Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения

Н. А. Сидоров, В. А. Треногин. Точки бифуркации решений нелинейных уравнений
Н. А. Сидоров, А. В. Синицын. Стационарная система Власова-Максвелла в ограниченных областях
Б. В. Логинов, В. А. Треногин. Групповые методы в теории ветвления
Б. В. Логинов. Приложения бифуркационных задач с нарушением симметрии
А. А. Белолипецкий, А. М. Tep-Крикоров. Асимптотические решения типа длинных волн для одного класса граничных задач математической физики
В. А. Треногин. Нелинейный анализ в слабо метрических пространствах
А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями и дифференциальные включения
Н. В. Азбелев, П. М. Симонов. Современная теория устойчивости уравнений с последействием: обзор идей и результатов
Ю. В. Непомнящих. О понятии приводимости функционально-дифференциальных уравнений
А. д. Мышкис, А. М. Филимонов. Непрерывные решения гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными
Г. А. Рудых, Э. И. Семенов. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии
В. Н. Денисов, А. Б. Муравник. Об асимптотике решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения в полупространстве
В. К. Горбунов. Регуляризация нелинейных некорректных задач с параметризованными данными
А. И. Янушвускас. Некоторые нелинейные задачи, связанные с теорией отображений, гармонических по М. А. Лаврентьеву
Author: Филиппов А.Ф. Треногин В.А.
Tags: математический анализ монография дифференциальные уравнения нелинейный анализ математические методы
Similar
Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей
Новые методы хаотической динамики
Стохастические и хаотические колебания
Введение в теорию гидродинамической устойчивости
Text
                    Нелинейным анализ и нелинейные
дифференциальные уравнения
Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения
ПОД РЕДАКЦИЕЙ В.А. ТРЕНОГИНА И А.Ф. ФИЛИППОВА
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вниманию читателей представляется коллективная монография «Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения». Она содержит обзоры по нескольким важным для приложений направлениям современной математики, а также оригинальные результаты, впервые излагаемые в систематической форме. Речь идет главным образом о математическом описании явлений, нелинейных по существу, т. е. не имеющих линейных аналогов и особенно интересных в приложениях к нелинейным ситуациям.
Авторский коллектив состоит в основном из членов Академии нелинейных наук, в которой успешно работают многие активно действующие известные и молодые ученые России и других стран. Научная работа авторов монографии поддержана российскими и международными грантами, ее результаты докладывались на многочисленных международных и российских научных форумах.
Первая часть книги посвящена различным аспектам современной теории ветвления и бифуркаций. Именно с многочисленными важнейшими приложениями этой теории в самых разнообразных областях науки и техники и было тесно связано бурное ее развитие в последние сорок лет. Авторы нескольких статей монографии стояли у истоков теории ветвления, иногда предопределяя направления ее развития. В книге приведены обзоры по теории точек бифуркации, по групповым методам в теории ветвления и их различным приложениям, например, к системам Власова-Максвелла, а также освещены исследования по теории длинных и уединенных волн и по теории нелокальных бифуркаций, впервые изложенной на базе теории расслоений.
Широко известная пермская научная школа функционально-дифференциальных уравнений представлена во второй части книги статьями ее основателя и его учеников. Предложены новые результаты по обобщенному методу Ляпунова в теории устойчивости. Некоторые статьи посвящены обсуждению методов и результатов теории нелинейных уравнений с частными производными гиперболического, параболического и эллиптического типов.
Одно из ведущих мест в современных приложениях математики занимает теория некорректных и слабо обусловленных задач. Читатель найдет в книге оригинальную трактовку этой теории.
Книгу завершает статья недавно скончавшегося иркутского математика А. И. Янушаускаса.
В. А. Треногим, А. Ф. Филиппов
ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Н. А. Сидоров, В. А. Треногий
Введение
В монографии [4] впервые было дано систематическое изложение с точки зрения функционального анализа общепринятой ныне теории ветвления решений нелинейных уравнений, основанной на редукции исходной нелинейной задачи к эквивалентной конечномерной задаче. Таким образом, были возрождены на существенно более высоком уровне полученные в начале двадцатого века классические результаты А. М. Ляпунова и Э. Шмидта. В [4] теория рассматривалась сначала для нелинейных интегральных уравнений и для периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений (автор М.М. Вайнберг), затем была приведена общая теория в банаховых пространствах с приложениями к гидродинамике, теории упругости и к космическим исследованиям (автор В. А. Треногин). За прошедшие десятилетия теория получила огромное развитие, вызванное все новыми и новыми приложениями в самых различных областях естествознания. Исследования частично поддержаны грантами РФФИ 96-01-00512, 99-01-00028, INTAS 2000-15.
1.	Точки бифуркации решений нелинейных уравнений
Пусть Ei, Ez — вещественные банаховы пространства; Т — вещественное нормированное пространство. Рассмотрим уравнение
Bx = R(x,X).	(1)
Здесь В: £> С Ег — замкнутый линейный оператор с плотной областью определения в Е^. Оператор R(x, Л) со значениями в Е2 определен, непрерывен и непрерывно дифференцируем в смысле Фреше по х в окрестности
^ = {х&Е1, ЛеТ: И <г, ||А|| <р}.
При этом в данном параграфе предполагается, что /?(0, Л) = 0, Rx(0, 0) = 0. Таким образом, здесь уравнение (1) при всех А: ||А|| < о имеет тривиальное решение х = 0.
Пусть оператор В фредгольмов. Введем базис {уз,}? в подпространстве N(B), базис в N(B*), а также системы {7,}? € Е$, {z,}? G € Е2, которые биортогональны этим базисам.
Определение 1. Точка Aq называется точкой бифуркации уравнения (1), если в некоторой окрестности точки х — 0, Aq существует пара (х, А) с х 0, удовлетворяющая уравнению (1).
Достаточные условия существования точек бифуркации впервые рассматривались в известных монографиях М. А. Красносельского [7] и М. М. Вайнберга [2] с помощью бесконечномерных обобщений степени отображения и вариационных методов. В этих обобщениях [2, 7, 63] существенную роль играли такие требования, как компактность, потенциальность оператора, и рассматривались уравнения более частного вида, чем (1).
С другой стороны, хорошо известно [4], что задача о точке бифуркации уравнения (1) эквивалентна аналогичной задаче для конечномерной системы
ЖА) = 0,	(2)
где £ 6 Rn, L: Rn х Y —> Rn. Уравнение (2) называется уравнением разветвления (УР).
В работе [49] была впервые применена степень отображения в ее классическом конечномерном варианте непосредственно к УР (2). Подход, предложенный в [49, 12], позволяет не только доказывать общие теоремы существования точек бифуркации и состоящих из них бифуркационных множеств для уравнения (1), но и строить соответствующие ветви решений.
Этот подход, восходящий к Ляпунову и Шмидту (см. [3]), максимально использует соответствующую конечномерную задачу (уравнение разветвления (2)) и комбинацию ряда элементарных методов:
1)	геометрических (индекс Кронекера-Пуанкаре, степенную геометрию диаграмм и многогранников Ньютона);
2)	алгебраических (изучение обобщенной жордановой структуры линеаризованной задачи);
3)	вариационных (отыскание точек условного экстремума непрерывных функций, индекс Морса-Конли).
Кроме того, в таком подходе широко применяются теоретико-групповые [12, 8] (подробнее см. статью Б. В. Логинова и В. А.Треногина в данной монографии) и функциональные методы, методы теории регуляризации [20, 33-35, 50, 69].
Методика исследования оказывается конструктивной, ее обоснование и применение не требуют сложных обобщений и доступны широкому кругу прикладников.
Результаты о точках бифуркации, полученные на этом пути, см. в работах [8-11, 19, 30-31, 38-40, 49-52, 56, 59].
Теоремы о потенциальных уравнениях разветвления имеются в [8, 9, 11, 16, 19, 24-25, 31, 35, 37, 51, 73]. Ряд приложений этой методики можно найти в работах (9,14, 19, 29, 31, 43, 54] и др. Различные методы последовательных приближений разветвляющихся решений рассмотрены в [6, 10, 21-24, 28, 47]. Проекционно-итерационные процессы в окрестности точек бифуркации изучались А. А. Фонаревым (см. [37]).
В этом параграфе приведем две общих теоремы существования точек бифуркации уравнения (1).
Представим (1) в виде системы
Вх = _й(т, А) +	(3)
S=1
& = (z,7s), s = 1,	(4)
Но оператор В = В + 53"=1(-,7s)z, имеет ограниченный обратный оператор. Этот факт установлен В. А. Треногиным и назван им леммой Шмидта, доказавшего аналогичное утверждение для линейного интегрального оператора (см. [3]). Уравнение (3) имеет, согласно теореме о неявных операторах, единственное малое решение
п
=	+	(5)
S = 1
при £ —> О, А —> 0. Подстановка (5) в (4) дает формулы для координат вектор-функции L-. Rn х Т —> Rn
/	/ п	\	\
Lktf,X) = Ы £б^ + Щ£,А),А),7/Л	(6)
При этом производные
дЬк д£г
= (ЛДО.АД/ -ГЛДО.А))-1^,^) = aife(A) «=о 
непрерывны в окрестности точки А = 0, ||Г7?х(0, А)|| < 1.
Введем множество П = {А | det[ajfc(A)] = 0}, содержащее точку А = 0, и следующее условие.
А) Пусть в окрестности точки Aq £ Q существует множество S, являющееся жордановым континуумом, представимым в виде S — S+ U U S_, Ао £ dS+ П dS_. Более того, пусть существует непрерывное отображение A(t), t G [—1,1] такое, что А: [—1,0) —> S_, А: (0,1] —> S+, А(0) = Aq, det[a,fe(A(t))]”fc=] = a(t), где a(t): [—1,1] —» К1 непрерывная функция, равная нулю только при t = 0.
Теорема 1. Пусть выполнено условие А), причем a(t) — монотонно возрастающая функция. Тогда Aq есть точка бифуркации уравнения (1).
Доказательство. Зададим сколь угодно малые г > 0 и S > 0. Введем непрерывное векторное поле
Н(£, 0) d= L(£, А((20 - 1)J)): Rn х Я1 - Rn, определенное при £, 0 G М, где М{£, 0 | ||£|| = г, 0 С 0 С 1}.
Случай 1. Если существует пара (£*,0*) 6 М, для которой Н(£*,0*) = 0, то, согласно определению 1, Ао будет точкой бифуркации.
Случай 2. Предположим, что H(£,Q) ф 0 при V(£, 0) G М и, следовательно, Aq не является точкой бифуркации. Тогда векторные поля /7(£,0) и Н(£, 1) гомотопны на сфере ||£|| = г. Поэтому равны их вращения, т. е.
J(H(C0),||£||=r) = ЛЖ1Ш||=г).	(7)
Так как векторные поля Н(£,0), Н(£, 1) и их линеаризации
^г(е) = E^(A(-<5))efci”=1, fc=l
= ^aife(A(+5))^|7=1
fc=i
не вырожденны на сфере ||£|| — г, то в силу малости г > 0 поля Н(£, 0), Н(^,1) гомотопны соответственно своим линейным частям Lj"(£) и Ш
Поэтому
лжо),ш = г) = жг(е),иеи = г)	(8)
w,i),ikm = j(L+(e),nen = r). щ
В силу невырожденности линейных полей L±(£) по теореме об индексе Кронекера справедливы равенства
lien = г) = sign«(-5), J(L+ (С), ПСП = г) = sign a (+5).
Так как <а(—<5) < 0, а(+<5) > 0, то в силу (8), (9) равенство (7) невозможно. Следовательно, найдется пара (£*,©*) ё М, для которой Н(е*,©‘) = 0 и Ао — точка бифуркации.
Замечание 1. Если условия теоремы 1 выполнены для VA € G По С И, то По бифуркационное множество уравнения (1). Если более того, По связное множество и каждая его точка лежит в окрестности, гомеоморфной некоторой области пространства Rn, то По называется п-мерным многообразием бифуркации.
Например, это справедливо, если Т = 7?Tl+1, п 1, По — бифуркационное множество уравнения (1), содержащее точку А = 0 и Vл det[a.ifc(A)]|д=о / 0.
Из теоремы 1 при Т = Л1 следует обобщение [49], а также другие известные усиления теоремы М. А. Красносельского о точке бифуркации нечетной кратности [7].
Наиболее сильные результаты в теории точек бифуркации были получены для уравнения (1) с потенциальным по £ УР, когда
L(£, А) = grad^ П(£, А).	(10)
Это условие справедливо, если матрица
симметричная.
В

силу дифференцирования суперпозиции получим из (6)
dLk OCi
Rx( + U(g,x),x
dU\ \ Vi + Ь'Фк), o£i /	/
(11)
где согласно (3), (5)
dU
Vi +	= (I - ГЯ,)-1^.	(12)
Оператор I — TRX непрерывно обратим, так как ||Г/?х|| < 1 при достаточно малых по норме £ и А. Подставляя (12) в (11), получим равенства
= {RX(I -ГЛх)-1^,^.), г, к = 1,... ,тг.
Отсюда вытекают следующие утверждения.
Лемма 1. Для того чтобы УР (2) было потенциальным, достаточно, чтобы матрица
E = [(^(r^)m^,^<fe=1
была симметричной при V(rr, А) из окрестности точки (0,0). Следствие 1. Пусть все матрицы
[(Я1(ГЛ1)т9?£,^)]"А.=1, тп = 0,1,2,...,
являются симметричными в некоторой окрестности точки (0,0). Тогда УР (2) потенциально.
Следствие 2. Пусть Ei = Е2 = Н, Н — гильбертово пространство. Если оператор В симметричный в D, а оператор Rx(x, А) — симметричный при V(x, А) в окрестности точки (0,0), то УР потенциально.
В статье [37] приведены более тонкие достаточные условия потенциальности УР.
Пусть УР (2) — потенциально. Тогда из доказательства леммы 1 следует, что соответствующий потенциал U в (10) имеет вид
!7(£,А) = | £ <4fc(A)£i£fc+^(£,A), 2 i,k=l
где ||о>(£, А)|| = о(|£|2) при £ -» 0.
Теорема 2. Пусть выполнено условие А), причем УР (2) потенциальное. Более того, пусть симметрическая матрица [агк(Х(Г))] имеет щ положительных собственных значений при t > 0 и V2 положительных собственных значений при t < 0, ьц i>2- Тогда Aq будет точкой бифуркации уравнения (1).
Доказательство. Зададим сколь угодно малое 5 > 0 и рассмотрим функцию Е7(£, А((20 — 1)5)), определенную при 0 £ [0,1] в окрестности критической точки £ = 0.
Случай 1. Если существует 0* (Е [0,1] такое, что £ = 0 — неизолированная критическая точка функции £7 (£, А((20* —1)5)), то по определению 1 Ао будет точкой бифуркации.
Случай 2. Пусть при V0 G [0,1] точка £ = 0 будет изолированной критической точкой функции Е/(£, А((20 — 1)5)), где A(t) — непрерывная функция из условия А). Тогда при V0 £ [0,1] определен индекс Конли [45] Kq критической точки £ = 0 этой функции. Напомним, что
W(£,A((20-1)5)) det ---------——---------	= а((20—1)5).
Так как а((20 — 1)5)	0 при 0	1/2, то критическая точка £ = О
при 0 Д 1/2 является невырожденной. Поэтому при любых 0	1/2
индекс Kq по определению (с. 6 в [57]) полагается равным числу положительных собственных чисел соответствующего гессиана. Поэтому Ко = ^i, Ki = V2, где Vi и? по условию теоремы 2. Следовательно, Kq К\. Пусть при этом Aq не является точкой бифуркации. Тогда V^f7(£, А((20 — 1)<т))	0 при 0 < ||£|| С г, где г > 0 достаточно мало,
0 6 0,1]. Вследствие гомотопической инвариантности индекса Конли (см. 57, с. 2, теорема4]) Kq — постоянен при 0 6 [0,1] и Ко — К\. Следовательно, во 2-м случае при любых сколь угодно малых т > 0, 5 > О найдется пара (£*,0‘), где 0 < ||£*|| ^г, 0*£ [0,1], удовлетворяющая уравнению V^f7(£, А((20 — 1)5)) = 0 и Ао есть точка бифуркации.
Замечание 2. Другое доказательство теоремы 2 с применением теоремы Ролля дано в статье [31] для случая Т = R1, р+ = п, и_ = 0.
Замечание 3. Теоремы 1, 2 (см. замечание 1) позволяют строить не только точки бифуркации, но и бифуркационные множества, например, поверхности и кривые, состоящие из точек бифуркации.
Следствие 3. Пусть Т = J?1 и УР потенциально. Более того, пусть [ci£k(A)]”fc=1 положительно определенная матрица при А 6 (0, г) и отрицательно определенная при А 6 (—г, 0). Тогда А = 0 есть точка бифуркации уравнения (1).
Рассмотрим связь собственных значений матрицы [адДА)] с собственными значениями оператора В — J?x(0, А).
Лемма 2. Пусть Ei = Е2 = Е, А € R1, и = 0 есть изолированная особая фредгольмова точка оператор-функции В — vl. Тогда
к	п
sign А(А) = (-l)fc sign i/ДА) = sign дДА), i	i
где к — корневое число оператора В', {д}7 — собственные значения матрицы [aifc(A)], А(А) = det[ai*,(A)].
До казател ьство. Так как {дч}? — собственные значения матрицы [aijt(A)], то J)}" дДА) = А(А). Таким образом, достаточно доказать равенство А(А) = (—l)fc J]* рДА). Так как нуль — изолированная фредгольмова точка оператор-функции В — vl, то операторы В и В* имеют
соответствующие полные жордановы наборы [1]
(13) Здесь
= fiij;	=6ij, i,j =	^PPi=k.
i=l
Напомним, что
у™ = ,>,=г#4п>, Ас>аА = г<'>, г = (в+±{^ир‘'’У'.	(14)
' 1 '
где к = pi + ... + рп назовем корневым числом оператора В. Малые собственные значения р(А) оператора В — Rx(0, А) удовлетворяют следующему УР [4]
L(p, А) = det[((Z?x(О, А) + pZ)(Z - Гйх(0, А) - rd?)"1^,^)]?j=i - 0.
(15) В силу подготовительной теоремы Вейерштрасса [4, с. 66] с учетом равенств (13), (14) уравнение (15) в окрестности нуля преобразуется к виду
L(p, А) = (pfc + Hfc-^A)^-1 + ... + Я0(А))П(А, р) = 0,
где ZZfc_i(A),..., ZZo(A) = Л(А) непрерывные функции A, П(0,0)	0,
ZZq(O) = 0. Следовательно, оператор В — йх(0,А) имеет к п малых собственных значений р,(А), i — 1,..., п, и мы можем определить их из уравнения
vk + Hk^X)vk-x + ... + Л(А) = 0.
Тогда JJi рг(А) = Л(А)(—l)fe. Лемма доказана.
Пусть теперь А ё Z?1. Рассмотрим вычисление асимптотики собственных значений д(А) и р(А). Введем блочное представление матрицы [aik]"fc=1, удовлетворяющее следующему условию.
В) Пусть [aifc(A)]?fe=1 = [Xife(A)]‘>fc=1 ~ [Arifc4°fc]] fc=1 при А —♦ 0, где [Л^] — блоки размерности [n, х nfc], щ +... + щ = п, min(rfl, ...,гц) = = Гц = г< и rik > гг при к > i (или при к < г), г =	Пусть
П1 det[j4°J 0 0. Условие В) означает, что матрица [aiJt(A)]”fc=1 допускает блочное представление, являющееся «асимптотически треугольным» при А —> 0.
Лемма 3. Преть выполнено условие В). Тогда
/ 1	\
det[aifc(A)]?fe=1 = А^>+r- ( Д det || + о(1) ),
' 1	'
формулы
Mi = Аг-(С; + о(1)), i=l,...,Z,	(16)
определяют главные члены всех п собственных значений матрицы [а/*.(A)]"fe=11 г^е l^Ci 6 Rn", Ci есть вектор собственных значений матрицы .
Доказательство. В силу условия В) и свойства линейности детерминанта имеем
det[aifc(A)] = Aniri+-+n'r' х
х det	Л°1+0(1)	0(1)	0(1) ^21 + 0(1) д°2 + 0(1) 0(1)	0(1)
+0(1)	... 4°+0(1)
=	(-Q det |Ло । + 0(1)).
Подставляя ц = Аг<с(А), i = 1,..., I, вуравнение det |а,ДА) —	=
— 0 и используя свойство линейности детерминанта, получим уравнения
An1r1+...+ni_1ri_1+(ni+...+nI)rjjjdet|XO^| х
4=1
xdet(4° -с(А)Е)с(А)п'+1+--+п'+а;(А)} =0, г = 1,...Д, (17) где аДА) —> 0 при А —> 0. Следовательно, координаты искомых главных членов Ci в асимптотиках (16) удовлетворяют уравнениям detf?!^ — — сЕ] = 0, г = 1,..., I. Лемма доказана.
Если к = п, то оператор В — ДДО, А), как и матрица [ait(A)]”fc=1 имеет п малых собственных значений. В этом случае имеет место такое следствие.
Следствие 4. Пусть оператор В не имеет I-присоединенных элементов и пусть выполнено условие В). Тогда формула
Vi = -Аг<(С4 + о(1)), i = l,...,Z,	(18)
где Ci 6 Rni — вектор собственных значений матрицы A°it i = 1,..., I, ni + ... + П[ — n определяет все п малых собственных значений оператора В — Rx(fii А).
Доказательство. В силу леммы 2 в этом случае £3" Pi = п (корневое число к = п) и оператор В — ДДО, А) имеет ровно п малых собственных значений. Так как щ = п, — квадратная матрица, то формула (18) дает ровно п собственных значений, где главные члены
совпадают с точностью до знака с главными членами в (16). Для вычисления собственных значений v оператора В — Rx(0, А) преобразуем уравнение (15) к виду
Д(г/, А) = det aife(A) +
j=i
= о, i,fc=l
(19)
где
= <[(/ - ГАДО, A))-1r]J-1(Z - ГАДО, A))-^i>7fc).
Подставляя I/ = — Аг*с(А) в (24) и учитывая свойство линейности детерминанта, получим уравнения, которые отличаются от уравнений (17) только остаточными членами аДА). Тогда в условиях следствия 4 главные члены всех малых собственных значений оператора В — Rx(0, А) и матрицы — [а, ДА)] определяются из одних и тех же уравнений и, следовательно, равны.
Выводы.
1) В силу леммы 3 можно заменить условие А) в теореме 1 на следующее.
А*) Пусть = Е2 = Е, и = 0 есть изолированная особая фред-гольмова точка оператор-функции В — vl. Пусть в окрестности точки Aq € П существует множество S, содержащее точку Ао и являющееся континуумом, представимым в виде S = S+ U S_. Более того, пусть
AoG0S+n0S_, П1/ДА)|лез+ 1рДА)|ле$_ <0,
где {vi(А)} есть малые собственные значения оператора В — Rx(0, А).
2) Если главные члены асимптотики малых собственных значений оператора В — Rx(0,X) и матрицы [<iifc(A)]"A._.1 совпадают, то мы можем использовать собственные значения такого оператора в теореме 2. В силу следствия 4 это возможно, если Е\ = Е2 = Н, операторы В и АДО, А) симметричные и выполнено условие В). Отметим, что условие В) выполнено в статьях [35, 40, 48, 49] о точке бифуркации с потенциальным УР, при этом п = ... = гп = 1.
2. Униформизация разветвляющихся решений и регуляризованные итерации в нелинейном анализе
В теории ветвления [4] важную конструктивную роль играет геометрия диаграмм и многогранников Ньютона [1, 3, 4].
В последнее время эти геометрические конструкции были использованы и при построении разветвляющихся решений итерационными методами [17, 21-24, 28].
Решающее значение для их сходимости имели условия, обеспечивающие выход на главную часть уравнения разветвления (УР) уже на первых итерациях. В частных случаях указывался способ построения начального приближения и выбора параметра униформизации.
Отметим, что главная часть УР в работах по итерационным методам могла быть построена непосредственно по виду диаграмм Ньютона коэффициентов проекции QF. Поэтому на каждой итерации решалось одно линейное уравнение. Вопрос о разработке итерационных методов для более сложных ситуаций в [47-49] оставался не решенным. Не ясно было, как надо выбирать параметр униформи-зации ветвей в общем случае, как строить параметрические семейства решений, проводить вычисления в окрестности точек ветвления с учетом погрешностей вычислений. При малых возмущениях качественный характер поведения решений нелинейного уравнения вблизи точек ветвления может резко меняться и, таким образом, задача вычисления этих решений является неустойчивой (некорректной). В работах [20, 33—35, 50, 69] была предложена теория регуляризации задач теории ветвления. Эта теория в идейном плане тесно связана с теорией регуляризации некорректных задач Тихонова-Лаврентье-ва-Иванова. Показано, что вместо исходного уравнения следует решать вспомогательное (регуляризующее) уравнение, решения которого равномерно относительно параметра аппроксимируют ветви точного решения, которые могут быть найдены приближенно с любой степенью точности. В этих работах указан и способ построения таких уравнений. Этот регуляризационный подход основан на специальном возмущении уравнения и использует дополнительную информацию об искомой ветви, например, структуру главных членов уравнения разветвления.
В работах [17, 20-23] был предложен другой метод последовательных приближений. В этом методе регуляризация построения ветвей следует из ограниченности псевдорезольвенты Шмидта [4] и достигается специальным построением итерационных формул [21, 23, 25, 27-28], реализующих в итерационном виде развитие идей аналитического метода Ляпунова-Шмидта [3]. В дополнение к этим идеям допускается смена параметра униформизации ветвей. Например, наряду с параметрами, входящими явно в уравнение, можно использовать любой из коэффициентов проекции Рх искомого решения. Это дает возможность «обходить» некоторые типы точек ветвления и в сочетании с результатами работ [1, 5, 28] расширить область сходимости метода. Основные этапы этого подхода описаны ниже.
Пусть Ei, Е2 — банаховы пространства. Рассмотрим уравнение
F(x,X) d= Bx — R(x,X) = 0,	(1)
где В: D(B) С Ei —» Е2 — замкнутый Фредгольмов оператор с плотной в Ei областью определения, dim7V(.B) = n 1, оператор R(x, А) = = Rqi A+^2i+fc>2 Rik(x)^k — аналитический в окрестности точки х = 0, А = 0. Требуется построить решение х —» 0 при А —» 0.
2.1. Уравнение разветвления и выбор начального приближения. Пусть — базис в N(B), {tpiji — базис в 7V(.B*), {7»}", {?г)Т ~
соответствующие биортогональные системы из Е* и Ез, (п	\ — In	п
1'1 1
Ограниченный оператор Г назовем псевдо резольвентой Шмидта-Треногина оператора В [4].
Полагая в уравнении (1)
х = ^ + Гу,	(2)
где у € Е%°~п,	£,i<Pi, получим для определения £ и у систему
y = R(& + Py,X),	(3)
(y,i>i) = о, г = 1,...,тг.	(4)
На основании теоремы о неявных операторах [4] уравнение (3) имеет единственное малое решение
У = 52	+ 52 ^Утп^УР•
тп^2	m^On^l
(5)
Коэффициенты утп можно вычислить, например, по рекуррентным формулам:
2/20 = R-20 (?¥’)>
1	>	(	А
= _ГТт52^о(Г52у<0^1	> п = 3,4,...,
n аи,п \ t—*	) п
н £^2	4 1=1	7 м=°
Уо1 = -Ron
1	dn	п	(	\
У°- = -^ 52 r52?/OsAs )Afc|A-0, тг = 2,3,4,...,
п! алп	'	\	z—'	/ А—и
i+k^2	х	з=1	'
1	Лп п	/	”_J
= (n-jjijiaA^g-i A‘«-*(r Е/1*"'А‘+
j-i	х
+ 52rj/n_s>s^-sAs , 71 = 2,3,4,..., j = l,...,n-l, s=0	' А=0,м=0
yio d= 52 ^Zi’ i=l
К решению (5) сходится последовательность уп, где уо = О, Уп = R(&> + Гуп_ь А), п=1,2,...
Так как в силу аналитичности оператора F(x, А)
уп =
i,k
то интересно выяснить, сколько в итерации уп «верных» коэффициентов, т. е. таких, что yj). = yzk.
Пусть sup R(x, А) = {г, к |	/ 0} — носитель соответствующе-
го ряда.
Лемма 1. Пусть si + qk = © — уравнение опорной прямой к sup R(x, X). Тогда yj). = угк при i,k g шп, где шп = {г, к | si + qk
6 + (п - 1)(0 - з)}.
Доказательство. Пусть у(£, А) — малое решение уравнения (3). Тогда справедливо тождество
у = А) + Ях(^, А)Гу + w(y, £, А),	(6)
где
w = R(£p + Гу, А) - R(£<p, А) - Rx(£y>, А)Гу.
Введем последовательность уп,
Уп = А) + Rx(&, А)Гуп_1 + w(yn_i, £, А),	(7)
где п = 1,2,..., уо = 0, уп —> у(£, А) при п —> оо.
Напомним, что Я(гг, А) = Ylsi+qk>Q Rik(s:')Xk. Поэтому, вычитая из (6) соответствующие части (7), получим неравенство
||у -	«(С А) ||Г|| ||у - y™-i II + &(£, А) ||у - y~-i ||,	(8)
гДеа(£,А) = о( £	КГ|А|^),Ь(е, А) = о( £	|£|‘|А|к).Оче-
'<5i+q/c=© —$	'	X'si~\-qk=Q~ S	'
видно, ||у —yj.ll = of £ l?|i|Alfe).
'4si+gA: = ©	’
Теперь справедливость леммы легко устанавливается индукцией. Действительно, пусть
1|У-У~11=о(	£ ldiA|fcl
$i+/cq=© + (n—1)(© — з)	'
в окрестности точки £ = 0, А = 0. Тогда в силу (8) аналогичная оценка имеет место и для ||у — yn+i||, что и требовалось доказать.
Геометрическая иллюстрация леммы 1. Введем область Dn = {г, к | у”к = Угк} «верных» коэффициентов в разложении тг-й итерации В качестве опорных прямых sup/?(x, А) в лемме 1 будем использовать отрезки si + qk = 6 диаграммы Ньютона Hi оператора Л(.т, А). Построим прямые si+qk = в+(п—1)(0—з). Этим прямым отвечает диаграмма Нп. Поэтому на основании леммы 1 все целочисленные индексы (г, к), лежащие ниже диаграммы Нп, входят в область Dn.
Построив решение (5) и подставив его в (4), получим уравнение разветвления
= Е+ ЕЕ^ле)Ар = о, j = i,...,n, (9) тп^2	т^0р>1
где
^ = <у™(&Ш = Е ит1....................т„,лг •••£?"
mi +...+т„=т
Пусть
ме1,...,еп+1) = £г^, i
одна из левых частей системы (9). Для симметрии в обозначениях положено А = £п+1- Не ограничивая общности, считаем, что L(£i,..., Oj,... ..., £n+i) / 0 при i = 1,..., п + 1. В противном случае мы бы сократили соответствующее уравнение в (9) на некоторую степень &.
Пусть
supL = {г | г Е N™+1,Li / 0},
где N+ — множество целых положительных чисел. Выпуклую оболочку в 7?"+1 точек из supL назовем многогранником Ньютона функции L и обозначим Яд.
Определение 1. Гиперплоскость
Z = {£E.R”+1| (Са) = 0,ае^+1,9е^}
назовем опорной для supL, если:
1)	(£, а) © при € sup L;
2)	I О sup L 0.
Непустое множество G = Hl П l, где I — опорная гиперплоскость sup Д, назовем гранью многогранника Hl-
Ус л о в и е 1. В N+ найдены числа aj,..., an+i ,©],..., ©л такие, что параллельные гиперплоскости lj = {£ Е Я"+1 | (£, а) = ©j}, j = 1,... ..., п, являются опорными соответственно для sup L3, j = 1,..., п.
Если многогранник Hlx имеет грань (£, а) = ©i, а у остальных многогранников HLi, г = 2,... , п, есть ей параллельные грани, возможно и меньших размерностей, то условие 1 будет выполнено.
Аналитически условие 1 означает, что при £, = Eair/i, г = 1, •.., п+1,
L3 =	... ,7/n+l) +	(Ю)
где = E(t,a)=eJ + °> ri = j = 1,
Вектор-функцию Z(t?) назовем главной частью УР. Проблема выбора вектора а рассмотрена, например, в [1]. Каждой паре а, © отвечает своя главная часть УР. Для построения вектора а надо найти многогранники Ньютона Hlu i =	грани и соответствующие
нормальные конусы. Искомое а лежит в пересечении этих нормальных конусов [1]. Если o?i = ... = ат, am+i = ... = an+i, то гиперплоскости lj симметричны относительно осей £i,.  •, £т и осей Ст+ь • • •, £™+1-В такой симметричной ситуации векторы а и © легко строятся методом диаграмм Ньютона [3, 4].
Действительно, перепишем УР (9) в виде
£^,(щи) = 0.	(11)
г Д'
Здесь и =	= (&n+i, • • • ,&i+i), L3ik — г-однородные формы
по и и fc-однородные по и. Рассмотрим множества точек
= {|z|,|fc| € Nl,L3k /0}, j = l,...,n.
Построим для каждого множества Qj свою диаграмму Ньютона Dj. Ввиду аналитического смысла условия 1 (см. (10)) справедлива
Лемма 2. Пусть диаграммы Dy,... ,Di имеют параллельные грани, принадлежащие прямым
lj: р|г| + g|fc| = Qj, j =	I п,	(12)
где {p,q,Qj} е N+.
Если I < п, то выберем в N+ числа Qi+i,..., Qn так, чтобы прямые вида (12) при j = I + 1,... ,п, оказались опорными соответственно для множеств Qi+i,   , Qn- Тогда условие 1 будет выполнено для Q'l — ...	— Pi OJm+1  • 	^-n+1 Q-
Доказательство леммы прямо следует из способа построения диаграмм Dj [4].
Замечание. Случай I < п в лемме 2 допускается при п 3. Если I < п, то диаграммы Di+\,..., Dn не имеют граней параллельных прямым (12). Тем не менее через вершины любой из этих диаграмм в силу их выпуклости можно провести прямые параллельно прямым (12) без пересечения с диаграммой. Так как вершин конечное число, то искомых значений ©г+i,..., ©п в лемме 2 будет конечное число.
Введем
Условие 2. Система
Лп+1) = 0, j = l,...,n	(13)
(lj см. в (10)), имеет решение р° = (р°,..., р°+1),
Л(г)) =1
dij дг]г
j = 1,... ,п, i = {1,...,п + 1 }\{*},
причем detX(p°) / 0.
Решение Т]° / 0 назовем решением полного ранга системы (13).
Пусть выполнены условия 1, 2. Тогда на основании теоремы о неявной функции УР (9) имеет решение
^ = ^(^ + 0(1)), i = 1,... ,п+ 1,
где £n+i = А(е),	= ea“q°. Подставляя это решение в (2) с учетом (5),
получим искомое решение т(£) —» 0, А(е) -+ 0 при £ —» 0 уравнения (1).
Вектор = (Eair/i,    1£°'n+1^n+i) будет использован в четвертом параграфе при построении начального приближения в TV-ступенчатом итерационном методе.
2.2.	О роли опорных прямых и диаграмм Ньютона коэффициентов проекции QF при построении начального приближения. Множества Mj = {i>k\ (Rik(x),il>.i) 0}, j = 1, ...,п, назовем носителями коэффициентов проекции QF. Для подбора целочисленных векторов а, в в условиях 1, 2 можно использовать параллельные опорные прямые
множеств Mj, j = l,...,n. В частности, удобно использовать параллельные отрезки диаграмм Ньютона этих множеств ввиду простоты построения.
Введем условие
С) Пусть носители коэффициентов проекции QF имеют параллельные опорные прямые si + qk = Qj, j = 1,..., n, Qj > s и пусть Rq, — 0, i = 1,..., [s/g] - 1, QRvs/g - 0 при s/q € N+.
Отметим, что условию С) можно придать аналитическую форму:
С') При Vi, к € 7V+ таких, что si + qk < 6j, выполнены тождества 'Фу') = 0, среди целочисленных пар (г, к) таких, что si + qk = = 6j найдется для каждого j € (1,...,п) точка (ii,fci), для которой
Замечание. Если в условии С') для каждого j найдутся две точки (ii, fci), (i2, k2), для которых (Rilk1(x),'tl>j') / 0, {Ri2k2(x),i/)j)	0, to
опорные прямые пройдут через параллельные отрезки диаграмм Ньютона коэффициентов проекции QF.
Лемма 3. Пусть выполнено условие С). Тогда уравнению (1) отвечает УР
L*	Е Afc(^fc(^ + S°(A)),^)+ft(eiA)-O,	(14)
si+qk=0j
где
п	Г 0,	s/q g N+,
х°(А) = J	,	(15)
V	\r/?os/gA^, s/qtN+,
lim£_o£-0-’Pj(£Sr7,£9r7n+i) — 0> J' = 1,--.,п. При этом гиперплоскости s(?i + • • • + £n) + Q^n+i = ©j, j — 1, • • • ,n, удовлетворяют условию 1, а соответствующая главная часть УР имеет вид
lj = Е +	= 0’ J = 1’ •••’”• (16)
si+qk=0j
Для доказательства леммы 3, как и ее частного случая (см. лемму 5 в [10]), достаточно от уравнения (1) перейти к эквивалентной системе
х = & + £°(А) + ГЛ(£^ + £°(А) + ГЯ(т, А), А),	(17)
& = (z,7i), i=l,...,n,	(18)
где
R = —F(x, А) + Bi - Вх°(А),
и вывести УР (14), подставляя единственное малое решение т(^,А) уравнения (17) в (18).
Если система (16) имеет решение т/° полного ранга (т. е. выполнено условие 2), то уравнение (1) имеет решение х(е) —> 0, А(е) —» 0 при £ —> 0.
Замечание 1. Если все члены УР (14) имеют общие множители, то УР следует сократить на эти множители.
Пример 2. Пусть оо	оо оо
R(x, А) = 52 £ofcAfc + Е Е R^Xk’ к=1	i=l fc=m
QRok = 0, fc=l,...,m, т > 1,
Тогда прямая г + к = тп + 1 удовлетворяет условию С), х° = ГТ?о1А-
УР (14) имеет вид
Р =f Am((7?lm(^ + ГЯ01А) + 7?0,m+1A,^) + о(И| + |A|)) = 0, где j — 1,..., n. Его главная часть квазилинейна, т. е. имеет вид 1(т)) <= =f r/n+l-T] = °, гДе S = ||a*fc||i=l,...,n;fc=l,...,n+l,
_ ( (Rim<Pk,^i),	k,i = l,...,n,
Ягк t <%тГЛ01 + Лот+1, V'i), T = 1, . . . , П, k = n + 1.
Пусть rank E = n, A_ f1-......................................
— ранговый минор матрицы E. Если * = n + 1, то условие 2 будет выполнено для соответствующей главной части УР. Следуя замечанию 1, сократим УР на Ат. Теперь условие 2 будет выполнено для главной части системы разветвления
A-mLJ(C,A) = 0, j =
при V* £	+ 1). Поэтому УР имеет малое решение = е,
& =	+ °(£)> i = {1,• • • in +	где т)° — единственное решение
линейной системы Ец = 0, ц, = 1.
Следовательно, соответствующее уравнение (1) имеет решение:
а)	в случае */п + 1,т/2 = 1
и
1 = £Е^!+£ГЙ€1С1 + °(£)’А = ет?°+1 +°(£); 1=1
б)	в случае * = n + 1
х = ЛЕ^0^+ЛГ-Й°1+°(Л)-
1
Замечание 2. В более общем случае, когда
(оо	ОО ОО	\
E^^ + E Е ^WAfcV(x,A),
fc=l	1=1 k — ТП	'
где f: Ei х R1 —> Rl — аналитический функционал, QRok = 0, к = = 1,..., тп, R\mil)j / 0, j = 1,..., п, УР тоже имеют общий множитель,
главная часть УР оказывается снова квазилинейной и результаты получаются аналогичными.
Соотношение условий 1 u С). В силу леммы 3 условие С) достаточно для выполнения условия 1. Разумеется, условие С) не необходимо для выполнения условия 1 и является более жестким требованием. Но зато условие С) дает возможность легко выписать главную часть УР и применить одноступенчатый итерационный метод, рассматриваемый ниже в параграфе 3.
2.3. Одноступенчатый итерационный метод. Пусть выполнено условие С) и условие 2, где функции lj определены в (16). Решение уравнения (1) будем искать в виде
т = ^2^^ + г°(А(е))+Гу£5,	(19)
1
А = 77п+1£9 =f£n+1(E).	(20)
Здесь
Ге3, г = 1,...,п,
& = ^(£) ) q i= +1
у0 ~~ решение полного ранга системы (16), т/*(£) =	* е (1,..., п +1),
т^(0) = 7?о, х° см. в (15). Неизвестные у(е) и т/Де), г = l,...,n + 1, непрерывны в нуле и удовлетворяет системе
у = e~s(R(& + х°+ Гуе’,£п+1) - Вт0),
£-^(й(^4-2° +ry£3,^n+i),V'J) =0, j = l,...,n,
при 7/, = Т]°.
Эту систему рассмотрим как одно операторное уравнение
#(п,£) = о,	(21)
где К: Y х R1 -> У, Y = Е2 © Rn, и = (у,pi,   	7?*+1»  . ,т?п+1),
К(ио, 0) = 0 при ио = (0, 7??, • • • ,	7?°+1, • • • , 7?° + 1). *
Оператор К в шаре з(по,г) дифференцируем по и
/ I 0\
Ки(и0,0) =
Здесь
(•,Ф)=((-,Ф1),--->(-Лп))/,
si+qk=Gj
дтИ	> = !,...,n, i=
det .4 / 0.

Оператор Ku(uq,0) имеет ограниченный обратный
где Ф = -Л^Ф, (-,Ф) G £(У -» Rn), I:Y -+Y,0: Rn ->Y.
Таким образом, уравнение (21) удовлетворяет условиям теоремы о неявном операторе [3]. Искомое решение и = (у, т?) можно найти методом последовательных приближений
ит = иТп_1 - JC“1(uo,0)K(um_i,e).	(22)
Тогда из (22) вытекают итерационные формулы
Ут =	+ 20(C+7) +	£?-/) - Вх0^1)), (23)
тГ =	_ (ут_1 _	_ Л-1(е^т1 £(£)ф))	(24)
где Е(е) =	тп = 1,2,....
Последовательности ит отвечает последовательность хт = ^т¥’ + Гут£3+т°(ЛП1), X	(25)
при £7 =£?, пг = 1,2,...
Введем элементы шт = R(xm-i, Am_i). Тогда формула (25) примет вид
Хт ~ £S У? ’/TV* + Гут + X °(Ат) ~ Х°(Ат-1), г=1
-^т — £ЧТ1п+11 т = 1,2,... Здесь
~	1)	1)j
= -т-1 _ £-s(Wm_i _ Шт)	_ (Wmi Д-1^(£)ф),
= Л* ПРИ Vm.
В качестве начального приближения возьмем еО о Г е > i = 1, • • •, п, г = п+1, ш0 = 0, х0 =	+ £°(А0).
Из изложенного вытекает
Теорема 1. Пусть выполнены условия С) и 2. Тогда уравнение (1) имеет решение (19), (20). Последовательность {rrm, Хт}, определяемая формулами (26)-(28), сходится к этому решению в окрестности 0 < |г| < р.
(26)
(27)
(28)
Ослабление условия 2. Пусть выполнено условие С), причем
дк
^-№,А),^)|а=о=0,
при к = 0,1,..., kj, j = 1,... ,п и Vrr. Тогда (Е(х,Х),^) = (Я^х,Ху,^)Хк^
и УР (14) имеет общие множители Xkj. Поэтому теперь уравнение (16) имеет вид
IjW) = мАчУПп+1 =°> J = l,..-,n.
Вместо условия 2 введем более слабое
Условие 2'. Система Mj = 0, j = 1,..., п, имеет решение 7]° О полного ранга,
дМ^т]0 дтц
J = l,...,n, t=l det Л 0.
Отметим, что если в условии 2' дополнительно потребовать
0, то выполнится и условие 2.
Введем обозначения
bj(x, А) = (7?(т, А),^),
Ъ=г* £	+	J = l,...,n.
si+qk=&j
В формуле (28) сделаем две замены
Ф -+ -Л-1Ф,
(wm, Д-^^Ф) - Д-'Е^Цх^Х,^.
Тогда результаты теоремы 2 сохраняются при условиях С), 2'.
Пример 3. Пусть выполнены условия примера 2. Тогда выполнено условие С) и fci = ... = кп = т. Уравнение (16) квазилинейно, т. е. имеет вид
W	= 0.
Матрица E[n х n + 1] определена в примере 2. Если rank Е = п, то условие 2' будет выполнено.
Замечание. В условиях теоремы 1 уравнение (1) имеет решение вида (19), (20), к которому сходится последовательность (26)-(28) в некоторой окрестности 0 < е < р. Границу р этой окрестности можно определить с помощью построения мажорантной системы для системы последовательных приближений (22).
Перепишем систему (22) с учетом формул теоремы 1 в виде и = Ф(и,е) = ($i(u,e),$2(u,e)),
где
Ф1(и,Е) = ~[R(£s<pT] + x0£qT]n+1) - В2°(е977п+1)], ФгСщ e) = r/ — (у — ФДщ s), Ф) — A-1 (e3<J>i(u,e), -Е(е)Ф).
С учетом структуры R(x, А) и, предполагая, что т] = С + г/q, в области 1Ы1^, Мл-
Н£Н
для Ф(ще) можно получить следующие мажорантные оценки:
А)|||Ф(0,е)|||^/(0,д);
В') 11 |Ф^ (и, s)u| 11	/z)|||u|||. В более общем случае условие В')
имеет вид
В) 11|Ф(гб2, е) - Ф(гц, е)||| < /(t2, М) — /(*1, М)> гДе |||ui||| ti} i = 1,2, |||u2 - uiHI t2 - ti-
Здесь HI • HI — абстрактная норма, см., например, [28], 0 — n-мерный нулевой вектор.
Функция удовлетворяет следующим условиям:
1)	f — определена, непрерывна и монотонно возрастает по всем сво-
им аргументам;
2)	/(0, ц) > в при ц > 0, /(0, 0) = 0;
3)	существуют такие t+, р.+, что f(t+,p.+) t+ (способ нахождения границ t+, д+ см. [28]);
4) существует Д' — матрица размерности (пхп), элементы которой
dR . .	.
п, — функции, монотонно возрастающие по всем своим
аргументам.
Заметим, что t+, ц+ — главное решение, к которому сходится система последовательных приближений
- f(tn— 1,Д)1
начиная с нулевого начального приближения.
Теорема (об оценке области существования). Пусть вектор-функция удовлетворяет условиям 1)-4) и мажорирует отображение Ф(и,е) согласно А), В) [А), В')]. Тогда в области |||u|||	t+,
||е|| д+ система последовательных приближений (22) сходится к единственному решению уравнения (1) вида (19), (20) и* = ц*(е): гТ(0) = 0.
2.	4. TV-ступенчатый итерационный метод. Пусть выполнено условие 1, причем
min(a1,..., ап) = s < min(6li,..., 0n).	(29)
Пример 4. Пусть в условиях леммы 2 I = т = п. Тогда = ... ... — ап = р, a„+i = q. Так как на диаграмме Ньютона УР нет точки (1,0) и на концах любой грани диаграммы точки (mi,rii), (7712,712)
различны, причем тг + т2 / 0, то р < min(01,..., 0П). Поэтому неравенство (29) выполняется.
Лемма 4. Пусть выполнено условие 1, А = e“"+1 rin+h пусть
при an+i
при an+i
5? s + 1,
s,
(30)
гдеуоь коэффициенты ряда (5). Тогдах0 е Е^°~п, F(x° +£3с<р, А(е)) = = <?(|е|®+1) При Любых С U Т)п+1 .
Доказательство. Если an+i s + 1, то лемма очевидна. Поэтому достаточно рассмотреть случай an+1 С з. В силу условия 1 при Ci = £OiVi, ~ 1> • • • 1 п + 1, где £n+i — А, УР (9) примет вид
1^^) = 22 L^(i’a)=0-	(31)
Здесь на основании (10)
22	=G(’7i>--->’7n+i), J = l,...,n.	(32)
(i,a) = ej
Полагая в решении (5) уравнения (3) & = £air)i и пользуясь его аналитичностью, запишем (5) в виде
У = Уо+г(е,т]),	(33)
где
Уо =	22 yofc(77n+i£n+1)fc,
fc: fcttn+i
г(е,т?) = £2,>з+1 yiE1- Подставляя (33) в (4), придем к УР (31). Поэтому необходимо yok € Е%°~п при fcan+i < з и (ys+i, V’j)|v = 0 при г = 1,... ,pj — 1, где pj = Qj — s. Следовательно, 5° € Ef°~n. В силу (33) j =	(34)
Учитывая, что функция (33) удовлетворяет уравнению (3), запишем тождество
У° = nC^E^r/Wi +гу,е“"+177п+Л -г(е,т]). 1 '
Так как х° € Е^°~п, то справедливы тождества
F(x° +ESap,Ean+1Tln+l'j =у° - R(x° + E3Ctp,Ean+1T]n+1) =
= -r(£,r))+R('^2Eair)i<Pi+ry,£a''+1'nn+l}-R(x0+£3C<p,Ean+1r)n+l) = ^г=1
Г1	/ П	\
= -г(е, Т])+ Rx(. ..) de I 22 +Ty-X° ~ E3C<P I, Jo	\i=1	/
где
Rx(. . .) = Rx( Т° + ЕЯар + &( ^E^TJitp + Ty-X0-ESC(fl j,£“n+177n+i }
Ввиду (33) Гу - 2° = Гг(е,7?). Так как ||г(е, 7?)|| = 0(|e|s+1), а» > s, ||Л1(...)|| = 0(|е|) при Vc^i, то ||Г(20 + е\^е“"+177п+1)|| =0(Нз+1)-Лемма доказана.
Пусть выполнены условия 1, 2. Решение уравнения (1) будем искать в виде
х = V &Pi + 2°(A(s)) + Гус3, < fcl	(35)
A = 7?n+1£a"+1 =f Cn+1.
Здесь & = T]iEai, 77ДО) = 77°, i = 1,..., n + 1, 77* = 77°, * G {1,..., тг + 1}, x° см. в (30), y(0) = 0. Вектор r/° удовлетворяет условию 2. Неизвестные y(s) и т^Де), i = 1,..., п + 1, непрерывны в нуле и удовлетворяют системе
Esy = R(& + 2° + Гу£3,£n+1) - Вх° d= Ф(у, С),	(36)
(y,V’i)=O, i = l,...,n.	(37)
При этом ввиду леммы 4 lime_,o £-3Ф(у, С(£)) — 0-
Преобразуем систему (36), (37) так, чтобы выполнялись условия теоремы о неявном операторе в окрестности точки у0 = 0,77°,..., т/2— i, ^+1,---,’7п+1> е = 0 при ту* = 77°.
С этой целью, введя итерации в систему (36), (37), перейдем к системе
Е3у = Ф(Ф(...Ф(у,£),...,Ш),	(38)
N (Ф(Ф(...Ф(у,е),...,е),е),^) = о, i =	(зэ)
N
Здесь
Ф(Ф(... Ф(у. €),---,€),€) = Д((у + ГД((у + - + ГД((у + 2° +
N	N
+ гу£з,еп+1),...,еп+1),еп+1)-в2°, & = Еа^. (4о) Искомые у, 77 удовлетворяют этой системе. Разлагая правую часть в (40) в ряд Тейлора в окрестности точки £ = 0, получим
Ф(Ф(...Ф(у,о,...,е),е) = £ уГ(у,77)?.	(41)
г^я+1
Введем последовательность удг, где ум = £2i>3+1 У^(0,у)£г, N = 1, 2,...; уо = 0. Так как функция (33) удовлетворяет уравнению (3),
то функция £ Зг{г,г)'} = ^2{^з+1Уг£г 5 Удовлетворяет уравнению (36). При этом limjv_oo Уы = т,(£,у), в окрестности точки £ = 0 и легко доказывается индукцией, что у^' = yi,i = s + l,...,s-|-JV — 1.
Пустьр = max(pi,... ,рп), гдер^ = Oj — s, dj определены вусловии 1. Тогда при N р + 1,	= у,, i = s + 1,... ,тах(01,..., вп).
В ходе доказательства леммы 4 были получены тождества (у8+г,^)Ц = 0 при г = 1,... ,pj - 1 и тождества (у^-,^) = j = 1,..., п. Поэтому искомые 2/(е),	г = 1,..., n Н- 1 можно опре-
делять из системы
гу = £-5Ф(Ф(...Ф(у,е),...,е),е), < а	(42)
\£-0><Ф(Ф(. ..Ф(у, £),..., ШМ>) = О,
j = 1,..., п, при ГД = 7/°.
Систему (42) рассмотрим как одно операторное уравнение
К (и, е) = О,	(43)
где К: YxR1 —> У, Y = E2®Rn, и = (у, 771,... ,p.-i,p.+i,... .Wi) =f =f (У,??), K(uo,O) = 0 при u0 = (0,7]?,...,p?_i,p?+1,...,p°+1).
Оператор К в шаре s(uq, г) дифференцируем по и, Ки(ио,О) = ( О D '
Здесь D= 11^4^11	, detD/O.
K-1(Uo,0)=^
Поэтому уравнение (43) удовлетворяет условиям теоремы о неявном операторе [4]. Искомое решение и = (у,т)) можно найти методом последовательных приближений
ут = е-4(Л(Г-1^ + • • • + Г/?(Г-1Ф + £°(Ат-1) +
+ Гут_1£3, Am-1), • . . , Ат-1)) — 5г°(Ат-1), (44)
= тГ~1 - D-\ssym, Е(£)ф),	(45)
р™ = т/2 при Vtti, 77i = 1, 2,... Здесь Е(е) = ||е_^<У,7||1,7=1,...,п-
Последовательности Ут>Рт отвечает последовательность
[гЕт = ^£“*рГф£+2°(Ат) + ГУт£%
I \	__ т
V Лт — 77п+1,
сходящаяся к искомому решению (35).
Преобразуем итерационные формулы (44)-(46) к более удобному виду. Введем элементы о d£f _ ^m-l — хт-1,
- 4-1 =ГЯ(<-_11,АГп_1)+Г“1¥’, j =	(47)
=	N^p + 1.
Тогда формулы (44), (45) примут вид
Ут£ = О>т Rx (Ат—1),
^^-i-B-i^m.Ete)*),	(48)
причем ц™ = р*.
Окончательно, для построения искомой последовательности {хш(е), Am(s)} имеем формулу
п
Хт =	+	+	“ £°(А—1)-
* (49)
.Am = ^+1e“”+1,
где т = 1,2,..., шт, р™, i = l,...,n + 1, вычисляются по формулам (47), (48). За начальное приближение берем
п
гго = ^^PiTi + £°(Ао),
г=1
Ао = 77n+i£“"+I,
Р? = Р°,
где р° — решение полного ранга системы (13).
Из изложенного вытекает
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1, 2. Тогда уравнение (1) имеет решение (35), к которому сходится последовательность {хт, Ат}, определяемая формулами (47)-(49) при N Js р + 1, в окрестности 0 < |е| < г.
Замечание 4. В условиях теоремы 2 оператор-функция ^(^(е), А(е)), где (т(е),А(е)) — искомое решение, имеет полный обобщенный жорданов набор. Число pi + ... + рп, где pj —	— s 1, называют
корневым числом оператор-функции ^(^(е), А(е)). При этом ||Т?1-1(т(е), А(е))|| = О(|е|_maxpi), N 2, так какр > 1. Для получения в теореме 2 более точных оценок числа шагов N можно использовать лемму 1 или диаграммы Ньютона коэффициентов проекции QF.
Основные этапы TV-ступенчатого метода.
Подготовительный этап. Построение начального приближения То = Ya +£°(Ао), Ао = 77n+ieO,"+1-
Этап 2. Вычисление элемента шт по формулам (47). При этом потребуется решить N — 1 линейных уравнений.
Этап 3. Вычисление элемента Го»т.
Этап 4. Вычисление вектора 77т по формуле (48).
Этап 5. Вычисление хт и Хт по формуле (49).
2.	5. О регуляризации в смысле А. Н. Тихонова, модификациях и возможных обобщениях TV-ступенчатого метода Формулы (28), (48) ввиду структуры матрицы £?(е) имеют множители E~6j. От этой особенности в конкретной ситуации часто можно избавиться после некоторых преобразований и сокращений на соответствующую степень £. Если это не удается сделать, то для обеспечения устойчивости вычис
лений в окрестности точки ветвления можно использовать концепцию
регуляризации в смысле А. Н. Тихонова [41], сделав в (28), (48) замену е => е + sign б1', 0 < и < где 6 — максимальная абсолютная погреш-
ность вычислений. Тогда, согласно [32], рассмотренные итерационные методы будут регуляризующими алгоритмами в смысле [41].
Рассмотренные методы допускают модификацию, если уравнение (1) обладает симметрией, индуцирующей УР инвариантное относительно некоторой группы G [8, 9, 12].
Действительно, пусть [10]
В)	0 = по < ni < ... < nt = п, 1 I < п, и УР (9) потенциальное и обладает симметрией SOfa — n,_i) (0(2) при п, — п,_1 = 2) по г-й совокупности переменных ,+1,..., £п,0 = li • • • Д, F(О, А) = 0.
Введем проекторы
^(О)=ЕЬ(ГйаД)(ФцаД,
7Ц
3=71^-14-1
П£
'ФзО'гз-!
з=тц_14-1
г =	4-1 ’ • • • 1 ^ini) € -R
i=l
где
(Фг, *^г) =
(Ф.Л) =
Gw = 2=1
(Г,,<2г) s=ni-i + l
(ZijQ-i) —	2sdis,
s=ni_1 + l
i-1, |ai| = ... = |щ| = 1
Rn = Rni
—no
© 7?n2-ni
© ... ©Rn‘~n‘~l.
Вектор (Cl, - - -, Cn)z разложим в сумму l слагаемых
с носителями в подпространствах Rni п‘ *, г — 1,...,J. В каждом подпространстве введем свои сферические координаты & = fi{di, i = = l,...,i.
Лемма 5. Пусть выполнено условие В). Тогда для УР (9) при£г = = цгау, i = 1,..., I, справедливы тождества
п,
Нац = Д(М1,...,д(,А),	(50)
>=П;_1+1
при всяком а,{ 6 Si(0,1) С 7?ni“ni-1, г = 1,..., I.
Доказательство. На основании следствия 2 [8]
эу(Л(е),---Дг(е)) dis
dis
где j = ns^i + 1,..., n3, s = 1,..., Z, Is(£) = fn._,+i + • • • + Cn, = Мз-
Вектор (Lni_l+i,... ,Lniy умножим скалярно на вектор a,, г = = 1,..., I. В результате получим тождества (50).
Введем УР
J'(^,...,W,A) = O, i = 1,...,Z.	(51)
Пусть:
С)	система (51) удовлетворяет условиям вида 1, 2, причем соответствующий элемент х° (см. (30)) лежит в подпространстве Е^°~п.
Здесь в условиях 1, 2 п => I, элемент х° строится по формуле (30), в которой s = min(ai,..., а(), А = e“l+177[+i, ОЦ,..., ai+i отвечают УР (51).
Теорема 3. Пусть выполнены условия В), С). Тогда уравнение (1) имеет d-параметрическое решение
I
* = 5>“^(*<Л) +£°(А(е)) +о(П,
1
А = £“'+• 77;°+1 + о(е“'+* ).
Последовательность хт, Ат, определяемая формулами (47)-(49), в которых сделаны замены
I
п=>1,	&=>^TEaiT]i($i,di), Ф => ((-01,51),..., (0г, at))',	(52)
1
сходится к этому решению при всяком а £ зДО, 1).
Доказательство заключается в повторении схемы доказательства теоремы 2 с заменой (52) и использованием вместо условий разрешимости (37) условий
(у, (Ф;,аД) = 0, i = l,...,Z.	(53)
Условия (53) отвечают УР (51).
Таким образом, если выполнены условия В), С), то //-ступенчатый итерационный метод, модифицированный на основе УР (51), позволяет строить а-параметрические семейства решений при всяком а.
Возможен и другой подход к проблеме, когда уравнение (1) инвариантно относительно некоторой группы G. В этом подходе методом ЛГ-ступенчатых итераций предварительно строится решение т(е), А(е) уравнения (1) в подпространстве
E^° n ф span(</?!,...,	1 < r < n.
Затем решение продолжается на все пространство Е\ с помощью преобразования Lдх, где Lд — представление группы G в пространстве Е\.
Действительно, пусть УР (9) удовлетворяет условиям:
D)	Р(С1, • - - ,£n, A)|g=0 = о, j = т + 1,...,п-
Е)	система
^(si, • • • ,6-,0, • • •,О, А) = О, j = l,...,r,	(54)
удовлетворяет условиям 1, 2 (или условиям 1 и А), в которых положено п => г, j = l,...,r, А = 6+1-Если выполнены условия D), Е), то существует вектор
7]° =(77?,...,77г°,О,...,О,77° + 1), удовлетворяющий системе (13), причем
дгц
rank
j=i
Лемма 6. Пусть
F: Е?°~п ф span(pi,... ,<рг) -> Е£°~п фspan(zi,. ..,zr).
Тогда условие D) будет выполнено. Если при этом выполнено и условие Е), то
rank
дгц
Доказательство вытекает из построения УР (9) и тождеств
R ( 57	Л Ь ^3 / = °’
\ x / /
справедливых при любых £1,... ,6- и любом у из Е%° п ф span(zi,... ...,zr).
Лемма 7. Пусть УР (9) порождает потенциальное векторное поле, потенциал которого является инвариантом I-параметрической непрерывной группы G, имеющей полную систему (Д (£),..., Д-(£))> п — г Sj I функционально-независимых инвариантов, причем все 44^	= 0 при j = г + 1,..., п. Тогда условие D) будет выполнено.
"6 kj=o
Доказательство следует из тождеств
Tj A dv dik hdIkd^'
j = 1,..., n,
справедливых на основании теоремы 4 из [9, с. 113].
Пусть выполнены условия D), Е), и соответствующий вектор х° (см. (30), где п => г) лежит в подпространстве Е^~п. Тогда справедлив следующий результат.
Теорема 4. Пусть УР (9) удовлетворяет условиям D), Е), Рх 0 = 0. Пусть система (54) удовлетворяет условиям 1, 2, где п => г. Тогда уравнение (1) имеет малое решение ге(е) —» 0, А(е) —> 0 при е —> 0, к которому сходится N-ступенчатый итерационный метод. Если система (54) удовлетворяет условиям 1 и А), где п => г, то сходится и одноступенчатый итерационный метод. При этом ге(е) G G E,J’o-n+r. Если, кроме того, уравнение инвариантно относительно I-параметрической непрерывной группы G, то при А = А(е) уравнению (1) удовлетворяет параметрическое решение Lgx(e), где Lg — представление группы G в пространстве Ei, Lgx{e) G Е\.
Доказательство. В силу условий D), Е) вместо условий (37) воспользуемся условиями (у,-ф^ = 0, i = 1,...,г. Положив п => г, повторим схему доказательства теоремы 2 в случае условий 1, 2 или схему доказательства теоремы 1 в случае условий 1 и А).
Заключение. Сравним области возможных применений теорем 3, 4. Если выполнено условие В, то для решения уравнения (1) можно использовать как теорему 3, так и теорему 4. Действительно, на основании леммы 5 L:1 _0 = 0, j = 1,..., п. Поэтому условие D) теоремы 4 выполнено. При проверке условия Е) теоремы 4 в качестве УР (55) с учетом леммы 5 можно взять систему
dV
Lns = gj-2^n, = °, s = l,...,Z,
где Is = С2, -
В общем случае область возможных приложений теоремы 4 шире области приложений теоремы 3. В самом деле, в теореме 3 ввиду условия В) УР должно быть потенциальным и инвариантным относительно определенных групп вращений. В теореме 4 это, вообще говоря, не необходимо.
В данной работе предполагалось, что А — числовой параметр. Можно, однако, аналогичные результаты получить в случае, когда A G Л, где Л — нормированное пространство. Именно, пусть А = tp, где д 6 Л, IImII = 1, t G (—00,00). Тогда коэффициенты УР (9) зависят от р и £ G Rn. Если р фиксирован, то все предложения, очевидно, сохраняются. Если р произвольный единичный вектор из некоторой с-звезды в Л, то для сохранения результатов следует потребовать, чтобы в условии 1 \LJmv(p)| к > 0, к = const, и в условии 2 р°(р) было решением полного ранга при Уд из этой с-звезды.
3. Сплетаемые и потенциальные уравнения разветвлиния
Разветвляющиеся решения нелинейных уравнений могут зависеть от свободных числовых параметров. Если при этом задача инвариантна относительно некоторой группы преобразований [13], то все или часть свободных параметров имеют групповой смысл [8, 9, 12]. Например, в случае сферической симметрии свободные параметры оказываются точками сфер в конечномерных евклидовых пространствах. Впервые идея групповой симметрии в теории ветвления [4] была использована В.И.Юдовичем [43]. Фундаментальные.результаты в этом направлении при условии групповой инвариантности уравнения получены в работах Б. В. Логинова и В. А. Треногина [8, 9, 12]. Потенциальные уравнения разветвления изучены в работах [18, 19, 24, 38, 40, 48, 58, 59]. Эти результаты, работы D. Н. Sattinger [54], A. Vanderbauwhede [60], M.Go-lubitsky, В. L. Keyfitz, D.G. Schaeffer [46], а также работы, использующие теорию особенностей, стимулировали большое число исследований различных авторов и нашли многочисленные приложения в естествознании, технике (см. библиографию в [8, 9, 19, 47, 54, 60, 63]) и в теории приближенных методов.
Теорема Логинова-Треногина о наследовании групповой симметрии [13] открыла новый путь эффективного использования [8] методов группового анализа дифференциальных уравнений [14] в теории бифуркаций.
В теории ветвления решений область расположения свободных параметров необходимо знать как при качественном и асимптотическом анализе [3, 4, 9, 54, 63], так и при разработке приближенных методов [19-23, 47, 49]. Соединение результатов теории ветвления и приближенных методов является актуальной проблемой при решении важных прикладных задач [44, 46, 50, 52, 61, 63]. Отметим, что в ряде приложений [50, 56, 61] уравнение разветвления решений является потенциальным [58]. Поэтому особенно важен случай потенциальных уравнений разветвления.
Использование понятия сплетающего оператора и потенциальных уравнений разветвления позволяет упростить вычисления и рассмотреть различные классы решений с единой точки зрения. Подобная теория справедлива и при более слабых условиях сплетения уравнения в двойственной (координатной) трактовке [24, 26, 55].
Ниже на основе работ [8, 12, 18, 19, 24-26, 58, 59] изложен в координатной форме анализ появления свободных параметров в разветвляющихся решениях общих нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Приведены приемы упрощения уравнений разветвления, расширяющие в нелинейном анализе возможность эффективной алгоритмизации методов теории ветвления [1, 4, 11, 22, 23]. Важную роль при этом играют результаты о потенциальных уравнениях разветвления [18, 31, 36, 58, 59].
3.1. Свойство сплетения и его наследование уравнением разветвления. Пусть X, Y — вещественные банаховы пространства, А — норми-
рованное пространство. Рассмотрим задачу построения малых решений ,г(Л) —» 0 при А —> О уравнения
F(.t.A) =ГВт-Я(т,А) =0.	(1)
Здесь В : D С Л' —» Y — замкнутый нетеров оператор с плотной в X областью определения; сбшЛ'(В) = n > 1, dim//(В*) = тп > 1. Нелинейный оператор R: Q с А" х Л —♦ Y предполагается определенным, непрерывным и непрерывно дифференцируемым по х в смысле Фреше в окрестности нуля Q; причем 7?(0,0) — 0, 7?х(0,0) = 0.
Пусть {^,}'‘=1 — базис в N(B),	— базис в //(В*), {7«}”=ц
— соответствующие биортогональные системы из X* и Y. Введем проекторы
п	т
t=i	t=i
порождающие прямые разложения |4]
Л' = Л"’ е А~-", Y = Ym ф Уоо_т.	(2)
Обозначим через В сужение оператора В на X°°~nC\D и положим В+ = =	— Q). Очевидно, что В* € Л(У, А’°°-п) и имеют место равен-
ства А’(В~) = УИ!, ВВ~ = I - Q. В+В = I-P.
Ввиду равенств (2) и свойств оператора В+ все решения уравнения (1) могут быть представлены в виде
т=(е^-)+в+у,	(з)
где %?) = Vj fjc,. е В: р € У'к_т. Поэтому уравнение (1) эквивалентно системе
g.- = /?"(£. i?) В*у. А).	(4)
ед? = 0- i = 1,..., т.	(5)
А равнение (4’ на основании теоремы о неявных операторах при £ —> 0, А —» 0 имеет единственное малое решение у = у((£, у?), А). Подставив это решение в (5). придем к системе разветвления
ОЛС>-Ч'=	=0, t =	(I)
Если оператор В Фредгольмов, то в (3) вместо псевдообратного оператора В^ можно использовать оператор
(га	\— 1
е£ХА’).
СЬпметнж чт’0' операторы на Г связаяы равенством
га
r =	+	(6)
л=В
Уравнение разветвления, полученное с помощью оператора Г, в дальнейшем будем записывать в виде
Л;(£,А)=0, г = 1,...,п.	(I')
Определение 1. Если существуют линейные операторы S G € ЦХ), К 6 L(Y) такие, что PS = SP, QK = KQ и
BS = КВ на D, R(Sx, А) = KR(x, А) на Q,
то уравнение (1) будем называть (S, К)-сплетаемым.
В качестве операторов S, К можно рассматривать, как в [8, 9, 12], представления группы G в пространствах X и Y соответственно, если уравнение (1) инвариантно относительно группы G. С другой стороны, это могут быть и необратимые операторы. Поэтому дадим следующее определение.
Определение 2. Если существуют линейные операторы S G G ЦХ), К G L(Y) такие, что PS = SP, QK = KQ и
BS = К В на D, R(Sx, А) = KR(Sx, А) на Q,
то уравнение (1) будем называть (S2, К)-сплетаемым.
В определении 2 в качестве операторов S и К можно рассматривать, например, проекторы на подпространства
xoo_(n_g) def х е span{y4+i	J,
^oo-(m-p) ~YQ span{zmp+], . . . , Zm<n },
если R: X°°-<n-9) xA^ Yx_(m_py
Отметим, что из равенства PS = SP вытекает инвариантность линейной оболочки Х*п = span{7i,... , 7П} относительно оператора S*, а из равенства QK = KQ — дефектного подпространства = N(B*) относительно К*.
Пусть действие оператора S на инвариантном подпространстве Хп определяется равенствами
= Qjtyji At = [йо]^-=1,	(7)
j=l
а действие К* на Y£ — равенствами
т
К^ = ^Ь^, В = [Ьо-]£=1.	(8)
j=i
Наряду с (3) будем искать решения уравнения (1) в виде
х = (СЗД + B+ys,	(3')
где у3 = у((£, S<p), А) — единственное малое решение уравнения
y = R^,S<p) + B+y,X),	(9)
а параметр £ £ Rn теперь ввиду равенства (7) определяется системой разветвления
6i(^,A) = (2/((e,M1A),V’i)=0, z=l,...,m.	(П)
Лемма 1. Если уравнение (1) (S, К)-сплетаемое, то В+К = SB+. Если при этом оператор В Фредгольмов, то ТК = 5Г тогда и только тогда, когда А — В.
Теорема 1. Пусть уравнение (1) (S, К)-сплетаемое. Тогда уравнение разветвления (I) наследует свойство сплетения, т. е.
е(А$,х) = ве^,х).	(ю)
Если во фредголъмовом случае, кроме того, А = В, то уравнение разветвления (I') наследует свойство сплетения в виде
ЦА£,Х) = AL(£,X).	(11)
Доказательство. Уравнения (4), (9) имеют единственные малые решения у —	X) и Уз = j/((£, 8<р), А) соответственно. С другой
стороны,
/<!/((£, ?), А) = KR((g, ч>) + В+у((е, ¥>), А), А) =
= fl((£,^) + .B+tfy((£^),A),A), т. е. уравнение (9) наряду с решением ys имеет решение Ку. В силу единственности малого решения уравнения (9) они совпадают и
(у((С S^), А), V’,) = (</((£, <д), А), К*ф<), i = 1,..., т.
Последнее равенство ввиду (7), (8) и есть (10).
Доказательство равенства (11) во фредгольмовом случае проводится аналогично и также использует лемму 1.
Замечания. 1) Если S = I, К2 = К, то В2 = В и имеет место равенство ©(£, А) = BQ{£, А), т. е. возможна редукция УР по числу уравнений. Если S2 — S, К = I, то А2 = А и имеет место равенство ©(£. А) = Q(A£, А), т. е. возможна редукция УР по числу переменных.
2) Если det В 0, то УР (I) и (II) эквивалентны. Если det >1 А 0, то все малые решения уравнения (1) представимы в виде (3') с условием (II).
3) Если в условиях теоремы 1 уравнение (1) инвариантно относительно группы G, а операторы S, К ее представления в X и Y, то мы приходим к известному результату о наследовании групповой инвариантности УР [8|. В частности при S = К = —I, уравнение (1) будет нечетным по т и соответственно УР (I), (I') нечетны по £.
Теорема 2. Пусть уравнение (1) (S2, К)-сплетаемое. Тогда при любых £, X из окрестности нуля вектор 0(<4£, А) является неподвижной точкой матрицы В, т. е.
В&(А£, А) = Q(A£, А).	(12)
Доказательство. Рассмотрим последовательность
Ук = R((£,Stp) +В+ук_1,Х), к = 1,2,...,	(13)
где уо = 0. Последовательность (13) сходится к единственному малому решению ys уравнения (9). Индукцией по к проверяется справедливость равенств ук = Кук, к = 1,2,... Поэтому
(Ук, ф) = В{ук, V>), /с = 1,2,...	(14)
Переходя в (14) к пределу при к —» оо получим искомое тождество 0(Л£,А) = 0О(Л£,А).
О п ред ел ен и е 3. Если выполнено равенство (10) (равенство (12)), то будем говорить, что УР (I) (Л, В)-сплетаемое ((А2, В)-сплетаемое). Если же при этом -4(a), В(а) — параметрические семейства матриц, то будем говорить, что УР (I) а-параметрически сплетаемое.
Теоремы 1 и 2 дают достаточные условия сплетаемости УР.
(Л, В)-сплетаемые и (Л2, Д)-сплетаемые УР (I) с вырожденной матрицей В подробно рассмотрены в [24, 55], где показано, как в этом случае следует сокращать число уравнений в системе разветвления и строить параметрические семейства решений.
3.2. а-параметрически сплетаемые УР (I). Пусть уравнение (1) (S(a), АГ(о:))-сплетаемое. Тогда на основании теоремы 1 УР (I) «-параметрически сплетаемое, т. е. при всех а ёСи(, Айз окрестности нуля имеет место равенство
0(Л(а)£,А) = В(а)0(£,А).	(15)
Здесь G — область в R1, содержащая нуль, Л(«), В{а) — параметрические семейства матриц такие, что -4(0) = Е, detB(a) / 0 при а £ G.
Положим
У/ — spanl^m,,..., zTrtq},	Уп—g = span(zmg+1,..., zmm },
где 1 q т — 1, mj,..., тт — перестановка первых т натуральных чисел.
Множество o(z) = {A'(o:)z: а G G} назовем траекторией элемента z из Ym, отвечающей оператору К (а).
Будем говорить, что траектория o(z) элемента z из Ym проходит подпространство Yq, если существует az £ G такое, что K(az)z £ Yq. Пусть z £ Ym-q. Если существует az £ G такое, что K(a.z}z Ут-д, то будем говорить, что траектория o(z) не остается в Ут-д-
Замечание. Если К(а) — группа линейных операторов, действующая в Ym q-стационарно (см. определение в [12]), то траектория любого элемента z из Ym проходит Yq.
Положим
Л™ = {с £ Rm: Cm. = 0, i = q + 1,..., т},
R™_q = {cCRm:	=0, z = l,...,q}.
Множество o(c) = {B(«)c: a £ G} назовем траекторией вектора с из Rm, отвечающей матрице В(а). Прямой проверкой доказывается следующее утверждение.
Утверждение 1. Траектория о(с) любого вектора с из Rm проходит подпространство R™ тогда и только тогда, когда траектория o(z') любого элемента z из Ym проходит подпространство Yq. Траектория любого ненулевого вектора с из не остается в R^-g тогда и только тогда, когда траектория любого ненулевого элемента z из Y-m-g не остается в Yln-q.
В матрице В(о) выделим миноры
*9 /ГПд+1 . . .	f ТПу * . . ТПд X
1 \ 1	... mJ' 2 \mq+i ... тт J '
соответствующие им матрицы размерностей (m — q) х т и q х (m — q) обозначим через БДа) и #2(а)- Из вида матриц В2(о:) и невырожденности матрицы В(а) вытекает следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть выполнено одно из следующих условий:
1)	q т/2 и существует Qq Е G такое, что гапкБДод) = т ~ q;
2)	q т — 2 и хотя бы одна строка матрицы В2(а) состоит из линейно независимых функций',
3)	траектория о(с) любого вектора с из Rm проходит R™.
Тогда траектория любого ненулевого вектора с из R™_4 не остается в R^-g-
Теорема 3. Пусть при всех a g G пара (£*, А*) удовлетворяет q уравнениям системы разветвления (II), т. е.
0т.(Д(а)Г,А*)=О, z = l,...,q.	(16)
Пусть, далее, траектория любого ненулевого вектора с из R™_g не остается в R^_q- Тогда при всех a g G пара (£*, А*) удовлетворяет полной системе разветвления (II).
Доказательство. Согласно (15) и (16) при всех а € G имеем
771
£вт,Да)0ДГ,А*)=О, i = l,...,q.	(17)
j=i
Так как .4(0) = Е, согласно (17) имеем 0т;(^*,А*) = 0, г — 1,..., q. Следовательно, 0(£*,А*) е R^,-q- Предположим, что 0(£*,-^*) / 0. Тогда, в силу второго условия теоремы, найдется а' £ G такое, что хотя бы для одного г, 1 г q
m
£вт;Д^)0ДС,А*)/О. j=l
Но в силу (17) это невозможно. Значит 0(£*,А*) = 0 и согласно (15) пара (£*, А*) при всех а € G удовлетворяет полной системе разветвления (II).
3.3.	Сплетаемые уравнения разветвления потенциального типа. Уравнение разветвления (Г), удовлетворяющее в окрестности нуля условию
L(£,X)=d^U(£,X),
где detd 0, называется УР потенциального типа, а функция U — его потенциалом.
Свойство 1. Пусть уравнение (Г) а-параметрически сплетаемое. Пусть, далее, существует од £ G такое, что det Л(сщ) / Ои
Ь(.4(ад)£, А) = grad^ [/(£, А).
Тогда (I') — УР потенциального типа с d = Л(ад)-1.
Теорема 4. Пусть уравнение (1) (S (а), К (а))-сплетаемое, причем _4(од) = В(ао) и det _4(од) / 0. Пусть, далее, матрица
||(Л1(/-ГД1)-15(а0)^,^)||^=1
симметрична в окрестности нуля. Тогда (I) — УР потенциального типа с d = .Д(ад)1-
Следствие 1. Пусть уравнение (1) (S(a), К (а))-сплетаемое, причем -4(ад) = £(од) и det_4(o!o) / 0. Пусть, далее, все матрицы
п
is(a0)^a
3 = 1
, m = 0,l,...,	(18)
i,k=l
симметричны в окрестности нуля. Тогда (I) — УР потенциального типа cd = -4(од)-1.
Симметризующие операторы, введенные в [58], позволяют получить достаточные условия симметрии матриц (18).
Пусть A: D(A) С X —* У, J: У —> X* — линейные операторы, Р: X —♦ X — проектор, такой, что P(D(A)) с D(A).
Лемма 2. Пусть J = Р* J на R(A). Тогда оператор JА симметричен на D( A') тогда и только тогда, когда:
1) J А — JAP на D(A),
2) P*JАР симметричен на D(A).
Лемма 3. Пусть С: D(C) С X —> У — непрерывно обратимый линейный оператор и оператор JC симметричен на D(C). Тогда
{C~1y1,Jy2) = (C-1y2,Jyi), У1,У2^У-	(19)
Если при этом R(C~1A) С D(A) и оператор JA симметричен на D(A'), то все операторы 7Л(С-1Л)7П, т = 0,1,..., симметричны на D(A).
Положим	п
B = B + ^;^Zi.
1=1
Следствие 2. Пусть
п
l,fc=l
где Aik = Аы- Тогда оператор JB симметричен на D(B), а оператор 7*Г симметричен на У.
Следствие 3. Пусть В — фредгольмов оператор и существует оператор J € £(У,Х*) такой, что:
1)	оператор JB симметричен на D(В);
2)	оператор JRx(x,X') симметричен на D(B) при всех (х,Х) из окрестности нуля (wiuQRx(I — Р) = 0 uonepamopJRx симметричен наЩВУ);
3)	J*<p = Аф.
Тогда все матрицы
R^R^Pk^Ais^) , m = 0,l,...	(20)
s=l / i,k=l
симметричны при всех (х, А) из окрестности нуля.
Из изложенного вытекает следующий результат.
Теорема 5. Пусть уравнение (1) (S(a), К (аУ)-сплетаемое, причем Л(а'о) = B(cto) и матрица Д(о?о) обратима. Тогда, если выполнены условия следствия 3, уравнение разветвления (Г) потенциального типа.
Рассмотрим свойства потенциала уравнения разветвления потенциального типа.
Свойство 2 (Л-инвариантность потенциала). Пусть уравнение разветвления (I') (Л, Л)-сплетаемое потенциального типа, причем матрица А невырожденная. Тогда потенциал U Л-инвариантен тогда и только тогда, когда
AdA = d.	(21)
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что U(0, А) = 0. Тогда, в силу потенциальности уравнения (!') и теоремы Лагранжа о конечных приращениях,
С7(£,А) = [ (d-'L^X^dO.	(22)
Jo
Далее, в силу потенциальности и (Л, Л)-сплетения
c/grad6f7(e,A) = Д-Ч^е.А).
Откуда, снова применяя теорему Лагранжа, получим
t/(C,A)= [ (d~1A~1L(OA^,X),^')dO.	(23)
Jo
Положим в (22) £ => _4£. Тогда
U(A£,X) = [ (d~1L(0A^,X),A^)d0.	(24)
Jo
Потенциал U Д-инвариантен, если В(£,А) = В(Д£,А) при всех £, X. Последнее равенство в силу (23) и (24) будет выполнено тогда и только тогда, когда
[ ((Ad-1 — d~1A~1)L(0A^,X'),^') dd = 0
Jo
при всех А, т.е. если A'd~l — d~1A~1 = 0. Что эквивалентно равенству (21).
Из известных сведений [9, § 18) о представлении любого инварианта вытекает следующий результат.
Свойство 3 [9, с. 113]. Пусть -4(a) — параметрическая непрерывная группа матриц, {J\,..., Ji] — полная система функционально независимых инвариантов этой группы. Уравнение разветвления (!') a-параметрически сплетающее потенциального типа, причем A(a)dA'(a) = = d. Тогда
U = U(Ji,...,JhX).	(25)
Пусть £(а) — параметрическое семейство матриц размерности п х I, где 1 I п — 1 такое, что для любого £ £ Rn найдутся а € G и ц £ R1 такие, что £ — Тогда при определении структуры (25) потенциала U может оказаться полезным и следующее простое наблюдение.
Лемма 4. Пусть выполнены условия:
1) C7(7(a)C) = а £ G-
2) T(a)t(—а) = К, а g G, где К — постоянная матрица размерности п х I.
Тогда
U(£) = U(Kp).	(26)
Если при этом существуют (pj — 1) -однородные отображения AJ : Rn —» Rn, j = 1,..., I такие, что то
j =	(28)
3.4. a-параметрически сплетаемые УР и представление решений во фредгольмовом случае. Пусть уравнение (1) (S(a), К(а))-сплетаемое, причем В — Фредгольмов оператор и Л(а) = В(а). Тогда
L(X(a)e,A) = 4(a)L(e,A).
Будем строить искомые решения уравнения (1) в виде
х = (/z, S(a)<p) + Гу.	(29)
Здесь у £ Уоо-п, Ц € Лг, 1 < I п - 1, <р = (<рПо+1,... ,<рП1_, + 1), 0 — П/Q	—1	— П/.
Отличие представления (29) от (3) состоит в использовании псевдорезольвенты Шмидта Г вместо псевдообратного оператора В+ и в выборе векторов р, (р в подпространствах меньших размерностей.
Так как S(d)lp =	где t'(pi) — матрица размерности I х п,
то (29) можно переписать в виде
х = (t(a)p,, <р) + Гу.	(30)
В формулах (29), (30) элемент у — единственное малое решение уравнения
у = Я((д,ад^)+Гу,А),	(31)
а параметр p. определяется из системы разветвления
А) =	S(a)£), А),^) =о, i = l,...,n.	(32)
Покажем, что при соответствующем выборе S(a) и (р все малые решения уравнения (1) исчерпываются формулой (30), причем число уравнений в системе разветвления (32) можно понизить.
Определение 5. Отображение
(p,S(a)ip): R1 х G -> D,	(33)
где D С Хп, назовем G-сюръективным на D, если для любого <р из D найдутся a £ G и р £ R1 такие, что (д, S(a)<p) = ip.
Пусть S{a)(p = ((а^а), у?1),...,	, где
Tit
(aW) = 52	* =
j=n;-i + l
Тогда в (30) t(a) = ||a1(a),..., а1 (а)|| — блочно диагональная матрица размерности п х I и ввиду тождества (д, S(a)<p) = (t(a)p, <р) справедливо следующее свойство.
Свойство 4. Отображение (33) G-сюрьективно на X71 тогда и только тогда, когда отображение £(а)д: Rl х G —» Rn G-сюрьективно на Rn.
В приложениях столбцы а1(а) матрицы t(a) обычно задают параметризацию поверхности д, определяемой некоторой системой J»(£*) = = 1, i =
Разложим пространство Rn в прямую сумму подпространств
Яп = Я"1_ПоФ...Ф^1_Пп_,.
В каждом подпространстве R^-m-i зададим р;-однородную положительную форму Ji независимой переменной £г =	, CnJ, i =
= 1,...,/. Обозначим через д множество решений соответствующей системы Л(С) = 1, г = 1,   • и назовем его поверхностью в Rn.
Свойство 5. Пусть формы	определяют поверхность д,
а вектор (a1 (а),..., az(a))', а 6 G, задает ее параметризацию. Тогда отображение
I
R‘xG^Xn
i=l
G-сюръективно.
Введем такое условие.
F) Пусть при всех а € G в окрестности точки д = 0, А = 0 выполнено равенство
L(t(a)p, А) = Ь(а)/(д, А),
где матрица 6(a) размерности п х I при всех а G G имеет полный ранг I, l(p,X) = (ll(p,X),...,ll(tp,X))'.
Выполнение условия F) нетрудно проверить на основе результатов [8, 9] в случае УР потенциального типа [59].
В самом деле, пусть УР удовлетворяет условию
G)
L(£,A) = dgrad^ £/(£, А),
где det d О, U = U(Jlt..., J;, А), 1 п — 1,	—> R —
Pi-однородные положительные формы независимых переменных £* = = (Cnj-i + l? • • • 7 ^П,)] * = 1)  •  ,1-
Введем систему уравнений Ji =	= 1, задающую в /?п
поверхность д, поверхности di = {а* £	: Л(а’) = 1} и век-
тор-функции аг = а‘(а), а £ G, i = 1,..., I, задающие их параметризацию.
Отметим, что в любой точке поверхности д
rank
dJi
г=1,.
j=l»
Пусть
н)	Л(а) = M’fc(a)||'ife=1,
где .4lfc — блоки размерности (п, — П{_1) х (тц, — n^-i), причем в диагональных блоках А1' первые столбцы а* (а) задают параметризацию поверхности d, а остальные элементы столбцов матрицы с номерами 1, rii + 1, • • •, ni-i + 1 нулевые.
Положим
t(a) = ||а*(а) ... а^а)!! и 5(а)р = t'(a)<p.
Тогда из условия G) следует, что
г / / х А , Л d Js dU
Li(t(a)p.,X) =	— , i = l,...,n,
fc=l s=l	3
где
=asfc(a)^"1.
Так как rank ||asfc(a)llk=i’ ’n = Л(Мга’) = P-i'i1 = I,---J, то выполнено условие F), где

Ь(а) =
n
fc=i
(34)
Теорема 6. Пусть выполнены условия G), Н). Тогда все малые решения уравнения (1) представимы в виде (29), где параметр р £ R1 удовлетворяет I уравнениям разветвления
1(ц,Х)=! b^\a)L(t(a)iiyX) = O,	(III)
не зависящим от параметра а с матрицей Ь(а), определенной е (34).
Замечание 1 (о расслоении области свободных параметров). В условиях теоремы 6 в решении (29)
I	TLi
(м, ?(«)<?) = 52 £ г=1 j=n£_i + l
где параметры аг(а): G —>	г — 1,..., I, остаются произволь-
ными точками гиперповерхностей в Rn, являющихся геометрическими образами непрерывной группы преобразований S(a) I элементов из N(B'). Таким образом, область свободных параметров, входящих в решение (29), расслаивается на гиперповерхности в Rn.
Покажем, что теорема 6 позволяет строить а-параметрические ветви решений методом последовательных приближений.
В самом деле, пусть
7?(т, А) = 7?oiА + 52
г+к^2
при (т, A) G П.
Множества Mj = {(г,к): {Rik(x),i/jj) ф 0}, j — 1,...,п, назовем носителями коэффициентов проекции QF.
Введем условие
К) Пусть диаграммы Ньютона множеств Mj имеют параллельные грани pi + qk = 0j, j = 1,..., n, где p, q, 9j G 7V+, p/q = N + m/q, N G {0,1,...}, Tn G {1,..., </}, Rqic = 0, к = 1,..., TV, QRqn+i = 0.
Пусть далее наряду с К) выполнено условие F).
Введем функции Iqs : Rl	R1, 1 I п — 1, s = 1,..., I,
П	j	1
Мм) =f 52Ь*»( 52 Rik((t(a)p,q>) +x°),^j\.	(35)
j = l	'pi+gk=9j	'
Здесь x° = 0, если m G {1,..., q — 1}, и x° = Г-Rtw+i! если m = q. Матрица Ь1(а) суть левая обратная к матрице Ь(а) из условия F).
Пусть — простое решение системы
М) = 0.	(36)
Пусть, кроме того, выполнены условия F), К). Тогда, на основании теоремы 6 и теоремы о неявном операторе при А = еч каждому простому решению р° системы (36) отвечает а-параметрическое решение уравнения (1) х = х(е, а) —> 0 при £ —> 0, причем
х ~ ((t(a)g°, + ГТМ+1)ер,	(37)
если p/q = N + 1, и
х ~ (Т(а)ц°, <р)£р,	(38)
если p/q 0 N+. При этом
Рх ~ (t(a)p°, <р)£р, (I - Р)х ~ FT?07v+1£p+’-Tn.
Более того, при А = Ед последовательность
хт — (t(a)p.m,<p)Ep+ Гут£г, т = 1,2,...,	(39)
где
Ут = £-гЛ(тТп-1,£9),	(40)
I	п
Р? = мГ1 - Е A,	+
s=l	J=1
+ егГут,£9),^), i =	(41)
D= dZOs(M°) -1 дрк
Уо = 3/(О)5 сходится к решению т(е, а) уравнения (1) в окрестности точки е = 0 при всех а £ G.
Доказательство сходимости последовательности в частном случае приведено в работе [23]. В общем случае оно аналогично и изложено в препринте [24].
Замечание 2. Итерационным формулам (39), (40) можно придать более компактную форму:
хт = (t(a)pm, у?) + £m, m = l,2,...,
где хт — решение линейного уравнения
R^m = R(-£m—
р- = р—1 -	у>) + хт, е’), Ф(£)),
ф(£) = (£-01+р^,...,£“^+рК)', яо=Гу(0)£г, Р° = М°£Г.
Заключение. Изложенные результаты позволяют применить метод последовательных приближений [22, 23] при построении параметрических разветвляющихся решений. В случае а-параметрически сплетаемых уравнений разветвления потенциального типа возникает явление расслоения области свободных параметров, входящих в решение, на отдельные гиперповерхности. В приложениях этому соответствует разложение пространства коэффициентов проекции решения Ррцв)1 на прямую сумму подпространств с введением в каждом из подпространств своей системы координат. Разумный выбор этой системы позволяет сократить число уравнений в системе разветвления и зависит от симметрии задачи, точнее от инвариантов потенциала системы разветвления.
Условия сплетения находят применение и при решении дифференциально-операторных уравнений с вырождением [14, 29, 42].
Список литературы
1.	Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. — М.: Наука, 1998. — 288 с.
2.	Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. — М.: Гостехиздат, 1956.
3.	Вайнберг М. М., Треногий В. А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие // Успехи мат. наук. — 1962. — Т. 17, вып. 2.
4.	Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 528 с.
5.	Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука, 1979.
6.	Ермилова Н. В., Марканова Д. Ю. Итерационные методы построения разветвляющихся решений в случае квазилинейной главной части уравнения разветвления // Приближенные методы анализа. — Иркутск: ИГПИ, 1997. - С. 54-63.
7.	Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1964.
8.	Логинов Б. В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия // Вестник СамГУ. — 1998. — №4 (10). — С. 15-70.
9.	Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. — Ташкент: Изд-во ФАН, 1985.
10.	Логинов Б. В., Сидоров Н.А. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации // Матем. сб. — 1991. — Т. 182, №5. — С. 681-691.
11.	Логинов Б. В., Сидоров Н.А. Общий метод построения уравнения разветвления и некоторые способы его исследования // Неклассические задачи математической физики. — Ташкент: ФАН, 1985. — С. 113-145.
12.	Логинов Б. В., Треногин В. А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений // Матем. сб. — 1971. — Т. 85. — С. 40-45.
13.	Логинов Б. В., Треногин В. А. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления // ДУ. — 1975. — Т. 11, №4. — С. 1518-1521.
14.	Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
15.	Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мате-мат. наук. — 1994. — Т. 49, вып. 1. — С. 47-74.
16.	Сидоров Н.А. Ветвление решений нелинейных уравнений с потенциальными системами разветвления // Дифференц. и интегр. уравнения. — Иркутск: ИГУ, 1980. — С. 136-154.
17.	Сидоров Н.А. Начальная задача для дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором в главной части // Вестник Челябинского ун-та. Сер. 3. Математика, Механика. — 1999. — №2. — С. 103-113.
18.	Сидоров Н. А. О неявной параметризации решений системы разветвления Ляпунова-Шмидта // Известия вузов. Математика. — 1998. — № 11. (Деп. ВИНИТИ №2475-13-98.)
19.	Сидоров Н.А. О ветвлении решений нелинейных уравнений с потенциальным уравнением разветвления // Доклады АН СССР. — 1981. — Т. 256, №6. - С. 1322-1326.
20.	Сидоров Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. — Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1982. — 312 с.
21.	Сидоров Н. А. О явной параметризации решений нелинейных уравнений в окрестности точки ветвления // Докл. РАН. — 1994. — Т. 336, №5. — С. 592-595.
22.	Сидоров Н.А. Параметризация простых разветвляющихся решений и итерации в нелинейном анализе // Известия вузов. Математика. — 2001.
23.	Сидоров Н. А. Явная и неявная параметризация при построении разветвляющихся решений итерационными методами // Матем. сб. — 1995. — Т. 186, К’2. — С. 129-141.
24.	Сидоров Н. А. /V-ступенчатый итерационный метод в теории ветвления решений нелинейных уравнений // Сиб. мат. журн. — 1997. — Т. 38, №2. — С. 383-395.
25.	Сидоров Н. А,, Абдуллин В. Р. Сплетаемые уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений. — Иркутск, 1999. — 36 с. — (Препр. / Академия нелинейных наук. Иркутское региональное отделение; № 1).
26.	Сидоров Н. А., Абдуллин В. Р. Сплетаемые уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений // Математ. сборник. — 2001. — Т. 192, №7.-С. 107-124.
27.	Сидоров Н. А., Абдуллин В. Р. Сплетаемые уравнения в теории ветвления // Доклады АН России. — 2001. — Т. 377, №3. — С. 1-3.
28.	Сидоров Н. А., Ермилова Н. В., Марканова Д. Ю. TV-ступенчатые итерации, коммутируемость и квазилинейность уравнения разветвления в методе Ляпунова-Шмидта // Приближенные методы анализа. — Иркутск: ИГПИ, 1997. - С. 75-87.
29.	Сидоров Н. А., М арканова Д. Ю., Абдуллин В. Р. О роли выпуклых мажорант в нелокальных теоремах существования неявных функций. — Иркутск, 1998. — (Препр. / ИДСТУ СО РАН; №3).
30.	Сидоров Н. А., Романова О. А., Благодатская Е. Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, №4. — С. 729-732.
31.	Сидоров Н. А., Синицин А. В. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений системы Власова-Максвелла // Математ. заметки. — 1997. — Т. 62, вып. 2. — С. 268-292.
32.	Сидоров Н. А., Толстоногое Д. А. Применение леммы Морса в исследовании точек бифуркации и неустойчивость дифференциальных уравнений. — Иркутск, 1989. — (Препр. / СО АН СССР, Иркутский ВЦ; №7).
33.	Сидоров Н. А., Треногий В. А. Регуляризация простых решений // Сиб. мат. журнал. — 1978. — Т. 19, К» 1, с. 180-185.
34.	Сидоров И. А., Треногий В. А. Регуляризация линейных уравнений на основе теории возмущений // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т. 16, №11.-С. 2039-2044.
35.	Сидоров Н. А., Треногий В. А. Об одном подходе к проблеме регуляризации на основе возмущений линейных операторов // Мат. заметки. — 1976. — Т. 2, № 5. — С. 747-752.
36.	Сидоров Н.А., Треногий В. А. Точки и поверхности бифуркации нелинейных операторов с потенциальными системами разветвления. — Иркутск, 1991. — (Препр. / Иркутский вычислительный центр СО РАН).
37.	Сидоров Н. А., Треногий В. А. Условия потенциальности уравнения разветвления и точки бифуркации нелинейных операторов // Узб. мат. журнал. — 1992. — № 2. — С. 40-49.
38.	Треногий В. А. Разветвление решений нелинейных уравнений в банаховом пространстве // УМН. — 1958. — Т. XIII, вып. 4. — С. 197-203.
39.	Треногий В. А. О разветвлении решений нелинейных уравнений в аналитическом случае // Труды МФТИ. — 1959. — Вып. 3. — С. 276-283.
40.	Треногий В. А. Уравнение разветвления и диаграмма Ньютона // ДАН СССР. - 1960. - Т. 131, №5. - С. 1032-1035.
41.	Треногий В. А. Возмущение линейного уравнения малым нелинейным слагаемым // ДАН СССР. - 1961. - Т. 140, №2. - С. 311-313.
42.	Треногин В. А. Возмущение собственных значений и собственных элементов линейных операторов // ДАН СССР. — 1966. — Т. 167, №3. — С. 519-522.
43.	Треногин В. А. Граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и ветвление их решений // Труды 4-й межд. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Русе, Болгария, 1992.
44.	Треногин В. А. Обобщенные нетеровы и фредгольмовы операторы // Тезисы межд. конф, к 90-летию ак. С. М. Никольского. — М., 1993.
45.	Треногин В. А. Улучшение обратимости линейных операторов и уравнение разветвления Ляпунова-Шмидта // Вестник РУДН. Сер. мат. — 1996. - Вып. 3, № 1. - С. 127-142.
46.	Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980, 1993, 2002.
47.	Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. — М.: Наука, 1984.
48.	Треногин В. А. Свойства резольвентных множеств и оценки резольвент нелинейных операторов // ДАН. — 1998. — Т. 359, № 1.
49.	Треногин В. А., Сидоров Н. А. Исследование точек бифуркации и непрерывных ветвей решений нелинейных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. — Иркутск: Иркутский гос. университет, 1972. - С. 216-248.
50.	Треногин В. А., Сидоров Н. А. О регуляризации по Тихонову задачи о точках бифуркации нелинейных операторов // Сиб. мат. журнал. — 1976. — Т. 17, №2. — С. 402-413.
51.	Треногин В. А., Сидоров Н.А., Логинов Б. В. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркация, симметрия // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 309, №2. - С. 286-289.
52.	Тихонов А. Н., Иванов В. К., Лаврентьев М. М. Некорректно поставленные задачи // Труды симпозиума, посвященного 60-летию ак. Соболева. — М.: Наука, 1970. — С. 224-238.
53.	Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // Сиб. матем. журнал. — 2000. — Т. 41, №5. — С. 1167-1182.
54.	Фонарев А. А. О решениях бифуркационного уравнения с простым собственным значением // Ж. выч. мат. и мат. физ. — 1984. — Т. 24, №4. — С. 491-496.
55.	Юдович В. И. Свободная конвекция и ветвление // ПММ. — 1967. — Т. 31, вып. 1. — С. 101-111.
56.	Buchanan М., Doming J. Nonlinear Waves in Collisionless Plasmas // Phisical Review E. — 1995. — V. 52, №2. — P. 3015-3033.
57.	Conley С. C. Isolated invariant sets and the Morse index — AMS, Providence, R.I., 1978. — 89 p. (CBMS Regional Confer. Ser. Math.; V. 38.)
58.	Golubitsky M., Keyfitz D. L.. Schaeffer D. G. A singularity theory analysis of a thermal-chain branching model for the explosion peninsula // Comm. Pure Appl. Math. — 1981. - V. 34. — P. 433-463.
59.	Keller N. B. Numerical solution of bifurcation and nonlinear problems // Application of bifurcation theory / Ed. P. Rabinovich. — N. Y.: Academic Press, 1977.
60.	Kilhoffer H. A bifurcation theorem for potential operators // Journal of functional analysis. — 1988. — V. 77. — P. 1-8.
61.	Langford W. F. Numerical solution of bifurcation problems for ordinary differential equation // Numer. Math. — 1977. — 28. — P. 71-190.
62.	Loginov В. V. Determination of the branching equation by its group symmetry — Andronov-Hopf bifurcation // Nonlinear Analysis. Theory methods Applications. — 1997. — V. 8,	12. — P. 2033-2043.
63.	Loginov В. V., Rakhimov D. G., Sidorov N.A. Development of M. K.Gavurin’s Pseudoperturbation Method // Fields Institute Communications. — 2000. — V. 25. — P. 367-381.
64.	Markov Y. A., Rudykh G. A., Sidorov N. A., Sinitsyn A. V., Tolstonogov D. A. Steady-state solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // Acta Applicanta Mathematica. — 1992. — V. 28. — P. 253-293.
65.	Moor G. The Numerical Treatment of Non-Trivial bifurcation points // Numer. funct. anal, and optim. — 1980. — V. 2, №6. — P. 44-72.
66.	Sattinger D. H. Group Theoretical Methods in Bifurcation Theory. Lecture Notes in Math. 762. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1979.
67.	Sidorov N. A., Abdullin V. R. Interlaced branching equations and invariance in the theory of nonlinear equations // Symmetry and Perturbation Theory / Eds. A. Degasperis, G. Gaeta. — World Scientific, 2000. — P. 309-315.
68.	Sidorov N.A., Sinitsyn A. V. On bifurcation Points of the stationary Vlasov-Maxwell system with Bifurcation Direction // Progress in Industrial Mathematics at ECMI 98 /Eds. L. Arkeryd, J. Bergh, P. Brenner, R. Pettersson. — Leipzig: B. G. Teubner, 1999. — P. 295-303.
69.	Sidorov N. A., Trenogin V. A. Regularization of computation of branching solutions of nonlinear equations // Lecture Notes in Mathematics. — 1977. — V. 594. — P. 491-506.
70.	Trenogin V. A. Bifurcation equations and parameter continuation method // Nonlin. Din. Chaos, Control and Times Senes /Ed. J. M. Balthazar. — San-Paulo, Brasil, 2000. - V. 5. — P. 439-447.
71.	Trenogin V. A. Computation of one-parametric families of solutions of nonlinear equations // Proc, of the Second ISAAC Congress. V. 1. — Kluwer Int. Publ., 2000. - P. 727-736.
72.	Trenogin V. A., Sidorov N. A., Loginov В. V. Potentiality, group symmetry and bifurcation in the theory of branching equation // Differential and Integral Equations. — 1990. — V. 3, № 1. — P. 145-154.
73.	Trenogin V. A., Sidorov N.A., Loginov B.V. Bifurcation, Potentiality, Group-Theoretical and Iterative Methods // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1996. — V. 76, №2. — P. 245-249.
74.	Vanderbauwhede A. Local bifurcation and symmetry. — Boston: Pitman, 1982. - 350 p. (Res. Notes Math.; V. 75.)
75.	Vorovich 1.1. Nonlinear Theory of Shallow Shells. — N. Y.: Springer-Verlag, 1999.
76.	Westreich P., Varol Y. L. Numerical bifurcation at simple eigenvalue // SIAM Numer. Anal. - 1979. - V. 16. - P. 538-546.
77.	Zeidler E. Nonlinear functional analyses and its Applications. V. I. Fixed-Point Theorems. — Springer-Verlag, 1985.
СТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ1*
Н. А. Сидоров, А. В. Синицын
В работе изучаются стационарные решения специального вида (см. Рудых, Сидоров, Синицын [56, 57]) классических уравнений физики плазмы: нелинейной системы Власова-Максвелла (ВМ) и показывается их существование при некоторых условиях на анзатц функций распределения. Получены достаточные условия существования точек бифуркации Aq G R+, отвечающих функциям распределения вида (3.1). Выводится уравнение разветвления и изучаются его решения. В окрестности точки бифуркации строится асимптотика нетривиальных ветвей решений системы ВМ.
1. Введение
В настоящее время исследование уравнения Власова ведется в двух различных направлениях. Первое связано с доказательством теорем существования задачи Коши на основе техники априорных оценок. Второе базируется на сведении исходной задачи к более простой посредством задания функции распределения и нахождения характеристик электромагнитных полей в явном виде. Такой подход обычно сужает задачу, так как функция распределения имеет специальную форму, но с другой стороны, позволяет решать задачу в явном виде, что важно для приложений. Постановка и изучение краевых задач для уравнения Власова являются достаточно сложными и в связи с этим рассматривались только в простейших случаях (см. Абдаллах [1], Гуо [25], Дегонд [29]). Редукция уравнения Власова к системе нелинейных эллиптических уравнений позволяет в некоторых случаях доказать разрешимость задачи, что трудно осуществить в исходной постановке.
Можно отметить, что существует связь между этими двумя направлениями на основе применения специальных конструкций для кинетических уравнений. Например, интеграл энергии используется как для получения энергетических оценок в теоремах существования, так и для построения функционалов Ляпунова и вириальных тождеств в анализе устойчивости и неустойчивости специальных классов решений уравнения Власова.
Известно, что решением уравнения Власова (см. Власов [14, 15]) являются произвольные (гладкие, если это можно доказать, что на са-
!)Работа поддержана грантом 1NTAS: 2000-15.
мом деле является сложной, до конца не решенной задачей) функции первых интегралов характеристической системы, определяющей траекторию движения частицы в электромагнитном поле
r = V, у SL^E(r,t) + ^V х В(г,^,	(1.1)
где г = (х, у, г) G Q2 С Л3, V = (Vx, Vy, Vz) G Qi С R3 — координата и скорость частицы, Е — (Ех, Еу, Ez) — напряженность электрического поля, В = (Вх, Ву, Bz) — магнитная индукция и тх, qi — масса и заряд частицы г-го типа. Для TV-компонентной функции распределения классическая версия системы Власова-Максвелла имеет вид
dtfi + V -VTfi + ^- (e+-VxB]	i =	(1.2)
m, \ c }
dtE = crotB — j,	(1.3)
div E — p,	(1.4)
dtB = — ciotE,	(1.5)
divB = 0,	(1.6)
где плотности заряда и тока определяются по формулам
N С
Р(т,е) = ^у,чг	fidv,	(1.7)
N г
j(r,t) = ^Yqi	fiVdV.	(1.8)
i=i
В прикладных задачах влиянием магнитного поля часто пренебрегают и рассматривают предельную систему, известную как система Власова-Пуассона (ВП) с вырождением уравнений Максвелла в уравнение Пуассона
N Г
Ду? = 4?Г	/ fidV,	(1-9)
г=1
где <р(т, t) — скалярный потенциал электрического поля.
В общем случае функция распределения может быть представлена в виде
Л = Л(Яи,Я2,-..,Нц), i =	(1.10)
где Нц есть первый интеграл системы (1.1). Реально не так просто выбрать структуру функции распределения вида (1.10), которая связана с электромагнитными потенциалами и позволяет провести редукцию исходной системы к более простой. Поэтому в прикладных задачах обычно ограничиваются интегралом энергии вида Н, = —c, V2 + ip(r, t), или
в стационарной задаче Н° = — diV2 + <р(г) (см. Власов [14, 15]). Очевидно, мы можем обобщить представление для функции распределения путем введения следующей конструкции
Hil^<pil + (V,dil) + (AilV,V) +	£ a^kjVrV2kVi. (1.11)
m+fc+j=3
Здесь V = (Vi, V2, V3), (Ад,У) — квадратичные формы, а последующие являются формами более высокого порядка. При этом требуется найти связь между матрицей Ац, коэффициентами и системой (1.2)-(1.6) таким образом, чтобы Нц были первыми интегралами характеристической системы (1.1).
Первая постановка задачи существования классических решений для одномерного уравнения Власова была дана Иорданским [35], а существование обобщенных решений для двумерной задачи доказано Арсеньевым [4].
Результаты Нойцерта [50], Хорста [72], Батта [5], Иллнера и Нойцер-та [34], Юкая и Окабе [67], ДиПерна и П. Лионса [32], Вольмана [16, 17], Батта и Рейна [7], Пфаффелмозера [52] посвящены изучению существования решений для системы (1.2) и (1.9), а Дегонда [28], Глассея и Штраусса [19|, Глассея и Шаффера [20-22], Хорста [73], Купера и Климаса [42], Шаффера [66], Гуо [25], Рейна [53] — их обобщению на систему (1.2)-(1.6).
С другой стороны, авторам известно несколько строгих результатов, относящихся к анализу системы (1.2)-(1.6) в ограниченных областях и полученные сравнительно недавно (см. Гуо [25], Абдаллах [1], Дегонд [29], Абдаллах, Дегонд и Мехатс [2], Веденяпин [11, 12], Батт и Фабиан [8], Брааш [9], Гуо и Рагаззо [26], Попу [51], Кафарелли, Долбу, Маркович и Шмайсер [36], Амбросо [3]).
Несмотря на активное исследование системы ВМ (как классической, так и релятивистской) в настоящее время существует ограниченное число работ по конструктивным методам построения решений для этой системы. Групповой метод, используемый для построения класса точных решений системы ВМ в условиях групповой инвариантности, ограничен размерностью исходной модели, что позволяет находить решения только для одномерной задачи.
Отметим важные результаты, полученные для системы ВП. В работе Батта, Берестецки, Дегонда и Пертхама [6] было доказано существование периодических решений нестационарной задачи, обладающей цилиндрической симметрией для функции распределения вида
V) = Ф ^!V(i, г) +	U(t,r) = W(t, г) +
(1-12) где U — потенциал и А — антисимметричная (3 х 3)-матрица.
Статья построена следующим образом. В разделе 2 изучается стационарная система ВМ. В подразделах 2.1 и 2.2 получена теорема о редук
ции исходной задачи к системе нелинейных эллиптических уравнений. Искомое электромагнитное поле и функция распределения определяется через решения последней системы. В 2.3 рассматривается краевая задача для эллиптической интегро-дифференциальной системы с экспоненциальными нелинейностями. Доказана теорема о существовании и единственности классических решений. Отметим, что аналогичная краевая задача для одного эллиптического уравнения изучалась вариационными методами Гогни и П.Лионсом [23].
В разделе 3 получены достаточные условия существования точек бифуркации стационарных решений системы ВМ Aq € 7?+, соответствующие функциям распределения вида
fi (г, v) = Xfi(-aiV2 + <дДг), vdi + ifi(r)).
Выводится уравнение разветвления и изучаются его решения. Строится асимптотика нетривиальных решений системы ВМ в окрестности точки бифуркации.
2. Стационарные решения системы Власова-Максвелла
В данном разделе мы рассматриваем систему
У • ^Л(Г, У) + (е + iy X АЛ(Г) У) = о, or	TTli \	С	} OV	(2-1)
rot Е = 0,	(2.2)
div В = 0,	(2-3)
N	Г	
&чЕ = ^У/1к / А(г,У)аУ,	(2-4)
k=i •'Q1	
л N г	
TotB = — Vqk y/fc(r,y)dy. с fc=i	(2-5)
Здесь fi(г, У) — функция распределения частиц г-готипа; г = (x,y,z) € g Q2j У = (Vx,Vy,Vz) g Qi — соответственно, координата и скорость частицы; Е, В — напряженность электрического поля и магнитная индукция; т,{, qi — масса и заряд частицы г-го типа.
Будем отыскивать стационарные распределения вида
fi(r, У) = Ц-aiV2 + У • di + iff) = fi(R, G) (2.6)
и соответствующие им самосогласованные электромагнитные поля Е и В, удовлетворяющие (2.1)-(2.5). Предполагаем, что:
i) fi(R,G) — фиксированные дифференцируемые функции своих аргументов; а, £ R+, d, € R3 являются свободными параметрами, |ф| ± 0; ipi = Сц + /г<д, ipi = C2i + к-сф, где cn,C2i — константы; при
всех tpi, ipi сходятся интегралы
Искомые функции «/’г(г), V’i(r) следует определить таким образом, чтобы система (2.1)-(2.5) удовлетворялась при (Е(т), di) = 0, i = 1,..., N. Заметим, что последнее условие является необходимым для разрешимости (2.1) в классе (2.6) при dfi/dR\v_0 0.
2.1. Редукция задачи (2.1)-(2.5) к системе нелинейных эллиптических уравнений. Построим систему уравнений для определения функций Подставляя (2.6) в (2.1) и приравнивая к нулю коэффициенты при dfi/dR и dfi/dG., получим
пг,-
Е(г) =	(2-7)
^qi
В(г) х di =	(2.8)
(Е(г),ф)=0.	(2.9)
Здесь V’i — произвольные на данный момент функции, удовлетворяющие условиям
(y<Pi,di) = 0, i=l,...,N,	(2.10)
(VV-i,di)=O.	(2.11)
Вектор В имеет вид
ВД =	х	,	(2.12)
где Aj(r) = (В, di) — функция, которую требуется найти. Определив <fi, •ф, таким образом, чтобы удовлетворялась система (2.2)-(2.5), можно найти искомые функции fi, Е, В по формулам (2.6), (2.7), (2.12).
Неизвестные векторы	являются линейно зависимыми в
силу (2.7), (2.8). Поэтому будем отыскивать ipi в виде
Vi = Си + 1цр, ipi = C2i + kiip,	(2.13)
где cji, C2i — константы. В силу (2.7), (2.8) параметры Ц, ki связаны следующими соотношениями
1	7711 OiiQi Ч =	, г - QiQl ТПг ki-^-di = тп\	mi Из (2.4) с учетом (2.7) получим систему =	г mi fc=l -Аь	(2.14) di.	(2.15) fk(r,V)dV.	(2.16)
Так как divjd^ х VV’i] = 0, то, подставляя (2.12) в (2.3), имеем
(7А1(г),ф)=О.	(2.17)
Принимая во внимание (2.12), из (2.5) получим систему линейных алгебраических уравнений на VA,
4 N г
^Xixdi = —di^i + —diyqk VfkdV. (2.18) *	с	Jfli
Для разрешимости (2.18) на основании теоремы Фредгольма (см. Треногий [64]) необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяла уравнению
л N г
Е	dK	(2.19)
Кроме того, вектор
Ci(r)di + di x J(r)	(2.20)
является общим решением (2.18) с
j = —Е%/
с fc=i
Ci — произвольная функция. Учитывая (2.13)-(2.15), нетрудно показать, что функции <р, V* удовлетворяют системе
Л(р = ^1удк f /fcdv,	(2.21)
л N г
^ = -ЩуЧк (V, d)fk dV,	(2.22)
д д д , д , с а = ai, q - qi, т = mi, а = а^.
Лемма 2.1. Вектор di х J(r) является потенциальным и единственным решением (2.18), удовлетворяющим условию (2.17).
Доказательство. Так как ip удовлетворяет (2.22), то (2.20) есть общее решение для (2.18). В силу (2.17) можно положить Ci = 0. Таким образом, di к J — единственное решение (2.17), (2.18). Покажем, что di х J — потенциальный вектор. Действительно,
rot[dj х J] = —(di, \7)J + d(V, J),
где
(V, J) = 0, (di, V)J = (di, V) rot В = rot(d,-, V)B.
В силу (2.12)
(Ф, V)B = (di, V)|^di - [ф X	= ^(VXi,di) -
-[Ф x V(di,V^)]^>	(\7Аьф) = 0,	(7^,ф)=0.
Следовательно. rot[d, х J] = 0, di х J = VA, и лемма 2.1 доказана.
Следствие 2.1.
V\(r) = [di х J(r)j.
Лемма 2.2. Пусть b(x) = (ЬДх), bi(x), 63(1)), % € R3, dbi dbj
= i,j = 1,2,3.
OXj OXi
Тогда b(x) = VA(x), где
X(x) = / (b(rx), x) dr + const. Jo
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Доказательство проводится прямым вычислением. Следствие 2.2.
J	J /	1*1	\
—^Ai = —^[l3+l (dx J(rr),г) dr ), i —	/3 = const. (2.26)
“i d \ Jo	/
Результат следует из леммы 2.2, следствия 2.1 и формулы (2.15).
Нас интересуют решения (2.21), (2.22), удовлетворяющие условиям ортогональности (2.10), (2.11). Далее, считаем, что du ф 0, i = 1,2,3, и будем отыскивать решения в виде р =	77), ip = ip(£, Т))
_____+	<*11	_______У_\
\di2 di3/ ^11+^12 \^n	^12/
|di|dn</i2 f x у A , A / j j , \ /л ’= = <2-27>
При этом задача сводится к изучению нелинейных (полулинейных) эллиптических уравнений
N
(2.28)
Ат/; =
/е=1
N
fc=l
(2.29)
где
d = du
Stray mw(d) ’
_ д2-	д2-
~ д? + дт? ’
= 4тгд	d2
mc2w(d,y W di3(dij + dj2)'
Заметим, что каждое решение (2.28), (2.29) в силу (2.27) удовлетворяет
условиям ортогональности (2.10), (2.11). Из изложенного выше следует
Теорема 2.1. Пусть функция распределения имеет вид (2.6). Тогда электромагнитное поле {Е, В} определяется по формулам
rn
в^ = ^{^ + /о
(2.30)
где г = (£>*?);/? = const; функции <р(г), т/)(г) удовлетворяют системе (2.28), (2.29).
Введем в рассмотрение скалярный и векторный потенциалы U(r), А(г) соответственно:
E(r) =-Vl7(r), B(r) = rot А.	(2.31)
Тогда, согласно (2.7), (2.12) и (2.26), поле {£, В} определяется через потенциалы {U, Л) по формулам
ТП	TTLC
U = - — p, А=—фд + А1(т),	(2.32)
Zaq	qaS
где (Л1,й) = 0. Искомые потенциалы U, А могут быть определены в подпространстве D достаточно гладких функций на множестве П С й3 с гладкой границей 3Q и при этом удовлетворять условиям
(VJ7, d) = О,	(V(A, d), d) = 0	(2.33)
и на границе
^|ап2 = и0(г),	(Л,<П2=и1(г).	(2.34)
Следствие 2.3. Пусть функция распределения имеет вид (2.6). Тогда система ВМ (2.1)-(2.5) с граничными условиями (2.34) имеет решение
fi = fi(-OCiV2 + Сц + liip*(r),diV + С2г + кг‘ф*(т')'),
где k,ki удовлетворяют (2.14) и (2.15),
т
2aq

(2.35)
Е =
=	VfdV.
с fc=l
Функции ср*, ф* принадлежат D и определяются из системы (2.28), (2.29) с граничными условиями
I - 2aq ^lan2 т *|№ = sb1*
(2.36)
(2.37)
2.2. Редукция системы (2.28), (2.29) к одному уравнению.
Лемма 2.3. Если
f(V + d,r) = f(-V + d,r), deR3,	(2.38)
то имеет место равенство
j = dp,	(2.39)
где J = / У/dV есть вектор плотности тока и р = f dV — J Г2 j	J Г21
плотность заряда.
Доказательство. Проводя замену переменных в интеграле
/ Vf dV вида Vt = & + di (г = 1,2, 3), получим j Q i
I Vif(V,r) dV = Jx + J2 +J3
c
Ji=di[ /(f + d,r)df JQ,
И /*0О roo <»oo	aO aO /»0
J2 + J3=	/	/ ^i + d,r)di+ /	/	/ £iftfi + d,T)dt.
JO Jo Jo	J—oo J — oo J—oo
Нетрудно показать, что J3 = —J2 и (2.39) следует.
Лемма 2.3 доказана.
Принимая во внимание лемму 2.3, систему (2.28), (2.29) можно преобразовать к виду
N
= ^5? (?£ А,	(2.40)
2=1
=	(241)
г=1	1
7г = Си + c2i, г = 1,..., W, где А» = f fi dV.
J J41
Пусть (£, rj) 6 П, где Q есть ограниченная область в й2 с гладкой границей 0Q. Зададим значение скалярного потенциала на границе 0Q: Ч>Ы\д^=АЫ.	(2.42)
Рассмотрим два случая, когда система (2.40), (2.41) сводится к одному уравнению.
Случай 1. Ц = ki, i = 1,..., N.
Лемма 2.4. Если li = ki и и* удовлетворяет уравнению
N
£su = a{d,a)'^^qiAi("fi+1ги),	(2-43)
fc=i
с
и = <р + -ф, a(d, а) = 2кд(4а2с2 — d2)/(mc2aw(d)),
то система (2.40), (2.41) имеет решение
<р = Q(d,a)u* + <ро, ф — (1 — 0(d, а))и* — </?о	(2.44)
Q(d,ct) = 4а2с2/(4а2 с2 — d2),	4а2с2 / d2.
Зная некоторое решение и* «разрешающего» уравнения (2.43) в условиях леммы 2.4 и значение потенциала на границе = -^(^i7?)) найдем </?о посредством решения линейной задачи
Д<^о = О, </>о|п = Л(£,77) - @u*|an.	(2.45)
Таким образом, в случая 1 мы свели задачу к решению «разрешающего» уравнения (2.43) и линейной краевой задаче Дирихле (2.45). Имеет место следующий результат
Теорема 2.2. Пусть кг = Ц, г =	Тогда система ВМ
(2.1)-(2.5) с граничным условием на скалярный потенциал (2.42) имеет решение
fi = fit-aiV2 + Vdi + 7i + ZiU*(e,77)), 771
E = — (O^W^ + tyo),	(2.46)
/7 ( fl	'I	me
B= Уо (dx J(r7-),f)dr|-[dx(V(l-e(d,a))u*(^,77)-^o)]^2; u*(£,ti) — функция, удовлетворяющая «разрешающему» уравнению (2.43); 7i,)3i = const; r = (£,т?) и <po(^Tl) есть гармоническая функция, определяемая из линейной задачи (2.45).
Случай 2. I2 = • • - = 1м = I, к2 = ... = к^ = к, I к.
Заметим, что при N = 2 случаи 1 и 2 исчерпывают все возможные соотношения между параметрами Ц и ki. Построим решение </?, ф системы (2.40), (2.41), удовлетворяющее условию
<р + ф = 1<р + кф.	(2-47)
Пусть функции fi = fi(—otiV2 + Vdi + tpi + ф,) такие, что имеет место следующее условие.
А) Существуют константы 7,-, i ~ 1,..., N такие, что
N
0qAi(7i + и) +т^2д,Аг(7» + и) = 0
г=2
при
ь
0 = 4а2с2(1 — I) + d2(k - 1), т = 4а2с2(1 — I) + d2(fc — 1)у.
Отметим, что соответствующая функция распределения удовлетворяет условиям леммы 2.3.
Лемма 2.5. Пусть Z2 = /з = • • • = ^ =	= ^з = ... =	= Зс,
I к. Предположим, что выполнено условие А). Тогда система (2.40), (2.41) обладает решением
где и* удовлетворяет уравнению
= (2'48)
£=1	а = 4аг(1_ц11 b = d2(fc_1)li.
с2	mw(d)
Доказательство. Заменой <р = lu, ip = ки, система сводится к (2.48) в силу условия А). Так как
к-1	,	1-1
то лемма 2.5 доказана.
Из леммы 2.5 получается	&
Теорема 2.3. Пусть ос2<12/'гП2 = • • • = QnQn/тц, к2 =   • = к^ —
= к. Пусть к { а^1<^1,1} и выполнено условие А).
Тогда система ВМ (2.1)-(2.5) с граничным условием (2.42) на скалярный потенциал (р имеет решение
Л = Л(-а^2 + У^+7г + и*),
В = ^(/3 + [\d х J(r,f)r) dr}-[<Z х Vu*]
I Jo	J	Qa № 0
Здесь и* удовлетворяет уравнению (2.48) с условием
(2Л9>
(3 — произвольная константа, у, — постоянные, г = (£, if).
Задача (2.48), (2.49) при е —> 0 обладает решением типа и* = uq + + (9(e), где ио есть гармоническая функция, удовлетворяющая условию (2.49). Существование других решений задачи (2.48), (2.49) можно показать, применяя метод продолжения по параметру, результаты теории ветвления (см. Вайнберг, Треногин [10]), а также результаты раздела 3 данной статьи.
2.3. Существование решений краевой задачи (2.40)-(2.42). Конкретизируем вид функции распределения. Пусть
fi = ехр(—а,У2 + Vdi + 7i 4-	+ kiip).	(2.50)
Распределения (2.50) представляют интерес для приложений. Подставляя (2.50) в (2.40) и (2.41), принимая во внимание (2.13)-(2.15) и (2.39), приходим к системе
N
3/2
ex.p(li<p + ki4>),
N
3/2
k-ех.р(1цр + kii}))-^-
(2.51)
Вводя условие нормировки
[ [ fidVdx = 1, jq Jr3
i = 1,...,/V; Оей2; преобразуем (2.51) к виду
N
Л<р =	exp(li<p +
i=l
d2v	ki
&Ф=	exP(w
(2.52)
(2.53)
ч-l
i<p + kttp) drr )
I exp(Zj</> + kiip) di j n	/
Рассмотрим общий случай, когда нельзя свести (2.53) к одному уравнению. Не ограничивая общности, мы можем считать, что 1% / к^', q = qi-Пусть qi < 0, ф > 0, г = 2,..., /V. Введем новые переменные
щ = <р + ip, Щ =—(li<p + kiil>), i = 2,...,N.	(2-54)
Используя (2.54) с учетом граничных условий (2.36), (2.37), получим систему
N
i =	(2.55)
/=1
где
Ar = eUl (J eU1 di) , Aj = e~u> (J e~ui di) , j = 2,..., N,
Cii = “775 ’ —	(1 - ^2ZiZ^}’ Zi =
w(di) mi \	2d^c2	)	04
Ui = uOi, x € dQ, i = l,...,N.	(2.56)
Нетрудно проверить, что системы (2.53) и (2.55) эквивалентны в том смысле, что решения (2.55) полностью определяют решения (2.53). Действительно, </?, ip определяются через щ, U2, так как I2, к.2 и щ являются линейно зависимыми при г = 3,..., N.
Здесь мы предполагаем, что Uoi € C2+ot, сЮ € С2+а, a G (0,1). Приведем вспомогательные результаты.
Лемма 2.6. Пусть
Тогда
N
Fi(u) — E^ijAj(u)	иг minuoi,
7=1
,	N	ч
I Fi(u) =	(и)	0, Uj тахиог )•
'	j=i	'
Доказательство. Заметим, что РДи) dz = Су > 0. При этом множество Q+ = {z € Q : 77i(u(z)) > 0} непустое. Обозначим через D связную компоненту, т. е. максимальное по включению связное подмножество П~ = {z G Q: Fj(u(z)) < 0} и покажем, что Q- = 0. С одной стороны F,(u(z)) — 0, где х G dD. И с другой,
— Аиг(т) = Fi(u(x)) <0, х € D.
Таким образом, и^является ограниченной в D и достигает своего максимума на dD = D\D, т. е. таххед u(z) = u(zo), € dD. Однако так как функция Fi(u) убывает при фиксированном (e-u> dz) \ то получим /)(и(т)) > Fj(u(xo)) = 0, х Е D, что противоречит определению множества Q~. По аналогии рассматривается случай Cij < 0 (см. Крживицки и Наджея [39]).
Лемма 2.6 доказана
Лемма 2.7 (см. Гогни и П.Лионе [23]). Пусть
max(u — v)(x) = (и — v)(z0) > 0.
Тогда
еи(х0)(у eu(r)da;) >ev{x°'>^ ev^dx^
е-и(х0)^у e-u(r)dx)	e’^dz
Определим вектор-функции v(x),w(x) G C2(0)JV П C1($T)N нижнее и верхнее решения (2.55), (2.56) в следующем смысле:
как
— /\Vi •-	N	e" । /*	-Wj	+ C’il	ew>	Fi(v),
	3=2	/ e Jn	~vi di	J	' eV1 di n	
—/\Wi j	N * EA-	e~	-Vj	+ Qi’	eV1	> Fi(w),
	j=2	[ e Jn	'wi di	J	' eW1di Q	
		Vi	UQi,	Wi 3	UOi,	x G 9П,
х G 0, (2-57)
I 6 П,
(2.58)
с v = (г>1,..., t>jv)', w = (wi,..., wjv)'.
Нетрудно показать, что А., (и) является инвариантом при сдвиге на постоянный вектор, поэтому (2.58) можно заменить на
Vi 0, Wi О, х е д£1.	(2.59)
Теорема 2.4. Пусть существуют нижнее Vi(x) G С'2(П)ПС1(Й) и верхнее Wi(x) G С^П) П С1 (О) решения, удовлетворяющие неравенствам (2.57), (2.59), и такие, что Vi(x) Wi(x) в fi. Пусть Щн G G C2+q(9O). Тогда задача (2J55), (2.56) умеет единственное классическое решение щ(х) € С'2+“(П) и при этом Vi(x) щ(х) ш»(т) в fi, i = l,...,N.
Доказательство. Пусть заданы функции Zi(i) £ С(Л),
Zi Wi. Определим оператор Т:	—» C(&)N по формуле
и = Tz, z(x) G С(П)п, где и = (tii,..., ujv)' есть единственное решение задачи
w
—= ^Cjj Aj^z))+д(х<) = Г<(г), и{ = uoi, х G dCl, (2.60) j=i
где p(z) = max(i), min{z, w}},
Vi — zt
. 1 + z? ’
z, Wi,
Vi < Zi Wi,
Vi C Zi.
Очевидно, что функция F(z) непрерывна и ограничена. Тогда в силу гладкости <ЭП и граничных условий задача (2.60) единственно разрешима в C1+q(J2)jv, т. е. и(х) G С'1+“(Й)ЛГ. Здесь мы воспользовались теоремой 8.34 из Гилбарга, Трудингера [18]. В силу компактности вложения С1+“(Й) С С'(Й) и непрерывности F(z) отсюда следует, что оператор Т является вполне непрерывным (компактным) оператором. Тогда, согласно теореме Шаудера (см. Хатсон и Пим [68]), оператор Т обладает неподвижной точкой и = Ти с u G . С другой стороны,
так как и G Ci+a(QJ)N, то F(u) G C“(n)w и из классической теории следует, что и G C'2+“(fi)w.
Далее, покажем, что щ Wj. Предположим, что найдутся число к G {1,..., /V} и точка ,т0 G П такие, что
(vk - Ujt)(i0) = max(ufc - ик) = е > 0.
Очевидно, что то в силу (2.58) не может принадлежать границе ЭП. Тогда на основании принципа максимума имеет место противоречие
e-^Axo)
еш1(ю)
0 -A(vfe - ufe)(i0) Ск1-----------------
/ eV1 di Jn
ep(ui)(xo)
Ckl f ep(u’) dz fcj / e-p(“>) dz
Jn	}2 Jn
'V e-^dz
J~2 Jn е-р(цД(хо) ^Uk _ l+u2(z0)
Таким образом, Vi щ. По аналогии проводится доказательство неравенства Щ W{.
Предположим, что найдутся число I G {1,2,..., ./V} и точка ya G П такие, что существуют два решения и1, и2 задачи (2.55), (2.56), и} = и2, г uj^yo) > и2(уо). Используя лемму 2.7, мы снова приходим к противоречию: 0	—Д(и;1 — и2)(уо) < 0, которое доказывает единствен-
ность.
Теорема 2.4 доказана.
Построим верхнее и нижнее решения задачи (2.55), (2.56). Пусть Cij > 0, г — 1,..., N. Тогда из леммы 2.6 следует щ 0. Вначале построим верхнее решение, для которого Vi = 0,
=	i«iL, (2.61)
/ e~wi dx / еШ1 dz
J-2 Jn	Jn
Wj|an = maxuoj = w0	(2.62)
c x = (£,r?) G П C R2. Из (2.57) следует, что W{ должно удовлетворять неравенствам
N
- |Cji|eW1 0, i = l,...,AT.	(2.63)
j=2
Рассмотрим вспомогательную задачу
-Д3 = 1, з|ап = w0.
Предположим, что область П содержится в полосе 0 < xi < г и введем функцию з(х) = Wo+er — eX1. Нетрудно показать, что Д(д—з) = —е1* + + 1 < 0 в П, з — з = ег — ех' 0 на ЭП. Таким образом, согласно
принципу максимума (см. Гилбарг, Трудингер [18]), отсюда следует, что q — д 0, если х G П и
wo д(х) w0 + ег - 1 = М.	(2.64)
Обозначим правую часть в (2.61) через z, = const 0. Тогда из (2.61) и (2.64) получим Wi Mzi, Wi = ггд(х), и задача (2.61), (2.62) эквивалентна следующей конечномерной алгебраической системе
г< =Ет-^—, |“11 =ад.
,_2 / e~z3gdx	/ eZig dx
J~2 Jn	Jn
Введем норму |z| = maxi^i^jv \zt\. Тогда в силу (2.64) получаем следующую цепочку неравенств:
mi
7=2
N C
IQ1I
eZ1S di
1 f N
1 ' N 7777 max |Q| l^i^TV
где |Q| = mesQ, О C R2.
Лемма 2.8.
N

- |Си|е-М|г|
3=2
Пусть Y!j=i cij
Введем обозначения

min
ai __ 2
3=2
Пусть выполнены неравенства
1.	|П|
aai----bi^ —
а	М
i =	(2.66)
Тогда уравнение Lz = z имеет решение z± Ina, и функции Vi = 0, Wi = Zig(x) являются нижним и верхним решениями задачи (2.55), (2.56).
Доказательство. Пусть |z| — R. Из (2.63) следует
aie-MR _ b.eMR > 0
с R Ina. Подставляя максимальное значение R = Ina в (2.65), нетрудно убедиться, что (2.66) дает оценку |£(z) | |z| и существование неподвижной точки Lz = z следует из теоремы Брауэра (см. Хатсон и Пим [68]).
Пусть теперь	0, i = 1,..., N. По аналогии с предыду-
щим получим следующий результат.
Лемма 2.9. Пусть	< О, /З2 =	> 1 и
выполнены неравенства
^-/Ja^^ln/З, i = l,...,JV.	(2-67)
Тогда функции Vi = —гуд{х), w, = О являются нижним и верхним решениями (2.55), (2.56) с z, = —£,(—г).
Из теоремы 2.4 и гладкости функции F,(u) следует при фиксированных функциональных коэффициентах (fne~Ui d^)-1, что существует постоянная M(v,w) > 0 такая, что	— М с i,j =
При этом отображение G: С(П)77 —> С'(Й)ЛГ, определяемое формулой G(U = Fi + Mut будет монотонно возрастающим по щ из-за монотонности коэффициентов. Зададим оператор Т): z = Tjz,
~/\Zi + Mzt = G,u > 0, zf|9n = uOi.
(2.68)
В силу принципа максимума z; > 0 (ttoi > 0). Таким образом, оператор Ту является положительным и монотонным. Более того, Ту является вполне непрерывным, что доказывается тем же путем, что и для оператора Т. Очевидно, и Туи, Tyw w. Заметим, что конус неотрицательных функций нормален в <7(0). Поэтому в силу единственности (теорема 2.4) мы можем применить классическую теорию монотонных операторов (см. Красносельский [38]) для задачи (2.68) и получить следующий результат:
Теорема 2.5. Оператор Ту имеет единственную неподвижную точку и = Туи, Uy Uy Wy, где для любого уо: Vi yoi Wy последовательные приближения Уп+у = Тууп равномерно сходятся к и.
Следствие 2.4. Определим последовательные приближения следующим образом:
и°=0,	-Au"+1 + Mu”+1 = Fi(un) + Mu?,
<+1|яо	> i = l,2, n = 0,l,...,
1 laQ=uoi’	’ ’	’ ’	’
v-k =
qkak my	m2 .	. n
---; p-j— г2 - zG)Uy +	(zfc - zx)u2 77ifc(z2-z1) qj оц	g2a2
к = 3,..., n.
Тогда {uj1}, i = 1, • • •, ti сходятся монотонно и равномерно к решению (2.55), (2.56).
Замечание 2.1. В случае ti = 1 краевая задача (2.55), (2.56) рассматривалась Гогни и II. Лионсом [23], Крживицки и Наджея [39].
3. Анализ точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений стационарной системы ВМ
3.1. Введение. В данном разделе рассматриваются стационарные состояния плазмы, описываемые кинетическим уравнением ВМ, и их зависимость от параметров. Наибольший интерес здесь связан с краевой
задачей для стационарной системы ВМ. Важные результаты для последней задачи были получены Грингардом и Равьяром [24], Гогни и П.Лионсом [23], Дегондом [29], Беклером [13], Масловым [49].
Мы ограничимся рассмотрением функций распределения специального вида
/Дг, и) = Xfi(~aiV2 + ^(r), V  di + V-i(r)) = А/ДЯ, G),	(3.1)
ipi: R3 -> R, ifc: R3 -> R, r e D Q R3, v G R3,
XeR+, G R+ = [0, oo), di&R3, i =
где функции <fi, ipi, порождающие соответствующее электромагнитное поле (Е,В), подлежат определению. Мы интересуемся зависимостью искомых функций <pi, ipi в распределении (3.1) от параметра А. Параметр А может быть как безразмерным (когда размерные параметры задачи ai и di в (3.1) не зависят от А), так и размерным (если а, = а;(А) и di = </j(A)). Например, функция распределения вида
/	\3/2	/	। .о
...	( т \	[ —mvr	,	, х
(мт) exp^^^+<i.» + v(r)
дает зависимость а = а(А), где А = (т/(2тгА:71))3/2, а = —т/(2кТ), к — постоянная Больцмана, а Т — температура электронов. В этом случае параметр А имеет размерность температуры.
Пусть и — постоянные такие, что соответствующие плотность заряда р и плотность тока j, индуцируемые в среде распределениями fi при <p>i = tpi и ipi = ifri, равны нулю. Тогда
N .	N .
/ Qkfk dv = o, V / qkvfk dv = О
для (pi = tpi и ipi = ipi, к = 1,..., N. Пусть di = c?idi, i = 1,..., n, и пусть &i есть константа. Вектор di G R3 и параметр ai G R+ характеризуют хаотические тепловые движения частиц сорта г. Мы рассматриваем случай, когда di и ai различны, т. е. неизотермическую плазму как наиболее часто встречающуюся в приложениях. Тогда система ВМ при любом А имеет тривиальное решение
f° = Xfi(-aiV2+p0i,v-di+^°), Е° = 0,	B°=(3dx,	/3 = const.
Наша цель — построить нетривиальные решения стационарной системы ВМ. В работе получены условия существования точек A* G R+ (точек бифуркации), в окрестности которых у системы ВМ появляются нетривиальные решения в области D С R3 Для этих решений мы полагаем р\о / 0 и До Д 0, но при этом p\dD = 0 и Дао = 0. Предполагается, что на границе области заданы значения скалярного и векторного потенциалов искомого электромагнитного поля. Выведено уравнение разветвления (см. Вайнберг и Треногин [10], Треногин [64]). Показано, что в достаточно общем случае, когда = /)(а(—о^и2 + <^,) + Ь(у  di + + ч/ч,)), где а и Ь постоянные, уравнение разветвления потенциально.
На этой основе строится асимптотика нетривиальных ветвей решений в окрестности точки бифуркации.
Отметим, что задача о точках бифуркации в теории бесстолкно-вительной плазмы без учета магнитного поля изучалась Холловэйем в [70], Холловэйем и Дорнингом в [71], Хессе и Шиндлером в [69]. По-видимому, задача о точках бифуркации в общей системе ВМ ранее не рассматривалась.
В п. 3.2 поставлена краевая задача и задача о точках бифуркации системы (3.2), изучен спектр задачи для линеаризированной системы (3.11).
В п. 3.3 построено уравнение разветвления.
В п. 3.4 на основе анализа уравнения разветвления (3.27) получена теорема существования точек бифуркации и построена асимптотика нетривиальных ветвей искомых решений системы ВМ.
3.2. Постановка краевой задачи и задачи о точке бифуркации. Принимая во внимание распределение (3.1), система (2.40), (2.41) преобразуется к виду
N	N
А(Д = Ад 57 ЗМг,	А V7 = Al/ 57 9г(/?г, ^)Л, (3.2)
г=1	г=1
где
кг'ф') = [ ftdv.	(3.3)
Jr3
Если & =	то =	так как = ац- Ква-
зилинейная система (3.2) типа Гельмгольца является здесь основным объектом. В случае нормированных функций распределения эта система допускает следующее обобщение. Пусть
[ [ fidvdr = Ni,
Jd Jr3
где
fi = fli+ fnЩ”),	(3.4)
и сходится интеграл j M(y) du. Тогда имеет место интегральное тож-дество
г	г	— [ [ f\idv dr)
/ hdv=	ip,v) du + /2i (¥’,’/')-7—----------•
JR3 J R3	J f2i dr
Таким образом, для функций <р и -0, входящих в распределение в случае нормированных функций распределения /j, мы получим следующую систему квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Гельмгольца:
N	N
Д<д = Ад 57?Мй Ач/' =	(3.5)
г=1	г=1
где А = ||JV||, N = (Nlt..., Nn) и & = M/||./V||.
Замечание 3.1. Функции распределения вида (3.4) могут быть полезны для анализа стационарных распределений уравнения Больцмана, так как они позволяют упростить интеграл столкновений посредством разделения переменных т и v. Если нормировать функцию fa посредством
[ [ flidvdr = Ki,
JD JR3
тогда можно изучать функции распределения с разным числом частиц Ni, Ki.
Возьмем для простоты изложения вспомогательный вектор d направленным вдоль оси Z. Тогда ср = <р(х, у) и ip = ip(x, у).
Пусть D — ограниченная область в R2 с границей dD класса С2,а, a Е (0,1], и пусть выполнено условие i). Введем обозначения ji = = /R3 di;> Pi = fR3fidv,i = l,...,N и следующие условия:
ii)	существуют векторы /3i £ Я3 такие, что ji = PiPi, i =
iii)	потенциалы U и А электромагнитного поля (Е,В) удовлетворяют условиям (2.33), (2.34), где izoi и Uq2 есть константы и
N
^qkAk(lk<po,kkiP°) = O, fc=i
при
0 2ag
P =-------Uq!,
m
N
^qk(/3k,d)Ak(lkcp°,kkiP°) = 0 fe=i
ip° = -?-uo2, N 3. me
Тогда система (3.2) с граничными условиями
Лю = ^°> Лю =	<3-6)
имеет тривиальное решение ср = <р°, ip = ip° при всех A G R+. Из теоремы 2.1 и следствия 2.3 следует, что стационарная система ВМ имеет тривиальное решение
Е° = —дгср° = 0, т е D с Я2, В° = /3d!, 2aq
f° = Xfi(-aiV2 + сн + 1рр°, (v, di) + c2i + kiip°)
с граничными условиями (2.36), (2.37) для всех A С Я+. Используя разложение в ряд Тейлора
у) = £ 1 ((z - х°)Л + _ у°) A) A(z°, у°) i^O V
и выделяя линейные члены, мы можем переписать систему (3.2) в операторном виде:
(3-7)
(Lo — XL\)u —
А 0
0 А
, дА3
ОХ
ОХ
Lq =
и) = 0, и =	— <Р°, ijj — 0°)/,
, dAa
дА.
vka(J3g,d)-x-l
А дТ1 1<Гз
дУ -I I=ZJ^o,y=fcJV>o
Р-Тъ . иТь ’
(3-8)
(3-9)
где
есть i-однородные формы по и,
.0
= 0 для
N
N
l£l s = l

2 i! + i2 I - 1, s = 1,..., N, bs = (д, v(j3s, d))1.
Задачу о существовании точки бифуркации А0 для (3.2) можно трактовать как задачу о точке бифуркации операторного уравнения (3.7).
Введем банаховы пространства С2 * * * * * В’“(Д) и C'0,o,(D) соответственно с нормами || • ||2,о и ||  ||о,а> и W2,2(D), которое является обычным Т2-соболевским пространством в D.
Введем банахово пространство Е векторов и = (u!,iz2)', где щ £
€ Т2(Л), и 1/2 — вещественное гильбертово пространство с внутренним произведением (•, •) и соответствующей нормой || • ||ь2(£>)- В качестве области D(L0) выберем множество векторов и = (izi, tz2)' с щ £ W°2,2(D). Здесь И/о2,2(Л) означает Ил2 2-функции со следом 0 на dD.
Тогда Lq: D С Е —> Е — линейный самосопряженный оператор.
В силу вложения
ТТ2’2(£)) с С°’“(Р), 0 < а < 1,	(3.10)
оператор т: W2'2 С Е —> Е аналитический в окрестности нуля. Ввиду вложения (3.10) любое решение уравнения (3.7) из D(Lo) будет гельде-ровским. Более того, так как коэффициенты системы (3.7) постоянны, вектор r(u) аналитический, dD € С2,“, то на основании известных результатов теории регулярности слабых решений эллиптических уравнений (см. Ладыженская, Уральцева [43]) искомые обобщенные решения уравнения (3.7) из IV°2,2(.D) принадлежат C2'a(D).
Определение 3.1 (см. [64]). Точка Ао называется точкой бифуркации задачи (3.2), (3.6), если в любой окрестности точки (<^°,Vr°1 А°) найдется точка	удовлетворяющая системе (3.2), (3.6),
такая, что
+ Н^-Л^,2 >0.
Здесь ||  ||що2,2 есть норма в пространстве W2,2(D). В силу теоремы 2.1 о редукции системы ВМ и следствия 2.3 точки бифуркации задачи (3.2), (3.6) назовем точками бифуркации стационарной системы ВМ. Оператор Li £ ЦЕ —» Е) ограниченный линейный.
При сформулированных условиях для Lq и Li все особые точки оператора
L(A) = Lo - ALi
фредгольмовы. Если ,/V(L(Ao)) = {0}, то на основании теоремы о неявном операторе (см. Треногин [64]) для любого 5 > 0 найдется окрестность S точки Aq такая, что при всех A G S в шаре ||u||e < существует лишь тривиальное решение и = 0, и Ао не будет точкой бифуркации. Поэтому для вычисления точек бифуркации необходимо (но не достаточно) найти такие значения Aq, для которых N(Lq — AqLi) {0}. Матрицу, порождающую оператор Lj, обозначим Е.
Точки бифуркации нелинейного уравнения (3.7) могут встретиться только среди точек спектра линеаризованной системы
(Lq — ALJu = 0.
(3-11)
Для анализа спектральной задачи (3.11) при физически допустимых значениях параметров предварительно определим собственные числа и собственные векторы матрицы Е в (3.8). Для этого нам потребуется ряд вспомогательных утверждений.
Введем условия:
iv)	71 < 0;
v)	Т\Т4 - Т2Т3 > 0.
Лемма 3.1. Если
>0, дх x=lw°
mo iv) выполнено.	&
Доказательство. Всегда можно считать, что q = qi < 0, qi > > 0, i = 2,..., N, и signgJi = signg. По условию леммы
dAi г dfi
—— = I —— at; > 0.
&Г J рз их
Поэтому T\ < 0. Лемма 3.1 доказана.
Введем матрицу Q = ||©»j||»,j=i...п / [0], где 9^ = qiq^ljki -
-
Лемма 3.2. Если дх ду
dAj дх
и матрица 0 неотрицательна, то выполнены условия iv) и v). Доказател ьство. При любых дА^/дх справедливо тождество
Т1Т4 - Т2Т3 = liai 52	“ 52 kiai 52 ^ai =
= ^ata^liki -	- 0j,d), где at =
м
С учетом этого тождества для положительности выражения Т\Т4 — — Т3Т3 достаточно, чтобы
Qij =	- М»)(& - Pj,d) 0,	TV 3. (3.12)
Так как матрица 0 неотрицательна, то (3.12) выполнено.
Лемма 3.2 доказана.
Замечание 3.2. Если Дг = dj/(2aj), то d2 к-=	(3.13)
2a li
и
&ij = 7ГТг(.11кг - ^fc>)2 > °>	=
2a liij
так как sign(gi//,) = signq.
Замечание 3.3. Если N = 2 и /3i = </j/(2ai), то в силу условия iii) и равенств (3.13) имеет место альтернатива: или в условии iii) Ai — А2 = 0, или ki = li, i = 1,2.
Лемма 3.3. Пусть выполнены условия iv) и v). Тогда матрица 5 в (3.8) имеет два однократных собственных числа
rp m	Т1Т4 — Т2Т3	4тг|д|
Х+= дТ1+о(1),	х-=т?-------=-----е + о(е), т? =-------- > О,
11	тп
при € = 1/С	0.
Собственному числу х~ отвечают собственные векторы
С1	—	'-Т2/Т1	+ О(е),	С1	—	О'	+ О(в
С2		1		.С2.		1	
матриц х. их! соответственно.
Доказательство. Характеристическое уравнение матрицы
ЯП - X цТ2 +ерТ3 +erfl\ - у
имеет вид
х2 - х(м^1 + е^4) + eqn(T\T4 - Т2Т3) = 0.
Так как
Х1,2 =	± у/(p.Ti + epTi)2 - 4ет)ц(Т1Т4 - Т2Т3)^,
то получим
Т1	Т1Т4—Т2Т3	. .
Х+ = 1Л\ + 0(1), у_ = eq--------—-----+ О(е)
при е —> 0. Так как /х < 0 и Ti < 0, то х+ > 0. Аналогично проверяется, что X- < 0 в силу т) > О, Т1Т4 — Т2Т3 > 0, Ti < 0.
Решая однородные системы (Е-Х_)с = О, (Е'-х-)с*=О, найдем искомые собственные векторы, отвечающие собственному числу Х--
Лемма 3.3 доказана.
Пример. Пустьfi = /j(a(-aiv2+^i)+6((di,v)-|-'0j)),i = 1,...,2V, тогда в (3.3) Ai — Ai(ali<p + bkiij>'), и система (3.2) будет потенциальной:
ai	0	дУ/д-ф
О	а.2	дУ/д'ф
где
JLO. f-aljip+bkj^
У =	Ak(s)ds, а-^ =—,
Ч Jo	о
i/d2
= 2ab
При этом в силу леммы 2.3 выполняется условие ii) для
а 2а^
Если Afc(s) > 0, то в силу леммы 3.2 выполнены условия iv), v).
Перейдем к вычислению точки бифуркации Ао- Полагая в (3.7) А = Ао + е, рассмотрим систему
(То - (Ао + e)Li)u - (Ао + e)r(u) = 0	(3.14)
в окрестности точки Ао. Пусть Тз 0 и Тз ф 0 или Т2 = Т3 = 0. С целью симметризации системы при Т2 0, Тз 0, умножив обе части уравнения (3.14) на матрицу
_ А цТ2 , где а = — ф О, уТз
запишем (3.14) в виде
Ви = eBiu + (Ао + е)7?.(и).
(3.15)
Здесь
В = M(L0 - А0Т1), Щи) = Мг(и) = (г!(и),г2(и)),
Bi G L(E —> Е) — самосопряженный оператор, так как он порождается симметрической матрицей Bi = МГц, и В: D(Lq) С Е —> Е — самосопряженный Фредгольмов оператор.
Замечание 3.4. Если As(al3<p + bk3ip), то
dAs !,	дА >	_ pb d2
-^- = Asb,	— = Аа,	а = — — а,
ду	дх	и 2а
4 a 2а3
В разложении (3.9)
Qis = %A^{alsip° + bks$°}(alsu-L + bk3U2)1. г\
Поэтому в данном случае дг^/диъ = дг^/ди^, матрица 7?.u(u) будет симметрической для любого и, а оператор 1ZU: Е —» Е самосопряженным для любого и.
Замечание 3.5. Если Т2 = Tj = 0, то можно положить а = 1. Если Т2 = 0 и Тз / О или Тз = 0 и Т2 0, то задача не симмет-ризуется, и вывод уравнения разветвления в п. 3.3 следует проделать непосредственно для уравнения (3.14).
Введем условие
vi)	пусть р — собственное число задачи Дирихле
—Ле = ре, е|ЯГ1 = О,
a {ej,..., еп} — ортонормированный базис в подпространстве собственных функций.
Обозначим через с_ = (ci,c2)' — собственный вектор матрицы L\, отвечающий собственному числу < 0.
Лемма 3.4. Пусть выполнено условие vi), Aq = — р/х-- Тогда dim N(B) = п, а система {е,}"=1, где е, = с_е, образует базис в подпространстве N (В).
Доказательство. Рассмотрим матрицу 15, столбцы которой являются собственными векторами матрицы Li, отвечающими собственным числам Х-t Х+- Тогда
(X— 0 \
15-4115 =	, ВО15 = 15ВО)
\° *+/
и уравнение Ви = 0 заменой и — ViU приводится к виду
M[L0VU - А0В115В] = М[15(В0В - ЛоУ^ОВ)] = 0.
Откуда следует, что линеаризированная система (3.11) расщепляется на два линейных эллиптических уравнения
ABi - Aox-Bi = 0,	ui|a£) = 0,	(3.16)
ЛВ2 - Лох+В2 = 0,	и2|Э£)=0,	(3-17)
где AqX- = — Pi Аох+ > 0. По условию vi) р G а(—Л). Поэтому
Qj = const, В2 = 0,
и, следовательно,
U1
U2
С2-
с1+ U1
С2+ О
С1-
С2-
п
1=1
Лемма 3.4 доказана.
Лемма 3.5. Оператор В не имеет В i-присоединенных элементов.
Доказательство. Таккак1/1С_ = у_с_, то имеет место цепоч-
ка равенств
(В1вйек) =
LiC_ei, с~еь
= X-(ci- + acfyik, г, к =
1
О
О а
Поэтому det ||(В^, е*,) ||"fe=1 = X-(ci- + йс^_)п / 0, так как
X- о,
z.2 . z„2	_ _2 ^2 2
с1г ‘ ас2-	гр с 1
и, следовательно, согласно определению обобщенных жордановых цепочек (см. Вайнберг, Треногин [10]) оператор В не имеет Bi-присоеди-ненных элементов.
Лемма 3.5 доказана.
Не ограничивая общности, будем считать собственный вектор cj_ матрицы Li выбранным так, что х~(с1- + aCj_) = 1- Тогда система векторов {Biej}7=i будет биортогональна к {е,}"=1. В связи с этим на основании леммы Шмидта (см. Вайнберг, Треногин [10]) оператор
п
В = В + ^2(-,7iht, г=1
где 7i = B^ei, имеет ограниченный обратный Г G L(E —> Е). При этом Г = Г, Г71 = е<.	(3.18)
Замечание 3.6. На основании доказательства леммы 3.4 для построения оператора Г можно использовать формулу
Г = П
Г1 о
о
Г2
ГИМ-1,
где
Г1= [ G^s^ds, Г2= [ G2(x,s)[-]ds, JD	JD
G-[(i,s) — модифицированная функция Грина задачи Дирихле (3.16), a G2(x, s) — функция Грина задачи Дирихле (3.17).
3.3. Вывод уравнения разветвления. Перепишем уравнение (3.15) в виде системы
(В -	= (Ло + e)7?.(u) +	(3.19)
£г = (и,7г), г = 1,	(3.20)
Из (3.19) по теореме об обратном операторе имеем
и = (Ло + е)(/ - еГВ^ГЩи) +	(3.21)
2=1
При этом в силу (3.20) с учетом (3.18) должны выполняться равенства rhei + Т^7<ад’ei} = °’	(3-22)
где 1l(u) — Hi(u) + 7?.(+i(u) + ... Уравнение (3.21) при достаточно малых е и |£| на основании теоремы о неявном операторе имеет единственное решение
и = ui(fe, е) + (Ло + е)(/ - еГВ1)-1Г{иг(£е, е) + и;+1(£е, е) + ...},
(3.23) где
1 "
ui(fe,e) = ^77^	u((£e,e) = ^(иД^е, е)),
Ь 2=1
uz+i(Ce,e) = Тг-г+^щ^е.е)) +
0,
Г?г' (U1(£e, е))(А0 + е)(/ - erBi)"1!^^, е),
I > 2,
I = 2,
и т.д.
Подставляя решение (3.23) в (3.20), получим искомую систему раз-ветвления
T^e + L(e,e)=O,	(3.24)
где L = (В1,..., Вп),
(7£i(£e),ef) + y-l^(7i/+1(^e),ei) +

(1 — e)i+1
'0,	I >2'
+ ( (^f<^2(^)(/- еГВО-ТТ^^е),^), I = 2
П = o(|f|'+1), i = l,...,n.
Если L(£, e) = gradt7(£, e), то уравнение разветвления (3.24) называется потенциальным. В потенциальном случае матрица L^(^,e) окажется симметрической. Пусть в (3.1) fi = /,(а/<<^ + Ьк^), г = 1,..., N.
Тогда на основании замечания 3.4 матрица 1Zu(u) будет симметрической для любого и.
Покажем, что уравнение разветвления (3.24) потенциальное, если матрица 7Zu(u) симметрическая для любого и. Действительно, на основании (3.22)
^г(С,е) = ^^(7г(и)(^е,е),е<), i = 1,...,п,
где и(е, е) определяется рядом (3.23).
Поэтому векторное поле L(£, е) потенциально тогда и только тогда, когда матрица
' ди(т],е) к,и е„ег
А _
(3.25)

-1 1
симметрическая.
На основании (3.21) и теоремы об обратном операторе в достаточно малой окрестности точки £ = 0, е — 0 справедливо операторное тождество
= [I - (Ао + е)(/ - еГВ1)-1Г7ги(ц(т?, е))]
Так как Bi, Г и 7?.и — самосопряженные операторы, то
gj* = [/-(Ао + ^тад^))]-1^.
1 - е
ди дт]
= [/ - (Ао + е)ад/ -
Поэтому
_ ди дт] ввиду операторного тождества
[/-(Ао + ^ад^-еВ^)-1]-1^ = 7ги[/-(Ао + е)(/-еГВ1)-1Г7ги]-1. Итак, в матрице (3.25) оператор
тги^: Е—> Е дт]
является самосопряженным. Поэтому матрица (3.25) симметрическая и L(£, е) = grad U(£, е). Из сказанного вытекает
Лемма 3.6. Пусть выполнены условия i)-vi) и Ао = — д/х-  Тогда уравнение (3.14) имеет столько решений и —» 0 при А —> Ао, сколько малых решений £ —> 0 при е —> 0 имеет системы разветвления (3.24).
Если в системе (3.2), (3.3) А, = Ai(ali<p + bkiip), i = a, b — константы, то система разветвления потенциальная,
т. е. L(£,e) = VeC7(£,e), U: Rn x Л1 - R\ где
u(& £) -	(/ + i)(i _ e)/+i	e’>&
~ (Z + 2)(1 — e)z+2 ZL^z+i^e)’eiHi -
{О,	I >2'
1-1	(3.26)
3.4. Теорема существования точек бифуркации и построение асимптотических решений. Система разветвления (3.24) называется системой разветвления Ляпунова-Шмидта (см. Вайнберг, Треногин [10]) в задаче о точке бифуркации краевой задачи (3.2), (3.6). Далее нам потребуются сведения о вещественных решениях и структуре системы разветвления
Ж е)	е) + о(|£|') = 0.	(3.27)
Эти результаты из Треногина, Сидорова [65] и Сидорова, Треноги-на [59] мы сформулируем в виде двух лемм.
Лемма 3.7. Пусть имеет место одно из условий:
1)	п нечетно-,
2)	I четно и	(£, 0) | =4 0 при £=4 0;
3)	L(£,e) = VW(£,e).
Тогда в любой окрестности точки £ = 0, е = 0 найдется пара (£*,б*), С* 0, удовлетворяющая системе (3.27).
Доказательство. Если точка £ = 0 является неизолированной особой точкой векторного поля Д(£, 0), то в любой окрестности точки £ = 0, е = 0 найдется пара (£*,0), где £*	0, удовлетворяю-
щая (3.27), и лемма справедлива.
Пусть £ = 0 — изолированная точка векторного поля L(£, 0). Рассмотрим три случая.
1)	Пусть п нечетно. Возьмем окрестность |£| г, |е| g и введем векторное поле
жt} = 1 (2;?71}пп £+
1 — (zt —
Если Ф(£, t) 0 при t G [0,1] и |£| = г, то определена степень отображения (см. Дубровин, Новиков, Фоменко [33])
/ ф \
J, = J(W’s(0’r))
границы сферы |£| = г в единичную сферу, и при этом Jt — одно и то же целое число для каждого t е [0,1]. Но Jq = (—l)n, J\ = 1п. Следовательно, Jt / const. Поэтому для всех г > 0 и Q > 0 найдутся t* е [0,1] и £*, |£*| — г такие, что Ф(£*,С) = 0. Соответствующая пара (£*, (2t* — l)g) удовлетворяет системе (3.27).
2)	Пусть I четно и
j=i
В этом случае поле L(£, б) на сфере 5(0, г) при |е| < <5, где <5 достаточно мало, гомотопно полю L/(£,0). Следовательно,
7/Ь(б,е) Л ,/Мб.о) Л
— четное число, так как I четное.
Зафиксируем б* G (—<5, 6). Введем 7q — индекс Кронекера (см. Кро-некер [40]) изолированной особой точки £ — 0 поля 1/(£,б*), 70 — = (sign6*)n.
По теореме Кронекера (см. Кронекер [40])
(3-28)
Так как в равенстве (3.28) слева четное число, а 70 нечетно, то в шаре 5(0, г), кроме точки £ = 0, есть другая особая точка £*	0 по-
ля L(£, б*). Пара (£*,б*) удовлетворяет системе (3.27).
3)	Пусть L(f, б) = grad W(£,б), где
=	+ KI <6’ г>°-
Если точка £ = 0 является неизолированной критической точкой потенциала W(£, 0) (потенциала W(£, б) при 0 < |б| < 6), тогда лемма справедлива. Пусть точка £ = 0 — изолированная критическая точка потенциала W(£, 0) и потенциала W(£, б) при 0 < |б| < 6. Тогда определены индексы Морса-Конли (см. Конли [37]) критической точки £ = 0 потенциала W(£, 0) и потенциала W(£, б) при 0 < |е| < 3, где 6 достаточно мало. В силу свойства гомотопической инвариантности индекса Морса-Конли (см. Конли [37], теорема 1.4, с. 67) эти индексы равны. Но при 0 < |б| < 6 точка £ = 0 является невырожденной критической точкой, так как
д2	еп
det	е) = П ± °-
£=0	(1 б)
Поэтому индекс Морса-Конли равен числу отрицательных собственных чисел соответствующего гессиана
б
1 - б
6tk
г,к=1,.
Но тогда при е > 0 этот индекс равен 0, а при е < 0 он равен п. Поэтому точка £ = 0 не может быть изолированной критической точкой потенциалов 1У(£,0) и ИД£,е) при 0 < |е| < 8. Следовательно, £ = О есть точка бифуркации системы разветвления L(£, е) = 0.
Лемма 3.7 доказана.
Лемма 3.8. 1) Пусть I четно, система
£ + 1Д£, 0) = 0	(3.29)
имеет простое вещественное решение £° 7^ 0; тогда в окрестности точки е — 0 система (3.27) имеет вещественное решение
£ = (£° + о(1))е1/(г-1).	(3.30)
2) Пусть I нечетно, система (3.29) или система
—£ + L/(£, 0) = 0	(3.31)
имеет простое вещественное решение £°	0; тогда в полуокрестно-
сти е > 0 (е < 0) существуют два решения вида
£ = (±£° + о(1))Н1/('-1)-	(3.32)
3) Пусть Li(£, 0) = grad U(£), £° — изолированный экстремум функции на сфере |£| = 1, Г7(£°)	0; тогда существует решение
£ = (с + o(l))|e|1^z-1\	(3.33)
где
/ signe У 0
^ + 1)£7(£0)У
. ± ((Z + l)t/(£°))	е°’ еС/(е0) > °’
(3.34)
Доказательство. 1), 2) Будем искать решения уравнения (3.29) в виде £ =	Для определения т?(0) получим две систе-
мы: одну — при е > 0, другую — при е < 0, т. е. системы (3.29), (3.31). Если I четно, то замена £ = —£ преобразует уравнение (3.29) в (3.31). Если I нечетно, эта замена не меняет уравнений. Поэтому в случае простых вещественных решений £° существование решений (3.30), (3.32) следует из теоремы о неявной функции.
3) Пусть 1Д£, 0) = grad£7(£). Тогда решение (3.33) будем искать в виде
/ с V/o-i) ?=У '
где |т?| = 1, q(e) — скалярный параметр, удовлетворяющий при нечетном I условию ед(О) > 0. Для определения q и Т) получим систему
2дт} + 1/г(т},0) + 9(т?, q,e) = 0,	|q| = 1,
где ||0|| = о(1) при е —> 0. Поэтому 2д(0)т?(0)(т?(0), 0) = 0 и |т/(0)| = 1.
Так как по условию — изолированный экстремум функции U(£) на сфере |£| = 1, U(£°)	0, то положим
g(0) = (Z4- 1)[7(е°),	7,(0) =е.
Рассмотрим возмущенное векторное поле
фе(т?, g) = < 2qT]i + — + Qi, |77| = 1
I ("li
Пусть S — сфера в Rn+1 с центром в точке (д(О),т/0) радиуса Q > 0. Введем степень отображения (см. Роше [54]):
если (д(0), £°) — точка минимума д(0)|£|2 + С7(£, 0), если (д(0), £°) — точка минимума д(0)|£|2 + С7(£, 0).
Так как эта степень отлична от 0, то при |е| < <5, 5 достаточно мало, векторное поле Фе(т/, д) = 0 имеет особую точку в окрестности точки (д(0),£°).
Лемма 3.8 доказана.
С помощью лемм 3.6-3.8 теперь можно доказать следующие результаты о точке бифуркации задачи (3.2), (3.6).
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия i)-vi), где Ао = — ц/х- ; и одно из трех предположений:
1)	п нечетно]
2)	I четно, I (£е),ег) I £ 0 при^ к 0;
3)	/» = fi(a(-Qii? + y?i) + b(y  dt + ^)), i = 1,..., N, a, b — константы.
Тогда Aq — точка бифуркации краевой задачи (3.2), (3.6).
Доказательство. В силу предположений 1)-3) условия лемм 3.6 и 3.7 выполнены для уравнения разветвления (3.24) краевой задачи (3.2), (3.6). Уравнение (3.23) устанавливает взаимно однозначное соответствие между искомыми решениями краевой задачи и малыми решениями уравнения разветвления (3.24). Таким образом, справедливость теоремы 3.1 следует из этих лемм.
Теорема 3.1 доказана.
Следствие 3.1. Пусть потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют условиям (2.33), (2.34) и выполнены условия теоремы 3.1. Тогда Ао — точка бифуркации системы ВМ (2.1)-(2.5).
Пример. Пусть в системе ВМ функции распределения имеют вид (см. Марков, Рудых, Сидоров, Синицын, Толстоногое [45])
fi = А ехр(—а{и2 + (ф, v) + ц + 1цр(г) + ф^(т)),
причем
Е-3/2	(	. ai \ П
exp 7i + — =0,
Г— -3/2	(	,	\	..
Тогда условия i), ii) при /3, = di/(2ai) и условия 1)-3) теоремы 3.1 будут выполнены. При этом уравнение разветвления (3.24) оказывается потенциальным. Если у, — собственное число задачи Дирихле vi), то на основании следствия 3.1 Ао = —р/х- есть точка бифуркации системы ВМ с условиями (2.36), (2.37), где ню — u2o = 0- При этом
Т2=^щк{, Т3 = ^щ1ь
А / 7Г А3/2	( d? \
ai = Чг — exp 7i + -±- , \оц J \ 4aj)
Т4 = 2^0.1 —
Х- = ^ (уТ4 - МТ1 - 7(^4 - МТ1)2 + 4рМ[Т1Т4 - ВД).
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия i)-vi), где Ао = — p/x-i и условия одного из трех утверждений леммы 3.8.
Если выполнено 1), то краевая задача (3.14) имеет решение
f^ei°ei + o(l)')(A-Ao)1/(,-1).
4=i	'
Если выполнено 2), то существуют два решения
= (±f>°e* + °<1)') 1Л - Ло11/('~1},
определенных в полуокрестности А > Ао (А < Ао), если £° удовлетворяет системе (3.29) (£° удовлетворяет системе (3.31)).
Если выполнено 3), то
и = f^Cjei + о(1)^ |А - Ао|1//(/-1),	(3.35)
4=1	'
где вектор с определяется по формуле (3.34).
Доказательство вытекает из лемм 3.6, 3.8 и формулы (3.23).
Следствие 3.2. Пусть потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют условиям (2.33), (2.34) и выполнены условия теоремы 3.2. Тогда система ВМ (2.1)-(2.5) с условиями (2.36), (2.37) имеет решение (2.35), где
Ч> —	-1-иДг, А), ф = — и02 + и2(г, А),	(3.36)
т	тс
функции ttj, и2 —> 0 при А —* Aq определены в теореме 3.2.
Рассмотрим подробнее функции распределения вида
fi = fi(a(-Q’iv2 + сн + li<p) + b(y  di + c2i + fc,-0)),	(3.37)
где li, ki связаны линейными соотношениями (2.14), (2.15), сходятся интегралы
/ fi dv = Ai(alnp + Ьк^,
Jr3
причем dAi(s)/ds < 0 для всех s. В этом случае на основании лемм 3.1, 3.2 условия i)-v) и условия теоремы 3.2 будут выполнены, значит, уравнение разветвления (3.24) согласно лемме 3.6 оказывается потенциальным. В теореме 3.2 имеет место случай 3). Поэтому вид функций ui(r, Л), иг(г, А) в (3.36) может быть уточнен, а именно, в случае распределения (3.37) вектор и = (wi,w2) в формуле (3.36) можно вычислить по формулам (3.35), (3.34). Если при этом окажется, что в формуле (3.34) вектор с отвечает неизолированному экстремуму соответствующего потенциала, то часть его координат может остаться произвольными точками некоторой сферы S С Rk, где к п (см. Треногин, Сидоров [65]; Сидоров, Треногин [59]). Тогда задача (3.14) будет иметь решение, зависящее от свободных параметров. Такой случай возможен, если область D симметричная и задача (3.14) обладает сферической симметрией. При этом свободные параметры, остающиеся в решении, имеют групповой смысл.
Покажем, что именно такая ситуация возникает в нашей задаче в случае кругового цилиндра. Введем условие
vii) D = {х G R2 | Xj + х2 = 1}, матрица симметрическая для любого и.
Перейдем в системе (3.14) к полярной системе координат х^ = = pcos©, Х2 = psin©, тогда
. д2 1 д 1 д2
Л “ др2 + рдр + р2 а©2 ’	w'p=1 “ '
Условие vi) конкретизируется. В этом условии р G {(paS^)2, s = 0,1,..., а = 1,2,...}, где р^ — нули функции Бесселя Л(м)- Если р = (p^0^)2, sq 1, то dim./V(.B) = 2, векторы
с_Ло(р^оо)р) cos so0, с_Ло(р^оо)р) sin sq©
составляют базис в подпространстве 7V(B). Система разветвления (3.24) в силу леммы 3.6 будет потенциальной в целом. Более того, уравнение разветвления (3.24) допускает группу 0(2) и в силу [44, теорема 1] имеет вид
Ш-1ОД,О = о,	(3.38)
где в аналитическом случае оо
МКИ = £L2i+1(e)|^|2i+1, h(e) =
i=0
Отметим, что в этом случае на основании нечетности L(|£|, б) по £ в левых частях уравнения разветвления (3.24) формы (3.36) четного порядка по £ должны отсутствовать.
Замечание 3.7. Потенциал уравнения разветвления U в (3.26) ввиду (3.38) имеет вид
Jo	1 — t £
Поэтому
С/|к|=1-“/ L(s,e)ds+ 2(Г—”ё)
Пусть в (3.38)
L2i+i(e)=°, i = 1,2, •.. ,т - 1,	Z2m+i(e)^0.
Полагая £i = г cos а, £2 = г sin а, сведем систему (3.38) к одному уравнению
r^ + L2m+i(6)r2’” + O(r2’”+2)=0.	(3.39)
Отметим, что для всех £
I2m+i(0) = А0(7г2т+1 ^е), е^-1 |£Г2т, j = 1,2,
если 7£2u = ... = 7£2m(u) = 0.
Замечание 3.8. Если 72.2(и)	0, то для всех £
Ьз(0) = А0£~1|£|“2(72.3(£е) + 7г' (£е)Г7г2(£е),еД j = 1,2.
Из уравнения (3.39) найдем два решения
п,2 = ±2т/=^ + О(|е|1/2т),
V ь2пг+1(и)
которые будут вещественными при бЬ2пг+1(0) < 0. Этим решениям отвечают соответственно два решения
£i
£г
Ит^>+0^'2
cos а
sin а
(3.40)
уравнения разветвления, где параметр а G R1, отвечающий группе 0(2), остается произвольным. Подставляя (3.40) в (3.23), а вектор (3.23) в (3.36), получим два решения:
¥’±
•ф±
2aq
----и01 т 9
—ио2 тс
'-Т2/Т(
1
JSO(/4^р) cos SO(0 - а) 27/-г- -Л°- + о(| А - А0|1/(2т)). V ь2т+1(0)
Этим решениям при (А — Ao)£2m+i(0) < 0 отвечают два вещественных решения f±,	стационарной системы ВМ (2.1)-(2.5) с
краевыми условиями (2.36), (2.37), определяемые по формулам (2.35).
В заключение отметим, что вместо условия iii) можно потребовать: iii') потенциалы U, А электромагнитного поля (Е,В) удовлетворяют условиям (2.33), (2.34), и при этом
N	N
^>А(^°,М°) = 0,	£9i(MW-M°)=0,
г=1	г=1
где ip°, — гармонические функции с граничными условиями
‘Ар = -^uoi(r),	^°\aD = ^ог(г).
Если при этом функции распределения имеют вид fi = av2 + + <Pi) + b(v  d{ + V’»))> то результаты получаются аналогичными и в случае непостоянных значений Uqi, U02.
Изложенную методику можно применить для построения нетривиальных решений интегродифференциальной системы (3.5). Поэтому аналогичные результаты имеют место и в задаче о точках бифуркации системы ВМ с нормированными функциями распределения.
Список литературы
1.	Abdallah N. В. Weak solutions of the initial-boundary value problem for the Vlasov-Poisson system // Math. Methods Appl. Sci. — 1994. — V. 17. — P. 451-476.
2.	Abdallah N. B., Degond P., Mehats F. Mathematical models of magnetic insulation: Rapport interne №97.20, MIP, Universite Paul Sabatier, Toulouse, France.
3.	Ambrose A. Sur la resolution des problemes de Vlasov-Poisson et Euler-Poisson. Applications a la physique des plasma: PhD Thesis. — Ecole Polytechnique, 2000.
4.	Арсеньев А. А. Глобальное существование слабого решения системы уравнений Власова // ЖВМиМФ. — 1975. —Т. 15. — С. 131-143.
5.	Batt J. Global symmetric solutions of the initial-value problem of stellar dynamics // J. Diff. Equat. - 1977. - V. 25. - P. 342-364.
6.	Batt J., Berestycki H., Degond P., Perthame B. Some families of solutions of the Vlasov-Poisson system // Arch. Rational Meeh. Anal. — 1977. — V. 104. - P. 79-103.
7.	Batt J., Rein G. Global classical solutions of the periodic Vlasov-Poisson system in three dimensions // C.R. Acad. Sci. Paris. — 1991. — V. 313. — P. 411-416.
8.	Batt J., Fabian K. Stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Chin. Ann. Math. (Ser. B). — 1993. — V. 14. — P. 253-278.
9.	Braasch P. Semilineare elliptische differentialgleichungen und das Vlasov-Maxwell system: Dissertation. — Universitat Munchen, 1996.
10.	Вайнберг M. M., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.
11.	Веденяпин В. В. Краевая задача стационарных уравнений Власова-Пуассона // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 290. - С. 777-780.
12.	Веденяпин В. В. О классификации стационарных решений уравнения Власова на торе и краевая задача // Докл. РАН. — 1992. — Т. 323. — С. 1004-1006.
13.	Weckler J. The Vlasov-Poisson system on a bounded domain // Abstracts of International Conf. “Nonlinear Equations in Many-Particle Systems”. — Oberwolfach: Mathematishes Forschungsinstitut, 1993. — P. 12.
14.	Власов А. А. Теория многих частиц. — M.: Наука, 1950.
15.	Власов А. А. Статистические функции распределения. — М.: Наука, 1966.
16.	Wollman S. The use of the heat operator in an existence theory problem of the Vlasov equation // TTSP. — 1985. — V. 14. — P. 567-593.
17.	Wollman S. Global in time solutions to the two-dimensional Vlasov-Poisson system // Comm. Pure Appl. Math. — 1980. — V. 33. — P. 173-197.
18.	Gilbarg D., Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations. — N. Y.: Springer, 1983.
19.	Glassey R. T., Strauss W.A. High velocity particles in a collisionless plasma // Math. Methods Appl. Sci. — 1987. — V. 9. — P. 46-52.
20.	Glassey R. T., Schaeffer J. Control of velocities generated in a two-dimensional collisionless plasma with symmetry // TTSP. — 1988. —V. 17. — P. 467-560.
21.	Glassey R. T., Schaeffer J. Global existence for the relativistic Vlasov-Maxwell system with nearly neutral initial data // Comm. Math. Phys. - 1988. - V. 119. - P. 353-384.
22.	Glassey R. T., Schaeffer J. The “two and one-half dimensional" relativistic Vlasov-Maxwell system // Commun. Math. Phys. — 1997. — V. 185. — P. 257-284.
23.	Cogny D., Lions P. L. Sur les etats d’equilibre pour les densites electroniques dans les plasmas // Model. Math. Anal. Numer Rech. Oper. — 1989. — V. 23. - P. 137-153.
24.	Greengard C., Raviart P.-А. A boundary-value problem for the stationary Vlasov-Poisson equations: The plane diode, Research Report, IBM RC 14766. - 1989.
25.	Guo Y. Global weak solutions of the Vlasov-Maxwell system with boundary conditions // Comm. Math. Phys. — 1993. — V. 154. — P. 245-263.
26.	Guo Y., Ragazzo C. G. On steady states in a collisionless plasma // Comm. Pure Appl. Math. — 1996. — V. 49. — P. 1145-1174.
27.	Dancer E. N. The effect of domain shape on the number of positive solutions of certain nonlinear equations // J. Diff. Eq. — 1988. — V. 74. — P. 120-156.
28.	Degond P. Local existence of solutions of the Vlasov-Maxwell equations and convergence to the Vlasov-Poisson equations for infinite light // Math. Methods Appl. Sci. - 1986. — V. 8. — P. 533-558.
29.	Degond P. The Child-Langmuir flow in the kinetic theory of charged particles. Part I. Electron flows in vacuum: Prepubl. Mathematiques pour 1’Industrie et la Physique C.N.R.S, UFR MIG. — France: Univ. Paul Sabatier, 1994.
30.	Degond P., Raviart P.-А. An asymptotic analysis for the one-dimensional Vlasov-Poisson equation // Asymptotic Anal. — 1991. — V. 4. — P. 187-214.
31.	Degond P., Raviart P.-А. On a penalization of the Child-Langmuir emission condition for the one- dimensional Vlasov-Poisson equation // Asymptotic Anal. - 1992. - V. 6. - P. 1-27.
32.	DiPerna R., Lions P. L. Solutions globales d’equations du type Vlasov-Poisson // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. — 1988. — V. 307.
33.	Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко A. T. Современная геометрия. — M.: Наука, 1979.
34.	Illner R., Neunzert H. An existence theorem for the unmodified Vlasov equation // Math. Meth. Appl. Sci. — 1979. — V. 1. — P. 530-554.
35.	Иорданский С. В. Задача Коши для кинетического уравнения плазмы // Труды Мат. института им. Стеклова. — 1961. — Т. 60. — С. 171-194.
36.	Caffarelli L., Dolbeault J., Markowich P. A., Schmeiser C. On Maxwellian
equilibria of insulated semiconductors: Preprint. — 1999.
37.	Conley С. C. Isolated invariant sets and the Morse index // CBMS. Regional Confer. Ser. Math. — 1978. — 38.
38.	Красносельский А. А. Положительные решения операторных уравнений. — М.: Наука, 1962.
39.	Krzywicki A., Nadzieja Т. Poisson-Boltzmann equation in R3: Preprint, Institute of Math. Wroclaw Univ. — Poland, 1988.
40.	Kronecker L. Uber Systeme von Functionen mehrerer Variabels // Monatsberichte de 1’Academie, Berlin, 1869. — S. 159-198.
41.	Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Высшая школа, 1981.
42.	Cooper J., Klimas A. Boundary-value problems for the Vlasov-Maxwell equation in one dimension // J. Math. Anal. Appl. — 1980. — V. 75. — P. 306-329.
43.	Ладыженская О. А., Уральцева H. И. Линейные и нелинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1964.
44.	Логинов Б. В., Сидоров Н.А. Групповая симметрия разветвляющегося уравнения Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации // Мат. сборник. — 1991. — Т. 182, №5. — С. 681-691.
45.	Markov Yu., Rudykh G., Sidorov N., Sinitsyn A., Tolstonogov D. Steadystate solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // Acta Appl. Math. — 1992. — V. 28, №3. — P. 253-293.
46.	Markov Yu. A., Rudykh G. A., Sidorov N. A., Sinitsyn A. V. Some families of solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // The Lyapunov Functions Method and Applications. IMACS Ann. Comput. Appl. Math. Baltzer, Basel, 8, 1990. — P. 197-203.
47.	Марков Ю. А., Рудых Г. А., Сидоров H.A., Синицын А. В. Существование стационарных решений уравнений Власова-Максвелла и некоторые их точные решения // Матем. моделирование. — 1989. — Т. 1, Х=6. — С. 95-107.
48.	Марков Ю. А., Рудых Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. Семейство решений системы Власова-Максвелла и их устойчивость // Матем. моделирование. — 1990. — Т. 2, № 12. — С. 88-101.
49.	Маслов В. П. Об интегральном уравнении вида и(х) = F(x)+ + У G(x£)ti{j./2(£) d^l J ti*/2(£)d£ // Функц. анализ и его прилож. — 1994. - Т. 28. — С. 41-50.
50.	Neunzert Н. An introduction to the nonlinear Boltzmann-Vlasov equation // Proceeding: Montecatini, 1981. — New York: Springer, 1984. (Lecture Notes in Math; V. 1048). — P. 60-110.
51.	Poupaud F. Boundary value problems for the stationary Vlasov-Maxwell system // Forum Math. — 1992. — V. 4. — P. 499-527.
52.	Pfaffelmoser K. Global classical solution of the Vlasov-Poisson system in three dimension for general initial data // J. Diff. Eqns. — 1992. — V. 95. — P. 281-303.
53.	Rein G. Generic global solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Comm. Math. Phys. — 1990. — V. 135. — P. 41-78.
54.	Rothe E. A relation between type number of a critical point // Mathem. Nachrichten. - 1950-1951. - V. 4. - P. 12-27.
55.	Рудых Г. А., Сидоров H. А., Синицын А. В. Некоторые точные решения стационарной системы Власова-Максвелла // Problems in the qualitative
theory of differential equations. — Irkutsk, 1986. — P. 118-128; 283, “Nauka” Sibirsk. Otdel.: Novosibirsk, 1988 (in Russian).
56.	Рудых Г. А., Сидоров H. А., Синицын А. В. Стационарные решения системы уравнений Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 302, №3. - С. 594-597.
57.	Рудых Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. Нестационарные решения двухчастичной системы Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 307, №6. — С. 1354-1357.
58.	Рудых Г. А., Сидоров Н. А., Синицын А. В. Разветвляющиеся стационарные решения двухчастичной системы Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 304, №5. - С. 1109-1112.
59.	Сидоров Н.А., Треногин В. А. Точки и поверхности бифуркации нелинейных операторов с потенциальными системами разветвления. — Иркутск, 1991. — (Препр. / ИрВЦ СО АН СССР).
60.	Сидоров Н.А., Синицын А. В. О разветвляющихся решениях системы Власова-Максвелла // Сиб. мат. журнал. — 1996. — Т. 37, №6. — С. 1367-1379.
61.	Сидоров Н. А., Синицын А. В. Нетривиальные решения иточки бифуркации системы Власова-Максвелла // Докл. РАН. — 1996. — Т. 349, № 1. — С. 26-28.
62.	Сидоров Н. А., Синицын А. В. Исследование точек ветвления и нетривиальных ветвей решений стационарной системы Власова-Максвелла // Мат. заметки. — 1997. — Т. 62, № 2. — С. 268-292.
63.	Sidorov N.A., Sinitsyn А. V. On Bifurcation Points of the Stationary Vlasov-Maxwell System with Bifurcation Direction // Progress in Industrial Mathematics at ECMI 98 / Eds L. Arkeryd, J. Bergh, P. Brenner, R. Pettersson. — Leipzig: B. G. Teubner, 1999. — P. 295-303.
64.	Треногин В. А. Функциональный анализ. — M.: Наука, 1980.
65.	Треногин В. А., Сидоров Н.А. Исследование точек ветвления и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутский гос. университет, Иркутск. — 1972. — №1. - С. 216-248.
66.	Schaffer J. The classical limit of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Comm. Math. Phys. — 1986. - V. 104. - P. 403-421.
67.	Ukai S., Okabe T. On classical solution in the large in time of two-dimensional Vlasov equation // Osaka J. Math. — 1978. — V. 15. — P. 240-261.
68.	Хатсон Б., Пим Д. С. Приложения функционального анализа и теории операторов. — М.: Мир, 1983.
69.	Hesse М., Schindler К. Bifurcation of current sheets in plasma // Phys. Fluids. — 1986. - V. 29. — P. 2484-2492.
70.	Holloway J. P. Longitudinal travelling waves bifurcating from Vlasov plasma equilibria: PhD Dissertation in Engineering Physics. — Charlottesville: Univ, of Virginia, 1989.
71.	Holloway J. P., Doming J. J. Nonlinear but small amplitude longitudinal plasma waves // Oper. Theory Adv. Appl. — 1991. — V. 51. — P. 155-179.
72.	Horst E. On the classical solution of the initial value problem for the unmodified nonlinear Vlasov equation. Parts I, II // Math. Methods Appl. Sci. - 1981. — V. 3. — P. 229-248; 1982. — V. 4. — P. 19-32.
73.	Horst E. Global Solutions of the Relativistic Vlasov-Maxwell System of Plasma Physics— Habilitationsschrift Universitat Munchen, 1986.
ГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВЕТВЛЕНИЯ
Б. В. Логинов, В. А. Треногин
Состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений к началу 70-х годов отражено в [1]. Первые результаты использования групповой симметрии в теории ветвления принадлежат В. И. Юдовичу [1, 2]. Они были применены им и его сотрудниками при решении ряда задач гидродинамики [3-6]. Последовавшее развитие теории ветвления в условиях групповой инвариантности содержится в [7-9], где был предложен метод группового расслоения для построения редуцированного уравнения разветвления (УР) (см. обширную библиографию в монографии [9] — обзоре результатов по 1980 год и [10]). В частности, в [9] доказана теорема о наследовании групповой симметрии нелинейной задачи соответствующим УР, открывшая новый подход в эквивариантной теории ветвления — использование методов группового анализа дифференциальных уравнений (ДУ) [11]. Эти методы позволили решить задачу построения общего вида УР по наследуемой им группе симметрии как в стационарном [12, 13], так и в нестационарном [14-17] ветвлении (см. обзорную работу [10]).
С середины 70-х годов симметрийные методы в теории ветвления развиваются независимо западными и советскими математиками. Теорема о наследовании была доказана позднее и применена к задаче Бе-нара в [18-19] для определения главной части УР. Эти результаты об образовании структур в бифуркационных задачах были также получены в [20] и применены в [21] к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла. В 80-х годах были опубликованы фундаментальные работы А. Вандербауведе [22], М. Голубицкого, И. Стюарта и Д. Шеффера [23, 24]. Они дают детальный обзор результатов западных математиков по эквивариантной теории ветвления. Основным средством исследований в [23, 24] явилась теория особенностей гладких отображений. Однако, по нашему мнению, развиваемые А. Д. Брюно [25] методы многогранника Ньютона более перспективны, они позволяют исследовать УР при любых порядках вырождения линеаризованного оператора.
Наиболее общий результат о существовании бифуркации от собственного значения нечетной алгебраической кратности аналитической оператор-функции спектрального параметра был получен В. А.Трено-гиным и Н. А. Сидоровым [25, 26] на основе применения степени отображения непосредственно к УР. В эквивариантной теории ветвления он позволил доказать теоремы существования решений, инвариантных относительно подгрупп, в частности нормальных делителей [27, 9] — наи
более общий результат «леммы об эквивариантном ветвлении» [22-28].
Всюду ниже используются терминология и обозначения [1], а для сокращения объема цитированной литературы ссылки на монографию [9] и последний обзор [10]. Отдельные части этой работы поддержаны грантами НГУ 15-96, 23-98, РФФИ 96-01-00512,01-01-00019, 99-01-00028.
1. Наследственная групповая инвариантность УР и его редукция
В банаховых пространствах Е\ и Ez рассматривается уравнение
Bx = R(x,X), /7(0,0) = 0, flz(0,0) = 0,	(1)
В: El —> Е% нетеров оператор с (/-характеристикой (n, т), R(x,X) достаточно гладкий нелинейный оператор, отображающий окрестность нуля в Ei + Л в окрестность нуля в Ez, А Е Л числовой параметр.
Определение 1. Уравнение (1) инвариантно относительно группы G (эквивариантно = допускает группу G), если существуют ее представления Lg и Кд соответственно в пространствах Е\ и Ez такие, что для любого д Е G
BL3x = КдВх, R(Lgx, А) = KgR(x, А).	(2)
Подпространство Е™ = N(B) инвариантно относительно операторов Lg, а область значений R(B) = Ez,oo-m — относительно Кд. Если уравнение (1) допускает группу G, то вместе с х при любом д Е G его решением является также Lgx.
Следует отметить, что группа Кд иногда оказывается более узкой по сравнению с Lg. Если G конечная группа, то порядок Кд является делителем порядка Lg, для непрерывной группы G операторы Кд могут зависеть от меньшего числа параметров. Случается, что Кд = I — тривиальное представление. Можно считать, что отображение Lg: G —> L(Ei,Ei) является локальным изоморфизмом, тогда как отображение Кд: G —» L{Ez, Ez), вообще говоря, есть локальный гомоморфизм.
Следующие два условия служат основой развитого в [5, 6] метода группового расслоения.
Условие I. Подпространство Е^°~п = (I — P)Ei инвариантно относительно операторов Lg.
Замечание 1. Если G компактная группа, то биортогональную к {<Дг}1 систему {7_,}™можно выбрать так чтобы выполнялось условие I [7, 47].
Условие I означает, что представление Lg вполне приводимо прямыми слагаемыми Е™ и Е^°~п и выполнено равенство PLg = LgP. Оно равносильно инвариантности линейной оболочки Г = span{7i,... ,7П} относительно операторов £*. Аналогично, инвариантность подпространства Ez'Oo-m = R(B) относительно Кд равносильна инвариантности дефектного подпространства N*(B) относительно операторов К*.
УР, полученное при использовании сужения В: Е^°~п —» £?2,оо-т оператора В мы обозначаем далее А) = 0, k = 1,..., т, а УР для
фредгольмова случая, полученное на основе леммы Шмидта £*,(£, А) = = 0, к = 1,...,п. Пусть преобразования Lg в инвариантном подпространстве Е™ действуют согласно формуле Lgtpi = A'gipi = = Hj=i ajiWWj, Ag = [a»j]”J=1. Тогдадля любого	в
координатном пространстве Еп имеем £, = (-4s£)i = aO'(p)Cj4 i = 1,..., n.
Аналогично преобразования К* в инвариантном подпространстве jV*(.B) определяют равенствами Kgipk =	к = l,...,m,
представление Вд = [/3ig (<?)]^"=1.
Теорема 1 [8]. Пусть уравнение (1) инвариантно относительно группы G, п,т 1, во фредгольмовом случае п 1 и оператор Шмидта В = В +	7j)zj также обладает групповой инвари-
антностью, выполнено условие I. Тогда УР наследует групповую симметрию (1), т. е.
^А)=ШД) = (В9М(,Х)=^,Х), к = 1,...,т,	(3)
МС А) = tk(Ag£, А) = (Agtjkf^, А) = tfc(C, А), к = 1,...,п.	(4)
Действительно, согласно условию I и инвариантности подпространства Еу равенство BLgx = R(Lgx, А) можно записать в виде системы (х = и + и, и € EJ”-”, v G Е”) BLgu = (/ — Q)R(Lgu + Lgv, А), QR(Lgu + Lgv, A) = 0.	_
В силу групповой инвариантности оператора В отсюда следует (/ — - Q)KgR(u + и, А) = Kg(I - Q)KgR(u + v, А).
Однако из последнего соотношения вообще говоря не вытекает групповая инвариантность проектора Q. По теореме о неявных операторах из первого уравнения системы находим й = Lgu = u(Lgv,X) = u(v, А). Подставляя й во второе уравнение, получаем утверждение (3) теоремы. Доказательство (4) для фредгольмова случая аналогично.
Следующие утверждения практически очевидны.
1) Групповая инвариантность оператора Шмидта В означает, что представления Кд и Lg эквивалентны.
2) Пусть выполнено условие I. Оператор Шмидта В обладает групповой инвариантностью тогда и только тогда, когда подпространство Е'г.п инвариантно относительно Кд и Вд — Ад.
Замечание 2. В работах [2, 9] предложены способы построения УР, применимые в общем случае, когда линеаризованный оператор имеет незамкнутую область значений, а нелинейный оператор F не является дифференцируемым. Для таких УР в достаточно общих условиях при использовании понятия псевдообратного оператора также доказана теорема о наследственной инвариантности УР.
Пусть L(a), a G D С R1, /-параметрическая непрерывная группа операторов, действующих в Е\. Подпространство (многообразие) М С С Е”, или в координатном представлении АГ С Нп, назовем порождающим траекторию 0(<^о) = {L(a)ip0 | а е D} (соответственно О(£о) = = {.4(а)£о | а € -О}), если оно содержит некоторую точку этой траекто
рии. В случае инвариантности (1) относительно непрерывной группы основным моментом для понижения порядка (редукции УР) является предположение о том, что, двигаясь по траектории произвольного элемента ipo € N(B), соответствующего € Sn, его можно перевести на некоторое многообразие меньшей, чем п размерности, трансверсальное траекториям.
Условие II. В Е™ (Еп) существует полная минимальная система М порождающих подпространств (многообразий) Mj, j = 1,... ,р, dim Mj li, п — li I, такая, что для любого G Е™ (£ € Еп) найдутся а & D С R1 и число j такие, что L(a)tp G Mj (А(а)£ € Mj).
Если минимальная система М состоит из порождающих подпространств (многообразий) одной размерности li, то будем говорить, что группа G действует в Е™ (En) li-оптимально. В этом случае можно доказать, что в Е™ существует базис	в котором для любого
р =	е Bi найдутся a G D и инварианты ri(£),... ,r(,(^)
такие, что L(a)<p = ^=1 гк(£)<Р(к) G Mjo, € (<pi,... ,tpn) И(а)£ € € Mj0). Здесь инварианты r>.(£) являются 1-однородными функциями, различающими траектории (в данном случае все они общего положения), но могут представляться различными выражениями в некоторых подобластях Es, з = 1,... ,р, координатного пространства Е71. Подобласти Es характеризуются неравенствами для однородных форм от £, а траектории в них — точками пересечения с координатными осями £j.
Приведем примеры.
1°. Из аналитической геометрии известно, что при действии группы движений плоскости размерность линейной комбинации функций 1, х, у, х2, ху, у2 может быть понижена до трех, т. е. в условии II для данного случая п = 6, I = 3, li = 3, однако группа движений плоскости в линейной оболочке Ef этих функций не действует Д-оптимально.
2°. Для гиперболического поворота в R2 система порождающих многообразий состоит из осей координат и четырех лучей, направленных по биссектрисам координатных углов и группа действует 1-опти-мально.
3°. В R3 группа вращений 50(3) действует 1-стационарно. Число параметров группы I = 3, каждая точка R3 имеет стационарную подгруппу, li = 1 и выполнено неравенство п — li < I.
4°. Более сложный пример: E^l+l имеет базис, состоящий из сферических функций P;m(cos 0){	}’ т ~ ''' ’ в Bil+1 действует
представление веса I 1 группы вращений 50(3). В [30, 10] показано, что порядок произвольной линейной комбинации этих функций действием представления группы 50(3) может быть понижен с 2l + 1 до 21 — 1, причем система порождающих многообразий здесь может быть выбрана так, что группа действует в EjZ+1 (21 — 1)-стационарно, т. е. с одним порождающим подпространством.
Теорема 2 (редукция УР по неизвестным). Пусть D С Е” — область, заполненная однотипными траекториями непрерывной груп
пы .4(a), а ё D С R1. Тогда каждое решение УР в D имеет вид А(а)%, где £ — общее малое решение УР, принадлежащее некоторому многообразию M(D) С Е”, трансверсальному траекториям из D.
Действительно, из групповой инвариантности УР следует, что если £ есть решение УР, то его решением является также любая точка траектории О(£).
Пусть для /-параметрической непрерывной группы = (Д(а)^), =
= Е”=1ач(а)^> а = (ai, ••,«() G D С R1, система инфинитезимальных операторов Xi = Y^j=i	* = 1> • • • А является полной, при-
чем общий ранг г, матрицы Г] = ||^ (C)||i=1 i-j=i п равен п — li < I.
Тогда система дифференциальных уравнений Х,/(£) = 0, i = 1,..., I, определяет полную систему {Д(С)}^=1 функционально независимых инвариантов группы преобразований .4(a). Траекториями общего положения группы Д(а) в Еп являются многообразия, определяемые системой равенств 7j(£) = с,-, j = 1,..., Zp
Лемма 1. Многообразия, ортогональные траекториям общего
положения, определяются решениями системы уравнений
Yj(F) = (yij,XF) = £	= 0, j = 1,... Л- (5)
Действительно, в силу полноты системы {7}(£)}1‘ функционально
независимых инвариантов общий ранг матрицы
№
равен и систе-
ма операторов {У,} ^является полной. Поэтому (5) имеет п — li функционально независимых решений Fs(£), s = 1,... ,п — li, и равенства
= cs, s = 1,..., п — li, определяют /i-мерные многообразия, ор-
тогональные траекториям общего положения, если £ — обыкновенная точка (общего положения, общего ранга) матрицы г].
Для применений эквивариантной теории ветвления мы должны
уметь определять многообразия, трансверсальные траекториям.
Теорема 3. Группа преобразований Д(а) имеет систему многообразий трансверсальных траекториям общего положения тогда и только тогда, когда существует полная система инфинитезималь
ных операторов
п ВТ k=l,...,h,	(6)
j=i
такая, что общий ранг расширенной матрицы f] = [^] равен п. Тогда решения системы уравнений Z^F = 0, к — 1,... ,/j, определяют
li-мерные трансверсальные многообразия.
Действительно, геометрический смысл системы уравнений (6) заключается в том, что нормали к интегральным поверхностям Fs(£) = = с3, s — 1,..., п—li, ортогональны полям направлений, определяемым
матрицей С = [С^.] и образующим вместе с полями направлений Т) систему, содержащую п независимых направлений.
Теорема 4 (редукция УР по уравнениям). Пусть п^2и подпространство Е21т инвариантно относительно к-параметрической непрерывной группы К (а), а € D С R1, действующей в нем к-^-ста-ционарно. Тогда УР можно редуцировать к системе ki уравнений с п неизвестными.
Действительно, в силу Ац-стационарности действия группы К (а) в УР /(£, А) =	A), A),	= 0 можно переписать в
виде системы (С. А),...	А)) = 0, j = 1,..., кг.
В монографии [9] дан обзор результатов по применению группового расслоения в приложениях к нелинейным задачам математической физики. Это уравнение Ди + Хи = /(и) =	+ “з^3 + • • • на сфе-
ре S2 [30] и на s-мерной компактной гиперповерхности X в Rs с краем или без края, задача о фигурах равновесия цилиндрического столба вязкой капиллярной жидкости в условиях невесомости [31], а также задачи о нарушении симметрии: построение периодических решений трехмерной задачи о капиллярно-гравитационных волнах над ровным дном (случай 2- и 4-мерного ветвления) [32] и задача о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла [21].
Условие II в случае /^-оптимальности действия группы Д(а) дает возможность редукции УР с помощью полной системы функционально независимых инвариантов. Здесь интересен встречающийся в большинстве прикладных задач [9] случай, когда одновременно с редукцией УР по неизвестным осуществляется его редукция по уравнениям, названный в [9] редукцией укорочения. В этих условиях результат [25] позволяет доказать теорему существования семейств разветвляющихся решений задачи о точке бифуркации [33].
Теорема 5. Пусть задача о точке бифуркации (уравнение (1) с условием _й(0, А) = 0) инвариантна относительно I-параметрической непрерывной группы G(a), ^-оптимально действующей в N(B) (условия I, II) с редукцией укорочения. Пусть элементам {^(j)}!1 в условии II отвечает подобласть ESo (Е^ =span{</?(Jj}j1) и обобщенный жорданов набор нечетной длины. Тогда существует I-параметрическое семейство решений вида L(a)x', где х' — общее малое решение (1) в подпространстве E^f1 + Е^°~п.
Действительно, уравнение (1) редуцируется тогда к уравнению Bsux' = Q^}R(x', А), х1 = Р^х, где BSo: Е^ + Е™~п Е,^п + + span-fs^)}!1 — Фредгольмов оператор, совпадающий с В на Е^ + +ЕГ~п, = /-Е;=;1+1(-,жИп и q™ =
Теперь к редуцированному уравнению применяется теорема [25] о существовании бифуркации от собственного значения с нечетным корневым числом.
Описанная в теореме 5 ситуация встречается в задачах с SO(2) х х 50(2) х 01(По)-симметрией (О^По) — группа вращений-отраже
ний прямоугольника По) в задачах о капиллярно-гравитационных волнах [9, 10]; с SO(2) х SO(2) х SO(2) х б1(По)-симметрией (б1(По) — группа вращений-отражений октаэдра По) — в задаче о кристаллизации [9, 10, 12] физики фазовых переходов (соответственно при 4- и 6-мерных вырождениях оператора В) ив общем случае 2п-мерного УР с симметрией xnSO(2) х (^(По), где G1(Hq) — группа вращений-отражений n-мерного параллелотопа в Rn, т. е. в случаях низшей размерности оператора В. При более высоких размерностях вырождения редукция укорочения невозможна. Здесь имеется частичная потенциальность УР в каждой паре уравнений с номерами 2к — 1 и 2fc, полная потенциальность вопреки теореме 6 [10] отсутствует. Теорема 5 применима также при действии основного представления SO(n), п 3 (0(2) при п = 2) в N(B), если dimJV(-B) = п. Здесь УР полностью потенциально [9, 10, 35, 34]. Эти примеры указывают на связь возможности редукции укорочения со свойствами потенциальности УР.
Основным моментом возможности применения итеративных процедур в Es для разыскания параметрических семейств решений являются следующие требования, гарантирующие редукцию укорочения УР.
Условие III (III'). В множества решений уравнений Bw = = Q^R(w +	и Bw = R(w + 22>=1^^о),А) (Ви =
= Q^R(u + 22^=1 rjV(j), А) и Ви = R(u +	А)) совпадают,
т. е. оператор R переплетается проекторами и
Теорема 6 [33]. -оптимальность действия группы G(a) а N(B) с условиями III или IIP является необходимым и достаточным для редукции укорочения УР.
Условие III (IIP) согласуется с вариантом Э. Шмидта (А. М. Ляпунова) построения УР. В [33] предложен простейший итерационный метод (в смысле расположения отрезков диаграммы Ньютона), соответствующий [36]. В условиях теоремы 6 могут быть предложены итерационные процессы [37], не зависящие от групповых параметров.
Всякой задаче теории ветвления отвечает оператор-функция В — — А(е), А(е) — Т?х(0,£), сопоставляющая этой задаче характеризующую ее обобщенную жорданову структуру (ОЖС). Для полного ОЖН биортогональная система {уч; 7г}" называется канонической парой. Если В — А(е) имеет полный (канонический) ОЖН из линейно независимых элементов, то существует каноническая пара. Однако имеется пример аналитической оператор-функции, имеющей каноническую пару, хотя соответствующий канонический ОЖН и не является линейно независимым. Каноническая пара {уч; 'Уг}" называется биканониче-ской, если пара {^р‘^ = Ek‘=i ^fc¥’i₽i + 1-fc); также является канонической для оператора В* — А*(е) (соответствующий ОЖН — бика-нонический). Если, кроме того, (y’i^,7fe^) =
71° =	j4*¥’fcPK+2-I_S)> zij) = Ep=t1-J Ak^Pi+2-j-s), TO 0ЖН
триканонический.
В случае линейной оператор-функции спектрального параметра В— — еА элементы ОЖН линейно независимы и образуют базис корневого подпространства К {В; A), dim К(В', А) =	Pi = К — корневое чис-
ло, отвечающего точке спектра е — О G сгд(В). В [1, 38] показано, что для линейной оператор-функции ОЖН может быть выбран трикано-ническим, т. е. справедливо следующее утверждение
Лемма 2. Элементы А- и А*-жордановых наборов оператора В — — еА могут быть выбраны так, чтобы выполнялись следующие условия биортогональности
=	{z^,^)=5ik5jt, j(Z) = l,...,Pt(Pfc), (7)
= A^Pi+i-j\ i,k = l,...,n.
Определение 2. Если {</?;; 7i}" является канонической парой G-инвариантной оператор-функции В — Л(е) и выполнено условие I, то эта пара называется инвариантной канонической (ИКП).
Приведем условие групповой инвариантности оператора Шмидта В, или, что то же, поправки Шмидта V = 52”=1(-,7i)zi [39].
Теорема 7. Оператор В, допускающий компактную группу G, имеет G-инвариантную поправку Шмидта тогда и только тогда, когда существует оператор-функция В — А(е), допускающая группу G и имеющая ИКП.
Необходимость. Если оператор В имеет инвариантную относительно G поправку Шмидта V, то оператор В — eV также инвариантен и имеет ИКП. Действительно, если {<рД” — произвольный базис в N(B}, а {7i}" — биортогональная система функционалов, то они образуют ИКП, так как р, = 1 и группа G компактна (для компактной группы G биортогональную к {<рД7 систему {7Д" можно выбрать так, чтобы выполнялось условие I (замечание 1)).
Доказательство достаточности содержится в ряде утверждений п. 1.3 в [9]:
1)	если {ip,; 7г}” — ИКП, то при любом g G G пара {Lgtpi, (L~ 1)*7г}" также является инвариантной канонической с ОЖН {Lg<p^}p'=i, причем обе пары порождают одно и то же разложение Ei = Е™ + Е^°~п;
2)	если группа G компактна, то матрица Лд блочно-диагональна и Вд = Ад-,
3)	если {<Рг17г}” — ИКП и G компактная группа, то инвариантная поправка Шмидта имеет вид ,7i)'Pi>''>•
Лемма 3. Пусть инвариантной относительно компактной группы G оператор-функции В — А(е) отвечает полный ОЖН. Тогда G-инвариантную поправку Шмидта можно получить усреднением по группе поправки Шмидта V(g) =	(-, L*_i'yi)Kgzi.
Если оператору В — A(s) отвечает неполный ОЖН, т. е. элементы {<рД" имеют одну или несколько ОЖЦ бесконечной длины, то усреднение V(g') по группе может привести к нулевому оператору и G-инвариантная поправка Шмидта может не существовать.
Пример. Пусть {ej}" полная ортонормированная система в гильбертовом пространстве Н. Определим оператор В равенствами
Вез = 0, Be4fe_i = 64^-5, Ве^ = 0, Be4k =	при к = 21,
Be^k-i = e4(fe_i), Be4fc = e4fc_5 при к = 21 - 1, I 2;	(8)
Bei = 65, Be4fc+i = e4fc+5, Вез = ee, Bee — ^14,
Benk+2 = e4fc+i4 при к = 21, 564/54.2 = e4fc—2 при к = 21 + 1.
Нетрудно проверить, что оператор В инвариантен относительно представления Lg группы квадрата С^у, порожденного на подпространстве (8) операторами Ц: (б4/с_1,е4А.) -» (—e4fc, e4fc_i), s: (e4fc—i, e4fc) —> —» (—e4fc_i, e4fc), а на подпространстве (9) — отражением s: (64/54.1, e4fc+2) —* (—e4fc+i, 64/54.2). Оператор В имеет две /-жордановы цепочки (8) бесконечной длины, начинающиеся с нулей у>1 = ез, <^2 = 64. Дефектное подпространство имеет базис {£1,62}. Усреднение по группе поправок Шмидта V^x = {x,ez)ei + (1,64)62 или V3X = (1,64)61 + + {х, ез)в2 дает нулевой оператор. Симметричной поправки Шмидта не существует.
Введем обозначения вида Ф =	,...,	...,	  ,	),
удобные для записи следующего утверждения о наследовании симметрии уравнением разветвления в корневом подпространстве (УРК) [1, 40, 41].
Теорема 8. Пусть фредголъмовой оператор-функции отвечает полный триканонический ОЖН. Тогда можно определить проекторы П Pi
Р = ЕЕ^^^ = Ег - Е* = К (В- А), i=l j = l
п Pi
Q = EE^’^^Z‘'J) = E2 EW = spanlzp)}, i=i j=i
порождающие следующие разложения в прямые суммы:
Ei - Е^ + Е^° к,	Ез = Е2,к 4- £^2,оо-к-
При этом справедливы следующие соотношения:
BP = QB на Db, ВФ - АвЕ, В*ф = АвТ>
/о о ... 0\ О 0 ... 1
Ав =diag(B1,...,Bn), Bi =
\0 1 ••• о/
Pi
и оператор В: Db П Е^°~К —> £^2,оо-К является изоморфизмом. Пусть задача о точке бифуркации Вх = А(е)х + R(x,e), 72(0,0) = 0, ||7?(х, б)|| = о(||х||) обладает групповой инвариантностью и выполнено условие 1.
Тогда УРК имеет вид
f^,E) = Ав£- (A(£)(iz(£,e) + С  Ф) + R(u(£,e) + С • *MW) = О и наследует групповую симметрию нелинейного уравнения, т. е.
= fkj(Ag£,E} = Agfkj(£,E) = fkj<X,E), zde^kj = £"=1 ats(5)6j-
Замечание 3. УРК явилось основой исследования устойчивости разветвляющихся решений дифференциальных уравнений в банановых пространствах с фредгольмовым оператором при производной [42,43].
Для вещественных банаховых пространств Е\ и более удобным для исследования является случай потенциальных УР. Тогда в условиях групповой симметрии редукция УР наиболее просто осуществляется с помощью полной системы функционально независимых инвариантов группы преобразований Ад [9, 10, 37]. На этом пути в [9, 33, 37] доказаны теоремы существования многопараметрических семейств решений задач теории ветвления.
Определение 3. УР tfc(r, А) = 0, k = 1,..., т, т = (ti, ..., т„), потенциально, если в некоторой окрестности т = 0 выполнено равенство
t(r, А) = d • grad U(r, A), rankd — min(m, n).	(10)
Теорема 9 [33, 37]. Пусть во фредгольмовом случае п > 1 и УР t(r,X) = 0 потенциально и Ад-инвариантно. Тогда его потенциал U(r, А) является инвариантом группы Ад тогда и только тогда, когда
A'gdBg = d.	(11)
Действительно, вычислим дифференциалы:
DU(r) = {d-ld^TU(T),dT){=\d~lt{T),dT), DU(r) = {d-^^rU^^f^id-H^f^df)^
= {d~1Bgt(T'),Agdr') = {A'gd~xBgt(r},dT). Следовательно, выполнено (11). Если бы [7(f) и (7(т) отличались на некоторую постоянную, то, полагая g = е, мы получили бы, что эта постоянная равна нулю.
Следствие. Если УР порождает потенциальное векторное поле, потенциал U(r, А) которого является инвариантом группы Л (а), а С D С R1 и {/Дт)}'; ее полная система функционально независимых инвариантов, то U(г, А) = Е(Ц (т),... ,1ц (г), А) и УР редуцируется к системе ^j-F(Ii(t),	(т), А) = 0, j = 1,..., Д.
Замечание 4. 1°. При доказательстве теоремы не использовалась обратимость операторов L и К, поэтому оно справедливо для негрупповой симметрии (сплетения).
2°. В [10] условие инвариантности (11) потенциала сформулировано для относительных инвариантов.
3°. Условия сохранения потенциальности при переходе к другому базису в N(B) в общем случае получены в [29].
2. Построение и исследование УР методами группового анализа
2.1. УР решений, инвариантных относительно подгрупп группы симметрии (1) [9,10,27]. Для построения УР решений инвариантных относительно подгрупп нужно определить формулы, позволяющие выписать УР при замене базисов в подпространствах N(B) и
Лемма 1. Если в подпространствах N(B) и N*(B) выбран новый базис у>х =	= c>Ti> = S"=i dijipj = d'lpi, то
УР f(£, А) - 0 и £(£, А) = 0 принимают соответственно вид
f*tn,X) = (df)i(cr], X) =0, г = 1,...,тп,
t* (^i -М = (c-1^)i(c77i ^) = 0> i = 1,..., п,
их групповая инвариантность выражается формулами В* fx (т/, А) = = /х(Лх7?,А),Лх<(т?,А) = Г(Лх7?,А),г^Д3х = c~1Agc,Bx =dBgd~1.
Пусть G' — подгруппа непрерывной или дискретной группы G. Для построения G'-инвариантных решений следует произвести замену базисов 9?х = ф* = doifa\ <До = CoV’i, 7* = СоЧг, i = 1,...,п(пг), так, чтобы соответствующие проекторы на инвариантные подпространства стали бы диагональными. Подпространства векторов из Е£, N(B), N*(B) и Г = span{7i,... ,7п}, инвариантные относительно соответствующего индуцированного представления подгруппы G', обозначим соответственно через E£(G'), N(B; G), N*(B-, G'), r(G'), а соответствующие проекторы на эти подпространства — P^^G'), P^G'), P^(G'), P7(G').
Теорема 1. Пусть & подгруппа G. Тогда:
1) при разыскании G'-инвариантных решений уравнения разветвления f (£, А) = 0 и t(£, А) = 0 редуцируются к системам
/.х(т?,А)=О, г = 1,... ,i0(G') = dim TV* (В; G'),	(1)
Ч = fai,---,fyo(G')>0>--->0)> Jo(G') = dimE”(G'),
«х(т?,А) = О, fc = 1,..., j0(G').	(2)
Если G' — нормальный делитель G, то при выполнении условия II для фактор-группы G/G' возможна дальнейшая редукция этих систем.
2) Если G — дискретная группа, то разложениям подпространств Е”, N*(B) и Г на неприводимые инвариантные подпространства соответствующих представлений группы G отвечает выделение из УР подсистем вида (1), (2), группы инвариантности которых совпадают со всеми нормальными делителями группы G.
Действительно, для компактных групп G известен [44, 45] метод построения матриц Р, переводящих базисы Е£, N(B), N*(B), Г в базисные элементы неприводимых инвариантных подпространств. Если G дискретная группа, то согласно результатам [46, п. 4.5] ядра гомоморфизмов всех неприводимых представлений порождают структуру всех нормальных делителей G. Поэтому выбор матриц Рм*(в) и Р=г, в качестве do и Со выделяет из УР подсистемы вида (1), (2),
группы инвариантности которых совпадают со всеми нормальными делителями G. Полное распадение УР на подсистемы возможно только для линейных определяющих систем в линейных задачах теории ветвления [1].
Замечание 1. В работах [9, 10, 12, 21] рассмотрены УР задачи о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла, допускающие симметрию непрерывных групп вращений (индуцированную 3-параметрической группой сдвигов) и представление группы симметрии простой кубической решетки. Для каждой из возможных размерностей УР (делители 6, 8, 12, 24 и 48 порядка 48 группы куба Oh и некоторые их суммы) в соответствии с утверждением 2) теоремы 1 выписаны УР решений инвариантных относительно нормальных делителей группы Oh-
Возникает задача построения всех 7/-УР, определяющих .//-инвариантные решения для всех подгрупп Н С G. В [46] на примере обыкновенных дифференциальных уравнений с дискретной группой симметрии предложен метод построения //-систем и //-инвариантных решений. Исходной является дискретная группа G и структура L(G) всех ее подгрупп. Если G 2> Hi 2> Н% 2> ... 2> Нк — некоторая цепь подгрупп, то существует базис RK в N(B), в котором Ад для каждой из подгрупп Hi, г = 1,...,к, распадается на неприводимые представления. Из L(G) выделяется некоторое минимальное подмножество L(G) существенных подгрупп Hw, т. е. таких, что разложение Ад на неприводимые относительно всех /Ду порождает все системы вида (1), (2). Процесс построения V-полу-структуры L(G) (для каждой пары /Ду,//{у С L(G) существует их объединение Нщ V Нщ, порожденное всеми элементами /Ду и Н^) конечен для конечных групп. Две //-системы называются сосуществующими, если они существуют в одном и том же базисе. Для каждой максимальной цепи а> G 2> Нщ 2> ... 2> /Ду существенных подгрупп существует базис 7?ш, в котором Ад распадается на неприводимые представления одновременно для всех подгрупп цепи и>. Следовательно, в базисе /Д, окажутся сосуществующими //-системы, соответствующие нормальным делителям всех групп цепи и> (здесь необходимо напомнить, что подпространство //-инвариантных векторов преобразуется по тривиальному представлению группы Н). Таким образом, чтобы построить все //-системы, достаточно рассмотреть УР во всех базисах Лш, соответствующих всем максимальным цепям w в L(G); для того, чтобы все //-системы могли быть получены в одном базисе, достаточно, чтобы L(G) была цепью.
Для непрерывных групп G и их непрерывных подгрупп задача построения всех //-систем разветвления сводится, согласно [11], к перечислению классов подобных подгрупп группы Ад с последующим применением результатов этого пункта.
Рассмотрим в условиях достаточной гладкости R в открытом связном подмножестве D С Е± х R1 задачу о точках бифуркации
F{x,X) = A{X)x + R{x,X) = O,	(3)
Л(0,А) = 0,	||7?(x, А)|| = о(||х||),
в предположении групповой инвариантности. Если рассматривать (3) в подпространстве Ei(G') элементов, инвариантных относительно G1, то при д G G' имеем KgF(x, А) = F(Lgx, А) = F(x, А). Это означает, что оператор F принимает значения из подпространства E^G').
Теорема 2 [27]. Пусть уравнение (3) инвариантно относительно группы G, Хо-фредголъмова точка оператора А(А), существует инвариантное относительно Lg прямое дополнение Е“-тг(Ао) к подпространству ЛД-А(Ао)). Пусть далее подпространство N(A(Xo);G') G'-инвариантных элементов в ЛДА(Ао)) нетривиально и длина полного обобщенного жорданова набора k(N(j4(Aq); G')) нечетна.
Тогда (3) имеет G'-инвариантное решение.
Доказательство использует вспомогательное утверждение о том, что в условиях теоремы ОЖЦ элементов 2V(j4(Aq); G') принадлежат Ei(G') и общую теорему существования бифуркации от собственного значения с ОЖН нечетной длины [25, 26]. В [9] для вполне непрерывных операторов F сформулирован глобальный результат для решений (3), инвариантных относительно подгрупп G' С G. Используя теорему С. М. Никольского [1, с. 341], можно освободиться от ограничения полной непрерывности.
Теорема 3. Пусть D — открытое связное подмножество Е± х х R1, оператор А(А) замкнут и выполнены условия теоремы 2. Если С — содержащая (0, Aq) связная компонента замыкания в D множества нетривиальных G'-инвариантных решений {х, А), х 0, то выполнено одно из следующих трех свойств:
1°) С не ограничена в Ei х й1;
2°) СПдЕ^О;
3°) G содержит точки (0, А*), где X* 7^ Aq.
2.2. Прямые методы использования групповой инвариантности УР для построения его общего вида по допускаемой группе. Задача построения общего вида УР решается в [47, 9] на основе теории векторных инвариантов [48]. Более конструктивными являются излагаемые ниже методы.
А. Основную роль в применении производящих операторов алгебр Ли для определения общего вида УР по допускаемой группе играет следующее утверждение:
Теорема 4. Пусть УР = 0, i = 1,..., п, во фредгольмовом случае инвариантно относительно непрерывной группы -4(a), a D С С Rl u<Jk = [crfc9]i S=1 n>k = 1, • • •	— производящие операторы груп-
пы A(a). Тогда вектор-функция tj(£,X) удовлетворяет равенствам
Е^(е,л)=Д^Л.	(<)
3 = 1	1,3=1
Теорема 4 доказывается дифференцированием условия (1.4) по однопараметрическим подгруппам в точке а = 0. Отметим, что в излагае-
мой теории рассматриваются линейные представления групп, поэтому координаты г?{(С) инфинитезимальных операторов Ад, =^2". Tt(C)^-!
соответствующих Л(а), зависят от £ линейно: т^(С) = 52Г=1 ^k^s-Следствие. Если УР инвариантно относительно нелинейного представления -4(-, а), а & D С l-параметрической группы Ли, то
вектор-функция t(£, А) удовлетворяет равенствам
rlkW = ^tirTlkU) = Xktj, J = l,...,n, fc = l,...,Z.	(5)
s=i
С точки зрения теоремы 4 рассмотрим вещественное двумерное УР, инвариантное относительно группы SO(2). В комплекснозначном базисе <Д1 = егв, <Д2 = е~гв группа -4(a) действует на вектор (С, С) согласно формулам -4(а)£ = ега£, -4(а)£ = е~га£ и матрица а имеет вид Q . Записывая для аналитического УР
ша)^Е$ШрГ = о, t = i, 2,
Pi9
равенства (4) iZi(£,£, А) = ^2pg tpg W^P-^^T находим, что в ti(£, А) могут быть отличны от нуля только те для которых р — q = 1. Поэтому
оо	оо
zi(e,?,A) =	= е£л(А)|е|2р	(6)
р=1	р=0
и, в силу вещественности УР, <2 = 11- Если же УР допускает группу 0(2), т. е. инвариантно также относительно отражения р(С1>Сг) — —	= (С2,С1), то коэффициенты -Ар(А) вещественны.
Таким образом, справедливо следующее утверждение
Теорема 5. Аналитическое двумерное УР, допускающее группу 50(2), а комплекснозначном базисе Ci = С> С2 = С имеет вид
ОО
А(£,А) = £cfc(A)e^(A\eie2)fc6 = О,
fc = O
оо
Ш А) = £С4А)е-^АЛ)(е1С2)^2 = 0
fc=0
Дополнительная симметрия относительно отраж.ения1(£) — (С2, Cl) дает оц- = 0, т. е. коэффициенты УР (7) вещественны.
Следующее утверждение может быть доказано переходом к вещественному базису в (7), либо применением той же теоремы 4.
Теорема 6. Двумерное УР, допускающее группу вращений SO(2), в вещественном базисе имеет вид
= У^^А^тр + Т2 )fe(Ti cosa^ +r2sinafcj) = 0, kJ	k	(8)
t2(r,A) =	+ т2) (-T1 sinafcj- + r2cosakj) = 0.
Если, кроме того, УР инвариантно относительно отражения = = (ti, — т2), т. е. допускает группу 0(2), то в (8) ак = 0 при всех к.
Переход к вещественному базису согласно лемме 1 выполнен в [12]. Мы приведем здесь доказательство, основанное на теореме 4. При выборе вещественного базиса в N(B) и соответственно матрицы Л(а) в-виде ( cos a	sina\	/	0	1\
[	.	)	находим, что а =	[	п ).	Система (4) принимает
\ — SIH CL	COS CL j	\	i	\) I
вид«2(т) = |^T2 + |^(-T1),t1(T) = ^t2+J^(-rj. Из этой системы для однородных форм порядкар в УР = apflT? + ap_itiTi~1r2 +... ... + ао,Рт2 , t2P) = Ьр,от1 +	+ • • • + Ьо,Рт2 следуют рекур-
рентные соотношения
Ьр.о = —ttp-1,1,
^р— 3,3 — (р + 1	^)&р+1 — з,з— 1	Т 1)ар—з—1,з+1э
Ьо,р = а1,р-1!
ар,0 = Ьр-1,1,
ар—з,з — (Р Т 1	^)^р+1 —3,3—1 Т (s 4“ 1)Ьр—з — 1,з4-1,
а0,р = —Ь1,р-1,
откуда получаем формулы (8).
Теорема 7 [33]. Двумерное вещественное аналитическое УР „	,	., ,	(cosh a sinh а\
с симметрией гиперболического поворота Д(а) = I j q cosh al имеет вид
ti (т, А) = ^2 ckj^ (Ti ~ т2)к (И cos akj + Т2 sin akj) = О,
fe’'	к	(9)
t2(r, А) = ^CkjA^Ti2 - т22) (-и sinafc> + т2 cosakj) = 0.
kJ
Если, кроме того, УР инвариантно относительно отражения Т(т) = = (И, ~г2)> то в (9) akj = 0 при всех к, j, и УР потенциально в смысле
определения 1.3, zded = ^g , U(r, A) =	2(k + l)^J(r^ ~r2)fc+1-
Доказательство выполняется на основе теоремы 4. В системе (4) /О 1\	. dti . 3ti	4 dt2 _ 1 3to_
<7 = I 1 g I и она принимает вид t2 = д^-т2 +ti =	+
Разлагая УР по однородным формам, получаем по индукции, что формы четной степени равны нулю, а нечетной степени 2fc + 1 имеют вид (afeTj + bkr2)(r^ - т%)к и (bki\ + аА:т2)(т12 - r^)fc, откуда следует (9).
Справедливы также аналоги теоремы 4 и следствия для УР с групповой симметрией (1.3), также позволяющие строить УР по допускаемой группе.
Теорема 8. Пусть УР f(£, А) = 0 обладает групповой инвариантностью (1.3) и ак = [£7к,]г,з=1„..,п> Рк = [PfcS]j,s=i,...,m — производящие операторы групп .4(a) и В(а) соответственно. Тогда век-тор-функция f(£, А) удовлетворяет соотношениям
HI	71 л
fc = l>•••-'•	(1°)
1	1
3 = 1	1,3=1
Следствие. В случае инвариантности УР относительно нелинейных представлений имеем
Cfc(/) =	j = !,,т, k = l,...,l,
i=1ml	.	n	a	(11)
^ = E^- *< = E^V
j=i ozi	3=1
Теорема 9. УР, допускающее симметрию основного представления SO^n) при п 3 имеет вид
^(т,£) = Ло(ф;+£Л.(с)г5(т12 + ...ггп2)к=О, > = 1,...,п, (12) к
и является потенциальным.
В [47] при п = 3 доказательство выполнено на основе использования векторных инвариантов. В общем случае оно выполнено также индукцией по размерности п, в том числе и для только непрерывных УР [34, 35].
В. В [49] строится общий видУР с симметрией неосновных представлений SO(3). Эта группа при любом I = 0,1,2,... имеет (2Z + 1)-мерные
неприводимые представления [50, 51]
ё= 52 т1тп^^п, em = (-i)"4_m, тп= — I
Т1тп{^М = е-^+^Р^СО50) =	х
х \1 п~	- cos0)-(n-m)/2(l +cos0)_(n+m)/2 X
y (4 + т)'(1 — п)!
Х ,<	-cosg)^ —(1 +СО80)г+т]}.
a(cos0)	J
(13)
0,	т п ± 1,
= < ~ |[(^ + n)(l + п - 1)]1/2> m = n-l, 0	г
— -[(Z — n)(l + п 4- I)]1/2, т = п+1.
Поэтому инфинитезимальные операторы группы преобразований (13) можно выбрать в виде
Согласно [50, с. 142]
'^mnCcosg)'!
= £ (-imU)-f-,
ТП — — 1
Х2^) = ХО= £ [(/-m+l^ + m)]1/2^-! —,
7П=-1	^т
I	с)
Х3(?) = ХП = 52 [(/+m+l)(Z-m)]1/2em+1 —.
т_ 1
Операторы Xq(£) и Хп(£), переводящие £т соответственно в Cm-i и ^m+i, принято называть операторами опускания и поднятия. В пространстве E4i+2 действует представление группы вращений с инфинитезимальными операторами Xi = (Х,(£), Xj(L)), z = 1,2,3. Применяя операторы Хо = Х2 и Хп = Хз к уравнениям системы разветвления L(m) _ £(”*)(£, А) = 0, т = 0, ±1, ±2,..., ±1, получаем рекуррентные формулы
L(m-D =	_ т + Х)(г +	д), _/ < m о,
£(т+1) = [(/ + т + !)(/ _ m)]-1/2xn(0L(,n)(e, А), О т < I,
(14)
позволяющие определить все уравнения системы разветвления Z/m)(£,A) = 0, — I т I, через уравнение А) = 0 с номером нуль.
Общий вид LS0\£, А) можно определить следующим образом. Запишем равенство
1 / 1 1 \
£	(£, А) =	..., £ 7)'п£п, AJ,	(15)
П= — I	'n = — l	п = — 1	'
справедливое в силу симметрии УР относительно 1-го представления SO(3). Дифференцируя (15) по <р (или ip) и полагая <р = ip = 0 — О, получаем 2^п=-(	Эу^71] | = так как C0r,JiaCH0 (13)
9TL-0	’
dtP~
По определению инфинитезимального оператора это равенство является уравнением в частных производных первого порядка
iX^)^, А) = £ 5сЛ£(°) (е’Л) = 0.	(16)
_ i
Разлагая А) по однородным формам от £, подставим их в дифференциальное уравнение (16). Из возникающей при этом системы относительно коэффициентов ап = an_t. П1, |п| = s, однородной формы s-го порядка 52|n|=sOnCn находим, что среди коэффициентов ап ненулевыми могут быть лишь те, для которых выполнено соотношение
п_/(—Z) + тг_;_|_1 (—I + 1) + ... + щ(1) = 0.	(17)
Таким образом, доказано утверждение
Теорема 10. УР с симметрией (21 + 1)-мерного неприводимого представления 50(3) определяется равенствами (18) и (14)
оо
Т(°)(е,А) = ао(Ако + £ £ ап_,...п1(А)С,ед- ^Г' =0. (18) 5 = 2 |n| = S
В виде приложения в [49] рассмотрено построение УР для нелинейно возмущенного уравнения Гельмгольца на сфере 52 Aw + Aw = a^w1 + + азЩ3 +... (см. также [30]). При этом применяется теория коэффициентов Клебша-Гордана [50].
2.3. Применение теоремы Л. В. Овсянникова об инвариантных многообразиях при построении общего вида УР по допускаемой группе. Указанный метод является наиболее эффективным при построении и исследовании УР. Как в аналитическом, так и в непрерывном случаях он позволяет построить полное УР, а не только главную его часть. Метод нашел применение в первую очередь к задачам о нарушении симметрии: задаче о кристаллизации [12, 52, 53], ряду задач о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости [54, 55], к уравнению
Монжа-Ампера на торе [52]; а также в общем случае построения УР бифуркации Андронова—Хопфа [15, 17]. Задачи о нарушении симметрии будут рассмотрены в отдельном обзоре.
А.	Стационарное ветвление. Уравнение разветвления 0 = /(£, А) = = {/k(£, А)}]71: Еп —> Е771 допускает группу G, если для некоторых ее представлений Лд в Еп и Вд в Е771 выполнено равенство (1.3) (во фред-гольмовом случае равенство (1.4)) f(Ag£, А) = Bgf(£, А). Это равенство означает, что для наследуемой УР группы преобразований
ё = f = Bgf	(19)
многообразие F: f — /(£,А) = 0 в пространстве Еп+7П является инвариантным многообразием. Рассматривая /-параметрическую группу преобразований (19), предполагаем, что F является ее неособым инвариантным многообразием. Это означает, что если (Хр; Fv^v_t базис соответствующей алгебры Ли инфинитезимальных операторов, то ранг r(Xv\F,)]^. матрицы М(X'v; F^) их коэффициентов (у = 1,..., Z; i = 1,..., n; j — п + 1,... ,п + т, и — номер строки, г, j — номера столбцов) на многообразии F совпадает с ее общим рангом г*. Тогда если
Ш /),..., In+m-r.(Cf)
(20)
— базисная система функционально независимых инвариантов группы (19), то инвариантное многообразие F можно представить [11] в виде
Ф‘Т(11,... ,1п+тп_г.) =0, а = 1,...,т.	(21)
Для построения общего вида УР должно быть выполнено условие
г“к[гИ
= т независимости системы инвариантов (20) относитель-
но fj. Оно может быть заменено требованием r»(X, F) = г»(Х) [11, с. 250]. Равенства (21) в изложенной схеме построения инвари
антного многообразия дают редукцию УР с помощью полной системы
функционально независимых инвариантов.
В аналитическом случае при высоких размерностях вырождения
линеаризованного оператора возникают технические трудности, связанные с тем, что при разложении УР по однородным формам не все инвариантные мономы переменных £ могут быть выражены через степени базисных инвариантов. Привлечение же дополнительных инвариантов приведет к повторению слагаемых в УР, если степени инвариантов выбраны наименьшими возможными. Поэтому используя дополнительные инварианты наименьших возможных степеней, мы должны профакторизовать построенное разложение УР по связям между инвариантами. Эта факторизация по отношению к выражению внутри скобок будет обозначаться далее символом [.. .]out.
Прежде всего рассмотрим наши постоянные примеры симметрии относительно групп вращений 50(2) и 50(3).
Теорема 11. При п = 2 непрерывное УР в вещественном базисе, допускающее группу SO(2) имеет вид
ti(r,A) = ti|t|-1u(|t|,A) - т2|т|-1Щт|, А) = О,
|г| = (Л2+г?)‘/2,	(22)
«ак, Л) = пкГМкЬ л) + ’г|т|-1и(|г|,А) = О,
где функции u(|r|, A), v([t|, А) и их производные по |т| непрерывны в окрестности (0,0) и являются бесконечно малыми при |т| —> О, А —> О.
Если УР аналитично по г в окрестности нуля, то и(|т|,А) = = ЕГ=оct(A)H2fc+1 cosafc(A), v(|r|,А) = Е“оcfc(A)|r|2fe+1 sinafc(A), где Cfc(A), at (А) — непрерывные функции.
Действительно, инфинитезимальный оператор группы .4(a) = = В(а) =	cosa^ (далее используем обозначение [1] —> а)
имеет вид X = Х(т, t) = —т2^- +	--t2^—Переходя к
полярным координатам ту = г cosy?, т2 = г sin <р, tr — ti cosy, + Z2 sin <p, tv = — tisiny? + Z2cosy>, получаем X = Отсюда определяется си-
стема инвариантов Д = г = |т| = д/т’р +	, /2 = tT, /3 = tv. Так
как г, = 1, по теореме о представлении неособого инвариантного многообразия группы [11], получаем, что редуцированное с помощью полной системы инвариантов УР имеет вид tr = и(г, А) = 0, tv = v(r, А) = 0. Отсюда следует (22). В аналитическом случае получаем результат тео-
рем 5, 6.
Теорема 12. При п 3 непрерывное УР, допускающее симметрию основного представления SO(n), имеет вид
£/т,А) = Tj|T| 1u(|r|,A) = 0, ; = 1, ...,n, |т| = (rf + ... + т^)172 и является потенциальным. Функция и(|т|, А) обладает теми же свойствами, как и в теореме 1, U(r, А) = u(s,X)ds — потенциал УР. В аналитическом случае u(|r|, А) =	Cfc(A)|r|2fc+1.
Доказательство выполнено в [34, 35] индукцией по размерности п. Для случая п = 3 теорема 1 применяется к каждой паре из трех уравнений системы разветвления. Затем, предполагая справедливость утверждения для тг—1, мы применяем этот результат к каждым п — 1 уравнениям из п уравнений системы разветвления.
В работе [56] рассмотрены случаи ti > 2 при симметрии УР относительно 50(2) и 0(2), т.е. при совпадении нескольких точек ветвления.
В.	Бифуркация Андронова-Хопфа. В вещественных банаховых пространствах Еу, рассматривается дифференциальное уравнение
А^- = Вх - R(x,e).	(23)
at
Ставится задача построения УР периодических решений, когда
Л-спектр оператора В на мнимой оси состоит из конечного числа то-
чек ±i/i, ненулевых собственных значений конечной кратности, а остальные части спектра отстоят от мнимой оси на расстояние d > 0. Множество чисто мнимых собственных значений в верхней полуплоскости распадается на непересекающиеся подклассы. К определенному подклассу в верхней полуплоскости принадлежат все собственные значения ias, s = 1,...,тп, такие, что а3 = ksa, где кя — натуральные
числа без общих делителей. Количество таких подклассов совпадает
с числом различных а. Для каждого а строится свое собственное УР
2тг а + д
-периодических решений, где д = д(е)
—> 0 при £ —> 0 — неиз-
вестная малая добавка к частоте колебаний (бифуркация рождения цикла):
/sfc(£,£,M,£) = °>	/»fc(fXM,£) = 0, fc = l,...,n„ s=l,...,n.
(24)
Следствием автономности (23) является групповая симметрия SO(2) в каждой паре переменных £Sj, £sj-, fSj, fSj, £ = (£и,?п>-.-  	f =	выражающаяся pa-
венствами
eik‘a°fSj(£, С, Д, £) = /„(..., eik'a4ri, e~ik^rl,	(25)
ИЛИ
До/(С ?, g, £) = /(ДоС, ДоС, ц, £), До = diag(elfcl°°, e~ikia°,..., егк™а°, e~ikma°).
fl 1
Учитывая симметрию по пространственным переменным, предполагаем, что (23) допускает группу G в смысле определения 1.1, т. е. операторы Кд и Lg сплетают операторы А, В и /?(-,£)
ALgX = Кд Ах, BLgX = Кд В X,	R(L дХ, е) — KgR(X,E).
Продолжая эти представления на соответствующие подпространства <Sfc, к = 1,2, получаем, что преобразованное заменой Пуанкаре уравнение (23) допускает ту же самую групповую симметрию. Тогда операторы Lg и Кд индуцируют в инвариантных подпространствах N(B) и N(B*) конечномерные представления
п,
£ — Д^С1 Lg<psj = Д gipsj =	’ <*s;jk(9),P3k>
fe=1	(26)
Kg^sj = Bgl/jSj =	/?S;jk(<?)^Sk, S = 1, . . . , ТП,
fc=l
и справедлива теорема о наследовании.
Теорема 13. Пусть уравнению (23) отвечает Фредгольмов оператор В и оно инвариантно относительно группы G, причем
подпространство У00 2п = (/ — P)Y инвариантно относительно операторов Lg {условие 1). Для уравнения разветвления второго типа предполагаем, что оператор Шмидта В = В + К, допускает группу G.
Тогда УР также допускает группу G, т. е.
ftt, р, е) = Bgf{£, С р, е) = f(Aa£, AgC, р, Е) = ftt, с М, е),	(27)
t(C С м- е) = А*(£- С Р, е) = *(AgC, Ag£, р, е) = t(£, Р, £)•	(28)
Доказательство аналогично приведенному в разделе 1.
Приведем общую схему применения методов группового анализа для УР с групповой инвариантностью вида (28). Для краткости изложения будем применять следующие обозначения = d£ii = дц, @ = Эц,..причем для простоты рассмотрим только случай т = 1.
Согласно теореме 1 мы имеем равенства (25) и (28), где Ад конечномерное представление допускаемой группы симметрии в подпространстве N(B). Для непрерывной /-параметрической группы, индуцированной групповым действием в пространственных переменных, мы получаем вместе с инвариантностью (25) д = д(а) = р(ао, aj,..., а;), где ао — параметр группы SO(2), индуцированной автономностью (23). Равенство (28) означает, что для рассматриваемой группы преобразований £ — АдС, t = Agt многообразие Т = {t,^ \ t — t(£,£)} в пространстве векторов (£, t, t) является инвариантным многообразием. Здесь для краткости опущена зависимость t от малых параметров р
и е, не являющаяся существенной для группового анализа.
Согласно равенству (25) инвариантности УР относительно группы вращений 50(2) в каждой паре переменных (£*,, £k; tk,tk) определен инфинитезимальный оператор Ло = (Ло(£), Xo(t)), Ло(£) = Z2j=i(Cj^j — — Преобразования, индуцированные пространственными переменными, определяют инфинитезимальные операторы Хи = (X„(£);
ХД/)),1/ = !,...,£.
Функция F(£,£,t,t) называется инвариантом (Z 4- ^-параметрической непрерывной группы -4(a), а = (ao, aj,..., щ), если она не изменяется при преобразованиях аргументов относительно этой группы, т. е. постоянна на траекториях группы. Необходимое и достаточное условие инвариантности функции F выражается дифференциальным уравне-
нием	_
= 0, 1/= 0,1,...,/.	(29)
Число функционально независимых решений системы (29) определяется общим рангом г, матрицы M(X„(£); %„(£)) коэффициентов инфинитезимальных операторов. Если точка (£,£,£,£) является обыкновенной относительно действия группы (точкой общего положения), т. е. г* = const в ее окрестности, то система (29) имеет 4п — г, функционально независимых решений — базис инвариантов группы А(а),
a = (a0,a],... , a/), или полную систему функционально независимых инвариантов.
Пусть Т = {£, £ | t — £(£,£) = 0} является неособым инвариантным многообразием группы -4(a), т. е. ранг 7И(Х1?(^); %„(£)) совпадает на Т с общим рангом г»(7И). Пусть
3 = 1,...,4п-г.,	(30)
образуют полную систему функционально независимых инвариантов. Тогда согласно [11] многообразие Т можно представить в виде
$s(Zi,...,/4n-r.) =о, s = l,...,2n.	(31)
Для возможности построения общего вида УР мы должны представить многообразие Т в виде разрешенном относительно переменных tj, tj,
i п	«	1 Г Р(Г) 1
j = 1,..., п. Поэтому должно быть выполнено условие rank=
= 2п независимости системы (30) относительно переменных tj, tj, j = = 1,...,п. Согласно [11] оно может быть заменено требованием r,(M(XI/(^’); Л\,(£))) = г,(7И(Х1?(^))), достаточным для разрешимости системы (31) по переменным tj,tj,j — 1,..., п. Дискретная группа симметрий дает связи между уравнениями системы разветвления. Обычно она позволяет выразить все уравнения через их часть и дает соотношения между коэффициентами УР в аналитическом случае. Эта ее роль особенно ярко проявляется в задачах о нарушении симметрии.
Хотя в приложениях при исследовании УР в аналитическом случае для вычисления асимптотики семейств разветвляющихся решений достаточно знать лишь конечное число коэффициентов редуцированного УР, отметим то обстоятельство, что методы группового анализа позволяют определить полное УР по допускаемой им группе, выделить ненулевые коэффициенты и, тем самым, значительно сократить вычислительную работу по построению и исследованию УР.
Отметим также, что случай С1-УР проще аналитического. В аналитическом случае использование только функционально независимых инвариантов ведет к пропуску мономиальных слагаемых в уравнениях системы разветвления. Использование же дополнительных инвариантов дает повторяющиеся слагаемые. Поэтому, как и в стационарном случае, следует определить все связи между используемыми инвариантами и провести факторизацию разложения уравнений по этим связям (см. задачи о кристаллизации [12, 53, 9, 10] и о капиллярно-гравитационных волнах [54, 55], т. е. вообще задачи о нарушении симметрии [20]). Для непрерывных УР эти трудности снимаются.
Приведем примеры.
1°. Уравнение разветвления с SO(2) и 0(2) симметриями по пространственным переменным. Здесь мы рассмотрим случай m = 2 (щ — = 2, П2 — 1), где матрица Д(ао,а) определяется равенствами = = eiCpoa+fciao)^^ £12 = e-ip0°+ik10.0	=	къ к2 - на-
туральные числа, не имеющие общих делителей. Выпишем систему
инфинитезимальных операторов двупараметрической группы преобразований £ = Д(ао,а)^, t = Д(ао,а)<:
Х^Х^Х^)), .7=0,1,
где
Х0(£) = &1£11^11 — fci^i9n + fcl^l2^i2 — fclJi2^12 + ^2^21^21 ~ ^2^21^211
^1(0 = £11<9ц — €11^11 — £12^12 + £12^12-
Теорема 14. УР в случае nj = 2, пг = 1 с симметрией SO(2} имеет вид
*11(£;М,е) =
=	= О,
р;з
<12^;м>£) =
sE[ao;4ft£)«rrefr+,g^44™(M,£)gra,_1gt''](«<,)’-=o.
Pi5 ^2i(^;m,£) -
=	= о.
p;s
EcmikSO(2) добавляется симметрия отражения 1(£) = (£i2> Си» £21), т. е. УР допускает группу 0(2), то а^р2р3-3 = ap2pip3;s w bpiplpa;» = _Ь(П) — °Р2Р1Рз;з-
Действительно, выполнено достаточное условие г» (M(JG,(£))i=0) = = 2 независимости системы {13(£, t)}i функционально независимых инвариантов относительно переменных t, t и эта система может быть выбрана следующим образом
=	W), J = l,2;	/5^,t) = ^l, ТзИ;
Clj	%21
МО = СпСи> h = С12С12, ^9 = 0101» Ло = (Сп&г)*2^/-
Необходимо использование дополнительного инварианта /ю(£)> что приводит к повторяющимся слагаемым в разложении УР. Поэтому мы должны записать
tll(e; М, £) = Ea(“)(M,s)(^Q)P“[^11^(e)7lo(^)]OUt = О,
р-,Ч
где символ [.. .]out означает, что в выражении внутри скобок должны быть опущены сомножители вида (^Q, ^Q), т. е. суммирование про-факторизовано по связи Ло-^ю =	между использованными
инвариантами. После факторизации получаем результат теоремы 14.
Замечание 2. 1°. Общий случай 2п-мерного УР
ТЛ>1	7712	7711	7712
п = У2 пь' + ^2n2j	— У2	+ У2	'
j=i	j=i	j=i	j=i
когда каждому fey соответствует l±j экземпляров двумерных подпространств действия группы SO(2) по пространственным переменным и каждому k2j отвечает l2j экземпляров одномерных подпространств действия 50(2), может быть рассмотрен теми же методами [15].
2°. В качестве примера построения общего вида УР периодических решений с симметриями кристаллографических групп рассмотрим УР периодических решений с симметрией прямоугольной и квадратной решетки. Отметим, что примеры УР с симметриями других плоских и некоторых пространственных кристаллографических групп рассмотрены в [57], более высокие размерности вырождения вызывают лишь технические трудности.
Прямоугольная решетка. Рассматривается построение УР t(£,£;/i, е) = 0 при П1 = п = 4 (m = 1) определения периодических по двум пространственным переменным решений нелинейного уравнения с симметрией прямоугольной решетки.
Пусть N(B) = span{<pj = «exp(i[(Zj, g)+t]),<pj, j = 1,..., 4}, N(B') Э Э <p —	+ £zVj)i h. = m1ae1 + m26e2, 1з = т^аё! — т2Ьё2,
l2k = —^2fc-i> fc = 1,2; q = (x,y). Группа симметрии прямоугольника выражается подстановками pi = (12)(34), р2 = (13)(24), рз = (14)(23). Общий ранг г, матрицы инфинитезимальных операторов
~£1	£1	-^2	&	“£з	(з	-^4	£4 \
—£1	£1	-£.2	— ?3	£з	*ъ4	-_^4 I
-£1 £1	&	£з -^3 — £4	£4 /
равен трем. 13 = 4п — г, функционально независимых инвариантов определяются из системы дифференциальных уравнений [Лр(£) + +Xp(t)]/(e,t) = 0, v = 0,1,2: Д(£) = k = 1,...,4, Ij+i = Л+4 = К j = 1,...,4; и
SJ	____
полнительного инварианта /14(C) = /1з(С) первое уравнение системы разветвления запишется в виде
=
= ^арч{р,Е^ШР1  • • (U4)PW1^3£4)’46£2^4)’2]°Ut =
Р,<7
= 6 J2 ap0(fl£l)P1 • •  (С4^4)Р4 +
Р
+ 22(66)Р1 • • • (Шр^р^+ЧШ4)к+ьрк^-ЧШ4)к]=0, (32) рЛ
Аз(С) = С1СгСзС4- При использовании до-
где символом [.. .]out обозначена факторизация выражения внутри скобки по связи ЛзЛд = Л^г^зД, осуществляемая отбрасыванием сомножителей Д-, к = 1,..., 4, уже учтенных степенями р. Остальные уравнения системы разветвления определяются из условия симметрии УР относительно группы прямоугольника £fc(£;/x,E) Pfe-iii(C А4,е) = 0> к = 2,3,4.
Квадратная решетка. Пусть m 1. Размерности п3 равны числам r(s) представлений целых чисел S = 5(з) в виде сумм двух квадратов 5(s) = p2+q2. Числа r(s) = r(5(s)) имеют вид 4ri(5(s))+8r2(5(s)) соответственно Ti(s) = {° представлениям ср = q или (р,g) — (±р,0), (0, ±р) и г2(з) представлениям (±р, ±g) с р 7^ q. Для примера: 5=1, (р,д) = (±1,0), (0, ±1); 5 = 2, (р,д) = (±1, ±1); 5 = 4, (р,д) = (±2,0), (0, ±2); 5 = 5, (р,д) = (±1,±2), (±2, ±1); 5 = 8, (р,д) = (±2, ±2); 5 = 9, (р,д) = (±3,0), (0, ±3),... для 5 = 25 имеем (р, д) = (±3, ±4), (±4, ±3), (±5,0), (0, ±5). В силу нашего соглашения относительно векторов lj обратной решетки, мы нумеруем элементы ЛД23) следующим образом: = (pCT,gCT), l<?2 = (~Ра, -д<Л> ^з = (—Р<т, g<r), U = (p«z, -9а), а — 1,..., и (5(s)) + 2r2(5(s)) = ir(5(s)). Таким образом, УР допускает 2-параметрическую группу 50(2) х 50(2), гомоморфную 2-пара-метрической группе сдвигов, 1-параметрическую группу 50(2), порожденную автономностью (23) >l(ao,ai,a2) = diag{e±l^±p,Tai+9’a2)+fcj|aol}, s = l,...,m, a = 1,..., |r(5(s)), j = 1,..., 4, где целые числа к, и рст, qa такие, что (fc3j, fc5j) = 1, (рст, gCT) = dj 1,ра - dap'a, qa = daq'a, и группу вращений-отражений квадрата, выражающуюся подстановками
е, Li ~ Р = (1,2,3,4),	L?, L?,	~ А = (1,4)(2,3),
Т2~Р2 = (1,3)(2,4),	2з~Рз = (1,2)(3,4),
I12 ~ Р12 = (1)(2)(3,4),	Тз4 ~ Рз4 = (1,2)(3)(4)
индексов j координат J = 1> • • • 14.
Здесь мы рассмотрим только один частный случай т = 2, l3i = psei,
1з2 = Pse2, is,2k = — ls,2k-i, к = 1,2. Система вида (29) кроме инвариан-
L е
тов типов
и ££ определяет следующие 12 мономиальных инвариантов
Л(£) = 6162^13^14,	Л(С);
-^г(^) = C21C22?23?24>	^(С;
Ш = Wi2)fc2(£23£24)fcl, Ш;
/4(0 = (€i3€i4)fe2(€2i€22)fcl> Ш; /5(0 = (€hO2)92(€21?22)Q\ W /6«) = W14)’2O24)’1, W;
где (fci,fc2) = 1, (Р1,Рг) = d 1, Pl = dqlt p2 = dq2.
УР записывается в виде
tSJ(CM,£)	W24)“24 х
х [^•/f1(^)(/f1(^))--^60(e)(/f6(e))]out = o, j = i,...,4, s = 1,2, где символ [.. .]out означает факторизацию по связям Iklk ~ 1 между инвариантами. Симметрия относительно дискретной группы дает соотношения между коэффициентами УР.
Замечание 2. 1°. В дипломной работе М. Макарова (Ульяновский государственный университет) предложены программы для определения системы функционально независимых инвариантов, нахождения связей между использованными инвариантами и для раскрытия символа [.. .]out.
2°. В работе [57] построено УР бифуркации Андронова-Хопфа в общем случае дифференциального уравнения s-ro порядка с фредголь-мовым оператором при старшей производной и наличии жордановых цепочек, доказана теорема о наследовании.
Об асимптотике малых решений [6, 17]. Здесь мы предполагаем, что в (23) 7?(0,е) = 0, т. е. рассматривается бифуркация Андронова-Хопфа. УР является системой п комплекснозначных уравнений относительно неизвестных Е С1, j = 1,..., ns, s = 1,..., m; n = = Tii +... + nm и ц € R1 • Поэтому для n > 2 полное описание его решений представляет большие трудности и для построения их асимптотики по малому параметру £ следует рассматривать решения в некоторых подпространствах, инвариантных относительно отображения t = t(£), соответствующего УР [6]. После определения решений в некотором подпространстве Ео С С1 действием группы G мы получаем траекторию решений (семейство решений) в траектории Но = |Jfl6GImg(Eo) подпространства Ео.
Здесь интересен случай, когда Eq является множеством стационарных точек st(7/) некоторой подгруппы Н С G. Как и в стационарном случае [9, 27] это свойство (обобщенная «лемма об эквивариантном ветвлении») открывает возможности доказательства теорем существования семейств решений на основе теории степени отображения [25, 26]. Отметим здесь непосредственно примыкающий к исследованиям Пуанкаре-Андронова-Хопфа случай dimEo = 2. Только технические детали отличают общий случай от важной ситуации, когда мы разыскиваем решения, инвариантные относительно двумерного подпространства [22]. Ниже эта идея реализуется на примере симметрии относительно квадратной решетки. В этом простом случае Ео = st(7/) с dimEo = 2 мы должны рассмотреть УР в двумерных подпространствах, где возможно полное его исследование по схеме [6] для 2п = 2.
Итак, мы рассматриваем УР с симметрией квадратной решетки при тп = 1, р = д. В качестве мономиальных инвариантов имеем
Л(£) = €1€2€з€4, Л (О = £1£2€з£4 и УР имеет тот же вид, что и в случае т = 1, (р, q) = (±р, 0), (0, ±р):
ti(C; р,е) = «2(£;м,£) = *з(^; м.е) = ^(£;м.£) = °,
*i(£;m,£) =
= Е ^)аМ^^к+1^шк+ъа^,^1~Чъшк] = о, ос,к
12(Я;р,е) -
= Е (£ёЛм(м,£)£2+1(£1Уз)*+ьа^^2~Чы^к] = о, а;/с
*з(£;м,е)
= Е (e€)“[^;fe(M,£)^3+1(^J2)fc + Ьа;к(р,е)£з~\Ы1Ык] = 0, а, к
<4($;д,е) -
=	+ Ьа^^А1зШк] = о,
а\к
(33)
где йа1ОС2q3O£4Л ®а1а2О£4О£з;Л:» cx2cx^a4;k oi2aia3\^ согласно инва-риантности ti(£) относительно Pi 2 — (1)(2)(3,4).
Непосредственными вычислениями проверяется инвариантность следующих подпространств относительно отображения t (33)
2i = (£i,0,0,0);	=2,з = (6,±6,0,0);	=4 = (£1,0,0, G);
2s = (£1,о, £i,o);	=6,7 = (£i,±£i,±£i,£i);	28 = (£1, £2, £i, £2);
2g = (£1, £2,0,0); 2io = (£1,0,0, £2); 2ц = (£1,0,£2,0);
212,13 = (£1, ±£1, £г, ±£2);	214 = (£1, £2, £2, £1).	(34)
Нетрудно выписать стационарные подгруппы для каждого из указанных подпространств; однако случаи р = q и (±р, 0), (0, ±р) должны рассматриваться отдельно.
В работе [17] выписана главная часть УР (33), затем УР рассмотрено в каждом из подпространств (34) и выписана асимптотика соответствующих малых решений.
Список литературы
1.	Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 524 с.; Leyden: Noordorf Int. Publ., 1974.
2.	Юдович В. И., Свободная конвекция и ветвление // ПММ. — 1967. —Т. 31, № 1. - С. 101-111; J. Appl. Math. Meeh. — 1967. — V. 31.
3.	Бабский В. Г., Скловская И. Л. О возникновении конвекции в самограви-тирующем жидком шаре, нагреваемом изнутри // ПММ. — 1971. — Т. 35, №6. - С. 1000-1014; J. Appl. Math. Meeh. - 1971. - V. 35.
4.	Изаксон В. X., Юдович В. И. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей // Известия АН СССР, МЖГ. — 1968. — Т. 4. — С. 23-28.
5.	Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // ПММ. — 1971. — Т. 35, №4. — С. 638-655; J. Appl. Math. Meeh. — 1971. — V. 35.
6.	Моршнева И. В., Юдович В. И. О ветвлении циклов из положений равновесия систем с инверсионной и вращательной симметрией // СМ Ж. — 1985. - Т. 26, № 1. - С. 124-133.
7.	Логинов Б. В., Треногин В. А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений // Математический сборник. — 1971. — Т. 85. — С. 440-454; Math. USSR Sbornik. - 1971. - V. 14, №3. - Р. 438-452.
8.	Логинов Б. В., Треногин В. А. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления // ДУ. — 1975. — Т. 11, №8. — С. 1518-1521.
9.	Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — Ташкент: Фан, 1985. — 184 с.
10.	Логинов Б. В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия // Вестник Самарского университета. — 1998. — №4(10). — С. 15-75.
11.	Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.; N. Y.: Academic Press, 1992.
12.	Логинов Б. В., Рахметова X. Р., Юлдашев Н. Н. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы) // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. — Ташкент: Фан, 1987. — С. 183-195.
13.	Loginov В. V. On the construction of the general form of branching equation by its group symmetry // EquaDiff-VII, Enlarged Abstracts. — Praha, 1989. — P. 48-50.
14.	Треногин В. А. Периодические решения и решения типа перехода в абстрактных уравнениях реакции-диффузии // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1988. — С. 134-140.
15.	Логинов Б. В. Об определении уравнения разветвления его группой симметрии // Доклады РАН. — 1993. — Т. 331, №6. — С. 677-680; Russ. Acad. Sci. Dokl. Math. — 1994. — V. 48, №1. — P. 203-205.
16.	Loginov В. V. Determination of the bifurcation equation by its group symmetry — Andronov-Hopf bifurcations // Nonlinear Analysis. TMA. — 1997. — V. 28, № 12. — P. 2033-2047.
17.	Loginov B.V., Trenogin V. A. Branching equation of Andronov-Hopf bifurcation under group symmetry conditions // CHAOS, Amer. Inst. Phys. - 1997. - V. 7 (2). - P. 229-238.
18.	Sattinger D. H. Group representation theory, bifurcation theory and pattern formation // J. Funct. Anal. — 1978. — V. 28, № 1. — P. 58-101.
19.	Sattinger D. H. Group theoretic methods in bifurcation theory — 1979. — 240 p. (Lecture Notes in Math.; V. 762)
20.	Логинов Б. В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений FT // Известия АН УзССР, физ.-мат. н. — 1978. — Т. 3. - С. 20-23.
21.	Логинов Б. В. Применение теории ветвления с групповой инвариантностью при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла // Дифференциальные
уравнения и вопросы теории ветвления. — Ташкент: Фан, 1982. — С. .54-91.
22.	Vander bauwhede A. Local bifurcation and symmetry. — Boston: Pitman, 1982. — 350 p. (Res. Notes Math.; V. 75.)
23.	Golubitsky M., Schaeffer D. Singularities and groups in bifurcation theory. — Springer, 1984. — — 463 p. (Appl. Math. Sci.; V. 51 (1).)
24.	Golubitsky M., Stewart I., Schaeffer D. Singularities and groups in bifurcation theory. — Springer, 1985. — 534 p. (Appl. Math. Sci.; V. 69 (2).)
25.	Треногин В. А., Сидоров H.A. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутский университет. — 1972. — Т. 1. — С. 216-247.
26.	Сидоров Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. Иркутск: Иркутский гос. ун-т, 1982. — 314 с.
27.	Логинов Б. В. Об инвариантных решениях в теории ветвления // ДАН СССР. - 1979. - Т. 246, №5. — С. 1048-1054.
28.	Cicogna G. Symmetry breakdown from bifurcation // Letters Nuovo Cimento. — 1981. — V. 31. - P. 600-602.
29.	Логинов Б. В., Сидоров H. А. Общий метод построения уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и некоторые способы его исследования // Неклассические задачи математической физики. — Ташкент: Фан, 1985. — С. 113-145.
30.	Логинов Б. В. О ветвлении решений дифференциального уравнения Да + Хи = f(u) на сфере // ДУ. — 1972. — Т. 8, № 10. — С. 1816-1824.
31.	Логинов Б. В. Дополнение к статье Л. А. Слобожанина «Об одной задаче ветвления цилиндрического равновесного состояния вращающейся жидкости» // Математическая физика и функциональный анализ. — Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1972. - Т. 3. - С. 52-55.
32.	Логинов Б. В. Периодические решения трехмерной задачи о капиллярно-гравитационных волнах над ровным дном // Динамика сплошной среды, СО АН СССР. — 1979. - Т. 42. — С. 3-22; ДАН СССР. — 1979. — Т. 247, №2. - С. 324-328.
33.	Логинов Б. В., Коноплева И. В. Обобщенная жорданова структура и симметрия разрешающих систем в теории ветвления // Вестник Самарского гос. Университета. — 2001. — №4 (22). — С. 56-84.
34.	Логинов Б. В. Симметрия основного представления группы SO(n) в теории ветвления // Известия АН УзССР, физ.-мат. н. — 1987. — Т. 5. — С. 33-35.
35.	Trenogin V. A., Sidorov N.A., Loginov В. V. Potentiality,group symmetry and bifurcation in the theory of branching equation // Differential and Integral Equations, An Int. J. Theory Appl. — 1990. — V. 3, №1. — P. 145-152; ДАН СССР. — 1989. — T. 309, №2. — С. 286-289.
36.	Логинов Б. В., Сидоров Н. А. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и методы в задаче о точке бифуркации // Ма-те.м. сборник. — 1991. - Т. 182 (5). — С. 681-691.
37.	Сидоров Н. А., Абдуллин В. Р. Сплетающие уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений. — Иркутск, 1999. — 36 с. — (Препринт / Иркутское отделение Академии нелинейных наук; №1).
38.	Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления: Дис. ... капд. физ.-мат. наук. — Ташкент: Институт математики им. В. И. Романовского АН УзССР, 1979 — 126 с.
39.	Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Полные жордановы наборы в линейных задачах теории ветвления с групповой симметрией // Дифференциальные уравнения и их применения в механике. — Ташкент: Фан, 1985. — С. 136-153.
40.	Логинов Б. В. Уравнение разветвления в корневом подпространстве: групповая симметрия и потенциальность // Функциональный анализ. Ульяновский гос. педагогический университет. — 1994. — Т. 35. — С. 16-28.
41.	Loginov В. V. Branching equation in the root subspace // Nonlinear Analysis. TMA. — 1998. — V. 32, №3. — P. 439-448.
42.	Логинов Б. В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при производной // Известия АН УзССР. Физ.-мат. н. — 1988. — Т. 1. — С. 28-32; Т. 2. — С. 78.
43.	Loginov В. V., Rusek Yu. В. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions // Nonlinear Analysis. TMA. — 1991. — V. 17, №3. - P. 219-231.
44.	Любарский Г. Я. Теория групп и ее применения в физике. — М.: ГИТТЛ, 1958. - 356 с.
45.	Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976. — 560 с.
46.	Владимиров С. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискретной группой симметрии // ДУ. — 1975. — Т. 12, №7. — С. 1180-1189.
47.	Логинов Б. В. О применении векторных инвариантов для определения общего вида уравнения разветвления в условиях групповой инвариантности // ДАН СССР. - 1981. - Т. 259, №5. - С. 1045-1050.
48.	Дъедонне Ж., Керрол Дою., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. — М.: Мир, 1974. — 280 с.
49.	Логинов Б. В., Юлдашев Н. Н. О построении уравнения разветвления, допускающего группу 50(3) // Узбекский математический журнал. — 1992. - Т. 5/6. - С. 52-58.
50.	Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. — М.: Наука, 1965. — 588 с.
51.	Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т. 2. — М.: Мир, 1984. — 384 с.
52.	Loginov В. V. Group analysis methods for construction and investigation of the bifurcation equation // Applications of Mathematics. — 1992. — V. 37, №4. - P. 241-248.
53.	Юлдашев H. H. Построение уравнения разветвления с кристаллографической группой симметрии. — М., 1989 — 85 с. (Деп. в ВИНИТИ, №627-В89.)
54.	Логинов Б. В. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитационных волнах // СМЖ. — 2001. — Т. 42, №4. — С. 868-887.
55.	Loginov В. V., Kuznetsov А. О. Capillary-gravity waves over the flat surface // European J. Meeh. B. Fluids. — 1996. — V. 15, №2. — P. 259-280.
56.	Логинов Б. В., Эргашбаев T. Многомерное ветвление и задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра // Вопросы вычислительной и прикладной математики. — Ташкент: Фан, 1993. — Т. 95. — С. 89-100.
57.	Логинов Б. В., Макаров М. Ю. Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова-Хопфа I // Вестник Самарского университета. — 2000. - № 2 (16). - С. 54-68.
ПРИЛОЖЕНИЯ БИФУРКАЦИОННЫХ ЗАДАЧ С НАРУШЕНИЕМ СИММЕТРИИ
Б. В. Логинов
Предлагаемый обзор посвящен приложениям результатов, изложенных в [1] и относящихся к бифуркационным явлениям в нелинейных уравнениях в условиях групповой симметрии. Отдельные его части поддержаны грантами НГУ 15-96, 23-98 и РФФИ 96-01-00512, 01-01-00019. Систематически используются методы группового анализа дифференциальных уравнений [2,3], терминология и результаты [4,5,6].
1. Общая схема
Эта схема изложена в [7, 5, 6]. В банаховых функциональных пространствах Е\, Ез рассматривается нелинейное уравнение
В2/-А(А)у = Л(у,А),	||Я(у,А)|| = О(||у||),	(1)
В, А(А) — линейные операторы из Ei в Ез, — нелинейный оператор, отображающий некоторую окрестность нуля из Ei в окрестность нуля в Ез, достаточно гладкий по у и бифуркационному параметру A G I С R1. Предполагается, что уравнение (1) допускает группу движений евклидова пространства Rs, s > 1. В окрестностях критических значений Ао параметра А, — собственных значений задачи Btp — А(А)</> = 0, — рождаются периодические решения, инвариантные относительно сдвигов на кратные периодов по переменным X],..., xs и преобразующиеся друг в друга под действием дискретной группы симметрий, определяемой группой вращений-отражений, действующей в n-мерном подпространстве нулей N — N(B — A(Aq)) фредгольмова или нетерова оператора В — А(Ао). Они образуют семейства решений, зависящие от параметров непрерывной группы сдвигов Gi = Gi(a), а = (ai... as) в Rs. Таким образом, симметрия относительно группы движений евклидова пространства Rs сменяется симметрией кристаллографической группы G = Gj xi G1, являющейся полупрямым произведением s-параметрической непрерывной группы сдвигов Gj = Gi(a) и дискретной группы G1, определяемой базисными элементами N и порожденной основными трансляциями aj,..., as, tm = miai + ... + msas. При этом n = 2s в случае одной решетки периодичности и п = 2 Sj в случае р решеток размерностей Sj s. Здесь мы следуем схеме, заимствованной из физики твердого тела и кристаллографии [8-10]. Базисные элементы подпространства нулей W имеют вид функций Блоха ipr = ipir = и(х, г)ег^’'’х^ (на переменные z
группа не действует), где векторы 1Г, г = 1,...,п = dimN задаются дисперсионным соотношением (ДС), определяющим критические зна-чения бифуркационного параметра и связывающим целые кратные периодов |а*;|, к — 1,... ,s, с безразмерными параметрами задачи. Всюду ниже собственные элементы <дг и отвечающие им векторы 1г занумерованы так, что если вектору 1 дан нечетный номер, то вектору —1 приписывается последующий четный номер. Тогда сдвиги tm представляются посредством	т. е. tm9?i(g) =	Инвариантность ба-
зисных элементов <р\ € N относительно сдвигов tm приводит к соотношению 1 =	показывающему, что векторы 1 принадлежат решет-
ке Л', обратной решетке Л, порожденной основными трансляциями а*,, к = l,...,s. Таким образом, в случае одной решетки периодичности размерности s G1 есть группа вращений-отражений параллелепипеда По, построенного на основных трансляциях, и прямой суммой соответствующих групп Gj в случае р решеток размерностей Sj,j = 1,...,р. Дискретная подгруппа G1 группы G выражается подстановками номеров г векторов 1г. Построенная модель подпространства N определяет ячеистую структуру ответвляющихся семейств s-параметрических решений, инвариантных относительно дискретной группы Т сдвигов определенных периодов по определенным направлениям а/, и переходящих друг в друга при преобразованиях группы G1 симметрий векторов 1г.
Произвольная s-периодическая функция может быть представлена в виде ее ряда Фурье
(2) 1еЛ'
Следовательно, элементы N следует определять как компоненты ряда Фурье (2), где векторы 1 удовлетворяют ДС, определяющим бифуркацию. Возникает вопрос об исследовании ДС как диофантова уравнения относительно кратностей периодов |а/-|, к = 1,... , s. Нужно доказать существование физических (безразмерных) параметров задачи, для которых ДС удовлетворялось бы при некоторых значениях целых кратных периодов, т. е. определить возможные порядки п = dimN вырождения оператора В — Д(Ао).
По теореме о наследовании групповой симметрии задачи определения разветвляющихся решений соответствующее УР 0 = /(£, е) : Еп —> —> Em (е = А — Aq, (n, т) — d-характеристика нетеровой точки оператор-функции В — Д(А,), N = зрап{<Д1,..., <д„} — подпространство нулей, £ = (£j,... ,£п) — координаты разложения N Э <р = £i<Pi, а N* — span{V’i,..., V'm} — дефектное подпространство) допускает s-na-раметрическую группу вращений SO(2) х ... х 50(2), гомоморфную непрерывной группе сдвигов Gj/a) и дискретную группу вращений-отражений G1, определяемую векторами 1г (элементами <дг), т. е.
/(Ае,Е) = аде,£),	(з)
где -4g — представление группы G в Еп, контрагредиентное к представлению в ./V, a 23g — ее представление в N*. Аналогичная картина возникает при действии группы Вд в 7V*: базисные элементы нумеруются векторами решетки К', обратной к решетке периодичности К, объемлемой или совпадающей с решеткой Л. Уравнения системы разветвления (2) переходят друг в друга при действии подстановок номеров кст. Поэтому при построении УР достаточно выписать уравнения, отвечающие векторам, порождающим траектории в множестве {кст}™. Подстановки Вд, сохраняющие номер некоторого уравнения, дают соотношения симметрии (равенства) между его коэффициентами одного порядка.
Всюду далее рассматривается Фредгольмов случай т = п. Тогда системы векторов {lj}7 и {kCT}jl находятся во взаимно однозначном соответствии и без ограничения общности можно считать, что они одинаково упорядочены, т. е. lj = kj и Ад = Вд. Линейные части уравнений	= 0 имеют вид	поэтому из леммы Шура следует
неприводимость относительно G = Gi х G1 подпространств в N (2V*), отвечающих траекториям различных порождающих элементов в множестве {Ij}". Если при действии G1 базис в N порождается одним элементом то оно неприводимо относительно G и все a-fte) равны. Если же таких порождающих векторов 1 несколько, то N оказывается неприводимым и в УР более одной группы уравнений с равными Поскольку во фредгольмовом случае мы считаем, что Вд = Ад, при построении УР достаточно выписать уравнения с номерами векторов 1;, порождающих траектории в множестве векторов {Г,}". Остальные уравнения определяются подстановками группы G1. Подстановки, сохраняющие номер некоторого уравнения, дают соотношения симметрии его коэффициентов.
Замечание 1. Следует различать скалярный и векторный (элементы N — скалярные (векторные) функции) случаи. В первом инвариантность УР относительно отражений и комплексного сопряжения приводит к тому, что коэффициенты УР оказываются вещественными. В векторном случае они, вообще говоря, комплексные (чисто мнимые).
Группа Сселяется подгруппой G, относительно нее 2V может быть приводимо, даже если оно неприводимо относительно G. Если Н — подгруппа G1, подпространство //-инвариантных элементов в N (векторов в Еп) определяется с помощью проекционного оператора Р(Н) = =	Ад- Схема построения УР решений, инвариантных отно-
сительно подгрупп и теорем существования таких решений изложена в [1, 5, 6]. Для построения решений инвариантных относительно нормальных делителей G1, нужно перейти в N к базису неприводимых относительно G1 инвариантных подпространств. Поскольку нормальные делители составлены из классов сопряженных элементов G1, это приводит к выделению из УР в новом базисе подсистем, группы инвариантности которых совпадают со всеми нормальными делителями G1.
Достаточно в УР в новом базисе считать отличными от нуля только те неизвестные, которые отвечают соответствующим классам сопряженных элементов в G1. Изложенная общая схема применялась нами к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла [5, 12-15], в теории капиллярно-гравитационных поверхностных волн [5, 6, 15-21], к уравнению Монжа-Ампера на двумерном плоском торе [22], периодическим решениям нелинейно возмущенного уравнения Гельмгольца [23]. Для упрощения изложения более подробно мы остановимся на задаче [23], технически значительно более сложные остальные задачи будут представлены схематично.
Замечание 2. 1°. Нелинейные дифференциальные (и интегральные) уравнения указанных задач могут быть выписаны и исследованы в Rs теми же методами, хотя, возможно, они и не имеют здесь физического смысла.
2°. Общая схема построения и исследования УР бифуркации Андронова-Хопфа для задач о нарушении симметрии изложена в [1].
3°. Устойчивость разветвляющихся решений относительно возмущений тех же периодов может быть исследована методами [24], в частности это выполнено для задачи о рельефе магнитной жидкости под воздействием вертикально направленного магнитного поля в [19] и для задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном для 4-мерного вырождения оператора В [25] (для флотирующей жидкости соответствующее эволюционное уравнение имеет нефредгольмов оператор при производной).
2. Задача о кристаллизации в физике фазовых переходов
В качестве иллюстрации изложенных методов построения УР в скалярном случае рассмотрена [5, 11-14] задача о кристаллизации жидко-
го фазового состояния в статистической теории кристалла. Она сводится в [26, 27] «расцеплением» цепочки уравнений Н. Н. Боголюбова [28], получаемым на основе уравнения, связывающего простую и бинарную плотности распределения частиц. В результате возникает нелинейное интегральное уравнение типа Гаммерштейна (или система уравнений в случае сложных решеток) с трехкратными интегралами по R2 3 * и ядром, зависящим от модуля разности аргументов, определяемым парным потенциалом взаимодействия частиц. Это интегральное уравнение выписано (в двух видах) в [5, 11] и для произвольной простой решетки получен «критерий кристаллизации» — дисперсионное соотношение, определяющее бифуркацию.
В [5, 11-14] подробно изложено исследование случая симметрии простой кубической решетки. Размерность N\B) оказывается равной числу представлений натурального s в виде суммы трех квадратов. Общая формула числа таких представлений натурального s приведена в [29, гл. 4, п. 16]. Группа симметрии куба О/, состоит из 48 элементов. Поэтому в случае единственного порождающего элемента в N(B') значения п = dim./V(.B) (размерности УР) являются делителями порядка
|0/;| = 48 группы куба, т. е. п может быть равно 6, 8, 12, 24 и 48. Если имеется более одного порождающего элемента в N(B), то п может быть равно суммам некоторых из этих делителей. Например, встречаются значения п = 6 + 24,24 + 48, а суммы первых трех делителей из двух слагаемых невозможны. Числа вида 4fc(8m-|-7) не допускают представления в виде суммы трех квадратов [29]. В случаях п = 6,12 и 8 возникают укладки R3 ячейками, имеющими соответственно формы октаэдра, кубооктаэдра и куба (тела Платона). На основе изложенной теории выписаны главные части систем разветвления при п = 6, 8,12, 24,48 и п = 6 + 24 = 30 и построена асимптотика разветвляющихся решений для п = 6,8,12, соответственно УР и асимптотика решений, инвариантных относительно нормальных делителей Oh- При п = 6, 8 и 12 установлена потенциальность главной части УР. Редукция УР проводилась на основе результатов, изложенных в [1, 5, 6].
Отсылая читателя к монографии [5], где выполнено исследование главной части УР и построена асимптотика разветвляющихся решений (в том числе решений инвариантных относительно нормальных делителей Oh) при ns — 6,12,8, изложим здесь только построение общего вида УР для указанных случаев
В подпространстве N(B) выбирается базис <pj =	= 1,...,тг,
q=(rr,y,z), где 1? =	+ т^вз (m/Р — целые числа)
вектор обратной решетки, s = |1Д =	+ тп^1 . Тогда ns =
= dim./V(.Bs) равно числу представлений целого s в виде суммы трех квадратов. Принято соглашение о нумерации: если вектору 1 отвечает нечетный номер, то вектору —1 ставится в соответствие последующий четный номер. Следствием этого соглашения и вещественности УР являются равенства 4гА:(£,е') = ^2А:-1(£, £)•
Таким образом, решается задача построения общего вида УР по группе А(а) = diagfe^11 ..., е^1гг’“^}, индуцированной в N(B) трехмерными сдвигами Lau(x,y, z) = и(х + ai,y + a2,z + аз), оставляющими инвариантным соответствующее пространство периодических функций, и группе симметрии элементарной ячейки По- Для простоты изложения будем проводить построение вещественных УР в комплексных переменных ^2fc-i, ^2fc — Gt-i> к = 1, . . . , ns/2.
В силу инвариантности вещественного УР относительно отражения коэффициенты УР вещественны (см. замечание 1). Порожденные векторами lj представления группы Oh подстановками в координатах £ и т для ns = 6,8,12,24,48, а также таблица умножения в группе Oh выписаны в [5, 11-14].
А. При s = 1, ns = 6 имеем ht-i = 2?re2k, к = 1,2,3, УР в переменных £ допускает группы вращений [2к — 1,2к] —> а^, к = 1,2,3, и группу подстановок номеров вершин октаэдра
(3,5,4,6),Ci2) = (1,6, 2, 5),
cf2) (1, 3, 3,4), Д = (1, 2)(3, 4)(5, 6),...
Базис алгебры Ли группы вращений имеет вид (£) = (—£!, £2,0,0,0,0), Х2(е) = (0,0, -6,^4,0,0), ад) = (О,о,о,о-£5,&), F„(f) = ад), и = 1, 2, 3; г, = 3.
Система дифференциальных уравнений
+ Р = 1’2’3’ (4) usi uJj
определяет базисные инварианты Д = ^-, fc = 1,..., 6; I^+j =	=
=	— J = 2, 3.
Согласно общей теории получаем УР вида (ср7^ — коэффициенты j-ro уравнения при мономе £р)
Л(е, А) ее со(А)6 + £ С^Р2РЗ(ХМШРЧШРЧШРЗ = О, |р|=1
/3(е, а) = с13)л(е, а) = о, /5(е, а)	с™3 ж, а) = о,
/2j.^,A) = /2j_1(e,A) = 0,
или, в переменных г,
t!(г, А) = Со(А)Т1 + 22 41Р2РЗ<Л)Т1 (т12 + т2 Г (гз + Т12)Р2 (.15 + Тв )РЗ = О, |р|=1
оо
t2(r, А) = Со(А)т2 + 22 Срхргрз (Л)т2(л2 + r22)P1 (r32 + т42)Р2 (Т5 + т6 = О, 1р| = 1
t3(г, А) = C^ti(т, А) - 0,	t4(т, А) ее ci3)t2(т, А) = О,
t5(r, А) ее Cf :'Ч (г, А) = 0,	t6(r, А) ее Cp)3t2(r, А) = О,
где С^2)(т) = (т5, -т6,тз,т4,Т1,т2), С^3)(т) = (t3,t4,ti,-t2,t5,T6). При этом инвариантность УР относительно группы подстановок вершин октаэдра приводит к следующим соотношениям симметрии коэффициентов УР
с(1)	= с(1)	= с(3)	= (5)	(3)	= (3)	= (5)
Р1Р2РЗ Р1РЗР2 Р2Р1РЗ РЗР2Р1’	Р1Р2РЗ РЗР2Р1 Р1РЗР2’
с(5)	_ _(5)	(2k) _ c(2fc-l) L _	2 о
СР1Р2РЗ СР2Р1РЗ’ СР ~ СР ’	«- — 1,^,0.
В. При з = 2, па = 12,
li = 2?r(ei + е2),	13 = 2?r(ei - е2),	15 = 2?r(ei + е3),
17 = 2тг(е! - е3),	19 = 2тг(е2 + е3),	1ц = 2тг(е2 - е3),
hfc = —hfc-ii
получаем покрытие R3 кубооктаэдрами. Допускаемая УР группа состоит из вращений [1,2] —» (оц + а2), [3,4] —» (од — а2), [5,6] —» (оц + аз),
[7,8] —> (ai —аз), [9,10] —» (аг +аз), [11,12] —> (аг —аз), и подстановок
С^1’ = (1,5,3,7)(2,6,4,8)(9,12,10,11),
= (1,11,4,9)(2,12,3,10)(5,7,6,8),
с'3) (1,4,2,3)(5,9,8,12)(6,10,7,11), 1 (1,2)... (11,12), ...
Базис алгебры Ли, отвечающей выписанным вращениям, имеет вид
Xi = (—£1, £г, —£з,£4, —£5,£б, ~Ст, Св, 0,0,0,0),
%2 = (-£1, £2, £з, — £4, 0,0,0,0, —£9, £щ, —£11, £12),
Х3 = (0,0,0,0, -£5,£б, £7, — Св, —£э, £ю, £и, -£12),
г, = 3, для записи векторов Fv, и = 1, 2,3, следует заменить в Х„ символы £ на /. Тогда базисные инварианты, определяемые системой (4), следующие
Ik — ^, k = 1, . . . ,12;	712+J = C2j-lC2j = C2j-lC2j-l> j = l,--.,6.
Оставшиеся три инварианта из системы 2п — г* = 21 функционально независимых следует подобрать в виде мономов наименьшей степени по £, в данном случае третьей степени. Всюду ниже для сокращения записи мономов будем опускать символ £, оставляя только индексы, например £1£б£12 — [1, 6,12]. Нетрудно проверить, что такими решениями системы (4) являются восемь мономов третьей степени (выписаны попарно комплексно сопряженные инварианты)
[1,6,12], [2,5,11]; [1,8,10], [2,7,9]; [3,6,9], [4,5,10]; [3,8,11], [4,7,12].
(5) Соотношения
2,7,9][4,5,10] = [1,2][5,6][9,10][4,7,12],
[1,6,12][4,5,10][3,8,11] = [3,4][5,6][11,12][1,8,10],
[3,8,11] [2,7,9] [4,5,10] = [3,4] [7,8] [9,10] [2,5,11],
[3,8,11] [2,7,9] [1,6,12] = [1,2] [7,8] [11,12] [3,6,9],
[1,6,12][2,7,9' [3,8,11][4,5,10] = [1,2]... [11,12] = Лз/ыЛзАбЛтЛв
(6) показывают, что тремя искомыми инвариантами являются, например, 719 = [1,6,12], 7го = [2,7,9], 1ц = [3,8,11]. Из инвариантности УР Л(£) = 72rfjT\C) = 0 (/Jr^ — однородные формы r-й степени) относительно вращений следует правило для определения мономов ?'-й степени первого уравнения системы разветвления
h = Ui + • • • + 1/сг*	(7)
В то же время для инвариантов (5) имеем 11 + 1б + 112 — 0,... Поэтому правило (7) будет выполнено для степеней инвариантов (5), умноженных на £1= £1(£1£е£12)91(£2£5£п)'72 • • • (£4£7£12)’8- Согласно общей теории, непрерывное УР записывается в виде fj = £j$j(7i3> • • •, 7ig, 719,
/2о, Gi) = 0, j = 1,..., 12. В силу аналитичности УР и соотношений (6) использование всех степеней инвариантов Цд, Igo, /21 приведет к повторению или пропуску слагаемых в разложении УР по степеням Поэтому первое уравнение системы разветвления следует записать в виде
£ 41o),g/e1e2)pi...(enei2)P6 х Ра,Я/3
х [£1(£1£б£12)91	(£з£8£и)’3= 0, (8)
где символ [.. .]out означает, что согласно соотношениям (6), в выражении внутри скобки отброшены сомножители вида (£2fc-i£2fc) и под знаком суммы из всех слагаемых, для которых q\ = q2 = qs = 44', Ра, сохраняется только одно при дд = 0,ра, т. е. выражение внутри скобки профакторизовано по соотношениям (6). Явный вид УР с раскрытием символа [.. .]out содержится в [13, 14] и здесь не приводится ввиду громоздкости. Остальные уравнения найдутся из условия групповой симметрии УР относительно подстановок соответствующего представления группы Oh
fj (£, А) = Pj_гП(£, Л) = 0, j = 2,3,..., 12,
где pi =	, р2 = 1 о , р3 = С^\р4 = р5 = и58 = С^3) о
О С?)3, р6 = С^\р7 = с'4)23о р8 = С™\ pg = u38 = Cf2o с*\ Рю = Ри — и15 =	°	. Соотношения симметрии коэффи-
циентов УР определяются на основе подстановок, сохраняющих номер определенного уравнения.
С. При з = 3, п3 - 8
11 = 2?r(ei + е2 + е3),	13 = 2тг(—ei + е2 + е3),
Is = 2тг(в1 — е2 + е3), I7 = 2?r(ei + е2 — е3), e2t = — е2&_1,
получаем покрытие R3 кубами. УР инвариантно относительно вращений
[1,2] —> (ai + а2 + а3),	[3,4] —> (-од +а2+ аз),
[5,6] -> (ai - а2 + а3),	[7,8] -> (а! + а2 - а3)
и подстановок = (1,5,4,7)(2,6,3,8),	= (1,7,6,3)(2,8,5,4),
с£3) = (1,3,8,5)(7,6,2,4), I = (1,2)(3,4)... (7,8),...
Выписывая базис алгебры Ли, соответствующий указанным вращениям,
AG = (—£1, £2, £з, -£4, -£5,£б, -£7,£в),
Х2 = (~£1, £2, —£з, £4, £5, —£б, -£7, £s),
Х3 = (-£1, £2, -£з, £4, -£5, £б, £7, -£в),
г* = 3 (векторы F» записываются аналогично), находим систему инвариантов
1к = ^, £ =	,8; I8+j = &-1Ьц, j = l,...,4;
Лз = £161£б£8,	114 = ^2^3^5^7,
где I13I14 = /эЛо-ЛдЛг- Следовательно, УР запишется в виде
л(е, а) = соб + £ cPQ,w(A)(6e2)pi... ы8г х Ра,40
х [б(6£4£б£8)91(£2£з£5&)92]ои‘ = Cl £ cpo(A)(ei6)pl • • • (ШР4 + |р|>0
+	£ cP=fc(A)(£l£2)P1 • • • (^8)P4^2-1(^3^5^7)fc +
pa;k>0
+ £ <fc(A)(66)P1	= 0,
pQ;fc>0
Л(е,А)^р,_1/1(е,л) = о, j = 2,...,8,
где
Pl = «45 = Cf)3 О с'1)2, Р2 = С^\ РЗ = С^2, Р4 = С^}\
Р5 = С^\	p6=IoC^2, P7=ZoU17=ZoCi3)oCl1)2.
Соотношения симметрии между коэффициентами УР выписываются на основе подстановок, сохраняющих номер определенного уравнения.
Замечание 3. Построение общего вида УР в двух возможных реализациях случая пэ — 24 выполнено в [13, 14]. Вырождение порядка ns = 48 рассмотрено в [14]. Здесь имеется 16 инвариантных мономов третьей степени и 180 инвариантных мономов четвертой степени, в [14] на основе полученных связей между ними выделено 21 функционально независимых мономов.
3. Капиллярно-гравитационные волны в пространстве
Задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости восходят к знаменитым работам А. И. Некрасова [30, 31], Т. Леви-Чи-виты [32], Д. Стройка [33] и Н.Е. Кочина [34], в которых рассмотрены плоские задачи. В работе [34] методами [30, 31] исследована задача о волне на границе раздела двух жидкостей, более сложная технически. В работах [35, 36] также методами интегральных уравнений рассмотрена задача о волнах на поверхности флотирующей жидкости. Нами в цикле работ [15-22] рассмотрены соответствующие пространственные задачи непосредственно по описывающей явление системе дифференциальных уравнений со свободной границей. Поскольку эти задачи
являются типичными задачами теории ветвления о нарушении симметрии, применялись методы группового анализа [2], изложенные в [1, 6].
А.	Определяются периодические с периодами	по х и у по-
тенциальные течения флотирующей тяжелой капиллярной жидкости в пространственном слое со свободной верхней границей f(x, у), близкой к горизонтальной плоскости z = 0, ответвляющиеся от основного движения с постоянной скоростью V в направлении оси Ох. Потенциал скорости имеет вид <^(т, у, z) = Ут-|-Ф(т, у, z), h — толщина слоя, а — коэффициент поверхностного натяжения, р — плотность несущей жидкости,
ро — поверхностная плотность флотируемого вещества, д — ускорение свободного падения. Описывающая ответвляющиеся течения система дифференциальных уравнений в безразмерных переменных (fc =
F =	— величина, обратная числу Фруда, 7 = -	— число Бонда)
записывается в виде
ДФ = 0, —1 < z < f(x,y);
дФ
-^(х,у,-1)=0
(условие непротекания на дне z = —1);
дФ dz
df	дФ df дФ df
дх	ох дх оу оу
при z = /(т,у);
к

,_______ F2
л/1 +1 v/12 L
у
+ (-v/v„+A)
\	oz J \ дх
d
+ dy\^+f2x+fl
= const при Z - /(т, у)
(интеграл Бернулли для флотирующей жидкости [36]).
Система инвариантна относительно двумерной группы сдвигов Lpg(x, у) = д(х + /31, у + /З2) и отражений
si : х —> — х, Ф(т,у, z) —> —Ф(—т, у, z), f(x, у) —> /(— х, у), S2 : У -> -У, Ф(т,у,г)-> Ф(т,-y,z), /(х, у) -> f(x, -у).
Выполняя распрямляющую свободную границу замену переменных С = = 1= w(x,y,C) и полагая F2 = = F^„ + е, где Fmn — критическое значение числа Фруда, получаем
эквивалентную систему
Au = w(0,(u,/), -1 < С < 0;	у,-1) = 0;
= w(1)(u,/) при С = 0;	(9)
OQ ОХ
? +	+ F™nf ~	= w(2) (u> f>е) при = °’
OX OXOQ
w^(u,f) — малые нелинейности, j = 0,1,2. Система (9) записывается в виде нелинейного функционального уравнения ВХ = R(X,e), 7?(0,е) = 0, X = (и, У) — задачи о точках бифуркации с линейным фредгольмовым [37] оператором
В = Втп: С2+“(П0 х [0,1]) + С2+“(По)
- С“(П0 х [0,1]) + С“(П0) + С“(П0),
0 < а < 1, где По — прямоугольник периодов в плоскости х, у со сторонами ai = и Ь] -
Метод Фурье, примененный к линеаризованной системе (9), дает для некоторых пар целых чисел	дисперсионное соотношение
9 9 (	^11 Sm .п .	\	9	«
т?а ---------— + fc I = F2(l +
\	Sil Smj-nj /
s] = s^nj = m2a2 + n2b2, F2 = F2
(Ю)
при выполнении которого подпространство нулей N(B) = span{y?i,... ...,	= {$fc, fk}, оператора В имеет базис
- ^{vi,(C),-w2}ei(^oa:-^^ =	= |K(C),-w2}ei(13-4),
vij(C) =
m.ja\/ab ch[s5 (C + 1)] TtSj sh Sj
vab iiii
V2 = -, l2j = — llj,	14j = —4j.
7Г
Здесь j — номер решетки периодичности Л, принято прежнее соглашение о нумерации векторов 1 обратной решетки Л'. Если rij 0, мы имеем двумерную обратную решетку, если n.j = 0 — одномерную. Требование эллиптичности равенства Бернулли в сочетании со вторым дифференциальным соотношением на границе приводит к ограничению на безразмерные параметры к < yF^ (или h > ^>0^nn
Исследование дисперсионного соотношения (10) показывает [15,16], что возможны: двукратное вырождение, четырехкратное (взаимодей
ствие двух вырожденных решеток, или одна прямоугольная), 6-крат-ное (неправильный гексагон), 8-, 10- и 12-кратное вырождения фред-гольмова оператора В. Правильная гексагональная решетка невозможна, невозможно также взаимодействие трех вырожденных решеток и решения с симметрией тройного прямоугольника (квадрата). Существуют решения с симметрией двойного прямоугольника и, в частности, двойного квадрата, решения с симметрией 3-кратного прямоугольника и, в частности, 3-кратного квадрата. Доказано существование решений с симметрией двойного прямоугольника и одной больших размеров вырожденной решетки [16]. Во всех случаях вырождения методами группового .анализа строится и исследуется УР, выписана асимптотика разветвляющихся решений.
Замечание 4. При к = 0 полученные результаты согласуются с найденными в [17] в случае 4-мерного вырождения с одной решеткой периодичности, в случаях неправильной гексагональной симметрии и трех решеток, две из которых вырождены.
В.	В [20, 21] теми же методами исследована пространственная задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, возникшая из геофизических приложений [34, 38, 39].
Рассматриваются потенциальные течения двух несмешивающихся жидкостей с плотностями pi и р2, ответвляющиеся от течений с постоянными скоростями Vj и Уг в направлении оси Ох, описываемые следующей системой в безразмерных переменных
ДФг = 0,
/(я;, у);
ЭФ,- _ dz
ЭФ1 г ЭФ2 ------—
ох ох
ДФ2 ЭФ2 dz
ЭФ! dz
dx dx dx
+ ^1^7Ф1|2 — ^1^Ф2|2 — (1 — fc0)F2/—
A V g
\/i + A + A2/ Mx/i + A+y2
= 0;
z= — 1
= 0; z=k
ЭФ, df dy dy'
=	7 = 1,2;
= const, г = У(т,у).
Здесь $j(x,y,z) = —VjX + ip(x, у, z) — потенциалы скоростей жидкостей, z = f(z,y) поверхность раздела жидкостей, близкая к горизон-
тальной плоскости z — 0, к = т2-, ко = ко = v&ko, F =	— ве-
z
у
личина, обратная числу Фруда, 7 = —-------число Бонда и д — уско-
pi/iiP
рение поля тяготения.
Разыскиваются периодические решения с периодами ai = и by = = по х и у, По — прямоугольник периодичности. Случай к =	= 1
требует отдельного исследования.
С.	В работе [18] исследована задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности бесконечного цилиндра с силой тяготения к его
оси, в работе [21] на той же поверхности — задача о волнах на границе раздела двух жидкостей.
D.	В статьях [40, 41] рассмотрена задача о периодическом рельефе слоя феррожидкости бесконечной глубины при воздействии магнитного поля, имеющая приложения в космонавтике [42]. В диссертации [19] эта задача исследована в предположении конечной глубины слоя.
Слой феррожидкости, ограниченный снизу ровным дном и сверху вакуумом, подвержен воздействию вертикально направленного магнитного поля напряженности Н. При достижении критического значения Н на верхней границе феррожидкости появляется двоякопериодический рельеф, подлежащий определению вместе с магнитными потенциалами сред. Феррожидкость предполагается несжимаемой, имеющей конечную глубину h, изотропной и свободной от внешних токов. В безразмерных переменных эта задача описывается системой
—ДФ = 0,	< z < 1;
-Ду? - 0, -1 < z </(т,у);
- 7/ - | [I^(Ф +	- М V(y> + Я<] +
/ ЭФ \	/ dtp \
+ ( —+МяМФ+МЯг)-п-4^+Я17(у> + Яг)-п-
- |д(д - 1)Я2 + f V,	= 0, z = f(x,y);
2	V х/1 + IV/l2 /
Ф — у? + (д — 1)Яг = 0, z =	7(Ф-МУ’)-п = 0, z = f(x, у).
Здесь Ф и у? — магнитные потенциалы верхней и нижней сред, f(x, у) — свободная граница, близкая к горизонтальной плоскости z = 0, п— нормаль к этой границе, yzo - магнитная постоянная, р — магнитная проницаемость феррожидкости, у =	; 5р — разность плотностей
сред, д — ускорение поля тяготения, а — коэффициент поверхностного натяжения.
Ставится задача построения периодических решений с периодами ai = и bi = по осям координат, По — прямоугольник периодов.
После распрямления свободной границы С — — zf' полагая Я = Яо+е
(Яо — критическое значение Я), получаем нелинейную систему, линейная часть которой представляет собой Фредгольмов [37] оператор
В: С2+“(П0 х [1,0]) + С2+“(П0 х [-1,0]) + С2+“(П0)
-» С“(П0 х [1,0]) + С“(П0 х [-1,0]) + С“(П0), 0 < а < 1.
Точка бифуркации Hq определяется дисперсионным соотношением
М(М — 1) rr2Shsmn	2	2	„2 2 , „2> 2
—, I ~Яо-Т-— = 7 + smn, зтп=т а +п Ь .
А4 । 1 сн ^тп
Его исследование показывает [19], что возможны: двукратное вырождение (валики), четырехкратное (взаимодействие двух вырожденных решеток или одна прямоугольная), 6-кратное (гексагональная решетка), 8-кратное (взаимодействие прямоугольных решеток), 10-кратное (взаимодействие прямоугольной и гексагональной решеток) и 12-кратное (двойной гексагон — четыре решетки периодичности, две из которых вырожденные). Отметим, что решения последнего типа в синергетике еще не определялись. В [19] построена асимптотика перечисленных выше периодических решений и исследована их устойчивость относительно возмущений того же периода.
4. Периодические решения нелинейно возмущенного уравнения Гельмгольца
Определяется [23] асимптотика разветвляющихся периодических решений нелинейных задач на собственные значения вида
.	, о (sinhu)	, s
Ди + А2< .	> = 0.	(11)
( sin и J
В работах [43, 44] рассмотрены приложения этих задач в теории низкотемпературной плазмы, а в [45, 46] к некоторым задачам дифференциальной геометрии.
При не слишком высоких размерностях п вырождения линеаризованного оператора построение УР можно связать с задачей об укладке плоскости элементарными ячейками По с общими граничными точками: прямоугольниками, квадратами, шестиугольниками, треугольниками, ромбами. Принимается прежнее соглашение о нумерации вершин элементарной ячейки. Таким образом, множество решений рассматриваемых задач допускает плоскую кристаллографическую группу G = Gi(ai,ct2) х G1, порожденную группой Т сдвигов tm = т-^а.^ + + тгаг с основными трансляциями ai и аг и группой симметрии G1 элементарной ячейки. Класс соответствующих периодических решений инвариантен относительно двупараметрической группы сдвигов.
А.	Прямоугольная решетка периодичности.
Полагая А = А^п + е, запишем уравнения (11) в виде
Т Лп + е)п3/3! - ...
с условиями периодичности функции и(х+2а, у) = и(х, у), и(х, у+2Ь) = = и(х,у).
Далее всюду верхний знак отвечает функции sinh и (нижний соответственно — sinu). Здесь А^п = тт2(т2/а2 + п2/Ь2), в подпрост
ранстве N(B) удобно выбрать комплекснозначный базис
и принять £ =
УР периодических решений инвариантно относительно групп вращений в плоскостях и £з6ь индуцированных непрерывной группой сдвигов по переменным х и у
\ т ( Г- (ТПОЧ па2 \ 1 Г • (ТПОЧ	па2 \ 1
Д(а1,а2) = diag|exp[wr^—---h -^-Jj,exp^-i7T^ —---h
г /тод 71CK2 М Г /may ехр^(----------^ехр^----------------
а также группы симметрии прямоугольника (элементарной ячейки — решетки периодичности) pi = (12)(34), р2 = (13)(24), рз = (14)(23) и операции комплексного сопряжения.
Матрица коэффициентов инфинитезимальных операторов Xi(£), ^(С) имеет вид
\6	~£з	£4 ) 
Применяя лемму Шмидта [4], вычислим коэффициенты УР cei;i = А2 9	А2
= -(^1,^1) = “I, C2el+e2i0 = ('Р1'Р2,'Рг) = ~	’ Се1+£з + е<;0 =
Д2
= —е1 = (1,0,0,0),..., е4 = (0,0,0,1), остальные коэффициенты
второго и третьего порядков нулевые.
Система разветвления согласно изложенной схеме построения УР определяется по допускаемой группе
= Со(е)6 +	= о,
|Р|^2
Ь(С;е) =pi/i(C;e) = о, /з(С;е) = P2/i(C;e) = о, /4(е;£)=Рз/1(ее) = 0.
Осуществляя редукцию УР в вещественном базисе (£i = Tj + гт2, £2 — Л — гт2, £з = тз+гтд, & = т~з ~ir), положим т2 = 0, Т4 = 0. Главная часть редуцированной системы разветвления
\2 / -j	\	Г \2 /1	\'
_ j_ _тпп /	2|_2]	л	_ । ^тпп I 1 ~2 I ^2 \ п
ri[ 4Д.21 3J] ’ гз[ ^Л2гз+Г1Л =°
позволяет выписать асимптотику семейств разветвляющихся решений
Ui(a:,y;E,a) =  --(^s)1/2 cosтт( —-------- Н---------) + О(|е|),
Лупгг	\	®	0	/
/ х 2\/2 , Ч1/2Г	/ m(i + ai) п(у + а2)\
и2(х,у;Е,а) = —^Ц=(Т£)1/2 cos тт I —i------v 7  	+
AmnV3 L \ а	ь /
+ eos,("<*+»)	+О(|£|).
\ a	b /J
(13) Действительно, все решения редуцированного УР могут быть получены из его решений, порождаемых (13), с помощью циклических групп симметрии, индуцированных комбинациями сдвигов на ±тг/(4та); ±3тг/(4та) по координате хина ±zr/(nb); ±Зл7(4пЬ) по координате у. Замечание 5. При а = Ь получаем квадратную решетку периодичности (По — квадрат). Здесь снова возникают случаи вырождений, связанных с представлениями целого числа в виде суммы двух квадратов. Вид асимптотики разветвляющихся решений определяется взаимодействиями собственных функций, отвечающих различным парам (т, п) нелинейных слагаемых разложения sinh и или sin и.
В.	Гексагональная решетка периодичности.
В случае гексагональной симметрии подпространство N(B) имеет базис
Уз = Рехр ;q)],	q=(z,y),
li = (Н + \/3mj), I3 = [(^ + 3m)i + \/3(-£ + m)j],
Is = ^ [(-£ + 3m)i - \/3(€ + zn)j], l2fc = ~12k-i, fc = 1,2,3
(целые числа t и m одинаковой четности) в соответствии с соглашением о нумерации собственных элементов и векторов обратной решетки.
Полагая Р=1, £ = тп = 1, Д = тг/а, рассмотрим шестикратное вырождение линеаризованного оператора В: С2+“(По х [0,1]) —> (7“(По) в уравнениях (1), (2) с 2а-периодичностью функции u(rr,y) по осям координат. Тогда инвариантность нелинейной задачи относительно непрерывной группы сдвигов индуцирует симметрию УР с матрицей
Ада) = diag{exp[i/3(ai + \/За2)], exp[-i/0(a1 + v/3a2)],exp[i2j0a1],
ехр[—z2/3ai],exp[z/3(a1 — х/Заг )],exp[-z/3(ai - ч/3а2)]} (14) и относительно дискретной группы симметрии De элементарной ячейки По- Диэдральная группа Dg порождена подстановками номеров вершин (векторов lj) шестиугольника По:
т = (135246) — поворот По по часовой стрелке на угол тг/З,
s = (15)(26)(3)(4) — отражение По относительно оси Ох.
Выпишем матрицу коэффициентов инфинитезимальных операторов у = 1: 2, &к = Gfe-1
<6 -6 2£з -2& е5 о о &) •
Общий ранг г, = 2, система уравнений [Хр(^) + Хр(/)]!(£,/) = О, v = 1,2 имеет 12 — г* = 10 функционально независимых решений Ij = &•> J' = 1, • • • ,6, Ь = ^1^2, Is = Сзбь 1э = СбСб, ho = СгСзСб-
При построении аналитического УР возникают затруднения, связанные с невозможностью представления некоторых мономов от £ в виде степеней инвариантов I7,... ,1щ. Вводится дополнительный инвариант 1ц =	с последующей факторизацией (обозначение [.. .]out)
разложения УР (9) по степеням инвариантов на основе связи 1ю(£) •
Достаточно выписать только первое уравнение системы разветвления, остальные найдутся из условия симметрии УР относительно группы подстановок Ds
Ш£) =	х
Р,<7
х к1(6Ш91(£1£4£5)92]ои‘ =	+
р
+ £	=0,
p;fc^l
Л(С;£) =r3fi^,£) = о,	/з(С;е) = 5г/1(^;е) = о,
/4(е;£) = г*П(£,е) = 0,	fs^-Е) = г2Л(£;е) = 0,
/б(С;е) = ST3 f !<£,£) = 0.
Подстановки, сохраняющие номер уравнения, дают соотношения симметрии (равенства) коэффициентов УР. Уравнения (11) вещественны, поэтому УР инвариантно относительно комплексного сопряжения /2fc(C,e) — /2k-i(Ci£)- Вместе с симметрией отражения s это дает вещественность коэффициентов ap;k, Ьр;ь
Главная часть УР имеет вид
Ge +	+ В£1£з£4 +	+ СС1С2С3С6 + СС1С4С5 + • • • = 0,
Сг£ + ^2^1 + В£2£з£4	+	В&^б + СС1С2С4С5	+	+  .	=	0,
Сз£ + -4^4 + В^1^2^3	+	ВСзСзСе + ^3?4^1^5	+	+ • • •	=	0,
£4е + Л£2£з + B^i^2^4 +	+ ... = 0,
Cs£ + А(^£б + ВС5С3С4	+	В^у^2 + СЪ&СбСб	+ CCs^Ci + • • •	=	0,
Сб£ + ДСбСб + В£б£з£4	+	+ ССб^5С4С1	+	+  • •	=	0,
(16)
где А = ±А2/2, В = ±Aq, Aq = 4тг2/а2.
Выполняя редукцию УР в вещественном базисе (£1д = гд ± ?Т2, £з14 = тз ± ZT4, Сб,б = т~5 ± *тб)> положим т2 = 0 = т4. Преобразуя редуцированное УР, приходим к системе
(п + тз)[е + Л(т1 - ПП + rj) + Втгтз + В(т% + т|)] = О,
(ti - т3)[е + А(т% + птз + т2) - Вт^тз + В(т1 + т£)] = О, (т5 ± т6)[е + л(т52 + т1) + В(Т!2 + т32)] = 0.
Ее исследование дает решения
т5
Т =	. (те)1
2(А2 + АВ- 2В2)) А0У5 ’
/ е \1/2	г/2
Г1 = ±(-7+в) = ±Гл'(те)1/2’ Тз = 0, \ А о /	Aqv3
22 е 2s
4 +Гб =~~А + В =ТЗА2’
Соответственно асимптотика семейств разветвляющихся решений имеет вид
ui(z,y;s,a) = -	(те)1/2 (\/2cos-((z + од) + \/3(у + а2)) +
V5Ao \ а
2тг(г + од)	7Г..	,	..
+ cos------------ + cos — ((г + од) - v3(y + аг)) —
а	а
- sin ^((z + ад) - V*3(y + а2))) + 0(H).
и2(х,у\Е,а) = Д=|-(те)1/2(соз - ((z + ад) + \/3(у + 012)) + уЗАо	' а
+ cos ^((z + ад) - Уз(у + а2))) + О(|е|)
при Тб — 0.
При этом верхние знаки перед е отвечают уравнению Ди + + A2 sinh и = 0, нижние — уравнению Ди + A2 sin и = 0, соответственно определяется знак е и тип ветвления.
Замечание 6. В случае гексагональной решетки базис в N(B) выбирается в соответствии с определяющим бифуркацию соотношением + 3m2 =	(.У — целое число), где целые числа t и m одинаковой
четности. Размерность подпространства N(B) (размерность УР) определяется числом представлений целого N в виде £2 + 3m2.
Возможны более высокие вырождения оператора В: n = dim N(B) = = 12,18,; например, для N — 28 можно взять 12 значений пары (£, т): (±1; ±3), (±4; ±2), (±5; ±1). Мы не приводим здесь вид соответствующих УР и асимптотики решений.
С. Решения, инвариантные относительно нормальных делителей De в случае гексагональной решетки периодичности.
Для построения соответствующих УР следует согласно [47, 48, 5] перейти в подпространстве N(B) к базису {е^}" неприводимых относительно De инвариантных подпространств. Тогда из УР выделяются [5] подсистемы, группы инвариантности которых совпадают со всеми нормальными делителями De- Используются методы теории характеров дискретных групп [49].
Лемма 1. Пусть в случае гексагональной симметрии п = 6 группа симметрии УР задана формулами (11), (15). Тогда N(В) разлагается в прямую сумму двух одномерных и двух двумерных инвариантных подпространств с базисными элементами:

ci =
1 /
—7=(<Р1 + Р2 + рз + Ра + Рз + Рв) — V о
2тт
cos —х + cos а


62 =
ез =
г
—2=(^i — Р2 — Рз У Ра У Рз — Ре) =
VO
V2 /	. тт , г- .	. 2тт
= —= — sin — (х + v Зу) + sin —х — т/З \ а	' а
7^(<Р1 - Р2 + 2(^3 - 2</>4 + <р5 - <р6) =
sin — а
+ sin.-
е4 =
65 =

^•(-</>1 +у?2 +<^5 - ^б) = sin — (т + х^Зу) —sin — (т —\/Зу), 2	а	а
+Р2- 2р3 ~ 2р4 + ре + у>б) =
66 =
= —^cos — (х + \/Зу) — 2 cos-1- cos — (х — \/Зу)),
^(^1 + Р2 - Рз - Ре) =cos-(x + \/Зу) — cos —(а: - \/Зу).
(17) Доказательство. Нормальные делители Nj составлены из классов сопряженных элементов
Мг = {е}, М2 = {г2 = (154)(263), г4 = (145)(236)}, М3 = {sr = (13)(24)(56), sr3 = (16)(25)(34), sr5 = (12)(35)(46)},
М4 = {г3 = (12)(34)(56)}, м5 = {г = (135246), г5 = (164253)}, M6 = {s = (15)(26)(3)(4), sr2 = (1)(2)(36)(45), sr4 = (14)(23)(1)(6)}.
Группа Dg имеет следующие нормальные делители
2V} = Mi + М2, N2 = Mi + “Ь -^61	№ =
N4 = Mi + М2 + М3, N5 = Mi + М2 + M4 + Mg,
поэтому имеем полный набор из шести неприводимых представлений размерностей rij, которые определяются равенством J3j=1n2 =ord Dg = = 12. Отсюда ni = п2 = П3 — п4 = 1, п5 = ns = 2. Выпишем таблицу характеров,
141	1	2	3	1	2	3
Mj	Ml	M2	М3	M4	M5	M6
X(1)	1	1	1	1	1	1
X(2)	1	1	1	-1	-1	-1
x(3)	1	1	-1	1	1	-1
x(4)	1	1	-1	-1	-1	1
x(5)	2	-1	0	—2	1	0
x(6)	2	-1	0	2	-1	0
X	6	0	0	0	0	2
где \Mj| — число сопряженных элементов в классе Mj, х — характер группы Т подстановок (15).
Одномерные представления Ti, Т2, Т3, Т4 совпадают со своими характерами, а двумерные определяются соотношениями:
		/1/2	-^/2 \		'1	0 '
T5 :	r |	^/2	1/2 )'	s 1	^0	-1 ?
		-1/2	-\/3/2 \		/1	0
Tg :	r 1	. ^/2	-1/2 )'	s	\°	-1
Кратности ам неприводимых относительно (14) представлений, определяются по формуле ам = (х, х(м)) = Lj=i	Следова-
тельно, ai = 1, 02 = 0, аз = 0, а4 = 1, ад = 1, ад = 1. Применяя формулы (26.8) и (26.12) [49, с. 76]
=	52 тцЛзУЦд}, j = 1,..., q,
gEG
ek = ^^Tjki(g')T(g')ei, k = 2,...,Sj, v geG
где N = |G|, T(g) — группа подстановок (15), Pj — проектор на j-e неприводимое подпространство в N(B), Tjap — матричная запись j-ro неприводимого представления (а, /3 = 1,2,..., Sj, j = 1,2,, q), Sj — его размерность, получаем искомый базис (17).
Для построения эквивалентного УР в базисе (17) нужно сделать [5] подстановку £ — Ci(, где С{ — матрица перехода от к {е7}®, полученная в лемме, £ = (Ci, Сг, • • • > Се) — координаты вектора ip ё N(B) в базисе {е7}®. Матрица перехода т = CQ найдется тогда по формуле С = C0-1-Ci, где Cq — квазидиагональная матрица с блоками Q . Соответствующие формулы преобразований имеют вид
1 л	1 л 1А
П	+	+ 2Св’
1л	1 л 1л
Т2~	?5& + W5<3“2<4'
(18)
7-4 =	-	+ ~2=Сз,
VO v3
1	.	1 л 1л
rs = 75й	+ iTS*  2 й'
1л 1 л 1л
Т6~	^С2 + ^3Сз+2С4-
Применяя формулу P(Nk) = 'E,geNk Ag/\Nk\, где Ад = diag(Ti,T4, 7s, Тб) ~ квазидиагональные матрицы с блоками Т^-неприводимых представлений, находим для каждого Nk проекторы в переменных (
Pn, = Pn2 = diag(l, 1,0,0,0,0),	Р^3 = diag(l, 0,0,0,1,1),
Pn4 = Pn& = diag(l, 0,0,0,0,0).
Следовательно, решения, инвариантные относительно Ni и N2> получаем, полагая £4 = ... = £6 = 0 или, согласно (18)
М, N2 	Г!=Г3 = Г5, т2 = т4 = т6.	(19)
Для решений, инвариантных относительно Ns, имеем G = Сз = Ct = 0 или
N3 : Ti 0, тз /0, т5 / 0, т2 =т4 =тв = 0.	(20)
Наконец, для N4-, Ns-инвариантных решений С1 0 или
N4, N5 : ti = тз = т5, т2 = т4 = т6 = 0.	(21)
Переходя в (16) к переменным т, выпишем главные части систем разветвления, соответствующих нормальным делителям согласно
(19)-(21). Тогда УР решений, инвариантных относительно нормальных делителей и N%, имеет решения
Ti = 0,	72 =	'	Е У , А + 2В,	V2	А) = ±-^=(Те)'/2; '	АоуО	
72 = 0,	71 = ±(	' £ ' , А + 2В;	J/2	/9 = ±Г?5(Те)‘/2; '	АоуО	(22)
71 / 0,	72 / 0,	т2 _1_ -г2 Г1 + т2	£	2е Л 4" 25	5Aq	
УР решений, инвариантных относительно N3, имеет решения
/ е \1/2	ч/2
Т1=т3 = 0,	т5±(--)	= ±^-(Т£)1/2;
\ Л J	Ао
/ £	-Л
Т1=Т5 = О,	т3±(—- )	=±-j— (=F^)1/2;
\	-^ /	Ад
/	£\1/2	ч/2
Тз=т5 = о, Т!±(-— )	=±—(=F£)1/2;
\	л /	Ао
/	£ \1/2	>/2
Г1 = о, Ы = Ы=(-ет) =^5<^	(“)
/	£ \1/2	ч/2
.3 = 0, W = W=(__)	=^=(^;
/	£ V/2	х/2
Т5=0,	|Т1| = |Тз|=	= --/=(Т£)1/2;
\ -А + £> /	Ао V 3
/	£	\1/2	/£
lT,l=lT3l=w=(-^)
N4-, Ns-инвариантные решения УР имеют вид
/ £ \1/2
’‘ = ”=’‘ = ±(-лТ2в) =±^),/2-	<24>
В формулах (22)-(24) £ < 0 соответствует функции sinh и, £ > 0 соответствует sin и.
Соответствующие (22)-(24) решения уравнений (11) представлены в виде сходящихся рядов по степеням е1/2. Их асимптотика получается в виде линейных комбинаций ТкФк, где невыписанные в (22)-(24) компоненты т> равны нулю, а
<£i=2 cos — (х + \/Зу),	<£г = 2 sin — (х + \/Зу),	<£з = 2 cos-,
CL	О»	CL
<£4 = 2sin^^,	<£5 = 2 cos — (1 — \/3y),	<£б = 2 sin — (т — \/3y).
Замечание 7. 1°. Результаты типа полученных в пунктах В и С установлены также для квадратной и ромбической решеток периодичности.
2°. В [50, 51] рассмотрены плоские задачи о нарушении симметрии, имеющие приложения к капиллярным явлениям.
Список литературы
1.	Логинов Б. В., Треногин В. А. Групповые методы в теории ветвления. — Наст. сб. — С. 89-119.
2.	Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.; New-York: Academic Press, 1992.
3.	Ибрагимов H. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. — 280 с.
4.	Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 524 с.; Leyden: Noordorf Int. Publ., 1974.
5.	Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — Ташкент: Фан, 1985. — 184 с.
6.	Логинов Б. В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия // Вестник Самарского университета. — 1998. — №4 (10). — С. 15-75.
7.	Логинов Б. В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений Rs // Известия АН УзССР. Физ.-мат. н. — 1978. — №3. — С. 20-23.
8.	Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Ч‘ 1. - М.: Наука, 1986. - 760 с.
9.	Китптпель Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — 792 с.
10.	Хейне В. Теория групп в квантовой механике. — М.: ИЛ, 1969. — 522 с.
11.	Логинов Б. В. Применение теории ветвления с групповой инвариантностью при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла // Дифференциальные уравнения и вопросы теории ветвления. — Ташкент: Фан, 1982. — С. 54-91.
12.	Логинов Б. В., Рахметова X. Р., Юлдашев Н. Н. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы) // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. — Ташкент: Фан, 1987. — С. 183-195.
13.	Юлдашев Н. Н. Определение общего вида уравнения разветвления по его группе симметрии: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: Институт математики АН УзССР, 1991. — 140 с.
14.	Юлдашев Н. Н. Построение уравнения разветвления с кристаллографической группой симметрии: Депонированная рукопись № 627-В89. — М.: ВИНИТИ, 1989.- 85 с.
15.	Логинов Б. В. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитационных волнах // СМЖ. — 2001. — Т. 42, №4. — С. 868-887.
16.	Гришина С. А. Ветвление решений системы дифференциальных уравнений, определяющей свободную поверхность флотирующей жидкости: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Ульяновск, 1999. — 114 с.
17.	Loginov В. V., Kuznetsov А. О. Capillary-gravity waves over the flat surface // European J. Meeh. B. Fluids. — 1996. — V. 15, №2. — P. 259-280.
18.	Логинов Б. В., Эргашбаев Т. Многомерное ветвление и задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра // Вопросы вычислительной и прикладной математики. — 1993. — Т. 95. — С. 89-100.
19.	Абдуллаева Ф. Док. Ветвление и устойчивость решений системы дифференциальных уравнений для определения свободной поверхности магнитной жидкости: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: Институт математики АН Узбекистана, 1993. — 82 с.
20.	Логинов Б. В., Трофимов Е. В. Вычисление асимптотики капиллярно-гравитационных волн на границе раздела двух жидкостей // Дифференциальные уравнения математической физики и их приложения. — Ташкент: Фан, 1989. — С. 57-66.
21.	Трофимов Е. В. Ветвление решений нелинейной задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: Институт математики АН Узбекистана, 1993. — 114 с.
22.	Loginov В. V. Group analysis methods for construction and investigation of the bifurcation equation // Applications of Mathematics. — 1992. — V. 37, №4. — P. 241-248.
23.	Логинов Б. В., Коноплева И. В. Симметрия области и задачи о периодических решениях нелинейно возмущенного уравнения Гельмгольца // Журнал средне-волжского матем. общества. — Саранск: Мордовский Университет, 2001. — Т. 2, №2.
24.	Loginov В. V., Rusak Yu.В. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions // Nonlinear Analysis. TMA. — 1991. — V. 17, №3. - P. 219-231.
25.	Ким-Тян Л. P. Об устойчивости разветвляющихся решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном // Узбекский математический журнал. — 1993. —№5.
26.	Тябликов С. В. К вопросу о кристаллизации // ЖЭТФ. — 1947. — Т. 17, №5. - С. 386-389.
27.	Власов А. А. Теория многих частиц. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 348 с.
28.	Боголюбов И. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.-Л.: Гостехиздат, 1946. — 120 с.
29.	Венков Б. А. Введение в элементарную теорию чисел. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1937. — 219 с.
30.	Некрасов А. И. О волнах установившегося вида // Известия Ивановского политехнического института. — 1922. — Т. 6. — С. 155-171.
31.	Некрасов А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. — М.: АН СССР, 1951. — 96 с.
32.	Levi-Civita Т. Determination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie // Mathematische Annallen. — 1925. — V. 93. — P. 264-314.
33.	Struik D. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques dans une canal a profondeur finie // Mathematische Annallen. — 1926. — V. 95. — P. 595-634.
34.	Kochin N. E. Determination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie a la surface de separation de deux liquides de profondeur finie // Mathematische Annallen. — 1928. — V. 98. — P. 582-615.
35.	Габов С. А. О существовании установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости // ЖВМиМФ. — 1988. — Т. 28, №10. - С. 1507-1519.
36.	Габов С. А., Свешников А. Г. Математические задачи динамики флотирующей жидкости // Итоги науки и техники. Математический анализ.
Т. 28. - М.: ВИНИТИ, 1990. - С. 3-86.
37.	Агранович М. С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 1990. - Т. 63. - С. 5-129.
38.	Kochin N. Е. Uber den Einfluss des Bodenprofils auf die Wellen an der Grenzflache von zwei Flussigkeiten verschiedener Dichte // Известия AH СССР. OMEH. Сер. геогр. и геофиз. — 1937. — №3. — С. 357-381.
39.	Кочин Н. Е. О влиянии рельефа Земли на волны на границе раздела двух жидких масс различных плотностей // Труды Главной геофизической обсерватории. — 1937. — Вып. 14. — С. 19-30.
40.	Twombley Е. Е., Thomas J. W. Bifurcation instability of the free surface of a ferrofluid // SIAM J. Math. Anal. — 1983. — V. 14, №4. — P. 736-767.
41.	Silber M., Knobloch E. Pattern selection in ferrofluids // Physica D. — 1988. — V. 30, № 1. - P. 83-98.
42.	Розенцвейг P. Феррогидродинамика. — M.: Мир, 1989. — 360 c.; Rosensweig R. Ferrohydrodynamics. — Cambridge University Press, 1987.
43.	Montgomery D., Joyce G. Statistical mechanics of “negative temperature” states // The Physics of Fluids. — 1974. — V. 17, jV’6. — P. 1139-1145.
44.	McDonald В. E. Numerical Calculation Nonunique Solutions of a Two-Dimentional Sinh-Poisson Equation // J. Comp. Ph. — 1974. — V. 16, №4. - P. 360-374.
45.	Бобенко А. И. Собственные функции краевых задач Дирихле и Неймана на прямоугольнике для эллиптического уравнения синус-Гордон. Записки научных семинаров ЛОМИ // Математические вопросы теории распространения волн. — 1989. — № 179. — С. 32-35.
46.	Wente Н. С. Counterexample to a conjecture of Н. Hopf // Pacific Journ. Math. - 1986. - V. 121, № 1. — P. 193-244.
47.	Владимиров С. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискретной группой симметрии // Дифференциальные уравнения. — 1975. — Т. 12, №7. — С. 1180-1189.
48.	Kochendorfer R. Uber treue irreducible Darstellungen endlicher Gruppen // Mathematische Nachrichten. Bd. 1. — Berlin, 1949.
49.	Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение в физике. — М.: ГИТТЛ, 1958. - 356 с.
50.	Loginov В. V., Petrov К. М. Bifurcation of stationary solutions in problem of Rayleigh-Taylor instability // Univ. Annual. Appl. Math. — 1998. — V. 27, №1.
51.	Loginov В. V., Petrov К. M. Bifurcation problems for the equation div(p(|V/|2V/) + A/) = 0 // Serdica. - 2002. - V. 42. - P. 36-42.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ТИПА ДЛИННЫХ ВОЛН ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
А. А. Белолипецкий, А. М. Тер-Крикоров
Решения типа длинных волн обнаружены для многих нелинейных задач механики и физики, описываемых уравнениями различных типов. В 1844 году английский гидравлик Скотт Рассел [1] экспериментально обнаружил, что на мелкой воде могут распространяться волны в виде одиночного горба. Эти волны были названы им уединенными. Теоретики были озадачены, поскольку эффект уединенной волны не находил объяснения в классической линейной теории поверхностных волн. Буссинеск и Рэлей [1] независимо друг от друга поняли, что феномен уединенной волны нелинейный и построили приближенные уравнения, решениями которых могут быть и уединенные волны. Впоследствии было установлено, что уравнения Буссинеска и Рэлея имеют периодические решения, выражающиеся в эллиптических функциях Якоби, и эти решения вырождаются в уединенные волны (солитоны) при длине волны, стремящейся к бесконечности.
Первое доказательство существования решений типа уединенной волны для точных уравнений гидродинамики было дано М. А. Лаврентьевым [2], использовавшим развитые им же вариационные методы теории конформных отображений. Доказательство теоремы существования и единственности уединенной волны, данное К. О. Фридрихсом и Д. Г. Хайерсом [3], было уже основано на использовании асимптотических методов малого параметра и методов функционального анализа. В статье А. М. Тер-Крикорова [4] теорема Фридрихса и Хайерса была обобщена для доказательства существования периодических волн, вырождающихся в уединенную при длине волны, стремящейся к бесконечности. В статьях [5, 6] А. М. Тер-Крикоровым была развита теория длинных волн в стратифицированной жидкости, вырождающихся в уединенную волну. Были построены асимптотические ряды по дробным степеням малого параметра и доказано существование точного решения, для которого эти ряды являются асимптотическими. Нужно сказать, что по каким именно степеням малого параметра строится асимптотический ряд, зависит от распределения плотности по глубине жидкости. В [6] был подробно исследован наиболее типичный случай. Исчерпывающее исследование было проведено в докторской диссертации А. М. Тер-Крикорова [7]. В работах А. М. Тер-Крикорова и В. А. Треногина [8, 9] были подробно исследованы достаточно
широкие классы граничных задач для квазилинейных уравнений эллиптического типа в полосе, для которых могут существовать периодические решения типа длинных волн. Рассмотренные классы не включают гидродинамические задачи, но методика исследования аналогична. В работах В. А. Треногина [10, 11] и в его докторской диссертации [12] наряду с другими результатами было дано обобщение результатов работ [6] и [7] на случай нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
Еще один цикл работ был посвящен исследованию нелинейных уравнений эволюционного типа, описывающих многие важные процессы в биологии, химии, неравновесной термодинамике, теории самоорганизации сложных систем. Знаменитые уравнения «реакции-диффузии», предложенные впервые А. Н. Колмогоровым [15], принадлежат к упомянутому типу. Они были предметом многочисленных исследований. Обычно эти уравнения при любых значениях параметров имеют однородные по времени и пространству решения, которые в термодинамике трактуются как состояния термодинамического равновесия. Физиками брюссельской школы И. Пригожина [16] и биофизиками [17,18], было замечено, что вблизи некоторых критических значений параметров эти состояния становятся неустойчивыми. Последующая эволюция может привести к образованию неоднородных диссипативных структур (стационарных, периодических, хаотических и т. д.). Трудно перечислить все направления и научные школы, в которых проводились подобные исследования. Отметим, что большие циклы работ, позволяющие сформулировать некоторые принципы самоорганизации, были проведены, в основном, при помощи методов вычислительного эксперимента в институте прикладной математики им. М. В. Келдыша в школах А. А. Самарского и С. П. Курдюмова [19-22]. В работе А. А. Белолипецкого и А. М. Тер-Крикорова [23] была аналитическими методами малого параметра исследована задача эволюции стационарного решения нелинейного параболического уравнения после потери им устойчивости. Было показано, что существуют некоторые двухпараметрические семейства неоднородных по пространству однородных решений, к которым при выполнении некоторых условий эволюционирует решение с произвольными начальными условиями. В работе [24] эти же авторы обобщили полученное решение на случай абстрактного нелинейного параболического дифференциального уравнения для того случая, когда бифуркация происходит в окрестности простого собственного значения линеаризированной задачи. В работе [25] были получены более общие результаты уже для уравнений реакции-диффузии. В случае кратности собственного значения подробное исследование проведено в работе В. А. Треногина и И. С. Недосекиной [28]. В абстрактной постановке подобные задачи исследовались в работах В. А. Треногина. Любопытно, что для исследований эволюционных задач оказались применимыми методы, разработанные для стационарных задач о длинных волнах, имеющих совсем иную физическую природу. Нет сомнения, что эти методы применимы и к другим задачам. Тем не менее представляет
ся затруднительной формулировка и исследование такой общей функциональной задачи, в рамках которой могли уместиться все конкретные типы прикладных задач. Имеет смысл основные идеи построения асимптотических рядов по малому параметру и доказательств существования решений, имеющих такие асимптотические разложения проследить на примере сравнительно простой модельной задачи. Будет рассмотрена граничная задача для уравнения эллиптического типа, хотя в дальнейшем предлагаемый метод будет применяться и к граничным задачам, описываемым уравнениями других типов.
§ 1. Постановка модельной задачи
Рассмотрим в полосе —оо < х < +оо, 0 < у < тг дифференциальное уравнение
д2и д2и , о	.	.
~zr~й +	+ и	(1-1)
дх2 ду2
с простыми граничными условиями
и(х, 0) = и(х, тг) = 0,	(1.2)
где Л — вещественный параметр. Разыскиваются периодические по переменной х решения задачи (1.1), (1.2)
Граничная задача (1.1), (1-2) при любом значении параметра Л имеет тривиальное решение и = 0. Будет показано, что имеется счетное множество значений параметра А, вблизи которых от тривиального решения могут ответвляться малые нетривиальные 2Ь-периодические решения, вырождающиеся в уединенную волну (солитон) при длине волны 2L, стремящейся к бесконечности.
С граничной задачей (1.1), (1.2) тесно связана граничная задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения
d2z
+ Xz = 0, г(0) = 0, -г(тг) = 0.	(1.3)
«У
Эта простая задача имеет счетное множество собственных значений, причем все собственные значения простые и неотрицательные. Если А*, — собственное значение, а утДу) — соответствующая этому собственному значению собственная функция, то
Хк = к2, <рк(у) = sin ку.
Пусть Aq — некоторое собственное значение, ут(у) — соответствующая собственная функция. Как известно, неоднородная граничная задача
d2z
т-2 + XqZ = f(y), z(0)=0, z(tt) = 0 dy2
разрешима в том и только в том случае, когда функция /(у) ортогональна собственной функции у?(у)
[ f(y)‘P(y)dy = O	(1.4)
Jo
Обозначим через Aj, А2,... собственные значения граничной задачи (1.3), отличные от Ао, а через <^>i(y), <д2(у),... соответствующую этим собственным значениям систему собственных функций. Если выполнено условие разрешимости (1.4), то классическое решение неоднородной задачи Штурма-Лиувилля (ШЛ) можно представить в виде
г(у) = ^ у(у>^)/(^)^ + с'¥’(у), д(у,т?) = 52
где С — произвольная постоянная.
§ 2. Построение формального решения в виде ряда по степеням малого параметра
Будем изучать решения, ответвляющиеся от тривиального при значениях параметра, близких к Ад. Введем малый параметр
£ = Aq — А.	(2-1)
Сделаем априорное предположение, справедливость которого будет в дальнейшем обоснована. Предполагается, что скорость изменения функции в направлении оси х в д/jej раз меньше скорости ее изменения в направлении оси у. Чтобы «уравнять в правах» обе независимые переменные, сделаем в уравнении растяжение, полагая
е =	(2.2)
Граничную задачу (1-1), (1-2) можно переписать в следующем виде: д2и
1£1 Л—2 + л"? + (Л° -£)и + ^2 = 0, и(£,0) = и(£,тг) = 0. ох* оу*
Будем искать формальное решение граничной задачи (2.3) ряда по степеням малого параметра |е|
(2.3)
в виде
(2-4)
у) = 52у), о) = тг) = °-fc=l
Подставляя разложение (2.4) в уравнение (2.3), получаем, что функция ui(£,y) должна быть решением следующей граничной задачи
д UQy2'y^ + Лоц1(^>у) = °' U1(C,7Г) = U1(^, 7Г) = 0.	(2.5)
Приравнивая коэффициенты при £2, получаем д2и2	д2и-[	2
-^-+А0и2 = —+ui signs, u2(£,0) = u2(£,tt) = 0. (2.6)
Приравнивая нулю коэффициент при Ie^, получаем 32ufc-i fe-1 — + AoUfc - -
Qt2
4 m=l u2(£,0) = U2(f,7r) = 0.
m + ufc_i signe,
§ 3. Исследование уравнения первого приближения
Рассмотрим граничную задачу (2.5). Ее решение имеет вид
(3.1) где С(£) — произвольная функция, которую мы будем считать бесконечно дифференцируемой, — собственная функция задачи (3.1), соответствующая собственному значению Aq. Функция С(£) будетопре-делена при исследовании граничной задачи (2.6). Подставляя выражение (3.1) в уравнение граничной задачи (2.6), получаем
+ A0u2 = f2(C,y),	u2(£,0) = u2(£,7t) =0,
Oy	(u.Zy
f2(c,y) = -^2(У)с2(е) -sign^(y)c"(e)+^)c(e)-
Поскольку собственные функции граничной задачи (2.6) образуют полную ортогональную систему функций на отрезке [0, тг], то функцию у?2 (у) можно представить в виде
¥>2(у) = a<p(y)+ip(y), iptyj-Ltply), а =	<f>3(y}dyjчЛу^У / °-
Так как собственная функция определена с точностью до постоянного множителя, то без ограничения общности можно положить
3 Г*	Г*
а =2>	3 уо Ч>2(.у)Лу = 2 у <p3(y)dy.
Таким образом,
^(у) = ^(у) + №). ^’(y)-Ly’(y).	(3.3)
Условие (3.3) задает нормировку собственной функции </?(?/).
Граничную задачу (3.2) можно теперь переписать в следующем виде
+ A0u2 = -№)С2(О + у>(у) (- sign£C"(£) - |с2(£) + С(£)},
«2(е,о) = п2(е,7Г) = о.	(з.4)
Как уже отмечалось, для разрешимости граничной задачи (3.4) необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения (3.4) была ортогональна собственной функции у’(у). Так как функция i/>(y) ортогональна функции <Ху)> т0 коэффициент при у>(у) должен обратиться в нуль, и, следовательно, функция С(£) является решением обыкновенного дифференциального уравнения
Q
- sign£c"(e) - -с2(е) + с(о = о,	(з.5)
а функция и2 — решением граничной задачи
+ Аои2 = -^(у)С2(О, п2(е, 0) = п2(е, тг) = 0.	(3.6)
оу
Исследуем вопрос о существовании периодических решений уравнения (3.6). Умножая это уравнение на С и интегрируя, получаем
2
'2 — С3 — Л).
(3-7)
Рассмотрим семейство многочленов
РА(С) = С2 — С3 — А.	(3.8)
Очевидно, что график многочлена Рд(С) получается из графика многочлена Ро(С) сдвигом на постоянную А вдоль вертикальной оси. Нетрудно установить, что многочлен Рд(С) имеет три вещественных нуля 7, а, /3 при 0 < А < Ло = (2/3)2 — (2/3)3 ~ 0,1481, причем а > 0, /3 > 0, 7 > 0.
Рассмотрим сначала случай £ > 0. Используя уравнение (3.7) и рисуя фазовую картинку, получаем, что периодические решения уравнения (3.5) существуют при £>ОиО<Л<Ло- При А —> 0 на фазовой плоскости получаем сепаратриссу, отделяющую семейство замкнутых траекторий от семейства незамкнутых фазовых кривых. При А —> 0 период решения стремится к +оо и периодические решения вырождаются в апериодическое решение, соответствующее сепаратрисе. Это апериодическое решение называют уединенной волной или солитоном, и оно легко выражается через элементарные функции
С(0 = sech2 .	(3.9)
Периодические решения выражаются через эллиптические функции Якоби. Пусть 7, а, (3 — нули многочлена Рд(С}.
При £ > 0 уравнение (3.7) дает
±е= [ dt	(з.ю)
Положим
(3 - С = (/3 - a) sin2 <^>, к2 —	а - у/(3 + 7.	(3.11)
Р + 7
Делая в интеграле (3.10) замену переменной (3.11), получаем /’*’ dip	f а£
2 Jo у/1 — к2 sin2 т/j	\ 2 J
Из равенства (3.11) теперь получаем
С^ = а + (!3-а)сп2(^-,к^.	(3.12)
Из равенства (3.10) получаем выражение для полупериода через полный эллиптический интеграл
Т 2 Г/2 dlP	dt	, ч
L = - /	=	= = / -.	(3.13)
a Jo	>/1 - к2 sin2 с/? Jq V'(/3-t)(t-a!)(t + 7)
В дальнейшем понадобятся следующие асимптотические при А —> О формулы для нулей многочлена Рд(С) и полупериода L
а = у/А + о(у/А),	7 = — у/А + о(%/Л),	/3 = 1 — А = о(у/А),
к = 1 — у/А + о(у/А),	L = — | In А + о(1пЛ),
(А/)2 = 2%/Л + о(%/Л), А = e~2L + o(e-2L) при L —> +оо.
(3-14)
Заметим, что уравнение (3.7) при Е < О имеет вид
/ ИС1 \2
( — ) = -С2 + С3 + А.	(3.15)
\ J
Если сделать в этом уравнении замену С = b — С, А = —А, то для С получим уравнение
/ jp \2
( — ) = (ЗЬ - 1)С2 - С3 + (2Ь - ЗЬ2)С - А.
\ «С /
Полагая Ь = 2/3, получаем, что С удовлетворяет уравнению
/ dC\2 -9	7
— = С2 - С3 - А,
\ а? /
совпадающему с уравнением (3.7). Поэтому, принимая во внимание уравнение (3.12), получаем, что при е < О
C{^=l-a-^-a)cn2(^-,k\.	(3.16)
О	\ Z J
При А —> — О
9	/<\
(?(£) = -—sech2 | .	(3.17)
О	\ Z J
Заметим, что Пш^-юо С(£) = 2/3. Если потребовать дополнительно, чтобы 2Ь-периодическое решение при L —> оо вырождалось в апериодическое решение, обращающееся в нуль на бесконечности, то такое решение может существовать только при е > 0.
§ 4. Последующие приближения
После того как найдена функция С(£), функция	у) может быть
найдена как решение неоднородной граничной задачи (3.6)
у-2 = -С2^Шу) + С2^Му),	(4.1)
где (?(£) определяется равенством (3.12), <д(у) — собственная функция граничной задачи (1.3), соответствующая собственному значению Ао, Сг(£) — неизвестная функция, которая должна быть определена из
уравнений третьего приближения, функция V'i(y) является решением граничной задачи для обыкновенного уравнения
=	^1(^0) = V>i(^,7r) = 0,	(4.2)
ау2
Рассмотрим уравнения третьего приближения
+ А0и3 =	~ 2U1U2 + U2' U3^’ °) = U3^’ ’’’Э = °’
ду2
Подставляя сюда выражение (3.1) для ui и выражение (4.1) для U2, получаем
+ Лоиз = -С^Му) + (С2)'Шу) - 2СС2^2(у) + ду2
+ 2(73^(у)^1(у) + (72<Ху) - C2^i(y). (4.3)
Так как С" и С удовлетворяют соотношениям
С" = -^С2 + С, (С)2 = С2 - С3 - А,
ТО
(С2)" = 2(7(7" + 2(С")2 = —ЗС3 + 2(72 + 2(72 - 2(73 - 2А =
= -5С3 + 4С2 - 2А (4.4)
Подставляя (4.4) в (4.3), получаем
+ Ао^з = ¥>(у)(-С£'(€) - 3(7(72 + (72) + ^1(У)(-5С3 + ЗС2 - 2А) -ду2
~2CC2^(y) + 2(7399(y)V’i(y), из(£,0) = из(£, тг) = 0. (4.5)
Условие разрешимости этой граничной задачи заключается в ортогональности правой части собственной функции у(у) и поэтому функция (72(£) будет решением неоднородного линейного уравнения второго порядка
(7" + 3(7(72 + С2 = 0С3, £ = 2^	<P2(y)dy
(4-6)
Так как С(^) — известная четная периодическая бесконечно дифференцируемая функция, то для определения (72(£) нужно уметь находить четные периодические решения неоднородного линейного уравнения
z" + ЗС(.т)г — z = /(т),	(4-7)
где /(т) — известная четная периодическая функция.
Оба линейно независимых решения однородного уравнения могут быть найдены в квадратурах. Действительно, одно из решений однородного уравнения есть
Ут. = <?'(*),
(4-8)
а второе находится при помощи формулы Лиувилля
И(х) = С'(1)У(5^.	(4.9)
Использование формулы (4.9) затруднительно, так как подынтегральная функция имеет неинтегрируемые особенности при х = 0 и х = = L. Постараемся так преобразовать эту формулу, чтобы функция, стоящая под знаком интеграла, имела только интегрируемые особенности. Подберем числа а, /3, 7, 5 так, чтобы выполнялось тождество
С = аСР(С) + (/3 + 7С + <5С2)Р,(С).	(4.10)
Нетрудно вычислить, что
а = 27р,	/3 = 2р,	7 = 3Pi 5 =-9р, р= -	(4’П)
Из уравнения (3.7) получаем dC = у/Р(С) dx. Воспользовавшись теперь тождеством (4.10), преобразуем формулу (4.9) следующим образом
/ ч	f CdC
У2^ ~	С(Р(С))3/2 ~
_ f aCP(C) + G3 + 7C + <SC2)P'(c)	_
Vp(c)J	С(Р(С))3/2
= -2^ +7 + 5С + у/Р(С}(а + 25)( [	- 2/3 [--=
С	V V Л 7 U /P(C) J С^у/Р(С))
= р(-7^-6 + 18С(х) + 9хС\х)-4С'(х) Г	(4.12)
\ t-A1)	Jo \.Ч/
Из формулы (4.12) следует, что У2(х) является четной, но не периодической функцией, которая может быть представлена в следующем виде:
у2(х) = <д(х) + ВхС'(х), В = 9-^	(4.13)
где функция <д(х) — четная и периодическая.
Теорема 1. Если f(x) — четная 2Ь-периодическая функция, то уравнение (4.6) имеет четное 2L-периодическое решение, которое может быть найдено в следующем виде:
!/(*) = N/,
Nf = j/2(z) [ fWy^tjdt-y^x) [ /(«)y2(t)^ +
Jl	Jo
+ ^ЬУ2^10 ^^y2^dt- (4-14)
Доказательство. Легко проверяется четность функции у(х). Проверим ее периодичность
у(х + 2L) - у(.т) = (у2(х + 2L) - у2(х)) Л0У1(С -
-yi(x)f f{t)y2(t)dt--^-(y2(x + 2L)-у2(х)) f(t)y2(t)dt.
(4.15)
Воспользовавшись формулой (4.14), получаем
у2(х + 2L) - у2(х) = 2BLyi(x),
r>x-\-2L	r>x-\-2L	рх
/ f(t)y2(t)dt= / f(e)y2(t)dt- / f(t)y2(e)dt =
Jx	Jl	Jl
= У f(t)y2(t + 2L)dt- Jl f(t)y2(t)dt =
— [ f{t')y2{t + 2L)dt + [ /(t)(j/2(^ + 2L) — y2(t)) dt = J—L	Jl
= УУ /(<)(y2(t) + 2BLj/!(t)) dt + y12BL/(t)yi(t) dt. (4.16)
Подставляя (4.16) в (4.15), получаем
y(x + 2L) - y(i) = 2BLyx (x) J /(t)yi (t) dt -
-y^x)^ f f(t)y2(t)dt + 2BL [ f^y^dt] + \ Jo	Jl	/
+ 2yi(x) [ f(t)y2(t)dt = 0.
Jo
Таким образом, y(x) — четная и 2Д-периодическая функция. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что С2(£) определяется из уравнения (4.6) как четная периодическая функция
С2(С) = aNC3.
Функция из(£, т?) определяется из уравнения (4.5)
ц3(е, т?) = (ЗС2(О - 5С3(О - 2АШу) - 2С(£)С2(£ШУ) +
+ ^С3иШУ) + С3иМу1 (4-17) где функция С*з(£) определяется при исследовании уравнений четвертого приближения.
Если функции С1]^),..., Сп-Д^) определены, то для определения функции С'п(^) необходимо решать уравнение (4.7) с известной правой
частью, зависящей от С] (£),..., Cn_j(^). Функция un+i определяется после этого по формуле (1.5). Таким образом, формальное решение граничной задачи (1.1), (1-2) может быть найдено в виде ряда по степеням малого параметра. В дальнейшем будет показано, что существует точное решение, для которого построенный ряд является асимптотическим. Был рассмотрен случай е > 0, т. е. А < До- Было показано, что случай Е < 0 не требует специального рассмотрения.
§ 5. Свойства некоторых линейных операторов
Этот параграф носит вспомогательный характер. Будут исследованы свойства некоторых линейных операторов, которые понадобятся при доказательстве теоремы существования.
Лемма 1. Функция С(х), являющаяся решением уравнения (3.5) при £ > 0, бесконечно дифференцируема и для нее и ее производных справедливы равномерные по параметру L оценки
О < ciexp(-|z|) < С(т) < с2ехр( —|.т|),	|C'(fc)(x)| -у*ехр(—]гс|),
|х| L, k = 1,2,...
(5-1)
Доказательство. Поскольку при А —» 0 полупериод L —» оо, то оценку (5.1) достаточно установить для малых значений параметра А. При А £о > 0 период ограничен и оценка (5.1) очевидна.
Функция С(£) возникает при обращении интеграла (3.10). Делая в этом интеграле замену переменной
С — а = ((3 — a) sech2 (</?/2),	(5.2)
получаем
dip	, ч
ае= /	--	,	(5.3)
7о yfc2 + (fc')2ch2(^/2)
где анк определяются формулами (3.11), к2 + (к1)2 = 1. Из формулы (5.3) получаем оценку ка£ </?, и поэтому из асимптотических формул (3.14) следует, что при достаточно малых значениях параметра А выполнено неравенство ак 1. Следовательно,
|£|	ch2|^ch2^ = ^—С(£) ^a + (/3-a)sech2|.
2	2 О — а	2
(5-4)
Из асимптотических формул (3.14) следует, что при |х| L
Р — а 1, а CqVA C,oe~L ехр(—|х|).
Поэтому из неравенств (5.4) следует верхняя оценка (5.1) для функции С'(х). Найдем теперь нижнюю оценку. Так как ак 1, то
. Г	dip	Г dip
|£| > / —.-		= > / —/—	-., р = ак .
Jo yi + (afc')2ch2(^/2) Jo +
Вычисляя элементарный интеграл в правой части неравенства, получаем
И 2 In 1 +	21п \	„ 21„
?	е-¥>/2	_|_ р2	2е ^/2+р	1+ре*1/2
Следовательно,
е^< *li/21 < °№| <соет
1-реК/21 " l-pel£/2l	’
(5-5)
поскольку из асимптотических формул (3.14) следует, что Ит(1 — peL//2) = 1 — 1/\/2.
Из неравенств (5.5) и равенства (5.2) получаем нижнюю оценку для функции С'(х)
V kl + С, С(0 > (^ - a) sech2 ^ > (/? - а)е * >
(/3 — а)е-(1^+с) coe_^L
Таким образом, оценки (5.1) доказаны для функции С'(х). Докажем теперь справедливость оценок (5.1) для производных. Так как а С(т) /3 < 1, то
(C'(z))2 = (J3 — С)(С - а)(С + 7) С(С + 7)-
Используя верхнюю оценку для функции С'(х), получаем, что |С/(гс)| С 7ехр(—|х|). И, следовательно, оценка (5.1) доказана для функции СДгг). Поскольку
С" = -|С2 + С,	(5.6)
то из оценок для С и С" следует, что оценка (5.1) справедлива и для С". Дифференцируя соотношение (5.6), получаем, что С"' = —ЗСС' + С. Из оценок для С и С', получаем, что оценка (5.1) справедлива и для С". Для произвольного к по индукции нетрудно показать, что есть многочлен от С и С' и, следовательно, для справедливы оценки (5.1).
Лемма 2. Для линейно независимых решений однородного линейного уравнения у” + С(х)у — у = 0, определенных формулами (4.8) и (4.12), справедливы равномерные по параметру L оценки
|у1(т)|	сое_|11, |yifc)(x)| < cfee-|a:|, к = 1,2,...,
Ыт)| < сое111,	|j/2fc)(z)| CfceN.
Доказательство. Так как уДх) = С"(х), то оценка для у^ следует из (5.1). Для получения оценок для функции у2 воспользуемся
dt C4ti
формулой (4.12). Используя нижнюю оценку для функции С(х), получаем	। ।
7о [ e2t dt < сое2'1!.	(5.8)
Jo
Подставляя эту оценку в формулу (4.12) и еще раз воспользовавшись оценками для функций С и С, получаем оценку для функции 1/2(1). Дифференцируя формулу (4.12), получаем
(dC"	fx rlt О' \
- +	сэд-4^).
Воспользовавшись неравенством (5.8) и оценками для функции С(х) и ее производных, получаем оценку (5.7) для у2(г). Оценки для у2к\х) получаются по индукции при помощи последовательного дифференцирования уравнения у2 + С(х)у2 — 1/2 = 0 и с использованием /	{к-1)
оценок для у2,..., у2
Лемма доказана.
При доказательстве теоремы существования и единственности придется воспользоваться свойствами оператора N, определенного формулой (4.14).
Пусть а — некоторое число из интервала (0,1). Рассмотрим при 0 Lq < L +оо семейство банаховых пространств непрерывных 2Д-периодических четных функций с нормой
1И1 = sup {eat|i(£)|}.
Заметим, что при L —> оо получаем предельное пространство четных непрерывных на всей вещественной оси функций, убывающих на бесконечности не медленнее, чем ехр(—a|i|).
Лемма 3. Оператор N, определенный формулой (4.14), действует в В^ и линеен. Для нормы этого оператора справедлива оценка ||N|| fc0(l — о)-1. Если f, fG B^, то функция у = Nf имеет производные доп + 2-го порядка и для производных справедливы оценки
\у{к}(х)|	сое-'1'1' шах{||/||, ||/'||,..., ||/^||}, к = 1,... ,п + 2.
Доказательство. Воспользуемся результатом леммы 2 и дадим оценку первого слагаемого в формуле (4.14)
сх	, , fL ,, .	е~(1+a)lxl , ,
У2(х) / /(t)yi(t)dt	/ ||/||е(1+“)‘^со||/||——-------el1' <
JL	J\xl	l+a
1 — a
Аналогично,
У1(х) [Xf(t)y2^dt	/'L||/||e(i-a)‘cZt^_^e-M||/||.
Jo	J|z|	1 - a
Оценим теперь третье слагаемое в формуле (4.14). Так как С(х) is а, то, используя формулу (4.13) для числа В, получаем
\вь\ =
dt C^t)
4L
2L
причем последнее неравенство написано с использованием асимптотических формул (3.14) при интересующих нас достаточно малых значениях параметра А. Воспользовавшись теперь оценками леммы 2, оценим третье слагаемое в формуле (4.14):


2L(1 - а)
Ae2L||/||e-“L
ср
Lo(l — а)
П/Це-а|11,
(5-9)
так как из асимптотических формул (3.14) следует, что Аехр(—2L) является ограниченной функцией параметра А. Из оценок (5.7)-(5.9) следует равномерная оценка для нормы оператора N. Заметим, что постоянная ко в формуле (5.9) не зависит от параметра а.
Оценки для производных функции y(i) = N/ получаются при помощи последовательного дифференцирования формулы (4.14) и использования оценок (5.7) для производных функций j/i(x) и
Рассмотрим также семейство банаховых пространств 0 < Lq
С L С оо функций и(х,у) непрерывных в полосе Р = {(х, у): — оо < < х < +оо,0 у Sj тг}, четных и 2Ь-периодических по х. Норму в Df определим следующим образом:
||u||o° = sup {ea|l||u(x,y)|}, 0 < a < 1.	(5.10)
(x,p)6P
Предельное пространство D'^ состоит из непрерывных в полосе Р четных по х функций, убывающих на бесконечности не медленнее, чем ехр(—а|х|).
Рассмотрим в jD£ подпространство Df функций, ортогональных функции <р(у),
DI - |и(т,1/): и(х,у) е Df, [ u(x,y)fp(y')dy = o\ (5.11) I	Jo	J
и оператор
Mu =
g(y, p)u(x, 7?) dg,
(5.12)
где функция g(y,rf) определена формулой (1.5).
Лемма 4. Оператор М, определенный формулой (5.12), действует из Df в Df и линеен. Справедлива равномерная по параметру L оценка нормы этого оператора: ||М|| Sj 7.
Доказательство. Из (5.12) и (1.5) следует, что
|Ми| ехр(-ф|)||и|| [ 9(y,ri)dri со||и|| ехр(-ф|),
Jo
(5.13)
поскольку функция g(y,rf) неотрицательна и j g(y,i]) dr) — ограниченная функция у. Из (5.13) следует равномерная оценка для нормы оператора М.
В дальнейшем понадобятся свойства решений следующей граничной задачи
d2z d2z
z(x, 0) = z(x, тг) = 0, z G £У£.
(5-14)
Пусть Л1,...ЛП)... — собственные значения граничной задачи Штурма-Яиувилля (1.3), отличные от Ло, a </?i(y),... — соответствующая им система ортонормированных на отрезке [0, тг] собственных функций.
Так как функция f G /)£, то она ортогональна <р(у) и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье по ортогональной системе {у?п}:
оо
/(^у) = 52 AW^(y), П = 1
fk(x) = [ f^,y)v>k(y)dy. Jo
(5.15)
Будем искать решение граничной задачи (5.14) по методу Фурье. Доказательство того, что будет получено классическое решение, дается в курсах математической физики. Положим
ОО
у) = 52 ^(^^(у)-	(5Л6)
71—1
Учитывая, что функции у>к удовлетворяют уравнению <pj.'(y) — — Ajt</?fc(y) = 0, получаем для определения функций z*.(x) дифференциальные уравнения
ez'k(x) - (Afc - Ao)zfc(x) = fk(x).	(5.17)
Разыскиваются четные 2Д-периодические решения уравнений (5.17). Очевидно, что Д G
Замет'им, что среди разностей Лд — Ло только конечное число отрицательных, поскольку Ак —> оо при к —> оо. Для простоты дальнейших формул предположим, что Ло — наименьшее собственное значение задачи (1.3) и, следовательно, все разности Лд, — Ло можно считать положительными.
Итак, рассмотрим задачу о разыскании четных 2Л-периодическнх решений уравнения
ez"(I)-/z2z(I) = /(T), f&BaL.	(5.18)
Общее решение имеет следующий вид
z(x) = Ci exp + С2 exp J + , exp(/iz/VE) Г + 2^ 'L
-	Гmexp(4} at.
2д^£ y0M7 ^yfij
(5.19)
Поскольку в уравнении содержатся только производные четного порядка, то это решение будет четным, если z'(0) = 0; решение будет периодическим, если z'(L) = 0. В самом деле, функция w(x) = z(x + 2L) является решением уравнения (5.18). Кроме того,
w(-L) = z(L) = z(-L),	w'(-L) = z'(L) = z'(-L) = 0.
В силу единственности решения задачи Коши для уравнения (5.18) w(t) = z(x) = z(x + 2L). Таким образом, для определения произвольных постоянных Ci и С2 нужно решить систему уравнений
Решение этой системы уравнений имеет вид
2//^/^ sh(juL//s) Jq у/s
C/fi, s, L) =	Г Ж ch dt -	(5.21)
2fiy/ssh(jj.L/y/s) Jo	y/e
-7-^7= [ fWe^p(—y=] dt.
2n/s Jo	V y/sj
Подставляя выражения (5.21) в формулу (5.19) и полагая = Aj, — — Aq, получаем
zfe(x) = C^/Zfc^.LJexp^-^J + C2i(/2fc,£,L)exp^-^j + . exp(Mfci/v/i) Г r ( iikt\ -------------------2i^/r~k
exp(-/zfci/VE) fx „	f fikt\ „ nnX
------Л	(5.22)
Подставляя выражения (5.22) в (5.16) и учитывая (5.15), получаем
z(x,y) = Т/
mr eXP(/2fcT/\/£)(Pfc(y) Р [X ,	( P-kt\ , 4 , ,
T/=g,	к
E°° ехр(-цкх/у/Ё)<рк(у) Г" Гх	f fikt\
-------2^----------/„ к
“ 2p.ky/£sh(jj.kL/y/s) Jo Jo	\y/z J
^exp(-pkx/y/£)<pk(y) /’ fL x ( p.kt\ , x u , "S-----------------------к к
_^exp( w(^L)M)ytb) Г Г (	)ch/w«\ Mdtd
2iiky/Esh(jj.kL/x/E) Jo Jo	\VeJ
(5.23)
Лемма 5. Оператор T действует в пространстве и линеен. Существуют числа £q > 0 и Lq такие, что при 0<£<£quL~^Lo справедлива равномерная по параметрам £ и L оценка нормы операто-раТ:||ТК7.
Доказательство. Оценка нормы оператора Т легко получается из выражения (5.23) для этого оператора. Оценим для примера первую сумму в формуле (5.23). Так как последовательность {</?*:(?/)} равномерно ограничена, то
Eexp(jikxy/£)tpk(y) f f	( p.kt\
-----о--7=------ /	/ / (t, r?) exp---=	(t?) dt d
fc=1 tP-ky/E Jo Jl	\ Vе/
< с ц/ц V safeJ/v'T) r exp(_«£ + at) J, k=1 PkVE Jl \	)
< г II £11 V ехР(-Ф1) <
coll/H exp(-a|x|) J A =*	exp(-a|x|),
fc=i
ряд pk2 сходится. Аналогично оцениваются и все другие суммы в формуле (5.23), что позволяет получить равномерную по параметрам £ и L оценку нормы оператора Т.
§ 6. Доказательство теоремы существования и единственности
Теорема. Пусть До — одно из собственных значений задачи Штурма-Лиувилля (1.3), а £ = До — А — малый параметр. Найдутся такие числа е > 0 и Lq, что при 0 < |е| < £q и L > Lq граничная
задача (1.1), (1-2) имеет единственное нетривиальное решение, четное и 2L-периодическое по х, ряд (2.4) будет при £ —► 0 асимптотическим для этого решения
N w(i,y)-52|e|fcMfc(\/Hi,l/) k = l
ajv(e) —> О при е —> О,

(6-1)
причем оценка (6.1) равномерна по параметру L и переменным х и у. При фиксированном значении Е и L —> сю периодическое решение вырождается в апериодическое нетривиальное решение — уединенную волну (солитон).
Доказательство. Как уже отмечалось ранее, без ограничения общности можно считать, что е = Ло — Л > 0. Граничную задачу (1.1), (1.2) можно записать в следующем виде:
д2и д2и	2
Ни =	+ Е-^г + Лои - Ей + и = 0,
ayz ох*
(6-2)
и(£, 0) = и(£, тг) — 0, £ = \[гх.
Положим
t/w = 52Efeufc(£,y),
Jt=i
где функции и/,-(£,1/) определены при построении ряда (2.4) и являются решениями граничных задач (2.7). Найдем НГ/дг
N	/ о9	о9	\	27V	/ к
El. ( U Uk	(TUfc	.	\	v—\	t. (
£ (_sU2'+e-s?2'+AoUfc-eUfe)+2^е [2^икит_к
к=1	\	У	/	к=2	\п=1
(6.3)
Вспоминая, что функции ик являются решениями граничных задач (2.7), получаем
HUN = -eN+1-^-+eN+1uN+	икит_Л.	(6.4)
k=W + l	Sn=l	'
В §5 было показано, что функции ик и их вторые производные равномерно по параметру L ограничены в пространстве £>£ и, следовательно, справедлива равномерная по параметру L оценка
Це-^+^НМО-	(6.5)
Положим в уравнении (6.2)
и = UN + ENv(£)tp(y) + en+1w(£, у),
we Di, w(£,y)±(p(y),	^ > 2,	6,6
где у?(у) — собственная функция граничной задачи Штурма-Лиувил-ля (1.3). Учитывая, что + Ху?(у) = 0, получаем
\
Hu = HUN + en+1 ( — tp(y) - vip(y) + £N~lv2ip{y) 1 + \ “s	J
, N + l/ 92^ d2w	, N+l .2^ ,
\ of/ oy*	J
+ 2U^vip(y)£N + 2Unw£N+1 + 2vw£2N+1 = 0. (6.7)
Банахово пространство x обозначим, как E^. Элементами этого пространства являются пары в = (и, и>) с нормой
11*11 = max{||u||, ||ш||].	(6.8)
Заметим, что при а£д(£, у) функцию t7)v можно представить в виде
UN = еС'(х)<^(у) + Е2а£Д£, у),	(6.9)
где норма а£д(£, у) равномерно ограничена по параметрам £ и L. Введем еще оператор F£il, действующий на элементы в следующим образом:
F£,L(0) = -£N“2v2(e)^2(y) - W + £Nw2 +	+
+ 2vw£N~x + 2ае>д(£, y)v(f)<p(y). (6.10)
Вспоминая еще, что в силу формулы (3.3)
</(у) = 3/2у?(у) + V’(y), ^»(2/)Х^(з/),
можем уравнение (6.2) переписать в виде
d2w d2w	НС7d2v	X
£д£2 +ду5 +X°U = ~^+^y\~d^ ~V + -3Cv) +
+ 2С(е)и^(у)+£Ре>ь(0). (6.11)
Потребуем, чтобы правая часть уравнения (6.11) была ортогональна собственной функции у?(у). Получаем, что
_ ЗСг; - и = Ле / Fe,L(0)y>(y) dy - А [ ^£-dy,
С	'	(6.12)
Л-!= / ^2(y)dy.
Jo
Проектируя теперь уравнение (6.11) на подпространство D^, получаем
д2ш д2ш
£д^+ду^+ХоШ =
HUN £N+1
+ 2C(^)vV>(y) +
f7r / TLU	\
+ eF£,l(0) - Лу?(у)	+£Fe,L(0)j<p(7])d7].
(6.13)
Лемма 6. При 0 < е < е0, L > Lq оператор F£il дифференцируем по Фреше. Справедливы равномерные по параметрам е, L оценки
||F£,l|| < а||0|| + /3IK ||F;,lK 7^11 + /?•	(6-14)
Доказательство. Обратимся к формуле (6.10). Так как функция /е равномерно ограничена, то
|F£,l| < ехр(—а|х|)(а||0|| + /3||в||2),
откуда следует первое из неравенств (6.14).
С другой стороны,
Fe,l(0 + Д0) — Fe,/,(0) = — 2£N~2<p2(y)vAv — Aw + 2enwAw +
-I- —_|_ 2(z>Aw 4- шДи)Л-1 + 2а£1д(£, y)</?(y)Av + т(Дгд Aw), г(Дгд Дw) = —EN~2tp2(y)Av2 + en (Aw)2 + 2eN-1 AvAw.
Как нетрудно видеть, ||г(Д0)||/||Д0||	с||Д0||, и поэтому опера-
тор F£ l дифференцируем по Фреше, причем
F'(0)A0 = (~2en 2vip2(y) +2uen 1 + 2a£iL</?(y))Av+
+ (-1 + 2wen + —- + 2гЛ Д0.
\	£ J
Легко получается оценка
||F'(0)A0||D1	(ai||0||+a2)||A0||,	(6.15)
откуда следует второе неравенство (6.14), что и завершает доказательство леммы.
Воспользовавшись результатами лемм 3 и 5, запишем систему уравнений (6.12) и (6.13), получаем
6 = 06, 0=(v,w), Q = (Qi,Q2),
= -j4N (J” dy) + XeN (J* F£,L(0My) dy^, W = М (-§ПТ + £F^W - А<р(у)	+
+ eF£,l(0)>) ip(T))di] \ +M(2CV(y)Qi0).
Таким образом, доказательство теоремы существования и единственности сводится к доказательству существования в пространстве неподвижной точки оператора О.
Лемма 7. Оператор О дифференцируем по Фреше. При 0 < |е| < < £о и L > Lq справедливы равномерные по параметрам е и L оценки
||П(0)|| Еа||0|| +еЬ||0||2 + с, ||П'(0)Ке(И + <*).	(6.17)
Доказательство. Справедливость неравенств (6.17)следует из свойств линейных операторов N и М, установленных в леммах 3 и 5 и свойств нелинейного оператора F£i£, установленных в лемме 6.
Лемма 8. Найдется число Eq > 0 и г > 0 такие, что при 0 < |е| < < Eq и L > Lq оператор О, будет отображать шар ||0|| С г в себя и будет в этом шаре оператором сжатия. Следовательно, в этом шаре у оператора О. существует единственная неподвижная точка.
Доказательство. Пусть ||0|| С г. Тогда из (6.17) следует, что
||П(0)|| (аг + 6г2)е + с,
||Q(fl) - П(0)|| ||Q'(afl + (1 - а)ё)|р ||0 - 0К _
Е(||а0 + (1 -a)0||+d)l|0-0K
е(|М| + ||(1 - а)0|| + d)||0 - 0|| е(г + d)||0 - <
Можно подобрать числа е0 > 0 и г > 0 так, чтобы при любых 0 < < |е| < Eq и L > Lq оператор Q отображал шар ||0|| г в себя и будет в этом шаре оператором сжатия. В силу принципа сжатых отображений уравнение (6.16) имеет решение, причем единственное. Это решение равномерно ограничено по параметрам.
Из формулы (6.6) получаем
ОО
и = ^Ekuk(C,y) +ENV(^,y,e,L), fc=i
причем норма V(£, у, £, L) равномерно ограничена по параметрам е и L, чем и завершается доказательство теоремы существования и единственности.
§ 7. Некоторые обобщения
Результаты, полученные для модельной задачи, легко могут быть обобщены на более широкие классы граничных задач. Например, можно рассматривать граничную задачу
д2и д2и ( ди \
ду^ + д^ + Ф\и’д^,у) = ~хр^и’ и(*>о) = “М = о> (71) О С у	—ОО < X < +оо.
Предполагается, что функция р(у) непрерывна и неотрицательна, функция Ф(и, w, у) непрерывна по у и аналитична по переменным и, w в точке и = w = О
Ф(и,ш,у)= 5? cij(y')utv:i	(7.2)
«+1^2
и функции Cij(y) непрерывны на отрезке [0, тг].
Решение для граничной задачи (7.1) строится точно так же как и для граничной задачи (1.1), (1-2). Пусть Aq — одно из собственных
значений задачи Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения
d^v
+ Хр(у\и = 0, г(0) = и(тг) = О, ауя
а ф(у) — соответствующая собственная функция. В курсах уравнений математической физики доказано, что все собственные значения этой граничной задачи простые и положительные, а собственные функции <Pk(y) ортогональны с весом р(у). Известна асимптотика собственных значений и собственных функций при п —> оо. Положим е = Ао — А и сделаем в уравнениях (7.1) растяжение = С- Вводя еще для краткости операторные обозначения
/ Qu \	д^и
F[u] = Ф( и, — ,у ),	Ви = ——т-+ Аор(у)и, (7.3)
\ оу J	оу^
перепишем уравнения (7.1) в следующем виде:
д^и
Ви = _1£1^72 +£^y)u-FM> u(^,o) = и(С,7г) = 0.	(7.4)
Можно формальное решение задачи (7.4) искать в виде ряда (2.4). Чтобы преодолеть значительные вычислительные затруднения, применим специальный прием для построения приближенного решения. Прежде всего, заметим, что неоднородная задача
Bz = f(y), z(0) = z(7T) = 0,	(7.5)
имеет решение в том и только том случае, когда правая часть f(y) ортогональна собственной функции ip(y)
= [ f(y}^(y}dy = O.	(7.6)
Jo
Решение уравнения (7.5) при выполнении условия (7.6) определено однозначно при дополнительном условии
(z,^) = 0.	(7.7)
Рассмотрим вспомогательную задачу
Bu = -F[v] + <р(у)(<р, <р)~1 (F[u], </?), и(0) = и(тг) = 0.	(7.8)
Будем искать решение задачи (7.8) в виде ряда по степеням параметра т
ОО
г>(у,т) = Е^(у), (.vk,<p) = 0', k = 1,2,...	(7.9)
fc=i
Положим
(ОО	ч	оо
12Tkvk ) = 527'fc+1Ffc+l(V*:)I Vfc = (ui,ui,...,Ufc,4). (7.10) k=l	'	fc=l
Воспользовавшись равенствами (7.3) и (7.5), можно было бы выписать явные выражения для Ffc+j(vfc). Так как они весьма громоздки и в дальнейшем не понадобятся, то не станем их выписывать. Заметим лишь, что Ffe+i(vfc) есть однородный многочлен степени к.
Подставляя ряд (7.9) в уравнение (7.8), получаем последовательность граничных задач для определения неизвестных функций и*,(у)
Вг>1 = 0, ufe(0) = ufe(7r) = 0, Bvfc = -Ffc(vfc_!) + ¥?(?/)(</?, <^)-1(Ffc(vfc_i), <p(y)).
Так как условие разрешимости (7.6) выполнено автоматически, то все уравнения (7.11) последовательно разрешимы и решение определяется однозначно, если потребовать выполнения условий
и1=^(у),	(^fc,<lp) = 0, к = 2,3,...	(7.12)
Из (7.9) и (7.12) следует, что
(у?,^)-1^,^) = т.	(7.13)
Сходимость ряда (7.9) доказывается методом мажорант Коши.
Преобразуем теперь уравнения граничной задачи (7.4), проектируя его на направление собственной функции tp и на направление, ортогональное <р. Положим
и(£, у) = *>(т(£), у) +	у), W(C °) = ш(£>7Г) = °,
w, ip) = 0,
где т(£) — новая неизвестная функция, которую будем предполагать бесконечно дифференцируемой.
Подставляя выражения (7.14) в уравнение (7.4) и воспользовавшись тем, что v(r, у) является решением задачи (7.8), получаем
Bw =	~ 1£|Э	+£p(y)M'r(£)>y) + w) -
- (F(u + w) - F(w)) - (</?, </?)-1</?(y)(F(w), <p), w(£, 0) = w(£,я).
(7-15)
Потребуем, чтобы правая часть уравнения (7.15) была ортогональна функции ip(y). Дифференцируя тождество (7.13), получаем
1/d2v \ d?r
Заметим, что в силу равенства (7.10)
(F(v),<^) = ("^^Ffc+^Vfc),^ = ^akTk+1,
4=1	' fc=i	(7-17)
Qfc = (Ffc+i(vfc ),</?).
7.14)
Кроме того,
Z ОО	ч	оо
(pv,<p) = [p^Tkvk,^ = 52 bk = (pvk,4>).	(7.18)
' k=i	' fc=i
Проектируя правую часть уравнения (7.15) на направление </?(у) и воспользовавшись равенствами (7.16)-(7.18), получаем
,2 I °°	°°
-signe^-- £afcTfc+1+52bfcTfc - (-pw+F(v+w)-F(v), у>). (7.19) £ fc=i	fe=i
В общем случае некоторые из коэффициентов ак могут обращаться в нуль. Пусть
ai = a2 = . •. = ар = 0, ap+i 0.	(7.20)
Перепишем уравнение (7.19) в функциональном виде
d2T
Slgn£^-
:pTp+1 Е
(7-21)
П1(т, w) = ^2bfcTfc - - 52 akT>:+1 _ -(-pw + F(v + w) - F(v),</?). fc=l	£ k=p+2
Проектируя уравнение (7.15) на подпространство, ортогональное (в смысле Л2(0, тг)) на подпространство, ортогональное <р, получаем
Bw = -1£|Й +fi2(T 00 d2(rk
„а _ _ыТ\„ ла +eP(p(u + w) -F(z> + w) - F(v)),
w(£, 0) = w(£, 7г) = 0,
к=2
(7.22)
где Р — оператор проектирования
Pz = z — (</?, </?)-1(z, ip).	(7.23)
Исходная задача эквивалентна решению системы функциональных уравнений (7.21), (7.22). Будем решение этой системы уравнений искать в виде ряда по дробным степеням параметра |е|
oo	oo
P(«) = I>M)-	<y)=MP£A<y),	М=Н1/р.	(7.24)
fc=l	fc=l
Из выражения (7.21) для оператора Qj следует, что Qi(r,ш) есть некоторый интегростепенной (в смысле Ляпунова) ряд, не содержащий первой степени w. Поэтому для определения получаем нелинейное дифференциальное уравнение:
р+1	,	.	п
-^2 = аРТ1 ~ Ь1 S1Sn £Т1 = °’
аР = (Fp+1 (vp), yj), 61 = (р<р, <р) > о.
(7-25)
Заметим, что в невырожденном случае р = 1 и из (7.25) уравнение
следует
(7.26)
(7.27)
(7.28)
(W, <Р)
(7.29)
“ ' 1	2 L	п
= ap7-f - bl sign ел = О, которое при помощи замены переменных
4 г /Г ai signe (F2<p, <р) signs 3 Ь	bi	(р<р,<р)	2’
сводится к уравнению (3.5). Второе из равенств (7.27) задает нормировку собственной функции <р. Заметим, что в силу однородности многочлена Ffc(vfc-i) выполняются условия
1	(F2(pvfe i),<p) _ (F2(Vfc i),<p)
Дальнейшее построение членов асимптотических рядов и доказательство теоремы существования и единственности производится по схеме, предложенной для задачи (1.1), (1-2).
Более сложным является исследование вырожденного случая р > 1. После замены переменных
t =	= I(Fp+i(vp), У>)1 = p + 2
61	(pip, <p)	2
уравнение (7.25) принимает вид d?ri (p+ 2) sign ap +i . ~d? =------------------------2-----rf — signer. =0,
aP = (Fp+i(Vp),p),	i>. = (p¥>,p) > 0.
В силу однородности многочлена Ffc(vfc_i) второе из условий (7.28) задает нормировку собственной функции. Умножая уравнение (7.29) на т( и интегрируя, находим первый интеграл этого уравнения
И)2 = signe^2 - sign(Eap)-r1p+2 - А).	(7.30)
Качественное исследование периодических решений уравнения проводится по аналогии с исследованием уравнения (3.7). Наиболее просто исследуется тот случай, когда число р — нечетное. В этом случае без ограничения общности можно положить sign(£ap) = 1, так как в противном случае можно было бы прийти к требуемому результату при помощи замены Л => —Л- При сделанном предположении уравнение (7.30) принимает вид
(т{)2 = signe^2 - rfp+1 - А).	(7.31)
Качественное исследование этого уравнения ничем существенным не отличается от качественного исследования уравнения (3.7), т. е. когда 2р + 1 = 3. Существует семейство периодических решений С(£, А), вырождающихся в уединенную волну при А —> +0. Интересно, что хотя
решение уравнения (7.31) уже не выражается в эллиптических функциях при р > 2 (оно выражается через гиперэллиптические функции), предельное решение выражается в элементарных функциях
с(4,+0) = (лЦ^)
Построение асимптотических рядов и доказательство теоремы существования и единственности проводится примерно так же, как и для случая р = 1.
Если число р = 2т — 2, т 2, то уравнение (7.30) принимает следующий вид:
(т{)2 = sign е(т? - sign(£a2m_2)r12m - Л).	(7.32)
Удобно положить
и = Т}, 2tiTj' — и', и 0 и записать уравнение (7.32) в виде
(u')2 — 4usign£(u — sign(Eap)um — Л), и 0.
Несложное качественное исследование показывает, что при sign(sap) = —1 замкнутые фазовые траектории существуют только при е < 0, т. е. при ар > 0. Если же sign(sap) = 1, то периодические решения существуют независимо от знака £. Построение асимптотических рядов и доказательство теоремы существования и единственности проводится в идейном плане по той же схеме, что и для случая р = 1.
§ 8. Квазилинейные уравнения
По аналогии с граничной задачей (7.1) рассмотрим граничную задачу для квазилинейного уравнения
(1 +а{их,иу,и, у))-х-~ + (1 +Ь{и1,иу,и,у))-— + оу	ох
+ Ф(их,иу,и,у,Х) = —Хр(у)и, и(х, 0) = и(х, тг) = 0 (8.1)
функции а(у, w, и, у), Ь(у, ш, и, у), Ф(гд w, и, у, А) непрерывны по у и регулярны по v, w, и, А в достаточно малой окрестности точки v = w = = и = 0, А = Aq.
Решение задачи (8.1) принципиально почти не отличается от исследования задачи (7.1). Усложнение заключается в том, что вместо пространств и D^, определенных в §5, придется рассматривать пространства гельдеровского типа и исследовать линейные операторы в этих пространствах. Пусть — семейство банаховых пространств дважды непрерывно дифференцируемых на (—оо,+оо) функций, четных и 2£-периодических при L Lq, вторые производные которых
удовлетворяют условию Гельдера с показателем а > 0. Норма в Н£ определяется следующим образом:
||х||= sup {е“‘(|т(0| + Ш1) + m + |y'WI} +
f lx"(t)eat -х"(г)еатП /o + sup 1 k 7 k >	1 . (8.2)
I H — T|	J
0^1
Аналогично вводится банахово пространство функций двух переменных, дважды непрерывно дифференцируемых в полосе (—оо < < х < +оо, 0 < у < тг), четных и 2/^периодических по х, вторые производные которых удовлетворяют условию Гельдера с весом еах. Подпространство ортогонально в смысле	собственной функ-
ции <р(у). Нетрудно показать, что операторы, рассмотренные в §5, будут обладать необходимыми свойствами и в соответствующих пространствах Гельдера, после чего построение асимптотических рядов и доказательство теоремы существования и единственности проводится по предложенной ранее схеме.
В заключение заметим еще раз, что все многообразие задач, которые могут быть в той или иной мере охвачены предложенной схемой, невозможно описать единообразно, и поэтому реализация предлагаемых идей в конкретных обстоятельствах может вызывать значительные дополнительные трудности, связанные со спецификой задачи.
§ 9. Постановка задачи о длинных волнах в неоднородной жидкости
Рассмотрим плоский установившийся поток идеальной несжимаемой неоднородной завихренной жидкости конечной высоты со свободной границей над прямолинейным дном в поле силы тяжести. Предполагается, что внутри жидкости имеется N — 1 границ раздела, на которых терпят разрывы первого рода плотность и тангенциальная составляющая вектора скорости. Начало декартовой системы координат возьмем на дне, ось у направим вверх. Пусть у = Yk(x), k = 1,..., N—1, являются уравнениями границ раздела у = Yjv(x) — уравнение свободной границы, р(х, у) — плотность жидкости, v(x, у) = (и(х, у), v(x, у)) — вектор скорости, р(х, у) — давление, д — ускорение силы тяжести. Предполагается, что 0 < У1(т) < ... < Yjv(x) и что поток симметричен относительно оси у и периодичен по гг с периодом 2L. Удобно также предполагать, что область у > Yn(x) заполнена фиктивной жидкостью, для которой р = 0, р = 0, v = 0. Предполагается, что функции р(т,у), р(х, у), v(rr, у) непрерывно дифференцируемы в каждой из областей
Tk = {(i,y): Yfc-i(^) < У < Yk(x),-oo < х < +оо}, k = l,...,7V, Уо(а;) = 0.
В каждой из областей Тк должны быть удовлетворены уравнения гидродинамики для установившегося потока несжимаемой жидкости
ди	dv	„	du
д—Ь з-	= О,	37
дх	ду	at
^ = 0,
1 др dv	1 др
рдх' dt $ рду'
d	д	д
— = и-------1- v —.
dt	дх	ду
(9-2)
В установившемся течении нормальная скорость на дне и на границах раздела обращается в нуль, давление при переходе через границы раздела меняется непрерывно, а плотность и тангенциальная составляющая скорости могут претерпевать разрывы первого рода. Перечисленные условия могут быть записаны аналитически
(v, п) = 0 при у = Уь(т), k = Q,...,N,	(9.3)
[p]fc=0, fc = l,...,AT,
где n — нормаль к границе раздела, [/]t — скачок функции f(x, у) при переходе через границу раздела
[f]k = /(х,+У(т)) - /(х,-У(т)).
В дальнейшем предполагается, что плотность убывает по высоте (стратификация устойчива) и что все неизвестные функции 2Ь-перио-дичны по х.
§ 10. Преобразование уравнений
Предположим, что установившийся двухмерный поток возник в результате потери устойчивости одномерным потоком, для которого
u = L7(y), т = 0, р = ро(у), Ро(у) =-дРо(у), 0<у<Н. (10.1)
Стратификация устойчива, р'0(у) < 0.
Предположим, что после потери устойчивости в частице сохраняются плотность и полная энергия. Пусть частица жидкости, находящаяся в точке (т,?/), в положении равновесия должна находиться на расстоянии т](х, у) от дна в положении равновесия. Функция т](х, у) должна быть интегралом уравнений движения
du п d	д	д
— = 0,	— = и——|- V—.
dt dt дх ду
Поскольку, в силу последнего из уравнений (9.2), dp др др 37 = и^~ +VW~ = °’ dt дх ду
(10-2)
т0 Э(д,77) = ° и’ слеД°вательн0, Р = р(у) = Ро(у).
Примем в качестве независимых переменных х, т], а у — в качестве одной из зависимых переменных: у = y(x,rf). Дифференцируя
тождество у = y(x,‘q{x,y')'), получаем
dq 1	dq	Ух	df(x,q(x, у))	df dfdq_
				
ду Уд	дх	Уч’	дх	дх dq дх
	df	yxdf	df(x,q(x,yY)	dfd^ Idf
				
	дх	Уд dq'	ду	dqdy yndq'
Кроме того,
dy{x,q)	dx	dq
v =			 dt	= ’-й+»’Л =Sl“-	(1“-4)
Преобразуем уравнение неразрывности
ди	ди	„ ди ух ди	1 ди
л“ + 7Г = 0’	7Г-~7Г + —7Г=0’
дх	ду	дх	ул dq	ул ду
ди	ди	ди	ди	ди	д(ухи)
Уд~г--Ух-^~ + -^-=0, Уп^------Ух-х-Н---а—=0>
дх	dq	ду	дх	dq ду
ди	д2у	_ д .
JAj-x- +	= °,	^-(иУт?) = 0.
дх	dxdq	дх
Из этого равенства и из (10.3), (10.4) следует, что
U(q) у = Ц(л)Ух и _ J_
Уд '	Уд ’ v Ух’
(10.5)
где (/(т?) — произвольная функция.
Преобразуем уравнения Эйлера. Воспользовавшись соотношением (9.2), получаем
du(x, т?)	ди dx	ди dq ди
dt	дх dt + dq dt	Uдх'
du(x, q)	ди dx	ди dq	ди	и ди
dt	дх dt	dq dt	дх	ух дх ’
Если воспользоваться еще правилами (10.3), то уравнения Эйлера принимают вид
иди =_____+	1 др /106х
дх p(q)dx p(q) Уд dq' ух дх	р(л)Уд dq'
Умножая второе уравнение (10.6) на p(j])yx и складывая результат
с первым уравнением (10.6), получаем
+ г>2)+р + р(л)9у \ =0,
дх ' 2	'	(10.7)
+ и2) + р + p(q)gy = H(q), H(q) = ^U2{q) + ро(т?) + gq, Z	&
поскольку в одномерном потоке у = q и после потери устойчивости сохраняется полная энергия Н.
Используя уравнения (10.5), получаем первый интеграл
£^)[/2(77)Ц^+р + (О(77)52/ = Н(77)	(10.8)
Воспользовавшись последним уравнением (10.6) и уравнениями
(10.5), получаем
адз(у(,)Ь) =
Ут, дх\	Ут, J
= s-
РМ)Учдт1\	2
или
(10.9)
Так как давление р и функция у при переходе через поверхности раздела 0 < гд < ... < тру = 1 меняются непрерывно, то, используя (10.8), получаем граничные условия
[y]fc = о,
Пусть
=о, k = i,...,N, . 1	Ут,	J к
у(х,0) = 0.
(10.10)
w(r, т)) = у - т;,	а2(ц) = д(77)[/2(?7)	(10.11)
есть отклонение по вертикали жидкой частицы от положения равновесия. Уравнение (10.9) и граничные условия (10.10), используя выражение (10.7) для функции Н, запишутся в виде
д ( ,. . (dw \\	9. . д (dw _ \	,, ,	„
Г ° я" -F1W +о	Я? - F2w -р (rj)w = 0,
ОТ]\ \ОТ]	))	dx \dx	)
-Fjw - gp(j])w /	- к
= 0,
[w]fc — 0, к = 1,..., N,
w(r, 0) = 0,
(10.12)
где
_ 1 3w2 + 2w2 + w2
F1W 2	(1+w,)2
_	WxWr,
F2w = ——
1 +Wt,
(10.13)
Нелинейная граничная задача (10.12), (10.13) на собственные значения более сложная, чем задачи § 2, так как коэффициенты уравнений имеют разрывы первого рода и заданы условия согласования. В дальнейшем будет показано, что эти усложнения имеют технический
характер и результаты § 2 переносятся на проблему исследования длинных волн в стратифицированной жидкости.
Потребуем также дополнительно, чтобы та уединенная волна, которая есть предел периодических волн при длине волны L —» оо, вырождалась бы в невозмущенный поток при х —» оо. Это означает, что
lim lim w(x, 77, L) = lim lim y(x, 77, L) — 77 = 77 — 77 = 0. (10.14)
£—»oo L—*+00	£—»oo L—»4-oo
§ 11.	Исследование линейной задачи
Отбрасывая в уравнении и граничных условиях (10.9) нелинейные слагаемые и производные по х, приходим к линейной задаче на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами
d ( э / \ dz \	. .
й^\а ~9Р (7?)2 = 0’ ат} \	ат) J
о / \ dz	/ \
а W^-9PWz
“’I J к
= 0, [z]fe = О,
z(0) = О,
к = 1,...,7V,
(П-1)
PW) /? > 0.
Граничная задача (11-1) сводится к задаче на собственные значения для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Построим функцию Грина
G(77,£) =
Г ^(77), 77 < t
( u(£), 77 t ’
Jo
dr
a2(r)'
(П-2)
Функция G(r], t) обладает всеми свойствами функции Грина:
a)	G(r], t) 0, G(r], t) = G(t,Tf), G(j],t) — непрерывная функция в квадрате 0	77	10 t Н.
б)	При фиксированном t / r]i, i = 1,..., N, функция G(r], t) непрерывно дифференцируема и
d dr)
= 0.
в)	При t / r]i, г — 1,..., N, производная dG/dr) терпит разрыв первого рода при переходе через прямую 77 = t, причем скачок равен —1.
Используя эти свойства функции Грина, легко находим, что решение неоднородной задачи
(П-З)
имеет вид
Г1	"
z(tj) = ~ / Gfr, dt + ^2 G(V,Пк)ак- (U-4) fc=i
Используя формулу (11.4), сведем граничную задачу (11.1) к задаче на собственные значения для интегрального уравнения
Г1	п
ZM = ~9	G'(7?,t)p'(f)z(t)dt + ^52G(77,%)[p]fcz(T?fc).	(11.5)
Jo	fc=l
Заметим, что —p'ftf) 0 и, следовательно, функция — p(rf) порождает неотрицательную меру Лебега-Стилтьеса dpp. Уравнение (11.5) записывается следующим образом:
fH
z(rf) = g G(rj,t)z(t)dpp(t).
Jo
(П-6)
Обозначим через 14(0,1) гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом по мере dpp. Скалярное произведение в этом пространстве имеет вид
(z, w

dpp{t).
Интегральный оператор А, действующий в L^O, 1) по правилу
G(T/,£)z(t) dpp(t),
(П-7)
является непрерывным и самосопряженным. Так как ядро этого оператора неотрицательно, то все собственные значения этого оператора будут простыми и положительными. Если р'(т]) = 0, то пространство Н) будет /V-мерным и оператор А имеет ровно N собственных значений. Если же //(т?) / 0 на множестве ненулевой меры, то множество собственных значений счетное и имеет единственную точку сгущения +оо. Из уравнения (10.6) следует, что собственные функции непрерывны.
Пусть i/q — собственное значение задачи (10.1), a <p(j]) — соответствующая собственная функция. Рассмотрим неоднородную задачу
d ( п dz \
^-(а MjT I -уоР W)z = f<jn), ш]\	ат) J
г(0) = 0,
2 / \ dz
а ~ yopW)z
“’I	Jfc
(П.8)
= Qk,
[z]fc = о,
к = 1,...,Я,
где f(rf) — непрерывная функция с кусочно-непрерывной производной.
Воспользовавшись формулами (11-4) и (11.5), получаем
2(77) = iz0/ G(7],t)z(t)dp,p(t)- [ G(r1,t)f(t')dnP(t)+ У2С(т],г]к)ак.
Jo	Jo	к=1
(П-9)
Поскольку <p(rf) — собственная функция самосопряженного оператора А, определенного равенством (11.7), то неоднородное уравнение (11.9) разрешимо в том и только в том случае, когда правая часть этого уравнения ортогональна <д(т?) в смысле Ь^(0,1):
[ ¥’(7?)( [ 0(7/, t)/(t)dt-J2 0(7/,	d/zp(77) =0.	(11.10)
Jo \Jo	fe=1	/
Воспользовавшись теоремой Фубини и тем, что для симметричного ядра
"о / С(т7, ^(77) dfip(T]) = 93(77),
JO получаем условие разрешимости в виде
-1	оо
/ /(t)^(i) Л - 52	= 0.
do	fc=1
(H-И)
В дальнейшем будет использована следующая разновидность задачи (11.8):
ат] \ \ат] JJ
- vop'W)z = /(77) - p'(t7)x(t?),
ydrj /
- Vop(rf)z
= ~[p\kX(j1k),
(П-12)
k
z(0) = 0, [z]fc = 0, k — 1,..., N,
где функции и х(^) непрерывны и имеют кусочно-непрерывные производные. Условие разрешимости задачи (11.12) следует из (11.11):
Ж)(Ж - p'WxW + ^(a2(tMt))) dt -
N
- 52	+ few)- (низ)
k=i
Интегрируя по частям, получаем уравнение разрешимости в виде
У a2(t)^(t)^(t)dt = У f(t)p(t)dt + у p(t)^(<p(t)x(t))dt. (11.14)
Соотношение (11.14) задает условие разрешимости задачи (11.12).
Собственные значения и собственные функции определяются из уравнения (10.9). Рассмотрим несколько важных частных случаев.
a)	p'(t) = 0, p = 1, а(т?) = 1. Это одномерный однородный поток.
Уравнение (11.12) в этом случае принимает следующий вид:
г(ту) = pGfa, l)z(l),	G(t], 1) = т/.	(11.15)
Полагая в уравнении (11.15) 7] = 1, получаем и — 1. Вспоминая формулу (10.3) для безразмерного числа I/, получаем
с2 = дН, z(jf) = т].	(11.16)
Таким образом, получена известная формула для скорости распространения длинных волн в линейном приближении. Функция z(jf) принимает наибольшее значение на свободной границе 7] = 1. Так как = C(t)z(t7), то возмущения в однородной жидкости затухают с увеличением глубины, что является хорошо известным фактом в линейной теории волн.
б)	Рассмотрим невозмущенный одномерный поток двухслойной жидкости. Для простоты будем считать, что скорости слоев одинаковы. Примем скорость потока за единицу скорости, плотность верхнего слоя — за единицу плотности, глубину потока — за единицу длины. Плотность жидкости в нижнем слое обозначим через 1 + Е, а глубину нижнего слоя — через h, 0 < h < 1. Из (11.14) получаем
а2(т?) = р(т])и2(г}) =
0 < г/ < h, h < т] < 1.
(П-17)
Подставляя выражения (11.17) в (11.2), получаем
и(т?) = <
г)
1+е’ h
1 + е’
0 < т) < h,
h < т] < 1,
г(п Л - f и^' 1««),
Уравнение (11.5) принимает вид
0 < 7] < t 1, о + t 7) 1.
(11.18)
z(t?) = i/(eG(77, /i)z(/i) + G(tj, l)z(l)).	(11.19)
Замечая, что
G(/i, h) = G(l, h) = G(h, 1) = u(/i) =	= a,
(П-20)
G(l,l) = l-y^- = l-Ea.
Подставляя в уравнение (11.19) 77 = /ги7;=1и используя (11.20), получаем
(аг — — ^z(/i)+az(l) = 0, aez(h) + ^1 — аг— — ^z(l) = 0. (11.21)
Характеристическое уравнение имеет следующий вид:
~2 ~ ~ + Q(1 — а)£ ~ q2£2 = 0-	(11.22)
При достаточно малых значениях параметра е уравнение (11.22) имеет следующие решения:
— = 1,	— =Eh(l-h),	(11.23)
i/i	i/2
так как а = 1 + о(1) при г —> 1. Найдем соответствующие собственные функции. Подставляя в уравнение (11.21) и — 1, получаем с точностью до о(1), что zi(l) = zi(/i) = 1.
Из уравнения (11.19) получаем
М7?) = CoG(^, 1) + о(1) = 7] + о(1).
Функция zi (ту) возрастает и достигает максимума на свободной границе. Таким образом, первому собственному значению соответствует решение, близкое при малых значениях е к соответствующему решению для однородной жидкости.
Подставляя в (11.21) выражение (11.23) для i/2, получаем с точностью до о(е)
e/i2z2(/i) + /iz2(l) = 0,	22(1) = —h,	z2(h) = l/E,
z2(rj) = G(yi, h) - hG(r), 1) + o(e).
Используя теперь (11.18), получаем
, x = f u(t7)(1 - /г) + o(e) = 77(1 - h) + o(e),	77O,
Z2 ( u(/i) — /11/(77) + °(e) = ^(1 — 77) + o(e), 77 h,
Функция z2(?7) с точностью до o(e) принимает наибольшее значение при 77 = h, т. е. на поверхности раздела. Это соответствует тому хорошо известному явлению, что в двухслойной жидкости может наблюдаться феномен внутренних волн.
Возвращаясь к размерным переменным и воспользовавшись формулой (10.3), получаем формулу, связывающую скорость распространения внутренней волны с глубиной потока (в линейном приближении теории длинных волн)
с2 =	=	! _	=
»2	Р
где Hi и Н2 глубины слоев, р — плотность верхнего слоя.
§ 12. Построение асимптотических рядов для задачи о длинных волнах
Пусть i/Q — собственное значение, а 92(77) — соответствующая собственная функция. Введем малый параметр
Е = I/O — I/,	(12.1)
сделаем растяжение
С =
(12-2)
и будем искать w(£,rf) в виде ряда по степеням малого параметра е:
(12.3)
fc=i
Подставляя разложение (12.3) в уравнение граничной задачи
(10.14), получаем
^г)) = С(Ш	(12.4)
Для определения w2(£,t?) приходим к граничной задаче
д ( 2, Vdw2	3/5wA2\\ ,z х
“ Д W) Г 'w (’)”'2 =
=	«’К.о)=о.	(125)
2 ( \(	3 / dw\ \ \	. .	г ,
а ~ 2 \~dJj~)	y°p^>W2 = -
[w]t = 0, к = 1,..., N.
Задача (12.5) имеет вид задачи (11.22). Используя условие разре-
шимости (11.14), получаем
if	=
2 Jo \ ^7 /
Г1 2	52Ш1	Г1 d .
= ~ Jo а	+ Jo PW^WWi)™]-
Воспользовавшись формулой (12.4) получаем дифференциальное уравнение для определения неизвестной функции С(^)
sign еС” + biC2 — Ъ2С = 0,
а2(7?)(^'(^))3^^	,	(126)
^2 = 2 f	drjf f а2(т?)<р2
Jo	wo	/
За счет выбора знака собственной функции </?(?]) можно сделать неотрицательным b-у. Неотрицательность 62 покажем при помощи интегрирования по частям
/	dr] = ^2[p]fc^2(/ifc) - [ p'^^^d-rj^O,
Jo	k=i
поскольку р(т}) — убывающая функция. Предположим, что /3	0.
Если (3 = 0, то асимптотический процесс усложняется и строится по схеме § 7.
Уравнение (12.6) нетрудно при помощи подстановки
t = ^y/b^,	=	р(л)(ф2(т))У dT](J° а2(т])<р2(т))с1т]^ = |
(12.7) свести к стандартному уравнению
sign еС" + |с2 - С = 0.	(12.8)
Только при е > 0 это уравнение имеет единственное 2£-периодиче-ское решение, удовлетворяющее условию
lim C(L) = 0.	(12.9)
L—+оо
Следовательно, е = i// — и > 0, где и определяется формулами (12.2) и (12.3), a i/i — некоторое собственное значение граничной задачи (3.1). Скорости ci, соответствующие собственным значениям щ, будем называть критическими и обозначать с(кр. Из формул (9.2) и (9.3) получаем
0<» = «-'=(Д5-^. г>гг. = кЧ / с	V
Решение уравнения (12.8) находится при помощи формул (11.11) и (11.12):
(7(£) = а + (/3 — а)сп2 , к^, £ = ху/ё, е = щ — и,
y(x,ri,e, L) = rj + e<pi(7])C(xy/e, L), L = K(fc), к2 = ——,
P +7
a = У/З + 7,
где a, /3, 7 — нули многочлена С3 — С2 + А = 0, K(fc) — полный эллиптический интеграл. В пределе при L —» оо
ОД = sech2
где t>2 определяется формулой (12.6).
Дальнейшее построение членов асимптотического ряда (11.3) и доказательство теоремы существования и единственности проводится по схеме предложенной ранее. Некоторые усложнения, связанные с исследованием линейных дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами в гельдеровских пространствах с весом, не носят принципиального характера.
Итак, имеется конечное или счетное множество критических значений для средней скорости невозмущенного потока таких, что при скоростях, превышающих соответствующую критическую скорость, но
близких к критическим, существует семейство 2£-периодических, четных по х форм равновесия потока (длинных волн), которые при фиксированном значении средней скорости потока равномерно по L вырождаются в уединенную волну (солитон) при L —» оо.
Из формулы (12.4) получаем, что
у(т/, т) = еС(х	+ о(е),
причем о(е)/е —> 0 равномерно по х, rj, L при L Lq, 0 С Г) 1, —оо < х < +оо. Из известных свойств собственных функций следует, что максимальные отклонения линий тока от равновесного положения будут наблюдаться не на свободной границе, а на внутренних линиях тока.
§ 13. Решения, описывающие эволюцию стационарного решения модельного нелинейного уравнения параболического типа после потери устойчивости
Рассмотрим простое нелинейное уравнение параболического типа
ду(х, t) d2y(x,t)	4	,
dt = at2	“ зу M (13л>
в полосе 0 < х < тг. Будем рассматривать ограниченные решения этого уравнения, обращающиеся в нуль на границе полосы. Если задано еще и начальное условие, то решение задачи Коши существует и единственно.
При любом значении параметра А задача (13.1) имеет тривиальное решение. Покажем, что при 0 < А < 1 тривиальное решение асимптотически устойчиво в смысле среднего квадратичного. Пусть
z(t) = / y2(x,t}dx Jo
Умножая уравнение (13.1) на у(х, t) и интегрируя его по х от 0 до тг, получаем
1	4 /*’ л
-z'(Z) + (1 - A)z(t) + з уо У (*, t) dx = 0.
Отсюда следует, что
z'(i) + (1 - A)z(t) < 0,	(e(1~A)tz(i))/ < 0, z(t) < z(0)e"(1-A)t
и, следовательно,
z(£) — / У2(;г1 0 dx —» 0 при t —> +оо. Jo
Можно показать, что при 0 < А < 1 тривиальное решение асимптотически устойчиво в смысле равномерной сходимости и неустойчиво по Ляпунову при А > 1.
Мы получим более сильный результат. Оказывается, что при значениях А > 1 существует специальный класс решений, описывающих
переход при t —» +оо к некоторому стационарному состоянию. Если начальные возмущения достаточно малы, то решение соответствующей задачи Коши асимптотически стремится к одному из таких специальных решений «перехода».
Полагая в уравнении (13.1) А = 1 + е2 и делая растяжение времени т — 2ts2, получаем
„ 9ду(х,т) д2у(х,т) .	ч 4 ,,
2£ ~~дт~ =	+ (1 +')S(I'т) “ 5s <*’т)’	(13.2)
3/(0, т) = з/(тг,т) = 0.
Будем искать формальное решение граничной задачи в виде ряда по степеням малого параметра
3/(г, Г, е) = £3/1(1, Г) + £33/3(1, т) + . . . ,
3/г(0,т) = з/Дтг.т) = 0.
Подставляя разложение (13.3) в уравнение (13.2) и приравнивая коэффициенты при степенях параметра е, получаем для определения коэффициентов последовательность граничных задач. Для определения первой функции получаем задачу
---^2’ 7 + 3/1 (х,т) = 0, 3/1(0, г) = 3/1 (тг, г) = 0.	(13.4)
Решение граничной задачи (13.4) имеет вид 3/1(1,т) = С'(т)sini, где С'(т) — неизвестная функция, которая должна быть определена из условия разрешимости последующих граничных задач. Для определения 3/3(1, г) получаем граничную задачу
^дх2^	~	- С'('г) + С3(т)) sin rr _ ^C3(r)sin3x,
3/з(0, г) = з/з(тг,т) = 0.
(13.5)
Для разрешимости этой граничной задачи необходимо, чтобы правая часть уравнения была ортогональна собственной функции sin а:. Следовательно, функция С'(т) должна быть решением дифференциального уравнения
2С'(т) - С(т) + С3(т) = 0.
Это уравнение инвариантно относительно сдвига независимой переменной. Оно имеет решение
а(т) = ±	• >	(13.6)
V1 + е~т
определенное на всей вещественной оси. Такое решение реализует монотонный и гладкий переход от нуля до единицы. График такой функции иногда называют логистической кривой. Таким образом, первый член ряда (12.3) можно взять в виде еа(т) sin х. Модифицируя рассужде
ния § 1-4, можно показать, что все члены ряда (12.2) могут быть последовательно вычислены, причем как функции т они ведут себя так же, как первый член ряда. Существует точное решение Y(х, 2te2, е), для которого построенный ряд будет равномерно асимптотическим при £ —> 0 [23, 24]. Более широкий класс решений типа перехода получается сдвигом времени У(х, 2E2(t — to), е). При t —» +оо все члены ряда (13.3) имеют предел, причем эти пределы не зависят от выбора значения to- Заметим еще, что за счет выбора to начальное значение Y(х, —2e2to, е) может быть сделано сколь угодно малым. Пусть 5 > > 0. Всегда можно при £ £q < 1 подобрать такое N, что £N < 6/2. За счет выбора to отрезок ряда (13.3) длины N можно сделать меньше (5/2. Так как точное решение равномерно отличается от отрезка ряда не более чем на 6, то Y(.т, —2E2to, г) < 6.
Продемонстрируем идею, на которой основано доказательство того, что при t —» оо тривиальное решение будет эволюционировать так же, как специально подобранное решение типа перехода. Пусть начальное возмущение у(х, 0) произвольно мало. Разложим его в ряд по собственным функциям
у(х, 0) — р sin 1 + 62 sin 2х + ...
Подберем число to так, что е(1 + е£ ‘о)-1/2 = р. Рассмотрим функцию
£(x,t,E) = y(x,t,s) — Y(x,2£2(t — t0),E).	(13.7)
Если составить для функции £ функциональное уравнение, то оно имеет единственное решение в классе функций, равномерно стремящихся к нулю по экспоненциальному закону при t —» +00. При доказательстве существенно используется то, что за счет выбора параметра to разложение £(х, □, е) не содержит главной моды с sinx. Из (12.7) следует, что разность y(x,t,E) — Y(x,2£2(t — to), е) равномерно стремится к нулю при t —> +00. Поэтому решение задачи Коши при малых начальных значениях ведет себя асимптотически так же, как функция Y(x, 2s2(t — to), е), а асимптотика этой функции при t —» +00 не зависит от to-
Уравнение (13.1) содержит кубическую нелинейность со знаком минус. Можно показать, что добавление нелинейных членов более высокого порядка в этом случае не влияет качественно на результат. Если у кубической нелинейности поменять знак, то не существует решений определенных при всех t 0. Решение за конечное время уходит в бесконечность. Если главный член нелинейности квадратичный со знаком минус, то при А < 1 будет устойчиво тривиальное решение, а при А > 1 тривиальное решение эволюционирует после потери устойчивости к некоторому решению типа перехода.
Обобщения рассмотренных задач изучались в работах [24-30]. В работе А. А. Белолипецкого и А. М. Тер-Крикорова [24] была рассмотрена абстрактная модель, в рамки которой умещаются многие прикладные задачи. Некоторые основные элементы этой модели рассмотрены в следующем параграфе.
§ 14. Построение фундаментальных решений абстрактного нелинейного параболического уравнения в окрестности точки бифуркации
Изучается абстрактное параболическое уравнение, содержащее вещественный параметр А
du
— + (_В1(А)Л1 + Ci(A))-u = Ф(и), ti < t < <2i	(1^-1)
at
где a: R —» Е, банахово пространство Е допускает комплексификацию. Пусть L — пространство ограниченных линейных операторов S — пространство замкнутых линейных операторов в пространстве Е. Делаются следующие предположения.
Предположение 1. Операторы Bi (A), (71(A) Е L. Эти операторы аналитичны по параметру А. Оператор Bi(A) имеет при каждом А ограниченный обратный
СЮ	сю
ВДА) = 52 ВцХ\ СДА) = 52 (7ПА\ А, < А < А2.
г=0	г=0
Операторы Вц, Си Е L, и множество их норм равномерно ограничено.
Оператор Ai € S и его область определения плотна в Е.
Предположение 2. Оператор Ф(и) аналитический в Е-.
ОО
Ф(и) = 52 FkUk,	(14.2)
fc=2
здесь Fk — ограниченный мультилинейный оператор в Ек:
||Ffc(ui,..., ufe)||Ek MfeHuillfi... HufcllE.
Если 6 £ R, то из определения операторов Fk следует, что коэффициенты формального разложения в степенной ряд
(ОО	к	оо
52skwk} = 52 sk$k(wk-i), wfe = (wi,...,wfe),
k=l	'	k=2
будут обладать следующим свойством однородности:
Ф/с(аш1,... ,afcw*:) — акФк(й>к)-
Если уравнение
(5[(Ао)Л1 + Ci(A0))u = 0	(14-3)
имеет нетривиальное решение uq, то значение параметра Ао будем называть бифуркационным.
Предположение 3. Бифуркационное значение изолировано, а подпространство решений уравнения (14.3) одномерно.
При сделанных предположениях линейный оператор A =Bi(Aq)j4i+ + Cj(Ao) принадлежит пространству S и область его определения плотна в Е.
Предположение 4. Неоднородное уравнение Ли = /, f € Е, разрешимо в том и только в том случае, когда (и$, f) = 0, где Uq € Е*, (и^,и0) = 1.
Пусть Ео = {и: и € Е, (uj, и) = 0}, а Ло сужение оператора Л на подпространство Ео- Очевидно, что D(Aq) € Eq, Ло — замкнутый, однозначно обратимый оператор. В силу теоремы Банаха обратный оператор Ло1 е L.
Предположение 5. Существуют числа /3 > 0, ш > 0 такие, что сектор | arg(£ + /3)| < тг/2 + w принадлежит резольвентному множеству оператора -Ло и ||(£/ + Ло)“1 ||£о М/(|£| + 1).
Из предположения 5 следует (см., например, [31]), что —Ло есть инфинитезимальный оператор полугруппы Tt такой, что
||Tt|| Ме~^.	(14.4)
Если f':R—>EoHf — ограниченная функция, имеющая ограниченную сильную производную, то неоднородное уравнение
(14.5)
в нуль
имеет единственное ограниченное решение, обращающееся на —оо (см. [31])
/t	r-f-oo
Tt_r/(r) dr — Tsf(t - s) ds.
-oc	J О
Из (14.6) следует, что
Tsf'(t - s) ds = i Tt_Tf'(r) dr. J — ОС
Полагая
A = Ao + г, eB(e) = (B^A) - В1(А0))ВГ1(А0), гС(£) = (71(А)-(71(Ао), преобразуем уравнение (14.1) к виду
+ (/ + eB(e))Au + eC(e)u = Ф(и), ti < t < t2-dt
Это уравнение будет исследовано при малых значениях г ра е. Наконец, предполагается выполненным одно из двух условий.
Предположение 6. Операторы Л и В(е) перестановочны.
Предположение 7. B*(e)uq £ О(Л*).
Можно показать, что предположение 7 является следствием предположения 6, но не наоборот.
Сделанные предположения выполнены для многих практических задач, где они носят естественный характер. В частности, они выполнены для простой задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе.
(14-6)
(14-7)
(14-8)
(14-9)
§ 15. Вспомогательная задача. Фундаментальное решение
Рассмотрим вспомогательную задачу
Av = РФ(ц),	(15.1)
где Р есть оператор проектирования на Eq, Ри = и — uq{uq, и). Решение задачи (15.1) может быть найдено в виде сходящегося ряда по степеням произвольного малого параметра <5:
v(5) = ^2<Sfcvfe, У!=и0, vk = А^РФ^к-г), г = 2,...	(15.2)
k=i
Пусть
ak = (uo,$fc_i(vfc_i)), к = 2,...	(15.3)
В общем случае аг = аз = ... = ар = О, ар+1 0.
В этом случае уравнение (15.1) можно записать в виде
Ли(<5) = Ф(и(<5)) - и0 У2 а^к-	(15.4)
fc=p+i
Будем говорить, что решение и(t, е) уравнения (14.9) Ао-регулярно на (<1,<г)1 если функция
<5(t,e) = (uo,u(t, г))	(15.5)
равномерно по t стремится к нулю при е —» 0. Будем Ао-регулярное и ограниченное на R решение называть фундаментальным решением.
Любое Ао-регулярное решение может быть представлено в виде суммы
u(t,e) = v(<5(t,£)) + C(t,€), C(t,e) e Eo.	(15.6)
Подставляя (15.6) в уравнение (14.9) и воспользовавшись тем, что и(<5) удовлетворяет уравнению (15.4), получаем
+ + (/ + +£С^ +
UL CLO CLt
+ (/ + еВ(е)) (Ф(и(<5)) - и0 £ afc<5fcVc(e)v(<5) = Ф(и(<5) + <). '	fc=p+i '
(15-7)
Используя предположение 7, получаем
(u'0,v(6)) = 6,	{u*q,(I + eB(e)AK + eC(e)<:) =e(w5(e),C),
w5 = (H*B*(£) + C*(£))a5.
Проектируя теперь обе части равенства (15.7) на направление и0 и на ортогональное подпространство Eq, получаем ^-ар+15р+1+Еб(и*,С(0)ио) = £ ак6к - e(w*, 0 + (iz£, Ф(<5,0), к=р+2
% + (1+£рв(еУ)АС + еРСМ; =
at
°°
= У kvi^-1 - s5PC(0)uo + РФ(<5,0, dt^2
(15.8) где
Ф(5,0 = Ф(и(5) + 0 - Ф(и(5))-
-еВ(е)Гф(и(5))-«о £	-e6(C(e)-C(0))uo-eC(£) У vk6k.
'	fc=p+2 '	к=2
§ 16. Построение приближенного решения
Пусть
т = еЫ, Ь = — (и*, C'(O)uq),
(—£Ь/ар+1)1/р, если р нечетно,
± |sb/ap+i|1/p, если р четно,	(16.1)
( 1, если р четно и sb/ap+i < О, [ — 1, если р четно и £6/ap+i > 0.
В любом случае £ = nap±ipp/Ь.
В новых обозначениях уравнения (15.8) принимают вид
37 - <5 + np~p6p+1 + £(uq, С(0)цо) = at
1	00	1	1
= ~h Е afe5fe--(w5,0 + -(uS^(J,0),
(16.2)
£bli+ (/ + £РВ^А<+£РС(£)С = J г 0°
= -Еб— У bfc^-1 -e6PC(0)uo + P$(6,O.
dt
к=2
Формальное решение системы (16.2) будем искать в виде ряда по степеням малого параметра р +оо	оо
<5 = УдЧ(т), С = МрУ/?0(т).	(16.3)
fc=l	к=1
Для определения <$i получаем уравнение
= 61-кб1+1.	(16.4)
ат
Уравнение (16.4) решается в элементарных функциях. Поскольку уравнение инвариантно относительно сдвига независимой переменной, то достаточно найти его частное решение.
Уравнение (16.4) имеет решение определенное и ограниченное на всей вещественной оси только в двух случаях: когда р нечетно, или р четно, но Ebap < О
<51(т) = а(т) = (1 + е_рт)-1/р	(16.5)
Общее решение получается при помощи произвольного сдвига независимой переменной. Функция а(т) задает диффеоморфизм R на (0,1).
Остальные члены рядов (16.3) последовательно определяются из уравнений
N6i = dSi/dr - 5t + (p+ l)ap(r)(5j = _ft(<5,-i, Ci-i), i = 2,...,
. r _ n Л- 7	(16.6)
I “il Ci—li I •
Правые части уравнений (16.6) содержат функционалы fi и операторы <pi, конкретный вид которых последовательно определяется из этих уравнений. Эти функционалы и операторы применяются к функциям, определенным из решения уравнений предыдущих приближений. Структура уравнений (16.2) такова, что область значений операторов <pi принадлежит пространству Ео- Следовательно, второе из уравнений (16.7) всегда разрешимо и € Eq. В частности,
N62 = ар+2<5р+2/ар+МоС1 - -5iPC(0)uoap+i/b.	(16.7)
Введем в рассмотрение пространство Банаха Са, 0 < а < 1, состоящее из непрерывных на R функций с конечной нормой
||/||с. = sup а-“(т)|/(т)| + sup а-“(т)(1 - а(т))-“|/(т)|.	(16.8)
tER	tER
Теорема 1. Линейный оператор Т = N-1 взаимно однозначно и непрерывно отображает пространство Са на Са.
Лемма 1. Пространство Са является алгеброй.
Элементарное доказательство этих теорем содержится в работе [24].
Пусть Si есть минимальная алгебра, содержащая а(т). Очевидно, Si С Са. И пусть S2 есть множество функций таких, что для каждой функции f € S2 найдется такое к и функция 99 Е Si, что f = Tkip. Обозначим через S минимальную алгебру над R, содержащую S2. В силу леммы 1 S С Са.
Лемма 2. Если f € S, то f Е С°°(7?), а все производные € S.
Преобразуем подпространство D(Aq) в модуль М над алгеброй Е с естественной операцией умножения функций f € Е на функции w G е D(A0). функция р(т) е М, если ^(т) = /i(r)wi + ... + /п(т)шп, причем fi(r) &T,,Wi е D(Aq), i = 1,... ,п. Из леммы 2 следует, что все производные <p(k\r) € М. Если и* € Е*,	€ М, то /(•) = (и*,9?(-)) € Е.
Из сформулированных выше утверждений следует, что все уравнения (16.6) последовательно разрешимы, причем <5j € Е, € М.
§ 17.	Доказательство существования фундаментального решения и асимптотичности ряда для фундаментального решения
Рассмотрим банахово пространство Ва, 0 < а < 1, функций f: R —» —> Ео, имеющих сильную производную. Норма определяется равенством
11/||ви = sup(a-“(r)||/(т)U) + sup(a~Q(r)(l - а(т))-“||/'(т)||£о). rgR	тёЛ
Рассмотрим уравнение
dx 1
— + -Моя = /(’), 7(т) G Ва, sb > 0, те Я, (17.1) dr sb
и будем искать решения обращающиеся в нуль на бесконечности.
Теорема 2. Существуют числа ~/о и Со такие, что при 0 < sb < < 7о уравнение (17.1) имеет единственное решение, обращающееся в нуль на бесконечности
x(r) = Sf=[ T(T_s}/ebf(s)ds.	(17.2)
J — оо
Оператор S € L(Ba) и
||5/||bq OColl/U-
Линейный оператор Aq/еЬ является инфинитезимальным оператором голоморфной полугруппы ТТ/еЬ .
Теорема 3. Если выполнены предположения 1-7, то сущестпву-ет положительное число s0 такое, что при |е| < £о сущестпвует фундаментальное решение u(r,s) = v(6(t,s)) + £(т, е), где функция и(<5), определенная равенством (15.2), есть решение вспомогательной задачи, функции <5(r,s) G Са и С(т, е) € Ва являются решениями системы (16.2). Ряды (16.3) асимптотические: при s —» О
о,

С(т,е)-£^+ЧДт) г=1
функции 6i и Q удовлетворяют уравнениям (16.6), <5i(r) = a(r), параметры sup связаны соотношением (16.1).
Доказательство этих теорем см. в статье [24]. Оно проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы существования уединенных волн в § 6.
§ 18.	О стабилизации решений задачи Коши
Теорема 4. Пусть u(t, г) есть фундаментальное решение иеЬ > > 0. Тогда при |е| < £q существуют равномерные пределы
lim u(t,E) = й(е), lim u(t,e)=0,	lim	= 0, (18.1)
t—+4-oo	t—►—oo	t—+oo	dt
где й(е) есть стационарное решение задачи (14.9). Если еЬ < 0, то точки ±оо нужно в пределах поменять местами.
Поскольку U(t) = u(t — to) также есть фундаментальное решение, то функция U(t) также обладает асимптотическими свойствами (18.1), следовательно, начальное значение U(0) = u(—to) можно сделать сколь угодно малым и, тем не менее, U(t) будет равномерно стремиться к стационарному решению при t —» +оо. На этом свойстве основано доказательство теоремы об асимптотике решений задач Коши. Можно показать, что при некоторых ограничениях на начальные данные любое Ао-регулярное решение задачи Коши при t —» +оо ведет себя так же, как некоторое фундаментальное решение и, следовательно, стремится либо к нулю, либо к стационарному решению. Точные формулировки и доказательства см. в статье [24].
§ 19.	Фундаментальные решения уравнений реакции-диффузии
Система уравнений реакции-диффузии имеет вид
ди — + (ВХ(А)Д + Ci(X))u = Ф(и, А),
u(t, х) = (u1 (t, х),..., um(t, x))T.
Здесь By , Ci — матрицы размера т х т, аналитически зависящие от параметра А, Д — оператор Лапласа функция Ф(и, А) аналитически зависит от компонент вектора и и соответствующее разложение в степенной ряд не содержит членов нулевого и первого порядков, коэффициенты разложения аналитически зависят от А. Кроме того, предполагается, что Bi (А) — диагональная отрицательная матрица. Функции u’(t, х) определены на G х [0, +оо), где ограниченная область G С Rn имеет достаточно гладкую границу, так что справедлива теорема о следах. Предполагается, что эти функции удовлетворяют нулевому условию Неймана и начальным условиям
= 0,	и(0, х) = ф(х).	(19.2)
8G
Пусть I — единичная матрица. Предполагается, что область определения оператора Д/ есть линейное пространство Е вектор-функций,
ди1 дп
компоненты которых принадлежат пространству Соболева S2(G), состоящего из функций, имеющих обобщенные производные первого и второго порядков, интегрируемые с квадратом, и удовлетворяющие янулевому условию Неймана в смысле следа. Для простоты будем предполагать, что гладкость границы такова, что она обеспечивает непрерывное вложение H2(G) в пространство непрерывных функций G(G). В этом случае оператор
оо	пг
Ф(и,А)= 52 FQ(A) ]^[(иг)а\ а = («1,... ,ат) — мультииндекс,
|а|=2	»=1
ограничен как оператор из Е в Е, причем
т кда)ПМ г=1
т
^ма(А)П1№(с).
Е	г=1
Нетрудно видеть, что матричные операторы Si (А), СДА) ограничены и как операторы из Е в Е, и как операторы из L™(G) в Оператор
А(А) = ВДА)Д + СДА)
замкнут как оператор иэ Е в L™(G) и его область определения есть Е. Оператор А(А) — фредгольмов: если Ао — простое бифуркационное значение, т. е. уравнение А(Ао)и = 0 имеет единственное нетривиальное решение uq(x) G Е, ||uq||lj'(G) = 1> то уравнение
А(А0)и = /, /gL^G),
имеет решение в том и только в том случае, когда
/ fT(x)uq(x) dx = 0.
JG
где Uq — решение сопряженного однородного уравнения. Следовательно, для операторов У1(А), Si(A), СДА) выполнены предположения 1-4 § 14. Для того чтобы проверить предположение 5, нужно обладать некоторыми сведениями о расположении спектра оператора А(Ао). Рассмотрим подпространства
Вц = уи.;	I иТ(x)uq(x') dx — 0
I	Jg
Eq — <u: и e E, / ut(x)uq(x) dx = 0 > I Jg	J
и обозначим через Ав и Ло сужение оператора А(Ао) на подпространства Во и Ао- Оператор Ад1: Bq —> Eq непрерывен. Это следует из замкнутости оператора А(А0): Е —» L™(G). Оператор Aq h Eq —» Eq непрерывен. Действительно, если и Е Eq С Bq, то
1Ио МеЬ = РвМеЬ с1||и||в0 с2|М|е0
(последнее неравенство есть следствие непрерывного вложения Е в L?(G)).
Предложение 1. Спектр оператора Л (А) дискретен. Если Ко > > «1 > ... •— собственные числа оператора Лапласа задачи Неймана, a tp2i    — соответствующие им собственные функции, то Ко = О, tp0 = l/x/mes(G).
Предложение 2. Спектр оператора А(А) совпадает с объединением спектров матричных операторов
Li(A) = Bi(A)ki + C1(A), i = 1,2,...,	(19.3)
и его корневое подпространство, соответствующее собственному числу совпадает с подпространством , натянутым на векторы u^tpi(x), где — собственный или обобщенный собственный вектор матрицы Li, соответствующий собственному значению pW этой матрицы.
Доказательства этих утверждений содержатся в работе [27].
Поскольку спектры матрицы А(А) и матрицы ДДА) связаны соотношением (19.3), то достаточно изучить свойства спектра ДДА). Будем считать, что выполнены следующие условия.
Условие А. Существует значение параметра Ao € (Ai, А2) такое, что лишь для единственного значения индекса io с учетом кратности detL,0 = 0, причем нулевое собственное значение матрицы L,0(Ao) простое. Все остальные собственные числа этой матрицы, а также все собственные числа матриц ДДАо) лежат в левой полуплоскости.
В работе В. Н. Разжевайкина [32] для т = 2, Bi(A) = diag(—1, —А), А > 0, io 1, подробно исследованы свойства матрицы C'i(A), гарантирующие выполнение условия А. Из условия А и предложения 4 следует, что Ао — простое бифуркационное значение. Отсюда следует, что ядро оператора А(Ао) одномерно и задается функцией
и0 (х) = йоtpio (х),	Uq(x) = йо ipio (х).
Здесь йо ийд — векторы, образующие ядра матриц Lj0(Ao) и L^(Aq), <^,0(х) — собственная функция оператора Д, соответствующая простому собственному числу К{0. Для нормировки примем, что ||йо|| = 1, йойо = 1-
Предположим, что выполнены естественные условия.
1. Функции tpi образуют ортонормированный базис в 1/г(б).
2. Кратности собственных чисел Ki равномерно ограничены и имеют единственную точку сгущения на —оо.
В этом случае оператор Ао является генератором сильно непрерывной дифференцируемой полугруппы Tt операторов, задаваемых формулой
ОО
Tt/= 52exp(-Li(A0)t)/i^i(x), feEo, i = l
где fj — векторы, компоненты которых есть коэффициенты Фурье, соответствующих компонент вектор-функции /(т) в разложении по базису {^(.т)}.
Приведенное представление полугруппы можно получить формально при помощи следующих рассуждений. Ищем решение уравнения ut = Aqu в виде ряда Фурье
ОО
u(t,x) =	щ(£)фг(г)-
г=0,г^го
Так как	го, то для определения функций U{(t)
получаются уравнения гг^(£) = —£г(Ао)щ(£). Отсюда, используя условие А и предположения 3, 4, получаем, что оператор Ао обладает свойствами, перечисленными в предположении 5 в § 14. Введем обозначения
£ = А — Aq, £.В(г) = (-Bi(A0 + f) — ^i(Ao))S1 1(Ао),
£С(е) = Ci(Ao + с) — Ci(Ao) — £5(e)Ci(Ao), гФ(и, е) = Ф(и, Ао + е) — Ф(гг, Ао).
Так как и*(х) G Е С D(A), то Вт(е)и*(х) е Е С D(AT) С D(A*) и, следовательно, справедливо предположение 6 § 14.
Таким образом, все результаты, полученные выше для абстрактного уравнения, переносятся при сделанных предположениях на рассматриваемую в данном разделе задачу для уравнения реакции-диффузии.
Список литературы
1.	Ламб Г. Гидродинамика. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. — 928 с.
2.	Лаврентьев М. А. До теори довгих хвиль // 36. Праць 1нст. Матем. АН УССР. - 1946. - №8. - С. 13-69.
3.	Friedrichs К. О., Hyers D. Н. The existence of solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math. — 1954. — V. 7. - P. 517-550.
4.	Тер-Крикоров A. M. Существование периодических волн, вырождающихся в уединенную // ПММ. — 1960. — Т. 24, вып. 4. — С. 622-636.
5.	Тер-Крикоров А. М. О внутренних волнах в неоднородной жидкости // ПММ. - 1962. -Т. 26, №6. - С. 1057-1076.
6.	Ter-Kiikorov А. М. Theorie exacte des ondes longues stationnaires dans un liquide heterogene // J. Mec. — 1963. — V. 2, №3. — P. 351-376.
7.	Тер-Крикоров A. M. Теория волн установившегося типа в неоднородной жидкости: Дис. ... докт. физ-мат наук. — Матем. институт АН СССР, 1964.
8.	Тер-Крикоров А. М., Треногин В. А. Существование и асимптотика решений типа уединенной волны для одного класса нелинейных эллиптических уравнений // Математический сборник. — 1963. — Т. 62 (104), №3. - С. 263 -274.
9.	Тер-Крикоров А. М., Треногин В. А. Решения типа длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной полосе // Дифференциальные уравнения. — 1967. — Т. 3, №3. — С. 496-508.
10.	Треногин В. А. Асимптотика и существование решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве // ДАН СССР. — 1963. — Т. 152, № 1. — С. 63-66.
11.	Треногин В. А., Существование и асимптотика решений типа уединенной волны // ДАН СССР. — 1964. - Т. 156, №5. — С. 1033-1036.
12.	Треногин В. А. Некоторые вопросы теории функциональных и дифференциальных уравнений в банаховых пространствах: Докторская диссертация. — МГУ, 1969.
13.	Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 528 с.
14.	Треногин В. А. Развитие и приложения асимптотического метода Люс-терника-Вишика // УМН. — 1970. — Т. XXY, 1^4. — С. 123-156.
15.	Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнений диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Сер. А, вып. Б. — 1937. - Т. 1, №6. - С. 1-26.
16.	Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. — М.: Мир, 1979.
17.	Turing А. М. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans., Roy. Soc., London. - 1952. - В 237. - P. 37-72.
18.	Разжевайкин В. H. О возникновении диссипативных структур в системе двух уравнений реакции диффузии // ДАН СССР. — 1980. — Т. 255, №6. — С. 1321-1322.
19.	Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные диссипативные структуры в нелинейных двухкомпонентных средах с объемными источниками // ДАН СССР. — 1981. — Т. 258, №5. - С. 1084-1088.
20.	Самарский А. А,, Еленин Г. Г., Змитренко И. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Горение нелинейной среды в виде сложных структур // ДАН СССР. - 1977. - Т. 237, №6. - С. 1330-1333.
21.	Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Повещенко Ю. А., Попов Ю. П., Самарский А. А. Взаимодействие диссипативных тепловых структур в нелинейных средах // ДАН СССР. — 1980. — Т. 251, №4. — С. 836-839.
22.	Галактионов В. А. О приближенных автомодельных решениях уравнений типа нелинейной теплопроводности // Дифференц. уравнения. — 1980. - Т. 16, №9. - С. 1660-1676.
23.	Белолипецкий А. А., Тер-Крикоров А. М. О фундаментальных решениях нелинейного уравнения теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1984. — Т. 24, №6. - С. 850-863.
24.	Белолипецкий А. А., Тер-Крикоров А.М. Построение фундаментальных решений абстрактного нелинейного параболического уравнения в окрестности точки бифуркации // Математический сборник. — 1985. — Т. 128, вып. 3. - С. 306-320.
25.	Белолипецкий А. А., Тер-Крикоров А.М. Бифуркации уравнения реакции-диффузии и связанные с ними диссипативные структуры // Сборник трудов факультета ВМК МГУ им. Ломоносова. Численные методы и вычислительный эксперимент. — М.: Диалог, МГУ, 1998. — С. 15-30.
26.	Тер-Крикоров А. А. Нелинейные задачи и малый параметр // Знание. Серия Математика, кибернетика. — 1984. — 64 с.
27.	Белолипецкий А. М., Тер-Крикоров А. М. Бифуркации уравнения реакции-диффузии и связанные с ними диссипативные структуры // Сборник трудов факультета ВМК МГУ им. Ломоносова. Численные методы и вычислительный эксперимент. — М.: Диалог, МГУ, 1998. — С. 15-30.
28.	Недосекина И. С., Треногин В. А. О решениях нелинейных параболических уравнений, описывающих явления самоорганизации // Дифференц. уравнения. — 1986. — Т. 22, №9. — С. 1631-1633.
29.	Треногин В. А. О решениях типа перехода // Тезисы ICM. Т. 9. — Варшава, 1983. — С. 50.
30.	Треногин В. А. Периодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений типа реакции-диффузии // Вопросы качественной теории ДУ. — Новосибирск: Наука, 1988. — С. 134-140.
31.	Tosio Kato. Perturbation theory for linear operators. — Springer-Verlag, 1966.
32.	Размсевайкин В. H. Нелинейные волны в моделях пространственно распределенных экосистем: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Долгопрудный: МФТИ, 1981.
МЕТОД РАССЛОЕНИИ
Я. Ш. Ильясов
Введение
В данной работе рассматривается один из инструментов нелинейного глобального анализа — метод расслоений. В настоящее время имеется достаточно большое число примеров, где при исследовании нелинейных уравнений и при анализе вариационных функционалов, существенным образом используется подход, основанный на концепции расслоения функционалов — методе расслоений (см., например, [1,2,5,15, 17-21,32,33,37-42,44,45]). Классы задач, к которым прилагается этот метод, самые разнообразные: нелинейные эллиптические и гиперболические краевые задачи, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с четными и нечетными нелинейностями и т. д. Как инструмент глобального вариационного исчисления, данный метод используется для разрешения весьма широкого спектра возникающих здесь проблем: существования и несуществования критических точек, анализу кратности, вырожденности и невырожденности этих точек, бифуркационному анализу и т. д. На данном этапе, вне всякого сомнения, можно констатировать, что метод расслоений по праву является одним из фундаментальных и универсальных инструментов теории нелинейного глобального анализа.
Впервые теоретические исследования метода расслоений как общего подхода в нелинейном глобальном анализе были начаты в 1979 г. Похожаевым С. И. в работе [38]. Ранее элементы этого метода были использованы им также в работе [37] 1967 г. при обосновании «альтернативы Фредгольма» для нелинейных, нечетных, однородных, строго замкнутых операторов. Первоначально в [38] метод расслоений был разработан и использовался главным образом как инструмент конструктивного применения метода ограничивающей минимизации функционалов. Позже естественная универсальность данного инструмента дала возможность использовать его и в качестве метода конструктивного преобразования нечетных функционалов к четным [5,39], что в конечном итоге позволило применять при исследовании нечетных функционалов такие глобальные конструкции нелинейного анализа, как методы Красносельского [27] и Люстерника-Шнирельмана [31]. Дальнейшее теоретическое исследование метода расслоений было продолжено также и в работах автора [17-21]. Здесь в полной мере раскрылась сущность метода расслоений как фундаментального и универсального аппарата нелинейного глобального анализа. Удалось раскрыть
геометрическую природу данного метода. Оказалось, что процедура расслоений фазового пространства и функционала естественным образом может быть использована также и для нелокального анализа бифуркаций критических точек функционалов. В настоящее время данная теория находится еще в процессе становления, большинство результатов получено совсем недавно и следует ожидать ее дальнейшего развития и новых приложений.
В данной работе мы дадим обоснование метода расслоений в его современном состоянии и приведем некоторые характерные примеры его использования. При этом главным образом мы будем затрагивать вопросы, связанные с приложением этого метода к задачам конструктивного применения метода ограничивающей минимизации функционалов и нелокального анализа бифуркаций для критических точек.
1.	Метод ограничивающей минимизации функционалов.
Задачи нелокального анализа бифуркаций
Многие краевые задачи в теории нелинейных дифференциальных уравнений допускают вариационную форму постановки. В этом случае краевой задаче сопоставляется эйлеров функционал 7(a), I: W —> К, где ТУ некоторое банахово пространство, а функционал 7(a) € С1 (ТУ) таков, что его критические (экстремальные) точки uq
7'(а0) = 0	(1)
являются (слабыми) решениями соответствующей краевой задачи и обратно, любые слабые решения uq краевой задачи являются критическими точками функционала 7(a). Так что в этом случае краевая задача задастся в виде
7'(а) = 0,	(2)
и е W,	(з)
и она эквивалентна следующей вариационной проблеме
7(a) —> extr,	(4)
и € W,	(5)
которая в данном случае понимается как проблема нахождения всех экстремальных точек (1).
Существуют достаточно развитые методы исследования ограниченных или коэрцитивных, четных функционалов (см. обзор [48]). Например, в случае ограниченности снизу или коэрцитивности функционала 7(a), существование критической точки можно доказывать, решая задачу минимизации 7(a) —> min, а 6 W. Гораздо в меньшей степени изучены неограниченные и некоэрцитивные, нечетные функционалы.
Одним из эффективных и широко используемых подходов при доказательстве существования критических точек для неограниченных функционалов является метод ограничивающей минимизации функционалов (constrained minimization method) или другими словами ме
тод минимизации функционалов путем искусственного навязывания ограничений (см., например, [48,7,6]).
Суть этого метода в простейшей форме заключается в некотором искусственным образом накладываемом на множество допустимых функций W дополнительном ограничении М = {u € W | F(u) = с} так, чтобы вариационный функционал был бы ограничен на М и достигал минимума или максимума на этом множестве. Далее в силу правила множителей Лагранжа выводится условие стационарности для соответствующей функции Лагранжа L(Ai,A2,u) := pil{u) + ^F^u), ^1,Ц2 G R, Mi + М2 0. Искусство приема заключается в том, чтобы в конечном итоге условие стационарности функции Лагранжа непосредственно или после некоторой замены переменных совпадало бы с изначально рассматриваемой задачей (2) (см. [48]).
В более общей форме, метод ограничивающей минимизации можно описать как нахождение определенного преобразования, которое общей вариационной задаче (4) на экстремум сопоставляет некоторую новую задачу
7(г>) —> extr,	(6)
с ограничением
v € М,	(7)
где М — некоторое гладкое бесконечномерное функциональное подмногообразие в W, называемое ограничением. При этом J и М таковы, что применимо, например, правило множителей Лагранжа. Преобразование проблемы (4) к задаче (6), (7) таково, что каждому решению v задачи (6), (7) сопоставляется решение и = Е(у) задачи (4) при некотором Е: М —» И7. В целом, до недавнего времени, на практике при применении метода ограничивающей минимизации подходящее преобразование Е: М —> W или навязываемое ограничение М фактически угадывалось. Возникает проблема: существует ли способ конструктивного нахождения соответствующего преобразования для применения метода ограничивающей минимизации?
В 1979 г. Похожаевым С. И. был впервые предложен и обоснован один из возможных способов решений данной проблемы, названный им методом расслоений. Позже было обнаружено, что метод расслоений может быть развит также и для решения более общих проблем исследования критических точек параметризованных семейств вариационных функционалов. Данный круг проблем стал особенно актуален в последнее время в связи с исследованием вариационных функционалов с кратными критическими точками [7,3,45,43].
Основные проблемы нелинейного глобального анализа, возникающие при исследовании параметризованных семейств вариационных функционалов, схематично можно описать следующим образом. Пусть рассматривается некоторое семейство функционалов 7(и, А), заданных на банаховом пространстве W с вещественным параметром А 6 R. Будем употреблять термин «бифуркация» применительно к ситуации, когда число и тип критических точек 1'(и, А) = 0 в любой окрестности
некоторого Ло, называемого бифуркационным значением, не является одинаковым для всех значений А.
Мы выделяем следующие задачи глобального анализа бифуркаций (G1AB) (ср. [16]):
G1AB1) Существование и нахождение бифуркационных значений Ai, А2,...
G1AB2) Разрешимость уравнения 1'(и, А) = 0 на интервалах (Ai, А2), (А2, А3),...
GIAB3) Существование ветвей решений и\ на интервалах (Ai, А2), (А2, А3),...
G1AB4) Анализ бифуркаций в точках Ai, А2,.. 
По сути пункты G1AB1), G1AB2) данной программы в совокупности входят в традиционно формулируемую в теории дифференциальных уравнений проблему существования решений. На данном этапе полное решение проблем G1AB1), G1AB2), т. е. нахождение всех бифуркационных значений Aj,A2,... и исследование существования решений уравнений на всех интервалах (Ai, А2), (А2, А3),..., имеется только для отдельных случаев. В линейной теории задача G1AB1) является, как известно, предметом изучения спектральной теории. В нелинейной теории дифференциальных уравнений в настоящее время не существует общего подхода для доказательства существования или нахождения бифуркационных значений Ai, А2,... Как правило, эти значения угадываются или находятся из некоторых косвенных соображений.
Еще в меньшей степени изучены проблемы G1AB3), G1AB4). Частично эти проблемы для нелинейных дифференциальных уравнений решаются с помощью подходов, основанных на так называемых методах локального анализа бифуркаций (см., например, [8,10,12,13,47]).
Одной из первых и наиболее трудноразрешимых задач в исследовании критических точек функционалов или в исследовании решений нелинейных уравнений, с которой мы сталкиваемся при рассмотрении проблем G1AB3), G1AB4), является вопрос о единственности этих точек и решений. Представляется невозможным до решения этой проблемы получение полного анализа ветвей критических точек семейств функционалов (решений семейств нелинейных уравнений) и их поведения в точках бифуркаций. Тем не менее оказывается, что метод расслоений позволяет получать некоторые новые качественные результаты в этом направлении до разрешения проблемы единственности [20,22-24].
Процедура расслоения банахова пространства W заключается фактически в разделении переменных в W, грубо говоря, локально на координату по группе действия G и координатам по базе расслоения В. Данное свойство дает возможность получать новые качественные результаты о семействах критических точек {гид} функционалов /д заданных на расслоенных пространствах. В некотором смысле удается по координате группы действия G доказать единственность, а по вторым получать априорные оценки и тем самым исследовать непрерывность ветвей {глд} по параметру А.
Отметим, что наш подход в решении проблем G1AB3), G1AB4), основанный на методе расслоений, имеет некоторые принципиальные отличия от методов локального анализа бифуркаций. Исследование уравнения Г(и, А) = О начинается вне особых точек А,, г = 1,2,... Сначала строятся ветви решений на интервалах (Aj, А,+1), г = 1, 2,..., и анализируется их регулярность. Затем изучается асимптотическое поведение этих ветвей при А —» А,, находятся предельные точки ид^, г = 1,2,... и тем самым анализируются бифуркации в (ид;, Aj). При таком подходе не требуется изначального знания бифуркационной точки (ид0, Ао), как это необходимо при локальном анализе, а при построении ветвей решений не предполагается применение локальных методов, в частности исследование линеаризованного оператора 1'(и, А). В целом мы называем такой подход методом нелокального анализа бифуркаций.
2.	Процедура расслоения критических точек функционала
В этом пункте мы дадим обоснование процедуры расслоения критических точек функционала, заданного на банаховом пространстве. Затем рассмотрим три основных конструктивных метода реализации данной схемы. В заключение выведем некоторые общие свойства схемы процедуры расслоения.
2.1.	Обоснование процедуры расслоения. Пусть (ТУ, ||-||) — банахово пространство над вещественным полем R. Будем предполагать, что норма Ц П принадлежит классу С'1-дифференцируемых функционалов на W \ {0}. Тогда W \ {0} есть многообразие класса С1. Пусть задан функционал 7(и) на W такой, что I & C'1(W \ {0}) П СГ(1У), г 0. Рассматривается задача нахождения его критических точек на W.
Предположим, что существует расслоение Л = {<¥, G, В, тг}, где X — пространство расслоения, В — база расслоения и тг — проекция расслоения из Л” в В, так что:
а)	X, В суть многообразия класса С1, a G — одномерное многообразие класса С2;
Ь)	тг суть морфизм из Л” в В, при этом:
(LT) для всякого v € В существуют открытая окрестность U точки v и изоморфизм ф: U х G —» Ф := тг-1 (17), так что
?r(^(w,р)) = w, w G U, g&G.	(8)
Пусть также выполняется следующее предположение:
(R) пространство расслоения X и многообразие W \ {0} диффео-морфны, т. е. определен диффеоморфизм
<9: W\ {0} X.
В дальнейшем условие (LT) будем называть свойством локальной тривиальности расслоения Л, а подобласть Ф С X, где существует морфизм ф: U х G —» Ф := тг-1(/7), будем называть окрестностью локальной тривиальности расслоения Л. Функционал 7(w) := 7(#-1(ш)), со € X будем называть поднятием функционала 1{и) на пространство
расслоения X. Поскольку отображение 0 является диффеоморфизмом, то критические точки функционала I на 1У \ {0} и функционала I на X находятся во взаимно однозначном соответствии.
Замечание 2.1. В дальнейшем исследуются преимущественно критические точки функционала 1 на X.
В силу локальной тривиальности расслоения Л в некоторой окрестности Ф := тг-1({7) каждой точки и G X, где тг(ш) € U, существует следующая локальная замена координат
:= I(#w,p)), (w,g)&Ux.G.	(9)
Так введенный функционал /ф будем называть расслоенным.
Будем также предполагать, что расслоение Л = {X, G, В, к) удовлетворяет некоторым дополнительным условиям:
(RD) Для любой окрестности Ф С X локальной тривиальности расслоения Л, функционалы 7ф и dol^ являются С1 дифференцируемыми отображениями из U х G в R.
Здесь и далее d\Iy(w,g), d2lv(w,g) обозначают производные по первой w G U и второй переменной д & G для частичных отображений w —» /ф(ш,д) и w —> /ф(ги,д), соответственно.
(CrW) Существует непрерывно вложенное в X многообразие Хст С С X такое, что в условии (LT) элементы ‘ф и U могут быть выбраны таким образом, что отображение ф: UCT х G —» Фсг = тг-1С/сг, где UCT = = U Г1 тг(А'сг), является диффеоморфизмом.
Определение 2.2. Расслоение Л = {X, G, 5,тг}, удовлетворяющее условиям (R), (RD) и (CrW), будем называть согласованным с функционалом I.
Отметим, что из условия (CrW) вытекает следующее
Предложение 2.3. Пусть в окрестности локальной тривиальности Фсг С Л'сг расслоения Л существует критическая точка (vq,<7o) € Ucr х G функционала /ф на UCY х G. Тогда точка uq = = (vo, уо) ё 't’cr является критической для функционала I, рассматриваемого на X.
Следующим шагом в процедуре расслоения является конструктивное построение вариационных задач с ограничением.
Пусть выполняется условие (RD). Пусть и> G Л'иФ С X — окрестность локальной тривиальности расслоения Л, содержащая эту точку. Введем
Q(w) = Qi,(w,g) = d2I*(w, g),	(10)
L(w) = L*(w,g) = dzl^u^g), u> = ф(ицд) € Ф, (w,g) &U x G (И)
(здесь и далее мы обозначаем через d% = d2(d2) оператор второй частной производной по переменной g G G). Как легко видеть, независимо от локальной системы координат в X можно однозначно выделить
следующие подмножества:
S(Q) = {wgA'|QH = 0}! S(L) = {wgA'|£H = 0}.	(12)
В качестве ограничения будем рассматривать следующее подмножество в X:
Е = E(Q) \ E(L) = {w е X | Q(o>) = 0, L(w) 0}.	(13)
Лемма 2.4. Пусть выполняется условие (RD). Тогда подмножество Е является С1 -подмногообразием в X, локально диффеоморф-ным В.
Доказательство. Доказательство леммы будет’ непосредственно следовать из следующего утверждения.
Предложение 2.5. Пусть задана точка wo G Е, так что vq = = 7ги.’о G В. Тогда найдется такая окрестность V(vq) С В точки vq и единственное в этой окрестности С1 -отображение з: 1Дг>о) —> G, что
ф(и0,з(г>0))=ш0, Q(V>-1(s(w),w)) = 0, £(^>-1(з(^),^)) 7^0, v€V(y0).
(14)
Доказательство. Пусть wq = ф 1 (go , г>о) € Тогда ^2<?ф(«о,ио) = Тф(зо,т?о) 7^ 0.
Из предположения (RD) следует, что Q G С*1 (С7 х G). Теперь доказательство предложения вытекает из теоремы о неявной функции.
Пусть I € G1(A') и выполняется предположение (RD). Следующую задачу мы называем экстремальной задачей с навязанным ограничением по расслоению (иногда согласованным с расслоением) Л:
Цш) —> extr, ш е Е.
В дальнейшем подмногообразие Е заданное по формуле (13) мы будем называть ограничением по расслоению (иногда согласованным с расслоением) А.
Определение 2.6. Точка wq € X называется критической точкой функционала I, если
Dl(u>o)(d) = 0 Vd&TM(X).	(16)
Определение 2.7. Точка u>q G X называется решением задачи (15), если шо € Е и
Р7(ц,о)(/1) - 0 Vh е Т(и/о)(Е).	(17)
Здесь и далее Dlfwo) дифференциал морфизма / :Е—> йи /: Д' -» —» R в точке и>о € Е С X, соответственно, Т^ДЕ) и Д^ДТ) — касательные пространства к Е и к X в точке соответственно.
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 2.8. Пусть I G G1 (W \ {0}) и выполнены условия (RD) и (CrW), причем пространствах и ХСГ совпадают. Пусть wq — некоторое решение экстремальной задачи с навязанным ограничением (15)
по расслоению Л. Тогда точка и0 = д~1шо является критической для функционала I на W \ {0}.
Доказательство. Пусть wq критическая точка функционала/, ограниченного на Е. В силу свойства локальной тривиальности расслоения Л найдутся окрестность Ф С X точки cjq и С°-изоморфизм ф: U xG —> Ф := тг-1 ({/), удовлетворяющий условию (23). Рассмотрим функционал /ф на U х G. Пусть (I’ojffo) = V’-1(wo)-
В силу предложения 2.5 найдется окрестность V(и0) С В и гладкое отображение s: V(v0) —» G, так что будет выполняться (14). Отсюда следует, что при v G ^(dq) определен гладкий функционал
J1^) = /ф(д,з(д)), v е V(w0).	(18)
Из предположения (17) вытекает, что v0 является критической точкой функционала 7(д) на V(uq), т. е.
Dj(w)M = o, vwe/;0(B).
Здесь мы отождествляем Д,о(У(г>о)) и Т„0(В), поскольку У(г>о) — открытая подобласть В. В силу (18) функционал J(i>) является следующей композицией: 7(д) = /ф(д, з(д)), v G У(г>о)) поэтому
О = £>J(v0)(v) = d2iq(y0, s(^o))(s(^o))'(u) +
+ ф/ф(до,5(до))(^) VveT„0(B). (19)
В силу (14) мы имеем d2Iq,(yo, s(^o)) — Q(V’-1((^O; s(^o)) = 0. Отсюда
</1/ф(д0, s(^o))(w) = </17ф(д0,до)(и) = 0 VvgT„0(B). (20) Отметим, что
/?/ф(до,9о)(и, т) = с/1/ф(до,Зо)(^) + с/27ф(^о,9о)(т)	(21)
при любых v G TVo(U) и т G Tfl0(G). В силу (14) и (20) оба слагаемых в правой части (21) тождественно равны нулю. Следовательно точка (г>о,до) является критической для функционала /ф на U х G. Поскольку X — XQT, то в силу свойства (CrW) из предложения 2.3 следу-ет, что точка Wq = т/’Дг’о, 9о) является критической для функционала I рассматриваемого на всем пространстве X. Теорема доказана.
Пусть I G С1 (Д’) и выполняется предположение (RD). Следующую задачу мы называем задачей на локальный экстремум с навязанным ограничением по заданному расслоению Л:
ш) —» extr, u g S.
Точка u>q G Е, доставляющая локальный минимум или максимум на Е функционалу Z(w), называется решением задачи (22).
Введем следующее допущение.
(CrWl) Если w0 G X является решением задачи (22), то w0 G ХСГ.
Аналогично теореме 2.8 доказывается
Теорема 2.9. Пусть! € G^WyfO}) и справедливы условия (RD), (CrW) и (CrWl). Пусть wq — решение задачи на локальный экстремум с навязанным ограничением (22) по расслоению Л.. Тогда точка uq = (9-1wq является критической для функционала I на W \ {0}.
2.2.	Метод главного расслоения. Приведем конструктивный метод нахождения расслоения, согласованного с заданным функционалом с использованием главного расслоения.
Пусть (W, ||-1|) —банахово пространство над вещественным полем R. Будем предполагать, что норма ||-|| принадлежит классу (^-дифференцируемых функционалов на W \ {0}. Тогда W \ {0} есть многообразие класса G1.
Пусть существует одномерная группа Ли G, действующая справа на многообразии W \ {0} по закону (и, д') —> и  д. Предположим, что:
a)	G действует на W \ {0} свободно и совершенно;
Ь)	для всякого и G W \ {0} отображение (и, д') и • д есть иммерсия изСвТ\{0}.
Тогда если обозначить через В = (W \ {0})/G фактормногообразие и через тг — каноническую проекцию из W \ {0} в (W \ {0})/G, то четверка Ао = {W \ {0}, G, В, тг} есть главное расслоение [9], т. е.:
а)	база расслоения В есть многообразие;
Ь)	тг является морфизмом из W \ {0} в В, причем
(LT) для всякого v € В существуют такие открытая окрестность U точки v и изоморфизм ф: U х G —» Ф := тг-1(С/), что
тг(ф(ги,з)) = w и ф(ги,д1д2) = ^(ш,д1).д21 ги G U, gi,g2 £ G. (23)
Для того чтобы применять общую процедуру расслоения, необходимо наложить дополнительные требования на Л = {W \ {0}, G, В, тг}. Потребуем выполнение следующего условия:
(А) База расслоения В есть многообразие класса С1.
Пусть задан функционал 1(и) на W такой, что I € G1(W \ {0}). В силу локальной тривиальности расслоения Л, в некоторой окрестности Ф := тг“1 (U) каждой точки и G W\{0}, гдетг(и) € U, можно ввести расслоенный функционал Гф
/ф(ги,д) := 7(^>(w,g)), (w,g) G U x G.	(24)
Условие (CrW) в данном случае можно переписать следующим образом:
(CrWo) Существует непрерывно вложенное в W топологическое линейное подпространство Wcr такое, что в условии (LT) элементы ф и U могут быть выбраны так, что отображение ф: Ucr xG —» Фсг = тг-1 UCT, где Ucr = U П 7r(Wcr \ {0}), является диффеоморфизмом.
Таким образом, если существует одномерная группа Ли G действующая справа на многообразии W \ {0} по закону (и, д') —> и-д и выполняются условия a), b), (A),(RD) и (CrWo), то существует расслоение, согласованное с функционалом I. Поэтому в дальнейшем имеет смысл
для функционала I вместо указания о согласованном расслоении говорить о согласованной с функционалом I расслаивающей группе Ли.
2.3.	О процедуре сг-расслоения. В этом пункте мы обоснуем так называемые процедуры проективного расслоения и сг-расслоения критических точек. Такие расслоения удобны при решении задач нелокального анализа критических точек функционалов и бифуркаций.
Рассмотрим банахово пространство (W, ||-||) над вещественным полем R. Будем предполагать, что норма ||-|| принадлежит классу С^-дифферснцируемых функционалов на W \ {0}. В этом случае шар 5'1 = {ц | v G IV, ||ц|| = 1} является замкнутым подмногообразием в W класса С1, а отображение /ц =: v/ ||ц|| : W —> Si является С1 морфизмом (см. [9]).
Введем проективное пространство P(VV). Рассмотрим мультипликативную группу Ли (R\{0}, х) и определим действие RfU этой группы на W \ {0} как умножение элементов из W \ {0} на t G R \ {0}. Тогда эта группа задает на IV\ {0} следующее отношение эквивалентности R: и ~ v' тогда и только тогда, когда существует вещественная константа s 0 такая, что v = sv'.
Определим проективное пространство P(IV) как фактор-пространство (И7 \ {0})/R, наделенное фактор-топологией пространства W. Тогда проективное пространство P(IV) является многообразием класса С1 |9]. Обозначим через р: W \ {0} —» /’(И7) каноническую проекцию, соответствующую данному отношению эквивалентности R. Легко видеть, что многообразия Si и P(IV) являются локально С^-диф-феоморфными. Соответствующий диффеоморфизм мы обозначим Pl: Si —» /’(И7), так что здесь для каждой точки f G P(TV) найдутся окрестность U С F(IV), содержащая окрестность V С Si, содержащая pf Г(£), и pi: V —> U будет являться ССдиффеоморфизмом. В дальнейшем ограничения pi на те области I7 С Si, гдер1: V —» рДУ) = = U является диффеоморфизмом, будем обозначать рцу = pi,v,u-
Отметим также, что поскольку bi: W \ {0} —» Si является С'1-мор-физмом, то отображение канонической проекции р: W \ {0} —> Р(И7) также является С’-морфизмом.
Пусть Г = {Ф,р(г)} С (IV \ {0}) х P(IV) — график отображения р. Поскольку отображение р: IV \ {0} —» P(W) есть С1-морфизм, то Г является (^-подмногообразием в (PV\{0}) х F(IV). При этом отображение естественной проекции рщ: (И7 \ {0}) х /’(И7) —> W \ {0} индуцирует С1-диффеоморфизм в-1 из Г в W \ {0} (см. [9]).
Определим действие однопараметрической группы Ли (R \ {0}, х) на Г следующим образом Ri(v,p(v')') — (tv,p(v)).
Введем отображение проекции рг: Г —> Р(И7) как ограничение на Г естественной проекции р?'. (IV \ {0}) х P(lV) —> /’(И7), т.е. положим рг = рг2|г.
Теорема 2.10. Четверка Р = (Г, P(TV), (R\{0}, х ),рг) является главным расслоением, удовлетворяющим условию (CrW).
Доказательство. Отображение проекции рг:Г—»/ДИ7)
является С'1-морфизмом. Действительно, естественная проекция рг2‘. (W \ {0}) х P(W) —» P(W) является С'1-морфизмом. Отсюда, учитывая, что Г является СГ-подмногообразием в (W \ {0}) х P(W), выводим, что рг является С'1-морфизмом.
Покажем, что Г локально тривиально. Пусть £ G P(W). Тогда, поскольку pi: Si —» P(W) является локальным (^-диффеоморфизмом, то найдутся окрестности U с Р(ТУ) (£ е U) и V С Si (рД£) € V) такие, что pi: V —» U также будет ^^диффеоморфизмом. Введем на Рр^С/) отображение фи,у. Pyl(U) —» (R \ {0}), действующее следующим образом:
Фи,v(w) = D||priw|| (p^^PrCw))), wepr^t/). (25) Здесь D ||w|| (•) — дифференциал функции ||-|| : W \ {0} —> R. Тогда отображение фи,у(а>) — ((/>[ду(а>),рг(а>)) будет С1-диффеоморфизмом из Ф = рр^С/) на (R. \ {0}) х U. При этом фи, у (Ry) = 1фи,у(ш) для всех ш € Ppl(U) и t g (R \ {0})- Таким образом, действительно, Г локально тривиально. При этом расслоение Р удовлетворяет условию (CrW), поскольку здесь в качестве Рсг можно рассматривать тождественно Рсг = Р. Теорема доказана.
Четверку Р = (Г, P(W), (R\{0}, х),рг) мы называем проективным расслоением.
Отметим для дальнейшего, что обратное отображение к фи,у задается следующим образом:
^,V(t,O = (fpr,v(e),e), (*,€) е (R\{0}) X и, (26) где V такое же, как в (25). Это отображение осуществляет С^-диффео-морфизм (R \ {0}) х U нарр^С/).
Замкнем график Г = {к, р(1?)} в нуль ({0} xP(W)) следующим образом: для каждого ш = (v,p(v)) G Г мы доопределим множество {7?tw}, t G К \ {0} предельной при t —» 0 точкой (0,р(и)). Обозначим полученное замыкание Г1 = Г U (({0} х Р(Р7)). Очевидно, Г[ является топологическим подпространством в W х P(W).
Лемма 2.11. Замыкание Г i = Ги(0х P(W)) в Wx P(W) графикаГ канонической проекции р: W \ {0} —> Р(И7) является подмногообразием класса С1.
Доказательство. Пусть w = (0,£) € {0} х P(W) произвольно. В силу локальной тривиальности Г (см. теорему 2.10) найдется область U в P(W) такая, что будет определен С'1-диффеоморфизм Фиу  Pr\U) —» (R\{0}) х U. При этом обратное отображение фцу будет задаваться, формулой (26). Продолжим это отображение на (R) х U, положив
^>(ед) = (^г,ио,е), (t,e)e(R)xt/.	(27)
Данное отображение является гомеоморфизмом из открытого подмно-жестваКхР воткрытое подмножество рр1(С/)и(0хР) в замыкании Гр Отсюда, из сепарабельности P(1V) и того, что Г является многообразием класса С*1, вытекает доказательство леммы.
Замечание 2.12. Конечномерный аналог приведенного преобразования W в Г] применяется в алгебраической геометрии и в этом случае именуется cr-отображением (см. [49]).
Зададим проекцию рг, ' Г1 —» P(lV), положив рГ1 = рг^г,, где pr2: W х P(W) —> P(IV) — естественная проекция. Поскольку Г является С^-подмногообразием в W х P(IV), то ограничение ргг на Г является С'-диффеоморфизмом. Отметим, чторг, совпадает с рг на Г ирГ1(о,е) = е, (о,е)е(охР(ту)).
Отсюда вытекает, что Pi — (Г i, P(IV),R,pr1) является расслоением. Действительно, и P(W) являются многообразиями класса С1, проекция рг, — С^-морфизм изГ1 вР(Иг).При этом выполняется условие локальной тривиальности: для каждой точки х € P(W) найдется такая окрестность U, что продолженное отображение (27) Сх-диффео-морфно отображает (R) х U на Ф = pp^CJ). При этом рг, {фу у (£, t)) = = pr2(tppy(£), £) =£ для всякого (t,f) е (R) х U.
Таким образом, нами доказана
Теорема 2.13. Пусть (IV, |[-||) — банахово пространство над вещественным полем R, где норма ||-|| принадлежит классу С*1, Tj = = Г U (0 х T’(IV)) — замыкание в W х P(W) графика Г канонической проекции р: W \ {0} —> T’(IV), рг, — ограничение на Г естественной проекции рг^'- (IV) х P{W) —> P(TV).
Тогда Pi = (Ti,P(IV),R,рг,) является расслоением, удовлетворяющим условию (CrW). При этом слоем Рр!(^) в каждой точке £ G G P(IV) является прямая tpi"1(^) Е Г, teR.
Четверку Pi = (1\, P(IV), (R),pr) мы называем а-расслоением.
Пусть задан функционалJ{u) на W и I € C^TV).
Рассмотрим «поднятие» I на Г функционала 7(a):
1(щ) = 7(pr'i(w)), ш € Г.
Поскольку отображение pri: Г —> W \ {0} — локальный (^-диффеоморфизм и I G Crl(lV \ {0}), то I G С^Г). Из (26) и локальной тривиальности расслоения (Г1, P(IV), й,рГ1) выводится, что функционал I допускает продолжение на и при этом (поскольку I G С1 (IV)) /бСДГ!).
Для дальнейшего важно выделить также следующее утверждение о локальном свойстве функционала I.
Предложение 2.14. Для любого ljq G Г1 найдется область U С С T’(IV) такая, чтошц G рр ^tZ) С Г;, причем в областир^1 (Z7) будет справедлива следующая замена переменных: ш G Рр!([7) С Г
I{^ = I{pri^v{t,Q)-), (t,e)€Rxt/,	(28)
где w = Фу\/(Д t). При этом
^i(^,V(t,e))) = /(t-pr,}z(e))I (t,^€Rxи.
Доказательство этого предложения непосредственно следует из (27) и из локальной тривиальности расслоения (Г], P(W), R,pr, )•
Из данного предложения вытекает локальное существование расслоенного отображения
=	=	(t,?)6Rxl/.	(29)
Из диффеоморфности многообразий Г и W \ {0} следует, что мнсь жества критических точек функционала I на W\ {0} и функционала I на Г находятся во взаимно однозначном соответствии. Из (28) мы видим также, что если существует критическая точка ш G (0 х T’(W)) функционала I на Г1, то она проектируется на критическую точку 0 G W функционала I на W. Таким образом, проблему исследования критических точек функционала 7 можно расширить исследованием критических точек функционала I на Гр
Из теорем 2.10, 2.13 и 2.8 вытекает
Теорема 2,15. Пусть I G C1(W\{0}) (I G C^W)) и выполняется условие (RD) относительно проективного расслоения Р (о-рас-слоения Pi). Пусть wq решение экстремальной задачи с навязанным ограничением (15) по расслоению Р (Pi). Тогда точка и§ — является критической для функционала I на W \ {0} (W). При этом, если wq 6 (0 х Р(1Т)) — решение экстремальной задачи с навязанным ограничением (15) по расслоению Pi, то эта точка является критической для функционала I на Г1.
2.4.	Метод тривиального расслоения. Случаи четных функционалов. В некоторых случаях можно использовать метод расслоений по тривиальному расслоению.
Пусть (W, 11’11) банахово пространство над вещественным полем К такое, что норма ||-|| принадлежит классу С1.
Рассмотрим тривиальное расслоение (по сфере S1)
Т = (R+ х Si, Si, R+,pri),
где R+ x Si — пространство расслоения, Si — база расслоения, R+ — структурная группа расслоения, канонический морфизм ртц: R+xSi —» —» Si — проекция расслоения.
Поскольку R+ xSi диффеоморфно W\{0}, то для I(u) HaR+ xSi однозначно определен следующий расслоенный функционал поднятия I:
I(t,v) = I(tv), (t,v) 6 R+ x Si.
Очевидно, I G C'1(R+ x Si). Из диффеоморфности многообразий R+ x x Si и W \ {0} следует, что множества критических точек функционала I на W \ {0} и функционала I на R+ х Si находятся во взаимно однозначном соответствии. Таким образом, проблема исследования критических точек функционала I сводится к исследованию критических точек функционала I на R+ х Sp
Пусть выполняется условие (RD). Введем
д -	д2 -
Q(s,v) = -—I(s,v), L(s,v) =—^I(s,v), (s,v) & R+ x S1. (30) os	osz
Выделим подмножество
0 = {(.s, г>) е R+ х S1 | Q(s, и) = 0, L(s, v) / 0}.
Таким образом, экстремальная задача с навязанными ограничениями по тривиальному расслоению Т задается следующим образом:
/(s, v) —» extr, s,v) G 9.
Следовательно, здесь применима общая теория расслоений, введенная в п. 2.3.
Введем отображение ~ф(+): Г —> R+ х S1 по формуле
V;(+)(w) = (||priu-||,pri(w)/||priw||).	(32)
Легко видеть, что это отображение является С'1-диффеоморфизмом Г на R+ х S1.
Отсюда следует, что множества критических точек функционала I на Г и функционала I на R+ х Sj находятся во взаимно однозначном соответствии. Таким образом, проблема исследования критических точек функционала I на Г сводится к исследованию критических точек функционала I на R+ х Sj.
Пусть функционал I является четным, т. е. I(u) = J(|u|),u 6 W\{0} при этом I G С1(1Т \ {0}). Отметим сначала следующее утверждение
Лемма 2.16. Предположим., что функционал 1(и) является четным и пусть ш+ Е Г - критическая точка функционала I. Тогда дуальная ей точка и>~ =	также является критической для I
на Г.
Из теоремы 2.8 вытекает
Лемма 2.17. Пусть функционал 1(и) является четным. Пусть выполняется условие (RD) и точка (sq, Dq) G © — решение задачи (31). Тогда точки
w(+) = (зоЧьр(^о)) е Е с г,
= (-So^o, р(^о)) e S с Г, являются критическими для функционала I(о?), а точки u^ = sovoeW\{0},
, X	(34)
ц(-) = -SoWo е W \ {0},
являются критическими для функционала I(и).
2.5.	Основные состояния. Замечательным свойством введенной процедуры расслоения является то, что она позволяет выделить основные минимизационные задачи с ограничением.
Назовем следующую задачу основной минимизационной проблемой с навязанным ограничением по заданному расслоению Л:
I = inf{/(о>) | w G Е}.	(35)
Точку wq G E, доставляющую минимум функционалу I на Е, т. е. такую, что
—оо < / = /(wq) sj inf{J(w) | w G E}, будем называть решением задачи (35).
Напомним определение основного состояния функционала (ground state, см. [11])
Определение 2.18. Критическая точка ugr G W\{0} называется основным состоянием функционала I, если
—оо < /(ugr) < Z(w)	(36)
для любой другой критической точки w G W \ {0} этого функционала.
Мы будем пользоваться в дальнейшем также соответствующим определением в терминах функционала поднятия (см. замечание 2.1), которое вводится аналогично.
Отметим, что любая критическая точка w 0 функционала I, рассматриваемого на X, принадлежит множеству E(Q). Обозначим через Е замыкание множества Е в X.
Справедлива следующая основная теорема о достаточном условии существования основного состояния
Теорема 2.19. Пусть выполняются условия (RD), (CrW) и (CrWl). Пусть wq € Е решение задачи (22). Предположим, что множество E(Q) \ Е не содержит критических точек функционала I(w). Тогда точка uq = 0-1(сдо) является основным состоянием функционала I.
Доказательство. Пусть о-'о GE Е — решение задачи (22). При использовании предложения 2.5 аналогично доказательству теоремы 2.8 отсюда следует, что w0 € Е является решением задачи (22) (см. определение 2.7). Тогда из теоремы 2.8 вытекает, что wq G Е является критической точкой функционала I на X. Поскольку wq G Е — решение задачи (22), то
—оо < J(wo) С inf{/(u>) | w G Е}.
Отсюда, приняв во внимание, что все критические точки функционала I содержатся в множестве E(Q), а множество E(Q) \ Е не содержит критических точек функционала I(w), получаем утверждение теоремы.
Отметим следующее очевидное утверждение: если критическая точка wq. — решение задачи (35) — является невырожденной (в смысле Морса), то индекс Морса [34] этой точки равен нулю.
Поэтому введем
Определение 2.20. Пусть Л — расслоение, согласованное с I G G CT(W \ {0}), Е — ограничение по Л. Критическая точка uq G W функционала I называется невырожденной согласно расслоению Л, если 9(uq) G Е.
Метод расслоения для функционала I на X позволяет выделять соответственно заданному действию группы Ли на X также и кратные
минимизационные задачи с навязанными ограничениями. Приведем соответствующую процедуру.
Пусть (IV, | ||) — банахово пространство над вещественным полем R, так 4toIV\{0} есть многообразие класса С*1. Предположим, что определено согласованное с I расслоение Л. Пусть выполняется условие (RD). Тогда независимо от локальной системы координат в X можно однозначно выделить два непересекающихся подмножества в Е С X
Е1 = {w е х I QH = О, L(w) < 0},
Е2 = {w е X I Q(u>) = 0, L(w) > 0}.
Следующие две вариационные задачи мы называем основными кратными минимизационными проблемами с ограничениями по данному расслоению Л:
Р = inf{f(u>) I ш е EJ}, j = 1,2,	(37)
где по определению
Р = -|-оо, если EJ = 0, j = 1,2.	(38)
Определение 2.21. Пусть |Р | < оо. Точку wq € EJ, доставляющую минимум в (37): I3 = будем называть решением, задачи (37).
Замечание 2.22. Здесь естественно, наряду с задачами (37) на минимум, можно рассматривать аналогичные задачи на максимум. Однако, поскольку замена I' = —I позволяет задачу на максимум свести к эквивалентной задаче на минимум, то в дальнейшем достаточно рассматривать только минимизационные проблемы (37).
Из теоремы 2.9 вытекает следующая основная теорема, обосновывающая процедуру расслоения как метод построения кратных критических точек функционала I.
Теорема 2.23. Пусть I G С1 (IV \ {0}) и справедливы условия (A), (RD), (CrW) и (CrWl). Пусть а>3 G EJ — решение задачи (37) при j — 1 или j = 2. Тогда точка uq = 0“1(cJq) является критической для функционала I на W.
Мы называем критическую точку и G W \ {0} функционала I критической точкой типа (—1) ((0)), если 9(и) G Е1 (#(u) G Е2). Здесь мы будем пользоваться также соответствующим определением в терминах функционала поднятия (см. замечание 2.1), которое вводится аналогично.
Замечание 2.24. Очевидно, если критическая точка типа (0) ((—1)) невырождена, то индекс Морса [34] этой точки равен 0 (—1).
Определение 2.25. Основным состоянием типа (0) ((—1)) функционала I по расслоению Л называется критическая точка u*r О (д2г / 0) типа (0) (типа (—1)) функционала /, для которой справедливо (ср. [11])
-оо < /(u2r) < I(w) (-оо < 7(tZgr) С 7(w)) для любой другой критической точки w типа (0) (типа (—1)).
Непосредственно из определения решений (37), аналогично теореме 2.19 доказывается следующая основная теорема о достаточном условии существования основных состояний типа (0) и типа (—1).
Теорема 2.26. Пусть выполняются условия (RD) и (CrW), (CrWl). Пусть ш1 £ S1 (w2 £ Е2) — решение задачи (37), j = 1 (j = 2). Тогда точка (0-1w2) является основным состоянием типа (—1) ((0)) функционала I.
2.6. Процедура расслоения и нелокальный анализ бифуркаций. Рассмотрим теперь процедуру проективного расслоения применительно к задачам глобального анализа бифуркаций.
Пусть задано семейство функционалов 7р, /2 £ R, при этом мы будем предполагать, чтоТр(и) £ G1(Rx (W\{0})). Предположим, что существует расслоение Л = {X, G, В, тг}, согласованное при каждом ц. £ R с функционалом (см. определение 2.2). Тогда согласно процедуре расслоения можно определить поднятие 7р ЕС^ЙХЙ') и выделить ограничения Е^, j = 1, j = 2, /2 £ R, согласованные с расслоением Л.
Пусть выполняются условия одной из теорем 2.8 или 2.9, 2.26. Тогда, если при /2 £ R существует решение £ Ер или £ Е^ (wM £ Е2) соответствующей вариационной проблемы (15), (22), (37), j — 1 (j — 2), то Wp является критической точкой функционала Zp(u) невырожденной по данному расслоению Л (см. определение 2.20). Особый случай, когда решение Шр вариационных проблем (15), (22), (37), j = 1 (j = 2) принадлежит границам множеств Ер, Е^, j = 1, j = 2. В общей ситуации нельзя утверждать, что такое решение является критическим для функционала /р. Однако если такая точка является критической, то она будет вырожденна по данному расслоению и, следовательно, может быть бифуркационной точкой для ветви основных состояний функционала Zp(u). Таким образом, границы множеств Ер, Е^, j = 1, j = 2, представляют собой множества возможных (априорных) бифуркационных точек функционала 7р(и).
Будем в дальнейшем обозначать через Ер, Ер, j = 1,2, замыкания (в сильной топологии) множеств Ер, Е^, j = 1,2 в Л”, а через ЭЕр, <Э£р, j = 1, 2, /2 £ R — границы этих множеств, соответственно.
Вместо задач (35) и (37) будем рассматривать следующие — расширенные
Zp = inf{/p(w) | ш £ Ер}	(39)
и
= inf{7p(w) | ш £ Гр}, j = 1,2.	(40)
Точку Wp £ Ер (u>q £ Ер, j = 1,2), доставляющую минимум функционалу I на Ер (Ер, j = 1,2), будем называть решением задачи (39) ((40), 7 = 1,2).
Пусть /2 £ R. Условия
8^ = ^м(^м) =	0
мы будем называть системой определяющих уравнений по расслоению Л. Следующую систему
= 0, Цщ) = 0, /2 G R, ыбЛ1,	(41)
мы будем называть системой определяющих уравнений по расслоению Л в расширенном смысле. Обозначим через множество решений и> G X системы (41). Очевидно, что С Пусть р Е R. Предположим, что существует следующая декомпозиция	U где
<5“ = {^ е I > !}	(42)
Аналогичным образом определяются множества 5^, 6J^U и системы определяющих уравнений по расслоению Л, соответствующие множествам Е?, при j = 1,2.
Множества
а = {ре R: <5Р	0), а1 := {р ей: <5*	0},
а2 := {р Е R: И 0} мы называем основным характеристическим множеством по расслоению Л, характеристическим множеством типа (0) по расслоению К и характеристическим множеством типа ( — 1) по расслоению Л, соответственно. Следующие множества
ad := {р ей: 6d 0},
. ,	' . ,	(44)
^:={/2GlR: 6^0}, .7 = 1,2, мы называем основным присоединенным характеристическим множеством по расслоению Л., присоединенным характеристическим множеством типа (0) по расслоению Л и присоединенным характеристическим множеством типа ( — 1) по расслоению К, соответственно. Рассмотрим следующие крайние точки
= inf{a}, /2sup = sup{o-}, p{n[ = inf{o-J}, Miup = sup{<TJ}, /2d,inf = inf{<rd},	/2d,sup = sup{crd},	(45)
Mdjnf = inf {crJ’rf},	/2d,sup = sup{<P’d}, j = 1,2.
При этом полагаем
/2inf = +oo, если a = 0, p{nf = +oo, если cr’ =0, j = 1,2, Mrf,inf = +oo, если ad = 0, p?d inf = +oo, если a^'d = 0, j = 1,2.
Введем следующие предположения о монотонности:
(MinbMsup) С а, (м(пГ,/2^ир) с J = l,2.	(46)
Очевидно, если а / 0 и / 0, то рм pd;mt Pd,sup Msup-Аналогичное верно и для подмножеств EJ , j = 1, 2.
Непосредственно из определений (45) и из теоремы 2.19 вытекает следующая
Теорема 2.27. Пусть выполняются условия (RD), (CrW), (CrWl), (46) и сг / 0, причем
Minf < Md,inf и/или /^d,sup Msup
(<7J / 0 U
Minf < Md,inf и/или Md,Sup < Miup. 3 = 1,2).
Предположим, что при P G (/Anf, M<i,inf) и/или p G (Md.sup, Msup) (м € G (Minf,Md,inf) “/“Л“ M G (Md>sup,Miup), 3 = !-2) существует решение G (u>£ G Sp, j = 1,2) задачи (39) ((40), j = 1,2). Тогда uM = 0-1(wM) (u^ = 0-1(<хР), j = 1,2) является основным, состоянием {типа (0) при j = 1, типа (—1) при j = 2) функционала I.
На данном этапе не существует общей теории решений первой из задач глобального анализа бифуркаций G1AB1) — конструктивного нахождения бифуркационных значений pi, i = 1,2,... Значение теоремы 2.27 заключается в том, что она указывает некоторые априорные бифуркационные точки рьа, Pd,inf, -   Отметим, что эти точки можно находить конструктивным образом — исследуя разрешимость соответствующих систем определяющих уравнений (43), (44), которые в конкретных случаях (см. ниже) действительно являются уравнениями. Более того, при некоторых дополнительных предположениях типа монотонности и более детальном его представлении функционала можно доказать, что выделенные точки в теореме 2.27 действительно являются бифуркационными. Мы не приводим этот результат здесь из-за, к сожалению, слишком громоздких условий на данном этапе. Теория исчисления бифуркационных точек на основе метода расслоений находится еще в процессе становления (ее развитие существенно зависит от исследования конкретных примеров).
Одной из наиболее трудноразрешимых проблем в исследовании критических точек функционалов или в исследовании решений нелинейных уравнений в настоящее время является вопрос о единственности этих точек и решений. Представляется невозможным до решения этой проблемы получение полного анализа ветвей критических точек семейств функционалов (решений семейств нелинейных уравнений) и анализа их поведения в точках бифуркаций (см. раздел 1, задачи G1AB3), G1AB4). Однако метод расслоений позволяет получать некоторые новые качественные результаты в этом направлении, причем до разрешения проблемы о единственности.
Процедура расслоения банахова пространства W заключается фактически в разделении переменных в W, грубо говоря, локально на координату по группе действия G и координатам по базе В. Данное свойство дает возможность получать некоторые новые качественные результаты о семействах критических точек {шм} функционалов Д, заданных на расслоенных пространствах.
Введем соответствующие определения ветвей критических точек семейств функционалов Ifl.
Пусть X — топологическое пространство. Будем обозначать через {w} подмножество в JY, т. е. {w} С X.
Определение 2.28. Пусть {w(.)}: (a,b) —» X некоторое многозначное отображение, X — топологическое пространство. Будем говорить, что это отображение непрерывно в точке р G (а, Ь), если выполняются следующие два условия:
1) для любой последовательности д' такой, что д' —> д при i —> оо и любой последовательности € {шр.} найдется такое G {шм} и такая подпоследовательность (снова обозначаемая что имеет место сходимость в X'.
2) если последовательность	G {wp, } > гДе Дг —> Д при г —> оо,
такова, что имеет место сходимость в Х\	—» w, для некоторо-
го w G X, то w G {шм}.
Будем говорить, что многозначное отображение	(а,Ь) —> X
непрерывно на (а, Ь), если оно непрерывно в каждой точке д € (а, Ь).
Пусть —оо < а < b < оо и {wM}, Д € (а, Ь), — некоторое семейство точек в W. Пусть выполняется предположение (R). Предположим, что задана некоторая точка до € (а, 6). Тогда найдется окрестность локальной тривиальности ФМи С X содержащая точку 0(wpo) G Ф, так что для точки 7r(^(wMo)) G В существуют такие открытая окрестность (7М0 точки тг(#(шРо)) и изоморфизм -ф: U х G —> ФМо что 7r(^(w,<?)) = w, w G U, g € G. Пусть ш G Фро. Обозначим i/)-1(w) = (•0j"1(w), V’z 1(u’)) G U x G.
Определение 2.29. Пусть —оо < a < b < оо. Будем говорить, что семейство точек {wp} в точке до G (а,Ь) образует ветвь согласно данному расслоению Л, если найдется окрестность -Е(до) С (а, Ь) этой точки такая, что:
1)	при всех д G Е(д0) точки поднятия лежат в окрестности локальной тривиальности Фро;
2)	отображение 1({p(w())})  В(до) —> R однозначно и непрерывно при почти всех д G .Е(до);
3)	многозначное отображение фф 1(^({w( )}))' В(до) —* В непрерывно.
Мы будем говорить, что семейство точек {wM} на интервале (а, Ь) образует ветвь согласно данному расслоению Л, если это семейство образует ветвь согласно данному расслоению Л в каждой точке до G
В случае выполнения условия (RD) для заданного семейства функционалов можно использовать следующее определение ветвей критических точек.
Пусть —оо < а < b < оо и {wM}, д G (а,Ь), — некоторое семейство критических точек функционала /р. Пусть при каждом д G (а, Ь) выполняется условие (RD). Тогда, поскольку G д G (а, Ь), согласно предложению 2.1 для каждой точки v;l0 := ir(wfla') G В, До G (а, b) найдется такая окрестность V(vM0) С В точки v/t0 и такое единственное
в этой окрестности С'1-отображение s^0 : V(г?р0) —> G, что будут выполняться следующие соотношения
W-1(sm0(^)^)) =0.	(47)
^(^-1(5Мо(^),г;))	0, ибУ(иМо).	(48)
В следующем определении предполагается усиление данного свойства.
Определение 2.30. Пусть —оо < а < Ь < оо. Будем говорить, что семейство {wM} критических точек функционала в точке Цо € G (а, Ь) образует ветвь согласно данному расслоению Л, если найдется окрестность Е(ро) С (а, Ь) этой точки такая, что:
1)	для точки := 7r(wM0) € В найдется такая окрестность V(идо) С С В точки v^0 и такое единственное в этой окрестности (^-отображение	—> что при всех р Е -Е(до) будет выполняться
^(vM,sM(vM)) = w^,	= 0, L(-0-1(wM,sM(wM)))	0;
(49)
2)	отображение S(.)(u{.)): E(po) —» R однозначно и непрерывно при почти всех д G Е(ро);
3)	многозначное отображение {г\.)}: ^(мо) —♦ В непрерывно.
Мы будем говорить, что семейство {шм} критических точек функционала образует ветвь на интервале (а, Ь) согласно данному расслоению Л, если это семейство образует ветвь согласно данному расслоению Л в каждой точке ро G (а, Ь).
В дальнейшем мы будем использовать также следующее определение ветвей критических точек.
Определение 2.31. Пусть —оо < а < b < оо. Будем говорить, что семейство {wM} критических точек функционала 1^ в точке ро G G (а, Ь) образует ветвь по модулю значений функционала если найдется окрестность Е(ро) С (а, Ь) этой точки такая, что отображение /(.)({w(.)}): ^(мо) —» К однозначно и непрерывно на Е(ро). Мы будем говорить, что семейство {шм} критических точек функционала на интервале (а, Ь) образует ветвь по модулю значений функционала если это семейство образует ветвь по модулю значений функционала в каждой точке ро G (о, Ъ).
Следующим отличительным и полезным свойством процедуры проективного и ст-расслоения является то, что оно преобразует (раздувает) точку нуль {0} из W в прямую {0} х P(W) (ср. с конечномерным случаем [4]). Это свойство дает возможность судить о раздельности или слитности над точкой {0} G W ветвей критических точек функционалов.
Проиллюстрируем это на примере случая применения процедуры проективного расслоения для приведенного функционала.
Пусть заданы функционал I на банаховом пространстве W, однопараметрическая группа Ли (R \ {0}, х), действующая на W \ {0} как умножение элементов из W\{0} на t G R\{0}: Rtu - txu.uG IV\ {0}.
Предположим, что функционал I(u) G С1 таков, что при некотором р > 1
I(Rtu) = \t\pI0(Rtu) vteR\{o}, VueW\{0},	(50)
при этом € W \ {0}, lim7°(/7tu) = H(u) 0.	(51)
Будем называть 7°(u) приведенным функционалом. Отметим, что в случае, когда Н\и) 7^ const, и 6 W, функционал /°(и) является разрывным в нуле 0 G W. Предположим, что на каждом ограниченном шаре Вг = {w € W : ||w||jy	?'}, г > 0, имеет место равномерная
сходимость
lim I°(Rtu) = Н(и), и G Вг,	(52)
и непрерывность отображения
H:VK->R.	(53)
Рассмотрим «приведенное поднятие» 1° на Г функционала i0(w)=7°(pr1(w)), wgR
Справедливо следующее
Предложение 2.32. Пусть выполняются предположения (52), (53). Тогда 1° допускает непрерывное продолжение на Гр
Пусть на банаховом пространстве W задано семейство функционалов 7М, р € (а, Ь) при некоторых —оо а < b оо.
Рассмотрим ветви критических точек {wM}, р € (а, Ь), по модулю значений приведенного функционала поднятия 7°. Мы называем ветвью по модулю значений приведенного функционала поднятия 7° такие критические точки этого функционала, для которых отображение
7°({а,(.)}):р^7°({^})	(54)
является непрерывной функцией на (а, Ь). При этом, если рассматривать ветви и {и;1} вне точек 0 х 7->(ИЛ) и 0 G W соответственно, то определения ветвей {шм} по модулю значений приведенного функционала поднятия 7° и ветвей {им = РгЛ^ф)} по модулю значений функционала 7М будут, как легко видеть, эквивалентны.
Пусть имеются две ветви критических точек	р 6 (а,Ь) по
модулю значений приведенного функционала поднятия 7°. Предположим, что существует такое pi G (а, Ь), что критические точки функционала 1°} принадлежат множеству 0 х P(W), т. е. = = (°,Р(0м1))>	= (0,р(</>2,)) при некоторых </>*,, ф^ € W \ {0}. Пред-
положим, что при р g (a,b) \ pi эти ветви являются раздельными, т.е. 7°(w') 7^ 7°(а>2), р 6 (а, 6) \ ру. Отметим, что в этом случае, если %’,, W2 £ Г = Г1 \(0 х P(W)) при р € (а, Ь)\р^, то ветви {и*, = рГ1 (w,1,)}, {и2 Рг, (%2,)} являются также раздельными по модулю значений 1^.
Предположим, что 7°, (0, р(фух)) /	(0, р(Ф2у} ))• Тогда при д €
€ (а, Ь) мы будем иметь две глобально отдельные в Г] ветви по модулю значений приведенного функционала поднятия /°. Однако при этом мы будем иметь всегда совпадение
= /Р1(рг1(О,р(021))) = 1м(0).
Таким образом, процедура сг-расслоения дает возможность судить (в обобщенном смысле) о раздельности (или о соединении) над точкой О G W ветвей критических точек.
Переход по процедуре сг-расслоения от функционала ф на W к его поднятию Тр на Г1 дает возможность рассматривать единым образом, как сам функционал /р, так и его естественную линеаризацию Ну по процедуре проективного расслоения.
Действительно, рассмотрим частный случай, когда функционал Эйлера имеет следующую структуру ZM(u) = Ну(и) + F(u). Пусть функционалы 1у(и), Ну(и), F(u) удовлетворяют условию (RD) и при этом выполняются следующие условия однородности: Нм(7?4и) = tp77M(u), F(RtU) = t^Fo^Rtu) при каждом t G IR \ {0}, u € IV\ {0} для некоторых 7 > p 2. При этом предположим, что Hp(u) тождественно не равно нулю на W \ {0}. Так что здесь выполняются условия (50), (51).
В частных случаях при р — 2 (см. ниже пункт 4) производная Фреше по и G W
W = А^и)
является линейным оператором на W. Назовем функционал
1 / <Э2	\
Н^ф) =: Lo(m,</>) = lim-^^^^/M(.Rt0)J, ф G W,
линеаризацией по процедуре проективного расслоения.
Пусть Дх G (а, Ь) и ф-y G W \ {0} такие, что ф^ является критической точкой Hyi (собственной функцией ДР1(и) с собственным значением Д1). Известно, что собственные значения Д1 «линеаризации» Ну играют важную роль в локальной теории бифуркаций, где они рассматриваются как возможные точки ветвления решений. Однако когда F'(/f>i) ф 0, точка ф1 не будет критической для 7Mi(u) = НМ1(и) + +F(u). Так что критические точки функционала 1у и линеаризации Ну не совпадают.
С другой стороны, как легко видеть, точка_(О,р(01)) € Ох P(IV) будет критической для функционала поднятия 1у на Гф Более того она является критической для приведенного функционала поднятия
Таким образом, переход от функционала 1у на W к его поднятию 1у на Гх дает возможность рассматривать единым образом как сам функционал 1у, так и его линеаризацию Ну. При этом точки (/21,<ф) (собственные значения и собственные функции Ф1 линеаризации) естественным образом включаются в характеристические условия общей нелинейной проблемы.
3.	Тождество Похожаева
В данном разделе мы приведем пример приложения процедуры расслоения главным образом как инструмента для конструктивного способа применения метода ограничивающей минимизации.
Пусть М > 1,7V	2, I =	IRM, 0 < lj < +оо,
j — 1,2, К =	= П^=1(—bi М- Рассматривается полули-
нейное эллиптическое уравнение
—Дги(г,т) — Дхи(г, т) = g(u(z,x)), (z, х) € Ki х IRW, (55) u&W,	(56)
с периодическими граничными условиями по z = (zj,..., гд/) такими, что при j = 1,..., М
u(z,t)| _ , =u(z,z)|	, х G IR'/V,	(57)
uZj.(z,t)|z.=_(j. = uz.(z,x)\z_^, i€RN.	(58)
Здесь W = H1(Ki x IRW) — соболевское пространство функций с конечными нормами
/ г	Х1/2
= ( / (|u|2 + |Vzu|2 + |Vxu|2) dxdz )	<+оо, (59)
где х = (ti, ..., х^), z = (zi,..., zm), у обозначает интегрирование по множеству Ki xR\ Мы используем также обозначения Vz = (d/dzlt... ...,d/dzM), vx = (d/dx1,...,d/dxN), дг = (d2/dz21+... + d2/dzi[), Дх — (<Э2/<Эт2 + ... 4- д2/дх2^, uZj = du/dzj, j = 1,..., М.
Предполагается, что N 2 и что функция g: R —» R является непрерывной, нечетной (<?(0) = 0) и удовлетворяет следующим трем условиям:
—оо < lim inf С lim sup - = — т < 0, з—»о	S	з—>о	s
,.	|ff(s)| n , N + M + 3
11 ш	,	= 0, где к = —------——-,
IsH+oo sfc ’	N + M-2’
существует такое £q > 0, что
Со
G(£o) = У g(s) ds > 0. О
(60)
(61)
(62)
Уравнение (55) и краевые условия (57), (58) понимаются в обобщенном смысле. Отметим, что по теореме вложения Соболева справедливо следующее непрерывное вложение: W С Lp(Ki х Rw), где р = 2(N + + M)/(N + М — 2) при (N + М) 3. Введем функционалы на W
Т(х)(и) = j |VIu(z,x)|2dxdz,
7}zj(u) = j | Vzu(z, rr)|2 dx dz, V(u) = j G(u(z,x)) dxdz,
Рассмотрим подпространство в W
W = {u € W\ {0} | u(z)|z.=_(j = u(z)|z.=(., j =
где равенства u(z)| _t = u(z)|z , j =	понимаются в
смысле	x IRW). Стандартным образом доказывается, что W
является банаховым пространством с нормой || • ||, задаваемой по формуле (59). Несложно проверяется, что данная норма является функционалом класса С1 на W. Отсюда шар S1 = {г; | v G W, ||v|| = 1} является замкнутым подмногообразием в W класса С1, а отображение bi := v/ ||г>|| : W —» S1 является С1 морфизмом (см. [9]).
Следующий функционал, рассматриваемый на УУ(—1,1), соответствует задаче (55)-(58)
S^) = It^u) + ^T1{z^u)-V\u), UGW. (63)
Можно доказать, что S(u) G G^W) и при этом, если функция и G G УУ(—1,1) является критической точкой функционала S(u), то она удовлетворяет (55), (57), (58) в слабом смысле [6,24].
Будем рассматривать следующее действие группы Ли G = IR+ на пространстве УУ(—1,1): (и, <т) —> u(z,x/<t), a G R+. Как легко видеть, данное действие непрерывно на УУ(—I, I). Более того оно является иммерсией, совершенно и свободно. Отсюда, если обозначить через В := W/R+ фактормногообразие по отношению эквивалентности R, определенное группой R+, и через тг — каноническую проекцию из В в W, то четверка Л = {W{0}, IR+, В, тг} есть главное расслоение [9].
Поскольку отображение bi пространства W в S1 непрерывно и bi(y) при любом v G W принадлежит классу эквивалентности элемента v по R, то отсюда вытекает (см. [9]), что S’1/R+ ~ S1 и В гомео-морфны. Определим на В дифференциальную структуру, как поднятие дифференциальной структуры из S1 при отображении гомеоморфизма i: Si —» В. Таким образом, В будет являться многообразием класса С1 и, следовательно, расслоение Л удовлетворяет условию (А). При этом нужно отметить, что в данном случае гомеоморфизм -ф: В х R+ —» W в условии (LT) задается формулой:
?^(w, сг) = z-1(w)(z, т/ст), w G В, a G R+.	(64)
Отсюда вытекает, что расслоение Л изоморфно тривиальному Л = = {Si х R+, R+, S1, тг}. Поэтому в дальнейшем удобнее вместо расслоения Л рассматривать эквивалентное ему расслоение Л. В этом случае можно воспользоваться глобальной заменой координат (64). Тогда расслоенный функционал S задается на Si х R+ следующим образом:
ДГ—2	N
S{v^)=^^-T{x}{v) + ^T{z}(u)-aNV(v), {v,a)eSixR+. (65)
Легко проверяется, что здесь выполняется условие (RD). Найдем согласно общей процедуре расслоения функционалы (10), (11)
Q(u) = d2I* (и, a) = aN~3((v) + Na2 (±T{z} (v) - У(ц)У),
(66)
L(u) = й|/Ф(ц,ст) = aN~4^--У----+
+N(N-l)^f-T(z)(u)-V(u)\], u = ^(v,ct)gW, (v,ct) 6 SixR+.
(67)
Легко видеть, что {u € УУ | Q(u) = 0, L(u) = 0} = 0. При этом следует отметить, что на множестве {u £ W| <Q(u) = 0} всегда L(u) < 0. Таким образом, в данном случае многообразие (13) задается следующим образом:
^Т(1)(ц) + Na2 Qt(z)(v) - V») = 0 J.
Е = < (у, ст) € Si х R+
(68) В качестве пространства критических точек 1ТСГ будем рассматривать следующее локально выпуклое пространство (A^j (^гх )) ПW. Несложно доказывается, что в этом случае отображение (64) удовлетворяет условию (CrW). Покажем, что выполняется условие (CrWl). Пусть точка Uq = ^(vq.CTq) € Е доставляет локальный минимум или
максимум на Е функционалу S(u) = S(y, а). В силу условия (RD) справедливо предложение 2.5. Поэтому существует гладкое отображение ст: S1 R+ такое, что Q(y, <т(уУ) = 0 при v € S1. Отсюда вытекает, что функционал S'(v,ct(i/)) в точке Vq € S1 достигает локального минимума или максимума. Поскольку S(y, <т(у)) G G^Si), то применимо правило множителей Лагранжа
AiZ?S,(v0, ст(г»о)) = A2Z?|jv0||,	(69)
где Ai, Д2 ЕЙ одновременно не равны нулю. Учитывая, что ст(г>о)) = Q(v, ст(г>)) = 0, отсюда выводим
Aid1S’(z?o, ст0) = A2L,||z?o||-	(70)
Данное равенство является эллиптическим уравнением, к которому применимы стандартные [14,28] утверждения о регулярности решений. Отсюда выводим, что решение Vq этого уравнения лежит в нужном пространстве 1ТСГ = (A^i ^lo’c (^ х ®W)) О W- Таким образом, здесь выполняется условие (CrWl).
Согласно общей процедуре расслоения для построения решений задачи (55)-(58) типа основных состояний следует рассматривать еле-
дующую основную минимизационную проблему с навязанным ограничением:
S(u) —»inf,	(71)
N - 2	\
_^_Т(1)(и) + ЛГ^-Т(г)(и)-У(и)^=О,	(72)
или в представлении расслоения
S(v, а) —> inf,	(73)
дг _ о	/1	\
T(i)(v) + w2)'-Tw(w) - y(v)j = 0, (v,a) eS1XR+. (74)
Отметим, что здесь
S(“) = ^(l)(u),
Таким образом, минимизационная проблема (71) (72) удовлетворяет двум необходимым условиям в приложении ограничивающего метода ограничения минимизации: во-первых, функционал S(u] на вводимом ограничении Е ограничен снизу, а во-вторых, в силу теоремы 2.9 любое решение этой задачи является критической точкой функционала S(u).
Минимизационная проблема с навязанным ограничением (71), (72) использовалась для доказательства существования решения задачи (55)-(58) в [6] при М = 0 и в [24] в случаях М 1. В этих работах приведены доказательства существования решения задачи (71), (72). Отметим, что при доказательстве существования решения задачи (71), (72) технически удобно рассматривать, эквивалентную в силу процедуры расслоения, расслоенную задачу (73), (74). В силу фундаментальности процедуры расслоения, заложенная универсальность в минимиэацион-ной проблеме (71), (72) ((73), (74)), позволяет использовать ее не только для доказательства существования решений задачи (55)-(58), но и для других целей. В работе автора [24] задача (71), (72) ((73), (74)) применяется для нелокального исследования бифуркаций по параметру периода I € R+.
Условие
N - 2	/1	\
+ N^-T^(u) - 1») = О, верное для любых критических точек функционала S(u), в литературе принято называть тождеством Похожаева. Впервые это тождество было выведено С. И. Похожаевым в работе [36] 1965 г. Это тождество и его обобщения играют важную роль во многих аспектах исследования нелинейных уравнений в частных производных (см., например, [6,7,35]) не только при доказательстве существования решений. С использованием этого тождества выводятся утверждения о несуществовании решений, находятся бифуркационные значения по параметру максимальной величины показателя нелинейности [36].
4.	Пример решения задачи нелокального анализа
В данном пункте мы приведем пример приложения метода расслоения, главным образом как инструмента для нелокального анализа бифуркаций.
Рассмотрим следующее семейство функционалов Эйлера
A(u) = - [ I Vu|” - А- [ |u|p - - [ f(x)\u\\ и е ^(П), (75)
Р J	Р J 7 J
здесь Я — ограниченная область в с гладкой границей дО,, J обозначает интегрирование по О., И^’Р(Я) — обычное соболевское пространство функций, f € С(П),
1 < р < 7 < р*,
где р* =
' пр
< п-р’
+ оо,
если р < п,
если р п.
(76)
Параметром данного семейства является A G R.
Отметим, что критические точки функционала (75) являются слабыми решениями краевой задачи Дирихле
—Ари — A|u|p-2u = /(t)|u|7-2u в О,	(77)
и = 0 на дО.,	(78)
и, наоборот, любое слабое решение (77), (78) представляет собой критическую точку (75).
Основной нашей целью здесь является нахождение бифуркационных значений для критических точек семейства вариационных функционалов (75), построение ветвей критических точек функционала (75) и анализ поведения этих ветвей в точках бифуркаций, т. е. фактически решение всего комплекса задач глобального анализа бифуркаций (см. выше п. 1, G1AB1)-G1AB4)).
Особенностью рассматриваемых вариационных функционалов (75) является индефинитность присутствующих здесь нелинейностей, т. е. то, что функция f в (75) ((77)) может быть знакопеременной. Такие функционалы характеризуются более сложной, по сравнению с функционалами с знакоопределенными нелинейностями, зависимостью от параметра А. Здесь возможно существование при одних значениях параметра А двух знакопостоянных решений, при других одного и, наконец, при третьих отсутствие таких решений. Наличие р-лапласиана накладывает дополнительные сложности, задача становится по существу нелинейной, трудноразрешимой локальными методами бифуркаций. При этом отметим, что оператор р-лапласиана Др является вырождающимся.
4.1. Расслоение критических точек. В этом пункте нами вводятся расслоения критических точек для функционала (75) и соответствующие минимизационные задачи с ограничениями.
Рассмотрим соболевское пространство W = IVj,р, р > 1, которое по определению есть пополнение QJ°(Q) по норме / г	\1/р
(/ \Vu\?dT] ,	(79)
где Vtz = (du/dxi,..., ди/дх^}-
Непосредственно проверяется, что норма (79) при р > 1 является функционалом класса С1 на W. Отсюда следует по теоремам 2.10, 2.13, что здесь определены проективное расслоение Р = (Г, P(IV),R,pr) и ст-расслоение Р1 = (Г1, P(IV),R,pr1), удовлетворяющие условию (CrW).
Рассмотрим на W функционал 1Х, заданный по формуле (75). Введем также на W функционалы
Т(ц) = J | Vu|p, G(u) = I |u|p, F(u) = J f(x)\u\\	(80)
Hx(u) = T(u) - XG(u), и GW.	(81)
Тогда в силу (75)
A(u) = ^Hx(u) - lp(u).	(82)
Поскольку 1 < p < 7 < p*, выполняются условия (76) и f G C(Q), to
T(u),G(u), F(u), HA(u), Ix(u) G C\W).	(83)
Рассмотрим отображение Ix: (t,u) —> Ix(t,u) =: Ix(Rtu), t G R, и G W. Тогда при каждом A > О
Ix(t,u) = -|t|pHx(u) --|«ГР(и), ugW.	(84)
p	7
Отсюда и из (76), так как f G C(Q), вытекает, что
1) при р > 1 для каждого A G R выполняется условие:
(RD.0) при каждом и G IV \ {0} функция /A(t,u) дифференцируема по t на R \ {0}, и при этом отображение
^:(R\{0})x(lT\{0})-R
есть класса G1 на (R \ {0}) х (IV \ {0});
2) при р 2 для каждого А > 0 выполняется условие:
(RD) при каждом и G IV функция Ix(t,u) дифференцируема по t на R, и при этом отображение
: (R) х IV -> R dt V 1
есть класса G1 на (R) х IV.
Очевидно, таким же условиям при тех же предположениях удовлетворяют функционалы T(u), G(u), F(u)2 Нх(и).
Введем функционалы поднятия Ix, Нх, F на Г:
7A(W) = Л(рг1(^)), I» = ^(рггМ)
ЯА(Ч) = НА(рг1(^)), Р(щ) = F(pn(W)).
(Здесь Уд — приведенный по проективному расслоению функционал.) Если р 2, то эти функционалы допускают_продолже_ние на Г), при этом, как нетрудно видеть, мы будем иметь Н\, F, I\, I® G C^Ti).
Для любого ujq G Г найдется область U С Р(1У) такая, что о>о 6 € рр^Д) и при этом в области рр1(Д) будет справедлива замена переменных:
Д(ш) = A(t,C) = b(pri№u'V(t,£)Y),
Нх(и) = Px(t,e) = ЯА(рг1(^1у(ЛС))),	(85)
FM = F(t,O = P(pr1(^V(t,C))),
где (t,£) € К х U, ш = V’yV(^) и
P’’i(^t/,V(i-O) = <-РГ,у(О, (t,^)elRxZ7.	(86)
Здесь область V С Si такова, что ограничение рцу: V —> U на V отображения канонической проекции pi: Si —► P(W) является диффеоморфизмом.
Положим
ЯА(ё) = НА(рГ>О, /(£) = F(pr,UO),	(87)
Тогда в силу (82), (85), (86) будем иметь
/A(t,e) = -|t|p^A(O-i|t|W), (£,£)gRxC/.	(88)
Р	7
При р > 1 (р > 2) в силу (RD.O) ((RD)) вытекает существование на Г (Г1) функционалов
Qa(w) = QA(t,£) =	- |t|7"W).	(89)
d2
W = LA(t, 0 = ^iA(t, o = (p - 1)Нр-2яА(0 - (7 - i^rW).
(90)
где t G R, £ G U, ш =	A G R.
Выделим в Ti подмножества
^A =	€ Ti | QA(w) = 0, LA(w) < 0},	(91)
SA = {^Gri|QAM =0,La(u>) >0}.	(92)
Основными минимизационными задачами с ограничениями, используемыми далее нами при нелокальном анализе бифуркаций критических точек функционала (75), являются следующие две:
= inf{JA(u>) | w G E{}, j = 1,2.	(93)
Напомним, что критические точки и2 =4 0 (u,( =£ 0) функционала для которых prj"1^) G Ед (p’T^^D е ^А) называются критическими точками типа (0) (критическими точками типа ( — 1)).
В силу теоремы 2.26, если существуют критические точки и2 О (г/.д / 0) функционала 1\(и) такие, что точки ш2 = prf1^2) € ^А! (шд = рг^1(ггд) € Ед) есть решения задачи (93), j = 2 (j = 1), то они являются основным состоянием типа (0) (основным состоянием типа (—1)) по проективному расслоению.
Технически более удобно при построении ветвей решений использовать минимизационные проблемы с ограничениями, основанными на тривиальном расслоении по сфере S1. Приведем соответствующую данному случаю (75) процедуру тривиального расслоения.
Поскольку R+ xS1 диффеоморфно 1У\{0},тодля 1\(и) однозначно определен следующий функционал «поднятия» I: при (s,i>) € К+ X S1
Ix(s,v) = Ix(sv) = -spHx(v) — —s^Ffv),	(94)
P	7
и соответственно д -	-	92-
Qx(s,v) =—Ix(s,v), Lx(s,v) = —Ix(s,v).	(95)
Выделим подмножества
el = {(s,u) eR+ x S‘| (Hx(v) - s^pF(v)) = 0,
((p - l)HA(v) - (7 - 1)^"РВД) > 0},
01 = {(s, v) G R+ x S'| (ЯА(«) - st>F(v)) = 0, ((p — 1)//A(u) — (7 — l)s7-pF('u)) < 0}.	1
Из четности рассматриваемых функционалов вытекает, что локально 7A(w) = /A(|t|,p1(^))=/A(S,^),
|QA(^)| = |QA(|t|,Pi(^))| = IQA(s,^)|,	(98)
ZA(w) = Lx(\t\,pi(v)) = Lx(s,v), где s = |t| G K+, v € S1- Поэтому вариационные проблемы (93) экви-валентны следующим:
= inf{/A(s, г>) | (s, и) G 0д}, j = l,2,	(99)
где по определению
Р = +оо, если Qi = 0, j = 1, 2.	(100)
Заметим, что рассматриваемый случай является точно разрешимым в областях 0}, 0д, т. е.
0a = {(s,v)€K+ xS1|s = si(u), Hx(v) >0, F(v) > 0},	(101)
0A = {(s, v) € K+ x S11 s = 5г('и), Hx(v) < 0, F(v) < 0},	(102)
где
Поэтому здесь однозначно определены отображения 1г(у): S1 —> R:
=: Z(?(v),v) = 7^z(Vr77~~’ ve®>’	(104)
AV 7 v v 71 7 (FM}p/“y-p
J&v) =: Z(s2(«),V) =	V G 02.	(105)
AV 7	\ v /> /	F('u)|p/'?”P	v
где
©a = {V e Si I Hx(v) > 0, F(v) > 0},	(106)
O2 = {^ € Si | ZZa(u) < 0, F(v) < 0}.	(107)
Отсюда имеем следующие минимизационные проблемы с ограниче-j’=inf{j^)|ueoi}, j = l,2.	(108)
В силу леммы 2.17 мы имеем
Предложение 4.1. Пусть существует решение G Од задачи (108) при j = 1, j = 2, А € R. Тогда точки
WA+)J =	е	,109х
шх~}'3 = (-•’’{(«аМ’Р^а)) е
являются критическими для функционала I х, а точки u^j^s^v{eW\{0}, ua"),J = -^Vx^x G W \ {°}>
при j = 1 или j = 2 являются критическими для функционала Ix 
4.2. Исследование характеристических условий. Существование решений минимизационных проблем (99) зависит от значений параметра. Исследуем зависимость от параметра А множеств Од, j = 1,2, и изучим соответствующие данному случаю характеристические условия.
В рассматриваемом случае нам достаточно будет рассмотреть систему определяющих уравнений в расширенном смысле (41), которая в данном случае имеет вид
Яд(и) - |s|7-pZ?(t>) = 0,
(р - 1)Нд(^) - (7 - 1)Ы7~рГ(«) = 0,	(111)
s S R, V € S1.
Как легко видеть, данная система характеристических условий факторизуется на следующие три независимые:
Хо,А = {(s, v) £ R+ х S11 Нх(v) = 0, s = 0},	(112)
Хоо.А = {(s,t>) € R+ х S11 Нд(и) =4 0, F(u) = 0, |s| = оо},	(113)
Хода = {(s,v) € R+ x S11 Hx(v) = 0,F(v) = 0},	(114)
где R+ = R+U{0}Uoo — компактификация по Александрову (см. [26]). Так что в данном случае ёх = хо,а Uxo.o.A UXoo.A- При этом системы определяющих уравнений по подмножествам ©J, j = 1,2, соответственно задаются следующим образом:
6Х = 0А п (Хо.А U Хода U Хоо.а)-
В силу (104), (105) легко заметить, что 62,и = ©f П (хо,а) и = = ©а п (Хоо.а)- И, таким образом, 62’d = ©А П (хо.О.А © Хоо.а) и 8['d = = 0А Г) (хо,А U Хода)- Отсюда имеем следующие присоединенные характеристические множества типа (0) и типа (—1), соответственно:
a2’d := {A G R: ©А П (хода ©Хоо.а) / 0},	(115)
<?1,d := {А € К: ©А П (хо.А © хода + 0},	(116)
Для того чтобы исследовать крайние точки данных характеристических множеств, выделим крайние значения по А G R, при которых не __________________1	__1	__2
пусты множества 0А Пхо.А, О а ^Хода, ©а ПХоо.а по отдельности. Легко видеть, что такими точками являются
Ai = inf{A е R| Зи G S\Hx(v) = 0},	(117)
А* = inf{A € R | 3v € S1, Hx(v) = 0, F(y) 0}.	(118)
Нетрудно заметить, что достигаемым минимумом 0 < Aj < оо в (117) является первое собственное значение оператора — Др в П с граничными условиями Дирихле:
—Др01 = Ai\ф1 |р 2</>i, = °-
(119)
(120)
Хорошо известно (см. [30]), что Ai является простым и изолированным и что соответствующая собственная функция (слабое решение задачи (119), (120)) положительна (</>i > 0 на И) и фу G C1,Q(H) П W для некоторого a G (0,1). Существование же решения задачи (118) зависит от конкретно исследуемых функционалов, в частности, от свойств F(v). Отметим, что если F(jpi) 0, то очевидным образом А* = Ар Поэтому подробно рассмотрим случай, когда F(</>i) < 0. Выделим здесь сначала простые ситуации.
Пусть И- = {т G И | f~(F) / 0}, П+ = {т G И | f+(F)	0},
HJ = И \ И- и По = П \ (И- U П+). Поскольку f G С(П), то HJ \ ЗП~ и По \ 9По являются открытыми областями. Условимся далее обозначать 0, По 0, если множества HJ, По имеют ненулевую лебегову меру.
В случае F(</>i) < О, HJ / 0 и /+ = 0 (т. е. при f(x) 0, i £ П и По = HJ / 0), константа А| в (118) совпадает со следующим
значением:
где Wp’*(Qj) = {и € 1Ур(0) | и = 0 и.в. наП\Пд} замкнутое подпространство (Q). Существование неотрицательного решения ф* £ € Wp’*(fi+) задачи (121) доказывается хорошо известными способами [30,29]. Однако отметим здесь, что в отсутствие регулярных условий о границе 3QJ нельзя гарантировать достаточную гладкость решения Ф1- Поэтому мы будем использовать в дальнейшем еще одно эквивалентное определение для А(.
Пусть 0 — некоторая открытая область в Q с гладкой границей dQ. Обозначим через АДО) и ф1 (0) первое собственное значение и собственную функцию оператора — Др в 0 с граничными условиями Дирихле на 30:
—Др^ДО) = А1(0)|01(0)|р-2</>1(0) в 0, <£Д0)|9е=О.	(122)
Известно [30,29], что при этом мы будем иметь </>i (©) > 0 на 0 и ф1 (О) £ £ С1,а(0) О IV для некоторого а £ (0,1). Отсюда и из (121) несложно вывести, что
AJ = inf{A1(0)|0cnJ}.	(123)
©
Приведем теперь лемму для остальных случаев в (118).
Лемма 4.2. Пусть Р(фг) < 0 и f+ /0. Тогда существует ф^ £ £ W \ {0} доставляющая минимум в (118), так что Р{ф\} = 0. При этом найдется такое г > 0, что ф{ = тф± будет являться слабым решением (77), (78), ф^ > 0, ф*{ £ C1,Q(fi) для некоторого а £ (0,1).
Дадим теперь окончательное описание множеств Ед, j = 1,2, и характеристических множеств хо,А) Ход,А Хоо,А-
Лемма 4.3. 1) Пусть F(</>i)	0. Тогда:
а)	приХ Ai множество Ед непусто и при этом (si(^i), фг) 6 Е};
6)	если А < Аь то хо,А = 0, Ход,А = 0-
2)	Пусть Р(ф1) < 0. Тогда:
а)	при А £ (Ai, АД множество Е2 непусто и при этом ($2(ф1), фг) £ esi;
6)	если А £ [Ai, АД, то ЗЕ^ П П Ход,а = 0-
3)	Пусть Р(ф].) < 0 и Д 0. Тогда:
а)	при А А* множество Ед непусто-,
Ь)	ЗЕд. Г ход / 0 и если А < А*, то ход,А = 0 и ЭЕд О хо,А = 0-
Доказательство. Докажем сначала утверждения 1а)-3а). Заметим, что при А £ (—оо, Ai) всегда Нд(</>1) > 0. Отсюда, если Р(ф1) > > 0, то по определению (101) будем иметь (зД01), <Д) £ Ед и, следовательно, Ед =4 0 при А £ (—оо, А]].
При A G (Ai, А*) мы имеем Нх(Ф\) < 0. Поэтому при предположении Р(ф1) < 0 имеем (s2(</>i), Ф1) € Ед и, следовательно, при A G (Ар Aj).
Пусть f+ 7^ 0. Тогда найдется такое ф G W, для которого F(^) > 0. Отсюда и из (118) при А < Ад будем иметь Нх(ф) > 0. Следовательно по определению (101) будем иметь (si(i/j), i/>) € Е} при А < Ар
Доказательства утверждений 1Ь)-ЗЬ) аналогичны. Приведем, например, доказательство утверждения 2Ь): <ЭЕд П Хоо,Х О Хо,о,А = 0 при А € [Ар Aj).
Поскольку |//д(г>)| ограничено на Si, то для доказательства этого утверждения достаточно показать, что при А G [Ад, Ад) не найдется такой последовательности {г>’} С {г> € 5д | Нд(г>) < 0, F(v) < 0}, для которой выполнялось бы: F(v1') —+ 0. Предположим, что такая последовательность существует. Поскольку vl € Si, то эта последовательность ограничена в W. Отсюда, из рефлексивности банахова пространства W и из компактности вложения W С при 7 < р*, вытекает существование такой подпоследовательности в {иг} (сноваобозначаемой {г>'}), что при i —+ 00: иг —г v, слабо в W и vl —» и в Ly, для некоторого v G W. Тогда Нд('и) С liminfi_00 Нд(?/) < 0 и F('u2) —» F(v) при г —+ оо. Следовательно, F(v) = 0. Поскольку Ид (и) С 0, то найдется 6^0 такое, что Hx-s(v) = 0. Таким образом, получили, что Hx-s(v) = 0 и F(y) = 0 при А — <5 < А|. Однако это противоречит определению Ад в (118). Лемма доказана.
Отметим, что в [25] доказано, что при условии Р(фф) > 0 не существует неотрицательных критических точек (75) при А > Ар
4.3.	Ветви основных состояний. Следующим шагом является построение ветвей решений в интервалах, определяемых точками Ад, А*, оо.
Первый результат здесь — это теорема о существовании критических точек (решение задачи G1AB2)).
Теорема 4.4. 1) Пусть Р(ф-ф) > 0. Тогда:
а)	при каждом А < Ад существует основное состояние и^ типа (—1) функционала (75);
6)	при каждом А < Ад е множестве {tz^} можно выделить два подмножества: положительных основных состояний типа (—1): Уд^ > > 0, и отрицательных основных состояний типа (—1):	< 0, так
чтоих=—и^ .
2)	Пусть Р(ф1) < 0 и П+ / 0. Тогда:
а)	при каждом A G (Ад, А*) существует основное состояние uj типа (—1) функционала (75).;
6)	При каждом A G (Ар Ад) в множестве {ид} таких состояний можно выделить два подмножества: положительных основных состояний типа (0): ид > 0, и отрицательных основных состояний типа (0):	< 0, так что и^=—их .
3)	Пусть Р(фф) < 0 и f+ 7^ 0. Тогда:
а)	при каждом А < Aj существует основное состояние и} типа ( — 1) функционала (75);
6)	при каждом А < А) е множестве {и}} таких состояний можно выделить два подмножества: положительных основных состояний типа (—1):	> 0, и отрицательных основных состояний типа (—1):	< О, так что и\ =—их^ \
Доказательство. См. [24].
На следующем шаге доказывается, что основные состояния и} и их образуют ветви критических точек.
В [17, 20] доказана следующая лемма о том, что основные состояния и\ и их локально образуют ветви критических точек по модулю значений функционала (75) (см. определение 2.31).
Лемма 4.5. Предположим, что на некотором интервале (а, Ь) С С R, при каждом A G (а, Ь) функционал (75) обладает основным состоянием {'u^} типа (—1) (основным состоянием {и^} типа (0)). При этом 1Х > 8 > 0 (р < 1А < <50 < 0), А € (а, 5), для некоторого 8 > 0 (для некоторых — оо < р < Aq < 0). Тогда соответственно при j = 1 или j = 2 выполняется:
1)	отображение G({u^})/[/A({ii^})|p/'y однозначно при почти всех A G (а, 5) и монотонно возрастает по А € (а, Ь);
2)	функция Л({иА}) по переменной А Е (а, Ь) непрерывна при всех А € (а, Ь) и дифференцируема при почти всех А € (а, Ь);
3)	при почти всех А € (а, Ь) справедливо тождество
(124)
Здесь и далее, когда функционал S принимает одно значение на всех точках из {w}, мы будем использовать сокращенное обозначение S(w) = S({w}).
Следствие 4.6. В условиях леммы 4.5 функционалы 4({4}), ^(Ы})
являются однозначными и непрерывными функциями по переменной А при почти всех А £ (а, Ь).
Доказательство вытекает из леммы 4.5, (103) и из тождества
Л(«х) = (1/р - l/7)Hx(ux) = (1/р - l/7)F(uA),	(125)
справедливого для любого решения их краевой задачи (77), (78).
Докажем теперь теорему о существовании глобальных ветвей основных состояний по проективному расслоению.
Отметим, что в силу предложения 2.17 семействам критических точек {tz^+^} = и )} — {—u^} в W соответствуют семейства критических точек	в Г:
= (sjx({ujx}){u{},p({u{}) е V с Г,
I । \ •	(1лО)
= (-зКМПЬП,р(М}) е с г,
j = 1, 2. Для того чтобы семейства критических точек	и {и}’*'
по определению 2.30 образовывали ветви по проективному расслоению на соответствующих интервалах (а, Ь), достаточно выполнения следующих условий.
2*) Отображения sJ ({uJ}): (а, &) —» R, j = 1, 2, однозначны и непрерывны при почти всех А, соответственно.
3*) Многозначные отображения {p(u})}: (a,b) —» W непрерывны, соответственно.
Будем в дальнейшем точку wq = (uo,Pi(uo)) G Г С (W\{0})xP(W) называть положительной (отрицательной), если Uq = рг\{ша) > 0 (uq = = pri(wo) < 0). При этом формула = —ш'о означает, что tz0 — = рт1(^о) = -и'о = pri(wg) И Р1(и0) = рт2(^0) = Pl(Uo) = рт2(шо).
Справедлива следующая основная теорема о существовании ветвей критических точек.
Теорема 4.7. 1) Предположим, что F(</>i) > 0. Тогда при A G G (—оо, Aj) существуют две ветви основных состояний типа (—1) по проективному расслоению: положительная {шд^'1} > 0 и отрицательная {а>д < 0. Более того функция	А ь-» 7д(ш{) яв-
ляется положительной при всех A G (—оо, Aj) и монотонно убывает при возрастании А.
2) Предположим, что F(</>i) < 0, fig" 0. ТогдаприХ G (Aj, А{) существуют две ветви основных состояний типа (0) по проективному расслоению: положительная {и>д+^'2} > 0 и отрицательная {а>д ^’2} < < 0. Более того функция /(.j(u>^): А >—» Д(шд) является отрицательной и конечной при всех A G (Aj, А}) и монотонно убывает при возрастании А.
3) Предположим, что F(</>i) < 0, f+ ф 0. Тогда при A G (—оо,А{) существуют две ветви основных состояний типа ( — 1) по проективному расслоению: положительная {шд^'1} > 0 и отрицательная {и>д Э’1} < 0. Более того функция	А >—> Д(ш}) является по-
ложительной при всех A G (—оо, Ai) и монотонно убывает при возрастании А.
Доказательства утверждений 1)-3) данной теоремы аналогичны. Приведем, например, доказательство утверждения 1).
Существование основных состояний {и}} вытекает из теоремы 4.4. Поскольку G(w) > 0, w G W, то монотонное убывание функции Л(ид) при возрастании А вытекает из формулы (124). Положительность Л(ид) > 0 следует из (125), поскольку Нд(61(и})) > 0. Отсюда и из леммы 4.5 выводится, что основные состояния {ш}} по параметру А образуют ветви по модулю значений.
Из следствия 4.6 вытекает, что для {ид}, A G (—оо, Ai) выполняется условие 2*).
Теперь для завершения доказательства утверждения 1) теоремы остается проверить условие 3*), т. е. доказать следующее утверждение.
Предложение 4.8. Многозначное отображение рЦи^}): (-ooMi)-W непрерывно.
Доказател ьство. Как легко видеть, для доказательства данного предложения достаточно показать, что непрерывно многозначное отображение {г>д = Wa/II^aIIw} (O,Aj) —* 51- Для этого необходимо проверить выполнение условия 1), 2) определения 2.28. Докажем условие 1).
Пусть Ао € (—oo,Ai) произвольно выбрано. Рассмотрим последовательности A1: A1 J Ао и = wA./||wA ||и/. Так как последняя ограничена в W, то отсюда выводится, что для некоторой подпоследовательности (снова обозначаемой vj.) при А, —» Ао существует предельная точка v € W: их, —? v слабо в W и —► w в Д7. При этом
F(vJ<) —» F(v).	(127)
г—>оо
С другой стороны, из непрерывности по А функции 1\(и\), а следовательно, в силу (125), непрерывности Нх(и\), F(ux) вытекает, что
ЯАо(^) = lim HV(^),	F(^) -	(128)
г—»оо
для некоторого г^о = uAo/||uAo||щ 6 M0/lH0llw}- Отсюда и из (127) имеем
ЯАо(ц)^ЯАо(^0), F(u) = F«,).	(129)
Рассуждая от противного, заключаем, что ЯАо(г>) = НХо(ух ). Отсюда и из равенства F(t?) = F(yx ) в (129) вытекает, во-первых, что и есть решение (108) при А = Ао, j = 1, т. е. v G {^Ао}, а во-вторых, что имеется сильная сходимость в W
—> и, при г —> оо.
Таким образом, нами доказано, что многозначное отображение {иА}: (—оо, AJ —> S1 в точке Ао G (—оо, Aj) удовлетворяет условию 3*). Теорема доказана.
4.4. Анализ ветвей основных состояний в особых точках. В данном пункте мы исследуем поведение ветвей основных состояний как многозначных отображений в особых точках Ар Ар
Начнем с особой точки Ар
Теорема 4.9. Пусть А] — первое собственное значение, аф\ > 0, = 1 — соответствующая собственная функция оператора —Др в О. с граничными условиями Дирихле (см. (120)).
1) Предположим, что F(<^>i) > 0. Пусть {uA}, A G (0, Aj), — ветвь основных состояний типа ( — 1). Тогда при А —> Aj:
1) существует предел /А(иА) 1 0;
2) имеет место сильная сходимость в Р(ТУ)
р(М})-> р({<М);	(1зо)
3)si(M})^0.
И) Предположим, что Р(ф1) < 0, fig ф 0. Пусть {ид}, А € (Ai, Aj) ветвь основных состояний типа (0). Тогда при A J. Ai:
1)	существует предел Iд(пд) Т 0;
2)	UAteem место сильная сходимость в Р(1У)
р(М}) -p({0J);	(131)
з)	S2(H})-o.
Доказательство. Докажем I). Пусть {u}}, А € (—оо, А*) ветвь основных состояний типа ( — 1). Тогда функция г>д = ид/||11д||щ является решением задачи (108) при j = 1. В силу леммы 4.3, 1), мы имеем (si(pi({фг})), {<i&i}) G Ед. Отсюда {ф^} G Ед при A G (—оо, AJ. Поэтому <7д(г>д)	^\(,Ф1) при A G (—оо, Ai). Отсюда, так как J}(</>i) —> 0
при А —» Ai, то
^д(^) -> 0	(132)
и, следовательно, Л(ид) —> 0 при А —» Ар
Докажем (130). Пусть U С P(IV), V С S1 такие, что ограничение pitv: V —> U на V отображения канонической проекции pi: S] —» —> Р(ТУ) является диффеоморфизмом.
Пусть A G (—oo,Ai). Введем множество
М} =	и {-uVHlM.
Тогда мы будем иметь p7v({Pi(ua)}) {ид}• Отсюда для доказательства (130) нам достаточно убедиться в следующей многозначной сильной сходимости в W
М) - {01},	(133)
где ||011| = 1. Предположим противное, что (133) неверно. Тогда существует такая последовательность Аг (А* —> Ai при г —> оо) и некоторое О' > 0, что
ll^v -{0i}||w > а, г = 1,2,...,	(134)
что подразумевает выполнение следующих двух условий
II^Ai — 01llw > ст и Н. - (-01)||щ > О', г = 1,2,...
Такая последовательность ограничена в W, так как G Si-Отсюда выводится, что эта последовательность имеет предельную точку и G W: —г v слабо в IT и —» и в L-,. При этом
ЯА1(«) liininf ЯдМ), Ж<) -	(135)
г—*оо
В силу (132) мы имеем Яд;(г’}<) —> 0. Поэтому
lim inf	= 0,	(136)
i—»oo
и, следовательно, РдДи) Sj 0. Отсюда, так как РдДш) 0 Vw € W, вытекает РдДг,) = 0. Из данного равенства и из (135), (136) следует, что имеет место сильная сходимость в W:	> и при г —> оо. Отсюда
вытекает, что v Е Si, т. е. и 0. Учитывая теперь, что (и) — 0, заключаем v Е {</>1}. Однако это не согласуется с предположением (134). Следовательно это предположение неверно. Таким образом, справедливо (130). Из данной сходимости и из (103), в силу условия F(</>i) > 0 следует, что 51(г>д) —> 0.
Совершенно аналогично доказывается утверждение II). Теорема доказана.
Докажем теперь основной результат, из которого будет следовать, что в точке Ai выполняется необходимое условие общего положения о попарном рождении и уничтожении ветвей критических точек^ Будем рассматривать критические точки функционала поднятия /д(ш) на многообразии Гр
Выделим следующую точку: ш°(р1(</>1)) = (0,pi(</>i)) Е Гр Как легко видеть, эта точка является критической для функционала 7д(ш). Отметим, что в то же время <j>i не является критической для 1\.
Из утверждений 1), 2) теоремы 4.7 и теоремы 4.9 вытекает следующая основная теорема о попарном рождении и уничтожении ветвей основных состояний функционала /д(ш).
Теорема 4.10. I) Предположим, что F(</>i) > 0. Тогда две ветви основных состояний типа (—1) по проективной процедуре: положительная {шд1^’1} > 0 и отрицательная {и>д Э’1} < 0 при А —» А] соединяются в точке w°(p(<pi)) следующим образом:
1) существует предел	= Д(шд ^,:1) —> 0;
2) имеет место сходимость в Г1
(137)
II) Предположим, что F(tpi) < 0, fl+ 0. Тогда две ветви основных состояний типа (0) по проективной процедуре: положительная {шд+)’2} > 0 и отрицательная {а>д ^’2} < 0 соединяются при А | Ai в точке w°(pi(<^i)) следующим образом:
1) существует предел Гд(шд+^'2) = 1х(шх ^’2) Т
2) имеет место сильная сходимость в Г1
{4+)’2}	<- М_)’2}-	(138)
Доказательство. Утверждения I, 1) и II, 1) непосредственно вытекают из утверждения 1а) и 2а) теоремы 4.7 и из определения = Л(рг1(ш)).
Для доказательства утверждений I, 2) и II, 2) достаточно заметить, что в силу утверждений I, 3), II, 3) теоремы 4.9 мы имеем
||{ргД+)^}||щ = Si({pi(priu[+^}) 0,	(139)
||{pr1wl~)’J}||vv = s1({w^_)’J}) -> 0, 7 = 1,2,	(140)
соответственно при А —» Ai и А | Ар Аналогично из утверждений I, 3), II, 3) теоремы 4.9 мы имеем сильные сходимости
{pr2w^+),J} ^Р1({</>1}),	(141)
{pr2w^),J} -> Р1({</>1}), j = l,2,	(142)
соответственно при А —» Aj и А | Ар Отсюда получаем сильные сходимости (137), (138) в топологии пространства W х Р(1У). Теорема доказана.
Так же как теорема 4.10 доказывается следующее предложение.
Теорема 4.11. I) Предположим, что F(</>i) > 0. Тогда две локальные при A G (Aj — 6(Uq), Ai) (при некотором Uo С P(IV)) ветви основных состояний типа (—1): {w(+) д} и {w(_) д}, при А —» Ai соединяются в точке ш°(Р1(Ф1)\ следующимобразом:
1) существует предел 1д(и»^ х) = 1д(и>^ А) —> 0;
2) uAteem место сходимость в Г i
Ч+),д}	^(pi^O) -	(143)
II) Предположим, что F(</>i) < 0, Q+ 0. Тогда две локальные при A G (Ар Ai + 5((7о)) (при некотором Uq С Р(1У)) ветви основных состояний типа (0):	А} и {и’2_; д} при А —> Ai соединяются в
точке (р1(ф1У) следующим образом:
1) существует предел 1х(а>^ А) = 1х(ш^_^ А) —> 0;
2) tzAteem место сходимость в Г i
H+),A}-cv°(p1(^))<-{^_)iA}.	(144)
Основным результатом о поведении ветвей основных состояний {uA}, {иА} в точке Ai является следующая теорема.
Теорема 4.12. Пусть AJ — значение инфимума в (121), а точка Ш)П ||^(П0+)|| = 1 — решение (121).
I) Предположим, что Р(ф1') < 0 и flj 0. Пусть М}> А е (Ар AJ), — ветвь основных состояний типа (0) функционала (75). Тогда:
1а) если f+ = 0, то при А —» А*:
1)	существует предел 1х(и^) —» —оо;
2)	имеет место сильная сходимость в Р(1У):
pi({ua}) -^pi({</>i(fio)});	(145)
3)	s2({ua}) °°-
lb) если f+ 0, то:
1)	существует основное состояние иА. типа (0) функционала (75); при А —» А|
2)	существует конечный предел Iд(иА) —» 7Aj(ua.);
3)	имеет место сильная сходимость в P(VK):
Р({Чх})->P({ua;});	(146)
4)
II) Предполоэ/сим, что F(</>i) < 0, f+ 7^ 0. Пусть {ид}, А € (—оо, А|) ветвь основных состояний типа ( — 1) функционала (75). Тогда при А —> А*:
1)	существует предел 1х(их) —» 0;
2)	имеет место сильная сходимость в P(W): р(М})-р({О, а^а;;	(147)
3)	существует предел Я1({ид}) —» 3д.. При этом 0 < Яд. < оо;
4)	{зд-<Р1} является критической точкой функционала (75).
Отметим, что здесь в (145), (146), (147) не предполагается единственность предельных точек.
Доказател ьство теоремы 4.12. Докажем 1а). Пусть ф^(П^) — решение задачи (121). Из строгого принципа максимума [46,50] следует, что </>1 (flj) не может быть решением задачи Дирихле (119), (120) в П, поэтому существует 0 Е W такое, что (//^.(</>i(flJ)),0) < 0. Рассмотрим 0t = 9 + Ьф\(flj). Тогда
Ш) = Д-ЯА; (ФЧ(По+) +	- -F(9).
Р \	г /	7
Отсюда, поскольку tpHx- (^ (Qj + 10)) = tp~l[(H'x. (</>i(Hq )), 0) +б(1)] при t —> 00, то получаем Ix(9t) ~* — оо при t оо. Следовательно, ТДи.д) —» —00 при А —> Ар Из данной сходимости аналогично (130) выводится (145). В силу (105), (103) имеем ДДид) = (з2(г>д))р.ЯА* (г>д). Отсюда, так как /А(ид) —> —оо, ЯА-(г>д) —> 0, получаем я2(г>д) —» 00 при А —>Ар
Докажем 1Ь). Рассмотрим г>д = и\/1|||щ. Так как эта последовательность ограничена в W, то отсюда выводится, что г/д, при А —» Aj имеет предельную точку и Е IV:	—г и слабо в W и > и в Д7.
При этом
-00 < ЯА;(^) liminf ЯдД^Д, F(^)-»F(v),	(148)
1	i —
для некоторой последовательности A’: A1 J Ар Предположим, что
Ш) —> —оо, при А —» Ар	(149)
Тогда из (148) вытекает, что F(v) = 0. Отсюда, из (118) и, так как
lim inf HAi(v?J	0,
i—*00
получаем Нх- (и) = 0. Так что и Е {ф^} и в силу (148) имеем и^ —> {ф*} сильно в W. Отсюда и из (149) вытекает fi2(wAJ —> оо при i —» 00. Подставим t/д, = з2(г>д<)г>д, в (78) и разделим полученное на |я2(г>дД|7-1. Тогда получим
(|s2(^) -^-p’)[-AX<	=fW\v^~2Vx<- (150)
Отсюда, в силу сильной сходимости v2{ —> ф[ и, так как 32(и2*) —» оо при i —» оо, то будем иметь /(т)|</>£|7-2ф^ — 0 при почти всех х G Q. Получили противоречие. Таким образом, Уд(и2) > —оо и в силу того, что функция 7д(и2) монотонно убывает, существует конечный предел: /a(u2) —» /(Aj) > —оо при А —> Ар Отсюда аналогично доказательству (130) выводится (146). Сходимости S2(f2) —» S2(i>2.), Л(ид) —* —» 7д^(и2.) вытекают из (146) и из конечности предела 7(AJ).
Докажем II). Пусть в g IV такое, что (F'(</>£), ё?) > 0. Тогда в силу (77), (78) будем иметь (Н'х. (</>*), 0) > 0. Отсюда при достаточно малых Е > 0 будет выполняться F(</>J + £0)=£(F'(^),0) + 5(e) > 0, + £0) = £(Нд. (</>i), 0) + о(е) > 0. Следовательно, ф± + £0 G Ед при А < AJ. Заметим,что
3^+Ед) =
(£(Я'. (</>;), 0) + б(£))7/7-₽ (£(F'(^),0) + 5(£))P/7-P
при £ —> 0. Отсюда (</>i + £0) —» 0 при £ —» 0, A f Ар Тогда, поскольку Jj(0i + £0) <7д(г>д) при А А| и £ > 0, получаем	—» 0
при А | Ар Отсюда получаем, что /д(ид) —» 0 при А —> Ар Из данной сходимости аналогично доказательству (130) выводится (147).
Докажем теперь, что существует ненулевой конечный предел si(wa) —* sXp Конечность |зд-| оо доказывается так же, как и при доказательстве аналогичного утверждения в 1Ь) данной теоремы. Докажем, что saj / 0. Поскольку Ид = 31(г>д)г>д, то из (77) имеем
-Др^ - А|г>д|р-2г>д = |51(^ГР/СгЫГ-Ч-	(151)
Предположим, что вД^д) —> 0 при А —» А*. Тогда из (151) и из сходимости (147) получим слабое равенство — ДрФ1 — А* |</>*|р~2ф| = 0. Однако это противоречит тому, что согласно лемме 4.2 при некотором г > 0 Ф1 = тф* является слабым решением (77). Таким образом, зд^ 0.
Перейдем к пределу в (151) при А -» Af. Тогда в силу сильной сходимости (147) и из сходимости зД^д) —> Зд* получим
-ДР# - А|<^Г2^ = )зд*	(152)
Отсюда вытекает, что точка {вд. ф± } удовлетворяет (77) и, следовательно, является критической точкой функционала (75). Теорема доказана.
Из утверждения 2) теоремы 4.7 и утверждения I, 1а) теоремы 4.12 вытекает основная теорема о попарномрождении и уничтожении ветвей основных состояний функционала 1х(ш) типа (0) в точке Ар
Будем рассматривать критические точки функционала поднятия 7д(ш) на многообразии Гр
Рассмотрим одноточечное бикомпактное расширение W = W U оо по Александрову [26] топологического пространства W.
Выделим следующую точку:
и°°(р(#(О) = (сю, WJ(O}) е Г\ и (оо х P(W)).	(153)
Теорема 4.13. Предположим, что F(</>i) < 0, flj 7^ 0 и f+ = = 0. Тогда две ветви основных состояний типа (0): положительная {шд+)’2} > 0 и отрицательная {а>д ^’2} < 0 при А Т AJ соединяются в точке w°°(p(</>i)) следующим образом:
1) существует предел 7д(шд+^’2) = 7д(шд ^’2) —» —оо;
2) UAteem место сходимость в Г i
{W<+)’2} - ш°°(р(Ш^+)})) - Й4’2}.	(154)
Доказательство аналогично теореме 4.10.
Обозначим {о>1.} = РЙ({5Л:^1}) = {(saj,^(01))} е Гь М;} = = {(ид.,р(ид.))} G Г1. В силу теоремы 4.12 данные точки являются критическими для функционала 1\.
Из теоремы 4.7 и теоремы 4.12 вытекает
Теорема 4.14. I) Предположим, чтоF(0i) < 0, flj 7^ 0 uf + 7^ 0. Тогда ветвь основных состояний типа (0) {шд} непрерывно продолжается в точку Ai так, что-^
1) существует предел 7д(шд) —> 7д^(шд.);
2) имеет место сходимость в Г i
Ю-И).	(155)
II) Предположим, что F(</>i) < 0, f+ 7^ 0. Тогда ветвь основных состояний типа ( — 1) {и>д } непрерывно продолжается в точку Aj так, что при А —> А;:
1) существует предел 7д(шд) —>	= 0;
2) имеет место сходимость в Г1
(156)
Автор выражает глубокую благодарность В. А. Кондратьеву, С. И. Похожаеву и В. А. Треногину за внимание и поддержку, оказанную ими при исследованиях в данном направлении. Работа выполнена при частичной поддержке фондов РФФИ 99-01-0045 и INTAS 97-30551.
Список литературы
1.	Ambrosetti A., Coti Zelati V. Closed orbits of Fixed Energy for Singular Hamiltonian Systems // Arch. Rational Meeh. Anal. — 1990. — V. 112. — P. 339-362.
2.	Ambrosetti A., Tanaka K., Vitillaro E. Periodic solutions with prescribed energy for some Keplerian А-body problems // Ann. Inst. Henry Poincare. — 1994. — V. 11, №6. — P. 613-632.
3.	Alama S., Tarantella G. Elliptic problems with nonlinearities indefinite in sign // J. Funct. Anal. — 1996. — V. 141, ЛИ. — P. 159-215.
4.	Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
5.	Bahri A., Berestycki Н. A perturbation method in critical point theory and application // Trans. Amer. Math. Soc. — 1981. — V. 267,	1. — P. 1-32.
6.	Berestycki H., Lions P-L. Nonlinear scalar field equations. I. Existence of ground state // Arch. Rat. Meeh. Anal. — 1983. — V. 82. — P. 313-345.
7.	Berestycki H., Capuzzo-Dolcetta I., Nirenberg L. Variational methods for indefinite super linear homogeneous elliptic problems // No DEA. — 1995. — V. 2, №4. - P. 553-572.
8.	Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. — М: Наука, 1979.
9.	Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов. — М:. Мир, 1975.
10.	Chow S. N., Hale J. К., Methods of bifurcation theory. Grundlehern, 251. — New-York-Heidelberg-Berlin: Springer, 1982.
11.	Coleman S., Glazer V., Martin A. Action minima among solution to a class of Euclidean scalar field equations // Comm. Math. Phys. — 1978. — V. 58, №2. - P. 211-221.
12.	Crandall M. G., Rabinowitz P. Bifurcation from simple eigenvalues // J. Funct. Anal. — 1971. — V. 8. — P. 321-340.
13.	Вайнберг M. M., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1969.
14.	Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М., 1989.
15.	Drabek Р., Pohozaev S. I. Positive solution for the p-Laplacian: application of the fibering method // Proc. Royl. Soc. Edinburgh. — 1997. — V. 127, A. — P. 703-726.
16.	Илле Дж. Основания глобального анализа // Успехи мат. наук. — 1969. — Т. 24, вып. 3 (147). — С. 157-210.
17.	Ильясов Я. LU. Функционал Эйлера для уравнений с Р-лапласианом как функция спектрального параметра // Труды инет. им. Стеклова. — 1996. - Т. 214. - С. 182-193.
18.	Ильясов Я. Ш. О существовании конформно-эквивалентных метрик для римановых многообразий с краем // Диф. уравн. — 1999. — Т. 35, № 3. — С. 334-340.
19.	Ильясов Я. 111. Конструктивный метод построения кратных миними-зационных задач с ограничениями // Компл. анализ, дифф, урав., смежн. вопросы II. Дифф, уравн. — Уфа: Инет, матем. с ВЦ РАН, 2000. - С. 83.
20.	Ильясов Я. Ш. Нелокальные исследования бифуркаций для семейств нелинейных эллиптических уравнений. Дис. ... докт. физ.-мат. наук. — Уфа: Инет, матем. с ВЦ РАН, 2000. — 272 с.
21.	Ильясов Я. HI. О процедуре проективного расслоения функционалов на банаховых пространствах // Тр. Мат. ин-та им. Стеклова РАН. — 2001. — Т. 232. - С. 156-163.
22.	Ильясов Я. 111. Об асимптотике решений полулинейных эллиптических уравнений вблизи первого собственного значения невозмущенной задачи // Матем. заметки. — 1998. — Т. 64, №4. — С. 543-549.
23.	Ильясов Я. 111. Теорема об отсутствии положительных решений для полулинейных эллиптических уравнений // Докл. Российской акад. наук. — 1999. - Т. 364, № 1. - С. 7-11.
24.	Il’yasov Y. Action as function of period for ground state solutions of semilinear elliptic equations // Nonlinear Diff. Equations and Applications (NoDEA). - 2000. - V. 7. - P. 113-131.
25.	Ильясов Я. Ш. Об одном необходимом условии существования положительных решений для класса уравнений с р-лапласом // Матем. заметки. - 1999. - Т. 66 (2). - С. 312-314.
26.	Келли Дж. JI. Общая топология. — М.: Наука, 1981.
27.	Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1956.
28.	Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1964.
29.	Lindvist Р. On the equation div(| Vu|p_ Vu) 4- A|u|p-2u = 0 // Proc. Amer. Math. Society. - 1990. - V. 109, №1. — P. 157-164.
30.	Liberman G. Boundary regularity for solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Anal. — 1988. — V. 12 (11). — P. 1203-1219.
31.	Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г. Топологические методы в вариационных задачах. — М., 1930.
32.	Majer Р., Terr-acini S. Periodic solutions to some A-body type problems: The fixed energy case // Duke Math. J. — 1993. — V. 69. — P. 683-697.
33.	Mitidiery E., Bozhkov Y. Existence of Multiple Solutions for Quasilinear Systems via Fibering Method // submitted (2000)
34.	Morse M. Abstract variational theory // Memor. Sci. Math. — 1939. — V. 92.
35.	Mustonen V., Pohozaev S. I. On the nonexistence of periodic radial solutions for semilinear wave equations in unbounded domain // Diff. Integ. Eq. — 1998. - V. 11, №1.-P. 133-145.
36.	Похожаев С. И. О собственных функциях уравнения Ди + А/(и) = 0 // ДАН СССР. 1965. — Т. 165, № 1. — С. 36-39.
37.	Похожаев С. И. О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операторами // Функц. ан. прил. — 1967. — Вып. 3. — С. 66-73.
38.	Похожаев С. И. Об одном подходе к нелинейным уравнениям // Докл. АН СССР. — 1979. - Т. 247. - С. 1327-1331.
39.	Похожаев С. И. Об одном конструктивном методе вариационного исчисления // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 298. - С. 1330-1333.
40.	Похожаев С. И. О методе расслоения решений нелинейных краевых задач // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1990. — Т. 192. — С. 140-163.
41.	Pohozaev S. /., The fibering method in nonlinear variational problems // Pitm. Res. Notes Math. Sci. — 1997. — V. 365. — P. 35-88.
42.	Pohozaev S. I., Tesei A. Existence and Nonexistence of solutions of nonlinear Neumann problems // SIAM Journal of Math. Analysis. — 1999.
43.	Ouyang T. C. On the positive solutions of semilinear equations Ди + Au — hu1’ = 0 on the compact manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. — 1992. - V. 331. - P. 503-527.
44.	Плотников II. И. Существование счетного множества периодических решений слабо нелинейного волнового уравнения // Мат. сбор. — 1988. — Т. 136, № 178. - С. 546-560.
45.	Tarantella G. Multiplicity results for an inhomogeneous Neumann problems with critical exponent // Manuscr. Math. — 1993. — V. 81. — P. 57-78.
46.	Tolksdorf P. Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations // J. Diff. Eq. — 1984. — V. 51. — P. 126-150.
47.	Треногин В. А. Возмущение собственных значений и собственных элементов линейных операторов // Докл. РАН. — 1966. — Т. 167. —
С. 519-522.
48.	Struwe М. Variational Methods, Application to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. — Berlin, Heidelberg, New-York: Springer-Verlag, 1996.
49.	Шафаревич И. P. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.
50.	Vazquez J. L. A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations // Appl. Math. Optim. — 1984. — V. 12. — P. 191-202.
нелинейный анализ в слабо метрических
ПРОСТРАНСТВАХ
В. А. Треногин
Введение
Функциональный анализ почти все двадцатое столетие являлся преимущественно линейным. Значительное количество результатов нелинейной теории являются, по существу, линейньши или почти линейными. В последние годы нами были предприняты исследования, имеющие целью модифицировать некоторые известные понятия и результаты линейного функционального анализа, для того чтобы можно было учитывать, например, рост нелинейного оператора на бесконечности или при подходе к границе его области определения. Главное внимание было уделено обобщению метода продолжения по параметру, восходящему к Бернштейну [2]. Этот метод зарекомендовал себя как мощное средство для доказательства теорем существования решений граничных задач для эллиптических уравнений. Вместе с тем метод продолжения по параметру предоставляет и эффективный вычислительный алгоритм [4]. Его топологический вариант в форме использования понятия степени отображения более известен и также широко применяется в современной математике [3]. Наше внимание сосредоточено на аналитическом варианте метода. В основе предлагаемой ниже теории лежит обобщение фундаментальной теоремы Банаха о непрерывной обратимости всякого линейного ограниченного оператора, достаточно близкого к заданному линейному ограниченному непрерывно обратимому оператору. Для реализации такого обобщения потребовалось ввести в рассмотрение понятие слабо метрических пространств, т. е. метрических пространств без неравенства треугольника. Полезными здесь оказались две числовые характеристики нелинейного оператора, отображающего одно слабо метрическое пространство в другое. Это — полунорма оператора и его мера корректности. Установлены теоремы о методе продолжения по параметру как глобального, так и локального характера. Выяснена тесная связь с теорией монотонных операторов, получены новые теоремы существования решений нелинейных уравнений. Непосредственным применением метода является также установление некоторых фактов соответствующей спектральной теории. Изучены свойства резольвентных множеств и получены оценки резольвент нелинейных оператор-функций.
Широко известна исключительно важная роль понятия сопряженного оператора в линейном анализе (см., например, [1]). В частности, это понятие самым тесным образом связано с описанием области значений линейного оператора. Нелинейный мир несравненно богаче линейного и имеются различные возможности интерполяции линейных вариантов теории. Для операторов в гильбертовом пространстве понятие оператора, сопряженного к нелинейному дифференцируемому оператору, было предложено М. М. Вайнбергом [17]. Дальнейшее обобщение и существенное развитие этого понятия в многолетних исследованиях Г. И. Марчука и его научной школы позволили получить многие полезные приложения (см., например, монографии [18, 19], а также статью [20] В. С. Владимирова и Г. И. Марчука, содержащие обширную библиографию).
Рассматриваемое ниже определение, впервые предложенное нами в [13], является принципиально иным. В [13] были приведены и простейшие свойства сопряженного оператора. Позднее выяснилось, что это определение родственно определению Ю. Батта (см. [15]), где исходный нелинейный оператор отображает абстрактное множество с широким определением ограниченности в локально выпуклое пространство. Отметим, что в [13] и в [15] сопряженный оператор линеен. В упомянутых других работах он оказывается не только нелинейным, но зависит еще и от переменной х, от которой зависел исходный нелинейный оператор.
Для простоты изложения мы ограничиваемся далее рассмотрением липшицевых операторов. Более общий вариант рассмотрен в [23]. Мы надеемся, что наши обобщения также будут полезными в приложениях. Укажем, например, на связь понятия оператора сопряженного к нелинейному оператору с проблемой изучения задач наблюдения и управления [21, 22].
Исследования частично поддержаны грантами РФФИ 96-01-00512, 99-01-00028.
§ 1.	Предварительные сведения
В этом параграфе мы приводим основные понятия и устанавливаем связи между ними. Пусть X — непустое абстрактное множество и pfxi'Xz) — неотрицательная симметрическая функция двух переменных из X, обращающаяся в нуль лишь тогда, когда Xi = х?. В этом случае мы будем называть X слабо метрическим пространством, ар — слабой метрикой в X. На слабо метрические пространства могут быть корректно перенесены все понятия теории метрических пространств, однако отсутствие неравенства треугольника может нарушить привычные соотношения этих понятий. Впрочем, довольно часто это оказывается несущественным для наших целей.
Пусть X — слабо метрическое пространство, а У — банахово пространство. Возможны вещественный и комплексный случаи.
Оператор F. X —> У называется р-ограниченным, если его полу-
норма
НЛр= sup
-Fx2|| p(ii,T2)
(1)
конечна. Множество всех р-ограниченных операторов будем обозначать через Lp(X, У). При этом операции сложения операторов и умножения операторов на числа определяются естественным образом.
Введем теперь для любого оператора G: X —> Y его меру корректности по формуле:
11» = inf
Zl^x2
1» -Gx2||
(2)
Нетрудно проверить, что полунорма удовлетворяет обычному неравенству треугольника. Из определений (1), (2) следует также следующее обобщенное неравенство треугольника, связывающее меру корректности с полунормой. Пусть F G Lp(X, У), G: X —» У, тогда имеет место следующее неравенство
|||F + G|||P ||Л₽ + II»-	(3)
Перечислим некоторые простые факты, связанные с понятием меры корректности. Если |||G|||p > 0, то G отображает X взаимно однозначно на 77(G) (множество значений G). Более того, если |||G|||P > О и уо G 7?(G), то справедлива априорная оценка р(х, xq) |||G|||~ 1||у — — Уо|| для возможных решений х уравнения Gx = у, где Gx0 = уо.
Будем называть оператор G: X —» У р-непрерывно обратимым оператором, если |||G|||p > 0 и 77(G) = У.
Замечание. Обозначим через Jp(X, У) нелинейное множество всех /9-непрерывно обратимых операторов.
Иногда оказывается полезным ввести метрику в X с помощью некоторого вспомогательного оператора А, устанавливающего взаимно однозначное соответствие между X и фиксированным банаховым пространством Z. Положим рд(х1,.т2) = ||Ati — Ат2||. Очевидно, что рд является метрикой в X. В этом случае, для краткости, будем пользоваться обозначениями
£Л(Х,У), ||F|h, |||G||U, 7ДХ,У).	(4)
Замечание. Если G 6 Ja(X, У), то XG-1 6 Li(X, У) и
цлс-1||7 = ||»1.	(5)
Это равенство является прямым следствием определений (1), (2).
Дадим теперь описание более простых ситуаций. Многие авторы (см., например, [7, 8]) изучали случай, когда X является банаховым пространством и p(.Ti,x2) = ||xi — т2||. Иными словами, здесь Z = X и А = 7 — тождественный оператор в X. Теперь Д/(Х,У) является пространством липшиц-непрерывных операторов, содержащим пространство линейных ограниченных операторов Ь(Х, У). Практически
этот случай мало отличается от линейного. Предложенное нами обобщение представляет более широкие возможности. В банаховом пространстве X можно ввести дополнительную метрическую структуру, например, так: р(т1,т2) = ||ti - Х2||Ф(Я). Здесь R = \/||xi||2 + ||т2||2 и Ф(7?) — весовая функция: Ф(7?) > 0 для R О, Ф(7?) —> оо при R —> оо. Теперь X является слабо метрическим пространством со слабой метрикой р. При этом LP(X, У) содержит все локально липшиц-непрерывные операторы с липшицевой постоянной, не превышающей Ф(7?).
§ 2.	Глобальная обратимость нелинейных операторов
Рассмотрим р-непрерывно обратимый оператор А, т.е A G Jp(X, У). Нас интересует р-непрерывная обратимость оператора В: X —> У, близкого к оператору А.
Теорема 1. Пусть A G JP(X, У). Если В — A G LP(X, У) и
||В - Л||р < |||Л|||р,	(6)
тоВЕ Jp(X,Y), АВ-1 G Lj(Y, У) и справедливы следующие оценки:
||ЛВ-1||/	(|||Л|||р- ||В - Л||р)’	(7)
1 " /||Z	(|||А|||1Р-||В11-Л||Р)-	(8)
Доказательство. Запишем уравнение Вх = у в эквивалентной форме и = Фи, где и = Ах и Фи = и — ВА~1и + у. Для любых ui,u2 G G У имеем ЦФьц — Фи2|| = ||(В — A)A-1ui — (В — Л)Л-1и2||	||В —
- АМА-Ч, Л-Ч2) \\В - Л||р|||А|||“1||и1 - и21|.
Здесь были использованы определения (1), (2). Согласно (6) Ф является сжимающим оператором на У. Поэтому уравнение Вх = у имеет единственное решение х = Л-1и(у) = В-1 у. Через и(у) обозначена неподвижная точка оператора Ф. Таким образом, 7?(В) = У. Из ослабленного неравенства треугольника (3) при G = В, F = А получаем IIIBIII, |||А|||р - ||В - А||р > 0. Итак, В G Jp(X, У).
Докажем теперь оценки (7) и (8). Согласно (1), (2) для любых у;, у2Е е У WAB-^-AB-^W < ЦЛНррСВ-1^, В-^2) 1|В-Л||р|||В|||р 1 х х Цуг - г/г||-
Из оценки |||В|||р теперь следует неравенство (7). Аналогично из неравенства ||(АВ~1 — I\yi — (АВ-1 — Z)j/2|| = IK-® — А)В-1гц — (В — — Л)В-1г/2|| ||В — Л||рр(В-1</1, В-1у2) мы имеем неравенство (8). Тем самым доказательство теоремы 1 завершено.
Замечание. На основе понятий полунормы и меры корректности в [6] введено понятие меры обусловленности нелинейного оператора, позволяющее получить оценку относительной погрешности при замене точного уравнения приближенным уравнением.
Замечание. Пусть Y = X — банахово пространство и /9(11,2:2) = = Ц27 — ,т21|. Тогда В G Jj (X, У) и справедливы следующие неравенства:
НВ’1 II/ = III-BIII71 (И'11|/ - ||в - л||/)—1ЦВ-1 - а-1 ||/
^||Л-1||/||В-Л||/(||Л-1||/-||В-А||/)-1.
Эти неравенства доказаны в [4, 5]. Новым является лишь последнее неравенство.
§ 3.	Метод продолжения по параметру и разрешимость нелинейных уравнений
Здесь будет представлен обобщенный вариант одного из фундаментальных методов нелинейного анализа. Рассмотрим оператор-функцию A(Z), где A(t) G Lp(X, У) для каждого t G [0,1]. Будем говорить, что оператор-функция A(Z) является р-корректной на [0,1], если существует постоянная 7 > 0 такая, что |||A(t)|||p	7 для лю-
бых t G [0,1].
Далее будем называть A(t) р-непрерывной на [0,1], если она непрерывна на [0.1] в смысле слабой метрики пространства Lp(X, У).
Теорема 2. Пусть yl(Z) р-корректна и р-непрерывна на [0,1]. Если Д(0) G Л(Х,У), то A(l) G 7Р(Х,У).
Доказательство. Обозначим через М множество точек t G G [0, 1] таких, что A(t) G JP(X, У). Так как 0 G М, то М не пусто. Покажем, что М является одновременно открытым и замкнутым на [0,1].
Множество М открыто: если Zq G Ai, то вследствие р-непрерыв-ности X(Z) найдется 6 > 0 такое, что на множестве Sq — (Zq — 6, to + 5) Г) О [0,1] выполнено следующее неравенство:
||A(Z) - A(Zo)||P < |||A(Zo)|||p-
Применяя теорему 1, получаем, что Sq С М.
Множество М замкнуто: если {Zn} С М, tn —» to, п —> оо тогда вследствие р-непрерывности >1(Z) найдется номер п такой, что ||A(Zn) — — X(Zq)||р < 7- Более того для каждого п 111 A(tn)11 |р 7. Мы воспользовались р-корректностью >1(Z). Эти оценки и теорема 1 в применении к операторам A(tn) G Jp(X,Y) и A(Zq) приводят к заключению, что A(Zq) G Jp(X,Y). Следовательно, М = [0,1].
Замечание. Из теоремы 2 вытекает следующая оценка для A~\t) на [0,1]:
p(A-1(Z)i/i,X_1(Z)i/2)	7-1||У1 - У2|| Vz/!,y2 G У.
Если У = X — банахово пространство и p(2?i,X2) = II1! — 2:21|, то имеет место более простое неравенство
1И"1(01|/^7-1 VZG[O,1],
На практике особенно важен описываемый в следующей теореме специальный случай метода продолжения по параметру.
Теорема 3. Пусть A(t) = А + t(B — А) р-корректна на [0,1] и пусть В — А Е Lp(X,Y). Если А Е Jp(X,Y), то В Е Jp(X,Y).
Доказательство. Утверждение данной теоремы непосредственно следует из теоремы 2, так как А(£), очевидно, р-непрерывна на [0,1]. Тем не менее мы дадим другой путь доказательства, полезный в вычислительном аспекте. Он состоит из конечного числа шагов применения теоремы 1. Исключим сразу же из рассмотрения тривиальный случай, когда ||В — А||р — 0, т. е. когда В — А является постоянным оператором на X и когда утверждение теоремы очевидно.
Рассмотрим сначала операторы А — А(0) и А(£). Для всех t Е [0,11), ti = 111A||\p/1|В — A||, имеем неравенство
||A(t) - A(0)||p < Ц|А(О)|||р.
Из теоремы 1 следует, что [0, ti) С М (см. доказательство теоремы 2). Если ti > 1, то 1 G М. Если ti = 1, то так как (0,1) с М, то вследствие р-корректности А(£) получаем оценку
||А(1) - A(t)||, = (1 - £)||В - А||, < 7 111А(й)111,
для всех t Е (0,1) достаточно близких к 1. Значит, 1 G М. В данном случае мы достигли точки 1 уже на первом шаге.
Пусть теперь ti < 1. Как и до этого, ti Е М. Рассмотрим операторы A(£i) G JP(X, У) и A(t). Заметим, что || А(£) — А(^)||, = (t — ti)||B — - А||, < 7 sj |||A(ti)|]|, для всех t E [ti,^), t2 = ti + 7/ЦВ - A||,. Если t2 1, to 1 G M. Точка 1 достигнута за два шага. В общем случае методом математической индукции доказывается, что точка 1 достигается за I шагов применения теоремы 1, где I — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству /7	||В — А||, или |||А|||, + (] —
- 1)7 > ||В - А||,.
§ 4. Связь с теорией монотонных операторов
Пусть даны абстрактное множество X и вещественное банахово пространство У. Предположим, что существует оператор А: X —> У, отображающий взаимно однозначно X на У. Введем в X метрику, полагая p(xi,x2) = ||Aii ~ АхгН- Рассмотрим еще один оператор С Е G Ьд(Х,У). Анализ доказательства теоремы 3 показывает, что имеет место следующее утверждение.
Те о р е м а 4. Пусть оператор-функция A(t) = А + tC является р-корректной на [0, +оо), т. е. существует постоянная 7 > 0 такая, что |||A(t)|||, 7 на [0, +оо). Тогда Alt) Е Ja(X,Y) для ecext 0.
Замечание. Очевидно, что 7^1.
Замечание. Определение р-корректности на [0,оо) оператор-функции A(t) тесно связано с общепринятым определением монотонных операторов. Действительно, если У является вещественным гильбертовым пространством, то наше определение равносильно выполнению следующего неравенства:
—л/1 - 7ЦСТ1 — Ст2||||Ai] - Ах2\\ (Cxi - Cx2,Axi - Ах2).
Если, кроме того, X = Y, С = I, 7 = 1, то мы имеем определение монотонного оператора, данное в [1].
Рассмотрим теперь вопрос об обратимости оператора С, тесно связанный с указанным обобщением.
Теорема 5. Пусть С: X —» Y. Если существует tg > О такое, что R(A(t0)) = Y и 1|1A(tg)111д > 1, то:
1)	уравнение Сх = у имеет единственное решение х(у) для каждого у £ У;
2)	регуляризованное уравнение t.-1 Ах+Сх = у имеет единственное решение x(t, у) для любых t > to, у £ У;
3)	||j4rrr(t, у) — Ах(у)|| = O(t-1) при t —> +00.
Доказательство. Применим теорему 1 для операторов Ai = = tg ^А + С и В\ = С. Так как ||А± — В±||д = tg < |||tg ^А + С|||д, то С £ Ja(X,Y). Теперь возьмем операторы А2 = to1 А + С и В2 — = t-1A + С при t > tg. Так как ||А2 - Д2||д = tg 1 - t-1 < |||А2|||д, то t_1A + C' 6 Ja(X,Y) при t > tg- Вследствие определения (1) можно записать
||A.'r(t, у) - Ах(у)|| = ||A(f1 А + С^у -
— A(t-1A + C)-1(t-1A + С)С-1у||	||A(t-1A + C’)-1||/t-1||AC'-1i/||.
С другой стороны из равенства (5) при G = t-1 А + С и обобщенного неравенства треугольника (3) вытекает, что
||A(t-1A + С)-1||/= |||t-1A + СЩд1 (|||С|||д — t-1)-1.
Комбинируя два последних неравенства для всех t > |||С'|||д1, имеем \\Ax(t,y) - Ат(у)||	||AC-17/||/(t|||C'||U - 1).
Этим завершается доказательство теоремы 5.
§ 5.	Некоторые вопросы спектрального анализа нелинейных операторов
Многие свойства резольвентных множеств и резольвентных операторов, хорошо известные в линейной теории, переносятся в слабо метрические пространства. При этом мы приходим к нестандартному определению собственных значений нелинейной оператор-функции и выясняем связь с теорией ветвления решений нелинейных уравнений. Пусть X — слабо метрическое пространство со слабой метрикой г = r(ii, т2) и пусть Y — банахово пространство. Рассмотрим оператор-функцию А(А) и пусть для каждого скаляра А А(А): X —> Y.
Определение. Точка Ад называется регулярной точкой А(А), если А(Ад) G J(X,Y), причем А(Ад) является r-непрерывно обратимым оператором. Множество всех регулярных точек называется резольвентным множеством А(А) и обозначается р = р(А(А)). Дополнение р относительно скалярного поля называется спектром А(А) и обозначается о = сг(А(А)). Оператор-функция R(A) = А-ДА) с областью определения р называется резольвентным оператором.
На основе теорем 1-3 обсудим свойства резольвентного множества оператор-функции. Будем, для краткости, говорить, что А(А) линейна, если А(А) = В — АЛ, причем A S J(X, У), В: X ->¥.
Теорема 6. Пусть А(А) г-непрерывна на всем скалярном поле К. Тогда резольвентное множество р — открытое множество на К, а спектр а — замкнутое множество.
Доказательство. Если Ао € р, то вследствие г-непрерывно-сти А(А) выполняется неравенство ||А(А) — А(АО)||Г < |1|А(Ао)|1|г для каждого А, лежащего в некоторой окрестности So точки Aq. Вследствие теоремы 1 для всех A G So оператор А(А) G J(X, У). Значит, So С р.
Замечание. Пусть А(А) — линейная оператор-функция. Если Ао £ р и г0 = 11|А(А0)11|г||ДЦ"1, тогда круг So = (А | |А - Ао| < г0) С р. Кроме того для каждого A G So справедливо неравенство || AR(X)|| j ^(ro-IA-Aol)"1.
Достаточно доказать только неравенство. В соответствии с (3), принимая G = А(А), F = (А — Ао)А, имеем следующее неравенство
limilk |||А(Ао)|||г - |А — Ао|  ||А||Г.
Теперь достаточно применить (5), чтобы получить доказываемое неравенство.
Теорема 7. Пусть А(А) является г-непрерывной иг-корректной на связном множестве Q р. Если существует Aq £ р, то и> С р.
Доказательство. Пусть Ai Е и>. Возьмем на множестве и> непрерывную кривую А = A(f), t G [0,1], А(0) = 0, A(l) = 1. Оператор-функция A(A(i)), очевидно, r-непрерывна и r-корректна на [0,1]. Применяя теорему 3, устанавливаем, что Ai 6 ш.
Теорема 8. Рассмотрим операторный пучок: А(А) = ASAS и предположим, что As G Lp(X, У), s = 0,1,..., т — 1, Ат G Jp\X, У). Тогда каждое X, удовлетворяющее неравенству^”1-1 | А |_ m+s || As ||г > > 111 Ат 11 |г, принадлежит р.
Доказательство. Достаточно применить теорему 1 к операторам Ат и Ат 4- XtT”1 A-m+sAs.
Замечание. Пусть А(А) — линейная оператор-функция. Если |А| > IISIMHAIlIir1,™ A G ри
Нладп/ (|А| - ЦВ1М11АЦ171)-1.
Замечание. В линейном случае оператора А(А) для каждых Х,р £ р резольвентный оператор удовлетворяет следующему обобщенному уравнению Гильберта R(p) = R(X)(I + (д — А)7?(р)). Этот факт является следствием тождества (В — XA)R(p) = I + (р — X)R(p). Из этих же соображений нетрудно доказать, что /?(А) удовлетворяет на р локальному условию Липшица.
Ниже предлагается нестандартное определение собственного значения нелинейного оператора и обсуждается связь этого понятия с вопросами ветвления решений соответствующего нелинейного уравнения (см. [24]).
Определение. Будем называть число Aq собственным значением оператор-функции А.(А), если существуют 2Д 7^ х? такие, что Л(А0)т1 = A(A0)t2.
Замечание. Наше определение собственного значения является значительно более общим по сравнению с общепринятым определением, заимствованным из линейной теории. Это показывает следующий элементарный пример х2 — Ат = 0 в R.
Обсудим теперь классическое определение собственного значения с точки зрения нашего определения. Рассмотрим уравнение A(Aq)t = уо, где Ао и уо фиксированы. Пусть х0 является решением этого уравнения. Каждая теорема существования однопараметрического или многопараметрического семейства решений уравнения А(А)т = уо при А, близких к Ао, может быть сформулирована как теорема о собственных значениях оператора А(А). В линейном случае оператора А.(А) ситуация упрощается. Пусть Аа’о = 0 и Bxq = уо. Введем оператор Bq по формуле Bqx — Вх — уо. Тогда уравнение Box — ХАх = 0 имеет тривиальное решение х = xq для любых А. Таким образом, в линейном случае мы можем утверждать, что A(A)tq = 0 для всех А и определить собственное значение следующим образом: Aq является собственным значением оператора А.(А), если существует х xq такое, что А(А0)т = 0. Рассмотрение нелинейного уравнения А(А)т = 0 приводит здесь к определению точки бифуркации. Многие авторы исследовали бифуркационные явления топологическими, вариационными, аналитическими и теоретико-групповыми методами. Отметим только работы нашего научного коллектива [11-15].
§ 6.	Некоторые примеры иллюстративного характера
Приведем несколько тривиальных примеров, иллюстрирующих приведенную выше спектральную теорию.
Пример 1. Пусть X = (0, сю), Y = R, Ах = х — t/x, г(т!, т2) = = |Axi — Ai21, Вх = bx — afx^ а < b и А.(А) = В — АЛ. Легко проверить, что р = (—сю, a) U (6, +сю), ст = [а, 6] и |||А(А)||| = 0 для любых А £ ст. Собственные значения заполняют (а, 6), и для них область значений оператора -4(A), 7?(А(А)) = (1/ g Y | у(А — а)(6 — А)) является нелинейным многообразием. Для каждого А £ (а, Ь) существует два различных положительных решения, если у G 7?(А(А)). Точки а и b не являются собственными значениями. Если А = а или А = b, R(A^X)') = X, то уравнение А(А)т = у имеет при у G X единственное положительное решение. Таким образом, точки а и Ь являются точками бифуркации оператор-функции 4(A).
Пример 2. Пусть /(т), /: (с, d) —> R является строго возрастающей непрерывной функцией, причем /(с) = —00, /(d) = -|-оо. Интервал (с, d) может быть как конечным, так и бесконечным. В качестве пространства X возьмем пространство всех непрерывных на [0,1] функций со значениями на (с, d). Превратим X в метрическое пространство, полагая /94(2:1,т2) = sup |a(j:i(s)) — a(a:2(s))| при s G [0,1].
Пусть Y = С[0,1] — это пространство всех непрерывных функций на [0,1]. Оператор суперпозиции (Ai)(s) = отображает X на Y взаимно однозначно. Рассмотрим интегральный оператор	=
= J K(s, е, т(е)) de, где функция K(s,e,x) является непрерывной функцией своих переменных при s,e G [0,1], х G (с,d) и удовлетворяет условию е, 2?i) — #(з, е, тг)! Цз, e)|a(ii) — a(rr2)|- Нетрудно проверить, что В является A-непрерывно обратимым оператором и ||В||д к = max^ k(s, e)de. Из теоремы 1 при к < 1 следует, что интегральное уравнение Ах + Вх = у имеет единственное решение х G X для любого у G Y. Иначе говоря, существует и единственно его решение x(s) со значениями на (с, d). Если A(i) = А + tB является А-корректным на [0,1], то, согласно теореме 2, этот факт справедлив и без ограничения к < 1. Заключения о резольвентном множестве и об оператор-функции В — ЛА также могут быть сделаны.
Пример 3. Выясним теперь роль слабой метрики. Вместо метрики гд мы можем использовать слабую метрику г, более простую по сравнению с гд, эквивалентную гд. Этот путь позволяет упростить получение необходимых априорных оценок. Например, рассмотрим оператор (Az)(s) =£2im+1Ck(s)zfc(s) с непрерывными на [0,1] коэффициентами щ(з). Пусть Ci(s) = 1, C2m+l(s) > 0 На [0, 1] И	kC)c(s)xk~1
6 > 0 для всех s G [0,1], х G R. Нетрудно убедиться, что метрика г а эквивалентна слабой метрике r(xi, Т2) = sup |ti(s) — г 2(s)11 4-iim(s) 4-4- xl771 (s)| при s € [0,1].
§ 7.	Липшицевы сопряженные пространства и операторы
Пусть X и Y — банаховы пространства над общим числовым полем К — вещественным (АГ = R) или комплексным (К- = С). Пусть D С С X и 0 G D. Будем рассматривать нелинейные операторы A: D —> Y, А(0) = 0. Оператор А будем называть липшицевым на D, если существует постоянная с > 0 такая, что для любых Т1,тг € -О справедливо неравенство ||Ati — А.ТгЦ c||ti — тг||- Если D = X, то А будем называть липшицевым оператором. Множество всех липшицевых операторов обозначим через Lj(X, У). С естественными операциями сложения операторов, умножения операторов на скаляры и с нормой
ЦАЦ/ = sup	AeLj(X,Y),	(1)
пространство Lj(X, Y) является банаховым пространством. Нетрудно проверить, что пространство линейных ограниченных операторов L(X, Y) естественно и изометрично вложено в пространство Lj(X, Y).
Заметим, что каждый Липшицев на D оператор равномерно непрерывен на D. Это следует из неравенства ||Axi — АтгЦ	— ^гЦ,
справедливого для всех з?1,.Т2 € D.
В частности, для любого! € D имеем неравенство ||Ат||	||А||/||т||,
означающее, что всякий Липшицев на D оператор ограничен на каждом
ограниченном подмножестве множества D. Разумеется, аналогичные утверждения верны и в случае, когда D = X.
Введем теперь пространства нелинейных функционалов Xj = = Lj{X, К) и Yf = Lj(Y, К), которые будем называть пространствами /-сопряженными к пространствам X и Y соответственно. Аналогично (1) норма в Х[ определяется формулой
М/ = sup  ----------—Г—.	(2)
II1! 2'2II
Подобной формулой определяется и норма функционала из Уу*. Пространства Ху и Уу* являются, как нетрудно показать, банаховыми пространствами, причем их элементы — это нелинейные (липшицевы) функционалы. Пространства X* и У*, сопряженные в классическом смысле к пространствам X и У соответственно, естественно и изомет-рично вложены в /-сопряженные пространства Xj и Уу*. Приведем пример функционала из X/, не входящего в X*.
Пример 1. Фиксируем гго € X. Из неравенства треугольника легко следует, что функционал ф(х) — ||т — xq|| — ||то|| принадлежит пространству Ху и его липшицева норма ||V’llz 1-
Замечания о непрерывности и ограниченности, сделанные выше для липшицевых операторов, справедливы, конечно, и для липшицевых функционалов, определенных всюду на X.
В пространстве X, кроме сходимости в X, порожденной его нормой, введем /-слабую сходимость.
Последовательность {тп} С X называется- /-слабо сходящейся к .tq € X, если для любого р G Ху имеем </?(тп) —> </?(то).
Очевидно сходимость последовательности к До влечет ее /-слабую сходимость к до. Оказывается верным и обратное утверждение. Пусть .тп —> 2?q /-слабо. Рассмотрим функционал из примера 1 ф(х) — ||т — — До|| — ||х0||. Вследствие того, что -0 S Ху, имеем ф(хп) —> V’(^o) = = -||х0||, откуда ||хп - то|| -> 0.
Аналогично обстоит дело с двумя видами сходимости в пространстве У.
В /-сопряженном к X пространстве Ху также можно ввести два вида сходимости: сходимость по норме (1) и / *-слабую сходимость. Будем говорить, что С X* сходится / *-слабо к р Xf, если <£п(х) —» р(х) для каждого х G X. Нетрудно проверить, что сходимость по норме влечет / *-слабую сходимость. Обратное утверждение неверно даже для функций на числовой оси.
Ниже нам будут полезны следующие леммы о липшицевых функционалах.
Лемма 1. Пусть D плотно в X. Пусть функционал р является липшицевым на D. Тогда существует единственный функционал ф € G Ху, являющийся продолжением р по непрерывности с D на X. При этом, HV'II/ = sup j х, i,pd	.
Доказательство. Положим ф(х) = х € D. Пусть .то D. Возьмем последовательность {тп} такую, что хп —> Xq и положим 0(то) = limn—со 95(2;п)- Нетрудно убедиться в корректности этого определения и показать, что ф ё X/.
Лемма 2. Пусть D плотно в X. Если даны функционалы 992> определенные на D и <р\(х) ~ <Р2(т) для любых х € D, тогда <Р1(х) = = </?2(^) для любых х g X. Если, кроме того, /рц и <f>2 липшицевы на D, то их непрерывные продолжения на X равны как элементы пространства Xj.
Доказательство. Функционал <pi — <р>2 равен нулю на D и, значит, Липшицев на D. По лемме 1 его непрерывное продолжение на X равно нулю. Если же (pi и </>2 липшицевы на D, то по той же лемме <pi и 992 липшицевы на X.
Лемма 3. Пространство X обладает следующим усиленным свойством отделимости: для любого замкнутого множества М С X такого, что 0 € М и для любого Хо & М существует функционал ф € 6 Xj такой, что ф(х) = 0 для всех х € М, но ф(хо) / 0.
Доказательство. Пусть d = dist(M,Zq) — расстояние от множества М до точки Tq и SJxo) — замкнутый шар в X с центром в точке 2?о радиуса е > 0. Зададим функционал ф£ равенствами: вне шара Д€(то) положим ф£(х) = 0, а на этом шаре положим фе(,х) = е — — ||т — хо||. Пусть е < min(ho||,d). Проверим, что ф£ £ X/.
Если Xi, Х2 € М, TO IV’e(^l) - '0е(^г)| = hl ~ Toll “ ||^2 “ То|| С hi - ВН-
ЕСЛИ Х1,Х2 £ М, TO |V>e(Zl) - V’eC^)! = 0 С hl - Т2||-
Наконец, если ii € М, х2 М, то |i^t(Ti) — V’e(3;2)| = е— hl ~^oll С С d - hi - Toll < ||i2 - loll - hl - loll C hl - X2li-
Осталось заметить, что фе(0) = 0, так как 0 лежит вне шара S£(tq).
Следствие. Если tj,Тг € X, причем х± Тг, то существует функционал ф € XJ такой, что V’hi) И Ф(х2)-
§ 8.	Определение сопряженного оператора и его основные свойства
Рассмотрим нелинейный оператор А: X —♦ Y с областью определения Z)(A) такой, что 0 € D(A) и пусть А(0) = 0.
Фиксируем f G Yj и для всевозможных т G D(A) рассмотрим функционал </?(т) = /(А(т)).
Лемма 4. Для того чтобы функционал <р(х) можно было с D(A) однозначным образом продолжить на все пространство X, необходимо и достаточно, чтобы D(A) было плотно в X.	_____
Доказательство. Необходимость. Пусть D(A~)^X. Вследствие свойства усиленной отделимости пространства X (см. лемму 3) найдется <ро G Xj, <ро / 0 такой, что 9?о(т) = 0 для любых х G € D(A). Но тогда/(Ат) = {(р+<ро)(х),т.е. продолжение функционала не является единственным. ______
Достаточность. Пусть D(A) = X. Если для любых х € -D(A) имеем равенство f(Ax) = ipi(x) = <p2(x), то для тех же х имеем
(</?1 — </?2)(т) = 0. Но тогда продолжением по непрерывности функционала </?i — (лемма 3) получаем, что рц = <р2.
Далее предполагается, что D(A) = X. Пусть f G У}*. Обозначим через ф продолжение функционала р> по непрерывности с D(A) на все X. Будет ли ф € Xj?
Введем множество D* С Уу* тех f G Y*, для которых соответствующее ф G Xj. Это множество не пусто, так как 0 G D*. Далее, согласно лемме 2, D* содержит все те функционалы / g Yf, для которых функционал </?(х) = /(А(т)) является липшицевым на D(A). Теперь каждому функционалу f G D* поставлен в соответствие единственный функционал ф G Xj. Таким образом, формулой ф — A*f определен однозначный оператор Ау с областью определения Д(Ау) = D* С У}* и со значениями в Xj. Покажем еще, что Aj является линейным оператором. Линейность его области определения Dj и самого Aj на D* следуют из цепочки равенств (Ay(di/i +	= (ai/i + а 2/2) Ат =
= Qi/i(Ат) + а2(А.т) = (ctiAy/i То^Ау/г)^ справедливых для любых /ь/2 € Dj и чисел од, а2.
Итак, доказано следующее утверждение.
Теорема 9. Пусть А нелинейный оператор с областью определения D{A), плотной в X, и с областью значений в Y. Пусть 0 G D{A) и А(0) = 0. Тогда существует единственный однозначный оператор Ay : Dj С Yj* —> Xj, удовлетворяющий для всех х G D и всех f g Dj условию
f(Ax) = (A*/)z.	(3)
Область определения Dj оператора А} состоит из тех и только тех f € Уу*, для которых функционал р(х) = f(Ax) является липшицевым на D. При этом А у является линейным оператором.
Определение 1. Оператор А у назовем I-сопряженным оператором к оператору А.
Замечание. Будучи линейным оператором, Ау отображает свою область определения в одном пространстве нелинейных (липшицевых) функционалов в другое пространство нелинейных (липшицевых) функционалов. Если, в частности, А — линейный оператор, то введенный нами оператор А* совпадает на пространстве линейных ограниченных функционалов У* с сопряженным оператором в его обычном понимании [1]. Если, однако, оператор А не является линейным, то Ajf отображает У* в пространство липшицевых функционалов.
Теорема 10. Пусть в условиях теоремы 1 оператор А Липшицев uaD(A'). Тогда:
1) Д? = Уу*;
2) сопряженный оператор А} замкнут в следующем смысле: если {fn} С D* и fn —» f в Y*, a A*fn —> ip в Xj I *-слабо, то f G D* и Ajf = р>.
Доказательство. Положим Ау/П = <рп. По условию теоремы 99п(-'с) —> уфт) для любых х g X. С другой стороны <pn(Y) = = fn(Ax) —+ f(Ax) при любых х е Д(А). Из единственности предела
имеем для любых rr 6 D(A) равенство у?(з:) = f(A(x)). Вследствие лип-шицевости А на D(A) f G /)(А}) и по определению /-сопряженного оператора A*jf = <р, т. е. А} замкнут в указанном смысле.
Теорема 11. Пусть А — нелинейный оператор с областью определения D(A) плотной в X и с областью значений в Y. Пусть 0 € € Л(А) и А(0) = 0. Если А Липшицев на D(A), то имеет место равенство
Mill = ЦАЦ/.
Доказательство. С одной стороны имеем для любых 2?i,х2 G G D(A) цепочку неравенств |((А/)*/)(^1) - ((А/)*/)(2:2)| = 1/ИхО -~	< ||Ат1 - Ае2||Ц/H/ < ||А||/||/||/||з:1 - гг2||. Отсюда име-
ем ||А/7||/ < ||А||/1|/||/. По определению нормы |]А,|| < ||А|Д.
Доказательство обратного неравенства такое же, как в линейном случае. Воспользуемся тем, что классическое сопряженное к Y пространство Y* содержится в У}*. Пусть 11,2:2 € X. Тогда по следствию из теоремы Хана-Банаха найдется /q G У. такой, что ||/о|| = 1 и Jo (Ах у — Ах2) = ||A2;i—Аг2||, но тогда имеем цепочку неравенств ]] A:ri — -ДхгЦ = fo(Axi)—fo(Ax2) = (A^fo'jxr-(А//о>2 < ||А}1|||/о||Iki-z21| Это означает, что справедливо неравенство || A2^i — А2:2|| ||А) ||||rri — — 2?2||, откуда и следует доказываемое обратное неравенство.
§ 9. Теоремы о разрешимости нелинейных уравнений
В этом параграфе мы ограничимся случаем определенных всюду на X липшицевых операторов. Выясняется, что, как и в линейном случае, понятие оператора /-сопряженного к нелинейному оператору оказывается полезным при рассмотрении нелинейных уравнений. Рассмотрим уравнения: исходное нелинейное уравнение Ах = у и сопряженное к нему линейное уравнение A*jf = <р.
По аналогии с линейным случаем введем в рассмотрение множества: АДА) = [х G X: Ах = 0} — множество нулей (ядро) оператора А, «ортогональное дополнение» к нему АДА)-1- = {</?€ Xj : <р(х) = 0 Ух G АГ(Л)},
АДА;) = {/ е Уу": А)/ = 0} — множество нулей (ядро) сопряженного оператора, являющееся линейным (замкнутым) подпространством в У/,
«ортогональное дополнение» к нему -*-АДА;) = {у G У;: /(у) = 0 V/ е N(A*I')},
R(A) — множество значений оператора А,
«ортогональное дополнение» к нему множество: /ДА)-1 = {f & Y* : f(Ax) = 0 Ух G X},
/ДА}) — область значений оператора А), «ортогональное дополнение» -L/?(A*) — {2: G X: (A'jf'jx = 0}. Здесь и далее мы сохранили обозначения линейной теории, хотя теперь они приобретают другой смысл. Следующие теоремы устанавливают связи между этими множествами, обобщающие аналогичные
утверждения, известные в линейной теории.
Теорема 12. 2?(A)_L = N(A*).
Доказательство. Нетрудно последовательно проверить равносильность следующих четырех утверждений: 1) f G .ЩА)1, 2) /(Ат) = = 0 для любых х, 3) (А*/)т = 0 для любых х, 4) / G ЛДА)?).
Теорема 13. Я(А) = ^/ДА)). ( Уерта обоз^бачает за.мыкание.)
Доказательство. Докажем включение Л(А) С LJV(Aj). Если у G Л(А), то существует х такое, что у = Ах и тогда f(y) = f(Ax) = = (Ajf)x = 0 для любых / 6 N(A.j). Следовательно, у G ^ЛДА^). Теперь нетрудно доказать, что R(A) С ±ЛДА;). Пусть у G 7?(А). Тогда существует последовательность {уп} С /?(А) такая, что уп —> у. Из равенства f(yn) = 0 предельным переходом получаем, что /(у) = 0 для всех / € ЛДА;). Для доказательства обратного включения L.?V(Aj) С С 7?(А) возьмем у такое, что /(у) = 0 для любых /: Ajf = 0. Предположим, что у Д /?(А). По лемме 3 найдется функционал / такой, что /(/?(А)) = 0, но /(у) / 0. В то же время по лемме 4 /(у) = 0. Полученное противоречие доказывает обратное включение, а тем самым и теорему.
Следствие. Пусть N(Aj) = {0}. Тогда /?(А) = Yj.
В терминах сопряженного оператора теорема 13 описывает множество значений нелинейного оператора, а следствие к ней дает условие плотной разрешимости исходного уравнения с заданной правой частью у.
Рассмотрим теперь вопросы единственности.
Определение 2. Будем говорить, что множество М* I *-слабо всюду плотно в Xj, если для любых <р € Xj и любого е > 0 найдется р>( G М* такое, что |<р(2?) — <р€(2:)| < е для любых х е X.
Теорема 14. Пусть область значений I-сопряженного оператора ЩА*) является I *-слабо всюду плотным множеством в пространстве Xj. Тогда оператор А инъективен.
Доказательство. Допустим, что существуют точки х-^ Х2 такие, что Axi = Ахг- Тогда для любого / € У}* имеем равенство f(Axi) = /(Атг), из которого следует, что (Ajf)xi = (Ajf)x2- Если R(Aj) = Xj, то найдется функционал / G Yj’ такой, что функционал Ajf — <р g X* С Xj разделяет точки i], х2, т. е. (Ajf)xi / Д (Ajf)x2 и мы получаем противоречие. Если же R(Aj) Д Xj, то равенство (Ajf)xy = (Ajf)x2 влечет равенство <р(х±) = 99(2:1), справедливое для всех <р G Xj вследствие I *-слабой всюду плотности R(Aj) в Xj.
Теорема 14 представляет собой теорему единственности решения исходного уравнения.
Следствие. В условиях теоремы 6 исходное однородное уравнение Ах — 0 имеет единственное решение х = 0.
Приведем частичное обращение теоремы 6.
Теорема 15. R(A’j) С N(A)\ где знак шапочки означает I ^-слабое замыкание.
Доказательство. Нетрудно проверить, что каждое из следующих утверждений является следствием предыдущего утверждения:
1)	у? € R(Aj)\
2)	существует / такое, что <р = A)f\
3)	<р(х) = f(Ax) для всех х\
4)	<р(х) = 0 для любых х G N(A)-,
5)	<р € ЛДА)-1-.
Если у? £ R(A*j), то для любого е > 0 найдется <р( G R(A*j) такое, что |<^(гг) — 99е(з?)| < е для всех х. При этом <ре(х) = 0 для любых х G N(A). Следовательно, |</з(т)| < е для любых х G N(A) и для любых е > 0, т. е. <р(х) = 0 для любых х G N(A) и теорема доказана.
Отметим, что обратное включение не имеет места даже в линейном случае.
Следствие. Если R(A[) = Xj, то N(A) — 0.
Теорема 16. 7V(A) = ±R(A*I).
Доказательство заключается в элементарной проверке равносильности следующих утверждений:
1)	Ах = 0,
2)	f(Ax) = 0 для любых f
3)	= 0 для любых f € У/;
4)	х е
Теорема 17. N^A^) = RfA)^.
Доказательство. Достаточно просто проверить, что каждое из следующих утверждений вытекает из предыдущего:
1)	A*jf = 0;
2)	(А;/)т = 0 для любых х-,
3)	f(Ax) = 0 для любых х;
4)fe R(A)Y
Следствие. Пусть R(Ay = Y;. Тогда N(A*) = 0.
В терминах исходного уравнения следствие к теореме 15 дает теорему единственности решения сопряженного уравнения, а следствие к теореме 18 — теорему его о плотной разрешимости.
В заключение заметим, что задачу определения решения исходного нелинейного уравнения можно трактовать как задачу управления, где правая часть у играет роль целевой точки, а решение х — роль управления. Тогда задачу нахождения решения сопряженного уравнения можно рассматривать как задачу наблюдения, где <р — сигнал, по которому надо восстановить f (см. (11, 12]). При этом имеет место следующая связь между решениями исходного и сопряженного уравнений и их правыми частями: <р(х) = /(у), если оба эти уравнения разрешимы.
§ 10. Слабо метрические пространства и пространства им сопряженные
В этом параграфе приводится широкое обобщение изложенной выше теории. Нашей целью является возможность рассмотрения нелинейных операторов с нелинейными областями определения, имеющих произвольный рост при подходе к границе областей их определения.
Пусть X некоторое непустое множество и на нем задана неотрицательная функция двух переменных p(zi,z2), удовлетворяющая аксиомам тождества и симметрии. Тогда пару Хр = (X, р) будем называть слабо метрическим пространством, ар — слабой метрикой на множестве X. Если для р выполняется неравенство треугольника, то Хр является метрическим пространством. На слабо метрические пространства переносятся все понятия метрических пространств, хотя отсутствие неравенства треугольника может нарушить привычные связи понятий.
Последовательность {zn} С Хр называется сходящейся к х G Хр, если р{хп,х) —» 0.
Введем пространство нелинейных функционалов, сопряженное к слабо метрическому пространству X (возможны комплексный и вещественный варианты). Фиксируем точку х, g Хр и через X* обозначим множество всех функционалов </?, определенных всюду на X таких, что = 0 и
1Ир= sup
X1/Z2
|99(ц) — 9?(д2)| p(zbz2)
< 00.
(4)
Функционалы из X* являются р-липшиц-непрерывными и р-ограни-ченными в следующем смысле:
|99(zi) - 9?(z2)| < ||99||pp(zi,z2) и |v?(z)| С ||99||pp(z, zj.
Нетрудно проверить, что с естественными операциями сложения функционалов и умножения функционалов на числа и с нормой (1) X* является линейным нормированным пространством. Пространство X* назовем сопряженным к слабо метрическому пространству Хр (см. [5]). Оно состоит из т-липшицевых на Yr функционалов f таких, что f(yY) = 0, где у* = Axt.
Кроме сходимости в Хр, порожденной его слабой метрикой, введем слабую сходимость. Последовательность {zn} С Хр называется слабо сходящейся kzq 6 Хр> если для любого 99 6 X* имеем 99(zn) —> <р(хо). Очевидно, сходимость последовательности к Zq влечет ее слабую сходимость к z<j- В метрическом пространстве верно и обратное утверждение. Пусть хп —» zo слабо. Рассмотрим функционал i/>(z) = p(z,Zo) — — p(z.,zo). Из неравенства треугольника следует, что ф G X*. Но тогда ^(zn) -» V’(zo), откуда p(zn, z0) -» 0.
В сопряженном пространстве X* также можно ввести два вида сходимости: сходимость по норме (1) и ^-слабую сходимость. Будем говорить, что {99n} С X* сходится *-слабо к 99 € X*, если 99n(z) —» р(х) для каждого z € Хр. Нетрудно проверить, что сходимость по норме влечет
*-слабую сходимость. Обратное неверно даже для функций на числовой оси. Ниже нам будут полезны следующие определения и леммы.
Определение 2. Множество D С Хр назовем плотным в Хр, если для любых х в Хр и любого е > 0 найдется хе g D такое, что р(х, 2?е) < е.
Лемма 5. Пусть D плотно в Хр. Если даны функционалы (pi, (р2 € 6 X*, причем = <^2(2:) для любых х G D, то <pi = <Р2-
Определение 3. Функционал <р, определенный на D, назовем р-непрерывным, если существует с > 0 такое, что для любых Ху, Х2 € D выполняется неравенство |</?i(z) — 952(2;)| cp(xi,X2).
Лемма 6. Пусть D плотно в Хр. Пусть функционал <р является р-непрерывным на D. Тогда существует единственный функционал <р G Хр, являющийся продолжением функционала <р по непрерывности с D на Хр.
Определение 4. Будем говорить, что Хр обладает свойством отделимости, если для для любых £1,2:2 € Хр, х± Х2, найдется ф € £ X* такое, что ф(хф) V’(3:2)-
Определение 5. Будем говорить, что Хр обладает усиленным свойством отделимости, если для любого замкнутого множества М С С и любого 2?о £ М, х0 х», найдется ф е Хр такое, что ф(х) = О для всех х € М, но ф(хо) 0.
Заметим, что всякое метрическое пространство обладает усиленным свойством отделимости, а тем более свойством отделимости. Действительно, рассмотрим функционал фе, задаваемый формулами: фе{х) = = е — p(x,Xq), если р(х, 2:q) < е, фе(х) = 0, если р(х, 2:0) е. Пусть е < < min(p(2:o, 1.), dist(2:o, М)). С помощью неравенства треугольника легко проверяется, что фе удовлетворяет всем требованиям определения 5.
§ 11. Сопряженный оператор к оператору, отображающему одно слабо метрическое пространство в другое слабо метрическое пространство
Пусть Хр nYr — слабо метрические пространства со слабыми метриками p(xi, Х2) и т(у1,уг) соответственно. Рассмотрим нелинейный оператор А: Хр —» Yr с плотной в Хр областью определения D(A). Фиксируем xt G D(.A) и положим у, = Ах*. Эти элементы будут в дальнейшем играть роль нулей в пространствах Хр и Yr соответственно.
Введем сопряженные пространства X* и Y* так, чтобы принадлежащие им функционалы удовлетворяли условиям <р(х*) = 0 и f(yY) = 0 соответственно.
Теорема 18. Существует единственный однозначный оператор A*: Y* —> Хр с областью определения D(A*), удовлетворяющий для всех х G D(A) и всех f g D(A*) условию
f(Ax) = (A* f)x.
(5)
Область определения D{A*) оператора А* состоит из тех и только тех f € Y*, для которых функционал <р, определяемый на D(A)
формулой 'р(х) = f(Ax), является р-ограниченным на D(A). При этом А* является линейным оператором.
Доказательство. D* не пусто, ибо нулевой функционал / = = 0 6 D*. Пусть ф — непрерывное продолжение функционала /(Аз;) с Р(А) на Хр. Из лемм 5 и 6 следует, что это продолжение единственно и ф G X*. Линейность Р(А*) и А* на Л(А*) следуют из цепочки равенств (A*)(ai/i + &2f2)x = (ai/i Ч-а^/гИз; = a1f1(Ax) + a2(Ax) = = (aiA*fi + а2А*/г)з;, справедливых для любых fi,f2 ё D* и чисел ai, а2.
Определение 6. Оператор А* назовем сопряженным оператором к оператору А.
Замечание. В частности, представляют интерес случаи, когда X и Y являются метрическими пространствами.
Пример 2. Пусть Хр — банахово пространство и р(х\, х2) = ||з?1 — — з?2||. Примем х* = 0. Здесь X* — введенное выше пространство липшицевых функционалов, содержащее X* — пространство линейных ограниченных функционалов — сопряженное к X в классическом смысле. Пусть Уг еще одно банахово пространство, т. е. r(yi, у2) — Цз/i — у21|, а Уг* с у* = 0 — сопряженное к нему пространство липшицевых функционалов. Пространство L(Xp, Yr) — это теперь линейное пространство липшицевых операторов. Если А € L(Xp,Yr), то А* — линейный оператор, отображающий пространство липшицевых (линейных и нелинейных) функционалов Уг* в аналогичное пространство X*. Если, в частности, А — линейный оператор, то введенный нами оператор А* совпадает на пространстве линейных ограниченных функционалов У* с сопряженным оператором в его обычном понимании [10]. Если, однако, оператор А не является линейным и / — линейный функционал, то функционал А*/ также не является линейным.
Теорема 19. Сопряженный оператор А* замкнут в следующем смысле: если {/n} С D* и fn —> / в Уг*, a A*fn —» <р в X* *-слабо, то f G D* и А*/ = <р.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.
Определение 7. Оператор А: D С Хр —♦ Уг назовем р, г-огра-ниченным на Л, если
пип	т(Ах!,Ах2)
ИИ = SUP п(т -г '
оо.
(6)
Теорема 20. Если А р, г-ограничен на D, то D* = Yf и || А* || С ЦАЦ.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.
Заметим, что имеет место частичное обращение результата теоремы 12: пусть Уг-нормированное пространство и г(у±,у2) = ||yj — угЦ. Если D" = Yf, то оператор А р, т-непрерывен на D.
Всюду ниже ограничимся случаем, когда операторы определены всюду на Хр и р, r-непрерывны. Обозначим через L(Xp,Yr) множество всех таких операторов, а через L(Y?,Xp) обозначим линейное
пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих из Y* в X*. Норму оператора определяем формулой (6) при D = Хр. Норма линейного оператора А* определяется стандартно.
Теорема 21. Если А € L(Xp,Yr), то А* 6 L(Y*, X*), причем ||А*|| П-АН. Если же Yr — нормированное пространство ur(yi,y2) = = \\У1-У2\\,то ||А*|| = ||А||.
Доказательство. Первая часть утверждения следует из теоремы 12, а вторая его часть проводится, как в доказательстве теоремы 3.
В заключение заметим, что, как и в параграфе 3, могут быть доказаны теоремы о разрешимости нелинейных уравнений в слабо метрических пространствах (см. [23]).
Список литературы
1.	Треногин В. А. Функциональный анализ. — 2-е изд. — М.: Наука, 1993.
2.	Bernstein S. N. // Math. Ann. — 1904. — Bd. 59.
3.	Schauder J. // Math. Z. — 1934. — №38.
4.	Гапоненко И. Л. // Ж. выч. мат. и мат. физ. — 1986. — Т. 26, №8.
5.	Donden А. // Rev. rum. math, pure et appl. — 1980. — V. 25, № 10.
6.	Треногин В. А. Глобальная обратимость нелинейных операторов и метод продолжения по параметру // ДАН. — 1996. — Т. 350, №4. — С. 455-457.
7.	Треногин В. А. Локально обратимые операторы и метод продолжения по параметру // Функциональный анализ и его приложения. — 1996. — Т. 30, №2. - С. 93-95.
8.	Trenogin V. A. Invertibility of nonlinear operators and parameter continuation method // Spectral and Scattering Theory / Ed. A. Ramm. — N. Y.: Plenum Press, 1998. — P. 189-197
9.	Треногин В. А. Свойства резольвентных множеств и оценки резольвент нелинейных операторов // ДАН. — 1998. — Т. 359, № 1. — С. 24-26.
10.	Треногин В. А. Принцип сжимающих отображений в слабо метрических пространствах // Вестник РУДН. Сер. мат. — 1997, 1998. — №4-5 (1). — С. 60-67.
11.	Треногин В. А. Однопараметрические семейства решений нелинейных уравнений и дифференциальные уравнения в банаховых пространствах // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. — М.: Изд. РУДН, 1998. - С. 161-165.
12.	Trenogin V. A. The method of continuation with respect to parameter and the correctness function // Nonlinear Analysis and Nonlinear Modelling. Ed. by Lakshmikantham, Hasanov. — Izmit, Kocaely, Turkey, 2000. — P. 86-93.
13.	Треногин В. А. Операторы сопряженные к нелинейным операторам в слабо метрических пространствах // Труды межд. конф., поев. 175-летию П. Л. Чебышева. Т. 2. — М.: Изд-во мех-мат фак. МГУ, 1996. — С. 335-337.
14.	Trenogin V. A. Adjoint operators to nonlinear operators // Abstr. Int. Functional Analysis Meeting on the Ocassion of the Birthday of Prof. M. Valdivia, Valencia, 2000. — P. 132-133.
15.	Batt J. Nonlinear Compact Mappings and their Adjoints // Math. Ann. — 1970. — V. 189. — P. 5-25.
16.	Yamamuro N. // J. Australian Math. Soc. — 1968. — V. 8. — P. 397-409.
17.	Вайнберг M. M. Функциональный анализ. — M.: Просвещение, 1979.
18.	Марчук Г. И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. — М.: Наука, 1992.
19.	Марчук Г. И., Агошков В. И., Шутяев И. П. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в нелинейных задачах математической физики. — М.: Наука, 1993.
20.	Владимиров В. С., Марчук Г. И. // ДАН. — 1998. — Т. 872, №2. — С. 165-168.
21.	Васильев Ф. П. // Диф. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 11. — С. 1893-1900.
22.	Треногин В. А. // Тезисы межд. конф., поев. 1200-летию Ахмада Аль-Фергани, Фергана, Узбекистан, 1998.
23.	Треногин В. А. Липшицевы сопряженные пространства и операторы // Вестник РУДН. Сер. мат. — 2001. — Т. 8 (2). — С. 91-103.
24.	Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ
А. Ф. Филиппов
§ 1. Введение
Возникновение и развитие теории таких уравнений и включений определялось как математическими мотивами — стремлением к общности [1], так и прикладными — такие уравнения и включения часто используются для описания реальных физических систем, например, систем автоматического управления [2] и механических систем с сухим трением [3, 4].
Рассмотрение дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями приводит к необходимости обобщить понятие решения, так как не существует функций, всюду на данном интервале имеющих производную и удовлетворяющих уравнению х' = f(t), если f(t) только кусочно-непрерывна, например, f(t) = signt, —а < t < а.
По аналогии с неопределенным интегралом Лебега Каратеодори [1] назвал решением абсолютно непрерывную функцию, почти всюду на данном интервале удовлетворяющую дифференциальному уравнению. Он рассматривал систему х' = f(t, х), где х = (xj, ..., тп), х' = dx/dt, при следующих условиях, называемых теперь условиями Каратеодори.
Вектор-функция f(t, х) в области D С Rn+1 непрерывна по х, измерима по t и удовлетворяет неравенству |/(t,rc)| rn(t), где функция m(t) G (т. е. интегрируема по Лебегу).
Для системы х' = f(t, х) с начальным условием x(to) — Xq, (to, Xq) € € D, Каратеодори [1] доказал существование решения, а при дополнительном условии
\f(t,x) - f(t,y)\ l(t)\x - у\, l(t) е L1, — его единственность.
Такое определение решения пригодно и для уравнений с функцией f(t,x), разрывной по х, в тех случаях, когда решение, попавшее на линию или поверхность разрыва функции f(t, ж), тотчас сходит с нее. Такие уравнения широко используются в приложениях, см., например, [5].
В другом важном случае, — когда решение системы попадает на поверхность разрыва и не может с нее сойти, так как направление вектора f(t, х) с обеих сторон поверхности препятствует этому, — возникает вопрос о продолжении решения. Если такая система дифференциальных уравнений описывает реальную физическую систему, то обычно
для отыскания направления и скорости движения по поверхности разрыва нужно что-то знать о возможных движениях реальной системы вблизи поверхности разрыва (см. § 2).
Чтобы изучать математическими методами свойства решений, надо иметь общее определение решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью, независимое от расположения поверхностей разрыва и хорошо описывающее движения для достаточно широкого класса реальных задач. Это позволяет сделать теория дифференциальных включений, основанная в 30-х годах Зарембой [6] и Маршо [7] и получившая стимул к развитию в 50-х годах в связи с потребностями теории управляемых систем, в частности, теорией оптимального управления [8, 9].
Дифференциальное включение — это соотношение
х' е F(t, ж),	(1)
где х = x(t) = (ti(t),... ,Tn(t)) — искомая вектор-функция, F — многозначная функция, ставящая в соответствие каждой точке (t, х) из рассматриваемой области D множество P(t,a:) С Rn. Решением называется абсолютно непрерывная вектор-функция ®(t), почти всюду на рассматриваемом интервале удовлетворяющая этому дифференциальному включению. В случае, когда при любых (t, ж) G D множество F(t,x) состоит из одной точки, зависящей от t, х, включение (1) превращается в дифференциальное уравнение.
Дифференциальные включения возникают в некоторых математических и прикладных задачах. Если правая часть уравнения х' = =	известна лишь с ошибкой, не большей £, то его решение
удовлетворяет неравенству [я/ — f(t,x)\	£. То есть х' G F(t, ж),
где F(t, х) — замкнутая £-окрестность точки f(t, х). К таким неравенствам и сходным с ними приводит также задача о движении тел при неизвестных возмущениях, не больших £, а также задача об оценке ошибки приближенного решения дифференциального уравнения, рассмотренная в конце § 4.
К включениям вида (1) приводит система с управлением u(t) х' = f(t, х, и), х = x(t), и = u(t) е t7(i,rc(t)),	(2)
где х € Rn, и € Rm, U(t, х) — заданное множество в Rm, зависящее от t, х. Каждая функция x(t\ удовлетворяющая (2) при допустимом управлении u(t), будет удовлетворять дифференциальному включению
х' € F(t,x), где F(t, х) = f(t, х, U(t, гс)),	(3)
т. е. Z?(i,a:) есть множество значений функции f(t, х,и) при фиксированных t, х и всевозможных и G U^x).
Обратно, для любого решения x(t) включения (3) существует [8] такая измеримая функция u(t), что napaa:(t), u(t) почти всюду удовлетворяет соотношениям (2). Это позволяет из известных свойств дифференциальных включений получить ряд свойств управляемых систем, в том числе свойства множества достижимости и существование оптимального управления для ряда задач [8, 9].
§ 2. Доопределение правой части дифференциального уравнения в точках разрыва
В области D С Rn+1 рассмотрим дифференциальное уравнение
®' = f(t,®), х = (i1:...,x„).	(4)
Область D является объединением конечного или счетного множества областей G,, в каждой из которых вектор-функция f непрерывна, и замкнутого множества М меры нуль. Ниже указываются наиболее употребительные способы доопределения функции f на множестве М, или, что равносильно, способы построения многозначной функции F(t,x) в (1), при которых решение уравнения (4) или включения (1) будут описывать движения в реальных физических системах. Во всех случаях в каждой точке (t, о:), где функция f непрерывна, множество F(t,x) состоит из одной точки
а)	Простейшее выпуклое доопределение [10, 11]. Для каждой точки (t,x) € D пусть F(t, х) — наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции f(t, ж*), когда (t,х*) М, х* —> х, t = const. Так как М — множество меры нуль в Rn+1, то при почти всех t множество F(t,x) будет определено при всех х (для (t,®) € D). Если точка (t,®) — общая точка границ сечений областей Gi,..., Gfc (fc Js 2) плоскостью t = const, то множество F(t, х) есть наименьший отрезок (если к = 2), выпуклый многоугольник или многогранник, содержащий указанные предельные значения.
Пусть f(t, х) разрывна на гладкой поверхности S (</?(ж) = 0) и градиент V</9	0 на S. Пусть f~{t,x) и /+(t,a:) — предельные зна-
чения вектор-функции f при приближении к точке (t, х) € S из областей G~ < 0) и G+ (<р{х) > 0). Тогда при (t.rc) G S множество F(t,x) есть отрезок с концами f~(t,x) и /+(t,rc). В случае (Vy?) • f~ > О, (V</?) • f + < 0 (произведения — скалярные) решение, попавшее в точку (t, х) € S, не может сойти с S и движение по S происходит в «скользящем режиме» со скоростью
f°(t, х) = af+ + (1 - a)f~, а =----f—;r-
(/° определяется из условий /° € F(t, x), вектор f° касается S). Если (V</?) • f~ и (V</?) • f+ одного знака, то решение сходит с S. О других случаях см. [12, с. 42 и п. 3 § 4].
Такое доопределение функции f можно применять для описания движения реальных систем в следующих случаях.
1°. Системы с малым запаздыванием. Пусть реальная система
У =	- т)), 0 т 5,
содержит запаздывание г, постоянное или как угодно меняющееся между 0 и малым <5 в зависимости от любых факторов.
2°. Системы с произвольными переключениями режимов в окрестности множества М. Пусть Mt — сечение множества М С Rn+1 плоскостью t = const, Vp(Mt) — /т-окрестность в Rn множества Mt С Rn; аналогично для G,-, Gi(. Пусть функции /Д^ж) (г = 1,2,...) непрерывны и при каждом t функция х) — непрерывное продолжение функции /(t,x) из области Git С Rn в V),(Gjt), г = 1,2,... Пусть в реальной системе имеем у' = f(t,y), пока у Vg(Mt), 0 < <5 < р, а при у G Vs(Mt) у' = fi(t,y), где г любое такое, что у G Vi(Git). Из режима у' = fi(t,y) в любой момент возможно переключение в любой из таких режимов у' = fk(t,y), что у S Vj(G*,t), и т. д.
3°. Системы со сглаженными разрывами. Пусть в реальной системе имеем у' = f(t,y) при у £ Vs(Mt), а при у £ Vs(Mt) у' = fs(t,y), где fs(t,y) есть некоторое среднее между значениями f(t, z) для z £ £ Vs (у). Это среднее может быть выражено суммой с переменными коэффициентами аг О, 5? а, = 1, или интегралом (см. [12, с. 73]); такую функцию можно сделать непрерывной по у.
Теорема 1 [12, § 8]. Пусть все решения x(t) с x(to) = х0 системы (4), доопределенной на множестве М согласно а), при to t tj существуют и проходят внутри области D. Тогда для любого е > О сугцестпеует такое 5 > 0, что в каждом из случаев 1°-3° каждое решение у(б) с y(to) = при to t ti существует и отличается от одного из решений ®(t) не больше, чем на е. Если решение x(t) с ж(^) = ®о единственно при tg t ti, то y(t) =3 x(t) (to S-5 t ti) при 5 —► 0.
Системы управления со скользящими режимами были известны еще в 30-х годах ([5, гл. 8]). Теоретическое исследование таких систем проводилось в [10-16].
б)	Часто бывает необходимо другое доопределение, учитывающее структуру функции /(t,®). Рассмотрим систему с независимыми блоками uj,..., иГ
х' = f(t,x,ui(t,x),... ,ur(t,x)), х £ Rn;	(5)
функция f непрерывна, а щ разрывны на множествах Mi, i = 1,..., г. В каждой точке (t, ж) £ Mt задано замкнутое множество G,(t, ж) возможных значений функции Uj(t, ж); при г j значения щ € G, и Uj G Uj меняются независимо. В каждой точке, где Ui(t, ж) непрерывна, G,(t, ж) состоит из одной точки ut(t, ж). Предполагается, что функции Ui(t, ж) полунепрерывны сверху по ж. Пусть
F(t, ж) = f(t,x, Gi(t, ж),..., Ur(t, ж))	(6)
— множество значений правой части (5), когда t, ж постоянны, аиц... ..., иг независимо пробегают множества Ui(t, ж),..., Ur(t, ж). Решениями уравнения (5) называются решения дифференциального включения х' £ F(t, ж), как в [13, 14], или дифференциального включения ж' € со F(t,x), как в [2, с. 142; 15, 16]. Здесь и далее со F — наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее F.
в)	Доопределение методом эквивалентного уравнения ([14, с. 37]). Оно применимо к уравнениям вида (5), где u,(t, ж) — скалярная функ
ция, разрывная только на гладкой поверхности S, (<Pi(x) = 0), i = 1,... ..., г. В точках, принадлежащих одной или нескольким поверхностям Si,..., Sm, полагают (если решение не может тут же сойти с такой поверхности или с их пересечения и если векторы V(p,(a:), г = 1,... ,т, линейно независимы)
х' = f(t, х, u?(t, х),..., u^(t, х), um+i(t, х),..., ur(t, ж)),	(7)
где эквивалентные управления ие^,...,и^ определяются так, чтобы вектор f в (7) касался поверхностей Si,...,Sm и чтобы значение u®4(t,a:) содержалось в отрезке Ui(t,x), концы которого — предельные значения функции щ(1, х) с обеих сторон поверхности Si в точке (t, х). Таким образом, значения и®4 в (7) определяются из системы уравнений (V<pi(x))-/ (t,x, u®4,..., u^,um+i(t, x),... ,ur(t, ®)) = 0, i = 1,... ,m. Уравнение (5), доопределенное таким образом, имеет те же решения, что дифференциальное включение х1 Е F(t,x) с функцией (6).
Теорема 2 [14, с. 40, 57]. Пусть в (5) f € С1, U2,..., иТ Е С1, а скалярная функция щ разрывна на поверхности S (<р(х) = 0), <р Е С2, V<p 0. Пусть в реальной системе вместо ui(t,x) имеется непрерывная функция v(t,x), равная щ((:,х) вне окрестности |</?(ж)| < <5 поверхности S и линейно зависящая от <р(о:) или от х на каждом проходящем в этой окрестности отрезке нормали к S. Тогда проходящие вблизи поверхности S решения реальной системы стремятся при 6 —-► 0 к решениям уравнения (7).
В случае, когда функция / линейна по ui,... ,иг, все поверхности Si (</>i(x) — 0) различны, и в точках их пересечения векторы V<p,(o:) линейно независимы, доопределения а), б), в) совпадают.
§ 3. Основные свойства решений дифференциальных включений
В дальнейшем точки пг-мерного пространства Rm обозначаются малыми латинскими буквами, множества — большими. Для а = (а^,... ..., ат) обозначаем |а| = \/а2 + ... + а^, а • b = aibi + ... + ambm, р(а, Ь) = |а — Ь| — расстояние между точками а и Ь, р(А, В) = = infae/li(,6B p(a, b); HI = suPa6A lah S£ (A) — замкнутая Е-окрестность множества A.
Различие двух замкнутых множеств в Rm характеризуется числами 0(А, В) = sup р(а, В),	0(В, А) = sup р(Ь, А),
aGA	ЬеВ
а(А,В) = шах{Д(А,В),Д(В,А)}.
Неравенство /3(А, В) Е равносильно тому, что А С S£(B). Для замкнутых множеств а(А, В) = 0 тогда и только тогда, когда А = В.
Графиком многозначной функции В(р) (р Е D С Rm, В(р) — множество в Rm) называется множество таких точек (р, и) Е Rm+n, что р Е D, v Е F(p). Для многозначных функций В(р) рассматриваются три типа непрерывности: функция F непрерывна (полунепрерывна
сверху, полунепрерывна снизу) в точке р, если для любого е > О найдется такое <5 > О, что для любой точки q £ Sj(p) имеем a(F(p), F(q)) С
£ (соответственно, /3(F(q), F(p)) s, (3(F(p), F(q))	е). Функция
непрерывна (полунепрерывна сверху или снизу) на множестве, если она обладает этим свойством в каждой точке этого множества. Если А — множество, то _F( А) — объединение множеств F(p) для всех р £ А.
Дифференциальное включение (1) часто рассматривается при следующих условиях.
Основные условия. Для каждой точки (t, ж) рассматриваемой области G множество F(t, х) непусто, ограничено, замкнуто, выпукло, функция F полунепрерывна сверху в G.
Теорема 3 [6, 7]. Пусть F(t,x) удовлетворяет основным условиям в области G. Тогда для любой точки (to,xo) € G существует решение задачи
х' = F(t,x), x(t0) = xq.	(8)
Если область замкнута и ограничена и точка (to, Xq) внутри области, то решение можно продолжить влево и вправо до выхода на границу области.
Воронкой точки р £ G (или множества К С G) называется множество точек, лежащих на графиках всех решений, проходящих через точку р (или через точки множества К).
Теорема 4 [6, 7]. Пусть F(t,x) удовлетворяет основным условиям в области G и все решения., проходящие через точкур = (to, Жд) € € G (или через точки компакта К С G Г) {to С t tj}) на отрезке [to, ti] существуют и их графики содержатся в G. Тогда отрезок to t ti воронки точки р (или воронки компакта К) и его сечение A(t,p) (или A(t, К)) любой плоскостью t = const являются компактами и полунепрерывными сверху функциями точки р (или компакта К).
A(t, К) называется множеством достижимости в момент t из точек множества К.
Теорема 5 [6, 7]. При условиях теоремы 4 любое сечение t = = const £ [to, ti] воронки точки p (или воронки связного компакта К) является связным множеством.
В следующей теореме говорится о зависимости множества решений от правой части дифференциального включения.
Теорема 6 [12, с. 68]. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда для любого е > 0 найдется такое 3 > 0, что для любых t$, х£ и функции F*, удовлетворяющих условиям
|t5-t0|<5, |жо - ж0| < 5,	F*(t,x) С Ss[coF(Ss(t),Ss(x'))]
и основным условиям, каждое решение задачи у' £ F*(t, у), p(tg) = ж^ на отрезке [to, 11) существует и отличается от некоторого решения (8) меньше, чем на е.
Это значит, что множество решений дифференциального включения является полунепрерывной сверху функцией не только от начальных условий, но и от правой части (и даже от графика правой части)
дифференциального включения. То есть F*(t,x) должно мало отличаться от значения F не обязательно в той же точке (t, ж), но, возможно, от значения F в какой-нибудь близкой точке (t,x).
Такое же утверждение справедливо для множества решений с начальными условиями (to,®o) € К, К — компакт ([12, с. 69]).
Метрика для множества решений определяется следующим образом. Расстояние между двумя непрерывными на [to, ti] функциями x(t) и y(t) определяется метрикой С:
Рс(х,у) = max |ж(^ - y(t)\. to t t1
По этому расстоянию рс для двух множеств функций на отрезке [to, tj] можно определить /Зс и ас так же, как для множеств в Rm по р определялись (3 и а. С помощью /Зс определяется полунепрерывная сверху зависимость множества решений, а с помощью ас — непрерывная.
При отказе от требования выпуклости F(t, ж) предел равномерно сходящейся последовательности решений может не быть решением, множество решений может не обладать свойствами, указанными в теореме 4, даже при непрерывной функции F(t,x).
Пример 1. Пусть I £ R1, множество F(x) состоит из одной точки — signx при х 0 и двух точек ±1 при х = 0. Множество F(x) замкнуто, ограничено, полунепрерывно сверху по х, но решение задачи х' € F(x), ж(0) = 0 не существует при t > 0.
Пример 2. Пусть х € К1, множество F при всех t, х состоит из двух точек ±1. Тогда при любом к > 0 функция xjt(t), равная |t| при ]t| С 1/к и продолженная далее с периодом 2/fc, имеет пилообразный график и является решением включения х' £ F. При к —> оо Xfc(t) =4 0, но x(t) = 0 не является решением.
В [8] построена управляемая система вида (2), где оптимальное управление не существует из-за невыпуклости множества f(t,x, U(t,x)) в (3).
Теорема 7 [17]. Пусть х € R1, для любых (t,x) из области D множество F(t, х) непустое, ограниченное, замкнутое, и функция F непрерывна по (t,x). Тогда для любых (to,®o) € D, vq € F(to,xo) на некотором отрезке [to — S, to + <У] существует решение задачи
х' G F(t,x), x(t0) — х0, rc'(to) = vo-
Teo рем а 8 [18]. Пусть выполнены условия теоремы 7 и F(t,x) удовлетворяет условию Липшица по х:
a(F(t,x),F(t,x*)) ^l(t)[x-x*[, /(t)eLi.	(9)
Тогда для любых (to, Жо) € D на некотором отрезке [to — <У, to + <J] множество решений задачи (8) непусто и непрерывно зависит от to, жо и функцииF.
В [18] также дана оценка разности точного и приближенного решений.
Теорема 9 [18]. При условиях теоремы 8 замыкание (в метрике С) множества решений задачи (8) на отрезке [to — S, to + <5] совпадает с множеством решений задачи х1 £ со F(t, ж), x(to) = Жо-
В следующих теоремах ослабляется условие непрерывности F.
Теорема 10 [19]. Пусть в области D С Rn+1 для почти всех t и (t, ж) £ D множество F(t,x) непустое, замкнутое, выпуклое, функция F полунепрерывна сверху по х; существует однозначная измеримая по t функция f(t,x) G F(t, ж); для каждого компакта М С D существует такая функцият(б) € L\, что |^(4, ®)| m(t) для (t, х) £ М.
Тогда для любых (to, ^о) € D на некотором отрезке [to — S, to + <У] существует решение задачи (8). Решения обладают свойствами, указанными в теоремах 3-5, более того, множество решений с rc(to) = ®о или с (to,®(to)) € К обладает теми же свойствами, как сечение и отрезок воронки в теоремах 4, 5.
Теорема 11 [20]. Пусть в области D С Rn+1 для каждой точки (t,x) множество F(t,x) непусто, замкнуто-, |F(t,®)| m(t) € Li; функция F измерима not, полунепрерывна сверху пох\ а в тех точках, где F(t, х) невыпукло, функция F непрерывна по х. Тогда для (to, ®о) € G D существует решение задачи (8).
Теорема 12 [21]. Пусть для всех (t, х) из области D множество F(t,x) непустое, замкнутое, |F(t, х)| т = const и функция F полунепрерывна снизу по (t, х). Тогда для (to,xo) & D существует решение задачи (8).
Другие теоремы существования решения задачи (8) см., например, в [22, гл. 2]. Сравнение условий различных теорем существования см. [23].
Теорема 13 [24]. Пусть в области D С Rn+1 для каждой точки {t,x~) множество F(t,x) непустое, замкнутое-, |F(t,х)|	m(t') €
ё Lj; функция F not измерима, апох удовлетворяет условию Липшица. Тогда для задачи (8) справедливы утверждение теорем 8 и 9. При непрерывности F(t, х) без условия (9) зависимость множества решений от начальных условий может не быть даже полунепрерывной.
Другие результаты подобного рода см. [22, гл. 3].
§ 4. Отыскание множества достижимости и экстремальные задачи
Для дифференциального включения х' 6 F(t, х) с непрерывной функцией F, удовлетворяющей основным условиям §3 и условию (9), рассмотрим при t to множество всех решений с начальными условиями x(to) € К, К — данный компакт в Rn, и множество достижимости A(t,K) (см. теорему 4) обозначим R(t). График многозначной функции R(t) в пространстве t, х является интегральной воронкой множества К, лежащего в плоскости t = to- Функция R(t) удовлетворяет «уравнению интегральной воронки» [25]
a(fl(t + /i), J (x + hF(t,x)^ = o(h) при h —> +0.
Это соотношение может быть использовано [25] для приближенного построения последовательности множеств R(to + kh,), к = 1, 2,... При более общих условиях это соотношение доказано в [26].
Если множество R(t) выпукло, то для его отыскания достаточно найти его опорную функцию c(R(t),p) = тах^еще)(Р' У) (где р G Rn) из уравнения [27]
Q
—dR{t),p)= max c(F(t,x),p),	(10)
Ot	(R(t),p)
где V(J?(t),p) — опорное множество для R(t), т. e. множество тех у G G R(t), на которых достигается тах(р • у); если H(t) строго выпукло, то множество V(H(t),p) состоит из одной точки у = dc^R^t^p^/dp, где дс/др — вектор (5c/5pi,..., дс/дрп).
Необходимое и достаточное условие выпуклости множеств достижимости получено в [28]. В [29] понятие опорной функции и уравнение (10) обобщаются на гладкие (С2) невыпуклые участки границы множества достижимости.
Пусть воронка, как множество точек в пространстве t, х, задается неравенством z(t,x) 0. Уравнение, описывающее границу z(t,z) — 0 воронки в точках ее гладкости, имеет вид [30, § 11; 31, §4.6]
dz	A dz
-^у +	, 7 ,	‘ Уэ = °’ У=(У1,---.Уп)-
dt y£F(t,x) OXi
j = l	J
Если дифференциальное включение (1) описывает управляемую систему (2), то уравнение для z приобретает вид
dz	dz
— +max> ——• fAt,x,u) = 0.
dt	U&U dXi	’ 1
j=i J
Уравнения характеристик для этого уравнения совпадают с уравнениями оптимальных по быстродействию траекторий
dxt , .	, dpi	dfAt.x.u} .	„	. .
—i=A(i,x,«),	-^ = -Epj	. z = l,...,n, (11)
at	at	' oxi
j = i
где и — u(t,x) — значение и, при котором достигается тахи<=и(р- f(t, х,и)); здесь граница воронки может быть и негладкой.
Рассмотрим решения x(t; Хо,ро), p(t; х0,р0) этой системы с начальными условиями х = Хо, р = р0 при t = to (если К — точка (to,xo)) для различных значений вектора р0, |р0[ = 1. Если К — множество в Rn, то Xq — точки на границе К, вектор р0 — внешняя нормаль к границе К (к опорной плоскости для К в случае негладкой границы) в точке то, |р0| = 1; пары (ро,хо) все различны. Тогда при t > to точки x(t;xo,Po) заполняют всю искомую границу множества R(t). Но может существовать такое t* > to, что при t > t* некоторые из точек x(t;xo,Po) лежат внутри J?(t) — в случае, когда пересекаются некоторые траектории системы (11), как в [32, гл. 2, п. 3.2].
В случае, когда дифференциальное включение (1) не представлено в виде (2), уравнения (11) заменяются уравнениями, записанными
с помощью опорной функции c(F(t, я:),р) множества F(t,x) (см. [32, гл. 2, п. 3.2])
dx; д	. dpi д
-— = —c{F{t,x),p),	— = -—c(F(t,x),p), г = 1,...,п.
ил> Cfpi	dt
(12)
Для приближенного отыскания границы множества достижимости J?(t) можно найти достаточное число решений системы (11) или (12) с указанными выше начальными условиями то, р0. Получим точки сс(£; ccojPo) на границе множества R(t) и векторы p(t; Xo>Po)i нормальные к границе в этих точках. Точки на границе и касательные к границе в этих точках дают представление об этой границе, если точек много. Подробное обсуждение этого метода и библиография исследований множеств достижимости имеются в [33, §3].
Ввиду большой трудоемкости подобных методов предлагались также оценки множеств достижимости, например, основанные на подборе функций Ляпунова ([32, с. 217]), или на замене множества /i(t) другим, зависящим от небольшого числа параметров, и изучении изменения этих параметров при возрастании t. Простейшая оценка множества J?.(t) с помощью его проекций на оси координат для многих систем пригодна только на малых интервалах времени вследствие эффекта Мура (эффекта раскрутки), из-за которого оценка быстро становится очень грубой.
В [33, §5-11] разработана оценка множества достижимости R(t) с помощью эллипсоидов. Эллипсоид в Rn записывается с помощью симметрической матрицы. Выводится уравнение, описывающее изменение этой матрицы при сносе эллипсоида вдоль траекторий данной системы с учетом неопределенности выбора управления tz(t) 6 U. Метод позволяет получить такие эллипсоиды E~(t) и E+(t), что E-(t) С R(t) С С E+(t~) при t > t0.
Метод эллипсоидов может использоваться и для строгой оценки ошибки при приближенном решении системы дифференциальных уравнений разностными методами [34]. Для этого сначала оценивается ошибка на одном шаге с учетом ошибки метода и ошибок округления. Для оценки ошибки на заданном интервале изменения t строится эллипсоид с центром в точке x-t, изображающей найденное приближенное решение в момент t, = to + ih (г = 1,2,...), и содержащий неизвестную точку x(ti), изображающую точное решение. Рассчитывается изменение эллипсоида при возрастании t с учетом его деформации при сносе вдоль траекторий системы, ошибок метода и ошибок округления как при решении данной системы, так и при линеаризации и расчете изменения эллипсоида.
Задачи оптимального управления для дифференциальных включений рассматривались в ряде работ, в частности, в работах, указанных в [32, с. 235]. Следующая теорема принадлежит В. И. Благодатских.
Пусть множество F(t, я:) непустое, замкнутое, ограниченное, функция F непрерывна по t, липшицева по я:, аопорная функция c(F(t,x),p)
непрерывно дифференцируема по я: и ее градиент V^c Липшицев по р. Если множество F(t, х) невыпукло, то везде вместо c(F(t, х),р) берется с(со F(t,x),p).
Теорема 14 [32, с. 237]. Пусть x(t) — решение задачи (8), достигающее точки Xi за кратчайшее время ti — to > 0, i(ti) = х^. Тогда найдется такое решение p(t) 0 уравнения р' = —dc(F(t,x),p)/dx, что при почти всех t G [to, ti] выполняется принцип максимума: p(t)  х' = c(F(t,x(ty),p(t)y, правая часть последнего равенства неотрицательна при t = ti.
В [32, гл. 3] рассмотрены также задачи о переходе из одного заданного множества в другое с минимизацией времени или интегрального функционала.
§ 5.	Устойчивость
Для дифференциальных включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая устойчивость [35].
Решение х = <p(t) дифференциального включения (1), заданного при t t», |гс| < р, называется устойчивым (соответственно, слабо устойчивым), если для каждого to t» и каждого е > 0 найдется такое <5 > 0, что для каждого такого xq, что |£о — <p(to)| < <5, каждое решение (соответственно, некоторое решение) i(t) с начальным условием x(to) = xq при to t < оо существует и удовлетворяет неравенству \x(t) - <p(t)| < £.
Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются аналогично, но с дополнительным условием x(t) — — ip(t) —> 0 при t —> оо.
Для дифференциальных включений используется как метод функций Ляпунова, так и исследование устойчивости по первому приближению.
Для функции v(t, х~) G С1 определяются верхняя и нижняя производные в силу дифференциального включения (1):
и* = sup (ut + (V®v) • у), v„ = inf (vt + (Va,v) • y). veF(t,x)	veF(t,x)
Теорема 15 [13]. Пусть на множестве D (t* t < oo, |я:| < p) дифференциальное включение (1) удовлетворяет условиям какой-либо теоремы существования решения, 0 € P(t, 0) и существуют функции v(t, х) 6 С1, г>о(я:) € С, для которых
u(t, 0) = 0, v(t, х) По(х) >0 (0 < |я:| < е0).
Тогда:
1)	если и* 0 в D, то решение x(t) = 0 устойчиво-,
2)	если, кроме того, существуют функции vi(x) G С, w(x) G С, причем
г>1(0) = 0,	0 < г>о(я:) v(t,x) иДя:), и*	— w(x) < О
в D при 0 < |я:| < е0, то решение x(t) = 0 асимптотически устойчиво.
Теорема 16 [35]. Пусть F(t, х) на множестве D удовлетворяет основным условиям § 3 и условиям теоремы 15 с заменой и* на vt. Тогда решение сс(£) = 0 слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2).
Известны и более общие результаты [35, 36], где рассматриваются негладкие функции Ляпунова и исследуется вопрос о существовании функций Ляпунова.
В §5 предполагается, что рассматриваемые дифференциальные включения удовлетворяют основным условиям §3 и что 7^0.
Дифференциальное включение
х' е Fix') (F(cx) = cyF(x), с > 0, х € Rn)	(13)
называется однородным степени 7. Оно не меняется при замене х = сх\, t = с1 1t\ с любым с > 0. Если х = <^(t) — решение включения (13), то для любого с > 0 функция х = c^?(c7-1t) — тоже решение.
Для таких включений асимптотическая устойчивость нулевого решения равносильна ([12, с. 121]) стремлению всех решений к нулю при t —» ос. Оценки скорости стремления получены в [37]. При 7 < 1 каждое решение за конечное время достигает точки х — 0.
Теорема 17 [38]. Если функция F(x) такова, что
Т'(О) = 0, cF(x) С F(cx) (0 < с < 1, х G Rn), то для асимптотической устойчивости нулевого решения включения х' g F(я:) необходимо и достаточно, чтобы 1) при каждом начальном условии х(0) = xq с |я:о| = 1 существовало решение, для которого |a:(t)| Со (0 t < 00, со не зависит от sq), 2) не существовало решений, ограниченных при —00 < t < 00, кроме решения сс (й) = 0.
О некоторых методах исследования устойчивости однородных и других дифференциальных включений см. [12, § 15].
Теорема 18 (об устойчивости по первому приближению, [12, с. 128]). Пусть многозначная функция Н(х) однородная степени 7, G(t,r) и Go(r) _ графики функций F(t,x) и Н(х), рассматриваемых на сфере |я:| = г. Если при г —> 0 имеем г l'/3(G(i, т), Go(r)) —> 0 равномерно not g [i*, 00) и нулевое решение включения х' G Н(х) асимптотически устойчиво, то нулевое решение включения х' g F(t,x) — тоже.
Теорема 18, в частности, позволяет исследование устойчивости для уравнения х' — f(t,x) с функцией /, разрывной на кривых поверхностях, пересекающихся в точке х = 0, свести к исследованию для уравнения с плоскими поверхностями разрыва.
Теорема 19 [14, с. 85]. Для асимптотической устойчивости нулевого решения системы
х[ =-'^aij{t,x)signxj, г = 1,...,п,
1=1
доопределяемой на координатных плоскостях согласно а) § 2, с непрерывными функциями	достаточно, чтобы при всех t t„ квад-
ратичная форма
Т} aij(tjtyPiPj i,j = l
была положительно определенной (условие = aj, не обязательно).
О других условиях устойчивости для подобных систем см. [39]. Для исследования устойчивости систем более общего вида применялись метод функций Ляпунова, частотный метод [2, гл. 1 и 3], метод точечных отображений [40, гл. 2].
§ 6.	Качественные методы исследования
В области G С R” рассматривается дифференциальное включение
х' е F(x),	(14)
удовлетворяющее основным условиям §3. Точка р G Rn называется стационарной, если x(t) = р есть решение, т. е. если 0 € F(p). Траектории и предельные множества траекторий определяются, как для уравнения х' = f(x), и обладают аналогичными свойствами. В общем случае траектории включения (14) могут иметь самопересечения. Траектория может вливаться при конечном t = ti в стационарную точку или в замкнутую траекторию и может выходить из нее.
Если все решения включения (14) определены при —оо < t < оо, то они определяют обобщенную (т. е. без единственности) динамическую систему [41]. Такие системы обладают некоторыми свойствами обычных динамических систем, в частности, относящимися к минимальным множествам и рекуррентным траекториям [41, 42].
Понятие вращения векторного поля на границе области в Rn обобщается [43] на многозначные векторные поля F(х) с сохранением основных свойств вращения. С помощью этого понятия и методов качественной теории ряд теорем о существовании периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений обобщается на дифференциальные включения (см., например, [12, с. 112-114]).
А. И.Панасюк исследовал поведение множеств достижимости A(t,p) при больших t. Пусть в (14) F(x) локально липшицево, т. е. существует такая функция 1(г), что при любых |я:| г, |у| г имеем
a(F(x),F(y)) < 1(г)|я: - у\.
Теорема 20 [44]. Пусть множество X С Rn содержит более одной точки, и из любой его точки можно попасть в любую другую по траектории включения (14). Пусть для некоторой точки Xq G X все выходящие из нее траектории при 0 < t < оо содержатся в ограниченной области. Тогда X ограничено, существует такой компакт К С Rn, что множество A(t,K) периодично по t с периодом
т > 0; для любой точки х G X найдется такое ti = что a(A(t,x), A(t + ti, К\)—> 0 (t —» оо),
|J^(t,x) = (J Л(«,/<) = ЛС, t^O	O^t^r
Rc — компакт, черта сверху означает замыкание,
A(t,X) С. Re (t 0),	а(Л(^, X), Rc) —> 0 (t —> оо).
Далее в [44] даются достаточные условия для равенства A(t, Rc) = = Rc (t 0) и для асимптотической устойчивости множеств A(t, М), где М — компакт в IRn.
В [45] понятие магистрали используется для исследования предельного поведения множеств достижимости и для решения задач оптимизации на больших интервалах времени.
Часть известных свойств траекторий на плоскости сохраняется и для дифференциальных включений (14), х g R2.
Предельное множество ограниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекторию [46, с. 192].
В области, ограниченной замкнутой траекторией, или на ее границе имеется стационарная точка [47].
Для изолированной стационарной точки или существует траектория, входящая в эту точку при конечном t или при t —> ±оо, или в каждой окрестности точки имеются замкнутые траектории (могут существовать и входящие, и замкнутые) [12, с. 108].
Известные свойства w-предельных множеств на плоскости сохраняются для дифференциальных включений в случае, когда на рассматриваемой траектории нет точек разветвления при возрастании t [12, § 13].
Для автономной системы двух дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями в предположении, что единственность решений может нарушаться только во всех точках на конечном числе линий и в конечном числе других точек, в [12, § 16 и § 17] дается топологическая классификация особенностей на линиях и в точках. Доказывается, что если в изолированную особую точку входят одним концом конечное число траекторий, в каждой точке которых нарушается единственность, то при естественных предположениях некоторую окрестность особой точки можно разбить траекториями, примыкающими к точке, на конечное число секторов, которые могут принадлежать только 10 топологическим классам, легко описываемым.
Понятия грубости системы и степеней негрубости [48, §6, §22] распространяются на автономные системы двух уравнений с правыми частями, имеющими конечное число гладких линий разрыва. В [49] и [12, § 18] даются необходимые и достаточные условия грубости такой системы.
Для систем, правые части которых разрывны только на гладкой линии, в [50, 51] и [12, § 19] изучаются возможные типы особых точек, лежащих на линии разрыва, исследуется их грубость, в ряде случаев указываются степени негрубости.
Значительно менее подробно исследованы локальные особенности автономных систем трех дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями [52; 12, §21-23].
Автономные дифференциальные включения на плоскости могут быть исследованы почти столь же подробно, как дифференциальные уравнения.
Чтобы исследовать области достижимости для дифференциального включения (14) на плоскости, в [53] предлагается строить крайние траектории, идущие по направлениям самого левого и самого правого векторов из множества F(x), и для дуг таких траекторий указывать направление возможного перехода других траекторий через такую дугу. Это позволяет также исследовать локальную, нелокальную и глобальную управляемость.
Особые точки и линии дифференциальных включений и управляемых систем на плоскости исследовались в [54-57]. В [54] для случая, когда в (14) F(х) — многоугольник, окрестность особой точки разбивается на секторы разных типов, дается топологическая классификация грубых особых точек и точек 1-й степени негрубости. В [55] для случая, когда F(х) — отрезок, исследуются особенности в точках и на линиях, локальная управляемость особых точек.
В [56, 57] исследуются управляемые системы вида (2) на плоскости в случае, когда множество U состоит из конечного числа точек и гладких линий. Для систем общего положения полностью выясняется характер особенностей, лежащих внутри области локальной неуправляемости и на ее границе, дается классификация таких особенностей относительно диффеоморфизмов. Даются необходимые и достаточные условия грубости системы. Изучаются области нелокальной управляемости.
§ 7.	Дифференциальные уравнения с импульсами и с обобщенными функциями
Дифференциальные уравнения с импульсами рассматривались многими авторами (Kurzweil, Schwabik, Самойленко, Перестюк, Bainov и другие, имеются монографии [58, 59]). Такие уравнения описывают процессы с сильными кратковременными воздействиями. Математическая идеализация приводит к дифференциальным уравнениям с (5-функциями и разрывными решениями. Рассматривались уравнения со скачками решений в известные моменты времени и величинами скачков, зависящими от значения решения x(t) перед скачком
х' - f(t,x) + ^g^x^ti - 0))<5(t - tj,	(15)
i
а также случаи, когда скачки происходят при достижении точкой (t, гс(£)) заданных поверхностей в пространстве t, х. В таких случаях налагались условия, при которых за конечное время может произойти только конечное число скачков.
Для дифференциальных уравнений с импульсами исследовались существование и продолжение решений, свойства решений, устойчивость, условия существования периодических решений и другие вопросы. Свойства решений уравнений с импульсами не всегда аналогичны свойствам решений уравнений с непрерывными правыми частями. Например, [60] для уравнения х' = — х(—0)<5(t) все решения при t < 0 постоянны, при t > 0 все они продолжаются нулем. Любое решение, определенное при t > 0, кроме т(4) = 0, не продолжается в область t < 0.
Обобщенное дифференциальное уравнение Курцвейля [60] dx/dt = = DF(t,x) при определенных условиях равносильно уравнению dx/dt = dF(t, x)/dt (производные в смысле теории обобщенных функций) и заменой t = t(r) сводится [12, с. 38] к уравнению вида (15).
Некоторые уравнения с обобщенными функциями с помощью замены переменных сводятся к уравнениям или системам типа Каратеодо-ри. Например, уравнение
я:' = /(t, х) + </(£), х. G Rn,
где функция / удовлетворяет условиям Каратеодори (§ 1), а функция д измерима и ограничена, заменой х = у + g(t) сводится к уравнению Каратеодори у' = f(t, y+g(t)). Если функция g(t) разрывна при t = ti, то решение x(t) тоже, и в точке ti нельзя задавать обычное начальное условие x(tj) = а, а можно такое: (x(i) — </(t))|(=( = а.
Приведение уравнения с обобщенными функциями к уравнению (или системе) Каратеодори обычно позволяет доказать существование решения, выяснить вид начальных условий, которые можно задавать, и с помощью предельного перехода обосновать применимость данного уравнения для описания физических систем с импульсными или другими кратковременными воздействиями, близкими в определенном смысле к обобщенным функциям.
Дифференциальное уравнение вида
+ ... + аоу = bmz(m'1 + ... + boz
(где т С п, z G Li или z G С — известная функция) с постоянными или переменными коэффициентами а*, € Ск, Ьк G Ск, и система
х1 = A(t)x + g(m\t), хбйп
(где матрица Л(£) G Cm-1, g(t) G Li) сводятся к уравнению или системе Каратеодори с помощью замен переменных и формулы [61]
к bz^ =
i=0
позволяющей определить произведение гладкой функции b G Ск на обобщенную. Подробнее см. [58, 12].
При более слабых ограничениях на коэффициенты ak(t) произведение at(i)y^) может быть не определено, и для рассмотрения таких уравнений нужны дополнительные сведения.
Например, для уравнения у' = 6(4)у имеем у1 = 0 при t О, поэтому решение должно иметь вид
2/(4) = с + ar)(t), r)(t) = 0 (t < 0), T](t) = 1 (4 > 0).
При подстановке y(t) в уравнение получается произведение <5(4)т?(4), не определенное в теории обобщенных функций. При разных дополнительных предположениях о данном уравнении его решения будут разные.
Если непрерывные функции 8i(t), i = 1, 2,..., сходятся к (5(4) в смысле теории обобщенных функций, то решения уравнений
Di - W)yi, г/'(-1)=с, г = 1,2,..., сходятся к y(t) = с(1 + (е — 1)т?(£)).
Но решения уравнений с малым запаздыванием г, —> +0
y'i(t) = 6i(t)yi(t - Ti), г/'(-1)=с, i = 1,2,...,
в случае, когда каждое Tj больше длины интервала, на котором <5j(4) 7^ 0, при i —> оо сходятся к функции y(t) = с(1+?7(4)), удовлетворяющей уравнению y'(t) = 6(t)y(t — 0).
Для более сложных уравнений такие предельные переходы рассмотрены в [62]; см. также [12, с. 36].
А.И.Панасюк (см. [63] и цитированные там работы) предложил обобщение понятия дифференциального уравнения на случай метрического пространства М без линейной структуры. Пусть для каждой точки (t*,x*), где 4* € (a, b), х* G М, задана дуга кривой х =	(4),
4* 4 < 4 + <5, проходящая через эту точку. Решением называется функция а:(4), график которой в каждой точке касается дуги <^*(4), заданной для этой точки, т. е.
х(4) — w*(4) п
------------> 0 при 4 —> 4 .
4-4*
(Таким образом, здесь обобщается задание дифференциального уравнения через поле направлений в пространстве.) К уравнениям такого типа относится уравнение интегральной воронки, см. §4.
При определенных условиях (в частности, дуги <^*(4), заданные для близких точек, должны быть согласованы) доказывается существование решения и изучаются свойства решений.
§ 8. Аксиоматический метод исследования дифференциальных уравнений
Сразу после создания основ теории дифференциальных включений было замечено, что их решения обладают рядом свойств, аналогичных свойствам решений дифференциальных уравнений, и что многие из этих свойств можно логически вывести из существования решения задачи Коши и локальной компактности множества решений, не обращаясь больше к свойствам функций в правой части уравнения или включения. Это позволило доказать [64], что любое множество непрерывных функций вида х = <^(4), удовлетворяющее некоторым аксиомам, будет
обладать рядом свойств, подобных свойствам решений, изложенным в теоремах 3 и 4.
Другая (равносильная) аксиоматика предложена в [41]. Налагаются условия (аксиомы) на A(t,p) — множество точек, достижимых из точки р за время t. Доказывается, что для полученной обобщенной динамической системы существуют траектории, ведущие из точки р в точки множества A(t,p) и удовлетворяющие аксиомам из [64]. Такие системы, несмотря на отсутствие единственности решения задачи Коши, обладают [41] некоторыми свойствами обычных динамических систем.
Аксиоматический подход был развит В. В. Филипповым [65-70]. Это позволило значительно расширить область его применения. Введенное в [66] понятие «сходимости пространств решений» (множеств решений) позволило доказывать существование решений уравнения с особенностями с помощью его аппроксимации более простыми уравнениями, изучать зависимость решений от параметров в правой части уравнения, исследовать асимптотические свойства решений в окрестности особой точки при t —» оо, включая свойство устойчивости по первому приближению, условия существования периодических решений и решений краевых задач, свойства траекторий автономных систем и близких к ним, а также другие свойства решений в случаях, не охватываемых классической теорией.
Пусть G — область в пространстве t, х, t G JR1, х G Rn; Z — некоторое подмножество множества С непрерывных функций a:(t). Каждая функция х G Z определена на отрезке (или в точке) тг(я:), а ее график Grx С G. В частности, эти функции могут быть решениями дифференциального уравнения или включения. Функция, определенная только на множестве I С 7г(я:) и равная там x(t), обозначается я:^. Если множество К С G, то (Д)д- — множество тех функций из Z, графики которых содержатся в К. Последовательность функций Xi(t), г = 1,2,..., называется сходящейся к x(t) G С, если a(Gr Xi, Gr х) —» 0 (г —» оо); обозначение а см. § 3. В случае 7г(я:Д = 7г(я:) (i = 1,2,...) такая сходимость равносильна равномерной.
Предполагается, что функции из Z удовлетворяют следующим требованиям (аксиомам) [65-67].
1.	Если х G Z, отрезок или точка I С тг(гс), то	Z.
2.	Если я:|г ..G Z, x|ri Z, tox|. Z. Ца,Ь] ’ I [Ь.с]	’ l|a,c]
Эти требования для решений обычно выполняются. Выполнение следующих требований для решений надо доказывать, учитывая вид рассматриваемого дифференциального уравнения или включения.
3.	Для каждой точки (to,xo) G G существует такие 6 > 0 и функция х G Z, что x(to) = хо, 7г(я:) = [io — <5, to + <5].
4.	Для любого компакта К С G множество (Д)д- компактно (т. е.: а) все функции из (Д)к равностепенно непрерывны; б) если х^ G (Д)д-, i = 1,2,..., х,• —> х € С, то х G (Д)д-). Иногда требуется и свойство единственности решений.
5.	Если х £ Z, у g Z, (to, x0) G G, x(t0) = y(to) = xq, to x(t) = y(t) для t g 7г(х) П 7r(y).
Для функций из множества Z справедливы, в частности, следующие утверждения.
Если множество функций Z в области G обладает свойствами 1-4, то для этих функций справедливы [64] утверждения о продолжении и о свойствах воронок, подобные утверждениям теорем 3 и 4. Если же Z удовлетворяет требованиям 1-5, то функция х € Z, график которой проходит через точку (to, Xq) g G, на отрезке 7г(х) непрерывно зависит от этой точки в обычном смысле [71].
Пусть Z и Z, (г = 1,2,...) — множества непрерывных функций, графики которых содержатся в области G. Будем говорить, что Z, приближается к Z при i —+ оо (в [66-69] говорится «сходится»), если для любого компакта К С G из любой последовательности функций х, € (^)х, i — 1,2,..., можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к функции из Z. Заметим, что если Zi приближается к Z, то Zi приближается к любому множеству Z* D Z.
Методы исследования сходимости Z, к Z см. в [69]. В частности, там на с. 109 указаны условия сходимости множеств решений включений х' € Fi(t, х), i = 1,2,..., к множеству решений включения х' € g F(t, х).
Следующая теорема может применяться при доказательстве существования решений дифференциальных уравнений с особенностями.
Теорема 21 [67, с. 192]. Если Zi (г = 1,2,...) обладают свойствами 1-4 и Zi приближается к Z при i —+ оо, то Z обладает свойством 3.
В [65-67] рассматривается ряд дифференциальных уравнений и включений, правые части которых не имеют мажоранты m(t) g L\. Как показывает пример
х' = sin t~1 — t-1 cost-1, rr(t) = t sin t~1 + c
с неабсолютно непрерывными решениями, в таких случаях необходимо новое обобщение понятия решения. Решением называется обобщенно абсолютно непрерывная функция, аппроксимативная производная ([72, с. 315-322]) которой почти всюду на данном интервале удовлетворяет данному уравнению или включению. Функция называется обобщенно абсолютно непрерывной на интервале I, если она непрерывна на I и интервал I является объединением конечного или счетного числа множеств, на каждом из которых функция абсолютно непрерывна. Такая функция почти всюду на I имеет аппроксимативную производную. Однако в большинстве теорем налагаются такие условия, при которых аппроксимативная производная превращается в обычную и можно обойтись обычной производной. У таких решений нет ни скачков, ни скользящих режимов.
Теорема 22 [67]. Пусть х g R", функция f(t,x) (или многозначная функция F(t, х)) определена в области G С Rn+1, замкнутое множество М С G, и в каждой компактной области D С G \ М
функция f (или F) удовлетворяет условиям Каратеодори § 1 (соответственно, условиям теоремы 10). Если множество М конечное или счетное, то множество решений уравнения х' = f(t, х) (или включения х' & F(t, х)) обладает свойствами 1-4.
В случае, когда множество М несчетно, например, состоит из кусков линий или поверхностей, для справедливости подобных утверждений необходимы еще другие условия, в силу которых решение в достаточно малой окрестности множества М может пройти только малое расстояние, возможно, пересекая М, и затем выходит из окрестности. См., например, [67, гл. 8, §6, §8], [73]. В [67-69] разработан ряд методов доказательства существования решения и исследования свойств решений в подобных и в более сложных случаях.
Теорема 23 [69]. Пусть х G R1, у G Rn и в системе
•т' =	+h1(t,x,y), у' = f2(x,y) + h2(t,x,y)
функции f2y hij h-2 измеримы no первому аргументу, непрерывны no совокупности остальных,
0 < а(х) h(x,y) (3(х),	1/2^,у)1 7(я)>
0 hr(t,x,y) <p(t),	I,У)|	<f(t),
функции а, (3, 7 измеримы, 'y/oi £ Ly, 92 € L±. Тогда множество решений обладает свойствами 1-4.
Теорема 24 [70]. Пусть Z удовлетворяет требованиям 1-4, Zi (i = 1,2,...) — требованиям 1-5, и Zi приближается к Z при i —> 00; пусть для некоторой точки (to,xo) G G и заданного ti > to каждая функция х & Z с х(<о) = продолжается на [to, ti], оставаясь в Z. Тогда множество функций х G Z с x(to) = Xq, 7г(х) = [to, ti] для любого е > 0 является s-стягиваемым в метрике С. Следовательно, оно является связным и ациклическим во всех размерностях от 1 доп.
Множество М в метрическом пространстве называется Е-стягивае-мым, если существует такая непрерывная многозначная функция M(s), 0 s 1, что М((Т) = М, М(1) — точка из М, и для всех s € (0,1) множество M(s') содержится в s-окрестности множества М.
Для исследования поведения решений при t —> 00 надо наряду с множеством функций Z рассмотреть множество Z+, состоящее из функций, получаемых из функций множества Z с помощью максимального продолжения вправо (в сторону возрастания t). Если функция х G Z+ определена на [д, Ь), то x|zG Z для любого отрезка I С [а, Ь).
Функция x°(t) G Z+ называется асимптотически устойчивой относительно множества Z, удовлетворяющего условиям 1-4 в области до < < t < 00, |х| < р, если для любых to > До и е > 0 найдется такое <5 > 0, что все функции из Z+, для которых |x(to) — x°(to)| < 8 при to С t < 00 определены и удовлетворяют неравенству ]x(t) — х° (t) | < е; кроме того, x(t) — x°(t) —> 0 при t —> 00.
Множество Zi функций x(t) (t G R, x G Rn) называется автономным, если из x(t) G Zo следует x(t + c) € Zq для всех c G R, и од
нородным первой степени, если из x(t) ё Zq следует bx(t) ё Zq для всех b Js 0.
Теорема 25 (об устойчивости по первому приближению, [74]). Пусть Z — множество непрерывных функций в области ао < t < оо, |sc| < р, удовлетворяющее условиям 1-4. Пусть автономное и однородное первой степени множество Zq является равномерным по t первым приближением к Z при х —» 0, т. е. для любых последовательностей bi оо и Ci 0 последовательность множеств Zi (г = 1,2,...), состоящих из функций bix(t + с,), где x(t) ё Z, приближается к Zq при i —» оо. Если функция x°(t) - 0 асимптотически устойчива относительно множества Zq, то она асимптотически устойчива и относительно Z.
В [73] имеется аналогичная теорема для случая, когда множество Zq автономно и однородно степени 7^0, т. е. инвариантно относительно таких же преобразований, как и множество решений дифференциального включения (13).
Список литературы
1.	Caratheodory С. Vorlesungen uber reelle Funktionen. 2. — Leipzig: Auflage, 1927.
2.	Гелиг A. X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978.
3.	Железцов Н. А. Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с «комбинированным» трением // Прикл. матем. и механ. — 1949. — Т. 3, № 1. — С. 3-40.
4.	Матросов В.М., Финогенко И. А. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением // Дифф, уравн. — 1996. — Т. 32, №5. — С. 606-614; №6. — С. 769-773.
5.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1959.
6.	Zaremba S. С. Sur les equations au paratingent // Bull, des Sci. Math. — 1936. Bd. 60, №5. — S. 139-160.
7.	Marchaud A. Sur les champs de demi-cfines et les equations differentielles du premier ordre // Bull. Soc. Math. France. — 1934. — V. 62, № 1. — P. 1-38.
8.	Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Сер. мат., мех. — 1959. — №2. — С. 25-32.
9.	Wazewski Т. Systemes de commande et equations au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. math., astr., phys. — 1961. — V. 9, №3. — P. 151-155.
10.	Andre J., Seibert P. Uber stiickweise lineare Differentialgleichungen, die bei Regelungsproblemen auftreten. I, II // Arch, der Math. — 1956. — B. 7, №2. - S. 148-156; №3. - S. 157-164.
11.	Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Матем. сб. — 1960. — Т. 51, № 1. — С. 99-128.
12.	Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
13.	Алимов Ю. И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями // Автом. и телемех. — 1961. — Т. 22, №7. — С. 817-830.
14.	Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — .VI.: Наука, 1981.
15.	Якубович В. А. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря, разрывными нелинейностями // Докл. Ак. наук. — 1966. — Т. 171, Лг?3. — С. 533-536.
16.	Айзерман М.А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем. I, II // Автом. и телемех. — 1974. — № 7. — С. 33-47; №8. — С. 39-61.
17.	Филиппов А. Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Матем. заметки. — 1971. — Т. 10, № 3. — С. 307-313.
18.	Филиппов А. Ф. Классические решения многозначных дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник МГУ. Матем., механ. — 1967. — №3. — С. 16-26.
19.	Davy J. L. Properties of solution set of a generalised differential equation // Bull. Austral. Math. Soc. — 1972. — V. 6, №3. — P. 379-398.
20.	Olech C. Existence of solutions of non-convex orientor fields // Boll. Unione mat. ital. — 1975. — V. II, №3. - P. 189-197.
21.	Bressan A. On differential relations with lower continuous right-hand side: An existence theorem // Journ. Dif. Equat. — 1980. — V. 37, №1.- P. 89-97.
22.	Толстоногое А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Наука, 1986.
23.	Филиппов А. Ф. Об условиях существования решений многозначных дифференциальных уравнений // Дифф, уравн. — 1977. — Т. 13, №6. — С. 1070-1078.
24.	Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations // Journ. of Dif. Equat. — 1977. — V. 25, № 1. — P. 30-38.
25.	Панасюк А. И., Панасюк В. И. Об одном уравнении, порожденном дифференциальным включением // Матем. заметки. — 1980. — 1'. 27, №3. — С. 429-437.
26.	Толстоногое А. А. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения // Матем. заметки. — 1982. — Т. 32, №6. — С. 841-852.
27.	Панасюк А. И. Уравнения областей достижимости и их применение в задачах оптимального управления // Автом. и телемех. — 1982. — № 5. — С. 67-78.
28.	Панасюк А. И. Необходимое и достаточное условие выпуклости множеств достижимости дифференциальных включений // Матем. заметки. - 1987. - Т. 41, №2. — С. 207-215.
29.	Панасюк А. И. Дифференциальное уравнение невыпуклых множеств достижимости // Матем. заметки. — 1985. — Т. 37, №5. — С. 717-726.
30.	Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых систем. — М.: Наука, 1985.
31.	Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. — Минск: Наука и техника, 1986.
32.	Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды матем. ин-та им. Стеклова. — 1985. — Т. 169. - С. 194-252.
33.	Черноусъко Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. — М.: Наука, 1988.
34.	Филиппов А. Ф. Строгая оценка ошибки при приближенном вычислении решения системы дифференциальных уравнений // Mathematica Montisnigri. — 1993. — V. 2. — Р. 29-42.
35.	Rozin Е. Stability in general control systems // Journ. Dif. Equat. — 1965. —
V. 1, №2. - Р. 115-150.
36.	Brigland Т, F. Contributions to the theory og generalised differential equations. 1, Il // Math. Syst. Theory. — 1969. — V. 3, №1. — P. 17-50; №2. - P. 156-165.
37.	Филиппов А. Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями // Дифф, уравн. — 1979. — Т. 15, №6. - С. 1018-1027.
38.	Красносельский М. А., Покровский А. В. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости // Докл. ак. наук. — 1977. — Т. 233, №3. — С. 293-296.
39.	Филиппов А. Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Матем. заметки. — 1980. — Т. 27, №2. — С. 255-266.
40.	Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1972.
41.	Барабашин Е. А. К теории обобщенных динамических систем // Учен, записки МГУ. Матем. — 1949. — Т. 2, вып. 135. — С. 110-133.
42.	Петров Н. Н. Аналог теоремы Биркгофа для инвариантных множеств систем управления // Диф. уравн. — 1979. — Т. 15, № 12. — С. 2155-2160.
43.	Борисович Ю. Г., Гельман Б.Д., Мухамадиев Э. М., Обуховский В. В. О вращении многозначных векторных полей // Труды семинара по функц. анализу. Вып. 12. — Воронежск. ун-т, 1969. — С. 69-84.
44.	Панасюк А. И. О динамике множеств, определяемых дифференциальными включениями // Сибирск. мат. журн. — 1986. — Т. 27, №5. — С. 155-165.
45.	Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. — Минск: Наука и техника, 1986.
46.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.
47.	Hautus М. L., Heyman М., Stem R. J. Rest point theorems for autonomous control systems // Journ. Math. Anal, and Appl. — 1977. — V. 58, №1. — P. 98-112.
48.	Андронов А. А., Леонтович E. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967.
49.	Козлова В. С. Грубость разрывной системы // Вестник МГУ. Сер. матем. и механ. — 1984. — №5. — С. 16-20.
50.	Козлова В. С. Грубые особые точки, лежащие на линии разрыва правых частей системы дифференциальных уравнений // Дифф, уравн. — 1984. - Т. 20, № 11. - С. 1998-1999.
51.	Козлова В. С. Особые точки первой степени негрубости, лежащие на линии разрыва правых частей системы дифференциальных уравнений // Дифф, уравн. — 1985. — Т. 21, №2. — С. 334-335.
52.	Шумафов М. М. Топологическая классификация особенностей на поверхности разрыва правых частей системы трех дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и их приложения. — М.: МГУ, 1984. — С. 123-130.
53.	Бутковский А. Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управляемости и финитного управления // Автом. и телемех. — 1982. — № 1. — С. 5-18.
54.	Филиппов А. Ф. Особые точки дифференциальных включений на плоскости // Вестник МГУ. Сер. матем. и механ. — 1985. — №6. — С. 46-52.
55.	Бабичев А. В., Бутковский А. Г., Лепе И. Л. Особые множества на фазовых портретах динамических систем с управлением. I, II // Автом. и телемех. — 1986. — №5. - С. 24-31; №7. — С. 48-54.
56.	Давыдов А. А. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем // Матем. сб. — 1988. — Т. 136, №4. — С. 478-499.
57.	Давыдов А. А. Структурная устойчивость управляемых систем на ориентируемых поверхностях // Матем. сб. — 1991. — Т. 182, № 1. — С. 3-35.
58.	Халанаи А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971.
59.	Pandit S. G., Deo S. G. Differential equations with impulses. — Berlin: Springer-Verlag, 1982.
60.	Курцвейль Я. Об обобщенных обыкновенных дифференциальных уравнениях, обладающих разрывными решениями // Прикл. матем. и механ. — 1958. — Т. 22, № 1. — С. 27-45.
61.	Kurzweil J. Linear differential equations with distributions cis coefficients // Bull. Acad. Polon. sci. Ser. math. — 1959. — V. 7, jYa9. — P. 557-560.
62.	Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations // Czechosl. Math. Journ. — 1958. - V. 8, №3. - P. 360-388.
63.	Панасюк А. И. Свойства решений квазидифференциальных уравнений в полном метрическом пространстве и уравнения интегральной воронки // Дифф, уравн. - 1995. - Т. 31, №9. - С. 1488-1492.
64.	Zaremba S. К. Sur certaines families des courbes en relation avec la theorie des equations differentielles // Ann. Soc. polonaise de math. — 1937. — V. 15. — P. 83-100.
65.	Филиппов В. В. Аксиоматическая теория пространств решений дифференциальных уравнений и дифференциальных включений // Докл. ак. наук. — 1985. — Т. 280, №2. — С. 304-308.
66.	Филиппов В. В. Об обыкновенных дифференциальных уравнениях с особенностями в правой части // Матем. заметки. — 1985. — Т. 38, №6. — С. 832-851.
67.	Филиппов В. В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во МГУ, 1993.
68.	Филиппов В. В. Топологическое строение пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи, матем. наук. — 1993. — Т. 48, №1. — С. 103-154.
69.	Филиппов В. В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью // Матем. сборн. — 1994. - Т. 185, № 11. - С. 95-118.
70.	Филиппов В. В. О теореме Ароншайна // Диф. уравнения. — 1997. — Т. 33, №1. - С. 75-79.
71.	Андреев А. Ф., Богданов Ю. С. О непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных // Успехи матем. наук. — 1958. — Т. 13, №3. — С. 165-166.
72.	Сакс С. Теория интеграла. — М.: ИЛ, 1949.
73.	Филиппов А. Ф. Применение аксиоматического подхода для исследования дифференциальных уравнений с особенностями // Диф. уравн. — 1996. — Т. 32, № 2. - С. 205-215.
74.	Филиппов В. В. О стационарных точках и некоторых геометрических свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. ак. наук. — 1992. — Т. 323, №6. — С. 1043-1047.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ: ОБЗОР ИДЕЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ1)
Н. В. Азбелев, П. М. Симонов
В течение последних 25 лет большой коллектив математиков при научно-исследовательском центре «Функционально-дифференциальные уравнения» Пермского государственного технического университета разработал теорию «Абстрактного функционально-дифференциального уравнения» (АФДУ) [1,42,43,2] — далеко идущего обобщения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)
i(t) = f(t,x{t)), t 0.
Частным случаем такого обобщения является обыкновенное функционально-дифференциальное уравнение
±(t) = (^i)(f), t 0
с оператором F, определенном на некотором множестве локально абсолютно непрерывных функций х: [0,оо) —» Rn.
В качестве примеров уравнения х = Fx отметим интегродиффе-ренциальное уравнение
i(t) = [ K(t,s,x(s))ds, t 0,
Jo
и уравнение с запаздывающим аргументом
i(t) = f(t, [ dsR(t,s)x(s)\, t>0.
\ Jo	/
Центральная идея приложения теории АФДУ состоит в построении пространства функций, адекватного рассматриваемой задаче. Эта теория естественным образом привела к новым взглядам на ряд классических задач, в частности, на задачу об устойчивости решений дифференциальных уравнений и их обобщений. Новый подход к задаче об устойчивости позволяет упростить доказательства некоторых классических теорем и применим к так называемым уравнениям с последействием, частным случаем которых являются уравнения с запаздывающим аргументом.
^Работа выполнена при финансовой поддержке Международной Соро-совской программы в области точных наук (ЕР-55, D2001-961), Российского фонда фундаментальных исследований (01-01-00511) и программы «Фундаментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных наук. Университеты России» (015.03.01.025).
Новая концепция устойчивости развивает идеи монографий М. Г. Крейна и Ю. Л. Далецкого [3,4], Е. А. Барбашина [5], X. Л. Массеры и X. X. Шеффера [6]. Отметим, что результаты работ этих авторов существенно опираются на специфику ОДУ. Эта концепция основана на следующем (см., например, [7-16; 1, гл. 5; 17-19; 42, гл. 5; 44; 20; 45; 46; 2, гл. II, §2.3]).
Пусть Rn — пространство n-мерных векторов с действительными компонентами и с нормой || • Ццп, В — некоторое банахово пространство с нормой || • ||в, элементами которого являются локально суммируемые функции z: [0, сю) —» Rn. Например, В = Lqq — пространство измеримых и ограниченных в существенном на [0, оо) функций с нормой ЦгНьоо = vraisuPtc[o,oo) IIz(^)I|r"> или В — весовое пространство LJ-, (7 > 0) функций z ё Loo, представимых в виде z(t) = e-7t?/(t), где у ё Loo, HzIIlj, =f НуНь»
Пусть, далее, пространство D, элементами которого являются локально абсолютно непрерывные функции х: [0, оо) —» Rn, изоморфно прямому произведению пространства В и пространства Rn (D — ~ В х Rn). Такое пространство будет банаховым, если ввести норму ||.t||d	||z||B + ||x(0)||r...
Всюду ниже будем рассматривать уравнение £х ~ f с линейным вольтерровым оператором £: D -» В в предположении, что задача Коши £х = f, rr(O) = а имеет единственное решение х ё D для каждой пары {/,<*} G В х Rn, причем это решение допускает представление в виде «формулы Коши» [1,42,2]
х = Cf + Ха.
(1)
Здесь «оператор Коши» С: В —» D непрерывен и вольтерров, а конечномерный оператор X: R'1 —» D определяется «фундаментальной матрицей» -Y(t) решений однородного уравнения £х — 0 (решением X матричной задачи £Х = 0, Х(0) = Е, Е — единичная п х п-матрица). Таким образом, (Xa)(t) = X{t)a.
Из формулы (1) следует, что
D(£, В) = СВ + ATU1 == D.
Для линейного ОДУ (£x')(t') x(t) + P(t)rr(t) = /(t), t Ji 0, фундаментальная матрица X определяет оператор Коши:
(C/)(i)= f X(t)X~\s)f(s)ds.
Jo
Зафиксируем «модельное уравнение» £qX — z с линейным вольтерровым оператором £q, для которого формула Коши записывается в явном виде
i(t) = (Coz)(t) + (A'oa)(t).	(2)
Выбрав пространство В, мы получим специальное пространство Dq, каждый элемент которого однозначно определяется для любой пары
{z,cv} ё BxRn равенством (2). Пусть, например, (£oi)(t) = ±(t)+rr(t), В = Loo. Тогда Dq =f D(£q, В) =f CqB-|-T0R" является пространством ограниченных локально абсолютно непрерывных функций, определяемых равенством
для любых z 6 В и а 6 Rn. Отметим, что в этом примере пространство Dq совпадает с пространством С. Л. Соболева W^fO, оо).
Если в качестве пространства В принять весовое пространство L7,, 1 > 7 > 0, то пространство Do будет состоять из экспоненциально убывающих функций вида x(t) = e~l e^1-7^sy(s) ds + е~1а, где у ё Loo, а ё Rn.
О построении различных пространств Dq — В х Rn см. в [10, 1, 13-16, 42, 21, 2].
Пусть теперь D — пространство, определяемое при данном пространстве В формулой (1) для исследуемого уравнения £х = f. Равенство
D = СВ + XRn = С0В + T0Rn = Do	(3)
гарантирует для решений уравнения £х = f такие же асимптотические свойства, какими обладают решения модельного уравнения £qx = f.
Классическую задачу об устойчивости можно свести к вопросу об условиях, гарантирующих совпадение пространства Dq решений модельного уравнения £qX = f и пространства D решений данного уравнения £х = f. Если, например, £qX = х+х и В = L^, то равенство (3) гарантирует устойчивость по Ляпунову. Если В = L7,, 0 < 7 < 1, то равенство (3) гарантирует экспоненциальную устойчивость и т. д.
Будем называть уравнение £х = f Do-устойчивым, если выполняется равенство (3). Справедлива следующая теорема (см., например, [45; 2, гл. II, §2.3, 2.3.1]).
Теорема 1. Пусть линейный волътерров оператор £ действует из пространства Dq в пространство В. Равенство (3) справедливо тогда и только тогда, когда либо оператор £Со- В —> В, либо оператор Со£  {т € Dq : z(0) = 0} —» (т ё Dq : т(0) = 0} обратим.
Таким образом, установление факта Do-устойчивости сводится к существованию обратного оператора к данному, который (это важно подчеркнуть) записывается в явном виде.
Так называемая «устойчивость по части компонент» является частным случаем Do-устойчивости, соответствующим специальному выбору модельного уравнения. Например, при п = 2 устойчивость для уравнения £х — f по первой компоненте гарантируется обратимостью оператора £Со: В —> В, где Со — оператор Коши для модельного уравнения
Здесь элементы пространства Dq определяются равенствами
ii(t) = /" es_tzx(s) ds + e~lai, rr2(t) = [ e<-sz2(s) ds + е*а2-Jo	Jo
Do-устойчивость в случае, когда элементы пространства Do имеют определенные границы роста (логарифмического, степенного и т. д.), гарантирует соответствующие границы роста решений данного уравнения (см., например, [10,21]).
Чтобы применить утверждения рассматриваемой теории к уравнениям с запаздывающим аргументом, типичным представителем которых является уравнение
Г i(t) + p(t)x[/z(t)] = v(t), t > 0,
(rr(£) = <p(£), если £ > 0,
где /i(t) t при всех t 0, требуется записать это уравнение в виде Ст = f. Это можно сделать, описав уравнение (4) с помощью линейного «оператора внутренней суперпозиции» S^; D —» В, определяемого равенством
(адМ = \0, если ^)<0.
Действительно, введя обозначение /(t) = v(t) — p(t),p/l(t), где h 10, если /i(t)	0,
(<p[/i(t)], если h(t) < 0, уравнение (4) можно записать в виде
(£x)(t) = ±(<)+р(0(ЗДМ = Ж.
На основании теоремы 1 исследование уравнений на устойчивость проводится так называемым «W-методом» (см., например, [1,42,43,2]), состоящем в таком выборе модельного уравнения, для которого можно проверить обратимость либо оператора ССо- В —> В, либо оператора Со С : {т е Do: т(0) = 0} —» {т ё Do: т(0) = 0}.
Естественным обобщением уравнения (4) является уравнение вида (£i)(t) d= i(t) + Г dsR(t, s)x(s) = /(t).	(5)
Jo
Отметим, что
i)(t) = [ dsR(t,s)x(s), Jo
где R(t, s) = — cr(t, s'jpft^E, a(t, s) — характеристическая функция мно-жества
{(t, s): 0 s < t при = t или 0 s h(t) при h(t) < t}.
Этому уравнению на основе подстановки x(t) = J z(s) ds + т(0) при т(0) = 0 можно поставить в соответствие классическое интегральное уравнение Вольтерра
z(t) = [ K(t,s)z(s)ds + f(t),
Jo
где K(t,s) = R(t,s) — R(t,t). При этом функция Коши C(t, s) и фундаментальная матрица X(t) уравнения (5) имеют вид
C(t, s') = Е + J H(r,s)dT, X(t) = C(t, 0),
где
°°	Г1
H(t,s) = ^Ki(t,s), Ki+1(t,s) = / Ki(t,r)K(T,s)ds, i = 1,2,..., i=i	J*
Ki(t,s) = K(t,s).
Таким образом, редукция уравнения с последействием (5) к классическому интегральному уравнению решает интересовавшую многих авторов проблему представления общего решения уравнения с запаздывающим аргументом.
Более общий случай, например, уравнение так называемого «нейтрального типа»
( i(t) - b(t)i[g(£)] +p(t)x[/i(t)] = v(t), t > 0,
l^(C) = ^(C), ±(0=^(0, если £<0,
где g(t) t, h(t) t при всех t 0, уже не редуцируются к классическому объекту — интегральному уравнению Вольтерра: его место (при 2?(0) = 0) занимает уравнение
z(t) — (Sz)(t) — [ K(t, s)z(s) ds = f(t), t 0, Jo
с линейным вольтерровым (не интегральным!) оператором S: В —» В. При этом для получения условий устойчивости требуются серьезные ограничения на свойства этого оператора. Например, при некоторых предположениях на пространство В и оператор 5 в работах [22, 23] (см. также обзоры в [24,47]), [25,26] показано, что если оператор (Т — — S): В —» В (Т — тождественный оператор) не является обратимым, то Do-устойчивость невозможна.
В заключение обсуждения линейной задачи отметим ряд теорем типа теоремы Боля-Перрона. Эти теоремы утверждают, что при тех или иных условиях Do-устойчивость влечет за собой более тонкое свойство — Di-устойчивость, где Di с; Bi х Rn, Bi С В.
В качестве иллюстрации рассмотрим модельное уравнение Сох = = х+(3х = z, где (3 > 0, z G Loo, Do = D(£o, Loo)- Для функции z € Lqo
через vrai lim(_,oo z(t) обозначим такой вектор z(oo) g Rn, для которого существует linib^oo vraisup(>(1 ||z(i) — z(oo)||r/l = 0. Аналогичное определение и обозначение введем и для произвольной (n х п)-матри-цы-функции со столбцами из пространства L^. Обозначим:
=f {z е Loo: существует vrailimz(t) = z(oo) g R71}, t— +OG
^f{zGLL: z(oo) = 0}.
Тогда результаты статей [13-16] позволяют сформулировать следующие утверждения.
Теорема 2. Предположим, что при некотором а g (0,/Э) воль-терров оператор £ действует из пространства D(£o,L^) в пространство и ограничен. Пусть, кроме того, уравнение £х — f Do-устойчиво. Тогда существует число 7о € (0, а] такое, что это уравнение будет D(£o, Ъ^с)-устойчивым при всех у g (0,70).
Теорема 3. Предположим, что вольтерров оператор £ действует из пространства D(£o,L2o) {пространства D(£q,L[X3)) в пространство L^., (в пространство L^) и ограничен. Пусть, кроме того, уравнение Сх = f Do-устойчиво. Тогда это уравнение D{£q, L^)-устойчиво (D(£q, L^)-устойчиво).
Следствие 1. Пусть выполнены оба варианта условия теоремы 3. Тогда матрица (££')(оо) = vrai limt_,00(££')(i) невырождена и при любой f g для каждого решения х уравнения £х = f существует предел lim^oo x{t) = т(оо) и этот предел определяется равенством х{оо) = [(££?)(оо)]-1/(оо).
Использование линейного пространства Do — В х R" при исследовании нелинейных уравнений оказывается вполне эффективным, пока мы ограничиваемся нелинейными возмущениями линейного объекта — случаем «квазилинейных уравнений»
£.т = Ух + г),
где £: Do —> В — линейный, .£: Do —> В — нелинейный вольтерровы операторы, г) g В. Здесь целесообразно рассматривать «локальную устой чи вость ».
А именно, будем говорить, что уравнение £х = Ух + т/ локально Do-устойчиво в окрестности решения лд при ^о(О) = о:о, "Ц = т/о, если существует <5 о = (SoC^o) > 0, для которого при каждой паре {г/, с*} € € В х Rn, ||т/ — r/о||в	||с* — cvo||r" <5о, задача Коши £х = Ух + т/,
.т(0) = а, имеет единственное решение х g Do и это решение непрерывно по норме пространства Do зависит от г/ и а (т. е. для любого е > 0 найдется такое б = 6{х,е) > 0, что ||rci — гс||о0 < £, если Цтд — т/о||в <$о, ||di - 0-o||R" S? <$о И ||771 - ц||в < д, Цац - a||R« < 6).
При исследовании локальной устойчивости удобно пользоваться подстановкой у = х — х$, сводящей задачу Коши £.х = УхЦ-т/, .т(0) = а при г) = т/0. а = о0 и х = Xq к «канонической форме» £у = Уоу + т/о,
у(0) = 0, где Уу d= Т~(у + х0) — £.xq, и рассматривать вопрос об устойчивости в окрестности тривиального решения у = 0 этой задачи.
Имеет место следующий аналог теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению [18,19,44,27-29,46].
Теорема 4. Пусть уравнение Сх = f с линейным вольтерровым оператором С'. Do —> В Do-устойчиво, вольтерров оператор У: Do —> —> В обладает свойством: ^"(0) = 0 и для любого к > 0 найдется такое 6 > 0, что
||^2 - Ух\ ||в fc||Х2 ~ Xi ||Do
при всех ||xi ||d0	6, ||^2 ||d0 Тогда уравнение Сх = Ух локально
I)о-устойчиво в окрестности тривиального решения.
Замечание 1. Условие теоремы относительно оператора У выполнено, если в окрестности точки х = 0 оператор У: Do —> В имеет непрерывную производную Фреше У и 7^(0) = ^'(О) — 0.
Пример 1. Установим условия устойчивости уравнения
i(£) + т(() = pln(l + |i(£/2) + т((/2) + т(0)е~‘|) + 7?(t), t 0. (6)
Положим £qx = х + х, В = Loq. Тогда, обозначив z = х + х, уравнение (6) сведем к уравнению
z(t) = vln( 1 + |z(i/2) + ае“‘|) + y(t), t 0,
для нахождения z. К полученному уравнению применим принцип Банаха о сжимающих отображениях, если ЦрЦя» < 1. Поэтому уравнение (6) локально Do-устойчиво в окрестности тривиального решения при ||p||r" < 1. Отсюда, в частности, следует устойчивость по Ляпунову всех решений уравнения (6), если ||i/||r« < 1.
Пример 2. Рассмотрим скалярное уравнение (ср. [44,28,29,46])
' x(t) + p0(t}x[h0(t)] = p(t)i2[/ii(t)] + q(t)i[A2(t)]a:[/i3(t)] +
<	+r(t)x2[hi(t)] + r){t), t^0, (7)
rr(£) = у>(£), ±(£)=^(£), если e<0.
Здесь функции po,p,q,r,y: [0, oo) —» R измеримы и ограничены в существенном на [0, оо); при всех к = 0, ...,4 функции hk'. [0,оо) —> R измеримы, причем существуют <5 > 0, Ь > 0 такие, что t — 6 h к (б) t при всех к = 0,..., 4, t 6 [6, оо);
vraiinfpoW > 0, vraisupp0(£) < 3/(26);	(8)
с^ь
начальные функции <д, 1р: [—6,0) —> R измеримы и ограничены в существенном на [—6,0).
Положим £qx = х+(3х, (3 > 0, В = L^, 0 < 7 < /3. В силу теоремы 4 уравнение (7) локально Do-устойчиво в окрестности тривиального решения. Отсюда также следует экспоненциальная устойчивость по Ляпунову и экспоненциальная устойчивость по начальным функциям
и ф такого решения, т. е. при некотором М > 0 и достаточно малых |а| справедливо неравенство
|x(t)|	+ IIV’IIl»[—5,о))2 + |а|), t > О,
где
kllLoe[-5,0) d= vraisup	|MIlto[-5,o) =f vraisup|V>(t)l-
te[-<5,o)	te[-5,o)
Замечание 2. Первый признак вида (8) устойчивости нулевого решения уравнения (4) с переменным запаздыванием опубликован в статье А. Д. Мышкиса [30], где был получен следующий результат: если
inf p(t) > 0, a supp(t) sup(i — /i(i)) < 3/2 (^ 3/2),
t^o оо
то тривиальное решение уравнения (4) асимптотически устойчиво (соответственно, устойчиво по Ляпунову). В дальнейшем в монографиях [31, гл. IV, §21; 32, гл. VI, §38] этот признак был распространен на уравнения вида (5). В той же работе [30] (см. также [31, гл. IV, §21; 32, гл. VI, § 38]) были построены примеры, показывающие точность константы 3/2.
В статьях В. В. Малыгиной (см., например, [33]) эти результаты были использованы для дальнейшего исследования уравнения (5), причем устойчивость была сформулирована в терминах функции Коши; интересно, что оценка 3/2 при этом сохранилась. В частности, в работе [33] для линейного дифференциального уравнения с несколькими сосредоточенными запаздываниями была построена достаточная область Т> устойчивости (см. приложение 1) для параметров уравнения. В случае попадания параметров уравнения в эту область функция Коши уравнения имеет экспоненциальную оценку с отрицательным показателем, т. е. нулевое решение данного уравнения равномерно экспоненциально устойчиво.
Следствие 2. Рассмотрим нестационарное уравнение Хатчинсона-Райта (см., например, [48,34])
Г i(t) = -ро(t)х[/г0(t)](1 + x[hi (£)]) + 7?(t), t 0,
( x(£) = <^(£), если £ < 0.
Здесь функции po, 7], ho, hi, <p — такие же, как в примере 2.
Тогда при Do =f + /3, LJo), 0 < 7 < /?, это уравнение локально Do-устойчиво в окрестности нулевого решения. Тривиальное решение этого уравнения также экспоненциально устойчиво по начальной функции и начальному условию а.
Заметим, что в статье [48] при /io(t) = t— 1, hi(t) = t и непрерывной начальной функции (р, удовлетворяющей условию стыковки у>(0) = г(0), получен аналогичный признак, гарантирующий равномерную асимптотическую устойчивость нулевого решения нестационарного уравнения Хатчинсона-Райта.
Пример 3. Рассмотрим скалярное уравнение с «максимумами» [35,49,19]
i(t) +	= <?( vraisup rr(s)) + r/(i), t 0,
<	V»G[hi(t),t] 7	(9)
„ x(£) = </?(£), если £ < 0.
Здесь функции po, rj, ho, hi, p — такие же, как в примере 2, <?(•) — непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности нуля, причем <?(0) = д'(О) = 0.
Положим ZLqt = х+(3х, (3 > 0, В = L^, 0 < 7 < (3. Тогда в силу теоремы 4 уравнение (9) локально Do-устойчиво в окрестности нулевого решения. Тривиальное решение этого уравнения также экспоненциально устойчиво по начальной функции р и начальному условию а.
Следствие 3. Рассмотрим стационарное уравнение с максимумами [35,49,19]
i(t) +px(t) — —qvraisupx(s) + q(t), t 0, sG[f—5,t]
x(£) = <д(£), если £ < 0.
(Ю)
Пусть 0 < 7 < р — |q|, m. е. р > |q| > 0, тогда при CqX = х + рх, В = это уравнение локально Do-устойчиво в окрестности нулевого решения. Тривиальное решение уравнения (10) также экспоненциально устойчиво по начальной функции и начальному условию а.
Заметим, что в работе [35] показано, что прир > |q| > 0 тривиальное решение уравнения (10) экспоненциально устойчиво по непрерывной начальной функции <д.
М. Б. Ермолаев усилил результат: пусть (р<5, q<5) G Т>, где область Т> описана в приложении 1, тогда при 0 < 7 < 70 для некоторого 0 < 70 р нулевое решение уравнения (10) локально Do-устойчиво. Отсюда, в частности, следует экспоненциальная устойчивость тривиального решения этого уравнения по начальной функции р и начальному условию а.
В монографии Д. Д. Байнова и X. Д. Вулова [49] была найдена другая, более широкая область экспоненциальной устойчивости нулевого решения уравнения (10) по непрерывной начальной функции (см. приложение 1).
Пример 4. Рассмотрим скалярное уравнение с авторегулируе-мым запаздыванием (запаздыванием, зависящим от неизвестной функции, решения) [50-52,37]
i(t) + px(t) = —qx[h(t, x(i))] + 7/(t), t > 0, г(£) = <p(£), если £ < 0.
(И)
Здесь функция h: [0, 00) x R —» R удовлетворяет условию Каратеодори, функция г) 6 Lqo, начальная функция р: [—<5,0) —» R непрерывна.
Пусть выполнены условия: существуют 5,kj,k2 > 0 такие, что 0 t — Л-(t, х)	ё при всех t 0, i € R,
,х) — /i(t2,т)|	|tj — i2| при почти всех tj,t2 G [0,6]
и всех |ат| С <5,
|/i(t,Ti) — h(t,х2)| С А?2|ж1 — Z2I при почти всех t 0 и всех |ti| ё.
Положим С^х = х + /Зх, /3 тах{р,0}, В = L^, О < 7 < Д. При условиях р = 0, 0 < q < 3/(26) или 0 < |q| < р М. Б. Ермолаев показал, что уравнение (11) локально Do-устойчиво в окрестности нулевого решения. Из этих результатов следует экспоненциальная устойчивость тривиального решения этого уравнения по непрерывной начальной функции <р и по начальному условию а.
Аналогичные результаты были получены К. JI. Куком [50], Дж. А. Йорком [51] и Т. Йонеямой [52]: если функция h: [0, 00) х R —> R непрерывна по совокупности переменных, найдется ё > 0 такое, что 0
t — A(t, .т) ё при всех t 0, х S R, начальная функция (р: [—6,0) —» —» R непрерывна, то при р = 0, 0 < q < 3/(26), з:(0) = у(0) тривиальное решение этого уравнения асимптотически устойчиво по начальной функции <р.
М. Б. Ермолаев усилил результат: пусть (рб, g6) G Т>, где область Т> описана в приложении 1, тогда при 0 < 7 < 70 для некоторого 0 < < 7о /3 уравнение (11) локально Do-устойчиво в окрестности нулевого решения. Отсюда, в частности, следует экспоненциальная устойчивость тривиального решения этого уравнения по непрерывной начальной функции ip и начальному условию а.
Обозначим £ix d= F'(x0)x, 3F\X =f 3Fx — Сух. Тогда уравнение Сх = = 3Fx + г) можно записать в виде
(£ — £1)2: = J\x + р и в качестве линейного приближения можно брать уравнение (£ — — £j)x = z.
Рассмотрим два примера применения этой схемы.
Пример 5. Рассмотрим скалярное уравнение
Г i(t) = f(x[t —19], i[i -т]) + r?(t), t>0, l a:(£) = i(£) — 0 ПРИ £ < 0.
Здесь 19, т — положительные постоянные, функция f непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности нуля пространства R2, причем /(0,0) ’ 0. Обозначим /i(t) = t — 19, p(t) = t — т, Сх = x, 3Fx = =Mf(xh,xg),p--= —fu(O,O),q = Л(0,0), гдеЛ/}(1/, z) d= f(y, 2), fu(u,v) =f def df(u,v)	j. ,	, def	df(u,v)	D	r
= Эи ,	Jv{u,v) = 'qv 	Выберем модельное	уравнение C§x	=
= x + x = 2 и пространство В = Loo. В указанных предположениях оператор Немыцкого Л/} действует из некоторого шара с центром в нуле пространства Lqo X в пространство Loo и непрерывно
дифференцируем в этом шаре. Тогда оператор J- действует из некоторого шара с центром в нуле пространства Do =f D(^ + l,Loo) в пространство Lm и непрерывно дифференцируем в этом шаре, причем С}Х = ^'(О)! = —рхь + qig- Уравнение (12) можно записать в виде (£ — £1)2: = J~\X + г), где (£ —£i)x = x — qx.g+pxh, J\x = (Fx — £,\x.
В силу результатов С. А. Гусаренко [38-40] достаточным условием Do-устойчивости линейного уравнения (£ — £1)2: = z является выполнение неравенств: |q| < 1, р > 0 и
(1 - 9)1?^ + (<7 - 1)/е| + p\q\r < 1 - 3|q| + q2.
Тогда в этих предположениях из теоремы 4 следует локальная Do-устойчивость уравнения (£ — £1)2: = 3F\x (и уравнения (12)) в окрестности тривиального решения.
Пример 6. Рассмотрим систему уравнений модели «хищник-жертва», учитывающей внутривидовую борьбу в популяциях [41]:
M(i)= ^1 + ^
' N2(t) = (-£2 + [ dsK2(t - s) - (32N2(t)\N2(t), t>0,
. M(e) = Ш ад = ад если e < o.
(13)
Здесь Ni и N2 — численности жертв и хищников соответственно; константы Ei, £2, Ti, т2, (3i, (32 положительны; N^: [—Тг,0] —> [0,оо), N2: [—7*1,0] —> [0, 00) — кусочно-непрерывные функции; Ki: [0,ri] —> —> R, К2: [0,Т2] —> R — неубывающие ограниченные функции. Обозначим ki = /<i(ti) — (0), к2 = К2(т2) - К2(0).
Найдем условия устойчивости нетривиального положения равновесия
ууО _ £102 + ^2^1	дгО _ £1^2 ~ £2(31
(3i(32 + к^к2 2	(3i(32 + к±к2
при Ni(£) = N®, ЛГг(£) = N2 - Заметим, что N® > 0 при £\к2 > £2(3i. Будем предполагать выполненным это неравенство. Введя новые функции X1(t) = N^t) - N°, х2(t) = №(t) - N°, <ДХ(£) = M(0 - АГ?, <дг(^) = А(г(£) — N®, получим систему уравнений относительно вектор-функции х d= col{27, х2}, которую можно записать в виде матричного уравнения (£г:)(£) = (7rx)(t) + 7/(i), t 0. Определим модельное уравнение
rr.TWH d= (4- f71 0 W- (Z1(^
' 0 А 1	\-T2(t)J \0 72/ \^2(t)J	V2(t)/’
где 7i = (3iNi, 72 = faNz, и пространство Do =f D(£o,L2c) при 0 < 7 < min{7i,72}. Оператор Т непрерывно действует из прост-
ранства Do в пространство L^. Более того, оператор У'. Do —> непрерывно дифференцируем по Фреше в любой точке х € Do и ^(0) = = ^'(0) = 0. В статьях [28,29] показано, что условие Do-устойчивости линейного уравнения Сх = f имеет вид:	<71—7,	< 72 — 7-
Тогда из теоремы 4 следует, что уравнение Сх = Ух 4- т/ локально
Do-устойчиво в окрестности тривиального решения. Поэтому система (13) локально D(£q, Ь^Д-устойчива в окрестности положения равновесия Ni = 7V°, Л^> = при ki < Pi, к>2 < /32 и 0 < 7 < min{(/3i — -^)/М0,(/з2-^)М}-
В статье [41] условие асимптотической устойчивости по начальным функциям нетривиального положения равновесия {^,	} уравне-
ния (13) имеет вид N°ki 4- N°k2 < 2 min{^/?i, Это условие совпадает с полученными нами условиями в отдельных случаях. В об-
щем случае условия пересекаются, но не совпадают.
В заключение заметим, что изложенная теория устойчивости является разделом теории краевых задач
Lx = Ух 4-т/, tx = фх
(14)
для АФДУ, определенных в пространстве Do, изоморфном прямому произведению банахова пространства В и конечномерного пространства Rn. Здесь £: Do —> В, £: Do —> Rn — линейные и У'. Do —> В, ф'. Do —> Rn — нелинейные операторы, причем 7^(0) = 0, ф(0) = 0.
Локальная Do-устойчивость краевой задачи (14) в окрестности тривиального решения — это корректная разрешимость такой краевой задачи (в случае 1х = т(0), ф = 0 — задачи Коши). В пространствах функций, определенных на полуоси [0, оо), теория АФДУ позволяет рассматривать задачи с различными функционалами и ф. Например, задачи о стабилизации решений на бесконечности сводятся к вопросу о разрешимости соответствующей краевой задачи.
Приложение. Построение области Т> равномерной экспоненциальной устойчивости уравнения (см. [33])
'	m
i(i) 4- px(t) = -	4kx[h.i(t)], t 0,
л г=1
. z(£) = если £ < 0.
Здесь при i = 1, ...,тп функции hi'. [0,00) —> R измеримы, причем t — 6 hi(t) t при всех t 0 для некоторого 6 > 0.
Введем обозначения С, — рб, fl = q6, q = qi, p} = /	если $ > ехр(-<^’
’	( Ф*:(С $), если ак ехр(-С) < Р < at-i ехр(-£), к = 2, 3,...,
где
, q. Г (Ж)2 - (1+ Ж)^/Сехр(-С/0ехр(-0), если <	0,
Ф'(УН 1/2-0,	если с = 0)
к
Фь(С, 0) = (-M)fc+1 + (1 + -19/C) £(-Wu(«P - у) exp(C(j - tp)), j=i
at — наименьший корень многочлена Нк(у) = 1 + 22^=1( —1)J *(у(А: + + 1 — J)J, uy — решение задачи Коши
(	= — yu(t — 1), i 0,
( u(£) = 0, если £ < 0, u(0) = 1, ty — первый нуль функции uy.
Известно [33], что последовательность {а*,} монотонно убывает и сходится:
lim ajt - inf а*, = 1/e. к—»oo	к
Т> — это неограниченная, односвязная открытая область, содержащая полуось Q > 0, граница которой составлена из кривой Ф(£,т9) = —1 при 19	1 и биссектрисы fl = — Q при 19 < 1. Заметим, что при 19 >
> ехр(—£) уравнение Ф1(£,19) = —1 определяет однозначную, непрерывную и монотонно возрастающую функцию 19 = </>i(C), которая при £ —> оо имеет асимптоту 19 - С- Уравнения Фк(С, 19) = —1 при k = = 2, 3,... определяют в областях а.к ехр(—<() < 19 < а^_1 ехр(—£) однозначные, непрерывные и монотонно возрастающие функции 19 = фк(£)-При этом кривые 19 = фк(С), 19 = фк-1(£) имеют общую точку, лежащую на кривой 19 = afc_iexp(—0. Обозначим через Мк(Ск,^к) точку пересечения кривых 19 = фк(,С), & = о.к ехр(—£). В статье [33] показано, что последовательность {АД} сходится к точке Мо(—1,1).
Д. Д. Байнову и X. Д. Вулову удалось найти область Т>1 равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (10), которая существенно шире области Т> (см., например, [49]). T>i — это неограниченная, односвязная открытая область, содержащая полуоси С > 0 и 19 > 0, граница которой составлена из кривой 19 = ехр[—(1 + С)] при Q — 1 и биссектрисы 19 = — Q при Q > — 1.
Список литературы
1.	Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280 с.
2.	Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Методы современной теории линейных функционально-дифференциальных уравнений. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 300 с.
3.	Крейн М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1964. - 187 с.
4.	Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970. — 536 с.
5.	Барба-шин Е. А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 224 с.
6.	Массера X. Л., Шеффер X. X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. — М.: Мир, 1970. — 456 с.
7.	Азбелев Н. В., Березанский Л. М. Устойчивость линейных систем с последействием // Успехи мат. наук. — 1986. — Т. 41, вып. 4 (250). — С. 166.
8.	Азбелев Н. В. Устойчивость линейных систем с последействием // Вопросы качественной теории дифференц. уравнений: Сб. науч. тр. — Новосибирск: Наука, 1988. — С. 65-72.
9.	Азбелев Н. В., Березанский Л. М. Устойчивость решений уравнений с последействием // Функционально-дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. — Пермь: Перм. политехи, ин-т, 1989. — С. 3-15.
10.	Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Чистяков А. В. К вопросу об изучении асимптотических свойств уравнений с последействием // Применение новых методов анализа к дифференц. уравнениям: Межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 1989. — С. 5-10.
11.	Азбелев Н. В. Пермский семинар и функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь: Перм. политехи, ин-т, 1990. — С. 3-18.
12.	Азбелев Н. В. О роли некоторых традиций в развитии учения о дифференциальных уравнениях // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь: Перм. политехи, ин-т, 1991. — С. 3-10.
13.	Азбелев И. В., Березанский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. I // Дифференц. уравнения. - 1987. - 1’. 23, №5. - С. 745-754.
14.	Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Симонов II. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. II // Дифференц. уравнения. — 1991. — Т. 27, №4. — С. 555-562.
15.	Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. III // Дифференц. уравнения. - 1991. — Т. 27, № 10. — С. 1659-1668.
16.	Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. IV // Дифференц. уравнения. - 1993. - Т. 29, № 2. - С. 196-204.
17.	Азбелев Н. В. Проблемы и перспективы Пермского семинара по теории функционально-дифференциальных уравнений. I // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь: Перм. политехи. ин-т, НВП «Прогноз», 1992. — С. 3-14.
18.	Азбелев II. В. Современное состояние и тенденции развития теории функционально-дифференциальных уравнений // Язв. вузов. Математика. - 1994. - №6(385). — С. 8-19.
19.	Азбелев Н. В., Ермолаев М. Б., Симонов П. М. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению // Изв. вузов. Математика. — 1995. — № 10 (401). — С. 3-9.
20.	Азбелев Н. В., Симонов И. М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. — 1997. — №6 (421). — С. 3-16.
21.	Харгелия О. Р. Об асимптотическом поведении решений уравнения i(t) — p(t')x(Ot) = /(Z) // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференц. уравнения (спец, выпуск). — 1997. — №4. — С. 149-153.
22.	Курбатов В. Г. О разрешимости относительно производной устойчивого функционально-дифференциального уравнения // Укр. мат. журн. —
1982. - Т. 34, № 1. — С. 103-106.
23.	Курбатов В. Г. О сведении устойчивого уравнения нейтрального типа к уравнению запаздывающего типа // Сиб. мат. журн. — 1983. — Т. 24, №4. — С. 209-212.
24.	Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. — Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1990. — 168 с.
25.	Чистяков А. В. К вопросу об устойчивости уравнения нейтрального типа // Функционально-дифференц. уравнения и их прил. — Махачкала: РИО Даг. гос. ун-та, 1988. — С. 237.
26.	Симонов П. М., Чистяков А. В. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем // Изв. вузов. Математика. — 1997. - №6(421). — С. 37-49.
27.	Азбелев Н. В., Симонов П. М. Исследование устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений с последействием по линейному приближению // Некоторые проблемы фундаментальной и прикл. математики: Сб. науч. тр. — М.: Моск, физ.-техн. ин-т, 1998. — С. 4-14.
28.	Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость и асимптотическое поведение решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Нелинейный анализ и его прил. — М.: ЦИУНД при ИМАШ РАН, 1999. - С. 658-673.
29.	Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II // Изв. вузов. Математика. — 2000. — № 4 (455). — С. 3-13.
30.	Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка устойчивого типа с запаздывающим аргументом // Мат. сб. — 1951. — Т. 28 (70), вып. 3. — С. 641-658.
31.	Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.-Л.: Гостехтеориздат, 1951. — 256 с.
32.	Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — 2-е изд., перераб. и расшир. — М.: Наука, 1972. — 352 с.
33.	Малыгина В. В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. — 1993. - №5 (372). - С. 72-85.
34.	Азбелев Н. В., Малыгина В. В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. — 1994. - №6 (385). - С. 20-27.
35.	Набиев Г. М. Некоторые вопросы теории устойчивости решений дифференциальных уравнений с максимумами. I // Докл. АН АзССР. — 1984. — Т. 40, №8. — С. 14-19.
36.	Азбелев Н. В., Ермолаев М. Б., Малыгина В. В. Устойчивость одного класса существенно нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, вып. 4 (298). — С. 94.
37.	Ермолаев М. Б. Об устойчивости уравнений с запаздыванием, зависящим от неизвестной функции // Изв. вузов. Математика. — 1994. — №6(385). - С. 60-63.
38.	Гусаренко С. А. Признаки разрешимости задач о накоплении возмущений для функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь: Перм. политехи. ин-т, 1987. — С. 30-40.
39.	Гусаренко С. А., Домошницкий А. И. Об асимптотических и осцилляци-онных свойствах линейных скалярных функционально-дифференциаль
ных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, №12. - С. 2090-2103.
40.	Гусаренко С. А. Об ограниченности оператора Коши // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. — Пермь: Перм. политехи. ин-т, НВП «Прогноз», 1992. — С. 111-122.
41.	Дроздов А. Д., Колмановский В. Б., Триджанте Д. Об устойчивости системы хищник-жертва // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 11. — С. 57-64.
42.	Azbelev N. К, Maksimov V. Р., Rakhmatullina L. F. Introduction to the theory of linear functional differential equations. — Atlanta: World Federation Publishers Company, 1995. — 172 p.
43.	Azbelev N. V., Rakhmatullina L. F. Theory of linear abstract functional differential equations and applications // Memoirs on Different. Equat. and Math. Physics. — Tbilisi: Publishing House GCL — 1996. — V. 8. — P. 1-102.
44.	Azbelev N. V. Stability and asymptotic behavior of solutions of equations with delay // Mathematics. Statistica. Informatica. — 1996. — №4. — P. 15-31.
45.	Azbelev N. V., Rakhmatullina L. F. Stability of solutions of the equations with aftereffect // Functional Different. Equat. — 1998. — V. 5, № 1-2. — P. 39-55.
46.	Azbelev N. V. Stability and asymptotic behavior of solutions of equations with aftereffect // Volterra Equat. and Appl. — London: Gordon and Breach Science Publishers, 2000. — P. 27-38.
47.	Kurbatov V. G. Functional differential operators and equations. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. — 433 p.
48.	Sugie J. On the stability for a population growth equation with time delay // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. — 1992. — № 120. — P. 179-184.
49.	Bainov D. D., Voulov H. D. Differential equations with maximum: stability of solutions. — Sofia: Impulse “M”, 1992. — 101 p.
50.	Cooke K. L. Asymptotic theory for the delay-differential equation u'(t) = — au(t — r(u(t))) // J. Math. Anal, and Appl. — 1967. — V. 19. — P. 160-179.
51.	Yorke J. A. Asymptotic stability for one dimensional differential-delay equations // J. Different. Equat. — 1970. — V. 7, № 1. — P. 189-202.
52.	Yoneyama T. On the 3/2 stability theorem for one dimensional delaydifferential equations // J. Math. Anal, and Appl. — 1987. — V. 125, № 1. — P. 161-173.
О ПОНЯТИИ ПРИВОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ю. В. Непомнящих
Введение
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение (ФДУ)
Сх = Fx,	(1)
где £ — линейный, a F — вообще говоря, нелинейный операторы, действующие из пространства Dn абсолютно непрерывных в пространство Ln суммируемых функций, определенных на [a, i>] со значениями в Rn.
ФДУ вида (1) является весьма общим объектом, и изучать такое уравнение можно лишь при определенных ограничениях на операторы С и F. Тем не менее примечательно, что внешне различные ФДУ могут иметь одинаковое множество решений. Путем преобразований, сохраняющих множество решений, можно переходить от одного уравнения к эквивалентному, но более удобному для исследований. Как правило, этот путь преобразований достаточно труден, требует решения сложных вспомогательных уравнений, а иногда вообще неясно, как преобразовывать уравнение. Однако на практике для достижения цели достаточно бывает лишь установить факт эквивалентности исследуемого уравнения более простому, другими словами, факт «приводимости» уравнения к более простому виду.
Итак, доказательство теоретической возможности приводимости уравнения к простому виду и исследование этого вспомогательного уравнения методами линейного и нелинейного функционального анализа и теории ФДУ — вот основная идея теории приводимости. При этом наиболее хорошо изученным классом уравнений вида (1) является класс уравнений с вполне непрерывным оператором F. Именно это свойство типично для обыкновенных дифференциальных уравнений с линейным обыкновенным дифференциальным оператором £ и локальным оператором (оператором Немыцкого) F, который при естественных предположениях вполне непрерывен (сокр. в. н.) как оператор из Dn в L”. Свойство полной непрерывности оператора позволяет продуктивно использовать для исследования разрешимости уравнений различные принципы неподвижных точек, вытекающие из принципа Шаудера или основанные на методе монотонных операторов. Итак, под приводимостью уравнения (1) мы понимаем его
эквивалентность уравнению
Сх — Fox
с вполне непрерывным оператором Fq.
Основы теории приводимости были созданы в работах Н. В. Азбеле-ва, В. П. Максимова и других (см. [2,3,9-11] и библиографию в них). Изложению основ теории приводимости посвящена гл. 7 монографии [1].
Уже при создании теории приводимости возникла гипотеза, что свойство приводимости не зависит от внешнего объекта (уравнения), а является исключительно свойством множества решений. Эта гипотеза нашла подтверждение в работе Н. В. Азбелева, В. П. Максимова, С. П. Худякова [3], где выяснено, что для линейных уравнений приводимость эквивалентна конечномерной параметризации множества решений, азатем в нелинейном случае в работе С. А. Гусаренко [6], где показано, что приводимость эквивалентна локальной компактности множества решений.
Таким образом, к настоящему времени стала настоятельной необходимость систематизации, сравнения различных определений приводимости, обзора известных фактов о приводимости, в частности, изучения инвариантности свойства приводимости уравнения (1) при варьировании операторов £, F.
В целом, теория приводимости включает, на наш взгляд, следующие основные составляющие.
1.	Сущность понятия приводимости, природа приводимости.
2.	Признаки приводимости:
а)	в терминах множества решений;
Ь)	в терминах свойств операторов, входящих в уравнение;
с)	в терминах однозначно разрешимых вспомогательных краевых задач (абстрактные схемы приводимости).
3.	Конкретные виды приводимости (линейная, вольтеррова, каноническая приводимость и др.)- Их признаки.
4.	Применение теории приводимости к исследованию разрешимости краевых задач для ФДУ методом априорных неравенств.
Далее мы подробнее остановимся лишь на вопросах, касающихся понятия приводимости, и сформулируем несколько признаков приводимости в терминах множества решений и операторов.
§ 1. Известные определения, факты
Все банаховы пространства предполагаем вещественными.
Определение 1. Множество ЯЛ банахова пространства X называется локально предкомпактным, если пересечение любого шара (что эквивалентно, любого ограниченного множества) пространства X с множеством ЯЛ относительно компактно в X.
Множество ЯЛ банахова пространства X называется локально компактным, если оно локально предкомпактно и замкнуто.
Очевидно, множество ЯЛ С X локально компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и его каждое замкнутое ограниченное подмножество компактно.
Теорема 1 [8, с. 25]. Для того чтобы замкнутый оператор А был п-нормалъным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого компактного множества из А(Х) был локально компактным.
Теорема 2. (о продолжении в. н. оператора [7, с. 123]). Пусть на непустом замкнутом множестве 9JI банахова пространства X задан непрерывный {вообще говоря, нелинейный) в. н. оператор F со значениями в банаховом пространстве Y. Тогда F можно продолжить до определенного на всем пространстве X в. н. оператора F со значениями в замкнутой выпуклой оболочке со F (ДУГ) множества значений F(3R) оператора F.
Кратко опишем изоморфизм банаховых пространств В х Rn —> D, существенно используемый в концепции абстрактного ФДУ [1, гл. 6]; [4,5].
Пусть D, В — банаховы пространства. На прямом произведении банаховых пространств В х Rn норму определим равенством 11{гЛ1!в xR" = ||г||в + |/3| (здесь и далее | • | означает любую из эквивалентных норм в R”). Любому линейному оператору J: В х Rn —» D соответствует пара операторов Л: В —> D, Y: Rn —» D, так что
{A,Y}(z,0) = Az + Y0, z G В, /3 g Rn. (1.1)
При этом конечномерный оператор естественно отождествить с однозначно определяемым (при фиксированном базисе в R”) вектором {yi, • • •,Уп}, Уг € D, i — 1,..., п, таким, что
п
Y0 = ^0lyi, /3 = со1{/31,...,/3п}.
г=1
Линейный оператор, действующий из пространства D в пространство В х Rn однозначно определяется парой линейных операторов <5: D —> В и г: D -> Rn, так что
[<5, г]г = {<5гг, гт}, х G D.
Далее предположим, что операторы J = {Л, У}: В х Rn —» D и [<5,г]: D — В х R” являются взаимно обратными (т.е. J 1 = [<5,г]). Очевидны следующие равенства:
х = А5х + Угх,	х € D,
<5(Az + У/3) = z, r(Az + Y0) = /3, {z, в} G В х Rn, иначе говоря,
Л<5 + У г = 1ц,	<5Л = /ц,	<5У = ©в, гЛ — ©дп,	г У =
(здесь и далее I, © означают соответственно единичный и нулевой оператор, часто с указанием для удобства в качестве нижнего индекса пространства, в котором действует оператор).
Очевидно, D представимо в виде прямой суммы замкнутых подпространств Л(В) и Y(Rn) (т. е. D = Л(В) ф Y(Rn)).
Классическим и одним из самых распространенных в теории ФДУ является изоморфизм J = {Л,У}: L” х Rn D” (1 р оо), где Lp — банахово пространство (классов эквивалентных) суммируемых с р-й степенью функций (при 1 р < оо) или существенно ограниченных функций (при р = оо) из [а, Ь] (или из [а, оо)) в Rn с естественной нормой, Dp — банахово пространство абсолютно непрерывных функций х из [a, i>] (или из [а, оо)) в Rn с производной х из Lp, с нормой
II^IId" = ||i||L? + Ж|.	(1.2)
В этом случае операторы Л, У, <5, г определяются соответственно равенствами
t
(Az)(t) = У z(s) ds, z G L;,	У/3 = /3, /3 G Rn,
a
(<5x)(t) = i(t),	= i(0), x G Dp.
Указанный оператор J — далеко не единственный пример оператора, определяющего изоморфизм L£ х Rn —> Dp. Изоморфизм пространств Lp х Rn и Dp можно определить с помощью любой однозначно разрешимой краевой задачи
Сх = /, 1х = а,	(1.3)
где £: D£ —> L” — линейный ограниченный оператор, а £: D" —> Rn — линейный ограниченный вектор-функционал. Этой задаче соответствует изоморфизм J •.= {G, У}, где G: L£ —> Lp — оператор Грина краевой задачи (1.3), а конечномерный оператор У: Rn —» L” определяется равенством (y/3)(t) = C7(t)/3, где U(t) — фундаментальная матрица уравнения £х = ©. Очевидно, соответствующая этому изоморфизму норма в пространстве Dp, эквивалентная норме (1.2), определяется равенством
IHId; = ||Гге||ь- + |&г|.
Для более детального знакомства с методом функции Грина исследования краевых задач для ФДУ, теорией регуляризации линейных краевых задач и W-методом, которые опираются на описанную идею изоморфизма, отсылаем читателя к главам 3-5 монографии [1] (см. также [4,5]).
Здесь лишь отметим, что при исследовании ФДУ роль пространства d; ~ l^ х Rn весьма ограничительна, и возникает потребность в привлечении других пространств, в частности, пространств абсолютно непрерывных функций с производной из пространства OpличaB:=L^^f. При этом в рамках абстрактной схемы используется изоморфизм Пдг ~ Lp х Rn.
Многие другие примеры изоморфизмов D В х R71 дают различные классы сингулярных ФДУ. В простейшем случае в качестве В выступают различные пространства суммируемых с весом функций, в более сложных ситуациях в определении изоморфизма используются различные линейные сингулярные операторы £ и различные типы краевых условий (см., например, работы Н. В. Азбелева, М.Ж.Алве-ша, Е. И. Бравого, А. И. Шиндяпина и библиографию в них).
§ 2. Определение приводимости как свойства локальной компактности множества решений
Всюду далее предполагаем, что D, В — банаховы пространства, £: D —> В — линейный ограниченный оператор, если явно не оговорено противное.
Прежде всего изучим свойство локальной компактности множества ЯЛ в банаховом пространстве D. Как результат мы установим, что внешне различные (а фактически равносильные) определения приводимости означают локальную компактность множества решений. Метод построения операторов в доказательстве результатов, основанный на теореме о в. н. продолжении оператора (теорема 2), заимствован из работы [6]. В доказательствах используем также теорему 1.
Теорема 2.1. Для того чтобы линейный ограниченный оператор £: D —» В был п-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы для любого в. н. оператора F: D —» В множество решений уравнения
£х = Fx, х € D,	(2.1)
было локально компактным.
Следствие 2.1. Пусть J {А, У}: В х Rn —» D — некоторый изоморфизм, определяемый равенством (2.1). Для того чтобы главная часть Q := £А линейного ограниченного оператора £: D —> В была п-нормалъным оператором, необходимо и достаточно, чтобы для любого в. н. оператора F: D —> В множество решений уравнения (2.1) было локально компактным.
Теорема 2.2. Для множества ЯЛ С D следующие утверждения (а), (6), (с) эквивалентны:
(а)	множество ЯЛ локально компактно;
(6)	существует банахово пространство В, линейный ограниченный п-нормальный оператор £: D —> В и в. н. оператор F: D —» В такие, что ЯЛ есть множество решений уравнения (2.1);
(с)	для любого банахова пространства Bi и любого линейного ограниченного п-нормального оператора Су : D —» Bi существует в. н. оператор Fi: D —» Bi такой, что ЯЛ есть множество решений уравнения
£ix = Fix, х G D.	(2.2)
Теорема 2.2 подводит к следующему определению приводимости ФДУ.
Определение 2.1. Пусть D, В — банаховы пространства, £: D —> В — линейный ограниченный n-нормальный оператор, F: D —» —> В — некоторый (вообще говоря, нелинейный) оператор, Ф: D —> 2е — многозначный оператор с непустыми значениями.
Уравнение (2.1)
£х = Fx, х 6 D,
или включение
£х Е Фт, х Е D,	(2-3)
называется приводимым, если его множество решений локально компактно.
Из теорем 2.1, 2.2 непосредственно вытекает следующая
Теорема 2.3. Следующие утверждения (а), (6), (с), (</), (е) для включения (2.3) (о частности, для уравнения (2.1)) с линейным ограниченным п-нормалъным оператором £: D —> В эквивалентны:
(а)	включение (2.3) приводимо-,
(6)	существует в. н. оператор Fq: D —> В такой, что множество решений включения (2.3) совпадает с множеством решений уравнения
£х = -Fo-'c, т G D;
(с)	существует в. н. оператор П: D —> D такой, что множество решений включения (2.3) совпадает с множеством решений уравнения
Пт = х, х Е D
(тп. е. с множеством неподвижных точек оператора П);
(</) существуют банахово пространство Bi, линейный ограниченный п-нормалъный оператор £\\ D —> Bj и в. н. оператор Fi: D —» Bj такие, что множество решений включения (2.3) совпадает с множеством решений уравнения (2.2);
(е) для любого банахова пространства Bi и любого линейного ограниченного п-нормалъного оператора£\\ D —> Bi существует в. н. оператор F\: D —> Bi такой, что множество решений включения (2.3) совпадает с множеством решений уравнения (2.2).
Замечание 2.1. Теорема 2.3 обобщает критерий приводимости [6]. Она также наглядно показывает, что определения приводимости из [1, с. 140] и [11, с. 92] (для случая X = X) эквивалентны. Это вытекает из эквивалентности (Ь)<=>(с). Условия (Ь), (с) теоремы 2.3 (фактически равносильные условию (е)) по форме представляют собой частный случай (е), где Bi = В, £i = £ в случае (Ь) и Bi = D, £\ = /ц в случае (с).
В частности, теорема 2.3 показывает эквивалентность исходного уравнения (2.1) (или включения (2.3)) некоторому уравнению 5х = FqX с оператором 5, соответствующем любому удобному для нас конкретному изоморфизму J-1 = [<5, У]: D —» Вх х Rn (см. § 1) и в. н. оператором Fo: D —> Вр Например, в случае D = D£ приводимость включения (2.3) равносильна существованию в. н. (однозначного) оператора Fo: D" -> L”, что множества решений (2.3) и уравнения .i = Fox в пространстве D" совпадают.
Следствие 2.2. Пусть J := {Л, У}: В х Rn —» D — некоторый изоморфизм, определяемый равенством (1.1). Уравнение (2.1) с п-нормальным оператором С: D —» В (что эквивалентно, с п-нор-малъной главной частью Q оператора С относительно некоторого изоморфизма J := {Л, У}: В х Rn —» D) и с вполне непрерывным оператором F: D —» В приводимо.
Замечание 2.2. Мы привели определение приводимости уравнения и включения только в случае n-нормального оператора С. Действительно, если £ (что равносильно, главная часть оператора £ относительно некоторого изоморфизма J := {Л, У}: В х R" —> D) не является n-нормальным оператором, то согласно теореме 2.1 обязательно существует такой в. н. оператор F: D —-> В, что уравнение (2.1) не приводимо.
В частном случае, когда оператор £ нормально разрешим, но dimker£ = оо, простым примером служит неприводимое уравнение (2.1) с нулевым оператором F. Действительно, в этом случае множество решений ЯЛ совпадает с бесконечномерным подпространством ker £. Согласно критерию конечномерности нормированного пространства (конечномерность эквивалентна относительной компактности каждого ограниченного множества) множество ПИ не является локально компактным.
В случае, когда £ не является нормально разрешимым, но кег£ = = {©}, в качестве простейшего примера рассмотрим уравнение ix = = Fx, х G D2[0,1] в пространстве С[0,1] непрерывных скалярных функций, где г: D2[0,1] —» С[0,1] — естественное в. н. вложение. Для любого замкнутого множества ЯЛ С D2[0,1] существует в. н. оператор F: D2 —> С[0,1], такой, что ЯЛ есть множество решений уравнения ix = Fx.
Замечание 2.3. Как правило, свойство приводимости нам нужно для того, чтобы установить разрешимость исходного уравнения или включения, которая заранее неизвестна. Поэтому в определении 2.1 мы априорно не предполагаем, что решение уравнения (2.1) или включения (2.3) непусто.
Рассмотрение понятия приводимости лишь на всем пространстве D сильно сузило бы круг рассматриваемых задач. Это же касается свойства n-нормальности оператора £. Дадим понятие приводимости на множестве, аналогичное [3,11], но в терминах множества решений.
Определение 2.1 bis. Пусть D, В — банаховы пространства, £: D —> В — линейный ограниченный оператор, F: D —> В — некоторый (вообще говоря, нелинейный) оператор, Ф: D —» 2е — многозначный оператор с непустыми значениями. Пусть X — некоторое банахово пространство, X с X, причем X П D / 0.
Уравнение (2.1) или включение (2.3) называется [X, Х]-приводи-мым, если его множество решений ЯЛ обладает следующим свойством: ЯЛ Г) X локально компактно в X.
[X, Х]-приводимое уравнение будем называть Х-приводимым, a [D, DJ-приводимое уравнение — приводимым. Это согласуется
с определением 2.1.
Теорема 2.3 bis. Следующие утверждения (а), (6), (с), (</) для включения (2.3) (в частности, для уравнения (2.1)) с мноэ!сеством решений ЭЛ [непустота ЭЛ не предполагается) эквивалентны:
(а)	включение (2.3) [X, Х]-приводимо;
(Ь)	существует в. н. оператор П: X —> X такой, что ОТ П X есть множество решений уравнения Пт = х (т. е. множество неподвижных точек оператора П);
(с)	существуют банахово пространство В], линейный ограниченный п-нормальный оператор С i: X —> Bi и в. н. оператор Fy: X —> Bi такие, что ОТ П X есть множество решений уравнения
С\х = F\x, х € А1;
(</) для любого банахова пространства В[ и любого линейного ограниченного п-нормалъного оператора . X —> В] существует в. н. оператор Fi: X —» В i такой, что ОТ Р X есть множество решений уравнения
С\х = F\x, х € X.
Замечание 2.4. Определение 2.1 bis эквивалентно определению из [1, с. 156]. Об этом свидетельствует теорема 2.1 bis. В [1] это определение дано для уравнения Ах = д, где д g В, A: D —» В, которое лишь формально отличается от уравнения (2.1). Действительно, уравнение Ах = д всегда можно записать в виде (2.1), где С: D —» В — некоторый линейный ограниченный n-нормальный оператор, а оператор F : D —» В определяется равенством Fx = Сх + Ах — д. Наше определение 2.1 bis удобнее тем, что оно позволяет автоматически перенести определение [X, AJ-приводимости на случай включений, записанных в естественном виде (2.3).
Замечание 2.5. Множество решений ОТ Р X включения (2.3) можно рассматривать как подмножество либо банахова пространства D, либо банахова пространства X. Заметим, что рассмотрение вспомогательного пространства А не является лишним и имеет под собой практическую основу. Действительно, установить факт [X, Aj-приводимости и исследовать эквивалентное исходному уравнение с вполне непрерывным оператором в пространстве X в конкретных ситуациях часто оказывается более удобным, чем устанавливать непосредственно приводимость или исследовать вспомогательное уравнение в исходном пространстве D.
Замечание 2.6. Важность введения понятия А-приводимости подтверждается также тем, что даже в случае в. н. вложения i: D —» А, вообще говоря, существуют A-приводимые уравнения, не являющиеся D-приводимыми и, наоборот, D-приводимые уравнения, не являющиеся A-приводимыми. Это вытекает из того, что могут существовать
множества ЗЛ1,ЙЛ2 С D, замкнутые в D и X и обладающие следующим свойством: ЗЛ) локально компактно bD, но нелокально компактно в X, а ЗЛ2 локально компактно в X, но не локально компактно в D.
Как подтверждение этого факта приведем пример в. н. вложения г: Пг[0,1] —► С[0,1]. В качестве множеств ЯЛ1, ЗЛ2, обладающих указанным выше свойством, можно взять QJij =	ОЛг = {^п}^=о,
где rrn(t) = tn, yn{t) = sin nt, n = 1,2,..., y0{t) = 0.
/	2
Действительно, легко проверить, что Ionita = V 2п — 11 0ТКУДа следует, что множество не ограничено в D2[0,1] и что в любом шаре содержится лишь конечное число элементов 9J11- Отсюда, очевидно, вытекает локальная компактность неограниченного множества OTj в D2[0,1]. С другой стороны, в пространстве С[0,1] множество 5Л] замкнуто и ограничено, но не является относительно компактным.
Множество ЗЛ2, напротив, будучи компактом в С[0,1] (в силу сходимости уп —+ уо), в пространстве Пг[0,1] является ограниченным и замкнутым, но не компактным. В последнем легко убедиться, доказав существование е > 0, что для всех достаточно больших номеров п, т имеет место ||т)п - ут ||ь2 > Е.
§ 3. Некоторые признаки приводимости
Начнем с признаков D-приводимости и Х-приводимости в случае, когда пространство X — более широкое, чем пространство D, соответствующее вложение в. н.
Теорема 3.1. Пусть J:= {Л,У}: Вх Rn —» D — некоторый изоморфизм, определяемый равенством (2.1), J-1 = [<5, г]. Пусть банахово пространство X D D таково, что естественное вложение i: D —» X в. н. Далее, пусть линейный ограниченный оператор £: D —» В {или его главная часть Q: В —» В относительно некоторого изоморфизма J := {Л, У}: В х Rn —> D) есть п-нормалъный оператор, F: D —» —> В — такой нелинейный оператор, что оператор F := Fi~l: z(D) —» —» В непрерывен. Тогда уравнение (2.1) D-приводимо.
Теорема 3.2. Пусть J:= {Л, У}: Вх R71 —» D — некоторый изоморфизм, определяемый равенством (2.1), J~1 = [<5, г]. Пусть банахово пространство X D D таково, что естественное вложение i: D —+ X в. н. Далее, пусть главная часть Q: В —> В оператора £: D —» В фредголъмова {что эквивалентно, £ нетеров, ind£ = п [1, с. 103]), a F: D —» В — такой нелинейный оператор, что оператор F := Fz-1: z(D) —» В непрерывен и ограничен. Тогда уравнение (2.1) D-приводимо и X-приводимо.
Замечание 3.1. Утверждение теоремы 3.2 доказывает факт Х-приводимости в случае, когда ФДУ не является уравнением нейтрального типа: свойство непрерывности оператора F. Теорема верна, в частности, когда оператор F: D —+ В продолжаем до непрерывного ограниченного оператора, определенного наХ. Очевидно, как частный
случай в теореме заложен признак В-приводимости, если D линейно изоморфно некоторому подпространству В и соответствующее естественное вложение в. н. Теорема 3.2 обобщает теорему 2.2 главы 2 работы [11], где рассмотрен случай J = {Л, У}: L” х Rn —» D” (1 р оо). Подробнее остановимся на этом случае как конкретизации теоремы 3.2.
Теорема 3.3. Пусть J — классический изоморфизм L” х R.” —» - о; (1 < р < оо), а Сп — банахово пространство непрерывных функций из [а, Ь] в Rn с естественной нормой.
Если главная часть Q:	—» L” линейного ограниченного опера-
тора Е: Dp —» Lp фредгольмова, а нелинейный оператор F: D” —» L” продолжаем до непрерывного и ограниченного оператора F: Сп —» L”, то квазилинейное уравнение
(£.?)(£) = (Fx)(t), t £ [а,6],	(3.1)
Сп-приводимо.
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 2.4 и полной непрерывности естественного вложения г: D” —+ Сп.
В условиях теоремы уравнение (3.1) приводимо к уравнению с в. н. оператором в пространстве Сп оператором
x(t) = 2;(а) + [ (Fox)(s)ds.	(3.2)
J а
В случае р — 1 вложение г не является компактным, поэтому для установления факта Сп приводимости в [11] применяются более тонкие методы, использующие элементы теории полуупорядоченных пространств, в частности, условие гх-ограниченности F.
На основе признаков Пп-приводимости и Сп-приводимости уравнений вида (3.1) в сочетании с методом априорных неравенств в работе [11] получены результаты о разрешимости широких классов краевых задач для ФДУ, которые ранее не поддавались исследованию другими методами.
Теорема 3.4 (признаки в терминах множества решений). Включение (2.3) (а частности, уравнение (2.1)) является [Af, X]-приводимым, если его множество решений ОТ обладает одним из следующих свойств:
(а)	ОТ Г) X конечно-,
(Ь)	ОТ Г) X компактно в X',
(с)	VJtnX допускает конечномерную параметризацию в X, т. е. оно, как подмножество X, гомеоморфно некоторому замкнутому подмножеству конечномерного евклидова пространства',
(d)	D либо X конечномерно, и ОТ Г1 X замкнуто-,
(е)	множество Г(ОТ Г) X) относительно компактно в X, где оператор Г: X —» jBj := {т £ Х| ||.т|| < 1} определяется равенством Г.т = — 1 +' ||т|| ’
Замечание 3.2. В отличие от случая линейной приводимости (когда множество ЯЛ есть аффинное многообразие), конечномерная параметризация множества ЯЛ С X в случае бесконечномерного X не эквивалентна его локальной компактности ([1,6]). Примером могут служить множества, гомеоморфные гильбертову кубу. То есть имеются приводимые нелинейные уравнения, не допускающие конечномерную параметризацию множества решений.
Заметим также, что [X, Х]-приводимость в случае конечномерности X эквивалентна замкнутости множества ЯЛ П X, в случае ограниченности ЯЛ П X — его компактности.
Определение 3.1 [12]. Функция Vs заданная на множестве всех подмножеств банахова пространства D со значениями в некотором частично упорядоченном множестве (KsJ), называется мерой неком-пактности, если \/ЯЛ С D имеет место ^(сбЯЛ) = -ф(М).
Непрерывный оператор F: D —» D называется т/’-уплотняющим (в широком смысле), если
[ЯЛ С D,A1 ограничено,	^(ЯЛ)] =►
=> [Л4 относительно компактно в X].
Теорема 3.5. Если непрерывный оператор П: D —» D является ф-уплотняющим относительно некоторой меры некомпактности ф на D (а частности, П в. н.), то уравнение
I = Пт, I G D,	(3.3)
приводимо.
Теорема 3.6 (признак приводимости в терминах итераций оператора) . Пусть оператор П: D —> D непрерывен, и выполнено одно из условий:
(а) при некотором натуральном к уравнение
I = nfcr, I g D приводимо-, (Ь) уравнение
я - П°°т, I G D
с оператором П°°: Х^° := {.т G D | 3 Нш^_1ОО Пкт} —► D, определяемым равенством П°°т = limjt-юо Пл'.т, приводимо.
Тогда уравнение (3.3) приводимо.
Список литературы
1.	Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280 с.
2.	Азбелев Н. В., Максимов В. П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 12. — С. 2027-2050.
3.	Азбелев Н. В., Максимов В. П., Худяков С. П. К вопросу о регуляризуе-мости уравнений // Краевые задачи. — Пермь, 1984. — С. 3-8.
4.	Azbelev N. И, Maksimov V. P., Rakhmatullina L. P. Introduction to the theory of linear functional differential equations. — Atlanta: World Federation Publishers Inc., 1996.
5.	Azbelev N. V., Rakhmatullina L. P. Theory of linear abstract functional differential equations and applications // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, Publishing House GCI, Tbilisi. — 1996. — V. 8. — P. 1-102.
6.	Гусаренко С. А. Критерий приводимости операторных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1993. — №5. — С. 43-45.
7.	Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. — 322 с.
8.	Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
9.	Максимов В. П. Априорные неравенства и разрешимость нелинейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1981. — Т. 17, №4. — С. 750-752.
10.	Максимов В. П. О некоторых нелинейных краевых задачах // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, №3. — С. 396-414.
11.	Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. — Пермь, 1984. - 275 с.
12.	Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Р.Р. Ахмеров, М. И. Каменский, А. С. Потапов и др. — Новосибирск: Наука, 1986. — 264 с.
УСРЕДНЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ
М. М. Хапаев
В статье изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащие возмущения, в предположении, что системы без возмущений имеют лишь устойчивое положение равновесия, асимптотическая устойчивость отсутствует. При этом от свойств возмущений зависит, будет ли устойчивой точка покоя. Такая ситуация называется «критической» или «нейтральной». Малые силы fj,R, действующие на устойчивую систему, могут или разрушить устойчивость положения равновесия, или сохранить ее, или даже вызвать асимптотическую устойчивость. Такие системы описываются с помощью обобщенного метода Ляпунова, при этом обычные требования на функции Ляпунова заменяются значительно менее ограничительными.
§ 1. Обобщенная функция Ляпунова и усреднение
Вначале рассматривается обобщение второго метода Ляпунова, ориентированное на много частотные системы и основанное на объединении второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения. Обобщение производится по двум направлениям, соответствующим двум ограничениям второго метода Ляпунова. Рассматривается система, содержащая возмущения. Предполагается, что система без возмущений имеет устойчивое положение равновесия, и известна функция Ляпунова Vq невозмущенной системы, имеющая неположительную производную. Для системы с возмущениями предполагается, что существует (или строится для конкретных систем) возмущенная (обобщенная) функция Ляпунова v = «о + и такая, что в кольцевой области, содержащей положение равновесия, возмущение за счет выбора достаточно малого возмущения и может быть сделано сколь угодно малым. Формулируются теоремы об устойчивости на бесконечном и асимптотически большом интервалах [5, 6].
1. Предметом исследования являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
= /(М) + ^R(t,z,fi)-, z = (x,y),	(1.1)
at
dim x = n, dimy = m, 0 < ц -С 1 — малый параметр. Возмущения p.R{t, z, р.) разлагаются в ряды по степеням ц. Систему (1.1) будем рассматривать в области Р:
Р = P{t^0,\\x\\ < Н,у е D],	(1.2)
D — область изменения у. Будем предполагать, что в области Р функция f(t, z) по z удовлетворяет условию Липшица с постоянной N. Пусть также /((,z) и R(t,z, у,) удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование и единственность решения задачи с начальными условиями в области Р при 0 < у С уо. Будем предполагать также, что невозмущенная система
$ = /(М)	(1.3)
at
по переменным х имеет точку покоя, т. е. fi(t, 0, у) = 0 при 1 i тг. Систему с возмущениями будем исследовать на устойчивость по переменным х в окрестности точки х = 0.
Известно [7], что при малых в некотором смысле возмущениях второй метод Ляпунова позволяет обнаруживать устойчивость точки покоя при условии, что эта точка является асимптотически устойчивым положением равновесия системы (1.3). Для таких систем справедливы теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
Доказаны теоремы [8], согласно которым, если положение равновесия асимптотически устойчиво равномерно по начальным условиям, то имеет место устойчивость при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в среднем. Доказано также, что при наложении на равномерно асимптотически устойчивую систему достаточно быстрых колебаний хотя бы и немалой амплитуды, такие колебания не могут сильно расшатать эту устойчивость. Дальнейшее ослабление ограничений на невозмущенную систему (1.3) связано с привлечением некоторой дополнительной информации о возмущениях или малых силах yR. действующих на систему.
Предположим, что точка х = 0 для невозмущенной системы (1.3) является устойчивой точкой покоя. Пусть ее устойчивость обеспечивается существованием положительно определенной и допускающей по переменным х бесконечно малый высший предел функции Ляпунова vo(t,x,y). Предположим также, что производная функция vq, вычисленная в силу уравнений (1.3), неположительна. Последнее означает, что для системы с возмущениями (1.1) имеет место «нейтральный» случай при исследовании на устойчивость.
Обобщение второго метода Ляпунова производится нами по двум направлениям: ослабляется условие положительной определенности функции Ляпунова и ослабляется требование, накладываемое на знак производной.
Для системы с возмущениями (1.1) строится возмущенная функция Ляпунова
v = vo(t,x,y) + u(t,x,y, у,е),	(1.4)
где возмущение и для малых у можно выбрать достаточно малым; положительной определенности и не требуется; е — величина окрестности точки, исследуемой на устойчивость. Таким образом, обобщается условие положительной определенности функции Ляпунова, так как в окрестности положения равновесия х = 0 функция v не является поло
жительно определенной. Продифференцируем возмущенную функцию Ляпунова v в силу уравнений системы (1.1):
dv	dv0	dv0	. dv0	_ ди	ди	. ди	„	.
dt	dt	dz dz dt	dz dz
В правой части этого выражения рассмотрим члены, содержащие R и и, выделим множитель 0(/и), зависящий от //, и введем обозначение
(1.6) uz ut uz dz
с тем, чтобы tp(t, z, 0, е) / 0. Рассмотрим интеграл
J(t0, z0, Т, /г, е) = f <^(t,z(^), МГ) dt,	(1.7)
Jt0
который вычисляется интегрированием вдоль интегральных кривых невозмущенной системы (1.3) z = z(t) с начальными условиями z(£q) = = zo, или среднее ip(to, zq, ц, е), если оно существует:
ф(10,г0,ц,е) = lim ^=J(t0,z0,T,n,E').	(1.8)
Т —>оо J
Второе условие метода Ляпунова, требующее неположительности производной функции Ляпунова, обобщается следующим образом: требуется лишь отрицательность VJ — среднего от производной обобщенной функции Ляпунова — или интеграла J.
Устойчивость, которая обеспечивается существованием возмущенной функции Ляпунова (1.4) и ограничениями на знак среднего (1.7), состоит в следующем: для всякого £ > 0 можно указать такое ту > 0 и Цо, что интегральные кривые системы (1.1), выходящие при t=0 из /и-окрестности точки х = 0 для всех t > 0, останутся в Е-окрест-ности при достаточно малых значениях параметра ц.
Следует отметить, что устойчивость, определенная выше, совпадает с устойчивостью по Ляпунову относительно переменных х, ц для расширенной системы, которая получается добавлением к системе (1.1) уравнения ц = 0. Положение равновесия, устойчивое в таком смысле, будем называть устойчивым по части переменных и параметру или (.т, ц)-устойчивым.
Весьма важным в практическом отношении является случай, когда о знаке производной возмущенной функции Ляпунова <p(t, z, ц, е), а также о знаке интеграла J или среднего тр ничего не известно. В этом случае аппарат возмущенной функции Ляпунова позволяет провести исследование на устойчивость на конечном интервале и оценить длину отрезка времени, на котором интегральные кривые не выйдут из г-окрестности.
Если отрицательность среднего от v позволяет доказать теоремы об устойчивости, то положительность среднего от производной возмущенной функции Ляпунова v делает возможным обобщение в этом тонком
случае теорем Ляпунова и Четаева о неустойчивости и представляет удобный аппарат для обнаружения резонансов в нелинейных системах.
Устойчивость положения равновесия невозмущенной системы будем описывать с помощью функции Ляпунова, определенно положительной по части переменных. Следуя работам [9], дадим определение таких функций.
Рассмотрим функцию vo(t,x,y), где х и у — векторы, dimr = п, dim у = т, в области Р = P{t 0, ||т|| < h, у G D}, имеющую непрерывные производные в области Р и удовлетворяющую условию vo(t,0,y) = 0.
Определение 2.1. Функция vo(t,x,y) допускает по переменным х бесконечно малый высший предел, если для любого 5 > 0 можно указать такое 7 > 0, что при всех
||х|| <7, t > 0, у е D
будет справедливо неравенство |vo(t,a:, у)| < <5.
Определение 2.2. Функция vo(t, х, у) называется положительно определенной по переменным х в области Р функцией, если для нее справедливо неравенство
w(r) С v0(t, х, у),	(1.9)
где w(t) — не зависящая от t и у положительно определенная функция.
При доказательстве теорем Ляпунова появляется необходимость рассматривать многообразия, определяемые уравнениями v — const. Если функция Ляпунова v зависит только от х, то в пространстве х уравнение и(х) = с определяет поверхность. В теории устойчивости принято называть многообразия и = const поверхностями уровня также и в случае неустановившихся движений, когда функция Ляпунова зависит также и от времени: и = v(t,x).
При исследовании на устойчивость по части переменных многообразие v(t, х, у) = const в пространстве переменных х становится значительно более сложным. Однако, как и в случае и = v(t, х), можно говорить о системе поверхностей уровня, зависящей от параметров t, у, или о подвижной поверхности уровня. Не отступая от традиции, в дальнейшем всюду будем называть многообразие в пространстве переменных v(t,x,y) = const поверхностью уровня.
Аналогично случаю неустановившихся движений, когда v = v(t, х), можно дать геометрическую интерпретацию поверхностей vo(t,i,y) = = с. В частности, легко установить, что для положительно определенной функции, допускающей бесконечно малый высший предел, поверхность уровня Vo(t, х,у) = с (с > 0) лежит по переменным х вне некоторой окрестности начала координат. Отметим также, что вследствие положительной определенности функции подвижные поверхности уровня Vo(t,x,y) = с лежат внутри неподвижной поверхности уровня.
Рассмотрим возмущенную функцию Ляпунова и = Vo(t, х, у)+ +u(t, х,у, р,£), где Vo(t, х, у) — определенно положительная в области Р
функция Ляпунова системы (1.3), допускающая по переменным х бесконечно малый высший предел, u(t, х, у, ц, е) — возмущение функции Ляпунова; вводятся поверхности (многообразия) уровня таких функций, формулируется лемма о свойствах этих поверхностей.
Прежде чем формулировать лемму, произведем следующие построения. Зададим некоторое £ > 0 (е < Н). Выберем число Wq > О таким, чтобы поверхность w(r) = wq лежала в £-окрестности точки х = 0. Подчиним число 6 > 0 условию 26 < wq. При этом, поскольку г>о — определенно положительна по х, поверхности
v0(i,i,y) = wq,
(1-Ю)
l>o(t, X, у) = Wq — 26
(1-11)
лежат внутри поверхности w(x) = wq.
Так как функция ио допускает по х бесконечно малый высший предел, можно указать такое ту > 0, что ту-окрестность будет целиком содержаться внутри поверхностей (1.10) и (1.11).
Лемма 1.1. Пусть возмущение функции Ляпунова u(t,x,y, ц,е~) является функцией непрерывной и ограниченной по модулю числом 8/2 в кольцевой области ту ||х|| Ё, t > 0, у G D. Тогда точки, принадлежащие поверхности
«o(i, х, у) + u(t, х, у, ц, е) = wq — 6, по переменным х удовлетворяют условию ту ||т||	£ и эта поверх-
ность является замкнутой.
Д о к аз ате л ь ст в о. В кольце ту С ||х||	£ функция vo(t, х, у) на
поверхности (1.11) принимает значения Wq—25, а на поверхности (1.10), лежащей в том же кольце, принимает значения wq.
Непрерывная функция Vq + и — v на поверхности (1.11) принимает значение и*, которое заключено в пределах
р 6	6
w0 - 28 - - V ^w0-25+-.
(1-12)
На поверхности (1.10) функция и принимает значение «**, которое ле-
жит в пределах
5	8
wo -	< w0 + -.
(1-13)
По непрерывности v принимает в кольцевой области также и промежуточное значение Wq — 8. Таким образом, поверхность и = Wo — 8 также лежит по переменным х в кольцевой области ту С ||х|| С £.
Докажем теперь, что уравнение определяет замкнутую поверхность, лежащую по переменным х в кольце ту ||х||	£.
Для этого проведем произвольную непрерывную кривую С от поверхности ||т|| = ту до поверхности w(r) = wq- На этой кривой есть точка С*, принадлежащая поверхности (1.11), где v принимает значение и* (1.12), а также точка С**, где v принимает значение v** (1.13).
По непрерывности на отрезке кривой С, лежащем между С* и С**, найдется точка, где и принимает промежуточное значение, так как и* < < wq — S < v**. Поскольку С — произвольная непрерывная кривая, уравнение определяет замкнутую поверхность, лежащую по переменным х в кольцевой области т) ||.т|| Ё и внутри поверхности w(t) = Wq-
2. Перейдем к вопросу о близости решений полной и невозмущенных систем.
Лемма 1.2. Пусть правые части систем (1.1) и (1.3) в области Р удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование и единственность непрерывного решения. Пусть по переменным z удовлетворяет условию Липшица с постоянной N. Пусть, кроме того, существуют суммируемая функция M(t) и постоянная Mq, такие, что в области Р на любом конечном отрезке [tj, t2]
||7?(t,z,м)||	^t2M(t)di^Mo(i2-ti). (1.14)
Тогда для решений системы (1.1) z = z(t) и системы (1.3) z = z(t), выходящих из одной точки z(to) = z(to) = zq, для t, принадлежащих отрезку [to, to + ^]> выполняется неравенство
||z(t)-z(t)|| <рМ01ет.	(1.15)
Доказательство. Система уравнений (1.1) равносильна системе интегральных уравнений
z(t) = Zq + / f(t, z(t)) dt + p /" R(t, z(t), p) dt. (1.16) Jto	Jto
Запишем также систему интегральных уравнений, равносильную невозмущенной системе (1.3) с теми же начальными условиями:
z(t) = zq + [ f(t,z(t))dt.	(1-17)
J t0
Вычитая одно из другого, получим
z-z= i [f(t, z(t\) - f(t, z(t))J dt + p i R(t,z(t),p)dt.
J 0	J tQ
Используя неравенство Липшица для Д и ограниченность Ri суммируемой функцией, получим в области Р для to t to + I
||z — z|| < N / \\z — z\\dt + pMol.	(1-18)
J to
Из неравенства (1.18), используя лемму Гронуолла, получим
||г - г|| < рМ01ет,	(1.19)
что и требовалось доказать.
Ниже будет сформулирована и доказана теорема в предположении, что существует возмущенная функция Ляпунова
V = Vq (t, X, у) + u(t, X, у, р, е),
где возмущение функции Ляпунова и предполагается заданным не во всей области Р, а лишь в кольцевой области 0 < р С ||х|| Ё, t > О, у G D, в центре которой находится точка х = 0. В ^-окрестности положения равновесия возмущение функции Ляпунова и может быть вообще не определено.
В связи с этим проведем некоторые построения, необходимые для формулировки теорем.
Рассмотрим положительно определенную функцию vo(t,x,y), допускающую по переменным х бесконечно малый высший предел. Согласно определению 2.2, существует положительно определенная функция ш(ге) такая, что
X, у) w(i).
Зададим положительные числа е и ё, подчинив их условию Ё < < е < Н. Выберем величину Wo так, чтобы неподвижная поверхность w(i) = Wq целиком лежала в Ё-окрестности точки х = 0, и рассмотрим подвижные поверхности
V0(t,X,y) = Wq, V0(t,X,y) = W0 - 2<5O,
где <5q удовлетворяет неравенству 2<5q < Wq. В силу неравенства vo(t,x,y) w(i) обе эти поверхности лежат внутри неподвижной поверхности w(x) = wq. Функция Ляпунова vq допускает бесконечно малый высший предел, поэтому можно указать такое 7 > 0, что при всех t > 0, у G D 7-окрестность будет лежать внутри введенных подвижных поверхностей.
Чтобы облегчить применение теоремы к резонансным задачам, ограничения, касающиеся производной функции и, накладываются на знак интеграла J(to, то, Уо, Т, д,е), введенного в (1.7) и вычисляемого интегрированием вдоль решения х = x(t), у = y(t) невозмущенной системы (1.3), поскольку предельный переход, приводящий к среднему (1.8), для таких задач может не иметь смысла.
Результаты настоящего параграфа впервые опубликованы в работе [6].
Теорема 1.2. Пусть:
а)	существует положительно определенная по переменным х функция Ляпунова vo(t,x, у) системы (1.3), допускающая по переменным х бесконечно малый высший предел',
б)	полная производная Vq, составленная в силу уравнений системы (1.3), неположительна в области Р.
Пусть, кроме того, для любого е > 0 (е < Eq < Н) можно указать такие и>о, 6q и 7(<5о < O,5wo), 7(wo, <5о); связанные, как указано в п. 1, через Vq, что при всех р 7 (р < е) в кольце р < ||х|| < е, t > 0, у G D определены функции u(t, х, у, р, е), <p(t, х, у, р, е) и
в)	существуют 6,1 > 0 такие, что если р < ||z(t)|| < £ при to С t С to + Т, то равномерно относительно to > 0, уо G D (Т > I)
to+T1
</?(t, x(t), y(t), p,s) dt < — 6T;
Э
г)	существуют суммируемые функции Fit) uM(t), постоянные Fo и Mo, а также неубывающая функция Xi(a), limQ_,o Xi(a) = О такие, что для р < ||ге|| < е, t > О, у & D
/ F(t) dt jFo(^2 ~ £i),	/ dt M()(t2 ~
Jtx	Jti
\\R(t,z)]]^M(t),
на любом конечном отрезке [ti, £2];
д)	существует неубывающая функция хг(м), Ип1д-+о Хг(м) = О та~ кая, что |u(t, z, р, е)| < Хг(м) при р < ||х|| < е.
При выполнении этих условий можно указать такие т)(е) и ро(е), что любое решение системы (1.1) х — rr(t), у = y(t) с начальными значениямиге(О) — xq, г/(О) = уо, удовлетворяющими по переменным! условию Цгео|| < Т] при р < po(F) для всех t > 0 удовлетворяет неравенству ||ге(О|| < е.
Доказательство. Зададим число ё > 0, ё < е и рассмотрим поверхности (1.10), (1-11). Если выбрать положительное число а, подчинив его условию а < <т0, то, согласно условию а) теоремы, найдется такое Т] 7, что ^-окрестность точки х = 0 будет лежать внутри поверхностей
t?o(t, х, у) = Wq, vo(t,x,y) = Wq — 2сг.	(1-20)
При этом в кольцевой области р < ||i(t)|| < £ будут иметь место предположения теоремы в), г) и д). Рассмотрим поверхность
V = Vo(t,X,y) -I- u(t,X,y, р, е) = Wq — <7.	(1-21)
Условие д) позволяет выбрать р\ настолько малым, чтобы при всех р, 0 < р < pi, выполнялось неравенство |р| < <т/2. Тогда, согласно лемме 1.1, поверхность (1-21) является замкнутой и лежит в кольцевой области р < ||х|| < ё, t > 0, у Е D.
Проведем из точки, лежащей в ^-окрестности положения равновесия, интегральную кривую системы (1.1) х = x(t), у = y(t). Пусть эта кривая вышла из области ||ге|| < р и в некоторый момент t = to пересекла замкнутую поверхность (1.21). Проследим за изменением возмущенной функции Ляпунова г; вдоль решения х = rr(t), у = у(б). Для этого продифференцируем функцию и вдоль указанного решения z = z(t) и, используя обозначение (1-6), получим
dv	dvo	dvo „	,
^7 =	+ 6^^,z,p,e}.
at	ot	oz
(1.22)
Проинтегрируем соотношение (1.21) вдоль решения z = z(t), приняв во внимание условие б)	о) теоремы; в результате
придем к неравенству
i>(t, z(t)) < v(t0, z0) + 0(д) f	(1.23)
Jt0
Из этой же точки to, zq проведем интегральную кривую z = z(t) невозмущенной системы (1.3) и в правой части неравенства (1.23) прибавим и вычтем интеграл, вычисленный вдоль указанной кривой, так что
f <p(t,z(t), fi,E)dt = [ <£>(t, z(t), д,е) dt +
J to	to
+ [ (<p(t, z(t), д, e) — <p(t, z(t), д, e)) dt. (1.24)
*/ tg
Далее у функции для краткости опущены аргументы д и е.
Согласно условию в) теоремы, можно указать положительные числа 5 и I такие, что если t > to + l и при т G [to, t] выполнено 7] < ||i(t)|| < < е, то равномерно относительно to
[ <p(t,z(t)) dt < —5(t — to).	(1.25)
tg
Будем рассматривать изменение v для to < t < to +1, где I > 0 определяется условием в) теоремы 1.2.
Предположения а) и б) теоремы определяют устойчивость точки х = = 0 для невозмущенной системы (1.3), поэтому кривая z — z(t) по переменным х для всех t > to не выйдет за пределы Ё-окрестности точки х — 0.
Лемма 1.2 дает оценку взаимного уклонения решений возмущенной и невозмущенной систем (1.1) и (1.3), выходящих из одной точки. Если выбором малого параметра д (1-25) сделать это уклонение меньшим разности е — Ё на отрезке времени длины I, то и выделенное решение системы с возмущениями z = z(t) не выйдет на этом отрезке времени из Е-окрестности точки х = 0. Пусть
д2 = (Е-Ё)[Могелг;]-1.	(1.26)
Тогда, согласно лемме 1.2, для всех всех д, 0 < д < д2, и всех t G G [to До + i] будет иметь место неравенство
ИС-тДЖе-ё.	(1.27)
При этом возможны два случая:
1)	кривая по переменным х остается вне //-окрестности при to t < < to +1',
2)	найдется точка ti G [to, io + i] такая, что S(ti) < rj.
Рассмотрим вначале случай 2, для которого t?o(ii, z(ti)) < Wo — 2<5, И ДЛЯ V ПОЛУЧИМ v(t1,z(t1)) = l>0(tl, z(tl)) + U = V0(tl,z(t1)) + и + +	z(<i)) — vo(ty, z(ty)). Здесь выбрано второе слагаемое |и| < <5/2.
Для оценки разности функций Ляпунова в точках z(ty) и z(ty) воспользуемся непрерывностью функции vq и оценкой уклонения решений z и z, выходящих из одной точки на отрезке времени [to, to + I], которая дается леммой 1.2. Выберем дг настолько малым, чтобы при fi < Д2 и ti G [to, to + £] имело место
M*i,-z(ti)) - u0(ti,z(ti))| < <5/2,
при этом v(ti, z(ti)) < Wo — <5 и кривая при t = ty оказывается внутри поверхности (1.21).
Обратимся теперь к случаю 1. Согласно условию г) теоремы, справедливо неравенство
|9s(t, z(t)) - 9?(t, z(t))| < Xi(|z(t) - z(t)|)F(t).
(1-28)
Применяя для оценки разности z — z лемму 1.2, получим на отрезке [t0, to +1]
(t-to)-1 Г |^(t,z(t)) - <^(t,z(t))|dt < xi^MoleNl)Fo. (1.29)
Согласно условию г) теоремы, можно выбрать дз настолько малым, чтобы имело место неравенство
Xy(fi3M0leNl)F0 6/2
(1.30)
При этом для интеграла от разности в (1.24) на отрезке времени [to, to + Ij будет справедлива оценка
[ [</?(t, z(t)) - <p(t, z(t))| dt <<5(t-t0)/2 Jto
(1-31)
Если выбрать до = гшп{д1, Д2, дг, Мз}, т0 при всех 0 < д < до и to С t С to + I будут справедливы неравенства ||x(t)|| < £, |u| < <5/2, а также (1.31). С помощью неравенства (1.31), условия в) теоремы и соотношений (1.24), (1.25) оценим интеграл </?(t, z(t)) dt в неравенстве (1.23) при to + I С t:
9?(t, z(t)) dt (t - to)(-<5 + 6/2).
(1.32)
Таким образом, решение z = z(t) остается по переменной х на отрезке [to, to + /] в Е-окрестности; вдоль него, по крайней мере начиная с f I
какой-то точки, лежащей на отрезке [to, to +/],	<p(t, z(t)) dt становит-
ся отрицательным, а функция убывает.
Это означает, что решение, как и в первом случае, возвращается внутрь поверхности (1.21). Все оценки равномерны относительно to, zo,
поэтому решение может неограниченное число раз покидать поверхность (1.21) и возвращаться в нее, оно для всех t > 0 останется в области ||х|| < £, что и требовалось доказать.
Если возмущенная функция Ляпунова v = Vq +u является интегралом исходной системы (1.1), т. е. <р = 0, то справедлива
Теорема 1.3. Пусть выполняются условия а), в), д) теоремы 1.2 и = 0 при р < ||ге|| < е, t > 0, у G D. Тогда справедливо утверждение теоремы 1.2.
Доказательство. Используем систему поверхностей уровня (1.20), (1.21), построенную при доказательстве теоремы 1.2.
Условие д) теоремы 1.2 позволяет выбрать до(£) таким, чтобы в кольцевой области г] < ||х|| < е выполнялось неравенство |и| < <5/2. Согласно условию б) теоремы 1.2 и условию <р = 0 теоремы 1.2, возмущенная функция Ляпунова u(t, х, у, р, е) не возрастает вдоль интегральной кривой, выходящей из //-окрестности точки х = 0, поэтому интегральная кривая х = rr(t), у = y(t) с начальными условиями т(0) = з?о> у(0) = Уо, удовлетворяющими неравенствам ||то|| < т], никогда не пересечет поверхность (1.21) и, следовательно, не выйдет из £-окрестности точки х = 0. Теорема доказана.
В предположениях теоремы 1.2 с помощью более тонких оценок можно показать, что решение не только не выходит по х из Е-окрест-ности положения равновесия, но стягивается в некоторую меньшую A-окрестность. При доказательстве этого утверждения изучается изменение возмущенной функции Ляпунова v вдоль интегральных кривых системы (1.1), располагающихся вне некоторой 7-окрестности положения равновесия. Условия теоремы 1.2 позволяют в 7-окрестности (А С е) построить систему подвижных поверхностей и выбрать 7(А)-окрестность точки х = 0, вне которой выполняются условия, касающиеся знака производной и. Для доказательства асимптотической устойчивости дополнительно требуется обращение в 0 функций R(t, z) в точке х = 0.
§ 2. Метод сравнения и усреднение при исследовании на устойчивость систем с возмущениями
В области G = I х Вн, / = {t > 0}, Вн = {т G Rn | ||х|| < Н} рассмотрим систему дифференциальных уравнений
х = f(x,t) + pR(t, х)	(2.1)
с малым параметром р, 0 < р 1. Пусть система без возмущений
* =	(2.2)
имеет, как и выше, неасимптотически устойчивое нулевое решение. Для исследования этой критической ситуации был разработан аппарат вспомогательных функций, сочетающий идеи второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения. В настоящей статье вспомогательная функция v(t,x) не является функцией Ляпунова
невозмущенной системы (2.2), а удовлетворяет одной из теорем метода сравнения [4], когда
dv
*1(2) =	v(t,л:)),	(2.3)
где функция со такова, что скалярное уравнение сравнения й = w(t,u) имеет устойчивое относительно положительных начальных возмущений нулевое решение.
Обозначим через tio(^io; Д) решение задачи Коши
йо — w(t,u0), uo(to) = Д,	(2.4)
а Ф(t, to) — решение задачи
й = (t,uo(t; to, Д))й, zZ(t0) = 1,	(2.5)
ои
т. е. Ф(t, to) = exp^(т< ио(т; to, Д)) dr.
Обозначим через К класс {а(а)} непрерывных монотонно возрастающих при а 0 функций а(а), а(0) = 0 [4, с. 21]. Введем функцию <p(t,x) = AvR(t,x).
Теорема. Пусть для всех (t, х) G G выполнены требования-.
1)	существует непрерывно дифференцируемая функция v: G —> R такая, что для некоторых а, ЬеКа(|И|)^<х)О(И);
2)	функция v(t, x'j удовлетворяет неравенству (2.3), причем функция w(t, и) непрерывно дифференцируема в области {t 0, и 0} по щ
3)	существуют суммируемые функции M(t), L(t), постоянные Mq, Lq , а также функция a G К такие, что
\V{t,x')~V{t,x'')\^L{tM\W ~^\\\ ||/?(t,x)||^M(t),
/ M(t) dt < M0(t2 - ti), / L(t) dt < L0(t2 - ti)
для любого конечного отрезка [t2, ti] С I;
4)	для любого достаточно малого т/ > 0 существуют Т = T(rf) > 0 и ё — <5(т?) > 0 такие, что
rto+T
I <£>(t,rc(t;to,io)^(io +Т, t) dt < — 6 < 0
*/ tg
при любом to 0 и Xq Е Вн/Вг/.
Тогда для всякого £>0u7o^0 3t7 = т/(е) > 0 и до = До (с) > 0 такие, что при 0 < д до и ге(то, д) G В^ решение x(t, р) системы (2.1) определено при t tq и x(t, р) Е Вс при любом t tq.
Следует отметить, что условия 2), 4) являются существенными и без любого из них [6, 7] утверждение теоремы может не иметь места.
Доказательство. Фиксируем произвольное £ > 0. Пусть Д — = Д(е) > 0 и такое, что u0(t; to, u°) < 0,5a(s) при t to, если 0 < и° < С Д(£). Обозначим 5д = {i € Вн | v(t,x) = Д} подвижную поверхность в Rn. В силу условия 1) теоремы ||гг||	Ь-1(Д) = т] > 0
при х G 5д. Пусть x(t, ji) — решение уравнения (2.1), траектория которого начинается в //-окрестности нуля В-ц. Пусть при некотором to > 0 ГЕО = z(to, м) G ^Д, т- е. г>(«0, х0) = Д.
Для оценки изменения v(t, x(t, д)) при t > t0 рассмотрим выражение для полной производной функции i>(t,i) в силу системы (2.1). С учетом условия 2) теоремы получим
*1(1) = *1(2) + М'Ж1) ^u(t,v(t,x)) + /j.<p(t,x).	(2.6)
Рассмотрим скалярную задачу Коши
й = uj(t, и) + m>(t, x(t, д)), u(to, fi) = Д.	(2.7)
Представим решение u(t, д) этой задачи в виде
u(t, д) = ио(£) + дй(4, д),	(2.8)
где uo(t) — решение задачи (2.4). Тогда для H(t, д) получим дш
й=д^^' u° +	^У) +	(2 9)
й(«0, д) = 0.
Отметим, что fl(t, д, й) —> 0 при д —> 0 с условием ограниченности |й| равномерно по t 0. Рассмотрим теперь задачу Коши дш .	.
w = — (t,Tzo(t))*Z 4-<jp(t,:r(t, д)),	(210)
u(t0) = 0,
полученную из (2.9) отбрасыванием нелинейных слагаемых в правой части, решением которой является функция
u(t, to) = / |д(т, ге(т, д))Ф((, г) dr, Jto
где Ф — решение уравнения (2.5), Ф(т, т) = 1. Используя малость параметра д, нетрудно показать, что Здо > 0 такое, что при 0 < д до из условия 4) теоремы следует оценка
3 u(t0 + T,t0) < --6 < 0.	(2.11)
На отрезке to С t С to + T непрерывная функция ii(t, to) ограничена равномерно по to 0: H(t,to) С 0,5Uq, Uq = const > 0. Предполагая, что |й| Uq при t G [to, to +Г] из (2.9), (2.10) получим
|й^,д) -u(t)| х(д)	(2.12)
для некоторой х G К. Пусть х(м) О,25<5 при 0 < д до- Тогда u(t0 + Т, д) ti(to + Т) + х(м) —О,5<5 < 0.	(2-13)
При этом u(t, fi.) С Uq при to t С to + Т. Поэтому
u(t, fi) = u0(t) + fiu(t, fi) < а(е)
(2.14)
при to G [to, to + Г], если 0 < fi C fio, a /iq такое малое, что fioUo С 0,5a(e). Если при некотором значении tj > to + T снова будет выполнено равенство H(ti,fi) = 0, то в силу равномерности наших оценок по to, u(ti + 7, ц) С —0,5<У и неравенство (2.14) сохранится и на отрезке [tj, t| -|- ТL
Таким образом, неравенство (2.14) будет сохраняться при всех t to, пока ||rE(t, д)|| превышает т] — т](е) > 0. Если же при некотором ||т(т1, fi)|| < т/, то это означает, что траектория x(t,fi) вернулась в область, ограниченную поверхностью 5д. Траектория ,T(t, fi) может многократно покидать область В^, оставаясь постоянно в ВЕ, так как, согласно известной лемме сравнения [4, с. 66], из (2.6), (2.7) и (2.14) следует, что
a(||rE(t, д)||) < v(t, i(t, fi)) < u(t, fi) < a(e)
при |]rr(t, д)|| tj. Теорема доказана.
Доказанная теорема является обобщением теоремы об устойчивости из [5], когда функция v(t,x) есть функция Ляпунова невозмущенной системы. В самом деле, тогда w(t,u) = 0и Ф(Л, to) = 1.
Аналогичное утверждение можно сформулировать и в случае задачи об устойчивости по части переменных.
Отметим также, что условие знакоопределенности интеграла (условие 4) теоремы) допускает равенство
lim sup— /	</?(t,i(t; to,zo))$(to + T,t) dt = 0.
T-oo T Jt
Таким образом, условие 4) является существенно более общим, чем требование отрицательности среднего из [1].
§ 3. Исследование на устойчивость с возмущениями на основе векторной функции Ляпунова и усреднения
Рассмотрим систему уравнений
х = /(ге, t) + fiR(t, х)	(3.1)
с малым параметром fi, 0 < fi 1, в области G = I х Вн, I = {t G В | t 0}, Вн = {ге € Rn | ||х|| < /7}. Пусть невозмущенная система
x = f(t,x), /(i,0)=0,	(3.2)
имеет неасимптотически устойчивое нулевое решение. Найдем достаточные условия устойчивости системы (3.1) в случае, когда известна скалярная функция [4, с. 66], по отношению к невозмущенной системе (3.2). В настоящей работе рассматривается случай, когда для системы (3.2) известна так называемая вектор-функция Ляпунова [2, 3].
Пусть D есть некоторая окрестность нуля в Rm. Введем в рассмотрение систему сравнения
u = F(t,u), F(t,0)=0,	(3.3)
где F: I х D —> Rm и является дважды дифференцируемой по и квазимонотонно возрастающей функцией в смысле определения из [4, с. 242]. Так же, как и в (4], для произвольных и, z G Rm неравенство и z означает, что щ z,, i =	Аналогично определяется нера-
венство и > z. Обозначим через u(t-,to,A) решение системы (3.3) с начальным условием u(to;to, Д) = Д- Пусть е — вектор из Rm, все компоненты которого равны 1. Известно [4, с. 248], что существование функции v(t, х) = (t?i(t, х), ... ,vm(t,x)), удовлетворяющей условиям
«(IMI) max Vi(t,x) Ь(||х||),	(3.4)
Х^г^тп
ди ди
- + —f(t,x)^F(t,v)	(3.5)
ot ox
для некоторых a, b G К, влечет за собой равномерную устойчивость нулевого решения невозмущенной системы (3.2), если нулевое решение системы сравнения устойчиво в следующем смысле: (Ve > 0)(37 > 0)(Vto G G /)(VA < 7e)(Vt^io) u(t; t0, Д) < ее.
Обозначим <^i(t,x) = VviR(t, х), i= 1,..., т, <p(t,x) = (<£>i,..., <рт)-Таким образом, <^c(t, аз) = ^R(t,x). Пусть Ф(6, s;to, Д) = Е — матри-цант системы уравнений в вариациях
dF
г = —— (t, u(t; t0, Д))г,	(3.6)
ои
т. е. Ф(4, t; to, Д) = Е — единичная матрица.
Теорема 3. Пусть в области G выполнены следующие требования:
1)	существует непрерывно дифференцируемая вектор-функция t?(x,i) = (t?i(i, х),..., vm(t, х)), а также функция F(t, и), удовлетворяющие условиям п. 2;
2)	существуют суммируемые функции М(t), L(t), постоянные Mq, Lq а также функция a G К такие, что
||^(t,x") - ^(t,x')||	L(t)a(||x" - х'||),	||7?(t,x)|| < M(t),
/ M(t) dt Mo(t2 — t\),	/ L(t) dt < L0(t2 - tj);
J t\	J t\
3)	для любого достаточно малого г/ > 0 существуют Т = T(rf) > О и 5 = 5(rf) >0 такие, что
fto+T
/ Ф^о + Т, t; to, A)^>(t, x(t; to, xo)) dt — 6e,
J t0
где Д = t?(io,xo) при любом to 0 и xq G Вц/В^.
Тогда для любого е > 0 существуют г] = 7)(е) > О и до = до(^) > О такие, что при всяком р, 0 < р С ро, любых tq О uz° € решение x(t',TQ,x°) системы (3.1) определено при всех t tq, при этом ||x(t; Tq, ге°)|| < г.
Доказательство. Обозначим <jj{t,x') = maxi^j^m Vj(t, z). Зафиксируем произвольно малое е > 0. Пусть 7 = 7(e) > 0 такое, что:
1)	0 < 7 < a-1(s);	2) U(t; to, Д) 0,5а(£)ё, Д С уё, (3-7)
где а(а) G К и удовлетворяет неравенству (3.4). Обозначим через Sy = = {ге G Вн | u>(t,x) = 7} подвижную поверхность, ограничивающую окрестность нуля G7(t) в Rn. Из условий (3.4) и (3.7) вытекает, что
Вг, С Gy С Ве	(3.8)
при всех t 0, если г/ С Ь-1(7). Пусть траектория решения x(t) системы (3.1) начинается в шаре В^ и при некотором to пересекает поверхность S7(to) в точке TQ) т. е.
v(t0,x0) ^уё.	(3.9)
Оценим изменение вектор-функции v(t,x(t')'j при t to, учитывая неравенство (3.5):
*1(1) = *1(2) + W>(^(*)) < B(t,w) +/29s(t,T(t)).	(3.10)
Рассмотрим вспомогательную задачу Коши
U — F(t, U) + /27?(t,j:(t)), J7(t0, р) = u(t0,rE0).	(3.11)
Представим ее решение в виде
U(t, р) = u(t) + pu(t, р),	(3-12)
где u(t) = u(t;to), U{to,p) — решение системы сравнения (3.3). Для функции й получаем задачу
8F
й = —— (t,u(t})u + <p(t, x(tY) + £l(t,u, p), u(t0, p) = 0.	(3.13)
du
В силу свойств функции F(t,U) ||fi|| —> 0 при р —> 0 равномерно по t 0 и ||й|| < const. Пусть u(t) — решение задачи
dF
й = —(f.uWJi+rti.iW), «(<„) = 0.	(3.14)
Тогда
<i(t) = / *J>(t, т)<д(т, т(т)) dr, J £□
здесь $(t,T) — матрицант линейной системы (3.6), где Д = v(to,Xo). Если x(t) — решение невозмущенной системы (3.2) с начальным условием x(to) = i(to) = 2^01 то на отрезке to t to + Т, где Т = Т(т)) > 0 определяется условием 3) теоремы, ||rc(t) — i(t)|| < р const. Поэтому
rto+т	2
u(to + T)= /	$(t0 + T,t)<^(t,x(t)) dr -т<5ё.
./*»	4
Отсюда при достаточно малом д, сравнивая решения задач (3.13) и (3.14), получим
й(^+Г,д)	-|ё.	(3.15)
Согласно (3.7), (3.9) и (3.15), из представления (3.12) следует, что на отрезке to t Zq + Т при всяком малом д > О
U(t, fi) a(s)e,
(3.16)
более того,
U(t0+T,fi) <u(t0 + T) ^0,5a(e)e.	(3.17)
Из (3.16) по лемме сравнения [4, с. 243] в силу условия (3.4) получим неравенство ||rr(t)|| < е на отрезке to С t to + Т.
Обозначим ti = t0 + Т, — т(4х). Если w(ti,Ti) < 7, то это означает, что траектория x(t) вернулась в область C7(t). В силу (3.8) ||rr(t)|| < е до тех пор, пока x(t) 6 C7(t). Если траектория x(t) снова покинет область C7(t), то благодаря равномерности сделанных выше оценок относительно to 0 и Xq, ||то||	т), можно повторить наши
рассуждения и опять получить неравенства (3.16), (3.17). Пусть теперь w(ti, Ti) > 7. Отметим, что тогда ||ti|| > Т). Из (3.10), (3.11), (3.17) и леммы сравнения следует, что
v(ti,Ti) < U(ti,fi) < u(t0 + Т) = u(t0 + T;t0,v(t0,x0)).
И снова, в силу леммы сравнения,
u(ti) < u(t;ti,v(ti,Ti)) < u(t) = u(t; to, v(to,To))
при всех t ti. Значит, uj.(t) С 0,5а(Е)ё при t tj. Обозначая через Ui(t,fi) = v(ti,Ti) решение системы уравнений задачи (3.11) с начальным условием Uiftiifi) = v(ti,x-[) и повторяя изложенные выше рассуждения, получим неравенство t7i(ti, д) a(e)enpHti С t С ti+T. Обозначим t2 = ti + Т, Х2 — xftz). Теперь снова либо w(t2, Х2) С 7, либо w(t2,X2) > 7. В силу равномерности оценок относительно to 0 эта ситуация может повторяться бесконечное число раз и всегда x(t) 6 В£. Теорема доказана.
Положительность интеграла
rto+T
J(to,xo,T) = /	$(t0 + T,t,t0, v(to,xo))(p(t,x(t;to,xo)) dt
J to
при определенных предположениях относительно v(t,x) является достаточным условием неустойчивости системы (3.1). Сначала предположим, что система уравнений (3.3) линейная:
й = F(t, и) = A(t)u.
(3.18)
Тогда система уравнений в вариациях (3.6) совпадает с самой системой сравнения и, следовательно, ее матрицант Ф не зависит от to и Д.
Для вектор-функции v(t,x) = (t>i (t, т),..., vm(t, rr)) введем в рассмотрение так называемую область положительности {г> > 0} = {(t, т): а:) > 0,..., t>m(i, х) > 0}. Будем говорить, что область {г/ > 0} примыкает к началу координат, если v(t, 0) = 0 и для всякого to 0 и сколь угодно малого ту > 0 существует Xq, ||гго|| < такое, что v(to,xo) > 0, т.е. (t0,т0) £ {г> > 0}.
Теорема 2. Пусть в области G выполнены следующие требования:
1)	существует непрерывно дифференцируемая вектор-функция t>(t,rr) = (vi,..., fm), область положительности которой примыкает к началу координат;
2)	решение u(t;to,uo) системы сравнения обладает следующим свойством: Vu0 > 0 u(t; to, u0) p(to, Щз) > 0 при t to;
3)	в области {и > 0}	F(t,v);
4)	существует функция b £ К такая, что для хотя бы одной компоненты вектор-функции v Vfc(t,a:) верна оценка t>t(t,х) fe(||a:||) в области {г/ > 0};
5)	для всякого малого а > 0 существует Т = Т(а) > 0 и S = 5(а) > > 0 такие, что J(to,xo,T) де, если v(to, xq) ае;
6)	выполнены условия п. 2 теоремы 1.
Тогда существует h > 0 такое, что для любых Т] > 0 и До >0 существуют t0 0, Iq 6 В^, д, 0 < д до, ti > to такие, что ||x(ti; to,т0)|| > /г.
Доказательство проведем от противного. Пусть существует такое малое г} > 0 и до > 0, что для всех xq, ||tq|| < р, T(t) G Вь для некоторого /г > 0, Vt > to, 0 < д До. Возьмем точку т0 G ВГ1, но так, чтобы t>(io,To) > 0. В силу условия 2) теоремы найдется а > 0 такое, что решение системы сравнения (3.18) u(t) = u(t; to, u(to, tq)) удовлетворяет неравенству
u(t) ae	(3.19)
для всех t to. Оценим изменение u(t,x(t)) вдоль решения x(t) = = T(t;to,To) системы (3.1). Предполагая, что (t,a:(t)) G {v > 0}, получим
^1(3.1) A(t)v(t,x(ty) + pip(t,x(t)).	(3.20)
Рассмотрим вспомогательную задачу Коши
= X(t)C7 + д<р(^ T(t)), C7(to, д) = v(to,To). (3-21)
Зная матрицант системы (3.18), решение системы (3.21) выпишем явно:
C7(t, д) = $(t,to)f(to,TO) + д [ Ф^,т)<р(т,х(т))<1т.
Jto
Обозначим ti = io + iT, где константа Т(а) > 0 определяется условием 5) теоремы. Тогда для любого целого s > 0 получим
= Ф(Л,,£о)г|(£о,то) + дУ^ [	Ф(<«+ь т)<р(т, т(т)) dt.
г=0 ''
В силу (3.19) и условия 5) теоремы при достаточно малом до > 0 для всех д, 0 < д до, U(ts,p) ае + д • 0,55зе. По лемме сравнения v(tj,x(tj)) U(ts,p), но видно, что U(ts,p) —> оо при з —* оо. Согласно условию 4) теоремы, для некоторого к, 1 < к < тп, Ь(||х||)
Ufc(t,х), значит, x(ts) —> оо при з —> оо, а это противоречит предположению ||x(t)|| < h. Теорема доказана.
Перейдем теперь к общему случаю нелинейной системы сравнения. Достаточные условия неустойчивости устанавливает
Теорема 3. Пусть в области G:
1) выполнены условия 1), 3)-6) теоремы 2;
2) решение u(t;to,uo) системы сравнения (3.3) обладает следующим свойством: дляЧио > 0, Vto 0 и любого малого 51 > 0, u(t; to, uq) p(to,uo) > 0, u(t;to,uo + 5e) p(to,uo + 5ie) p(to,uo) + fe для некоторого 'у = 7(<Si) > 0.
Тогда справедливо утверждение теоремы 2.
Доказательство начинается так же, как и в теореме 2, но вместо неравенства (3.20) получим
<’l(3.i)	F(t,v(t,x(t))) +
(3.22).
Теперь обозначим t3 = t^ + sT, xs = x(ts), us(t) — u(t; ts, v(t3, xs\) — решение системы сравнения (3.3), s = 0,1,... Пусть u(t3) аё, тогда нетрудно показать, что (t, x(t)) 6 {v > 0} при ts t ts+i и достаточно малом д > 0
us+i — ^(^s+1, ^«4- i)s^ us(ts+i) 4" Д 2 ё,	(3.23)
где Т = Т(а) >0,5 = 5(a) > 0 определяются из условия 5) теоремы 2. Для этого используется представление (3.12) решения вспомогательной задачи Коши
U = F(t,U) + pjp(t,x(t)), U(t3,p)=u3.	(3.24)
Теперь покажем, что
v(ts,.-rs) = us(t«) > p(t0,u0) + 51/(д)ё,	(3.25)
где дир определяются условием 2) теоремы. В самом деле, согласно (3.23), ui(ti) г/о(<1) + 51ё, где 51 = 0,5д5, следовательно, в силу леммы сравнения и условия 2)
p(ti,ui) p(ti,u0(<i) +<М) P(«i,uo(ti)) + Рё
p(t0, u0(t0)) + Рё = p(t0, u0) + ^ё.
Пусть (3.25) верно для s = к. Покажем, что неравенство верно и для s = к + 1:
Ufc(tfc) p(to.uo) + кие, Ufc+i(tfc+i) uk(tk+i) + SYe =^>
=> p(tfe+i,Ufc+i) > p(tfc+i,Ufc(tfc+i) + 5ie) p(tk+i,uk(tk+1y) + t/e p(to, w0) + kve + ve = p(t0, u0) + (к + 1)ме.
При s —» оо правая часть неравенства (3.25) неограниченно растет по каждой компоненте. Но по условию для некоторого к vk(t,x) fe(||rr|[), b G К (условие 4) теоремы 2). Значит, b(||xs||) а + sp(^i). Это противоречит предположению об ограниченности ||т||, что и доказывает теорему (опубликованную впервые в [11]).
Примечание. В теоремах о неустойчивости нулевое решение системы сравнения предполагается устойчивым относительно положительных начальных возмущений u(to) так же, как и в теореме об устойчивости. Дело в том, что неустойчивость системы сравнения (3.3) при условии 3) теоремы 2 сразу ведет к неустойчивости невозмущенной системы (3.2), а это автоматически означает неустойчивость системы (3.1).
Список литературы
1.	Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.-Л.: Гос-техиздат, 1950.
2.	Матросов В. М. // Прикладная математика и механика. — 1962. — Т. 26, вып. 6. - С. 992-1002.
3.	Матросов В. М. Принцип сравнения с векторной функцией Ляпунова. I, II, III // Диф. уравн. 1968. — Т. 4, №8. — С. 1374-1386; 1968. — Т. 4, №10. - С. 1739-1752; 1969. — Т. 5, №7. — С. 1171-1185.
4.	Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1982.
5.	Хапаев М. М. Об одной теореме типа Ляпунова // ДАН СССР. — 1967. — Т. 176, №6. — С. 1262-1265.
6.	Хапаев М. М. Усреднение в теории устойчивости. — М.: Наука, 1986. — 192 с.
7.	Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
8.	Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
9.	Озиранер А. С., Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // ПММ. — 1972. - Т. 36, №2. — С. 364-384.
10.	Анашкин О. В., Хапаев М. М. Метод сравнения и исследование на устойчивость системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих возмущения. I // Диф. уравн. — 1986. — Т. 22, № 9. — С. 1604-1606.
11.	Анашкин О. В., Хапаев М. М. Метод сравнения и исследование на устойчивость системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих возмущения. II // Диф. уравн. — 1988. — Т. 25, №2. — С. 187.
НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ1’
А. Д. Мышкис, А. М. Филимонов
1.	Введение
Несмотря на сильное сужение рассматриваемых вопросов, вытекающее из заглавия работы, оставшееся их множество все еще достаточно обширно. Поэтому настоящий обзор не претендует на исчерпывающую полноту. Впредь, если не указано противоположное, под термином «система уравнений» всегда будут подразумеваться гиперболические системы квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными.
Вначале сделаем несколько замечаний вводного характера, которые могут служить иллюстрацией роли систем квазилинейных уравнений при изучении систем нелинейных уравнений общего вида.
Нелинейную систему уравнений
F(x, t, v, vx, щ) = 0,	(1-1)
где v, F — n-мерные векторы, будем рассматривать в виде, разрешенном относительно вектора производных vt:
vt = g(x, Z, и, г>т).	(1.2)
Хорошо известно (см., например, [17]), что путем дифференцирования уравнений системы (1.2) и введения новых неизвестных функций эта система может быть преобразована к виду
wt + А(х, t, w)wx — b(x, t, w),	(1.3)
где w, b — 211-мерные векторы и A — матрица. Пусть все собственные значения А; матрицы А вещественны и матрица А приводима к диагональному виду в некоторой области переменных (.т, £, w). Тогда такая система называется гиперболической в рассматриваемой области. Если при этом все собственные значения матрицы А различны, то такая система называется строго гиперболической. С помощью приема, предложенного в свое время Р. Курантом и П. Лаксом [33] (см. также [17]) и сводящегося к дальнейшему дифференцированию гиперболической системы (1.3) по .т, t с последующим повышением размерности, преобразованную систему можно записать в виде так называемой продолженной системы. Эту систему затем можно записать в каноническом виде (в виде римановых инвариантов), т.е. в виде, когда роль матрицы А
11 При поддержке РФФИ (грант 00-01-00683) и Фонда НИОКР МПС РФ.
играет диагональная матрица, причем каждое из уравнений системы содержит производные только от одной неизвестной функции:
(u^t + АДт, t, и)(н,)г = fi(x, t, и), i = 1,..., m = 4n.	(1.4)
Таким образом, изучение квазилинейных систем (1.4) в конечном счете содержит основные трудности, возникающие при изучении нелинейных гиперболических систем общего вида (1.1).
Отметим также, что иногда переход к канонической форме Римана возможен путем введения новых неизвестных функций без дифференцирования и последующего перехода к продолженной системе. В частности, это, вообще говоря, возможно для гиперболических систем полулинейных уравнений (т. е. таких, у которых матрица А не зависит от неизвестных функций) и для квазилинейных гиперболических систем второго порядка. Заметим также, что в некоторых случаях переход к продолженной системе является неудобным и, если исходная система не может быть записана в канонической форме Римана, то систему (1.3) можно записать в так называемой канонической форме Шаудера (см., например, уже цитировавшуюся монографию [17]):
li(x, t, w)(wt + Xi(x, t, i/;)wx) = Ц(х, t, w)b(x, t, w), i = l,...,2n, (1-5)
где Ц(х, t, w) — г-й левый собственный вектор матрицы А.
Если собственные значения А, зависят от и (именно этот факт характеризует квазилинейность уравнений), то довольно обычным является возникновение разрывов у решений. В связи с этим весьма важной представляется проблема выяснения условий локального и глобального существования непрерывных решений. Эта проблема имеет не только чисто математическое, но и прикладное значение.
Отметим, что случай одного квазилинейного уравнения первого порядка во многом проще, чем случай системы таких уравнений и, как следствие, значительно лучше изучен. Поэтому, в соответствии с направлением нашей работы, основное внимание мы сосредоточим на системах уравнений и уравнениях порядка выше первого.
Теоремы общего характера о разрешимости квазилинейных гиперболических уравнений порядка выше первого и систем квазилинейных уравнений гиперболического типа начали изучаться в начале нынешнего столетия в работах Э. Леви [57,58]. Однако затем, как отметил Р. Курант [6] «... работа Э. Леви о гиперболических уравнениях оставалась забытой, пока почти все его результаты не были заново открыты».
Позднее, независимо от работ Э. Леви, Ю. Шаудером [61], Г. Леви [59], К. Фридрихсом и Г. Леви [38], Ф.И.Франклем [26], С. А. Хри-стиановичем [27] были установлены различные условия локальной разрешимости задачи Коши для систем нелинейных и квазилинейных уравнений гиперболического типа как с двумя, так и со многими независимыми переменными. Наиболее общие результаты в этом направлении были получены И. Г. Петровским в его классической работе [11] (см. также [12]).
Интерес к вопросам возможности глобальной непрерывной разрешимости гиперболических систем квазилинейных уравнений стимулировался не только естественными чисто математическими проблемами. Новый импульс этой проблематике придала работа П. Лакса [50], связанная со знаменитой проблемой Ферми-Паста-Улама. В начале 50-х годов Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улам, проверяя с помощью вычислительного эксперимента гипотезу Дебая [34], обнаружили периодические по времени решения для цепочки материальных точек, соединенных слабонелинейными связями. Затем Н.Забуски [69], рассматривая соответствующее гиперболическое квазилинейное уравнение второго порядка, показал, что при немонотонных начальных условиях производные соответствующего решения становятся с течением времени неограниченными, откуда, в частности, вытекала невозможность периодических по времени решений. Рассуждения, приведенные в [69], весьма громоздки и, как отметил П.Лакс, целью его работы [50] было получение по существу того же результата, но значительно более простым способом. В своей работе П.Лакс предложил некоторую новую технику рассуждений, основанную на рассмотрении систем обыкновенных дифференциальных уравнений для производных от неизвестных функций вдоль характеристик. Впоследствии данная работа П. Лакса развивалась в двух больших направлениях. В одном из них авторы обобщают технику П. Лакса на более общие случаи (см., например, [42,62,53]). Другое направление посвящено выяснению условий глобального существования непрерывного решения (см., например, [41, 54, 60, 56]). Отметим, что в относящейся к последнему направлению работе С. Клайнермана [46], на которую часто ссылаются, в доказательстве существенно используется тот факт, что число пространственных переменных не меньше шести. Здесь проявляется пока не вполне изученный факт зависимости возможности глобальной разрешимости от числа пространственных переменных (см., например, [47,48,43]), однако в соответствии с направлением нашей работы мы этой проблематики подробно касаться не будем. Отметим в связи с этим только то, что как метод доказательства, так и полученные для случая многих переменных результаты не всегда могут быть автоматически перенесены на случай одной пространственной переменной, т. е. на обсуждаемый нами случай двух независимых переменных, хотя в ряде случаев такое перенесение, конечно, возможно. Если независимых переменных только две, то могут быть использованы специфические методы, характерные именно для этого случая, что, вообще говоря, позволяет ослабить исходные предположения и усилить получаемые результаты. Поэтому кратко охарактеризуем технику доказательств.
В технике получения результатов можно выделить три основных направления. Во-первых, применение метода аппроксимации гладких функций аналитическими (см., например, работы М. Кшижанского и Ю.Шаудера [49] или А.Дуглиса [36]). Во-вторых, применение метода конечных разностей (см., например, работы О. А. Ладыженской [7,8]).
Эти методы сравнительно мало чувствительны к количеству пространственных переменных. В-третьих, метод характеристик, специфичный прежде всего для случая одной пространственной переменной. В последнем случае этот метод оказался наиболее привлекательным, и значительная часть работ так или иначе использует именно метод характеристик. Используя широко распространившиеся после появления работы [1] и немного модернизированные обозначения, суть этого метода можно пояснить на примере смешанной задачи для гиперболических систем квазилинейных уравнений [9].
В прямоугольнике
П(Т) = {(х, t) | 0 < I < I,0 < t Т}, Т > О, I > 0,	(1.6)
рассмотрим систему (1.4) со следующими начальными и краевыми условиями:
и(т,0) = а(т), 0 < х < t, а := (ai,... ,ат),	(1.7)
Uj(O,t) = 7?(t,u(0,t)), г G 1° := {г | sgn АДО, t, u) = 1},	(1.8)
t) = 7^(i, и(^, £)), г е/£ := {г | sgnAj(^, i,u) = —1},	(1.9)
где функции а, 70 = {7? | г G 1°}, уе = {7^. | г G /£} заданы. При этом предполагается, что
sgnAj(0,i,u) = const; sgnAj(^, t,u) = const. (1.10)
Предположим, что функции А = (А>,..., Ат), а и f = (Ji,..., Jm) непрерывны, причем А и f локально липшицевы по х и локально по и с константами , Л 2 для А и Fj, F2 для f соответственно; а липшицева по х с константой Aj; функция 7 = (7°,7f) непрерывна и липшицева по t и локально по и с константами Г1, Г2 соответственно.
Для обеспечения непрерывности решения предположим выполнение условий согласования нулевого порядка
7°(0, а(0)) = оц(0), г G 1°,	7?(0,а(£)) = аД^), i G Я. (1.11)
Предположим также, что краевые условия являются «правильно поставленными» (см., например, [4]), т.е. функции 7° не зависят от ид, (k G ), а функции 7/ не зависят от (k G /£).
Обозначим через А, Л, Г, F верхние грани функций |а|, ]А|, |7|, |/| в ограниченных областях их определения, которым должно принадлежать искомое решение. Рассмотрим пространство В°(Т") непрерывных функций и: П(Т) —> Rm с равномерной нормой.
Решение задачи
ii = АДт, t, и(х, t)), т(£°) = х°, и = и°ЕВ°(Т), i =
(1-12) назовем характеристикой г-го семейства, соответствующей функции и. Заметим, что характеристика системы квазилинейных уравнений (в отличие от полулинейных) существенно зависит от этой функции и. Характеристику будем обозначать так: <д,(£; х°, t°, гг°).
Примечание. Условия, наложенные на функции А, обеспечивающие существование и единственность характеристик (как и условия на функции f), можно ослабить, заменив их, например, условиями Каратеодори. Однако мы не будем стремиться к формулировке максимально общих условий, которые можно найти в литературе, приведенной в конце настоящего обзора.
Предположим, что для функции и характеристики, продолженные в направлении убывания t, достигают границы прямоугольника П(Т) и пусть Xi(x°, t°, u°) — это минимальное значение t, для которого решение задачи (1.12) существует в П(Т). Для i = l,...,m введем в рассмотрение множества
П“(и) = {(x,t) | Xi(x,t,u) = 0},
П°(и) = {(х, t) | Xi(.x, u) > °, VitXitx, t, u); x, t, u) = 0},
П-(и) = {(x,t) I Хг(т, i,u) > 0, </>i(xi(a:, £,u);t, i,u) = £}.
Для i = 1,..., m, и £ B°(T) рассмотрим операторы
[ 7?(Xi(^,t,«),u(0,Xi(x,t,u))), (x,t) e П?(и),
3?2[u](T,t) = < ai((pi(0;x,t,u)),	(x,t) G П“(и),
I li(Xi(x,t,u),u(e,Xi(x,t,u)Y), (x,t) e nf(u),
Gi[u](a:>0= /	x-. u), T, u(‘Pi(x; x, t,u), r)) dr-,
Jxi(x,t,u)
ГЦи] = ^i[u] + ^i[u]> О = (П1, . . . ,n„i).
Определение. Пусть и* G B°(T) и
и* = П[и*].	(1.13)
Назовем и* непрерывным обобщенным решением задачи (1-4), (1.7)-(1.9).
Примечание. Определение обобщенного решения как решения системы интегро-операторных уравнений (1.13) позволяет рассматривать не только непрерывные, но и разрывные решения (для гиперболических систем полулинейных уравнений это сделано в работе [1]). В случае систем квазилинейных уравнений из-за разрывности функции и может быть нарушена единственность продолжения характеристик, поэтому без дополнительных предположений распространить такое определение на разрывные решения, вообще говоря, нельзя.
Техника доказательств (зачастую довольно громоздкая) обычно использует теорему о неподвижной точке применительно к системе интегрооператорных уравнений (1.13). В зависимости от вида изучаемой задачи (задача Коши, задача со свободной границей, варианты задачи Гурса и другие задачи) соответственно изменяется и вид операторов в правой части (1.13), которые получаются путем интегрирования правых частей исходной гиперболической системы вдоль соответствующих характеристик и учета вида дополнительных условий.
В следующих разделах мы остановимся на некоторых возможных постановках задач для гиперболических систем и на некоторых нерешенных вопросах.
2.	Задача Коши
Естественная степень общности возможности построения классического решения задачи Коши для случая гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными была достигнута в работах А.Дуглиса [36] и Ф. Хартмана и А. Винтнера 40], обобщивших результаты К. Фридрихса [37] и Р. Куранта и П. Лакса [33].
А. Дуглис [36] с помощью гладкой аппроксимации данных задачи и последующего предельного перехода, а Ф. Хартман и А. Винтнер [40] с помощью метода характеристик доказали существование и единственность классического (гладкого) решения задачи Коши для квазилинейной системы при предположении о том, что начальные условия, коэффициенты и правые части системы уравнений обладают лишь первыми непрерывными производными в соответствующих областях.
Несколько иное доказательство этих же результатов приведено в книге Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко [17].
Подчеркнем, что все упомянутые выше результаты относились к построению классического решения задачи Коши. Исключение, пожалуй, составляла лишь та часть работы Ф. И. Франкля [26], в которой рассмотрены линейные уравнения и решения понимаются в обобщенном смысле, т. е. как такие непрерывные функции, для которых уравнения системы выполняются почти всюду.
Позднее этот подход к обобщению понятия решения был развит в работах М. Чинкуини-Чибрарио [31,32], Л. Чезари [30] и П. Бассани-ни [28], посвященных задаче Коши для гиперболических систем квазилинейных уравнений с многими независимыми переменными.
Все сказанное относительно квазилинейных систем относилось к локальной разрешимости задачи Коши. Значительные трудности построения глобального решения связаны с возможностью пересечения характеристик одного и того же семейства и образования разрывов решения, что, как видно из работ П. Лакса [50] и Ф. Джона [42] (см. также [53]), довольно обычно для квазилинейных гиперболических систем. Основные усилия в этом направлении были связаны с построением обобщенного решения, включающего и разрывный случай. Наиболее значительные результаты общего характера здесь были достигнуты Дж. Глиммом [39] (см. также [68,2,52]). Однако интерес представляют и условия, при которых такого пересечения характеристик не наступает. Так, Б. Л. Рождественским и А. Д. Сидоренко [16] был исследован случай, когда задача Коши для слабо нелинейной системы из двух уравнений может быть разрешена в классическом смысле глобально. В сильно нелинейном случае для однородной системы из двух уравнений Дж. Джонсоном [44] были получены достаточные условия глобального существования непрерывного решения задачи Коши. Условия глобаль
ного существования гладкого решения задачи Коши для однородных систем из т уравнений были получены в работе Д. Хоффа [41]. Достаточные условия существования непрерывного обобщенного решения задачи Коши для неоднородных систем из т уравнений были получены в работе [9].
3.	Смешанная задача
По-видимому, первый достаточно общий результат, относящийся к разрешимости нелинейной смешанной задачи, был получен Н. Кши-жанским и Ю. Шаудером [49]. В этой работе доказана локальная разрешимость смешанной задачи для квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка с любым числом пространственных переменных при достаточной гладкости всех коэффициентов, правых частей, а также краевых и начальных условий. Применительно к случаю одной пространственной переменной для разрешимости задачи требуется существование непрерывных производных до шестого порядка включительно от исходных данных. Доказательство упомянутых результатов в [49] состоит в получении по методу Ковалевской соответствующих утверждений для аналитических коэффициентов и исходных данных и последующей аппроксимации гладких функций аналитическими.
В 1960 г. появилась работа [1], в которой был рассмотрен вопрос существования и единственности решения смешанной задачи для системы полулинейных уравнений, записанной в канонической форме (1.4). Отметим, что на самом деле в [1] рассмотрена более общая задача, в которой предполагалось, что правые части и граничные условия могут содержать еще некоторые операторы типа Вольтерра, позволяющие учесть и запаздывание аргумента.
Техника доказательств, использованная в [1], впоследствии получила свое развитие, что позволило перенести ее на квазилинейный случай. Для систем квазилинейных уравнений теорема о локальном существовании непрерывного обобщенного решения смешанной задачи (1.4), (1.7)—(1.9) была получена в работе [9], а условия, при которых обобщенное непрерывное решение является классическим — в работе [20]. В последней работе приведены и теоремы о непрерывной зависимости в равномерной норме непрерывного обобщенного решения смешанной задачи от начальных и краевых условий, а также от правых частей системы и функций А.
Пусть функция и G В°(Т) удовлетворяет условию Липшица по х (0 t Г) с константой ДДи) и по t при т = 0ит = ^с константой Д2(и). Обозначим через Z/1)) С В°(Т) подпространство
В1(Т,£<1)) = {и е В°(Т)| max(Li(u),L2(u)) Д(1)}.
В работе [9] доказано существование в пространстве B1(7i, L^) с достаточно большой константой Липшица единственного решения смешанной задачи (1.4), (1.7)-(1.9). При этом < 1 и значение
константы зависит сложным образом от констант, характеризующих исходные данные: А, А], Л, Лх, Г, Г1, F, Fi.
Конечно, можно последовательно применять эту теорему (о локальной разрешимости) для отрезков времени [0,71], [Т^Тг], Рг,7з],..., принимая на каждом к-м шаге за начальные условия значения уже построенной функции и при t = Tk-i- Тогда решение каждый раз строится в соответствующем подпространстве В1 со все возрастающей оценкой для константы Липшица . Однако в общем случае получается, что ряд	сходится, что, вообще говоря, не дает возможности
построить непрерывное решение глобально. В работах [20,10] приведены достаточные условия расходимости этого ряда. Однако для этого пришлось наложить на задаваемые функции определенные условия монотонности, вызванные существом задачи, а также предположить, что граничные условия являются не только линейными, но и имеют достаточно специальный вид:
щ(ОА) = 7°(i), i е 1°;	ielL-
Техника доказательств, развитая в [1,9,20,21], позволила впоследствии ряду авторов (см., например, работы Ю.Туро [63]—[67], 3. Камонта и Ю.Туро [45], П. Бассанини и Ю.Туро [29]). В этих работах схема рассуждений, использовавшаяся для чисто дифференциальных уравнений, перенесена на функционально-дифференциальные уравнения, что, впрочем, не потребовало принципиальных изменений в технике доказательств.
Отметим, что недавно, путем определенной модернизации этой техники, нам удалось получить теорему о глобальной разрешимости и для нелинейных краевых условий общего вида (1-8), (1.9).
4.	Другие постановки задач для гиперболических систем
В этом разделе мы кратко остановимся на некоторых других возможных постановках задач для гиперболических систем, ограничившись, как и раньше, в основном случаем квазилинейных уравнений.
В работе Чезари [30] в качестве обобщения задачи Коши изучалась гиперболическая система из т квазилинейных уравнений в канонической форме, причем начальные условия для этой системы задаются по одному на каждом из т временных слоев: t = ai; t =	.. ,\t = ат.
При определенных условиях в [30] получена локальная теорема существования решения.
В работе Ли Да-Цзун и Ю Вен-Цзу [55] рассмотрена своеобразная задача (так называемая «задача без начальных условий») для гиперболической системы квазилинейных уравнений в канонической форме Шаудера (1.5). Эта система рассматривается в области, имеющей вид криволинейного треугольника с вершиной в начале координат и ограниченной с одной стороны характеристикой, с другой стороны неизвестной кривой, на которой заданы дополнительные условия, и сверху горизонталью t = 5. Рассмотрены также некоторые обобщения этой
задачи, сводящиеся к множеству областей такого «треугольного» типа с общей вершиной в начале координат. Для этих задач получены теоремы о локальной (по i) разрешимости.
В работе К. Ю. Казакова и С. Ф. Морозова [5] рассмотрена задача Стефана для системы, записанной в канонической форме (1.4). Система рассматривается в «криволинейном прямоугольнике», ограниченном с боков заданными линиями и разбитом на две подобласти неизвестной кривой. Эта неизвестная кривая является решением обыкновенного дифференциального уравнения, связывающего значения решения и рассматриваемой гиперболической системы справа и слева от неизвестной линии раздела. Под решением понимается классическое в каждой из подобластей решение, имеющее разрыв на линии раздела.
В работе [22] рассмотрен новый класс задач, возникший в связи с некоторыми задачами физики твердого тела. Этот класс интересен, в частности, тем, что часть характеристик горизонтальна, что позволяет дать своеобразную интерпретацию решений: часть возмущений распространяется с ограниченной скоростью, а часть — с бесконечной. Речь идет о системах вида
' (и;)4 + Xt(i, t, u,v)(ui)x =	г = 1,..., m;
< (Vj)x = 4j(x,t,u, v),	j = l,...,n;	(4.1)
, (Sfc)t = rk(t, s, u(sk, t), v(sfe, t)),	fc = 1,..., n;
в прямоугольнике П(Т). При этом для функций щ задаются не только обычные условия (1.7)-(1.9), но еще и на неизвестных линиях, расположенных внутри прямоугольника П(Т) (этим линиям отвечает последняя группа уравнений в системе (4.1)), задаются дополнительные соотношения, связывающие искомые решения. Это делает такую задачу в чем-то сходной, с одной стороны, с задачей Валле-Пуссена (для уравнений с частными производными в иной постановке, сходной с постановкой задач в [30], такие задачи рассмотрены, например, в [14]), а с другой стороны, с задачей Стефана. В [22] получены теорема о локальной разрешимости и некоторые достаточные условия глобальной разрешимости, аналогичные приведенным в работах [21,10].
5.	Некоторые проблемы
Система
Г vt - a'{w)wx = 0,
( wt - vx = 0
является одной из наиболее часто встречающихся в приложениях. Эта система или соответствующее уравнение второго порядка
utt - <т'(их)ихх = 0	(5.1)
является математической моделью продольных колебаний (u(x,t) — продольное перемещение сечения х) одномерной сплошной среды
с нелинейной зависимостью напряжения а(их) от величины относительной деформации их. Для определенности будем говорить об уравнении (5.1), поскольку такая модель чаще встречается именно в виде этого уравнения, а не соответствующей ему системы. В частности, это уравнение является одним из тех уравнений, которые встречаются при построении континуальных аналогов в уже упоминавшейся выше знаменитой задаче Ферми-Паста-Улама (см., например, [69]) об отыскании периодических решений в задаче о колебаниях одномерной цепочки материальных точек, соединенных нелинейными связями.
Кратко напомним схему получения этого континуального аналога. Колебания упомянутой цепочки можно описать следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений
ту.,.= Ф(Д7+1) - Ф(Д7), т > О, Д5 = yj -	(5.2)
где A I—> Ф(Д) — заданная функция и yj(t) — перемещение точки с номером j в момент времени t. Введем положительную константу h, играющую роль расстояния между точками в статически равновесном состоянии. Пользуясь формальными разложениями функций Ф и у3 и ограничившись конечным числом слагаемых, получим уравнение
м к2п
mult(jh,t) = 20'(О) 52 — — (jfc.t) +
П=1 '	'
Ml
+Е
9=2
(5-3)
Пусть функция Д I—» Ф(Д) имеет вид
Ф(Д) = ЕД + B|A|psgn Д,	(5.4)
причем р > 1, Е =4 О, В =4 0. Тогда зависимость (5.4) будем называть слабо нелинейной, поскольку при малых |Д| вторым слагаемым в этой зависимости можно пренебречь. В этом случае при р = 2 или р = 3 соответствующее уравнение с частными производными (5.3) приводит к уравнению Буссинеска относительно функции их. При дальнейшем анализе этого уравнения возникает уравнение Кортевега-де Фриза, которому посвящена обширная литература (см., например, библиографию в книге [35]). Если же Е = 0, то такую зависимость (5.4) естественно назвать сильно нелинейной. В этом случае возникает уравнение
utt = pBhp\ux\p~1uxx,	(5.5)
рассмотренное в [19]. Это уравнение интересно тем, что для него можно явно построить серию частных решений вида стоячих волн
u(x,t) = 0(t)i/>(a:),	(5-6)
где функции х >—» 'ib(x') являются периодическими решениями уравнения
tf/'|V>'|p_14-AV> = 0, V>(0) = ф{1) = 0 (т/>'(0)>0),	(5.7)
а функции 11—> 0(t) — периодическими решениями уравнения
в + XpBhp\0\p = 0.	(5.8)
Здесь А — нелинейный аналог собственных значений. Более подробно эти результаты и их обобщения изложены в [13, 19, 23, 24]. Заметим, что уравнения типа (5.7), (5.8) встречаются в теории приближений (см., например, [18, 3]), а нелинейные аналоги собственных значений А связаны с колмогоровскими поперечниками некоторых Соболевских классов функций. В линейном случае большее значение А соответствует меньшему значению поперечника, что в свою очередь соответствует лучшему приближению решения с помощью конечной суммы ряда Фурье. И хотя этот результат в нелинейном случае допускает некоторую интерпретацию в виде задачи для континуального аналога р-эллипсоида [22], все же роль нелинейных аналогов собственных функций х н-» тр(х') и соответствующих нелинейных аналогов собственных значений А до сих пор остается невыясненной.
С другой стороны, с формально математических позиций, на решениях вида (5.6) происходит ветвление характеристик (нарушаются условия единственности для уравнения характеристик), из чего можно было бы сделать вывод о том, что такие решения являются «формальными» и «ненаблюдаемыми». Тем не менее, представляющие очевидный физический интерес упомянутые выше стоячие волны оказались удивительно устойчивыми в следующем смысле. Добавление в уравнение (5.5) слагаемых, соответствующих внешнему сопротивлению и внутренней вязкости [19,23,24] и даже гистерезиса [25], не изменяет факта наличия решений в виде стоячих волн (5.6), где функция х н-» ‘ф(х) удовлетворяет тому оке самому уравнению (5.7) (см., например, [19] и [22]).
Поэтому интерес представляет как дальнейшее изучение свойств таких решений, так и разработка теории гиперболических систем с возможным нарушением условий единственности характеристик. В последнем случае, по-видимому, необходимо добавлять какие-то дополнительные требования, помогающие выделять «истинные» решения (например, типа условий устойчивости ударных волн).
Наконец, отметим, что большое распространение получило возникшее после работы П. Лакса [51] понятие обобщенного решения, использующее запись систем в виде законов сохранения, т. е. в дивергентной форме
ut + (Ф(и))х = 0.	(5.9)
Это понятие позволяет рассматривать в качестве обобщенных решений не только не гладкие непрерывные функции, но и разрывные. Однако существуют примеры [15] гиперболических систем, которые можно записать в канонической форме (1.4), но нельзя записать в дивергентной форме (5.9). Поэтому определение обобщенного решения в смысле П. Лакса заведомо не шире, чем определение обобщенного решения в смысле (1-13) (обратное утверждение, впрочем, тоже верно). В связи
с этим интерес представляет вопрос о взаимосвязи этих двух подходов для непрерывных не гладких решений в непустой области пересечения соответствующих определений.
Список литературы
1.	Аболиня В. Е., Мышкис А. Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Матем. сбор. — 1960. — Т. 50 (92), №4. - С. 423-442.
2.	Бахвалов Н. С. О существовании в целом регулярного решения квазилинейной гиперболической системы // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1970. — Т. 10, №4. — С. 969-980.
3.	Буслаев А. П., Тихомиров В. М. Спектры нелинейных дифференциальных уравнений и поперечники соболевских классов // Матем. сбор. — 1990. - Т. 181, № 12. - С. 1587-1606.
4.	Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 416 с.
5.	Казаков К. Ю., Морозов С. Ф. Об определении неизвестной линии разрыва решения смешанной задачи для квазилинейной гиперболической системы // Украинский матем. журнал. 1985. — Т. 37, №4. — С. 443-450.
6.	Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. — 830 с.
7.	Ладыженская О. А. О применении метода конечных разностей к решению задачи Коши для гиперболических систем // ДАН СССР. — 1953. — Т. 88, №4. — С. 607-610.
8.	Ладыженская О. А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // Труды третьего всесоюзного математического съезда. Том 2. — 1956. — С. 13-16.
9.	Мышкис А.Д., Филимонов А. М. Непрерывные решения квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Дифференциальные уравнения. — 1981. — Т. 27, .№3. — С. 488-500.
10.	Мышкис А. Д., Филимонов А. М. Непрерывные решения квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Труды II международной конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям. — Руссе (Болгария), 1982. — С. 524-529.
11.	Петровский И. Г. О проблеме Коши для системы уравнений с частными производными // Избранные труды. — Наука, 1986. — С- 34-97.
12.	Петровский И. Г. Некоторые замечания к моим работам о задаче Коши // Математический сборник. — 1956. — Т. 39 (81). — с. 267-272.
13.	Похожаев С. И. О периодических решениях некоторых нелинейных гиперболических уравнений // ДАН СССР. — 1971. — Т. 198, №6. — С. 1274-1277.
14.	Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. — Киев: Наукова думка, 1984. - 264 с.
15.	Рождественский Б. Л. О консервативности систем квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук. — 1959. — Т. 14, №2. — С. 217-218.
16.	Рождественский Б. Л., Сидоренко А. Д. 0 невозможности «градиентной катастрофы» для слабо-нелинейных систем // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. — 1967. — Т. 7, №5. — С. 1176-1179.
17.	Рождественский Б. Л., Яненко Н. И. Системы квазилинейных уравне-
ний. — М.: Наука, 1978. — 688 с.
18.	Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.: Изд-во МГУ, 1976. — 304 с.
19.	Филимонов А. М. Периодические решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения. — 1976. - Т. 22, № 11. - С. 2076-2084.
20.	Филимонов А. М. Достаточные условия глобальной разрешимости смешанной задачи для квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными. — М.: ВИНИТИ, 1981. — 14 с.
21.	Филимонов А. М. Локальная разрешимость смешанной задачи для гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными. — М.: ВИНИТИ, 1982. — 71 с.
22.	Филимонов А. М. Задачи Стефановского типа для гиперболических систем квазилинейных уравнений с вырождением. — М.: ВИНИТИ, 1983. - 19 с.
23.	Филимонов А. М. Точные решения некоторых задач о колебаниях одномерной сплошной среды с нелинейной наследственностью и особенности соответствующих нелинейных спектральных задач // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1992. — Т. 27, №6. — С. 121-128.
24.	Филимонов А. М. Континуальные и дискретные модели ограниченных одномерных сред в теории вязкоупругости // Прикладная матем. и механика. — 1997. — Т 61, №2. - С. 285-296.
25.	Филимонов А.М. Стоячие волны в нелинейной одномерной сплошной среде с гистерезисом // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1991. — Т. 26, №6. — С. 57-59.
26.	Франкль Ф. И. О задаче Коши для нелинейных и линейных уравнений гиперболического типа второго порядка в частных производных // Мат. сб. - 1937. - Т. 2 (44), №5. - С. 793-811.
27.	Христианович С. А. Задача Коши для нелинейных уравнений гиперболического типа // Мат. сб. — 1937. — Т. 2 (44), №5. — С. 871-897.
28.	Bassanini Р. Su una recente dimonstrazione cira il problema di Cauchy per sistemi quazi lineari iperbolici // Bolleteno V.M.I. — 1976. — V. 5. — P. 322-335.
29.	Bassanini P., Turo J. Generalized solutions to free boundary problems for hyperbolic systems of functional partial differential equations // Annali di Matematica Рига ed Applicata. — 1990. — V. 156. — P. 211-230.
30.	Cesari I. A boundary value problem for quazilinear hyperbolic systems // Riv. Mat. Univ. Parma. — 1974. — V. 3, №3. — P. 107-131.
31.	Cinquini-Cibrario M. Sistemi di equazions alle derivate parziali in piu variabili independent! // Ann. Mat. Рига Appl. 1957. — V. 4, №44. — P. 357-417.
32.	Cinquini-Cibrario M. Teoremi di unicita per sistemi di equazioni a derivate parziali in piu variabili independent! // Ann. di Mat. — 1959. — V. 4, №46. — P. 103-134.
33.	Courant R., Lax P. On nonlinear partial differential equiations with two independent variables // Comm. Pure. Appl. Math. — 1949. — V. 2. — P. 255-273.
34.	Debye P. Vortrage ober die Knetische Theorie der Materie und der Electrizitat. — Leipzig, Germany, 1916.
35.	Додд P., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988.
36.	Douglis .4. Some existence theorems for hyperbolic systems of partial differential equations in two independent variables // Communication on Pure and Applied Mathematics. — 1952. — V. 5, № 1. — P. 119-154.
37.	Friedrichs K. Nonlinear hyperbolic differential equations for junctions of two independent variables // American Journal of Mathematics. — 1948. — V. 70. - P. 555-588.
38.	Friedrichs K., Lewy H. Das Anfangswertproblem einer beliebigen nichtlinearen hyperbolischen Differentialgleichung beliebiger Ordnung in zwei Variablen. Existenz, Eindeutigkeit und Abhangigkeitsbereich der Losung // Math. Annalen. — 1928. — V. 99. — P. 200-221.
39.	Glimm J. Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations // Communication on Pure and Applied Mathematics. — 1965. — V. 18. - P. 697-715.
40.	Hartman F., IVintner A. On hyperbolic differential equations // Amer. J. Math. - 1952. - V. 5. - P. 834-864.
41.	Hoff D. Globally Smooth Solutions of Quasilinear Hyperbolic Systems in Diagonal Form // Journal of Math. Anal, and Applications. — 1982. — V. 86. — P. 221-236.
42.	John F. Formation of singularities in one-dimentional nonlinear wave propagation // Communication on Pure and Applied Mathematics. — 1974. — V. 27, №2. - P. 377-405.
43.	John F., Klainerman S. Almost Global Existence to Nonlinear Wave Equations in Three Space Dimensions // Communication on Pure and Applied Mathematics. — 1984. — V. 37. — P.443-455.
44.	Johnson J. L. Global continuous solutions of hyperbolic systems of quasi-linear equations // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — V. 73, №5. - P. 639-641.
45.	Kamont Z., Two J. On the Cauchy Problem for Quasilinear Hyperbolic system of partial differential equations with a retarded argument // Unione Matematica Italiana Bolletino. B, Ser 6. — 1985. — V. 4, №3. — P. 901-916.
46.	Klainerman S. Global Existence for Nonlinear Wave Equations // Communication on Pure and Applied Mathematics. — 1980. — V. 33. — P. 43-101.
47.	Klainerman S. On “Almost Global” Solutions to Quasilinear Wave Equations in Three Space Dimensions // Communication on Pure and Applied Mathematics. — 1983. — №34. — P. 325-344.
48.	Klainerman S., Ponce G. Global, Small Amplitude Solutions to Nonlinear Evolution Equations // Communication on Pure and Applied Mathematics. — 1983. — №36. — P. 133-141.
49.	Krzyzanski M., Schauder J. Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung von hyperbolischen Tipus Gemischte Randwertaufgaben // Studia Math. — 1936. - V. 6. — P. 162-189.
50.	Lax P. Development of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations // J. Math. Phys. — 1964. — V. 5, №5. — P. 611-613.
51.	Lax P. Hyprebolic systems of conservation laws, II // Communication on Pure and Applied Mathematics. — 1957. — V. 10, №4. — P. 537-566.
52.	Li Ta-tsien, Kong De-xing. Global Classical Discontinuous Solutions to a Class of Generalized Riemann Problem for General Quasilinear Hyperbolic Systems of Conservation Laws // Communications in Partial Differential Equations. — 1999. - V. 24, №5, 6. — P. 801-820.
53.	Li Ta-tsien, Kong De-xing. Breakdown of Classical Solutions To Quasilinear
Hyperbolic Systems // Nonlinear Analysis. — 2000. — №40. — P. 407-437.
54.	Li Ta-tsien, Qin Tiehu. Global Smooth Solutions For A Class Of Quasilinear Hyperbolic Systems With Dissipative Terms // China Ann. of Mathematics. — 1985. — V. 6b, №2. — P. 199-210.
55.	Lee Da-Tsin, Yu Wen-Tzu. Boundary value problems for the first-order quasilinear hyperbolic systems and their applications // Journal of Differential equations. — 1981. — V. 41, № 1. — P. 1-26.
56.	Li Ta-tsien, Zhou Yi, Kong De-xing. Weak Linear Degeneracy And Global Classical Solutions For General Quasilinear Hyperbolic Systems // Communications in partial differentional equations. — 1994. — №19. - P. 1263-1317.
57.	Levi E. Sul problema di Cauchy per le equizioni a caratteristice reali e distine // Rend, reale accad. lincei. Ser. 5a. — 1908. — V. 18, №1. — P. 331-339.
58.	Levi E. Sul problema di Cauchy per le equizioni lineari in due variabili a caratteristice reali. I, II // Rend. 1st. Lombardo. Ser. 2. — 1908. — №41. — P. 409-428, 691-712.
59.	Lewy H. Uber das Anfangswertproblem bei einer hyperbolischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhangigen Veranderlichen // Math. Annalen. — 1927. — V. 98. — P. 179-191.
60.	Qin Tiehu. Global Smooth Solutions of Dissipative Boundary Value Broblems For First Order Quasilinear Hyperbolic Systems // China Ann. of Mathematics. — 1985. — V. 6b, №3. — P. 289-298.
61.	Shauder J. Das Anfangswertproblem einer quasilinearen hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung // Fund. Math. — 1935. — V. 24. — P. 213-246.
62.	Tai-Ping Liu. Development of Singularities in the Nonlinear Waves for Quasilinear Hyperbolic Partial Differential Equations // Journal of Differential Equations. — 1979. — V. 33. — P. 92-111.
63.	Turo J. Generalized solutions to functional partial differential equations of the first order // Zeszyty Naukowe Politechniki Gdanskie J. (Matematika). — 1988. — V. 14, №427. - P. 1-98.
64.	Turo J. Local generalized solutions of mixed problems for quasilinear hyperbolic systems of functional partial differential equations in two independent variables // Annales Polonici Mathematici. — 1989. — V. 49. — P. 259-278.
65.	Turo J. Generalized solutions of mixed problems for quasilinear hyperbolic systems of functional partial differential equations in the Schauder canonic form // Annales Polonici Mathematici. — 1989. — V. 50. — P. 157-183.
66.	Turo J. Global solvability of the mixed problem for first order functional partial differential equations // Annales Polonici Mathematici. — 1991. — V. 52. - P. 231-238.
67.	Turo J. Mixed problems for quasilinear hyperbolic systems // Nonlinear Analysis. — 1997. — V. 30. — P. 2329-2340.
68.	Yamaguti M., Nishada T. On some global solution for quasilinear hyperbolic equations // Funkcialaj Ekvacioj. — 1968. — V. 11, № 1. — P. 51-57.
69.	Zabusky N. Exact solution for the vibration of nonlinear continuous model string // J. Math. Phys. — 1962. - V. 5, №3. — P. 1028-1039.
СУЩЕСТВОВАНИЕ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ1)
Г. А. Рудых, Э. И. Семенов
1. Введение
Настоящая работа является некоторым итогом исследований проведенных авторами в течение последнего десятилетия и носит по своей сути обзорный характер, так как основная часть результатов, приведенных ниже, опубликована в центральной печати [1, 2, 38-44]. Однако, следуя принципу «нельзя объять необъятное», нам пришлось оставить за рамками данной статьи некоторые интересные результаты, в частности, касающиеся одномерного уравнения нелинейной диффузии и систем квазилинейных параболических уравнений [38, 39, 45-47]. Кроме того, мы считаем своей приятной обязанностью указать наиболее близкие публикации других авторов (3-17], которые стимулировали наши исследования.
Работа посвящена конструктивному построению точных неавтомодельных, анизотропных по пространственным переменным, явных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии
ut = V • (uAVu), u = u(x,t): П х 5?+-> 5?+, х G Э?п, (1-1) и исследованию их качественных свойств, где П С Э?п — область; = = (0, оо); A G Э?\{0}; u(x,t) 0. Уравнение (1.1) возникает во многих задачах математической физики и, в частности, при А 6 Э?+, принадлежит классу так называемых неявно вырождающихся параболических уравнений [18, 19]. Последнее означает, что при u(x,i) = 0 исследуемое уравнение из нелинейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка типа Гамильтона-Якоби. С вырождением уравнения (1.1) связаны некоторые особые свойства решений последнего, например, конечность скорости распространения носителей решений [19]. В свою очередь, с конечностью скорости распространения носителей решений уравнения (1.1), при A G Э?+, связаны многие другие типичные свойства [18, 19]: наличие режимов с обострением (отсутствие глобальных по времени решений), эффектов локализации,
г) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке фонда INTAS, грант INTAS-OPEN №2000-0015.
инерции (конечной или бесконечной временной задержки) начала распространения носителя решения и т. д. С другой стороны, для уравнения (1.1), при А € Э?_, типичным является свойство обращения в нуль за конечное время его неотрицательного решения (см. [19] и имеющиеся там ссылки).
Ниже предлагается и исследуется нетривиальная конструкция точного неотрицательного решения уравнения (1.1) в виде «конечной суммы» [9], которое в зависимости от параметра нелинейной среды А € € Э?\{0} описывает различные процессы распространения тепла и диффузии. В итоге, после подстановки предъявленной конструкции в уравнение (1.1), приходим к исследованию конечномерной переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций) системы алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Известно [20], что переопределенные системы уравнений могут вообще не иметь решений. Доказано, что полученная система АДУ имеет решения, отличные от тривиального. На основе этого показано, что введенная конструкция позволяет получить (а с использованием результатов качественного исследования решений задачи Коши (3.10), изложенных в заключительной части раздела 3, и проанализировать) точные неотрицательные решения как класса уравнений пористой среды (ньютоновской нестационарной фильтрации), когда А € Э?+, так и класса уравнений быстрой диффузии, когда А € Э?_. В частности, в последний класс укладывается уравнение
ut = Alnu, и = u(x, t): П х Э?+ —> Э?+, х € 5?п,	(1.2)
двумерный (по пространственным переменным) аналог которого является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа Ли допустимых преобразований бесконечномерна [3, 21-23]. При п = 2, согласно общепринятой терминологии, (1.2) — предельное уравнение быстрой диффузии, которому в этой работе будет уделено особое внимание. Наконец, отметим, что полученные в разделах 5-7 этой работы точные неотрицательные решения отмеченных выше уравнений не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда [21, 22].
Представим уравнение (1.1) в виде переопределенной [20] относительно u(x, t) системы
щ + V  (uf(x, t)) = 0,	(1.3)
f(x, t) = —	(1.4)
где f (x, t) € 3?n — достаточно гладкая по x, t вектор-функция. Соотношение (1.3) при заданной вектор-функции f(x, t) является уравнением Лиувилля [24] относительно u(x, t) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
x = f(x, t), х = 4-х, хёГ	(1.5)
at
Так как переопределенная система уравнений (1.3), (1.4) может вообще не иметь решений, то для установления факта существования ее
решений и степени их произвола необходимо провести анализ совместности [20] последней. В связи с этим следующий результат, основанный на теореме о потенциальных операторах [25, 26], является ключевым в дальнейших исследованиях.
Утверждение 1. Пусть компоненты вектор-функции f(x,t) связаны условиями
=	i^j,	(1.6)
UXi	OXj
тогда функция
u(x,t) = [AF(x,t)]y\	(1.7)
F(x, t) = — [ (f(rx, t), x) dr,	(1.8)
Jo
определяемая из соотношения (1.4) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (1-3), является точным неотрицательным решением уравнения нелинейной диффузии (1.1). Помимо этого, для того, чтобы переопределенная относительно u(x,t) система (1.3), (1.4) была совместной:
1) достаточно, чтобы скалярная функция F(x, t) удовлетворяла
уравнению
Ft = XFAF + | VF|2,	(1.9)
2) необходимо и достаточно, чтобы вектор-функция f(x,t) удовлетворяла уравнению
f( = V
(1-Ю)
где [-]+ = тах{[-], 0}; (•, •) — скалярное произведение в №п; Л G 3?; Л =4 0.
Доказательство. Прежде всего отметим [25], что для потенциальности векторного поля f(x, t) G 3?п, определяемого формулой f(x, t) = Vf7(x, t), необходимо и достаточно, чтобы его компоненты удовлетворяли соотношениям (1.6). При этом соответствующий потенциал [7(х, t) определяется, согласно теореме о потенциальных операторах, по формуле [26]
С7(х, t)= [ (f(rx, t), x)dr + С, C G 3?. Jo
Итак, из соотношения (1.4) следует справедливость формулы (1.7), в которой функция F(x, t) определяется согласно (1.8). Подставляя функцию (1.7) в уравнение Лиувилля (1.3), приходим к нелинейному эволюционному уравнению типа нелинейной диффузии (1.9). Причем из (1.4), (1.7) имеем
VF(x,t) =-f(x,t).	(1.11)
Тем самым из (1.11) следует, что потенциал F(x,t) определяется формулой (1.8). Помимо этого система ОДУ (1.5) принимает вид градиентной динамической системы х = — VF(x, t), которая [27], вообще
говоря, не поддается явному интегрированию. Покажем, что уравнение (1.9) является достаточным условием совместности переопределенной относительно u(x, t) системы
щ = [AF + u-a|VF|2]u, Vu = u1"aVF, (1.12)
получаемой из (1.3), (1.4) с учетом (1.11). Действительно, расписывая условие совместности системы (1.12) и учитывая, что u(x, t) 0, получим
= —u1-AV[Ft - XFAF - |VF|2].
С другой стороны, система (1.12) в силу зависимости (1.11) представима в виде
Ut = [U-A|f|2 - V • f]u, Vu = -1?-Af.	(1.13)
Расписывая условие совместности системы (1.13) и исключая из рассмотрения тривиальное решение u(x, t) = 0, имеем
V^u-^Vu = u1“A(ft-V -Л [ (f(rx, t), х) drV • f — |f|2] ).
UL UL	\ L Jo	J /
Итак, если система (1.13) является совместной, тогда вектор-функция f(x, t) € Э?п удовлетворяет уравнению (1.10) и, наоборот, если f(x, t) удовлетворяет уравнению (1.10), тогда система (1.13) является совместной. При этом соотношения (1.12) и (1.13) являются преобразованиями Беклунда [28, гл. 4, §4f], связывающими соответственно решения u(x, t), F(x, t) и u(x, t), f(x, t) уравнений (1.1), (1.9) и (1.1), (1.10). Легко проверить, что функция (1.7) является решением уравнения (1.1). В самом деле, подставляя (1.7) в (1.1) и используя формулы (1.8)—(1.11), нетрудно убедиться, что уравнение (1.1) выполняется тождественно. Далее, из формул (1.8), (1.11) следует справедливость представления
f(x,t) = V f (f(rx, t), x) dr.	(1-14)
Jo
Наконец, учитывая (1-14), несложно показать справедливость цепочки равенств
ft - V
-Л [ (f(rx, t), х) drV  f — |f|2 Jo
= ft + AfV • f +
+ AV(V-f) [ (f(rx,t),x)dT + V|f|2 = -V[Ff -AFAF- |VF|2]. Jo
Тем самым, если F(x, t) — решение уравнения (1.9), то функция f(x, t) = = —VF(x, t) является решением уравнения (1.10). Утверждение доказано.
Следствие 1. Пусть компоненты векторного поля f (х, t) помимо (1.6) удовлетворяют соотношению
7-Цх,0 = ^^-Л(х,«) = О.
Тогда функция u(x, t) вида (1.7), (1.8), определяемая из (1.4) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (1.3), является соответственно неотрицательным решением нелинейного эллиптического уравнения и нелинейных эволюционных уравнений типа Гамильтона-Якоби и теплопроводности
&и = — |Vul2,	ut = uA-1|Vu|2, щ = —Au,
и	а
причем
Ft = |VF|2, ft = -V|f|2, ft + V|f|2 = -V[Ff - |VF|2].
Кроме того, уравнение Гамильтона-Якоби на функцию F(x, t) {уравнение волны Римана на функцию f(x, t)) является достаточным (необходимым и достаточным) условием совместности переопределенной относительно u(x,t) системы (1.3), (1.4), где F — гармоническая функция-, а = 1 — А 7^ 0.
2. Конечномерная разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии
Введем в рассмотрение функции
Zk(x, 0 = |(х, Afc(t)x) + (х, Bfe(t)) + C'fc(t),	(2.1)
где х G 5?n; Ak(t) = (<ifci>(t)] — матрицы n x n; Bfc(t) = (bfci(t),... • • • ,bkn(t))' — вектор-столбцы; Cfc(t) — скалярные функции; akij(t), bki(t), C'fc(t) G C1(3J ) — вещественные функции; k = 1, 2; i, j = 1, 2,... ... ,n. Пусть в утверждении 1 вектор-функция f(x, t) имеет вид f(x, t) = = -pZj’-1(x, t)VZi(x, t)-qZ^-1(x, t)VZ2(x, t),T. e. F(x, t) = Zf(x,t) + + Z^(x, t), тогда формула (1.7) приводит к зависимости
u(x,t) = [AfZ^x,*)]* + A[Z2(x,t)]’]y\	(2.2)
а уравнение (1.9) — к справедливости выражения
+ ^Z’ = (AZ[AZf 4-1VZf|2) + {AZ’AZ’ + |VZ’|2} +
+ [AZ’AZf + AZfAZ^ + 2(VZf, VZf)],
где А, р, q € 3?; Л 0; [-] + = тах{[-],0}. Итак, приходим к соотношению pZ^-^Zi+qZr1^ = (ApZ2p-1AZ1+p[p(A-|-l)—A]Z2p-2|VZ1|2) +
+ {AgZ2’"1 AZ2 + g[g(A + 1) - A]Z2’-2|VZ2|2} +
+ [ApZf-^’AZ! + Ap(p - l)Zp"2z2lVZi|2 +
+ AgZfZp1 AZ2 + Xq(q - l)ZpZr2|VZ2|2 + 2pqZf~1 Z^^Zi, VZ2)].
(2-3)
Для разделения выражения (2.3) относительно функций Zj, Z2, определяемых формулой (2.1), воспользуемся следующим рассуждением, основанным на порядке однородности [29, приложение к гл. 3] каждого из слагаемых уравнения (2.3). Предварительно отметим, что AZfc(x, t) = tr Afc(t) и введем в рассмотрение скалярные функции Z3 = = |VZj|2, Z4 = |VZ2|2, Z5 = (VZi, VZ2). Тогда нетрудно убедиться, что функции Zfc(x, t), (fc = 1,2, ...,5), входящие в соотношение (2.3) имеют одинаковую структуру. Действительно, каждая из них состоит из трех слагаемых: квадратичной Y^ii,j=iriA^)xixj> линейной Sj(t)xi форм и скалярной функции /i(t). Рассмотрим порядок однородности каждого из слагаемых уравнения (2.3). Итак, имеем: первое слагаемое в левой части уравнения (2.3) имеет порядок однородности р, второе — q, каждое из слагаемых, стоящих в круглых скобках — (2р — 1), в фигурных скобках — (2g — 1) и, наконец, в квадратных скобках — (р + q — 1). Исследуя полученные порядки однородностей, легко видеть, что функции Zi, Z2, входящие в выражение (2.3), разделяются, например, при q = 1. В этом случае формула (2.2) принимает вид
и(х,£)= [А^ДхД)]^ +AZ2(x,t)]y\	(2.4)
а соотношение (2.3) запишется
pZJ>-1^Z1 + ^2 = (ApZ2p-1AZi + р[р(А + 1) - X]Z^-2iVZ^2) +
+ {AZ2AZ2 + IVZ212} + [XpZf-1 Z2/XZ1 + Ap(p - i)zp-2z2|vz1|2 +
+ AZPAZ2 + 2pZl~1(yZ1, VZ2)]. (2.5)
Тем самым, приравнивая в (2.5) слагаемые с одинаковыми порядками однородности, приходим к системе трех уравнений на функции Z\, Z2. Итак, имеет место
Теорема 1. Многомерное уравнение нелинейной диффузии (1.1) имеет точное неотрицательное решение вида
u(x, t) =
А
|(х, Ai(t)x) + (x,Bj(t)) + Ci(t)
р
+
+ А
l(x,A2(t)x) + (x,B2(t))+C2
П1/Л (*)
(2-6)
если матрицы A^ft) с элементами aG (71(5R+), вектор-столбцы Bfc(t) с компонентами bki^t) G C1(SR+) и скалярные функции Ch(t) G 6 С'(5? ), k = 1, 2,..., 71, связаны соотношениями
^Z2 = AZ2AZ2 + |VZ2|2,	(2.7)
pZj—Zj = pAZiZ2AZ] + AZ2AZ2 + ut
4- Ap(p ~ 1)Z2| VZi |4- 2pZi (VZb V-Из), AZ^Zj + [p(A + 1) - A]|VZt |2 = 0,
где Zj, Z2 — функции, определяемые согласно (2.1); X,p G SR; A =4 0.
Соотношения (2.7) будем называть разрешающей системой для уравнения нелинейной диффузии (1.1). Причем с учетом введенных выше функций Z3, Z4, Z5 первое и третье уравнения разрешающей системы (2.7) имеют порядок однородности один, а второе — два.
Наконец, отметим, что уравнения, подобные (2.3), все слагаемые которых имеют один порядок однородности, возникают и расщепляются методом Хироты [30], являющимся эффективным инструментом построения точных решений одномерных нелинейных эволюционных уравнений. В частности, в работе [29, приложение к гл. 3] этим методом с небольшими модификациями и с использованием Паде-аппроксима-ций, построены точные одно- и двухфазные решения широкого класса одномерных полулинейных параболических уравнений, к которым неприменимы хорошо известные общие методы интегрирования нелинейных уравнений такие как алгебро-геометрический метод и метод обратной задачи рассеяния.
3. Редукция разрешающей системы к переопределенной системе алгебро-дифференциальных уравнений (существование решения, частный случай).
В общем случае исследование разрешающей системы уравнений (2.7) сопряжено с большими трудностями. Поэтому рассмотрим частный случай, когда (2.7) сводится к конечномерной переопределенной (число уравнений больше числа искомых функций) системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ), разрешимой при определенных предположениях.
Итак, пусть £ = р(А + 1) — А, £ ^4 0, тогда разрешающая система уравнений (2.7) запишется
^Z2 = AZ2AZ2 + |VZ2|2,	(3.1)
Z\ = crZ2AZi + tZi AZ2 -|- 2(VZ\, VZ2),	(3-2)
AZjAZi 4-CIVZil2 = 0,	(3.3)
где a = pA/£; r = X/p\ p, X G SR; A =4 0; p =4 0.
Теорема 2. Пусть Ak(t) — симметричные матрицы с элементами akij(t) G С>1(3? ), Bfc(t) — вектор-столбцы с компонентами bki(t) £ C*(R ) и Ск(Д) € С1(3? ) — скалярные функции. Тогда для того, чтобы функции Z\, Z2, определяемые соотношением (2.1), удовлетворяли разрешающей системе (3.1)-(3.3) необходимо и достаточно, чтобы Afc(t), Bfc(t), Cfc(t) удовлетворяли системе АДУ
А.2 = 2у4-2 4" A(tl	(3.4j)
В2 = 2А2В2 + A(tr А2)В2,	(3.42)
С2 = |В212 + A(tr А2)С?2,	(3.4з)
Ai = 4А1Л2 + r(tr Л2)А1 + a(tr Ai)A2,	(3.44)
Bi = 2(А1В2 + A2Bi) + r(tr A2)Bi + cr(tr А;)В2,	(3.4g)
Cq = 2(Bi, B2) + r(tr A2)Ci + cr(tr Ai)C2,	(3.4g)
A(tr Ai)Ai + 2£A% = 0,	(3.4?)
A(tr AJBi + 2£AiBi — 0,	(3.4s)
A(trA1)C1+e|B1|2 = 0,	(3.49)
где a = r = А/p; p, A G 3?; A 0; p =4 0; £ = p(A + 1) — A; £ =4 0; tr Ад. = J2i=1 afctt(£) — след матрицы Ak(t)-, k = 1,2.
Доказательство. Пусть функции Zk, Z2, определяемые согласно (2.1), удовлетворяют разрешающей системе (3.1)-(3.3). Тогда в силу симметричности матриц Ak(t) имеем
| VZfcl2 = (х, А2х) + 2(х, AkBk) + |Bfc 12,	(3.5)
(VZi, VZ2) = (x, Ai A2x) + (x, AiB2 + A2Bi) + (Bj, B2),
причем
VZfc = AfcX + Bfc, &Zk = V • (VZjt) = tr A*,,	(3-6)
^Zk = |(x, Akx) + (x,Bfc) + Ck; xeF; fc = l,2.	(3.7)
Легко видеть, что с учетом соотношений (3.5)-(3.7) из (3.1)-(3.3) следует система АДУ (3.4).
Покажем, что из уравнений (3.41)-(3.4з) системы АДУ (3.4) следует справедливость соотношения (3.1). В самом деле, пусть к = 2, тогда, исходя из (3.7) и принимая во внимание формулы (3.5)-(3.7), имеем
д 1
^^2 = -(х, [2А2 + A(tr А2)А2]х) + (х, 2А2В2 + A(tr А2)В2) +
+ |B2|2 + A(trA2)C2 = A(trA2)
|(х, А2х) + (х, В2) + С2
+
+ [(х, А2х) + 2(х, А2В2) + |В212] = AZ2AZ2 + |VZ2|2.
Аналогично доказывается, что из уравнений (3.44)-(3.4б) системы АДУ (3.4) следует соотношение (3.2), а из (3.47)-(3.4д) — представление (3.3). Теорема доказана.
Теоремы 1, 2 приводят к следующему результату.
Утверждение 2. Если симметричные матрицы Afc(t) с элементами akij(t) 6 С1(Э? ), вектор-столбцы ВД£) с компонентами bki(t) G СДЗ?"1") и скалярные функции СG (7Х(Э?+) удовлетворяют переопределенной системе уравнений (3.4), тогда функция (2.6) является точным неотрицательным решением многомерного уравнения нелинейной диффузии (1.1).
Покажем, что даже в частном случае конструкция решения (2.4) уравнения (1.1) приводит к содержательному, как нам представляется, результату.
Итак, рассмотрим решение и(х, £) Д 0 уравнения (1.1) вида (2.4) при ДДх, t) = 0, т. е.
u(x, t) =
|(x,A2(t)x) + (x,B2(t)) + C2(t)
1/Х
(3-8)
Л
В этом случае в системе АДУ (3.4) Ai(t) = О, ВД4) = 0, Ci(t) = 0 и она сводится к системе ОДУ
А2 — 2А2 + A(tr А2)А2, В2 ~ 2А2В2 + A(tr А2)В2,
С2 = |B2|2 + A(trA2)C2,
полученной и частично исследованной в работе [31]. Предположим, что при t = 0 заданы вещественная симметричная матрица АДО) G Мп(5?), вектор-столбец В2(0) G Л/П1ДЗ?) и скаляр С2(0) € 3?, где МП(Э?) — множество п х п матриц с элементами из 3?;	— множество п х к мат-
риц с элементами из 3? [32]. Представим матрицу АДО) в виде А2(0) = = SD(0)S', где S G Мп(3?) — ортогональная матрица, т. е. SS' = = S'S = I; I — единичная матрица; Р(0) = diagfdj (0),..., dn(0)] — диагональная матрица; ф(0) G 3? — собственные значения матрицы А2(0); I = 1,2,... ,п. Представимость любой вещественной симметричной матрицы в таком виде хорошо известна [32]. Покажем, что если функции АДО), В2(0), (72(0) определены, то решение задачи Коши для системы ОДУ (3.9) сводится к решению задачи Коши для некоторого скалярного нелинейного ОДУ. Более точно, справедлив один из основополагающих результатов этой работы.
Теорема 3. Пусть заданы вещественная симметричная матрица АДО), ортогональная матрица S G Мп(№), вектор-столбец ВДО) G Л/Пд(3?) и скаляр СДО) € 3?. Пусть, помимо этого, z(t) — вещественное решение задачи Коши
W = ПИ - 2Ф(0)г(4)]-Л/2, г(0)=0, i(t) = -2(t).	(3.10)
z=i	az
Тогда решение задачи Коши
A2(t) = 2Л2(0 + A[tr A2(t)]A2(t), A2(t)|f=0 = Л2(0),	(3.11)
B2(t) = 2A2(t)B2(t) + A[tr 42(t)]B2(t), B2(t)|t=0 = B2(0), (3.12)
C2(t) = |B2(t)|2 + A[trA2(t)]C2(t), C2(0|t=o = C2(0),	(3.13)
существует и имеет вид
42(t) = ftl1 - ^dl(O)z(t')]~x^2SQ(t')D(O)S' = i=i
= fj[l - 2dl(0)z(t)]-x/2SQ(t)S,A2(0) = z(t)SQ(t)S'A2(0), (3.14) (=i
B2(t) = fj[l - 2d((0)z(t)]-A/2SQ(t)S'B2(0) = z(t)SQ(t)S'B2(0), i=i
(3.15)
C2(t) = ftl1 “ 2d/(0)2(t)]-A/2C2(0) + z(t)(B2(0),B2(t)) = z(t)C2(0) + i=i
+ z(t)(B2(0), B2(t)) = z(t)[C2(0) + z(t)(Q(t)S'B2(O), S'B2(0))]. (3.16)
Причем Л2(<) — вещественная симметричная матрица для всех t G domain A2(t), где
Q(t) = diag[[l - г^он*)]-1,..., [1 - 2dn(0)s(0J-1J;	(3.17)
A2(0) = SD(0)S'; A,<!|(O)gR; A 0; Z = l,2,...,n.
Доказательство. Пусть A2(t), B2(t), C2(t) определяются формулами (3.14)-(3.17). Покажем, что эти функции являются решением задачи Коши (3.11)—(3.13). Для удобства записи введем обозначение u(t) = trA2(t) и вычислим след матрицы A2(t). Исходя из (3.14) легко видеть, что справедлива цепочка равенств
v(t) = tr A2(t) = z(t) tr(Q(t)P(O)) = z(t) £ dfc(0) (3.18) 1 - 2dfc(0)z(t)
где Q(t) — диагональная матрица вида (3.17). С другой стороны, так как 1 — 2d/(0)z(i)	0 (Z = 1,2, ...,п), в силу условия z(0) = 0, то,
дифференцируя (3.10) по t, получим
=	= MW), (3-19)
1 _ 2dfc(0)z(t)J
причем z(0) = l,z(0) = 0. Кроме того, непосредственным дифференцированием матрицы (3.17) нетрудно показать, что
<?(t) = 2z(t)Z?(0)Q2(t) = 2z(t)(?2(t)L»(0).	(3.20)
Установим, что матрица A2(t) вида (3.14) удовлетворяет уравнению (3.11). Действительно, дифференцируя (3.14) и учитывал формулы (3.18)—(3.20), имеем
A2(t) = z(t)SQ(t)S'A2(0) + z(t)SQ(t)S'A2(0) =
= Xv(t)z(t)SQ(t)S'A2(0) + 2z2(i)5Q2(t)Z7(0)S'A2(0) =
= Av(t)A2(t) + 2i2(t)SQ(t)£>(0)S'SQ(t)S'A2(0) =
= A<t)A2(t) + 2i2(t)(SQ(t)D(0)S/)(SQ(t)Z?(0)S') =
= A(tr A2(t))A2(t) + 2A2(t)-Убедимся, что вектор-столбец B2(t), определяемый согласно (3.15), является решением уравнения (3.12). Дифференцируя (3.15) и используя (3.18)-(3.20), получим
B2(t) = z(t)SQ(t)S'B2(0) + z(t)SQ(t)S'B2(0) =
= Av(t)z(f)SQ(t)S'B2(0) + 2z2(t)SQ2(t)D(0)S'B2(0) =
= Av(t)B2(t) + 2(z(t)SQ(i)£>(0)S')(i(t)SQ(t)S/B2(0)) =
= A(tr A2(t))B2(£) + 2A2(t)B2(t).
Помимо этого из (3.17) следует, что Q(t) = (I — 2z(t)Z?(0))-1, т. e. (7 — 2z(£)D(0))Q(£) = I или, что тоже самое,
Q(t) = 7 + 2z(t)Q(t)P(0).	(3.21)
Наконец, с учетом формул (3.18)—(3.21), нетрудно убедиться, что скалярная функция C2(t), определяемая согласно (3.16), удовлетворяет уравнению (3.13). В самом деле, дифференцируя (3.16) и принимая во внимание соотношения (3.18)—(3.21), приходим к справедливости цепочки равенств
C2(t) = z(t)C2(0) + z(t)(B2(0), B2(i)) + z(t)(B2(0), B2(t)) =
= Av(t)z(t)C2(0) + z(t)(B2(0), B2(t)) + z(t)(B2(0), 2A2(t)B2(0 +
+ Av(t)B2(t)) = Av(t)[z(t)C2(0) + z(t)(B2(0),B2(t))] +
+ (B2(0), [z(t)I + 2z(t)A2(t)]B2(t)) =
= Xv{t)C2(t) + (B2(0), z{f)S[I + 2z(t)Q(t)P(0)]S'B2(t)) =
= A«(t)C2(t) + (B2(0), z(f)SQ(t)S'B2(t)) =
= Av(«)C2(t) + (z(t)SQ(0S'B2(O),B2(t)) = A(tr A2(t))C2(t) + |B2(t) |2. Окончательно, покажем, что A2(t) — симметричная матрица для всех t из области ее определения. Легко заметить, что симметричность матрицы А2(£) непосредственно следует из (3.14) ввиду равенства A2(t) = = z(t)SQ(t)D(0)S'.
Теорема доказана.
Замечание 1. Если ввести в рассмотрение матрицу
D(t) = diag[d1(t),..., dn(t)], ф(«) = ?-^M-^i(t),	(3.22)
связанную с матрицей Q(t), определяемой согласно (3.17), соотноше-
D(t) = z(t)Q(t)D(O), £>(0) = S'A2(0)S,	(3.23)
то решение (3.14)-(3.16) задачи Коши (3.11)—(3.13) запишется
A2(t) = SD(t)S',	(3.24)
B2(t) = S£>-1(0)£>(t)S'B2(0),	(3.25)
C2(t) = z(t)C2(0) + z(t)(B2(0),SD-1(0)£>(t)S'B2(0)),	(3.26)
где di(t) — вещественные собственные значения матрицы A2(t); I = = 1,2,
Замечание 2. Из теоремы 3 и теоремы о единственности решения [33] следует, что формулами (3.14)-(3.16) определяются все решения задачи Коши (3.11)-(3.13). В самом деле, в исследуемой задаче Коши (3.11)-(3.13) нелинейным является лишь уравнение (3.11) с вещественной симметричной начальной матрицей АДО). Единственность решения матричного уравнения (3.11) следует из того факта, что в любом ограниченном подмножестве Э?пхп правая часть этого уравнения удовлетворяет условию Липшица и, значит, применима классическая теорема единственности решения для нормальной системы ОДУ.
Из утверждения 2 и теоремы 3 следует, что справедливо
Утверждение 3. Если симметричная матрица A2(t), вектор-столбец B2(t) и скалярная функция C2(t) имеют соответственно вид (3.14), (3.15), (3.16), тогда уравнение нелинейной диффузии (1.1) обладает точным, неавтомодельным, анизотропным по пространственным переменным, явным неотрицательным решением (3.8).
В заключение этого раздела, в зависимости от вещественных параметров а = —X/2,di(O), проведем качественный анализ решений z(t) задачи Коши (3.10), предварительно переписав последнюю в виде
z = П(1 - 2d|(0)z)“ = f(z), z(0) = 0, z = ^z(t),	(3.27)
1=1
где t G Э?+; A € A / 0. Итак, осуществим намеченное. В первую очередь заметим, что без ограничения общности можно считать, что все ф(0) = di 0. Действительно, в противном случае, можно просто уменьшить размерность п G. N. Далее, качественный анализ задачи Коши (3.27) разобьем на два непересекающихся случая: а > 0 и а < 0.
Случай 1. Пусть а = —Х/2 > 0. Ясно, что в этом случае точки Z[ = l/2di являются положениями равновесия (точками покоя).
I. Предположим, что среди zi Е 5? существуют положительные точки покоя zi > 0. Пусть помимо этого zt = minZ|63}+ zi, а т 6 {1,2,... ..., п} — их кратность. Тем самым, в силу зависимости zi = 1 /2ф, существуют di G 3?, di > 0. Сначала предположим, что ат 1. В этом случае /(z) — липшицева функция в некотором интервале (с, d), где с < 0; d > Zfc. Тогда ясно, что z(t) — единственное, монотонно возрастающее (z(t) > 0, для t 0) решение задачи Коши (3.27). Причем, очевид-
но, что z(t) < Zk, limt-юо z(t) = ?к- Теперь предположим, что am < 1. Тогда f(z) — вещественная функция при z G [0, zj,) и /(z) — невещественная функция при z € (zfc,d) с некоторым d > z^ (d < z/, если такие zi существуют). Причем /(z) > 0 при z € [0, z^). Тем самым, в этом случае решение (равновесие) z(t) = zj. единственно вправо [33], однако, вообще говоря, единственности влево нет. Поэтому решение z(t) задачи Коши (3.27) может достигнуть zfc за конечное время (z(t) строго возрастает на [0, tk), z(t) = zk при t t^). Отметим, что это типичная ситуация в рамках предположения: ат < 1. В связи с этим в общем случае рассмотрим задачу Коши v = </?(«), f(0) = 0, где <f>{z)	/(z),
при z Е [0, Zfc], а значит, z(i) nft). Далее, пусть <p(z) = А(1 — 2ф,г)“т, где А = Пг d^dk cl > ci = 1, или ф < 0; с; = 1 — 2фг^, или di > 0. Тогда понятно, что v(t) достигает zt за конечное время tfc, а поэтому и решение z(t) задачи Коши (3.27) обладает этим свойством. Ясно, что можно найти оценку времени достижения.
II. Теперь в рамках рассматриваемого случая предположим, что все z; < 0, т. е. все di < 0. Тогда решение z(t) задачи Коши (3.27) единственно и строго возрастает, так как функция /(z) является непрерывно дифференцируемой при z 0. Вопрос заключается лишь в продолжимости решения z(i) задачи Коши (3.27) при t —> оо. Однако заметим, что исследуемое решение z(i) обязательно является неограниченным в силу того, что /(z)	1 при z 0. Вначале предположим, что /j. = ап 1. Тогда очевидно, что /(z)	(1 + 2gz)M,
где д = max; |ф| > 0. Вводя новую переменную х = 1 + 2gz, рассмотрим задачу Коши х = ^.дх^, rr(O) = 1. Заметим, что при д = 1 получаем линейную задачу Коши, а следовательно, имеет место бесконечная продолжимость. Если д < 1, то решение x(t) имеет вид x(t) = = [1+2Р(1-д)^/(1-м) и является бесконечно продолжимым. С другой стороны, поскольку z(t) f(i), где v(t) — решение задачи Коши и = (1 + 2<щ)м, г?(0) = 0, то v(t) = [rr(t) — l]/2g. Тем самым, решение z(t) задачи Коши (3.27) бесконечно продолжимо. Теперь предположим, что д. = ап > 1. Тогда /(z)	(1 + 2gz)M, где q = min; |ф| > 0, и
задача Коши v = (1 + 2<?v)M, t>(0) = 0, д > 1, имеет непродолжимое решение. В самом деле, если положить х = 1 + Iqv, то задача Коши запишется х — “iqx^, rr(O) = 1, д > 1. При этом x(t) = 1/[1—2q(/z—1)й]х/^м— x(t) —> оо при t —> 1/2д(д — 1), а значит, v(t) — (a:(t) — 1]/2<? —> оо при t —> 1/2д(д—1). Далее, так как z(t)	v(t), то z(t) — непродолжимое
решение задачи Коши (3.27). Итак, исследование случая 1 завершено.
Случай 2. Пусть а = —А/2 < 0, (3 = |а|. Понятно, что в этом случае z; = 1/2ф — особые точки и задача Коши (3.10) запишется
z = 1/JJ(1 — 2ф(0)г)^ =/(z), z(0) = 0.	(3.28)
(=1
I. Пусть все zi < 0, т. е. все di < 0. Тогда z(t) — единственное, строго возрастающее решение задачи Коши (3.28). Действительно, в этом случае /(z) — непрерывно дифференцируемая функция при z 0 и,
кроме того, f(z) > 0. Рассмотрим задачу Коши v = 1/(1 + 2dv)c = = V’(v), г?(0) = 0, где с > 0, d > 0. Замена х = 1 + 2dv приводит последнюю к виду х = 2d/xc, х(0) = 1. Очевидно, что ее решение x(t) = = [1 + 2d(c + l)^1/^1) неограниченно продолжимо, строго возрас
тает и не ограничено. Ясно, что этими свойствами обладает и решение v(t) = [z(t) — l]/2d. Далее, предположим, что d = min/ |d/|. Тогда имеем (1—2d/z)^ Js (l+2dz)^ при z 0, а значит,/(z) l/(l+2dz)^n = = <p(z) при с = (Зп. Поэтому z(t) v(t), где v(t) — решение задачи Коши v = y>(v), г/(0) = 0. Следовательно, решение z(t) задачи Коши (3.28) неограниченно продолжимо. Аналогично, если положить d = max/|d/|, то (1 — 2d/z)^ (1 + 2dz)^ при z 0 и, значит, /(z) 1/(1 + 2dz)/3n = <£(z) при с — (Зп. Тем самым, z(t) v(t),
где v(t) — решение задачи Коши v — y?(v), v(0) = 0. Итак, решение z(t) задачи Коши (3.28) неограниченно возрастает.
II. Теперь в рамках исследуемого случая предположим, что среди z/ G 5? существуют z/ > 0. Пусть zt = min2jeK+ z/, a m G {1,2,... ..., n} — их кратность. Тем самым в силу зависимости z/ = 1 /2di существуют di > 0. Пусть d = dk = 1 /2z/t и p — число dt таких, что di > 0, где m р п. Далее, рассмотрим задачу Коши v = 1/А(1 — 2dv)c, v(0) = 0, где А > 0; с > 0. Тогда v(t) = [1— [1 — 2^(с^+ 1)	] /2d —
вещественное решение, определенное на отрезке [0,7>], пока 1) t
1, т. е. тк = 2сг(сЛ+ 1) > v(Tfc) = 53 = zk- Далее, для dt < 0 имеем 1 — 2diZ — 1 +2|di|z 1, 1 — 2d{Z 1 + 2|d/|zfc при z G [0, zk], Помимо этого, для di > 0 (dj / d) следует, что 1 — 2d,z 1 — 2dz, 1 — 2d,z 1. Тем самым, если z G [0, zk], то имеют место оценки
f(Z> Л(1 - М;)- =	/(2) < (TZW = *’(2)'
где А = ]Дг: <f,<o(l+2|d»|-2fc)^ > 0; 77 = Дт; с = Др. Пусть u(t) — решение задачи Коши v = >p(v), v(0) = 0. Пусть, кроме того, v(t) — решение задачи Коши v — <p(v), v(0) = 0. Тогда v(t) определено на отрезке [0, tfcr], где tkr = l/2d(c-|-1). Помимо этого, v(t) определено на отрезке [0, t/ts], где tks = A/2d(j) + 1). Очевидно, что справедлива цепочка неравенств: v(t) z(t) v(t). В итоге, заключаем, что z(t) — единственное, строго возрастающее решение задачи Коши (3.28), определенное на отрезке [0, tfc], где tkr tfc tk3; z(tk) = zk.
Наконец, отметим, что функция z(t) ведет себя аналогично функции v(t). На этом завершается качественное исследование решений задач Коши (3.10), позволяющее проанализировать поведение и выявить типичные свойства точных неотрицательных решений исходного уравнения (1.1) в зависимости от значений входных параметров.
Далее, так как функции Aa(t), B2(t), ^(t) нами определены (см. формулы (3.14)—(3.16), а также (3.24)-(3.26)), то перейдем к исследованию системы ОДУ (3.44)-(3.4б).
4. Разрешимость задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы ОДУ
Выше (см. теорему 3) мы показали разрешимость задачи Коши (3.11)-(3.13). Теперь, с учетом этого результата, наша ближайшая цель — доказать существование решений задачи Коши для системы ОДУ (3.44)-(3.4б). Итак, осуществим намеченное.
Теорема 4. Пусть матрица АД£) имеет вид
A2{t) = z(t)SQ(t)S'A2(0),	(4.1)
u(t) = trAi(t), v(t) = trA2(t); Ai(0), АД0) G Мп(Э?) — вещественные симметричные матрицы. Тогда задача Коши
Ai(t) = 4АД«)А2(«) + Tt?(i)Ai(Z) + <ru(t)A2(t), 4i(t)|t=0 = АДО),
(4-2) имеет следующее решение
Mt) =
^M^G-^^A^drj + A^O)
G\t),
(4-3)
где G(t) = SQ(t)S'-, u(t) — функция, удовлетворяющая линейному ин-
тегральному уравнению Волътерра второго рода
u(t) = сг [ K(t,T])u(j]) d,T] + f(t), Jo
с ядром
K(t,7]) =
z(t} 1 T^A
44	x(77)tr[Q2(t)Q-1(77)Z?(O)],
Д’?) J
(4-4)
(4-5)
и свободным членом
/(t) = [z(t)]T/Atr[A1(0)G2(t)],	(4.6)
т — А/p; cr = Ap/£; £ = p(A + 1) — А. Кроме того, для симметричности Л1 (t) при всех t G domain Ai (t) необходимо и достаточно, чтобы матрицы Ai (0), АДО) коммутировали
АДО)А2(0) = АД0)АД0).	(4.7)
Доказательство. Прежде всего, отметим, что из уравнения (3.20) в силу соотношения АДО) = SD(0)S' и вида матрицы Q(t) следует справедливость задачи Коши
G(t) = 2z(t)G2(t)A2(0), G(t) |t=0 = I.	(4.8)
Легко видеть, что G(t)A2(0) = A2(0)G(t) и G(t)G(t) = G(t)G(t). Наконец, напомним, что функция z(t) удовлетворяет помимо (3.10) ОДУ (3.19). С учетом этого покажем, что матрица АД£) является решением задачи Коши (4.2). В самом деле, дифференцируя (4.3), принимая
во внимание формулы (4.1), (4.2), (4.8) и учитывая, что т/Х = 1/р, р е 5?, р / 0, имеем
1-1/PU(7?)G-1(?7)A2(0)d7? +
+ 2[i(t)]1/p
^(0 = W17*-1*
p
+ АДО) G2(t) + £Tz(t)u(t)G-1(t)A2(0)G2(t) +
a /t[i(7?)]1-1/pU(77)G-1(7?)A2(O)</?7 + Xi(O)lGWGW = . Jo
|1/рГ<т f [i(77)]1-17pU(77)G-1(7?)42(0)d7? + A1(0)lG2(t) + . Jo
+ cru(t) z(t)G(£).A2(0) +
= TV'
1-1/pU(?7)G-1(7?)42(0)^ + A1(0) G2(t) x
x z(t)G(t)A2(0) = rt;(£)Ai(t) + ctu(£)A2(£) 4- 4Ai(t)A2(£).
Теперь, исходя из (4.3), вычислим след u(t) матрицы Ai(t). Справедлива цепочка равенств
u(t) = tr Ai(£) = tr а
Д(??).
1-1/Pu(7?)G-1(77)A2(O)G2(t)d77 +
‘Гг(011/р
----	z(?/)tr[G 1(Ti)A2(0)G2(t)]u(T])dTi+
+ [z(t)]17ptr[A1(O)G2(t)] =
‘р(г)11/р
W tr[Q2(t)Q~\p)D(0)]u(rf) dn + /(t) =
[ K(t,Ti)u(rf)dr) + f(t). Jo
Отсюда следует, что функция u(t) удовлетворяет линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода (4.4) с ядром (4.5) и свободным членом (4.6). Тем самым мы показали, что матрица Ai(t) является решением задачи Коши (4.2). Для завершения доказательства осталось установить тот факт, что соотношение (4.7) является необходимым и достаточным условием симметричности матрицы Ai(t) для всех t из области определения последней.
Пусть равенство (4.7) выполняется. Отметим, что А2(0) = SDttyS' и G(t) = SQft'jS' — невырожденная симметричная матрица. Учитывая сказанное, нетрудно убедиться, что матрицы АДО) и G-1(t) коммути
руют. Действительно, в этом случае имеет место цепочка равенств АД0)С-1Д) = A1(0)[SQ(t)S']-1 = A](0)SQ-1(t)S' =
= Ai(0)S[I - 2z(t)D(0)]S' = Ai(O)[SS' - 2z(t)SZ?(0)S/] =
= АДО)[/ - 2z(t)A2(0)] = АД0) - 2г(4)АД0)А2(0) =
= АД0) - 2z(t)A2(0)Ai(0) = [/ - 2z(t)A2(0)]A1(0) = G~\t)Ai(0). Следовательно, Ai(0)G(t) = G(i)Ai(0), Ai(0)G2(t) = G2(t)Ai(0). Заметим, что, поскольку [Ai(0)G2(t)]' = [G2(t)]'[Ai(0)]' = (G'(£)]2 [АД 0)]' = = G2(t)Ai(0) = Ai(0)G2(t), то матрица Ai(0)G2(i) является симметричной. Выше мы показали справедливость соотношения A2(0)G(t) = = G(t)A2(0). Тем самым A2(0)G2(t) = G2(t)A2(0). Отсюда сразу следует симметричность матрицы A2(0)G2(i). В самом деле, имеем [A2(0)G2(t)]' = [G2(t)]'[A2(0)]' = [G'(i)]2[А2(0)]' = G2(t)A2(0) = = A2(0)G2(i). Учитывая полученные результаты и переписывая матрицу Ai (t) в форме
Ai(t) = а\
-Jo
A2(0)G2(t) +
+ [гД)]1/рАД0)С2Д), (4.9) легко видеть, что она симметрична для всех t из области ее определения.
Докажем обратное. Пусть матрица АД(), определяемая формулой (4.9), является симметричной. Поскольку A2(0)G2(t) — симметричная матрица, то и матрица Aj(0)G2(i) должна быть симметричной, что эквивалентно, в силу симметричности АДО), G2(t), их коммутации Ai(0)G2(t) = G2(t)Ai(0). Значит, имеет место соотношение G-2(i)Ai(0) = Ai(0)G-2(t), т.е. матрицы G-2(t) и АДО) коммутируют. Напомним, что G-1 Д) = SQ-1 (t)S7 = I — 2z(t)A2(0). Отсюда следует, что G-2(t) = I — 4z(t)A2(0) + 4z2(t)A2(0). В итоге имеет место соотношение
Д-4гД)А2(0)+4г2Д)А2(0)]АД0)=АД0)[/-4гД)А2(0)+4г2Д)А2(0)].
Расписывая это равенство и учитывая, что z(t) 0, получим
А2(0)АД0) - гД)А^(О)АДО) = АД0)А2(0) - гД)АД0)А2(0).
Поскольку z(0) = 0, то при t = 0 из последнего соотношения следует формула (4.7). Теорема доказана.
Покажем, что из теорем 3 и 4 следует
Теорема 5. Пусть A2(t), АД£) — вещественные симметричные матрицы вида (4.1), (4.3), удовлетворяющие уравнениям (3.41), (ЗЛ4) и определенные при t = 0, т. е. A2(t)|(_Q = А2(0) G Л/п(5?), Ai Д) | tQ = = АДО) € Л/п(5?). Тогда существуют вещественные диагональные D(0) = diag[di(0), ...,dn(0)], Л(0) = diag[Ai(0),..., Ап(0)] и ортогональная S G Л/П(Э?) матрицы такие, что
А2Д) = z(t)SQ(t)£>(O)S',	(4.10)
АДД = [W/PS a [	+
. Jo
(4.П)
где u(t) — решение линейного интегрального уравнения Волътерра второго рода (4.4) с ядром (4.5) и свободным членом
/Д) = [ДД]1/р tr[A (0)Q2(t)];	(4.12)
Q(t) — диагональная матрица, определяемая согласно (3.17).
Доказательство. Ясно, что вещественные симметричные матрицы АгД), АДД, определяемые посредством формул (4.1), (4.3), удовлетворяют задачам Коши (3.11), (4.2). Причем матрицы Аг(0), Ai(0) коммутируют, т. е. выполняется соотношение (4.7). С другой стороны, при определенных предположениях две вещественные, симметричные, коммутирующие матрицы Аг(0), АДО) могут быть одновременно приведены к диагональному виду. В самом деле [32], необходимым и достаточным условием существования вещественной ортогональной матрицы S такой, что 5'АД0)5 = Л (0), S'A2(0)S = ^(0)> является коммутация матриц АДО), А2Д)). Отсюда имеем АДО) — SA. (O)S', Д2(0) = SD(0)S/. Подставляя эти выражения в (4.1), (4.3), приходим к формулам (4.10), (4.11). Помимо этого из (4.6) следует справедливость соотношения (4.12). Теорема доказана.
Замечание 3. Если ввести матрицу АД) = diag[Ai(t),..., АДД] с вещественными собственными значениями вида
лдд = Цдо) Гд-г^до^кад^^рц^^ + Адо)
Jo
X
х[1-2</Д0)ДД] 2Д(0]1у,р (А: = 1,2,..., п),
то формула (4.11) запишется
АДД = SA(t)S',
(4.П')
1 1/,pu(^)Q 1(?7)Il(0) dr) + A(0)
Q2W-
Теперь, поскольку функции ВгД), АгД), АДД, v(t) = tr АгД), u(t) = = tr АДД нами определены, то покажем, что имеет место
Теорема 6. Пусть вектор-столбец ВгД) и матрицы A?(t), АДД определяются соответственно формулами (3.15) и (4.10), (4.11). Пусть, кроме того, функция ДД имеет вид (3.18), a u(t) — решение линейного интегрального уравнения Волътерра второго рода (4.4) с ядром (4.5) и свободным членом (4.12). Тогда задача Коши
ВДД = [2А2(Д + 7-ДДДВ1Д) + [2Ai Д) + аи(Д/]В2Д),
в дд |(=0 = вдо),
обладает следующим решением:
i-^uWQ-'Wdr, Q(t)S'B2(0) +
+ 2z(t)Q(t)A(0)S'B2(0) + S'Bi(O) . (4.14)
Доказательство. Введем в рассмотрение вектор-столбец
Bi(t) = <T^t[i(77)]1-1/₽U(77)Q-1(77)d77)Q(t)S'B2(O) +
+ 2z(t)Q(t)A (0)S'B2(0) + 5'ВДО). (4.15)
Тогда формула (4.14) запишется
Bx(t) = [z^VPSQ^B^t).	(4.16)
Дифференцируя (4.16) по времени, приходим к соотношению
ВД*) = -	(t) + [z(t)]1/p[SQ(t)Bi(i) + 5С?Д)ВД()].
P
Теперь, используя (3.19), (3.20), имеем
ВД«) = [2A2(t) + rv(t)I]Bi(t) + [zWp/PSQ^BxW. (4.17)
Исходя из (4.15), вычислим Bi(t). В результате получим
ВД() = ^(Ор-’/РифЗ'ВДО) +
+ 2о/ /t[z(77)]1-1/pU(7?)Q-1(7?)^z(t)Q2(t)D(0)S'B2(0) + \Jo	J
+ 2z(t)Q(t)A (0)S'B2(0) + 4z(t)z(i)Q2(t)£>(0)A(0)S'B2(0).
Поскольку справедливо равенство (3.21), то
Bi (t) = o'[2(t)]1-1/₽u(t)S/B2(0) + 2z(t)Q2(t)A(0)S'B2(0) +
+ 2a( [ [z^-y^uMQ-^^dr^z^^D^S^O). \Jo	/
После этого нетрудно убедиться, что имеет место цепочка равенств
[ztOp/PSQ^B^t) = au(t)z(t)SQ(t)S'B2(p) +
+ 2[z(t)]1/Ps(£7^[z(77)]1-1/pU(77)Q-1(77)D(O)^Q2(t)S' х
х z(t)SQ(t)S'B2(0) +2[i(t)]1/pSA(0)Q2(t)S' x z(i)SQ(t)S'B2(0) =
= cru(£)z(t)SQ(t)S,/B2(0) +
'-^u^Q-^rfiDtO) dr) + A(0) Q2(t)S' x
xz(t)SQ(t)S'B2(0) =cru(t)7'B2(t)+2A1(t)B2(t) = [2Ai(t)+cru(t)7']B2(t).
Таким образом, с учетом этого соотношения уравнение (4.17) принимает вид
Bx(t) = [2A2(t) + rv(t)I] В i (t) + [2Ai (t) + o'u(t)T']B2(t).
Тем самым мы показали, что функция Bi(t), определяемая согласно (4.14), является решением этого уравнения. Наконец, учитывая, что z(0) = 0, z(0) = 1, Q(0) = I, легко проверить, что предъявленное решение (4.14) удовлетворяет начальному условию. Итак, функция Bi(t) является решением задачи Коши (4.13). Теорема доказана.
Тем самым все подготовлено для того, чтобы перейти к исследованию разрешимости задачи Коши для ОДУ (3.4б). Покажем, что в этом случае справедлива
Теорема 7. Пусть вектор-столбцы B2(t), Bx(t) и скалярная функция (^(t) определяются согласно (3.15), (4.14) и (3.16). Пусть помимо этого функцияи(1) =tr A2(t) имеет вид (3.18), au(f) =tr Ai(t) — решение линейного уравнения Волътерра второго рода (4.4) с ядром (4.5) и свободным членом (4.12). Тогда задача Коши
C^t) = rv(t)Ci(t) + au(t)C2(t) + 2(Bx(t), B2(t)), Cx(t)|(=0 = Ci(O),
(4-18) имеет следующее решение:
C^t) = [z(t)]1/p СД0) + 2z(t)(Q(t)S'B1(0), S'B2(0)) +
+ 2z2(t)(Q2(i)A(0)S/B2(0), S'B2(0)) + a( Лг(т7)]1-1/ри(77) x \Jo	/
x [C2(0) + z(t) (Q(t)S'B2(0), S'B2(0)) + z(t)|Q(t)S'B2(0)|2] -
- az(r))[z(j))]1~1^pu(rf)	|Q(t)S'B2(0)|2
(4-19)
где функция z(t) определяется из (3.10) и удовлетворяет соотношению (3.19).
Доказательство. Для упрощения записи формулы (4.19) уместно ввести обозначение
Ci(t) = СДО) + 2z(t)(Q(t)S'B1(0), S'B2(0)) +
+ 2z2(t)(Q2(t)A(0)S'B2(0),S'B2(0))+<7^ [i«“1/pu(^) x
x [C2(0) + z(t)(Q(t)S'B2(0),S'B2(0)) + z(t)|Q(t)S'B2(0)|2] -
-£7^tz(77)[z(77)]1-1/pu(77)^|Q(t)S'B2(0)|2. (4.20)
Тем самым формула (4.19) принимает вид
СД4) = [z(t)]VPC1(t).	(4.21)
Прежде всего отметим, что z(0) = 0, z(t) = 1. Таким образом, легко видеть, что предъявленная функция (4.19) удовлетворяет начальному условию C'i(C)|t_0 = 6*1(0). Дифференцируя (4.21) по времени и принимая во внимание соотношения (3.19), (4.20), имеем
Ci(t) = rv^C^t) + [z(t)] W:^).	(4.22)
Теперь, исходя из (4.20), нужно вычислить Ci(t). Итак, учитывая формулу (3.20), получим
C^t) = 2z(t)(Q(t)S'Bi(0),S'B2(0)) +
+ 4z(t)z(t)(Q2(t)£>(0)S'B1(0), S'B2(0)) +
+ 4z(t)z(t)(Q2(t)A(0)S'B2(0), S'B2(0)) +
+ 8z2(t)z(i)(Q3(t)A(0)_D(0)S,'B2(0), S'B2(0)) +
+ a[z(t)]	[C2(0) + z(t)(Q(t)S'B2(0), S'B2(0))] +
+ <?( f	x {i(t)(Q(t)S'B2(0),S'B2(0)) +
\Jo	/
+ 2z(t)z(t)(Q2(t)D(0)S'B2(0), S'B2(0)) +
+ z(t)|Q(t)S'B2(0)|2 + 4z(t)z(t)(Q3(t)Z)(0)S'B2(0), S'B2(0))} -
-4az(t)( [ z(77)[z(77)]1-1/Pu(77)d77>)(Q3(t)D(O)S'B2(O),S'B2(O)). \Jo	J
Выражение, стоящее в фигурных скобках, можно упростить. В самом деле, используя (3.21), нетрудно убедиться, что имеет место соотношение
z(t)(Q(t)S'B2(0), S'B2(0)) + 2z(t)z(t)(Q2(t)£(0)S'B2(0), S'B2(0)) +
+ z(t)|Q(t)S'B2(0)|2 + 4z(t)z(t)(Q3(t)D(0)S'B2(0), S'B2(0)) =
= 2z(t)(Q3(t)S'B2(0),S'B2(0)).
Таким образом, заключаем, что
Cx(i) = 2z(t)(Q(t)S'B1(0), S'B2(0)) +
+ 4z(t)z(f)(Q2(t)D(0)S'B1(0), S'B2(0)) +
+ 4z(t)z(t)(Q2(t)A(0)S'B2(0), S'B2(0)) +
+ 8z2(t)z(t)(Q3(t)A(0)D(0)S'B2(0), S'B2(0)) +
+ a[z(t)]!" ‘/^(tHC^O) + z(t)(Q(t)S'B2(0), S'B2(0))] +
+ 2az(t)( [ [z(77)]1-1/PU(77)d77>)(Q3(t)S'B2(O),S'B2(O))-\Jo	)
- 4az(t) z(7?)[z(t?)]1-1/pu(7?) dr^ (О3(01?(0)5'В2(0), S'B2(0)).
Умножая последнее соотношение на [z(t)]1?,p и принимая во внимание формулу (3.21), несложно проверить, что справедлива цепочка равенств
[i(t)] 1/рё! (t) = 2[z(t)] 1/p+1 (Q(t) [i +	s'b2(o)) +
+ 42(t)[i(t)]1/^1(Q2(^A(O)[7 + 2z(t)Q(t)D(O)]S'B2(O),S'B2(O)) +
+ <ru(t)C2(t) + 2a[z(t)]1/p+1 x
x ^j\z(<’Vp^)^(Q3(t)S'B2(0),S'B2(0))-4a[z(</p+i x
X ^t4’7)^(^)]1"1/p^)^)(Q3(t)^(0)5/B2(0),s'B2(0)) =
- au(t)C2(t) + 2[i(t)]1/p+1 (Q2(t)S'B1 (0), S'B2(0)) +
+ 4Z(t)[z(t)]1/p+i(Q3(t)A(0)S'B2(0), S'B2(0)) +
+ 2<r[z(t)]1'p+1 ^t[i(r7)]1-1/pu(77)	(Q3(t)S'B2(O), S'B2(0)) -
-4<r[z(t)]1/p+1^ z(77)[i(77)]1-1/pu(7;)d^ x
x (Q3(t)D(0)S'B2(0), 5'Б2(0)) = au(f)C2(t) + 2(B1(t), B2(t)).
Подставляя это выражение в формулу (4.22), приходим к ОДУ
C'i(t) — Tv(t)Ci(t) + au(t)C2(t) + 2(Bi(t), B2(t)).
Таким образом, заключаем, что скалярная функция C'i(t), определяемая посредством формулы (4.19), является решением задачи Коши (4.18). Теорема доказана.
Замечание 4. Нетрудно проверить, что если вместо u(t) ввести в рассмотрение функцию
u0(t) = 7i(t) [z(t)J-Vp,	(4.23)
тогда t«o(t) удовлетворяет линейному интегральному уравнению Воль-терра второго рода
u0(t)=a[ K0(t,7]')u0(T]')dT] + f0(t),	(4.24)
Jo
с ядром	= • (77) tr[Q2(f)Q-1(?7)p(0)]	(4.25)
и свободным членом
/o(t) = tr[Q2(t)A(0)].	(4.26)
Итак, суммируя результаты теорем 3, 4, 6, 7, приходим к следующему ключевому результату, используемому для разрешимости системы АДУ (3.4).
Теорема 8. Пусть заданы вещественные симметричные матрицы А-ДО), Л2(0) 6 Мп(3?), обладающие свойством (4.7), вектор-столбцы В; (0),В2(0) G Mnji(3?) и скаляры C'i(O), СДО) G 3?. Пусть z(t) uu(t) — соответственно вещественные решения задачи Коши (3.10) и линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода (4.24) с ядром (4.25) и свободным членом (4.26). Тогда существует вещественное решение матрично-векторно-скалярной задачи Коши (3.11)-(3.13), (4.2), (4.13), (4.18), определяемое формулами
Л2(«) = i(t)SQ(t)n(O)S' = z(t)SQ(t)S'A2(0), B2(t) = i(t)SQ(t)S'B2(0), C2(t) = i(t)[C2(0) + z(i)(Q(t)S'B2(0),S'B2(0))], t
(4-27)
(4.28)
(4.29)
ЛД<) =	[ i^uoi^Q-^^D^d-q + AiOW^S',
L Jo
(4.30)
Bi(t) = [i(</pSQ(t)	z^u0(q)Q~\q)dq^Q(t)S'B2{0)
+ 2z(t)Q(t)A(0)S'B2(0) + S'Bi(0) , (4.31)
G(t) = [z(</p СДО) + 2z(t)(Q(t)S'Bi(0),S'B2(0)) +
+ 2z2(t)(Q2(t)A(0)S'B2(0), S'B2(0)) +
+ a(J°	dq^ [C2(0) + z(t)(Q(t)S'B2(0), S'B2(0)) +
+ z(t)|Q(t)S'B2(0)|2] -a^tz(77)z(77)«o(77)d^|Q(i)S/B2(0)|2 .
(4.32)
Помимо этого Ai(t), -A2(t) — вещественные симметричные матрицы, соответственно, для всех t G domain A.i(t), t 6 domain4.2(t), где Q(t) — диагональная матрица вида (3.17); S G Mn(3?) — произвольная ортогональная матрица-, Л(0) = S'4.i(0)S; D(0) = S'A2(0)S; <т = Ар/£; С =р(А + 1) - А; А,р,е е Э?\{0}.
Замечание 5. Методы исследования переопределенных систем АДУ и систем эволюционных уравнений, нагруженных дифференциальными связями, обсуждались соответственно в работах [34, 35]. Переопределенные системы АДУ возникают во многих прикладных исследованиях, например, при математическом моделировании процессов горения, химической кинетики с учетом диффузии и теплопроводности [36, 37] (помимо этого см. [9]).
Отметим, что исследование задачи Коши (3.11)-(3.13), (4.2), (4.13), (4.18), обладающей решением (4.27)-(4.32) и нагруженной алгебраи
ческими уравнениями (3.47)-(3.4g), распадается на два непересекаю-щихся случая: р / 2 и р = 2. При этом в каждом их этих случаев мы определим достаточные условия, при выполнении которых решение (4.27)-(4.32) задачи Коши (3.11)-(3.13), (4.2), (4.13), (4.18) удовлетворяет дополнительным условиям (3.4у)-(3.4g).
5. Существование решений задачи Коши для системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р ф 2)
Полученные в разделах 3, 4 результаты позволяют продолжить исследование разрешимости переопределенной системы уравнений (3.4). Это весьма сложная задача. Поэтому подчиним исследование системы АДУ (3.4) изучению разрешимости уравнений (3.4i)-(3.4g), рассматриваемых в определенной последовательности. Известно [20], что переопределенные системы уравнений могут вообще не иметь решений. В связи с этим покажем, что система АДУ (3.4), которая является переопределенной, имеет решения, отличные от тривиального: Ak(t) = 0, Bfc(t) = 0, Cfc(t) = 0 (fc = 1,2).
Прежде всего рассмотрим разрешимость матричного уравнения (3.4у) при условии, что Ai(t) = SA(t)S', т.е. S'Ai(t)S = A(t) = = diag[Ai(t),..., An(t)|, (см. замечание 3). Подставляя (4.11') в (3.4у) после тривиальных преобразований получим
Afc(t)[Au(t) + 2£Afc(t)] = 0,	(3.4^)
где u(t) = trАД!) = £?=1 Ai(t); £ = р(А + 1) - А; £	0; А 0. Яс-
но, что если для некоторого t* 6 domain Ai(t) выполняется равенство u(t*) = 0, то Ai(t*) = 0. Действительно, если u(t*) = 0, то из (3.4?) следует, что Afc(t) = 0 для всех к = 1,2, ...,п и, следовательно, Aj(t*) = 0. С другой стороны, из единственности решения задачи Коши (4.2), обладающей тривиальным решением, получим, что Ai(t) = 0. В частности, если Ai(t) не равна тождественно нулю, то trAi(i) / 0 для всех t 6 domain Ai(t).
Итак, для любого к = 1, 2,..., п либо Afc(t) = 0, либо A^(t) =
т.е. все ненулевые Afc(t) равны между собой. Пусть /С = {к: A^(t) / 7^ 0} = т С п, тогда из соотношения Au(t) + 2£At(£) = 0 следует, что
Ат • 57 -М*) + 2£ 57	~ °-
i=l	fc6K
Так как Xi(t) =	= trjZhW / 0 и т = rankAi(t),
тоА-rank Л1(«) 4-2^ = 0. Введем функцию <p(t) = -7^u(t) =	/
/ 0. Тогда A(t) = <p(t)Em, A^t) = <p(f)SEmS', где Em = diagfei,... ,en];
G {0,1}; rank Em = Тем самым, имеет место
Утверждение 4. Пусть Ai(t) = <p(t)S£?mS'/O, £^m = diag[ej,... ...,en], et e {0,1} (к = l,2,...,n), rank — m e {1,2, ...,n},
<p(i) — произвольная вещественная функция, обладающая тем свойством, что y(t) 0 для всех t G domain Ai(t), S G Mn(5J) — вещественная ортогональная матрица. Тогда, если т = —2£/Х, то Ai(t) является решением матричного уравнения (3.4?) и выполняется соотношение
2( rank Ет = rank Ai(t) = — —,	(5.1)
где С = р(А + 1) - А; £ / 0; А, р G 5?; Л / 0, р 0.
Доказательство. Очевидно, что каждая из матриц Ет эквивалентна [32] матрице diagfl,..., 1,0,..., 0], в которой е^ = 1 для к = = 1,2,..., т и Ct = 0 для к — т + 1,... ,п. Тем самым, ниже, не теряя общности, будем предполагать, что Ет = diagfl,..., 1,0,..., 0]. Легко видеть, что Ет = Е^, т. е. матрица Ет является идемпотентной. Так как Aj(t) и Ет связаны соотношением Ai(t) = <p(t)SEmS', причем Ai(t) / 0, <p(t) / 0, то матрицы Ai(t) и Ет также эквивалентны. С другой стороны, известно, что для эквивалентности двух вещественных (п х п)-матриц необходимо и достаточно, чтобы они имели одина-2£ ковый ранг. Из сказанного, в силу того, что rank Ет = т ит — следует справедливость цепочки равенств (5.1). Наконец, с учетом того, что т = - j*-, Ет = Ет, <p(i)	0, нетрудно убедиться, что матри-
ца Aj(i) = <p(t)SEmS' удовлетворяет уравнению (3.4у). В самом деле, имеем
A(tr А1)А1 + 2£А? = Am<p2(t)SEmS' + Z^^SE^S' =
= Am^2(t)S(Em - E2m)S' = 0, где А ё R; А 0; m G {1,2,..., п}. Причем ясно, что Ai (t) G Mn(3ft) — вещественная симметричная матрица. Утверждение доказано.
Так как с одной стороны £ = — а с другой £ = р(А + 1) — А, то параметры исследуемой системы АДУ (3.4) связаны соотношением 2р(А + 1) = А(2 — т). В этом случае т = а = А / 0, р 0. В частности, если А = — ^, то из соотношения 2р(А + 1) = А(2 — т) следует, что либо т = 2, либо р = 1. Итак, если т = 2, то А = —1, т = -i, а = -р, £ = 1, если р=1, то X = т = а — -^, £ = 1.
В силу зависимости т = ис учетом вида матрицы Ai(t) уравнения (3.4g), (3.4g) соответственно запишутся
(l-Em)S/B1(t) = 0,	(5.2)
IBiWI2 = 2<p(t)Ci(t).	(5.3)
К проверке выполнимости алгебраических уравнений (5.2), (5.3) мы вернемся ниже.
Из теоремы 4, замечания 3 и утверждения 4 следует, что имеет место
Утверждение 5. Пусть Л1(4) = ip(t)SEmS', Л2(<) = SD(t)S', тогда D(t) =	и тем самым
Ai(t) = A(O)[/i(t)]J^^ SEmS',	(5.4)
A2(t) = d(O)[/i(t)]~1SEfnS'.	(5.5)
Кроме того, ^(t)-A(O)[ft(t)]/<;"+Vr,	=	(5.6)
h(t) = 1 - (Am + 2)d(0)t,	(5.7)
где Am + 2	0; d(0),A(0) G 3?; d(0) = V>(0) / 0; A(0) = <p(0)	0;
m — — 2£/A G {1,2,..., n}; <p(t) / 0 для всех t G domain j4i(£); i/>(t)	0
для ecext G domain Д2(<).
Доказательство. Перепишем матрицу .A2(t), определяемую согласно (3.14), в виде Д2(<) = z(t)SQ(t)D(0)S'. Подставляя функцию Д1 (t) в матричное уравнение (З.44) и учитывая формулу (3.24), после несложных преобразований приходим к равенству
У’(^)
<д(£)
TtrA2(t) Ет = [4Em +<rm/]£>(t),
где D(t) — матрица, определяемая посредством (3.22). Это соотношение, в силу вида матрицы Ет, распадается на два равенства
— rtr>l2(t) = (am + 4)dfc(t); к = 1,2,..., т;
<д(£)
0 = amd/cft)-, к = т + 1,... ,п,
где стт+4 = 2(2—р) У 0, т. е. р 2. Так как ат = —2р	0, то dfc(t) = 0
для к = т + 1,..., тг. Тем самым, если к = 1,2,..., т, то собственные значения dfc(t) матрицы Л2(<) не зависят от к и имеют вид
dk(t) =	— т- tr Л2(«)1 = V-(t),
ат + 4 [<£(£)
(5-8)
где т = Х/р. Итак, D(t) = ф^Ет, а следовательно, А2(£) = ip(t)SEmS', trj42(t) = тф(1). Вводя обозначение <?*, = [1 — 2dt(0)z(t)]_ , перепишем матрицу (3.17) в виде Q{t) = diagfgi(t),..., qn(t)]. Тогда dfe(t) = 0 для к = m + 1,..., тг и dfe(0) = -0(0) = d(0) для к = 1,2,..., m. Тем самым, ?*,(<) = [1 — 2d(0)z(t)]-1 при к = 1,2, ...,т и ?*,(<) = 1, при к = т + 1,..., тг. Кроме того,
Q(t) = [1 - г^оиг)]-1^ + (/ - Ету	(5.9)
С другой стороны, из (3.14) имеем
л’<‘> =
Причем в рассматриваемом случае задача Коши (3.10) принимает вид z(t) = [1 - 2d(0)z(t)]-Am/2, 2(0) = 0,	(3.10')
и обладает решением
1 1	—2 -
Помимо этого
=	=	- <Ат + WM-1’
42(t) = d(0)[1 - (Am + ^dWt^SEnS'.
Далее, так как 4i(t) = tpftjSEmS' и справедливо представление (4.11'), то <p(t)Em = Л(£), т. е.
<p(t) — Afc(t) = A(t); к = 1,2,..., m;
0 = Afe(t); к = т + 1,..., п.
Тем самым А/ДО) = <р(0) = А(0) для к = 1,2,..., т и Afc(0) = 0 для к = = т + 1,..., тг. Итак, имеет место формула (см. замечание 3)
A(t) = [1 - 2d(0)2(t)]-2[2(t)]1/p х
х |<rd(0) f [1 - 2d(0)2(7/)][z(7;)]1_1/pu(7/) dr) + A(0)l, I Jo	)
из которой с учетом соотношений trHj(t) = u(t) = m<p(t), A(t) = <p(t) получим
¥>(t) = [1 - 2d(0)z(t)]-2[z(t)]VP x
x /mcrd(0) [ [1 — 2d(0)z(7/)][z(7/)]1_1/p<^(7;) dr] + A(0)|,	(5.11)
I Jo	J
где a = —2p/m-, Xrn + 2^0.
С другой стороны, принимая во внимание представления (5.9), (5.10), (3.10') и учитывая соотношения u(t) = m<p(t), G(t) = SQ(t)S', нетрудно убедиться, что формулы (4.4), (4.5), (4.12) также приводят к справедливости интегрального уравнения Вольтерра второго рода (5.11). Причем в силу зависимости (5.10) уравнение (5.11) конкретизируется
A m + 4р (	Г*	Am( 1 — p)-F2p	1
<p(t) = [/i(t)j ''(Лт+2> < —2pd(0) / [/г(т?)] >'(Лт+2) <р(т?) dr] + А(0) >
I Jo	)
(5.U') и обладает решением
<p(t) = А(0)[/г(4)]2’^"Г+’2>т,
где Am + 2^0. Если Am + 2 = 0, то (5.11') запишется
<p(t) = ехр
®—^d(O)t Р
х
х -! -2pd(0) / <д(т?) ехр
I Jo
М^(0), р
и имеет решение
p(t) = А(0) ехр
dr] + А(0)
(5-12)
р
Итак, справедливы формулы (5.4)-(5.6). Утверждение доказано.
Сформулируем без доказательства результат, который следует из утверждения 5.
Следствие 2. Пусть р 2, тогда для того, чтобы матрицы Aj/t) = <р(б)ЗЕтЗ', A2(t) = 't/At)SETnS' являлись решением переопределенной системы уравнений (3.41), (ЗЛ4), (ЗЛ7) достаточно, чтобы функции <p(t), V'(i) удовлетворяли системы ОДУ
ф(б) = (Tm + ат + 4)<p(t)^(t),	(5.13)
V>(t) = (Am + 2)^2(£),	(5-14)
где <p(t) / 0 для всех t G domain Ai(t); ^(t) 0 для всех t 6 domain A2(t); г = Х/р-, а — —’Ip/m, m G {1,2,..., n}.
Отметим лишь, что уравнения (5.13), (5.14) следуют соответственно из формул (5.8), (3.4j).
Далее, покажем справедливость соотношения
(/ - £m)S'B2(0) = 0,	(5.15)
которое будет использоваться нами для вычисления вектор-столбца Bi(t) и скалярной функции C'i(t), определяемых соответственно формулами (4.14), (4.19). Прежде всего напомним, что Дх(£) = p^SEmS', Л2(0 = iPi^SEmS1, tr Д1(<) = u(t) = trA2(t) = v(t) = Тогда, очевидно, задача Коши (4.13) запишется
Bi(t) = (rm + 2)V'(t)Bi(t) + crm<p(t)B2(t) + 2<p(t)S£?rnS'B2(t), (4.13')
BiW|t=o = Bi(°)-
где т = Х/р-, а = —2р/т. При этом, разумеется, параметры Х,р 6 Э?, А / 0, р / 0, m Е {1,2,..., п} должны удовлетворять соотношениям: Ат + 2^0, 2р(А + 1) = А(2 — т). Сперва заметим, что из (5.2) следует справедливость выражений: (Z — E,m)S'Bi(0) = 0, (/ — Em')SrBi(t) — 0. Тем самым, из уравнения (4.13') вытекает, что (Z — E‘m)S'B2(t) = 0. Отсюда, очевидно, при t = 0, вытекает формула (5.15). При этом мы учли, что Е/^ = Ет, р 0, <p(t) / 0. Итак, помимо зависимости
(/-Em)S'Bi(0) = 0,	(5.16)
имеет место формула (5.15). Кроме этого, из (5.9), (5.10), (3.10') с учетом зависимости u(t) = получаем
Q(t) = [h(t)]~^Em + (Z - Em), Q~\t) = [/i(t)]^£?m + (Z - Em),
z(t) = [/i(t)] Л"*+2, u(t) = mA(0)[/i(t)] ₽p(*"H-2> .	(5.17)
Итак, все подготовлено для вычисления вектор-столбца Bi(t), определяемого согласно (4.14). Прямое вычисление, с помощью формул (5.10), (5.15)-(5.17) и тривиальных преобразований, показывает, что
А(0)
d(0)
__2£±Д™_ Г	1 АГ01 2р2-4р-Л™
Bi(t) = [/г(«)] + [вно) - ^B2(0)j +	в2(0).
(5.18)
С другой стороны, исходя из (3.15), легко видеть, что имеет место цепочка равенств
— Am
B2(t) = z(t)SQ(t)S'B2(0) = [h(t)]+^” x
X ф(г)];^Ет + (Z - Em)]s'B2(0) = [/i^HB^O).
Тем самым получаем
B2(t) = [/i(t)]-1B2(0).	(5.19)
Наконец, осталось вычислить скалярные функции C'i(t), C2(t), определяемые соответственно формулами (4.19), (3.16). Проводя непосредственные вычисления с учетом соотношений (5.10), (5.15)-(5.17), нетрудно убедиться, что
_ Am	\ fПA	2p2—4p—Am
Ci(i) = [Zi(t)];₽(A~+2>(0) + -LL[/l(t)]+”'-‘+2) |B2(0)|2 +
Zu (U j 2р2-2р-Л [/l(t)]+₽(Am + 2)
2p + Am
. РА(О) (р- W)1
c2(t) = [/i(t)];7^
g2(°) - ^77k1b2(°)I2 +
(B1(0),B2(0))-^|B2(0)|2], d(0) J
Wod+^rWl2,
2a(U;
(5.21)
C2(0) -
2a(u)
(5.20)
где введено обозначение
C1(o) = c‘(0>-(^wj[c’<°>-wjiB2<0)1^ -
- s||B* -	B’<0» - ^'в’<°)12
(5.22)
Напомним, что вектор-столбец Bi(t) и скалярная функция определяемые согласно (5.18), (5.20), (5.22), связаны алгебраическим уравнением (5.3). Итак, из (5.3) после несложных преобразований следует
зависимость
m]-2-№£$ B1(0) - ^B2(0)
2(2p+Am)
2	2
= 2A(0)[/i(t)]2' г^^Г’сДО) +
2р-А2(°1 (P-W)1 UJ
^(°)-x4dB2(°)|2 . (5.23) 2a(U)
где p, d(O),A(O) £ 5?; p / 0; p / 1; d(0)	0; A(0) / 0. Дальнейшее
исследование выражения (5.23) распадается на два независимых случая: Am + 2/0, Ат + 2 = 0, при условии, что А =- 2р/(2 — т — 2р),
где 2 — т — 2р / 0.
Итак, предположим, что Ат + 2 / 0, А = 2р/(2 — т — 2р). Так как Ат + 2 =	—1)(т 2) q, Т0 р 1, т / 2. Легко видеть, что в
£> TYV ~~ ^Р
этом случае соотношение (5.23) будет выполняться в двух случаях:
I. Пусть р / ^. Тогда для того, чтобы имело место равенство (5.23), достаточно, чтобы выполнялись соотношения
СДО) = О, С2(0) = -А-|в2(0)|2, ВДО) = ^в2(0), 2a(U)	u(U)
где Ci(0) имеет вид (5.22). Итак, в этом случае А = 2р/(2 — т — 2р),
В-<°’ = ^В2<°>’	С’(“> = йЬ)1В’<°>|2-
II. Пусть Р = Тогда для выполнимости (5.23) достаточно, чтобы имели место равенства
Ci(0) = 0,
в А(0)в rm24-2A2(0)L
B1(0)“5(ojB2<l)) +~5(оП
A(0)
d(0)
C2(°)-5^rnlB2<0)l2 =°-
ZUl U I
1
т — 1
Совместный анализ этих выражений показывает, что при А = —
с-<°> = W)|B1(0)|2’ см = ^j(B1(0)’B2(0))- W)'B1« В итоге, в случае I справедливо
Утверждение 6. Пусть р Е Я?, р / 0, р / р / 1, р / 2,
m / 2, тогда А = 9—н-, т = 9-----—к- а = С = 9	—н
'	'	2 — т — 2р’	2	— т — 2р ’	тп.’’»	2р + т — 2
и система АДУ (3.4) имеет следующее решение:
A^t) = X^[h{t)]r+SEmS',A2(t) = d(V}[h(t)]-1SEmS’>
В1^ = w/S И)]г+В2(°)-B2(t) = [Mt)]-1B2(0), а\и)
= ^[^)]r+lB2(°)l2>C2W = ^М*)Г11в2(°)121
причем (I - Ет)3'ВДО) = (I- Em)S'B2(0) = 0, В^О) = $$В2(0), где г = 2Рр(д7У+~2)Ш;	= l-(Am + 2)d(0)t;B1(0),B2(0) G Э?п - постоянные векторы; d(0), А(0) G 3?; d(0)	0; А(0)	0.
Более того, в случае II имеет место следующий нетривиальный результат.
Утверждение 7. Если р = 1, т G {3,..., п}, то А =-----L-r,
г = —	1, а = —	£ = 2(п7^- 1) и система АДУ (3-4) обладает
A,(l) = X(O)(ft(t)KSBmS', Л2(1) =
Bi(t) = [адй [в,(0) - ® в2(0)] + 122|ликв2(0),
А(0)
d(0) J ! B2(t) = [Zi(t)]-1B2(O), ...	А(0)_ .
2
Bl(°) - ^tSb2(°) +
d(0)
А(0)
С‘(,) = 2Х®
+ ^)!адй[(в,(о).в2(о))-^|в2(о)1’
(5-24)
Хаддат!2.
ЙД|*»’'1В’<О)1!'
d(0)-А(0)
С = -Л-
2(	2А2(0)
причем
2
IW+Bi(o)-^b2(o) +
d(0)
(Z - Em)S'B!(O) = (Z - £m)S'B2(0) = 0,	(5.25)
где h(t) — 1 —	d(0)t; Bi(0),B2(0) G 3?n — постоянные векторы;
d(0), A(0) G Э?; d(0) / 0; A(0) 0; m — 3	„	2
a =-------
m — 2
т. + 1
т — 2 ’
13	т-2'
e = -^—. (5.26) m - 2 k ’
Отметим, что фактическим следствием утверждения 2 и утверждения 7 является следующий результат.
Утверждение 8. Уравнение быстрой диффузии
щ = V • (u“1/(m-1) Vu), и = u(x, t): Q х 5t+ -» 5?+, х G Э?п, (5.27) обладает точным неавтомодельным, анизотропным по пространственным переменным, явным неотрицательным решением
Г1	11/2
-(xMi(t)x) + (x,B1(t)) + Ci(t)
т — 1 [2
т-1 |(xM2(i)x) + (x,B2(t)) + C2(t)
причем функции АД1), Bfc(t), Ck(t) определяются формулами (5.24)-(5.26), где к = 1,2; т G {3,..., п}.
1
1
(5.28)
Теперь предположим, что Хт + 2 = 0. Тогда, в силу зависимости А = 5 будем иметь Ат + 2 =	—1)(т 2) _ q уак
2 — т — 2р J	2 — т — 2р
как р 1, то, очевидно, что т = 2, а следовательно, А = — 1. В итоге из утверждения 6 вытекает
Следствие 3. Пусть рбЗ?, р/0, р/1,т = 2, тогда А = — 1, т — —1/р, ст = —р, £ = 1 и решение системы АДУ (3.4) имеет вид
Ai(t) = X(0)eWSE2S', A2(t) = d(0)SE2S', Bi(t) = efc(‘>Bi(0),
B2(t) = B2(0), C1(t) = -A-e'lW|B1(0)|2, C2(t) = -A-|B2(0)|2, 2A^UJ	2u(U)
причем (I - E2)S'B!(0) = (I - E2)S'B2(0) = 0, Bi(0) = ^B2(0), где h(t) =	d(O)t; Bj(0),B2(0) e 3?n; d(O),A(O) £ 5R; d(0) / 0;
A(0) / 0.
С другой стороны, из утверждения 7 получаем
Следствие 4. Пусть р = 1/2, т = 2, тогда А = —1, т = —2, а — —1/2, £ = 1 и система АДУ (3.4) обладает решением
Ai(t) = A(0)e-d(o)t5E25',	A2(t) = d{Q)SE2S',
Bi(t) = e
Cx(t) =
-2d(0)t [^(0) fpd(0)t _	+ Bi(0) ,
;"3d(0)t 77Ет(е<Ц0)‘ - l)B2(0) +Bi(0) , d(0)
H(o) 1 2A(0)e
B2(t) = B2(0), 2
(5.29)
C (t\ =
C2^	2A2(0)
e-2^B1(0)-^B2(0) + d(0)
2 1 ^|B2(0)|2, 2a(U)
причем (I - E2)S'Bi(0) = (I - E2)S'B2(0) = 0, где Bi(0),B2(0) € Э?п; d(O),A(O) £ SR; d(0) / 0; A(0) / 0.
6. Существование решений задачи Коши для системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р = 2)
В первую очередь напомним, что, согласно утверждению 4, вещественная симметричная матрица Ai(t) = tp(i)SEmS' является решением матричного уравнения (3.4?), если rankAi(t) = т = —2£/А € € {1,2,..., п}, где А € SR; А / 0; £ = р(А + 1) — А; £ / 0. С другой стороны, из (3.24) следует, что A2(t) = SD(t)S'. Тем самым, матричное уравнение (З.44) после тривиальных преобразований может быть записано
[<p(t) - r<p(t) trD(t)]Em = <p(t)[(<rm + 4)/ - 4(1 - Em)]D(t),
причем v(t) = trA2(t) = trD(t) =	где D(t) — матрица,
определяемая посредством формулы (3.22); Em = diagfl,..., 1,0,... ..., 0] € Mn(3?) — матрица, в которой число единиц на диагонали
равно т € {1,2,..., п}. Так как в рассматриваемом случае ,	4	2	4	2т ,ч
А =--------, т = —---------, <т =------,	£=--------,	(6.1)
т + 2	т + 2	т	т + 2
то ат + 4 = 0 и легко видеть, что последнее уравнение распадается на Два:
2
т + 2 f'
О —	, к = т + 1,..., п.
Очевидно, что dk(i) = 0 (fc = m + l,...,n) и £>(t) = diag[di(t),... ...,	0,..., 0]. Тогда, так как А = —4/(т + 2), то из (3.19) име-
(m + 2) z(t) 4 z(t) ‘
ем v(t) = Efe=idfc(t) =
В итоге, приходим к соотноше-
нию 2z(t)<^(t) = z(t)<p(t). Следовательно, поскольку <p(t) / 0, z(t) 0, 1 /О
то <p(t) = <p(O)[z(t)]+' . Таким образом,
Ax(t) = v(0)[z(t)]y2SEmS',	Ai(0) = <p^SEmS'.
Объединяя эти формулы, приходим к справедливости цепочки ра-
A^t) = A(0)[z(</2SEmS' = тУЧ (0),	(6.2)
где <р(0) = А(0)	0. Далее, нетрудно видеть, что в рассматриваемом
случае задача Коши (3.10) принимает вид
ТП
*(*) = П[!-24(°)^)]^, z(0) = 0,	(6.3)
t=i
где т € {1,2,..., п}. Помимо этого, согласно (3.22), собственные значения dfe(t) симметричной матрицы Аг(^) запишутся так:
= ........(«)
dfe(t) = O (fc = т + 1,..., п).
Ясно, что из (6.4) следует зависимость D(0)Em = D(0), где Е(0) = = diag[di(0),..., dm(0), 0,..., 0] € 7ИП(3?). С другой стороны, легко видеть, что в исследуемом случае формула (3.14) конкретизируется
Д2(4) = fj[l - 2dfc(0)z(t)]^5Q(t)n(0)S' = z(t)SQ(t)D(0)S', (6.5) fc=l
причем
Q(£) = diag[[l - 2d1(0)z(t)]“1,..., [1 - 2dm(0)z(f)]-1,1,..., 1]. (6.6)
Заметим, что (6.6) следует из (3.17) с учетом соотношений (6.4).
Далее, как и в предыдущем разделе, нетрудно убедиться, что имеет
место равенство (5.15). Действительно, принимая во внимание формулы (6.1), (6.2), (6.5), легко проверить, что задача Коши (4.13) запишется
2
Bi(t) = 2z(t)SQ(t)P(0)S'B1(t)------— v(t)B!(t) +
т + 2
+ 2Л(0)[z(t)]	- 4A(0)[z(t)]1/2B2(t),B1(t)|(=o = ВДО).
Умножая обе части этого уравнения на выражение (I — £?m)S', учитывая представление (5.2), вытекающее из него равенство (I — —£m)S'Bi(t) = 0 и тот факт, что матрица Ет является идемпотентной, несложно показать справедливость соотношения А(0) [z(t)]^2(/ — — £?m)5'B2(t) = 0. Отсюда, учитывая, что А(0) / Ои функция z(t) = = const / 0 не является решением задачи Коши (6.3), получим искомую формулу (5.15). Тем самым задача Коши на вектор-столбец Bi(t) принимает вид
ВД4) = 2z(t)SQ(t)P(0)S'B1(t) - n(t)Bx(t) - 2A(0)[z(t)]1/2B2(t), т + 2
(6-7)
Очевидно также, что матрица Ai (t), определяемая посредством (6.2), может быть найдена из формулы (4.30). Покажем это. Прежде всего заметим, что при t = 0 из представлений (4.11'), (6.2) следует очевидная зависимость Л(0) = А(0)Дт. Тем самым, с одной стороны, из (6.2) имеем 1гЛ1(£) = u(t) = A(0)m[z(t)]y2. С другой стороны, из (4.23) с учетом того, что р = 2, получим u(t) = u0(t)[z(t)]y2. В итоге, объединяя два последних соотношения, приходим к зависимости Uo(t) = A(0)m. Далее, нам потребуется формула Q-1(r/) = [/ — 2z(r/)Z>(0)], которая, как несложно показать, следует из (3.21). Теперь легко проверить справедливость представления
‘	dT) = z(t)[I - z(t)2?(0)].	(6.8)
Отсюда, с учетом (6.8), заключаем, что имеет место цепочка равенств
A(t) = [z(</2s
z^Q-^^D^dr,+ А(0)
Q\t)S' =
= А(0)[£(</2S[£m - 4z(t)[I - z(t)n(0)]n(0)]Q2(t)S' =
= A(0)[i(t)] +/2SEm[I - 2z(t)B(0)]2Q2(t)S' = A(0)[z(t)]y2S£mS'.
Что и требовалось показать.
Теперь, исходя из (4.31), определим вид вектор-столбца Bi(t). Однако, прежде чем осуществить намеченное, отметим, что при этом мы будем использовать формулы (5.15), (6.8) и различные эквивалентные
записи тождества (3.21). В итоге несложных преобразований, легко устанавливается справедливость следующей цепочки равенств
Bx(t) = [z(</2SQ(t)[-4A(0)z(£)[/ - z(t)D(0)]Q(t)S'B2(0) +
+ 2A(0)z(£)EmQ(t)S'B2(0) + S'B1(0)] = [z(t)]y25Q(t) x
x [—2A(0)Z(t)[27 — Em — 2Z(t)P(0)]Q(t)S'B2(0) 4- S'B^O)] =
= [z(t)]}./2SQ(t)[—2A(0)Z(t)[I - 2Z(t)P(0)]Q(t)S'B2(0) + S'Bi(O)] =
= [z(t)]y2SQ(t)[-2A(0)z(t)S'B2(0) + S'B^O)] =
= [z(t)]+/2[SQ(t)S'Bi(0) - 2A(O)z(t)5Q(t)S/B2(O)].
При этом, помимо всего прочего, мы учли, что uq(t]) = A(0)m, Л(0) = = A(0)£?m. Таким образом, имеем
Bi(t) = mi+^SQWS'B!(0) - 2A(0)Z(t)SQ(t)5'B2(0)].	(6.9)
Итак, с одной стороны, воспользовавшись соотношениями (6.6), (3.19), (3.20), легко проверить, что функции (3.15), (6.9) тождественно удовлетворяют задаче Коши (6.7). С другой стороны, нетрудно убедиться, что найденные выше функции (6.5), (3.15), (6.2), (6.9) обращают в тождество и исходное уравнение (3.4s).
После этого займемся вычислением скалярной функции C'i(t), определенной выше (см. (4.32)). Используя зависимости 110(77) = А(0)т, Л(0) = А(0).Ет и очевидные соотношения
[ .2(4)120(77) dr] = А(0)тпг(£),	[ z{r])z{r])u0{r])dr] = -^А(0)тг2(<),
Jo	Jo	*
легко устанавливается (проверяется непосредственным вычислением), что формула (4.32) принимает вид
C1(t) = [zW]^2[C1(0)-4A(0)Z(t)C2(0)+2Z(0(Q(i)S/B1(0),S/B2(0))-
- 4A(0)Z2(£)(Q(t)S'B2(0), S'B2(0))].	(6.10)
Осталось, наконец, определить достаточные условия, обеспечивающие выполнимость алгебраического уравнения (5.3). Так как <p(t) = = A(O)[z(t)] У2, то учитывая формулы (6.9), (6.10) на основании (5.3) заключаем, что верно соотношение
Ci(0) - 4A(0)z(t)(72(0) + 2Z(t)(Q(t)S'B1(0), S'B2(0)) -
- 4A(0)z2(t)(Q(4)S'B2(0), S'B2(0)) = ^IQWS'B^O))2 -
- 2Z(t)(Q(t)S'B!(0),Q(t)S'B2(0)) + 2A(0)z2(f)|Q(£)S"B2(0)|2, (6.11) где A(0) €	A(0) / 0. Заметим сначала, что из (6.11) при t = 0 следует
зависимость
Сг (°) = 7Л^|3'В1(0)|2 = ТЛ77К1В1(°)|2-	(6-12)
При этом мы учли, что SS' = I, Q(0) = I, z(0) = 0. Соединяя (6.11), (6.12) и очевидным образом группируя слагаемые, приходим к равенству
- 4A(0)z(t)C2(0) + 2z(t)(Q(t)S'B1(0), [Q(t) + /]S'B2(0)) =
= ^(5'в1(°)>[<?2(0-Л5,в1(°)) + ZAIU)
+ 2A(0)z2(t)(Q(t)S/B2(0), [Q(t) + 2/]S'B2(0)).
Далее, используя (3.21), получаем Q(t) — I = 2z(t)Q(t)D(O). Воспользовавшись этой формулой и тем фактом, что z(t) =4 0 (см. (6.3)), легко проверяется справедливость соотношения
- 4А(0)С2(0) + 2(Q(t)S'B1(0), [Q(t) + I]S'B2(0)) =
= ^y(Q(t)[Q(t) + /]Р(0)5'В1(0),5'В1(0)) +
+ 2A(0)z(t)(Q(t)S'B2(0), [Q(t) + 27]S'B2(0)). (6.13)
Отсюда, в частности, при t = 0 и с учетом того, что Q(0) = I, z(0) = 0, сразу получаем
1
С’2(°) = Т7?п (^ВДО), S/B2(0)) - ^(ОДЗ'ВДО^'ВДО)) = 1
1 2А(0)
= А^) (В1(°)’В2(°)) " ^oy(^(O)S"Bi(O),S'Bi(O))j. (6.14)
В итоге, объединяя (6.13), (6.14) и должным образом группируя слагаемые, имеем
2(S'B!(0), Q(t)[Q(t) + I]S'B2(0)) - 4(S'Bi(0), S'B2(0)) =
= j^(<№(t) + /]r>(0)S'B1(0),s'B1(0)) -
-~(^°)S'Bi(0)^'Bi(0)) +
+ 2A(0)z(t)(S'B2(0), Q(t) [Q(t) + 2/]5'B2(0)).
Тем самым, нетрудно проверить, что выполняется соотношение 2(S'Bi(0), [Q(t)(Q(t) + /) - 2/]S'B2(0)) =
= J-(5'B1(0), [Q(t)(Q(t) + /) - 2/]П(0)5'В!(0)) +
+ 2A(0)z(t)(S'B2(0),Q(t)[Q(t) + 27]S'B2(0)).
В свою очередь, с учетом (3.21), следует справедливость цепочки ра-
Q(t)[Q(t) +1] - 21 = [Q(t) -	+ 2/] = 2z(t)Q(t)[Q(t) + 2Z]Z?(0).
Ясно, что в связи с этим предыдущее выражение упрощается и принимает вид
2(S'B1(0),H(t)£>(0)S'B2(0)) = -1-(5'В1(0),Я(^П2(0)5'В1(0)) +
+ A(0)(S'B2(0), H(t)S'B2(0)), (6.15)
где H(t) = Q(t)[Q(t) + 2/]; А(0) € 3J; А(0) / 0. Представление (6.15) можно упростить следующим образом. Умножая обе части (6.15) на А(0) / Ои замечая, что z(t) / 0, H(t) / 0, в итоге имеем
|A(0)S'B2(0) - D(0)S'B1(0)|2 = 0.
Поэтому, в дальнейшем, не теряя общности, будем предполагать, что
В2(0) = yiv W)S'Bi(O).	(6-16)
Далее, принимая во внимание (6.16), выясним к какой зависимости приводит формула (5.15). Итак, имеем
(I - £m)S'B2(0) = ^-П(0)(/ - £m)5'Bx(0) = 0.
Ясно, что f)(0) ф 0. Поэтому, очевидно, что (I — Em)S'Bi(0) = 0. Заметим, что это представление согласуется с алгебраическим уравнением (5.2) при t = 0 и соотношением (5.16). Далее, поскольку имеет место выражение (6.16), то легко проверить, что соотношение (6.15) выполняется тождественно. Помимо этого, из (6.14) с учетом (6.16) следует справедливость цепочки равенств
С2(0) = 2А*(б) <5'В1(°)’ ^(°)^/Bi(°)) =
= 2^o)(Bi(°)>SP(°)S/Bi(0)) = 2А^0)(В1(0)’В2(0))- (6’17)
Теперь вернемся к формуле (3.16) и вычислим явный вид скалярной функции C2(t). Нетрудно показать, что при выполнении условий (3.21), (6.5), (6.16), (6.17), имеет место выражение
С2 (t) =	(Bi(0), 42(t)B1(0)).	(6.18)
Действительно, с учетом этих предположений выполняется цепочка равенств
c2(t) = z(t)
^l^(B1(0),5D(0)S'B1(0)) +
+ ^Z(t)(Q(t)n(0)5'B1(0),JD(0)S'Bi(°))
= +
+ 2z(t)Q(t)(B1(0), SD2(O)S'B!(()))] =
= 2A^0)^W(Bi(0)’s^Wn(0)5/Bi(0)) = 2W0 (В1(о)’ Л2^В1(°))-
Что и требовалось показать. Далее, стартуя с (6.9) и принимая во внимание полученные ранее формулы (3.21), (6.16), несложно установить, что вектор-столбец Bj(t) определяется соотношением
Bi(t) = [±(t)]+/2B!(0).	(6.19)
В самом деле, непосредственные вычисления показывают, что
Bi(t) = [i(t)]y2[SQ(t)S'B!(O) - 2z(t)SQ(t)D(0)S'Bi(0)] =
= [z(</2S[Q(t) - 2z(t)Q(t)B(0)]S'B1(0) = (гД^ВДО),
т. e., как и следовало ожидать, имеет место зависимость (6.19).
Наконец, вернемся к соотношению (6.10) и покажем, что последнее с использованием формул (3.21), (6.12), (6.16), (6.17) упрощается и принимает вид
ciW = ^[*W]+/2lBi(°)l2-	(6-20>
ZA( U J
Действительно, в исследуемом случае имеет место цепочка равенств
сдо = т]+/2
= [й(«)]У2
2^0)|В1(0)|2 " A^)zW(5/B1(0)i С(0)5'В1(0)) + + ^^^(QWS'BxW^w^B^o)) -
- ^yZ2(t)(D(0)S'B1(0),Q(i)n(0)5'B1(0)) = 2^0)|В1(0)|2 ~ ^)zW(5,B1(0),L>(0)5'B1(0)) +
+ тд»	+ 2г(О<?(<)г>(о)]5'вдо), адд'в до)) -
-	P(O)S'B1(O)) =
1 щОдо)!2.
При этом мы воспользовались зависимостью (3.21). Тем самым, как и следовало ожидать, выполняется формула (6.20). В заключение отметим, что симметричность матриц Ai(£), ЛгД) для всех t из областей их определения следует соответственно из теорем 3, 4.
Итак, подводя итог проведенным в этом разделе исследованиям, сформулируем один из основных результатов настоящей работы.
Теорема 9. Пусть р = 2 и заданы вещественные симметричные матрицы Ai(0), А2(0) G 7ИП(3?) со свойством (4.7), вектор-столб-цы Bj(0),B2(0) €	связанные соотношением (6.16) и скаля-
ры Ci(0), С2(0) G 3?, определяемые посредством формул (6.12), (6.17). Пусть, кроме того, функция z(t) является вещественным решением задачи Коши (6.3). Тогда задача Коши (3.11)-(3.13), (4.2), (4.13), (4.18), нагруженная алгебраическими уравнениями (3.47)-(3.4э), обладает вещественным решением
A2(t) = z(t)SQ(t)P(0)S' = i(£)SQ(t)S'A2(0),	(6.21)
B2(t) = z(t)SQ(t)S'B2(0) =
= -Ьр^гДОО^В^О) = -l-A2(t)B1(0),	(6.22)
C2(t) = z(t)O2(0) + z(t)(B2(0),B2(t)) =
= ^^z(t)(SQ(t)n(0)SU(0),B!(0)) = ^l^(A2(t)B1(0),B1(0)),
(6.23)
Ai(t) = A(0)[£(</2SEmS' = [XC^AXO),	(6.24)
Bi(t) = [z(t)]+/2[5Q(t)S'B!(0) - 2A(0)z(t)SQ(t)5zB2(0)] =
= [ftC^BXO),	(6.25)
Oj(t) = [z(t)]+/2[C!(0) - 4A(0)z(t)02(0) + 2z(t)(Q(t)S'Bi(0), S'B2(0)) -
- 4A(0)z2(t)(Q(i)S'B2(0), S'B2(0))] = -L-[z(t)]+/2|B1(0)|2. (6.26) ZAI U)
Помимо этого, Ai(t), A2(t) — вещественные симметричные матрицы, соответственно, для всех t € domain Ai(t), t G domain A2(£), где .0(0) = diag[di(0),..., dm(0), 0,..., 0]; Q(t) — матрица, определяемая посредством формулы (6.6); dfc(O) € 3? — собственные значения матрицы А2(0), [к = 1,2,..., m); dfe(0) 7^ 0; А(0) G 3?; А(0) / 0.
Объединяя утверждение 2 и теорему 9, заключаем, что имеет место Утверждение 9. Уравнение нелинейной диффузии
ut = \7 • (u-4/<m+2>Vu), и = и(х, t): Q х 3?+ —> 3?+, хе Э?п, (6.27)
обладает точным неавтомоделъным анизотропным по пространственным переменным явным неотрицательным решением
(6.28)
причем функции АДб), Bfc(t), Cfe(t) определяются формулами (6.21)-(6.26), где т е {1,2,..., n}; k = 1, 2.
7. Некоторые обобщения и комментарии
В первую очередь, важно отметить, что подход, изложенный в настоящей работе, применим к построению точных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком)
ut = V • (uAVu) + аи1 А, и = u(x, t): П х Я?+ —+ 3?+, х G Я?п, (7.1)
где а, А € Я?; А 0. Причем, рассуждая аналогично тому, как исследовалось уравнение (1.1) нетрудно показать, что если £ = р(А +1) — А / 0, то соотношение (3.1) запишется
^Z2 = AZ2AZ2 + |VZ2|2 + а,	(7.2)
и в этом случае имеет место следующий результат.
Теорема 10. Пусть Ak(t) — симметричные матрицы с элементами ahijit) € С1 (Я? ), Bfe(t) — вектор-функции с компонентами bfci(t) € С'1(Я?+) и Ck(t) € С'1(Я?+) — скалярные функции. Тогда для того, чтобы функции Zi, Z2, определяемые согласно (2.1), удовлетворяли разрешающей системе (7.2), (3.2), (3.3) необходимо и достаточно, чтобы АДб), Bfe(t), С\.(£) удовлетворяли системе АДУ (3.4), в которой уравнение (3.4з) имеет вид
С2 = |В2|2 + А(1гЛ2)С2 + а, а £ SR, а 0.	(7-3)
Доказательство этой теоремы проводится по схеме доказательства теоремы 2. Помимо этого, из теорем 1, 10 следует, что справедливо
Утверждение 10. Пусть симметричные матрицы АДД) с элементами ahij(t) € С1 (Я? ), вектор-функции Bjt(t)c компонентами bki(t) € С1(Я?+) и скалярные функции СДД) G С1(Я?+) удовлетворяют переопределенной системе уравнений (3.41), (3.42), (7.3), (3.44)-(3.4э). Тогда функция u(x, t), определяемая формулой (2.6), является точным неотрицательным решением уравнения (7.1).
Подведем и прокомментируем некоторые итоги исследований, проведенных в этой работе. Прежде всего отметим, что большинство из построенных нами точных неотрицательных решений уравнений (1.1) и (1.2) не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда. Подробно результаты групповой классификации уравнений (1.1), (1-2) изложены в работах [3,21-23].
Точные неотрицательные решения уравнения нелинейной диффузии (1-1), полученные в этой работе, обладают различными, в зависимости от знака параметра А € Я?, А 0, свойствами. Причем нами
К (и) ,	,
рассмотрены случаи, когда	аи конечен или равен 4-оо, т. е.
[ ux~1du +оо.	(7.4)
Jo
Если А > О, тогда интеграл (7.4) конечен. В этом случае (1.1) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением [19]. Другими словами, уравнение (1.1) является параболическим при и > 0, а при и = 0 вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка. С вырождением уравнения (1.1) связаны некоторые особые свойства его решений. Например, при определенных предположениях уравнение с неявным вырождением может обладать неограниченными решениями или режимами с обострением [1, 2], когда lim sup u(x, t) — +oo,
t-*?1- xg!Rn
где T~ € 3?+ — момент обострения. При этом точка х = х* G 3?п, в которой происходит неограниченное возрастание решения при t —> Т~, называется точкой обострения (сингулярности). Причем при временах, близких к моменту обострения Т~ слева, для многих неограниченных решений вырождающегося параболического уравнения (1.1) типичным является свойство локализации [3, 4, 18] режимов с обострением в некоторой ограниченной области П С 3?п. Следует отметить, что это свойство в той или иной мере присуще неограниченным решениям уравнений различных типов [34]. Уравнение (1.1) при А > О описывает процесс ньютоновской политропической фильтрации и называется уравнением пористой среды (нестационарной фильтрации). Хорошо известным свойством уравнений типа нестационарной фильтрации является конечность скорости изменения носителей их решений [35-37]. Кроме того, в этих работах доказано, что сходимость f1 К(и) j	,
интеграла	аи < +оо является необходимым и достаточным
условием для конечной скорости распространения возмущений в процессах, описываемых уравнением (1.1). Так как все решения уравнения (1.1), рассмотренные в этой работе, являются неотрицательными, то suppu(x, t) — {х G 3?n: u(x, t) > 0}. Тем самым, скорость распространения возмущений в процессах, описываемых уравнением (1.1), конечна, если в любой момент времени t € [0, Т] существует шар 5(r(t)) = = {х£	|х| < r(t)} конечного радиуса r(t) < оо, такой, что
suppu(x, t) С S(r(£)) для t G [0, Т].
Наконец, одной из существенных особенностей процесса теплопроводности в нелинейной среде, тесно связанной с конечной скоростью распространения возмущений, является свойство тепловой инерции. Это свойство проявляется, в частности, в том, что если в нелинейной среде выделить ограниченную замкнутую область конечных размеров, то тепловое возмущение будет локализовано в этой области в течение конечного промежутка времени, пока фронт возмущений не достигнет границ выделенной области [38].
Если в уравнении (1.1) параметр А < 0, тогда интеграл (7.4) расходится, а коэффициент нелинейной теплопроводности К (и) = их неограниченно возрастает при и —> 0. Другими словами, коэффициент нелинейной диффузии К (и) = их будет при А < 0 сингулярной функцией: /С(0+) = +оо, что определяет высокую интенсивность передачи тепла из областей с повышенной температурой в те части пространства, где она близка к нулю. При этом интенсивность теплового поглощения либо на границе области, где u(x, t) = 0, либо в бесконечно удаленных точках может быть столь высока, что наступает эффект полного остывания за конечное время: u(x, t) = 0 для всех t То, где То < +оо — время остывания. Итак, в этом случае типичным свойством решений уравнения (1.1) при А < 0 является свойство обращения их в нуль за конечное время. Эффект полного остывания для уравнения (1.1) при А < 0, рассматриваемого в ограниченной области П С Э?п, и(х, £) = 0 на 5П, известен сравнительно давно [39]. Уравнение (1.1) при А < 0 описывает диффузионные процессы в полимерах, полупроводниках, пористых средах, кристаллическом водороде, [3, 14, 15, 19] встречается в физике плазмы и называется уравнением быстрой диффузии. Отметим, что явление стабилизации решений за конечное время исследовалось и для других классов дифференциальных уравнений с частными производными [18, 19].
Наконец, уравнение (1.2) является предельной формой уравнения быстрой диффузии и часто встречается в различных прикладных задачах (см. ссылки, приведенные в работах [15, 40]).
Несмотря на большое число работ, посвященных построению точных неотрицательных решений уравнения (1.1), большинство из них относится к случаю, когда А > 0. Известных нам работ, в которых строятся точные, неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения многомерного уравнения быстрой диффузии значительно меньше. Близкими к тематике настоящей статьи являются исследования [6-15]. В частности, в работе [15] предложен метод построения n-параметрического семейства точных неотрицательных решений u(x, t) задачи Коши
ut = &ит, u(x, 0) — u0(x), x G 3?n, t > 0, с начальными данными Uq(x) в виде конечной, либо бесконечной меры, где т G 3?; т > 0; п 2. Показано, что, если 0 < т < 1, то носитель меры есть гиперповерхность в J?n, а при т > 1 начальная мера сосредоточена в области, ограниченной поверхностью второго порядка в Jtfe, к < п. Кроме того, в этой публикации получены новые точные неавтомодельные решения уравнения (1.2) для п = 2 и п = 3. Другого типа решения уравнения (1.2) при п = 2 получены в [10], а при п — 3 — в [40]. Помимо этого, в кратком сообщении [41], на основе конструкции (2.4) получены новые точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения уравнения (1.2) для п = 2 и п = 3.
Теперь рассмотрим частный случай уравнения (6.27), когда т = п.
Итак, имеем
ut = V  (u "+2Vu), и = u(x, t): Q x 3?+ —> J?+, x G J?n. (7.5)
В связи с этим, важно отметить [3, с. 114-116], что при любом п G N и К (и) = и~4/(п+2) происходит значительное расширение допустимой группы преобразований для уравнения (7.5). При этом особо выделяется двумерный случай п = 2, К (и) = X/и, когда группа допустимых преобразований бесконечномерна и уравнение (7.5) принимает вид (1.2) при п = 2 и является предельным уравнением быстрой диффузии. Интересно отметить, что коэффициенты нелинейной теплопроводности К(и) —	К(и) = u-4/(m+2) уравнений (5.27), (6.27) сов-
падают, именно, при т = 2 и принимают вид К (и) = и-1. Тем самым, уравнение (1.2) при п = 2 и только оно обладает всеми перечисленными качествами. Наконец, отметим, что точные неотрицательные решения уравнения (7.5) найдены в работах [11, 12].
Список литературы
1.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Матем. заметки. — 2000. — Т. 67, №2. - С. 250-256.
2.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. Точные неавтомодельные решения уравнения lit = Д Inu // Матем. заметки (в печати).
3.	Галактионов В. А., Дородницын В. А., Еленин Г. Г., Курдюмов С. П., Самарский А. А. Квазилинейное уравнение теплопроводности: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Соврем, пробл. матем. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. Т. 28. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. - С. 95-205.
4.	Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. — М.: Наука, 1987.
5.	Галактионов В. А., Посашков С. А. Неограниченное точное решение уравнения нелинейной теплопроводности с источником // Препринт ИПМ АН СССР №42. — М., 1988.
6.	Галактионов В. А., Посашков С. А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями // Журн. вычис. матем. и матем. физики. — 1989. — Т. 29, Л'5 4. — С. 497-506.
7.	Галактионов В. А., Посашков С. А. Примеры несимметричного полного остывания и режимов с обострением для квазилинейных уравнений теплопроводности // Препринт. Инс-т прикл. матем. РАН №21. — М., 1994. - 24 с.
8.	Галактионов В. А., Посашков С. А. Точные решения и инвариантные пространства для нелинейных уравнений градиентной диффузии // Журн. вычис. матем. и матем. физики. — 1994. — Т. 34, № 3. — С. 373-383.
9.	Галактионов В. А., Посашков С. А., Свирщевский С. Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, №2. - С. 253-261.
10.	Galaktionov V.A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat conduction equations with source and applications // J. Differential and Integral Equations. — 1990. — V. 3, №5. — P. 863-874.
11.	Galaktionov V. A. Invariant subspaces and new explicit so lution to evolution equations with quadratic nonlinearities: Report № AM-91-11, School of Mathematics. Univ. Bristol. — 1991. — 39 p.
12.	Galaktionov V. A. Invariant subspaces and new explicit so lution to evolution equations with quadratic nonlinearities // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. - 1995. — V. 125A. — P. 225-246.
13.	King J. R. Exact multidimensional solutions to some nonlinear diffusion equations // Quart. J. Meeh. Appl. Math. — 1993. — V. 46, № 3. — P. 419-436.
14.	Пухначев В. В. Преобразования взаимности радиальных уравнений нелинейной теплопроводности // Записки научных семинаров ПОМ И. — 1994. - Т. 213. - С. 151-163.
15.	Пухначев В. В. Многомерные точные решения уравнения нелинейной диффузии // Прикл. механика и технич. физика. — 1995. — Т. 36, № 2. — С. 23-31.
16.	Bertsch М., Kersner R., Peletier L.A. Positivity versus localization in degenerate diffusion equations // Nonlinear Anal. Theory, Meth. Appl. — 1985. - V. 9, № 10. - P. 987-1008.
17.	Косыгина E. P. Об анизотропных точных решениях многомерного уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычис. матем. и матем. физики. — 1995. — Т. 35, № 2. — С. 241-259.
18.	Антонцев С. Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды. — Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1986.
19.	Калашников А. С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // УМН. — 1987.-Т. 42, №2(254).-С. 135-176.
20.	Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. — М.: Наука, 1978.
21.	Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
22.	Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983.
23.	Дородницын В. А., Князева И. В., Свирщевский С. Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 7. — С. 1215-1223.
24.	Kaplan W. Some methods for analysis of the flow in phase spase // Proc, of the symposium on nonlinear circuit analysis. — New York, 1953. — P. 99-106.
25.	Berger M. S. Nonlinearity and functional analysis (Lecture on nonlinear problems in mathematical analysis). — N. Y.: Acad. Press, 1977.
26.	Вайнберг M. M. Функциональный анализ. — M.: Просвещение, 1979.
27.	Веселов А. П., Дынников И. А. Интегрируемые градиентные потоки и теория Морса // Алгебра и анализ. — 1996. — Т. 8, №3. — С. 78-103.
28.	Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.
29.	Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. — М.: Наука, 1987.
30.	Хирота Р. Прямые методы в теории солитонов // Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. — М.: Мир, 1983. — С. 175-192.
31.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности // Журн. вычис. матем. и матем. физики. — 1993. — Т. 33, №8. — С. 1228-1239.
32.	Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989.
33.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.
34.	Вгепап К. Е., Campbell S. L., Petzold L. R. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations. — North-Holland.-Elsevier.-New-York, 1989.
35.	Капцов О. В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей // Матем. сборник. — 1998. — Т. 189, № 12. — С. 103-118.
36.	Волъперт А. И., Худяев С. И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. — М.: Наука, 1975.
37.	Волъперт А. И., Иванова А. Н. Математические модели в химической кинетике // Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения в математической физике. — М.: Наука. — С. 57-102.
38.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. Новые точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. матем. журн. — 1997. — Т. 38, №5. — С. 1130-1139.
39.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) // Журн. вычис. матем. и матем. физики. — 1998. — Т. 38, №6. — С. 971-977.
40.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. матем. журн. — 1998. — Т. 39, №5. — С. 1129-1138.
41.	Рудых Г. А. Точные неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Докл. РАН. — 1998. — Т. 358, № 3. — С. 323-324.
42.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. I // Сиб. матем. журн. — 2000. — Т. 41, №5. — С. 1144-1166.
43.	Рудых Р.А., Семенов Э. И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. II // Сиб. матем. журн. — 2001. — Т. 42, № 1. — С. 176-195.
44.	Рудых Г. А. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений уравнения ut = V • (uAVu) // Труды международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения». — Красноярск, 2000. - С. 189-193.
45.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. Новые точные решения неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса //Труды международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения». — Красноярск, 2000. - С. 193-196.
46.	Рудых Г. А., Семенов Э. И. О новых точных решениях неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Оптимизация, управление, интеллект. — 2000. — Т. 5 (1). — С. 63-69.
47.	Семенов Э. И. Анизотропные решения одной системы квазилинейных параболических уравнений быстрой диффузии // Труды XII Байкальской международной конференции «Методы оптимизации и их приложения». Т. 4 (Обратные и некорректные задачи прикладной математики). — Иркутск, 2001. — С. 165-168.
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ1^
В. Н. Денисов, А. Б. Муравник
Настоящая работа посвящена изучению необходимых и достаточных условий существования предела limy^+oo и(х, у) решения задачи Дирихле и(х, у) для некоторых линейных и квазилинейных эллиптических уравнений в полупространстве {у 0} = {х, у : х € EN,у 0}.
1°. Линейное уравнение.
В полупространстве {у 0} рассмотрим задачу Дирихле
q2	/	/*)	\
р^д^+ 52	=0’	С1)
У i,j=l ’ '	J /
и(х,0) = <р(х), х € En,	(2)
где предполагается, что измеримые и ограниченные коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условию равномерной эллиптичности, т. е. что найдется постоянная А > 0 такая, что для всех х, у 6 {у > 0}
N
А"1 О(*) < А, А-1|£|2 < £ а>Дх,у^ А|£|2,	(3)
i,j = l
а граничное значение <р(х) является непрерывной и ограниченной функцией в EN:
¥>(*) G C(EN), 1^)1 < М.	(4)
Под решением и(х, у) задачи Дирихле (1), (2) мы понимаем ограниченную в {у > 0} функцию, т. е.
|u(z,y)|<M,	(5)
которая принадлежит классу во всякой строго внутренней подобласти G полупространства {у 0} и удовлетворяет интегральному тождеству
л+°о у 2^	ди dv .
/	7 , av(z,y)—— — +p(z)t~-s- dx = 0,	(6)
Jo Л?" L/—! 'dijdxi 3y 5yJ
для любой гладкой финитной в {у > 0} функции v(x,y) G С^°{у > 0}.
11 Работа выполнена при поддержке второго автора ИНТАС, грант 00-136.
Известно (см. обзор [1)), что при этих условиях решение и(х, у) задачи (1), (2) существует, единственно и является непрерывной и ограниченной в {у > 0} функцией, совпадающей при у = 0 с непрерывной в EN граничной функцией <д(х). Кроме того, из результатов [2] и [3] следует, что и(х,у) удовлетворяет условию Гельдера с постоянной а > О, зависящей лишь от А и N.
Мы будем изучать вопрос о необходимых и достаточных условиях существования предела решения задачи Дирихле (1), (2)
lim и(х, у} = А	(7)
у-»+оо
при каждом х е EN (или равномерно относительно х во всем EN).
Рассмотрим вначале случай уравнения Лапласа, т. е. рассмотрим задачу Дирихле
^2 + Ди = 0,	(х, у) G {у > 0},	(1')
и(х, 0) = <д(х), х G EN,	(2')
где — граничная функция, удовлетворяющая условию (4).
При N = 2 рассмотрим граничную функцию
Г sinln|x|, |х| > 1,
vW = to,	<8>
Как нетрудно подсчитать, значение решения задачи (1'), (2') в начале координат имеет вид
u(0,y) = С(у) sin [1пу + фу],
где
lim С (у) / 0,	lim фу = V’oo € [0, тг].
У—>+оо	у—» + оо
Таким образом, ограниченное решение задачи Дирихле (1'), (2х) для уравнения Лапласа в полупространстве {у > 0} с ограниченной граничной функцией (8) не имеет в точке х = 0 предела при у —> +оо.
2°. Нам потребуются некоторые уточнения, относящиеся к понятию среднего значения функций многих переменных (см. [4]).
Пусть функция у(х) — ограниченная функция на EN, К — произвольный компакт из En, R — большой положительный параметр.
Рассмотрим семейство функций {у(/?х)} = {g(Rxi, Rx^,..., Rin)}, R > 0. Пусть функция у(х) имеет на бесконечности слабый в L2OC предел, т. е.
g(Rx) д(х),	(9)
где символ —обозначает слабую в L2(/C) сходимость. Из ограниченности функции у(х) вытекает, что предел (9) эквивалентен каждому из следующих двух пределов:
lim / д(Дх)^(х) dx = / д{х)ф(х') dx	(10i)
r^°°Jen	Jen
для любой гладкой финитной функции ф(х), lim / g(Rx) dx = / g(x)dx.	(IO2)
^JK	Jk
Будем говорить, что функция д(х) имеет среднее значение, если она имеет на бесконечности слабый в Дрос предел (9), и этот предел является константой.
Из (10г) заключаем, что данное определение среднего значения эквивалентно более привычному определению:
3= lim 77^7 / 5(уЖ	(Юз)
Я-oo |КД| JKr
где Kr = {у € EN : у — Rx, х € /С} — растяжение компакта К в R раз, a \Kr| — лебегов объем множества Kr.
Будем говорить, что функция д(х) имеет равномерное в EN среднее значение д, если для любой гладкой, финитной в EN функции ф(х) существует предел
lim / g(j3 + Rx)ip(x) dx = g / ф(х) dx,	(IO4)
л-,ос Jen	Jen
и является равномерным относительно /3 во всем EN. Последний предел эквивалентен следующему
lim —Ц [ g(fi + y)dy = g	(105)
/?-оо |Кл| JKr
равномерно относительно /3 во всем EN.
3°. Пусть функция f(x, у) — f(xi,..., х/^; у) от N + 1 переменной является ограниченной функцией на полупространстве {у 0}. Будем говорить, что эта функция удовлетворяет условию А, если существует постоянная /, для которой существует предел
lim [ dx [ [f(Rx, Ry) - f]2 dy = 0.	(106)
R~Jo
Отметим, что условие типа А впервые появилось в вопросах, связанных со стабилизацией решений задачи Коши для параболических уравнений в работах А. К. Гущина и В. П. Михайлова [5] и С. Л. Каме-номостской [6]. Дальнейшие применения этого важного понятия были даны в интересной работе В. В. Жикова [4].
4°. Сформулируем основные результаты настоящей работы, касающиеся линейных уравнений.
Теорема 1. Пусть коэффициент р(х) уравнения (1) имеет среднее значение р, а эллиптический оператор является оператором Лапласа. Тогда для того чтобы существовал предел (7) решения задачи Дирихле (1), (2) в каждой точке х € EN, необходимо и достаточно, чтобы существовал поточечный предел «взвешенного» шарового
среднего ограниченной функции <р(х), т. е.
J p(x)<p(x)dx
lim -------------------
R^°° Ji ><RP^dx
(11)
Теорема 2. Пусть коэффициент p(x) в уравнении (1) имеет среднее значение, а коэффициенты а^(х, у) удовлетворяют условию А:
lim [ dx [ [aij(Rx,Ry) — ai:j]2 dy = 0,	(12)
л-’оо7|1|^1 Jo
где аг] — положительно определенная матрица.
Тогда для того чтобы существовал предел (7) решения задачи Дирихле (1), (2) в каждой точке х € EN, необходимо и достаточно, чтобы существовал следующий предел
lim R—>oo
/	<p(i)p(i) dx
J(Bx,x)tjR2	'
I	p(x) dx
J(Bx,x)^R2 ’
= A,
(13)
где В — матрица, обратная матрице aij из условия (12), (x, z) — скалярное произведение в EN.
Теперь рассмотрим вопрос о необходимых и достаточных условиях существования равномерного в EN предела (7).
Теорема 3. Для того, чтобы существовал равномерный в EN предел (7) решения задачи Дирихле (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы функция р{х)р{х) имела равномерное в EN среднее значение
/ .^г.Р^ + У^Т^ + У^у lim Ж---------------------= А
R^°° J\yKRP(x + y}dy
(14)
Замечание 1. Утверждения, аналогичные теоремам 1, 2 и 3 для случая задачи Коши для уравнения теплопроводности были ранее доказаны в работах [4, 5, 6].
Замечание 2. Задача Дирихле (1), (2) с коэффициентами, не зависящими от у и p(i) = 1, была рассмотрена в работе [7], где были доказаны соответствующие аналоги теорем 1, 2 и 3. Общий случай задачи Дирихле (1), (2) был рассмотрен в работе [8].
5°. Доказательство сформулированных результатов.
1)	Пусть решение задачи Дирихле (1), (2) в полупространстве {у Js Js 0}. Положим при R > 0:
uR(x, у) = u(Rx\,..., Rxn, Ry), aR(x,y) = aij(Rxi_,... ,RxN,Ry), ipR(x) = <p(Rx), pR(x)=p(Rx),
LR = РЛ W^-2 + 52	f a£(X’	
oy £' Oli \ J UXj J
i,j = l 4	J '
Легко видеть, что функции uR(x, у) являются решениями следующих задач Дирихле
LRuR(x,y) = 0, uR(x,y)\y=Q = <pR(x).	(1")
Операторы LR характеризуются одной и той же постоянной эллиптичности, но имеют сильно осциллирующие при R —> +оо коэффициенты. К семейству операторов {Лл} будем применять энергетические оценки, а также оценки Нэша.
Следующий результат является хорошо известным ([2, 3]).
Лемма 1. Пусть Lu = 0 на {у 0} и sup |<р| < оо. Тогда для некоторого a G (0,1) гелъдеровы нормы ||и||“ не превосходят величины, зависящей от компакта К, sup |<р| и А > 0.
Итак семейство функций {uR(x, у)} является компактным в смысле равномерной сходимости на К. Из энергетических оценок следует также ограниченность градиентов Vti(x,y) в L2(K) для любого компакта К G EN. Поэтому можно говорить о слабых предельных точках семейства {г1Л(т, у)} при Л —> Too. Любую предельную точку обозначим через г>(х, у). Из определения функции v{x, у) следует, что существует последовательность Rm —> +оо, для которой выполнены следующие свойства:
uRm(x,y)L^^v(x,y), \HiR"(x,y)L2^ }Vv(x,y) (15)
для любого компакта К', лежащего строго внутри полупространства {у Js 0}. Функция v(x, у) очевидно непрерывна внутри {у 0}. Изучим вопрос о предельном значении функции при у = 0. Пусть К — любой компакт в EN. Функцию v(x, у) рассмотрим как функцию аргумента у со значениями в L2(K).
Лемма 2. Функция v(x, у) слабо непрерывна при у 0 и
„(„)! lim (I6)
'у—° т—»оо lim р^™ (т)
m—юо
где пределы понимаются в смысле слабой сходимости в L2(K).
Доказательство. Если р(х) — слабая предельная точка последовательности {рДт(:г)}, то из (15) следует, что имеет место слабая в L2(K) сходимость семейства функций pRm (x')uRm (х, у). Достаточно доказать, что это семейство {рЛт (x)uRm (т, у)} является равностепенно непрерывным в L2(K) на отрезке [0, У]. Так как это семейство ограничено в L2(K), что следует из энергетических оценок, то достаточно показать, что семейство функций
(pRuR,f)= [ uR(x,y)pR(x)f(x)dx
J К
равностепенно непрерывно для каждого у € [О, У] для любой функции / из плотного в L2(K) множества. Но, если — гладкая финитная функция, то
dy2 (PRuR, П-	aij дх. дх. dx-
Интегрируя это равенство по у € [j/i,У2], где 0 yi у2 С У, и применяя неравенство Коши-Буняковского и неравенство эллиптичности, будем иметь:
= Ciy/y2 — yi- (17)
Достаточно доказать, что Од(0) ограничено. Предположим, что это семейство является неограниченным. Тогда в силу равностепенной непрерывности семейства {a/R(0)}, являющегося следствием (17), получаем, что последовательность {ад(0)} не является ограниченной равномерно по у на отрезке [0,1]. Но тогда будет неограниченной и последовательность
а/?(у) - <*R(0) = / a'R(r) dr,
Jo
что противоречит ограниченности семейства функций {ад(у)}, у £ € [0,1]. Лемма доказана.
2)	В предыдущем пункте было введено семейство предельных функций v(x,y'). Если все предельные точки г>(з;, у) удовлетворяют некоторому эллиптическому уравнению Lv = 0, то это уравнение будем называть усредненным.
Лемма 3. Пусть коэффициент р(т) уравнения (1) имеет слабый в L2(K) предел р(т), а коэффициенты aij(x,y) удовлетворяют условию А, тогда усредненное уравнение имеет вид
Т -I \^2v	-	®2v	/ЮЧ
=	(“I
Доказательство. Умножим уравнение LRuR = 0 на f(x,y) из Со°(у > 0) и проинтегрируем по частям, при этом получим
о
г df R 'duR A df RduR 3
I	^pR(x) — + У	dx = 0
Ен[ду ду r^,dxi дх-j J
(19)
Так как функция f сосредоточена на некотором компакте Д', то учитывая (15) и соотношения
й ,L2(K)_
Р (*) Р, => оо, мы видим, что в интегральном тождестве можно перейти к пределу при R —» +оо. Из предельного интегрального тождества
г+°°	, rgf gv * _ gv gf
/ dy	— p(z) — + 5
Jo JEN	дУ	dzjdzi
следует, что усредненный оператор имеет вид (18). Лемма 3 доказана.
Из лемм 2 и 3 получаем следующее утверждение.
Лемма 4. Если коэффициент р(х) в уравнении (1) имеет слабый предел р(х), а коэффициенты а^(х, у) (i,j = 1,..., TVj удовлетворяют условию А, то решение задачи Дирихле (1), (2) и задачи Дирихле
L» = О, „I „ = lim	=
'у—0	т—>оо lim pRm(x) ' '
т-юа
являются равносходящимися при у —> оо для каждого х 6 EN:
lim (и(т, у) — v(x, у)) = 0.	(20)
3)	Доказательства теорем 2 и 3. Так как в этих теоремах коэффициент р(х) имеет среднее значение, то усредненное уравнение (18) имеет постоянные коэффициенты. Таким образом, в силу леммы 4 достаточно решить вопрос о предельном поведении и(х,у) для случая, когда предельный оператор имеет постоянные коэффициенты. С помощью линейной замены переменной с постоянной матрицей, сведем вопрос к изучению поведения при у —> +оо решения задачи Дирихле для оператора Лапласа в полупространстве {у 0}
д2и
^+Ди = 0, {у > 0},	(21)
удовлетворяющего граничному условию (16).
Лемма 5. Пусть v(x, у) — решение уравнения Лапласа (21), и граничная функция и(х, 0) является ограниченной в EN. Тогда равенство и(0, у) = 0, у > 0, имеет место тогда и только тогда, когда граничная функция имеет тривиальную радиальную часть.
Доказательство. В силу формулы Пуассона имеем
/	2у Г+°° pN 'Mfap-^dp
V(X'У) " T((W + 1 )/2) Jo [Р2 + у2]("+1)/2
(22)
где
М(х,р-,ф) =-----/ J’iy'JdSy
^NP J\x-y\=P
(23)
— радиальная часть функции V’(a:)- Полагая х = 0 и учитывал, что по условию радиальная часть равна нулю, получаем, что и(0, у) = 0. Докажем необходимость. Пусть и(0, ут9) = 0, где 19 > 0, у > 0. Сделаем замену переменной р = y^/z. При этом получим
Jo [1 + т922](" + 1)/2
В силу теоремы единственности для преобразования Стилтьеса [9] имеем М(0, Уу/z, ф) = 0. Лемма 5 доказана.
Далее мы используем лемму 4 из работы [4].
Лемма 4 [4]. Для того, чтобы слабая предельная точка семейства {'0й(:е)} имела тривиальную радиальную часть, необходимо и достаточно, чтобы функция ф(х) имела нулевое шаровое среднее.
Из этой леммы следует, что функция V’(I) имеет нулевое шаровое среднее. Применяя лемму 2, получаем, что необходимость в теоремах 1 и 2 доказана.
Для доказательства достаточности докажем следующее утверждение.
Лемма 6. Существование предела (7) решения задачи Дирихле (1), (2) в каждой точке х (или равномерно по х на компакте К С EN) равносильно существованию этого же предела в точке х = 0:
lim и(0,у) = А. y—t + oc
Доказательство. Из ограниченности гельдеровых семейств решений [2] ий(т,у) = u(Rx, Ry) имеем:
|и(Ят, R) — и(0, Я)| < С|т|“, |т|	1, 0 < а < 1.
Отсюда следует неравенство
|u(x,y) - u(0,y)| < cf—) , М С |у|, \У J
из которого вытекает доказательство леммы 6.
Пусть известно, что функция p(x)ip(x) имеет нулевое шаровое среднее и, значит, v(0,y) = 0 для любой предельной точки v(x,y) семейства {ий(т, у)} по леммам 1-4. Рассмотрим решение и(х, у) задачи Дирихле (1), (2) при т = 0. Пусть существует предел Iimm_+Oo w(0, ут) = = д. Тогда очевидно имеют место равенства
19 = lim u(0, Ут) = lim иУт(0,1) = ц(0,1) = О, 7П—>0О	ТП—>00
из которых следует, что существует предел limy-,+00 u(0, у) = 0. Тем самым в силу леммы 6 существование поточечного предела (7) доказано. Теоремы 1 и 2 доказаны.
Докажем теорему 3. Достаточно рассмотреть случай А = 0. Докажем достаточность в теореме 3, т. е. докажем, что если граничная функция ip(x) имеет нулевое равномерное среднее, то решение и(х, у)
задачи Дирихле (1), (2) имеет равномерный по х 6 EN предел (7), равный нулю. Допустим противное, тогда найдется е > 0 и последовательности хп 6 Е, у-п > 0 такие, что
|un(0,1)| = |и(тп, уп)| е.	(24)
Рассмотрим семейство функций {ип(т,у)} = {и(тп + хуп,упу)}. Это семейство функций удовлетворяет уравнению
р (I> w + Е	(“«(1'»’	) -0 (25)
i,j=l 4	J '
и граничному условию
un(a:,y) = 9?п(т),
где рп(х) = р(хуп +zn), а%(х,у) = а^(хуп + хп,упу), рп(х) = р(хуп + + хп). Поскольку коэффициенты уравнения (25) удовлетворяют условию эллиптичности (3) с той же постоянной Л, то из энергетических оценок [2] и оценок Нэша [1] следует, что градиенты Vun(x, у) равномерно по (хп,уп) 6 {у 0} ограничены в Дрос(5^+1), а гельдеро-вы нормы	таким же образом ограничены для любого компак-
та К' 6 Е^+1 при некотором зависящем лишь от N и А показателе Гельдера а > 0. По условию теоремы 3 семейство функций рп(х)<рп(х) слабо в L2OC(EN) стремится к нулю при п —» +оо. При доказательстве леммы 2 было установлено, что семейство функций {ип(т, у)} является слабо равностепенно непрерывным в L2OC(EN) при 0 у 1. Кроме того, как было указано выше, семейство функций {ип(т, у)} является равномерно ограниченным в L12oc(jE7V). Поэтому по теореме компактности в L2 из этого семейства можно выделить последовательность иПк(х, у) (для удобства ее снова обозначим через {ип(т,у)}), ип —v, слабо в L2OC(EN), у е [0,1]. При этом предельная функция является слабо непрерывной в L2OC(EN) по у, и поэтому функция принимает нулевое граничное значение г»(т, 0) = 0.
С другой стороны, в силу теоремы о G-компактности [10], последовательность эллиптических операторов, определяемых левой Q
частью (25), сходится, те. Ап —» А по некоторой подпоследовательности в любой ограниченной подобласти Л С F^+1, где
л . д2 А д Г . . д
l,J —1
есть некоторый равномерно эллиптический в E±+l оператор. Таким образом, из семейства {ип(т,у)} по теореме о G-компактности можно выделить подпоследовательность G-сходящуюся к функции v(x,y), где v — решение уравнения Av = 0 в При этом граничное значение v(x,0) = 0, поэтому по теореме единственности решения задачи
Дирихле v = 0 для у > 0. Но тогда, привлекая свойство гельдерово-сти семейства {ип(т, у)} получим, что ип(т, 1) —> 0 равномерно по х на компакте К С EN, в частности u'l(0,1) —> 0, что противоречит свойству (24). Достаточность в теореме 3 доказана.
Доказательство необходимости в теореме 3 существенно опирается налемму2. Рассмотрим семейство функций ип(х, у) = u(ynx+xn,yyn), где хп — произвольный элемент из EN. Если для решения задачи Дирихле (1), (2) существует равномерный в EN предел (7), то равномерно по х, хп 6 E-N limn^oo ип(х, у) = 0. Это значит, что для любой последовательности уп —» +оо и любых элементов х, хп € EN имеем, что ип(х, у) —» v = 0. С другой стороны, в силу леммы 2 предельное значение функции и(т,у) при у = 0 равно нулю, т. е.
рп(.т)<дп(.т) v(x,у)|v=0 = О
слабо в Lloc(EN). Это и означает, что произведение рп(т)<рп(т) имеет нулевое среднее. Необходимость в теореме 3 доказана. Теорема 3 доказана.
Далее мы рассмотрим случай квазилинейного эллиптического уравнения, содержащего скалярный квадрат градиента неизвестной функции. Нелинейности указанного вида возникают при моделировании направленного роста полимеров, а также в задачах о помехоустойчивости (см. [12, 13] и имеющуюся там библиографию).
6°. Нелинейное уравнение с регулярным коэффициентом при нелинейности.
В дальнейшем будем обозначать точку х = (ij,..., х^, rrjv+i) через (a/ji^+i), а полупространство EN х (0,4-оо) через Е(^+1.
Рассмотрим следующую задачу:
Au4-y(u)|Vu|2 =0, ieE?+1;	(26)
u«0) = <р(х'), x'eEN-,	(27)
где д непрерывна в (—оо, 4-оо), ip непрерывна и ограничена в EN.
Следуя, например, [14], введем следующую функцию: Дз) =f d=f ехр{р(<т) dcr} dr-, тогда f'(s) > 0, р(з) =	 Теперь опре
делим на En функцию V’(-t') =f /[v’(x’/)l> ограниченную в силу непрерывности f и ограниченности <р, и рассмотрим задачу:
Ди = О, хеЕ^+1;	(28)
^(t'jO) = Дт'), х' € EN.	(29)
В силу непрерывности f и <р и ограниченности ip из [1] следует, что существует и единственно классическое ограниченное решение г>(т) задачи (28), (29). Далее, строго возрастающая дифференцируемая функция f действует из [inf;;;N <р,зирд,у <р] "==Г [m, М\ в ]Д7п),ДЛ1)] С С (—оо,4-оо). Тогда на ]Дт). Д7Й)] определена строго возрастающая
дифференцируемая функция f 1 со значениями в [т, М]. Определим на +1 функцию
u(rr) =f У-1[и(т)];	(30)
данное определение корректно, так как в силу принципа максимума inf£N ф < и(т) < sup£N V’i а С С У(Л1) по определению. Тогда при j = 1,..., N + 1
ди dxj
ди dxj
1
1 ди /'(и) dxj ’
д2и f"(u) / ди \2 1 д2и дх? [У'(и)|3	) + f '(и) дх2
Ли = 77ГТДг; - lVwl2-
Таким образом,
Ди + g(u)|Vu|2 = J Ди —
^-|Vui2 + 9{и} |У^|2 = 0
поскольку и гармонична, a f строго положительна, следовательно, функция u(rr), определенная равенством (30), удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (26) в Е^+1. Покажем, что она удовлетворяет и краевому условию (27).
Поскольку У-1 дифференцируема, то она непрерывна, и непрерывна в Е^+1 (как классическое решение задачи (28), (29)), значит, и непрерывна в Е^+1 и limIN+1^+ou(T)	—* + о f [и(т)]
= /-1[V'(x/)] = «^(т7). Наконец, из непрерывности и(т) и ограниченности У-1 на замыкании множества значений и(т) следует, что и(.т) тоже ограничена.
Тем самым доказано существование классического ограниченного решения задачи (26), (27).
Для доказательства его единственности предположим, что иДт), и2(х) — классические ограниченные решения задачи (26), (27). Определим функции иДт) d= У[иДт)], иг(т) d=f У[и2(т)]; очевидно, ui и иг ограничены. Тогда для г = 1, 2, j = 1,..., N + 1
dui dij
ди, dxj
d2Ui dx?
=>	= y"(ui)|Vu,|2	= У'(иД[Ди{ +р(иД|Ущ|2] = 0
в силу строгой положительности f1 и того, что щ удовлетворяет (26). Далее, в силу непрерывности У, непрерывности и ограниченности щ и того, что щ удовлетворяет краевому условию (27)
lim иДт) = У [уД.т')] = V’(-t/)-
IN+1- +0
Таким образом, ограниченные Vj и иг удовлетворяют задаче (28), (29) с одной и той же непрерывной и ограниченной функцией V’i тем
самым Vi(x) = 172(1) в силу единственности решения задачи (28), (29) (см. [1]). Итак, доказана
Теорема 4. Пусть д непрерывна в (—оо, +оо), <р непрерывна и ограничена в EN. Тогда существует и единственно классическое огра-
ниченное решение задачи (26), (27).
Поскольку для задачи (28), (29) справедливо утверждение теоремы 1, имеем: limIN+1_,+оо и(х) = А для любого х1 из EN равносильно МГ(-) г
тому, что Пшя_+оо • -д-g" / f[p(y)]dy = А, где А — произвольная 2тг 2 R J «
вещественная постоянная. Учитывая, что и(х) и г»(т) связаны соотношением (30), получаем эквивалентность следующих двух утверждений:
limIN+1_+oo /[u(1)] ~ А для любого х' € EN , lini^+oo	!^r{Шу = А-
Теперь, если А 6 [/(inf^w+i и), /(sup^w+i и)], то f 1 определена в точке А; обозначим /-1(Л) через I. Соответственно, f определена в точке I и f(l) = А. Если же А [/(inf^w+i и), /(sup^N+i и)], то в силу непрерывности и(х) соотношение limIN+1_,+ос /[и(т)] = А не имеет места ни при каком х1 € EN.
Отсюда в силу обратимости f и непрерывности /-1 вытекает следующая
Теорема 5. Пусть и(т) является классическим ограниченным решением задачи (26), (27), х1 g EN. Тогда для того чтобы при некотором вещественном I
lim и(х) = I, IN + 1 —*4-00
необходимо и достаточно, чтобы
lim ““fel / /[У’(У)] =/(0, Л-* + оо 2% 2 RN J\y\^R
где f(s) = /о ехр{/о g(v)da\ dr.
Однако для задачи (28), (29) справедливо и утверждение теоремы 3, т. е.
.	+	»4-оо .	. —ьт
v(x) —> А равномерно относительно х 6 Е
тогда и только тогда, когда
АТ(ВД Г
2tVN/2rn /	+yndy —' A равномерно
относительно x' G EN, где A — произвольная вещественная постоянная.
Используя представление (30), получаем:
> А равномерно относительно х € h
тогда и только тогда, когда
Nr(N/2) Г .	,	. д_+оо
27r/v/2flN /	+y)idy —> A равномерно
относительно x' G EN.
Переобозначая /-1(>1) через l (для тех А, которые принадлежат замыканию множества значений функции u(rr), т. е. отрезку [infgw р, supEn 99]), получаем:
/[u(t)] N+-—>+ f(l) равномерно относительно x' G EN
тогда и только тогда, когда
NT(N/2) Г	,	Я-+00,,..
равномерно
относительно x' G EN.
Отметим, что последнее утверждение справедливо для любого вещественного I, поскольку для I [infgw y>,supgw 99] ни одно из этих предельных соотношений не выполняется, т. е. эквивалентность по-прежнему имеет место.
Теперь докажем эквивалентность следующих двух утверждений:
/[и(т)] N+-—>+ f(l) равномерно относительно х' G EN щх)	—► I равномерно относительно х € EJ .
Предположим, что выполнено второе из них: для любого положительного 5 существует такое положительное Т, что для любого x^+i из (Т, -(-оо), для любого х' из EN
|u(z',zjv+i) - l\ < 5.
Тогда f u(x',xN+l)] - f(T) - f'(0)[u(x',xN+i) - /], где 0 G [inf gw <д, supgw p (без ограничения общности можно считать, что I G [infgw <р, supEw р ).
/'(6>) =	е
о esuPoel™.M) So da
(напомним, что через m обозначается inf^w <р, а через М — supEN р).
гв	гв	r*upEN Ivl
I g(a)da / |g(o-)|d<7	/	|g(a)|daC
о	Jo	Jo
sup |<р| sup |g|=fM0.
EN	(0,sup |v>|]
EN
Поскольку <р ограничена, а д непрерывна, то Mq конечна и не зависит от в.
Возьмем произвольное положительное е и выберем такое Т, что для любого XN+i из (Т, +оо), для любого х' из EN
\u(x',xN+1) -Z| <
Тогда для любого x/v+i из (Т, +оо), для любого х1 из EN
т. е. выполнено и первое утверждение.
Теперь предположим, что выполнено первое утверждение: для любого положительного <5 существует такое положительное Т, что для любого xn+i из (Т, -(-оо), для любого х' из EN
|/[u«tn+1)]-/(Z)|<5.
Тогда
[u(t',tn+1)] - Z = (r1)/W(/[n(x',iN+1)] - /(Z)), где в 6 [/(infjrw y>), /(supBw y>)] в силу монотонности /, т. e. нужно оценить [ |i гДе к = Имеем = ехр(—/0 s(°')^°')> Да* лее, поскольку 6 € [/(infBN y>),/(supEN у>)], то, в силу монотонности /, к 6 [inf^w 99, supEN у>].
Теперь, оценивал последнюю экспоненту точно так же, как это делалось выше для оценки |/'|, получаем в силу ограниченности <р и непрерывности д, что |(/-1)/(^)| оценивается сверху константой, зависящей только от tp и д. Тем самым эквивалентность доказана, и мы имеем:
Следствие 1. Пусть и( х) является классическим ограниченным решением задачи (26), (27), I G (—оо, +оо). Тогда
щх) —> I равномерно относительно х ЕЕ тогда и только тогда, когда
ZVT(.ZV/2) Г -г / /	<1 , R—>+оо
равномерно
относительно х1 Е EN.
7°. Нелинейное уравнение с сингулярным коэффициентом при нелинейности.
Рассмотрим в следующее уравнение:
Au + au^|Vu|2 = 0,	(31)
где /3 G [—1,0), аа> —1, если /3 = —1.
Отметим, что, если в предыдущем пункте коэффициент при нелинейности был непрерывен на всей вещественной оси, то сейчас он имеет особенность в нуле, и, следовательно, не может быть продолжен непрерывным образом на всю вещественную ось.
Покажем, однако, что в классе положительных решений однозначная разрешимость задачи Дирихле сохраняется.
Итак, наряду с уравнением (31) рассмотрим краевое условие (27), потребовав дополнительно, чтобы функция была неотрицательной (кроме ее непрерывности и ограниченности).
Начнем наше рассмотрение со случал Д = —1 (напомним, что в этом случае имеет место дополнительное ограничение: а > — 1).
Определим функцию /(s) =f sa+1; тогда /'(s) > 0 на (0,+оо) и,
обозначая, как и выше, коэффициент при нелинейности через д(и), по-
лучаем, что g(s) =
на (0, +оо). Отметим, что /, в отличие от д,
определена и в нуле.
Определим теперь iplx'), как /[<р(т')] = <ра+1(з;/); тогда ^(з/) непрерывна и ограничена, следовательно, существует и единственно и(з?) — классическое ограниченное решение задачи (28), (29). Однако ф(х') еще и неотрицательна (и будем также считать, что ip, а значит, и ф нетривиальна), поэтому, в силу формулы Пуассона, v(x) > 0 в +1.
Обозначим Q । через р, f 1[и(т)] = ир(т) — через и(х) (заметим, что введенные таким образом р и и(х) положительны). Тогда
du ! dv д2и	р~2( dv>\ , Р-1д2у
| Vu|2 = p2v2p-2|Vv|2,	Au = pup-1Av + p(j> — l)vp-21 Vu|2 =>
Au + — IVul2 = pup-1Av + p(p - l)up-2|Vv|2 + -—-p2v2p~2\\7v\2 = и	pvp
= pvp-1Au = 0 в E±+\
поскольку u(i) строго положительна в E± +1 и удовлетворяет уравнению (28).
Таким образом, определенная выше u(rr) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (31) с /3 — —1.
Далее, limIN+1 ^+0 и(т) = limIN+1_+0 up(rr); поскольку р и и(т) положительны, а и(т) непрерывна в Е^+1, последний предел равен [limlN+1_+o u(x)]p = фр(х') = ip(x') для любого х' из EN (в силу того, что v{x) удовлетворяет краевому условию (29), а ф определялась как <р^р).
Таким образом, и(з?) удовлетворяет и краевому условию (27).
Наконец, в силу ограниченности функции и и положительности параметра р, функция и ограничена.
Итак, существование классического ограниченного положительного решения задачи (31),(27) доказано.
Для доказательства единственности предположим, что иДгг), иг(.г’) — классические ограниченные положительные нетривиальные
решения задачи (31), (27). Обозначим u“+1(i) через 12,(1) для i = 1,2. Тогда
dvi dij
(a+l)uf
дщ dij
d2Vi dx2
= a(Q+l)«?-1(gi) + (o + l)«?^r
для i = 1, 2; j = 1,..., N + 1.
Поэтому для i = 1,2
Ди, = (a+l)u“Au,+a(a+l)u“ ^Vu,!2 = (a+l)u“( Auj+ — |Vu,|2 ) =0
в силу того, что ui, U2 — положительные решения уравнения (31).
Таким образом, Vi, г»2 гармоничны в Е± +1.
Кроме того, в силу непрерывности и неотрицательности иДт), 122(1) в Е± +1, а также того, что а > —1,
lim Vi(x} = lim u“+1(x) = [ lim Ui(x)]a+1, z = l,2.
ТДЧ1-+0 k 7	xN+1->+0 ’ k 7 LxN + 1—ю k
Последнее выражение равно ipa+1{x>') = Jitx1), следовательно, vi(x) и 122(1) удовлетворяют задаче (28), (29). Наконец, в силу ограниченности функций tzi(m), 122(1) и положительности показателя а + 1, Vi(x) и 122(1) ограничены. Тогда, в силу единственности ограниченного решения задачи (28), (29), vi(x) = 122(1), а значит, в силу строгой монотонности функции s“+1 на (0, Ч-оо), 121(1) = 122(1) в Е^+1.
Единственность доказана.
Перейдем теперь к случаю, когда /? S (—1,0). Здесь мы действуем так же, как и выше, но в качестве функции /(з) берем (аналогично случаю регулярного коэффициента при нелинейности)
/ eJ0T9WdadT= f еЦ	dT = [	(32)
Jo	Jo	Jo
отметим, что эта функция определена (и строго монотонна) при всех (а не только положительных) вещественных а.
Единственный момент, требующий дополнительного (сравнительно со случаем, в котором /3 = — 1) освещения — это вывод положительности и(х) из положительности и(т). При (3 — — 1 это следует из явного вида функции (s) = зр, в данном же случае это вытекает из строгой монотонности f и, соответственно, /-1.
Действительно, обозначим, как и в предыдущем пункте, inf gw 99 через т 0, sup^w ip — через М; М > 0, так как в противном случае ip = 0.
Строго возрастающая функция f действует из [тп,М] в (/(тп),/(М)], следовательно, строго возрастающая функция /-1 действует из [/(т),/(А1)] в [т, М]. Но ф(х1') = /[у>(т')], следовательно, i[>(xr) Е € [/(m),/(Al)] для любого х' из EN. Поскольку и(х) = f~ 1[г»(ат)], то 12(1) € [т, М] для любого х Е Е^+1 (отметим, что, в силу принципа
максимума, v(x), так же как и ф^х'), лежит в [/(т),/(М)] при всех значениях своего аргумента).
Если т > 0, то тем самым положительность и(х) доказана, если же т = 0, то из (32) следует, что /(т) = 0. Но тогда к(т) > (потому что v(x) положительна), а поскольку nix') = /-1[к(т)], а строго возрастает, то и(х) > т = 0.
Итак, положительность функции и(х) доказана.
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 6. Пусть <р непрерывна, ограничена, неотрицательна и нетривиальна в Е. Пусть /3 £ [—1,0). Пусть а > — 1 при (3 = — 1. Тогда существует и единственно классическое ограниченное положительное решение задачи (31), (27).
Исследуем теперь поведение решения задачи (31), (27) при ZW+1 —» +оо.
Снова начнем рассмотрение со случая /3 = —1.
Применяя к функции г>(т) теорему 1, получаем:
•ua+1(2:) N+-—>+ А для любого х G EN тогда и только тогда, когда
NT(N/2) Г а+1 r_+oo mwU №dy А'
где А — произвольная вещественная постоянная.
Отметим, что без ограничения общности А можно считать неотрицательной, потому что в противном случае ни один из пределов в последнем утверждении не может быть равен А (так как и и <р положительны). Теперь можно обозначить Ар через I, т. е. А = Z“+1; отсюда получаем следующее утверждение:
Теорема 7. Пусть /3 = —1, и(х) — классическое ограниченное положительное решение задачи (31), (27), х1 G EN. Тогда для того, чтобы при некотором неотрицательном I
lim u(z) = I
ZN + l-> + °O необходимо и достаточно, чтобы
В случае, когда /3 G (—1,0), функция f определяется формулой (32), поэтому мы можем повторить все доказательство теоремы 5. Получим следующее утверждение.
Те орема 8. Пусть (3 Е (—1,0), и(х) — классическое ограниченное положительное решение задачи (31), (27), х' G EN. Тогда для того чтобы при некотором неотрицательном I
lim и(х) = I
®N+1 “►Ч-ОО
необходимо и достаточно, чтобы
NV(N/2) Г	J
гйе /(s) = Уо* ехр(	dr.
Замечание 3. При а < — 1 функцию f в теореме 8 можно явно выразить через неполную гамма-функцию; действительно, в этом случае
r^^13	_2,
=  --------- /	z'-з е dz =
|а|1-0 Jo
= (1-ffl^ ( 1	«
|«|A Л1-О-1 /’
следовательно, необходимое и достаточное условие стабилизации решения имеет вид
«Г(ВД f ( 1 а Д
= 7
1 а А-0
Вернемся к случаю /3 = —1 и, применяя теорему 3 к задаче (28), (29), получим
Q-L-l /	+	л	( T~i/V
и (х)	—► Л равномерно относительно х € Ь
тогда и только тогда, когда
NY\N/2) Г
L^r
<ра+1(х' + у) dyR^J+°А равномерно
относительно х' е EN, где А — произвольная неотрицательная постоянная.
Переобозначая А через Zq+1, получаем, что
и ~ (i) —> I т равномерно относительно х е Е
тогда и только тогда, когда
^^(•^/2) J	а + 1( / । \j Я—>+oo,Q-|-i
27Г?//2длг /	(я +y)dy —> I +1 равномерно
относительно х' 6 EN.
Предположим, что и(х) N+-—> I равномерно относительно х' € EN. Это означает, что для любого положительного <5 существует такое положительное Т, что для любого х' из En , ДЛЯ любого Z/V-f-1 из (Т, +оо)
|и(т) — 2| < <5;
с другой стороны, ua+1(x)—la+1 — (ai-|-l)0a[u(2:)— /], где 0 £ [0,sup£N <р] (без ограничения общности можно считать, что I С supBN <р, так как в противном случае ни одно из указанных предельных соотношений заведомо не выполняется — в силу принципа максимума).
Теперь мы можем обозначить положительную константу (а + 1) sup^N ip через М\ для любого е возьмем такое Т, что для любого £ (Т, +оо), для любого х' с EN
тогда для тех же х', tjv+i
|ua+1(z) -Z“+1| <е.
Таким образом, из равномерной относительно х' € EN сходимости u(z) к I при Хдг+1 —> +оо следует равномерная относительно х' g EN сходимость и“+1(т) к la+1 при xn+i —» Too.
Теперь предположим, что u“+1(2:)In+—>+°°ZQ+1 равномерно по х' £ € EN. Это означает, что i>(t)in+—>+°°4 равномерно по х' € EN. Учитывая, что и— ограниченная положительная функция, покажем (точно так же, как и выше), что vp{x) N+-—>+ Ар равномерно по х' G EN. А это означает, что и(х) —> равномерно по х Е В .
Эквивалентность двух предельных соотношений доказана, из чего вытекает
Следствие 2. Пусть /3 = —1, и(х) — классическое ограниченное положительное решение задачи (31), (27), I 0. Тогда
щх) —► I равномерно по х Е Ь
тогда и только тогда, когда
Nr(N/2) Г a+lf !, \J R—>+oo/a + l	t I- T?N
n	/ T (x +y)dy —> I +1 равномерно no x 6 E‘\
Рассматривая же задачу (31), (27) в случае fl —1, отмечаем, что и(х) и v(x) связаны соотношением (30), из чего вытекает, что для данного случая справедливо следствие 1, где /(s) определяется равен-
ством (32), а при а < 0, в силу замечания 3, в качестве /(з) можно взять неполную гамма-функцию 7Q ^2. 1 sX~^ 
8°. Нелинейное уравнение с переменными коэффициентами при линейных членах.
Поскольку при дополнительных предположениях относительно гладкости коэффициентов для рассматриваемой задачи Дирихле для уравнения
N
= 0
(33)
имеет место классическая разрешимость и принцип максимума (см. [1] и [15]), то результаты п. 6 настоящей работы могут быть распространены и на уравнение вида
_	(34)
Действительно, пусть, кроме (3) и (4), azj Е С1’’(Е'^Г) с некоторым положительным q (i,j =	д — непрерывная функция одной
def вещественной переменной. Тогда, вводя, как и в п. 6, функцию /(s) = d=f exp^ da^ dr, определим на EN функцию 4>(x) d= /[^(х)], и рассмотрим в Е±+1 задачу Дирихле для уравнения (33) с граничной функцией ^(z). Классическое ограниченное решение указанной задачи (существующее в силу гладкости коэффициентов) обозначим через v(x). Далее, непосредственной подстановкой проверяем, что функция и(х) d= /-1[ц(т)] удовлетворяет в Е± +1 задаче (34), (2) и, действуя так же, как и в п. 6, показываем, что для задачи (34), (2) справедливы утверждения теорем 4 и 5 и следствия 1 (где через обозначена переменная у).
Авторы выражают глубокую благодарность В. А. Ильину, Е. И. Моисееву и С. И. Похожаеву за внимание к результатам этой статьи. Авторы также благодарят В. В. Жикова, В. Л. Камынина и А. Л. Скуба-чевского за ценные советы.
Список литературы
1.	Кондратьев В. А., Ландис Е.М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 32. — М.: 1988. - С. 99-218.
2.	De Giorgi Е. Sulla differenziabilita е 1’analitica delle estremali degli integral! multipli regolaru // Mat. Acad., Sci. Torino. Ser. 3. — 1957. № 1. — P. 25-43. (Пер. на русск. яз.: Сб. переводов «Математика». — 1960. — Т. 4, № 1. — С. 23-38.)
3.	Крылов Н. В., Сафонов М. В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1980. — Т. 44, № 1. — С. 161-175.
4.	Жиков В. В. О стабилизации решений параболических уравнений // Мат. сб. - 1977. — Т. 104, №4. — С. 597-616.
5.	Kamin S. On stabilization of the solutions of the Cauchy problem for parabolic equations // Proceeding of the Royal Society of Edinburgh. — 1976. - V. 76A. - P. 43-53.
6.	Гущин А. К., Михайлов В. П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения // Дифференц. уравнения. — 1971. — Т. 7, №2. - С. 297-311.
7.	Денисов В. Н. Об асимптотике решений эллиптических уравнений // Докл. РАН. - 1993. - Т. 329, №6. - С. 695-697.
8.	Денисов В. Н. Об асимптотике решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений // Докл. РАН. — 1995. — Т. 334, №5. — С. 587-588.
9.	Widder D. V The Laplace transform. — N.-Y.: 1941.
10.	Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. — М.: 1993.
11.	Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: 1973.
12.	Kardar М., Parisi G., Zhang Y.-C. Dynamic scaling of growing interfaces // Phys. Rev. Lett. - 1986. - V. 56. - P. 889-892.
13.	Medina E., Hwa T., Kardar M., Zhang Y.-C. Burgers equation with correlated noise: Renormalization group analysis and applications to directed polymers and interface growth // Phys. Rev. — 1989. — V. A39. — P. 3053-3075.
14.	Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: 1981.
15.	Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические уравнения второго порядка. — М.: 1989.
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРИЗОВАННЫМИ ДАННЫМИ1)
В. К. Горбунов
Введение
Некорректно поставленные, или нерегулярные вычислительные задачи с приближенными исходными данными характеризуются существенным отличием различных решений, удовлетворяющих исходной задаче при несущественном отличии исходных данных (в пределах их погрешностей), или же отсутствием решений при сколь угодно малых возмущениях данных. Поскольку все задачи, отличающиеся лишь значениями исходных данных в пределах оценки их погрешностей, следует считать эквивалентными, то эквивалентны все решения соответствующего семейства задач. В некорректном случае множество таких решений имеет неприемлемо большой, как правило, бесконечный диаметр. Соответственно, имея некорректно поставленную задачу с приближенными данными, можно говорить о недоопределенной модели некоторого явления. Доопределение такой модели до корректной в классическом (по Ж. Адамару) или в подходящим образом ослабленнбм смысле задачи, решение которой аппроксимирует по уровню погрешностей решение исходной задачи с точными данными (существование точного решения в теории некорректно поставленных задач постулируется [1]), осуществляется с привлечением дополнительной (априорной) информации о свойствах решений и/или о погрешностях исходных данных. На традиционном языке это называется регуляризацией исходной некорректной задачи.
Современная теория некорректно поставленных задач может рассматриваться как реализация в основном двух концепций регуляризации А. Н. Тихонова, сформулированных им в 1943 году в работе [2] и в 1963 году — в [3,4]2). Первая концепция [2] заключается в компактной локализации искомого решения. Это направление теории регуляризации привело к понятию «условно корректных» (по Тихонову) задач, предложенному М. М. Лаврентьевым [5]. Оно было развито в основном для решения обратных задач математической физики [6]. Для выде
:)Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований, проект 01-01-00731.
2)Такое разделение, а также выделение ниже третьей концепции, соответствует мнению А. Н. Тихонова, разделявшего соответствующие «подходы» к регуляризации [1, с. 53, 284].
ления компактного в приемлемой метрике множества, содержащего решение, здесь требуется углубленное исследование исходной задачи. Развитием этой концепции также является метод квазирешений, предложенный В. К. Ивановым в [7]. Этот метод для решения некорректных уравнений заключается в переходе к задаче минимизации их невязки на некотором компакте. Отметим, что в этих методах информация о погрешностях данных явно не используется.
Вторая концепция Тихонова [3,4] заключается в понятии регуляри-зирующего оператора, которое фактически представляет переход к параметризованному семейству разрешимых (возможно, неединственно) задач, любое решение которых аппроксимирует точное решение исходной задачи. В этом понятии явно сформулировано требование выбора параметра (параметров) вспомогательной (регуляризующей) задачи в зависимости от уровня погрешностей данных. Здесь также было введено фундаментальное для всей теории регуляризации понятие стабилизирующего функционала. Этот функционал стал основой техники компактной локализации искомого решения в ходе решения регуляризующей задачи.
В рамках двух отмеченных тихоновских концепций были разработаны методы регуляризации — тихоновская стабилизация, методы квазирешений, невязки, итеративной регуляризации и их обобщения [1,7-14]. Работы по исследованию, развитию и использованию этих методов составляют основной поток современной теории некорректных задач. Наряду с несомненными достижениями этого направления теории регуляризации можно отметить следующие проблемы, решаемые здесь лишь частично. В ряде важных случаев недостаточно используются возможности учета доступной информации об исходных данных. Как правило, исходная информация представляет собой конечный набор чисел и погрешностей их определения. Но большинство авторов, создавая методы численного решения функциональных задач, предпочитают считать исходные данные также функциональными объектами (функциями, функционалами и операторами). Приближенный характер реальной информации при этом трансформируется в оценочные неравенства, загрубляющие задачу, особенно в нелинейных случаях. Выбор искусственных параметров регуляризации часто плохо обоснован [13, с. 100-102].
В 1980 г. А. Н. Тихонов [15] (см. также [16]) для систем линейных уравнений с приближенными матрицами предложил новый метод регуляризации, согласно которому решение исходной некорректной задачи заменяется минимизацией стабилизирующего функционала (критерия отбора) на объединенном множестве решений всех подобных задач с данными, эквивалентными по точности данным исходной задачи. Переход к такой задаче концептуально отличен от упомянутых выше традиционных методов регуляризации. Здесь не вводятся априорное «множество корректности» или искусственные параметры регуляризации. Основным понятием здесь является «класс систем, эквивалентных по точности исходных данных» и роль параметров регуляризации неявно
(в тихоновской реализации) играют приближенные исходные данные. Однако для рассмотренной в [15] модели погрешностей (евклидовы нормы их оценок) новая регуляризующая задача оказалась алгоритмически эквивалентной задаче «обобщенного метода невязки» [10,14]. Эта, третья, концепция не развивалась учениками А. Н. Тихонова.
В наших работах [17-19] был предложен новый подход к регуляризации линейных и нелинейных уравнений, неравенств и экстремальных задач, основанный на явной параметризации исходных данных в структуре исследуемых или решаемых задач. Основная регуляризующая задача в сущности повторяла (в более общих классах задач) идею Тихонова о минимизации стабилизирующего функционала (критерия отбора) на объединенном множестве решений всех подобных задач с данными, эквивалентными по точности данным исходной задачи. Такая задача была названа обобщенным нормальным решением [20, 21]. Она решается в произведении пространств искомого решения и исходных данных. При этом одновременно с регуляризацией решается проблема коррекции исходных данных. В результате определяются данные, эквивалентные по точности известной реализации данных и при которых задача разрешима. Решение скорректированной задачи является регуляризованным решением. В работах [20,22,24] этот подход был реализован для некоторых классов экстремальных задач в новом варианте расширенной минимизации исходного функционала на семействе допустимых множеств, определяемых эквивалентными данными.
Нетривиальное обобщение третьей тихоновской концепции регуляризации на новые классы задач стало возможным благодаря явной параметризации исходных данных и использованию теории многозначных отображений. Это позволило ставить регуляризующие задачи с учетом детальной информации о погрешностях исходных данных (слабая заполненность матриц и параметрический характер возмущений операторов и функционалов), обходясь без традиционного загрубляю-щего перехода к расширениям допустимых множеств на основе оценочных неравенств. Явная параметризация исходных данных позволяет также унифицировать понятия некорректности, сингулярности и вырождения различных классов вычислительных задач (уравнений, неравенств и экстремальных задач). Отметим, что впервые многозначные отображения для исследования некорректных задач использовал В. К. Иванов [7].
Данная работа посвящена изложению новых результатов развития подхода [17-19, 22] к анализу и регуляризации некорректных задач, основанного на явной параметризации данных, подхода, который, в частности, соответствует третьей тихоновской концепции регуляризации. Исследована экстремальная задача с приближенно заданным допустимым множеством в случае его регулярности. Этот случай промежуточный относительно известных исследований, когда рассматривались точно заданные или произвольно возмущенные ограничения [13]. К такой задаче сводится решение вырожденных систем уравнений и/или неравенств путем выделения регулярной подсистемы и мини
мизации частичной штрафной функции дополнительной подсистемы. Для регуляризации таких задач достаточно применения простейшей схемы тихоновской стабилизации, что существенно проще многопараметрической регуляризации экстремальных задач с возмущенными ограничениями [13]. Методы расширенной минимизации и частичных штрафных функций демонстрируются численно на примерах, а также на краевой задаче для дифференциально-конечных систем. Эти результаты анонсированы в докладах [20,21,24,25] и частично представлены в публикациях [23,26].
1.	Основные задачи и понятия
1.1.	Пусть X — банахово пространство, D — множество в X, Y — ограниченное множество некоторого метрического пространства с метрикой ру. На D х Y определена непрерывная функция (функционал) f(x, у) и на У — многозначное отображение Р со значениями — замкнутыми множествами Р(у) С D. В конечномерном случае D — множество простой структуры, в частности D — X, и для функциональных задач D обычно является линейным многообразием, плотным в X.
Поставим задачу минимизации /(т,у) по х 6 Р(у), считая у Е Y исходными данными:
М(у) = Argmin{/(z,y): х е Р(у)}.	(1.1)
Этим определено экстремальное отображение М: Y —> 2е.
С задачей (1.1) тесно связана проблема решения систем уравнений и/или неравенств, особенно в случае их некорректности. Мы рассмотрим систему
F(z,y) = 0, y(i,y)^0,	(1.2)
где F — непрерывное отображение из D х Y в некоторое банахово пространство и у — непрерывное отображение из D х Y в конечномерное пространство Rm. Такая система исчерпывает основные способы задания допустимых множеств задачи математического программирования (1.1):
Р(у) = {т 6 D: (1.2)}.	(1.3)
Эти множества выпуклы, если отображения Р(-,у) монотонны [27] и отображения у(-,у) выпуклы.
Основная задача (1.1) и ее частные случаи рассматриваются в предположении разрешимости в общем случае лишь при точных данных у0, следовательно, без предположения корректности задачи.
Параметризация исходных данных позволила [17,19] перенести на экстремальные задачи классическое понятие корректности, введенное Ж. Адамаром для задач математической физики, и охватить при этом конечномерные задачи3). Именно, задача (1.1) (система (1.2)) называет
3) В традиционной теории некорректных задач [1,13] корректность экстремальных задач определяется в терминах минимизирующих последовательностей.
ся классически корректной на некотором множестве исходных данных из У, если ее экстремальное отображение М (отображение Р) определено, однозначно и непрерывно на этом множестве.
1.2.	В конкретных задачах известна некоторая реализация исходных данных у, которая считается приближением точных данных у°. Мы будем считать также заданной оценку точности приближения в виде некоторого ограниченного замкнутого множества Qs(y°) С Y, так что у G Qa(y°), еде <5 — уровень погрешностей, в общем случае положительный конечномерный вектор. Множества Qs(y°), при 6 j, 0 (покоординатно, 6 > 0) стягиваются непрерывно (по Хаусдорфу) к своему центру у°. При этом также у —> у°. Так как у0 неизвестно, то наряду с виртуальным множеством возможных реализаций данных Qi (у0) введем аналогичное, но конструктивное множество Qi(y), отличающееся от Qi(y°) сдвигом в Y. Назовем его множеством эквивалентных данных. При корректном построении множество Qs^y) содержит точные данные у0, и при 6 j, 0 также Qi (у) j у0.
Описанная модель исходных данных (типичная для приложений) предполагает эквивалентность всех значений у G Qi(y). Соответственно, эквивалентно все семейство виртуальных задач (1.1) с такими данными.
В общем случае некорректности задачи (1.1) семейство эквивалентных по точности задач {M;Qi(y)} {fy P'yQa(y)}y так же как и виртуальное семейство {M;Qi(y0)}, содержит сколь угодно далекие друг от друга решения. При этом объединенные множества решений соответствующего семейства
М(у) = {т е М(у): у е Qg(y)},	(1.4)
или М(у°), в случае неограниченности допустимого множества Р(у) при некоторых данных у могут иметь бесконечный диаметр. Соответственно, можно говорить о недоопределенности некорректных задач (1.1) (или систем (1.2)) с приближенными данными и необходимости их доопределения.
1.3.	Большинство способов доопределения некорректных задач (методы регуляризации) используют стабилизирующий функционал А. Н. Тихонова fl(i), определенный на множестве D и выполняющий роль критерия отбора решения из множества (1-4). Его основное свойство — компактность множеств уровня и, т. е. множеств {.т С D: Л (гг)
к} в метрике X [1, с. 59].
Основной моделью стабилизирующих функционалов является квадрат нормы некоторого гильбертова пространства Н, компактно вложенного [28] в пространство решений X. При этом норма в Н определяется равенством
||гг||н = \/О(т), .т G D С Н.	(1.5)
Эта норма мажорирует исходную норму || • || пространства X, т. е. существует положительная константа С, определяемая выбором па
ры (Х,Н), такая, что
М < С|к||я.	(1.6)
При решении нелинейных и, в особенности, некорректных задач важно наличие априорного приближения искомого решения z G D. В этом случае естественный способ доопределения некорректной задачи (1.1) — введение в качестве критерия отбора решения иэ множества (1.4) функционала
Qz(t) = Q(rr — z).	(1.7)
При отсутствии такого приближения будем считать z = 0.
Использование критерия отбора (1.7) в основных методах регуляризации приводит к естественному включению проблемы решения уравнений и неравенств (1.2) или в класс экстремальных задач (1.1). Именно, решение системы (1.2) можно априорно уточнить как задачу z-нор-мального решения соответствующей исходной задачи
М2°(у) = Argmin{Q2(i): (1.2)}.	(1.8)
Таким образом, проблему решения некорректных уравнений и неравенств будем рассматривать в рамках общей проблемы (1.1), углубляя полученные результаты на основе специфики минимизируемого функционала (1.7).
1.4.	Эффективный анализ некорректных и регуляризующих их задач основан на теории многозначных отображений, каковыми являются отображения допустимости Р и экстремальные М, а также оценочное отображение Q&. Для прикладных целей наиболее адекватна полунепрерывная сверху, или же /3-непрерывная топология многозначных отображений, использованная впервые в теории некорректных задач В. К. Ивановым [7,9]4\ Такая топология строится на понятии уклонения множества А от множества В некоторого метрического пространства
/3(А, В) = sup{inf{p(a, b): b & В}: a g А}.
Соответственно, экстремальное отображение М называется полунепрерывным сверху, или же /3-непрерывным в точке у°, если
lim Д(М(У),М(У°))=0.
у^у°
Экстремальные задачи (1.1) с /3-непрерывным в у° отображением М будем называть, следуя [22], полукорректными5). Если точное решение х° единственно или множество М(у0) имеет диаметр, не превышающий требуемую точность решения, то полукорректную задачу (1.1) назовем почти корректной. Почти корректными также буде.м называть системы уравнений/неравенств (1.2), которые несовместны при
Понятие полунепрерывности сверху введено в теории устойчивости динамических систем Е. А. Барбашиным (цит. в [7]).
5^Такие задачи названы в [29] слабо корректными.
некоторых возмущениях исходных данных, если соответствующая задача о псевдорешении (минимизации некоторой невязки) почти корректна. Это расширение почти корректности можно распространить и на экстремальные задачи (1.1), введя для них понятие псевдорешения (см. [23]). Задачи, не являющиеся полукорректными, будем называть существенно некорректными.
Для повышения эффективности методов регуляризации продуктивно выделять случай регулярности отображения допустимости Р. Мы определим регулярность на основе непрерывности по Хаусдорфу, или же а-непрерывности [7]. Эта топология определяется через хаусдор-фово расстояние между множествами А, В С X
а(А, В) = тах{/3(Л, В), (3(В, Л)}.
Основные факты теории многозначных отображений, используемые в данной работе, изложены в [30, 31]. Это прежде всего условия, обеспечивающие а- и /3-непрерывность отображений допустимости вида (1.3). Условия /3-непрерывности достаточно просты для компактнозначных отображений (1.3). Это непрерывность отображений Рид [30, лемма 1.3].
Условия a-непрерывности допустимых отображений Р сложнее. Они близки к условиям регулярности из [30, леммы 1.4, 2.7). Это условия существования неявных функций непрерывных однозначных отображений F(z,y) [32], в дифференцируемом случае — линейная независимость градиентов активных ограничений д(х,у) при возможных возмущениях исходных данных, условия типа Слейтера для множеств допустимости Р(у). При этом также предполагается компактнознач-ность отображений.
Свойство компактности не всегда выполнено для задач (1.1), (1.2), но мы можем ограничиться компактно (3- или а-непрерывными отображениями Р, понимая при этом, что отображение Р°: Y —> 2D со значениями Р°(у) = Р(у) О К, где К — произвольный компакт в X, будет /3- или а-непрерывно.
Определение 1. Отображение допустимости Р, компактно a-непрерывное на Y, будем называть регулярным. Соответствующую систему (1.2), порождающую такое отображение, также назовем регулярной.
Можно сказать, что определение регулярности систем уравнений и неравенств (1.2) в терминах a-непрерывности является обобщающей компенсацией отсутствия теории неявных функций для неравенств.
Уточним определение тихоновского регуляризирующего оператора [1, определение 1] на языке многозначных отображений.
Определение 2. Многозначное отображение Rg: Y —> 2D называется регуляризующим для семейства эквивалентных задач {М; Qg(y°)}, если оно определено HaQi(j/°) и при <5 J. 0 аппроксимирует множество точных решений М(у°) в смысле
limsup{/3№(y),M(y0)): У G Qs(y°)} - 0.	(1.9)
В случае единственности точного решения М[у°) регуляризующее отображение Rg, очевидно, является классическим тихоновским регу-ляризирующим оператором.
2.	Компактно разрешимые задачи
В [22] исследован класс экстремальных задач {М; У} с приближенными данными у £ У, обладающий свойством компактной дополнительности (КД) функционала f и допустимого отображения Р. Последнее означает, что допустимые части лебеговых множеств функционала {х € Р(у): f(%,y) С v} компактны в X при любых исходных данных у € У и числе V, при которых эти множества не пусты. При этом установлено [22, теорема 1], что если семейство экстремальных задач {М;У} обладает свойством КД, то задача (1.1) компактно разрешима при всех у € У, при которых непусты допустимые множества Р(у). Если, кроме того, отображение Р регулярно, а семейство множеств {М(у): у Е У} компактно, то экстремальное отображение М будет ^-непрерывно. Эта теорема, очевидно, выполняется для задач (1.8) о z-нормальном решении уравнений и неравенств (1.2).
Итак, КД-свойство семейства задач с приближенными данными и регулярность отображения допустимости обеспечивают их разрешимость и устойчивость. Для задач (1.1), обладающих КД-свойством, но с нерегулярными условиями допустимости (1.3), в [22] поставлена следующая задача расширенной минимизации:
Ng(y) = Argmin{/(x,y): х £ Р(у),у G Q<s(y)}.	(2.1)
Пространство исходных данных У считается здесь компактом. При этом замкнутые множества Qg С У также компактны.
Задача (2.1) концептуально подобна задаче обобщенного нормального решения семейства задач {M;Qg(y}} из [17,19]. Последняя заключается в минимизации стабилизирующего функционала на множестве решений всех задач этого семейства. В общем случае это задача двухкритериальной лексикографической минимизации. В обоих случаях вместе с вектором х £ X требуется определить виртуальные данные у £ Q<s(y), обеспечивающие непустоту допустимого множества Р(у) и разрешимость соответствующей задачи (1.1), причем с наименьшим значением минимизируемого функционала. Однако новая задача расширенной минимизации проще.
Множество решений задачи (2.1) представим в виде
Ng(y) = {Rg(y),Ss},	(2.2)
где Rg(y) С P(ys) С X при некотором ys £ Sg С Qg(y), и Ao(j/°) = = {М(у°),у°}. Отметим, что в случае решения (2.1) обеспечивается разрешимость (1-1) при у = у6, т. е. непустота M(ys).
В приведенных условиях, а также в предположении непустоты точного допустимого множества Р(у°), в [22] доказано, что задача (2.1) компактно разрешима при любых возможных реализациях исходных
данных у € Qi(y°) и Х-компонента Rg(y) множества (2.2) решений задачи (2.1) аппроксимирует при <5 J, 0 множество решений точной задачи (1.1) в смысле (1.9).
Этот результат означает, что задача расширенной минимизации (2.1) порождает регуляризующее отображение Rg для исходной задачи (1.1) в соответствии с определением 1. В случае единственности М(у°) отображение Rg является тихоновским регуляризирующим оператором. Отметим, что в нашем случае, по сравнению с известными подходами к регуляризации некорректных задач, не вводятся искусственные параметры. Регуляризующая задача (2.1) определяется естественными параметрами — уровнем погрешностей <5 и виртуальными данными у. Свойства регуляризации обеспечены КД-условием.
Задача (2.1) в силу перехода в расширенное пространство X х Y в общем случае может иметь большую размерность, но в реальных прикладных проблемах исходная информация представляется конечным и во многих случаях небольшим набором числовых данных и это эффективно учитывается в модели {/, Р; Qg(y)}. Кроме того, при решении (2.1) одновременно с регуляризацией решается проблема коррекции исходных данных, обеспечивающая разрешимость исходной задачи (1.1).
Проблема коррекции неразрешимых (несобственных) задач выпуклого программирования (ВП) изучалась в [33]. Там предложены методы погружения таких задач в класс «собственных» на основе искусственной параметризации. Проблема устойчивости коррекции рассмотрена в [33] лишь для задач линейного программирования.
Пример 1. Рассмотрим задачу линейного программирования: минимизировать функцию /(т) = х2 на множестве из Е2
Р(у) = {1 zi 2, уц + xq 0, ухг - х2 < 0}.
Точными данными будем считать у° = 0. При этом Р(у°) = {1 2,^2 = 0} = М(у°).
Пусть параметр у определен с точностью <5 > 0, так что множество возможных реализаций данных Qg(y°) = {у- |у| С <5}. Легко видеть, что множество Р(у) при у > 0 пусто, и поставленная задача существенно некорректна на Qg(ya}- Однако она обладает КД-свойством и для ее регуляризации можно перейти к задаче расширенной минимизации (2.1).
Задача нелинейного (в пространстве X х У) программирования (2.1) легко решается графически. В случае —5 С у < 6 будет
ЛГ«(у) = {^i = 2,^2 = 2у\У5 = У - <$},
и при у — 5
Ng(8) = {М(0);У4 =0}.
Это соответствует свойству аппроксимации (1.9).
Следующий пример относится к задаче о z-нормальном решении (1.8). Все такие задачи обладают КД-свойством и в случае некорректности они регуляризуются переходом к задаче (2.1).
Пример 2. Рассмотрим задачу о z-нормальном решении (1.8), где D = Е2, П(х) = ||х|| и
Р(у) = {т: Xi > 0, ухц + х2 <	- х2 < у2}.	(2.3)
Исходные данные (l/i, г/г) заданы с покоординатной оценкой точности:
Q<s(y) = {?/: |2/i - Уг| <5,г = 1,2}.
Пусть у = (0; 6/2), тогда у° = (0; 0) и Р(у°) — {х: хц > 0,х2 = 0}. Назначим пробным вектором z = (2; 1). При этом 2W(j/°) — {2; 0}. Однако множество Р(у) при у\ > 0 и у2 < 0 пусто, следовательно, задача (1.8) в рассматриваемом случае некорректно поставлена.
Перейдем к задаче (2.1) для рассматриваемого примера. Графический анализ отображения Р показывает, что при достаточно малом 6 > 0 расширенная минимизация (2.1) функционала Q(x — z) относительно х G Р(у) и ?/ G Qs{y) приводит к скорректированным данным
yt = <5,	0 <	(3/2)5,
и Х-компонента Rg(,y) решения (2.1) принадлежит многообразию {х: 2/1^1 + х2 — 0}, откуда получаем
x2(xi,5) = —6  Xi.	(*)
Подставляя это выражение в П(х — z) и минимизируя получившуюся функцию по Ti 0, получим соотношение
<5 _ 2 + 6
11	1 + 52'
В силу (*) имеем s	26 + 62
Х2	1 + 62 ’
Нетрудно убедиться, что Xs —» (2; 0) при 6 | 0, т. е. полученное решение Xs удовлетворяет условию регуляризации (1.9).
Содержательным примером данного класса задач (минимизация линейного или квадратичного функционала на множестве решений системы линейных неравенств с приближенными функционально связанными коэффициентами) является характеристическая система обратной задачи рационального потребления [34].
3.	Нормальное решение экстремальных задач. Регулярные ограничения
Рассмотрим промежуточный случай некорректности, когда задача (1.1) может не удовлетворять КД-условию, но отображение допустимости Р регулярно на множестве Qg(y°). Будем считать его локально липшицевым, т. е. для любого г > 0, при котором непусты множества Pzr(y) = {х & Р{у) : ||x-z|| Н	существует чис-
ло 1р = /р(г) > 0 такое, что для любых у, у' G Qs(y°) выполняется
a(Pzr(y),Pzr{y')) ^1рру(.У,у')-	(3.1)
Компактность Y в данном параграфе не предполагается.
Введем на D С Н стабилизирующий функционал П(т), априорное приближение решения z и функционал Qz(x) = П(х — z). Поставим задачу определения ближайшего к z (в норме Н) элемента М(у):
Mz(y) = Argmin{Qz(x): х G М(у\}.	(3.2)
Введем меру неопределенности этой задачи — диаметр множества решений в норме X:
Az(y) = sup{||x-x'||: х,х' е М,(у)}.	(3.3)
Эта величина оценивается сверху через значение задачи (3.2)
vz(y) = inf{fiz(x): х G М(у)}.	(3.4)
Теорема 1. Если задача (1-1) разрешима при данном у ё Y, то задача (3.2) компактно разрешима и диаметр множества ее решений Mz(y) оценивается неравенством
Дг(у)^2С\/^.	(3.5)
Доказательство. Компактность функционала П2(х) обеспечивает КД-свойство для семейства задач минимизации {Qz, М\ У}. По теореме 1 из [22], примененной к этому семейству, если М(у) не пусто, то не пусто и компактно ЛТ,(у).
Пусть х и х' — произвольные элементы Mz(y). Используя неравенство треугольника, соотношения (1.5), (1.6), (3.3) и (3.4), имеем
Цт' - т||	||х' - z|| + Цх - z||	С[\/ПД?) + ЛЙ1 =
Взятие супремума слева согласно (3.3) дает неравенство (3.5). Теорема доказана.
Итак, мера неопределенности задачи (3.2) имеет при известной константе С (получаемой в соответствующих теоремах вложений функциональных пространств [28]) эффективную апостериорную оценку (3.5). Эта оценка, очевидно, тем лучше, чем ближе (в норме (1.5)) к множеству М(у) априорное приближение z. Для задач ВП проекция z на выпуклое М{у) единственна и в этом случае, очевидно, Az(y) = 0. Нетривиальность теоремы 1 для ВП — разрешимость задачи (3.2) в случае разрешимости (1.1).
Задача (3.2) о z-нормальном решении является двухэтапной минимизацией с первым функционалом f(x, у) и вторым П2(у). Для регулярных задач (1.1), функция Лагранжа которых имеет (в случае разрешимости) седловую точку и эта точка характеризуется системой равенств и неравенств, задача (3.2) сводится к обычной минимизации fiz(x) при соответствующих условиях типа системы (1.2). Такой путь исследован для ЛП в [19] и для ВП — в [20]. Однако переход к более простому классу задач при этом сопровождается ростом размерности, так как в искомые переменные вводятся множители Лагранжа. Если этим проблема существенно усложняется, а также при отсутствии простых условий экстремума (например, в задачах оптимального управления),
нормальное решение (3.2) может быть аппроксимировано известным приемом иерархической свертки критериев [30], называемым в теории регуляризации [13] методом Тихонова. Исследуем этот путь.
Введем нагруженный функционал Тихонова (функционал свертки критериев f и Qz)
Tza(x,y) = f(x,y) + a£lz(x),	(3.6)
где a > 0 — малый параметр. Его малость соответствует вторичности критерия П2. Поставим задачу минимизации (3.6) по х Е Р(у), предполагая непустоту Р(у):
Mza(y) = Argmin{T2Q(x,y): х Е Р(у)}.	(3.7)
Теорема 2. Если исходная задача (1.1) разрешима, то задача (3.7) при любом а > 0 компактно разрешима и множество ее решений Mza(y) аппроксимирует множество Mz(y) нормальных решений (1.1) в смысле
\im0(Mza(y),Mz(y)) = O.	(3.8)
Доказательство. Рассмотрим некоторое решение х(у) Е М (у) и значение и(у) исходной задачи (1.1), т. е.
*>(у) = /(я(у),у) < f(x,y), Ух Е Р(у).	(а)
Задача (3.7), очевидно, эквивалентна минимизации Tza(x, у) на множестве Р(у), выделяемом дополнительным условием Tza(x,y) С < Tza(x(y),y), или
/(х,у)+ аП2(х) < /(х(у),у)+ аП2(х(у)).
Отсюда с учетом (а) имеем неравенство
Пг(х) <	~	+ Пг(х(2/)).
а
Это значит, что допустимое множество эквивалентной задачи при любом а > 0 является замкнутым подмножеством компакта
{тЕР(у): П2(т) П2(т(у))},	(б)
следовательно, оно компактно, из чего следует непустота и компактность Mza. Отметим также, что семейство множеств {М2а(у): а > 0} равномерно компактно.
Докажем равенство (3.8), выбрав некоторые последовательности a(fc) J, 0 и xk Е Mza(jcj(y'). Последовательность хк принадлежит компакту (б). Пусть х — ее предельная точка. В силу замкнутости Р(у) она допустима.
Выберем произвольное нормальное решение xz Е Mz(y). Очевидны следующие неравенства:
/(^z,y) < /(zfe,y) < /(xfc,y) + a(/c)n2(.Tfc) < /(xz,y) + a(fc)Qz(Tz).
Переходя к пределу по некоторой подпоследовательности хк^ —> х (г —» оо), получаем отсюда равенство f(x,y) — f(xz,y), т. е. х Е Mz(y).
В силу произвольности выбора xk G MZQ(k)(y) полученное включение означает справедливость (3.8). Теорема доказана.
Теоремы 1 и 2 принципиально решают проблему аппроксимации нормального решения полукорректных задач, разрешимых (неединственно) при возможных возмущениях, если диаметр (3.3) множества нормальных решений достаточно мал. Действительно, по условию (3.8) параметр а функционала (3.6) следует брать по возможности малым. Эта малость ограничивается потерей вычислительной устойчивости (обусловленности) аппроксимирующих задач (3.7) аналогично методу штрафных функций, где теоретическая сходимость требует неограниченного роста или уменьшения (в зависимости от схемы метода) штрафного коэффициента.
Задача (3.7) имеет и более общее регуляризующее значение для задач (1.1) с устойчиво совместными ограничениями, но разрешимыми не при всех возмущенных исходных данных. Она оказывается разрешимой и для неограниченных на (неограниченных) Р(у) функций f(x,y), если они убывают при ||х||я —» оо не слишком быстро.
Определение 4. Будем говорить, что функция /(х,у) линейно ограничена снизу на неограниченном множестве Р(у) при данном у G G Y, если существуют такие числа со(у) и сДу), что
х е Р(у) => f(x,y) с0(у) +с1(у)||х||я.	(3.9)
Этот класс содержит, в частности, функции /, имеющие линейную миноранту на Р(у), т. е. для них существует линейный по х функционал /(•,у): Н —» R и константа с0(у) такие, что
т е Р(у) => /(х, у) > с0(у) + /(х, у).
В этом случае Z(x,y) > -ЦЦ-,у)||н  |И|я и сДу) = -]]£(-,у)||я в (3.9).
Теорема 3. Если функция f(x,y) линейно ограничена снизу на непустом множестве Р(у), то при любом а > 0 задача (3.7) компактно разрешима.
Доказательство. Рассмотрим допустимые части лебеговых множеств функционала Tza
La(y,v) = {х G Р(у): Тга(х,у) < и}.
Эти множества непусты, если и > inf{T’2a(x, у): х G Р(у)}. Докажем их компактность.
По определению La(y,v) С Р(у) С D С Н С X и последнее вложение компактно. В силу замкнутости La(y,v) в Н достаточно доказать ограниченность этого множества в Н.
Предположим, что непустое La(y, v) не ограничено в Н. Рассмотрим неограниченную последовательность xk G LQ(y, и). Для нее выполняются условия xfc G Р(у) и f(xk,y‘) + aQz(x/c) С и, или же
Разделив это неравенство на ||acfe — .т||н > 0 (при достаточно больших к) и учтя соотношения (1.6) и (3.9), получим
I. к _ п <	< V - Ср(у) _ , л П^Нн
Н а||х* - z\\H a||xfc - z\\H 1 У’ ||xfc - х||я' Последовательность (числовая) правых частей этих неравенств имеет предел (—Ci(j/)), следовательно, она ограничена некоторым числом С (а, V, у). Из этого следует вложение неограниченного по предположению множества La(y,v) в ограниченное множество
{хеР(у): ||х - z\\H < C(a,v,y)}.
Полученное противоречие доказывает компактность множеств La(y, и) и, согласно определению 2, наличие КД-свойства у семейства задач {Tza, Р', D, Y}. При этом из теоремы 1 следует непустота и компактность решений задачи (3.7). Теорема доказана.
Исследуем вопрос о регуляризуемости нормальных решений Mz(j/°) точной задачи (1.1) при переходе к задаче (3.7). Согласно требованиям теории некорректных задач [1,9,12,13] такая регуляризуемость означает, что при неограниченном повышении точности исходных данных, т. е. при у —> у°, можно указать такую зависимость параметра вспомогательной задачи а от уровня погрешностей данных 6, что множества Mza(y) решений (3.7) аппроксимируют некоторый элемент множества Mz(j/°).
Чтобы не усложнять обозначений, будем считать точностный параметр 8 скаляром, равным радиусу множества возможных данных Qs(yQ). При этом для у е Qi(y°) будет ру(у,у°) < <5.
Будем говорить, что функция f(x,y) удовлетворяет локальным условиям Липшица по обеим переменным, если для любой ограниченной части D° С D (напомним, множество Y ограничено) существуют такие положительные числа a, b, If, что при (х,х') G D0, (у,у1) G Y выполняются неравенства
\f(x,y) -f(x',y)\ < //||х -х'||я, l/(z,y) - Жу')| < (а + ЬП2(хУ)ру(у,у'')-
Отметим, что непрерывный выпуклый функционал П(х) также локально Липшицев, т. е. существует такое число ls > 0, что при (х, х') G D° выполняется
|Qz(x)-Qz(x')| ^/s||x-x'||h.	(3.11)
Теорема 4. Пусть точная задача (1.1) разрешима, допустимое отображение Р регулярно и локально липшицево на Qg(y°) при достаточно малых 6 > 0, функция f(x,y) линейно ограничена снизу на Р(у) при любом у £ У и удовлетворяет локальным условиям Липшица (3.10). Тогда задача (3.7) компактно разрешима при любых а > > 0, и если а = 0.(6), причем
liina(<5) = lim f = 0,	(3.12)
<5ю <sjo а(<5)
то множества Mza(y) аппроксимируют М2(у°) в смысле
limsup{/?(MZQ(d)(y),M2(y0)): у G Qs(y°)} = 0.	(3.13)
о J.0
Доказательство. Непустота Mz(y°) и компактная разрешимость задачи (3.7) являются следствиями теорем 1 и 3. Для доказательства (3.13) при условиях (3.12) рассмотрим произвольные элементы
У 6 Qs(y°), ха G Mza(y) С Р(у), х° G Mz(y°) С М(у°) С Р(у°).
Для учета возмущений допустимого множества введем проекцию точки ха на точное множество Р(у°), обозначив ее xQo> и проекцию х° на Р(у), обозначив ее т0“.
В силу локальной липшицевости отображения Р при достаточно большом г > 0 из (3.1) будем иметь оценки
К - ХаоЦн Му. У°) 1р6,	||х° - ХОа || н 1Р8.
С учетом этого из первого неравенства (3.10) получаем оценки f(xa0,у°) f(xa,у°) + сб, f(xOa,y)^f(x°,y)+c6.	(в)
Здесь введено обозначение с = lplf. Аналогично из второго (3.10) имеем /(zQ,y°) < f(xa,y) + (а + Ы72(та))<5, f(x°,y) f(x°,у°) + (а + b£lz(x°y)6	(г)
и из неравенства (3.11) получаем оценку
nz(x°“)^nz(i°) + Zs5.	(д)
Константы а, b, с, ls, используемые здесь и далее, зависят в общем случае от величины г, определяемой в свою очередь параметром а через ограничение ||rrQ — z\\^ < г. Однако варьирование величины а(<5) в соответствии с (3.12), как показано ниже, обеспечит равномерную ограниченность семейства {та(<5)}, что позволяет считать эти константы общими для всех а = а(<5).
Используя экстремальные свойства точек ха G Mza(y), х° G М(у°) и оценки (3.11), (в), (г), (д), получим следующие неравенства:
ц° = /(х°,у°) < f(xa0,y°) < f(xa,y°) + сб <
< f(xa,y) + (а + bfiz(a:tt))<5 + сб <
f(xa,y) + аП2(ха) + (а + 6Q2(tq) + с)6 <
< /(т°“,у) + а(1г(1°“) + (а + bQz(rra) + с)<5 <
/(т°,у) + сб + а(П2(т°) + ls6) + (а + ЬП2(та) + с)<5
f(x°,y°) + (а + ЬПг(т°))<5 + aQz(rr°) + (а + b£lz(xa) + 2с + als)6 /(^аО,У°) + (2а + 2с + als)6 + (а + М)П2(т°) + МП2(та)
f(xa, У°) + с<5 + (2а + 2с + als)6 + (а + 6<5)Q2(rr°) + 6<5Q2(tq) < < /(zQ,y) + (a+bQ2(TQ))<5 + (2a+3c+aZs)5+(a+b<5)Q2(a:0)+MQ2(a:Q).
(е)
Из сравнения шестого и последнего термов этой цепочки имеем неравенство
о/ . a + M 0	(2a + 2c+aZs)<5
----гАС* ) + ----------Г7--(ж) а — оо	а — оо
Легко видеть, что правая часть здесь при достаточно малых 6 > О и а = а(6), удовлетворяющих условиям (3.12), ограничена. Следовательно, семейство множеств Mza^(y), отвечающее всевозможным У G Qs(y°), 0	<5	<50 (заданное положительное число), равномерно
компактно.
Выберем последовательности <5(fc) 10, a(fc) = a(<5(fc)), ук G Qs(k)(у0), хк G A^za(fc)(yfe) С Р(ук), к = 1,2,... Очевидно, a(fc) J, 0, ук у° и компактную последовательность хк можно считать сходящейся, причем хк —> х G Р(у°) (замкнутость Р). Неравенство (ж) в силу (3.12) переходит в
02(±) ^П2(т°).	(з)
Вернемся к неравенствам (е) при ха = хк, 6 = 5(к), а = а(к), выбрав второй, четвертый и девятый термы:
f(x°,y0)^f(xk,y°)+cS(k)^
f(x°, у°) + a(fc)fi2(x°) + <5(fc)(2a + 2с + alsb(£lz(xk) + Ог(т0))). Переходя к пределу к —> оо и учитывая неравенство (з), получаем равенство /(£, t/°) = v° — значение задачи (1.1) при у = у0. Из допустимости х при этом следует, что х G М(у°). Учитывая неравенства П2(т°) < П2(т) и (з), получаем х € Mz(y°). Этим доказано равенство (3.13), а значит, и теорема.
Замечание. Теорема 4 близка по содержанию и технике доказательства теореме 2 главы 2, §5 из [13], где рассматривается задача минимизации приближенной функции на точно заданном (постоянном) множестве. Там также вводится приближенный стабилизатор с оценкой погрешности типа (3.10) (без параметризации возмущений). Последнее обобщение нетрудно выполнить и для нашей задачи (1.1) с параметризованными возмущениями. В случае приближенно заданных множеств в [13] предлагается существенно более сложный вариант многопараметрического расширения допустимого множества. Таким образом, выделение случая регулярных возмущений оказывается продуктивным. В нерегулярном случае альтернативой метода [13] является наш метод расширенной минимизации [22], представленный в предыдущем параграфе.
Следует отметить, что теорема 4 и ей подобные теоремы о согласовании искусственных параметров регуляризации (в нашем случае
параметра о) с уровнем погрешностей исходных данных, составляющие значительную часть теории некорректных задач, формально не являются эффективными с точки зрения вычислительной математики. Действительно, при заданном уровне погрешностей <5 любой параметр а > 0 может считаться реализацией зависимости а(<5), удовлетворяющей условиям (3.12) или им подобным. Практическое значение таких соотношений эвристическое. Первое из соотношений (3.12) требует уменьшения параметра а с уменьшением <5, но второе требует умеренности в этом. Окончательный вывод о величине а в аппроксимирующей задаче (3.7) требует дополнительного анализа вне используемой модели.
Пример 3. Требуется минимизировать f(x) — х2 по х G Р(у) = = {т G Е2: ух\ + х2 — 0} при у° = 0 и |t/| < <5, где 6 > 0.
Здесь Р(у) непусто при любом у G R, М(у°) = {а:: х2 = 0} и М(у~) = = 0 при у / 0. Условия теоремы 4, очевидно, выполнены. Поставим задачу (3.7), считая z = (2; 3), т. е. будем минимизировать
Tza(x,y) = х2 + ^||х - z||2, а > 0,
при условии yxi +х2 = 0. Нетрудно убедиться, что решение этой задачи
., , х Г 2а + (1 - За)у	1
Mza(y) = 5 х: Х1 =--- „—, х2 = -yxt
(	а(1 + у2)	J
Если а = а(<5) > 0 и выполнены условия (3.12), то множество Мга($) стягивается к z-нормальному решению исходной задачи М2(у°) = {2; 0} в смысле (3.13).
4. Нормальное решение вырождающихся уравнений и неравенств
Рассмотрим проблему решения систем уравнений и/или неравенств (1.2), т.е.
FQr, y)=0,	д(х,у)^0,	(4.1)
где F — непрерывное отображение из D х Y в некоторое банахово пространство ид — непрерывное отображение из D х Y в конечномерное пространство Rm. Эту проблему мы включаем, как отмечено в п. 1, в класс экстремальных задач переходом к задаче об П2-нормальном решении
М°(у) = Argmin{fi2(i): (4.1)}.	(4.2)
Точка z является начальным приближением искомого решения.
В случае регулярности отображения допустимости задачи (4.2) Р, значения которого
P(y) = {xeD: (4.1)},	(4.3)
эта задача согласно теореме 2 полукорректна. По теореме 1 при совместности системы (4.1) с данными у задача (4.2) компактно разрешима и диаметр Д^(у) множества ее решений Mz (у) оценивается через
значение задачи (4.2) v°(y) = inf{fi2(x): i G P(y)} неравенством
А°(У) < 2C\/v°(y).
Будем считать теперь систему (4.1) совместной при точных данных у°, но возможно несовместной при произвольной реализации у G € Qs(y°)- Отображение допустимости Р при этом нерегулярно и задача (4.2) некорректна, однако множество М®(у°) непусто. В силу КД-свойства задачи (4.2) для нее можно поставить задачу расширенной минимизации (3.1), где f(x,y) = Q2(:r). Согласно теоремам 3 и 4 этим будут решены проблемы регуляризации и коррекции исходных данных. Однако задача расширенной минимизации (обобщенного нормального решения системы (4.1)) может оказаться неприемлемо сложной. Более простой путь устойчивой аппроксимации решений М°(у°) основан на результате предыдущего пункта.
Предположим, что нерегулярная в целом система (4.1) может быть разбита на две системы:
Fo(x,y) = 0,	до(х,у)^0,	(4.4)
И
Pi(z,i/) = о, gi(x,y) < о,	(4.5)
при этом подсистема (4.4) регулярна. Определим соответствующее регулярное отображение допустимости Pq:
Р0(у) = {х е D : (4.4)}.	(4.6)
Если такое разложение неизвестно, то Fq = 0, Fi = F, до = 0, gi - д, W = D.
Введем частичную штрафную функцию оставшейся, возможно, нерегулярной части (4.5), например,
f(r,y) = ||F\Gr,y)||2 + ||5+(т)2/)||2.	.	(4.7)
Здесь д+ обозначает покомпонентную неотрицательную срезку вектора gi и нормы отображений Fj и gi соответствуют выбранному разложению исходной системы (4.1). Очевидно, что решение исходной системы (4.1) эквивалентно минимизации
М0(у) = Argmin{/(x,i/) : х G P0(j/)}.	(4.8)
Именно, решения (4.1) совпадают с решениями Мо(у), доставляющими функции (4.7) нулевые значения. Однако задача (4.8) в силу неустойчивости исходной задачи будет также неустойчивой6).
Задача (4.8) является задачей вида (1.1) с регулярным отображением допустимости Pq. Минимизируемый функционал (4.7) непрерывен и неотрицателен, следовательно, он линейно ограничен снизу. Если
6'Метод частичных штрафных функций для несовместных систем неравенств указан в [33], однако без анализа устойчивости.
ввести необременительные условия локальной липшицевости функционала (4.7) и отображения Pq, то для регуляризации задачи (4.8) достаточно перейти к соответствующей задаче (3.7), т. е. к минимизации функционала Тихонова
T2Q(x,y) =/(х,у)+ аПг(х), а > 0,	(4.9)
на множестве Ро(уУ
Mza0(y) = Argmin{T2Q(z, у) : х е Лз(г/)}-	(4.10)
Действительно, очевидным следствием теоремы 4 является
Теорема 5. Пусть система (4.1) разрешима при точных данных уо и представляется в виде систем (4.4) и (4.5), причем отображение Ро со значениями (4.6) регулярно. Кроме того, это отображение и штрафная функция (4.7) системы (4.5) удовлетворяют локальным условиям Липшица по х, у. Тогда задача (4.9), (4.10) компактно разрешима при любом а > 0, и если выполнено условие (3.12) согласования а = а(<5), то множества Mzao(y) аппроксимируют М°(у°) в смысле
limsup{/3(M2Q(5)0(?/),M20(y0)): у е Q5(y0)} = 0. о J.0
Замечание. В [26] эта теорема доказана непосредственно, что проще доказательства теоремы 4.
Переход к задаче (4.9), (4.10) назовем регуляризованным методом частичных штрафных функций (РЧШФ).
Пример 4. Решим задачу о z-нормальном решении (1.8) системы примера 2 методом РЧШФ. Регулярная часть отображения (2.3) может быть выбрана как
Ро(у) = {х: Xi 0,yia;i +х2 < 0}.
Соответственно, штрафная функция дополнительной части (2.3) будет f(x,y) = [(2/1^1 - Х2У2) + ]2.
Итак, метод РЧШФ сводится в данном случае к минимизации функционала
Та(х,у) = f(x,y) + a\\x-z\\2, а > 0,	(а)
относительно х € Ро(у). Напомним, что z = (2,1) и решение задачи (1.8) при точных данных у° = (0; 0) суть М(у°) = {2; 0}.
Нетрудно показать, что при достаточно малом <5 > 0 решение (4.10), так же как и решение задачи (2.1), принадлежит множеству {х: i/i^i + + х2 =0}, которое содержит границу Ро(у), следовательно,
Z2(zi,?/) = ~У1 • £1-	(Ь)
Подставляя это в (а), приходим к задаче минимизации функции
[(22/1X1 - у2)+]2 + a[(xi - 2)2 + (yiXi + I)2], а > 0,
no ii 0. Эта элементарная задача разрешается рассмотрением двух альтернатив, определяемых функцией срезки — Уг) + ;
Х1а(,у) = <
2~У1
1 + уГ
- У1) + %У1У2 a(l+yl) +4у1
если 2yi(2 - yi) (1 + yl)y2,
иначе.
В силу (Ь) получаем ^2а(у) =
Легко видеть, что xa(s)(y) —> (2;0), когда выполнено условие (3.12) согласования параметра а с уровнем погрешностей <5. Обратно, при любом <5 > 0, если значение а существенно меньше, чем |у|, то решение ха может быть произвольным.
5. Численные примеры
Изложенные выше методы были реализованы в общедоступной системе “Microsoft Excel” (меню «Сервис», команда «Поиск решения») для численного решения ряда характерных тестовых примеров. Здесь приводятся некоторые сравнительные результаты решения трех вырожденных систем нелинейных уравнений. Первые две системы взяты из статьи А. Ф. Измайлова и А. А. Третьякова [35], где предложен итерационный «2-факторметод» (2Ф) решения вырожденных нелинейных операторных уравнений с гладким оператором. Этот метод основан на предположении, что производная точного оператора, являющаяся вырожденным линейным оператором, топологически дополняемо некоторым линейным подпространством до невырожденного оператора. Последний строится с помощью проектора на дополняющее подпространство, действующего на вторую производного исходного оператора. Построение основано на сингулярном анализе производной возмущенного оператора. Авторы [35] демонстрируют 2Ф-метод на примерах вырожденных двумерных систем нелинейных уравнений с фиксированными возмущениями.
Пример 5. Первая система из [35]:
{Х1 + Х2 + у = 0,
*У,	. п	М)
Z1Z2 + -^-(И + %2) = 0.
О
Здесь у является параметром возмущения. При любом у 0 система несовместна. Невозмущенная система имеет единственное решение (0;0). Это решение вырожденное, так как матрица Якоби в этой точке имеет ранг 1. Соответственно, условия применимости метода Ньютона не выполняются. Авторы отмечают, что этот классический метод здесь при у > 0 действительно не сходится. Они решали эту систему 2Ф-методом, исходя из начального приближения (пробного решения) z = (0.1; 0.2).
Для лучшего понимания приводимых ниже численных результатов, представленных ниже в табл. 1, построим аналитическое псевдорешение системы (5.1). Исключив переменную а?2 = — Х1 — у, получим квадратное уравнение х^+уху +Зг/2/8 = 0. Это уравнение при у / 0 не имеет действительных решений. Его псевдорешение в смысле минимизации квадратичной невязки суты; = —yl’l, соответственно, а?2 = ~у1Ч- Таким образом, задача псевдорешения возмущенной системы (5.1) почти корректна.
Пример 6. Вторая система (третья в [35]):
l'ii(i’? + x2)=0, I х2(х2 + 1) + у = 0.
При у = 0 система имеет четыре решения: (0;0), (0;—1), (1;—1), ( —1; —1). Первое решение вырождено. Здесь матрица Якоби вырождается до тривиальной, однако метод Ньютона в экспериментах [35] позволил получить приближенное решение, близкое к решению 2Ф-ме-тодом. Здесь авторы полагали z = (0.3; 0.1).
Элементарный анализ системы (5.2) показывает, что она совместна при любых достаточно малых возмущениях у. Каждое из указанных четырех решений является точкой двукратного ветвления. Соответственно, в окрестности каждого из них задача решения системы почти корректна.
В силу почти корректности задач о псевдорешении (5.1) и решении (5.2) на первом этапе численного решения можно ограничиться задачей (4.8) метода ЧШФ. Этот метод основан на выделении (если возможно) регулярной подсистемы. Для системы (5.1) это первое уравнение. Соответственно, здесь можно выбрать частичную штрафную функцию в виде f(x,y) — [ггхатг + 3y(xi +т2)/8|. У системы (5.1) нет регулярной подсистемы, поэтому к ней следует применять полный метод штрафных функций (ШФ), минимизируя по х функцию f(x,y) = |1’1(:Г1 +1’2)1 + |1'2(12 + 1) +1/1 (задача (4.8)). Другими словам ми, здесь строится псевдорешение (5.1).
На втором этапе для решения пробле»мы коррекции возмущения следует применять метод расширенной минимизации (РМ). Для систем уравнений он заключается в минимизации стабилизирующего функционала в пространстве переменных (х,у), связанных уравнениями решаемой системы и дополнительными ограничениями на вариации исходных данных. Это частный случай задачи (2.1) (обобщенное нормальное решение семейства эквивалентных уравнений). Ограничения на исходные данные порождаются информацией об их погрешностях. Для приведенных примеров из [35] мы будем считать, что заданные там значения <5 являются одновременно известными реализациями у = 5 и оценкой уровня их погрешности. Это значит, что множество эквивалентных по точности данных здесь Qs(y) = {?/ •’ |у — 2/| С <5}.
Стабилизирующий (минимизируемый) функционал, используемый в задаче (2.1), а также в задаче (4.10) регуляризованного метода ЧШФ,
Таблица 1. Примеры 5 и 6
Пример 5	<5 = 0.024			5 = 0.0028		
Метод	2Ф	ЧШФ	РМ	2Ф	ЧШФ	РМ
ц	-1.19Е-02	-1.20Е-02	-2.39Е-12	-1.44Е-03	-1.40Е-03	-2.41Е-09
	-1.21Е-02	-1.20Е-02	-2.39Е-12	-1.44Е-03	-1.40Е-03	-2.41Е-09
У	0.024	0.024	-5.23Е-12	0.0028	0,0028	4.8Е-09
нл	7.20Е-05	7.20Е-05	1Е-11	1.04Е-06	9.8Е-07	1Е-11
Итераций	4	2	3	4	2	9
Пример 6	<5 = 0.006			<5 = 0.0007		
Метод	2Ф	ЧШФ	РМ	2Ф	ЧШФ	РМ
ц	4.55Е-02	-6.04Е-03	1.10Е-01	1.52Е-02	-7.00Е-04	3.74Е-02
*2	-6.03Е-03	-3.64Е-05	-1.21Е-02	-7.20Е-04	-5.30Е-07	-1.40Е-03
У	0.006	0.006	1.20Е-02	0.0007	0.0007	1.4Е-03
ИН	1.80Е-04	8.6Е-12	4.13Е-12	1.90Е-05	2.7Е-11	3.05Е-12
Итераций	6	30	6	7	13	31
выбран в виде
- z) = |ti - zj| + |х2 - z2|.
В силу отмеченной почти корректности псевдорешения системы (5.1) и решения (5.2) для получения приближения нулевого решения, аналогичного или лучшего, чем в [35], оказалось достаточно перехода к задаче (4.8). Полученные на первом этапе результаты использовались в качестве исходных для задачи (2.1). Некоторые результаты вычислений сведены в табл. 1. Там также в столбцах «2Ф» приведены соответствующие результаты [35]. Величина ||F|| представляет максимум из модулей невязок уравнений решаемых систем. Видно, что для первой системы методы 2Ф и ЧШФ приводят к приведенному выше псевдорешению. Метод РМ выполняет коррекцию параметра возмущения и обеспечивает меньшую невязку. Для первой системы коррекция проводится в «нужном» направлении, а для второй — в противоположном. Но это не противоречит используемой дополнительной информации при доопределении исходной некорректной задачи.
Об эффективности вычислительных программ системы “Excel” свидетельствует то, что задачи (5.1), (5.2) решаются (методом Ньютона) непосредственно, причем производные в “Excel” заменяются разностными отношениями. Кроме того, решаются наши задачи с недифференцируемыми функциями.
Пример 7. Третья решенная система:
2/1^1 - х2 = О, Z1Z2 +У2Х2 -2/3=0.
(5-3)
Параметры данных (2/1,2/2, Уз) имеют покоординатные оценки точности и класс эквивалентных данных составляет множество Qs(y) = {у : \yi~ — yi\ < 5. г = 1,2,3}. Мы полагаем у = (<5/4, <5/2, 5). При этом у° = = (0; 0; 0). Пробное решение z = (2; 1).
Очевидно, множество решений невозмущенной системы (5.3) суть -Р(2/°) = {т : Zi G R, х2 = 0}. Структура возмущенного множества Р(у) выявляется из эквивалентной записи (5.3) в виде
х2 = 2/1^1,
2/1^1 + 2/12/2*1 -2/з=О.
Выпишем решение квадратного уравнения для случая 2/1 = 0:
±	3/2 , / 2 42/3
1	22/1 V 2	У1
Отсюда видно, что среди решений х(у) эквивалентных по точности систем (5.3) есть точки с любыми координатами £1(2/). Это значит, что задача решения такой системы с описанными данными существенно некорректна. В терминологии [36] алгебраические уравнения с малыми коэффициентами при старших членах называются сингулярно возмущенными. Их регуляризация требует перехода к новой задаче с использованием дополнительной информации.
Таблица 2. Пример 7
<5	0.01		0.001		0.0001		0.00001	
Метод	ЧШФ	РМ	ЧШФ	РМ	ЧШФ	РМ	ЧШФ	РМ
11	2.0Е+0	2.0Е+0	2.0Е+0	2.0Е+0	2.0Е+0	2.0Е+0	2.0Е+0	2.0Е+0
12	5.0Е-3	5Е-3	5.0Е-4	1.0Е-3	5.0Е-5	1.0Е-4	5.0Е-6	1.0Е-5
У1	2.5Е-3	2.5Е-3	2.5Е-4	5.0Е-4	2.5Е-5	5.0Е-5	2.5Е-6	5.0Е-6
У2	5.0Е-3	5.0Е-3	5.0Е-4	-5.0Е-4	5.0Е-5	-5.0Е-5	5.0Е-6	-5.0Е-6
Уз	1.0Е-2	1.0Е-2	1.0Е-3	2.0Е-3	1.0Е-4	2.0Е-4	1.0Е-5	2.0Е-5
fl	-1Е-13	-2Е-17	-6Е-12	-9Е-13	1Е-16	8Е-12	-1Е-15	-5Е-12
f2	2.5Е-5	-2Е-16	2.5Е-7	-9Е-13	2Е-9	6Е-12	2Е-11	-5Е-12
hi		5Е-6		2.5Е-4		2.5Е-5		2.5Е-6
h-2		2.5Е-8		1.0Е-3		1.0Е-4		5.0Е-6
Ьз		5Е-6		1.0Е-3		1.0Е-4		1Е-5
П(т — г)	9.95Е-1	9.95Е-1	1.0Е+0	1Е-1	1.0Е+0	1.0Е+0	1.0Е+0	1.0Е+0
Та(х,у)	9.95Е-2		3.16Е-2		1.0Е-2		3.16Е-3	
ин	2.5Е-5	2Е-16	2Е-7	9Е-13	2Е-9	8Е-12	2Е-11	6Е-12
Итераций	6	2	6	17	15	16	50	17
В табл. 2 приведены результаты последовательного решения системы (5.3) регуляризованным методом ЧШФ (задача (4.10)) и затем методом РМ (задача (2.1), где минимизируется стабилизирующий функционал) для четырех уровней погрешностей 5. Регулярной подсистемой (5.3) является первое уравнение и для второго вводилась штрафная функция — модуль невязки. Параметр тихоновского стабилизатора (4.9) выбирался в зависимости от этого уровня как а = у/б. В таблице приведены величины hi = \yi — j/J, представляющие величину коррекции компонент данных. Во всех случаях, кроме <5 = 0.01, метод РМ «уводит» полученное на первом этапе приближенное решение от точного. Но при этом достигается лучшая аппроксимация второго (нерегулярного) ограничения.
6. Дифференциально-конечные системы обыкновенных дифференциальных уравнении
Проиллюстрируем применение регуляризованного метода ЧШФ на примере сингулярной краевой задачи для дифференциально-конечной системы
а t Ь;
I + т = п:
±i — t, у), i = l,...,/, а gj(x(t),t,y) = 0, j = 1,... ,т, I
(6-1)
(6-2)
.тДа) = т°, г = 1,..., г,	j = г + 1,..., п. (6.3)
Параметр исходных данных у конечномерный. Предполагается, что эта система имеет решение в классе непрерывных функций и в некоторой области, содержащей искомое решение, выполнены условия существования, единственности и непрерывной зависимости начальной задачи дифференциальной подсистемы (6.1) (определяющей компоненты (.Т] (t),..., T((t)) при заданных функциях	..., xn(t)) и пара-
метре исходных данных у) от начальных данных и параметров.
В общем случае вырождения частичного якобиана функций gi,... .. .,дт по переменным z/+i,... ,хп задача (6.1)-(6.3) некорректно поставлена. Методы численного решения начальных и краевых задач для нелинейных дифференциально-конечных систем известны для корректного случая, когда упомянутый якобиан невырожден. Они основаны на комбинации неявных разностных схем с методом Ньютона [37]. В некоторых вырожденных случаях для начальных задач можно применять метод наилучшего продолжения решения по параметру В. И. Ша-лашилина и Е. Б. Кузнецова [38,39].
Мы допускаем возможность вырождения названного якобиана, т. е. сингулярность задачи (6.1)-(6.3), и предполагаем, что ее решение при точных данных уо существует и принадлежит гильбертово-соболевско-му пространству Н\[а, Ь] с нормой
Это пространство компактно вложено в С[а, 6] [28] и можно считать D = = Я1[а,Ь],П(х) = ||х||2.
В некорректном случае, когда возможна неединственность решения точной системы (6.1)-(6.3), базовой задачей, связанной с этой системой, является задача (1.9) о z-нормальном решении при заданной пробной функции z G Я^[а, Ь]. Минимизируемый функционал (1.8) здесь имеет
вид
(6-4)
Метод ЧШФ основан на выделении из исходной системы (6.2), (6.3) регулярной подсистемы. К регулярным ограничениям при сделанных предположениях о непрерывной зависимости решений дифференциальной подсистемы (6.2) относится эта подсистема и начальные условия из (6.3). Регулярная система порождает регулярное многозначное отображение
Ро(у) = {т е £>: (6.1), Tj(a) = х°, i = 1,... ,г}.	(6.5)
Соответственно, введем штрафную функцию для оставшихся условий (6.2) и конечных из (6.3):
<£(гс,у) =
Этим определена задача метода ЧШФ (4.8) и регуляризованная задача (4.10), где
Tza(x, у) = ф(х, у) + a£lz(x), а > 0,	(6.6)
и стабилизатор £lz(x} определен в (6.4). Согласно теореме 5 такая задача разрешима при любом a > 0, и ее решение аппроксимирует z-нор-мальное решение точной исходной системы (6.1)-(6.3) при условии согласования параметра с уровнем погрешностей. Выбор Соболевского пространства решений Я^[а,Ь] обеспечивает равномерную аппроксимацию.
Минимизация функционала (6.6) на множестве (6.5) — это регулярная задача классического вариационного исчисления с дифференциальными связями (задача Лагранжа). Она может рассматриваться как задача оптимального управления (ОУ) и решаться численно в классе непрерывных решений. Численное решение задачи метода ЧШФ или РЧШФ в рассматриваемом случае достаточно сложно, несмотря на ее классичность. Нетрудно убедиться, что основное условие экстремума — принцип максимума Л. С. Понтрягина в данном случае вырождается (условие максимума не позволяет выразить оптимальное управление через фазовые и сопряженные переменные). Также в окрестности решения вырождается градиент функционала. Это делает неэффективными методы оптимизации первого порядка (в смысле порядка условий экстремума или производных). Однако эта проблема обычно преодолевается на основе методов второго порядка [40].
Эффективным методом второго порядка решения задач вариационного исчисления и оптимального управления является метод конечномерной параметризации искомого управления [41-43]. Здесь проводится гибкая редукция функциональной задачи к конечномерной с сохранением дифференциальных уравнений и не требуется приведение задач ВИ к понтрягинской форме (можно сохранять начальные условия на функции управления). Это позволяет при адекватной параметризации управления получать конечномерную задачу небольшой размерности и использовать для вычисления первых и вторых производных сопряженные переменные (первого и второго порядков). Опыт решения вырожденных и нестандартных задач ОУ методом параметризации изложен в [43]. Однако решение некорректных нелинейных задач дифференциальных уравнений достаточно сложно и мы оставляем эту проблему для специальной публикации.
Здесь приведем частичную иллюстрацию возможности решения вырожденных проблем ОДУ для линейного случая. Такие задачи успешно решаются методом нормальной сплайн-коллокации (НСК) [44, 45, 25]. Теоретической основой метода являются классические теоремы функционального анализа: С. Л. Соболева о вложении Соболевских пространств в чебышевские и Ф. Рисса о каноническом представлении (в виде скалярного произведения) линейных непрерывных функционалов в гильбертовых пространствах.
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
A(t)x(t) + B(t)x(t) = f(t), 0 t < 1,	(6-7)
где х € Rn и квадратная матрица >1(£) может быть произвольно вырожденной. Если A(t) имеет нулевые строки, то система (6.7) является дифференциально-алгебраической (6.1), (6.2). Мы опускаем здесь параметр данных у, ограничиваясь лишь вычислительными проблемами (не регуляризацией).
Метод НСК применим как к начальным, так и к краевым задачам для (6.7). Он заключается в переходе к произвольной коллокационной сетке {tfc} и минимизации нормы гильбертово-соболевского пространства Я^[0,1], где I 2. Такое ограничение определяется требованием непрерывности точечных функционалов ii(tk), ii(tfc) в пространстве скалярных функций Н[ [0,1]. Эти линейные и непрерывные функционалы преобразуются в соответствии с теоремой Ф. Рисса к каноническому виду — скалярному произведению, и задача минимизации нормы методом Лагранжа сводится к алгебраической системе относительно множителей, являющихся здесь коэффициентами представления решения (нормального сплайна) по базису, состоящему из канонических образов точечных функционалов (включая краевые условия). Простейшая норма здесь соответствует I = 2:
М = И0< + ||±(0< +
11/2
Из теории метода ИСК [44] следует, что он сходится для любой системы (6.7) к ее нормальному (в общем случае) решению при простейшем условии стремления максимального интервала сетки {tfc} к нулю.
Пример 8. Задача из [37] решения системы (6.7) с матрицами
ад=0 J). в«) = (] !)
В [37] показано, что система (6.7) при условии 7 + it 1, t € [0,1] имеет единственное решение при любой правой части f € [0,1]. Кроме того, разностные методы Адамса, Рунге-Кутта, неявная схема Эйлера, а также классические коллокационные схемы расходятся при значениях параметра 7 = 0, —1, —2, —3,...
Метод ИСК дает приближенное решение в любом (совместном) случае. В табл. 3 приведены результаты решения начальной задачи для
Таблица 3. Пример 8
7\<5	1	0	—2
2	1.36е— 1*	1.83е—2	6.02е—3
0	1.09е—2	2.09е—2	2.Обе—2*
-1	7.79е—3	1.08е—2	9.19е—2*
—2	5.58е—3	7.31е—3	1.95е—2
рассматриваемой системы и правой части, соответствующей решению ii(i) = е4зт(<), ^2(i) = cos(t), на равномерной коллокационной сетке с 51 точками. Приведены значения уклонения полученных сплайнов от точного решения на удвоенной сетке. Звездочкой отмечены случаи нарушения условия 7 + 8t 1. При этом, возможно, определяется нормальное решение.
Список литературы
1.	Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — 3-е изд. — М.: Наука, 1986.
2.	Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. — 1943. - Т. 39, №5. - С. 195-198.
3.	Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 151, №3. — С. 501-504.
4.	Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 153, №1. - С. 49-52.
5.	Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. — Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. — 92 с.
6.	Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шигиатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — М.: Наука, 1980. — 268 с.
7.	Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник. — 1963. — Т. 61 (103), №2. — С. 211-223.
8.	Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. — 1966. — Т. 6, № 6. — С. 1089-1094.
9.	Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.
10.	Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Об одном регуляризирую-щем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. — 1972. — Т. 12, №6. - С. 1592-1594.
11.	Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. — Минск: Наука и техника, 1986.
12.	Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых вычислительных задач. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1987.
13.	Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981.
14.	Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука, 1995.
15.	Тихонов А.Н. О приближенных системах линейных алгебраических уравнений // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. — 1980. — Т. 20, №6. — С. 1373-1383.
16.	Тихонов А. Н. О задачах с неточно заданной исходной информацией // Докл. АН СССР. - 1985. — Т. 280, №3. — С. 559-562.
17.	Горбунов В. К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач. — Фрунзе: Илим, 1984.
18.	Горбунов В. К. Экстремальные задачи обработки результатов измерений. — Фрунзе: Илим, 1990.
19.	Горбунов В. К. О регуляризации экстремальных задач // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. — 1991. — Т. 31, К? 2. — С. 235-248.
20.	Горбунов В. К. Метод расширенной минимизации для экстремальных задач // Методы оптимизации и их приложения: Труды XI Байкальской школы-семинара. Пленарные доклады. — Иркутск, 1998. — С. 66-69.
21.	Gorbunov V. К. Generalized normal solution of degenerated system of equations/inequalities // http://www.midit.dtu.dk [Conferences, 3-rd ENOC, Proceedings...]. — Copenhagen, 1999.
22.	Горбунов В. К. Регуляризация компактно разрешимых задач // Вестник Моск, ун-та. Сер. 15 (ВМК). — 1999. — № 1. — С. 20-23.
23.	Горбунов В. К. Релаксационно-штрафной метод и вырожденные экстремальные задачи // Докл. Акад. наук. — 2001. — Т. 377, № 5. — С. 583-587.
24.	Горбунов В. К. Регуляризация вырожденных экстремальных задач с регулярными ограничениями // Методы оптимизации и их приложения: Труды XII Байкальской школы-семинара. Т. 4. Обратные и некорректные задачи прикл. матем. — Иркутск, 2001. — С. 94-98.
25.	Горбунов В. К., Петрищев В. В. Нормальные сплайны в вырожденных задачах дифференциальных уравнений // Там же. — С. 99-102.
26.	Gorbunov V. К. Regularization of degenerated equations and inequalities under explicit data parametrization // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2001. - V. 9, №6. — P. 575-594.
27.	Вайнберг M. M. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972.
28.	Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988.
29.	Карманов В. Т. Математическое программирование. — М.: Наука, 1986.
30.	Федоров В. В. Численные методы максимина. — М.: Наука, 1989.
31.	Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. —
М.: Мир, 1972.
32.	Треногин В. А. Функциональный анализ — М.: Наука, 1980.
33.	Еремин И. И., Мазуров В. Д., Астафьев Н. Н. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
34.	Гэрбунов В. К. Индексы рационального потребления // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 4, вып. 1. — М.: ТВП, 1997. — С. 66-85.
35.	Измайлов А. Ф., Третъяков А. А. О локальной регуляризации некоторых классов нелинейных операторных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. — 1996. — Т. 36, №7. — С. 15-29.
36.	Найфэ А. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984.
37.	Бояринцев Ю. Е., Чистяков А. Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования. — Новосибирск: Наука, 1998.
38.	Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). — М.: Эдиториал УРСС, 1999.
39.	Балакина Е.А., Кузнецов Е. Б. Решение систем дифференциально-алгебраических уравнений высоких индексов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2000. — Т. 40, № 2. — С. 199-206.
40.	Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1979.
41.	Горбунов В. К. Метод параметризации задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1979. — Т. 19, № 2. — С. 292-303.
42.	Горбунов В. К., Лутошкин И. В. Вторые производные параметризованной задачи оптимального управления //Уч. зап. УлГУ. Сер. Фунд. пробл. матем. и мех. Вып. 3. — Ульяновск, 1997. — С. 17-24.
43.	Горбунов В. К., Лутошкин И. В. Развитие и опыт применения метода параметризации в вырожденных задачах оптимального управления. — Ульяновск: Изд. УлГУ (в печати).
44.	Горбунов В. К. Метод нормальной сплайн-коллокации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1989. — Т. 28, №2. — С. 212-224.
45.	Горбунов В. К., Петрищев В. В. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений // Уч. зап. УлГУ. Сер. Фунд. пробл. матем. и мех. Вып. 3. — Ульяновск, 1997. — С. 125-132.
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ОТОБРАЖЕНИЙ, ГАРМОНИЧЕСКИХ ПО М. А. ЛАВРЕНТЬЕВУ
А. И. Янушаускас
Конформные отображения широко применяются при исследовании различных задач плоской гидродинамики идеальной жидкости [1]. Комплексно-аналитические методы также широко применяются в двумерной теории потенциала [2, 3]. Из-за того, что эти методы не применимы в трехмерном случае, до настоящего времени не получено точное решение ряда задач, касающихся трехмерных течений идеальной жидкости со свободными поверхностями [4]. Поэтому представляет интерес исследование возможностей обобщения некоторых аспектов комплексно-аналитических методов на теорию потенциала в трехмерном пространстве и в пространстве более высокой размерности. Здесь будет рассмотрен специальный класс отображений трехмерных областей, обобщающих физическую интерпретацию конформных отображений [5].
Будем обозначать через D(f) область трехмерного пространства R3 переменных х, у, z, описываемую неравенствами 0 < z < f(x,y), где f(x,y) — непрерывная функция, определенная на всей плоскости переменных х, у, удовлетворяющая неравенствам 0 < h /(х, у) Н < оо, a h и Н — фиксированные постоянные. Граница Г области D(f) состоит из плоскости Го: {z = 0} и поверхности Ti: {z = f(x,y)}. Пусть u(x, у, z) — гармоническая в области D(f) функция, регулярная в любой ограниченной подобласти области D(f), т. е. и может допускать особенности только на бесконечности. В области D(f) рассмотрим систему дифференциальных уравнений
IZx = VyUJz VzWy,	Uy = VZUJX	Uz = VxWy ' WxVy (1)
с тремя искомыми функциями и, v, w. Из (1) следует, что и — гармоническая функция, поэтому в качестве и будем брать функцию, о которой речь шла выше. Функциональный определитель тройки функций имеет вид
Этот определитель обращается в нуль только в критических точках функции и, т. е. в тех точках, в которых grad и = 0. Очевидно, что
систему (1) можно записать в виде
“F UyVy	+ Uzvz = 0,	UXWX + UyWy + uzwz = 0,
	Ux ^у 'U’Z	
	Vx Vy Vz	= ul+^+u2.	(2)
	Wx Wy wz	
Характеристическая матрица системы (1)			имеет вид
	—Ai	Агт/г — Аз?/,,	Аз0 — Аг0
Х(Л) =	—а2	АзТ/х — А17/2	AiG — Аз^х
	—Аз	А1Т/?/ А27/х	АгСх — А1£у
а ее определитель —
det х(Л) = —(Aiux + \2иу + Ази2)(Л1 + Л2 + A3).
Следовательно, система (1) является системой составного типа, так как она имеет семейство комплексных характеристик и семейство вещественных характеристик, соответствующих соотношению AiM2-|-A2Uy + + Ази2 = 0.
В пространствах R% переменных х, у, z и переменных ту, С рассмотрим области Di(f) и Т?2(/)- В области Di возьмем решение щ, Vi, и>1 системы (1), а в области возьмем решение U2, V2, аналогичной системы, в которой вместо независимых переменных х, у, z фигурируют переменные т], С,. Из соотношений
Ui(x,y,z) = u2(Ct7,C),
щ(х,у,г) =	(3)
Wi(x,y,z) = W2^,T},Q
можно выразить переменные х, у, z через переменные £, т], С
х = x(£,tj,C), У = У^,'П,С), z = z(£,77,0	(4)
либо переменные ту, £ через х, у, z
£ = £(z,y,z), Т} = Tj(x, у, z), C = C(x,y,z),	(5)
разрешая уравнения (3) относительно одной или другой совокупности переменных. Соотношения (4) задают отображение из области D2 в область Di, а (5) задают отображение из области Di в область У?2-Очевидно, что эти отображения являются взаимно обратными.
Определение 1. Отображение из Di в Z>2, задаваемое соотношениями (5), либо из D2 в Di, задаваемое соотношениями (4), будем называть гармоническими по М. А. Лаврентьеву.
В частном случае U2 = £, V2 = т], и>2 = С соотношения (5) принимают вид
С = Ul(x,y,z), 7) = V!(x,y,z), C = W!(x,y,z).	(6)
Гармонические по М. А. Лаврентьеву отображения поверхности уровня одной гармонической функции переводят в поверхности уровня другой
гармонической функции, а ортогональные траектории поверхностей уровня этих гармонических функций также переводят друг в друга. Якобиан отображения ip, задаваемого соотношениями (6), имеет вид
/5ui\2	(dui'? (du-i'\
ад НттЧ+тгИ+Нг--
\дх J \ ду )	\ dz )
Таким образом, мы приходим к классу гармонических по М. А. Лаврентьеву отображений из пространства переменных х, у, z в пространство переменных и, v, w, которые выражаются соотношениями
и = и(х,у, z), v = v(x,y,z),	w=w(x,y,z'),	(7)
где и, v, w — решение системы (1), определяемое в области D(f).
Выразив из (7) переменные х, у, z через и, v, w, получаем отображение ip, описываемое соотношениями
х = х(и, v,w), у = y(u,Tj,w), z = z(u,v,w).	(8)
Это отображение принадлежит классу, связанному с соотношениями (4). Из системы (1) для функций, фигурирующих в (8), получается система уравнений
Хи — yvzw Уш^щ
У и = ZyXyj
(9)
— Xvyw Xwyv-
Якобиан отображения ф имеет вид
ад =
Ху
Уи zu
Ху
У» zv
Xw yw
2.2.2 =	+ уи + zu,
w
а аналог системы (2) имеет вид
“Ь УиУу “Ь ZUZV - О,
ХуХу) “Ь УиУм “Ь 2-u^'W =	(10)
J(V>) =	+Уи+^и-
Якобиан отображения ip, определяемого соотношениями (7), имеет вид J(ip) =	+ Uy + а так как ip и ф являются обратными друг для
друга, то
xl+yl + zl = №+u2y+u*)-\	(11)
Локальная гомеоморфность отображений ip и ip может нарушаться только в тех точках, в которых grad и = 0.
Рассмотрим функцию и> = u^+Uy+u^. Эта функция субгармонична, так как Дш 0, поэтому она не достигает максимума внутри области [6,7]. Критические точки этой функции определяются из уравнений
UXUXX 4” V'y'U'Xy Н” 'U'z'U'XZ = 0,
UxUXy + UyUyy + UzUyZ = 0, uxuxz -|- UyUyZ "Ь uzuzz — 0.
Из этих уравнений следует, что точки, в которых grad и = 0, являются критическими точками и функции ш. Эти точки являются точками минимума функции ш. Критические точки ш, которые не являются критическими для и, лежат на многообразии det Н(и) = 0, где
Я(и) =
иху UZz
Uxy ^xz Uyy uyz •
Uyz
Среди таких критических точек ш содержатся седловые точки ш. Однако, в отличие от случая двух переменных, функция ш может достигать положительного минимума внутри области регулярности функции и. Этот факт легко показать на примере.
Положим
и = cz + а(х2 — у2) + bz(x2 + у2 — |z2^,
где а, Ь, с — постоянные, имеем
w = 4(ах + bxz)2 + 4(—ay + byz)2 + [с + Ь(х2 + у2 — 2z2)]2 =
= с2 + (4а2 + 2Ьс)(т2 + у2) — 4bcz2 + Рз(т, у, z),
где Р3(х, у, z) — многочлен, содержащий члены не ниже третьей степени. Если Ьс < 0 и 2а2 + Ьс > 0, то точка х = у = z — 0 является точкой минимума, равного с2, для функции ш. Критические точки функции и определяются соотношениями
х = у = 0, с — 2bz2 = О,
и при Ьс < 0 имеем х = у = 0, z = ±гу При с —» 0 эти две критические точки сливаются в одну вещественную критическую точку х — у = z = 0. Таким образом, возможность достижения положительного минимума функцией ш тесно связана с наличием комплексных критических точек у функции и.
Возвратимся к системе (1), рассматриваемой в области D(f). Если uz 7^ 0 в этой области, то систему (1) можно переписать в виде
uz = vxwy - vywx,
1 /
Uz —	\UXvx -I- Uy vy J,	(12)
1 / u>z — yUxujx T UyWy).
Uz
Следовательно, в этом случае система (1) является системой типа Коши-Ковалевской по переменной z в области D(f). В окрестности плоскости z = 0 решения системы (12) можно строить в виде рядов по степеням z, которые согласно теореме Коши-Ковалевской сходятся для достаточно малых |z|.
До сих пор мы не подчиняли никаким граничным условиям регулярную в области D(f) гармоническую функцию и(т, у, z). Функцию и подчиним следующим условиям
w|z=o=0, u|r = 1, Г: {z =/(х,у)}.	(13)
Пусть (u,u,w) — решение системы (1), причем и — регулярная в области D^f) гармоническая функция, удовлетворяющая условиям (13). Теперь равенства (6) задают гармоническое по М. А. Лаврентьеву отображение области D(f) на слой Д: {0 < £ < 1). Обозначим это отображение х(и). В силу того, что наряду сив области D(f) гармоничны и функция uz, из принципа максимума и принципа Заремба-Жиро [6] получаем uz > 0 в D(f), следовательно, в области D(f) имеем
|gradu|2 = u^ + и? + uz > 0.	(14)
Из неравенства (14) следует, что у(и) является локальным гомеоморфизмом, а из определения гармонических по М. А. Лаврентьеву отображений легко получается гомеоморфность у(и) во всей области D(f). При выполнении условий (13) система (1) в области D(f) приводится к виду (12).
Рассмотрим две области -D(/i) и £>(/2): соответствующие им регулярные гармонические функции обозначим щ и и2. Пусть £>(/i) С С £>(/2), т. е. /1(т, у) /2(^,2/)- Очевидно, что в области D(/i) име-ем v = ui — U2 0, так как v = 0 при z = 0, а на поверхности Г1: {z = = /i(x,y)} и 0. В силу принципа максимума и принципа Заремба-Жиро имеем
и^х,у,г) u2(x,y,z) в D(fi);
dui
0U2
—— при z = 0, az
(15)
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда fi(x, у) = = /2(1, у)- Если в некоторой точке (хо,Уо) имеем /1(хо,уо) = /2(^0, Уо), т. е. в этой точке поверхности Г1 и Г2: {z = f2(x, у)} касаются друг друга и в ней и = 0. В этой точке и достигает минимума, следовательно, в ней < 0, где п — внешняя относительно D(f) нормаль поверхности Г1 в общей точке поверхностей Г1 и Гг- Так как Uj = 1 на Ti, j = 1,2, то gradUj направлен по внешней относительно D(f) нормали Гj, поэтому в общих точках поверхностей Г\ и Г2 имеем
|gradui| < |gradu2|.	(16)
Введем обозначения
0 < h = inf f(x, у), оо > Н = sup f(x, у),
где нижняя и верхняя грани берутся по всем конечным х и у. Очевидно, что для слоев D(/i): {0 < z < h] и D(H') : {0 < z < H) справедливы соотношения D(li) С D(f) С D(H'). Гармонические функции ин = ^z и ин = jj регулярны в слоях D(Ji) и соответственно, обращаются
в нуль при z = 0 и = 1 при z — h а = 1 при z = Н. В силу (15)
имеем
— Z < u(x,y,z) < -Z,
1 ди h> dz
z=O
(17)
1 Я
если f const, здесь и — регулярная в области D(f) гармоническая функция, удовлетворяющая (13). Если существуют точки (хо,уо) либо (з^х, З/i) такие, что /(хсьЗ/о) = h, a/(x1,i/1) = Н, то из (16) имеем
- < uz в точке (xq, уо, h)-, h j	(18)
uz < — в точке (xi,2/i,7/), Л.
а их = иу = 0 в обеих этих точках.
Приведенные здесь свойства функции и регулярной в области D(f) являются обобщениями вариационных свойств плоских конформных отображений. На основании этих свойств М. А. Лаврентьев разработал вариационный принцип исследования задач со свободными поверхностями [3]. На основании приведенных здесь свойств гармонических в областях типа слоев функций трех переменных можно пытаться обобщить вариационный принцип М. А. Лаврентьева на систему (1) и разработать метод исследования подобных систем на основании вариационных принципов.
Пусть 6(х, у) 0 — функция, определенная на всей плоскости переменных х и у, отличная от нуля только в окрестности Vq некоторой фиксированной точки (хо>Уо)- Рассмотрим области D(f) и — D(f + 6) и регулярные в этих областях гармонические функции и(х,у, z) и ug, удовлетворяющие условиям (13) на границах соответствующих областей. Считая окрестность Vb точки (хо,Уо) достаточно малой, в области D(f) рассмотрим функцию vg(x,y,z) — ug(x,y,z) — u{x,y,z). Очевидно, что vg = 0 на всей границе области D(f), за исключением части Г(<5): {z = /(х, у), (х, у) € Vb} поверхности Г: {z =	на
которой vg 0. В силу принципа максимума vg 0 всюду в D(f), причем равенство внутри D(f) достигается только в случае <5(х, у) = 0. Из принципа Заремба-Жиро имеем
dug dz
ди z=o < dz
z=Q
dug дп
ди дп
на СГ(<5),
(19)
где СТ(<5) — дополнение Г(<5) до Г, т. е. общая граница областей D(f) и Dg(f), ап — внешняя относительно D(f) нормаль Г. На Г(<5) имеем vg < 0, поэтому существует точка (£,??,/(£,?})) € Г(<5), в кото-дих
рой vg достигает отрицательного минимума. В этой точке < 0, где п — внешняя относительно D(f) нормаль Г. Следовательно, в этой точке имеем
|gradu4| > — us(x,y, z). on
(20)
Очевидно, что второе неравенство (19) можно переписать так:
|gradu4| > |gradu| на СТ(<5).	(21)
Неравенство (20) неудобно для применений из-за того, что в правой части его фигурирует производная по направлению вместо |gradu4|. Этого неудобства можно избежать, если требовать не только малости 6, но и малости ее производных, т. е. требовать малости нормы 6 в метрике пространства С1 непрерывно дифференцируемых функций. Теперь не только поверхности Г: {z =	и Гд: {z = f(x,y) + <5(т,у)}
близки, но близки и направления нормалей в соответствующих точках. В этом случае воспользуемся более общей версией принципа За-ремба-Жиро [6]. В точке экстремума (£, 7],	у)) функции vg выпол-
няется неравенство < 0 для любого направления I, составляющего острый угол с направлением внешней нормали Г в точке экстремума. В качестве направления I выберем направление градиента функции ug в точке экстремума функции щ. Имеем
ди |grad u4| < — < |grad и\.
Таким образом, на части Г, подвергшейся вариации, существует хотя бы одна точка такая, что
|grad u4| < |gradu|	(22)
в этой точке. В предыдущем случае имело место соотношение D(f) С С DgU), т.е. в результате вариации получалось более широкая область. Такие вариации назовем внешними. Рассмотрим две области D(f) и D^(f) = D(f — 6), где <5	0 та же функция, что в преды-
дущим случае. Теперь D(f') Z) D^(f). Рассматривая регулярную в области гармоническую функцию vg = ug — и, точно так же, как в предыдущем случае, получим
, |gradu4| > |gradu| на СТ(<5),	(23)
z=0
|gradu4| > |gradu|.	(24)
Таким образом, при внутренней вариации области D(f) величина градиента соответствующей ей гармонической функции меняется в противоположном направлении по сравнению со случаем внешней вариации. Из предыдущих построений вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема 1. При локальной внутренней достаточно малой гладкой вариации границы Г: {z = /(т,у)} области для регулярной в этой области гармонической функции u(x,y,z), удовлетворяющей условиям
<=о = 0’ Чг = 1,
dug	ди
dz z=n > dz
имеют место следующие соотношения:
ди& dz
ди z=o > dz
z=0
|gradu4| < |gradu| на С'Г(5),	(25)
где ug — регулярная в проварьированной области Ds (/) гармоническая функция, аналогичная и, а СТ(<5) — часть Г, не подвергнутая вариации', на частиТs границы D&(/), полученной в результате вариации, найдется точка Р = (xq, уо, zo) такая, что в этой точке
|gradu4| > |gradu|.	(26)
При локальной внешней вариации в первых двух неравенствах знаки меняются на противоположные:
dus ди
dz z=0 < dz
, |gradu4| > |gradu| наСТ(<5),	(27)
z=0
а на части Г(5) границы D{f), содержащейся в D^~(f), существует точка Q(x0, Уо, zo) такая, что в этой точке
|gradu4| < |gradu|.	(28)
В теореме 1 речь идет о всех тех свойствах гармонических функций, на которых основан вариационный метод М. А. Лаврентьева решения задач со свободными поверхностями [3,4], поэтому можно надеяться на то, что этот метод удастся обобщить и на некоторые многомерные случаи. Теорема 1 касается системы (1). Из первого условия (13) имеем при 2 = 0
vywz — vzwy - 0, vzwx — vxwz = 0,	(29)
а в силу неравенства uz|z=0 > 0 имеем при 2 = 0
vxwy - wxvy > 0.	(30)
В силу (30) из (29) имеем
4=0 = °’	*4=0= °’	(31)
Из неравенства (30) также следует
6radvlz=o °’	gradw|2=0 / °,
а соотношения v = v(x,y,0), w = w(x,y, 0) осуществляют гомеоморфизм плоскости переменных х, у на плоскость переменных и, и.
Переформулируем теорему 1 для системы (9). Система (9) рассматривается в слое Е: {0 < и < 1}, а условия (13) для нее преобразуются в условия
z|u=0 = 0,	2(1, v, w) = g(v, w),	(32)
гдед(и, w) = /(х(1, v, w), y(l, v, w)). В силу этих условий из системы (9) имеем хи = 0, уи = 0 при и = 0. В силу (11) с учетом того, что и возрастает вместе с 2, имеем
Zu 1(7=0 =	1=0-	(33)
Вместо гармонических функций uj и U2, регулярных в областях -D(/i) и Dtjz') соответственно и удовлетворяющих условиям (13), теперь рассматриваем две функции z\ (и, v, w) и Z2(u, г>, го), которые являются третьими компонентами двух решений (8) системы (9), определенных в области Е: {0 < и < 1} и удовлетворяющих условиям
с; (0,и, ш) = 0,	w) = g-j(y, w), j = 1,2,	(34)
гдеgj(v,w) — заданные непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию
О < hi д3(и,и) С Ну < оо, j = 1,2,
где hi С Hi — некоторые фиксированные постоянные. В силу первого неравенства (15) для функций Zj(l,v,w) С Z2(l,v,w) всюду в области Е
Zi(u,v,w) С Z2(u,v,w),	(35)
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Z1(1, V, w) = Z2(l,V,w). Если 21(1, V,w) С Z2(l,V,w), то в силу (33) и второго неравенства (15) имеем
dzi ди
dz2 u=o " ди
u=0
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда zi(l, v, w) = = 22(1, v, ш), а в тех точках (1, vq, Wq), в которых выполняется неравенство,
Пусть т)(у, w) О — непрерывно-дифференцируемая на всей плоскости переменных v, w функция, отличная от нуля только в окрестности П точки (ио,гоо) и удовлетворяющая неравенству
М +
дт] ди
дт] dw
где 6 > 0 — фиксированное число. Функцию g^v, w) = f(v, w)+r)(v, w) будем называть проварьированной функцией g, а через СТ2 будем обозначать дополнение окрестности П до всей плоскости переменных v, w. Теорему 1 для системы (9) теперь можно сформулировать следующим образом.
Теорема 1а. Пусть (ii,yi, zi) и (т^ У2, zz) ~ два решения системы (9), заданные в слое Е: {0 < и < 1}, удовлетворяющие условиям
Zi(0,v,ic) = 0, zi(l, v,w) = g(v,w),
22(0, и, w) = 0, 22(1, v, w) = д(г>, w) + 7j(v, w). v '
Тогда имеют место неравенства
dzi dz2
при и = 0,
ди ди
а на СП
2
2
2
2
2
2
причем знак равенства в обоих случаях достигается только при Т)(у, и>) ~ 0; на плоскости и - 1 существует хотя бы одна точка
(l,vi,Wi), (vi,wi) € fi такая, что в этой точке
/а \2 /а \2 /а \2 /я \2 /я х2
2
Рассмотрим следующую задачу: найти область D(f): {0 < z < < f(,xiy)} и регулярную в этой области гармоническую функцию и(х, у, z), удовлетворяющую граничным условиям
w|z=0 = 0,	u|z=/ = 1, |gradu||z=/ = g(x,y) > 0.	(38)
Эта задача представляет собой задачу со свободной границей. Она может найти применение в электростатике, но гидродинамического смысла не имеет. Трудность этой задачи заключается в том, что гармоническая функция разыскивается в неизвестной области, поэтому переформулируем задачу для системы (9).
В области Е: {0 < и < 1} найти решение системы (9) х, у, z и функцию /Ди, ш), удовлетворяющие условиям z\ = 0, z\ = f-[(v,w),
где G(u, v} > 0 — заданная функция.
Из системы (9) для функции z получается уравнение
<?2Z	2	, 02г	2	2\^Z
дй7 + (Хш + У^дй^ + (Xw + У^дй^ “ 2(У»У™ + XvXw^ Qvdw
1	а
I ffWWffV	о
2	dv
Г	1 ® / 2	2\1
XVVXW + УууУш 2	— 0’
= G(tl, 11)),
(39)
1 д 2	2 J dz
xwwxv + у-ш-шУу 2 ^г,(2'ш "I" Qy
(40)
dw
Это уравнение эллиптично при выполнении неравенства
Zu = (г^-шУу Уу>Ху) > 0,
т. е. уравнение (40) эллиптично в области Е, если всюду в Е имеем
7^ 0. Первые два условия (39) представляют собой условия задачи Дирихле для уравнения (40).
Считая z(u, v, w) известной, из первых двух уравнений (9) находим
(41)
zu 7^
y(u, V, w
I (,Vvzw ywzv) du, о
(42)
dll) 0
где р и q — произвольные аналитические функции переменных v и ш, удовлетворяющие соотношению
PvQw PwQv ~ ^ulu = o’	(43)
Попытаемся строить решения вида
х = — w + х(и, v, ш), у = v + ip(u, v, w), z = и + tp(u,v,w), (44) причем х, ip, <р будем считать достаточно малыми. Функции х = w, у = v, z = и удовлетворяют системе (9). Линеаризовав уравнение (40) на функциях х = w, у = v, для функций </> получим уравнение Лапласа д2Р , д2<р	д2<р =
ди2 dv2	dw2 '
а соотношения (42) принимают вид
fU	ги
x(u,v,w) = p(y,w) + / <Pw(s, v,w) ds + / (V’vT’w - V’wV’v) ds, J°u	J°u	(45)
y(u,v, w) = q(v,w) + / fpv(s,v,w)ds + I {pvXw — PwXv) ds. Jo	Jo
Из равенства (43) находим
PvQw Pw4v = 1 +
очевидно, что
P« = Xv|u=0, Pw = -1 + Xw|u=0> = 1 + ^«|и=0> Qw = ,0w|u=o-
Следовательно,
(ipv — Xw)|u_Q + (Xvlpw ~ XwV’v)|u_Q = </5u|u_0-	(46)
Вводя обозначения
^lu=0 =^(U’W)> X|u=o = Q(U’W)
-^(Vs <p) ~	Qi.Pl x) = PvXw PwXvi
R{x,^} = ixv^w - xwiM|u=0.
Соотношения (45) и (46) перепишем так:
u
P(ip, du,
(47)
Q(.P, X) du,
^-w = 9^и|и=0	(^v/^w	^w/^v)*	(48)
Отбросим в (47) и (48) члены второй степени относительно искомых функций, тогда приближенно можем положить
x(u,v,w) =—w + a(v,w) + I <pw(s,v,w)ds,
Jo
Ги	(49)
y(u, v, w) = v + /3(v, w) + / </?t,(s,v, w)ds,	v '
Jo
@v aw ~ ¥’u|u=0-
Из первого граничного условия (39) имеем <д(0, v, w) = 0, а из третьего следует
2<p«|u=l = G(v, ш) - 1 - (<д£ + Xu + V’u)|u=l’	(50)
В результате линеаризации этого соотношения для р получим граничные условия
</?(0, v, w) = О, ¥’u|u=i = |[G(v,w) -1].	(51)
Задача (51) для уравнения Лапласа всегда разрешима и ее решение единственно [6], поэтому zj = и + </?(u,v, ш) определяется единственным образом. Подставив в формулы (49), найдем Ti(u, v, w) и з/i = (u,v,w). Две функции а и (3 из одного уравнения определяются не единственным образом. Для того чтобы избавиться от этого неудобства, функции а и /3 подчиним еще одному условию
av + J3W = 0.	(52)
Это условие означает, что линии z(0, v,w) — const и 1/(0, щш) = = const ортогональны с точностью до членов ниже второго порядка. Теперь а и /3 определяются единственным образом. После определения гармонической функции <f>i(u, v, w), регулярной в слое Е и удовлетворяющей условиям (51), из системы
Pv - а
= d<pi ди
и=0
Ч- — 0
определяем функции двух переменных ai(v,w) и (3i(y,w). Подставив эти выражения в первые две формулы (49), найдем функции
xi(u, v, w) = —w + Xl(ui V- w)i
3/i(u, v,w) = v + V>i(u, v, w).
Выражения x\, 3/1, Zj примем за первое приближение к решению.
Подставим Xi и 3/1 в коэффициенты уравнения (40), а выражения Х1> тр!, ipi подставим в (50)
Для уравнения ДД^г) = 0> которое получается из (40), рассмотрим граничную задачу
<Р2|и=0,
д<Р2 ди
= |lG(u,w) - 1 - Qi(v,w)].
Эта задача всегда разрешима и ее решение единственно [6]. В формулах (47) в качестве х, ip и р возьмем Xi, V'l и V3! и положим
/"u д<р (s v w 1	fи
x2(u,v,w) =-w + a2(v,w) + / --------’—- ds + / P(ipi, <pi) ds,
Jo uw Jo
y2{u, v,w) = v + (32(v, w
d<p2(s,v,w) Ги
------------------- ds + Q(<pi, Xi) ds, dv-----------Jo
z2(u, v,w) — и + p2(u, V, w),
а функции a2 и (32 удовлетворяют уравнениям
(53)
д/32	да2	др2 / даг da^
dv	dw	du	n \ dv	dw dw	dv ) ’
u=°	\	/	(54)
9^2	d^2 _Q
dv dw
Функции x2, y2, z2 примем за второе приближение к решению задачи (39) для системы (9). Продолжим этот процесс неограниченно. Пусть построены функции хп(и, v, w) = —w + Xn(w, v, ^), Уп(и, v, w) = = v + ipn{u,v,w), zn(u,v,w) = и + ipn(u,v,w) и функции an(y,w), j3n(v,w). Подставим xn и un в коэффициенты уравнения (40). В результате получим уравнение
Ln(<Pn+i) — 0
для функции ipn+i, которое эллиптично. Граничные условия для этого уравнения имеют вид
<Рп+1 |и=0 — 0,
= W,w)-1-Qn(u,< du	2
Qn(w, v) -
Далее положим
Xn+i(u,v,w) =
=-w + an+1(v,w) + [ d,fin+^s’v’w^ ds + f P(ipn,ipn)ds, Jo &W	Jq
J/n+l(u,V,w) =
= v + fin+1(v, w) + [ dtPn+i(s,v,w) + Г Q^n Xn^ds^ JQ	UV	Jq
zn+i(u, v, w) = и + </?n+i(u,v, w),
причем функции an+i и /Зп+1 определяются из соотношений
д(Зп+1 _ дап+1 = д<рп+1 _ / dan д/Зп dv dw du u=0	\ dv dw
до^п+i d/3n+i ____q
dv dw
dan d/3n dw dv
Если последовательности xn, Уп и сходятся к некоторым функциям х(и, v, w), у(и, v, w), z(u, v, w), то нетрудно показать, что эти предельные функции являются решением задачи (39) для системы (9). Можно надеяться, что сходимость удастся доказать при помощи вариационного принципа теоремы 1а точно так же, как это делается в плоском случае. Однако в настоящее время это не сделано.
В области D(f) рассмотрим гармоническую функцию и(х,у, z) = = ах + uq(x, у, z), где а — постоянная, a uq — регулярная в D(f) гармоническая функция такая, что
uz|z=0, ^г = 0’ Г: {г = /(х,у)}.	(55)
Эта гармоническая функция определяет отображение области D(f) на слой 0 < w < 1, задаваемое соотношениями
u = u(x,y,z), v = v(x,y,z), w = w(x,y,z),	(56)
где u, v, w — решение системы (1). В этом случае не удается доказать, что градиент функции не обращается в нуль, поэтому и вопрос о гомеоморфности отображения (56) остается открытым. Для гармоничной функции и не удается установить и вариационные принципы, аналогичные утверждениям теоремы 1.
В силу граничных условий (55) имеем ш(х, у, f(x, у)) = 1, откуда находим
Wx f _ wy
I Jy — wz	wz
Таким образом, в тех точках, в которых fx = fy = 0, т. е. касательная к Г плоскость параллельна плоскости z = 0, имеем wx = wy = 0, а в силу равенства uxwx + uywy + uzwz = 0 в этих точках имеем uz = О, wz / 0. В этих точках находим
, 1 ,1 , 1
JXX — ^XXI fxy — ^xyt fyy —	'UJyy	\^)
Wz	Wz	Wz
Пусть w = и2 + и2 + uz, вычислим производную w по нормали к поверхности w = 1. Имеем
2 [wz (li-rlZ-p-p “Ь UyUXy “I- UzUZx) “1“ ^y(^x^xy “Ь ^y^yy “b ^z^zy) H-
4” ^^(^z^'zz “I” 'U'y'U'yz “b ’Uz^'zz)] =
= 2[ux(wxuxx + WyUXy + WZUZX) + Uy(wxUxy + WyUyy + wzuZy) +
+ Uz(wxUxz + WyUyZ + wzuzz)] =
= —2[ux(uxwxx + UyWXy + uzwxz) + Uy(uxWxy + UyWyy + UzWyz) +
+ uz(uxwxz + UyWyz + U2WZZ)].
В тех точках, в которых wx = 0, wy = 0, uz = 0, это выражение принимает вид
-2(wxxux + 2wxyuxUy + WyyUy).
Следовательно, в этих точках имеем
д	2
—I(u,v,w) = - |---Awxxu2x + 2wxyuxUy + WyyU2), (58)
On	|wz|	9
где I(u, v, w) = и2 +u2 +u2 — якобиан отображения (56), а производ-О
ная берется по направлению gradw, т. е. по направлению внешней относительно D(f) нормали Г. В силу того, что w < 1 в D(f), a w = 1 на Г, имеем wz 0 на Г, т. е. wz = |wz| на Г. Воспользовавшись (57), из(58) получаем
^^Z(u,u,w) = 2{fxxux + 2fXyUxUy + Ууу^у].	(59)
Если в точке (то,Уо) функция достигает максимума, то квадратичная форма х(Х) = fxxX2 + 2fxyAiA2 + fyyA2 отрицательно определена, а если в этой точке f(x.,y) достигает минимума, то форма х(А) положительно определена [8]. Следовательно, в точке минимума f(x, у) имеем
A/(u v,w) = ^-(«2 +Wy + ^z) >0, on	on *
т. e. функция ш = и2 +Uy + u2 возрастает в направлении внешней нормали Г, которое совпадает с направлением оси Oz. Если в точке (zq, уа) функция достигает максимума, то
^(UX +иу+ и1) < 0
в этой точке и w возрастает внутрь D(f'). Следовательно, в таких точках w не может достигать максимума.
Аналогично задаче (38) теперь ставится следующая задача, решение которой описывает течение жидкости со свободной границей: найти
область D(f): {0 < z < /(х,у)} и регулярную в этой области гармоническую функцию, удовлетворяющую условиям
dz т °п	(60)
9Z + 2 К1 “ Ul)2 + иу + uz] = С ПРИ 2 = А
где g — ускорение силы тяжести, а С — некоторая фиксированная постоянная. Вводя обозначение u(x,y, z) = х — и(х,у, г), условия (60) можно переформулировать так:
dU dz
= 0,
2=0
ди дп
= 0,
lim [[/(т, у, г) — х] — 0,
9z + ^x+U^ + U^]=C, 2	(61)
lim grad С = (1,0,0).
Задачу (60) можно рассматривать и как граничную задачу для системы (1), причем берется решение U, V, W системы, связанное с гармонической функцией U. Трудности при решении этой задачи возникают в связи с тем, что область, в которой ищется решение, неизвестна, как и в задаче (38). Поэтому задачу (61) переформулируем для системы (9). В области 0 < w < 1 найти решение системы (9), удовлетворяющее условиям
2и|ш_0 = °>	9?+	2 , \ ,—57 = С при w = 1,
2(z2+y2+a;2)	(62)
lim [х(и, v, w) — и] = 0. Ц-»ОО
Будем искать решения этой задачи, близкие к решению х = и, у = v, z = w, считая С близкой к g + Линеаризуем систему (9), полагая х = и + <р(и, v, ш), у = v + V>(u, *7 z = w + y(u, v, w). Имеем
'Фу Xw ~ ФуХм ФюХу) Фи T <Ру ~ Xv^W Xw^Uo
Хи Т <Pw = фуфш фюфу	(63)
Отбросив члены, содержащие произведения производных, получим линеаризованную систему
<Ри - фу ~ Xw = о, фи + <Ру= о, Хи + ч>™ = о. (64)
Аналогично из условий (62) находим
Xu|w=0=0, gX + Vu = Cl -П(и,17, 1),
lim >р(и, v, w) = 0, Ci = С — - — о,
~ k 7	2	(65)
1	1 00
Q(u,v,w) = ~(<р1 + Ф1+х1) + 2 52(2^ + (<Ри +Фи + Xu)]n-
Отбросив Щи, v, 1), получим линеаризованные граничные условия X“L=O = °’ (sx + ^u)L=i =<?1-
lim <p(u,v,w) = 0	'
U—*оо
для системы (64). Учитывая последнее условие (61), еще потребуем выполнение условий
lim i/j(u,v,w) = lim y(u, t>,w)=0.	(67)
и —>oo	u —»oo
Из уравнений (64) и соотношений (67) следует, что
<р = ши, i/} = u>v, х = шш, Aw = 0,	(68)
причем гармоническая функция w стремится к нулю при и —> оо. Из граничных условий (66) получаем
Wuw|w=0 = 0, (gww + Wuu)|w=1 = Ср	(69)
Линеаризованная задача здесь сложнее, чем аналогичная задача для задачи (38), так как (51) представляют собой граничные условия хорошо известной смешанной задачи для эллиптического уравнения, а (69) содержат вторые производные искомой функции. Нелинейную задачу (62) также можно пытаться решать при помощи итераций, однако здесь приходится иметь дело с более сложными уравнениями и граничными условиями, чем в случае задачи (38). Отсутствие же вариационного принципа М. А. Лаврентьева очень осложняет доказательство сходимости процесса последовательных приближений. К такому доказательству в настоящее время нет даже сколько-нибудь удовлетворительных подходов.
Список литературы
1.	Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1965.
2.	Лаврентьев М. А. Теория квазиконформных отображений // Тр. III Все-союзн. матем. съезда. Т. 3. — М., 1958. — С. 198.
3.	Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 136 с.
4.	Лаврентьев М. А. Квазиконформные отображения и краевые задачи // Совр. пробл. теор. аналит. функц. — М., 1966. — С. 179.
5.	Янушаускас А. И. Трехмерные аналоги конформных отображений. — Новосибирск: Наука СО, 1982. — 176 с.
6.	Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. — М.: ИЛ, 1961. — 256 с.
7.	Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: ИЛ, 1965.
8.	Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2. — М.: Физ-матгиз, 1960. — 464 с.