разнятся друг
от друга не очень сильно, то с достаточной точностью можно величи-
ну п заменить средней п/.)

Так как основная модель определяется исключительно законами
случая, то мы имеем (но недостаточно, как это показал А. А. Чупров)
равенство

8 = k.	(3)

Обратим теперь внимание на модели, построенные А. А. Чупровым
для пояснения теории дисперсии Лексиса. Эти модели иллюстрируют
следующее обобщение:

из s урн, содержащих белые и черные шары в пропорциях pj : qj
(pi + qj = 1 и / = 1, 2, ..., s), проводятся извлечения сериями по п из-
влечений в каждой; число таких серий (испытаний) равно г. При этом
р] и qj представляют собой случайно отклонившиеся значения общей
исходной вероятности р и q.

Модель А. Жребием решается, из какой урны провести каждое
отдельное извлечение. Пусть pj — вероятность того, что жребий падет
на /-ю урну.

Исходная вероятность р основной модели теперь может быть пред-
ставлена как

S

Р = 2 PiPb	(4)

/=1

как в основной модели, так и в модели А при г сериях извлечений спра-
ведливо равенство (3), т. е. эмпирическую и комбинаторную колебле-
мости можно приравнять одну другой.

Модель В. Пусть и здесь жребий решает, из какой урны должны
делаться извлечения, и пусть pj есть вероятность того, что жребий па-
дет на /-ю урну. Однако теперь каждая серия извлечений проводится
вся целиком из одной урны.

Общая вероятность р и здесь выражается той же формулой, как и
в модели Д, т. е. формулой (4). Но эмпирическая колеблемость не
будет уже одинаковой с комбинаторной. В этом случае имеем:

е = Р^о + 1 J (рг-р0)2 > k,	(5)

где р0 означает среднюю из р/тех урн, которые фактически были ис-
пользованы в опыте.

= 7	1 </<«)•	(6)

Х=1
Модель С. В отличие от моделей А и В здесь вмешивается фактор,
не зависящий от случая. Вследствие этого мы отходим от понятия ти-
пического ряда. Теперь мы должны в каждой из г серий производить
из /-й урны по gf извлечений, причем = п.

/=1

В этом случае для исходной вероятности мы получим

s

т
/=1

а для эмпирического рассеяния

(*)

/=1

Таким образом, рассеяние в моделях А, В и С складывается по-
разному, и это отражается в отношении эмпирической колеблемости
к комбинаторной. Лексис принимает это отношение за критерий для
классификации статистических рядов по относительной величине об-
наруживаемого ими рассеяния. Для рядов, в которых 8 = ft, он го-
ворит о нормальной дисперсии и этим выражает, что такие ряды с точ-
ки зрения теории вероятностей можно сопоставить с наиболее простой
урновой схемой. Ряды, для которых е > ft, он называет рядами со
сверхнормальной дисперсией, причем он обозначает комбинаторную ко-
леблемость как «несущественную», а остаток, находимый по разности
е — ft, как (для модели) «существенную» компоненту колеблемости.
Ряды, характеризуемые тем, что е < ft, Лексис называет рядами
с поднормальной дисперсией. Поскольку в представлявшейся ему мо-
дели рассеяние определяется не чисто случайно, а испытывает на себе
влияние стохастических взаимозависимостей, то он предполагал, что
при истолковании происхождения подобных рядов уже нельзя обой-
тись одними теоретико-вероятностными соображениями. Во всяком
случае Лексис уже тогда открыл существование тесного сродства
между анализом рассеяния и статистической корреляцией, что в на-
стоящее время обычно ставится в заслугу Р. А. Фишеру как его науч-
ное достижение.

КОЭФФИЦИЕНТ ДИВЕРГЕНЦИИ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ,
ПРИМЕНЯЕМЫЕ В КАЧЕСТВЕ КРИТЕРИЕВ
В АНАЛИЗЕ ДИСПЕРСИИ

В качестве меры стабильности (соответственно колеблемости)
статистического ряда Лексис и Дормуа ввели отношение

- 2 (р<-р)2
r i=1

1

n W
В начале XX в. показатель Q стал пользоваться известностью в ста-
тистической литературе под именем коэффициента дивергенции, ко-
эффициента дисперсии, числа Лексиса. С тех пор как В. Борткевич,
руководствуясь соображениями по существу, а также технически-
вычислительными, отдал предпочтение величине Q2, указанные наи-
менования, в особенности первое, были перенесены и на эту форму по-
казателя дисперсии.

Рассматриваемый в связи с теорией дисперсии пирсоновский метод
X2 есть нечто иное, как разновидность лексисовского Q2. Как известно,
X2 для испытания частостей определяется как отношение квадратов
отклонений наблюдаемых значений от ожидаемых к самой ожидаемой
величине. Если исходить из рассмотрения формулы х2 для г групп аль-
тернативных событий с наблюденными частотами npi или nqi и зна-
чением постоянной ожидаемой величины пр или nq то, учитывая ра-
венство р + q = 1 и равенство, служащее определением Q, получим:

(npt — пр)2
пр

(nqL — nq)*
nq

у (яр/ — np)2+p[(n — npi) — (п — пр)]2

£ (	npq

У? (npi — пр)2
npq
i=l

«2 (р/—р)2
£ = 1

pq

(Ю)

Открытие этих, основанных на их формулах, соотношений между
Q2 и х2 составляет заслугу Р. А. Фишера. В противоположность
Мизесу (R. Mises) мы не разделяем мнения, что в самой установке
имеется существенное различие между методом х2 и методом Q2. С мне-
нием Мизеса не мирится то обстоятельство, что, как показали работы
континентальных статистиков, первоначальное понимание Q2 и х2
как сравнение апостериорных величин, найденных из опыта, с априор-
ными сменилось пониманием того, что эмпирические данные можно
измерять другими, также эмпирическими.

Исходя из этого, Гебелейн показал, что Q2, х2 и пирсоновская мера
контингенции (mean square contingency)

(! I)

понимаемая как мера для совместного испытания всех элементов кон-
тингенциальной матрицы, с точностью до нормирующего множителя
может быть приведена к общей основной величине

7. -V У	,12ч
где обозначает элемент контингенциальной матрицы, находя-
r S

щийся в z-й строке и в J-м столбце, a N= 2 2 п^. То же самое
можно, конечно, сказать и про показатель А. А. Чупрова:

Если еще принять во внимание доказанную Пирсоном теорему, что
для ассоциационной таблицы мера контингенции и коэффициент кор-
реляции в случае гомоградных рядов тожественно равны (доказатель-
ство этой теоремы имеется у О. Н. Андерсона), тогда выясненную с по-
мощью формул связь между пятью критериями гомоградной теории
можно считать установленной.

Без особых затруднений теория дисперсии, а вместе с ней и коэф-
фициент дивергенции могут быть обобщены на случай гетероградных
рядов. Это и выполнил В. Борткевич. При одновременной группировке
(т. е. при группировке по одному признаку—one-way classification)
исследуемого материала мы получим формулу, аналогичную фор-
муле (9):

— 2	~ Ех)2

Q2- = ^—^-------------.	(14)

-Е(х-£х)*

Здесь Ех означает математическое ожидание переменной х, рас-
сматриваемой в отношении ее рассеяния; среднее значение переменной
в f-й серии из общего числа г таких серий, состоящих из одинакового
числа п испытаний (наблюдений), мы обозначаем через xz. Если Ех
неизвестно и если, кроме того, отдельные серии из общего числа г
состоят из разных количеств испытаний п/, то формула принимает
другой вид:

—Ц 2 п‘ & — *)2

Q2-= , 7 \-------------->	(15)

^22 (xz,-x)2

i = 1 k= 1

причем xik означает £-й элемент i-й серии испытаний, х — среднюю
г

из всех испытаний по всем сериям и N = У гц —число всех испытаний.

/=1

В применении к гетероградным рядам и в особенности при практи-
ческом применении наиболее часто встречающегося случая, когда поль-
зуются формулой (15), становится особенно очевидным, что коэф-
фициент дивергенции Лексиса представляет собой только одну из
возможных форм измерения дисперсии. Вообще же говоря, для проверки
гипотезы равномерного распределения испытаний по сериям пригодна
любая форма оценки «действительного» рассеяния о2 (т. е. рассеяния
в гипотетически однородной общей совокупности), и две таких оценоч-
ных величины можно между собой сопоставлять; так как математи-
ческое ожидание оценки рассеяния всего ряда равно истинному рас-
сеянию, то В. Борткевич пользуется в формуле (15) оценочными вели-
чинами распределенного по одному признаку материала:

1 r nt

т1; = «^г2	(16)

/=1 6=1

оценкой общего рассеяния (total variance)

(17)

и оценкой межгруппового рассеяния (interclass variance).

А. А. Чупров применяет различные разновидности формулы в ка-
честве числителя коэффициента дивергенции. В обобщенном (В. Борт-
кевичем) виде Q2 представляет собой корреляционное отношение (cor-
relation ratio), которое особенно охотно применял К. Пирсон для ана-
лиза рассеяния совокупностей, не подчиняющихся нормальному за-
кону распределения. Это корреляционное отношение определяется фор-
мами оценки (16) и (17):

r]2:=const^ = ^--------------- (18)

S 2 (*«-*)2

( = 1 А-4-1

Однако с таким же правом можно пользоваться г различными оцен-
ками рассеяния в пределах каждой серии испытаний

(19)

(t = 1, 2, ..., г) или же — в случае их однородности — полученным
общим внутригрупповым рассеянием (intraclass variance)

^ = ТГ=~, 2

/=1 Л=1

(20)

Фактически это выведенный из оценочной величины z и стоящий
с нею в связи через показательную функцию е коэффициент F Фишера,
примененный к задаче анализа рассеяния в теории нормального рас-
пределения и имеющий форму

—1— У П( (xt — х}
Г~ 1 &

Р ” j r "I

N — г 2 2 ^Xik

i = 1 k= 1

(21)

Также и Л— критерий Вилкса (S. S. Wilks), служащий в анализе
рассеяния оценкой многомерной переменной (multivariate analysis)
и, следовательно, применимый в дисперсионном анализе Рао, охваты-
вает собой внутригрупповое рассеяние.

Если этот критерий применить к частному случаю одномерного приз-
нака, то формула, выражающая отношение рассеяний, имеет такой вид:

Л: = const-—=‘=1—------------- (22)

2 S (х«—х^
/=1 Л=1

Величина р? появляется в некоторых вариантах коэффициента
Стьюдента (сравнение средних при неоднородности рассеяний, на-
пример показатель Беренса — Фишера (Behrens — Fisher) или его приб-
лиженное решение по Кочрэну и Кокс). Отсюда, между прочим, сле-
дует, что на анализ рассеяния можно смотреть как на сравнение мно-
гих (больше 2) средних величин, а в теории нормального распределе-
ния его можно рассматривать как непосредственное продолжение и
обобщение показателя t Стьюдента.

Несмотря на высказанное замечание об одинаковой правомерности
с точки зрения теории статистики различных оценок рассеяния, все
же можно относительно ряда оценочных функций (15), (18), (21) и (22)
поставить вопрос: какая же из них логически наиболее оправдана?
Этот спор без сомнения решается в пользу F-показателя Р. А. Фи-
шера, в котором прямо и попросту сопоставляются обе компоненты
общего рассеяния, характеризующие стохастическую модель испы-
таний. Интересно установить при этом, что исходя из F-показателя
в качестве оптимального критерия при анализе многомерного призна-
ка мы получаем величину, тесно примыкающую к коэффициенту ди-
вергенции Лексиса,

A + const-Q2= 1,	(23)

где const =	. Этим доказано, что Лексис, конечно, в большей

или меньшей степени интуитивно выбирая критерий Q2, променял
общность формулы на ее изящество.
При переходе к анализу многомерных признаков сравнение рассея-
ний и сорассеяний (variance and covariance) представлены m-строковы-
ми матрицами дисперсий1:

2 (х^-?и))

(24а)

(24в)

(р, v = 1, 2, tn означает рассматриваемые признаки), образует
аналогию к F-показателю.

Однако для многомерных признаков такое сравнение нельзя про-
вести безоговорочно, как это было бы можно сделать в случае одно-
мерного признака. Хотя m-строковые матрицы (24) вместе с соответст-
вующими им степенями свободы и представляют картину рассеяния
m-мерной совокупности, но они ее лишь символизируют: числового
значения они — как и всякие матрицы — не дают. Заменять мат-
рицы дисперсий соответствующими им детерминантами, как это само
собой разумеется, также нельзя; отчетливость разграничения дис-
персий отдельных признаков, степень которой варьирует в силу возмож-
ных корреляционных связей, между разными группами наблюдений
могла бы при этом стираться, а иногда и вовсе пропадать, если набор
признаков (set of characters) был сделан неудачно.

Термином «отчетливость разграничений» уже намечается тот путь,
который ведет на основе отношения дисперсии Фишера [см. (21)]
к установлению критерия для анализа дисперсий. При этом мы поль-
зуемся теми концепциями‘ линейного дискриминантного анализа
(discriminant analysis), которые путем подбора различных признаков
приводят к наилучшему разграничению нескольких (больше 2) совокуп-
ностей (см. об этом, например, другие работы Бауера). Измерения х,
сделанные на k-м элементе, принадлежащем i-й серии наблюдений
(из общего числа г серий), и на т признаках (из общего их числа р),
сводятся ^средством линейной функции к некоторой линейной число-
вой мере:

т

(25)

р.= 1

Коэффициенты cW согласно требованиям дискриминантного ана-
лиза Фишера выбраны так, чтобы

2 nt (х—х)2

е: = Jr • Ч=Ч-------------=	<26>

2 2

4=1 А=1

1 Согласно М. Г. Кендэллу К. Пирсон и Р. А. Фриш пользовались подобного
рода матрицами, придя к ним независимо один от другого, и предложили для ве-
личин соответствующих им детерминантов название — «разбросанность» (scatter -

апсе). Но самая идея все же восходит к О. Н. Андерсону.
В дискриминантном анализе принято находить максимальное зна-
чение © специально для этого разработанными методами из равенства

(2-^-В©) = 0.	(27)

Если подставить формулу (25) в формулу (26), то с помощью ра-
венства (24) можно показать, что равенство (27) равнозначно равенству
(26). Однако если с точки зрения дискриминантного анализа лишь одна
максимальная величина ©тах имеет значение, то, для того чтобы подоб-
рать для значения, наиболее выгодные при строгом разграничении
групп, в целях установления дискриминантно-аналитического крите-
рия следует рассматривать каждое возможное различие между диспер-
сиями, а это значит, что надо учесть все действительные корни урав-
нения (27).

Для уравнения вида (27), если к тому же т не слишком велико,
можно сравнительно просто установить, все ли возможные корни дей-
ствительны, и тем самым учесть с их помощью значения дисперсий
(об этом см. например, Перрон (О. Perron, Algebra II, Satz 13).
Однако, для того чтобы по возможности охватить все случаи, что не-
обходимо для общезначимости критерия, берут первоначально все
корни ©Л (k = 1, 2,..., и?) безотносительно к тому, действительные они
или мнимые. Их число, как показывает теория, при условии, что
det Z^O, равно

w = mir <m, dfZ},	(28)

где под df Z понимается число свобод, соответствующее дисперсионной
матрице Z. Произведение

W

(»)

объединяет все w корней в единый критерий. Формула (29) позволяет
обойтись без явного вычисления 0*. Дело в том, что если выполнить
умножение, указанное формулой (29), и положить ©* = ©*• то
отсюда получим:

Ц}	W

п (1 +e;)=i+ s ©;+ 2	+ ©*•+.•• + п (зо)

Л=1	А=1	£'<£=]	~	Л=1

Но правая часть равенства есть не что иное, как сумма коэффи-
циентов выражения (27), представленного в виде общего полинома
/n-й степени, причем единица служит коэффициентом при Xw (нор-

да

мальная форма!), а 2 ©* — коэффициентом при , ... и

А=1

w

П 0*— постоянный член.

*=!
С помощью доказательства для случая w = 2 и полной индук-
ции для дальнейших значений w мы можем убедиться в том, что
указанные соотношения могут быть написаны также в виде:

w

п (1 +©;)=
k= 1

det (Z + В) = det-Г
det В — det-В ’

где в случае одномерности

Т\ =

г п.

2 2 us1- гя) w;1-?ч)
/=1 6=1

(31)

(32)

(р,, v=l, 2, ..., ni) означает дисперсионную матрицу, соответствую-
щую общему рассеянию.

Критерий Л Вилкса, являющийся собственно критерием анализа
рассеяния, и наряду с Т Готеллинга (Hotelling), обобщенного на случай
многомерности коэффициента t Стьюдента, представляет собой обще-
принятый критерий дисперсионного анализа в случае многих призна-
ков; его можно определить по формуле (22) как обратную величину
правой части равенства (31).

Таким образом, А оказывается симметричной функцией от корней
приводящего уравнения дискриминантного анализа. При возрастании
этих корней функция бывает и в случае достоверно малого значения
показывает, что между сравниваемыми группами испытаний имеется
реальное различие.

Единственная разница между А и Q2, если оставить в стороне при-
менение степеней свободы, состоит в том, что Лексис и Дормуа с общей
колеблемостью сравнивают «существенную компоненту», тогда как
Вилкс — «несущественную компоненту» колеблемости. Это различие
в случае анализа отдельного признака совершенно несущественно, так
как обе компоненты дополняют одна другую до единицы (23). Подход
Лексиса и Дормуа можно было бы даже признать более правильным,
так как задача ведь состоит в том, чтобы найти рассеяние между груп-
пами, следовательно, определить существенную компоненту рассея-
ния или колеблемости. Для случая же многих признаков такой вывод
показывает большую целесообразность подхода Вилкса.

КРИТИКА ДИСПЕРСИОННОЙ теории лексиса
И ЕЕ ВЛИЯНИЕ НА СОВРЕМЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ
АНАЛИЗА РАССЕЯНИЯ

Если В. Борткевич расширил область применения теории диспер-
сии Лексиса, если А. А. Марков дал ценные указания и выводы отно-
сительно нахождения параметров коэффициента дивергенции, то
А. А. Чупров и его «Zur Theorie der Stabilitat statistischer Reihem
построил ту теорию дисперсии, которую мы теперь должны признать
подлинной отправной точкой для анализа рассеяния. Но А. А. Чупров
вместе с тем был первым, усмотревшим важнейшие слабые места этой
теории:
(а)	невозможность в иных случаях выявить поднормальность дис-
персии у связных рядов;

(б)	невозможность определить моменты более высоких порядков
для закона распределения коэффициента дивергенции и вследствие
этого невозможность с позиций теории вероятностей установить его
достоверность, если неизвестен закон распределения исходных
данных;

(в)	невозможность хороших оценок средней ошибки коэффициента
дивергенции;

(г)	отсутствие оценки истинного рассеяния, которая была бы сво-
бодна от систематической ошибки.

Устранить эти недостатки пытались двумя путями.

Английская статистическая школа, отказавшись от основной кон-
цепции Лексиса, предполагающей непараметричность, стала исходить
из предположения для совокупности исследуемых данных нормального
закона распределения Гаусса и взаимной (стохастической) независи-
мости, а для группировок предполагать однородность дисперсий.
Требование стохастической независимости устранило затруднение (а),
и требование, чтобы EQ2 равнялось единице (причем здесь Q2 может
означать любое отношение рассеяний), стало необходимым и достаточ-
ным условием существования нормальной дисперсии. Благодаря тре-
бованию нормальности распределения исходных данных ликвидиро-
ваны недостатки (б) и (в), а устранение недостатка (г) стало возможным
благодаря введению внутригруппового рассеяния, концепция которо-
го не требует однородности групповых рассеяний.

Не отступая ни перед какими трудностями, пытались ослабить и
соответственно (идя им навстречу) преодолеть по крайней мере обе по-
следние предпосылки, а именно Гауссово нормальное распределение
для наблюдаемых переменных и однородность рассеяния в группах
испытаний. Так, Эгон Пирсон, Финч, Гэйен и другие предприняли
попытку изучения свойств отношения рассеяний в исходном материале,
закон распределения которых подходит под форму некоторых извест-
ных кривых. Оказалось, что при незначительных отклонениях от нор-
мального распределения можно не опасаться каких-либо существенных
затруднений в изучении рассеяния дисперсионно-аналитическим ме-
тодом. С другой стороны, многие исследователи, в особенности Диском,
(F. L. Anscombe), Бартлет, Кочрэн и Фишер, пытались преодолеть
требование нормальности распределения и однородности рассеяния
путем преобразования переменных. Нужные для этого таблицы вклю-
чены в более полные сборники вычислительных таблиц и в много-
численные исследовательские работы. Несмотря на все старания,
приложенные статистиками английской школы, их предложения имеют
тот бесспорный недостаток, что они сильно ограничивают область
применения анализа рассеяний.

Несомненно, и А. А. Чупров видел, что коэффициент диверген-
ции в качестве критерия в дисперсионном анализе можно спасти с
помощью различных допущений. Но столь же несомненно и то, что
он и не думал к ним прибегать. И статистики континентальной
школы хотя и занимались интенсивно биометрическими проблемами
(стоит вспомнить хотя бы привлекшие общее внимание работы о поло-
вом составе новорожденных в зависимости от возрастов родителей
или исследования по выравниванию кривых смертности), но никому и
на ум не приходило приспосабливать к практическому использованию
соответствующие статистические методы, подвергая их параметризации
и другим ограничительным допущениям.

Поэтому с большой осмотрительностью старались справиться
с каждым из перечисленных затруднений (а) — (г) в отдельности.
Исследования А. А. Чупрова показали, что затруднения (а), а воз-
можно также и (б) должны быть признаны непреодолимыми, тогда как
(в) можно устранить, перейдя от определения дисперсионно-аналити-
ческого коэффициента, оформленного в виде отношения, к его представ-
лению в виде разности. Как показывают его исследования, это возмож-
но только в том случае, если удастся справиться с затруднением (г).

Этому навстречу направлено предложение О. Н. Андерсона при-
менить в качестве непараметрического способа исследования рассея-
ния обоснованный им и Стьюдентом метод конечных разностей (va-
riate-difference-method). Теоретическое содержание этого метода не
исчерпывается тем, что при обработке статистического ряда, состоя-
щего из двух компонент: «плавной» (у) и «остаточной» (р), так что
каждый член ряда может быть представлен в форме

Хк = Уь + Ра	(33)

(k = I, 2, ..., N), с помощью конечного дифференцирования исключает-
ся плавная компонента, так чтобы

Д*хА = ДЛуА + Д*рА = Д*рА	(34)

(0<й<п— 1 и й = 1, 2, ..., N— Л). Более важная цель состоит в том,
чтобы иметь возможность делать выводы относительно внутренней
структуры ряда (рА), следовательно, речь идет о проблеме, которая уже
с первого взгляда обнаруживает некоторое сходство с задачей анализа
рассеяния.

Это впечатление усиливается еще тем, что в рамках метода конеч-
ных разностей, между прочим, привлекаются и оценочные значения
истинного рассеяния о2 ряда (рА). Присущая разностному методу
оценка рассеяния получается следующим образом: после вычислений
конечных разностей й-го порядка получается, как известно, N — h
линейных функций от N членов ряда хА, имеющих вид:

h

Aftxft= 2 (-!)'( ?)Р*+/.	(35)

/=i	\> J

из которых непосредственно выводится, что

N—h

$л: = (2A)I(JV —й)! 2(ДАхл)2'	(36)

k= 1

Это выражение мы назовем ft-м «разностным рассеянием».
Оценочные значения 6^ истинного рассеяния о2 свободны от систе-
матической ошибки. С их помощью, по моему мнению, и следует пред-
принять само собой намечающуюся попытку развить непараметри-
ческий анализ рассеяния с применением усиленного путем привлече-
ния более высоких моментов неравенства Бьенэмэ — Чебышева (ср.
также К- Пирсона, Кемпа, Гульдберга, Наруми, С. Н. Бернштейна).

Интересно отметить, что в разработке анализа рассеяния средст-
вами разностного метода в его собственной модификации идеи кон-
тинентальной и английской школ снова встречаются.

С помощью частичной параметризации, т. е. допущения нормаль-
ного распределения остаточной компоненты (однако без предпосылки
стохастической независимости исходных данных), можно по предло-
жениям Тинтнера (G. Tintner) й Джонсона (N. L. Johnson) ввести в ме-
тод конечных разностей некоторые критерии нормального характера,
а также и F-показатель Р. А. Фишера. Если даже в этом усмотреть не-
которое насильственное подавление принципа непараметризации,
то все же можно почесть за обнадеживающее объединение двух стати-
стических школ, исследовательские труды которых, несмотря на все
старания, в течение десятилетий развиваются путями, идущими
рядом, и все-таки не смыкающимися.

R. К. Bauer. Die Lexissche
Dispersionstheorie in ihren Beziehun-
gen zur modernen statistischen
Methodenlehre insbesodere zur Streu-
ungsanalyse (analysis of variance).—
Mitteilungsblatt fur mathematische
Statistik und ihre Anwendungsgebiete.
Bd. 7, 1955. SS. 25—45.

Перевод с немецкого H. С. Чет-
верикова
СОДЕРЖАНИЕ

От издательства.................................................  3

В. Лексис. О теории стабильности статистических рядов ........... 5

Н. С. Четвериков. Замечания к работе В. Лексиса................  39

В. Борткевич. Критическое рассмотрение некоторых вопросов теоретичес-
кой статистики.................................................  55

А. А. Чупров. К теории стабильности статистических рядов........138

Р. К. Бауер. Теория дисперсии Лексиса в ее отношениях к новым течениям
статистической методологии, в особенности к анализу рассеяния . . . 225
О ТЕОРИИ ДИСПЕРСИИ

Редактор А. М. Минакова

Техн, редактор В. А. Чуракова

Корректор Н, С. Хорошилова

Переплет художника Б. И. Фомина

Худ. редактор Т. В. Стихно

Сдано в набор 18/1 1968 г.

Подписано к печати 6/IX 1968 г.

Формат бумаги бОКЭО'/м* Бумага № 2.

Объем 15,0 печ. л. Уч.-изд. л. 15,33

Тираж 4300 зкз. (Тематич. план 1968 г. № 58)

Заказ № 1926	Цена 1 р. 24 к.

Издательство «Статистика*, Москва, ул. Кирова, 39
Московская типография № 4 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 46