Text
                    Дмитрий Письменный
.онспект



лекции по высшей


«1
математике
W1


0\ yi-т
им
 Ъ icvvytpjerbl
••  '-' .	.... : ::
	• ;: .• У.:!. ,
?•	-	!Г.;- '•	Г
' •1- f  • . 	• :  л.И. .;d&
Тридцать шесть лекций
A
f<7 W\ tvO W.
^гъкдл.ч-^

VMVv
A^pftt/n+V^bO ЛИ^у^|оД/С1л^
Дмитрий Письменный
Конспект лекций по высшей математике
Тридцать шесть лекций
часть
Издание пятое
МОСКВА
АЙРИС ПРЕСС
2005
УДК 517+512(075.8)
ББК 22.1я73
П34
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться или распространяться в любой форме и любыми средствами, электронными или механическими, включая фотокопирование, звукозапись, любые запоминающие устройства и системы поиска информации, без письменного разрешения правообладателя.
Серийное оформление А. М.Драговой
Письменный, Д. Т.
П34 Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д. Т. Письменный. — 5-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2005. — 288 с.: ил.
ISBN 5-8112-1170-8 (Ч. 1)
ISBN 5-8112-1171-6
Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику.
Первая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики, которые обычно изучаются студентами на первом курсе вуза (техникума) — линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, комплексные числа, и основы математического анализа (функции, пределы, производная, определенный и неопределенный интеграл, функции нескольких переменных).
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
ББК 22.1я73
УДК 517+512(075.8)
ISBN 5-8112-1170-8 (Ч. 1)
ISBN 5-8112-1171-6	©Айрис-пресс, 2000, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................ 9
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§1.	Матрицы.............................................. 10
1.1.	Основные понятия................................. 10
1.2.	Действия над матрицами........................... 11
§ 2.	Определители......................................... 14
2.1.	Основные понятия................................. 14
2.2.	Свойства определителей........................... 15
§ 3.	Невырожденные матрицы................................ 18
3.1.	Основные понятия................................. 18
3.2.	Обратная матрица................................. 18
3.3.	Ранг матрицы..................................... 20
§ 4.	Системы линейных уравнений........................... 22
4.1.	Основные понятия................................. 22
4.2.	Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронеке-ра-Капелли............................................ 23
4.3.	Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера ................................................. 25
4.4.	Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.	26
4.5.	Системы линейных однородных уравнений............ 29
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 5.	Векторы.............................................. 31
5.1.	Основные понятия................................. 31
5.2.	Линейные операции над векторами.................. 32
5.3.	Проекция вектора на ось.......................... 33
5.4.	Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы........................ 35
5.5.	Действия над векторами, заданными проекциями..... 37
§ 6.	Скалярное произведение векторов и его свойства....... 38
6.1.	Определение скалярного произведения.............. 38
6.2.	Свойства скалярного произведения................. 38
6.3.	Выражение скалярного произведения через координаты...	39
6.4.	Некоторые приложения скалярного произведения.....	40
§ 7.	Векторное произведение векторов и его свойства....... 41
7.1.	Определение векторного произведения.............. 41
7.2.	Свойства векторного произведения................. 42
7.3.	Выражение векторного произведения через координаты ...	43
7.4.	Некоторые приложения векторного произведения..... 44
§ 8.	Смешанное произведение векторов...................... 45
3
8.1.	Определение смешанного произведения, его геометрический смысл........................................... 45
8.2.	Свойства смешанного произведения....................... 45
8.3.	Выражение смешанного произведения через	координаты ..	46
8.4.	Некоторые приложения смешанного	произведения........	47
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 9.	Система координат на плоскости............................. 48
9.1.	Основные понятия....................................... 48
9.2.	Основные приложения метода координат на плоскости ....	49
9.3.	Преобразование системы координат....................... 51
§ 10.	Линии на плоскости........................................ 53
10.1.	Основные понятия...................................... 53
10.2.	Уравнения прямой на плоскости......................... 56
10.3.	Прямая линия на плоскости. Основные задачи............ 61
§11.	Линии второго порядка на плоскости........................ 62
11.1.	Основные понятия...................................... 62
11.2.	Окружность............................................ 62
11.3.	Эллипс................................................ 64
11.4.	Гипербола............................................. 66
11.5.	Парабола.............................................. 70
11.6.	Общее уравнение линий второго порядка................. 72
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 12.	Уравнения поверхности и линии в пространстве.............. 76
12.1.	Основные понятия...................................... 76
12.2.	Уравнения плоскости в пространстве.................... 78
12.3.	Плоскость. Основные задачи............................ 81
12.4.	Уравнения прямой в пространстве....................... 82
12.5.	Прямая линия в пространстве. Основные задачи.......... 85
12.6.	Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи.	86
12.7.	Цилиндрические поверхности............................ 88
12.8.	Поверхности вращения. Конические поверхности.......... 89
12.9.	Канонические уравнения поверхностей второго порядка...	91
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 13.	Множества. Действительные числа........................... 97
13.1.	Основные понятия...................................... 97
13.2.	Числовые множества. Множество	действительных чисел ..	98
13.3.	Числовые промежутки. Окрестность	точки.............. 99
§ 14.	Функция.................................................. 100
14.1.	Понятие функции...................................... 100
14.2.	Числовые функции. График функции. Способы задания функций............................................. 101
4
14.3.	Основные характеристики функции.................. 102
14.4.	Обратная функция................................. 103
14.5.	Сложная функция.................................. 104
14.6.	Основные элементарные функции и их графики....... 104
§ 15.	Последовательности................................... 107
15.1.	Числовая последовательность...................... 107
15.2.	Предел числовой последовательности............... 108
15.3.	Предельный переход в неравенствах................ 109
15.4.	Предел монотонной ограниченной последовательности.
Число е. На дуральные логарифмы..................... ПО
§16.	Предел функции........................................ 112
16.1.	Предел функции в точке........................... 112
16.2.	Односторонние пределы............................ 113
16.3.	Предел функции при х -> оо....................... 114
16.4.	Бесконечно большая функция (б.б.ф.).............. 114
§17.	Бесконечно малые функции (б.м.ф.).................... 115
17.1.	Определения и основные теоремы................... 115
17.2.	Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией............................................... 118
17.3.	Основные теоремы о пределах...................... 119
17.4.	Признаки существования пределов.................. 121
17.5.	Первым замечательный предал...................... 123
17.6.	В горой замечательный предел..................... 124
§ 18.	Эквивалентные бесконечно малые функции............... 125
18.1.	Сравнение бесконечно малых функций............... 125
18.2.	Эквивалентные бесконечно мальм; и основные теоремы о них.................................................. 126
18.3.	Применение эквивалентных бесконечно малых функций... 127
§ 19.	Непрерывность функций................................ 130
19.1.	Непрерывность функции	в точке.................... 130
19.2.	Непрерывность функции в интервале и на отрезке... 132
19.3.	Точки разрыва функции и их классификация......... 132
19.4.	Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций............................. 134
19.5.	Свойс тва функций, непрерывных на отрезке.......  135
§ 20.	Производная функции.................................. 137
20.1.	Задачи, приводящие к понятию производной......... 137
20.2.	Определение производной; ее механический и геометричес-
кий смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой... 139
20.3.	Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции................................................ 141
20.4.	Производная суммы, разности, произведения и частного функций................................................ 142
20.5.	Производная сложной и обратной функций .......... 143
20.6.	Производные основных элементарных функций........ 145
20.7.	Гиперболические функции и их производные......... 149
20.8.	Таблица производных.............................. 151
§ 21.	Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций................................................. 152
21.1.	Неявно заданная функция....................... 152
21.2.	Функция, заданная параметрически.............. 153
§ 22.	Логарифмическое дифференцирование................. 154
§ 23.	Производные высших порядков....................... 155
23.1.	Производные высших порядков явно заданной функции ... 155
23.2.	Механический смысл производной второго порядка. 156
23.3.	Производные высших порядков неявно заданной функции. 156
23.4.	Производные высших порядков от функций, заданных параметрически ....................................... 156
§ 24.	Дифференциал функции.............................. 157
24.1.	Понятие дифференциала функции................. 157
24.2.	Геометрический смысл дифференциала функции.... 159
24.3.	Основные теоремы о дифференциалах............. 159
24.4.	Таблица дифференциалов........................ 160
24.5.	Применение дифференциала к приближенным вычислениям ................................................. 161
24.6.	Дифференциалы высших порядков................. 162
§ 25.	Исследование функций при помощи производных....... 164
25.1.	Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.. 164
25.2.	Правила Лопиталя.............................. 167
25.3.	Возрастание и убывание функций................ 171
25.4.	Максимум и минимум функций.................... 172
25.5.	Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.. 175
25.6.	Выпуклость графика функции. Точки перегиба.... 176
25.7.	Асимптоты графика функции..................... 178
25.8.	Общая схема исследования функции и построения графика ................................................. 180
§ 26.	Формула Тейлора................................... 181
26.1.	Формула Тейлора для многочлена................ 182
26.2.	Формула Тейлора для произвольной функции...... 183
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 27.	Понятие и представления комплексных чисел......... 186
27.1.	Основные понятия.............................. 186
27.2.	Геометрическое изображение комплексных чисел.. 186
27.3.	Формы записи комплексных чисел................ 187
§ 28.	Действия над комплексными числами................. 188
28.1.	Сложение комплексных чисел.................... 188
28.2.	Вычитание комплексных чисел................... 189
28.3.	Умножение комплексных чисел................... 189
28.4.	Деление комплексных чисел..................... 190
28.5.	Извлечение корней из комплексных чисел........ 191
6
Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 29.	Неопределенный интеграл............................. 193
29.1.	Понятие неопределенного интеграла............... 193
29.2.	Свойства неопределенного интеграла.............. 194
29.3.	Таблица основных неопределенных интегралов...... 196
§ 30.	Основные методы интегрирования...................... 198
30.1.	Метод непосредственного интегрирования.......... 198
30.2.	Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) ................................................. 200
30.3.	Метод интегрирования по частям.................. 202
§ 31.	Интегрирование рациональных функций................. 203
31.1.	Понятия о рациональных функциях................. 203
31.2.	Интегрирование простейших рациональных дробей.... 208
31.3.	Интегрирование рациональных дробей.............. 210
§ 32.	Интегрирование тригонометрических функций........... 212
32.1.	Универсальная тригонометрическая подстановка.... 212
32.2.	Интегралы типа sinm х • cos" х dx............... 213
32.3.	Использование тригонометрических преобразований.. 214
§ 33.	Интегрирование иррациональных функций............... 214
33.1.	Квадратичные иррациональности................... 214
33.2.	Дробно-линейная подстановка....................  216
33.3.	Тригонометрическая подстановка.................. 217
33.4.	Интегралы типа f R(x; у/ах2 + bx + с) dx........ 218
33.5.	Интегрирование дифференциального бинома......... 218
§ 34.	«Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы............... 219
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 35.	Определенный интеграл как предел интегральной суммы.. 221
§ 36.	Геометрический и физический смысл определенного интеграла 222
§ 37.	Формула Ньютона -Лейбница........................... 224
§38.	Основные свойства определенного интеграла........... 226
§ 39.	Вычисления определенного интеграла.................. 230
39.1.	Формула Ньютона-Лейбница........................ 230
39.2.	Интегрирование подстановкой (заменой переменной). 230
39.3.	Интегрирование по частям........................ 231
39.4.	Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.......................................... 233
§ 40.	Несобственные интегралы............................. 233
40.1.	Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)....................... 234
40.2.	Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл
II рода).......................................... 236
§41.	Геометрические и физические приложения определенного интеграла .................................................. 237
41.1.	Схемы применения определенного интеграла........ 237
7
41.2.	Вычисление площадей плоских фигур............. 239
41.3.	Вычисление длины дуги плоской кривой.......... 242
41.4.	Вычисление объема тела........................ 245
41.5.	Вычисление площади поверхности вращения....... 247
41.6.	Механические приложения определенного интеграла. 249
§ 42.	Приближенное вычисление определенного интеграла... 254
42.1.	Формула прямоугольников....................... 255
42.2.	Формула трапеций.............................. 255
42.3.	Формула парабол (Симпсона).................... 256
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 43.	Функции двух переменных........................... 260
43.1.	Основные понятия.............................. 260
43.2.	Предел функции................................ 261
43.3.	Непрерывность функции двух переменных......... 262
43.4.	Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области......................................... 263
§ 44.	Производные и дифференциалы функции нескольких переменных .................................................... 263
44.1.	Частные производные первого порядка и их геометриче-
ское истолкование............................... 263
44.2.	Частные производные высших порядков........... 265
44.3.	Дифференцируемость и полный дифференциал функции.. 266
44.4.	Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям......................................... 268
44.5.	Дифференциалы высших порядков................. 268
44.6.	Производная сложной функции. Полная производная. 269
44.7.	Инвариантность формы полного дифференциала.... 271
44.8.	Дифференцирование неявной функции............. 271
§ 45.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности..... 272
§ 46.	Экстремум функции двух переменных................. 274
46.1.	Основные понятия.............................. 274
46.2.	Необходимые и достаточные условия экстремума.. 275
46.3.	Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области............................................. 277
Справочные материалы.................................... 279
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студентов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Оно представляет собой конспект лекций в 2 частях. Первая часть адресована, в основном, первокурсникам. Набор освещаемых вопросов хорошо виден из оглавления.
Данный конспект содержит необходимый материал по девяти разделам курса высшей математики. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Пособие может быть использовано студентами также для самостоятельного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к семестровым экзаменам по высшей математике на 1-м курсе.
Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропущены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учебникам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах или много фактического материала, который следует изучить за ограниченное количество недель, дней.
Автор надеется, что данное пособие будет способствовать более глубокому изучению студентами курса высшей математики.
Список обозначений:
О ® — начало и конец решения примера или задачи;
[J 1 — начало и конец доказательства;
—	важные определения
—	«обратите особое внимание!»
В рамку заключены формулы, которые важно помнить.
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕИНОИ АЛГЕБРЫ
Лекции 1-3
§1. МАТРИЦЫ
1.1.	Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде
/ ац	а12	...	а1п	\
«21	«22	•••	а2п
\ «ml	«m2	•  •	«тм	/
или, сокращенно, А — (atj), где i = 1,т (т. е. i = 1,2,3, ...,т) — номер строки, j = 1, п (т. е. j = 1, 2,3,..., п) — номер столбца.
Матрицу А называют матрицей размера т х п и пишут Ат х„. Числа а.:. составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.
А = В, если Цу = btj, где i = l,m, j = l,n.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей п-го порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример 1.1.
/10 0
Кзхз =010
\ 0 0 1
— единичная матрица 3-го порядка.
— единичная матрица п-го порядка.
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
10
a
a
a
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид
/о о ... О \
о о ... о
\ о о ... О /
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:
В = (&! Ъ-2 ... &„).
Матрица размера 1x1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. (5)i хi есть 5.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ.
Так, если А = Q , то Ат — Q 4) ’ если А =	’ 10 АТ =
Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (Ат)т = А.
1.2.	Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Суммой двух матриц Атхп = (ау) и ВтХ11 = (b/j) называется матрица Стхп = (су) такая, что Су — aij + bjj (z = l,m, j = l,n).
Пример 1.2.
2 -3 0 \ / 3 3 —1 \
4	5 6 J + \ —2 -5 4 J
5 0 -1 \
2 0 10 J '
Аналогично определяется разность матриц.
Умножение на число
Произведением матрицы Атхп = (а^) на число к называется матрица Втхп = (bij) такая, что bij = к  a,j (г = l,m, j = 1,п).
Пример 1.3.
„	( 0 -1 2 \ п ,	/0-24
А ~ ( 3	4 5 ) ’ к ~2, А'к ~ ( 6	8 10
11
Матрица —А — ( — 1) • А называется противоположной матрице .4.
Разность матриц А — В можно определить так: Л - В = Л + (—В).
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1.	А + В = В + А;
2.	А + (В + С) = (Л + В)+С;
3.	Л + О = Л;
4.	А - А = О;
5.	1 • Л = Л:
6.	о  (Л + В)	о Л + аВ\
7.	(о + А)  Л = оЛ Д ЗЛ:
8.	о  (ЛЛ) = (oJ)  Л.
где А, В, С — матрицы, о и ,3 числа.
Элементарные преобразования матриц
Элементарными преобразованиями .матриц являются:
•	перестановка местами двух параллельных радон матрицы;
•	умножение всех элементов ряда ма трицы на число, отличное oi нуля:
•	прибавление ко всем элемеша.м ряда матрицы соот вет ст вующнх элементов параллельного ряда, умноженных на <vi.no и то же число.
>
Две матрицы Л и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразовании. Записывается А ~ В.
При помощи элементарных преобразований любую мшрицу можно привести к матрице, у которой is начало главной! диагонали стоят подряд, несколько единиц, а все остальные элементы раины нулю. Такую .матрицу называют канонической, например
/1 0 0 ()\
0 10 0
О 0 1 (J '
\0 О о о/
Пример 1.4. Привести к каноническому виду матрицу
/2 3
Л = 0 2
\4 0
1 2\
-1 11.
5 У
12
Q Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем — 2___________________________________________
/2	3	2\	“5/ 1	3	2	2\	/Г3 3	2	2\
О	2	-1	1	~ 1-1	2	0	1	~	0	5	2	3	~
\4	О	5	1/	— \ 5	0	4	1/	\0 -15	-6	-9/
/1	О	О	ОХ	/1	О	О	ОХ
~ I О	5	2	3------j 0	1	1	1	~
\О	-15	-6	-9/	1\О	-3	-3	-3/
: 5	: 2	: 3
/1	О	О	ОХ	/1	О	О	ОА
~ j О	1	1	1 ~	О	1	о	о
\О	О	О	О/	\О	О	О	О;
-if
Произведение матриц
©
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы Атхп = (а^) на матрицу Впхр = (bjk) называется матрица Стхр = (с^) такая, что
Cik = ад • bxk + ai2-b2k +-Ь ainbnk, где г - 1,т, к = 1,р,
т. е. элемент г-й строки и к-ro столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов г-й строки матрицы А на соответствующие элементы к-ro столбца матрицы В.
Получение элемента сд схематично изображается так:
Если матрицы Ли В квадратные одного размера, то произведения АВ и В А всегда существуют. Легко показать, что А • Е = Е • А = А, где А — квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.

Пример 1.5. [ 11 012
\«21	«22
/ вц5ц + O12&21 + Я13&31 \О215ц + «22^21 + «23^31
\	/5ц 5i2A
^13 ) X I &21	522 |	=
23/2x3	\Ьз1 532/ Зх2
«11512 + 012^22 + «А+гА
«21512 + O22&22 + «2з5з2/2х2
1 3\
2 )  Тогда произведение А • В не

Пример 1.6. А =
определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение В х А, которое 1 *
считают следующим образом:
1	ЗА	/1	2 1Х _ /14- 9 2 + 3 1 + ОА /10 5	1А
1	2у	уЗ	1 0j~\J + 6 2 + 2 1 + oJ - ^7 4	1J	’
13
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = В А. Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1.	А- (В- С) = (Л -В) - С;
2.	А-(В + С) = АВ + АС;
3.	(А + В)  С = АС + ВС;
4.	а(АВ) = (аА)В,
если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства:
1.	(А + В)Т = Ат + Вт;
2.	(АВ)Т = Вт  Ат.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.1.	Основные понятия
Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det А (или |А|, или Д), называемое ее определителем, следующим образом:
1.	п = 1. A = (ai); det4 = ai.
2. п = 2. А=( 011 °12 ); det А = \ «21	«22 )
(«11	«12	«1з\
«21	«22	«23 I	;
«31	«32	а'Л'Л/
«11
«21
«12
«22
— «11
«22 ~ «12 ' «21 •
det А =
«11	«12	«13
«21	«22	«23
«31	«32	«33
— «11 «22«33 d~ «12«23 «31 d~ «21 «32«13 — «31 «22«13 — «21 «12 «33 — «32«23«11 
Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (с. 17, свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
Пример 2.1. Найти определители матриц
/2 — 3\	( cos a sin а
- с и
\ 5	6)	\ — sm а cos а
14
Q Решение:
2
5
-3
6
= 2  6 - 5 • (-3) = 12 - (-15) = 27;
cos a sin a
— sin a cos a
= cos2 a + sin2 a = 1.
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно запи-
сать так:
(основания равнобедренных треугольников параллельны главной диагонали)
(основания треугольников параллельны побочной диагонали)
Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы
	5	— 2	1
А =	3	1	—4
	6	0	-3
Q Решение:
det А =
= 5  1  (—3) + ( —2)  (—4) • 6 + 3  0  1 — 6 • 1  1 — 3  (—2) • (—3) — 0  (—4)  5 =
= —15 + 48 — 6 — 18 = 48— 39 = 9.	•
2.2.	Свойства определителей
Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним па определителях 3-го порядка.
Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
Иными словами,
«11	«12
«21	«22
«11	«21
«12	«22
«и	«12	«13
«21	«22	«23
«31	«32	«33
«11	«21	«31
«12	«2'2	«32
«13	«23	«33
В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.
Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
15

Свойство С Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
Действительно,
«11	«12	«13		«и	«12	«13	
А:  «и	к  «1-2	к  а13	= к-	«11	«12	«13	= к  0 = 0
«31	(132	«33		«31	«32	«33	
Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может бы гь разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Например,
а || (112
«21	«22
«:и изд
Uns + Ъ (123 + < «зз + d
«и «21 «31
«12
«22
«32
О I 2 д
«22 С
«32 d
Свойство 6 («Элементарные преобразования определи геля»). Определитель не изменится, если к элементам одною ряда прибавить соответствующие элемен ты параллельного ряда, умноженные па любое число.
Пример 2.3. Доказан., что
	«п	«12	«13		«11	«12		к к	«12
Д =	«21	«22	«23		«2 1	«22	к-)-	-г к	«22
	«31	«32	«33		«31	«32	им	+ А'	«3.2
(^Решение: Действительно, используя свойства 5. 1 и 3. получим
«1 1	«12	«13	+	к		«12
«21	«22	«23	+	к		«22	=
«31	«32	«зз	+	к		а3>
«Ц	«12	«13		«п	«12	в 1 2		
«21	«22	«23	+ А--	«21	«22	«22	= А г А-  0 = А.	•
«31	«32	«33		«31	«32	<132		
определителей связаны с ноня i иями минора п
Дальнейшие свойства
алгебраического дополнения.
Минором некоторого элемент а «д определи геля н-ю порядка назы-
вается определитель п — l-ro порядка, полученный in исходного путем
вычеркивания строки и столбца, па пересечении бранный элемент. Обозначается пцр
коюрых находится вы-
Так, если Д =
«11
«'21
«31
«12	«13
«22	«23
«32	«3.3
ТО 1«11 =
«22
«32
«23	«И
. '«32 =
«2.3	«21
«13
«23
>
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», ее. ш сумма z + j четное
16
число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается Ду: Ло = (-l)i+j' • m,j.
Так. Дп =+mn, Д32 =-m32.
Свойство 1 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что
	«и	«12	«13	
А =	«21	«22	«23	— «11'411 + «12  Д12 + «13  -413
	«31	«32	«33	
[_} В самом деле, имеем
«11 Ли + И12  Л12 + «гз  Лщ —
— «11
«22
ПЛ2 «33
+ «12
«21	«23
<131	<133
+ «13
«21	«22
«31	«32
— «1 I («22«33 ~ «23«3г) — «1г(«21 «33 — «23«31) + «1з(«21«32 ~ «22«31) —
— «11«22«33 — «11«23«32 — «12«21«33 + «12«23«31 +
+ «13«21«32 ~ «13«22«31 = А. 
Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.
Пример 2-4- Вычислите определитель матрицы /	3	5	7	8\
-1	7	0	1
0	5	3	2'
\	1	-1	7	4/
Q Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где
есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны пулю.
.3	5	7	8	
-1	7	0	1	
0	5	3	2	—
1		7	4	
	7	0	1	
= 3-	5	3	2	+ 1
	-1	7	4	
5	7 8		5
5	3 2	+ 0-	7
-17 4		-1
7
0
7
8	5
1 -1- 7
4	5
7 8
0 1
3 2
= 3 • (7  3 • 4 + (-1) • 0 • 2 + 5 • 7  1 - (-1) • 3  1 - 7  7 • 2 - 5  0 • 4)+
+ (5-3-4 +(-1)  7-2 + 5-7-8-(-1)-3-8-5-7-4-5-7-2)-
-(5 () -2 + 7-1-5 + 7- 3- 8 — 5-0-8-3-1-5-7-7- 2) = 122.	•
Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Так, например, ацД21 +«12-422 + «13Л23 - 0.
17
и найдем произведение матриц Л и А*:
А  Л
а 12 (12'2 а .32
-421
-422
А-2'J
-431
Л32
•4зз
/ ajjAn + 012-412 + «13-413
I (121 -411 + «22-412 + 0-23-413 \«31-4ц +«32-412 +«33-413 /det .4 О О
=	0 det-Л О
\ О 0 det .1
011 -4з1 + 012-4:12 + «13-4зз\ «21-4з1 + «22-4:12 + «23-4зз 1 = аз1-4з1 + «з2-4з2 + азз-4зз/
/1 0 °\
= det Л • I О 1 О I = det Л  Е, \0 0 1 /
Л  Л* = det -4  Е.
(3.2)
Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. и. 2.2). Аналогично убеждаемся, что
Л*  Л = det Л  Е.	(3.3)
Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде
Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем
	1	/Л и	-421	-4.31 \
Л-1		Лг>	А>->	Л .
	det А	\-4i3	Л-23	-4зз )
Отметим свойства обратной'матрицы:
1.	det (Л- ‘) = -Д-р '	' det Л
2.	(Л-В)’1 = В'1 - Л'1;
3.	(Л-‘)7'= (Л7’)-1.
/ 2
Пример 3.1. Найти Л-1, если Л = I
3 I
1/’
Q Решение: 1) Находим det Л: det Л =
= 2 + 3 = 5/ 0.
2) Находим Л*: Лц
— 1, Л21 -- —3, Л12 —
-(-1) = 1, -42
= 2, поэтому
3) Находим Л С Л ‘
Проверка:
19
S)
Пример 3.2. Определить, при каких значениях А существует матрица, обратная данной:	.	2 2\
А= I А	3	О'! .
\2	1	1/
Q Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А:
1 —2 2
Если 4А — 9 / 0, т. е. А / то ДА / 0, т. е. матрица А невырожденная, имеет обратную.	•
Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В, если
/1
А = 1
\1
1 Л
2 3 ,
3 6/
/ 3	-3	1	\
В = -3 5	—2	.
\ 1	—2	1	/
Q Решение: Найдем произведение матриц А и В:
/1	1	1\	/ 3	-3	1	\
А В =	1	2	3	-3	5	—2 1	=
\1	3	6/	\ 1	—2	1	/
/3-3 + 1	-3 + 5-2	1-2 +1\
=13—6+3 -3 + 10-6 1-4 + 3
\3 - 9 + 6 -3 + 15-12 1-6 + 6/
'1 0 0\
0 10 =.Е.
0 0 1/
Аналогично В  А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для В.	•
3.3. Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размера т х п.
	/ «и	«12	«13	Cf-ln ’
	«21	«22	«23	«2п
А =	«31	«32	«33	&‘3п
	Q-ml	&т'2	^т‘3	• &mnj
Выделим в ней к строк и к столбцов [к min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим опреде-
литель к-го порядка. Все такие определители называются минорами этой
матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим,
что таких миноров можно составить	штук, где =
число сочетаний из п элементов по к.)
п! kl(n - к)!
20
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается г, г(А) или rang Л.
Очевидно, что 0 г min(w:n), где min(m:n) — меньшее из чисел т и 11.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Пример 3.^. Найти ранг матрицы:
/2 О
.4= 3 О
\1 О
4 0\
6 О I .
-3 о/
О Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.
3 6
1 -3
= —15 0. Значит, г(А) = 2. Базисный
Отметим свойства ранга матрицы:
1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не. изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 12).
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.
Пример 3.5. Найти ранг матрицы
/23	1	2\
А =	0 2	-1	1	,
\4 О	5	1/
используя результаты примера 1.4.
О Решение: В примере 1.4 показано, что
то есть
/1	о	о	0\
.4	~	О	1	О	0	,
\0	О	О	О/
4	f1	О	О	°Л
до	1	о	о;'
Таким образом, ранг матрицы А равен г(А) = 2.
21
§4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
4.1. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т уравнений и п неизвестных, называется система вида
ЙЦ#! + 012^2 + ’ ’ ’ + fl] п%п — Ь}, 0'21X1 + 022X2 + ' ' ' + а2пХп = Ъ-2,
Oml^l + От2Х'2 + ' ' ' + ОтпХп — Ьт,

где числа a,j, i — 1,т, j = Т.п называются коэффициентами системы, числа bi — свободными членами. Подлежат нахождению числа хп.
Такую систему удобно записывать в компактной матричной, форме
^Х = В.
Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
А =
012
0'2'2
 П
Х2
В =
Ь2
\flml ат2
— вектор-столбец из неизвестных Xj
вектор-столбец из свободных членов
Произведение матриц А • X определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице X (п штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных
( «11 Й21
членов
А =
012 • • • а-22   
Й1 ц 0'2„
Ь-2
От2 - -
(1)ПП
. Решением системы называется п значений неизвестных Xi = а, х-2 — с2, ..., хп — с,,, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать
в виде матрицы-столбца С =
22
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной. если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным, решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением..
Решить систему — - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны. если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
«Ц.Г| +«12^2 -I--+ (i|71.r„ =0.
I “Ь Ozn2'C2 “Ь ' ' * Ч	— ().
Однородная система всегда совместна, так как ад = х> — ••=:	= 0
является решением системы. Эго решение называется нулевым или тривиальным.
4.2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
Пусть дана произвольная система in линейных уравнений с п неизвестными
1а 11 J- 1 Ч- а12-Г2 Ч- ' •' + и 1 (I J'n = bi.
«21 Ji Ч- а-22Х-2 -I-4- а-’пХ,, = 62,
. a hi । т 1 Ч- a	2 Ч- * * * Ч~ «(77 77 а ,, b/rt.
Исчерпывающий ответ па вопрос о совместности этой системы даст теорема Кронекера Капел.ли.
I
Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и толь-
। ко тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Примем ее без доказательства.
Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.
2.3
Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Правило решения произвольной системы линейных уравнений
1.	Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если г(А) ф г( А), то система несовместна.
2.	Если г(А) = г( А ) = г, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка г (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять г уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные п — г неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
3.	Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
4.	Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.
|^|	Пример 4 1. Исследовать на совместность систему
I х + у - 1,
] З.г + Зу = —2.
Таким образом, г(А) =/ г( А), следовательно, система несовместна.
Пример 4.2. Решить систему
Xj - 2х2 + жз + Ж4 = 1.
ОД — 2x2 + Тз ~ Хц = — 1.
XI — 2X2 + Жз + 3^4 = 3.
24
1
1
„1
-1
Q Решение: г(А) = г( А) = 2. Берем два первых уравнения: (Хт — 2х2 4- х3 4- Х4 = 1, 1 xi — 2х2 4-.хз — Х4 = —1.
= —2 # О,
Д =
Х3 + Х4 = 1 - X! 4- 2х2, х3 — Х4 = — 1 — xi 4- 2х2.
Ai =
- Xi 4- 2х2	1
-1 - Xi 4- 2х2 -1
= 2xi — 4^2,
Д2 =
1	1 - xi 4- 2х2
1 -1-Х14-2х2
= —2.
Xi = 1 — общее решение. Положив, на-
Следовательно, х3 = -Xi 4- 2х2, пример, xi = 0, х2 = 0, получаем одно из частных решений: xi = 0, х2 = О, х3 = О, Х4 - 1.	•
4.3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными (С1цХ1 4" ai2x2 4- • • • 4- (iinXn = bi, I a21Xi 4- a22x2 4- • • • 4- a2nxn = b2,
,пП1Х1 4~ ап2х2 4*  *  4~ cinnXn — Ьп или в матричной форме А • X = В.
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
ап
ain
Cljll . . • П/7П называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае А 0.
Умножив обе части уравнения А • Лг = В слева на матрицу А~1, получим А1 - А • X = А-1 • В. Поскольку А-1 • А = Е и Е • А = X, то
X = А1  В.
(4.1)
Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.
Матричное равенство (4.1) запишем в виде
Х2
/Ац A2i ...	А„1
А12 А22 ... Ап2
/ьл
ь2
А =
_ £
“ А
1
\Ain A2n    Ann J
то есть
/хЛ
Х2
Ai2bt + А22Ь2 4-  •  4- Ап2Ьп
А
Ainbi + A2nb2 4- • •  4- А пп^п
А
25
Отсюда следует, что
7. _ -hi^i + -421 ^2 4- ' • ~ + A„ibn
И -	д
-4],ifei + Л-2П1)2 4- — • 4- АппЬп Л
Но -4И6| -у Л-д Ь-2 4-  - 4- Anibn есть разложение определителя
Д1
bl	«12	•	•	n
b2	«99	.	•	^2n
bn	«9'2	•	Cl 7П7
по элементам первого столбца. Определитель Ai получается из определи-
теля А путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
ы	А,
Итак. ,z'i = -g.
Аналогично: ,г > = -д1, где Д2 получен из Д путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; .г:! = Д3, ...
_ д„	Д
• • • , -Г,: - Д 
Формулы
(4.2)
а
я
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система п .линейных уравнений с п неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) .либо но формулам Крамера (4.2).
Пример 4-д. Решить сис тему <
•П 4- З.т2 = 7.
2 0
1 7
Q Решение:
3 —7^0, Д1 —
0 -1
7 3
Д2 =
= 14. Значит,
| = 1. -Г-2 =	= 2.
(	I
4.4.	Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
'a, i;r, + «12Т9 4-4- ai„x„ = bt,
ты, J'j 4- a-22-1-2 -I-4- a-2tp.i'n = b-2,
.«9112'1 4“«/92Л9 4“ ' ' ' 4-«|П|12.’,1 — bm.
26
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
'anxi 4- а12х2 4---1- а1кхк 4-I- а1пхп =
а22х2 4-    4- а2кхк 4-    4- а2пхп = Ь2,
.	акк^к 4“ ’ ' ‘ 4“ aknXv —
где к С п, ап 0, г = 1, Аг. Коэффициенты ап называются главными элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
Опишем метод Гаусса подробнее.
Прям.ой ход.
Будем считать, что элемент 8ц / 0 (если ап = О, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х^ отличен от нуля).
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное ад во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на — ^21. и сложим по-«п
члепно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на — и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая «п
этот процесс, получим эквивалентную систему
ац.74 4- «12^2 4- • •  4- а1пхп = Ъу, 0^X2 4------------4 а^хп = Ь^\
Здесь б'11 (i.j = 2,m) новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом 0, исключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 — 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0 = bi, a bi ф 0, то это свидетельствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное хк через остальные неизвестные (ад+ь... ,хп). Затем подставляем значение' хк в предпоследнее уравнение системы и выражаем хк_! через (xk+i,..., х„); затем находим хк-2,. • •, Х}. Придавая свободным неизвестным (хк+г,..., хп) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
27
Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k — п, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим хп, из предпоследнего уравнения xn~i, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (х„-2- •   ,xi).
2.	На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент 8ц был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на «ц 1).
Пример 4-4- Решить систему методом Гаусса: ’2xi — х2 + Зх3 — 6x4 = 1, < ад - х2 - 5хз = 2, Зад — 2х2 — 2х3 — 5x4 = 3, ч7х, — 5^2 — 9х3 — 10x4 = 8.
Q Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы
л	-1 3	-5	Л		/1	-1	—5	0	2\
1	-1 -5	0	2		2	-1	3	-5 1
3	—2 -2	-5	3		3	-2	—2	-5 3
V	-5 -9	-10	8?	V		— 5	-9	-10 SJ
	л	-1	-5	0	2	/1		-1	— 5	0	2 \
	0	1	13 -5	-3		0	1	13	-5	-3
	0	1	13	-5	-3		0	0	0	0	0
	V	2	26 -10	-6;		V’	0	0	0	0/
исходная система свелась к ступени					агой					
ад — х'2 - 5х3	= 2,
Х'2 + 13хз — 5X4 = 3.
Поэтому общее решение системы: х2 = 5х3 — 13х3 - 3: х, = 5а: i - 8х:> — 1. Если положить, например, х3 = О, Х4 — 0, то найдем одно из частных решений этой системы х, = -1, х2 — —3, х3 = 0, х.} = О.	•
Пример 4-5- Решить систему методом Гаусса:
ад + х2 + х3 = 3, 2xi -р 3x9 -р 2хз = 7, Зхj -Р Х‘2 -Р а:3 — о, фХ] - То - х2 = 3.
Q Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:
/11 1 3\		/11	1	3 \	/1 1 1 з\			/1 1 1 3\
2 3 2 7		0 10	1		0 10 1		0 10 1
3 115		0 —2 -2 —4		0 112		0 0 11
\5 -1 -1 3/		ф) -6 -6 -12J		\0 1 1 2J		0 0 о/
28
Полученная матрица соответствует системе
Х1 + Х2 + Хз = 3,
<	Х'2	=1,
Хз = 1.
Осуществляя обратный ход, находим ад = 1, а?2 = 1, a?i = 1.
4.5.	Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений ац2Г1 + <212^2 + • •  + а\пхп — О, 021^1 + Й222д + •  ' + <1'2.пХп — О,
flmHl Ч~(Лт2Х‘2 + +<1тпХп ~ 0.
Очевидно, что однородная система всегда совместна (г(Л) = г(А)), она имеет нулевое (тривиальное) решение ,Г| = х2 = • • • — хп = 0.
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?
Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г ее основной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. г < п.
Q| Необходимость.
Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, г п. Пусть г = п. Тогда один из миноров размера п х п отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: Х{ =	= 0, Д; = 0, Д у? 0. Значит, других, кро-
ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то г < п.
Достаточность.
Пусть г < п. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения.	М
Пусть дана однородная система п линейных уравнений с п неизвестными	X
вц!1 -р Ц12-Т2 +  '  + Uir>Xn — 0,
ап1Хг Т ап2Х2 Т ' • • -р аппХп — 0.
Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Д был равен нулю, т. е. Д = 0.
29
Q Если система имеет ненулевые решения, то Д = 0. Ибо при Д ф 0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же Д = 0, то ранг г основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. г < п. II, значит, система имеет бесконечное .множество (ненулевых) решений.
Пример 4-6- Решить систему
.Г1 - 2.Т-2 + 4.т3 = 0.
2j'i — З.г-2 + а.Кз = 0.
/1 -_9 4\	/
Q Решение: .4=1,	. г( А) = 2 ( Д =
\" — О О /	\
= 1 / о , п = 3.
Так как г < и, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем
их
Д|
-2
-3
= 2.Г.;. Д-2 =
.ri - 2.г-2 = — 4тз,
2.г । - Зт
1
2
—4т.з
= Зт?,. Стало быть, .п =
оощее решение.
Д
2,г:
Положив .г-> = 0, получаем одно частное решение: .cj = 0, .т2 = = 0. Положив .г:( = 1, получаем второе частное решение: тд — 2, ;с2 = 3, = 1 и г. л.	•
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Лекции 4-6
§5. ВЕКТОРЫ
5.1.	Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
Вектор — что направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор В А (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный вектору а, обозначается —а.
Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через ё. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а и обозначается й°.
Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают а || Ь.
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора а и b называются равными (о = 6), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому се- -------&-----•-
бе, а начало вектора помещать в любую точку О &	-
пространства.
На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник.
Справедливо равенство b — d, но а с. Векторы а	рис ।
и с — противоположные, а = —с.
Равные векторы называют также свободными.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
31
5.2.	Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть а и Ь — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор О А — а. От точки А отложим вектор АВ = Ь. Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и b: OB = а + Ь (см. рис. 2).
Это правило сложения векторов называют про,аилом, гпреуголъника.
Сумму двух векторов можно построить также ио правилу параллелограмма (см. рис. 3).
На рисунке 4 показано сложение грех век торов и, b и с.
Рис. 4.
Под разностью векторов а и Ь понимается вектор с = а — Ь такой, что b + с = а (см. рис. 5).
Рис. 5.
Отметим, что в параллелограмме, построенном па векторах а и Ь, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Ъ. а другая -- разностью (см. рис. 6).
32

Рис. 6.
Можно вычитать векторы по правилу: а-Ь = а + ( — Ь). т. е. вычитание век горой заменить сложением вектора а с вектором, противоположным вектору Ь.
Произведением вектора а на скаляр (число) X называется вектор А  а (или а- А), который имеет длину |А|  |ё|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора <7, если А > 0 и противоположное направление, если А < 0. Например, если дан вектор —то векторы 3(7 и — 2а будут иметь вид  . % а .—_ и -  
Из определения произведения вектора на число следуют свойства зто-।о произведения:
1)	если b = Х-а. то b || а. Наоборот, если Ь || а. (а 0). то при некотором А верно равеиство 6 = Ха:
2)	всегда (7 = |ё|  «*’, г. е. каждый вектор равен произведению его модуля на opi.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1.	а + Ъ — 1> + а.
2.	(а + (>) + с = а + (Ь + с).
3.	А,  (Ат  а) — А,  X) • с,
3.	(А| + А'2)  (т — Aj • а + А*2  с,
5. А  ((7 + h) — X  а + X  Ь.
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так. как что летается в обычной а. небре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за. (кобки как скалярные, гак и векторные общие множа i ели.
5.3.	Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось /. г. е. направленная прямая.
Проекцией точки XI на ось I называется основание А/i перпендикуляра XIХЦ. опущенного из точки на ось.
Точка XI-i есть точка пересечения оси I с плоскостью, проходящей через точку XI перпендикулярно оси (см. рис. 7).
2-418
Если точка А/ лежит на оси /. то проекция точки М на ось совпадает
с М.
Пусть АВ — произвольный вектор (АВ 0). Обозначим через А] и В] проекции на ось I соответственно начала А и конца В вектора АВ и
рассмотрим вектор А, В,.
Проекцией вектора АВ на ось I называется положительное число IAjB, |, если вектор и ось I одинаково направлены и отрицательное число — |A1Bt|, если вектор А, В, и ось I противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки Ai и Bi совпадают (А, В? = 0), то проекция вектора АВ равна 0.
Проекция вектора АВ на ось I обозначается так: пр, АВ. Если АВ = 0 или АВ ± I, то пр, АВ = 0.
Угол р между вектором а и осью 1 (или
угол между 0 р 7Г.
двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Свойство 1. Проекция вектора а на ось I равна произведению модуля вектора а на косинус угла р между вектором и осью, т. е. пр, а = |й| - cosy?.
Q Если р = (а, Г) < то пр, « = +|«, | = = |«| • cos р.
Если (р^т), то нр, й= —|«i| =
= —|г7|-003(7? — р) = |(7|-cosy> (см. рис. 10).
Если р = ту, то нр, <7 = 0 = |c|cosy7.
Рис. 10.
Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.
Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
34
Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
Q Пусть, например, d = а + Ь + с. Имеем пр, d — + |di | = +|at | + |6i | - |ci |, т. е. пр,(я + Ъ + с) = пр, а + пр, b + пр, с (см. рис. 11).	
Свойство 3. При умножении вектора а на число Л его проекция на ось также умножается на это число, т. е.
пр, (Л • а) = Л • пр, а.
□ При Л > 0 имеем пр,(Л-а) — |Ла|-cos^ = (свойство 1)
= А • |а| • cos = Л • пр, а.
При А < 0: пр, (А -а) = |Аа| • cos(tt — ip) = = —А • |й| • (— cos !р) = А • а • cos = А • пр, а. Свойство справедливо, очевидно, и при А = 0.
Таким образом, линейные операции над
векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
5.4.	Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Ox.yz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты),
обозначаемые i, j, к соответственно (см. рис. 12).
Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а = ОМ.
Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через Mi, М-2 и Л/-.?. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из
диагоналей которого является вектор Ohl. Тогда npj. а = |OAfi|, пр„ a =
- IO.W2I, пр. а =	По определению суммы нескольких векторов
находим а = ОМ\ + AIjN + NM.
А так как ЛДД1' = ОМ-2, NM = О М3, то
о = О Mi + ОМ-, + ОМз.
(5-1)
35
2*
>
а = ах • i + ау  j + az • k.
Но __________ _______ .	___ _______ _	___ _______
OMi = \OMi\-г, OM2 = \OM2\-j, OM3 = \OMs\-k. (5.2)
Обозначим проекции вектора а — ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через ах, ау и az, т. е. |OAfi| = ах, |<ЭЛ/2| = ау, |CW3| = а-. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем
(5-3)
Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, ау, az называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: а — (ах, ау, zz).
Равенство b — (bx;by-,bz) означает, что b = Ьх • г + Ьу • j + bz  k.
Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать |ОТ/|2 = |ОЛД|2 + |ОЛ/2|2 + |ОЛ/3|2, т- е.
|й|" = ах + ау + a2z-	(5-4)
т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.
Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны о, /?, 7. По свойству проекции вектора на ось, имеем
ах = |а| • cosct, ау = |а| • cos/?, а- — |а|  COS7.	(5.5)
Или, что то же самое,
&Х	Q	&Z
cos а = —, cosp =	, cos 7 = —.
|а|	|а|	|а|
Числа cos a, cos/3, cos 7 называются направляющими косинусами вектора
а.
Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем
|а|2 = |а|2 • cos2 о + |п|2  cos2 3 + |я|2 • cos2 7.
Сократив на |а|2	0, получим соотношение
cos2 о + cos2 3 + cos2 7=1,
г. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Легко заметить, что координатами единичного вектора ё являются чи-' ела cos a, cos/?, cos 7, т. е. ё = (cos а; cos/?; cos 7).
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.
36
5.5.	Действия над векторами, заданными проекциями
Пусть векторы а = (a.r:av;az) и b = (bj.;by:bz) заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу. Oz или. что то же самое
а = ах  i + ау  j + oz  к. b = bx  i 4- by  j 4- bz  k.
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями зтих векторов, то можно записать:
1. а ± b = (ах ± b,e)i + (,ау ± by)j 4- (а- ± bz)k, или кратко а ± b — = (я.,. ± а у ± Ьу \ «- ± bz). То есть при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитают,ся).
2. Ха = Ха г  i + А«;/ • j + Xaz  к или короче Ха = (Xa.r; Хаи; Xaz). То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на .тот скаляр.
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передни! ать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: о,, — by. а-_ = 6;. i. е.
a = b
«.г = bj •. aD = Ьу, az = bz.
Коллинеарность векторов
Выясним условия коллинеарное 1 и векторов а и Ь, заданных своими координатами.
Так как а || Ь. то можно записать а = А  Ь. где А некоторое число. То ость
с ,-  I 4- а• j -|- az • А* = X(bj>  ! Т by  у -р bz • k( — Xbx • t 4- Xby • у 4- Xbz • k.
Отсюда
<!j. = Xbx. dy = Xby, az = Xbz,
'• e-	a.r . a у .	.	a j-	о у	az
r-= A, = A, t~ = A или — =. bx	by	bz	bj- by bz
Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты. коллинеарны.
Координаты точки
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oryz. Для любой точки XI координаты вектора OXI называются координатами точки XI. Вектор 0X1 называется радиус-вектором точки
.37
М. обозначается г. т. е. ОМ = г. Следовательно, координаты точки - это
координаты ее радиус-вектора
г = (т; у: z) или r = x- i+ y- j + z-k.
Координаты точки М записываются в виде M(x-,y;z).
Координаты вектора
Найдем координаты вектора а = АВ. если известны координаты точек	; у\; z]) и
В(х-у. у-2'. га). Имеем (см. рис. 13):
АВ = ОВ - О А =
— (-г2 • i + У‘2 • J1 + 2-2  k) — (./ 1 • I + У\  j A Zi  k) —
= (-Г-2 - ./'1 )/ + (у? - У1 (j + (г-2 - Zi)k.
Следовательно. координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и. начала: АВ — (.г> — хр у-2-ypz-i-zdj.
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
6.1. Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и Ь называется число, равное произведению длин этих векторов па косинус угла между ними.
Обозначается аЬ. а - Ь (или (а.Ъ)). Итак, по определению.
а • Ь = |а|  |Ь| • cos р,
(6.1)
где р = (а. Ь).
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как |<7| cosy? = пр(;а. (см. рис. 14), а |6| cosy? = пр,7 Ь. то получаем:
ab = |ст| • пр,7 6 = |6| • npt-«,
(6.2)
г. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них. умноженному на проекцию другого на ось, ненаправленную с первым вектором.
6.2. Свойства скалярного произведения
1.	Скалярное произведение3 обладает переместительным свойством: ab = Ьа.
Q ab = |п|  |5| • cos(«, b), а Ьа = |Ь| • |о| • cos(6, а). И так как |а|  |5| = |Ь| • |о|, как произведение чисел и cos(a, b) = cos(&, а), то ад = Ьа.	И
38
2.	Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (Ай)  Ь = А(й6).
□ (Аа)6 = |6|  нр(; Ай = А  |6|  пр^й = А(й6).	И
3.	Скалярное произведение обладает распределительным свойством: й(6 + с) = ab + ас.
□ й(6+ё) = )й|•пр(7(6+с) = |й|-(пр7&+пр5с) = |й| нр(7Ь+ |й|-пр7с = ab+ac.

4.	Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: й2 = |й|'2.
□ й2 = й • й = |й |  |й| cost) = |й|  |й| — |й|2.	И
-2	-2	—2
В частности: i = j = к = 1.
Если вектор а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль |й|, т. е. х/й2 = |й| (х/й"2 ф а).
Пример 6.1. Найти длину вектора с = Зй — 46, если |й| = 2, |6| = 3. (й7&) =
О Решение:
|с| = у/й2 = \/(Зй~- 46)'2 = V9«'2 - 24й6 + 166“ =
= ^9  4 - 24 • 2  3 • | + 16 • 9 = х/108 = 6х/3. •
5. Если векторы й и 1> (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если а ± Ь, то ab = 0. Снравед-. пню и обра тно!' утверждение: если аЬ = 0 и а / 0 / Ь, то а ± Ь.
□ Так как р = (й. Ь) = то еоя<р = cos = 0. Следовательно, а  Ь =
= |й|  |6| • 0 = 0. Если же й • 6 = 0 и |«|	0. |6|	0, то сон(й. Ь) — 0. Отсюда
у1 = (й. 6) = 90°. т. е. й ± Ь. В частности:
i  j — j  к — к  i — 0.	
6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два век тора
а — ari + (iyj + azk и b = bj-i + byj + bzk.
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов г, j, к'.
	1	j	к
i	1	0	0
j	0	1	0
к	0	0	1
39
a-b = (axi + ayj + azk)  (bxi + byj + bzk) =
axbxii	+	axbyij	+	axbzik	+
+ aybxji	+	ciybyjj	+	aybzjk	+
+ azbxki	+	azbykj	+	azbzkk
— cixbx + 0 + 0 + 0 + ciyby + 0 + 0 + 0 + oz bz,
t. e.
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(—4;—4;4), В(—3;2;2), С(2;5;1), 0(3;—2;2), взаимно перпендикулярны.
О Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6; 9;— 3) и BD = (6;— 4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:
АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что AC ± BD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.	•
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла между ненулевыми векторами а = (ах; ау; az) и b = (bx;by;bz):
а • b	ахЬх + аиЬу + azbz
cosip = ———, т. е. cos ...........-...-	г	=
1«1 ' 1^>!	^а2 + а2 + а2 •	+ Ь2 + Ь?
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и Ь:
alb <+=> axbx + ауЬу + а,Ь, — 0.
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором 5, может осуществляться по формуле
а • b / г а  Ь\ прг а - —	( прй о - —г ),
b |6| V 1а1 '
_ o,xbx + ciyby + azbz
т. е. пр6- а = ------------- . .........—
+ Ь2у + bl
40
Работа постоянной силы
Рис. 15.
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол р с перемещением АВ = S (см. рис. 15).
Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна
А = F  S • cos р т. е. А = F  S.
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Вычислить работу, произведенную силой F = (3; 2; 4),
если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения .4(2; 4; 6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила F?
Q Решение: Находим S = АВ = (2, —2,1). Стало быть,
A = F- S = 3- 2+ 2- (—2) + 4-1 = 6 (ед. работы).
— -	F • S
Угол р между F и S находим по формуле cos р =	—^г, т. е.
6	6	2	2	Л
cos =	---—,  ......= =	— = —=, <р = arccos .—. •
л/9 + 4 + 16 • -/4 + 4 + 1	л/29  3	V29	^29
Пример 6.3.
§7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
7.1. Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора а, Ь и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору Ь виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
правая тройка,
левая тройка
Рис. 16.
41
Векторным произведением вектора а на вектор Ь называется вектор с, который:
1)	перпендикулярен векторам а и Ь. т. е. с ± о и fib;
2)	имеет длину, численно равную площади параллелограмма. построенного на векторах а и Ь как на сторонах (см. рис. 17). т. е.
|с| = |«| • |b| sin р. где р = (а.Ь)-.
3)	векторы а, b и с образуют правую тройку.
Рис. 17.
Рис. 18.
Векторное произведение обозначается a х b или [<7. Ь].
Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами /, / и k (см. рис. 18);
i х j = к. j x к = i. к x i = j.
Докажем, например, ч то i х j = к.
□ 1) к 1 1. к 1
2) |А"| = 1, но |г х j| = |/| •	• sin90° = 1;
3) векторы г, j и к образуют правую тройку (см. рис. 16).
7.2. Свойства векторного произведения
1.	При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак. т. е. <7x6 = = —(Ь х (7) (см. рис. 19).
Q Векторы а х Ь и Ь х <7 коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки <7, b.axb и <7.b.bxa противоположной ориентации). Стало быть, <7 х Ь = — (6 х а).	
2.	Векторное произведение обладает сочетательным свойством от носительно скалярного множителя, т. е. А(<7х6) = (А<7)х6 = <7х(А6).
Рис. 19.
42
□ Пусть А > 0. Вектор А(а х Ь) перпендикулярен векторам а и Ь. Вектор (Ай) х Ь также перпендикулярен векторам а и b (векторы а. Ха лежат в одной плоскости). Значит, векторы А(й х Ь) и (Ай) х Ь коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
|А(а х Ь)\ = А|« х Ь\ ~ А|н| • |6| • sin(a,6)
|(Aa) х b\ = |А«| • |6| -sin(A«,b) = A|a|  |6| sin(a, b).
Поэтому A(o x b) = Xa x b. Аналогично доказывается при A < 0.	
3.	Два ненулевых век гора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а || b <=> ^=д> а х Ь = 0.
Q Если й || Ь, то угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда |й х Ь\ — = |й|  |6|  sin(o, Ь) = 0. Значит, й х b = 0.
Ес.Д1И же Йх6= 0. то |й| • |6| sin у? = 0. Но тогда = 0° или = 18(1°, т. е. й || Ь.	
В частности, i х i = j х j ~ к х к = 0.
4.	Векторное произведение, обладает распределительным свойовом:
(«. + 6) х с = а х с + b х с.
Примем без доказательства.
7.3. Выражение векторного произведения через координаты
Мы будем использовать таблицу векюрного произведения векторов ?. j и к:
-к
-J
Чтобы нс ошибиться со знаком, удобно пользоваться скемой:
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произволение равно третьему вектору, если не совпадает третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а = a.ri+a!fj +аzk и b = bri +byj+bzk. Найдем век Горное произведение этих вект оров, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):
а х b = (aj.i + ayj + a-к) х (&,.? + byj + hzk) =
43
= o.rbr(z x t) + a-,.by(i x j) + afbz(i x k) + aybx(j x ?) + aybu(j x j) + + aybz(j x k) + azb,r(k x i) + azby{k x j) + a-bz(k xk) =
= 0 + cijbyk — aTbzj — ciybjk + 0 + aybz i + azbxj — azbyi + I) =
= («ybz — azby)i - {axbz — azbr)j + (axby — ауЬх)к =
uy	~ t'X У
by bz 1 b,t bz 1 + b.r by
r. e.
a x b =
Полученную формулу можно записать еще короче:
/	./	А'
«г Пу
bx	by	bz
так как правая часп, равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко завом инае гея.
7.4. Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов
Если <i || Ь. то а х b = 0 (и наоборот), г. с.
а х Ъ =
/	j	к
ах	fiy	о г
Ь.г	ьи	Ь-_
«у
<1 : b~z
a II b.
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторною произведения векторонн и b |Дх Ь\ — = |н| • |/>| siiiy?. г. о. 5,|г,|> = |й х fr|. II, значит. = i|a х Ь\.
Определение момента силы относительно точки
Пус ть в точке* .4 приложена сила F = = АВ и пусть О некоторая точка пространства (см. рис. 20).
Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектор ЗА. который проходит через точку О и:
1)	перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, .4. В:
44
2)	численно равен произведению силы на плечо
\М\ = \F\-ON = |F| • |r| •sin<p= |F| • |(9А| sin(F, CM);
3)	образует правую тройку с векторами ОА и АВ.
Стало быть, М = О А х F.
Нахождение линейной скорости вращения
Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ш вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v = w х г, где г = ОМ, где О — некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).
§8	. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
8.1.	Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
Рассмотрим произведение векторов а, Ь и с, составленное следующим образом: (а х 5) • с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
Выясним геометрический смысл выражения (ахб)-ё. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, Ь, с и вектор d = а х b (см. рис. 22).
Имеем: (а х &) • с = d • с = |3| • пр^с, |с?| = |а х &| = S. где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, npj с = Н для правой тройки векторов и npjc = —Н для левой, где Н — высота параллелепипеда. Получаем: (ах 6)-с = S-(±H), т. е. (axb)-c = ±V, где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют
этих векторах,
правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.
8.2.	Свойства смешанного произведения
1.	Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х Ь)  с = (Ь х с) • а = (с х а) • Ь.
Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда. ни ориентация его ребер.
45
2.	Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. (а х Ь) • с = <7 • (Ь х с).
Действительно, (й х Ь) • с = ±Г и а • (Ь х с) = (5 х с) • а = ±Г. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, Ь, с и Ь, с, а — одной ориентации.
Следовательно, (а х Ь) • с = а(Ь х с). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (й х Ь)с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.
3.	Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. abc = — acb, abc = -bac, abc = -cba.
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.
4.	Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
Q Если abc — 0, то й, Ь. с — компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V 0. Но так как abc = ±V, то получили бы, что abc 0. Это противоречит условию: abc = 0.
Обратно, пусть векторы й, Ь. с компланарны. Тогда вектор d = й xb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а. Ь, с, и, следовательно, d ± с. Поэтому d • с = 0, г. е. abc = 0.	
8.3.	Выражение смешанного произведения через координаты
Пусть заданы векторы а = a,ri + ayj + azk, b = bri. + byj + bzk. c = = cri + cyj + czk. Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:
«у az by bz
(8.1)
Полученную формулу можно записать короче:
а Ьс =
чу az by bz ('у cz
так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
16
8.4.	Некоторые приложения смешанного произведения
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Определение взаимной ориентации векторов а.Ьи с основано па следующих соображениях. Если abc > 0. то а, Ь, с — правая тройка; если abc < 0. то а, Ь, с - левая тройка.
Установление компланарности векторов
Векторы а, Ь и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (а / 0, & / 0, с / б):
abc = 0
Й	Й^	(1~
С	by	bz
с2.	Су	cz
= 0 векторы а. Ь, с компланарны.
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V = |а6с|, а объем треугольной пирамиды, построенной па этих же векторах, равен V = i|a6c|.
Пример 8.1. Вершинами пирамиды служат точки .4(1; 2; 3), В(0; —1; 1).
С(2;5;2) и Р(3;0; —2). Найти объем пирамиды.
Q Решение: Находим векторы а, Ь, с:
а = АВ = (-1:-3:-2), Ь = АС = (1:3;-1), с = AD = (2; -2; -5).
Находим abc:
-1 1
2
abc =
-3
3
-2
-2
-1 = -1 • (-17) + 3 • (-3) - 2  (-8) = 17 - 9 + 16 = 24.
Следовательно, V = i • 24 = 4.
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Лекции 7-9
§9	. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
9.1.	Основные понятия
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.
Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положи тельное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Э ти оси называют осями координат, точку их пересечения О началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью O-.ij, другую осью ординат (осью Оу] (рис. 23).
На рисунках ось абсцисс обычно расно. iaraioт горизонтально и направленной слева направо, а ось орлппаt вертикально и направленной снизу вверх. Осп координат
делят плоскость на четыре области четверти (или квадранты).
Единичные векторы осей обозначают i и j (|/| = |у| = 1. / ± j).
Систему координат обозначают О.гу (или Oij). а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости O.i'y. Вектор ОМ на-зываеюя райиусом-вектором. точки М.
Координатами точки А/ в системе координш О.п/ (Oij) называются коордипа! ы радиуса-вектора ОМ. Если ОМ = (.г: у), то координшы точки А/ записывают так: М(.г:у). число .с называния абсциссой точки М. у - ординатой точки М.
Э ти два числа .г и у полностью определяю ! положение точки на плоскости. а именно: каждой парс чисел .г и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.
Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой политом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором ё того же направления, что и луч Ор.
Возьмем на плоскости точку А/. не совпадающую с О. Положение точки А/ определяется двумя числами: ее расстоянием г от полюса О и углом р. образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).
48
Числа г и р называются полярными координатами точки М, пишут Л/(г;ут), при этом г называют полярным радиусом, р — полярным
углом.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол р ограничить промежутком (—тт; тг] (или 0 Д р < 2тг), а полярный радиус — [0;ос). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О') соответствует единственная пара чисел г и р, и обратно.
Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось -с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — прямоугольные
координаты точки М, а г и р ее полярные координаты.
Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:
{х = г • cos р, у = г  sin р.
Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами: 
= Дх2 + у2,
X-
Определяя величину р, следует установить (по знакам х иу) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что —тг < р Д тг.
Пример 9.1. Дана точка Л/(- 1;-\/3). Найти полярные координаты точки Л/.
Q Решение: Находим г и р\
г = л/3 + 1 = 2, tg р = —у - V3.
Отсюда р — ~ + тгп, п € Z. Но так как точка М лежит в 3-й четверти, то О
п = —1 и р =	- тг = -чу-. Итак, полярные координаты точки М есть
о	О
г = 2, р~ т. е. м(2;=^}.	•
о	\ О /
9.2.	Основные приложения метода координат на плоскости
Расстояние между двумя точками
Требуется найти расстояние <1 между точками .4(rri;yi) и B(x?-,у-2) плоскости Оху.
Q Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора АВ = = (х-2 - хЛ;у2 - уД, т. е.
d = |АВ| = У(х2 - агД2 + (у2 - У1)2-	•
49
Деление отрезка в данном отношении
Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки .4(.ri;?/i) и
В(х-2', уч) в заданном отношении А > 0, т. е. найти координаты точки 4 Л/
А1(х-,у) отрезка АВ такой, что = А (см. рис. 26).
Q Решение: Введем в рассмотрение векторы AM и МВ. Точка М делит отрезок АВ в отношении А, если
AM = А • МВ.
(9.1)
Но AAI = (x-x1-y-yi), т. е. AM = (x-.rl)i + (y-y})j и jMB- (а?2-х: у?-у), т. е. МВ = (х-2 — x)i + (у-2 - y)j. Уравнение (9.1) принимает вид
(х - х!)i + (у - yi)j = А(.г2 - x)i + Х(у-2 - y)j.
Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем
(9-2)
У - Ух = ^У-2 - >W, т. е. у -	.	(9.3)
Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления от-
резка в данном отношении. В частности, при А = 1, т. е. если AAI = МВ, то они примут вид х =	, у =	+ Рр В этом
случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.
Замечание: Если А = 0, то эго означает, что точки .4 и М совпадают, если А < 0, то точка AI лежит вне отрезка АВ говорят, что точка А/ делит отрезок АВ внешним образом (А ~Р 1- к- и противном случае = -1, т. е. АА1 + МВ = 0, г. е. АВ = 0).
Площадь треугольника
Требуется найти площадь треугольника АВС с вершинами -4(.ri; ip), B(.r.2', уз)- С(ху. ,у3).
Q Решение: Опустим из вершин .4. В. С перпендикуляры АА,. ВВ\, СС\ на ось Ох (см. рис. 27). Очевидно, что
Sabo — Saa^BxB + Sbxbcc\ — 5,д,.-ит,1-
Поэтому
• (х3 - ад) —
У1 + Уз
2
= ^22/1 - Х,У1 + .Г-2У2 - Хх у-2 + Хзу-2 - .Г2Т/2 + Х-Луз -
- Х-2УЗ - Хзу} + .г,	- .т31/з + хауз) -
50
= |(-Гз(У2 - У1) - .Т1(?/2 - ?/1) - Х2(у3 - yi) + Х1 (уз - У1)) =

1//	\/	\/	\/	\\	1 2-3	2-1	*£'2
= А((;У2 -У1Д-Гз -п) - (уз — ?/1)(а’2 -Я1)) = к
z	Уз У1 У'2 У1
Х3 “ ^1	-Г2 —
УЗ - У1 у2 - У1
Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим 5 = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.
9.3.	Преобразование системы координат
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.
Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.
Параллельный перенос осей координат
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат О.гу к новой системе OtXjyi. при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Рис. 28.
Пусть начало новой системы координат точка Oi имеет координаты (.гоДУо) в старой системе координат Оху, т. е. Oi (то: 2/о)- Обозначим координаты произвольной точки Л/ плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе О\х.\у\ через (т';//') (см. рис. 28).
Рассмотрим векторы
ОМ = xi + yj, ОО[ = xoi + yoj. О] М = x’i + y'j.
Так как ОМ = ОО] + О[М, то xi + yj = xoi + yoj + x'i + y'j, t. e.
•Г • < + У  j = (*o + X1)  i + ((/o + «/') • j.
51
Следовательно,
х = Xq + х1, У = Уо + У'-
Рис. 29.
Полученные формулы позволяют находить старые координаты хи у по известным новым х' и у' и наоборот.
Поворот осей координат
Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а и масштаб остаются неизменными.
Пусть новая система OiXiyi получена поворотом системы Оху на угол а.
Пусть М — произвольная точка плоскости, (ж; у) — ее координаты в старой системе и (х1; у') — в новой системе.
Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Ох\ (масштаб одинаков). Полярный радиус г в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны а + и <р, где <р — полярный угол в новой полярной системе.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем
{х = г • cos(ct + </>),	I х = г cos <р  cos а — г sin р  sin а,
т. е.	\
у = г • sin(a + </>),	I у = г cos <р  sin а + г sin р  cos а.
Но г cos р = х' и г sin р = у1. Поэтому
I х = х' cos а — у' sin а,
[ у = х' sin а + у' cos а.
Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые координаты (ж'; у') этой же точки М, и наоборот.
Если новая система координат Oixpyi получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол а (см. рис. 30). то путем введения вспомогательной системы Oixy легко получить формулы
Рис. 30.
х = х' • cos а — у' • sin а + .то, у = х1 • sin а + у' • cos а + у0,
выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х1 и у'.
52
§10. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
10.1.	Основные понятия
Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка A(xq; уо) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.
Пример 10.1. Лежат ли точки К(—2; 1) и L(l; 1) па линии 2;т+у+3=0?
Q Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 • (—2) + 1 + 3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т. к. 2 • 1 + 1 + 3 / 0.	•
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями Fi(x-,y) = 0 и F2{x-,y) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
(F^x-y) = 0, |р2(ж;у) = 0.
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.
Уравнение F(r; +) — 0 называется уравнением данной линии в полярной системе координат., если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они. удовлетворяют этому уравнению.
53
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
х = x(t).
У = y(t).
(10.1)
где х и у — координаты произвольной точки М(х:у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром-, параметр t определяет положение точки (х;у) на плоскости.
Например, если х — t + 1, у = t2, то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (3; 4). т. к. х = 2 + 1 = 3, у = 2“ = 4.
Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим. а уравнения (10.1) - параметрическими уравнениями линии.
Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить
параметр t. Например, от уравнений <	, путем подстановки t = х
(у = о.
во второе уравнение, легко получить уравнение у = х'2: или у—х1 — 0, т. е. вида F(x:y) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.
Рис. 31.
Линию на плоскости можно задат ь векторным уравнением. г = г(/), где t скалярный переменный параметр. Каждому значению to соответствует определенный вектор го = г(<о) плоскости. При изменении параметра t конги вектора с = r(t) опишет некоторую линию (см. рис. 31).
Векторному уравнению линии г = r(f) в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1). т. е. уравнения проекций па осп координат векторного уравнения линии есть ее парапет рическпе уравнения.
Векторное уравнение и пара.меiрнческне уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемеща-
ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия траекторией точки, параметр t при этом есIь время.
Итак, всякой линии па плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x.; у) = 0.
Всякому уравнению вида F(.c:y) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так. уравнению (.г — 2)2 + (у — З)2 = 0 соответствует не .пиния, а точка (2:3): уравнению х~ + у'2 +5=0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).
В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение: вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.
54
На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.
Рис. 33. Лемниската Бернулли Уравнение в прямоугольных координатах: j+ у2)2 — а2(т2 — у2) = 0, а > 0: в полярных координатах: г = о. • ^/сон 2<р.
Рис. 34. Трехлепестковая роза
В полярных координатах ее уравнение имеет вил г — а • cos.3<p, где а > 0.
Рис. 35. Улитка Паскаля
Уравнение в полярных координатах имеет вид г — b -hacos^.
Рис. 36. Полукубическая парабола
Уравнение кривой у2 — х3 или
х = t2, У = t3.
Рис. 37. Астроида
Уравнение в прямоугольных координатах: 2	2	2
Л + уз =аз; параметрические уравнения:
х = а  cos3 t, у = а  sin3 I.
Рис. 38. Кардиоида
Уравнение в полярных координатах имеет вид г = о.(1 + соз<д), где а > 0. Кардиоида — частный случай улитки Паскаля (« = Ь).
Рис. 39. Спираль Архимеда Уравнение кривой в полярных координатах г = сир, где а > 0 - постоянное.
Рис. 40. Циклоида
{х = a(t — sin f),
где а > 0. Циклоида — эти у = а(1 — cost),
кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения но неподвижной прямой.
10.2.	Уравнения прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды е< уравнений.
56
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(0; Ь) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 41).
Под углом а (0 а < тг) наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.
Возьмем на прямой произвольную точку М(х\ у) (см. рис. 41). Проведем через точку N ось Nx', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью Nx1 и прямой равен а. В системе Nx'y точка М имеет координаты х и у — Ь. Из определения тангенса угла следует равенство = tga • х 4- Ь. Введем обозначение tga = к, получаем
. у — Ь tga = уравнение
у = кх + Ь,
(Ю.2) которому удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.
Число к = tga называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) - уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = кх.
Если прямая параллельна оси Ох, то а = 0, следовательно, A,- = tga = O и уравнение (10.2) примет вид у = Ь.
Если прямая параллельна оси Оу, то a = уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент к — tga = tg не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
х = а,	(10.3)
где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.
Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде
Ах + Ву + С = 0,	(10.4)
где Л, В, С - произвольные числа, причем Л и В не равны нулю одновременно.
Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.
Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = 0, причем Л 0, т. е. х = — Это есть уравнение прямой, параллельной осн Оу и проходящей через точку ^|;0).
57
Если В / 0, то из уравнения (10.4) получаем у — - да: — Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tgo = —
Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.
Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:
1)	если .4 = 0, то уравнение приводится к виду у = — Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;
2)	если В — 0, то прямая параллельна оси Оу;
3)	если С = 0. то получаем .4т + By = 0. Уравнению удовлетворяют координаты точки 0(0:0), прямая проходит через начало координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку- Л/(.го;уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициент ом к. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = кх + Ь. где Ь пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку Л/(.го; «/(>)• то координа ты точки удовлетворяют уравнению прямой: = кх0 + Ь. Отсюда b = у0 - кхц. Подставляя значение b в уравнение у = кх + Ъ, получим искомое уравнение прямой у = кх + (/о — к.) (). I. с.
У - .'/о = к(х - .то).	(10.5)
Уравнение (10.5) с различными значениями к называю! 1акже уравнениями пучка прямых с центром в точке Л/(:г();//о)- Пз эюго пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через точки ЛА (x'i: z/т) и ЛП(.ю; (/-j). Уравнение прямой, проходящей через точку Д/j, имеет вид
у - (/1 = к(х - a-j),	(10.6)
где к — пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку у->\ то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): y-i — yt = к(х? — .щ). Отсюда находим к =	Подставляя найденное значение к в уравне-
(Г 2 — Л' ।
нит* (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки и М>;
У — У\ _ J - •?-!
У2 - У\ -О - 3'1
(Ю.7)
Предполагается, что в этом уравнении Х| / х->, yi / у?.
58
Если х> = Xi, то прямая, проходящая через точки Мх{ху\у\) и ЛДДд; 2Лг), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х. = ал.
Если у-2 = yi, то уравнение прямой может быть записано в виде у = у}. прямая М1М2 параллельна оси абсцисс.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая пересекает ось Ох в точке Mi(cr,0). а ось Оу - в точке Л/2(0;Ь) (см. рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид
У ~ 0 х ~ а	х , у “
----- — ----- т. е. —— = 1.
Ь — 0	0 — а	а b
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа а и Ь указы-
вают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Найдем сравнение прямой, проходящей через заданную точку
Mo(;ro;//о) перпендикулярно данному ненулевому вектору п — (А; В).
Возьмем на прямой произвольную точку Л/Д:;у) и рассмотрим вектор MqM = (х - х0; у - у0) (см. рис. 43). Поскольку векторы п и М0М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: п  MqM = 0, то
.4(т — То) + В(у — г/о) — 0.	(10.8)
Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Век тор п — (.4; В), перпендикулярный прямой, на-
зывается нормальным вектором этой прямой.
сравнение (10.8) можно переписать в виде
Ах + Ву + С = 0,	(10.9)
где Л и В координаты нормального вектора, С = — .1;го — Руо свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. (10.4)).
Полярное уравнение прямой
Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить. указав расс тояние р от полюса О до данной прямой и угол л между полярной осью ОР и осью Z, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см.
Рис. 4'4.
рис. 44).
Для любой точки </?) на данной прямой имеем:
пр, ОМ = р.
39
С другой стороны,
пр, ОМ = \ОМ| • cos(a — р) = г • cos(y? — а).
Следовательно,
г cos (у; — а) = р.
(10.10)
Полученное уравнение (10.10) и есть уравнение прямой в полярных координатах.
Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием р и а (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде
г  cos(<^ — а) — р = 0, т. е. г • cos р cos а + г sin р sin о — р = 0.
Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: rcosp = х, rsinp = у. Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид
х  cos а + у • sin о — р = 0.
(10.11)
Уравнение (10.11) называется
Рис. 45.
ХС = —р знак нормирующего ного члена С общего уравнен!
нормальным уравнением прям,ой.
Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).
Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель А / 0. Получим ХАх + ХВу + ХС = 0. Это уравнение должно обратиться в уравнение (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: АЛ = cos о, АВ = sin о, ХС = — р. Из первых двух равенств находим А2Л“ + А-В2 = = cos2 o+sin2 а, т. е. А = ±—т=1==. Мно-\/Л2 + В2
житель А называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству множителя противоположен знаку свобод-|я прямой.

Пример 10.2. Привести уравнение —За: + 4у + 15 = 0 к нормальному виду.
(^Решение: Находим нормирующий множитель А =—— --- = — 4.
Умножая данное уравнение на А, получим искомое нормальное уравнение прямой:	-(/ — 3 = 0.	•
О о
60
10.3.	Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть прямые Li и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у = к\х + Ь\ и у — к%х + &2 (см. рис. 46).
Требуется найти угол </?, на который надо повернуть в положительном направлении прямую Li вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой £2-
Q Решение: Имеем а-2 — <p + ai (теорема о внешнем угле треугольника) или <р — «2 — <*1- Если	то
.	. /	\ tg«2 - tgOl
tg</? = tg а2 - ai) = т—----------•
1 + tgcn  tga2
Но tgoi = Ay, tgQ2 = к-2, поэтому
W =
fc2 - Ay
1 T k> • к-2
(10.12)
откуда легко получим величину искомого у,, л.
Если требуется вычислить острый угол > >'жду прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т. е. tg р = [г+^А’	|'
Если прямые £ц и L2 параллельны, то — 0 и tgrp = 0. Из формулы (10.12) следует к? — ki = 0, т. е. к-2 = Ау. И обратно, если прямые Л| и Lt таковы, что kt = к-2, то tg9? = 0, т. е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их, угловых коэффициентов: ki — к2-
Если прямые В и L> перпендикулярны, то р = Следовательно.
ctgy = —7/-	— 0. Отсюда 1 -ь Ari - А?2 = 0, т. е. к\  к2 = —1 (или
к-> — -	). Снргшсд. ।иво и обратное утверждение. Таким образом, услови-
ем пе-рпепдикулярности прямых является равенство к-.  Ал = — 1.
Расстояние от точки до прямой
Пусть заданы прямая L уравнением .4т1 + By + С = 0 и точка Л/о(#о;уо) (см. рис. 47). Требуется найти расстояние о г точки Л/о до прямой L.
Q Решение: Расстояние d от точки Л/о до прямой L равно модулю проекции вектора ЛДЛ/о, где Afj(a;i;i/i) — произвольная точка прямой L, на направление нормального
61
вектора п = (Л; В). Следовательно.
d = | npjy Л/iiWol =
ЛД Аф  п
_ |(ж0 - ад) Л + (yQ - yi)B| _ |Ла,-0 + Ву0 -Ляд - Вуг\
s/.l- + В2	УЛ2 + В2
Так как точка	принадлежит прямой А. то Лад + Byi + С = 0,
т. е. С = —Лац — Вур Поэтому
(1 —	+ Вуд + С|
(10.13)
что и требовалось получить.
Пример 10.3. Найти расстояние от точки Аф(2; — 1) до прямой З.г + 4у - 22 = 0.
Q Решение: По формуле (10.13) получаем ,	|3 • 2 + 4 • ( —1) — 22|	20	,
а =-------. --------- = — =4.
УэТТб
§ 11. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА плоскости
11.1.	Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Р.г + 2Еу + F = 0.	(11.1)
Коэффициенты уравнения - действительные числа, но по крайней мере одно из чисел Д, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка,. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу пли параболу. Прежде, чем переходи ть к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.
11.2. Окружность
Л>
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса В с центром в точке Аф называется множество всех точек hl плоскости, удовлетворяющих условию АфА/ = В. Пусть точка АД) в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты хо,уо- а А/(ж;у) - произвольная точка окружности (см. рис. 48).
62
Тогда из условия MqM = R получаем уравнение
Л))2 + (у - Уо)2 = R,
то есть
(х - .г0)2 + (у - Уо)2 = Я2.
_________ (П-2)
Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности.
В частности, полагая х0 = 0 и уо = 0, получим уравнение окружности с центром в начале координат х2 + у2 = R2.
Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид х2 + у2 — 2х0.г — 2уау + xfr + Уо — R2 — 0. При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1)	коэффициенты при х2 и у2 равны между собой;
2)	отсутствует член, содержащий произведение ху текущих координат.
Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения В = 0 и Д = С 0. получим
Д.т2 + Ay2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.
Преобразуем это уравнение:
., nD	Е	F
х~ + 1Г + 2—х + 2—у —т-0, -4.	.4	А
(П-3)
D2 2
А^+У +2А
D\~	( Е\
А) + ^+а) “Д^Д^Д'	(1L4)
Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии
Дт + Ду - Д > 0. Ее центр находится в точке Oi (-Ц; -ДУ а радиус
Д" .1" Я	\ Я Я /
2D
т
,2
Е'2 F
Д^+Д ’
Е2 D2
Д^ + ЗД
D2 Е2
F
~ Д'
V А2 Д2 Д
Если же Ду + Ду
Д" А2
т?
-j = 0, то уравнение (11.3) имеет вид
/	ЕЛ2	/	Е\> п
(х + .) + (уН—г) — 0.
\	А/	\	А/
координаты единственной точки
Ему удовлетворяют этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).
Если q-у + Ду —	< 0. то уравнение (11.4). а следовательно, и равно-
сильное уравнение (11.3), не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть --- не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).
63
11.3. Эллипс
Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, назы-
ваемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние
между фокусами.
Обозначим фокусы через Fi и F>. расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а (см. рис. 49). По определению 2а > 2с, т. е. а > с.
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы Ft и F> лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F^Fi. Тогда фокусы будут иметь следующие
координаты: Fj( —с:0) и F)(c:0).
Пусть М(т; у) произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, MFj + MF} = 2а, т. е.
у/(.Т + с)2 + у2 + \Дх - с)'2 + у2 = 2а.
(И-5)
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:
у/(т + с)2 + у2 = 2 а — у/ (т; — с)2 + у2,
X2 + 2с.т + с2 + у2 = 4а2 - 4а  у/(х — с)2 + у'2 + х2 - 2сх + с2 + у2.
оуО"- <‘У2 + У2 - а~ ~ с.г.
а2х2 — 2а2 сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а1 ех + с2х2,
(а2 - с2)х2 + а2 у2 = а2(а2 - с2).
Так как а > с, то а2 — с2 > 0. Положим
Тогда последнее уравнение примет вид Ь2х2 + а~у~ = а~Ь~ или
(11.6;
(11.7
Можно доказать, чт о уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению
Оно называется каноническим уравнением эллипса.
Эллипс  кривая второго порядка.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.
1.	Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка (х;у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежа, точки (ж; —у), (~х;у), (~х; —у). Отсюда следует, что эллипс симметричсч относительно осей Ох и Оу, а также относительно -точки 0(0; 0), которую называют центром эллипса.
64
2.	Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив
у - 0. находим две точки Л] (а; 0) и А-2(-а: 0), в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) х — 0, находим точки пе-
ресечения э. пипса с осью Оу. 1>\ (0:6) и	— Ъ). Точки .А). В[. В2 на-
зываются вершинами эллипса. Отрезки .41.4о и Bi В>. а также их длины 2а и 2Ъ называются coo i ветственно большой и малой осями эллипса. Числа а п Ъ называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
3.	Пз уравнения (11.7) следует,
что каждое слагаемое в левой части
не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства 1и 1 а" Ъ~
или —а ,е а н —I) у <С Ь. Следовательно, все точки эллипса лежат
внутри прямоугольника, образованного прямыми х = ±а. у = ±Ь. 2	2
4.	В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и У- равна ст Ь~
('липине. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, г. е. если |.г| возрастает, то ф| уменьшается и наоборот.
Пз сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения При b = а эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид х2+у2 = а2. В качестве характерист ики формы эллипса чаще пользуются отношением -. а
От ношение - половины рассюяпия между фокусами к большой iio.iv-а	
осп эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой д («эпсилон»):
(П-8)
причем ()<г< 1. гак как ()<r<a. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно iiepeiincari» в виде1
г. 0.	_______________
у \ а / а
Отсюда видно, что чем меньше чкецептриеитет эллипса. тем чллппс будет менее сплющенным: если положить с = 0. то эллипс превращается в
окружное гь.
3-418
Пусть M(r:y) — произвольная точка эллипса с фокусами Fi и F? (см. рис. 51). Длины отрезков FjM = гд и FiM = r2 называются фокальными радиусами точки Л/. Очевидно,
Г1 + г-2 = 2а.
Имеют место формулы
Г1 = а + ех и г-2 — а — ех.
Прямые .г = ±7; называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.
Теорема 11.1. Если г — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету
эллипса: = Е.
а
Из равенства (11.6) следует, что а > Ь. Если же а < Ъ, то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого 21> лежит на оси Оу. а малая ось 2а на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках 7'7 (0: с) и F>((); —с), где с = х/Ь2 — а2.
11.4. Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы
>
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой п.кх’косги, называемых фокусами, есть
величина постоянная, меныпая, чем расстояние между фокусами.
Рис. 53.
Пусть Л7 (т: у) -делению гиперболы
Обозначим фокусы через Fi и F2, расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а < 2с, т. е. а < с.
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы Fi и F2 лежали па осп Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка FF-i (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты Fr(—с;0) и F2(r:(J).
произвольная точка гиперболы. Тогда согласно онре-\MF\ - A/F2| — 2а или Л/F] - Л7F2 — ±2а. т. е.
66
у/(.г + с)2 + у'2 — у/(х — с)2 + у2 = ±2а. После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
где
(11.9)
(11.10)
Гипербола есть линия второго порядка.
Исследование формы гиперболы по ее уравнению
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением.
1.	Уравнение (11.9) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно. гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу. а также относительно точки 11(0:0), которую называют центром гиперболы.
2.	Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ох: .4[ (а: 0) и .4У--о;0). Положив х — 0 в (11.9), получаем у2 = — Ъ1. чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.
Точки .4] (а: 0) и .42(--а; 0) называются вершинами гиперболы, а отрезок .4] .4-2 = 2а - действительной осью, отрезок OAi = ОА2 ~ а действительной полуосью гиперболы.
Отрезок BiB» (Bi В> — 2b). соединяющий точки /?| (0: Ь) и В2(0: -Ь) называется мнимой осью, число b мнимой полуосью. Прямоугольник со ( торонами 2а и 2Ь называется основным прямоугольником гиперболы.
2
3.	Из уравнения (11.9) слсдуе'1, что уменьшаемое 4У не меньше еди-.з	'	(1~
ницы. I. е. что )> 1 иди I,( I ;> п. Э го означает, что точки гиперболы (Г
расположены справа от прямой .г = а (правая, ветвь гиперболы) н слева
о г прямой х = —а (левая ветвь гиперболы).
1’пс. 34.
4.	Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда |.с| возрастает, то и |ti/| возрастает. Это следует из гою, что разность 4^ — £6 еохра-
а~ Ь~
няет постоянное значение, равное единице.
Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).
67
3'
Асимптоты гиперболы
Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К. если
расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к ну-Р	лю при неограниченном удалении точки Л/
xjl	вдоль кривой К от начала координат. На
d;	L рисунке 55 приведена иллюстрация понятия
асимптоты: прямая L является асимптотой
Р,1С'	для кривой К.
Покажем, что гипербола	= 1 имеет две асимптоты:
b	b
у — -х И у — —X. а	а
(П.11)
Так как прямые (11.11) и гипербола (П-9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных
линий, которые расположены в первой четверти.
Возьмем на прямой у = точку N имеющей ту же абсциссу .г, что и
точка М(х-,у) на гиперболе у — ^\Лг2 ~ а2 (см. рис. 56), и найдем разность MN между ординатами прямой и ветви гиперболы:
Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; чи-
©
слитель — есть постоянная величина, стремится к пулю. Так как MN больше расстояния d от точки М до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые у = являются асимптотами гиперболы (11.9).
При построении гиперболы (П-9) целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины Ai и А-2 гиперболы.
Стало быть, длина отрезка AIN
68
Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами
которой служат оси координат
Гипербола (11.9) называется равносторонней. если ее полуоси рав-(а = Ь). Ее каноническое уравнение
пы
х~ — у~ = а".	(11.12)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у = х и у = —.г и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.
Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат Ох'у' (см. рис. 58). полученной из старой поворотом осей координат на угол п = —4. Ис-4 пользуем формулы поворота осой координат (их вывод показан на с. 52):
х = х' cos о — у' sin о . у = х' sin о + у' cos о .
Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):
cos
“ ,1/ sill
= (Г.
1
2
1
2
= а
—, или у =
где k =
Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид у =
Дополнительные сведения о гиперболе
|ф|	Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение рас-
—1	стояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обо-
значается е:
Так как для гиперболы с > а. то эксцентриситет гиперболы больше единицы: г > 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Дей-с 1 ни гельно, из равенства (11.10) следует, что	— 1. т. е. -
ц (Г	а
- 1
а'
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение — ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной « прямоугольник.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен у/2. Действительно,
а
а
69
Фокальные радиусы п = у/(х + с)2 + у- и г-> — \/(х — с)'2 + у- для точек правой ветви гиперболы имеют вид п = ех + а и г? = ет — а, а для левой -- j’i = — (ex + а) и г-? = — (ех — а).
Прямые х = ±- называются директрисами гиперболы. Так как для £
гиперболы е > 1, то ~ < а. Эго значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.
Директрисы гиперболы имеют то же свойство = е, что и директрисы эллипса.
2	/2
Кривая, определяемая уравнением	= 1. также есть гипербола,
о" а
действительная ось 2Ъ которой расположена на оси Оу. а мнимая ось 2а на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром.
Гис. 59.
Очевидно, что гиперболы :-.т _ iL. = ] и П —	= j 11МеК)Г общие
п' о	(г «“
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
11.5. Парабола
Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через р (р > 0).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так. чтобы ось Ох проходи, га через фокус F перпендикулярно директрисе в на-
70
правлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты о), а уравнение директрисы имеет вид ,т = — 2’ илн х + 2 “ О'
э 6Q	Пусть Л/(.г; у) —произвольная точка параболы.
Соединим точку М с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:
MF =
Следовательно,
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
2	, Р~ । 2	2 ,	, р~
х - рх +^-+?/ = х +рт + ^-,
(11.13)
Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.
Исследование форм параболы по ее уравнению
1.	В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии параболы.
2.	Так как р > 0, то из (11.13) следует, что х 0. Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу.
3.	При X. — 0 имеем у — 0. Следовательно, парабола проходит через начало коор-ди наг.
4.	При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возрастает. Парабола у2 = 2р.г имеет вид (форму). изображенный на рисунке 61. Точка 0(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FA1 = г называется фокальным радиусом точки .V.
71
Уравнения у2 = — 2рх, х2 — 2ру, х2 = — 2ру (р > 0) также определяют параболы, они изображены на рисунке 62.
Рис. 62.
Нетрудно пока чать, что график квадратного трехчлена у = Ах2 + + Вх + С. где А ф 0, В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
11.6. Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке О; (л?о; J/o), оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и Ь. Поместим в центре эллипса О\ начало новой системы координат О^х'у', оси которой О^х' и Ору' параллельны соответ-
ствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис. 63).
В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид
Так как х' = х — Хд, у' = х — ур (формулы параллельного переноса, см. с. 52), то в старой системе координат уравнение эллипса запи-
шется в виде
(х - Хр)2 (у - Уо)2 = а2	Ь2
Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке О\ (хр;уо) и полуосями а и Ь (см. рис. 64):
(х - х0)2 _ (у - Уо)2 а2	Ь2
Рис. 64.
72
И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие уравнения.
(у - Уо)2 = 2р(а,- - х0)
(х - л0)2 = —2р(у - у0)
Рис. 65.
Уравнение Ах2 4- Су2 + 2Dx + 2Еу + F — О
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение1 окружности (т — х0)2 + (?/ — уо)2 = R2 после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида
Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.	(П-14)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллине, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.
Теорема 11.2. Уравнение (1114) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А  С > 0), либо гиперболу (при А  С < 0), либо параболу (при .4 С = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.
Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением 4т2 + 5г/2 + 20т — 30?/ + 10 = 0-
73
Q Решение: Предложенное уравнение определив! эллипс (Д-С = 1-5 > 0). Действительно, проделаем следующие преобразования:
4^д2 + 5х + 25) + 5(у2 - бу + 9) - 25 - 45 + 10 = ().
/ - \ 2
4V+2/ + 5(1/- З)2 = 60,
(Л’+ 2) (у - З)2
15	+	12
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в (|;3) и полуосями а = \/Т5 и b = \/12.	•
%
Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х2 + Ют — 2у + 11 = 0.
Q Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С — 0). Действительно,
х2 + Ю.т + 25 — 2/у + 11 — 25 = О.
(.г + 5)2 = 2у + 14. (.г + 5)2 = 2(</ + 7).
Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке О[ (-5; -7) и р - 1.	•
Ч I	Пример 11.3. Установит ь вид кривой вюрого порядка, заданной урав-
=“ пением 4.г2 — у2 + 8.с — 8у — 12 = 0 (Д  С — — 4 < 0).
Q Решение: Преобразуем уравнение:
4(т2 + 2х + 1) - (у2 + 8// + 16) -4+16-12 = 0.
4(.г + I)2 - (// + 4)- = (I.
(2(.r + 1) + (// + 1)) • (2(.г + !) — (</ + -1)) = 9.
(2.г + у + 6)(2.г - у - 2) = 0.
Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2.г + // + 6 = 0 и 2х -у -2 = 0.	•
Общее уравнение второго порядка
Рассмотрим теперь общее1 уравнение второй степени с двумя неизвестными:
.4+ + 2Вху + Су + 2Dx + 2£(/ + F = 0.	(11.15)
Оно отличается от уравнения (11.1-1) наличием члена с произведением координат (В 0). Можно, путем noBOpoia координатных осей на угол о. преобразовать это уравнение', чтобы в ном ч. ien с произведением координат о гсу гствовал.
Используя формулы поворота осей (с. 52)
х — j-' cos л — у' sin о. у = х' sin а + у' cos л.
74
выразим старые координаты через новые:
-I (у1 cos о — у' sin а)“ + 2B(.r' cos о — у' sin а) (.г' sin а + у' cos a) +
+ C(r' sin а + у' cos а)2 + 2D(j-' cos а - у' sina) +
+ 2E(.r' sin о + у' cos a) + F" = ().
Выберем угол о так, чтобы коэффициент при х'  у' обратился в нуль, т. е. ч тобы выполнялось равенство
— 2.4 cos a sin о + 2B(cos2 а — sin2 о) + 2С sin л cos а = (I,
т. е.
(С — .4) sin 2о + 2Bcos2o = 0.	(11.16)
2В cos 2а = (.4 — (7) sin 2а.
Отсюда	2Д
tg2a =	(П-17)
Таким образом, при повороте осей па угол а. удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).
Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения н распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
Замечание: Если .4 = (7, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае cos2a = 0 (см. (11.16)). тогда 2л = 90°. г. е. а — 45°. Итак, при .4 = С систему координат следует повернуть па 45°.
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Лекции 10-12
§ 12.	УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
12.1.	Основные понятия
Поверхность и ее уравнение
|нм	Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как
*	геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. На-
пример, сфера радиуса 7? с центром в точке (\ есть гоомс i рическое место всех точек пространства, находящихся от точки О\ на расстоянии П.
Прямоугольная система координат O.ryz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел .г. у и z их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхност и, можно занисат ь в виде уравнения, связывающею координаты всех точек поверхности.
рм	Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе' коор-
। дипат ();n/z называется такое1 уравнение F(.r. у. z) = 0 с т рсмя переменными :г, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, -и не удовлет воряют координаты точек, не лежащих на атой поверхности. Переменные .г, у и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.
Уравнение поверхности позво. 1яет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так. для того, ч тобы узнать, лежит ли точка Д/i(д-|;у,: г,) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки АЦ в уравнение поверхности вместо переменных: если зги координаты удов. 1егворяю1 уравнению, го точка лежит на поверхности, если не удовлетворяю г не лежит.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R с цен тром в точка' <Э| (.дь ую д>). Согласно онреде. 1енню сферы расе гоя пне. побои ее точки .1/(.?; у: z) от центра СМ-Дь уо: z(j) равно радиусу /?, и е. бфй/ = /?. Но ()}М — |бф Л/|. ите С, Л/ = (.г - .v();y - y():z - д,). С. тедова те. и>но.
у/(л — То)- -I- (у — уо)2 + (.—.?())--/?
или	t------------------:---------(-------1
— ''()) 4- (у — уо)' 4-	— ю)-	/?“. j
Э го и ест ь искомое уравнение сферы. Ему удов, к11 вораю i координа гы  побои ('С точки и ие удовлетворяют координат ы точек, но . южащих на данной сфере.
Если центр сферы ()[ совпадает с началом к<х>рдпна1. то уравнение сферы принимает вид .г2 4- у2 4- z1 = П1.
76
Если же дано уравнение вида F(x- у, z) = 0. то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; у; z) = 0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».
Так, уравнению 2х2 + у- + z2 + 1 — 0 не удовлетворяют никакие действительные значения х, г/, z. Уравнению 0  х2 + у2 + z2 = 0 удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х — любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение F(x; у, z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.
Уравнения линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.
Если Fi(x: y;z) = 0 и Fz(x:y;z) = 0 — уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
(12.1)
[F2(x;y; z) = 0.
ф	Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в про-
„ Г.У=О, странстве. Например, < есть уравнения оси Ох.
Рис. 67.
Рис. 66.
Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением г = r(t)	(12.2)
77
Рис. 68.
или параметрическими уравнениями {.г = r(t),
У = </(0-г - z(t)
проекций вектора (12.2) на оси координат.
Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
{.г = В cost.
I/ = Л sin t.
', = JLt 2тг
Если точка Л/ равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М описывает винтовую линию (см. рис. 68).
12.2. Уравнения плоскости в пространстве
Уравнение
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве O.r.yz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой Л/о(-)’о: Ус- -о) 11 вектором п = (А; В; С), перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор М^М = (.г - дд: у - уу, z — г0).
При .тюбом расположении точки А/ на плоскости Q векторы п и MqM взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: п 	= О,
т. с.
А(х - ;г0) + В(у - у0) + C(z - z()) = 0. |	(12.3)
Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3). координаты точек, пе лежащих на плоскости Q, этому уравнению пе удовлетворяют (для них п  Л/0А/ / 6).
(12.3) называется уравнением плоскости, проходя-
щей через данную точку Мо(.-<'оА/о-перпендикулярно вектору п = (Л; В; С). Оно первой степени относительно текущих координат х, у и z. Вектор п = (А; В: С) называется нормальным вектором плоскости.
78
Придавая коэффициентам .4. В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку Mq. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнением связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х.
Ах + By + Cz + D — 0.	(12.4)
Полагая, что но крайней мере один из коэффициентов .4. В или С не равен пулю, например В / 0, перепишем уравнение (12.4) в виде
<4(;г —- 0) + В (у + — J + С (с — 0) = 0.	(12.о}
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3). видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором п — (А-.В',С), проходящей через точку Л/\ ^0: -^о).
|нм	Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некото-
рую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением, плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1.	Если. D = 0. то оно принимает вид ,4,г + By -I- Cz = (1. Этому уравнению удовлетворяет точка 62(0:0;0). Следовате. п>по. в этом случае плоскость проходит. через начало координат.
2.	Если С = 0. то имеем уравнение Л.г + By +£> = (). Нормальный вектор <7 = (_4;В;0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскост,ъ параллельна оси Oz\ если В = 0 параллельна оси Оу, .4 = 0 параллельна оси От.
3.	Если С = D = 0. то плоскость проходит через 62(0;0;0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость .4,г -I- By = 0 проходит через ось Oz. Аналогично, уравнениям By + Cz = 0 и .4.г + Cz = (I отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси От и Оу.
4.	Если А = В = 0. то уравнение (12.4) принимает вид Cz -|- D = 0, т. е. z = Плоское гь параллельна плоскости Оту. Аналогично, уравнениям Ат + D = 0 и By + D — 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и O.rz.
5.	Если .4 = В = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид Cz = О, i. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = () уравнение плоскости Otz: х = О - уравнение и. юскосги Oyz.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Три точки пространства, не лежащие па одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскос ти Q, проходящей через три данные точки 47) (.щ ; щ; zt). ЛЩх?;у->; z?) и Л/з(жз; у3: z3). не лежащие на одной прямой.
79
Возьмем на плоскости произвольную точку M(x:y,z) и составим векторы МАМ = (;г - хр.у - Ut',z - z^. MiM2 = (r2 - хр.у-, - ?д: z-> - sj, M1M3 = (.T3 — xl; y3 — yi' z3 — Zi). Эти векторы лежат на плоскости Q. следовательно, они компланарны. Используем условие1 компланарности грех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем ЛТЩ  ЛДЛ/,  М}М3 = 0. т. е.
х-х} у-У1
Г2~Л-}	У-2~У\
х3 - .Г] У3 - .(/1
Z - Zj
(12.6)
Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ох. Оу и Oz соответственно отрезки а. b и с. г. е. проходит через три точки Л(о: 0: 0). В(():6;0) и (7(0:0: с) (см.
Рис. 70.
Раскрыв определи гель.
рис. 70).
Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6). получаем
имеем bex — abc + abz + a.cy = 0.
т. с. Ьс.г + асу + abc --- abc или
(12.7)
Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках, на ОСЯХ. Им Удобно НО.ТЬЗОВаТЬСЯ ПрИ IIOC I роСНИН плоское! и.
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного
векюра е, имеющего направление перпендикуляра ОК. опущенного па
Рис. 71.
।г1 юскосIь из начала координат, и длиной р этого пернендику.тяра (см. рис. 71).
Пусть ОК = ]>. а л. J. " углы, образованные единичным вок юром осями Ох. Оу и Oz. Тогда с = (cos о: cos д: cos). Возьмем на плоскости произвольную гонку М(х: у: z) п соединим ее с началом координат. Образуем век гор г = ОЛ/ = (.г: у: z).
При любом положении точки .V на плоскости Q проекция радиус-вектора 7 на направление1 век тора с всегда равно р-. пр, г = у. 1. е. г • ё = р или
\г-ё-р = О?]	(12.8)
80
х cos а + у cos 0 + z cos у - р = 0.
Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов г и ё, уравнение (12.8) пере-
(12-9)
Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме,
Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель А = ------.	---- , где знак берется противопо-
± х/А2 + В2 + С2
ложным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.
12.3. Плоскость. Основные задачи
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Пусть заданы две плоскости Q, и Qi:
Apr + Вру + G z + D\ = 0,
А2х + В2у + C2z + D2 = 0.
Рм Под углом между плоскостями Qi и Q-2 понимается один из двуграп-•	пых углов, образованных этими плоскостями.
Угол р между нормальными векторами Д = (.4|; В]; С)) и п2 = = (А2; В2: С2) плоскостей и Q2 равен одному из этих углов (см. рис. 72). т-т	71 I ' Т1,‘>
Поэтому COS<£ — 7=4—г=Т ИЛИ
... -	А1-42 + BjB2 +СС2
” /Д + в2 + С2 • y/A^+Bf+Cl
Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.
Рис. 72.
Если плоскости Qi и Q2 перпендикулярны (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. nj ± п2 (и наоборот). Но тогда Д  п2 — 0, т. е. А] Д2 + ВХВ2 + С\С2 = 0. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Qj и Q2.
81
Если плоскости Qi и Q2 параллельны (см. рис. 73. б), то будут па-
раллельны и их нормали Hi и п2 (и наоборот). Но тогда, как известно,
4	С
координаты векторов пропорционатьны: М- = л-2	а-2 с2
вие параллельности двух плоскостей Qi и Q2-
. Это и есть усло-
Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка A/q(.To; ?/о; zq) и плоскост ь Q своим уравнением Ax + By + Cz + D — 0. Расстояние d от точки Л/q ДО плоскости Q находится по формуле
_ |Лхо + Вуц + Сго + D\ а/А2 +В2+^
Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки M0(xq-, уо) до прямой As + By + С = 0 (см. с. 61).
Расстояние d от точки Л/() до плоскости Q равно модулю проекции
вектора Mi Мо, где AZj (j'i ; yi; z,) - - произвольная точка плоскости Q, па
Рис. 74.
направление нормального вектора п = (А, В: С) (см. рис. 74). Следовательно,
d = | пр,7 Mi А/()| =
М\ А1ц  н |z7|
I(-Р) -	) а + (1/0 - 7/1 )В + (;0 - Zj )СI
|А.Г() + Вуа + Cha - ,4.Г| — Biji — Cz11
уСЙ + В2 + С2
А так как точка ЛЛ (ад; т/р zi) принадлежит- плоскости Q, то
Ax,i + Byi + Czi + D = 0, т. е. D — —Аад — Byi - Czi.
Поэтому d =	~	'° 1	. Отмет им, ч то если плоскость Q за-
Уа2 + в-’ + с-’
дана уравнением a: cos о + у cos 3 + zoos') — р = 0, то расстояние от точки Л7о(я-о;?/о! 2о) ДО плоскости Q может быть найдено но формуле
d = | J.'o COS О + 7/о cos 3 + z() cos у — p\.
12.4. Уравнения прямой в пространстве
Векторное уравнение прямой
рм	Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать
L—।	какую-либо точку Л/q на прямой и вектор S. параллельный этой пря-
мой. Вектор S называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой Л7о(т'о А/о; 2о) м направляющим вектором S = (т;п;р). Возьмем на прямой L произвольную точку M(x;y,z). Обе-
82
значим радиус-векторы точек Л/о и Л1 соответственно через го 11 с. Очевидно, что зри вектора г0. г и MqM связаны coo-1 ношением
г = г0 + М0М.	(12.10)
Вектор AIqAI, лежащий на прямой L, параллелен наирав. (яюшему вектору S. поэтому М0М ~ tS, где t скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки Л/ на прямой (см. рис. 75).
Уравнение (12.10) можно записать в виде
/• = Г(> + tS.
(12.11)
Полученное уравнение1 называется векторным уравнением прямой.
Параметрические уравнения прямой
Замечая, что г = (.г://; с), /р = (./р; у0: с0). tS = (tm;tn;tp). уравнение (12.11) можно записать в виде
= С':о + tm)1 + (//о +	+ (го + tp)k.
Отсюда следуют равенства:
 Г .)'() + nit.
У = На + nt, = с0 +- pt.
(12.12)
Они называются п,(1рамстрически,ми уравнениями прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой
Пусть £=(щ; и; р) направляющий вектор прямой L и Л/о(то; /др Со) точка, лежащая на этой прямой. Вектор соединяющий точку Л/о с , произвольной точкой АЦ.г: у. з) прямой L, параллелен век тору S. Поэтому координаты вектора = (.?• — .ip; у - уу. z — ср) и вектора S — (т:п:р)
пропорциональны:
-<• - J'o _ у - </() _ с - с0
III	11	р

(12.13)
Уравнения (12.13) называются каноническими уравнениями прямой
в пространстве.
Замечания: 1) Уравнения (12.13) можно было бы получить ('разу из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t. Из уравнений (12.12) находим
I' ~ -'о __ У - Уо _ - - л» _ т	II	р
2)	Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13) означает обращение1 в нуль cooibcтствующего числителя.
83
Например, уравнения ж	~ задают прямую, проходя-
о	Z	и
щую через точку Л/о(2; —4; 1) перпендикулярно оси Oz (проекция вектора S на ось Oz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости z = 1, и поэтому для всех точек прямой будет z — 1 = 0.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Пусть прямая L проходит через точки yi\ zi) и Mzixz; у2', хд). В качестве направляющего вектора S можно взять вектор MiM2 = = (ад - xi;y2 - yr, z2 - zj, т. е. S = Му М2 (см. рис. 76). Следовательно, т — ад — ад, п = у? — yi.
р = z-2 — zi. Поскольку прямая проходит через точ-
ку Л/j (ад; </i; zi), то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой L
имеют вид
х — ад
х2 - х^
У ~ У1
У2 ~У\
z — Z1
(12.14)
Уравнения (12.14) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.
Общие уравнения прямой
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
А\Х + Biy + C[Z + D[ — 0,
12.1о) А2Х + В2у + C-2Z + D> = 0.
Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов й] = (Ai;Bi;Ci) и п-2 = (А2;В2;С,2) не пропорциональны), то система (12.15) определяет прямую L как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77). Уравнения (12.15) называют общим,и уравнениям,и прямой.
От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим уравнениям (12.13). Координаты точки Л/о на прямой L получаем из системы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0).
Так как прямая L перпендикулярна векторам гд и п-2, то за направляющий вектор S прямой L можно принять векторное произведение гд х п>:
k
S = 711 X П2 =
г
Aj
А2
j Bi в2
Ci
Замечание: Канонические уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (12.14).
84
Пример 12.1. Написать канонические уравнения прямой L, заданной уравнениями	,
I х + у — z + 1 = О,
1 2д — у — 3z + 5 = 0.
О Решение: Положим г = 0 и решим систему <	’ Находим
I 2х — у — —5..
точку Л/Д—2:1; 0) 6 L. Положим у — 0 и решим систему <
I 2.г - 3z = -5.
Находим вторую точку A-f2(2;0;3) прямой L. Записываем уравнение прямой L. проходящей через точки Mi и М^:
.т + 2 _ у - 1 _ z
4 “ -1	3‘
12.5.	Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть прямые Д и L-2 заданы уравнениями
X -XI у- У1
- 21
S  8-> получаем cos р = - 1 ') или
Р1| г - |
Ш1	ni	Pl
и	X	— Х.2	у	— y->	Z	— Z-2
т-2	П->	р-2
Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами Si = (mi; /ц ; щ) и S-2 = (т-2;п-2:р-2) (см. рис. 78). Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами.
три? + uin-2 + pip-2
COS tp = —y=========----------— - - .
У m\ + и I + p'l  У m'l + n'l + p'l
(12.16)
Для нахождения острого угла между прямыми L, и L-y числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю.
Если прямые Li и L-2 перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cosy? = 0. Следовательно, числитель дроби (12.16) равен нулю. т. е. miin-2 + ni«2 + Р1Р2 = 0-
Если прямые I.-, и L-2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы S[ и S-у. Следовательно, координаты этих векторов пропорцио-нальны. т. е. —L т->
П-2	р-2
Приме]> 12.2. Найти угол между прямыми
£ = у-2 2	-1
2х + у — z — 1 = 0, 2х - у + З.т + 5 = 0.

z + 2
3
85
Q Решение: Очевидно, Si = (2: —1: 3). a S2 = ni x n2, где «i = (2:1; -1). иг = (2; —1;3). Отсюда следует, что 52 = (2: —8; —4). Так как S1-52 =
= 4 + 8 — 12 = 0. то = 90°.	•
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости
Пусть прямые £1 и L-> заданы каноническими уравнениями
Рис. 79.
£_z_£l = у ~~ -1
"М	Hi	Pi
Г - Д~1 = У - У 2 = z- z-2
ГП2	П’2	р-2
Их направляющие векторы соответственно Sj = = (mi;ni:p\) и S2 = (т-у, п2: р2) (см. рис. 79).
Прямая Li проходит через точку .И, (.г,; у{; г{), радиус-вектор которой обозначим через й: прямая L-2 проходит через точку М2(х-2', у-2: z-2)- радиус-вектор которой обозначим через т->. Тогда
f 2 - Г I = Л/| М-2 = (х-2 -- .Г) ; 7/2 - .</1 : Z-2 - Z{ ).
Прямые Li и L-2 лежат в одной плоскости, если векторы Si. S> и Mi М-2 = г-2 — й компланарны. Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения: (r-2 — й)$|8'-> = 0. г. е.
г2 - Xi Till	1Г2 - .'/1 "1	-2 “ Zi Pl	= 0
т-2	И 2	Р-2	
При выполнении этого условия прямые L| н L-2 лежат в одной плоскости. то есть либо пересекаются, если S-2 ф А5|. либо параллельны, если S\ II S-2-
12.6.	Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть плоскость Q задана уравнением Ат+ + By + Cz + D = 0, а прямая L уравнениями х - т0 _ у - у0 _ z - z() m ii р '
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных, прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через <р угол между плоскостью Q и прямой £, а через 0 — угол между векторами й = (.4: В: С) и S = (тп:п;р) (см. рис. 80). Тогда cos# = = ,лт;"~л^7 Найдем синус угла +, считая (у:
Н  |S|
Рис. 80.
86
а
sin-/? = siu( — 9) — cos 9. II так как sin./? 0. получаем
|.4m + Bn + Cp\
Silly? =	=^J_==:-----___________ (12.17)
V-4- + В2 + C2  у m2 + n2 + p2
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы fi и S перпендикулярны (см. рис. 81). а потому S  п *= 0, г. е.
Лт + Вп + Ср = 0
является условием параллельности прямой п плоскости.
Рис. 81.	Рис. 82.
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы п и S параллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства
.4 В С
т п р
являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости
Пусть требуется найти точку пересечения прямой
г ~ J'o _ У — </о _ с — -'о т	п	р
(12.18)
с плоскостью
,4т + By + Cz + D = 0.	(12.19)
Для чтого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проше всего что сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом виде:
.г = .го + mt.
У - Но + nt.
z = -.о 4- pt.
Подставляя чти выражения лтя .г. у и z в уравнение’ плоскости (12.19).
по. i\ чаем уравнение .4(.г,, i- ml) B(ylt + nt) -)• С(т0 •+ pt) + D — Cl или
+ Вн т I у! -г , ,4./() -I- Вуо + С .То О; —1).	(12.20)
Ес in прямая L не параллельна плоскости, т. е. если .4ш + Вп + Ср 0.
то из равенства (12.20) находим значение t:
_	-4а.'о + Вуо + Czq D
Ат + Вп + Ср Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда Ат + Вп + Ср = 0 (L || Q):
а)	если F = Ахо + Вуд + Czq + D 0, то прямая L параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не имеет, так как имеет вид 0 • t + F = 0, где F 0);
б)	если Ах0 + Ву0 + Сz0 + D = 0, то уравнение (12.20) имеет вид t  0 + 0 = 0; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств
J Ат + Вп + Ср = 0,
Ах0 + Ву$ + Czq + D =0
является условием принадлежности прямой плоскости.
12.7.	Цилиндрические поверхности
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндрической поверх-
ностью или цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прямая L - его образующей (см. рис. 83).
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, на-
правляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, урав-
нение которой
F(x;y) = 0.
(12.21)
Построим цилиндр с образующими параллельными оси Oz и направляющей К.
Теорема 12.1. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси О имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты z.
Рис. 84.
Q Возьмем на цилиндре любую точку Л/(.с; у; z) (см. рис. 84). Она лежит на какой-то образующей. Пусть N точка пересечения этой образующей: с плоскостью Оху. Следовательно, точка N лежит на кривой К и ее координаты удовлетворяю i уравнению (12.2]).
88
Но точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точка N. Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки M(x;y;z), так как оно не содержит z. И так как М — это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра. И
Теперь ясно, что F(x; z) = 0 есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси Оу, a F(y; z) — 0 — с образующими, параллельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс
2	2
- + ^- = 1
а2 Ь2
в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 85).
Рис. 85.	Рис. 86.
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение х2 + у2 = В2. Уравнение х2 = 2pz определяет в пространстве параболический цилиндр (см. рис. 86). Уравнение
определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см. рис. 87).
Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат х, у и z.
Рис. 87.
12.8.	Поверхности вращения. Конические поверхности
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой
89
запишутся в виде
Рис. 88.
Следовательно, \у11 =
°’	(12.22)
|.г = 0.	7
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.
Возьмем на поверхности произвольную точку Л1(.г;//:с) (см. рис. 88). Проведем через точку Л/ плоскость, перпендикулярную оси Oz. и обозначим точки пересечения се с осью Oz и кривой L соответственно через О] и Л’. Обозначим координаты точки Л’ через (0; у\: С|). Отрезки Oi М и OiN являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому О) .V =; О] Л’. Но О\А1 =	,т2 + у2, O]N = |yi|.
у/.г2 + у2 или yi = ±\/.г2 + у2. Кроме того, очевид-
но. С| =
Так как точка .V лежи т на кривой L. то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). С i ало быть, F(j(;?j) = 0. Исключая вспомогательные координаты yi и Z[ точки Л’, приходим к уравнению
=().	(12.23)
Уравнение (12.23) искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют коордппа-i ы любой точки А7 этой поверхности и не удовлетво-
ряют координаты точек, не лежаших на поверхности вращения.
Как видно. ypaBiiei11ie (12.23) получается из (12.22) простой заменой у па ± у/.г2 + у2. координата z сохраняется.
Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси Оу. то уравнение поверхности вращения имеет вид
F(?/;±y<r2 + z2) = 0:
если кривая .лежит в плоскости Оту (: = 0) и ее уравнение F(x:y) = 0. го уравнение поверхности вращения, образован ной вращением кривой вокруг оси Ох. есть F(x; ± \/у2 + z2) = 0.
Так, например, вращая прямую у — z во-
круг оси Oz (см. рис. 89), получим поверхность вращения (ее уравнение ±\/.г2 + у2 = z или .г2 + у2 = с2). Она называется конусом второго порядка.
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не прохо дящую через F), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L пазывае гея направляющей конуса, точка Р - ее вершиной. а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.
90
Рис. 90.
через точки Р и Д'.
Пусть направляющая L задана уравнениями
Fi(r;y;z) = 0, F-2(x\ у, z) = 0, а точка Р(т0: уо; zq) — вершина конуса. Найдем уравнение конуса.
Возьмем на поверхности конуса произвольную точку M(x;y:z) (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и Л/, пересечет направляющую L в некоторой точке N(xi', уу, Zi). Координаты точки N удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:
^i(^i;yi;^i) = 0, ^2(j’i;yi;zi) = 0
Канонические уравнения образующих, проходящих имеют вид
j - •>'() _ У - Уо _ z — z0 7'1 -.1’0 У1 - Уо Zi-Zo'
(12.26)
Исключая ,Г|. //| и zi из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты х, у и z.
Пример 12.3. Составить уравнение конуса с вершиной в точке 0(0; 0; 0), .2	2
если направляющей служит эллипс \	= 1, лежащий в плоскости
а~ Ь~
Z = с.
Q Решение: Пусть М(.г;у: с) - любая точка конуса. Канонические уравнения образующих. проходящих через точки (0;0;0) и точку (a?i;yi;zi) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут — = -^- = Исключим • • тд yt Zi
.г,, у\ и zi из этих уравнений и уравнения
+ Ц = 1	(12.27)
а- Ь2
(точка (.СьудТ]) лежит на эллипсе), zj = с. Имеем:	= у = ~,-
Отсюда .ту = с • и у, = с  Подставляя значения ж, и у\ в уравнение эллипса (12.27), получим
с2  х-	с2	 у2	ж2	у2	z2
—----Z	!-Ъ--т	= 1 ИЛИ	— Ч--
Z"  (Г	Z"	 Ь~	(Г	Ь~	С
Это и есть искомое уравнение конуса.	*
12.9.	Канонические уравнения поверхностей второго порядка
По заданному’ уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверхности. уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геоме
91
трический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.
Эллипсоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
(12.28)
Рассмотрим сечения поверхности (12.28) с плоскостями, параллельными плоскости хОу. Уравнения таких плоскостей: z = h, где h — любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями [4 +С = i- 4, ? а2 Ь~ е“	(12.29)
[г = h.
Исследуем уравнения (12.29):
2	2
а) Если \h\ > с, с > 0. то + 4
(Г b
< 0. Точек пересечения поверхно-
сти (12.28) с плоскостями z = h не существует.
б) Если |/i|
= с, г. е. h = ±с, то + Яу = 0. Линия пересечения (12.29) «" О'
вырождае тся в две точки (0; 0; с) и (0; 0; — с). Плоскости z = с и z — — с касаются данной поверхности.
в) Если \h\ < с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде:
При этом чем мевыне \h\, тем больше полуоси о и 6|. При h ~ О они достигают своих наибольших
значений: = а, = Ь. Уравнения (12.29) примут вид
h = 0.
Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверхшхч с (12.28) плоскостями .с — h и у = h.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверхность (12.2> называется эллипсоидом. Величины «, b и с называются полуосями э 
92
липсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а = b = с, то — в сферу х2 + у2 + z2 = а2.
Однополостный гиперболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
у2 z2
- + -----------= 1
.2 + Ь2 С2
(12.30)
Пересекая поверхность (12.30) плоскостью z = h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид
.2
а" Ь~ с
ИЛИ
Л2\2
у2
У = 1, . Ы\2
у = h.
Как видно, этой линией является эллипс с полуосями
К2
= а.
% И bl с
Полуоси «1 и 61 достигают своего наименьшего значения при h — 0: Hi = a, bi — Ь. При возрастании |/i| полуоси эллипса будут увеличиваться.
Если пересекать поверхность (12.30) плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы. Найдем, например, линию пересечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz, уравнение которой х — 0. Эта линия пересечения описывается уравнениями	9
< Ь2 с2
х = 0.
Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).
Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая урав-—8	ионием (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверх-
ность (12.30) называется однополостным гиперболоидом.
Замечание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида (12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.
Двухполостный гиперболоид
Пусть поверхность задана уравнением
Й-4—i-b с
(12.31)
Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пересечения определяется уравнениями
К + й = ^-1, < а Ь с"
z = h.
(12.32)
93
Отсюда следует, что:
а)	если \h\ < с. то плоскости z — h не пересекают поверхности;
б)	если \h] — с, то плоскости z = ±с касаются данной поверхности соответственно в точках (0:0: с) и (0:0: — с).
в)	если |/0 > с. то уравнения (12.32) могут
быть переписаны так
Эти уравнения определяют а. о nine, полуоси которого возрастаю! с ростом {/?].
Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz (.г = 0) и O.tz (у — 0). получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид
У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93). определяемую уравнением (12.31). как поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31) называется двухпо-лостным гиперболоидом.
Эллиптический параболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
Рис. 94.
где р > 0, г/ > I) Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z — h. В сечении получим линию, уравнения которой есть
Если h < 0. то плоскости z = h поверхпости не пересекают; если h = 0. то п. юскоегь z — 0 касается поверхности в точке (0:0:0): если h > 0. то в сечении имеем эллипс, уравнение которого hmcci вид
( oL + J1L = 1
/ 2р/; 2qh
[г = h.
Его полуоси возрастают с ростом /?.
При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями
Oxz и Oyz получакя соответственно параболы г = и г = Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33). имеет вид выпуклой. бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверхность (12.3.’, называется эллиптическим параболоидом.
91
Гиперболический параболоид
Исследуем поверхность, определяемую уравнением
-----— = 2z, Р <1
(12.34)
где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.34) плоскостями z = h. Получим кривую	.
„ J/L. = 1
< 2ph 2qh ’ z = h.
которая при всех значениях h 0 является гиперболой. При h > 0 ее действительные оси параллельны оси
Оу, при h = 0 линия пересечения ~
ресекающихся прямых -ч
поверхнос г и плоское гям и. получаться параболы
Ох-, при h < 0 — параллельны оси ,.2
- = 0 распадается на пару пе-
и	= 0. При пересечении
параллельными плоскости Oxz (у = h), будут
,г2 ..
у = h, ветви ко торых направлены вверх. При у = 0 в сечении получается парабола
{х2 = 2pz, у = о
с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz.
Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х — h, получим параболы у2 = / ь2 \
= — 2qyz —	. ветви которых направлены
вниз.
Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности: она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется гиперболическим параболоидом.
Конус второго порядка
Исследуем уравнение поверхности
(12.35)
Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z — h. Линия пересечения 4^- + С- = Ду. z = 11. При h — 0 она вырождается в точку (0;0;0). При h 0 в сечении будем получать эллипсы
(-< + ^ = 1
J <Г-1Г	Ъ'21Г	’
z = h.
95
Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании \h .
Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х = 0). Получится линия
Г^-4 = о.
(г = 0.
распадающаяся на две пересекающиеся прямые
^-~=0 и Ут+г-=0. ос	ос
При пересечении поверх пости (12.35) плоскостью у ~ 0 получим .линию
U = °’
также распадающуюся на две пересекающиеся прямые
X Z	X	Z
-----=() и - + - = о.
а с	«	с
Поверхность, определяемая уравнени-
ем (12.35), называется конусом второго порядка, имеет вид. изобра жснный на рисунке 96.
Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейна тыми. Такими поверхностями являются цилиндрические, конические по верхиоети, а также однополостный гиперболоид и гиперболический пара болоид.
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Лекции 13-22
§13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13.1.	Основные понятия
1н\|	Понятие множества является одним из основных неопределяемых по-
—	’	нятий математики. Под множеством понимают совокупность (собра-
ние. класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х'2 + 2х + 2 = = 0, о множестве всех натуральных чисел и г. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита .4, В,..., А', У..... а их элементы малыми буквами а.Ъ.... ..., х. у....
Если элемент х принадлежи т множеству А". то записывают х 6 А"; запись ;гбА или х А означает, ч то элемент х не принадлежит множеству А.
Множест во, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом 0.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее- свойство, которым обладают все элементы данного .множества.
Например, запись .4 = {1,3,13} означает, ч то множество .4 состоит- из трех чисел 1. 3 и 15; запись .4 = {.г : 0 х <( 2} означаю, что множество .4 состоит- из всех деист вительпых (если не оговорено иное) чисел, __	удовлетворяющих неравенству 0 х <( 2.
1н\|	Множество .4 называется подмножеством, множества Б, если ка-
—	’	ждый элемент множества .4 является элементом множества В. Символи-
чески это обозначают гак .4 С Б («.4 включено в В») или В Э .4 («множество В включает в себя множество .4»).
Говорят, что множества А и В равны или совпадают, и пишут А = В, если .4 С В и В С .1. Другими словами, множества, состоящие из одних и
__	тех же элементов, называются равными.
1н\|	Объединением (или суммой) множеств .4 и В называется множество,
сос тоящее из элемен тов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают .1UB (или .4 + В). Кратко можно записать .4 U В — {.с : ,г£,1 или .г 6 В}.
1н\1	Пересечением (или произведением) множеств .4 и В называется мно-
—	’	жество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множе-
ству .4 и множеству В. Пересечение (произведение) множес тв обозначают АПВ (или Л-В). Кратко можно записать .4пВ = {.с : х g .4 и х 6 В}.
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:
97
4-418
о => 3 -- означает «из предложения а следует предложение 3»:
о <=> 3 — «предложения а и 3 равносильны», т. е. из а следует 3 и из 3 следует о;
V — означает «для любого», «для всякого»;
3 — «существует», «найдется»;
: — «имеет место», «такое что»;
-- «соответствие».
Например: 1) запись Зх Е А : а означает: «для всякого элемента х £ .4 имеет место предложение о»;
2) (.г € Ли В) <=> (х G Л или х G В); эта запись определяет объединение множеств А и В.
13.2.	Числовые множества. Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых' множеств являются:
N = {1: 2; 3: ...: п; ... } множество натуральных чисел:
Zo = {0; 1; 2:	— множество целых неотрицательных чисел:
Z = {0; ±1; ±2: ...: ±п: ... } - множество целых чисел;
Q = |	: т £ Z. п Е n} -- множество рациональных чисел.
Ж множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение
N с Z(l С Z с Q С К.
Множество Ж содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1 — 0,5 (= 0,500...), i = о = 0,333... рациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.
Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
(1,1 \ О	° о 2
—	=2, т. е. т = 2п .
\и )
От сюда следует, ч то иг (а значит, и т)  - че тное число, т. е. т = 2к. Подставив т — 2к в равенство т1 = 2п~, получим 4к2 = 2п2. т. е. 2к~ = п2.
Отсюда с. юдует, чт о число и - четное, т. е. п = 21. Но тогда дробь
сократима. Э го противоречит допущению, что ~ дробь несократима. Следовательно. не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.	И
98
Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, >/2 = 1.4142356..., ” — 3,1415926... — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать
К = {.г : х = а, сдогЛз   • }, где а Е Z, а, Е {0,1,..., 9}.
Множество Ж действительных чисел обладает следующими свойствами.
1.	Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел а и Ь имеет место одно из двух соотношений а < b либо b < а.
2.	Множество Ж плотное: между любыми двумя различными числами а и 6 содержится бесконечное множество действительных чисел х. т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь.
Так, если а < Ь, то одним из них является число -
(а < Ь => 2а < а + Ь и п + 6 < 26 => 2а < а + Ь < 26 => а < —< б) .
3.	Множество ]R непрерывное. Пусть множество Ж разбито на два непустых класса .4 и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел а Е А и 6 G В выполнено неравенство а < 6. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с. удовлетворяющее неравенству а с 6 (Va G .1, V6 G В). Оно отделяет числа класса .1 от чисел класса В. Число с является либо наибольшим числом в классе .4 (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Эго означает, что каждому числу х Е К соответствует определенная (единс твенная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».
13.3.	Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть а и 6 действительные числа, причем а < 6.
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[а: 6] =	{.г :	а х	6} -	отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
(а:Ь) =	{./• :	а	< .г	< Ъ} -	интервал (открытый промежуток);
[а: Ь) =	{х :	а х	< 6};
(а: 6] =	{х :	а	< х	6} -	полуоткрытые интервалы (или полуоткры-
тые отрезки):
(— тс; 6] — {.г : х 6}:	[а,+оо) = {д : х а};
= {х : .г < Ь}:	(а,+оо) = {z : х > а}:
(—оо, ос) = {.г : —ос < х < +ое} = Ж — бесконечные интерваты (промежутки).
99
4‘
Числа а и Ь называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы —оо и +оо не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала О влево и вправо.
Пусть хд — любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки х0 называется любой интервал (а; 6), содержащий точку х0. В частности, интервал (ж0 — £,хд + е), где е > 0, называется е-окрестностъю точки х0. Число х0 называется центром, а число е — радиусом.
хо-е
хо х х0'+е X
Рис. 97.
Если х G (ж0 — с; Хд +£•), то выполняется неравенство хд — г < х < жо+г, или, что то же, |ж — хд| < г. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в е-окрестность точки хд (см. рис. 97).
§14. ФУНКЦИЯ
14.1. Понятие функции
Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества X и У. Соответствие /, которое каждому элементу х G X сопоставляет один и только один элемент у G У. называется функцией и записывается у = f(x), х G А" или f : Л" —> У. Говорят еще, что функция / отображает множество А' на множество У.
Рис. 98.
Например, соответствия / и д, изображенные на рисунке 98 а и б. являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу х G А соответствует элемент у £ У. В случае г не соблюдается условие однозначности.
100
Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех у Е У называется множеством значений функции / и обозначается E(f).
14.2.
Числовые функции. Г рафик функции. Способы задания функций
©
Пусть задана функция f : Л’ —> У.
Если элементами множеств А' и У являются действительные числа (т. е. .Y С Ж и У С R), то функцию f называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у = ,Цх).
Переменная х называется при этом аргументом пли независимой переменной. а у --- функцией или зависимой переменной (от .с). Относительно самих величин х. и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (/) для обозначения зависимости.
Частное значение, функции f(x) при х — а записывают гак: ,Ца). Например, если /(.г) -
2.г2 - 3. то /(()) = -3, /(2) = 5.
Графиком феункции у = /(.г) называется множество всех точек плоскости Оху. для каждой из которых х является значением аргумента, а у coo । ветствующим значением функции.
Например, графиком функции у = \ZT~- х2 является верхняя полуокружность радиуса Г = 1 с центром в (7(0;0) (см. рис. 99).
Чтобы задать функцию у = ,/(:/') необходимо указа из правило, позволяющее', зная х. находить соответствующее значение у.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: апали тпческип, табличный, графический.
Аналитический способ: функция задается в виде одной пли нескольких формул или уравнений.
Например:
1)	S = тгТ?2
2)	, .г — 4
3)	у2 - 4.г = I).
Если область определения функции у -- f(x) не указана, го предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так. областью определения функции у = >/1 —- х2 является отрезок [—1: 1].
Аналитический способ задания функции является наибо. iee совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у = f(x).
Графический способ: задается график функции.
101
Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.
Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком - его неточность.
Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.
14.3.
Основные характеристики функции
1.	Функция у = f(x). определенная на множестве D, называется четной. если Vj: € D выполняются условия —х Е D и /(—.г) = /(.г): нечетной. если \/х Е D выполняются условия —х Е D к f(—x) = —f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Оу. а нечетной относительно начала координат.
Например, у = х2, у = yl+.т2, у — In |т| четные функции: а у = sir. х, у = х'1 нечетные функции; у = х — 1, у = у/х функции общего вида. г. е. не четные и не нечетные.
2.	Пусть функция у = f(x) определена на множестве D и пусть	с D.
Если для любых значений х\,х-> Е D\ аргументов из неравенства .Г] < х-2 вытекает неравенство: f(xt) < f(x?). то функция называется возрастающей па множестве /(щ)	/(тм), то функ-
ция называется неубывающей на множестве Dx. f(xi) > f(xz). го функция называется убывающей на множестве Di:
-S /(то), то функция называется невозрастающей на множест ве Уф.
Например, функция, заданная графиком (см. рис. 100), убывает на интервале (—2:1), пе убывает' на интервале (1:5), возрастает на интернате (3;5).
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве Di называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие - строго монотонными. Интервады, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (—2; 1) и (3; 5): монотонна на (1:3).
3.	Функцию у = /(х), определенную на множестве D. называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > 0, что для всех х Е D выполняется неравенство |/(ат)| М (короткая запись: у = /(л), х Е D, называется ограниченной на D. если ЭЛ/>0 : \/xED =>
102
=> |/U’)I С -И). Отсюда следует, чг лежит между прямыми у = —.V и у — .
4. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т > 0, что при каждом j1 € D значение (х + 7') G D и /(.г + Т) = f(x). При этом число Т называется периодом функции. Если Т период функции, то ее периодами будут также числа m  Т, где m = = ±1:±2.... Так, для у — sin ат периодами будут числа ±2тг; ±4тг; ±6тг,... Основной период (наименьший положительный) это период Т = 2тг.‘ Вообще обычно за основной период берут Т. удовлетворяющее равенству /(д + 7
го график ограниченной функции М (см. рис. 101).
наименьшее положительное число
) = /(•*)
14.4.	Обратная функция
Пусть задана функция у = /(.г) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению у G Е соответствует един-
ственное значение .с € D, то определена функция х = y?(i/) с. областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая функция ут(|/) называется обратной к функции /(.г) и записывается в следующем виде: х — = <Д.'/) = Про функции у =~- f(x) и .г = = у?(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х = </?(?/), обратную к функции у = f(x), достаточно решить уравнение f(x)--y относительно ;г (если это возможно).
Примеры:
1.	Для функции у = 2х обратной функцией является функция х — ~у:
2.	Для функции у — .г. х е [0; 1], обратной функцией является х = ^/у: заметим, что для функции у = х~, заданной на отрезке [—1; 1], обратной нс сущест вует, т. к. одному значению у соответствует два значения х (так, если у = то д, = х> = — 1).
©
Пз определения обратной функции вытекает, что функция у = f(x) имеют обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задает взаимно однозначное соответ ст вие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция у — f(x) и обратная ей х = </?(</) изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условить
103
©
ся, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х. а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у — f(x) запишется в виде у =
Это означает, что точка М\ (хо; уо) кривой у = f(x) становится точкой ЛЛфУо^о) кривой у = <р(х). Но точки ЛД и Л/-2 симметричны относительно прямой у = х (см. рис. 103). Поэтому графики взаимно обратных функций у = f(x) и у — <р(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
14.5.	Сложная функция
>
Пусть функция у — f(u) определена на множестве D, а функция и = р(х) на множестве Di, причем для Vz £ Di соответствующее значение и = р(х) G D. Тогда на множестве Dx определена функция и = которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).
Переменную и = ^{х) называют промежуточным аргументом сложной функции.
Например, функция у = sin2x есть суперпозиция двух функций у = = sin и и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
14.6.	Основные элементарные функции и их графики
Основными элементарными функциями называют следующие функции.
1)	Показательная функция у = а1', а > 0, а / 1. На рис. 104 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.
104
2)	Степенная функция у = ха, a G К. Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рис. 105.
Рис. 105.
3)	Логарифмическая функция у = logn .г, а > 0, а / 1; Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106.
105
4)	Тригонометрические функции у = sin,г. у = cosz. у — tg.r. у — ctgz; Графики тригонометрических функций имеют вид. показанный на рис. 107.
5)	Обратные тригонометрические функции у = arcsin.r, у = arccosj:. у = arctgx, у — arcctg.r. На рис. 108 показаны графики обратных тригонометрических функций.
>
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.
106
Примерами элементарных функций могут служить функции
3c°sv<?.	= arcsin- _	у = lg(2 + л3).
х 8х/ + 3
Примерами неэлементарных функций могут служить функции
у = sign х =
1,
< О,
^-1,
.с > О, х = О, х < 0;
если х. О, если х > 0:
] х2 + 1.
У = {
I А
г-3 х5
У = 1 ~	5 + 71 г
3! • 3 а! • 5
.,.7	г2п + 1
--------1----у (-])"---------:------------
7!-7	’ (2п + 1)! • (2n + 1)
§ 15.	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15.1.	Числовая последовательность
а
Под числовой последовательностью х^.хо. хя.... ,хи,... понимается функция	----------1
xn=f{n),\	(15.1)
заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {тп} или хп. п G N. Число тд называется первым членом (элементом) последовательности, х-у — вторым,..., ха общим или п-м членом последовательности.
Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру п. по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства
n„=n.2 + l, Z„ = (-1)" • п, уп = ~, и„ = ---------п е N
п	п.
задаю г соответственно последовательности
vn = {2,5,10,...,п2 + 1,...}; Zn = {-1,2, 3,4.........(-1)"
>
>
Последовательность {т„} называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для любого п G N выполняется неравенство
|х()| < ЛЛ
В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности ?/„ и и„ ограничены, а г„, и z„ не-ограничены.
Последовательность {£„} называется возрастающей {неубывающей). если для любого п выполняется неравенство а,,+ ) > а„ (a„ + i пн). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.
Все эти последовательности называются монотонными гокледова-тельностями. Последовательности ?•„, ?/,, и ин монотонные, а не монотонная.
107
Если все элементы последовательности {,г„ } равны одному и тому же числу с. то ее называют постоянной.
Другой способ задания числовых последовательностей — рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент тд (первый член последовательности) и правило определения zi-ro элемента по (п — 1)-му:
Таким образом, дл = ,/'(.i’i). ,г:> = и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.
15.2.	Предел числовой последовательности
>
Можно замел и гь. что члены последовательности utl неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность и„. и б N стремится к пределу 1.
Число а называется пределом последовательности {т„}, если для любого положи тельного числа е найдется такое натуральное число N, что при всех и > N выполняется неравенство
[.г,г - а| < е.
(15-2)
В эгом случае пишут Пш = lini ,i:„ = « или ,г„ —эпи говорят, что по-п -эх
следовагельность {.г,,} (или переменная .г,,. пробегающая последовательность .Г| ..С2..г:(....) имеет предел, равный числу а (или ,г„ стремится к а). Говорят также, что послсдовате. 1ьност ь сходится к а.
Коротко определение предела можно записать гак:
(Ve > О ЗА’ : \/п > Д’ ==> т„ -	< г) Ф=>
lini ,г„ = а. н -э х,
Пример П).1. Доказать, что lim -------1 = 1.
п—> X. Н
О Вощение: По определению, чис. ю 1 будет пределом последовательности в — 1	-
.г,, =---. и S N. если Vs > I) найдется натуральное число А’. такое, что
и
для всех п > А' выполняется неравенство -	- 1 < с, т. е. — < с. Оно
I о	и
.1	...	1]	Г11
справедливо для всех и > т. е. для всех и > А = - . где - целая
I
часп> числа - (целая часть числа .г. обозначаемая [а), есть наибольшее
целое число, не превосходящее ,г: гак [3] = 3.
5,2] = 5).
Если с > 1. то в качест ве .V можно взять
Пгак, Vc > 0 указано соответствующее значение А7. Это и доказывает, чю lini ——- = 1.	*
Н
108
о
Заметим, что число N зависит от е. Так, если е = Д?, то
26
если г — 0,01, то
N =
1
~Т~
100 J
26
3
8-1
3
= 8;
= [100] = 100.
N =
Поэтому иногда записывают N = N(e).
Выясним геометрический смысл определения предела последователь-
ности.
Неравенство (15.2) равносильно неравенствам —е < хп — а < е или а — £ < хп < а + £, которые показывают, что элемент хп находится в
s-окрестности точки а.

Рис. 109.
Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {ж,,}, если для любой s-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения xtl, для которых п > N, попадут в е-окрестпоеть точки а (см. рис. 109).
Ясно, что чем меньше е, тем больше число N, но в любом случае внутри Е-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности. а вне ее может быть лишь конечное их число.
Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность п„ (см. с. 107).
Постоянная последовательность х„ = с, п 6 N имеет предел, равный числу с, г. е. lime = с. Действительно, для Ve > 0 при всех натуральных п выполняется неравенство (15.2). Имеем |т„ - с| = |с — с| = ()<£.
15.3.	Предельный переход в неравенствах
Рассмотрим последовательности {у,,} и {
Теорема 15.1. Если lim хп — a, lim уп — Ъ и, начиная с некоторого номера, п—п~>0О '
выполняется неравенство хп < уп, то а < Ь.
Q Допустим, что а > Ь. Из равенств lim хп = а и lim у„ = Ь следует, п—*ос	п—
что для любого е > 0 найдется такое натуральное число Д’(Д. что при
109
всех п > N(e) будут выполняться неравенства	|дт,г — а| < г и \уп	— Ь|	< с,
т. е. а — е < хп < а + с и b — с < уп < Ь	+	с.	Возьмем е =	Тогда:
Т п _ г — п а~Ь — a + fr Т	а + 1>	и	п	/ /. -L С — .L	—	1+11
хп .> а — е — а — —у- — ~2~, 1- е. хп > —и	уп <. о + £ — о +	—	—5—.
т. е. уп < Отсюда следует, что хп > уп. Это противоречит условию хп Уп- Следовательно, а С Ь.	И
Теорема 15.2. Если lim хп = a, lim уп = а и справедливо неравенство ,г„ 11 —»0С	11—
zn Уп (начиная с некоторого номера), то lini z„ = а. п —> оо
(Примем без доказательства.)
15.4.	Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы
Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.
Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим после-/	1\П
довательность хп — (1 +	1 . и G N.
По формуле бинома Ньютона
(а + 6)” =ап + ~- ап~'  Ь +	• а" "2  Ь'Ч ...
и(и - 1)(п - 2)... (и - (п - 1))
...4	Г2.3......	b
Полагая о = 1. b = —, получим п
по
Из равенства (15.3) следует, что с увеличением п число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении п число — убывает, поэтому величины п "
Поэтому последовательность {л:,,} =
этом	/	,
.. возрастают.
- возрастающая, при
(15.4)
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство	1 „	1	1	1
1 + — ) < 1 + 1 +----+--------+  •  +------------.
\ п)	1-2	1-2 3	1-2-3.....п
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,.... стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
7	1\”
2.
Сумму в скобке найдем по грессии:
1 1
1	+ 2 + ? + '-' + ;
/ 1 1 1 \
1+(1+- + -л + '- - + —— ) •
формуле суммы членов геометрической про-
1
F-
Поэтому	.	. ц
(1+-) <1 + 2 = 3.	(15.5)
Итак, последовательность ограничена, при этом для V?» € N выполняются неравенства (15.4) и (15.5):
2	< (1 + У ) <3. \	11)
Следовательно, на основании теоремы Вейсрштрасса последовательность / IX"
хп = 11 + +	, п £ N, имеет предел, обозначаемый обычно буквой е:
п
Т^ = 2
1
Число е называют неперовым числом. Число с иррационально*', его приближенное значение равно 2.72 (с = 2.718281828459045...). Число с принято за основание натуральных логарифмов: логарифм но основанию е называется натура.тьным логарифмом и обозначается 1п.т, г. е. In .г = log, .г.
Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем .г = с111''. Прологарифмируем об*' части равенства по основанию 10:
1g х = Ig^.1"'1'), т. е. 1g.г = 1п т  1g е.
Пользуясь десятичными логарифмами, находим 1g е к 0,4343. Значит, 1g х ss 0.4343  In ж. Из этой формулы следует, что hi а- ~ q 43'43 ,г' т> е' In .г и 2,30261g х. Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.
111
§16. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
16.1. Предел функции в точке
Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки .Со. кроме, быть может, самой точки .со.
Сформулируем два. эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число Л называется пределом функции у = f(r) в точке j-0 (или при .т -> .Гц), если для любой последовательности допустимых значений аргумента и 6 N (.r„	.го). сходящейся к ;г0 (т. е. lim д„ = тр), после-
довательное! ь соответствующих значений функции f(.rn), п 6 N. сходится к числу .4 (т. е. lim f(:rn) = .4).
В этом случае пишут lim /’(.т) = .4 или /(.т) -э .4 при ,г —> ;г0. Гео-r-3.ro '
метрический смысл предела функции: lim /(.г) = ,4 означает, что для всех точек ,г, достаточно близких к точке до, соответствующие значения функции как угодно мало oi.шчаются от числа .4.
Определение 2 (на «языке t-д», или по Коши). Число .4 называется пределом функции в точке тд (или при ,г —> ,-гп). если для любого положительного е найдется гакое положительное1 число д, что для всех ,г то. удов, [створяющих неравенству |т — .г()| < д. выполняется неравенство |/(.г) — -1| < с.
Записывают lim f(.r) = .4. Эго определение коротко можно записать так:
(у.;- > 0 Зс> > 0 V.r
j.r - .гф < д. .r-ji.ro
пли () < |.г — ./'о| < 6
./'m. I - j •:
lim /(.г) = .4.
Геометрический смьк'.т предела функции: .4 = lim f(.r}. если для любой с-окреегп<>(лп точки .4 пайдейя такая /i-окрестносгь точки ./‘о, что для всех .г ф j-() из з гой /[-окрестности соответствующие значения функции /(л) лежш в е-окрестпостп точки .4. Иными словами, точки графика функции у = f(.r) лежат внутри полосы шириной 2t. oiрашгчеппой прямыми у = .4 + s. у = .1 — г (см. рис. 111)). Очевидно, что величина д зависит от выборам, поэтому пишу! /> = й'(г).
Пример 16.1. Доказат ь, что lirn (2.r — 1) = 5.
112
Q Решение: Возьмем произвольное г > 0, найдем 6 = 6(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству — 3| < <5, выполняется неравенство |(2а: — 1) — 5| < е, т. е. |ж — 3| < Взяв 6 = видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству Д' — 3| < б(= выполняется неравенство |(2.г — 1) — 5| < е. Следовательно, lim(2х — 1) = 5.	•
Пример 16.2. Доказать, что, если f(x) = с, то lim с = с.
Q Решение: Для Ve > 0 можно взять V5 > 0. Тогда при |ж —т0| < 6, г ,г0 имеем |/(z) — с| = |с — с| = 0 < е. Следовательно, lim с — с.	•
a--y.ro
16.2. Односторонние пределы
В определении предела функции lim f(x) = А считается, что х стремит-а-^.го
ся к .г0 любым способом: оставаясь меньшим, чем .то (слева от т0). большим, чем То (справа от т0), или колеблясь около точки т0.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к то существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних
>
пределов.
Число -4] называется пределом функции у = f(x) слева в точке То, если для любого число е > 0 существует число 6 = 6(e) > 0 такое, что при т 6 (то — Фто), выполняется неравенство |/(т) — AJ < е. Предел слева Записывают -гак: lim f(.r) = Aj пли коротко: /(то — 0) = Л) .r-y.l'0-О
(обозначение Дирихле) (см. рис. 111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
(Vt > 0 35 = 6(e) Vt е (т(); т0 + 6) => |/(т) - Д2| < е)
lim f(x) = А-2.
>
Коротко предел справа обозначают /(т0 + 0) = А2.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует lim f(x) = А, то существуют и оба X~>XQ односторонних предела, причем Д = Aj = А2.
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела /До - 0) и /(т0 + 0) и они равны, то существует предел А = lim f(x) и X—>XQ
А = /(т0 - 0).
Если же А] / А2, то lim f(x) не существует.
11.3
16.3. Предел функции при х —> оо
Пусть функция у = /(ж) определена в промежутке ( — ос; ос). Число Л называется пределом функции f(x) при х —> ос, если для любого положительного числа е существует такое число М = А/(е) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |.т| > М выполняется неравенство |/(аг) — Л| < е. Коротко это определение можно записать так:
(ve > О ЗА/ > 0 Ух : |т| > М => |/(х) — Л| < е) <=> lim /(.г) = Л.
Если х—>+оо, то пишут Л= lim /(.г), если .г-д —ос. то - Л= lim f(x).
.г-»+х:	.r-з-эс
Геометрический смысл этого определения гаков: для Vc > О ЗА/ > 0. что при х 6 ( — ос; —М) или х £ (А/; +оо) соответствующие значения функции f(x) попадают в Е-окрестность точки Л. т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2е, ограниченной прямыми у — Л + г и у = Л — е (см. рис. 112).
Рис. 112.
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
Функция у = /(.г) называется бесконечно большой при х -> х^. если для любого числа А/ > 0 существуй г число 6 = А(А/) > (), что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |.г — т()| < А. выполняется неравенство > М. Записывают lim /(.г) = ос или /(.г) —> ос при х —> :г(|. Коротко:
УМ >0 ЗА>0 Ух: |.т-хф<д, х^хц => |/(т)| >М ) <=> lim /(;г) = оо. /	J--л.Г о
Например, функция у =	( ( гь ^-^Ф- ИРИ г 2-
Если f(x) стремится к бесконечности при х —> ,г0 и принимает лишь положительные значения, то пишут lim f(x) = +оо: если лишь отрица-
тельные значения, то lim /(.г) — —ос.
Функция у - f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х —> ос, если /тля любого числа .W > 0 найдете ;:
такое число N = Л’(Л1) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |л| > N. выполняется неравенство |/(,г)| > М. Коротко:
(уМ > О ЗА >0 V.r: |j-| > Л’ => |/(,г)| > Л-Н <=> lim /(х) = оо.
\	/	X —
Например, у = 2,т есть б.б.ф. при х —> ос.
Отметим, что если аргумент х. стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. х 6 М то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовать плюс гь = ir + 1, п 6 N. является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки хг, является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция може т и не быть б.б.ф. (Например, у = a: sin т.)
Однако, если lim f(x) = А, где А конечное число, то функция f(x) ограничена в окрестности точки ,т0.
Действительно, из определения предела функции следует, что при х —> ./'о выполняется условие |/(.г) - А| < е. Следовательно, А — е < /(.г) < < А + с при х £ До — е: -'’о + е), а эго и означает, что функция /(.г) ограничена.
§17. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.)
17.1. Определения и основные теоремы
Функция у = f(x.) называется бесконечно малой. при х —> Xq. если
lim f(.r) = 0. .Г{1
(17.1)
По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа с > 0 найдется число <1 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству () < j.r — ;г((| < д. выполняется неравенство |/(.т)| < £.
Аналогично определяется б.м.ф. при х —> ,г0 + 0. х —> xq — 0. х —> +оо, х —> —ос: во всех этих случаях /(т) —> ().
Бесконечно малые функции часi о называют бесконечно малыми величинами пли бесконечно матымп; обозначают обычно греческими буквами а. ,3 и т. д.
Примерами б.м.ф. служат функции у = х2 при х —> 0: у = х — 2 при .г —> 2: у = sin д- при х —> лк. к б Z.
Другой пример: ./•„ = п 6 М бесконечно малая последовательность.
Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Q Пусть о(.г) и /1(.г) две б.м. функции при х —> Хц. Это значит, что lim о(.г) = 0. т. е. для любого е > (). а. значит, и > 0 найдется число
11.0
Ji>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< |ж — .г0| <^1  выполняется неравенство	F
|a(z)| < -	(17.2)
и lim /3(х) = 0, т. е.
X—
(v| >0 3<52 > 0 V.r : 0 < \х - z0| < <S2) => |/3(х)| < |. Щ.З)
Пусть 6 — наименьшее из чисел ф и §2- Тогда для всех х. удовлетворяющих неравенству 0 < |z — Zq| < <5, выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение
£ £ |a(z) + /3(х)\	|a(z)| + |Д?(ж)| < - + - = е.
Таким образом,
Ve > 0 3<5 > 0 \/х : 0 <	— х0| < <5 =$ |а(л:) + /3(х)| < е.
Это значит, что lim (a(z) + /3(z)) = 0, т. е. o(a:) + /3(z) --- б.м.ф. при х —> аг0.
X—

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.
Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Д Пусть функция /(ж) ограничена при х —> ,г0. Тогда существует такое' число М > 0, что
|/(т)КЛ7	(17.4)
для всех х из ф-окрестности точки хд. И пусть «(л:) б.м.ф. при х —> лд. Тогда для любого £ > 0, а значит, и -^ > 0 найдется такое1 число (5а > 0. что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |.г — .г(>| < <5>. выполня-
ется неравенство	£
|о(л:)| <	(17.5)
Обозначим через <5 наименьшее из чисел Ф и <12. Тогда для всех :г. удовлетворяющих неравенству 0 < |лг — лд| < <5. выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, |/(;г)л) | = |/(.г)| |а(л:)| <	= £.
А это означает, что произведение /(.т)  а(х) при х —> ху есть бесконечно малая функция.	М
Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
116
Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Q Пусть lim а(х) = 0, a lim /(,т) = а 0. Функция -может быть представлена в виде произведения б.м.ф. а(.т) на ограниченную функцию 1	q(.t)	1
. Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное = а(х)  есть функция бесконечно малая.
Покажем, что функция у ограниченная. Возьмем £ < |а|. Тогда, на основании определения предела, найдется 5 > 0, что для всех л, удовлетворяющих неравенству 0 < |аг — аг0| < <5, выполняется неравенство |/(ж) - а| < £. А так как е > \f(x) - а| = |а - f(x)\	|а| - \f(x)\, то
|а| _ I f(* * * * * * * x)\ < т- е- I > |а| - б > 0. Следовательно.
I —h —< —=
1/(.т)1 \f(x)\	|а|-Е
т. е. функция	ограниченная.
Теорема 17.4. Если функция а(.т) — бесконечно малая (а II), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция /(т) — бесконечно большая, то , — бесконечно малая.
Q Пусть <т(.г) есть б.м.ф. при х -о- ад, т. е. lim <х(х) = 0. Тогда
.Г—
(Vs > 0 3<5 > 0 Vx : 0 < |.т - а?о| <	=> |о(а:)| < г.
т. е.  } . > i. т. е.  1 у > М, где М = -. к это означает, что фупк-
ция ... есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное
утверждение.	И
Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда
х —> .го. но они справедливы и для случая, когда х -о- оо.
Пример 17.1. Показать, что функция
Я-г) = (х - I)2  sin3 —?-j-
при х -о- 1 является бесконечно малой.
Q Решение: Так как lini (а: — I)2 = 0, то функция уфт) = (х — I)2 есть бесконечно малая при х -о- 1. Функция д(х) = sin3 -...- - j, х ф 1, ограничена
[sin3 —1—г 1^1.
I х - 11
117
Функция f(x) = (х — I)2 • sin3 представляет собой произведение ограниченной функции на бесконечно малую (:р(г)). Значит. f(x) -бесконечно малая при х —> 1.	•
17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
Теорема 17.5. Если функция f(x) имеем предел, равный .4, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции о(.т), т. е. если lim /(;г) = .4, то /(х) = А + а(х).
Q Пусть lim f(x) = Л. Следовательно, X—>Хо
(Ve > 0 3<5 > 0 V.r : 0 <	- ди| <	=> \f(x) - А| < г.
т. е. |/(т) — А - 0| < е. Это означает, что функция /(.т) - А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф.. которую обозначим через о(т): f(x) - А = а(х). Отсюда /(т) = А + о(.г).	
Теорема 17.6 (обратная). Если функцию /(.г) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции о(.г), то число А является пределом функции т. е. если f(x) — А + п(х), то lim f(x) = А.
.г—>.г0
Д Пусть f(x) = А + о(т). где а{х) б.м.ф. при х —> т(), г. е. lim о(.г) = (.). Г о
Тогда
(ус > 0 3<*> > 0 V.r : 0 < |.г - .гф < д') => |«(.г)| < е.
А так как по условию f(x) = А + <*(х), то а(г) = /(.г) - А. Получаем
(Ve > 0 3d > О W : 0 <	- т(>| < д) |/(:г) - А| < е.
А это и означает, что lim /(.z-) = А.	В
X -ЭТО
Пример 17.2. Доказать, что lim (5 + .г) =
Q Решение: Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х — 2 (при х -л 2), т. е. выполнено равенство 5 + .г = 7 + (.г ~ 2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем lim (5 + х) = 7.	•
.Г-э 2
118
17.3. Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы. которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х -л х0 и х -о- ос, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы lim /(;<•), lim д(.г) существуют.
.Г--^.Ео	.Г-4.1’0
Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
lim if(x) ± Дт)) = lim /(.г) ± lim ^(.г).
Д'—>.Г<)	Д’ —> Д'О	о
Q Пусть lim fix') ~ .4. lim ^j(.r) = В. Тогда по теореме 17.5 о связи •Т—>Д'О	Д’—>Д’о
функции, ее предела и б.м.ф. можно записать /(.г) = А + а(.т) и у?(а:) — — В + f(x). Следовательно, /(.г) + <р(.г) = А + В + (<т(т) + /1(т)). Здесь О’(т) + В(х) б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать lim (fix) + <р(л)) = А + В, т. е.
Л—М'О
lim (f(x) + ^(х)) = lim fix) + lim р(х).	
Д' —'	,г-»Д’о
В случае разности функции доказательство аналогично.
Теорема справедлива для а/п ебрапческой суммы любого конечного числа функций.
I
| Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при х —> х0.
Q Пусть lim f)x.) = .1 и lim f (х) = В. По теореме 17.7 имеем:  I- *.Г()	Д'—>.Г()
I) = lim (fix) - fix)) = lim f(x) - lim f(x) = A - B. .1 ->.)(»	Д'—».rn	Д---4-.ro
Отсюда A - В = 0. i. e. .4 = B.
Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
lim ifix)  <(.<•)) = lim fix.)  lim у?(.т:).
Д’—>.ГО	Д’-^Д'п	Д’ ->Д.’о
Q Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как lim f(x) — .4, lini у?(а:) = В, го
'	.1- Ч-.го
fix) - .4 + о(т), Д.Т) = В + fix),
где о(.с) и f(x) - б.м.ф. ('ледовательпо.
/(;<•)  у’(.с) =• (.4 + nix))  (В + fix)).
119
т. е.
f(x)  ip(x) = АВ + (Л  ,3(-7’) + В  а(х) + а(.г)/3(х)).
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
lim f(x)  <р(х) = А - В,
X~AXq
lim (/(аг)у>(х)) = lim f(x) lini Д.р.	
X-AXq	X-AXq	X~AXq
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim c-f(x)=c- lim f(x).
.r->J0	X —«0
Q lim (c-f(x)) = lim c- lim f(x) — c- lim f(x).	
X~AXC)	X-AX)	X —>Xq	X-AXO
Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени (\ п
lim /(х)) . В частности, lim х" = х'^, п 6 N.
X—/	-Г—>.Г0
□ Вт (/(р)Р = lim (/(;г)  /р)  ...  /(:?:)) =
X —> X о	X-АХ О S.........----------
п сомножителей
= ( lim /(хЙ -V-+.E0	/
lim /(.г)  ...  lim /(р =
X —>,Го

Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
lim f(x)
lim 44 = И*0     	( lim <p(P	O)-
X^XQ ^p(x)	11II1 <p(X)	\x—axq	)
□ Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств
lim /(р — А и lim <рр = В р О Х~+Хо	X-AXq
следуют соотношения /(р = А + а(х)	и <р(х) = В	+	3(:г). Тогда
/(ж) А + «(ж) А (А + а(х)	А\ _ А	В  а(х) — А  fl(.r)
<р = В + /Зр) = В + \В + /3(л:)	” в) ~ В	+	В2 + В  5(з-)	'
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.
.	,, , lim f(x)
тт	1-	/(^ А 1- /Р J—brn	и
Поэтому lim	т. е. lim 1LA—\ =	1—гт-	
x-fXo д(х) В' х^хо ^(х) Inn pz)
X X о
120
Рассмотрим пример.
Пример 17.3. Вычислить lim (За?2 — 2а? + 7). х—>1
Q Решение:
lim (За:2 — 2.т + 7) = lim За:2 — lim 2а? + lim 7 =
Г -> 1	Г—-Л	141	/41
/ ч 2
= 3( lim а?) — 2 lim х + 7 = 3-1 — 2 + 7 = 8. •
\2—>1	/	,Г-+1
Пример 17.4-
Вычислить lim х	——
/42 а?“ — 6а? + 8
Q Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при х —> 2, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида 2. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х — 2 / 0 (х —> 2, но а? / 2):
.г2+ 14.7--32	(а? —2)(ж+16)
/42 а?2 — б.г + 8	/42 (х — 2) (а: — 4)
а:+ 16 hm^ + ie) 2 + 16	_
= lim------ =	-------- = ---- = -9. •
/42 х — 4 lim (х — 4)	2 — 4
Пример 17.5. Вычислить lim	+ За? + 1
2 г	-Лоо 4х2 + 2а? + 5
Q Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида —. Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на х~‘.
2:г2 + За- + 1	2+^ + ^	J™/2 + 7 + 1М -1
Inn —77---------—- — lim -----------------------------------------=— =
4.г2 + 2:г + 5 .woo 4 + j + lim (4 + ~	2
О 1
Функция 2 + — + Дт есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому a: 3-
lim (2 + — Ч—7) =2;
.r-4oc\ X Х~ >
( i а \	.
lim (4ч------1—- ) =4.
х а?'/
17.4.	Признаки существования пределов
Нс всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х —> оо предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
121
Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция /(z) заключена между двумя функциями <^(z) и </(z), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если
lim y?(z) = Л. lim ry(.r) — Л,	(17.6)
T’W < /(•'•) <	(17.7)
то liiii =г- Л.
□ Из равенств (17.6) вытекает, что для любого Е > 0 существуют две окрестности и Ф> точки z0. в одной из которых выполняется неравенство |<р(х) - Л| < £, т. е.
-£ < Дт) - Л < 5.	(17.8)
а в другой |д(.т) — Л| < е. т. е.
i — е < д{:г) - Л < е.	(17.9)
Пусть <S меньшее из чисел ф и 6>. Тогда в ^-окрестности точки .Го выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).
Из неравенств (17.7) находим, что
у?(т) - Л < /(.г) - Л С </(z) - Л.	(17.10)
С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства — < f(:r) — .4 < £ или \.Ц.г) — Л| < с.
Мы доказали, что
Vt > 0 Л5 > 0 Vz : 0 < |z - т„| < 6	'J(z) - Л! <
то есть lim /(.г) — Л.	В
J' —>.r
Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют (функции Д.г) и g(jc). функция /(.г «следует за милиционерами».
Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция /(z) монотонна и ограничена при .г < ,г0 или при .<• > z(), то существует соответственно ее левый предел lini /(z) — /(z() - 0) или ее правый предел lim f(.r) = /(.с(| +0).
Доказательство-ион теоремы не приводим.
Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность .r„, n G N. имеет предел.
122
17.5.	Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
lim = 1,
(17.П)
>
называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).
□ Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х (см. рис. 113). Пусть 0 < х < На рисунке |ДМ| = sinz, дуга
Л1В численно равна центральному углу х, |ВС| = tgx. Очевидно, имеем S&mob < Диктора мов < S'acob. На основании соответствующих формул геометрии получаем i.sinx < i.r < itgx. Разделим неравен-
Рис. 113.
1	г	1
ства на » sin х > 0, получим 1 <	±— или
2	•	sin х cos х
cos .г < 8111 х < 1. Так как lim cos х = 1 и lim 1 = 1, X	£->0	J-—>о
то ио признаку (о проделе промежуточной функции) существования пределов
, sin х
lim ----- = 1.	(17.12)
.r->0 X	V
(,r>0)
Пусть теперь x < 0. Имеем	где
х - х '
—х > 0. Поэтому
, sin х
lim ----- = 1.	17.13
мо х
(т<0)
Из равенств (17.12) и (17.13)
вытекает равенство (17.11).
Пример 17.6. Найти lim
sin 3т
2.r '
вида 2. Теорема о пределе дроби
Q Решение: Имеем неопределенность неприменима. Обозначим 3,г = t; тогда при х —> 0 и t —> 0, поэтому sin t
sin Зато — ,r=o 2,r
sin t	3 sint
= lim-----r- = Inn - •---
f^o 2	'
3..
= - lim
t 2 f-»o

2
3
t1-
2
Пример 17.7. Найти lim
.г ч> х
Q Решение: lim = lim —— .Г--М) :r ,r-->o .r
1	sin a:
----- = lim------ COST •' >o x
lim 1
lim cost
=4 = L
123
17.6. Второй замечательный предел
/	1 \ ”
Как известно, предел числовой последовательности хп = ( 1 + — \ , п G N, имеет предел, равный е (см. (15.6)):
lim (1+ —	= е.	(17.14)
н-кх> \ п )
Докажем, что к числу е стремится и функция хп = (1 + i) при х —> ос
1. Пусть х —> +оо. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: п х < п + 1, где п = [:г] — это целая часть х. Отсюда следует —< 1 < 1.	1 + —“	<1 + 1<1	+ 1,	поэтому
п + 1 х п’ п + 1 х п
Если х —> +оо, то п —> оо. Поэтому, согласно (17.14), имеем:
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов	, юа.
lim (1 + -) =с.	(17.16)
2. Пусть х —> —оо. Сделаем подстановку —х = t. тогда

Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).
Если в равенстве (17.15) положить у = о (о —> 0 при х > оо), оно
запишется в виде
lim (1 + о) “ = е.
а->0
(17.18
Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция у = ех называется экспоненциальной. употребляется такж< обозначение ех = ехр(х).
Пример 17.8. Найти lim f 1 + — X —* ОС X	X
124
Q Решение: Обозначим х — 2t, очевидно, t —> оо при х —> оо. Имеем
/	2\/ l\2t
lim 1 Ч—	= lim 1 + -	=
г->оо\	xJ	t)
I	1 \1	/	1 \t
= lim (1 + - ) • lini (1 + - ) = e • e = e2. t->OO\	tJ	1->OO\	tJ
§18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
18.1.	Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть а = а(х) и /3 = j3{x) есть б.м.ф. при х —> х0, т. е. lim а(х) = 0 и lim (3{х.) = 0.
•Р—
1.	Если lim § = А 0 (А € К), то а и (3 называются бесконечно р
малыми одного порядка.
2.	Если lim = 0, то а называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (3.
3.
Если lim =
Го р порядка, чем /3.
оо, то а называется бесконечно малой более низкого
4.	Если lim не существует, то а и (3 называются несравнимыми бес-х->х0 Р
конечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х —> ±оо,
Пример 18.1. Сравнить порядок функций а = З.г2 и В = 14х2 при
Q Решение: При х —> 0 это б.м.ф. одного порядка, так как
г а г Зж'2 3	/ П
lim — = lim ----у = — Ф 0.
,г-»о /3 j-ю 14х“	14
Говорят, что б.м.ф. о и В одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.	•
Пример 18.2. Являются ли функции а = Зх4 и 3 — 7х б.м.ф. одного порядка при х —> О?
125

1

Q Решение: При х —> 0 функция а есть б.м.ф. более высокого порядка, чем в. так как lim Ц — lim = lim = 0. В этом случае б.м.ф. а J'-M) 3	,г->0 IX ,г-+0 I
стремится к нулю быстрее, чем 3.	•
Пример 18.3. Сравнить порядок функций а = tg.r и 3 = х,2 при х. —> 0.
О Решение: Так как ,. a tg;r sin г 1 11111 — = 11Ш --------------7.~ = 11111 - ' --
г—.0 3	•<—М> X-	J—+0 ,Т COS.)
то а есть б.м.ф. более низкого порядка, чем 3.
Пример 18.4- Можно ли сравнить функции < х -> 0?
Q Решение: Функции о = х  sin у и 3 = х при х —> 0 являются не-,	х  sin	1
сравнимыми б.м.ф., гак как предел lim Ц = lim --------- = lim sin — пе
.г-Н> 3	.с-,0	X
существует.	*
X  sin i и 3 = х
18.2.	Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
Средн бесконечно малых функций одного порядка особую роль nrpaioi __	так называемые эквивалентные бесконечно малые.
ф	Если lim = 1-ю е и 3 называются эквивалентными бесконеч-
но малыми (при х —> .То): эго обозначатся гак: о ~ 3.
Например, sin .г ~ х при х —> 0. i. к. lini = [ t.gz ~ г ПрП г р ./ — >(> х
т. к. lim = 1.
.Г —г О X
Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
□ Пусть о ~ (3 и 3 ~ 3' при х —> .г,,. Тогда
о
1пп — = Inn —  — .г^.1-0 3	\ 3	(3
3' т
1-	° г	1- а 11	1- а
lim —  Inn — • йш ————1*1' lim —-.
о' -Г ->./(> 3 Г-^.Гг 3'	г-ы-о 3'
т. е. lini lim
.г—>.гп Л
/
Очевидно также, чю lim Ц = lim = lim
-> .1',)	1	J I
Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
126
□ Пусть а ~ в при х —> Xq- Тогда
lim -------- = lim fl — — 'j = 1 — lim — =1 — 1 = 0,
i--n-n а .г->.тп \ a/	i-noa
аналогично lim '1 ,	= 0.	И
Т->.Г0
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. а и 3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем а или 3, то а и 3 — эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как lim ——— = 0, то lim (1 — —) = 0, т. е.
.г—м-о (1	х — >J’o \	Л/
1 — lim — = 0. Отсюда lim — = 1, т. е. о ~ в. Аналогично, если
-Г—>.1'0 О	ТЛ.Г,, <1
lim a Q = 0. то a ~ 3.
.! ->.Г0	о
Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
□ Докажем теорему для двух функций. Пусть о —> 0, 3 —> 0 при х —> .Гц, причем о - б.м.ф. высшего порядка, чем 8, т. е. lim = = 0. Тогда
X —Р
lim —= lim f-y + Й = lim ^+1 = 0 + 1 = 1.
.ГЭЛ, 3 -Г ^.пЛЗ >	I'-O'l) 3
Следовательно, a + 8 ~ 3 при x —> .r0.	И
Слагаемое, эквивалент ное сумме бесконечно малых, называется главной частью отой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Пример 18.5. Найти предел lim Лр 
/Я1 8ш2г
Q Решение: liin	= lim Д‘х = lim = х. поскольку
.,-><> sin 2т	л sm 2х ,с^о 2т 2’
З.г + 7.Д ~ З.г и sin 2т ~ 2х при х —> 0.	•
.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
числение пределов
Для раскрытия неопределённостей вида 2 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sin д’ ~ .т при х. —> 0, tg х ~ х при х —> 0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.
127
Пример 18.6. Покажем, что 1 — cos .г ~ при х —> 0.
Q Решение:
1-C0S2-	2 sin2
lim -----5--- = lim -----,—-
мО £2	.г—>0	£2
2	2
Пример 18.7. Найдем lim aitSin
,с—>0	х
Q Решение: Обозначим arcsinx = t. Тогда x =
sin А и t —> 0 при x —> 0.
Поэтому
arcsnij:	t
lim----------= Inn-------
j—»o x t^>o sin A
Следовательно; arcsinj ~ x при x —> 0.
Пример 18.8. Покажем, что \/1 + х — 1 ~ при х —> 0.
Q Решение: Так как
,.	\/1 + х — 1	,.	(\/1 + ;г — 1) (\/1 + 2-' + 1)
Jim ------------ = hm -------------;	---------- =
>0	т-40 i • (У1 + X + 1)
•Г	2	2
= Inn .......   —----- = lim ,	---- = -
‘->0 ^(х/1 + х + 1)	!•-><> yi + х + 1	2
то yi + т — 1 ~ при х —> 0.
Ниже приведены важнейшие эквивалетпности. которые использую
ся при вычислении пределов:
1.	sin а- ~ х при х —> 0;
2.	tga: ~ х (.г -> 0):
3.	arcsinir ~ х (.г —> 0);
4.	arct.ga: ~ х (х —> О);
2
5.	1 — cos х ~	^1) "’
6.	сг - 1 ~ а- (х -> 0):
7.	aJ' — 1 ~ х  In а (х —> 0);
8.	ln( 1 + х) ~ х (х -> 0);
9-	log„(l + .т) ~ х  logo с (х -э 0);
10.	(1 +:г/' - 1 ~ А:- х. к > 0 (.г -> 0): в частности, \/1 + х - 1 ~
Пример 18.9. Найти lim г	,( ^о sin3ar
Q Решение: Так как tg2,r ~ 2.r,sin3.r ~ З.г при х —> 0. то
tg2.r 2.г	2
lim------ = lim — = -
j->osm3z j—»о Зх 3
12S
Пример 18.10.' Найти lim x(e1/Zx — 1).
О Решение: Обозначим - = t, из х —> оо следует t —> 0. Поэтому ,т
lim T(e1/,J' — 1) = lim -le* — 1) = lim -  t — lim 1 = 1. £->oc	t—>0 t	t-tO t
Пример 18.11. Найти lim л-+1 x~ - 5x + 4
О Решение: Так как arcsin(a: — 1) ~ (х — 1) при х —> 1. то
arcsin(x - 1)	(т - 1)	1	1
hm —т,----------- = lim -----—------— = lim-------- = —.
x-+l x—OX + 4 z-»l (r - 1)(.T - 4)	4	3
Приближенные вычисления
Если л ~ fl, то. отбрасывая в равенстве о = = /?+ (о — (?) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. о — fl, получим приближенное равенство о ~ fl.
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных форму..ч.
Приведенные формулы справедливы при малых .т, п они тем точнее, чем меньше х.
Например, графики функций у = tg х и у = х в окрестности точки 0 практически пе различимы (см. рис. 114), а кривая у — sin.r и окрестноеги точки 0 сливается с прямой у = х (рис. 115). На рисунках 116 118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивачептпостей, о которых говорилось выше.
Рис. 115. sin.z; и X. (х —> 0)
Рис. 116. 1п( 1 + .г) » .г (х -> 0)
12!)
5-418
Рис. 117. cos.г и 1 — -r— (.г —> 0)
Рис. 118. /Пйт % 1 + (;г	0)
|	Пример 18.12. Найти приближенное значение для In 1,032.
Q Решение: In 1.032 = 1п(1 + 0,032) ~ 0,032 Для сравнения результата по таблице лот арифмов находим, что In 1.032 = 0,031498 ...	•
§19. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
19.1.	Непрерывность функции в точке
lira f(x) = /(:r0).
Пусть функция у — /(т) определена в точке хд и в некоторой окрестности згой точки. Функция // = /(т) называется непрерывной в точке х(). если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой гонке, г. о.
(19.1
Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:
1)	функция /(.т) определена в точке х0 и в ее окрестности;
2)	функция /(.г) имеет предел при х —> .го;
3)	предел функции в гонке .г0 равен значению функции в этой точке г. е. выполняется равенство (19.1).
Так как йгп х = х0, ю равенство (19.1) можно записать в виде
lim /(.г) = /( lim х) = f(xg).
(19.2
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f (./ можно перейти к пределу под знаком функции, то есгь в функцию f(.r вместо аргумента х подставить его предельное значение Хд.
Например, lim = с*^'1 * = с. В первом равенстве функция ./• -•>()
предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции <
Пример 19.1. Вычислить .4 = liin —
130
Q Решение:
ln(l -4-	j	i
lim —:—---------= lim - • Infl + x) = lim Infl + x)» =
r-^o X	.r-?0 J'	,r—>0
= Inf lim (1 + x)'^ = Ine = 1. Vr-H)	/
Отметим, что Infl + x) ~ х при x —> 0.
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.
Пусть функция у = f(x) определена в некотором интервале (а: Ъ). Возьмем произвольную точку хо £ (а; Ь). Для любого х & (а;Ь) разность х — хо называется приращением аргумента х в точке Хо и обозначается Д.г («дельта х»): Ах = х — .гд. Отсюда х = Хо + Дх.
Разность соответствующих значений функций f(x) ~ /(хо) называется приращением функции f(x) « тючке Xq и обозначается Ду (или Д/ или Д/(х0)): Ду = /(^г) —/fa-о) или Ду = f(x0 + Ax)--f(x.o) (см. рис. 119).
Очевидно, приращения Дх и Ду могут быть как положительными, так и отрицательными числами.
Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х -4 хо и х — Хо —> 0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вил lim (/(а:) - /(х0)) = 0 или гл .г о
(19.3)
lim Ду = 0.
Д.г-»0	'
Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у = f(x) называется непрерывной в точке Хо- если она определена в точке Хо и ее окрестности и выполняется равенство (19.3). т. о. бесконечно малому приращению аргумента соответствует' бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)). либо второе (равенство (19.3)) определение.
ч
Пример 19.2. Исс. и’ловать на непрерывность функцию у — sin .г.
Q Решение: Функция у = миг определена при всех х G R
Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Ду:
/ Д.т\ Дх
А у = sinfrr + Д.г) - sin х = 2 cos ( х + — I • sm —.
/	\ 7* \	/\ Т
Тогда lim Ду = lim 2 сот х + -- -sin =тг = 0, так как произведение отраннченнон функции и б.м.ф. есть б.м.ф.
Согласно определению (19.3). функция у = sin х непрерывна в точке .г.
Аналогично доказывается, что функция у = cost также непрерывна.
5*
19.2.	Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция у = /(х) называется непрерывной в интервале (а,Ь), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция у = f(x) называется непрерывной на отрезке [а, 6], если она непрерывна в интервале (а. Ь) и в точке х = а непрерывна справа (т. е. lim /(х) = /(а)), a в точке х = Ь непрерывна слева (т. е. lim f(x) = f(b)\.
4-О' ’	/	\	х—¥b—0	/
19.3.	Точки разрыва функции и их классификация
а
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = хд — точка разрыва функции у = го в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:
1.	Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке хд.
Например, функция у =	2 не определена в точке Хд = 2 (см.
рис. 120).
Рис. 120.
Рис. 121.
2.	Функция определена в точке х.д и ее окрестности, но не существуем предо. ia /(.г) при .г —> Хд.
Например, функция
{х — 1. если — 1 < х < 2,
9	9	\ .
2 — х, если 2 х 5.
определена в точке х.д = 2 (/(2) = 0), однако в точке х0 = 2 имеет разрыв (см. рпс. 121), I. к. э та функция не имеет предела при х —> 2:
lim /(х) = 1. a lim /(х) = 0.
гто_>-(Г 7	'
3. Функция определена в точке хп и ее окрестности, существуй lim /(.г), но этот продел не равен значению функции в точке т,,: lim f(x) # Цхд).
132
Например, функция (см. рис. 122)
{sin z
X
2,
если i^O: если х — 0.
Здесь .;'о = 0 — точка разрыва:
v /хк sinx lim д(х) = lim ----- = 1.
х —>0	.г—>0 X
а </(^о) = 3(0) = 2.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва .г(| называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x). если в этой точ-
ке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. lim fix.) = и lim f(x) — До. При этом:
г-ьго-О	.г -> .? о + 0
а) если .4i = Л2, то точка aig называется точкой устранимого разрыва; б) если Л| ф А-2, то точка До называется точкой конечного разрыва. Величину |Д[ — Л21 называют скачком функции в точке1 разрыва первою
рода.
Точка разрыва хо называется точкой разрыва второго рода функции у = fix), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует пли равен бесконечности.
1.	Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120).	,
xq = 2 — точка разрыва второго рола.
2.	Для функции
!х — 1, (’ели — 1 .г < 2.
о	о s s г
2 — х, если 2 х 5.
.го = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен
3.	Для функции
при ,г#0, ф.т) =	'
( 2 при х = 0
.Го = 0 является точкой устранимою разрыва. первою рола. Положив ,9(.г) = 1 (вместо д(х) = 2) при х = О, разрыв устранится, функция станет непрерывной.
Пример 19.3. Дана функция f(x) = --------У Найти точки разрыва.
./ — •)
выяснить их тип.
Q Решение: Функция f (т) определена и непрерывна па всей числовой осп, .. п	, I 1 при .г > 3.
кроме точки х = 3. Очевидно, f{x) = <	Следовательно,
1-1 при х < 3.
lini f(x) = 1, a lim f(x) = —1. Поэтому в точке х = 3 функция имеет г—>3 + 0	х—>3 — 0
разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен I — ( — 1) = 2. •
13.3
19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Ц Пусть функция f(x) и ^(т) непрерывны на некотором множестве А' п ;с() - любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения F(.r) = f(x)  ^>(х). Применяя теорему о пределе произведения, получим:
lim F(.r) = lim (/(Ц-Дт)) = lim f(x)- lim <Д;г) = /(т0)•tp(xo) = F(xo).
Итак. lim F(;r) = F(.'r0), что и доказывает непрерывность функции
/(.г)  Д-г) в точке ,т0.	
Теорема 19.2. Пусть функции у — Дт) непрерывна в точке xq, а функция у = f(u) непрерывна в точке п0 = <е(-го)- Тогда сложная функция /(Д.г)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .Го-
Q В силу непрерывности функции и = Дх), lim у?(т) = ^(тц) = wo, т. е. при х —> ./'о имеем и -> щ>. Поэтому вследствие непрерывности функции у = /(и) имеем:
lim /(Дт)) = lim = f(u0) = /(^(т0)).  I—> /'ll	U^llQ
Эго и доказывает, что сложная функция у = ДДД) непрерывна в точке .го.	И
Теорема 19.3. Если функция у — /(.г) непрерывна и строго монотонна на [а; 6] оси Ох, то обратная функция у = ^(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказательства).
Так, например, функция tg х =	, в силу теоремы 19.1, ес ть функ-
ция непрерывная для всех значений х. кроме тех. для которых cost = 0. т. е. кроме1 значений х =	+ тгн,. п е Z.
Функции arcsinx-. arctgх. arccosx1, arcctgx, в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.
Можно доказан», что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.
134
ф
Как известно, элементарной называется такая функция, которую .можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Прим,ер I9.4. Найти lim 2ctgJ'.
г _.х Д-
Q Решение: Функция 2ctg *' непрерывна в точке х = поэтому liin 2ctg-r = 2ct«i = 2* =3 2.	•
19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Изображенная на рисунке 123 функция у — f(:r) непрерывна на отрезке [а: 6]. принимает свое наибольшее значение М в точке ,Г|. а наименьшее /// -в точке х->. Для любого ,г Е [о: 6] нмее! место неравенство /п s5 f(.r)	41.
Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у = /(.г) непрерывна на отрезке [а:Ь] и принимает на его концах неравные значения f(<i) = A и /(/?) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между .4 и В.
Геометрически теорема очевидна (см. рис. 12-1).
Для любого числа С. заключенного между .4 и В, найдется точка с внутри
Рис. 124.
135
этого отрезка такая, что /(с) = С. Прямая у — С пересечет график функции но крайней мере в одной точке.
Следствие 19.2. Если функция у = /(.т) непрерывна на отрезке [а; 6] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а; 6] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция /(z) обращается в нуль: /(с) = 0.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125).
Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения /(>) = О-
Рис. 125.
Рис. 126.
Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными. если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на о1ре<ке ф;6]. а в интервале (о:6), либо функция на отрезке [«;£>] имеет разрыв.
Рисунок 126 показывает эго для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось Ох.
Приме]) 1Г/.5. Определи i ь с точностью до е = 0,00001 корень уравнения с2'4 1 + .г~ — 5 = 0. принадлежащий отрезку [0; 1], применив метол но. 1ОВИППО1 о деления.
Q) Решение: Обозначим левую часть уравнения через f(x).
Шаг 1. Вычисляем у = f(a] и ф = f{b), где а = 0, b = 1.
Шаг 2. Вычисляем .< =
Шаг 3. Вычисляем у — f(x). Если f(x) = 0, то х корень уравнения.
Шаг 4. При /(.г)	0 если у  <р < 0, то полагаем b = х, ф = у, иначе
но. laraeM о — х, у = у.
II 1аг 5. Если 1> — а -- с < 0 то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью с) принимается величина х = а . Иначе процесс деления от резка [о: Ь] ионолам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.
В результате произведенных действий получим: х = 0,29589.	•
136
§20. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
20.1. Задачи, приводящие к понятию производной
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
О
М Mi
S(t) 5(t+At)	4
Рис. 127.
Пусть материальная точка (некоторое тело) hl движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t. т. е. S = S(t).
Это равенство называют законом движения точки.
Требуется найти скорость движения точки.
Если в некоторый .момент времени / точка занимает положение М. го в момент времени / + At (At приращение времени) точка займет положение ЬЦ. где ОМ, = S + AS (AS приращение расстояния) (см. рис. 127). Таким образом, перемещение точки .1/ за время At будет AS = S(t + At) — S(t).
выражает среднюю скорость движения точки за вре-xAt
Отношение
мя At:
Af
Средняя скорость зависит от значения At: чем меньше Л/, чем точнее средняя скорость выражает скорость движения течки в данный момент времени t.
Предел средней скорости движения при стремлении к пулю промежутка времени At называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив -ну скорость через V. получим
AS	S(t + At)-S(t)
I- — lim ——, или I — Inn д/ ш At	Az-a
(20.1)
At
Касательная к кривой
Дадим сначала общее определение касате. плюй к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М п ЙЛ (см. рис. 128).
Прямую ММ], проходящую через мп точки, называют секущей.
Пусть точка М[. двигаясь вдоль кривой L. неограниченно приближается к точке Л/. Тогда секущая, поворачиваясь около точки hl. стреми тся к некоторому предельному положению МТ.
137
ф
Касательной к данной кривой в данной точке Л1 называется предельное положение Л/Т секущей AIАЦ. проходящей через точку Л/, когда вторая точка пересечения .1/, неограниченно приближается по кривой к точке Л/j.
Рис. 128.
Рис. 129.
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у — f(.r'), имеющий is точке ЛГ(т; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k = tgci. где о угол касательной с осью О.г.
Для этого проведем через точку Л/ п точку Л/, графика с абсциссой д +А:г секущую (см. рис. 129). Обозначим через у угол .между секущей Л/.1/| и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен
_ Ау _ /(.г + А.т)-/(.г)
-	д.,.	-	-
При Д.г —> 0 в силу непрерывности функции приращение Ду гоже с громится к нулю: поэтому точка АЦ неограниченно приближав гея по кривой к точке М, а секущая А1А1}, поворачиваясь около точки Л/. переходит в касательную. Угол -i- о. т. е. 1вн у = о.
Az—>0
Следовательно, lim tg^ = tgo.
Az->о
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
fc = tgo = lim tgy>= lim — lim л	- .	(20.2)
Az—Ю	Az —Hl Д.Г	Az-—0	A.r
К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и множества других задач. Можно показать, что:
если Q = Q(t) - количество элек грнчес i ва. проходящего через поперечное сечение проводника за время /, то сила тока в момент времени t равна
Т AQ Q(t + At) - (?(/)
I — lim — — = 1пп----------,—-------
д/-ю At д/-ю At
если IV = N(t) количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна
(20.3
.. A-V АП + At) -,V(t) 1 = lim —-— = lim -
Д/-Э0 At Л/-МТ
At
(20.4)
138
-- если т = т(х) — масса неоднородного стержня между точками 0(0; 0) и Л/(ж:0), то линейная плотность стержня в точке .г есть
S =
Am lim —— Д.Г-Ю Дж
.. ш(.г + Дж) - ш(х) lim —:;'—
Да? —>0	_ДЛ'
(20.5)
Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид: везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:
Г = 5('; tga = I = Q'p, Г = Л)': S = т'г
(читается «V равно S штрих по t». «тангенс о равен // штрих по ж>> и г. л.).
Определение производной; ее механический и геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой
Пусть функция у = определена на некотором интервале (ц:6). Проделаем следующие операции:
аргументу ж е (а;Ь) дадим приращение Дж: ж + Д.г £ (</;/>);
найдем соответствующее приращение функции: Ay — f(.r + Дж) -/(.г):
составим отношение приращения функции к приращению аргумента: Д.У. Дж ’
найдем предел этого отношения при Дж —> 0: lim
Л.г -Дж
Если этот предел существует, то его называю! производной функции /(ж) и обозначают одним из символов/ф /'(ж): //':
Производной функции у = в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
Ж>)
или
Производная функции /(ж) есть некоторая функция .f '(-r). произведенная из данной функции.
Функция у = f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (п;6). называется дифференцируемой в этом интервале: операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции у = f(.r) в точке ж = ж0 обозначается одним из символов: /'(а'о), у'| г=Го или ?у'(-го)-
Пример 20.1. Найти производную функции у = С. С = const.
О Решение:
- Значению ж даем приращение Дж:
-	находим приращение функции Ду: Ду = f(x + Дх) — f(x) = С —С = 0:
Ду 0 п
значит. -v— = -И- = 0:
Д.г Ах
-	следовательно, у' = lim = lim 0 = 0. т. е. (с)' = 0.	•
\ „ ,П /\т а ~ . г»	'	4 '
Пример 20.2. Найти производную функции у = х2.
О Решение:
Аргументу х даем приращение Д.т:
находим Ду: Ду = (.г + Д.г)2 — х2 = 2х  Ах + (Дх)2:
Ду Ду 2х • Ах + (Дж)2	.
составляем отношение : -Э2- = -------т—- — 2х + Ах:
Ах Ах	Ах
находим предел этого отношения:
lim -г- = lim (2х + Ах) = 2х.
Д.г—>0 Дх Д^-->0
Таким образом, (х2)' = 2.с.	•
13 задаче про скорость прямолинейного движения было получено U = lim <
Д*-н> Af
Эго равенство перепишем в виде V = SJ, т. е. скорость прямолинейного движения .материальной точки в момент времени t есть производная от пунш S по времени t. В этом заключается механический смысл производной.
Обобщая, можно сказать, что если функция у = /(х) описывает какой-либо физический процесс, то производная у’ есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.
В задач*' про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной k = tgo = ^liin Это равенство перепишем в вид*' f'(x) = tgo = к. т. е. производная f'(x) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = /(х) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.
Если точка касания М имеет координаты (хг>;уо) (см. рис. 130), то угловой коэффициент касательной есть k — f'(xo). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении
(у — Уо) = к(х — До)), можно записать уравнение касательной: у — у() = /'(.?’о) • (х — Хо)-
Прямая, перцендику. триая касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
1ак как нормаль перпендикулярна касательной. го ее угловой коэффициент
1 1
к.
Поэтому уравнение нормали имеет виду —уо —
777—7 • (с ~ а») (ее,in /'(.го) / О)-
140
20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Q Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точка' х. Следовательно, существует предел lim = Г(х).
Д,г~>0 А.Г
Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предо. ia и бесконечно малой функции, имеем = f'{x) + а, где п -» 0 при Д.г —> 0. то есть Ду = f(x)  Д:г + а  Ах.
Переходя к пределу, при Д.г —> 0, получаем lim Ду = 0. А ото и означает, что функция у — f(.r) непрерывна в точке х.	
Рис. 131.
Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция
.г, если j- О.
-.г, ос. ш х < О.
Изображенная па рисунке 131 функция непрерывна в гонке х = 0, но не дифференцируема в ней.
Действительно, в точке х — 0 имеем
Ду	/(0 + Дт) - /(())	_ /(Д.г.)	_ jД.г|	I 1.	если Д.г >0.
Д.г	Д.г	Д.г Д.г	I — 1,	если Д.г < 0.

Отсюда следует, что lim не существует, т. е. функция у = |.г| не д., -Я) _х.г
имеет производной в точке х = 0. график функции не име<ч касательной в точке 0(0; 0).
Замечания-. 1. Существуют односторонние пределы функции у — |.г| в
точке х — 0: lim = -1. lim = 1. В таких случаях говорят. Д.г-Щ-0 А;Г	Д.г^(1 + ()А.Г
что функция имеет односторонние, производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно /' (.г) и /( (./).
Если f+(x)	то производная в точке не существует. Не суще-
ствует производной и в точках разрыва функции.
2. Производная у' — f(x) непрерывной функции у - /(.г) сама не обязательно является непрерывной.
Если функция у = f(x~) имеет непрерывную производную у' = /'(.г) в некотором интервале (а;Ь), то функция называется гладкой.
141
20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда, правил и формул.
Пусть функции и = и (д') и и = с(х') две дифференцируемые, в некотором интервале (а:Ь) функции.
Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (и ± с)' = и1 ± г'.
Q Обозначим у = и ± v. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:
,	(и(г + Ат) ± v(.r + Л.г)) - (ф.г) ± ф.т))
у = lim --------------------;-------------------=
т. е. (и ± г)' = и1 ± г'.
Теорема справедлива для любого конечного чис та слагаемых.
Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (и  г)' — и'г + г'п.
Q Пусть у = иг. Тогда
,	..	Л.</	ф.г + Л.г)  ф.г + Д.ф - п(.г)  (’(.г)
у = lira -— = Inn-------------------------------------------=
Aj -h> Л.г Aj-m)	Д.с
(«(.г) + Ли) • (ф.г) + Лс) - и(.г')  г(:г) = 11111---------------------;-------------------—
Л.Г-И)	А .Г
Aj->o	Л.г
. , Да	Ле	Ли
= v(j-)  Inn ----------h ii(.r)  inn -------h lim Ле  Inn -— =
Aj;->0 At	Л.г Aj-H) Д/-+o Л.г
— u' •<’ + (/• v1 + (I • и = o'  г + и  г'.
т. е. (и  и)' = и'  v + и  и'.	
142
При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции и — и (.г) и г = с(т) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому Де —> 0 и Ди —> 0 при Д.с 0.
Можно показать, что:
а)	(с  и\ — с  и', где с = const:
б)	(и  v  w)' = и'  v  w + и  г'  w + и  с  w'.
Теорема 20.4. Производная частного двух функций . если с(.г)	0 равна
дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:	= и ' v и ' v :	р.
Q Пусть у = Тогда v
lim
Д.с ->0
u(.r)  v(x) + c(:r)  Дц - n(:r) •	- д(:г) • Дг
Л,™о	Д,т  (г(.г) + Дф'ф.г)
/ С \	1
Следствие 20.2. ( -) = — —#-, где с = const. \v/ v~
20.5. Производная сложной и обратной функций
Пусть у = f(u) и и = тогда у =	- сложная функция с
промежуточным аргументом и и независимым аргументом .г.
14,3
Теорема 20.5. Если функция и = у>(х) имеет производную и'х в точке х, а функция у = f(u) имеет производную у'и в соответствующей точке и = <р(х), то сложная функция у = f(^(x)) имеет производную у'г в точке х, которая находится по формуле y'r = y'tl '
[Zj По условию lim = у'. Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем — у'и + а или
Ду = у'и  Ли + о • Ди,	(20.6)
где о -э 0 при Ди -> 0.
Функция и = ^(х) имеет производную в точке х: lim = и', по-САХ ЭТОМУ
Ли - u't  Лх + Р  Лх, где /3 -э 0 при Дх -> 0.
Подставив значение Ди в равенство (20.6), получим
Лу = y'uty'.r ' -^х + d ’	+ «(и), • Д.г + /5 • Дх).
а
Д.М = y',,  и',.  Д.г + у'и  д  Дх + и',.  а  Дх 4- о • /3 • Дх.
Разделив полученное равенство па Дх и перейдя к пределу при Дх —> 0, ПО. ТУЧИМ y'j. = у'и  и'г.	М
Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной, функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у = и = 9?(i’)< v = У(х). то у'г =	• u't.  v’r.
Пуст ь у /(.г) и х = уф//) взаимно обратные функции.
Теорема 20.6. Если функция у = /(.с) строго монотонна на интервале (а; 6) и имеет неравную нулю производную f'(.r) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х у?(у) также имеет производную <р'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством д'(</) -- или х' = Ц-.
J (х)	у,.
Д Рассмотрим обратную функцию х = tp(y). Дадим аргументу у приращение Д//	0. Ему соответствует приращение Дх обратной функции, причем
Д.г 0 в си iv строгой монотонности функции у = f(x). Поэтому можно
записи 1 ь	л
— = л--	(20.7)
Ди	’
а Д.т
Если Ду -Э 0, то в силу непрерывности обратной функции приращение
Д.г •-> 0. И так как lim = Г(х) 0, то из (20.7) следуют равенства
lim = ---------~л~ = т- е- У’Ч?/) = т4гг	
АюЛ’Д.У liin Лу .f'(.r)	г <J'’
А.!- -Я) Д.Г
144

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
1	dy 1
— или — = -т-
Пример 20.3. Найти производную функции у = log:J tgx4.
Q Решение: Данная функция является сложной. Ее .можно представить в виде цепочки «простых» функций: у = и3, где и = log2.?, где z — l&q. где q = .г1. По правилу дифференцирования сложной функции (у'. = = У и ' u'z  z'q ' <1'с) получаем:
Пример 20.4- Пользуясь правилом дифференцирования обратной ^=1 функции, найти производную у'г для функции у = \/х — 1.
Решение: Обратная функция х = у’ + 1 имеет производную х' = Зу2.
Следовательно,	I	।
~ х'у ~ Зу2 " 3  3у/(^1)2'	*
20.6. Производные основных элементарных функций
Степенная функция у = хп, п Е N
Дадим аргументу х приращение Дх. Функция у = х11 получит приращение Д</ = (х + Дх)" - хп. По формуле бпно.ма Ньютона имеем
Ду = (хп + п  хп~1  Дх +	1Кп-'2  Д.г2 + • • • + (Дх)'1) - х" =
-= п  Д'-1  Дх +	1'.г"2Дх2 + + (±х)11.
Тогда
= п  .г'1 + МД2Г~1) ' г,1~'2 • Да: + • •  + (Д.г)'! .
Находим предел составленного отношения при Дх —> 0:
lira - Нт Гп-х"-’+^п-(л-1)-а:"-2Да +-- +(Дх)"-1^ =-n-z''-
Aj:-»O Дх Д.г-+0\	2	J
Таким образом,	,	,
{хпу = п
Например, (т3)' = З.г2, (х2)' = 2х, х' = 1.
Ниже (см. замечание на с. 148) будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любом п Е Ж (а не только натуральном).
145
Показательная функция у = ах, а > О, а / 1
Найдем сначала производную функции у = ех. Придав аргументу х приращение Дж, находим приращение функции Ду: Ду = сс+д-г — ех = = еДеА'г — 1). Стало быть, — е (-r- и
\	Aj'
А)/	(’^х — 1	— 1	г
lim -Д- = lim ех--------- = ех  lim —----- = ех  lim —— = е<1 = ех.
Лт-Ч1 Дх Дх->0 Д.Г	Д.г >0 Д:Г	Aj-уО Дх
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью ех — 1~.с при х —> 0.
Итак, у' = ех, т. е.
У ’	(ех)' = ех.
Теперь рассмотрим функцию у — ах, х £ В. Так как а1 — ег1п", то по формуле производной сложной функции находим:
(ахУ = (ех |п аУ = ех 111 а  (а:  In и)' = ех 1,1 а  In а = ах  In а.
Таким образом, (ах)' = ах Ina.
Пример 20.5. Найти производную функции у = 7,г2 4х 
Q Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим
у' = ^-ixy = 7^_4i . 1п 7 . (а,2 _ 4з.у = 7.£-’ --4у . 1п 7 . (2х _ 4) е
Логарифмическая функция у = logo х, а > 0, а 1
Найдем сначала производную функции у = In .г.
Для нее
Ду 1п(.г + Д.г) — ln.r __ 1п(—7-г,)	111(1 + ^)
Дж	Да-	Да:	Д.г
Переходя к пределу при Дх —> 0 и воспользовавшись эквивалентностью In(1 +	~ ПРИ 0, получаем:
Ду 1п(1 + —)	—	11
lim -Д = lim	’ - Цт = Шп - = - ,
Д.т >0 Дх Дт-И) Дх	Aj—>0 Да-	Дл-+0 х х
т. е. у' = или (Ina:)' = i.
Теперь рассмотрим функцию у = loga х.
Так как log„ х = то оа In а
(logn х}' = 'j = —*— (Ina-)'= \ In a J In a	In a x
Таким образом, (logaz)' = —|.
Пример 20.6. Найти производную функции у = 1п(х4 — 2х2 + 6).
О Решение: у' =	—-  (х4 - 2а:2 + 6)' =  44,г —.
х - 2х~ + 6	а:4 - 2х + 6
146
• In a
Производную логарифмической функции у = loga х можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является х = ау, то по формуле производной обратной функции имеем:
(logn = (оД7 = <7^Тп7; = х
Тригонометрические функции у = sinx, у = cosx, у = tgx,
Для функции у = sinx имеем:
Ay sin(,r + Д.г) — sin х	2sin =ту-• cos
Д.г	Дх	Дх
У = ctgx
sin	/ Дх
-^coslx+ —
2
Переходя к пределу при Ат —> 0 и воспользовавшись первым замечательным пределом lim
sinA.3' — 1. получаем \ г
,. ^У
lim -—
sin
lim —г------- cos
• COST,
г. с. у' — cost или (sinх)' — cost.
Найдем производную функции у = cost, воспользовавшись формулой производной с.пожной функции:
= cos
= cos
— sinx,
Для нахождения производных функций у = tgx и у = ctgx воспользуемся формулой производной частного:
,	, /sinxV (sin;r)'cost-
tgT ' =	---- = ----------------.
\ cos т J	cos
1
cos2 т + sin2 х. 1 cos2 х ’
cos2 х
т. е. (t,g .(•)' =
cos
Проделав аналогичные операции, получим формулу
(ctg.r)' =. --Д—•
snr X
Этот результат можно получить иначе:
1
COS2 (Л
1
sin2 т
2
Пример 20.7. Найти производную функции у = cos2.r.
Q Решение: (cos2т)' = — sin 2т • (2т)' = —2 sin 2т.	•
Обратные тригонометрические функции у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx, у — arcctgx
Пусть у = arcsill х. Обратная ей функция имеет вид x = siny, у Е €	2] • интервале 2 ’ 1) ве1)1[0 равенство т' = cosy / 0.
147
По правилу дифференцирования обратных функций
arcsin я)' = ———	.-------;—	.______
(sin t/)' cost/ _ sin2 у V1 -2-2
где перед корнем взят знак плюс, так как cost/ > 0 при у €	2’ 2/
Итак. (arcsin г:)' = —,
7	х/1 - ж2
Аналогично получаем, что (arccos#)' =-------, Эту формулу
\Л ~ х-
можно получить проще: так как arccos х + arcsin х = т. е. arccos г: =
= 4- - arcsinг, то (arccos#)' = ( ~ — arcsinж) —-, 1
' V 1 — #2
Найдем производную функции у — arctgx.
Она является обратной к функции х — tgy, где у 6 f’ 2)’
Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получа-
ем, что
/	о 1	1	2	1	1
(arete .-г) = ---= —;— = cos у =------------:
(tg?/)'	’ l + tg2y 1+2:
Итак, (arctg#)' = J 2 .
Функции arctg# и arcctg# связаны отношением
arctg# + arcctg# = т. е. arcetgz = ^ — aretgx.
Дифференцируя это равенство, находим
у-	\ '	2
- arctgxj = -(aretgj-)' = - —
г. е. (arcctg.r)' =--------—7.
v ’	1 + х1
Пример 20.8. Найти производные функций: 1) у = arccosя:2; 2) у = = х  aretgz; 3) у = (1 + ох — З#3)4; 4) у = arccos у/х: 5) у = log3(3 +
О Решение: 1) (arccos#2)' =--------- -  (#2)' =--------;
х/ГН#2)2
X
2)	(.г • arctg#)' = х'  arctg# + 2: • (arctg.r)' = arctg.r -
1 + ХХ
3)	((1 + ох - З#3)4)' = 4(1 + 5# - З#3)3 • (5 - 9#2);
4)	(arccos у/х}' =---------—=  ——;
n	- (У^)2 2^’
5)	(log*(3 + 2-Д)' = 31ogf(3 + 2-) • - .1	• 2- • 1п2 • (-1). •
(О “г Z ) П1 О
Замечание: Найдем производную степенной функции у = ха с любым показателем а £ R. В этом случае функция рассматривается для .г > 0.
148
Можно записать ха = e“'in х. По правилу дифференцирования сложной функции находим
= еа1™ • (« • 1п.с)' = д  fi“4ni . 1 = а  — = п • .г"*1. X	X
т. е. (хп)' = а • х’'3.
Формула остается справедливой и для х. < 0, если функция у = ха существует:	.
(дз) = а; 3
•э
при всех х -у 0.
-г2	1
Пример 20.9. Показать, что функция у =	+С удовлетворяет
2х“
уравнению хл  у' + 1 = х*.
Q Решение: Находим у':
у' = |-2д- + |-(-2К3+0,
г. е. у' — х-Подставляем значение у' в данное уравнение:
х‘‘ • (х-+ 1 “ .т4. т. е. х1 — 1 + 1 = j:4, 0 = 0.
\ хл /
Функция удовлетворяет данному уравнению.	•
20.7. Гиперболические функции и их производные
В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисци-
плинах встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами:
sb.T = ~— гиперболический синус;
ch.г =	— - гиперболический косинус, («цепная линия»);
th .г =
sh х _ с1' — е г ch х сг -Ь с
, ,.4.1. ,. — ch х _ eJ + е т и с tn х — —j	— —т-----------TV
sh x e - e T
гиперболический
котангенс, гдеe - неперово число.
тангенс и
На рисунках 132 135 показаны графики гиперболических функций.
Между- гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости:
ch2 х - sh2 х = 1;
sh(.r ± у) = shх • ch у ± ch х - shy;
ch(x ± у) = ch х  ch у ± sh х  sh г/;
th(z±^=
v 7 l±tha-thi/’
sh 2x = 2 sh x  ch .t;	ch 2x = ch" x + sh2 x.
Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций.
149
Рис. 133.	Рис. 134.	Рис. 135.
Например,
=	+ 2 + е~2х - е2х + 2 - е~2-г) = ^4 = 1.
4	4
Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136).
Рис. 136. Параметрические уравнения х = cos£ и у = sin£ определяют окружность х2 + у2 — 1, причем О А = cos£, AM = sin£
Рис. 137. Параметрические уравнения х — chi и у — sh t определяют гиперболу X2 — у2 — 1, причем О А = ch t.
AM = sh i
Найдем производные гиперболических функций:
(sh ж)' =	— = ch х, т. е. (sh;r)' = ch л;
(ch х)' = (е	— = shar. т. е. (ch:r)' = sh;r;
150
/л, „v _ fsh.rV _	(shx)'chz - shz(chx)'	_	ch2 x - sh2 x	_	1
( J - I eh J ~	ch2z	” ch^	"
t. e. (th .г)' = —A—; ch x
(ethic)' =	= s * * * * * ll.h -c ~ ch x —-1— T. e. (etho-)' = —-A—.
\ sh x) sir x	sh“ x	' sh2 x
20.8. Таблица производных
Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде, таблицы.
На прак тике чаше весл о приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «.с» заменен па промежуточный аргумент «и».
Правила дифференцирования
1.	(ц ± I')' — ci.' ± v':
2.	(iz - г)' = u'v 4- tiv1
/	\ I I	I
3(H)— Ц v ~
\ и / v2
в частности, (си)1 = с - и';
( с \ '	с с1
в частности, - 1 = — L-%-; \с/	и2
4.	У'с = Уи ' < «'ли у =- f(u), и = у>(.г): 5- У'г = 4~: сели у = f(x) и х = ^(у).
•' у
Формулы дифференцирования
1.(с)'=0:
2.	(iin)' = а  и“~ 1 • и'. в частности. (уф)' = —А=  и';
2.\/и
3.	(а'1)' = а" • In а  и'. в частности, (с'1)' = е“ • и';
4.	(log,, к)' = —|—  к', в частности, (1ии)1 = А . и'.
'	’ и  In a	v ’ и
5. (sin и)1 = cos и  и1:
7. (tgu)' = -Д- -и'; COS Ц,
9. (arcsinu)' = -y--—- •«';
V 1 — w2
11. (arctg u)' - . -A  и1:
1 4- ti-
ll. (sh и)1 = ch и  и':
15. (thu)' = —A—  u': ch и
6. (cos it)' = — sin и  и1:
8. (ctg-ц)' =-----A— • u';
sin" и
10. (arccos uV =-----, 1	• u1:
y/1-u2
12. (arcctgu)' = — -—A— . u'-1 4- и
14. (ch u)1 = sh и  и1;
16. (cthu)' =-----Д—  u1.
sir и
Д.тя вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.
S
Пример 20.10. Найти производную функции у = т'1 — За?3 4- 2х — 1.
Решение:
у' = (.? - З.т3 + 2х - 1)' = (д’)' - (За:3)' + (2л)' - (1)' =
= 4,т3 - 3(z3)' 4- 2(х)' - 0 = 4х3 - 9ж2 4-2.	•
151
Надо стараться обходиться без лишних записей.
Пример 20.11. Найти производную функции у = ууу-
Q Решение:
= f 2'r'3 Y = 2  (ж3)'	~ 3,3 • (tgaQ' = 2 . Зж2  tg ж — :г3 •	*
\tg2J	(tgz)2	(tg^)2
Производная найдена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7.
Пример 20.12. Найти производную функции у = cos(ln12 2ж).
Решение: Коротко: у' = - sin(ln12 2ж) • 12 In11 2х  ~  2.
Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: у = cos и, и = t12, t = In г, z = 2х. Производную сложной функции найдем по правилу у'г = у'и  u't  t'z  z'r (здесь промежуточных аргументов три):
у' = -sin и- 12 	• - -2.
z
у'х = -siiH12 • 12  (In г)11 -	 2,
т. е.
у'х = - sin(ln г)12  12  In11 z 
т. е.	.
= - sin(ln12 2ж)  12- In11 2х 
Окончательно	,
у'х = -12 • sin(lii12 2х)  In11 2т • —.	•
§21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
21.1.	Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у — fix'), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде сравнения F(x; у) = 0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у = f(x) можно записать как неявно заданную уравнением /(ж) — у = 0, по нс наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у + 2х + cosy -1=0 или 2У - х + у = 0).
Если неявная функция задана уравнением F(x;y) — 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравненш относительно у. достаточно продифференцировать это уравнение
152
no x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравнением х3 + у3 — Зху = 0.
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3 + у3 — Зху = 0. Из полученного соотношения
За:2 + 3 • у2 • у' - 3(1  у + х  у') = 0
•2 11	2	i У — X2	л,
следует, что у у — ху = у — х , т. е. у =	.	•
21.2.	Функция, заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений
где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х = x.(t) имеет обратную t = tp(x). По правилу дифференцирования обратной функции
Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = ;;/(/), где't = р(х).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у',. =	 t'r.
С учетом равенства (21.2) получаем
,	/1	, Vt
!/,	т. е. У, ,
Полученная формула позволяет находить производную от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости // от х.
I х* — f , Пример 21.2. Пусть <
Н/ = г.
Найти у'х.
(^Решение: Имеем x'f = 3t2, y't = 2t. Следовательно, у'г — г. е. •
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у oi х.
Действительно, 1= у/х. Тогда у — у/х3. Отсюда у'х —	, т. е. у=Х.
О V X	О
153
§22	. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пример 22.1.
Найти производную функции у =
ф;2 + 2)- У(.г-1)5-Л (г + 5)3
Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:
In у = 1п(т2 + 2) + 1ц(х - 1) + ,г - 31п(.г + 5).
Дифференцируем эго равенство по .с:
Выражаем у1:
,	(	3	1	3 \
» " I.2L 1. ‘	'
т. е.
,	(.г2 +2)- УТГ-Пр -г'1 / 2г 3	3 _ 3\
(j‘ -F Г))”’	у д‘“ 4- 2	4(.г — 1) Л‘ 4- 5/
©
Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция у = и'. где и — »(:/:) и v = v(.r) - заданные дифференцируемые функции от т. Найдем производную этой функции:
г. е.
или
у = и1 г' • In и + v
1
и
(Ф’)' = д'  hi и  Ф + с  и” 1 • и'.
(22.1)
Сформулируем правило запоминания формулы (22,1): производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии и = const, и производной степенной функции, при условии v = const.
151
Пример 22.2. Найти производную функции у = (sin2a:)a:2+1.
Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:
у' = (sin 2.Л-)''' +1 • lnsin2x • 2х + (а:2 + 1)(зт2а:)* -cos2x-2.	•
Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.
§23	. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
23.1.	Производные высших порядков явно заданной функции
Производная у' = f'(x) функции у = f(x) есть также функция от х и называется производной первого порядка.
Если функция f'(x) дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка и обозначается у"
Итак, у" = (у’)1.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или f"'(x), ^,... У Итак, Г = (?/')' ах /
Производной /i-го порядка (или п-й производной) называется производная от производной (п — 1) порядка:
= (т/"-1’)'.
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами и скобках (yv или ?/(5) — производная пятого порядка).
Пример 23.1. Найти производную 13-го порядка функции у = sin ж.
Решение:
у' (sinя)' = cost; = sin
= (у')' = (cost-)' = — sill х = sin
у"' — (- sill .г)' = - cos a: = sin a: + —
cos a;)' = sinx = sin
y{li> = sinfa- +	• 13j.
155
23.2.	Механический смысл производной второго порядка
Пусть .материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная Sf равна скорости точки в данный момент времени: S't = V'.
Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S" — а.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t + St —
скорость равна V + ДО, т. е. за промежуток времени St скорость измени-
лась на величину ДК.
„	ДК
Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время
St. Предел этого отношения при St -> 0 называется ускорением точки Л/ в данный момен т t и обозначается буквой а: Jim = а, т. е. V = а.
Но V = S't. Поэтому а = (S't)'. т. е. а = S"
23.3.	Производные высших порядков неявно заданной функции
Пусть функция у = /(,г) задана неявно в виде уравнения	= 0.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение о тносительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по т первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х,у и у'. Подставляя уже найденное значение1 у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.
Пример 23.2. Найти //". если х~ + у2 = 1.
Решение: Дифференцируем уравнение .г~ + т/2 — 1 = Оно х: 2х.+'2уу' = 0.
I Т тт	П 1’У—X-у'	п д X ( у)
Отсюда у = — ~. Далее имеем: у =---2—, т. е. у =---------—— =
У	’	У"	'	У~
у2 + х2 1	.,	.,	-1-Зу2-у'
=-------— = —т (так как	= следовательно, у' —-----------=
У у	‘	’	и
3 / ,г \	3:г
У1 ' У2	У'’
23.4.	Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Пусть функция у = /(.с) задана параметрическими уравнениями
х — x{t), У = yW-
156
Как известно, первая производная у'х находится по формуле
^ = 4-	(2з.1)
xt
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.
Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что
xt
(23.2)
Аналогично получаем
Пример 23.3.
Найти вторую производную функции
X = COS t. у — sin t.
Решение: По формуле (23.1)
, (sini)l cos<
= 7----К7 = —
(cos^)f — sm£
Тогда по формуле (23.2)
= (-ctg^ =	=	1
" (cosf)( — sin< sin3 Г
Заметим, что найти у"х можно по преобразованной формуле (23.2):
,, =	=	= y't'-r.'t-x't'.y't
x't x’t	(x't)3
запоминать которую вряд ли стоит.
§24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
24.1.	Понятие дифференциала функции
Пусть функция у = /(.г) имеет в точке х отличную от нуля производную ^liin = f'(x) 0 0. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать = /'(х) + о. где о —> 0 при Дх —> 0, или Ду = f'(x)  Дх + а  Дх.
Таким образом, приращение функции Ду представляет собой сумму двух слагаемых /'(х)  Дх и а  Дх, являющихся бесконечно малыми при
157
Дж —> 0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с Дж. так как lim	= /'(ж) ф Д а второе слагаемое
есть бесконечно малая функция бо.чее высокого порядка, чем Дж:
г Д.Г Г п lim —---- = lim а = 0.
Дж л.гл
Поэтому первое слагаемое /'(ж)-Дж называют главной частью приращения функции Ду.
Дифференциалом функции у = f(x) в точке ж называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции па приращение1 аргумента, и обозначается <1 у (пли df(x)):
dy = fix') • Дж.	(24.1)
Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной .г. i. е. дифференциал функции у = .г.
Так как у' = ж' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy — dx = Дж. т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению э той переменной: <7ж = Дж.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
dy = f'(x)d,^]	(24.2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство = Г(х). Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx.
Пример 24-1- Найти дифференциал функции /(ж) = Зж2 - ып(1 4- 2ж).
Q Решение: По формуле dy — f'(x) d.r находим
dy = (Зж2 — sin(1 + 2.r))' d.r = (6,r — 2 cos( 1 4- 2x)) d.r.	•
Пример 24-2. Найгн дифференциал функции
,// = ln( 1 4- e10j) 4- \/х '~ 4- 1 
Вычислить dy при х = 0. d.r = (1,1.
Q Решение:
rfy = (1п(1 4-С10'') + \/ж'2 + 1)' dx = (——4-	dx.
Подставив ж = 0 и dx ~ 0.1. получим
ф/1 г=() =	4-(ЙОТ = 0.5.	•
</.1-0.1	2
158
24.2.	Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функ-
ции у = f(x) в точке М(х;у) касательную МТ п рассмотрим ординату этой касательной для точки х + Да: (см. рис. 138). На рисунке |ДЛ/| = Дт, |ДЛД| = Ду. Из прямоугольного треугольника МАВ име-
ем:
tga = L—!. т_ Р. |ДВ| = tga • Да:.
Да:
Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga = /'(а:). Поэтому АВ — = Г<А) 
Сравнивая полученный результат с
формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е.
дифференциал функции у = f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда
х получит приращение Ах.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3.	Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy — f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у = с равна нулю, го дифференциал постоянной величины равен нулю: dy = с' dx = 0 • dx = 0.
I	:
I Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
d(u + г) = du + dv, \	d(uv) = v  du + и  dv,
\ V >	v-
Q Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:
</(нп) = (uv)'dx = (u'v + tiv')dx = v  и'dx + и  v'dx — v du + udv.	M
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
159
Q Пусть у = f(u) и и = ф(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у =	По теореме о производной сложной
функции можно написать
У', = Уи •
Умножив обе части этого равенства на dx. получаем у'х dx — у'и  и'х dx. Но y',.dx = dy и u'J:dx = du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:
dy = Уи 'du.	
Сравнивая формулы dy = у'г  dx и dy = у'и  du, видим, что первый дифференциал функции у = /(.т) определяется одной и той же формулой независимо о-i того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy = у'х  dx по внешнему виду совпадает с формулой dy = = у’и  du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле .г - независимая переменная, следовательно, dx = Лх, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du Ли.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах .четко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
Например. (/(cosи) = (cosu)'u  du — — sinu  du.
24.4.	Таблица дифференциалов
1.	d(u ± z.’) = du ± dv;
2.	d(u  и) = с du 4- и dv, в частности, d(cu) — c  du;
3.	d(-\ = v du — и du н час1ногти_ \v)	\v J v
4.	dy = y'r dx, если у = f(x);
5.	dy = y'„  du. если у = f(u). v = ^(x);
6.	de = 0:
7.	d(u‘') = о • it" ’ 1  du:
8.	d(a“) = a"  Inn  du, в частности, d(e") = c"  du;
9.	(/(log,, u) = —I—  (hi. в частности, z/(ln zz) = ~  du;
v ' 7	и  In a	и
10.	</(sintz.) = cos и du;
11.	d(coszz) = — ssinzz du:
12.	d(tg u) — —4— du: COS" и
13.	d(ctgiz) =----4— du:
sin" и
14.	(/(arcsin w) =	du;
V 1 - u2
15.	J(arccos zz) =----4------du;
V 1 — u2
18.	z/(sh u) = ch и du;
19.	<7(ch zz) = sh и du;
20.	(/(thu) = —Д— du; ch и
21.	d(cthzz) =------A—du.
sir и
1G0
24.5.	Применение дифференциала к приближенным вычислениям
©

Как уже известно, приращение Ду функции у = f(.r) в точке1 а* можно представить в виде Ду = f'(.r)  Ах + а • Да1, где о —> 0 при Да1 —> 0. иди Ду = dy + а  Да?. Отбрасывая бесконечно малую о • Дх более высоко! о порядка, чем Дх. получаем приближенное равенство
Ду ss dy.	(24.3)
причем это равенство тем точнее, чем .меньше Да-.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
Пример 24-3. Найти приближенное значение1 приращения функции у = х3 — 2х + 1 при х = 2 и Да- = 0,001.
Cj Решение: Применяем формулу (24.3): Ду ss dy = (а"’ — 2а- + 1)'  Да- = = (Зх2 - 2) • Дх.
dy\ ,г=2	= (3 • 4 - 2) -0,001 = 10 -0,001 = 0.01.
Д.г-0,001
Итак, Ду ss 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Ду:
Ду = ((х + Да:)3 - 2(х + Дх) + 1) - (,т3 - 2х + 1) =
= а:3 + З.г2  Да: + За- • (Да-)2 + (Да:)3 - 2а: - 2  Да- + 1 - х3 + 2а: - 1 —
= Д.г(3.г2 + За-  Да- + (Да-)2 - 2):
Ду|	= 0,001(3- 4 + 3- 2- 0.001 + 0.0012 - 2) = 0.010006.
Д .г=0,001
Абсолютная погрешность приближения равна
| Ду - dy\ = 10.010006 - 0,011 = 0.000006.	•
Подставляя в равенство (24.3) значения Ду и dy. получим
/(а- + Дх) - /(.г)	,Г(х) • Дх
И JI и	---------------------------—
/(х + Дх) ^/(х) -1 /'(а-)-Дх.	(24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных- значений функций.
Пример 24-4- Вычислить приближенно aretgl.05.
Q Решение: Рассмотрим функцию /(х) = aretgx. По формуле (24.1) имеем:	,
arc?g(a: + Дх) яа aretgx + (aretgx) • Да:.
пи
6-418
т-е-	Az
arctg(x + Дх) ~ arctg х + —-—
Так как .г + Дх = 1,05. то при х = 1 и Дх = 0,05 получаем:
arctg 1,05 яа arctg 1 +	= - + 0,025 яа 0.810.	•
1 + 14
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М  (Дх)2, где М — наибольшее значение |/"(х)| на сегменте [х;х + Дх] (см. с. 167).
Пример 24-5. Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела Н = gjl2Z , дл = 1,6 м/с2.
(^Решение: Требуется найти Н(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ДН к, dH)
H(t + Д1) яа H(t) + H'(t) • At.
При t — 10 с и Д1 = dt = 0,04 с, H'.(t) = дл1, находим
Н(10,04) к 1,6 210° + 1,6 • 10 • 0,04 = 80 + 0,64 = 80,64 (м).	•
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой т = 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела ^Ек =	; £к(10,02) яа 1004 (Дж)).
24.6.	Дифференциалы высших порядков
Пусть у = f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х — независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f'(x) dx ест ь также функция х; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у — f(x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d2y или d2 f(x).
Итак, по определению d2y = d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у = f(x).
Так как dx = Дх не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:
d2y = d(dy) = d(f'(.r) dx) = (f'(x) dx)'  dx = f"(x) dx  dx = f" (x)(dx)2,
d2y — f"(x) dx2.	(24.5)
Здесь dx2 обозначает (dx)2.
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядку = d(d2y) = d(f"(x)dx2) = f'"(x)(dx)3.
162

И, вообще, дифференциал п-го порядка есть дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка: dny — d(dn~1y) = f^n\x)(dx)n.
Отсюда находим, что /{'‘Чх) = В частности, при п = 1, 2, 3 соответственно получаем:
f(x) = ^L	Г"(х) = ^
’ dx' J ( > dx2' J 1 ' dx3'
т. e. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Если же функцию у = f(x), где х — функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(u-v)=v du+u dv), получаем:
d2y = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx 4- f'(x)  d(dx) = f"(x) dx  dx + f'(x)  d2x,
d2y = f"(x) dx2 4- f'(x)  d2x.	(24.6)
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое /'(.т) ’ ^2-т-
Ясно, что если х — независимая переменная, то
d2x = d(dx) = d(l • dx) — dx  d(l) — dx -0 = 0 и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
Пример 24.6. Найти <72у. если у = е
- независимая переменная.
Q Решение: Так как у' = Зе3,г, у" = 9с3,т, то по формуле (24.5) имеем (12у — 9е3г dx2.	•
Пример 24-7. Найти d2y, если у = х2 и х переменная.
Q Решение: Используем формулу (24.6): так у' = 2.Т, у" = 2, dx = 3i2 dt,
= t3 4-1 и t — независимая
как
d2x = Gt dt2,
то
d2y = 2dx2 4- 2.т • Qt dt2 = 2(3i2 dt)2 4- 2(i3 4- l)6tdt2 =
= 18f4 dt2 4- 12i4 dt2 4- 12tdt2 = (30i4 4- 12i) dt2.
Другое решение: у = x2, x = t3 4-1. Следовательно, у = (t3 4-1)2. Тогда по формуле (24.5)
d~y = у  dt ,
d2y = (30i4 + 12t)dt2.	•
т. е.
163
6'
§25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ
25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.
Теорема 25.1 (Ролль). Если функция непрерывна на отрезке [а; &], дифференцируема на интервале (л: Ь) и на концах отрезка принимает одинаковые значения /(а) = f(b), то найдется хотя бы одна точка с 6 («;/)), в которой производная /'(х) обращается в нуль, т. е. /'(с) = 0.
Q Так как функция f (г) непрерывна на отрезке [а; 6], то она достигает на -этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, М и т. Если А/ = т. то функция /(.г) постоянна на [«; 6] и, следовательно, ее производная f'(.r) = 0 в любой точке отрезка [«; 6].
Если А/ т. то функция достигает хотя бы одно из значений М или /// во внутренней точке е интервала (а:Ь), так как /(а) = f(b).
Рис. 139.
Рис. 140.
Рис. 141.
Пусть, например, функция принимает значение А/ в точке х=с€(а;Ь).
г. е. /(с) = А/. Тогда для всех ,r G (<i;b) выполняется соотношение
/И ЛЛ-
(25.11
Найдем производную /'(•') в точке .г = с:
lim д,( -д)
/(с + Д.х) —/(с)
Д.7'
В силу ус. ювия (25.1) верно иеравенство /(с + Дх) — /(с)	0. Если Дх > 0
( г. е. Д.г —> 0 справа o i точки ,г = с), то
/(с + Д.с) - /(с) Д.г
и потому /'(с) С 0.
Ес. ш Д.г < 0. то	,	,, ,
f(c+ Д.г) - /(с)
Д.г
Таким образом, f (с) = 0.
>. 0 и /(Ф 0.
В случае', когда /'(<•) = ш. доказательство аналогичное.
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции у = найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.
Теорема 25.2 (Коши). Если функции и Д.т) непрерывны на отрезке [е:6], дифференцируемы на интервале (а;Ь), причем у?'(х) f 0 для х 6 (а:Ь), то найдется
с	Г- < 1Л
хотя бы одна точка с 6 (а: о такая, что выполняется равенство --,-Н—--7-L- =  Л - . v	ДФ ~ Д«) Д(с)
Ц Отметим, что ip(b) — ’~р(а)	0, так как в противном случае по теореме
Ролля нашлась бы точка с, такая, что у (с) ’ 0. чего нс может быть но условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = f(x) - f(a) -	Д.г) - Ди))-
гу(о) — Д)
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна па от резке [а; 6] и дифференцируема на интервале (ц;6), так как является линейной комбинацией функций f(x) и уз(т); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F(a) = F(b) = ().
На основании теоремы Ролля найдется точка .г = с 6 (а:Ь) такая, что F'(c) = 0. Но F'(r) = /'(.г) - ^fc)-Z^(^>)y,'(-r). следовательно,
Отсюда следует
,,, Т = W Л/ ) и Л£1 =
J(<) ^Ь)-^(аГи Д(е) Дф-ДД
Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция f(r) непрерывна на отрезке [с; 6], дифференцируема на интервале (а; 6), то найдется хотя бы одна точка с 6 (а: Ь\ такая, что выполняется равенство
ЛФ-/(«) =/'ИД-«).	(25.2)
Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как случай теоремы Коши. Действительно, положив у(.г) = .г. ДФ - Д«) = Ь- н, Д(г) = 1, Д(с) = 1.
ГТ	4	f (^) “ f\a)
Подставляя эти значения в формулу ДД------ДД = ДДг.
ДФ “ Д") Г (с)
Z = f\e) или f(b) - f(a) = f'(<Fb - о).
час! ный
находим
подучаем
й
Полученную формулу называют формулой Лагранмса пли формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке [а; 5] равно приращению аргумент, .умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.
165
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (25.2) в виде /(Ь) - f(a) ,,, ч	.	. , о
5 _ д = J (с)> где а < с < Ь. Отношение /(Ь) - f(a)	,,	,,	,,
5 _ д есть угловой коэффициент секущей АВ, а величина /'(с) — угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х — с.
Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции у = /(х) найдется точка С (с; /(с)) (см. рис. 142), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
□ Пусть /'(х) = 0 для Vx € (а;Ь). Возьмем произвольные Xi и х-2 из (а;Ь) и пусть Xj < х-2. Тогда по теореме Лагранжа Зс € (xi;хг) такая, что f(x-2) — f(xi) = /'(с)(-т2 ~ xi). Но по условию /'(х) = О’ стало быть, /'(с) = 0. где х] < с < т-2- Поэтому имеем /(Х2) - /(хД = 0, т. е. У(хг) = = /(xi). А так как xi и х-2 произвольные точки из интервала (а;Ь), то Vx £ (я; Ь) имеем /(х) = с.	
Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
□ Пусть /1'(-т) = /2(т) при хе(а;й). Тогда (/i(x)-/2(х))' = /{(х)-/^(х) = ().
Следовательно, согласно следствию 25.1. функция /;(х) — /г(т) есть постоянная, г. е. /1(х) - /2(х) = С для Vx £ (а; Ь).	
Пример 25.1. Доказать, что arcsinx + arccosx = где х € [—1; 1].
(^Решение: Пусть /(х) = arcsinx + arccosx. Тогда Vx € ( — 1; 1) имеем /'(•г) = —т~--- = + —= 0. Отсюда следует, что /(х) = С, т. е.
V 1 — х2 v 1 — х2
arcsinx + arccosx = С. Положив х = 0. находим 0 +	= С, т. е. С =
Поэтому arcsinx + arccosx = Это равенство выполняется и при
х = ±1 (проверьте!).	•
Аналогично доказывается, что arctg х + arcctgx =
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезку [х;х + Дх] (Дх > 0), будем иметь
/(х + Дх) -/(х) =/'(с)Дх.	(25.3)
166
Каждое число с £ (х;х + Дх) можно записать в виде с — х + ДДх, где 0 < 0 < 1 (действительно, х < с < х + Дх => 0 < с — х < Дх => => 0 <	< 1; положим — 0 ==> с = х + 0Ах). Формула (25.3)
примет вид
f(x + Дх) - /(х) = /'(х + #Дх)Дх, где 0 < 0 < 1.
Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства Ду « dy. Сделаем это, считая, что функция /(х) имеет непрерывную вторую производную /"(х):
Ду - dy = (/(х + Дх) - /(х)) - /'(х)Дх = /'(с)Д.х - /'(х)Дх =
= (/'(с)-/'(х))Дх = /"(с1)(с-х)Дх,
с х-рДх где С] е (х;с) (рис. 143).
--	'	Итак, Ду — dy =	— х)Дх. Пусть М = ^г--------------------------------------------= max |/"(х)|- Так как |с — х| < Да:, a /"(cj М,
' 143	[.гд+Дг]
то получаем оценку |Ду — dy\ Д М\Дх|2.
25.2. Правила Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида 2 и кото-
рый основан на применении производных.
Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида д).
Пусть функции /(х) и <р(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х(> и обращаются в нуль в этой точке: /(х0) — у?(хо) = 0. Пусть ip'(x) 0 в окрестности f(x)	fi (%)
точки Хп. Если существует предел lim 2Д' ! = I, то lim = lim ЧЛ-г = I.
3	3	т-ы-о <р’(х)	.г-»хо у?(х) .WO Д (х)
Q Применим к функциям /(х) и <р(х) теорему Коши для отрезка [хо;х], ™	/(х) - /(Хо) f'M
лежащего в окрестности точки х0. 1огда ----=4—(• = Д : , где с лежит
>р(х)-<р(хо)	4(c)’
между х0 и х (рис. 144). Учитывая, что /(хо) = р(хо) = 0, получаем

./(х) _ /'(с)
^(х) 4(И'
(25.4)
X
TQ С X
Рис. 144.
При х —> хо, величина с также стремится к хо; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:
li,n ДЙ = lim
ЛФ. 4(c)’
167
Т	Г f'(X)	1 Г f\(')	1 ГТ	Г	f(X) 1
1ак как	lim ,, ’	= I.	то lim ^тг2-	= /. Поэтому	lim	J ;	= I.
.r^.1-0	(.Г)	<л.г0	(c)	 T-^T-o ^{X)
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
Замечания: 1. Теорема 25.4 нерпа и в случае, когда функции f(x) и р(х) не определены при .г = х0- но lini f(x) = 0 и lim р(х) = 0. Доста-.r-4.ro
точно положить f (.го) = lim ,f(x~) = 0 и у?(хо) = lim р(х) = 0.
.r-4.ro	.Г—>.Го
2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х —> оо. Действительно, положив х = i, получим
г ли r г (/(!))'
1ш1 ------- — 1III1 ~ —г- — ШП ----------д-----
= lim
= lim
3. Если произнойные f'(x) и р'(х)
что м (функции f(.r) и у’(.г). teope.My 25.4 можно применить еще раз:
удовлетворяют тем же условиям,
.. /И
lim —-—-
lim
lim
и т. д.
Пример 25.2. Найти
lim
х - 1
О Решение: lim —-— т-л ,г1п:г
0
0
= lim
= lim -—-—- = 1. < ч In х + 1
Пример 25.3. Найти lim ---уонб.г
г-.о 2.г
Q Решение:
1 — COS 6.Г lim------—------
хМ) 2:г2
6 sin 6.Z' lim ---------------
4.
’(Г 0
3 ,	6 cos 6.r
= - Inn ---------- = 9.
2 .< -+o	1
Теорема 25.4 ;i.;ut возможност ь раскрыват ь неопределенность вида -. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии иеопределенно-С1и вида —.
Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
Пусть функции /(./) и р(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки .го (кроме, может быть, точки тд), в этой окрестности lim f(x) = lim р(х) = оо, .Г-4;?’о	.Г-4-.Го
,, , , ,, с	r	,. f(x) ..	f'(x)
p (j:) ф и. Если существует предел lim - л 7-, то lim J' = lim J .
Г-co, p (,r)	P(X) x^x0 p (x)
16S
Пример 25-4- Найти lim ^S3^ .
Q Решение:
lim
'£^ 2
tg3x tg 5т
3  cos” a.r
= lim ------г,----
jM cos" З.г • 5
3	1	+ cos 10/
- - Inn -----------—
о t—i 1 + cos 6.T
3 Гп -]0sinl0-/-
5	— 6 sin 6л
sin 10.r
= liin —;----------
Sill 6.Г
0	lOcoslO.r
- = Inn -------— =
0	.i—6cos6x
5
3'
0
0
2-й способ:
,. tg3x lim —----
оД tg5.r
t 0
tg( :-|тг + 3t) ctg3t tga/ 5
= hm---------г----------= liin ---------- = Inn---------- = -
*-^o tg(y7r + 5/) i-^ч ctgot i->()tg3t	3
Раскрытие неопределенностей различных видов
Правило Лопиталя применяется для раскрытия
неопреде. ichhoc гей
вида и которые называют основными. Неопределенности вила 0-ос.
ос — ос. Iх. ос*’, 0° сводя гея к двум основным видам путем тождественных
преобразований.
1.	Пусть f(x) —> 0,	-> ос при .? —> ./’о. Тоша очевидны следующие
преобразования:
И1П (/(.т)^(.г)) = [()  ос] = hni =
() О
Например.
7ГТ	2 - .Г
Иш tg — (2 - :г) = [ос  0] = lini у- -
4	>-’ctg“|-
2.	Пусть /(.т) —> сю. -р(.г) -а эс при .г —> То. Тогда модою пос тупить так:
д о!
1
1
Гни
Им ТТЛ
На практике бывает проще, например.
1
lim ( Д
.г — 1 — In .г
О
х - 1
1	L
liin —т---------
+ In х
1
2'
3.	Пусть или f(d-) —> 1 н	—> ос. и /(.г) —>	п ус(.г) —> 0.
или f(x) -> 0 и р(х') —> 0 при л -> тц. Для нах ждечия предела вши lim	' сдобно сначала и ио. тогариф.мирова гь выражение A=f(.:
.Г Т.Гц
кд
Пример 25.5. Найти lim (cos 2х) . х—>0
Q Решение: Имеем неопределенность вида 1°°. Логарифмируем выражение А = (cos2ar)^r, получим: In А = -^lncos2x. Затем находим предел:
’0‘
О
—Ц-(- sin2a:)2 = lim cos2j^ ------= -2 lim
лч-о 2x	я--+о 2x
t. e. In lim A — —2. Отсюда lim A = e~2, и lim(cos2a:)= e“2.
.. . .	.. In cos 2а?
hm In А = lim
,Г—>0
.2
tg2^ = _2
Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» формулой
— охр ( lim p(x)\n f(x)]
(использовано основное логарифмическое тождество: = e,n
lim	= е
Пример 25.6. Найти lim(i)tg,r.
J--+0
О Решение:
lim ( — I = [oo°] = exp ( lim tg x In - ) = exp ( lim —— ) -z->0\X J	U-»0 X/ U-M) ctg.r/
A.	A. /sinj’\2\	0-1	0
= exp lim -------— = exp lim a? -------- I = e = e — 1. •
\.r->0 — —V- /	\ X / /
Пример 25.7. Пусть
при
при
#0.
= 0.
Найти f'(x). (Дополнительно: найти /('!)(0).)
Решение: При х 0 имеем
.ГО) = е-'2
ох/	„ — 2
-) = 2е~х
При х — 0 по определению производной:
Ргоа г /(0 + А)-/(0)
f (0) = Inn -------------- = hm
Делаем замену у = р- и применяем правило Лопиталя
lim
Л—>0
Vy г 1
= hm -— = lim ------------- = 0.
ey y-toc 2y/y > eV
Таким образом,
2х 3 • е г * при х ф 0, О	при х = 0.
Аналогично можно показать, что (0) = 0.
/И = 5в
[ ’	|0
з
е
е
170
25.3.	Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (а; 5) функция f(x) возрастает (убывает), то /'(J) О (/'(-т)	0) Для € (а-,Ь).
Q Пусть функция /(х) возрастает на интервале (а: Ь). Возьмем произвольные точки х и х + Ах на интервале , м	А//	Л-!- + Ах) -
(а; о) и рассмотрим отношение = —------ду———.
Функция f(x) возрастает, поэтому если Д.г > 0, то х + Дх > х и f(.r + Дх) > /(.т); если Дх < 0. то х + Дх < х и Г (х + Дх) < f(x). В обоих случаях Ду /(х 4- Дх) - /(х)	..
	г-* > 0, так как чиститель и Дх	Дх
знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По усло-
вию теоремы функция /(х) имеет производную в точ-
ке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно.
/'(я)
/(х +Дх) - /(х)
Дт™о Ах
0.
Аналогично рассматривается случай, когда функция /(.г) убывает на интервале (а; Ь).
Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой xq) параллельны оси Ох.
Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция /(х) дифференцируема на интервале (а;Ь) и /'(х) > 0 (/'(х) < 0) Для е то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; Ь).
Q Пусть /'(х) > 0. Возьмем точки Xi и х2 из интервала (а; Ь), причем xt < х-2- Применим к отрезку [хрхг] теорему Лагранжа: /(х2) — f(xi) = = /'(с)(х2 - х:), где с е (xi;x2). По условию /'(с) > 0, х2 - хц > 0. Следовательно, /(х2) - /(xj) > 0 или /(х2) > /(хд), т. е. функция f(x) на интервале (а; Ь) возрастает.	И
Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 102).

Пример 25.8. Исследовать функцию /(х) = х3 — Зх — 4 на возрастание и убывание.
171
О Решение: Функция определена на К = ( —оо: оо). Ее производная равна: /'(.г) = Зх2 — 3 = 3(х — 1)(х + 1): f'(x) > 0 при х € (-оо; —1) U (1; ос); /'(г) < 0 при х ё (-1:1).
Ответ: данная функция возрастает на интервалах ( —ос;—1) и (1;оо): убывает па интервале ( — 1:1).	•
25.4.	Максимум и минимум функций
Точка . о называется точкой максимума функции у = /(х), если существует такая 8 окрестность точки хд, что для всех х ф Хд из этой
окрестности выполняется неравенство /(х) < /(хд).
14G.
Аналогично определяется точка минимума функции: .т() - точка минимума функции, если 3d’ > 0 Vx : 0 < |.х - х0| < 8 =г /(х) > /(х0). На рисунке 146 X] -- точка минимума, а точка х^ -точка максимума функции у — f(x).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстрем,умом функции.
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определе-
ния ункции. Поэтому функция может
иметь экстремум лишь во вну-
тренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 25.8 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(x) имеет экстремум в точке Xq, то ее производная в этой точке равна нулю:/'(х(|) = 0.
Q Пусть, для определенности, хд точка максимума. Значит, в окрестности точки ,i\i выполняется неравенство /(хд) > /(х0 + Ал). Но тогда
=	< () если Аг () и д»/	0 РСЛИ Aj. < ()
-лх	Лх	' Лх
По условию теоремы производная/'(xg) = Hm —	--/(г'°) СущС_
ствуст. Переходя к пределу, при Д.г —> О. получим /'(х0) 7> 0, если Дх < 0. и Л Л)) С 0. если Да’ > 0. Поэтому f’(x0) — 0. Аналогично доказывается утверждение теоремы 25.8. если Хд точка минимума функции /(х). Н
Геометрически равенство f’(x0) = 0 означает'. что в точке экстремума дифференцируемой функции у — f(x) касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 147).
Отметим, что обратная теорема неверна, г. е. если /'(хп) = 0, то это не значит, что х0
172
точка экстремума. Например, для функции у = z3 ее производная у' — Зт2 равна нулю при х = 0. но х = 0 не точка экстремума (см.
рис. 148).
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = |z| в точке X = 0 производной ие имеет, но точка х = 0 - точка минимума (см.
рис. 149).	11 ‘	/
Таким образом, непрерывная функция х. может иметь экстремум лишь в 'гонках, где	/
производная функции равна нулю или не	q\	х
существует. Такие точки называются кри-	р ^д
тическими.
Теорема 25.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у =. дифференцируема в некоторой J-окрестности критической точки :г0 и при переходе через нее (слева направо) производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то д'о есть точка максимума; с минуса на плюс, то ,г() — точка минимума.
Q Рассмотрим ^-окрестность точки ,г0. Пусть выполняются условия: /'(.г) > 0 Vz € (zo ' $'• ^п) и ./'(z) < 0 V.r 6 (.го: J'o + <5). Тогда функция f(x) возрастает на интервале (.го — 6: z0), а на ин гервале (.го'. .г0 + д') она убывает. Отсюда следует, что значение j'(x) в точке .г« является наибольшим на интервале (,r0 —d; :rf)+<5). т. е. f(x) < для всех х £ (.г() -д': .ro)U(z(): z0+^). Это и означает, что x(J - точка максимума функции.
Графическая интерпретация доказа гелыт ва теоремы 25.9 представлена па рисунке 150.
Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда /'(.г) < 0
Vz € (z0 - z0) и /'(т) > 0 Vz 6 (,г0: .г() + д").	
Исследовать функцию на экстремум означасч найти все ее экстремумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:
1)	найти критические точки функции у = /(.г):
2)	выбрать из них лишь те. которые являются внутренними точками области определения функции;
17.3
3)	исследовать знак производной /'(т) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
4)	в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.
Пример 25.9. Найти экстремум функции у = § —	.
О
Q Решение: Очевидно, Р(?/) = К. Находим у'
, т. е. у'
_1 У^-2 3 ’
Производная не существует при Xj = 0 и равна нулю при х-2 =8. Эти
точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала ( — оо;0), (0; 8), (8;оо). Отметим на рисунке 151 знаки производной
слева и справа от каждой из критических точек.
0
Рис. 151.
Следовательно, xj=0 — точка максимума, у1П'.лх— у(0) = 0, и Г2=8 --точка минимума, ymin = у(8) = — (t.	•
О
Иногда бывает удобным использовать другой дос таточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.
Теорема 25.10. Если в точке то первая производная функции /(х) равна нулю = 0)- а вторая производная в точке то существует и отлична от нуля (f"(x0) / 0), то при /"(х0) < 0 в точке ;с0 функция имеет максимум и минимум — при /"(т0) > 0.
Q Пусть для определенности /"(то) > 0. Так как
/"Ы
/'(т0 + Дх) - /'(т0) hm --------------------------
Д.г->о	Дх
/ (то + Дт)
11Ш -------------
Д.г
> о,
/'(х0 + Д.т) „ „	„	Л г,
то Л д-------> 0 в достаточно малой окрестности точки .г0. Если Дх < 0,
то /'(xq + Дх) < 0; если Дх- > 0, то /'(xq + Дх) > 0.
Таким образом, при переходе через точку хо первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, Хо есть точка минимума.
Аналогично доказывается, что если f"(xo) < 0, то в точке Хц функция имеет максимум.	И
174
25.5.	Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Рис. 152.
Пусть функция у = /(т) непрерывна на отрезке [а; Ь]. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке х0 отрезка [а; Ь], либо на границе отрезка, т. е. при xq — а или хд = Ь. Если tq € (а; Ь).
то TO4KJ' хо следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а; &]: 1) найти критические точки функции на интервале (а; Ь);
2)	вычислить значения функции в найденных критических точках;
3)	вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х — а и г = Ь:
4)	среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Замечания: 1. Если функция у = f(x) на отрезке [«: 6] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 f(xo) —	= fmAy. (нб - наибольшее, max —- максимальное).
2. Если функция у — fix') на отрезке [a;t>] не имеет критических точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (Л/) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (т) -- на другом.

Пример 25.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(т) = Зх4 + 4х3 + 1 на отрезке [—2; 1].
Q Решение: Находим критические точки данной функции:
f'(x) = 12т3 + 12т2 = 12т2(т + 1);
f'(x) = 0 при ад = 0 € [—2; 1] и при х? = —1 € [—2; 1]. Находим /(()) = 1, /(-1) = 3- 4 + 1 = 0, /(-2) = 48 - 32+ 1 = 17, /(1) = 8. Итак, /нб = 17 в точке х = —2, /нм — 0 в точке х = —1.	•
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.
Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводя! к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики - линейное программирование.
175
Рассмотрим более простую задачу.
Пример 25.11. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?
Q Решение: Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда, как видно из рисунка 153, у = у/47?2 — х2. а потому объем цилиндра
г>2
х = ттК х----------,
4
где х е [0; 27?].
Рис. 153.	Находим наибольшее значение функции V = 1'(т) на про-
межутке [0; 2R], Так как = тг/?2 - ^тг.т2, то = 0 при ./ = 2^, кроме того, V"(x) —	< 0. Поэтому х = 2Тй/3
точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный V,nax) при х — диаметр основания цилиндра равен
/Й?2 - (2 W3/3)2 =
Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную 2ДУ^, идиа-О
метр, равный -ДУ^ О
25.6.	Выпуклость графика функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции?/ = /(т) называется выпуклым вниз на интервале (»: Ь). если он расположен выше любой ее касатель-
ной на этом интервале. График функции у = /(.г) называется выпуклым вверх на. ин гервале (а: 6), если он расположен ниже любой ее касательной па этом интервале.
Точка графика непрерывной функции у — fix'), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.
На рисунке 154 кривая у = f(x) выпукла вверх в интервале (о: с), выпукла вниз в интервале (г: 5). точка А7(с; /(c)) — точка перегиба.
176
Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.
Теорема 25.11. Если функция у = /(а1) во всех точках интервала (а; Ь) имеет отрицательную вторую производную, т. е. f"(x) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f"{x) > 0 V.r с (а;Ь) — график выпуклый вниз.
□ Пусть f"(x) < 0 Ух € («Д). Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой Хо € (а: Ь) и проведем через М касательную (см. рис. 155). Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке х € (а; Ъ) ординату у кривой у = f(x) с ординатой укас ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть
Укас - f(x0) = f'(x0)(x - Х0), Т. е. Укас = /(х0) +/'(х0)(х - Хо).
Тогда у — укас = /(х) — /(хо) — /'(-со)(х — х0). По теореме Лагранжа, /(.т) — /(х0) = /'(с)(х — то), где с лежит между хо и х. Поэтому
У ~ Укас = /'(Ф(х - х0) - /'(х0)(х - х0),
У ~ Укы- = (/'(е) - /'(х0))(х - х0).
Разность /'(с) —/'(х0) снова преобразуем по формуле Лагранжа:
/'(С)-/'(ХО) = /"(С1)(С-ХО),
где С| лежит между х0 и с. Таким образом, получаем
У ~ уКЯе =	- х0)(х - х0).
Исследуем это равенство:
1)	если х > .г0, то х - хо > 0, с - х() > 0 и ) < 0- Следовательно,
У Укас < О, Т. е. у < Укас-	* х Г
2)	если х < х0, то х — хо < 0, с — Хо < 0 и /"(сД < 0. Следовательно,
У ~ Укас < 0, I. С. У < Укас-	с о; Х() X
Итак, доказано, что во всех точках интервала (а; Ь) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при /"(х) > 0 график выпуклый вниз. 
Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.
Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная /"(х) при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба.
177
[Jl Пусть /"(x) < 0 при х < гд и /"(х) > О при х > х0. Это значит, что слева от х = х0 график выпуклый вверх, а справа— выпуклый вниз. Следовательно, точка (хо; У(хо)) графика функции является точкой перегиба.
Аналогично доказывается, что если f"(x) > 0 при х < хо и f”(x) < О при х > х0, то точка (xO',f(xo)) — точка перегиба графика функции y =	
Пример 25.12. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции у — а:5 — х + 5.
Q Решение: Находим, что у' = 5х4 — 1, у” — 20х3. Вторая производная существует на всей числовой оси; у" = 0 при х = 0.
Отмечаем, что у” > 0 при х > 0; у" < 0 при х < 0.
Следовательно, график функции у = х5 — х + 5 в интервале (—оо; 0) — выпуклый вверх, в интервале (0; оо) — выпуклый вниз. Точка (0; 5) есть точка перегиба.	•
25.7.	Асимптоты графика функции
Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы (см. с. 68).
Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156).
Асимптоты могут быть вертикальными, на-
клонными и
горизонтальными.
Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если lim /(х) = оо, или х —эа
lim /(х) = оо, или lim Дх) = оо.
x—ta — О	х—>а-[-0
Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 видно, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х — а равно d = |х — а|. Если х —> я, то <7 —> 0. Согласно
определению асимптоты, прямая х = а является асимптотой кривой у — Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция Дх) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точ-
ки разрыва второго рода.
Например, кривая У= имеет вертикальную асимп-
2	2
тоту (см. рис. 157) х — — 1, так как lim —; , = + оо, lim , = —оо.
•	'	'	..^-)[0Х-1	Д^.-1-oX + l
Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде
Найдем к и Ь.
у = кх + Ь.
(25.5)
178
малая: о —>
Пусть М(х\у) — произвольная точка кривой у = f(x) (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой ( j I Ато 4- В «о СI \	»г
(а = |^2	2—I/ паходим Расстояние от точки М до
прямой (25.5): d = |	|'
Условие d —> 0 будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т. е.
lim (кх - у + Ь) = 0.	(25.6)
Отсюда следует, что кх — у 4- Ь = а, где а = а(х) бесконечно 0 при х оо. Разделив обе части равенства у = Ь + кх — а на
х и перейдя к пределу при х —> оо, получаем:
b = lim (у — кх).
Так как -	0 и —	0. то
х х
(25.7)
Пз условия (25.6) находим Ь:
(25.8)
Итак, если существует наклонная асимптота у = кх 4- Ь, то к и Ь находятся по формулам (25.7) и (25.8).
Верно и обратное утверждение1: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.
Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у = f(x) наклонной асимптоты не имеет.
В частности, если к = 0, то b — liin f(x). Поэтому у = Ь — уравнение горизонтальной асимптоты.
Замечание: Асимптоты графика функции у = f(x) при х —> 4-оо и х —оо могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х —> -f-оо и когда ,г —> — ОО.
\
Пример 25.13. Найти асимптоты графика функции у = хе*.
Q Решение: Так как lim = lim е* = -l-оо, то график функции л—>Тоо X х-+ 4-ос
при х —>	наклонной асимптоты не имеет.
При г —> — оо справедливы соотношения
к = lim = lim е* = О,
г-ы-оо X J’-э -оо
b = lim (хе* — От) = lim хе* = lim -4- = — = lim —— = 0. j'—> —эс	х —> — ос	х—> —оо е х ОС	.г—> — ос — е х
Следовательно, при :г —> — оо график имеет горизонтальную асимптоту
V = 0.	•
179
25.8.	Общая схема исследования функции и построения графика
5.
6.
7.
8.
Исследование функции у = /(х) целесообразно вести в определенной последовательности.
1.	Найти область определения функции.
2.	Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.
3.	Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых /(х) >0 или /(х) < 0).
4.	Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. Найти асимптоты графика функции.
Найти интервалы монотонности функции.
Найти экстремумы функции.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
На основании проведенного исследования построить график функции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения, всех восьми операций, то можно дополнительно исследовать функцию па периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.
Пример 25.14- Исследовать функцию у = л и построить ее гра-"	1 — х~
фик.
Q Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схемы исследования.
1.	Функция не определена при j = 1 и г - -1. Область ее определения состоит из трех интервалов ( —оо; —1), (—1; 1), (1;4-оо), а [рафик из трех ветвей.
2.	Если х = 0, то у = 0. График пересекает ось Оу в точке (9(0:0): если у — 0, то х = 0. График пересекает ось Ох в точке (9(0; 0).
3.	Функция знакоположительна (г/ > 0) в интервалах ( — оо; —1) и (0; 1); знакоотрицательна— в ( — 1;0) и (1;+оо).
4.	Функция у = —у является нечетной, т. к.
1 — х
у{—х) = -----—у =-----—-у = — у(х).
1	1 —(—х)2	1-Х2	1
Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат.
Для построения графика достаточно исследовать ее при х 0.
5.	Прямые х = 1 и х = — 1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты:
1
к = lim -—— — lim -------у = 0
Г+Х X	X^tryo 1 — х2
180
(к = 0 при х —> +оо и при х —> —оо),
b = lim (- -	- Ох) = lim ——— = 0.
.г ->эс 1 — X-	1 — X2
Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение; у = 0. Прямая у — 0 является асимптотой и при х —> +оо, и при х —> — оо.
6.	Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как
,	/ х у 1(1 — х2) — х(-2х) х2 + 1
\1- х2/	(1 — х2)2	(1 —х2)2’
то у' > 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.
7.	Исследуем функцию на экстремум. Так как у' =	, то кри-
тическими точками являются точки Xi = 1 и т2 = — 1 (•</' не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.
8.	Исследуем функцию на выпуклость. Находим у"-.
„ _ / х2 + 1 у _ 2х(1 - х2)2 - (х2 + 1)2(1 - х2)(—2х) _ 2х(х2 + 3)
У -\(1-х2)27 "	(1-х2)4	“ (1-х2)2'
-1	0	1 х
Рис. 159.
Вторая производная равна нулю или не существует в точках Х[ = 0, х2 = —1, х3 = 1. На рисунке 159 представлена схема изменения знаков второй производной исследуемой функции.
Точка 0(0,0) точка перегиба графика функции.
График выпуклый вверх на интервалах ( —1; 0) и (1;оо); выпуклый вниз на интервалах ( — ос: —1) и (0; 1).
График функции изображен на рисунке 160.	•
§ 26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
В определении функции у = /(.г) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда з
функция является формулой вида у =	-5х + 7, значения функции
О
181
найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у = sinz, у = 1п(1 +аг) при любых (допустимых) значениях аргумента?
Для того, чтобы вычислить значения данной функции у = /(х), ее заменяют многочленом Рп(х) степени п, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.
26.1. Формула Тейлора для многочлена
Пусть функция /(z) есть многочлен Рп(х) степени п:
f(x) = Рп(х) = «о + aiz + а2х2 +-Н апхп.
Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени п относительно разности х — то, где х() — произвольное число, т. е. представим Рп(х) в виде
Рп(х) = До + Ai(x - х0) + А2(х - а?о)2 Н-Н Ап(х - х0)п.	(26.1)
Для нахождения коэффициентов До, Д],..., Ап продифференцируем п раз равенство (26.1):
Р„(х) = Д1 + 2Д2(ж - аг0) + ЗДз(ж - жп)2 -I-Н пАп(х - z0)”-1,
Р„(х) - 2Д2 + 2 • ЗА3(х - х0) --Н п(п - 1)Д„(яг - аг0)п-2,
F;"(x) = 2 • ЗД3 + 2 • 3 • 4А4(х - z0) + • • • + п(п - 1)(п - 2)А„(х - :/'О)"3.
Р^(х) = п(п — 1)(п — 2).. .2 • 1ДП.
Подставляя х — Xq в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:
Рп(х0) = До,	т. е. Ao=F„(zo),
ДДжо) = А1г	т.е.	=
Р”(х0) = 2Д2,	т.е. .4, = ^.
Р”'(х0) =2-ЗД3,	хе.
F,(,n) (а?0) = п(п - 1).. .2 • 1А„,	Л	Р{гПЧх0) т.е.Ап = п\
182
>

Подставляя найденные значения А$, .41,..., Ап в равенство (26.1), получим разложение многочлена п-й степени Fn(z) по степеням (х — хо):
Тп(аа) = (Хо) + у'(J -Д>) +	- *о)2 +  •
+ (26.2)
Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Рп(х) степени п.
Пример 26.1. Разложить многочлен Р(х) — —4х3 + 3.x'2 — 2х + 1 по степеням х + 1.
Q Решение: Здесь хо = —1, Р'(х) = — 12х2 + 6х — 2, F"(x) — —24х + 6, F"'(.r) = -24. Поэтому F(-l) = 10, F'(-l) = -20, Р"(-1) = 30, F"'(-l) = = —24. Следовательно,
— 20	30	—24
F(x) = 10+ —— (х + 1) + ^-(х + I)2 + -^-(х + I)3,
1	о.
т. е.
—4х3 + Зх2 - 2х + 1 = 10 - 20(х + 1) + 15(х + I)2 - 4(х + I)3.	•
26.2. Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию у = f(x). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию f(x) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция /(х) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в ней производные до (п + 1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка с е (хо;х) такая, что справедлива формула
f(x) — /(-Fi) 4-—(z — F>) 4----(x — Xq) +  •  4-------(x — x0) +
4-	(x - x0)"+1 (c = x0+0(x-xo), O<0< 1). (26.3)
Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции f(x).
Эту формулу можно записать в виде f(x) = F„(x) + Rn(x), где
Р.М = !М +	- 1о) +	(, -	+ + PAA, _
называется многочленом Тейлора, а
называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. Rn(x) есть погрешность приближенного равенства
183
f(x) яа Pn(x). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у = f(x) многочленом у = Рп(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn(x).
При хо = 0 получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:
= т+гж+а,.+...++	(26.4)
1!	2!	п!	(71 + 1)!
где с находится между 0 и х (с = вх, 0 < в < 1).
При п = 0 формула Тейлора (26.3) имеет вид f(x) = f(x0)+f'(c)(x-x0) или f(x) — f(xo) = f'(c)(x — xq), t. e. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений f(x) яа f(xo) + f'(xo)(x — х0) (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы
f(x) яа f(x0) + —£7^(* - ж0) + • • • +	~ жо)"-
Пример 26.2. Найти число е с точностью до 0.001.
Q Решение: Запишем формулу Маклорена для функции f(x) — ех. Находим производные этой функции: f'(x) = ех, f"{x) = ег, ..., /("+1 ’(.т) = ех. Так как /(0) = е° = 1, /'(0) = е° = 1, ..., /l'O(O) = 1, /<п+1)(с) = то по формуле (26.4) имеем:
.3
e* = ! + -
2!	3!
п!
(п + 1)!’
Положим х = 1:
П
1 1
2! + 3!
1
п! ’ (п+1)!
е‘
Для нахождения е с точностью 0,001 определим п из условия, остаточный член —е	меньше 0,001. Так как 0 < с < 1, то ес
(п + 1)!
Поэтому при п = 6 имеем
что
< 3.
ес
7!
< -А- = о,оооб < o,ooi. 5040
Итак, получаем приближенное равенство
,	, 1 1 1 1 1
бИ1 +	1	+ 2!	+3!	+4!	+ 5!	+6!
яа 2 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181 яа 2,718.
т. е. е яа 2,718.
184
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:
sin х — х —	X3 зГ	X5 + 5?	— +1	_1)П	zp27i4"l	/у»2п4-3 	г + (—1)"+1	г  COS с, (2п + 1)! v 7	(2п + 3)!
COS X = 1 —		X4	— + (	-1)"	/у»2п	/у»2т14_2 -^-77		o\7'C0SC’
	2!	4!			(2п)!	'	(2п + 2)!
	X2	хз	ж4		х^	х 1
ln(l + х) = х —	2	+ т	-у +	• • • +	(— 1)п 1	1- (— 1)п	 У ’ п 1	’ (п + 1)(1 +с)" + '
ч„	М(Д_1) 9	и(и — 1)... (и — п + 1) „
(1 + ^=1 + цх + ^2[--х2 +  +	--------т’Ч
р(р - 1)... (р - п)(1 + с)^-""1	+1
J	/	-г \ f	X .
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Лекции 23-24
§27.
27.1.
27.2.
ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Основные понятия
Комплексным числом z называется выражение вида z = z + ф, где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица. О
у
= -1.
Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым-, если = 0, то число х + /О = х отождествляется с действительным числом а это означает, что множество К всех действительных чисел является
подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R С С.
Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х — Rez, а у — мнимой частью z, у = Imz.
Два комплексных числа zt = ад + iy\ и Z2 = х? + iy-2 называются равными (zj = Z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х} = х-2, yi — у-2- В частности, комплексное число z = а- + iy равно нулю тогда и только тогда, когда х = у — 0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Два комплексных числа z = х + iy и z = х — iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопрямсенными.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Рис. 161.
Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой плоскости Оху такой, что х = Rez, у — Imz. И, наоборот, каждую точку М(х,-,у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = х + iy (см. рис. 161).
Плоскость, на которой изображаются комплексные' числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, гак как на ней лежат действительные числа z = х + 01 = х. Ось ординат называется мнимой осью, па
мые комплексные числа г = 0 + iy.
Комплексное число z = х + iy можно вектора г = ОМ = (х-, у). Длина вектора г, число z, называется модулем этого числа
личина угла между положительным направлением действительной оси и вектором г, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или ф.
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z 0  величина многозначная и определяется с точностью
ней лежат чисто
мни-
задавать с помощью радиус-изображающего комплексное и обозначается |z| или г. Ве-
186
до слагаемого 2тгк (к = 0, -1,1, —2,2 ...): Argz = argz + 2тгк, где arg г — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—тг; тг], т. е. —тг < argz тг (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2тг)).
3. Формы записи комплексных чисел
Запись числа z в виде z — х + iy называют алгебраической формой комплексного числа.
Модуль г и аргумент р комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора г = ОМ, изображающего комплексное число z = х + iy (см. рис. 162). Тогда получаем х = rcosp, у = г sin р. Следовательно, комплексное число z — х + iy можно записать в виде z = г cos р + ir sin p или
z = r(cosip + i sinp).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.
Модуль г = |z| однозначно определяется по формуле
г = |z| = \/ х2 + у'2.
Например, |г| = л/02 + Г2 = 1. Аргумент р определяется из формул х	у	у
cos р — —, sin р = -, tg р = —. г	г	х
Так как
р — Arg z = arg z + 2/стг,
то
cos р = cos(argz + 2/стг) = cos(argz), sin р = sin(argz).
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение ар-
гумента комплексного числа z, т. е. считать р = argz. Так как — тг < arg z тг, то из формулы tg р =
получаем, что
	'arctg	для внутренних I, IV четвертей,	точек
argz = <	arctg + тг	для внутренних II четверти,	точек
	arctg — тг	для внутренних	точек
	к	III четверти.	
Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то argz можно найти непосредственно (см. рис. 163). Например, argzi = 0 для zi = 2; argz2 = тг
187
>
для z-2 = -3; argz3 = для z3 = г; и argz4 = для z4 = -8г.
Используя формулу Эйлера
I elv = cos p + i sin p,
комплексное число z = r(cos p + i sin p) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z = /з'г. где г = |z| - модуль комплексного числа, а угол р = Argz = arg г + 2/стг (k = 0, —1,1, —2,2 ...).
В силу формулы Эйлера, функция е1; периодическая с основным периодом 2тг. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать р = argz.
Пример 21.1. Записать комплексные числа z4 = — 1 + г и zc = — 1 в тригонометрической и показательной формах.
Q Решение: Для zi имеем
/ 1 \	7Г	3 7Г
|z| = Г = \/(-1)'2 + I2 = \/2, argz = arctg) — ) + тг = -- + тг = \ — 1 /	4	4
т. е. р = Поэтому
.	•	/к/ Зтг • • 3?г\ /д
— 1 + г = v2 cos — + г sm — = р2е 4 . \	4	4 /
Для z-2 имеем
г = У (—I)2 + О2 = 1, argz = arg( —1) — тг,
г. е. р = тг. Поэтому — 1 = costt + гзштг = е'я.	•
§28. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
28.1.	Сложение комплексных чисел
>
Суммой двух комплексных чисел Z; = xt + iyi и z-2 = х-2 + /у-2 называется комплексное число, определяемое равенством
а
zi + z-2 = (xi + х-2) + г( г/i + у-2).
Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:
Z1 + Z-2 = Z-2 + Zi , (Z1 + Z-2) + z3 — Z[ + (z-2 + Z3).
Из определения (28.1) следует, что геометрически
Рис. 164.
комплексные числа (см. рис. 164).
Непосредственно
складываются как векторы
из рисунка видно, что |zi + z3| |zi | + |z2|- Это cooi-
ношение называется неравенством треугольника.
188
28.2.	Вычитание комплексных чисел
>
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел zi и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z-2, дает число Zi, т. е. z = Zi — Z2, если z + z2 = zi.
Если zi = Xi + iyi, z2 = х2 + iy2, то из этого определения легко полу-
(28.2)
Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).
z = Zi - z2 = (ад - х2) + г(«/1 - у2).
Рис. 165.
а
Непосредственно из рисунка видно, что |zi — z2| |zi| — |гз|- Отметим, что	,-------;----------
1-21 — -221 = V (^1 - Х2)2 + (1/1 - у2)'2 = С/, т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство |z — 2г| = 1 определяет на комплексной плоскости множество точек г, находящихся на расстоянии 1 от точки Zo = 2 г, т. е. окружность с центром в z(l = 2г и радиусом 1.
28.3.	Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел zi — Xj + гг/i и z2 = х2 + iy2 называется комплексное число, определяемое равенством
г = ziz2 = (адат2 - Viy-z) + г(хгу2 + yix2).	(28.3)
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
г2 = —1.
(28.4)
Действительно, г'2 = И = (0 + 1г)(0 + 1г) = (0 — 1) + г(0 + 0) = —1. Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально путем перемножения двучленов ад + iyi и х2 + iy2:
(^1 + iyi)(х2 + iy2) - ад ад + xYiy2 + iyrx2 + iyiiy2 =
= ад ад + i2yiy2 + i.(xiy2 + yix2) = X1X2 - yiy2 + г(адг/2 + yix2).
Например,
(2 - 3?’)(-5 + 4г) = -10 +8г + 15г - 12г2 = -10 + 23г + 12 = 2 + 23г.
189
a
Заметим, что zz = (х + iy)(x — iy) = x2 + у2 — действительное число. Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:
Z1Z2 = 29 21, (ZjZ2)z3 = 2] (z2Z3), Zj(z2 + 23) = ZjZ2 + ZjZ3.
В этом легко убедиться, используя определение (28.3).
Найдем произведение комплексных чисел zj = п (cos 921 + i sin cpj) и z2 = r2(coscp2 +'i sin 9?г), заданных в тригонометрической форме:
zi 22 = rt (cos 921 + i sin 921 )r2 (cos	+ i sin 922) =
= r 1 r2(cos 921 cos 929 + i sin 921 cos 929 + i cos 921 sin 922 — sin 921 sin 922) =
= Г1Г2((cos9P1 cos922 — sin921 sin922) + i(sin 92] cos 922 + cos 921 sin922)) = = rir2(cos(92i + 922) + i sin(92i +922)),
t. e.	---------------------------------------
ZlZ-> = T1r2(COS(^i + 922) + JSin(92! +929)).
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть п множителей и все они одинаковые, то
z" = (r(cos92 + г sin 92)) — г11 (cos 7192 + isinntp). j	(28.5)
Формула (28.5) называется формулой Муавра.
Пример 28.1. Найги (1 + %/Зг)9.
Q Решение: Запишем сначала число г = 1 + %/3? в тригонометрической форме:
г = \J 1 + (\/3)- =2; arg z = arctg =>
ТГ	/	ТГ	. . 7Г\
arg z =	: = 2(cos - + 7. sm - ).
О	X	О	О '
По формуле Муавра имеем
z9 = (1 + \/Зг)9 = 29 (cos 9^ + г sin9^ =
= 29(cos Зтт + г sin Зтт) = 29(-1) = —512. •
28.4.	Деление комплексных чисел
Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z^ и л 0 называется комплексное чист z, которое, будучи умноженным на 29, дает число zi, т. е. ^- = г, если z2 z2z = Zt.
190

Если положить zi = an + iyi, z-2 — х-2 + гу2 0, z = х + гу, то из равенства (х2 + iy-2)(x + iy) = х-^ + iyi следует
j ХХ2 - УУ‘2 = £1, \ху2 +УХ2 = У1.
Решая систему, найдем значения х и у:
_ Х1Х2 + У1У-2	_ У1Х2 ~ Х!У2
Х х22+у1 ’ У х%+у?2 '
Таким образом,
Z1 2Г12Г2 +У1У2 , У1Х2~Х1у2 Z = —	= --о-----2--Н 1---2---2--'
Х‘2	Х22	+ у$_____Х22	+ yj
На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
Пример 28.2. Выполнить деление 
Q Решение:
1 + Зг	(1 + Зг)(2 — г) _ 2 — i + 6г + 3
2+г ~ (2 +г) (2 —г) “ IT1
5 + 5г
5
= 1 + г.
Для тригонометрической формы комплексного числа формула деле-
ния имеет вид
Ti(cosipi -Msinip!) П	.	..
—7-----------:-----г = —(cos(ipi - <р2) -Ь г sin(<pi - <р2)).
Г2 (COS <p2 4~ г Simp2) Г2
При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.
28.5.
Извлечение корней из комплексных чисел

Извлечение корня n-й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.
Корнем п-й степени из комплексного числа z называется комплексное число ы, удовлетворяющее равенству сип = z, т. е. '\fz = w, если са" = Z.
Если положить z = r(cosp + г simp), а щ = p(cos# + г sin#), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем
z =	— рп(cos nd + г sin nd) = r(cos <р + г simp).
Отсюда имеем рп — г, п$ = р+2як, к=0, — 1,1, — 2,2,... То есть g=</?+^7T^ и р = 'у/г (арифметический корень).
Поэтому равенство ryfz = щ принимает вид п г~,----------------г г.г( 1р + 2тгк . . р + 2лк
V r(cos р + г simp) = Ur cos-------h г sin----
\ n	n
к = 0,1,..., n — 1.
191
Получим п различных значений корня. При других значениях к, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, при к — п имеем
(	+ 2тггг . . гл + 2тпг\
= V7 * 9' cos---------Ь 7 3111------- =
\ п	п )
„/-(	(v	А	(	\\	г-1
= а/г cos —f- 2тт ) + г sin —F 2тт	= у/r cos — + г sin — =
\	\77	/	\77	/ / \	77 Т1 /
(к = 0).
Итак, для любого z 0 корень п-й степени из числа z имеет ровно и различных значений.
Пример 28.3. Найти значения a) y/i — ш; б) у/—1 = ш.
Q Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме: i — 1 (cos + г sin . Стало быть,
з r. q / л . тт з /— ( к + 2тгк тг Т 2тгк V г = у cos — + г sin — = V11 cos -— -------ь г sin -—  
к = 0,1,2.
При к = 0 имеем
7Г	7Г	уЗ	1
-Д, = cos - + г sin - = — + о	6	2	2
при к = 1 имеем
7 + 2тт	+ 2тт	5тт	5тт	у/?>	1
W1 = cos	-— + i sin — = cos — + 7 sin — = —— + I -;
3	3	6	6	2	2
при к — 2 имеем
9	9	о /I	.	071
= cos -z- + г sin = cos —- + I sm — О	О	£	Л
б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:
-1 = costt + гзттг.
Поэтому
/—-	i-------—---- л + 2тгА: . . 7г + 2тг/г , п л
V—1 = VC0S7T + 1 sin 7г = cos---------1- г sm------, к — (J, 1.
При к = 0 получаем cjq = cos + ? sin = г, а при к = 1 получаем Ш] = cos + 7 sin — —i- Таким образом, \f—Т = г и \/—Т = —г.	•
Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекции 25-28
§29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
29.1.	Понятие неопределенного интеграла
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти, функцию F(x). зная ее производную F'(.r) = f(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции /(.г).
|ф|	Функция F(.r) называется первообразной функции /(.г) на интервале
—‘	(«: 6), если д ня любого :r G («: 6) выполняется равенство
F'{x] = (или dF(x) = f(.r)d.r).
Например, первообразной функции у = з-. ,г g Ж. является функция F(,r) = у. гак как
F'Cr) = (y)' = .r2=/(.r).
Очевидно, что первообразными будут также любые функции
F(.r) = у + С.
где С постоянная, поскольку
F'(.r) = (у +С)' = .т2 = /(./:) (.геВ).
[ Теорема 29.1. Если функция F(.r) является первообразной функции /(.г) на (о; 6), то множество всех первообразных для /(.г) задается формулой F(.r) + С, где С — постоянное число.
Д Функция F(x) + С являец-я первообразной f(x). Действительно, (F(.r)+C)' =F'(.r) =/(тф
Пусть Ф(.г) некоторая другая, отличная от F(;r), первообразная функции ./(.г). I. с. Ф'(.г) = Тогда для любого .) G (а;Ь) имеем
(Ф(.г) - F(.r))' = Ф'(.г) - F'(t) = /(.г) - /(.т) = 0.
А но означает' (см. следегвие 25.1), что
Ф(.г) - F(j-) - С.
где С постоянное число. Следовательно. Ф(.г) = F(.r) + С.	И
193
•-418

Множество всех первообразных функций F(.r) + С для /(.г) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом f f(x)dx.
Таким образом, по определению
У
О
I f{x) dx = F(x) + С.
y — F(x)
y = F(x) + C2
y = F(x)+C3
Рис. 166.
а
©
Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, ния. / знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у = F(x) 4- С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 166). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.
Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?
Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (сг, Ь) функция имеет на э том промежутке первообразную», а следовательно, и неопределенный интеграл.
29.2.	Свойства неопределенного интеграла
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
^(У /(?•) dr} = f(x) dx, yy f(x) dx} = f(x).
□ Действительно,
rf(y /(.r) dr} = d(F(F) + C) = dF(.r) + d(C) = F'(x) dx = f(x) dx
(Jf(x)dx}' = (F(t) + C)' = F'(x)+0 = /(x).	
Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство
У (З.г2 + 4) dx = x:1 + 4.7- 4- С
верно, так как (х2 4- 1.г 4- С)' = Зх2 4- 4.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
У dF(x) = F(x) 4- С.
194
Q Действительно, f dF(x) = J F'(x)dx = J f(x)dx = F(x) + С. И 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
У af(x) dx = а  f f(x) dx, а / 0 — постоянная.
□ Действительно,
J af(x)dx = У aF'(x)dx = f (aF(x))' dx = f d(aF(x)) —
= a  F(x) +Сг=а- (f(x.) + ^-) = a(FW + C) = a j f(x) dx
(ПОЛОЖИЛИ = C*Y	И
\	(I )
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от с.ташсмых функций:
/(ЯД ±g(x))dx = у f(x)dx± fg(x)dx.
Q Пусть F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x). Тогда
/ (f(x) ± g(x)) dx = у (F'(x) ± G'(x)) dx =
= f (F(.r) ± G(x)y dx = / d(F(x) ± G(.r)) = F(x) ± G(x) + C =
= (F(.-r) + Cj) ± (G(r) + C2) = у f(x) dx ± у g(x) dx,
где C, ± C-> — C.	
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если ff(x)d.r, = = F(.r) + С. то и у f(v)du = F(;z) + С. где и = <р(ж) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
□ Пусть х. независимая переменная, Ят) ~ непрерывная функция и F(z) ее первообразная. Тогда f(x)dx = F(x) + С. Положим теперь и — ЯЯ 1'Др Яс) непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим (’ложную функцию F(u) = F(<p(x)). В силу инвариантности формы первого дифференциала функции (см. с. 160) имеем
dF(u) = F'(u) du = f(u) du.
Отсюда / f(u)du = у d(F(u)) = F(u) + С.	И
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.
195
Так, из формулы у х2 dx =	+ С путем замены х на и (и = <р(х))
получаем J и2 du =	+ С. В частности,
Г . 2	,, . ч sin3 х
/ sin .rd(sinx) =--------НС,
•/	3
/	1 n 3 т*
In2 х rf(ln x) =------H C,
3
з
У tg2 xrf(tgx) =	+ C.
Пример 29.1. Найти интеграл j(2т4 — 3x2 + x — 5) dx.
Решение:
У"(2х4 — 3x2 + x — 5) dx = 2 у x4 dx — 3 f x2 dx + j x dx — 5 / <£r =
r °	9	1
= 2— + Ci - 3— + C> + — + Сз - 5r + Cj = -x5 - x'1 + -x2 - 5:r + C, o	3	2	о	2
где С = Ci + С2 + Сз + С4.
Пример 29.2. Найти интеграл j CzLA (ix
Ci Решение: f -f + dx = f (1 + 1) dx = x + In |x| + C.
29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. можно, получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.
Например, так как
rf(sin и) = cos и  du,
то	,	f
/ cosudu = / rf(sin w) = sinw + С.
Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.
196
Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования и может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования).
В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.
Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция определена и непрерывна для всех значений ?/, отличных от нуля.
Если и > 0. го hi |//| = Inn, тогда dln|u| — rfln и =	Поэтом у
I = \пи + С — In |и\ 4- С при и > 0.
Если и < 0, io liilnl = In(-u). Но <71п(-?/) =	= ^4. Значит,
' '	— и и
при и < О
Итак, формула 2 верна. Аналогично, проверим формулу 15: (1	и \	1	1 d arctg 4- С =	 V'	«	/ н 1 + (- Таблица основных интегралов 1.	[u"du =	+ C (а#-1)	( 2.	1'	=ln](/| + С: 3.	/' a" du =	+ С: ./	111 п 4.	у' с" du =(’“ +С; 5.	У sin и du ~ - cos и + С	( G. j cos и du = sin и + С	( 7.	у tg и du ~ — In | cos иj + С: 8.	у ctg и du = In | sin n| + (': 9.	/	=~-	4- C	( ./ C()S“ и	' 10.	/	= -ctg?/ 4- C	( 11.	/	= In tg (1 4- C: J sm и	'	2 1 12.	/	= ]n	+ АЛ + C; ,/ cos и	1 \ 2	4/1 13.	/ r di1	. = arcsin - 4- C: ’ v o- - u2	(l	1 ,	du -—- • - du = —		. ;)' a	(l2+U~ j (hi = и 4- 6'У; У sh и du = ch?/ 4- C); У (4i и du = sh и 4- C*y ; 7	= th ,/4-CY J Hr и	/ 7	= - ct.h и 4-СЪ sh" и	)
197
14.	[	.... = In\и + Vu2 + а21 + С;
J \/и2 + а2
15.	[ -у = 1 arctg - + С;
./ а“ + и а я
16.	[	= ^--1п|^Ш1+С-;
J а~ -и~ 2а I а - и |
17.	[ \/а2 — и2 du = Я  \/а2 — и2 + Яг arcsin - +С: J	2	2а'
18.	f л/м2 ± а2 du = Ц  \/и2 ± а2 ± Я- In |и + у/и2 ± а21 + С.
§30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
30.1.	Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):
ди = д(и + а), а - число,
du = -d(au), а 0 — число, а
и  du = -d(u2).
cosudu = fZ(sinw), sin и du — —rf(cos a), — du = rf(ln it), и
--г— du = d(tg u). cos2 и
Вообще. f'(u)du = d(f(u)). зта формула очень часто используется при вычислении интегралов.
Примеры:
г dx г d(x + 3)
J х + 3 J .г + 3 лов);
= In |.г + 3| + С (формула 2 таблицы интегра-
2) I(Зх - 1 )24 dx= [(Зт - I)21 d(3r. - 1) = | мула 1):
(3^ -1)25 25
+ С (фор
198
3)	[ a g», ,/., = I' lalip <b = f ( -U - 1 ) * = [ -ф- dt - [ <b = J	J sin x J \sin" x	/ J sin" x J
— - ctga: - x + С (формулы 10 и 1):
dx
Vi ~ 3,r~
мула 13):
1 r d(V3 • x) x/(2V-(V3-xV
1	. V3
—=  arcsin----
ч/З	2
+ С (фор-
5) J sin2 6a- dx = - j ( ~ J cos 12x rf(12.r) •	=
1 г 1 г
1 — cos 12a:) dx = - J dx — - / cos 12 a-<7a-
1 1
-x — — sin 12a- + С (формулы 1 и 6):
1
2
6>/^+"V
1 г a- + 2
3 ./ (a- - l)(a- + 2)
+ ^ln|.r-l|+C:
1 Ha-l)-^)	1 r ._^-l__dT+
ЗУ (а —1)(.т + 2)	ЗУ (a:-l)(a + 2)
1 r d(x + 2)	1 r d(x — 1)
3 У a: + 2 + 3 У x - 1
| In |a- + 2| + О
7) I tg ii du = мулы 7):
sin и du cos и
r r/(cos ll)
cos и
— In | cos u| + С (вывод фор-
cos"
= /,1g5,O+/'e5,i(5) = l"ls
— In|tg 4- С (вывод формулы И);
cos2 т;	г sin2
2si»jCMr'“ + y 5ДлДГ«','‘=
и I , I и I „	, Sin £
- -In cos - +C = In ---~ +C =
2\ I 11	cos ?j
9)	у a(a:+2)9 dx = f (,r+2-2)(:r+2)9 dx = f (z+2)10 dx-2 (a:+2)9 dx = = I (a- + 2)10 d(x + 2) - 2 [ (a: + 2)9 d(x + 2) = l£±2^	+ C
(формула 1);
x /' d.r	r, ч ,	4 ctg~4 a: ,,1
10)	/ r----—r- = - / ctga: J d(ctg.r) =------— +C=	,-4- + C
J ctg a--Sin J- У	—4	lctg4a:
(формула 1):
1П Г________________= Г dx = r d(r - 1)	=
/ x/3 - 2a- + x2 J 4/2 + (.г - l)2 J yJ(V^)- + (x ^T)2
= Inja: - 1 + ч/3~- 2x + a:2 | + С (формула 14);
199
12)	Hix3-----+ 31-") dx=4 [ x3dx-f- [	[ 3rj' d(l-z) =
J \ cos2 2x / J 2 J cos2 2x J 5	31”J
— x4 — - tg2x —-—— + С (формулы 1, 9, 3):
111 о
13)	j x3- Vl+.r2 dx—у (l+x2)s -x-(x2 +1 -1) dx=^ у (1+х2)з d(l+x2)-
-J Al + d(l + x2) = ^-(l+x2)l - |(1+ж2)з + C.
Z J	14	О
Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изобретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой подынтегральной функции».
Соответствующие навыки приобретаются в результате значительного числа упражнений.
30.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении повой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл f(x) dx. Сделаем подстановку .с = p(t), где <p(t) функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда dx = ip'(t) dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования, подстановкой
(30.1)
Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части эгого равенства следует перейти от повой переменной интегрирования t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = <^(.г). тогда У /(^(т)) • p'(x)d.r — I f (t) dt, где t = p(x). Другими словами, формулу (30.1) можно применять справа налево.
У /(.г) dx = у /(Д£))  <//(£) dt.
Пример 30.1. Найти J е« dx.
Q Решение: Положим х — 4Z, тогда dx — 4 dt. Следовательно.
A’7 d.r, = 4 [ е1 dt — 4е' + С — 4е7 + С.
Пример 30.2. Найти / х  у/х — 3 dx.
200
dt =
Отсюда
Стало быть,
Решение: Пусть х/х — 3 = t, тогда х — t2 + 3, dx = 2t dt. Поэтому
У х  х/х — 3 dx = у (t2 + 3) • t  2t. dt —
= 2 J\t4 + 3i2) dt = 21t4 dt + 6112 dt = 2 • у + 6 • у + С =
= |(x-3)5/2 +2(x-3)3/2 + C. •
О
Пример 30.3. Получить формулу [	= In In + х/и2 + я2 I + С.
J х/и2 + а- 1	1
Обозначим t = х/и2 + а2 + и (подстановка Эйлера). Тогда
2и	у/ и2 + а2 + и
—=== du + du, т. е. dt = - ...	— du.
2х/и2 + а2	х/и2 + а2
du	dt dt
х/и2 + а2 х/и2 + а2 + и t
du г dt , . .	. г—_
=	= / — = In |f| + С — In \и + v и2 + а-| + С. И
V и2 + a'2 J t
Пример 30-4- Найти / х  (х + 2)100 dx.
Ci Решение: Пусть х + 2 = t. Тогда х — t — 2, dx = dt. Имеем:
f х  (а: + 2)100 dx = f (t - 2)  Z100 dt = [ twl dt - 2 f tlm dt =
_ /:102	I101	_(x + 2)1112	2(x + 2)101
— 102	' ’ 101 +	102	101	+
r dx
Пример 30.5. Найти / ---
J ex +
Ci Решение: Обозначим ex — t. Тогда x = InC dx = Следовательно,
r dx _ г у _ r dt _ r dt J	+ 1 “ J t+ 1 “ J t(t+ 1) “ J t2 + t
Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов.
201
30.3.	Метод интегрирования по частям
>
Пусть и = и(х) и v = v(x) — функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = и  dv + v  du. Интегрируя это равенство, получим
У d( uc) = У и dv 4- у v dv или f udv = uv — j v du.
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла / и dv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами): затем, после нахождения v и du. используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислял ь методом интегрирования по частям.
1.	Интегралы вида f P(x)ekj' dx, f Р(х) •sitifc.r dx. f P(.r) cos A-;c rf.r. где P(x) многочлен, к — число. Удобно положить и = Р(х), а за dv обозначить все остальные сомножители.
2.	Интегралы вида f Р(х) arcsin х dx, ] Р(х) aiccosx dx. j Р(х) In х dx, У Р(х) aretgx dz, у Р(х) arcctg х dx. Удобно положить Р(.г) d.r —- dv, а. за и обозначить остальные сомножители.
3.	Интегразы вида еа-1 -sinhxdx. J c'IJ -cos/xrd.r. где а и h числа. За и можно принять функцию и = Р1'1,.
Пример 30.6. Найти / (2т 4- l)rij' dx.
Решение: Пусть
du = 2d.r
(можно по-
и — 2.г 4“ 1 dv = еЛг dx
ложить С = 0). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:
[(2x+l)e^dx = (2x+l)-^:'x-[^2dx=1-(2r + l)^-‘~e3j +C. •
J	о У о	о	У
Пример 30.7. Найти \nxdx.
Q Решение: Пусть
и — 1п х
dv = d.r
du = — dx x
v - x
. Поэтому
In x dx = x  In x —
- dx = x  In x — .r + C.
X
202
\|
Пример 30.8. Найти / .т~е1' dx.
Q Решение: Пусть
и = х2
d,v = е.х dx
du = 2 х dx v = ех
. Поэтому
У х2ех dx = х2ех — 2 J ег • х dx.	(30.2)
Для вычисления интеграла J exxdx снова применим метод интегрирования по частям: и = х, dv = е ' dx => du = d.r, v = ex. Значит,
У ex  xdx = x  ex — f ex dx = x • ex — ex + C.	(30.3)
Поэтому (см. (30.2)) f x2ex dx = x2ex — 2(x  ex — ex + C).	•
Пример 30.9. Найти / arctgxdx.
Q Решение: Пусть
и = arctg x dv — dx
du = -—-
Поэтому
= j- arctg x —
1 /л/(1+ :r2) =
2 J 1 + x2
| ln(l + x2) + C.
§31. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
31.1. Понятия о рациональных функциях
Многочлен (некоторые сведения справочного характера)
Функция вида
P)i(.r) —	+ Hi х'г 1 +  • • + <гГ1 — i-Х + ап
(31-1)
где п - натуральное число, о, (/’ = 0,1...., и) постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число п называется степенью многочлена.
Корнем многочлена (31.1) называется такое значение то (вообще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль, т. е. Рп(х0) = 0.
Теорема 31.1. Если хг есть корень многочлена Рп(х), то многочлен делится без
остатка на х — Т], т. е.
Рп(х) - {х - .Г)) • Рп- 1(а-).
(31-2)
где Р17-1(т) — многочлен степени (п — 1).
>
>
203
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение'.
Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен л-й степени (п > 0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложении многочлена на линейные множители.
Теорема 31.3. Всякий многочлен Р„(:с) можно представить в виде
Р„(;г) = а0(т -	- .тд)... (.г - ,гп).	(31.3)
где ту, То,. ..,хп — корни многочлена, «о — коэффициент многочлена при х".
Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обозначим его через ту. Тогда имеет место соотношение (31.2). А гак как Р„_рх) — также .многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через ./д. Тогда Р„._1(.г) = (.т — тд) • Рп-2(т), где	многочлен (и — 2)-й
степени. Следовательно. П„(.с) = (х - .Г| )(.г — т.д)/7,, ._д(.т:)-
Продолжая эгот процесс, получим в итоге:
Р,(-’г) =	~ :Г|)(т - х->)    (х - т„).	
Множители (х — х/) в равенстве (31.3) называются линейными мно-—	жителями.
Д	Пример 31.1. Разложить многочлен Рз(.г) = .г3 — 2.г2 — х + 2 па
множители.
О Решение: Многочлен Рз(.г) — хл - 2х~ — х + 2 обращается в нуль при х = — 1..г = 1, х — 2. Следовательно..г3 — 2,г2—.г+2 = (:r+1)(.г—1 )(.г —2). •
Пример 31.Я. Представить выражение .г' — .с2 + 4,г — 4 в виде произведения линейных множителей.
Решение: Легко проверить, что т3-.г2+4.г-4 = (.г-1)(.г —2/)(.г + 2/). •
Если в разложении многочлена (.31.3) какой-либо корень встретился к раз. то он называется корнем кратности к. В случае к = 1 ( г. е. корень встретился один раз) корень называется простым.
Разложение многочлена (31.3) можно записат ь в виде
Рп (.г) = а0(х -zi)*1 • (х - эд/Р.. (./:-. er)k'.	(31.4)
если корень ./д имеет кратность kt. корень лм - кратность Ад и так далее. При этом к{ + к-2 +.1-	кг — п. а г - число различных корней.
204
Например, разложение
Pg(x) = (х - 3)(х + 1)(х - 4)(ж - 3)(х - 3)х(х - 4)(х - 3)
можно записать так:
Р»(х) = (х - З)4 • (х + 1) • (х - 4)2 • х.
Пользуясь теоремой 31.3, можно.доказать следующие утверждения.
Теорема 31.4. Если многочлен Рп(х) = аохп + ajx”-1 +•••+«„ тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Например, если ах3 + Ьх2 + сх + d = х3 — Зх2 + 1, то а = 1. Ь = —3, с = о, d = 1.
Теорема 31.6. Если многочлен Рп(х) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень а + ib, то он имеет и сопряженный корень а — ib.
В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители
(х — (а + ib))  (.г - (« - ib)), полечим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами х2 + рх + q. В самом деле.
(х - (а + ib))(x - (е - ib)) = ((х - а) - ib)(Jx - а) + ib) =
= (х - л)2 + Ь2 = х2 — 2ах + а2 + Ь2 = х2 + рх + q, где р = —2а, q — а2 + Ъ2.
Таким образом, произведение линейных множителей. соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.
С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.
Теорема 31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е. многочлен Р„(х) можно представить в виде
Р,(х) = а0(х - хО*'1 (х - х2р ... (х - хг)к" х
х (х2 + Р1Х + щ)’'1 ... (х2 + ртх + q„i)Sm . (31.5)
При этом кг + к-2 + • •  + кг + 2(йц + s-2 + • • • + вт) = п, все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.
205
Примеры разложений (31.5):
1)	х4 - 1 = (х - 1)(а-+ 1)(.т2 + 1):
2)	х3 — 16а: = а?(аг — 16) — .т(,г - 4)(.т + 4);
3)	а:5 — 6а'4 + 9а'3 — х'2 + 6.Z' — 9 = х3 (,г2 — 6,т + 9) — (а:2 - б.т + 9) = = (ж2 - 6а: + 9)(ж3 - 1) = (а- - З)2 • (а' - l)(z2 + х + 1).
Дробно-рациональная функция
ф	Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)
— называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. f (х) —
~	> где Рт(х) — многочлен степени т, a Q„(:r) - многочлен с те-
пени п.
ф	Рациональная дробь называется правильной, если степень числите-
— ля меньше степени знаменателя, т. е. т < п; в противном случае (если т п) рациональная дробь называется неправильной.
@	Всякую неправильную рациональную дробь можно, пу-
тем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби тлтЦ. Чн )
+ 777-7-
Q(-r)
PW = QH НапримеР’^) = --;-г2+9' делим числитель на знаменатель
неправильная рациона, п.ная дробь. Раз-в столбик:
х4	- 5а: + 9 у - 2_________________
х4 — 2х3	х3 + 2.г2 + 4,г 4- 3
_ 2х3	-5х+9
2.г! — 4j:2___________
4.Т2 — ax + 9
4,т2 — 8т
_ 3.7: + 9
3.7: — 6
15.
Получим частное £(;г) = .г3 + 2;с2 + 4.г + 3 и остаток Д(т) = 15. Следова-
тельно, х ~ ’4 Г;,+ = ^3 _|_ 2х'2 + 4х + 3 н-
х — 2	х, — 2
Правильные рациональные дроби вида
(I)-
 1 х — а
(II)	. f (А: 2, k € N):
(а: - а)
(III)	. г ‘2^ + (корни знаменателя комплексные, т. е. р'2 — 4q < 0);
(IV)	.	,^х + —г (к 2, корни знаменателя комплексные),
(х“ + рх + q)
где Л, а, М, N, р, q - действительные числа, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.
206
1 \ X)
Теорема 31.8. Всякую правильную рациональную дробь знаменатель которой разложен на множители
Q(x) = (х - x^kl  (х - х2)к'2 ...(л2 + prx + qiY'1  • • {х2 +ртх + qm)Sm , можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
В(х) _ А, А2	Ак1
Q(.r) х — (х - Xi)2	(х-.Т1)А]
В1 в2	вк2
+ х — z'2 (х - х2)2	(х — яд)*2
Ctz + £>i	С2х + Р2	+	+	CS1 х + BS1
x2+ptx + qi (x2+p1x+q1)2	(z2 + piX + q^41
, Mpx + N^ , M2x + N2 ,	, MSmx + NSm /O1
"T” .-j	"T” /	, .) "T”	“Г” /•>	\ ?
X- + pmx + qm (x2 + pmx + qm)-	(x- + p,nx + </,„ )s"’
где Ai, A-2, Bi, B2......Ci, .......Mj, Л\, ... —некоторые действительные
коэффициенты.
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
х2 + 4	_ А В С Р
(х - 2)(z -	З)3 ” х-2	+ х - 3	+ (х - З)2	+ (х - З)3	'
ч z3 + 1	А	В	Сх + Р
2) -у------—• =------1—у -I-з----—;
х~(х2 + 1)	х	х-	х~ + 1
7z2 + 8z + 9______ _ А В Сх + D Мх + Л-
3 (а: — 1)(.т — 2)(z2 + х + I)2 х - 1 + х - 2	х'2 +z + 1 + (.г2 + х + I)2
Для нахождения неопределенных коэффициентов А\, А2..... Bj, В2,...
в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания колффициентов. Суть метода такова:
1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменателю
Q(x); в результате получим тождество
В(.г) Q(x)
член с неопределенными коэффициентами.
S(x) Q(x}'
где S(.r)
М1ЮГ0-
2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождествен-
но равны и числители, т. е.
Г(.г) = 5(.т).	(31.7)
3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по теореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7), получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты А], А2,..., 2?i,...
Пример 31.3. Представить дробь  ------'*—-- в виде суммы
(а- - 1)(:г‘ — 2а: + о)
простейших дробей.
207
Q Решение: Согласно теореме 31.8 имеем:
2х2 - Зя- - 3	_ ,4	, Вх + С
(х — 1)(а:~ — 2.с + 5) ,г — 1 """ я-2 — 2х + 5'
Т' е' 2.г2 - Зя- - 3	_ .4(.г2 - 2я- + 5) + (я--1)(В,г + С)
(х - 1)(я-2 - 2х + 5)	(.г - 1)(.г2 - 2х 4- 5)
Отсюда следует
2.т2 — Зя? — 3 = Ах2 - 2.4./- + 5.4 + Вх2 — Вс + Сх - С.
2х2 - Зя- - 3 = (4 + В)х2 + (-2.4 - В + С)х + (5.4 - С). Приравнивая коэффициенты при .г2, .г1. ,т°. получаем
Г2 = А + В.
< -3 = -2.4 - В + С.
( - 3 = 5.4 - С.
Решая систему, находим, что .4 = -1. В = 3, С — —2. Следовательно.
2х2 - Зх - 3	_ -1 З.г - 2
(:г - 1)(.г2 — 2,г + 5) х - 1	.г2 - 2х + 5'
Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также метод отдельных значений аргумент»: после получения тождества (31.7) аргументу х придают конкретные значения столько раз. сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена (ф-)).
н
Пример 31.Jt. Представить дробь стейших дробей.
—Зф-'Д	в вн.уе суммы нро-
я-(.г - 2)(.r + 1)
Q Решение: Имеем:	=
.ф: - 2)(.г + 1)
4 В С
-—I-----д 4----- г. Отсюда следует-
х х — 2 х 4- 1
З.т - 4 = ,4(.г - 2)(.т +1)4- В.г(х + 1) + Сх(х - 2).
Положим ,с = 0. тогда —4 = —2.4, г. е. .4 = 2: положим х = 2. тогда 2 = 6В.
т. е. В = А; положим х = -1. тогда — 7 = ЗС, г. о. С = — Следовательно.
Зя- - 4	2 У - -;
я-(.г - 2)(.г +Л) ~ х + х - 2 + я: + 1'
31.2. Интегрирование простейших рациональных дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
1. j 7“фт = /	~ 1П ':Г ~ а1 + ^' (форм.'-та (2) таблицы
интегралов);
2‘./ (.г	(1т = А ' [~~11') к' d(J' - = Л ' ~'-Т+Т~ + с
мула (1));
208
3.	Рассмотрим интеграл J = [ -'У J' — dx. J .г + рх + q
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:
т г Мх + N J =	--------------- dx,
' (x + ^+q-^
2
причем 7 — ^j- > 0. Сделаем подстановку х +	= t. Тогда х = t - &
4	'	2	2
2
dx = dt. Положим q — ~ — а2. Следовательно, используя формулы (2) и (15) таблицы интегралов, получаем
т	г .17л + Лг J f M(t - %) + N ,
•7 = / —--------------dx = / —--------------------dt =
./ х- + рх + q J t- + a-r r	(лг	/ dt
Л/ . ,	•>.	Л7р\ 1 t
= xp ' HC + «') + I A-----— • - arctg - + C,
2	\	2 / a a
i.	возвращаясь к переменной x.
г Mx + Л Л7 2
•7 = / -ту----— d.r = — ln(.r2 + px + q) +
J X- + px + q 2
Пример 31.5. Найти / .> 3-'- + —- dx.
J :r2+2.r + 10
Q Решение: x2 + 2.r + 10 = (x + I)2 + 9. Сделаем подстановку x + 1 = t. Тогда x = t — 1, dx = dt п
/ З.г + 1	rt(t-l) + l г tdt r dt
7 x~ + 2./’ + 10 J t~ + 9	J t~ + 9 J t~ + 9
3	2 t 3	2 r + 1
= у ln(C + 9) - - arctg - + C = -	+ 2,r + 10) - - arctg —— + C.
—	•)	о	Z	о	о
4.	Вычисление интеграла вида / —Д7.г + Л—rdx, к > 2, а —	> 0.
J (.Г + рх + q)k	4
Данный ин теграл подстановкой х +	= t сводится к сумме двух ин-
И'гра. юн:
,, / t dt /,,	Л/?> \ г dt ., р2
J (t2 + а~)к \	2 / J (t- + a2)k	4
Первый иптегра. i легко вычисляется:
./	| /(/2 + d(t2 + a2) = 2J	, + C.
Вычислим второй интеграл:
j = /' dt =L [ +
k J(f2+a2')k a2 J (f2+d2)k
_ 1 / [ dt	r t2 dt \ _ 1 / r t2 dt \
a2 \J (t2 + d2)k^1 J (t‘2 + a2)k 1 a- \ A 1 J (t2 + a2)k /
209
К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Положим , t dt , и = t. dv = —----------------------——, du = dt.
(t2 + a2)k
” =	+	+ “3) = 2~ц(,’~+
тогда
г t2 dt	t	1 г dt
J (f2 +d2y- = 2(1 - k)(t2+a2)k-1 ~ 2(1-k) J (p + (l2)k-i =
f_____________1	r
2(1 - k)(t'2 + a2)k~l 2(1 -к)
Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем
Л - ^(Л-1 -	_ k^f2 + а2^-1 + 2(1 - А:)'7*" ^’
Г е	1 р^-з	*	\
'к'~ а2 \2к - 2' к1 + 2(к. - l)(i2 + а2)^1) ‘
Полученная формула дает возможность найти интеграл Л для любого натурального числа к > 1.
Пример 31.6. Найти интеграл J-s = [ д .
1 у- Т И
Q Решение: Здесь а = 1, к = 3. Так как т /' dt
Л = /?г-Г=»г«8' + С.
ТО
7 г dt 2-2 — 3	t	1	t
' 2 ~J (t2 + I)2 - 2 • 2 - 2J> + 2 • (2 - l)(t2 + 1) _ 2 ar<tg7+2p2 + l) + ‘
T 3 T t	t 3/1	t \	„ ~
'h ~ T11 +	- 4(7-’ _|_ i)2 + 7 (jarctg< + жТп) +
31.3.	Интегрирование рациональных дробей
©
Рассмотренный в пунктах 31.1-31.2 материал позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.
1.	Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;
2.	Разложив знаменатель правильной рациональной дроби па множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей:
3.	Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример 31. 7.
Найти интеграл [ х	Ф - d.r..
1	1 хЛ + 2.г3 + 2т-
210
Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:
х5 + 2х3	+ 4а; + 4 х4 + 2а:3 + 2х2
х5 + 2т4 + 2а:3	х-2
- 2х4	+ 4а: + 4
- 2а-4 - 4а:3 - 4а:2
4а:3 + 4а:2 + 4а: + 4 (остаток).
Получаем:
х5 + 2х3 + 4а: + 4	4а'3 + 4х2 + 4а:-+ 4
-----------------= х — 2 Ч--------------------.
х4 + 2х3 + 2а:2	а:4 + 2а:3 + 2а:2
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
4т3 + 4а?2 + 4х + 4 _ 4а?3 + 4а:2 + 4а: + 4 _ А В Сх + D
х4 + 2х3 + 2х2	х2(х2 + 2х + 2) х х2 х2 + 2х + 2 ’
4а-3 + 4а?2 + 4.т + 4 = 4а;(а?2 + 2а: + 2) + В(х2 + 2а: + 2) + (Сх + D)x2, т. е.
4а:3 + 4.-г2 + 4а; + 4 = (4 + С)х3 + (24 + В + D)x2 + (24 + 2В)х + 2В. Отсюда следует, что
и
4 + С = 4,
24 + В + D = 4,
24 + 2В = 4,
2В = 4.
Находим: В — 2, 4 = О, С = 4, D = 2. Стало быть,
2 4х + 2
г2 + х2 + 2х + 2
2	4а:+ 2
а:2 + 2х + 2'
4х3 + 4а-2 + 4а? + 4 а-4 + 2а:3 + 2х2 хэ + 2х3 + 4х + 4 а:4 + 2х3 + 2а?2 Интегрируем полученное равенство: г х3 + 2а?3 + 4а: + 4
J х4 + 2а:3 + 2.г2
,г2
х - 2
£	4,7? + 2	\
г2 + х2 + 2х + 2 )
х2 Q 2 с 4х + 2	,
2 х J (х + I)2 + 1
Обозначим х + 1 = t, тогда х — t — 1 и dx = dt. Таким образом, f 4х + 2	с 4t - 4 + 2 г tdt г dt
J (х + I)2 + 1 J t2 + 1 J t2 + 1 J t2 + 1
= 4 • | ln(t2 + 1) - 2 arctg t + С =
= 2 • ln(a:2 + 2а: + 2) - 2 arctg(a + 1) + С.
Следовательно,
! 9	4 г -I- 4	х2	2
[ -—-------—-—:—— dx = -—-2а:-----H21n(a-' + 2a?+2)-2arctg(z-|-l) + C. •
./ х4 + 2а>3 + 2х2	2	х	’
Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
211
§32. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
32.1.	Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригономе-
а
трических функций. Функцию с переменными sin .г и cost, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать 7?(sin;c: cosх), где В знак рациональной функции.
Вычисление неопределенных интегралов типа J 7?(sinx; cost:) dx сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tg ~ ~ t. которая называется универсальной.
Действительно, sin х =
2 tg f
1 + tg2 f
2t
1+f2'
cos a;
= 2 arctg/. dx =
2 ----г dt. Поэтому
1 +t2
1 - tg2f _ 1 -12
1 + tg'2 f 1 +12 ’
7?(sin x: cost) dx = [ B.( ,	----лг) •	, dt = f 7?i dt,
' J \i+t2 1+t2/ 1 +t2 J '
где Rj (/) рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий. за то он всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимое in oi свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:
1	)('<.ди функция 7?(sin.r: cos х) нечетна относительно sin.r. г. е. /?(—sin.r: cos.r) = — 7?,(sin х; cosx), то подстановка cos.r = t рационализирует inn оград:
2)	(’ели функция 7?(sin х; cos х) нечетна относительно cost. т. е. 7?(sin х: — cos.r) = — 7?(sin z; cos х), то делается подстановка sin х = t;
3)	если функция 7?(sin х; cos :г) четна относительно sin.r и cos.r 7?(- sin г: — cos .г) = 7?(sin х; cos х), то интеграл рационализируется подстановкой tg.r = /. Такая же подстановка применяется, если ин теграл имеет вид / 7?(tg.r)r/x.
dx
Пример 32.1. Найти ин теграл / ?г —:-------.
./ 3 + sm х + cos х
Q Решение: Сделаем универсальную подстановку t = tg^. Тогда dx =
=--	. sin.r = —^-д-. cos j- — '	(>. Следовательно,
1 + I-	1 + t2	1+t2
—
./3 4- sin j* 4- cos j*
2 dt	/ dt
(1 + /2)(3 + 44 + 4||) " j t2+t+2
2 t 4- о z-т	21 g ',
-5= arctg ——- + C ~ —p. • arctg---------p—- 4- C.
V7/2 C7	C7
212
Пример 32.2. Найти интеграл I = у -	.
Q Решение: Так как
/?(—sin.r; — cost) = -------;--— = --------5— = 7?(sin x:cosx),
7 l + t-sinr)2 1 + sin2 x v	7
то полагаем tg.t: = t. Отсюда
, dt	tg2 x t2
x = arctg i, dx =--------- и snr x = --------5— = -------
1 + t-	1 + tg2 x 1 + t2
Поэтому
у dt	_ у dt	_ 1 r d(\/2t)	_
“ I (1 +f2)(l +	“ J 2f2 + l ~^J (V2/.)2 + 1 ~
1	r-	1	r~ .	-
= -y= arctg v2t + C = -—j=^ arctg( v 2 tg x) + C. •
2.	Интегралы типа J sin*71 x • cosn x dx
Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
1)	подсишовка sin ж = /, если п -- целое положительное нечетное число:
2)	подстановка cost = t, если т целое положительное нечетное число:
3)	формулы понижения порядка: cos2 ,r = ^(l+cos2x). sin2 .г = = i(1 —cos 2х), sin j'-cos x = ~ sin 2x. если m и и целые неотрицательные четные числа;
4)	подстановка tg.r = t. если т + п есть четное отрицательное' целое число.
Пример 32.3. Найти интеграл I = sin'1 .г со»5.г, dx..
О Решение: Применим подстановку sin д’ = /. Тогда х = arcsin t, dx = — —?  ~ dt, cos j- = /Г- t2 и
I = 11 '  (У1 - i2)5  —= I Z4(l - t2)'2 dt = I (t4 - 2Zg + t8) dt =
t5 J7 „	1  >	2 . 7 I. z-, -
=-----2— + — + C = - sin' x-----sin x + - sin x + C. •
a 7	9	5	7	9
Пример 32.4- Найти интеграл I — J sin4 xcos2 xdx.
О Решение:
-7	9	/* 1	*>	1
I = I (sin x cos x)~ sin’ x dx = J ~ sin’ 2x • - (1 — cos 2x) dx =
1	/'	>	1 i-
= - у sin2 2x dx — - у sin2 2x cos 2x dx =
213
1 Г 1	If.
= - / -(1 - cos4x) dx - — / sin2 2xd(sm2x) =
о J 2	16 J
11 1 , _
й*-й"4'-«*гг,+с •
1 . . 1
64	48
Пример 32.5. Найти интеграл I = /	r = / cos 1 ,r • sin 3 xdx.
Q Решение: Здесь m + n = dx = dt , sin x = -,-t~.-,
1 + 1	y/l+t2
—4. Обозначим tg.r = t. Тогда ,r = arctg t, cosx = —7=1= и
x/1 + t2
dt
l + t2
1	,	, ,	Z-,	1
~+ 111 |/| + C - --
32.3. Использование тригонометрических преобразований
Интегралы типа j sin ах- cos bxdx. / cos ax -cos bx dx, / sin a.r -siii6.r dx вычисляются с помощью известных формул тригономет рии:
sin a cos 3 = |(sin(a — /У) + sin(o + /?)), cosocos/1 = |(cos(o - 3) + cos(a + 3)). sin n sin /? = |(cos(o- — 3) ~ eos(ci + 3)).
Пример 32.6. Найти интеграл 1 ~ / sin 8.r cos 2x d.r.
Q Решение:
sin 8x cos
sin 10./: + sin 6;r) dx =
1 /	1	1
= Д - 77. cos 10;r - - cos 6./:
2 \ L()	6
§33. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
33.1. Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.
Интегралы типа [ -у=====^ f \/a.r2 +bx +сdx, I 7??++7j	(/ -
1 yax2+bx + c '	J \/ах2 +Ьх 4-с
называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациона. i -
ностсй. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат
ах2 + Ьх + с =
/ ,	Ь	сх	/ /	b \2	с
= а ( х ч— х -f— 1 = а ( ( х + —— ) Н-
\	а	а/	\\	2а)	а
4ас - Ь2 4а2
и сделать подстановку х +	= t. При этом первые два интеграла приво-
дятся к табличным, а третий — к сумме двух табличных интегралов.
Пример 33.1. Найти интегралы I = / —.	ах =.
J \/4х2 + 2х + 1
Q Решение: Так как 4.г2 + 2х + 1 = 4^а:2 + ^х +	= 4^х +
т0	г	dx	1 г dx
V/4((x + {)2 + ^)	2‘ У(х + {)2 + ^
Сделаем подстановку х +	= f, х = t — dx = dt. Тогда
lr dt
2 J У^2 +3/16
Пример 33.2. Найти интеграл I = f , 27 + 4
' у/6 — 2х — х2
Q Решение: Так как 6 — 2х — х2 = — (х2+2х — 6) = — ((а:+1)2 — 7) = 7- (т + 1)2, то подстановка имеет вид х + 1 = t, х = t — 1, dx — dt. Тогда
т г t — 1 + 4 г t dt г dt
~ / у/7 -t2 f ~ / ч/7 - t2 + / у/7-t2 ~
= -| f(7-t2)^d(7-t2) + S f —	=
2 7	7 \J(V7Y-t2
= - \/7 - Р + 3  arcsin -4= + С = 3 arcsin - y/(j - 2х - х2 + С. • у/7	у/7
Интегралы типа /	Лг(^) . Где рп^ — многочлен степени п,
1 \/ ах2 +Ьх + с
можно вычислять, пользуясь формулой
[ Рп = dx = Qn-1(x)  \/ах2 +bx + c+X f -dX- -.= , (33.1)
J V ax2 +bx + c	J у/ax2 +bx + c
где Qn-Yx) — многочлен степени n — 1 с неопределенными коэффициентами, A — также неопределенный коэффициент.
215
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):
“7==^== = (Qn-1(^)  \/«Д2 + Ьх + с)' + -у-..- Л ;	=,
уах- 4- Ьх + с	у/ах- + Ьх + с
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.
/2
—,.. Х- dx.
V 1 — 2х — .г2
Q Решение: По формуле (33.1) имеем:
I = f — dx = {Ах + В) у/Г"- 2х — х2 + А • / —====== I у/! - 2х - х2	J у/1 - 2.г - х2
Дифференцируя это равенство, получаем:
х'2	4 Гл---7----7 / л .	-2 - 2х	А
—==zz== = А • л/1 - 2.Г - х2 + {Ах + В)--7^—----Z + -у==
У1 - 2.г - .г2	2у/1 - 2,г - .г2	у/1 - 2.г -
1. е.
х- = .4(1 - 2х - ;г2) + (.4т + В)(-1 - х) + А.
х2 = .4 — 2.4.г — Ах2 — Ах — В — Ах2 — Вх + А.
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
{1 = — .4 — .4 при х2,
О = —2А — .4 — В при Д,
0 = .4-В + А прид0. 1 ч
Отсюда .4 = — А. В = . А = 2. Следовательно,
33.2. Дробно-линейная подстановка
// /	, т \ о / /3	/	, 1 \ д / Д \
r(x, (пх	+ ^4	4 j-цр а j, c
\ \ex + dj \ex + d)	)
d действительные числа, ..., J, 7 — натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки	= ''
где к наименьшее общее кратное знаменателей дробей
Р 7
Действительно, из подстановки ах = tk следует, что х = l’ -.; 'JJ сх + а	'	сг — а
,	— dktk~} {ctk — а) — {b — dtk)cktk~1 ,,	,
dx = --------*--—~)Х---------------dt, т. е. х и dx выражаются через
216
.на.:ьнь:<- функции or t. При ним в ка*л*а --fcon^ jftuou выражае кя че]>ез рациональную функцию от t.
Пример 33.4-
Найти интеграл I
______dx______
V(z + 2)2 - /Г+2'
Q Решение: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей | п i ecu, 6. Поэтому полагаем х + 2 = te, х — t6 — 2, dx = fit:’ dt. t = /с + 2. С. юдова-тельно,
r 6t5 dt
J t^l2
r f f2(lt fi /' ((2 ~	+ 1 л
= 6 / ------- = о / ----------------dt =
J t - 1 J t - 1
— 6 (j- + 1 + ~—-) dt — 3f~ + Gt + 6 In |/ — 11 + C —
= 3- /Г+2 + 6- /ГТ2 + 61111 /Г+2 - 1| +C.
Пример 33.5. Указать подстановку для нахождения интегралов:
г х/х — 1
J 2/г - х
d.r
(Г//'
Q Решение': Для Ц подстановка х = t2, для Р подстановка = Г. ®
33.3. Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа]В(х: y/a2-x2)dx,JR(x; Vи2 + x2)dx, JВ(х: х/х2-a2)<lx приводя гея к интегралам от функций, рационально зависящих о г гри-гонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических: подстановок: х = а  sin t для первого интеграла; .г = а  tg/ для вюрого интеграла: х = для третьего интеграла.
.2
Пример 33.6. Найти иитег;
- d.r.
Л
О Решение: Положим х = 2 sin/, dx — 2cos/<7/. / = arcsin Toi ла
\/T- sin2 / _ y/l~- (~)2 _ \/1 - x2 sin /	|	x
217
33.4.	Интегралы типа f R(x; у/ах2 + bx + c)dx
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и у/ах2 + Ьх + с. Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку z+ = t, интегралы указанного типа приводятся к инте-гралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам типа j R(t', y/a2 — t2) dt, У R(t- \/а2 + t2) dt, f R(t- y/t2 — a2) dt. Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.
Пример 33.7. Найти интеграл I — j	—-d3-.
Q Решение: Так как х2 + 2х — 4 = (х + I)2 — 5, то х + 1 = t, х — t — 1,
dx = dt. Поэтому I = f	—- dt. Положим t = fi , dt = —fi 'y os z dz,
./ r	sin z	sirr z
z = arcsin . Тогда
33.5.	Интегрирование дифференциального бинома
Интегралы типа хт  (a + bxn)p dx (называемые интегралами от дифференциального бинома), где а, Ь — действительные числа; т, п, р рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел р, т + * или * + р является целым.
Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:
1)	если р - целое число, то подстановка х = tk, где к — наименьшее общее кратное знаменателей дробей тип;
218
2)	если + 1 — целое число, то подстановка а 4- Ьхп = ts, где s — знаменатель дроби р;
3)	если + р — целое число, то подстановка а 4- Ьхп = хп  ts, где .ч — знаменатель дроби р.
Во всех остальных случаях интегралы типа f хт(а 4- bxn)p dx не выражаются через известные элементарные функции, т. е. «не берутся».

Пример 33.8. Найти интеграл I = /	----dx.
J у/х
Q Решение: Так как
I = у' х~? • (1 4- .т *) з dx,
то т = — 1 п = 4, п = 4.	= 2. Поэтому делаем подстановку
2	4	3 п
{/х+ 1 = f3, х = (t3 - I)4, dx = 4(t3 - I)3 • 3t2 dt, t = Wr + L Таким образом.
1 = / (T^lj^ ' 12<2('3 " 1)3 dt = 12 f ~ Л =
= 12 Л - 12 • ~ 4- C =	+ 1)* - 3 • (	+ I)1 + C. •
<	4	7
§34. «БЕРУЩИЕСЯ» И «НЕБЕРУЩИЕСЯ» ИНТЕГРАЛЫ
Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности. Например. [ —— можно най ти, не используя рекомендуемую подстановку ./ COS X	...
tg.r = t, а применив искусственный прием;
у d.r г (cos'2 х 4- sin2 .г)'-	_
./	= J cos6 х	( Х ~
/ / 1 п tg2 х	tg4 х \	2 ,	1г.	„
= / ----у- + 2-~— +	dx = tgх 4- - tg3 ,r + - tg- x + C.
./ \ cos2 x cos2 x cos2 x)	3	o
Вряд ли стоит вычислять интеграл
г Зх~ 4- 4д* 4-1 ./ х{х- 4- 2х 4- 1)
разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби;
Зх'2 4- 4т; 4-1 _ Зх2 4- 4х 4-1 _ .4 В С х(х'2 4- 2.г 4- 1)	х(х 4- I)2 х + х 4- 1 + (х 4- I)2
219
Заметив, что числитель Зх2 + 4.т + 1 является производной знаменателя х(х2 + 2х + 1) = х3 + 2х2 + х, легко получить:
Зж2 + 4,с + 1
~д----3----ТУ dx =
:(х2 + 2х + 1)
d(x3 + 2х2 + х) х3 + 2.с2 + х
= In |.с3 + 2х2 + j-| + С.
На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности. «Таблицы неопределенных интегралов» М. Л. Смолянского.
Изученные методы интегрирования позволяют во многих с. пчаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.
Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции /(.г) является также влемеятарво» функцвеВ. говоря,. „то / /(,)* ся», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается 401103 элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).
Так, например, нельзя взять интеграз f ^/х  cos х d.r. так как по существует элементарной функции, производная от которой была бы равна у/х cost. Приведем еще примеры «неберущихся» интегратов, которые имеют большое значение в приложениях:
У е J: dx  интеграл Пуассона (теория вероятностей). [	----интегральный .логарифм (теория чисел).
У соях2 dx, fsii\x2dx, - интегралы Френеля (физика), у sin х у cosх (рг интегральные синус и косинус, У ~ dx —- интеграпьная показательная функция.
Первообразные от функции с ~J' . cos х2, и др\ тих хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента х.
лава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекции 29-33
35.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
Пусть функция у = /(;г) определена на отрезке [и: Ь], а < Ь. Выполним следующие действия.
1.	С помощью точек Хо = а, Х\.,Х2~. хп = Ь (.го < -П <  •  < ./•„) разобьем отрезок [и, 6] на п частичных отрезков [.T0:.ri],	....[.г„_ j.
(см. рис. 167).
—।----1—•—।—•—i—•—।—•—।—•—ь-
О а = хо Xi х-2	.т,~1 х:
Рис. 167.
(5|
2.	В каждом частичном отрезке [тд.| i = 1.2....и выберем про-
извольную точку Ci € [ipi; X;] и вычислим значение функции в ней. т. с. величину ,f(('i).
3.	Умножим найденное значение функции f(ct) на длину Д.г, = .г, - .г,— । соответствующего частичного отрезка: f (щ)  А.г,.
4.	Составим сумму Sn всех таких произведений:
,	>1
Sn = /(с1)Д.-Г1 + /(с2)Дх2 4-1 /(с„)Д.г„ = V ./'(с,)Д.г,.	(35.1)
i:-1
Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = = f(x) на отрезке [а; Ь]. Обозначим через Л длину наибольшего частичного отрезка: А = шах Д.т, (/' = 1,2,.... п).
5.	Найдем предел интегральной суммы (35.1). ко,да и -х ос зак. что А -> 0.
Если при этом интегральная сумма У,, имеет предел /. который не зависит ни от способа разбиения отрезка [н:5] на частичные отрезки, ни oi выбора точек в них. то число I называется определенным интегралом ь
от функции у -- f(x) на отрезка' [«;&] и обозначается / f(x)dx. Таким
(35.2)
Числа а и Ь называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией. f(x) dx подынтегральным выражением, х переменной интегрирования. отрезок [ц; 6] ---- областью (отрезком) интегрирования.
221
Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; Ь] существует определен-ь
ный интеграл у f(x) dx, называется интегрируемой на этом отрезке.
а
Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.
Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; 6], то ь
определенный интеграл j f{x) dx существует.
Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.
Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).
1.	Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
ъ	ь	ь
У f(x) dx = I f(t) dt = у /(z) dz. a	a	a
Эго следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.
2.	Определенный интеграз с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
а
У f(x,)dx = 0. а
b
3.	Для любого действительного числа с: у cdx = с • (Ь — а).
а
§36. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а: Ь] задана непрерывная функция у = /(х)	0.
Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ,f(x), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = Ь, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.
222
Рис. 168.
Для этого отрезок [а; Ь] точками а = хо, xi, b = х„ (х0 < .Ti < ••• < х„) разобьем на п частичных отрезков [xo;xj], [xi;x2], • • •, [in-fXn]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [х,-_i; х,] (i = = 1,2, ...,тг) возьмем произвольную точку c.i и вычислим значение функции в ней, т. е. /(с,-).
Умножим значением функции f^Cj) на длину Дх; = Xi — Xi^i соответствующего частичного отрезка. Произведение f (щ)  Ах, равно площади прямоугольника с основанием Дх, и высотой /(с,-). Сумма всех таких произведений
п
/(сДДх] + /(с2)Дх2 + • • • + /(с„)Дхп = ^2 /(с0Да;1 = Sn
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:
п
S^Sn = ^f(ci)-^Xi.
,7=1
С уменьшением всех величин Дх, точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной гранении принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S,,, когда п неограниченно возрастает так. что А = шах Д.г,- —> 0:
п	b
S = lim S„ = lim 7 /(с,)Дх,, то есть S = / f(x)dx.
(А—>0) ,= 1	а
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х абсцисса движущейся точки М.
Найдем работу .4 силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из I	-точки х = а. н точку х.	=	1> {а < Ь). Для этого отрезок	[а; 6] точками а = Xq,
I	Xi.....Ь = хп (хо <	x‘i	< ••• < х„) разобьем на п	частичных отрезков
I	[.Го; J‘i], [xi:x-_>], ...,	х„]. Сила, действующая на	отрезке [х,_];х,], ме-
I	ияется от точки к точке.	Но если длина отрезка Д.г,-	= х,- — x,_i достаточ-
I	но мала, то сила F на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно
I	приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x)
I	в произвольно выбранной точке х = с, 6 [x;_i;x,]. Поэтому работа, совер-
	шейная этой силой на отрезке [x,;_i:x,-], равна произведению F(c;) • Дх,-.
В	(Как работа постоянной силы F(c,) на участке [x,-i;x,].)
223
Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [«.: Ь] есть
77
А к F^JAay + F(c2)A.-r2-I---Н F(c,))Ax,1 =	F(c,)A.z:;.	(36.1)
i=i
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина А.г,. Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина А частичных отрезков стремится к нулю:
А = Пт	= I F(x) dr.
Итак, работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция F = Fix'), действующей на отрезке [д:6]. равна определенном,у интегралу от величины F{r) силы, взятому по отрезку [о: Ь].
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Аналогично можно показать, что путь S. пройденный точкой за промежуток времени от t = а до t = b, равен определенному ните: ралу от скорости v(t):
S = I v(t) dt-. (I
масса m неоднородного стержня на отрезке [zz; 6] равна определенному ин-ь
тегралу от плотности у (.г): т = [ у (:r) d.r. а
§37. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Пусть функция у = /(.г) интегрируема на отрезке [п: 6].
Теорема 37.1. Если функция у = /(.с) непрерывна на отрезке [о: 6] и F(r) — какая-либо ее первообразная на [л;Ь] (F'(.r) = f(r.)), то имеет место формула
ь
[ f(r)dr = F{b)~ F(a).	(37.1)
a
Q| Разобьем отрезок [«; b] точками a = лр. .щ b = r,, (rn < rt < •••  < xn) на n частичных отрезков [.то; ./у]. [.zpyzy] [,r„ _ ।: ,z'„]. как эго показано на рис. 169.
—।---1.—।—.—।—.—।—.—।—.—i—.—।—•—।—.—।-------
О а = го .г:	г-2	г;-\ г,	Ь=Ги
Рис. 169.
221
Рассмотрим тождество
F(b) - F(a) = F(x„) - F(x0) = (F(xn) - F(x„_t)) +
+	- F(x„_2)) + • • • + (F(x2) - F(xj)) + (F(xJ - F(x0)).
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
f(b) - f(a) = f'(c)  (b — a).
Получим
F(6) - F(a) = F'(cn) • (xn -	+ F'tc^)  (x„_i - x„_2) +...
n	n
----h F'(c2) • (x2 - xj + F’(c1)(x1 - x0) =
1=1	1=1
1'. О •	n
F(b)-F(a) = '^f(ci)^x„	(37.2)
i=i
где с, есть некоторая точка интервала (хг-_1; х,-). Так как функция // = /(.г) непрерывна на [а;&]. то она ин тегрируема на [«; 6]. Поэтому существует прсдел интегральной суммы, равный определенному интегралу oi /(./) на ML
Переходя в равенстве (37.2) к пределу при А = max Дх, —> 0. нол \ чаем
п
F(b) - F(a) = lim V/(c,)Axb
A—>0	'
? = 1
b
F(b)-F(a) = I'f(x)dx.
Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Если ввести обозначение F(/>) — F(a) = F(x)|n, то формулу Ньютона Лейбница (37.1) можно переписать так:
ь
f f(F)dx = F(x)|\
Формула Ньютона- .Лейбница дает удобный способ вычисления определенного ин теграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции /(х) на отрезке [а; /ф надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b) — F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [а; 6].
Например, / х2 dx =	10 = 9 — 0 = 9,
о 2
» /4Т?Л»<-'ЛГ,2Ч(т-(-т)) = г
-2

7Г ---------
/11 I с* о s 2 г -г
о *
8-418
225
Q Решение:
у 1 + cos 2.г	_ у
о
о
о
2
COST
о
sin х
е2
Пример 37.2. Вычислить интеграл /
(А Решение: / —= In I Inт| |e = In 2 — In 1 = In 2.
J xIht 1 lle
§38. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подын тегральную функцию интегрируемой на отрезке [а: 6]. При выводе свойс гв будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона Лейбница.
1. Если с — постоянное число и функция f(x) интегрируема на [а: 6], /по	,	,
b	ь
(38.1)
т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.
□ Составим интегральную сумму для функции с • f(x). Имеем:

b n	n
Тогда lim c-/(t)Ax, — c- lim ^2 f(ei) = <"* / f(x)dx. Отсюда вытекает. i=1	n-TTC ;=1	J
а
что функция с • f(x) интегрируема на [а; Ь] и справедлива формула (38.1).
2.	Если функции fi(.c) и интегрируемы на [а; 6], тогда интегрируема на [о: Ь] их сумма и
ь	ь	ь
f (fl ('*) + h(x)) dx = f fi (x) dx + I f2(x) dx,
(38.2)
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
226
□ /(fiH + f-2(x))dx =	+ /2(c,))At, =
n	'=1
= Jjn^ №)ЛТ' +	^2 h^i^Xj = J fi (x) dx + J f2(x) dx. 
/”1	>“1	a	a
Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
1>	а
3.	У f(x)dx = - У /(.т) dx. п	b
Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона -Лейбница.
b	а
У J(.r) dx = F(b) - Fla) = — (F(a') - F(b)) = - f f(x) dx. a	b
4.	Если функция /(.г) интегрируема на [а: 6] и а < с < Ь, то b	с	Ь
У f(x)dx= у f(x)dx + у f(r,)dx,	(38.3)
час
т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Эго свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности),
[_} При разбиении отрезка [с;/)] па части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [«; 6] на части). Если с = х,п. то интегральную сумму можно разбить на две суммы:
11	111	п
/(о)Дят
?—j	i= 1	i = m
Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [о; 6], [а; с] и [с; Л]. Переходя к пределу в последнем равенстве при и —> ос (А —> 0). получим равенство (38.3).	И
Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, Ь. с (считаем. что функция /(.с) интегрируема на большем из получающихся отрезков).
Так. например, если а < b < с. то
с	b	с
/ f.x.dx- [ f(x)dx + I f(x)dx. a	a	b
Оч сюда
6	<	с	с	b
I f(x) dx = J f(x) dx - у f(x) dx = f f(x) dx + J f(x.) dx a	a	b	a	c
(использованы свойства 4 и 3).
227
5.	«Теорема о среднем». Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; 6], то существует точка с G [а; Ь] такая, что
ь
I f(x)dx = f(c)  (b - а), а
□ По формуле Ньютона-Лейбница имеем
ь
f f(x)dx = n< = F(b)-FW, а
где F'(x) = f(x). Применяя к разности F(b) — F(a) теорему Лагранжа
(теорему о конечном приращении функции), получим
F(b) - F(a) = С (с) • (6 - а) = /(с)  (Ъ - а).
Свойство 5 («теорема о среднем») при f (.г)	0 име-
ет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с G (а;Ь), площади прямоугольника с высотой /(г) и основанием b — а (см. рис. 170). Число
>
называется средним значением функции f(x) на отрезке [л; 6].
6.	Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [а; Ь], где а < Ь, то ин-ь
теграл f(x)dx имеет тот мое знак, что и функция. Так. если f(x) 0
(I
ь
на отрезке [а; Ь], то j f(x) dr 0.
а
□ По «теореме о среднем» (свойство 5)
ь
J f(x)dx = f(c)  (b - а), а
где с € [а; 6]. А так как f(x) 0 для всех х е [«; 6], то и
/(г)	0, Ь — а > 0.
ъ
Поэтому /(с) • (Ь — а) 0, т. е. J f(x) dx 0.	
а
7.	Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [л; 6].
(а < Ь) можно интегрировать. Так, если /i(x) h(x) при х е [п; Ь]. ь	ь
то У fi(x)dx < у f2(.r)dx. (1	а
228
□ Так как /2(-г) —	О- т0 ПРИ о < 6, согласно свойству 6, имеем
ь
У(fa(x) - Л(х))(/ж 0.
а
Или, согласно свойству 2,
b	b	b	ь
У f2(x) dx - у fx(x) dx 0, т. е. f f^x) dx f f2(x) dx.	
а	а	а	а
Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.
8.	Оценка интеграла. Если т и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а; Ь], (а < Ь), то
ь
т(Ь — а) у f(x) dx М(Ь — а).	(38.4)
а
□ Так как для любого х € [а; Ь] имеем т f(x) $ М, то. согласно
свойству 7, имеем
ь	ь	ь
У mdx	у f(x) dx J М dx..
а	а	а
Применяя к крайним интегралам свойство 5, получаем
ь
т(Ь — а) у /(ж) dx M(b — о). И
Если /(ж)	0, то свойство 8 иллюстрирует-
ся геометрически: площадь криволинейной трапе-
ции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [я; 6], а высоты равны т и М (см. рис. 171).
9.	Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
□ Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам —|/(ж)|^/(х)^|/(.т)|,
получаем
'	6	о	Ъ
- У !/(•/’)! dx^ У f(x)dx^ у \f(x)\dx. а	а	а
Отсюда следует, что
ь	ь
У f(x)dx <С у \f(x)\dx.	
a	а
10.	Производная, определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.
/И-
229
□ По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
f f(t)dt = F(t)\x=F(z)-F(a). а
Следовательно.
(f f(t)dt\ =№)-F(a))' =Г(х)-0 = /И.	
\<7	/ .Г
Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
§39. ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
39.1. Формула Ньютона-Лейбница
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла ь
от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:
ь
[ f(x)dx = F(x)\ha=F(b) -F(a).
(I
Применяется атот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(x).
7Г
Например. / sin.rdx = — cos	= —(cost? — cosO) = 2.
b
При вычислении определенных интегралов широко используется ме-1од замены переменной и метод интегрирования ио частям.
39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
ь
Пусть для вычисления интеграла / f(x)dx от непрерывной функции а
сделана подстановка х =
Теорема 39.1. Если.
1)	функция х = и ее производная х' = уЧО непрерывны при t € [о; $];
2)	множеством значений функции х = при t € [о, /3] является отрезок [а;Ь];
3)	у?(а) = а и = Ь, т0	ь	р
J f(x) dx = I /И<)) • фД) dt-	(39.1)
а	а
230
[j Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [а; Ь]. Тогда по ь
формуле Ньютона Лейбница f(x)dx = F(b) — F(a). Так как (F(y>(!))' =
а
— f(r'ty) ' ro	является первообразной для функции
/(у(!)) • t e [о:3]. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
J
/’ /(ЙО)  f'W <lt = F^(t))\3a = FW)) - F(^(o)) =
О
b
= F(F - F(o) = у f(x) dx.  a
Формула (39.1) называется формулой замены пере генной в определен-
ном интеграле.
Отметим, что:
1)	при вычислении определенного интеграза методом подстановки возвращаться к с тарой переменной не требуется;
2)	часто вместо подстановки х = ip(t) применяют подстановку t = g(x):
3)	по cneayei забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример 39.1. Вычисли ть J x2y/-i — х2 dx.
Q Решение: Положим х — 2 sin f, тогда dx = 2 cos t dt. Если x = 0. то t = 0: если .с - 2. io t = Поэтому
2	"7-
I x~ \/4 - x2 dx = I 4 sin2 f y/4 - 4 sin21  2 cos t dt =
h	()
л/'!	л/2 1	^/2
— 16 У sin2! cos21 dt = 16 J - sin2 2t dt = 4	-(1 — cos4i) dt =
о	о	0
a/j’/2	4 • oi7r/2A >/" nA л
= 2(/lo -4Sm4H() J=2(,2“7	*
39.3. Интегрирование по частям
Теорема 39.2. Если функции и = и(х) и v = с(т) имеют непрерывные производные на отрезке [«Л], то имеет место формула
6	h
udv = ue\l’a — J оdii.	(39.2)
а	а
231
Ql На отрезке [а; 6] имеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v + uv'. Тогда по формуле Ньютона -Лейбница имеем:
ь
У (u'v + uv') dx = uv\ba. a
Следовательно, ь	b
! v  u'dx + J uv'dx = uv\ba ==> a	a
b	b	b	b
=> у v du + у и dv = uv\ba => У udv = uv|& — j" v du. И a	a	a	a
Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример 39.2. Вычислить
Q Решение: Положим
и = 1п х => du = — dx х
•>
dv = xdx => v =
Применяя формулу (39.2), получаем
7V
Пример 39.3. Вычислить интеграл / х sin х dx.
6
Q Решение: Интегрируем по частям. Положим
и = х	=$> du = dx
dv = sin x dx => v = — cos x
Поэтому
TV
J = —,tcosz|^ + у cosxdx = —тг • ( — 1) + 0 + sinx= тг.
0
232
39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
Пусть функция /(ж) непрерывна на отрезке [—а; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что
{а
2- / f(x)dx, если/(ж) — четная функция, I	'	(39-3)
0.	если /(ж) — нечетная функция.
□ Разобьем отрезок интегрирования [—а; а] на части [—а; 0] и [0; а]. Тогда по свойству аддитивности
У f(x)dx = у f(x)dx + у f(x)dx.	(39.4)
— а	— а	О
В первом интеграле сделаем подстановку х = — t. Тогда
О	0	а	а
У /(ж) dx = - у f(-t)dt = у /( — t'fdt = у f(—x)dx — а	а	О	О
(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим
а	а	а	п
I f(x)dx = I ,f(-x)dx + у /(ж)<7ж = У(/(-ж) + /(ж))(7ж.	(39.5)
-а	6	0	0
Если функция /(ж) четная (/(-ж) = /(ж)), то /(-ж) + /(ж) = 2/(ж); если функция /(ж) нечетная (/(—ж) = —/(ж)), то /(-ж) + /(ж) = 0.
Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).	Я
Благодаря доказанной формуле; можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что
7Г	3
У cos2 ж • sin3 ж dx = 0, j c'r  sin ж dx = 0. — tv	— 3
§40. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ь
Определенный интеграл J f(x)dx, где промежуток интегрирования а
[п; Ь] конечный, а подынтегральная функция /(ж) непрерывна на отрезке [а: Ь], называют еще собственным интегралом.
Р\]	Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. оп-
-I ределенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
233
40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке ф:+эс). Если суще-ь
ствует конечный предел lim / f(x)d.r, 10 его называют нссобстпаенным (>—> + 50 J	,
интегралом первого рода и обозначают / f(,r} dx.
Таким образом, по определению
В этом случае говорят, что несобственный интеграл / /(.г) d.r сходится.
Если же указанный предел не существует или он бесконечен. к> говорят.
+ОС
что интеграл J f{x) dx расходится.
а
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке ( — ос: 6]:
ь	ь
I f (т) dx = " lini^ у d.r.
— ЭС	(1
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой
+ ^	С	+'Х
У f(x)dx = У f(x)dx+ I f(x)dx. где с -- произвольное число.
В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция /(.г) >. О па + у
промежутке [а; +оо) и интеграл J f(x) dx сходи тся, то он выражает пло-(1
щадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).
Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установи ть их +оо	о	х
расходимость: 1) f р-; 2) f cos + dx; 3) J ~.
I	-50	1
+ >ЭС	Ь	ь
Q Решение: 1) j = &lim j х~2 dx. = - lim = -(0 - 1) = 1. i	i
интеграл сходится:
234
о	о
2) у cos xdx — lim j cos xdx = lim sina?|a =0— lim sin a, пн-— oo	a
теграл расходится, так как при a —> —оо предел lim sin а не существует. а —> — .ОС'
сю	b
3) У = 1™ У “ — lim In 6 = оо, интеграл расходится. • i	1
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а: +ос) непрерывные функции /(.г) и ^(ж) удовлетворяют условию 0	/(ж)	у?(ж), то из сходимости ин-
4-зс	4-ос
теграла J у?(ж) dx следует сходимость интеграла J /(.г) d.r, а из расходимости п +ОС	п	+ос
интеграла /(ж) dx следует расходимость интеграла ^(x)dx.
а	»
Пример 40.2. Сходится ли интеграл /
J J’ (1 + о )
Q Решение: При ж 1 имеем —j—
Ду. Но интеграл
= 1
сходится. Следовательно, интег
р-— также сходится (и его
значение меньше 1).
Теорема 40.2. Если существует предел lim у-Ду =	0 < А- < ос (f(x) > 0 и
д(ж) > 0), то интегралы [ f(x)dx и J <p(x)dx одновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).
53
Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла
О Решение: Интеграл сходится и
dx сходится, так как интеграл
235
40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Пусть функция /(ж) непрерывна на промежутке [а: Ь) и имеет бесконечный разрыв при х — Ъ. Если существует конечный предел Ь-е
lim у /(ж) dx, то его называют несобственным интегралом второго рода а	b
и обозначают J /(ж) dx. а
Таким образом, по определению,
I f{x)dx.
а
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл ь
/ f(x) dx сходится. Если же указанный предел не существует или беско-
“	Г
нечен, то говорят, что интеграл / f(x)dx расходится.
а
Аналогично, если функция /(ж) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают
Если функция f(x) терпит разрыв но внутренней точке с отрезка [а; 6], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
В случае, когда f(x) > 0, несобственный интеграл второго рода h
/ f(x) dx (разрыв в точке х — Ь) можно истолковать геометрически как а
площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 173).
Пример 40-4- Вычислить j
о
О Решение: При ж = 0 функция у = Ду терпит бесконечный разрыв: ж“
f dx	г _2	1 л /	..	1 \
/ — = lim / ж dx = - lim - I = — 1 — lim - = ос,
J ж2 e->o J	г о ж 10+-	\ еэо е /
О	0+ё
интеграл расходится.
236
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 40.3. Пусть на промежутке [«; 6) функции /(ж) и у?(,т) непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 f(x) ь	ь
Из сходимости интеграла j cpfx'jdx вытекает сходимость интеграла f(x)dx, а из а	а
b	b
расходимости интеграла j f(x)dx вытекает расходимость интеграла J ^p(x)dx. а	а
Теорема 40.4. Пусть функции /(.с) и <р(ж) непрерывны на промежутке [а; Ь) и в f (х}
точке х = b терпят разрыв. Если существует предел lim J: = к, 0 < к < сю, то
I,	/,
интегралы J f(x)dx и j tp(x)dx одновременно сходятся или одновременно расхо-а	а
дятся.
Н	Пример 40-5. Сходится ли интеграл / .д’
J SU1 л о
Решение: Функция /(.г) = имеет на [0:1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию <р(ж) = Т. Интеграл
/ — = lim / — = lim In ж I' = 0 - lim In e
./ x	J x s->o	?^o
0	o+f
расходится. И так как
lim = lim = 1.
.r-yO p(x) ,r->0 SID X
1 f dr	л
то интеграл / V- также расходится.	9
1 J sin ,r о
§41. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
41.1.	Схемы применения определенного интеграла
Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины .4 (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [«; 6] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина .4 аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; Ь] точкой с € («; Ъ) на части
237
[а; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [я: 6]. равно сумме ее значений, соответствующих [а: с] и [с: 61.
Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).
Первая схема базируется на определении определенного интеграла.
1.	Точками Хо = a, xj,..., хп = b разбить отрезок [«:6] на п частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на н «элементарных слагаемых» ДА; (/' = 1,..., п): А - ДА; +ДА_> + • • - + ДА„.
2.	Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: ДА; « /(С;)Дх;.
При нахождении приближенного значения ДА; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины А в виде' интегральной суммы:	;1
А и /(сДДх] + ••• 4-/(с„)Д.г„ = ^2/(с,)Д.т,.
I
3.	Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. с.
а	ь
л= A'r-=
(А-тО) ДО
Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слигае.ыых.
Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.
Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:
1)	на отрезке [ы; Ь] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а:.т]. На этом отрезке величина А становится функцией хе. А = А(т), т. е. считаем, ч го часть искомой величины А есть неизвестная функция А(.г), где х € [а:Ь] один из параметров величины А;
2)	находим главную часть приращения ДА при изменении х на малую величину Д.т: — дх. т. е. находим дифференциал </А функции А — А(.г): дА = f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);
3)	считая, что дА ~ ДА при Д.г -Э 0, находим искомую величину путем интегрирования дА в пределах от а до 6:
ь
A(b) = А= [ f(x)dx.
238
41.2.	Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Как уже было установлено (см. «геометрический смысл определенно-
го интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (f(x)	0). равна соответствующему
определенному интегралу:
ь	ь
S= У f(x) dx или 5= [ ydx. (41.1) а	а
Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = f(x) 0, х = а, х — Ь. у = 0 (см. рис. 174). Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:
1. Возьмем произвольное х е [а; Ь] и будем считать, что S — S(x).
2. Дадим аргументу х приращение Д.г = dx (т + Д.г g [а; 6]). Функция S — S(x) получит приращение Д5, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке, она выделена).
Дифференциал площади dS есть главная часть приращения Д5' при
Д:г —> 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx
и высотой у. dS = у • dx.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах or х = а до х — 6, ь
получаем S = J у dx.
а
Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» осп
Ох (/(т) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
ь
S = -I’yd.r.	(41.2)
а
Формулы (41.1) и (41.2) можно объединит ь в од-ну:
S = I у dx . (1
Рис. 175.	Площадь фигуры, ограниченной кривыми у ~
= /[(а') И у = Л>(:г). прямыми х — а п х = Ъ (при условии f-i(x) /1(т)) (см. рис. 175). можно найги ио формуле
b	b	ь
S = У h(x) dx — J fi(x) dx = (J2(x) - f (./.)) dx. a	a	a
Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 176). то прямыми, параллельными оси Оу. ее следует разбить на части гак, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
239
Рис. 176.
Рис. 177.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у — d, осью Оу и непрерывной кривой х = р(у~)	0 (см. рис. 177), то ее площадь
d
находится по формуле S = xdy.
И, наконец, если криволинейная трапеция огра-
ничена кривой, заданной параметрически
X = x(t~), У = УН),
t е [о: 3],
прямыми х = а и х = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле
Рис. 178.
где а и р определяются из равенств ,г(а) = а и :r(rf) = Ь.
Пример 41.1. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = .г2 — 2х при х £ [0: 3].
Q Решение: Фигура имеет вид. изображенный па. рисунке 178. Находим ее площадь S'-
Пример 4^-2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом х = a cost, у = Ъ sin i.
Q Решение: Найдем сначала площади S- Здесь х изменяется от 0 до а.
следовательно, t изменяется от ~ до 0 (см. рис. 179). Находим:
240
Рис. 179.
-5 = j bsmt • (—asint) dt = тг/2
. 9	, ab
sm t dt = —
2
тг/2
У (1 — cos 21) dt = о
1 . I 2
- zsm2t
2 Io
Таким образом, ^5 = Значит, S = nab.
Полярные координаты
О	V
Рис. 180.
Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией г — г(р) и двумя лучами р = а и р = (3 (а < 3), где г и р — полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II — метод дифференциала.
1.	Будем считать часть искомой площади S как функцию угла ip, т. е. S = S(p), где a р (3 (если р = а, то 5(a) = 0, еслиу> = /3, то 5(/3) = 5).
2.	Если текущий полярный угол р получит приращение Дд = dip, то приращение площади Д5 равно площади «элементарного криволинейного сектора» О АВ.
Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения Д5 при dp —> 0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисунке опа заштрихована) радиуса г с центральным углом dp. Поэтому dS = ^г2  dp.
3.	Интегрируя полученное равенство в пределах от р — а до р = /3, получим искомую площадь
з
S = 2 / r2(^)dp. а
Пример 41-3. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» г = асонЗд (с.м. рис. 181). .
О Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. i часть всей площади фигуры:
1 1 'г/6 1 77/6 1
-5 = - / (a cos ЗрУ dp =-а2 / -(1 + совбд) dp =
6	2	J	2	J 2
о	о
= т<4/ + бт<И/ >=т(в+0> = дт
т. е. -5 = —г-. Следовательно. 5 = ^4-. о 24	4
241
Рис. 182.
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так. для фигуры, изображенной на рисунке 182, имеем:
а	о	.3
41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ. уравнение которой у — /(х), где а С х С (’•
ф	Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится ллн-
L—-	на ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной не-
ограниченно возрас тает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у — = f(.r) и ее производная //' = f'tr) непрерывны на отрезке [п: Ь]. то кривая АВ имеет- длину, равную
(41.3)
Применим схему I (метод сумм).
1.	Точками .го = «, ту.г„
зок [«; 6] иа п частей (см. рис. 183). Пусть этим точкам соответствуют точки Мо = .4.	,..., А1„ = В на
кривой АВ. Проведем хорды AfAf, Л/[Л/2,.... Af^Af, длины которых обозначим соответственно через AL], ДЛ2,.... SLn. Получим ломаную AfAf Л/2... Л/п_] А1п, длина которой равна Ln — Д/д + AL-2 + • • • + AS.Ln = = Е ъц.
242
2.	Длину хорды (или звена ломаной) AL, можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Ату и Ду,-:
А£, = ^/Д-П)2 + (Ду,)2, где Д;г,- = .т,- - ,r,_i, Ду,- = f(xi) - /(ap-i)-По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Ду,- = /'(с,-) • Ат,-, где с,- € (.г,-_ 1; ,г,). Поэтому
AL, = У(А.г,)2 + (/'(с,Г А?/7?2 = \/1 + (/'(Л))2 • Дх,,
а длина всей ломаной М()М{ ... равна
L„ = У AL' = Ё УЛНЛЛ)2  Дх;.	(41.4)
Л=1	Z—1
3.	Длина I кривой АВ, по определению, равна / ~ lim L„ ~ max ALt—>0
n
= liin	Заметим, что при AL, —> 0 также и Ат, 0 (ДУц =
max ДI., —И) /= j
= ^/(Д.г,)-' + (Ау,)2 п. следовательно. |A.rJ<AL,-). Функция \/1 + (/'(х))2 непрерывна на отрезке1 [оф], гак как, по условию, непрерывна функция ,f‘(x). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда шах Д.г, —> 0:
it	ь
I = lim V УГ+(/'(с,))2Д.г, = [ У1 + (/'(х))2Фг.
b
Таким образом. / = ] \/1 + (/'(т))2 Фг, пли в сокращенной записи I = I'	(I
--- f /ГнД)Л'-а
Если уравнение кривой АВ задано в парами прической форме f.r = .r(/), <	о 3.
(у = нА)-
где ,г(С) и у(/) непрерывные функции с непрерывными производными и ,г(о) = а. .г(3) = /). то .глина I кривой АВ находится по формуле
/ = f УилЛТ (уЛ))2 Ф. п
(41-5)
Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой .г = ./:(C. <Ф --ЛИ-
Пример Найти длину окружности радиуса /?.
<Д Решение: Найдем часть ее длины от точки (0: 7?) до точки (У?; 0) (см. рис. 184). Так как у = у/В2 — х'2, то
1	/• /	.г2	.г Iк л
-/ = / i /1 4-----г dx = В  arcsin —	^В—.
4 J V В2-х2	В\о 2
о
213
Значит, / = 2xR. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде х — Rcost, у = R sin t (0 С t 2тг), то
I = j \/(-R sin t)2 + (R cos t)~ dt = 7?^^ — 2nR.	•
о
Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу' (41.3), применив схему II (метод дифференциала).
1. Возьмем произвольное значение х 6 [а; 6] и рассмотрим переменный отрезок На нем величина I становится функцией от х, т. е. I = 1(х) (Z(«) = 0 и 1(b) = I).
2. Находим дифференциал dl функции I = 1(х) при изменении х на малую величину Д.г = dx: dl = l'(x)d:r. Найдем l'(:r), заменяя бесконечно
малую дугу MN хордой AZ, стягивающей ату дугу (см. рис. 185):

Д/
(т) = lim —-
lim
Стало быть, di = у/1 + (?/',.)2 d.r.
3. Интегрируя dl в пределах от а до 1>. получаем I =
Равенст во dl =	1 + у'г 2 d.c называе тся
формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.
Так как и' = то ' f у ’
dl =	4- (dy)2.
Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого т реугольника МСТ (см. рис. 186).
Полярные координаты
Пусть кривая АВ задана уравнением в
полярных координатах т — г(^), о <р С д. Предположим, что г(у>) и /'(у>) непрерывны на от резке [о; /3].
Если в равенствах х = геоя^. у — rsiny>, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол то кривую АВ можно
I х — r(y3 cos у?, задать параметрически <	Тогда
I у = r(tp) sin ус
х'„ = r'(y?) cos <р — г(у>) sin у?, Т/', = r'(^) sin у? + г(у?) COS ip.
244
Поэтому
= \/(r'(p) cos р — r(p) sin p)1 2 + (P (p) sin p + r(p) cos p)2 =
= vV« + (r(p))2.
Применяя формулу (41.5), получаем
Пример 41.5. Найти длину кардиоиды г — = а(1 + cosp).
О Решение: Кардиоида г = а(1 + cosp) имеет вид, изображенный па рисунке 187. Она симме-
трична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:
-I = f у/(а(1 + cosp))2 + (а(-sinp))2 rfp = a J д/2 + 2cosрdtp = о	о
/	/	р	у р	р |7Г
= а / у 2 • 2 cos2 — г/р = 2а / cos — г/р = 4« • sin — | = 4а. 6	о
Таким образом, i/ = 4а. Значит, / = 8а.
41.4. Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на-
пример оси Ox: S = S(.c), а х Ь.
Применим схему II (метод дифференциала).
Рис. 188.
1. Через произвольную точку х G [а; Ь] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 188). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; ж] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x)
(v(a) = 0, v(b) = V').
245
2. Находим дифференциал dV функции v = п(х). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х + Д.г, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(.r) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до Ь'.
(41-6)

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
2	1Г	О
Пример 41-6. Найти объем эллипсоида + А- д- — 1.
а~	Ь~	с~
О Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и па расстоянии х от нее (-« < х <( а), получим эллипс (см.
рис. 189):
этому, по формуле' (41.6). имеем Рис. 189.
- - а
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная гранения, ограничен-
ная непрерывной линией у = /(.г)	(), отрезком а 5) ,г b и прямыми
х — а и х — Ь (см. рис. 190). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение'этого тела плоскостью. перпендикулярной
оси Ох. проведенной через произвольную точку х оси Ох (х G [а; 6]), есть круг с радиусом у = /(.г). Следовательно. S(x) = тгу'2.
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
(41.7)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции х = р(у) 0 и прямыми х = 0, у = с.
246
у = d (с < d~). то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу. по аналогии с формулой (41.7). равен
d
у
Пример ЦП. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у — ~. х = 0. у = 2л/2 вокруг оси Оу (см. рис. 191).
О Решение: По формуле (41.8) находим:
= 8тг.
о
41.5.
Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у = /(т)	0, где
.г Е [a;6j. а функция у = /(.г) и ее производная у' = f'(.r) непрерывны па этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси О.г.
Применим схему 11 (метод дифференциала).
1.	Через произвольную точку х. £ [п;6] проведем плоскость П. перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у = /(.(;) (с-м. Р11(’- 192). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией о: х. т. е. ,s = ,s(.r) (.s(rt) ~ 0 и ,s(b) = S).
2.	Дадим аргумен ту х приращение Д.г = dx. Через точку х + d.r Е также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция .s = ,s(z) получит приращение Дй, изображенного на рисунке в виде «пояска».
Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dy. Площадь его боковой поверхности равна
ds — х(у + У + Ф/)'-- 2~д + 77 <ly (Н- Отбрасывая произведение dy dl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds. получаем ds = 2~у dl, или, так как dl = \/1 + (у1,.)- dx. то ds = 2~у^/1 + (у’х)2 dx.
3.	Пп гегрируя полеченное равенство в пределах от х = а до х — Ь, получаем
Sj. — 2тг
(41-9)
217
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t). у = y(t'). ti t t-2, то формула (41.9) для площади поверхности вращения принимает вид
Sx = 2тг у y(t)  у/(х'(0)2 + (*/'(*))2 dt. ti
Пример J1.8. Найти площадь поверхности шара радиуса R.
Q Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности у = у/R2 — х2, —R х R, вокруг оси Ох. По формуле (41.9) находим
н
= 2тг [ у/7?2 — .г-’ + .г2 d.r = 2тгR • x|WИ = 4тгR2. •
-/?
Пример 4 I d. Дана циклоида
х = a(t - sin t).
у — а(1 - cos/),
О 2тг.
Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох.
Q Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна
~Sj- = 2тг J «(1 — cos!) • у/(«(1 — cosZ))2 + («sin t)2 dt = о
= 2тг у а2  2 sin2 - • у/1~— 2 cos t + cos2 t + sin2 t dt = 6
t. e. iSj- = З^тгн2. Следовательно. Sj. = ^тгн2.
248
41.6. Механические приложения определенного интеграла
Работа переменной силы
Путь материальная точка Л/ перемещается вдоль оси Or под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой осп. Работа, произведенная силой при перемещении точки Л/ из положения .г = а в положение х = Ь (а < Ь). находится по формуле
ь
.4 = ^F(x)dx	(41.10)
(см. п. 36).	”
Пример 41.10. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0.01 м?
Q Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, г. е. F = кх, где к - - коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F — 100 Н растягивает пружину на .г = 0,01 м: следовательно, 100 = Ж).01, откуда к = 10000; следовательно, F = 10000.Г.
Искомая работа па основании формулы (41.10) равна
0,05
.4 =- у 10000тdx = 5000г2|°’°5 = 12,5 (Дж).	•
О
а
Пример 41-11- Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м.
Q Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие гола весом р на высоту Л, равна р- /с Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных
слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат так, как указано на рисунке 193.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 х Н). есть функция от х, г. с. .4 = Д(х), где 0 < ,т < Я (-4(0) = 0. А(Н) = .40).
2. Находим главную часть приращения А.4 при изменении г на велим ину Дх = dx, т. е. находил) дифференциал Д4 функции Д(х).
Ввиду малости dx считаем, что «ллементарнлй» слой жидкости находится на одной глубине г (ог края резервуара) (см. рис. 193). Тогда dA = dp-x, где dp вес этого слоя; он равен g-y dv, где у ускорение свободного
249
падения, 7 — плотность жидкости, dv — объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp = g~ydv. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен t?R2 dr, где dr высота цилиндра (слоя). ~1Р — площадь его основания, т. е. dr = "R2 dr.
Таким образом, dp = ду  ttR'2 dr и dA — g^irR2 dr  r.
3) Интегрируя полученное равенство в пределах 01 г = 0 до .г = Н, находим
1
,40 = у gyrR2r dr = -</7ttR2H2 (Дж).	•
о
Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемешается по прямой с переменной скоростью v — v(t). Найдем путь S. пройденный сю за промежуток времени от Н ДО t-2-
Q Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», г. е. v(t) = Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от tj до О-получаем S — J v(t)dt.	•
/1
Отметим, что згу же формулу можно получись, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла.
1	Пример 4Ю2. Найт и пут ь, пройденный телом за 4 секунды от начала
। движения, если скорость тела u(t) = 10/ + 2 (м/с).
О Решение: Если с(/) = 10/+ 2 (м/с)- то путь, пройденный голом от начала движения (/ = 0) до конца 4-й секунды, равен
4
S = /'(10/+ 2) г//= 5/2 + 2/|^ = 80 + 8 = 88 (м).	•
6	1
Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкост и па горизонтальную пласгппу равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой - глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. о. Р = д • 7•S • h, где д ускорение свободного падения, у плотность жидкости. S площадь пластинки, А — глубина ее погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.
Пусть в жидкост ь погружена вертикально пластина, ограниченная линиями г = «. г, = b. ip — /|(.т) и //о = А>(т); система координат выбрана так, как указано па рисунке 194. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
250
1.	Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. е. р = р(х) — давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а;х] значений переменной х, где х 6 [«; 6] (р(а) = 0, р(Ь) = Р).
2.	Дадим аргументу х приращение Дх = dx. Функция р(х) получит приращение Др (на рисунке - полоска-слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля dp = g  у (у2 - У1)  dx •
' S ' h
3.	Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = Ь, полечим
Пример 41-13. Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус Л, а центр О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 195).
Q Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вер-тикальную пласт инку. В данном случае пластин-ка ограничена линиями yt = — \/ Л2 — z2, у2 = = \/R2 — х2. х = 0. х = R. Поэтому
Р = fn у (/л2 - х2 - {- х/Р2 - x2))xdx =. () к	п
= 2.97 у Ул^Гд.г dx = 2.97 • (--) J(Р2 - .г’),/2 фЛ2 - х2) =
= _(,7.ьДЕТН|" = _|97(0^з) = |97Дг .
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой
Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек А/1(.Г[; ?/]). М->(х2: у2),..., Мп(хп-,уп) соответственное массами mi, т2,... .... тп.
Отатическим моментом системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ор-п динаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ox): Sx — mi ’ Уг-
251
Аналогично определяется статический момент Sy этой системы от-п
носительно оси Оу: Sy — т,  Xi.
i=l
Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.
Пусть у = f(x) (а х Ь) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью у (7 = const).
Для произвольного х 6 [а; 6] на кривой АВ найдется точка с координатами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl. содержащий точку (х\у). Тогда масса этого участка равна yd/. Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dSx («элементарный момент») будет равен ydl • у, т. е. dSx — -у dl • у (см. рис. 196).
Отсюда следует, что статический момент S,. кривой АВ относительно оси Ох, равен
ь	ь
Sx = у [ у dl — [у  у/1 + (т/Д2 dx.
Аналогично находим Sy:
ь Sy=y [ х-
Статические моменты S.r и Sy кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром тяжести материальной плоской кривой у — f(x). х У [«; Ь] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет- равен ст атическому моменту всей кривой у = f(x) относительно той же оси. Обозначим через С{хс;уг') центр тяжести кривой АВ.
Из определения центра тяжести следуют равенства т  хс = Sy и
S 9 т • ус = Sx или у/ • х(. = Sy и у/ • ус — Sx. Отсюда хс =	, ус =
или
ь
b
b
f У • V1 + И'.р dx
a
ci
b
Пример Jl.lJ. Найти центр тяжести однородной дуги окружности х2 +y2 = R2, расположенной в первой координатной четверти (см. рис. 197).
252
Решение: Очевидно, длина указанной дуги окружности равна т. е. / = Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть у = У/?2 — х2 и у'х =	, ~~х	, то (7 = const)
V Г!2 - х2
Стало бы ть,
2J?
Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого ко-2 7?
ордипатного угла, то х,- = у(. = Итак, центр тяжести имеет коордипа-
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная
кривой у = f(x) у 0 и прямыми у = 0, х = а. х = Ъ (см. рис. 198).
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна (у = const). Toi;ia масса всей нла-ъ
стинки равна у • S, т. е. т = о / /(./) dx. Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.
Тогда масса его равна у ydx. Цен тр тяжести С прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка С отстоит’ от оси Ох на а от
о<т1 Оу па х (приближенно; точнее па расстоянии .г + Тогда для ч. ie-ментарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены
ь	ъ
Следоват ельно, S.r = iy j у2 dx. S!t = J xydx. а	а
По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С'(хс; ус), что гп -хс = S(/, т  ус = S,f. Отсюда
__ Sv _ Sy _ Sr _ Sr
О- — — — и Ус ~ гп уо т уб
253
или
| f у2 dx
а
Ъ
J У
а

Пример 41-15. Найдем координаты центра тяжести полукруга х1 + у2 st R2, у О (у = const) (см. рис. 199).
Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Оу}, что хс = 0. Площадь полукруга равна тар-. Находим 5,.:
Стало быть,
_ S'.,. _ 2у7?3 _ 4 R
!,С "S 3"!^ 3 л
§42. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ь
Пусть требуется найти определенный интеграл / f(.r) d.r or непрерыв-II
ной функции f(x). Если можно найти первообразную F(x) функции fix). то интеграл вычисляется по формуле Ньютона Лейбница:
ь
I ,f(x)d.r = F(b) - F(a). Il
Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В них и других случаях (например, функция у = f('J') задала графически или таблично) прибегаюi к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью гочносзи.
Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенною вычисления определенного интеграла формулу ирямоуго. пшиков, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.
42.1.	Формула прямоугольников
Пусть на отрезке [а: Ь], а • буется вычислить интеграл ветствующей криволинейной
фигуры, представляющую с< деленного интеграла
; Ь, задана непрерывная функция /(х). Тре-ь
У f(x)dx. численно равный площади соот-а
трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; &], на п равных частей (отрезков) длины h =	~ а = Xi — Xi-\
(шаг разбиения) с помощью точек Xq — а, Xi, х-2,  ., хп = Ь. Можно записать, что Xi = = .то + h • i, где i = 1, 2,..., п (см. рис. 200).
В середине' с-, = Х,~1^—— каждого такого отрезка построим ординату у, = /(с;) графика функции у = f(x). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h  у±.
Тогда сумма площадей всех п прямоугольников дает площадь ступенчатой ой приближенное значение искомого опре-
[ f(x) dx и h(y{ + у-, + • • • + у,,) = -—- ^2 f
J	71	\	2
(42.1)
Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.
Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:
(6-a)3-M2
|/?"К ^24ео-----’
где - наибольшее значение |/"(т)| на отрезке [а;Ь],
.	п \	2	/
„	i=i
Отметим, что для линейной функции (/(т) = кх + Ь) формула (42.1) дает I очный ответ, поскольку в этом случае f"(x) = 0.
42.2.	Формула трапеций
Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: па каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.
Разобьем отрезок [а: 6] на п равных частей длины h = ~ Q. Абсциссы точек деления а = .tq. яд , х-2,... ,Ь - х„ (рис. 201). Пусть уо,У1,- • • ,Уп —
255
>
соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид x-t = a+h-i, у, = i = 0.1.2...., n; Л = bia.
n
Заменим кривую у = f(x) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат у,- и у;+1 (г = С), 1, 2,..., п). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями у,-, т/,-г т и высотой h — ~ а:
а
ИЛИ	ь
Г ,, , , Ь — а /у0 + уп	\
j f(x)dx и ——-— +yi +у-2 -I-----------H/»-i )	(42.2)
а
Формула (42.2) называется формулой трапеций.
Абсолютная погрешность R„ приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы |7?,J <	. Л/2, где
М-2 = max |/"(х)|. Снова для линейной функции у = кх + b форму-ла (42.2) - точная.
42.3.	Формула парабол (Симпсона)
Если заменить график функции у = f(x) на каждом отрезке [:щ_| разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного б
вычисления интеграла f(x) dx.
а
Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы у = ах2 + Ьх + с, сбоку — прямыми X = —h, X = h и снизу — отрезком [—/г; /г].
256
Пусть парабола проходит чер»-> гри ru -;ки
Л/2(0: *1), Л/з(Л; jn). гж 9* = «Л3 - 6Л + с - - ордината :.а;к-.-болы в точке х = —h:	= с — орзввап параболы в точке
х = 0; j/2 = ah2 + bh+c — ордината парабаты в точке г = Л (см. рис. 202). Площадь S равна
h
S = У (ax2 + Ьх + с) dx = — h
/	\ I 2
= (a— +b— + cxl —~ah3+2ch. (42.3 > \ о 2	/ I — h	о
Выразим эту площадь через /г, уо, У1, Уг- Из равенств для ординат yi находим, что с = ух, а = ^(Уо - 2yi + у2).
Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем
2,1
S = г/г • тттДУо - 2yi + у2) + 2/г • у! = 3	2/г2
= ^(Уо - 2yi 4- у2) + 2/гу! = Ду0 + 4yj + у2). (42.4) О	о
ь
Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла f f(x) dx. а
Для этого отрезок [а; 6] разобьем на 2п равных частей (отрезков) длиной h = Ъ точками Xi = Xq + ih (г = 0,1, 2,..., 2п). В точках деления а — Xq, Xi, х2,..., x2n_2, x2ra-i, х2га = Ь вычисляем значения подынтегральной функции Дх): уо, yi, у2,•••, y2n-2, y2n-i, Уг», где yt = /(х^ (см. рис. 203).
Рис. 203.
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2/г. На отрезке [хо;х2] парабола проходит через три точки (х0;уо), (^1!У1)> (х2;у2). Используя формулу (42.4), находим	Х2
5i = I f(x)dx = -(уо +4у! 4-у2).
JCQ
257
9-418
Аналогично находим
J?4
$2 = I f(x)dx = ~{у2 + 4у3 + 1/4), ...,
J?2
h
sn = J f(x) dx = ~(y2n-2 + 4//2П-1 + У2п).
Z2n —2
Сложив полученные равенства, имеем
f	h
J f(x) d‘x ~ 2 (Уо + 4l/i + 21/2 +   • + 2y-2n-2 + 4l/2n-l + ?/2»i) a
ИЛИ
b	b-a /
У f(x)dx « -g^-((j/o + У2п) + 4(1/1 + Уз +	+ y-2n-i) +
a
+ 2(1/2 + '</4 + • • • + 2/2»--’)^  (42.5)
Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).
Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением
|Ч| 1ЯП	гДр Л/4 = max |/л'(т)|.
loU • (Zn)	a^.c^b
Отметим, что формула (42.5) дает точное' значение интеграза ь
У f(x)dx во всех случаях, когда f(x) — многочлен, сте-а
пень которого меньше или равна трем (тогда =0). У
2	8-------
Пример 42.1. Вычислить	хя dx, разбив отрезок инте-	"	j
о	--	I
грирования [0; 2] на 4 части.	I
Q Решение: Имеем: f(x) = Xя,	”	/
,	„ , b-a	2	1	\
а = тп = 0; о = Хл = 2, п = --- = - =	/'
п	4	2	/;
11  /:
^о = О, №=0; 2д = ~, i/i = х2 = 1, у2 = 1;	J\ .
3	27	° 1 Ч 2
•гз = д, Уз = —: 24 = 2, 1/4 = 8;
2	8	Рис. 204.
(см. рис. 204)
258
а)	по формуле прямоугольников:
1	1	3	_	27
С1 = 4’	=	°2 = 4’ 2/2 = 64’
5	125	7	.	343
Сз =	4’	Уз =	’бТ’	С4 =	4’	У4	=	Т’
9	2
/ х3 dx и - (— + — +	= 3,875, т. е. [ <г3 dx ~ 3,875;
J 2 \64 64	64	64 )	J	'
о	о
б)	по формуле трапеции:
о
-f _|_ 1 _|_ 1 _|_ ZZA = 4 25 т. е. [ х3 dx к 4,25:
2\ 2	8	8 /	J
о
в)	по формуле парабол:
’»й(0+8+4(§ + ?)+21) о
= 4,
2
т. е. у х3 dx к 4.
о
f	412
Точное значение интеграла х3 dx = ^т-\ =4.
J	4 1о
о
Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы: а) 0,125;
б) 0,25; в) 0.
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Лекции 34-36 I
Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.
Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.
§43. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
43.1. Основные понятия
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие /, которое каждой паре чисел (х; у) € D сопоставляет одно и только одно число z € К, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в К, и записывается в виде z — f(x; у) или f : D -> R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), az — зависимой переменной (функцией).
Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.
Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество {(х;у) | х > 0, у > 0}.
Функцию z = f(x;y), где (х;у) 6 D можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х; у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.
Значение функции z = f(x;y) в точке Мо(хо',Уо) обозначают zo = — /(хо;уо) или zq = f(Mo) и называют частным значением функции.
Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке Mq(xo', уо) области D в системе координат Oxyz соответствует точка М(х0; уо; го), где г0 = /(^о!Уо) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию Z = f(x-,y).
260
Например, функция z = д/1 — х2 — у2 имеет областью определения круг х2 + у2 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке 0(0; 0;0) и радиусом R = 1 (см. рис. 205).
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.
43.2. Предел функции
Рис. 206.
О
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х: у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству у(х — го)2 + (у — уо)2 < <5, называется 6-окрест-ностъю точки Мо(хо;уо). Другими словами, <5-окрест-ность точки Мо — это все внутренние точки круга с центром Мо и радиусом 6 (см. рис. 206).
Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой окрестности точки Л/()(го: уо), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = f(x;y) при х х0 и у уо (или, что то же самое, при М(х; у) —> М0(х0; уо)), если для любого е > 0 существует 6 > О такое, что для всех х хо и у уо и удовлетворяющих неравенству \/(х — то)2 + (у — Уо)2 < <5 выполняется неравенство |/(х;у) — Д| < е. Записывают:	_________________________________
lim /(х;у)илиД= lim f(MY у-^уч
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к Мо (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х хо по двум направлениям: справа и слева!)
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число е > 0, найдется ^-окрестность точки Мо(хо;уо), что во всех ее точках М(х;у), отличных от Мо, аппликаты соответствующих точек поверхности z = /(х; у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на е.
х2 - и2
Пример 43.1. Найти предел lim —%—
х—>0 X т 1J у-»о у
261
2х2	1 — к2 1 — к2
2“2 = llm
Г--4.П
1 + к2 ’
Решение: Будем приближаться к 0(0; 0) по прямой у = кх, где к — некоторое число. Тогда х2 - и2 lim —---------------5 = lim
^->о х' + у“ ^->о у--»о а
Функция 2 =	—^7 в точке 0(0; 0) предела не имеет, т. к. при разных
х +у
значениях к предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).	*
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной (см. п. 17.3). Это означает, что справедливы утверждения: если функции f(M) и д(М) определены на множестве D и имеют в точке Л10 этого множества пределы А и В со-
ответственно, то и функции f(M) ± у(Л/), f(M)  д(М),	(.фА/)	0)
имеют в точке Mq пределы, которые соответственно равны А ± В. А В. (ВфО).
43.3.
Непрерывность функции двух переменных
Функция z = f(x.',y) (или f(M)) называется непрерывной в точке Л/п(.'Го;Уо), если она:
а)	определена в этой точке и некоторой ее окрес тности,
б)	имеет предел lim^ f(M),
в)	этот предел равен значению функции z в точке Мо, т. е.
lim f(M) = f(M0) или lim f(.r;y) = f(a:n;y0).
Л/—-£ гФО
У—>Уо
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z = f{x;y) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция 2
2 = у х имеет линию разрыва у = х.
Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z = f(x;y) в точке. Обозначим Дж -- х — .г(), Ау = У — Уо, = f(%',y') ~ /(хо;у0). Величины Д.г и Ду называются приращениями аргументов х и у, а Дг - полным приращением функции f(x;y) в точке Ма(х0;у0').
Функция 2 = /(ж; у) называется непрерывной в точке Afn(xo;yo) 6 D, если выполняется равенство lim Д2 = 0, т. е. полное приращение фупк-
Дя —>0
Д</-т0
ции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к
262
непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной (см. п. 19.4).
43.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной -- см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие области.
Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.
Свойство открытости’, каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.
Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.
Точка Л’о называется граничной точкой области
D. если она не принадлежит Д, но в любой окрестности	______
ее лежат точки этой области. Совокупность граничных	Хуу? ее)
точек области D называется границей D. Область D с '	''ДЛ
с присоединенной к ней границей называется замкну-
той областью, обозначается D. Область называется рис 2р? ограниченной, если все ее точки принадлежат неко-
торому кругу радиуса R. В противном случае область
называется неограниченной. Примером неограниченной области может с. тожить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной (5-окрестность точки Л/о(жо;Уо)-
Теорема 43.1. Если функция z — f(N) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое число R > О, что для всех точек Л в этой области выполняется неравенство |/(2V)| < R', б) имеет точки, в которых принимает наименьшее т и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между т и Л.
Теорема дается без доказательства.
§44	. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
44.1.	Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование
Пусть задана функция z = f (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Дх, сохраняя значение
263
у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением г по ж и обозначается Д^г. Итак,
Да,г = f(x + Дж; у) - f(x; у).
Аналогично получаем частное приращение z по у:
&vz = f(x\y + Ду) - f(x;y).
Полное приращение Дг функции z определяется равенством
Дг - /(ж +Дж;у + Ду) - /(ж; у).
Если существует предел
Hm = lim
Дя-Ю Дж Дг-М)	Дж
то он называется частной производной функции z — f(x;y) в точке М(ж; у) по переменной ж и обозначается одним из символов:
г' — Г
x’dx,Jx’dx'
Частные производные по ж в точке Мо(жо;уо) обычно обозначают символами /;(ж0; уо), /П .
1Мо
Аналогично определяется и обозначается частная производная от z — f(x; у) по переменной у:
г т ^yz z,. = hm —~ = hm
v д</—>о Ду Дг/->о
/(ж; у + Ду) - f(x;y)
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции /(ж; у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно ж или у считается постоянной величиной).
2
Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + ех ~v +1.
Q Решение:
z'x = (2у + ех2~У + 1)' = (2у)' + (ех2~У)'х + (1)' =
= 0 + ex2~v  (ж2 - у)'х + 0 = ех2~у  (2ж - 0) = 2ж • ех2~у-г; = 2 + е^^-(-1).
264
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
z
Графиком функции z = f(x;y) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = /(ж;уо) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = уо- Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что fx(xo',yo) = tga, где а — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = f(x;yo) в точке Mo(xo;yo-,f(xo-,yo)) (см. рис. 208).
Аналогично, fy(xo;yo) = tg/?.
У
Рис. 208.
44.2.	Частные производные высших порядков
Частные производные J д^ и ду называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) G D. Эти функции могут иметь частные, производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
д дх	(д^ уат,	1 _ ^z ’ дх2	%ХХ	fX2
д /	'az\	d2z	
дх \	<ду)	ду дх	= z"v = f"v(x;yy,
а /	'az\	д‘2 z	= ^ = Г„ЛъуУ
ду \	ча^ /	дх ду	
а	/ dzs	\	д'2 z	
ду	\ду;	) ~ ду2	= zn =
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.
Тя„ -in _ <Э (<92z д ( d3z А _ d4z /	, ш у И) ч
’ xxv ду увд?у ’ дх удхдудх) дхду дх2 хух'х хух2 и т. д.
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по
различным переменным, называется смешанной частной производ
ной. Таковыми являются, например, z"y,
d3z in drftf' xvx'

Пример 4J.2. Найти частные производные второго порядка функции z — х4 — 2х2у3 + у5 + 1.
265
Q Решение: Так как z'x = 4х3 — 4ху3 и z'y = — 6х2у2 + 5уф, то
4'у = (4а;3 “ 4жУ3)а = ~12ху2, z'yX = (~6х2у2 + 5у4)^, = -12ху2.
Оказалось, что z", = z" .	•
Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.
Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
я2	а2 ~
В частности, для z = f(x',y) имеем:	.
44.3.	Дифференцируемость и полный дифференциал функции
Пусть функция z = определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке АГ.
Дг = f(x. + Дх; у + Ду) - /(х;у).
Функция z = f(x; у) называется дифференцируемой в точке А1(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
Дз = .4 • Дх + В  Ду + о  Дх + И  Ду.	(44.1)
где а = о(Дх, Ду) —> 0 и /3 = /?(Дх, Ду) —> 0 при Дх —> 0, Ду —> 0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.
Главная часть приращение функции z = f(x-, у), линейная относительно Дх и Ду, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:
dz = А  Дх + В  Ду.	(44.2)
Выражения А  Дх и В  &у называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Дх = dx и Ду = dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде
dz — А  dx + В  dy.	(44.3)
Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = f(x-y) дифференцируема в точке Л/(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и причем = .4,	= В.
266
Ц| Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что lim Дз = 0. Это означает, что функция
непрерывна в точке М. Положив Ду = 0, Дх ^0 в равенстве (44.1), по-Д z
лучим: Д^з = .4  Дх + а  Дх. Отсюда находим = А + а. Переходя
к пределу при Дх —> 0, получим lim = А, т. е. = Л. Таким Aj*—>0	(УХ
образом, в точке М существует частная производная /'(х;у) = Л. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная /'(х;у) = ^ = В.	
Равенство (44.1) можно записать в виде dz	dz
Д2= — Дх + — Ду+ 7,	(44.4)
дх	ду
где у = а  Дх + /3  Ду —> 0 при Дх —> 0, Ду —> 0.
Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифферен-цируемость функции. Так, непрерывная функция z = х2 + у2 не дифференцируема в точке (0:0).
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:
(44.5)
dz	dz
dz = — dx + — dy dx	dy
или
dz = dxz + dyz,
где d.rz = &dr, dyz = ^dy
— частные дифференциалы функции z =
Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = f(x; у) имеет непрерывные частные производные z'r и z' в точке Л/(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).
Примем теорему без доказательства.
Отметим, что для функции у = Дх) одной переменной существование производной /'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Чтобы функция z = f(x',y) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.
267
44.4.	Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
Из определения дифференциала функции z — f(x; у) следует, что при достаточно малых |Дж| и |Ду| имеет место приближенное равенство
Дг ~ dz.	(44.6)
Так как полное приращение Дг = f(x + Дж; у + Ду) — f(x;y), равенство (44.6) можно переписать в следующем виде:
f(x + Дж; у + Ду) « /(ж; у) + /*(ж; у) Дж + fy(x; у) Ду. (44.7)
Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах.
Пример .Ц.З. Вычислить приближенно 1,О23,01.
Q Решение: Рассмотрим функцию г = ху. Тогда 1,О23,01 = (ж + Дж)у+Лу, где ж = 1, Дж = 0,02, у = 3, Ду = 0,01. Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя z'x и z'y: zx = (ху)'х = у  ху~\ z' = (хуУу = ху  1п ж. Следовательно, 1,023,01 « I3 + 3-13—1 -0,02 -ЬI3  In 1 -0,01, т. е. 1,О23,01 « 1,06.
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:
l,O23’01 и 1,061418168.	•
Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.
44.5.	Дифференциалы высших порядков
Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.
Пусть функция г — f(x; у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле d2z — d(dz). Найдем его:
d2z
dz ,	dz \
^-dx+ —dy =
dx	dy J
(dz , dz	,	/dz ,	dz , \'	,
= — dx + — dy	 dx +	\—dx +	—dy	 dy	=
\dx dy	\dx	dy /
(d2z	d2z	\	( d2z	d2z	\
= T“2 dx +	’ dx + 7Г7Г dx + 77~2 dV ' dd-
\dx	dydx	J	\dxdy	dy	J
r\2	02
Отсюда: (Pz = y—%dx2 -I- 2 • Д S-dx  dy + ^-4dy2. Символически это запила;2	dxdy у dy2
сывается так:	ч ?
j2 ( д d \2 d 2 = \ -5-dx+ -^-dy	-г.
у дх ду )
268
Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:
d3z = d(d2z) — ( — dx + —dy ) • z, \dx dy /
где
/ 5 .	3 \3	d3 , d2 2	d2 , о 53 3
— dx + — dy]	=	—^dx3 +3—^dx		— dy +3-^-dx  —^dy + —^у3.
\dx dy J	dx3 dx	dy dx dy dy3
Методом математической индукции можно показать, что
dnz = I — dx + у—dy )  z, п е N. уdx dy /
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные хну функции z = f(x;y) являются независимыми.
Пример 44-4- {Для самостоятельного решения.) Найти d2z, если z = = х3у2.
Ответ: d2z — бху2 dx2 + 12х2у dx dy + 2х3 dy2.
44.6.	Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z = f{x-y) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x{t), у = y{t). В этом случае функция z — f{x{t)’,y{t)) является сложной функцией одной независимой переменной t: переменные х иу — промежуточные переменные.
Теорема 44.4. Если z = f(x;y) — дифференцируемая в точке М{х;у) е D функция и х = x(t) w у = y{t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z{t) — f{x{t)\y{t)) вычисляется по формуле dz dz dx dz dy	...
S =	+	(448)
Q Дадим независимой переменной t приращение At. Тогда функции х — — x{t) и у = y{t) получат приращения Дх и Ду соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Аг функции z.
Так как по условию функция z = f(x;y) дифференцируема в точке М{х; у), то ее полное приращение можно представить в виде
А dz . dz А А п.
Дг = —  Дх -Ь —  Ду + оДх + ^Ду.
dx dy
где а -> 0, /3 -> 0 при Дх -> 0, Ду -> 0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Дг на At и перейдем к пределу при At -» 0. Тогда Дх —> 0 и Ду —> 0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у — y(t) (по условию теоремы —
269
они дифференцируемые). Получаем:
Дз dz Дж dz Ду	Д.г ,	, ,, Ду
hm —— = —- hm ——h —• hm ——h hm a- hm -—h hm .1- hm ~ At->o Д/ dx At—>0 Д/ dy At—>0 Д£ Л/.1) At-i-O Д/ At--+o At—>o Af
dz	dz	dx	dz	dy	„ dx	„ dy
~rz ~ 77" "77 + 77" ’ О 757 T 0 "77 ’ dt	dx	dt	dx	dt dt dt
или
dz _ dz dx dz dy dt dx dt dy dt
Частный случай: z = f(x;y), где у -- y(x). т. e. z = f(.r:y(x)) сложная функция одной независимой переменной .-г. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:
dz _ dz dx dz dy dx dx dx dy dx
dz dz dz dy dx dx dy dx'
(44.9)
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: z = f(x;y), где х = x(icv), у = y(u;v'). Тогда z — = f(x(u; v); у(и; v)) — сложная функция независимых переменных и и с. Ее частные производные и можно найти, используя формул)- (44.8)
следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней дт- соответ-ill ‘Il lit
ствующими частными производными
dz __ dz dx dz dy du dx du + dy du'
(44.10)
Аналогично получаем
. <?z _ <9z . dx , Qz dv dx dv dy
. Oil
dv'
Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и с) равна сумме произведений частных производных этой функции (г) по ее промежуточным переменным (ж и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (и иг).
Пример 44-5- Найти и если z = 1п(т2 + у2), х = и  о, у =
Q Решение: Найдем (^ (44.10):
— самостоятельно), используя формул)
dz _	1
du х2 + у2
• 2х • v	—-у---------х 	.
,Т»“ I	Л
270
Упростим правую часть полученного равенства:
dz Ihi
2
х2 + у2
(uv)2 +
и uv  v Ч---
V  V
2v2 и  (и4 + 1)	2
u2(w4 + l) V2 и’
т. е. ^ = -ди и
44.7.	Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать. что полный дифференциал обладает свойством инвариантност.и: полный дифференциал функции z = f(x;y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Q Пусть z = f(x; у), где х и у независимые переменные. Тогда полный
дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид dz
(формула (44.5)).
= &  dx +	 dy
дх ду у
Рассмотрим сложную функцию z = f(x\y), где х — т(гл;??), у = y(u;v). т. е. функцию z = /(.с(п; z;); y(u; с)) = Р(и;ц), где и иг — независимые
переменные. Тогда имеем:
dF , dF ,
—— • du + —-  dv = du dv
/ dz dx dz
du dy
— - du + — - dv =
du dv
dy\	.	(dz	dx	dz	dy\	,
' T )	du +	I T	'	я	I" У~	'	У- )	d'1 =
du J	\dx	dv	dy	dv J
dx.	dx	\	dz	(dy	, dy
„	. — 	du	+ — 	dv	+	—	—	 du + ф-	 dv
dx	\du	dv	J	dy	\du	dv
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(и; v) и у = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,
dz	dz
dz = —  dx + —-  dy.
dx	dy
44.8. Дифференцирование неявной функции
Функция z = f(x',y) называется неявной, если она задается уравнени-
ем
Г(т:у;г) = О,
(44.11)
неразрешенным относительно z.
Найдем частные производные и
неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в
271
уравнение вместо z функцию f(x; у), получим тождество F(x\ у, f(x\ у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:
—Г(т;?/;/(т;?/)) =
их
э
-^F(x;y; f(x;y)) =
откуда
dF dx dF
dF dz
-г—  — = 0 (у — считаем постоянным), OZ Ox
dF dz n,
-r—h	• -z— = 0 (x — считаем постоянным),
oy oz dy
ду
F' л X
FL
dz dx
Замечания.
а)	Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х2 + у2 + z2 — 4 = 0 определяет функции 21 — у4 — х2 — у2 и 22 — — д/4 — г2 — у2, определенные в круге х2+у2	4, 2з = у/4 — х2 — у2, определенную в полукруге х2 + у2 4
при у 0 и т. д., а уравнение со8(т + 2т/ + 3г) -4 = 0 не определяет никакой функции.
Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x (х; у; z~), Fy(x\ у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки М)(а+; Ж+)), причем F(x0-,y0;z0) = 0, a FL(xo;yo;zo) 0 0, то существует окрестность точки Мо, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию 2 = f(x;y), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (хо',Уо) и такую, что f(xo; уп) = zq-
б)	Неявная функция у = /(т) одной переменной задается уравнением F(x:y') — 0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле
и
g=4 (F^0>-
(44.12)
(FJy ф 0).
Пример 44-6- Найти частные производные функции 2, заданной уравнением ez + 2 — х?у + 1 = 0.
Q Решение: Здесь F(x-,y,z) = ez + z - х2у + 1, F'v = -2ху, F'y = -ж2, FL = ez + 1. По формулам (44.12) имеем:	= -Л—9
v ' дх е- +1 dy е~ +1
Пример 44-7 Найти если неявная функция у — f(x) задана уравнением у3 + 2у = 2х.
Q Решение: Здесь F(x; у) = у3 + 2у - 2т, F.x = -2, Fy = Зу2 + 2. Следова-,	—2 dy 2	л
тельно, у' = — „ у- т. е. -Л = —п=—9
’ Ух Зт/2 + 2’ dx Зу2 + 2
272
Рис. 209.
§45	. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = дифференцируема в точке (а?о;Уо) некоторой области D е В’2. Рассечем поверхпос! в S. изображающую функцию z, плоскостями .г = .То и у = уо (см. рис. 209).
Плоскость х = пересекает поверхность S по некоторой линии го(</)- уравнение которой нол\ чается подстановкой в выражение исходной функции : -=f(x,', у) вместо .т числа xtt. Точка Мо(хо'- уо'- f{xo'- у{1)) принадлежит кривой г()(</). В силу дифференцируемости фуНКЦИИ Z В ТОЧКС' фуНКЦИЯ Z(j(y) 1ЯКЖС является дифференцируемой! в тачке у = </(,. Следовательно, в этой точке в плоскости х = хо к кривой zo(y) может быть проведена касательная 1\-
Проводя аналогичные рассуждения д.чя сечения у = уо, построим касательную !> к кривой г()(.с) в точке х = Хо- Прямые 1\ н 1-> определяюi плоскость о, которая называется каххтелъной илоскостою к поверхнос ти S в точке .V().
Составим ее уравнение. Так как плоское и> л
проходит через точку Мо(хо',Уо', -о)- 10 се уравнение может бын> записано в виде
А(т — х-о) + В{у — уо) + С(г — гф = 0. которое можно переписать так:
г — го = Л| (.т —	) + В, (</ — </о)	( 15.1)
(разделив уравнение па —С и обозначив = А|.	= /?1).
Найдем .41 и В1.
Уравнения касательных Ц и 1-> имеют вид
Z ~ Zo = /'(.Со://о) • {У - Уо)- X = -О):
z - zo = f',.(xo-,yo)  (л - то), у = Цо соответс твенно.
Касательная/ лежит в плоскости л, следовательно. коорлннаi ы всех точек / удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно записать в виде системы .
Z - Zo = fylxo-yo))!/ - Уо),
< х = х0,
z - Zo ~ -4, (.г - .То) + В] (у - Уо)-
Разрешая эту систему относительно В{, получим, ч то В, = /(.(./у: //о).
Проводя аналогичные рассуждения для касательной В. . ici ко установить, что А] = f'x(x0; уо).
Подставив значения А] и Bi в уравнение (45.1). получаем искомое уравнение касательной плоскости:
Z - ZO = f'r(x0;y0)  (х - Хо) + /,'(.си:/Л) • (у ~ Уо)- )Во:2)
273
Прямая, проходящая через точку Мо и перпендикулярная касательной плоскосш. построенной в -ной ючке поверхности, называется ее нормалью.
Используя условие перпендикулярное!и прямой и плоскости (см. с. 87). легко получить канонические уравнения нормали:
~ -'ш __ У - Цо г ~ 2р (''(>: Ун) /'ко: y(i) -1
(45.3)
Е(.,1и понерхпое гь .8 задана уравнением F(.r. у: с) = 0, то уравнения (45.2) и (45.3). с учетом юго. что частные производны*' могут быть найдены как upon полные неявной функции:
(-Он Но) —
:уц) б''(-'тг Уо)
/^т0: Уо) =
F,'(./-o; ур)
F'S-Vn- уо)
(см. формулы (44.12)), примут соолвегсшсиио вид
Т (. (-Си: i/о)  (.г - -i'll', -1 7 ((.Гц: у/и)  (у — уо) + F'. (./у: i/o) 	— До) = б
б ~	__	' ~ “<>
/’('(ты уо) 7',((.гь: уо) F((.r():y()) ’
w< '1.Ц1ГШ'. Формулы касатс. п.пой плоскости и нормали к поверхности Получены для обыкновенных, i. о. не особых, точек поверхносто. Точка Лф новерхносiи называется особой, ес. ш в -пой ючке все частные' производные равны нулю или хо|я бы одна из них нс существуй!. Такие точки мы I><- раесма трнвасм.
К!
Пример М>1. Написать уравнения каса тельной ,ч. юскостп и нормали к параболоиду вращения г -- ю 1- у- в точке 3/0(1;- 1:2).
Q Решение: Здесь ~	(л: у) =-~ 2.г.	/((.г: у) = 2у.	f'. (1; - 1) = 2.
/((I: -б) - -2. Пользуясь форму, шми (15.2) и (45.3) получаем уравнение каст । г. |,,ной и. locKoc । и: : - 2 - 2  i .г - 1) - 2 - (у + 1) или 2.г - 2у - 7—2 — 0 .1- - - 1	'/ в 1 z -2	Л
и \ равпетк- нормали: '—— - L—	-—р.	•
§46. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
46.1.	Основные понятия
Попа।не максимума, минимума. жс!ремума функции двух переменных ana. mi инны cooi векч в\ ioihhm понятиям функции одной независимой переменной (см. и. 25.1).
llycii. функция с -- J'(.г; у) определена в некоторой области D. точка б ('() Ун) С /2.
ф	Точка (./(i: y()) на тываеюя точкой максимума функции 2 = /(.т: у),
('ели су1пес1вуе т такая Фокрес inoc i ь точки (.Го: Уо). ч го для каждой точки (.г.у). (o. iH'iiioii oi t.ip-.i/n)- 1,3 aioii oKpecinociii выполняется неравенство /(г: у) < /(.со: у/о).
27-1
точка
жимамсудм ф> in им хи всех точек ст; у). отличных от (го’.ур). из д-окрест-ности точки (хо:у о) выполняется неравенство: f(x:y) > f(.ro:yo).
На рисунке 230: Лц — точка максимума. а Л'_> — точка минимума функции ’ = f У)-
Значение функции в точке максимума (минимума) называется .максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции назы-
вают ее экстремумами.
Отметим, что. в силу определения. точка экстремума функции лежит внутри области определения функции: максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (а-0;Уо) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (:го;уо)- В области D (функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
46.2.	Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума (функции.
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке Л (.го;?/о) дифференцируемая функция z — f (.г; у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: /(.(./•(>://()) “ О, (тт,: ,'/о) = 0
□ Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у = у0. Тогда получим функцию f(.r:ytt) = у(.г) одной переменной, которая имеет экстремум при ./• = .(о- Слеповатедыю. согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. ц. 25.4), <у>'(.То) = 0, т. е. Л((-Го: //о) =
Аналогично можно показал». что /((хц'-Уь) = 0.	И
Геометрически равенства	— 0 и /,ф Л);//о) = 0 означают, что
в точке экстремума функции z = f (:г. у) касательная плоскость к поверх-
ности. изображающей (функцию f(.r:y). параллельна плоскости О.гу, I. к. уравнение касательной плоскости есть z = .Ц) (см. формулу (45.2)).
Замечание.. Функция может нуль экстремум в точках, где хот бы одна из частных производных не существует. Например, фу пкнпя z = 1 — у/л2 + у-и.мес! максимум в точке (2(0:0) (см. рис. 211), по не имеет в этой точке частных производных.
Точка, в которой частные производные1 первого порядка функции z = f (х: у) равны ну. но, г. е. = 0, /' -- 0. называется стационарной точкой функ-
ции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка 0(0; 0) является критической (в ней z'x = у и z1 = х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки 0(0;0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (х0;у0) и некоторой ее окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (хо; уо) значения л = ГгЛхо',Уо), В = /"j,(aro;?/o). С = fyy(x0\y0). Обозначим
д= в с = АС-В2.
Тогда:
1.	если Д > 0, то функция f(x;y) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2.	если Д < 0, то функция f(x-y) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Д — 0 экстремум в точке (,то;?уо) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства.
Пример 46.1. Найти экстремум функции z = Зх2у — х3 — у4.
Q Решение: Здесь z'x = бху—Зх2, z' = Зх2—4у3. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
бху — З.г2 = О, Зх'2 - 4г/3 = 0.
Отсюда получаем точки Mi (6; 3) и Л/2(0; 0).
Находим частные производные второго порядка данной функции: zxx = бу — баг, z"y = бх, Zy'y = — 12у2.
В точке Mi(6;3) имеем: А = —18, В = 36, С = —108, отсюда АС - В2 = -18 • (-108) - 362 = 648, т. е. Д > 0.
276
Так как А < 0, то в точке A/j функция имеет локальный максимум: Zmax = г(6; 3) = 3 • 36 • 3 - 63 - З4 = 324 - 216 - 81 = 27.
В точке Л/2(0;0): А = О, В = О, С — 0 и, значит. Л = (). Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке ЗЛ равно пулю: г(0; 0) = 0. Можно заметить, что z = -г/4 < 0 при х = 0. //	0: z = —т3 > (I
при х < 0, у = 0. Значит, в окрестности точки 3/o(0: (I) функция г принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следоваге. и>ио. в точке М-2 функция экстремума не имеет.	•
46.3.	Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Пусть функция г = f(x;y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых ючках I) своего наибольшего М и наименьшего т значений (г. н. xutfia.iiiuitxii .нт-тремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе облает.
Правило нахождения наибольшего н наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = f(x-.y) состоит в следующем:
1.	Найти все критические точки функции, принадлежащие D . и вычислить значения функции в них:
2.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции г - /(.г://) на границах области;
3.	Сравнить все найденные' значения функции и выбрть. из большее AI и наименьшее т.
них пан-
Пример 46.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х1 2 у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1, х — 1, х = 2, у = —1,5 (см. рис. 212).
Q Решение: Здесь z'r = 2ху + у2 + у, z'!f = .Н +
+2ху + х.
1. Находим все критические точки:
Рис. 212.
у(2х + у + 1) — 1). т(х + 2у + 1) — 0.
Решением системы являются точки (0:0). (—1:0). (0:-1).	-i).
Ни одна из найденных точек не принадлежит области В .
2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕп ЕА (рис. 212).
277
На участке АВ: .г = 1. z = у~ + 2у. r;ie у € j '
c'7 = 2y 4- 2. 2y + 2 — 0, у = — 1. Значения функции z( — 1) = —1.
J ;f) ф : ь з.
На участке ВС: у = у, z — .г + - + 1- г € [1:2].
- 1---4. I —Д? = 0. J'i - 1. .r> — -1	[1:2]. Значения функции
;Ш = 3. ф2) - 3.5.
На уча<чке СЕ: .г = 2. г = 2у2 + бу. у 6 [ т; з]  О	/ о \
z'„ — 1у + G. 1</ + G — 0. у - ф Значения функции .?[ — I = —4.5.
ФМ-
На учас1ке АЕ: у - -2. г	—}. З гч х g [1:2],
z'r -=	+ 2. -З.г + 2 — о. ( = 1 fl: 2]. Значения функции
ф1) - -2. т(2) := -1.5.
3. Сфавннная по. л исиные реч.\. п>таi ы. имеем:
’/ =. +3.5 = 2 (2: ’ ) =
= z(C): а и/ 1.5	- г(Е).
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Правила дифференцирования
1.	(с/ ± v)’ — и' ± г1.
2.	(и  г)1 =	+ иг'. в частости. (си)1 = с  и':
3.	в час! ногти.	:
4-	= У'„  и\- У - ./‘('О- и = ТУ-'')'.
5.	у'. = -7-, ес.ти I/ = j'(.r) и .1: = y(jj). J'u
Формулы дифференцирования
1.	(с)' = 0:
2.	(и11)' = о • к ’	• и', в час I пос ги. (у/и)' = —U= • и':
'2\/ц
3.	(«'' У = <i" - In с  п'. в час г нос! и. (с" У ~ с" -и':
4.	(log,, </)' =-!— • и'. в час । iioc'i 11, (hi и)' = 1
" II -in и	'	U ’
5.	(sin и)' — cos и  и':
6.	(cos и}'	- sin a • u’:
7.	(tgii)' = V- - 11': CoS Ц
8.	(ctgw)'
Sill //
9.	(arcsin u)' -	 и';
Vl - c-
10.	(arccos и)1 =----- и';
V 1 - ii-
11.	(arctg u)' =	-Ч'--
1 + ir
12.	(arcctg 11Y —-----L-.t  it1:
1 + ir
13.	(sli к)' = ch и  u1:
14.	(ch u)1 = sh и  it1-
15.	(th 11)' =
С1Г и
16.	(cth u)' = —Д— • и'. sir и
279
Таблица основных интегралов
l.fu-du = ^ + C (а 0-1)
(У du = и + С
2.	/^=ln|u| + C’;
3.	у аи du =	+ С;
4.	е11 du = еи + С;
5. / sin и du = — cos и + С
(J sh и du = ch и + (S');
(У ch и du = sh и + (S’);
6. / cosudu = sin u + С
7
8
9/^=tg“+c
10. [	= - Ctgu + C
J sin и
И. [ A=ln|tg^| + C;
J sin и 1 ° 2 1
= thiz + c\ clr и	/
(Г du и
= — cth и + C
12.	[ A=in|tg(^ +A)l+C;
./ cosu I \2	4/|
13.	f , du = arcsin - + C;
J yja2 — u2	n
14.	f . du = = In |u + y/u2 + a21 + C;
J y/u2 + a2
15.
du
“5----?
a + u2
= 1 arctg H + C; a ° a
16- f -^4 J a — и
/
17.	j у/a1 — u2 du =	• л/а2 — и2 + arcsin — + C;
/.	__________ _________________________ 2
18.	/ Vu2 ± a2 du =	• у/и2 ± a2 ± In |u + у/и2 ± a21 + C.
По вопросам оптовых закупок обращаться: тел./факс: (095) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru Адрес: Москва, пр. Мира, 106
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги с II00 до 1730, кроме субботы, воскресенья, в киоске по адресу: пр. Мира, д. 106, тел.: 785-15-30
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «Айрис-пресс» приглашает к сотрудничеству авторов образовательной и развивающей литературы. По всем вопросам обращаться по тел.: (095) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
Письменный Дмитрий Трофимович КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 1 часть Издание пятое
Ведущий редактор В. В. Черноруцкий
Редактор Л. В. Абламская Художественный редактор А. М. Кузнецов Обложка А. М.Драговой Иллюстрации Е. В. Панкратьев, А. Ю. Терская Технический редактор С. С. Коломеец Компьютерная верстка К. Е. Панкратьев Корректоры Н. С. Калашникова, 3. А. Тихонова
Подписано в печать 21.12.04. Формат 70x100/16.
Гарнитура «Компьютер Модерн». Печать офсетная. Печ. л. 18.
Усл.-печ. л. 23,4. Тираж 15 000 экз. Заказ № 418.
ООО «Издательство “Айрис-пресс”»
113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50, стр. 3.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Можайский полиграфический комбинат»
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93
Высшее образование
В. В. Розен
Концепции современного естествознания. Конспект лекций
Учебное пособие рассчитано на студи нов вузов всех специальностей. Оно может использоваться учащимися старших классов школ, колледжей и лицеев, а также для самообразования. Целью книги является формирование у читателя целостной картины мира.
Основное внимание сосредоточено на кардинальных проблемах естествознания — вопросе пространства и времени, строения и развития Вселенной, происхождения и развития жизни на Земле. Логика изложения материала основана на прослеживании эволюции естественнонаучных представлений о мире с древнейших времен до настоящего времени.
Обложка, 240 с.
ИЗДАТЕЛЬСТВО АЙРИС-ПРЕСС
Высшее образование
Сборник задач по высшей математике 1 и 2 части
Сборники содержат свыше шести с половиной тысяч задач по высшей математике. Ко всем разделам книг даны необходимые теоретические пояснения. Детально разобраны типовые задачи, приведено большое количество заданий различных уровней сложности для самостоятельного решения. Наличие в сборниках контрольных работ, устных задач is «качественных» вопросов позволит студенту подготовиться к экзаменационной сессии. Книги охватывают материал по линейной алгебре, аналитической геометрии, основам математического анализа и комплексным числам. Они буду!’ полезны студентам младших курсов и преподавателям вузов.
Перечтет, 576 с. (I ч). 592 с. (2 ч)
ИЗДАТЕЛЬСТВО АЙРИС-ПРЕСС
Высшее образование
Д. Г Письменный
Конспект лекций по высшей математике.
Полный курс
Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов высших учебных заведений, изучающих в том или ином объеме высшую математику7.
Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы математического анализа), которые обычно изучаются студентами на первом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операционного исчисления).
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмо трением большого количества примеров и задач.
Пособие поможет студентам освоить курс высшей математики, подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам.
Переплет, 608 с., с илл.
ИЗДАТЕЛЬСТВО АЙРИС-ПРЕСС
Высшее образование
Высшее образование
.«ярдь.
Дмитрий Письменный
Конспект лекций по теории вероятностей и математической стжтике—..............

Д. Т Письменный
Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Настоящая книга представляет собой курс лекций по теории вероятностей и математической статистике.
Первая часть книги содержит основные понятия и теоремы теории вероятностей, такие как случайные события, вероятность, случайные функции, корреляция, условная вероятность, закон больших чисел и предельные теоремы. Вторая часть книги посвящена математической статистике, в ней излагаются основы выборочного метода, теории оценок и проверки гипотез. Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач.
Предназначена для студентов экономических и технических вузов.
Обложка, 256 с.
ИЗДАТЕЛЬСТВО АЙРИС-ПРЕСС
Высшее образование
В. А. Любецкий
Основные понятия элементарной математики
Излагаются основные понятия школьной (элементарной) математики: элементарная функция, угол, вектор, плоскость, планиметрия, измерение величин, площадь и мера фигуры, геометрическое построение, решение алгебраических уравнений, число, точка, пространство, доказуемость, модель и истинность. Выясняется место этих понятий в современной системе представлений высшей математики.
Учебное пособие для студентов педагогических институтов и университетов.
Переплет, 624 с.
ИЗДАТЕЛЬСТВО АЙРИС-ПРЕСС
ДЛЯ ЗАМЕТОК