Ns	Число карточек по уровням сложности		карточек по теме
	Название темы	1 2 3	
			
1	Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них	7 5 4	16
2	Параллельные прямые в пространстве	4 6 4	14
3	Параллельность прямой и плоскости	4 4 4	12
4	Параллельность плоскостей	5 5 5	15
5	Перпендикуляр и наклонные	5 5 5	15
6	Свойство точки, равноудаленной от вершин много- угольника	6 6 4	16
7	Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах (задачи на доказательство)	6 6 4	16
8	Теорема о трех перпендикулярах (задачи на построение)	4 6 4	14
9	Теорема о трех перпендикулярах (задачи на вычисление)	4 8 4	16
10	Свойство точки, равноудаленной от сторон много- угольника	4 5 6	15
11	Угол между прямой и плоскостью	6 5 5	16
12	Скрещивающиеся прямые	5 5 5	15
13	Перпендикулярность плоскостей	5 5 5	15
14	Угол между плоскостями	5 5 4	14
15	Декартовы координаты в пространстве	5 5 5	15
16	Векторы в пространстве. Уравнение плоскости	5 5 5	15
	ВСЕГО: 16 тем	80 86 73	315
© Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л., 1995 © Художественное оформление, НПО «Образование», 1995	Лицензия №063331 от 05.03.94 НПО «ОБРАЗОВАНИЕ» 107078, г.Москва, Малый Козловский пер., 3. Заказ 5388 Отпечатано в Молодечненской типографии «Победа» 222310, Республика Беларусь, г.Молодечно, ул.Тавлая, 11
00QDQDI30
Ю. П.Дудницын, В.Л.Кронгауз
ГЕОМЕТРИЯ
для уровневого обучения
КЛАСС
I НАУЧНО-
ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ
ОБЪЕДИНЕНИЕ
«ОБРАЗОВАНИЕ.
Уважаемые коллеги!
Вас заинтересовало новое пособие, и
Вы решили приобрести его. Искренне
благодарим Вас за проявленные уваже-
ние и доверие к нашей работе.
Созданием комплекта карточек авторы
пытаются оказать помощь учителю мате-
матики в обеспечении благоприятных
условий для: 1) достижения всеми деся-
тиклассниками базового уровня подго-
товки, соответствующего государствен-
ному стандарту математического образо-
вания; 2) усвоения курса стереометрии
на более высоком уровне учащимися,
проявляющими интерес и способности к
предмету; 3) осуществления уровневой
дифференциации в процессе обучения.
Содержание заданий на карточках со-
ответствует программе и учебникам по
геометрии для 10 класса полной средней
общеобразовательной школы. Поэтому
новое пособие можно использовать в
школах различного типа: гимназиях, ли-
цеях, колледжах, средних общеобразова-
тельных школах, школах физико-мате-
матического и гуманитарного профиля,
школах-экстернах.
Для удобства работы с раздаточными
материалами, быстрой подготовки их к
уроку все карточки комплекта упорядо-
чены в определенной системе. Они рас-
положены по темам и в каждой теме
сгруппированы в соответствии с уровнем
сложности заданий.
В каждой группе карточек по опреде-
ленной теме предлагаются задания трех
различных уровней сложности. К перво-
му отнесены задания, ориентированные
на государственный стандарт (обяза-
тельные результаты обучения). Выпол-
нение их обеспечивает успешное про-
движение десятиклассников в изучении
курса стереометрии. Ко второму-зада-
ния, решение которых предполагает уме-
ние применять знания в ситуациях, схо-
дных с теми, что были разобраны в учеб-
нике или вместе с учителем в классе. К
третьему-задания, предназначенные
школьникам, проявляющим интерес к
занятиям математикой, умеющим твор-
чески применять знания.
Определенную пользу принесет работа
с карточками для организации индиви-
дуальной, групповой или фронтальной
самостоятельной деятельности школь-
ников на уроке. Систематическое при-
менение карточек дает реальную возмо-
жность осуществления дифференциро-
ванного подхода к учащимся на различ-
ных этапах изучения конкретной темы:
при первичном изучении материала, его
закреплении, проведении тематического
или итогового повторения, подготовке
школьников к тематическим зачетам или
переводным экзаменам, осуществлении
контроля за уровнем знаний десятиклас-
сников.
Опыт показывает, что родители школь-
ников могут успешно пользоваться кар-
точками с заданиями для оказания помо-
щи своим детям или определения уровня
их знаний в домашних условиях. Родите-
ли охотно используют эти материалы для
организации домашнего обучения по
индивидуальным планам.
С целью успешного формирования и
развития у десятиклассников простран-
ственных представлений, умений пра-
вильно читать чертежи на всех карточках
с заданиями первого уровня сложности
рядом с задачей помещен соответствую-
щий ей чертеж. Он содержит все элемен-
ты, необходимые для решения. Опытные
учителя не советуют воспроизводить их в
тетрадях. Десятиклассники выполняют в
них лишь необходимые вычисления. Та-
ким образом удается экономить учебное
время на уроке. К каждому заданию вто-
рого уровня дается неполный чертеж. Он
помещен на отдельной карточке, кото-
рая расположена непосредственно за
карточкой с заданием. Школьники, вы-
полняющие эти задания, не нуждаются,
в большинстве случаев, в готовом черте-
же. Чертеж со всеми необходимыми по-
строениями они должны выполнять са-
мостоятельно в рабочих тетрадях. В тех
случаях, когда у них возникают затрудне-
ния в понимании условия задачи или по-
строении некоторых элементов, предла-
гаем для помощи соответствующую кар-
точку с чертежом. На этих чертежах от-
сутствуют один или два последних этапа
построения.
Задания третьего уровня сложности
школьники выполняют самостоятельно.
Поэтому на карточках отсутствуют ка-
кие-либо подсказки. При необходимос-
ти помощь ученику можно оказать при
индивидуальной беседе с ним.
Комплект содержит 315 карточек. На
239 из них помещены задания, на 76-
только чертежи. Распределение карточек
по уровням сложности указано в общей
таблице и на разделительных карточках к
каждой теме.
Каждая карточка представлена в комп-
лекте в единственном числе. Но в каж-
дой группе по определенной теме име-
ются 4-6 карточек с аналогичными за-
даниями. Это дает возможность привле-
кать к выполнению однотипных заданий
одновременно 4—6 учеников. Если воз-
никает необходимость увеличить это чи-
сло, продублировав задания, рекоменду-
ем приобрести 2—3 таких комплекта.
Карточки удобно хранить в каталожном
ящике. При подготовке комплекта к ис-
пользованию следует сгруппировать кар-
точки по темам, затем упорядочить их в
каждой группе. Для этого воспользуйтесь
шифром, помещенным в левом верхнем
углу каждой карточки. Число, записан-
ное в первом квадрате шифра, указывает
номер темы, во втором—порядковый но-
мер карточки в группе по данной теме, в
третьем—уровень сложности задания,
помещенного на карточке. Например,
шифр: 14.8.2 обозначает, что дано зада-
ние по теме 14—“Угол между плоскостя-
ми". Порядковый номер карточки в этой
группе-8. Задание имеет второй уровень
сложности.
Названия тем, число карточек по каж-
дой теме в данном комплекте, распреде-
ление заданий по уровням сложности
указаны в общей таблице и на специаль-
ных разделительных карточках.
В настоящее время завершается экспе-
риментальная работа по использованию
аналогичных пособий для 7,8 и 11 клас-
сов.
Ю.П. Дудницын В.Л. Кронгауз
ГЕОМЕТРИЯ 10
Ю.П. Дудницын, В.Л. Кронгауз
КАРТОЧКИ
с заданиями по геометрии
для 10 класса
(16 тем, 315 карточек, из них 76 рисунков)
Москва
НПО «ОБРАЗОВАНИЕ»
1997
Аксиомы стереометрии и некоторые
следствия из них
Всего карточек 16
1	уровень	7
2	уровень	5
3	уровень	4
2		Параллельные прямые в пространстве
Всего карточек 14
1	уровень	4
2	уровень	6
3	уровень	4
3
Параллельность прямой и плоскости
Всего карточек 12
1	уровень	4
2	уровень	4
3	уровень	4
Параллельность плоскостей
Всего карточек 15
1	уровень	5
2	уровень	5
3	уровень	5

5
Перпендикуляр и наклонная
Всего карточек 15
1	уровень	5
2	уровень	5
3	уровень	5

Всего карточек 15
1	уровень	4
2	уровень	5
3	уровень	6
11
Угол между прямой и плоскостью
Всего карточек 16
1	уровень	6
2	уровень	5
3	уровень	5
5
12
Скрещивающиеся прямые
Всего карточек 15
1	уровень	5
2	уровень	5
3	уровень	5
Перпендикулярность плоскостей
Всего карточек 15
1	уровень	5
2	уровень	5
3	уровень	5
Угол между плоскостями
Всего карточек 14
1	уровень	5
2	уровень	5
3	уровень	4

6
15
Декартовы координаты в пространстве
Всего карточек 15
1	уровень	5
2	уровень	5
3	уровень	5

Векторы в пространстве. Уравнение
плоскости
Всего карточек 15
1	уровень	5
2	уровень	5
3	уровень	5
Дан куб АВСИА&С^. Найдите несколько:
1)	точек, которые лежат в плоскости а;
2)	точек, которые не лежат в плоскости а;
3)	прямых, которые лежат в плоскости а;
4)	прямых, которые не лежат в плоскости а;
5)	прямых, которые пересекают прямую ВС;
6)	прямых, которые не пересекают прямую ВС.
Даны пересекающиеся прямые а и
Ь. Задайте двумя точками прямую,
которая:
1) лежит с прямыми а и b в одной
плоскости;
2) не лежит с прямыми а и b в одной
плоскости.
Л:
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
В пересекающихся плоскостях а и /3 Вояты
точки А и В, которые не лежат на линии их
пересечения с. Пересекаются ли прямые
АВ и с? (Ответ поясните.)
Точки А, В, С и К не лежат в одной плос-
кости. Пересекаются ли прямые АС и В К!
(Ответ поясните.)
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
1) Могут ли лежать на одной прямой точки А,
Ви С! (Ответ поясните.)
2) Могут ли какие-либо три из данных точек
лежать на одной прямой? (Ответ поясните.)
В пересекающихся плоскостях а и р взяты
соответственно точки А и В, которые не ле-
жат на линии их пересечения. Точка Л/ле-
жит на прямой с.
1) Постройте линию пересечения плоскос-
тей: а) а и МАВ:, б)/Ги МАВ.
2) Найдите общую точку плоскостей a, fl и
АВМ.
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
CJ
СО
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Через точку М, которая не лежит в плоскос-
ти а, проведены прямые а, b и с. Они пере-
секают плоскость а в точках, которые не ле-
жат на одной прямой. Лежат ли прямые а, b
и с в одной плоскости? (Ответ поясните.)
Через сторону А В ромба ABCD проведена
плоскость а. Точки Е, F— середины сторон
ADuDC.
1) Постройте точку пересечения прямой
ЕЕи плоскости а.
2) Вычислите расстояние от этой точки до
точек А и В, если ВС=\2 см.
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
Через сторону ВС параллелограмма ABCD
проведена плоскостей. Точки £и М— сере-
дины сторон АВ и AD.
1) Постройте точку пересечения прямой
МКи плоскости а.
2) Вычислите расстояние от этой точки до
точек В и С, если AD= 14 см.
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них

Через боковую сторону АВ трапеции
ABCD проведена плоскость а.
1) Постройте точку пересечения пря-
мой DC и плоскости а.
2) Вычислите расстояние от этой точки
до точек А и D, если AD=2 см, ВС=6 см,
Л5=4см, DC=5cm.
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Дан куб ABCDA'B'C'Di. Точка Улежит
на ребре 55,. Постройте:
1)	точку пересечения прямой AtKc пло-
скостью а;
2)	точку пересечения прямой С{Кс пло-
скостью а;
3)	прямую, по которой пересекаются
плоскости а и AtKCt.
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Дан куб ABCDAlBl QD,. Точка Л/лежит на
ребре BiCi. Постройте:
1)	точку пересечения прямой СМ и плос-
кости ВАЛ'-,
2)	прямую, по которой пересекаются
плоскости АМСи ВАА}\
3)	точку пересечения прямой Л,Д, и пло-
скости АМС.
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
А	В
Прямая с является линией пересечения
плоскостей а и 0. В плоскости а проведена
прямая а, пересекающая с. В плоскости
взята точка В, не лежащая на прямой с.
1) Постройте линию пересечения плоскос-
тное плоскостью, в которой лежат прямая
а и точка В.
2) Вычислите общую точку плоскостей а, р
и плоскости, в которой лежат прямая а и
точка В.
Л!
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них
Аксиомы стереометрии
и некоторые следствия
из них

Вершины А, В и точка пересечения диа-
гоналей параллелограмма ABCD лежат в
плоскости а. Лежат ли в этой плоскости
вершины С и Р?
Верно ли, что любая прямая, проходящая
через точку пересечения медиан треуголь-
ника пересекает его сторону?
12!
Параллельные прямые
в пространстве
Верно ли, что любая прямая, проходящая
через точку пересечения диагоналей парал-
лелограмма, имеет хотя бы одну общую
точку с его стороной?
Дан прямоугольный параллелепипед
ABCDA^C^.
1) Найдите несколько прямых, парал-
лельных прямой СС|, /1|5|, В\СЪ А\С\.
2) Найдите несколько прямых, скрещи-
вающихся с прямой АА,, АВ, В\С{, А{СЪ
BD.
Параллельные прямые
в пространстве
Точка В отрезка АВ лежит в плоскости а.
Через точку А проведена прямая, пересека-
ющая плоскость а в точке Л,. Через середи-
ну отрезка АВ (точку Q проведена прямая
с, параллельная АА,.
1) Постройте точку пересечения прямой с и
плоскости «(С,).
2) Вычислите СС,, если АА{=22 см.
Параллельные прямые
в пространстве

Отрезок АВ не имеет общих точек с плос-
костью а. Через его концы проведены па-
раллельные прямые, которые пересекают
плоскость а в точках А] и 5,. Точка К— се-
редина отрезка АВ.
1) Постройте точку пересечения плоскос-
ти а и прямой, которая проходит через
точку К и параллельна прямой АА{.
2) Вычислите длину отрезка ККЬ если
>Ц=10см, 55,=6см.
Параллельные прямые
в пространстве
Точка А луча АВ лежит в плоскости а. Через
точки В и С этого луча (С лежит между А и
В) проведены прямые, которые пересекают
плоскость а в точках С, и 5,.
1) Лежат ли точки А, и С, на одной пря-
мой?
2) Вычислите АВ{ и АС\, если АС=6 см,
СВ=4см, С|5,=10см.
Концы отрезков АВ лежат по одну сторону
относительно плоскости а. Через точки А и В
проведены параллельные прямые, которые
пересекают плоскость а в точках А, и В{.
1) Постройте точку пересечения прямой АВ
и плоскости а (точку О).
2) Вычислите AAt и ВВЬ если А^: 5,0=3:2,
ЛЛ,+/?5|=35 см.
Параллельные прямые
в пространстве
CJ
<4
Параллельные прямые
в пространстве

Концы отрезка А В лежат по разные сторо-
ны относительно плоскости а. Через точ-
ки А, В и середину отрезка АВ (точку М)
проведены параллельные прямые, пересе-
кающие плоскость а в точках Я,, Б, и М{.
Вычислите Ш/,,если А4,=6см, ББ,=4см.

Пересекающиеся прямые а и b лежат в пло-
скости а. Прямая с параллельна прямой b и
пересекает а. Докажите, что прямая с лежит
в плоскости а.
Параллельные прямые
в пространстве
Точка К расположена вне плоскости тре-
угольника АВС, Ей F— середины отрезков
КА и КС.
1) Докажите, что отрезок EF равен и па-
раллелен средней линии треугольника
АВС(МР).
2) Как расположены прямые ЕМ и FF!
1$
Параллельные прямые
в пространстве
Параллельные прямые
в пространстве
К
Прямые а и b параллельны. Докажите, что
пересекающие их прямые лежат в одной
плоскости.
Л
Параллельные прямые
в пространстве
Параллельные прямые
в пространстве
Точка К не лежит в плоскости квадрата
ABCD. М и Р—середины отрезков КВ и
КС.
1) Как расположены прямые AD и МР?
2) Вычислите длину отрезка МР, если
сторона квадрата равна 12 см.
Параллельные прямые
в пространстве
Точка К не лежит в плоскости трапеции
ABCD. Через середины отрезков КА и КВ
проведена прямая EF(AB\\CD).
1) Докажите, что прямые EFn непарал-
лельны.
2) Определите вид четырехугольника
DCEF, если AB:DC-2:1.

Параллельные прямые
в пространстве
Параллельные прямые
в пространстве
Квадрат ABCD и равнобедренный треуголь-
ник КВС (КВ=ВС) лежат в разных плоскос-
тях. М и Р- середины отрезков ИА" и СК.
1) Определите вид четырехугольника MPDA.
2) Вычислите его площадь, если ЛИ=12см,
MA=PD=5cm.
Равные прямоугольники ABCD и АВМК
лежат в разных плоскостях.
1) Вычислите длину ломаной АСВКА,
если СД=8см, ИЛ/=6см.
2) Верноли утверждение, что прямые АС
и В К параллельны?
Отрезок КМ, равный 10 см, параллелен
плоскости а. Через его концы проведены
параллельные прямые, пересекающие а в
точках Ki и М\.
1)	Как расположены прямые КМм КХМ^.
2)	Вычислите расстояние между точками К\
пМ,
3)	Вычислите площадь четырехугольника
КММ}КЬ если КК}=% см, LKMMX=W.
Параллельность прямой
и плоскости
Через точку К стороны АС треугольника
АВС проведена плоскость а, параллель-
ная прямой АВ.
1) Как расположены прямые А В и КМ
(Л/—точка пересечения прямой ВС и
плоскости а)?
2) Вычислите длину отрезка КМ, если
ЯК=4см, КС=6(м,АВ=5см.
Отрезок АВ параллелен плоскости а. Через
его концы проведены параллельные пря-
мые. Прямая, проходящая через точку В,
пересекает плоскость в точке Д.
1) Постройте точку пересечения второй
прямой с плоскостью а (точку Я!).
2) Вычислите периметр четырехугольника
АВВ^, если АВ: 55,=5:2, АВ-ВВ{=9 см.
Через точку К стороны АС треугольника
АВС проведена плоскость а, параллель-
ная прямой АВ.
1) Постройте точку пересечения плос-
кости а и стороны ВС (точку М).
2) Вычислите длину отрезка КМ, если
КМ+АВ=26см, СК:КА=4:5.
В плоскости а, пересекающейся с плос-
костью /3 по прямой с, проведена пря-
мая а, параллельная с. В плоскости 0
проведена прямая Ь, пересекающая
прямую с.
1) Могут ли прямые а и b иметь общие
точки?
2) Докажите, что а и Ь—скрещиваю-
щиеся прямые.
Точки А, В, С и D не лежат в одной плоско-
сти. Кп М— середины отрезков BD и CD.
1) Имеют ли общие точки прямая КМ и
плоскость, в которой лежат точки А, В и С?
2) Вычислите периметр треугольника А КМ,
если расстояние между каждой парой дан-
ных точек равно 8 см.
Через точку стороны AD параллелограмма
ABCD проведена плоскость а, параллельная
прямой DC.
1) На какие фигуры делит плоскость а дан-
ный параллелограмм? (Ответ поясните.)
2) Вычислите длины отрезков, на которые
делит плоскость а диагональ BD, если
DK-6см, АК=8 см, BD=2\ см.
Параллельность прямой
и плоскости
Дан куб ABCDA{BXCXDX.
1)	Постройте отрезок, являющийся пере-
сечением грани ABBtAt и плоскости а, в
которой лежат прямая ОС, и точка К— се-
реди на АВ.
2)	Постройте сечение куба плоскостью а.
3)	Вычислите периметр построенного се-
чения, если ребро куба равно 20 см.
Параллельность прямой и плоскости		I 3.11.3			Параллельность прямой и плоскости
Дан куб ABCDA^C^.
1)	Постройте отрезок, являющийся пере-
сечением грани ВСС1В] и плоскости а, в
которой лежат прямая AD{ и точка К— сере-
дина ребра ВС.
2)	Постройте сечение куба плоскостью а.
3)	Вычислите периметр построенного се-
чения, если ребро куба равно 16 см.
Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли
утверждение, что любая прямая плоскости а
параллельна прямой а?
Параллельность прямой
и’плоскости
Верно ли утверждение, что две прямые,
плраллсчьные одной плоскости, парал-
лельны’

Точки А и В расположены в одной из па-
раллельных плоскостей, Си D-в другой.
Отрезки Л С и BD пересекаются в точке М.
б£)=15см,Л5=4см, ДС=6см.
1) Как расположены прямые А В и CD?
(Ответ поясните.)
2) Вычислите длину отрезка DM.
Через точку О, расположенную между па-
раллельными плоскостями а и /3, прове-
дены две прямые, которые пересекают
плоскости в точках А и Ah В и 5,.
1) Как расположены прямые АВ и AtBt?
(Ответ поясните.)
2) Вычислите длину отрезка А,5,, если
ЛД=18см,ЛО:ОЯ1=3:5.
Два луча с началом в точке А пересекают одну
из параллельных плоскостей в точках Ah Вь а
другую—в точках А2, В2.
1) Как расположены прямые AtBt иА2В2? (От-
вет поясните.)
2) Вычислите ABlt если Д|5,=4см, А2В2= 16см,
В}В2= 15 см.

Параллельность
плоскостей
Параллельность
плоскостей
к!
Лучи МКи МРпересекают плоскость/?, па-
раллельную плоскости а, в точках А и В.
Луч МК пересекает плоскость а в точке Я,.
1) Постройте точку пересечения луча МРм
плоскости а (Я.).
2) Вычислите длину отрезка Дй,, если
А/Л:А4,=3:4,Л5=6см.
Плоскости а и /3 параллельны. Через
точки А и В плоскости а проведены па-
раллельные прямые, пересекающие
плоскость /3 в точках А} и В,.
1) Определите вид четырехугольника
АВВ}А}.
2) Вычислите периметр четырехуголь-
ника ABBtAt, если АВ=10 см, АА^8 см.
Параллельность
плоскостей
плоскостей

Плоскости а и /3 параллельны. Отрезок АВ
расположен в плоскости а. Через его кон-
цы и точку К, лежащую между плоскостя-
ми, проведены прямые. Одна из них пере-
секает плоскость;? в точке 5,.
1) Постройте точку пересечения прямой
АКи плоскости(3 (точку Л,).
2) Вычислите АА, и если/1.5,: Л5=4:3,
АК=6 см, BK.--V1 см.
23
Через точки 5, и В2 стороны АВ равносто-
роннего треугольника Л5С проведены плос-
кости а и /?, параллельные прямой ВС.
1) На какие фигуры делится этот треуголь-
ник плоскостями а и /??
2) Вычислите периметры этих фигур, если
АС=8 см и ABi=B\B2=B2B.
Плоскость а параллельна плоскости, в
которой лежит квадрат ABCD. Через вер-
шины квадрата проведены параллель-
ные прямые, пересекающие плоскость а
в точках Л,, Вь С, и Z),.
1) Определите вид четырехугольника
А^С^.
2) Вычислите периметр четырехуголь-
ника А^С^, если Л5=12 см.
Параллельность
плоскостей
Плоскость а параллельна плоскости равно-
стороннего треугольника АВС. Через его
вершины проведены параллельные пря-
мые, пересекающие плоскость а в точках
Л,, 5,, С,. Вычислите периметр и площадь
треугольника еслиЛВ=6см.

s
Параллельность
плоскостей
Точки А, В, Си D не лежат в одной плоскос-
ти. К, М, Р— середины отрезков АВ, AC, AD.
1) Докажите, что плоскости DBC и КМРпа-
раллельны.
2) Вычислите периметр треугольника КМР,
если BD=V2 см, ВС=$ см, Z)C=6 см.
В
25
Параллельность
плоскостей
плоскостей
Плоскости а и параллельны. Верно ли,
что любая прямая плоскости а параллельна
плоскости /?? (Ответ поясните.)
Ребро куба ABCDAiB^Di равно 24 см. Точка
К- середина ребра 55,. Через К проведена
плоскость а, параллельная плоскости 5С,Л,.
1) Постройте отрезок, который лежит в плос-
кости айв грани Я55,Л,.
2) Постройте сечение куба плоскостью а.
Параллельность
плоскостей
Параллельность
плоскостей
Дан куб ABCDA[B[CiDl. Точка К-середина
ребра АВ. Постройте сечение куба плос-
костью, которая содержит точку К и парал-
лельна плоскости 55,5,.
Параллельные плоскости а и/? пересечены
плоскостью у, линии их пересечения-пря-
мые а и Ь. В плоскости /3 проведена прямая
с, пересекающая прямую Ь.
1) Могут ли прямые а и с лежать в одной
плоскости? (Ответ поясните.)
2) Постройте линию пересечения плоскос-
ти, содержащей некоторую точку прямой а
и прямую с, с плоскостью: а) а; б) у.
Из точки М проведены к плоскости на-
клонные МА, МВ и перпендикуляр МО.
1) Постройте проекции наклонных.
2) Вычислите длины проекций, если
ZHA/O=60°, /.ВМ0=А5°, М0=\6см.
Из точки М проведены к плоскости
наклонные МА. МВ и перпендикуляр
МО.
1) Постройте проекции наклонных.
2) Вычислите длины проекций, если
Л/Л=10см, МВ=\1 см, Л/О=8см.
Перпендикуляр
и наклонные
in
in
Перпендикуляр
и наклонные
Через точку пересечения диагоналей квад-
рата ABCD проведен перпендикуляр к его
плоскости МО, равный 2/Тсм. Сторона
квадрата равна 4 см. Вычислите:
1) длины наклонных МА, МВ, МСи MD.
2) угол между каждой наклонной и ее про-
екцией на плоскость квадрата.
К плоскости квадрата ABCD проведен пер-
пендикуляр DM, равный 12 см. Сторона
квадрата равна 5 см. Вычислите длины:
1) проекций наклонных МА, МС, МВ.
2) наклонных.
Перпендикуляр
и наклонные

В одной из пересекающихся плоскостей
(/3) расположены точки А и В. Проекцией
точки А на вторую плоскость (а) является
точкаЯ,.
1) Постройте проекцию точки В на плос-
кость а.
2) Вычислите расстояние от середины от-
резка АВ до плоскости а, если А и В удале-
ны от нее на 12 см и 8 см.
Перпендикуляр
и наклонные
Из точки Л/ проведены к плоскости а
наклонные МА и МВ, равные 10 см и
17 см. Вычислите расстояние отточки
М до плоскости а, если длины проек-
ций пропорциональны числам 2 и 5.
Перпендикуляр
и наклонные
Перпендикуляр
Из точки А проведены к плоскости наклон-
ные АВ и АС, равные 12 см и 18 см. Вычис-
лите длины проекций наклонных, если
одна из проекций на 10 см больше другой.
Перпендикуляр
Перпендикуляр
и наклонные

Из точки М проведены к плоскости а на-
клонные МА, МВ и перпендикуляр МС,
равный а. Угол между каждой наклонной
и перпендикуляром равен 45°. Вычислите:
1) площадь треугольника АВС, если про-
екции наклонных перпендикулярны;
2) угол между наклонными.
Перпендикуляр
и наклонные
«
in
М
<4
Перпендикуляр
и наклонные
Через точку пересечения диагоналей ромба
ABCD проведен к его плоскости перпенди-
куляр МО длиной 12 см. Диагонали ромба
равны 18 см и 10 см. Вычислите:
1) длины наклонных МА, МВ, МС и MD-,
2) расстояния междуоснованиями этих на-
клонных.
Отрезок АВ, равный 12 см, не имеет общих
точек с плоскостью а. Его концы удалены
от плоскости на 20 см и 14 см.
1) Лежат ли в одной плоскости отрезок А В
и его проекция на плоскость а?
2) Вычислите периметр и углы четырех-
угольника, вершинами которого являются
точки А, В и их проекции на плоскость а.
Перпендикуляр и наклонные	L	Перпендикуляр и наклонные
Через вершину А прямоугольного тре-
угольника АВС (£С= 90°) проведена плос-
кость а, параллельная прямой ВС. Угол
между катетом Л Си его проекцией на пло-
скость а равен 30°. АС=20 см, ВС=16 см.
1) Постройте проекцию гипотенузы тре-
угольника АВС на плоскость а.
2) Вычислите длины проекций всех сто-
рон треугольника на плоскость а.
Вершины А и D ромба ABCD лежат в пло-
скости а. Расстояние от вершины В до
этой плоскости равно 5 см.
1) Определите вид четырехугольника,
вершинами которого являются точки В, С
и их проекции на плоскостью
2) Вычислите периметр этого четырех-
угольника, если угол между стороной АВ
и ее проекцией равен 30°.

К плоскости прямоугольного треугольни-
ка АВС проведены перпендикуляр МВ и
наклонные МА, МС. МА=1а, МВ=а,
/.АСВ=90°, АС=ВС.
1)	Вычислите угол между наклонной МА
и ее проекцией на плоскость треугольни-
ка АВС.
2)	Вычислите длины наклонной МС и ее
проекции.
3)	Докажите, что треугольник АМС— пря-
моугольный.
Точка М удалена от каждой вершины квад-
рата на 10 дм. Вычислите расстояние от
точки М до плоскости квадрата, если его
сторона равна 6 УТ дм.
Точка М удалена от каждой вершины
прямоугольника на 10 дм. Вычислите
расстояние от точки М до плоскости
прямоугольника, если его стороны рав-
ны 8 дм и 4/Гдм.
Точка Л/одинаково удалена от всех вершин
правильного треугольника АВС и удалена
от его плоскости на 6 см. Вычислите рас-
стояние от точки М до вершин треуголь-
ника, если его сторона равна 8VT см.
Свойство точки,
равноудаленной от
вершин многоугольника
Точка, равноудаленная от всех вершин пря-
моугольника, находится на расстоянии 8 см
от его плоскости. Вычислите расстояние от
этой точки до вершин прямоугольника,
если его меньшая сторона равна 8 см, а
диагональ образует с большей стороной
угол в 30°.
Точка М удалена от каждой вершины
остроугольного треугольника АВС на
17 см. Вычислите расстояние от точки
М до плоскости треугольника, если
л5ЯС=30’,5С=8см.
s
Свойство точки,
равноудаленной от
вершин многоугольника
Свойство точки,
равноудаленной от
вершин многоугольника
Точка М удалена от каждой вершины
треугольника АВС на 17 см. Z.2?=120°,
ЛС=8\Тсм. Вычислите расстояние от
точки М до плоскости треугольника.
Угол А остроугольного треугольника АВС
равен 45°, ВС=12 см. Точка М удалена от
его плоскости на 6 см и находится на одина-
ковом расстоянии от всех вершин треуголь-
ника. Вычислите расстояния МА, МВ и МС.
331

Точка Р равноудалена от всех вершин тре-
угольника, стороны которого равны 6 см,
6 см и 8 см. Расстояние отточки Рдо плос-
кости треугольника равно 2/14 см. Вычис-
лите расстояние от точки Рдо вершин тре-
угольника.
it
Расстояние отточки М, равноудаленной от
всех вершин правильного шестиугольника
ABCDEF, до его плоскости равно а. АВ=а.
Вычислите:
I) расстояние от точки М до вершин шес-
тиугольника.
2) угол, образованный наклонной МВ и ее
проекцией на плоскость шестиугольника.
Ребро куба ABCDA^QD, равно 16 см.
Найдите точку основания AtBt CtDh рав-
ноудаленную от вершин А, В, С и D.
Найдите расстояние от этой точки до
указанных вершин.
Свойство точки,
равноудаленной от
вершин многоугольника
Свойство точки
Угол при вершине равнобедренного
треугольника равен 120°, боковая сторо-
на—10 см. Вне плоскости треугольника
дана точка, удаленная от всех его вер-
шин на 26 см. Вычислите расстояние от
этой точки до плоскости треугольника.
Свойство точки,
равноудаленной от
вершин многоугольника
Свойство точки,
равноудаленной от
Точки М и К равноудалены от каждой вер-
шины прямоугольника ABCD. Расстояния от
точек М и Кло его плоскости равны соответ-
ственно 6 дм и 15 дм. Стороны прямоуголь-
ника равны 14 дм и 15 дм.
1) Вычислите расстояния от точек М и К ло
вершины прямоугольника.
2) Лежат ли точки М, К, А и С в одной плос-
кости?
Через точку пересечения диагоналей прямо-
угольника, равных 1а, проведена прямая Ь,
перпендикулярная к его плоскости.
1) Существует ли на прямой b точка, удален-
ная от каждой вершины прямоугольника на
расстояние, равное о?
2) Сколько таких точек на прямой Ы
Свойство точки,
равноудаленной от
вершин многоугольника
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Трапеция вписана в круг, причем меньшее
ее основание, равное 16см, стягивает дугу в
60°. На расстоянии 12 см от плоскости тра-
пеции находится точка, равноудаленная от
всех ее вершин. Вычислите расстояние от
этой точки до вершин трапеции.
Дан куб ABCDAiBiCiDi. Докажите, что:
1) прямые АС и D, 0 перпендикулярны;
2) LABC' =90°.
В плоскости а расположены параллельные
прямые а и Ь. Через некоторую точку А пря-
мой а проведен перпендикуляр АС к плос-
кости а. На прямой b отметили точку В,
ближайшую к точке А. Докажите, что среди
точек прямой b точка В является ближай-
шей к точке С.
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Отрезок EFявляется средней линией прямо-
угольного треугольника АВС (/.АСВ=90°).
Через точку Е проведен перпендикуляр ME к
плоскости этого треугольника. Докажите,
что:
1) MF1AC,
2) МС=МА.
К плоскости равнобедренного треугольника
АВС (АВ=ВС) проведен перпендикуляр АК.
Е— середина стороны ВС.
1) Докажите, что КЕ1 ВС.
2) Укажите на прямой ВС точку, ближай-
шую к точке К.
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Через некоторую точку 0 высоты AD рав-
нобедренного треугольника АВС (АВ=АС)
проведен к его плоскости перпендикуляр
ОК. Докажите, что прямая ВС перпендику-
лярна прямой DP, где Р— произвольная
точка отрезка Л/
Катет ВС прямоугольного треугольника
ЛБС(2.С=90°) лежите плоскости а. /Ц1а.
Докажите, что А[С1+C№=AiB2.
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Отрезок DM является высотой паралле-
лограмма ABCD. ^/-перпендикуляр к
плоскости параллелограмма. Докажите,
что КМ<КХ, где /-произвольная точка
отрезка АВ.
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Через точку К диагонали АС ромба ABCD
проведен к его плоскости перпендикуляр
МК. Р- произвольная точка наклонной
МС. Докажите, что:
1) 0M1BD-,
2) OP1BD.
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
В
К плоскости прямоугольной трапеции
ABCD проведены равные перпендикуля-
ры АРи DM. LDAB=LABC=9W, DK1BC.
1) Докажите, что прямые РВи МК парал-
лельны.
2) Определите вид четырехугольника
РВКМ.
40
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
К плоскости прямоугольного треугольни-
ка ABC (LC=%°) проведен перпендикуляр
МВ. Через произвольную точку наклонной
МС проведен отрезок DE, параллельный
АС. Докажите, что:
1) MC1DE,
2) треугольник 5ДЕ-прямоугольный.
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Сторона АВ квадрата ABCD лежит в плос-
кости a. DD{ и СС,-перпендикуляры к
плоскости а. Определите вид четырех-
угольников /)СС|Д, hABCiDi

Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
К плоскости правильного шестиугольника
ABCDEF проведен перпендикуляр DM. До-
кажите перпендикулярность прямых:
\) АВ и МВ',
2) ЯКи MF.
4!
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах

Сторона ВС треугольника АВС лежит в
плоскости а. АА^а. ЯК-высота треуголь-
ника АВС. Докажите, что отношение пло-
щадей треугольников АВС и AtBC равно
отношению ЛК: Л^.
Через вершину А треугольника АВС прове-
дена плоскость а, параллельная прямой
ВС. ЯК—высота треугольника, ККН ВВ{ и
СС,- перпендикуляры к плоскости а. До-
кажите, что отношение площадей тре-
угольников АВС и Я^С, равно отношению
отрезков ЯКи ЯК,.

42
Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах
Через точку М проведены наклонная МВ и
перпендикуляр ММ{ к плоскости угла АВС.
Острые углы MBA и МВСравны. Докажите,
что /.M^BA^Z-MiBC.
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на построение)
Отрезок МС перпендикулярен плоскости
равностороннего треугольника АВС. Через
точку М проведите перпендикуляр к пря-
мой АВ.
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на построение)
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на построение)
Отрезок МА перпендикулярен плоскос-
ти равнобедренного треугольника АВС
(АВ=АС). Через точку М проведите
перпендикуляр к прямой ВС.
Отрезок MD перпендикулярен плоскости
прямоугольника ABCD. Через точку Мпро-
ведите перпендикуляры к прямым ВС и АВ.

44
Отрезок MN перпендикулярен плоскости
квадрата ABCD (точка N принадлежит
отрезку BD). Через точку М проведите
перпендикуляр к прямой АС.
Отрезок MN перпендикулярен плоскос-
ти равнобедренного треугольника АВС
(АВ=АС, точка W принадлежит стороне
АС). Через точку М проведите перпен-
дикуляр к прямой ВС.

Точка К— середина ребра А^ куба
ABCDAiB^Di. Проведите через нее
перпендикуляры к прямым АС и
BD.
Через точку пересечения диагоналей квад-
рата ABCD проведен перпендикуляр МО к
его плоскости, равный 15 см. Вычислите
расстояние от точки М до сторон квадрата,
еслиЛ5=16см.
Отрезок АМ, равный 12 см, перпендику-
лярен плоскости треугольника АВС. Вы-
числите расстояние от точки Мдо прямой
ВС, если АВ=АС=20 см, ВС=24 см.
К плоскости прямоугольника ABCD, пло-
щадь которого равна 180 см2, проведен
перпендикуляр KD. Вычислите расстояния
от точки К до сторон прямоугольника,
если KD=V2 см, 5С=20см.

49,
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
Катеты прямоугольного треугольника рав-
ны 9 см и 16 см. Через середину гипотенузы
проведен перпендикуляр к его плоскости,
равный 6 см. Вычислите расстояния от
концов перпендикуляра до катетов и вер-
шины прямого угла треугольника.
CJ
к
О'*
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
Л

В треугольнике ABC Z.C=90°, LB=a,
АС=а. Через вершину прямого угла
проведен к плоскости этого треуголь-
ника перпендикуляр, равный а. Найди-
те расстояния от его концов до гипоте-
нузы.

Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
Через катет ВС, равный а, прямоугольного
треугольника АВС(сС= 90°, 2.5=45°) про-
ведена плоскость а. Вершина А удалена от
нее на расстояние Ь. Вычислите:
1) длину проекции гипотенузы на плос-
кость а;
2) расстояние от проекции точки А на пло-
скость а до прямой ВС.
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)

Через сторону АВ равностороннего тре-
угольника АВС проведена плоскость а. Про-
екция точки С на эту плоскость удалена от
прямой АВ на 2vT"cm. ЛО8 см. Вычислите:
1) расстояние от точки С до плоскости а;
2) длины проекций сторон данного тре-
угольника на плоскость а.
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
К плоскости треугольника АВС проведен
перпендикуляр AD, равный 5 см. АВ=13 см,
5С=14 см, ЛС=15 см. Вычислите расстоя-
ние отточки Duo стороны ВС.
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
М
П
Теорема о трех
перпендикулярах
(задачи на вычисление)
К плоскости ромба ABCD, в котором
Z.t1=45°, /15=8 см, проведен перпенди-
куляр МС, равный 7 см. Вычислите рас-
стояния от точки Мдо сторон ромба.
Сторона ромба ABCD равна 2а, 7.0=60°.
Через сторону CD проведена плоскость
а. Прямая АВ удалена от нее на расстоя-
ние а. Найдите:
1) длины проекций сторон ромба на пло-
скость а;
2) расстояние между прямой DC и проек-
цией прямой АВ на плоскость а.
Свойства точки,
равноудаленной от
сторон многоугольника
Через вершину В тупого угла параллело-
грамма ABCD проведен к его плоскости
перпендикуляр МВ, равный 12 см. Пло-
щадь параллелограмма равна 144 см2.
АВ=12 см, 5С=18см. Вычислите рассто-
яния от точки Мдо прямых AD и CD.
Точка М одинаково удалена от всех сторон
квадрата ABCD. Расстояние от точки М до
его плоскости равно 16 см, Л2?=24 см. Вы-
числите расстояние от точки Мдо:
1) сторон квадрата;
2) вершин квадрата.
Точка К удалена от каждой стороны пра-
вильного треугольника на 30 см, а от его
плоскости—на 18 см. Вычислите длину:
1) радиуса окружности, вписанной в дан-
ный треугольник;
2) стороны треугольника.
Точка М одинаково удалена от сторон
правильного шестиугольника, сторона
которого равна 6 см. Расстояние от точ-
ки М до плоскости шестиугольника
равно 3vTсм. Вычислите расстояние от
точки М до каждой стороны шести-
угольника.
Свойства точки,
равноудаленной от
сторон многоугольника
Свойства точки,
равноудаленной от
сторон многоугольника
Точка М удалена от каждой стороны тре-
угольника на 17 см. Площадь треугольника
192 см2, а его периметр 48 см. Вычислите
расстояние от точки М до плоскости тре-
угольника.
Точка М одинаково удалена от всех сторон
треугольника АВС. Расстояние от точки М
до его плоскости равно 12 см, а радиус впи-
санной в треугольник окружности равен
5 см. Вычислите расстояние от точки М до
сторон треугольника.
4
Свойства точки,
равноудаленной от
сторон многоугольника
Свойства точки,
равноудаленной от
сторон многоугольника
Точка М удалена от каждой стороны ромба
на 20 см. Вычислите расстояние от точки М
до плоскости ромба, если его диагонали
равны 30 см и 40 см.
Свойства точки,
равноудаленной от
сторон многоугольника
Точка М удалена от каждой стороны
прямоугольного треугольника на 5 см.
Его катеты равны 9 см и 12 см. Вычис-
лите расстояние от точки М до плоско-
сти треугольника.
Свойства точки,
равноудаленной от
сторон многоугольника
Сторона ромба ABCD равна 20 см, площадь
его 320 см2. Точка М удалена от плоскости
ромба на 15 см и одинаково удалена от его
сторон. Вычислите расстояние от точки М
; до сторон ромба.

57;
Точка Л/одинаково удалена от всех сторон
треугольника АВС, у которого АВ=6 см,
ВС= 10 см, АС=14 см. Расстояние от точки
М до плоскости треугольника равно 1 см.
Вычислите расстояние от точки М до сто-
рон треугольника.
К плоскости а проведены наклонные МА,
МВ и перпендикуляр МО. Углы между МВ,
МА и плоскостью а равны соответственно
30° и 45°, Л/О=15 см. Вычислите длины
наклонной МА и проекции наклонной МВ.
Стороны прямоугольника ABCD равны
6 см и 6уТсм. К плоскости прямоуголь-
ника через точку пересечения его диаго-
налей проведен перпендикуляр ОК, рав-
ный 6 см. Вычислите углы между плоско-
стью прямоугольника и прямыми КА, КВ,
KCnKD.
Через точку А к плоскости а проведены
наклонные АВ, АС и перпендикуляр АО.
АВ=2а. Углы между прямыми АВ, АС и
плоскостью а равны соответственно 30° и
45°. Найдите длины перпендикуляра АО,
наклонной АС и ее проекции.
Через вершину М равностороннего тре-
угольника МРК проведен к его плоскости
перпендикуляр МС. Угол между прямой
СК и плоскостью треугольника равен 60°,
РК=24 см. Вычислите длины перпенди-
куляра МС и наклонной СР.
Угол между прямой
и плоскостью
К плоскости прямоугольника ABCD про-
веден перпендикуляр ВК, равный а. АВ=а,
AD=a4T. Вычислите угол между прямой
KD и плоскостью:
1) прямоугольника;
2) треугольника ВКС.
Через вершину тупого угла ромба ABCD
проведен к его плоскости перпендикуляр
DK, равный а. АВ=а, Z./l=60°. Вычислите:
1) углы между плоскостью ромба и прямы-
ми/И, ВК, ск-
2) угол между прямой АС и плоскостью
DKB.
Угол между прямой
и плоскостью
и плоскостью
Точка Модинаково удалена от вершин рав-
ностороннего треугольника АВС, сторона
которого равна а. Расстояние от точки М до
плоскости треугольника равно а. Вычисли-
те угол между:
1) прямой МА и плоскостью треугольника
АВС,
2) прямой ME(Е—середина ВС) и плоскос-
тью треугольника АВС.
Угол между прямой
и плоскостью
Угол между прямой
и плоскостью

Катет ВС прямоугольного треугольника
АВС лежит в плоскости а. Вершина А
удалена от нее на 2^2дм. ВС=АС=4 дм.
Вычислите угол между плоскостью а и
прямой:
1)ЛС;
2) АВ.
Угол между прямой
и плоскостью
Угол между прямой
и плоскостью
Через сторону АВ прямоугольника ABCD
проведена плоскость а. Сторона CD уда-
лена от этой плоскости на 3 см, СВ=6 см,
DC= 8 см. Вычислите:
1) угол между прямой DA и плоскостью а;
2) синус угла между прямой BD и плоско-
стью а.
Сторона МР равностороннего треугольника
МРКлежит в плоскости а. Угол между высо-
той КЕ данного треугольника и этой плос-
костью равен 60°, МК=24 см. Вычислите:
1) расстояние от точки К но плоскости а;
2) угол между прямой МК и плоскостью а.
Угол между прямой
и плоскостью
Угол между прямой
и плоскостью
К плоскости прямоугольного равнобедрен-
ного треугольника АВС (/. С= 90°) проведен
перпендикуляр МВ, равный а. АС=а. Вы-
числите угол между:
1) прямой МА и плоскостью треугольника
АВС,
2) прямой МС и плоскостью треугольника
АМВ.
Катет АС прямоугольного треугольника
ABC (LC=90°) лежит в плоскости а.
АВ=2а, AC=aJl. Угол между прямой АВ и
плоскостью а равен 30°. Вычислите угол
между:
1) прямой АВ и плоскостью треугольника
BCBi (Е,—проекция В на плоскость а);
2) прямой СЕ (Е—середина ЛЕ) и плоскос-
тью а.
Угол между прямой а и плоскостью а равен
45°. Через точку их пересечения проведена
в плоскости а прямая Ь. Угол между прямы-
ми а и b равен 60°. Докажите, что угол
между прямой b и проекцией прямой а на
плоскость а равен 45°.
Ребро куба ABCDA'BiCiDi равно 20 см.
Вычислите расстояние между прямыми:
\)АА^ВС,
2) BCuD'Ci,
3)АА и 5, С.
Прямоугольники ABCD и АВМК лежат в
разных плоскостях. Сумма их периметров
равна 46 см. АК=6 см, ВС=5 см. Вычислите
расстояние между прямыми АКи ВС.
Скрещивающиеся
прямые
Скрещивающиеся
прямые
К плоскости квадрата ABCD проведен
перпендикуляр KD. Сторона квадрата
равна 5 см. Вычислите расстояние между
прямыми:
1) ABnKD -,
2) KDhAC.
К плоскости равнобедренного треуголь-
ника АВС проведен перпендикуляр АК.
Площадь треугольника АВС равна 48 см2,
ВС=16 см, АК=6 см. Вычислите расстоя-
ние:
1) между прямыми АК и ВС,
2) от точки К но прямой ВС.
Скрещивающиеся прямые		12.6.2
Скрещивающиеся
прямые
Через точку пересечения диагоналей квад-
рата ABCD проведен перпендикуляр МО к
его плоскости, равный a'JT. АВ=2а. Чему
равно расстояние между прямыми:
V) АВ и МО-,
2) BD и МС>
Дан куб ABCDAiBiC^. Чему равен
угол между прямыми:
1)Я5иС,С;
2) DBiaBiCi,
3)AD{hB1C?
Через вершину С прямого угла треугольни-
ка АВС проведена прямая а, перпендику-
лярная его плоскости. АС= 15 см, /?С=20 см.
Вычислите расстояние между прямыми а и
АВ.
Через вершину острого угла С ромба ABCD
проведена прямая а, перпендикулярная его
плоскости. АВ=т, LA=2a. Вычислите рас-
стояние между прямыми:
1) а и BD-,
2) АВ и а.

Скрещивающиеся
прямые
Скрещивающиеся
прямые
Через точку (О) пересечения диагоналей
прямоугольника ABCD проведен к его пло-
скости перпендикуляр ОК, равный 8 см.
АВ=12 см, Ж)=20 см.
1) Вычислите угол между прямыми AD и
КС.
2) Верно ли, что прямые DB и КС перпен-
дикулярны?
Скрещивающиеся
прямые
Скрещивающиеся
прямые

Через середину (£) стороны AD квадрата
ABCD проведен к его плоскости перпенди-
куляр КЕ, равный а. АВ=2а. Вычислите
угол между прямыми:
\)AKhDC,
2) АВ и КС.
Через вершину прямого угла трапеции
ABCD проведен к ее плоскости перпен-
дикуляр АК. AD=b, ВС=а (a>b), LC=a.
Найдите расстояние между прямыми:
1)ЛКиЯС;
2) KDhBC,
3) АКн CD.
Скрещивающиеся
прямые
Скрещивающиеся
прямые
Прямоугольник ABCD и прямоугольный
треугольник DCKлежат в разных плоско-
стях. Вершина Л" проектируется в точку В.
ВК=А см, Я5=4<Гсм, AD=4 см. Вычис-
лите:
1)	угол между прямыми DKи Л5;
2)	угол между прямыми КС и AD;
3)	расстояние между прямыми АВ и КС.
Расстояние отточки Ддо каждой вершины
равностороннего треугольника АВС равно
а. АВ=а. Найдите:
1) угол между прямыми AD и ВС,
2) расстояние между прямыми AD и ВС.
Перпендикулярность
плоскостей
Через точку пересечения диагоналей ромба
ABCD проведен перпендикуляр ОК к его
плоскости. Докажите перпендикулярность
плоскостей:
\)АКСиВКО-
2)АВСнАКС.
Перпендикулярность
плоскостей
Плоскости а и р перпендикулярны. Плос-
кость у, перпендикулярная их линии пере-
сечения, пересекает ее в точке С. На лини-
ях пересечения плоскости у с а и р располо-
жены точки А и В. АС-9 см, 5C=9VTcm.
Вычислите:
1) длину отрезка АВ;
2) углы между прямой АВ и плоскостями а
ир.
Концы отрезка АВ, равного 25 см, располо-
жены в перпендикулярных плоскостях и
удалены от линии их пересечения соответ-
ственно на 15 см и 7 см. Вычислите длины
проекций отрезка АВ на данные плоскости.
Плоскости квадратов A BCD и А В КМ
перпендикулярны. МК=а. Найдите
расстояние между точками:
1) РиЛ/ДиС;
2) DwK.
Перпендикулярность
плоскостей
Перпендикулярность
плоскостей
Точка А удалена от двух перпендикулярных
плоскостей на а и oVT. Найдите расстояние:
1) отточки Л до линии пересечения плоско-
стей;
2) между проекциями точки А на данные
плоскости.
Плоскости прямоугольных треугольников
АВС и АВК перпендикулярны. АВ=8 см,
АК=6 см, LABK=LABC=%°, /.ВАС=45‘.
Вычислите расстояние между:
1) точками К и С;
2) прямыми ВКиАС.
70!
Перпендикулярность
плоскостей
Перпендикулярность
плоскостей
Плоскости равностороннего треугольника
АВС и прямоугольного равнобедренного
треугольника ADC перпендикулярны. АВ-а,
Z.ADC=90°. Найдите расстояние между:
1) вершинами В и Жданных треугольников;
2) прямыми BDnAC.

Перпендикулярность
плоскостей
	Перпендикулярность плоскостей
Концы отрезка ЛЧ/лежат в перпендикуляр-
ных плоскостях а и р. Углы между прямой
КМ и плоскостями аир равны соответст-
венно 30° и 45°. Точка К удалена от линии
пересечения плоскостей на 36 см. Вычис-
лите:
1)	длину отрезка КМ-,
2)	длины проекций отрезка КМ на плоско-
сти аир-,
3)	расстояния от середины отрезка КМ до
плоскостей а и р.
Перпендикулярность
плоскостей
Перпендикулярность
плоскостей
Плоскости ромба ABCD и квадрата АВМК
перпендикулярны. КМ=а, /_С=а. Найдите
расстояние между прямыми:
1) МКп CD-
2) АКи ВС.
А!
CJ
W
Перпендикулярность
плоскостей
Перпендикулярность
плоскостей
Плоскости прямоугольника ABCD и равно-
бедренного треугольника АВК перпендику-
лярны. АК=КВ= 10 см, АВ= 16 см, ЛР=8 см.
Вычислите расстояние от точки К но:
1) середины стороны DC прямоугольника;
2) плоскости прямоугольника.
Из точки М проведены к плоскости а
перпендикуляр МС и равные наклон-
ные МА и MB, /.АСВ=90°, АВ=20 см,
МС-Ю см. Через точку С проведена
плоскость /3, параллельная АВ и пер-
пендикулярная плоскости АМВ. Плос-
кость)? пересекает наклонные AM и ВМ
в точках Е и F. Вычислите площадь тре-
угольника CEF.
Стороны АВ и АС треугольника АВС
(Z.C=90°) лежат в перпендикулярных
плоскостях и составляют с их линией
пересечения углы а. АВ=а. Вычислите
углы:
1) между прямой ВС и данными плос-
костями;
2) треугольника АВС.

Перпендикулярность
плоскостей
Перпендикулярность
плоскостей
Ребро куба ABCDA[B[C[D{ равно 12 см.
Точка ЛделитЛСнаотрезки, пропорцио-
нальные числам 1 и 3. Через точку К про-
ведена плоскость а, перпендикулярная
плоскости АСС\.
1) Постройте сечение куба плоскостью а.
2) Вычислите площадь построенного се-
чения.
Через вершину А равнобедренного треуголь-
ника АВС проведен к его плоскости перпен-
дикуляр АК, равный 10 см. Л5=ЛО20 см.
Высота AD треугольника равна 16 см. Через
середину высоты AD проведена плоскость а,
параллельная прямой ВС и перпендикуляр-
ная плоскости треугольника.
1) Постройте четырехугольник, вершинами
которого являются точки пересечения плос-
кости а и отрезков АВ, АС, КВ, КС.
2) Вычислите площадь этого четырехуголь-
ника.
___Q
Дан куб ABCDAiB^Di. Вычислите
угол между плоскостями:
V) ADD'и АВС,
2) DCCt и АВС,
3) ABCnA,DC;
4) ABB{wA\DC.
Угол между плоскостями а и fi равен 60°.
Точка А, лежащая в плоскости а, удалена от
Р на 12 см. Вычислите расстояние:
1) от точки А до линии пересечения плос-
костей;
2)'от проекции точки А на плоскость 0 до
линии пересечения плоскостей.
74
Угол между плоскостями
Угол между плоскостями
Через вершину квадрата ABCD проведен к
его плоскости перпендикуляр DK, равный
10 см. Угол между плоскостями АВС и КВС
равен 45°. Вычислите площадь:
1) квадрата ABCD-,
2) треугольника ВСК.
Через вершину острого угла прямоугольного
треугольника АВС проведен перпендикуляр
AD к его плоскости. AD=6 см, Z.ACB=%°,
/.АВС=30°. Угол между плоскостями BCD и
АВС равен 60°. Вычислите:
1) угол между плоскостями BAD и CAD-,
2) длины наклонных DC и DB.
Угол между плоскостями
Угол между плоскостями

В плоскостях а и /3 проведены через точку С
линии их пересечения перпендикуляры к
ней Я С и ВС, равные соответственно 5 см и
8 см. Угол между плоскостями а и /3 равен
60°. Вычислите:
1) расстояние между концами перпендику-
ляров;
2) длину проекции перпендикуляра АС на
плоскость /3.
Через катет равнобедренного прямоуголь-
ного треугольника, равный а, проведена
плоскость а. Угол между плоскостью тре-
угольника и плоскостью а равен 45°.
Найдите длины проекций сторон данного
треугольника на плоскость а.
4i
Сторона AB квадрата ABCD лежит в плос-
кости а. Прямая PC удалена от этой плос-
кости на 18 см. РС=36см. Вычислите:
1) угол между плоскостью квадрата и плос-
костью а;
2) площадь проекции квадрата ABCD на
плоскость а.
Угол между плоскостями
Угол между плоскостями
Через вершину D тупого угла ромба ABCD
проведен к его плоскости перпендикуляр
DM, равный 9,6 см. Диагонали ромба рав-
ны 12 см и 16 см. Вычислите углы между
плоскостями:
1) АВС и МВС;
2) AMDuCDM.
Угол между плоскостями
Через центр 0 квадрата ABCD проведен к его
плоскости перпендикуляр КО. Угол между
прямой КС и плоскостью квадрата равен 60°.
АВ= 18 см. Вычислите угол между плоскос-
тями:
\)AKCnDKB~,
2) АВСиВКС.
Через центр правильного треугольника
АВС проведен к его плоскости перпенди-
куляр МО. АВ=а'/Т. Угол между прямой
МА и плоскостью треугольника равен 45°.
Вычислите угол между плоскостями:
1)ЛЛ/0и5Л/0;
2) ВМС w АВС.
Плоскости равносторонних треугольников
АВС и ABD перпендикулярны. Вычислите
угол между:
1) прямой DC и плоскостью АВС,
2) плоскостями ADC и BDC.
Точка М удалена от вершин прямоуголь-
ника ЛШ) на 12см.АВ=24см, 5С=18см.
Вычислите углы между плоскостями:
1)АМСиВМВ;
2) ВМС и АВС;
У)АМВиАВС.
Сравните эти три угла и запишите их в по-
рядке возрастания.
78!
Угол между плоскостями а и /3 равен 60°.
Прямая т, лежащая в плоскости /?, состав-
ляет с а угол 45°. Вычислите угол между
линией пересечения плоскостей и:
1) прямой ли;
2) проекцией прямой т на плоскость а.
На оси Ох найдите точку, равноудаленную
отточек5(3; -2;4) и С(0; 5; -1).
At
Декартовы координаты
в пространстве
Декартовы координаты
в пространстве
Даны вершины параллелограмма ABCD:
Л(-3; -6; -1), 5(-1; 2; -3), С(3; 1; 1).
Вычислите координаты четвертой вер-
шины.
Даны две вершины четырехугольника*
ABCD: Л(2; 1; 3), 5( 1; 2; 0). Противополож-
ные его стороны АВ и CD симметричны
относительно координатной плоскости
yOz.
1) Вычислите координаты вершин Си D.
2) Определите вид четырехугольника
ABCD.



Векторы в пространстве.
Уравнение плоскости
Векторы в пространстве.
Уравнение плоскости
Составьте уравнение плоскости, прохо-
дящей через точку /4(2; -1; 3) и перпен-
дикулярной прямой ВС, если 5(-2; 0; 1),
С(4; 2;-1).
Составьте уравнение плоскости, проходя-
щей через точку М(-1; 2; 1) и параллельной
плоскости хОу.
Векторы в пространстве.
Уравнение плоскости
Векторы в пространстве.
Уравнение плоскости
Найдите точки пересечения плоскости
3x-y+2z-5=0 с осями координат.
При каких значениях к длина вектора
7(4; -1; к) в 1,5 раза больше длины век-
тора 7Г(-2; 4; -4)?
Докажите, что прямая АВ параллельна
плоскости x-3y+z+5=O, еслиЛ(-6; 5; 1),
Я(-3; 5; -2).
Лежат ли точки ДЗ; 2; 7), А/(-1; 0; 2),
Р(0; 1; 5) на одной прямой? Если да, то
укажите, какая из них лежит между дву-
мя другими.
Векторы в пространстве.
Уравнение плоскости
Векторы в пространстве.
Уравнение плоскости
При каких значениях т векторы
о*(3; т-З; -7) и/Г(1; /и; 3) перпенди-
кулярны?
Точки Л/(3; 1; -4) и /V(5; -5; -4) симмет-
ричны относительно некоторой плоскости.
Составьте ее уравнение.
Векторы в пространстве.
Уравнение плоскости
Уравнение плоскости
'V
Даны три вершины параллелограмма
ABCD: Д-2; -1; 1), 5(4; -2; 2), С(6; 1; 3).
Вычислите:
I)	координаты четвертой его вершины;
2)	угол между диагоналями;
3)	площадь параллелограмма.
Вычислите площадь треугольника, вер-
шинами которого являются начало коор-
динат и точки пересечения плоскости
Зл-4у+2г-12=0сосями Охи Оу.