Ю. П.Дудницын, В.Л.Кронгауз
ГЕОМЕТРИЯ
Часть 3. Комбинации тел
КЛАСС
Список
основных тем курса
№ п/п	Название темы	Число карточек по уровням сложности			ВСЕГО карточек по теме
		1	2	3	
19	Площадь сферы и ее частей	6	12	7	25
20	Объем шара и его частей	9	11	7	27
21	Тела вращения	9	11	10	30
22	Цилиндр и призма	10	15	7	32
23	Конус и пирамида	9	11	9	29
24	Шар и цилиндр	7	10	7	24
25	Шар и конус	9	15	9	33
26	Шар и призма	6	12	10	28
27	Шар и пирамида	8	10	10	28
28	Цилиндр и конус	6	7	7	20
ВСЕГО 10 ТЕМ		79	114	83	276
© Дудницын Ю.П., Кронгауз ВЛ., 1996
© Оформление НПО «Образование», 1996
Лицензия №063331 от 05.03.94
НПО «Образование»,
107078, г.Москва,
Малый Козловский пер., 3
Заказ №5359
Молодечненская
типография "Победа",
222310, г.Молодечно,
ул.Тавлая, 11
1
£ чнаяосК g
ц чнаяосК i
9 чнаяойХ х
g Ч nahOidrM олаэд
О; чнаяойХ £
XX чнаяоёХ ч
6 чнэяосК х
0£ MOhOid^H олээд
ГЕОМЕТРИЯ 11
уэшэпь ээ п । объем шара и егд
Ыэфэ QQDtnOirn I частей

xnHdinvdd vudj^
Ю.П.Дудницын, В.Л.Кронгауз
Всего карточек 27
1 уровень 9
2 уровень 11
3 уровень 7
КАРТОЧКИ
по геометрии для
11 класса
Часть 3. «КОМБИНАЦИИ ТЕЛ»
Москва
НПО^ЯОБРАЗОВАНИЕ
1996
I
4 чнэяосК £
01 чнэяоЛС i
4 чнэяойХ i
4 ЧНЭЯО(1Х £
SI чнэяойХ i
01 чнэяойХ J
Шар и конус ' ' Цнтт* п а°Ш I Конус и пирамида mEndu п ирнпипЦ
1 уровень 9
2 уровень 15
3 уровень 9
1 уровень 9
2 уровень И
3 уровень 9
3
I
I
I -
I	01 ЧНЭЯОЙХ £
ОУ чнаяойС £
Шар и призма
26.1.1
В куб, ребро которого равно 10 см, вписан шар.
Вычислите объем шара.
Шар и призма
26.3.1
Правильная четырехугольная призма описана около
шара радиуса 20 см. Вычислите площадь полной по-
верхности призмы.
1“

54
Шар и призма
26.2.1
В куб вписан шар, радиус которого 10 см.
Вычислите:
1) площадь полной поверхности куба;
2) площадь диагонального сечения куба.
Шар и призма
26.4.1
Куб, ребро которого 8 дм, вписан в шар. Вычислите
площадь поверхности шара.
Шар и призма
26.5.1
Прямоугольный параллелепипед, стороны основания
которого 6 см и 8 см, вписан в шар. Высота паралле-
лепипеда 24 см. Вычислите длину диаметра шара.
Шар и призма
26.7.2
Правильная четырехугольная призма, объем кото-
рой 64 дм3, описана около шара. Вычислите отноше-
ние площади полной поверхности призмы и объема
шара.
Е
55
Шар и призма
26.6.1
Правильная четырехугольная призма, сторона осно-
вания которой равна 12^/2 см, вписана в шар. Радиус
шара — 20 см. Вычислите объем призмы.
Шар и призма
26.8.2
В шар, радиус которого равен 4 дм, вписан куб.
Вычислите объем этого куба.


Шар и призма
26.9.2
Правильная треугольная призма описана около ша-
ра, радиус которого равен 4^3 см. Вычислите площадь
боковой поверхности призмы.
Шар и призма
26.11.2
Прямая треугольная призма описана около шара,
радиус которого равен 6 см. Площадь боковой поверх-
ности призмы равна 240 см2. Вычислите площадь пол-
ной поверхности призмы.

1
56
Шар и призма
26.10.2
Около шара описана правильная треугольная призма.
Высота ее равна 12VT дм. Вычислите:
1) площадь поверхности шара;
2) объем призмы.
Шар и призма
26.12.2
Правильная шестиугольная призма описана около
шара радиуса R. Найдите:
1) площадь боковой поверхности призмы;
2) объем призмы.
Шар и призма
26.13.2
В шар вписана правильная четырехугольная призма.
Диагональное сечение призмы — квадрат со стороной
8 см. Вычислите:
1) площадь поверхности шара;
2) объем призмы.
Шар и призма
26.15.2
В шар радиуса R вписана правильная четырехуголь-
ная призма. Ее боковое ребро равно радиусу шара.
Найдите объем призмы.
Г
-t
57
Шар и призма
26.14.2
Около правильной четырехугольной призмы описан
шар. Вычислите площадь его поверхности, если диаго-
нали основания и боковой грани призмы равны соот-
ветственно 16 см и 14 см.
Шар и призма 26.16.2
Около правильной треугольной призмы описан шар,
радиус которого равен 2 дм. Сторона основания приз-
мы — 3 дм. Вычислите объем призмы.
Шар и призма
26.17.2
Прямая призма, основание которой — прямоуголь-
ный треугольник, вписана в шар. Катет основания
призмы равен а, прилежащий к нему угол — /3. Угол
между диагональю большей боковой грани призмы и
плоскостью ее основания равен <р. Найдите площадь
поверхности шара.
Шар и призма
26.19.3
Правильная четырехугольная призма вписана в шар.
Высота призмы равна Н. Угол между диагональю при-
змы и плоскостью ее боковой грани равен <р. Найдите:
1) площадь поверхности шара;
2) объем призмы.
58
Шар и призма
26.18.2
В шар радиуса 13 см вписана правильная шестиуголь-
ная призма. Высота призмы 24 см. Вычислите:
1) объем призмы;
2) объем части шара, заключенной между плоскостями
оснований призмы.
* . )1 Шар и призма 26.20.3
В прямую призму, основанием которой является
ромб с диагоналями 12 дм и 16 дм, вписан шар. Вычис-
лите площадь полной поверхности призмы.
Шар и призма
26.21.3
Шар и призма
26.22.3
Около шара описана прямая призма, основание ко-
торой — ромб. Угол между большей диагональю при-
змы и плоскостью основания равен а. Найдите углы
ромба.
Около шара описан прямой параллелепипед, диаго-
нали основания которого равны а и Ь. Найдите площадь
полной поверхности параллелепипеда.
I
I
I
I
Шар и призма
26.23.3
Шар и призма
26.24.3
Прямая призма, основание которой — равнобокая
трапеция с боковой стороной 20 см, описана около
шара. Разность оснований трапеции 24 см. Вычислите:
1) объем шара;
2) объем призмы.
Около шара описана правильная треугольная призма.
Ее объем равен 576 см3. Вычислите объем шара.
Шар и призма
26.25.3
Найдите отношение объема шара, вписанного в пра-
вильную треугольную призму, и шара, описанного около
нее.
Zk
Шар и призма
26.27.3
В шар, радиус которого равен 14 см, вписана пра-
вильная треугольная призма; диагональ ее боковой
грани равна 26 см. Найдите площадь боковой поверх-
ности этой призмы.
1
60
Шар и призма
26.26.3
Правильная треугольная призма вписана в шар. Его
радиус равен Юл/У см. Косинус угла между плоскостью
боковой грани и радиусом, проведенным в вершину
призмы, равен 0,4. Вычислите объем призмы.
Шар и призма
26.28.3
Правильная четырехугольная призма вписана в полу-
шар, радиус которого равен 12 см. Какую длину должна
иметь высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим?
Шар и пирамида
27.1.1
В правильную четырехугольную пирамиду вписан
шар. Его радиус равен 12 см. Угол между плоскостями
боковой грани и основания пирамиды равен 60°. Вы-
числите площадь основания пирамиды.
X_______________ 61
// ‘\\
Шар и пирамида 27.2.1
1 ।
Сторона основания правильной четырехугольной пи- 1
I	рамиды равна 12 см,	двугранный угол при основании	।
I	равен 60°. Вычислите	площадь поверхности вписанного	।
]	в нее шара.	1
I
I
I
।
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Шар и пирамида
27.3.1
В правильную треугольную пирамиду вписан шар.
Его радиус равен 18 см. Угол между плоскостями боко-
вой грани и основания пирамиды — 60°. Вычислите
длину высоты пирамиды.
Шар и пирамида
27.4.1
В правильную треугольную пирамиду вписан шар.
Апофема пирамиды равна 24 см и наклонена к плоско-
сти основания под углом 60°. Вычислите длину радиуса
шара.
62
Шар и пирамида
27.6.1
г
। (/Дл) Шар и пирамида
I
I В шар вписана правильная четырехугольная пира-
'	мида. Боковое ребро пирамиды равно 24 см, оно на-
।	клонено к плоскости основания под углом 30°. Вычис-
i лите длину радиуса шара.
Около правильной четырехугольной пирамиды опи-
сан шар. Радиус шара равен 15 см. Боковое ребро
пирамиды составляет с ее высотой угол 60°. Вычислите
длину бокового ребра пирамиды.
I
I
I
I
I
I
I
I
Шар и пирамида
27.7.1
Шар и пирамида 27.8.1
Радиус шара, описанного около правильной тре-
угольной пирамиды, равен 8 см. Угол между боковым
ребром и плоскостью основания равен 45°. Вычислите
длину бокового ребра пирамиды.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды
равно т. Оно образует с плоскостью основания угол а.
Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.
Шар и пирамида
27.9.2
Около шара описана правильная четырехугольная
пирамида. Сторона ее основания равна а, угол между
плоскостями основания и боковой грани — <р. Найдите
расстояние от центра шара до бокового ребра пира-
миды.
Шар и пирамида 27.11.2
В правильную четырехугольную пирамиду с высо-
той 24 дм и стороной основания 14 дм вписан шар.
Вычислите объем шара.

1
63
Шар и пирамида 27.10.2
Боковая грань правильной четырехугольной пира-
миды наклонена к плоскости основания под углом 2а.
Через центр шара, вписанного в пирамиду, проведено
ее сечение, плоскость которого параллельна плоскости
основания. Найдите площадь сечения, если радиус
шара равен R.
Шар и пирамида 27.12.2
Высота правильной треугольной пирамиды равна
8 см, а боковое ребро — 10 см. Вычислите длину ради-
уса вписанного в пирамиду шара.
Шар и пирамида
27.13.2
Сторона основания правильной треугольной пира-
миды равна а, боковые ребра взаимно перпендикуляр-
ны. Найдите радиус вписанного в эту пирамиду шара.
Шар и пирамида
27.15.2
В шар вписана правильная четырехугольная пира-
мида, боковое ребро которой равно 12 дм, а высота —
8 дм. Найдите объем шара.
64
Шар и пирамида
27.14.2
Около шара радиуса R описана правильная шести-
угольная пирамида, боковые грани которой составляют
с плоскостью основания угол а. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
Шар и пирамида 27.16.2
В шар вписана правильная четырехугольная пира-
мида, высота которой делится центром шара на части
в 4 см и 5 см. Вычислите объем пирамиды.
Шар и пирамида
27.17.2
Центр шара, описанного около правильной тре-
угольной пирамиды, делит ее высоту на части, равные
ф/З" см и 2VT см. Вычислите объем пирамиды.
Шар и пирамида
27.19.3
В правильную четырехугольную пирамиду вписан
шар. Сторона основания пирамиды 12 см. Радиус шара
3 см. Вычислите площадь боковой поверхности пира-
миды.
65
Шар и пирамида
27.18.2
Около правильной треугольной пирамиды описан
шар. Сторона основания пирамиды равна а, угол меж-
ду боковым ребром и плоскостью основания — р.
Найдите объем шара.
Шар и пирамида
27.20.3
Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды равна а. Плоский угол при вершине равен
60°. Вычислите площадь поверхности вписанного в
пирамиду шара.
66
Шар и пирамида 27.21.3
Шар и пирамида 27.22.3
В шар радиуса R вписана правильная треугольная
пирамида с равными ребрами. Найдите длину ребра
пирамиды.
Основание пирамиды — правильный треугольник,
сторона которого равна 15 дм. Одно из боковых ребер
пирамиды перпендикулярно плоскости основания.
Оно равно 15 дм. Вычислите длину радиуса шара, опи-
санного около пирамиды.
Шар и пирамида
27.23.3
Шар и пирамида
27.24.3
Основанием пирамиды является равнобедренный
треугольник. Его основание равно т, угол при вершине
а. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоско-
сти основания под углом <р. Найдите радиус шара,
вписанного в пирамиду.
Высота правильной шестиугольной пирамиды равна
24 см, а боковое ребро — 26 см. Вычислите отношение
радиусов вписанного и описанного около пирамиды
шаров.
67
Шар и пирамида
27.25.3
Шар и пирамида
27.26.3
В правильную треугольную усеченную пирамиду впи-
сан шар. Стороны ее оснований равны 8 см и 4 см.
Вычислите площадь полной поверхности усеченной пи-
рамиды.
Высота правильной треугольной усеченной пирами-
ды равна 34 см. Радиусы окружностей, описанных около
ее оснований, — 10 см и 24 см. Вычислите радиус шара,
описанного около усеченной пирамиды.
Шар и пирамида 27.27.3
Шар и пирамида 27.28.3
I
I
I
I
I
Шар касается всех ребер правильного тетраэдра,
ребро которого равно 6 дм. Вычислите площадь по-
верхности шара.
В шар радиуса R вписана правильная четырехуголь-
ная пирамида. Какой должна быть высота пирамиды,
чтобы ее объем был наибольшим?
Цилиндр и конус
28.2.1
Цилиндр и конус
28.1.1
I
I
Высота конуса равна 24 см, образующая наклонена
к плоскости основания под углом 60°. В этот конус
вписан цилиндр, высота которого равна 18 см. Вычис-
лите объем цилиндра.
Высота конуса равна 4 см, а высота вписанного в
него цилиндра — 3 см. Образующая конуса равна 5 см.
Вычислите радиус основания цилиндра.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Цилиндр и конус
28.3.1
Цилиндр и конус 28.4.1
В конус вписан цилиндр. Верхнее основание цилин-
дра делит высоту конуса пополам. Вычислите отноше-
ние объемов конуса и цилиндра.
Образующая конуса равна £ и наклонена к основа-
нию под углом а. Высота конуса в два раза больше
высоты вписанного в конус цилиндра. Найдите радиус
основания цилиндра.
69
Цилиндр и конус
28.5.1
Цилиндр и конус
28.6.1
Осевое сечение цилиндра — квадрат. Его площадь
равна 256 см2. В этот цилиндр вписан конус. Вычисли-
те площадь боковой поверхности этого конуса.
В цилиндр, высота которого равна 20 см, вписан
конус. Образующая конуса наклонена к плоскости его
основания под углом 45°. Вычислите площадь боковой
поверхности конуса.
Цилиндр и конус
28.7.1
Цилиндр и конус 28.8.2
В конус, высота которого 6 см и угол между образу-
ющей и плоскостью основания 45°, вписан цилиндр.
Осевое сечение цилиндра — квадрат. Вычислите объем
цилиндра.
В конус, образующая которого равна 25 см, а высота-
20 см, вписан цилиндр. Площадь полной поверхности
цилиндра равна 114л см2. Вычислите объем цилиндра.
Цилиндр и конус
28.9.2
В конус, диаметр основания которого равен 3 м, а
высота — 6 м, вписан цилиндр. Осевое сечение цилин-
дра — квадрат. Вычислите объем цилиндра.
Цилиндр и конус 28.11.2
В конус, осевое сечение которого — правильный тре-
угольник, вписан цилиндр. Образующая цилиндра рав-
на диаметру его основания. Площадь осевого сечения
цилиндра равна 144 см2. Вычислите объем конуса.
70
Цилиндр и конус
28.10.2
Диаметр основания конуса равен 54 см, образующая
его — 45 см. Вычислите объем вписанного в этот конус
цилиндра, осевое сечение которого — квадрат.
Цилиндр и конус 28.12.2
В цилиндр вписан конус. Площади их боковых по-
верхностей равны. Найдите угол между образующими
конуса и цилиндра.
Цилиндр и конус
28.13.2
X	77
Цилиндр и конус 28.14.3
Около цилиндра, осевое сечение которого — квад-
рат, описан конус. Угол при вершине осевого сечения
конуса равен а. Найдите отношение объемов конуса и
цилиндра.
В конус, угол при вершине осевого сечения которого
равен 2а, вписан цилиндр. Осевое сечение цилиндра —
квадрат. Найдите отношение объемов конуса и цилин-
дра.
Цилиндр и конус
28.15.3
Цилиндр и конус 28.16.3
В конус вписан цилиндр. Высота цилиндра равна
радиусу основания конуса. Площади полной поверхно-
сти цилиндра и основания конуса пропорциональны
числам 3 и 2. Найдите угол между образующими кону-
са и цилиндра.
В цилиндр вписан конус. Площадь полной поверх-
ности конуса равна S, его образующая наклонена к
плоскости основания под углом а. Найдите объем
цилиндра.
Цилиндр и конус
28.17.3
В цилиндр вписан конус. Площади полной поверх-
ности цилиндра и боковой поверхности конуса про-
порциональны числам 7 и 4. Вычислите величину угла
между образующей конуса и его высотой.
Цилиндр и конус 28.19.3
Найдите наибольший объем цилиндра, вписан-
। ного в конус, высота которого равна Н, а радиус
I основания — R.
72
Цилиндр и конус
28.18.3
В конус, радиус основания которого равен 6 см, а
образующая — 10 см, вписан цилиндр. Какую длину
должен иметь радиус основания цилиндра, чтобы его
объем был наибольшим?
Цилиндр и конус 28.20.3
Найдите наименьший объем конуса, описанного око-
ло цилиндра, высота которого равна Н, а радиус основа-
ния — R.